TOPOLOGÍA

TOPOLOGÍA MANUEL CURREA 614101008 Fundación Universitaria Konrad Lorenz March 16, 2012

2

Contents

I

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

ESPACIOS TOPOLÓGICOS

5

¿Qué es topología? . . . . . . . . . Espacios Topológicos . . . . . . . . Vecindades . . . . . . . . . . . . . Los Números Reales . . . . . . . . Bases de Topologías . . . . . . . . Espacios Métricos . . . . . . . . . Espacios Normados . . . . . . . . . Conjuntos Cerrados . . . . . . . . Interior de un Conjunto . . . . . . Adherencia y Frontera . . . . . . . Puntos de Acumulación y Derivado

II

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CONTINUIDAD Funciónes Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 11 13 15 17 21 23 25 26 28

31 33

3

4

CONTENTS

Introducción

El presente documento se realiza con el …n de demostrar la su…ciencia en el curso de TOPOLOGÍA, que imparte la Fundación Universitaria Konrad Lorenz como parte de su programa academico de pregado en Matematicas. Repasaremos los conceptos básicos de Topología, haciendo énfasis en el desarrollo de ejemplos.

Todos los ejercicios que se encuentran aqui desarrollados, son los propuestos en el libro: TOPOLOGÍA BÁSICA escrito por José M. Muñoz Quevedo. Se utilizo la edición del año 2003. Al inicio de cada sección se hace una pequeña introducción con los teoremas y de…niciones necesarios para el desarrrollo de los ejercicios.

El trabajo aqui presentado ha sido apoyado por la profesora Jenny Carvajal Caminos, quien sugirio el texto y motivo el dearrollo y presentacion del presente escrito.

Muchas gracias por el apoyo brindado, espero que este trabajo sirva tambien como ayuda a los proximos estudiantes del curso de TOPOLOGÍA.

MANUEL CURREA

Part I

ESPACIOS TOPOLÓGICOS

5

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¿Qué es topología?

En nuestro diario vivir es común utilizar palabras como; exterior, interior y frontera. Para la mayoria de la población no presenta inconveniente el tratar de describir, la frontera de un país, o el interior de un edi…cio o la frontera con el siguiente vecindario. Pero digamos que tomamos el conjunto de todos los números racionales Q; ¿cuál es el interior de Q? ¿Cúal es la frontera?. Se hace entonces necesario de…nir conceptos claros que nos permitan decidir sin ambigüedades, si dado un punto p este se encuentra en la frontera, el interior o el exterior de un conjunto. Proporcionar tales criterios es uno de los …nes de la topología.

Si tenemos un conjunto A y tomamos todos los puntos interiores de A , a este conjunto lo simbolizamos int(A): Entonces el exterior de A es simplemente el interior del complemento de A; y la frontera de A son los puntos que no estan en el interior y tampoco en el exterior, si notamos por ext(A) y F r(A) , al exterior y la frontera de A respectivamente, tenemos;

ext(A) = int(CA)

F r(A) = C(int(A) [ ext(A)) = C(int(A) [ int(CA))

podemos concluir entonces que si podemos calcular el interior de un conjunto, inmediatamente tenemos el exterior y la frontera, por esta razón la mayoria de textos se concentra solo en la noción de interior.

8

Espacios Topológicos De…nition 1 Sea X un conjunto no vacío; una topología de X es una colección de subconjuntos de X (a los cuales llamaremos abiertos) que satisface las condiciones siguientes: T oda union de conjuntos de

es un conjunto de :

(T1)

La interseccion de cualquier coleccion f inita de conjuntos de ; es un conjunto de (T2) El conjunto vac{o y el mismo conjunto X pertenecen a Una pareja (X; ) constituida por un conjunto X y una topología llama un espacio topológico.

(T3) de X; se

Podemos escribir las condciones T1, T2 y T3 trabajando con uniones e intersecciones de colecciones de conjuntos

2 1;

2 ; ::: n

2

) )

;; X 2

[

n \

i=1

i

2

(T1)

2

(T2)

Podemos suprimir T3 ya que se halla implicita en T1 y T2 asi; si A 2 ; [

A2;

A = fg = ;

\

A=X

A2;

Example 2 Halle todas las topologías de X = f0; 1g 1 2 3

= f;; Xg

= f;; f1g ; Xg = f;; f2g ; Xg

se veri…can facilmente T1 a T3.

(T3)

9

Example 3 Halle todas las topologías de X = fa; b; cg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

