Tous Exercices d'Analyse Pour SM by Ali Tah

Exercices de Mathématiques

Table des matières

1

Limites et continuité 1.1 limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 utilisation de la définition de la limite . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 calcul des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Image d’un intervalle - T.V.I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 fonction réciproque d’une fonction continue et stictement monotone 1.3.1 theorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 1.3.2 fonction arctan et n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . 2007/2008

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3 3 3 4 4 4 5 6 8 8 9

1

2

Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . 2007/2008

CHAPITRE 1. LIMITES ET CONTINUITÉ

Exercices de Mathématiques

1

Limites et continuité

Sommaire 1.1

1.2

1.3

1.1

limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 utilisation de la définition de la limite . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 calcul des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Image d’un intervalle - T.V.I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fonction réciproque d’une fonction continue et stictement monotone 1.3.1 theorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 1.3.2 fonction arctan et n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 4 4 4 5 6 8 8 9

limite

1.1.1 utilisation de la définition de la limite Exo 1 (somme) soit f et g deux fonctions définies au voisinage de x0 .montrer à l’aide de la définition de la limite que si lim f (x) = ` et lim g (x) = `0 alors lim f (x) + g (x) = ` + `0 x→x0

x→x0

x→x0

Exo 2 (produit) montrer le même résultats pour le produit Exo 3 (inverse) montrer que si lim f (x) = ` et ` 6= 0 alors x→x0

∃α > 0, ∀x ∈ ]x0 − α, x0 + α[ − {x0 } : f (x) 6= 0 1 1 = x→x0 f (x) `

et lim

Exo 4 soit f une fonction définie sur un intervalle R+ montrer que si f est croissante et non major´ ee alors lim f (x) = +∞ x→+∞

Exo 5 soit f une fonction définie sur R et périodique de période T .on suppose qu’il existe un réel ` tel que lim f (x) = `

x→+∞

1. montrer que f est constante de constante ` 2. application : montrer que les fonctions suivantes n’admet pas de limite en +∞ : sin , cos , f : x →  1 x∈Q E(x) (−1) ,g : x → x − E(x) , h (x) = 0 x∈ /Q

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CHAPITRE 1. LIMITES ET CONTINUITÉ

1.1.2

calcul des limites

Exo 6 calculer les limites suivantes √ x2 − 1 lim √ −x lim mx + x2 − x + 1 x→+∞ x2 + 1 x→−∞ π  tan x − 1 √ lim (x2 − 5x + 6) tan x lim π 2 cos x − 2 x→2 4 x→ 4   √ 1 E ( x) lim xE lim 2 x→0 x→+∞ x + 1 x Exo 7 calculer les √ limites suivantes lim 2x + 4x2 − x + 1 lim1 (2x2 − 3x + 1) tan (πx) x→−∞   x→ 2
√ 3 2 1 lim − lim xE x 3 x→1 x→0+ x2 − 1 √x − 1 √ 2 x −1+ x−1 √ lim lim tan x sin 2x x→1 x→ π2 x−1 >

lim cos

x→0

lim √

x→0+

1 x




sin (x2 ) √ x− x

sin x − tan2 x

x− π

lim sin(cos2 x) π x→ 2 lim cos(x) sin

x→+∞

lim

x→+∞




E (x) x

limπ sin x −

x→ 4

1 x2

π 4




tan 2x

  1. on rappel que ∀x ∈ 0, π2 : sin x < x < tan x montrer que i πh 1 1 1 − cos x ∀x ∈ 0, :0< − < 2 sin x x sin x 1 1 2. déduire la valeur de lim − x→0 sin x x

Exo 8

1.2 continuité 1.2.1

continuité en un point 

Exo 9 soit f la fonction f définie par

Exo 10 soit a un reél on pose

 

x f (x) = √1−cos 1+x2 −1 f(0) = 2

f (x) =

sin (πx) x−1

,

,

x∈ R∗

x∈ R − {1}

etudier la continuité de f en 0

d´ eter min er la valeur de a pour que f soit

 f(1) = a continue en 1 Exo 11 on rappel que ∀x ∈ R :|sin x| ≤ |x| montrer que la fonction sin est continue en 0 et déduire qu’elle est continue en tout point de R Exo 12 La fonction partie entière E, définie sur R par E(x) = n où n ∈ Z avec n ≤ x < n + 1. 1. tracer la courbe de la fonction E (fonction en escalier) 2. la fonction E est elle continue au point1 ? Exo 13 soit f la fonction définie par f (x) = x − E (x) 1. tracer la courbe representative de f sur [-3,5[ 2. etudier la continuité de f au point 4

1 2

et au point 0

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1.2. CONTINUITÉ  Exo 14 soit f la fonction définie par

;x∈Q x∈ /Q

f (x) = x f (x) = x2

1. montrer que ∀x > 1 : f (x) > x en déduire lim f (x) x→+∞

2. montrer que ∀x ∈ [−1, 1] : |f (x)| ≤ |x| en déduire la continuité de f en 0 3. montrer de même que ∀x ∈ [0, 2] : |f (x) − 1| ≤ 3 |x − 1|en déduire la continuité de f en 1 4. soit x0 ∈ R − {0, 1} on se propose de montrer par l’absurde que f n’est pas continue en x0 . on suppose donc le contraire (a) écrire la définition de la continuité en x0 (b) en déduire que ∀ε > 0 : |x0 | < ε et |1 − x0 | < ε (c) conclure Exo 15 soit f la fonction définie sur [0, π] par π 2 f (x) = sin (cos x) π     f =0 2    

étudier la continuité de f en

1.2.2

x−

x∈ [0, π] −

nπ o 2

π 2

continuité sur un intervalle

Exo 16 Etudier la continuité des fonctions suivantes sur leurs domaines de définition. √ 2x + 1 1 − x2 |2x + 3| 1) f (x) = 2 2) f (x) = 3x3 + sin3x 3) f (x) = 4) f (x) = 2 x +3 1+x 1 − tan x  2x − 3   f(x)= ;x≤2 3 − x 5) 4 sin(x − 2)   f (x) = ; x >2 x2 − 4 Exo 17 soit f la fonction définie par :f (x) = E (x) + (x − E (x)) 2 étudier la continuité de f Exo 18 étudier la continuité de la fonction définie par √

  

f (x) = cos

 

f (0) = 1

x2 + 1 − 1 x

! x ∈ R∗

Exo 19 étudier la continuité de la fonction définie par f (x) = cos (sin x) − sin (cos x)

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CHAPITRE 1. LIMITES ET CONTINUITÉ

1.2.3

Image d’un intervalle - T.V.I

Exo 20 trouver l’image de l’intervalle I par la fonction f dans chacun das cas suivant √ 1. I = ]0, +∞[ , f (x) = x + 1 2. I = [−2, 1[ , f (x) = x3 − 3x + 1 3. I=R ,

f(x) = x + sin x

Exo 21 soit f une fonction définie sur R telle que ∀ (x, y) ∈ R2 : f (x + y) = f (x) + f (y) montrer que si f est continue en 0 alors f est continue sur R Exo 22 montrer que l’équation cos x = x − Exo 23

1 2

admet une unique solution dans l’intervalle ]0, π3 [

1.

Exo 24 montrer que l’équation α3 − 2α2 + α = 1

√

x=

1 admet une unique solution α dans l’intervalle ]1, 2[ et justifier que x−1

Exo 25 soit f une fonction continue sur [0,1] on suppose que f (0) > 0 et f(1) < 1 montrer que l’équation f (x) = x admet au moins une solution dans ]0,1[ Exo 26 soit f une fonction continue sur [0,1] montrer que ∃c ∈]0, 1[: f (c) + f (1 − c) = 2c Exo 27 soit f une fonction continue sur [0,1] telle que f(0) = f (1) montrer que ∃c ∈ [0, 12 ] : f (c) = f c +

1 2




Exo 28 soit f une fonction continue sur R . on suppose que ∃a ∈ R :f ◦ f (a) = a montrer que l’équation f (x) = x admet au moins une solution dans R Exo 29 soit f une fonction continue sur [a,b] telle que f(a) < ab et f(b) > b2 montrer que ∃c ∈ [a, b] : f (c) = bc Exo 30 soit f une fonction continue sur [a,b] telle que f([a, b]) ⊂[a,b] et ∀x ∈ R :f ◦ f (x) = f (x) on pose E = {x ∈ [a, b]/f (x) = x} 1. montrer que E6= ∅ 2. montrer que E=f([a, b]) 3. déduire que E est un intervalle de R Exo 31 soit f une fonction continue sur R telle que∀x ∈ R : f(|x|) = |f (x)| montrer que f est une fonction paire Exo 32 soit f une fonction continue et strictement croissante sur [0,1] telle que f (0) = 0 1. montrer que ∀x ∈ [0, 1]; ∃!y ∈ [0, 1] : f (y) = 12 f (x) 2. on définie donc une fonction implicite g qui associe à chaque x∈ [0, 1] l’unique y ∈ [0, 1] (a) montrer que ∀x ∈ [0, 1] : g (x) ≤ x (b) montrer que : g (x) = x ⇔ x = 0 (c) montrer que g est continue et strictement croissante sur [0,1] Exo 33 montrer que l’équation x3 − 6x + 1 = 0 admet trois solutions distinctes deux à deux soit α la plus petite solution montrer −3 < α < −2 Exo 34 soit f une fonction définie et continue sur R telle que ∀x ∈ Q : f (x) = 0.montrer que f est nulle sur R 6

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1.2. CONTINUITÉ Exo 35 soit f une fonction continue sur un segment [a, b] où 0 < a < b telle que ∀x ∈ [a, b] : f (x) < x montrer que ∃M ∈ ]0, 1[ , ∀x ∈ [a, b] : f (x) < M.x Exo 36 soit f une fonction périodique de période T.on suppose que f est continue sur R 1. justifier que f (R) = f ([0, T ]) 2. déduire que f est bornée sur R Exo 37 soit f une fonction continue sur R telle que f (R) ⊂ Z. 1. montrer que f est une fonction constante 2. application :déterminer les fonctions f continues sur R telle que
∀x ∈ R : E f 2 (x) = f (x)   Exo 38 montrer que l’équation cos x = x admet une unique solution α dans 0, π2 comparer α et

π 4

Exo 39 soit f une fonction continue et définie sur [0, 1] telle que f (0) = 0 , f (1) = 1 π  c 1 − tan  π4  montrer qu’il existe c ∈ ]0, 1[ : f (c) = 1 + tan c 4 Exo 40 soit f une fonction définie et continue sur un intervalle]a, b[ telle que lim+ f (x) = +∞ et lim− f (x) = x→a x→b −∞ 1. .montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution α 1 1 2. application : montrer que ∃c ∈ ]0, 1[ : √ − √ = sin c c 1−c Exo 41 soit f une fonction continue sur un intervalle I 1. on suppose que f ne s’annule pas sur I montrer que f garde un signe constant sur I 2. montrer que si ∀x ∈ I : |f (x)| = 1 alors (∀x ∈ I : f (x) = 1) ou (∀x ∈ I : f (x) = −1) Exo 42 déterminer toute les fonctions continues sur R telle que ∀x ∈ R : |f (x)| = |x| Exo 43 1. montrer que pour tout n ∈ N∗ : l’équation (En ) : xn + x − 1 = 0 admet une unique solution an ∈ ]0, 1[ 2. calculer a1 et a2 3. comparer an et an+1 Exo 44 . 1. montrer que pour tout x ∈ R l’équation (Ex ) : y 3 + x2 y + x3 = 1 admet une unique solution yx ∈ R R → R on a donc définit une fonction implicite que l’on note f x → yx 2. (a) calculer f (0) , f (1) et f (−1) (b) montrer que ∀x ∈ R : − |x| ≤ f (x) ≤ 1 + |x|

