Trabajo colaborativo 1 álgebra lineal

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TRABAJO COLABORATIVO 1 ALGEBRA LINEAL

YOLEIDIS ARENGAS 100408_289 FERNANDO MUÑOZ 1081699780 IVAN ALEJADRO MERCADO XXXXXX DIEGO ARMANDO CARDENAS ALEGRIA 1083873773 YERMAN AUGUSTO HERNANDEZ Tutor 100408_57 Grupo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD INGENIERIA DE SISTEMAS

Pitalito, 10 de mayo de 2016

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CONTENIDO

Contenido……………………………………………………2 Introducción………………………………………………....3 Objetivos……………………………………………………4 Desarrollo de la Actividad…………………………………5 Conclusiones………………………………………………34 Bibliografía……………………………………………......35

3

INTRODUCCION

Este trabajo tiene como finalidad resolver ejercicios de la primera unidad, para afianzar los conocimientos adquiridos y crear un campo de participación con los compañeros del grupo colaborativo. Como bien se había nombrado en el protocolo del curso, con este trabajo se busca la interacción de todos los integrantes del grupo y ver los diferentes puntos de vista, tanto el alcance de entendimiento y metodología para finiquitar el trabajo con éxito y el llevar a cabo el curso satisfactoriamente. Los buenos resultados se obtienen con el trabajo equipo y en este taller se ve reflejado.

4

OBJETIVOS

1. Desarrollar problemas identificando las determinantes de una matriz, su inversa y Angulo entre vectores 2. Entender la unidad 1 del curso, llevando a cabo la practica con ejercicios. 3. Socializar y conceptualizar ideas y soluciones, para así entre todo el grupo colaborativo escoger y organizar una sola idea 4. Lograr que el aprendizaje sea colaborativo y se desarrollen diferentes metodologías de estudio

5

SEMANA 1 VECTORES 1. Lectura realizada. 2. Un ejemplo claro de desplazamiento de vectores en los cuales se ve relacionada fuertemente una magnitud es el desplazamiento que ejerce un cuerpo en acción de una fuerza física o mecánica, el tren que parte de Londres hacia Inglaterra o el corredor que se desplaza desde la línea de partida hasta llegar a la meta. Desplazamiento de un punto A al B. 3. Encuentre la magnitud y dirección de los vectores: Para v = (4,4)

‖v‖= √( 42 + 42 ) =√ 32=4 √2 y 4 tanθ= = =1 x 4 π ( 1 )=¿ =45o 4 θ=tan−1 ¿

Para v = (-1.-

√ 3 ) ‖v‖= √(−12 +(−√ 3)2)=2 y − 3 tanθ= = √ =√ 3 x −1 π 3 θ=tan−1 ¿

( √ 3 )=¿ =60o

Encuentre un vector v que tenga la magnitud y dirección dadas π o θ= =30 6

‖v‖=3 cosθ=

vx |v|

vx =3∗cos ( 30o ) =3∗0.87=2.61

6

senθ=

vy |v|

vy =3∗sen ( 30 o )=3∗0.5=1.50 v =⟨ 2.61 , 1.50 ⟩ Sean P=(c,d) y Q=(c+a , d+b) muestre que la magnitud de

2 2 ⃗ PQ=√ ( a +b )

⃗ PQ=( c +a , d +b ) −( c ,d ) ⃗ PQ=( a , b )

‖⃗ PQ‖= √( a2 +b2 )

SEMANA 2 VECTORES EJERCICIOS PROPUESTOS: Desarrolle los ejercicios y comparta la solución en el foro de trabajo colaborativo 1. Dados los vectores � = 3� − 5� + 3� y � = −2� + 9� − � ¿ d etermine el resultado al operar: a). 3� − 5� b). (� − �) ∙ (5� + �) �).