= f;; Xg

= f;; fag ; Xg = f;; fbg ; Xg

= f;; fcg ; Xg

= f;; fa; bg ; Xg

= f;; fa; cg ; Xg = f;; fb:cg ; Xg

= f;; fag ; fa; bg ; Xg

= f;; fag ; fa; cg ; Xg = f;; fag ; fb; cg ; Xg = f;; fbg ; fa; bg ; Xg

= f;; fbg ; fa; cg ; Xg = f;; fbg ; fb; cg ; Xg

= f;; fcg ; fa; bg ; Xg

= f;; fcg ; fa; cg ; Xg = f;; fcg ; fb; cg ; Xg

= f;; fa; bg ; fa; cg ; Xg = f;; fa; bg ; fb; cg ; Xg

= f;; fa; cg ; fb; cg ; Xg

se veri…can facilmente T1 a T3. notemos sin embargo, que 20 = f;; fag ; fbg ; Xg no es una toplogía, ya que fag y fbg son abiertos, pero fag [ fbg no pertenece a asi que no se cumple T1. existen varios conjuntos de este tipo. Example 4 Sea (n) = f0; 1; 2; 3; :::; n 1g = fk 2 N j k < ng : Pruebe que fNg [ f (n) j n 2 Ng es una topología de N = f0; 1; 2; 3; :::g : Para probar que es topología, debemos veri…car las condiciones T1 a T3. Veri…quemos T1; en efecto (n) es subconjunto de N; tomemos (n) y (m); al ser subconjuntos de N, claramente ( (n) [ (m)) 2 N; y por ser subconjuntos de N podemos decir que esta union pertenece a la topología de N; en resumen ( (n) [ (m)) 2 (N; ); donde = fNg [ f (n) j n 2 Ng ahora bien podemos tomar; [ ( (n) [ (m)) n;m2N

y cualquier union de estas pertenecera a ; ya que para todo n, (n) 2 :

10

Veri…quemos T2 escogiendo (n) y (m); entonces ( (n) \ (m)) sera con p = menor(n; m) y (p) 2 ; ya que = fNg [ f (n) j n 2 Ng : T3, se cumplen trivialmente.

(p)

Example 5 Si 1 y 2 son topologías de X; pruebe que 1 \ 2 es una topología de X: Para probar que 1 \ 2 es una topología, debemos veri…car las condiciones T1 a T3. sea Ai 2 1 \ 2 y Bi 2 1 \ 2 ; con i 2 I entonces Ai [ Bi 2 1 \ 2 ; ya que Ai [ Bi esta formado por abiertos, es decir Ai es un abierto en ! 1 \ 2 y Bi es [ una abierto en 1 \ 2 : Entonces podemos escribir Ai [ Bi 2 1 \ 2 ; con lo cual se cumple T1. Por otro lado si tomamos A 2 A\ B 2 1 \ 2 ; con lo que se cumple T2

i2I 1\ 2

yB2

1 \ 2;

entonces

Example 6 La topología cd de las colas a la derecha de X; es aquella cuyos abiertos son reuniones de colecciones cualesquiera de colas a la derecha de X: Pruebe que realmente cd es una topología. Por de…nición un abierto basico en cd es [a; 1) = fx 2 R j a xg esto nos dice que x esta en [a; 1) si sucede a ag; entonces [a; 1) =

1 [

[a +

n=1

1 ; 1) n

con lo que [a; 1) es union de abiertos y por tanto pertenece a cd ; en otra palabras se cumple T1. por otro lado tomemos [c; 1) y [d; 1) que pertenecen a cd ; [c; 1) \ [d; 1) = [max(c; d); 1) con lo que T2 se cumple. Example 7 Considere el espacio topológico (R; cd ) (R dotado de la topología de las colas a derecha); demuestre que para todo número real b, el conjunto (b; 1) es abierto en este espacio topológico. Debemos demostrar que (b; 1) se puede expresar como union de abiertos de esta topología, por de…nición un abierto basico en cd es [a; 1) = fx 2 R j a xg entonces es facil ver que (b; 1) =

1 [

n=1

[b +

1 ; 1) n

con lo que (b; 1) esta formado por abiertos basicos de esta topología. Por tanto es abierto en este espacio topológico.

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Vecindades En un espacio topológico X; se llama vecindad de una parte A de X a todo conjunto que contiene un abierto que contiene a A: Las vecindades de una conjunto unitario fxg se llaman simplemente vecindades de x: Theorem 8 Un conjunto es abierto si y solamente si es vecindad de cada uno de sus puntos. llamamos (x) al conjunto de las vecindades del punto x, asi pues el conjunto de las vecindades de A.

(A) será

Theorem 9 T oda parte de X que contiene a una vecindad de X; es una vecindad de x: (V1)

T oda interseccion f inita de conjuntos de (x); es un conjunto de (x): (V2)

El punto x pertenece a todo conjunto de

(x):

Si V 2 (x); existe W 2 (x) tal que 8y 2 W; V 2 (y):

(V3)

(V4)

De…nition 10 x es punto interior de A si existe una vecindad de x contenida en A. Example 11 Dados X = fa; b; c; d; eg y (b); (e); (fa; cg): Según el teorema 8

= f;; X; fa; bg ; fc; dg ; fa; b; c; dgg halle

(b) = ffa; bg ; fa; b; cg ; fa; b; dg ; fa; b; eg ; fa; b; c; dg ; Xg (e) = fXg (fa; cg) = ffa; b; c; dg ; Xg

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Example 12 Se dice que un espacio topológico (X; ) es T0 o de Kolmogoro¤ , si para todo par de puntos distintos a; b de X, existe un conjunto W en tal que

(a 2 W ^ b 2 = W ) _ (a 2 = W ^ b 2 W ):

es decir, si esxiste una vecindad abierta de uno de los dos que no contiene al otro punto.

