trabajo colaborativo 2 procesamiento analogico de señales

TRABAJO COLABORATIVO 2 PROCESAMIENTO ANALOGICO DE SEÑALES

WILSON ALEXANDER HUERTAS URREGO COD. 3.216.368 CAMILO ANDRES MORENO COD. DIDIER GERARDO MESA COD.

MARCOS GONZALEZ TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA BOGOTA D.C MAYO 28 DE 2011

INTRODUCCION

Las computadoras se han venido utilizando de forma general desde los años 50 del siglo pasado. Siendo estas en un principio maquinas muy caras y grandes en sus inicios fueron usadas por los gobiernos al igual que por grandes y poderosas empresas. El tamaño de las computadoras ha cambiado gracias a los avances de la tecnología, permitiendo tener acceso a datos y graficas a través del análisis numérico y grafico en la pantalla de un computador. Se contempla dentro del curso académico de Procesamiento Analógico de Señales, una serie de actividades que buscan entrenar al estudiante en los temas relacionados con el modelado matemático de las diferentes señales analógicas presentes en los distintos procesos domésticos e industriales, este trabajo colorativo tiene como fin conocer los diferentes métodos utilizados para el moldeamiento matemático de las diferentes señales así como su análisis por computadora, de ahí la importancia de programas como el MatLab ya que este, es una herramienta muy útil al momento de modelar y analizar y graficar una o varias señales.

OBJETIVOS

El trabajo colaborativo tienen como finalidad unir esfuerzos, reunir los saberes y competencias de todos los integrantes del grupo y con ello alcanzar la construcción de un trabajo de alta calidad, el cual lleva el resumen de los aportes valiosos de cada uno de los integrantes del grupo para la adquisición de las competencias necesarias en su carrera profesional.

Para esto se hace necesario revisar las temáticas planteadas tales como: muestreo, cuantificación y análisis de Fourier; que nos llevaran a desarrollar los problemas planteados y adquirir conocimientos que permitirán aplicarlos a un problema de la vida real.

MARCO TEORICO

La forma general de enviar una señal que contiene algún tipo de información atreves de un medio de transmisión es modificando alguna propiedad física del mismo. Un ejemplo puede ser una línea eléctrica si modificamos la intensidad de la corriente o el voltaje que circula por la misma. Uno de los métodos más antiguos de transmisión de señales es el telégrafo que se basa en la interrupción de un nivel de corriente continua en espacios sucesivos de tiempo. A estas variaciones en las propiedades físicas de los medios de transmisión se puede intentar aplicar un análisis matemático, por eso las señales que se transmiten se suelen representar en funciones del tiempo y además se suelen caracterizar por tener un patrón que se repite a lo largo de un patrón temporal, llamado periodo. El procesamiento analógico de señales se puede considerar como la ciencia que permite el análisis, manipulación y modificación de señales para su utilización en cualquier campo de las comunicaciones si importancia en este medio radica en la posibilidad de procesar las señales para lograr su conversión a diferentes tipos de comunicación. A continuación se relaciona una recopilación bibliográfica en donde se puede profundizar en las aplicaciones del procesamiento analógico de señales en las telecomunicaciones. El objeto básico usado en MATLAB es una matriz numérica con la posibilidad de almacenar números complejos. Los datos encontrados en el estudio de señales y sistemas son siempre, muy bien representados en forma de matrices. En esta sección se usará MATLAB para la generación de señales elementales como lo son las señales exponenciales, sinodales, etc. El ToolBox de procesamiento de señales de MATLAB posee una larga variedad de funciones para la generación de señales, estas señales requieren de una representación vectorial de la variable del tiempo, de manera continua o discreta. Para realizar una simulación de un intervalo continuo, se usa un vector de valores discretos con un intervalo de muestreo muy pequeño. El siguiente comando genera un vector llamado t de valores que representan la variable timo, con un intervalo de muestreo de 1ms entre 0 y 1seg. t = 0:0.001:1; Para generar un vector llamado n de valores que representan la variable tiempo para una señal discreta en el intervalo de 0 a 1000, se puede usar el siguiente comando. n = 0:1000;