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CHAPITRE 1. LIMITES ET CONTINUITÉ

1.3 1.3.1

fonction réciproque d’une fonction continue et stictement monotone theorème fondamental

Exo 45 soit f la fonction définie par f (x) = x +

√

x

1. montrer que f realise une bijection de R + dans un intervalle J que l’on déterminera 2. trouver la bijection réciproque de f on la note f −1 3. tracer dans le même repère orthonormé les courbes Cf et Cf −1 Exo 46 soit f la fonction définie par f (x) =

x 1 + |x|

1. montrer que f realise une bijection de R dans un intervalle J que l’on déterminera 2. trouver la bijection réciproque de f on la note f −1 3. tracer dans le même repère orthonormé les courbes Cf et Cf −1 Exo 47 Soit la fonction f(x) =

x √ x + 1 + x2

1. Verifier que Df =IR et calculer les limites aux bornes 2. Montrer que f est continue sur IR 3. Montrer que f est bijective de IR sur un intervalle J que l’on déterminera 4. Déterminer f−1 la fonction réciproque de f Exo 48 soit f la fonction définie sur R par f (x) = x − sin x 1. montrer que f réalise une bijection de R vers R 2. montrer que f −1 est une fonction impaire 3. résoudre l’équation f (x) = f −1 (x) 4. . (a) montrer qu’il existe une unique fonction g définie sur R telle que ∀x ∈ R : g (x) − sin (g (x)) = √

1 x2 + 1

(b) montrer que g est une fonction paire et que lim g (x) = 0 x→+∞

(c) à l’aide des variations de f donner le tableau de varaition de f (d) montrer que g est continue sur R Exo 49 soit f une fonction définie par f (x) = sin x − cos x   1. montrer que f réalise une bijection de − π4 , π4 dans un intervalle J que l’on déterminera 2. déterminer f−1 (0) 8

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1.3. FONCTION RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION CONTINUE ET STICTEMENT MONOTONE

1.3.2 fonction arctan et

√ n

Exo 50 montrer que.Pour tout x ∈ R :cos (arctan x) = √ Exo 51 .montrer que.Pour tout x ∈ R :cos (3 arctan x) = Exo 52 Soit f(x) =

1 x et sin (arctan x) = √ 1 + x2 1 + x2 1 − 3x2 3

(1 + x2 ) 2

p

π- |4Arctanx|Déterminer son domaine et étudier sa parité et sa continuité sur son domaine.

Exo 53 montrer que arctan 3 − arctan 2 = arctan

1 7

Exo 54 Calculer arctan 1 + arctan 2 + arctan 3. Exo 55 soit f la fonction définie sur R par f (x) = x + arctan (x) 1. montrer que f réalise une bijection de R dans R 2. sans calculer f −1 (x) montrer que f est une fonction impaire 3. montrer que ∀x > 0 : x > f −1 (x) f −1 (x) x→+∞ x

4. calculer lim

Exo 56 soit f la fonction définie sur [0, π4 ] par f (x) = tan2 (x) − 2 tan (x) 1. montrer que f réalise une bijection de [0, π4 ] dansdans un intervalle J que l’on déterminera 2. calculer f −1 (x) pour x∈ [0, π4 ] Exo 57

1. On donne deux entiers p et q vérifiant : 0 < p < q.Calculer arctan

p q−p + arctan . q q+p

1 5 3. en déduire la formule de Machin (John Machin, 1680-1751) : 2. à l’aide de la question précédenteCalculer 4 arctan

π 1 1 = 4 arctan − arctan 4 5 239 Exo 58 simplifier les expressions suivantes :    1 1 1. arctan x− 2 x ! √ 1 + x2 − 1 2. arctan x r  1 − cos x 3. arctan 1 + cos x Exo 59 soit f la fonction définie par f (x) = arctan

√

x2 + 1 − x




1 π 1. montrer que ∀t > 0 : arctan t + arctan = t 2  π 2. déduire que le point I 0, est un centre de symétrie de Cf 4 Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . 2007/2008

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CHAPITRE 1. LIMITES ET CONTINUITÉ 3. calculer les limites au bornes de Df 4. montrer que f est strictement monotone sur R− 5. montrer que f réalise une bijection de R− dans un intervalle J π  1 π 6. montrer que ∀x ∈ J − { } : f −1 (x) = et f −1 =0 4 tan 2x 4 7. déduire une expression simple de f sur R i πh 1 + cos x Exo 60 soit f la fonction définie sur par 0, : f (x) = 2 sin x i πh 1. montrer que f réalise une bijection de 0, dans un intervalle J 2 −1 2. montrer que ∀x ∈ J : f (x) = π − 2 arctan x Exo 61 soit f la fonction définie sur R+ par f (x) =

√ 3

x3 + 3x2 + 3x

1. montrer que f réalise une bijection de R+ dans un intervalle J 2. calculer f −1 (x) pour x ∈ J f (x) f (x) , lim f (x) − x , lim x→+∞ x x→+∞ x→0 x >

3. calculer les limites suivantes lim

Exo 62 soit f la fonction définie sur R+ par f (x) =

√

x−

√ 3

x

1. montrer que f est strictement croissante sur [1, +∞[ 2. calculer lim f (x) x→+∞

f (x) = x→1 x − 1

3. montrer que lim

1 6

Exo 63 calculer les limites suivantes   √ 2 2 arctan 1 − x 1. lim x→1 x−1 √ arctan 3 1 − x 2. lim x→1 x−1 < p x − 2 arctan |x| − π4 + 1 3. lim x→−1 x+1 √ 4. lim 3 x3 + 1 − x x→+∞

5. lim x arctan

√ 3

x→+∞

x−

π x 2

1

6. lim

x→+∞

x 3 − 2x + 1 2

(x − 1) 3 √ √ 3 cos x − cos x 7. lim x→0 sin2 x 10

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1.3. FONCTION RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION CONTINUE ET STICTEMENT MONOTONE Exo 64 soit f la fonction définie par  

f (x) =

1−

√ 3

x3 + 1 ; x ≥ −1 et x 6= 0 x f (0) = 0

 1. montrer que f est continue sur Df

f (x) x→+∞ x→+∞ x 3. montrer que f réalise une bijection de [−1, 0] dans un intervalle J que l’on déterminera 2. calculer les limites lim f (x) et lim

4. déterminer f −1 (x) pour x ∈ J Exo 65 résoudre dans R les équations suivantes π 1. (E1 ) arctan (x + 1) + arctan (x − 1) = 4   2 π 1−x 2. (E1 ) − 2 arctan (x) = arctan 2 2x Exo 66 Montrer que pour tout a et b de IR+∗ on a : 4

2

1

2

4

1

2

2

3

(a2 + a 3 b 3 ) 2 + (b2 + a 3 b 3 ) 2 = (a 3 + b 3 ) 2 Exo 67 Montrer que pour tout a et b de IR+∗ : Exo 68 soit f la fonction définie par f (x) = x

√ 3

a2 b ≤

x−1 x+1

2a + b 3


34

1. présciser Df et calculer les limites aux bornes 2. Montrer que pour tout x ∈ R+∗ : 1

1

3 4

x − 1 = (x − 1) .

x2 + x4 + 1 3

1

1

x4 + x2 + x4 + 1

3. en déduire l’étude de la branche infinie de f en +∞  √  −1 − √3 −x , x < 0 1+ 3x ,x>0 Exo 69 soit f la fonction sur R par f (x) =  f (0) = 0 1. tracer la courbe representative de f 2. etudier la continuité de f 3. montrer qu’il existe une unique fonction continue et croissante sur R telle que ∀x ∈ R : g ◦ f (x) = x

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Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

Exercices de Mathématiques

2

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES

Suites Numériques

Sommaire 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . Monotonie et convergence d’une suite . . . . . . . . convergences et comparaison . . . . . . . . . . . . . . suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limite de la composée d’une suite et d’une fonction

2.6 2.7

suites récurrentes double . . . . . . . . . . . . . . Suite définie par récurrence de type un+1 = f (un ) 2.7.1 cas d’une fonction affine . . . . . . . . . . . 2.7.2 cas d’une fonction homographique . . . . . 2.7.3 cas d’une fonction croissante . . . . . . . . 2.7.4 cas d’une fonction décroissante . . . . . . . 2.8 suite définie implicitement . . . . . . . . . . . . . 2.9 aproximation d’un réel par une suite . . . . . . . 2.9.1 méthode d’itération . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 méthode dichomie . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . 2.10 Dévellopement illimté décimal d’un réel . . . . .

2.1

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13 14 16 18 21

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21 23 23 23 24 26 27 28 28 28 28 29

suites arithmétiques et géométriques

Exercise 1 etude d’une suite Homographique soit a un réel tel que a ≥ 2 on définie la suite (un ) telle que u0 = 0 et un+1 =

un − a 2.un − (a + 1)

1 montrer que (vn ) est une suite arithmétique en un − 1 déduire la valeur de un en fonction de n un − a2 2. dans cette question on suppose que a > 2 et on pose wn = montrer que (wn ) est une un − 1 suite géométrique et calculer un en fonction de n 1. on suppose que a = 2 et on pose vn =

Exercise 2 on considère les suites numériques (an ) ,(bn )et(cn ) telles que  an+1 = 2an  bn+1 = −an + 2bn et a0 = b0 = c0 = 1  cn+1 = an − bn + 2cn Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

11

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES bn cn et vn = an an 1. exprimer an en fonction de n on pose un =

2. vérifier que (un ) est une suite arithmétique en déduire la valeur de bn en fonction de n 3. vérifier que vn+1 − vn = en fonction de n

1 2

− 12 un calculer vn en fonction de n en déduire la valeur de cn

Exercise 3 soit θ ∈ ]0, π[  on considère la suite(pn ) définie par pn = sin

θ 2n

 .

k=n Q

 cos

k=0

θ 2k



1. montrer que (pn ) est une suite géométrique   k=n Q θ 2. déduire que la valeur de cos k 2 k=0 3. calculer la valeur de

v v v u v v v u u u s s s s u u u u u r r u r r r u u u u u 1 1 1 1 t1 1 1 1 1 t 1 1 t1 1 1 1 1 u 1 1 1 1 1 1 1 t1 t . + + + . + + + .t + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 en prendra θ =

2.2

π 4

Monotonie et convergence d’une suite (

Exercise 4 soit (un ) la suite définie par

un+1

u0 = 8 √ = 3 un +

1 n+1

1. montrer que ∀n ∈ N : un > 1 2. étudier le sens de variation de (un ) 3. montrer que (un ) est convergente et donner sa limite  √ u0 = 3 Exercise 5 soit (un ) la suite définie par un+1 = un + arctan (un ) 1. montrer que ∀n ∈ N : un > 1 2. étudier le sens de variation de (un ) π √ 3. montrer que ∀n ∈ N : un > n + 3. déduire que la suite est non majoré 3  u0 ≥ 0 √  Exercise 6 soit (un )la suite définie par u 2  un+1 = √ n. 1 + un 1. montrer que ∀n ∈ N : un ≥ 0 12

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2.2. MONOTONIE ET CONVERGENCE D’UNE SUITE 2. déterminer les valeurs de u0 pour la quelle la suite et constante 3. dans la suite on suppose que u0 ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[ (a) montrer les propositions suivantes : u0 > 1 =⇒ ∀n ∈ N : un > 1