pruebe que R con su topología usual es T0

Como x 6= y; existe " > 0 tal que jx yj > "; entonces sea x 2 W y W : al ser W un conjunto de (R; usual ); podemos escoger a W como W = fx 2 R j x " < x < x + "g = (x "; x + "); y como " < jx yj ; entonces y 2 = W: Siempre que tengamos x 6= y escogemos un " > 0 tal que en (R; usual ); existe un conjunto W con la propiedad que (x 2 W ^ y 2 = W ): De manera análoga se demuestra que (x 2 = W ^ y 2 W ):

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Los Números Reales En esta sección realizaremos un repaso de las propiedades de los números reales que juegan un papel importante en la topología Dado cualquier real positivo r > 0: existe (al menos) un número natural n tal que r > n1 > 0: Propiedad Arquimedeana de R : (8x > 0)(8z)(9n 2 N)(nx > z) Axioma de completitud de R : Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente, tiene mínima cota superior (supremo o Sup) en R: Todo subconjunto no vacío de R acotado inferiormente, tiene máxima cota inferior (ín…mo o Inf) en R: Entre dos números reales cualquesquiera siempre existe un número racional. Entre dos números reales cualesquiera siempre existe un numero irracional.

De…nition 13 Un subconjunto I de R se llama intervalo si todo punto de R que esté entre dos puntos de I; también está en I; es decir, si (8x; y 2 I)(8z)(x < z < y ) z 2 I) \ Theorem 14 Sea & una colección de intervalos tal que I 6= ;; entonces L = [

I2&

I es un intervalo.

I2&

Theorem 15 Todo abierto no vacío de R es la unión de una colección contable de intervalos abiertos disyuntos dos a dos. Example 16 Demostrar que entre dos números reales distintos siempre existe un racional. Sin perdida de generalidad podemos decir que existen x; y 2 R: por la propiedad Arquimedeana 9n 2 N tal que n > y 1 x : Para este n tenemos que ny nx > 1: Por otro lado tambien de la propiedad de Arquimedes se desprende que si nx > 0; entonces 9m 2 N tal que m 1 nx < m: Esta m cumple que m < ny; ya que si tomamos ny nx > 1; tenemos que ny > 1 + nx m: Por tanto se m tiene nx < m < ny; de donde x < m < y; siendo un número racional entre n n dos reales distintos.

14

Example 17 Demostrar que entre dos números reales distintos siempre existe un irracional. p Sabemos que 2 es un irracional, entonces si en el ejemplo anterior llamamos px < p < p= m n ; podemos tomar dos reales x; y de tal forma que se cumpla que 2 p p py ; de donde obtenemos x < 2p < y; siendo 2p un irracional entre dos reales 2 distintos.

Example 18 Sea (X; ) un espacio topológico y sea x 2 X; se dice que una colección (x) es un sistema fundamental de vecindades de x, si para toda vecindad V de x; existe otra vecindad W 2 (x) tal que W V: Demostrar que en R y en R2 con sus topologías usuales, todo punto posee un sistema fundamental de vecindades enumerable, es decir, con tantas vecindades como números naturales. En (R; usual ) tomamos (x) = x n1 ; x + n1 j n 2 N ; es facil ver que (x) es un sistema fundamental de vecindades ya que para cada n tengo una vecindad para la cual n + 1 sera otra vecindad con la condicion Vn+1 Vn ; siendo n enumerable. En (R2 ; usual ) basta con tomar un disco de radio 1=n centrado en P; es decir si P = (x; y), ( P es el punto de coordenadas x; y ) un sistema fundamental de vecindades seria el conjunto formado por los discos centrados en p con radio 1=n n o (x) = D 1 (P ) j n 2 N n

donde D 1 (P ) = (x1 ; y1 ) j d((x; y); (x1 ; y1 ) < n

p

(x1

x)2 + (y1

1 n

y)2 <

y d es la distancia usual

1 n

2

cumpliendo asi las condiciones necesarias para ser sistema fundamental de vecindades para cualquier punto de R2 :

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Bases de Topologías Llamamos base de una topología a un conjunto de abiertos, de forma tal que cualquier elemento de la topología puede obtenerse como union de los elementos de la base.

De…nition 19 Sea (X; ) un espacio topológico. Una subclase de se llama una base de la topología si todo conjunto abierto (es decir, todo elemento de ) puede obtenerse como unión de miembros de : Theorem 20 Sea (X; ) un espacio topológico. un conjunto de X es una base para si y sólo si (8V 2 )(8x 2 V )(9W 2 )(x 2 W

de partes abiertas

V)

es decir, si dados cualquier abierto V y cualquiera de sus puntos, existe un abierto de contenido en V y que contiene al punto dado. Theorem [ 21 Una familia de conjuntos es base de alguna topología del conjunto X= B si y sólo si para cada par de miembros U y V de y para cada punto B2

x en U \ V; hay un conjunto W en tal que x 2 W y W U \ V es unión de miembros de ).

