topografia, angoli, conversione
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formule conversione angoli...
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IV
Indice Modulo
1
Le misure lineari e angolari 1.1 1.2
Premessa Unità di misura
1.2.1
1.3
1.4
pag.
2 2
Unità di misura angolari ■ ■ ■ ■
Sistema Sistema Sistema Sistema
2
sessagesimale sessadecimale centesimale radiante o ciclometrico
3 3 3 3
Conversioni angolari
4
1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4
4 4 5 6
Passaggio dal sistema sessagesimale al sistema sessadecimale e viceversa Passaggio dal sistema sessagesimale al sistema centesimale e viceversa Passaggio dal sistema sessadecimale al sistema radiante e viceversa Passaggio dal sistema centesimale al sistema radiante e viceversa
Richiami di geometria
7
1.4.1 Nomenclatura degli angoli 1.4.2 Definizioni e formule utili 1.4.3 Raggi dei cerchi notevoli dei triangoli qualsiasi 1.4.4 Raggi dei cerchi notevoli dei triangoli rettangoli Esercizi svolti Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta Esercizi proposti Modulo
2
Le funzioni matematiche 2.1 2.2
7 8 9 10 11 20 21 22
pag.
Premessa Funzioni trigonometriche
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3
3
Grafici funzioni trigonometriche Calcolo delle funzioni trigonometriche e loro campo di esistenza Calcolo delle funzioni trigonometriche inverse e loro campo di esistenza
27 29 30
Richiami di matematica
I sistemi di riferimento 3.1
Premessa
3.1.1 3.1.2 3.2
L’ascissa e l’ordinata di un punto Il sistema di assi coordinati
Coordinate cartesiane e coordinate polari
3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4
Coordinate cartesiane o rettangolari Coordinate di alcuni punti particolari del piano Coordinate del punto medio di un segmento Angolo di direzione e suo reciproco
23 24 25
31
2.3.1 Relazioni tra funzioni trigonometriche 2.3.2 Formule di addizione e di sottrazione 2.3.3 Formule di duplicazione e formule di triplicazione 2.3.4 Formule di prostaferesi 2.3.5 Formule parametriche 2.3.6 Formule di bisezione 2.3.7 Periodicità delle funzioni trigonometriche 2.3.8 Archi associati Esercizi svolti Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta Esercizi proposti Modulo
1
31 31 31 31 32 32 32 33 34 41 43 44
pag.
45 46
46 46 47
47 47 49 49
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V
3.3 3.4 3.5
Modulo
4
Traslazione degli assi cartesiani Rotazione degli assi cartesiani
54 54
Equazioni della retta
I triangoli
55
4.3
Risoluzione analitica dei triangoli rettangoli Risoluzione grafica dei triangoli rettangoli Verifiche
77
77 78 79 79 80 80
Dato un lato e i suoi due angoli adiacenti Dati due lati e l’angolo opposto a uno di essi Dati due lati e l’angolo compreso Dati tre lati
80 80 81 81
Calcolo dell’area dei triangoli
82
4.5.1 Area dei triangoli rettangoli 4.5.2 Area dei triangoli qualunque Esercizi svolti Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta Esercizi proposti
82 82 83 96 97 98
Premessa Risoluzione analitica dei quadrilateri
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.4
74 75 77
Teorema dei seni o di Euclide Teorema delle tangenti o di Nepero Teorema del coseno o di Carnot Formula inversa di Carnot Formule di Briggs
I quadrilateri 5.1 5.2
71 72 73
Risoluzione grafica dei triangoli
4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5
pag.
Triangoli qualunque
4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.4
56 56 56 57 58 68 69 70
Premessa Triangoli rettangoli
4.2.1 4.2.2 4.2.3
5
53 53 54
3.6.1 Equazione della retta passante per l’origine 3.6.2 Equazione generale della retta in forma esplicita 3.6.3 Equazione generale della retta in forma implicita 3.6.4 Equazione della retta passante per due punti Esercizi svolti Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta Esercizi proposti
4.1 4.2
Modulo
49 50 50 52
Coordinate cartesiane totali e parziali Calcolo dell’area dei poligoni con le coordinate cartesiane Rototraslazione piana degli assi cartesiani
3.5.1 3.5.2 3.6
Angoli al vertice Coordinate polari Passaggio dalle coordinate cartesiane a quelle polari Passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane
Divisione in triangoli qualunque mediante una diagonale Tracciamento delle perpendicolari e della parallela al lato incognito Costruzione di un triangolo fittizio
Calcolo dell'area dei quadrilateri Risoluzione grafica dei quadrilateri
5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4
Dati due lati consecutivi e i tre angoli adiacenti Dati tre lati e i due angoli tra essi compresi Dati quattro lati e un angolo Dati tre lati e due angoli, di cui uno compreso tra i lati noti e uno adiacente al lato incognito 5.4.5 Dati due lati opposti e tre angoli 5.4.6 Dati tre lati e i due angoli adiacenti al lato incognito 5.4.7 Dati tre lati e i due angoli opposti tra di loro Esercizi svolti Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta Esercizi proposti
pag.
