Trabajo Colaborativo 2 SEÑALES Y SISTEMAS

CONVOLUCIÓN CONTINUA, CONVOLUCIÓN DISCRETA Y SERIES DE FOURIER

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) SEÑALES Y SISTEMAS 2017

INTRODUCCION Cuando se estudian y aplican de señales en los diferentes campos del saber del hombre se requiere la posibilidad de combinar o realizar cambios a dichas señales dependiendo de la necesidad particular de cada aplicación que se esté desarrollando, gracias a la convolución es posible analizar y predecir el resultado de un sistema completo donde se cuenta con una señal de entrada, una señal de respuesta a un impulso y una señal de salida. Con la misma premisa anterior, es necesario estudiar señales desde el punto de vista de la frecuencia, dominio de frecuencia, perspectiva un poco diferente a lo que se ha estudiado en cursos anteriores donde el análisis se desarrolla desde el dominio del tiempo, las series de Fourier permiten matemáticamente realizar esta conversión de dominio de manera tal que es posible realizar análisis y tratamiento a las señales desde el dominio de frecuencia.

OBJETIVOS  Comprender el concepto de convolución entre señales, de igual manera la técnica para determinarla analíticamente.  Determinar mediante el método de tabulación o lápiz y papel la respuesta de un sistema, apropiándose del procedimiento para aprenderlo.  Estudiar y entender las series de Fourier a través de los conceptos y demostraciones matemáticas de la manera como se llevan a cabo.

EJERCICIO 1 1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), determine analíticamente la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación: 𝑥(𝑡) = 10𝑒 −3𝑡 𝑢(𝑡) ℎ(𝑡) = 3/𝑒 𝑎𝑡 𝑢(𝑡 − 𝑎) Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=3. Nota: No olvide repasar los métodos de integración que debió estudiar en el curso de cálculo integral NUESTRO GRUPO ES EL 61 Sea 𝑥(𝑡) = 10𝑒 −3𝑡 𝑢(𝑡) ℎ(𝑡) = 3/𝑒 𝑡 𝑢(𝑡 − 1) = 3𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡 − 1) Entonces 𝑥(𝜆) = 10𝑒 −3𝜆 𝑢(𝜆) ℎ(𝑡 − 𝜆) = 3𝑒 −(𝑡−𝜆) 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 1) Puesto que 𝑢(𝜆) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆 < 0 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 1) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆 > 𝑡 − 1 Se obtiene: ∞

𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝑡)ℎ(𝑡 − 𝜆)𝑑𝜆 −∞ ∞

𝑡−1

𝑦(𝑡) = ∫ 10𝑒 −3𝜆 𝑢(𝜆)3𝑒 −(𝑡−𝜆) 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 1)𝑑𝜆 = ∫ −∞

10𝑒 −3𝜆 ∙ 3𝑒 −1(𝑡−𝜆) 𝑑𝜆

0

Puesto que 3𝑒 −𝑡 no es una función de 𝜆 se puede sacar de la integral y se obtiene

𝑡−1

𝑦(𝑡) = 30𝑒

−1𝑡

∫

𝑡−1

𝑡−1

𝑒

−3𝜆

𝜆

∙ 𝑒 𝑑𝜆 = 30𝑒

−𝑡

0

∫

𝑒

−2𝜆

𝑑𝜆 = − 30𝑒

0

=−

30 −𝑡 −2(𝑡−1) 𝑒 (𝑒 − 𝑒 0) 2

−1𝑡

𝑒 −2𝜆 ( )| 2 0

Luego 𝑦(𝑡) = −15𝑒 −𝑡 (𝑒 −2(𝑡−1) − 1),

𝑡≥1

EJERCICIO 2 1. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n] 𝑥[𝑛] = [−1, −2̌, 4, 𝑎] ℎ[𝑛] = [2, 1̌, 𝑏, 3] Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=3, o b=3 según sea el caso. Nota: Tenga en cuenta la notación para ubicar correctamente la señal en la escala horizontal (número de muestra)

Sea la respuesta al impulso ℎ[𝑛] = [2, 1̌, 6, 1]. Se va a hallar la respuesta 𝑦[𝑛] a la entrada 𝑥[𝑛] = [−1, −2̌, 8, 5] El método de lápiz y papel expresa la entrada como 𝑥[𝑛] = −𝛿[𝑛 + 1] − 2𝛿[𝑛] + 8𝛿[𝑛 − 1] + 5𝛿[𝑛 − 2], y tabula la respuesta a cada impulso y la respuesta total como sigue h[n]

