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Distribuci on o´ n Chi-Cuadrado y Binomial Israel Proa˜no, no, Isabel D´ıaz, ıaz, Eduardo Vera, Vera, Carlos Fierro Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas - ESPE Sangolqu´ Sangolqu´ ı-Ecuador iso.proano@ iso.proano @gmail.com isa _daya15@
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[email protected] charlienagisa@
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Resumen- En este documento hablaremos sobre dos Distribuciones de Estad ´ ıstica ıstica Infere Inferenci ncial al las cuales cuales son muy util ut ´ iles es par para hace hacerr un an´ an alisis ´ estadistico.La Distribuci´ Distribuci on ´ Chi-cuadra Chi-cuadrada da es una distribuci distribuci´ on ´ de muestreo asociada a la probabilidad de la varianza ( σ 2). Mientras que La distribuci´ distribuci on ´ binomial est´ est a´ asociada a experimentos del siguiente tipo: - Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos s´ s olo o fracaso. ´ la posibilidad de exito ´ - La obte obtenc ncii on ´ de exit ex ´ ito o o frac fracas aso o en cada cada ocas ocasii on ´ es independiente de la obtenci´ obtenci on o fracaso en las dem´ dem as ´ de exito ´ ´ ocasiones. - La probab probabili ilidad dad de obtene obtenerr exito exi fracas aso o siem siempr pree es la ´ to o frac misma en cada ocasi´ ocasi on. ´
Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad m´as as importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estad´ estad´ıstica. ıstica. La familia de distribuciones Chi-cuadrado (χ2 ) es una distribuci´on on unimodal con asimetr´ asimetr´ıa ıa positiva. Las distribuci´on on Chi cuadrado, se derivan de la distribuci´on Normal ˜ y estA¡n relacionadas con la teor´ teor´ıa ıa del muestreo peque˜ pequeno n˜ o n < 30 . Son muy importantes importantes pues son la base de metodolog metodolog´´ıas ıas infereninferenciales, tales como Intervalos de Confianza y Pruebas de Hip´ Hipotesis. o´ tesis. En otro otross estu estudi dios os se les les define define como como la suma suma de dife difere renc ncia iass cuadr´ cuadraticas a´ ticas relativas relativas entre valores valores experimenta experimentales les (observad (observados) os) y valores te´oricos (esperados). La distribuci distribuci´on o´ n bino binomi mial al es uno uno de los los prim primer eros os ejem ejempl plos os de las llamadas distribucione distribucioness discretas discretas (que solo pueden tomar un numero u´ mero finito, finito, o infinit infinito o numera numerable ble,, de valor valores) es).. Fue estudi estudiada ada por Jakob Bernoulli (Suiza,1654 1705, qui´ quien e´ n escribi´ escribio´ el primer tratado importante sobre probabilidad, Ars conjectandi (El arte de pronosticar).
−
II.
´ DEMOSTRACI ON: La funci´on densidad de X 1 = Z 2 si Z es tipo N (0 N (0,, 1) viene dada por:
P ( P (x, x + dx + dx)) = f ( f (x1 )dx1 = √ 12π e−z
2 /2
dz
Despejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z
−1 f ( f (x1 ) = √ 12π e−x1 /2 x1 2 La funci´on distribuci´on de X = X = X 1 + X + X 2 + ... + ... + + X X n viene dada por su convoluci´ convolucion o´ n
I NTRODUCCI ´ON
I.
donde Γ es la funci´ funcion o´ n gamma.
∗
∗ ∗
f ( f (x; k) = f ( f (x1 ) f ( f (x2 ) ... f ( f (xk ) Aplicando Aplicando transforma transformada da de Laplace: Laplace: k
L {f ( f (x; k )} = (L {f ( f (x )}) 1
=
1 k
(2(s (2(s+ 1 )) 2 2
Aplicando antitransformada se obtiene f(x;k):
f ( f (x; k) =
B.
−1
L
1 k
2 (2(s (2(s+ 1 2 ))
=
k/2)−1 −x/2 1 x (k/2) e x/2 k/2 Γ(k/ 2k/2 Γ(k/2) 2)
Funci´ Funcion Distribucion ´ de Distribuci´ ´ Acumulada
Su funci´ funcion o´ n de distribuci´ distribucion o´ n es:
F k (x) =
γ (k/2 k/2,x/2) ,x/2) Γ(k/ Γ(k/2) 2)
donde γ (k, z ) es la funci´on on gamma incompleta. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribuci´on on χ 2 son, respectivamente, k y 2k 2 k .
D EFINICI ´ON CHI-CUADRADO χ2
Sea:
Z 12 + Z + Z 22 + Z + Z 32 ... + ... + Z Z k2 Variables aleatorias normales e independientes cada una con media 0 y desviaci´on t´ıpica ıpica 1. Entonces la variable aleatoria sera :
χ2 = Z 12 + Z + Z 22 + Z + Z 32 ... + ... + Z Z k2 Se llama la variable aleatoria chi cuadrado con k grados de libertad.
III. A.
Fig. 1 Distribucion o´ n
P ROPIEDADES
Funci´ Funcion ´ de Densidad
C.
Su funci´ funcion o´ n de densidad es:
f ( f (n) =
1 2( k/2) k/2)∗γ (k/2) k/2)
0
para x
≥
0
para x < 0
χ
2
Func Funci´ i´ on Generatriz de Momentos
Para la Funci´on Genera Generador doraa de Moment Momentos os de la Distri Distribuc buci´ i´ on Chi-cuadrada esta dada por:
mu = (1
− 2t)−
n/2 n/2
con( con(t < 1/ 1 /2)
D.
n
Esperanza y Varianza
n
(a + b) =
La esperanza y varianza son las siguientes:
k=0
µ = k donde
σ = 2k
IV.
R ELACI ´ON CON OTRAS DISTRIBUCIONES
La distribuci´on χ 2 es un caso especial de la distribuci´on gamma. De hecho, X Γ k2 , θ = 2 . Como consecuencia, cuando k = 2, la distribuci´on χ 2 es una distribuci´on exponencial de media k = 2. Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del l´ımite, puede aproximarse por una distribuci´ on normal:
∼
l´ımk→∞
χ2 k (x) k
√
= N (1,
2/k)
n k n−1 a b k
n k n−1 n! est´a dado por a b k k!(n k)!
−
Propiedades binomiales 1. El experimiento consiste en un numero ´ fijo, n, de ensayos de Bernoulli, que da por resultado ”´exito”(E) o ”fracaso”(F) 2. Los ensayos son id´enticos e independientes, por lo que la probabilidad de e´ xito p permanece sin cambio de un ensayo a otro. 3. La variable aleatoria X denota el n´umero de ´exitos obtenidos en n ensayos
(x)
VII.
D ISTRIBUCI ´ON BINOMIAL
Una variable aleatoria X tiene distribuci´on binomial con par´ametros n y p si su dendsidad est´a dada por:
n x p (1 p)n−x x x = 0, 1, 2,...,n 0 < p