99 100 101
101 102 103 104 105
105 105 106 106 106 107 108 109 119 119 120
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3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8
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VI
Modulo
6
Esercizi di sintesi 6.1
Modulo
7
Esercizi di sintesi
Il campo operitivo 7.1 7.2
Premessa La superficie fisica e la superficie matematica della terra
7.3 7.4
I moti della terra e il campo gravitazionale terrestre Il geoide e l’ellissoide
7.5 7.6
Le proiezioni cartografiche La sfera locale e il campo topografico
7.2.1
7.4.1
Modulo
8
Coordinate curvilinee
Le coordinate geografiche astronomiche ed ellissoidiche
pag. 145 146 146
148 148 150
152 155 157
159 160
La teoria degli errori
pag. 161
8.4 8.5 8.6
Premessa Classificazione degli errori Teoria probabilistica e legge di Gauss di distribuzione degli errori accidentali Errore quadratico medio per misure di stessa precisione La media ponderata Precisione delle misure
Esercizi svolti Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta Esercizi proposti
9
122
Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta
8.1 8.2 8.3
Modulo
pag. 121
Gli strumenti semplici 9.1 9.2
Premessa Il filo a piombo e i piombini speciali
9.2.1 9.2.2 9.3 9.4 9.5
171 177 179 180
pag. 181 182 183
184
I longimetri La diottra a traguardi Lo squadro agrimensorio
184 185 186
Le condizioni di esattezza dello squadro agrimensorio Usi dello squadro agrimensorio
Lo squadro graduato
9.6.1 9.6.2 9.7 9.8
163 166 168 168
Il piombino a bastone Il piombino ottico 184
9.5.1 9.5.2 9.6
162 163
Le condizioni di esattezza dello squadro graduato Usi dello squadro graduato
Gli squadri a prisma Le livelle
9.8.1 9.8.2
9.8.3 9.8.4 9.8.5
187 188 189
190 191 191 192
La livella torica Determinazione della sensibilità della livella torica
192 194
■ ■ ■
194 195 195
Metodo del confronto Metodo del comparatore Metodo del cannocchiale
La livella torica a serbatoio La livella torica a coincidenza di immagini Usi della livella torica
196 196 197
■ ■ ■ ■
197 197 198 199
Rendere orizzontale un asse Rendere orizzontale un piano Rendere verticale un asse Misurare piccoli angoli di inclinazione
9.9.6 La livella sferica 9.9.7 Usi della livella sferica Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta
199 200 201 202
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VII
Modulo
10
Gli strumenti ottici 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7
Premesse La riflessione semplice La doppia riflessione La rifrazione La diffrazione La lastra pian parallela Il prisma ottico generico
10.7.1 10.7.2 10.8 10.9
I diottri e le lenti La costruzione delle immagini nelle lenti sottili
10.9.1 10.9.2. 10.10
Il teorema generale sui prismi o teorema di Jadanza I prismi ottici e loro applicazioni La costruzione delle immagini per lenti convergenti La costruzione delle immagini per lenti divergenti
Gli strumenti ottici
10.10.1 Il microscopio semplice 10.10.2 Il microscopio composto 10.10.3 Il cannocchiale astronomico e il cannocchiale terrestre 10.11
I sistemi formati da due lenti sottili
Esercizi svolti Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta Esercizi proposti Modulo
11
Segnalazione dei punti e misura diretta delle distanze 11.1 11.2
Premessa Le mire artificiali
11.2.1 11.2.2 11.3
I segnali artificiali provvisori e permanenti
11.3.1 11.3.2 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9
Le mire semplici Le mire di precisione I segnali artificiali provvisori I segnali artificiali permanenti
Dimensionamento dei segnali Monografia di un punto Gli allineamenti Misura diretta delle distanze Errori nella misura diretta delle distanze Tolleranze
Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta Modulo
12
Rilevamenti planimetrici di piccola estensione 12.1 12.2 12.3 12.4
Premessa Precisione del rilievo di dettaglio L’eidotipo I metodi di rilievo
12.4.1
Metodo per allineamenti ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Determinare la distanza tra due punti separati da un ostacolo Tracciare un allineamento congiungendo due punti A e B non visibili tra loro Prolungare un allineamento oltre a un ostacolo Determinare la distanza tra due punti di cui uno inaccessibile ma visibile dall’altro punto Determinare la distanza tra due punti inaccessibili ma visibili Rilevare un tratto curvilineo Perpendicolarità tra due allineamenti: metodo speditivo
pag. 203 204 205 206 207 209 209 210
210 211 211 214
214 216 217
218 218 219 220
221 230 231 232
pag. 233 234 235
235 237 237
237 237 239 240 241 241 243 243
244 245
pag. 248 248 249 249 249
250
251 252 252 253 253 254 254
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VIII
12.4.2 12.4.3 12.4.4 12.4.5 12.4.6 12.5
Metodo Metodo Metodo Metodo Metodo
per trilaterazioni per coordinate cartesiane delle coordinate polari delle coordinate bipolari per camminamento
Rilevamento degli edifici e tracciamento delle fondazioni
12.5.1 Rilevamento architettonico degli edifici 12.5.2 Rilevamento dei fabbricati 12.5.3 Tracciamento delle fondazioni Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta Modulo
13
Gli strumenti ottici 13.1 13.2 13.3
Premessa I fogli da disegno Le scale di rappresentazione
13.3.1 13.3.2
13.4
13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13.15 13.16
A
Appendice
B
Appendice
C
260 260 261 262 264
pag. 203 266 266 268
269 269
■ ■
269 269
L’errore nel disegno delle coordinate cartesiane L’errore nel disegno delle coordinate polari
Le matite e la china Righelli, squadre e riga a T Gli scalimetri I compassi I curvilinee I goniometri I pantografi I tecnigrafi
Esecuzione dei disegni Piani quotati e piani a curve di livello Delineamento dei fabbricati e dei corsi d’acqua Ombreggiamento del terreno Caratteri e scritture Disegno ad acquarello La copia dei disegni La riduzione dei disegni Le carte d’Italia dell’Istituto Geografico Militare Simboli e segni convenzionali dell’I.G.M. La mappa catastale Simboli e segni convenzionali del Catasto
Domande a risposta multipla Domande a risposta aperta
Appendice
260
Le scale delle carte topografiche L’errore medio di graficismo
Gli attrezzi del disegno topografico
13.4.1 13.4.2 13.4.3 13.4.4 13.4.5 13.4.6 13.4.7 13.4.8
255 256 256 258 259
270
270 271 272 272 273 273 273 274 274 275 275 279 282 282 283 285 287 290 291 293
297 298
Simboli e segni convenzionali I.G.M.
pag. 299
Simboli catastali
pag. 319
Delineamento e ombreggiamento
pag. 329
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Modulo
Le misure lineari e angolari
Prerequisiti ■ Conoscenze matematiche di base. ■ Conoscenze di geometria di base. ■ Concetto di angolo e proprietà degli angoli.
Obiettivi ■ Conoscere i sistemi di misura angolare. ■ Sapere usare la calcolatrice scientifica per il calcolo
degli angoli.
1
1.1
Premessa
1.2
Unità di misura
1.3
Conversioni angolari
1.4
Richiami di geometria
2
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Le misure lineari e angolari
1.1 Premessa La topografia è quella scienza che studia le tecniche, i metodi e gli strumenti necessari per la rappresentazione grafica e numerica di una porzione limitata della superficie terrestre (ovvero, come si vedrà nei prossimi capitoli, che possa prescindere dalla curvatura terrestre. I calcoli che si effettuano in campo topografico presuppongono la conoscenza delle unità di misura lineari, superficiali ma soprattutto angolari, vediamo quindi di esaminarle in dettaglio.
