Topologia Algebraica Fundamentos

O V A T O S N U G BIA U R Fundamentos de

[Topolog´ıa Algebraica]

O V A T O S N U G BIA U R

O V A T O S N U G BIA U R Fundamentos de

[Topolog´ıa Algebraica]

Gustavo N. Rubiano O. Profesor Titular

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Sede Bogot´a

O V A T O S N U G BIA U R vi, 235 p. : 102 il. 00 ISBN 958-701-613-0

1. Topolog´ıa Algebraica Gustavo N. Rubiano O.

´ n. Fundamentos de Topolog´ıa Algebraica, 1a. edicio Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´ a. Facultad de Ciencias, 2007 Mathematics Subject Classification 2000: 55-01. c Edici´

on en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Orteg´ on Universidad Nacional de Colombia.

Diagramaci´ on y dise˜ no interior en LATEX:Gustavo Rubiano Gr´ aficas interiores: el autor.

Primera impresi´ on, 2007 Impresi´ on: Pro-Offset Editorial S.A. Bogot´ a, D. C. COLOMBIA

O V A T O S N U G BIA U R ´Indice general Pr´ ologo

V

1. Conjuntos

1

1.1. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1. Relaci´ on de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2. Relaci´ on de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

´ 2. Algebra 2.1. Grupos

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3. Subgrupo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3.1. Factorizaci´ on de homomorfismos . . . . . . . . . . . .

13

2.4. Grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.5. Grupos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.5.1. El subgrupo conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.6. Construcci´ on de nuevos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.7. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.7.1. Grupos libres abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

i

ii

´INDICE GENERAL

O V A T O S N U G BIA U R

2.7.2. Representaci´ on de grupos libres . . . . . . . . . . . . .

21

2.8. Producto libre de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.8.1. Producto amalgamado de dos grupos . . . . . . . . . .

24

3. Topolog´ıa

25

3.1. Construcci´ on de espacios topol´ ogicos . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1.1. Suma topol´ ogica o topolog´ıa de la uni´ on libre . . . . .

26

3.1.2. Topolog´ıa cociente o identificaci´ on . . . . . . . . . . .

30

3.2. Grupos topol´ ogicos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2.1. G-espacios y espacios ´ orbita . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.3. Espacios de funciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.3.1. La topolog´ıa punto–abierto . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.3.2. La topolog´ıa compacto–abierto . . . . . . . . . . . . .

63

3.3.3. ¿Z X×Y ≈ (Z Y )X ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.4. Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.4.1.

Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . .

71

3.5. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.5.1. Conexo por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.5.2. Componentes conexas por caminos . . . . . . . . . . .

75

3.5.3. Localmente conexo por caminos . . . . . . . . . . . . .

76

4. Homotop´ıa

78

4.1. Deformaci´ on continua de una funci´ on . . . . . . . . . . . . . .

78

4.2. Caminos hom´ otopos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.2.1. El conjunto Π0 (Ω(X, x0 )) . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.2.2. Caminos hom´ otopos rel{0, 1}

. . . . . . . . . . . . .

85

4.2.3. Clases de homotop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.2.4. Cambio del punto base . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.2.5. Π1 (S 1 ), lo intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

´INDICE GENERAL

O V A T O S N U G BIA U R

iii

4.3. El grupo fundamental y las funciones . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3.1. Homomorfismos inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3.2. Retracciones y retractos . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3.3. Equivalencias para homotop´ıa . . . . . . . . . . . . . . 116 4.3.4. Retractos por deformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4. Teorema de Seifert—Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5. Πn(X), una generalizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5. Espacios recubridores

139

5.1. Teoremas de levantamiento de caminos . . . . . . . . . . . . . 145 5.2. Grupo fundamental y espacios recubridores . . . . . . . . . . 150 5.2.1. Homomorfismo inducido por una proyecci´ on recubridora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.3. Criterio para la existencia de levantamientos . . . . . . . . . . 155 5.4. Clasificaci´ on de los recubrimientos sobre un espacio . . . . . . 158 5.4.1. Recubrimiento universal . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.4.2. Transformaciones Deck y acciones de grupos

6. Homolog´ıa

. . . . . 168 172

6.1. Complejos simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.2. Homolog´ıa sin orientaci´ on, i.e. mod 2 . . . . . . . . . . . . . . 178 6.2.1. Cadenas, ciclos y fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.3. Homolog´ıa simplicial —coeficientes en Z— . . . . . . . . . . . 185 6.3.1. Grupos de homolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.4. Homolog´ıa singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.4.1. S´ımplices regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.4.2. Cadenas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.4.3. Comportamiento funtorial . . . . . . . . . . . . . . . . 204

O V A T O S N U G BIA U R

O V A T O S N U G BIA U R Pr´ ologo

El fin u ´ltimo de la topolog´ıa algebraica es tener una manera de trasladar preguntas de la topolog´ıa conjuntista al ´ algebra. La estructura algebraica que utilizamos en estas notas es la de grupo. El mecanismo consiste en “inventar” una construcci´ on que a cada espacio topol´ ogico X que consideremos le asigne un grupo G(X). A continuaci´ on extender este mecanismo a las funciones continuas, de suerte que a una funci´ on f : X → Y le sea asignado un homomorfismo de grupos G(f ) : G(F ) → G(Y ). Pero la construcci´ on debe satisfacer condiciones de “buen comportamiento” como ser natural en la composici´ on, G(f ◦ g) = G(f ) ◦ G(g) y que a cada homeomorfismo le corresponda un isomorfismo, entre otras. En general lo que pedimos es lo llamado un comportamiento functorial. A manera de ilustraci´ on, en topolog´ıa la pregunta ¿R ≈ R2 ?, i.e. ¿es R topol´ ogicamente equivalente —homeomorfo— a R2 ? tiene una respuesta inmediata y negativa dentro del contexto de un curso de topolog´ıa general. Pero a una pregunta similar como ¿R2 ≈ R3 ? no tiene respuesta con las propiedades usuales que conocemos de compacidad, conexidad, separaci´ on, metrizabilidad, etc. ver la p´ agina 114. Lo mismo sucede para ¿S 2 ≈ toro? ¿toro ≈ botella de Klein? La respuestas a estas preguntas son algebraicas: consiste en asignar el grupo fundamental de homotop´ıa o la cadena de homolog´ıa a cada uno de los espacios involucrados y observar que son diferentes, lo que implica que no son homeomorfos. El texto requiere de conocimientos previos en conjuntos, topolog´ıa general y a´lgebra abstracta en el t´ opico de los grupos. Estos conocimientos son los b´ asicos y por ello son incluidos de manera sucinta en los cap´ıtulos 1, 2 y 3 donde en general se omiten las demostraciones, pues de otra manera el texto se tornar´ıa extremadamente largo acerc´ andose a lo ineficaz, pero a cambio se referencia en la bibliograf´ıa las fuentes que pueden ser consultadas. Las afirmaciones que al ser le´ıdas con poca atenci´ on se puedan prestar a mal v

vi

´INDICE GENERAL

O V A T O S N U G BIA U R  entendidos son marcadas con el s´ımbolo



.

Los cap´ıtulos 4, 5 y 6 son la raz´ on de este escrito y por tanto todo el esfuerzo est´ a dirigido a hacer de ellos material auto contenido, explicado, demostrado en todo detalle y por supuesto, algo que no es com´ un poder hacer en matem´ aticas en general pero en este caso s´ı: dibujar.

La secci´ on de espacios de recubrimiento, muestra la hermosa conexi´ on entre el ´ algebra y la topolog´ıa a trav´es de preguntas en la una y respuestas en la otra. Por supuesto, y como en casi todo libro de texto, todo lo dicho aqu´ı ya est´ a dicho en alguna otra parte, de suerte que, lo u ´nico original es la elecci´ on de los temas y la presentaci´ on de los mismos. Como estas notas son a manera de exposici´ on, he decidido no incluir los cl´ asicos ejercicios.

Mi gratitud a la Universidad Nacional de Colombia por otorgarme ese tiempo extra con el cual ya no pueden existir disculpas para no escribir lo que he querido.

Gustavo Nevardo Rubiano Orteg´on

Departamento de Matem´ aticas Universidad Nacional de Colombia Ciudad Universitaria, Bogot´ a, Colombia. [email protected] Septiembre de 2006

O V A T O S N U G BIA U R Cap´ıtulo 1

Conjuntos Contenido

1.1. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . 1.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Relaci´on de equivalencia . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Relaci´on de orden . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

1 3 5 5 6 6

En este primer cap´ıtulo presentamos de manera sucinta, los conceptos de la teor´ıa de conjuntos que el lector debe tener presente para la lectura de este texto, con la finalidad de establecer un lenguaje com´ un entre el autor y el lector con respecto a la notaci´ on.

1.1.

Operaciones entre conjuntos

Algunas veces es muy conveniente adjudicar un nombre o ´ındice a cada elemento de una colecci´ on A de conjuntos. Un conjunto J y una correspondencia f : J −→ A definida por j 7→ Aj —para cada j ∈ I, el conjunto f (j) ∈ A es notado como f (j) = Aj — que hace corresponder a cada j ∈ J un conjunto Aj constituye por definici´ on una familia A indizada por J y brevemente la notamos A = {Aj | j ∈ J}. 1

2

CAP´ITULO 1. CONJUNTOS

O V A T O S N U G BIA U R

Siempre olvidamos como se defini´ o f y lo u ´nico que registramos es que la familia qued´ o efectivamente indizada como A = {Aj }j∈J . Definimos los siguientes conjuntos: 1. Uni´ on de una familia de conjuntos, [ [ A= Aj = {x | x ∈ Aj , alg´ un j ∈ J}. j∈J

2. Intersecci´ on de una familia de conjuntos, \ \ A= Aj = {x | x ∈ Aj , para cada j ∈ J}. j∈J

3. Producto de una familia de conjuntos, Y [ Aj = {f : J −→ Aj | f (j) ∈ Aj } j∈J

j∈J

.

4. Suma de una familia de conjuntos. Tambi´en se acostumbra notar como ` A j∈J j y llamarse entonces el coproducto de la familia. X j∈J

Aj = {(a, j) | a ∈ Aj , j ∈ J}.

Si A = {Aj | j ∈ J} es tal que cada Aj ⊆ X, decimos entonces que A es una familia de subconjuntos de X. Si J = ∅ —el conjunto vac´ıo— entonces 1. 2.

S

T

j∈J

Aj = ∅.

j∈J

Aj = X.

Decimos que la familia A = {Aj | j ∈ J} es una partici´ on de X si para todo i, j ∈ J se tiene que 1. Aj 6= ∅. 2. i 6= j implica Ai ∩ Aj = ∅.

1.2. FUNCIONES

3

O V A T O S N U G BIA U R 3.

S

j∈J

Aj = X. Esta condici´ on dice que A es un cubrimiento de X.

Dadas las familias A = {Aj | j ∈ J}, B = {Bi | i ∈ I} en X se tienen las siguientes igualdades —Ac o {A denota el complemento de A en X—. S T 1. ( j∈J Aj )c = j∈J Acj . T S 2. ( j∈J Aj )c = j∈J Acj . S T T S S S 3. ( j∈J Aj ) ( i∈I Bi ) = i∈I ( j∈J (Aj Bi )). T S S T T T 4. ( j∈J Aj ) ( i∈I Bi ) = j∈J ( i∈I (Aj Bi )).

El axioma de elecci´ on dice que cada j ∈ J 6= ∅. Q

Q

j∈J

Aj 6= ∅ si y solo si Aj 6= ∅ para

Q Aj ⊆ j∈J Bj si y solo si Aj ⊆ Bj para cada j ∈ J. Q T Q T Q 2. j∈J Aj Bj). j∈J Bj = j∈J (Aj Q S Q S Q 3. j∈J Aj Bj ). j∈J Bj ⊆ j∈J (Aj S S S 4. ( i∈I Ai ) × ( j∈J Bj ) = (i,j)∈I×J (Ai × Bj ). 1.

1.2.

j∈J

Funciones

Dada la funci´ on f : X −→ Y definimos la imagen de A ⊆ X por f como el conjunto f (A) := {y ∈ Y | y = f (x) para alg´ un x ∈ A}. La imagen inversa de B ⊆ Y por f es el conjunto f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}. Sean {Ai | i ∈ I}, {Bj | j ∈ J} familias de conjuntos en X y Y respectivamente. Es un ejercicio verificar las siguientes propiedades: T T 1. f ( i∈I Ai ) ⊆ i∈I f (Ai ). S S 2. f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai ).

4

CAP´ITULO 1. CONJUNTOS

O V A T O S N U G BIA U R T T 3. f −1 ( j∈J Bj ) = j∈J f −1 (Bj ). S S 4. f −1 ( j∈J Bj ) = j∈J f −1 (Bj ). 5. f −1 (Bjc ) = [f −1 (Bj )]c .

6. f (f −1 (Bi )) ⊆ Bi .

7. Ai ⊆ f −1 (f (Ai )).

N´ otese que el comportamiento de f −1 —la imagen inversa por f — es impecable. Una funci´ on f : X −→ Y se dice sobre o sobreyectiva si f (X) = Y ; f se dice uno a uno, o inyectiva si x 6= y implica f (x) 6= f (y). Dada f : X −→ Y y cualesquiera A, B ⊆ X, C ⊆ Y tenemos que,

1. f es inyectiva si y solo si f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).

2. f es sobre si y solo si f −1 (C) 6= ∅ para todo C 6= ∅.

3. Si f es inyectiva y sobre —biyecci´ on— entonces f −1 es una biyecci´ on de Y en X. 4. Si f es biyecci´ on entonces f (Ac ) = f (A)c . 5. f es sobre si y solo si f (f −1 (C)) = C. 6. f es inyectiva si y solo si f −1 (f (A)) = A. 7. f es biyecci´ on si y solo si para cada y ∈ Y , f −1 (y) es un conjunto unitario de X. Caso para el cual f −1 : Y −→ X es una funci´ on bien definida. La siguiente afirmaci´ on utiliza el concepto de composici´ on de funciones: Sean f : X −→ Y , g : Y −→ X dos funciones tales que g ◦ f = idX donde idX : X −→ X es la funci´ on identidad, entonces g es sobre y f es uno a uno. Tambi´en podemos considerar una familia H indizada de funciones H = {hi : Xi −→ Yi }i∈I . Q Q Q La funci´ on h = i∈I hi : Xi∈I −→ Yi∈I definida por h((xi )i ) := (h(xi ))i es conocida como la funci´ on producto.

5

1.3. RELACIONES

O V A T O S N U G BIA U R 1.3.

Relaciones

Si X es un conjunto, una relaci´ on R en X es un subconjunto de X × X. Decimos que R es 1. Reflexiva: si (x, x) ∈ R para todo x ∈ X — ∆(X) ⊆ R donde ∆(X) es la relaci´ on id´entica o diagonal de X—.

2. Sim´ etrica: si (x, y) ∈ R implica (y, x) ∈ R —R−1 = R—. 3. Antisim´ etrica: si (x, y), (y, x) ∈ R implica x = y —R−1 ∩ R ⊆ ∆(X)—. 4. Transitiva: si (x, y), (y, z) ∈ R implica (x, z) ∈ R —R ◦ R ⊂ R—.

1.3.1.

Relaci´ on de equivalencia

R es llamada de equivalencia si de manera simult´ anea es reflexiva, sim´etrica y transitiva. Cada relaci´ on de equivalencia determina una partici´ on X/R = {[x] : x ∈ X} de X formada por las clases de equivalencia [x] = {y : xRy}; de manera natural existe una funci´ on sobreyectiva q : X −→ X/R. Toda funci´ on f : X −→ Y define una relaci´ on de equivalencia en X si definimos x ∼ y si y solo si f (x) = f (y). En este caso notamos a la relaci´ on (y a la partici´ on) como Rf con Rf = {f −1 (t) : t ∈ f (X)}. El siguiente diagrama es conmutativo, donde Rf se encarga de igualar los puntos que tienen una misma imagen, con lo cual hf definida como hf ([x]) := f (x) est´ a bien definida, es un monomorfismo y por su codominio es un epimorfismo, es decir tenemos un isomorfismo con inversa hf −1 (y) = f −1 (y).

X

f

- Y 6

q

i

?

X/Rf

≈hf

f [X]

El anterior diagrama se conoce como el teorema de la factorizaci´ on de funciones entre conjuntos o teorema del cociente para conjuntos.



6

CAP´ITULO 1. CONJUNTOS

O V A T O S N U G BIA U R 1.3.2.

Relaci´ on de orden

R es llamada una relaci´ on de orden parcial si de manera simult´ anea es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Es com´ un en este caso notar a R como ≤, de suerte que (x, y) ∈ R se nota x ≤ y y decimos que x es menor o igual a y. Un elemento m ∈ X es llamado maximal para X si m ≤ x implica m = x (cada vez que m est´e relacionado, m debe ser entonces mayor o igual).

Un subconjunto P de X es totalmente ordenado o es una cadena si para cada par de elementos a, b ∈ P se tiene que a ≤ b o b ≤ a; u ∈ X es una cota superior para P si x ≤ u para todo x ∈ P .

Un resultado fundamental —y equivalente al axioma de elecci´ on— conocido como el Lema de Zorn, nos asegura la existencia de elementos (exactamente de elementos maximales): si en un conjunto X ordenado —parcial o total— todo subconjunto P totalmente ordenado posee una cota superior en X, entonces X tiene al menos un elemento maximal.

1.4.

Cardinalidad

Definimos dos conjuntos X, Y como equivalentes si existe una biyecci´ on f : X −→ Y . Esta es una relaci´ on de equivalencia y a cada clase de equivalencia la llamamos un n´ umero cardinal y la notamos #(X). El cardinal de N lo notamos de manera especial como ω o ℵ0 . El cardinal de R como c. X es finito si es equivalente al conjunto {1, 2, 3, 4, . . . , n} para alg´ un n ∈ N. En caso contrario decimos que X es infinito. Si X es finito o equivalente a N decimos que X es enumerable o contable. Sin duda alguna el problema irresoluble m´ as famoso —desde los axiomas usuales de la teor´ıa de conjuntos— es el primer problema de Hilbert: Hip´ otesis del continuo (Cantor). Si X ⊆ R es no contable entonces existe una biyecci´ on f : X −→ R.



SiSJ es enumerable y cada conjunto Aj es enumerable, entonces tambi´en lo es j∈J Aj .

Tenemos una gran diferencia entre uniones enumerables y productos enumerables: si J es enumerable infinito y cada Aj es enumerable, entonces Q A es no enumerable. j∈J j

7

1.4. CARDINALIDAD

O V A T O S N U G BIA U R

Teorema de Cantor. Si ℘(X) (o 2X ) denota al conjunto de los subconjuntos de X 6= ∅, entonces el cardinal de X es menor que el cardinal de ℘(X). Para una demostraci´ on ver [21].

La aritm´etica de los n´ umeros cardinales se puede resumir como:

1. Sean d, e n´ umeros cardinales con d ≤ e, d 6= 0 y e infinito. Entonces d + e = e y d · e = e.

2.

ab n ℵ0 c

m nm ℵ0 c

ℵ0 c c c

c 2c 2c 2c

O V A T O S N U G BIA U R Cap´ıtulo 2

´ Algebra Contenido

2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Subgrupo normal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Construcci´ on de grupos . . . . . . . . . . . . . 2.6. Grupos generados . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Factorizaci´ on de homomorfismos . . . . . . . 2.8. El subgrupo conmutador . . . . . . . . . . . . 2.9. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Grupos libres abelianos . . . . . . . . . . . . . 2.11. Representaci´ on de grupos libres . . . . . . . . 2.12. Producto libre de grupos . . . . . . . . . . . . 2.12.1. Producto amalgamado de dos grupos . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

8 10 11 13 14 15 16 17 17 19 20 21 23

Este cap´ıtulo presenta los conceptos del ´ algebra abstracta que en adelante ser´ an utilizados. Los hemos aislado en este cap´ıtulo con la finalidad que el lector tenga certeza de cu´ anto del ´ algebra (y no m´ as) debe conocer.

2.1.

Grupos

Definici´ on 2.1 (monoide). Sea A un conjunto no vac´ıo. Una funci´ on ∗ : A × A −→ A se llama una ley de composici´ on interna o una operaci´ on interna en A. Al par (A, ∗) se le denomina un monoide. 8

2.1. GRUPOS

9

O V A T O S N U G BIA U R

Dados a, b, c ∈ A podemos calcular a ∗ (b ∗ c) y (a ∗ b) ∗ c, si queremos que este c´ alculo sea igual, entonces lo que exigimos es que ∗ sea asociativo, es decir que para todo a, b, c ∈ A a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

Definici´ on 2.2 (grupo). Un monoide asociativo se llama semigrupo. Un grupo (A, ∗) es un semigrupo en el cual 1. Existe e ∈ A tal que a ∗ e = a = e ∗ a para todo a ∈ A.

2. Para cada a ∈ A, existe b ∈ A tal que a ∗ b = e = b ∗ a.

La propiedad en 1 garantiza la existencia de un u ´nico elemento neutro para la operaci´ on ∗. La propiedad 2 garantiza la existencia del elemento inverso para cada a ∈ A. Este elemento se acostumbra a notar −a ´ o a−1 seg´ un utilicemos notaci´ on aditiva o multiplicativa, es decir a∗a = a+a := 2a o´ a ∗ a = aa := a2 . a0

En lo posible utilizaremos notaci´ on multiplicativa: a−1 a−1 = a−2 , e = 1, = 1, a ∗ b = ab.

Si ab = ba para todo a, b ∈ A, decimos que el grupo A es abeliano. Un grupo arbitrario lo notamos (G, ∗). Ejemplo 2.3. SA. Dado un conjunto A el conjunto de todas las permutaciones (biyecciones) de A con la operaci´ on de composici´ on forma un grupo llamado el grupo sim´ etrico y notado SA . Si en particular A = {1, 2, . . . , n} lo notamos Sn y cada permutaci´ on σ ∈ Sn se puede expresar como un producto de transposiciones (una transposici´ on es una clase especial de permutaci´ on donde solo dos elementos son intercambiados y los dem´ as n − 2 son dejados fijos) y el signo de σ es 1 o´ −1 dependiendo que el n´ umero de transposiciones sea par o impar. Definici´ on 2.4. Sea (G, ∗) un grupo. Si H ⊆ G es tal que ∗ : H ×H → H es una operaci´ on de grupo, decimos que H es un subgrupo de G y lo notamos H ≤ G. Ejemplo 2.5. El conjunto de todas las permutaciones pares en Sn forman un subgrupo con n! 2 elementos y llamado el subgrupo alternante de Sn . Sea (G, ∗) un grupo. Si A, B ⊆ G, definimos AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}.

10

´ CAP´ITULO 2. ALGEBRA

O V A T O S N U G BIA U R

(AB := A ∗ B y como la operaci´ on que utilizamos es multiplicaci´ on notamos simplemente AB). Si A = {a}, entonces AB = aB. Notamos por A−1 = {a−1 : a ∈ A}. Con estas notaciones se verifica que H ⊆ G es un subgrupo si y solo si H 6= ∅ y HH −1 ⊆ H. Cuando H es un subgrupo de G, los subconjuntos de la forma aH (Ha) son llamados coclases a izquierda (derecha). La palabra coclase la justificamos si tenemos una partici´ on de G. En efecto, si aH ∩ bH 6= ∅ entonces aH = bH y por tanto R := {aH : a ∈ G}

es una partici´ on de G, donde la relaci´ on ∼ de equivalencia inducida es: a ∼ b −1 si y solo si a b ∈ H. Si G es abeliano, cada coclase a izquierda aH es coclase a derecha Ha.

Si G es un grupo finito, entonces el orden |G| de G es el n´ umero de elementos en G.

Definici´ on 2.6. Sea H un subgrupo de un grupo G de orden finito. El ´ındice (G : H) de H en G es igual a |G|/|H|. As´ı, el ´ındice es el n´ umero de coclases a izquierda (derecha) de H. Ejemplo 2.7. Sean G = C − {0} (los n´ umeros complejos no nulos) y ∗ la operaci´ on (a, b)(c, d) := (ac − bd, ad + bc). El elemento unidad es (1, 0).   a −b −1 . (a, b) = , a2 + b2 a2 + b2 √ z donde z denota al conjugado y |z| = a2 + b2 |z|2 es la distancia del punto al origen. Si z = (a, b), z −1 =

El subconjunto H = {z : |z| = 1}, es un subgrupo y se nota S 1 (la circunferencia unidad). Si x ∈ G entonces xH es la circunferencia de centro (0, 0) y radio |x| (para todo h ∈ H tenemos |xh| = |x||h| = |x|1 = |x|; ver la figura).

xH

11

2.2. HOMOMORFISMOS

O V A T O S N U G BIA U R 2.2.

Homomorfismos

Una vez definidos los grupos, la pregunta natural es c´ omo caracterizarlos: ¿cu´ antos grupos “diferentes” existen? Por tanto definimos funciones entre los grupos que relacionen los conjuntos y sus estructuras.

Definici´ on 2.8. Dados dos grupos G, H un homomorfismo es una funci´ on f : G → H (como conjuntos) que satisface f (ab) = f (a)f (b) (la operaci´ on a la izquierda de la igualdad es en G y a la derecha es en H).

Esta definici´ on puede ser representada diciendo que el siguiente diagrama conmuta. La exigencia para un homomorfismo de preservar la identidad y la inversa es intr´ınseca, f (e) = e, f (a−1 ) = f (a)−1 . Adem´ as la imagen de un subgrupo es un subgrupo, en particular f (G) ≤ H.

G×G

f ×f

- H ×H

∗

∗

?

G

f

? - H

Ejemplo 2.9. La funci´ on f : (R, +) −→ (C − {0}, ·) dada por f (x) = (cos x, sen x) = eix

satisface f (x + y) = (cos (x + y), sen(x + y)) = (cos x cos y − sen x sen y, sen x cos y + sen y cos x)

= (cos x, sen y)(cos y, sen x) = f (x)f (y).

Si pensamos que en la circunferencia S 1 un punto en ella es un ´ angulo, entonces el producto f (x)f (y) es “geom´etricamente” la suma de los ´ angulos.

2.3.

Subgrupo normal

Definici´ on 2.10. Para cada homomorfismo f : G → H el conjunto f −1 (1) es un subgrupo de G. f −1 (1) ≤ G recibe el nombre de Ker(f ) o n´ ucleo de f. Un homomorfismo es inyectivo si y solo si Ker(f ) = {1}. Este subgrupo n´ ucleo goza de la propiedad gKer(f )g−1 = Ker(f ) para todo g ∈ G.

12

´ CAP´ITULO 2. ALGEBRA

O V A T O S N U G BIA U R

De hecho, esta propiedad es nada trivial. Si un subgrupo H ≤ G es tal que gHg−1 = H para todo g ∈ G lo llamamos normal o invariante y notamos H E G. Lo de invariante se justifica por lo siguiente: dado g ∈ G definimos ig : G → G como ig (x) = gxg−1 la cual es biyecci´ on y homomorfismo —isomorfismo (solo cambia los nombres de los elementos y preserva la estructura algebraica y usamos el s´ımbolo ≈ para isomorfismo)— m´ as a´ un, automorfismo (i. e. un isomorfismo de un grupo en s´ı mismo). Este automorfismo ig es llamado el automorfismo interno de G dado por la conjugaci´ on con el elemento g. Por tanto, si H es normal tenemos que ig (H) = H (no var´ıa) para cada automorfismo interior.

 Teorema 2.11. Si H E G entonces el producto (aH)(bH) := abH define

una operaci´ on de grupo sobre el conjunto G/H de las coclases a izquierda.

Podemos entonces tratar a las coclases como elementos individuales de un nuevo grupo m´ as peque˜ no. Ejemplo 2.12. An E Sn y Sn /An ≈ Z2 .

Ejemplo 2.13. El grupo (Z6 , +) —el lector familiarizado reconocer´ a a los enteros m´ odulo 6, ver ejemplo 5.7— tiene a {0, 3} como subgrupo. Como Z6 es abeliano, {0, 3} es normal y podemos formar el grupo cociente por este subgrupo el cual consta de las coclases {0, 3}, {1, 4}, {2, 5}. La figura 2.1 muestra la tabla para Z6 ordenada y coloreada seg´ un estas coclases. El patr´ on de color es entonces utilizado para mostrar a la izquierda un esquema del grupo cociente o grupo factor el cual corresponde a Z3 con lo que Z6 /{0, 3} ≈ Z3 . Z6 0 3 1 4 2 5

0 0 3 1 4 2 5

3 3 0 4 1 5 2

1 1 4 2 5 3 0

4 4 1 5 2 0 3

2 2 5 3 0 4 1

5 5 2 0 3 1 4

∗

Figura 2.1: Z6 /{0, 3} es isomorfo a Z3

Definici´ on 2.14. Dos subgrupos H y K de un grupo G son conjugados si existe g ∈ G tal que H = gKg−1 ; es decir, si uno de los grupos es la imagen del otro mediante un automorfismo interno.

2.3. SUBGRUPO NORMAL

13

O V A T O S N U G BIA U R

La conjugaci´ on es una relaci´ on de equivalencia sobre el conjunto de todos los subgrupos de G y un subgrupo H es normal en G si la clase de equivalencia [H] = {H}.

Teorema 2.15. Si H E G y a, b ∈ H entonces ab ∈ H si y solo si ba ∈ H, y en este caso aH = b−1 H. Dado un subconjunto S ⊆ G de un grupo G, el conjunto N [S] = {x ∈ G | xSx−1 = S}

es un subgrupo de G. En particular, si H ≤ G entonces N [H] es el mayor subgrupo que tiene a H como un subgrupo normal, esto es H E N [H] ≤ G o dicho de otra manera, N [H] es el subgrupo m´ as grande entre H y G para el cual H es normal. Por esta raz´ on N [H] es llamado el normalizador de H en G.

2.3.1.

Factorizaci´ on de homomorfismos

Si f : G → H y g : H → J son homomorfismos (isomorfismos) de grupos, la compuesta g ◦ f : G → J tambi´en es un homomorfismo (isomorfismo). Recordemos que un homomorfismo f tiene un comportamiento ideal: la identidad va a la identidad, la imagen inversa de un subgrupo (normal) es un subgrupo (normal), la preimagen de la identidad es el n´ ucleo de f . El siguiente teorema muestra c´ omo factorizar homomorfismos utilizando un isomorfismo.

Teorema 2.16 (cociente para grupos). Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. f tiene una u ´nica factorizaci´ on f = i ◦ r ◦ q donde q es la funci´ on cociente, r est´ a definida como r ([g]) := f (g), i es la inclusi´ on G

f

- H 6

q

i

?

G/Ker(f )

≈r

Im(f )

El teorema del cociente para conjuntos (pag. 5), nos dice que tal factorizaci´ on existe, falta verificar entonces que las condiciones algebraicas se mantienen (homomorfismos). N´ otese que para este diagrama el homomorfismo r es un isomorfismo G/Ker(f ) ≈ r(H) si f es sobreyectiva (Teorema fundamental de homomorfismo).

14

´ CAP´ITULO 2. ALGEBRA

O V A T O S N U G BIA U R 2.4.

Grupos c´ıclicos

Dado un grupo G y un elemento a ∈ G, todos los elementos de la forma an , n ∈ Z tambi´en est´ an en G.

Definici´ on 2.17. Dado un grupo G y un elemento a ∈ G, el conjunto hai := {an : n ∈ Z} =

\

i∈I

Hi ,

Hi ≤ G y a ∈ Hi

es un subgrupo de G, de hecho el subgrupo m´ as peque˜ no que contiene al elemento a (recu´erdese que la intersecci´ on de subgrupos es un subgrupo) y es llamado el subgrupo c´ıclico generado por el elemento a. Si G =< a > para alg´ un a, decimos que G es c´ıclico generado por a.

Ejemplo 2.18. Si G = (Z, +) entonces G = h1i; adem´ as, si H ≤ G, entonces H tambi´en es c´ıclico, es decir, H = hni para alg´ un n ∈ Z, y lo notamos nZ := hni (recordemos que la operaci´ on es aditiva y que nZ := {nk : k ∈ Z}). Como nZ ≤ Z dado un a ∈ Z, la coclase a + nZ := {a + nk : k ∈ Z} es el conjunto de los enteros que tienen residuo a al dividirlos por n. Hay exactamente n−coclases diferentes, a saber: nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ.

La relaci´ on b−1 a ∈ H se traduce en a ∼ b := aH = bH. Como q : G → G/H debe ser un morfismo de nuestra teor´ıa de grupos, q −1 (0) = q −1 [H] = Ker(q) = H debe ser un subgrupo normal de G. N´ otese que los grupos c´ıclicos son abelianos. Una caracterizaci´ on rec´ıproca de la anterior implicaci´ on se tiene de manera parcial si el grupo es “suficientemente peque˜ no”. Un grupo c´ıclico puede tener un n´ umero infinito de elementos (el orden de un grupo G es o(G) := #(G) cardinal de G), caso en el cual G ≈ (Z, +), es decir, existe una funci´ on f : G → Z biyectiva y homomorfismo de grupos. Si G es c´ıclico y tiene un n´ umero finito de elementos, entonces G ≈ (Zn , +) para alg´ un n ∈ Z. Nota. Zn := ha : an = 0i, el grupo generado como en la siguiente definici´ on.

2.5. GRUPOS GENERADOS

15

O V A T O S N U G BIA U R 2.5.

Grupos generados

Dados los elementos ai ∈ G con i ∈ I, la intersecci´ on de todos los subgrupos de G que contienen a todos los ai con i ∈ I es de nuevo un subgrupo notado h{ai : i ∈ I}i. N´ otese que h{ai : i ∈ I}i es el subgrupo m´ as peque˜ no de G que contiene a {ai : i ∈ I}.

Definici´ on 2.19. Si G = h{ai : i ∈ I}i, decimos que G es generado por el conjunto {ai : i ∈ I} y que los ai son los generadores de G. Si #(I) es finito, entonces G es generado finitamente. N´ otese que un elemento g ∈ h{ai : i ∈ I}i es un producto finito de potencias enteras de elementos ai . Si el grupo no es abeliano, las potencias de un ai pueden ocurrir varias veces.

Ejemplo 2.20. Z × Z2 es generado por {(1, 0), (0, 1)}.

Definici´ on 2.21. El orden o(a) de un elemento de un grupo a ∈ G, es el menor entero n tal que an = e. Si tal n no existe, decimos que el orden de a es infinito y en cierta manera a es “libre” de generar tantos elementos como quiera. Si en un grupo G cada elemento tiene orden finito, decimos que G es un grupo con torsi´ on. Si ning´ un elemento en G (excepto la identidad) tienen orden finito, decimos que G es libre de torsi´ on (por ejemplo Z). Definici´ on 2.22. Si un grupo G es abeliano, el conjunto TG de los elementos de orden finito es un subgrupo de G llamado el subgrupo torsi´ on de G. Ejemplo 2.23. Si G = Z × Z2 , entonces TG = {(0, 0), (0, 1)}. Lema 2.24 (Factorizaci´ on). Si G es abeliano y generado finitamente entonces G ≈ TG × F , donde TG es el subgrupo de torsi´ on de G y F ≤ G es libre de torsi´ on. Lema 2.25. Si G es abeliano, finitamente generado y libre de torsi´ on (no le quedan muchas posibilidades a G) G ≈ Z × · · · × Z (m−veces, m ∈ Z+ ). Lema 2.26. Si G es abeliano y de orden finito, entonces G es isomorfo a un producto directo de grupos c´ıclicos G ≈ Zpr1 × · · · × Zprnn , 1

16

´ CAP´ITULO 2. ALGEBRA

O V A T O S N U G BIA U R

donde los pi son primos (no necesariamente distintos). A´ un tenemos esta otra caracterizaci´ on:

G ≈ Zm1 × · · · × Zmn ,

donde mi |mi+1 (y esta caracterizaci´ on es u ´nica). Los enteros mi se llaman los coeficientes de torsi´ on. Ejemplo 2.27. Z5 × Z5 × Z9 6≈ Z52 × Z9 ≈ Z225 .

Teorema 2.28 (Fundamental de los grupos abelianos finitamente generados). Si G es abeliano y finitamente generado entonces G ≈ Zpr1 × · · · Zprnn × Z × · · · × Z ≈ T × F con los pi primos, 1

o,

G ≈ Zm1 × · · · Zmn × Z × · · · × Z,

donde mi |mi+1 ; en ambos casos el n´ umero de factores de Z se llama el 1 n´ umero de Betti de G.

2.5.1.

El subgrupo conmutador

Si partimos de un grupo G no abeliano, es posible obtener una versi´ on abelianizada de G requiriendo que ab = ba para todo a y b en G de la nueva versi´ on. Es decir, aba−1 b−1 = 1 en el nuevo grupo. Un elemento de la forma −1 aba b−1 se llama conmutador y por tanto lo requerido en la abelianizaci´ on es que todos los conmutadores se identifiquen con el elemento unidad. Definici´ on 2.29. Dado un grupo G, el subgrupo generado por el conjunto de todos los elementos commutadores, [G; G] := haba−1 b−1 : a, b ∈ Gi es normal y es llamado el subgrupo conmutador. El grupo cociente G/[G; G] es abeliano y se considera la versi´ on abelianizada de G. 1

En honor al matem´ atico italiano Enrico Betti (1823-1892).

17

´ DE NUEVOS GRUPOS 2.6. CONSTRUCCION

O V A T O S N U G BIA U R 2.6.

Construcci´ on de nuevos grupos

Definici´ on 2.30. Si G1 , G2 , . . . , Gn son grupos, al producto cartesiano n Y

k=1

Gk = G1 × · · · × Gn

le damos una estructura de grupo al operar las n−tuplas ordenadas operando componente a componente, (a1 , . . . , an ) ∗ (b1 , . . . , bn ) := (a1 b1 , . . . , an bn )

y se le llama el producto directo externo de los grupos Gi . Esta definici´ on es extendible a cualquier familia de grupos no necesariamente finita.

N´ otese que cada Gk es isomorfo de una manera natural (sin esfuerzo) a un n Q subgrupo Gk de Gk cuando identificamos cada g ∈ Gk con el elemento k=1

(e1 , . . . , ek−1 , g, ek+1 , . . . , en ) ∈

n Q

Gk . Entonces decimos que

k=1

n Q

Gk es el

k=1

producto directo interno de estos subgrupos Gk a cambio de decir que era el producto directo externo de los Gk . Ejemplo 2.31. Si m, n ∈ Z+ sin factores comunes diferentes de 1, entonces Zm × Zn ≈ Zmn ; m´ as general a´ un, si m1 , m2 , . . . , mn ∈ Q Z+ con un m´ aximo com´ un denominador MCD(m1 , . . . , mn ) = 1, entonces nk=1 Zmk es c´ıclico y se tiene n Y Zmk ≈ Zm1 ···mn . k=1

Ejemplo 2.32. Z8 × Z9 ≈ Z72 . Ejemplo 2.33 (Teorema fundamental). Si n = pn1 1 · pn2 2 · · · · · pnr r se escribe como potencia de primos diferentes entonces Zn ≈ Zpn1 × · · · × Zpnr r . 1

2.7.

Grupos libres

Sea A un conjunto de cardinalidad a cuyos elementos a, b, c . . . ∈ A pueden ser s´ımbolos abstractos o pueden ser objetos provenientes de alg´ un otro contexto matem´ atico. A es llamado un alfabeto y sus elementos letras.

18

´ CAP´ITULO 2. ALGEBRA

O V A T O S N U G BIA U R

Por una s´ılaba entendemos un s´ımbolo an donde a ∈ A y n ∈ Z. Una palabra es definida como una sucesi´ on ordenada de s´ılabas. Por ejemplo b−3 a0 a1 c2 c2 a0 c1 es una palabra de siete (7) s´ılabas. En una palabra las s´ılabas son escritas una tras de otra a la manera de un producto formal. Cada s´ılaba en s´ı misma es una palabra (una uno–s´ılaba). Existe una u ´nica palabra que no tiene s´ılabas, la llamamos la palabra vac´ıa y se denota por el s´ımbolo 1. As´ı que tenemos las siguientes condiciones: 1. Si A = {ai }i∈I es un alfabeto de letras ai , cualquier s´ımbolo de la forma ani con n ∈ Z es una s´ılaba.

2. Una sucesi´ on finita de s´ılabas es una palabra. 3. La palabra vac´ıa es la palabra sin s´ılabas y notada por 1.

m+n n ´ n: a1i := ai , a0i := 1, am Notacio . Estas dos u ´ltimas condiciones i ai := ai conducen a las llamadas palabras reducidas, es decir, aquellas donde no es posible reducir m´ as. −5 2 −7 0 2 Ejemplo 2.34. a32 a−1 2 a3 a1 a1 a0 = a2 a3 a1 .

El conjunto de todas las palabras reducidas del alfabeto A lo notamos L[A]. N´ otese que L[A] tiene de manera natural una estructura de grupo: dadas las palabras w1 , w2 ∈ L[A] definimos  : L[A] × L[A] → L[A] donde w1  w2 es la simple yuxtaposici´ on de w1 con w2 . −2 −2 2 3 −3 Ejemplo 2.35. Para w1 = a32 a−5 1 a3 , w2 = a2 , entonces w1 w2 = a2 a1 a3 a2 .

Pareciera obvio que esta funci´ on est´ a bien definida, es asociativa, y tiene a la palabra vac´ıa 1 como elemento id´entico. La inversa de una palabra w es la palabra w−1 obtenida al revertir el orden de las s´ılabas y cambiar el signo del exponente en cada s´ılaba. −1 = a−1 a4 a−3 . Ejemplo 2.36. Para w = a32 a−4 1 2 1 a2 tenemos w 2

Definici´ on 2.37. (L[A], ) es el grupo libre generado por A. Si A = ∅ entonces L[A] = {e}. Si A = {a} entonces L[A] es c´ıclico infinito.

2.7. GRUPOS LIBRES

19

O V A T O S N U G BIA U R

Recordemos (ver secci´ on 2.5) que si G es un grupo y E ⊆ G, entonces existe el menor subgrupo de G que contiene a E y lo notamos hEi. Un elemento g ∈ hEi si y s´ olo si g = en1 1 en2 2 · · · enk k , para elementos ei ∈ E, ni ∈ Z. Si G = hEi, decimos que E es un subconjunto generador de G; si adem´ as G = hEi para un conjunto E finito, decimos que G es generado finitamente. Dado un grupo G y un conjunto generador A = {ai |i ∈ I} de G, podemos preguntarnos si G es libre sobre el conjunto A = {ai |i ∈ I}, es decir, si G es “esencialmente” el grupo libre L[A].

Definici´ on 2.38. Si G es un grupo tal que G = hAi y existe un isomorfismo ≈ φ:G− → L[A] tal que φ(ai ) = ai , decimos que G es libre sobre A, y que los elementos ai son los generadores libres de G. Un grupo es libre si es libre sobre alg´ un conjunto {ai }i .

N´ otese que en la anterior definici´ on intervienen G, A y φ. Si A tiene m´ as de un elemento entonces L(A) no es abeliano. De manera m´ as general, tenemos el siguiente hecho: Un grupo G es libre si y solo si G es isomorfo a L(A) para para alg´ un A.

Ejemplo 2.39. Z = hAi es libre sobre A para A = {1}. El isomorfismo φ se define como: φ : Z −→ L[A]

n 7−→ 1n := n · 1

donde en particular φ(1) = 11 := 1. Por supuesto todo grupo libre es infinito a menos que A = ∅ y en este caso L[A] = {1}. En un grupo libre, ning´ un elemento excepto el elemento neutro tiene orden finito (i.e. la representaci´ on de la unidad e es u ´nica por la palabra vac´ıa). Adem´ as, “es claro” que los grupos libres son en efecto libres de torsi´ on, pero lo contrario no es cierto: Z × Z es libre de torsi´ on pero no es un grupo libre, pues es abeliano y no es c´ıclico. Adem´ as, si G es libre tanto sobre A como sobre B, entonces #A = #B (#A denota el cardinal de A) y este cardinal se llama el rango del grupo libre G. (Algunos autores denominan al conjunto A una base libre). Proposici´ on 2.40 (Clasificaci´ on). Dos grupos libres son isomorfos si y s´ olo si tienen el mismo rango.



20

´ CAP´ITULO 2. ALGEBRA

O V A T O S N U G BIA U R

Teorema 2.41. Dados un conjunto A, un grupo H y una funci´ on f : A −→ H, existe un u ´nico homomorfismo f : L[A] −→ H tal que para todo a, b ∈ A y todo n, m ∈ N se tiene que f (a) = f (a) y f (am bn ) = f (a)m f (b)n .

A @g @ R p p p p p p p p p p p p p L[A] H  f

f

“Un homomorfismo es determinado por las im´ agenes de un conjunto generador”.

2.7.1.

Grupos libres abelianos

Los grupos libres como han sido definidos no son en general conmutativos, pero al obtener la versi´ on abelianizada de este grupo libre, es decir, al formar el grupo cociente por el subgrupo conmutador L[A]/ [L[A]; L[A]], ´este resulta libre abeliano. Definici´ on 2.42. Un grupo G es un grupo libre abeliano si G ≈ L[A]/ [L[A]; L[A]] ,

para alg´ un grupo libre L[A]. G se nota entonces como Ab{A}. 

Obs´ervese que para este cociente, Q nj i. e. para G, los elementos se pueden escribir como productos finitos aij , donde cada aij aparece una sola vez. j∈N

Es com´ un notar en este caso a los elementos de manera aditiva: n1 ai1 + n2 ai2 + · · · + nk aik .

Para A = {ai }i la colecci´ on de las coclases [ai ] se llama una base en L[A]/ [L[A]; L[A]]. Ejemplo 2.43. Zn = Z × Z × · · · × Z (n-veces) es un grupo libre abeliano. Ejemplo 2.44. Si A = {a, b}, L[A] puede ser representado como {an bm : n, m ∈ Z} y ab 6= ba. Por su parte Ab{A} = Z × Z. Si recordamos que para G ≈ H se tiene que G/[G; G] ≈ H/[H; H], podemos clasificar los grupos abelianos libres de orden finito.

2.7. GRUPOS LIBRES

21

O V A T O S N U G BIA U R 2.7.2.

Representaci´ on de grupos libres

El objeto de esta secci´ on es definir un grupo por medio de generadores y relaciones entre los generadores. Por supuesto el conjunto de generadores siempre existe, luego el m´erito es encontrar las relaciones.

Ejemplo 2.45. Si G = hAi para A = {x, y} y deseamos que G sea abeliano entonces la relaci´ on entre los generadores es xyx−1 y −1 = 1. Ejemplo 2.46. Si G = hAi para A = hai y an = 1, obtenemos que G ≈ Zn .

Sean H un grupo y K un subgrupo de H. Definimos K la clausura normal de K como el menor subgrupo normal que contiene a K; en otras palabras, K es la intersecci´ on de todos los subgrupos normales de H que contienen a K, \ K = {M : M E H y K ≤ M }.

De manera particular, dado R ⊆ L[A] notemos por R la intersecci´ on de todos los subgrupos normales de L[A] que contienen a R. R es un subgrupo normal y el grupo cociente L[A]/R se conoce como el grupo generado por A sujeto a las condiciones R. En este nuevo grupo notado como [A; R] para toda palabra r ∈ R se tiene r = 1.

Definici´ on 2.47. Si un grupo G es tal que G ≈ [A; R] (isomorfos), decimos que [A; R] es una representaci´ on de G. Ejemplo 2.48. Por supuesto, la representaci´ on de un grupo en general no es u ´nica: [{x}; ] = [{x, y}; x] son presentaciones para el grupo c´ıclico infinito. [{x, y}; xyx−1 y −1 ] es una presentaci´ on para el grupo libre abeliano con dos generadores. [{a}; a2 ] = [{a, b}; a2 , b] son presentaciones para Z2 . [{x, y}; xyx−1 y −1 , x2 , y 3 ] = [{a}; a6 ] son presentaciones para Z6 . La primera describe la estructura de Z6 como Z2 × Z3 . [{x, y}; x2 , y 2 , (xy)n ] es una presentaci´ on para el grupo dih´edrico de orden 2n. K = [{i, j} : i4 = 1, i2 = j 2 , ji = i3 j] es una presentaci´ on del grupo, en realidad cuerpo, de los cuaterniones de Hamilton (donde k = ij).

22

´ CAP´ITULO 2. ALGEBRA

O V A T O S N U G BIA U R

Sean G un grupo, [A, R] una presentaci´ on de un grupo y φ : L[A] → G un homomorfismo tal que ker(φ) = hRi. Entonces φ determina una representaci´ on de G (ver el siguiente diagrama, donde q es la proyecci´ on natural y ψ es definida de la manera obvia):

L[A] @ φ @ @ ? R @ pp G [A, R] p p p p p q

ψ

Una presentaci´ on [X, R] es generada finitamente si X es finito y es relacionada finitamente si R es finito. [X, R] es finita si tanto X como R son finitos.

2.8.

Producto libre de grupos

Supongamos que nos es dada una colecci´ on {Gα } de grupos y deseamos construir a partir de ella un grupo que contenga a cada grupo de la colecci´ on como un subgrupo. Una manera de hacer esto es tomar el grupo producto Q G , cuyos elementos son las funciones α 7→ gα ∈ Gα con la multiplicaci´ on α α definida por (gα )(fα ) = (gα fα ) —esta definici´ on generaliza a la definici´ on 2.30—. O podemos restringirnos a funciones que toman un valor diferente a L la unidad a lo m´ as en un n´ umero finito de ´ındices, formando el grupo α Gα llamado la suma directa. Dados homomorfismos Θα : Gα → Hα , la funci´ on M α

Θα :

M α

Gα →

M α

Hα definida por

M

Θα (gα ) = (Θα (gα ))

es un homomorfismo, y si cada Θα es un isomorfismo, as´ı lo es

L

α Θα .

Cada una de las dos construcciones anteriores produce un grupo conteniendo a cada uno de los Gα como un subgrupo pero con la propiedad de que elementos en diferentes subgrupos Gα conmutan; por ejemplo (g1 , e, e, . . .) ∗ (e, g2 , e, . . .) = (g1 , g2 , e, . . .) = (e, g2 , e, . . .) ∗ (g1 , e, e, . . .) (al fin y al cabo se multiplica en esa coordenada por la unidad). Pero fuera del contexto de los grupos abelianos esta conmutatividad esL no natural, y Q por tanto requerimos una versi´ on no abeliana de α Gα o α Gα . Como la suma en el segundo grupoL es m´ as peque˜ na y simple que en el primero, construimos la versi´ on para α Gα , y es lo que llamaremos el producto libre (externo) ∗α Gα de los Gα .

2.8. PRODUCTO LIBRE DE GRUPOS

23

O V A T O S N U G BIA U R

Definici´ on 2.49. El producto libre de una colecci´ on {Gα } de grupos es el conjunto ∗α Gα , el cual consta de todas las palabras g1 g2 · · · gm de longitud m para cualquier m ∈ Z, donde cada letra gi pertenece a uno de los grupos Gα y sujeto a las siguientes dos condiciones: 1. Dos t´erminos de la palabra que sean sucesivos pertenecen a grupos diferentes, y

2. Ning´ un t´ermino es el elemento identidad de alg´ un Gα .

As´ı que si hay t´erminos sucesivos que pertenecen al mismo grupo los multiplicamos, y si hay t´erminos que son identidades los cancelamos, para obtener las palabras reducidas. La palabra vac´ıa es tambi´en permitida y ser´ a la identidad de ∗α Gα .

La operaci´ on ∗ de grupo es definida por yuxtaposici´ on (hemos decidido obviar las comas y par´entesis cuando la notaci´ on sea clara) g1 g2 · · · gm ∗ h1 h2 · · · hn = g1 g2 · · · gm h1 h2 · · · hn

donde en este producto reducimos si es necesario, es decir, si gm , h1 pertenecen al mismo grupo Gα , ellos son remplazados por el u ´nico elemento gm h1 en Gα , y si llegare a ser la identidad, la cancelamos. El inverso de g1 g2 · · · gm −1 · · · g −1 . ser´ a la palabra gm 1 Ejemplo 2.50. (Un producto libre de grupos que no es un grupo libre.) Sean G1 = {1, a}, G2 = {1, b} grupos c´ıclicos de orden 2 (cada uno de ellos homeomorfo a Z2 ). Cada elemento g 6= 1 ∈ Z2 ∗ Z2 puede ser escrito solo como palabras con a y b (puesto que las potencias mayores de 1 no son necesarias ya que a2 = 1 = b2 ), con los factores a y b de manera alternante: a, ab, aba, abab, etc., o b, ba, bab, baba, etc. N´ otese que los elementos ab, ba son ambos de orden infinito, y son diferentes. Por supuesto que Z2 ∗ Z2 6= Z2 ⊕ Z2 , pues este u ´ltimo (el producto d´ebil o producto directo) es un grupo abeliano de orden 4, mientras que el grupo libre Z2 ∗ Z2 es no abeliano con elementos de orden infinito. Tambi´en Z2 ∗ Z2 es diferente del grupo libre L[a, b]. Si consideramos las aplicaciones θα : Gα ,→ ∗α Gα con θα (g) = g, cada subgrupo Gα est´ a inmerso de manera natural en ∗α Gα como el subgrupo formado por la palabra vac´ıa m´ as las 1–palabras g ∈ Gα .

