Torseur

 

Chapitre I

TORSEURS Dans tout tout le chapi chapitre tre : A chaq chaque ue esp espace ace af affine fine ε , de dimension trois, on associe l’espace vectoriel E de dimension trois.

Hassan.chaffoui

1

 

1.1.a) Vecteur lié  On appelle vecteur vecteur lié, le couple (M,V  ) constitué constitué par un point M de ε et un vecteur V  de E C'est un vecteur dont l'origine, la direction et le sens sont connus. Un tel vecteur est défini de manière unique.

On dit par exemple : La vite sse du du point point mat matéri ériel el M à l’i l’inst nstan antt t. c à d vitesse A l’instant t, on doit connaître : La position du point M La direction et le sens du mouvement La valeur de la vitesse (norme) Hassan.chaffoui

V 

M

2

 

Dans la suite du chapitre, on raisonnera sur un système (S) de  n vect ve cteu eurs rs liliés és ( S ) : = ( M  , V 1 ), ( M  , V 2 ),   .....   , (  M  , V i ),   .....   , ( M  , V n ) 1 2 i 1 , V i ),   1 ≤ i ≤  n On note : ( S ) = ( M    i

1.1.b) Vecteur glissant (ou axial)  C'est un vecteur dont l'origine est quelconque, mais la direction, le sens et le module sont imposés. Un tel vecteur peut glisser sur son support (∆) pourvu que son module ne change pas. Ce vect vecteur eur est utilisé utilisé en mécanique ique pour représenter le mom moment ent d'une force, la vitesse demécan rotation; etc. . . représenter Hassan.chaffoui

3

 

On dit par exemple : La rotation du point matériel s’effectue dans le plan, autour de l’axe x3. A l’instant l’instant t la vitesse vitesse de rotation est est connue à travers :

Le plan plan où s’effe s’effectu ctue e la rotati rotation on et son sens nous permettent d’avoir : Sens de la rotation

ω

Le nombre de tours/min donne le module Généralement, on représente la vitesse De rotation par une courbe fléchée, indiquant le sens de rotation

Hassan.chaffoui

4

 

1.1.b) Vecteur libre  C'est un vecteur dont la direction, le sens et le module sont imposés par contre l'origine est le support sont quelconques. Un tel vecteu vecteurr est défini défini à une tra translation nslation arbitraire arbitraire près.

Hassan.chaffoui

5

 

1.2. Résultante d’un système de N vecteurs liés  On appelle résultante de N vecteurs V i le vecteur R définie par : N

R=

∑

Vi

i =1

1.3. Champ des moments d’un système de N  vecteurs liés  Soit un point P∈ε, on appelle moment en P du système de N vecteurs liés, le vecteur noté M , tel que :

M  M  s ( P ) =

 N 

∑   PM i

Hassan.chaffoui

i =1

∧ V i

6

 

M  s ( P ) 1.4. Pro Propri priété été fon fondam damenta entale le du du champ  champ  M   N 

Parr dé Pa défi fini niti tion on :

M  s ( P ) = M 

   PM i ∑ i =1

∧ V  i

Soit un autre point A ≠ P, On écrit donc : M  M  s ( P ) =

 N 

∑   PM i

∧ V  i =

 N 

∑ [( PA +  AM i )  ∧ V i ] i =1

i =1  N 

M  s ( P ) =  PA ∧ M 

V    ∑ i =1

 N  i

+

 AM  ∑ i =1

i

∧ V  i

  R  M      ∧ M  s ( P ) =  PA R  + M  M  ( A)  s

On déduit : Soient deux points P, A quelconques de ε et R la résultante d’un systèm sys tème e de N ve vecte cteurs urs liés liés : R = ∑ V N

i

i =1

M    R      ∧ M  s ( P ) =  PA R  + M  M  ( A) Hassan.chaffoui

Relation de transport 

7

 

1.5. Equivalence de deux systèmes (S) et (S’)  de vecteurs liés 

Deux système systèmes s (S) et (S’) sont sont équivalen équivalents ts si :

1. Ils ont l même résultante :

R = R'

2. Ils ont le même champ de moment, quelque soit Le point point M de l’espac l’espace e af affin fine e « M ∈ ε)

M s ( M     ) =  M s ' (  M )

Hassan.chaffoui

8

 

Une classe d’équivalence sur l’ensemble des vecteurs liés sera appelée un torseur.