1.2 Unità di misura Fra queste unità di misura quelle di maggior interesse in campo topografico sono: ■
■
■
Unità di misura delle lunghezze metro (m) con i suoi multipli e sottomultipli. Unità di misura delle superfici metro quadrato (m2); centiara (ca) 1 (m2); ara (a) 100 (m2); ettaro (ha) 10 000 (m2); pertica: varia in funzione della zona, per esempio la pertica milanese (p.m.) 654,5179 (m2) Unità di misura degli angoli grado sessagesimale (°); grado sessadecimale (°); grado centesimale ( g) radiante ( r)
1.2.1 Unità di misura angolari Le unità di misura angolari usate in campo topografico sono: ■ ■ ■ ■
Sistema Sistema Sistema Sistema
sessagesimale. sessadecimale. centesimale. radiante.
Prima di esporre i sistemi di misura angolari è necessario ricordare che: – si definisce angolo al centro di una circonferenza ogni angolo avente il vertice nel suo centro O; – si definisce angolo alla circonferenza un angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati secanti alla circonferenza oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza, inoltre tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali; – si definisce arco la parte di circonferenza inclusa in un angolo al centro; – un angolo alla circonferenza e un angolo al centro che insistono sullo stesso arco si dicono corrispondenti;
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Modulo
1
Le misure lineari e angolari 3
– un angolo al centro è il doppio di ogni angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco ( fig. 1.0 ): 2 . ■ Sistema sessagesimale L’unità di misura è il grado sessagesimale che rappresenta l’angolo al centro di un cerchio, il cui arco corrispondente è la 360-esima parte della circonferenza intera (ovvero è la 360-esima parte dell’angolo giro). Si scrive nella forma: a° 35°40¿20– I sottomultipli del grado sono: 1° ■ primo sessagesimale 1¿ 60
figura 1.0
1° 1¿ 60 3600 Dopo il secondo si possono avere anche delle cifre decimali. Nota: a volte risulta comodo esprimere un angolo di soli gradi anche con primi e secondi, per esempio quando si calcola la differenza di due angoli (senza l’uso della calcolatrice): 180° si scrive come: 179°5960 ■
secondo sessagesimale 1–
■ Sistema sessadecimale L’unità di misura è ancora il grado sessagesimale, ma non ci sono i suoi sottomultipli perchè i primi e i secondi sono stati trasformati in gradi e quindi si ha il grado con la sua parte decimale (in genere si tengono 5 cifre dopo la virgola); il grado sessadecimale si indica con: ° 55°,50333. ■ Sistema centesimale L’unità di misura è il grado centesimale che rappresenta l’angolo al centro di un cerchio il cui arco corrispondente è la 400–esima parte della circonferenza intera (ovvero è la 400–esima parte dell’angolo giro). Si scrive nella forma: a g 63g 66c 19cc oppure 63g,6619 I sottomultipli del grado sono: 1g c ■ primo centesimale 1 100 ■
secondo centesimale 1cc
1c 1g 100 10 000
Nota: in alcuni testi, i gradi primi e secondi sono indicati con ( g → c), (c → ), (cc → ). ■ Sistema radiante o ciclometrico L’unità di misura è il radiante, che rappresenta l’angolo al centro della circonferenza corrispondente a un arco uguale al raggio ( fig. 1.1 ). l Quindi se l r allora a 1r r Esempio: ar 0r,57193 Se si considera una circonferenza di raggio unitario e un angolo di 180°: figura 1.1 180° 3,14159 otteniamo il valore in radianti corrispondente all’anl r ar 1 57°,2958 golo di 180°.
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1 Le misure lineari e angolari
1.3 Conversioni angolari In questo paragrafo si analizzeranno i passaggi tra i sistemi di misura angolari. Le moderne calcolatrici scientifiche effettuano le conversioni angolari in modo semplice e rapido, ma è importante capire come si perviene a tali risultati.
1.3.1 Passaggio dal sistema sessagesimale al sistema sessadecimale e viceversa Con questa operazione l’angolo in forma sessagesimale scritto in gradi, primi e secondi viene espresso in forma sessadecimale (solo in gradi) trasformando i primi e secondi nella relativa parte decimale di grado.
esempio 1.1 55°30¿12– 1 55° a
30¿ 12– b a b 55° 0°,50 0°,00333 55°,50333 60 3600
Il passaggio inverso, cioè dal sistema sessadecimale al sistema sessagesimale, permette di tornare alle condizioni iniziali, ovvero all’angolo espresso in gradi primi e secondi, cioè nella sua forma classica.
esempio 1.2 55°,50333 1
55°,50333 55° 0°,50333
0°,50333 60 30¿,19980
30¿,19980 30¿ 0¿,19980
0¿,19980 60 11–,988 12–
1 55°30¿12–
1.3.2 Passaggio dal sistema sessagesimale al sistema centesimale e viceversa Non si può passare dalla forma sessadecimale alla forma centesimale direttamente, ma prima bisogna effettuare un passaggio intermedio; bisogna, infatti, trasformare la forma sessagesimale in sessadecimale e poi procedere con la conversione. Per effettuare la conversione richiesta è sufficiente scrivere una proporzione che metta in relazione i due sistemi di misura angolari rispetto alla stessa porzione di circonferenza goniometrica; per esempio:
° 400 360
9 360 g g 400 10 μ 10 400 ° g ° 9 360
°
g
1 1 1
Si è scelto di usare l’angolo di 360° e, quindi, il corrispondente angolo di 400 g, ma scrivendo la proporzione si poteva scegliere un qualunque altro angolo, per esempio 180° e 200 g oppure 90° e 100 g.
