TOPOGRAFIA+MINERA_001

UNIVERSIDAD DE LA SERENA DEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS

Topografía para Ingeniería

TOPOGRAFÍA PARA INGENIERÍA

Marzo 2008

Waldo Valencia Cuevas – Académico

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Topografía para Ingeniería

Capítulo 1 Conceptos y generalidades. 1.1. Definición de topografía. Tradicionalmente se ha definido a la topografía como una ciencia aplicada, encargada de determinar la posición relativa de puntos sobre la Tierra y la representación en un plano de una porción de la superficie terrestre. En un sentido mas general, se puede definir como la disciplina que abarca todos los métodos, para reunir información de partes físicas de la Tierra y sus alrededores, usando para ello los métodos clásicos de medición en terreno, la topografía aérea (Anexo A) y la topografía por satélite (Anexo B). 1.1.1. Representación de un punto en topografía. Un punto en el espacio puede representarse en 3D o en 2D, a través de los sistemas cartesianos tri y bidimensionales respectivamente. En 3D o sistema cartesiano tridimensional. XP : Proyección Este de P. YP : Proyección Norte de P. ZP : Cota o altitud de P.

Z (Cota o Altitud )

ZP

P(X;Y;Z XP X (Este)

YP P'(X;Y)

Y(Norte)

Figura 1: Sistema cartesiano tridimensional.

P(X;Y;Z): coordenadas tridimensionales del punto P, expresadas en metros. P'(X;Y) : coordenadas bidimensionales del punto P, expresadas en metros. Ejemplo: P(X;Y;Z) = P(5000; 5000; 500) Este trío de puntos nos indica que las coordenadas respectivas del punto P son: XP = 5000 m (coordenada este de P). YP = 5000 m (coordenada norte de P). ZP = 500 m (cota o altitud de P).

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La diferencia entre cota y altitud, radica en que la primera está referida a un plano de referencia cualquiera, mientras que la altitud lo está al nivel medio del mar. En 2D o sistema cartesiano bidimensional. Y(Norte) YP: Proyección Norte de P. XP: Proyección Este de P. P(X,Y)

YP

X(Este) XP Figura 2: Sistema cartesiano bidimensional.

1.1.2. Operaciones topográficas. En los métodos topográficos corrientes de medición en terreno, no se considera la verdadera forma de la Tierra, solo se utilizan modelos aproximados a la realidad, entre las prescindencias esta se considera plana, la dirección de la plomada entre dos puntos sería paralela y los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas, hechas estas consideraciones, cabe destacar que se distinguirían tres operaciones topográficas importantes, el levantamiento, el replanteo y el control. 1.1.2.1. Levantamiento topográfico. Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición de puntos en el espacio y su representación en un plano, el conjunto de operaciones incluye: • Selección del método de levantamiento (poligonación, radiación, triangulación, intersección inversa, perfiles, contorno, etc.) • Elección del instrumental a utilizar (estación total con jalón y prisma, teodolito con mira, teodolito con cinta, teodolito-distanciómetro con jalón y prisma, nivel de ingeniero con mira, etc.) • Identificar y ubicar posibles vértices de apoyo (red geodésica nacional, red geodésica de nivelación nacional, red G.P.S., red local, etc.) • Realizaciones de mediciones en terreno (distancia horizontal, vertical, direcciones de líneas, ángulos) en forma directa o indirectamente. • Registro de datos en forma manual (tiende a desaparecer), o automatizada (tendencia actual). Waldo Valencia Cuevas – Académico

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• •

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Cálculo y procesamiento de datos por procedimientos manuales (tiende a desaparecer), o automatizada ( a través de software topográfico). Elaboración de planos por medios manuales (tiende a desaparecer) y automatizados ( a través de software topográfico y plotter).

1.1.2.2. Replanteo. Una vez realizado el levantamiento y teniendo como resultado un plano topográfico, los ingenieros o planificadores realizan proyectos sobre ellos, que hay que materializar en el terreno, por lo tanto, la operación de replanteo consiste en volver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geométricos previamente definidos en el proyecto. Esta operación contempla un replanteo planimétrico (consistente en ubicar en el terreno en 2D la posición de un punto, al medir la distancia horizontal y el ángulo horizontal horario entre la estación de ubicación del instrumento, la estación de calaje y el punto a replantear) y un replanteo altimétrico ( consistente además en ubicar en el terreno la diferencia de nivel sobre o bajo la cota de terreno, para completar la posición en 3D del punto a materializar). Esta operación de replanteo general incluye la colocación de hitos, monolitos, marcas, crucetas, etc. para delinear, delimitar y guiar trabajos de ingeniería. 1.1.2.3. Control. Conjunto de operaciones cuya finalidad es constatar o fiscalizar en el terreno la materialización de las obras de ingeniería, en el caso de una obra vial no solo se fiscaliza las dimensiones y componentes de la loza o carpeta de asfalto, con sus respectivos testigos y especificaciones técnicas, sino también los radios de curvatura, desarrollos, las posiciones de los principios y fin de curvas, el peralte, el bombeo, y demás elementos geométricos de las curvas verticales y horizontales. Por otro lado en la propiedad minera, el inspector debe chequear la posición o amarre del hito de mensura a la red geodésica nacional, o a la red G.P.S, las correctas dimensiones de los hitos, y el método topográfico o geodésico utilizado. En general es según la actividad desarrollada y el organismo estatal con facultades de georreferenciación, lo que el inspector debe realizar. 1.2. Relación de la topografía con otras disciplinas y ciencias. La topografía (clásica de medición en terreno, aérea y satelital) se relaciona con diversas ciencias tales como, las ciencias exactas, las ciencias naturales, las ciencias de la tierra y un sin número de disciplinas, esta relación tiene que ver desde los fundamentos matemáticos, ópticos, teóricos, de proyecciones cartográficas, hasta con los elementos y soluciones químicas que se requieren para rebelar las imágenes fotográficas de los levantamientos aerofotogramétricos, como también la tecnología aplicada en la topografía clásica, en los sistemas de posicionamiento global por satélite y la que se usa en las imágenes satelitales.

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En este texto abordaremos la estrecha relación de la topografía con la geodesia y la cartografía. 1.2.1. Definición de geodesia. La geodesia es la ciencia que trata de las investigaciones de la forma y dimensiones de la superficie terrestre, incluyendo su campo gravitacional exterior y el posicionamiento de puntos sobre la superficie de la Tierra. Geoide Ondulación geoidal

Elipsoide

Figura 3: El geoide y un elipsoide geocéntrico.

La superficie de la Tierra, tal como la conocemos, dista mucho de ser uniforme, sin embargo los océanos son bastante mas uniforme (aún cuando imágenes satelitales indican que también en el mar se observan valles y montañas), pero la superficie o topografía de las masas de tierra muestran grandes variaciones verticales entre montañas y valles, lo cual hace imposible expresar la forma sobre un área de gran tamaño, mediante un modelo razonablemente simple; esto se puede simplificar al remover la masa continental sobre el nivel medio del mar, resultando una superficie con algo de realidad física, que se denomina geoide, figura que no posee una expresión matemática, pero que corresponde a una superficie equipotencial del campo de gravedad de la Tierra que mejor se aproxima al nivel medio del mar (nmm). Si la Tierra tuviera una densidad uniforme, la topografía terrestre no existiría, y el geoide tendría la forma de un elipsoide achatado, centrado sobre el centro de masa de la Tierra; sin embargo donde exista una deficiencia de masa, el geoide se undirá por debajo del elipsoide promedio, y al revés donde exista un exceso de masa, el geoide se levantará por sobre el elipsoide medio, a esta desviación se le conoce como ondulación o altura geoidal que alcanza en algunas zonas mas o menos 100 m. Estas variaciones han sido determinadas utilizando datos de satélites ópticos y dópler, mediciones gravimétricas, redes geodésicas, poligonales de alta precisión, mediciones astronómicas y adoptando previamente un elipsoide con parámetros establecidos.

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Para realizar cálculos de posición, distancia, direcciones, etc. sobre la superficie terrestre, es necesario tener algún marco de referencia matemático, en nuestro caso el elipsoide achatado es el mejor modelo matemático, dado que es una figura geométrica relativamente simple y que se ajusta al geoide. Las naciones o grupos de naciones han escogido diferentes elipsoides de referencia, los cuales calzan en forma adecuada con un área particular del geoide, y al punto donde la altura geoidal es mínima o cero, es decir, donde coincide el elipsoide de referencia con el geoide se le denomina datum, y para su identificación, se le agrega el nombre del lugar geográfico y el país donde se origina. La expresión del elipsoide como modelo matemático de la Tierra es: x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 si z = 0 ⇒ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 , correspondiendo a la ecuación de la elipse, donde a representa el semieje mayor o ecuatorial y b el semieje menor o polar. Los parámetros utilizados para definir un elipsoide de revolución son ( a, b ) o ( a, f ) y e , donde f = (a − b) / a “achatamiento” y e = excentricidad”.

1 − (b / a) 2 =

2f − f

2

1.2.1.1. Representación de un punto en geodesia. Un punto en geodesia se representa en el sistema de coordenadas geográficas, cuyos orígenes son el paralelo del Ecuador y el meridiano de Greenwich, que permiten fijar la posición de un punto sobre el elipsoide, por medio de la latitud (ϕ) y longitud (λ). Polo Norte Hemisferio Norte

Meridiano Greenwich

λ

Ecuador

ϕ P(ϕ ,λ)

Meridiano del punto P

Hemisferio Sur

Polo Sur

Paralelo del punto P

Figura 4: Coordenadas geográficas de un punto P.

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La latitud ϕ de un punto, es el ángulo que se genera entre la normal al elipsoide a través del punto y el plano ecuatorial, toma el valor cero grado sexagesimal en el Ecuador y aumenta hacia los polos hasta un valor máximo de 90 grados sexagesimales en el Polo Norte y 90 grados sexagesimales en el Polo sur. La longitud λ de un punto, es el ángulo que se forma entre la elipse meridiana que pasa a través de Greenwich y la elipse meridiana que contiene al punto; se mide a lo largo del Ecuador desde el meridiano de Greenwich 180 grados sexagesimales en dirección Este y 180 grados en dirección Oeste.

Normal al elipsoide Superficie terrestre

Elipsoide

Normal al geoide (Dirección de plomada) Superficie del mar

≈

geoide

Desviación de la vertical

Figura 5: Las tres superficies, Topografía superficie terrestre, Geoide y Elipsoide.

1.2.2. Definición de cartografía. La cartografía es la disciplina que estudia la representación de la superficie terrestre en cartas o mapas topográficos, a través de proyecciones cartográficas. 1.2.2.1. Proyección cartográfica U.T.M. (Universal Transversal de Mercator)

Figura 6: Elipsoide girando en su eje polar en un cilindro secante da origen a 60 Husos.

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Acuerdos cartográficos internacionales que se iniciaron a partir de la conferencia en Bélgica 1951 por la I.U.G.G. (International Union of Geodesy and Geophysics, Unión Internacional de Geodesia y Geofísica), recomendaron el uso de la proyección Universal Transversal de Mercator, por ser esta una proyección conforme, donde las deformaciones se hacen mínimas. Esta proyección puede ser visualizada como la Tierra encerrada en un cilindro secante, cuyo eje forma un ángulo de 90 grados sexagesimales con el eje polar de la tierra. El cilindro tiene generalmente un radio menor que el de la Tierra, de tal manera que las líneas de contacto entre la superficie cilíndrica y la superficie elipsoidal serán líneas paralelas a los meridianos. Girando el elipsoide dentro del cilindro, la secancia podría hacerse frente a cualquier meridiano central y los puntos situados a 3 grados sexagesimales de el, se pueden considerar casi libres de distorsión, donde los paralelos y meridianos terrestres quedarán representados en una superficie plana, por líneas rectas y paralelas que se cortan en ángulo recto; todo esto gracias a que la superficie del cilindro puede extenderse como un plano, lo que da origen al sistema de cuadriculado U.T.M. Si se gira el cilindro en torno al eje polar terrestre se forman 60 zonas de 6 grados sexagesimales de longitud cada una, cada zona se denomina Huso y están numerados desde el 1 al 60, partiendo del meridiano 180º y siguiendo la dirección Este. Nuestro país está comprendido en los Husos 18 y 19, cuyos meridianos centrales son 75º y 69º de longitud Weste respectivamente. Por otro la extensión en latitud de cada zona es de 84º y 80º hacia el Norte y Sur del Ecuador correspondientemente.

Figura 7: Tres zonas o Husos de 6° de longitud cada una, con sus respectivos meridianos centrales.

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La proyección UTM toma como origen de las ordenadas al Ecuador, para el Hemisferio Norte se le asigna el valor 0 m, ascendiendo en la dirección del Polo Norte, al Hemisferio Sur se le asignan 10.000.000 m, descendiendo en la dirección del polo Sur, el origen de las abscisas es el Meridiano Central de cada Huso, asignando a cada uno de ellos un valor de 500.000 m. Las ordenadas se conocen como coordenadas Norte UTM y las abscisas como coordenadas Este UTM. El valor de las abscisas en la proyección UTM (EUTM) aumentan en la dirección Este del Meridiano Central y disminuyen en la dirección Weste. Por otro lado si se trazaran paralelas al Paralelo del Ecuador en la dirección Sur, y paralelas a ambos lados del Meridiano Central, se generaría el sistema de cuadriculado UTM, consistente en una red de líneas perpendiculares entre si, que forman una serie de sectores cuadrados del mismo tamaño, con datos marginales que dan valor a cada una de las líneas que los forman. 1.2.2.2. Cartografía nacional y sistemas de datum utilizados. En nuestro país trabajamos con tres sistemas de datum, dos locales y uno global: Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela 1956 (PSAD-56). Elipsoide: elipsoide internacional de 1924. a

:

6.378.388,000 m

“semieje ecuatorial”

b

:

6.356.911,946 m

“semieje ecuatorial”

f

:

(a −b) / a

e2

:

(a 2 − b 2 ) / a 2 = 0,00672267006118 “primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”

e '2

:

(a 2 − b 2 ) / b 2 = 0,0067681702366

Obs. 1 : PSAD-56.

=

1 296,999998231

≈

1 297

“achatamiento”

“segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”

La cartografía nacional escala 1:50.000 y 1:250.000 está referida al

Obs. 2 : La Constitución de la Propiedad Minera nacional al norte de la latitud Sur 43º30’ está referida al PSAD-56. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide PSAD-56 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocéntrico). Waldo Valencia Cuevas – Académico

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Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969 (SAD-69). Elipsoide:

elipsoide sudamericano de referencia 1969.

a

:

6.378.160,000 m “semieje ecuatorial”

b

:

6.356.774,720 m

f

:

(a- b) / a =

e2

:

(a2 – b2) /a2 = 0,00669454160387 “primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”

e’2

:

(a2 – b2)/b2 = 0,0067396605417

“semieje ecuatorial”

1 298,250011223

≈

1 298,25

“achatamiento”

“segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”

Obs. 1: La cartografía Nacional escala 1:25.000, 1:100.000, 1:500.000 y la ortofotografía 1:10.000 y 1:20.000 está referida al SAD-69. Obs. 2: La Constitución de la Propiedad Minera nacional al sur de la latitud Sur 43º30’ está referida al SAD-69. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide SAD-69 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocéntrico). Sistema Geodésico Mundial Misuri, EE.UU. 1984 (WGS-84). Elipsoide: Elipsoide mundial de referencia de 1984. a

:

6.378.137,0000 m “semieje ecuatorial”

b

:

6.356.752,3142 m “semieje ecuatorial”

f

:

(a- b) / a =

e2

:

(a2 – b2) /a2 = 0,0066943800047 “primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”

e’2

:

(a2 – b2)/b2 = 0,00673949675703 “segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”

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1 298,257222933

“achatamiento”

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C2,0

:

-484,16685 x 10-6 “Coeficiente normalizado de armónico zonal de segundo grado de potencial de gravitación”.

W

:

7292115 x 10-11 Rad/S

GM

:

3986005 x 108 m3/S2

“Velocidad angular de la tierra”. “Constante de gravitación de la tierra” (masa de la atmósfera de la tierra incluida).

Obs. 1: El Instituto Geográfico Militar (IGM) ha comenzado a partir de 1996, la edición conjunta en PSAD-56 y WGS-84 de la cartografía nacional 1:50.000, existiendo en las cartas parámetros para convertir coordenadas desde PSAD-56 a WGS-84 y viceversa. Ejemplo : para la carta de Santiago E-58 escala 1:50.000 NUTM PSAD-56 = NUTM WGS-84 + 414 m. EUTM PSAD-56 = EUTM WGS-84 + 192 m. Obs. 2: Los GPS tipo navegadores, profesionales y geodésicos vienen configurados en el sistema WGS-84, en el caso de los navegadores cuando se le agotan las baterías y se está trabajando en algún sistema geodésico local (PSAD56 o SAD-69), debe revisarse el datum de configuración del equipo, dado que, cuando pasan varias horas del reemplazo de las baterías, automáticamente vuelve la configuración al datum WGS-84. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide WGS-84 coincide con el centro de masa de la tierra (es geocéntrico). 1.3. Tipos de levantamientos. Existen diversas variantes de levantamientos, tanto es así que un especialista en una disciplina topográfica a lo largo de su trayectoria, puede tener escaso contacto con las otras áreas de desarrollo de la topografía. Los levantamientos actualmente se utilizan para confeccionar cartas topográficas de la superficie terrestre, de los fondos marinos, deslindes de propiedades públicas, privadas, mineras, agrícolas, para la navegación aérea, terrestre y marítima, para conocer el relieve del suelo y el comportamiento del subsuelo, también se usan en los estudios catastrales, peritajes judiciales y proyectos de ingeniería. Además se emplean en la evaluación de datos sobre el tamaño, forma, gravedad y campo magnético terrestre, y aún se ha logrado confeccionar planos de la Luna y de los Planetas.

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Dado que la topografía es demasiado importante para muchas ramas de la ingeniería, en este texto trataremos los levantamientos que tienen mayor aplicabilidad en ella.

•

Levantamiento geodésico o de control: son levantamientos de grandes extensiones de terrenos, de alta precisión u orden geodésico, generalmente abarcan la totalidad o gran parte de los territorios de los países, consideran la verdadera forma y dimensiones de la Tierra, conforman redes longitudinales y transversales de puntos con coordenadas horizontales y verticales, que sirven como marco de referencia para otros levantamientos de menor rango geodésico. Comúnmente los ejecutan organismos del Estado, en nuestro país el IGM (Instituto Geográfico Militar), el SHOA (Servicio Hidrográfico y Oceánico de la Armada).

•

Levantamientos topográficos: determinan la posición y características de los accidentes naturales y artificiales, incluyendo las elevaciones de los puntos que permitan la representación en un plano. No consideran la verdadera forma de la Tierra , ésta se considera plana, la dirección de la plomada entre puntos sería paralela en la obtención de los rumbos y azimutes de las líneas que se forman, los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas.

•

Levantamientos aerofotogramétricos: forman parte de la topografía aérea (ver Anexo A), utiliza la percepción remota a través de una cámara fotográfica ubicada en la parte posterior de un avión para tomar los datos de terreno (fotogramas), siguiendo rigurosamente la planificación del vuelo y a partir de las fotografías aéreas obtenidas, se hace uso de la fotogrametría, de los procesos de restitución, fotointerpretación, clasificación de terreno, proceso cartográficos y de los vértices de apoyo terrestre para obtener las cartas, mapas o planos topográficos. Estos levantamientos se usan para terrenos de difícil acceso, pueden abarcar grandes extensiones del territorio y se pueden lograr gran precisión en ellos. La cartografía nacional del territorio continental, insular y Antártico se ha obtenido usando esta metodología. El SAF (Servicio Aerofotogramétrico) de la Fuerza Aérea de Chile, el IGM (Instituto Geográfico Militar) son los principales organismos del estado que realizan este tipo de levantamientos en nuestro país.

•

Levantamientos catastrales: normalmente se trata de levantamientos urbanos o rurales, con el propósito de localizar los linderos de las propiedades (agrícolas, mineras, acuicultura, derechos de agua, etc.), las construcciones que contienen, para conocer sus detalles, su extensión, su valor o tasación, los derechos de propiedad y transmisión, con la finalidad principal de que el estado pueda recaudar los impuestos respectivos.

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• Levantamientos hidrográficos: corresponden a los levantamientos relacionados con la definición de deslindes de playas de mar, ríos, lagos, embalses, y otros cuerpos de agua, así como con la configuración e irregularidades de sus profundidades (batimetría), utilizando instrumental topográfico clásico en la determinación planimétrica y sofisticados instrumentos electrónicos para determinar sus profundidades. Las finalidades pueden ir desde la delimitación de sus playas para uso público, pasando por la navegación, estudio de sedimentos y el dragado de sus fondos. El organismo oficial, técnico y permanente del estado en nuestro país facultado para dirimir diferendos en los trabajos en las costas, lagos y ríos es el SHOA. • Levantamientos de ingeniería: incluye los trabajos topográficos requeridos antes, durante y después del término o cierre de los proyectos de ingeniería, un plano topográfico resultante de un levantamiento que entregue la configuración del terreno, mas la incipiente concepción mental de algún proyecto de ingeniería, son las materias primas mas elementales y suficientes para que un ingeniero comience a plasmar en el plano su proyecto. Posteriormente necesitará materializar cada uno de sus elementos en el terreno (operación de replanteo), y alguna institución de fiscalización tendrá la facultad para verificar si lo materializado efectivamente corresponde a lo proyectado (control topográfico), de ahí la importancia que tiene la topografía para los estudiantes de ingeniería en el desarrollo u orientación de sus potencialidades ingenieriles. • Levantamientos satelitales: corresponden a los levantamientos obtenidos con tecnología satelital (ver Anexo B), por una parte se puede utilizar la percepción remota a través de un sensor electro-óptico ubicado en la parte posterior de una plataforma satelital, que captan las diversas bandas electromagnéticas correspondiente a luz solar reflejada por los cuerpos terrestres, que luego es clasificada en formatos digitales, que permiten obtener productos computacionales llamadas imágenes satelitales, que con apoyos de redes de puntos coordenados, permiten obtener productos cartográficos de amplio uso civil y militar. Por otro lado, el uso de posicionadores satelitales (GPS, GPS + GLONASS, y en el futuro GALILEO) en conexión con sus respectivas constelaciones de satélites artificiales, permiten obtener la posición tridimensional de puntos en la superficie terrestre, y por ende de los planos topográficos que requiere la ingeniería, así como también el monitoreo y posicionamiento de móviles terrestres, marinos y aéreos, con el apoyo de otras tecnología electrónicas.