Les torseurs sont des outils de modélisations analogues aux vecteurs, utilisés par les mécaniciens pour représenter les actions mécaniques spécifiques de plusieurs plusieur s familles familles de vecteurs vecteurs « vitess vitesses, es, moments.. moments..). ). Leur domai domaine ne d’emplo d’emploii privilég privilégié ié conc concerne erne les les études des mécanismes dans l’espace faisant intervenir des liaisons mécaniques complexes.

Hassan.chaffoui

9

 

2. Torseurs 2.1. Définition  On se donne un torseur τ, en en s se e don donna nant nt : 1. Un vec vecteu teurr libre libre R « résulta résultante nte » 2. Un cha champ mp de vecteu vecteurs rs M s ( M ) « Mom Moment ent en M de τ » 3. Sa Sati tisf sfai aisa sant nt la relation de transport : quelques soient M, P∈ ε :

M  M  s ( M ) =  MP      ∧ R  R  + M  M  ( P )

Hassan.chaffoui

10

 

2.1. Eléments de réduction d’un torseur τ en un point A Pour connaître le torseur τ en un point A, il suffit de connaître le couple (Résultante, moment au point A) :

R , M  M (R    τ  ( A)) Le couple R  R  M  M 

forme les éléments de réduction du

( ,   τ ( A)) torseur τ  τ au point A

On en déduit, la relation de transport, quelques soient M, A ∈ ε :

assan.chaffoui M   MA M  s ( M ) H=      ∧ R  R  + M  M  ( A)

11

 

2.2.. Egali Egalité té de deu deux x torseu torseurs  rs  τ ’ en en un point A 2.2  τ et τ’  Deux torseurs τ et τ’ sont égaux s’ils ont même résultante et même mê me cham champ p de mom momen ents ts : 

 R = R'  Mτ ( M )  = Mτ ' (  M )

Théorème 1 ’ sont sont égaux s’ils ont même champ de Deux torseurs τ et τ’  ’é galit  galit é  é des é des r é  ésultantes s   ultantes n ’ ’est e   st pas n é  écessaire  c   essaire » moments «  moments  « l ’é  Théorème 2

’ sont sont égaux si en un même point ils Deux torseurs  τ et τ’  ont même éléments de réduction  Hassan.chaffoui

12

 

3. Comoment de deux torseurs τ et τ’ 3.1. Définition  On appelle comoment de deux torseurs τ et τ’, le scalaire défini par :

 f ( M ) =

R '.M    τ   + R.M τ '

3.2. Invariant scalaire d’un torseur τ   τ  ( A)) R , M  M Soit un torseur τ don donné né par se ses s élé élément ments s de réduct réduction ion (R 

On appelle invariant scalaire du torseur τ la quan quanti tité té sc scala alaire ire  h = R  R   .M  M   ( M ) τ

« indépendant du point M »

On obtient l’invariant scalaire du torseur τ en calculant le comoment de τ ssan.chaffoules i 13 τ. par lui-même, en un point ou onHaconnaît éléments de réduction de

 

3.2. Invariant vectoriel d’un torseur τ Soit un torseur τ don donné né par se ses s élémen éléments ts de ré réduc ductio tion n (R     ( M )) R , M  M

R ≠

0

On appelle invariant vectoriel du torseur τ la projection M ( M )   sur R  orthogonale de M  R  M ( M ) en deux composantes : On peut décomposer le moment M  M  N  ( M ) normale à R  M T  ( M ) pa rallèle à R  R  et l’autre M  R  l’une M 

    N  (   M   ) + M  M  M ( M ) = M  M M T  ( M )

On écrit donc : Puisque

M  M T  ( M )

par  allèle à

R  R  ,

   T  ( M )  = λ.R  M R  on a : M 

L’invariant scalaire s’écrit donc :

 h = R     T  ( M ) = λR  R .M  M ( M  R  .M  M R    )  = R 

Hassan.chaffoui

14

2

 

