TP1 Estructuras cristalinas

1. Esquematizar Esquematizar los sistemas cristalinos existentes. existentes. Parámetros Parámetros y características. características. Indicar en qué sistema cristalizan la mayoría de los metales, citar ejemplos:

Existen muchas estructuras cristalinas y es conveniente clasificarlas en grupos de acuerdo con las configuraciones de la celda unitaria y/o la disposición atómica. Uno de esos esquemas se basa en la geometría: la geometría de una celda unitaria se define en función de seis parámetros: la longitud de las aristas a, b y c y los tres ángulos interaxiales α, β y γ . Estos ángulos se denominan parámetros parámetros de red de una estructura cristalina.

Hay un total de 14 tipos de redes cristalinas, denominadas Redes de Bravais que se muestran a continuación:

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Parámetros y características: ESTRUCTURA Cúbica Tetragonal Ortorrómbica Hexagonal Romboédrica Monoclínica Triclínica

EJES

      

ANGULO ENTRE EJES Todos los ángulos de 90° Todos los ángulos de 90° Todos los ángulos de 90° Dos de 90°, uno de 120° Todos iguales, ninguno de 90° Un ángulo (β) distinto a 90° Todos distintos, ninguno de 90°

La mayoría de los metales cristalizan en: 

Cúbica centrada en las caras (FCC): contiene medio átomo en cada cara del cuerpo y un

octavo en cada vértice de la celda unitaria. Es decir que contiene 4 átomos por celda. Ejemplos: Hierro, Cobre, Aluminio, Oro, Plata, Plomo, Níquel, Platino. 

Cúbica centrada en el cuerpo (BCC): contiene un átomo en el centro del cuerpo, y un

octavo de átomo en cada vértice de la celda unitaria. Es decir que contiene 2 átomos por celda. Ejemplos: Hierro, Titanio, Wolframio, Molibdeno, Niobio, Tantalio, Potasio, Sodio, Vanadio, Cromo, Circonio. 

Hexagonal compacta (HC): contiene medio átomo en cada cara (superior e inferior), un

sexto de átomo en cada vértice de la celda unitaria, y además contiene un plano que provee 3 átomos adicionales a cada celda, ubicado entre la cara superior y la inferior. Es decir que contiene 6 átomos por celda. Ejemplos: Titanio, Magnesio, Zinc, Berilio, Cobre, Cadmio.

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2. Determinar el factor de empaquetamiento de las redes FCC, BCC y HCP deduciendo en cada una el parámetro de red, mediante un análisis geométrico-matemático de las mismas.

El factor de empaquetamiento atómico (FEA) es la fracción de volumen de las esferas rígidas en una celda unitaria en el modelo atómico de las esferas rígidas:

          Donde r es el radio del átomo, a es la arista de la celda y n la cantidad de átomos por celda.



Celda cúbica centrada en las caras (FCC):

Número de átomos por celda:



Relación entre arista y radio atómico:

           √  Reemplazo en la ecuación del factor de empaquetamiento y resuelvo:

              √   (√ )   3



Celda cúbica centrada en el cuerpo (BCC):

Número de átomos por celda:



Relación entre arista y radio atómico:

               √     √   Reemplazo en la ecuación del factor de empaquetamiento y resuelvo:

              √   √     

Hexagonal compacta:

Número de átomos por celda:



Relación entre aristas y radio atómico:

4

El volumen de la celda hexagonal es:

   Sabemos también que:

   √   

Por lo tanto:

  √   Reemplazo en la ecuación de FEA y resuelvo:

                 √   √    

5

3. En la figura se observan las celdas de dos materiales hipotéticos.

a) ¿Cuáles son los índices de las direcciones indicadas por los dos vectores?

Proyecciones Proyecciones en función de arista Reducción

X (nm)

Y (nm)

Z (nm)

0,4 1 2

-1/2.(0,5) -1/2 -1

-0,3 -1 -2

Y (nm) 0 0 0

Z (nm) 0,3 1 2

Y (nm) 0,4 1 1

Z (nm) 0,2 1 1

Y (nm)

Z (nm)

DIRECCION 1

Proyecciones Proyecciones en función de arista Reducción DIRECCION 2

X (nm) 1/2.(0,4) 1/2 1

  [  ]

    

b) ¿Cuáles son los índices de los planos indicados?