Después de creado el vector que representa la variable tiempo, es posible iniciar el desarrollo de alguna señal de interés. En MATLAB una señal discreta en el tiempo se representa exactamente, porque los valores de la señal son representados como los elementos de un vector. Sin embargo las señales de tiempo continuo en MATLAB son tan solo aproximaciones. La aproximación consiste de un vector cuyos elementos son muestras de la verdadera señal de tiempo continuo. Cuando se usa esta técnica para la representación de señales continuas es importante escoger el intervalo de muestreo lo suficientemente pequeño para asegurar que las muestras capturan todos los detalles de la señal. SEÑALES SENOISOIDALES. MATLAB también contiene funciones trigonométricas que pueden ser usadas para generar señales sinusoidales. Una señal coseno de amplitud A, frecuencia w0 (medida en radianes por segundo) y ángulo de fase phi (en radianes) se obtiene usando el comando: A * cos ( w0 * t + phi); Alternativamente se puede usar la función seno para generar una señal sinusoidal usando el siguiente comando: A * sin ( w0 * t + phi ); En seguida se muestran ejemplos para cada uno de las señales respectivamente: >> A = 4; >> w0= 20 * pi; >> phi = pi / 6; >> t = 0:0.001:1; >> coseno = A * cos( w0 * t + phi); >> plot(t,coseno) ;

>> A = 0.5; >> w0 = 20 * pi; >> phi = pi / 2; >> t = 0:0.001:1; >> seno = A * sin( w0 * t + phi); >> plot(t,seno);

SEÑALES SENOISOIDALES CON AMORTIGUACIÓN EXPONENCIAL. En todos los comandos de generación de señales descritos anteriormente, se ha generado la amplitud deseada de las señales, realizando una multiplicación por un escalar A. Esta operación se describe usando el símbolo asterisco “*”. Supongamos que se desea multiplicar una señal sinusoidal por una señal exponencial para producir como resultado una señal con amortiguación exponencial. La siguiente ecuación describe mejor el supuesto caso:

Debido a que tanto la componente sinusoidal de la señal como la exponencial son vectores, el procedimiento para la generación de la señal final requiere de una multiplicación de dos vectores elemento por elemento. En MATLAB este tipo de multiplicación se representa usando el símbolo punto (.) seguido por el símbolo asterisco (*). Así el comando para generar la ecuación anterior sería; A * sin( w0 * t + phi) .* exp ( -a * t); Y un ejemplo completo sería: >> A = 60; >> w0 = 20 * pi; >> phi = 0; >> a = 6; >> expsen = A * sin( w0 * t + phi) .* exp ( -a * t); >>plot(t,expsen); Dando como resultado la siguiente gráfica:

La versión discreta de la misma señal se puede obtener haciendo uso de los comandos mostrados anteriormente de la siguiente manera: >> A = 10; >> a = -0.1; >> w0 = 2 * pi / 12; >> phi = 0; >> n = -10 : 10; >> x = A * sin( w0 * n + phi); >> y = exp( a * n); >> z = x .* y; >> tem(n,z)

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

I)

Con la señal dada por x(t) = 170.Sen(120.π.t),cuya frecuencia es de 60 Hz desarrolle los siguientes puntos:

1. Grafique la señal continúa desde 0 a 0.3 segundo.

SOLUCION

IMAGEN

COMANDO MATLAB >> t=0:0.001:0.3 x =170*sin(120*pi*t) plot(t,x) grid ylabel('x(t)') xlabel('Tiempo seg')

2. Haga la grafica sí la señal se muestrea a intervalos de tiempo Ts = 0.016s SOLUCION

Para graficar señales en tiempo discreto procedemos de la siguiente manera La aproximación a la señal continua será tanto mejor cuanto mayor sea el número de muestras que seleccionemos para representarla, es decir, cuanto menor sea el intervalo temporal utilizado para obtener puntos de la señal. A este intervalo temporal lo denominaremos período de muestreo, y a la operación consistente en discretizar una señal continua muestrear. El período de muestreo elegido debe ser suficientemente pequeño para que la señal que queremos representar quede perfectamente identificada.