(2.1)

0 < u0 < 1 =⇒ ∀n ∈ N : 0 < un < 1

(2.2)

(b) étudier suivant les valeurs de u0 la monotonie de (un ) 4. déduire que pour tout u0 ∈ R+ la suite (un ) est convergente Exercise 7 On considère la suite (un ) définie pour tout entier n non nul par : 1 1 1 √ + √ + ··· + √ . un = n+ n n+ 1 n+ 2 n n √ ≤ un ≤ 1. . n+1 n+ n n n √ 2. Etudier la convergence des suites définies par : vn = et wn = . n+1 n+ n 3. En déduire que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite. Exercise 8 soit (un )la suite définie par : un =

−2 5k

k=n P 3k k=1

1. vérifier que (un ) est croisante 3 1 1 2. montrer que ∀n ∈ N : un+1 = + un + 5 5 20 3. montrer en utilisant 2 que (un ) est majoré



1 1− n 5



4. déduire que (un ) converge et donner sa limite  Exercise 9 soit (un ) la suite définie par :

un+1

u0 = 1 −n = 1 + 1−22 un

1. montrer que ∀n ∈ N : 1 ≤ un ≤ 2 2. montrer que (un )est croissante en déduire qu ’elle set convergente et donner sa limite Exercise 10 soit (un )n≥1 la suite définie par un =

k=n Q k=1

cos

α 2k

1. montrer que la suite est décroissante et minonré en déduire la convergence de (un )n≥1 sin α 2αn
en déduire la valeur de la limite de (un )n≥1 2. montrer que ∀n ≥ 1 : un = α sin 2αn Exercise 11 soit a ∈ ]0, 1[ et soit (un )n≥1 la suite définie par un =

k=n Q

1 + a2

k



k=0

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13

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES 1. montrer que la suite (un )n≥1 est croissante n+1

1 − a2 2. montrer que ∀n ≥ 1 : un = en déduire que (un )n≥1 est majoré 1−a 3. déduire la convergence de (un )n≥1 et calculer sa limite Exercise 12 soit x > 0 on pose un =

√ n

x

1. étudier suivant la valeur de x la monotonie de la suite (un ) 2. déduire que pour tout x la suite (un ) est convergente 3. on suppose dans cette question que x ≥ 1 montrer que 0≤ dans ce cas lim un = 1 n→+∞ √ 4. montrer que pour tout x > 0 on a lim n x = 1

√ x

x−1 ≤

1 n

(x − 1) en déduire que

n→+∞

Exercise 13

1. montrer que 1

∀k ∈ N∗ :

(n +

3 1) 2

2

<

2. pour chaque n∈ N tel que n ≥ 1 on pose Sn =

1 n2 k=n P

−

2 (n +

1 1) 2

1

<

3

n2

1

3 k=1 k 2

(a) montrer que la suite (Sn ) est majoré par 3 (b) déduire la convergence de(Sn ) vers un réel ` tel que 2 ≤ ` ≤ 3 √ Exercise 14 soit a ≥ 1 pour chaque n ∈ N tel que n ≥ 1 on pose un (a) = n ( n a − 1) √ 1. montrer que 0≤ n a − 1 ≤ n1 (a − 1)en déduire que la suite (un (a))n est borné 2. étudier la monotonie de (un (a))n en déduire qu’elle est convergente dans la suite on note L (a) sa limite 3. montrer que L (1) = 0 et L (a) ≤ a − 1 et que : 1 < a < b =⇒ L (a) ≤ L (b) 4. montrer que pour tout (a, b) ∈ ]1, +∞[ 2 : L (ab) = L(a) + L(b)

2.3

convergences et comparaison E(10n x) n n→+∞ 10

Exercise 15 soit x ∈ R montrer que lim Exercise 16 soit x ∈ R montrer que lim

k=n P

n→+∞ k=1

=x

E(kx) n2

=

x 2

n! =0 n→+∞ nn

Exercise 17 montrer que lim 14

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2.3. CONVERGENCES ET COMPARAISON Exercise 18 soit (un )n est une suite de nombre relatif montrer que si (un )n est une suite convergente alors elle est stationnaire Exercise 19 On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par un =

3n n!

1 1. Montrer qu’il existe un entier N à partir duquel un+1 6 un 2  n−N 1 2. En déduire que pour tout n > N , 0 6 un 6 uN . Conclure. 2  k=2n+1 P 1 √ =2 Exercise 20 montrer que lim n→+∞ n2 + k k=1 P 1 1 k=n Exercise 21 soit (un )n≥1 la suite définie par un = √ . √ 2 n k=1 k √ √ 1 1 1. montrer que ∀n ≥ 1 : √ ≤ k+1− k ≤ √ 2 k+1 2 k 2. déduire que (un )n≥1 est convergente et donner sa limite Exercise 22 soit (un ) la suite définie par un =

k=n P

1 k k=0 Cn

2 n−3 + n Cn2 2. déduire que la suite (un ) est convergente et donner sa limite 1. montrer que ∀n ≥ 2 : 2 ≤ un ≤ 2 +

Exercise 23 On considère la suite u définie par u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 =

√

un + 2.

1. Montrer que ∀ n > 0, un > 0 et déterminer ses limites éventuelles. 1 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, |un+1 − 2| 6 |un − 2|. 2 1 3. En déduire que, pour tout entier naturel n, |un − 2| 6 n |u0 − 2|. Conclure. 2 u2n et u0 > 0. 3un + 1 1. Montrer que ∀ n > 0, un existe et un > 0. En déduire la monotonie de u.

Exercise 24 Soit u la suite définie par un+1 =

2. La suite est-elle convergente et calculer sa limite éventuelle ? un 1 3. Montrer que ∀ n > 0, un+1 6 puis que ∀n > 0, un 6 ( )n u0 . 3 3 Retrouver ainsi le résultat de la question précédente. √ Exercise 25 pour chaque entier n >1 on pose un = n n − 1 1. en utilisant la formule de binôme de newton montrer que n ≥ Cn2 × (un ) 2 r √ 2 2. Déduire que pour chaque entier n >1 :0 < un < calculer lim n n n→+∞ n−1 Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

15

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES √ 1 − 1 − un 1 Exercise 26 soit (un ) la suite définie par u0 = et un+1 = 4 2  π  1. montrer que ∀n ≥ 0 : un = sin2 6.2n h πi 2. montrer que ∀t ∈ 0, : π2 t ≤ sin t ≤ t déduire que 2 r r 2 √ 1 n π n n ≤ u ≤ n 4n 9.4n √ 3. calculer la limite lim n un n→+∞

Exercise 27 soit f la fonction définie sur R par f(x) = √

x 1+x

x2 < f (x) < x 2   k=n P k en utilisant 1 montrer que lim un = 2. pour chaque entier n>0 on pose un = f n→+∞ n2 k=1 k=n P 2 n (n + 1) (2n + 1) rappel que k = 6 k=1   k=n k=n P P k k et v = Exercise 28 on considère les suites (un ) et (vn ) tel que un = arctan n 2 2 n k=1 n k=1 1 1. montrer que lim vn = n→+∞ 2 k=n P 3 2. montrer que k ≤ n4 1. montrer que ∀x > 0 : x −

1 2

on

k=1

1 1 t3 ≤ un ≤ v n 3. on admet que ∀t > 0 : t − < arctan t < t montrer que ∀n ≥ 1 : vn − 3 3 n2 4. déduire que la suite (un ) est convergente et donner sa limite 1 . un 1. Montrer que ∀ n > 0, un > 0. Déterminer la monotonie de u et les limites éventuelles de u ? p 2. Montrer que ∀ n > 0, u2n+1 − u2n > 2 En déduire que ∀ n > 0, un > 2n + u20 et déterminer la limite de u.

Exercise 29 Soit u la suite définie par u0 > 0 et un+1 = un +

2.4 suites adjacentes Exercise 30 On considère les suites u et v définies par ∀n ∈ N× ,

un =

n−1 X k=0

2 (4k + 1)(4k + 3)

et

v n = un +

1 . 4n − 1

Montrer que les suites u et v sont adjacentes. En déduire qu’elles convergent vers une même limite L. 16

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2.4. SUITES ADJACENTES n 1 P 1 et bn = an + . n × n! k=0 k! Montrer que ces deux suites sont adjacentes. Conclusion.

Exercise 31 On définit deux suites a et b par an =

Exercise 32 soit (un )n≥1 la suite définie par un =

k=n P (−1)k k=1

(2k)!

et on pose

an = u2n et bn = u2n+1 1. montrer que les deux suites (an )n∈N∗ et (bn )n∈N∗ sont adjacentes 2. soit ` leur limite commune à l’aide de la définition de la limite montrer que la suite(un )n≥1 converge vers ` 3. montrer que an ≤ ` ≤ bn Exercise 33 Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. On définit deux suites u et v par 2un vn un + vn u0 = a, v0 = b et ∀n > 0 un+1 = et vn+1 = . un + vn 2 1. Montrer que ∀n > 0, 0 < un < vn . 2. Montrer que la suite u est croissante et la suite v est décroissante 1 3. Démontrer que ∀n > 0, vn+1 − un+1 6 (vn − un ) 2 4. Déduire des questions précédentes que les deux suites convergent vers la même limite l.. 5. Calcul de la limite de u. On note l = lim un = lim vn . n→+∞

n→+∞

(a) Déterminer la limite de la suite (un vn ). (b) Montrer que la suite (un vn )n est constante et expliciter la constante. (c) En déduire la limite de u et v.

√ 6. application calculer des valeurs approchés de 6 par cette méthode avec a=2 et b=3 √ combien de termes faut -il au plus calculer pour obtenir une valeur approchée de 6 à 10−3 près Exercise 34 soit (un ) une suite positive décroissante de limite 0 n

Sn = u1 − u2 + ... + (−1) un =

n X

(−1)k+1 uk

k=1

1. Vérifier que (S2n )n>1 et (S2n−1 )n>1 sont adjacentes soit S leur limite commune 2. Montrer que |S − Sn | 6 un+1 et que S − Sn est du signe de (−1)n . 1 3. Déterminer à 10−2 près S dans les cas suivants un = n h πh Exercise 35 soit x ∈ 0, pour chaque n ∈ N on pose 2 Sn (x) =

k=n X (−1)k k=0

2k + 1

(tan x)2k+1

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17

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES h πh 1. vérifier que pour chaque n ∈ N : Sn est une fonction dérivable sur 0, et que 2 Sn0 (x) = 1 + (−1)n (tan x)2n+1 2. déduire que

h πh , ∀n ∈ N : S2n+1 (x) < x < S2n (x) ∀x ∈ 0, 2 k=2n+1 k=2n P (−1)k P (−1)k 3. on pose an = et bn = k=0 2k + 1 k=0 2k + 1 (a) montrer que les deux suites (an )n∈N∗ et (bn )n∈N∗ sont adjacentes (b) calculer leur limite commune

Exercise 36 montrer que dans chacun des cas les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes     i πh θ θ 1. pour θ ∈ 0, un = 2n+1 sin n , vn = 2n+1 tan n 2 2 2 k=n k=n   √ P 1 P 1 √ √ √ 2. un = − 2 n + 1 , vn = −2 n k=1 k k=1 k E (10n x) 1 3. un = et vn = un + n n 10 10    1 1 − 4. un = 2n a 2n − 1et vn = 2n 1 − a 2n  où a > 1 2un + vn avec0 < u0 < v0 3 n √ Cn √ C2n 6. un = 2n n et v = n+1 n 4n 4n k=n

