Trabajo 1

 

I.

OBJETIVOS:

 

Mostrar cómo se determinan las fuerzas en los elementos de una armadura, por medio del método de nodos.   Comparar los resultados obtenidos mediante el método de nodos y el análisis matricial de armaduras determinadas “procesamiento semiautomatizado”.  semiautomatizado”.  

II.

FUNDAMENTO TEORICO

2.1.

ARMADURAS SIMPLES

Una armadura es una estructura compuesta de elementos esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos. Los elementos usados comúnmente en construcción consisten en puntales de madera o barras metálicas. En partículas, las armaduras planas se sitúan en un solo plano y con frecuencia se usan para soportar techos y puentes.

FIGURA N° 1 En el caso de un puente como el mostrado en la figura N° 1, la carga sobre la cubierta se transmite primero a los largueros, luego a las vigas de piso, y finalmente a los nodos de las dos armaduras laterales de soporte. Igual que en la armadura de techo, la carga en una armadura de puente es coplanar, figura N° 2

FIGURA N° 2

 

Cuando las armaduras de puente o de techo se extienden sobre grandes distancias, comúnmente se usan un soporte o rodillo para soportar un extremo como se muestra en la figura N° 2, este tipo de soporte permite la expansión o la contracción de los elementos debidos a los cambios de temperatura o a la aplicación de cargas.  

SUPUESTOS PARA EL DISEÑO

Para diseñar los elementos y las conexiones de una armadura, es necesario determinar primero la fuerza desarrollada en cada elemento cuando la armadura está sometida a una carga dada. Para esto, haremos dos supuestos importantes:   TODAS LAS CARGAS SE APLICAN EN LOS NODOS 



En la mayoría de las situaciones, como en armaduras de puentes y de techos, este supuesto se cumple. A menudo se pasa por alto el peso de los elementos, ya que la fuerza soportada por cada elemento suele ser mucho más grande que su peso. Sin embargo, si el peso debe ser incluido en el análisis, por lo general es satisfactorio aplicarlo como una fuerza vertical con la mitad de su magnitud aplicada a cada extremo del elemento.   LOS ELEMENTOS ESTÁN UNIDOS ENTRE SI MEDIANTE PASADORES P ASADORES LISOS 



Por lo general, las conexiones de los nodos se forman empernando o soldando los extremos de los elementos a una placa común, llamada placa de unión, como se muestra en la figura N° 3, o simplemente pasando un perno o pasador largo a través de cada uno de los elementos.

FIGURA N° 3

 

Debido a estos dos supuestos, cada elemento de la armadura actuara como un elemento de dos fuerzas, y por lo tanto, la fuerza que actué en cada extremo del elemento debe estar dirigido a lo largo del eje del elemento. Si la fuerza tiende a alargar el elemento, es una fuerza de tensión “T”, “T”, figura N° 4., mientras que si tiende a acortar el elemento, es una fuerza de compresión “C”, “C”, figura N° 5. En el diseño real de una armadura es importante establecer si la naturaleza de la fuerza es de tensión o compresión. A menudo, los elementos a compresión deben ser más gruesos que los elementos a tensión debido al efecto de pandeo o de columna que ocurre cuando un elemento esta en compresión.

2.2.

T

C

T

C

TENSION

COMPRESION

(FIG. N° 4)

(FIG N° 5)

METODO DE NODOS

Para analizar o diseñar una armadura, es necesario determinar la fuerza en cada uno de sus elementos. Una forma de hacer esto consiste en emplear el método de nodos. Este método se basa en el hecho de que toda la armadura esta en equilibrio. Por lo tanto, si se traza el diagrama de cuerpo libre de cada nodo, se pueden usar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener las fuerzas de los elementos que actúan sobre cada nodo. Como los elementos de una armadura plana son los elementos rectos de dos fuerzas que se encuentran en el mismo plano, cada nodo está sometido a un sistema de fuerzas que es coplanar y concurrente. En consecuencia, solo es necesario satisfacer      y      para garantizar el equilibrio. Cuando se usa el método de los nodos, siempre se debe comenzar en un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas.      y      resulta en dos ecuaciones De esta manera la aplicación algebraicas de las cuales se de pueden despejar las dos incógnitas. Al aplicar esas

 

ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida puede determinarse con uno de dos posibles métodos.   El sentido correcto de la dirección de una fuerza desconocida de un elemento puede determinarse, en muchos casos, “por inspección”. En casos más complicados, el sentido de la fuerza desconocida de un elemento puede suponerse; luego, después de aplicar las ecuaciones de equilibrio, el sentido



supuesto puede verificarse a partir de los resultados numéricos. Una respuesta positiva indica que el sentido es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre se debe invertir.   Suponga siempre que las fuerzas desconocidas en los elementos que actúan en el diagrama de cuerpo libre del nodo están en tensión; es decir, las fuerzas “jalan” el pasador. Si se hace así, entonces la solución numérica de las ecuaciones de equilibrio darán escalares positivos para elementos en tensión y escalares negativos para elementos en compresión. Una vez que se encuentre la fuerza desconocida de un elemento, aplique su magnitud y su sentido correctos (T o C) en los subsecuentes diagramas de cuerpo libre de los nodos.



 

PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS

1. Trace el diagrama de cuerpo de un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocida. (Si este nodo esta en uno de los soportes, entonces puede ser necesario calcular las reacciones externas en los soportes de la armadura).

2. Use uno de los dos métodos descritos antes para establecer el sentido de una fuera desconocida.

3. Oriente los ejes x e y de manera que las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan descomponerse fácilmente en sus componentes x e y, y luego aplique las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas      y    . Despeje las dos fuerzas de elemento desconocidas y verifique su sentido correcto.