3 u−v 5

Solución a) Dados los valores � = 3� − 5� + 3� y � = −2� + 9� – � 3� − 5� 3(3i – 5j+3k)-5(-2i+9j-k) Quito el paréntesis multiplicado el 3 y el 5 por lo que está adentro. 9i –15j+9k-(-10i+45j-5k) 9i–15j+9k+10i-45j+5k Asocio los términos iguales 19i-60j+14k b) (u-v)(5u+v) {(3i-5j+3k) -(2i+9j-k)] * [5(3i-5j+3k) +(-21+9j-k)}

7

Quintamos paréntesis realizando la multiplicación [3i-5j+3k+2i-9j-k] * [15i-25j+15k-2i+9j-k] Se asocian los términos iguales dentro de cada corchete [5i-14j+4k] * [13i-16j+14k] Luego multiplico [5i-14j+4k] * [13i-16j+14k] = (5) (13) + (-14) (-16) +(4) (14) (u.v) (5u+v) =65+224+56 (u.v). (5u+v) =345 c.

3 u−v 5 3 3 u=[ ( 3−5+3 ) ] 5 5 3 9 15 9 u=[ − + ] 5 5 5 5 3 9 −15 9 u−v=[ + 2 + −9 + +1 ] 5 5 5 5

( )(

)( )

3 19 14 u−v= −12+ 5 5 5

−12 ¿2 +

2

14 5

( ) 2

( )

3 19 u−v= +¿ 5 5

3 361 196 u−v= +144 + 5 25 25 3 u−v=¿ 5

12.894

2. Sean � = 3� + 4� � � = �� − 2� Encuentre � tal que: �). � � � Sean ortogonales.

8

�). � � � Sean paralelos. c). El ángulo entre � � � sea 2� u= (3,−4 ) v=(a ,−2) u1 u 2

v1 v2

a. U y v sean ortogonales. Son 1 si u . v=0 , entonces u. v=0 (3,-4) . (∞+2) =0 3∞+8 =0 −8 −2 =0 ∞= 3

(

)

-8+8=0 0=0 b. U y v Sean paralelos. u 2 u2 = u 1 u1 −4 −2 = 3 ∞ -4=-2(3) −6 ∞ = −4

∞=

3 2

c. El Angulo entre u y v sea

cos ( u , v )=

2n =−0,5 3

3n 2

u∗v=3 a−8

9

32 +¿ 4 2=√ 16+ 4= √25 |u|=2 √ ¿ 2 −¿ ¿ ¿ 2 a +¿ |u|=2 √¿

√ a2 +4

¿ u∨¿∨v∨¿ u∗v cos= ¿

cos=

3 x−8 =−0,5 √25∗√ a2 +4

a❑ + 4 √25∗√ ¿ ¿ −0,5 ¿ 3 a−8 ¿2=¿ ¿¿ ¿ 9 a2−48 a+64=[ ( 0,25 )( 25 ) ( a 2+ 4 ) ] ¿ 9 a2−48 a+64=6,25(a2 +4 ) ¿ 9 a2−48 a+64=6,25 a 2+25 ¿ 9 a2−6,25 a2−48 a+64−25=0 ¿ 2,75 a2−48 a+89=0 3. Calcule ����� � sabiendo que: �). � = 2� + �; � = � − 2� �). � = �� − ��; � = � + �; � � � reales y positivos, con � < � �). � = 2� − 3� + 4� � = −2� − 3� + 5k a. � = 2� + �; � = � − 2�

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u= (2,1 ) .(1,−2) u . v=( 2,1 ) . (1,.−2 )=2−2=0

|¿ v 2|∨¿ proy v ❑=

u . v =v ᷿ ¿

❑

proy v v=0 b.

u=αi−bj ; v =i+ j; a y b reales y positivos , con a menor que b .

u= ( a ,−b ) v=(1,1) u . v=( a , b ) . ( 1,1 )=a−b ¿|v|¿ 2

2 2 = 1 + 1 =2

|¿ v 2|∨¿ v proyv u=

u−v ¿

proyv u=

a−b (1,1) 2

proyv u=(

a−b a−b , ) 2 2

C. � = 2� − 3� + 4� � = −2� − 3� + 5k U=(2,3,4)

V=(-2,-3,5)