24

´ CAP´ITULO 2. ALGEBRA

O V A T O S N U G BIA U R

Dada una colecci´ on de homomorfimos Θα : Gα → H, ella se extiende a un homomorfismo Θ : ∗α Gα → H definido por Θ(gα1 gα2 · · · gαm ) = Θ(gα1 )Θ(gα2 ) · · · Θ(gαm ).

Por ejemplo, las inclusiones G1 ,→ G1 × G2 , G2 ,→ G1 × G2 inducen un homomorfismo sobreyectivo G1 ∗ G2 → G1 × G2 . Tenemos una relaci´ on importante entre presentaciones y producto libre:

Teorema 2.51. Si {x1 , . . . , xm ; r1 , . . . , rn } y {y1 , . . . , yp ; s1 , . . . , sq } son representaciones de los grupos G y H, respectivamente, entonces G ∗ H es isomorfo al grupo con representaci´ on {x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yp ; r1 , . . . , rn , s1 , . . . , sq }.

2.8.1.

Producto amalgamado de dos grupos

A manera de ejemplo, y por su utilidad en la demostraci´ on del Teorema de Seifert—VanKampen de la secci´ on 4.62, estudiaremos en detalle el producto amalgamado de dos grupos, el cual es un grupo cociente del producto libre de los grupos obtenido al “amalgamar” o identificar subgrupos.

Dados los grupos G0 , G1 , G2 y los morfismos ϕ1 : G0 → G1 , ϕ2 : G0 → G2 , consideremos el menor subgrupo normal N ≤ G1 ∗G2 que contiene todos los elementos de la forma ϕ1 (g)ϕ2 (g)−1 y ϕ2 (g)ϕ1 (g)−1 para g ∈ G0 (para g ∈ G0 los elementos ϕ1 (g) y ϕ2 (g) se han igualado).

G0 ϕ1



ϕ

@ 2 R @

G1

G2

El grupo cociente G1 ∗ G2 /N := G1 ∗G0 G2 se llama el producto de G1 y G2 amalgamado por G0 . Si q : G1 ∗ G2 → G1 ∗ G2 /N es la funci´ on cociente, para las aplicaciones θ1 : G1 ,→ G1 ∗ G2 y θ2 : G2 ,→ G1 ∗ G2 tenemos que los homomorfismos q1 = q ◦ θ1 : G1 ,→ G1 ∗ G2 → G1 ∗ G2 /N y q2 = q ◦ θ2 satisfacen la relaci´ on q1 ◦ ϕ1 = q2 ◦ ϕ2 ya que para g ∈ G0 tenemos que los elementos θ1 (ϕ1 (g)) y θ2 (ϕ2 (g)) difieren en un elemento que est´ a en N = ker(q).

G0

*  ϕ1    HH H ϕ2 HH j H

G1 XX HHXXX q1 XXX H XX θ1 HH XX j H X qz - G1 ∗ G2 /N G1 ∗ G2 :   *     q2    θ2

G2

O V A T O S N U G BIA U R Cap´ıtulo 3

Topolog´ıa Contenido

3.1. Construcci´ on de espacios topol´ ogicos . . . . . 3.1.1. Suma topol´ogica o topolog´ıa de la uni´on libre 3.1.2. Topolog´ıa cociente o identificaci´on . . . . . . 3.2. Grupos Topol´ ogicos . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Espacios ´orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Espacios de Funciones . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. La topolog´ıa punto–abierto . . . . . . . . . . 3.3.2. La topolog´ıa compacto–abierto . . . . . . . . 3.3.3. ¿(Z Y )X ≈ Z X×Y ? . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Subespacios conexos maximales. . . . . . . . 3.5. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Conexo por caminos . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Componentes conexas por caminos . . . . . . 3.5.3. localmente conexo por caminos . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

26 . 26 . 29 44 . 52 56 . 56 . 59 . 61 62 . 65 66 . 67 . 69 . 70

En este cap´ıtulo (que puede ser considerado el cimiento de este texto) presentamos los conceptos de la topolog´ıa de conjuntos requeridos en la parte de la topolog´ıa algebraica que desarrollaremos en los cap´ıtulos siguientes. Suponemos que el lector ya ha tomado un primer curso en topolog´ıa general. 25

26

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R 3.1.

Construcci´ on de espacios topol´ ogicos

Esta secci´ on est´ a dedicada a presentar las construcciones que permiten la creaci´ on de nuevos espacios topol´ ogicos a partir de espacios dados.

Recordemos que si f : X → Y es continua entonces sus restricciones f |A a A ⊆ X son continuas si damos las correspondientes topolog´ıas de subespacios.

3.1.1.

Suma topol´ ogica o uni´ on libre de espacios topol´ ogicos

Definici´ on 3.1. Si {(Xα , Tα )}α∈Λ es una colecci´ on de espacios topol´ ogicos disyuntos, para el conjunto X=

a

Xα =

α∈Λ

[

α∈Λ

Xα =

X

Xα

(el s´ımbolo

a

por lo disyuntos)

P definimos una topolog´ıa T = Tα como: U ⊆ X es abierto si y s´ olo si U ∩ Xα es abierto en Xα para cada α ∈ Λ.

Esta topolog´ıa es conocida como la topolog´ıaPde la uni´ on disyunta, o la uni´ on libre de los espacios Xα , y el espacio Xα es llamado la suma de los espacios Xα . Ejemplo 3.2. Usando la topolog´ıa usual de Rn en cada uno de los subespacios.

En X =

+

el subconjunto Y =

S

es abierto.

El requerir que los espacios involucrados sean disyuntos entre s´ı puede ser evitado, dado que cualquier colecci´on de conjuntos puede ser reemplazada por una colecci´on disyunta. En efecto, si {Xα }α∈Λ es una familia de conjuntos, para cada α ∈ Λ definimos Xα := Xα × {α}

(X es pintado de color α).

La familia {Xα }α∈Λ es disyunta y los espacios respectivos Xα y Xα son homeomorfos si Xα tiene la topolog´ıa producto, es decir, Uα × {α} es abierto si y s´ olo si Uα es abierto en Xα .

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

27

O V A T O S N U G BIA U R

La uni´ on libre (o uni´ on disyunta) de la familia {Xα }α∈Λ es entonces el espacio a X [ Xα := Xα = Xα = {(xα , α) : xα ∈ Xα , α ∈ Λ}. α∈Λ

` N´ otese que las inclusiones `iβ : Xβ ,→ Xα definidas por x 7→ (x, β) tambi´en definen los abiertos de Xα como aquellos subconjuntos para los cuales todas sus preim´ agenes por las inclusiones iα son abiertas.



Esta topolog´ıa es la final, la m´ as fina o m´ as grande (mayor n´ umero de abiertos), o la “mejor” para la cual todas las inclusiones iα son continuas; de hecho, las`iα son inmersiones y sus im´ agenes son tanto abiertas como cerradas en Xα . Topolog´ıa coherente con una colecci´ on

Si X es un conjunto que es la uni´ on de una familia de conjuntos A = {Aα }α∈Λ donde cada Aα tiene su propia topolog´ıa, pero no son necesariamente disyuntos, y tampoco queremos dar a X la anterior topolog´ıa de la uni´ on disyunta, entonces, para dejar a X intacto como conjunto, es posible dar a X otra topolog´ıa llamada la topolog´ıa suma d´ ebil o coherente con la colecci´ on A, la cual tendr´ a la propiedad de preservar las topolog´ıas de los Aα , es decir que cuando Aα obtenga la topolog´ıa de subespacio de X, ´esta coincida con la que ten´ıa al inicio. Pero para poder considerar la existencia y poder definir esta topolog´ıa, requerimos cierto buen comportamiento entre los espacios Aα ; precisamente requerimos que: 1. Las topolog´ıas de Aα y Aβ coincidan sobre Aα ∩Aβ para todo α, β ∈ Λ, es decir, que la topolog´ıa de Aα ∩ Aβ como subespacio de Aα sea la misma que como subespacio de Aβ y, 2. O bien suceda que: a) Aα ∩ Aβ sea abierto tanto en Aα como en Aβ para todo α, β ∈ Λ, o, b) Aα ∩ Aβ sae cerrado tanto en Aα como en Aβ para todo α, β ∈ Λ. Si 1 y 2 se satisfacen, la colecci´ on T(A) = {U ⊆ X : U ∩ Aα es abierto en Aα , para todo α ∈ Λ}



28

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

es una topolog´ıa llamada la topolog´ıa d´ ebil para X asociada con (o inducida por) la colecci´ on de espacios {Aα }α∈Λ , o la topolog´ıa suma d´ ebil de los Aα , o la topolog´ıa coherente con los Aα . Un subconjunto C de X es cerrado en X si C ∩ Aα es cerrado en Aα para cada α. La fuerza de la condici´ on 2 es garantizar que cada Aα como subespacio de T(A) retiene a su topolog´ıa original; en caso de a) cada Aα es un subconjunto abierto en X; en el caso de b) cada Aα es un subconjunto cerrado del espacio X.

N´ otese que T(A) es la topolog´ıa m´ as grande en X que preserva la topolog´ıa de cada uno de los Aα , es decir, en cualquier otra topolog´ıa T para la cual U ∈ T implica U ∩ Aα es abierto en Aα para cada α, se cumple que U ∈ T(A). En otras palabras, T(A) es la topolog´ıa final para la familia de funciones inclusi´ on {Aα ,→ X}α . Debe quedar adem´ as claro que la topolog´ıa de la uni´ on libre (definici´ on 3.1) es simplemente un caso especial de esta topolog´ıa T(A). Ejemplo 3.3 (No se tienen las condiciones requeridas para la construcci´ on). En el caso siguiente, donde los Ai tienen la topolog´ıa de subespacios de R2 , no se verifica la condici´ on 1 puesto que A1 ∩ A2 no es abierto en A1 pero s´ı lo es en A2 .

A1

S

A1 ∩ A2

= A2

X

Ejemplo 3.4 (Construcci´ on de complejos hechos de celdas). La topolog´ıa coherente es especialmente u ´til en la construcci´ on de los espacios llamados complejos celulares, los que a su vez son espacios fundamentales en la topolog´ıa algebraica. La idea de la construcci´ on b´ asicamente es como sigue: construyamos un espacio X a˜ nadiendo a un punto un intervalo, al intervalo un tri´angulo, al tri´ angulo un tetraedro, etc. Es decir, en cada paso a˜ nadimos un subconjunto de Rn con la topolog´ıa euclideana, y al espacio final X le damos la topolog´ıa coherente (ver figura 3.1). S Ejemplo 3.5 (Arete con infinitos aros). Sea X = Cn donde Cn ⊆ R2 n∈N
es la circunferencia de centro n1 , 0 y radio n1 . X es como un arete de infinitos aros cada vez m´as peque˜ nos y unidos por un punto. Ver figura 3.2.

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

29

O V A T O S N U G BIA U R

Figura 3.1: Construcci´ on de complejos celulares.




La topolog´ıa usual de X como subespacio del espacio euclidiano ⊆ R2 no es coherente con la colecci´ on {Cn }n∈N ; en efecto, consideremos    1 2 F = ,0 ∈ R : n ∈ N . n F ∩ Cn = {( n1 , 0)} es un conjunto cerrado, pero F no es cerrado en X pues el punto (0, 0) es un punto adherente a F y (0, 0) ∈ / F . Por tanto, la topolog´ıa coherente difiere de la topolog´ıa usual de subespacio, pues F s´ı es cerrado en la coherente.

(1, 0)

Figura 3.2: Arete con infinitos aros.

Cuando una funci´ on tiene como dominio un espacio con una topolog´ıa coherente, la continuidad es f´ acil de revisar en t´erminos de los subespacios. Proposici´ on 3.6. Sean X un espacio con la topolog´ıa T(A) coherente con la colecci´ on A = {Aα }α∈Λ y Y un espacio cualquiera. Una funci´ on f : X −→ Y es continua si y s´ olo si f |Aα : Aα −→ Y es continua para cada α ∈ Λ.

30

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R 3.1.2.

Topolog´ıa cociente o identificaci´ on

En un curso de ´ algebra abstracta se encuentran los conceptos de grupo cociente o anillo cociente, en los cuales la idea es dar una estructura algebraica al conjunto de coclases de un subgrupo o un ideal. Estos conceptos (basados en una relaci´ on de equivalencia) dan una estructura algebraica a una partici´ on del grupo o del anillo. En lo concerniente a la topolog´ıa, el concepto equivalente es el de espacio cociente al dar una topolog´ıa a una partici´ on del espacio, donde los elementos ser´ an ahora las clases de equivalencia inherentes a la partici´ on. Un subconjunto de X que es uni´ on de elementos de la partici´ on (clases) se llama saturado. El conjunto saturado m´ as peque˜ no que contiene a un subconjunto dado A de X se denomina la saturaci´ on de A y coincide con q −1 (q(A)). Si R es una relaci´ on de equivalencia en X, ¿c´ omo dar una topolog´ıa al conjunto X/R (de las clases de equivalencia) a partir de una topolog´ıa en el espacio X?

La funci´ on cociente q : X −→ X/R definida por x 7−→ [x] debe ser por supuesto continua y de la mejor manera, i. e., de manera que X/R tenga la mayor cantidad posible de abiertos. Definici´ on 3.7. Definimos la topolog´ıa cociente T/R para X/R como T/R := {U ⊆ X/R : q −1 (U ) es un abierto de X}. B ⊆ X/R es abierto si B = q(A) para alg´ un A abierto y saturado. Ejemplo 3.8 (Cinta de M¨ obius1 ). Muchos espacios son construidos a trav´es de otro identificando algunos puntos; por ejemplo, la construcci´ on de la cinta de M¨ obius. A partir del rect´ angulo X = [0, 3] × [0, 1] con la topolog´ıa T de subespacio de R2 hacemos la identificaci´ on R esquematizada por la figura 3.3 (observar la orientaci´ on de las flechas) donde (0, y)R(3, 1−y) y los dem´ as puntos s´ olo se relacionan consigo mismo. 1

Esta superficie fue encontrada por el matem´ atico y astr´ onomo, August M¨ obius 1790– 1868.



´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

O V A T O S N U G BIA U R

31

Figura 3.3: Esquema para la construcci´ on de una cinta de M¨ obius.

(0, y)

(3, 1 − y)

Figura 3.4: La imagen inversa de un abierto en la cinta de M¨obius

La preimagen de un disco abierto en la cinta es: o bien el conjunto formado por los dos semidiscos abiertos, o un disco abierto interior al rect´ angulo como en la figura 3.4. En todo caso se trata de un abierto en X/R pues su preimagen por q corresponde a un abierto en la topolog´ıa del rect´ angulo.

A continuaci´on generalizamos la construcci´ on anterior hecha sobre una relaci´ on de equivalencia. Definici´ on 3.9. Sean (X, T) un espacio topol´ ogico y R = {Ai } una partici´ on o descomposici´ on de X. Formamos un nuevo espacio Y llamado el espacio identificaci´ on o cociente como sigue. Los puntos de Y son los miembros de R y si q : X −→ Y es la funci´ on cociente q(x) 7→ Ai si x ∈ Ai , la topolog´ıa para Y es la m´as grande para la cual q es continua; es decir, U ⊆ Y es abierto si y s´olo si q −1 (U ) es abierto en X. Esta topolog´ıa se llama la topolog´ıa identificaci´ on o cociente para la partici´ on R y la notamos T/R T/R := {U ⊆ Y : q −1 (U ) es un abierto de X}. Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identificados a un solo punto por medio de R. Como cada partici´ on R genera una relaci´ on

32

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

de equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Y tambi´en es notado como Y = X/R. De suerte que, U es abierto en X/R si y s´ olo si q −1 (U ) =

S

[x]∈U [x]

∈ T.

La continuidad para estos espacios identificaci´ on est´ a determinada por la continuidad desde el espacio inicial, como lo afirma el siguiente teorema de gran utilidad en topolog´ıa. q

X

Teorema 3.10. Sean X/R un espacio identificaci´ on y W un espacio topol´ ogico. Una funci´ on f : X/R −→ W es continua si y s´ olo si f ◦q es continua para q : X −→ X/R.

- X/R

@ @ f f ◦q @ R ? @

W

Descomposici´ on can´ onica por una funci´ on

Vimos en la secci´ on 1.3.1 que dada una funci´ on sobreyectiva f : X −→ Y entre conjuntos, la colecci´ on Rf := {f −1 (y)}y∈Y determina una partici´ on en X. En este caso la funci´ on cociente q : X −→ X/Rf satisface q(x) = [x] = f −1 (f (x)); luego la funci´ on hf : X/Rf −→ Y dada por hf ([x]) := f (x) o hf (f −1 (y)) = y est´ a bien definida y es una biyecci´ on.

X

q

- X/Rf

@ @ hf f @ @ R ? @

Y

Si X, Y son adem´ as espacios topol´ ogicos y f es continua entonces tenemos que hf : X/Rf −→ Y es continua. Podemos ahora preguntarnos qu´e tanto se identifica, i. e., ¿cu´ ando hf es −1 (y) es continua? un homeomorfismo? o ¿cu´ ando h−1 (y) = f f Teorema 3.11. Sean (X, T), (Y, H) espacios topol´ ogicos y f : X −→ Y una funci´ on continua y sobreyectiva. Si f es abierta o cerrada entonces hf : X/Rf −→ Y es un homeomorfismo. Funci´ on identificaci´ on o funci´ on cociente Las funciones cociente q : X −→ X/R se generalizan de la manera siguiente.

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

33

O V A T O S N U G BIA U R

Definici´ on 3.12. Sean (X, T), (Y, H) espacios topol´ ogicos y f : X −→ Y una funci´ on sobreyectiva. Si Y tiene la mejor topolog´ıa para la cual f es continua, es decir H = TfY = {V ⊆ Y | f −1 (V ) ∈ T},

decimos que f es una funci´ on identificaci´ on, que TfY es la topolog´ıa identificaci´ on o cociente y que Y es un espacio identificaci´ on —la raz´ on para este nombre es porque Y puede ser mirado como un espacio cociente—. Claramente toda funci´ on cociente es una identificaci´ on y el siguiente hecho generaliza la caracterizaci´ on de continuidad que ya ten´ıamos en el teorema 3.10.

Teorema 3.13. Si f : X −→ Y es una funci´ on identificaci´ on, entonces g : Y −→ W es continua si y s´ olo si g ◦ f lo es. Esta topolog´ıa TfY es mucho m´ as que requerir la continuidad, pues la precisa de la “mejor” manera, por eso algunas veces es conocida como la topolog´ıa de continuidad fuerte. El siguiente teorema es la raz´ on por la cual los espacios identificaci´ on son tambi´en llamados cociente.

Teorema 3.14. Si f : X −→ Y es una funci´ on identificaci´ on entonces Y ≈ X/Rf —homeomorfos—. ¿C´ omo podemos entonces reconocer las identificaciones? esto es, ¿bajo qu´e condiciones una topolog´ıa dada proviene de una identificaci´ on? Parte de la respuesta es el siguiente teorema que muestra adem´ as que todo homeomorfismo es una funci´ on identificaci´ on. Teorema 3.15. Sea f : (X, G) −→ (Y, H) una funci´ on continua y sobre. Si adem´ as f es abierta o cerrada, entonces f es una identificaci´ on. La topolog´ıa Y identificaci´ on Tf sobre Y determinada por f coincide con la topolog´ıa H. Finalmente hemos llegado a un resultado fundamental que ser´ a de repetida aplicaci´ on en este texto. Corolario 3.16. Sea f : X −→ Y una funci´ on continua y sobre. Si X es compacto y Y es de Hausdorff, entonces f es una funci´ on cerrada y, por tanto, una identificaci´ on.

34

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Ejemplo 3.17 (El toro). Sea X = [0, 1] × [0, 1] con la topolog´ıa de subespacio usual de R2 . Se hace una partici´ on de X en cuatro clases mediante la siguiente relaci´ on R (ver figura 3.5). 1. {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}: las esquinas se identifican.

2. {(x, 0), (x, 1)} para cada x ∈ (0, 1): “pegamos” el borde inferior con el borde superior.

3. {(0, y), (1, y)} para cada y ∈ (0, 1): “pegamos” los lados.

4. {(x, y)} para x ∈ (0, 1) y y ∈ (0, 1): el interior no cambia.

Figura 3.5: Una partici´ on sobre I × I que conduce al toro.

El espacio T asociado a esta partici´on es el Toro, descrito tambi´en como T = S 1 × S 1 , el producto de dos circunferencias. ¿Coinciden estas dos descripciones? S´ı. En efecto, definamos f : [0, 1] × [0, 1] −→ S 1 × S 1

(x, y) 7−→ f (x, y) = e2πix , e2πiy




donde e2πix := (cos 2πx, sen 2πx) y e2πiy := (cos 2πy, sen 2πy). La relaci´on Rf en [0, 1]×[0, 1] definida por la funci´on f , es decir, Rf = {f −1 (a) : a ∈ T }, es exactamente la partici´on inicial R; luego, por el teorema 3.14, [0, 1] × [0, 1]/Rf ≈ S 1 × S 1 puesto que [0, 1] × [0, 1] es compacto, S 1 × S 1 es Hausdorff y f es una identificaci´ on.

35

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

O V A T O S N U G BIA U R

Figura 3.6: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro.

La figura 3.6 nos da la motivaci´ on para definir el concepto de manija: Un Toro al que le es removido el interior de un disco. Por otra parte, la esfera S 2 a la cual se le ha removido el interior de n-discos se llama una esfera con n-huecos. Una esfera con 2 huecos es un cilindro. Una esfera con una manija es un Toro. Identificando un subconjunto a un punto



Si en un espacio (X, T) un subconjunto M ⊆ X se identifica a un u ´nico punto, entonces la relaci´ on de equivalencia inducida es R/M := ∆X ∪ (M × M ) = {(x, x) : x ∈ X} ∪ {(a, b) : a, b ∈ M }

y al espacio topol´ ogico lo notamos (X/M, T/M ).

N´ otese que x ∼ y :⇔ x = y o´ x, y ∈ M . En este espacio cociente, todo M

el espacio M es identificado o colapsado a una sola clase [x] para x ∈ M , i. e., a un punto. Ejemplo 3.18. El ejemplo m´ as sencillo es tomar X = [0, 1] y M = {0, 1}; as´ı las cosas, [0, 1]/{0, 1} se puede visualizar como en la figura y obtenemos a S 1 . De manera m´ as general, para X = [0, 1] y A = ∂(X) tenemos que X/A ≈ S n . (A es el borde de la respectiva caja).

1

0

Ejemplo 3.19. Para este ejemplo, consideremos el espacio X obtenido al agregarle a la esfera S 2 un arco externo A desde un polo hasta el otro (ver figura 3.7). Sea B el arco en la esfera que uno los polos. La siguiente figura muestra una descripci´on de lo que son X/A y X/B (ver figura 3.7).

N´ otese que si el ecuador C de la esfera S 2 es colapsado en un punto obtenemos dos esferas unidas por un u ´nico punto (este ejemplo ser´ au ´til en la definici´on de Πn (X, x0 )).

36

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R A

X/A

X/C

B

X/B

Figura 3.7: Tres identificaciones en una esfera.

Ejemplo 3.20. El espacio X = R/Z resulta ser un “bouquet” de infinitas circunferencias.

Ejemplo 3.21. Es posible que la construcci´on no aporte nada nuevo; por ejemplo, [0, 1]/[ 13 , 13 ] ≈ [0, 1]. Pero muy por el contrario [0, 1]/{ 13 , 13 } ≈ P (la letra P). Identificando varios subconjuntos a un punto Tambi´en podemos colapsar varios subespacios a puntos. Si X es un subespacio topol´ ogico y A1 , . . . , An ⊆ X son disyuntos no vac´ıos, entonces X/A1 , . . . , An es el espacio obtenido de la relaci´on de equivalencia definida por x ∼ y :⇔ x = y, o existe i tal que x, y ∈ Ai . Ejemplo 3.22. X es el toro al cual le hemos a˜ nadido cuatro discos A1 , A2 , A3 , A4 , cerrados meriodionales; al colapsar cada uno de los Ai en un punto obtenemos el espacio X/A1 , . . . , A4 , consta de cuatro esferas tangentes (ver figura 3.8). Ejemplo 3.23 (Dn/S n−1 ≈ S n ). Veamos de manera expl´ıcita que para

37

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

O V A T O S N U G BIA U R

X/A1 , . . . , A4

Figura 3.8: En el toro se identifican cuatro discos.

cada n ∈ N, se tiene el homeomorfismo D n /S n−1 ≈ S n (el cascar´ on del disco n cerrado D es identificado a un s´ olo punto; ver ejemplo 3.24). En el caso n = 1, se identifican los puntos extremos del intervalo cerrado [0, 1], obteniendo S 1 . En el caso n = 2 del disco cerrado se identifica el borde S 1 (se lleva un solo punto para cerrar la bolsa) para formar la esfera S 2 .

S

D2 /S 1 ≈ S 2

1

Figura 3.9: En el disco D2 se identifica el borde S 1 .

De manera general, sabemos que Rn ≈ D n − S n−1 , viala implosi´ on j : Rn −→ D n − S n−1 dada por x 7−→

1 x. 1 − kxk

donde x = (x1 , . . . , xn ). Por otra parte, Rn ≈ S n − {p}, mediante la proyecci´ on estereogr´ afica desde el polo norte p h : S n − {p} −→ Rn dada por x 7−→

1 (x1 , . . . , xn ) 1 − xn+1

donde x = (x1 , . . . , xn+1 ) (la gr´afica muestra el caso n = 2).

38



CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R p

S2

− {p}

R2

Sean j−1 , h−1 los inversos de tales homeomorfimos, con h−1 : D n − S n−1 −→ Rn y h−1 : Rn −→ S n − {p}. Definamos f : Dn −→ S n como ( h−1 ◦ j −1 (x) para x ∈ D n − S n−1 , f (x) = p para x ∈ S n−1 .

f es una biyecci´ on continua y adem´as es una identificaci´on (pues va de un compacto a un Hausdorff); por tanto, Dn /Rf ≈ S n .

Construcciones por funciones: funciones que pegan espacios Sean X, Y espacios topol´ogicos y A ⊆ X. Dada f : A −→ Y intentaremos pegarle a Y el espacio X utilizando a f para identificar puntos en X con puntos de Y , para as´ı formar un nuevo espacio notado como Y tf,A X (el espacio Y con el espacio X pegado a lo largo de A viaf ).

f X

Y

A

f (A)

Figura 3.10: Se identifican los puntos en A con los puntos en f (A).

39

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

O V A T O S N U G BIA U R

La manera de pegar es identificar los puntos en A con los puntos en f (A). Comenzamos tomando la uni´ on disjunta (o la uni´ on libre) X t Y , donde W ⊆ X t Y es abierto si y s´ olo si W ∩ X y W ∩ Y son abiertos en X y Y respectivamente. La relaci´ on de equivalencia R es definida por x ∼ y :⇔ x ∈ f −1 (y), i. e. f (x) = y.

En particular, x ∼ f (x) para todo x ∈ A. Al espacio X tf,A Y le damos la topolog´ıa cociente o identificaci´ on de (X t Y )/R (ver figura 3.10).





Ejemplo 3.24. Si X = S 1 , Y = [0, 1], A = {(1, 0)} y f : {(1, 0)} −→ [0, 1] con (1, 0) 7−→ 1, obtenemos como espacio a la siguiente figura.

S 1 tf,A [0, 1]

Ejemplo 3.25. Si X = D2 , Y = x0 , A = S 1 y f : S 1 −→ {x0 }, obtenemos la figura 3.11. Si X = Dn , Y = x0 , A = S n−1 y f : S n−1 −→ {x0 } obtenemos a Dn tf,{x0 } S n−1 = S n . Es como colapsar S n−1 a un u ´nico punto x0 , Dn /S n−1 ≈ S n .

D 2 tf {x0 } = S 2

D2

x0

Figura 3.11: Un globo al identificar el borde en un disco

Ejemplo 3.26. Cuando X = D n y A = S n−1 , decimos que pegamos una n-bola o una n-celda a Y v´ıa f : S n−1 −→ Y . En particular, cuando n = 1 se obtiene una “manija” y cuando n = 2 obtenemos una “bolsa”(ver figura 3.12).

Y

D1

f

40

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Ejemplo 3.27. Si X = D n y A = S n−1 , decimos que pegamos una n-bola o una n-celda a Y v´ıa f : S n−1 −→ Y . En particular cuando n = 1 se obtiene una “manija” y cuando n = 2 obtenemos una “bolsa”. Ver figura 3.12

Y

Y

f (S 1 )

D

2

Figura 3.12: Adjuntando una manija y una bolsa.

El espacio Y siempre est´a contenido en Y tf X de una manera can´onica, pues nunca se han identificado dos puntos diferentes de Y , esto es i

2 q ◦ i2 : Y −→ X + Y −→ Y tf X

es inyectiva. Adem´ as, Y es un subespacio de Y tf X de manera natural, pues la topolog´ıa de Y como subespacio de Y tf X coincide con la original de Y . Lo anterior no es necesariamente cierto para X, que es la parte “pegada”. Por ejemplo, si Y = {p}, para f : A → {p} tenemos que {p} tf X es exactamente X/A (nuestro espacio cociente que identifica un subconjunto A con un punto). Ejemplo 3.28. Sean X = Dn , A = S n−1 , Y = D n y consideremos la funci´ on identidad id: S n−1 −→ S n−1 . El espacio cociente resulta ser la esfera n − 1–dimensional, i. e., Dn tid D n ≈ S n .

En el caso n=2 pegamos los bordes S 1 de cada uno de los cascarones D 2 como en la figura 3.13.

Figura 3.13: Pegando dos cascarones.

41

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

O V A T O S N U G BIA U R

Ejemplo 3.29. Para X = Y = M (donde M es la cinta de M¨ obius) y su 1 1 borde A = ∂M = S , consideremos la funci´ on identidad id: S −→ S 1 . El espacio cociente resulta ser K la botella de Klein, i. e., M tid∂M M ≈ K. (Felix Klein 1849–1925, Matem´ atico alem´ an. En 1872, tras ingresar como profesor en la Universidad de Erlangen, pronunci´ o una conferencia inaugural en la que ofreci´ o una visi´ on general de la geometr´ıa desde el punto de vista de la teor´ıa de grupos, que se conocer´ıa como programa de Erlangen y que hab´ıa de ejercer una poderosa influencia en el desarrollo ulterior de la disciplina).

Figura 3.14: Pegando dos cintas de M¨ obius por el borde.

Ejemplo 3.30 (La construcci´ on cono). La siguiente construcci´on es t´ıpica sobre cualquier espacio topol´ogico X. Primero tomamos el intervalo I = [0, 1] y creamos el espacio X × [0, 1] llamado el cilindro con base en X. Definimos el cono sobre X como CX := X × [0, 1])/(X × {1} (intuitivamente la tapa superior del cilindro es identificado en un solo punto, formando el ´ apice del cono. Si X = S 1 , entonces S 1 × I es un cilindro “ordi1 nario” y CS es un cono usual). N´otese que en cada “paso” t, para t ∈ [0, 1)

X × [0, 1]

CX

se tiene una copia de X, es decir X ≈ q(X × {t}), donde q es la funci´ on cociente.

42

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Ejemplo 3.31. CS n ≈ D n+1 . El cono sobre la n-esfera unitaria es homeomorfo a la bola unitaria cerrada n + 1–dimensional. Demostraci´ on: La funci´ on f : S n × [0, 1] −→ f - D n+1 Dn+1 con f (x, t) = (1 − t)x es sobreyectiva, con- S n × [0, 1] pp tinua y cerrada, y por tanto una identificaci´ on, p p3 p q p con lo cual hf ([x]) = f (x) es un homeomorfismo. p p hf pp n n+1 ? p N´ otese que (S × [0, 1])/Rf ≈ D donde Rf C(S n ) es exactamente identificar S n × {1} a un punto.

La construcci´ on cono tiene la siguiente propiedad categ´ orica: dados los espacios topol´ ogicos X, Y y f : X −→ Y continua, existe una u ´nica aplicaci´ on C(f ) : C(X) −→ C(Y ) tal que el siguiente diagrama conmuta, i. e. tenemos un funtor covariante de T op en T op (ver secci´ on 4.3.2).

X

C-

C(X) C(f )

f

?

Y

C

? - C(Y )

Ejemplo 3.32 (Doble cono). Dado un espacio topol´ ogico X, el espacio cociente S(X) := (X × [0, 1])/(X × {0}, X × {1})

se llama la suspensi´ on o doble cono de X. N´ otese que S(X) = C(X)/(X × {0}). Por ejemplo, la suspensi´ on de las esferas incrementa su dimensi´ on en una unidad S(S n ) = S n+1 .

Esquema de lapdemostraci´ on: La funci´on f : S n × [0, 1] −→ S n+1 dada por f (x, t) = ( 1 − (2t − 1)2 x, 2t − 1) es una identificaci´on y por lo tanto S n /Rf ≈ S n+1 . Ejemplo 3.33 (Cilindro de una aplicaci´ on). La noci´on de funci´on cilindro —debida a J. H. Whitehead— es importante en la teor´ıa de homotop´ıa. Sea f : X −→ Y una funci´on continua. Se trata de pegar al espacio Y el cilindro X × [0, 1]. Esta “pega” la hacemos por la base X × {0} del cilindro utilizando la funci´ on f : X × {0} −→ Y dada por f (x, 0) = f (x). As´ı, obtenemos el espacio cociente Mf := Y ∪f (X × [0, 1])

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

43

O V A T O S N U G BIA U R

el cual puede ser visto como un “cilindro” con X ≈ X × {1} en la tapa superior y con la tapa inferior sobre el espacio Y ; cada uno de los segmentos que unen x con f (x) son los encargados de generar al “cilindro”.

X ×I

Mf

f (X)

Y

Si q : (X × I) + Y → Mf es la funci´on cociente, entonces p : Mf → Y dada por p(x, t) 7→ f (x) y p(y) 7→ y es continua y colapsa al cilindro sobre Y . Esto nos mostrar´ a que Mf y Y tienen el mismo tipo de homotop´ıa (ver p´ agina 117).

Cercana a la construcci´ on de la funci´on cilindro Mf est´a la funci´ on cono Cf = C(X) ∪f Y donde identificamos los puntos (x, 0) ∼ f (x), para una f : X −→ Y . Ejemplo 3.34 (Producto cu˜ na ∨). Un espacio topol´ogico punteado es por definici´ on un espacio topol´ ogico con un punto de ´el elegido. Sean (X, x0 ), (Y, y0 ) espacios punteados, con x0 ∈ X, y0 ∈ Y . Definimos el producto cu˜ na de los espacios X y Y como X ∨ Y := (X + Y )/{x0 , y0 }. Si X = Y = [0, 1], con 0 como el punto base, entonces X ∨ Y es homeomorfo con el intervalo cerrado [−1, 1] cuyo punto base est´a en el medio, en 0. Si dibujamos este producto cu˜ na obtenemos el cual explica el por qu´e del s´ımbolo.

∨

Aparentemente esta construcci´on es trivial, pero a cambio es muy u ´til. 1 ∨ S es homeomorfo a la figura formada por el n´ umero “8”(dos circunferencias tangentes en un punto). De manera m´as general, es posible definir el producto cu˜ na ∨α Xα para una colecci´on arbitraria de espacios punteados (Xα , xα ). S1

N´ otese que X ∨ Y es homeomorfo al subespacio (X × {yo }) ∪ ({x0 } × Y ) del producto X × Y .

44

 CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R y0

x0

Ejemplo 3.35 (Producto ∧). El producto ∧ entre dos espacios es definido como el espacio cociente X∧Y = X×Y /X∨Y . Es como una versi´on reducida del producto X ×Y al identificar los factores X y Y . Por ejemplo, S m ∧S n = S m+n , con lo que S 1 ∧S 1 = S 2 equivale a colapsar las circunferencias longitud y meridiano de un toro. Espacios proyectivos RP n

Por su importancia como ejemplo, a continuaci´on presentamos tres maneras equivalentes de construir el espacio real proyectivo n–dimensional RP n . (Existen construcciones similares FP n donde F puede ser C o H). 1. En Rn+1 − {0} identificamos dos puntos si ellos est´an sobre la misma recta que pasa por el origen, es decir, para un punto x = {x0 , . . . , xn } ∈ Rn+1 − {0} tenemos [x] = {(tx0 , tx1 , . . . , txn ) : t ∈ R, xi ∈ R}. Definimos RP n := (Rn+1 − {0})/R donde xRy :⇔ x = ty para alg´ un t ∈ R.

Esta manera de construir a RP n se puede generalizar a espacios vectoriales E, definiendo EP n como el conjunto de todas sus rectas que pasan a trav´es del vector 0. Si E es un espacio vectorial topol´ogico entonces a EP n le damos la topolog´ıa cociente. 2. Consideremos la esfera S n ⊆ Rn+1 y la particionamos en clases disyuntas, donde cada clase consta exactamente de dos puntos: los puntos ant´ıpodas (puntos opuestos por el v´ertice), RP n = S n /R, donde xRy :⇔ y = −x. As´ı que RP n = {{x, −x} : x ∈ S n } y q : S n → RP n es la funci´on creciente con q(x) = {−x, x}. La topolog´ıa que damos a RP n es la

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ 3.1. CONSTRUCCION

O V A T O S N U G BIA U R

45

topolog´ıa cociente: V ⊆ RP n es abierto si q −1 (V ) es abierto en S n . Por tanto, RP n es de Hausdorff y compacto. En este caso q resulta ser no s´ olo continua sino abierta, puesto que, dado un abierto U ⊆ S n el conjunto q(U ) es abierto: en efecto q −1 (q(U )) = U ∪ (−U ) (donde −U es el ant´ıpoda de U ) es un abierto en S n . De lo anterior, es f´ acil concluir que cada punto p ∈ RP n posee una vecindad abierta Vp cuya imagen inversa q −1 (V ) es reuni´ on de dos abiertos disyuntos, cada uno de los cuales se aplica por q de manera homeomorfa sobre Vp .

3. El espacio RP n es homeomorfo al cociente del disco D n por la partici´ on en conjuntos unitarios {x} para puntos x en el interior del disco, y pares de puntos ant´ıpodas {x, −x} en la esfera frontera S n−1 .

RP 2

S2

Figura 3.15: RP 2 representado como un cociente de un disco: los puntos antipodales del borde se identifican.

RP 0 es un punto. RP 1 ≈ S 1 . RP 2 ≈ Plano proyectivo. [Re-visi´ on] La construcci´ on en el numeral 2 para el disco D 2 . Este espacio no puede ser inmerso en R3 y por tanto no podemos dibujarlo, pero s´ı esquematizarlo como el resultado de “pegar” por el borde una cinta de M¨ obius al borde de un disco cerrado. N´ otese que al considerar las l´ıneas rectas que pasan por el origen en R3 no obtenemos puntos de R3 sino subconjuntos de R3 y por tanto no podemos usar la topolog´ıa de subespacio para hacerlo un espacio topol´ ogico. Por esta raz´ on hemos usado la topolog´ıa cociente. Puede mostrarse adem´as que el espacio RP n es homeomorfo de manera can´ onica al espacio m´etrico cuyos puntos son las l´ıneas de Rn+1 que pasan



46

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

por el origen 0 = (0, ..., 0), y la distancia es definida como el ´ angulo m´ as peque˜ no entre ellas (la cual toma valores en [0, π2 ]). O tambi´en puede verse que la topolog´ıa cociente de RP n proviene de la siguiente m´etrica en RP n . Dados p = {x, −x}, q = {y, −y} en RP n definimos d(p, q) = m´ın{|x − y|, |x + y|}. Tomamos el lado menor del rect´ angulo con v´ertices x, −x, y, −y.

Para ver que la m´etrica d induce a la topolog´ıa cociente, notemos que de acuerdo al teorema 3.10 el diagrama implica que q¯ es continua si q lo es. Pero q es una contracci´ on d(q(x), q(y)) ≤ |x − y| y por tanto es continua. Ahora, q¯ no es m´ as que la identidad y como RP n es compacto y (RP n , d) es de Hausdorff, q¯ es un homeomorfismo.

3.2.

Sn q

?

q

- RP n  q¯

(RP n , d)

Grupos topol´ ogicos

Algunos objetos geom´etricos se utilizan tanto como ejemplos de espacios topol´ ogicos como de grupos. La lista incluye entre otros a R, R − {0}, C, C − {0}, S 1 , S 1 × S 1 , etc.; o a´ un m´ as, cualquier grupo G si le damos la topolog´ıa discreta. Pero la relaci´ on entre la estructura algebraica y la estructura topol´ ogica va mucho mas all´ a, por ejemplo las funciones suma + : R × R −→ R donde (r, s) 7−→ r + s e inverso aditivo − : R −→ R donde r 7−→ −r, son funciones continuas si los espacios tienen la topolog´ıa euclidiana usual. Esto significa que estos dos tipos de estructuras son “compatibles”: las operaciones algebraicas son continuas. Definici´ on 3.36. Un grupo G (con notaci´ on multiplicativa) que es tambi´en un espacio topol´ ogico se llama grupo topol´ ogico si las operaciones G × G −→ G con (a, b) 7−→ ab y G → G con a 7−→ a−1 son continuas. Algunas veces notamos (G, m, T) para hacer ´enfasis en la operaci´ on m y la topolog´ıa T.

´ 3.2. GRUPOS TOPOLOGICOS

47

O V A T O S N U G BIA U R

Ejemplo 3.37. Rn con la operaci´ on a + b = (ai + bi )i y la topolog´ıa euclidiana es un grupo topol´ ogico. Veamos que las funciones adici´ on e inversi´ on son continuas. Para mosn n n trar que + : R × R −→ R es continua, tomemos una bola abierta Bε ((a1 + b1 , . . . , an + bn )) en el codominio con centro un punto imagen; observemos que Bε/2n ((a1 , . . . , an )) + Bε/2n ((b1 , . . . , bn )) ⊆ Bε ((a1 + b1 , . . . , an + bn ))

ya que si

|(x1 , . . . , xn ) − (a1 , . . . , an )| < ε/2n y |(w1 , . . . , wn ) − (b1 , . . . , bn )| < ε/2n

entonces |xi − ai | < ε/2n, |wi − bi | < ε/2n para i = 1, . . . , n, y por tanto, X

|(x1 + w1 , . . . , xn + wn ) − (a1 + b1 , . . . , an + bn ) =  1 X 1 2 2 2 2 |xi + wi − ai − bi | (|xi − ai | + |wi − bi |) ≤ < X 1 2 (|ε/2n + ε/2n)2 = ε.

Por otra parte, la funci´ on inversa i(a) := −a es continua ya que i(Bε ((a1 , . . . , an ))) = Bε ((−a1 , . . . , −an )).

Como un corolario a este ejemplo tenemos que la suma y diferencia de funciones continuas f, g : Rn → Rn son tambi´en operaciones continuas, pues f + g es la compuesta de dos funciones continuas (f,g)

+

Rn −−−−→ Rn × Rn − → Rn . Ejemplo 3.38. (R − {0}, ·) los reales no nulos con la multiplicaci´ on son un grupo topol´ ogico si R − {0} tiene la topolog´ıa de subespacio de R con la m´etrica euclidiana. En efecto, mostremos que la operaci´ on  en el grupo es continua:  : (R − {0}) × (R − {0}) −→ R − {0} donde (x, y) 7−→ xy. Dado un abierto N con xy ∈ N ⊆ (R − {0}), veamos que existen abiertos S, T ⊆ (R−{0}) con (x, y) ∈ S ×T tales que ST = {st : (s, t) ∈ S ×T } ⊆ N . Existe ε > 0 tal que el intervalo (xy − ε, xy + ε) ⊆ N ∪ {0}; si definimos α =

48

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

n p o α α m´ın{ε, |xy|} tenemos que (xy−α, xy+α) ⊆ N . Para δ = m´ın 3|x| , 3|y| , α3 los intervalos S = (x − δ, x + δ) y T = (y − δ, y + δ) satisfacen ST ⊆ N . En efecto, sean z ∈ S y w ∈ T con z = x + a y w = y + b con (|a| < δ, |b| < δ), luego |zw − xy| = |ay + bx + ab| ≤ |ay| + |bx| + |ab| <

α α α + + ≤ε 3 3 3

entonces zw ∈ N .

Adem´ as, la funci´ on x 7→ x−1 es continua pues revierte intervalos abiertos en intervalos abiertos.

Ejemplo 3.39 (Los complejos2 ). (C − {0}, ·) donde (x, y) · (a, b) = (xa − yb, ya + xb), con elemento identidad (1, 0) es un grupo topol´ ogico. (Las 2 topolog´ıas son las inducidas de R ). La multiplicaci´ on R4 − {0} = (C − {0}) × (C − {0}) −→ C − {0} = R − {0} × R − {0}

es continua, pues las funciones proyecci´ on p1 (x, y, a, b) = xz − yw,

p2 (x, y, a, b) = ya + xb

son continuas en virtud del ejemplo anterior. La funci´ on inversa C − {0} −→ C − {0} dada por   z x y −1 (x, y) 7−→ (x, y) = = ,− 2 2 2 2 x +y x +y kzk2

donde z = x + iy

es claramente continua. Cuando de manipular n´ umeros complejos se trata, lo mejor es emigrar de las coordenadas cartesianas de un punto P = z = (x, y) a las coordenadas polares (r, θ), donde r es la distancia al origen (o m´ odulo o valor absoluto |z| del complejo z) y θ = arg z = arctan y/x es el ´ angulo (llamado argumento) que forman la l´ınea que une a P con el origen O y el eje x. De suerte que ahora se tiene z = |z|(cos θ + i sen θ). Ahora resulta que el producto zw de dos n´ umeros complejos z y w es m´ as f´ acil: es el n´ umero complejo cuyo m´ odulo es el producto de los m´ odulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos. 2

El mundo de los complejos conduce a conexiones elegantes y profundas entre la geometr´ıa, el ´ algebra y el an´ alisis.

49

´ 3.2. GRUPOS TOPOLOGICOS

O V A T O S N U G BIA U R

Ejemplo 3.40. S 1 ⊆ C − {0} es un grupo topol´ ogico; en este caso las operaciones pueden ser descritas como   S 1 × S 1 −→ S 1 con eiθ , eiφ 7−→ ei(θ+φ) y

S 1 −→ S 1 con eiθ 7−→ e−iθ

y claramente son continuas.

La relaci´ on entre n´ umeros complejos y exponenciaci´ on es expresada en una f´ ormula maravillosa de Euler3 : eiθ = cos θ + i sen θ.

El punto es que ella hace consistente la cl´ asica ley de exponentes ax ay = ax+y con la f´ ormula para multiplicar complejos arg(zw) = arg z + arg w de suerte que eiθ × eiφ = ei(θ+φ) . El ejemplo 3.40 se puede generalizar con el siguiente resultado.

Sea H ≤ G un subgrupo (en el sentido algebraico) del grupo G. Si G es adem´ as un grupo topol´ ogico, entonces H es un subgrupo topol´ ogico de G si H lleva la topolog´ıa de subespacio de G. La demostraci´ on de este hecho es inmediata si recordamos que la restricci´ on de una funci´ on continua a un subconjunto de su dominio es de nuevo continua.

Ejemplo 3.41 (Grupo lineal general GLn o GL(n, R)). Denotemos por Mn (R) el conjunto de las matrices de tama˜ no n × n con entradas en R. Una matriz A es invertible si existe una matriz B tal que AB = I = BA, o de manera equivalente Det(A) 6= 0 (determinante distinto de cero). En Mn (R) se distingue el subconjunto GL(n, R) o GLn (R) de las matrices invertibles y es un grupo con la operaci´ on multiplicaci´ on. Para la topolog´ıa, cada matriz A = (aij ) se identifica con el punto (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , an1 , . . . , ann ) ∈ Rn

2

y le damos a GL(n, R) la topolog´ıa de subespacio. Podr´ıa pensarse en dar otras topolog´ıas al conjunto Mn (R): 3

Leonardo Euler (1707–1783) fue un maestro del c´ alculo —en la acepci´ on de calcular— utilizando los n´ umeros complejos, los cuales llev´ o a nuevas alturas.

50

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R 2

Mn (R) como subespacio de Rn .

Cada matriz A ∈ Mn (R) define una transformaci´ on lineal TA : Rn −→ n R dada por T (A) = A · x, la cual es continua. Por tanto Mn (R) ⊆ C(Rn , Rn ) y puede heredar as´ı la topolog´ıa compacto–abierto (definici´ on 3.3.2). Como todas las funciones TA tienen un mismo rango y dominio Y n Mn (R) ⊆ (Rn )R ⊆ Rni con Rni = Rn i∈Rn

y puede as´ı heredar la topolog´ıa de un producto.

Cada matriz A puede ser vista como una funci´ on de un conjunto Q finito de n2 elementos en R, i.e., A : n2 → R con lo que Mn (R) ⊆ i∈n2 Ri .

Pero no hay que preocuparse, ¡todas estas topolog´ıas coinciden! y con cualquiera de estas topolog´ıas GLn (R) resulta ser un grupo topol´ ogico, pues la funci´ on multiplicaci´ on m : GL(n, R) × GL(n, R) −→ GL(n, R) donde (A, B) 7−→ C = (cij ) con cij =

n P

k=1

aik bkj es continua si cada una de las proyecciones pij ◦ m es

continua, pero claramente lo son, pues cada una de ellas es un polinomio. Por su sigla lo llamamos el grupo lineal general. Ejemplo 3.42 (SLn o SL(n, R)). Sea det : GL(n, R) −→ (R − {0}, ·) la funci´ on determinante definida por la f´ ormula det(A) =

X

σ∈Sn

sgn(σ)

n Y

ai,σ(i)

i

donde para cada permutaci´ on σ de {1, 2, . . . , n} formamos el producto a1,σ(1) a2,σ(2) . . . an,σ(n) , y a continuaci´ on multiplicamos por el signo de σ y efectuamos la suma sobre todas las permutaciones. Como det(AB) = det(A) · det(B) entonces det es un homomorfismo sobreyectivo y adem´ as como funci´ on es continua; su n´ ucleo est´ a dado por

´ 3.2. GRUPOS TOPOLOGICOS

51

O V A T O S N U G BIA U R

SLn := {A : det(A) = 1} y se llama el grupo lineal especial. Si admitimos tambi´en a las matrices con determinante −1 definimos Spin(n, R) := {A ∈ Mn (R) : |det(A)| = 1}. De acuerdo con el teorema 2.16 tenemos GLn /SLn ≈ R − {0} (ver teorema 3.48).

Ejemplo 3.43 (On o O(n, R)). Recordemos que At denota la transpuesta de A, donde las filas de At son las columnas de A, esto es, (At )ij = Aji . Cada matriz define una funci´ on A : Rn → Rn con A(x) = Ax, y con respecto al producto interno en Rn se satisface hx, Ayi = hAt x, yi. Si A ∈ Mn , las siguientes condiciones son equivalentes:

1. A es invertible con A−1 = At .

2. A preserva productos interiores, es decir, hAx, Ayi = hx, yi.

3. A preserva longitudes, i.e., kAxk = kxk.

4. A preserva distancias, i.e., d(Ax, Ay) = d(x, y).

Una matriz se llama ortogonal si satisface una de las condiciones anteriores. El subconjunto On ⊆ GLn de las matrices ortogonales, es un grupo topol´ ogico llamado el grupo ortogonal y corresponde entonces a las transformaciones lineales de Rn que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalente a las isometr´ıas de Rn que fijan al origen. Si A ∈ On , entonces det(A) ∈ {1, −1} puesto que det(A)2 = det(A)det(At ) = det(AAt ) = det(I) = 1. Ejemplo 3.44 (SOn). El subgrupo SOn := On ∩ SLn se llama el grupo ortogonal especial y corresponde a las matrices que tienen determinante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Este grupo coincide con las rotaciones de Rn alrededor del origen; adem´ as, SOn es el kernel del homomorfismo det : On → Z2 . Los grupos On y SOn son compactos por ser subconjuntos cerrados y 2 acotados de Rn , mientras que GLn no lo es pues se trata de un subconjunto abierto, tampoco es conexo pues es la uni´ on disyunta de los abiertos formados por las matrices con determinante positivo y negativo respectivamente. De acuerdo con el teorema 2.16 tenemos On /SOn ≈ Z2 (ver teorema 3.48).

