Torsion Resistencia de Materiales

Tabla de contenido 1.

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 2

2.

DEFINICIÓN ............................................................................................................................. 2

3.

TIPOS TORSIÓN ...................................................................................................................... 3 3.1.

TORSIÓN UNIFORME.................................................................................................... 3

3.2.

TORSIÓN NO UNIFORME............................................................................................. 3

3.3.

TORSIÓN MIXTA ............................................................................................................ 3

TORSIÓN EN BARRAS CIRCULARES ............................................................................... 4

4.

4.1.

HIPÓTESIS BÁSICAS PARA MIEMBROS CIRCULARES ...................................... 4

4.2.

FORMULA DE TORSIÓN ............................................................................................... 4

4.3.

ANGULO DE TORSIÓN

4.4.

LIMITACIONES ............................................................................................................... 7

............................................................................................. 6

TORSIÓN EN BARRAS NO CIRCULARES ........................................................................ 7

5.

5.1.

HIPOTESIS BASICAS ..................................................................................................... 8

5.2.

SECCION RECTANGULAR ........................................................................................... 8

TORSIÓN EN SECCIÓN DE PARED DELGADA .............................................................. 9

6.

6.1.

TUBOS DE PARED DELGADA ..................................................................................... 9

6.1.1. 6.2.

FORMULA DE TORSION ..................................................................................... 10

LIMITANTES .................................................................................................................. 11

TORSIÓN NO UNIFORME................................................................................................... 11

7.

7.1. BARRA CON SEGMENTOS PRISMÁTICOS Y UN TORQUE CONSTANTE EN CADA SEGMENTO. ............................................................................................................................... 11 7.2.

BARRA CON SECCION VARIABLE Y TORSION CONSTANTE ......................... 12

7.3.

BARRA CON SECCION TRANSVERSAL Y TORQUE VARIABLES .................. 12

8.

TORSION NO LINEAL DE BARRAS CIRCULARES ...................................................... 12

9.

SECCIONES MAS ADECUADAS PARA TRABAJAR A TORSION .............................. 13

10.

TORSIÓN DE SAINT-VENANT PURA. .......................................................................... 14

11.

TEORIA DE COULOMB ................................................................................................... 15

12.

RESUMEN DE ECUACIONES ......................................................................................... 16

13.

CONCLUSION .................................................................................................................... 17

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14.

REFERENCIAS................................................................................................................... 18

1. INTRODUCCIÓN En el presente capitulo se estudiara los esfuerzos y las deformaciones que se presentan en los elementos cuando son sometidos a momentos torsores. Podemos encontrar en la práctica de la ingeniería, una serie de elementos sometidos a torsión. Por ejemplo en ejes circulares macizos de transmisión de motores, en vigas rectangulares de concreto armando en edificaciones, etc.

2. DEFINICIÓN En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él. El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:  Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección.  Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas. El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general. La torsión se refiere a la deformación de una barra recta, que al ser cargada por momentos (pares de torsión), estos tienden a producir una rotación alrededor del eje longitudinal de la barra.

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Los momentos que producen torcionamiento en una barra, como los momentos T1 y T2, se llaman pares o momentos de torsión. Los miembros cilíndricos que están sujetos a un par y que transmiten potencia por medio de rotación se denominan ejes, por ejemplo el eje impulsor (transmisión) de un automóvil o el eje de la hélice de un barco. La mayor parte de los ejes tienen secciones transversales circulares, solidas o tubulares.

3. TIPOS TORSIÓN 3.1.TORSIÓN UNIFORME En este tipo de torsión las secciones no alabean y si lo hacen es el mismo en todas las secciones transversales. Las únicas tensiones que se generan en la barra son tensiones tangenciales. Este tipo de torsión ocurre en secciones:  Que no alabean: para cualquier tipo de vínculos y para todo tipo de variación del torsor.  Que alabean: para vínculos que no restrinjan el alabeo y para un momento torsor constante en toda la barra. 3.2.TORSIÓN NO UNIFORME La sección debe alabear. Si en alguna sección de la barra (por ejemplo en el apoyo) está restringido el alabeo ó el momento torsor no es constante a lo largo de la barra; entonces el alabeo de las secciones de la barra no es el mismo y se producen deformaciones relativas en sentido longitudinal (cambia la distancia entre puntos correspondientes de dos secciones que no alabean lo mismo) por lo que aparecen tensiones normales y las correspondientes tensiones tangenciales que son adicionales a las de Saint Venant.