4. Con los resultados obtenidos, continúe con el análisis de cada uno de los otros nodos. Recuerde que un elemento en compresión “empuja” el nodo y un elemento en tensión “jala” el nodo. Además, asegúrese de seleccionar selec cionar un nodo que tenga cuando mucho dos incógnitas y por lo menos una fuerza conocida.

 

PROBLEMA 3.36 Determinar la fuerza en los elementos BD y DE de la armadura que se muestra en la figura Calcular la armadura Calcular la armadura por el método matricial semiautomatizado. semiautomatizad o.

135 KN

A

 

2.4m 135 KN

B

C

 

2.4m 135 KN

 

D

E

 

2.4m

 

F

G

 

  4.5m

 

RESOLUCION

POR EL MÉTODO DE LOS NODOS   Aplicamos     en el punto F se tiene:



4.5(FGY  )  2.4(135 KN )  4.8(135KN )  7.2(135KN )  0  

FGY   432 KN    

135 KN

A

 

2.4m 135 KN

B

C

 

2.4m 135 KN

 

D

E

 

2.4m

   .

 

F

G

  

    

 

 

4.5m Fg.01

 

 

Por sumatoria de fuerzas :

 F  F

 X

Y

0



FFX  405 KN    

0



FFY  F GY   0

F FY   432 KN     *Tan  2.4  8 4.5 15



   

 



 

28.0724º  

Sen = Se  

Cos = Co

8 17 15 17

Para el nodo “F”: 

F FD  432 KN  (Traccion) ; 

  

Para el nodo “G”: 

FFG =405KN   (Traccion)

 

 

432=FGE  405 

15 17

8 17

FGD

FGD

 F  216 KN   (compresion) GE

 

 



FGD  459 KN   (compresion)

  Para el nodo “D”: 



 15   x 459  FDE   270 KN   (Traccion)  17  8 F DB  432     x 459  FDB  216 KN   (Traccion)  17 

F DE  135  

 



Para el nodo “E”:  

 

 

 15    xF EB  17 

270= 

F EB  306 KN 

 (compresion)

8 216  F EC     xFEB  17    KN   F EC 

72  



 

(compresion)

Para el nodo “A”:  

 8    72 KN   17   15  F    135 KN    17   F  153 KN   (compresion) F AC  

 AC 

 AC 

 



Para el nodo “B”: 

 

F BC   135 KN 

 (Traccion)

8 F  17  F  72 KN   (Traccion)

216  306 

 BA

 

 BA

 



Para el nodo “C”: 

VALORES OBTENIDOS OBTENIDOS POR EL EL METODO NODOS TABLA 1 FUERZA

VALOR FFG FFD FGE FGD FDE 

F1 F2 F3 F4 F5

FBE

F6

FCE

F7

FBD  FBA  FBC  FAC FFX  FFY FGY

F8 F9 F10 F11 Sx1 Sy1 Sy2

TIPO DE FUERZA

405 432 -216 -459 270 -306 -72 216 72 135 -153 405 432 -432

traccion traccion compresion compresion traccion compresion compresion traccion traccion traccion compresion traccion traccion compresion

 

MÉTODO MATRICIAL SEMIATUMATIZADO

Comprobación para el eje X e Y:

A

B

C

D

E

F

G

 

Para el eje x

Para el eje y

 

 S  1  0  

 PY 1

 F2  S  1  0  

   15  2  F1  F 4    0   17 

 PY 2

  8   F3  S 2  F 4    0    17 

 P X 1  F1  P X 

   15 

 F  F 

 P X 

 0 

 17     15  4  F5  F 6    0  17  

3

 P X 

X 

 P X 5

5

4

   15   F10  F 6    0    17 

Y 

Y 

8  F5  F4    F 2  0    17    8   P 4  F7  F3  F 6    0   17    8   P 5  F9  F8  F 6    0   17   PY 3

Y 

Y 

 P X 

   15   F  7 11    0   17 

 PY 6

8  F11    F 7  0    17 

 P X 

   15  6  F10  F  11   0  17

 PY 7

  8   F9  F 11    0    17 

 

VALORES OBTENIDOS OBTENIDOS POR EL EL METODO MATRICIAL TABLA 2 FUERZA

VALOR

TIPO DE FUERZA

F8 F9 F10 F11 Sx1 Sy1

405 486 -216 -459 270 -306 -72 216 72 135 -153 405 486

traccion traccion compresion compresion traccion compresion compresion traccion traccion traccion compresion traccion traccion

Sy2

-432

compresion

FFG FFD

F1 F2

FGE FGD FDE 

F3 F4 F5

FBE

F6

FCE

F7

FBD  FBA  FBC  FAC FFX  FFY FGY

 

CORROBORACIÓN POR MATLAB

 

 

 

 

 

CONCLUSIONES

 

Cuando trabajamos en un nodo y consideramos una fuerza como tracción o comprensión, al momento de operar dicha fuerza nos sale con signo negativo, eso significa que hemos tomado erróneamente el sentido de la fuerza.

 

Si una armadura esta en equilibrio, equilibri o, entonces al momento de analizar cada nodo también deben de estar en equilibrio.

 

Para una armadura coplanar, el sistema de fuerzas congruentes en cada nodo debe satisfacer el equilibrio por fuerzas,     y    .

 

Los valores obtenidos tienen un margen de error con respecto al método de los nodos, ya que el valor de algunas fuerzas difiere en modulo.