=

x[n]

=

Entrada

Respuesta

=

-δ[n+1]

-h[n+1]

=

-2δ[n]

-2h[n]

4δ[n-1]

4h[n-1]

2 1 2

1

6

1

-2

8

5

-1 -4

=

6 2 8

-1 -12

-2

4

24

4

5δ[n-2]

5h[n-2]

Suma=x[n] Suma=y[n]

= =

2

-5

0

10

5

1

27

30 34

5 5

Así que 𝑦[𝑛] = [−2, −5, 0̌, 1, 27, 34, 5]

𝑦[𝑛] = −2𝛿[𝑛 + 2] − 5𝛿[𝑛 + 1] + 𝛿[𝑛 − 1] + 27𝛿[𝑛 − 2] + 34𝛿[𝑛 − 3] + 5𝛿[𝑛 − 4]

Punto 3 2. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8):

a) 𝑎𝑘 b) 𝑏𝑘

para 𝑥(𝑡) = −2 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 + 𝑏) con T=10 para 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 con T=3

Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=3, o b=3 según sea el caso. Para el ítem “b”, se debe presentar solo una propuesta de solución en el trabajo grupal, en el caso del ítem “a” se deben recopilar las soluciones de todos los integrantes que hayan participado en el trabajo.

Solución Mi numero de identificación termina en 8 a) 𝑎𝑘

para 𝑥(𝑡) = −2 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 + 8)

con T=10

𝑎𝑘 =

2 ∫ 𝑥(𝑡) cos(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇

𝑇=

1 1 ∴ 𝑓0 = = 0.1 𝑓0 10 0.5

𝑎𝑘 = −0.2 ∫

2 ∙ cos(0.2𝜋𝑘𝑡) 𝑑𝑡

−0.5

𝑎𝑘 = −

𝑏𝑘

para 𝑥(𝑡) = 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

𝑏𝑘 =

1.2732 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(0.1𝜋𝑘) 𝑘

con T=3

2 ∫ 𝑥(𝑡) sen(𝑘𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 𝑇 1

2 1 2sen(𝑘𝜔0 𝑡) 2𝑡 cos(𝑘𝜔0 𝑡) 𝑏𝑘 = ∫ 𝑡 sen(𝑘𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 = [ − ]| 3 0 3𝑘 2 𝜔0 2 3𝑘𝜔0 0

𝑏𝑘 = [

2sen(𝑘𝜔0 ) 2 ∗ (1) cos(𝑘𝜔0 ) 2 ∗ sen(0) 2 ∗ (0) cos(0) − ] − [ − ] 3𝑘 2 𝜔0 2 3𝑘𝜔0 3𝑘 2 𝜔0 2 3𝑘𝜔0

𝑏𝑘 =

2 sen(𝑘𝜔0 ) 2 cos(𝑘𝜔0 ) − 3𝑘 2 𝜔0 2 3𝑘𝜔0

Dado que 𝜔0 = 2𝜋𝑓0 =

2𝜋 2𝜋 = 𝑇 3

Entonces 2𝜋𝑘 2𝜋𝑘 18sen ( 3 ) 6 cos ( 3 ) 𝑏𝑘 = − 12𝜋 2 𝑘 2 6𝜋𝑘 Simplificando 2𝜋𝑘 2𝜋𝑘 3 sen ( 3 ) cos ( 3 ) 𝑏𝑘 = − 2𝜋 2 𝑘 2 𝜋𝑘

CONCLUSIONES





Se logro concluir que con la convolucion entre señales y teneniendo operaciones matematicas definimos la integral de un producto a ambas direcciones desplazando una de ellas . Con las series de Fourier logramos concluir que una funsion continua y periodica por metodos matematicas se da a partes , obteniendo combinacion de senos y cosenos

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ambardar, A. (s.f.). Procesamiento de señales analógicas y digitales. Michigan Technological University: segunda edicion. Convolución Discreta. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 169). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300069&v=2.1 &u=unad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=9216176bfe3118887d3ff0ec6f660 6e8 Series de Fourier. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 197). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300081&v=2.1 &u=unad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e4258b e694