En Matlab, para representar señales en el tiempo, debemos calcular los valores que en este eje corresponden a cada punto de la señal muestreada utilizando la información que tenemos del intervalo de muestreo. Si queremos representar una señal constante de valor 1 entre 0 y 1 segundo mediante 100 muestras, generaremos 2 vectores, uno para el eje de amplitudes y otro para el eje de tiempos. En este caso el intervalo será de 0.01 segundos.

Los vectores necesarios serán: x = ones(1,100); t = [0.01:0.01:1]; plot(t,x); xlabel('tiempo (seg)'); ylabel('amplitud'); title('Representación continua de una señal discreta');

Para el desarrollo de los puntos 2,3,4 y 5, pasamos la señal continua a discreta y la graficamos de la siguiente manera: grafica sí la señal se muestrea a intervalos de tiempo Ts = 0.016s

stem([0:0.016:0.30], 170*sin(120*pi*60*[0:0.016:0.30])); ylabel('amplitud'); title('Sinusoide 60 Hz – muestreo 0.016 seg'); xlabel('tiempo (seg)'); grid

GRAFICA PUNTO 2

3. Haga la grafica sí la señal se muestrea a intervalos de tiempo Ts = 0.008 s SOLUCION

stem([0:0.008:0.30], 170*sin(120*pi*60*[0:0.008:0.30])); ylabel('amplitud'); title('Sinusoide 60 Hz – muestreo 0.008 seg'); xlabel('tiempo (seg)'); grid

GRAFICA PUNTO 3

4. Haga la grafica sí la señal se muestrea a intervalos de tiempo Ts = 0.004 s SOLUCION

stem([0:0.004:0.30], 170*sin(120*pi*60*[0:0.004:0.30])); ylabel('amplitud'); title('Sinusoide 60 Hz – muestreo 0.004 seg'); xlabel('tiempo (seg)'); grid

GRAFICA PUNTO 4

5. Haga la grafica sí la señal se muestrea a intervalos de tiempo Ts = 0.002 s SOLUCION

stem([0:0.002:0.30], 170*sin(120*pi*60*[0:0.002:0.30])); ylabel('amplitud'); title('Sinusoide 60 Hz – muestreo 0.002 seg'); xlabel('tiempo (seg)'); grid

GRAFICA PUNTO 5

6. Exprese las conclusiones obtenidas de los anteriores puntos

CONCLUSIONES

La primera cosa que tenemos que hacer [para obtener la representación digital de esa sinusoide] es tomar valores de la señal continua a intervalos regulares de tiempo. Este proceso se llama muestreo . El intervalo de tiempo entre dos muestras consecutivas se denota Ts (el ‘sampling interval’ o ‘período de muestreo’) y su recíproco, la llamada frecuencia de muestreo (samplingfrequency o sample-rate), se denota con fs, donde fs = 1/Ts. El resultado de este proceso es simplemente una secuencia de números. Usaremos n como índice en esta secuencia y nuestra señal en tiempo discreto será denotada x[n]. En la literatura DSP [Digital Signal Processing] es común usar paréntesis para variables continuas, tales como el tiempo t, y corchetes para variables discretas, tales como nuestro índice de muestra n. Habiendo definido nuestro período de muestreo, la operación de muestreo simplemente extrae los valores de la señal en instantes que son múltiplos enteros de Ts , de manera que nuestra secuencia en tiempo discreto resulta: x[n] = x(n · Ts) Observe que en este punto (después del muestreo) nuestra señal todavía no es enteramente digital, porque los valores x[n] pueden todavía tomar cualquier número de un rango continuo. Esa es la razón por la cual hablamos aquí de señal en tiempo discreto y no de señal digital.

