Torque y Equilibrio Rotacional

 

Momento Mom ento d de e torsión  y equilibrio rotacional

Puente Golden Gate: Los ingenieros mecánicos deben asegurarse de que todas las fuerzas y momentos de torsión estén equilibrados en el diseño y la construcción de los  puentes. (Foto © vol. 44 PhotoDisc/   Getty.)

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Capítulo 5

M o m e n t o d e t o r s i ó n y e q u i l i b r i o r o t a c iio onal

Objetivos C u a n d o t e r m i n e d e e s t u d i a r e s tte e c a p í t u l o e l a llu umno: 1.   I lust lust rará rará m ed iant e ejem p los y def iniciones s su u com prensión de lo los s t érm inos brazo de palanca   y momento de torsión. 2.   Calcul Calculará ará e ell m o m en t o de t orsión result ant e respect o a cua lquier eje, dadas la las s m agnit udes y posiciones de las f uerzas que act úan sobre un objet o alargado. 3.  

Det erm inará la las s f uer uerzas zas o di dist st ancias desc onocidas ap li lican can do la prim era y se

gunda condiciones de equilibrio. 4 .   D e f iin n irá c e n t rro o d e g r a v e d a d y d a rrá á e j e m p l o s d e d ic ic h o c o n c e p t o .

En los capítulos anteriores nos hemos referido a las fuerzas que actúan en un solo punto. Existe un equilibrio traslacional cuando la suma vectorial es cero. Sin embargo, en muchos casos las fuerzas que actúan sobre un objeto no tienen un punto de aplicación común. Este tipo de fuerzas se llaman no concurrentes.  Por ejemplo, un mecánico ejerce una fuerza en el maneral de una llave para apretar un perno. Un carpintero utiliza una palanca larga para extraer la tapa de una caja de madera. Un ingeniero considera las fuerzas de torsión que tienden a arrancar una viga de la pared. El volante de un automóvil gira por el efecto de fuerzas que no tienen un  punto  pu nto de ap aplica lica ció ciónn com ún. En casos cas os com o ést éstos, os, pue de ha habe berr u na tendencia a girar  que   que se define como momento de torsión.  Si aprendemos a medir y a prever los momentos de torsión torsión  prod  pr oduc ucido idoss ppor or cierta ci ertass fuerz fu erzas as,, será s erá po sib sible le o bte ne nerr los efec e fectos tos rotac ro tac ion ionale aless ddese eseado ados. s. Si no se desea la rotación, quede noequilibri haya ningún mo mento de torsión resul tante. Esto conduce en forma natural aes la preciso condición equilibrio o rotaciona l , que es muy resultante. importante en aplicaciones industriales y en ingeniería.

'V i á U

Co n nd d iic c io io n ne es d e e q u il i l ib i b r iio o Cuando un cuerpo está en equilibrio, equilibrio, debe encontrase en reposo o en estado de movimiento rectilíneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton, lo único que puede cambiar dicha situación es la aplicación de una fuerza resultante. Hemos visto que si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tienen un solo punto de intersección y si su suma vectorial es igual a cero, el sistema debe estar en equilibrio. Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción  común, tal vez exista equilibrio traslacional pero no equilibrio rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando. Al estudiar el equilibrio debemos tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza además de su magnitud. Considere las fuerzas que se ejercen sobre la llave de tuercas de la figura 5.1a. Dos fuerzas F iguales y opuestas se aplican a la derecha y a la izquierda. La primera condición de equilibrio nos dice que las fuerzas horizontales y verticales están equilibradas; por lo tanto, se dice que el sistema está en equilibrio. No obstante, si las mismas dos fuerzas se aplican como indica la figura 5.1b, la llave de tuercas definitivamente tiende a girar. Esto es cierto incluso si el vector que resulta de la suma de las fuerzas sigue siendo cero. Es obvio que se requiere una segunda condición de equilibrio que explique el movimiento rotacional. Un enunciado formal de esta condición se presentará posteriormente, aunque antes es necesario definir algunos términos. En la figura 5.1b, las fuerzas F no tienen la misma línea de acción. La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se extiende inde f inidam en t e a llo o largo del ve ct or en am bas di direcciones. recciones.

Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersecan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un punto llamado eje de rotación. En nuestro ejemplo, el eje de rotación es una línea imaginaria que pasa a través del perno en dirección perpendicular a la página.

 

5.2 El braz o de palanca

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(b) Figura 5.1 (a) Hay equilibrio puesto que las fuerzas tienen la misma línea de acción, (b) N Noo hay equilibrio  porque  porq ue las fuerzas f uerzas opuestas opuesta s no tienen la misma mis ma línea líne a de acción.

iñ ,

E! brazo de palanca La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza se llama brazo  de palanca   de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Por ejemplo, si se ejerce una fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relación con su centro. (Véase (V éase la figura 5.2.) El brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular que hay de la línea de acción de la fuerza al eje de rotación.