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1.4. Teoría de errores. Todas las mediciones realizadas con fines topográficos o geodésicos están afectadas por errores de diferentes clases, es imposible determinar la verdadera magnitud de una serie de mediciones que podrían representar distancias, ángulos, superficies, cubicación de movimiento de tierra y coordenadas. En la práctica solo es posible obtener los valores más probables de dichas mediciones acompañados por una cierta incerteza, es decir: l ± dl n

l = ∑ li / n

“valor mas probable de la serie de mediciones ”

i =1

dl =

n

∑ (li − l

) 2 /(n(n − 1)) = E2M l

“incerteza ” o “error medio de la media o

i =1

desviación estándar del valor mas probable de la serie de mediciones” 1.4.1. Clasificación de los errores. Errores accidentales o aleatorios (se compensan). Errores sistemáticos (se corrigen). Errores personales o faltas (se eliminan). 1.4.1.1. Errores accidentales o aleatorios, pueden ser provocados por la imperfección de nuestros sentidos (dislexia, miopía, estrabismo, etc.) por la irregularidad de la atmósfera y del terreno a medir, actúan de un modo completamente irregular sobre los resultados de las mediciones y se presentan con signo positivo (+) y negativo (-), ejemplos de esto último, serían los cambios de temperatura por sobre y bajo de la de inicio de un trabajo de medición con una cinta de acero, o con un teodolito de círculos metálicos, también sucede lo mismo cuando se están midiendo ángulos con un teodolito y el viento que incide sobre la señal de puntería, cambia constantemente en un sentido y en otro contrario; algunas veces movimientos sísmicos imperceptibles para nuestros sentidos, desnivelan los equipos topográficos, afectando aleatoreamente las mediciones, por ello es que el tratamiento de la serie de mediciones se hace a través de las leyes de las estadísticas y probabilidades, utilizando en algunos casos los Test de distribución Normal (para n ≥30) o la T- Student (para n < 30). 1.4.1.2. Errores sistemáticos, pueden ser originados por mala calibración instrumental, por la acción unilateral de la atmósfera sobre la línea de puntería, por mediciones no conformes, tales como la mala alineación de las miras o de las cintas durante la medición de distancias. En igualdad de condiciones son siempre constantes en magnitud y con el mismo signo, obedecen siempre a una ley matemática o física. Ejemplos de estos errores serían, cuando falla el control de calidad y se pasan equipos de medición angular electrónica con círculos en graduación sexagesimal y centesimal, originándose errores instrumentales constantes. Cuando se utiliza un

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teodolito o un taquímetro mecánico desconocido para un operador, es recomendable realizar previamente mediciones angulares por reiteración (mediciones en directo y directo-tránsito), para descubrir posibles errores instrumentales tanto en el origen del limbo horizontal como en el círculo o limbo vertical (error de índice), para posteriormente realizar las correcciones pertinentes. Si se conocen antecedentes de fabricación de una cinta de acero tales como, la temperatura, tensión de calibración, y dichos datos durante la medición, también es posible corregir las mediciones por corrección por temperatura, por tensión incorrecta y por pandeo o flecha. 1.4.1.3. Errores personales o faltas, son producto de la inhabilidad, descuido o cansancio del operador de un instrumento, pueden generarse por la mala anotación de las mediciones, se descubren repitiendo las observaciones. 1.4.2. Cuantificación de los errores accidentales o aleatorios. 1.4.2.1. Método matemático. 1.4.2.1.1. Principales parámetros estadísticos. Sea l una serie de mediciones de distancias, ángulos, superficies, volúmenes o de posición topográfica, entonces: n

l = ∑ li / n

“valor más probable de la serie de mediciones”

i =1

El =

n

∑ (li − l )

2

“desviación estándar de la serie de mediciones”

/n

i =1

E2 l =

n

∑ (li − l )

2

/( n − 1) = σ

“error medio cuadrático de la serie de

i =1

mediciones” E2M l

=

n

2

∑ (li − l ) /(n(n − 1) )

“error

medio

de

la media”

o

i =1

“desviación estándar del valor más probable de la serie de mediciones” E2M l = E2 l / n “error medio de la media en función del error medio cuadrático y del número de observaciones realizadas”. Cuando se conoce MSE (Root Mean square error) para medir distancias electrónicas con Estaciones Totales o Distanciómetros, que es una característica propia del instrumental topográfico utilizado, entonces se debe usar:

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E2M l = M.S.E l / n “Error medio de la media para instrumental electrónico de distancia” Ejemplo. Si el error medio cuadrático (M.S.E) para una Estación Total es M.S.E = ï (3 mm + 3ppm) y se ha medido 5 veces una distancia electrónica inclinada resultando un valor mas probable de 4.589,325 m. Determine la incerteza con que se midió dicha distancia. Solución: l = 4.589,325 m n=5 M.S.E l = ï (0,003 + 3/106 l ) m = ï (0,003 + 3/106 4.589,325) m

M.S.E l =4.589,325 = ï 0,016767975 m E2M l = M.S.E l / 5 = ï 0,007498866389 m ≈ 0,0075 m 1.4.2.1.2. Error relativo o exactitud relativa. 1.4.2.1.2.1. Error relativo al medir una base topográfica, geodésica o GPS. E.R. = E2 l / l = 1/ ( l /E2 l ) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión con que se ha medido una base topográfica con cinta o con taquímetro y mira” E.R. = M.S.E l / l = 1 / ( l / M.S.E l ) = 1/ Denominador “ cuantifica la precisión con que se ha medido una base geodésica con estación total o distanciómetro” E.R. = M.S.EL / L = 1 / ( L/ M.S.EL) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión con que se ha medido un vector GPS” ( ver ejercicio en página 66 y grados de precisión en página 64 del texto Topografía en Minería Cielo Abierto) Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al medir sus bases se dan las siguientes referencias. i)

1/1.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500

ii)

1/10.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000

iii)

E.Rl

Bases en Trabajos Geodésicos

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≤ 1 /100.000

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1.4.2.1.2.2. Error relativo al medir un polígono topográfico, geodésico o GPS. n

k

n

k

k =1

i, j

K =1

i, j

E.R.Polígono = ε/ ∑ DH = 1/( ∑ DH /ε ) = 1/Denominador “cuantifica la precisión con que se ha medido un polígono taquimétrico o electrónico”

ε = (εN2 + εE2 )(1/2) “error de cierre lineal “ o “ error de posición al medir un polígono taquimétrico o electrónico” εN : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Norte” εE : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Este” n

k

k =1

i, j

∑ DH : “lados o distancias horizontales más probables del polígono” o “ perímetro del polígono”

Y(Norte) B YA YA′

A εN ε A′

C

D

εE XA′

X (Este) XA

Figura 8: Error de cierre lineal en un polígono cerrado de 4 lados. n

E.R.Polígono GPS = 1/ ( ∑i=1 Di3D / d3D) “cuantifica la precisión con que se ha medido un polígono GPS” (ver páginas 65,66, 162-171 del texto Topografía en Minería Cielo Abierto de los autores). Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al medir polígonos taquimétricos y electrónicos se dan las siguientes referencias.

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i)

1/1.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500

ii)

1/10.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000

iii)

E.R.P/Polígonos Trabajos Geodésicos ≤ 1 /20.000

1.4.2.2. Método diferencial. 1.4.2.2.1. A partir de la ley general de propagación de errores accidentales o aleatorios, es posible cuantificar la incerteza (dF) al calcular indirectamente por medio de una función F conocida, que a la vez contiene variables con errores. Sea F una función que depende de n variables ( F= f(a, b, c,...., n) ), entonces la incerteza dF , puede calcularse de acuerdo a la ley de propagación de errores aleatoreos por: dF = [ (δF/δa)2 (da)2 + (δF/δb)2 (db)2 +..........+(δF/δn)2 (dn)2 ](1/2) donde : (δF/δa) , (δF/δb),.........(δF/δn) “representan las derivadas parciales de la función F con respecto a sus variables a, b, c,....., n. (da), (db),........,(dn) “representan las incertezas al medir las variables a, b, c,....,n ,es decir: E2Ma = da

E2Mb = db

E2Mc = dc

E2Mn = dn

Ejemplo: las funciones para calcular la DHA-B por medio de una estación total o con distanciómetro son: DHA-B = Di A-B Cos α A-B = Di A-B Sin Z A-B = Di A-B Sin N

A-B

Si escogemos la primera expresión : dDHA-B = [ (δDHA-B/δ Di A-B)2 (d Di A-B)2 + (δDHA-B/δ α A-B)2 (d α )2 ](1/2) 1.4.2.3 Errores de 50, 90, 95 y 99.7 %, de los datos de la gráfica de relación entre el error y el porcentaje del área bajo la curva de distribución normal, puede determinarse la probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad, donde la ecuación general es: EP = CP σ , donde CP: factor numérico tomado desde la curva.

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E50 = ± 0.6745 σ “Error del 50%, fija los límites dentro de los cuales han de permanecer las mediciones un 50% de las veces”. E90 = ± 1.6449 σ “Error del 90%”. E95 = ± 1.9559 σ “Error del 95 %, llamado también error dos sigma (2 σ ) “. E99.7 = ± 2.567 σ “Error del 99.7 % o error tres sigma (3 σ ).

Figura 9: Relación entre el error y el porcentaje de área bajo la curva de distribución normal.

1.5. Unidades de medición. 1.5.1. Unidades angulares. Los círculos horizontales y verticales en los teodolitos, taquímetros, estaciones totales, o los limbos horizontales en los niveles de ingeniero y brújulas, vienen generalmente graduados en los sistemas angulares sexagesimales y centesimales, sin embargo la últimas pueden también venir graduadas en el sistema de 6400- milésimas. 1. Sistema sexagesimal (MODE DEG). 1 Círculo horizontal o vertical graduado = 360° grados sexagesimales. 1° = 60′ (minutos sexagesimales) 1′ = 60″ (segundos sexagesimales)

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Observación 1: Las cantidades expresadas en este sistema deben sumarse o restarse por separado, los grados, los minutos y segundos. Observación 2: Es importante que los usuarios de calculadoras aprendan a usarlas, seleccionando apropiadamente el sistema de medición de ángulos, en este caso Mode DEG, así como también conocer el proceso de conversión de mediciones angulares expresadas en formato de fracciones de grados sexagesimales, a formatos de (grados, minutos, segundos) sexagesimales. Ejemplo:

270° 45′ 52″ - 120° 37′ 13″ 150° 8′ 39″

2. Sistema centesimal (MODE GRA). 1 Círculo horizontal o vertical = 400 g 1g = 100 c (minutos centesimales) 1c = 100 cc (segundos centesimales) Observación 1: Las operaciones aritméticas se efectúan exactamente igual que el común de las operaciones usadas en el sistema decimal. Ejemplo:

215 g 30c 40cc = 215,3040 g (grados centesimales) 215,3040 g + 28,7227 g 244,0267 g

3. Sistema en radianes (MODE RAD) En este sistema de unidades angulares trabajan los computadores, luego al usar algún lenguaje de programación debe conocerse la equivalencia entre los sistemas hasta aquí tratados. 2 π radianes 2 π radianes

= 360 ° (Sistema sexagesimal). = 400 g (Sistema centesimal).

4. Sistema en milésimas. En este sistema de graduación han sido fabricadas algunas brújulas geológicas e instrumentales de artillería. 1 Círculo horizontal = 6400- (milésimas) 1/4 Círculo horizontal = 1600- (milésimas) 1/64 Círculo horizontal = 100- (milésimas) 5. Relación entre sistemas sexagesimal y centesimal.

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X° = 0,9 X g X g = 1/0,9 x° 6. Relación entre sistemas en radianes, sistema sexagesimal y centesimal. x (radianes) = π/180 ° x° x (radianes) = π/200 g xg 7. Relación entre sistemas en milésimas, sexagesimal y centesimal. x- (milésimas) = 1/0,05625 x° x° = 0,05625 x- (milésimas) x- (milésimas) = 16 x g x g = 1/16 x– (milésimas) 1.5.2. Unidades de longitud. Los múltiplos y divisores del metro aumentan o disminuyen de diez en diez según la siguiente tabla: 10-6 micro

10-3 mili

10-2 centi

10-1 deci

μm

mm

cm

dm

101 deca

1 metro

m

102 hecto

103 kilo

106 mega

hm

km

Mm

da

Abreviatura

1.5.3. Unidades de superficie. Los múltiplos y divisores del metro cuadrado aumentan y disminuyen de cien en cien, según la siguiente tabla: 10-6 mili2 mm2

10-4 centi2

10-2 dici2

12 metro2

102 área

104 hectárea

cm2

dcm2

m2

a

ha

106 bilom2 Abreviatura

1 acres (ac) = 4.046,873 m2 1 hectárea = 2,47104 acres 1.5.4. Unidades de volumen. Los múltiplos y divisores del metro cúbico aumentan o disminuyen de mil en mil, según la tabla: 10-9 mili3

10-6 centi3

10-3 deci3

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1 m3

103 ---

106 ---

109 Kilo3

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Observación: en las cubicaciones de movimiento de tierra se sugiere trabajar solo a la décima del metro cúbico, dado que los modelos utilizados para cubicar solo son aproximaciones a la realidad. Ejemplo:

Volumen Terraplén = 702,3 m3 Volumen Corte = 975,9 m3

1.6. Escalas. 1.6.1. Escala numérica. Es la relación entre una distancia medida en el plano y la correspondiente distancia medida en el terreno, ambas expresadas en una misma unidad de longitud. E = Dibujo/Terreno = 1/Denominador Ejemplo: ¿Cuál sería la escala numérica de un plano si 10 cm de dibujo representan 200 m de terreno? E = 10 cm/200 m =

(10 cm 1m/100 cm)/200 m = 1/2000

1.6.2. Escala gráfica. Es una barra graduada sobre el plano, subdividida en distancias que corresponden a determinado número de unidades en terreno.

0,8 cm Figura 10: Escala gráfica.

¿ A que escala numérica se encuentra la escala gráfica? E = Dibujo/Terreno = 0,8 cm/1 km = 1/125000

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Capítulo 2 Medición de ángulos. 2.1. Medición de ángulos horizontales. Los ángulos horizontales proporcionan la posición horizontal de un punto, respecto a una alineación o a una base topográfica, pueden medirse en el sentido horario (+) (HR) o antihorario (-) (HL), son medidos en un plano horizontal entre dos planos verticales. HR = HL = P.V = P.H =

Horizontal Right Horizontal Left Plano Vertical Plano Horizontal

Figura 11: Medición de ángulos horizontales en el Plano Horizontal P.H.

A : Estación topográfica o vértice de instalación del teodolito. B : Vértice de calaje u orientación cero – cero grados ( 0,00 g ). C : Vértice de medición angular horizontal y/o vertical.

θ : Angulo horizontal (+) medido en el círculo horizontal del teodolito. α : Angulo horizontal (-) medido en el círculo horizontal del teodolito. La medición de ángulos horizontales puede realizarse en dos posiciones del anteojo topográfico, una en directo y la otra en directo-tránsito, con lo cual es posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados.

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2.1.1. Medición de ángulos horizontales en directo. El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado izquierdo del anteojo topográfico si se está observando de frente el lente ocular. 2.1.2. Medición de ángulos horizontales en directo-tránsito. El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado derecho del anteojo topográfico si se está observando de frente el lente ocular. En general la condición que debe cumplir la medición de un ángulo Horizontal en Tránsito y ángulo Horizontal en Directo debe ser la siguiente: Angulo HorizontalT – Angulo HorizontalD

Teoría: Práctica:

≈ 2R

Angulo HorizontalT – Angulo HorizontalD

≈ 2R

+ ε∠

R = 1 Recto (100 g grados centesimales o 90° grados sexagesimales).

ε∠ : Error de cierre angular obtenido en el origen. Si el ε∠ ≤ ε∠ Admisible ⇒ Ajuste de Angulo HorizontalD

ε∠ Admisible ≤ ± 0,01g “si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto

centesimal”

ε∠ Admisible ≤ ± 0,0017g “si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo

centesimal”

2.1.3. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular. Est. A

Pto. Obs. BD CD CT BT

Ang. Horiz. (+) 0,00g 74,81g 274,80g 199,99g

Ang. Horiz. Ajustado 74,81g

Toma de datos de terreno. A : Punto Estación o de instalación instrumental. BD : Punto Observado o de Orientación en Directo. BT : Punto Observado o de Orientación en Tránsito. CD : Punto de Medición angular en Directo. CT : Punto de Medición angular en Tránsito. Cálculo de registro y ajuste angular. i) Origen: (0,00g + 199,99g – 200g)/2= -0,005g = 399,995g

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ii) Angulo Horiz. = (74,81g +274,80g – 200g )/2 = 74,805g iii) Angulo Horiz. AJUSTADO = Angulo Horiz. + − 0,005 g

= 74,81g

Angulo Horiz. : Representa el ángulo horizontal promedio.

2.2. Medición de ángulos verticales. Los ángulos verticales proporcionan la posición vertical de un punto respecto: 1. Zenit (Z) 2. Nadir (N) 3. Horizonte (α)

Figura 12: Las tres referencias de la medición de ángulos verticales.

Zenit (cenit) (Z): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del teodolito o estación total con la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto zenit. Horizonte (α): es el punto celeste que se genera al prolongar una línea perpendicular al eje vertical del teodolito o estación total en la dirección de la línea aparente que separa la tierra de la esfera celeste, el cero del círculo vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto horizonte.

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Nadir (N): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del teodolito o estación total atravesando diametralmente a la tierra e intersectando a la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto nadir. La medición de ángulos verticales al igual que los horizontales puede realizarse en dos posiciones del anteojo topográfico, una en directo y la otra en directo-tránsito (dando vuelta de campana el anteojo topográfico), con lo cual es posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados. Las recomendaciones para medir ángulos verticales en directo y en directotránsito, son las mismas dadas en los ángulos horizontales referente al círculo vertical, en lo concerniente a las condiciones angulares que deben cumplir los ángulos verticales en ambas posiciones del anteojo serían: Teoría : ZD + ZT = 4 R ND + NT= 4 R αD + αT = 2 R (Para ángulos de elevación) αD + αT = 6 R (Para ángulos en depresión) Práctica: ZD + ZT = 4 R + ε ∠ ND + NT = 4 R + ε ∠ αD + αT = 2 R + ε ∠ (Para ángulos de elevación) αD + αT = 6 R + ε ∠ (Para ángulos en depresión)

ε ∠ : Error angular obtenido o error de índice obtenido, puede producirse por desajuste del instrumento, por turbulencias atmosférica, imprecisión en el visado o calaje. Si el ε∠ ≤ ε∠ Admisible ⇒ Ajuste de Angulo VerticalD (εi = ±

ε ∠ /2

)

εi : Factor de ajuste o compensación. εi > 0 si ε∠ < 0 εi < 0 si ε∠ > 0

ε∠ Admisible ≤ ± 0,03g “si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto centesimal

y se trata de trabajos topográficos corrientes”

ε∠ Admisible ≤ 0,0050g “si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo

centesimal y el trabajo es de 3er orden geodésico”

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2.2.1. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular. Estac. A

Pto. Obs. BD BT

Ang. Vert. (N) 89,14g 310,88g

Ang. Vert. Ajustado 89,13g

Toma de datos de terreno. A : Punto Estación o de instalación instrumental. BD : Punto Observado en Directo. BT : Punto Observado en Tránsito. Cálculo de registro y ajuste angular. i) ND + NT = 400g + ε ∠ 400,02g – 400g = ε ∠ ε ∠ = 0,02g ⇒ εi = 0,02g/2 = - 0,01g ND

AJUSTADO

= ND + εi = 89,13g

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Capítulo 3 Medición de distancia. 3.1. Procedimiento taquimétrico. Este método utiliza el anteojo topográfico del teodolito o taquímetro y la lectura en una mira graduada, para determinar distancias horizontales, inclinadas y verticales.

Figura 13: Medición de distancia con teodolito y mira.

I : Punto Estación o de instalación instrumental. II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada. LiII : Lectura de hilo inferior en la mira en el Punto II. LsII : Lectura de hilo superior en la mira en el punto II. hmII : Lectura de hilo medio en la mira en el punto II, hmII = (LsII + LiII )/2. G : Generador, G= LsII - LiII. hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I. Z : Angulo vertical de referencia zenital. N : Angulo vertical de referencia nadiral. α : Angulo vertical de referencia al horizonte. DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II. DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II. DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II. K : Constante estadimétrica (K= 100 m).

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Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que los teodolitos sean fabricados, nos permiten determinar los parámetros necesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado. DHI-II = KG Cos α2 = KG Sin Z2 = KG Sin N2 DiI-II = KG Cos α = KG Sin Z = KG Sin N HI-II = DHI-II tg α = DHI-II / tg Z = - DHI-II / tg N DNI-II = hiI + HI-II - hmII TI-II = HI-II - hmII CotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencias de nivel entre estaciones” CotaII = CotaI + hiI +HI-II – hmII CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental” 3.1.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel. Estac. I

hi

Pto. Obs.

Angulo Horiz.(+) Vert.(Z)

Estadía Ls Li

hm

D.H.

D.N.

1,32

Cota 500,25

II 1 2 3

g

0,00 102,39g 223,84g 77,20g

g

100,32 98,25g 102,78g 99,24g

3,240 1,000 3,080 1,000 2,272 1,000 2,950 1,000

2,120 2,040 1,636 1,975

223,99 207,84 126,96

-1,93 4,99 -5,86

194,97

1,67

498,32 505,24 494,39 501,92

Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se han asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente orden: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidos al sistema centesimal. ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro serían: DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z2 : DN= 1.32 + DH/Tan Z – hm: Cota= 500.25 + DN Observación: En Basic Sin Z2 = Sin Z * Sin Z

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3.1.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental. Est.

I

hi

Pto Obs

Angulo

Estadía Ls Li

hm

D.H.

T

Horiz.(+)

Vert.(Z)

II

0,00g

100,32g

3,240 1,000

2,120

223,99

-3,25

1

102,39g

98,25g

3,080 1,000

2,040

207,84

3,67

2

223,84g

102,78g

2,272 1,000

1,636

126,96

-7,18

3

77,20g

99,24g

2,950 1,000

1,975

194,97

0,35

1,32

Cota INST.

PTO.

501, 57

500,25 498,32 505,24 494,39 501,92

El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manual también es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora. ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (500.25+1.32= 501.75) y las cotas de los puntos. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro de datos serían: DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z^2 : T= DH/Tan Z – hm: Cota= 501.57 + T Observación: En Basic Sin Z^2 = Sin Z * Sin Z 3.1.3. Condiciones y requisitos operacionales del teodolito. El teodolito o taquímetro es uno de los instrumentos topográficos mas completos y de gran utilidad en la ingeniería. Su adecuado uso, cuidado y manejo, permiten disponer de una valiosa herramienta para medir ángulos horizontales y verticales, obtener distancias horizontales, inclinadas y verticales, todos parámetros fundamentales para representar la superficie terrestre. Los elementos geométricos del teodolito deben cumplir las siguientes condiciones y requisitos de operación: 1. E.V.R. ⊥ L.F. (P.S.) “se cumple con instalación del equipo”. 2. E.H. (A.T.) ⊥ E.C. (A. T.) “se logra con calibración del equipo” 3. E.H. (A. T.) ⊥ E.V.R. “se logra con calibración del equipo” E.V.R.: Eje Vertical de Rotación del instrumento. L.F. (P.S.) : Línea de Fe (Plato Superior).

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E.H. (A.T.) : Eje Horizontal (Anteojo Topográfico) E.C. (A.T.) : Eje Colimación (Anteojo Topográfico).

Figura 14: Teodolito en corte.

3.1.4. Elementos mecánicos del teodolito. • Movimiento general (plato inferior). 1. Base nivelante. 2. Plato inferior. 3. Sistema de tornillos de fijación y tangencial. 4. Eje vertical del movimiento general (E.V.). 6. Círculo o limbo horizontal. 8. Plomada óptica.

• Movimiento de alidada (plato superior). 5. Sistema de tornillos de fijación y tangencial. 7. Eje vertical de movimiento de alidada. 9. Plato superior o alidada. 10. Eje horizontal del anteojo topográfico (E.H.) 11. Círculo o limbo vertical. 12. Sistema de tornillos del anteojo topográfico. 13. Ampolleta tubular del plato superior. 14. Anteojo topográfico. 3.1.5. Operaciones de terreno con el teodolito. El buen uso y manejo del teodolito en la ingeniería requiere tener presente tres operaciones básicas, por un lado está la correcta instalación sobre una estaca, clavo, o estación; el calar cero-cero, y el orientar el teodolito, estas dos últimas en algunos equipos pueden fusionarse en una sola operación.

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1. Instalar el teodolito: es la operación que consiste en el hacer coincidir el Eje Vertical del instrumento con la cabeza de la estaca, a través de la plomada (óptica, mecánica, o vástago), accionando los tornillos nivelantes, nivelando el nivel circular con las patas de trípode, y finalmente nivelando la burbuja tubular con los tornillos nivelantes. 2. Calar cero-cero: una vez instalado se hace coincidir el cero del limbo o círculo horizontal con el cero del plato superior e inferior. 3. Orientar el teodolito: consiste en dirigir la visual cero-cero hacia un punto de coordenadas o dirección conocida.

Figura 15: Teodolito en sistema modular para la instrucción.

Para la instrucción de sus estudiantes de ingeniería algunas universidades europeas utilizan los teodolitos en el sistema modular, lo cual les permite didácticamente observar el funcionamiento de los círculos horizontal y vertical descubiertos, así como también el suministro de accesorios modulares les permite convertir el teodolito en un nivel de ingeniero, o en una alidada (alidada: todo elemento óptico o mecánico que sirve para trazar visuales).