7. Si el cuantificador, solo acepta números enteros, cual es el máximo error que se comete? SOLUCION Si el cuantificador solo acepta números enteros, el máximo error que se puede obtener es de 0,49999, por ejemplo los valores entre 123 y 124 se puede determinar de la siguiente manera: 123,4 se aproxima a 123 123,7 se aproxima a 124

8. Grafique el error de cuantificación cometido en el numeral (5). SOLUCION

En esta el error de cuantificación esta dado por la señal original menos la señal recuperada mediante los puntos de muestreo. Gráficamente esta se puede observan en la grafica siguiente:

II) 9. Determine la serie de Fourier de la señal y(t) = 1 para t = [1 1]. y y(t) = 0 para el resto. Esta función es un pulso de amplitud 1, desde -1 a 1. Cada armónico nos dará una señal cosenoidal.

SOLUCIÓN

Sea f(t) una función periódica de periodo T, llamaremos SERIE DE FOURIER asociada a f(t) a UNA serie trigonométrica. La serie puede desarrollarse para igualar cualquier función deseada durante cualquier duración finita de tiempo mientras la componente fundamental de la serie pasapor un ciclo completo. Si llamamos t1 al principio y t2 al final del período T de la componente fundamental será t2 - t1 = T y con ello

El método de encontrar los coeficientes, llamado análisis de Fourier, se basa en que las funciones seno y coseno constituyen un sistema ortogonal, esto es el promedio de sus productos en cruz es cero. Y con esto resulta:

Para la señal y(t) = 1 para t = [1 1]. Tiene un T=2 Porque este esta entre -1 y 1 Entonces Para

గ

ଶగ

1 ܽ଴ = ൬ ൰ (න ݀‫ ݔ‬+ න ݀‫= )ݔ‬ ߨ ଴

గ

1 ൬ ൰ (ߨ − 0 − 2ߨ + ߨ) = 0 ߨ

Para గ

ଶగ

1 ܽ௡ = ൬ ൰ (න(+1) cos ݊‫ ݔ݀ ݔ‬+ න (−1) cos ݊‫)ݔ݀ ݔ‬ ߨ ଴

గ

1 ߨ 2ߨ ܽ௡ = ൬ ൰ (ሾ‫ݔ݊݊݁ݏ‬ሿ − ሾ‫ݔ݊݊݁ݏ‬ሿ ) 0 ߨ ߨ ܽ௡ = 0

Y para గ

ଶగ

1 ܾ௡ = ൬ ൰ (න(+1) sen ݊‫ ݔ݀ ݔ‬+ න (−1) sen ݊‫)ݔ݀ ݔ‬ ߨ ଴

గ

1 ߨ 2ߨ ܾ௡ = ൬ ൰ (−ሾܿ‫ݔ݊ ݏ݋‬ሿ + ሾܿ‫ݔ݊ ݏ݋‬ሿ ) 0 ߨ ߨ

1 ܾ௡ = ൬ ൰ (1 − 2 ܿ‫ ߨ݊ ݏ݋‬+ ܿ‫݊ݏ݋‬2ߨ) = ܾ௡ ߨ

Determinamos la componente par e impar Para n par ܾ௡ = (1 − 2 + 1) = 0

Para n impar ܾ௡ = (1 + 2 + 1) =

4 ݊ߨ

La grafica del primer armónico nos dará El primer término (4/π)*sen(t) es el primer armónico: Tiene una amplitud de 4/π y un periodo de T=-1 y T=1.

