TRABAJO 1

TRABAJO 1 DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIO Francisco Javier Cárdenas Velasco  0643301; Laura Franco Tejada  0637270 Escuela de Ingeniería de Alimentos Diseño de Experimentos para Ingeniería

CASO DE ESTUDIO Se llevó a cabo un experimento para probar los efectos de un fertilizante nitrogenado en la producción de lechuga. Se aplicaron cinco dosis diferentes de nitrato de amonio a cuatro parcelas en un diseño totalmente aleatorizado. Los datos son el número de lechugas cosechadas de la parcela.

Tratamiento (lb N/acre) 0 50 100 150 200

Lechuga/parcela 104 134 146 147 131

114 130 142 160 148

90 144 152 160 154

140 174 156 163 163

1. Objetivo del estudio Determinar cuál de los cinco tratamientos con un fertilizante nitrogenado (nitrato de amonio) tiene mayor efecto de la producción de lechuga.

2. Determinación de: Factor de diseño: concentración de fertilizante (nitrato de amonio) en parcelas de lechuga. Niveles: cinco dosis diferentes del fertilizante aplicado a cada parcela de lechuga: 0, 50, 100, 150 y 200

y y

lb N/acre y y y

Tratamientos: para este caso los tratamientos son iguales a los niveles del factor de diseño. Unidad experimental: veinte Parcelas de lechugas cosechadas del mismo tamaño. Variable respuesta: numero de lechugas cosechadas por parcelas.

3. Realización de la aleatorización Se tienen 20 parcelas de lechuga; a estas veinte se le aplican 5 tratamientos experimentales (0, 50,100, 150 y 200 lb N/acre). Se enumera cada parcela y se le asigna aleatoriamente un tratamiento por parcela (con la función random de la calculadora). Cada tratamiento tiene cuatro réplicas.

Parcelas Tratamientos Parcelas Tratamientos 1 2 3 4 5

5 5 3 2 5

11 12 13 14 15

4 2 1 5 4

6 7 8 9 10

4 4 2 1 2

16 17 18 19 20

3 1 3 1 3

Tratamiento: 1. 0 lb N/acre parcelas 9, 13, 17, 19 2. 50 lb N/acre parcelas 4, 8, 10, 12 3. 100 lb N/acre parcelas 3, 16, 18, 20 4. 150 lb N/acre parcelas 6, 7, 11, 15 5. 200 lb N/acre parcelas 1, 2, 5, 14

4. Estadísticas descriptivas

De los datos anteriores se puede afirmar lo siguiente: y

y

y

y

En promedio, el tratamiento con el fertilizante nitrogenado que presenta mayor efecto en la producción de lechugas por parcela es el tratamiento número 4 (150 lb N/acre) el cual presentó una producción de 157,5 lechugas/parcela, mientras que el tratamiento con menor efecto fue el número 1 (0 lb N/acre) presentando una producción de 112,0 lechugas/parcela. Para el tratamiento número 1 en promedio el efecto que tiene el fertilizante en la producciún de lechugas se desvía de la media aproximadamente en 21,1 lechugas/parcela, siendo esta la dispersión más alta de los cinco tratamientos; en el tratamiento número 2 aproximadamente 19,89 lechugas/parcela se desvían de la media de este; para el tratamiento número 3 la produccion de lechugas se desvia de su media aproximadamente en 6,22 lechugas/parcela , siendo éste la menor dispersión de los tratamientos; La producción mínima que se cosecha en el tratamiento número 1 es de 90,0 lechugas/parcela, lo que indica que dicho tratamiento puede llegar a ser poco efectivo para la producción de dicha materia prima, mientras que el tratamiento 4 presenta como mínimo una producción de 147,0 lechugas/parcela, lo cual se puede afirmar que dicho tratamiento es mas efectivo que los demás, los cuales tuvieron como resultado producciones minimas entre 130,0 y 142,0 lechugas/parcela. La produccion maxima que se cosecha en el tratamiento 1 es de 140 lechugas/parcela, aun siendo la maxima produccion, sigue siendo en general el tratamiento que tiene menos efecto en la cosecha de las lechugas; en este punto la que presenta un valor maximo mayor a los demas es ahora el tratamiento 2