Q 7. un = cos 2πk et vn = un × cos 2πn 5. un =

p 3

u2n .vn et vn =

k=1

 Exercise 37 (un ) et (vn ) sont deux suites définies par :

u0 = 1 v0 = 12

   un+1 = un + 2vn 3 et pour tout entier n : u + 3vn   vn+1 = n 4

1. Démontrer que la suite (vn − un ) est géométrique. Trouver sa limite. 2. Démontrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. 3. Démontrer que la suite (tn ) définie pour tout n par tn = 3un + 8vn est constante. Que peut-on en déduire pour les suites (un ) et (vn ) ? Exercise 38 soit (xn ) et (yn ) deux suites définies par  x0 < y 0     2   xn+1 = 1 1 +  xn yn      yn+1 = xn + yn 2 18

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2.5. LIMITE DE LA COMPOSÉE D’UNE SUITE ET D’UNE FONCTION 1 (yn − xn ) 2

1. montrer que ∀n ∈ N : 0 < xn < yn et que 0 < yn+1 − xn+1 < 2. montrer que les deux suites (xn ) et (yn ) sont adjacente 3. calculer en fonction de x0 ety0 leur limite commune

2.5 limite de la composée d’une suite et d’une fonction  Exercise 39 soit f la fonction définie par

f (x) = 1, x ∈ Q on se propose de montrer que f est f (x) = 0, x ∈ /Q

discontinue en tout point de R soit x0 ∈ R

√ E (10n x) 2 1. pour chaque entier n on pose un = et vn = un + n montrer que lim un = n n→+∞ 10 10 lim vn = x0 n→+∞ √ 2. calculer f(un ) et f(vn ) on pourra remarquer que 2 ∈ /Q 3. déduire que si f est continue en x0 alors f (x0 ) = 0 et f (x0 ) = 1 4. conclure

Exercise 40 en utilisant le meme procédé vu dans l’exo précédent montrer si f est une fonction continue sur R et nulle surQ alors elle est nulle sur R

2.6

suites récurrentes double 

Exercise 41 soit (an ) une suite numérique définie par

a0 = a1 = 1 an+2 = an+1 + an

1. montrer que ∀n ∈ N : an ∈ N∗ et étudier la monotonie de(an ) 2. montrer que ∀n ∈ N : an+1 − an ≥ 1 en déduire que ∀n ∈ N : an ≥ n et calculer lim an n→+∞

3. montrer que ∀n ∈ N : an ∧ an+1 = 1 4. soit ` l’unique solution positive de l’équation x = 1 +



1 x

`=

√  1+ 5 2

on pose bn = an+1 − `.an (a) montrer que (bn ) est une suite géométrique (b) déduire que bn = ( −1 )n+1 ` 5. vérifier que

an+1 an

−` =

1 −1 n+1 ( ) en an `

déduire que la suite



an+1 an

 n≥0

est convergente et

calculer sa limite Exercise 42 soitE l’ensemble des suites numériques (un ) définie par un+2 = 3.un+1 − 2un + Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

3 2n+1 19

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES  1. déterminer le réel λ pour le quel

λ 2n

 ∈E

1 2. soit (un ) ∈ E on pose vn = un − n montrer que la suite (vn ) vérifie une relation de type 2 vn+2 = a.vn+1 + bvn 3. montrer que pour tout entier n

vn =

4. déduire l’ensemble de E 5. soit (un ) ∈ E .déterminer une condition nécessiare et suffisante vérifié par u0 et v0 pour que la suite (un ) converge Exercise 43 Moyenne arithmético-géométrique de deux réels > 0 a et b, a 6 b ; √

a+b 6 b. 2 (b) Soient a0 = a, b0 = b, puis pour tout n ∈ N

1. (a) Montrer que a 6

ab 6

an+1 =

p

an bn et vn+1 =

an + b n 2

(c) Montrer que (an ) et (bn ) ont une limite commune. (C’est par définition la moyenne arithmético-géométrique de a et b). (d) Calculer b2n − a2n en fonction de bn−1 et an−1 et en déduire que si εn = bn − an , n ε2n−1 ε2n−1 (b − a)2 2 2εn an + εn = puis que εn 6 6 . 4 8a (8a)n 2. Application : calculer la moyenne arithmético-géométrique de 1 et 2 à 10−8 près. Exercise 44 suite de schowb : Soient a0 = a, b0 = b avec 0 < a 6 b, puis pour tout n ∈ N an+1 =

p 1 (an + bn ) et bn+1 = an+1 bn 2

1. (a) Montrer que (an ) et (bn ) sont adjacentes ; soit l sa limite. r an 1 + qn (b) On pose qn = ; vérifier que qn+1 = . bn 2 a α (c) soit αdans [0, π] telque cos α = , montrerque an = bn cos n , puis que bn = b 2 sin α b0 α. 2n sin n 2 √ sin α b 2 − a2 (d) En déduire que l = b0 = a. α arccos b 20

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2.7. SUITE DÉFINIE PAR RÉCURRENCE DE TYPE UN +1 = F (UN )

2.7

Suite définie par récurrence de type un+1 = f (un)

Une suite est définie par récurrence lorsqu’on connaît son premier terme et une relation de la forme : un+1 = f (un ) pour tout entier naturel n, où f désigne une fonction. On peut alors représenter les termes de la suite u à l’aide de la représentation graphique de la fonction f . exemple Représentation des premiers termes de la suite u définie par récurrence par :  u0 = 0, 027 √ un+1 = 1 + 2 3 un Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite D d’équation y = x√et la courbe d’équation y = f (x) où f est le fonction définie sur ]0; +∞[ par : f (x) = 1 + 2 3 x. Pour représenter les premiers termes sur l’axe des abscisses, on place : – sur l’axe des abscisses, le point d’abscisse u0 ; – sur la courbe , le point d’abscisse u0 ; son ordonnée est u1 = f (u0 ) ; – sur la droite D, le point d’ordonnée u1 ; son abscisse est aussi u1 . Ayant obtenu sur l’axe des abscisses un point d’abscisse u1 , il ne reste qu’à itérer la démarche : lecture et report sur l’axe des abscisses de u2 = f (u1 ), puis de u3 = f (u2 ), etc. . . La lecture graphique donne des valeurs approchées des un , et elle permet d’émettre des conjectures concernant le comportement global et asymptotique de la suite. Elle semble : – croissante ; – converger vers l’abscisse du point d’intersection de et de D.

2.7.1

cas d’une fonction affine

 un+1 = 2un + 1 Exercise 45 soit (un ) la suite définie u0 = 0 1. illustrer graphiquement le comportement de la suite 2. soit vn = un + 1 montrer que la suite(vn ) est une suite géométrique 3. retrouver la limite de la suite (un )

2.7.2 cas d’une fonction homographique soit f la fonction définie par f (x) = ax+b telle que ad − bc 6= 0 on considère la suite définie cx+d par un+1 = f (un ) si la suite (un ) converge alors sa limite est solution de l’équation f (x) = x 1. si l’équationf (x) = x admet deux solutions α, β  2 + un  un+1 = exemple un  u0 = 1 – illustrer graphiquement le comportement de la suite , préciser α, β Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

21

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES un − 2 montrer que la suite(vn ) est une suite géométrique un + 1 – déduire la limite de la suite (un ) – soit vn =

2. si l’équationf (x) = x admet une unique solution α  4un − 1  un+1 = exemple un + 2  u0 = 3 – illustrer graphiquement le comportement de la suite , préciser α 1 – soit vn = montrer que la suite(vn ) est une suite arithmétique un − α – déduire la limite de la suite (un ) 3. si l’équationf (x) = x n’admet pas de solution que peut on conclure pour la suite (un )

2.7.3 cas d’une fonction croissante q

Exercise 46 soit f la la fonction définie sur R par f (x) = 3 1 + 12 x3 √   √  1. donner l’image des intervalles I = 3 2, +∞ et J= 0, 3 2 +

2. etudier le signe de f(x) − x  un+1 = f (un ) 3. soit (un ) la suite définie u0 ∈ R+ (a) montrer que ∀n ∈ N : un ∈ R+ (b) déterminer la valeur de u0 pour que la suite soit constante (c) étudier la monotonie de (un ) discuter suivant la valeur de u0 (d) montrer que pour toute valeur de u0 la suivante est cxonvergente (e) soit (vn ) la suite définie par vn = u3n −2 montrer que est une suite géométrique et calculer la limite de un  √ un+1 = 4 3 un − √1 + 1 Exercise 47 soit (un ) la suite définie u0 = 1 + 2 2 1. montrer que ∀n ∈ N : 1 < un < 9 2. étudier la monotonie de la suite (un ) en déduire qu’elle est convergente 2 3. montrer que ∀n ∈ N : 0 < 9 − un < (9 − un ) déduire la limite de (un ) 3  9un  u n+1 = Exercise 48 soit (un ) la suite définie 6 + u3n  u =1 0

1. soit f la fonction definie f (x) =

9x 6 + x3

(a) donner le sens de variation de f sur R+ et montrer que f 22

 √ 
 √  0, 3 3 ⊂ 0, 3 3

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2.7. SUITE DÉFINIE PAR RÉCURRENCE DE TYPE UN +1 = F (UN ) (b) résoudre dans R+ l’équation f(x) = x 2. à l’aide de f montrer que ∀n ∈ N : 0 ≤ un ≤

√ 3

3

3. justifier que (un ) est croissante 4. montrer que (un ) est convergente et donner sa limite    1 2  2un + 2 un+1 = Exercise 49 soit (un ) la suite définie 3 un  u0 = 2 √ 1. montrer que ∀n ∈ N : 3 2 < un 2. étudier la monotonie de la suite (un ) 3. déduire qu’elle est convergente et donner sa limite  u3 + 6un  un+1 = n Exercise 50 soit (un ) la suite définie 2 + 3u2n  u 0 ∈ R+ 1. déterminer u0 pour que la suite (un ) soit constante  √  2. on suppose que u0 ∈ 0, 2 √ (a) montrer que ∀n ∈ N : 0 < un < 2 (b) étudier la monotonie de la suite de la suite (un ) en déduire qu’elle est convergente et donner sa limite √  3. on suppose que u0 ∈ 2, +∞ √ (a) montrer que ∀n ∈ N : 2 < un (b) étudier la monotonie de la suite de la suite (un ) en déduire qu’elle est convergente et donner sa limite 4. montrer quelque soit la valeur de u0 la suite est convergente  √  2 x Exercise 51 soit f la fonction définie sur R+ par f (x) = 2. arctan 1+x 1. étudier les variations de f 2. justifier que f ([1, 2]) ⊂ [1, 2] et montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution α ∈ [1, 2]  un+1 = f (un ) 3. soit (un ) la suite définie u0 = 1 (a) montrer que ∀n ∈ N : 1 ≤ un ≤ 2 1 (b) à l’aide du théorème des acroissement finis montrer ∀n ∈ N : |un+1 − α| ≤ . |un − α| 4 (c) déduire que la suite (un ) est convergente et donner sa limite Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

23

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES Exercise 52 On considère la suite u définie par ∀n ∈ N,

un+1 =

2(un )2 + 2un + 1 . 2un + 1

1. On suppose dans cette question que u0 ∈ R+ . (a) Montrer que ∀n ∈ N,

un > 0.

1 puis que ∀n ∈ N, 2 (c) En déduire la limite de la suite (un )n .

