TP N Ondes Et Vibrations

Université Dr. Moulay Tahar de Saida Faculté de Technologie 2ème Année TC.

Travaux pratiques ondes et vibrations

Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

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TP N°01 1- Pendule tournant d’après Pohl (Harmoniques libres)

Objectif Mesurer et analyser des oscillations tournantes harmoniques libres

Résume Le pendule tournant d’après Pohl permet d’étudier des oscillations tournantes harmoniques libres. Seuls les couples de rotation de rappel d’un ressort en volute et le couple de rotation atténuant d’un frein à courant de Foucault réglable agissent sur le pendule. Dans l’expérience, nous allons démontrer l’indépendance du temps d’oscillation vis-à-vis de la déviation et la vitesse initiales et analyser l’atténuation des amplitudes d’oscillation.

Généralités Le pendule tournant d’après Pohl permet d’étudier des oscillations tournantes harmoniques libres. Seuls les couples de rotation de rappel d’un ressort en volute et le couple de rotation atténuant d’un frein à courant de Foucault réglable agissent sur le pendule. Équation de mouvement pour l’angle de déviation tournante libre du pendule tournant : Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

d’une oscillation

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J : moment d’inertie D : constante de rappel k : coefficient d’atténuation Tant que l’atténuation n’est pas trop grande et que la condition < w0 est remplie, la solution de l’équation de mouvement est la suivante :

Dans ce cas, l’amplitude initiale 0 et l’angle de phase y sont des paramètres quelconques qui dépendent de la déviation et de la vitesse du pendule tournant à l’instant t=0. Le pendule oscille donc pendant

L’amplitude d’oscillation diminue au fil du temps d’après

Dans l’expérience, nous allons étudier des oscillations à différentes atténuations déterminées par l’intensité de courant réglable du frein à courant de Foucault. Le temps d’oscillation est mesuré à l’aide d’un chronomètre. Il s’avère qu’à une atténuation donnée, le temps d’oscillation ne dépend pas de la déviation initiale ni de la vitesse initiale. Pour déterminer l’atténuation, on note les déviations décroissantes du pendule à droite et à gauche, le pendule, pour des raisons de simplicité, démarrant sans vitesse initial. Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

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Evaluation L’équation (4) définit l’amplitude d’oscillation comme une grandeur positive. Il s’agit donc du nombre de déviations à droite et à gauche. En appliquant le logarithme naturel de ces déviations par rapport au temps, on obtient une droite de pente – . En réalité, on observe des écarts du comportement linéaire, car la force des frottements n’est pas – comme supposé – tout à fait proportionnelle à la vitesse.

2- Pendule tournant d’après Pohl (Oscillations forcées)

Objectif Mesurer et analyser des oscillations forcées.

Résume Le pendule tournant de Pohl convient également pour étudier des oscillations forcées. Pour cela, le système oscillant est relié à la barre de l’excitateur qui est déplacée par un moteur à courant continu à régime réglable et qui détend et contracte périodiquement le ressort de rappel en volute. Dans l’expérience, nous allons mesurer pour différentes atténuations l’amplitude en fonction de la fréquence d’excitation et observer le déphasage entre l’excitation et l’oscillation. Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

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Généralités Le pendule tournant de Pohl convient également pour étudier des oscillations forcées. Pour cela, le système oscillant est relié à la barre de l’excitateur qui est déplacée par un moteur à courant continu à régime réglable et qui détend et contracte périodiquement le ressort de rappel en volute L’équation de mouvement du système est

J: moment d’inertie D: constante de rappel k: coefficient d’atténuation M0: amplitude du couple de rotation externe wE: fréquence angulaire du couple de rotation externe La solution de cette équation de mouvement se compose d’une part homogène et d’une part inhomogène. La part homogène correspond à l’oscillation atténuée libre qui est étudiée dans l’expérience TP1/1. Elle diminue de façon exponentielle au fil du temps et, après la phase appelée « transitoire », elle devient négligeable par rapport à la part inhomogène. En revanche, la part inhomogène

Est liée au couple de rotation externe et reste conservée aussi longtemps que celui-ci agit. Son amplitude

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Est d’autant plus grande que la fréquence d’excitation wE se situe à hauteur de la fréquence propre w0 du pendule tournant. Dans le cas de wE= w0, on parle de résonance. Le déphasage

Indique que les déviations du pendule suivent l’excitation. Pour de très petites fréquences, il est pratiquement nul, mais augmente avec la fréquence et atteint 90° à hauteur de la fréquence de résonance. Enfin, en présence de très fortes fréquences d’excitation, l’excitation et l’oscillation sont déphasées de 180°

Evaluation Les amplitudes mesurées des oscillations atténuées sont représentées par rapport à la fréquence d’excitation. Il en résulte différentes courbes de mesure qui peuvent être décrites par l’équation (4), à condition d’avoir sélectionné les bons paramètres d’atténuation . On observe de faibles écarts par rapport aux valeurs trouvées pour l’atténuation dans l’expérience TP1/1. Cela s’explique par le fait que le frottement n’est pas – comme supposé – exactement proportionnel à la vitesse.

