Topologia Del Plano Complejo

 

Tema 1.2: Topología del plano complejo. La esfera de Riemann Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09 E. de Amo Pretendemos dotar al plano complejo   C   de una estructur estructura a topológica. topológica. Si de lo que se trata es de buscar entre los candidatos, la topología asociada a la distancia dada por el valor absoluto habrá de ser la primera a considerar:

 j  wj ; 8z; w 2 C:

d(z; w) := z

Acostumbraremos a escribir, como es usual,

 ! z :  z  : , 8" >  0;  0; 9n0 2 N :  n    n 0  =) d (z

zn

n ; z )  <

":

En estas circunstanc circunstancias, ias, se van a veri veri…car …car las siguien siguientes tes propiedades propiedades que resumimos sin demostración:

Proposición.   Sean   (zn )   y   (wn )  dos sucesiones en   C;  convergentes a   z   y   w, respectivamente. respectiva mente. Entonces:  z  + w  w  +  wn ! z + i.   zn + w  z w ii.   znwn ! zw = 0; 0 ; 8n  n0 ), entonces   wz Si  w  6 = 0  (y, por tanto, w tanto,  w n 6 iii.   Si w

n n

Proposición.   Para Para que la serie de núm números eros complejos complejos

 P gente, es su…ciente que

!

 z w

 P

n0 zn   sea

conver-

jz j  también lo sea.  P 1 f    una   Sean  ; 6 =   A    C   y Test serie de mayoración de Weierstrass. de funciones de   A   en   C. Supo Suponga ngamos mos que existe existe una sucesión sucesión de n0

n

n

n

reales positivos ( positivos  (M  M n )n1 , tal que

a.   jf n (a)j  M n ; 8a 2 A; 8n 2 N, y b. n1 M n   converge.

 P

Entonces la serie

 P

n1 f n  converge

absoluta y uniformemente en A: en  A:

De hecho, el par ( par  (C; d) es un espacio métrico completo (no estamos hablando de otra cosa, hasta hasta ahora, ahora, que el pla plano no euclí euclídeo deo). ). Ademá Además, s,   C   es un cuerpo topológico: topoló gico: es lo que nos dice la primera primera de las proposiciones proposiciones arriba enunciada enunciadass sobre la compatibilidad de las operaciones suma y producto y la distancia   d. Será útil, por tanto, el

1

 

Teorema de Hausdor¤.   En todo espacio métrico métrico E   E ,, son equivalentes:   es compacto. i.   E  es sucesión en en E   E  admite  admite parcial convergente en E en  E : ii.     TToda odo subconjunto in…nito in…nito en en E   E  tiene  tiene acumulación en E en  E : iii. Observemos que   C   es un espacio espacio métr métrico ico localmente localmente compacto, compacto, pues los discos cerrados (de centro z centro  z C  y radio r radio  r >  0)  0 )

 2

 f  2 C : jz  wj < rg

D(z; r) := w

son compactos. compactos. Podem Podemos os aplicar, por tan tanto, to, es aplicable aplicable el X   un espacio espacio topológico topológico localmente localmente comTeorema de Alexandro¤.   Sea   X  

 1

 1 2

pacto y de Hau pacto Hausdo sdor¤. r¤. Sea   un objeto matemático tal que   =   X . Consideremos el par   (X 1 ;    )), donde  donde   X 1   := :=   X    y         es la familia dada por abiertos de X  de  X  Entonces

f

 [ f1g  [

A

 X 1  :  X  A  compacto :

g [ f  

n

g

 ))  es un espacio topológico compacto y de Hausdor¤. i.   (X 1 ;   ii.   La topolo topología gía inducida inducida een n  X   X    por por X   X 1  es la de partida de X de  X:: Si aplicamos este teorema al plano complejo C obtendremos lo que llamamos el plano ampliado C1 ;  que acostumbraremos a escribir como C:  Es evidente que los entornos de cada punto  punto   z   C   admiten discos abiertos contenidos en ellos, de la forma D(z; r ) := w C : z w  < r :

 2

 f  2  j  j

g

(El caso paradigmático será cuando z cuando  z =  = 0; r  = 1:   D := := D  D(0 (0;; 1), 1), el disco unidad.) Para el punto , que llamaremos (punto del) in…nito, una base de entornos es la dada dada por U   :   :   >  0 ; donde U   := z C : z  >  C:

 1

f

g

 f  2  j j g [ f1g  En efecto: si G si  G  2   ,   , con 1 2  G,  G, se tiene que   CnG  es compacto, luego acotado: como existe    >   0   tal que si   z   2   CnG   entonces  j z j    ; as así, í,   U       G. Y co consecuencia de ser fU   :   :   >  0g  base de entornos: 



sucesión cesión (  (zzn )  de números complejos de tiene que Proposición.   Para cada su

 ! 1 , jz j ! +1:

zn

n

2

 

Es sencillo verlo:

 ! 1 , f8 > 0;  0; 9m; n  m =  m  =) jz j  > g , jz j ! + 1:

zn

n

n

Es importante observar que, pese a todo, en   C  ya no se podrá operar como en C: el objeto sólo se ha incorporado con …nes topológicos, no operacionales; C  no es un cuerpo. De hecho, hay más:

1

Proposición.   No hay hay ningun ningunaa dista distancia ncia en   C  que genere la topología   topología   ..