52

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Para el caso 1–dimensional SO1 , tenemos que SL1 = SO1 = {1}, el grupo trivial. Caso 2–dimensional SO2 . Dado un a ´ngulo θ, definimos las matrices     cos θ − sen θ cos θ sen θ Rθ = Sθ = . sen θ cos θ sen θ −cos θ Estas matrices son ortogonales y det(Rθ ) = 1, det(Sθ ) = −1. Por tanto Rθ ∈ SO2 y Sθ ∈ O2 − SO2 . Pero mucho m´ as, cualquier matriz A ∈ SO2 es de la forma Rθ para alg´ un θ y cualquier matriz A ∈ O2 − SO2 es de la forma Sθ para alg´ un θ. Rθ representa una rotaci´ on de medida θ en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Sθ representa una reflexi´ on por la l´ınea que pasa por el origen en ´ angulo θ/2 con respecto al eje x.

Caso 3–dimensional SO3 ≈ RP 3 .

Sea X ⊆ Rn . Para cada A ∈ On la imagen de X por A es AX = {Ax|x ∈ X}. Definimos el grupo sim´ etrico de X como Sim(X) = {A ∈ On |AX = X} y el grupo sim´ etrico directo como Dir(X) = {A ∈ SOn |AX = X} = Sim(X) ∩ SOn .

X2

X3

X4

X5

X6

Figura 3.16: Simetr´ıa de los pol´ıgonos regulares.

En el caso del plano n = 2 y el n–pol´ıgono regular Xn se satisface que: 1. Dir(Xn ) ≈ Cn (el grupo c´ıclico), y 2. Sim(Xn ) ≈ Dn (el grupo dih´edrico). Una isometr´ıa de Rn es una funci´on f : Rn → Rn de la forma f (x) = Ax+a para alguna matriz ortogonal A ∈ On y alg´ un vector a ∈ Rn . Denotamos

´ 3.2. GRUPOS TOPOLOGICOS

53

O V A T O S N U G BIA U R

por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indica su nombre, una isometr´ıa f preserva distancias, esto es, d(f (x), f (y)) = d(x, y) para todo x, y ∈ Rn . De manera rec´ıproca, para cualquier funci´ on f : Rn → Rn que n preserva distancias existen A ∈ On y a ∈ R tal que f (x) = Ax + a para todo x ∈ Rn . El conjunto Isomn es un grupo con la composici´ on de funciones. Si no hacemos distinci´ on entre una matriz A ∈ On y la isometr´ıa correspondiente f (x) = Ax, entonces On ≤ Isomn (On puede ser mirado como un subgrupo de Isomn ) y definimos Ω : Isomn → On como Ω(f ) = A. Finalmente (hay que concluir este hermoso ejemplo) cada a ∈ Rn define una isometr´ıa Ta dada por Ta (x) = x + a y llamada una traslaci´ on. Las traslaciones forman un subgrupo T rasn abeliano y T rasn ≤ Isomn (exactamente T rasn = kernel(Ω)); tenemos, Isomn /T rasn ≈ On .

Espacios homog´ eneos

Recordemos que G/H := {gH : g ∈ G} = {Lg (H) : g ∈ G} donde Lg : G −→ G es la traslaci´ on a izquierda dada por Lg (x) = gx. Lg es biyecci´ on y es continua pues es compuesta de aplicaciones continuas Lg : G −→ G × G −→ G donde x 7−→ (g, x) 7−→ gx. Su inversa es la funci´ on L−1 que tambi´en es continua. Luego Lg es un g homeomorfismo. (Similarmente, las funciones Rg , traslaciones a derecha son homeomorfismos). Por tanto, el producto AU de un subconjunto A ⊆ GSpor un conjunto abierto U ⊆ G es abierto pues AU = {au|a ∈ A, u ∈ U } = {La (U )|a ∈ A}. (En particular, la multiplicaci´ on de grupo es una funci´ on abierta). Ejemplo 3.45. Si G = (R, +) entonces L5 (x) = 5 + x es la funci´ on que traslada todo en cinco unidades. Luego un grupo topol´ ogico tiene cierta “homogeneidad” como espacio topol´ ogico, pues si g, h ∈ G existe un homeomorfismo de G que enviag en h, Lhg−1 (g) = h; esto es, G exhibe la misma estructura topol´ ogica de manera local para cada punto.

54

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Definici´ on 3.46. Un espacio topol´ ogico X se llama homog´ eneo si para cada par de puntos x, y ∈ X existe un homeomorfismo f : X −→ X con f (x) = y (el espacio luce lo mismo cuando es visto desde cualquier punto).

Cada grupo topol´ ogico es homog´eneo (desde el punto de vista topol´ ogico).

Ejemplo 3.47. El intervalo I con su topolog´ıa usual no es homog´eneo, pues no existe homeomorfismo f tal que f (1/2) = 1. Por tanto I no es un grupo topol´ ogico. Por consiguiente, [0, 1] no puede ser un grupo topol´ ogico, pues independientemente de la multiplicaci´ on de grupo que se le ponga, no preserva la topolog´ıa usual.

N´ otese que en un grupo topol´ ogico las vecindades del elemento id´entico e ∈ G son lo suficientemente importantes como para darles un nombre: n´ ucleos. Como una topolog´ıa puede ser determinada dando para cada x ∈ X el conjunto V(x) de sus “futuras vecindades”, si X es homog´eneo, una base local para el punto e determina una base local para todo otro punto (v´ıa el homeomorfismo) y as´ı determina toda la topolog´ıa de X. Por tanto, dado el conjunto de las V(e), tenemos que V(g) = {Lg (N ) : N ∈ V(e)}. Algunos autores requieren en la definici´ on de grupo topol´ ogico que el espacio sea de Hausdorff con lo cual {e} es cerrado. Teorema 3.48. Sean G un grupo topol´ ogico y H E G (normal). Entonces G/H = {gH : g ∈ G} = {Lg(H) : g ∈ G} es un grupo topol´ ogico. “El cociente de un grupo topol´ ogico m´ odulo un subgrupo normal es un grupo topol´ ogico con la topolog´ıa cociente y el producto de coclases”. Demostraci´ on. Por el teorema 2.15 solo nos resta verificar la continuidad de las operaciones. Verifiquemos que la multiplicaci´ on G/H × G/H → G/H (inducida por la multiplicaci´ on m de G) en las clases es continua. Tomemos g0 H, g1 H ∈ G/H y (go H)(g1 H) ∈ V para V ⊆ G/H vecindad abierta de g0 g1 H y veamos que existen W0 , W1 vecindades de g0 H, g1 H respectivamente tales que W0 W1 ∈ V . Como m es continua, existen vecindades U0 , U1 de g0 , g1 respectivamente tales que U0 U1 ⊆ q −1 (V ) (para q : G → G/H). Entonces (recordando que q es una funci´ on abierta) definimos W0 = q(U0 ), W1 = q(U1 ). De manera similar se muestra que la funci´ on inversi´ on es continua.

´ 3.2. GRUPOS TOPOLOGICOS

55

O V A T O S N U G BIA U R

Corolario 3.49. q : G → G/H es abierta. En efecto, si U ⊆ G es un abierto, entonces q −1 (q(U )) = HU (la saturaci´ on de U ) es abierto en G y por tanto q(U ) es abierto por definici´ on de la topolog´ıa cociente. A ⊆ G se llama sim´etrico si A = A−1 = {x−1 : x ∈ A}.

Proposici´ on 3.50. Si Ue es una vecindad de e en el grupo topol´ ogico (G, m) entonces existe una vecindad abierta y sim´etrica Ve tal que V V = V V −1 ⊆ U y V ⊆ U.

Definici´ on 3.51. Homomorfismos entre grupos topol´ ogicos

Los homomorfismos entre grupos topol´ ogicos son funciones que preservan ambas estructuras: la topol´ ogica y la algebraica, as´ı: f : G −→ H es un homomorfismo (de grupos topol´ ogicos) si es tanto continua como homomorfismo de grupos.

Ejemplo 3.52. La aplicaci´ on (C − {0}, ·) −→ (R − {0}, ·) con z 7−→ |z| es un homomorfismo de grupos topol´ ogicos.

En los grupos topol´ ogicos un homomorfismo de grupo (solo a nivel algebraico) que sea continuo en el punto e, lo es en todo otro punto g ∈ G, y de esta manera es un morfismo entre grupos topol´ ogicos (solo hay que verificar la continuidad en el origen, lo cual es un gran ahorro de energ´ıa). Si f : G → H es un homomorfismo de grupos topol´ ogicos, tambi´en podemos traer a contexto un teorema de cocientes para grupos topol´ ogicos. Como f es un morfismo algebraico, ya sabemos que existe una u ´nica factorizaci´ on f - H G 6

q

i

?

G/Ker(f )

hf

- f (G)

y si miramos a f como una funci´ on en topolog´ıa, los espacios G/Ker(f ) y f (G) son grupos topol´ ogicos y f , q, i son homomorfismos de grupos topol´ ogicos. No podemos garantizar que hf sea un homeomorfismo a menos que f sea abierta. Para verificar la continuidad de un homomorfismo entre las estructuras algebraicas f : G → H es suficiente con mostrar continuidad en el punto

56

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

e de su dominio. Una bonita interacci´ on entre las estructuras algebraica y topol´ ogica.

3.2.1.

G-espacios y espacios ´ orbita

El grupo c´ıclico infinito con un u ´nico generador, es decir, Z puede ser visto como un grupo de homeomorfismos de R en R. En efecto, dado n ∈ Z, asociamos la traslaci´ on de R en R definida como Z × R −→ R, (n, x) 7−→ n + x, y si Z tiene la topolog´ıa discreta, esta funci´ on es continua. El grupo O(n) de matrices ortogonales se representa como transformaciones lineales de Rn en Rn . Si nos restringimos a S n−1 ellas son homeomorfismos (pues tienen inversa, preservan la distancia, preservan los vectores unitarios). La operaci´ on de matrices induce una funci´ on O(n) × S n−1 −→ S n−1 con (A, x) 7−→ Ax, la cual es continua (compatible con las topolog´ıas de O(n) y S n−1 , es decir la topolog´ıa en O(n) es admisible). Se dice entonces que O(n) “act´ ua” sobre la esfera S n−1 como un grupo de homeomorfismos.

Si G = Homeo(X, X) es el grupo de los homeomorfismos de un espacio topol´ ogico X con la operaci´ on de composici´ on, para cada g ∈ G la acci´ on (g, x) 7→ g(x) define una funci´ on G × X → X. Definici´ on 3.53. Un grupo topol´ ogico G act´ ua como un grupo de homeomorfismos sobre un espacio topol´ ogico X y decimos que X es un G–espacio si existe una funci´ on µ : G × X −→ X continua, (g, x) 7−→ g(x) tal que 1. Para cada elemento del grupo g ∈ G la restricci´ on µ|{g}×X = Lg induce un homeomorfismo en X notado como Lg ((g, x)) = g(x). 2. e(x) = x para todo x ∈ X (e es la identidad en G). 3. hg(x) = h(g(x)) para todo h, g ∈ G y x ∈ X. G×G×X

idG ×µ

- G×X µ

µ×idX

?

G×X

µ

? - X

´ 3.2. GRUPOS TOPOLOGICOS

57

O V A T O S N U G BIA U R

N´ otese que cada elemento g ∈ G “act´ ua” como si fuese un homeomorfismo g : X → X y la multiplicaci´ on se comporta entonces como la composici´ on de funciones, con lo cual los miembros de G deben ser homeomorfismos en X ya que como grupo G contiene los inversos de sus elementos; adem´ as, µ resulta ser una evaluaci´ on y se llama la acci´ on de G sobre X.

Algunos autores no exigen que el grupo G sea topol´ ogico y por tanto no requieren que la funci´ on µ sea continua, pero s´ı que lo sean las funciones Lg lo cual conlleva a que sean homeomorfismos. En cualquier caso, las condiciones en la definici´ on obligan a que el homomorfismo L : G −→ Homeo(X, X) donde g 7−→ Lg, Lg : X −→ X y Lg(x) := g(x)

sea un homomorfismo de grupos, esto es L(e) = idX por la condici´ on (2).

L(gh) = L(g) ◦ L(h) por la condici´ on (3).

Por la condici´ on (1) la imagen de L est´ a contenida en los homeomorfismos de X en X. Podemos definir ahora una relaci´ on de equivalencia ∼ sobre el G–espacio X como x ∼ y :⇔ g(x) = y para alg´ un g ∈ G. El espacio cociente X/ ∼ lo notamos X/G y, con la topolog´ıa cociente, es llamado el espacio cociente de X por G. Si X es un G–espacio, la funci´ on cociente q : X → X/G es una funci´ on abierta, pues para un abierto U ⊆ X tenemos que q −1 (q(U )) =

[

g(U )

g∈G

lo que es una uni´ on de abiertos pues cada Lg es un homeomorfismo. Si G es finito, entonces q es adem´ as cerrada. Podemos redefinir al espacio cociente. El conjunto O(x) := {gx | g ∈ G} de todas las posibles im´ agenes del punto x se llama la ´ orbita de x (el conjunto de elementos en X a los cuales x puede ser llevado por la acci´ on de

58

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

G). La colecci´ on de las ´ orbitas determinan una partici´ on para X inducida por la relaci´ on x ∼ y :⇔ y = g(x) para alg´ un g ∈ G.

Al espacio cociente X/ ∼= X/G lo llamamos el espacio ´ orbita. Dos elementos en X se identifican si ellos difieren por un homeomorfismo. De otra parte, dado un elemento (fijo) x ∈ X, el subconjunto Gx ⊆ G de elementos en G que dejan fijo a x, es decir Gx = {g ∈ G | gx = x} es un subgrupo topol´ ogico de G llamado el estabilizador de x.

Para un G−espacio X, decimos que G act´ ua de manera transitiva o que G es transitivo si para cada par de puntos x, y ∈ X existe un elemento g ∈ G que lleve x en g(x) = y(la ´ orbita de cualquier punto resulta ser todo el espacio). En este caso, todos los grupos de isotrop´ıa Gx resultan ser isomorfos entre s´ı, por medio de φ : Gx → Gy donde φ(k) = g−1 kg. En la construcci´ on de espacios recubridores ser´ au ´til la siguiente definici´ on. Definici´ on 3.54. La acci´ on de un grupo G sobre un espacio X es propiamente discontinua si para x ∈ existe una vecindad Vx tal que g(V Tx ) es disyunto de Vx para todo g 6= e. Esto es equivalente a decir que g1 (V Tx ) g2 (Vx ) = ∅ ara todo g1 , g2 ∈ G, pues de no ser as´ı se tendr´ıa g2−1 g1 (Vx ) Vx 6= ∅. Ejemplo 3.55. Los siguientes son ejemplos de acciones:

1. Sea X un espacio topol´ ogico y G = Homeo(X, X). µ : G × X → X con µ(f, x) = f (x). 2. Para el caso de Z y la acci´ on sobre R dada por µ : Z × R −→ R donde (n, x) 7−→ n + x, tenemos que dos puntos se identifican si difieren por un entero, luego R/Z = ([0, 1], 0 ∼ 1) donde el 0 es identificado con 1, es decir, tenemos a S 1 .

−3

−2

−1

0

x

1

2

3

4

5

3. Sean X ⊆ R2 con X = {(x, y) : −1/2 ≤ y ≤ 1/2} y G = Z. Para µ(n, (x, y)) = (x + n, ) − 1)n y) tenemos X/Z ≡ Cinta de M¨ obius.

59

´ 3.2. GRUPOS TOPOLOGICOS

O V A T O S N U G BIA U R

4. Sean G = Z × Z, X = R2 y consideremos la acci´ on (Z × Z) × R2 → R2 , ((m, n), (x, y)) 7→ (x + m, y + n). Entonces X/G ≈ Toro. Este ejemplo se puede generalizar con G = Zn , X = Rn y as´ı obtenemos a T n = S1 × · · · × S 1 n−veces. 3

2

1

0

-1

-2

-3

-3

-2

-1

0

1

2

3

5. Sea G = Z2 = ({−1, 1}, discreta) donde la estructura algebraica (como es usual) es la multiplicaci´on, y sea X = S n . Definimos la siguiente acci´ on para Z2 ×S n → S n con (±1, x) 7→ ±x. Entonces S n /Z2 ≈ RP n . 6. Sean G = Z con la topolog´ıa discreta y X = S n . La G–acci´on sobre X est´ a dada por nx = n + x. Entonces R/Z ≈ S 1 . 7. µ : O(n) × S n−1 con µ(A, x) = Ax determina una acci´on que es transitiva. La matriz A que lleva a x en y puede ser visualizada como una rotaci´ on de S n−1 alrededor de un eje perpendicular a x y y. La acci´ on de O(n) sobre S n−1 determina que O(x) es todo S n−1 para cualquier x. Dado x ∈ S n−1 construimos una base ortonormal con x como primer elemento (Proceso de Graham-Smith) y la matriz A cambio de base nos produce A(e1 ) = x para e1 = (1, 0, 0, ..., 0) el vector unitario can´ onico. Luego O(e1 ) = S n−1 . 8. Sea G = SO(2) (el grupo de rotaciones de R2 alrededor del origen) y X = S 2 , la acci´ on consiste en rotar la esfera alrededor del eje x3 , es decir, SO(2) x S 2 → S y g(x1 , x2 , x3 ) 7→ (g(x1 , x2 ), x3 ) para g : R2 → R2 .

60

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Las ´ orbitas son entonces las circunferencias de latitud (paralelas) y los dos polos. As´ı que S 2 /SO(2) ∼ = [−1, 1]. Demostraci´ on: Sea p3 : S 2 → [−1, 1] la proyecci´ on sobre el eje x3 (eje z usual). Como p3 es constante sobre cada ´ orbita, tenemos la funci´ on 2 inducida f3 : S /SO(2) → [−1, 1] y el diagrama indica que f3 es un homeomorfismo (de un compacto a un Hausdorff)

S2

q

Q p3 Q QQ s

- S 2 /SO(2) p f3 p p p p p pp +

[−1, 1]

 z

A partir del ejemplo anterior genere otro G-espacio ¿A qu´e es igual S n /SO(n)?

3.3.

Espacios de funciones

Si X, Y son dos espacios, recordemos la siguiente notaci´on para conjuntos: Y X = {f | f : X → Y } es el conjunto de todas las funciones del conjunto X al conjunto Y (no se requiere que sean espacios). C(X, Y ) = {f : X → Y | f es continua}. B(X, Y ) = {f : X → Y | f es acotada} en caso que Y sea metrizable. Homeo(X, Y ) = {f : X → Y | f es un homeomorfismo}. Q N´ otese que el conjunto Y X puede ser interpretado como el conjunto x∈X Yx donde Yx = Y para cada x ∈ X. Existen topolog´ıas naturales para los anteriores conjuntos de funciones y entonces los espacios ser´an llamados espacios de funciones.

61

3.3. ESPACIOS DE FUNCIONES

O V A T O S N U G BIA U R 3.3.1.

La topolog´ıa punto–abierto

Definici´ on 3.56. Sean X un conjunto y Y un espacio topol´ ogico. Dados un punto x ∈ X y U ⊆ Y un abierto, definimos S(x, U ) := {f ∈ Y X | f (x) ∈ U }.

La colecci´ on de conjuntos S(x, U ) forman una subbase para una topolog´ıa X sobre Y llamada topolog´ıa de la convergencia puntual (simple) o topolog´ıa punto–abierto o p.a.–topolog´ıa. Por tanto, un elemento B de la base es de la forma B=

n \

S(xi , Ui ).

i=1

Si f ∈ B, entonces para todo g ∈ B tenemos que g(xi ) y f (xi ) est´ an cercanos por Ui para finitos puntos xi ; as´ı, una vecindad es de la forma que muestra la figura 3.17. . ......... ... ... ... .......... .......... ......... .... ... ... ... ... ............. ........ ....... .. ........ . . . .. . . . . . . .... .... .... . ...... . . ....... ............................................. ......... .... .... .... .... ................. ........... ..... ...... ........... ........... ............ . ....... .... ....... ... ... ............... .... ........ .............. ... .... ......................................................................... . ...... ... .............................................. .... ... ... ... ................. ......... ... ...... ............... ............... ........ . ....... .... ................... ........... ... ....... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . ... ........ . . ... . . . . . . . ..................... . ..... ............................................................................... ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .. ... .... . . . ...... .... . . . . . . ...... ........... ...... ... . .... ............................................ ...... ..... ... ..... ..... ....... . .......................................... ...... ......... . . . .................................................. .... ................. . . . . . . . ... . . . ... . ..... ...... .......... . .. ..... ............. ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . .... . . . ........ ........ ............. ........ ..... ........... ........... .... .... .. ........... ... ..... ............................ ..... ................................................ .................................................. ..... ........ ..... ..... ..... . ....... ....... ... ... ... .... .... ...... ...... .... .... .... .... .... ...... .. ....... .... .... .... .... .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .. .. .. ..

◦.. ... ... ... ◦.

···

X1

X2

X3

···

Xi

... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .

Figura 3.17: Un elemento en la subbase de la topolog´ıa punto–abierto

N´ otese que si X fuera un espacio, para nada interviene la topolog´ıa de X; m´ as a´ un, X podr´ıa carecer de topolog´ıa, ´este simplemente indexa. Esta topolog´ıa punto–abierto no es m´ as que la definici´ on de la Q topolog´ıa producto de Tychonoff para el producto de espacios Y X = x∈X Yx y X . Si p : Y X → Y es la proyecci´ al espacio lo notamos Yp.a. on definida por x px (f ) = f (x), entonces la p.a.–topolog´ıa es la topolog´ıa m´ as peque˜ na para X Y que hace todas las proyecciones px , x ∈ X continuas. La siguiente afirmaci´ on nos dice c´ omo es la convergencia en este espacio de funciones (y justifica el otro nombre de convergencia puntual o convergencia simple).

62

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

X . Proposici´ on 3.57. Sea (fn ) una sucesi´ on en Yp.a.

fn → f si y s´ olo si fn (x) → f (x) para cada x ∈ X.

Demostraci´ on. Recu´erdese que en la topolog´ıa producto Tychonoff (xn ) → x si y s´ olo si pi (xn ) → pi (x) para cada ´ındice i (pi es la proyecci´ on).

Desafortunadamente esta topolog´ıa deja mucho que desear con respecto a la continuidad; es decir, una sucesi´ on de funciones continuas puede converger a una no continua, por ejemplo en R[0,1] , la sucesi´ on definida por fn (x) = xn converge a la( funci´ on no continua dada por 0 si x ∈ [0, 1) f (x) = 1 si x = 1.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

Esto es, el conjunto C(I, R) no es cerrado en adherente que no pertenece al conjunto.

0.2

RIp.a. ,

0.4

0.6

0.8

1

pues f es un punto

Si Y es adem´ as un espacio m´etrico Y = (Y, d), tenemos otra topolog´ıa metrizable para el conjunto Y X . Para definirla, consideremos a cambio de la m´etrica d en Y , la m´ etrica ¯ b) := min{1, d(a, b)} la cual es acotada; ahora, dadas dos equivalente d(a, funciones f, g ∈ Y X definimos ¯ (x), g(x)), ρ¯(f, g) := sup d(f x∈X

conocida como la m´ etrica uniforme sobre Y X y la topolog´ıa inducida como la topolog´ıa de la convergencia uniforme o sup–topolog´ıa. Es tal su utilidad, que algunas definiciones se dan tom´ andola con expl´ıcita referencia: “(fn ) converge uniformemente a f si y solo si l´ımn ρ¯(fn , f ) = 0”. Si nos restringimos al conjunto de las funciones acotadas B(X, Y ) := {f ∈ C(X, Y ) | f es acotada } podemos definir directamente a ρ¯ como ρ¯(f, g) := supx∈X d(f (x), g(x)). (Como en el caso que (Y, d) sea acotado o X sea compacto y Y sea metrizable).

3.3. ESPACIOS DE FUNCIONES

63

O V A T O S N U G BIA U R

Esta m´etrica tiene la bondad de hacer de Yρ¯X =(Y X , ρ¯) un espacio completo cuando (Y, d) es completo. Pero hay algo m´ as: si consideramos X C(X, Y ) ⊆ Yρ¯ , entonces Cρ¯(X, Y ) como subespacio tambi´en es completo. Lo mismo sucede para Bρ¯(X, Y ) := {f : X → Y | f es acotada} y la raz´ on es porque estos subconjuntos son cerrados en Yρ¯X . Por tanto tenemos el siguiente teorema. Teorema 3.58 (Teorema del l´ımite uniforme). Si (fn ) es una sucesi´ on en Cρ¯(X, Y ) y fn → f en el espacio Yρ¯X , entonces f ∈ Cρ¯(X, Y ).

La raz´ on del nombre m´ etrica uniforme es por lo siguiente. Si (fn ) es una sucesi´ on en Y X tal que fn → f , entonces fn → f de manera uniforme (uniformemente) en el sentido de la siguiente definici´ on, donde dado el  > 0, el entero N es “uniforme” para todos los puntos x.

Definici´ on 3.59. Dada fn : X → (Y, d) una sucesi´ on de funciones, decimos que (fn ) converge uniformemente a f : X → (Y, d) si dado  > 0 existe un entero N tal que d(fn (x), f (x)) <  para todo n > N y todo x ∈ X.

3.3.2.

La topolog´ıa compacto–abierto

¿C´ omo generalizar la topolog´ıa uniforme a fin de evitar la condici´ on de que Y sea metrizable? La respuesta es restringir el espacio de definici´ on Y X al subconjunto C(X, Y ). La siguiente es una topolog´ıa para C(X, Y ) que s´ı tiene en cuenta la topolog´ıa tanto en X como en Y , y adem´ as generaliza la topolog´ıa punto– abierto. La introduce Ralph H. Fox en 1945, [13]. N´ otese que los abiertos son de tama~ no m´ as peque˜ no que en la pa−topolog´ıa, la cual aumente por supuesto el tama˜ no de la topolog´ıa. La topolog´ıa resultante est´ a entonces entre la pa y la cu-topolog´ıas Definici´ on 3.60. Sean X, Y espacios topol´ ogicos. Dado K subespacio compacto de X compacto y U subconjunto abierto de Y , definimos S(K, U ) := {f ∈ C(X, Y ) : f (K) ⊆ U }. La colecci´ on {S(K, U )}K,U forma una subbase para una topolog´ıa sobre C(X, Y ) llamada la topolog´ıa compacto–abierto, la cual notamos como c.a.–topolog´ıa, o simplemente c.a., y al espacio lo notamos Cc.a. (X, Y ). Por ejemplo, si X es un espacio discreto formado por n puntos, entonces C(X, Y ) ≈ Y × · · · × Y (n veces).

64

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

A diferencia de la p.a.–topolog´ıa, donde en un elemento de la base est´ an todas las funciones que son “cercanas” a f para finitos puntos, ahora est´ an las funciones que son “cercanas” a f para todos los puntos en un conjunto compacto. Las anteriores topolog´ıas est´ an relacionadas de la manera siguiente: Dados espacios topol´ ogicos X, Y entonces en C(X, Y ), tenemos p.a.–topolog´ıa ⊆ c.a.–topolog´ıa. Dados un espacio topol´ ogico X y un espacio m´etrico (Y, d), tenemos p.a.–topolog´ıa ⊆ c.a.–topolog´ıa ⊆ convergencia uniforme. Si X es compacto de Hausdorff y Y = (Y, d), c.a.–topolog´ıa = convergencia uniforme.

Una de las razones para introducir toda la maquinaria anterior, es para garantizar el siguiente teorema, el cual nos asegura la continuidad de una funci´ on (y otras) muy especial: la restricci´ on a C(X, Y ) × X de la la evaluaci´ on e (ver teorema 3.63), definida como e : Y X × X → Y con e(f, x) = f (x).

Definici´ on 3.61. Sean X, Y espacios topol´ ogicos y F ⊆ C(X, Y ) Una topolog´ıa para F se dice que es admisible si la evaluaci´ on e : F × X → Y es continua. Teorema 3.62. La topolog´ıa c.o. (compacto–abierto) para C(X, Y ) es m´ as peque˜ na que cualquier otra topolog´ıa admisible para C(X, Y ). Demostraci´ on. Veamos que si la topolog´ıa J es admisible entonces c.o.⊆ J , es decir cada abierto en Cc.o. (X, Y ) es abierto en CJ (X, Y ). Para ello es suficiente mostrar que cada abierto subb´ asico S(K, U ) de la c.o. est´ a en J . Dado f ∈ S(K, U ) y k ∈ K, tenemos que como e : CJ (X, Y ) × X → Y es continua entonces para el punto e(f, k) = f (k) ∈ U existen vecindades Vfk de f en CJ (X, Y ) y Wk de k en X tales que e(Vfk × Wk ) ⊆ U . La colecci´ on {Wk }k∈K es un cubrimiento abierto del compacto K y por tanto la podemos reducir a una familia finita W1 , W2 , . . . , Wn tal que K ⊆ W1 ∪ · · · ∪ Wn . Sean Vf1 , . . . , Vfn las correspondientes vecindades de f (escogidas previamente) tales que e(Vfi × Wi ) ⊆ U , i = 1, . . . n.

3.3. ESPACIOS DE FUNCIONES

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O V A T O S N U G BIA U R

Si definimos Vf = Vf1 ∩ · · · ∩ Vfn , entonces Vf ⊆ S(K, U ) pues dados g ∈ Vf y k ∈ K tenemos que (g, k) ∈ Vf × Wi para alg´ un i con lo cual i g(k) = e(g, k) ∈ e(Vf × Wi ) ⊆ e(Vf × Wi ) ⊆ U , y como esto se tiene para cada k ∈ K, entonces g(K) ⊆ U . Por tanto S(K, U ) es reuni´ on de vecindades Vf en CJ (X, Y ), es decir, es abierto en CJ (X, Y ).

El teorema anterior se puede “mejorar” diciendo que la topolog´ıa c.a. es la m´ as peque˜ na de las admisibles si se demuestra que c.a. es en s´ı misma admisible (al menos sobre cierta clase de espacios). Teorema 3.63. Sea X un espacio Hausdorff y localmente compacto. Si en C(X, Y ) consideramos la c.a.–topolog´ıa, entonces la funci´ on evaluaci´ on e : C(X, Y ) × X → Y

dada por e(f, x) = f (x) es continua. (De manera m´ as general podemos escribir e:YX ×X →Y si nos restringimos al universo de las funciones continuas).

Demostraci´ on. Sea U ⊆ Y un abierto y veamos que e−1 (U ) tambi´en es un abierto (de hecho que es reuni´ on de vecindades abiertas). Tomemos (f, x) ∈ e−1 (U ); como e(f, x) = f (x) ∈ U y f es continua, existe una vecindad Wx ⊆ X tal que f (W ) ⊆ U . Como X es Hausdorff y localmente compacto, existe una vecindad abierta V para la cual V es compacta y x ∈ V ⊆ V ⊆ W . Por tanto, (f, x) ∈ U V ×V , el cual es un abierto en C(X, Y )×X. Veamos finalmente que U V × V ⊆ e−1 (U ). En efecto, si g ∈ U V y t ∈ V entonces g(t) ∈ U , es decir, e(g, t) ∈ U . La topolog´ıa compacto–abierto para C(X, Y ) hace que la funci´ on evaluaci´ on e sea continua en ambas variables f , x de manera simult´ anea, y la topolog´ıa compacto–abierta es la “mejor” (m´ as peque˜ na) de las topolog´ıas admisibles. De manera trivial la topolog´ıa discreta es admisible. Lema 3.64. Sean X, Y, Z espacios topol´ ogicos y en cada uno de los espacios de funciones consideremos la c.a.–topolog´ıa. Entonces la funci´ on composici´ on T : C(X, Y ) × C(Y, Z) → C(X, Z) dada por (f, g) 7→ g ◦ f es continua si Y es Hausdorff y localmente compacto.

66

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R 3.3.3.

¿Z X×Y ≈ (Z Y )X ?

Si X, Y, Z son conjuntos, es bien conocido que existe una biyecci´ on ϕ que establece la equivalencia entre los conjuntos de funciones Z X×Y ≡ (Z Y )X .

En efecto, ϕ : Z X×Y → (Z Y )X est´ a definida como ϕ(f )(x)(y) = f (x, y) y −1 su inversa ϕ (g)(x, y) = g(x)(y).

Por supuesto, tenemos una equivalencia an´ aloga si nos restringimos a los conjuntos de funciones continuas.

Definici´ on 3.65. Sean X, Y , Z espacios topol´ ogicos y f : X × Y → Z una funci´ on continua. La funci´ on inducida correspondiente es definida como F := ϕ(f ) : X → C(Y, Z) donde F (x)(y) := f (x, y)

o

F := ϕ(f ) : X → Z Y en el universo de las continuas.

Por supuesto, y de manera dual, dada F : X → C(Y, Z) existe

f := ϕ−1 (F ) : X × Y → Z dada por f (x, y) := F (x)(y).

La influencia de la topolog´ıa compacto–abierto es la siguiente. Teorema 3.66 (Fox). Si f : X × Y → Z es continua entonces tambi´en lo es la funci´ on inducida F : X → C(Y, Z) —F : X → Z Y — cuando C(Y, Z) tiene la c.o.–topolog´ıa. El rec´ıproco es cierto cuando X es Hausdorff y localmente compacto. Demostraci´ on. Sea f : X × Y → Z continua. Para mostrar la continuidad de F : X → C(Y, Z) es suficiente ver que para cada elemento S(K, U ) ⊆ C(Y, Z) de la subbase, el conjunto F −1 (S(K, U )) = {x ∈ X|f (K, x) ⊆ U } es abierto en X, y para ello es suficiente mostrar que ´el es vecindad de cada uno de sus puntos. Sea x ∈ F −1 (S(K, U )). Como f −1 (U ) es una vecindad abierta del compacto K × {x}, existen abiertos V ⊆ X, W ⊆ Y cuyo producto V × W satisface K × {x} ⊆ V × W ⊆ f −1 (U ). Para la rec´ıproca, notemos que F puede ser vista como la compuesta F ×id

e

Y X × Y −−−−−→ Z Y × Y −−→ Z

de dos funciones continuas.

3.4. CONEXIDAD

67

O V A T O S N U G BIA U R

´ Ejemplo 3.67 (homotop´ıas). Esta es la motivaci´ on para que en 1930 Hurewicks le formule la siguiente pregunta a Fox:

¿Es posible dar una topolog´ıa al espacio de funciones continuas Y X tal que h : X × [0, 1] → Y sea continua, si y solamente si, H : [0, 1] → Y X con H(t) = Ht tambi´en lo es?(Ver [5])

Dada una funci´ on f : X × [0, 1] → Y obtenemos la funci´ on inducida F : [0, 1] → C(X, Y ) con Ft : X → Y dada por Ft (x) = f (x, t). Una homotop´ıa entre las funciones f, g : X → Y es una funci´ on continua h : X × [0, 1] → Y tal que h(x, 0) = f (x) y h(x, 1) = g(x), para todo x ∈ X; esto es, una homotop´ıa es una familia de funciones Ht a un par´ ametro que es continua, H : [0, 1] → C(X, Y ). Luego una homotop´ıa no es m´ as que un camino en el espacio C(X, Y ) desde el punto f hasta el punto g.

Finalmente, y como consecuencia de la c.a.–topolog´ıa (para esto fue introducida), tenemos los dos homeomorfismos siguientes: Corolario 3.68. Sean X, Y, Z espacios topol´ ogicos tales que X y Y son Hausdorff y Y es localmente compacto. Entonces C(X, Y × Z) ≈ C(X, Y ) × C(X, Z) —Y × Z X ≈ Y X × Z X — Z X×Y ≈ (Z Y )X (si de funciones continuas se trata). Demostraci´ on. El u ´ltimo isomorfismo es v´ıa la funci´ on f 7→ ϕ(f ) = F .

3.4.

Conexidad

Algunos espacios topol´ ogicos como el intervalo unidad, la recta real, el toro, con las topolog´ıas usuales parecen que est´ an formados de una sola pieza o literalmente sus partes constituyentes no est´ an desconectadas o separadas, como sucede en contraste con subespacios en R2 como:

68

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

1. El constituido por dos segmentos de l´ınea que no se interceptan. 2. El complemento de una circunferencia en el plano, el cual resulta ser uni´ on disyunta de dos subespacios abiertos. 3. Dos globos en R3 .

Precisemos este concepto de conexidad y veamos que resulta ser de valor topol´ ogico; es decir, es un invariante. Definici´ on 3.69. Dado un espacio topol´ ogico (X, G), una separaci´ on para X la constituye un par A, B de subconjuntos no vac´ıos, abiertos y tales que A ∪ B = X y A ∩ B = ∅.

En la definici´ on anterior es equivalente el requerir que A, B sean ambos cerrados a cambio de abiertos, o que exista A ⊆ X no vac´ıo, abierto y cerrado (aberrado). Adem´ as, no es suficiente exigir solo que A, B sean disyuntos, pues todo espacio con m´ as de un punto ser´ıa trivialmente no conexo. Queremos que realmente A y B sean dos piezas separadas; esto es, que no hayan puntos de A adherentes a B o viceversa. Luego A debe estar contenida en B c , A ⊆ B c , y como A = B c , concluimos que A y B deben de ser ambos cerrados o, equivalentemente, ambos abiertos. Definici´ on 3.70. Un espacio topol´ ogico X es conexo si no existe una separaci´ on para X. Por supuesto un subespacio ser´a conexo si visto como espacio es conexo; claramente, la posible conexidad del subespacio u ´nicamente depende de ´el y no del espacio que lo contiene. Este concepto de conexidad es muy geom´etrico o visualizable, en oposici´on al concepto de compacidad. Adem´as, resulta curioso notar que su naturaleza es de car´acter negativo: niega la existencia de una separaci´ on. En la figura 3.18, (a) es una regi´on circular conexa y (b) es un subespacio de R2 formado por las circunferencias de centro el origen y radio 1 − 1/n, (n ∈ N) atadas por el segmento de recta [1/2, 1), y a este conjunto le agregamos S 1 . N´ otese que aunque esta u ´ltima figura es conexa, ella pareciera estar formada por dos partes disyuntas: las circunferencias atadas y la circunferencia exterior S 1 . Pareciera que requerimos de una noci´on de conexidad m´ as sutil (ver definici´on 3.79).

69

3.4. CONEXIDAD

O V A T O S N U G BIA U R .......................................... ............ . . . . . . . ................... ........ . ....... . . . . . . . . . ....... ...... . . . . . . . . . . ....... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . .... . . . . . . . . ................................ . . . . . . . ..... ...... . . . . . . . .. .. . . . . . . . . ........ ... . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . ..... ... . . . . . . . .. ... . . . . . . . .... ... . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . .... ..... . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . ... ... .... . . ... . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . ..... ... ... . . . . . . . . ..... .. . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . ... . . . . . . . . ....... ... . . . . . . . . . .... . . . . . . . . .................................. . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . .... ..... . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . ..... . ..... ...... . . . . . . . . . . . . . .......... ....... . . . . . . . . . . ....... ....... . . . . . . . . . ....... ......... . . . . . . ......... .............. . . . .............. ...............................

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(a)

(b)

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Figura 3.18: Conexos.

Por supuesto los espacios conexos abundan: (Rn , usual), (R, cof initos) y todo subespacio infinito de este u ´ltimo espacio. En el otro espectro, todo espacio no unitario con la topolog´ıa discreta es no-conexo, mientras que todo espacio con la topolog´ıa grosera es conexo.

La siguiente caracterizaci´ on para la conexidad en t´erminos de funciones continuas, aunque aparentemente no nos exprese directamente el concepto intuitivo de la conexidad, es u ´til y f´ acil de aplicar: un espacio topol´ ogico (X, G) es conexo si y s´ olo si toda funci´ on continua es constante f : X −→ {0, 1} (el espacio {0, 1} con la discreta). Es intuitivo que si a un subespacio conexo le agregamos parte de sus puntos adherentes seguimos teniendo conexidad (ver figura 3.18 (b) donde agregamos S 1 ). Este es el tema del siguiente teorema. Teorema 3.71. Sea A un subconjunto conexo de un espacio topol´ ogico (X, G). Si B es tal que A ⊆ B ⊆ A, entonces B es conexo. Teorema 3.72. Sea (X, G) un espacio topol´ ogico y A, B una separaci´ on de X. Si C es un subespacio conexo de X, entonces C ⊆ A ´ o C ⊆ B. Por supuesto la conexidad es respetada por las funciones continuas y por tanto es un invariante topol´ ogico. Con respecto a la uni´ on de conexos podemos afirmar que:

70

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Teorema 3.73. Si (X, G) es un espacio topol´ ogico y {Ci }, (i ∈ I) una familia de subconjuntos conexos de X con la propiedad que existe un ´ındice j ∈ I tal que para cada i ∈ I tenemos que Ci ∩ Cj 6= ∅, entonces C = ∪ Ci , (i ∈ I) es conexo.

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Aunque la intersecci´ on de dos espacios conexos no necesariamente es conexa —¿por qu´e?— s´ı lo es su producto cartesiano. Q Teorema 3.74. Sea X = Xi , (i ∈ I) un espacio producto con la topolog´ıa producto. Si cada espacio coordenado Xi es conexo entonces X es conexo. La siguiente aplicaci´ on de la conexidad es m´ as u ´til de lo que creemos.

Proposici´ on 3.75 (Funciones localmente constantes). Si X, Y son espacios con X conexo y f : X → Y es una funci´ on continua que es localmente constante (i.e., para cada x ∈ X existe una vecindad Vx para la cual f |Vx es constante), entonces f es constante sobre todo el dominio X.

Demostraci´ on. Si y = f (x) un punto en la imagen de f los conjuntos A = {x : f (x) = y} y B = {x : f (x) 6= y} son abiertos y complementarios por lo que se debe tener que B = ∅. Esta situaci´ on es frecuentemente aplicada al tipo Y = {falso, verdadero} de la manera siguiente. Sea X conexo y P una propiedad que pueden tener o no los puntos de X, y queremos probar que todos la tienen. Entonces es suficiente verificar los siguientes hechos: Existe al menos un punto que satisface a P . Si x la satisface, lo mismo sucede para todos los puntos suficientemente cercanos a x. Si x no la satisface, lo mismo sucede para todos los puntos suficientemente cercanos a x.

3.4. CONEXIDAD

71

O V A T O S N U G BIA U R 3.4.1.

Subespacios conexos maximales

Un espacio no conexo obviamente puede tener subespacios que s´ı son conexos (los pedazos); entre ´estos, vamos a analizar a aquellos que son maximales con respecto a la relaci´ on de inclusi´ on, los cuales nos brindan una manera natural de definir una partici´ on sobre el espacio topol´ ogico haciendo uso del concepto de conexidad. En otras palabras, vamos a definir una relaci´ on de equivalencia.

Definici´ on 3.76. Sean X un espacio topol´ ogico y A un subespacio de X. Decimos que A es una componente conexa de X o un subespacio conexo maximal en X si A es conexo y no es subconjunto propio de alg´ un otro subespacio conexo de X.

Como la adherencia de un conexo es de nuevo conexa, entonces las componentes son subconjuntos cerrados del espacio, y cada punto x ∈ X pertenece a una u ´nica componente: exactamente a la uni´ on de todos los conexos que contienen al punto x (el mayor subespacio conexo que contiene a x). Por todo lo anterior, el conjunto de las componentes conexas de un espacio X determinan una partici´ on ∼ sobre X: x ∼ y :⇔ ∃A ⊆ X conexo, con x, y ∈ A.

En el caso en que las componentes sean u ´nicamente conjuntos unitarios al espacio se le llama totalmente desconectado.

Ejemplo 3.77. Cada espacio discreto es totalmente desconectado, pero existen espacios totalmente desconectados que no son discretos; por ejemplo, X= {0} ∪ {1/n | n ∈ N} o X = Q como subespacios de (R, usual). Por supuesto todo espacio totalmente desconectado es T1 . M´ as a´ un, cualquier subconjunto contable de un espacio m´etrico, visto como subespacio es desconectado totalmente (y algunos no contables como los irracionales I ⊆ (R, usual)).

72

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R 3.5.

Caminos

La primera noci´ on de “conexidad” fue dada por K. Weierstrass en 1.880, la cual en el contexto de R2 intuitivamente significa lo siguiente: un conjunto M ⊆ R2 es conexo, si dos puntos cualesquiera de M pueden ser conectados por un camino que no se sale de M . Por ejemplo, el subespacio W conformado por la uni´ on de un disco y una circunferencia conc´entricos (ver figura) es no-conexo seg´ un este criterio, ya que todo “camino” que vaya del disco a la circunferencia tiene que pasar por “fuera” del conjunto W .

Claro que, en este ejemplo, el criterio de conexidad de Wierstrass y la definici´ on usual de conexidad que vimos en la secci´on anterior, coinciden; pero infortunadamente veremos que no siempre ´este es el caso.

Una part´ıcula que se mueve en el espacio durante cierto intervalo de tiempo describe un camino. Es conveniente asumir que el movimiento comienza en el tiempo t = 0 y continua hasta el momento de parar, digamos t = 1. Esta noci´ on de camino la generalizamos a espacios topol´ogicos de la manera siguiente.

Definici´ on 3.78. Dado un espacio topol´ogico X, un camino en X es una funci´ on continua f : [0, 1] −→ X. Si f (0) = a, f (1) = b, decimos que f es un camino desde a hasta b con punto inicial en a y punto final en b. Los caminos son u ´tiles para dar la otra noci´on de conexidad.

3.5.1.

Conexo por caminos

Definici´ on 3.79. Un espacio topol´ogico X es conexo por caminos si dados x, y ∈ X, existe un camino f con punto inicial en x y punto final en y —esto es, cada par de puntos en X pueden ser unidos por un camino—. Esta definici´ on es topol´ogica en el sentido que la imagen por una funci´on continua de un espacio conexo por caminos es conexa por caminos. Definici´ on 3.80 (multiplicaci´ on de caminos). Dado un espacio X, en el conjunto C([0, 1], X) (subconjunto de X I ) de los caminos sobre X, podemos introducir una operaci´on interna  as´ı: dados dos caminos f, g tales que f (1) = g(0), definimos otro camino f  g como

73

3.5. CAMINOS

O V A T O S N U G BIA U R

. . ................ . . ... ................... ... . . .................. . ................. ................ . ................ . . ............... . . . . . . . . . . . . . . ...... ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ....... ... . ............ ..... ............ ... . . . ......... . . ...... .................................................................................................... ..... . ....................... ..... . . . . ... . . .............. . ..... . . ... . ....... . ..... . . . . . . . ...... .. . . . ...... . . ..... . . . . . . . . . . . . .......... . . . .. . .. .. ... . . ..... . . . . . . . . . . . . . .... . . . ..... . . . .... . . . . . . . . ... . .. . .. . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . ........... . .. .. . .. . ....... ......... . . ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . ...... . . . ................................................ . ............. ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ ...... . . . ................................................ ............. ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. ..... . . . . . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ....... ............. ......... ................ .. . . .... ........... ........................... . ... . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . .............. . . . . ............. .. ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ...... ............. . . ....... ........ . ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .......... . . . . . . . . . . . . . ... ...................................................... . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

g

f

0•

•

•1

.............................................................•... ............... ............... ....•1

• 0

1 2

( f (2t) f  g(t) = g(2t − 1)

si 0 ≤ t ≤ 1/2 si 1/2 ≤ t ≤ 1.

(3.1)

Figura 3.19: f  g, los caminos se recorren a doble velocidad.

B´ asicamente, f  g consiste en poner un camino a continuaci´on del otro, pero para no gastar m´ as tiempo en el recorrido cada uno de los caminos se recorre ahora a doble velocidad como en la ecuaci´on 3.1 (f (2t) y g(2t − 1)).

f  g es una funci´ on continua, puesto que f (2t) y g(2t − 1) est´an definidas sobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1] y el conjunto donde coinciden es {1/2}, que es la intersecci´ on de los dos intervalos cerrados (para t = 1/2 1 tenemos f (2 · 2 ) = f (1) = g(0) = g(2 · 12 − 1)). La demostraci´on se basa en el siguiente hecho bien conocido de extender la continuidad. Teorema 3.81 (Teorema del pegamiento de funciones). Si A, B son subconjuntos cerrados del espacio X y existen funciones continuas f : A → Y , g : B → Y sobre un espacio Y tales que f y g coinciden sobre la intersecci´ on A ∩ B, entonces podemos extender la continuidad a una funci´ on H : A ∪ B → Y definida de manera natural como h(x) = f (x) si x ∈ A o h(x) = g(x) si x ∈ B. Si f es un camino desde a hasta b en X, entonces existe el camino inverso fr (el reverso de f ) desde b hasta a dado por fr (t) = f (1 − t); n´otese que fr tiene el mismo “lugar” de f , pero su direcci´on es la contraria. fr  f es entonces un camino cerrado —el punto inicial coincide con el punto final—. Por comodidad tambi´en notaremos fr = f r . Corolario 3.82. Un espacio topol´ ogico X es conexo por caminos si dado cualquier punto x ∈ X, entonces todo otro punto y ∈ X puede ser unido por un camino con x.

74

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

El concepto de conexidad por caminos es m´ as fuerte que el de conexidad e hist´ oricamente fue introducido primero, al fin y al cabo parece ser un concepto m´ as natural (K. Weierstrass, 1880). Teorema 3.83. Si X es conexo por caminos, entonces es conexo.

Demostraci´ on. Si existiera una separaci´ on U, V de X, para un camino f : [0, 1] → X que conecte un punto en U con un punto en V , tendr´ıamos que f −1 (U ), f −1 (V ) ser´ıa una separaci´ on de [0, 1]. La rec´ıproca del teorema anterior no es cierta; un espacio puede ser conexo y sin embargo tener puntos que no pueden ser conectados por un camino. Ejemplo 3.84 (La curva seno del top´ ologo). Un espacio que es conexo, pero no es conexo por caminos es la curva seno del top´ ologo (ver figura 3.20).

(0, 0)

( π1 , 0)

Figura 3.20: La curva seno del top´ ologo.

Esta curva es definida como la uni´on en R2 del grafo de la funci´on sen x1 , (0 < x ≤ π1 ) con el segmento de recta en el eje Y dado por los puntos {(0, y) | −1 < y < 1}. Es conexa (es la adherencia del grafo de una funci´on continua), pero no es conexa por caminos, puesto que no existe un camino que una al punto ( π1 , 0) con (0, 0). Si tal camino f existiera, f : [0, 1] −→ X con f (0) = ( π1 , 0), f (1) = (0, 0), al ser f ([0, 1]) conexo tenemos que f ([0, 1]) = X —¿por qu´e?—. Seleccionamos en [0, 1] una sucesi´on de puntos x1 < x2 < . . . con xn → 1 y adem´ as f (xn ) teniendo como segunda componente a 1, ´o −1 seg´ un que n sea par o impar. Por tanto f (xn ) no converge y f no ser´ıa continua.

3.5. CAMINOS

75

O V A T O S N U G BIA U R 3.5.2.

Componentes conexas por caminos

Es posible que un espacio X no sea conexo por caminos, pero una parte de ´el s´ı lo sea. La siguiente relaci´ on en X nos permite reconocer estas partes. xRy :⇔ existe un camino que conecta a x con y.

Esta relaci´ on es reflexiva (camino constante), sim´etrica (camino inverso) y transitiva (producto ); por tanto de equivalencia.

Para cada x ∈ X la clase Cx = [x] (el conjunto de puntos que pueden ser conectados a x) se llama la componente conexa por caminos para el punto x y la notamos Cx . Esta componente conexa por caminos es maximal, ya que si dos subconjuntos conexos por caminos se interceptan, entonces su uni´ on es tambi´en conexa por caminos. Como f (I) es conexo para cada camino f , [x] es la uni´ on de una familia de conjuntos conexos con un punto en com´ un, luego [x] es conexa. Las componentes conexas por caminos no tienen por qu´e ser las mismas componentes conexas; probablemente, las componentes conexas por caminos se acercan m´ as a la idea intuitiva de los pedazos que constituyen a X (por ejemplo en la curva seno del top´ ologo). Pero en el caso de los espacios localmente conexos por caminos ellas s´ı coinciden (ver la subsecci´ on 3.5.3).

Definici´ on 3.85. El conjunto de clases Cx = [x] (las componentes conexas por caminos) del espacio X lo notamos Π0 (X)4 . En el caso de la curva seno del top´ ologo (figura 3.20), tenemos dos clases de equivalencia: el segmento de recta vertical y el grafo de la funci´ on sen( x1 ). Evidentemente, X es conexo por caminos si Π0 (X) es un conjunto unitario. Si g : X −→ Y es continua, entonces un camino f de x a y en X induce el camino g ◦ f : I −→ Y de f (x) a f (y) en Y . Por tanto, tenemos una funci´ on inducida entre los espacios cociente Π0 (f ) : Π0 (X) → Π0 (Y ); dada por Π0 (f )([x]) := [f (x)]. Π0 tiene la bondad de preservar tanto la composici´ on de funciones como las identidades, es decir, Π0 (f ◦ g) = Π0 (f ) ◦ Π0 (g) y Π0 (1X ) = 1Π0 (X) . 4

La notaci´ on Π0 (X) en la cual 0 act´ ua como sub´ındice para la letra Π es el preludio de una sucesi´ on de conjuntos Πn (X) que iremos desarrollando a lo largo de este texto.