3.3.TORSIÓN MIXTA En una viga sometida a torsión, el momento externo en una sección es equilibrado por las tensiones originadas por la torsión pura y las originadas por la torsión no uniforme. Las primeras están presentes siempre y las segundas cuando la forma seccional alabea y, o bien existe alguna restricción al alabeo en alguna sección o el momento torsor es variable a lo largo de la viga. Cuando existen los dos tipos de torsión decimos que hay torsión mixta. Resistencia de Materiales

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4. TORSIÓN EN BARRAS CIRCULARES

4.1.HIPÓTESIS BÁSICAS PARA MIEMBROS CIRCULARES Se consideran miembros de sección transversal circular maciza o tubular.  Una sección circular plana, perpendicular al eje del miembro, permanece plana después de aplicada la torsión. En otras palabras, no tiene lugar el alabeo o distorsión de planas normales al eje del miembro.  En un miembro de sección circular sometido a torsión, las deformaciones unitarias de corte varían linealmente desde el eje central, alcanzando su máximo valor en la periferia de la sección  Se considera un material homogéneo y linealmente elástico. 4.2.FORMULA DE TORSIÓN Se supone una barra circular en torsión pura, si se toma un elemento infinitesimal de esfuerzo, el sentido de los esfuerzos cortantes para las deformaciones unitarias cortantes será el que se observa a continuación.

Relación de esfuerzo deformación unitaria (Ley de Hooke) Donde: Resistencia de Materiales

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γ: Deformación unitaria cortante en radianes G: Módulo de elasticidad cortante. ρ: Radio a cualquier profundidad

Los esfuerzos cortantes varían linealmente con la distancia debido a la ley de hooke.

Donde:

A continuación se presenta un corte transversal y longitudinal, cuyo plano longitudinal es más débil que el transversal. La resultante de esfuerzos sobre la sección transversal es un par de torsión T

Existe una relación entre la fuerza cortante en el elemento y el torque T. El momento de la fuerza respecto al eje longitudinal de la barra es:

∫

∫

Despejando el esfuerzo cortante máximo, se obtiene la ecuación o formula de torsión aplicable a tubos circulares. Donde:

∫

es el momento polar de inercia. Para un circulo de

diámetro d y radio r.

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,

∫

,

En el grafico siguiente, se aprecia la distribución de los esfuerzos descritos por la formula de torsión.

Es decir la distribución de esfuerzos sobre una sección transversal circular debido a un torque.

La distribución de esfuerzos cortantes a lo largo de un diámetro horizontal para una sección transversal circular hueca será:

4.3. ANGULO DE TORSIÓN

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Angulo de torsión total

en torsión pura: (

)

: Rigidez torsional unitaria por requerido para producir rotación de un ángulo unitario. : Flexibilidad torsional unitaria, ángulo de rotación requerido para producir un par unitario. Los Tubos Circulares resisten con más eficiencia cargas de torsión que las barras sólidas, debido que la mayor parte del material esta cerca del borde exterior donde los esfuerzos cortantes y brazos son grandes. 4.4.LIMITACIONES  

Las Ecuaciones anteriores se aplican a barras circulares macizas y huecas. Son válidas en partes alejadas de las concentraciones de esfuerzo, como por ejemplo, agujeros y cambios abruptos de forma Los Materiales son elástico – lineales