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TP N°02 oscillations couplées

Objectif Enregistrement et évaluation des oscillations de deux pendules identiques couplés

Résume L’oscillation entre deux pendules identiques couplés peut être caractérisée par la période d’oscillation et la période de battement. La période de battement représente l’écart entre deux moments où un pendule oscille à une amplitude minimum. Les deux grandeurs peuvent être calculées à partir des deux périodes de battement propres pour l’oscillation en phase et l’oscillation en opposition de phase et des pendules couplés.

Généralités Lorsque deux pendules couplés oscillent, de l’énergie va et vient entre les deux pendules. Si les deux pendules sont identiques et qu’ils sont excités de manière à ce qu’un pendule soit au repos au début, tandis que l’autre oscille, la transmission d’énergie est totale. C’est-à-dire qu’un pendule est entièrement au repos, tandis que l’autre oscille avec une amplitude maximale. La durée entre les deux arrêts d’un pendule ou, d’une manière générale, entre deux moments où le pendule oscille avec une amplitude minimale, est la période de battement TΔ. Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

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Les oscillations entre deux pendules mathématiques identiques couplés peuvent être décrites comme superposition de deux oscillations propres. On peut observer ces oscillations propres en excitant les deux pendules à des oscillations en phase ou en opposition de phase. Dans le premier cas, les pendules sans influence du couplage oscillent à la fréquence des pendules non couplés ; dans le second cas, sous l’influence maximale du couplage, ils oscillent à la fréquence propre maximale. Toutes les autres oscillations peuvent être représentées comme des superpositions de ces deux oscillations propres. On obtient pour le mouvement des pendules l’équation suivante :

g: Accélération de la pesanteur. L: Longueur de pendule. k: Constante de couplage.

Fig. 1: A gauche : oscillation couplée générale. Au milieu : oscillation couplée en phase. A droite : oscillation couplée en opposition de phase. Pour les grandeurs auxiliaires un premier temps), on obtient les équations suivantes :

(arbitraires dans

Leurs solutions

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avec les fréquences angulaires

Correspondent aux oscillations propres décrites en cas d’excitation en phase ou en opposition de phase ( += 0 en phase et -= 0 en opposition de phase). Les mouvements des pendules peuvent être calculés à partir de la somme ou la différence des deux grandeurs auxiliaires. On obtient la solution

Dans un premier temps, les paramètres a+, a-, b+ et b- sont des grandeurs quelconques qui peuvent être calculées depuis l’état d’oscillation des deux pendules au moment t= 0. Le cas le plus simple à interpréter est le suivant : au moment 0, le pendule 1 en position zéro possède une vitesse angulaire initiale ψ0, tandis que le pendule 2 en position zéro est au repos.

L’équation suivante s’applique alors aux vitesses des deux pendules :

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Après la conversion mathématique, on obtient

Cela correspond à une oscillation des deux pendules avec la même fréquence angulaire w, leurs amplitudes de vitesse ψ1et ψ2 étant modulées avec la fréquence angulaire wΔ On désigne une telle modulation sous le terme de battement. Dans le cas présenté ici, on peut même parler de battement maximum parce que la valeur minimum atteinte par 'amplitude est zéro.

Fig. 2 Montage pour l'enregistrement et l'analyse des oscillations de deux pendules couplés identiques Le montage est illustré sur la Fig. 2. • Barres de support d'une longueur de 1000 mm fixées sur le plan de travail à un intervalle d'env.15 cm à l'aide de pinces-étaux. • Fixer la barre de support courte à l'horizontale pour mieux stabiliser le montage. Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

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• Fixer le capteur angulaire à l'extrémité supérieure des barres de support verticales à l'aide de manchons universels. • Fixer les masses à l'extrémité inférieure des barres de pendule. • Accrocher les barres de pendule sur les capteurs angulaires (des encoches sont prévues dans les tiges des capteurs d'angle pour les aiguilles du dispositif de suspension du pendule). • Accrocher les ressorts à boudin dans les trous situés sur les barres de pendule, qui se trouvent à env. 40 cm de la suspension. • Connecter les câbles des deux capteurs angulaires au transformateur ; il est indispensable d'utiliser les câbles marqués 12 V. • Connecter 3B NETlog™ à l'ordinateur. REALISATION • Brancher 3B NETlog™ et lancer le programme informatique 3B NETlab™. • Sélectionner « Laboratoire de mesure » et créer un nouveau fichier. • Sélectionner les entrées analogiques A et B et régler chacune d'elles sur la plage de mesure 2 V en mode tension continue (Vcc). • Régler les paramètres de mesure suivants : Taux : 50 Hz, nombre de valeurs de mesure : 600, mode : standard • Raccorder les deux capteurs angulaires en veillant respecter la polarité (rouge: pôle +, noir : pôle –) aux entrées de tension du 3B NETlog™.