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3.2. Procedimiento electrónico. Este método a diferencia del taquimétrico que utiliza principios de la física óptica, aquí se utiliza los elementos de la física cuántica para medir distancias, es decir, se determina el tiempo en que tarda una onda luminosa o electromagnética en hacer el recorrido de ida y regreso, entre el aparato emisor de la onda y el prisma reflectante, de modo que en función del tiempo de recorrido, es posible determinar la distancia inclinada, horizontal o vertical entre dos puntos, previa corrección por presión, temperatura y humedad atmosférica. El distanciómetro montado sobre el teodolito, o integrado al teodolito, fue uno de los primeros instrumentos que incorporó la tecnología de medición de distancia electrónica, llegando algunas generaciones de estos equipos, a contar con tarjetas electrónicas y memorias incorporadas para la recolección de datos en terreno. Una variante de tecnología mas avanzada lo constituyen las Estaciones Totales, conformando un solo equipo, con mayor alcance en las mediciones, así como también con la toma automatizada de datos de terreno, también en el último tiempo han salido las Estaciones Totales GPS, que en forma alternativa puede usar la metodología convencional del posicionamiento de puntos o el uso de la tecnología satelital, todo lo anterior ha contribuido a la agilización y eficiencia en el trabajo de campo, y a la vez, velocidad en el procesamiento de la información a través de software de topografía y calidad en el trazado de los planos con el uso del plotter.

Figura 16: Medición de distancia usando Estación total con jalón y prisma.

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I : Punto Estación o de instalación instrumental. II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada. hmII : Lectura de hilo medio en el punto II, (hmII= hpII = hjII). hpII : Lectura de prisma en el punto II, (hmII= hpII = hjII). hjII : Lectura de jalón en el punto II, (hmII= hpII = hjII). hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I. Z : Angulo vertical de referencia zenital. N : Angulo vertical de referencia nadiral. α : Angulo vertical de referencia al horizonte. DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II. DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II. DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II. 6.66/108 DiI-II2 : Factor combinado de curvatura terrestre y refracción atmosférica. Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que las Estaciones totales hayan sido fabricadas, nos permiten determinar los parámetros necesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado. DHI-II = DiI-II Cos α = DiI-II Sin Z = DiI-II Sin N HI-II = DiI-II Sin α = DiI-II Cos Z = - DiI-II Cos N HI-II = DHI-II Tg α = DHI-II /Tg Z = - DHI-II /Tg N Para trabajos topográficos de precisión: DNI-II = hiI + HI-II + 6.66/108 DiI-II2 – hmII TI-II = HI-II + 6.66/108 DiI-II2 – hmII CotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencia de nivel entre estaciones” CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental”

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3.2.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel. Est. I

hi

Pto. Obs.

Angulo Horiz (+)

Di

hj

DH

DN

Cota

1,00 89,49 -12,28 -8,72

782,32 783,32 871,81 770,04 773,60

Vert (N)

1.30 II 1 2 3

g

0,0000 55,2981g 189,7532g 202,2734g

g

100,0425 101,9872g 99,3741g 98,7890g

1502,87 2891,32 1125,60 525,37

1,45 2,60 2,60 0,05

1502,87 2889,91 1125,55 525,27

Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se han asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente orden: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidos al sistema centesimal. ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular las distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro serían: DH= Di * Sin N : DN= 1.30 - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 – hm : Cota= 782.32 + DN Observación: En Basic 108 = 10^8 ; Di2 = Di^2 3.2.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental. Est.

hi

Pto Obs

Angulo Horiz. (+)

I

Di

hj

D.H.

T

Vert.(Z)

1,30

0,0000

g

100,0425

1502,87

1,45

1502,87

1

55,2981g

101,9872g

2891,32

2,60

2889,91

88,19

2

189,7532g

99,3741g

1125,60

2,60

1125,55

-13,58

3

202,2734g

98,7890g

525,37

0,05

525,27

-10,02

II

g

Cota INST.

PTO.

783,62

782,32

-0,30 783,32 871,81 770,04 773,60

El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manual también es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora.

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ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular las distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (782.32+1.30= 783,62) y las cotas de los puntos. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro de datos serían: DH= 100 * Sin N : T= - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 - hm: Cota= 783.62 + T Observación: En Basic 108 = 10^8 ; Di2 = Di^2 3.2.3. Mediciones de distancia electrónica en forma automatizada. Las últimas generaciones de estaciones totales permiten la toma de información de terreno en forma automática, reemplazando a la recolección manual de la información. Estos instrumentos tienen tres componentes en uno, el Instrumento Electrónico de Medición de Distancia (IEMD), un teodolito digital electrónico y un microprocesador.

Figura 17: Estación Total Geodimeter con característica de toma automatizada de datos en terreno.

La memoria del microprocesador en el caso del Geodimeter está dividida en dos archivos separados, los Job (archivos de trabajo o de terreno) y los Area (archivos de coordenadas conocidas). El número total de archivos está limitado Waldo Valencia Cuevas – Académico

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solo por la capacidad total de la memoria, en cuanto mas información sin procesar exista almacenada en los archivos Job, menos información se podrá almacenar en los archivos de coordenadas conocidas o de Area y viceversa. La capacidad de memoria de las Estaciones Geodimeter 600 alcanzarían a la toma de alrededor de 4000 puntos de terreno, a lo cual habría que descontar la memoria utilizada al cargar las UDS (Secuencias Definidas por el Usuario), que corresponden a los diversos Programas que eventualmente el usuario podría utilizar entre los que se encuentran: PRG

: PROGRAMAS.

PRG PRG PRG PRG PRG PRG PRG PRG PRG

: : : : : : : : :

20 23 24 25 26 40 41 43 54

Establecimiento de la Estación. Replanteo por coordenadas. Línea de Referencia. Cálculo de superficie. Distancia entre dos objetivos. Creación de UDS (desde PRG 1 a PRG 19). Definición de Etiquetas. Creación de archivos de tipo Area. Transferencia de archivos.

3.2.4. Procedimiento para trabajar con los PRG más elementales que posee la Estación Total Geodimeter 600, para realizar levantamientos topográficos. Para mas detalles sobre uso y manejo de este instrumental (vea Anexo C), a continuación veremos como utilizar los PRG 20, PRG 1 y PRG 2 para realizar levantamientos topográficos en forma automatizada. Una vez instalada la estación total siguiendo procedimiento semejante a la instalación del teodolito, se sigue el siguiente protocolo: 1. Presionar la tecla PWR tanto para el encendido como para el apagado del sistema, si no se pulsa ninguna tecla después de 60 segundos desde que se ha activado, el instrumento automáticamente se desactivará. Si se desea conectar el instrumento antes de las primeras 2 horas, en la pantalla aparecerá la siguiente leyenda: Interrupción por el operador ¿Continuar (S/N)? Si responde “S”, la estación total conserva sus parámetros de instalación. Si responde “N”, la estación total se restablece perdiendo sus parámetros de instalación.

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2. Calibración del compensador para obtener la precisión máxima de la inteligencia inherente al sistema, esta operación se logra en forma semejante a la nivelación de la burbuja tubular del teodolito, es decir, se perfila la pantalla en la dirección de dos tornillos nivelantes, se accionan dichos tornillos hasta lograr la nivelación del compensador, luego accionando el tercer tornillo nivelante se logra la nivelación electrónica del equipo. Posteriormente se presiona la tecla A/M o ENT, se oirá un pito, se debe esperar entre 6 a 8 segundos por un segundo pito, y por el cambio en la pantalla: INIC Comp Girar: 200 Girar el instrumento en 200 g (grados centesimales) y la pantalla cambiará: INIC Comp Presionar A/M Un nuevo pito se oirá y la pantalla ahora indicará: INIC Comp Esperar Se espera por un pito doble entre 6 a 8 segundos hasta que la pantalla vuelva a cambiar automáticamente. 3. Aparece en la pantalla el PΦ, indicador de que el compensador está activado lo cual permite introducir las siguientes variables: Temp = 15 ºC (Temperatura promedio anual en La Serena, o se mide con termómetro). Presión = 760 mm de Hg (al nivel medio del mar o en el Patio de Topografía, o se mide con barómetro) Se introducen o aceptan los valores presionando la tecla ENT, apareciendo en la pantalla la constante del prisma: Const = 0.000 Se acepta el valor previa verificación del prisma en el Jalón y se presiona ENT, solicitándose ahora en la pantalla el ángulo azimutal de referencia: AHZ : 128.3845 AHZ Ref = ---------------

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Se teclea el nuevo azimut de referencia, o el valor cero, o se acepta el valor que aparece en la pantalla; se dirige la visual hacia el objetivo de referencia y se presiona la tecla ENT, el instrumento automáticamente quedará en el modo de medición STD y con orientación en el sistema de coordenadas locales. En esta fase se debe seleccionar la forma en que se desea realizar las mediciones de distancia, modo Tracking (al cabo de 2 a 3 segundos se obtiene la medición de distancia con precisión centimétrica), modo Estándar STD ( se demora un poco más pero se logra precisión milimétrica). 4. Para lograr “Alta resolución de nivelación” en la estación total, se presiona la tecla del nivel electrónico ( figura ampolleta de nivel) y se procede a afinar la nivelación electrónica del equipo, para salir de este proceso se presiona nuevamente la tecla del nivel electrónico. En esta etapa la estación total se encuentra habilitado para trabajar como teodolito y como Instrumento Electrónico de Medición de Distancia, es decir, se puede medir ángulos verticales, horizontales azimutales, distancias inclinadas, distancias horizontales y diferencias de nivel, que junto con la altura instrumental, la altura de jalón en el punto observado, el azimut magnético de la línea base que se quiere determinar, más la asignación de coordenadas arbitrarias al punto de instalación, o la determinación de coordenadas aproximadas a través de un navegador GPS, permiten calcular las coordenadas del punto observado usando las siguientes expresiones: YB = YA + DiA-B * Sin ZA-B * Cos AzA-B XB = XA + DiA-B * Sin ZA-B * Sin AzA-B ZB = ZA + hiA + DiA-B Cos ZA-B + 6.66/10^8 * DiA-B^2 - hjB Con la obtención de la base topográfica (Ver Figura 18 A), o si eventualmente se conocieran las coordenadas de un par de puntos (Ver Figura 18 B), se estaría en condiciones de comenzar a utilizar el PRG 20: Teclear PRG 20, ENT, aparece ¿Medir Cota? Se puede responder con un Si o un No, si es con Si presione ENT. 10:21 Cota = X.XXX Sustituir Z?

Esta sería la cota de la última Estación de instalación, por lo tanto se puede teclear Si o No, si es Si presione ENT.

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A1

10:21

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Introducir la altura instrumental de su equipo, ENT.

Figura 18 A Datos requeridos cuando no se conoce una base topográfica. Figura 18 B Datos necesarios para ingresar a Estación Total Geodimeter, después de seleccionar Programa UDS 20.

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4. Tipo de direcciones. En topografía se puede trabajar con cuatro tipos de direcciones, la geográfica o verdadera que se obtiene por medio del giróscopo, o realizando observaciones estelares, amarrándose a la Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, la UTM (Universal Transversal de Mercator) corresponde a una dirección cartográfica que se puede obtener amarrándose a Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, la dirección magnética se obtiene por medio de brújula, y la arbitraria se logra por simple arbitrio y se corrige posteriormente.

Figura 19. Origen de los cuatro puntos cardinales o sistema de referencia de direcciones.

4.1. Rumbo de una línea topográfica. Corresponde a la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, se indica por el ángulo agudo que la línea forma con el meridiano, se mide a partir del Norte o Sur, el rumbo puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.

RumboA-B = N θ E “Rumbo directo A-B” RumboB-A = S β W “Rumbo directo B-A” “Rumbo inverso A-B”

θ

=

β

Convención: N,E (+); S,W (-).

Figura 20. Dirección A-B del rumbo directo, dirección B-A del rumbo inverso.

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4.2. Azimut de una línea topográfica. Representa la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, se indica por el ángulo entre la línea y un extremo del meridiano (para trabajos topográficos extremo Norte y para trabajos geodésicos extremo Sur), el ángulo se mide en sentido horario y el azimut puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.

AzimutA-B = θ “Azimut directo A-B” AzimutB-A = 2R + θ “Azimut directo B-A” “Azimut inverso A-B” R = 90 ̊ sistema sexagesimal. R = 100g sistema centesimal.

Figura 21. Dirección A-B del azimut directo, dirección B-A del azimut inverso.

4.3. Determinación de distancia horizontal (DH), rumbo (Rbo) o azimut (Az) de una línea o base topográfica. Si se conocen las coordenadas bidimensionales de una base topográfica, además los cuadrantes topográficos de las funciones trigonométricas y la convención de los signos de los cuatro puntos cardinales, entonces podemos obtener los siguientes parámetros:

Δ : Estación topográfica de coordenadas conocidas.

Figura 21A. Base topográfica en el primer cuadrante (IC). Figura 21B. Cuadrantes topográficos y sus funciones trigonométricas S: Seno, C: Coseno.

DHA-B =

ΔY A2− B + ΔX A2 − B =

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(YB − Y A ) 2 + ( X B − X A ) 2

Distancia HorizontalA-B.

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Tg θ A− B = ΔX A− B / ΔY A− B = Sen θ A− B /Cos θ A− B

⇒ θ A− B = Arctg (ΔX A− B / ΔY A− B ) = Arctg (( X B − X A ) /(YB − Y A ) “Interpretar el cuadrante topográfico”

Cuadrante I.

θ A− B = Arctg (( X B − X A ) /(YB − Y A )) = (+) /(+) = (+)

⇒ RboA-B = N θ A− B E; 0 ≤ θ ≤ 1R ⇒ AzA-B = θ A− B ; 0 ≤ Az A− B ≤ 1R Cuadrante II.

θ A− B = Arctg (( X B − X A ) /(YB − Y A )) = (+) /(−) = (-)

⇒ RboA-B = S θ A− B E; 0 ≤ θ ≤ 1R ⇒ AzA-B = 2 R + θ A− B ; 1R ≤ Az A− B ≤ 2 R Cuadrante III.

θ A− B = Arctg (( X B − X A ) /(YB − Y A )) = (-)/(-) = (+)

⇒ RboA-B = S θ A− B W 0 ≤ θ ≤ 1R ⇒ AzA-B = 2 R + θ A− B ; 2 R ≤ Az A− B ≤ 3R Cuadrante IV. θ A− B = Arctg (( X B − X A ) /(YB − Y A )) = (-)/(+)= (-)

⇒ RboA-B = N θ A− B W; 0 ≤ θ ≤ 1R ⇒ AzA-B = 4 R + θ A− B ; 3 R ≤ Az A− B ≤ 4 R Ejemplo: Determine la DHA-B, RboA-B, AzA-B, RboB-A, AzB-A, de la base topográfica siguiente: YA = 4500,830 m XA = 3820,370 m YB = 3973,980 m XB = 3572,250 m Solución DHA-B =

(3572,250 − 3820,370) 2 + (3973,98 − 4500,830) 2 = 582,353 m

θ A− B = Arctg ((3572,250 − 3820,370) /(3973,980 − 4500,830)) = (-)/(-)=(+) 28,0201g

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⇒ III Cuadrante; RboA-B = S 28,0201g W; AzA-B = 2R + θ A− B = 228,0201g

θ B − A = Arctg ((3820,370 − 3572,250) /( 4500,830 − 3973,980)) = (+) 28,0201g ⇒ I Cuadrante; RboB-A = N 28,0201g E; AzB-A= θ B− A = 28,0201g 4.4. Relación entre Norte Astronómico y Norte Magnético de una base topográfica. Para fines topográficos se considera que las direcciones astronómicas de una base topográfica no cambian en el espacio ni en el tiempo, por el contrario si lo hacen las direcciones magnéticas, por lo cual es de suma importancia conocer las expresión que nos permita calcular las direcciones astronómicas y magnéticas de una base topográfica. AzA-B Astronómico Año = AzA-B Magnético Año+ ∂ M Año ∂ M Año: declinación magnética de la base para un año determinado. ∂ M > 0 ⇒ Norte Magnético está al Este del Norte Astronómico.

∂ M < 0 ⇒ Norte Magnético está al Weste del Norte Astronómico.

Figura 22.La declinación magnética ∂M entre los meridianos magnético (en rojo) y astronómico (en negro) en el Hemisferio Norte, se repite en el Hemisferio Sur.

La declinación magnética es el ángulo comprendido entre los meridianos magnético (en rojo) y astronómico (en negro), en las cartas IGM 1:50000 se encuentra impresa en el extremo derecho de la carta, entregándose su valor para el lugar y año del levantamiento, así como también su variación anual expresada en minutos sexagesimales y su dirección de cambio, lo que permite evaluar la declinación correspondiente a unos cuantos años antes o después del año de la carta topográfica; la declinación magnética como se dijo varía en el tiempo en cualquier parte del planeta, clasificándose sus variaciones como seculares, diarias, anuales e irregulares.

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Ejemplo: El azimut magnético de una base topográfica A-B para el año 1970 era de 137,82g , si la declinación magnética en el lugar para el mismo año era 5̊ 33,8̓ E , con una variación anual de 5.4̓ W. Determine AzA-B Magnético 2004 , AZA-B Astronómico 2006 , ¿a partir de qué año la ∂M estará al Weste del Norte Astronómico ?. Datos: AzA-B Magnético 1970 = 137,82 g ∂M 1970 = 5̊ 33,8̓ E = 6,18 g E Δ Anual = 5,4 ̓ W = - 0,1 g Δ 34 años = 34 * 0,1 g = 3,4 g W Solución 1 (análisis gráfico). ∂M 2004 = ∂M 1970 - Δ 34 años = 6,18 g – 3,4 g = 2,78 g AzA-B Magnético 2004 = AzA-B Magnético 1970 + Δ 34 años = 137,82 g + 3,4 g = 141,22

g

Solución 2 (uso de expresión). AzA-B Astronómico 1970 = AzA-B Magnético 1970+ ∂ M 1970 = 137,82g + 6,18 g AzA-B Astronómico 1970 = 144,00 g AzA-B Magnético 2004 = AzA-B Astronómico 1970 - ∂M 2004 = 144,00 g – 2,78 g AzA-B Magnético 2004 = 141,22 g 4.5. Relación entre el Norte Astronómico y Norte UTM. En el Hemisferio Sur y para nuestro país, en los meridianos centrales 69̊ y 75̊ , podemos encontrar bases topográficas ubicadas al Este y Weste de dichos meridianos, en tal caso, es necesario considerar el ángulo de convergencia (c), comprendido entre el meridiano verdadero o astronómico, y el meridiano UTM, para determinar la dirección astronómica o UTM de la base topográfica.

Figura 23: Base topográfica A-B al Este y Weste de un Meridiano Central en el Hemisferio Sur.

4.5.1. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM y Astronómico, a partir de coordenadas geográficas.

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C= ((XII) p + (XIII) p3 + C5)/3600 XII = Sin ϕ 104 XIII = (Sin2 1̎ Sin ϕ Cos2 ϕ )/3 (1+3 e ̍̍ 2 Cos 2 ϕ +2 e̍ 4 Cos4 ϕ ) 1012 C5 = p5 (Sin4 1̎ Sin ϕ Cos4 ϕ )/15 (2 – tg2 ϕ ) 1020 P = 0,0001 Δλ Δλ = MC − λ *3600 ; MC : Meridiano Central.

Δλ = λ0 − λ ; λ0 = 69 ̊ ∨ 75 ̊

Observación: Si Δλ < 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Weste del MC. Si Δλ > 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Este del MC. Ejemplo: Determinar el ángulo de convergencia entre meridianos para el punto que tiene las siguientes coordenadas geográficas, para PSAD-56. ϕ P = S 29 ̊ 30 ̍ 14,32 ̎ λ P = W 70 ̊ 27 ̍ 54,25 ̎ 2 λ0 = 69 ̊ e̍ = 0,0067681702366 Solución. Reemplazando el valor de ϕ y λ en XII, XIII y C5 se obtiene: XII = 4924.839836 XIII = 2.96777548 Δλ = 5274.25 P = 0.527425 C5 = 7.134764737E-05 C = 0.8018268972 g = 0 ̊ 43 ̍ 17.92 ̎ 4.5.2. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM y Astronómico, a partir de coordenadas UTM. C = (XV) q + (XVI) q3 + F5 XV = (tg ϕ ̍ )/ (r sin 1 ̎ K0 ) 106 XVI = tg ϕ ̍ /(3 r3 Sin 1 ̎ ) (1 + tg2 ϕ ̍ - e ̍ 2 Cos2 ϕ ̍ -2 e ̍ 4 Cos4 ϕ ) (1/K03 ) 1018 F5 = q5 tg ϕ ̍ /(15 r5 Sin 1 ̎ ) (2 +5 tg2 ϕ ̍ + 3 tg4 ϕ ̍ ) (1/K05 ) 1030 q = 0.000001 |E ̍ | E ̍ = 500000 – E 4.6. Cálculo de direcciones por rumbos. Angulo comprendido entre alineaciones. 0–1R 1R–3R >3R Waldo Valencia Cuevas – Académico

Agregar

Primera letra

0 -2 R -4R

Cambia No cambia Cambia 46

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4.7. Cálculo de direcciones por azimutes. Angulo comprendido entre alineaciones. >2R >6R 4R AzBase ⇒ Ω (+) “ángulo horario sería”: Ω Estación- Pto. Replanteo = Az Estación- Pto. Replanteo - AzBase

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5. Métodos de levantamientos topográficos. Con el avance de la tecnología han surgido también nuevas metodologías para realizar levantamientos topográficos, como es el caso de la topografía satelital, en este capítulo se expondrán principalmente los métodos mas clásicos de medición en terreno, los cuales son aplicables a un sinnúmero de áreas y actividades de la ingeniería. 5.1. La radiación. Es un método topográfico que consiste en instalarse en uno de los puntos de coordenadas conocidas de una base topográfica, o sobre un punto de coordenadas conocidas (A), y orientándose por el otro punto de la base (B) o de un punto de dirección conocida (B), se mide la distancia horizontal DHA-P, entre el punto estación (A) y el punto observado (P) y además se mide el ángulo horizontal horario θA-P entre las líneas. Para la medición de distancia se puede utilizar teodolito con mira, teodolito con cinta de acero, distanciómetro o estación total con jalón y prismas. 5.1.1. Radiación a partir de una base topográfica. XP = XA + Δ XA-P YP = YA + Δ YA-P ZP = ZA + DNA-P (XP, YP, ZP): coordenadas totales de P.

Δ XA-P = DH A-P Sin AZA-P Δ YA-P = DH A-P Cos AZA-P DNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108 DiA-P2 - hjP ( Δ XA-P, Δ YA-P, DNA-P): coord. parciales A-P. Figura 25 a: Radiación desde una base topográfica.

Δ : símbolo que representa los puntos trigonométricos de la base topográfica, cuyas coordenadas son conocidas, en este caso el trío de puntos coordenados de A(X,Y,Z) y B(X,Y,Z). Ο : símbolo que representa el vértice al cual se desea conocer las coordenadas (P). ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P. AZA-B= Azimut A-B medido en terreno. AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P. Observación: Cuando se utiliza un teodolito o taquímetro repetidor, debe verificarse la orientación (cero-cero) cada una cierta cantidad de puntos levantados, aceptándose como tolerancia máxima la precisión del equipo de medición.

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5.1.2. Radiación a partir de un punto con coordenadas y dirección conocida. XP = XA + Δ XA-P YP = YA + Δ YA-P ZP = ZA + DNA-P (XP, YP, ZP): coordenadas totales de P.

Δ XA-P = DH A-P Sin AZA-P Δ YA-P = DH A-P Cos AZA-P DNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108 DiA-P2 - hjP ( Δ XA-P, Δ YA-P, DNA-P): coord. parciales A-P. Figura 25 b: Radiación desde un punto con coordenadas y dirección conocida.