(b) Etablir que ∀n ∈ N,

un+1 > un +

un > u0 +

n . 2

2. On suppose dans cette question que u0 6 −1. (a) Montrer que ∀n ∈ N,

un 6 −1.

(b) Etudier la monotonie de la suite u puis justifier la convergence de la suite u. (c) Calculer la limite de cette suite. Exercise 53 On considère la fonction f : R −→ R définie par : f (x) =

x3 + 6x + 1 9

(un )3 + 6un + 1 . 9   1 3 1. Montrer que l’équation x − 3x + 1 = 0 possède une solution unique α sur l’intervalle 0, . 2 2. Montrer que l’équation f (x) = x est équivalente à l’équation x3 − 3x + 1 = 0.   1 En déduire que α est l’unique solution de l’équation f (x) = x dans l’intervalle 0, . 2 3. Montrer que ∀x ∈ [0, α] , x 6 f (x).

et l’on définit la suite (un )n>0 en posant : u0 = 0

4. Montrer, par récurrence, que ∀n ∈ N,

∀n ∈ N,

et

un+1 = f (un ) =

0 6 un 6 α.

5. A l’aide de la question 3, donner la monotonie de la suite u. 6. En déduire que la suite (un )n converge et justifier que sa limite est α.

2.7.4 cas d’une fonction décroissante Exercise 54

1. soit f la fonction definie f (x) =

√ 3

6−x

(a) donner le sens de variation de f et donner f ([1, 5]) ⊂ [1, 5] (b) montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution αdans ]1, 5[ 1 (c) montrer que ∀ (x, y) ∈ [1, 5]2 : |f (x) − f (y)| ≤ |x − y| 3  u0 = 1 2. soit (un ) la suite définie par montrer que un+1 = f (un ) ∀n ∈ N : |un+1 − α| ≤

1 |un − α| 3

en déduire que la suite (un )est convergente et donner sa limite 24

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2.8. SUITE DÉFINIE IMPLICITEMENT 3. on pose an = u2n et bn = u2n+1 (a) montrer que ∀n ∈ N : an ≤ bn (b) montrer que (an )est croissante et (bn ) est décroissante (c) montrer que 1 |bn − an+1 | 9 (d) montrer que les deux suites (an ) et (bn )sont adjacentes et donner leur limite commune ∀n ∈ N : |bn+1 − an+1 | ≤

2.8

suite définie implicitement

Exercise 55 1. montrer que pour tout entier n tel que n ≥ 2 l’équation (En ) : xn+1 − 2x + 1 = 0 admet une unique solution xn ∈ ]0, 1[ 2. on définie donc une suite (xn )n≥2 (a) montrer que (xn )n≥2 est une suite décroissante (b) montrer que (xn )n≥2 est une suite convergente et que lim xn = n→+∞

1 2

Exercise 56 Pour tout entier naturel n, on considère l’équation (Fn ) : xn + 5x − 1 = 0 1.

(a) Montrer que pour tout entier naturel n, l’équation (Fn ) admet une et une seule solution sur R+ . On note β n cette solution. (b) Calculer β 0 , β 1 , β 2 . 1 0 < βn 6 . 5 n (d) En déduire que lim (β n ) = 0. (c) Démontrer que ∀n > 0, n→+∞

(e) En utilisant l’équation satisfaite par β n , en déduire lim β n . n→+∞

(f) On souhaite déterminer la monotonie de la suite (β n )n . Pour cela, on considère la fonction fn : x 7→ xn + 5x − 1. i. Montrer que ∀x ∈]0, 1[,

fn+1 (x) < fn (x).

ii. En évaluant cette inégalité en x = β n , déterminer le signe de fn+1 (β n ). iii. Que vaut fn+1 (β n+1 ) ? Déduire de cette question et de la précédente que ∀n > 0,

fn+1 (β n ) < fn+1 (β n+1 )

iv. Quelle est la monotonie de la suite (β n )n ? Exercise 57 Pour tout entier naturel n ≥ 1, on considère l’équation (En ) : xn + xn−1 + ......... + x − 1 = 0 Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

25

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES 1. Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 1, l’équation (En ) admet une et une seule solution dans ]0, 1[On note αn cette solution. 2. Calculer α1 , α2 . 3. montrer que la suite (αn )n≥1 est décroissante en déduire qu’elle est convergente 4. montrer que ∀n > 1,

αn (1 − (αn )n ) = 1 − αn

5. En déduire que lim αn = n→+∞

1 2

2.9 aproximation d’un réel par une suite 2.9.1

méthode d’itération

2.9.2

méthode dichomie

Exercise 58 voir exercice 46 du livre page 85 ( bac93)

2.9.3

méthode de Newton Partie I

soit g la fonction défine par g (x) = 2x3 + x − 5 1. montrer que g et g 0 sont deux fonctions strictement croissantes sur ]1, 2[ 2. montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle ]1, 2[ 3. soit x ∈]α, 2[ montrer que α < x −

g (x) g 0 (x)

Partie II  u0 = 1.98  g (un ) soit (un ) la suite numérique définie par  un+1 = un − 0 g (un ) 1. montrer que ∀ ∈ N ∗ : α < un < 2 2. etudier la monotonie de (un ) 3. montrer que (un ) est convergente et donner sa limite 4. en utilisant l’expression de g montrer que un+1 − α = 5. vérifier que

4un + 2α (un − α)2 2 6 (un ) + 1

4un + 2α ≤ 1 en déduire que 0 < un+1 − α < (un − α)2 2 6 (un ) + 1

6. montrer que 0 < un − α < (u0 − α)2

n

7. determiner la valeur de n pour avoir une valeur approchée de α à 10−6 26

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2.10. DÉVELLOPEMENT ILLIMTÉ DÉCIMAL D’UN RÉEL

2.10

Dévellopement illimté décimal d’un réel

E (10n x) 1 E (10n x) Exercise 59 soit x ∈ R on pose pn = E (10 x) et un = et vn = + n n n 10 10 10 1. montrer que ∀n ∈ N : un ≤ x < vn n

2. montrer que ∀n ∈ N : pn+1 − 10pn ∈ {0, 1, ...., 9} 3. monteer que les deux suites (un ) et (vn ) sont adjacentes et donner leur limite commune 4. on pose a0 = p0 et pour tout n ∈ N∗ :an = pn − 10pn−1 k=n P

ak = a0 , a1 ........an k k=0 10 (b) exemple : donner le deellopement décimal de 0, 444........... (a) montrer que ∀n ∈ N∗ : un =

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27

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kharbat :page 40/ 51

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Exercices de Mathématiques

3

3.1

CHAPITRE 3. DÉRIVÉE ET T.A.F

Dérivée et T.A.F

Dérivations de quelques fonctions usuelles

 p  Exo 1 soit f la fonction définie par f (x) = arctan x 3 |x| 1. présiser Df et etudier la parité de f 2. déduire la dérivabilité de f en 0 interpréter géométriquement le resultat 3. calculer f 0 (x) pour ]0, +∞[ Exo 2 soit f la fonction définie par (

√ f (x) = 3 x3 − x;  x>1 √ 3 f (x) = arctan 1 − x2 ; 0 ≤ x ≤ 1

1. vérifier que Df = R+ et montrer que f est continue sur Df 2. étudier la dérivabilité de f en 1 et à droite de 0 puis interpreter géométriquement les resultats 0

3. calculer f (x) pour x ∈ ]0, 1[ et ]1, +∞[ √ √ Exo 3 soit f la fonction définie par f (x) = 3 3 x − 5 5 x 1. calculer la limite de f en +∞ 2. étudier la dérivablité de f à droite de 0 0

3. Calculer f (x) pour x > 0 4. Déduire f est minoré par -2 q q Exo 4 soit f la fonction définie par f (x) = 4 4 (x − 1)2 − 3 3 (x − 1)2 1. préciser Df et montrer que la droite ∆ : x = 1 est un axe de symétrie de Cf 2. calculer la limite de f en +∞ 3. étudier la dérivablité de f à droite de 1 q 6

0

(a) montrer que ∀x > 1 : f (x) = 2

q (x − 1)2 − 6 (x − 1)3 q 6 (x − 1)5

(b) donner le tableau de variation de f

Exo 5 soit f la fonction définie par

  f (x) =  f (x) =

√ 3

x3 − x2 + x

2 1 x arctan √ π 1−x

; x≥1 ; x 0 : arctan t + arctan

kharbat :page 42/ 51

1 π = t 2

(b) déduire la valeur de lim f (x) x→−∞

2. calculer de même lim f (x) x→+∞

3. étudier la dérivablité de f en 1 0

4. calculer f (x) pour x 6= 1  Exo 6 On considére la fonction :

√ f (x) = 3 x2 − x3 ; x ≤ 0 x f (x) = x arctan( x+1 ); x >0

1. Etudier la contnuité de f en 0 et Calculer les limites : lim f (x) et lim f (x) x→−∞

x→+∞

2. Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter le résultat 3. Montrer que la droite D :y=-x+ 13 est une assymptote à la courbe (Cf ) en -∞. 4. montrer que la droite D : y = π4 x −

1 2

est une asymptote à Cf au voisinage de+∞

x(2−3x) 5. Montrer que :∀x < 0 : f 0(x) = √ 3 2 3 3

(x −x )2

et calculer :f ’(x) pour x>0

6. Dresser le tableau de variation de f. 7. Tracer la courbe (Cf ).( on admet qu’elle a un point d’inflexiond’abscisse négative) 8. Soit g la réstriction de f sur R+ (a) Montrer que g est une bijection de IR+ dans un intervalle J à déterminer (b) Calculer lim+ g x→0

−1 (x)

x

et tracer (Cg−1 ).

Exo 7 Soit f une fonction dérivable sur R ; montrer les équivalences : f est impaire ⇔ f 0 est paire et f (0) = 0 f est paire ⇔ f 0 est impaire f est périodique ⇔ f 0 est périodique et f est bornée Exo 8 en utilisant la dérivée montrer les propositions suivantes 1 π 1. : ∀x > 0 : arctan x + arctan = x 2   1 π 2. ∀x > 0 : arctan( 12 x − ) = 2 arctan x − x 2     3π + arctan x x−1 4π 3. ∀x ∈ R : arcsin =  - + arctan x x+1 4 √ 2a + b 2 3 4. ∀ (a, b) ∈ R+ : a2 b ≤ 3 3Novembre 2007

; x > −1 ;

x < −1

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3.2

kharbat :page 43/ 51

Théorème des accroissement finis et théorème de Rolle

Exo 9 en utilisant le théorème des accroissement finis montrer que a a a a 1. ∀x > 0; ∀r ∈]0, 1[∩Q : 1−a ≤ (x + 1) − x ≤ 1−a x (1 + x) x 2. ∀x ≥ 0 : ≤ arctan x ≤ x 1 + x2 √ 1 √ 3. ∀ (x, y) ∈ [1, 5]2 : 3 6 − x − 3 6 − y ≤ |x − y| 3 2 4. ∀ (x, y) ∈ R : |arctan x − arctan y| ≤ |x − y| 1 5. ∀x > 1 : arctan (x + 1) − arctan x ≤ ≤ arctan (x) − arctan(x − 1) 1 + x2 application :on considère les deux suites (an ) et (bn ) telles que ! k=n X 1 an = − arctan (n + 1) 2 1 + k k=0 et bn =

k=n X

1 1 + k2 k=0

! − arctan (n)

montrer que les deux suites sont adjacentes √ √ a−1 en déduire que ∀x > 0 lim n x = 1 6. ∀a > 1, ∀n ∈ N∗ : 0 < n a − 1 ≤ n→+∞ n 7. ∀x ∈ R : |sin x| ≤ |x| Exo 10

