Topografia en Mineria Cielo Abierto

UNIVERSIDAD DE LA SERENA

VICERRECTORÍA ACADÉMICA PROYECTOS DOCENTES

TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

WALDO VALENCIA CUEVAS CARLOS PIZARRRO VILLALOBOS ANGELA SUCKEL D’ARCANGELI

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO © WALDO VALENCIA CUEVAS CARLOS PIZARRO VILLALOBOS ANGELA SUCKEL D’ARCANGELI Registro de Propiedad Intelectual Nº Primera Edición Marzo 2002 VICERRECTORÍA CACDÉMICA PROYECTOS DOCENTES UNIVERSIDAD DE LA SERENA – CHILE Impreso en Chile/Printed in Chile DISEÑO PORTADA Juan Pablo Cortés DIAGRAMACIÓN E IMPRESIÓN Departamento de Publicaciones – Universidad de La Serena Amunátegui Nº 851 – Fonos 204163 – 204164 – 204025 La Serena – Chile AUTORES Waldo Valencia Cuevas Ingeniero (E) en Geomensura, Universidad de La Serena. Perito Mensurador de Minas Diplomado en Gestión Ambiental Minera Magíster (C) Ciencias Geográficas, Mención Análisis Cartográfico y SIG. Académico Departamento de Ingeniería de Minas, Facultad de Ingeniería Universidad de La Serena Carlos Pizarro Villalobos Ingeniero (E) en Geomensura, Universidad de La Serena. Académico Departamento de Ingeniería de Minas, Facultad de Ingeniería Universidad de La Serena Angela Suckel D’Arcangeli Ingeniero (E) en Geomensura, Universidad de La Serena. Perito Mensurador de Minas Diplomado en Gestión Ambiental Minera Académico Departamento de Ingeniería de Minas, Facultad de Ingeniería Universidad de La Serena

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INDICE Página INTRODUCCION ..................................................................................

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CAPITULO I : APLICACIÓN DE LA TOPOGRAFIA EN LAS FASES DE UN PROYECTO MINERO EXPLOTADO A CIELO ABIERTO. 1.1. La Topografía en la minería cielo abierto.......................................... 1.2. Fases del desarrollo de un proyecto minero....................................... 1.3. La aplicación de la Topografía en diversas fases de un proyecto Minero a cielo abierto...................................................................... 1.3.1 Prospección minera y exploración................................................. 1.3.1.1. En la constitución de la concesión minera y en Declaraciones. y/o Estudios de Impacto Ambiental............................................. 1.3.1.2. Exploración superficial........................................................ 1.3.1.3. Exploración subterránea..................................................... 1.4. Proyecto y Geología........................................................................ 1.4.1. Modelamiento Geológico.............................................................. 1.4.2. Modelamiento Geomecánico......................................................... 1.4.3. Evaluación de Reservas............................................................... 1.5. Análisis y Evaluación Minera............................................................ 1.5.1. Análisis técnico y económico........................................................ 1.6. Desarrollo de minas........................................................................ 1.6.1. Diseño de la mina....................................................................... 1.7. Explotación de mina....................................................................... 1.7.1. Trabajos topográficos de apoyo............................................... ... 1.7.2. En geología................................................................................ 1.7.3. En geotecnia.............................................................................. 1.7.4. En planificación.......................................................................... 1.7.5. Control de calidad.................................................................. .... 1.7.6. Area de Costos........................................................................... 1.7.7. Otros trabajos.......................................................................... .. 1.8. Beneficios...................................................................................... 1.8.1. Procesos metalúrgicos................................................................. 1.8.2. Procesos de fundición y refinación................................................ 1.9. Plan de cierre y abandono...............................................................

9 9 10 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 15 15 15 15 15 16

CAPITULO II: GRAFICA DE CONCEPTOS BASICOS DEL SISTEMA DE EXPLOTACION A CIELO ABIERTO

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2.1. Plan del cuerpo mineralizado.........................................................

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2.2. Vista lateral de un rajo................................................................. 2.3. Etapas de explotación de una mina a cielo abierto......................... 2.4. Ejemplo de proyecto de explotación a 10 años plazo...................... 2.5. Mina explotada a cielo abierto...................................................... 2.6. Prototipos de mallas de perforación.............................................. 2.6.1. Malla de perforación rectangular................................................ 2.6.2. Malla de perforación triangular.................................................. 2.6.3. Sección transversal de malla de perforación............................... 2.7. Sector de explotación en mina a cielo abierto...............................

17 18 19 19 20 20 20 21 21

CAPITULO III: LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS DE APOYO A LA EXPLOTACION DE MINAS A CIELO ABIERTO MEDIANTE INSTRUMENTO CONVENCIONAL. 3.1. Triangulación............................................................................. 3.1.1. Proyecto de triangulación......................................................... 3.1.2. Operación de terreno............................................................... 3.1.3. Procedimiento de cálculo......................................................... 3.1.3.1. Cálculo de coordenadas rectangulares locales............................ 3.1.3.2. Cálculo de coordenadas geográficas, método directo....... 3.2. La radiación electrónica como método de densificación de la red de apoyo topográfico......................................................... 3.2.1. Operación de terreno............................................................. 3.2.2. Procedimiento de cálculo........................................................ 3.2.2.1. Cálculo en coordenadas rectangulares locales.............. 3.2.2.2. Cálculo de coordenadas geográficas, método directo...

23 24 24 25 25 27 33 33 34 34 35

CAPITULO IV: LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS DE APOYO A LA EXPLOTACION DE MINAS A CIELO ABIERTO MEDIANTE INSTRUMENTO TOPOGRAFICO SATELITAL. 4.1. Sistema G.P.S. (Sistema de Posicionamiento Global)................... 4.1.1. Configuración del Sistema G.P.S............................................. 4.1.2. Variantes de equipos G.P.S.................................................... 4.1.3. Sistema de coordenadas usadas............................................. 4.1.4. Obtención de la ondulación geoidal o altura geoidal (N)........... 4.1.5. Sistemas de referencia geodésicos(datum horizontal y vertical)..............................................................................

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39 41 42 46 50 53

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4.1.6. Procedimiento G.P.S. de terreno............................................. 4.1.7. Pautas generales sobre precisiones en trabajos de posicionamiento utilizando G.P.S. tipo geodésico........................................ 4.1.8. Fuentes de errores en las mediciones mediante satélites NAVSTAR – GPS.................................................................. 4.1.9. Especificaciones sobre grados de precisión en los Levantamientos con G.P.S. ............................................ 4.2. Sistema GLO.NA.SS. (Sistema Satelital de Navegación Global)................................................................................ 4.2.1. Configuración del sistema GLO.NA.SS................................... 4.2.2. Comparación entre sistemas G.P.S. y GLO.NA.SS................... 4.2.3. Sistema G.P.S. + GLO.NA.SS...............................................

56 60 62 64 67 67 68 69

APENDICE 1. GLOSARIO DE TERMINOLOGIA GPS.........................

74

APENDICE 2. GLOSARIO DE GEODESIA. PRINCIPALES ORGANIZACIONES Y TERMINOLOGIA RELACIONADAS CON LA GEODESIA...................................................

91

APENDICE 3.

EL POSICIONAMIENTO SATELITAL EN LOS SISTEMAS DE DESPACHO................................

110

APENDICE 4.

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE LOS TOPICOS TRATADOS EN LOS CAPITULOS 1 AL 4............................................

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PRESENTACIÓN Los proyectos docentes han sido una alternativa para que los profesores de la Universidad de La Serena presenten a sus estudiantes apoyo para los aprendizajes y a la vez la oportunidad para que los académicos ofrezcan contenidos seleccionados y actualizados acordes con las experiencias y su perfeccionamiento constante a través de textos didácticos. Como proceso de educación formal se considera que la función fundamental del profesor es faciltar los aprendizajes de sus alumnos y para ello debe buscar alternativas que contribuyan a esta acción. Una de las características culturales en la actualidad es el caudal de información que se desliza a nuestro alrededor, encontrar el sentido para comprenderla y actuar con mejor conocimiento de la situación es lo que nos permite tomar mejores decisiones en nuestro quehacer diario. El joven estudiante se puede agobiar con la información y no siempre estar preparado para la mejor selección que le prepare para su formación y hacer. Es aquí donde el maestro requiere su mayor habilidad y actitud favorable para otorgar a sus alumnos los conocimientos, destacando conceptos y estructuras de pensamiento que mejor preparen al joven para investigar de acuerdo con sus intereses, los aspectos más significativos que dan respuesta a sus inquietudes y le ayuden a comprometerse solidariamente con la acción social de su entorno. El profesor en su preparación constante en nuevos valores, es quien mejor puede orientar los aprendizajes de los alumnos a través de no sólo de sus clases, estrategias y procedimientos formativos, sino también a través de un libro que sintetice ideas fundamentales de los campos del conocimiento que ayuden a desarrollar actitudes favorables de un constante aprendizaje. Este es el mérito de este libro y su real proyección en la formación de los jóvenes estudiantes.

Dra. María Hilda Soto Carrasco Dirección Ejecutiva Programa Formación Inicial de Profesores

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INTRODUCCION

La necesidad de editar un texto de apoyo a la docencia para las carreras de Ingeniería de Minas de nuestra Casa de Estudios, que relacione en líneas generales la aplicación de la topografía, en las diversas etapas de un proyecto minero que se desarrolla por el sistema de explotación a cielo abierto, y a la vez, la motivación por entregar a nuestros alumnos, colegas y profesionales afines, nuestro aporte en la enseñanza de la Minería en la Universidad de La Serena, y particularmente, de la enseñanza de la topografía, ha sido el desafío que se ha tomado para llenar de esta manera, la carencia de obras en esta materia. Este texto contiene en su primer capítulo, un enfoque integral del uso de la topografía en la minería cielo abierto, comenzando con la constitución de la Propiedad minera, pasando por las etapas de exploración, preparación, desarrollo, explotación, cierre y abandono de la mina. El segundo capítulo, muestra gráficamente la terminología más común que se utiliza en este sistema de explotación. El capítulo tercero, hace referencia a los levantamientos topográficos clásicos, de apoyo a la explotación de minas a cielo abierto y que usan instrumental convencional, y el cuarto capítulo incluye la técnica satelital de punta que se utiliza en los levantamientos topográficos de apoyo a estos sistemas de explotación. Finalmente, se han anexado al texto cuatro apéndices con materias complementarias a los capítulos citados, el primero corresponde a un glosario de la terminología G.P.S. en español e inglés, el segundo a un glosario de geodesia y de organizaciones relacionadas, el tercero se refiere al posicionamiento satelital en los sistemas de despacho y el último a ejercicios inéditos resueltos y propuestos de los tópicos tratados en los capítulos 1 al 4 e incluye la rutina del profesional que realiza la topografía en un proyecto minero a cielo abierto.

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CAPITULO I APLICACIÓN DE LA TOPOGRAFÍA EN LAS FASES DE UN PROYECTO MINERO EXPLOTADO A CIELO ABIERTO 1.1.

La Topografía en la minería cielo abierto.

En la década recién pasada, en nuestro país proliferó la explotación de yacimientos mineros a cielo abierto, lo que se explica por dos razones. La primera es que aún se están descubriendo yacimientos relativamente cercanos a la superficie y la segunda razón es que este sistema de explotación, es ventajoso dada la gran selectividad, mayor recuperación del recurso, posibilidad de uso de grandes equipos, flexibilidad, seguridad, no necesita ventilación, ni iluminación durante el día y el transporte de personal es rápido, lo que se traduce en menores costos y mayor productividad. La topografía que se utiliza en las diversas etapas de los proyectos explotados por este sistema, abarca desde los métodos clásicos de medición en terreno (instrumental convencional), la topografía aérea (levantamientos aerofotogramétricos para la exploración), hasta la revolucionaria tecnología satelital (imágenes satelitales para exploración, sistema G.P.S. para la georreferenciación de la actividad y en la administración y control de máquinas y equipos como ejemplo Dispatch). Todo profesional de la minería debe saber que el uso de la topografía es fundamental en todas las etapas del proyecto (exploración, constitución de la propiedad minera, desarrollo y en el plan de cierre y abandono de la mina). En el organigrama de los proyectos mineros, la topografía generalmente se inserta en el Departamento de Ingeniería, existiendo además una Sección Legal y de Propiedad Minera, que depende de la Gerencia General, teniendo como misión principal la constitución de la concesión minera, el amparo y resguardo permanente de la misma, entre otras asignaciones. 1.2.

Fases del desarrollo de un proyecto minero.

Las etapas principales en un proyecto minero a cielo abierto se pueden graficar de la siguiente manera:

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PROSPECCION MINERA Y EXPLORACION

PROYECTO Y GEOLOGIA MINERA

ANALISIS Y EVALUACION MINERA

DESARROLLO DE MINA

EXPLOTACION DE MINA

BENEFICIO

PLAN DE CIERRE Y ABANDONO

1.3.

La aplicación de la Topografía en las diversas fases de un proyecto minero a cielo abierto.

1.3.1. Prospección minera y exploración.

1.3.1.1. En la constitución de la concesión minera y en Declaraciones y/o Estudios de Impacto Ambiental.

En la constitución de la concesión minera de exploración y/o explotación (determinación punto medio para Pedimento, puntos de interés para

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Manifestaciones, confección de planos de solicitudes de Sentencia Constitutiva, solicitudes de Mensura y operación de Mensura). - Replanteo de concesión de explotación. -

En el estudio y trazado de caminos de acceso al yacimiento.

-

En los levantamientos topográficos necesarios Impacto Ambiental (línea base suelo, agua, aire, agua, servidumbres eléctricas, derechos de disposición de residuos domésticos, botaderos, estaciones de monitoreo, etc.).

-

En el emplazamiento general del proyecto (ubicación del rajo, botaderos, relaves, pilas de lixiviación, planta de tratamientos de minerales, subestaciones eléctricas, etc.).

1.3.1.2.

para realizar el Estudio de flora, fauna, servidumbres de aprovechamiento de agua, ubicación de campamentos,

Exploración superficial.

-

Imágenes satelitales, fotogramas y fotointerpretación.

-

Levantamiento topográfico del área a aerofotogramétrico o con sistema G.P.S.)

-

Replanteo de perfiles geoquímicos, geofísicos (gravimétrico, resonancia magnética, de resistividad y sísmicos).

-

Replanteo y levantamiento de sondajes.

-

Levantamiento de estructura, afloramientos, muestreos, zanjas, etc.

-

Apoyo terrestre en levantamientos aerofotogramétricos y satelitales.

1.3.1.3.

explorar (uso

clásico,

Exploración subterránea.

-

Localización de sondajes en túneles en distintas direcciones.

-

Muestreos.

1.4.

método

Proyecto y Geología.

1.4.1. Modelamiento Geológico.

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Para generar la envolvente geológica, se necesita conocer las concentraciones de leyes, los límites del cuerpo, su profundidad y forma, requiriendo la ubicación tridimensional del cuerpo el uso de la topografía. 1.4.2. Modelamiento Geomecánico. Para conocer las características mecánicas de las rocas y macizos rocosos (resistencia a la compresión, tracción, etc.), se necesita la topografía en: -

Ubicación espacial del yacimiento y de las rocas adyacentes. Información espacial de los sondajes. Posición de perfiles geofísicos para definir la calidad de roca. Definición de frecuencia de fracturas (técnica de línea de detalle y su posicionamiento). Definición de la posición en la medición de esfuerzos (se requiere además conocer magnitud y dirección de dicho esfuerzo).

1.4.3. Evaluación de Reservas -

Indirectamente participa la topografía, dado que la geoestadística utiliza herramientas de mapeo en un sentido espacial. Plano de ubicación. Plano de descripción geológica. Planos de secciones longitudinales y transversales. Planos estructurales y topográficos. Plano de estimación poligonal. Plano de curvas de concentración. Plano de precisión con kriging. Plano de bloques. Plano de envolventes. Plano en perspectivas.

1.5. Análisis y Evaluación Minera. 1.5.1. Análisis técnico económico. El fondo del rajo final queda determinado por la razón Estéril/Mineral (E/M). La razón (E/M) está dada en función de las variables económicas y de seguridad. En la variable de seguridad se requiere especificar ángulos de talud final, altura de banco, anchura y pendiente de rampas, que es donde se aplica la topografía para replantear tales especificaciones. Académicos: Waldo Valencia Cuevas – Carlos Pizarro Villalobos – Angela Suckel D’Arcangeli

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1.6.

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Desarrollo de mina.

1.6.1. Diseño de la mina. En esta fase que incluye división del cuerpo en niveles, explotación de los bancos y tronadura específica para cada banco se requiere: -

Topografía general del rajo (borde y pie de banco, rampas, control de piso, etc.) Etapa de escarpe. Replanteo y control de bancos. Replanteo y levantamiento de malla de tronadura. Cálculo de volumen. Carguío y transporte (Despacho). Definición de taludes apropiados.

