Trabajo 2 de Algebra Lineal PDF

UNIVERSIDAD PRIVADA DOMINGO SAVIO

TRABAJO DE INVESTIGACION 2 ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL DOCENTE: ING. MIGUEL CUELLAR ESTUDIANTE: MARIA RENE SAUCEDO MEDINA CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL

SANTA CRUZ – BOLIVIA 2020

TRABAJO DE INVESTIGACION 2 1º. Definición de determinante y como se representa un determinante El determinante de una matriz cuadrada “A” es un número escalar que se obtiene de los elementos de una matriz realizando operaciones sobre ellos; de donde se halla el determinante y se lo simboliza de la siguiente manera: det(A) ó |A|. Fuente: El libro de texto de algebra lineal, del autor Miguel Cuellar Un determinante es un escalar (un número real ya sea positivo, negativo o fracción) que sale de una matriz que contiene elementos. 2º. Definición de matriz de signos y como se halla la matriz de signos Cada elemento que conforma a una matriz tiene su signo, cuando ésta presenta diferentes elementos dentro de ella; entonces se toma el signo de cada elemento como Es decir:

Por ejemplo si queremos determinar el signo de los elementos de una matriz de orden 3x3 se tiene que:

Fuente: El libro de texto de algebra lineal, del autor Miguel Cuellar Cada uno de los elementos que conforman una matriz tienen sus signo, pero si en ella dentro hay diferentes elementos, se lo toma el signo de cada elemento como

3º. Como se halla el determinante de una matriz 2x2. Procedimiento Para calcular el determinante de una matriz de orden dos se realiza el producto de los elementos de la diagonal principal, menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria, es decir:

Fuente: El libro de texto de algebra lineal, del autor Miguel Cuellar Para hallar la determinante de la matriz de orden dos, solo se debe multiplicar todos los elementos de la diagonal principal respetando sus signos, menos el producto de todos los elementos de la diagonal secundaria. 4º. Como se halla el determinante de una matriz 3x3. Explicar los pasos Para calcular el determinante de una matriz 3x3, se puede emplear una fila o columna cualquiera como referencia respetando los signos de cada uno de los elementos de dicha fila o columna y anulando al mismo tiempo la fila y la columna de los elementos considerados; de esta manera el determinante de una matriz será único. Ej.: calcular el determinante de: + 1 5 2 𝐴 = [2 9 6 ] 𝐴 = [− + 3 4 8 3×3 9 6 2 det (A)= 1 ∙ | |−5∙| 4 8 3

− + −

+ −] + 3×3

6 2 9 |+2∙| | 8 3 4

det (A)= 1 ∙ (72 − 24) − 5 ∙ (16 − 18) + 2 ∙ (8 − 27) det (A)= 1 ∙ (48) − 5 ∙ (−2) + 2 ∙ (−19) det (A)= 48 + 10 − 38 det (A)= 20 Fuente: El libro de texto de algebra lineal, del autor Miguel Cuellar Para hallar la determinante de una matriz 3x3, lo primero que hay que hacer es: -

Se anota la matriz de signo (los signos van intercalado) Se elige una fila o columna como referencia (recomendable la 1ra fila) Se anula la fila elegida con cada una de las columnas

5º. Como se halla el determinante de una matriz 4x4. Explicar los pasos Para calcular el determinante de una matriz 4x4, 5x5, nxn; se debe ir reduciendo la matriz hasta llegar a una matriz 2x2 siempre tomando en cuenta los signos de los elementos de la fila o columna elegida. Ej.:calcular el determinante de la siguiente matriz:

Fuente: El libro de texto de algebra lineal, del autor Miguel Cuellar Para hallar la determinante de una matriz 4x4, 5x5, nxn; se debe realizar: -

Se elige la fila o columna de referencia (recomendable la 1ra fila) Se debe ir reduciendo la matriz hasta llegar a una matriz 2x2 Hallamos los determinantes 3x3 y reemplazamos Se anula la fila elegida con cada una de las columnas

6º. Cuáles son las propiedades de los determinantes. Definir cada propiedad Los determinantes tienen propiedades que ayudan a resolver problemas cuando estas son aplicadas en las matrices y algunas de estas propiedades son las siguientes: 

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Propiedad 1.- El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz transpuesta, es decir: det(𝐴) = det(𝐴𝑡 ) Propiedad 2.- El determinenate del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices, es decir: det(𝐴 ∙ 𝐵) = det(𝐴) ∙ det(𝐵) Propiedad 3.- Si todos los elementos de una fila o una columna de la matriz son nulos; entonces el determinante de dicha matiz es cero. Por 4 2 3 ejemplo: 𝐴 = ⌈9 −1 6⌉ det(𝐴) = 0 0 0 0 3𝑋3 Propiedad 4.- Si dos filas o columnas de una matriz cuadrada son iguales o múltiplos entre si entonces el determinante de dicha matriz es cero, es decir: 1 3 2 𝐴 = ⌈1 3 2⌉ Entonces: det(𝐴) = 0 Aquí las filas 1=2 6 −1 5 3𝑋3 1 2 3 𝐵 = ⌈2 4 6⌉ Entonces:det(𝐵) = 0 Aquí la fila2 es multiplo de la fila1 7 0 9 3𝑋3 Propiedad 5.- Si la matriz “A1” es el resultado de un intercambio de dos filas o columnas adyacentes de la matriz “A” entonces se cumple que: det(𝐴1 ) = −det(𝐴) Propiedad 6.- Si “A1” es el resultado de multiplicar una fila de la matriz “A” o una columna de la misma matriz “A” por una constante “k” diferente de cero, entonces se cumple que: det(𝐴1 ) = 𝐾 ∙ det(𝐴) Propiedad 7.- Si se multiplica una fila o una columna cualquiera de la matriz “A” por un número Real diferente de cero y si luego este resultado se suma a otra fila o columna cualquiera; entonces el valor del determinante no cambia. Cuando se realiza este tipo de operaciones sobre las matrices, lo que se quiere lograr es:

a) Convertir la matriz en triangular superior para calcular luego el determinante de dicha matriz solamente multiplicando los elementos de la diagonal principal. b) Lograr que una fila o una columna de la matriz tenga elementos nulos entonces el determinante de dicha matriz será cero. Ej.: Calcular el determinante de la siguiente matriz:

Fuente: El libro de texto de algebra lineal, del autor Miguel Cuellar 7º. Explicar tres aplicaciones de los determinantes en problemas de la vida cotidiana Los determinantes se emplean en disimiles modelaciones y cálculos del álgebra y el análisis y además trascienden a áreas como la graficación 3D, tratamiento de imágenes, problemas de optimización, economía, física, etc. Los determinantes se usan para saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución y además con la regla de Cramer se obtienen las mismas. Fuente: https://www.ecured.cu/Determinante#:~:text=la%20diagonal%20principal.,Importancia,%2C%20econom%C3%ADa%2C%20f%C3%ADsica%2C%20etc. Los determinantes también se usan en una infinidad de tareas diarias. Un ejemplo es la industria de alimentos que permite relacionar diferentes porciones y la cantidad de nutrientes por porción según las diferentes porciones. Un ejemplo es la leche en polvo que viene en distintos tamaños y cada tamaño tiene una cantidad de nutrientes, en estos casos se usan las matrices de determinantes. Cuando se quiera agrupar ciertos datos iguales como los gastos a lo largo de un viaje en hotelería, alimentación, se usan las matrices de determinantes. En la ingeniería se usan dichas matrices a la elaboración de componentes electrónicos y eléctricos.