Si la línea de acción de la fuerza pasa por el eje de rotación (punto A de la figura 5.2), el  bra zo de pa palan lanca ca es cero. Se ob obser serva va que no ha hayy efecto efe cto rot rotac acion ional, al, ind indep epen endie die nte me nte de la

I

\ \ \ \ \ \ X v

A |

Ii

B

c

F

i f

1

i  A

J m

La fuerza no equilibrada F no produce ningún efecto rotacional ro tacional sobre el punto A, pero cada vez es más eficaz a medida que aumenta su brazo de palanca. Figura 5.2

 

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Ca ap p íítt u l o 5

M o m e n t o d e t o rrs sió ón n y e q u ilil iib b r i o ro ro t a ac c io io n a all

Momento de

torsiójjpj^gativo o

(a) Momento de torsión positivo fvíoméñtocle

(c (c)) Figura 5.3

Ejemplos

de brazo  brazoss

(d )

de palanca palanc a r.

magnitud de la fuerza. En este sencillo ejemplo, los brazos de palanca en los puntos  B y C   son simplemente la distancia de los ejes de rotación al punto de aplicación de la fuerza. Sin embargo, hay que notar que la línea de acción de la fuerza no es más que una sencilla construcción geométrica. El brazo de palanca se traza perpendicular a esta línea. Puede ser igual a la distancia del eje al punto de aplicación de la fuerza, pero esto es cierto sólo cuando la fuerza aplicada aplicad a es perpendicu lar a esta distancia. En los ejemplos de la figura 5.3, r  representa  representa el brazo de palanca y O, el eje de rotación. Estudie cada ejemplo, observando cómo se trazan los brazos de palanca y razonando si la rotación es en el mismo sentido o contraria al avance de las manecillas del reloj con respecto a O.

Momento de torsión

La Estación Espacial Internacional se montó usando una versión de alta tecnología de un taladro inalámbrico. La herramienta con empuñadura de pistola, o PGT, que funciona con baterías, puede contar el número de vueltas y limitar la cantidad de momento de torsión aplicado a un perno. La NASA exige a los diseñadores usar sólo un tipo de perno, uno que puedan agarrar fácilmente los astro-nautas en sus trajes de EVA (extravehicular activity).

Se ha definido la fue rza  como un tirón o un empujón que tiende a causar un movimiento. El momento de torsión r se define define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional. En algunos textos se le llama también momento de fuerz a .* Como ya hemos visto, el movimiento rotacional se ve afectado tanto tanto por la magnitud de u na fuerza F  como por su  brazo  bra zo de pa palan lanca ca r.  Por tanto, definiremos el momento de torsión como el producto de una fuerza por su brazo de palanca.  Mo me nto de tor sión sió n   =  fu er za   X brazo de palanca  t 

 

= F r  

(5.1)

Es preciso entender que en la ecuación (5.1) r   se mide en forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del momento de torsión son las unidades de fuerza por distancia, distanci a, p or ejemplo, newton-metro   (N •m) y libra-pie   (Ib • ft). Ya antes se estableció una convención de signos para indicar la dirección de las fuerzas. La dirección del momento de torsión depende de si éste tiende a producir la rotación en el sentido de avance de las manecillas del reloj, o sentido retrógrado (sr), o en dirección contraria a ellas o sentido directo (sd). Seguiremos la misma convención que para medir ángulos. Si la fuerza F tiende a produc ir una rotación contraria a la de las manecillas con respecto a un eje, el momento de torsión se considerará positivo. Los momentos de torsión en el sentido de avance de las manecillas del reloj se considerarán negativos. En la figura 5.3, todos los momentos de torsión son positivos (sd), excepto el correspondiente a la figura 5.3a. * En algunos textos, al mom ento de torsión tamb ién se le llama torque o torca. (N. del R. T.) T.)

 

5. 5.3 3 M o m e nt o de t orsi orsión ón

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Se ejerce una fuerza de 250 N sobre un cable enrollado alrededor de un tambor de 120 nim de diámetro. ¿Cuál es el momento de torsión producido aproximadamente al centro del tambor? Trace un esquema, como el de la figura 5.4, y extienda la línea de acción de la fuerza. Determine el brazo de palanca r   y luego encuentre el momento de torsión de la ecuación (5.1). Plan:

S o l u c i ó n : Observe que la línea de acción de la fuerza de 250 N es perpendicular al diámetro del tambor; por lo tanto, el brazo de palanca es igual al radio del tambor.