( 2,−3,4 ) . (−2,−3,5 ) =−4+ 9+20=25 u.v¿ 2

2

−3 ¿ +5 =9+9+ 25=38 −2 ¿2 +¿ ¿|v|¿2=¿

11

proyv u=

¿

u.v v |¿ v|¿ 2

25 (2,−3,5) 38

¿(

−50 −75 −125 , , ) 38 38 38

−25 −75 −125 , , 19 38 38 proyv u=¿

4. Un triángulo tiene como vértices a (1,3), (4, −2) (−3,6). Dibuje en un plano cartesiano la situación y encuentre el coseno de cada uno de sus ángulos. 4 5 3 2 1 0 -

-

-

-2

0

-1 -

||w||∨|v|∨¿ ||u||∨|v|∨¿ cos °= w¿. v ||u||∨|w|∨¿ cos °= u¿. v u.w cos ° ¿

Halla u, v y w u= A−B=( 1,3 )−( 4,−2 )=(−3,6)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

12

V =B−C= ( 4,−2 ) −(−3,6 )=(7,−8) W =C− A=(−3,6 )− (1, )=(−4,3)

Hallar también →u . w=(−3,5 ) .=(−4,3 )=12+15=27

||u||=√ (−32 ) +52= √9+ 25=√ 34 ||u||=√ (−4 2 ) +32= √16+ 9=5 →u . v =(−3,5 ) . ( 7,−8 )=−21−40=−61

||u||=√ 34 −8 (¿¿ 2)=¿ √ 49+64=√ 113 2 7 +¿ ||u||=√ ¿

→ w . v=(−4,3 ) . ( 7,−8 )=−28−24=−52

||u||=5||u||= √113

Remplazamos en la formula

||u||∨|w|∨¿ u.w °=¿ ¿ cos ¿ cos °=

27 5 √ 3 42

||u||∨|v|∨¿ w.u °=¿ ¿ cos ¿

13

cos °=

−52 √ 113

||u||∨|v|∨¿ u.v °=¿ ¿ cos ¿ cos °=

−61 √ 3 4 √ 113

5. Determine el producto cruz u x v sabiendo que:

�). � = 10� + 7� − 3�; � = −3� + 4� − 3�

a.

b). � = �� + �� + ��; � = �� + �� – �k

u=10 i+7 j−3 k v=−3 i+ 4 j−3 k u= (10,7,−3 ) v=(−3,4,−3)

|

|

i j k ⃗u x ⃗v = 10 7 −3 =[ ( 7.−3 ) ] i−{ ( 10.−3 )− (−3.−3 } + { ( 10.4 ) −( 7.−3 ) } k −3 4 −3 ¿ (−21+12 ) i−(−30−9) ¿−9 i+39 j+61 k

¿(−9,39,61)

b. � = �� + �� + ��; � = �� + �� – �k u= ( a , b , c ) v =(a ,b ,c ) −bc−bc 9 i−ac−acj+( ab−ab) i j k ⃗u x ⃗v = a b c =¿ a b −c

|

|

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¿ (−2 bc ) i −(−2 ac ) j+ok ¿ (−2 bc ) i −(−2 ac ) j+ok u . v=(−2 bc ,2 ac , o) SEMANA 3 MATRICES 1. Un fabricante de joyería tiene pedidos para dos anillos, tres pares de aretes, cinco fistoles y un collar. El fabricante estima que requiere 1 hora de trabajo el elaborar un anillo; 1 hora y media el hacer un par de aretes; media hora el hacer un fistol, y 2 horas, la elaboración de un collar. a) Exprese las órdenes de trabajo o pedidos como un vector renglón. b) Exprese los tiempos de elaboración de los diversos productos como un vector columna. c) Utilice el producto escalar para determinar el número total de horas que se requerirán para surtir los pedidos. a. Pedido = (2, 3, 5, 1) (1) b. Tiempo= ( 1.5 ) ( 0.5 )

(2) c.

