TOPOLOGIA GENERAL

March 28, 2017 | Author: Kimberly Marin Torres | Category: N/A

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TOPOLOGÍA GENERAL II José Luis Navarro Departamento de Matem´ aticas Universidad de Zaragoza

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

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Introducci´ on Topolog´ıa Producto Topolog´ıa Cociente Separaci´ on Compacidad Conexi´ on Espacios Homog´ eneos Grupos Lineales

´ INTRODUCCION

La Topolog´ıa General tiene sus propios objetivos, pero también nutre los fundamentos de muchas áreas matemáticas como el Análisis, la Geometr´ıa y otros campos de la topolog´ıa (Topolog´ıa Algebraica, Topolog´ıa Geométrica ó Topolog´ıa Diferencial). Tomando como modelos los espacios métricos, se ha definido sobre un conjunto X una topolog´ıa τ ⊂ P(X) y el par (X, τ ) se dice espacio topológico (e.t.) Las aplicaciones relevantes entre dos e.t. son las aplicaciones continuas y el concepto de equivalencia en topolog´ıa se llama homeomorfismo. Uno de los objetivos de cualquier área matemática es clasificar y contar. En particular, para clasificar es necesario saber discernir cuándo dos objetos son ó no equivalentes (en nuestro caso, cuándo dos e.t. son ó no homeomorfos). En general, éste es un problema muy dif´ıcil y está muy lejos de ser resuelto. La (corta) duración del curso hace necesario optar entre los diferentes caminos a seguir tras un primer cuatrimestre de generalidades. La opción elegida aqu´ı es un curso básico sobre las diferentes propiedades de un espacio topológico, tanto en su versión local como global, con aplicaciones a espacios usuales (eucl´ıdeos, proyectivos, grupos lineales,...) y estudiar si estas propiedades se conservan ó no bajo operaciones usuales (productos, cocientes,...). Definiremos

Preprint submitted to Elsevier Science

12 December 2006

pues una serie de propiedades (separaci´ on, compacidad, conexi´ on,...) que serán invariantes topol´ ogicos de los espacios (es decir, si un e.t. tiene una de estas propiedades, también la tienen todos los que son homeomorfos a él). Es más ”fácil” dar una respuesta negativa al problema del homeomorfismo que una respuesta positiva: por ejemplo Rn y Rm tienen los mismos invariantes topológicos mencionados pero no son homeomorfos si n 6= m (Teorema de la Dimensi´ on). En este curso probaremos parcialmente este resultado, dejando para cursos posteriores una respuesta general. En ellos se definirán otro tipo de invariantes, los invariantes algebraicos, que consiste en asociar a todo e.t. X ciertas estructuras algebraicas (como por ejemplo el grupo fundamental π1 (X) ó los grupos de homolog´ıa Hn (X), n ≥ 0) que nos dará más criterios para una respuesta negativa al problema: si los invariantes algebraicos son no isomorfos, los espacios no son homeomorfos. La respuesta afirmativa sigue siendo dif´ıcil: Uno de los grandes problemas de la Topolog´ıa es saber si una 3-variedad M 3 con los mismos invariantes topológicos y algebraicos que S 3 es homeomorfa a S 3 (Conjetura de Poincar´ e, 1904). Esta conjetura no pudo ser resuelta durante todo el siglo XX y pasó a ser uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute. En 2002 el matemático ruso Gregori Perelman anunció una solución a través de dos publicaciones en internet. En el XXV Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Madrid en agosto de 2006 se reconoció como correcto el trabajo de Perelman y dicha conjetura pasó a ser un teorema. Volviendo al contenido de este curso, lo primero que cabe destacar es que en un e.t. (X, τ ) es más relevante la topolog´ıa τ que el conjunto X: entre la topolog´ıa indiscreta τI = {∅, X} y la topolog´ıa discreta τD = P(X) pueden definirse muchas topolog´ıas sobre un mismo conjunto X t.q. los (X, τ ) tienen propiedades distintas y por tanto no son homeomorfos mientras que conjuntos distintos pueden ser topológicamente equivalentes. En el curso previo se dieron una serie de topolog´ıas no usuales sobre espacios usuales (recta de Sorgenfrey, plano de Moore, plano del semidisco,...) que conviene recordar por ser u ´tiles ejemplos (más bien contraejemplos) de que ciertas propiedades no se conservan en subespacios, productos ó cocientes.

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TOPOLOGÍA PRODUCTO

Dado un conjunto X y una aplicación f : X −→ (Y, τY ), la familia f −1 (τY ) = {f −1 (V )|V ∈ τY } 2

es la menor topolog´ıa sobre X t.q. f es continua: si τX es otra topolog´ıa sobre X t.q. f es continua entonces es claro que f −1 (τY ) ⊂ τX . Tal topolog´ıa f −1 (τY ) se denomina topolog´ıa d´ ebil inducida por f . Dados dos e.t. X e Y , consideramos el producto cartesiano X × Y y queremos definir una topolog´ıa sobre él t.q. las proyecciones canónicas p1 y p2 sean −1 continuas, es decir p−1 1 (U ) = U × Y y p2 (V ) = X × V deben ser abiertos en X × Y para todo U ∈ τX y V ∈ τY . Es claro que la menor topolog´ıa sobre X × Y que hace continuas las proyecciones es la que tiene a dichos conjuntos como subbase, es decir Sp = {U × Y |U ∈ τX } ∪ {X × V |V ∈ τY } es subbase de una topolog´ıa τp sobre X × Y que se denominará topolog´ıa producto. Dadas f : Z −→ X y g : Z −→ Y , existe una aplicación h : Z −→ X × Y u ńica t.q. t.q. p1 h = f y p2 h = g (propiedad universal del producto directo). Notar que h(z) = (f (z), g(z)) y es usual denotar h = (f, g). 2.1 Proposici´ on h es continua si y sólo si lo son f y g. En particular, la diagonal ∆ : X −→ X × X es continua. Dem. Si h es continua, entonces f = p1 h y g = p2 h también lo son, por serlo las proyecciones. Rec´ıprocamente, si f y g son continuas y U × V es un abierto en −1 X × Y , entonces h−1 (U × V ) = h−1 (U × Y ∩ X × V ) = h−1 (p−1 1 (U ) ∩ p2 (V )) = −1 −1 −1 −1 −1 h−1 p−1 (U ) ∩ g −1 (V ) abierto 1 (U ) ∩ h p2 (V ) = (p1 h) (U ) ∩ (p2 h) (V ) = f en Z, luego h continua. Ejercicio 01 Probar los siguientes homeomorfismos (1) X × Y ≈ Y × X. (2) (X × Y ) × Z ≈ X × (Y × Z). (3) X × {pt} ≈ X ≈ {pt} × X. Ejercicio 02 Dados A ⊂ X y B ⊂ Y , probar las siguientes afirmaciones: (1) (2) (3) (4) (5)

A × B = A × B. (A × B)0 = A0 × B ∪ A × B 0 Int(A × B) = Int(A) × Int(B). F r(A × B) = [A × F r(B)] ∪ [F r(A) × B]. A × B es denso en X × Y si y sólo si A denso en X y B denso en Y .

Ejercicio 03 Sean B x y B y bases de entornos de x ∈ X e y ∈ Y , probar que {U x × V y |U x ∈ B x , V y ∈ B y } es una base de entornos de (x, y) en X × Y . Ejercicio 04 Probar que X × Y es I-AN, II-AN y separable, respectivamente, 3

si y sólo si lo son ambos factores. Ejercicio 05 Sea RS la recta de Sorgenfrey. ¿Cual es la topolog´ıa producto en RS × RS ? ¿Cual es la topolog´ıa inducida en A = {(x, y) ∈ R2 |x + y = 1}? Ejercicio 06 En R2 , con la topolog´ıa usual, se consideran los subespacios A = {(x, y) ∈ R2 |xy = 0} y B = {(x, y) ∈ R2 |xy = 1}. Estudiar si A es abierto en R2 y en M = A ∪ B. Estudiar si U = {(x, 0) ∈ R2 |x ∈ R} es entorno del origen en R2 y en M . Ejercicio 07 En R2 , con la topolog´ıa usual, se consideran los subespacios C = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} D = {(x, y) ∈ R2 |x = y} y sea N = C ∪ D. √y √ Estudiar si C es entorno de ( 2, 2) y de (0, 1) en N . Sea X un conjunto, {(Xi , τi )}i∈J una familia de e.t. y {fi : X −→ Xi }i∈J una familia de aplicaciones. Definimos la topolog´ıa d´ ebil sobre X inducida por la familia {fi }i∈J como la menor topolog´ıa que hace continuas las fi . El conjunto S = topolog´ıa.

S

i∈J

Si con Si = {fi−1 (Ui )|Ui ∈ τi } es una subbase para dicha

2.2 Teorema Sea X con la topolog´ıa débil inducida por {fi }i∈J , entonces una aplicación h : Y −→ X es continua si y sólo si fi h es continua para todo i ∈ J. Dem. Si h es continua, entonces fi h es continua para todo i ∈ J, ya que las fi son continuas. Rec´ıprocamente, sea U abierto en X, entonces U es unión arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma fi−1 (Ui ), por tanto h−1 (U ) será unión arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma h−1 fi−1 (Ui ) = (fi h)−1 (Ui ), abiertos en Y si las fi h son continuas para todo i ∈ J, luego h−1 (U ) abierto y por tanto h continua. Sea ahora X = Xi , un punto del producto es una |J|-tupla (xi ) y denotamos Q por pk : Xi −→ Xk t.q. pk ((xi )) = xk la proyección canónica sobre el k-simo Q factor, entonces definimos la topolog´ıa producto τp sobre Xi como la topolog´ıa débil inducida por las proyecciones {pi }i∈J . Q

Si U ∈ τk notar que p−1 Ui , donde Uk = U y Ui = Xi para todo i 6= k. k (U ) = Una subbase de τp viene dada por Q

Sp = {p−1 i (U )|U ∈ τi , i ∈ J} =

[

{p−1 i (U )|U ∈ τi }

i∈J

y, si F recorre los subconjuntos finitos de J, una base para τp viene dada por Y

Bp = {

Uj |Uj ∈ τj , Uj = Xj , ∀j ∈ J − F }

Dada una familia de aplicaciones {fi : X −→ Xi }i∈J , existe una aplicación Q f : X −→ Xi definida por f (x) = (fi (x)), u ńica t.q. pi f = fi . Entonces 4

2.3 Corolario f es continua si y sólo si cada fi = pi f lo es. La topolog´ıa caja sobre Xi está definida por τi = { i∈J Ui |Ui ∈ τi }. Q Q Es claro que τp ⊆ τi y notar que τp = τi si J = {1, 2, ...n} (es decir, si |J| < ∞). Pero estas topolog´ıas no coinciden en el caso de una familia infinita. Q

Q

Q

Ejemplo Dada una familia infinita {(Xi , τi )}i∈J t.q. cada Xi es un espacio Q discreto con más de un punto, entonces la topolog´ıa caja τi es la topolog´ıa discreta mientras que la topolog´ıa producto τp no es discreta. 2.4 Proposici´ on Dada una familia arbitraria {(Xi , τi )}i∈J de e.t. entonces: (1) (2) (3) (4)

Las proyecciones pj : Xi −→ Xj son continuas, abiertas y sobre. Q Q Si Ai ⊂ Xi , entonces Ai = Ai . Q Q Int( Ai ) ⊂ Int(Ai ) y en general el contenido es estricto. Q Q Di denso en Xi si y sólo si Di denso en Xi para todo i ∈ J Q

Ejercicio 08 Sea {fi : Xi −→ Yi }i∈J una familia de aplicaciones y definimos Q Q Q f : Xi −→ Yi por f ((xi )) = (fi (xi )), es decir f = fi . Probar que f es continua si y sólo si fi es continua para todo i ∈ J.

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TOPOLOGÍA COCIENTE

Sea (X, τ ) un e.t. y f : X −→ Y una aplicación suprayectiva ó sobre, entonces la colección de partes de Y τ (f ) = {U ⊂ Y |f −1 (U ) ∈ τ } es una topolog´ıa sobre Y llamada topolog´ıa identificaci´ on ó topolog´ıa cociente inducida sobre Y por f . Ejercicio 09 Sea R con la topolog´ıa usual τU , Y = {a, b, c} un conjunto y f : R −→ Y una aplicación dada por f (x) = a si x > 0, f (x) = b si x < 0 y f (0) = c. Hallar la topolog´ıa identificación τ (f ) sobre Y inducida por f . Si τY es una topolog´ıa sobre Y t.q. f es continua notar que τY ⊆ τ (f ), entonces 3.1 Lema τ (f ) es la mayor topolog´ıa sobre Y que hace continua a f . Dada una aplicación continua y sobre f : (X, τX ) −→ (Y, τY ), diremos que f es una identificaci´ on si τY = τ (f ). Es claro que todo homeomorfismo es una identificación y, como (gf )−1 (U ) = f −1 g −1 (U ), es claro también que composición de identificaciones es identificación. Ejercicio 10 Sea I = [0, 1] con la topolog´ıa usual, S 0 = {0, 1} con la topolog´ıa 5

de Sierpinski y sea χ : I −→ S 0 la función caracter´ıstica de A = [1/2, 1]. Probar que χ es una identificación pero que no es abierta ni cerrada. 3.2 Proposici´ on Sea f : X −→ Y una aplicación sobre, continua y abierta (ó cerrada), entonces f es una identificación. En particular, una biyección continua es una identificación si y sólo si es un homeomorfismo. Dem. Sabemos que τY ⊆ τ (f ). Rec´ıprocamente, sea U ∈ τ (f ), entonces f −1 (U ) ∈ τX y por ser f abierta f f −1 (U ) ∈ τY . Pero f sobre implica que f f −1 (U ) = U , luego U ∈ τY y por tanto τ (f ) ⊆ τY . Concluimos que τY = τ (f ). Por otra parte, si f es una identificación biyectiva y U ∈ τX , como f −1 f (U ) = U se sigue que f (U ) ∈ τ (f ) = τY , luego f abierta y sabemos que toda biyección continua y abierta es un homeomorfismo. Dada una aplicación continua f : X −→ Y llamaremos secci´ on de f a una aplicación continua s : Y −→ X t.q. f s = 1Y . 3.3 Proposici´ on Sea f : X −→ Y una aplicación continua. Si f admite una sección entonces f es una identificación. Dem. Notar que f s = 1Y implica que f es sobre. Sea U ∈ τ (f ), entonces f −1 (U ) ∈ τX y s continua implican que s−1 f −1 (U ) ∈ τY , pero s−1 f −1 (U ) = (f s)−1 (U ) = 1−1 Y (U ) = U , luego U ∈ τY y por tanto τ (f ) ⊆ τY . Concluimos que τ (f ) = τY y en consecuencia f es una identificación. 3.4 Proposici´ on Sea f : X −→ Y una identificación y g : Y −→ Z una aplicación. Entonces g es continua (identificación) si y sólo si la composición gf es continua (identificación). Dem. Sea U ∈ τZ , si gf continua entonces f −1 g −1 (U ) = (gf )−1 (U ) ∈ τX , pero f identificación implica que g −1 (U ) ∈ τ (f ) = τY , por tanto g continua. Notar que U ∈ τ (gf ) s´ı y sólo si f −1 g −1 (U ) = (gf )−1 (U ) ∈ τX , lo cual ocurre s´ı y sólo si g −1 (U ) ∈ τ (f ) = τY , ó equivalentemente si U ∈ τ (g). Por tanto τ (gf ) = τ (g) y es claro que gf es identificación s´ı y sólo si g es identificación. Dada una aplicación continua f : X −→ Y y A ⊂ X, en general se tiene que A ⊆ f −1 f (A). Diremos que A es un conjunto f -saturado si A = f −1 f (A). Notar que una identificación f es abierta (cerrada) si y sólo si f −1 f (U ) es abierto (cerrado) para todo U abierto (cerrado) en X. 3.5 Teorema Sea f : X −→ Y una identificación y h : X −→ Z una aplicación continua. Si h es constante sobre f −1 (y), para cada y ∈ Y , entonces g : Y −→ Z, dada por g(y) = hf −1 (y), es continua (notar que gf = h). Además g es abierta (cerrada) si y sólo si h(U ) es abierto (cerrado) para todo U abierto (cerrado) y f -saturado. 6

Dem. Sea U ∈ τZ , entonces f −1 g −1 (U ) = (gf )−1 (U ) = h−1 (U ) ∈ τX luego g −1 (U ) ∈ τ (f ) = τY , ya que f es identificación, por tanto g continua. Por otra parte, sea U = f −1 f (U ) abierto en X, como f es identificación se sigue que f (U ) ∈ τ (f ) = τY , entonces si g es abierta, también h(U ) = gf (U ) es abierto. Rec´ıprocamente, si V es abierto en Y se sigue que g(V ) = hf −1 (V ) será abierto en Z, ya que f −1 (V ) es un abierto f -saturado (en efecto, f sobre implica que f −1 (A) es f -saturado para todo A ⊂ Y ), por tanto g es abierta. Sea (X, τ ) un e.t. y R una relación de equivalencia sobre X, denotaremos X/R el conjunto cociente y q : X −→ X/R, dada por q(x) = [x], la proyección. Entonces X/R con la topolog´ıa identificación τ (q) inducida por q se dirá espacio cociente de X por R. Ejemplo Definimos una relación de equivalencia R sobre R3 −{0} como sigue: x ∼ y si y sólo si existe t ∈ R−{0} t.q. y = tx. El espacio cociente R3 −{0}/R se llama plano proyectivo real y lo denotaremos RP 2 . Ejercicio 11 Sea D2 = {x ∈ R2 |kxk ≤ 1} el disco unidad, definimos una relación de equivalencia R sobre D2 como sigue: x ∼ y si y sólo si x = y ó son antipodales (es decir, x, y ∈ S 1 y y = −x). Probar que D2 /R ≈ RP 2 . Sean X1 , X2 e.t. con relaciones de equivalencia R1 y R2 , respectivamente. Diremos que una aplicación f : X1 −→ X2 conserva la relación si para todo x ∼ y se sigue que f (x) ∼ f (y). En tal caso, se sigue que f induce una aplicación en los cocientes f∗ : X1 /R1 −→ X2 /R2 dada por f∗ [x] = [f (x)]. 3.6 Proposici´ on Si f es continua entonces también f∗ es continua. Si f es identificación, también f∗ es identificación. Dem. Notar que f∗ q1 = q2 f , entonces dado U ∈ τ (q2 ) se tiene que q1−1 f∗−1 (U ) = f −1 q2−1 (U ) ∈ τX1 ya que f continua. Entonces f∗−1 (U ) ∈ τ (q1 ) y por tanto f∗ es continua. Por otra parte, f identificación implica que también lo es q2 f = f∗ q1 , es decir τ (f∗ q1 ) = τ (q2 ), pero τ (f∗ ) = τ (f∗ q1 ) por (3.4), ya que q1 es una identificación. Entonces τ (f∗ ) = τ (q2 ) y por tanto f∗ es identificación. Una aplicación f : X −→ Y define una relación R(f ) en X como sigue: x1 ∼ x2 si y sólo si f (x1 ) = f (x2 ). Claramente R(f ) es de equivalencia. El espacio cociente X/R(f ) se llama espacio descomposici´ on de f . Denotamos por q : X −→ X/R(f ) la identificación, como f es constante sobre cada fibra q −1 ([x]) = f −1 f (x), se sigue por (3.5) que la aplicación fˆ : X/R(f ) −→ Y , dada por fˆ([x]) = f (x), es continua. Notar que f = fˆq y que fˆ es inyectiva. 3.7 Teorema Sea f : X −→ Y continua y sobre, entonces fˆ : X/R(f ) −→ Y es un homeomorfismo si y sólo si f es una identificación. Dem. Si fˆ es un homeomorfismo entonces f = fˆq es una identificación, ya 7

que q lo es. Rec´ıprocamente, notar que si f = fˆq es sobre, también lo es fˆ, por tanto fˆ es una biyección continua. Como τ (f ) = τ (fˆq) = τ (fˆ), si f es identificación también lo es fˆ y el teorema se sigue por (3.2). Coproductos Dados dos espacios X1 , X2 definimos la el coproducto ´ o suma topol´ ogica ` X1 X2 como la unión disjunta de X1 y X2 . Definimos una topolog´ıa sobre ` ` X1 X2 como sigue: U ⊂ X1 X2 es abierto si y sólo si U ∩ X1 y U ∩ X2 son abiertos en X1 y X2 respectivamente. Es claro que esta topolog´ıa es la mayor ` ` t.q. las inclusiones i1 : X1 −→ X1 X2 y i2 : X2 −→ X1 X2 son continuas (en efecto, notar que U ∩ Xk = i−1 k (U ), para k = 1, 2). Dadas fk : Xk −→ Z (k = 1, 2) existe una aplicación f : X1 X2 −→ Z u ńica t.q. f i1 = f1 y f i2 = f2 (propiedad universal del coproducto) `