76

CAP´ITULO 3. TOPOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R X

f

- Y

q

g

- Z

q

?

Π0 (X)

Π0 (f )

?

- Π0 (Y )

q

? - Π0 (Z)

Π0 (g)

Si f es un homeomorfismo de X en Y entonces Π0 (f ) ◦ Π0 (f −1 ) = Π0 (f ◦ f −1 ) = Π0 (1X )

con lo cual Π0 (f ) es una biyecci´ on entre los conjuntos cociente, y por tanto el cardinal de estas clases de equivalencia se convierte en un invariante topol´ ogico de X; expl´ıcitamente, X no es homeomorfo con Y , si uno tiene m´ as pedazos que el otro. Todo espacio conexo por caminos es conexo, pero no todo espacio conexo es conexo por caminos. Para obtener una condici´ on, la cual garantice que los espacios conexos tambi´en sean conexos por caminos debemos hacer local nuestra definici´ on de conexos por caminos.

3.5.3.

Localmente conexo por caminos

La siguiente clase de espacios es el material que se va a utilizar en el cap´ıtulo 5. Definici´ on 3.86. Un espacio topol´ ogico X es localmente conexo por caminos o l.c.c. si dado x ∈ X y un abierto Ux existe una vecindad abierta Vx conexa por caminos con Vx ⊆ Ux . 

N´ otese que la condici´ on en esta definici´ on —como es usual cuando se usa la palabra local— es equivalente a exigir que la topolog´ıa en X tenga una base formada por abiertos que sean conexos por caminos, i.e. un SFV abiertas y conexas. Teorema 3.87. Si X es un espacio conexo y localmente por conexo por caminos, entonces X es conexo por caminos.

3.5. CAMINOS

77

O V A T O S N U G BIA U R Demostraci´ on. Veamos que un punto cualquiera x0 ∈ X se puede conectar con los dem´ as puntos del espacio, es decir, su componente Cx0 es todo X. Por la conexi´ on local Cx0 es un abierto. Pero tambi´en es un cerrado, pues si y ∈ Cx0 existe una vecindad conexa por caminos Vy ∩ Cx0 y por tanto podemos conectar a y con un punto en Cx0 y ´este con x0 . Como Cx0 es abierta y cerrada Cx0 = X.

Ejemplo 3.88. Podemos hacer de la curva seno del top´ ologo —figura 3.20— un espacio conexo por caminos, al unir el punto ( π1 , 0) con (0, 0) y formar la llamada circunferencia del top´ ologo, pero no obtenemos que sea localmente conexa por caminos, pues una vecindad alrededor del punto (0, 0) est´ a formada por infinitos segmentos de recta disyuntos dos a dos.

La imagen por una funci´ on continua de un espacio localmente conexo no es en general localmente conexa; de lo contrario, todo espacio topol´ ogico (X, G) ser´ıa localmente conexo, puesto que ´el es imagen del espacio (X, discreta) por medio de la funci´ on id´entica. El siguiente teorema nos da las condiciones necesarias. Teorema 3.89. Sean X, Y espacios con X localmente conexo y f : X −→ Y una funci´ on continua, cerrada y sobre. Entonces Y es localmente conexo. De lo anterior podemos concluir que la conexidad local es un invariante topol´ ogico. Por otra parte, si X es l.c.c., cada componente conexa abierta. Todo espacio euclidiano Rn es l.c.c. Para X = {0, 1, 2, . . .}, Y = {0, 1, 1/2, 1/3, . . .} demos la topolog´ıa de subespacios de (R, usual) respectivamente. La funci´ on f : X −→ Y definida por f (0) = 0, f (n) = 1/n es una biyecci´ on continua. Pero X es localmente conexo mientras que Y no lo es.

O V A T O S N U G BIA U R Cap´ıtulo 4

Homotop´ıa Contenido

4.1. Deformaciones continuas de funciones . . . . 4.2. Caminos hom´ otopos . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. El conjunto Π0 (Ω(X, x0 )) . . . . . . . . . . 4.2.2. Caminos hom´otopos rel {0, 1} . . . . . . . . 4.2.3. Clases de homotop´ıa . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Cambio del punto base . . . . . . . . . . . . . 4.2.5. Π1 (S 1 ), lo intuitivo . . . . . . . . . . . . . . 4.3. El Grupo fundamental y las funciones. . . . 4.3.1. Homomorfismos inducidos . . . . . . . . . . . 4.3.2. Retracciones y retractos . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Equivalencias para homotop´ıa . . . . . . . . . 4.3.4. Retractos por deformaci´on . . . . . . . . . . . 4.4. Teorema de Seifert—Van Kampen . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

72 77 . 77 . 79 . 81 . 88 . 90 100 . 100 . 104 . 110 . 113 122

Con este cap´ıtulo comenzamos el estudio de la topolog´ıa algebraica y, en esta primera parte introducimos con todo detalle al conjunto Π1 (X, x0 ) y probamos de manera exhaustiva (y gr´ afica) que posee una estructura algebraica de grupo.

4.1.

Deformaci´ on continua de una funci´ on

Dadas dos funciones continuas f, g : X → Y entre espacios topol´ ogicos, en esta secci´ on veremos qu´e significa deformar de manera continua a f en g. 78

´ CONTINUA DE UNA FUNCION ´ 4.1. DEFORMACION

79

O V A T O S N U G BIA U R

Definici´ on 4.1. Sean f, g : X → Y dos funciones continuas. Una homotop´ıa de f a g es una funci´ on continua H : X × [0, 1] → Y tal que H(x, 0) = f (x) y H(x, 1) = g(x) para cada x ∈ X. Las funciones f y g son llamadas hom´ otopas y las notamos como H : f ' g. Cambiemos la notaci´ on y, para cada x ∈ X, t ∈ I notemos H(x, t) como ht (x). Este cambio nos permite ver a H de una manera diferente: para cada t fijo, la f´ ormula x 7→ ht (x) define una funci´ on ht : X → Y de suerte que H = {ht }t puede ser mirada como familia de funciones continuas ht parametrizada por t ∈ I que conecta de manera continua a h0 = f con h1 = g, i.e., H es un camino de f a g en el espacio C(X, Y ).

La siguiente homotop´ıa, llamada lineal, ser´ a de uso reiterativo en este cap´ıtulo; por esta raz´ on y a manera de ejemplo daremos una demostraci´ on detallada de su continuidad. Ejemplo 4.2 (Homotop´ıa lineal). Sean X un espacio topol´ ogico cualquiera, Y ⊆ Rn y f, g : X −→ Y dos funciones continuas. Si para cada punto x ∈ X, las im´ agenes f (x) y g(x) pueden ser unidas por medio de un segmento de recta en Y entonces f ' g. Definimos la homotop´ıa lineal F : X × I −→ Y ⊆ Rn como F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x).

Durante esta homotop´ıa cada punto ft (x) viaja por el segmento —parametrizado— de l´ınea recta que une a f (x) con g(x); es decir, f va a g por medio de los segmentos de recta. Es inmediato que F (x, 0) = f (x) y F (x, 1) = g(x), luego solo nos resta verificar la continuidad de F . Sobre el conjunto producto X × [0, 1], la topolog´ıa dada es la topolog´ıa producto usual de Tychonoff; en otras palabras, los abiertos b´ asicos son de la forma W × (a, b) para W ⊆ X abierto y (a, b) en I. Dados (x, t) ∈ X × [0, 1] y Bξ (F (x, y)) encontremos una vecindad W con (x, t) ∈ W ⊆ X × [0, 1] tal que F (W ) ⊆ Bξ F (x, t). Para (x, t), (x1 , t1 ) ∈ X × [0, 1] se tiene que: F (x1 , t1 ) − F (x, t) = (t1 − t)(g(x1 ) − f (x1 ))

+ (1 − t)(f (x1 ) − f (x)) + t(g(x1 ) − g(x)),

80

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R luego

kF (x1 , t1 ) − F (x, t)k ≤ |t1 − t|kg(x1 ) − f (x1 )k

+ |1 − t|kf (x1 ) − f (x)k + |t|kg(x1 ) − g(x)k.

Por la continuidad de f y g, para este ξ existen vecindades U1 , U2 de x tales que: ξ x1 ∈ U1 : kf (x1 ) − f (x)k < , 3 ξ x1 ∈ U2 : kg(x1 ) − g(x)k < . 3

Por tanto para x1 ∈ U1 ∩ U2 tenemos:

kg(x1 ) − f (x1 )k ≤ kg(x1 ) − f (x)k + kf (x) − f (x1 )k

≤ kg(x1 ) − g(x)k + kg(x) − f (x)k + kf (x) − f (x1 )k ξ ξ ≤ + + kg(x) − f (x)k; 3 3

y si para δ =≤

ξ 3

+

ξ 3

+ kg(x) − f (x)k tomamos |t1 − t| <

kF (x1 , t1 ) − F (x, t)k ≤

ξ 3δ

entonces

ξ ξ ξ δ + |1 − t| + |t| < ξ. 3δ 3 3

Luego para (U1 ∩ U2 ) × (t − δ, t + δ) tenemos F ((U1 ∩ U2 ) × (t − δ, t + δ)) ⊆ Bξ (F (x, y)). La demostraci´ on anterior muestra de manera particular que, para un subespacio convexo Y ⊆ Rn , todas las funciones en Y son hom´ otopas. Proposici´ on 4.3. La relaci´ on de homotop´ıa es una relaci´ on de equivalencia en C(X, Y ). La clase de una funci´ on f la notaremos [f ] y la llamaremos la clase de homotop´ıa de f . Demostraci´ on. La reflexividad es evidente ya que f ' f por medio de la homotop´ıa ft = f, F (s, t) = f (s) para s, t ∈ [0, 1] (constante como camino). La simetr´ıa tambi´en se tiene puesto que si f0 ' f1 v´ıa ft , entonces f1 ∼ f0 v´ıa la homotop´ıa inversa f1−t , F r (s, t) = F (s, 1− t) (nos devolvemos en el tiempo).

81

´ CONTINUA DE UNA FUNCION ´ 4.1. DEFORMACION

O V A T O S N U G BIA U R

Finalmente es transitiva pues si f0 ' f1 v´ıa ft y si f1 = g0 y g0 ' g1 v´ıa gt entonces f0 ' g1 v´ıa la homotop´ıa ht que es igual a f2t para t ∈ [0, 1/2] y g2t−1 para [1/2, 1] ( 0 ≤ t ≤ 12 f2t ht = g2t−1 12 ≤ t ≤ 1. La funci´ on asociada H(s, t) = ht (s) es continua por el hecho elemental

I × [1/2, 1]

I × [0, 1/2]

F

G

(usado frecuentemente) de que una funci´on definida sobre la uni´on de los subconjuntos cerrados es continua si lo es cuando se restringe a cada uno de los subconjuntos cerrados y coincide en su definici´on sobre la intersecci´on de los conjuntos. Para el caso presente tenemos H(s, t) =

(

F (s, 2t) G(s, 2t − 1)

0 ≤ t ≤ 12 1 2 ≤t≤1

donde F y G son las funciones asociadas a las homotop´ıas ft y gt respectivamente. Como H es continua sobre [0, 1] × [0, 1/2] y sobre [0, 1] × [1/2, 1] ella es continua sobre todo [0, 1] × [0, 1] y adem´as para t = 12 , tenemos que las dos definiciones coinciden: H(s, 12 ) = F (s, 1) = f1 (s) = g0 (s) = G(s, 0). La definici´ on de homotop´ıa es una relaci´on de equivalencia en el conjunto C(X, Y ) de todas las funciones continuas de X en Y ; la partici´on asociada la notamos Π(X, Y ), o [X, Y ] := C(X, Y )/ ' y sus elementos son llamados clases de homotop´ıa (ver la secci´on 4.2.3). Por supuesto, la idea es que este nuevo conjunto sea m´as manejable —por ejemplo [R, R] es unitario— que el conjunto total C(X, Y ).

82

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R Homotop´ıa relativa

Existe una definici´ on m´ as general de homotop´ıa (homotop´ıa relativa), la cual presentamos s´ olo a manera de informaci´ on para el lector y con el fin de que no exista desconcierto si se consultan otros textos.

Definici´ on 4.4. Un par topol´ ogico es un par ordenado (X, A), donde X es un espacio topol´ ogico y A es un subespacio de X. Si (X, A) y (Y, B) son pares topol´ ogicos y f : X → Y es una funci´ on tal que f (A) ⊆ B escribimos f : (X, A) −→ (Y, B). N´ otese que la anterior definici´ on nos define una categor´ıa la cual notamos Toppares . Definici´ on 4.5. Sean (X, A), (Y, B) pares topol´ ogicos y f, g : (X, A) −→ (Y, B) funciones continuas. Decimos que f es hom´ otopa a g relativa a A si existe una funci´ on continua F : (X × I, A × I) → (Y, B) tal que: 1. F (x, 0) = f (x) para cada x ∈ X, 2. F (x, 1) = g(x) para cada x ∈ X,

3. F (a, t) = f (a) = g(a) para todo a ∈ A, todo t ∈ I. En particular se tiene que f |A = g|A y adem´ as F se mantiene “fija” sobre A, i.e. Ft |A = f |A para cada t ∈ I. Esta relaci´ on la notamos f ' g (rel A). La funci´ on F es llamada una homotop´ıa relativa a A entre f y g. Si A = ∅ estamos en el caso de la definici´ on 4.1. Si B = Y no hay restricci´ on sobre el codominio. La definici´ on 4.8 es el caso A = {0, 1} ⊆ I. Nuevamente podemos hacer la siguiente observaci´ on. Dada una homotop´ıa F : (X × I, A × I) → (Y, B) entre funciones f, g, para cada t ∈ I, definimos la funci´ on Ft : (X, A) → (Y, B) como Ft = F (x, t); as´ı F0 = f , F1 = g. Una homotop´ıa es una familia (a un par´ ametro) de funciones continuas Ft : (X, A) → (Y, B). Por supuesto la definici´ on de homotop´ıa relativa es m´ as exigente y por eso podemos tener funciones hom´ otopas que no lo son de manera relativa, ver ejemplo 4.10, donde f  g rel {0, 1}. Proposici´ on 4.6. La relaci´ on de homotop´ıa relativa a A es una relaci´ on de equivalencia en C((X, A), (Y, B)). La clase de una funci´ on f la notamos [f ] y se llama la clase de homotop´ıa de f relativa a A .

83

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

O V A T O S N U G BIA U R g(x) = F1 (x)

Ft (A) = f (A) = g(A) Ft2 (x)

t2

I

t1

Ft1 (x)

F

B

A

X

f (x) = F0 (x)

Y

Figura 4.1: Homotop´ıa (rel A).

Demostraci´ on. Seg´ un la proposici´ on 4.3 solo basta observar que si todas las funciones involucradas est´an de acuerdo sobre A, entonces las homotop´ıas ya definidas tambi´en son relativas a A. En particular, y casi que de manera excluyente, en este cap´ıtulo estaremos interesados (con todos los detalles) en el caso en que las funciones involucradas sean caminos cerrados (ver la secci´ on 4.2.2).

4.2.

Caminos hom´ otopos

Recordemos que dado un espacio topol´ ogico X y un punto x0 ∈ X al par (X, x0 ) lo llamamos un espacio punteado. Un camino cerrado o bucle en x0 es un camino f : [0, 1] −→ X tal que f (0) = x0 = f (1), es decir que f comienza y termina en x0 .

4.2.1.

El conjunto Π0 (Ω(X, x0 ))

El conjunto Ω(X, x0 ) es por definici´ on el conjunto de todos los caminos cerrados de X en x0 ; ´el es un subconjunto del espacio C([0, 1], X) de todos los caminos en X, y por tanto le podemos heredar la c.a.–topolog´ıa (compacto– abierto; ver definici´on 3.60) para tener as´ı una estructura topol´ ogica. Adem´as, hereda la operaci´on f  g de multiplicaci´ on de caminos (caminar a paso doble; ver definici´on 3.80) la cual es cerrada en Ω(X, x0 ) pues f  g es

84

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R un camino cerrado si f, g lo son. ( f (2t) f  g(t) = g(2t − 1)

si 0 ≤ t ≤ 1/2 si 1/2 ≤ t ≤ 1.

B´ asicamente, f g consiste en poner un camino a continuaci´ on del otro, pero para no gastar m´ as tiempo en el recorrido cada uno de los caminos se recorre ahora a doble velocidad f (2t) y g(2t−1).

(4.1)

f g

f  g es una funci´ on continua, puesto que f (2t) y g(2t − 1) est´an definidas sobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1], y el conjunto donde coinciden es {1/2}, que es la intersecci´on de los dos intervalos cerrados (para t = 1/2 tenemos f (2 · 12 ) = f (1) = x0 = g(0) = g(2 · 12 − 1)). La demostraci´on se basa en el teorema 3.81.

Si f es un camino cerrado, el camino inverso fr (t) = f (1 − t) consiste en desandar a f ; n´ otese que fr tiene el mismo “lugar” de f , pero su direcci´on es la contraria (por comodidad tambi´en notamos a fr como f r ). fr  f es entonces un camino cerrado. Proposici´ on 4.7. La multiplicaci´ on de caminos m : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) dada por m(f, g) := f  g, es continua. Demostraci´ on. Si (K, W ) es un abierto b´asico en Ω(X, x0 ), con K compacto en [0, 1] y W abierto en X, entonces f ∈ (K, W ) significa que f : [0, 1] → X con f (K) ⊆ W . Los conjuntos L y M definidos como L := 2(K ∩ [0, 1/2]) y M := 2(K ∩ [1/2, 1]) − 1 son subconjuntos compactos de [0, 1] y tenemos que m−1 (K, W ) = (L, W ) × (M, W ).

En otras palabras, m(f, g)(K) = f  g(K) ⊆ W si y solo si f (L) ⊆ W y g(M ) ⊆ W para (f, g) ∈ Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ). No solo hemos probado que m es continua sino que tambi´en es abierta.

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

85

O V A T O S N U G BIA U R

N´ otese que (Ω(X, x0 ), m) tiene una estructura de monoide “topol´ ogico”(una operaci´ on interna que es continua). Ciertamente no existe un eleentico, y por tanto no hay inversos, pues al multiplicar un camino  mento id´ cerrado f por el camino cx0 (constante en x0 ) aunque tengamos el mismo grafo las funciones son diferentes f 6= f  cx0 ; tampoco tenemos asociatividad, (f  g)  h 6= f  (g  h) donde la diferencia est´ a en las velocidades al recorrer tramos de la misma ruta. El lector debe describirse expl´ıcitamente las funciones f, f  cx0 , (f  g)  h, f  (g  h). Como el conjunto Ω(X, x0 ) tiene una estructura topol´ ogica, es entonces natural preguntarse por los caminos en ´el; es decir, por una funci´ on continua F : [0, 1] −→ Ω(X, x0 ).

F a su vez puede ser mirada como una familia parametrizada (funci´ on inducida) {ft }t∈[0,1] de caminos en X cerrados en x0 , donde el camino ft cambia de manera continua cuando t recorre a [0, 1]. Decimos que F representa una deformaci´ on continua del camino f0 = F (0) en el camino f1 = F (1).

Por tanto, una componente conexa por caminos de Ω(X, x0 ) es un conjunto de caminos cerrados en x0 , donde cada uno de ellos puede ser deformado de manera continua en cualquier otro de esa componente. De acuerdo con la definici´ on 3.85 denotamos por Π0 (Ω(X, x0 )) el conjunto de las componentes conexas por caminos de Ω(X, x0 ).

4.2.2.

Caminos hom´ otopos rel{0, 1}

El grupo fundamental de un espacio X sera definido en t´erminos de caminos cerrados y deformaciones continuas de caminos. Generalmente es u ´til considerar caminos m´ as generales (no necesariamente cerrados) y sus deformaciones, as´ı que comenzamos haciendo expl´ıcita esta ligera generalidad. Definici´ on 4.8. Una homotop´ıa de caminos rel{0, 1} en X es una familia de funciones ft : [0, 1] −→ X con 0 ≤ t ≤ 1 tal que 1. Los puntos finales de cada camino ft (0) = x0 y ft (1) = x1 son los mismos para todo t.



86

  CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R f1

x0

ft

x1

f0

2. La funci´on asociada F : [0, 1]×[0, 1] −→ X definida por F (s, t) = ft (s) es continua.

t

1

f1

ft

x1

x0

t

0

1

s

f0

Figura 4.2: Una homotop´ıa

N´otese que si fijamos un s ∈ I la funci´on restringida f s : [0, 1] −→ X dada por f s (t) = ft (s) es un camino que conecta a f0 (s) con f1 (s) y a f s se le llama un arco de deformaci´ on (ver figura 4.3).

t f1 (s)

1

ft (s)

t

0

x1

x0

s

1

s

f0 (s)

Figura 4.3: Un arco de deformaci´on de f0 (s) a f1 (s)

87

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

O V A T O S N U G BIA U R

Cuando dos caminos f0 y f1 en X son conectados por una homotop´ıa F = {ft }t∈I (como en la definici´ on 4.8), los llamamos equivalentes o hom´ otopos relativos a {0, 1} o simplemente hom´ otopos —a menos que se diga algo diferente siempre se entender´ a que entre caminos la homotop´ıa es relativa a {0, 1}— notamos f0 ' f1 ´ o F : f0 ' f1 (rel{0, 1}). La notaci´ on rel{0, 1} nos recuerda que la im´ agenes de los puntos 0, 1 no fueron movidas durante la deformaci´ on.

Ejemplo 4.9 (Homotop´ıas lineales). (Ver ejemplo 4.2) Dos caminos cualesquiera f, g ∈ Rn teniendo los mismos puntos extremos x0 y x1 fijos, son equivalentes v´ıa la homotop´ıa F : I × I −→ Rn con F (s, t) = ft (s) = (1 − t)f (s) + tg(s). Durante esta homotop´ıa cada punto f (s) viaja por el segmento (parametrizado) de l´ınea recta que une a f (s) con g(s). La continuidad de F se tiene por la continuidad de f y g, ya que las operaciones de suma de vectores y multiplicaci´ on por escalar en la f´ ormula de ft son continuas (luego la funci´ on asociada F es continua pues I es Hausdorff y localmente compacto).

La construcci´ on anterior muestra de manera m´ as general que, para un subespacio convexo Y ⊆ Rn , todos los caminos en Y con los mismos extremos son hom´ otopos.

Ejemplo 4.10. Si en R2 −{(0, 0)} trat´aramos de aplicar la t´ecnica anterior, ´esta no se tendr´ıa, pues los caminos f, g como en la gr´ afica no pueden ser deformados el uno en el otro de manera lineal (¡de hecho de ninguna manera!), es decir, f 6' g. Pero n´otese que g ' h.

4.2.3.

h

g

f

Clases de homotop´ıa

Corolario 4.11 (A la proposici´ on 4.6). Dado un espacio topol´ ogico X, la relaci´ on de homotop´ıa entre caminos con puntos extremos fijos es una

88

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

relaci´ on de equivalencia. La clase de un camino f la notaremos [f ] y la llamaremos la clase de homotop´ıa de f .

Producto de clases de homotop´ıa

Por supuesto, si queremos que el comportamiento de la relaci´ on de homotop´ıa sea adecuado para definir un producto de clases y sea adem´ as functorial debemos verificar dos hechos importantes. 1. Existe el producto de clases (proposici´ on 4.12). 2. El comportamiento es impecable respecto de la composici´ on de funciones (proposici´ on 4.13).

Recordemos que el producto  entre dos caminos no est´ a definido a menos que el punto final del primero coincida con el punto inicial del segundo. Lo interesante de esta operaci´ on es que es compatible con las clases de homotop´ıa.

Proposici´ on 4.12. Sean [f ], [g] las clases de homotop´ıa de f y g respectivamente, si el producto f  g est´ a definido entonces el producto de clases es definido como [f ]  [g] := [f  g]. Est´ a bien definido, i.e. no depende del representante de clase.

f1

f0

g1

g0

Figura 4.4: Producto de homotop´ıas.

Demostraci´ on. Queremos que si f0 ' f1 v´ıa F = {ft }, g0 ' g1 v´ıa G = {gt } y si el producto existe entonces f0 g0 ' f1 g1 v´ıa H = {ht } donde ht = ft gt . La idea es muy f´ acil: H sigue a F en la primera mitad del dominio, y a G

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

89

O V A T O S N U G BIA U R

para la segunda mitad, remedando la propia definici´ on de multiplicaci´ on de caminos: ( F (2s, t) si (s, t) ∈ [0, 12 ] × [0, 1], H(s, t) = G(2s − 1, t) si (s, t) ∈ [ 12 , 1] × [0, 1]. H es continua en cada una de las partes cerradas y la intersecci´ on ocurre 1 1 cuando s = 2 , y t es cualquiera. En este caso H( 2 , t) = F (1, t) = ft (1) por la primera parte de la definici´ on, y H( 12 , t) = G(0, t) = gt (0) por la segunda parte; pero como F y G son homotop´ıas, en estos valores coinciden por estar amarradas en los puntos iniciales y finales de los caminos (ver fig. 4.4). Por tanto, H est´ a bien definida y es continua. Por supuesto debemos verificar que efectivamente h0 = f0  g0 y h1 = f1  g1 .

= f0 (2s)

1 (para s ≤ ) 2 (F es homotop´ıa entre f0 y f1 )

= (f0  g0 )(s)

(definici´ on de ),

h0 (s) = H(s, 0) = F (2s, 0)

y tambi´en para s ≤ (f1  g1 )(s).

1 2

se tiene h1 (s) = H(s, 1) = F (2s, 1) = f1 (2s) =

Para 12 ≤ s ≤ 1 tenemos h0 (s) = H(s, 0) = G(2s − 1, 0) = g0 (2s − 1) = (f0  g0 )(s) y h1 (s) = H(s, 1) = G(2s − 1, 1) = g1 (2s − 1) = (f1  g1 )(s). Finalmente notemos que H preserva fijos los puntos extremos de los caminos. De manera general en la relaci´ on de homotop´ıa tenemos el siguiente teorema. Proposici´ on 4.13. Si f ' g : X → Y y h ' j : Y → Z, entonces (h ◦ f ) ' (j ◦ g) : X → Z. Demostraci´ on. Supongamos que F : X × [0, 1] → Y es una homotop´ıa de f a g y que H : Y × [0, 1] → Z lo es de h a j. Definimos G : X × [0, 1] → Z como G(s, t) = H(F (s, t), t). Por supuesto G(s, 0) = h(f (s)), G(s, 1) = j(g(s)). G es continua por ser la compuesta de las funciones continuas F ×id

H

X × [0, 1] −→ Y × [0, 1] −→ Z.

90

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Corolario 4.14. Si f ' g : X → Y v´ıa la homotop´ıa F y h : Y → Z, entonces (h ◦ f ) ' (h ◦ g) : X → Z

v´ıa la homotop´ıa h ◦ F .

El monoide Π1 (X, x0 )

De manera particular, si nos restringimos al conjunto Ω(X, x0 ) de caminos cerrados en el punto base x0 ∈ X del espacio punteado (X, x0 ), hemos visto hasta ahora que la operaci´ on [f ]  [g] = [f  g] produce una estructura algebraica de monoide (una operaci´ on interna) para el conjunto de todas las clases de equivalencia por homotop´ıa (ya veremos que tenemos mucho m´ as, tenemos toda una estructura de grupo, teorema 4.16). Este u ´ltimo monoide lo notamos Π1 (X, x0 ) := {[f ] : f ∈ Ω(X, x0 )}.

¿Por qu´e el ´ındice 1 en la notaci´ on Π1 (X, x0 )? Veremos posteriormente que Π1 (X, x0 ) es el primero de una sucesi´ on de grupos Πn (X, x0 ), llamados los grupos de homotop´ıa, los cuales ser´ an definidos de manera completamente an´ aloga, usando el cubo n−dimensional I n en lugar de I. Este grupo (´ındice 1) fue introducido en 1894 por Henri Poincar´e (1854–1912) y por eso algunas veces es llamado tambi´en el grupo de Poincar´e. La letra Π en su notaci´ on tambi´en es debida a Poincar´e.

Treinta a˜ nos despu´es los grupos de homotop´ıa superior (´ındices n ≥ 0) fueron definidos por Witold Hurewicz (1904–1956) en 1935. Recordemos que existe tambi´en la notaci´ on Π0 (X, x0 ) pero en general no es un grupo, es el conjunto de componentes conexas por caminos del espacio X. Aunque no existe una multiplicaci´ on natural en ´el, a menos que X sea equipado con estructuras adicionales especiales, existe una unidad natural, la componente conteniendo a x0 . Existe otra manera elegante de probar la homotop´ıa entre funciones: v´ıa la noci´ on de reparametrizaci´ on. Definici´ on 4.15. Por una reparametrizaci´ on de un camino f : [0, 1] −→ X entenderemos la composici´ on f ◦ α, con un camino α : [0, 1] −→ [0, 1] tal que α(0) = 0 y α(1) = 1 (su grafo est´ a en el cuadrado [0, 1] × [0, 1]). Esta composici´ on es de nuevo un camino cerrado si f as´ı lo era. B´ asicamente la diferencia entre f y f ◦ α es que cambia la “velocidad” o “ritmo”

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

91

O V A T O S N U G BIA U R

con que vamos dibujando el mismo grafo (ocupan el mismo lugar f´ısico) para ambos caminos. Cuando un camino se reparametriza se conserva su clase de homotop´ıa ya que f ◦ α ' f v´ıa la homotop´ıa H : [0, 1] × [0, 1] → X con ht = f ◦ αt donde αt (s) := (1 − t)α(s) + ts, con lo que α0 = α y α1 (s) = s; es decir, H(s, t) = f ((1 − t)α(s) + ts) con H(s, 0) = f (α0 (s)) = (f ◦ α)(s) y H(s, 1) = f (α1 (s)) = f (s). N´ otese que (1 − t)α(s) + ts est´ a entre α(s) y s y por tanto est´ a en [0, 1], con lo cual la compuesta f ◦ αt est´ a bien definida.

Teorema 4.16. Π1 (X, x0 ) es un grupo con la operaci´ on [f ]  [g] = [f  g]. Este grupo se llama el grupo fundamental del espacio X en el punto base x0 .

Demostraci´ on. Ya vimos con amplio detalle que el producto est´ a bien definido dado que los caminos son cerrados y no depende del representante de la clase, es decir, si f ' f 0 y g ' g0 entonces f  g ' f 0  g0 . Asociatividad. Dados los caminos f, g, h con f (1) = g(0) y g(1) = h(0) los productos f  (g  h) y (f  g)  h est´ an definidos por el uso repetido de la ecuaci´ on 4.1. El producto de caminos introduce cambios en la velocidad y lo que necesitamos es una homotop´ıa correctora que los controle.

El camino f  (g  h) es el resultado de componer primero g con h y luego componer con f . As´ı que, para 0 ≤ s ≤ 12 esta funci´ on vale f (2s). Para 1 ≤ s ≤ 1 esta funci´ o n vale (g  h)(2s − 1) el cual a su vez se descompone 2 1 1 en dos valores: para 0 ≤ 2s − 1 ≤ 2 , o lo que es igual 2 ≤ s ≤ 34 tenemos (g  h)(2s − 1) = g(2(2s − 1) − 1) = g(4s − 2), mientras que para 34 ≤ s ≤ 1 tenemos (g  h)(2s − 1) = h(2(2s − 1) − 1) = h(4s − 3). En resumidas tenemos que:   0 ≤ s ≤ 1/2 f (2s), f  (g  h)(s) = g(4s − 2), 1/2 ≤ s ≤ 3/4   h(4s − 3), 3/4 ≤ s ≤ 1. De manera similar podemos ver que:   f (4s), (f  g)  h(s) = g(4s − 1),   h(2s − 1),

0 ≤ s ≤ 1/4 1/4 ≤ s ≤ 1/2 1/2 ≤ s ≤ 1.

f  (g  h) es una reparametrizaci´ on de (f  g)  h por medio de la funci´ on lineal a trozos α : [0, 1] −→ [0, 1] donde

92

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R  1   2 s, α(s) = s − 14 ,   2s − 1,

s ∈ [0, 12 ]; s ∈ [ 12 , 34 ]; s ∈ [ 34 , 1].

Efectivamente,

 1 1 1  (f  g)  h( 2 s) = f (4 2 s) = f (2s), 0 ≤ s ≤ 2 lo que    coincide con 0 ≤ 12 s ≤ 14 , (f g)h(α(s)) = 1 3  g(4(s − 14 ) − 1) = g(4s − 2),  2 ≤s≤ 4   h(2(2s − 1) − 1) = h(4s − 3), 3 4 ≤ s ≤ 1. Lo que muestra que ((f g)h)◦α = f (g h) y, en definitiva, ambas funciones recorren f , luego g, y finalmente h, pero en diferentes velocidades durante el intervalo [0, 1], y por tanto la operaci´on en Π1 (X, x0 ) es asociativa.

Existencia del elemento neutro. Denotemos por cx0 el camino constante a x0 , es decir, cx0 (s) = x0 para todo 0 ≤ s ≤ 1.

El camino cx0  f es una reparametrizaci´on de f por medio del camino indicado por la primera figura en la gr´afica ( 0, s ∈ [0, 12 ], α(s) = 2s − 1, s ∈ [ 12 , 34 ].

cx0  f (s) = cx0 (2s) = x0 para s ∈ [0, 12 ] y cx0  f (s) = f (2s − 1) para s ∈ [ 12 , 1] con lo cual cx0  f = f ◦ α. Reparametrizando con el camino definido por la segunda figura de la gr´ afica, obtenemos f  cx0 ' f , es decir, [cx0 ]  [f ] = [f ]. Por tanto, [cx0 ] (la clase de homotop´ıa del camino constante a x0 ) es el elemento neutro de Π1 (X, x0 ). Existencia de inversos. Para un camino f cerrado en x0 , la clase del camino inverso f r ser´a tambi´en su inverso algebraico a izquierda, es decir, f r  f ' cx0 . Intuitivamente, si primero recorremos el camino f y a continuaci´ on desandamos los pasos, es como si hubi´esemos permanecido en el punto x0 , a la larga no nos desplazamos de x0 .

93

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

O V A T O S N U G BIA U R

Consideremos la homotop´ıa H definida en el momento t como un camino que comienza en x0 , va hasta el punto f (t) y permanece all´ı por un intervalo de tiempo luego del cual regresa a x0 por medio de f r . Una manera de describir la homotop´ıa H es utilizar la descomposici´ on del cuadrado [0, 1] × [0, 1] por medio de las l´ıneas t = 1 − 2s y t = 2s − 1 en una V–forma como lo muestra la figura. En el nivel [0, 1] × {t} definimos por medio del sector sombreado el tiempo durante el cual ht se detiene en f (t) (es decir la funci´ on se hace constante a f (t) en un intervalo de tiempo cada vez mayor), de suerte que cada vez se anda menos y se regresa al punto inicial x0 .

 r  f (2s), H(s, t) = f (t),   f (2s − 1),

t

fr

f

s

s ∈ [0, 1−t 2 ]; 1−t 1+t s ∈ [ 2 , 2 ]; s ∈ [ 1+t 2 , 1].

En la parte inferior del cuadrado obtenemos para t = 0 que el tiempo de permanencia en f (0) es [ 12 , 12 ] y tenemos h0 = f r  f mientras que para t = 1 la primera parte del intervalo correspondiente al recorrido de f r es [0, 0], es decir, no hay tal recorrido y de igual manera para f con lo que todo el tiempo transcurre en f (1) = x0 , es decir, h1 = cx0 . La demostraci´ on que f r tambi´en act´ ua como inverso a derecha es completamente similar. O si se prefiere, invocamos un hecho simple de la teor´ıa de grupos: “La existencia de identidad e inversos a izquierda, implica la existencia a derecha”.

Ejemplo 4.17. Para un subconjunto convexo X ⊆ Rn con punto base x0 ∈ X se tiene que Π1 (X, x0 ) = {0} (el grupo trivial con u ´nico elemento el neutro). En efecto, cualquier camino cerrado f es hom´ otopo al camino constante v´ıa ft (s) = (1−t)cx0 +tf (s) la homotop´ıa lineal, con lo cual, no existe sino una sola clase de equivalencia [cx0 ].

f

x0

94

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R 4.2.4.

Cambio del punto base

El grupo fundamental Π1 (X, x0 ) del espacio X fue definido con respecto al punto base x0 . Este grupo en general depende de esta elecci´ on. Como Π1 (X, x0 ) involucra a [x0 ] (la componente conexa por caminos en X del punto x0 ), podemos afirmar que Π1 (X, x0 ) = Π1 ([x0 ], x0 )

ya que todo camino en X cerrado en x0 debe tener toda su imagen en [x0 ] ⊆ X (la imagen continua de un espacio conexo es conexa). En otras palabras, para el c´ alculo del grupo fundamental con respecto a un punto base, es suficiente con estudiar el subespacio correspondiente a la componente conexa por caminos del punto base en cuesti´ on. Es menos obvio pero igualmente cierto que si el punto base cambia dentro de la misma componente conexa por caminos, el grupo fundamental permanece en la misma clase de grupos isomorfos. Por otra parte, si los puntos base pertenecen a diferentes componentes los grupos no tienen por qu´e guardar alguna relaci´ on.

Teorema 4.18. Si x1 ∈ [x0 ], entonces Π1 (X, x0 ) es isomorfo a Π1 (X, x1 ).

f

s x0

x1

Demostraci´ on. Sea s : I → X un camino de x0 a x1 y sea sr (s) = s(1 − s) el camino inverso de x1 a x0 . A cada camino f cerrado en x0 asociamos el camino sr  f  s, definido por (sr  f )  s ' sr  (f  s) con lo cual tenemos una funci´ on [f ] −→ [sr  f  s]. La funci´ on de traslaci´ on Ts : Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (X, x1 ) definida por Ts ([f ]) = [sr  f  s] y la funci´on Tsr : Π1 (X, x1 ) −→ Π1 (X, x0 ) con Tsr ([q]) = [s  q  sr ] est´an bien definidas y son homomorfismos ya que Ts [f  g] = [sr  f  g  s] = [sr  f  s  sr  g  s] = Ts [f ]  Ts [g]. (De manera similar para Tsr ). Adem´as, cada compuesta es la respectiva identidad, esto es, Ts (Tsr ([q])) = Ts [s  q  sr ] = [sr  s  q  sr  s] = [q] con lo que Ts  Tsr = idΠ1 (X,x1 ) y as´ı Ts es un isomorfismo de grupos.

95

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

O V A T O S N U G BIA U R

La lista siguiente resume las principales propiedades de la funci´ on Ts :

1. Ts es un homomorfismo de grupos,

Ts ([f ][g]) = Ts ([f ])Ts ([g]).

2. Si u es un camino conectando x0 con x1 y v es un camino conectando x1 con x2 entonces Tuv = Tv ◦ Tu . En otras palabras tenemos que el siguiente diagrama conmuta.

Π1 (X, x0 )

Tu

- Π1 (X, x1 )

Q Q Q Tuv Q Q s Q

Tv

?

Π1 (X, x2 )

3. Si dos caminos u y v son hom´ otopos entonces Tu = Tv . 4. Tcx0 = id : Π1 (X, x0 ) → Π1 (X, x0 ).

5. Tsr = Ts−1 . 6. Ts es un isomorfismo para cada camino s. 7. Para cada par de puntos x0 y x1 que pertenezcan a la misma componente conexa por caminos de X los grupos, Π1 (X, x0 ) y Π1 (X, x1 ) son isomorfos. Si X es conexo por caminos, [x0 ] = X y entonces Π1 (X, x0 ) es independiente (salvo isomorfismo) del punto base y por tanto la notaci´ on Π1 (X) es suficiente si no queremos distinguir entre grupos isomorfos. Un caso especial del isomorfismo Ts sucede cuando s ∈ Ω(X, x0 ), esto es, s es un camino cerrado en x0 . Entonces Ts : Π1 (X, x0 ) → Π1 (X, x0 ) es ahora un automorfismo que solo depende de la clase [s] en Π1 (X, x0 ). Como Ts ([v]) = [s]−1 [v][s] tenemos entonces un automorfismo interior de acuerdo con la definici´ on de los grupos (p´ agina 12). El conjunto de todos los automorfismos interiores Ts se reduce al automorfismo identidad si y solo si Π1 (X, x0 ) es abeliano.

96

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R Ejemplo 4.19. En el espacio X formado por la uni´ on de un disco cerrado y un anillo circular, los puntos bases x0 y x1 son fundamentales pues se trata de un espacio con dos componentes conexas por caminos; as´ı Π1 (X, x1 ) = {0}, mientras que de manera intuitiva para el camino cerrado f que bordea la circunferencia tenemos [f ] 6= [Cx0 ], puesto que f est´ a amarrado por los extremos a x0 y debe permanecer as´ı durante la homotop´ıa ya que tenemos homotop´ıa rel {0, 1}.

x1

f

x0

Definici´ on 4.20. Un espacio se dice simplemente conexo si es conexo por caminos y adem´as Π1 (X) = {0}. (Por el teorema 4.18 no importa cual punto sea usado como punto base.)

Ejemplo 4.21. De acuerdo con el ejemplo 4.9 todo espacio euclidiano Rn es simplemente conexo. Pero el solo hecho de tener como grupo fundamental al trivial, no es suficiente para ser simplemente conexo, es necesario que el espacio sea conexo por caminos; para el espacio X = {0, 1} con la topolog´ıa discreta tenemos Π1 (X, x0 ) = Π1 (X, x1 ) = {0} y no es un espacio simplemente conexo pues no es conexo por caminos. Las esferas punteadas S n − {q} (q es el polo norte) son simplemente conexas. Recu´erdese que la proyecci´ on estereogr´ afica es un homeomorfismo S n − {q} ≈ Rn , y por tanto podemos llevar un camino cerrado en S n − {q} a uno en Rn , entonces contraerlo a cx0 y devolverlo a la esfera.

4.2.5.

Π1 (S 1 ), lo intuitivo

Para demostrar que un espacio no tiene un grupo fundamental trivial es necesario encontrar caminos cerrados que no sean hom´ otopos, es decir, demostrar la no existencia de homotop´ıas entre estos dos caminos. La primera verdadera proposici´ on hasta aqu´ı, har´ a referencia a la circunferencia y ser´a establecer (realmente calcular) que Π1 (S 1 ) = Z. Las aplicaciones inmediatas de este hecho hacen parte del folclor de la teor´ıa de homotop´ıa. A cambio de utilizar (como es usual) un ca˜ n´ on para hacer esta demostraci´on (teor´ıa de espacios de recubrimiento), hemos preferido hacer una

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

97

O V A T O S N U G BIA U R

demostraci´ on a mano, a fin de continuar con el prop´ osito de tener demostraciones detalladas y motivadas.

Figura 4.5: Diferentes clases de caminos en S 1 .

La circunferencia S 1 es quiz´as uno de los ejemplos m´as intuitivos de un espacio que no es simplemente conexo, pues si tomamos como punto base x0 al punto (1, 0), el grupo Π1 (S 1 , x0 ) va a contener muchas clases de homotop´ıa; por ejemplo, un camino cerrado que da una vuelta, dif´ıcilmente (imposible) puede ser llevado al camino constante sin soltar una de las puntas, pues soltar una de las puntas es violar las condiciones de la homotop´ıa relativa H = {ht }t∈[0,1] que debe mantener los extremos de cada camino ht atado a sus extremos.

En la figura 4.5 dibujamos varias clases de caminos un poco separados de la circunferencia para poderlos visualizar. El primero da una vuelta, el segundo dos vueltas, el tercero no completa una vuelta y finalmente tenemos uno que anda en el sentido contrario de los dem´as. Si un camino cerrado f : [0, 1] −→ S 1 no es sobreyectivo (no da al menos una vuelta) es hom´ otopo–nulo, es decir, hom´otopo al camino constante. En efecto, si x 6∈ im(f ), entonces S 1 − {x} es homeomorfo a (0, 1) en el cual todo camino es hom´ otopo al camino constante (homotop´ıa lineal en convexo). Si el camino f : [0, 1] −→ S 1 es sobreyectivo entonces contamos el n´ umero de vueltas (y el sentido), ¿pero c´omo hacerlo? Este es el papel del punto base (0, 1) y la principal dificultad en la demostraci´on. Identifiquemos a S 1 con el c´ırculo unitario en el plano complejo y sea p : R −→ S 1 la funci´ on exponencial p(t) := e(2πit) = (cos 2πt, sen 2πt). Todos los n´ umeros enteros son identificados con el punto 1 = (1, 0) por la funci´ on exponencial, y escogemos este punto como el punto base.

98

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

R

p

S1

Figura 4.6: R sobre S 1 .

Cada intervalo unitario [0, 1], [1, 2], . . . , [n, n + 1], . . . da una vuelta alrededor de S 1 . Esta funci´on puede ser visualizada como: se “sumerge” a R en R3 pero en forma de h´elice (o escalera en caracol) por medio de la parametrizaci´ on t 7→ (cos 2πt, sen 2πt, t) con lo que p es la restricci´on a la h´elice de la proyecci´ on R3 −→ R2 dada por (x, y, z) 7−→ (x, y) (la funci´on p enrrolla a R alrededor de S 1 un n´ umero infinito de veces). Para cada n ∈ Z definimos el camino cerrado ωn : [0, 1] −→ S 1 como

R

ωn (t) := p(nt) = (cos 2πnt, sen 2πnt). ωn es la compuesta p ◦ ω en donde ω en (t) = nt es el camino que comienza en 0 y termina en n (estira a [0, 1] n–veces).

ω en

[0, 1]

 p

? - S1

ωn

El efecto de p ◦ ω en es enrollar al intervalo [0, 1] n-veces alrededor de la circunferencia en sentido contrario de las manecillas del reloj si n es positivo, o en el sentido de las manecillas del reloj si n es negativo. La relaci´ on ωn = p◦ ω en se expresa diciendo que ω en es un levantamiento de ωn (o que levanta a ωn ).

De manera m´ as general, si p : X → B y f : A → B son funciones cualesquiera, una funci´on g : A → X tal que p ◦ g = f se llama un levantamiento de f . Una gran cantidad de problemas topol´ogicos —algunos de ellos ya resueltos y ahora llamados teoremas— pueden ser planteados en t´erminos de existencia de levantamientos, problemas de levantamiento.

X 

g

A

f

p

? - B

99

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

O V A T O S N U G BIA U R 2

1 0

Figura 4.7: Las dos vueltas de ω2 en S 1 se convierten en dos pasos del espiral R.

N´otese que, ωn (0) = p(0) = (1, 0) y ωn (1) = p(1) = (1, 0) con lo que ωn es un camino cerrado con punto base (1, 0), y as´ı define un elemento [ωn ] ∈ Π1 (S 1 ). El objetivo ser´ a utilizar este hecho
para mostrar la existencia de un isomorfismo de grupos φ : Π S 1 , (1, 0) −→ Z. Por supuesto esto requerir´ a toda la energ´ıa siguiente de definiciones, lemas y teoremas.

La propiedad especial de la funci´on proyecci´on p : R −→ S 1 que utilizaremos es la siguiente. U2 Sea {U1 , U2 } el cubrimiento abierto de S 1 dado por U1 = S 1 − {(−1, 0)}, U2 = S 1 − {(1, 0)} el cual notamos de manera general como {Ui }i∈I . El conjunto p−1 (U1 ) ⊆ R consiste de la uni´o
n disyunta de infinitos intervalos n − 12 , n + 12 , (n ∈ Z), y la restricci´ on de p sobre uno cualquiera de ellos   1 1 ≈ p (n− 1 ,n+ 1 ) : n − , n + − → U1 2 2 2 2

U1

es un homeomorfismo local de un intervalo abierto de longitud 1 a un arco de circunferencia abierto de longitud 2π. S De manera similar sucede que p−1 (U2 ) = n∈Z (n, n + 1) es una uni´ on de conjuntos abiertos disyuntos, cada uno de ellos homeomorfo a U2 . La estrategia en la demostraci´ on ser´ a la siguiente: dado un camino en cerrado en el punto base, subdividimos el intervalo [0, 1] en segmentos 0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1 de tal manera que la imagen de cada segmento S1

100

     CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R p−1 (U1 ) = · · ·

n−

|

-2

1 2

|

|

|

|

-1

0

1

2

n+

···

1 2

est´e en U1 ´o U2 , y entonces levantamos a cada uno de estos segmentos a la parte en R correspondiente en p−1 (U1 ) ´ o p−1 (U2 ) por medio del homeomorfismo local. Luego, se debe tener cuidado a fin de que el punto final de un segmento pegue correctamente con el punto inicial del levantamiento del segmento siguiente (ver figura 4.8). La construcci´on har´ a uso del siguiente hecho sobre cubrimientos en espacios m´etricos compactos.

Lema 4.22 (Lema de Lebesgue). Sean f : X → Y es una funci´ on continua de un espacio m´etrico compacto X a un espacio topol´ ogico Y y U es un cubrimiento abierto de Y . Entonces existe un n´ umero δ > 0 tal que para cualquier A ⊆ X con diam(A)< δ la imagen f (A) est´ a contenida en alg´ un elemento de U. El siguiente teorema garantiza unicidad a fin de tener futuras “buenas”definiciones, como la de la funci´ on grado (p´ agina 103).

Teorema 4.23 (Levantamiento u ´ nico de ca1 minos). Si f es un camino en S que comienza en (1, 0), existe un u ´nico fe en R que comienza en 0 y satisface p ◦ fe = f .

R 

fe

[0, 1]

p f

? - S1

Demostraci´ on. (Por inducci´ on en la definici´ on de fe). Se puede pensar en e f como si se cortara al camino f por el punto base y se desenrollar´ a hacia arriba en R (ver figura 4.7). Aunque no podemos escribir fe = p−1 ◦ f porque p no es inyectiva, si lo podemos hacer en los intervalos donde ten´ıamos homeomorfismo local y este es el hecho con el cual levantaremos peque˜ nos trozos [ti , ti+1 ] de [0, 1].

101

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

O V A T O S N U G BIA U R

 

Dado que [0, 1] es compacto, por el lema de Lebesgue aplicado al cubrimiento {f −1 (U1 ), f −1 (U2 )} de [0, 1], existen puntos 0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1 tales que para cada [ti , ti+1 ] se tiene f ([ti , ti+1 ]) ⊆ U1 ´ o f ([ti , ti+1 ]) ⊆ U2 , es decir, [ti , ti+1 ] est´ a en f −1 (U1 ) ´ o f −1 (U2 ).

fe

f

0

t1

1

p |−1

Figura 4.8: Paso inicial en el proceso de levantamiento

Primero definimos fe en el intervalo [0, t1 ]; como f comienza en f (0)
= (1, 0) entonces f ([0, t1 ]) ⊆ U1 y adem´ as la restricci´ on p |(− 1 , 1 ) : − 12 , 12 −→ 2 2

U1 es un homeomorfismo local con inversa p |−1 1 1 . Definimos (− 2 , 2 ) −1

p| f fe : [0, t1 ] − → U1 ⊆ S 1 − −− → R como fe(s) := p |−1 (f (s)), (− 12 , 12 )

para 0 ≤ s ≤ t1 , es decir, fe := p |−1 ◦f . (− 12 , 12 )

Como hip´ otesis de inducci´ on (sobre k) suponemos que fe ya est´ a definida sobre [0, tk ] y veamos que podemos extender la definici´ on a [tk , tk+1 ] (esto es, sobre [t0 , tk+1 ]). El punto f (tk ) est´a en U1 ´o en U2 . Si f
([tk , tk+1 ]) ⊆ U1 y si el punto inicial del levantamiento fe(tk ) ∈ n − 12 , n + 12 , entonces para el homeomorfismo
≈ p |(n− 1 ,n+ 1 ) : n − 12 , n + 12 − → U1 consideramos su inversa p |−1 y (n− 12 ,n+ 12 ) 2 2 definimos fe(s) := p |−1 1 ◦f (s) para s ∈ [tk , tk+1 ]. (n− 2 ,n+ 12 )

102

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

La funci´ on queda “bien” pegada, esto es, es continua por el teorema de pegamiento de funciones. Si por el contrario se tuviera que f ([tk , tk+1 ]) ⊆ U2 entonces fe(tk ) ∈ (n, n + 1) para alg´ un n y definir´ıamos fe(s) := p |−1 (n,n+1) ◦f (s) para s ∈ [tk , tk+1 ].