P .T =( 2 ) ( 1 )+ ( 3 )( 1.5 )+ ( 5 )( 0.5 ) + ( 1 ) ( 2 )=2+ 4,5+2,5+2=11 hs

2. Dada la matriz � = (1 −2 4 2 0 3 1 1 5) a) Exprese la matriz como una matriz triangular superior, haciendo uso únicamente de operaciones elementales. b) Calcule � 2 − 3� sabiendo que � = (15 −5 2 2 0 0 1 6 5)

15

1 2 4 Dada la matriz A  2 1

0 1

3 5

a. Expresa la matriz como una matriz triangula r superior haciendo uso unicamente de operacione s elementale s. 1 2 4 2 0 3 multiplica mos la fila 1 por 2 y la restamos a la fila 2 1

1

5 1 2

F2 - 2 * f1  f2

f3 - 1* f1  f3

0 1

4 1

4  5 multiplica mos la fila 1 por 1 y la restamos a la fila 3 5

1 2 4 3 0 4  5 multiplica mos la fila 3 por y la restamos a la fila 3 4 0 3 1 1 2 4

3 f3 - * f 2  f 3 0 4 0

4 0

5 19 4

16

17

 15  5 2    b. Calcule A  3B sabiendo que B   2 0 0  1 6 5   Hallamos A 2 2

4   1 2   3   2 0  1 1 5*d *a   

2



1 

2

20 * a * d  2 





5 1 15 * a * d  8   5 * a * d  3 5 * a * d  2 25 * a 2 * d 2   

y tambien 3B 45  15 6  15  5 2    3 2 0 0  6 0 0  1 6 5  3 18 15  Luego A^2 - 3B  1  2 4    2 0 3  1 1 5  

2

 15  5 2     3 2 0 0  1 6 5   De lo cual obtenemos 1 2 20 * a * d  2  45  15 6  5 1 15 * a * d  8   6 0 0   5 * a * d  3 5 * a * d  2 25 * a 2 * d 2  3 18 15   con lo que se obtiene  

20 * a * d - 132 20 * a * d  45 500 * a 3 * d 3 - 50 * a 2 * d 2  190 * a * d - 18 15 * a * d - 8 15 * a * d  12 375 * a 3 * d 3  200 * a 2 * d 2  145 * a * d  52 25 * a 2 * d 2  1 25 * a 2 * d 2  1 625 * a 3 * d 3  350 * a 2 * d 2  35 * a * d  10 con lo que decimos que 20 * a * d - 132 20 * a * d  45 500 * a 3 * d 3 - 50 * a 2 * d 2  190 * a * d - 18 A^2 - 3B  15 * a * d - 8 15 * a * d  12 375 * a 3 * d 3  200 * a 2 * d 2  145 * a * d  52 25 * a 2 * d 2  1 25 * a 2 * d 2  1 625 * a 3 * d 3  350 * a 2 * d 2  35 * a * d  10

18

SEMANA 4 MATRICES 1. Encuentre la matriz inversa de

(

1 1 1 1 A= 1 2 −1 2 1 −1 2 1 1 3 3 2

)

19

Haciendo uso del método de Gauss Jordán y luego por el método de las determinantes.  METODO GAUS JORDAN

[ A la fila 2 restarle la 1

[

1 1 1 1 0 1 −2 1 1 −1 2 0 1 3 3 2

]

A la fila 3 restarle 1 filas 1

[

1 1 1 1 0 1 −2 1 0 −2 1 −1 1 3 3 2

]

A la fila 4 restarle 1 filas 1

[

1 1 1 1 0 1 −2 1 0 −2 1 −1 0 2 2 1

]

A la fila 3 restarle -2 filas 2

[

1 0 0 0

1 1 1 1 −2 1 0 −3 1 2 2 1

]

A la fila 4 restarle 2 filas 2

1 1 1 1 1 2 −1 2 1 −1 2 0 1 3 3 2

]

20

[

1 0 0 0

1 1 1 1 −2 1 0 −3 1 0 6 −1

]

Ala fila 4 restarle -2 filas 3

[

1 0 0 0

1 1 1 1 −2 1 0 −3 1 0 0 1

]

A la fila 3 restarle 1 filas 4

[

1 0 0 0

1 1 1 1 −2 1 0 −3 0 0 0 1

]

A la fila 2 restarle 1 filas 4

[

1 0 0 0

1 1 1 1 −2 0 0 −3 0 0 0 1

]

A la fila 1 restarle 1 filas 4

[

1 0 0 0

1 1 0 1 −2 0 0 −3 0 0 0 1

]