5. TORSIÓN EN BARRAS NO CIRCULARES En cuanto a la aptitud para resistir torsión, entendida como aparición de tensiones de valor moderado, bajo la acción de un momento torsor, puede decirse que las secciones más idóneas son las cerradas, de pared delgada. Cuando se compara una sección de este tipo con una sección maciza del mismo área, encontramos que el perfil hueco tiene mayor rigidez a torsión, y desarrolla menores tensiones máximas (la tensión tangencial es prácticamente la misma en todos los puntos). En particular la sección circular hueca puede ser especialmente conveniente debido tanto a que no alabea, como a que es óptima en cierto sentido. Las secciones huecas de pared gruesa presentarán una mayor variación de la tensión en dirección radial, con lo que presentarán mayores tensiones máximas que un perfil de pared delgada. Pero a cambio alejan el peligro de fenómenos de inestabilidad, como la abolladura de la pared de la sección. Este tipo de secciones son también aptas para resistir torsión. Les siguen en idoneidad las secciones macizas, con los mismos inconvenientes respecto de las secciones de pared delgada que las de pared gruesa, agravados por el hecho de que los puntos más interiores de una sección maciza suelen soportar muy poca tensión en comparación con los exteriores. Por el contrario, las secciones abiertas de pared delgada son muy poco apropiadas para soportar momento torsor, debido a que deben generar grandes tensiones. Es el caso de las secciones en “L” y en “T” (aunque tengan poca propensión a la torsión no uniforme, lo que es independiente), en “C”, en “doble T”, etc. Cuando se usan este tipo de secciones, muy comunes en estructura metálica, deben diseñarse las condiciones de apoyo y demás facto-res relevantes de forma que se evite la aparición de torsión en esas barras.

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Corresponden a secciones transversales no circulares, tales como secciones rectangulares, perfiles (pared delgada). Etc. 5.1.HIPOTESIS BASICAS  

Las ecuaciones definidas para secciones circulares ya no son aplicables. Las secciones planas antes de la aplicación del momento torsor no se mantienen planas luego de la aplicación del momento torsor.

5.2. SECCION RECTANGULAR La hipótesis de Coulomb: “las secciones transversales permanecen planas durante la torsión”, Válida para las secciones circulares, no es válida sin embargo para otro tipo de secciones y por tanto en éstas otras, las secciones se alabearán. El alabeo se produce en la sección transversal.

No obstante, en este tipo de secciones, el módulo de alabeo es pequeño comparado con el módulo de torsión y entonces, se podrá estudiarlas como si estuvieran sometidas a torsión uniforme, aunque se estuviera en el caso de torsión no uniforme. Así pues, en este tipo de secciones sometidas a Torsión, sólo aparecerán tensiones cortantes t. La determinación exacta de tensiones y deformaciones en una pieza de sección cualquiera sometida a Torsión, se debe a Saint Venant y forma parte de la Teoría de la

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Elasticidad. Aquí se expondrán a continuación los resultados que se obtienen al aplicar dicha teoría al caso se piezas de sección rectangular.

s (Máximo esfuerzo cortante) Se da en el punto medio del lado mayor

El esfuerzo cortante en el contorno de la sección sigue la dirección de la tangente a dicho contorno.

El esfuerzo cortante en las esquinas de la sección transversal es cero.

6. TORSIÓN EN SECCIÓN DE PARED DELGADA Comportamiento: Perfiles abiertos y cerrados

Fabricación: Perfiles rolados, soldados y plegados

6.1.TUBOS DE PARED DELGADA

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Las formas circulares son las que mejor resisten la torsión, razón por la cual sin las más usadas; sin embargo, en estructuras de peso ligero como las de aeronaves y naves espaciales, a menudo se requieren miembros tubulares de pared delgada con secciones transversales no circulares para resistir torsión. Se considera un tubo de pared delgada con sección transversal arbitraria.