1. en utilisant le théorème des accroissement finis montrer que ∀k ∈ N∗ :

1 (k +

2. pour chaque n∈ N tel que n ≥ 1 on pose Sn =

3 1) 2 k=n P

<

2 1 k2

−

2 (k +

1 1) 2

<

1 3

k2

1

3 k=1 k 2

(a) montrer que la suite (Sn ) est majoré par 3 (b) déduire la convergence de(Sn ) vers un réel ` tel que 2 ≤ ` ≤ 3 Exo 11 montrer les inégalités suivantes x3 x3 x5 arctan x − x < arctan x < x − + en déduire lim x→0 3 3 5 x3 2 x 2. ∀x ≥ 0 : (arctan x)2 ≥ 1 + x2 3. ∀x ≥ 0, ∀n ∈ N : (1 + x)n ≥ 1 + nx inégalité de bernoulli h πh 4. ∀x ∈ 0, : 2 sin x + tan x ≥ 3x inégalité de Huygens 2 0 Exo 12 soit u une fonction dérivable surR telle que ∀x ∈ R : u (x) ≤ x4 montrer en utilisant T.A.F montrer que ∀x ∈ R : |u (x) − u (0)| ≤ |x|5 application arctan x − x montrer que ∀x ∈ R : arctan x − x + 31 x3 ≤ |x|5 en déduire à nouveau lim x→0 x3 1. ∀x > 0 : x −

3Novembre 2007

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√ Exo 13 soit a > 1 pour chaque n ∈ N tel que n ≥ 1 on pose un (a) = n ( n a − 1) √ 1. montrer que 0≤ n a − 1 ≤ n1 (a − 1)en déduire que la suite (un (a))n≥1 est borné 2. montrer que pour tout t>1 (n + 1) (tn − 1) > n (tn+1 − 1) en déduire la monotonie de (un (a))n≥1 3. déduire que (un (a))n≥1 est convergente dans la suite on note L (a) sa limite 4. montrer que L (1) = 0 et L (a) ≤ a − 1 et que : 1 < a < b =⇒ L (a) ≤ L (b) 5. montrer que pour tout (a, b) ∈ ]1, +∞[ 2 : L (ab) = L(a) + L(b)  √  2 x + Exo 14 soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2. arctan 1+x 1. étudier les variations de f 2. justifier que f ([1, 2]) ⊂ [1, 2] et montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution α ∈ [1, 2]  un+1 = f (un ) 3. soit (un ) la suite définie u0 = 1 (a) montrer que ∀n ∈ N : 1 ≤ un ≤ 2 1 (b) à l’aide du théorème des acroissement finis montrer ∀n ∈ N : |un+1 − α| ≤ . |un − α| 4 (c) déduire que la suite (un ) est convergente et donner sa limite √ 4. soit f la fonction definie f (x) = 3 6 − x (a) donner le sens de variation de f et donner f ([1, 5]) ⊂ [1, 5] (b) montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution αdans ]1, 5[ 1 (c) montrer que ∀ (x, y) ∈ [1, 5]2 : |f (x) − f (y)| ≤ |x − y| 3  u0 = 1 5. soit (un ) la suite définie par un+1 = f (un ) on pose an = u2n et bn = u2n+1 (a) montrer que ∀n ∈ N : an ≤ bn (b) montrer que (an )est croissante et (bn ) est décroissante (c) montrer que ∀n ∈ N : |bn+1 − an+1 | ≤

1 |bn − an+1 | 9

(d) montrer que les deux suites (an ) et (bn )sont adjacentes et donner leur limite commune 0 Exo 15 soit f une fonction définie sur R telle que ∃k ∈ ]0, 1[ ∀x ∈ R : f (x) ≤ k 1. montrer que ∀ (x, y) ∈ R2 : |f (x) − f (y)| ≤ k |x − y| 2. déduire que si l’équation f (x) = x admet une solution alors cette solution est unique
 f (x) = x arctan 1 + x1 , x 6= 0 Exo 16 soit f la fonction définie sur R par f (0) = 0 1. étudier la continuité et la dérivabilité de f de 0 3Novembre 2007

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2. étudier les branches infinies de Cf 00

3. calculer f 0 (x) et f (x)pour x 6= 0 4. étudier la concavité de f   0 5. montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α ∈ − 12 , 0 6. donner le tableau de variation de f 7. Tracer la courbe Cf 8. On considère la suite (un ) définie par : u0 > 0 et pour tout n ≥ 0 un = 12 (1 − f (un )). (a) Montrer que l’équation f(x)=-2x+1 admet une seule solution β >0. (b) Montrer que : ∀n ∈ IN : |un+1 − β| ≤

π 4

|un − β|

(c) En déduire que (un ) est convergente et donner sa limite. Exo 17 soit f la fonction définie par f (x) = √

x+1 2x2 + 2

1 0 1. montrer que ∀x ∈ ]0, 1[ : 0 < f (x) < √ 2 2. vérifier que 1 est l’unique solution de l’équation f (x) = x  u0 = 0 3. soit (un ) la suite définie par un+1 = f (un ) (a) montrer que ∀n ∈ N : 0 ≤ un < 1 1 (b) montrer en utilisant TAF montrer que ∀n ∈ N : |un+1 − 1| ≤ √ |un − 1| 2 (c) déduire que (un ) est convergente et donner sa limite Exo 18 soit f une fonction non constante deux fois dérivable sur telle que f ,f’ et f” sont positives 1. montrer que ∃a ∈ R : f 0 (a) > 0 2. déduire que ∀x ∈ R : (x > a =⇒ f 0 (x) ≥ f 0 (a)) 3. en utilisant le théorème des accroissements finis montrer que ∀x ∈ R :x > a =⇒ f (x) ≥ f (a) + (x − a) f 0 (a) 4. déduire la limite lim f (x) x→+∞

5

Exo 19 soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x) = 12 (1 − x) 3 1. etudier la dérivabilité de f à gauche de 1 0

0

2. calculer f (x) pour x∈ [0, 1] et montrer que f (x) ∈ [− 56 , 0] 3. montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution α ∈ [0.25, 0.3]  u0 = 0.3 4. soit (un ) la suite définie par un+1 = f (un ) (a) montrer que ∀n ∈ N : un ∈ [0, 1] 5 |un − α| 6 (c) déduire que la suite(un ) est convergente et donner sa limite

(b) montrer que ∀n ∈ N : |un+1 − α| ≤

3Novembre 2007

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2ième bac SM B. Ibn hazm Exo 20 soit x ∈ ]0, +∞[ un réel fixé. W (t) = U (x)V (t) − U (t)V (x)

kharbat :page 46/ 51

pour tout t ∈ ]0, x[on pose U (t) = t − arctan t

et V (t) = t3 et

1. véifier que W (x) = W (0) = 0 2. à l’aide du théorème de Rolle montrer que ∃c ∈ ]x, 0[ : x − arctan x = x−→0 x3

3. déduire que lim

U / (c) U (x) = / V (x) V (c)

1 3

Exo 21 Exo 22 soit g la fonction défine par g (x) = 2x3 + x − 5 1. montrer que g et g 0 sont deux fonctions strictement croissantes sur ]1, 2[ 2. montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle ]1, 2[ g (x) 3. soit x ∈]α, 2[ montrer en utilisant leThéorème des accroissement finis que α < x − 0 g (x) Partie II soit (un ) la suite numérique définie par

   un+1

u0 = 1.98 g (un ) = un − 0 g (un )

1. montrer que ∀ ∈ N ∗ : α < un < 2 2. etudier la monotonie de (un ) 3. montrer que (un ) est convergente et donner sa limite 4. en utilisant l’expression de g montrer que un+1 − α = 5. vérifier que

4un + 2α (un − α)2 2 6 (un ) + 1

4un + 2α ≤ 1 en déduire que 0 < un+1 − α < (un − α)2 2 6 (un ) + 1

6. montrer que 0 < un − α < (u0 − α)2

n

7. determiner la valeur de n pour avoir une valeur approchée de α à 10−6 / Exo 23 soit g une fonction dérivable sur un intervalle  1  [0, 1] à dérivée continue sur[0, 1] et telle que g dérivable sur ]0, 1[on considere la fonction Ψ définie sur 0, 2 telle que

1 1 1 Ψ(x) = g( − x) − 2g( ) + g( + x) − Ax2 2 2 2 où en choisissant A tel que Ψ( 21 ) = 0   1. en utilisant le théorème de Rolle appliqué à Ψ sur 0, 12 montrer que   1 1 1 ∃α ∈ 0, : 2Aα = g / ( + α) − g / ( − α) 2 2 2 2. déduire en utilisant le théorème des accroissements finis appliqué à g / que ∃c ∈ 3Novembre 2007

1 2

 − α, 12 + α :g // (c) = A prof :kharbat

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3. conclure que ∃c ∈ ]0, 1[ : g(0) − 2g( 21 ) + g(1) = 14 g // (c) Exo 24 soit f une fonction dérivable à dérivée seconde continue sur [a,b] telle que f 0(a) = f 0(b) = 0 1. justifier l’existence de c∈]a,b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a)f 0(c) 1 2. en appliquant le TAF à f ’sur[a,c] et sur [c,b] montrer que |f (b) − f (a)| ≤ (b − a)2 M où M = 2 max f ” (x) x∈[a,b]

Exo 25 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit p le nombre de racines de f sur I, et p0 le nombre de racines de f 0 sur I. Quelle inégalité déduite du théorème de Rolle relie p et p0 ? Exo 26 soit f une fonction deux fois dérivable sur [a, b]on se propose démontrer que   a+b 1 ∃c ∈ [a, b] : f (a) − 2f + f (b) = (b − a)2 f ” (c) 2 4 soit g la fonction définie par 

     a+b a+b a+b g (x) = f − x − 2f +f + x − Kx2 2 2 2   b−a =0 où K est choisit de telle sorte que g 2 Exo 27 soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle [a, b] f (x) + f (a) 1. soit Ψ la fonction défine par Ψ(x) = −f 2 telle sorte que Ψ(b) = 0



a+x 2

 −

(x − a)2 A où A est choisie de 8

2. montrer en utilisant le théorème de rolle sur[a, b] que ∃α ∈]a, b[: Ψ0 (α) = 0 3. en utilisant le théorème des A F montrer que ∃c ∈]a, α[: f / (α) − f / ( a+α ) = 12 (α − a) f // (c) 2 4. conclure que (b − a)3 ” + f (c) 8   f (b) + f (a) a+b 00 5. déduire que si ∀x ∈]a, b[: f (x) ≤ 0 alors ≤f 2 2 √ 7 6. dans cette question on prend f (x) = x en appliquant les resultas de la question Précedente montrer q q √ √ √ √ 7 7 7 7 7 7 7− 7− 7≤ 7− 7+ 7 f (b) + f (a) ∃c ∈]a, b[: =f 2



a+b 2



Exo 28 T .A.F.G Soient f et g continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[ . Pour x ∈ [a, b] , on pose f (x) − f (a) f (b) − f (a) ϕ (x) = g (x) − g (a) g (b) − g (a) détérminant d’ordre 2 0 f (c) f (b) − f (a) 1. Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que 0 g (c) g (b) − g (a) 3Novembre 2007