EXEMPLE DE MESURE 1. Oscillation couplée équiphase

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Fig. 3 Diagramme du temps d'élongation de l'oscillation couplée équiphase (en bleu : pendule de gauche, en rouge : pendule de droite). La graduation angulaire n'est pas étalonnée. 1. Enregistrement de l'oscillation équiphase : • Tirer sur les deux pendules dans la même direction et avec le même angle (réduit) et les relâcher aussitôt. • Démarrer l'enregistrement de la valeur de mesure dans 3B NETlab™. • Une fois cet enregistrement terminé, sélectionner « Retour » et enregistrer la mesure sous un nom pertinent.

2. Enregistrement de l'oscillation en opposition de phase : • Tirer sur les deux pendules dans la direction opposée et avec le même angle (réduit) et les relâcher aussitôt. • Lancer à nouveau l'enregistrement de la valeur de mesure dans 3B NETlab™. • Une fois cet enregistrement terminé, sélectionner « Retour » et enregistrer la mesure sous un nouveau nom. 3. Enregistrement d'une oscillation couplée avec battement maximum: • Sélectionner « Modifier les réglages » et augmenter le nombre de valeurs de mesure à 1200. • Tirer sur une barre de pendule et maintenir l'autre en position zéro, puis relâcher les deux en même temps. • Lancer à nouveau l'enregistrement de la valeur de mesure dans 3B NETlab™. • Une fois cet enregistrement terminé, sélectionner « Retour » et enregistrer la mesure sous un nouveau nom.

EVALUATION 1. Déterminiez la période d'oscillation couplée équiphase 2. Déterminer la période d'oscillation couplée en opposition de phase 3. Déterminez la période d'oscillation couplée avec battement maximum 4. Compariez la période de battement et la période d'oscillation avec les valeurs calculées à partir des périodes d'oscillation propre : 5. Déterminez la constante de rappel de ressort de couplage.

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TP N° 3 ETUDE DES OSCILLATIONS LIBRES D’UN CIRCUIT RLC SÉRIE Objectifs :

I.

- Mise en évidence du phénomène d’oscillations électriques dans un circuit RLC. - Observer l'influence des paramètres R, L, C sur les oscillations libres. - Analyser les transferts d’énergie entre bobine et condensateur pendant les oscillations.

INTRODUCTION :

II.

Le circuit de la (fig.1.) est alimenté par une tension tel que : {

() T : période du signal

()

(fig.1.) Lorsque l’interrupteur K est fermé, le comportement du circuit est déterminé par l’équation différentielle suivante : Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

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∫ Dérivant les deux membres :

Ou

-trois cas sont à distinguer Premier cas : circuit fortement amorti ( )

-Deuxième cas: régime critique ( ) Dans ce–cas la R est appelée résistance critique et elle est notée par Rc Donc

√

Les courbes ont la même allure que dans le premier cas ; seuls les maximums de Vr et le minimum de Vi ont cependant une forte amplitude, et les temps d’établissement sont très faibles.

Troisième cas : régime oscillatoire amorti (fig.3) ( )

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a :premier dépassement b :secnod dépassement Tr :pseudo-période avec La tension Vc(t) possède l’allure indiquée par la (fig.4.) lorsque le circuit est alimenté par signal en créneau.

(fig.4.) -coefficient d’amortissement réduit « m ». On a : exp (

)=

Et aussi : m=R/Rc avec R : résistance série du circuit et Rc : résistance critique Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

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Coefficient de qualité « Q0 ».

-pseudo-pulsation

. √

-coefficient d’amortissement

-Le coefficient d’amortissement est homogène à l’inverse du temps III.

TRAVAIL DE PERPARATION.

IV.

1. Donner la résolution de l’équation différentielle du second ordre avec second membre constant et à coefficient constant. 2. Donner la valeur de Vc(t) (tension aux bornes du condensateur) (fig.1.). 3. Retrouver les résultats du coefficient de qualité Q0, et d’amortissement. 4. Démontrer la relation qui existe entre la pseudo-pulsation wr et la pulsation de résonance wo. 5. Déterminer Rc ; si L= 35mH et C=1nF, puis choisir RRc et relever la courbe aux bornes de C, de L et de R Donner une autre valeur à R (toujours sup. à Rc), et refaire le même travail que le 4. Prendre L=40mH, C=4nF et R=1K a) Relever le graphe de la tension aux bornes de C (Vc(t)). b) Déterminer la pseudo-période (Tr), le coefficient d’amortissement réduit (m) et le coefficient de qualité (Q0). c) Comparer les résultats obtenus avec ceux du travail de préparation. commenter les courbes et donner vos conclusions.