3.7 Teorema f es continua si y sólo si f1 y f2 son continuas. Dem. Sean f1 y f2 continuas y U abierto en Z, notar que f −1 (U ) es abierto ` en X1 X2 s´ı y sólo s´ı f −1 (U ) ∩ Xk es abierto en Xk para k = 1, 2, pero −1 f −1 (U ) ∩ Xk = i−1 (U )) = (f ik )−1 (U ) = fk−1 (U ) k (f

el cual es abierto en Xk por ser fk continua. El rec´ıproco es obvio. Sean A, B ⊂ X con la topolog´ıa inducida, las inclusiones jA y jB de A y B en A ∪ B respectivamente, son continuas e inducen por tanto una aplicación ` continua y sobre j : A B −→ A ∪ B. Si f : A −→ Y y g : B −→ Y son dos aplicaciones t.q. f (x) = g(x) para todo x ∈ A ∩ B, definimos la aplicación ”pegamiento” de f y g como la aplicación f ∪ g : A ∪ B −→ Y dada por (f ∪ g)(x) = f (x) si x ∈ A y (f ∪ g)(x) = g(x) si x ∈ B. 3.8 Lema Sean f : A −→ Y y g : B −→ Y continuas, si A y B son cerrados (ó abiertos) en A ∪ B entonces f ∪ g : A ∪ B −→ Y es también continua. Dem. Por (3.7) la composición (f ∪ g)j : A B −→ Y es continua si lo son f y g. Si A y B son cerrados en A ∪ B se sigue que j aplica cerrados en cerrados luego es cerrada. Por (3.2) se sigue que j es una identificación, entonces (f ∪ g)j continua y (3.4) implican que f ∪ g es continua. `

Sea A un subespacio cerrado de X y f : A −→ Y una aplicación continua, ` definimos una relación de equivalencia R sobre X Y como sigue: a ∼ f (a) ` para todo a ∈ A. El espacio cociente X Y /R se llama adjunci´ on ´ o pegado de X e Y a través de f y lo denotaremos X ∪f Y . Si A cerrado en X y f : A −→ Y continua t.q. Y = {∗} entonces X ∪f {∗} se denota usualmente por X/A. Este u ´ltimo espacio denota también el espacio cociente X/R, donde R es la siguiente relación de equivalencia: xRy s´ı y sólo si x = y ó x, y ∈ A. 8

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´ SEPARACION

Un e.t. X se dice T0 -espacio si para todo par de puntos x 6= y en X, existe un abierto que contiene a uno de ellos y no al otro (es decir, ∃ U ∈ τ t.q. x ∈ U , y ∈ (X − U ) ó bien ∃ V ∈ τ t.q. y ∈ V , x ∈ (X − V )). Ejemplo Espacios indiscretos no son T0 -espacios. El espacio de Sierpinski (X = {a, b} con τ = {∅, {a}, X}) es un T0 -espacio. Un e.t. X se dice T1 -espacio si para todo par de puntos x 6= y en X, existen entornos de cada uno de ellos que no contienen al otro (es decir, ∃ U, V ∈ τ t.q. x ∈ U ∩ (X − V ), y ∈ V ∩ (X − U )). Ejemplo Todo T1 -espacio es T0 -espacio pero no rec´ıprocamente: Notar que el espacio de Sierpinski es un T0 -espacio pero no T1 -espacio. 4.1 Proposici´ on Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) X es un T1 -espacio. (2) Todo punto en X es cerrado. (3) Todo subespacio de X es intersección de abiertos que lo contienen. Dem. Sea X un T1 -espacio, x ∈ X y sea y ∈ X − {x}, como existe U entorno abierto de y que no contiene a x se sigue que y ∈ U ⊂ X − {x}, luego X − {x} es abierto y por tanto {x} es cerrado. Si todo punto es cerrado y A ⊂ X es claro que A = ∩{X − {x}|x ∈ X − A}. Finalmente, sea x 6= y y supongamos que se satisface (3), entonces para A = {x} es claro que existe un entorno abierto de x que no contiene a y y análogamente, tomando A = {y}, existirá un entorno abierto de y que no contiene a x, por tanto X es un T1 -espacio. Notar que la menor topolog´ıa que hace de un conjunto X un T1 -espacio es la que tiene como subbase a S = {X − {x}|x ∈ X}, es decir la topolog´ıa cofinita τCF = {U ⊂ X|card(X − U ) < ∞}. En particular, si X es un conjunto finito, la u ńica topolog´ıa que hace de X un T1 -espacio es la discreta. Ejercicio 12 Sea X un T1 -espacio y A ⊆ X. Si A es finito probar que A0 es cerrado. Si A infinito y x ∈ A0 , probar que todo entorno de x contiene infinitos puntos de A. Ejercicio 13 Una relación de equivalencia R se dice cerrada si las clases Rx = {y|y ∼ x} son subconjuntos cerrados de X. Sea R una relación de equivalencia sobre un e.t. X, probar que X/R es T1 si y sólo si R es cerrada. Ejercicio 14 Sea X un T1 -espacio y A ⊂ X, entonces probar: (1) A0 cerrado. (2) (A0 )0 ⊂ A0 . (3) (A)0 = A0 . 9

Espacios Hausdorff ´ o T2 -espacios. Un e.t. X se dice T2 -espacio ó que es Hausdorff si para todo par de puntos distintos existen abiertos disjuntos que los contienen (es decir, para todo x 6= y en X, existen U, V ∈ τ t.q. x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅). Es claro que todo T2 -espacio es un T1 -espacio. Un conjunto de cardinal infinito X con la topolog´ıa cofinita es T1 pero no T2 . La propiedad de ser un Tk -espacio (k = 0, 1, 2) es hereditaria: subespacios de un Tk -espacio son Tk -espacios. 4.2 Proposici´ on Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) (2) (3) (4)

X es Hausdorff. Sea x ∈ X, para todo y 6= x existe U ∈ τ t.q. x ∈ U , y ∈ / U. T Para todo x ∈ X, {U |U ∈ τ, x ∈ U } = {x}. La diagonal ∆ = {(x, x)|x ∈ X} es cerrado en X × X.

Dem. Sea x 6= y y suponer que X es Hausdorff, entonces existen U, V ∈ τ t.q. x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅, en particular y ∈ Int(X − U ) = X − U . Que (2) implica (3) es inmediato. Notar que U ∩ V = ∅ s´ı y sólo si U × V ∩ ∆ = ∅. Sea (x, y) ∈ X × X − ∆ y supongamos que existe U entorno abierto de x t.q. y ∈ X − U , entonces (x, y) ∈ U × (X − U ) ⊂ X × X − ∆, luego X × X − ∆ es abierto y por tanto ∆ es cerrado. Finalmente, si ∆ es cerrado su complementario es abierto, entonces dados x 6= y existirán abiertos U, V t.q. (x, y) ∈ U × V ⊂ X × X − ∆, por tanto U × V ∩ ∆ = ∅ ó equivalentemente U ∩ V = ∅ y se sigue que X es Hausdorff. Ejercicio 15 Sea X un espacio Hausdorff y F = {x1 , ....xn } un conjunto finito. Probar que existen entornos Ui de xi , 1 ≤ i ≤ n, disjuntos dos a dos. 4.3 Proposici´ on Sea Y Hausdorff y f, g : X −→ Y continuas, entonces C = {x ∈ X|f (x) = g(x)} es cerrado en X. En particular, si D es denso en X y f |D = g|D entonces se sigue que f = g. Dem. Veamos que X −C es abierto. Si x ∈ X −C entonces f (x) 6= g(x) y como Y es Hausdorff existirán U, V abiertos t.q. f (x) ∈ U , g(x) ∈ V y U ∩ V = ∅. Como f y g continuas se sigue que f −1 (U ) ∩ g −1 (V ) abierto y es claro que x ∈ f −1 (U ) ∩ g −1 (V ) ⊂ X − C (en efecto, si z ∈ f −1 (U ) ∩ g −1 (V ) entonces f (z) 6= g(z), ya que f (z) ∈ U , g(z) ∈ V y U ∩ V = ∅, luego z ∈ X − C). Sea D denso en X y f |D = g|D entonces D ⊂ C y X = D, como C es cerrado se sigue que X = C, es decir f (x) = g(x) para todo x ∈ X y por tanto f = g. Ejercicio 16 Diremos que un A ⊂ X es un retracto de X si existe r : X −→ A continua t.q. ri = 1A , siendo i : A −→ X la inclusión. Probar que A es un retracto de X si y sólo si para todo espacio Y , toda aplicación continua f : A −→ Y se extiende a X, es decir existe g : X −→ Y continua t.q. gi = f . 10

Probar que si X es un espacio Hausdorff y A es un retracto de X, entonces A es cerrado en X Ejercicio 17 Diremos que un espacio X tiene la propiedad del punto fijo si para toda aplicación continua f : X −→ X existe x ∈ X t.q. f (x) = x. Probar que si X tiene la propiedad del punto fijo, también la tiene todo retracto de X. Sea X un espacio Hausdorff y f : X −→ X continua. Probar que el conjunto de puntos fijos de f es cerrado en X. Ejercicio 18 Sea f : X −→ Y una aplicación continua, definimos el grafo de f como el conjunto Γf = {(x, f (x))|x ∈ X} ⊂ X × Y . Probar que Γf , con la topolog´ıa inducida por la topolog´ıa producto, es homeomorfo a X. Ejercicio 19 Sea Y un e.t. Hausdorff y f : X −→ Y una aplicación continua. Probar que Γf es cerrado en X × Y . 4.4 Teorema Sea f : X −→ Y una aplicación continua. Si Y es Hausdorff entonces C = {(x1 , x2 )|f (x1 ) = f (x2 )} es cerrado en X × X. Dem. Veamos que el complementario de C es abierto. Si (x1 , x2 ) ∈ X × X − C entonces f (x1 ) 6= f (x2 ) y como Y es Hausdorff, existirán abiertos disjuntos U1 , U2 t.q. f (x1 ) ∈ U1 y f (x2 ) ∈ U2 . Entonces f −1 (U1 ) × f −1 (U2 ) es abierto y (x1 , x2 ) ∈ f −1 (U1 ) × f −1 (U2 ) ⊂ X × X − C (probaremos el u ´ltimo contenido: si (z1 , z2 ) ∈ f −1 (U1 ) × f −1 (U2 ) se sigue que f (z1 ) ∈ U1 y f (z2 ) ∈ U2 , luego f (z1 ) 6= f (z2 ), ya que U1 ∩ U2 = ∅, y por tanto (z1 , z2 ) ∈ X × X − C). Si f es abierta y sobre, entonces se satisface el rec´ıproco: 4.5 Teorema Sea f : X −→ Y una aplicación continua, abierta y sobre, si C = {(x1 , x2 )|f (x1 ) = f (x2 )} es cerrado en X × X, entonces Y es Hausdorff. Dem. Sean f (x1 ) 6= f (x2 ), entonces (x1 , x2 ) ∈ X × X − C, abierto por ser C cerrado, luego existen abiertos U1 , U2 t.q. (x1 , x2 ) ∈ U1 × U2 ⊂ X × X − C y por tanto U1 × U2 ∩ C = ∅ y esto implica U1 ∩ U2 = ∅, ya que ∆ ⊂ C. Si f es abierta, se sigue que f (U1 ) y f (U2 ) son dos abiertos disjuntos que separan a f (x1 ) y f (x2 ) y concluimos que Y es Hausdorff (probaremos que f (U1 ) y f (U2 ) son disjuntos: si y ∈ f (U1 ) ∩ f (U2 ) existirán x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 t.q. f (x1 ) = y = f (x2 ), luego U1 × U2 ∩ C 6= ∅ y llegamos a una contradicción). 4.6 Proposici´ on Dada una familia no vac´ıa {Xi }i∈J , entonces el producto Q Xi es un Tk -espacio (k = 0, 1, 2) si y sólo si cada factor Xi lo es. Dem. Lo probaremos para el caso k = 2. Supongamos que Xi es un T2 -espacio Q para todo i ∈ J, si (xi ) 6= (zi ) en Xi , tales puntos diferirán al menos una coordenada, es decir existe k ∈ J t.q. xk 6= zk . Como Xk es Hausdorff existirán Uk , Vk ∈ τk t.q. xk ∈ Uk , zk ∈ Vk y Uk ∩ Vk = ∅. Entonces (xi ) ∈ p−1 k (Uk ), 11

−1 −1 (zi ) ∈ p−1 en Xi t.q. p−1 k (Vk ) abiertos k (Uk ) ∩ pk (Vk ) = pk (Uk ∩ Vk ) = ∅. Q Rec´ıprocamente, si Xi es Hausdorff y k ∈ J, elegimos un punto x0i ∈ Xi Q para cada i 6= k y sea ik : Xk −→ Xi , dada por ik (xk ) = (xi ) con xi = x0i para todo i 6= k. Como la propiedad ”Hausdorff” es hereditaria se sigue que ik (Xk ) es Hausdorff, pero ik (Xk ) es homeomorfo a Xk , y esto para todo k ∈ J.

Q

Cocientes de espacios Hausdorff no son necesariamente Hausdorff. Ejemplo Sea X = R2 con la topolog´ıa usual y definimos la siguiente relación de equivalencia (x1 , y1 )R(x2 , y2 ) s´ı y sólo si y1 , y2 < 0 ó y1 , y2 ≥ 0. Sean A = {(x, y)|y ≥ 0} y B = {(x, y)|y < 0} y consideremos la identificación q : X −→ X/R, denotamos q(A) = a y q(B) = b. Entonces X/R = {a, b}. Como q −1 (b) = B abierto en la topolog´ıa usual, se sigue que {b} es abierto en X/R, luego la topolog´ıa cociente es τ (q) = {∅, {b}, X/R}, es decir (X/R, τ (q)) es el espacio de Sierpinski, que no es Hausdorff. Dada una relación de equivalencia R sobre un e.t. X, podemos mirarla como un subespacio del producto: R = {(x1 , x2 )|x1 ∼ x2 } ⊂ X × X. La aplicación q × q : X × X −→ X/R × X/R es continua y es claro que R = (q × q)−1 (∆). Notar que si X/R es Hausdorff entonces R debe ser un cerrado en X × X. 4.7 Proposici´ on Sea X un e.t., R una relación de equivalencia sobre X. Si R es cerrado en X × X y q : X −→ X/R es abierta, entonces X/R es Hausdorff. Dem. Sean [x1 ] 6= [x2 ] en X/R, es decir (x1 , x2 ) ∈ X ×X −R, el cual es abierto por ser R cerrado, entonces existen U1 , U2 abiertos t.q. (x1 , x2 ) ∈ U1 × U2 ⊂ X × X − R. Como q abierta, q(U1 ) y q(U2 ) son dos abiertos t.q. [x1 ] ∈ q(U1 ), [x2 ] ∈ q(U2 ) y q(U1 ) ∩ q(U1 ) = ∅ (en efecto, si [x] ∈ q(U1 ) ∩ q(U1 ) entonces existen x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 t.q. [x] = q(x1 ) = q(x2 ) ó bien [x1 ] = [x2 ], y por tanto (x1 , x2 ) ∈ R, lo cual es una contradicción ya que U1 × U2 ⊂ X × X − R). 4.8 Proposici´ on Si Y es un espacio Hausdorff y f : X −→ Y es una aplicación continua e inyectiva entonces también X es Hausdorff. En particular, si Y Hausdorff y f : X −→ Y continua entonces X/R(f ) es Hausdorff. Dem. Sean x1 6= x2 en X, si f es inyectiva entonces f (x1 ) 6= f (x2 ) y como Y es Hausdorff, existirán abiertos U1 y U2 t.q. f (x1 ) ∈ U1 , f (x2 ) ∈ U2 y U1 ∩ U2 = ∅. Entonces, si f es continua, f −1 (U1 ) y f −1 (U2 ) son abiertos t.q. x1 ∈ f −1 (U1 ), x2 ∈ f −1 (U2 ) y f −1 (U1 )∩f −1 (U2 ) = f −1 (U1 ∩U2 ) = f −1 (∅) = ∅, luego X ∈ T2 . La segunda parte se sigue inmediatamente ya que f continua implica que fˆ : X/R(f ) −→ Y es continua e inyectiva. Espacios regulares y T3 -espacios. Un e.t. (X, τ ) se dice regular si para todo F cerrado en X y x ∈ / F existen U, V ∈ τ t.q. x ∈ U , F ⊂ V y U ∩ V = ∅. En general, un espacio regular no es 12

necesariamente un T1 -espacios (en efecto, un espacio indiscreto es regular pero no es T0 , por tanto tampoco T1 ). Un T1 -espacio regular se dirá T3 -espacio. Ejemplo Todo T3 -espacio es Hausdorff pero no rec´ıprocamente. Sea X = R con la topolog´ıa τ definida como sigue: los entornos básicos para cada punto x 6= 0 son los usuales y los entornos básicos del 0 son de la forma (−ε, ε) − A, donde A = {1/n}n∈N . Entonces (R, τ ) es Hausdorff, ya que τ es mas fina que la topolog´ıa usual (es decir, τU ⊂ τ ), pero (R, τ ) no es un T3 -espacio: A es un cerrado en X que no se puede separar de 0 por abiertos disjuntos. 4.9 Teorema Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) X es regular. (2) Sean U ∈ τ y x ∈ U , entonces existe V ∈ τ t.q. x ∈ V y V ⊂ U . (3) Todo x ∈ X admite una base de entornos Bx = {Bx } t.q. Bx cerrado. Dem. Sea U entorno abierto de x, entonces x ∈ / X − U cerrado, si X es regular existirán V, W abiertos t.q. x ∈ V , X − U ⊂ W y V ∩ W = ∅. En particular V ⊂ X − W ⊂ U y X − W cerrado implica V ⊂ X − W ⊂ U . Que (2) implica (3) es obvio. Finalmente, si se satisface (3) y F es un cerrado en X t.q. x ∈ / F , notar que X − F es un abierto que contiene a x, luego existe V entorno cerrado de x t.q. x ∈ V ⊂ X −F . Es claro que x ∈ Int(V ), F ⊂ X −V y Int(V ) ∩ (X − V ) = ∅, por tanto X es regular. Ejercicio 20 Si X es un T3 -espacio probar que para todo par de puntos x 6= y existen entornos U de x y V de y t.q. U ∩ V = ∅. La regularidad es hereditaria y se conserva en productos: 4.10 Proposici´ on Dada una familia {Xi }i∈J , entonces el producto Xi es regular (T3 -espacio) si y sólo si cada factor Xi es regular (T3 -espacio). Q