Intersecciones Intersecciones en función parámetro de red Recíprocos PLANO 1

X (nm) 1/2.(0,4) 1/2 2

X (nm)

Intersecciones Intersecciones en función parámetro de red Recíprocos PLANO 2

  0

     -1/2.(0,4) -1/2

   (  )

  0

6

4. Determinar los índices de las direcciones mostradas en la siguiente figura:

Punto final Punto inicial Final – Inicial Reducción

X

Y

Z

0 1 -1 -1

1 0 1 1

1 1 0 0

X 1/2 0

Y 1 0

Z 1/2 0

1/2 1

1 2

1/2 1

X 1 1

Y 1/2 0

Z 1 0

0 0

1/2 1

1 2

X 1 1/2

Y 0 1

Z 1/2 0

1/2 -1

-1 2

1/2 -1

DIRECCION A

Punto final Punto inicial Final – Inicial Reducción DIRECCION B

Punto final Punto inicial Final – Inicial Reducción DIRECCION C

Punto final Punto inicial Final – Inicial Reducción DIRECCION D

   [  ]

    

    

  [  ]

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5. Con datos de tablas calcular el volumen de la celda unitaria de la plata y su densidad:

La plata (Ag) cristaliza en un sistema cúbico centrado en las caras (FCC), por lo tanto tiene 4 átomos por celda unitaria y un factor de empaquetamiento de 0,74. Su radio atómico es

.

Mediante la fórmula del FEA (ejercicio 2) de spejo el volumen de su celda unitaria.

 + *     + *        Seguidamente, calculo el valor de la de nsidad de la plata:

     Donde n es el número de átomos por celda unitaria, A es la masa atómica del elemento y N es el número de Avogadro.

   . Reemplazo y despejo:          

De la tabla periódica obtengo que

Densidad de la plata (Ag):

    

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6. Considerar la estructura cristalina del Plomo y calcular:

La estructura cristalina del Plomo es cúbica centrada en las caras (4 átomos por celda unitaria y FEA de 0,74). a) La densidad específica planar de en los planos

   y   :

La densidad específica planar se define de la siguiente manera:

     Siendo en numerador el área de átomos completos contenidos en el plano, y el denominador el área del plano pedido. 

Plano

  :

Calculo el área del plano en cuestión. Primero calculo su altura h dividiéndolo en dos mitades y aplicando Pitágoras:

         ⁄  √  ⁄   √          

Los ángulos del triángulo son de 60°. Como se puede apreciar en la figura, en cada esquina hay 1/6 de átomo y en las caras 1/2, por lo tanto:

⁄       ⁄  √ ⁄  √ ⁄ 



Plano

  :

El área del plano es:

   √   √  Como se observa en la figura, todos los ángulos son de 90°. En total hay 4 cuartos de átomos (en los vértices) y

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una mitad de átomo en la cara superior y otra mitad en la inferior, e ntonces:

b)

   ⁄  ⁄         √    √  La densidad específica lineal en las direcciones   ,    y   :

La densidad específica lineal se define de la siguiente manera:

    Siendo esta la relación entre la longitud de átomos completos contenidos en una dirección y la longitud de esa dirección.

   (rojo): La longitud de la dirección es:   √       √  √  

Dirección

Esta dirección contiene dos medios átomos, uno en cada esquina, por lo tanto

  

  √       (verde): La longitud de la dirección es:   √    √  

Dirección

Esta dirección contiene dos medios átomos, uno en cada esquina, por lo tanto

  

  √       (azul): La longitud de la dirección es:   √     √   Esta dirección contiene dos medios átomos (esquinas) y un átomo completo (cara inferior), por lo tanto              

Dirección

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7. Considerar la estructura cristalina del Cromo y calcular:

La estructura cristalina del Plomo es cúbica centrada en el cuerpo (2 átomos por celda unitaria y FEA de 0,68). a) La densidad específica planar en los planos

Plano

  :

   y   :

El área del plano fue calculada en el ejercicio anterior:

√  ⁄   √           ⁄√  Como se ve en la figura, en cada esquina del plano, hay 1/6 de átomo. Por lo tanto:

  ⁄      ⁄√    Plano

  :

El área del plano fue calculada en el ejercicio anterior:

     √   √   En la imagen podemos observar que el plano contiene cuatro cuartos de átomo (vértices de la celda) y un átomo entero (centro de la celda), entonces:

b)

   ⁄          √ ⁄   La densidad específica lineal en las direcciones   ,    y   :

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   (rojo): Longitud de la dirección:   √   

Dirección

Dicha dirección contiene dos medios átomos (esquinas) y un átomo entero (centro):

  

             (verde): La longitud de la dirección es:   √      ⁄√  Esta longitud contiene dos medios átomos (vértices),      ⁄√    Dirección    (azul): La longitud de la dirección es:   √     √  √ ⁄ 

Dirección



Se puede ver que esta dirección contiene medio átomo en cada esquina:

  

  √ ⁄   Comparar con los resultados obtenidos en el ejercicio anterior y determinar para cada estructura, el sistema de deslizamiento más eficaz, señalando que tuvo en cuenta para ello. ¿Cuántos sistemas de deslizamiento tienen cada tipo de estructura?