 D   120 mm r = — =   2 2   -----------

o

r =  60

mm = 0.06 m

La magnitud del momento de torsión se obtiene a partir de la ecuación (5.1). r = Fr =  (250 N)(0.06 m) = 15 15.0 .0 N • m Finalmente, determinamos que el signo del momento de torsión es negativo porque tiende a causar una rotación aproximadamente al centro del tambor. Por tanto, la respuesta debe escribirse como r = —15 15.0 .0 N • m

Figura 5.4

Fuerza tangencial ejercida por un cable enrollado alrededor de un tambor.

Un mecánico ejerce una fuerza de 20 Ib en el extremo de una llave inglesa de 10 in, como se observa en la figura 5.5. Si este tirón forma un ángulo de 60° con el mango de la llave, ¿cuál es el momento de torsión producido en la tuerca? A partir del esquema ordenado, d eterminaremos el brazo de palanca, m ultiplíquelo ultiplíquelo  po r llaa m ag agnit nitud ud de la fue f uerza rza y lue luego go asigne asig ne el signo sign o ade cu cuad adoo según seg ún la conven con venció ción. n. Plan:

S o l u c i ó n : Primero trace un esquem a ordenado, extienda la línea de acción de la fuerza de 20 Ib, y dibuje el brazo de palanca como se mostró. Observe que el brazo de palanca r  es  es  perp  pe rpen endic dic ul ular ar ttan anto to a la líne lí neaa de acc ión de la fuer fu erza za com c om o al eje ej e de d e rotaci rot ación ón.. Debe De be r ec ecord ord ar que el brazo de palanca es una construcción geométrica y puede estar o no sobre alguna

 

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C a p íítt u l o 5

Mo om me en n tto o d e t o r s i ó n y e q u i l i b rrii o r o t a c i o n a l

Figura 5.5

Cálculo del momento de torsión.

estructura física, como el mango de la llave de tuercas. A partir de la figura se obtiene r =  (10 t

in) sen 60° = 8.66 in   = Fr — (20 lb)(8.66 in) in) = 173 Ib • in

Si se desea, este momento de torsión se puede transformar en 14.4 Ib • ft.

En algunas aplicaciones, es más útil trabajar con las componentes   de una fuerza para obtener el momento de torsión resultante. En el ejemplo anterior se podría haber separado el vector de 20 Ib en sus componentes horizontal y vertical. En vez de hallar el momento de torsión de una sola fuerza, sería necesario encontrar el momento de torsión de las dos fuerzas componentes. Como indica la figura 5.6, el vector de 20 Ib tiene sus componentes F x y F , las cuales se calculan por trigonometría: Fx  =

(20 lb)(cos 60°) = 10 Ib Fy  = (20 lb)(sen 60°) = 17.3 Ib

Observe en la figura 5.6b que la línea de acción de la fuerza de 10 Ib pasa por el eje de rotación. Esto no produce ningún momento de torsión porque su brazo de palanca es cero. Por tanto, el momento de torsión total se debe a la componente de 17.3 Ib, que es perpendicular al mango. El brazo de palanca de esta fuerza es la longitud de la llave inglesa, y el momento de torsión es t

 

= Fr =   (17.3

lb)(10 in)

=

173 Ib • in

Observe que utilizando este método se obtiene el mismo resultado. No hacen falta más cálculos, porque la componente horizontal tiene un brazo de palanca de cero. Si elegimos las componentes de una fuerza a lo largo y perpendicularmente a la distancia conocida, tan sólo sólo nos interesa el momento de torsión de la componente perpendicular.

(a) (b) Figura 5.6 Método de las componentes para el cálculo del momento de torsión.

 

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5. 4 M o m e nt o de t orsión resul resultt ante ante

Momento de tor sión r esultante En el capítulo 3 se demostró que la resultante de varias fuerzas se puede determinar sumando las componentes  x  y y  de cada fuerza, y así obtener las componentes de la resultante.  R,  =  Ax  +  B x  + Cx  + • • •  Ry  =  A y  +  By  + Cy  + • • • Este procedimiento se aplica a fuerzas que tienen un punto de intersección común. Las fuerzas que carecen de una línea de acción común producen una resultante del momento de torsión, además de una resultante de la fuerza traslacional. Cuando las fuerzas aplicadas actúan en el mismo plano, el momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión positivos y negativos debidos a cada fuerza. r R =  2

T = Ti + t 2 + t 3 + " '

(5 .2 )

Hay que recordar que los momentos de torsión en contrasentido al avance de las manecillas del reloj son positivos, y los que tienen el mismo sentido de avance de las manecillas son negativos. Un elemento esencial en las técnicas eficaces para resolver problemas es la organización. El siguiente procedimiento resulta útil para calcular el momento de torsión resultante.

Cá áll c u llo o d e l m o m e n t o d e t o r s i ó n r e s u l ta ta n t e

1. Lea el problem a y luego dibuje dibu je una figura y marque los datos. 2.   Construya un diagrama de cuerpo libre que indique indique todas las fuerzas, distancias y el eje de rotación. 3.  Extienda las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas. 4.  Dibuje y marque los brazos de palanca de cada fuerza.