y

y

y

con una produccion de 174,0 lechugas/parcela, siguiendolo los tratamientos 4 y 5 con 163 lechugas/parcela cada uno y luego el tratamiento 3 co n una produccion de 156 lechugas/parcela. El 25% de la produccion por parcela del tratamiento 1 presenta unas cosechas menores o iguales a 93,5 lechugas/parcela, mientras que para el tratamiento numero 4 dicho porcentaje presenta unas cosechas menores o iguales a 150,25 lechugas/parcela, los tratamientos restantes. El 75% de la produccion por parcela del tratamiento numero 2 presenta unas cosechas menores o iguales a 166,50 lechugas/parcela, mientras que el tratamiento numero 1 presenta cosechas menores o iguales a 133,50 lechugas/parcela para el 75% de la produccion. El tratamiento 1 presenta una mayor variabilidad en los datos con una coeficiente de variacion de 18,84, mientras que se presenta una menor variabilidad en la produccion de lechugas en el tratamiento numero 3, con un coeficiente de variacion igual a 4,17.

Figura 1. Grafica de caja de Lechugas/parcela Al observar la grafica de caja y alambre y ver la incidencia de los tratamientos en el crecimiento de lechugas en cada parcela podemos apreciar la ubicación de las medias y especular que los valores más altos de las medias maximizan mi variable respuesta, es decir, hay un mayor crecimiento de lechugas en las parcelas que presentan medias más altas. Igualmente, se observa que el tratamiento que presenta mayor variabilidad es el correspondiente a dosis de nitrato de amonio de 0lb N/acre, y el tratamiento que presenta menor variabilidad corresponde a dosis de 100lb N/acre.

5. Modelo estadístico Se escoge el modelo de efectos, ya que este es el asignado para un diseño completamente aleatorizado unifactorial y este experimento corresponde a un diseño completamente aleatorizado (punto 3) y unifactorial, ya que el factor a analizar es únicamente la concentración de fertilizante (nitrato de amonio) en las diferentes parcelas de lechuga analizadas.

              

Donde

  ï            6. Hipótesis 



               

  



             

 

7. ANOVA

2

El valor de R indica que el modelo explica un 59,94% de la variabilidad en la producción de lechugas. 



     



 

El valor obtenido del coeficiente de variación, CV = 10,46% nos indica que la variación de este modelo se ve afectada en un 10,46% por los factores no controlados o no controlables en el proceso. Por lo tanto se pudo ejercer un buen control local en el experimento. Se busca que la variabilidad debido a los tratamientos sea mayor a la variabilidad debida al error. En este caso el valor P = 0,006 <  = 0,05, esto indica que debemos rechazar la hipótesis nula ya que al menos dos de los

tratamientos tienen efectos diferentes en las parcelas de lechuga, por lo tanto la dosis de nitrato de amonio afecta el numero de lechugas cosechadas en cada parcela. 8.

Post-ANOVA

Como se rechaza la hipótesis nula se realiza un análisis Post-ANOVA. Se escoge el método Tukey para probar todas las comparaciones de las media por pares. Se formularon las siguientes hipótesis:

            

            

Al analizar los intervalos encontrados en esta prueba hallamos una diferencia significativa entre el tratamiento 1 (0lb N/acre) con los demás debido a que dichos intervalos no contienen el cero, mientras que al comparar los demás tratamientos entre ellos (del 2 al 5), al incluir el cero, se está indicando que no hay una diferencia significativa entre estos.