Annexe

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TP N°04 Ondes stationnaires (cordes vibrantes)

Objectif Étudier des ondes stationnaires sur un ressort hélicoïdal tendu et une corde tendue. Résume Des ondes mécaniques apparaissent par exemple sur un ressort hélicoïdal tendu sous la forme d’ondes longitudinales ou sur une corde tendue sous la forme d’ondes transversales. Dans les deux cas, il se forme des ondes stationnaires si le support est fixé à l’une de ses extrémités, car l’onde incidente et l’onde réfléchie à l’extrémité fixe de même amplitude et de même longueur d’onde se superposent. Si l’autre extrémité est également fixe, les ondes ne peuvent se propager que si des conditions de résonance sont remplies. Dans l’expérience, le ressort hélicoïdal et la corde sont fixés à une extrémité. L’autre extrémité est reliée à une distance Là un générateur de vibrations qu’un générateur de fonctions amène à émettre des oscillations de faible amplitude et de fréquence réglable f. Cette extrémité peut également être considérée comme une extrémité à peu près fixe. On mesure les fréquences propres en fonction du Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

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nombre de nœuds des ondes stationnaires. Ces données permettront de calculer la vitesse d’onde.

Principe de fonctionnement : L'encentrique du moteur tourne à une fréquence f qui entraine l'extrémité de la corde à un mouvement circulaire de déplacement périodique se propageant à une vitesse v le long de la corde, produisant ainsi une onde à polarisation circulaire. L'onde incidente et l'onde réfléchie interfèrent, produisant des ondes stationnaires à condition que la longueur d'onde soit telle qu'un multiple entier de

(

) de manière à ce que l'onde trouve place sur la longueur de la

corde. Rappel théorique : Soit une corde de longueur L tendue par une force F, U est le déplacement transversal d'un élément dx de masse dm =s dx où s est la densité linéaire (masse par unité de longueur). Les tensions T et T' sont pratiquement égale, calculons leurs projections sur l'axe U; on aura alors :

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Si on applique la loi de Newton à l'élément dx de masse dm on a :

L’équation d'une onde se propageant à une vitesse v est donc :

Avec

est la vitesse de propagation de l'onde transversale. Si les deux

extrémités de la corde sont fixées, l'onde incidente et réfléchie constituent une onde stationnaire dont la distance des nœuds est tel que :

L : longueur de la corde. : Longueur d'onde. n : entier naturel. Par Gouni S / TP Ondes et vibrations

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TRAVAIL DE PERPARATION. 1. Remplir le tableau suivant pour une corde simple de longueur L=0,485m et de masse linéaire s. On reportera les grandeurs avec une précision de trois chiffres après la virgule.

 

Tracer le graphe ( ) sur une feuille de papier millimétrique. Pour plus de clarté, on conseille l'utilisation de l'échelle suivante : 10cm=0.1N. Déduire la valeur de la tangente à partir de la courbe ( ) Obtenue.

tan( ) 

En considérant que la fréquence imposée au système par le moteur soit égale à f =44.8Hz, mettre l'expression de la masse linéaire sous la forme :



Donner la valeur expérimentale de s en g/cm. Arrondir à 2 chiffres après la virgule. s=... 2. Remplir le tableau suivant en considérant la corde quadruple 4s de longueur efficace L=0,85m.

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 

Tracer le graphe ( ) sur une feuille de papier millimétrique. Pour plus de clarté, on conseille l'utilisation de l'échelle suivante : 10cm=0.1N. Déduire la valeur de la tangente à partir de la courbe ( ) Obtenue.

tan( ) 

En considérant que la fréquence imposée au système par le moteur soit égale à f =44.8Hz, mettre l'expression de la masse linéaire sous la forme :



Donner la valeur expérimentale de s en g/cm. Arrondir à 2 chiffres après la virgule.

s=... 3. Conclusion : comparer les résultats obtenus pour s. 4. En utilisant les résultats trouvés pour la masse linéaire s, peut-on aboutir aux mêmes conclusions si l'on considère une corde avec une masse linéaire 10s ou plus. 5. On tend la corde simple L=0,485m pour obtenir deux (02) ventre d'oscillations. Notez F indiquée par le dynamomètre.

F=... 6. On tend la corde quadruple avec une masse linéaire 4s et une longueur L=0,35m. En lui appliquant la même force F que précédemment, notez le nombre de ventre n obtenue.

n=... 7. Justifiez les résultats obtenus.

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