A la fila 2 restarle 2/3 filas 3

21

[

1 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0 −3 0 0 0 1

]

A la fila 1 restarle -1/3 filas 3

[

1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 −3 0 0 0 1

]

A la fila 1 restarle 1 filas 2

[

1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 −3 0 0 0 1

]

Escalo las partes para obtener la identidad Matriz:

[ ] 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

 METODO DETERMINANTES:

[

1 1 1 1 1 2 −1 2 1 −1 2 1 1 3 3 2

]

Calculo la determinante de la matriz de 4X4 CALCULOS AUXILIARES

22

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+1 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+1 )=1

Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor

Matriz

[

(1) (1) (1) (1) (1) 2 −1 2 (1) −1 2 1 3 2 (1) 3

]

Calculo la matriz de la determinante de 3x3 CALCULOS AUXILIARES Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+1 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+1 )=1

Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(2) (−1) (2) (−1) 2 1 (3) 3 2

]

Calcula la matriz de la det de 2X2

23

Matriz

[ ] 2 1 3 2

Calculo 2X2:

2.2−3.1=1

CALCULOS AUXILIARES Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+2 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+2 )=1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(2) (−1) (2) −1 (2) (1) 3 (3) 2

]

Calculo el det de la matriz de 2x2: Matriz

[

−1 1 3 2

] Calculo 2x2:

−1.2−3.1=5

24

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+3 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+3 ) =1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(2) (−1) (2) −1 2 (1) 3 3 (2)

]

Calculo el determinante de la matriz de 2x2: Matriz

[

−1 2 3 3

] Calculo 2x2:

−1.3−3.2=9

Calculamos finales de esta parte. Terminando los cálculos auxiliares para la matriz de 3x3, sumo los cofactores de la matriz.

Matriz

[

2 −1 2 −1 2 1 3 3 2

] (Fila 1, columna 1=2 por el det de la submatriz

25

correspondiente=5) 2 + (Fila 1, columna 2=-1 por el det de la submatriz correspondiente=1) -5 + (Fila 1, columna 3=2 por el det de la submatriz correspondiente=-9) -18 El det de la matriz de 3x3 = -21

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+2 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+2 )=−1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el Cofactor

Matriz:

[

(1) (1) (1) (1) 1 (2) −1 2 1 (−1) 2 1 1 3 2 (3)

]

Calculo la matriz de la determinante de 3x3 CALCULOS AUXILIARES Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+1 )∗determinante de la matriz menor

26

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+1 )=1

Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(1) (−1) (2) (1) 2 1 (1) 3 2

]

Calcula el det de la matriz de 2X2 Matriz

[ ] 2 1 3 2

Calculo 2X2:

2.2−3.1=1

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+2 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+2 )=−1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(1) (−1) (2) 1 (2) 1 1 (3) 2

]

Calculo el det de la matriz de 2x2:

27

Matriz

[ ] 1 1 1 2

Calculo 2x2:

1.2−1.1=1

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+3 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+3 ) =1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(1) (−1) (2) 1 2 (1) 1 3 (2)

]

Calculo el determinante de la matriz de 2x2: Matriz

[ ] 1 2 1 3

Calculo 2x2:

1.3−3.2=1

Calculamos finales de esta parte. Terminando los cálculos auxiliares para la matriz de 3x3, sumo

28

los cofactores de la matriz.

Matriz

[

1 −1 2 1 2 1 1 3 2

] (Fila 1, columna 1=1 por el det de la submatriz correspondiente=1) 1 + (Fila 1, columna 2=-1 por el det de la submatriz correspondiente=1) 1 + (Fila 1, columna 3=2 por el det de la submatriz correspondiente=-1) 2 El det de la matriz de 3x3 = 4

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+3 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+3 ) =1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el Cofactor

29

Matriz

[

(1) (1) (1) (1) 1 2 (−1) 2 1 −1 (2) 1 1 3 (3) 2

]

Calculo la matriz de la determinante de 3x3 CALCULOS AUXILIARES Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+1 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+1 )=1

Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

]