Con lo anterior, hemos completado la definici´ on inductiva de fe. N´ otese e que una vez hemos definido a f sobre [0, tk ], existe una u ´ nica manera de extendernos sobre [0, tk+1 ] y por tanto la unicidad de fe est´ a garantizada. Se puede demostrar de manera m´ as general que:

Lema 4.24. Si X es un espacio conexo y fe, ge : X → R son funciones tales que p ◦ fe = p ◦ ge y existe al menos un punto x0 ∈ X sobre el cual coinciden fe(x0 ) = e g(x0 ) entonces las funciones se igualan en toda parte, esto es, fe = ge.

Demostraci´ on. Si definimos h = fe − ge, entonces

p ◦ fe(t) e p ◦ h(t) = p ◦ (fe(t) − ge(t)) = e2πi(f (t)−eg (t)) = = (1, 0) p ◦ ge(t)

es la funci´ on constante al punto (1, 0) ∈ S 1 y por tanto h es una funci´ on continua que solo puede tomar valores enteros; como X es conexo entonces h es constante y como h(x0 ) = 0 entonces h(x) = 0 para todo x ∈ X, con lo cual fe = e g. El teorema 4.23 puede ser enunciado de una manera m´ as general. Si f es 1 1 un camino en S , el cual comienza en el punto q ∈ S , podemos encontrar un u ´nico camino fe en R para el cual p ◦ fe = f y que comience en cualquier punto preasignado de p−1 (q). Esto termina la demostraci´ on del teorema 4.23.

103

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

O V A T O S N U G BIA U R N´ otese que, como (p ◦ fe)(1) = f (1) = (1, 0) entonces entero (mide el n´ umero de veces que f se envuelve as´ı definir finalmente la funci´ on φ llamada la funci´ on
φ : Π1 S 1 , (1, 0) −→ Z

fe(1) es un n´ umero en S 1 ) y podemos grado

como φ([f ]) = fe(1) donde fe es el u ´nico levantamiento p ◦ fe = f de f que comienza en 0. Este isomorfismo φ viene dado por el n´ umero de “vueltas” que el camino f da en S 1 , el cual coincide con el punto fe(1) al que se llega al desenrollar en R.

φ est´ a bien definida (no depende del camino que represente a la clase): Si g ∈ [f ] por los levantamientos fe y ge tenemos fe(1) = e g(1).

Para mostrar este hecho necesitamos de la propiedad de homotop´ıas dada por el siguiente teorema, la cual nos garantiza que podemos levantar una homotop´ıa y de una u ´nica manera.

Teorema 4.25 (Levantamiento u ´ nico de 1 homotop´ıas de caminos en S cerrados en (0, 1)). Sean f, g dos caminos en S 1 cerrados en (0, 1) y hom´ otopos F : f ' g rel{0, 1}. Entonces existe un u ´nico levantamiento Fe : I × I −→ R tal que Fe es una homotop´ıa con p ◦ Fe = F y Fe(0, t) = 0 para todo t ∈ I. (Todos los caminos Fet se comienzan a levantar en el punto 0 y Fe(1 × I) es unitario).

R

 3  p    ? F[0, 1] × [0, 1] S1 Fe

Demostraci´ on. La construcci´ on del levantamiento sigue una rutina similar al caso anterior de levantamiento de caminos, y se basa en la observaci´ on de que para cada s, t ∈ I las restricciones F |{s}×I , F |I×{t} son esencialmente caminos en S 1 cerrados en (1, 0). Consideremos nuestro cubrimiento abierto can´ onico U = {U1 , U2 } de S 1 , −1 luego F (U) es un cubrimiento abierto de I × I y sea δ > 0 su n´ umero de Lebesgue, con lo cual la imagen por F de un cuadrado de lado δ est´ a contenida en U1 ´ o U2 . (Hemos construido una ret´ıcula para [0, 1] × [0, 1] ver figura 4.9). Por el teorema 4.23 (levantamiento u ´nico de caminos) podemos levantar primero la l´ınea horizontal inferior I × {0} (correspondiente al camino fe) y a continuaci´ on las l´ıneas verticales {nδ} × I ya que los puntos iniciales de

104

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R t 1

|

δ

|

nδ 1 s

estos caminos son conocidos al conocer fe.

Para levantar toda la regi´ on [0, δ] × [0, δ] notemos que F ([0, δ] × [0, δ]) ⊆ U1 y la parte de F ya levantada (t) corresponde a Q = {0} × [0, δ] ∪ [0, δ] × {0} ∪ {δ} × [0, δ]

(los lados del cuadrado exceptuando al de arriba) y adem´ as se tiene Fe(Q) ⊆
1 1 −1 e e p (Ui ); luego F (Q) ⊆ − 2 , 2 puesto que F es continua, Q es conexo y Fe((0, 0)) = 0 (fe0 (0) = 0). Utilizando el homeomorfismo local p

−1

|(− 1 , 1 ) : 2 2



1 1 − , 2 2



−→ U1

la composici´on Fe(s, t) = p−1 |(− 1 , 1 ) ◦F (s, t) garantiza que podemos extender 2 2 Fe a todo (s, t) ∈ [0, δ] × [0, δ].

1 nδ

δ δ 2δ

nδ 1

Figura 4.9: Pasos iniciales en el levantamiento de una homotop´ıa.

Continuamos de la misma manera (inductiva) con los cuadrados de la primera fila y luego comenzamos de nuevo con los cuadrados de la segunda

´ 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS

O V A T O S N U G BIA U R

105

fila. N´ otese, que en cada paso la funci´ on Fe ya definida es continua (pegamiento de funciones) y que con un n´ umero finito de pasos agotamos a I × I. La unicidad se sigue del hecho de que cada Fe |{nδ}×I es u ´nica, de hecho, e e una vez el valor de F en (0, 0) es definido, toda F es determinada completamente.

Como p ◦ Fe = F y Fe0 = fe donde Fe0 (s) = fe(s), sabemos que Fe(0, t) e y F (1, t) pertenecen a p−1 ((1, 0)) para todo t –p−1 ((1, 0)) es un conjunto discreto, exactamente Z– luego todo el camino Fe ({0} × I) va al mismo punto 0 ya que Fe(s, 0) = fe0 (s) = fe1 (s) = e g(0) = 0. Como el camino {1} × I es conexo, as´ı lo es su imagen Fe ({1} × I) = fe(1). Continuemos la demostraci´ on de la buena definici´ on de φ:

Adem´ as, como p ◦ Fe0 = F0 = f y p ◦ Fe1 = F1 = g tenemos que Fe0 = fe y Fe1 = e g (levantamiento u ´nico de caminos) y por tanto fe(1) = Fe(0, 1) = Fe(1, 1) = ge(1).

(4.2)

Lazos hom´ otopos tienen levantamientos hom´ otopos y, por tanto, con los mismos extremos.
φ es un homomorfismo de grupos. Si [f ], [g] ∈ Π S 1 , (1, 0) , veamos que φ([f ][g]) = φ([f ]) + φ([g]). Sean φ([f ]) = fe(1) = m y φ([g]) = ge(1) = n. Definimos la traslaci´ on

τm : [0, 1] −→ R como τm (t) = e g(t) + m y as´ı τm (0) = m y τm (1) = m + n. Adem´ as (p ◦ τm )(t) = p(e g(t) + m) = g(t) y aunque menos obvio tenemos que p(fe  τm ) = f  g ( fe  τm est´ a bien definido pues τm (0) = e g(0) + m = 0 + m = fe(1)), luego fe  τm es un levantamiento de f  g y, como el levantamiento es u ´nico, tenemos φ([f ][g]) = φ([f  g]) = fg  g(1) = (fe  τm )(1) = τm (1)

puesto que fe  τm termina donde termina τm , y finalmente φ([f ][g]) = m + n = φ([f ]) + φ([g]).

φ es inyectiva. En efecto, veamos que el n´ ucleo de φ es el subgrupo e trivial {c(0,1) }. Si φ([f ]) = 0 es porque f (1) = 0 y por tanto fe es un camino en R cerrado en x0 = 0, luego la homotop´ıa ht : I −→ R dada por ht (s) = fe(s)(1 − t)

106

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

produce la homotop´ıa p ◦ ht : f ' c(0,1) (rel{0, 1}) y por tanto [f ] = [c(0,1) ] = e. φ es sobreyectiva. A cada camino ωn (s) = (cos 2nπs, sen 2nπs) le estamos asignando el entero n ya que p ◦ ω en = ωn y adem´ as ω en (1) = n.

4.3.

El grupo fundamental y las funciones

Un punto fuerte en esta teor´ıa sobre el grupo fundamental es la conexi´ on entre topolog´ıa y ´ algebra: la manera tan sencilla como las funciones continuas son convertidas en (inducen) homomorfismos de grupos, y esta conexi´ on es fundamental para la topolog´ıa algebraica; de hecho, es el puerto desde la topolog´ıa hacia el ´ algebra.

4.3.1.

Homomorfismos inducidos

Sea h : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) una funci´ on continua entre espacios punteados, i. e. h(x0 ) = y0 . Por cada camino f ∈ Ω(X, x0 ) la funci´ on compuesta h◦f ∈ Ω(Y, y0 ). Si F es una homotop´ıa F : f0 ' f1 entonces h ◦ F : h ◦ f0 ' h ◦ f1 (Corolario 4.14); por tanto tenemos que h induce (de manera natural) una funci´ on h∗ entre los grupos fundamentales, h∗ : Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (Y, y0 ) definida por h∗ ([f ]) = [h ◦ f ]. Esta composici´ on por h preserva el producto de caminos: si el producto de los caminos f  g est´ a definido entonces tambi´en lo est´ a (h ◦ f )  (h ◦ g) y tenemos la igualdad h ◦ (f  g) = (h ◦ f )  (h ◦ g). En efecto, como (f  g)(t) =

(

f (2t), g(2t − 1),

si 0 ≤ t ≤ 12 , si 12 ≤ t ≤ 1,

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

107

O V A T O S N U G BIA U R

entonces h ◦ (f  g) es el camino definido por ( h(f (2t)), si 0 ≤ t ≤ 12 , h ◦ (f  g)(t) = h(g(2t − 1)), si 12 ≤ t ≤ 1. ( (h ◦ f )(2t), si 0 ≤ t ≤ 12 , = (h ◦ g)(2t − 1), si 12 ≤ t ≤ 1. = ((h ◦ f )  (h ◦ g))(t),

as´ı que h ◦ (f  g) = (h ◦ f )  (h ◦ g).

h∗ es un homomorfismo de grupos. Basta notar que h∗ ([f ][g]) =h∗ ([f  g]) = [h ◦ (f  g)]

=[(h ◦ f )  (h ◦ g)] = [(h ◦ f )][(h ◦ g)] = h∗ ([f ])h∗ ([g]).

Luego hemos demostrado el siguiente resultado, que aunque sencillo, es centro de la teor´ıa.

Teorema 4.26. Dada una funci´ on h : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) continua entre espacios punteados, la funci´ on h∗ : Π(X, x0 ) −→ Π(Y, y0 ) definida por h∗ ([f ]) = [h◦f ] es un homomorfismo de grupos, llamado el homomorfismo inducido por h). En el lenguaje de la teor´ıa de categor´ıas tenemos el siguiente diagrama y las siguientes propiedades de funtorialidad, donde el funtor es en este caso la manera de asignar a cada objeto de la categor´ıa de los espacios topol´ ogicos punteados, un objeto de la categor´ıa de los grupos, de suerte que la composici´ on de morfismos sea respetada. (X, x0 )

Π1

- Π1 (X, x0 ) h∗

h

?

(Y, y0 ) n

?

Π1

- Π1 (Y, y0 ) m

Para funciones (X, x0 ) − → (Y, y0 ) −→ (Z, z0 ) tenemos que: 1. (m ◦ n)∗ = m∗ ◦ n∗ . 2. m∗ [f ]−1 = (m∗ [f ])−1 para [f ] ∈ Π1 (X, x0 ).

108

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R 3. Si m ' n rel{x0 }, entonces m∗ = n∗ .

4. idX ∗ = idΠ : Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (X, x0 ).

La propiedad 1 es consecuencia de que la composici´ on de funciones es asociativa. La propiedad 4 es a´ un m´ as evidente pues id∗ (f ) = id∗ ◦f = f.

5. Sean f : X → Y una funci´ on continua, x0 y x1 puntos en X conectados por un camino s : I → X. Notemos a f (x0 ) como y0 y a f (x1 ) por y1 . Entonces el siguiente diagrama es conmutativo, i. e., Tf ◦s ◦f∗ = f∗ ◦Ts . Π1 (X, x0 )

f∗

- Π1 (Y, y0 )

Ts

?

Π1 (X, x1 )

Tf ◦s

? - Π1 (Y, y1 )

f∗

6. Si h : X → Y es un homeomorfismo entre espacios topol´ ogicos, entonces el homomorfismo: inducido h∗ : Π1 (X, x0 ) → Π1 (Y, y0 ) es un −1 isomorfismo h∗ ◦ h−1 ∗ = (h ◦ h )∗ = id∗ , es decir, h∗ es biyectiva. El rec´ıproco de esta u ´ltima propiedad no es cierto en general; por ejemplo, veremos que Π1 (R2 , x0 ) = Π1 (S 2 , y0 ) pero R2 no es homeomorfo a S 2 . En lenguaje categ´ orico decimos que el funtor no es completamente fiel, i. e. el grupo no caracteriza al espacio.

La propiedad que h sea monomorfismo o epimorfismo est´ a lejos de reflejarse en que h∗ lo sea. Por ejemplo, si m : [0, 1] −→ S 1 es un camino sobreyectivo, el homomorfismo m∗ : {0} −→ Z es el u ´nico posible. Veamos a continuaci´ on dos ejemplos que ilustren c´ omo usar los homomorfismos inducidos para resolver problemas topol´ ogicos. Ejemplo 4.27 (Un espacio que no es simplemente conexo). Consideremos el espacio A dado por la uni´ on de dos circunferencias tangentes {(x, y) : (x + 1)2 + y 2 = 1} ∪ {(x, y) : (x − 1)2 + y 2 = 1} y la funci´ on 1 f : A −→ S dada por f (x, y) = (|x| − 1, y).

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

109

O V A T O S N U G BIA U R

La funci´ on f es como “doblar” a A para obtener a S 1 . Para el camino w ∈ A cerrado en el punto (2, 0) y dado por w(t) = (1 + cos t, sen t) tenemos que f∗ ([w]) = [v] donde v es el camino generador en Π1 (S 1 , (1, 0)) con v(t) = (cos t, sen t).

Si solo existiera una clase de homotop´ıa en A, el camino w ser´ıa hom´ otopo al camino constante, y como f∗ es homomorfismo, v tambi´en debe ser el camino constante y esto contradice que es el generador del grupo Z. Luego, A no puede ser simplemente conexo (existe m´ as de una clase). M´ as a´ un, como [v] es el generador, tenemos que f∗ es un epimorfismo de Π1 (A, (2, 0)) sobre Z. Por tanto, Π1 (A, (2, 0)) debe ser mayor que Z; exactamente, es el grupo libre con dos generadores (por tanto no es abeliano).

Ejemplo 4.28 (Espacios con agujeros no son simplemente conexos).

Una corona C es el espacio entre dos circunferencias conc´entricas, por ejemplo C = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y 2 < 9}. Si consideramos el rect´ angulo Q = {(x, y) : 1 < x < 2, 1 < y < 2}, tenemos que C y Q no son homeomorfos como subespacios del espacio euclidiano R2 .

Si existiera un homeomomorfismo f : Q −→ C, consideremos como puntos bases los puntos x0 = f −1 ((2, 0)). La funci´on g : C −→ S 1 dada x por g(x) = kxk asigna a cada vector el correspondiente unitario, y est´a bien definida pues el vector nulo no est´a en C. La composici´ on de homomorfismos inducidos f∗

g∗

Π1 (Q, x0 ) −−→ Π1 (C, (2, 0)) −−→ Π1 (S 1 , (1, 0)) se traduce en el diagrama ≈

{0} − → Π1 (C, (2, 0))  Z donde el primer homomorfismo es isomorfismo y el segundo es epimorfismo pues la imagen por g∗ de la clase de homotop´ıa [(2cos t, 2 sen t)] es el generador [(cos t, sen t)] en Π1 (S 1 , (1, 0)), y esto implica la existencia de un epimorfismo del grupo trivial {0} en el grupo c´ıclico infinito Z. La sobreyectividad de g∗ implica que Π1 (C, (2, 0)) est´a lejos de ser trivial (ver el ejemplo 4.38).

110

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R 4.3.2.

Retracciones y retractos

Definici´ on 4.29. Una retracci´ on de un espacio topol´ ogico X sobre un subespacio A ⊆ X es una funci´ on r : X −→ A continua y tal que r|A = idA . A se llama entonces un retracto de X, en el sentido de que el espacio se ha retra´ıdo de manera continua a un subespacio. Si r : X −→ A una funci´ on continua de un espacio topol´ ogico X sobre un subespacio A ⊆ X, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. r es una retracci´ on.

2. r(a) = a para todo a ∈ A. i

r

3. r ◦ i = idA para A ,→ X − → A donde i es la inclusi´ on.

4. r : X −→ A es una extensi´ on de idA : A −→ A. 5. En t´erminos categ´ oricos r admite un inverso a derecha. 6. Cualquier funci´ on continua A → Y para cualquier espacio Y puede ser extendida a una funci´ on continua X → Y .

Si no tenemos la igualdad entre las funciones, sino tan solo la relaci´ on de homotop´ıa, esto es, r ◦ i ' idA , decimos que A es un retracto d´ ebil de X. Ejemplo 4.30. Para todo espacio X, los subespacios unitarios A = {x} son un retracto. Un intervalo cerrado [a, b] es un retracto de R.

b

a a

b

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

111

O V A T O S N U G BIA U R

Un intervalo abierto (a, b) no es un retracto de R. En efecto, si X es un espacio de Hausdorff, todo retracto A de X es un conjunto cerrado, ya que A es el subconjunto de X donde coinciden las dos funciones continuas idX y r. Si X = I × I y A = I × {0}, entonces r : I × I −→ I × {0}

dada por la proyecci´ on r((x, y)) = (x, 0) es una retracci´ on.

Sea D 2 ⊆ R2 el disco unitario cerrado. El disco perforado D 2 − {0} x se retrae (retracta) sobre S 1 por medio de la funci´on f (x) = kxk . N´ otese que la definici´ on de f depende de que el disco sea punteado en (0, 0).

Una de las propiedades m´ as importantes de una retracci´on es que ella induce un homomorfismo sobreyectivo entre los grupos fundamentales.

Proposici´ on 4.31. Si r : X → A es una retracci´ on, i : A ,→ X es la inclusi´ on y x0 ∈ A, entonces r∗ : Π1 (X, x0 ) → Π1 (A, x0 ) es un epimorfismo y i∗ : Π1 (A, x0 ) → Π1 (X, x0 ) es un monomorfismo. i

r

Demostraci´ on. Como r ◦ i = idA para A ,→ X − → A, tenemos que los homomorfismos inducidos i

r

Π1 (A, x0 ) −−∗→ Π1 (X, x0 ) −−∗→ Π1 (A, x0 ) satisfacen r∗ ◦ i∗ = idΠ1 (A,x0 ) , con lo que r∗ es epimorfismo y i∗ es monomorfismo. La anterior proposici´ on nos permite conocer la no existencia de retracciones como en el siguiente teorema. Teorema 4.32 (Teorema de Borsuk en dimensi´ on 2). S 1 no es un 2 retracto de D . Demostraci´ on. En caso de existir una retracci´on r : D 2 −→ S 1 del disco en r su borde, tenemos que existe un epimorfismo Π1 (D 2 , x0 ) −−∗→ Π1 (S 1 , x0 ) o en otras palabras, r∗ : {0} → Z es sobreyectivo, lo cual es falso.

112

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R



El teorema anterior podr´ıa llamarse un teorema de no existencia. ¿Puede un tal teorema ser u ´til en topolog´ıa? S´ı, y la respuesta es poder demostrar el teorema 4.33.

Recordemos que un espacio topol´ ogico X tiene la PPF o propiedad del punto fijo si toda funci´ on continua f : X −→ X tiene un punto fijo, i. e., existe x ∈ X con f (x) = x. (La PPF es un invariante topol´ ogico y es heredable a los retractos). Teorema 4.33 (Teorema del punto fijo de Brower). D 2 tiene la propiedad del punto fijo.

Demostraci´ on. Sea h : D2 −→ D 2 una funci´ on continua. Si h(x) 6= x para todo x ∈ D2 definimos r : D 2 −→ S 1 como r(x) igual al punto de S 1 donde la semi−−−−→ recta h(x), x corta a S 1 . Como h es continua (puntos cercanos tienen im´ agenes cercanas) r es continua, y adem´ as si x ∈ S 1 entonces r(x) = x, luego r es una retracci´ on y esto es una contradicci´ on en virtud del teorema 4.32.

r(x) = x

h(x)

r(x)

x

h(x)

La versi´on n–dimensional de este teorema fue probada por L. Brower en 1910. Funtores Hemos llegado a un buen momento para revisar los conceptos de categor´ıas y funtores.

Una categor´ıa (O, M) consiste de una colecci´ on O llamada los objetos de la categor´ıa, y de una colecci´ on M de conjuntos cuyos elementos son llamados los morfismos o las flechas de la categor´ıa, con la propiedad que para cada par de objetos A, B ∈ O existe un conjunto M or(A, B) ∈ M que satisface: 1. Para cada tr´ıo A, B, C de objetos, existe la composici´ on de morfismos denotada por ◦, tal que si f ∈ M or(A, B), g ∈ M or(B, C) entonces g ◦ f ∈ M or(A, C).

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

113

O V A T O S N U G BIA U R

2. Dados los morfismos f, g, h entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f , cada vez que la composici´ on est´e definida.

3. Dado el objeto A ∈ O, existe un morfismo idA ∈ M or(A, A) con la propiedad que ´el es neutro para la operaci´ on de composici´ on.

Supongamos que deseamos considerar una categor´ıa cuyos objetos sean categor´ıas. La primera inquietud que surge es con respecto a la naturaleza de los “morfismos”. Supongamos por el momento que tal categor´ıa existe y llamemos funtores a sus morfismos. Parece razonable de que el funtor aplique los objetos de una categor´ıa en los objetos de la otra y que relacione los morfismos de las dos categor´ıas.

Un funtor covariante T de una categor´ıa K en una categor´ıa L es un par de aplicaciones (ambas notadas con el s´ımbolo T ) donde la primera aplicaci´ on es entre objetos y la segunda es entre morfismos, y tales que: 1. Si f ∈ M orK (X, Y ), entonces T (f ) ∈ M orL (T (X), T (Y )). 2. Si f ∈ M orK (X, Y ) y g ∈ M orK (Y, Z), entonces T (g ◦ f ) = T (g) ◦ T (f ) ∈ M orL (T (x), T (z)).

3. Para todo objeto X ∈ Ob(K) se tiene T (idX ) = idT (X) . Se dice que el funtor es contravariante si invierte las flechas. Los funtores olvido. Parten de un conjunto con una estructura, olvidan la estructura y entregan al conjunto: • T : Top → Conj.

• T : Grupos 7→ Conj.

• T : Top0 → Top, el cual olvida que el espacio era punteado.

• De la categor´ıa de los pares topol´ ogicos TopP a la categor´ıa Top, olvidando al espacio inicial: (X, A) → A con f 7→ f |A

El funtor grupo fundamental Π1 : Top0 → Grupos, definido por (X, x0 ) 7−→ Π1 (X, x0 ) y f 7−→ Π1 (f ) = f∗ . Una propiedad importante de los funtores tiene que ver con el buen comportamiento frente a las equivalencias.

114

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Definici´ on 4.34. Dada una categor´ıa C decimos que f ∈ C con f : X → Y es una equivalencia si existe g ∈ C tal que f ◦ g y g ◦ f son las respectivas id´enticas. Decimos en tal caso que X, Y se dicen equivalentes.

Teorema 4.35. Si T es un funtor de la categor´ıa C a la categor´ıa D, entonces T env´ıa equivalencias en equivalencias; es decir, si X ≡D Y entonces T (f ) : T (X) ≡C T (Y ). Demostraci´ on. Asumamos que T es covariante (el argumento es similar si T es contravariante). Sea f : X → Y una equivalencia y sea f −1 : Y → X su inversa. Como f −1 ◦ f = idX y f ◦ f −1 = idY , T (f −1 ) ◦ T (f ) = idT (X) y T (f ) ◦ T (f −1 ) = idT (Y ) , con lo cual T (f ) es una equivalencia. Como ya lo hemos dicho repetidamente, un problema cl´ asico en topolog´ıa es la clasificaci´ on de los espacios en equivalencias en Top. En otras palabras, es poder decidir si un espacio X es homeomorfo a otro espacio Y o no. La idea b´ asica de la topolog´ıa algebraica es introducir varios funtores desde la categor´ıa de los espacios topol´ ogicos y las funciones continuas, a categor´ıas “algebraicas” como la categor´ıa de los grupos, la categor´ıa de los grupos abelianos, la categor´ıa de los grupos graduados, etc. entre ellos los funtores, grupo fundamental, homotop´ıa, homolog´ıa, etc.

Por ejemplo, si se tuviera que R2 −{0} ≈ R−{0}, entonces Π1 (R2 −{0}) ≈ Π1 (R − {0}) (ya lo veremos), es decir Z ≈ {e}; luego R2 − {0} 6≈ R − {0} y por tanto R2 6≈ R. Este es un ejemplo simple, pero ilustrativo; de hecho, se pueden clasificar todas las superficies (2–dimensionales) usando el grupo fundamental. Π1 es productivo: Π1 (X × Y ) u Π1 (X) × Π1 (Y ) 

Dados dos espacios punteados (X, x0 ) y (Y, y0 ), su producto conjuntista es definido como (X × Y, (x0 , y0 )). Veamos que el funtor Π1 (grupo fundamental) preserva el producto. Teorema 4.36. Sean (X, x0 ), (Y, y0 ) dos espacios topol´ ogicos punteados y (X × Y, (x0 , y0 )) con la topolog´ıa producto, entonces Π1 (X × Y, (x0 , y0 )) ≈ Π1 (Y, y0 ) × Π1 (Y, y0 ). (La operaci´ on en Π1 (X, x0 ) × Π1 (Y, y0 ) es el producto directo de grupos).

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

115

O V A T O S N U G BIA U R

Demostraci´ on. La idea b´ asica en la demostraci´ on es muy sencilla: cada “cosa” trabaja de manera independiente en las dos coordenadas de X × Y . pX

pY

Las proyecciones X ←−−− X × Y −−−→ Y inducen homomorfismos pX

pY

∗ Π1 (X, x0 ) ←−−− − Π1 (X, x0 ) × Π1 (Y, y0 ) −−−∗→ Π1 (Y, y0 ),

que combinados nos producen un homomorfismo

ϕ : Π1 (X × Y, (x0 , y0 )) −→ Π1 (X, x0 ) × Π1 (Y, y0 )

dado por ϕ([f ]) = (pX ∗ [f ], pY ∗ [f ]) = ([pX ◦ f ], [pY ◦ f ]) para todo camino f : I −→ X × Y . ϕ es un homomorfismo. N´ otese que

ϕ([f ] · [g]) =ϕ([f  g]) = ([pX ◦ (f  g)], [pY ◦ (f  g)])

=([(pX ◦ f )  (pX ◦ g)], [(pY ◦ f )  (pY ◦ g)]) =([pX ◦ f ] · [pX ◦ g)], [pY ◦ f ] · [pY ◦ g)])

=([pX ◦ f ], [pY ◦ f ]) ⊕ ([pX ◦ g)], [pY ◦ g)]) = ϕ([f ]) ⊕ ϕ([g]).

ϕ es un monomorfismo. Supongamos que ϕ([f ]) = ϕ([g]) es decir [pX ◦ f ] = [pX ◦ g] y [pY ◦ f ] = [pY ◦ g]. Luego existen las homotop´ıas H : pX ◦ f ' pX ◦ g y K : pY ◦ f ' pY ◦ g. Definamos (nuevamente de manera independiente y en cada variable) F : I × I → X × Y como F (s, t) = (H(s, t), K(s, t)). F es continua por serlo en cada proyecci´ on. Adem´ as, F0 (s) = F (s, 0) = (H(s, 0), K(s, 0)) = (H0 (s), K0 (s)) = (pX ◦ f (s), pY ◦ f (s)) = f (s) y de manera similar F1 (s) = g(s). Luego f ' g y por tanto [f ] = [g]. ϕ es un epimorfismo. Sea ([f ], [g]) ∈ Π1 (X, x0 ) × Π(Y, y0 ). Definimos el camino cerrado α : I → X × Y como ( (f (2t), y0 ) si 0 ≤ t ≤ 1/2, α(0) = (x0 , y0 ) α(t) := (x0 , g(2t − 1)) si 1/2 ≤ t ≤ 1, α(1) = (x0 , y0 ). ϕ([α]) = ([pX ◦ α], [pY ◦ α]) = ([f ], [g]) puesto que pX ◦ α no es m´ as que una reparametrizaci´ on del camino f y pY ◦ α lo es de g.

Puede demostrarse (ver la proposici´ on 4.7), de manera adicional (como un ejercicio) que con la c.a.–topolog´ıa para los espacios Ω(X, x0 ) tenemos todo un homeomorfismo ϕ : Ω(X × Y, (x0 , y0 )) → Ω(X, x0 ) × Ω(Y, y0 ).

116

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Ejemplo 4.37 (El toro). T = S 1 × S 1 tiene como grupo fundamental Π1 (S 1 × S 1 ) = Π1 (S 1 ) × Π1 (S 1 ) = Z × Z.

N´ otese que el grupo (Z × Z, +) tiene dos generadores (0,1) y (1,0), los cuales corresponden a las clases de homotop´ıa de los caminos cerrados a, b : [0, 1] → S 1 × S 1 como en la figura. Como Π1 (S 1 ) no depende del punto base, igual sucede para Π1 (T ).

Ejemplo 4.38 (Plano perforado). R2 − {0} es homeomorfo a (0, ∞) × S 1

Figura 4.10: Plano perforado. x por medio de la funci´ on f (x) = (kxk, kxk ), la cual tiene como inversa la funci´on g(t, y) = ty. Por el homeomorfismo tenemos que Π1 (R2 − {0}) = Z × {0} ∼ = Z. N´otese que la primera variable es introducida para garantizar la unicidad de f (ver ejemplos 4.28 y 4.30).

Este mismo homeomorfismo puede ser definido para mostrar que Rn − {0} ∼ = (0, ∞) × S n−1 .

4.3.3.

Equivalencias para homotop´ıa

Recordemos (ver definici´ on 4.34) que en la categor´ıa Top de los espacios topol´ogicos y las funciones continuas, dos espacios X, Y son equivalentes X ≡ Y si existen f : X → Y , g : Y → X continuas y tales que f ◦

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

117

O V A T O S N U G BIA U R

g = idY , g ◦ f = idX . A los elementos de una clase de equivalencia los llamamos homeomorfos o del mismo tipo topol´ ogico y lo notamos X ≈ Y . Designamos por [X]≈ la clase de espacios homeomorfos a X. Que X, Y sean equivalentes en la categor´ıa TopH , donde los objetos son los espacios topol´ ogicos y M orH (X, Y ) := [X, Y ] = {[f ] : las clases de homotop´ıa para funciones f : X → Y } significa que:

Definici´ on 4.39. Sean X, Y espacios topol´ ogicos. Decimos que X es equivalente homot´ opicamente a Y , o que X es del mismo tipo de homotop´ıa que Y si existen funciones f : X → Y , g : Y → X, tales que f ◦ g ' idX , g ◦ f ' idY .

La relaci´ on X ≡ Y en T opH la notamos X ' Y . N´ otese que g es una inversa hom´ otopa a izquierda de f (y viceversa), es decir, g es inversible por homotop´ıa. f se llama una equivalencia para homotop´ıa.

La relaci´ on X ' Y es en efecto una relaci´ on de equivalencia en Top: Las propiedades reflexiva y sim´etrica son inmediatas. La relaci´ on es transitiva, pues dadas f, g equivalencias para X ' Y y u, v para Y ' Z entonces (secci´ on 4.3.1) g ◦ v ◦ u ◦ f ' g ◦ idY ◦ f = g ◦ f ' idX

y u ◦ f ◦ g ◦ v ' u ◦ idY ◦ v = u ◦ v ' idZ . Luego X y Z son del mismo tipo de homotop´ıa. Pero hemos probado m´ as de la cuenta, esto es, que la composici´ on de dos equivalencias de homotop´ıa es una equivalencia de homotop´ıa con inverso de homotop´ıa la composici´ on de los inversos de homotop´ıa. Notemos por [X]' la clase de todos los espacios equivalentes homot´ opicamente a X. Por supuesto, si X ≈ Y (i. e. son homeomorfos) tenemos que X ' Y , esto es [X]≈ ⊆ [X]' , pero en sentido contrario estamos lejos de la igualdad. Luego la clasificaci´ on de espacios por medio de ' es m´ as gruesa que por ≈. Veamos el ejemplo siguiente. Ejemplo 4.40 (Equivalencias S no equivalentes). En R2 consideremos 1 1 los subespacios X = S y Y = S {(x, 0)|1 < x < 2} como en la figura.

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CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

X y Y no son homeomorfos (equivalentes topol´ ogicamente) puesto que al quitar el punto (1, 0) de Y obtenemos un espacio no conexo, pero no importa cu´ al punto quitemos de S 1 obtenemos un espacio conexo. De otra parte, X y Y s´ı son equivalentes homot´opicamente. La funci´on inclusi´ on i : X ,→(Y tiene como hom´otopa inversa la retracci´on r : Y → X y, y ∈ S1 dada por r(y) = (1, 0), si y pertenece al segmento (1, 0)(2, 0).

Claramente ambas funciones son continuas e inversas hom´otopas r ◦ i = idX y ft : i ◦ r ' idY por medio de la homotop´ıa ( y, y ∈ S1 ft (y) = (1 − t)y + t(1, 0), si y pertenece al segmento (1, 0)(2, 0). que es lineal sobre el segmento de recta, esto es, lo contrae al punto (1, 0).

De manera similar se define el concepto de equivalente homot´ opicamente cuando se trata de la categor´ıa TopP unteados de los espacios topol´ogicos punteados. Decimos (X, x0 ) ' (Y, y0 ) son equivalentes homot´opicamente si las respectivas homotop´ıas se “comportan bien” con respecto a los puntos base x0 y y0 . Exactamente,

Definici´ on 4.41. Sea (X, x0 ), (Y, y0 ) dos espacios punteados y f : X → Y , g : Y → X funciones hom´otopas inversas tales que f (x0 ) = y0 , g(y0 ) = x0 y adem´ as las homotop´ıas correspondientes de f ◦ g a idY y g ◦ f a idX son fijas en y0 y x0 respectivamente. Entonces decimos que (X, x0 ) y (X, y0 ) son equivalentes homot´ opicamente como espacios punteados. Teorema 4.42. Si (X, x0 ) y (Y, y0 ) son equivalentes homot´ opicamente como espacios punteados (i. e. las homotop´ıas involucradas son rel {0, 1}), entonces Π1 (X, x0 ) ≈ Π1 (Y, y0 ). Demostraci´ on. Si f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) y g : (Y, y0 ) → (X, x0 ) son dos homotop´ıas rec´ıprocas, la una inversa de la otra, entonces (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ es la identidad en Π1 (X, x0 ) y f∗ ◦ g∗ es la identidad en Π1 (Y, y0 ), luego f∗ es un isomorfismo. Corolario 4.43. Si h : (X, x0 ) → (Y, y0 ) es un homeomorfismo, entonces h∗ : Π1 (X, x0 ) → Π1 (Y, h(x0 )) es un isomorfismo.

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

119

O V A T O S N U G BIA U R Ejemplo 4.44. El plano perforado R2 − {0} es del mismo tipo de homotop´ıa que S 1 . Defix namos g : R2 − {0} → S 1 como g(x) = kxk la cual tiene como inversa la funci´ on inclusi´ on i : S 1 → R2 − {0}. Es claro que g ◦ f = idS 1 y que idR2 −{0} ' f ◦ g v´ıa la homotop´ıa G(x, t) =   x (1−t)x+t . Las flechas en el dibujo indikxk can de qu´e manera se mueven los puntos durante la homotop´ıa.

Este mismo trabajo funciona para mostrar que Rn − {0} ' S n−1 . N´ otese que en estos ejemplos 4.40 y 4.44 las funciones involucradas son una retracci´ on r : X → A y la inclusi´ on i : A ,→ X (para los apropiados X y A). Como r es retracci´ on, r ◦i = idA . La otra condici´ on dice que i◦r ' idX . La generalizaci´ on de este hecho nos motiva la siguiente secci´ on.

4.3.4.

Retractos por deformaci´ on

La noci´ on intuitiva de una deformaci´ on es la siguiente. Un espacio es deformable (retra´ıble de manera continua) a un subespacio A ⊆ X si X puede ser “aplastado poco a poco” o contra´ıdo de manera continua a Y . “Aplastado poco a poco” significa que tenemos una especie de homotop´ıa pero con espacios topol´ ogicos en lugar de caminos. Por ejemplo un cuadrado es contra´ıble de manera continua a uno de sus lados, o la letra en “negrilla” O (es como una corona) es contra´ıble a la letra “normal” O (es como una circunferencia), o la cinta de M¨ obius a su circunferencia interior. N´ otese que las retracciones por deformaci´ on son f´ aciles de visualizar y son un tipo muy particular de equivalencias homot´ opicas. La definici´ on es la siguiente. Definici´ on 4.45. Sean X un espacio topol´ ogico y A ⊆ X. Decimos que A es retracto por deformaci´ on de X si existe una retracci´ on r : X → A que es inversa hom´ otopicamente a la inclusi´ on i : A ,→ X. En otras palabras, r ◦ i ' idA y i ◦ r ' idX (rel A) (ver definici´ on 4.5). Esto es, existe una homotop´ıa H : X × I → X para la cual 1. Cada punto a ∈ A permanece fijo durante la deformaci´ on, H(a, t) = a

120

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

t

Figura 4.11: Retractos por deformaci´ on.

para todo t ∈ [0, 1] y todo a ∈ A ⊆ X. A “no se mueve” durante la deformaci´ on. 2. h0 (x) = x, h1 (x) ∈ A para todo x ∈ X. Si A es un retracto por deformaci´ on de X, lo notamos como X A. La anterior definici´ on es exigente al pedir homotop´ıa (rel A) y por eso algunos textos la llaman retracto por deformaci´ on fuerte.

X A

Figura 4.12: A permanece fijo.

O V A T O S N U G BIA U R

 121

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

Ejemplo 4.46.

1. Una corona se retracta a S 1 . (Ver figura 4.11) La circunferencia S 1 es un retracto por deformaci´ on de la corona C = {(x, y)| 14 < x2 + y 2 < 4} mediante la homotop´ıa H(x, t) = x (1 − t)x + t . kxk 2. S n−1 es un retracto por deformaci´ on de Rn − {0}. Nuevamente el x trabajo lo hacen las homotop´ıas lineales H(x, t) = (1 − t)x + t . kxk 3. El origen 0 ∈ Rn es un retracto de deformaci´ on de Rn o del disco cerrado D n .

4. Sea A es un espacio topol´ogico. El espacio X = A × D n (una especie de cilindro relleno en torno a A) satisface X A.

A

5. Por el ejemplo anterior, para el toro s´ oli1 2 do X = S × D tenemos que X S1 y 1 por tanto X ' S .

6. Dado un espacio X el cono C(X) es contr´ actil: C(X) x0

7. Este ejemplo, figura 4.13, nos produce tres espacios que son retracciones por deformaci´on de un disco con dos agujeros: la uni´ on por un punto de dos circunferencias, dos circunferencias unidas por un segmento de recta y finalmente a la uni´on de tres arcos con puntos finales en com´ un (algo as´ı como la letra θ). Curiosamente estos retractos por

122

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Figura 4.13: Tres retractos por deformaci´ on de un mismo espacio: un disco con dos agujeros.

deformaci´ on no son homeomorfos entre s´ı. ¿Qu´e sucede si a cambio de dos agujeros consideramos n agujeros?

Figura 4.14: El toro perforado se retracta a la figura “8”.

8. Consideremos el toro perforado T − {p} ⊆ R3 —menos un punto p— T − {p} es conexo por caminos y Π1 (X) es el grupo libre con dos

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

123

O V A T O S N U G BIA U R generadores ya que T − {p}

8 (figura 4.14).

Nota: Es importante que la homotop´ıa H —como en toda homotop´ıa— se mantenga en el espacio X, es decir, que en los pasos intermedios de la deformaci´ on al retracto no nos salgamos del espacio en que estamos. Si en el ejemplo 4.46, a la corona le a˜ nadimos el punto (4, 0) (o cualquier otro punto que no est´e en ella) obtenemos un nuevo espacio C ∪ {(4, 0)} el cual ya no es un retracto por deformaci´ on a S 1 pues para llevar al punto (4, 0) 1 hasta S tendremos que pasar en la deformaci´ on por fuera del codominio X = C ∪ {(4, 0)} de H. Los retractos por deformaci´ on son u ´tiles cuando se trata de calcular grupos fundamentales.

Corolario 4.47. Si X

A, entonces X ' A.

Demostraci´ on. Es consecuencia directa de la definici´ on 4.45.

Corolario 4.48. Si X

A y x0 ∈ A, entonces Π1 (X, x0 ) ' Π1 (A, xo ).

Demostraci´ on. Por el teorema 4.42 tenemos que r∗ : Π1 (X, x0 ) → Π1 (A, x0 ) y i∗ : Π1 (A, x0 ) → Π1 (X, x0 ) son isomorfismos cada uno inverso del otro. Ejemplo 4.49. Π1 (R2 − {0}, x0 ) ∼ = Π1 (S 1 , x0 ) ∼ = Z para x0 = (1, 0). Esto implica que R2 − {0} y R2 no son homeomorfos.

Ejemplo 4.50. La homotop´ıa H : Rn+1 × [0, 1] → Rn+1 dada por H((x1 , x2 , . . . , xn+1 ), t) = (x1 , x2 , . . . , xn , (1 − t)xn+1 ) muestra que Rn es un retracto de deformaci´ on de Rn+1 . Cuando en la pr´ actica se trata de trabajar con homotop´ıa, es importante “desarrollar el ojo” para los espacios con el mismo tipo de homotop´ıa. En lo general se evita (hasta donde es posible) tener una mirada “laboriosa” para dos funciones f : X −→ Y , g : X −→ Y y homotop´ıas f ◦ g ' 1X y g ◦ f ' 1X , adem´ as de escribir las homotop´ıas en detalle. Quisi´eramos poder decir en un vistazo si los espacios son del mismo tipo de homotop´ıa o no.



124



CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R , o,

Pero esta r´apida identificaci´ on del espacio con uno del mismo tipo de homotop´ıa, en muchos casos est´ a basada en una composici´ on entre homeomorfismos y retractos por deformaci´ on.

Recordemos lo que hace una deformaci´ on X A : cada punto de X es llevado por medio de un camino continuo al espacio A (durante el tiempo de 0 a 1), y lo que nos debe importar es qu´e puntos que ya estaban en A no se mueven, as´ı que X y A pueden ser descritos gr´ aficamente y la deformaci´ on h, si existe, sera f´acil de visualizar.

Ejemplo 4.51. Mediante deformaciones encontramos tres tipos de caracteres en el alfabeto: 1. C E F G H I K L M N S T U V W X Y Z 2. A D O P Q R 3. B Cada caracter en el primer grupo puede ser deformado a un punto. Los del segundo a una circunferencia. El u ´nico caracter del tercer grupo es la figura “ocho”. Definici´ on 4.52. Un espacio X se dice que es contr´ actil o contra´ıble si es homot´ opicamente equivalente a un punto, i.e., X ' {p} para p ∈ X .

4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES

125

O V A T O S N U G BIA U R

Teorema 4.53. Un espacio X es contr´ actil si y solo si la funci´ on identidad es hom´ otopa a una funci´ on constante 1X ' cx0 , x0 ∈ X (no se exige homotop´ıa relativa, i. e., la homotop´ıa puede o no mover al punto x0 ).

Demostraci´ on. Si X es contr´ actil, existe un punto p ∈ X tal que X ' {p}. Sean f : X −→ {p} y g : {p} −→ X tales que f ◦ g ' 1{p} y g ◦ f ' 1X luego la funci´ on constante g ◦ f = cg(p) es hom´ otopa a 1X . Para la otra implicaci´ on sean x0 ∈ X tal que 1X ' cx0 y i : {x0 } ,→ X, entonces i ◦ cx0 ' 1X y cx0 ◦ i ' 1{x0 } con lo cual X ' {x0 }. N´ otese que hemos probado adem´ as que X

Un espacio contr´ actil puede aparentemente 1/2 lucir que no lo es; por ejemplo, el espacio “peinilla” en la gr´ afica s´ı lo es. Si queremos tener una homotop´ıa entre la funci´ on identidad y la funci´ on constante al punto (0, 1/2). Cada diente de la peinilla se contrae hasta el eje x y de ah´ı contraemos el segmento [0, 1] al origen.

x0 .

1

Para demostrar que dos espacios que tengan el mismo tipo de homotop´ıa tienen grupos fundamentales isomorfos, debemos preguntarnos ¿qu´e sucede con respecto al teorema 4.42 si tenemos una homotop´ıa entre dos funciones continuas de X en Y tales que el punto base en X no permanece fijo durante la homotop´ıa? Veamos el siguiente lema acerca de las homotop´ıas que no dejen fijo al punto base (i. e., no son rel{x0 }). Lema 4.54 (Se factoriza por isomorfismos). Si H : f ' g : X −→ Y es una homotop´ıa y α : I −→ Y es el camino α(t) := Ht (x0 ) de f (x0 ) a g(x0 ) (el camino formado por todas las im´ agenes del punto x0 ) entonces el

126

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R siguiente diagrama conmuta,

Π1 (Y, f (x0 ))

 *  f∗

Π1 (X, x0 )

≈ α

HH g∗ HH j

?

Π1 (Y, g(x0 ))

Demostraci´ on. Si recordamos la definici´ on de Tα ([m]) = [αr  m  α] en el teorema 4.18 debemos entonces demostrar que, dado un camino m en X cerrado en x0 se tiene que las im´ agenes g∗ ([m]) = [g ◦ m] y Tα (f∗ ([m]))= r [α  (f ◦ m)  α] son hom´ otopas rel {0, 1}.

Consideremos la funci´ on G : I × I → Y dada por G(s, t) = H(m(s), t) como en la figura siguiente (en cada punto del camino α en Y colocamos el m

h

t camino cerrado correspondiente a ht ◦ m : I −−→ X −−→ Y)

t

g(x0 ) = h1 (x0 )

1

ht (x0 )

α

t

0

g◦m

ht ◦ m

s f (x0 ) = h0 (x0 )

f ◦m

Ahora definimos la homotop´ıa F : g ◦ m ' αr  (f ◦ m)  α como   αr (4s) s ∈ [0, 1−t  4 ],    4s + t − 1 1+t F (s, t) = G ,t s ∈ [ 1−t 4 , 2 ],  3t + 1   α(2s − 1) s ∈ [ 1+t 2 , 1].

Luego g∗ [m] = [g ◦ m] = [αr  (f ◦ m)  α] = Tα ([f ◦ m]) = Tα ([f∗ ([m])]) Corolario 4.55. Si f, g : X −→ Y son hom´ otopas entonces para los homomorfismos inducidos f∗ : Π1 (X, x0 ) → Π1 (Y, x0 ) y g∗ : Π1 (X, x0 ) → Π1 (Y, g(x0 ))

4.4. TEOREMA DE SEIFERT—VAN KAMPEN

127

O V A T O S N U G BIA U R

se cumple que f∗ es inyectivo, o sobreyectivo o trivial si as´ı lo es g∗ . Demostraci´ on. Recu´erdese del teorema 4.18 que Tα es un isomorfismo .

Corolario 4.56. Si f : X −→ Y con f ' cX0 entonces f∗ es el homomorfismo trivial. Demostraci´ on. La funci´ on constante induce el homomorfismo trivial.

En muchos casos poner demasiada atenci´ on sobre los puntos base al calcular el grupo fundamental es tedioso. Para equivalencias homot´ opicas no es necesario ser tan cuidadosos pues las condiciones sobre el punto base pueden ser eliminadas.

Teorema 4.57. Si f : X −→ Y es una equivalencia de homotop´ıa (no necesariamente relativa al punto base) entonces el homomorfismo inducido f∗ : Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (Y, f (x0 )) es un isomorfismo para todo x0 ∈ X. Demostraci´ on. Sea g : Y −→ X una inversa-hom´ otopa para f , con lo cual f ◦g ' 1Y , g◦f ' 1X . Consideremos el siguiente diagrama de homomorfismos f∗

g∗

f∗

Π1 (X, x0 ) −−→ Π1 (Y, f (x0 )) −−→ Π1 (Y, g(f (x0 ))) −−→ Π1 (Y, f (g(f (x0 )))). Si aplicamos el lema 4.54 a la compuesta de los dos primeros (el cual es un isomorfismo puesto que g◦f ' 1X ) tenemos que g∗ ◦f∗ = (g◦f )∗ = Tα ◦1X ∗ = Tα (tal Tα existe y es un isomorfismo), luego f∗ es monomorfismo; de manera similar se tiene que, la composici´ on del segundo con el tercer homomorfismo es un isomorfismo y por tanto f∗ es un epimorfismo. Corolario 4.58. Si dos espacios conexos por caminos son del mismo tipo de homotop´ıa entonces sus grupos fundamentales son isomorfos.

4.4.

Teorema de Seifert—Van Kampen

Una herramienta u ´til en el calculo del grupo fundamental es el teorema de Seifert—Van Kampen. Este resultado fue introducido de manera independiente por Seifert (1931) y Van Kampen (1933). El objeto de esta secci´ on es presentar el teorema con algunas de sus aplicaciones.

128

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R Espacio Convexo en Rn Circunferencia Plano punteado Corona Cilindro Cinta de M¨ obius n S ,n≥2 Toro Toro s´ olido RP n , n ≥ 2 Toro perforado θ

Grupo fundamental Trivial Z Z Z Z Z Trivial (ver ej. 4.66) Z×Z Z Z2 , ejemplo 5.27 [{a, b}; ] grupo libre con 2 generadores [{a, b}; ] grupo libre con 2 generadores

Cuadro 4.1: Primeros c´alculos.

Ejemplo 4.59. Pensemos en la figura “ocho” (dada el n´ umero 8), esto es S 1 ∨ S 1 = ` por 1 1 (S S )/{(1, 0), (0, 1)}. ¿C´ omo ser´ıa su grupo fundamental? Existen dos caminos cerrados en x0 que a primera vista no son hom´ otopos, el camino a y el camino b.

a

 b

x0

Los caminos cerrados en x0 son reducibles (de manera natural) a la forma · · ·∗am ∗bn ∗ap ∗bq ∗· · · donde un camino se descompone en viajes alternados de un n´ umero finito de veces alrededor de a y b (am := a ∗ · · · ∗ a m–veces). Por tanto es razonable concluir que para este espacio Π1 (X, x0 ) es el grupo libre de dos generadores a y b (ver el ejemplo 2.44, o de manera equivalente: el grupo libre de dos grupos c´ıclicos infinitos). Para el c´alculo del grupo fundamental de espacios m´ as complicados como la botella de Klein, el plano proyectivo, complementos de nudos, etc. son necesarios resultados m´ as bien complicados. Una t´ actica com´ un es dividir el espacio X en pedazos apropiados (cuyos grupos fundamentales sean ya conocidos) y a partir de ellos calcular el grupo para todo el espacio. Sea (X, x0 ) un espacio punteado, el cual podemos expresar como la uni´ on X = X1 ∪ X2 con X1 , X2 abiertos y con x0 ∈ X0 := X1 ∩ X2 . Usamos el punto x0 como punto base para X1 y X2 . Supongamos que ya sabemos como es el grupo fundamental de los espacios X1 y X2 . ¿Qu´e podemos entonces

129

4.4. TEOREMA DE SEIFERT—VAN KAMPEN

O V A T O S N U G BIA U R deducir para el grupo fundamental del propio X?

Supongamos que X, X0 , X1 , X2 son conexos por caminos y x0 ∈ X0 . Sean G0 = Π1 (X0 , x0 ), G1 = Π1 (X1 , x0 ), G2 = Π1 (X2 , x0 ), G = Π1 (X, x0 ) y consideremos el diagrama *   j1

Π1 (X1 )

Π1 (X) 6

j2 H Y HH

i0

H Y H i1 H

Π1 (X0 )

*    i2

Π1 (X2 )

inducido por las funciones inclusi´ on entre los espacios respectivos.

a

x0

X1 X1 ∩ X2

X2

Figura 4.15: El camino a es contado dos veces.