Soit donc :

  h   ) =  M  M T  ( M 

R  R 

R  2 R 

« Invariant vectoriel indépendant du point M »

On déduit :

 

M    )+ M ( M )  =  M  M  N  ( M 

h 2

R  R 

R  R 

« Seule la partie normale M  M  N  ( M )dépend du point M »

Hassan.chaffoui

15

 

4. Torseurs particuliers d’invariants scalaires nuls

Soit un torseur τ don donné né par se ses s élémen éléments ts de ré réduc ductio tion n (R     ( M )) R , M  M De telle sorte que son invariant scalaire est nul :  h =  R    ) = 0 R .M  M  ( M  τ

4.1. Torseur nul 

Il est est défi défini ni en en un poin pointt A pa parr :

On dédui déduit, t, qu quelque elque s soit oit le le poi point nt M :

(R     ( A) = 0 R  = 0,  M  M (M    )  + R  M ( M ) = M  M  ( A R  ∧ AM  = 0

V 

Représentation graphique du torseur nul

A Hassan.chaffoui

V 

16

 

4.2. Couple  Il est est défi défini ni en en un poin pointt A pa parr :

(R  R  = 0, M  M (  A) = C  ≠ 0

M ( M ) On dédui déduit, t, quelqu quelque e soit soit le point point M : (M 

= M    )  + R  M ( A R  ∧  AM  = C 

V 

Représentation graphique du couple

A

V  Hassan.chaffoui

17

 

4.3. Glisseur  R   ≠ 0  et M  M ( A) Tel que : R  R .M  M (  A) Il est est défi défini ni en en un poin pointt A pa parr : (R 

Il existe existe une in infinité finité de vecteurs vecteurs liés uniques, R  et en A, le moment ayant pour résultantes R 

=0

M  M ( A)

R  et pa Soit oit lle ep po oint P a ap ppart rte enant à la dro droiite p pa ara rallllèl èle e à R  passant pa par R  R   P0, nous pouvons considé considéré ré les vecteurs vecteurs liés (P, ), de telle sorte que :

  ( A)  AP 0 =  R ∧ M 2 R

 AP =  AP 0 +  P0 P =

R ∧ M( A)

Hassan.chaffoui

R

2

+ λR 18

 

Représentation graphique du glisseur

P

P

 

 AP 0

∆

R  R 

0

(

  ( A)  R∧M 2 =

)

M ( A) = M  R      AP ∧ R 

R

A

R  R 

Hassan.chaffoui

19

 

5. Axe central d’un torseur de résultante résultante R  ≠ 0 Non nulle R  5.1. Définition 

On appelle axe central d’un torseur τ de résultante R  R  ≠ tell que que : M  est paral pa lèle e à R  lieu des points M de ε te M ( M ) est   rallèl R 

0 , le

On démontre que ce lieu est une droite ∆.

5.2. Démonstration analytique 

τ Soit le torseur donné par éléments éléments M de ( M  réduction réd) uction au poin pointt M de résultante R  R  ≠ 0 et de moment M  Hassan.chaffoui

Soit le repère repère or ortho thonorm normé é dire direct ct d’origi d’origine ne O .

20

 

Dans le repère (O, e , e , e ) cartésien, cartésien, le vecteur vecteur positio position n s’écrit : r

  r

1

r

2

3

OM =  x1e1 +  x2e2 +  x3e3 r

 

r

r

On écrit le moment au point O : M( O ) = M 1 .e1 + M 2 . e2 + M 3 .e3 r

 

r

r

La relation de transport, nous permet d’avoir le moment au point M

(M    ) + R  M ( M ) = M  M ( O R  ∧ OM  Soit : M( M ) =

 1  1  1  M    R   x   M   2  +  R2  ∧  x2  =     Hassan.chaffoui 3

3

3

 1 + 2 3 − 3 2  R  x  R  x   M   M 2 +  R3 x1 −  R1 x3  2 1  + − 3

1

2

2

1

 M  

 R 

 x 

 M 

 R  x

 R  x 

 

   ( M ) R  // M  M On cherche, les points M tels que : R  La situation R     ( M ) est traduite par : R  // M  M

 M 1 +  R2 x3 −  R3 x2  R1

=

 M 2 +  R   3 x1 −  R1 x3  R2

=

 M 3 +  R1 x2 −  R2 x1  R3

Ce sont les équations d’une droite ∆ dans ε. Axe central de τ.

