Tp 19 Mecanique Des Fluides

T.P 19 : MÉCANIQUE DES FLUIDES Ce T.P est à réaliser en une heure, avec de l’aide (professeur, personnel de laboratoire). Les manipulations sont réalisées une seule fois devant tous les groupes, qui notent les mesures. Objectifs : • Réaliser des expériences simples de mécanique des fluides dans deux cas limites : écoulements de Stokes à faible nombre de Reynolds, et écoulement à grands nombre de Reynolds. • Mesurer la viscosité d’un liquide. • Mesurer une vitesse avec une sonde de Pitot, mesurer le C x d’un corps placé dans un écoulement turbulent. Notions à dominer : • Nombre de Reynolds, formule de Stokes pour la traînée d’une sphère, loi de Poiseuille, loi de Bernoulli, coefficient de traînée.

1. ÉCOULEMENT DE POISEUILLE DANS UN TUBE CYLINDRIQUE 1.1 Principe On cherche à vérifier la loi de Poiseuille donnant le débit volumique d’un fluide s’écoulant en régime stationnaire sous une différence

πd 4 ∆p . 128ηL (Q1) Définir le nombre de Reynolds caractéristique de l’écoulement du fluide. Pourquoi la loi de Poiseuille ne nécessite-t-elle pas que l’écoulement se fasse à Re < 1 ? de pression ∆p dans un tube cylindrique de diamètre d et de longueur L à nombre de Reynolds Re inférieur à 1000 : qV =

1.2 Manipulation On impose à l’entrée de trois tubes capillaires horizontaux une surpression ∆p hydrostatique obtenue en plaçant un récipient rempli d’eau de masse volumique ρ à une hauteur H réglable, au dessus des petits tubes. Un tuyau permet à l’eau de s’écouler vers la nourrice sur laquelle sont fixés les trois tubes capillaires dont on donne les dimensions : tube n°1 (violet) : d = 1,8 mm ; L = 1,00 m tube n°2 (violet) : d = 1,8 mm ; L = 2,00 m tube n°3 (transparent) : d = 3,0 mm ; L = 1,94 m

eau dont il faut maintenir le niveau stable

°3 en tu b

°2 en tu b

tu b en

robinet d’arrêt

°1

H

nourrice

(Q2) Justifier l’expression de la surpression ∆p = ρgH 1) Mesurer la masse à vide des trois béchers destinés à recevoir l’eau qui s’écoule par les trois tubes. 2) Régler H = 80 cm . Purger le système (ouvrir quelques secondes le robinet de la nourrice). Placer un bécher à l’extrémité de chaque tube (le récipient le plus grand pour le tube n°3). Ouvrir le robinet de la nourrice et déclencher aussitôt le chronomètre mis à disposition. 3) Fermer le robinet au bout de deux minutes et mesurer à l’aide d’une balance le volume d’eau qui s’est écoulé dans chaque récipient. En déduire les débits volumiques : qV 1 = m 3 ⋅ s -1 qV 2 = m 3 ⋅ s -1 qV 3 = m 3 ⋅ s -1 4) Recommencer avec H = 40 cm , mais seulement pour le tube 3 : qV′ 3 =

m 3 ⋅ s -1 .

1.3 Exploitation

∆p . L 2) Mettre en évidence en déterminant l’équation de la droite Y = ln(qV ) en fonction de X = ln(d ) la loi qV ∝ d 4 . 1) Mettre en évidence la linéarité du débit volumique avec le gradient de pression

3) Déduire des mesures la valeur de la viscosité de l’eau. La comparer à la valeur tabulée : η = 10−3 Pl à 20°C. 4) Calculer le nombre de Reynolds pour chaque écoulement. Commenter. 5) En réalité, l’écoulement de Poiseuille ne s’établit pas dès l’entrée du tube mais sur une distance δ ≈ 0,03d ⋅ Re . (Q3) Justifier la forme de δ. Il y a-t-il lieu de modifier les résultats précédents ?

2. VISCOSIMÈTRE À CHUTE DE BILLE 2.1 Principe de la mesure On laisse chuter sans vitesse initiale une petite bille sphérique en acier (de masse volumique ρ0 = 7800 kg ⋅ m -3 ) de rayon r dans du glycérol de masse volumique ρ = 1260 kg ⋅ m -3 et de viscosité dynamique η . Le récipient est un tube cylindrique vertical en verre, suffisamment long pour que l’on puisse effectuer des mesures de vitesse à l’aide d’un chronomètre en repérant les dates de passage de la bille au niveau des repères tracés sur le tube. r r r On suppose que la force de traînée qu’exerce le glycérol sur la bille vaut Ft = −6πηrv (loi de Stokes), où v est le vecteur vitesse de la bille. (Q4) Définir le nombre de Reynolds caractéristique de l’écoulement du glycérol autour de la bille. À quelle condition sur Re la loi de Stokes est-elle valable ? Montrer que la durée caractéristique de l’établissement d’un régime stationnaire pour l’écoulement est τ = que si l’on note vlim la vitesse de la bille en régime stationnaire, on a η =