1.7.

Explotación de mina.

1.7.1. Trabajos topográficos de apoyo. -

Levantamientos topográficos. Control de diseño de bancos.

1.7.2. En geología. -

Replanteo y levantamiento de perfiles geofísicos. Replanteo y levantamiento de sondajes. Levantamiento de estructuras, muestras, etc.

1.7.3. En geotecnia. -

Control de estabilidad de taludes. Control de deformaciones.

1.7.4. En planificación. -

Levantamiento de avance en las minas. Cubicaciones (diarias, semanales o mensuales). Planos de planificación (semanal, mensual, trimestral, anual, etc.).

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1.7.5. Control de calidad. -

Diseño de mallas de tronadura.

Rajo abierto Mina Andina.

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Rajo abierto Mina Zaldivar. - Muestreo de mineral en los pozos de perforación. - Replanteos en sectores mineralizados. - Levantamientos en avances diarios. 1.7.6. Area de costos. -

Cubicación a contratistas para el estado de pagos respectivos.

1.7.7. Otros trabajos. -

Control de cubicaciones. Marcación de líneas de programas. Levantamiento y control de pisos de palas y botaderos. Planos diarios (para coordinar los diversos trabajos con operación mina). Cubicación mensual (avance real del movimiento, movimiento y cálculo de índice estadístico (factor de carga, estadística, etc.)). Control de estructura en equipos. Levantamiento, replanteo y control de líneas de alta tensión. En construcción de túneles para drenajes. Preparación de playas de estacionamiento para maquinaria pesada.

1.8.

Beneficios.

1.8.1. Procesos metalúrgicos. -

El emplazamiento de Plantas de procesos metalúrgicos (lixiviación, flotación, cianuración, lixiviación en pilas, etc.) requiere del montaje de grandes equipos, correas transportadoras, rahco, molinos de bolas, molinos de barras, celdas de flotación, chancadores, etc., que precisan de la topografía para su montaje, alineación y control.

-

El emplazamiento, manejo y control de tranques de relaves, pilas y ripios de lixiviación.

1.8.2. Procesos de fundición y refinación. -

También el emplazamiento de fundiciones y refinerías necesitan del montaje de grandes equipos, de subestaciones eléctricas o generadores de electricidad, que requieren de la topografía para sus construcciones e instalaciones.

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-

Preparación de canchas de escorias.

-

Las grandes fundiciones del país, principales fuentes de contaminación, aportan al medio ambiente gran cantidad de arsénico, dióxido de azufre, cenizas y otros contaminantes gaseosos, que afectan a la salud humana, animal, vegetal, el suelo, etc., que para su estudio y monitoreo, precisan de la variable espacial (topografía), para establecer Planes de descontaminación y restauración de suelos.

1.9.

Plan de cierre y abandono.

El Ministerio de Minería a través de la Comisión Chilena del Cobre y el Servicio Nacional de Geología y Minería, han estado trabajando en los fundamentos para una Normativa de Cierre de Faenas Mineras y en el rol del SERNAGEOMIN en la Fiscalización Ambiental Minera con énfasis en los futuros planes de cierre y abandono de plantas de beneficio, tranques de relave, pilas y ripios de lixiviación, en el cierre de faenas mineras en general. -

La planificación del cierre y abandono de las actividades mineras requerirá de la topografía para obtener plano del diseño final del rajo, ubicación de los tranques de relaves, botaderos, depósitos de ripios y pilas de lixiviación.

-

La ubicación de estaciones de monitoreo y el seguimiento varios años después del cierre de faenas y plantas mineras, requerirán del uso de la topografía.

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CAPITULO II GRÁFICA DE CONCEPTOS BÁSICOS DEL SISTEMA DE EXPLOTACIÓN A CIELO ABIERTO. 2.1. Plan del cuerpo mineralizado.

2.2. Vista lateral de un rajo.

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2.3.

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Etapas de explotación de una mina cielo abierto.

Proyección horizontal.

Proyección vertical.

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2.4.

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Ejemplo de proyecto de explotación a 10 años plazo.

2.5. Mina explotada a cielo abierto.

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2.6. Prototipos de mallas de perforación. 2.6.1. Malla de perforación rectangular.

2.6.2. Malla de perforación triangular.

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2.6.3. Sección transversal de malla de perforación.

2.7.

Sector de explotación en mina cielo abierto.

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CAPITULO III LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS DE APOYO A LA EXPLOTACION DE MINAS A CIELO ABIERTO MEDIANTE INSTRUMENTAL CONVENCIONAL. 3.1.

La Triangulación.

Por tratarse del método de levantamiento tradicional más preciso, en la actualidad se utiliza en la minería a cielo abierto, especialmente en la creación de la red de apoyo topográfico referencial para todo el proyecto minero. A partir de dos vértices de la Red Geodésica Nacional, se crean nuevas estaciones, que conforman cadenas y mallas de triángulos, que van acercándose al lugar del proyecto. Dichas estaciones servirán a su vez, como base para levantamientos de menor precisión, como lo son la Poligonación y la Radiación.

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3.1.1. Proyecto de triangulación. En general si se conoce una base topográfica A-B, y por otro lado, se requiere conocer la posición de un punto C, debe estudiarse previamente la intervisibilidad entre los vértices y que el triángulo proyectado tienda a ser equilátero, para que los ángulos interiores no resulten excesivamente agudos, ya que de no cumplir esta condición afectaría el cálculo de los lados desconocidos de la figura.

3.1.2. Operación de terreno. Instalado en las estaciones A, B y C se miden en forma precisa los ángulos interiores α, β y γ respectivamente, mediante reiteraciones. Paralelamente se miden en forma recíproca en directo y tránsito los ángulos verticales, alturas instrumentales y alturas de jalones, en los respectivos vértices. El número de reiteraciones, los errores angulares máximos admisibles y precisión instrumental dependen del orden geodésico requerido del trabajo. Tabla de clasificación para triangulación, tolerancias y especificaciones técnicas según orden geodésico. I Orden

II Orden

III Orden

IV Orden

Especificaciones Longitud de los lados de la figura (expresado en Kms.) 30 a 80 Angulos Azimutales. Posiciones del círculo. 16 (Reiteraciones) Teodolito cuya precisión sea menor o igual a 0,2” Rechazo de observaciones del promedio de los giros 4” Cierre de triángulos máximo aceptable 3” El Nº de estaciones entre el azimut astronómico no 10 a 15 debe exceder de El error en la determinación de la base 1/300.000 debe ser inferior a

15 a 30

7 a 15

Menor de 7

12

4

2a4

0,2”

1”

1”

5”

6”

10”

5”

10”

20”

15 a 25

25 a 35

25 a 45

1/150.000

1/75.000

1/38.000

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3.1.3. Procedimiento de cálculo. 3.1.3.1.

-

Cálculo en coordenadas rectangulares locales.

Condición angular de una triangulación.

Teoría : α + β + γ = 2R Práctica : α + β + γ = 2R + ∈∠

2R = 200g en sistema centesimal. 2R = 180º en sistema sexagesimal.

∈∠ : Error de cierre angular. ∈∠ ≤ Tolerancia => Compensación (∈i = ± ⏐∈∠ ⏐) 3 -

Ajuste de ángulos horizontales.

α’ = α + ∈i β’ = β + ∈i γ’ = γ + ∈i -

si ∈∠ > o => ∈i < o si ∈∠ < o => ∈i > o

Cálculo de lados del triángulo. Sen γ’ c

=

Sen α’ a

=

Sen β’ b

a = c sen α’ / sen γ’ = DHB-C b = c sen β’ / sen γ’ = DHA-C

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-

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Cálculo de coordenadas tridimensionales.

Yc = YA + ΔYA-C Xc = XA + ΔXA-C Zc = ZA + DNA-C

Coordenadas totales de C a partir del vértice A.

Yc’ = YB + ΔYB-C Xc’ = XB + ΔXB-C Zc’ = ZB + DNB-C

Coordenadas totales de C a partir del vértice B.

___

⎯YC = (Yc + Yc’)/2

Coordenadas definitivas de C.

Xc = (Xc + Xc’)/2 Zc = (Zc + Zc’)/2 ΔYA-C = DHA-C Cos AZA-C ΔXA-C = DHA-C Sen AZA-C

Coordenadas parciales planimétricas desde A-C.

DNA-C = hiA + HA-C + 6,66 (DiA-C)2 – hjC 108

Diferencia de nivel desde A-C.

HA-C = DHA-C tgα = DHA-C / tg Z = - DHA-C / tg N DiA-C = DHA-C / cosα = DHA-C / sen Z = DHA-C / sen N ΔYB-C = DHB-C cos AZB-C ΔXB-C = DHB-C sen AZB-C DNB-C =

Coordenadas parciales planimétricas desde B-C.

hiB + HB-C + 6,66 (DiB-C)2 – hjC 108

Diferencia de nivel desde B-C.

Observación 1: α, Z y N representan los ángulos verticales referidos al horizonte, zenit y nadir respectivamente. Observación 2:

6,66 Di2 108

corresponde a la corrección por curvatura terrestre y refracción atmosférica.

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Observación 3: Los ángulos verticales (α, Z ó N) deben compensarse de acuerdo a la siguiente condición angular.

Teoría

αD + αT = 2 αD + αT = 6R ZD + ZT = 4R ND + NT = 4R

Práctica

(sobre horizonte) (bajo horizonte)

αD + αT = 2R + ∈∠ αD + αT = 6R + ∈∠ ZD + ZT = 4R + ∈∠ ND+ NT = 4R + ∈∠

∈∠ : Error de índice ∈∠ ≤ Tolerancia => compensación (∈i = ± ⏐∈∠⏐) 2 ∈∠ Tolerable para vinculación de propiedad minera ≤ ± 0,0050g α’D = αD + ∈i Z’D = ZD + ∈i N’D = ND + ∈i 3.1.3.2. Cálculo de coordenadas geográficas, método directo.

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

ϕ

=

Latitud geográfica.

a’ = lado B-C del triángulo.

λ

=

Longitud geográfica.

b’ = lado

A-C

del triángulo.

Δϕ =

ϕ2-ϕ

1

c’ = lado

A-B

del triángulo.

Δλ =

λ

1

ϕm =

(ϕ 1 + ϕ 2) /2

λm =

(λ 1 + λ 2) /2

a = b =

2

-λ

semi eje ecuatorial del elipsoide. semi eje polar del elipsoide.

Nm =

a/(1 – e2 sen2 ϕm)1/2 “Normal al elipsoide o gran normal”.

Rm =

a(1 – e2) / (1 – e2 sen2 ϕm)3/2 “Radio de curvatura en el meridiano”.

e2

=

(a2 – b2) / a2 ,

e’2 =

(a2 – b2) / b2 ,

-

donde “ e es la primera excentricidad del meridiano de la elipse.” donde “ e’ es la segunda excentricidad del meridiano de la elipse.”

Condición angular de una triangulación en el elipsoide.

Teoría : Práctica : ∈∠ :

θ+β+γ θ+β+γ

= 2R = 2R + ∈∠

error de cierre angular.

Si ∈∠ ≤ Tolerancia => Compensación, ∈i = ±⏐∈∠⏐ 3 θ’ = β’ = γ’ =

θ + ∈i β + ∈i γ + ∈i

Angulos compensados.

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-

TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

Obtención de azimutes geodésicos.

(α + Δα/2 )

= Arctg

Nm Δλ cos ϕm Rm (- Δϕ) cos Δλ/2

-Δα’’ = Δλ’’ sen ϕm sec Δϕ/2 + (Δλ’’)3 F F

=

1 sen ϕ1 cos2 ϕ1 sen21” 12

Si Δλ’’ ∠ 900’’ => (Δλ’’)3 F → 0 -

Determinación del cuadrante en que se encuentra el azimut geodésico (α + Δα/2).

Δλ

Δϕ

Cuadrante

+

-

I

+

+

II

-

+

III

-

-

IV

( α + Δα / 2 )

II

III

I

IV

Azimut geodésico de la base α = αg A-B

αg

A-C

= αg

A-B

- θ’

αg

B-C

= αg

B-A

- β’

Observación:

αg

B-A

= αg

A-B

± 180º + Δα

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

- Obtención de distancias geodésicas. Distancia geodésica de la base A-B (dg A-B). dgA-C = (Nm2 Δλ2 cos2ϕm + Rm2Δϕ2 cos2(Δλ/2))1/2 Obs. Δλ y Δϕ expresar en radianes. Distancias geodésicas A-C (dgA-C) y B-C (dgB-C). dg A-C sen β’

=

dg A-B sen γ’

=

dg

A-B

sen β’ / sen γ’

= dg

A-B

sen θ’ / sen γ’

dg

A-C

dg

B-C

-

Obtención de Δϕ

A =

dg B-C sen θ’

=

A-C

(1 – e2 sen2 ϕA)

y Δλ A-C.

1/2

a sen 1” B =

(1 – e2 sen2 ϕA)

3/2

a (1- e2) sen 1”

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C =

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(1 – e2 sen2 ϕA)2 tg ϕA 2 a2 (1- e2) sen 1”

D =

3/2 e2 sen ϕA cos ϕA sen 1” (1- e2 sen2 ϕA)

E

=

(1 + 3 tg2 ϕA) (1 – e2 sen2 ϕA) 6 a2

h

=

B dg

K =

C dg

-∂ϕ =

A-C

cos αg

2

A-C

K dg 2

2

A-C

sen2 αg

h + K – h (dg

P1 = - dg P2 =

A-C

A-C

A-C

sen αg

A-C)

2

E

E (h sen2 αg

A-C

2

(3 E + A2 cos αg

A-C

cos αg

A-C

+ ½ K)

- Δϕ”A-C = h + K + (∂ϕ)2 D + P1 + P2 ϕC = ϕ A + Δϕ A-C Δλ A-C = Arc sen (sen (dg A-C/Nm) sen αg

A-C

A-C

sec ϕA sen2 1”)

sec ϕC)

Obs. Argumento ( dgA-C/Nm) expresar en grados sexagesimales. ϕC =

ϕA + Δϕ

A-C

λC =

λA + Δλ

A-C

Coordenadas geográficas de C a partir del vértice A.

Análogamente se obtienen las coordenadas geográficas de C, a partir de B. ϕ C’ =

ϕB + Δϕ

B-C

λ C’ =

λB + Δλ

B-C

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

___

⎯ϕC = (ϕC + ϕ’C) /2

Coordenadas geográficas definitivas del vértice C.

⎯λC = (λC + λ’C) /2 -

Nivelación trigonométrica con transformación de distancia geodésica a distancia horizontal.

Z

C

= ZA + hi

A

+H

Z

C

= ZA + hi

A

+ DH

DHA-C = ρ

dg

A-C

A-C

+ 6,66 10 8

A-C

(Di

2

– hjC

/ tg ZA-C + 6,66 (DH 10 8

/ (1 – HM / ρ)

2

/ sen ZA-C)2 – hjC

A-C

,

Nm Rm Nm cos αg A-C + Rm sen2 αg

=

A-C)

HM = (Z

C

+ Z A) / 2

“Radio de curvatura de la línea”.

A-C

Para reducir dg A-C a DH A-C se requiere ZC, por lo que primero se debe calcular un Zc” de altitud aproximada usando dgA-C. Z C” = ZA + hi HM = (Z

C”

A

+ dg

A-C

/ tg ZA-C + 6,66 10 8

+ Z A) / 2

,

DH

(dg

A-C

=

A-C

/ tg ZA-C)2 – hjC

dg

A-C

/ (1 – HM/ ρ)

Altitud de C a partir del vértice A. Z

C

= Z

A

+ hi

A

+ DH A-C / tg Z A-C + 6,66 10 8

(DH

A-C

/ tg Z

2 A-C)

- hj

C

(DH

B-C

/ tg Z

2 B-C)

- hj

C

Altitud de C a partir del vértice B. Z C’ = Z B + hi

B

+ DH B-C / tg Z B-C + 6,66 10 8

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_ Z

C

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= (Z C + Z C’) / 2

“Altitud definitiva de C ”.

3.2. La radiación electrónica como método de densificación de la red de apoyo topográfico. La radiación electrónica constituye un método alternativo, de densificación de vértices de la red de apoyo topográfico para un proyecto minero a cielo abierto, de igual forma, es utilizado principalmente como método de levantamiento topográfico en las diversas fases de un proyecto minero. Consiste en definir la posición de un punto, midiendo el ángulo horizontal comprendido entre la base topográfica y el punto a definir, conjuntamente con la medición de la distancia inclinada y el ángulo vertical entre la estación de instalación y el punto observado. La utilización de Estaciones Totales de memoria interna de colección automatizada de datos de terreno, que entregan una alta precisión en la medición electrónica de ángulos y distancia, han hecho de la radiación electrónica un método de levantamiento topográfico confiable y rápido para ser usado en la minería cielo abierto. 3.2.1. Operación de terreno.