El flujo cortante será igual a:

Esta relación muestra que el esfuerzo cortante máximo ocurre donde el espesor del tubo es mínimo y viceversa. En las regiones donde el espesor del tubo es constante, el esfuerzo cortante es constante. Se puede observar que el flujo cortante es igual a la fuerza cortante por unidad de distancia a lo largo de la sección transversal. 6.1.1. FORMULA DE TORSION

donde: T y son propiedades de la seccion transversal, los esfuerzos cortantes pueden calcularse con la ecuacion anteriormente ya mostrada, esto en cualquier tubo de pared delgada sometido a un par conocido como T. Resistencia de Materiales

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: Es el area encerrada por la linea media, no es el area se la seccion transversal del tubo. 6.2. LIMITANTES Las formulas desarrollas anteriormente son aplicables a miembros prismáticos con formas tubulares con paredes delgadas. Si la sección transversal es delgada pero abierta, esta teoría no es aplicable. Una importante consideración en el diseño de cualquier miembro de pared delgada es la posibilidad de que las paredes se pandeen. Entre más delgadas sean las paredes y más largo sea el tubo más probable es que ocurra el pandeo. En el caso de tubos no circulares, suelen usarse antiesadores y diafragmas para mantener la forma y prevenir el pandeo local.

7. TORSIÓN NO UNIFORME  

La barra no es prismática Pueden actuar torques diferentes lo largo del eje de la barra

7.1.BARRA CON SEGMENTOS PRISMÁTICOS Y UN TORQUE CONSTANTE EN CADA SEGMENTO.

Convención: El par interno es positivo cuando el vector señala hacia afuera de la sección cortada, o cuando el giro del par es contra reloj visto desde la punta a la cola del vector. Es negativo si apunta hacia la sección o si gira en sentido horario visto desde la derecha. : Es el mayor esfuerzo de las calculadas en cada segmento El ángulo de torsión de un extremo respecto al otro es:

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∑

∑

Donde:

Angulo de torsión para el segmento i. N=# total de segmentos Fuerza de torsión interna en cada sección, resulta de un corte y de hacer el equilibrio.

7.2.BARRA CON SECCION VARIABLE Y TORSION CONSTANTE El esfuerzo máximo ocurre en la sección de menor sección transversal. J: Momento polar más pequeño. ∫

( ) ( )

Angulo de torsión de toda la barra.

7.3.BARRA CON SECCION TRANSVERSAL Y TORQUE VARIABLES Angulo de torsión. ∫

( ) ( )

: Torque por unidad de longitud.

8. TORSION NO LINEAL DE BARRAS CIRCULARES

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Se considerará una barra circular en torsión no lineal cuando los esfuerzos cortantes exceden el límite proporcional, en este caso la Ley de Hooke deja de ser válida, aunque se puede considerar que la deformación unitaria cortante varía linealmente con la distancia ρ al centro del eje como se observa en la figura. Lo que se hace, es que primero se averigua la deformación unitaria y luego se procede a calcular el esfuerzo cortante correspondiente de la curva esferazo – deformación. La deformación es proporcional a r.

r: radio del eje

: deformación unitaria cortante

Diagrama esfuerzo deformación cortante

9. SECCIONES MAS ADECUADAS PARA TRABAJAR A TORSION En las piezas sometidas a torsión cabe distinguir dos tipos: el de las piezas cuya principal función es la transmisión de un par torsor, sólo o combinado con esfuerzos de flexión o axiles, (es el caso de piezas usadas principalmente en las máquinas: ejes, etc.) El de piezas en las cuales la torsión es un efecto secundario indeseable (es el caso, no muy frecuente, de algunas piezas de estructuras de edificación, como las vigas carril o las correas en fachadas laterales). Las piezas correspondientes al primer tipo indicado, se proyectan con secciones macizas de gran espesor o cerradas de pequeño espesor:

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Las SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR no son apropiadas para este tipo de solicitación y deben tratar de evitarse su utilización o bien emplear disposiciones constructivas adecuadas para evitar que la torsión se presente en ellas. Por ello su cálculo no es frecuente y es estudiado con más profundidad en asignaturas de Estructuras Metálicas

10.TORSIÓN DE SAINT-VENANT PURA. Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant por:

Donde es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del desplazamiento se tiene que

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Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a:

11.TEORIA DE COULOMB La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:

Donde: : Esfuerzo cortante a la distancia ρ. T: Momento torsor total que actúa sobre la sección. : Distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está calculando la tensión cortante. J: Módulo de torsión. Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre cómo se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralela al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo: Resistencia de Materiales

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El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:

A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de LaméHooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:

Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el momento torsor:

Donde momentos de área.