O

v

2ρ0 r 2 et 9η

2 gr 2 (ρ 0 − ρ) . 9vlim

z 2.2 Manipulation 1) On dispose de deux petites billes de rayons différents (prendre les deux plus petites billes) dont on mesure les diamètres au palmer. En déduire leurs rayons : r1 = mm r2 = mm 2) Préparer le chronomètre. Lâcher la bille sans vitesse initiale le plus près possible de l’axe du tube et déclencher le chronomètre. Repérer les dates de passage au niveau des différents repères. 3) Vérifier que la bille atteint bien un régime stationnaire. En déduire les vitesses limites pour chaque bille : v1lim = cm ⋅ s -1 v2lim = cm ⋅ s -1 4) Récupérer les billes en leur faisant remonter le tube à l’aide des aimants mis à disposition. 2.3 Exploitation 1) On prend g = 9,8 m ⋅ s -2 . En déduire les valeurs de la viscosité du glycérol obtenues avec chaque bille :

η1 =

η2 =

Pl

et comparer avec la valeur fournie par les tables pour du glycérol à 20°C : η = Donner les valeurs de Re pour chaque bille : Re1 = Conclure sur la validité de la loi de Stokes. Quelle est la bille donnant a priori la valeur de η la plus fiable ?

Pl Re2 =

Pl

3. SONDE DE PITOT 3.1 Principe On place une sonde de Pitot dans un écoulement d’air (de masse volumique ρair ), parallèlement à l’écoulement. (Q5) L’écoulement est supposé parfait, stationnaire et incompressible. Expliquer comment on peut mesurer la vitesse de l’écoulement en mesurant la pression p A à l’entrée du tube et p B en un point B à l’aval sur la paroi latérale du tube. Un manomètre différentiel est rempli d’un liquide de couleur rouge de masse volumique ρ qui a permis l’étalonnage de l’appareil. La partie rectiligne du tube en verre du manomètre est inclinée d’un angle θ ≈ 0,1 rad par rapport à l’horizontale. En l’absence d’écoulement, le niveau du liquide est repéré par x = 0 . Celui-ci fournit en conséquence aussi bien la différence de pression p A − pB (en Pa) que la vitesse v de l’écoulement. (Q6) Montrer que la vitesse de l’écoulement est donnée par v =

x pA

pB

θ

0

2 gρx sin θ où x est ρair

la dénivellation lue sur le manomètre.

Attention ! Manipuler avec précaution le manomètre en prenant soin de ne pas exercer de torsion sur les tubes : le liquide du manomètre peut alors s’écouler au niveau des joints entre les tubes en plastique et le verre. Ce liquide ne doit ni être bu ni respiré, et il faut laver à fond les endroits de la peau qui ont été en contact avec ce produit. 3.2 Mesures 1) On dispose d’un tunnel aérodynamique dans lequel on a placé un plan incliné (rampe de Bernoulli sur laquelle les différentes sections de l’écoulement, en m 2 , sont indiquées). manomètre

tunnel aérodynamique

sonde de Pitot

rampe de Bernoulli

2) Régler le ventilateur au maximum. Placer à la main (le chariot de la photographie n’est pas nécessaire) la sonde de Pitot de manière à ce qu’elle soit bien horizontale et que son extrémité se trouve à la verticale d’une des indications de section. Avant chaque mesure, laisser passer une dizaine de secondes pour que le niveau du liquide dans le manomètre se stabilise. Compléter le tableau suivant : section A ( m 2 )

0,020

0,019

0,018

0,017

0,016

0,015

v ( m ⋅ s -1 )

qV = Av ( m 3 ⋅ s -1 ) 3) Commenter les résultats trouvés. Justifier en donnant la valeur de la vitesse du son dans l’air à 293 K. 4) Les sondes de Pitot doivent être utilisées en régimes hautement turbulents. Définir puis calculer la valeur du nombre de Reynolds pour la vitesse maximale du tableau. On donne ηair = 1,8 ⋅ 10−5 Pl . Commenter la valeur trouvée.

4. TRAÎNÉE TURBULENTE : DÉTERMINATION DU Cx DE DIVERS PROFILS 4.1 Principe de la mesure Un profil est attaché à un chariot en translation sur des rails horizontaux. Le chariot est lié à un dynamomètre. Ce dernier indique 0 N quand l’air est au repos autour du profil. Lorsque la soufflerie est enclenchée, l’action du ressort spiral du dynamomètre permet d’équilibrer la traînée et de lire la valeur de cette dernière (valeurs comprises entre 0 N et 0,6 N). 1 La force de traînée s’écrit : Ft = ρair S C x v 2 où S est le maître-couple du profil (surface de sa projection dans un plan orthogonal à 2 l’écoulement), et C x le coefficient de traînée du profil. Dans la gamme de vitesses d’écoulement que l’on peut obtenir avec le ventilateur, on a C x ≈ Cte .

dynamomètre

chariot

sortie du ventilateur

potence rail

profil

4.2 Mesures 1) Vérifier qu’en l’absence d’écoulement (ventilateur éteint), le dynamomètre indique bien 0 N. Mesurer avec la sonde de Pitot la vitesse de l’écoulement à une dizaine de cm de la sortie du ventilateur. Régler le ventilateur pour obtenir une valeur donnée (par exemple v = 8 m ⋅ s -1 ). On étudie d’abord quatre profils possédant le même maître-couple (disque de diamètre Φ = 5,5 cm ) : profils 1, 2, 3 et 4.