=0 prof :kharbat

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0

2. . on suppose de plus que ∀x ∈ ]a, b[ : g (x) 6= 0 montrer que g (b) 6= g (a)

en déduire qu’il existe c ∈ ]a, b[

f (b) − f (a) f 0 (c) = 0 si ces expressions sont définies. g (b) − g (a) g (c)

Exo 29 règle de l’Hospital Soient f et g dérivables sur V = ]x0 − α, x0 + α[ , jamais nulles sur V \ {x0 } et telles que f (x0 ) = g (x0 ) = 0. Montrer que f 0 (x) f (x) lim 0 = l ⇒ lim =l x→x0 g (x) x→x0 g (x) Appliquation calculer lim

x→0

x − arctan x x3

Exo 30 .soit f la fonction définie sur R par

    

f (x) = f (x) =

√ 3

1 1 − , x 0 et pour x < 0 6) a) montrer à l’aide du théorème des accroissement finis que ∀x ∈ ]−∞, 0[ : arctan x <

x 1+x2

6) b) déduire à laide de l’inégalité des accroissements finis que ∀x ∈ ]−∞, 0[ : (Arc tan x) 2 >

x2 . 1 + x2

6. donner le tableau de variation de f 7. étudier les branches infinies de Cf 8. Tracer la courbe Cf 3Novembre 2007

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
43   f (x) = x x−1 ,x ≥ 1 x+1 Exo 31 soit f la fonction définie par   f (x) = (x2 − x) arctan 1 , x1 2f (x) f (x)3 =

x3 (x − 1)2 (2x2 + 3x − 2) (x + 1)4

7. montrer que pour tout x0 1. présciser Df et calculer les limites aux bornes 2. montrer que f est continue sur Df 3. étudier la dérivabilité de f en 0 t − arctan (t) 4. à l’aide du théorème des A. F montrer que pour tout t ∈ R+∗ : 0 < < t2 déduire que la t droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de+∞ x (5x − 2) 0 5. montrer que pour tout x0 t 0 < arctan (t) < t en déduire que f (x) > 0 pour tout x>0 2 1+t 00 8. calculer f (x) pour x0 :

9. soit g la restriction de f à R− montrer que g réalise une bijection de R− vers un intervalle J que l’on déterminera 10. tracer C et Cg−1 ( on admet que C admet un point d’inflexion d’abscisse dans ]1,+∞[)  u0 = −3 2 11. soit (un ) la suite défine par un+1 = g −1 (un ) (a) montrer que g −1 ([−2, 0]) ⊂ [−2, 0] en déduire que ∀n ∈ N : un ∈ [−2, 0] (b) montrer que pour ∀x ∈ R∗− : f (x) < x en déduire que la suite (un ) est croissante 3Novembre 2007

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(c) déduire qu’elle est convergente et donner sa limite √ Exo 33 soit m un paramètre réel on pose fm (x) = m 1 + x2 + x arctan x 1. vérifier que fm est paire .dans la suite on etudie fm sur R+ 2. calculer lim fm (x) dans les cas m + π2 > 0 et m + π2 < 0 x→+∞

3. montrer que ∀x > 0 : arctan x + arctan x1 =

π 2

en déduire que lim fm (x) = −1 dans le cas où x→+∞

− π2

m= 4. montrer que pour chaque m 6= − π2 la courbe Cm admet une asymptote oblique que l’on determinera son équation /

//

5. calculer fm (x) et montrer que fm (x) =

√ m 1+x2 +2 3

(1+x2 ) 2

/

6. calculer lim fm (x) x→+∞ √ 7. etudier le signe m 1 + x2 + 2 discuter les cas suivant m ≤ −2 , m ≥ 0, −2 < m < 0 en déduire / le signe fm 8. donner le tableau de variation de fm dans les trois cas suivants 9. soit E l0 ensemble des points d’inflexions de la courbe Cm montrer que E admet pour équation y = −2 + x arctan x 10. soit F l’ensemble des points M ∈ Cm − (OY ) où la tangente est // à (OX) montrer que M (x, y) ∈ x F ⇔ y = −1 − arctan x 11. tracer les courbes , C0 , C− π2 , E  a0 > 0 Exo 34 dans tout le problème (an )n≥0 désigne une suite numériquedéfinie par an+1 = an + a3n 1. montrer que (an )n≥0 est croissante en déduire que ∀n ∈ N : an+1 ≥ an + a30 2. montrer que lim an = +∞ n→+∞

1

1

3. dans cette question on pose un = (an ) 3n et vn = (1 + an ) 3n 3) a) 3) b) 3) c) 3) d) 3) e)

3.3

montrer que ∀n ∈ N : a3n ≤ an+1 ≤ (1 + an+1 ) ≤ (1 + an )3 (à remarquer que ∀n ∈ N : an ≥ 0 ) déduire que∀n ∈ N : un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤ vn montrer que les deux suites (un ) et (vn ) convergent n à l’aide de T.A.F appliqué à la fonction x → x3 montrer que ∀n ∈ N : 0 ≤vn − un ≤ 31n déduire que les deux suites (un ) et (vn ) sont adjacentes (utiliser les questions 2 et 3)

Dérivée ni`eme

Exo 35 soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2 sin (3x) − 5 cos(3x) déterminer deux réels α et β tels que 0 ∀x ∈ R :f ” (x) = αf (x) + βf (x) 1 où a est un réel non nul ax + b montrer quepour tout entier naturel n non nul f est n fois dérivable sur Df et

Exo 36 soit f une fonction définie par f (x) =

∀x ∈ Df : f (n) (x) =

(−1)n an n! (ax + b)n+1

Application : calculer la dérivée ni`eme de la fonction f définie par f (x) = 3Novembre 2007

x2

1 −x prof :kharbat

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 π Exo 37 soit f telle que f (x) = cos (ωx + ϕ) montrer que f est n fois dérivable sur etf (n) (x) = ω n cos ωx + ϕ + n Application : calculer la dérivée ni`eme de la fonction f définie par f (x) = sin2 (x) Exo 38 montrer que ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ R : arctan(n) (x) =

Pn (x) où Pn est un polynôme de dgré n-1 dont on (1 + x2 )n

donnera le terme de plus haut degré et la parité Exo 39 Soient f et g deux fonctions n fois derivables sur un intervalle I avec n>1, f(k) étant la derivée d’ordre n de f et on considère que f(0) =f 1. Determiner (f g)(2) et (f g)(3) en fontion des derivées succéssives de f et g. 2. Démontrer par récurrence que ∀n ≥ 2 : (f g)(n) =

X

Cnk f (k) g (n−k)

0≤k≤n

(formule de Leibnitz) 3. application On considère la fonction f(x) =

√

1 + x2

(a) Montrer que pour tout x de IR on a : (1 + x2 )f 0(x) = xf (x) (b) .Montrer que ∀x ∈ IR, ∀n ≥ 1 : (1 + x2 )f (n+2) (x) + (2n + 1)xf (n+1) (x) + (n2 − 1)f (n) (x) = 0 (c) Montrer que∀n ≥ 1 : f (2n+1) (0) = 0 Exo 40 Soit f : x 7→ (x − a)n (x − b)n où a et b sont deux réels 1. A l’aide de la formule de Leibniz, déterminer f (n) (x). 2. Calculer d’une autre façon f (n) (x) lorsque a = b. n
2 P n 3. En déduire que Cnk = C2n . k=0

3Novembre 2007

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CHAPITRE 6. FONCTIONS LOG ET EXP

Exercices de Mathématiques

6

Fonctions log et Exp

Problème 1 Partie A : etude d’une fonction auxilaire x soit U la onction définie par U (x) = − ln |1 + x| x+1 1. Déterminer DU et calculer les limites aux bornes de DU 2. calculer la dérivée de U et donner le tableau de variation 3. montrer que l’équation U (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle ]−4.6; −4.5[ 4. déduire le tableau de signe de U (x) Partie B : étude d’une fonction numérique ( ln |1 + x| f (x) = ,x 6= 0 , x 6= −1 soit f la fonction définie x f (0) = 1 1. Déterminer Df et calculer les limites aux bornes de Df 2. montrer que f est continue en 0 3. on admet que ∀x > −1 : ln(x + 1) − x + 0

f (0) =



x2 2

≤ x2 |ln(x + 1)|

montrer que f est dérivable en 0 et

− 21 0

4. calculer f (x) en fonction de U (x) et donner le tableau de variation de f 5. traçer la courbe représentaion de f on prendra α ≈ −4.55 et f (α) ≈ −0.28 Partie C : Etude d’une Suite numérique 1 1. à l’aide du théorème des accroissement finis montrer que ∀x > 0 : x+1 < ln(x + 1) − ln(x) <

n n+1 2. déduire ∀n ∈ N∗ : 1 + n1 < e < 1 + n1
n
n+1 3. dans la suite pour tout N∗ on pose an = 1 + n1 et bn = 1 + n1

1 x

−1 (a) montrer que ∀n ∈ N∗ : ln( an ) = f ( n1 ) et ln( bn ) = f ( n+1 )

(b) en utilisant les variations de f montrer que (an ) et (bn ) sont deux suites adjacentes et déterminer leur limite commune 4. montrer que pour tout n ∈ N∗ le couple (an ; bn ) est une solution du système  2 (x; y) ∈ Q∗+ x < y xy = y x 2

1. monter que pour tout réel positif x : x − x2 ≤ ln(1 + x) ≤ x n
Q 2. soit Pn = 1 + nk2 à l’aide de la question 1 .donner un encadrement de ln(Pn ) en déduire la limite de

Problème 2

k=1

la suite (Pn )n≥1 x

Problème 3 soit f la fonction définie par f (x) = q

2 − ln2 (x)

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1

CHAPITRE 6. FONCTIONS LOG ET EXP 1. etudier les variations de f ( Df + limites aux bornes +dérivée +tv) 2. résoudre l’équation f(x) = x 3. soit (un ) la suite définie par un+1 = f (un )

u0 ∈ Df

4. déterminer la valeur de u0 pour la quelle (un ) et une sute constante   5. on suppose que u0 ∈ 1e , e   (a) montrer que ∀n ∈ N : un ∈ 1e , e (b) montrer que (un ) et une suite décroissante (c) en déduire que (un ) est convergente et calculer sa limite Problème 4

soit f la fonction définie par f (x) = ln (1 + e−x )

1. etudier les variations de f ( limites aux bornes de Df + dérivée + TV) 2. montrer que la droite D : y = −x est une asymptote à Cf au voisinage de −∞Préciser la position deD : y = −x par rapport à Cf . 3. Tracer la courbeCf et D ainsi que la droite ∆, tangente à C au point d’abscisse 0. 4. montrer que f réalise une bijection de R dans un intervalle J que l’on déterminera et donner f −1 5. résoudre l’équation f (x) = x 

u0 = 1 un+1 = f (un )

6. soit (un ) la suite numérique définie par (a) montrer que ∀n ∈ N :un > 0 0 (b) vérifier que ∀x > 0 : f (x) ≤

1 2

en déduire que

∀n ∈ N : un+1 − ln

√ ! 1 + 5 1 ≤ un − ln 2 2

√ ! 1 + 5 2

(c) déduire que la suite (un ) est convergente et donner sa limite 7. Montrer que pour tout réel t positif, t − f (x) 6 e−x

t2 e−2x 6 ln(1 + t) 6 t.En déduire que pour tout réel x, e−x − 6 2 2

8. pour chaque entier naturel n non nul on pose Pn =

k=n Q k=1



1 1+ k e



(a) montrer que la suite (Pn )n≥1 est une suite croissante (b) montrer que pour chaque entier naturel n non nul k=n X 1

k=n

k=n

X1 1X 1 − ≤ ln (P ) ≤ n ek 2 e2k ek k=1 k=1 k=1

k=n P

1 en déduire que (Pn )n≥1 est une suite majorée k k=1 e (d) déduire que (Pn )n≥1 converge . On note ` la limite montrer que (c) calculer

2e + 1 1 6 ln (`) 6 . 2 2(e − 1) e−1 à l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de sa limite. 2

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1. en utilisant le théorème des accroissemnet finis montrer que

Problème 5

1 1 < ln (x + 1) − ln(x) < x+1 x

n n+1 déduire que ∀n ∈ N ∗ : 1 + n1 < e < 1 + n1
n
n+1 2. dans la suite on pose pour tout n ∈ N ∗ : an = 1 + n1 et bn = 1 + n1 ∀x > 0 :

n 3. montrer que ∀x > 0, ∀n ∈ N ∗ : ln(1 + nx) ≥ n+1 ln (x) + ln (1 + n)
n+1 4. déduire que ∀x > 0, ∀n ∈ N ∗ : xn ≤ 1+nx 1+n

5. en posant successivement x = 1 + une suite décroissante .

