Trabajo Colaborativo 1 Metodos Numericos

METODOS NUMERICOS

TRABAJO COLABORATIVO 1 UNIDAD 1

TUTOR :JOSE ADEL BARRERA CARDOZO

PRESENTADO: Vladimir Rodriguez Arias CC 7.695845 DE NEIVA (H)

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) 2016

1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos. RTA

Error Absoluto: si tiene 1,000 ml de agua al reembolsar observa que hay 0,999 ml E= 1.000 – 999 = 1 ml Error Relativo: 0,999/1,000 = 0,999 Error Relativo Aproximado: ( 1,000 -0,999)/1000 *10% = 0,1% Error por truncamiento: cuando usamos todos los decimales de 0,999 Error por Redondeo: si redondeáramos 0,999 a 0,9 o a 1

2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo RTA Método de Regula-Falsi Con las mismas hipótesis anteriores, se puede considerar el promedio ponderado para calcular las sucesivas aproximaciones, es decir, pesar los extremos según cual está más cerca de la raíz. Esto es: se tiene una función continua en un intervalo [a, b], donde en los extremos las imágenes tienen distinto signo. Dados los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)), la ecuación de la recta que los une es: Método de Newton (o Método de Newton-Raphson) Este método encuentra una raíz de la ecuación f(x)=0, siempre y cuando se conozca una estimación inicial de la raíz deseada. Utiliza las

rectas tangentes que se evalúan analíticamente. Se consigue una aproximación calculando: Xn+1=Xn - _f(Xn)_ F(Xn) También el método de Newton se obtiene a partir del desarrollo de Taylor: Supóngase que el problema es encontrar una raíz de f(x)=0. Al utilizar el desarrollo de Taylor de f(x) en torno a una estimación xo, la ecuación se puede escribir como: f(x) = 0 = f(xo)+f'(xo)(x-xo) + E(h2) h = x-xo . Si se desprecia el error de truncamiento y se encuentra una raíz de la parte derecha de la igualdad, esta no será exacta, pero será una aproximación que irá mejorando en los pasos sucesivos. Esto es, sea g(x)= f'(xo )(x-xo )+f(xo ), que representa la ecuación de la recta tangente a f por el punto (xo ,f(xo )). La raíz de g(x)=0 denotada por x1 satisface: f'(xo )(x1 -xo ) + f(xo ) = 0 Método de Newton En iteración de punto fijo cuando g’() es pequeña, en tiende a cero más rápido con n. Luego la iteración de punto fijo puede acelerarse si g’()=0. Sea la función de iteración doblemente diferenciable, entonces: g(xn)= g()+g’()(xn - )+ 1 2 g’’(n)(xn - ) 2, Con n entre xn y  , entonces g()-g(xn)= -g’()(xn - )- 1 2 g’’(n)(xn - ) 2, Así en+1 = - xn+1= g()- g(xn ) = -g’()(xn - )- 1 2 g’’(n) (xn ) 2, Método de la secante Sea f(x) dos veces continuamente diferenciable y f’(.)0. Recordando que la sucesión de puntos en este método se produce al aplicar la expresión. 3.Demostrar que f(x) = x 3 + 4x2 – 10 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10-4 . RTA La función x3 +4x2 -10 tiene una sola raíz en el intervalo [1,2], ya que f(1) =-5 y f(2) = 14. Veamos una tabla con los valores que genera la iteración del método de la bisección:

Después de 13 iteraciones, podemos ver que m13 = 1.365112305 aproxima a la raíz con un error de  x-m13 <  a14 -b14 =  1.365234375-1.365112305  = 0.000122070 y como a14  < 9.0 x 10-5 .