GRAFICA PUNTO 9

COMANDO MATLAB figure(1); ezplot('(4/pi)*sin(t)', [-1,1];

10. Grafique el primer armónico de la señal y(t), para valores entre t = 2 a t = 2.

SOLUCION Para la señal y(t) = 1 para t = [2 2]. Teneos un periodo de T=-2 a T=2 Entonces el primer armónico es:

GRAFICA PUNTO 10

COMANDO MATLAB figure(1); ezplot('(4/(pi))*sin(t)', [-2,2]); title('Armonico 1')

11. Grafique, la suma de los primeros cinco (5) armónicos de la señal y(t), para valores entre t = 2 a t = 2. SOLUCION

GRAFICA PUNTO 11

COMANDO MATLAB figure(6); S1=['(4/(pi))*sin(t)'] S3=['(4/(3*pi))*sin(3*t)'] S5=['(4/(5*pi))*sin(5*t)'] S7=['(4/(7*pi))*sin(7*t)'] S9=['(4/(9*pi))*sin(9*t)'] S = [S1,'+',S3,'+',S5,'+',S7,'+',S9] ezplot(S, [-2,2])

12. Grafique la suma de los primer diez (10) armónicos de la señal y(t), para valores entre t=-2 a t= 2 SOLUCION GRAFICA PUNTO 12

COMANDO MATLAB figure(7); S1=['(4/(pi))*sin(t)'] S3=['(4/(3*pi))*sin(3*t)'] S5=['(4/(5*pi))*sin(5*t)'] S7=['(4/(7*pi))*sin(7*t)'] S9=['(4/(9*pi))*sin(9*t)'] S11=['(4/(11*pi))*sin(11*t)'] S13=['(4/(13*pi))*sin(13*t)'] S15=['(4/(15*pi))*sin(15*t)'] S17=['(4/(17*pi))*sin(17*t)'] S19=['(4/(19*pi))*sin(19*t)'] S = [S1,'+',S3,'+',S5,'+',S7,'+',S9,'+',S11,'+',S13,'+',S15,'+',S17,'+',S19] ezplot(S, [-2,2])

CONCLUSIONES

-Con la ayuda del análisis matemático se puede llegar a conocer el comportamiento de una señal discreta. -una de las herramientas más importantes en el análisis y procesamiento de señales es el MATLAB que nos permite conocer las variaciones de una señal basado en su modelo matemático. -Por complejas que parezcan las señales, estas se pueden reducir a modelos matemáticos para su mayor comprensión y manipulación.

BIBLIOGRAFIA

GONZALEZ PIMENTEL Marcos. Procesamiento analógico de Señales. Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniería UNAD, Bogotá enero de 2011. PINSKY Mark A. Introducción al análisis de Fourier y las ondoletas. Inernational Thomson editores. México 2003

REFERENCIAS: http://www.it.uniovi.es/old/material/telematica/ftd/Practica2.pdf http://mat21.etsii.upm.es/ayudainf/aprendainf/Matlab70/matlab70primero.pdf http://www.docentes.unal.edu.co/radelacruzg/docs/BREVES%20APUNTES%20 MATLAB5.pdf http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/ http://antiguo.itson.mx/die/jmurrieta/cursos/se%C3%B1alesysistemas/Ejem_se %C3%B1ales_matlab.pdf http://www.ceduvirt.com/resources/Control%20Digital%20con%20Matlab.pdf http://es.scribd.com/doc/41517182/Muestreo-de-senales-en-matlab http://ocw.uis.edu.co/educommons/ingenieria-electrica-electronica-y-detelecomunicaciones-1/tratamiento-desenales/Tratamiento%20_de_Senales/diapositivas_1.pdf http://www.culturacientifica.org/textosudc/unidad_didactica_fft.pdf http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:4Q4_Of_Vu3wJ:www.tecnun.es/a signaturas/senysys/Practicas/practica1.doc+muestreo+matlab&hl=es&pid=bl&sr cid=ADGEESjCMtQXE87tWA42vLgaQEqo3fX_OXPLoW0AZgmL8BzYNdiXW WUIDVzC4a88TJ5uEZOoWLLIFm913gCZsN1LrrGPsz3W0VPAHEw966PWm7 r9yft9r4LX4IjFwvO5nrUaRHu86QLZ&sig=AHIEtbR81iueen4JTJbxoIitjXmwBq9t 7g http://www.slideshare.net/israel.1x/muestreo-presentation-881042 http://www.matematica.ues.edu.sv/trabajosdegraduacion/resolucion.pdf