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Union générale des étudiants de Tunisie Bureau de l’institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis
Modèle de compte-rendu de TP
Le goniomètre à prisme
Ce document a été publié pour l’unique but d’aider les étudiants , il est donc strictement interdit de l’utiliser intégralement en temps que compte-rendu compte -rendu à rendre aux professeurs professeurs .
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Etablir les formules du prisme.
Déterminer les conditions d’émergence : condition sur l’angle du prisme et sur l’angle d’incidence i. Exploiter l’étude de la déviation en fonction de i. Déterminer graphiquement le minimum de déviation. Calculer l’indice d’un prisme à partir du minimum de déviation
Connaître les différentes couleurs du spectre ainsi que leurs déviations respectives Utilise
r le goniomètre pour mesurer l’angle au sommet d’un prisme Mesurer la déviation en fonction de i. Mesurer les angles d’un prisme au goniomètre à prisme. Mesurer l’indice d’un prisme correspondant à une certaine longueur d’onde, par le minimum de déviation.
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Modèle de compte-rendu de TP
Un prisme est un élément optique utilisé pour réfracter la lumière, la réfléchir ou la disperser en ses constituants (les différents rayonnements de l'arc-en-ciel pour la lumière blanche). C'est traditionnellement un prisme (solide) droit à base triangulaire, constitué d'un matériau transparent réfringent : verre, plexiglas, notamment sommet » et la partie la plus épaisse (B), la « base ». entre les deux surfaces est appelé « sommet » du prisme, il est souvent noté A.
dont les deux surfaces sont inclinées, l’une par rapport à l’autre. La partie la plus mince au bord du prisme S, s’appelle le « L’angle d’inclinaison l’angle au
Lorsque la lumière passe de l'air au verre, par exemple, elle est réfractée. Lorsqu'elle ressort par l'autre face, elle est de nouveau réfractée. Le rayon ou faisceau incident est donc dévié. Mais l'indice de réfraction n'est pas le même pour les différentes longueurs d'onde. De sorte que, un faisceau de lumière blanche est séparé en ses composantes : le bleu est plus dévié que le jaune, luimême plus dévié que le rouge. lumière polychromatique. Dans ces conditions, le prisme peut être utilisé pour analyser un rayonnement visible polychrome (spectroscopie).
Il s’agit du phénomène de dispersion de la
Dispersion de la lumière blanche à travers un prisme
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Appliquons la loi de Snell-Descartes
sin sin
Appliquons encore la loi de Snell-Descartes
sin sinsin sin
Dans le triangle IJK, la somme des mesures angles est :
d’où r r D’où : rr
Dans le triangle IJS Dans le triangle IJS, la somme des mesures angles est :
d’où Donc or rr D’où
Pour un prisme plonge dans l'air, la théorie complète du prisme est contenue dans les quatre formules que l'on vient d'établir. Ces relations sont générales si l'on adopte les conventions des signes suivantes : i et i' sont comptés positivement.
Lorsque les normales extérieures sont situées entre le sommet et les rayons, on donne à r et r' le même signe que i et i'. D ne dépend que de i, n, et A On pourra s'en servir pour connaitre n.
⇒
Si i>0 et i>r (car n>1), on a i'>r' donc d’où i i
.
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Modèle de compte-rendu de TP
Si i>0 (conventions présentées avant), alors D>0 et la déviation se fait toujours vers la base.
En pénétrant par la première face du prisme, le rayon incident est réfracté puis tombe sur la deuxième face sous .
l’angle Pour qu’il puisse émerger, il faut que | | (défini par sin ) | | . Or || || . On en conclut donc que :
On a r’r et || et | |
La différenciation des lois du prisme on obtient
nsinr sini cosi di ncosr dr’ et dr=0. d dr’ dDdi’-dA
D’où :
dD di ncosr d dr cosi Or n>1, alors >0 car || || ce qui entraine cosicosr et donccosi ncosr. La déviation D est donc une fonction croissante de A.
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La variation d’indice peut être obtenue en changeant de prisme, tout en conservant A et i, ou en considérant les indices relatifs à plusieurs radiations monochromatiques. En effet nous avons vu que la vitesse de propagation d’une vibration lumineuse dépend de sa longueur d’onde ; or λ , n dépend de λ selon une loi qui peut s’écrire dans le domaine visible il s’agit de la loi de Cauchy:
n a
a, b : constantes.
λ
Donc n diminue si augmente, du violet (0,4 µm) au rouge (0,8 µm).