1 n

et x =

n n+1

montrer que (an )≥1 est une suite croissante et (bn )n≥1 est

6. déduire que les deux suites sont adjacentes et donner leur limites commune Problème 6 soit f la fonction définie par  , x ∈ R − {−1, 1} f (x) = (x2 − 1) . ln 1+x 1−x f (1) = f (−1) = 0 1. etudier la parité de f en déduire qu’il suffit d’étudier f sur [0, +∞[ 2. calculer lim f (x) x→+∞

3. montrer que f est continue en 1 4. etudier la dérivabilité en1 5. en rappel que lim ln(1+x)−x = − 12 montrer que la droite D : y = 2x est une asymptoteà Cf au voisinage de x2 x→0 +∞ 6. pour x > 0 on pose g (x) = ln 1+x − 1 1−x

x

(a) etudier les variations de g sur ]0, +∞[ (b) montrer que ∃!α ∈ ]0, 1[ : g (α) = 0 en déduire le signe de g(x)pour x > 0 7. montrer que ∀x > 0 : f 0(x) = 2x.g (x) et f 0(0) = −2 8. donner le tableau de variation de f 9. tracer la courbe Cf en preond α ≈ 0.65 et f (α) ≈ −0.89 Problème 7 soit f la fonction définie par f (x) = −x + 1 ln x+1 2

1−x

1. déterminer Df et etudier la parité de f ; calculer les limites aux bornes de Df 2. etudier les branches infinies de Cf 3. calculer la dérivé de f et donner le tableau de variation

√   4. montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α ∈ 1.1, 2 5. tracer Cf 6. soit(un )n∈N∗ la suite définie par un =

n!en 1

nn+ 2

1 n ) = (2n + 1)f ( 2n+1 ) (a) montrer que ln( uun+1

(b) détérminer le sens de variation de la suite (un )n∈N∗ en déduire que la suite (un )n∈N∗ est convergente Problème 8 pour chaque m ∈ R∗ on définit la fonction fm par  fm (x) = x ln |x| − (x − m) ln |(x − m| ; x ∈ R − {0, m} fm (0) = fm (m) = m ln |m| Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

3

CHAPITRE 6. FONCTIONS LOG ET EXP 1. montrer que la courbe C 2. motrer que ∆m : x =

−m

=SO (Cm ) où SO est la symétrie centrale de centre O

m 2

est un axe de symétrie de Cm   3. dans la suite on suppose que m > 0 et soit Im = m2 ; +∞ (a) etudier la continuité et la dérivabilité de fm en 0 et en m (b) calculer la dérivée de fm . et donner son tableau de variation (c) etudier les branches infinies de fm en +∞ 4. tracer les courbes C1 et C4 et C 1 4

5. montrer que si m > 2; fm ne s’annule pas 6. donner le nombre de zéro de f2 7. montrer que si m ∈ ]0; 2[ : fm s’annule en deux points αm < β m avec αm + β m = m 8. dans cette partie on suppose que m ∈ ]0; 1[ (a) montrer que m < β m

f (x) = +∞ −1 (c) montrer que f est dérivable sur Df et que

(b) montrer que lim

x−→1 x

∀x ∈ R∗+ − {1} : f 0 (x) = (d) tracer la courbe Cf

on prendra ϕ

−1

1 − ln x 1 . x2 ϕ0 (f (x))

  1 = 1. 27 e (

Problème 10 Partie I

+

soit U la fonction définie sur R par U (x) =

ex

x si x 6= 0 −1 1 si x = 0

1. montrer que U est continue sur R+ et calculer lim U (x) x→+∞

2. on admet que

x lim+ e −1−x x2 x→0

=

1 montrer 2

0

que U est dérivable à droite de 0 et que U (0) = − 12 x

0

3. montrer que∀x ∈ R∗+ : U (x) = (1 − x − e−x ) (exe−1)2 4. montrer que ∀x ∈ R∗+ : e−x ≥ 1 − x et donner le sens de variation de U 5. Résoudre dans R∗+ l’équation U (x) = x 4

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6. On considère la suite (an )n≥0 définie par a0 = 0 et : ∀n ∈ N,

an+1 = U (an ).

(a) .Montrer : lim U 0 (x) = 0 x→+∞

1 U 00 (x) ≥ 0 déduire que∀x ∈ [0; +∞[: − ≤ U 0 (x) ≤ 0 2 1 (c) Montrer∀n ∈ N : |an+1 − ln 2| ≤ |an − ln 2| (on pourra utiliser TAF) 2 (d) Etablir que la suite (an )n≥0 converge et déterminer sa limite.  √ f (x) = ex 1 − e2x , x ≤ 0 Partie II soit f la fonction définie sur R par ,x > 0 f (x) = ln (U (x))

−

 − → − →

→ soit Cf la courbe representative de f dans un repère orthonormé O, i , j tel que i = 2m (b) on admet que ∀x ∈ [0; +∞[,

1. vérifier que Df = R et montrer que lim f (x) = 0 et lim f (x) = −∞ x→−∞

x→+∞

2. montrer que
∀x ∈ R∗+ : f (x) = ln x − ln 1 − e−x − x f (x) = −1 x→+∞ x

en déduire que lim resultats

et

lim f (x) + x = +∞ interpreter géométriquement les

x→+∞

3. justifier la continuité de f sur R 4. étudier la dérivabilité de f en 0 on pourra utiliser PARTIE I QUESTION 3 5. montrer que pour tout x ∈ R∗  (1 − 2e2x )    f 0 (x) = ex √ 1 − e2x 0 U (x)    f 0 (x) = U (x)

, x0

6. donner le tableau de variation de f 7. soit g la restriction de f sur I =] − ∞, − ln22 ] (a) montrer que g realise une bijection de I dans un intervalle J que l’on déterminera (b) donner la bijection réciproque g −1 8. tracer les courbes Cf et Cg−1 on prend − ln22 ≈ −0, 35  Problème 11 soit f la fonction définie sur[−1; +∞[ par

f (x) = (x + 1)e f (−1) = 1

ln(x+1) x

;

;

x 6= −1 et x 6= 0 f (0) = e

1. (a) montrer que ∀x ∈ ]−1; 0[ ∪ ]0; +∞[ : f (x) = e

(x+1) ln(x+1) x

(b) déduire que f est continue en 0 et à droite de -1 (a) en utilisant la question

1. a. calculer

lim f (x)

x→+∞

(b) vérifier que ∀x ∈ ]−1; 0[ ∪ ]0; +∞[ : f (x) − x = x(e

ln(x+1) x

− 1) + e

ln(x+1) x

(c) déduire la nature de la branche infinie de f au voisinage de +∞ Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

5

CHAPITRE 6. FONCTIONS LOG ET EXP (−1) 2. montrer que lim + f (x)−f = +∞ et donner une interpertation géometrique du resultat obtenue x+1 x→−1

(a) on admet que :∀x ≥ − 12 : ln(1 + x) − x + 12 x2 ≤ intergral

2 3

|x3 | resultat qui sera démontré en calcul

(b) déduire que lim ln(x+1)−x = − 12 x2 x→0

(c) étudier la dérivabilité de f en 0 . et interpreter géometriquement le resultat 3. (a) montrer que ∀x ∈ ]−1; 0[ ∪ ]0; +∞[ : f 0 (x) =

x+1 e x2

ln(x+1) x

(x − ln(x + 1))

(b) justifier que ∀x > −1 : ln(x + 1) ≤ x en déduire le tableau de variation de f 4. Traçer la courbe Cf Problème 12 Partie A : Etude d’une fonction auxilliaire soit U la foction définie sur R+ par U (x) = 1 − x − e−2x 1. etudier les variations de U 2. montrer que l’équation U (x) = 0 admet une unique solution α telle que

ln 2

(b) montrer de même que lim f (x) = +∞ x→0 <

3. montrer que lim f (x) = +∞ et calculer lim f (x) x→+∞

4. montrer que pour tout x > 0 :

x→−∞

 0     f (x) =

2

e x U ( x1 )

√

x>0

2

e x −1

1  − x−1 .e x x < 0 x   1 1 5. donner le tableau de variation de f (à remarquer que ∀x > 0 : x > ⇐⇒ x < α α 6. .  0    f (x) =

(x + 1)2 . x2



(a) montrer que la droiteD d’équation y = x − 3 est une asymptote oblique de Cf au voisinage de −∞ (b) etudier la branche infinie de Cf au voisinage de +∞   r 1 1 7. montrer que f = α α − α2   1 1 8. tracer la courbe Cf on prend ' 1. 25 et f = 0, 4 f (−1) = −2e = −5, 4 α α 6

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Partie C : Etude d’une suite numérique  soit (un )n∈N la suite numérique définie par

u0 = 4 un+1 = f (un )

2 1. montrer que ∀n ∈ N : ≤ un ≤ 4 ln (2)   2 2. montrer que∀x > 0 : x ≥ ⇐⇒ f (x) ≤ x en déduire que la suite (un )n∈N décroissante ln (2) 3. montrer que la suite est convergente et donner sa limite Problème 13 pour chaque paramètre réel m on note fm la fonction définie surR par fm (x) = 2m.ex − e2x − 2m  − → − → on note par (Cm ) la courbe representative de fm dans un repère orthonormé O, i , j

−

→ avec i = 1cm 1. calculer les limites suivantes

lim fm (x)

x→+∞

lim

x→+∞

fm (x) x

lim fm (x)

x→−∞

2. soient m et m0 deux réels tels que m < m0 etudier les positionsdes deux courbes (Cm ) et (Cm0 ) 3. montrer que toutes les courbes (Cm ) passent par un point fixe I que l’on déterminera 4. montrer que si m ≤ 0 alors fm est strictement décroissante sur R 5. on suppose que m >0 (a) montrer que fm admet un extremum que l’on determinera ses coordonnées (b) soit Γ l’esemble des points extremums de fm quand m varie dans R∗+ montrer que Γest la courbe representative de la fonction g définie par g (x) = e2x − 2.ex (c) vérifier que ∀x ∈ R : g(x) = −2 − f1 (x) en déduire que (Γ) est le symétrique de de (C1 ) par rapport à la droite (D) : y = −1 6. trouver l’intersection de (C2 ) et la droite (D) 7. tracer dans le même repère les courbes (C1 ); (C2 ); (C3 )et la courbe Γ

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