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Instalado en A y orientado en B se mide en forma precisa el ángulo interior θ mediante reiteraciones, y de la misma manera, se mide el ángulo exterior complementario a θ (β). Conjuntamente se mide en forma recíproca las distancias inclinadas, los ángulos verticales en directo y tránsito, las alturas instrumentales y alturas de jalones, desde A hacia P y desde P hacia A. El número de reiteraciones, los errores angulares máximos admisibles, la precisión instrumental y el error relativo al medir la línea topográfica A-P dependen del orden de precisión requerido del trabajo. 3.2.2. Procedimiento de cálculo. 3.2.2.1.

Cálculo en coordenadas rectangulares locales.

Condición angular de una radiación. Teoría : Práctica:

R = 100g en sistema centesimal. R = 90º en sistema sexagesimal.

θ + β = 4R θ + β = 4R + ε∠

ε∠ : Error de cierre angular. ε∠ ≤ Tolerancia => Compensación

εi =

± ⎜ε∠ ⎜

2 Ajuste de ángulo horizontal (θ). θ’ = θ + εi

si ε∠ > 0 => εi < 0

β’ = β + εi

si ε∠ < 0 => εi > 0

Cálculo del azimut A-P. AZA-P =

AZA-B + θ’

___ Cálculo de la DHA-P. DHA-P = DiA-P cos α = DiA-P sen Z = DiA-P sen N

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

DHP-A = DiP-A cos α = DiP-A sen Z = DiP-A sen N DHA-P = (DHA-P + DHP-A) / 2 Los ángulos verticales (α, Z ó N) deben ser previamente corregidos por error de índice, ver observación 3 en 3.1.3.1. -

Cálculo de coordenadas tridimensionales.

YP = YA + ΔYA-P XP = XA + ΔXA-P ZP = ZA + DNA-P

Coordenadas totales de P.

___ ΔYA-P = DHA-P · cos AZA-P ___ ΔXA-P = DHA-P · sen AZA-P DNA-P = hiA + HA-P +

3.2.2.2.

Coordenadas parciales planimétricas A-P.

6,66 (DiA-P)2 - hjP. 10 8

Diferencia de nivel

A-P.

Cálculo de coordenadas geográficas, método directo.

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-

TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

Condición angular de una radiación.

Teoría : Práctica:

θ + β = 4R θ + β = 4R + ε∠

ε∠ : Error de cierre angular. ε∠ ≤ Tolerancia => Compensación

± ⎜ε∠ ⎜ 2

εi =

Ajuste de ángulo horizontal (θ) θ’ = θ + εi

si ε∠ > 0 => εi < 0

β’ = β + εi

si ε∠ < 0 => εi > 0

-

Obtención de azimutes geodésicos.

(α + Δα/2) = Arc tg

-

Nm Δλ cos ϕm Rm (-Δϕ) cos Δλ/2

Δα” = Δλ” sen ϕm sec Δϕ/2 + (Δλ”)3 F F

=

sen ϕ1 cos2 ϕ1 sen2 1”

1 12

si Δλ” < 900”

=> (Δλ”)3 F → 0

Azimut geodésico de la base α = αg A-B, ver en Tabla 3.1.3.2 αg

A-P

= αg

A-B

+ θ’

-

Obtención de la distancia geodésica A-P (dg A-P) a partir de la Di A-P.

DH

A-P

= Di

A-P

sen ZA-P

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Dg

A-P

ρ =

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= DHA-P 1 - HM ρ

Nm Rm Nm cos αg A-P + Rm sen2 αg 2

ZP = ZA + hiA + Di

Obtención de Δϕ

-

A =

· cos Z

A-P

A-P y

(1 – e2 sen2 ϕA)

HM = (ZP + ZA) / 2

,

Δλ

A-P

“Radio de curvatura de la línea”. A-P

+ 6,66 Di2A-P – hjP 10 8

“Altitud de P a par tir del vértice A.”

A-P.

½

a sen 1” B =

(1 – e2 sen2 ϕA)

3/2

a (1- e2) sen 1” C =

(1 – e2 sen2 ϕA)2 tg ϕA 2 a2 (1- e2) sen 1”

D =

3/2 e2 sen ϕA cos ϕAsen 1” (1- e2 sen2 ϕA)

E

=

(1 + 3 tg2 ϕA) (1 – e2 sen2 ϕA) 6 a2

h

=

B dg

K =

C dg

-∂ϕ =

A-P 2 A-P

cos αg

A-P

sen2 αg

h + K – h (dg

A-P

A-P

sen αg

A-P)

2

E

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P1 = - dg2 P2 =

A-P

K dg2 2

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E (h sen2 αg A-P

cos αg

A-P

A-P

+ ½ K)

(3 E + A2 cos αg

A-P

sec ϕA sen2 1”)

- Δϕ”A-P = h + K + (∂ϕ)2 D + P1 + P2 ϕ

= ϕA + Δϕ

P

Δλ

A-P

A-C

= Arc sen (sen (dg

ϕρ =

ϕA + Δϕ

P-C

λρ =

λA + Δλ

P-C

A-P

/ Nm) sen ϕg

A-C

sec ϕP)

Coordenadas geográficas de P a partir del vértice A.

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CAPITULO IV LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS DE APOYO A LA EXPLOTACION DE MINAS A CIELO ABIERTO MEDIANTE INSTRUMENTAL TOPOGRAFICO SATELITAL. 4.1. Sistema G.P.S. (Sistema de Posicionamiento Global). El sistema G.P.S. fue creado y desarrollado por el Ministerio de Defensa de la Marina de Guerra de los EE.UU, con el propósito de configurar un sistema capaz de entregar la posición de un móvil en cualquier lugar de la Tierra, 24 horas al día y en cualquier tipo de clima o tiempo. La aplicación del sistema satelital G.P.S. como nuevo método de levantamiento topográfico, ha revolucionado la topografía, tanto es así, que en nuestro país en gran parte de los proyectos mineros a cielo abierto, el 90% de los trabajos se realizan con este sistema, desplazando a los procedimientos tradicionales y aumentando en forma considerable la productividad topográfica. El uso de la tecnología G.P.S. en una mina cielo abierto puede ser dividida generalmente en tres categorías: 1. Levantamiento de terreno. 2. Localización de equipos móviles y estáticos, tales como, perforadoras, palas, camiones, vehículos auxiliares e instalaciones de estructuras de procesos (correas transportadoras, rahco, etc.). 3. Navegación y control de equipos, incluyendo posicionamiento en tiempo real de perforadoras en producción y navegación autónoma de vehículos. La tabla siguiente, resume como la tecnología G.P.S. puede ser usada en levantamientos y en la localización de perforadoras, palas y camiones.

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Tabla: EQUIPO -Levantamiento de Terreno

-Perforación y Tronadura

-Palas (hidráulicas o de cable) -Cargadores Frontales

-Camiones

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Aplicaciones G.P.S. en una mina cielo abierto. APLICACIÓN -Reemplazar y/o complementar sistema de levantamiento con instrumental de medición electrónica (requiere mínimo 2 hombres). -Cubicación de mineral, control de pisos y bancos (pie y borde), en caminos, rampas, exploración, etc. -Precisar posicionamiento en 3D para localizar la malla de tronadura sin levantamiento. -Plataforma base para eventuales desarrollo de capacidad autónoma. -Mantener control de pendiente (elevaciones) dentro de los criterios de diseño. -Correlacionar la ubicación de cada carga de pala con: 1. Capacidad para excavar lastre a partir del control de diseño de tronadura. 2. Mezclar y apilar materiales. -Ubicación en tiempo real dentro de la mina cielo abierto. -Evitar concurrencia de camiones a un mismo punto de carguío o botadero y operaciones autónomas.

BENEFICIO -Reduce número de hombres requeridos, es decir, funcionamiento con 1 hombre. -Util en todo tipo de climas y en la mayor parte de la explotación de rajos. -No se restringe al uso durante el día.

REQUERIMIENTO G.P.S. -Alta precisión levantamiento en tiempo real de 5 cm en 3D. -Sistema portátil, liviano, fácil de usar y operar. -Datos en conexión de interfase de fácil acceso a los softwares de planificación de la mina. -Sistema G.P.S. compatible con equipos móviles.

-Alta precisión dentro de 20 cm en 3D en tiempo real. -Inclinación, giro y conducción con posición incorporada. -Posición en 3D desplegada en la pantalla de la cabina del operador a través del despliegue de un mapa móvil. -Precisión de 20 cm en 3D con actualizaciones cada -Mejora de control de piso del rajo. 15 minutos o más. -Reduce mezcla de materiales. -Optimización de equipos, programación, -Coordenadas en 3D desplegados en la pantalla despacho de equipos y rastreo de material instalada en el equipo del operador. -El despliegue del mapa móvil muestra los límites en movimiento. ley/mineral y la posición del balde en relación a la -Mejor control de la ley del mineral. pala. -Mejora relación Ley/tonelaje. -Comando para orientar el despliegue gráfico. -Reduce costos de tronaduras a través de una mejor fragmentación. -Corrige la profundidad de la tronadura en cuanto a elevación. -Reduce requerimiento de levantamiento.

-Optimización de equipos, programación, despacho de equipo y rastreo de material en movimiento. -Operación en todo tipo de climas.

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-Precisión en tiempo real mayores a 1 metro. -Datos de posicionamiento no desplegados al operador, excepto en casos de concurrencia a un mismo punto de carguío o botadero.

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

4.1.1. Configuración del Sistema G.P.S. El Sistema G.P.S. está conformado por tres importantes segmentos: -

Segmento de espacio (constelación de 21 satélites NAVSTAR activos en 6 órbitas diferentes y 3 satélites de repuesto).

-

Segmento de control (5 estaciones de monitoreo, 1 estación de control maestra en Colorado Springs y 3 estaciones de carga).

-

Segmento del usuario (receptores G.P.S.).

-

Configuración del Sistema G.P.S.

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

Constelación de satélites.

Estaciones de control.

4.1.2. Variantes de equipos G.P.S. G.P.S. Precisión en mediciones Tipo Navegador ± (25 – 100 m) en horizontal con 1 equipo en disponibilidad selectiva. Mét. Estático (0,5 m) en horizontal con 2 equipos. Profesional Mét. Cinemático (3-5 m) en horizontal con 2 equipos.. Código c/A Simple frecuencia L1 Geodésico

Doble frecuencia

Código c/A L1 L2

Sistema de Coordenadas entregadas. Geográficas o U.T.M.

Geográficas o U.T.M.

Geográficas o U.T.M.

Mét. Estático ± (5 mm + 1 ppm) en horizontal con 2 equipos. Mét. Cinemático ± (12 mm + 1 ppm) en horizontal con 2 equipos.

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Código c/A : Código de adquisición / amplia (o adquisición clara), es un código de uso civil, se transmite con una frecuencia de 1023 Mhz y se repite cada milisegundo. Código P

: Código preciso o protegido, es un código militar, usado por dos señales L1 y L2 del G.P.S., se transmite con una frecuencia de 10,23 Mhz.

L1

: Señal de navegación de banda L primaria, radiada por cada satélite Navstar a 1575,42 Mhz.

L2 cada

:

Señal de navegación de banda L secundaria, radiada por satélite Navstar a 1227,42 Mhz.

G.P.S. tipo navegador.

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G.P.S. tipo profesional.

G.P.S. tipo geodésico.

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Señales emitidas por cada satélite.

FRECUENCIA FUNDAMENTAL 10,23 MHz

,,,

/10 L1 1575,42 MHz · 154

· 120

50 BPS

CODIGO C/A 1,023 MHz

L2 1227,60 MHZ

CODIGO Y (P) 10,23 MHz CODIGO Y (P) 10,23 MHz

MENSAJE DE NAVEGACION

Disponibilidad de satélites GPS Nº Satélites Contactados 3 Satélites 4 Satélites 5 Satélites 6 Satélites

Calidad información Dimensión Otorgada espacial Posición (N, E) incierta. Posición (N, E, h) sin precisión. Posición (N, E, h) con precisión. Posición (N, E, h) con confiabilidad.

2D

PDOP o HDOP HDOP < 5

3D

PDOP < 5

3D

PDOP < 5

3D

PDOP < 5

HDOP : (Disolución de Precisión Horizontal) refleja los efectos de la geometría de los satélites en cuanto a las componentes horizontales del cálculo de la posición. PDOP : (Disolución de Precisión de Posición) refleja los efectos de la geometría de los satélites del cálculo de la posición. PDOP Bueno : Un satélite en lo alto y 3 en el horizonte apartado 120º de azimut. PDOP Pobre :

Satélites aglomerados.

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

Observación : Para terminología G.P.S. véase Glosario G.P.S. 4.1.3. Sistema de coordenadas usadas. El sistema G.P.S. tiene su fundamento en la medición de distancias (trilateración) o puntos conocidos, en este caso los satélites en el espacio. Las órbitas de estos vehículos espaciales están referidos a un sistema geocéntrico, es decir, un sistema convencional terrestre (C.T.) que considera el centro de masa de la tierra como el origen de los tres ejes coordenados (X, Y, Z). Posición de P y Q.

RCT = (XCT, YCT, ZCT ) : Vector posición desde el centro de masa de la tierra C a un punto Q de la superficie terrestre. XP = N cos ϕ cos λ YP = N cos ϕ sen λ ZP = N (1 – e2) sen ϕ

Coordenadas rectangulares de un punto P (ϕ, λ, h) sobre un elipsoide de semieje ecuatorial a y semieje polar b.

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

N = a/(1 – e2 sen2 ϕ)1/2 : radio de curvatura en la vertical principal (gran Normal). e2 = (a2 – b2) / a2 : Primera excentricidad cuadrada del meridiano __ de la elipse. Co = (Xo, Yo, Zo) : Coordenadas del centro de masa de la tierra. e’2 = (a2 – b2) / b2

: Segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse.

f

:

= (a – b) / a

Achatamiento.

Xa = (N + h) cos ϕ cos λ Sistema convencional terrestre de coordenadas Ya = (N + h) cos ϕ sen λ rectangulares del punto Q sobre una altura h del Za = (N (1-e2) + h) sen ϕ elipsoide. (ϕ, λ, h) : Coordenadas geodésicas de Q sobre una altura h del elipsoide.

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

Solución inversa. La solución inversa, es decir, el cálculo de (ϕ, λ, h) a partir de coordenadas cartesianas (X, Y, Z) no es sencilla, dado que N es función de ϕ. Método de Bowring (Rapp 1984) para calcular ϕ. Este método presenta una rápida convergencia: i)

Cálculo de la latitud inducida β1 como primera aproximación. β1 = Arc tg P

ii)

b · Z a P

= (X2 + Y2 )1/2

Cálculo de la latitud ϕ1 ϕ1 = Arc tg

Z + e’2 b sen3 β1 P - a e2 cos3 β1

iii)

Cálculo de la latitud reducida β2 nuevamente. β2 = Arc tg ((1 – f) tg ϕ1)

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45

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iv)

TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

Se vuelve a ii) y se itera hasta cumplir con la tolerancia β(i+1) - β(i) < ε ε : tolerancia

;

ε ≤ 0º 0’ 0,001”

ƒ : achatamiento. ϕ2 =

Arc tg

Z + e’2 b sen3 β2 P - a e2 cos3 β2

v)

La longitud geodésica λ se puede determinar directamente: λ

vi)

= Arc tg

Y X

La altura elipsoidal h, se puede calcular por el método Bartelme y Meissl (Rapp 1984): h2 =

(P - a cos β)2 + (Z – b sen β)2

;

β : Ultima latitud reducida.

Otro método para calcular ϕ. i)

Cálculo de la latitud ϕ1 ϕ1 = Arc tg

ii)

Cálculo de N1 (gran normal con ϕ1) N1 =

iii)

Z P (1-e2)

a / (1 – e2 sen2 ϕ1 )1/2

Cálculo de la altura elipsoidal h1 en 1ª iteración. h1 =

P - N1 cos ϕ1

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iv)

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Cálculo de la latitud ϕ2 (2ª iteración) ϕ2 = Arc tg

Z (N1 + h1) P (N1 (1-e2) + h1)

v)

Cálculo de N2 (gran normal con ϕ2). N2 = a / (1 – e2 sen2 ϕ2)1/2

vi)

Cálculo de la altura elipsoidal h2 en 2ª iteración h2 =

h

i+1

p - N2 Cos ϕ2

–h ≤ ε

;

ε ≤

0,001 m

Se realizan tantas iteraciones hasta cumplir con ε vii)

La longitud geodésica λ se obtiene directamente por: λ = Arc tg

Y X

Obs. 1: Ver ejercicios en Apéndice. Obs. 2: Para terminología geodésica, véase Glosario Geodesia. 4.1.4. Obtención de la ondulación geoidal o altura geoidal (N).