Qu’en est-il de D ? Cherchons la variation dD de D si n varie de dn, en différenciant les formules du prisme, A et i étant constants :
sini n sinr ncosr dr sinr dn nsinr sini cosi di ncosr drsinrdn r r drdr D i i dDdi D’où:
dD sin dn cosicosr Donc la déviation augmente si l’indice n augmente . Par conséquent la déviation D augmente si la longueur d’onde λ diminue, c’est-à-dire si l’on passe du rouge au violet. C’est le phénomène de dispersion de la lumière par le prisme mis en évidence par Isaac Newton (1642- 1727)
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est représentée avec, comme vu, ce qui conduit à . La courbe
Cette valeur correspond à un minima de la courbe ou asymptote horizontale ce qui se traduit par :
se nomme minimum de déviation. En dérivant les lois du prisme, on obtient :
sini nsinr cosi di ncosr dr nsinr sini cosi di ncosr dr r r drdr D i i dDdidi On a donc :
D’où on obtient :
di ncosr dr cosr cosi cosi dr cosi cosr di ncosr cosi
dD cosr cosi di cosi cosr cosr cosi cosr cosi Pour D extrémale on a En élevant au carré et en injectant les expressions de i et i en fonction de ret r: cosr n sin rcos r n sin r On a donc r r (par symétrie et par la 3ème formule du prisme).
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Finalement, on obtient à partir de (*) :
D sin n sin Calculons l'incertitude sur la détermination de l'indice n : Appliquons la fonction logarithme à n :
Ln n Ln sin Lnsin Nous poserons que : usin et v sin Calculons la différentielle totale de ln (n) :
Ln n Ln u Lnv par conséquent
Déterminons du et dv :
D D du cos d cos dD d u v cos d D’où : cot d cot dD cot d cot dcot d cot dD cot cot cot D cot Or A et D étant positifs, cot
Remplaçons les "d" par des et nous mettons des valeurs absolues :
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D’où :
n (cot D cot ) cot D D n
Cependant A et D ont été mesuré avec le même appareil donc résulte que :
ΔA = ΔD ; il en
n (cot ) n On définit la dispersion angulaire comme étant d=
.
Au minimum de déviation :
dn sin sin dD ⇒ dλ D dn cosi dλ cos Un goniomètre à prisme est un appareil qui permet de réaliser à la fois des
mesures d’angle de déviation. Il permet de déterminer l'indice de réfraction d’un prisme.
un collimateur C, fixe.
une lunette mobile autour d’un axe vertical, dont
la position est repérée sur le cercle gradué en degrés et minutes. une plate-forme tournante, support du prisme. Tous ces objets vont être détaillés par la suite. La présence de ces éléments dans le goniomètre et les réglages se justifient à partir des
deux conditions d’utilisation suivantes :
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On éclaire le prisme avec un faisceau de lumière parallèle. C’est à cette condition que l’image d’un point est un point. On dit qu’il y a stigmatisme . Par conséquent, l’image d’une fente fine sera vue à travers le prisme avec la même finesse. 2) La direction du faisceau incident doit être perpendiculaire à l’arête du prisme. Le plan de section principale ainsi défini contient le rayon émergent correspondant à un rayon incident donné et l’angle D de déviation des rayons. :
il est formé
d’une fente fine F, réglable en largeur, placée dans le plan focal objet d’une lentille L . 1
Cette fente est éclairée par la lampe spectrale. La position de F par rapport à L1 (mise au point, netteté) se règle en agissant sur le tirage du collimateur, à
l’aide de la bague moletée. : c’est une lunette astronomique, c’est -à-dire qu’elle est formée d’un objectif L et d’un oculaire L , que l’on règlera de telle sorte que 2
3
le plan focal objet de L3 , matérialisé par un réticule (croix) soit confondu avec le plan focal image de L2. Dans ces conditions, un faisceau incident de rayons parallèles donnera un faisceau émergent parallèle, qui sera donc vu sans
accommoder par l’observateur dont l’œil est sensé être normal. La lunette est mobile autour d’un axe vertical, d’un mouvement rapide puis d’un mouvement lent si la vis de blocage V est serrée ; elle est mobile autour d’un axe horizontal à l’aide de la vis V . 1
2
: elle est réglable en hauteur et doit être maintenue à la hauteur par serrage de la vis V3. Le plateau supérieur est muni de trois vis calantes qui permettent de rendre
Il est important de faire les réglages dans l’ordre exposé.
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Réglage de l’oculaire : on éclaire le plan du réticule à l’aide de la source auxiliaire S, latérale à la lunette. Pour cela on place à l’aide du bouton b) une lame semi-transparente à 45° de l’axe de la lunette, et on règle le tirage de l’oculaire de manière à voir nettement le réticule. Réglage de l’objectif de la lunette par autocollimation : la source auxiliaire S envoie un faisceau de lumière qui émerge de la lunette. Ce faisceau est réfléchi sur un miroir plan, ou sur une face du prisme. On
observe alors une image du plan réticulaire : cercle lumineux dont R’ est l’image du réticule R. On met au point cette image en agissant sur le tirage de la lunette jusqu’à voir nettement le réticule R et son image R’.