Para obtener una primera aproximaci´on de Π1 (X, x0 ) podemos imitar el argumento utilizado en el ejemplo 4.65 (de la figura 8) y concluir que G es el producto libre de G1 con G2 . Pero una dificultad inmediata que se observa es que el camino a cerrado en x0 es contado dos veces (figura 4.15) en el producto libre, una vez como g1 = i1 ([a]) y otra como g2 = i2 ([a]). Nos sobreponemos a este problema al introducir la relaci´ on i1 ([a])i2 ([a])−1 en G1 ∗ G2 para cada [a] ∈ Π(X0 , x0 ). Pero, ¿qu´e hacer con un camino a cerrado en x0 que no est´a enteramente ni en X1 ni en X2 ? La idea es descomponer a a en caminos ai (no necesariamente cerrados) cada uno de los cuales est´ a completamente en X0 , X1 , ´o, X2 . Antes de continuar veamos c´ omo descomponer caminos. Lema 4.60. Sea u : [0, 1] → X un camino de x0 a x1 , y supongamos que 0 < r < 1. Sea y el punto y := u(r) y definamos u0 , u1 : [0, 1] → X como



130

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R a

X1

X2

u0 (t) = u(rt) y u1 (t) = u(r + (1 − r)t) con lo cual u0 es un camino de x0 a y, u1 es un camino de y a x1 . Entonces, si v = u0  u1 tenemos que [u] = [v] = [u0  u1 ] = [u0 ][u1 ].

Demostraci´ on. Para v tenemos que ( ( t ∈ [0, 12 ], u0 (2t) u(2rt) u0  u1 (t) = = 1 u1 (2t − 1) t ∈ [ 2 , 1], u(r + (1 − r)(2t − 1))

t ∈ [0, 12 ], t ∈ [ 12 , 1].

En otras palabras, la reparametrizaci´on f : [0, 1] → [0, 1] con f (t) = 2rt para 0 ≤ t ≤ 12 y f (t) = r + (1 − r)(2t − 1) para t ≥ 12 satisface v(t) = u(f (t)). Adem´ as, f es continua con f (0) = 0 y f (1) = 1. Por tanto la funci´on h : I × I → X dada por h(s, t) = u((1 − s)t + sf (t)) es una homotop´ıa h : u ' v rel{0, 1}.

Corolario 4.61. Sea u : [0, 1] → X un camino de x0 a xn , y supongamos que 0 = r0 < r1 < . . . < rn = 1. Sea xi el punto xi := u(ri ) y definamos ui : [0, 1] → X como ui (t) = u(ri + t(1 − ri )), con lo que ui es un camino de xi a xi+1 . Entonces [u] = [u0 ][u1 ] · · · [un−1 ]. Demostraci´ on. Por el lema anterior podemos hacer inducci´on sobre n. Por el Lema de Lebesgue, dado el camino cerrado a en X, para el cubrimiento abierto {X0 , X1 , X2 } de X existe una partici´on 0 = p0 < p1 < p2 < · · · < pm = 1 de [0, 1] tal que ai := a([pi−1 , pi ]) ⊆ X1 o ai := a([pi−1 , pi ]) ⊆ X2 , y adem´as, a = a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ am ; como X0 es conexo por caminos podemos conectar a x0 con cada uno de los puntos a(pi ) por medio del camino bi . Ahora consideremos el camino cerrado (a1 ∗ br1 ) ∗ (b1 ∗ a2 ∗ br2 ) ∗ · · · ∗ (bm−1 ∗ am )

131

4.4. TEOREMA DE SEIFERT—VAN KAMPEN

O V A T O S N U G BIA U R a3

b3

a2

bi

a1

el cual es hom´ otopo al camino cerrado a. N´otese que este camino es un producto de caminos cerrados bk ∗ ak ∗ brk+1 (indicados entre par´entesis) que est´an solo en X1 ´ o X2 ; luego, [a] es una palabra en ∗α Π1 (Xα ) con α = 1, 2, esto es, en Π1 (X1 ) ∗ Π1 (X2 ), posiblemente sin reducir. Por tanto el grupo Π1 (X, x0 ) puede ser visto como el producto libre de Π1 (X1 , x0 ) con Π1 (X2 , x0 ) m´ odulo las relaciones previamente mencionadas (el producto amalgamado de la secci´on 2.8.1).

La siguiente es la presentaci´ on cl´asica del teorema de Seifert—Van Kampen. Teorema 4.62 (Seifert—Van Kampen). Sea (X, x0 ) un espacio punteado el cual podemos expresar como la uni´ on X = X1 ∪X2 con X1 , X2 abiertos y con x0 ∈ X0 := X1 ∩ X2 . Usamos el punto x0 como punto base para X1 y X2 . Si i1 : Π1 (X0 , x0 ) −→ Π1 (X1 , x0 ), i2 : Π1 (X0 , x0 ) −→ Π1 (X2 , x0 ) son los homomorfismos inducidos por las inclusiones y {A; RA }, {B; RB } son representaciones de Π1 (X1 , x0 ) y Π1 (X2 , x0 ) respectivamente, entonces {A, B; RA , RB , i1 ([a])i2 ([a])−1 , [a] ∈ Π1 (X0 , x0 )} es una representaci´ on de Π1 (X). (Cada elemento α ∈ Π1 (X, x0 ) puede ser expresado como un producto α = β1 β2 · · · βn donde para cada i, o bien βi ∈ Π1 (X1 ) o βi ∈ Π1 (X2 )). Corolario 4.63. Si el espacio X0 resulta ser simplemente conexo, es decir, Π1 (X0 , x0 ) = {e} entonces Π1 (X) = Π1 (X1 ) ∗ Π1 (X2 ). Corolario 4.64. Si Π1 (X1 , x0 ) y Π1 (X2 , x0 ) son triviales entonces Π1 (X, x0 ) es tambi´en el grupo trivial. Ejemplo 4.65. Para la figura “ocho”, utilizamos el cubrimiento siguiente

 !

132

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R X=

X1

X2

X0

para el cual Π1 (X, x0 ) = Z, Π1 (X2 , x0 ) = Z y Π1 (X0 , x0 ) = {e} ya que X0 x0 . Como cada grupo tiene la representaci´on {a; }, {b; } entonces (corolario 4.63) Π1 (X, x0 ) = {a, b; } ≈ Z ∗ Z. Ejemplo 4.66. Π1 (S n , 1) con 1 = (1, 0, . . . , 0), n > 1, es ahora f´acil de calcular. S n puede ser descompuesto en la uni´on de dos hemisferios abiertos que se translapan, cada uno de los cuales tiene grupo fundamental trivial (los hemisferios son contr´actiles). La intersecci´on de los dos hemisferios es homeomorfa al cilindro abierto S n−1 × (−1, 1) y homot´opicamente equivalente a S n−1 el cual es ciertamente conexo por caminos. Por el corolario tenemos Π1 (S n , 1) = {e}.

X2

X1

Corolario 4.67. R2 no es homeomorfo a Rn para n > 2.

X0

4.4. TEOREMA DE SEIFERT—VAN KAMPEN

133

O V A T O S N U G BIA U R

Demostraci´ on. Si existiera un homeomorfismo f : R2 → Rn entonces 2 R −{0} ≈ Rn −{f (0)}; pero como S 1 y S n−1 son, respectivamente retractos por deformaci´ on de estos dos u ´ltimos espacios tenemos que Z = Π1 (R2 − {0}, 1) 6= Π1 (Rn − {f (0)}, 1) = Π1 (S n−1 , 1) = {e}. Ejemplo 4.68. R2 − {dos puntos} es equivalente homot´ opicamente a la figura “ocho” o θ, as´ı que Π1 (R2 − {dos puntos}) es tambi´en el grupo libre con dos generadores. M´ as a´ un, puede ser mostrado que Π1 (R2 − {n puntos}) es el grupo libre con n generadores (ver ejemplo 4.69). Versi´ on general del teorema de Seifert—Van Kampen

Supongamos que un espacio (con punto base) se descompone como la uni´ on de una colecci´ on de subconjuntos abiertos Aα conexos por caminos y x0 ∈ Aα para cada Aα . Los homomorfismos inducidos jα : Π1 (Aα ) −→ Π1 (X) (inducidos por las funciones inclusi´ on Aα ,→ X) se extienden a un homomorfismo φ : ∗α Π1 (Aα ) −→ Π1 (X). El teorema afirma que φ es sobreyectivo y podemos esperar en general que su kernel no sea trivial, pues si iαβ : Π1 (Aα ∩ Aβ ) −→ Π1 (Aα ) es el homomorfismo inducido por la inclusi´ on Aα ∩ Aβ ,→ Aα entonces jα ◦ iαβ = jβ ◦ iβα , para los dos homomorfismos inducidos por Aα ∩ Aβ ,→ X as´ı que kernel(φ) contiene a todos los elementos de la forma iαβ ([a])iβα ([a])−1 para [a] ∈ Π1 (Aα ∩ Aβ ). El teorema asegura entonces que esta es una buena descripci´ on de φ. Sea (X, x0 ) la uni´ on de abiertos Aα conexos por caminos y cada uno conteniendo al punto x0 . Si cada una de las intersecciones Aα ∩ Aβ es conexa por caminos, entonces el homomorfismo φ : ∗α Π1 (Aα ) −→ Π1 (X) es sobreyectivo. Si adem´ as cada intersecci´ on Aα ∩ Aβ ∩ Aγ es conexa por caminos, el Ker(φ) es un subgrupo normal N generado por los elementos de la forma iαβ ([a])iβα ([a])−1 para [a] ∈ Π1 (Aα ∩ Aβ ), y φ induce un isomorfismo Π1 (X) ≈ ∗α Π1 (Aα )/N .

Recordemos que el producto cu˜ na ∨α Xα de una colecci´ on de espacios punteados (Xα , xα ) es el espacio cociente de la uni´ on disyunta Σα Xα de los espacios, donde los puntos base xα son identificados a un solo punto. Si cada punto xα es un retracto por deformaci´ on de una vecindad abierta Uα ⊆ Xα entonces X es un retracto de deformaci´ on de su vecindad α W W abierta Aα = Xα Uβ . La intersecci´ on de dos o m´ as vecindades Aα es α Uα la cual es β6=α

un retracto de deformaci´ on a un punto. Entonces el teorema de Seifert—Van Kampen implica que φ : ∗α Π1 (Xα ) −→ Π1 (∨α Xα ), es un isomorfismo.

134

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Ejemplo 4.69 (Bouquet). Para el espacio W 1 1 ∨ S 1 ∨ · · · ∨ S 1 (n-veces) y llamado S = S n “una flor de n p´etalos” se tiene que Π1 (∨n S 1 ) es un grupo libre con n generadores, donde cada generador est´ a representado por un camino que recorre una vez a una de las n circunferencias). La demostraci´ on es inductiva a partir del ejemplo 4.65.

Ejemplo 4.70. Consideremos el W plano con n– 1 huecos. R2 − {x1 , . . . , xn } n S , luego Π1 (R2 − {x1 , . . . , xn }) ≈ Π1 (∨n S 1 ) = ∗n Z producto libre de n copias de Z.

4.5.

Πn (X), una generalizaci´ on

En esta secci´on presentaremos los an´ alogos n–dimensionales Πn (X, x0 ) del grupo fundamental Π1 (X, x0 ). Ser´ an los encargados de medir la existencia de agujeros de dimensi´ on n que un espacio X pueda poseer. Recordemos que Π1 es miope para detectar los huecos de las esferas S n para n ≥ 2, i.e. ˘ Π1 (S n ) = 0 (introducidos por E. Cech en el a˜ no 1932 durante el CIM de Z¨ urich y retomados en 1936 por H. Hurewicz). Primera presentaci´ on Un camino cerrado α : [0, 1] → X con α(0) = α(1) = x0 puede ser visto como una funci´on entre espacios punteados α : (S 1 , 1) → (X, x0 ) donde α(1) = x0 para 1 = (1, 0) ∈ S 1 . Una homotop´ıa rel{0, 1} entre caminos α y β es entonces una homotop´ıa punteada de α a β dada como una funci´ on H : S 1 × [0, 1] → X tal que H(x, 0) = H0 (x) = α(x) y H(x, 1) = H1 (x) = β(x) para todo x ∈ S 1 , y H(1, t) = Ht (1) = α(1) = β(1) = x0 pata todo t ∈ [0, 1] —constante en el punto base x0 —. Entonces, Π1 (X, x0 ) = [(S 1 , 1), (X, x0 )] el conjunto cociente de todas las funciones punteadas continuas, m´ odulo la

´ 4.5. ΠN (X), UNA GENERALIZACION

135

O V A T O S N U G BIA U R relaci´ on de homotop´ıa.

Si remedamos esta definici´ on para S n a cambio de S 1 tenemos, Πn (X, x0 ) := [(S n , 1), (X, x0 )].

En otras palabras, el n–´esimo grupo de homotop´ıa es el conjunto de todas las funciones punteadas α : (S n , 1) → (X, x0 ) —donde α(1) = x0 para 1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ S n — m´ odulo la relaci´ on de equivalencia dada por la homotop´ıa punteada α ' β :⇔ existe H : S 1 × [0, 1] → X tal que H0 = α, H1 = β.

Figura 4.16: El camino se deforma de manera continua en otro, mientras que el globo no.

Revisemos, desde este punto de vista el caso n = 0. Π0 (X) es en general tan solo un conjunto (sin estructura algebraica). Por definici´ on S 0 es la 1 0 frontera del disco 1–dimensional D = [−1, 1]. As´ı que, S = {−1, 1} tiene dos puntos y necesitamos fijar uno de ellos, digamos 1 como el punto base. Si x0 es el punto base en X y α : S 0 → X es una funci´ on punteada con α(1) = x0 y α(−1) ∈ X un punto cualquiera, tenemos entonces una biyecci´ on entre 0 el conjunto de funciones punteadas C∗ (S , X) y X viala funci´ on α 7→ α(−1).

Si α, β ∈ C∗ (S 0 , X) son tales que α ' β, esto significa que existe H : S 0 × [0, 1] → X tal que H0 (−1) = α(−1) y H1 (−1) = β(−1) para −1 ∈ S 0 , Ht (1) = x0 pata todo t ∈ [0, 1] y, H(−1, ) : [0, 1] → X con H(−1, )(t) = H(−1, t) es continua con H(−1, 0) = α(1) y H(−1, 1)) = β(1), i.e., H(−1, ) es un camino en X de α(1) a β(1). Por tanto, α ' β

136

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R

implica que est´ an en la misma componente conexa por caminos de X, con lo que Π0 (X) es la ya conocida colecci´ on de componentes. Segunda presentaci´ on

Otra presentaci´ on de Πn (X) es la siguiente. Si I n es el cubo unidad n– dimensional, es decir, el producto de n copias del intervalo unidad [0, 1], su frontera ∂I n ⊆ I n es el subespacio consistente de los puntos que tienen al menos una coordenada igual a 0 o 1.

N´ otese que para el caso n = 1 tenemos que ∂I 1 = {0, 1} y fue sobre este conjunto ∂I 1 que definimos la homotop´ıa relativa en el caso del grupo fundamental Π1 (X). Para un espacio X con punto base x0 definimos los n–lazos basados en x0 , como las funciones f : (I n , ∂I n ) → (X, x0 ). Definimos una operaci´ on + entre n–lazos que generaliza el caso n = 1 en Π1 (X) (ver definici´ on 3.80), como el nuevo n–lazo: ( f (2x1 , x2 , . . . , xn ) 0 ≤ x1 ≤ 12 f +g = g(2x1 − 1, x2 , . . . , xn ) 12 ≤ x1 ≤ 1

Dos n–lazos f y g basados en x0 se dicen hom´ otopos f ' g si existe una homotop´ıa H : [0, 1] × [0, 1]n → X, i.e., para cada x ∈ [0, 1]n se tiene que H(0, x) = f (x), H(1, x) = g(x) y adem´ as H(t, x) = x0 para cada x ∈ ∂I n , t ∈ [0, 1]. Por supuesto, la relaci´ on ' es de equivalencia sobre el conjunto de los n–lazos basados en x0 , y se verifican los siguientes hechos: 1. Si f ' f 0 y g ' g0 entonces g + f ' g0 + f 0 , 2. (g + f ) + h ' (g + f ) + h, 3. La funci´ on constante cx0 : [0, 1]n → X satisface cx0 + f ' f + cx0 ' f . 4. Para f r (x1 , . . . , xn ) = f (1 − x1 , . . . , xn ) se tiene que f ' g implica f r ' gr . 5. f + f r ' f r + f ' cx0 .

´ 4.5. ΠN (X), UNA GENERALIZACION

137

O V A T O S N U G BIA U R

Demostraci´ on. Las demostraciones se siguen de manera similar al caso del grupo fundamental, pero teniendo cuidado de trabajar sobre la primera coordenada x1 del punto x. A manera de ejemplo demostramos el item 1 tomando como referencia la homotop´ıa construida en la proposici´ on 4.12. Si F : f ' f 0 y G : g ' g0 definimos ( si 0 ≤ x1 ≤ 12 , F ((2x1 , x2 , . . . , xn ), t), H((x1 , . . . , xn ), t) = G((2x1 − 1, x2 , . . . , xn ), t), si 12 ≤ x1 ≤ 1.

La operaci´ on f + g pasa al cociente si definimos la multiplicaci´ on de clases como [f ] + [g] = [f + g], y en este caso tenemos una estructura de grupo abeliano —esta es la raz´ on por la que hemos elegido la notaci´ on + para la operaci´ on— sobre Πn (X, x0 ) := [(I n , ∂I n ), (X, x0 )].

Como por paso al cociente tenemos el homeomorfismo I n /∂I n ≈ S n , las funciones f : (I n , ∂I n ) → (X, x0 ) son lo mismo que las funciones α : (S 1 , 1) → (X, x0 ) puesto que el punto base 1 = ∂I n /∂I n va en x0 . Esto reconcilia las dos presentaciones que hemos dado para Πn (X, x0 ).

Re–visemos, desde este punto de vista, el caso n = 0. Π0 (X, x0 ) es de nuevo el conjunto da las componentes conexas por caminos ya que I 0 es un punto y ∂I 0 = ∅. Para n ≥ 2 el grupo Πn (X, x0 ) resulta ser abeliano y es por supuesto un invariante topol´ ogico. El c´ alculo de los grupos Πn (X, x0 ) es una dura tarea en matem´ aticas. A´ un sobre espacios simples como las esferas S n , ´este es un problema abierto. A manera de ejemplo hacemos algunos comentarios. Si n > 1, entonces Πi (S n ) = 0 para i < n. Πn (S n ) = Z. Sobre Πi (S n ) para i > n hay mucho por decir; a manera de ejemplo Π3 (S 2 ) = Z fue calculado por Heinz Hopf en los a˜ nos 1930 y representa el inter´es por la teor´ıa de homotop´ıa. En general, Πi (S n ) es “generalmente” no nulo si i > n. Por supuesto, la construcci´ on de Πn (X, x0 ) es functorial en el sentido que tenemos homomorfismos inducidos a partir de funciones punteadas entre

138

CAP´ITULO 4. HOMOTOP´IA

O V A T O S N U G BIA U R →

i/n n↓1 2 3 4 5 6 7 8

i

1 Z 0 0 0 0 0 0 0

2 0 Z 0 0 0 0 0 0

3 0 Z Z 0 0 0 0 0

4 0 Z2 Z2 Z 0 0 0 0

5 0 Z2 Z2 Z2 Z 0 0 0

6 0 Z12 Z12 Z2 Z2 Z 0 0

7 0 Z2 Z2 Z × Z12 Z2 Z2 Z 0

8 0 Z2 Z2 Z2 × Z2 Z24 Z2 Z2 Z

9 0 Z3 Z3 Z2 × Z2 Z2 Z24 Z2 Z2

10 0 Z15 Z15 Z24 × Z2 Z2 0 Z24 Z2

11 0 Z2 Z2 Z15 Z30 Z2 0 Z24

Cuadro 4.2: Πi (S n ) [Toda, Composition Methods in Homotopy Groups of Spheres]

espacios; es decir, dada h : X → Y tenemos que h induce (de manera natural) una funci´ on h∗ entre los grupos h∗ : Πn (X, x0 ) −→ Πn (Y, y0 )

definida por h∗ ([f ]) = [h ◦ f ].

O V A T O S N U G BIA U R Cap´ıtulo 5

Espacios recubridores Contenido

5.1. Teoremas de levantamiento de caminos . . . . . 5.2. Homomorfismos inducidos por proyecciones recubridoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Criterio para el levantamiento de funciones. . . . 5.3. Clasificaci´ on de los recubrimientos sobre un espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135 140 . 144 148

Cuando calculamos el grupo Π1 (S 1 ) utilizamos un espacio recubridor de la circunferencia S 1 . Este espacio fue R por medio de la funci´ on p : R −→ S 1 la cual visualizamos como la proyecci´ on de una h´elice infinita que yace sobre la circunferencia, cubri´endola. La definici´ on de un espacio recubridor ser´ a la generalizaci´ on de este ejemplo y de sus propiedades; de suerte que, algunos de los hechos que probamos para la funci´ on p (por ejemplo, los levantamientos de caminos y de homotop´ıas) ser´ an v´ alidos en la teor´ıa general, y por tanto tendremos m´ as herramientas para calcular grupos fundamentales. As´ı como R es m´ as “sencillo” que S 1 , en general, los espacios que cubren ser´ an m´ as sencillos que los espacios cubiertos aunque localmente sean similares. Adem´ as, se enriquecer´ a la relaci´ on entre el a´lgebra y la topolog´ıa. La teor´ıa de espacios de recubrimiento es una teor´ıa cl´ asica y hermosa, cuyos or´ıgenes est´ an tanto en el an´ alisis como en la topolog´ıa. ¿Por qu´e incluir este tema en un texto sobre topolog´ıa y ´ algebra? La raz´ on es algo m´ as bien sorprendente: la clasificaci´ on de los espacios recubridores de un 139

140

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

espacio X dado depende sobre el grupo fundamental Π1 (X, x0 ): hay tantos espacios recubridores diferentes como subgrupos diferentes tenga Π1 (X, x0 ). Otra oportunidad es la de poder efectuar algunos c´ alculos de grupos fundamentales. Definici´ on 5.1. Un espacio recubridor o recubrimiento de un espacio e (lo notamos as´ı, para recordar que la e cubre a X) X es un espacio X e −→ X sobreyectiva (p es la funci´ junto con una funci´ on continua p : X on recubridora, X el espacio base) la cual localmente alrededor de cada punto del espacio base X luce esencialmente como la funci´ on can´ onica de una uni´ on disyunta de copias del espacio sobre el original. Esta propiedad

U ×A

|

p

U

local se define formalmente como: Existe un recubrimiento abierto {Uα }α de X tal que para cada α, el e cada conjunto p−1 (Uα ) es una uni´ on disyunta de conjuntos abiertos en X, uno de los cuales es enviado de manera homeomorfa sobre Uα , i.e., 1. p−1 (Uα ) =

S

i∈I

Uαi con Uαi ∩ Uαj = ∅ para i 6= j.

2. p|Uαi : Uαi ≈ Uα (homeomorfismo local). Dicho de otra manera, para cada x ∈ X existe una vecindad abierta Ux (llamada vecindad elemental) tal que p−1 (Ux ) = ΣUj , (j ∈ J) es una uni´on disyunta de conjuntos (llamados las s´ abanas sobre los Uj ) con p(Uj ) ≈ Ux —localmente la preimagen de Ux es uni´ on disyunta de copias de Ux , es decir, p−1 (Ux ) ≈ Ux ×(conjunto discreto)—; este conjunto discreto es precisamente p−1 (x). e −→ X es un recubrimiento, el cardinal # p−1 (x) Definici´ on 5.2. Si p : X de una fibra sobre x es llamado la multiplicidad del cubrimiento en el punto x.

1

141

O V A T O S N U G BIA U R

La multiplicidad es obviamente localmente constante y si la base X del cubrimiento es conexa entonces es globalmente constante, i. e., el cardinal de las fibras es el mismo, y se puede hablar del n´ umero de hojas del cubrimiento. Ejemplo 5.3 (Recubrimiento trivial). Si X es un espacio topol´ ogico y e D es un espacio discreto, entonces la funci´ on proyecci´ on p : X = D×X → X con p(d, x) = x es un recubrimiento. Ejemplo 5.4. p : R −→ S 1 con p(t) = (cos 2πt, sen 2πt). El cubrimiento {Uα }α∈{1,2} utilizado en la demostraci´ on del teorema 4.23 consisti´ o de la uni´ on de dos arcos abiertos cuya uni´ on era S 1 y p−1 (Uα ) era una uni´ on infinita de intervalos abiertos disyuntos homeomorfos a Uα . Este en un cubrimiento con un n´ umero infinito y enumerable de hojas.

e ≈ X —homeomorfos— entonces X e es un espacio de Ejemplo 5.5. Si X recubrimiento de una sola hoja.

Ejemplo 5.6. La proyecci´ on natural q : S n → RP n es un espacio de recubrimiento de dos hojas. De manera particular dibujamos el caso n = 2, donde mostramos un abierto fundamental U del espacio base y su respectivo recubrimiento por dos hojas (ver el ejemplo 5.27 para el c´ alculo de su grupo fundamental).

U

Ejemplo 5.7. Para cada n ∈ N definimos la funci´on pn : S 1 −→ S 1 como pn (z) = z n para z ∈ C con kzk = 1. Si en R2 utilizamos coordenadas polares (r, θ) la circunferencia est´ a definida por la condici´on r = 1 y la funci´on se puede describir como pn (1, θ) = (1, nθ). Todo intervalo abierto de S 1 es una vecindad elemental y se tiene un recubrimiento de n–hojas. Por supuesto esta funci´on no la podemos realizar en un mundo tridimensional pero s´ı la podemos visualizar como la proyecci´on en R3 de una circunferencia que se enrolla n-veces alrededor de un cilindro que se intercepta en n − 1 puntos, pero uno “piensa” que no se intercepta (como en la botella de Klein). e −→ X y q : Ye −→ Y son funciones de recubrimiento, Ejemplo 5.8. Si p : X e entonces p × q : X × Ye −→ X × Y es una funci´on de recubrimiento. En efecto, el producto de vecindades elementales es una vecindad con S S elemental, −1 −1 −1 (p S × q) (Vx × Vy ) = (α,β) Vα × Vβ donde p (Vx ) = α Vα y q (Vy ) = β Vβ .

142

& "#$"#%

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

Figura 5.1: pn : S 1 −→ S 1 con pn (z) = z n .

Las siguientes funciones son recubridoras del toro T = S 1 × S 1 :

1. La funci´ on p × p : R × R → S 1 × S 1 donde p es la funci´ on recubridora del ejemplo 5.4. N´ otese que cada uno de los cuadrados (como en el ejemplo de la p´ agina 59) se enrollan para formar un toro. 3

2

1

0

-1

-2

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 5.2: Un espacio de recubrimiento para S 1 × S 1 .

2. La funci´ on p × idS 1 : R × S 1 → S 1 × S 1 . 3. La funci´ on idS 1 × idS 1 : S 1 × S 1 → S 1 × S 1 . 4. La funci´ on pn × pm : S 1 × S 1 → S 1 × S 1 con (z, w) 7→ (z n , wm ). Ejemplo 5.9. Una fuente natural y de hecho un m´etodo de construcci´on de espacios de recubrimiento est´a dado por las acciones de grupos sobre

143

O V A T O S N U G BIA U R

espacios topol´ ogicos; exactamente, las llamadas propiamente discontinuas. Por ejemplo µ : Z × R → R con µ(n, x) = n + x. De R/Z ≡ S 1 tenemos Π1 (R/Z) = Π1 (S 1 ). Ejemplo 5.10. Las figuras 5.4 y 5.3 muestran dos espacios recubridores del espacio 8 = S 1 ∨ S 1 formado por las dos circunferencias A y B y el punto q en com´ un.

Figura 5.3: Un cubrimiento de tres s´ abanas

En la segunda figura 5.4, la proyecci´on p enrolla la primera circunferencia e una vez alrededor de la circunferencia A, la (de izquierda a derecha) en X segunda dos veces alrededor de B, la tercera dos veces al rededor de A, y as´ı sucesivamente, como se indica. N´otese que la fibra en cada punto x ∈ X consta exactamente de cuatro puntos y que se trata de un cubrimiento de cuatro hojas. U3

U1

2B

e = X

U2

U4

p Wx

B

A q

Figura 5.4: Wx es una vecindad elemental y Ui , i = 1, 2, 3, 4 son sus vecindades homeomorfas.

e −→ X es una funci´ Ejemplo 5.11. Si p : X on recubridora, X0 es un sub−1 f f0 −→ X0 es espacio de X y X0 = p (X0 ), entonces la restricci´ on p0 | : X tambi´en una funci´on recubridora.

144

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

En efecto, las intersecciones se comportan bien; esto es, dada en X una vecindad elemental Vx0 de un punto x0 ∈ X0 , tenemos que Vx0 ∩ X0 lo es en X0 y adem´ as [ f0 = (Vα ∩ X f0 ). p−1 (Vx0 ∩ X0 ) = p−1 (Vx0 ) ∩ p−1 (X0 ) = (∪α Vα ) ∩ X α

Si en el ejemplo 5.8.1 consideramos el subespacio X0 = (S 1 × x0 ) ∪ (x0 × S 1 ) donde x0 = p(0), i. e. X0 es la figura ocho de la gr´ afica formada por las dos circunferencias, entonces la cuadr´ıcula mostrada en la figura 5.2 es un recubrimiento de la figura “8”.

Proposici´ on 5.12. Dado un recubrimiento e −→ X, para cada x ∈ X el subespacio p : X p−1 (x) (la fibra sobre x) tiene la topolog´ıa discreta. Demostraci´ on. Como cada Uj ∈ p−1 (Ux ) es abierto por definici´ on, se tiene que p−1 (x)∩Uj = {e x} es un abierto para la topolog´ıa de subespacio de la fibra.

p

e −→ X la funci´ Teorema 5.13. Para cada recubrimiento p : X on p es abierta. e un abierto, veamos que p(U ) es abierto en X. Demostraci´ on. Dado U ⊆ X Dado x ∈ p(U ), sea Ux una vecindad elemental. Para cada x e ∈ p−1 (x) ∩ U −1 tenemos que x e ∈ p (Ux ) y por tanto existe una rebanada Uαi para la cual x e ∈ Uαi . Como U ∩ Uαi es un abierto en Uαi y p|Uαi : Uαi ≈ Ux tenemos que p(U ∩ Uαi ) es un abierto de U y por tanto de X y, como p(U ∩ Uαi ) ⊆ p(U ) entonces p(U ∩ Uαi ) es una vecindad de X contenida en p(U ). En general, los homeomorfismos locales f : M → X (cada punto m ∈ M tiene una vecindad abierta Vm tal que f (Vm ) es abierto y f |Vm : Vm → f (Vm ) es un homeomorfismo) son funciones abiertas y hacen que el espacio M en el

145

5.1. TEOREMAS DE LEVANTAMIENTO DE CAMINOS

O V A T O S N U G BIA U R

'()

dominio herede las propiedades topol´ ogicas que son locales en el codominio X (conexidad local, compacidad local, etc.). Si adem´ as f es sobreyectiva, X tambi´en hereda las propiedades locales de M .

e −→ X la funci´ Corolario 5.14. Para cada recubrimiento p : X on p es una funci´ on cociente; esto es, la topolog´ıa sobre X es la topolog´ıa cociente con respecto a p.

Demostraci´ on. En efecto, p es continua, abierta y sobreyectiva; por tanto e V ⊆ X es abierto si y s´ olo si p−1 (V ) es abierto en X. Ejemplo 5.15. El hecho de que una funci´ on f : M → X sea un homeomorfismo local sobreyectivo no implica que tenemos un recubrimiento del espacio X. Por ejemplo, si M es el intervalo abierto (0, 2) ⊂ R y X = S 1 la funci´ on f (x) = exp(x) : (0, 2) → S 1 no garantiza la existencia de vecindades elementales para el punto 1 ∈ S 1 y por tanto no se trata de una funci´ on de recubrimiento.

5.1.

f

Teoremas de levantamiento de caminos

El buen comportamiento de los espacios recubridores con respecto a los levantamientos es una de sus cualidades. Recordemos que dado un recue −→ X un levantamiento de una brimiento p : X funci´ on continua f : Y −→ X es una funci´ on e e e continua f : Y −→ X tal que p ◦ f = f .

fe

Y

pp p

pp pp f

e X

p

?

- X

Por supuesto no toda funci´on tiene porqu´e admitir levantamientos; por ejemplo, la funci´on id : S 1 → S 1 no admite un levantamiento con respecto al recubrimiento p : R → S 1 con p(x) = e2πix . En otras palabras, no existe una funci´on continua g : S 1 → R tal que p ◦ g = idS 1 . Veremos que, con respecto a los caminos en el espacio base, s´ı podemos estar tranquilos. e −→ X es un espacio de recubrimiento y En general sabemos que si p : X e e g : [0, 1] −→ X es un camino en X, entonces p ◦g es un camino en X. Ahora,

146

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

e con g0 ' g1 en cuanto a homotop´ıas tenemos que, si g0 , g1 : [0, 1] −→ X entonces p ◦ g0 ' p ◦ g1 . Podemos preguntarnos por una especie de resultado inverso, es decir,

Si f : [0, 1] −→ X es un camino en X, ¿existe un camino g : [0, 1] −→ e (levantamiento de f ) tal que p ◦ g = f ? X

e y p ◦ g0 ' p ◦ g1 ¿podemos concluir que g0 ' g1 ? Si g0 , g1 : [0, 1] −→ X

En efecto, la respuesta a estas preguntas es afirmativa, y est´ a dada por dos teoremas.

e −→ X un Teorema 5.16 (Levantamiento de caminos). Sean p : X recubrimiento y f : [0, 1] −→ X un camino con punto inicial f (0) = x0 . Dado un punto x f0 en la fibra de x0 —f x0 ∈ p−1 (x0 )— existe entonces un e e u ´nico camino f : [0, 1] −→ X comenzando en f x0 y que levanta a f , i.e. p ◦ fe = f . (Una vez fijemos el punto inicial sobre x0 , esto es a f x0 , el camino es entonces levantado de manera u ´nica). f˜

x ˜0

x0

f˜ •

•

f •

•

Figura 5.5: Construcci´on del levantamiento

Demostraci´ on. Si el camino f est´a contenido en una vecindad elemental Uα no hay ning´ un problema para obtener el levantamiento, puesto que si −1 V ∈ p (Uα ) es tal que x e0 ∈ V entonces la restricci´on p |V : V ≈ Uα nos produce el levantamiento al tomar p |−1 V ◦f . Como f en general no est´a contenida en una u ´nica vecindad elemental Uα entonces procedemos de la manera siguiente: f se puede expresar como el

1

5.1. TEOREMAS DE LEVANTAMIENTO DE CAMINOS

147

O V A T O S N U G BIA U R

producto de caminos m´ as cortos, con la propiedad de que cada uno de ellos est´ a contenido en una vecindad elemental (teorema de Lebesgue) y entonces como en el caso anterior, levantamos a cada uno de estos pedazos de manera sucesiva y teniendo en cuenta que se peguen “bien”, es decir, cuidando la continuidad.

La unicidad se sigue del hecho siguiente, el cual nos dice que: si dos elevaciones desde un espacio conexo en un espacio de recubrimiento se tocan en un punto, entonces son iguales. e −→ X Proposici´ on 5.17 (El levantamiento es u ´ nico). Sean p : X un cubrimiento y una funci´ on continua f : Y −→ X la cual admite dos e e e Si Y es conexo y fe1 (y0 ) = fe2 (y0 ) para alg´ levantamientos f1 , f2 : Y → X. un e punto y0 ∈ Y entonces f1 = fe2 .

Demostraci´ on. Mostremos que A = {y ∈ Y |fe1 (y) = fe2 (y} el conjunto donde las dos funciones coinciden es un aberrado, y por ser no vac´ıo debe ser entonces todo Y . Dado y ∈ Y , consideremos una vecindad elemental U ⊆ X de f (y), es decir, p−1 (U ) es una uni´ on disyunta de abiertos Uα cada uno de los cuales e1 y U e2 dos de homeomorfo a U por medio de la restricci´ on de p, y sean U e e tales abiertos conteniendo a f1 (y) y f2 (y), respectivamente. Por la continuidad de fe1 y fe2 existe una vecindad Ny (la intersecci´ on) e e e e tal que f1 (Ny ) ⊆ U1 y f2 (Ny ) ⊆ U2 . e1 6= U e2 y por tanto disyuntas con lo cual fe1 (Ny ) ∩ Si y ∈ / A, entonces U e f2 (Ny ) = ∅ lo que implica que Ny ⊆ Ac , es decir A es cerrado.

e1 y U e2 se interceptan con lo que U e1 = U e2 y por tanto Si y ∈ A, entonces U e1 = U e2 . fe1 = fe2 sobre Ny ya que p ◦ fe1 = p ◦ fe2 = f y p es inyectiva sobre U Por consiguiente A es tambi´en abierto.

El lema anterior nos da existencia y unicidad para levantar un camino en un espacio base de un recubrimiento. Ahora, es importante conocer el comportamiento cuando “existen par´ ametros adicionales”, es decir, cuando se trata de levantar toda una familia de funciones, esto es, una homotop´ıa H : Y × [0, 1] → X, y de manera an´ aloga, a cambio de un u ´nico punto y0 como punto inicial, con y0 en la fibra de f (0), tenemos toda “una funci´ on continua como punto inicial” e h0 : Y → X sobre h0 , es decir p ◦ e h0 = h0 .

148

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

Problema a evitar

f h0

Y

h0

y

Figura 5.6: El “buen comportamiento” para el levantamiento de homotop´ıas.

Ahora, si para cada y ∈ Y fijo, levantamos el correspondiente camino hy : {y} × I → X en el punto inicial dado por e h0 (y), obtenemos toda e : Y × [0, 1] → X. e La pregunta es si H e puede fallar en ser una funci´ on H e continua. La respuesta es que H es continua. Para probarlo utilizamos una t´ecnica similar a la empleada en el caso del recubrimiento p : R → S 1 . Teorema 5.18 (Levantamiento u ´ nico de homotop´ıas). Dados un ese −→ X, un espacio topol´ pacio de recubrimiento p : X ogico Y localmente e conexo, una homotop´ıa H : Y × [0, 1] → X y un levantamiento e h0 : Y → X e : Y × [0, 1] → X e que levanta de h0 , entonces existe una u ´nica homotop´ıa H e e e a H y adem´ as H0 = h0 (comenzando en el camino h0 ). Demostraci´ on. N´ otese que para cada y ∈ Y la funci´on H|y×I := hy : [0, 1] → X con hy (t) = H(y, t) = ht (y) es un camino en X que comienza en h0 (y), y de acuerdo con el teorema 5.16 e que comience en puede ser levantado de manera u ´nica a un camino en X f e e h0 (y). Veamos entonces que la funci´on H : Y × [0, 1] → X, con (y, t) 7→ e hy (t) formada por los levantamientos de cada uno de los caminos hy y comenzando en e h0 (y) es continua (ver figura 5.8).

149

5.1. TEOREMAS DE LEVANTAMIENTO DE CAMINOS

O V A T O S N U G BIA U R e = H; el problema es mostrar Por definici´ on, p◦H la continuidad. La demostraci´ on se basa en el hecho de que, para cada punto y ∈ Y existe una vecindad Ny tal que sobre la vecindad Ny ×I (un e N ×[0,1] : tubo alrededor de {y}×I) la funci´ on H| y e es continua y por tanto H e : Ny × [0, 1] → X e lo es, al serlo sobre cada miembro Y ×[0, 1] → X de un cubrimiento abierto de Y × [0, 1].

I

It

y0

Y

Sea U = {Uα }α el cubrimiento por vecindades elementales de X. Dado un punto y0 ∈ Y para cada t ∈ [0, 1] sean It = (at , bt ) una vecindad de t y Nt una vecindad conexa de y0 tales que la vecindad producto Nt × It satisface H(Nt × It ) ⊆ Uα para alg´ un Uα ∈ U (continuidad de H en (y, t)). Como {y0 } × I es compacto, finitos productos de la forma Nti × Iti cubren a {y0 } × I. Sean Nti las correspondientes vecindades de y0 para estas T finitas vecindades Iti . Sean N una vecindad conexa de y0 tal que Y ⊆ ni=1 Nti y δ es el n´ umero de Lebesgue para el cubrimiento abierto {Iti }ni=1 , existe una partici´on 0 = a0 < a1 < . . . < an = 1 del intervalo [0, 1] tal que ai+1 −ai < δ, y por tanto H(N × [ai , ai+1 ]) est´ a contenida en alguna vecindad elemental Uα la cual denotamos por Ui+1 . Como p ◦ e h0 = h0 y N × {0} es conexo, e h0 (N × {0}) est´ a contenido en e1 de p−1 (U1 ) y entonces H(N × una u ´nica componente (son disyuntas) U e1 en U1 y por [a0 , a1 ]) ⊆ U1 . Ahora, p |Ue1 proyecta de manera homeomorfa U e dada por F (y, t) = p |−1 ◦H(y, t) tanto la funci´on F : N × [a0 , a1 ] → X U1 est´ a bien definida y es continua. Ahora (y de manera constructiva) extendemos la definici´ on de F al intervalo [0, a2 ], esto es, a N × [0, a2 ]. Seleccionamos una vecindad elemental U2 en X tal que H(N × [a1 , a2 ]) ⊆ U2 y e2 para U e2 componente de p−1 (U2 ). F (N × {a1 }) ⊆ U

F puede ser extendida a N × [a1 , a2 ] si definimos F (y, t) = p |−1 U2 ◦H(y, t). N´ otese que en el punto de intersecci´ on t = a1 las dos definiciones por F coinciden. Repitiendo este proceso para cada intervalo [ai , ai+1 ], obtenemos e con la propiedad que F (y, t) = hy (t) para una funci´on F : N × [0, 1] → X e N ×I , y como F es continua, as´ı lo es cada y ∈ N y t ∈ I. Por tanto, F = H| e H.

150

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

e −→ X un espacio de recubrimiento, x0 ∈ X, Corolario 5.19. Sean p : X −1 x0 ∈ p (x0 ). Si H : f ' g rel{0, 1} : I → X son caminos hom´ f otopos con e e punto inicial x0 y f , ge : I → X son sus levantamientos comenzando en el mismo punto f x0 entonces fe ' e g, y tienen el mismo punto final fe(1) = ge(1).

e {1}×[0,1] : {1} × [0, 1] → Demostraci´ on. La restricci´ on de la homotop´ıa H| −1 p (x0 ) dada por t 7→ e ht (1) es una funci´ on continua que llega a la fibra discreta y por tanto se trata de una funci´ on constante.

5.2.

Grupo fundamental y espacios recubridores

e X

↓

X Figura 5.7: Los levantamientos de caminos hom´otopos llegan al mismo punto de la fibra, fe(1) = ge(1).

5.2.1.

Homomorfismo inducido por una proyecci´ on recubridora.

e x Lema 5.20. Sea p : (X, e0 ) −→ (X, x0 ) un espacio de recubrimiento. Entonces la funci´ on ϕ : Π1 (X, x0 ) → p−1 (x0 ) dada por ϕ([α]) = α e(1)

donde α e es el u ´nico levantamiento de α con la condici´ on α e(0) = x0 .

5.2. GRUPO FUNDAMENTAL Y ESPACIOS RECUBRIDORES

151

O V A T O S N U G BIA U R

Demostraci´ on. Tomemos y ∈ p−1 (x0 ). Existe un camino β de x e0 a y ya que e es conexo por caminos. Sea α = p ◦ β, con lo que β = α X e por la unicidad del levantamiento, y por tanto ϕ([α]) = β(1) = y. La siguiente proposici´ on generaliza la situaci´ on entre Π1 (S 1 ), R y Z.

e x Proposici´ on 5.21. Sea p : (X, e0 ) −→ (X, x0 ) un espacio de recubrie x miento con (X, e0 ) simplemente conexo. Entonces existe una biyecci´ on ϕ : −1 Π1 (X, x0 ) → p (x0 ). Demostraci´ on. Definimos ϕ([α]) = α e(1). Por el lema, solo nos resta ver la e inyectividad. Sean ϕ([α]) = ϕ([β]) = y ∈ p−1 (x0 ), es decir, α e(1) = β(1) = y. −1 e e Como X es simplemente conexo tenemos que [e α  β ] = [cxe0 ] y por tanto e i.e., α ' β luego [α] = [β]. α e = βe con lo que p ◦ α e = p ◦ β,

El siguiente corolario presenta otra demostraci´ on de un hecho que ya conocemos: la cardinalidad de las fibras es constante si x recorre al espacio base. Esta cardinalidad es llamada el n´ umero de hojas o la multiplicidad del cubrimiento. e −→ X un espacio de recubrimiento entonces para Corolario 5.22. Si p : X cada x ∈ X, los conjuntos p−1 (x) tienen la misma cardinalidad.

Demostraci´ on. Supongamos que x0 , x1 ∈ X y sea f : [0, 1] → X un camino e con que los conecta. Si f x0 ∈ p−1 (x0 ) podemos levantar f a fe : I → X −1 e e f (0) = x e0 . Si definimos x f1 = f (1) ∈ p (x1 ) entonces tenemos una biyecci´ on u : p−1 (x0 ) → p−1 (x1 ) cuya inversa se construye al levantar a f r . El siguiente resultado muestra que el grupo fundamental de un espacio recubridor puede verse, en cierto sentido, como un subgrupo del grupo fune damental del espacio base. Por supuesto la elecci´ on del punto base en X ser´ a fundamental. e −→ X es un espacio de recubrimiento, Proposici´ on 5.23. Sean p : X −1 x0 ∈ X, y f x0 ∈ p (x0 ). Entonces el homomorfismo de grupos inducido p∗ :

Q

e

x0 ) 1 (X, f

−→

Q

1 (X, x0 )

e x e x es un monomorfismo. El subgrupo p∗ (Π1 (X, f0 )) es notado como G(X, e0 ) ≤ Π1 (X, x0 ) (si no es necesario especificar a p) y lo llamamos el subgrupo caracter´ıstico del cubrimiento.

152

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

Demostraci´ on. Veamos que el n´ u Qcleo del homomorfismo es el subgrupo trivial. Sea p∗ [f ] := [p ◦ f ] = 1 ∈ 1 (X, x0 ). Existe entonces una homotop´ıa H : p ◦ f ' cx0 de caminos cerrados en f x0 entre p ◦ f y el camino constante e con puntos fijos en f cx0 . Si levantamos H a una homotop´ıa H x0 entonces f f H0 = f y H1 es un levantamiento del Q camino constante cx0 , y por tanto e x tambi´en es constante. Luego, [f ] = 1 ∈ 1 (X, f0 ).

Esta proposici´ on puede ser vista como una condici´ on necesaria para que un espacio pueda ser recubrimiento de un espacio X. A´ un mas, es el primer paso en la clasificaci´ on de espacios de recubrimiento sobre un espacio fijo, teorema 5.31.

Si en la proposici´ on anterior cambiamos el punto tomado en la fie x bra ¿qu´e efecto se produce en los subgrupos caracter´ısticos G(X, e0 ), −1 e G(X, x e1 ) para x f0 , x f1 ∈ p (x0 )? ¿De qu´e informaci´ on topol´ ogica puede proveernos el subgrupo caracter´ıstico?

De aqu´ı en m´ as (y como es usual en varios textos) asumimos que los espacios e involucrados en la definici´ e f X yX on de p : (X, x0 ) −→ (X, x0 ) con conexos por caminos, X es localmente conexo por caminos y punteados con f x0 ∈ p−1 (x0 ).

e x El siguiente teorema de conjugaci´ on, muestra que el subgrupo G(X, e0 ) −1 puede cambiar si var´ıa el punto base x e0 tomado en p (x0 ), pero el cambio no es demasiado, no nos salimos de la clase de conjugaci´ on (definici´ on 2.14). e → X un espacio de recubriTeorema 5.24 (Conjugaci´ on). Sea p : X miento. El conjunto e x C = {G(X, e) : x e ∈ p−1 (x0 )}

forma una clase conjugada completa de subgrupos de Π1 (X, x0 ). Es decir (ver definici´ on 2.14): e f e x 1. Si f x0 , x f1 ∈ p−1 (x0 ), para los subgrupos G(X, x0 ), G(X, f1 ) existe un −1 e x e f elemento g ∈ Π1 (X, x0 ) tal que G(X, f0 ) = g G(X, x1 )g. Recordemos que

e f G(X, x0 ) = p∗ (Π1 (X, x0 ))

e f = {[µ] : [µ] ∈ Π1 (X, x0 ) y [µ] = p∗ ([%]) para [%] ∈ Π1 (X, x0 )}.

153

5.2. GRUPO FUNDAMENTAL Y ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R 2. Si C ∈ C y g ∈ Π1 (X, x0 ), entonces g−1 Cg ∈ C.

e x 3. Cada subgrupo conjugado de G(X, f0 ) en Π1 (X, x0 ) es de la forma −1 e x G(X, f1 ) para f x1 ∈ p (x0 ).

Demostraci´ on. Primero veamos que C es una clase conjugada de subgrupos. e f e f Supongamos que G(X, x0 ), G(X, x1 ) ∈ C.

e un camino que conecta a f Sea τ : I → X x0 con x1 con lo que p ◦ τ es un camino en X cerrado f en x0 ; adem´ as, [p ◦ τ ]−1 = [p ◦ τ r ]. Mostremos e x que para g = [p ◦ τ ] se tiene que G(X, f0 ) = −1 e x e x g G(X, f1 )g. Para ello, dado [α] ∈ Π1 (X, f0 ), r e entonces para [β]:=Tτ [α] = [τ ατ ] ∈ Π1 (X, x f1 ) se tiene que

x e1

τ

↓p

x e0

x0

p∗ ([β]) = p∗ ([τ ατ r ]) = [p◦τ ][p◦α][p◦τ r ] = [p◦τ ][p◦α][p◦τ ]−1 = gp∗ ([α])g−1 e f e x con lo que los subgrupos G(X, x0 ), G(X, f1 ) son conjugados y ser´an iguales e si g ∈ N [G(X, x f0 )] en Π1 (X, x0 ) (ver definici´on de normalizador en la p´agina 13).

El diagrama 5 de la p´ agina 108 se aplica en esta situaci´on y nos produce el siguiente diagrama donde Tτ y Tp◦τ son isomorfismos e f Π1 (X, x0 ) Tτ ≈

?

e f Π1 (X, x1 )

p∗

- Π1 (X, x0 ) ≈ Tp◦τ

? - Π1 (X, x0 ) p∗

e x Supongamos ahora que, p∗ (Π1 (X, e)) ∈ C y g = [β] ∈ Π1 (X, x0 ). El camino β tiene un u ´nico levantamiento τ = βe que comienza en x e terminando en −1 alg´ un punto x e1 ∈ p (x0 ). Entonces e x e x g−1 p∗ (Π1 (X, e))g = p∗ (Π1 (X, e1 )) ∈ C

e x e x ya que si [α] ∈ Π1 (X, e), entonces g−1 p∗ ([α])g = p∗ ([τ r ατ ]) ∈ p∗ (Π1 (X, e1 )) r e y de manera contraria, si [γ] ∈ Π1 (X, x e1 ), entonces para [α] = [τ  α  τ ] se verifica que p∗ ([γ]) = g−1 p∗ ([α])g.

154

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

e f Finalmente, sea g−1 G(X, x0 )g un subgrupo conjugado con g ∈ Π1 (X, x0 ). Si g = [α] para un camino cerrado α : I → X, entonces α e es un camie no en X con punto inicial x e0 y digamos que con punto final x e1 . Entonces e x e x G(X, f1 ) = g−1 G(X, f0 )g.