(1) (2) (2) (1) −1 1 (1) 3 2

Calcula el det de la matriz de 2X2 Matriz

[

−1 1 3 2

] Calculo 2X2:

30

−1.2−3.1=−5 Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+2 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+2 )=−1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(1) (2) (2) 1 (−1) 1 1 (3) 2

]

Calculo el det de la matriz de 2x2: Matriz

[ ] 1 1 1 2

Calculo 2x2:

1.2−1.1=1

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+3 )∗determinante de lamatriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+3 ) =1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(1) (2) (2) 1 −1 (1) 1 3 (2)

]

Calculo el determinante de la matriz de 2x2:

31

Matriz

[

1 −1 1 3

] Calculo 2x2:

1.3−1.−1=4

Calculamos finales de esta parte. Terminando los cálculos auxiliares para la matriz de 3x3, sumo los cofactores de la matriz.

Matriz

[

1 2 2 1 −1 1 1 3 2

] (Fila 1, columna 1=1 por el det de la submatriz correspondiente=-5) -5 + (Fila 1, columna 2=-2 por el det de la submatriz correspondiente=-1) -2 + (Fila 1, columna 3=2 por el det de la submatriz correspondiente=4)

32

8 El det de la matriz de 3x3 = 1

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+ 4 )∗determinante de lamatriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+ 4 )=−1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el Cofactor

Matriz

[

(1) (1) (1) (1) 1 2 −1 2 1 −1 2 (1) 1 3 3 (2)

]

Calculo la matriz de la determinante de 3x3 CALCULOS AUXILIARES Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+1 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+1 )=1

Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(1) (2) (−1) (1) −1 2 (1) 3 3

]

33

Calcula el det de la matriz de 2X2 Matriz

[

−1 2 3 3

] Calculo 2X2:

−1.3−3.2=−9

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+2 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+2 )=−1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

(1) (2) (−1) 1 (−1) 2 1 (3) 3

]

Calculo el det de la matriz de 2x2: Matriz

[ ] 1 2 1 3

Calculo 2x2:

1.3−1.2=1

34

Cofactor=(−1 ) ∧ ( 1+3 )∗determinante de la matriz menor

(−1 ) ∧ ( i+ j ) =−1 ∧ ( 1+3 ) =1 Elimino los casilleros mostrados entre paréntesis para calcular el cofactor Matriz

[

]

(1) (2) (−1) 1 −1 (2) 1 3 (3)

Calculo el determinante de la matriz de 2x2: Matriz

[

1 −1 1 3

] Calculo 2x2:

1.3−1.−1=4

Calculamos finales de esta parte. Terminando los cálculos auxiliares para la matriz de 3x3, sumo los cofactores de la matriz.

Matriz

[

1 2 −1 1 −1 2 1 3 2

] (Fila 1, columna 1=1 por el det de la submatriz

35

correspondiente=-9) -9 + (Fila 1, columna 2=-2 por el det de la submatriz correspondiente=-1) -2 + (Fila 1, columna 3=-1 por el det de la submatriz correspondiente=4) -4 El det de la matriz de 3x3 = -15 Cálculos finales de esta parte: Terminando los cálculos auxiliares para la matriz de 4x4, sumo los cofactores de la matriz Matriz

[

1 1 1 1 1 2 −1 2 1 −1 2 1 1 3 3 2

]

(Fila 1, columna 1=1 por el det de la submatriz correspondiente=-21) -21 + (Fila 1, columna 2=-1 por el det de la submatriz correspondiente= -4) -4 + (Fila 1, columna 3=-1 por el det de la submatriz correspondiente=1) 1

36

+ (Fila 1, columna 4=-1 por el det de la submatriz correspondiente=15) 15 El det de la matriz de 4x4 = -9

37

 2 1 4    2. Halle la matriz escalonada de la matriz A    1 0 5  y luego determine si es una matriz invertible  19 7 3    1   2  1  2 1 4 2     1 A    1 0 5  multiplica mos por la fila 1   1 0 5  2  19 7 3   19 7 3              