Dem. Si Xi es regular también lo será Xk ≈ ik (Xk ) ⊂ Xi . Rec´ıprocamente, Q Q suponer que Xk es regular para todo k ∈ J y sean (xi ) ∈ Xi y U = Ui ∈ τp t.q. (xi ) ∈ U (recordar que Ui = Xi para todo i ∈ J −F ). Para cada xi elegimos Vi ∈ τi t.q. xi ∈ Vi ⊂ Vi ⊂ Ui de forma que Vi = Xi cuando Ui = Xi , entonces Q Q Q Q Q (xi ) ∈ Vi ⊂ Vi = Vi ⊂ Ui = U . Por (4.9) se sigue que Xi es regular. Por (4.5) la proposición se satisface también para T3 -espacios. Q

Q

Cocientes de T3 -espacios no son necesariamente regulares: Ejemplo Sea X = {(x, 0)|x ∈ R} ∪ {(x, 1)|x ∈ R} y sea Y el espacio cociente de X obtenido al identificar los puntos p0 ≡ (x, 0) con p1 ≡ (x, 1) para todo 0 6= x ∈ R. Claramente X es T3 y la proyección q : X −→ Y es continua sobre y abierta pero los puntos p0 y p1 no se pueden separar por abiertos. Por tanto Y es T1 pero no T2 y como los puntos son cerrados, tampoco es regular. 13

4.11 Lema Sea f : X −→ Y una aplicación continua y cerrada, B ⊂ Y y U ∈ τX t.q. f −1 (B) ⊂ U , entonces existe V ∈ τY t.q. B ⊂ V y f −1 (V ) ⊂ U . Dem. Definimos V = Y −f (X −U ) que es abierto si f cerrada. Si f −1 (B) ⊂ U , entonces B ⊂ V (en efecto, si y ∈ B entonces f −1 (y) ⊂ U ó equivalentemente f −1 (y) ∩ (X − U ) = ∅, luego y = f f −1 (y) ∈ Y − f (X − U ) = V ). Además, f −1 (V ) = f −1 (Y − f (X − U )) = X − f −1 f (X − U ) ⊂ X − (X − U ) = U . 4.12 Teorema Sea X un T3 -espacio y f : X −→ Y una aplicación continua, sobre, abierta y cerrada. Entonces Y es Hausdorff. Dem. Notar en primer lugar que si f es continua, sobre y abierta se sigue en particular que f es una identificación. Para que Y sea Hausdorff, por (4.4) bastará probar que R(f ) = {(x1 , x2 )|f (x1 ) = f (x2 )} es cerrado en X × X ó bien que su complementario es abierto: sea (x1 , x2 ) ∈ X × X − R(f ), entonces f (x1 ) 6= f (x2 ) y por tanto x1 ∈ / f −1 f (x2 ). Notar que este u ´ltimo conjunto es cerrado ya que X es T1 -espacio (en particular {x2 } será cerrado) y f es cerrada, entonces como X es regular existirán abiertos U, V en X t.q. x1 ∈ U , f −1 f (x2 ) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Aplicando (4.11) para B = f (x2 ), existirá un abierto W t.q. f (x2 ) ∈ W y f −1 f (x2 ) ⊂ f −1 (W ) ⊂ V y como U ∩ f −1 (W ) = ∅ se sigue que (x1 , x2 ) ∈ U × f −1 (W ) ⊂ X × X − R(f ), luego R(f ) cerrado. Sea A un subespacio cerrado de X, notar que la identificación q : X −→ X/A es una aplicación cerrada. En efecto, sea F cerrado en X, como X/A tiene la topolog´ıa cociente, notar que q(F ) será cerrado en X/A s´ı y sólo si q −1 q(F ) es cerrado en X. Pero q −1 q(F ) = F , si F ∩ A = ∅ y q −1 q(F ) = F ∪ A, si F ∩ A 6= ∅. Por tanto q −1 q(F ) es cerrado en ambos casos, supuesto A cerrado. 4.13 Teorema Si X es un T3 -espacio y A es cerrado en X, entonces X/A con la topolog´ıa cociente es un espacio Hausdorff. Dem. Si [x1 ] 6= [x2 ] caben dos casos: x1 , x2 ∈ / A ó x1 ∈ / A y x2 ∈ A. En el primer caso, como X − A es Hausdorff, existirán U, V abiertos en X − A y por tanto en X, ya que X − A abierto en X, t.q. x1 ∈ U , x2 ∈ V y U ∩ V = ∅. Notar que U = q −1 q(U ) y V = q −1 q(V ), por tanto q(U ) y q(V ) son abiertos en X/A t.q. [x1 ] ∈ q(U ), [x2 ] ∈ q(V ) y q(U ) ∩ q(V ) = ∅. En el segundo caso, si x1 ∈ / A existirán U, V abiertos en X t.q. x1 ∈ U , A ⊂ V y U ∩ V = ∅, ya que A cerrado y X es un T3 -espacio. Como U ⊂ X − A se sigue que U = q −1 q(U ), luego [x1 ] ∈ q(U ) abierto en X/A. Es claro también que V = q −1 q(V ) y por tanto [x2 ] = {A} ∈ q(V ) abierto en X/A. Como q(U ) ∩ q(V ) = ∅ concluimos que X/A es Hausdorff. Espacios normales y T4 -espacios Un e.t. (X, τ ) se dice normal si para todo par de subespacios cerrados y disjuntos A y B, existen abiertos U y V t.q. A ⊂ U , B ⊂ V y U ∩ V = ∅. 14

Ejemplo Un espacio normal no es necesariamente regular. En efecto, sea R con la siguiente topolog´ıa τ = {∅, R} ∪ {(a, +∞)|a ∈ R}, entonces (R, τ ) es trivialmente normal, ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no es regular ya que 1 ∈ R y el cerrado (−∞, 0] no se pueden separar por abiertos disjuntos (el u ńico abierto que contiene a (−∞, 0] es R). Notar que (R, τ ) es T0 -espacio pero no T1 -espacio. Análogamente, el espacio de Sierpinski es normal ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no es un T1 -espacio. Un T1 -espacio normal se dirá T4 -espacio. En un T1 -espacio, normalidad implica regularidad, luego todo T4 -espacio es T3 -espacio. Ejemplo La recta de Sorgenfrey (R, τS ) es un T4 -espacio: dados dos cerrados disjuntos A, B ⊂ R, para todo a ∈ A existe ra > a t.q. [a, ra ) ∩ B = ∅ y S para todo b ∈ B existe sb > b t.q. [b, sb ) ∩ A = ∅. Sean UA = a∈A [a, ra ) y S UB = b∈B [b, sb ). Entonces UA y UB son abiertos t.q. A ⊂ UA , B ⊂ UB y UA ∩ UB = ∅. En efecto, si x ∈ UA ∩ UB existen a, b ∈ R t.q. x ∈ [a, ra ) ∩ [b, sb ) luego a ≤ x < ra y b ≤ x < sb . Pero si suponemos a < b entonces b ∈ [a, ra ) lo cual contradice que [a, ra ) ∩ B = ∅. Concluimos que (R, τS ) es normal. Como τS ⊃ τU , es claro que (R, τS ) es un T1 -espacio y por tanto es un T4 -espacio. Ejemplo Todo espacio métrico (X, d) es un T4 -espacio: sean A, B cerrados disjuntos, para cada x ∈ A existe δx > 0 t.q. B(x, δx ) ∩ B = ∅ y para cada S y ∈ B existe εy > 0 t.q. B(y, εy ) ∩ A = ∅. Definimos U = x∈A B(x, δx /3) S y V = y∈B B(y, εy /3), entonces U, V son abiertos en (X, d) t.q. A ⊂ U , B ⊂ V . Supongamos que z ∈ U ∩ V , entonces d(x, z) < δx /3, d(z, y) < εy /3 y por la desigualdad triangular d(x, y) < δx /3 + εy /3 < δx , suponiendo δx = max{δx , εy }, se sigue que y ∈ B(x, δx ) y esto contradice que B(x, δx ) ∩ B = ∅. Por tanto U ∩ V = ∅ y en consecuencia (X, d) es normal. Claramente todo espacio métrico es un T2 -espacio y por tanto un T1 -espacio. 4.14 Proposici´ on Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) X es normal. (2) Para todo cerrado A y abierto U t.q. A ⊂ U , existe un abierto V t.q. A ⊂ V ⊂ V ⊂ U. (3) Para todo par de cerrados disjuntos A, B existe un abierto U t.q. A ⊂ U y U ∩ B = ∅. (4) Todo par de cerrados disjuntos admiten entornos cuyas clausuras son disjuntas. Dem. Sea A cerrado y U abierto t.q. A ⊂ U , entonces X − U es cerrado y A∩(X −U ) = ∅. Si X es normal existen abiertos V, W t.q. A ⊂ V , X −U ⊂ W y V ∩ W = ∅. En particular V ⊂ X − W y como X − W es cerrado se sigue A ⊂ V ⊂ V ⊂ X − W ⊂ U , luego (1) =⇒ (2). Supongamos cierto (2) y sean A, B cerrados disjuntos, entonces A ⊂ X − B abierto implica que existe un abierto U t.q. A ⊂ U ⊂ U ⊂ X − B, en particular U ∩ B = ∅ y por tanto 15

(2) =⇒ (3). Sean A, B cerrados disjuntos, por (3) existe U abierto t.q. A ⊂ U y U ∩ B = ∅, aplicando de nuevo (3) a los cerrados disjuntos B y U , existirá un abierto V t.q. B ⊂ V y V ∩ U = ∅, luego (3) =⇒ (4). Finalmente, que (4) =⇒ (1) es obvio. El siguiente resultado debido a F.B. Jones es u ´til para construir espacios que no sean normales. 4.15 Lema Si un e.t. X contiene subespacios D, S t.q. D denso, S cerrado y discreto (con la topolog´ıa inducida) y |S| ≥ 2|D| , entonces X no es normal. Dem. Sea T ⊂ S, como τS es la topolog´ıa discreta es claro que T es cerrado en S y por lo tanto en X. Entonces T y S − T son cerrados disjuntos y si suponemos que X es normal existirán abiertos UT , VT t.q. T ⊂ UT , S −T ⊂ VT y UT ∩ VT = ∅. Sean T1 , T2 ∈ P(S) y notar que si T1 6= T2 entonces también UT1 ∩ D 6= UT2 ∩ D (en efecto, T1 6= T2 implica T1 ∩ (S − T2 ) 6= ∅ ó bien T2 ∩ (S − T1 ) 6= ∅. Supongamos T1 ∩ (S − T2 ) 6= ∅, entonces UT1 ∩ VT2 6= ∅ y como D es denso UT1 ∩ VT2 ∩ D 6= ∅, pero como UT1 ∩ VT2 ∩ D ⊂ UT1 ∩ D y UT1 ∩ VT2 ∩ D ∩ UT2 = ∅, ya que UT2 ∩ VT2 = ∅, se sigue UT1 ∩ D 6= UT2 ∩ D). Entonces la aplicación Φ : P(S) −→ P(D), dada por Φ(T ) = UT ∩ D, es inyectiva y por tanto |S| < |P(S)| ≤ |P(D)| = 2|D| , lo cual contradice la hipótesis, luego X no puede ser normal. Ejercicio 21 Probar que el plano de Moore es T3 -espacio pero no T4 -espacio. La normalidad no es hereditaria en general paro s´ı para cerrados. 4.16 Proposici´ on Sea X un espacio normal (T4 -espacio) y F cerrado en X, entonces F con la topolog´ıa inducida también es normal (T4 -espacio). Dem. Sean A, B cerrados disjuntos en F , entonces A y B son cerrados en X y como X es normal, existirán U, V abiertos en X t.q. A ⊂ U , B ⊂ V y U ∩ V = ∅. Entonces F ∩ U y F ∩ V son abiertos en F t.q. F ∩ U ∩ V = ∅, por tanto F es normal. El producto de espacios normales no es necesariamente normal Ejercicio 22 Sea RS = (R, τS ) la recta de Sorgenfrey, probar que RS × RS no es normal. En general, la normalidad no se conserva en cocientes. 4.17 Proposici´ on Sea X un espacio normal (T4 -espacio) y f : X −→ Y una aplicación continua, cerrada y sobre, entonces Y es normal (T4 -espacio). Dem. Sea f : X −→ Y una aplicación continua, sobre y cerrada, dados A, B cerrados disjuntos en Y se sigue que f −1 (A) y f −1 (B) son cerrados disjuntos 16

en X, como X es normal existirán U, V abiertos en X t.q. f −1 (A) ⊂ U , f −1 (B) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Por (4.11) existirán UA , VB abiertos en Y t.q. A ⊂ UA y f −1 (UA ) ⊂ U , B ⊂ VB y f −1 (VB ) ⊂ V . Notar que f −1 (UA ∩ VB ) = f −1 (UA ) ∩ f −1 (VB ) ⊂ U ∩ V = ∅, por tanto UA ∩ VB = ∅ y concluimos que Y es normal. Como la imagen de un T1 -espacio bajo una aplicación continua y cerrada es un T1 -espacio, la proposición se sigue para T4 -espacios. 4.18 Corolario Si X es normal y A cerrado en X entonces X/A es normal. Dem. Notar que si A cerrado entonces q : X −→ X/A es una aplicación continua, sobre y cerrada. Finalizamos el cap´ıtulo con dos u ´tiles caracterizaciones de la normalidad Lema de Urysohn Un espacio X es normal si y sólo si para todo par A, B de cerrados disjuntos, existe una aplicación continua f : X −→ [0, 1] t.q. f (A) = 0 y f (B) = 1. Teorema de extensi´ on de Tietze Un espacio X es normal si y sólo si para todo A cerrado en X y toda aplicación continua f : A −→ R existe una aplicación continua F : X −→ R extendiendo a f (es decir, tal que F |A = f ).

5

COMPACIDAD

Un recubrimiento abierto de X es una colección de abiertos U = {Ui }i∈J t.q. S X = i∈J Ui . Diremos que un espacio X es compacto si todo recubrimiento abierto U = {Ui }i∈J de X admite un subrecubrimiento finito, es decir si existe S un conjunto finito de ´ındices F ⊂ J t.q. X = i∈F Ui . Ejemplos Con la topolog´ıa usual, R no es compacto: en efecto, si Un = (−n, n) entonces U = {Un }n∈N es un recubrimiento abierto de R que no admite un subrecubrimiento finito. Todo espacio finito es obviamente compacto. En un espacio discreto, vale el rec´ıproco: compacto ⇐⇒ finito. Un espacio X con la topolog´ıa cofinita es compacto. Diremos que un e.t. X tiene la propiedad de intersecci´ on finita (p.i.f.) si para toda familia de cerrados {Ci }i∈J t.q. cualquier n´ umero finito de ellos T tiene intersección no vac´ıa entonces también i∈J Ci 6= ∅. 5.1 Teorema Un espacio topológico es compacto si y sólo si tiene la p.i.f.. Dem. Sea X compacto y {Ci }i∈J una familia de cerrados t.q. i∈F Ci 6= ∅ para T todo conjunto finito de ´ındices F ⊂ J y suponer i∈J Ci = ∅, entonces X = T S X −∅ = X − i∈J Ci = i∈J (X −Ci ), es decir {X −Ci }i∈J es un recubrimiento T