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Le misure lineari e angolari 5
esempio 1.3 Trasformare in forma centesimale l’angolo sessagesimale: 55°3012 Dopo essere passati alla forma sessadecimale 55°3012 ⇒ 55°,50333 si imposta la proporzione e si ricava il valore centesimale cercato: ag 400 a° 10 a° 1 1 1 ag a° 360 400 360 9
10 400 55°,50333 55°,50333 61g,67037 360 9
Per tornare al valore iniziale si procede nel seguente modo: a° ag 360 ag 9 1 1 1 ag ag 360 400 400 10
360 61g,67037 9 61g,67037 55°,50333 400 10
55°,50333 1 55°30¿12–
Nota: il passaggio a g 1 a° si può effettuare anche calcolando l’angolo centesimale come semplice differenza tra il suo valore e un decimo del suo valore: 9 10 1 10 10 10
esempio 1.4 61g,67037 1 61g,67037 6g,167037 55°,50333 1 55°30¿12–
1.3.3 Passaggio dal sistema sessadecimale al sistema radiante e viceversa Anche in questo caso non si può passare dalla forma sessadecimale alla forma radiante direttamente, ma prima bisogna trasformare la forma sessagesimale in sessadecimale e poi procedere con la conversione. Per effettuare la conversione richiesta è sufficiente scrivere una proporzione analoga al caso precedente, che metta in relazione i due sistemi di misura angolari sempre rispetto alla stessa porzione di circonferenza goniometrica; per esempio:
° 360
2
360 r r 57,2658 2 μ 2 ° ° r 57,2958 360
°
r
1 1 1
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1 Le misure lineari e angolari
esempio 1.5 Trasformare in forma radiante l’angolo sessagesimale: 55°3012 Dopo il passaggio alla forma sessadecimale 55°3012 ⇒ 55°,50333 si imposta la proporzione e si ricava il valore radiante cercato: a° ar 2p a° a° 55°,50333 1 1 1 ar 0r,9687155 360 2p 360 57,2958 57,2958 Per tornare al valore iniziale si procede nel seguente modo: ar 360 a r a° 1 1 1 a° a r 57,2958 0r,9687155 57,2958 55°,50333 360 2p 2p 55°,50333 1 55°30¿12–
Altre formule utili quando abbiamo primi e secondi: ar
60 a¿ a° 3438 57,296 60
ar
3600 a– a° 57,296 3600 206265
1.3.4 Passaggio dal sistema centesimale al sistema radiante e viceversa In questo tipo di conversione non sono necessari passaggi intermedi. Per effettuare la conversione si scrive una proporzione che metta in relazione i due sistemi di misura angolari sempre rispetto alla stessa porzione di circonferenza goniometrica; per esempio: 400 r 200 r ° ° r 2 1 1 1 μ g 400 2 g 2 r 400 200
esempio 1.6 Trasformare in forma centesimale l’angolo in radianti: 0r,8715 ar 400 ar 200 ar 200 0r,8760 ag 1 1 1 ag 55g,7679 p p 400 2p 2p Per tornare al valore iniziale si procede nel seguente modo: ag ar 2p a g p ag p 55g,7679 1 1 1 ar 0r,8760 400 2p 400 200 200
Usando le formule viste in precedenza si arriva alla stesso risultato eseguendo due passaggi: a g 1 a° 1 ar
ar 1 a° 1 a g
Si propone ora una tabella con alcune conversione angolari.
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Modulo
Radianti
Centes.
Radianti
Gradi
0°
0
0
95°
105,55556 19 /36 190°
5°
5,55556
/36
100°
111,11111
5 /9
10°
11,11111
/18
105°
116,66667
7 /12
15°
16,66667
/12
110°
122,22222 11 /18 205°
227,77778 41 /36 300°
20°
22,22222
/9
115°
127,77778 23 /36 210°
233,33333
25°
27,77778 5 /36
120°
133,33333
30°
33,33333
125°
138,88889 25 /36 220°
244,44444
11 /9
315°
350
7 /4
35°
38,88889 7 /36
130°
144,44444 13 /18 225°
250
5 /4
320°
355,55556
16 /9
40°
44,44444
2 /9
135°
150
3 /4
230°
255,55556 23 /18 325°
361,11111 65 /36
45°
50
/4
140°
155,55556
7 /9
235°
261,11111 47 /36 330°
266,66667
2 /3
Gradi
Centes.
Radianti
Le misure lineari e angolari 7
Gradi
/6
Centes.
1
Gradi
Centes.