Hassan.chaffoui

22

 

5.3. Propriétés d’axe central  5.3.a. Le moment est constant le long de l’axe central. Ce qui se traduit par :

  ) = h2 R  ∀ M  ∈ ∆ ,  M     ( M  R  M R  R 

En effet : on sait qu’en ttout out poi point nt de l’l’espace, espace, on peut écrire :     N  (   M   ) + M  M  M ( M ) = M  M M T  ( M )

En un point point M quelcon quelconque que : M  M ( M )

2

= M      N  (   M )  M

Si  M  ∈ ∆ , on   a  :   M  M ( M ) = Hassan.chaffoui

R  R 

2

R  R 

2

+ M  M T  ( M )

2

car : M  M  N  (  M    ) = 0 ∀ M  ∈ ∆

23

 

∆: Ainsi, on déduit que le moment est minimal sur l’axe central M  M ( M   )

2

=   M  M T  ( M )

2

5.3.c. L’axe central d’un glisseur est l’axe du glisseur En effet effet,, su surr l’ax l’axe e d’un gl glisse isseur ur on a M  :  ( M   ) = 0 M donc de norme minimale

5.3.d. L’axe central est parallèle à R  R  Démo Dé mons nstr trat atio ion n:

  ) = M  ∀ M , N  ∈ ε,  M  M ( M  M (  N ) + MN  ∧ R  R     ( M ) = M  si  M , N  ∈ ∆ , on a : M  M M ( N ) = h2 R  R  R  R 

Hassan.chaffoui

∧ R  R  =

∀

24

∈∆

soit :  MN 

0,  

M, N

 

6. Opérations sur les torseurs 6.1. Addition de deux torseurs  Soient deux torseurs τ1 et τ2 donnés par éléments de réduction, en un même point A ∈ ε :

τ1 (M  M 1  ( A), R  R 1 )

et

τ 2 (M  M  2  ( A), R  R  2 )

La somme des deux torseurs τ1 et τ2, est un torseur

τ noté :

τ = τ1 +  + τ  τ2, dont les éléments de réduction sont : Tels que :

τ(M  R  ) M (   A), R

M  M ( A) = M  M 1 ( A)  + M  M  2 ( A ) R  R  = R  R 1 +HR  R ass 2an.chaffoui

25

 

6.2. Produit d’un torseur par un scalaire  Soit le torseur τ don donné né par ses ses éléments éléments d de e réducti réduction, on, en un un même point A ∈ ε : τ(M  M (   A), R  R ) On appelle produit de τ par un réel λ, le torseur noté λτ dont les élém éléments ents de ré réduct duction ion sont sont : λτ (λM     (  A  ), λR R  ) M

Remarque :  Remarque :  L’ensemble des torseurs muni des opérations d’addition et de multiplication, forme un espace vectoriel.

Hassan.chaffoui

26

 

7. Décomposition canonique d’un torseur en la somme d’un glisseur et d’un couple Théorème  Etan Et antt do donné nné un tors torseu eurr τ de résultante R R   ≠ 0

• Si h ≠ 0, τ se décompose en la somme d’un glisseur de résultanteR  R  , d’axe central ∆ et d’un  couple de moment

=

 h 2

R  R 

τ • Si h = 0,

∆

R   R

est un glisseur G ( , Hassan.chaffoui

) 27

R  R 

 

Démonstration Considérons l’axe central ∆ de τ et P un point de cet axe.  h

R , Les éléments de réduction de τ en P sont : τ(R 

2

R  R )

R  R 

On peut donc écrire, au point P

τ(R  R ,  h2 R  R ) R  R 

=  

τ (R  R ,0) + τ  ( 0 ,  h2 R  R )

1

2

R  R 

τ1 est un glisseur d’axe central ∆  h R  R  τ2 est un couple de moment R  R 

Hassan.chaffoui

2

28

 

8. Champs vectoriels équiprojectifs 8.1. Définition  Un champ de vecteur V ( M ) est équiprojectif si, ∀ M, N ∈   ε,   on a :