  ! [0  [0;; +1[  se tendría, en

En efecto; si fuese lo contrario, para tal  d  :  C C particular, que n  d(  d (n; )  0  0::

 ! 1 ,

1  !

Pero: d(n; 0) =  n

  d(0  d (0;; 1) + d + d((1; n)  d  d(0 (0;; 1) + M; + M; n   n 0 ;

de modo que   N  estaría acotado; y sabemos que esto no es bueno... Pese a no poder obtener la topología de   C  a partir de la distancia euclídea, es decir, pese a no poder extender la distancia euclídea a   C, lo que sí que se puede es de…nir otra distancia en el plano   C  que sí se pueda extender a   C. Nos familiarizaremos con la Esfera de Riemann y la Proyección Estereográ…ca. Consideremos la esfera unidad del espacio euclídeo   R3 : S 2 := (a;b;c a;b;c))

 2 R3 : a2 + b2 + c2 = 1 



y establezcamos

  : S   :  S 2

!C

dada por  (a;b;c a;b;c)) :=



  a+ib  :::; 1c

 6

  (a;b;c a;b;c)) = (0; (0 ; 0; 1) :::;   (a;b;c a;b;c)) = (0; (0; 0; 1)

1

La inversa de  de    es fácilmente calculable: 1

8 ; (z ) =  0 : D (a; r)    :: Las componentes conexas de un abierto son, igualmente, abiertos (de hecho, dominios). Damos el paso a considerar propiedades funciones complejas de variable compleja. Cada una de las 6  A    C; f  f   :  A !   C; l 2   C  y   a 2 A 0 . Cada Proposición.   Sean ; = siguientes a…rmaciones implica la otra:

Para a toda sucesión sucesión   (an )  de elementos en   Anfag  convergente a  a   a, se i.   Par

 ! l. l .

tiene que f  que  f ((an )

ada real positivo positivo "  ",, existe otro   otro    tal  tal que si 0 si  0 <    0 con  0  con centro en el punto ( punto (a; a; b) C, y que es recorrida a velocidad velocidad constan constante te en el sentid sentidoo p posit ositivo ivo (el contrario contrario alas agujas agujas del reloj). Notemos que, en nuestro lenguaje,

 2

  =  C ((  C ((a; a; b); r): (Nuestro caso más familiar será el de la circunferencia unidad   T, cuando  cuando   a  = b  = 0; r  = 1.)

Ejemplo Ejemp lo 3. (Yuxtaposi (Yuxtaposición) ción)   Si disponemos de dos curvas

   ! ! C;  2  : [c; d] ! C

 1  : [a; b]

tales que  que    1 (b) =    2 (c  (c), se puede de…nir lo que se llama curva suma de ambas, y que se notará por   por   1  +    +   2 , como la aplicación  1  +  +     2  : [0; [0; 1]

 !  ! C

dada por

      (2 (2tb  tb +   + (1 2t) a) :::;   (   +  +      ) (t) :=   2 t  d + 2(1  t) c :::; 1

1

2

 1 2

2

0

  t   12   t  1 1::

  1 2

O bien, si se pre…ere una parametrización sencilla sobre el interv intervalo alo [ [a; a; b + d  + d se puede hacer: ( 1  +    +   2 ) (t) :=

      (t (t) :::; 1

 2 (c  (c



    b  + d  d  c:     b b +

a  t b +  + t  t)) :::; b  t

   : [a; b]   Ejemplo 4. (Curva opuesta)   Si       ! !   C   es una curva, su opuesta será la nueva curva dada por

dada por 

  : : [a; b] ! C  (t) :=    (b  (b + a  + a  t) ; 8t 2  [ [a; a; b] :

Es decir,  decir,   (  ) =    y sus recor recorridos ridos son opuesto opuestos: s: los hacen en sentido sentido contrari con trarioo el uno respect respectoo del otro. (En partic particular, ular, el origen de una es el extremo extr emo de la otra, otra, y viceversa. viceversa.)) Por ello se dice que  que         y     son  son curvas opuestas o de orientaciones contrarias. Y, en particular,       +  + (  )  es una curva cerrada: representa un "sendero de ida y vuelta".