U \ V: (es decir, si

Theorem 22 Sea S una familia no vacía de subconjuntos de X: La colección de todas las intersecciones …nitas de miembros de S es base de una topología de X: Se dice que es generada por S y que S es una sub-base de : A los elementos de S se les llama abiertos sub-básicos. De…nition 23 Dos bases topología de X:

y

0

0

en X se llaman equivalentes si generan la misma

Theorem 24 Dos bases y en X son equivalentes si y sólo si se cumplen simultáneamente las dos propiedades siguientes: 0 0 (a) Para todo V de y para todo x en V; existe V 2 tal que x 2 V y 0 V V: 0 0 0 0 (b) Para todo V de y para todo x en V ; existe V 2 tal que x 2 V y 0 V V : Si solamente se cumple (a), la topología generada por es un subconjunto 0 propio de la generada por :

16

Example 25 Si X es fa; b; c; d; eg y S = ffa; b; cg ; fb; c; dg ; fb; egg ; halle la topología generada por S:

Primero hallamos la base

como interseccion de elementos de S

= ffa; b; cg ; fb; c; dg ; fb; eg ; fb; cg ; fbg ; Xg Ahora podemos describir la topología como union de elementos de la base

= ffa; b; cg ; fb; c; dg ; fb; eg ; fb; cg ; fbg ; fa; b; c; dg ; fa; b; c; eg ; fb:c:d:eg ; fb; c; eg ; Xg es la topología generada por S:

Example 26 Pruebe que los intervalos abiertos de extremos racionales forman una base de la topología usual de R y en consecuencia dicha topología tiene una base enumerable. Tomemos la colección

= f(p; q) j p < q; p; q 2 Qg Podemos expresar R como la unión de esta coleccion;

R=

[

(pi ; qi )

i2Q

siendo una base para la topología usual de R y como el cardinal de mismo de Q Q; entonces es enumerable.

es el

17

Espacios Métricos En cualquier espacio podemos de…nir una distancia o tambien llamada metrica, que no es mas que una forma de medir distancias entre puntos del espacio. Una distancia (o una métrica) entre dos puntos de un conjunto X; es una función d : X X ! R; con algunas propiedades adicionales que corresponden a nuestro concepto intuitivo de distancia: D1) 8x8y(d(x; y) 0) y 8x8y(d(x; y) = 0 si y sólo si x = y) D2)8x8y(d(x; y) = d(y; x)); propiedad llamada "simetría de la distancia". D3)8x8y8z(d(x; y) d(x; z) + d(z; y)); propiedad llamada "desigualdad triangular" A un conjunto X no vacío dotado de una métrica d, se le llama un espacio métrico y se le nota (X; d): En (X; d) se de…ne bola abierta de centro p y radio r en la forma Br (p) = fx 2 X j d(x; p) < rg : Example 27 Sean (X1 ; d1 ); (X2 ; d2 ); (X3 ; d3 ) espacios métricos y sea X = X2 X2 X3 el producto cartesiano de los conjuntos X1 ; X2; X3: De…namos d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = max fd1 (x1; y1 ); d2 (x2 ; y2 ); d3 (x3 ; y3 )g e 1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = d1 (x1; y1 ) + d2 (x2 ; y2 ) + d3 (x3 ; y3 ) d((x

Demostrar que d y de son métricas sobre X: Para demostrar que son métricas debemos veri…car que se cumplan D1; D2 y D3: Debemos teber en cuenta que d esta de…nidad de la forma usual; es decir; p d(x; y) = (x y)2 = jx yj D1 para d d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) 0 si (x1 ; x2 ; x3 ) 6= (y1 ; y2 ; y3 ) tenemos

d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = max fd1 (x1; y1 ); d2 (x2 ; y2 ); d3 (x3 ; y3 )g np p p max fd1 (x1; y1 ); d2 (x2 ; y2 ); d3 (x3 ; y3 )g = max (x1 y1 )2 ; (x2 y2 )2 ; (x3

y3 )2

o

18

al ser (xp 1 ; x2 ; x3 ) 6= (y1 ; y2 ; y3 ) si tomamos x1 6= y1 , tenemos que x1 con lo cual (x1 y1 )2 > 0 asi que np o p p max (x1 y1 )2 ; (x2 y2 )2 ; (x3 y3 )2 > 0

y1 6= 0

y lo podemos asegurar con cualquier x o y, asi que d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) > 0: Por otro lado si (x1 ; x2 ; x3 ) = (y1 ; y2 ; y3 ); entonces x1 = y1 ; x2 = y2 ; x3 = y3 y asi tenemos que x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = 0; teniendo que d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = max fd1 (x1; y1 ); d2 (x2 ; y2 ); d3 (x3 ; y3 )g np p p max fd1 (x1; y1 ); d2 (x2 ; y2 ); d3 (x3 ; y3 )g = max (x1 y1 )2 ; (x2 y2 )2 ; (x3

y por lo tanto d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) D1 para de e d((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) 0 si (x1 ; x2 ; x3 ) 6= (y1 ; y2 ; y3 ) tenemos