17

abierto de X y como X compacto, existe un conjunto finito de ´ındices F ⊂ J S T t.q. {X − Ci }i∈F recubre X. Entonces X = i∈F (X − Ci ) = X − i∈F Ci y T por tanto i∈F Ci = ∅, llegando a contradicción. Rec´ıprocamente, sea X con la p.i.f. y supongamos que X no es compacto, entonces existirá un recubrimiento abierto U = {Ui }i∈J de X que no admite un subrecubrimiento finito, es decir S T ∅ 6= X − i∈F Ui = i∈F (X − Ui ) para todo subconjunto finito de ´ındices T S F ⊂ J, entonces ∅ = 6 on. i∈J (X − Ui ) = X − i∈J Ui y llegamos a contradicci´ Ejercicio 23 Probar que en un espacio compacto todo subconjunto infinito tiene punto de acumulación (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Un subespacio K ⊂ X se dice compacto si (K, τ |K ) es compacto ó bien si S para todo recubrimiento abierto U = {Ui }i∈J de K, es decir t.q. K ⊂ i∈J Ui , S existe alg´ un conjunto finito de ´ındices F ⊂ J t.q. K ⊂ i∈F Ui . 5.2 Teorema Todo subespacio cerrado en un espacio compacto es compacto. Dem. Sea U = {Ui }i∈J un recubrimiento abierto de K, como K es cerrado es claro que U 0 = U ∪ {X − K} es un recubrimiento abierto de X. Como X compacto, existirá un subrecubrimiento finito {X − K, U1 , ..., Un } de X, entonces es claro que K ⊂ U1 ∪ · · · Un y por tanto que K es compacto. El rec´ıproco no es cierto en general: sea X = {a, b} con τ = {∅, {a}, X} el espacio de Sierpinski, entonces X y K = {a} son compactos por ser finitos pero K no es cerrado en X. 5.3 Lema Sea X un e.t. Hausdorff, K compacto en X y x ∈ X − K. Entonces existen abiertos U, V t.q. x ∈ U , K ⊂ V y U ∩ V = ∅. Dem. Sea x ∈ X − K, si X es Hausdorff para todo y ∈ K existirán abiertos disjuntos Uxy , Vy t.q. x ∈ Uxy y y ∈ Vy . Es claro que {Vy }y∈K es un recubrimiento abierto de K y por ser K compacto existirá un subrecubrimiento finito, es decir K ⊂ Vy1 ∪· · ·∪Vyn . Definimos U = Uxy1 ∩· · ·∩Uxyn y V = Vy1 ∪· · · Vyn , entonces U, V abiertos, x ∈ U , K ⊂ V y U ∩ V = ∅ (en efecto, U ∩ Vyk ⊂ Uxyk ∩ Vyk = ∅ para 1 ≤ k ≤ n, por tanto U ∩ V = (U ∩ Vy1 ) ∪ · · · ∪ (U ∩ Vyn ) = ∅). 5.4 Corolario En un espacio Hausdorff todo subespacio compacto es cerrado. Dem. Sea X Hausdorff y K un subespacio compacto de X, si x ∈ X − K por 5.3 existirán U, V abiertos disjuntos t.q. x ∈ U y K ⊂ V . En particular x ∈ U ⊂ X − V ⊂ X − K, es decir X − K es abierto y por tanto K es cerrado. 5.5 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff y K1 , K2 dos subespacios compactos y disjuntos. Entonces existen abiertos U, V t.q. K1 ∈ U , K2 ⊂ V y U ∩ V = ∅. Dem. Por 5.3, para todo y ∈ K2 existirán abiertos Uy , Vy t.q. y ∈ Uy , K1 ⊂ Vy 18

y Uy ∩Vy = ∅. Notar que {Uy }y∈K2 es un recubrimiento abierto de K2 y por ser K2 compacto existirá un subrecubrimiento finito, es decir K2 ⊂ Uy1 ∪· · ·∪Uym . Sean U = Uy1 ∪ · · · ∪ Uym y V = Vy1 ∩ · · · ∩ Vym , es claro que U y V son abiertos t.q. K1 ⊂ U , K2 ⊂ V y, como en 5.3, es fácil probar que U ∩ V = ∅. Una consecuencia inmediata de 5.5 es el siguiente resultado 5.6 Corolario Todo espacio compacto y Hausdorff es un T4 -espacio. Ejercicio 24 Sea A = {an }n∈N una sucesión de puntos en un e.t. X que converge a un punto a ∈ X. Probar que K = A ∪ {a} es compacto. Ejercicio 25 Sea X un e.t. Hausdorff y A ⊂ X un subespacio compacto. Probar que el derivado A0 también es compacto. Ejercicio 26 Sea {Ki }ni=1 una familia finita de subespacios compactos de un e.t. X. Probar que la unión K = K1 ∪ · · · ∪ Kn es un compacto. 5.7 Proposici´ on Sea X compacto y f : X −→ Y una aplicación continua, entonces f (X) es compacto. Si además Y es Hausdorff entonces f es cerrada. Dem. Sea U = {Ui }i∈J un recubrimiento abierto de f (X), como f continua se sigue que {f −1 (Ui )}i∈J es un recubrimiento abierto de X y siendo X compacto S existirá un conjunto finito F ⊂ J t.q. X = i∈F f −1 (Ui ), entonces f (X) = S S S f ( i∈F f −1 (Ui )) = i∈F f f −1 (Ui ) ⊆ i∈F (Ui ), por tanto f (X) compacto. Sea C cerrado en X, entonces C es compacto y también f (C) compacto, por tanto cerrado cuando Y es Hausdorff. Concluimos que f es una aplicación cerrada. Se sigue inmediatamente un importante resultado 5.8 Corolario Toda biyección continua de un espacio compacto en un espacio Hausdorff es un homeomorfismo. Es también inmediato probar (ver 3.5) 5.9 Corolario Si f : X −→ Y es una identificación, h : X −→ Z continua y constante sobre las fibras f −1 (y), X compacto, Z Hausdorff y g : Y −→ Z, dada por g(y) = hf −1 (y), es biyectiva entonces g es un homeomorfismo. 5.10 Teorema Si Y es compacto, entonces la proyección pX : X × Y −→ X es una aplicación cerrada. Dem. Sea C cerrado en X × Y y vamos a probar que X − pX (C) es abierto. Si x ∈ X − pX (C) es claro que {x} × Y ∩ C = ∅, luego (x, y) ∈ X × Y − C para todo y ∈ Y . Como X × Y − C es abierto, existirán abiertos Uxy y Vy t.q. x ∈ Uxy , y ∈ Vy y (x, y) ∈ Uxy × Vy ⊂ X × Y − C. Es claro que {Uxy × Vy }y∈Y es un recubrimiento abierto de {x} × Y y siendo este u ´ltimo compacto, por ser 19

homeomorfo a Y , admitirá un subrecubrimiento finito {Uxy1 ×Vy1 , ..., Uxyn ×Vyn }. Entonces U = Uxy1 ∩ ... ∩ Uxyn es un abierto t.q. x ∈ U ⊂ X − pX (C), ya que U ∩pX (C) = ∅. Concluimos que X −pX (C) es abierto, luego pX (C) es cerrado. 5.11 Corolario Sea Y compacto, A ⊂ X y U un abierto en X × Y t.q. A × Y ⊂ U , entonces existe un abierto V en X t.q. A × Y ⊂ V × Y ⊂ U . Dem. Como p−1 X (A) = A × Y y pX es cerrada, se sigue de (4.11) que existe V abierto en X t.q. A ⊂ V y V × Y = p−1 X (V ) ⊂ U . 5.12 Corolario Sea Y un e.t. compacto y Hausdorff, entonces f : X −→ Y es continua si y sólo si su grafo Γf es cerrado en X × Y . Dem. Sea C cerrado en Y , si Γf es cerrado entonces p−1 Y (C) ∩ Γf = X × C ∩ Γf será cerrado en X × Y . Notar que pX (X × C ∩ Γf ) = {x|f (x) ∈ C} = f −1 (C), como pX cerrada se sigue que f −1 (C) es cerrado y por tanto que f es continua. Para el rec´ıproco ver Ej.19 5.13 Teorema Un producto finito de espacios es compacto si y sólo si lo son cada uno de sus factores. Dem. Sea X ×Y es compacto, entonces por (5.7) también X, Y son compactos ya que pX y pY son continuas. Rec´ıprocamente, sean X, Y compactos y sea U = {Ui }i∈J un recubrimiento abierto de X × Y . Dado x ∈ X es claro que {x} × Y es compacto, ya que es homeomorfo a Y , entonces {x} × Y admite un subrecubrimiento finito {U1 , ..., Un }. Sea Ux = U1 ∪ · · · ∪ Un , por (5.11) existirá un abierto Vx t.q. {x} × Y ⊂ Vx × Y ⊂ Ux . Como X es compacto y S X = x∈X Vx , admitirá un subrecubrimiento finito {Vx1 , ..., Vxk }, entonces es claro que {Vx1 × Y, ..., Vxk × Y } es un recubrimiento abierto de X × Y , pero Vxi × Y ⊂ Uxi y cada Uxi es unión finita de miembros de U, luego X × Y compacto. Por inducción lo podemos extender a cualquier producto finito. Este u ´ltimo resultado se extiende también al caso infinito (Dugundji, 224) Teorema de Tychonoff Dada una familia arbitraria {Xi }i∈J entonces el Q producto i∈J Xi es compacto si y sólo si Xi es compacto para todo i ∈ J. Espacios m´ etricos compactos 5.14 Lema Sea R con la topolog´ıa usual, todo intervalo cerrado [a, b] ⊂ R es compacto y K ⊂ R es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Dem. Sea U = {Ui }i∈J un recubrimiento abierto de [a, b] y sea c el supremo de los x ∈ [a, b] t.q. [a, x] ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Un , para alg´ un n´ umero finito de Ui ∈ U. Supongamos que c < b y sea U0 ∈ U t.q. c ∈ U0 , claramente existirá ε con 0 < ε < b − c t.q. [c − ε, c + ε] ⊂ U0 . Como [a, c − ε] se puede recubrir 20

con un n´ umero finito de abiertos {U1 , ..., Un } ⊂ U es claro que [a, c + ε] se podrá recubrir con {U0 , U1 , ..., Un }, lo cual contradice que c sea el supremo. Entonces necesariamente c = b y por tanto [a, b] es compacto. Sea K un subespacio compacto, como (R, τU ) es Hausdorff, se sigue que K es cerrado. Es claro que U = {(−n, n)}n∈N es un recubrimiento abierto de K, por tanto existirá n0 ∈ N t.q. K ⊂ (−n0 , n0 ), luego K está acotado. Rec´ıprocamente, supongamos que K es cerrado y acotado, por ser K acotado existirán a, b ∈ R t.q. K ⊂ [a, b], si K es cerrado en R también será cerrado en [a, b] y siendo este u ´ltimo compacto se sigue por (5.2) que K es compacto. Claramente K ⊂ Rn es acotado si y sólo si existen ai , bi ∈ R, para 1 ≤ i ≤ n, t.q. K ⊂ [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ]. 5.15 Teorema de Heine-Borel Un subespacio K ⊂ Rn es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Dem. Notar que Rn no es compacto (en otro caso, por (5.13) también lo tendr´ıa que ser R). Sea K ⊂ Rn compacto, como Rn es Hausdorff se sigue que K es cerrado. Por otra parte, pi (K) será compacto en R, para todo 1 ≤ i ≤ n, luego pi (K) ⊂ [ai , bi ], para alg´ un ai , bi ∈ R, entonces K ⊂ [a1 , b1 ]×· · ·×[an , bn ] y por tanto K está acotado. Rec´ıprocamente, sea K cerrado y acotado, por ser acotado es claro que K ⊂ [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], y siendo este u ´ltimo compacto y K cerrado, se sigue por (5.2) que K también es compacto. Sea (E, d) un espacio métrico y A ⊂ E, definimos el diámetro de A como d(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A} y diremos que A está acotado si d(A) < ∞. Una función continua f : X −→ E se dirá acotada si existe un n´ umero real M ≥ 0 t.q. d(f (X)) ≤ M , es decir si f (X) es un subespacio acotado de E. 5.16 Corolario Sea X un e.t. compacto y f : X −→ R una aplicación continua, entonces f está acotada y alcanza sus cotas. Dem. Sean m = inf{f (x)|x ∈ X} y M = sup{f (x)|x ∈ X}, claramente m y M son puntos de acumulación de f (X), es decir m, M ∈ f (X). Entonces X compacto implica f (X) compacto en R, por tanto cerrado y acotado. En particular m, M ∈ f (X), es decir ∃ x0 , y0 ∈ X t.q. f (x0 ) = m y f (y0 ) = M . 5.17 Lema de Lebesgue Sea (E, d) un espacio métrico compacto y U = {Ui }i∈J un recubrimiento abierto de E, entonces existe ρ > 0 t.q. toda bola B(x, ρ) = {y ∈ E|d(x, y) < ρ} está contenida en alg´ un Ui ∈ U (llamaremos a ρ el n´ umero de Lebesgue del recubrimiento U). Dem. Dado xi ∈ E existe Ui ∈ U t.q. xi ∈ Ui y como las bolas forman base de la topolog´ıa inducida por la métrica, existe ri > 0 t.q. B(xi , ri ) ⊂ Ui . Notar que {B(xi , ri /2)}xi ∈E es un recubrimiento abierto de E y como E compacto existirá un subrecubrimiento finito {B(x1 , r1 /2), ..., B(xn , rn /2)}, 21

entonces dado x ∈ E se sigue que x ∈ B(xi , ri /2) para alg´ un i ∈ {1, 2, .., n}. Denotamos ρ = min{r1 /2, ..., rn /2}, entonces si z ∈ B(x, ρ) se tiene d(z, xi ) ≤ d(z, x) + d(x, xi ) < ρ +

ri ≤ ri 2

luego z ∈ B(xi , ri ) y por tanto B(x, ρ) ⊂ B(xi , ri ) ⊂ Ui . Ejercicio 27 Probar que S n−1 = {x ∈ Rn |kxk = 1} es compacto en Rn . Ejercicio 28 Sea H 2 = S 2 ∩{(x, y, z)|z ≥ 0} ⊂ R3 el hemisferio norte. Probar que H 2 es compacto y si D2 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} es el disco unidad en R2 , entonces h : H 2 −→ D2 dada por h(x, y, z) = (x, y) es homeomorfismo. Ejercicio 29 Sea A = [0, 1) ⊂ R, B = {(x, y) ∈ R2 |y = x2 , x ≥ 0} ⊂ R2 y C = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1, x ≥ 0} ⊂ R2 . Probar que A y B son homeomorfos pero ninguno de ellos es homeomorfo a C. Espacios localmente compactos Un subespacio A de un e.t. X se dice relativamente compacto si su clausura A es compacta. Un e.t. X se dice localmente compacto si todo punto de X tiene un entorno abierto relativamente compacto. Ejemplos (1) Todo espacio compacto es localmente compacto. (2) El espacio eucl´ıdeo Rn es localmente compacto para todo n ≥ 1. (3) Todo espacio infinito y discreto es localmente compacto. La recta racional Q y la recta irracional R − Q no son localmente compactos. 5.18 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff, entonces son equivalentes: (1) X es localmente compacto. (2) Para todo x ∈ X y todo abierto U t.q. x ∈ U , existe un abierto V relativamente compacto t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U . (3) Para todo subespacio compacto K y todo abierto U ⊃ K, existe un abierto V relativamente compacto t.q. K ⊂ V ⊂ V ⊂ U . (4) X tiene una base que consiste en abiertos relativamente compactos. Dem. Sea x ∈ X y U abierto en X t.q. x ∈ U . Si X localmente compacto, x admitirá un entorno W relativamente compacto. Por (5.6), notar que W es un T4 -espacio y en particular será regular, como U ∩W es un abierto en W t.q. x ∈ U ∩ W , por (4.9) existirá A abierto en W t.q. x ∈ A ⊂ ClW (A) ⊂ U ∩ W . Notar que A = B ∩W con B abierto en X, definimos entonces V = B ∩W y es claro que x ∈ V ⊂ V ⊂ U , luego hemos probado que (1) =⇒ (2). Supongamos cierto (2) y sean K compacto y U abierto t.q. K ⊂ U , para cada x ∈ K existirá un abierto Vx relativamente compacto t.q. x ∈ Vx ⊂ Vx ⊂ U . Es claro que {Vx }x∈K es un recubrimiento abierto de K y siendo K compacto existirá un 22

subrecubrimiento finito {Vx1 , ..., Vxn }. Definimos V = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn , entonces es claro que V es un abierto relativamente compacto t.q. K ⊂ V ⊂ V ⊂ U (en efecto, V = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn , compacto por ser unión finita de compactos) por tanto (2) =⇒ (3). Sea B = {V ∈ τ |V compacto}, como K = {x} es compacto se sigue de (3) que B es una base, luego (3) =⇒ (4). Finalmente, es evidente que (4) =⇒ (1) 5.19 Corolario Todo e.t. Hausdorff y localmente compacto es un T3 -espacio. Dem. Basta probar que X es regular, pero eso se sigue por (2) en (5.18). Un subespacio A ⊂ X se dirá localmente compacto si para todo x ∈ A existe V abierto en X t.q. x ∈ V y V ∩ A es compacto. 5.20 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff. Si A ⊂ X es localmente compacto entonces A = U ∩ F , con U abierto y F cerrado. Si X es localmente compacto y A = U ∩ F , con U abierto y F cerrado, entonces A es localmente compacto. Dem. Sea A localmente compacto, para todo x ∈ A existirá Ux abierto en X t.q. Ux ∩ A es compacto y por tanto cerrado, por ser X Hausdorff. Como Ux ∩ A = Ux ∩ (Ux ∩ A), se sigue que Ux ∩ A es cerrado en Ux , para todo S x ∈ A, por tanto A es cerrado en U = x∈A Ux , es decir A = U ∩ F para alg´ un F cerrado en X. Supongamos ahora que X es localmente compacto y sea A = U ∩ F con U abierto y F cerrado, para todo punto x ∈ A, como x ∈ U existe un abierto relativamente compacto V t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U . Entonces V ∩ A es un abierto en A t.q. V ∩ A = V ∩ (U ∩ F ) = V ∩ F será cerrado en V y por tanto compacto, luego V ∩ A es relativamente compacto y en consecuencia A es localmente compacto. En particular, la propiedad de ser localmente compacto es hereditaria para los abiertos y para los cerrados de un espacio localmente compacto. Ejercicio 30 Sea X un e.t. Hausdorff y localmente compacto y sea D denso en X, probar que entonces D es localmente compacto si y sólo si es abierto. 5.21 Teorema Sean X, Y dos e.t. Hausdorff y f : X −→ Y una aplicación continua, sobre y abierta. Si X es localmente compacto también lo es Y . Dem. Notar que, en particular, f es una identificación. Sea y ∈ Y y sea U un abierto t.q. y ∈ U . Elegimos x ∈ f −1 (y) ⊂ f −1 (U ), como f −1 (U ) es abierto y X es localmente compacto existirá un abierto V relativamente compacto t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ f −1 (U ). Pero V compacto implica f (V ) compacto y por tanto cerrado, ya que Y es Hausdorff, entonces f (V ) ⊂ f (V ) = f (V ), por otra parte f continua implica f (V ) ⊂ f (V ), entonces f (V ) = f (V ) es compacto. Como f es abierta se sigue que f (V ) es abierto, luego es un abierto relativamente compacto t.q. y ∈ f (V ) ⊂ f (V ) ⊂ U . Por tanto Y es localmente compacto. 23

5.22 Teorema Dada una familia {Xi }i∈J de espacios Hausdorff, entonces olo si cada Xi es localmente compacto i∈J Xi es localmente compacto si y s´ y todos los factores Xi , salvo un n´ umero finito, son compactos. Q

Dem. Sea Xi localmente compacto, como las proyecciones pk : Xi −→ Xk son continuas, sobre y abiertas se sigue que Xk es localmente compacto para todo k ∈ J. Además, si V es un abierto relativamente compacto notar que Q V = Vi t.q. Vi = Xi para todo i ∈ J − F , donde F ⊂ J es un conjunto finito de ´ındices, entonces Xi = pi (V ) ⊂ pi (V ) y por tanto Xi = pi (V ), para todo i ∈ J − F , el cual es compacto por serlo V . Rec´ıprocamente, sea Xi localmente compacto para todo i ∈ J, compacto para todo i ∈ J − F y Q suponer F = {1, 2, ..., n}. Dado (xi ) ∈ Xi , para cada k ∈ F existe un abierto Q Q Vk relativamente compacto t.q. xk ∈ Vk . Como Vi = Vi , por el teorema Q de Tychonoff se sigue que V = Vi , con Vi = Xi para i > n, es un abierto Q relativamente compacto t.q. (xi ) ∈ V . Por tanto Xi localmente compacto. Q

Q

Compactaci´ on de Alexandroff Una compactaci´ on ´ o compactificaci´ on de un e.t. X es un par (Y, h) donde Y es un T2 -espacio compacto y h : X −→ Y aplica X de manera homeomorfa sobre un subespacio denso de Y (es decir, X ≈ h(X) denso en Y ). Ejercicio 31 Probar que X es localmente compacto si y sólo si h : X −→ Y es abierta para toda compactificación (Y, h) de X. 5.23 Teorema Un espacio X Hausdorff y localmente compacto se puede c t.q. X c − X es un punto {p}. incrustar en un espacio Hausdorff y compacto X c = X {p}, donde p es un punto ideal disjunto de X y sea Dem. Definimos X c−K|K ⊂ Xcompacto}. Es f´ τb = τ ∪{X acil probar que τb es una topolog´ıa sobre c c se pueden separar por abiertos X y es claro que dos puntos distintos de X c − X, como X disjuntos si ambos están en X. Sea ahora x ∈ X y p = X es localmente compacto existirá U ∈ τ relativamente compacto t.q. x ∈ U , c − U y es claro que U ∩ (X c − U ) = ∅, por tanto c − U ∈ τb, p ∈ X entonces X c τb) es Hausdorff. Finalmente, sea U = {U } (X, i i∈J un recubrimiento abierto de c c − K para alg´ X y sea U0 ∈ U un abierto conteniendo a p, entonces U0 = X un K compacto en X y si {U1 , ..., Un } ⊂ U es un subrecubrimiento finito de K es c por tanto (X, c τb) claro que {U0 , U1 , ..., Un } es un subrecubrimiento finito de X, es compacto. `

c la inclusi´ c i) es una compactaci´ Sea i : X −→ X on, notar que el par (X, on c de X: en efecto, X ≈ i(X) y si U = X − K es un abierto que contiene a p, c es decir X es denso entonces U ∩ X 6= ∅, luego p ∈ X y por tanto X = X, c c en X. Tal compactación (X, i) se dirá compactaci´ on a un punto ´ o de Alexandroff de X.