Al organizar las medias de menor a mayor, encontramos este orden:

         Se tiene que la media del tratamiento 4 maximiza mi variable respuesta, al comparar este tratamiento con el 3, no encontramos diferencia significativa, por tanto, escogemos los tratamientos con dosis de 100 y 150lb N/acre de nitrato de amonio que permiten un mayor cre cimiento de lechugas por parcela. Dado que el valor P en todas las parejas que incluyen el tratamiento 1, es menor que el alfa trabajado, se indica que dichas parejas presentan una diferencia significativa entre ellas; mientras que los valores de P obtenidos en los otros pares de tratamientos son mayores al valor de alfa trabajado, por tanto no existe diferencia entre estos. Esto corrobora el argumento descrito anteriormente.

9. Validación de supuestos Para validar los siguientes supuestos se utilizaron los residuales de las observaciones, los cuales se determinaron por medio de la siguiente expresión:

Residuales de las observaciones -8 2 -22 28 -11 y

-15 -1 28 -3 -7

3 7 -10 2 2

5 -18 -1 5 14

Supuesto I: los errores tienen una distribución normal

Figura 2. Grafica de probabilidad normal de los residuos

Figura 3. Histograma de frecuencia de los residuales   Análisis Gráfico: se puede decir que se cumple el supuesto I, debido a que los errores presentan un comportamiento lineal. El comportamiento del histograma nos indica una normalidad del error.  Análisis formal: Al realizar el test Shapiro Wilks, se plantean las siguientes hipótesis:

 ×   × 

Por medio de esta prueba, encontramos un valor de P > 0,1, que es un valor mayor al alfa utilizado ( = 0,05), esto nos indica que no se rechaza la hipótesis nula, es decir que los errore s siguen una distribución normal. y

Supuesto II: La varianza de los errores es constante

Figura 4. Grafica de residuales contra valores ajustados

Figura 5. Prueba de igualdad de varianzas para residuales Al observar el grafico de residuales contra valores ajustados, se tiene una distribución desigual de los valores, lo que no indica ninguna tendencia y por tanto la varianza de los errores es constante. Al observar el grafico prueba de igualdad de varianzas para residuales, se tiene que todas las medias se encuentran ubicadas en un rango de 0  20. Esto se corrobora con las pruebas Bartletts y Levene donde en valor P encontrado es mayor al alfa utilizado, lo cual indica que la varianza de los errores es constante. y

Supuesto III: Los errores son independientes

Figura 6. Grafica de residuales contra orden de observacion Graficamente

se puede observar que los errores presentan una sucesion independiente, por lo que se puede decir que la muestra es completamente aleatoria.

10. Confiabilidad del tamaño de la muestra para esto se determinó la potencia del analisis de varianza, con 5 niveles y un tamaño de muestra de 4 el cual se iba aumentando de dos en dos hasta un tamaño de 10, la diferencia maxima que se asumió fue 37 debido a que

es un valor el cual se acomoda mejor al rango de la variable respuesta; la desviacion estandar fue el resultado de la raiz cuadrada del cuadrado medio del error.

Figura 7. Curva de la potencia de ANOVA

Se puede decir que el tamaño de muestra escogido en el experimento no es muy apropiado, debido a que la potencia de la muestra es baja. Lo mas recomendado es tomar un tamaño d muestra aproximado a 7 para que la prueba de potencia se acerque al valor de 0,95 y tener la mayor probabilidad de rechazar la hipotesis nula cuando esta es falsa.

11. Conclusiones y recomendaciones Al aplicar cada uno de los cinco tratamientos a las parcelas de lechuga, nos damos cuenta que los tratamientos 3 y 4 maximizan mi variable respuesta, es decir las dosis de 100 y 150lb N/acre de nitrato de amonio, permiten un mayor crecimiento de lechugas por parcela. La validación de los supuestos nos permite confirmar que el modelo estadístico para el efecto del fertilizante nitrogenado en la producción de lechugas en cada una de las parcelas es confiable. Se recomienda realizar otro experimento con el tamaño de muestra recomendado para saber cuánta diferencia puede haber con el presente, igualmente se deben tener en cuentas las condiciones en las que se encuentran las parcelas de lechugas.