Radianti
211,11111 19 /18 285°
316,66667 19 /12
195°
216,66667 13 /12 290°
322,22222 29 /18
200°
222,22222
215°
10 /9
7 /6
295°
327,77778 59 /36 333,33333
5 /3
305°
338,88889 61 /36
238,88889 43 /36 310°
344,44444 31 /18
50°
55,55556 5 /18
145°
161,11111 29 /36 240°
55°
61,11111 11 /36
150°
166,66667
245°
272,22222 49 /36 340°
377,77778
60°
66,66667
155°
172,22222 31 /36 250°
277,77778 25 /18 345°
383,33333 23 /12
65°
72,22222 13 /36
160°
177,77778
283,33333 17 /12 350°
388,88888 35 /18
70°
77,77778 7 /18
165°
183,33333 11 /12 260°
288,88888
75°
83,33333 5 /12
170°
188,88889 17 /18 265°
294,44444 53 /36 360°
80°
88,88889
4 /9
175°
194,44444 35 /36 270°
85°
94,44444 17 /36
90°
100
/3
/2
180° 185°
200
5 /6
8 /9
255°
275°
205,55556 37 /36 280°
266,66667
300
4 /3
11 /6
13 /9
335°
355°
372,22222 67 /36 17 /9
394,44444 71 /36 2
400
3 /2
305,55556 55 /36 311,11111
14 /9
1.4 Richiami di geometria Vengono richiamati alcune definizioni e concetti utili di geometria.
1.4.1 Nomenclatura degli angoli (fig. 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10) Angolo retto Angolo acuto Angolo ottuso
è l’angolo di 90° è l’angolo < 90° è l’angolo > 90°
Angoli complementari
se la loro somma è 90° figura 1.2
Angolo piatto
è l’angolo di 180°
Angolo convesso
è l’angolo < 180° figura 1.3
Angolo concavo
è l’angolo > 180° figura 1.4
▲
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Modulo
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1 Le misure lineari e angolari Angoli supplementari
se la loro somma è 180° figura 1.5
Angoli esplementari
se la loro somma è 360° figura 1.6
Angoli congruenti Angoli opposti al vertice
Angoli consecutivi
quelli i cui lati che li generano se sovrapposti coincidono se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro (sono congruenti)
figura 1.7
se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune
figura 1.8
Angoli adiacenti
se sono consecutivi e hanno i lati non comuni uno sul prolungamento dell’altro
Angoli sovrapposti
se hanno in comune il vertice, un lato e altri punti
figura 1.9
figura 1.10
1.4.2 Definizioni e formule utili Si definisce asse di un segmento la retta ortogonale al segmento, che passa per il suo punto medio. Asse di un segmento AC ( fig. 1.11 ): dal punto medio M del segmento AC si traccia un retta perpendicolare al segmento stesso; per qualsiasi lunghezza dell’asse BM il triangolo ABC è isoscele; quindi, , AC BC e risulta diviso in due parti uguali. Nota: il punto di incontro degli assi di due corde di una circonferenza ne determina il centro. Nota: il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo dà il circocentro che è il centro della circonferenza circoscritta. figura 1.11
Si definisce bisettrice di un angolo il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo. Bisettrice di un angolo ( fig. 1.12 ): presi due segmenti VM e VN di lunghezza a piacere e tali che VM VN dai punti M ed N, si tracciano due perpendicolari, che si intersecano nel punto P identificando così la bisettrice VP. Nota: il punto di incontro delle bisettrici degli angoli di un triangolo dà l’incentro che è il centro della circonferenza inscritta.
figura 1.12
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Modulo
1
Le misure lineari e angolari 9
Si definisce mediana di un lato di un triangolo, la retta che congiunge il punto medio del lato con il vertice opposto. Nota: il punto di incontro delle mediane di un triangolo dà il baricentro; ogni mediana è divisa dal baricentro in due parti, delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra ( fig. 1.13 ). Si ricorda inoltre che: ■
figura 1.13
un triangolo si dice: a. isoscele, se ha due angoli uguali oppure due lati uguali; b. equilatero, se tutti i lati hanno la stessa lunghezza e tutti gli angoli sono di 60°; c. scaleno, se tutti i lati sono diversi oppure se tutti gli angoli sono diversi.
1.4.3 Raggi dei cerchi notevoli dei triangoli qualsiasi (fig. 1.14) 1. Cerchio circoscritto È il cerchio che racchiude il triangolo il cui raggio si determina con le seguenti formule: r
1a b c 2 14 SABC 2
r
a 2 sen a
2. Cerchio inscritto È il cerchio che si trova all’interno del triangolo ed è tangente a tutti i lati, il suo raggio si determina con: r
SABC p
con
p
1a b c2 2
r
B
1p a2 1p b2 1p c2 p
3. Cerchio exinscritto È il cerchio tangente a un lato e ai prolungamenti degli altri due; il centro si trova con intersezione delle bisettrici degli angoli comprendenti il cerchio stesso e il raggio si trova con: r
SABC con p 1a b c2 1p a 2 a r p tang a b 2
figura 1.14
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Modulo
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Pagina 10
1 Le misure lineari e angolari
1.4.4 Raggi dei cerchi notevoli dei triangoli rettangoli (fig. 1.15, 1.16) 1. Cerchio circoscritto Un triangolo rettangolo può sempre essere inscritto in una circonferenza; la mediana relativa all’ipotenusa ha una lunghezza pari alla metà dell’ipotenusa stessa e corrisponde al raggio del cerchio circoscritto.
figura 1.15
2. Cerchio inscritto Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo rettangolo è dato dalla seguente formula: r ■
1b c a 2
Area del cerchio e sua circonferenza: A p r2
■
2
C 2p r
figura 1.16
Somma degli angoli di un poligono qualunque (intrecciato o no): a i 180° 1n 2 2 n
i1
■
Numero di elementi noti necessari per risolvere un poligono: Numero minimo di elementi noti (2n 3) Numero minimo di lati noti (n 2)