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H : Altura ortométrica es una altura que se levanta perpendicular al geoide, es una medida física de la realidad, los proyectos que la requieren son de origen muy variado, entre los que se pueden citar los proyectos de riego, evaluación de recursos hidrológicos, evacuación de aguas servidas, determinación de zonas de riesgo debido a deslizamientos o inundaciones, proyectos de alcantarillado y agua potable, actividad minera en general, etc. h : Altura elipsoidal, es la tercera coordenada que entrega el GPS y es muy útil cuando se usa en conjunto con un modelo geoidal. N : Ondulación, altura o separación geoidal. Modelo de ondulación geoidal: corresponde a una imitación matemática de la superficie geoidal verdadera de la Tierra, las alturas ortométrica H, relacionan el geoide con la superficie de la Tierra y son conocidas comúnmente como alturas sobre el nivel del mar. Las separaciones geoidales N relacionan el geoide con un elipsoide de referencia por medio de la expresión H = h – N. Modelo Geoideal Global (Earth Gravity Model 1996) (EGM96): Es un modelo geoidal global reciente desarrollado en los EE.UU. basado en datos recolectados mundialmente, geográficamente distribuidos de forma no homogénea, siendo que en Chile aún existe deficiencia de datos gravimétricas. EGM96 es de uso público y está disponible en un programa de extracción automática, donde los usuarios pueden extraer ondulaciones del programa NIMA EGM96, con su respectivo banco de datos: http://cddisa·gsfc·nasa·gov/926/egm96·html. http://164.214.2.59/GandG/wgs-84/egm96·html.

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El uso de las ondulaciones geoidales en datos GPS es de fácil acceso, pues los programas de procedimiento GPS traen incorporadas las correcciones, generalmente basados internamente en EGM96. El modelo EGM96 posee una resolución en nuestro país de 15’ de latitud por 15’ de longitud (en nuestra región en una circunferencia de paralelo ϕ = S 30º la resolución sería de 27,8 Km por 24,1 Km), lo que determina incerteza en cuanto a las respectivas transformaciones en espacios inferiores a esa resolución; en ese sentido, se está desarrollando los esfuerzos a fin de recuperar y establecer la Red de Gravedad del territorio nacional, a partir de cuatro estaciones de gravedad absoluta existentes en Chile. Por otro lado, existe la intención de probar y validar el EGM96 en datos entre La Serena y Talca, por parte de un proyecto con el M.O.P. (Ministerio de Obras Públicas). Una buena forma de mejorar la precisión (respecto al EGM96) del transporte altimétrico con GPS, es la creación de un geoide local apoyado en Puntos de Nivelación. 4.1.5. Sistemas de referencia geodésicos (datum horizontal y vertical). Las coordenadas cartesianas tridimensionales del sistema satelital G.P.S., están referidas al sistema geodésico mundial de 1984 (WGS-84), donde el centro de masa de la tierra coincide con el origen de los tres ejes coordenados (X, Y, Z).

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Sistema mundial. -

Sistema Geodésico Mundial Misuri, EE.UU. 1984 (WGS-84).

Elipsoide: Elipsoide mundial de referencia de 1984. a

:

6.378.137,0000 m “semieje ecuatorial”

b

:

6.356.752,3142 m “semieje polar”

f

:

(a- b) / a =

e2

:

(a2 – b2) /a2 = 0,0066943800047 “primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”

e’2

:

(a2 – b2)/b2 = 0,00673949675703 “segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”.

C2,0

:

-484,16685 x 10-6 “Coeficiente normalizado de armónico zonal de segundo grado de potencial de gravitación”.

W

:

7292115 x 10-11 Rad/S

GM

:

3986005 x 108 m3/S2

1 298,257222933

“achatamiento”

“Velocidad angular de la tierra”. “Constante de gravitación de la tierra” (masa de la atmósfera de la tierra incluida).

Obs. 1: El Instituto Geográfico Militar (I.G.M.) ha comenzado a partir de 1996, la edición conjunta en PSAD-56 y WGS-84 de la cartografía nacional 1:50.000, existiendo en las cartas parámetros para convertir coordenadas desde PSAD-56 a WGS-84 y viceversa. Ejemplo : para la carta de Santiago E-58 escala 1:50.000

NUTM PSAD-56 EUTM PSAD-56

= =

NUTM WGS-84 + 414 m. EUTM WGS-84 + 192 m.

Obs. 2: Los G.P.S. tipo navegadores, profesionales y geodésicos vienen configurados en el sistema WGS-84, en el caso de los navegadores cuando se le agotan las baterías y se está trabajando en algún sistema geodésico local (PSAD-56 o SAD-69), debe revisarse el datum de configuración del equipo, dado que, cuando pasan varias horas del

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reemplazo de las baterías, automáticamente vuelve la configuración al datum WGS-84. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide WGS-84 coincide con el centro de masa de la tierra (es geocéntrico). Sistemas locales. -

Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela 1956 (PSAD56).

Elipsoide: elipsoide internacional de 1924. a

:

6.378.388,000 m

b

:

6.356.911,946 m

f

:

(a- b) / a =

e2

:

(a2 – b2) /a2 = 0,00672267006118

e’2

:

(a2 – b2)/b2 = 0,0067681702366

Obs. 1 :

1 296,99999823

≈

1 297

La cartografía nacional escala 1:50.000 y 1:250.000 está referida al PSAD-56.

Obs. 2: La Constitución de la Propiedad Minera nacional al norte de la latitud Sur 43º30’ está referida al PSAD-56. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide PSAD-56 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocéntrico). -

Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969 (SAD-69).

Elipsoide:

elipsoide sudamericano de referencia 1969.

a

:

6.378.160,000 m

b

:

6.356.774,720 m

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≈ 298,25

f

:

(a- b) / a = 1 298,250011223

e2

:

(a2 – b2) /a2 = 0,00669454160387

e’2

:

(a2 – b2)/b2 = 0,0067396605417

1

Obs. 1: La cartografía Nacional escala 1:25.000, 1:100.000, 1:500.000 y la ortofotografía 1:10.000 y 1:20.000 está referida al SAD-69. Obs. 2: La Constitución de la Propiedad Minera nacional al sur de la latitud Sur 43º30’ está referida al SAD-69. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide SAD-69 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocéntrico). 4.1.6. Procedimiento G.P.S. de terreno. El objetivo del sistema satelital G.P.S. es la navegación y el posicionamiento preciso, éste último, es lo que interesa particularmente a la topografía, existiendo varios métodos para realizar levantamientos topográficos con G.P.S. 1.

Levantamiento G.P.S. estático.

En este método, se logra la máxima precisión, para ello se usan dos receptores satelitales geodésicos, estacionando uno de ellos en un vértice con coordenadas conocidas (estación de control) y el otro en un punto a determinar. Se realizan observaciones satelitales simultáneamente desde ambas estaciones, durante una hora o más, dependiendo de la longitud de la base topográfica o geodésica (a mayor distancia de base, mayor tiempo de observación) (Tiempo mínimo = 20 minutos + 2 minutos por cada kilómetro). Luego se mueve el receptor en la estación de control a la segunda estación desconocida. Al completar esta sesión, el receptor de la primera estación desconocida se mueve a la tercera, y el otro permanece en la segunda; este procedimiento se continúa hasta llegar a otra estación de control. La mayoría de los receptores G.P.S. geodésicos tienen una memoria interna para almacenar los datos observados, los cuales mediante un software de posprocesamiento, permiten calcular las distancias geodésicas entre estaciones se calculan comenzando desde la primera estación de control hasta la última,

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ajustando cualquier error de cierre a lo largo de la red, las precisiones que se alcanzan son de orden de ± (5 mm + 1 ppm).

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2. Levantamiento G.P.S. estático rápido. Similar al caso anterior, excepto que un posicionador siempre permanece en la primera estación de control, mientras que el otro se mueve sucesivamente de un punto desconocido al siguiente. Para cada punto se lleva a cabo una sesión de observación, pero con menor tiempo de observación, este procedimiento se aplica a líneas de base cortas, proyectos de control de bajo orden, control cartográfico y levantamiento de linderos. Con este método se alcanzan precisiones del orden ± (10 mm + 1 ppm) o mejores.

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3. Levantamiento G.P.S. cinemático en tiempo real. Este método permite que las posiciones de los puntos sean determinados instantáneamente, conforme el receptor móvil ocupa cada punto. Para ello se requiere que dos posicionadores operen simultáneamente, usando además modems de radio. En esta estación referencial se instala permanentemente un posicionador satelital, la cual se amarra y calibra a uno o más puntos de la Red Geodésica Nacional, en ella hay además un computador con modems de radio (interfase). El G.P.S. instalado en la base recibe información satelital con margen de error, la cual es enviada al equipo móvil. El posicionador móvil se ajusta a las diferencias espaciales dada por la estación base y se obtienen las coordenadas de los puntos del levantamiento simultáneamente.

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4.1.7. Pautas generales sobre precisiones en trabajos de posicionamiento utilizando GPS tipo geodésico. Las precisiones que se pueden lograr en los levantamientos topográficos con GPS varían en función de: -

Longitud de la línea base. Tipo de receptor. Procedimiento de terreno. Calidad de los datos (salto de ciclos, actividad ionosférica y multitrayectoria). Tiempo de la medición (para estático). Precisión estimada para levantamientos GPS estático.

Longitud Línea Base (0 – 10) Km (10-100) Km > 100 Km

Tiempo de Observación

Precisión Horizontal GPS Frecuencia simple (10-30) minutos ± (0,01 + 1 ppm) m (0,5-4) horas ± (0,02 + 3 ppm) m (6-12) horas ± (0,02 + 3 ppm) m

Precisión Horizontal GPS Frecuencia doble ± (0,01 + 1 ppm) m ± (0,02 + 0,5 ppm) m ± (0,02 + 0,1 ppm) m

Así por ejemplo, si la longitud de una línea base es de 10 Km, la precisión entregada por el receptor GPS será: ± (0,01 +

1 106

· 10.000) m = ± 0,02 m en la horizontal.

En todo caso la estimación de la precisión entregada por el receptor GPS utilizado va a depender de las especificaciones técnicas de cada aparato. Para el GPS Locus, las especificaciones técnicas para levantamientos GPS estático son: Longitud Línea Base

Tiempo de la Observación

Precisión horizontal Precisión vertical GPS Frecuencia GPS Frecuencia simple simple

Hasta 20 Km

(15-60) minutos ± (5 mm + 1 ppm)

± (10 mm + 1 ppm)

Si la longitud de la base es 10 Km, ahora la precisión será:

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Precisión horizontal Precisión vertical

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= ± (0,005 + 1 106 = ± (0,010 +

· 10.000) m = ± 0,015 m

1 · 10.000) m = ± 0,020 m 106

Las precisiones obtenidas con GPS pueden mejorar al emplear tiempos de observaciones más prolongados, pero a la vez, hacen más difícil la estimación de la precisión. En todo caso, encontraremos que los tiempos de ocupación de georreceptores de doble frecuencia pueden estar en menos de un 50% de los georreceptores simples. Precisión estimada para levantamientos GPS cinemáticos Línea Precisión horizontal Precisión horizontal GPS Frecuencia GPS Frecuencia simple doble ( 0 – 5 ) Km ± (0,02 + 1 ppm) m ± (0,02 + 1 ppm) (5 – 35) Km ± (0,05 + 4 ppm) m ± (0,05 + 2 ppm) > 35 Km ± (0,1 + 4 ppm) m ± (0,1 + 2 ppm)

Longitud Base

Nótese que en el posicionamiento cinemático el tiempo de ocupación no es un problema cuantificable conceptualmente, pero la pérdida de señal, si es un factor determinante, dado que, cuando es prolongada degradará la precisión severamente. Las precisiones entregadas aquí sólo son pautas generales, en ellas se asumen procedimientos de terreno apropiado (tiempos simultáneos de medición ,etc.), buena geometría de satélites, la multitrayectoria no es severa y no existe presencia de tormentas eléctricas. Principalmente un buen estimador de SNR en terreno ayudará muchísimo para determinar la calidad de la señal. Especificaciones técnicas para GPS Locus en levantamientos GPS cinemáticos. Longitud Línea Base Hasta 20 Km

Precisión horizontal ± (12 mm + 2,5 ppm)

Precisión vertical ± (15 mm + 2,5 ppm)

En 20 km: Precisión horizontal = ± (0,012 + 2,5 / 106 x 20.000) m = ± 0,062 m

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Precisión vertical

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= ± (0,015 + 2,5 / 106 x 20.000) m = ± 0,065 m

4.1.8. Fuentes de errores en las mediciones mediante satélites NAVSTARGPS. Introducción. El error en los satélites NAVSTAR-GPS se expresa como el producto de dos magnitudes: 1. UERE (Error equivalente en distancia al usuario) (User equivalent range error): es el vector sobre la línea de vista entre el satélite y el usuario resultado de proyectar sobre ella todos los errores del sistema. - Este error es equivalente para todos los errores del sistema. - Se trata de un error medio cuadrático. σUERE = σ0 2. DOP (Dilución de precisión) (Dilution of precision): depende de la geometría de los satélites en el momento del cálculo de la posición. El DOP se divide en varios términos: GDOP =

(σE2 + σN2 + σZ2 + σT2 )1/2 / σo “suministra una incertidumbre como consecuencia de la posición geométrica de los satélites y de la precisión temporal”.

PDOP

(σE2 + σN2 + σZ2 )1/2 / σo “incertidumbre en la posición debido únicamente a la posición geométrica de los satélites”.

=

HDOP =

(σE2 + σN2 )1/2 / σo al usuario”.

“incertidumbre en la posición horizontal entregada

VDOP = σZ / σo “suministra información sobre la incertidumbre en la posición vertical del usuario”. Las principales fuentes de error son las siguientes: -

Error en el cálculo de la posición del satélite. Inestabilidad del reloj del satélite. Propagación anormal de la señal debido a que la velocidad de propagación no es constante.

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Todos estos errores se corrigen a través de diferentes modelos que son transmitidos en el mensaje de navegación a los usuarios. Error en el cálculo de la posición de los satélites. Los satélites se desvían de las órbitas calculadas por diversas razones, entre éstas se pueden citar: -

Por la variación del campo gravitatorio. Debido a variaciones en la presión de la radiación solar. Debido a la fricción del satélite con moléculas libres.

Se ha estimado que las efemérides calculan la posición de los satélites con una precisión de 20 metros. Para disminuir e incluso evitar esta fuente de error se han construido varios algoritmos basados en datos experimentales, los coeficientes de estos algoritmos se transmiten al usuario a través del mensaje de navegación para que se reduzca el error debido a esta fuente de error. Errores debidos a la inestabilidad del reloj del satélite. Los satélites emplean relojes atómicos muy precisos, pero con el paso del tiempo pueden presentar alguna deriva. En el mensaje de navegación uno de los parámetros que se enviaban era el estado del reloj del satélite para tener controlado su funcionamiento. Debido a que el satélite está situado en un campo gravitatorio más débil se produce un adelanto del reloj y como consecuencia de la mayor velocidad que lleva el satélite se produce un retraso del reloj. Sobre estos dos efectos predomina el adelanto, por esto se diseñan para que en la superficie terrestre se atrasen y al ponerlos en órbita funcionen bién, pero no se consigue totalmente debido a efectos relativistas. Todos los coeficientes se envían al usuario a través del mensaje de navegación y así la corrección de esta fuente de error es casi total. Errores debidos a la propagación de la señal. La velocidad de propagación de la señal no es constante, dado que cuando la señal se transmite por la ionósfera y la tropósfera, las distancias medidas no son las distancias reales. El efecto más importante se produce en la propagación por la ionósfera, este puede llegar a ser de hasta 100 metros. Para corregir este error los receptores civiles (código c/A y con 1 sola frecuencia) usan modelos empíricos caracterizados por parámetros dependientes de la hora, latitud, estación, etc. Todos estos parámetros se transmiten en el mensaje de navegación.