24

5.24 Teorema Sea Y un espacio Hausdorff y compacto, q ∈ Y un punto no c En particular, la aislado y X = Y − {q}, entonces Y es homeomorfo a X. compactificación de Alexandroff es u ńica salvo homeomorfismo. c −→ Y t.q. f | = id y f (p) = q, claramente f Dem. Sea X = Y −{q} y f : X X X es una biyección. Veamos que f es una aplicación abierta ó equivalentemente que f −1 es continua: sea U ∈ τb, si U ⊂ X entonces f (U ) = U es abierto en c − K con K compacto es un abierto que Y ya que X abierto en Y , si U = X c − K) = Y − f (K) = Y − K, ya que contiene a {p}, entonces f (U ) = f (X K ⊂ X y f |X = idX , como todo compacto en un Hausdorff es cerrado se sigue c es una biyecci´ que f (U ) es abierto. Entonces f −1 : Y −→ X on continua de un espacio compacto en un espacio Hausdorff, por tanto un homeomorfismo. cn ≈ S n Ejercicio 32 Probar que R

6

´ CONEXION

Sea X un e.t., llamaremos separaci´ on de X a un par de abiertos {U, V } t.q. U 6= ∅, V 6= ∅, U ∩ V = ∅ y X = U ∪ V . Diremos que X es conexo si no admite una separación. Ejemplo El espacio de Sierpinski es conexo. Espacios discretos con mas de un punto, en particular S 0 = Z2 = {0, 1}, no son conexos. Espacios indiscretos √ son conexos. La recta racional Q no es conexa: U = (−∞, 2) ∩ Q y V = √ ( 2, +∞) ∩ Q es una separación de Q. La recta de Sorgenfrey no es conexa: en efecto, {(−∞, a), [a, +∞)} es una separación de (R, τS ). 6.1 Lema Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) (2) (3) (4)

X es conexo. ∅ y X son los u ńicos que son simultáneamente abiertos y cerrados en X. No existe aplicación continua y sobre f : X −→ S 0 . Fr(B) 6= ∅ para todo B 6= ∅, X.

Dem. Si A 6= ∅, X es abierto y cerrado entonces {A, X − A} es una separación de X, luego (1) =⇒ (2). Supongamos que existe f : X −→ S 0 continua y sobre, entonces f −1 (0) 6= ∅, X es abierto y cerrado en X, ya que {0} es abierto y cerrado en S 0 , lo cual contradice (2), luego (2) =⇒ (3). Supongamos que X no es conexo y sea {U, V } una separación, entonces la función caracter´ıstica cV : X −→ S 0 , dada por cV (x) = 0 si x ∈ U , cV (x) = 1 si x ∈ V , es continua y sobre, contradiciendo (3), luego X debe ser conexo y por tanto (3) =⇒ (1). Sea B 6= ∅, X y supongamos que Fr(B) = ∅, como X = Int(B) ∪ Ext(B) ∪ Fr(B) se sigue que {Int(B), Ext(B)} es una separación de X, luego (1) =⇒ (4). 25

Rec´ıprocamente, supongamos X no conexo y sea {U, V } una separación de X, entonces Fr(U ) = U ∩ X − U = U ∩ V = U ∩ V = ∅, por tanto (4) =⇒ (1). Ejercicio 34 Sean {U, V } una separación de X y sea A un subespacio conexo de X. Probar que entonces A ⊂ U ó A ⊂ V . 6.2 Proposici´ on Sea f : X −→ Y una aplicación continua, si X es conexo entonces f (X) también es conexo. Dem. Sea g : X −→ f (X) t.q. g(x) = f (x) la restricción de f a su imagen, entonces g es continua y sobre. Sea X conexo y supongamos que f (X) no lo es, es decir supongamos que existe una aplicación h : f (X) −→ S 0 continua y sobre, entonces la composición hg : X −→ S 0 también es continua y sobre, contradiciendo que X sea conexo. Por tanto, necesariamente f (X) conexo. En particular, la conexión es un invariante topológico. 6.3 Proposici´ on Sea A un subespacio conexo de un e.t. X y sea B t.q. A ⊆ B ⊆ A, entonces B y en particular A también son conexos. Dem. Supongamos que existe una aplicación continua f : B −→ S 0 y vamos a probar que f no puede ser sobre. Como A conexo, la restricción f |A : A −→ S 0 es continua, por tanto no puede ser sobre, supongamos f (A) = 0. Por otra parte B ⊆ A y f continua implican f (B) ⊆ f (A) ⊆ f (A) = {0} = {0}, luego f : B −→ S 0 no es sobre. Por tanto B y A son también conexos. Ejercicio 35 Sea C ⊂ X un subespacio conexo y A ⊂ X t.q. C ∩ A 6= ∅ y C ∩ (X − A) 6= ∅. Probar que entonces C ∩ Fr(A) 6= ∅. Ejercicio 36 Sea f : X −→ Y una identificación t.q. las fibras f −1 (y) son conexas para todo y ∈ Y . Probar que un abierto (cerrado) B ⊂ Y es conexo si y sólo si f −1 (B) es conexo. En particular para B = Y , se sigue que X es conexo si y sólo si lo es Y . Ejercicio 37 Sea C un subespacio conexo de un e.t. conexo X. Si {U, V } forman una separación de X − C probar que C ∪ U y C ∪ V son conexos. 6.4 Teorema Sea C = {Ci }i∈J una familia de subespacios conexos de X y supongamos que existe C0 ∈ C t.q. C0 ∩ Ci 6= ∅ para todo i ∈ J. Probar que S entonces C = Ci es conexo. S

Dem. Supongamos que C = Ci no es conexo y sean U, V dos abiertos en C no vac´ıos t.q. C = U ∪ V y U ∩ V = ∅, entonces para todo i ∈ J se tiene que Ci ⊂ U ó bien Ci ⊂ V , ya que en otro caso {Ci ∩ U, Ci ∩ V } ser´ıa una separación del conexo Ci . Notar que si C0 ⊂ U , entonces también Ci ⊂ U para todo i ∈ J (ya que si existe k ∈ J t.q. Ck ⊂ V entonces C0 ∩ Ck ⊂ U ∩ V = ∅), 26

y por tanto se tendr´ıa que V = ∅, lo cual es una contradicción. Ejercicio 38 Sea C = {Ci }i∈J una familia de subespacios conexos de X t.q. T S Ci 6= ∅. Probar que C = Ci es conexo. Ejercicio 39 Sea {Cn }n∈N una familia de subespacios conexos de X tales que S Cn ∩ Cn+1 6= ∅ para todo n ∈ N. Probar que C = Cn es conexo. 6.5 Proposici´ on Un producto de e.t. es conexo si y sólo si lo es cada factor. Dem. Si X × Y es conexo entonces por (6.2) lo son X, Y ya que las proyecciones son continuas. Rec´ıprocamente, supongamos que X, Y son conexos y elegimos x0 ∈ X, entonces C0 = {x0 } × Y es conexo por ser homeomorfo a Y . Análogamente, Cy = X × {y} ≈ X son conexos para todo y ∈ Y . EnS tonces X × Y = y∈Y Cy ∪ C0 y (6.4) implican que X × Y es conexo, ya que C0 ∩ Cy = {(x0 , y)} 6= ∅ para todo y ∈ Y . Por inducción, la proposición se sigue para un n´ umero finito de factores. También se satisface (6.5) para un n´ umero infinito de factores pero omitiremos la demostración por ser mucho más compleja. 6.6 Teorema Sea R con la topolog´ıa usual y A ⊂ R un subespacio conteniendo mas de un punto, entonces A es conexo si y sólo si es un intervalo. Dem. Sea A un subespacio conexo de R con más de un punto y supongamos que A no es un intervalo, es decir existen a, b ∈ A y c ∈ (a, b) t.q. c ∈ / A, entonces {A ∩ (−∞, c), A ∩ (c, +∞)} es una separación de A lo cual contradice que A es conexo, por tanto A debe ser un intervalo. Rec´ıprocamente, sea A un intervalo en R y supongamos que {U, V } es una separación de A, elegimos a ∈ U , b ∈ V y si a < b definimos c = sup{x|[a, x) ⊂ U }, entonces c ≤ b y por tanto c ∈ A, ya que A es un intervalo. Es claro que c ∈ ClA U y como U es cerrado en A se sigue que c ∈ U , por otra parte U también es abierto en A, luego existirá ε > 0 t.q. (c − ε, c + ε) ⊂ U , lo cual contradice que c sea un supremo. Por tanto A no admite una separación y en consecuencia es conexo. Una consecuencia de (6.6) es el siguiente resultado conocido como el Teorema del valor intermedio 6.7 Corolario Sea X conexo y f : X −→ R una aplicación continua, si a, b ∈ f (X) y c ∈ R es t.q. a < c < b, entonces existe x ∈ X t.q. f (x) = c. Dem. Por (6.2) y (6.6) se sigue que f (X) es un intervalo, luego si a, b ∈ f (X) es claro que (a, b) ⊂ f (X), entonces si c ∈ (a, b) existirá x ∈ X t.q. f (x) = c. Ejercicio 40 Probar que I = [0, 1] es conexo. Ejercicio 41 Probar que Rn es conexo para todo n ≥ 1. 27

Ejercicio 42 Si X e Y son conexos y A ⊂ X, B ⊂ Y son subespacios propios, probar que X × Y − A × B es conexo. Ejercicio 43 Probar que Rn − {0} es conexo para todo n ≥ 2. Ejercicio 44 Probar que R y Rn no son homeomorfos si n 6= 1. Ejercicio 45 Probar que todo intervalo abierto, semiabierto ó cerrado en R es homeomorfo, respectivamente, a (−1, 1), (−1, 1] ó [−1, 1]. Probar también que estos intervalos no son homeomorfos entre si. Ejercicio 46 Sea I = [0, 1] y f : I −→ I una aplicación continua, probar que f tiene un punto fijo (es decir, que existe x ∈ I t.q. f (x) = x). Ejercicio 47 Sea n ≥ 2 y S n−1 = {x ∈ Rn |kxk = 1} la esfera unidad. Probar que S n−1 es conexo y que Rn − S n−1 no lo es. Ejercicio 48 Probar que A = {(x, y) ∈ R2 |y > x2 + 1} es conexo. Ejercicio 49 Sea p ∈ S 1 , probar que S 1 − {p} es conexo y deducir que S 1 no es homeomorfo a R. Ejercicio 50 Sea X un conjunto infinito con la topolog´ıa cofinita, notar que τCF tiene como subbase a S = {X − {x}|x ∈ X} y es por tanto la menor topolog´ıa que hace de X un T1 -espacio. Probar que (X, τCF ) es conexo. Ejercicio Sea (X, τCF ) un e.t. infinito con la topolog´ıa co-finita, probar que los conjuntos {x, y} no son conexos. Soluci´ on Si B = {x, y} es claro que {x} = (X − {y}) ∩ B y análogamente {y} = (X − {x}) ∩ B. Como X − {y}, X − {x} ∈ τCF se sigue que {x} e {y} son abiertos en B, es decir la topolog´ıa inducida en B = {x, y} es la discreta, por tanto B no es conexo. Ejercicio Sean A y B dos subespacios conexos de un e.t. X t.q. A ∩ B 6= ∅. Probar que A ∪ B es conexo. Soluci´ on Sea x ∈ A ∩ B, como A ⊂ A ∪ {x} ⊂ A, se sigue por (6.3) que A ∪ {x} es también conexo. Como x ∈ (A ∪ {x}) ∩ B 6= ∅ se sigue de (6.4) que A ∪ B = A ∪ {x} ∪ B es conexo. Componentes conexas Dado x ∈ X, llamaremos componente conexa C(x) de x a la unión de todos los subespacios conexos de X que contienen a x. Claramente X es conexo si y sólo si C(x) = X para todo x ∈ X 28

Ejemplo En espacios discretos las componentes de un punto se reducen a dicho punto. La recta racional Q con la topolog´ıa inducida por la de R no es un espacio discreto, pero también en este caso C(x) = {x} para todo x ∈ Q. Espacios con esta u ´ltima propiedad se dicen totalmente inconexos. Ejercicio 51 Probar las siguientes afirmaciones: (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Cada componente C(x) es un conexo maximal en X. El conjunto de las componentes forman una partición de X. Toda componente conexa es cerrada. Sea f : X −→ Y continua, entonces f [C(x)] ⊂ C(f (x)). El n´ umero de componentes conexas de un e.t. es un invariante topológico. Q Sea X = X1 × · · · × Xn y x = (x1 , ..., xn ) ∈ X, entonces C(x) = C(xi ).

Ejercicio Sea R con la topolog´ıa usual y Q con la topolog´ıa inducida, probar que una aplicación f : R −→ Q es continua s´ı y sólo s´ı es constante. Soluci´ on Si f continua entonces f (R) es conexo por serlo R. Si x0 ∈ f (R) se sigue que f (R) ⊂ C(x0 ), pero Q es totalmente inconexo, es decir C(x0 ) = {x0 }, luego f (R) = {x0 } y por tanto f es constante. El rec´ıproco es obvio ya que toda aplicación constante es continua. Ejercicio Probar que un e.t. X es conexo si y sólo si para todo par de puntos x, y ∈ X existe un subespacio conexo A(x, y) ⊂ X t.q. x, y ∈ A(x, y). Soluci´ on 1 Si X es conexo basta tomar A(x, y) = X. Rec´ıprocamente, fijamos x ∈ X, entonces los subespacios {A(x, y)}y∈X son conexos y tienen intersección no vac´ıa x ∈ ∩y∈X A(x, y) 6= ∅. Por (6.4) se sigue que la unión ∪y∈X A(x, y) es conexo, pero notar que ∪y∈X A(x, y) = X. Soluci´ on 2 Fijamos x ∈ X, como la componente conexa C(x) es la unión de todos los conexos que contienen a x, en particular A(x, y) ⊂ C(x), para todo y ∈ X, luego ∪y∈X A(x, y) ⊂ C(x). Pero ∪y∈X A(x, y) = X y por tanto X = C(x), concluimos que X es conexo. Ejercicio Sea X = {x, y, z} con la topolog´ıa τ = {∅, {x}, {z}, {x, y}, {x, z}, X}. ¿Es X conexo? ¿Son A = {x, y}, B = {y, z} y C = {x, z} subespacios conexos? Hallar las componentes conexas de cada punto, C(x), C(y) y C(z) Soluci´ on: X no es conexo ya que {z} = X − {x, y} es abierto y cerrado. Sean τA , τB , τC las topolog´ıas inducidas por τ en A, B y C respectivamente. Entonces τA = {∅, {x}, A} luego A conexo ya que los u ńicos subespacios abiertos y cerrados en A son el vac´ıo y el total, τB = {∅, {y}, {z}, B} luego B no conexo ya que τB es la topolog´ıa discreta, τC = {∅, {x}, {z}, C} por tanto C es no conexo pues τC es la topolog´ıa discreta. Como la componente de un punto es el mayor conexo que lo contiene se sigue que C(x) = A, C(y) = A y C(z) = {z}. 29

Espacios localmente conexos Un espacio topológico (X, τX ) se dice localmente conexo si su topolog´ıa τX tiene una base formada por abiertos conexos. Ejemplos (1) Como las bolas B(x, r) ⊂ Rn son conexas, Rn es localmente conexo. (2) Espacios discretos con más de un punto son localmente conexos pero no son conexos. (3) Un espacio puede ser conexo y no localmente conexo: en efecto, si X ⊂ R2 es el espacio que consta de los segmentos que unen el origen 0 con los puntos del conjunto {(1, 1/n)|n ∈ N} junto con el segmento − → (1/2, 1] en el eje 0x, entonces X es conexo mientras que X − {0} no lo es y las componentes de cada punto es el rayo que lo contiene. Si p ≡ (3/4, 0) ∈ X y U es un abierto que contiene a p, entonces U = B(p, ε) ∩ X para alg´ un ε > 0. Es claro que U no es conexo, ya que la intersección de U con el segmento que une el origen 0 con el punto q ≡ (1, 1/n) es a la vez abierto y cerrado en U . Llamaremos componente de B ⊂ X a un conexo maximal contenido en B. 6.8 Teorema Un e.t. X es localmente conexo si y sólo si toda componente de todo abierto en X es abierta. Dem. Sea C una componente de un abierto U y x ∈ C, como X es localmente conexo existirá un abierto conexo V t.q. x ∈ V ⊂ U , entonces x ∈ V ⊂ C y por tanto C abierto. Rec´ıprocamente, si toda componente de todo abierto U es abierta es claro que la familia de todas las componentes de todos los abiertos de X forman una base para su topolog´ıa, luego X es localmente conexo. En particular las componentes de un espacio localmente conexo son a la vez abiertas y cerradas, entonces se sigue fácilmente 6.9 Corolario Un espacio compacto y localmente conexo tiene a lo más un n´ umero finito de componentes. Ejemplo En general, la imagen de un e.t. localmente conexo no es localmente conexo: Sea X = {0} ∪ N y Y = {0} ∪ {1/n|n ∈ N} como subespacios de R. Definimos f : X −→ Y t.q. f (0) = 0 y f (n) = 1/n. Como X es discreto f es continua y sobre, además X es localmente conexo pero Y no lo es. Pero la propiedad ”localmente conexo” s´ı se conserva en cocientes 6.10 Teorema Sea X localmente conexo y f : X −→ Y una identificación, entonces también Y es localmente conexo. Dem. Sea U abierto en Y y C una componente de U , por (6.8) bastará probar que C es abierto. Como f es una identificación, es decir τY = τ (f ), notar que C es abierto en Y s´ı y sólo si f −1 (C) es abierto en X. Sea pues x ∈ f −1 (C) y Cx 30

la componente de x en el abierto f −1 (U ), entonces f (Cx ) conexo y f (Cx ) ⊂ U implican f (Cx ) ⊂ C, ya que C maximal. Por tanto x ∈ Cx ⊂ f −1 (C) y como Cx es abierto se sigue que f −1 (C) es abierto y concluimos que C es abierto. La propiedad ”localmente conexo” también se conserva en productos finitos. Más generalmente se tiene Q