0:

d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = d1 (x1; y1 ) + d2 (x2 ; y2 ) + d3 (x3 ; y3 ) p p p (x1 y1 )2 + (x2 y2 )2 + (x3 d1 (x1; y1 ) + d2 (x2 ; y2 ) + d3 (x3 ; y3 ) =

al ser (xp 1 ; x2 ; x3 ) 6= (y1 ; y2 ; y3 ) si tomamos x1 6= y1 , tenemos que x1 con lo cual (x1 y1 )2 > 0 asi que p p p (x1 y1 )2 + (x2 y2 )2 + (x3 y3 )2 > 0

o y3 )2 = 0

y3 )2

y1 6= 0

e 1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) > 0: y lo podemos asegurar con cualquier x o y, asi que d((x Por otro lado si (x1 ; x2 ; x3 ) = (y1 ; y2 ; y3 ); entonces x1 = y1 ; x2 = y2 ; x3 = y3 y asi tenemos que x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = 0; teniendo que e 1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = d1 (x1; y1 ) + d2 (x2 ; y2 ) + d3 (x3 ; y3 ) d((x p p p d1 (x1; y1 ) + d2 (x2 ; y2 ) + d3 (x3 ; y3 ) = (x1 y1 )2 + (x2 y2 )2 + (x3

e 1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) y por lo tanto d((x D2 para d

y3 )2 = 0

0:

d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = d ((y1 ; y2 ; y3 ); (x1 ; x2 ; x3 )) max

np

max fd1 (x1; y1 ); d2 (x2 ; y2 ); d3 (x3 ; y3 )g = max fd1 (y1 ; x1 ); d2 (y2 ; x2 ); d3 (y3 ; x3 )g o np p p p p (x1 y1 )2 ; (x2 y2 )2 ; (x3 y3 )2 = max (y1 x1 )2 ; (y2 x2 )2 ; (y3

x3 )2

o

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p p Es claro que (x1 y1 )2 = (y1 x1 )2 ; asi que esta ultima expresión es equivalente, por tanto d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = d ((y1 ; y2 ; y3 ); (x1 ; x2 ; x3 )): D2 para de e 1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = d((y e 1 ; y2 ; y3 ); (x1 ; x2 ; x3 )) d((x

d1 (x1; y1 ) + d2 (x2 ; y2 ) + d3 (x3 ; y3 ) = d1 (y1; x1 ) + d2 (y2 ; x2 ) + d3 (y3 ; x3 ) p p p p p y1 )2 + (x2 y2 )2 + (x3 y3 )2 = (y1 x1 )2 + (y2 x2 )2 + (y3 x3 )2 p p Es claro que (x1 y1 )2 = (y1 x1 )2 ; valido tambien para las otras raíces e 1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = asi que esta ultima expresión es equivalente, por tanto d((x e 1 ; y2 ; y3 ); (x1 ; x2 ; x3 )): d((y D3 para d d ((x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) d ((x1 ; x2 ; x3 ); (z1 ; z2 ; z3 ))+d ((z1 ; z2 ; z3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) d ((x1 ; x2 ; x3 ); (z1 ; z2 ; z3 ))+d ((z1 ; z2 ; z3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) = max fd1 (x1; z1 ); d2 (x2 ; z2 ); d3 (x3 ; z3 )g+ max fd1 (z 1; y1 ); d2 (z2 ; y2 ); d3 (z3 ; y3 )g np o np o p p p p max (x1 y1 )2 ; (x2 y2 )2 ; (x3 y3 )2 max (x1 z1 )2 ; (x2 z2 )2 ; (x3 z3 )2 + o np p p max (z1 y1 )2 ; (z2 y2 )2 ; (z3 y3 )2 De las propiedades de los reales sabemos que jx + yj jxj + jyj ; si sustituimos x = x1 z1 y y = z1 y1 p (x1

d(x; y) = jx + yj = j(x1

z1 ) + (z1

y1 )j

jx1

z1 j+jz1

y1 j = d(x; z)+d(z; y)

Aplicando este hecho en nuestra función max claramente se cumple la propiedad D3 para de e 1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) d((x e 1 ; x2 ; x3 ); (z1 ; z2 ; z3 ))+d((z e d((x p 1 ; z2 ; z3 ); (y p1 ; y2 ; y3 )) 2 + (x e e d((x ; x ; x ); (z ; z ; z ))+ d((z ; z ; z ); (y ; y ; y )) = (x z ) z2 )2 + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 p p p p (xp z3 )2 + (zp y1 )2 + (z2p y2 )2 + (z3 py3 )2 3 1 p 2 2 + 2 2 + (x y ) + (x y ) (x y ) (x y ) (x2 y2 )2 + 1 1 2 2 3 3 1 1 p p p p 2 2 2 2 (x3 y3 ) + (x1 y1 ) + (x2 y2 ) + (x3 y3 ) De las proiedades de los reales sabemos que jx + yj jxj + jyj ; si sustituimos x = x1 z1 y y = z1 y1 d(x; y) = jx + yj = j(x1

z1 ) + (z1

y1 )j

jx1

z1 j+jz1

Usando este hecho tenemos que d(x1 ; y1 )

d(x1 ; z1 ) + d(z1 ; y1 )

d(x2 ; y2 )

d(x2 ; z2 ) + d(z2 ; y2 )

d(x3 ; y3 )

d(x3 ; z3 ) + d(z3 ; y3 )

y1 j = d(x; z)+d(z; y)

