Torsion

Cours de Structures en béton Prof. André Oribasi Chapitre 8 LES SECTION SOUMISES À LA TORSION

Section 8.1 Les bases du calcul 8.1.1 Les causes de la torsion 8.1.2 Les types de torsion 8.1.3 Quelques exemples d’illustration 8.1.4 La torsion de St-Venant ou torsion uniforme 8.1.5 Quelques calculs de sections en torsion uniforme 8.1.6 La torsion non uniforme 8.1.7 Le comportement des sections à la torsion 8.1.8 Le principe du dimensionnement 8.1.9 La modélisation en treillis spatial

Version 1.0

8.1.1 Les causes de la torsion

8.1 Bases torsion Prof. André Oribasi

Des sollicitation de torsion apparaissent: -1- de par la non symétrie du système porteur

2

1 -2- de par la courbure imposée par la géométrie

3

-3- de par la dissymétrie des charges appliquées

3

3

2 Flexion Torsion

1

8.1.2 Les types de torsion

8.1 Bases torsion

On distingue 2 types de torsion:

Prof. André Oribasi

8.1.2.1 La torsion d’équilibre La torsion d’équilibre est nécessaire pour assurer le transfert des forces, en respectant les conditions d’équilibre du système statique.

8.1.2.2 La torsion de compatibilité

Petite question : Quelle est l’allure du diagramme des moments de flexion ? La torsion de compatibilité n’apparaît que dans les systèmes hyperstatiques, chaque fois qu’une rotation angulaire est empêchée. De cette entrave résulte un moment de torsion…

Réf: TGC 7 Prof. R. Walther

8.1.3 Quelques exemples d’illustration

8.1 Bases torsion

Quelques exemples pour illustrer la torsion de compatibilité:

Prof. André Oribasi

8.1.3.1 Le cas d’un cadre spatial double Par continuité, la poutre CE est encastrée dans la poutre BD au point C. La valeur du moment d’encastrement Mc dépend de la rigidité de l’assemblage des 2 poutres et donc de la rigidité de torsion GK de la poutre BD. En béton armé, cette rigidité varie en fonction de la fissuration. A la rupture, on peut imaginer une perte de rigidité qui fait apparaître une rotule au point C, tout en satisfaisant aux conditions d’équilibre du système statique.

D B

C

Mc E

A F

Armature pour contrôler la fissuration

Même si l’encastrement en C n’est pas nécessaire pour assurer l’équilibre, on prendra garde à la fissuration qui précède la formation de la rotule plastique. Réf: Cours Prof. Bruegger

2

8.1.3 Quelques exemples d’illustration

8.1 Bases torsion

Quelques exemples pour illustrer la torsion de compatibilité:

Prof. André Oribasi

8.1.3.2 Le cas d’une grille de poutre (modélisation d’une dalle) comportement réel

Comportement idéalisé en tout point on a mxy = 0

L

L La continuité introduite par l’assemblage rigide du grillage transforme la rotation de flexion de la poutre P1 en une rotation de torsion de la poutre P2

8.1.4 La torsion de St-Venant ou torsion uniforme

8.1 Bases torsion

Ce type de torsion se développe dans les sections fermées. La torsion uniforme provoque une rotation d’ensemble de la section, en conservant pratiquement sa forme initiale. Seules des contraintes de cisaillement apparaissent dans les parois…

Prof. André Oribasi

La transmission du moment de torsion au travers de la section se fait sous la forme d’un flux de cisaillement de valeur constante. Ce flux est le produit de la contrainte de cisaillement et de l’épaisseur de la paroi Réf: Cours Prof. Bruegger

3

8.1 Bases torsion

8.1.5 Quelques calculs de sections en torsion uniforme 8.1.5.1 Le cas d’une section circulaire pleine

Prof. André Oribasi

Pour toutes les sections

8.1.5.2 Le cas d’une section rectangulaire pleine

K=

Réf: EPFL, cours Prof. Frey Mécanique des matériaux

8.1.5 Quelques calculs de sections en torsion uniforme 8.1.5.3 Le cas d’une section circulaire creuse Pour les sections creuses fermées, la contrainte tangentielle τ est constante sur l’épaisseur et se dirige suivant la tangente à la ligne moyenne