V ( M ). MN    = V ( N ). MN 

V ( M )

M

N P

Q

V ( N ) Hassan.chaffoui

29

≠  

8.2. Application aux torseurs  Théorème Le champ de moments d’un torseur est équiprojectif et, réciproquement, tout champ de vecteurs équiprojectif peut être considé con sidéré ré comme comme un torseu torseur. r. Démonstration Soit un torseur τ de résultante R R   et de champ de moments

M  M ( M )

  ) + MN  ∧ R  M ( M ) = M  M (  N  R  ∀ M, N∈ ε, on a : M  M      ). MN  + M ( M ). MN  = M  M ( N  Soit : Car :

( MN  ∧ R  R ). MN 

M ( M ).  MN  M    M ( N ). MN  = M 

(

Hassan.chaffoui ∧   R     ). =0 R

30

 MN 

  MN 

 

Réci Ré cipr proq oque ueme ment nt : Si V ( M ) est équiproje équiprojectif, ctif, il existe un vecteur vecteur R libre tel que : ∀ M , N  ∈ ε,   V ( M    ) = V ( N ) + MN  ∧ R

9. Torseurs représentés par le système particulier des vecteurs liés 9.1. Vecteurs liés concourants en un point O  3

Ses éléments de réduction sont :

V 

2

V 

V 3  

M (O ) =  0  ,  R  R  = τ(M 

N  i V  ∑ )

i =1

Hassan.chaffoui

V 1

O 31

 

 h =  R  R .M  Mτ  (  O ) = 0

A chaque vecteur lié lié, on peut associer un glisseur.

Théorème La somme de N glisseurs d’axes concourants en un point O, de résultan résultantes tes resp respect ective ives s V i est :  N 

• Un torseur n nu ul Si :

R R   =

  i∑=1V i

= 0

• Un glilis sseur d’axe axe ∆ // passant Hassan.chaffpar oui O, si :

R  R  =

 N 

  ∑ V i i =1

≠ 0

32

 

9.2. Vecteurs liés // entre eux  Soient N vecteurs V i liés aux points i tous parallèles entre eux et au vecteur unitaire

Posons :

V i =  m u i

et

 N 

 m = ∑

Ai

 m

i

A2 A1

i = 1

u

En un point O, quelconque de ε, les éléments de rédu réduct ction ion Sont Sont :

A3

Ν  Ν 

Ν  Ν 

ι = 1 

ι = 1 

R = ∑ V  i = ∑  m u =  m u

i M  M ( O ) = ∑ OA i ∧ V i = ∑ OA i ∧ m i u = ∑ ( OA i ∧ m i u ) Hassan.chaffoui

33

 

Di Disc scus ussi sion on :  N 

a. Si m =

∑  m

i

= 0

R  R  =

i =1

0

R  =  0  , h = 0) τ est soit le torseur nul soit un couple : (R   N 

b. Si m =

∑  m i =1

i

≠ 0

R  ≠ R 

0

τ est un glisseur d’axe parallèle à R  R  Par quel poi point nt pass passe e cet cet axe axe ? Par quel Soit O, O, un point point dont lequel les les élémen éléments ts de ré réduction duction sont :

R  R  ≠

0 M  M  ( O ) =

OA i ∧ V  i  =   Hassan.chaffoui

OA i ∧  m u 34

∑

 

∑

i

Soit G le barycentre des Ai affectés des masse mi. :  N 

=

 m.OG

i OA i  m i =1

∑

Les éléments de réduction en O de τ sont :

R =

u

Résultante

M(O ) =    OG ∧ R Moment au point O

On déduit : M(G ) = M (O )   + R ∧ OG =

0 

C’est un glisseur d’axe // passant R Hassan.chaffoui

35

 

Théorème  Une somme de glisseurs d’axes // et de résultantes respectives

V i =  mi u , est

un :

 N 

1. Torseur nul ou un couple si  m =

  ∑  m

i

= 0 d’axe central

i =1

∆ et d’un couple de moment =

 h R

2

R

2. Un glisseur d’axe parallèle à R =

u

, passant par le

barycentre G des point Ai affectés des masses mi, de résultanteR . Hassan.chaffoui

36