n numero lati del poligono da risolvere
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1
Modulo
esercizio svolto
1
esercizio svolto
2
3
esercizio svolto
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Le misure lineari e angolari 11
Determinare il valore in ettari, are e centiare delle seguenti superfici: 1
2
3
38 380
48 500
100 563
1
2
3
4
ha
3
4
10
a
83
85
ca
80
0
m2
4
5
6
7
8
9
10
12 356
1 589 400
2356
23 568
235
5
6
7
8
9
10
12
1548
1
158
0
2
0
5
65
96
23
94
23
35
2
63
84
20
56
0
56
68
35
126 584 15 489 620
Soluzione
Determinare il valore in metri quadri e in ettari delle seguenti superfici: 1
2
3
4
5
12 350 a
17,34 a
183,56 a
1001,2 a
400,876 a
Soluzione 1
12 350 100 1 235 000 m2
12350 123,50 ha 100
2
17,34 100 1734 m2
17,34 0,1734 ha 100
3
183,56 100 18 356 m2
183,56 1,8356 ha 100
4
1001,2 100 10 0120 m2
1001,2 10,012 ha 100
5
400,876 100 40 087,6 m2
400,876 4,00876 ha 100
Passare dalla forma sessagesimale alla forma sessadecimale i seguenti angoli : 1
2
3
4
5
6
7
8
56°4032 85°2025 120°4430 154°2429 205°5615 80°1285 255°3749 22°5741 9
10
11
12
13
14
15
47°3312
280°1936
342°1722
136°4149
8°2515
19°2843
176°5153
Soluzione 1
56°40¿32– 1 56° a
40¿ 32– b a b 56° 0°,66667 0°,00889 56°,67556 60 3600
2
85°20¿25– 1 85° a
25– 20¿ b a b 85° 0°,33333 0°,00694 85°,34027 60 3600
▲
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esercizio svolto
Modulo
4
esercizio svolto
12
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Pagina 12
1 Le misure lineari e angolari 3
120°44¿30– 1 120° a
44¿ 30– b a b 120° 0°,73333 0°,00803 120°,74166 60 3600
4
154°24¿29– 1 154° a
24¿ 29– b a b 154° 0°,40000 0°,00806 154°,40806 60 3600
5
205°56¿15– 1 205° a
56¿ 15– b a b 205° 0°,93333 0°,00417 205°,93750 60 3600
6
80°12¿58– 1 80° a
7
255°37¿49– 1 255° a
8
22°57¿41– 1 22° a
57¿ 41– b a b 22° 0°,95000 0°,01139 22°,96139 60 3600
9
47°33¿12– 1 47° a
12– 33¿ b a b 47° 0°,55000 0°,00333 47°,55333 60 3600
10
280°19¿36– 1 280° a
19¿ 36– b a b 280° 0°,31667 0°,00100 280°,32667 60 3600
11
342°17¿22– 1 342° a
22– 17¿ b a b 342° 0°,28333 0°,00611 342°,28944 60 3600
12
136°41¿49– 1 136° a
49– 41¿ b a b 136° 0°,68333 0°,01361 136°,69694 60 3600
13
8°25¿15– 1 8° a
14
19°28¿43– 1 19° a
15
176°51¿53– 1 176° a
58– 12¿ b a b 80° 0°,20000 0°,01611 80°,21611 60 3600 37¿ 49– b a b 255° 0°,61667 0°,01361 255°,63028 60 3600
25¿ 15– b a b 8° 0°,41667 0°,00417 8°,42084 60 3600 28¿ 43– b a b 19° 0°,46667 0°,01194 19°,47861 60 3600 53– 51¿ b a b 176° 0°,85000 0°,01472 176°,86472 60 3600
Passare dalla forma sessadecimale alla forma sessagesimale i seguenti angoli: 1
2
3
4
5
6
7
8
23°,45678 56°,12487 88°,58741 123°,54827 284°86514 312°,23581 247°,53147 164°,26700 9
10
11
12
13
145°,67129
67°,46215
33°,36874
65°,24983
72°,16845
14
15
187°,34980 117°,00560
Soluzione 1
23°,45678 1 23°,45678 23° 0°,45678 0°,45678 60 27¿,41220 1 27¿,41220 27¿ 0¿,41220 0¿,41220 60 24–,732 25– 1 23°27¿25–
▲
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16:30
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Modulo
2
esercizio svolto
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1
Le misure lineari e angolari 13
56°,12487 1 56°,12487 56° 0°,12487 0°,12487 60 7¿,49220 1 7¿,49220 7¿ 0¿,49220 0¿,49220 60 29–,532 30– 1 56°07¿30–
3
88°,58741 1 88°,58741 88° 0°,58741 0°,58741 60 35¿,24460 1 35¿,24460 35¿ 0¿,24460 0¿,24460 60 14–,676 15– 1 88°35¿15–
4
123°,54827 1 123°,54827 123° 0°,54827 0°,54827 60 32¿,89620 1 32¿,89620 32¿ 0¿,89620 0¿,89620 60 53–,772 54– 1 123°32¿54–
5
284°,86514 1 284°,86514 284° 0°,86514 0°,86514 60 51¿,90840 1 51¿,90840 51¿ 0¿,90840 0¿,90840 60 54–,504 55– 1 284°51¿55–
6
312°,26581 1 312°,26581 312° 0°,26581 0°,26581 60 15¿,94860 1 15¿,94860 15¿ 0¿,94860 0¿,94860 60 56–,916 57– 1 312°15¿57–
7
247°,53147 1 247°,53147 247° 0°,53147 0°,53147 60 31¿,88820 1 31¿,88820 31¿ 0¿,88820 0¿,88820 60 53–,292 53– 1 247°31¿53–
8
164°,26700 1 164°,26700 164° 0°,26700 0°,26700 60 16¿,02000 1 16¿,02000 16¿ 0¿,02000 0¿,02000 60 1–,200 1– 1 164°16¿01–
9
145°,67129 1 145°,67129 145° 0°,67129 0°,67129 60 40¿,27740 1 40¿,27740 40¿ 0¿,27740 0¿,27740 60 16–,644 17– 1 145°40¿17–
10
67°,46215 1 67°,46215 67° 0°,46215 0°,46215 60 27¿,72900 1 27¿,72900 27¿ 0¿,72900 0¿,72900 60 43–,740 44– 1 67°27¿44–
11
33°,36874 1 33°,36874 33° 0°,36874 0°,36874 60 22¿,12440 1 22¿,12440 22¿ 0¿,12440 0¿,12440 60 7–,464 7– 1 33°22¿07–
12
65°,24983 1 65°,24983 65° 0°,24983 0°,24983 60 14¿,98980 1 14¿,98980 14¿ 0¿,98980 0¿,98980 60 59–,388 59– 1 65°14¿59–
▲
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Modulo
esercizio svolto
16:30
Pagina 14
1 Le misure lineari e angolari 13
72°,16845 1 72°,16845 72° 0°,16845 0°,16845 60 10¿,10700 1 10¿,10700 10¿ 0¿,10700 0¿,10700 60 6–,420 6– 1 72°10¿06–
14
187°,34980 1 187°,34980 187° 0°,34980 0°,34980 60 20¿,98800 1 20¿,98800 20¿ 0¿,98800 0¿,98800 60 59–,288 59– 1 187°20¿59–
15
117°,00560 1 117°,00560 117° 0°,00560 0°,00560 60 0¿,33600 1 0¿,33600 0¿ 0¿,33600 0¿,33600 60 20–,160 20– 1 117°00¿20–
5
esercizio svolto
14
14-11-2008
Trasformare i seguenti gradi dalla forma sessadecimale alla forma centesimale e il risultato ottenuto trasformarlo nella forma sessagesimale: 1
2
3
35°,28000
55°,21028
68°,55694
6
7
8
4
5
124°,28028 185°,79194 9
10
223°,18889 305°,43139 345°,67278 215°,59944 190°,21028 Soluzione 1
2
3
4
5
ag
10 10 400 a° a° 35°,28000 39 g,02000 360 9 9
a°
360 a g 9 9 ag 39 g,02000 35°,28000 1 35°16¿48– 400 10 10