Δ : símbolo que representa un punto trigonométrico cuyas coordenadas son conocidas, en este caso representa al trío de puntos coordenados de A(X,Y,Z). Ο : símbolo que representa al vértice de orientación (B) y al punto al cual se desea conocer las coordenadas (P). ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P. AZA-B= Azimut A-B medido en terreno. AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P. ⎧ ⎧1.Triangulación ⎪1.Directa ⎨ 5.2 La intersección ⎨ ⎩2.Trilateración ⎪2.Inversa ⎩

5.2.1.1 La triangulación. La triangulación topográfica, por su precisión, ha sido uno de los métodos clásicos más usados en el levantamiento de coordenadas planimétricas de vértices ubicados a distancias kilométricas; dichos vértices sirven a su vez para ligar diversos trabajos topográficos. Este método, consiste básicamente en que a partir de una base topográfica A-B conocida, se puede determinar la posición de un punto C, para ello la solución consiste en instalarse con un teodolito en las estaciones topográficas A, B y C y se miden por reiteración los ángulos horizontales interiores α , β y γ , además los ángulos verticales A-C, A-B, B-A, B-C, C-A, C-B, las alturas instrumentales hiA, hiB, hiC , los hilos medios hmA, hmB y hmC.

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Δ : Base topográfica de coordenadas conocidas, por

lo que se conocen implícitamente los azimutes AzA-B, AzB-A y la distancia horizontal DHA-B=DHB-A = C. Ο : Estación creada para determinar su posición.

α , β ,γ

: Angulos horizontales horarios promedios

C-A-B, A-B-C y B-C-A respectivamente, resultantes de una serie de reiteraciones, en el caso de trabajos de 3er orden geodésico, es necesario medir cuatro reiteraciones por cada ángulo. d α ,d β , d γ : desviación estándar de los valores más probables, de los ángulos respectivos α , β , γ . d α ,d β , d γ ≤ ± 0,0017g, para trabajos de 3er orden geodésico. Figura 26: Triangulación desde una base topográfica conocida.

Condición angular de una triangulación. Teoría : α + β + γ = 2R R= 100g sistema centesimal. Práctica: α + β + γ = 2R + ε ∠ R = 90º sistema sexagesimal.

ε ∠ : error de cierre angular obtenido. Obs. Para trabajos geodésicos de 3er orden el ε ∠ Admisible ≤ ± 0,0030g. Si el ε ∠ ≤ ε ∠ Admisible ⇒ compensación εi = ± |ε ∠ |/3 α’= α + εi , si ε ∠ > 0 ⇒ εi (-), si ε ∠ < 0 ⇒ εi (+) β’ = β + εi γ’ = γ + εi Cálculo de lados de una triangulación. sinγ’/c = sinα’/a = sin β’/b , α’,β’, γ’: ángulos horizontales ajustados. DHA-B = c “base conocida” DHB-C = a = sinα’/ sinγ’/c

DHA-C = b = sin β’/ sinγ’/c

Cálculo de coordenadas de C (desde la estación A). XC = XA + ΔXA-C= XA + DHA-C sinAzA-C YC = YA + ΔYA-C = YA + DHA-C cosAzA-C ZC = ZA + DNA-C= ZA + hiA + HA-C +6.66/108 DiA-C2 - hmC

AzA-C = AzA-B - α’

HA-C = DHA-C tg α = DHA-C/tgZ = - DHA-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidos al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente. DiA-C= DHA-C/cosα = DHA-C/sinZ= DHA-C/sinN, DHA-C = b “Distancia Horizontal A-C”.

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Cálculo de coordenadas de C (desde la estación B). X’C = XB + ΔXB-C= XB + DHB-C sinAzB-C AzB-C = AzB-A + β’ Y’C = YB + ΔYB-C = YB + DHB-C cosAzB-C Z’C = ZB + DNB-C= ZB + hiB + HB-C +6.66/108 DiB-C2 - hmC HB-C = DHB-C tg α = DHB-C/tgZ = - DHB-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidos al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente. DiB-C= DHB-C/cosα = DHB-C/sinZ= DHB-C/sinN, DHB-C = a “Distancia Horizontal B-C”. Coordenadas definitivas de C. XC = (XC + X’C)/2 YC = (YC + Y’C )/2 ZC = (ZC +Z’C )/2 Observaciones: 1. Para triangulaciones de 3er orden geodésico los ángulos horizontales interiores α , β y γ se miden c/u con cuatro reiteraciones. 2. Los ángulos verticales referidos al α, Z y N, al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente se miden con tres reiteraciones para trabajos geodésicos de 3er orden, y el error de índice tolerable es ε ∠ Admisible ≤ ± 0,0050g. 3. De los métodos clásicos es el de mayor precisión y el de menor costo. 5.2.1.2 La trilateración.

Δ : Base topográfica de coordenadas conocidas, donde se conocen implícitamente los azimutes AzA-B, AzB-A y la distancia horizontal DHA-B= DHB-A = C.

Ο : Estación creada para determinar su posición. DHB-C = DHC-B = a (se mide con instrumental electrónico de distancia en forma recíproca). DHA-C = DHC-A = b (se mide con instrumental electrónico de distancia en forma recíproca).

Figura 27: Trilateración desde una base topográfica conocida.

El surgimiento del método topográfico conocido como trilateración se inicia con la aparición de una amplia gama de distanciómetros electrónicos y de estaciones totales, las operaciones consisten en medir las longitudes de los

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lados de los triángulos, para determinar con ellos por trigonometría los valores de sus ángulos, es decir, el proceso inverso que se utiliza en la triangulación. La medición de los lados de los triángulos debe hacerse en forma recíproca y con a lo menos cuatro mediciones en ambas direcciones. Las mediciones lineales deben corregirse por presión y por temperatura, ingresándose además la constante de los prismas, en 0,000 m en el lado de afuera o plano del portaprisma (of set) o en 0,030 m en el lado interior del portaprisma (in). Las operaciones en terreno consisten en instalarse en las tres estaciones A,B y C con el distanciómetro o con una estación total, en los extremos opuestos se ubican los prismas reflectores, y se miden recíprocamente las distancias A-B, A-C, B-A, B-C, C-B y C-A, además se deben medir los ángulos verticales con tres reiteraciones c/u (para lograr trabajos geodésicos entre el 3er y 4º orden) en las direcciones A-C, A-B, B-A, B-C, C-A y C-B, las alturas instrumentales hiA, hiB, hiC, así como también las alturas de jalón hjA, hjB y hjC.. Cálculo de los ángulos α, β y γ de una trilateración. a2 = b2 + c2 – 2bc cosα ⇒ α = Arcos (b2 + c2 - a2)/2bc) b2 = a2 + c2 – 2ac cosβ ⇒ β = Arcos (a2 + c2 - b2)/2ac) c2 = a2 + b2 – 2ab cosγ ⇒ γ = Arcos (a2 + b2 - c2)/2ab) Condición angular y cálculo de coordenadas de una trilateración. Idéntico a la triangulación, ver método de la triangulación en 5.2.1.1. Observaciones: Por el costo que significan las operaciones topográficas es el método menos utilizado, además de los costos de los materiales accesorios como los prismas reflectantes y el requerimiento de uso de radio de comunicaciones dada las distancias kilométricas entre estaciones.

5.2.2 Intersección inversa o problema de la carta (Pothenot). La intersección inversa consiste en que a partir de tres puntos de coordenadas conocidas, un operador se puede instalar con teodolito sobre una estación creada P y se miden los ángulos horizontales α’ y β, la altura instrumental hiP, los hilos medios hmA, hmB y hmC, los ángulos verticales P-A, P-B o P-C y obtener la posición de la estación de instalación P.

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Δ : Vértice con coordenadas conocidas. Ο : Vértice sin coordenadas.

∠ APB = α ’ Azimut

B-A

,

– Azimut

∠ BAP = X

,

∠ BPC = β B-C

= θ = ∠ BCA

∠ PCB = Y

∠ BCP = Ω = 2R – ( β + Y) DHA-B = DHB-A = a , DHB-C

=

DHC-B = b

DHB-P = DHP-B = d AzB-P = AzB-C + Ω , AzP-B = AzB-P – 2R

Figura 28: Intersección inversa o problema de la carta.

De la figura ABCP se puede obtener: n=4

i) ∑ ∠ int eriores i = 2R(n – 2) = 4R, (n=4) i =1

i) x + θ + y + β + α’ = 4R, R= 100g o R= 90º i) x+y = 4R – (α’ + β + θ), si k= 4R – (α’ + β + θ) 1) x = k- y De la figura 1, triángulo ABP se puede obtener: sinα’/a = sinx/d ⇒ d= a sinx/sinα’ De la figura 2, triángulo BCP se puede obtener: sinβ/b = siny/d’ ⇒ d’= b siny/sinβ Igualando d = d’ ⇒ a sinx/sinα’ = b siny/sinβ 2) sinx = b sinα’ siny/a sinβ 1) x = k- y Como 1ª solución con las expresiones 1) y 2) se puede obtener la solución numérica de una ecuación, utilizando la iteración por el método de Newton, obteniendo los valores angulares de x e y. Waldo Valencia Cuevas – Académico

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Como 2ª solución se puede trabajar de la siguiente manera: 1) x = k- y / sin (aplicando la función seno a la expresión 1). sinx = sin(k-y) = sink cosy – siny cosk 1’) sinx = sink cosy – siny cosk 2) sinx = b sinα’ siny/a sinβ sink cosy – siny cosk = b sinα’ siny/a sinβ sink cosy = siny (cosk+ b sinα’/a sin β) 2’) tgy = sink/( cosk+ b sinα’/a sin β) ⇒ y = Arctg(sink/( cosk+ b sinα’/a sin β)) El valor de y se debe interpretar para indicar en que cuadrante se encuentra el ángulo buscado y, luego se reemplaza en 1) y se obtiene x. Cálculo de coordenadas de la estación P. XB = XP + ΔXP-B YB = YP + ΔYP-B Coordenadas totales del vértice de posición conocida B. ZB = ZP + DNP-B Pto. Pto. Observado Estación

XP = XB - ΔXP-B YP = YB - ΔYP-B ZP = ZB - DNP-B

Coordenadas totales de la estación de instalación P.

ΔXP-B = DHP-B sin AzP-B =⎯d sin AzP-B ΔYP-B = DHP-B cos AzP-B =⎯d cos AzP-B DNP-B = hiP + HP-B + 6.66/108 Di2P-B - hjB

⎯d = (d+d’)/2 Coordenadas parciales desde P-B.

HP-B = DHP-B tgα = DHP-B / tgZ = - DHP-B / tgN (α, Z, N ángulos verticales al horizonte, zenit y nadir respectivamente). DiP-B = DHP-B/cosα = DHP-B/sinZ = DHP-B/sinN AzP-B = AzB-P – 2R , AzB-P = AzB-C + Ω , Ω= 2R – ( β + Y)

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5.3 Poligonales. A partir de un vértice que tiene coordenadas conocidas es posible determinar la posición de otro punto, si se mide la distancia horizontal entre ellos y su azimut , este proceso puede extenderse indefinidamente midiendo cada vez la distancia horizontal entre la última estación creada y el nuevo punto del polígono, y además el ángulo horizontal entre las líneas, a todo este proceso se le denomina poligonación.

Δ : Vértice con coordenadas conocidas. Ο : Vértice de estación creada. ⎯DHi,j: pueden medirse con teodolito y mira, con teodolito y huincha, distanciómetro con jalón y prismas, o estación total con jalón y prismas. Las DHi,j deben medirse en forma recíproca. Los Azimutesi,j se obtienen a partir del AzA-B y los ángulos exteriores αi aplicando la regla de los azimutes en cada línea. Los ángulos horizontales αi deben medirse por reiteración las veces que lo requiera el orden de precisión del trabajo topográfico.

Figura 29: Proceso de generación de un polígono.

La finalidad de las poligonales es la densificación de puntos coordenados que permitan realizar operaciones topográficas, tales como, levantamientos de detalles de sectores específicos, realización de replanteos o materialización de proyectos de ingeniería, y control de las obras o proyectos de ingeniería.

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5.3.1 Variantes de poligonación y condición angular. 1. Poligonales cerradas con ángulos interiores.

Δ : Vértice de inicio y llegada de la poligonal, sus coordenadas son conocidas. Ο : Vértice de estación creada. (-): Sentido de avance antihorario, referencia a considerar al medir el acimut AzA.B y los los ángulos interiores αi, las distancias horizontales DHi,j, las coordenadas parciales ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j. Las distancias horizontales DHi,j deben medirse en forma recíproca. Los ángulos horizontales αi deben medirse por reiteración las veces que lo requiera el orden de precisión del trabajo topográfico. Figura 30: Poligonal cerrada se inicia y se llega a la misma estación de coordenadas conocidas, midiendo los ángulos interiores horizontales en el sentido antihorario.

Condición angular. Teoría: Práctica:

n

∑ αi = 2R (N-2) i =1 n

∑ αi = 2R (N-2) + ε ∠ i =1

R= 90º ∨ 100g según sistema sexagesimal o centesimal respectivo.

ε ∠ : error de cierre angular obtenido. N : Nº de lados o vértices del polígono. Si el ε ∠ ≤ ε ∠ ADMISIBLE ⇒ adoptar criterio de compensación.

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2. Poligonales cerradas con ángulos exteriores.

Δ : Vértice de inicio y llegada de la poligonal, sus coordenadas son conocidas. Ο : Vértice de estación creada. (+): Sentido de avance horario, referencia a considerar al medir el acimut AzA.B y los ángulos exteriores αi, las distancias horizontales DHi,j, las coordenadas parciales ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j. Las distancias horizontales DHi,j deben medirse en forma recíproca. Los ángulos horizontales αi deben medirse por reiteración las veces que lo requiera el orden de precisión del trabajo topográfico. Figura 31: Poligonal cerrada se inicia y se llega a la misma estación de coordenadas conocidas, midiendo los ángulos exteriores horizontales en el sentido horario.

Condición angular. Teoría: Práctica:

n

∑ αi = 2R (N+2) i =1 n

∑ αi = 2R (N+2) + ε ∠ i =1

R= 90º ∨ 100g según sistema sexagesimal o centesimal respectivo.

ε ∠ : error de cierre angular obtenido. N : Nº de lados o vértices del polígono. Si el ε ∠ ≤ ε ∠ ADMISIBLE ⇒ adoptar criterio de compensación.

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3. Poligonales cerradas con ángulos exteriores e interiores.

Δ : Vértice de inicio y llegada de la poligonal con coordenadas conocidas.

Ο : Vértice de estación creada. (+): sentido de avance horario, se usan los ángulos horizontales exteriores para el cálculo de azimutes. (-):sentido de avance antihorario se usan los ángulos horizontales interiores para el cálculo de azimutes. F: estación ficticia, se considera para obtener el valor de K en la condición angular. DHi,j, ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j deben calcularse en la misma dirección en que se calculan los azimutes Azi,j. Figura 32: Poligonal cerrada se inicia y se llega a la misma estación de coordenadas conocidas, midiendo ángulos horizontales exteriores e interiores.

Condición angular. Teoría: Práctica:

n

∑ αi = KR i =1 n

∑ αi = KR+ ε ∠ i =1

R= 90º ∨ 100g según sistema sexagesimal o centesimal respectivo.

ε ∠ : error de cierre angular obtenido. K ∈ lN ; K = 2 N1 + 2 N2 – 4; N1 : es el número de lados o vértices del polígono 1, el cual puede tener n lados. N2 : es el número de lados o vértices del polígono 2, el cual también puede tener n lados. Si el ε ∠ ≤ ε ∠ ADMISIBLE ⇒ adoptar criterio de compensación.

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Obtención de K. Si F es una estación ficticia, en la figura 1 ABCF la condición angular es: n

∑ αi = 2R (N1+ 2) ⇒

i)α1 + α2 + α3 + 4R - ϕ = 2RN1 + 4R

i =1

∴ i) α1 + α2 + α3 - ϕ = 2RN1 En la figura 2 FDE la condición angular es: n

∑ αi = 2R (N2 - 2)

⇒

ii)α4+ α5+ ϕ = 2RN2 - 4R

i =1

Luego: i) α1 + α2 + α3 - ϕ = 2RN1 ii)α4+ α5+ ϕ = 2RN2 - 4R n =5

∑ αi = 2RN2 + 2RN1 – 4R = R(2N2 – 2N1 – 4) i =1

K n =5

∴ ∑ αi = K R i =1

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4. Poligonales de enlace.

Δ : Vértice de triangulación, cuyas coordenadas son conocidas.

Ο : Vértice estación de poligonal creada. AzI-II: Azimut de partida de la poligonal de enlace. AzIII-IV: Azimut de llegada de la poligonal de enlace. DHi,j, ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j deben calcularse en la misma dirección en que se calculan los azimutes Azi,j, es decir, en el sentido de avance del polígono. Figura 33: Poligonal de enlace, se inicia en un vértice con coordenadas y se llega a otro también de posición conocida, midiendo los ángulos horizontales en la dirección del sentido de avance.

Una poligonal de enlace se inicia en un vértice con coordenadas, y se llega a otro vértice también de posición conocida, estos vértices pueden pertenecer a trabajos anteriores, tales como triangulaciones, poligonaciones, red geodésica nacional, red GPS, etc. Condición angular. Teoría:

n

∑ αi = Az Llegada – Az Partida + KR i =1

→ sentido de avance Práctica:

n

∑ αi = Az Llegada – Az Partida + KR + ε ∠ i =1

→ sentido de avance R= 90º ∨ 100g según sistema sexagesimal o centesimal respectivo.

ε ∠ : error de cierre angular obtenido. N : Nº de lados o vértices del polígono. K ∈ lN y se puede obtener en forma analítica o aproximadamente por cálculo. Si el ε ∠ ≤ ε ∠ ADMISIBLE ⇒ adoptar criterio de compensación.

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Obtención de K 1. Método analítico (usando regla de los azimutes, ver tabla página 48). AzII-A = AzI-II + α1 – 2R Ver tabla

AzA-B = AzII-A +α2 - 2R Ver tabla

AzB-C = AzA_B +α3 - 2R Ver tabla

AzC-III = AzB-C +α4 - 2R Ver tabla

AzIII-IV = AzC-III +α5 - 2R Ver tabla

AzI-II =

(+)

n =5

∑ αi - 10R + AzIII-IV i =1

n =5

∑ αi = AzIII-IV - AzI-II + 10 R i =1

∴ K = 10 2. Método por cálculo. n =5

K ≈ ( ∑ αi + AzI-II - AzIII-IV )/R i =1

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5. Poligonales abiertas.

Δ : vértice de poligonal con coordenadas conocidas.

Ο : vértice estación poligonal creada. DHi,j, ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j deben determinarse en la dirección del cálculo de los azimutes Azij.

Condición angular. No tiene comprobación global. Observaciones: 1. En todos los casos de poligonales anteriores, tanto los ángulos horizontales como los verticales deben medirse por algún método de medición precisa de ángulos, siendo el mas recurrente la reiteración. Los ángulos horizontales para trabajos geodésicos de 3er orden deben medirse con 4 reiteraciones cada uno, aceptándose incertezas dα ≤ ± 0,0017g del promedio de las reiteraciones. Los ángulos verticales se deben medir con 3 reiteraciones y el error de índice debe ser ε ∠ ≤ ± 0,0050g del promedio de las reiteraciones. 2. Las distancias inclinadas en las poligonales deben medirse en forma recíproca como lo indican las flechas rojas, para trabajos geodésicos de 3er orden se miden a lo menos 4 veces desde una dirección y con un instrumento que permita medir líneas con un error relativo εR ≤ 1/100.000. 3. En todos los tipos de poligonales tratadas desde las estaciones creadas debe observarse totalmente la estación anterior y la siguiente. 4. En todas las poligonales que tienen comprobación global (cerradas y de enlace) si ε ∠ ≤ ε ∠ ADMISIBLE ⇒ (εi).

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5.3.2 Criterios de compensación de ángulos horizontales. 1. Proporcional al nº de lados o vértices: Si el ε ∠ ≤ ε ∠ ADMISIBLE ⇒ εi = ± |ε ∠ |/N Ejemplo: de acuerdo al criterio enunciado compense los ángulos interiores αi de una poligonal taquimétrica cerrada ABCDE de 5 lados cuyos ángulos interiores resultaron: α1 = 123,8215g , α2= 169,0917g , α3= 72,2513g , α4= 154,0408g y α5= 80,8145g y considerando que el ε ∠ ADMISIBLE ≤ 0,02g N , N=5 n

∑ αi = 2R (N-2)

Teoría:

i =1 n

∑ αi = 2R (N-2) + ε ∠

Práctica:

i =1

5

∑ αi = 6R + ε ∠

600,0198g = 600g + ε ∠ ∴ ε ∠ = 0,0198g

,

i =1

ε ∠ ADMISIBLE ≤ 0,02g

5 , ε ∠ ADMISIBLE ≤ ± 0,04472g

∴ε ∠ < ε ∠ ADMISIBLE ⇒ εi = - 0,0198g/5 = - 0,00396g (compensación para cada ángulo αi). αi medido α1= 123,8215g α2= 169,0917g α3= 72,2513g α4= 154,0408g α5= 80,8145g

Estación A B C D E

Compensación (εi ) - 0,00396g ⇒ - 0,00396g ⇒ - 0,00396g ⇒ - 0,00396g ⇒ - 0,00396g ⇒

5

∑ αi = 600,0198g i =1

αi Compensados α1 = 123,81754g α2 = 169,08774g α3 = 72,24734g α4 = 154,03684g α5 = 80,81054g 5

∑ αi = 600,00000g i =1

2. Criterio de los mínimos cuadrados. Sean αi los ángulos medidos. Sean α’i los ángulos ajustados o compensados. Sean εi = αi - α’i los residuos. 1) U =

n

∑

εi2 = mínimo

i=1

2) Condición angular en teoría Utilizado los datos del ejemplo anterior se realizará el ajuste según criterio de los mínimos cuadrados.

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5

1) U= ∑ εi2=(α1 - α’1 )2 +(α2 - α’2 )2 + (α3 - α’3 )2+(α4 - α’4 )2 +(α5 - α’5)2 = Mínimo i=1

2)

5

∑ α’i = 2R(N - 2) = 6R = 600g i=1

De 2) α’1+α’2 +α’3 +α’4 +α’5 = 600g se obtiene α’1= 600g – (α’2 +α’3 +α’4 +α’5 ) 1’) U=(α1+α’2+α’3 +α’4 +α’5 - 600g)2+(α2 - α’2 )2+(α3 - α’3 )2+(α4 - α’4 )2 +(α5 - α’5)2 = Mínimo Obtención de las ecuaciones normales:

∂ U/ ∂ α’2 = 2 (α1+α’2+α’3 +α’4 +α’5 - 600g)+2(α2 - α’2 ) (-1)= 0 /*1/2

i) 2α’2+α’3 +α’4 +α’5 = 600g+α2 - α1 = 645,2702g

∂ U/ ∂ α’3 = 2 (α1+α’2+α’3 +α’4 +α’5 - 600g)+2(α3 - α’3 ) (-1)= 0 /*1/2

ii) α’2+2α’3 +α’4 +α’5 = 600g+α3 - α1 = 548,4298g

∂ U/ ∂ α’4= 2 (α1+α’2+α’3 +α’4 +α’5 - 600g)+2(α4- α’4) (-1)= 0 /*1/2

iii) α’2+α’3 +2α’4 +α’5 = 600g+α4 - α1 = 630,2193g

∂ U/ ∂ α’5= 2 (α1+α’2+α’3 +α’4 +α’5 - 600g)+2(α5- α’5) (-1)= 0 /*1/2

iv) α’2+α’3 +α’4 +2α’5 = 600g+α5 - α1 = 556,9930g i) 2α’2+α’3 +α’4 + α’5 ii) α’2+2α’3+α’4 + α’5 iii) α’2+α’3 +2α’4 + α’5 iv) α’2+α’3 +α’4 + 2α’5

= 645,2702g = 548,4298g = 630,2193g = 556,9930g

Resolviendo se obtiene: α’2 = 169,0880g α’3 = 72,2473g α’4 = 154,0370g α’5 = 80,8105g α’1= 123.8172g

En forma matricial tenemos: 2 1 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

A

1 1 1 2

α’2 α’3 α’4 α’5

=

B

6R+α2 - α1 6R+α3 - α1 6R+α4 - α1 6R+α5 - α1

C

Análisis La matriz A mantiene su diagonal principal en 2 cualquiera sea el tipo de poligonal (cerrada con ángulos exteriores, cerrada con ángulos interiores y exteriores, y de enlace), esta matriz debe ser linealmente independiente y poseer inversa.