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Para los receptores militares que usan las dos frecuencias el método para corregir es más eficaz. 4.1.9. Especificaciones sobre grados de precisión en los levantamientos con G.P.S. El Subcomité Federal de Control Geodésico (FGCS) ha publicado un documento preliminar titulado “Geometric Geodetic Accuracy Standars and Specifications for Using GPS Relative Positioning Techniques”. El documento especifica grados diferentes de precisión GPS para el posicionamiento relativo, y da directrices para los instrumentos y para los procedimientos de terreno y gabinete para alcanzar tales grados de precisión. 1. Control horizontal. Grado AA A B C-1 C-2-I C-2-II C-3 C-3-II

Razón de error permisible (Ratio). 1 : 1.000.000.000 1 : 10.000.000 1 : 1.000.000 1 : 100.000 1 : 50.000 1 : 20.000 1 : 10.000 1 : 5.000

Grado AA: para mediciones geodinámicas globales y regionales de deformación. Grado A: Grado

para redes primarias del NGRS (National Geodetic Reference System) y geodinámica regional y local.

B: para redes NGRS secundarias y levantamientos precisión.

Grado C-1:

de alta

para levantamientos de control de primer orden.

Grado C-2-I: para levantamientos de control de segundo orden clase I . Grado C-2-II: para levantamientos de control de segundo orden clase II.

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Grado C-3:

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para levantamientos de control de tercer orden.

Grado C-3-II: para levantamiento de control de tercer orden clase III. Observación: El grado C es para levantamientos de control cartográfico, de linderos e ingenieriles, también cuando se trata de trabajos de densificación de las redes principales en áreas rurales y en la agrimensura. 2. Control vertical. Grado C-2-I C-2-II C-3 C-4

Control Control Control Control

Ratio en mm. __ 6 mm √_K 8 mm √_K 12 mm √_K 24 mm √ K

2º orden clase I. 2º orden clase II. 3er. orden 4º orden

K : longitud total del circuito expresado en Km. Cálculo de orden de exactitud relativa (E.R.) en un polígono GPS. n E.R. = 1 : ( ∑ Di 3D / d 3D ) “Cuantificar la precisión con que se ha medido I=1 un polígono GPS”. Si las componentes del error de cierre en un polígono de vectores GPS son: dx = -0,821 m, dy = 0,716 m y dz = 0,817 m y el perímetro del polígono n=5 Resultó ∑ Di 3D = 68.147,652 i=1 Determine la razón de error resultante y cálculo de ppm. Desarrollo. 1. Cálculo de la exactitud relativa. _____________ d 3D = √ dx2 + dy2 + dz2 = 1,361684986 m n=5 E.R. = 1 / ( ∑ Di i=1

3D

/d

3D

) =

1 / 50.046,56194

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“Se trata de un trabajo de control de segundo orden clase I”. 2. Cálculo de ppm (parte por millón). ppm =

(d

3D

n=5 / ∑ Di 3D ) 106 i=1

ppm = 19,98139255 Cálculo de la exactitud relativa (E R) en un vector G.P.S. E.R. vector G.P.S. = 1 / ( L / E2L ) L E2L

: :

“Cuantifica la precisión con que se ha medido un vector G.P.S.”.

Longitud del vector. Precisión con que mide el equipo GPS.

Ejemplo: Un equipo GPS frecuencia doble tiene una precisión de ± (0,05 + 2 ppm), si la longitud del vector es de L = 12.321,238 m. Obtenga la exactitud relativa E.R. con que se midió el vector GPS y el cálculo ppm. Desarrollo. 1. Cálculo de la exactitud relativa. E2

12.321,238

= ± (0,05 +

2 12.321,238 ) m = 0,074642476 m 6 10

E.R.vector GPS = 1 / ( 12.321,238 / 0,074642476 ) = 1 / 165.070,0601 2. Cálculo de ppm. ppm = (E2L / L) x 106 ppm = 6,058033779

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4.2. Sistema GLO.NA.SS. (Sistema Satelital de Navegación Global). El sistema GLONASS es un sistema de posicionamiento satelital creado por el Departamento de Defensa de la Federación Rusa, muy parecido a su equivalente norteamericano GPS en lo que se refiere a su constelación de satélites, órbitas y estructura de señales emitidas. El requerimiento de precisión de centímetros en los levantamientos topográficos, en el control de perforadoras y palas en la minería cielo abierto, han hecho de los sistemas GPS + GLONASS, una solución recurrente, dado que, es posible en la actualidad contar con equipos especialmente diseñados para contactar satélites en ambas constelaciones, lo que permite en cada instante tener disponibles a lo menos 6 satélites que proporcionen las precisiones centimétricas deseadas. 4.2.1. Configuración del sistema GLO.NA.SS. El sistema GLONASS está conformado por tres importantes segmentos: -

Segmento de espacio (constelación proyectada de 24 satélites en tres órbitas diferentes, donde 21 satélites son activos y 3 son de repuesto).

-

Segmento de control terrestre, ubicado íntegramente dentro del territorio de la ex Unión Soviética (1 estación de control y tiempo estándar en Moscú y 4 estaciones de monitoreo en St. Petesburg, Ternapol, Eniseisk y Komsomolskna-Amun).

-

Segmento del usuario, está constituido por los receptores GLONASS y la comunidad de usuarios civiles y militares, siendo los campos de aplicación de los usuarios, la navegación aérea y marítima, monitoreo de vehículos, topografía, geología, minería, agricultura, etc.

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Constelación de satélites GLONASS.

4.2.2. Comparación entre sistemas GPS y GLONASS. En la tabla siguiente se observa las diferencias entre las dos constelaciones, la estructura de la señal y las especificaciones de GPS para un posicionamiento preciso.

Constelación GPS 24 Número de satélites Número de planos orbitales 6 55º Inclinación de la órbita 26.560 Radio de la órbita en Km Período (hh : mn) 11:58 Retransmisión del seguimiento Día sideral 55º Inclinación orbital Separación de los planos 60º orbitales Características de la señal GPS Señal portadora (Mhz) L1 : 1575,42 L2 : 1227,60 Código CDMA (Espectro esparcido) Código C/A en L1 Código P en L1 y L2 Frecuencia del código (Mhz) Código C/A : 1.023 Código P : 10,23

GLONASS 24 3 65,8 25.510 11:16 8 días siderales 64,8º 120º GL ONASS L1 : 1602 + 0,5625 L2 : 1246 + 0,4375 FDMA (Espectro esparcido) Código C/A en L1 Código P en L1 y L2 Código C/A : 0,511 Código P : 5,110

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Normas de referencia GPS Sistema de coordenadas WGS-84 Tiempo *UTC (USNO) Especificación de precisión GPS (95%) Horizontal (m) 100 Vertical (m) 140

GLONASS PZ-90 UTC(US) GLONASS 100 150

* Referencia de tiempo universal, que coincide con el Meridiano de Greenwich. Las diferencias que se presentan corresponden a los planos orbitales, la división de código GPS frente a la división en frecuencia GLONASS de las señales de temporización, y a la tasa de división. También se observa a GLONASS, con una mayor inclinación orbital, lo que favorece una mejor cobertura de satélites en las regiones polares. Cada sistema transmite en 2 frecuencia en la banda L, sólo el código de adquisición C/A transmite a la frecuencia que está disponible para uso civil en ambos sistemas. De acuerdo con la política del Departamento de Defensa de los EE.UU., la señal disponible para GPS es una versión degradada a propósito del código C/A, lo que se consigue confundiendo la frecuencia del reloj del satélite y proporcionando sólo una descripción aproximada de la órbita del satélite. Esta degradación de la señal es conocida como disponibilidad selectiva (SA) y en la práctica aumenta el valor del rango de precisión del usuario (URA) en un factor de 4 o más (el valor del URA fluctúa entre 25 y 40 metros cuando se mide con SA y es aproximadamente 7 sin ella. Las especificaciones en la calidad del posicionamiento para el GPS mostrados en la tabla son para el Servicio de Posicionamiento Estándar (SPS) disponible para el uso civil constante con SA. Aunque GLONASS ha rechazado una característica como SA. (El URA para GLONASS es aproximadamente de unos 10 metros), sus especificaciones son casi idénticas a las de GPS. La capacidad de posicionamiento actual de cada uno de los sistemas de medida por los usuarios civiles es significativamente mejor que la estipulada. 4.2.3. Sistema GPS + GLONASS El sistema GPS + GLONASS permite duplicar la cantidad de satélites disponibles para posicionamiento, incrementando unas tres veces las zonas y horas del día que se puede trabajar respecto de usar solamente GPS.

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La Disponibilidad de 24 satélites que se determinó para GPS fue pensando en tener cobertura mundial durante las 24 horas del día, pero sin considerar obstrucciones, tales como edificios, cerros, árboles, taludes de bancos, etc. Esta situación es especialmente complicada en los yacimientos mineros que se encuentran en zonas montañosas, que comienzan la explotación con una limitante de cobertura satelital, además la futura explotación de la mina considera en muchos casos profundos pits con pronunciados ángulos de talud en que la cobertura de satélites GPS es extremadamente limitada, reduciéndose aún más la posibilidad de utilizar sólo GPS, dado que sólo va a poder ser usado en algunas horas del día y en algunas áreas despejadas dentro del pit. Este desafío se ha manifestado en gran parte de las minas explotadas a cielo abierto, donde generalmente en el fondo del pit se puede obtener 5 satélites, que es el mínimo necesario para obtener precisión centimétrica en tiempo real, pero al acercarse al pie de los bancos de explotación fácilmente se baja a 4 o 3 satélites, cantidad insuficientes para aplicaciones mineras. Al agregar 24 satélites GLONASS a la constelación de satélites GPS, se duplica la cantidad de satélites GPS + GLONASS, luego donde se contacten 5 satélites GPS se tendrán 10 satélites GPS + GLONASS, y donde no se puede medir porque apenas hay sólo 3 o 4 satélites GPS, habrá de 6 a 8 satélites GPS + GLONASS, lográndose mediciones incluso con precisión centimétricas. En el gráfico siguiente se muestra un ejercicio realizado con el software de planificación Mission Planning, se simula un punto en el interior de una mina, con fuertes obstrucciones del cielo en ambos lados.

Figura Nº 1. Obstrucciones en un punto típico en el interior de una mina explotada a cielo abierto.

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Por otro lado, se muestra en la figura Nº 2 la disponibilidad de satélites durante un día junto a la condición geométrica (DOP, Dilución de la precisión) usando solo satélites GPS. El DOP es un indicador de la distribución que tienen los satélites sobre el horizonte del observador. Mientras más separados se encuentran los satélites en el espacio menor será el valor del DOP y por tanto mejor será el valor del DOP y por tanto será mejor la precisión a obtener. En la figura Nº 2 a la izquierda se indica la escala DOP y a la derecha se encuentra la escala con el número de satélites, cuando se tiene 4 o más satélites entrega posición en 3D y con menor de 4 satélites entrega posición en 2D, que es una información incierta que no sirve para el posicionamiento requerido en minería. Generalmente una mayor cantidad de satélites está asociado a una DOP pequeña. Las condiciones necesarias para conseguir precisión centimétrica en tiempo real son un mínimo de 5 satélites y una geometría igual o menor a 6. En este caso se ve que ambas condiciones se cumplen sólo a ciertas horas del día. Cabe comentarse, que para conseguir precisión centimétrica, el receptor debe inicializarse (fijar ambigüedades), para ello necesita enganchar un mínimo de 5 satélites durante un período de tiempo, luego el sistema podría continuar trabajando con 4 satélites.

Figura Nº 2. Disponibilidad de satélites GPS. En la figura Nº 3 se muestra la misma situación anterior, pero ahora aumentada por los satélites GLONASS. La mejoría en cantidad de satélites y calidad (PDOP) es significativa, lográndose una cobertura de prácticamente el 100%. Se aprecia como la cantidad de satélites normalmente es de 8 y más, y el

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DOP se mantiene alrededor de 2, condiciones óptimas para obtener la mayor precisión.

Figura Nº 3. Disponibilidad de satélites GPS + GLONASS. Disponibilidad de satélites GPS versus satélites GPS + GLONASS. Nº Satétiles Contactados 5 ó más satélites 4 ó más satélites

Precisión entregada Al centímetro Al metro

PDOP PDOP

E = 1,155 B m E = 9,719 m

p = 2,524 m H = 17,524 m Según ii) B = 0,038 D (δe/δr)1/3 = 8,247 m

=>

E = 9,525 m

δe = 1,3 (Kgr/l) δr = 2,5 (Ton/m3) p = 2,474 m H = 17,474 m Ejemplo 4: Diseñe una malla cuadrada y una malla triangular, para un banco de 6 m de altura que contiene principalmente roca granítica (δr = 2,8 Ton/m3), los pozos serán de 6” y se usará una emulsión de δe = 1,3 Kg/l. Desarrollo. Para una malla cuadrada E = B Según ii) B = 0,038 D (δe/δr)1/3 = 4,484 m D = 6” = 152,4 mm p = 0,3 B = 1,345 m “pasadura” H = 7,345 m “largo del pozo” Para una malla triangular E = 1,155 B Según ii) B = 0,038 D (δe/δr)1/3 = 4,484 m => E = 5,179 m p = 1,345 m H = 7,345 m

“pasadura” “largo del pozo”

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Ejercicios Propuestos 1. Diseñe una malla cuadrada y triangular para un banco de 10 m de altura en una mina de hierro, con pozos de diámetro 9 7/8”, la densidad de la roca es de 3,5 ton/m3 y se usará Anfo pesado de ∂e = 1,35 Kg/l. Malla cuadrada

Malla triangular

E = B = 6,938 m p = 2,081 m H = 12,081 m

E B p H

= 1,155 B = 8,014 m = 6,938 m = 2,081 m = 12,081 m

2. En una cantera de roca andesítica fisurada ∂r = 2,5 Ton/m3 se desea diseñar una malla cuadrada o triangular, para bancos de altura 8 m, con pozos de diámetro 2,5” y si se usa Anfo ∂e = 0,85 Kg/l. Malla cuadrada

Malla triangular

E = B = 1,684 m p = 0,505 m H = 8,505 m

E B p H

= 1,155 B = 1,945 m = 1,684 m = 0,505 m = 8,505 m

3. De acuerdo a los datos del ejemplo 7 determine los parámetros necesarios para replantear la línea L3 y L4 de la malla geoquímica.

DE CAPITULO 2 Ejercicios y procedimientos topográficos para la determinación de dirección e inclinación de sondajes. Replanteo planimétrico, dirección e inclinación de un sondaje. El métodos requiere proyecta

replanteo planimétrico de la ubicación de un sondaje se realiza por los tradicionales de materialización de puntos, por otra parte la dirección la generación de una línea estacada y el replanteo de la inclinación se en la pluma de la sondeadora.

Ejemplo 5: Se desea replantear el sondaje S32 cuyas coordenadas de collar, azimut e inclinación son: Académicos: Waldo Valencia Cuevas – Carlos Pizarro Villalobos – Angela Suckel D’Arcangeli

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N (m) 11.826,40

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E (m) 6.143,56

Cota (m) 232,20

Azimut 50º

Inclinación -60º

Coordenadas vértice de instalación P. N (m) 11.600,02

E (m) 5.917,18

Coordenadas vértice de calaje Q. N (m) 12.061,59

E (m) 5.676,90

Desarrollo. 1. Obtención del ángulo horizontal de replanteo del sondaje (ángulo Q-P-S32): θP-Q = Arctg

θP-S32 = Arctg

EQ - EP NQ - NP

= -27º30’ => AZP-Q = 332º30’ “Azimut de calaje”

ES32 - EP NS32 - NP

= 45º => AZP-S32 = 45º “Azimut de replanteo”

Angulo Q-P-S32 = 72º30’ 2. Determinación de la DHP-S32 DHP-S32 = √ (NS32 – NP)2 + (ES32 – EP)2 = 320,15 m

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El replanteo planimétrico indica que instalado en P y observando hacia Q en 0º, se debe medir un ángulo horario de 72º30’ y medir la distancia horizontal de P hacia S32 de 320,15 m y marcar el sondaje S32. 3. Dirección del sondaje. La materialización puede ser ejecutada desde la estación P o desde el sondaje S32. 3.1. Replanteo desde P. Con las coordenadas de S32 se genera una línea de puntos con azimut de 50º, los cuales se replantean desde P en función de ángulos y distancias horizontales. 3.2. Replanteo desde S32. Instalado en el S32 con calaje en P se determina el ángulo horizontal que genere una dirección de 50º. AZS32-P = AZP-S32 + 2R = 225º Dirección de sondaje = 50º Luego el ángulo horizontal en la dirección del sondaje será = 185º El replanteo de la línea en la dirección del sondaje se hará con un ángulo horizontal de 185º, con distancia y número de estaca optativo. 4. Inclinación del sondaje. Instalada la sondeadora, la pluma se dirige a 60º de inclinación, haciendo uso de un eclímetro, brújula o estación total, e inclusive los equipos modernos de sondaje cuentan con accesorios para tal efecto. 5. Determinación de coordenadas en los ptos. B y C de intersección del sondaje con los niveles 220 y 210 m respectivamente. Coordenadas de B: NB = NS32 + DiS32-B Cos I · Cos AZS32-B = 11.830,928 m EB = ES32 + DiS32-B Cos I · Sen AZS32-B = 6.148,956 m Cota B = CotaS32 + DiS32-B Sen I = 220,00 m.