Como en esta secci´ on hemos asumido que los espacios son conexos por caminos, una clase importante de espacios recubridores es la siguiente.

e → X se llama regular Definici´ on 5.25. Un espacio de recubrimiento p : X e o normal si el subgrupo caracter´ıstico G(X, x f0 ) resulta ser un subgrupo normal en Π1 (X, x0 ). N´ otese que la condici´ on es independiente de la elecci´ on −1 del punto base x0 y del punto en la fibra x f0 ∈ p (x0 ). La siguiente proposici´ on muestra el inicio de una estrecha y hermosa relaci´ on entre el ´ algebra y la topolog´ıa que guarda la teor´ıa de los espacios de recubrimiento.

e x Proposici´ on 5.26. El n´ umero de hojas de un recubrimiento p : (X, f0 ) −→ e (X, x0 ) es igual al ´ındice de G(X, x e0 ) en Π1 (X, x0 ). (Ver definici´ on 2.6)

Demostraci´ on. Sean g un camino en X cerrado en el punto x0 , y e g su lee x vantamiento con punto inicial x e0 . Por comodidad notemos H := G(X, e0 ) y definamos una funci´ on Φ:

Π1 (X, x0 ) g(1) −→ p−1 (x0 ) como H · [g] 7→ e H

la cual est´ a bien definida, pues para cada [h] ∈ H el producto h  g tiene un levantamiento e h  ge que termina en el punto ge(1) ya que e h es un camino cerrado. Podr´ıa pensarse que Φ(H · [g]) depende del representante de la clase [g], pero este no es el caso, pues si m ∈ [g], entonces m ' g(rel{0, 1}) implica m(1) e =e g(1) por el corolario 5.19.

e implica que Φ es sobreyectiva ya que La conexidad por caminos en X el punto x e0 puede ser unido a cualquier punto en p−1 (x0 ) por medio de un camino ge que se proyecta —p(e g ) = g— en un camino g cerrado en x0 . Veamos finalmente que Φ es inyectiva. Si Φ(H ·[g1 ]) = Φ(H ·[g2 ]) entonces ge1 (1) = ge2 (1) con ge1 (0) = ge2 (0) = x e0 y p ◦ ge1 = g1 y p ◦ ge2 = g2 . Por tanto, ge1 r  ge2 es un camino cerrado en x e0 , lo que implica que e x [p ◦ (ge1 r  ge2 )] = [(p ◦ ge1 )r ]  [p ◦ ge2 ] = [g1 ]−1 [g2 ] ∈ p∗ (Π1 (X, e0 )) = H

y as´ı H[g1 ] = H[g2 ].

5.3. CRITERIO PARA LA EXISTENCIA DE LEVANTAMIENTOS

155

O V A T O S N U G BIA U R

Ejemplo 5.27. Por el ejemplo 5.6, la proyecci´ on natural q : S n → RP n es un espacio de recubrimiento de dos hojas. Como π1 (S n ) = 0, la proposici´ on anterior implica que el grupo fundamental del espacio proyectivo para n > 1 debe constar de dos elementos, es decir, Π1 (RP n ) ≈ Z2 .

5.3.

Criterio para la existencia de levantamientos

Con respecto al levantamiento de funciones que son caminos o homotop´ıas, los espacios de recubrimiento tienen un buen comportamiento. Pero con respecto a funciones m´ as generales, no toda funci´ on tiene por qu´e admitir levantamientos; por ejemplo, la funci´ on id : S 1 → S 1 no admite un levantamiento con respecto al cubrimiento p : R → S 1 con p(x) = e2πix . En otras palabras, no existe una funci´ on continua g : S 1 → R tal que p ◦ g = idS 1 . ¿Qu´e podemos decir entonces? En esta secci´ on responderemos a esta pregunta dando condiciones necesarias y suficientes para funciones con codominio en el espacio base. Este resultado mostrar´ a c´ omo un problema geom´etrico (existencia de una funci´ on entre espacios topol´ ogicos) puede ser resuelto enteramente en t´erminos algebraicos (contenencia de grupos).

e f Sean p : (X, x0 ) −→ (X, x0 ) un cubrimiento y p : (Y, y0 ) −→ (X, x0 ) e x una funci´ on continua. Si existiera un levantamiento fe : Y → (X, f0 ) de f tal que p ◦ fe = f , de manera autom´ atica tenemos entonces un diagrama con

respecto a los grupos fundamentales y los homomorfismos inducidos:

fe

pp p

p pp

p pp p

Y

f

e f (X, x0 ), p

? - (X, x0 )

fe∗

pp p p3 p pp

pp

p pp p

Π1 (Y, y0 )

e f Π1 (X, x0 ),

f∗

p∗

? - Π1 (X, x0 )

Por la conmutatividad del diagrama tenemos que

luego,

e x f∗ (Π1 (Y, y0 )) = p∗ (fe∗ (Π1 (Y, y0 ))) ⊆ p∗ (Π1 (X, f0 )) ⊆ Π1 (X, x0 )

e x f∗ env´ıa a Π1 (Y, y0 ) dentro del subgrupo caracter´ıstico G(X, e0 ) es una condici´ on necesaria... pero de manera afortunada tambi´en resulta suficiente —nuevamente se entrelazan las preguntas topol´ ogicas con respuestas

156

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

algebraicas, y el grupo fundamental nos proporciona as´ı una condici´ on para resolver un cierto problema de levantamiento—. Teorema 5.28 (Fundamental de los espacios de recubrimiento). e f Sean p : (X, x0 ) −→ (X, x0 ) un cubrimiento, Y un espacio conexo y localmente conexo por caminos. Una funci´ on continua f : (Y, y0 ) −→ (X, x0 ) e admite un levantamiento f si y solo si f∗ env´ıa a Π1 (Y, y0 ) dentro del sube x grupo caracter´ıstico G(X, e0 ), i.e., e f f∗ (Π1 (Y, y0 )) ⊆ p∗ (Π1 (X, x0 ))

Demostraci´ on. :) es inmediata, pues si fe existe entonces f = pfe implica e f∗ = p∗ f∗ lo cual determina la contenencia. Veamos que la condici´ on es suficiente, es decir definamos a fe. Dado

y ∈ Y , lo conectamos a y0 por medio de un camino α : I → Y (Y es conexo por caminos de acuerdo con el teorema 3.87) y obtenemos ahora un camino f ◦ α en X que comienza en x0 el cual tiene un u ´nico levantamiento f] ◦α comenzando en x e0 , y definimos fe(y) como el punto final f] ◦ α(1) de este e camino en X. Ahora mostremos que fe(y) no depende de la elecci´ on del camino α. Si β es otro camino de y0 a y entonces f] ◦ β(1) = f] ◦ α(1). El camino α  β r es un camino en Y cerrado en y0 , y por tanto f∗ (α  β r ) es un camino cerrado en x0 . Luego f∗ [α  β r ] = [(f ◦ α)  (f ◦ β r )] ∈ f∗ (Π1 (Y, y0 )) y como por hip´ otesis e x f∗ (Π1 (Y, y0 )) ⊆ p∗ (Π1 (X, f0 )) entonces existe un camino h cerrado en x e0 r tal que [p ◦ h] = [f (α  β )].

Sean H : I × I → X una homotop´ıa (rel {0, 1}) de h0 = p ◦ h a e : I×I → X e su levantamiento h1 = f (α  β r ) y por el teorema 5.18 sea H r e 0 = h y p(H e 1 ) = f ◦ (α  β ) = (f ◦ α)  (f ◦ β r ). La restricci´ tal que H on e H|{1} × I es continua y por tanto conexa sobre la fibra, es decir constante e 1) = x e 1 es un camino cerrado en x a H(1, e0 lo que implica que H e0 pues e e H1 (1) = x e0 = H1 (0). Por el levantamiento u ´nico de caminos tenemos que la primera mitad del e levantamiento H1 debe ser f] ◦ α y la segunda f] ◦ β recorrida al contrario, r ] ^ ] con el punto com´ un (f ◦ α)(1) = (f ◦ β )(0) = (f ◦ β)(1). Para ver que fe es continua, necesitaremos de la conexidad local por ca-

minos en Y . Dado y ∈ Y , sea Uf (y) ⊆ X una vecindad elemental con un ee ⊆ X e tal que la restricci´ e → U es un homeolevantamiento U on p : U f (y)

157

5.3. CRITERIO PARA LA EXISTENCIA DE LEVANTAMIENTOS

O V A T O S N U G BIA U R x e0

f] ◦α

p

β

y0

Wy

Uf (y)

f

x0

α

f ◦α

Figura 5.8: Wy es una vecindad conexa por caminos y Uf (y) es una vecindad elemental.

morfismo. Por la continuidad y lo local de la conexidad existe Vy vecindad abierta y conexa por caminos tal que f (Ny ) ⊆ U .

Para mostrar la continuidad de fe veamos que tambi´en tenemos fe(Vy ) ⊆ e . Dado un punto y 0 en V , fijemos primero un camino α que conecte a y0 U con y y a continuaci´ on elegimos un camino τ en V que conecte a y con y 0 , de suerte que el camino α  τ conecte a y0 con z en Y . Su imagen f ◦ (α  τ ) = (f ◦ α)  (f ◦ τ ) es un camino en X, el cual tiene como levantamiento a (f] ◦ α)  (f] ◦ τ) donde (f] ◦ τ ) tiene punto inicial en {x0 }. Como f ◦ τ ([0, 1]) est´ a enteramente −1 ] contenida en U , su u ´nico levantamiento satisface f ◦ τ = p (f ◦ τ ) donde e , y por tanto p−1 : U → U e. fe(z) = (f] ◦ α  f] ◦ τ )(1) = f] ◦ τ (1) ∈ U

M´ as a´ un, se tiene que fe|V = p|−1 U ◦ f |V .

N´ otese que por la proposici´ on 5.17, el levantamiento, en caso de existir es u ´nico.

158

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

Ya hab´ıamos comentado que la funci´ on identidad id : S 1 → S 1 no se 1 e : S → R con p ◦ id e = id : S 1 → S 1 puesto levanta a una funci´ on id que Z  {0}. Si p5 (z) = z 5 (como en el ejemplo 5.7) con p5 : S 1 → S 1 entonces p3 : S 1 → S 1 no posee un levantamiento pe3 : S 1 → S 1 pues 3Z 5Z.

Si P i1 (Y, y0 ) = 0, entonces toda funci´ on f : Y → X se levanta a e El caso particular en que Y = [0, 1] es el teorema de fe : Y → X. levantamiento u ´nico de caminos. En caso de que Π1 (X, x0 ) = 0, entonces X no puede tener recubrimientos diferentes de s´ı mismo. e → X fuera uno, tendr´ıamos que la identidad id : En efecto, si p : X e i.e. p ◦ s = id. Si la fibra p−1 (x0 ) X → X se levantar´ıa a s : X → X, tuviera al menos dos puntos x0 , x1 sea σ un camino que los conecta. Entonces e →X →X e s ◦ p ◦ σ : [0, 1] → X

satisface p(s ◦ p ◦ σ) = (p ◦ s)(p ◦ σ) = p ◦ σ y por tanto σ y s ◦ p ◦ σ son levantamientos de un mismo camino σ y por consiguiente deben de ser iguales, lo que a su vez implica que σ es entonces un camino cerrado (pues p(f x0 ) = p(f x1 )), y por tanto la fibra p−1 (x0 ) tiene un e u ´nico elemento, o p : X → X es un homeomorfismo global. Como ejemplo tenemos que los espacios euclidianos Rn no admiten recubrimientos no–triviales.

5.4.

Clasificaci´ on de los recubrimientos sobre un espacio

Dado un espacio X, denotemos por Cov(X ) la categor´ıa cuyos objetos son los recubrimientos e → X y que tiene como morfismos las p : X e1 → X e2 tales que el siguiente funciones ϕ : X diagrama conmuta.

e1 X

ϕ

@

- X e2

p2

p1 @ R

X

159

´ DE LOS RECUBRIMIENTOS SOBRE UN ESPACIO 5.4. CLASIFICACION

O V A T O S N U G BIA U R N´ otese que efectivamente la composici´ on ϕ2 ◦ ϕ1 de dos morfismos es de nuevo un morfismo puesto que p3 ◦ (ϕ2 ◦ ϕ1 )= (p3 ◦ ϕ2 ) ◦ ϕ1 =p2 ◦ ϕ1 = p1 , y existe para cada objeto el e → X. e morfismo identidad id : X

e1 X

ϕ1

- X e2

@ p2 p1@ @ R ? @

ϕ2

- X e3

p3

X

e1 → X e2 es sobreyectivo. Proposici´ on 5.29. Cada morfismo ϕ : X e1 X

x1

f

h = p^ e 2◦f =g

ϕ

x

x2

p1

e2 X

y coinciden

ϕ ◦ h(1) = f (1)

p2 x0 g = p2 ◦ f

Figura 5.9: Coinciden.

e2 y veamos que existe x ∈ X e1 tal que ϕ(x) = y. Sea Demostraci´ on. Sea y ∈ X e x1 punto base en X1 y x2 = ϕ(x1 ) con x0 = p1 (x1 ) = p2 (x2 ) — recu´erdese e2 con origen en x2 y extremo que p2 ◦ ϕ = p1 —. Tomemos un camino f en X en y. Si g es el camino g = p2 ◦ f en X, entonces el levantamiento h = p^ 2◦f con punto inicial en x1 y con punto final, digamos x, satisface que tanto f como ϕ ◦ h tienen punto inicial en x2 y por tanto sus extremos (y todo por el teorema 5.16) deben coincidir ϕh(1) = f (1), es decir, ϕ(x) = y.

160

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

e1 → X e2 dos Proposici´ on 5.30. Sean ϕ1 , ϕ2 : X morfismos en Cov( X). Si ϕ1 (t) = ϕ2 (t) para e1 , entonces ϕ1 = ϕ2 . alg´ un t ∈ X

ϕ pp X e2 e1 p p p p p ϕp p1p p p X 2

@

p2

p1 @ R

X

Demostraci´ on. Por la proposici´ on 5.18 podemos ver a ϕ1 , ϕ2 como dos lee1 → X. vantamientos de la funci´ on p1 : X

Como en toda categor´ıa podemos hablar de isomorfismos: un isomore 1 → X y p2 : X e2 → X es un fismo entre los espacios de recubrimiento p1 : X e e e2 → X e1 morfismo ϕ : X1 → X2 para el cual existe otro homomorfismo ψ : X tal que las composiciones ψ ◦ ϕ y ϕ ◦ ψ son los morfismos identidad, es dee1 y X e2 . En otras palabras, X e1 y X e2 son cir, las funciones identidad para X e e equivalentes si existe un homeomorfismo ϕ : X1 → X2 tal que p2 ◦ ϕ = p1 . ¿Cu´ ando dos objetos en Cov(X ) son isomorfos? o en otras palabras, ¿cu´ ando e1 → X e2 ? Una vez m´ existe un isomorfismo ϕ : X as la respuesta es dada en t´erminos del ´ algebra.

Teorema 5.31 (De clasificaci´ on de espacios de recubrimiento). Dos e e2 , x espacios de recubrimiento p1 : (X1 , f x1 ) −→ (X, x0 ), p2 : (X f2 ) −→ (X, x0 ) (punteados) son isomorfos si y solo si tienen el mismo subgrupo caracter´ıstico. e1 , x e2 , x Demostraci´ on. Sea ϕ : (X f1 ) −→ (X f2 ) un homeomorfismo tal que e e p2 ◦ ϕ = p1 y veamos que G(X1 , x f1 ) = G(X2 , x f2 ) ⊆ Π1 (X, x0 ).

e1 , f e1 , x e1 , x e1 , x G(X x1 ) = p1 ∗ (Π1 (X f1 )) = (p2 ◦ ϕ)(Π1 (X f1 )) = p2 ∗ (ϕ∗ (Π1 (X f1 )) = e e = p2 ∗ (Π1 (X2 , x f2 )) = G(X2 , f x2 ).

En el otro sentido, si los subgrupos caracter´ısticos son iguales entonces podemos levantar las dos proyecciones p1 y p2 de tal manera que en el diagrama se satisfacen las composiciones p2 ◦ pe1 = p1 y p1 ◦ pe2 = p2 . Pero pe1 ◦e p2 es un levantamiento de p1 a s´ı mismo, e1 , f es decir pe1 ◦ pe2 es la funci´ on identidad en (X x1 ) y de manera semejante pe2 ◦ pe1 es la identidad e2 , x de (X f2 ), lo que implica que los espacios son isomorfos.

e2 , x e2 ) (X

p pp 3 pe2 p p  pp  p2 p p p  pe1 +  ? p1 - (X, x0 ) e1 , x (X e1 )

´ DE LOS RECUBRIMIENTOS SOBRE UN ESPACIO 5.4. CLASIFICACION

161

O V A T O S N U G BIA U R

N´ otese que en el teorema anterior los grupos fundamentales determinan la existencia y unicidad de funciones entre espacios topol´ ogicos con ciertas propiedades. e → X y dos puntos x Corolario 5.32. Dado un espacio recubridor p : X e1 , x e2 en la fibra de x0 ∈ X, existe un automorfismo ϕ ∈ D con ϕ(e x1 ) = x e2 si y e x e x solo si G(X, e1 ) = G(X, e2 ). Corolario 5.33 (de la proposici´ on 5.31). Dos espacios de recubrimiento e1 → X, p2 : X e2 → X son isomorfos si y solo si para todo par de puntos p1 : X e1 , x e2 con p1 (e x e1 ∈ X e2 ∈ X x1 ) = p2 (e x2 ) = x0 los subgrupos caracter´ısticos G1 y G2 son conjugados.

e1 → X e2 un isomorfismo, y sean x0 = ϕ(e Demostraci´ on. Sea ϕ : X x1 ) y 2 0 0 e G2 = p1 ∗ (Π1 (X2 , x e2 )). La proposici´ on 5.31 implica que G1 = G02 .

e1 → X, y p2 : X e2 → X dos espacios Proposici´ on 5.34. Sean p1 : X e1 → X e2 un homomorfismo. Entonces φ es un de recubrimiento y φ : X e recubrimiento de X2 .

e2 se construyen de la manera Demostraci´ on. Las vecindades can´ onicas en X 1 e siguiente. Sea z ∈ X2 . Sean p2 (z) ∈ Uz ⊆ X una vecindad can´ onica con respecto a p1 y p2 (z) ∈ Uz2 ⊆ X una vecindad can´ onica con respecto a p2 . Finalmente, sea Vp2 (z) ⊆ Uz1 ∩ Uz2 una componente conexa por caminos que contiene a p2 (z). Mostremos que W , la componente conexa por caminos de p−1 onica con respecto a φ. 2 (V ) que contiene a z, es can´ Sea {Sα }α la colecci´ on de componentes conexas de φ−1 (W ). Debemos mostrar que φ|Sα : Sα → W es un homeomorfismo. Pero esto es consecuencia −1 −1 del hecho de que p−1 onica con respecto 1 (V ) = φ p2 (V ) y que V es can´ tanto para p1 como para p2 .

5.4.1.

Recubrimiento universal

Definici´ on 5.35. Un espacio de recubrimiento e p : X → X se llama universal si dado cualf0 → X quier otro espacio de recubrimiento p0 : X f0 que completa el e →X existe un morfismo ϕ : X diagrama.

ϕ p p f0 e p p p p p p p p p pX X

@ p@ R

p0

X



162

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

f0 es tambi´en una funci´ e →X N´ otese que por la proposici´ on 5.34, ϕ : X on recubridora.

Por supuesto la existencia de cubrimientos universales no tiene por qu´e estar garantizada. Pero la siguiente proposici´ on nos da un criterio sencillo para decidir si un recubrimiento es universal. e → X es un cubrimiento de X y Teorema 5.36. Si p : X e e Π1 (X, x e0 ) = {0}, entonces (X, p) es universal para X.

e 0 , p0 ) otro cubrimiento para X Demostraci´ on. Sea (X e x y consideremos el diagrama. Como Π1 (X, e0 ) = {0} e x e 0, x tenemos que p∗ (Π1 (X, e0 )) ⊆ p0∗ (Π1 (X e00 ) y esto implica por el teorema 5.28 que existe un levantamiento pe de p tal que el diagrama es conmutativo. As´ı, pe es un e → X es morfismo de recubrimientos y por tanto p : X universal.

e X



pe p

e0 X

p0

? - X

Ejemplo 5.37. Si un espacio X es simplemente conexo, entonces ´el mismo sirve como su propio recubrimiento universal si utilizamos la funci´ on identidad como proyecci´ on. Definici´ on 5.38. Un espacio X conexo por caminos es semilocalmente simplemente conexo si X posee una base B formada por abiertos B conexos por caminos con la propiedad que si x ∈ B y α es un camino en B con punto inicial x, entonces α se puede contraer hasta x en X. Por la definici´ on, existe H : I × I → X con α ' cx . La condici´ on es llamada semi-localmente porque aunque los caminos cerrados son “locales” en U , i.e., contenidos, las homotop´ıas al camino constante son globales, i.e. pueden ocasionalmente salir de B pues tienen permitido recorrer en todo X. N´ otese, adem´ as, que en la definici´ on anterior B ,→ X induce el homomorfismo trivial Π1 (B, x) → Π1 (X, x). Ejemplo 5.39. Para el espacio X ⊆ R2 —ver la gr´ afica— tenemos que no existe una vecindad Ux (x es el punto en com´ un) para la cual todos los caminos cerrados en Ux sean nulos homot´ opicamente en el espacio “mayor” X.

x

163

´ DE LOS RECUBRIMIENTOS SOBRE UN ESPACIO 5.4. CLASIFICACION

O V A T O S N U G BIA U R Pero el cono C(X) (sobre el espacio X ⊆ R2 ), como subespacio de R3 si es semi–localmente simplemente conexo. En efecto, dada una vecindad Vx del punto de tangencia x (los dem´ as puntos tienen una vecindad homeomorfa al intervalo abierto (0, 1)), consideremos entonces una bola abierta suficientemente peque˜ na para no contener al punto P v´ertice del cono.

P

x

Un camino α cerrado en el punto x puede ser deformado al punto x si consideramos a “todo” el espacio C(X), pues lo levantamos hasta el punto P y luego lo contraemos a x por el cono m´ as exterior (al fin y al cabo C(X) es contr´ actil y los espacios contr´ actiles son simplemente conexos, lo que implica que son semi–localmente simplemente conexos). N´ otese que C(X) no es localmente simplemente conexo, lo es semi– localmente (hay que abandonar la vecindad!). Definici´ on 5.40. Sea n un entero no–negativo. Un espacio topol´ ogico X se llama un espacio localmente euclidiano de dimensi´ on n si cada punto de X tiene una vecindad homeomorfa a Rn o Rn+ . Recordemos que Rn+ = {x ∈ Rn : x1 ≥ 0}, si n ≥ 1. Ejemplo 5.41. Los espacios localmente euclidianos 0–dimensionales son los espacios topol´ ogicos discretos. Los siguientes son ejemplos de espacios localmente euclidianos: Rn , cualquier subconjunto abierto de Rn , S n , RP n , CP n , Rn+ , cualquier subconjunto abierto de Rn+ , D n , toro, esferas, manijas, botella de Klein, Cinta de M¨ obius, etc. Un punto a de un espacio localmente euclidiano de dimensi´ on n se llama un punto interior de X, si a tiene una vecindad (en X) homeomorfa a Rn . Un punto a ∈ X que no es interior se llama un punto frontera. El conjunto de todos los puntos frontera lo notamos ∂X y lo llamamos la frontera de X. Puede mostrarse que para un espacio localmente euclidiano el interior de X es un conjunto abierto y denso en X, mientras que ∂X es un cerrado denso en ninguna parte. El interior de un espacio localmente euclidiano de dimensi´ on n es un espacio localmente euclidiano de dimensi´ on n sin frontera.

164

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

La frontera de un espacio localmente euclidiano de dimensi´ on n es un espacio localmente euclidiano de dimensi´ on n − 1 sin frontera — ∂(∂X) = ∅—.

Definici´ on 5.42. Sea n un entero no–negativo. Un espacio topol´ ogico X se llama una variedad de dimensi´ on n si es: Localmente euclidiano de dimensi´ on n, 2–contable, Hausdorff.

Las tres condiciones en la definici´ on son independientes, i.e., existen espacios que no satisfacen una de las tres condiciones pero s´ı las otras dos.

Una variedad compacta sin frontera se llama cerrada, record´ andonos lo que es una superficie cerrada en el caso de una 2–variedad compacta como subespacio de R3 . Ejemplo 5.43. Si un espacio X es una n–variedad, entonces es semilocalmente simplemente conexo.

K Ahora tenemos otro de nuestros resultados estrella en esta teor´ıa de los espacios de recubrimiento. Aqu´ı se ejemplifica uno de los casos m´ as interesantes de la matem´ atica: no solo es importante demostrar un teorema, ¡tal vez lo es m´ as el encontrarlo! Teorema 5.44. Supongamos que (X, x0 ) es conexo por caminos, localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo. Entonces para cada subgrupo G ⊆ Π1 (X, x0 ) existe un espacio de recubrimiento p : (Y, y0 ) → (X, x0 ) que tiene como subgrupo caracter´ıstico a G, i.e. p∗ (Π1 (Y, y0 )) ≈ G. Este teorema pone de manifiesto la existencia de una correspondencia (de e x Galois) que asigna a cada espacio de recubrimiento p : (X, e0 ) → (X, x0 ) el e e subgrupo G(X, x e0 ) = p∗ (Π1 (X, x e0 )) de Π1 (X, x0 ), la cual es sobreyectiva e x (cada subgrupo G de Π1 (X, x0 ) se puede realizar como p∗ (Π1 (X, e0 )) para e cierto recubrimiento p : X → X. e x En particular, para el subgrupo trivial nos implica que p∗ (Π1 (X, e0 )) sea trivial y al ser p∗ inyectiva nos produce la existencia de un espacio de recubrimiento simplemente conexo, el cual es universal para X.

´ DE LOS RECUBRIMIENTOS SOBRE UN ESPACIO 5.4. CLASIFICACION

165

O V A T O S N U G BIA U R Demostraci´ on. La desarrollaremos en cinco pasos:

1. ¿Qui´en es Y como conjunto y p como funci´ on?

2. Construcci´ on de una base B para una topolog´ıa en Y .

3. (Y, p) trabaja bien como recubrimiento. 4. Y es conexo por caminos.

5. Demostraci´ on del isomorfismo G(Y, y0 ) ≈ G.

1. Si ya tuvi´eramos una funci´ on de recubrimienα e to p : (Y, y0 ) → (X, x0 ) como deseamos, ¿c´ omo x e podr´ıamos entonces caracterizar los puntos de la y0 fibra Yx como objetos expresados en t´erminos de lo que hasta ahora poseemos: (X, x0 ) y G? Bien, ↓p a cada camino α de x0 a x corresponde un punto perfectamente determinado en la fibra sobre x, x0 dado por el punto α e(1) donde termina el u ´nico α x levantamiento de α que comienza en y0 . Todos los puntos en Yx ser´ıan obtenidos de esta manera y, dos caminos α, β determinar´ıan el mismo punto si y solo si el camino cerrado α · β r representa un elemento de G.

Sea Ω(X, x0 , x) el conjunto de todos los caminos en X de x0 a x. Definimos para este conjunto una relaci´ on de equivalencia α ∼ β :⇔ [α  β r ] ∈ G y definimos los conjuntos Yx y Y como [ Yx := Ω(X, x0 , x)/ ∼ ; Y := Yx . x∈X

Adem´ as, definimos a y0 como la clase del camino constante en Ω(X, x0 , x0 ) y a p : Y → X como Yx → {x}, de suerte que p es sobreyectiva y p(y0 ) = x0 . La clase de α en Ω(X, x0 , x)/ ∼ la notamos [α]∼ para distinguirla de [α] la clase por homotop´ıa. 2. Demos a Y una topolog´ıa que lo haga conexo por caminos y p : (Y, y0 ) → (X, x0 ) una funci´ on de recubrimiento. N´ otese ahora que, adem´ as de p y Y tenemos los levantamiento de caminos. Para t ∈ [0, 1] sea αt ∈ Ω(X, x0 , α(t)) el camino “parcial” dado por s 7→ α(ts) —solo recorremos una parte del camino, desde x0 hasta α(t)—.

166

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

Para cada camino α de x0 a x y cada vecindad Ux abierta y conexa por caminos, U α denotamos V (U, α) := {[α  β]} ⊂ Y el conjunto de todas las clases de los camix0 nos que pueden ser obtenidos operando a α con todos los caminos β ∈ U que comiencen en x, por supuesto. Como X es localmente conexo por caminos, estos abiertos Ux forman un sistema fundamental de vecindades de x, y por tanto V (U, α) tambi´en lo debe ser para y ∈ Y en la topolog´ıa que queremos.

N´otese que V (U, α) depende u ´nicamente de y = [α] y U , pero no del representante de clase escogido para [α] ya que si α ∼ η entonces [α  β]∼ = [η  β]∼ puesto que

η

β

x0

α

[(αβ)(ηβ)r ] = [(αβ)(β r η r )] = [αη r ] ∈ G.

Por esta independencia de α podemos notar a V (U, α) como V (U, y) y as´ı p(V (U, y)) = Ux . La colecci´on B = {V (U, y) | U ∈ S, y} —donde S es la base de la definici´ on 5.38— act´ ua como una base si definimos V ⊆ Y abierto si para cada y ∈ Y existe una vecindad Up(y) abierta conexa por caminos tal que V (U, y) ⊆ V . 3. Veamos que las fibras son discretas a partir de las rebanadas disyuntas, es decir, si y2 ∈ Uy entonces Uy2 = Uy . Esto es equivalente a mostrar que para cada y ∈ Yx existe una vecindad abierta conexa por caminos Ux tal que y es el u ´nico punto en Yx ∩ V (U, y). Esta unicidad significa que si y = [α]∼ , los otros puntos en Yx ∩V (U, y) son exactamente de la forma [αβ]∼ donde β es un camino cerrado en U con punto base x, y por tanto debemos encontrar Ux tal que [α]∼ = [α  β]∼ para todos los caminos cerrados β de esta forma. Por la condici´ on de ser semilocalmente simplemente conexo tenemos que existe Ux para la cual Yx ∩ V (U, y) = {y}. 4. Finalmente veamos que en el espacio de recubrimiento tenemos tajadas homeomorfas a las vecindades fundamentales en X. Sean x ∈ X y Ux una vecindad abierta y conexa por caminos en la cual cada camino cerrado en x es homot´ opicamente nulo dentro de todo el espacio X. Podemos ver entonces que V (U, y) = V (U, z) para cada z ∈ V (U, y); para cada S y ∈ Yx los conjuntos V (U, y) son disyuntos dos a dos y que p−1 (U ) = y∈Yx V (U, y). Por tanto la proyecci´ on p y la correspondencia V (U, y) → {y} (para y ∈ Yx )

´ DE LOS RECUBRIMIENTOS SOBRE UN ESPACIO 5.4. CLASIFICACION

O V A T O S N U G BIA U R

167

y 0 = [α  β]∼ y = [α]∼

x0

U

β

α

x

Figura 5.10: Esta situaci´ on no puede ocurrir gracias a que X es semilocalmente simplemente conexo.

definen una funci´on h continua y biyectiva

h : p−1 (U ) → U × Yx

la cual es adem´as abierta, ya que la proyecci´ on es abierta: los conjuntos V (U, y) con y ∈ Y y las vecindades abiertas y conexas por caminos U ⊆ X, forman una base para la topolog´ıa en Y , por tanto, solo necesitamos saber que p(V (U, y)) es abierta, pero este u ´ltimo conjunto es precisamente U . As´ı, h es abierta y p : Y → X es localmente un homeomorfismo. 5. Para verificar que Y es conexo por caminos, tenemos que para y, y0 ∈ Y con y = [α]∼ la funci´on [0, 1] → Y dada por t → [αt ]∼ (donde αt ∈ Ω(X, x0 , α(t)) es el camino parcial definido por s 7→ α(ts)) y αt (s) = α(st).

αt x0 camino parcial

6. Finalmente, G(Y, y0 ) = G. En efecto, un camino cerrado en x0 representa un elemento de G(Y, y0 ) si y solo si puede ser levantado a un camino cerrado en y0 . Esto sucede si y solo si [α]∼ = y0 . i.e. [α]∼ = [x0 ]∼ o lo que es equivalente, si y solo si [α  x0 ] = [α] ∈ G.

x

168

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R 5.4.2.

Transformaciones Deck y acciones de grupos

Definici´ on 5.45 (Transformaci´ on de recubrimiento). Una transformaci´ on de recubrimiento o una transformaci´ on Deck (del alem´ an Deckbewee gung) de un cubrimiento p : X → X es un automorfismo en la categor´ıa Cov(X ), i.e. un homeomorfismo e →X e tal que el siguiente diagrama conmuta, i.e. ϕ:X p ◦ ϕ = p.

e X

@ p@ R

ϕ ∼ =

- e X

p

X

El conjunto de las transformaciones Deck forma un grupo bajo la opee p): raci´ on de composici´ on, el cual notamos D(X, e p), entonces ϕ1 ◦ ϕ2 ∈ D(X, e p). 1. Si ϕ1 , ϕ2 ∈ D(X, e p), entonces ϕ−1 ∈ D(X, e p). 2. Si ϕ ∈ D(X,

e p). 3. 1Xe ∈ D(X,

Las siguientes particularidades de las transformaciones Deck son inmediatas: Por la propiedad del levantamiento u ´nico de caminos, una transformaci´ on Deck queda determinada completamente por la imagen de un solo punto, asumiendo que X es conexo por caminos. En particular, si dos transformaciones Deck coinciden en al menos un punto, entonces son iguales. Por tanto la u ´nica transformaci´ on que puede tener puntos fijos es la identidad. Para cada x ∈ X, ϕ permuta los puntos de la fibra p−1 (x). Para cada abierto distinguido U , ϕ permuta las componentes conexas de p−1 (U ). Ejemplo 5.46. 1. Para exp : R −→ S 1 la funci´ on que proyecta la h´eli1 ce R sobre la circunferencia S , tenemos que las transformaciones Deck son traslaciones verticales de la h´elice en s´ı misma, con lo que D(R, exp) = {ϕn : n ∈ Z} ≈ Z, donde ϕn (x) = x + n. 2. Para los cubrimientos de n–hojas, pn : S 1 −→ S 1 con pn (z) = z n para z ∈ C con kzk = 1, tenemos que las transformaciones Deck son las rotaciones de S 1 por ´ angulos que sean m´ ultiplos de 2π/n, i.e. D(S 1 , pn ) = Zn .

´ DE LOS RECUBRIMIENTOS SOBRE UN ESPACIO 5.4. CLASIFICACION

169

O V A T O S N U G BIA U R

Recordemos que en la definici´ on 5.25 un espacio de recubrimiento p : e → X se llam´ e x X o regular o normal si el subgrupo caracter´ıstico G(X, f0 ) del recubrimiento result´ o ser un subgrupo normal en Π1 (X, x0 ). Esta definici´ on es equivalente a decir que: e → X es regular o normal si para cada x ∈ X Proposici´ on 5.47. p : X y cada par de puntos en la fibra x e, xe0 ∈ p−1 (x) existe una transformaci´ on 0 e Deck que lleva a x e en x .

Demostraci´ on. En la demostraci´ on del teorema 5.24 observamos que cambiar el punto base f x0 ∈ p−1 (x0 ) a f x1 ∈ p−1 (x0 ) corresponde a conjugar a e x G(X, f0 ) por un elemento [ρ] ∈ Π1 (X, x0 ) donde ρ se levanta a un camino ρe desde f x0 hasta f x1 .

e x e x As´ı que [ρ] est´ a en el normalizador N (G(X, f0 )) si y solo si G(X, f0 ) = e G(X, x f1 ), lo que por el criterio de levantamientos es equivalente a la existencia de una transformaci´ on Deck tomando x f0 ) en x f1 ). Por tanto, el cubrie e f miento es normal si N (G(X, x f0 )) = Π1 (X, x0 ), i.e., si y solo si G(X, x0 ) es un subgrupo normal. Por tanto los recubrimientos del ejemplo 5.46 son normales o regulares.

K

Dado un espacio de recubrimiento normal p : Y → X (ver definici´ on 5.25), al menos dos grupos han aparecido u ´ltimamente en nuestra teor´ıa: 1. El primero al considerar el grupo cociente Π1 (X, x0 )/G(Y, y0 ) —el cual aparentemente no dice mucho geom´etricamente. 2. El grupo D(Y, p) —el cual parece apartado de toda consideraci´ on homot´ opica—. El siguiente teorema nos asegura una coincidencia sorprendente: ¡estos grupos aparentemente no relacionados resultan ser el mismo! Este es otro de nuestros resultados placenteros de esta teor´ıa. Teorema 5.48. Dado un espacio de recubrimiento normal p : Y → X entonces D(Y, p) ≈ Π1 (X, x0 )/G(Y, y0 )

—con G(Y, y0 ) la imagen del monomorfismo inducido por la proyecci´ on p∗ : Π1 (Y, y0 ) → Π1 (X, x0 ) y y0 ∈ p−1 (x0 )—.

170

CAP´ITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

O V A T O S N U G BIA U R

Demostraci´ on. Definimos el homomorfismo φ : D(Y, p) → Π1 (X, x0 )/G(Y, y0 ) de la manera siguiente. Dado h ∈ D tomamos al punto y0 junto con su imagen h(y0 ) = y 0 ∈ p−1 (x0 ) y consideramos el camino α que los une; por tanto podemos considerar la coclase del camino p ◦ α y definimos φ(h) = [p ◦ α]G(Y, y0 ).

y0 y0

h

p

x0

Por el teorema 5.24, φ est´a bien definida; ahora mostremos que se trata de un homomorfismo; i.e. dados dos homomorfismos h, g ∈ D tenemos que φ(g ◦ h) = φ(g)φ(h). Sean x0 = h(y0 ), x00 = g(y0 ), x000 = gh(y0 ) = g(x0 ), α un camino de y0 a x0 y β un camino de y0 a x00 . Por tanto g ◦ α lo es de x00 a x000 y β  gα es un camino de y0 a x000 . h

g

Y

g◦α

y0

α β p

x0

171

´ DE LOS RECUBRIMIENTOS SOBRE UN ESPACIO 5.4. CLASIFICACION

O V A T O S N U G BIA U R

φ(gh) = [p(β  gα)]G(Y, y0 ) = [pβ  pgα)]G(Y, y0 ) = [pβ][pα]G(Y, y0 ) — ya que pg = p −

= [pβ]G(Y, y0 )[pα]G(Y, y0 ) = φ(g)φ(h).

Si h, g ∈ D son tales que φ(g) = φ(h) de los teoremas 5.24 y 5.28 se sigue f´ acilmente que g = h.

Para mostrar que φ es sobreyectiva, consideremos [α]G(Y, y0 ) con α ∈ Π1 (X, x0 ). El levantamiento α e que inicia en y0 y termina en α e(1) = x0 . Encontremos h ∈ D para el cual h(e α) = 0 x . Como p : Y → X es regular, tenemos G(Y, y0 ) = G(Y, x0 ).

(Y, y0 )

h-

(Y, x0 )

@ @ p@ @ R @

p

k-

(Y, y0 )

p

?

(X, x0 )

Por el teorema 5.28 existen morfismos h, k tales que el diagrama conmuta, y por la unicidad de los levantamientos kh = hk = idY . Por tanto, h ∈ D.

Corolario 5.49. Si (Y, p) es un recubrimiento simplemente conexo de X, entonces D(Y, p) es isomorfo a Π1 (X) y el orden del grupo es el n´ umero de hojas del recubrimiento. Corolario 5.50. Si (Y, p) es un recubrimiento regular de X con n como el n´ umero de hojas, entonces D(Y, p) y Π1 (X, x0 )/G(Y, y0 ) son isomorfos a un subgrupo transitivo del grupo sim´etrico Sn . e p) puede ser miPor las propiedades anteriores de la p´ agina 168, D(X, rado como un grupo de permutaciones sobre cada fibra, ya que cada transformaci´ on Deck est´ a completamente determinada por lo que hace sobre una e p) es un caso especial de los llamados grupos fibra. Por tanto el grupo D(X, que act´ uan sobre espacios.

Recordemos que un grupo G act´ ua sobre un espacio Y si existe un homomorfismo ρ que a cada g ∈ G le asocia un homeomorfismo ρ(g) : Y → Y . En particular estamos interesados en las acciones que satisfacen la siguiente condici´ on: cada elemento y ∈ Y posee una vecindad Uy para la cual los elementos de su ´ orbita sean disyuntos; i.e., g1 6= g2 implica g1 (U ) ∩ g2 (U ) = ∅.

O V A T O S N U G BIA U R Cap´ıtulo 6

Homolog´ıa Contenido

6.1. Complejos simpliciales . . . . . . . . . . . . . 6.2. Homolog´ıa sin orientaci´ on, i.e. mod 2 . . . . 6.2.1. Cadenas, ciclos y fronteras . . . . . . . . . . . 6.3. Homolog´ıa simplicial —coeficientes en Z— . 6.4. Homolog´ıa singular . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

162 166 . 166 174 188

En este cap´ıtulo veremos otra manera de asignar a cada espacio topol´ ogico un objeto algebraico, en este caso un grupo abeliano, que lleva de manera intr´ınseca informaci´ on acerca de la topolog´ıa en el espacio. Es de esperar que esta nueva construcci´ on sea funtorial, y a cambio de la homotop´ıa donde los grupos de homotop´ıa son dif´ıciles de calcular nos presente una manera m´ as f´ acil para calcular los grupos de homolog´ıa. Los grupos de homotop´ıa fueron definidos a partir de todas las funciones continuas f : S n → X donde no ten´ıan valor aquellas que pod´ıan ser deformadas a una funci´ on constante. La deformaci´ on consisti´ o en extender f a una funci´ on D n → X, es decir n n llenando a D desde S y de grosso modo podemos afirmar que el n–´esimo grupo de homotop´ıa cuenta esas im´ agenes de S n en X que “no pueden” ser llenadas. Estas im´ agenes pueden ser recreadas como huecos de dimensi´ on n, donde una regi´ on anular tiene un hueco 1–dimensional que puede ser rodeado por una cuerda, una esfera tiene uno 2–dimensional puesto que el hueco en su interior no puede ser rodeado por una cuerda pero s´ı por S 2 . 172

6.1. COMPLEJOS SIMPLICIALES

173

O V A T O S N U G BIA U R

Pero las cosas fallan cuando examinamos (si es que podemos) los grupos Πm (S n ) los cuales no necesariamente son nulos si m > n, lo que sugerir´ıa que la n–esfera tiene huecos m–dimensionales. La homolog´ıa ofrece a trav´es de sus grupos de homolog´ıa una forma diferente de contar lo que llamaremos huecos y un comportamiento m´ as acorde a la intuici´ on: la n–esfera tiene un u ´nico hueco n–dimensional y ninguno m– dimensional para m 6= n. Por supuesto, estos grupos de homolog´ıa, deben contribuir tambi´en al mayor problema de la topolog´ıa: encontrar condiciones necesarias y suficientes para determinar cu´ ando dos espacios son homeomorfos. En este sentido, una condici´ on necesaria ser´ a que, si dos espacios son homeomorfos entonces sus correspondientes grupos de homolog´ıa son isomorfos. Adem´ as, una funci´ on continua entre los espacios debe conducir a un homomorfismo entre los grupos.

Seguiremos el camino hist´ orico de la teor´ıa, simplicial m´ odulo 2, simplicial con coeficientes enteros, singular, y, por supuesto, quisi´eramos otras ˘ como las de Cech, Alexander–Spanier, etc. pero esto es un prop´ osito... a cambio sugerimos la lectura del hermoso art´ıculo: W. S. Massey, How to ˘ give an exposition of the Cech–Alexander– Spanier type homology theory, Amer. Math. Monthly, feb. 1978, pp. 75–83.

6.1.

Complejos simpliciales

Los complejos simpliciales1 , como su nombre lo debe indicar, son espacios que se deben formar a partir de estructuras simples (simpliciales) hasta llegar a estructuras m´ as complejas (complejos). Las estructuras simples son llamadas c´ elulas o celdas, y tenemos “una” por cada dimensi´ on n, es decir, est´ an formadas por puntos, l´ıneas, tri´ angulos (con su interior no incluido), pir´ amides, etc., las cuales llamamos 0-celda, 1-celda, 2-celda, etc. Esencialmente una k-celda en Rn est´ a descrita por un conjunto de k + 1 v´ertices y es el menor de los subconjuntos convexos en Rn que contiene a estos v´ertices. Por ejemplo, una 1-celda est´ a definida por dos v´ertices y es entonces el segmento de recta entre ellos. Pero debemos estar atentos a que los v´ertices elegidos no est´en en una posici´ on que nos evite obtener el mayor convexo posible, ya que por ejemplo, cuatro v´ertices alineados sobre una l´ınea recta o ubicados sobre un mismo 1

El significado de esta palabra como adjetivo referente a lo simple es ampliamente discutible en castellano.

174

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Figura 6.1: Las primeras celdas...

plano tan s´ olo nos producir´an celdas como las de la figura 6.2, evit´andose obtener un tetraedro. Definimos entonces la “mejor posici´on” la cual llamaremos posici´ on general.

Figura 6.2: La posici´on no es la “mejor”.

Definici´ on 6.1. Dados los v´ertices v0 , . . . , vk (puntos en Rn ), decimos que se encuentran en posici´ on general si los correspondientes k vectores v1 − v0 , v2 − v1 , . . . , vk−1 − vk en Rn son linealmente independientes. La anterior definici´ on nos asegura que la k-celda generada es realmente k-dimensional o que no est´ a contenida en ning´ un subespacio vectorial (de Rn ) de dimensi´on k − 1. Esta definici´ on es independiente del ordenamiento particular del conjunto {v0 , v1 , · · · , vk } usado en la definici´ on. Definici´ on 6.2. Una k-celda σ, o un k-s´ımplejo es el menor subespacio convexo de Rn que contiene un conjunto v0 , . . . , vk de k + 1 v´ertices que est´an en posici´on general. La notaremos [v0 , . . . , vk ]. Por la definici´on anterior [v0 , . . . , vk ] consiste de todas las combinaciones

175

6.1. COMPLEJOS SIMPLICIALES

O V A T O S N U G BIA U R lineales,

n X i=0

ti vi

con

0 ≤ ti ≤ 1

n X

y

ti = 1.

i=0

Los coeficientes t0 , . . . , tk son n´ umeros P reales llamados las coordenadas baric´ entricas del respectivo punto ni=0 ti vi .

Por supuesto, dada una celda [v0 , . . . , vk ], cualquier subconjunto de sus v´ertices tambi´en determina una celda de menor dimensi´ on y llamada una subcelda de la celda dada. De manera m´ as general, una r−subcelda de σ = [v0 · · · vk ] es la r-celda generada por cualquier subcolecci´ on de {v0 , · · · , vk } que consta de r + 1 v´ertices. Si τ es una r-subcelda de σ, escribimos τ < σ. En particular, cuando se omite un solo v´ertice de la celda dada, la subcelda [v0 , v1 , . . . , vbi , . . . , vk ]

(esta notaci´ on significa que el v´ertice vbi ha sido omitido) es una k −1–celda y es llamada simplemente una cara de la celda [v0 , . . . , vk ]. As´ı que una k-celda tiene k + 1 caras (una por cada v´ertice omitido) y 2k+1 − 1 subceldas. La uni´ on de todas las caras se llama el borde o frontera de la celda. Si k > 0, llamamos interior de la celda a la celda menos el borde (el complemento del borde). Para el caso k = 0 definimos definimos el interior como la misma 0-celda.

v1 Ejemplo 6.3. Una 2-celda [v0 , v1 , v2 ] tiene 7 subceldas de las cuales 3 son caras: [vb0 , v1 , v2 ] = [v1 , v2 ], [v0 , vb1 , v2 ] = [v0 , v2 ], [v0 , v1 , vb2 ] = [v0 , v1 ] y corresponden a los lados de la regi´ on triangular. Por supuesto el borde ser´ an las l´ıneas que conforman el tri´ angulo.

v0

v2

Un complejo simplicial es entonces un conjunto finito de celdas unidas de una manera coherente a fin de no tener problemas t´ecnicos con la topolog´ıa que le asignamos a esta uni´on. Definici´ on 6.4. Un complejo simplicial o complejo celular K es un subespacio de Rn junto con una lista finita de celdas que satisfacen: 1. La uni´on de las celdas es el conjunto K.

176

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

2. Cada punto en K est´ a en el interior de una u ´nica celda. 3. Cada cara de cada celda en la lista est´ a a su vez en la lista.

Figura 6.3: 2–complejos y 3–complejo.

La condici´ on 2 nos dice entre otras cosas que para dos celdas sucede que: no tienen puntos en com´ un —intersecci´on vac´ıa— o una de ellas es una cara de la otra, o una cara de una cara de la otra, etc., o el conjunto de puntos en com´ un es una cara o una cara de una cara, etc., de cada celda. Se puede permitir en la anterior definici´on que el n´ umero de celdas sea infinito, pero a cambio tendr´ıamos que sacrificar la exigencia de que K sea compacto. El complejo K tiene dimensi´ on n si la mayor dimensi´on de las celdas en K es n, y lo llamamos un n–complejo.

La figura 6.4 muestra dos falsos 2–complejos, ya que dos s´ımplices se han pegado de manera incorrecta, es decir, su intersecci´on no es una cara.

Figura 6.4: No se trata de complejos

6.1. COMPLEJOS SIMPLICIALES

O V A T O S N U G BIA U R Definici´ on 6.5. Un complejo simplical K se llama una triangulaci´ on de un espacio topol´ ogico X si existe un homemomorfismo h : K → X. Se dice que X es triangulable o que es un poliedro.

*

177

Si hacemos el ejercicio de observar, casi todo lo que podemos imaginar normalmente es un poliedro. La figura 6.5 nos muestra varias triangulaciones: el tri´angulo (o la circunferencia como espacio homeomorfo) como un 1–complejo formado por tres 0–celdas y tres 1–celdas, la de una regi´ on cuadrada, y finalmente, dos triangulaciones diferentes para una regi´ on anular.

Figura 6.5: Complejos y triangulaciones.

Otra triangulaci´on para X = S 1 puede provenir del complejo K formado por un cuadrado tomando sus lados como 1–celdas y sus v´ertices como 0–celdas, donde h es el homeomorfismo dado por la proyecci´on.

Figura 6.6: Una triangulaci´on de la esfera por medio de la superficie de un tetraedro

178

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R 6.2.

Homolog´ıa sin orientaci´ on, i.e. mod 2

6.2.1.

Cadenas, ciclos y fronteras

Uno de los pasos fundamentales para introducir los grupos de homolog´ıa es poder describir el borde o frontera para las celdas y los complejos simpliciales. v3 v2

v0

v0

v1

v0

v0

v2

v1

v1

Figura 6.7: Las primeras celdas...

v3

v2

no es s´ olido y

v0 v0

v1

v0

v2

v1

v1 Figura 6.8: Los bordes de las primeras celdas...

Recordemos que cuando se omite un solo v´ertice de una celda, la subcelda [v0 , v1 , . . . , vbi , . . . , vk ] es una (k − 1)–celda, y es llamada simplemente una cara de la celda [v0 , . . . , vk ]. Ahora, dado un complejo celular K, el conjunto de todas las celdas de dimensi´ on n lo notamos como Sn(K), de suerte que el borde de cada celda en Sn (K) es un conjunto de elementos en Sn−1 (K). Estamos entonces a punto de definir una funci´on “borde” la cual asigna a cada celda su borde, pero el borde ¡no es una celda! es un conjunto de celdas, por tanto debe-

179

´ 6.2. HOMOLOG´IA SIN ORIENTACION, I.E. MOD 2

O V A T O S N U G BIA U R

mos considerar la colecci´ on Cn(K) de todos los subconjuntos de Sn (K), y entonces el borde de una n–celda en K es un elemento en Cn−1 (K). Definici´ on 6.6. El grupo Cn(K) de n–cadenas de K es el Z2 –grupo generado por Sn (K), es decir, el conjunto de todas las combinaciones lineales P k o 1, y σi ∈ Sn (K). i=1 mi σi donde mi ∈ Z2 , i.e., mi = 0 ´ La operaci´ on en la anterior definici´ on es la suma algebraica de los coeficientes en las celdas comunes en cada cadena.

Ejemplo 6.7. Para la superficie K de nuestro tetraedro, cada elemento de C2 (K) es de la forma,

v4

m1 [v2 v3 v4 ]+m2 [v1 v3 v4 ]+m3 [v1 v2 v4 ]+m4 [v1 v2 v3 ]

v1

con mi = 0, 1. Como un ejemplo para la adici´ on, tenemos que (1[v2 v3 v4 ] + 0[v1 v3 v4 ] + 1[v1 v2 v4 ] + 1[v1 v2 v3 ]) +(1[v2 v3 v4 ] + 1[v1 v3 v4 ] + 1[v1 v2 v4 ] + 0[v1 v2 v3 ])= 0[v2 v3 v4 ] + 1[v1 v3 v4 ] + 0[v1 v2 v4 ] + 1[v1 v2 v3 ].

v3

v2

Un elemento de C1 (K) es de la forma m1 [v1 v2 ] + m2 [v2 v3 ] + m3 [v1 v4 ] + m4 [v2 v3 ] + m5 [v2 v4 ] + m6 [v3 v4 ], un elemento de C0 (K) es de la forma m1 v1 + m2 v2 + m3 v3 + m4 v4 , mientras que no existen elementos para C3 (K). Como el borde de una n–celda es un elemento de Cn−1 (K), tenemos para cada n ∈ N una funci´on ∂n : Sn (K) → Cn−1 (K) –operador borde–la cual se extiende de manera lineal sobre el grupo Cn (K) como el homomorfismo ∂n : Cn (K) → Cn−1 (K) dado por

X X ∂n ( m i σi ) = mi ∂n (σi ). i

(6.1)

i

De manera particular, ∂n act´ ua sobre una n–celda de la manera siguiente: ∂n [v0 , v1 , . . . , vn ] =

n X [v0 , . . . , vˆi , . . . , vn ]. i=0

180

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Por ahora, nuestro inter´es homol´ ogico estar´ a centrado en estudiar aquellas combinaciones de celdas que pudieran ser bordes de celdas (o combinaci´ on de celdas) pero que desafortunadamente no lo son porque el complejo en estudio no posee a tales posibles celdas. Ejemplo 6.8. Los tres lados m´ as internos del toro simplicial —se˜ nalados por las flechas— son el borde de una 2–celda que no est´ a en el complejo celular. Es en este sentido que: los tres lados podr´ ıan ser un borde pero no lo son.