Il s’agit de placer la fente-source F au foyer objet de l’objectif du collimateur. On escamote la lame d’autocollimation, et on vise la fente F, éclai rée par la lampe spectrale, avec la lunette réglée. En agissant sur la bague moletée, on met au point l’image de la fente F, et on règle la finesse de celle -ci de manière à garder un éclairage suffisant.
Pour que les raies observées soient nettes, il faut :
que les axes optiques du collimateur et de la lunette soient confondus que cet axe commun soit perpendiculaire à la fenteprisme La fente du collimateur possède un fil marquant son milieu,
source et à l’arête du dont l’image devra être superposée au fil horizontal du réticule ; ceci se fait à l’aide de la vis
se trouvant sous la lunette.
forme, l’arête l’horizontalité de celle ci. On vise l’image du réticule réfléchie par une face du oïncidence l’image du fil horizontal du réticule avec le fil lui tâtonnements successifs sur chaque face du prisme on obtient l’horizontalité de
On place alors le prisme sur la plate utilisée doit être au centre du platine. Par autocollimation sur chaque face du prisme, on règle prisme et en agissant sur les vis calantes de la plate-forme on amène en c -même. Par la plate-forme.
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e m s i r p à e r t è m o i n o g n u ’ d e v i t a t n e s é r p e r e r u g i F
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Montrons que
On sait que D’où on a :
Donc : On obtient finalement :
Le plateau est orienté de façon à ce que le faisceau envoyé par le collimateur éclaire les deux faces du prisme en même temps. Procéder de la façon suivante : Repérer à l'œil nu l'image réfléchie de la fente source par chaque face du prisme. Viser successivement ces deux images qui sont dans les directions faisant un angle = 2A. La mesure de l'angle = 2A est faite avec une incertitude absolue qui vaut 2 Δ0, car elle est le résultat de la mesure de deux angles. Par conséquent, la mesure de l' angle au sommet A du prisme s'effectue avec une incertitude de Δ0=0°1’.
°° 5°5
On en conclut que :
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Le but est de mesurer la déviation minimale Dm obtenue pour des longueurs d'onde connues et d'en déduire ainsi l'indice du prisme par la relation :
λ
D sin n sin
On procède de la façon suivante pour mesurer le minimum de déviation correspondant à chaque raie :
D
λ
L'angle incident i est d'abord repéré : c'est la direction du faisceau sans déviation. (On rappelle qu'on a intérêt à éclairer le prisme en ) pour être sûr de trouver des rayons incidence rasante (
émergents. On observe à l'œil nu le rayon réfracté. On tourne le prisme de manière à faire diminuer l'angle d'incidence tout en observant l'image réfractée. Pour un certain angle, on voit l'image s'arrêter et repartir dans l'autre sens : c'est le minimum de déviation.
On repère la position de l'image en la pointant avec la lunette
(position 0 de la lunette). On note 0 l'angle ainsi mesuré. On procède de la même manière en éclairant l'autre face avec le collimateur (position 1 de la lunette). On note 1 l'angle ainsi mesuré. L'angle entre les deux positions de la lunette est 2Dm. On en déduit alors la valeur de l’indice n du prisme.
β
β
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A la suite de la série de mesures effectuées expérimentalement suivant le processus précédent on a obtenu le tableau suivant : Couleur
Jaune
Vert
Bleu –vert
Indigo
Violet
α0
117°53’
116°32’
115°03’
112°58’
111°02’
Dm
38°40’30’’
38°51’30’’
39°10’
39°34’
39°54’30’’
n
1,5175
1.5196
1.5230
1.5276
1.5314
5,265.1012
6.013.1012
1’
1’
m ²) Δ D Δn -
m
12
3,013.10
1’
1’
7.645
12
3,353.10
12
4,137.10
1’
Traçons maintenant la courbe d’étalonnage D =f(λ ). 7.656
7.673
7.686
7.715
m
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Et maintenant traçons la courbe de dispersion n=
On remarque que la courbe qui correspond à n=
est une
demi-droite décroissante qui ne passe pas par l’origine, donc on avec b=n l’ordonnée à l’origine et a= la peut écrire 0
nλb
pente de la courbe.
On a donc bien vérifié la loi de Cauchy.
nλn λ Le baron Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)
avec n0 et
de même dimension que n (adimensionné) donc de
même dimension que
c'est-à-dire en M² .
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