1  1 2 2   1 0 5  multiplica mos por 1f1  f2 y por - 19f1  f3 19 7 3  



 1 

 0  

 0  

 1 

 0  0 

1  2  2  1 7  multiplica mos po - 2f2  2  33  35  2 

 Esta matriz si es invertible

 1 

 0  

 0 

1  2  2  1 14  33  35  2 



 1 

 0  0  

1  2  2  - 33 1 14  multiplica mos por f3 2 33   35  2 



 

 1



 0  0 

1  2  2  1 14  0 196  

1  2  2  1 7   2  33  35  2 

38

SEMANA 5 DETERMINANTES 1. Calcule el det, haciendo uso del método de menores y cofactores:

|

1 −1 2 3 1 4 2 −1 5 0 0 0 0 0 0

det A=

0 0 0 2 −1

|

0 0 0 3 4

39

[

1 4 1 −1 5 0 0 0 0

0 0 2 −1

0 0 3 4

] [ ] [ ][ ] +1

3 4 2 5 0 0 0 0

0 0 2 −1

0 0 3 4

+2

3 1 0 2 −1 0 0 0 2 0 0 −1

0 0 3 4

-0

3 1 4 0 2 −1 5 0 0 0 0 3 0 0 0 4

[ ] 3 1 4 0 2 −1 5 0 0 0 0 2 0 0 0 −1

=

{[ ] [

][

] [ ]}

5 0 0 −1 0 0 −1 5 0 −1 5 0 1. 1 0 2 3 −4 0 + 0 −0 2 3 0 0 3 0 0 2 +¿ 0 −1 4 0 −1 4 0 0 4 0 0 1

{ [ ] [ ] [ ] [ ]} { [ ] [ ] [ ] [ ]} 5 0 0 2 0 0 2 5 0 2 5 0 3 0 2 3 −4 0 2 3 +0 0 0 3 −0 0 0 2 + ¿ 0 −1 4 0 −1 4 0 0 4 0 0 −1

−1 0 0 2 0 0 2 −1 0 2 −1 0 2. 3 0 2 3 −1 0 2 3 +0 0 0 3 −0 0 0 2 0 −1 4 0 −1 4 0 0 4 0 0 −1 =

{ | | | | | | [ | | | | | |]} 5

2 3 0 3 0 2 2 3 0 3 0 2 −0 +0 − 4 −1 −0 +0 −1 4 0 4 0 −1 −1 4 0 4 0 −1

+

{ [ | | | | | |] [ | | | | | |]} 3 5 2 3 −0 0 3 + 0 0 2 −4 2 2 3 −0 0 3 + 0 0 2 −1 4 0 4 0 −1 −1 4 0 4 0 −1

{ [ | | | | | |] [ | | | | | |]}

2. 3 −1 2 3 −0 0 3 + 0 0 2 −1 2 2 3 −0 0 3 + 0 0 2 −1 4 0 4 0 −1 −1 4 0 4 0 −1

+0

40

¿ {5 ( 8+3 ) −4 [−( 8+3 ) ] }+ {3 [ 5 ( 8+3 ) ] −4 [ ( 8+3 ) ] }+2 {3 [ 3 [ −( 8+3 ) ] −[ 2 ( 8+3 ) ]] } ¿ { 5 ( 11 )−4 [ −11 ] }+ {3 [ 5 (11 ) ]−4 [ 11 ] }+2 { 3 (−11 )−2 ( 11 ) }

¿ { 55−44 }+ {3 ( 55 ) −44 } +2 {−33−22 } ¿ 99+ {165−44 }+ 2 {−55 } ¿ 99+121−110

¿ 220−110 ¿ 110

Det=110

2. De un ejemplo en el que muestre que. En general, no es cierto que: det ( a+b ) =det ( a )+ det( b) Ejemplo: A=

[ ] [ ]

[ ]

1 2 3 1 4 3 B= A+ B= 4 5 1 3 3 8

det A=( 5−4 ) det B=[ 9−1 ] det ( A+ B )=(12−9) det A=1 det B=8 det ( A + B )=3 det A+ B ≠ det A+ det B 3 ≠1+8

3≠9 3. Considere el triángulo de la figura

41

a. Usando trigonometría elemental, demuestre que:

