Toroide PDF

 

Toroide (coordenadas

toroidales)

El toroide o toro es un sólido que tiene la siguiente forma:

Se trata de un anillo formado por la rotación de un círculo respecto a un eje coordenado (en este caso z). Donde a es el “radio máximo” del círculo, b es la distancia entre el origen, r el radio del círculo (variable), β es el ángulo de rotación respecto al centro del ccírculo, írculo, α es el ángulo de rotación en torno al eje de rotación (eje z en este caso). Entonces, Entonc es, definimos nuestro n uestro cambio de coordenadas como:

 = ( +  cos) cos  = = ( += csos) osin) sin

 

 

 

Dónde:

0≤≤ 0 ≤  ≤ 2 0 ≤  ≤ 2  

   

 

Luego se calcula el jacobiano:

−( + cos)si n  −si n cos ((,,,,)) = coscos cossinsin  ( +  co0s)co s)coss  − sicnos sin 

 

 

= |+cos[cos sin  [[sisi=ns sinsincosco s((+(++ccoscoocoscoss))s+)+co+cocoscosssisisn  (scion+s((cos)+ co coscos)| os) s ))]]|− 0  

 

Finalmente:

((,,,,)) = ( + coscos))

Observación: Para este caso se usó el eje

 

z como centro del toroide, pero las fórmulas

dadas aquí se pueden generalizar. Ejemplo: Si el centro del toroide es el eje x, las coordenadas toroidales quedan de la siguiente manera:

 = sin   = ( +  coscos ) cos  = ( +  cos ) sin