20

Sumando terminos

d(x1 ; y1 )+d(x2 ; y2 )+d(x3 ; y3 )

d(x1 ; z1 )+d(z1 ; y1 )+d(x2 ; z2 )+d(z2 ; y2 )+d(x3 ; z3 )+d(z3 ; y3 )

reemplazando la de…nición de d p p p p p 2 + 2 (x1 y1 )2p+ (x2 y2 )p (x3 y3 )p (x1 y1 )2 + (x2 p (x3 y3 )2 + (x1 y1 )2 + (x2 y2 )2 + (x3 y3 )2

y2 )2 +

con lo que …nalmente tenemos

.

e 1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) d((x

e 1 ; x2 ; x3 ); (z1 ; z2 ; z3 )) + d((z e 1 ; z2 ; z3 ); (y1 ; y2 ; y3 )) d((x

Como se cumplen D1; D2 y D3; entonces d y y de son metricas.

21

Espacios Normados De…nition 28 Sea X un espacio vectorial real o complejo; una norma sobre X es una función kk : X ! R que satisface las propiedades siguientes: ! ! N1) kxk 0 y (kxk = 0 sii x = 0 ); donde 0 es el vector nulo. N2) k xk = j j kxk para todo 2 R y x 2 X: N3) kx + yk kxk + kyk (desigualdad triangular). Un espacio vectorial sobre el cual se ha de…nido una norma se llama un espacio vectorial normado o simplemente un espacio normado. Todo espacio normado tambien es un espacio métrico. De…nition 29 (Producto Interior ( )) Se deben cumplir las siguientes propiedades: ! P1) 8x (x x 0) y 8x (x x = 0 ssi x = 0 ) P2) 8x8y (x y = y x) P3) (8 ; 2 R)(8x; y; z)( x + y) z = (x z) + (y z) Si un espacio vectorial esta dotado de un producto interior, su norma se de…ne como p kf k = x x Example 30 Sea X el conjunto de todas las funciones continuas y acotadas de…nidas en el intervalo [0; 1] y con valores en R; notado por C[0; 1]: Si f y g son funciones de C[0; 1] sede…ne su suma f +g como la funcion que calculada en x vale f (x)+g(x); o sea que para todo x de [0; 1]; se tiene (f +g)(x) = f (x)+g(x) y se de…ne el producto del escalar por f como la función f que evaluada R 1 en cualquier x vale f (x); es decir, ( f )(x) = (f (x)): Probar que f g = 0 f (x)g(x)dx es un producto interior en X y halle la norma determinada por este producto de funciones. Para demostrar que es un producto interior debemos veri…car P 1; P 2 y P 3: P1 R 1 f f = 0 f (x)f (x)dx 0; lo cual es evidente ya que f pertenece a C[0; 1] y esta integral existe, solo es cero en el caso en que f = 0 P2 R R1 1 f g = 0 f (x)g(x)dx = g f = 0 g(x)f (x)dx; de la misma de…nición y por ser continuas en C[0; 1]; el valor de estas integrales es el mismo asi que f g = g f: P3 ( f + g) h = (f h) + (g h)

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R1 R1 ( f (x)+ g(x))h(x)dx = 0 ( f (x)h(x)+ g(x)h(x))dx = 0 ( f (x)h(x))dx+ 0 ( g(x)h(x))dx R1 R1 f (x)h(x)dx + 0 0 g(x)h(x)dx = (f h) +R (g h) 1 Como se cumplen las tres condiciones, f g = 0 f (x)g(x)dx es un producto interior. La norma estaria de…nida como: s Z 1 p kf k = f f = [f (x)]2 dx

R1

R1 0

0

23

Conjuntos Cerrados De…nition 31 Sea (X; ) un espacio topológico; un subconjunto F de X se llama cerrado si su complemento es abierto, es decir, si X F = CF 2 : Theorem 32 Toda intersección de conjuntos cerrados, es un conjunto cerrado y toda unión …nita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

De…nition 33 Una colección de partes de un espacio topológico X se llama localmente …nita, si para todo punto x de X existe una vecindad V de x; tal que V encuentra tan solo un número …nito de partes de la colección (es decir, V \ A 6= ; tan solo para un número …nito de partes A de la colección ). Theorem 34 La unión de una colección localmente …nita de partes cerradas de un espacio topológico X; es cerrada en X: Theorem 35 En un espacio métrico, toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Ejercicio 36 Demuestre que A = n1 j n 2 N; n > 1 no es un subconjunto cerrado de R: Vemos claramente que 0 2 = A; es decir 0 2 CA; y como no existe ninguna vecindad que contenga a 0 en CA; entonces CA no es abierto, por tanto A no es cerrado. Ejercicio 37 Pruebe que en R2 toda bola abierta contiene una bola cerrada concéntrica. recordemos primero las de…niciones de bola abierta y cerrada Bola Abierta: Br (P ) = Q 2 R2 j d(P; Q) < r Bola Cerrada: Br [P ] = Q 2 R2 j d(P; Q) r En R2 una bola abierta de radio r centrada en P; seria: si P = (h; k) p (x h)2 + (y k)2 < r es decir un disco con centro en (h; k) de radio r; entonces existe un r > > 0; tomemos ahora

si hacemos

[

n2N

p (xn

h)2 + (yn

entonces el conjunto

p

k)2 > +

(xn

1 n

h)2 + (yn

por lo tanto su complemento es cerrado, es decir

> 0 tal que

k)2 > + n1 es abierto

24

p

como

(x

h)2 + (y

k)2

< r; hallamos una bola cerrada contenida dentro de una abierta en R2 :