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El vector B es un vector columna que tendrá N elementos, según sea el número de lados o vértices del polígono. En la matriz C el valor 6R representa la ley angular teórica del polígono de 5 vértices, es decir, 2R(N-2), así por ejemplo, si se tratase de una poligonal cerrada de 5 vértices con ángulos exteriores, el valor que tendría que contener la matriz sería 14R, es decir, 2R(N+2) ; si se tratase de un polígono de 5 vértices con ángulos exteriores e interiores, la matriz tendría que contener la expresión (2N1 + 2N2 – 4)R; en el caso de una poligonal de enlace donde se han medido 5 ángulos horizontales, tendríamos Azllegada – Azpartida + KR, donde K estará en función de la regla de los azimutes. 5.3.3 Error de cierre lineal o de posición en las poligonales cerradas y de enlace. 1. Poligonales cerradas.

Figura 34: Poligonal cerrada, se inicia en el vértice A de coordenadas conocidas y se llega al mismo vértice, sin embargo, debido a que se han medido los valores más probables de las distancias y de los ángulos, al calcular y sumar los ΔY i,j , y los ΔX i,j se va a llegar en la práctica alrededor del vértice A (A’), generándose un error de posición ε.

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Topografía para Ingeniería

Para que un polígono cerrado cierre linealmente, en sus proyecciones debe ocurrir: En la proyección norte: Teoría:

n

∑ ΔY

= YFinal - YInicial = 0

k i, j

k =1

n

∑ ΔY

Práctica:

k =1

k i, j

= εY

En la proyección este: Teoría:

n

∑ ΔX k =1

Práctica:

k i, j

= XFinal - XInicial = 0

n

∑ ΔX

k i, j

= εX

k =1

En el polígono de la figura 34, en la práctica las sumatorias de las proyecciones en los ejes debieran ser: n

∑ ΔY

k i, j

= ΔY A,B + ΔY B,C + ΔY C,D + ΔY D,A = εY

k =1

⎯DHA,B cosAZA-B n

∑ ΔX k =1

k i, j

= ΔX A,B + ΔX B,C + ΔX C,D + ΔX D,A = εX

⎯DHA,B sinAZA-B

ε

=

ε

=

ε X2 + ε Y2

ε : Error de cierre lineal o de posición en un polígono cerrado. εY : Error de cierre lineal en la proyección norte. εX : Error de cierre lineal en la proyección este. Para poligonales electrónicas de 3er orden geodésico el error relativo está dado por la siguiente inecuación: n

ER = 1/( ∑ DH ik, j / ε )

ERPolígono Electrónico ≤ 1/20.000 ;

k =1

n

Si εY ≤ εTolerable ⇒ εYi’ = ε Y /( ∑ ΔYi ,kj ) ΔYi , j

parcial

k =1 n

Si εX ≤ εTolerable ⇒ εXi’ = ε X /( ∑ Δ X ik, j ) ΔX i , j

parcial

k =1

Si εY > 0 ⇒ εYi’ (compensación) < 0; Si εY < 0 εYi’ (compensación) >0 Si εX> 0 ⇒ εXi’ (compensación) < 0; Si εX < 0 εXi’ (compensación) >0

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2. Poligonales de enlace.

Figura 35: Poligonal de enlace, se inicia en el vértice II de coordenadas conocidas, se realiza el recorrido y se llega al vértice III, sin embargo, debido a que se han medido los valores más probables de las distancias y de los ángulos, al calcular y sumar los ΔY i,j , y los ΔX i,j se va a llegar en la práctica alrededor del vértice III (III’), generándose un error de posición ε.

Para que una poligonal de enlace cumpla su condición de cierre, en sus proyecciones debe ocurrir: En la proyección norte: Teoría:

n

∑ ΔY

= YFinal - YInicial

k i, j

k =1

n

∑ ΔY

Práctica:

k =1

k i, j

= YFinal - YInicial + εY

En la proyección este: Teoría:

n

∑ ΔX k =1

Práctica:

k i, j

= XFinal - XInicial

n

∑ ΔX k =1

k i, j

= XFinal - XInicial + εX

En el polígono de la figura 35, en la práctica las sumatorias de las proyecciones en los ejes debieran ser:

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∑ ΔY

k i, j

k =1

Topografía para Ingeniería

= ΔY II,A + ΔY A,B + ΔY B,C + ΔY C,III = YFinal - YInicial + εY 300

⎯DHII;A cosAZII;A

-

800

+

εY

- 500 m n

∑ ΔX k =1

k i, j

= ΔX II,A + ΔX A,B + ΔX B,C + ΔX C,III = XFinal - XInicial + εX 1.200

⎯DHII,A sinAZII,A

-

50

1.150 m

ε

ε

=

=

ε +ε 2 X

2 Y

ε : Error de cierre lineal o de posición en un polígono cerrado. εY : Error de cierre lineal en la proyección norte. εX : Error de cierre lineal en la proyección este. Ejemplo de poligonal taquimétrica cerrada. A partir de los datos de terreno del siguiente registro de una poligonal taquimétrica cerrada ABCDA, determine las coordenadas de los puntos B, C y D, previo ajuste de las mediciones, si se sabe que el instrumento utilizado mide ángulos en el sistema centesimal y verticales cenitales, YA = XA = 1000 m , ZA = 500 m, y el acimut AZA-D = 174,82g . Estación

hi

Angulos

Pto. Obs.

Horiz (+)

A

1,45

B

1,46

C

D

1,43

1,34

D

D BD BT DT AD CD CT AT BD DD DT BT CD AD AT CT

g

0,00 114,25g 314,23g 199,98g 0,00g 101,32g 301,30g 199,98g 0,00g 106,93g 306,91g 199,98g 0,00g 77,48g 277,49g 200,00g

Estadía

hm

Vert (Z) g

91,29 99,30g 300,69g 308,70g 100,45g 94,22g 305,73g 299,54g 105,78g 98,01g 301,94g 294,17g 102,01g 108,67g 291,28g 298,00g

Angulos Ajustados Horiz. (+)

1,828 2,500 2,520 1,830 2,070 1,735 1,730 2,070 1,710 2,140 2,130 1,700 2,045 1,720 1,710 2,045

1,076 1,300 1,300 1,080 0,850 1,190 1,190 0,850 1,150 0,720 0,720 1,160 0,635 0,965 0,965 0,635

1,45 1,90 1,91 1,45 1,46 1,46 1,46 1,46 1,43 1,43 1,43 1,43 1,34 1,34 1,34 1,34

g

114,25

g

101,32

Verticales (Z)

91,295g 99,305g 100,455g 94,245g

106,93

105,805g 98,035g

77,485g

102,005g 108,695g

g

Solución:

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1. Dibujo de poligonal ABCDA. Para dibujar a priori el polígono aproximaremos y ocuparemos la siguiente expresión: DH = 100 (Ls - Li) sinZ2 ≈ 100 (Ls –Li), aproximando sinZ2 = 1

Figura 36: Dibujo preliminar de la poligonal cerrada ABCDA, a partir de las coordenadas del vértice A, del AzA-D, de los ángulos horizontales sin compensar y aproximando DH= KG.

2. Ajuste de ángulos horizontales: i) Origen: (0,00g + 199,98g -200g)/2= - 0,01g ii) Angulo Horiz. = (114,25g + 314,23g – 200g)/2= 114,24g iii) Angulo Horiz. Ajustado = 114,24g + ⏐-0,01g⏐= 114,25g Siguiendo la metodología expuesta se ajustaron y se obtuvieron los ángulos horizontales ajustados en las estaciones A,B,C y D. 3. Ajuste de ángulos verticales: + ZT = 4R + ε∠ ZD 91,29g + 308,70g = 400g + ε∠ ε∠ = - 0,01g “Error de índice obtenido” ⇒ εi = + ⏐-0,01g/2⎟ = 0,005g ZDCORREGIDO = ZDcorregido + εi

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ZDCORREGIDO = 91,29g + ⏐-0,01g/2⎟ = 91,2950g 4. Comprobación global y compensación de ángulos horizontales. Práctica:

n=4

∑ αi = 2R (N-2) + ε ∠

= 4R + ε ∠

i =1

399,985g - 400g = ε ∠ ∴ ε ∠ = - 0,015g

εi = +⎟ - 0,015g|4 = 0,00375g

⇒

Compensación

Observación: ε ∠ Admisible vértices del polígono.

P/poligonales taquimétricas

αi medido α1 = 114,25g α2 = 101,32g α3 = 106,93g α4 = 77,485g

Estación A B C D 4

∑ αi = 399,985g i =1

≤ 0,02g

n , n : número de lados o

αi compensados α1= 114,25375g α2= 101,32375g α3= 106,93375g α4= 77,48875g

compensación + 0,00375g + 0,00375g + 0,00375g + 0,00375g 4

∑ αi = 400,00000g i =1

5. Cálculo de azimutes. Usando la regla de los azimutes y en el sentido antihorario se calculan las direcciones: AzD-A = 374,8200g + 114,25375g 489,07375g – 200g AzA-B = 289,07375g + 101,32375g 390,39750g -200g AzB-C = 190,39750g + 106,93375g 297,33125g -200g AzC-D = 97,33125g +77,48875g 174,8200g + 200g AzD-A = 374,8200g

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6. Ajuste de generadores e hilos medio, cálculos de DHi,j y de DNi,j. y sus valores más probable. Lado

G

hm

⎯G

AB hiA=1,45 BA hiB=1,46

Directo Tránsito Directo Tránsito

1,20 1,22 1,22 1,22

BC hiB=1,46

Directo Tránsito

0,545 0,540

CB hiC=1,43

Directo Tránsito

0,56 0,54

CD hiC=1,43 DC = hiD 1,34

Directo Tránsito Directo Tránsito

1,42 1,41 1,41 1,41

DA = hiD 1,34

Directo Tránsito

0,755 0,745

AD hiA=1,45

Directo Tránsito

0,752 0,750

1,90 1,91 1,46 1,46

1.21 1,22

0,5425

1,46 1,46

0,55

1,43 1,43

1,41

1,43 1,43 1,34 1,34

0,750

1,34 1,34

0,751

1,45 1,45

1,415

⎯hm

Zi,j

DHi,j

1,905

99,305g

120,986

0,866

121,994

-0,872

53,808

4,877

g

1,460

100,455

1,460

94,245g

1,43

105,805

1,43

g

DNi,j

54,544

-4,987

98,035g

141,365

4,365

1,34

102,005g

140,860

-4,438

1,34

108,695g

73,610

-10,117

1,45

91,295

g

73,705

⎯DHi,j

⎯DNi,j

121,490

0,869

54,176

4,932

141,113

4,402

73,658

-10,129

10,141

7. Cálculo de coordenadas a partir del vértice A de coordenadas conocidas. Lado

⎯DHi,j

AZii,j

Coord. Parciales

Δ yi,j

Compensación

Δ xi,j

εyi

εxi

Coord. Parc. Comp.

Δ y’i,j

Δ x’i,j

A

Coord. Totales Y(N) m

X(E)m

1000,000

1000,000

AB

121,490

289,07375g

-20,749

-119,705

0,059

- 0,420

-20,690

-120,125

979,310

879,875

BC

54,176

190,39750g

-53,561

8,141

0,154

-0,029

-53,407

8,112

925,903

887,987

CD

141,113

97,33125g

5,914

140,989

0,017

-0,496

5,931

140,493

931,834

1028,480

DA

73,658

374,8200g

67,971

-28,380

0,195

-0,100

68,166

-28,480

1000,000

1000,000

n=4 ∑ 390,437 k =1

εy=-0.425 εx=1.045

εy’=0,425 εx’= -1,045

∑= 0

∑= 0

∑ (+) = 73,885 ∑ (+) = 149,130 ∑ (−) = 74,310 ∑ (−) = 148,085 n

εy’ = ε Y /( ∑ ΔYi ,kj ) ΔYi , j

parcial

“expresión para obtener la compensación en el eje y”

k =1

cte. n

εXi’ = ε X /( ∑ Δ X ik, j ) ΔX i , j

parcial

“expresión para obtener la compensación en el eje x”

k =1

cte.

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ε=

ε +ε 2 X

Topografía para Ingeniería n

2 Y

ERPolígono = 1/( ∑ DH ik, j / ε ) = 1/346,096

= 1,128117902 m

k =1

Observación: de acuerdo a la referencia de error relativo para una poligonal taquimétrica vista en teoría de error página 18 de este texto, el trabajo debiera rechazarse porque el valor obtenido está fuera del rango de la inecuación. 8. Recálculo de las DHi,j parciales compensadas. DHi-j =

ΔYi2, j + ΔX i2, j

y de los Azi,j , a través de las coordenadas

“distancia horizontal desde i hasta j”

θ i − j = Arctg (ΔX i , j / ΔYi, j ) = ”expresión para obtener los rumbos de los lados del

polígono”. Lado AB BC CD DA

DHi,j (m) 121,894 54,020 140,618 73,876

Rumboi,j S 89,1416 W S 9,5963g E N 97,3141g E N 25,1948g W

Azimuti,j 289,1416g 190,4037g 97,3141g 374,8052g

Observación: si se comparan las nuevas distancias horizontales y los azimutes recalculados, con sus equivalentes datos obtenidos en terreno, se puede apreciar grandes diferencias, por lo cual es necesario dejar en claro que los azimutes recalculados son los utilizados para el cálculo de azimutes de nuevos puntos y las nuevas distancias las que deben utilizarse en el polígono definitivo.

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Ejemplo de poligonal electrónica cerrada. A partir de los datos de terreno del siguiente registro de una poligonal electrónica cerrada IABCDI, determine las coordenadas totales compensadas de los puntos A, B, C y D, previo ajuste de las mediciones, si se sabe que la estación total utilizada mide ángulos en el sistema centesimal y verticales cenitales, los ángulos horizontales y verticales han sido previamente ajustados. Estación I II Estac.

hi

I

1,59

A

B

C

D

Y (Norte) m 13.508,275 14.729,336 Pto. Obs.

X (Este) m 16.925,821 15.327,628

Angulos

Horiz(+)

Di

Vertic Z)

Z (Cota) 1.214,235 1.619,823 hj

DHi,j

DNi,j

⎯DHi,j

⎯DNi,j

Lado

II D A

0,0000g 94,4445g 219,8214g

106,2643g 104,2011g

5089,779 5799,364

2,5 3,2

5065,158 5786,741

-499,208 -381,797

5786,420

-381,868

I-A

I B

0,0000g 113,5001g

95,8179g 98,3593g

5798,606 3869,850

2,5 3,2

5786,099 3868,565

381,939 99,070

3868,574

99,038

A-B

A C

0,0000g 143,2083g

101,6185g 103,6773g

3869,834 5314,241

3,2 3,2

3868,583 5305,378

-99,006 -306,544

5305,355

-306,586

B-C

B D

0,0000g 107,9865g

96,3278g 99,0754g

5314,169 6154,437

3,2 2,5

5305,331 6153,788

306,627 90,984

6153,641

90,674

C-D

C I

0,0000g 109,9107g

100,9433g 93,7487g

6154,170 5089,712

3,2 2,5

6153,494 5065,193

-90,363 499,708

5065,176

499,458

D-I

1,55

1,57

1,58

1,50

Ω = 94,4445g “ángulo horario II-I-D”

α1 = 219,8214g – Ω = 125,3769g

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Solución: 1. Dibujo de poligonal IABCDI. A partir de la expresión DH= Di sinZ ≈ Di, aproximando sinZ =1, se dibuja a priori el polígono en el sistema de coordenadas cartesianas, comenzando con las coordenadas de la estación I, se utilizan las Di y los ángulos horizontales αi sin compensar.

2. Ajuste de ángulos horizontales y verticales. Los ángulos horizontales y verticales se midieron por reiteración y fueron ajustados previamente, para no extender el desarrollo del problema. 3. Comprobación global y compensación de ángulos horizontales. n =5

Práctica: ∑ αi = 2R (N-2) + ε ∠ = 6R + ε ∠ i =1

599,9825g - 600g = ε ∠ ∴ ε ∠ = - 0, 0175g Observación: ε ∠ Admisible P/poligonales lados o vértices del polígono.

er electrónicas 3 orden≤

0,0050g

n,

n : número de

ε ∠ Admisible P/poligonales electrónicas 3erorden ≤ 0,0112g ∴ ε ∠ = - 0, 0175g correspondería a poligonales entre 5o y 4o orden.

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Luego ε ∠ = - 0,0175g

⇒

Topografía para Ingeniería

εi = +⎟ - 0,0175g|5 = 0,0035g

Compensación

Estación I A B C D

αi medido α1 = 125,3769g α2 = 113,5001g α3 = 143,2083g α4 = 107,9865g α5 = 109,9107g 5 ∑ αi = i =1

599,9825g

compensación + 0,0035g + 0,0035g + 0,0035g + 0,0035g + 0,0035g

αi compensados α1’= 125,3804g α2= 113,5036g α3= 143,2118g α4= 107,9900g α5= 109,9142g 5 ∑ αi = i =1

600,0000g

Observación : el ángulo α1 = 219,8214g – 94,4445g = 125,3769g Ω 4. Cálculo de azimutes. Usando la regla de los azimutes y en el sentido antihorario se calculan las direcciones, previo cálculo del AZI-II.

θII-I = arc tag((XI – XII)/(YI – YII)) = -58,4658g ⇒ AZI-II = 2R + θII-I = 141,5342g AzII-I= 141,5342g + 219,8249g (Ω + α1’) 361,3591g – 200g AzI-A = 161,3591g + 113,5036g 274,8627g -200g AzA-B = 74,8627g + 143,2118g 218,0745g -200g AzB-C = 18,0745g +107,9900g 126,0645g + 200g AzC-D = 326,0645g +109,9142g 435,9787g -200g AzD-I = 235,9787g + 125,3804g 361,3591g – 200g AzI-A = 161,3591g

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5. Cálculo de DHi,j , DNi,j y sus valores más probables. Las DHi,j , DNi,j , ⎯DHi,j y ⎯DNi,j fueron calculadas y se encuentran sus valores ennegrecidas en el registro con los datos de terreno. 6. Cálculo de coordenadas a partir del vértice I de coordenadas conocidas. Lado

⎯DHi,j

AZii,j

Coord. Parciales

Δ yi,j

Compensación

Δ xi,j

εxi

εyi

Coord. Parc. Comp.

Δ y’i,j

Δ x’i,j

I

Coord. Totales Y(N) m

X(E)m

13508,275

16925,821

IA

5786,420

161,3591g

-4752,850

3300,465

-0,081

0,042

-4752,931

3300,507

8755,344

20226,328

AB

3868,574

74,8627g

1488,144

3570,895

-0,025

0,045

1488,119

3570,940

10243,463

23797,268

BC

5305,355

18,0745g

5092,963

1486,108

-0,086

0,019

5092,877

1486,127

15336,340

25283,395

CD

6153,641

326,0645g

2449,626

-5645,054

-0,042

0,072

2449.584

-5644,982

17785,924

19638,413

DI

5065,176

235,9787g

-4277,577

-2712,626

-0,072

0,034

-4277,649

-2712,592

13508,275

16925,821

∑= 0

∑= 0

n =5 ∑ 26179,166 k =1

εy= 0.306

εx=-0,212 εy’=-0,306 εx’= 0,212

∑ (+ ) = 9030,733 ∑ (+) = 8357, 468 ∑ (−) = 9030, 427 ∑ (−) = 8357,680 n

εy’ = ε Y /( ∑ ΔYi ,kj ) ΔYi , j

parcial

“expresión para obtener la compensación en el eje y”

k =1

cte. n

εXi’ = ε X /( ∑ Δ X ik, j ) ΔX i , j

parcial

“expresión para obtener la compensación en el eje x”

k =1

cte.

ε=

ε X2 + ε Y2

n

= 0,3722633476 m

ERPolígono = 1/( ∑ DH ik, j / ε ) = 1/70324,317 k =1

E.R.P/Polígonos Trabajos Geodésicos ≤ 1 /20.000 Observación: de acuerdo a la referencia de error relativo para una poligonal electrónica vista en teoría de error página 19 de este texto, el trabajo debiera aceptarse porque el valor obtenido está dentro del rango de la inecuación.

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8. Recálculo de las DHi,j parciales compensadas. DHi-j =

ΔYi2, j + ΔX i2, j

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y de los Azi,j , a través de las coordenadas

“distancia horizontal desde i hasta j”

θ i − j = Arctg (ΔX i , j / ΔYi, j ) = ”expresión para obtener los rumbos de los lados del

polígono”. Lado I-A A-B B-C C-D D-III

DHi,j (m) 5.786,510 3.868,606 5.305,278 6.153,559 5.065,218

Rumboi,j S 38,6408g E N 74,8634g E N 18,0750g E N 73,9356g W S 35,9779g W

Azimuti,j 161,3592g 74,8634g 18,0750g 326,0644g 235,9779g

Observación: si se comparan las nuevas distancias horizontales y los azimutes recalculados, con sus equivalentes datos obtenidos en terreno, se puede apreciar pequeñas diferencias, por lo cual es necesario dejar en claro que los azimutes recalculados son los utilizados para el cálculo de azimutes de nuevos puntos y las nuevas distancias las que deben utilizarse en el polígono definitivo.

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5.3.4 Cálculo de cota en las poligonales. 1. Poligonales cerradas. n

n

Teoría: ∑ DN ik, j (+) − ∑ | DN ik, j (−) | = 0 k =1

k =1 n n Práctica : ∑ DN ik, j (+) − ∑ | DN ik, j (−) | = εz k =1 k =1

εz : error de cierre altimétrico obtenido. n

Si εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ ∑ | DN ik, j | DN i, j k =1

parcial

“compensación proporcional

a las diferencias de nivel DNi,j”. εzAdmisible P/Trabajos 3er

geodésico

≤ 0,15

Lm

L: recorrido o perímetro del polígono expresado en Km. 1. Poligonales de enlace. Teoría: DN Obtenida – DN Real = 0 Práctica : DN Obtenida – DN Real = εz εz : error de cierre altimétrico obtenido. DN DN

Obtenida Real

n

n

k =1

k =1

= ∑ DN ik, j (+) − ∑ | DN ik, j (−) |

= Cota Final - Cota Inicial n

Si εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ ∑ | DN ik, j | DN i, j k =1

parcial

“compensación proporcional

a las diferencias de nivel DNi,j”. εzAdmisible P/Trabajos 3er

geodésico

≤

0,15

Lm

L: recorrido o perímetro del polígono expresado en Km.