6.11 Teorema Un producto Xi es localmente conexo si y sólo si todo factor es localmente conexo y todo factor, salvo un n´ umero finito, es conexo. Dem. Sea Xi localmente conexo, las proyecciones pk : Xi −→ Xk son continuas, sobre y abiertas por tanto son identificaciones y se sigue de (6.10) Q que Xk es localmente conexo para todo k ∈ J. Además, sea (xi ) ∈ Xi y U Q un abierto conexo t.q. (xi ) ∈ U , entonces U = Ui con Ui = Xi para todo i ∈ J − F , donde F es un conjunto finito de ´ındices, por tanto Xi = pi (U ) es conexo para todo i ∈ J − F . Rec´ıprocamente, sea Xi localmente conexo Q Q para todo i ∈ J y conexo para todo i ∈ J − F1 , dado (xi ) ∈ Xi y U = Ui un abierto t.q. (xi ) ∈ U , notar que Ui = Xi para todo i ∈ J − F2 , entonces existen abiertos conexos Vk t.q. xk ∈ Vk ⊂ Uk para todo k ∈ F1 ∪F2 . Definimos Q V = Vi , con Vi = Xi para todo i ∈ J − {F1 ∪ F2 }, entonces por (6.5) se sigue que V es un abierto conexo y es claro que (xi ) ∈ V ⊂ U . Q

Q

Ejercicio 52 Sea X un espacio localmente conexo, y sea C la componente conexa de un abierto U de X. Probar que U ∩ Fr(C) = ∅. Ejercicio 53 Sea X localmente conexo, A ⊂ X y C una componente de A. Probar: (1) Int(C) = C ∩ Int(A). (2) Si A es cerrado, Fr(C) = C ∩ Fr(A). Ejercicio 54 Sean A y B subespacios localmente conexos de un e.t. X, probar que entonces A∩B es localmente conexo. Si además A y B son cerrados, probar que A ∪ B es también localmente conexo. Ejercicio 55 Sean A y B cerrados en X t.q. X = A∪B y A∩B son localmente conexos. Probar que entonces A y B son también localmente conexos. Conexi´ on por caminos A lo largo de esta sección denotaremos por I al intervalo cerrado [0, 1] con la topolog´ıa usual. Dados x, y ∈ X llamaremos camino en X juntando a x con y a una aplicación continua γ : I −→ X t.q. γ(0) = x, γ(1) = y. Diremos que X es conexo por caminos ó arcoconexo si todo par de puntos en X pueden juntarse por un camino. Ejemplos (1) El espacio de Sierpinski es arcoconexo. (2) Espacios indiscretos son arcoconexos mientras que espacios discretos con más de un punto no lo son. (3) Rn y S n son arcoconexos. 31

Ejercicio 56 Definimos una relación sobre X como sigue: x ∼ y si y sólo si existe un camino en X juntando a x con y. Probar que dicha relación es de equivalencia. Llamaremos arcocomponente de x a la clase de equivalencia Cx = {y ∈ X|y ∼ x} y es el mayor subespacio arcoconexo que contiene a x. El conjunto de las arcocomponentes X/ ∼ se denota usualmente por π0 (X). Ejercicio 57 Fijado x0 ∈ X, probar que si todo punto de X puede juntarse con x0 , entonces X es arcoconexo. 6.12 Lema Todo espacio arcoconexo es conexo. Dem. Sea X arcoconexo y x0 ∈ X, entonces para todo x ∈ X existe un camino γx : I −→ X t.q. γx (0) = x0 y γx (1) = x. Como I conexo y γx continua se sigue que γx (I) conexo y es claro que x0 ∈ γx (I) para todo x ∈ X, luego T S x∈X γx (I) 6= ∅. El lema se sigue por (6.4) ya que X = x∈X γx (I). El rec´ıproco no es cierto Ejemplo Si C = Γf siendo f : (0, 1] −→ R t.q. f (x) = sin 1/x, entonces C = C ∪ {(0, y)| − 1 ≤ y ≤ 1} es conexo. Sin embargo C no es arcoconexo ya que no existe ning´ un camino juntando el origen 0 con p ≡ (1/π, 0). Un subespacio A ⊂ X es arcoconexo si todo par de puntos en A pueden juntarse por un camino γ totalmente contenido en A (es decir, γ(I) ⊂ A). Diremos que un e.t. X es localmente arcoconexo si cada punto tiene una base de entornos arcoconexos. 6.13 Lema Un e.t. es localmente arcoconexo si y sólo si sus arcocomponentes son abiertas (y por tanto también cerradas). Dem. Suponer X localmente arcoconexo y sea Cx la arcocomponente de x, si U es un abierto arcoconexo t.q. x ∈ U entonces es claro que x ∈ U ⊂ Cx ya que Cx maximal, luego Cx abierto. Como el conjunto de arcocomponentes {Cx } definen una partición de X, toda arcocomponente es el complementario de una unión de arcocomponentes, por tanto el complementario de un abierto, luego toda arcocomponente es también cerrada. El rec´ıproco es obvio. 6.14 Teorema Un e.t. es arcoconexo ⇐⇒ es conexo y localmente arcoconexo. Dem. Si X es arcoconexo entonces es conexo por (6.12) y el propio X sirve como entorno arcoconexo de todo x ∈ X, luego X es también localmente arcoconexo. Rec´ıprocamente, sea X conexo y localmente arcoconexo entonces la arcocomponente Cx de x es abierta, cerrada y no vac´ıa, como X conexo se sigue que Cx = X y por tanto X arcoconexo. En particular todo abierto y conexo en Rn ó en S n es arcoconexo. 32

Ejercicio 58 Sea X localmente arcoconexo, probar que la arcocomponente Cx coincide con la componente C(x) de todo punto x ∈ X. La relaci´ on de Homotop´ıa Dado un e.t. X llamaremos cilindro de X al producto X × I y cono de X al cociente CX = X × I/X × {1}. Podemos identificar X con la base del cono X × {0} y denotamos por i : X −→ CX, dada por i(x) = (x, 0), la inclusión. Dadas dos aplicaciones continuas f, g : X −→ Y , llamaremos homotop´ıa de f a g a una aplicación continua H : X × I −→ Y t.q. H(x, 0) = f (x) y H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X. Si tal aplicación existe diremos que f y g son homótopas y lo denotaremos f ' g. La homotop´ıa está estrechamente relacionada a la conexión por caminos: si H es una homotop´ıa de f a g, entonces notar que γx = H(x, −) : I −→ Y es un camino en Y de f (x) a g(x). 6.15 Proposici´ on La relación de homotop´ıa es de equivalencia en el conjunto C(X, Y ) de las aplicaciones continuas de X en Y . Dem. La relación es reflexiva: dada f : X −→ Y , es claro que H : X ×I −→ Y dada por H(x, t) = f (x) para todo t ∈ I (homotop´ıa estática) es continua y por tanto f ' f . La relación es simétrica: dadas f, g : X −→ Y y H una homotop´ıa de f a g, es claro que G : X×I −→ Y dada por G(x, t) = H(x, 1−t) es una homotop´ıa de g a f . La relación es transitiva: dadas f, g, h : X −→ Y y homotop´ıas H de f a g y G de g a h, es claro que F : X × I −→ Y dada por F (x, t) = H(x, 2t) para 0 ≤ t ≤ 1/2 y F (x, t) = G(x, 2t − 1) para 1/2 ≤ t ≤ 1, es continua y por tanto una homotop´ıa de f a h. 6.16 Proposici´ on La relación de homotop´ıa es compatible con la composición (es decir, si f ' f 0 y g ' g 0 entonces gf ' g 0 f 0 ). Dem. Dadas aplicaciones f, f 0 : X −→ Y y g, g 0 : Y −→ Z, sean H : f ' f 0 y G : g ' g 0 sendas homotop´ıas, entonces gH : X × I −→ Z es una homotop´ıa de gf a gf 0 y G(f 0 × 1) : X × I −→ Z es una homotop´ıa de gf 0 a g 0 f 0 . Como la relación de homotop´ıa es transitiva se sigue que gf ' g 0 f 0 . Dado y0 ∈ Y , en abuso de lenguaje, denotaremos también por y0 : X −→ Y la aplicación constante a y0 (es decir y0 (x) = y0 para todo x ∈ X). Diremos que f : X −→ Y es nulhom´ otopa si es homótopa a una aplicación constante (es decir si existe y0 ∈ Y t.q. f ' y0 ). Un e.t. X se dirá contr´ actil si existe x0 ∈ X t.q. 1X ' x0 . Ejemplo Definimos H : Rn ×I −→ Rn t.q. H(x, t) = tx, claramente H es una nulhomotop´ıa de la identidad y por tanto Rn es contráctil. Análogamente, el disco unidad Dn es contráctil. 33

Ejercicio 59 Probar que el cono CX de todo e.t. X, es un espacio contráctil. Ejercicio 60 Probar que f : X −→ Y es nulhomótopa si y sólo si se extiende a CX (es decir, existe g : CX −→ Y t.q. f = gi, donde i : X −→ CX es la inclusión en la base. Diremos que f : X −→ Y es una equivalencia de homotop´ıa si existe g : Y −→ X t.q. gf ' 1X y f g ' 1Y . Si tal aplicación existe, diremos que X tiene el mismo tipo de homotop´ıa que Y , y lo denotaremos X ' Y . Es claro que espacios homeomorfos tienen el mismo tipo de homotop´ıa. Ejercicio 61 Probar que un espacio es contráctil si y sólo si tiene el mismo tipo de homotop´ıa de un espacio con un sólo punto. Ejercicio 62 Probar que todo espacio contráctil es arcoconexo. Ejercicio 63 Probar que el n´ umero de arcocomponentes es un invariante del tipo de homotop´ıa (es decir, si X ' Y entonces |π0 (X)| = |π0 (Y )|). Diremos que A ⊂ X es un retracto de X si existe una aplicación continua (retracci´ on) r : X −→ A t.q. ri = 1A , donde i denota la inclusión. Ejemplo (1) Todo punto x0 ∈ X es un retracto de X. (2) El disco Dn es un retracto de Rn (la aplicación r : Rn −→ Dn dada por r(x) = x si kxk ≤ 1, r(x) = x/kxk si kxk ≥ 1, es una retracción). Ejercicio 64 Sean f : X −→ Y y g : Y −→ X continuas t.q. gf = 1X . Si Y es Hausdorff probar que X también lo es y que f (X) es cerrado en Y . En particular todo retracto de un espacio Hausdorff es cerrado. Diremos que A ⊂ X es un retracto por deformaci´ on de X si existe una retracción r : X −→ A y una homotop´ıa H : X × I −→ X de 1X a ir. En particular, si A es un retracto por deformación de X, entonces A y X tienen el mismo tipo de homotop´ıa. Ejercicio 65 Probar que S n−1 es un retracto por deformación de Rn − {0}.

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´ ESPACIOS HOMOGENEOS

Un espacio se dice homog´ eneo si para todo par de puntos x, y ∈ X existe un homeomorfismo h : X −→ X t.q. h(x) = y. Ello implica en particular que en un espacio homogéneo las propiedades topológicas locales de uno cualquiera de sus puntos determina las de los otros. Los grupos topológicos nos darán los primeros ejemplos de estos espacios. Empezaremos este cap´ıtulo con un 34

repaso de las nociones más elementales en Teor´ıa de Grupos. Un grupo es un conjunto G junto con una operación binaria m : G × G −→ G t.q. si denotamos m(x, y) = xy, se satisfacen las siguientes condiciones: (1) Existe e ∈ G t.q. xe = x = ex para todo x ∈ G (el elemento distinguido e se dice elemento neutro de G, claramente es u ńico). (2) Para todo x, y, z ∈ G, se tiene x(yz) = (xy)z (es decir m es asociativa). (3) Para todo x ∈ G, existe x0 ∈ G t.q. xx0 = x0 x = e (x0 es u ńico y se llama 0 −1 inverso de x, lo denotaremos por x = x ). Si además se satisface xy = yx para todo x, t ∈ G, entonces el grupo G se dirá abeliano. Es usual manejar notación aditiva para grupos abelianos y notación multiplicativa (como en la definición dada aqu´ı) para el caso no abeliano. Ejemplo (1) Sea F = R ó C, entonces Fn con la suma y F∗ = F − {0} con el producto son ejemplos de grupos (abelianos). (2) Denotaremos por M (n, F) el conjunto de matrices cuadradas n × n con coeficientes en F y por In la matriz identidad. Sea det : M (n, F) −→ F la aplicación determinante, como det(AB) = det(A)det(B) se sigue que el conjunto de las matrices regulares GL(n, F) = {A ∈ M (n, F)|det(A) 6= 0} con la multiplicación de matrices es un grupo (no abeliano) con In como elemento neutro. El grupo GL(n, F) se llama Grupo General Lineal. Un subconjunto H de un grupo G se dice subgrupo de G, y lo denotamos H ≤ G, si x−1 y ∈ H para todo x, y ∈ H. En particular H es un grupo con la operación binaria inducida m|H , es decir H −1 ⊆ H y H 2 = HH ⊆ H. Dado un subgrupo H ≤ G, la relación x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H es de equivalencia. El conjunto xH = {xh|h ∈ H} ⊂ G se llama clase lateral a izquierda. Análogamente definir´ıamos las clases laterales a derecha Hx = {hx|h ∈ H}. En particular todo subgrupo define una partición del grupo en clases laterales. Denotaremos G/H el conjunto cociente y p : G −→ G/H t.q. p(x) = {xH} la proyección. Un subgrupo H de G se dice normal, y lo denotaremos H G si xH = Hx para todo x ∈ G. Si H G entonces el cociente G/H es un grupo. Ejercicio 66 El n´ umero de clases laterales |G/H| = [G : H] se llama ´ındice de H en G. Probar que si [G : H] = 2 entonces H es subgrupo normal de G. Ejercicio 67 El conjunto Z(G) = {x ∈ G|xy = yx, ∀y ∈ G} se llama centro de G. Probar que Z(G) es un subgrupo normal de G. Una aplicación f : G −→ H se dice homomorfismo si f (xy) = f (x)f (y) para todo x, y ∈ G. Es claro que si f es un homomorfismo entonces f (eG ) = eH . 35

Un homomorfismo biyectivo se dice isomorfismo. Si G = H, hablaremos de endomorfismo y automorfismo respectivamente. Ejercicio 68 Dado un homomorfismo f : G −→ H, llamaremos n´ ucleo de f al conjunto Ker(f ) = {x ∈ G|f (x) = eH }. Probar que Ker(f ) G. Grupos topol´ ogicos Un conjunto G se dice grupo topol´ ogico si existe una operación binaria m t.q. (G, m) es un grupo, está dotado de una topolog´ıa τ que hace de (G, τ ) un T1 -espacio y ambas estructuras son compatibles, en el sentido de que la multiplicación m : G × G −→ G dada por m(x, y) = xy, y la inversión η : G −→ G dada por η(x) = x−1 son aplicaciones continuas. Ejemplos (1) (F, +) y (F∗ , ·). (2) S 1 = {z ∈ C|z z¯ = 1} con la multiplicación compleja. (3) Todo grupo con la topolog´ıa discreta. Si U, V ⊂ G, denotamos U V = m(U, V ) = {xy|x ∈ U, y ∈ V } y U −1 = η(U ) = {x−1 |x ∈ U }. En términos de entornos, la continuidad de m y η la expresaremos como sigue: para todo x, y ∈ G y entorno W de xy en G, existen entornos U de x y V de y t.q. U V ⊂ W y para todo U entorno de x−1 , U −1 es un entorno de x. Notar que η es una involución (η 2 = 1 ó bien η −1 = η) y por tanto es un homeomorfismo. Ejercicio 69 Sea G un grupo y un T1 -espacio, probar que G es un g.t. si y sólo si la aplicación φ : G × G −→ G dada por φ(x, y) = xy −1 es continua. Sea G un g.t. y x ∈ G, la aplicación Lx : G −→ G, dada por Lx (y) = xy, se dirá traslaci´ on a izquierda (análogamente Rx : G −→ G, dada por Rx (y) = yx, se dirá traslaci´ on a derecha). Notar que las traslaciones Lx , Rx son homeomorfismos de G en s´ı mismo: Lx = m(x, −) continua y las relaciones Lx Ly = Lxy y Le = 1 implican (Lx )−1 = Lx−1 (análogamente para Rx ). En particular, todo g.t. G es un espacio homogéneo: en efecto, dados x, y ∈ G entonces y = Lz (x), donde z = yx−1 . Por lo tanto las propiedades locales del elemento neutro determinan las de los demás: U es un entorno de x ∈ G si y sólo si U = Lx (V ) = xV , para alg´ un V entorno de e ∈ G. Un subespacio V ⊂ G se dice sim´ etrico si V = V −1 . Denotaremos por E(e) = {Ui }i∈J el sistema completo de los entornos abiertos de e. 7.1 Lema Para todo U ∈ E(e), existe V ∈ E(e) simétrico t.q. V 2 ⊂ U . Dem. Como m continua y m(e, e) = e, dado U ∈ E(e) existirán U1 , U2 ∈ E(e) t.q. U1 U2 ⊂ U . Definimos W = U1 ∩ U2 y V = W ∩ W −1 , entonces es claro que V ∈ E(e) es simétrico y que V 2 ⊂ U1 U2 ⊂ U . 36

7.2 Proposici´ on Sea G un grupo topológico, entonces A = donde los Ui recorren E(e), para todo A ⊂ G.

T

AUi =

T

Ui A,

Dem. Sea x ∈ A, entonces xUi−1 ∩ A 6= ∅ ó bien x ∈ AUi para todo Ui ∈ E(e), T por tanto x ∈ AUi . Rec´ıprocamente, supongamos que x ∈ AUi para todo Ui ∈ E(e) y sea V un abierto t.q. x ∈ V , entonces V −1 x ∈ E(e) y por tanto x ∈ AV −1 x, esto implica que x = av −1 x para alg´ un a ∈ A, v ∈ V ó bien que a = v, luego A ∩ V 6= ∅ y por tanto x ∈ A 7.3 Corolario Todo grupo topológico es un T3 -espacio. Dem. Como G es un T1 -espacio bastará probar que G es regular. Por (4.9), debemos probar que para todo x ∈ G y abierto U t.q. x ∈ U existe un abierto V t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U y como todo grupo topológico es un espacio homogéneo bastará probarlo para x = e. Por (7.1), dado U ∈ E(e) existe V ∈ E(e) simétrico t.q. V 2 ⊂ U , pero por (7.2) es claro que V ⊂ V V = V 2 , luego hemos probado que e ∈ V ⊂ V ⊂ U . Sea G un grupo topológico y H ≤ G, si G/H tiene la topolog´ıa cociente entonces p : G −→ G/H es continua. Además se tiene 7.4 Lema La identificación p : G −→ G/H es abierta. Dem. Sea U abierto en G, como G/H tiene la topolog´ıa cociente p(U ) será abierto en G/H s´ı y sólo si p−1 p(U ) es abierto en G, pero notar que p−1 p(U ) = S S U H = x∈H U x = x∈H Rx (U ) es abierto ya que Rx homeomorfismo. 7.5 Teorema Sea G un grupo topológico y H ≤ G, entonces el espacio cociente G/H es Hausdorff s´ı y sólo si H es cerrado. Dem. Si G/H es Hausdorff el punto {H} es cerrado y siendo p continua se sigue que H = p−1 ({H}) es cerrado en G. Rec´ıprocamente, supongamos H cerrado en G y sean {xH} 6= {yH} en G/H, entonces xH ∩ yH = ∅ en G y en particular x ∈ / yH. Como yH = Ly (H) es cerrado existirá U ∈ E(e) t.q. U x∩yH = ∅. Sea V ∈ E(e) simétrico t.q. V 2 ⊂ U , entonces p(V x) = V (xH) y p(V y) = V (yH) son abiertos en G/H t.q. {xH} ∈ V (xH), {yH} ∈ V (yH) y V xH ∩V yH = ∅ (en efecto, si V xH ∩V yH 6= ∅ existirán v1 , v2 ∈ V , h1 , h2 ∈ H −1 2 t.q. v1 xh1 = v2 yh2 ó bien v2−1 v1 x = yh2 h−1 1 , pero v2 v1 x ∈ V x ⊂ U x y −1 yh2 h1 ∈ yH lo cual contradice U x ∩ yH = ∅). Por tanto G/H es Hausdorff. Ejercicio 70 Probar que todo subgrupo abierto de un grupo topológico es también cerrado. En particular todo subgrupo discreto es cerrado. Ejercicio 71 Si E(e) = {Ui }i∈J , probar que

T

Ui = {e}.