{

cCosA+a CosC=b c cos A +a cos B=c a cos B+b cos C=a

para c=c CosA+a CosB

Se trata la altura

h=CD del triangulo ADC Y BDC se tiene

AD =b CosA DC=aCosB

AB=AD + DB AB=C

C=bCosA+ aCosB No se cumple la propiedad para el triángulo ACB.

para b=c CosA+ aCosC

42

Se trata la altura h=BD del triangulo ADB Y CDB Se tiene AD =c CosA CD=a CosC AC =b AC = AD+ CD AC =c CosA+ aCosC

b=C CosA+ aCosC No cumple con la ecuación dada Para a

Para a=a CosB+b CosC Se tiene

se trata la altura

AD del triangulo CDA Y BDA

C B=b CosC BD=c CosB entonces CB=CD+ BD CB=b CosC + c CosB CB=a

a=b CosC+c CosB No cumple con la ecuación dada a demostrar. b. Si el sistema de la parte (a) se considera como un sistema de tres ecuaciones en las 3 incógnitas CosA , CosB ,CosC , pruebe que el determinante del sistema no es cero.

|

|

c CosA 0 a CosC c CosA a CosB 0 0 a CosB bCosC

a,b,c≠0

Por ser medidas de longitud, entonces

43

|

| |

|

|

|

0 −0 c CosA 0 + a CosC c CosA aCosB ¿ c CosA a CosB a CosB bCosC 0 b CosC 0 aCosB ¿ c CosA ( ab CosB CosC −0 ) + aCosC ( ac CosA CosB−0 ) ¿ abc . CosACosBCosC+ a2 c CosACosBCosC ¿ ac CosACosBCosC ( c+ a ) c. Use la regla de Cramer para resolver el sistema para CosC.

|

|

c CosA 0 a CosC ∆= c CosA a CosB 0 0 a CosB b CosC

¿ ( abc CosACosBCosC +a2 CosACosBCosC+ 0 )−( a3 CosBCosC + 0+0 ) ∆=ac CosACosBCosC ( c+ a )

|

b 0 aCosC ∆ CosA= c a CosB 0 a a CosB bCosC

|

¿ ( ab2 CosBCosC +a2 c CosBCosC + 0 )−( a3 CosBCosC + 0+0 ) ¿ ab2 CosBCosC+ a2 c CosBCosC −a3 CosBCosC

|

|

c CosA 0 b ∆= c CosA a CosB c 0 a CosB a

a ¿(¿¿ 2 c CosACosB+abc CosACosB+0)−(0+ ac2 CosACosB+ 0) ¿ ¿ a2 c CosACosB +abc CosACosB−ac2 CosACosB CosC =

∆CosC ∆

44

CosC =

a 2 c CosACosB+ abc CosACosB−ac 2 CosACosB abc CosACosBCosC +a2 CosACosBCosC

CosC =a

CosC =

CosACosB ( a+bc−c 2) ac CosACosBCosC (c+ a)

a+bc−c 2 CosC (c +a)

cos 2 C=

a+bc−c2 c+ a

C=cos−2

(

a+bc−c 2 c +a

[ ( −1

C= cos

a+bc−c c+ a

)

2

2

)]

a,b,c≠0

CONCLUSIONES

45

De acuerdo al trabajo desarrollado podemos concluir que según los ejercicios desarrollados hemos aprendido que la matriz inversa solo se puede hallar si el resultado de determinantes es deferente a cero, existen dos formas de hacer conversiones, de forma polar y rectangular, así como también que gauss Jordán es uno de los mayores exponentes del algebra lineal. En fin lo aprendido en este trabajo nos permitirá continuar con nuestro y estudio y aplicarlo a cada uno de nuestros campos de acción interdisciplinar si así no los permite dada las circunstancias de nuestro trabajo.

BIBLIOGRAFIA

 http://es.slideshare.net/algebralineal/ejercicios-resueltos-metodogauss-jordan

46

 http://html.rincondelvago.com/matrices-y-determinantes.html  http://pentagono.uniandes.edu.co/~acardona/AL-CAP1.pdf  http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espaciosvectoriales.html  https://www.youtube.com/watch?v=NbmMpgggWa4