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Ejemplo de ajuste de cotas en una poligonal cerrada. De los datos de la poligonal taquimétrica cerrada anteriormente analizada se tiene: Lado

⎯DNi,j (+)

(-)

A A-B B-C C-D D-A

0,869 4,932 4,402

n=4 k ∑ DN i, j i =1

10,203

⎯DNi,j compensadas (+) (-)

εZ 0,0031 0,0179 0,0160 0,0369

0,8658 4,9141 4,3860

10,129

-

10,129

- 0,0739

10,1659

10,1659

Cota

Estación

500,0000 500,8650 505,7799 510,1659 500,0000

A B C D A

10,1659

εz = 10,203 -10,129= 0,074 m εzAdmisible = 0,15

0,390437 m = ± 0,0937 m

n ∴ εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ ∑ | DN ik, j | DN i, j k =1

parcial

εzi = - |0,074|/(10,203+10,129) DN i, j

parcial

cte. CA = 500 m CB = CA + DN A-B CC = CB + DN B-C CD = CC + DN C-D CA = CD + DN D-A = 500 m

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Ejemplo de ajuste de cotas en una poligonal de enlace. En el levantamiento de una poligonal electrónica de enlace cuyo perímetro fue de 26.782,332 m, y las cotas de los vértices de inicio y final son de 1623,564 m y 1569,075 m respectivamente, se obtuvieron los siguientes datos: ⎯DNi,j

Lado

(+)

II II-A A-B B-C C-D D-III

(-)

125,325 425,476 206,971 96,981 136,426

n =5 k 468,722 ∑ DN i, j i =1

DN

Obtenida

DN

Real

522,457

-

0,0953 0,3237 0,1574 0,0738 0,1038

- 0,7540

125,2297 425,7997 206,8136 97,0548 136,3222

Cota

Estación

1623,564 1748,7937 1322,9940 1529,8076 1432,7528 1569,075

II A B C D III

468,3655 522,8545

= 468,722 – 522,457 = - 53,735 m

= Cota

εz = DN

⎯DNi,j compensadas (+) (-)

εZ

Obtenida

Final

- Cota

- DN

εzAdmisible = 0,15

Real

Inicial

= 1569,075 -1623,564 = - 54,489 m

= - 53,735 - (- 54,489) = 0,754 m

26.782332 m = ± 0,776 m

n ∴ εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ ∑ | DN ik, j | DN i, j k =1

parcial

εzi = - |0,754|/(468,722+522,457) DN i, j

parcial

cte. CII= 1623,564 m CA = CII+ DN II-A CB = CA + DN A-B CC = CB + DN B-C CD = CC + DN C-D CIII = CD + DN D-III = 1569,073 m

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Ejemplo de ajuste de cotas en una poligonal electrónica cerrada. En el levantamiento de la poligonal electrónica cerrada IABCDI se obtuvieron los siguientes datos: Lado I I-A A-B B-C C-D D-I

⎯DNi,j (+)

(-) -381,868

99,038 -306,586 90,674 499,458

n =5 k 689,170 ∑ DN i, j i =1

688,454

⎯DNi,j compensadas (+) (-)

εZ

-

0,1985 0,0515 0,1593 0,0471 0,2596

- 0,7160

382,0665 98,9865 306,7453 90,6269 499,1984

Cota

Estación

1.214,235

I A B C D I

832,1685 931,1550 624,4097 715,0366

1.214,235

688,8118 688,8118

εz = 689,170 - 688,454 = 0,716 m εzAdmisible = 0,15

26.179166 m = ± 0,767 m

n ∴ εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ ∑ | DN ik, j | DN i, j k =1

parcial

εzi = - |0,716|/(689.170+ 688.454 DN i, j

parcial

cte. CI = 1214,235 m CA = CI + DN I-A CB = CA + DN A-B CC = CB + DN B-C CD = CC + DN C-D CI = CD + DN D-I = 1214,235 m

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5.4. Representación del relieve a través de curvas de nivel. La superficie real de la tierra, es el terreno, y se representa en un plano por medio de curvas de nivel. Una curva de nivel es una línea imaginaria que representa puntos que tienen la misma cota o altitud sobre o bajo un plano de referencia. Sirven para representar el relieve del terreno en una vista de planta o proyección horizontal.

Figura 37: Si una persona se encontrara sobre un islote en un momento determinado y considerara como plano de referencia el nivel medio del mar (N.M.M) curva de nivel 0 m, al ascender la marea después de cierto tiempo, observaría la intersección del agua con la superficie del terreno originando la curva de nivel 1 en una vista de planta, y así sucesivamente podría continuar subiendo el mar y a la vez generándose las curvas de nivel 2 hasta la 4. A la distancia vertical entre dos planos horizontales (P.H.) consecutivos se le denomina equidistancia entre curvas de nivel.

5.4.1. Equidistancia entre curvas de nivel. La equidistancia entre curvas de nivel, se refiere a la distancia vertical que existe entre dos curvas de nivel consecutivas, que generalmente corresponden a la milésima de la escala de representación de un plano, sin embargo, la elección de la equidistancia vertical, dependerá de la precisión con que se desea obtener la representación del relieve. Escala plano 1:500.000 1:250.000 1:100.000 1:50.000 1:25.000 1:10.000 1:5.000 1:1.000 1:500 1:200

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Equidistancia entre curvas cada 500 m cada 250 m cada 100 m cada 50 m cada 25 m cada 10 m cada 5 m cada 1 m cada 0,5 m cada 0,2 m

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5.4.2. Consideraciones para tener presente en la representación del relieve. 1. Las curvas de nivel deben ser siempre múltiplos de la equidistancia. 2. Para representar la altimetría en un plano, se recurre a las curvas de nivel. 3. Para los efectos de apreciar las variaciones de las pendientes del terreno, los planos horizontales están separados a una misma altura entre ellos (equidistancia). 4. Las curvas de nivel más próximas entre si, representan terrenos de pendientes más fuertes, que las correspondientes curvas de nivel que están más separadas en el plano. 5. Para que la representación del terreno sea lo más entendible, es indispensable que las curvas de nivel sean acotadas, a fin de evitar falsas interpretaciones.

Figura 38: Los planos topográficos se acotan a través de curvas índices (curvas más ennegrecidas) cuando se representa el relieve y algún proyecto de ingeniería, una forma alternativa sería la del acotamiento por cada curva de nivel en los límites del modelo digital de terreno, generalmente utilizado en los software topográficos.

5.4.3. Determinación de curvas de nivel. 1. Método directo (uso del isómetro). 2. Método indirecto (uso de regla o escalímetro). 3. Método computacional (uso de software topográfico). 1. Uso del isómetro. Se construye a partir de un trozo de papel transparente como el diamante o poliéster y se dibuja una primera recta y luego se trazan paralelas cada 5 mm o según la necesidad. Una vez calculadas las coordenadas de los puntos del levantamiento y vaciados en un plano, se van escogiendo de a dos puntos, cuyas cotas son conocidas y se procede a la interpolación.

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Se escoge el punto de menor cota (punto 5) y se adapta la cota del punto al isómetro (20,35 m), se pincha con un alfiler o aguja el punto 5 y se hace girar el isómetro hasta hacer coincidir el punto 6 de cota 27,80 m. Luego se pincha con un alfiler aquellos puntos que están en la intersección de la recta segmentada con las rectas paralelas del isómetro, lográndose encontrar los puntos por donde pasarán las curvas de nivel 21 hasta la 27, para una equidistancia de 1 m entre curvas.

Figura 39: Prototipo de isómetro confeccionado para interpolación manual a una equidistancia de 1 m entre curvas de nivel.

2. Uso de regla o escalímetro. Al igual que en el caso anterior, se van escogiendo de a dos puntos vecinos contiguos de cota conocida y se procede a determinar las distancias d y d1, correspondientes a las curvas de nivel buscadas según la equidistancia elegida. La distancia d debe medirse con regla o escalímetro en el plano, desde el punto de cota menor hasta la primera curva de nivel buscada, la distancia d1 en el caso de existir otra(s) curva(s) de nivel, se mide a partir de la primera curva de nivel hasta la siguiente curva que se busca, proceso que se repite en el caso de existir otras curvas de nivel, desde la última curva a la subsiguiente. La distancia d y d1 se pueden obtener de las expresiones resultantes usando el teorema de Thales como se explica en la figura 41, las cuales pueden almacenarse en las calculadoras y proceder a obtener las curvas de nivel requeridas. d= D/(CM – Cm) (CN – Cm)

d1 = D/(CM – Cm) e

D: Distancia horizontal medida con escalímetro o regla desde el plano, la escala utilizada puede ser diferente a la escala del plano, siendo 1:100 la más recurrente.

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CM : Cota Mayor de los puntos a interpolar. Cm : Cota menor de los puntos a interpolar. CN : Curva de Nivel múltiplo de la equidistancia buscada. e : equidistancia entre curvas de nivel.

Figura 40: Interpolación con regla o escalímetro a equidistancia de 1 m, obsérvese que como criterio de interpolación se ha utilizado la diagonal por la cual pasan 6 curvas de nivel, es decir, la diagonal que pasa por los puntos 2 y 3, y no la diagonal entre 1 y 4, por la cual pasan solo 3 curvas de equidistancia 1 m.

Figura 41: Aplicación del teorema de Thales para obtener las expresiones d y d1 de interpolación de curvas de nivel, en el triángulo mayor se representa la proyección vertical existente entre los puntos 1 de Cota Mayor (CM) y el 3 de cota menor (Cm), además aparece CN que sería la curva de nivel buscada y luego las curvas subsiguientes.

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Al realizar la relación de semejanza de triángulos entre el triángulo mayor y los dos triángulos menores en rojo y azul en la figura 41 se obtienen d y d1 respectivamente. D/H = d/h ∴ d = D/H h ⇒ d= D/(CM – Cm) (CN – Cm) donde: H = CM – Cm “diferencia de nivel entre las curvas de mayor a menor cota” h = CN – Cm “diferencia de nivel entre la curva de nivel buscada múltiplo de la equidistancia y la de menor cota”. D/H = d1/h1

∴ d1= D/H h1

⇒ d1= D/(CM – Cm) e

donde:

h1 = e “diferencia de nivel entre las curvas de nivel 60 y 59, o 61 y 60, o 62 y 61”, correspondiendo por lo tanto a la equidistancia entre curvas e”. Una vez calculadas las distancia d y d1 por cada par de puntos vecinos contiguos, se unen las curvas de nivel con una regla, y posteriormente se repasan manualmente para obtener el trazado definitivo de dichas curvas. 3. Uso de software topográfico. Modernos sistemas de automatización topográfica (Cartomap, Topograph, Surfer, Data Geosis, etc.) permiten en la actualidad generar curvas de nivel sobre un modelo digital de terreno. El usuario podrá plotear el dibujo de curvas de nivel o utilizarlo para generar perfiles longitudinales, transversales y cálculo de volúmenes. Procedimiento preliminar para el uso del software topográfico Cartomap. Una vez bajada la información de terreno levantada con estación total, se graba en el PC el archivo de terreno con extensión nombre.pts, luego se importa dicho archivo de trabajo con el software Cartomap siguiendo el siguiente proceder: 1. En el comando archivo se selecciona importar/exportar. 2. En la ventana Centro de comunicaciones Cartomap, en el campo fabricante se selecciona la opción ASCII Genérico, en el campo modelo se escoge Datos de Levantamiento y en el campo Formato se elige Puntos con coordenadas absolutas, luego se selecciona importar. 3. En la ventana Lectura de puntos en coordenadas absolutas, se selecciona la carpeta o unidad donde se encuentra el archivo.pts, se pincha sobre el nombre del archivo y se teclea aceptar.

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4. Aparece una nueva ventana Centro de comunicaciones, indicando que la Importación ha finalizado, por lo tanto hay que aceptar. 5. Otra ventana se despliega indicando Presentación de Nuevos datos, donde el Maestro Aconseja: 1) Muestra representación en 2D inicial. 2) Muestra puntos y estaciones. Lo cual debe aceptarse. 6. En la pantalla se muestran posicionados los puntos del levantamiento en 2D, con los cuales se puede dar inicio a la interpolación de curvas de nivel. 7. Se pincha en el box Edición y se selecciona Modelo Digital de Terreno cálculo. 8. Surge la ventana Cálculo del Modelo Digital de Terreno (MDT), ante lo cual hay que teclear calcular, para que se obtenga el número de triángulos que conformarán la base del MDT. 9. Se va al box Gráficos y se elige Modelo Digital de Terreno apareciendo la ventana Presentación de Modelos Digitales, en la cual deben estar seleccionadas los box 1. Modelo Digital del terreno y 2. Mostrar Quads del nivel, y se teclea aceptar, apareciendo los triángulos que originan el MDT, los cuales pueden aparecer en color si previamente se elige dicho color. 10. En el box Gráficos se selecciona curvado, apareciendo la ventana Curvas de nivel, en el casillero Curva de nivel se selecciona 1 para obtener las curvas de nivel maestras, luego se hace un tick en el casillero visible, para que las curvas maestras pueden verse en pantalla, se baja hacia el casillero Equidistancia y se selecciona el número y el color que representará las curvas de nivel maestras que deseemos visualizar, después podemos teclear en las casillas Numera por líneas de numeración, Numera en los límites del MDT, seleccionar Dibujo, curvas suavizadas o la casilla Guardar y al final tecleamos Aceptar. 11. Se vuelve al box Gráficos Curvado, se despliega nuevamente la ventana Curvas de nivel, en el casillero Curva de nivel se selecciona ahora 2 para obtener las curvas de nivel restantes, se teclea en el casillero visible, para que las curvas restantes aparezcan en pantalla, se baja hacia el casillero Equidistancia y se selecciona el numeral de representación del curvado y el color de las mismas, luego se procede en forma idéntica a los pasos finales de la secuencia 10. 12. Aparecen en pantalla el MDT, todos los puntos del levantamiento, las curvas de nivel maestras y restantes en sus colores seleccionados. 13. Existe la alternativa para eliminar los puntos del levantamiento y descongestionar el dibujo, también es posible hacer desaparecer los triángulos que

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conforman el Modelo Digital de Terreno (MDT), se pueden dividir los puntos en capas de levantamiento y definir conexiones que formen tanto las líneas de ruptura como las de zona de inclusión, mejoramiento del acabado del plano, embellecimiento del trazado, etc.

Figura 42: Dibujo preliminar en Cartomap que muestra en verde los triángulos del Modelo Digital de Terreno, cuyos vértices de los triángulos representan los puntos del levantamiento, en rojo se indican las curvas de nivel maestras cada 3 m, en azul las curvas de nivel con equidistancia altimétrica cada 1 m.

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Anexo C Guía de ejercicios de Topografía para Ingeniería capítulos 1 al 5. Se entregan respuesta a los ejercicios impares y se orienta la obtención de las respuestas pares. R: respuesta. O: orientación para obtener respuesta.

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1

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1. A que distancia en línea recta se encuentran las ciudades de La Serena y Vicuña, si en una carta geográfica del IGM 1:500.000 están representadas a 10,4 centímetros. R: 52 km.

2. Que ancho tiene una calle, que en una carta IGM 1:50.000 está representada por una distancia de 0,5 milímetros. O: Use el concepto de definición de escala numérica.

3. Indique como se representan las coordenadas Geográficas y UTM en las cartas IGM 1:50.000, cartas IGM 1:25.000 y ortofotomosaico IGM 1:10.000. R: En las cartas 1:50.000 las coordenadas geográficas se representan al margen con pequeñas demarcaciones en negro, con su valor al minuto de arco; las coordenadas UTM se representan a través de una cuadrícula cada km y valoradas cada 2 km. En las carta IGM 1:25.000 las coord. geográficas se representan también con demarcaciones en negro, con sus valores al minuto de arco, las coordenadas UTM se representan en una cuadrícula cada km valorada. En las ortofotos 1:10.000 las coordenadas geográficas se representan al margen cada 4 minutos de arco tanto en latitud como en longitud, las coordenadas UTM se representan en una cuadrícula cada km valorada.

4. Indique como se representan los datos cartográficos en las cartas IGM 1:50.000, cartas IGM 1:25.000 y ortofotomosaico IGM 1:10.000. O: Solicite un ejemplar de c/u de las cartas y una ortofoto y busque en las leyendas marginales que se encuentran al lado derecho de cada ejemplar.

5. Indique como se representan los datos geodésicos en las cartas IGM 1:50.000, cartas IGM 1:25.000 y ortofotomosaico 1:10.000.

R: En el lado derecho de la carta 1:50.000 se indica el Elipsoide de Referencia Internacional 1924, origen Datum Provisorio Sudamericano 1956. En la cartas IGM 1:25.000 y en las ortofotos 1:10.000 en el lado derecho inferior se indica el Datum y Elipsoide Sudamericano 1969.

6. Explique como se define el posicionamiento de un punto en topografía y en geodesia. O: Ver texto Topografía para Ingeniería.

7. Explique cual es el origen de las coordenadas Geográficas y de la proyección cartográfica UTM.

R: Las coordenadas geográficas tienen como origen de las latitudes al paralelo del Ecuador, y de las longitudes al meridiano de Greenwich. La proyección cartográfica UTM se genera al hacer girar el elipsoide en torno a un cilindro secante, generándose 60 zonas de 6º de longitud c/u y a cada zona se le denomina huso, los cuales tienen todos un meridiano central a los cuales se les asigna un valor de las abscisas de 500 km que aumenta hacia el Este y disminuye hacia el Weste, al Ecuador se le asigna como valor origen de referencia 10.000 km a las ordenadas para el hemisferio sur, valor que va decreciendo hacia el polo sur, al hemisferio norte se le asigna en el Ecuador el valor 0 Km para las ordenadas, valor que va creciendo hacia el polo norte.

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2

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8. En que sectores de las zonas o husos el meridiano geográfico coincide con el meridiano UTM. O: Ver texto Topografía para Ingeniería.

9. En cuantos cm2 queda representado un predio de un terreno en una carta IGM 1:50.000, si una superficie es de 62 km2. R: 248 cm2.

10. Cuales son las coordenadas Geográficas y UTM aproximadas del centro de la Plaza de Armas de la ciudad de La Serena. O: Solicite en el Laboratorio de Topografía la carta IGM D53 La Serena, con un escalímetro proceda a obtener lo solicitado teniendo presente la respuesta de la pregunta 3.

11. Que se entiende por un elipsoide excéntrico y de uso local. R: Elipsoide excéntrico es aquel elipsoide cuyo centro geométrico no coincide con el centro de masas del geoide, y que sirve para representar la superficie terrestre solo en algunos sectores de la Tierra, ejemplos el PSAD-56 y el SAD-69, sirven solo para representar parte del hemisferio Sur de América.

12. Explique la finalidad de los levantamientos catastrales, geodésicos e hidrográficos. O: Ver texto Topografía para Ingeniería.

13. Cuales son los parámetros que definen un datum horizontal.

R: Origen de la red (latitud, longitud), Azgeodésico Origen- Red, parámetros del elipsoide (a, f).

14. Que se entiende por modelo de ondulación geoidal:

O: Ver página 51 texto Topografía en Minería Cielo Abierto de W. Valencia y otros.

15. Un ángulo horizontal se ha medido seis veces y los valores obtenidos son los β2= 47° 33′ 29″ β3= 47° 33′ 23″ β4= 47° 33′ 33″ siguientes: β1= 47° 33′ 25″ β5= 47° 33′ 22″ β6= 47° 33′ 27″ . Obtenga el valor más probable de la medición angular, y la desviación estándar del valor mas . probable. R: β = 47° 33′ 26.50″ d β = ± 0° 0′ 1.668″ 16. Indique cuatro tipos de errores personales mas comunes cometidos en los trabajos topográficos, tres errores sistemáticos y tres errores accidentales presentes durante las mediciones topográficas.

O: Recurra a la definición de los errores mencionados en el texto Topografía para Ingeniería y deduzca e infiera ejemplos.

17. Transforme cada uno de los ángulos del ejercicio nº 16 al sistema centesimal con aproximación al segundo, y encuentre los parámetros anteriormente solicitados. R: β1= 52,8410g β2= 52,8423g β3= 52,8404g β4= 52,8435g β5= 52,8401g β6= 52,8417g β = 52,8415g d β = ± 0,0000g

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18. Demuestre por teoría de error que es mas preciso medir distancias horizontales directamente, que medir distancias inclinadas y ángulos verticales simultáneamente en topografía. O: Usando una de las expresiones de DHA-B = Di cosα = Di sinZ = Di sinN, aplique la ley de propagación de errores aleatorios del método diferencial, analice la definición de máximo o mínimo y deduzca la afirmación enunciada en la pregunta.

19. Si un distanciómetro entrega un error medio cuadrático de ±(5 mm + 3ppm) y se ha medido una distancia inclinada 4 veces, resultando su valor más probable de 1.848,983 m. Determine la precisión con que se midió la distancia. R: ERl=1.848,983 = 1/175.309,8

20. Si el error de índice en la medición de un ángulo vertical nadiral fue de 0° 0′ 50″ y el ángulo en tránsito es 261° 30′ 02″ , determine el ángulo nadiral corregido en directo. O: Ver cálculo de registro y ajuste de ángulos verticales en texto Topografía para Ingeniería.

21. Una poligonal electrónica se ha medido con una estación total cuyo error medio cuadrático mse = ± (2 mm + 2 ppm), si el perímetro medido asciende a 29.536,356 m, el error de cierre lineal en la proyección norte es εN= -1,256 m. ¿Cuál es el error de posición máximo tolerable para la proyección εE si se tratase de un trabajo geodésico? R: A partir de la expresión ER Polígono Electrónico = ε/

n

k

i =1

i, j

∑ DH ≤ 1/20.000, se obtiene εE ≤ ± 0,7768 m.

22. Si las componentes del error de cierre en un polígono GPS son dx=-0,758 m, dy= -1,158 m y dz= 0,976 m y el perímetro medido alcanzó a

n =6

∑ Di 3D

=

i =1

79.345,806 m determine la exactitud con que se ha medido el polígono GPS. O: Ver página 65 Cálculo de orden de exactitud relativa (E.R.) en un polígono GPS, en texto Topografía en Minería Cielo Abierto de W. Valencia y otros.

23. Un terreno rectangular de lados ⎯a = 250,480 m, da= ± 0,023 m ⎯b= 123,371 m db= ± 0,014 m. Obtenga la superficie más probable del predio y la incerteza al obtenerla. R: ⎯S = 3.091,968 m2 ds= ± 4,511 m 24. En una fotografía aérea se destaca una pista de aterrizaje de 1900 m de longitud, representada por 58 mm. Calcule la escala aproximada del fotograma.

O: Utilice el concepto de escala numérica o vea el Anexo Topografía Aérea del texto Topografía para Ingeniería.

25. La distancia en calle Los Carrera entre Prat y Cordovez (costado de Plaza de Armas ) en un fotograma es de 2,3 cm, si la misma distancia en una carta IGM 1:50.000 es de 2,2 mm. Calcule la escala aproximada del fotograma.

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R: E= 1/4.782,6

26. Los indicadores alfanuméricos de un fotograma muestran en sus marcadores, una altura de vuelo de 17.100 ft, y la distancia focal de la cámara indica 153,03 mm. Determine la escala del fotograma. O: Trabaje en m y utilice la expresión de escala absoluta de un fotograma.

27. Si el rumbo magnético para el año 1975 de una Línea topográfica A-B es de N 29.35 g W y la declinación magnética del lugar para el mismo año es 6˚6.9̀ E , la variación anual es de 6.8̀’ Weste. 27.1. ¿Cuál es el rumbo astronómico de la Línea A-B? 27.2. ¿Cuál es el rumbo magnético de la Línea A-B para el año 2003? 27.3. ¿En que año y mes el meridiano magnético pasará a la dirección Weste?.

R: RboAstronómico A-B = N 22,556g W RboMagnético A-B 2003 = N 25,822g W 2008 el meridiano magnético pasaría a la dirección Weste.

En Noviembre del año

28. Determine el ángulo de convergencia entre los meridianos de un punto cuyas coordenadas geográficas son: φP = S 30˚ 35̀ 34.1618˝ λP = W 71˚ 15́ 41.8071˝

O: Utilice expresiones de XII, XIII, Al, P, C5 de la convergencia entre meridianos del texto Topografía para Ingeniería.

29. Los siguientes datos corresponden a los rumbos directos de las líneas: Rbo. A-B = N 14.1531g E Rbo. B-C = S 45˚ 52́’ 31˝ W Rbo. C-D = S 82.1743g E Rbo. D-E = N 49˚ 19̀’ 43˝ W 29.1. Determine los rumbos inversos y los azimutes directos de c/u de las líneas. R: RboB-A = S 14,1531g W; RboC-B = N 45˚ 52́’ 31˝ E; Rbo. D-_C = N 82.1743g W; Rbo. 19̀’43˝ E AzA-B = 14,1531g ; AzB-C = 225˚ 52’ 31˝ ; AzC-D = 117,8257g ; AzD-E = 310˚ 40’ 17˝

E-D=

S 49˚

30. Si las coordenadas rectangulares de una base topográfica son: Estación Y(Norte) m X(Este) m I 2.500,385 1.530,750 II 2.500,385 2.580,150 30.1. Determine el RboI-II, AzI-II, DHI-II, RboII-I y AzII-I.