Ejercicio 72 Sea G un grupo topológico, probar que si H ≤ G entonces 37

también H ≤ G. Además si H G, también H G. Ejercicio 73 Sea G un grupo topológico, probar que Z(G) G es cerrado. Ejercicio 74 Sea G un grupo topológico y V ∈ E(e) simétrico, probar que n es un subgrupo abierto y cerrado de G (en particular, un grupo n≥1 V topológico conexo está generado por cualquier entorno simétrico de e ∈ G). S

7.6 Lema Sea G un grupo topológico, K ⊂ G compacto y U ⊂ G abierto t.q. K ⊂ U , entonces existe V ∈ E(e) t.q. KV ⊆ U . Dem. Como U abierto, para cada xi ∈ K existe Ui ∈ E(e) t.q. xi ∈ xi Ui ⊂ U . Sea Vi ∈ E(e) simétrico t.q. Vi2 ⊂ Ui , es claro que {xi Vi }xi ∈K es un recubrimiento abierto de K y siendo K compacto existirá un subrecubrimiento finito {x1 V1 , ..., xn Vn }. Denotamos V = V1 ∩ · · · ∩ Vn , entonces es claro que V ∈ E(e) y KV ⊂ x1 V1 V ∪ · · · ∪ xn Vn V . Como Vi V ⊂ Vi Vi ⊂ Ui se sigue que xi Vi V ⊂ xi Ui ⊂ U para 1 ≤ i ≤ n, por tanto KV ⊂ U . 7.7 Proposici´ on Sea G un grupo topológico, F ⊂ G un cerrado y K ⊂ G un compacto t.q. F ∩ K = ∅, entonces existe V ∈ E(e) t.q. F V ∩ KV = ∅. Dem. Si F cerrado t.q. F ∩ K = ∅ entonces K ⊂ G − F abierto y por (7.6) existirá U ∈ E(e) t.q. KU ⊂ G−F ó bien F ∩KU = ∅. Sea V ∈ E(e) simétrico t.q. V 2 ⊂ U , entonces F V ∩ KV = ∅ (en efecto, si F V ∩ KV 6= ∅ existirán x ∈ F , y ∈ K y v1 , v2 ∈ V t.q. xv1 = yv2 ó bien x = yv2 v1−1 ∈ KV 2 ⊂ KU , lo cual contradice F ∩ KU = ∅). 7.8 Proposici´ on Sea G un grupo topológico, F ⊂ G cerrado y K ⊂ G compacto, entonces F K es cerrado. Dem. Veamos que G − F K es abierto. Si x ∈ / F K entonces F −1 x ∩ K = ∅ y notar que F −1 x = Rx η(F ) es cerrado, ya que Rx y η son homeomorfismos. Por (7.7) existirá V ∈ E(e) t.q. F −1 xV ∩ KV = ∅. Sea W = V V −1 ∈ E(e), entonces xW ∩ F K = ∅. Por tanto xW es un abierto t.q. x ∈ xW ⊂ G − F K. 7.9 Teorema Sea G un grupo topológico y H ≤ G cerrado, entonces G es compacto si y sólo si H y G/H son compactos. Dem. Sean H y G/H compactos y sea U = {Ui }i∈J un recubrimiento abierto de G, como U es también un recubrimiento de xH para todo x ∈ G y xH = Lx (H) es compacto, existirá un subrecubrimiento finito {U1 , ..., Un } de xH, es decir xH ⊂ U x = U1 ∪ · · · ∪ Un . Por (7.6) existirá V x ∈ E(e) t.q. V x xH ⊆ U x . Pero (V x x)H = p(V x x) = pRx (V x ) es abierto en G/H, ya que p abierta y Rx homeomorfismo, además x ∈ V x xH ya que x = exe, entonces es claro que {(V x x)H}x∈G es un recubrimiento abierto de G/H, por tanto existirá un subrecubrimiento finito {(V x1 x1 )H, ..., (V xk xk )H} ya que G/H compacto. 38

Entonces G = p−1 (G/H) = V x1 x1 H ∪ · · · ∪ V xk xk H ⊂ U x1 ∪ · · · ∪ U xk y cada U xi es unión de un n´ umero finito de miembros de U, por tanto G compacto. Ejercicio 75 Sea G un grupo topológico compacto y H ≤ G cerrado, probar que entonces la proyección p : G −→ G/H es también cerrada. Ejercicio 76 Sea G un grupo topológico y H G cerrado en G, probar que entonces G/H es también un grupo topológico. 7.10 Teorema Sea G un grupo topológico y H ≤ G cerrado. Si H y G/H son conexos, entonces también G es conexo. Dem. Sea U, V abiertos no vac´ıos t.q. G = U ∪ V , vamos a probar que U y V no pueden ser disjuntos. Como p : G −→ G/H es una aplicación abierta y sobre G/H = p(U ) ∪ p(V ) = U H ∪ V H y siendo G/H conexo se sigue que U H ∩ V H 6= ∅. Sea xH ∈ U H ∩ V H, como xH ∈ U H existirán h ∈ H y u ∈ U t.q. xh = u, por tanto xH ∩ U 6= ∅. Análogamente, xH ∈ V H implica xH ∩ V 6= ∅. Claramente xH = xH ∩ (U ∪ V ) = (xH ∩ U ) ∪ (xH ∩ V ) y como xH = Lx (H) es conexo, por ser H conexo y Lx homeomorfismo, se sigue que xH ∩ U ∩ V 6= ∅ y en particular que U ∩ V 6= ∅. Por tanto G es conexo. Ejercicio 77 Sea C(e) la componente conexa del elemento neutro e ∈ G, probar que G/C(e) es un grupo topológico. Ejercicio 78 Sea f : G −→ H homomorfismo continuo de grupos topológicos, probar que Ker(f ) es cerrado. Si además f es sobre y abierta (ó cerrada) ó bien f sobre y G compacto, el isomorfismo de grupos inducido fˆ : G/Ker(f ) −→ H es también un homeomorfismo. Grupos de transformaciones topol´ ogicas Sea G un g.t. y X un e.t. Hausdorff, una acci´ on a izquierda de G sobre X es una aplicación continua φ : G × X −→ X t.q. si φ(g, x) = gx, se satisface: (1) ex = x, ∀x ∈ X y (2) g(hx) = (gh)x, para todo g, h ∈ G y todo x ∈ X. Notar que G act´ ua como un grupo de homeomorfismos ó de transformaciones topológicas de X: dado g ∈ G, la aplicación φg = φ(g, −) : X −→ X dada por φg (x) = gx es continua y también lo es (φg )−1 = φg−1 , por tanto g = φg es un homeomorfismo de X en s´ı mismo. Si tal acción existe, diremos que (X, φ) es un G-espacio a izquierda. (Análogamente definir´ıamos acciones a derecha). Ejemplo Si G es un g.t. y H ≤ G cerrado entonces el par (G/H, φ) con φ : G × G/H −→ G/H dada por φ(g, g 0 H) = (gg 0 )H, es un G-espacio. Definimos una relación en un G-espacio X como sigue: x ∼ y si existe g ∈ G t.q. gx = y. Esta relación es de equivalencia y define una partición de X. Las 39

clases de equivalencia G(x) = {gx|g ∈ G} se llaman ´ orbitas de x bajo G y el conjunto de las órbitas X/G, con la topolog´ıa cociente, se dice espacio de orbitas de X bajo G. ´ Ejemplos (1) (Z, +) act´ ua sobre R como sigue: φ : Z × R −→ R t.q. φ(n, x) = n + x ¿Quién es el espacio de órbitas R/Z? (2) La aplicación antipodal a : S n −→ S n dada por a(x) = −x genera el grupo c´ıclico Z2 (en efecto, a2 = 1). Definimos φ : Z2 × S n −→ S n t.q. φ(a, x) = a(x). El espacio de órbitas S n /Z2 es el espacio proyectivo RP n . (3) Un mismo grupo puede actuar de distintas maneras sobre un e.t. En efecto, sea T el toro generado por la rotación del c´ırculo en R3 de ecuación → − (x−3)2 +z 2 = 1 alrededor del eje 0z y sea Z2 = {g|g 2 = 1} el grupo c´ıclico de orden 2, definimos φi : Z2 × T −→ T , i = 1, 2, 3 t.q. φ1 (g, (x, y, z)) = (x, −y, −z), φ2 (g, (x, y, z)) = (−x, −y, z) y φ3 (g, (x, y, z)) = (−x, −y, −z) (es decir, φ1 , φ2 , φ3 son, respectivamente, la rotación de ángulo π alrededor − → → − del eje 0x, la rotación de ángulo π alrededor del eje 0z y la simetr´ıa respecto del origen. ¿Quienes son los correspondientes espacios de órbitas? Ejercicio 79 Probar que la proyección π : X −→ X/G es abierta. 7.11 Teorema Sea (X, φ) un G espacio con G un grupo finito. Entonces la proyección π : X −→ X/G es también cerrada y X/G es Hausdorff. Dem. Sea G = {e, g1 , ...gn } y F cerrado en X, notar que π(F ) será cerrado en X/G s´ı y sólo si π −1 π(F ) es cerrado en X, pero este u ´ltimo es cerrado por −1 ser unión finita de cerrados π π(F ) = GF = F ∪ g1 F ∪ · · · ∪ gn F (en efecto, gF = φg (F ) y φg homeomorfismo), por tanto π es cerrada. Veamos que X/G es Hausdorff, sea G(x) 6= G(y) en X/G ó equivalentemente G(x)∩G(y) = ∅ en X, como G es finito G(x) y G(y) serán finitos y por tanto compactos, entonces por 5.5 existirán abiertos U, V t.q. G(x) ⊂ U , G(y) ⊂ V y U ∩ V = ∅. En particular U ∩G(y) = ∅, entonces π(U ) es un abierto en X/G t.q. G(x) ∈ π(U ) ya que π abierta. Por otra parte π(U ) será cerrado en X/G, ya que π es también cerrada, y por tanto X/G − π(U ) es un abierto t.q. G(y) ∈ X/G − π(U ). Es claro que π(U ) ∩ (X/G − π(U )) = ∅ y concluimos que X/G es Hausdorff. Fijado x ∈ X, el conjunto Gx = {g ∈ G|gx = x} de los elementos de G que fijan x es un subgrupo de G llamado subgrupo de isotrop´ıa ´ o de estabilidad de G respecto de x. 7.12 Proposici´ on Gx es un subgrupo cerrado de G para todo x ∈ X. Dem. Dado x ∈ X la aplicación φx = φ(x, −) : G −→ X es continua y notar que Gx = φ−1 x ({x}), pero {x} es cerrado ya que X es Hausdorff. 40

Sea (X, φ) un G-espacio, diremos que φ es libre ó que G act´ ua libremente sobre X si no deja puntos fijos, es decir si gx 6= x para todo g 6= e y todo x ∈ X o´ equivalentemente si Gx = {e} para todo x ∈ X. Sea (X, φ) un G-espacio, diremos que φ es una acción discontinua ó que G act´ ua de manera discontinua sobre X, si para todo x ∈ X existe un abierto U t.q. x ∈ U y g1 U ∩ g2 U = ∅ para todo g1 6= g2 . 7.13 Proposici´ on Toda acción discontinua φ : G × X −→ X es libre. Si G es un grupo finito y φ es una acción libre entonces φ es también discontinua. Dem. Si φ es discontinua y g 6= e para todo x ∈ X existe U abierto t.q. x ∈ U y gU ∩ U = ∅ para todo g 6= e, en particular gx 6= x y por tanto φ es libre. Por otra parte, sea G = {e, g1 , ..., gn } un grupo finito y φ una acción libre, entonces gi x 6= x para 1 ≤ i ≤ n y como X es Hausdorff, existirán abiertos U0 , U1 , ..., Un t.q. x ∈ U0 , gi x ∈ Ui y U0 ∩ Ui = ∅, para 1 ≤ i ≤ n. Sea U = U0 ∩ g1−1 U1 ∩ · · · ∩ gn−1 Un , entonces U es un abierto t.q. x ∈ U y como gi puede mirarse como un homeomorfismo de X en s´ı mismo, notar que gi U ⊂ Ui . Entonces gi U ∩ gj U = gi (U ∩ gi−1 gj U ) = gi (U ∩ gk U ), pero U ⊂ U0 , gk U ⊂ Uk y U0 ∩ Uk = ∅. Por tanto gi U ∩ gj U = ∅ y φ será discontinua. Dado un G-espacio (X, φ) y x ∈ X sea ψx : G −→ G(x) t.q. ψx (g) = gx la restricción de φx en la imagen y sea q : G −→ G/Gx la identificación, entonces definimos ϑx : G/Gx −→ G(x) por ϑx (gGx ) = gx, y notar que ϑx q = ψx . 7.14 Proposici´ on ϑx : G/Gx −→ G(x) es una biyección continua. Dem. Como ϑx q = ψx y ψx sobre se sigue que ϑx es sobre. Supongamos que ϑx (g1 Gx ) = ϑx (g2 Gx ) ó bien que g1 x = g2 x, entonces g2−1 g1 ∈ Gx y por tanto g1 Gx = g2 Gx y se sigue que ϑx es inyectiva. Sólo queda probar que ϑx es continua: dado U abierto en G(x) notar que ϑ−1 a abierto en G/Gx s´ı y x (U ) ser´ −1 −1 −1 −1 sólo si q (ϑx (U )) es abierto en G, pero q (ϑx (U )) = (ϑx q)−1 (U ) = ψx−1 (U ) que es abierto por ser ψx continua. Dado un G-espacio (X, φ) diremos que la acción φ es transitiva si para todo x, y ∈ X existe g ∈ G t.q. y = gx (equivalentemente, si G(x) = X para todo x ∈ X o´ bien el espacio de órbitas X/G consta de un u ńico punto). Como G es un grupo de homeomorfismos de X se sigue en particular que X será un espacio homogéneo. Dado un grupo topológico G y un subgrupo H ≤ G cerrado es claro que φ : G × G/H −→ G/H, dada por φ(g, g 0 H) = (gg 0 )H, es una acción transitiva que hace de G/H un espacio homogéneo. Como ϑx es una biyección continua, notar que si G es compacto y act´ ua transitivamente sobre X, entonces ϑx : G/Gx −→ X es un homeomorfismo. 41