N´ otese —y ´esta es parte de la raz´on por la que hemos considerado por lo pronto a Z2 — que el borde de una n–celda es una uni´on de (n − 1)–celdas que no son tan arbitrarios: cada cara de cada uno de estas (n − 1)–celdas es cara de exactamente otra u ´nica n − 1–celda. Por ejemplo, el borde de la 2–celda [a, b, c] consta de las celdas [b, c], [a, c], [a, b] y los bordes de estas u ´ltimas son b, c, a, c y a, b donde cada elemento en esta lista se repite dos veces. En otros t´erminos tenemos que ∂1 (∂2 [a, b, c]) = ∂1 ([b, c]+[a, c]+[a, b]) = (b+c)+(a+c)+(a+b) = 2a+2b+2c = 0 ya que estamos operando m´odulo 2. Recordemos que cada vez que se tiene un homomorfismo de grupos, como en el caso ∂n : Cn (K) → Cn−1 (K) dos subgrupos son importantes: el kernel y la imagen. El kernel de ∂n consiste de estas n– cadenas con borde 0, y los llamaremos n–ciclos. El kernel ser´ a notado Zn(K). —la Z proviene de la palabra ciclo en alem´an—.

La imagen de ∂n : Cn (K) → Cn−1 (K) es llamada el grupo de los (n − 1)–bordes y est´ a formado por las (n − 1)–cadenas que son bordes de n–cadenas. Lo notamos Bn−1 (K).

-+ ,

´ 6.2. HOMOLOG´IA SIN ORIENTACION, I.E. MOD 2

181

O V A T O S N U G BIA U R Ejemplo 6.9. Sea K la circunferencia como poliedro formado por tres 0-celdas a, b, c, y tres 1– celdas [a, b], [b, c], [a, c]. Luego Ci = 0 si i > 0. Por tanto, solo existe un homomorfismo borde para ser estudiado, ∂1 : C1 → C0 . Sea σ = m1 [a, b] + m2 [b, c] + m3 [a, c] una cadena arbitraria. Entonces, y de acuerdo a la f´ ormula 6.1

∂1 (σ) = m1 (a+b)+m2 (b+c)+m3 (a+c) = (m1 +m3 )a+(m1 +m2 )b+(m2 +m3 )c. Si σ ∈ Z1 (K) i.e., ∂1 (σ) = 0, entonces m1 + m3 = 0 lo que implica m1 = m3 (estamos en Z2 ), m1 = m2 y m1 = m3 luego σ = m([a, b] + [b, c] + [a, c]) para alg´ un m ∈ Z2 . Por tanto Z1 (K) = Z2 . De otra parte, como ∂2 : {0} → C1 es el homomorfismo nulo, su imagen B1 (K) = 0. La siguiente proposici´ on dice de manera escueta que ∂ 2 = 0, lo que implica que los ciclos son abundantes o al menos son muchos m´ as que los bordes, i.e., la imagen de ∂n es un subgrupo del kernel de ∂n−1 .

Figura 6.9: ∂ 2 , una hermosa ecuaci´on.

Proposici´ on 6.10. Para cada n ≥ 1 la composici´ on ∂n ◦ ∂n+1 (σ) : Cn+1 (K) → Cn−1 (K) es el homomorfismo nulo. Demostraci´ on. Como la composici´ on de homomorfismos es un homomorfismo, basta verificar que la composici´ on es nula para cada n + 1–celda σ = [v0 , . . . , vn+1 ]. ∂n+1 (σ) =

n+1 X i=0

[v0 , . . . , vbi , . . . , vn+1 ].

(6.2)

182

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R Por tanto,

∂n ∂n+1 (σ) =

n+1 X n+1 X j=0 i=0 j6=i

[v0 , . . . , vbi , . . . , vn+1 ].

Como la celda [v0 , . . . , vbk , . . . , vc m , . . . , vn+1 ] se tiene para i = k, j = m y para i = m, j = k, cada sumando se repite dos veces y, como nuestra suma es m´ odulo 2, obtenemos ∂n ∂n+1 (σ) = 0.

Por tanto, dado un complejo simplicial K es posible obtener una sucesi´ on {Cn (K), ∂n } la cual llamamos una cadena de grupos ∂n+2

∂n+1

∂

∂n−1

∂

n 1 · · · −−−→ Cn+1 (K) −−−→ Cn (K) −→ Cn−1 (K) −−−→ · · · − → C1 (K) −→ C0 (K)

con la propiedad de que ∂n ∂n+1 = 0 para todo n. Como la imagen de ∂n es un subgrupo del kernel de ∂n−1 , i.e., Bn (K) ⊆ Zn (K), esto significa que “un borde no tiene borde”. Lo anterior debe sugerir una manera para detectar aquellas combinaciones de celdas que podr´ ıan ser bordes: combinaciones que no tengan borde, i.e. son elementos de Zn (K) = ker(∂n ), luego son ciclos. Por supuesto hay que descartar estas combinaciones de celdas que ya son bordes, y las cuales son f´ acilmente reconocibles: los elementos en Bn (K) = Im(∂n+1 ), i.e. los bordes.

Como Bn (K) ⊆ Zn (K), una manera de descartar o hacernos los miopes frente a los ciclos que son bordes es formar el grupo cociente Hn (K) = Zn (K)/Bn (K). Definici´ on 6.11. El grupo cociente Hn (K) = Zn (K)/Bn (K) es el n-´ esimo grupo de homolog´ıa con coeficientes en Z2 , asociado al complejo simplicial K, n > 0. H0 (K) = C0 (K)/B0 (K). La homolog´ıa para K es entonces la sucesi´ on H∗ (K) = {H0 (K), H1 (K), H2 (K), H3 (K), . . .}. Dos cadenas σ1 , σ2 son hom´ ologas si σ1 − σ2 ∈ B(K). Ejemplo 6.12. Para K, la circunferencia como poliedro del ejemplo 6.9 tenemos que Hn (K) = 0 si n > 1, H1 (K) = Z2 y H0 (K) = Z2 . Nos refleja la existencia de un hueco 1–dimensional!

´ 6.2. HOMOLOG´IA SIN ORIENTACION, I.E. MOD 2

183

O V A T O S N U G BIA U R

Si hacemos abstracci´ on a partir de la situaci´ on anterior, lo que realmente tenemos es una sucesi´ on C = {Cn , ∂n }n de grupos abelianos y homomorfismos ∂n : Cn → Cn−1 , los cuales satisfacen ∂n ◦ ∂n+1 = 0 (dejaremos que los sub´ındices n var´ıen en Z). En particular la imagen de ∂n es un subgrupo del kernel de ∂n−1 . Podemos hablar entonces (´este es el tema del ´ algebra homol´ ogica) de una categor´ıa de complejos de cadenas, la cual tendr´ a por objetos a los complejos de cadenas. Un complejo de cadenas es una sucesi´ on de grupos abelianos y homomorfismos, (n ∈ Z) ∂n+2

∂n+1

∂n−1

∂

n · · · −−−→ Cn+1 −−−→ Cn −→ Cn−1 −−−→ · · · = {Cn , ∂n }

que satisface la condici´ on de ∂n ∂n+1 = 0 para todo n, y en caso que Cn = 0 para cada n < 0, decimos que C = {Cn , ∂n } es un complejo no negativo.

Los morfismos ser´ an las transformaciones de cadenas. Una transformaci´ on f = {fn }n de un complejo de cadenas C = {Cn , ∂n } a un complejo de cadenas C 0 = {Cn0 , ∂n0 } es una sucesi´ on de homomorfismos {fn : Cn → Cn0 } tales que para cada n, fn−1 ◦ ∂n = ∂n0 ◦ fn . ···

∂n+2

- Cn+1

∂n+1

- Cn

fn+1

···

? - C0 n+1

0 ∂n+2

- Cn−1

? - C0 n

- ···

fn−1

fn 0 ∂n+1

∂n−1

∂n

? - C0 n−1

0 ∂n−1

0 ∂n

- ···

En otras palabras, una transformaci´ on de cadenas es una “banda conmutativa”: f = {fn }n , f ∈ Hom(C, C 0 ). Ejemplo 6.13. Sea K el cuadrado tomado como el poliedro 2–dimensional formado por cuatro 0-celdas v1 , v2 , v3 , v4 , cinco 1–celdas y dos 2–celdas. El complejo de cadenas est´ a dado por ∂

∂

v4

v3

v1

v2

∂

3 2 1 0 −→ C2 (K) −→ C1 (K) −→ C0 (K).

184

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R N´ otese que si σ ∈ C1 , entonces

σ = m1 [v1 , v2 ] + m2 [v2 , v3 ] + m3 [v3 , v4 ] + m4 [v2 , v4 ] + m5 [v4 , v1 ]

y por tanto o(C1 ) = 32 (el orden del grupo C1 ) dado que mi = 0, 1. De manera similar o(C2 ) = 4 y o(C0 ) = 16.

Las posibles combinaciones para ∂1 (σ) ∈ C0 son sumas (de los v´ertices) con un n´ umero par de sumandos, ya que en caso de cancelar m´ odulo 2 se cancelan de a dos v´ertices repetidos. Por tanto, las posibles sumas son: las 5 sumas con dos sumandos v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , v4 + v1 y v2 + v4 , la u ´nica suma con los cuatro sumandos v1 + v2 + v3 + v4 y, la suma 0 (nula). As´ı, o(Im(∂1 )) = 8.

Para ker(∂1 ) ⊆ C1 tenemos que su n´ umero de elementos debe ser 1,2,4,8 ´ 32. Exactamente es 4 y est´ o a conformado por los elementos [v1 , v2 ]+[v2 , v4 ]+ m3 [v4 , v1 ], [v2 , v3 ] + [v3 , v4 ] + m3 [v4 , v2 ], [v1 , v2 ] + [v2 , v3 ] + m3 [v3 , v4 ] + [v4 , v1 ] y 0 por supuesto. El subgrupo Im(∂2 ) est´ a formado por los ∂2 (m1 [v1 , v2 , v4 ]+m2 [v2 , v3 , v4 ]) los cuales son [v2 , v4 ] + [v1 , v4 ] + [v1 , v2 ], [v3 , v4 ] + [v2 , v4 ] + [v2 , v3 ], [v1 , v4 ] + [v1 , v2 ] + [v3 , v4 ] + [v2 , v3 ] y 0. Por tanto o(Im(∂2 )) = 4. De otra parte, o(ker(∂2 )) = 1 ya que la u ´nica cadena que tiene imagen nula es la cadena 0. As´ı que, o(H1 ) = o



Z1 B1



=o



ker(∂1 ) Im(∂2 )



=

4 = 1, 4

   ker(∂2 ) Z2 1 o(H2 ) = o =o = = 1, B2 Im(∂3 ) 1     C0 C0 16 o(H0 ) = o =o = = 2. B1 Im(∂1 ) 8 

Esto implica que el cuadrado tiene como u ´nica homolog´ıa no nula a la dimensi´ on 0, donde H0 (K) = Z2 . Era de esperarse, ¡no tenemos huecos! pero ¿qu´e quiere o puede significar H0 (K) 6= 0? (ver teorema 6.23). La homolog´ıa con coeficientes en Z2 no es suficiente Recordemos que seg´ un como decidamos identificar los lados de un cuadrado obtenemos un toro o una botella de Klein (figura 6.10). El borde superior es el encargado de marcar la diferencia seg´ un la orientaci´ on que le

185

6.3. HOMOLOG´IA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z—

O V A T O S N U G BIA U R a

b

c

2

a

4

3

1

5

g

h

i

g

d

e

f

d

a

b

c

a

Figura 6.10: Un toro (o una botella de Klein si la orientaci´on del lado superior es la contraria.

demos al identificar o pasar al cociente, y tal diferencia est´ a expresada esquem´aticamente por la manera como etiquetemos los dos v´ertices centrales b, c de este lado superior. Si leemos de izquierda a derecha esta 1–celda debe ser llamada [b, c] para el toro y [c, b] para la botella.

¿C´ omo distinguir entonces de qu´e triangulaci´ on se trata, el toro o la botella? La soluci´ on es entonces distinguir entre [b, c] y [c, b], lo que es equivalente a distinguir la orientaci´ on de a hacia b de la orientaci´on de b hacia a. Si notamos [b, c] = −[c, b] entonces debemos abandonar nuestra aritm´etica en Z2 para pasar a la aritm´etica en Z. Y este es el tema de la homolog´ıa con coeficientes en Z o homolog´ıa con orientaci´ on.

6.3.

b

c

Homolog´ıa simplicial —coeficientes en Z—

Introducimos ahora una versi´ on simplificada de la homolog´ıa singular, llamada homolog´ıa simplicial, la cual nos generaliza de manera inmediata la anterior definici´on de homolog´ıa con coeficientes en {0, 1}. Para esto la noci´ on fundamental —b´asicamente es lo u ´nico que cambia y genera cambios— es la noci´on de n–s´ımplice orientado o n–celda orientada. Hist´ oricamente estas definiciones vienen atadas a los nombres de los matem´ aticos

186

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R Eilemberg, Steenrod y Zilber entre otros.

Un 0–s´ımplice orientado es simplemente un punto v. Un 1–s´ımplice → orientado es un segmento de recta dirigida (ver fig. 6.11) − v− 0 v1 = [v0 , v1 ] y por tanto [v0 , v1 ] 6= [v1 , v0 ] y notaremos [v0 , v1 ] = −[v1 , v0 ]. De aqu´ı en m´ as siempre debemos rastrear el orden de los v´ertices.

Un 2–s´ımplice orientado es un 2–s´ımplice (def. 6.2) con un ordenamiento de sus v´ertices [v0 , v1 , v2 ]. N´ otese que el orden [v0 , v1 , v2 ] es claramen-

v3

v2

v0

− v0

+ v1

v0

v0

v2 v1

v1

Figura 6.11: Los primeros s´ımplices orientados

te igual al orden [v1 , v2 , v0 ] y [v2 , v0 , v1 ], pero opuesto a los ´ ordenes [v0 , v2 , v1 ] [v2 , v1 , v0 ] y [v1 , v0 , v2 ], i.e., [v0 , v1 , v2 ] = [v1 , v2 , v0 ] = [v2 , v0 , v1 ] = −[v0 , v2 , v1 ] = −[v2 , v1 , v0 ] = −[v1 , v0 , v2 ]. Invocando los grupos de permutaciones tenemos que [v0 , v1 , v2 ] = [vi , vj , vk ]  0 1 2 si es una permutaci´ on par. En caso contrario, si la permui j k taci´on es impar tenemos [vi , vj , vk ] = −[v0 , v1 , v2 ]. De manera similar, para un  3–s´ımplice tenemos que [v0 , v1 , v2 , v3 ] =  0 1 2 3 ±[vi , vj , vk , vm ] dependiendo de si es una permutaci´ on par i j k m o impar. Las definiciones para el n–s´ımplice son similares. Ahora, retomemos la definici´ on del operador borde dada por la ecuaci´ on (6.2) y adapt´emola al caso ordenado. El borde de un 0–s´ımplice v0 es el conjunto ∅ al que notamos como el elemento 0 a efecto de generar un grupo, ∂0 (v0 ) = 0.

6.3. HOMOLOG´IA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z—

187

O V A T O S N U G BIA U R Operador borde

El borde de un 1–s´ımplice [v0 , v1 ] est´ a dado por la diferencia de sus caras, ∂1 [v0 , v1 ] = v1 − v0 . En general, el borde de un n–s´ımplice [v0 , v1 , . . . , vn ], est´ a dado por la suma alternada de todas sus caras [v0 , . . . , vbi , . . . , vn ], i.e, ∂[v0 , v1 , . . . , vn ] =

n X i

∂[v0 ] ∂[v0 , v1 ] ∂[v0 , v1 , v2 ] ∂[v0 , v1 , v2 , v3 ]

= = = =

(−1)i [v0 , . . . , vbi , . . . , vn ].

0 [v1 ] − [v0 ] [v1 , v2 ] − [v0 , v2 ] + [v0 , v1 ] [v1 , v2 , v3 ] − [v0 , v2 , v3 ] + [v0 , v1 , v3 ] − [v0 , v1 , v2 ]

Los signos alternados son introducidos a fin de tomar en cuenta las orientaciones, de suerte que todas las caras de un s´ımplice son orientadas de manera coherente, como en la figura 6.11. En el caso del 4–s´ımplice las orientaciones de las cuatro caras son en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Con esta geometr´ıa en mente, la ecuaci´ on 6.1 se define ahora para un n–complejo orientado K, y definimos el operador borde ∂n : Cn (K) → Cn−1 (K) especificando sus valores sobre los elementos b´ asicos: ! X X ∂n m i σi = mi ∂n (σi ), (6.3) i

i

donde el grupo Cn(K) de las cadenas (orientadas) de K es el grupo libre abeliano (ver secci´ on 2.7.1) generado por los n–s´ımplices de K. P Por tanto, cada cadena elemento de Cn (K) es una suma finita de la forma i mi σi donde los σi son n–s´ımplices de K y mi ∈ Z. La operaci´ on algebraica de sumar dos cadenas consiste en sumar los coeficientes enteros de los n–s´ımplices en com´ un. Por definici´ on dejamos C−1 (K) = {0}. Ejemplo 6.14. ∂2 [v0 , v1 , v2 ] = [v1 , v2 ] − [v0 , v2 ] + [v0 , v1 ], mientras que, ∂2 [v0 , v2 , v1 ] = [v2 , v1 ] − [v0 , v1 ] + [v0 , v2 ] = −([v1 , v2 ]-[v0 , v2 ]+ [v0 , v1 ]) = ∂2 [v0 , v1 , v2 ]. Del ejemplo anterior podr´ıamos pensar que si intercambiamos un par de v´ertices en [v0 , . . . , vn ] entonces ∂n [v0 , . . . , vn ] cambia de signo.

188

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Definici´ on 6.15. Los elementos de Cn(K) en el kernel de ∂n son los n– ciclos y, a este subgrupo nuevamente lo notamos Zn(K). La palabra ciclo proviene del caso n = 2 donde los ciclos corresponden a caminos cerrados alrededor de un tri´ angulo con v´ertices v0 , v1 , v2 . Definici´ on 6.16. Los elementos de Cn−1 (K) que son la imagen de ∂n son los (n − 1)–bordes y a este subgrupo nuevamente lo notamos Bn−1 (K). Son las (n − 1)–cadenas que son borde de alguna n–cadena.

Ejemplo 6.17. Sea K la superficie del tetraedro. Cada elemento de C2 (K) es de la forma m1 [v1 , v2 , v3 ]+ m2 [v0 , v2 , v3 ]+m3 [v0 , v1 , v3 ]+m4 [v0 , v1 , v2 ] v1 con mi ∈ Z. Como el s´ımplice de mayor dimensi´ on es 2, entonces C3 (K) = 0, y por tanto B2 (K) = ∂3 (C3 (K)) = 0.

v0

v3

v2

Por definici´on, C−1 (K) = 0 y as´ı Z0 (K) = C0 (K); es decir, Z0 (K) es el grupo libre abeliano con cuatro generadores v0 , v1 , v2 , v3 . Como C1 (K) es a su vez generado por los 6 lados [v0 , v1 ], [v0 , v2 ], [v0 , v3 ], [v1 , v2 ], [v1 , v3 ] y [v2 , v3 ] entonces B0 (K) es generado por la imagen de estos generadores v1 − v0 , v2 − v0 , v3 − v0 , v2 − v1 , v3 − v1 y v3 − v2 —en un homomorfismo, la imagen de un grupo est´ a generada por la imagen de los generadores—. Pero  esto no implica que la imagen sea libre sobre estos generadores, por ejemplo v2 − v1 = (v2 − v0 ) − (v1 − v0 ), pero s´ı es libre sobre v1 − v0 , v2 − v0 y v3 − v0 . Si σ ∈ C1 (K), entonces σ = m1 [v0 , v1 ] + m2 [v0 , v2 ] + m3 [v0 , v3 ] + m4 [v1 , v2 ] + m5 [v1 , v3 ] + m6 [v2 , v3 ] y ∂1 (K) = 0 si cada v´ertice se anula y para ello es necesario que aparezca el mismo n´ umero de veces y con la misma multiplicidad tanto positivo como negativo; en otras palabras, aparecer una vez como punto inicial de un segmento y otra vez como punto final de otro. Las siguientes cadenas son 1-ciclos, son los lados o bordes de los cuatro tri´angulos del tetraedro, y demostraremos que ellos son los generadores del n´ ucleo Z1 (K). σ1 = [v1 , v2 ] + [v2 , v3 ] + [v3 , v1 ],

6.3. HOMOLOG´IA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z—

189

O V A T O S N U G BIA U R σ2 = [v0 , v3 ] + [v3 , v2 ] + [v2 , v0 ], σ3 = [v0 , v1 ] + [v1 , v3 ] + [v3 , v0 ], σ4 = [v0 , v2 ] + [v2 , v1 ] + [v1 , v0 ].

Sea σ ∈ Z1 (K); los lados en el tetraedro que tienen al v´ertice v0 como punto inicial son [v0 , v1 ], [v0 , v2 ] y [v0 , v3 ] y asumamos que los coeficientes de estos lados en σ son m1 , m2 , m3 respectivamente. Entonces σ + m2 σ4 − m3 σ2 es de nuevo un ciclo pero no contiene los lados [v0 , v1 ] o [v0 , v3 ] pues

σ + m1 σ4 − m3 σ2 = σ + m1 ([v0 , v2 ] + [v2 , v1 ] + [v1 , v0 ]) − m3 ([v0 , v3 ] + [v3 , v2 ] + [v2 , v0 ])

= σ + m1 [v0 , v2 ] + m1 [v2 , v1 ] + m1 [v1 , v0 ]) − m3 [v0 , v3 ] − m3 [v3 , v2 ] − m3 [v2 , v0 ]

= ρ + m1 [v0 , v1 ] + m2 [v0 , v2 ] + m3 [v0 , v3 ] + m1 [v0 , v2 ]

+ m1 [v2 , v1 ] − m1 [v0 , v1 ] − m3 [v0 , v3 ] − m3 [v3 , v2 ] − m3 [v2 , v0 ] = ρ + (m1 + m2 + m3 )[v0 , v2 ] + m1 [v2 , v1 ] − m3 [v3 , v2 ]

= ρ + m[v0 , v2 ] + m1 [v2 , v1 ] − m3 [v3 , v2 ], donde ρ tiene a 0 como coeficiente para los lados [v0 , v1 ], [v0 , v2 ], [v0 , v3 ]. N´ otese que el u ´nico lado en el ciclo σ+m1 σ4 −m3 σ2 teniendo —posiblemente— como v´ertice a v0 es [v0 , v2 ], y por tanto, para poder anularse ya que σ + m2 σ4 − m3 σ2 es un ciclo, se debe tener que su coeficiente sea 0. As´ı, σ+m2 σ4 −m3 σ2 consta de lados que est´ an en el 2–s´ımplice [v1 , v2 , v3 ]. Los v´ertices v1 , v2 , v3 deben estar al inicio y final de lados con la misma multiplicidad, y por tanto para alg´ un r ∈ Z se tiene σ + m1 σ4 − m3 σ2 = rσ1 . Si en el c´ alculo anterior remplazamos a v0 por cualquiera de los otros tres v´ertices, encontramos que Z1 (K) es generado por los ciclos σi ; a´ un m´ as, por cualesquiera tres de estos σi . Como los σi son los bordes de los 2–s´ımplices, tenemos que Z1 (K) = B1 (K). Describamos a continuaci´ on a Z2 (K). C2 (K) est´ a generado por los 2– s´ımplices [v1 , v2 , v3 ], [v2 , v0 , v3 ], [v0 , v1 , v3 ] y [v1 , v0 , v3 ]. Si en un 2–ciclo σ

190

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

tenemos que [v1 , v2 , v3 ] tiene coeficiente m1 y [v2 , v0 , v3 ] tiene coeficiente m2 , entonces en su borde ∂(σ) el lado com´ un [v2 , v3 ] tiene coeficiente m1 − m2 . Por tanto, m1 = m2 y de manera similar tenemos que en un 2–ciclo todos los cuatro 2–s´ımplices aparecen con el mismo coeficiente lo que implica que Z2 (K) es generado por el ciclo [v1 , v2 , v3 ] + [v2 , v0 , v3 ] + [v0 , v1 , v3 ] + [v1 , v0 , v3 ],

y por tanto Z2 (K) = Z.

Algunos autores consideran que el siguiente resultado es una de las ecuaciones m´ as importantes de la matem´ atica.

Teorema 6.18. Para cada n ≥ 1 la composici´ on ∂

∂n−1

n ∂n−1 ◦ ∂n : Cn (K) −→ Cn−1 (K) −−−→ Cn−2 (K)

es el homomorfismo nulo. Por tanto, tenemos un complejo de cadenas (ver recuadro en la p´ agina 183). Demostraci´ on. Ya que la composici´ on de homomorfismos es un homomorfismo, basta verificar que la composici´ on es nula para cada n–celda σ = [v0 , . . . , vn ]. De n X ∂n (σ) = (−1)i [v0 , . . . , vbi , . . . , vn ] i=0

tenemos que

 n X X i ∂n−1 ∂n (σ) = (−1) [v0 , . . . , vbj , . . . , vbi , . . . vn ]+ i

ji



(−1)j−1 [v0 , . . . , vbi , . . . , vbj , . . . , vn ] .

Como el s´ımplice [v0 , . . . , vbk , . . . , vbl , . . . , vn ] aparece dos veces, una para i = k, j = l con coeficiente (−1)l (−1)k , y otra para i = j, j = l con coeficiente (−1)k (−1)l−1 cada sumando se anula y por tanto ∂n−1 ◦ ∂n = 0. Corolario 6.19. El teorema implica que para cada n > 0, Bn (K) es un subgrupo de Zn (K).

191

6.3. HOMOLOG´IA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z—

O V A T O S N U G BIA U R 6.3.1.

Grupos de homolog´ıa

Definici´ on 6.20. El grupo cociente Hn (K) = Zn (K)/Bn (K) es el n-´ esimo grupo de homolog´ıa con coeficientes enteros asociado al complejo simplicial K, n > 0. H0 (K) = C0 (K)/B0 (K). La homolog´ıa para K es entonces la sucesi´ on H∗ (K) = {H0 (K), H1 (K), H2 (K), H3 (K), . . .}.

Si queremos ser enf´ aticos acerca de qu´e grupo estamos usando para nuestros c´ alculos, Hn (K) es notado como Hn (K; Z). Dos n–ciclos σ1 , σ2 son llamados hom´ ologos si su diferencia es un n–borde, i.e. si σ1 − σ2 ∈ B(K) con lo que pertenecen a la misma clase de equivalencia. Un grupo de homolog´ıa Hn (K) es por definici´ on un grupo abeliano generado finitamente. Por tanto y de acuerdo con el teorema 2.28 el puede ser escrito L de la forma F T , donde F es un grupo libre abeliano finitamente generado (la suma directa de copias de Z), y T es un grupo abeliano finito. Los elementos de T son precisamente estos elementos del grupo de homolog´ıa que tienen orden finito, y son llamados los elementos con torsi´ on. El rango de F , esto es, el n´ umero de sumandos de Z, es llamado el n´ umero de Betti de K y se nota βn .

Ejemplo 6.21. Sea K la circunferencia simplicial orientada como se muestra en la figura y la cual es una triangulaci´ on de S 1 . Si σ ∈ C1 (K), entonces ∂1 (σ) = ∂1 (m0 [v0 , v1 ]+m1 [v1 , v2 ]+m2 [v2 , v0 ]) = m0 (v1 − v0 ) + m1 (v2 − v1 ) + m2 (v0 − v2 ) = (m2 − m0 )v0 + (m0 − m1 )v1 + (m1 − m2 )v2 = 0. v0

v2

v1

Esto implica que los coeficientes deben de ser iguales, m0 = m1 = m2 . Por lo tanto, el Ker(∂1 ) consta de todas las cadenas m´ ultiple enteras de σ, i.e. Z1 (K) = Z. Como ∂2 = 0, obtenemos H1 (K) = Z. El c´ alculo que hemos hecho de ∂1 tambi´en nos muestra que la imagen de ∂1 consiste de todas las expresiones (m2 −m0 )v0 +(m0 −m1 )v1 +(m1 −m2 )v2 , y como m1 − m2 = −(m2 − m0 ) − (m0 − m1 ), esto es equivalente a todas las expresiones de la forma t0 v0 + t1 v1 + t2 v2 con t2 = −(t0 + t1 ). Por lo tanto, t0 v0 + t1 v1 + t2 v2 = t0 v0 + t1 v1 − (t0 − t1 )v2

= t0 (v0 − v2 ) + t1 (v1 − v2 ).

(6.4) (6.5)

192

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R Esto implica que B0 (K) = ∂1 (C1 ) = Z × Z.

Por otra parte, si σ ∈ C0 (K), entonces σ = a0 v0 + a1 v1 + a2 v2 lo que es equivalente a expresarlo como a0 (v0 −v2 )+a1 (v1 −v2 )+(a2 +a1 +a0 )v2 , esto es, como un elemento en B0 (K) m´ as un m´ ultiplo de v2 (ver ecuaci´ on 6.4). Por lo tanto, el grupo cociente C0 /B0 est´ a generado por v2 y es isomorfo a Z. En resumen, tenemos: H0 (S 1 ) = Z, H1 (S 1 ) = Z y Hi (S 1 ) = 0 para i > 1.

Estas igualdades nos dicen que efectivamente, y como lo indica el sentido com´ un, existe un hueco 1–dimensional, i.e. un 1–ciclo que no es borde de ning´ un 2–s´ımplice o 2–cadena existente en el espacio S 1 . Veremos en el teorema 6.23 que H0 (S 1 ) = Z significa que el espacio es conexo por caminos

Ejemplo 6.22. Sea K la superficie del tetraedro como en el ejemplo 6.17, la cual es una triangulaci´ on de la esfera S 2 y calculemos los grupos de homolog´ıa Hn (S 2 , Z). Los u ´nicos posibles grupos no triviales son para n = 0, 1, 2, 3. Ya hemos encontrado que Z0 (K) es el grupo libre abeliano con cuatro generadores v0 , v1 , v2 , v3 , B2 (K) = 0, Z1 (K) = B1 (K) Z2 (K) = Z. m1 [v1 , v2 , v3 ]+ m2 [v0 , v2 , v3 ] + m3 [v0 , v1 , v3 ] + m4 [v0 , v1 , v2 ] con mi ∈ Z.

v0

v1

v3 v2

Como el s´ımplice de mayor dimensi´ on es 2, entonces C3 (K) = 0, y por tanto B2 (K) = ∂3 (C3 (K)) = 0. Ya ten´ıamos en el ejemplo 6.17 que Z2 (K) = Z y B2 (K) = 0; por tanto, H2 (K) = Z con lo que H2 (S 2 ) = Z. Vimos que B1 (K) = Z1 (K), as´ı que el grupo cociente H1 (S 2 ) = 0 es el grupo trivial. Estas u ´ltimas igualdades nos dicen que efectivamente y como lo indica el sentido com´ un, existe un hueco 2–dimensional, i.e. un 2–ciclo que no es borde de ning´ un 3–s´ımplice o 3–cadena existente en el espacio S 2 y, que no existen huecos 1–dimensionales al estilo del que posee la circunferencia. El siguiente teorema nos muestra una bonita relaci´ on entre H0 (K) y

193

6.3. HOMOLOG´IA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z—

O V A T O S N U G BIA U R Π0 (K).

Teorema 6.23. H0 (K) es un grupo libre abeliano cuyo rango es el n´ umero de componentes conexas por caminos de K. Demostraci´ on. La idea es mostrar que dos v´ertices v, w est´ an en la misma componente conexa si y solo si resultan ser hom´ ologos. En efecto, si v y w pueden ser conectados por una sucesi´ on de lados vv1 v2 . . . vk w tales que dos v´ertices consecutivos no son iguales, entonces v − w = ∂1 ([v, v1 ] + [v1 , v2 ] + · · · + [vk , w]).

Finalmente, dos v´ertices que se encuentren en diferentes componentes de K no son hom´ ologos ya que no existen lados unidos que los puedan conectar. As´ı que, seleccionar un v´ertice por cada componente es equivalente a escoger una coclase en H0 (K). Los anteriores dos ejemplos nos dan una informaci´ on sobre las esferas S 1 2 y S : tienen diferentes grupos de homolog´ıa y esto implica que no son homeomorfas. En general veremos que Hn (S n ) = Z y H0 (S n ) = Z, pero Hk (S n ) = 0 para 0 < k < n. Como consecuencia tenemos, por ejemplo, que S 3 y S 4 no son homeomorfas, respuesta que no pudimos obtener a partir del grupo fundamental.

Ejemplo 6.24 (Homolog´ıa de la regi´ on anular). Sea A la superficie de la regi´ on anular comprendida entre dos circunferencias y con la triangulaci´ on indicada por la figura. Como A es conexa por caminos tenemos H0 (A) = Z. Los u ´nicos posibles grupos no triviales son v2 para n = 0, 1, 2. Si σ es un 1–ciclo, y si [p1 , p2 ] tiene coeficiente r en σ, entonces α = σ − r∂2 ([p1 , p2 , v1 ]) es una cadena que no contiene el lado [p1 , p2 ] y es hom´ ologo a σ, i.e. σ − α es un borde.

v5

v1

p1 p2

p3

p5 p4

v4

v3

N´ otese que lo que hemos hecho es dar un desv´ıo por los lados [p2 , v1 ] y [v1 , p1 ] a fin de evitar el paso por [p1 , p2 ]. Un c´ alculo r´ apido muestra que

194

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

efectivamente α es de nuevo un ciclo, pues ∂1 (α) = ∂1 (σ −r∂2 ([p1 , p2 , v1 ])) = ∂1 (σ) − r∂1 (∂2 ([p1 , p2 , v1 ])) = 0. Aplicando un argumento similar al anterior y de manera reiterada, podemos obtener un 1–ciclo hom´ ologo a σ el cual no contiene lados pertenecientes a la circunferencia interior de A. Este ciclo a su vez puede ser mejorado al operarlo con m´ ultiplos de ∂2 ([vi , pi , vj ]) a fin de eliminar los lados de la forma [vi , pi ]. Este u ´ltimo 1–ciclo α0 no posee tampoco los otros lados [vi , pj ] pues si por ejemplo apareciera el lado [v5 , p1 ] con un coeficiente no nulo, entonces el v´ertice p1 aparece con el mismo coeficiente en ∂1 (α0 ) y no tendr´ıamos como anularlo. Por tanto, α0 que es hom´ ologo a σ, est´ a conformado u ´nicamente por lados pertenecientes a la circunferencia exterior de A. Es claro que este ciclo debe ser entonces de la forma m([v1 , v2 ] + [v2 , v3 ] + [v3 , v4 ] + [v4 , v5 ] + [v5 , v1 ]).

As´ı que, despu´es de pr´ acticamente empujar cada 1–ciclo a la circunferencia exterior hemos obtenido H1 (A) = Z.

Es f´ acil ver que ning´ un 2–cadena tiene borde nulo, puesto que todo 2–s´ımplice tiene un lado o bien en la circunferencia interior o en la exterior y este lado no aparece en ning´ un otro 2–s´ımplice a fin de que pudiese ser eliminado, por lo que Z2 (A) = 0 lo que implica H2 (A) = 0. Ejemplo 6.25 (Homolog´ıa del toro). En el c´ alculo de la homolog´ıa del toro T , encontramos los t´erminos cadena, ciclo y borde bien ejemplificados, aunque a´ un nos falta el concepto de torsi´ on.

α

C

σ

A Figura 6.12: Cadenas en el toro

B

.

195

6.3. HOMOLOG´IA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z—

O V A T O S N U G BIA U R c

a

a

b

c 2

1

b

a 4

3

5

h

i

g

d

e

f

d

a

b

c

a

g

Figura 6.13: El toro y una triangulaci´ on.

Si miramos una curva A cerrada y orientada como en la figura 6.12, claramente su borde es 0 y adem´ as no encierra, no es borde de ninguna regi´ on que pertenezca al toro; mientras que B representa una curva tambi´en cerrada, pero en este caso aunque tampoco tiene borde, s´ı es el borde de la regi´ on del toro conformada por las tres areas triangulares orientadas como en la figura. Ambos son elementos de Z1 (T ) pero B tambi´en lo es de B1 (T ). B es precisamente la clase de 1–ciclo que no proporciona informaci´ on adicional y espec´ıfica sobre el toro —el comportamiento de B es el mismo para toda superficie— y por ello es eliminado al pasar al cociente en Z1 (T ) y conformar a H1 (T ) = Z1 (T )/B1 (T ). Un buen ejemplo de ciclos hom´ ologos lo constituyen α y σ, ya que su diferencia α−σ es el borde de la regi´ on tubular C mostrada en la figura 6.12, y por tanto, pertenecen a la misma clase en H1 (T ) puesto que α−σ ∈ B1 (T ). Examinemos en detalle la situaci´ on para los dos caminos cerrados α1 = [a, b] + [b, c] + [c, a] y σ1 = [d, e] + [e, f ] + [f, d] dados por la triangulaci´ on y los cuales corresponden en la figura 6.13 a un camino en la base y el camino superior. Si a un ciclo le a˜ nadimos cualquier frontera su clase no cambia, por tanto podemos a˜ nadir los bordes de los tri´ angulos [a, e, b], [b, f, c], [c, d, a], lo cual produce la cadena en forma de zig–zag: [a, e] + [e, b] + [b, f ] + [f, c] + [c, d] + [d, a]

a la cual podemos a˜ nadir los bordes de los 2–s´ımplices [a, d, e], [b, e, f ], [c, d, f ]

196

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R a

e

f

d

b

c

a

Figura 6.14: Un paso en la construcci´on de caminos hom´ologos.

y obtener a σ1 :

[a, d]+[d, e]+[e, b]+[b, e]+[e, f ]+[f, c]+[c, f ]+[f, d]+[d, a] = [d, e]+[e, f ]+[f, d].

Dado σ un 1–ciclo, obtenemos un ciclo α hom´ ologo que no contenga la hipotenusa [g, b] del tri´ angulo [g, b, h] —notado 1— en la triangulaci´ on, al multiplicar el borde del tri´ angulo por el m´ ultiplo apropiado (esta fue la t´ecnica utilizada en el ejemplo 6.24) y a˜ nadirlo a σ, i.e. α = σ − r∂([g, b, h]), pues al fin y al cabo al a˜ nadir bordes a un ciclo se obtienen ciclos hom´ ologos. Ahora, de este nuevo ciclo α obtenemos uno hom´ ologo y que no contiene el lado [h, b] del tri´angulo [h, b, c], al sumar un m´ ultiplo del borde del tri´ angulo notado como 2.

Continuando de esta manera sobre los diferentes tri´angulos, obtenemos un ciclo hom´ologo a σ que solo puede tener lados en el esquema siguiente. Pero de existir tal ciclo, el no puede contener alguno de los lados [h, i], [i, g],[e, f ], [f, d] interiores al cuadrado, pues entonces su borde no ser´ıa 0.

Por tanto, σ resulta hom´ ologo a un 1–ciclo teniendo lados u ´nicamente en las circunferencias σ1 , σ2 que resultan de identificar los lados del cuadrado (ver figura). Pero al tomar una de estas circunferencias, cada lado que aparece en ella debe aparecer el mismo n´ umero de veces que los otros lados o no habr´ıa forma de obtener que su borde sea 0.

h

i

g

e

f

d

σ1

σ2

Por supuesto un lado en σ1 no tiene por qu´e aparecer el mismo n´ umero de veces con que otro aparece en σ2 , solo se obliga a los que est´ an en la misma circunferencia. Si el borde de una 2–cadena tiene lados en σ1 y σ2 todos los tri´ angulos en la 2–cadena deben tener el mismo coeficiente a fin de

6.3. HOMOLOG´IA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z—

197

O V A T O S N U G BIA U R

que el lado com´ un pueda ser cancelado y por tanto su borde es cero. Esto implica que los 1–ciclos σ1 y σ2 son suficientes y necesarios para generar a cada clase de homolog´ıa, i.e. [σ] = rσ1 + sσ2 para cada 1–ciclo σ. Por tanto, H1 (T ) = Z × Z.

Si hacemos la suma de todos los 2–s´ımplices orientados como en la figura 6.12, tenemos un ejemplo de una 2–cadena α; y si calculamos el borde de esta suma, entonces cada lado de la triangulaci´ on ocurre exactamente dos veces en el resultado —una vez con cada una de sus dos posibles orientaciones— y por tanto el borde es 0 y tenemos as´ı que α es un 2–ciclo.

Si tomamos cualquier otro 2–ciclo, es f´ acil observar que ´el debe ser un m´ ultiplo de este primer 2–ciclo α. En efecto, si el tri´ angulo [a, b, c] est´ a en el 2–ciclo con coeficiente r entonces r[b, c] aparece en su borde. Este lado debe ser entonces parte de otro tri´ angulo en T cuyo tercer v´ertice lo notamos d y para poder cancelar a r[b, c] debemos orientar al tri´ angulo adyacente como [d, c, b] —compatible as´ı con [a, b, c]— y adem´ as debe estar incluido en nuestro 2–ciclo con el mismo coeficiente r. Lo propio ocurre para cada par de tri´ angulos adyacentes, lo que obliga a que todos los tri´ angulos —orientados como en la figura 6.12 deben aparecer el mismo n´ umero de veces. Por tanto, Z2 (T ) = Z y como B2 (T ) = 0 —puesto que no existen 3–s´ımplices— obtenemos que, H2 (T ) = Z. Como T es conexo por caminos, H0 (T ) ' Z.

Ejemplo 6.26 (Homolog´ıa de la botella de Klein). Si K es la botella de Klein, ya tenemos por la conexidad que H0 (K) = Z. A diferencia —y en realidad como contraste— del toro, ahora tenemos que Z2 (K) = 0, i.e. no hay 2–ciclos. En efecto, n´ otese que cada 1–s´ımplice ocurre como cara de exactamente dos 2–s´ımplices; por ejemplo [a, b] ocurre como cara con la misma orientaci´ on para los dos tri´ angulos [a, b, e] y [a, b, i] (ver la figura 6.15). Por tanto, si uno de los dos tri´ angulos es un sumando de un 2–ciclo σ, el otro debe estar en σ y adem´ as con el mismo coeficiente; pero esto a su vez obliga a que est´e [a, i, g] a fin de poder cancelar a [a, i] y continuando de esta manera obtenemos que cada 2–s´ımplice debe estar en σ y con el mismo coeficiente; por tanto σ es un m´ ultiplo de esta cadena formada por

198

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

c

a

a

b 2

4 3

1

5

g

h

i

g

d

e

f

d

a

b

c

a

Figura 6.15: La botella de Klein y una triangulaci´ on

la suma de todos los tri´ angulos orientados el cual ciertamente no tiene borde 0, muy por el contrario su borde es 2([a, b] + [b, c] + [c, a]) = 2σ2 . No hay 2–ciclos, —en alguna manera esto refleja lo que es conocido como la no orientabilidad de la botella de Klein, i.e., no hay manera de orientar de manera compatible a todos los 2–s´ımplices de una triangulaci´ on— y por tanto H2 (K) = 0. As´ı como lo hicimos con el toro, podemos ver que cada 1–ciclo resulta ser hom´ ologo a un ciclo de la forma rσ1 + sσ2 . Pero si una 2–cadena quiere tener como borde a un ciclo de esta forma, ya vimos que todos los tri´ angulos en la triangulaci´ on deben aparecer con el mismo coeficiente a fin de poder cancelar los lados internos. En el caso del toro, el borde de una tal 2–cadena fue 0, pero aqu´ı como ya hemos visto, su borde es k(2σ2 ) donde k es el n´ umero de veces que aparece cada tri´angulo. Por tanto, H1 (K) es un grupo abeliano que tiene como generadores las clases de homolog´ıa de σ1 y σ2 y las relaciones σ1 + σ2 = σ2 + σ1 y 2σ2 = 0. As´ı,

σ1

σ2

199

6.3. HOMOLOG´IA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z—

O V A T O S N U G BIA U R H1 (K) = Z × Z2 .

El cual es nuestro primer ejemplo de un grupo con coeficiente de torsi´ on 2 y n´ umero de Betti 1.

b

a

c

b

c

1

a

2 3

a 4

c

b

Figura 6.16: La cinta de Moebius y una triangulaci´on

Ejemplo 6.27 (Homolog´ıa de la cinta de M¨ obius). Dado un 1–ciclo σ, al restarle m´ ultiplos de los bordes de los tri´ angulos 2, 3 o´ 4 podemos llevarlo hasta un ciclo hom´ ologo σ 0 teniendo lados solo en los bordes superior e inferior del rect´ angulo y en el lado [a, b], i.e., en la circunferencia que rodea la cinta o el segmento de pega [a, b] (ver figura 6.16), donde los lados que aparecen en la circunferencia deben tener el mismo coeficiente —eliminamos los lados en la parte interior al rect´ angulo—. Ahora, la 2–cadena δ formada por la suma de todos los tri´ angulos tiene como borde ∂2 (δ) a los lados superior e inferior en el rect´ angulo m´ as 2[a, b], y como los lados [a, c] y [c, b] en la parte superior del rect´ angulo deben aparecer el mismo n´ umero de veces, podemos sustraer a σ 0 cierto m´ ultiplo adecuado de ∂2 (δ) y obtener as´ı un ciclo hom´ ologo con lados u ´nicamente en el lado inferior del rect´ angulo y [a, b] —este ciclo generador es mostrado por las l´ıneas punteadas en ambas figuras— y por supuesto estos lados orientados deben aparecer el mismo n´ umero de veces en el nuevo ciclo, lo que implica que H1 (K) = Z. Para calcular a H2 (K), n´ otese que todo 2–ciclo debe contener a los tri´ angulos 1, 2, 3 y 4 el mismo n´ umero de veces (con la orientaci´ on ), y este ciclo no podr´ıa entonces tener borde 0 ya que su borde ser´ıa k(2[a, b] + lado superior + lado inferior 6= 0. Por tanto H2 (K) = 0.

200

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R 6.4.

Homolog´ıa singular

Para calcular la homolog´ıa de un espacio X hemos supuesto que el espacio ya tiene una triangulaci´ on K como complejo simplicial. ¿Qu´e sucede si consideramos otra triangulaci´ on K 0 para X? ¿Cambian los grupos de homolog´ıa? Para contestar estas preguntas desarrollaremos una teor´ıa de homolog´ıa m´ as general, y llamada homolog´ıa singular, que no est´e basada sobre complejos simpliciales, sino que por el contrario pueda ser definida sobre cualquier espacio topol´ ogico; pero como toda buena generalizaci´ on, ella debe coincidir con la homolog´ıa simplicial cuando de complejos se trate.

6.4.1.

S´ımplices regulares

Definici´ on 6.28. Dado n ∈ N, definimos el n–s´ımplice est´ andar ∆n ⊆ Rn+1 como el n–s´ımplice con v´ertices en los vectores unitarios e0 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . ., en = (0, . . . , 0, 1) en cada eje coordenado,

n

∆ = [e0 , e1 , . . . , en ] = {(x0 , . . . , xn ) ∈ R

n+1

: xi ≥ 0 y

n X

xi = 1}.

i=0

e2 = (0, 0, 1)

e1 = (0, 1, 0) e0 = (1, 0, 0) Figura 6.17: ∆2 .

El subespacio ∆ni = {(x0 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ ∆n | xi = 0} es la (n − 1)– cara de ∆n opuesta al v´ertice ei . Ejemplo 6.29. El 1–s´ımplice est´ andar ∆1 tiene dos 0–caras: {e0 } y {e1 }. 2 Mientras que ∆ tiene tres 1–caras: [e0 , e1 ], [e1 , e2 ] y [e0 , e2 ].

6.4. HOMOLOG´IA SINGULAR

201

O V A T O S N U G BIA U R Definici´ on 6.30. Un n–s´ımplice singular en un espacio X es entonces definido como una funci´ on σ : ∆n → X (en la figura aparece la imagen ∆1 ). Como σ es tan solo una funci´ on continua, no tiene entonces por qu´e preservar la topolog´ıa de ∆n a la manera de una inmersi´ on, i.e. puede tener “singularidades” y esta es la raz´ on de la palabra singular.

Definimos Sn (X) como el conjunto de todos los n–s´ımplices singulares en X. Como en el caso de la homolog´ıa simplicial, para poder hablar de homolog´ıa singular debemos tener un operador borde y para definir este u ´ltimo debemos a su vez tener el concepto de caras para un s´ımplice regular.

di

Si n ∈ N, definimos para cada i = 0, 1, . . . , n un homeomorfismo : ∆n−1 → ∆ni como di ((x0 , . . . , xn−1 )) = (x0 , . . . , xi−1 , 0, xi , . . . , xn−1 )

para cada (x0 , . . . , xi , . . . , xn−1 ) ∈ ∆n−1 . N´otese que di es una inmersi´on de ∆n−1 en ∆n —di (∆n−1 ) es una cara de ∆n —.

Definici´ on 6.31. Dado un n–s´ımplice regular σ : ∆n → X al componer con cada una de la n + 1 funciones di obtenemos n + 1 diferentes (n − 1)– s´ımplices regulares σ ◦ di : ∆n−1 → X y cada una de estas funciones σ ◦ di la llamamos la i–´ esima cara de σ notada como σ i . Hemos definido as´ı una i funci´ on ∂ : Sn (X) → Sn−1 (X) dada por ∂ i (σ) = σ i para cada σ ∈ Sn (X) y llamado el operador i–´esima cara.

6.4.2.

Cadenas regulares

Para cada entero n ≥ 0 definimos Cn (X) como el grupo libre abeliano sobre Sn (X). Los elementos de Cn (X), llamados n–cadenas singulares son combinaciones lineales de la forma f = m1 σ1 + m2 σ2 + · · · + mk σk con mi ∈ Z, σi ∈ Sn (X). Definici´ on 6.32. Para cada n–s´ımplice regular σ ∈ Sn (X) P definimos su borde o frontera como la suma alternada de sus caras ∂n (σ) = ni=0 (−1)i σ i . Extendemos esta definici´ on de manera lineal (o aditiva) a un homomorfismo ∂n : Cn (X) → Cn−1 (X) llamado el operador borde singular o

202

CAP´ITULO 6. HOMOLOG´IA

O V A T O S N U G BIA U R

Pk

operador frontera singular; de suerte que, si f = entonces n X ∂n (f ) = (−1)i mi ∂(σi ).

i=1 mi σi

∈ Cn (X)

i=0

La frontera de una 0–cadena se define como 0, es decir, convenimos en que C−1 (X) = 0.

Por tanto, para cada espacio X tenemos el complejo de cadenas singulares {Cn (X), ∂n } —ver recuadro de la secci´ on 6.2.1— ∂n+2

∂n+1

∂n−1

∂

∂

n 1 · · · −−−→ Cn+1 (X) −−−→ Cn (X) −→ Cn−1 (X) −−−→ · · · − → C1 (X) −→ C0 (X)

Solo nos resta verificar el siguiente teorema.

Teorema 6.33. Para cada n ≥ 1 la composici´ on

∂n−1

∂

n ∂n−1 ◦ ∂n : Cn (X) −→ Cn−1 (X) −−−→ Cn−2 (X)

es el homomorfismo nulo, es decir Im(∂n ) ⊆ Ker(∂n−1 ).

Demostraci´ on. Por la definici´ on de homomorfismo es suficiente verificar la condici´ on para cada σ ∈ Sn (X). dj

Antes de todo, observemos que las funciones di : ∆n−1 → ∆n y : ∆n → ∆n+1 satisfacen dj ◦ di = di ◦ dj−1 si 0 ≤ i < j ≤ n. Esto a su vez implica que al componer con la funci´ on σ ∈ Sn (X) tenemos (σ j )i = (σ i )j−1 .

Ahora bien, n X (−1)i σ i

∂n−1 ◦ ∂n (σ) = ∂n−1 (∂n (σ)) = ∂n−1

i=0

!

n n n−1 X X X = (−1)i ∂n−1 (σi ) = (−1)i (−1)j (σ i )j i=0

X

=

i=0

(−1)i+j (σ i )j +

0≤j