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DiS32-B : longitud de sondaje desde el collar al punto B. I : inclinación del sondaje (< 0). AZS32-B : Azimut del sondaje. Coordenadas de C. NC = NS32 + DiS32-C Cos I · Cos AZS32-C = 1l.834,639 m EC = ES32 + DiS32-C Cos I · Sen AZS32-C = 6.153,379 m Cota C = CotaS32 + DiS32-C Sen I = 210,00 m. DiS32-C : longitud de sondaje desde el collar al punto C. I : inclinación del sondaje (< 0). AZS32-C : Azimut del sondaje. Verificación de dirección e inclinación de sondajes ejecutados. Normalmente el sondaje ya ejecutado presenta variaciones de dirección e inclinación respecto a lo proyectado, por lo que se requiere de procedimientos topográficos para su verificación. - Procedimiento de terreno. 1. Se levanta el sondaje para la determinacion de las coordenadas y altitud (o cota) del collar (en el punto P). 2. Con un jalón de mayor longitud (6 a 8 m), se proyecta la dirección e inclinación, lo que se logra introduciendo parcialmente el jalón en la perforación, cuidando que quede adosado al pozo; este jalón en su extremo superior debe estar provisto de un prisma, para tomar la posición de este punto (punto P’).

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-

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Procedimiento de cálculo.

1. Se calculan las coordenadas y altitud de los puntos P y P’. 2. Se determina el AZP’-P a partir de las coordenadas de estos puntos, correspondiendo este azimut a la dirección del sondaje controlado. θP’-P = Arctg

EP – EP’ NP – NP’

, donde el AZP’-P debe llevarse al cuadrante correspondiente.

3. Se determina la DNP’-P haciendo la diferencia entre las respectivas altitudes. 4. Se determina la DHP’-P a partir de las coordenadas de dichos puntos. ______________________ DHP’-P = √ (NP – NP’)2 + (EP – EP’)2 5. Se determina el ángulo de inclinación del sondaje, respecto a la horizontal. α = Arc tg

DNp’-p DHP’-P

Ejemplo 6: Sean P y P’ los puntos levantados para la verificación de un sondaje, obtenga la dirección e inclinación de este. Punto

N (m)

P P’

E (m)

6.734.340,649 6.734.339,391

Altitud (m) 408.641,462 408.640,863

4.022,28 4.026,03

Desarrollo. θP’-P = Arctg

EP – EP’ NP – NP’

= 28,2906g => AZP’-P = 28,2906g

DHP’-P = 1,393 m DNP’-P = 3,750 m α

P’-P

= Arctg

3,750 1,393

= 77,3574g

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Observación: Otra posibilidad puede ser que se solicite la toma de acimut e inclinación del sondaje, mientras éste se ejecuta, en este caso, se levanta dos puntos sobre la pluma de la sondeadora, la que presenta dirección de inclinación similares a la del sondaje que se está desarrollando. Replanteo de malla geofísica o geoquímica. -

Procedimiento de cálculo

Generalmente se conocen la extensión, orientación, punto de origen, espaciamiento entre estacas y la longitud de las líneas de una malla a replantear. Con los antecedentes anteriores se crea una base de datos, la cual puede ser ingresada a una estación total.

-

Procedimiento de terreno.

A partir de una base geodésica, se inicia una densificación conveniente para crear estaciones de trabajo cercanas al sector de replanteo. Instalado y orientado en dichas estaciones, se procede a replantear en base a acimutes y distancias U.T.M.

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Ejemplo 7. Conocidas las coordenadas del punto de inicio de una malla geoquímica, el azimut de las líneas y espaciamiento entre estacas, replantee la línea L1. Punto de inicio L1-0

N (m)

E (m)

6.733.955,971

410.316,690

Acimut de las líneas = 33º = 36,6667g Espaciamiento entre estacas = 100,00 m Base Geodésica. Punto

N (m)

Vértice Estación Vértice Calaje

E (m)

6.734.654,170 6.735.898,652

410.026,784 411.243,590

Desarrollo 1. Obtención de la base de datos de la línea L1 de la malla. NL1-i = NL1-0 + DHL1-i Cos AZL1-i

;

i = 0,1,2, ... n

EL1-i = EL1-0 + DHL1-i Sen AZL1-i

;

i = 0,1,2, ... n

Puntos Línea L1 L1-0 L1-1 L1-2 L1-3 L1-4 L1-5

N (m) 6.733.955,971 6.734.039,838 6.734.123,705 6.734.207,572 6.734.291,439 6.734.375,306

E (m) 410.316,690 410.371,154 410.425,618 410.480,082 410.534,546 410.589,010

2. Cálculo del acimut de replanteo, distancia UTM y optativo el ángulo horizontal horario.

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Punto Línea L1

Acimut

Distancia UTM (m)

174,9453g 167,4742g 158,9578g 149,5260g 139,4899g 129,3127g

L1-0 L1-1 L1-2 L1-3 L1-4 L1-5

Angulo horizontal 125,6612g 118,1900g 109,6737g 100,2418g 90,2058g 80,0285g

755,994 704,269 663,673 636,340 624,016 627,585

DE CAPITULO 3. Ejercicios de amarre geodésico usando cálculo por método directo para triangulación y radiación. Ejemplo 8: Cálculo geodésico de una triangulación por el método directo. Datos de la base Vértice A B

Latitud (Sur)

Latitud (Oeste)

Altitud (m)

30º39’23,2218” 30º43’21,8540”

71º08’49,1932” 71º08’06,4080”

616,93 1.131,40

C Elipsoide Internacional de Referencia de 1924, Datum Sudamericano La Canoa, 1956.

1

3 A

2 B

a b e2 ϕm

= = = =

6.378.388,000 m 6.356.911,946 m 0,00672267 30º41’22,5379”

1.- Compensación de ángulos horizontales. Desig. 1 2 3 Σ

Observados 37,5102g 89,9779g 72,5128g 200,0009

Compensados 37,5099g 89,9776g 72,5125g 200,0000

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2.- Cálculo de la Normal al Elipsoide. a/(1 – e2 sen2 ϕm)1/2 = 6.383.980,325 m

Nm =

3.- Cálculo del Radio de Curvatura del Meridiano. a(1 – e2) / (1 – e2 sen2 ϕm)3/2 = 6.352.187,005 m

Rm =

4.- Cálculo de Azimutes Geodésicos. (α + Δα/2 )

Nm Δλ cos ϕm

= Arctg

= 8º48’29,4210”

Rm (- Δϕ) cos Δλ/2 -Δα’’ = Δλ’’ sen ϕm sec Δϕ/2 + (Δλ’’)3 F = 21,83700258” F

=

sen ϕ1 cos2 ϕ1 sen21”

1

= -7,390667349 x 10-13

12 Azimut geodésico de la base α = αg

αg B-A =

A-B

= 351º11’41,498”

171º11’19,661”

αg

A-C

= αg

A-B

- θ’ = 285º56’00,998”

αg

B-C

= αg

B-A

- β’ = 252º10’07,085”

5.- Obtención de distancias geodésicas. Distancia geodésica de la base

A-B

(dg

A-B).

dgA-B = (Nm2 Δλ2 cos2ϕm + Rm2Δϕ2 cos2(Δλ/2))1/2 = 7.436,686 m Distancias geodésicas A-C (dgA-C) y B-C (dgB-C). dg

A-C

sen 2’

=

dg

A-B

sen 1’

=

dg

B-C

sen 3’

Observación: 1’, 2’ y 3’ corresponden a los ángulos horizontales 1, 2 y 3 compensados.

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dg

A-C

dg

B-C

=

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dg

A-B

sen 2’ / sen 1’ = 13.217,068 m

= dg

A-B

sen 3’ / sen 1’ =

6.- Obtención de Δϕ A. A =

B =

Δλ A-C y Coordenadas Geográficas a partir de

A-C,

(1 – e2 sen2 ϕA)

½

3,230980491 x 10-2

=

a sen 1” (1 – e2 sen2 ϕA)

12.154,387 m

3/2

= 3,247162966 x 10-2

2

a (1- e ) sen 1”

C =

D =

E

=

(1 – e2 sen2 ϕA)2 tg ϕA 2

= -1,507437947 x 10-9

2

2 a (1- e ) sen 1”

3/2 e2 sen ϕA cos ϕA sen 1” (1- e2 sen2 ϕA)

= -2,148142768 x 10-8

(1 + 3 tg2 ϕA) (1 – e2 sen2 ϕA)

= 8,399703855 x 10-15

2

6a h

=

B dg

K =

C dg

-∂ϕ =

A-C

cos αg

2

A-C

K dg 2

2

= 117,8198563

A-C

sen2 αg

h + K – h (dg

P1 = - dg P2 =

A-C

A-C

A-C

= -0,2434898878

sen αg

A-C)

2

E = 117,5762066

E (h sen2 αg

A-C

2

(3 E + A2 cos αg

A-C

cos αg

A-C

+ ½ K) = -1,596755197 x 10-4 A-C

sec ϕA sen2 1”)

P2 = -1,928418132 x 10-7

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- Δϕ”A-C = h + K + (∂ϕ)2 D + P1 + P2 ϕC

= ϕ

Sen Δλ

A-C

Sen ΔλA-C

A

+ Δϕ

A-C

=

117,5759096

= -30º41’20,7977”

A-C/Nm)

sen αg

=

sen (dg

=

-2,315028604 x 10-3

A-C

sec ϕC

ΔλA-C = -0º07’57,5094” λC = λA + ΔλA-C = 71º00’51,6838” 7.- Obtención de ΔϕB-C , ΔλB-C y Coordenadas Geográficas a partir de B. A = 3,230969442 x 10-2 B = 3,247129654 x 10-2 C = -1,511396017 x 10-9 D = -2,150871522 x 10-8 E = 8,422429204 x 10-15 h = -120,8540618 K = -0,2023408323 -∂ϕ = -121,0562664 P1 = 1,363970169 x 10-4 P2 = 7,563867878 x 10-8 -Δϕ” = -121,0565814 ϕC = ϕB + Δϕ = -30º41’20,7974” Δλ = -0º07’14,7241” λC = 71º00’51,6839”

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8.- Coordenadas Geográficas Definitivas del vértice C. __ ϕC = (ϕC + ϕC’) / 2 = -30º41’20,7975” __ λC = (λC + λC’) / 2 = 71º00’51,6838” 9.- Determinación de altitud de C. Datos: L a d o De A

Altura Instrum.

Altura Jalón

Angulo Zenital

Dist. Geodésica

Altitud

A

616,93

A

C

1,34

2,00

99,9363

13.217,068

B

1.131,40

B

C

-

1,42

2,00

12.154,387

Nivelación trigonométrica con transformación de distancia geodésica a distancia horizontal.

Z

C

= ZA + hi

A

+H

Z

C

= ZA + hi

A

+ DH

DHA-C = ρ

102,6148

=

dg

+ 6,66 10 8

A-C

(Di

Nm Rm Nm cos αg A-C + Rm sen2 αg

C”

A

+ dg

A-C

A-C)

2

– hjC

/ tg ZA-C + 6,66 (DH 10 8

/ (1 – HM / ρ)

2

Z C” = ZA + hi HM = (Z

A-C

A-C

A-C

,

/ sen ZA-C)2 – hjC

HM = (Z

C

+ Z A) / 2

A-C

/ tg ZA-C + 6,66 10 8

(dg

A-C

/ tg ZA-C)2 – hjC

+ Z A) / 2

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

DH

A-C

=

dg

A-C

/ (1 – HM/ ρ) = 13.218,372 m

DH

B-C

=

dg

B-C

/ (1 – HM/ ρ) = 12.156,08 m

Altitud de C a partir del vértice A. Z

C

= Z

A

+ hi

A

ZC = 641,13 m

+ DH A-C / tg Z A-C + 6,66 10 8

(DH

A-C

/ tg Z

2 A-C)

- hj

C

(DH

B-C

/ tg Z

2 B-C)

- hj

C

Altitud de C a partir del vértice B. Z C’ = Z B + hi

B

ZC’ = 641,11 m

+ DH B-C / tg Z B-C + 6.66 10 8

Altitud Definitiva de C _ Z C = (Z C + Z C’) / 2

= 641,12 m

Ejemplo 9: Cálculo Geodésico de una radiación por el método directo. Datos de la Base: Vértice A B

Latitud (Sur)

Longitud (Oeste)

Altitud

30º00’04,9004” 30º01’36,2950”

70º37’28,6564” 70º36’02,1140”

945,67 950,03

P β θ

g

A

B

θ = 252,5027 β = 147,4967g

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- Condición angular de una radiación.

Teoría :

θ + β = 4R

Práctica:

θ + β = 4R + ε∠

ε∠ : Error de cierre angular = 0,0006g ε∠ ≤ Tolerancia => Compensación

εi =

± ⎜ε∠ ⎜ 2

1. Ajuste de ángulo horizontal (θ) θ’ = θ + εi

= 252,5030g

β’ = β + εi

= 147,4970g

2. Obtención de azimut geodésico de la base.

(α + Δα/2) = Arc tg

Nm Δλ cos ϕm Rm (-Δϕ) cos Δλ/2

= -39º29’30,0187”

- Δα” = Δλ” sen ϕm sec Δϕ/2 + (Δλ”)3 F = 43,28958414” F =

Azimut geodésico de la base α = αg A-B = 320º30’51,6260”

3.

αg 4.

1 sen ϕ1 cos2 ϕ1 sen2 1” = -7,345235281 x 10-13 12

A-P

= αg

A-B

+ θ’ = 187º46’01,3460”

Obtención de la distancia geodésica A-P (dg A-P) a partir de la Di A-P.

Datos: Di = 1.773,757 m ; ZA-P = 93,7514g ; hiA = 1,07 m ; hjP = 2,05 m DH

A-P

= Di

A-P

sen ZA-P

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Dg

A-P

ρ =

TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

= DHA-P 1 - HM ρ

HM = (ZP + ZA) / 2

,

Nm Rm Nm cos2 αg

A-P

ZP = ZA + hiA + Di

+ Rm sen2αg cos Z

A-P

A-P

“Radio de curvatura de la línea”. A-P

+ 6,66 Di2A-P – hjP. 10 8

DgA-P = 1.764,933 m Obtención de Δϕ A-P y Δλ

5.

A =

B =

C =

D =

(1 – e2 sen2 ϕA)

A-P

½

=

a sen 1”

(1 – e2 sen2 ϕA)

3,231088918 x 10-2

3/2

= 3,247489888 x 10-2

a (1- e2) sen 1” (1 – e2 sen2 ϕA)2 tg ϕA 2 a2 (1- e2) sen 1”

= -1,468604277 x 10-9

3/2 e2 sen ϕA cos ϕAsen 1” 2

y coordenadas geográficas de P.

2

= -2,120562355 x 10-8

(1 - e sen ϕA)

E

=

h

=

(1 + 3 tg2 ϕA) (1 – e2 sen2 ϕA) 6 a2 B dg

A-P

cos αg

A-P

= 8,179940164 x 10-15

= -56,79018903

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K =

C dg

-∂ϕ =

2 A-P

A-P

K dg2 2

P2 =

sen2 αg

h + K – h (dg

P1 = - dg2

TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

= -8,355360547 x 10-5

A-P

A-P

sen αg

E (h sen2 αg A-P

cos αg

A-P

A-P

A-P)

2

E = -56,79027256

+ ½ K) = 2,643025415 x 10-8

(3 E + A2 cos αg

A-P

sec ϕA sen2 1”)

P2 = -4,558306825 x 10-13 - Δϕ”A-P = h + K + (∂ϕ)2 D + P1 + P2 = -56,79034095” Δϕ ϕ

=

P

Δλ

= 0º00’56,7903”

A-P

A-P

ϕA + Δϕ

A-C

= -29º59’08,1101”

= Arc sen (sen (dg

A-P

/ Nm) sen ϕg

A-C

sec ϕP

ΔλA-P = -2,471625344 x 10-3 ΔλA-P = 0º00’08,8979” λρ = 6.

λA + Δλ

P-C

= 70º37’19,7585”

Altitud de P.

ZP = ZA + hiA + DiA-P Cos ZA-P + 6,66 Di2A-P - hjP 108 ZP = 1.118,72 m

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Ejercicios propuestos.