Φ = 5,5 cm

profil n°1

profil n°2

profil n°3

profil n°4

2) Mettre en place le profil n°1 en exerçant une légère pression. Noter la valeur moyenne de la force de traînée lue sur le dynamomètre. 3) Il est possible de visualiser les lignes de courant à l’aide d’un peigne placé en amont du profil. Dans ce cas, décrocher le chariot, positionner le peigne à l’aide d’une vis, maintenir à la main le profil dans l’écoulement et observer l’allure des fils en faisant varier la distance entre le peigne et le profil. Cette méthode est très instructive et réellement utilisée pour visualiser les zones turbulentes dans un écoulement. On pourra la limiter aux profils 1, 3 et 6. 6) Recommencer pour les trois autres profils possédant le même maître-couple. Remplir le tableau ci-dessous. On prendra ρair = 1,3 kg ⋅ m -3 . 7) Recommencer avec deux autres profils cylindrique n°5 et n°6 (et donc théoriquement de même C x que le profil n°4), mais de diamètres différents. Compléter le tableau ci-dessous. 8) Recommencer pour plusieurs vitesses différentes, mais seulement profil n°4 profil n°5 profil n°6 pour le profil n°6 et compléter le tableau correspondant Φ = 4 cm Φ = 8 cm Φ = 5,5 cm

v = v1 =

m ⋅ s -1 profil n°1

F (N) Cx

profil n°2

profil n°3

profil n°4

profil n°5

profil n°6

Profil n°6 :

v = v1 =

m ⋅ s -1

v = v2 =

m ⋅ s -1

v = v3 =

m ⋅ s -1

v = v4 =

m ⋅ s -1

v = v5 =

m ⋅ s -1

F (N) 4.3 Exploitation 1) Commenter les valeurs relatives trouvées pour les différents profils. Comparer les C x des profils 4, 5 et 6. 2) Commenter l’allure des fils selon leur distance à l’axe de l’écoulement, leur distance au profil, et le type de profil (1,3 ou 6). 3) Mettre en évidence l’effet du maître-couple S sur la traînée à l’aide des profils 4, 5 et 6. La dépendance linéaire en S est-elle vérifiée ? 4) Mettre en évidence l’effet de la vitesse de l’écoulement sur la traînée. 5) Calculer le nombre de Reynolds pour les écoulements autour des quatre premiers profils. Commenter. On donne ηair = 1,8 ⋅ 10−5 Pl . et ρair = 1,3 kg ⋅ m -3 .

5. TUBE DE VENTURI 5.1 Présentation 1) Remplacer les rails précédents par un tube convergent puis divergent dont la section varie entre 10 cm aux deux extrémités et 5 cm au centre. La potence permet de maintenir le tube horizontal. Ne pas trop serrer la vis qui vient pincer le tube. 5.2 Mesures 1) Prélever la différence de pression p1 − pi au niveau des trous latéraux prévus à cet effet. La pression p1 correspond à l’entrée du tube, la pression

manomètre

tube de venturi

p4 à l’étranglement. 1

2

3 4

5

6 7

Attention ! ajuster la puissance pour que la dépression p1 − p4 (que l’on commencera à mesurer) ne soit pas trop importante, ce qui entraînerait l’aspiration du liquide du manomètre dans les tuyaux en plastique ! 2) Compléter le tableau ci-dessous : i ∆pi = p1 − pi (Pa)

2

3

4

5

3) Mesurer la vitesse de sortie du tube à l’aide de la sonde de Pitot : v7 = le tube : qV = S 7 v7 =

6

7

m ⋅ s -1 . En déduire le débit volumique dans

m 3 ⋅ s -1

5.3 Exploitation (Q7) En supposant l’écoulement parfait et à une dimension, montrer que les dépressions devraient être les mêmes au niveau des trous 1 et 7, 2 et 6, 3 et 5. 1) Comme ce n’est manifestement pas le cas, on tient compte de la perte de charge. Estimer cette perte de charge (définie positive) entre deux sections consécutives : pc = Pa (estimation réalisée en supposant la section constante : même perte de charge entre deux sections consécutives). Compléter le tableau ci-dessous : i ∆ p i = ( p1 − pi ) − (i − 1) pc (Pa)

2

3

4

5

6

7

Tracer la courbe correspondante et expliquer son allure. (Q8) Montrer que le débit se calcule par la formule qV = S 4

32∆ p 4 où S 4 est la section au milieu du tube. 15ρair

2) Comparer la valeur numérique obtenue pour le débit : qV = sortie du tube.

m 3 ⋅ s -1 à celle déduite de la mesure de la vitesse en