O: Utilice expresión del rumbo de una línea, y proyecte las coordenadas en un plano cartesiano bidimensional y obtenga lo solicitado.

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31. La siguiente figura representa una poligonal taquimétrica cerrada cuyo lado AB tiene un rumbo magnético N 45.23g E

31.1. Realice el ajuste angular por los criterios convencional y de los mínimos cuadrados.

R: αi ajustados criterio convencional α1 = 99,1832g , α2= 110,8912g , α3 = 120,0112g , α4 = 139,7762g y α5 = 130,1382g . αi ajustados criterio mínimos cuadrados α1 = 99,1840g , α2= 110,8910g , α3 = 120,0110g , α4 = 139,7760g y α5 = 130,1380g

31.2. Con los ángulos ajustados por criterio de los mínimos cuadrados determine los azimutes de c/u de los lados del polígono. R: AzB-A = 245,230g , AzA-E = 144,414g , AzE-D= 55,305g , AzD-C= 375,316g , AzC-B= 315,092g

32. Las Estaciones M, N, O, P y Q forman una poligonal cerrada cuyas coordenadas son: Estación Y (Norte)m X (Este) m M 2.000.00 2.000.00 N 3.327.14 1.242.24 O 4.093.95 2.048.62 P 3.141.82 3.035.30 Q 1.192.14 3.572.29 32.1. Determine la superficie en metros cuadrados y en hectáreas encerrada por los vértices del polígono. O: Utilizando las coordenadas del polígono conforme un determinante alterado al agregar a la última fila las coordenadas de la estación M, luego aplique la siguiente expresión para obtener la superficie solicitada : n=6 n −1 Superficie = ½ | ∑ X i Yi −1 + Yn X 1 − ( ∑ X i Yi +1 + X n Y1 ) | i=2 i =1

31.2. Determine los ángulos exteriores en los respectivos vértices y la longitud de c/u de los lados.

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O: El ángulo exterior en N α1 = 4R-(AzN-M – AzN-O) y así sucesivamente se obtienen los αi externos, excepto en M, donde α5 = AzM-N – AzM-Q, por otro lado las distancias horizontales se obtienen por la siguientes expresión DHi,j = ( X j − X i ) 2 + (Y j − Yi ) 2

33. De una poligonal cerrada QRSTQ cuyos rumbos han sido corregidos y sus lados corresponden a los valores mas probables de las distancias, se conocen: Rumbosi.j Lado DHi,j m Q-R 172.200 N 62˚ 02̀ 30˝ W R-S 87.520 N 27˚ 35́ 10˝ E S-T 93.810 S 78˚ 41̀ 15˝ E T-Q 141.080 S 07˚ 58̀ 00˝ E 33.1. Calcular las coordenadas totales compensadas de las estaciones relativas al origen Q. R:

Lado

⎯DHi,j

Coord. Parciales

Rboi,j

Δ yi,j

Δ xi,j

Compensación εxi

εyi

Coord. Comp.

Δ y’i,j

Parc.

Δ x’i,j

Coord. Totales Y(N) m

X(E)m

0

0

Q QR

172,200

N 62˚ 02̀ 30˝ W

80,732

-152,102

-0,046

0,017

80,686

-152,085

80,686

-152,085

RS

87,520

N 27˚ 35́ 10˝ E

77,570

40,529

-0,045

0,004

77,525

40,533

158,211

-111,552

ST

93,810

S 78˚ 41̀ 15˝ E

-18,402

91,987

-0,011

0,010

-18,413

91,997

139,798

-19,555

TQ

141,080

S 07˚ 58̀ 00˝ E

-139,718

19,553

-0,080

0,002

-139,798

19,555

0

0

n =4 ∑ 494,610 k =1

εy=0,182 εx=-0,033 εy’=-0,182 εx’= 0,033

∑= 0

∑= 0

∑ (+) = 158,302 ∑ (+) = 152,069 ∑ (−) = 158,120 ∑ (−) = 152,102

33.2. Determine el error de cierre lineal. R: ε =

ε +ε 2 X

n

2 Y

= ± 0,1849675647 m

ERPolígono = 1/( ∑ DH ik, j / ε ) = 1/346,096 k =1

33.3. Determine la precisión con que fue medida la poligonal. n

R: ERPolígono = 1/(

∑ DH k =1

k i, j

/ ε ) = 1/2674,04

34. En una poligonal abierta a lo largo de un proyecto carretero se obtuvo: Lado Angulo horizontal αi DHi,j m AzimutD-E = 269˚ 50’ 10” E-F α1= 85º 31’ 20” 49.380 F-G α2= 260º 14 ’00” 114.675 G-H α3= 195º 31 ’20” 350.201 210.110 H-J α4= 195º 30 ’40”

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34.1. Determine las coordenadas totales de los vértices F, G, H y J si las coordenadas totales del vértice E son: Y(Norte) m X(Este) m 550,200 350,280 O: Calcule los azimutes en el sistema sexagesimal de c/u de los lados del polígono, complete los casilleros del registro y proceda a calcular lo solicitado. Lado

DHi,j

Coord. Parciales

Azi,j

Δ yi,j

Coord. Totales

Δ xi,j

Y(N) m

X(E)m

Estación

E

E

EF

F

FG

G

GH

H

HJ n=4 ∑ k =1

J

35. Identifique el tipo de poligonal del registro topográfico siguiente y obtenga las coordenadas totales de las estaciones B,C y D. Lado

⎯DHi,j

Coord. Parciales

AZii,j

Δ yi,j

Δ xi,j

Compensación εyi

εxi

A AB

62,000

266,8174g

BC

270,00

284,7498g

CD

28,00

345,7868g

DE

67,304

345,7868g

n=4 ∑ k =1

∑ (+) =

Coord. Parc. Comp.

Δ y’i,j

Δ x’i,j

Coord. Totales Y(N) m

X(E)m

6967,259

6188,243

6936,449

5800,875

∑ (+) =

∑ (−) = ∑ (−) = O: Ver página 69 y 70 del texto Topografía para Ingeniería.

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Anexo A Topografía Aérea.

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Topografía aérea. Comprende la utilización de datos obtenidos por cámaras fotográficas que se instalan en los aviones o cualquier otra nave aérea. La toma de vistas aéreas, consiste en cubrir totalmente el área a levantar con una serie de fotografías o fotogramas verticales ordenadas en fajas o líneas de vuelo, dos fotografías sucesivas en una línea de vuelo están tomadas con imágenes parcialmente superpuestas, cuyo recubrimiento permite la formación de los pares de modelos estereoscópicos. Para que exista recubrimiento estereoscópico, es necesario un traslape longitudinal fluctuante entre un 55 a 65%, es decir, los disparos deben hacerse de tal manera que cada fotografía contenga un 65% de la anterior y un 65% de la siguiente. También es necesario un traslape lateral de 15 a 30%, o sea que las líneas de vuelo se acerquen hasta lograr que las fotos de cada línea contengan el 30% de la línea anterior y 30% de la siguiente.

Figura 1: Apoyo terrestre a un levantamiento aerofotogramétrico.

Los levantamientos aerofotogramétricos son una aplicación de la fotogrametría a la topografía, la fotogrametría no es una ciencia nueva, puesto que los principios matemáticos en que se basa se conocen hace más de un siglo, sin embargo sus aplicaciones en la topografía son mas recientes. A continuación se definen algunos elementos sobre estos levantamientos: Fotograma o fotografía aérea: es el registro completo o detallado en el instante de la toma de los elementos que conforman el medio ambiente geográfico, es decir, de los fenómenos físicos del medio natural del complejo de acciones que el hombre realiza en ese medio. Los fotogramas están considerados como sensores remotos donde el método de registro es el óptico, la imagen es un film que puede fluctuar entre 35 mm/70mm/9”, la escala de la imagen puede estar

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comprendida entre 1:1000 a 1: 130.000, el rango espectral de las fotografías varía entre 0,4 μ m a 0,9 μ m, las bandas espectrales corresponden al visible y al infrarrojo cercano, la resolución en el terreno puede ser de 0,1 a 3 m , siendo las ventajas principales la visión estereoscópica, la resolución en terreno, los detalles levantados y la economía de los vuelos aéreos.

Figura 2: Recubrimiento longitudinal entre fotogramas.

Desde el punto de vista de la relación con la obtención y el uso de las fotografías aéreas, se pueden diferenciar claramente tres especialidades: •

La fotografía aérea, entendida como el conjunto de técnicas relacionadas con el instrumental necesario para lograr las fotografías (tipos de cámaras, lentes, diafragmas, etc.), naves aéreas, sensores registradores, sistemas de negativos, procesos de cámara oscura, máquina de desarrollo automático papeles con diverso grado de resolución, contraste, brillo, etc.

•

La fotogrametría, es decir, las técnicas destinadas a utilizar el valor métrico de las fotos, analizarlas geométricamente y por medio de la restitución dar origen a levantamientos cartográficos y topográficos de diversos tipos y escalas.

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Figura 3: Proceso de restitución convencional a partir del apoyo terrestre y el uso del restituidor.

•

La fotointerpretación, conjunto de técnicas y principios destinados a detectar, reconocer y deducir en las fotos aéreas las características principales de los fenómenos superficiales registrados.

Figura 3: Estereoscopio de espejo, barra paraláctica y par de fotogramas.

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Subproductos de las imágenes fotográficas. Los subproductos principales de las imágenes fotográficas son los fotogramas, mosaicos, ortofotos u ortofotomosaicos y las cartas topográficas: •

Mosaico, conjunto de fotografías dispuestas ordenadamente en forma consecutiva en el sentido de las líneas de vuelo, permiten mostrar una visión de conjunto de todas las áreas fotografiadas y lo que en ellas se encuentra.

Figura 4: Mosaico formado por 2 líneas de vuelo

•

Ortofoto, es una imagen fotográfica de un espacio de terreno, cuya proyección central ha sido transformada en proyección ortogonal, eliminando las distorsiones de la fotografía aérea y del desplazamiento por relieve, transformándose en un producto cartográfico con características métricas.

Figura 5: Ortofoto.

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•

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Carta topográfica, es una imagen reducida, convencional, geométricamente exacta y plana de una parte de la superficie de la tierra. Por medio de aparatos de restitución se pasa la información del terreno contenida en las imágenes a una hoja de papel, actividad que compete a la fotogrametría.

Figura 6: Carta Topográfica IGM D-52 Coquimbo Escala 1: 50.000

Planificación de un vuelo. La planificación de un vuelo está dada en función de la escala que se desea obtener del levantamiento, de la finalidad del trabajo y de acuerdo a la disponibilidad de equipos. Bajo estos aspectos se puede decir que los elementos principales que intervienen en la planeación de un vuelo son: 1. Altura de vuelo sobre el nivel medio del mar (H0). 2. Altura del avión sobre el terreno o altura de referencia de vuelo del avión (HR). 3. Altura media del terreno referida al nivel medio del mar (HM). 4. Área total del terreno a levantar (ST) (C: largo y G: ancho del terreno). 5. Número de líneas de vuelo (NLV). 6. Número de fotografías por línea de vuelo (NFLV). 7. Traslape longitudinal (p%) y lateral (q%). 8. Escala del fotograma (1/E, E: denominador de escala). 9. Distancia focal de la cámara ( f ). 10. Línea de base o distancia entre centros ( A ). 11. Distancias entre centros adyacentes ( B ). 12. Apoyo terrestre (2 puntos de apoyo geodésico horizontal (NUTM, EUTM), 2 puntos de apoyo geodésico vertical (altitud sobre el nivel medio del mar)) por cada par de fotogramas.

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Figura 7: Las alturas como elementos de planeación de un levantamiento aerofotogramétrico.

Expresiones para determinar los elementos de un plan de vuelo: H0 = HR + HM “Altura absoluta de vuelo sobre el n.m.m”

(1)

1/E = f/H0 = 1/(H0/f) “Escala absoluta del fotograma”

(2)

1/E = f/HR = 1/(H R/F) “Escala de referencia del fotograma”

(3)

A = d E (1- p%/100) “Distancia entre centros o línea base”

(4)

B = d E (1- q%/100) “Distancia entre centros adyacentes”

(5)

SF = (d E)2 ST = C G

“Área del terreno cubierta por fotograma” “Superficie total del terreno requerida para cubrir con fotografías”

(6) (7)

SM = A B “Área del terreno cubierta por el modelo estereoscópico”

(8)

I = A/V “Intervalo de tiempo que transcurre entre 2 exposiciones correlativas”

(9)

NLV = (G-D)/B +1 “ Número de Líneas de Vuelo”

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(10)

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NFLV = C/A +1

“ Número de fotografías por línea de vuelo”

(11)

NTF = ST/SM +1

“ Número total de fotografías”

(12)

Figura 8: Distancias entre centros principales (A) y adyacentes (B), traslape longitudinal (p%) y lateral (q%).

Ejemplo de cálculo. Se requiere realizar un levantamiento aerofotogramétrico en un terreno de 10 Km de ancho por 13 Km de largo, el recubrimiento debe realizarse con fotogramas a escala 1:10.000 con traslape longitudinal 60% y lateral 30%. Para la ejecución de este proyecto se cuenta con una cámara fotográfica de formato normal (23 x 23 cm) y una distancia focal de 153,05 mm. El avión disponible se desplazará a una velocidad de 300 Km/Hra. Calcule los elementos del plan de vuelo si la altura media del terreno es de 2000 m s.n.m.m. Solución Datos entregados: C = 13 Km D= 23 cm 1 Km /100.000 cm 10.000 = 2,3 Km E= 10.000 f = 153,05 mm = 0,15305 m G= 10 Km p= 60% q= 30% H0 = HR + HM 1. HR = f E = 0,1503 10.000 = 1530,5 m Waldo Valencia Cuevas - Académico

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2. H0 = 1503,5 +2000 = 3530,5 m 3. A = d E (1- p%/100) = 0,23 10.000 (1 – 60/100) = 920 m = 0,92 Km 4. B = d E (1- q%/100) = 0,23 10.000 (1 – 30/100) = 1610 m = 1,61 Km 5. SF = (d E)2 = (0,23 10.000 m )2 (1 Km/1000 m)2 = 5,29 Km2 6. SM = A B = 0,92 Km 1,61 Km = 1,4812 Km2 7. ST = C G = 13 km 10 Km = 130 Km2 8. I = A/V = 0,92 Km /300 Km/Hra = 0,003066666666 Hra 3600 s/Hra = 11,04 s 9. NLV = (G – D)/B +1 = (10 – 2,3) Km/1,61 Km +1 = 5,7826 ≈ 6 líneas de vuelo. 10. NFLV = C/A + 1 = 13 Km/0,92 Km + 1 = 14,130 ≈ 14 fotos por línea de vuelo. 11. NTF = ST / SM +1 = 130 Km2/1,4812 Km2 +1 = 87,767 ≈ 88 fotos. Fotografías aéreas de vuelos existentes en el IGM. •

Vuelos: Hycon, OEA, USAF, IGM. Fotografías aéreas de vuelos existentes en el SAF.

•

Proyecto FONDEF 1993 – 1995, Vuelo Chile – 30 Convenio CORFO 1974, Vuelo Chile – 60. Ortofotos en blanco y negro existentes en el IGM.

•

Cuarta Región Coquimbo: 165 Ortofotos Escala 1: 10.000.

•

Quinta Región de Valparaíso: 120 Ortofotos Escala 1: 20.000.

•

Región Metropolitana: 135 Ortofotos Escala 1:20.000 Utilización práctica de los fotogramas.

ƒ

Investigación geográfica y cartográfica.

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ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Topografía para Ingeniería

Desarrollo económico de grandes áreas no explotadas. Planificación urbana y regional. Construcción de ferrocarriles y caminos. Ingeniería Hidráulica. Obras de drenaje e irrigación para la agricultura. Redistribución de la propiedad rural. Levantamientos catastrales. Prospección geológica. Aplicaciones militares. Estudio de tráfico y problemas de estacionamiento. Incendios forestales, control de plagas de cultivos. Control de crecidas de ríos, desplazamiento de terreno, etc.

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Topografía Ingeniería Civil Minas

Propiedad Minera

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Propiedad minera. 1. Marco legal o normativo minero. El conjunto de normas que se establecen y que rigen una sociedad en un momento determinado y a cuyo cumplimiento estamos obligados, requieren de un estado jurídicamente organizado. El Estado chileno está conformado por una nación jurídicamente organizada más un territorio, estando su estructura organizativa dividida en tres poderes estatales (poder ejecutivo, legislativo y judicial) y sus facultades las ejercen en el territorio nacional (espacio terrestre, aéreo y marítimo). En general la normativa legal aplicable a las diversas actividades que se desarrollan en el país en orden de gravitancia (peso legal) se puede encontrar en los siguientes cuerpos legales: • Constitución Política del Estado. • Leyes Orgánicas Constitucionales. • Leyes Ordinarias. • Decretos de Leyes. • D.F.L. (Decreto con Fuerza de Ley) • Tratados Internacionales. • Reglamento. • D.S. (Decreto Supremo) • Decreto Simple. • Resoluciones. 2. Derecho minero. Se refiere al conjunto de normas jurídicas aplicables a la exploración, explotación y al beneficio de las sustancias minerales. Este derecho se complementa con las otras ramas del derecho por la jurisprudencia de los tribunales de justicia, la opinión de los tratadistas y demás fuentes que le son propias a cualquier disciplina jurídica. La normativa legal aplicable a la actividad minera en Chile se puede encontrar en los siguientes cuerpos legales: • Nueva Constitución Política de Chile, Decreto Nº 100 del 22 Septiembre de 2005. • Ley Orgánica Constitucional sobre Concesiones Mineras, Ley Nº 18097 de Enero 1982. • Código de Minería, Ley Nº 18248 del 14 de Octubre 1983. • Reglamento del Código de Minería , Decreto Nº 1 de Febrero 27 de 1987. • Otras leyes relacionadas con la minería: - Reglamento de Seguridad Minera Decreto 72 del 27 de Enero 1986, modificado por D.S. Nº140 del Ministerio de Minería del 5 de Enero de1993, D.S. Nº73 del 13 de Marzo de 2001 y D.S. Nº132, del Ministerio de Minería del 7 Febrero de 2004. - Ley Nº 19300 sobre Bases Generales del Medio Ambiente, de Marzo de 1994.

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- Decreto Nº 95 de 2001 Reglamento del Sistema de Evaluación de Impacto Ambiental, publicado en Diciembre de 2002. - Otras. 3. Breve análisis de algunos artículos de la Ley Orgánica Constitucional sobre concesiones mineras. Art.1. Las concesiones mineras pueden ser de exploración o de explotación. Art.2. Las concesiones mineras son derechos reales e inmuebles; distintos e independientes del dominio del predio superficial, aunque tengan un mismo dueño; oponibles al Estado y a cualquier persona; transferible y transmisibles; susceptibles de hipoteca y otros derechos reales y, en general, de todo acto o contrato; y que se rigen por las mismas leyes civiles que los demás inmuebles, salvo en lo que contraríen disposiciones de esta ley o Código de Minería (ver Art. 2 del código de Minería).

Art.3. Las facultades conferidas por las concesiones mineras se ejercen sobre el objeto constituido por las sustancias minerales concesibles que existen en la extensión territorial que determine el Código de Minería, la cual consiste en un sólido cuya profundidad es indefinida dentro de los planos verticales que la limitan.

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Son concesibles y respecto de ellas cualquier interesado podrá constituir concesión minera, todas las sustancias minerales metálicas y no metálicas (ver Reglamento del Código de Minería) y, en general, toda sustancia fósil, en cualquiera forma en que naturalmente se presenten, incluyéndose las existentes en el subsuelo de las aguas marítimas sometidas a la jurisdicción nacional que tengan acceso por túneles desde tierra. Las sustancias minerales concesibles contenidas en desmontes, escorias o relaves, abandonadas por su dueño, son susceptibles de concesión minera junto con las demás sustancias minerales concesibles que pudieren existir en la extensión territorial respectiva.

No son susceptibles de concesión minera los hidrocarburos líquidos o gaseosos, el litio, los yacimientos de cualquier especie existentes en las aguas marítimas sometidas a jurisdicción nacional ni los yacimientos de cualquier especie situados, en todo o en parte, en zonas que, conforme a la ley, se determinen como de importancia para la seguridad nacional con efectos mineros, sin perjuicio de las concesiones mineras válidamente constituidas con anterioridad a la correspondiente declaración de no concesibilidad o de importancia para la seguridad nacional. No se consideran sustancias minerales las arcillas superficiales, las salinas artificiales, las arenas, las rocas y demás materiales aplicables directamente a la construcción, todas las cuales se rigen por el derecho común o por las normas especiales que a su respecto dicte el Código de Minería. Art.5. Las concesiones mineras se constituirán por resolución de los tribunales ordinarios de justicia, en procedimiento seguido ante ellos y sin intervención decisoria alguna de otra autoridad o persona…… .

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4. Breve análisis de algunos artículos del Código de Minería de 1983. Art.1. El Estado tiene dominio absoluto, exclusivo, inalienable e imprescriptible de todas las minas, comprendiéndose en éstas las covaderas, las arenas metalíferas, los salares, los depósitos de carbón e hidrocarburos y las demás sustancias fósiles con excepción de las arcillas superficiales, no obstante la propiedad de las personas naturales o jurídicas sobre los terrenos en cuyas entrañas estuvieren situadas. Pero toda persona tiene la facultad de catar y cavar para buscar sustancias mineras, con arreglo al párrafo 2º de este título y también el derecho de constituir concesión minera de exploración o de explotación sobre las sustancias que la ley orgánica constitucional declara concesibles, con la sola excepción de las personas señaladas en el artículo 22. Absoluto: porque se reunen en el todos los atributos del dominio, es decir, usar, gozar y disponer sobre todas las minas. Exclusivo: es un dominio único, solo excluye el de cualquier otro titular. Inalienable: no se puede enajenar, es parte de la soberanía del Estado, no se puede transferir a nadie. Imprescriptible: no puede prescribir, esto es no puede perderse o disminuirse en el transcurso del tiempo. Nadie puede ganar por prescripción el dominio que tiene el Estado sobre las minas. Art. 2 (ver Art. 2 analizado en la Ley Orgánica Constitucional sobre Concesiones Mineras). Art. 8. La exploración o la explotación de las sustancias que, conforme al artículo anterior (art. 7), no son susceptibles de concesión minera, podrán ejecutarse directamente por el Estado o por sus empresas, o por medio de concesiones administrativas o de contratos especiales de operación, con los requisitos y bajo las condiciones que el Presidente de la República fije, para cada caso, por decreto supremo. Observación: para el curso de Topografía Ingeniería Civil Minas de la ULS se requiere estudiar desde el Art. 1 al Art. 162 del código de Minería y desde el Art. 1 al Art. 84 del Reglamento del Código de Minería.

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5. Procedimiento de constitución de concesiones mineras de explotación. 1. Se inicia con un escrito llamado Manifestación. 1.1. Terreno manifestado comprendido dentro de un cuadrado, dos de los lados tienen orientación UTM Norte-Sur. (Ver artículo 46 Código de Minería) NUTM

L1

AZ.UTML1-L2 = 100g DUTM L1-L2

AZ.UTML4-L1 = 0g DUTML4-L1

L4

PI

AZ.UTML3-L4 = 300g DUTM L3-L4

L2

Az. UTML2-L3 = 200g DUTML2-L3

L3

EUTM Li i=1,…….,4 “Lindero de la esquina i” PI= Punto de interés (intersección entre diagonales principales). AZ.UTMLi-Lj= Azimutes UTM de los lados Li , Lj de la concesión, donde i=1,….,4 y j=1,……,4. DUTML1-L2 = DUTML2-L3 = DUTML3-L4 = DUTML4-L1 (Distancia UTM de los lados L1-L2, L2L3, L3-L4 y L4-L1 respectivamente, deben ser múltiplos de 100 m y guardando la relación Largo/Ancho≤5/1).

Observación: • La concesión cuadrada de explotación mínima que puede manifestarse es de 100 m de largo por 100 m de ancho, es decir, 1 hectárea. • La concesión cuadrada de explotación máxima que puede manifestarse es de 3100 m de largo por 3100 m de ancho, es decir, 961 hectáreas.

