Torsion

Torsion des profils minces 2 Exemples : section ouverte et section fermée

F

section ouverte

L= 2 m

z

Caractéristiques géométriques tf = 11.5 mm

d1 = 22.2 mm

C

UAP 200

G

y

yc h = 200 mm 45.3 mm tw = 8 mm b = 75 mm

Catalogue OTUA Rappel : le centre de cisaillement C est le point tel que l ’application de l ’effort tranchant ne crée pas de cisaillement de torsion

Torsion des profils minces ouverts La force F n ’étant pas appliquée au centre de cisaillement : il en résulte en plus des cisaillements d ’effort tranchant, des cisaillements de torsion uniforme. De plus, le gauchissement du profil mince induit des cisaillements de torsion nonuniforme z t Cisaillement de Torsion uniforme (dite de St Venant) t

C

G

y

Cisaillement d ’effort tranchant) Cisaillement de Torsion non-uniforme (dite de w Vlassov)

w

Torsion des profils minces ouverts Cisaillement de Torsion uniforme (dite de St Venant)

Mts : moment de torsion de St Venant

t

It : inertie de torsion de St Venant 1 It bi h 3i i 3

M ts t It

t max

z tmax

C

G

y

t

Torsion des profils minces ouverts Cisaillement de Torsion non-uniforme (dite de Vlassov)

Mw : moment de torsion non uniforme

Iw : inertie sectorielle

M w Sw Iw t

w

Sw : Moment Statique sectoriel

z w

C

G

y

t

Torsion des profils minces ouverts T : effort tranchant Cisaillement d ’effort tranchant

Iy : inertie de flexion

TS y y

I yt z

t

C

G

y

Sy : Moment Statique de la partie supérieure à la position considérée

Torsion des profils minces ouverts

Gauchissement

Contrainte normale de flexion : section plane

Contrainte normale de torsion non uniforme

My f max

Wel . y

w

B Iw

Torsion des profils minces ouverts Moment statique sectoriel

Aire sectorielle

Sw

rds

c

c

ds

Moment d ’inertie sectorielle

Iw

z

2 c

tds

B : Bimoment sectoriel r

C

ds

G

y

Torsion des profils minces ouverts z

Caractéristiques géomètriques tf = 11.5 mm

d1 = 22.2 mm

C

G

45.3 mm tw = 8 mm b = 75 mm

y h = 200 mm

A = 31.98 cm2 Wel.y = 194.59 cm3 Iy = 169.69 cm4 It = 11.24 cm4

It i

1 bi h 3i 3

Torsion des profils minces ouverts Calcul des sollicitations

F

L= 2 m T = -F My = -F(L-x) Mt = Fyc = Mts + Mw

UAP 200

effort tranchant moment fléchissant moment de torsion (uniforme et non-uniforme)

T GA' M EI Mt

d GI t dx

3

d EI w 3 dx

angle de rotation par rapport à l ’axe longitudinal

Torsion des profils minces ouverts

(x)

GI t EI w

Mt A B sinh( x ) C cosh( x ) GI t

Conditions limites :

(x 0) 0

d (x dx

0) 0

d2 (x 2 dx

L) 0

0,0003

0,00025

M ts

d GI t dx

cosh( (L x )) Mt 1 cosh( L)

0,0002

Mts max = 0.261 kN.m

Mts

0,00015

Mw

Mw

0,0001

d3 EI w 3 dx

cosh( (L x )) Mt cosh( L)

0,00005

Mw max = 0.271 kN.m 0 0

0,5

1

1,5

2

Torsion des profils minces ouverts

B

x 0

M w dx

M ts sinh( (L x)) cosh( L)

Bilan des contraintes normales à l ’encastrement 102.8 MPa

134.8 MPa 32 MPa

51 MPa

-51.8 MPa

-102.8 MPa

Flexion

Torsion

Flexion + Torsion

Torsion des profils minces ouverts Bilan des contraintes tangentes à l ’encastrement -5 MPa

1.5 MPa

-3.5 MPa

2.4 MPa --1 MPa

-7.4 MPa

t=0

w

-8.4 MPa

Effort tranchant

Torsion non uniforme

St Venant

Torseur Résultant

Torsion des profils minces ouverts Conclusion La torsion uniforme (de Saint Venant) est négligeable (cf annexe G EC3) L ’essentiel du cisaillement de torsion est dû à la torsion non uniforme Rappel : la majorité des profils de construction métallique est composée de profils ouverts Les contraintes normales dues à la torsion non uniformes ne sont pas négligeables, elles représentent de 20% à 50% des contraintes normales de flexion

Torsion des profils minces 2 Exemples : section ouverte et section fermée

F

section fermée

L= 2 m

F

z tf = 11.5 mm

G C tw = 8 mm b = 75 mm

y h = 200 mm

UAP 200

On reprend le même profilé fermé par un plat de 8 mm d ’épaisseur soudé aux extrémités des ailes La section est doublement symétrique : G et C sont confondus

Torsion des profils minces fermés La force F n ’étant pas appliquée au centre de cisaillement : il en résulte en plus des cisaillements d ’effort tranchant, des cisaillements de torsion uniforme. De plus, le gauchissement du profil mince induit des cisaillements de torsion nonuniforme z Le moment de Torsion est plus important que dans le cas du profil t ouvert (distance plus grande entre la force appliquée et le centre de Cisaillement de cisaillement) Torsion uniforme (dite de St Venant) Le cisaillement de Torsion de SaintVenant contribue de façon très G C y importante : flux uniforme le long du Cisaillement profil. Le cisaillement de Torsion non d ’effort tranchant) uniforme est négligé (annexe G de Cisaillement de Torsionl ’EC3) non-uniforme (dite de w Vlassov)

Torsion des profils minces fermés It : inertie de torsion de St Venant z t

It

Cisaillement de Torsion uniforme (dite de St Venant)

i

It = 1205 cm4 (plus de 10 fois plus important que le profil ouvert)

Ac

G C

y

4A c2 bi / t i

1.2 MPa

1.7 MPa

1.7 MPa

t

1.2 MPa

Torsion des profils minces fermés Bilan des contraintes normales à l ’encastrement La contrainte normale de gauchissement ne représente que 3% de la contrainte de flexion : elle est négligée (annexe G de l ’EC3)

80.4 MPa

77.9 MPa 2.5 MPa

82.9 MPa

-80.4 MPa

Flexion

Flexion + Torsion Torsion

Torsion des profils minces fermés Conclusion La torsion uniforme (de Saint Venant) est prépondérante (cf annexe G EC3) L ’essentiel du cisaillement de torsion est dû à la torsion uniforme La torsion non uniforme est négligeable (cf annexe G EC3)

Les contraintes normales dues à la torsion non uniformes sont négligeables