Las dislocaciones no se mueven con el mismo grado de facilidad sobre todos los planos cristalográficos de átomos y en todas las direcciones cristalográficas. Normalmente existe un plano preferido, y en éste existen direcciones específicas a lo largo de las cuales ocurre el movimiento de las dislocaciones. Este plano se denomina  plano de deslizamiento, y la dirección se denomina dirección de deslizamiento. Esta combinación de plano y dirección se denomina sistema de

deslizamiento y depende de la estructura cristalina de los metales y es tal que la distorsión

atómica que acompaña al movimiento de una dislocación es mínima (máxima densidad atómica). 

El sistema de deslizamiento más eficaz para el Plomo (BCC) es el plano Cromo (FCC) es el plano

  , y para el

  , debido a que son los planos más densos en cada caso y

donde se producirá un mejor deslizamiento de las dislocaciones. 

En el caso del Plomo, la dirección más eficaz será la la dirección

  , mientras que en el Cromo será

  , por las mismas razones que los planos, están más densamente

pobladas, lo que facilitará el desplazamiento de las dislocaciones.

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Pueden existir diferentes sistemas de deslizamiento para una determinada estructura cristalina; el número de sistemas de deslizamiento independientes representa las distintas combinaciones posibles de planos y direcciones de deslizamientos. Los posibles sistemas de deslizamiento para las estructuras BCC, FCC y HCP se ven pueden ver en la siguiente tabla: Sistemas de deslizamiento para los metales cúbicos centrados en las caras, cúbicos centrados en el cuerpo, y hexagonales compactos. Metales

Cu, Al, Ni, Ag, Au Fe-α, W, Mo Fe-α, W Fe-α, K Cd, Zn, Mg, Ti, Be Ti. Mg, Zr Ti, Mg

Plano de deslizamiento

                 {   } {   }

Dirección de Número de sistemas deslizamiento de deslizamiento Cúbico centrado en las caras

〈  〉 Cúbico centrado en el cuerpo 〈  〉 〈  〉 〈  〉 Hexagonal compacto 〈   〉 〈   〉 〈   〉

12 12 12 24 3 3 6

Los metales con estructuras cristalinas FCC y BCC tienen un número elevado de sistemas de deslizamiento (por lo menos 12). Estos metales son bastante dúctiles debido a la extensa deformación plástica que puede conseguiré en los varios sistemas. Por el contrario, los metales HC tienen pocos sistemas de deslizamiento activo y son bastante frágiles.

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8. Determinar los índices de los planos mostrados en la siguiente celda hexagonal:

En los cristales con simetría hexagonal es deseable que los planos y las direcciones equivalentes tengan los mismos índices, lo cual se consigue mediante el sistema de Miller-Bravais. Esta conversión conduce al esquema de cuatro índices en el sistema cristalino hexagonal.

Intersecciones con los ejes Recíprocos PLANO 1

Intersecciones con los ejes Recíprocos PLANO 2

 que clasifica la orientación de los planos

    

      ⁄      (   )

  

   ⁄ 

            (   )

 ⁄ 

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CORRECCIONES 3. En la figura se observan las celdas de dos materiales hipotéticos. a) ¿Cuáles son los índices de las direcciones indicadas por los dos vectores?

Punto final Punto inicial Final – Inicial Proyección en función de arista Reducción

X 0,4 0 0,4 1

Y -1/2.(0,5) 0 -1/2.(0,5) -1/2

Z -0,3 0 -0,3 -1

2

-1

-2

X 1/2.(0,4) 0

Y 0 0

Z 0,3 0

1/2.(0,4) 1/2 1

0 0 0

0,3 1 2

DIRECCION 1

Punto final Punto inicial Final – Inicial Proyección en función de arista Reducción DIRECCION 2

  [  ]

    

4. Determinar los índices de las direcciones mostradas en la siguiente figura:

Punto final Punto inicial Final – Inicial Reducción DIRECCION C

X

Y

Z

1 1 0 0

1 1/2 -1/2 -1

0 1 -1 -2

  [  ]

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