5.

Calcule los brazos de palanca si es necesario. Calcule los momentos de torsión debidos a cada fuerza independientemente de otras fuerzas; asegúrese de asignar el signo apropiado (sd = + y sr = —). ^ ' El mom ento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión de cada fuerza. Véase la ecuación (5.2).

Una pieza angular de hierro gira sobre un punto  A,  como se observa en la figura 5.7. Determine el momento de torsión resultante en  A   debido a las fuerzas de 60 N y 80 N que actúan al mismo tiempo. Plan: Extienda las líneas de acción de las dos fuerzas y determine sus brazos de palanca usando la trigonometría y los ángulos dados. Para cada fuerza, hay que notar si la tenden

*80

 

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Capítulo 5

M o m e n t o d e t o r s i ó n y e q u i l i b r i o r o t a c iio onal

cia a rotar sobre el punto  A  será positiva o negativa por convención. convención. El m omento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión individuales. Los brazos de palanca r   y r, se marcan, como en la figura figura 5.7b. 5.7b. Las longitudes de los brazos de palanca son: Solución:

rx =

(12 cm) sen 50° = 9.19 cm r2  = (10 cm) sen 70° = 9.40 cm Si causado se considera eje de(sd). rotación, el momento de torsión debido F es negativo el por  A F,  como es positivo El momento de torsión resultante se aencuentra así: (sr) y t r 

 = = = =

Tii + t 2 = Fxrx + F2r2 T —(60 N)(9.19 cm) + (80 N)(9.40 cm) —552 N • cm + 752 N • cm 200  N • cm 200 N

El momento momen to de torsión resultante resultan te es 200 N • cm, en contrasentido al avance de las manecillas del reloj. reloj. Esta respuesta se expresa mejor como 2.00 N • m en unidades del SI.

Equilibrio Ahora estamos listos para analizar la condición necesaria para el equilibrio rotacional. La condición para el equilibrio traslacional traslacional quedó establecida en forma de ecuación como ' % F X =  0

= 0

(5.3)

Si se desea asegurar que los efectos rotacionales también estén equilibrados, es preciso estipular que no hay momento de torsión resultante. Por tanto, la segunda condición de equilibrio es: La sum a algebraica de t odos los m om ent os de t orsión respect o de cualquier eje debe ser cero.

2 T = Ti + T2 + ^3 + ' ' ' = 0

(5.4)

La segunda segund a condición de equilibrio simplemente nos indica que los momentos de torsión en el sentido de avance de las manecillas del reloj reloj están equilibrados con co n precisión por los mom entos de torsión en contrasentido al avance de las manecillas. manecillas. M ás aún, puesto que la rotación no ocurre respecto a ningún punto, podemos po demos elegir cualquier punto com o eje de rotación. Mientras los brazos de palanca se midan respecto al mismo punto para cada fuerza, el momen momento to de torsión resultante será de cero. Los problemas se simplifican si se elige el eje de rotación en el punto de aplicación de una fuerza desconocida. Si una fuerza particular tie tiene ne un brazo de palanca de cero, no contribuye al momento de torsión, independientemente de su magnitud.

Estrategia para resolver problemas Equilibrio rotacional

1. Trace y marque un esquema con todos los datos. 2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre (si es necesario), indicando las distancias entre las fuerzas. 3. Elija un eje de rotación en el punto donde se proporcione menos información, por ejemplo, en el punto de aplicación aplicaci ón de una fuerza desconocida.

4. Sume los momentos de torsión correspondientes a cada fuerza con respecto al eje de rotación elegido y establezca el resultado igual a cero.   = T \ = 2 + r3 + • •• = 0 t

r 

t

5. Aplique la primera adicionales. condición de equilibrio para obtener dos ecuaciones 6 . Calcule

las cantidades que no se conocen.

 

5.5 Equilibrio

101

w,y

l l a r Considere la situación situación que que se presenta en la figura 5.8: 5.8: Una niña que pesa 300 N y un niño niño que pesa 400 N están parados sobre una plataforma de 200 N de peso y sostenida por dos soportes  A y B. ¿Qué fuerzas ejercen los soportes sobre la plataforma? Trace un diagrama de cuerpo libre (véase la figura 5.8b) que muestre claramente todas las fuerzas y las distancias entre ellas. Si el peso de la tabla se distribuye de manera uniforme, se puede co nsiderar que todo el peso de la tabla actúa sobre su centro geom étrico. Estudie el centr centro o de graved ad   en en la sección 5.6. Las fuerzas desconocidas se determiPlan:

nan al aplicar las dos condiciones de equilibrio. S o l u c i ó n : Al aplicar la primera condición cond ición de equilibrio a las fuerzas verticales, obtenemos 5 ) /