ag
10 10 a° 55°,21028 61g,34475 9 9
a°
9 9 ag 61g,34475 55°,21028 1 55°12¿37– 10 10
ag
10 10 a° 68°,55694 76 g,17438 9 9
a°
9 9 ag 76g,17438 68°,55694 1 68°33¿25– 10 10
ag
10 10 a° 124°,28028 138 g,08902 9 9
a°
9 9 ag 138g,08902 124°,28028 1 124°16¿49– 10 10
ag
10 10 a° 185°,79194 206 g,43549 9 9
a°
9 9 ag 206g,43549 185°,79194 1 185°47¿31– 10 10
▲
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Pagina 15
esercizio svolto
Modulo
6
7
8
9
10
6
esercizio svolto
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1
Le misure lineari e angolari 15
ag
10 10 a° 223°,18889 247 g,98765 9 9
a°
9 9 ag 247g,98765 223°,56789 1 223°11¿20– 10 10
ag
10 10 a° 305°,43139 339 g,36821 9 9
a°
9 9 ag 339g,36821 305°,43139 1 305°25¿53– 10 10
ag
10 10 a° 345°,67278 384g,08086 9 9
a°
9 9 ag 384g,08086 345°,67278 1 345°40¿22– 10 10
ag
10 10 a° 215°,59944 239 g,55494 9 9
a°
9 9 ag 239g,55494 215°,59944 1 215°35¿58– 10 10
ag
10 10 a° 190°,21028 211g,34475 9 9
a°
9 9 ag 211g,34475 190°,21028 1 190°12¿37– 10 10
Trasformare i seguenti gradi dalla forma sessagesimale alla forma radiante: 1
2
3
4
5
6
3°2144
16°0824
27°5433
106°3210
225°3849
330°5026
7
8
9
10
11
130°5346
256°2043
190°3531
85°1244
172°1721
Soluzione 1
3°21¿44– 1 3°,36222
ar
2p a° a° 3°,36222 0r,05868 360 57,2958 57,2958
2
16°08¿24– 1 16°,14000
ar
a° 16°,14000 0r,28170 57,2958 57,2958
3
27°54¿33– 1 27°,90917
ar
27°,90917 a° 0r,48711 57,2958 57,2958
4
106°32¿10– 1 106°,53611
ar
a° 106°,53611 1r,85941 57,2958 57,2958
▲
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esercizio svolto
Modulo
7
esercizio svolto
16
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Pagina 16
1 Le misure lineari e angolari 5
225°38¿49– 1 225°,64694
ar
a° 225°,64694 3r,93828 57,2958 57,2958
6
330°50¿26– 1 330°,84056
ar
a° 330°,84056 5r,77426 57,2958 57,2958
7
130°53¿46– 1 130°,89611
ar
a° 130°,89611 2r,28457 57,2958 57,2958
8
256°20¿43– 1 256°,34528
ar
a° 256°,34528 4r,47407 57,2958 57,2958
9
190°35¿31– 1 190°,59194
ar
a° 190°,59194 3r,32646 57,2958 57,2958
10
85°12¿44– 1 85°,21222
ar
a° 85°,21222 1r,48723 57,2958 57,2958
11
172°17¿21– 1 172°,28917
ar
a° 172°,28917 3r,00701 57,2958 57,2958
Trasformare i seguenti gradi dalla forma radiante alla forma centesimale e sessagesimale: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0r,58281
0r,98354
1r,23467
1r,36475
1r,76548
2r,20078
2r,54690
2r,91560
3r,56100
4r,46700
Soluzione 1
ag
400 ar 200 ar 200 0r,58281 37g,10278 1 33°,39250 1 33°23¿33– p p 2p
2
ag
200 0r,98354 62g,61410 1 56°,35269 1 56°21¿10– p
3
ag
200 1r,23467 78g,60153 1 70°,74138 1 70°44¿29– p
4
ag
200 1r,36475 86g,88268 1 78°,19442 1 78°11¿40– p
5
ag
200 1r,76548 112g,39395 1 101°,15455 1 101°09¿16– p
6
ag
200 2r,20078 140g,10601 1 126°,09541 1 126°05¿43– p
▲
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Pagina 17
esercizio svolto
Modulo
8
esercizio svolto
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1
7
ag
200 2r,54690 162g,14069 1 145°,92662 1 145°55¿36– p
8
ag
200 2r,91560 185g,61286 1 167°,05157 1 167°03¿06– p
9
ag
200 3r,56100 226g,70030 1 204°,03027 1 204°01¿49– p
10
ag
200 4r,46700 284g,37805 1 255°,94025 1 255°56¿25– p
Le misure lineari e angolari 17
Trasformare i seguenti gradi dalla forma sessagesimale alla forma centesimale e alla forma radiante: 1
2
3
4
5
78°4150
54°2317
12°3755
133°2256
165°1110
6
7
8
9
10
143°3742
201°2226
245°5112
270°3733
280°2705
Soluzione 1
78°41¿50–
1 87g,44136 1 1r,37353
2
54°23¿17–
1 60g,43117 1 0r,94925
3
12°37¿55–
1 14g,03549 1 0r,22047
4
133°22¿56– 1 148g,20247 1 2r,32796
5
165°11¿10– 1 183g,54012 1 2r,88304
6
143°37¿42– 1 159g,58704 1 2r,50679
7
201°22¿26– 1 223g,74877 1 3r,51464
8
245°51¿12– 1 273g,17037 1 4r,29095
9
270°37¿33– 1 300g,69537 1 4r,72331
10
280°27¿05– 1 311g,61265 1 4r,89480
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Modulo
esercizio svolto
9
16:31
Pagina 18
1 Le misure lineari e angolari Trasformare i seguenti gradi dalla forma sessagesimale alla forma centesimale e alla forma radiante: 1
2
3
4
5
65g,1234
54g,0022
105g,1879
135g,0976
167g,3677
6
7
8
9
10
203g,1113
242g,0909
266g,3344
350g,6088
388g,3300
Soluzione
10
esercizio svolto
18
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1
65g,1234
1 58°36¿40– 1 1r,02296
2
54g,0022
1 48°36¿07– 1 0r,84826
3
105g,1879 1 94°40¿09– 1 1r,65229
4
135g,0976 1 121°35¿16– 1 2r,12211
5
167g,3677 1 150°37¿51– 1 2r,62901
6
203g,1113 1 182°48¿01– 1 3r,19046
7
242g,0909 1 217°52¿55– 1 3r,80275
8
266g,3344 1 239°42¿031– 1 4r,18357
9
350g,6088 1 315°32¿53– 1 5r,50735
10
388g,3300 1 349°29¿49– 1 6r,09987
Eseguire le seguenti operazioni: 1 2
45°12¿08– 65°22¿08–
180° 1125°56¿33– 28°52¿48– 2
3
360° 1115°50¿33– 78°52¿38– 28°02¿08– 2
4
54°12¿08– 35°22¿02–
5
180° 1155°56¿33– 8°50¿20– 2
6
360° 1145°10¿33– 18°22¿38– 48°02¿56– 2
7
64°42¿34– 35°28¿12– 15°20¿01–
8
180° 1162°06¿33– 8°52¿30– 2
9
360° 1105°40¿03– 28°00¿18– 35°07¿19– 2
Soluzione 1
45°12¿08– 65°22¿08– 110°34¿16–
2
180° 1125°56¿33– 28°52¿48– 2 25°10¿39–
▲
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esercizio svolto
Modulo
11
1
3
360° 1115°50¿33– 78°52¿38– 28°02¿08– 2 137°14¿41–
4
54°12¿08– 35°22¿02– 18°50¿06–
5
180° 1155°56¿33– 8°50¿20– 2 15°13¿07–
6
360° 1145°10¿33– 18°22¿38– 48°02¿56– 2 148°23¿53–
7
64°42¿34– 35°28¿12– 15°20¿01– 44°34¿23–
8
180° 1162°06¿33– 8°52¿30– 2 9°00¿57–
Le misure lineari e angolari 19
360° 1105°40¿03– 28°00¿18– 35°07¿19– 2 191°12¿20–