, es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos

12.RESUMEN DE ECUACIONES LEY DE HOOKE PARA TORSIÓN: : Esfuerzo cortante G: Módulo de Rigidez : Deformación angular unitaria E: Módulo de elasticidad del material : Relación de Poisson del material

  G  G

E 2(1   )

ESFUERZO CORTANTE EN BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR DEBIDO A MOMENTO TORSOR : Esfuerzo cortante en el punto de interés de la sección transversal : Distancia medida desde el centro hasta el punto de interés Resistencia de Materiales



T  J Página 16

J: Momento polar de inercia de la sección transversal ÁNGULO DE GIRO EN BARRAS CIRCULARES SOMETIDAS A MOMENTO TORSOR : Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A” T: Par torsor al que está sometido la barra circular T  LAB J: Momento polar de inercia de la sección transversal B/ A  J G G: Módulo de rigidez del material LAB: Longitud de la barra entre las secciones “A” y “B”

RELACIONES ENTRE TORSOR, POTENCIA Y VELOCIDAD ANGULAR : velocidad angular (radianes por unidad de tiempo) T: Par torsor al que está sometido la barra circular P: Potencia m: relación de transmisión

P  T  m

conductor Tconducido  conducido Tconductor

13.CONCLUSION Las secciones que no tienen tendencia al alabeo sólo desarrollarán torsión uniforme. Como se apuntó anteriormente, las únicas secciones que en rigor disfrutan de esta característica son las circulares, tanto huecas como macizas. No obstante hay otros tipos de sección cuya tendencia al alabeo es pequeña, y generalmente pueden analizarse con suficiente aproximación bajo la hipótesis de torsión uniforme aunque tengan los desplazamientos normales impedidos en alguna sección. Tal es el caso de las siguientes formas de la sección: –Circulares, tanto macizas como huecas (de pared delgada o no). –Macizas, como las rectangulares, cuadradas, elípticas, etc. –Cerradas de pared delgada, como las secciones en cajón y similares. –Secciones formadas por rectángulos de pequeño espesor que se cortan en un punto. Como las secciones en “L” y las secciones en “T”, de pared delgada. En cuanto a la aptitud para resistir torsión, entendida como aparición de tensiones de valor moderado, bajo la acción de un momento torsor, puede decirse que las secciones más idóneas son las cerradas, de pared delgada. Cuando se compara una sección de este tipo con una sección maciza del mismo área, encontramos que el perfil hueco tiene mayor rigidez a torsión, y desarrolla menores tensiones máximas En particular la sección circular hueca puede ser especialmente conveniente debido tanto a que no alabea, como a que es óptima en cierto sentido.

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Las secciones huecas de pared gruesa presentarán una mayor variación de la tensión en dirección radial, con lo que presentarán mayores tensiones máximas que un perfil de pared delgada. Pero a cambio alejan el peligro de fenómenos de inestabilidad, como la abolladura de la pared de la sección. Este tipo de secciones son también aptas para resistir torsión. Les siguen en idoneidad las secciones macizas, con los mismos inconvenientes respecto de las secciones de pared delgada que las de pared gruesa, agravados por el hecho de que los puntos más interiores de una sección maciza suelen soportar muy poca tensión en comparación con los exteriores. Por el contrario, las secciones abiertas de pared delgada son muy poco apropiadas para soportar momento torsor, debido a que deben generar grandes tensiones.

14. REFERENCIAS      

Resistencia de materiales Singer-Pytel Mecanica de Materiales de James Gere Mecanica de Materiales de Beer TIMOSHENKO, S. Resistencia de Materiales http://www.scribd.com/doc/73754372/40/Torsion-en-barras-de-seccion-circular http://estructuras.info/articulos/secciones%20de%20pared%20delgada.pdf

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