 



Ejemplo 5. (Poligonales)   Los ejemplos 1 y 3 nos permiten escribir, con pleno signi…cado, expresiones de la forma: [z1 ; zn ] = [z1 ; z2 ] + [z [z2 ; z3 ] + + :::  ::: +  + [z [zn1 ; zn ] :

10

 c],

 

Ejemplo 6.   Una curv curva a no ha de ser nec necesa esaria riamen mente, te, como ya se dijo más arriba, inyectiva (veri…ca los cálculos y estudia con detalle lo que representa): it

t  e ; t  [ ; 2 ] : Una curva curva se dice regul regular ar si es derivable derivable en todo punto. punto. Se dice regular a trozoss si se puede expres trozo expresar ar como yuxtaposi yuxtaposición ción de curvas curvas regulares. regulares. Se dirá camino si se trata de una curva cerrada regular a trozos. Cuando una curva     es   es regular, se puede calcular su longitud mediante la conocida fórmula:

 !

8  2 

 b

long ( ) :=

Z 

j 0 (t)j dt:

a

Puedes dar un vistazo de repaso y analizar las propiedades de las curvas anteriores, en los ejemplos, en relación a estos conceptos recién enunciados, así  como completar los detalles en los ejemplos 7 a 9 que siguen. En particular, se puede refrescar lo concerniente a curvas recti…cables, que no son otras que las funciones funci ones de variación ariación acotada acotada:: en el caso de que sean curvas regul regulares, ares, su longitud (el supremo, supremo, …nito …nito,, de las corre correspondi spondient entes es sumas poligonales poligonales asociadas) asociadas) admite la representación integral que aparece arriba. [1; 1 + i + i]] + [1 + i; +  i; 1  i] Ejemplo 7.   [1; 1] + [1; [0; 1 + i + i]] +   +   ;  donde Ejemplo 8.   [1  i; 0] + [0;

p   (t) := 2e ( + i t



4

h i 8  2 0; 3 :

); t

2

 (t) := e :=  e it cos t; 8t 2 [0;  [0; 2] : Ejemplo 9.     (t

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Estúdiese Estúdiese la existenc existencia ia de lími límite te en el origen para la función función compleja compleja de variable vari able compleja compleja f   f  de…nida  de…nida en un entorno perforado del origen, cuando: a.   f ( f (z ) =

  Re z jz j   ;

  b.   f  f ((z ) =

  z Re z jz j   :

2. Sea Sea f   f  una  una función compleja de variable compleja uniformemente continua de…nida sobre el disco unidad   D. Pruébes Pruébesee que se trata trata de la restricció restricción, n, al disco unidad (abierto), de alguna función  g  continua en el disco unidad cerrado   D: 3. Sea Sea f   f  una  una función compleja de variable compleja continua en un dominio :  Supongamos que veri…ca 2

f  (z)  1   0,, para todo z todo  z

11

 ..  2 

 

4. Sea Sea    un  un dominio del plano complejo y sea f  sea  f  una  una función compleja de…nida sobre él. Supongamos Supongamos que que   Re f ( f (z ) = 0  y que  que   f 2 (z ) =  z   en en   . Pruébes Pruébesee que, bajo estas hipótesis, o bien f  bien  f ((z ) = z  o bien f  bien  f ((z ) = z , para todo

 6  p 

 p 

z  .   . 5. Sea una sucesión  sucesión   (zn )  de números complejos no nulos convegente a otro complejo no nulo   z , y sea      Arg( Arg(z ). Pruébes Pruébesee la existenc existencia ia de una sucesión ( sucesión  (n )  tal que

 2

 2

y    ! :  2 Arg (z ) ; 8n  natural y 

n

n

n

(Indicación: redúzcase el problema al caso z caso  z  = 1.) 6. Hágase un estudio d detallado etallado de la pro proyección yección est estereográ…ca: ereográ…ca: cómo se transforma el hemisferio norte, cómo el hemisferio sur, cómo regiones acotadas de la esfera no tienen porqué serlo en su correspondiente región del plano complejo ampliado, etc. Por ejemplo, ¿qué acción signi…ca sobre la esfera S 2 la función compleja de variable compleja z compleja  z  f   f ((z ) = 1=z? =z ?

 !

7. Pruébese la proyección estere estereográ…ca ográ…ca de cualquier circunferenc circunferencia iaen contenida enque la esfera de Riemann es una recta o una circunferencia el plano complejo, según que la circunferencia de partida pase o no, respectivamente, por el Polo Norte de la esfera. 8. ¿Qué condicione condicioness han de veri…car veri…car dos punt puntos os del plano plano complejo para ser las proyecciones estereográ…cas de dos puntos diametralmente opuestos de la esfera de Riemann? 9. Considera Considera la esfer esferaa de radio   12  tangencialmente situada sobre el origen del plano complejo C. Calcula las ecuaciones de la correspondiente proyección estereográ…ca.

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