9
esercizio svolto
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Sapendo che i lati di un triangolo qualunque hanno le seguenti misure: a 130 m
b 168 m
c 180 m
Determinare i raggi del cerchio inscritto e del cerchio circoscritto. Scala 1:2500
figura 1.17
p
r2 r2
r1
1a b c 2 2
B
B
1130 168 180 2 2
1p a 2 1p b 2 1p c2 p
239 m
1239 130 2 1239 168 2 1239 180 2 239
43,7089
SABC 1 SABC r2 p 43,7089 239 10 446,4271 m2 p 1a b c2 14 SABC 2
1130 168 180 2 14 10 446,42712
94,0800 m
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Modulo
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1 Le misure lineari e angolari
Domande a risposta multipla Preparazione all’esame di Stato
1. Qual è la differenza tra il sistema sessagesimale e quello sessadecimale? a Non ci sono sostanziali differenze b Differiscono solo per la rappresentazione dei sottomultipli c Differiscono nella rappresentazione degli angoli retto, piatto e giro d Differiscono nella suddivisione della circonferenza
2. Due angoli si dicono complementari se la loro somma vale: a 180°
b 360°
c 90°
d 270°
3. Gli angoli al centro sono: a la metà degli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco b il doppio degli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco c uguali agli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco d il doppio degli angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda e si trovano dalla stessa parte
rispetto alla corda stessa 4. Per risolvere un poligono di 6 lati occorre conoscere : a 10 elementi
b 9 elementi
c 8 elementi
d 12 elementi
5. L’area del cerchio inscritto vale: a
SABC 2p
b
2
c
SSBC p
d
SABC 1p a 2
SABC p
6. L’angolo sessagesimale è: a la 400-esima parte della circonferenza b la 360-esima parte della circonferenza c l’angolo alla circonferenza d l’angolo al centro
7. L’area di una circonferenza vale:
r r2 b 2 a
c
r2
d 2 r
8. Il valore dell’angolo r 2,5748 espresso nel sistema sessagesimale è: a 145°,9782 b 145°5841 c 0°,025748 d 145°
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Modulo
1
Le misure lineari e angolari 21
a gradi
primi secondi 60 60
gradi
primi secondi 3600 3600
c
gradi primi secondi 60 60 3600 primi secondi d gradi 60 3600 b
10. Il passaggio dal sistema sessagesimale al sistema radiante si effettua mediante la formula: a
r
° 360
b
r
2 ° 180
c
r
° 2
d
r
2 ° 360
Domande a risposta aperta 1. Enuncia le principali differenze tra i diversi sistemi di misura angolare. ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... 2. Definisci cosa si intende per mediana di un lato. ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... 3. Definisci cosa si intende per asse di un segmento. ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... 4. Enuncia il teorema degli angoli al centro e alla circonferenza. ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... 5. Spiega in modo dettagliato la conversione da un angolo nel sistema sessagesimale a un angolo nel sistema sessadecimale. ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................
Preparazione all’esame di Stato
9. La conversione di un angolo sessagesimale in sessadecimale può essere effettuata con la relazione:
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Modulo
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1 Le misure lineari e angolari
esercizi proposti 1. Convertire i seguenti angoli in forma sessagesimale alla forma sessadecimale:
4. Convertire i seguenti angoli in forma sessagesimale alla forma centesimale:
13°2346 25°3409 35°4927 92°1823 104°2219 157°3310 188°1421 193°0244
14°1737 56°2407 93°1318 123°1956 169°0837 211°1617 293°0533 331°1541
R.
13°,39611; 25°,56917; 35°,82417; 92°,30639; 104°,37194; 157°,55278; 188°,23917; 193°,0456
2. Convertire i seguenti angoli in forma sessadecimale alla forma sessagesimale:
R.
5. Convertire i seguenti angoli in forma sessadecimale alla forma radiante:
204°,2440 221°,3711 264°,2915 278°,2330 298°,1622 306°,2644 324°,1611 354°,1920 R.
204°1438; 221°2216; 264°1729; 278°1359; 298°0944; 306°1552; 324°0940; 354°1131
3. Convertire i seguenti angoli in forma centesimale alla forma sessadecimale: 12g, 2432 23g, 3117 30g, 2719 90g, 1822 102g, 2109 156g, 1433 187g, 2631 192g, 4116 R.
11°,0189; 20°,9805; 27°,2447; 81°,1640; 91°,9898; 140°,5290; 168°,5368; 173°,1704
15g,8818; 62g,6688; 103g,5796; 137g,0358; 187g,9373; 234g,7460; 325g,6583; 368g,0682
4°,5114 31°,3711 104°,2915 178°,2530 218°,1229 284°,2041 305°,1619 334°,1523 R.
0r,0788; 0r,5475; 1r,8202; 3r,1111; 3r,8070; 4r,9603; 5r,3261; 5r,8321
6. Convertire i seguenti angoli in forma radiante alla forma centesimale: 0r,2032 1r,3011 2r,2214 3r,1820 4r,2309 4r,6423 5r,1246 5r,3411 R.
12g,9361; 82g,8306; 141g,4187; 202g,5724; 269g,3475; 295g,5380; 326g,2422; 340g,0250
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Simboli e segni convenzionali I.G.M.
Appendice
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Appendice
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Simboli e segni convenzionali I.G.M.
■ Scritture I.G.M.
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App.
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Simboli e segni convenzionali I.G.M. 301
■ Impiego delle scritture I.G.M.
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Simboli e segni convenzionali I.G.M.
■ Impiego delle scritture I.G.M.
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