4. Cálculo geodésico de una radiación por el método directo. Datos: Vértice A B Estación A B

Latitud (Sur)

Longitud (Oeste)

Altitud

30º46’16,3410” 30º46’19,1650”

71º10’28,8110” 71º08’30,4110”

1.023,40 1.059,80

Pto. Alt. Obs. Instr.

Angulos Horizontal Zenital

B P P B

0,0000 176,2340 0,0000 223,7654

1,02 1,02

103,7584

Dist.

Incl.

Alt.

2.283,376

Jalon 2,00

ϕP = 30º46’41,4000” - Sur λ P = 71º11’49,4516” - Oeste ZP =

888,04 m

5. Cálculo geodésico de una radiación por el método directo. Datos: Vértice A B Estación A B

Latitud (Sur)

Longitud (Oeste)

Altitud

30º16’19,1764” 30º16’15,1247”

71º16’50,2593” 71º17’51,1565”

419,43 355,28

Pto. Alt. Obs. Instr.

Angulos Horizontal Zenital

B P P B

0,0000 389,9353 0,0000 10,0639

1,32 1,02

102,4807

Dist. Incl.

Alt. Jalon

1.633,875

2,00

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TOPOGRAFÍA EN MINERÍA CIELO ABIERTO

ϕP = 30º16’23,4970” - Sur λ P = 71º17’51,1327” - Oeste ZP = 6.

355,28 m

Cálculo geodésico de una radiación por el método directo.

Datos: Vértice A B Estación A B

Latitud (Sur)

Longitud (Oeste)

Altitud

29º32’44,3307” 29º33’38,1122”

71º03’12,5019” 71º03’09,6688”

1.243,08 1.110,97

Pto. Alt. Obs. Instr.

Angulos Horizontal Zenital

B P P B

0,0000 289,1209 0,0000 110,8803

0,99

103,6300

Dist. Incl.

Alt. Jalón

367,590

2,00

ϕP = 29º32’41,7658” - Sur λ P = 71º02’59,1934” - Oeste ZP = 7.

1.221,13 m

Cálculo geodésico de triangulación por método directo.

Datos: Vértice A B

Latitud (Sur)

Longitud (Oeste)

Altitud

30º18’06,8696” 30º16’46,3807”

71º16’02,3612” 71º15’40,2714”

612,91 462,29

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Desig. 1 2 3

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Angulos horizontales

C

49,7416g 111,9152g 38,3418g

1 3

2

A Lado De A

Altura Instr.

A C 1,01 B C 1,09 __ ϕC = 30º16’19,1764” __ λC = 71º16’50,2593” -

B

Altura Jalón

Angulo Zenital

3,20 3,20

103,4385 101,2760

Sur Oeste

ZC = 419,37 m 8. Cálculo geodésico de triangulación por método directo. Datos: Vértice A B

Desig.

Latitud (Sur)

Longitud (Oeste)

Altitud

31º10’57,5080” 31º09’10,7210”

71º37’03,5010” 71º35’06,0100”

375,27 648,38

Angulos horizontales. C

1 2 3

41,0677g 81,5303g 77,4009g

1

A

3

2

B

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De

Lado

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Altura Instr.

A

Altura Jalón

Angulo Zenital

A C 1,51 2,00 B C 1,50 2,00 __ ϕC = 31º07’27,3607” - Sur __ λC = 71º39’03,8995” - Oeste

102,0369 104,5360

ZC = 147,29 m 9. Cálculo geodésico de triangulación por método directo. Datos: Vértice

Latitud (Sur)

A B

29º21’01,6248” 29º21’08,8043”

Desig.

Longitud (Oeste) 70º56’04,4502” 70º59’00,2404”

Altitud 922,41 738,84

Angulos horizontales. C 48,5382g 73,4379g 78,0236g

1 2 3

1

A Lado

3

De

A

Altura Instr.

Altura Jalon

A B

C C

1,49 1,50

2,00 2,00

2

B

Angulo Zenital 97,7267 95,9902

__ ϕC = 29º24’16,6759” - Sur __ λC = 70º57’12,9688” - Oeste

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ZC = 1.149,08 m Ejercicios de triangulación y radiación con coordenadas rectangulares. Ejemplo 10: Cálculo de triangulación.

coordenadas

rectangulares

locales

en

una

Datos de la Base Vértice

Norte (m)

A B

Este (m)

3.605,405 3.793,451

2.765,252 3.714,304

Altitud (m) 2.754,11 2.806,42

C 1

A

3

2

B

1. Ajuste de ángulos horizontales. Desig.

Angulos Horizontales Observados Compensados 67,4801g 69,2384g 63,2830g Σ 200,0015g

1 2 3

67,4796g 69,2379g 63,2825g Σ 200,0000g

2. Cálculo de los lados del triángulo. Distancia horizontal de la base = 967,503 m Sen 1’ AB

=

Sen 2’ AC

=

Sen 3’ BC

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AC = AB sen 2’/ sen 1’ =

982,108 m

BC = AB sen 3’/ sen 1’ =

929,679 m

3. Cálculo de las azimutes de los lados del triángulo. 87,5473g

Azimut de la base : AZA-B = AZA-C = AZA-B - 3’

=

24,2648g

AZB-C = AZB-A + 2’ = 356,7852g 4. Cálculo de las coordenadas parciales planimétricas. Lado AC: ΔyA-C = DHA-C Cos AZA-C = 911,629 m ΔxA-C = DHA-C Sen AZA-C

= 365,333 m

Lado B-C ΔyB-C = DHB-C Cos AZB-C = ΔxB-C = DHB-C Sen AZB-C

723,584 m

= -583,720 m

5. Cálculo de coordenadas totales de C. A partir del vértice A: yA + ΔyA-C =

4.517,034 m

xC = xA + ΔxA-C =

3.130,585 m

yC =

A partir del vértice B: y’C =

yB + ΔyB-C =

x’C = xB + ΔxB-C =

4.517,035 m 3.130,584 m

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6. Cálculo de las coordenadas definitivas de C. __ yC = (yC + yC’) / 2 = 4.517,035 m __ xC = (xC + xC’) / 2 = 3.130,585 m 7. Cálculo de la altitud de C. Datos Lado

Altura Instr.

A-C B-C

1,49 1,50

Altura Jalón

Angulo Zenital

Altitud

2,50 2,50

98,8614 102,3820

2.754,11 2.806,42

DNA-C = hiA + HA-C + 6,66 (DHA-C/Sen ZA-C )2 - hjC 108 DNA-C = 16,62 m ZC = ZA + DNA-C = 2.770,73 DNB-C = hiB + HB-C + 6,66 (DHB-C/Sen ZB-C )2 - hjC 108 DNB-C = -35,74 m ZC’ = ZB + DNB-C = 2.770,68 m __ ZC = (ZC + ZC’) / 2 = 2.770,71 m Ejemplo 11: Cálculo de coordenadas rectangulares locales en una radiación. Datos: Vértice

Norte (m)

Este (m)

Altitud (m)

A B

3.070,117 4.294,293

3.189,216 3.943,255

1.283,17 1.317,56

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B

β

θ A P

Estación A

Pto. Alt. Obs. Inst. B P

A

P

P

B A

Angulos Horizontal Zenital

1,46

0,000 49,6314

1,46

Dist. Incl.

Alt. Jalón

98,9650

434,112

2,00

350,3696 ---100,8970

434,094

2,00

0,000

1,50

1. Ajuste del ángulo horizontal. 49,6309g

θ’ =

θ + εi =

β’ =

β + εi = 350,3691g

2. Cálculo del azimut A-P. AZA-P = AZA-B + θ’

=

84,7767g

___ 3. Cálculo de DHA-P. DHA-P = DiA-P Sen ZA-P = 434,055 m DHP-A = DiP-A Sen ZP-A = 434,051 m ___ DHA-P = (DHA-P + DHP-A) / 2 ___ DHA-P = 434,053 m

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4. Cálculo de las coordenadas parciales planimétricas A-P. ___ ΔyA-P = DHA-P Cos AZA-P = 102,807 m ___ ΔxA-P = DHA-P Sen AZA-P = 421,702 m 5. Cálculo de las coordenadas totales de P. YP = YA + ΔYA-P = 3.172,924 m XP = XA + ΔXA-P = 3.610.918 m 6. Cálculo de la altitud de P. DNA-P = hiA + HA-P + 6,66 (DiA-P)2 - hjP = 108

6,53 m

ZP = ZA + DNA-P = 1.289,70 m DE CAPITULO 4. Ejercicios de cálculo de coordenadas cartesianas sobre y en el elipsoide, cálculo de coordenadas geodésicas desde coordenadas cartesianas, cálculo de componentes residuales de vectores GPS y alineamiento de correas transportadoras con GPS. Ejemplo 12: Los siguientes datos corresponden a un punto referido al Sistema Geodésico Mundial, Misuri, EE.UU. 1984 (WGS-84). Vértice A

Latitud (ϕ) S 30º14’58,0342”

Longitud (λ) W 71º30’08,3889”

Altura elipsoidal (h) 60,797 m

Elipsoide mundial de referencia de 1984. a b f e2 e’2

= = = = =

6.378.137,000 m 6.356.752,3142 m 1/298,257222933 0,0066943800047 0,00673949675703

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Determine las coordenadas rectangulares del punto A sobre una altura h del elipsoide mundial de referencia de 1984. Desarrollo. Las coordenadas rectangulares de un punto sobre una altura h de un elipsoide son: X = (N + h) Cos ϕ Cos λ Y = (N + h) Cos ϕ Sen λ Z = (N (1 – e2) + h) sen ϕ

1. Cálculo de la gran normal al elipsoide. N = a/ (1 – e2 sen2 ϕ)1/2 = 6.383.561,819 m 2. Cálculo de las coordenadas X, Y, Z del punto A sobre una altura h del elipsoide mundial de referencia de 1984. X = 1.749.541,794 m Y = -5.229.536,063 m Z = -3.194.322,479 m

Ejemplo 13: Con los datos del ejemplo 12; determine las coordenadas rectangulares del punto A’ sobre el elipsoide (h = 0) mundial de referencia de 1984. Desarrollo. Las coordenadas rectangulares de un punto sobre un elipsoide son: X = N Cos ϕ Cos λ Y = N Cos ϕ Sen λ Z = N (1 – e2) Sen ϕ 1. Cálculo de la gran normal a elipsoide. N = a / (1 – e2 sen2 ϕ)1/2 =

6.383.561,819 m

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2. Cálculo de las coordenadas X, Y, Z de un punto A’ sobre el elipsoide mundial de referencia de 1984. X = 1.749.525,131 m Y = -5.229.486,257 m Z = -3.194.291,851 m Ejemplo 14: Con las coordenadas rectangulares obtenidas del punto A del ejemplo 12, determine por el método de Bowring (Rapp 1984) y método Bartelme y Meissl (Rapp 1984) las coordenadas geodésicas (ϕ, λ, h) del punto A. Desarrollo 1. A partir de las coordenadas (X, Y, Z) del punto A X = 1.749.541,794 m Y = -5.229.536,063 m Z = -3.194.322,479 m y los parámetros del WGS-84 se inicia el cálculo inverso de las coordenadas geodésicas. 1. Cálculo de P. ________ P = √ x2 + y2

=

5.514.430,517 m

2. Cálculo de la latitud reducida β1 como 1ª aproximación. β1 = Arc tg

b · Z a P

=

-29º59’55,920336”

3. Cálculo de la latitud ϕ1. ϕ1 =

Arc tg

Z + e’2 b sen3 β1 2

3

= -30º14’58,041888”

P – a e cos β1

4. Cálculo de la latitud reducida β2 como 2ª aproximación. β2 = Arctg ((1- f) tg ϕ1) = -30º09’56,83446”

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5. Cálculo de la latitud ϕ2. ϕ2 = Arctg

Z + e’2 b sen3 β2 2

3

=

-30º14’58,03422”

P – a e cos β2

6. Cálculo de β3. β3 = Arctg ( (1 – f) tg ϕ2)

= -30º09’56,826828”

7. Cálculo de ϕ3. ϕ3 = Arctg

Z + e’2 b sen3 β3 2

3

=

-30º14’58,03422”

P – a e cos β3

8. Cálculo de β4 = Arctg ((1 – f) tg ϕ3) = -30º09’56,826828” β4 - β3 ≤ 0º0’0,001” Luego ϕA = S 30º14’58,03422” 9. Cálculo de la longitud geodésica λ. λ = Arctg [ Y/X ] = -71º30º08,3889” luego λA =

W 71º30’08,3889”

3. Cálculo de la altura elipsoidal h. __________________________ h = √ (P – a cos β)2 + (Z – b sen β)2

, β = β3

h = 60,79717783 m

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Desarrollo 2. Por otro método. (iterando la altura elipsoidal h). 1. Cálculo de P. ______ P = √ x2 + y2

= 5.514.430,517 m

2. Cálculo de ϕ1. ϕ1 = Arctg

Z P (1 – e2)

= -30º14’58,03998”

3. Cálculo de la gran normal N1 con ϕ1. N1 = a / (1 – e2 sen2 ϕ1)1/2 = 6.383.561,820 m 4. Cálculo de la altura elipsoidal h1 en 1ª iteración. h1

=

P cos ϕ1

- N1 = 60,90132 m

5. Cálculo de ϕ2 (2ª interación) ϕ2 = Arctg

Z (N1 + h1) 2

= -30º14’58,034184”

P (N1 (1-e ) + h1)

6. Cálculo de N2 con ϕ2. N2 = a / (1-e2 sen2 ϕ2)1/2 =

6.383.561,819 m

7. Cálculo de h2 en 2ª iteración con ϕ2. h2 =

P cos ϕ2

- N2 = 60,79734 m

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8. Cálculo de ϕ3 como 3ª interación. ϕ3 = Arc tg

Z (N2 + h2) 2

2

= -30º14’58,03422”

P (N2 (1-e ) + h )

9. Cálculo de N3 con ϕ3. N3 = a / (1-e2 sen2 ϕ3)1/2 = 6.383.561,819 m 10. Cálculo de h3 en 3ª reiteracion con ϕ3 h3 =

P cos ϕ3

- N3 = 60,79756 m

h3 – h2 ≤ 0,001 m , luego hA = 60,79756 m, altura elipsoidal del punto A. 11. Determinación de la longitud geodésica λ. λ

= Arctg (y/x) = - 71º30’08,3889”

∴ (ϕ, λ, h) = (S 30º14’58,03422” ; W 71º30’08,3889” ; 60,79756 m) Ejemplo 15: Con las coordenadas cartesianas obntenidas del punto A del ejemplo 13, determine por el método de Bowring (Rapp 1984) y método Bertelme y Meissl (Rapp 1984) las coordenadas geodésicas (ϕ, x, h) del punto A sobre el elipsoide mundial de referencia de 1984. Desarrollo. A partir de las coordenadas (x, y , z) del punto A. X = 1.749.525,131 m Y = -5.229.486,257 m Z = -3.194.291,851 m y los parámetros del WGS-84 se inicia el cálculo inverso de las coordenadas geodésicas (ϕ, λ, h).

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1. Cálculo de P. ______ P = √ x2 + y2

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=

5.514.377,997 m

2. Cálculo de β1 latitud reducida como 1ª aproximación β1 = Arc tg

b Z a P

= -29º59’55,914612”

3. Cálculo de la latitud ϕ1.

ϕ1 = Arc tg

Z + e’2 b sen3 β1 2

3

P – a e cos β1

=

-30º14’58,041852”

4. Cálculo de la latitud reducida β2 como 2ª aproximación. β2 = Arc tg ( (1 – f) tg ϕ1) = -30º09’56,834424” 5. Cálculo de la latitud ϕ2 con β2.

ϕ2 = Arc tg

Z + e’2 b sen3 β2 2

3

P – a e cos β2

=

-30º14’58,034184”

6. Cálculo de la latitud reducida β3 como 3ª aproximación. β3 = Arc tg ( (1 – f) tg ϕ2) = -30º09’56,826792” 7. Determinación de la latitud ϕ3 con β3.

ϕ3 = Arc tg

Z + e’2 b sen3 β3 2

3

P – a e cos β3

=

-30º14’58,034184”

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β3 - β2 ≤ 0º0’0,001”

∴

ϕ = S 30º14’58,03422”

8. Cálculo de la longitud geodésica λ. λ = Arc tg (y/x) = -71º30’08,3889” 9. Cálculo de h. __________________________ h = √ ( P – a cosβ)2 + (Z – b sen β)2 =

0,00061098281 m

β = β3 lo que indica que el punto está sobre el elipsoide WGS-84. Cálculo de componentes residuales de vectores GPS por método de Compass Rule. ∂xi ∂yi ∂zi

dx = (-1) ( li / L ) dy dz

(∂xi ; ∂yi ; ∂zi ) : “Componentes residuales de un vector”. (dx ; dy ; dz ) : “Error de cierre del polígono”. : “Distancia vectorial entre el junto Pi y Pi-1 li = Di 3D n L = Σ Di 3D : “Suma de todas las distancias vectoriales del polígono. i=1 dx = XF

+

n Σ (ΔXi) - XC i=1

dy = YF

+

n Σ (ΔYi) - YC i=1

dz = ZF

+

n Σ (ΔZi) - ZC i=1

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(XF ; YF ; ZF )

“Coordenadas de punto Fijo o de inicio”.