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1.2. Terreno manifestado comprendido en un rectángulo, dos de los lados tienen orientación UTM Norte-Sur. (Ver Art. 46 Código de Minería).

NUTM

L1

AZ.UTML1-L2 = 100g DUTM L1-L2

AZ. UTML4-L1 = 0g DUTML4-L1 L4

PI

AZ.UTML3-L4 = 300g DUTM L3-L4

L2

Az. UTML2-L3 = 200g DUTML2-L3 L3

EUTM Li i=1,…….,4 “Lindero de la esquina i” PI= Punto de interés (intersección entre diagonales principales). AZ.UTMLi-Lj= Azimutes UTM de los lados Li , Lj de la concesión, donde i=1,….,4

y

j=1,….4.

DUTML1-L2 = DUTML3-L4 ; DUTML2-L3 = DUTML4-L1 (Distancia UTM de los lados L1-L2, L2-

L3, L3-L4 y L4-L1 respectivamente, deben ser múltiplos de 100 m y guardando la relación Largo/Ancho≤5/1). Observación: • La concesión rectangular de explotación mínima que puede manifestarse es de 200 m de largo por 100 m de ancho, es decir, 2 hectáreas. • La concesión rectangular de explotación máxima que puede manifestarse es de 5.000 m de largo por 2.000 m de ancho, es decir, 1.000 hectáreas. • La superficie manifestada se divide y cada subdivisión se denomina pertenencia, la cual debe cubrir entre 1 a 10 Hás. (número entero), su lado mas largo no podrá exceder, en ningún caso, de mil metros y la proporción entre su largo y ancho no podrá ser superior de diez a uno (ver Art. 8 inciso tercero del Reglamento del Código de Minería).

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Lo más usual es que las pertenencias cubran una superficie de 5 Hás., es decir, 500 m de largo por 100 m de ancho. Cada pertenencia tiene como mínimo 1 Hás., es decir, 100 m de largo por 100 m de ancho. Cada pertenencia tiene como máximo 10 Hás., es decir, 1.000 m de largo por 100 de ancho.

Manifestación “Rosa 1 al 2” de 10 Hás. (2 Pertenencias de 5 Hás . c/u).

L1 100 m

DUTML1-L2 = 500 m

L2

“ Rosa 1” 5 Hás.

100 m

DUTML2-L3 = 200 m

“Rosa 2” 5 Hás.

L4

DUTML3-L4 =500m

L3

Manifestación “Rosa 1 al 5” de 10 Hás. (5 Pertenencias de 2 Hás. c/u)

L1

DUTML4-L1= 200 m

DUTML1-L2 = 500 m

“ Rosa 1” “Rosa 2” “Rosa 3” “Rosa 4” “Rosa 5" 2 Hás 2 Hás 2 Hás 2 Hás 2 Hás

L4

DUTML3-L4 = 500m

L2

DUTML2-L3 = 200 m

L3

1.3. Indicación del PI (Punto de Interés) en una manifestación. 1. Para superficies manifestadas > 100 Hás. (Ver Art. 45 Código de Minería) • PI en Coordenadas UTM con precisión a los 10 m, indicando la provincia y la región. • PI en Coordenadas Geográficas con precisión de 1”, indicando la provincia y la región. 2. Para superficies manifestadas ≤ 100 Hás. (Ver Art. 45 Código de Minería)

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La ubicación del PI podrá describirse indicando sus señales más precisas y características, el nombre del predio o del asiento mineral en que se encuentra y el de la provincia en que está situado. •

PI se indica mediante visuales características (situándose en la zona de interés e indicar accidentes de importancia, quebradas, carreteras, líneas férreas, cordones montañosos, cerros, etc.) a los cuatro puntos cardinales con la indicación de la distancia aproximada y nombre de las estancias o sierra o asentamiento minero, la comuna, provincia y región. Al Norte …………. Al Sur…………….. Al Este …………… Al Weste…………

3. Antecedentes que la Manifestación debe señalar: (Ver Art. 44 del Código de Minería) 3.1. Individualización del manifiesto. • Nombre del manifestante o profesional que la realiza. • Oficio del manifestante. • Estado civil del manifestante. • Domicilio del manifestante. • Rut del manifestante. 3.2. Indicación del PI según el Art. 45 del Código de Minería. 3.3. Nombre de la Manifestación. 3.4. Superficie total cubierta por la Manifestación expresadas en Hás. 3.5. Forma y longitud de los lados de la Manifestación, y orientación de lados en la dirección Norte-Sur UTM. 3.6. Número de pertenencias y la superficie de ellas. Ejemplo: En las siguientes dos imágenes se presenta un terreno franco sobre la cual se requiere iniciar el proceso de constitución de una concesión minera de explotación, de forma rectangular con 600 m en la dirección Norte-Sur y 500 m en la dirección Este-Oeste, la que se denominará “Rosa 1 al 6” con 6 pertenencias de 5 hectáreas c/u, con un total de 30 hás., el PI tiene como coordenadas NUTM = 6.300.300.00 m EUTM= 350.150.00 m. En una de las imágenes se muestra el terreno franco con las concesiones contiguas constituidas Flor 1-15, María 1-20, Angel 1-3 y la manifestación “Rosa 16”, en la otra imagen se observa la solicitud de mensura “Rosa 1 al 5”, Rosa 1 de 2

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Hás., Rosa 2 con 1 Hás., Rosa 3 de 3 Hás, Rosa 4 de 2 hás. y Rosa 5 de 1 Hás. Al realizar la solicitud de mensura de tal manera de cubrir la mayor parte del terreno franco, se generan cinco demasías, las cuales accederán por el ministerio de la ley, al momento en que se constituya la pertenencia que de origen a la demasía, a aquella que haya sido o se tenga por manifestada primero. Al realizar el análisis de antigüedad de constitución de las concesiones en la zona en cuestión, se llega a la conclusión que las demasías generadas por “Rosa 1 al 5” y las anteriores concesiones, el concesionario que resultaría favorecido con las demasías 1, 3, 4 y 5 sería la de la concesión “María 1 al 20”, y la demasía 2 correspondería al concesionario de “Flor 1 al 15”. 5.1. Artículos del Código de Minería relacionados con la forma y dimensiones de las concesiones: Art. 28.- La extensión territorial de la concesión minera configura un sólido cuya cara superior es, en el plano horizontal, un paralelogramo de ángulos rectos, y cuya profundidad es indefinida dentro de los planos verticales que lo limitan. El largo o el ancho del paralelógramo deberá tener orientación UTM norte sur. A voluntad del concesionario, los lados de la pertenencia, horizontalmente, medirán cien metros como mínimo o múltiplos de cien metros; y los de la concesión de exploración, también horizontalmente, medirán mil metros como mínimo o múltiplos de mil metros. La cara superior de la pertenencia no podrá comprender más de diez hectáreas; ni más de 5.000 hectáreas, la de concesión de exploración. Art. 31.- El terreno encerrado por tres o más pertenencias constituidas, en que no sea posible constituir otra de la forma y cabida mínima indicadas en el artículo 28, será una demasía y accederá por ministerio de la ley, en el momento en que se constituya la pertenencia que de origen a la demasía, a aquella que haya sido o se tenga por manifestada primero. Art. 32.- El concesionario favorecido podrá anotar al margen de la inscripción de dominio de su pertenencia la existencia de la demasía, previo decreto del Juez, dado con citación de los colindantes de ésta, en la que apruebe y ordene archivar un plano que represente la demasía y las pertenencias contiguas. No habiéndose practicado los trámites a que se refiere el inciso anterior, el concesionario favorecido perderá su derecho a la demasía cuando caduque o se extinga cualquiera de las pertenencias que la encerraban. La demasía no aumentará el valor de la patente de la pertenencia a que accede, y formará con ella un solo todo.

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Ejemplo de manifestación de más de 100 hás. CODIGO : M01 MATERIA: Manifestación Minera. Procedimiento : Voluntario. Solicitantes : Juan Rojas Milla Rut 4.690.141-K y Waldo Valencia Cuevas Rut 7.371.378-1. MANIFESTACIÓN S.J.L Juan Orlando Rojas Milla, chileno, separado, minero, Rut Nº 4.690.141-k, domiciliado en el Varillar, valle del Elqui, y Waldo Pedro Valencia Cuevas, chileno, casado, ingeniero de ejecución en geomensura, Rut 7.371.378-1, domiciliado en Pasaje O’Higgins Nº 59 Villa Los Canelos Coquimbo, respetuosamente a Us. dicen: Que deseando constituir propiedad minera de explotación, venimos a manifestar antiguas vetas productoras de sustancia concesibles en terrenos abiertos e incultos, en la Comunidad Agrícola La Plata. El punto de interés tiene las siguientes coordenadas: Norte UTM: 6.686.687 metros. Este UTM: 349.323 metros y se ubica en la comuna de Vicuña, provincia de Elqui, cuarta Región Coquimbo. El área que solicitamos es un rectángulo de 1000 metros de Norte a Sur, por 2000 metros de Este a Oeste con orientación UTM. Rogamos a Us. nos conceda veinte pertenencias de diez hectáreas cada una, totalizando doscientas, las que denominaremos “Mafalda 1-20”. En mérito a lo expuesto, ruego a Us., se sirva tener por presentada esta manifestación y ordenar su inscripción y publicación conforme a la ley minera vigente.

Juan Rojas Milla

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Ejemplo de manifestación menor a 100 Hás. CODIGO : M01 MATERIA: Manifestación Minera. Procedimiento : Voluntario. Solicitantes : Fernando Cuellar Rojas Rut 9.887.241-8 y Waldo Valencia Cuevas Rut 7.371.378-1. MANIFESTACIÓN S.J.L Fernando Alberto Cuellar Rojas, chileno, casado, minero, Rut Nº 9.887.2418, domiciliado en calle Alemania Nº 2794, Cía. Alta La Serena, y Waldo Pedro Valencia Cuevas, chileno, casado, ingeniero de ejecución en geomensura, Rut 7.371.378-1, domiciliado en Pasaje O’Higgins Nº 59 Villa Los Canelos Coquimbo, respetuosamente a Us. dicen: Que deseando constituir propiedad minera de explotación, venimos a manifestar antiguas minas y vetas productoras de sustancias concesibles en terrenos abiertos e incultos. El punto de interés tiene las siguientes coordenadas: Norte UTM: 6.698.350 metros. Este UTM: 287.500 metros, se ubica al sur del asiento minero Brillador, en la Quebrada El Sauce, comuna de La Serena, provincia de Elqui, cuarta Región Coquimbo. El área que solicitamos es un rectángulo de 1000 metros de Norte a Sur, por 500 metros de Este a Oeste con orientación UTM. Rogamos a Us. nos conceda diez pertenencias de cinco hectáreas cada una, totalizando cincuenta, las que denominaremos “Verito 1-10”. En mérito a lo expuesto, ruego a Us., se sirva tener por presentada esta manifestación y ordenar su inscripción y publicación conforme a la ley minera vigente.

Fernando Cuellar Rojas

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5.2. Pago de tasa a beneficio fiscal de las concesiones de exploración y explotación: Art. 51.- Se pagará por una sola vez, por cada pedimento y cada manifestación una tasa a beneficio fiscal, expresada en centésimos de unidad tributaria mensual. El monto de la tasa, por cada hectárea completa pedida en concesión de exploración, será: 1º.- Medio centésimo (0.005 UTM), si la superficie total pedida no excede de trescientas hectáreas (Superficies ≤ 300 Hás.). 2º.- Dos centésimos (0.02 UTM), si esa superficie excede de de trescientas y no sobrepasa mil quinientas hectáreas ( 300 Hás.< Superficie ≤ 1500 Hás.). 3º.- Tres centésimos (0.03 UTM), si dicha superficie excede de mil quinientas y no sobrepasa tres mil hectáreas (1500 Hás. < Superficie ≤ 3000 Hás.). 4º.- Cuatro centésimos (0.04 UTM), si esa superficie excede de tres mil hectáreas (Superficie > 3000 Hás.). El monto de la tasa, por cada hectárea completa manifestada será: 1º.- Un centésimo (0.01 UTM), si la superficie total manifestada no excede de cien hectáreas (Superficies ≤ 100 Hás.). 2º.- Dos centésimos (0.02 UTM), si esa superficie excede de ciento y no sobrepasa trescientas hectáreas (100 Hás. < Superficie ≤ 300 Hás.). 3º.- Cuatro centésimos (0.04 UTM), si dicha superficie excede de trescientas y no sobrepasa seiscientas hectáreas (300 Hás. < Superficie ≤ 600 Hás.). 4º.- Cinco centésimos (0.05 UTM), si esa superficie excede de seiscientas hectáreas (Superficie > 600 Hás.). Observaciones: 1.- Para el pago de las tasas de manifestación y pedimento existe el Formulario Nº 10 de la Tesorería General de la República, el cual debe ser llenado íntegramente y debe contener el timbre de la institución recaudadora, indicando la fecha de pago de dicha tasa. 2.- El comprobante de este pago deberá conservarse y acompañarse a la solicitud de sentencia constitutiva del pedimento o a la solicitud de mensura de la pertenencia, según corresponda.

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5.3. Amparo de las concesiones. Art. 142.- La concesión minera debe ser amparada mediante el pago de una patente anual cuyo monto será equivalente a un décimo (1/10) de unidad tributaria mensual por cada hectárea completa, si es de explotación; y a quincuagésimo (1/50) de dicha unidad por la misma extensión si es de exploración. Con todo, los titulares de pertenencias cuyo interés económico principal resida en las sustancias no metálicas o en los placeres metalíferos que existan en ellas y los titulares de pertenencias constituidas sobre sustancias existentes en salares, pagarán una patente anual cuyo monto será equivalente a un trigésimo (1/30) de unidad tributaria mensual por cada hectárea completa; un reglamento determinará la forma en que los titulares acreditarán los hechos ya referidos, que los hagan acreedores a este beneficio, y señalará cuáles son las sustancias que se consideran no metálicas para estos efectos y cuáles constituyen para los mismos efectos, placeres metalíferos. Art. 143.- El pago de la patente será anticipado y se efectuará en el curso del mes de marzo de cada año, en cualquier banco o institución autorizados para recaudar tributos. Art. 144.- La obligación de amparo comienza al solicitar la sentencia constitutiva de la concesión de exploración, o al solicitarse la mensura de la pertenencia, época en que debe pagarse la primera patente, a que se refiere el inciso siguiente. El monto de la primera patente será proporcional al tiempo que medie entre la fecha de la solicitud de sentencia o la de la solicitud de mensura, en su caso, y el último día del mes de febrero siguiente. Una vez pagada la patente a que se refiere el inciso anterior, se deberá seguir pagando patente anualmente, en la oportunidad y forma prescritas en el artículo anterior. Pago de patente proporcional para concesiones de explotación metálicas y no metálicas o en placeres metalíferos o en sustancias existentes en salares: PP Metálicas = H * UTM Mes /10 * d/365

PP No Metálicas = H * UTM Mes /30 * d/365

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Pago de patente proporcional para concesiones de exploración: PP C. Exploración = H * UTM Mes/50 * d/365

PP : Patente Proporcional. H : Nº de hectáreas en solicitud de mensura o sentencia constitutiva. UTM Mes : Unidad Tributaria Mensual del mes de pago. d : Nº de días que faltan para el 28 o 29 de febrero siguiente inclusive. 365 : Nº de días de un año normal, para año bisiesto considere 366 días. 5.4. Efectos del desamparo de las concesiones. Art. 146.- Si el concesionario no paga la patente en el plazo que fija este Código, se iniciará el procedimiento judicial para sacar la concesión a remate público. La ejecución de la obligación de pagar la patente solo podrá perseguirse sobre la respectiva concesión. La acción referida prescribirá en el plazo de tres años, contado desde el 1º de abril del año en que debió pagarse la patente. Art. 147.- Antes del 1º de julio de cada año, el Tesorero General de la República enviará a cada uno de los juzgados competentes la correspondiente nómina de las concesiones mineras cuya patente no haya sido pagada, con especificación de su nombre y ubicación, del dueño que figura en el rol respectivo y del monto adeudado. Mientras no se haya dado cumplimiento al trámite señalado en el inciso anterior, el pago de la patente podrá hacerse sin el recargo indicado en el inciso segundo del artículo 149. Recibida la nómina, el Juez señalará día y hora para el remate, y ordenará que esta resolución y esta nómina sean publicadas en dos días distintos. Corresponderá a la Tesorería General de la República efectuar estas publicaciones y cubrir sus gastos, sin perjuicio de lo dispuesto en el artículo 150. El remate no podrá efectuarse antes de los treinta días siguientes a la fecha del último aviso. Las omisiones o errores en que la Tesorería haya incurrido en la nómina referida en el inciso primero, podrán ser rectificadas antes del remate a solicitud de cualquier persona. El procederá con conocimiento de causa. Estas rectificaciones se publicarán en la forma establecida en el inciso tercero, debiendo darse cumplimiento a lo dispuesto en el inciso cuarto. El secretario pondrá testimonio en los autos de haberse publicado los avisos en la forma y con la anticipación señaladas.

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Art. 155.- Si no hay postor por alguna concesión o lote, el juez declarará franco el terreno y ordenará cancelar las correspondientes inscripciones en el Conservador de Minas. Esta resolución se notificará por el estado diario. 5.5. De las internaciones entre concesiones. Art. 139.- Se prohíbe al minero internarse con sus labores en concesión ajena. Toda internación sujeta al que la efectúa al pago del valor líquido de los minerales que haya retirado y a la indemnización de los perjuicios causados. Si los minerales están aún en poder del internante, el internado podrá exigir su restitución , pagando los costos de extracción, y, además, demandar la indemnización de lo perjuicios. Si hubiere mala fe, el pago del valor de los minerales retirados o su restitución, se hará sin deducción alguna, sin perjuicio de la responsabilidad penal del internante responsable del hurto o robo. Se presume mala fe cuando la internación excede de diez metros, medidos perpendicularmente desde el plano vertical que limita la concesión internada, o cuando el internante se haya opuesto a la visita pedida judicialmente o dificultado la ya decretada o dificultado la ya decretada. Art. 140.- El minero que sospeche internación o que tema inundación, por el mal estado de las labores de la concesión contigua o próxima o por el desarrollo de los trabajos que en ella se efectúan, tendrán derecho a visitarla, asesorado por un perito. En caso de negativa o dificultad opuesta al ejercicio de este derecho, podrá el juez autorizar esta visita, sin más trámite que la celebración de un comparendo que se llevará a efecto con la parte que asista. Solo será apelable la resolución que deniegue la visita. Art. 141.- El interesado podrá solicitar del juez, como medidas prejudiciales o precautorias, que ordene fijar sellos, suspender provisionalmente las labores a que se refiere el denuncio o tomar las demás disposiciones urgentes de seguridad a que haya lugar. Para dictar estas medidas, el juez deberá oír el informe del perito que designe. Observación: para evitarse problemas de internación se sugiere al minero tener un sistema común de coordenadas (sistema UTM), tanto para exterior mina (mensura de la mina) como para el interior de ella (levantamiento de galerías), es decir, debe aprovechar el amarre geodésico del H.M. de su concesión y trasladarlo al interior de la mina, levantando cada una de sus galerías, comparando las posiciones de dichas galerías con los límites de la concesión.

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5.6. De los trámites posteriores a la manifestación. Art. 59.- Dentro del plazo que medie entre los doscientos uno y doscientos veinte días, contado desde la fecha de la presentación de la manifestación al juzgado, el manifestante o cualquiera de ellos cuando fueren varios, deberá solicitar, en el mismo expediente, la mensura de su pertenencia o pertenencias. La solicitud podrá abarcar todo o parte del terreno manifestado, pero, en ningún caso, terrenos situados fuera de éste. La solicitud deberá, además, indicar las coordenadas UTM de cada uno de los vértices del perímetro de la cara superior de la pertenencia o grupo de pertenencias, relacionando uno de ellos, en rumbo y distancia, con el punto de interés señalado en la manifestación. Deberá asimismo, designar al ingeniero o perito que practicará la mensura, e indicará el largo y ancho de la pertenencia o de cada una de ellas, el nombre de las pertenencias conocidas que existan en la vecindad y, en lo posible, el nombre de sus dueños. Se acompañará a la solicitud (primer otrosi): 1º.- Comprobante de haberse pagado la tasa de manifestación; 2º.- Comprobante de haberse pagado la patente proporcional establecida en el artículo 144; 3º.- Copia autorizada de la inscripción de la manifestación; 4º.- Ejemplar del Boletín Oficial de Minería en que se haya publicado esa inscripción, y 5º.- Plano en el que se señalen la configuración de la pertenencia o grupo de pertenencias, las coordenadas de cada uno de los vértices del perímetro y la relación, en rumbo y distancia, del mismo vértice – ligado en la solicitud- con el punto de interés indicado en la manifestación. El secretario deberá otorgar recibo de este escrito, si el interesado lo pide. Todo el ordenamiento catastral de la propiedad minera nacional está referida al sistema de proyección cartográfica de Mercator, por lo que todas las medidas relativas a ubicación y superficie de las pertenencias, sus vértices y puntos de interés PI, deberán estar única y forzosamente referidas a dicho sistema. El art. 24 inciso final del Reglamento del Código de Minería clarifica que: “Cuando la superficie abarcada por la solicitud de mensura comprenda terrenos ubicados a ambos lados del meridiano 72º, las coordenadas de sus vértices deberán expresarse en valores de coordenadas correspondientes al Huso en que se encuentre la mayor proporción de la superficie que se pretende mensurar, debiendo, si es del caso, convertirse las coordenadas del punto de interés a las correspondientes a este Huso. Si la superficie mensurada tiene la misma proporción en ambos Huso, las coordenadas quedarán referidas al Huso correspondiente al punto de interés.

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En la cartografía mundial el territorio de nuestro país se encuentra emplazado en los Husos 18 y 19, cuyos meridianos centrales son 75º y 69º respectivamente; de igual manera, el Datum de aplicación general a la propiedad minera al norte de la latitud 43º30’ es el PSAD-56 y al sur de dicha latitud es el SAD-69. Por lo que una solicitud de mensura puede encontrarse en cualquiera de esas combinaciones de Datum y Huso, lo que el ingeniero o perito habrá de tener siempre presente al momento de efectuar sus cálculos, de lo que se desprende que la participación de un perito o ingeniero es indispensable en la preparación de la solicitud de mensura. En esta etapa se requiere la designación de un ingeniero civil de minas o perito que practicará la mensura, para lo cual el interesado podrá consultar la nómina designada por el Presidente de la República, a propuesta del Director del Servicio Nacional de Geología y Minería, la cual se publica a comienzos de año en el Diario Oficial. Es conveniente que la designación del ingeniero o perito mensurador la haga el interesado en un otrosi de su presentación, y no en lo principal, de manera que exista una resolución del juez respecto de ella. También en esta parte del proceso de constitución de la concesión de explotación se requiere la designación de abogado patrocinante y mandatario judicial, conforme lo dispone el artículo 36 del Código de Minería. Ambas representaciones la puede hacer un abogado, el cual deberá firmar el escrito de la solicitud de mensura, indicando además su nombre, apellidos, domicilio, patente municipal y Nº de inscripción, en el tercer otrosi de la presentación. Estas designaciones tienen por objeto que exista un orden legal en las peticiones y una correcta tramitación de la gestión de constitución de concesión minera, normalmente se denominan patrocinio y poder y cierran el escrito de solicitud de mensura. A continuación se presentan algunas láminas que muestran las coordenadas geográficas en que se ubica el territorio nacional, los Husos con respecto al meridiano de Greenwich, y otras que indican parte del proceso de constitución de las concesiones de explotación, tales como la presentación del manifiesto, pago de tasa, inscripción de la manifestación en el Conservador de Minas, solicitud de mensura y su escrito:

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Localización del territorio nacional en coordenadas geográficas.

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Disposición de las 60 zonas o Husos con respecto al Meridiano de Greenwich, el territorio nacional se ubica en los Husos 19 y 18, cuyos meridianos centrales son 69º y 75º respectivamente.

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