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GRUPOS LINEALES

Dados A = (aij ) ∈ M (n, C) y r > 0, consideramos los conjuntos Ur (A) = {B = (bij ) ∈ M (n, C)|kaij − bij k < r, ∀i, j} entonces {Ur (A)|A ∈ M (n, C), r > 0} es una base para una topolog´ıa sobre 2 M (n, C) t.q. la biyección h : M (n, C) −→ Cn dada por h(A) = (a11 , ..., a1n , a21 , ..., a2n , ..., an1 , ..., ann ) es un homeomorfismo. Consideramos GL(n, C) con la topolog´ıa inducida y sean πij : M (n, C) −→ C t.q. πij (A) = aij la composición de h con las 2 proyecciones canónicas pij : Cn −→ C, con 1 ≤ i, j ≤ n. Entonces m : GL(n, C) × GL(n, C) −→ GL(n, C) P

dada por m(A, B) = AB = ( aik bkj ), será continua si y sólo si πij m es P continua para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Pero πij m(A, B) = aik bkj es una función polinomial y por tanto continua. Análogamente, sea η : GL(n, C) −→ GL(n, C) t.q. η(A) = A−1 la inversión, notar que πij η(A) = Aij /det(A) es también una función polinomial, luego πij η y por tanto η es continua. En consecuencia, GL(n, C) es un grupo topológico. Ejercicio 80 Probar que GL(n, C) no es compacto. Subgrupos relevantes de GL(n, C) son los Grupos Especiales Lineales SL(n, C) = {A ∈ GL(n, C)|det(A) = 1} y SL(n, R) = SL(n, C) ∩ GL(n, R) Como det : GL(n, F) −→ F es una aplicación continua y F = C, R es un espacio Hausdorff se sigue que SL(n, F) = det−1 (1) es cerrado en GL(n, F). Ejercicio 81 Probar que SL(n, F) es un subgrupo normal de GL(n, F) y que GL(n, F)/SL(n, F) ≈ F∗ , donde F∗ = F − {0}. Una matriz regular A ∈ GL(n, F) no es otra cosa que una transformación ó isomorfismo lineal A : Fn −→ Fn t.q. A(x) = Ax, donde x ≡ (x1 , ..., xn ) ∈ Fn podemos mirarlo como una matriz columna. Por otra parte, Fn es un espacio con un producto escalar dado por < x, y >= x¯t y, donde x¯ denota la matriz conjugada de x ∈ Fn , entonces Fn es un espacio normado con kxk2 = x¯t x. Una matriz A ∈ GL(n, R) se dirá ortogonal si kAxk = kxk. Es claro que A es ortogonal si y sólo si At A = I ó bien At = A−1 . Sea O(n) el conjunto de 42

las matrices ortogonales, es claro que I ∈ O(n) y que si A, B ∈ O(n) entonces k(AB)xk = kA(Bx)k = kBxk = kxk, luego AB ∈ O(n). Por tanto O(n) es un subgrupo de GL(n, R) y se conoce como el Grupo Ortogonal. Una matriz A ∈ GL(n, C) se dirá unitaria si kAxk = kxk y notar que A es unitaria si y sólo si A¯t A = I ó bien A¯t = A−1 . Análogamente al caso real probar´ıamos que conjunto de las matrices unitarias U (n) es un subgrupo de GL(n, C), el cual se conoce como Grupo Unitario. Otros subgrupos relevantes de GL(n, C) son el Grupo Especial Ortogonal SO(n) = O(n) ∩ SL(n, R) y el Especial Unitario SU (n) = U (n) ∩ SL(n, C). Ejercicio 82 Probar que SO(n) O(n) ≤ U (n) y SO(n) ≤ SU (n) U (n). Denotamos por A¯ = (¯ aij ) la matriz conjugada de A. 8.1 Proposici´ on La conjugación c : GL(n, C) −→ GL(n, C) y la trasposición t : GL(n, C) −→ GL(n, C), dadas por c(A) = A¯ y t(A) = At respectivamente, son homeomorfismos de GL(n, C). Dem. Ambas aplicaciones son biyectivas ya que son involuciones (c2 = t2 = 1), entonces bastará probar que son continuas, pero eso es consecuencia de que πij c(A) = a ¯ij y πij t(A) = aji son continuas para todo 1 ≤ i, j ≤ n. 8.2 Corolario U (n) es un subgrupo cerrado de GL(n, C). Dem. Notar que U (n) = {A ∈ GL(n, C)|A¯t = A−1 }, es decir tc(A) = η(A). Entonces GL(n, C) Hausdorff y (4.3) implican que U (n) cerrado en GL(n, C). 8.3 Corolario SU (n), O(n) y SO(n) son cerrados en U (n) y en GL(n, C). Dem. Como U (n) es cerrado en GL(n, C), bastará probar que SU (n), O(n) y SO(n) son cerrados en U (n).Pero SL(n, C) cerrado en GL(n, C) y SU (n) = U (n) ∩ SL(n, C) implican SU (n) cerrado en U (n). Análogamente probar´ıamos que SO(n) es cerrado en O(n). Finalmente, notar que por (4.3) se sigue que ¯ es un subgrupo cerrado de GL(n, C), GL(n, R) = {A ∈ GL(n, C)|A = A} como O(n) = U (n) ∩ GL(n, R) concluimos que O(n) es cerrado en U (n). Dada A = (aij ) ∈ M (n, R) podemos mirar la i-sima columna de A como un vector ai = (a1i , ...ani ) ∈ Rn . Notar que si A ∈ GL(n, R), el conjunto {a1 , ..., an } es linealmente independiente y por tanto una base de Rn y que si B ∈ O(n), entonces B t B = I implica que < bi , bj >= δij , con bi = (b1i , ...bni ), es decir {b1 , ..., bn } es una base ortonormal de Rn . El proceso de Gram-Schmidt nos da un método para ortonormalizar una base {a1 , ..., an } dada: en primer 43

lugar construimos una base ortogonal {c1 , ..., cn } como sigue c 1 = a1 , c 2 = a2 −

n−1 X < a n , ci > c i < a 2 , c1 > c 1 , ......., cn = an − < c 1 , c1 > i=1 < ci , ci >

entonces si C = (cij ) es la matriz que tiene a ci = (c1i , ...cni ) como i-sima columna es claro que C = AS, donde S = (sij ) es una matriz triangular superior, es decir sij = 0 para j < i, con sii = 1. La segunda etapa es normalizar la base {c1 , ..., cn }, definimos bi = ci /kci k para 1 ≤ i ≤ n, entonces si B = (bij ) es la matriz que tiene a bi = (b1i , ...bni ) como i-sima columna, se sigue que B = CD con D = diag(1/kc1 k, ..., 1/kcn k) una matriz diagonal. Por lo tanto A = B(SD)−1 , donde B ∈ O(n). 8.4 Lema Sea T+ (n) el conjunto de las matrices triangulares superiores cuyos elementos de la diagonal son reales positivos, entonces T+ (n) ≤ GL(n, R). Dem. Si A ∈ T+ (n) entonces det(A) = a11 · · · ann > 0 luego T+ (n) ⊂ GL(n, R). P Sean A, B ∈ T+ (n) y notar que (AB)ij = aik bkj . Si j < i, entonces k < i ó j < i ≤ k, en el primer caso aik = 0 y en el segundo caso bkj = 0, luego en cualquier caso (AB)ij = 0 para todo j < i. Además, para i = j, se tiene (AB)ii = aii bii > 0, por tanto AB ∈ T+ (n). Por otra parte, dada A ∈ T+ (n) denotamos B = A−1 , entonces AB = BA = I y notar que ann bnn = 1 y que ann bnj = 0 para j < n, luego bnn > 0 y bnj = 0 para todo j < n ya que ann > 0. Suponer que bkj = 0 para todo j < k y k > i, entonces aii bij = 0 y aii > 0 implican bij = 0 para todo j < i. Además aii bii = 1, luego bii > 0 para todo 1 ≥ i ≥ n, por tanto A−1 ∈ T+ (n) y concluimos que T+ (n) ≤ GL(n, R) 8.5 Lema O(n) ∩ T+ (n) = {I} Dem. Sea D ∈ O(n) ∩ T+ (n), entonces Dt = D−1 ∈ T+ (n). Como Dt es una matriz triangular inferior se sigue que D = diag(d11 , ..., dnn ) es una matriz diagonal y por tanto D = Dt . Como I = Dt D = D2 se sigue que d2ii = 1, luego dii = 1 ya que dii > 0 pues D ∈ T+ (n). Entonces concluimos que D = I. 8.6 Teorema GL(n, R) ≈ O(n) × T+ (n) Dem. Sea Φ : O(n) × T+ (n) −→ GL(n, R) la restricción de m, es decir Φ(B, T ) = BT . Por otra parte, dada A ∈ GL(n, R) vimos que A = B(SD)−1 con B ∈ O(n) y S, D ∈ T+ (n). Por (8.4) se sigue que T = (SD)−1 ∈ T+ (n), luego toda matriz regular A descompone como A = BT con B ∈ O(n) y T ∈ T+ (n), en particular Φ es sobre. Además esta descomposición es u ńica: si B1 T1 = B2 T2 entonces B2−1 B1 = T2 T1−1 ∈ O(n) ∩ T+ (n) = {I}, luego B1 = B2 y T1 = T2 , por tanto Φ es inyectiva. Entonces Φ es biyección continua y un homeomorfismo, ya que su inversa Ψ = Φ−1 dada por Ψ(A) = (B, T ) si A = BT , también es continua (su composición con las proyecciones πij es polinomial en cada coordenada). 44

Vamos a presentar las esferas como espacios homogéneos en la luz de (7.14). 8.7 Proposici´ on Para n ≥ 2, se tienen homeomorfismos (1) S n−1 ≈ O(n)/O(n − 1) ≈ SO(n)/SO(n − 1). (2) S 2n−1 ≈ U (n)/U (n − 1) ≈ SU (n)/SU (n − 1). Dem. Definimos φ : O(n) × S n−1 −→ S n−1 por φ(A, x) = Ax y notar que φ está bien definida ya que kAxk = kxk = 1, luego Ax ∈ S n−1 . Como Ix = x y A(Bx) = (AB)x se sigue que φ es una acción continua de O(n) sobre S n−1 . Sea {e1 , ..., en } la base ortonormal estándar de Rn y x ∈ S n−1 , entonces podemos construir una segunda base ortonormal con x como primer vector y si A es la matriz asociada al cambio de base es claro que A ∈ O(n) y que Ae1 = x. Entonces la órbita de e1 bajo O(n) es S n−1 , es decir φ es una acción transitiva. Si identificamos B ∈ O(n − 1) con la matriz de bloques (1|B), podemos mirar a O(n − 1) como subgrupo de O(n), entonces notar que Ae1 = e1 s´ı y sólo s´ı A = (1|B), luego O(n − 1) es el subgrupo de estabilidad de e1 y por (7.14) se sigue que S n−1 ≈ O(n)/O(n − 1), ya que O(n) compacto y S n−1 es Hausdorff. Sea ψ : SO(n) × S n−1 −→ S n−1 definida como antes, entonces ψ es también transitiva, ya que podemos elegir la matriz A del cambio de base t.q. det(A) = 1, luego también como antes S n−1 ≈ SO(n)/SO(n − 1). Análogamente lo probar´ıamos en el caso complejo para U (n) y SU (n). Como SO(1) = {1} se sigue en particular que SO(2) ≈ S 1 . 8.8 Teorema U (n), SU (n), O(n) y SO(n) son compactos. Dem. Como O(n), SO(n) y SU (n) son cerrados en U (n) bastará probar que este u ´ltimo es compacto. En efecto, claramente U (1) = S 1 es compacto y si suponemos que U (k) es compacto para 1 ≤ k ≤ n − 1, entonces (8.7) y (7.9) implican que U (n) es compacto, completando la inducción. Ejercicio 83 Probar que U (n) ≈ SU (n) × S 1 y O(n) ≈ SO(n) × S 0 . 8.9 Teorema U (n), SU (n) y SO(n) son conexos para todo n ≥ 1, pero O(n) tiene dos componentes, una de ellas SO(n). Dem. Notar que SO(1) = {1} = SU (1) y U (1) = S 1 son conexos y suponer que SO(k), SU (k) y U (k) son conexos para 1 ≤ k ≤ n−1, entonces el teorema se sigue por inducción a partir de (8.7) y (7.10). Por otra parte, sea S 0 = {−1, 1} y notar que det : O(n) −→ S 0 es continua y sobre, entonces O(n) es no conexo para todo n ≥ 1. Claramente SO(n) = det−1 (1) es una de las componentes, siendo {A ∈ O(n)|det(A) = −1} la otra componente. Un e.t. X se dice localmente eucl´ıdeo de dimensión n si todo punto de X tiene un entorno homeomorfo a un abierto de Rn . Como todo abierto en 45

Rn es localmente arcoconexo, espacios eucl´ıdeos son localmente arcoconexos. En particular, GL(n, C) y todos sus subgrupos definidos aqu´ı son localmente eucl´ıdeos, luego son arcoconexos s´ı y sólo si son conexos y en todo caso, sus arcocomponentes coinciden con sus componentes conexas. 8.10 Corolario GL(n, R) tiene dos arcocomponentes. Dem. Notar que T+ (n) ≈ Rn(n+1)/2 , en particular T+ (n) es contráctil, es decir T+ (n) ' {I}, por tanto GL(n, R) ≈ O(n) × T+ (n) ' O(n) × {I} ≈ O(n), pero el n´ umero de arcocomponentes es un invariante del tipo de homotop´ıa. Análogamente en el caso complejo se tiene GL(n, C) ≈ U (n) × T+ (n, C) y como T+ (n, C) es contráctil, se sigue que GL(n, C) ' U (n). Pero U (n) es arcoconexo y por lo tanto también GL(n, C) será arcoconexo. CUATERNIONES Sea {1, i, j, k} una base estándar de R4 , definimos un producto bilineal sobre R4 , con 1 como elemento neutro, definido por la siguientes reglas: (1) i2 = j 2 = k 2 = −1 (2) ij = k = −ji, jk = i = −kj y ki = j = −ik Claramente este producto es asociativo y no conmutativo. El espacio vectorial R4 con este producto bilineal es un álgebra real llamada ´ algebra de cuaterniones, usualmente denotada por H en honor de su descubridor W. Hamilton. Un cuaternión q ∈ H tiene una expresión u ńica de la forma q = a + bi + cj + dk y como en el caso de los complejos, consta de parte real Re(q) = a y parte imaginaria pura P u(q) = bi + cj + dk. Diremos que q es puro si P u(q) = q. 8.11 Lema Un cuaternión es real si y sólo si conmuta con todo elemento de H, es decir Z(H) = R. Dem. Sea q = a + bi + cj + dk ∈ Z(H), entonces 0 = iq − qi = −b + ai − dj + ck + b − ai − dj + ck = −2dj + 2ck y como {1, i, j, k} es base se sigue que c = d = 0. Por tanto q = a + bi, pero qj = jq implica 0 = jq − qj = aj − bk − aj − bk = −2bk luego b = 0 y concluimos que q = a ∈ R. El rec´ıproco es obvio. 8.12 Lema Un cuaternión es puro si y sólo si su cuadrado es real y negativo. Dem. Sea q = a + bi + cj + dk ∈ H, haciendo cuentas se tiene q 2 = a2 − b2 − c2 − d2 + 2a(bi + cj + dk) 46

Si q es puro entonces a = 0 y por tanto q 2 = −(b2 + c2 + d2 ) es un n´ umero 2 real negativo. Rec´ıprocamente, supongamos que q es un n´ umero real negativo y que no es puro, es decir que a 6= 0, entonces por ser q 2 real se sigue que ab = ac = ad = 0, luego b = c = d = 0 y por tanto q 2 = a2 > 0 contradiciendo que q 2 negativo. Necesariamente a = 0 y por tanto q puro Dado un cuaternión q = Re(q) + P u(q), definimos su conjugado de manera análoga a los n´ umeros complejos: q¯ = Re(q) − P u(q). Notar que qq = qq = a2 + b2 + c2 + d2 > 0 es un n´ umero real positivo. Claramente q¯ = q y es fácil comprobar que q1 q2 = q¯2 q¯1 , es decir la conjugación en H es una anti-involución. Si denota el producto escalar estándar sobre R4 , se tiene que < q1 , q2 >= 1 (q¯ q + q¯ q ). En particular < q, q >= qq y definimos una norma en H por 2 1 2 √ 2 1 kqk = q¯q. Todo elemento 0 6= q ∈ H tiene inverso q −1 = kqk−2 q¯, por tanto H∗ = H − {0} es un grupo topológico (con la topolog´ıa usual de R4 ). 8.13 Lema kq1 q2 k = kq1 kkq2 k, para todo q1 , q2 ∈ H. Dem. en efecto, como q¯1 q1 ∈ R y el producto en H es asociativo, se tiene kq1 q2 k2 = q1 q2 q1 q2 = q¯2 q¯1 q1 q2 = q¯2 (q¯1 q1 )q2 = q¯1 q1 q¯2 q2 = kq1 k2 kq2 k2 pero kq1 k, kq2 k ≥ 0, por tanto kq1 q2 k = kq1 kkq2 k. Notar que S 3 = {x ∈ H|kxk = 1} ≤ H∗ es también un grupo topológico. Dado x ∈ S 3 definimos una aplicación Tx : H −→ H por Tx (q) = xqx−1 . Es claro que kTx (q)k = kxqx−1 k = kqk, por tanto Tx es una transformación lineal ortogonal (ya que H es R4 como espacio vectorial) es decir Tx ∈ O(4) para todo x ∈ S 3 . Definimos T : S 3 −→ O(4) t.q. T (x) = Tx y notar que Tx Ty (q) = Txy (q), luego T es un homomorfismo continuo de grupos. Es claro que T (1) = I ∈ SO(4), con I la matriz identidad, entonces T continua y S 3 conexo implican T (S 3 ) ⊂ SO(4). Además Tx (1) = 1, es decir Tx fija el 1 ∈ H, entonces Tx ∈ SO(3) ≤ SO(4) para todo x ∈ S 3 y por tanto T (S 3 ) ⊆ SO(3). 8.14 Proposici´ on T (S 3 ) = SO(3) y Ker(T ) = Z2 . Dem. Denotamos por Hi , Hj y Hk los subgrupos uniparamétricos de SO(3), es decir el conjunto de las matrices de SO(3) que fijan, respectivamente, i, j y k. Si ω = eiϑ ∈ S 3 entonces Tω (i) = i, es decir Tω ∈ Hi . Notar que Tω (j) = (cos2ϑ)j + (sen2ϑ)k y Tω (k) = (cos2ϑ)k − (sen2ϑ)j. Es decir Tω es una rotación de ángulo 2ϑ en el plano expandido por j y k, por tanto Hi ⊂ T (S 3 ). Análogamente probar´ıamos que Hj , Hk ⊂ T (S 3 ). Entonces se tiene que T (S 3 ) = SO(3), ya que Hi , Hj y Hk generan SO(3). Por otra parte, sea x ∈ Ker(T ) entonces Tx = I y por tanto q = Tx (q) = xqx−1 ó bien xq = qx para todo q ∈ H, es decir x ∈ Z(H) = R y como kxk = 1 se sigue que x = ±1, por tanto Ker(T ) = Z2 . 47

8.15 Teorema SO(3) ≈ RP 3 Dem. El espacio proyectivo RP 3 es el espacio obtenido a partir de S 3 por identificar puntos antipodales, es decir el espacio de órbitas S 3 /Z2 , denotamos por π : S 3 −→ RP 3 la identificación y consideramos el diagrama S3 π

RP 3

/ j5 SO(3) j j j j jh j j j T

notar que T (x) = T (y) s´ı y sólo s´ı x = ±y luego T es constante sobre las fibras de π y por (3.5) existirá h : RP 3 −→ SO(3) continua t.q. hπ = T . Claramente h inyectiva y como T sobre se sigue que h también es sobre, luego es una biyección continua. Como RP 3 es compacto y SO(3) es Hausdorff se sigue por (5.8) que h es un homeomorfismo y el teorema está probado. 8.16 Teorema SO(4) ≈ SO(3) × S 3 Dem. Dada A ∈ SO(4) podemos mirarla como una aplicación lineal ortogonal A : H −→ H y sea ω = A(1), entonces kωk = 1 y por tanto ω ∈ S 3 . Definimos C : H −→ H t.q. C(x) = A(x)ω −1 , claramente C ∈ SO(4) y C(1) = 1, entonces C = (1|B) con B ∈ SO(3). Definimos h : SO(4) −→ SO(3) × S 3 por h(A) = (B, ω) y es fácil probar que h es una biyección continua. Como SO(4) es compacto y SO(3) × S 3 es Hausdorff, se sigue que h es un homeomorfismo. Una matriz A ∈ GL(n, H) se dirá simpl´ etica si kAxk = kxk y notar que A t ¯ es simplética si y sólo si A A = I ó bien A¯t = A−1 . Análogamente al caso real y complejo, el conjunto de las matrices simpléticas Sp(n) es un subgrupo de GL(n, H), el cual se conoce como Grupo Simpl´ etico y se prueba como en (8.6) que GL(n, H) ≈ Sp(n) × T+ (n, H), con T+ (n, H) contráctil. Es claro que Sp(1) = S 3 y como en (8.7) se tiene que S 4n−1 ≈ Sp(n)/Sp(n − 1). Por inducción en n se sigue de (7.9) que Sp(n) compacto para todo n ≥ 1 y de (7.10) que Sp(n) es conexo (y por tanto arcoconexo) para todo n ≥ 1. =========================================== REFERENCIAS (1) (2) (3) (4)

J. Dugundji Topology (1966) P.J. Higgins An Introduction to Topological Groups (1979) J.R. Munkres Topology (2000) S. Willard General Topology (1970)

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