8.1 Bases torsion Prof. André Oribasi

8.1.5.4 Le cas d’une section rectangulaire creuse Principe applicable à toute section creuse

Réf: EPFL, cours Prof. Frey Mécanique des matériaux

4

8.1.6 La torsion non uniforme

8.1 Bases torsion

La transmission du moment de torsion dans une section ouverte engendre simultanément des contraintes de cisaillement et des contraintes normales

= Moment de torsion

Prof. André Oribasi

+ Torsion uniforme T1

Torsion non uniforme T2 Due à la flexion des ailes

Le moment de torsion est équilibré par T1 qui provient de la torsion pure du profilé T2 qui résulte du flux de cisaillement lié à la flexion des ailes. Cette flexion provoque un gauchissement de la section ( la section ne reste pas plane) Réf: Cours Prof. Bruegger

8.1.7 Le comportement des section à la torsion

8.1 Bases torsion

¬

Prof. André Oribasi

En réalité, les deux types de torsion apparaissent quelle que soit la géométrie de la section. Toutefois: pour les sections fermées, la torsion uniforme est prédominante

T1 pour les sections ouvertes, la torsion

non uniforme est prépondérante

T2

5

8.1.8 Les principes du dimensionnement

8.1 Bases torsion

Avant fissuration, on peut suivre l’augmentation des contraintes principales de traction et de compression qui résultent du moment de torsion appliqué sur la section Après fissuration, lorsque les contraintes principales de traction dépassent la résistance du béton, des fissures apparaissent sous une inclinaison de 45o

Prof. André Oribasi

Trajectoire des contraintes principales de compression Trajectoire des contraintes principales de traction

Le dimensionnement d’une section en béton armé soumise à la torsion s’effectue de manière identique à l’effort tranchant, par la création d’un treillis spatial idéalisé. La section transversale est découpée en éléments de parois sur chacun desquels est appliqué un flux de cisaillement

… Réf: Cours Prof. Bruegger

8.1.9 La modélisation en treillis spatial 1/5 La vérification d’une section soumise à la torsion implique: - Le dimensionnement des étriers nécessaires à la reprise des forces de traction - La vérification des bielles de béton comprimées - le calcul de l’armature longitudinale supplémentaire

8.1 Bases torsion Prof. André Oribasi

• Le noyau ne contribue que faiblement à la résistance à la torsion • Les étriers servent à reprendre l’effort de traction provenant des contraintes principales de traction. Ils permettent de conserver les dimensions de la section transversale • Les armatures longitudinales assure la continuité de la section et évite la dislocation des sections Réf: TGC 7 Prof. R. Walther

6

8.1.9 La modélisation en treillis spatial 2/5

8.1 Bases torsion Prof. André Oribasi

• Les étriers sont en traction • Les étriers sont soumis à un flux de cisaillement et doivent être fermés • Les étriers doivent être ancrés correctement à leur extrémité

• Les armatures longitudinales sont en traction • Les bielles de béton sont comprimées • Les barres longitudinales doivent être ancrés correctement à leur extrémité Réf: Cours Prof. Bruegger

8.1.9 La modélisation en treillis spatial 3/5

8.1 Bases torsion Prof. André Oribasi

zi est le bras de levier des forces longitudinales dans l’élément de paroi i Fti est la résultante des forces longitudinales de traction sous l’effet de la torsion, pour la paroi I α est l’angle d’inclinaison formé par les bielles de béton comprimé. Cet angle est identique sur tout le pourtour de la section Réf: Cours Prof. Bruegger

7

8.1.9 La modélisation en treillis spatial 4/5

8.1 Bases torsion Prof. André Oribasi

Effort dans les membrures

Réf: Cours Prof. Bruegger

8.1.9 La modélisation en treillis spatial 5/5

8.1 Bases torsion

Sollicitation d’un étrier

Effort dans les bielles de béton comprimées

Prof. André Oribasi

Réf: Cours Prof. Bruegger

8