(XC ; YC ; ZC )

“Coordenadas de punto de Cierre o de control”.

n Σ (ΔXi) i=1

:

“Sumatoria de todas las distancias vectoriales en el eje X”.

n Σ (ΔYi) i=1

:

“Sumatoria de todas las distancias vectoriales en el eje Y”.

n Σ (ΔZi) i=1

:

“Sumatoria de todas las distancias vectoriales en el eje Z”.

Ejemplo 16: En el hemisferio Norte (EE.UU.) un polígono se inició en un punto P1 de coordenadas conocidas y se llegó a un punto P2 de control, obteniéndose los siguientes datos GPS de terreno. Punto

Coordenadas GPS (X ; Y; Z) en m. ( (

P1 P2 Vector GPS A B Z

: : :

(-) (-)

2.205.949,0762 ; - 4.884.126,7921 ; 3.447.135,1550 ) 2.188.424,3707 ; - 4.897.740,6844 ; 3.438.952,8159 ) ( ΔXi ; ΔYi ; ΔZi ) en m

( 3.777,9104 ; ( 7.859,4707 ; ( 5.886.8716 ;

(-) (-) (-)

6.006,8201 ; 3.319,1092 ; 4.288,9638 ;

(-) (+) (-)

6.231,5468 ) 400,1902 ) 2.350,2230 )

Determine las componentes residuales de los vectores A, B, C.

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Desarrollo. 1. Cálculo de la magnitud de los vectores LA , LB , LC. ___________________ √ ΔXa2 + ΔYa2 + ΔZa2 = 9.443,869452 m AUX1 - P1 ___________________ = D3D AUX2 - AUX1 = √ ΔX b2 + ΔYb2 + ΔZb2 = 8.540,955319 m ___________________ = D3D P2 – AUX2 = √ ΔX c2 + ΔYc2 + ΔZc2 = 7.653,366309 m

LA = D3D LB LC

=

2. Cálculo de las distancias vectoriales del polígono. n L = ∑ Di3D = LA + LB + LC = 25.638,19108 m i=1 3. Obtención de la sumatoria de las distancias vectoriales en los ejes X, Y, Z. n Σ ΔXi ; i=1 n Σ i=1

ΔXi

=

n Σ ΔYi ; i=1

n Σ ΔZi i=1

ΔXa + ΔXb + ΔXc =

de los vectores A, B, C.

3777,9104 + 7859,4707 + 5886,8716 =

= 17.524,2527 m

n Σ ΔYi i=1

= ΔYa + ΔYb + ΔYc = -6006,8201 – 3319,1092 – 4288,9638 =

= -13.614,8931 m n Σ ΔZi i=1

= ΔZa + ΔZb + ΔZc = -6231,5468 + 400,1902 – 2350,2230 =

= -8.181,5796 m

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4. Obtención del error de cierre del polígono (dx ; dy ; dz). n dx = XF + Σ (ΔXi) – XC = -2.205.949,0762 + 17.524,2527 + 2.188.424,3707 i=1 dx = -0,4528 m n dy = YF + Σ (ΔYi) – YC = i=1

(-)

dy = -1,0008 m n dz = ZF + Σ (ΔZi) – ZC = i=1

4.884.126,7921 – 13.614,8931 + 4.897.740,6844

3.447.135,1550 – 8.181,5796 – 3.438.952,8159

dz = + 0,7595 m 5. Obtención de los componentes residuales de los vectores A, B y C. ∂xi ∂yi ∂zi

=>

∂xi ∂yi ∂zi

=>

dx 9.443,869452 = (-1) (LA /L) d (-1) dz 25.638,19108

∂xi ∂yi ∂zi

0,1667896177 = 0,3686463104 -0,2797630623

“Componentes residuales del vector A”

dx 8.540,955319 = (-1) (LB /L) dy = (-1) dz 25.638,19108

∂xi ∂yi ∂zi

0,1508431143 = 0,3334005956 -0,2530153401

-0,4528 -1,0008 0,7595

-0,4528 -1,0008 0,7595

“Componentes residuales del vector B”

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∂xi dx ∂yi = (-1) (LC /L) dy dz ∂zi

∂xi ∂yi ∂zi

=>

7.653,366309 = (-1) 25.638,19108

0,1351672888 = 0,2987530976 -0,2267216003

-0,4528 -1,0008 0,7595

“Componentes residuales del vector C”

6. Cálculo del ratio o razón de error permisible. d Ratio = 1 :

d d

3D

3D

3D

-1

n ∑ Di i=1

3D

_______________ = √ dx2 + dy2 + dz2

_______________________________ = √ (-0,4528)2 + (-1,0008)2 + (0,7595)2

= 1,335465735 m

n ∑ Di 3D = 25.638,19108 m i=1

;

ratio = 1 : [ 1,335465735 / 25.638,19108 ] –1 = 1 / 19.197,94002 “ 2º orden clase II” 7. Obtención de vectores GPS compensados A’, B’, C’. A’: (3777,9104 + 0,1668 ;

(-)

B’: (7859,4707 + 0,1508 ;

6006,8201 + 0,3686 ;

(-)

6231,5468 – 0,2798)

3319,1092 + 0,3334 ; 400,1902 – 0,2530)

C’: (5886,8716 + 0,1352 ; (-) 4288,9638 + 0,2988 ; Luego:

(-)

(-)

2350,2230 – 0,2267)

A’ : (3.778,0772 ; - 6.006,4515 ; - 6.231,8266) B’ : (7.859,6215 ; 3.318,7758 ; 399,9372) C’ : (5.887,0068 ; - 4.288,6650 ; - 2.350,4497)

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n n n 8. Recálculo de ∑ΔXi , ∑ΔYi , ∑ΔZi y (dx , dy , dz). i=1 i=1 i=1 n n n ∑ΔXi = 17.524,7055 m ; ∑ΔYi = -13.613,8923 m ; ∑ΔZi = -8.182,3391 m i=1 i=1 i=1 dx = 0 ∴

dy = 0

A’ , B’ , C’

dz = 0

“Cierran linealmente”.

Ejemplo 17: Determine las componentes residuales por el método de Compass Rule de los vectores ESCU – PRAT, PRAT–REGI y REGI-ESCU. Vector GPS

(Δxi

;

Δyi

;

Δzi ) en m

ESCU-PRAT (812,748 ; - 1034,282 ; 2.147,781 ) PRAT-REGI (1.192,491 ; 493,657 ; -288,668) REGI-ESCU (-2.005,399 ; 540,692 ; -1.859,065)

Notación LA LB LC

XF = XC ; YF = YC ; ZF = ZC “Las coordenadas del punto Fijo son Idénticas a las coordenadas del punto de Cierre”.

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Desarrollo. 1. Cálculo de la magnitud de los vectores LA , LB , LC. ___________________ LA = ESCU-PRAT = √ ΔX a2 + ΔYa2 + ΔZa2 = 2.518,58329 m ___________________ LB = PRAT-REGI = √ ΔX b2 + ΔYb2 + ΔZb2 = 1.322,520787 m ___________________ = 2.787,489132 m LC = REGI-ESCU = √ ΔX c2 + ΔYc2 + ΔZc2 2. Cálculo de las distancias vectoriales del polígono. n L = ∑ Di i=1

3D

= LA + LB + LC = 6.628,593209 m

n n n 3. Obtención de Σ ΔXi ; Σ ΔYi ; Σ ΔZi de las distancias vectoriales i=1 i=1 i=1 en los ejes X, Y, Z de los vectores ESCU-PRAT, PRAT-REGI y REGI-ESCU. n Σ ΔXi = ΔXLA + ΔXLB + ΔXLC = 812,748 + 1192,491 – 2005,399 = -0,160 m i=1 n Σ ΔYi = ΔYLA + ΔYLB + ΔYLC = -1034,282 + 493,657 + 540,692 = 0,067 m i=1 n Σ ΔZi = ΔZLA + ΔZLB + ΔZLC = 2147,781 – 288,668 – 1859,065 = 0,048 m i=1 4. Obtención del error de cierre del polígono (dx ; dy ; dz). n n dx = XF + Σ ΔXi – XC = ∑ ΔXi i=1 i=1

=

- 0,160 m

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n dy = YF + Σ ΔYi – YC = i=1

n ∑ ΔYi i=1

n dz = ZF + Σ ΔZi – ZC = i=1

= 0,067 m

n ∑ ΔZi = 0,048 m i=1

5. Obtención de las componentes residuales de los vectores ESCU-PRAT, PRAT-REGI y REGI-ESCU. ∂xi dx ∂yi = (-1) (LA /L) dy ∂zi dz ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

=>

∂x ∂y ∂z

=>

2.518,58329 = (-1) 6.628,593209

0,06079319 = - 0,0254714831 - 0,018237957

=>

∂x 0,061 ∂y = -0,025 ∂z -0,018

dx 1.322,520787 = (-1) (LB /L) dy = (-1) dz 6.628,593209

∂x ∂y ∂z

0,032 = - 0,013 - 0,010

0,067 = -0,028 -0,020

“Componentes residuales del vector ESCUPRAT” -0,160 0,032 0,067 = 0,013 0,048 -0,010

“Componentes residuales del vector PRAT-REGI”

dx 2.787,489132 = (-1) (LC /L) dy = (-1) dz 6.628,593209

∂x ∂y ∂z

- 0,160 0,067 0,048

-0,160 0,067 0,048

0,067 = -0,028 -0,020

“Componentes residuales del vector REGI-ESCU”.

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6. Cálculo del ratio o razón de error permisible. d Ratio = 1 :

d

3D

3D

n ∑ Di i=1

-1 3D

_______________ = √ dx2 + dy2 + dz2

= 0,1799805545 m

ratio = 1 : [ 0,1799805545 / 6.628,593209 ]

–1

= 1 : 36.829,497

El ratio se ubica en un trabajo un poco mejor que de Segundo orden clase II” 7. Obtención de vectores GPS compensados LA’ , LB’ y LC’. LA’: (812,748 + 0,061 ; -1.034,282 –0,0255 ; 2.147,781 – 0,018) LB’: (1.192,491+ 0,032 ; 493,657 – 0,0133 ; -288,668 – 0,010)

luego

LC’: (-2.005,399 + 0,067 ; 540,692 – 0,0282 ; -1.859,065 – 0,020) LA’ : ( 812,809 ; -1.034,3075 ; 2.147,763) LB’ : (1.192,523 ;

493,6437 ; - 288,678)

LC’ : (-2.005,332 ;

540,6638 ; -1.859,085)

n n n 8. Recálculo de ∑ΔXi , ∑ΔYi , ∑ΔZi , dx , dy y dz con los vectores i=1 i=1 i=1 compensados. Recordemos que para este caso particular: n dx = ∑ ΔXi = 0,000 m i=1

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n dy = ∑ ΔYi = 0,000 m i=1 n dz = ∑ ΔZi = 0,000 m i=1 ∴

los vectores ESCU-PRAT ; PRAT-REGI y REGI-ESCU cierran linealmente”.

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Ejemplos de red GPS de triángulos y polígonos.

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Uso de GPS en el alineamiento de Correas Apiladoras Móviles (CAM). En el manejo de materiales en Proyectos de lixiviación, se utilizan en la industria minera las Correas Apiladoras Móviles, tanto para Planta – Sistema de Correa Apiladora Móvil, como para Planta – Apilamiento por medio de CAM /Recuperación por Pala rotatoria y Correa Recuperadora Móvil. En la Planta – Sistema de Correa Apiladora Móvil, la Correa Apiladora Móvil y la Correa Elevadora Móvil están montadas sobre orugas y deben trabajar en forma perpendicular a la Correa de Alimentación Principal (ver figura ) para un apilamiento geométrico y ordenado, con cierta frecuencia, esa condición se pierde y las correas deben ser alineadas entre sí, para cumplir la perpendicularidad correspondiente.

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Por otro lado, en la Planta de Apilamiento por medio de CAM/Recuperación por Pala Rotatoria y Correa Recuperadora Móvil (CRM), la Correa Apiladora Móvil montada sobre orugas también debe trabajar en forma perpendicular a la Correa Transportadora de Alimentación, y lo mismo debe acontecer con la Correa Recuperadora Móvil con respecto a la correa Transportadora de ripios (ver figura ), esta condición también se pierde y debe corregirse.

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Método analítico para corregir condición de perpendicularidad entre correas.

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1. En el terreno con GPS se toma la posición de los puntos P1 y P2 colineales en la Correa Alimentadora. 2. Se mide con huincha una distancia horizontal corta (d) entre 10-30 m desde el punto P2 hacia P3 (en forma colineal) y se marca en la Correa Alimentadora. 3. Con las coordenadas de los puntos P1 y P2 se determina el acimut coordenadas de P3.

P1 – P2

y las

4. De acuerdo a la longitud de la Correa (Apiladora Móvil, Correa Elevadora Móvil o Correa Recuperadora Móvil) se estima una distancia horizontal (D) lo más alejada posible de la Correa Alimentadora. 5. Se calcula las coordenadas de P4 y se materializa en el terreno la posición del punto. 6. Se lleva la correa esparcidora a la posición de P3 y P4, con lo que se concluye el alineamiento de las correas y por ende la condición de perpendicularidad. Ejemplo 18: Con GPS se tomó la posición de dos puntos colineales sobre la Correa Alimentadora Principal P1 = ( 6.565.320,32 ; 375.388,20) y P2 = (6.565.187,32 ; 375.395,14), luego se midió una distancia horizontal con huincha d = 20 m en forma colineal a P1 y P2, si la Correa Apiladora Móvil mide 240 m, realice el alineamiento a una distancia horizontal D = 230 m en la dirección de la Correa Apiladora Móvil. Desarrollo. Azimut P1 – P2 = 196,6811g NP3 = NP2 + d cos AZP1- P2 = 6.565.167,347 m EP3 = EP2 + d sen AZP1-P2 = 375.396,182 m NP4 = NP3 + D cos (AZP1- P2 - 1 Recto ) = 6.565.179,332 m EP4 = EP3 + D sen (AZP1-P2 - 1 Recto ) = 375.625,870 m Identificada la posición de P3 en la Correa Alimentadora y la posición P4 en el terreno, se procede a llevar la Correa Apiladora Móvil en la dirección de estos dos puntos, lográndose el alineamiento deseado.

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Programa en lenguaje Basic para calculadora de bolsillo Casio FX-850P o Casio FX-880P, sobre alineamiento de Correas. 20 25 30 40 50 60 70 71 72 73 74 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 200 210

ANGLE 2 CLS PRINT “Alineamiento de correas” INPUT “N.Pto.1 = “ ; N1 , “E.Pto.1 = “ ; E1 INPUT “N.Pto. 2 =” ; N2 , “E.Pto.2 = “ ; E2 DN = N2 – N1 : DE = E2 – E1 IF DN = 0 THEN IF DE > 0 THEN L = 100 : GOTO 120 IF DN = 0 THEN IF DE < 0 THEN L = 300 : GOTO 120 IF DE = 0 THEN IF DN > 0 THEN L = 0 : GOTO 120 IF DE = 0 THEN IF DN < 0 THEN L = 200 : GOTO 120 A = ATN ( ABS(DE) / ABS(DN) ) IF DE > 0 THEN IF DN > 0 THEN L = A : GOTO 120 IF DE < 0 THEN IF DN < 0 THEN L = A + 200 : GOTO 120 IF DE < 0 THEN IF DN > 0 THEN L = 400 – A : GOTO 120 IF DE > 0 THEN IF DN < 0 THEN L = 200 – A : GOTO 120 PRINT “AZ=”; ROUND (l, -5) ; ; “DUTM =” ; ROUND ((SQR (DN^2 + DE^2)), 4) PRINT “Cálculo de Coordenadas Pto. 3” INPUT “DH. 2-3 = “ ; D N3 = N2 + D * Cos L : E3 = E2 + D * SINL PRINT “N3 =” ; ROUND (N3, -5), “E3 = “; ROUND (E3 , -5) PRINT “Cálculo Coordenadas Pto. 4” N4 = N3 + D1 * Cos (L + 300) : E4 = E3 + D1 * SIN (L + 300) PRINT “N4 = “ ; ROUND (N4, -5) ; “E4 =” ; ROUND (E4, -5) GOTO 20

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