25

Interior de un Conjunto

De…nition 38 En un espacio topológico X; se dice que un punto p es punto interior de un subconjunto A de X cuando A es vecindad de p, es decir, cuando existe un abierto contenido en A y que contiene al punto p: El conjunto de los puntos interiores de A se llama el interior de A y se nota A o int(A): Claramente int(A)

A:

Theorem 39 Si V es un abierto contenido en A; entonces V int(A): Es decir; respecto a la contenencia, int(A) es el máximo conjunto abierto contenido en A: Theorem 40 El interior de un conjunto es la unión de todos los abiertos contenidos en el conjunto, es decir, es el mayor abierto contenido en el conjunto. Theorem 41 Un conjunto es abierto si y sólo si es igual a su interior. De…nition 42 Se llama exterior de un conjunto al interior de su complemento. Si A

X; ext(A) = int(CA)

Ejercicio 43 En el espacio topológico R; halle int(Q); int(I) No existe a < b tal que (a; b) Q; ya que cualquier intervalo contiene in…nitos puntos racionales e iirracionales, entonces int(Q) = ; Int(I) = ; Ejercicio 44 En R con la topología de las colas a derecha; qué es: ¿int((0; 1))?; ¿int(( 1; 2])?; ¿int[5; 1))? int((0; 1)) = ; int(( 1; 2]) = ; int([5; 1)) = [5; 1)

26

Adherencia y Frontera De…nition 45 En un espacio topológico X se dice que un punto p es adherente a un subconjunto A de X (o que pertenece a la adherencia de A ), si toda vecindad de p encuentra a A: El conjunto de los puntos adherentes a A se llama la adherencia (o la clausura) de A se nota A; o sea que p 2 A , (8V 2 (p))(V \ A 6= ;) Theorem 46 C(A) = int(CA) = ext(A) y C(int(A)) = CA Theorem 47 Todo cerrado que contiene a A; contiene a A; o sea que, con respecto a la contenencia, A es el mínimo cerrado que contiene a A. De esta propiedad es evidente que si A es cerrado, entonces A = A: Theorem 48 A es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A: Theorem 49 Sea X un conjunto no vacío y supongamos dada una función "de adherencia" ad : }(X) ! }(X) tal que i) ad(;) = ; ii) A ad(A) iii) ad(ad(A)) = ad(A) iv) ad(A [ B) = ad(A) [ ad(B) Entonces la colección = fCA j A

X ^ ad(A) = Ag

es una topología para X y es tal que para todo subconjunto A de X, su adherencia A (con respecto a ) coincide con ad(A): De…nition 50 Un punto x se llama un punto frontera de A, si toda vecindad de x encuentra a A y a CA: El conjunto de los puntos frontera de A se llama la frontera de A y se nota F r(A): Ejercicio 51 Demuestre que A [ B = A [ B De la de…nición tenemos que A = A y B = B; en particular A A y B B , de donde podemos a…rmar que A [ B A [ B y en consecuencia A [ B A [ B: Como A [ B es cerrado, entonces A [ B = A [ B y A [ B A [ B: Por otro lado A A [ B y B A [ B; entonces A A [ B y B A [ B; es decir A [ B A [ B: Finalmente como A [ B A [ B y A [ B A [ B; entonces A [ B = A [ B:

27

Ejercicio 52 Pruebe que A

F r(A) = int(A)

Sabemos que int(A) = A \ (X F r(A)); entonces es facil ver que

F r(A)) , por lo tanto A

F r(A) = A \ (X

A\(X F r(A)) = A\(int(A)[int(X A) = (A\int(A))[(A\int(X A)) = int(A)

De donde podemos concluir que A

F r(A) = int(A):

Ejercicio 53 Demuestre que A es cerrado si y sólo si A Si A es cerrado, entonces A = A A = A [ F r(A) = A , A es cerrado.

F r(A):

F r(A): Por otra parte si A

F r(A) como

Ejercicio 54 Hallar la adherencia de los siguientes subconjuntos de R Q=R A=

1 n

jn2Z =A

(0; 3] = [0:3]

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Puntos de Acumulación y Derivado En un espacio topológico X; se dice que x 2 X es un punto de acumulación (o un punto límite) de un subconjunto A de X; si toda vecindad de x encuentra a A fxg ; es decir, si toda vecindad de x intersecta a A en puntos distintos de x: El conjunto de los puntos de acumulacion de A se llama el derivado de A y se nota Aa : Theorem 55 A = A [ Aa Theorem 56 A es cerrado si y sólo si A contiene a su derivado Sea A un subconjunto de un espacio topológico X: Un punto p de A se llama punto aislado de A; si existe una vecindad V de p tal que V \ A = fpg : Theorem 57 Un subconjunto A de X es denso en X si y sólo si todo abierto no vacío de X encuentra a A:

Example 58 Demostrar que para cualquier subconjunto A de un espacio topológico, (Aa )a Aa y concluya que Aa es cerrado. Para mostrar esta propiedad primero demostraremos lo sifuiente. En (X; ) , E X es cerrado si y sólo si E a E: (Teorema 56) Para demostrar este teorema tomaremos una proposición equivalente: E X no es cerrado si y sólo si E a \ (X E) 6= ;: Supongamos que E X no es cerrado, entonces X E no es abierto, entonces existe x 2 X E tal que para cualquier abierto G que contiene a x, E \ G 6= ;; es decir x 2 E a esto implica que E a \ (X E) 6= ;: Por otro lado supongamos que E a \ (X E) 6= ;; sea x 2 E a \ (X E); como x 2 E a ; dado cualquier G tal que x 2 G; G \ E 6= ; es decir, no existe ningún abierto A en x tal que x 2 A X E; por lo tanto resulta que X E no es abierto, es decir E no es cerrado. Con lo que queda probado el teorema 56. Sea A X; Ahora bien si F es cerrado de forma que A F; entonces Aa F ya que si A F ! Aa F a ; pero F es cerrado asi que F a F , por lo tanto a A F: Si x 2 (Aa )a A esto implica que si G es un abierto que contiene a x entonces G fxg \ Aa 6= ; y si y 2 G fxg \ Aa como y 2 Aa y G es un abierto que lo contiene entonces G fyg \ A 6= ;: Como x 2 = A existe z 2 G fyg \ A tal que z 6= x por lo tanto z 2 G fxg \ A es decir x 2 Aa :

29

Finalmente (A [ Aa )a A [ Aa es cerrado.

Aa [ (Aa )a

Con lo que queda demostrado que (Aa )a

Aa [ Aa [ A = A [ Aa ; por lo tanto

Aa con Aa cerrado.

30

Part II

CONTINUIDAD

31

33

Funciónes Continuas De…nition 59 Una función f de un espacio topológico (X; ) en otro (Y; ) es 0 continua en x0 2 X; si para toda vecindad V de f (x0 ); existe otra vecindad V de 0 x0 ; tal que f (V ) V : Theorem 60 Sea f una función de un espacio topológico X en un espacio topológico 0 X ; las propiedades siguientes son equivalentes: (a) f es continua. (b) Para todo subconjunto A de X; f (A) f (A): 0 (c) La imagen recíproca de todo subconjunto cerrado de X es un subconjunto cerrado de X: 0 (d) La imagen recíproca de todo subconjunto abierto de X es un abiero de X: 0

0

00

Theorem 61 Si f : X ! X y g : X ! X son aplicaciones continuas, entonces 00 g f : X ! X es continua. 0

0

De…nition 62 Un espacio topológico (X; ) es homeomorfo a otro (X ; ) cuando 0 existe una biyección f : X ! X tal que f y su función inversa f 1 son continuas. 0 La función f se llama un homeomor…smo entre X y X : Example 63 Pruebe que f : R ! R dada por f (x) = x2 es continua. Para nuestro caso basta demostrar que f 1 ((a; b)) = fx 2 R j a < f (x) < bg ; con a < b, es abierto. Tenemos tres casos i) 0 < a < b ii) a < 0 < b iii) a < b < 0 Entonces p p p p f 1 ((a; b)) = ( pb; p a) [ ( a; b) f 1 ((a; b)) = ( b; b) f 1 ((a; b)) = ; En cualquier caso f 1 ((a; b)) es abierto Es importante aclarar que f 1 (Abierto) = abierto ; f (Abierto) = (Abierto) porque, f (f 1 (A)) 6= A; en general. Theorem 64 Dada una función f : X ! Y entre espacios topológicos, las siguientes a…rmaciones son equivalentes: 1) f es continua 2) f es continua en el punto a para todo a 2 X 3) F es cerrado en Y ) f 1 (F ) cerrado en X 4) A X ) f (A) f (A)

34

Example 65 Demostrar el teorema 64. La demostración se simpli…ca si probamos que a ! b ! c ! d ! a Es obvio el hecho que 1) ! 2); para la implicación en el sentido contrario tomemos U abierto de Y , para cada x 2 f 1 (U ) se tiene que f (x) 2 U y [ por esto 1 existe V (x); vecindad de x tal que V (x) f (U ): Si tomamos W = V (x); 1 donde x recorres f (U ) = W = Abierto: Como sabemos de la teoria de conjuntos: "el complemento de la imagen inversa es la imagen inversa del complementario" entonces 1) $ 3): Para ver que 3) ! 4) es sencillo ver que A f 1 (f (A)) f 1 (f (A)): Como f (A) es cerrado, tomando las adherencias tenemos A f 1 (f (A)) f 1 (f (A)); lo que implica quef (A) f (A): En el otro sentido tenemos que si F es cerrado, tomando A = f 1 (F ) se tiene f (f 1 (F )) f (f 1 (F )) F = F; y por esta razón f 1 (F ) f 1 (F ): Quedando demostrado todo el teorema.