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Altimetría

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ALTIMETRÍA Capítulo 4

En este capítulo analizaremos los métodos, y usos de los diferentes instrumentos topográficos, con un solo objetivo: LA NIVELACIÓN TOPOGRÁFICA. Nivelar significa determinar la altitud de un punto respecto a un plano horizontal de referencia. Esta concepción ha sido usada desde hace mucho tiempo atrás, prueba de ello son la existencia de las grandes fortalezas del imperio incaico, las pirámides de Egipto, o simplemente las construcciones modernas. Hoy en día la construcción de edificios, caminos canales y las grandes obras civiles no quedan exoneradas del proceso de nivelación; incluso los albañiles hacen uso del principio de vasos comunicantes para replantear en obra los niveles que indican los planos.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES Superficie de nivel Es la superficie perpendicular a la dirección de la vertical. Plano horizontal Es aquel plano perpendicular a la dirección de la vertical y tangente a una superficie de nivel en un solo punto. Vertical

ie

Su

p

f ic er

de

Su pe

r

ie fi c

de

Vertical P Plano horizontal en P

el 2 niv n iv

Nivelación Es el proceso mediante el cual se determina la altitud de un punto respecto a un plano horizontal de referencia.

Vertical el 1

Superficie terrestre

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Nivel medio del mar (N.M.M) Es el nivel ±0,00 adoptado convencionalmente y viene a ser el promedio de la máxima elevación del mar (PLEAMAR) y su máximo descenso (BAJAMAR) en un lugar. Pleamar

Cota Es la altitud de un punto respecto a un plano horizontal de referencia. Bench Mark (B.M.) Es la altitud de un punto respecto al plano correspondiente al nivel medio del mar, se le llama también cota absoluta.

Bajamar B.M. del punto A El movimiento de las aguas del mar se debe a la variación de la atracción gravitatoria de los astros (sol y luna) dando lugar a las oscilaciones que toman el nombre de flujo (elevación) y reflujo (descenso). El nivel medio del mar en un punto es la medida de las observaciones registradas en dicho punto por un mareógrafo en un período de varios años, con el objeto de anular todas las causas perturbadoras del equilibrio del agua. En el Perú, la bajamar y la pleamar los publica mediante tablas la Dirección de Hidrografía y Navegación de la Marina de Guerra del Perú.

A

h N.M.M.

Todas los países tienen una red de nivelación con señales permanentes. En el Perú el Instituto Geográfico Nacional (IGN) es la entidad que proporciona el B.M. de un punto cercano a la zona de trabajo.

CLASES DE NIVELACIÓN 1.- Nivelacion directa ó Geométrica 2.- Nivelación indirecta – Nivelacion trigonométrica – Nivelacion barométrica Algo más sobre mareas Las fluctuaciones llamadas mareas son movimientos alternativos vivos y diarios de las aguas del mar, que cubren y abandonan sucesivamente la orilla. Se producen a causa de las atracciones lunares y solares combinadas con el movimiento de rotación de la tierra. Cuando la luna se halla sobre las aguas del mar las obliga, por atracción, a elevarse hasta determinada altura, y eso es lo que ocasiona la marea ascendente. Estos dos movimientos de crecida y descenso del agua se llaman también flujo y reflujo. Las aguas del mar oscilan en torno de una posición media que se denomina nivel medio. Cuando las aguas han alcanzado su mayor elevación permanecen estacionarias durante un lapso de tiempo, y esto es lo que constituye la pleamar. Llegadas a su mayor depresión , quedan también algunos momentos en reposo , período al que se le llama bajamar. Los movimientos más considerables son los que genera la luna, dada

Altimetría

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su mayor proximidad a la tierra; pero la acción es irregular y varía diariamente, tanto por sus cambios de posición con respecto a la tierra, como por sus cambios de lugar relativo con respecto al sol. En los períodos de luna nueva y luna llena, el sol y la luna están alineados actuando en el mismo sentido y sumando acciones y los movimientos de agua son entonces el resultado de dos mareas parciales (marea de agua viva o de sicigia); pero en los períodos de cuarto creciente o menguante, el efecto del sol contrarresta el de la luna, y la marea en este caso es la diferencia de estas dos acciones que se denomina (marea de agua muerta). En las tablas de marea se publican las horas y alturas de pleamares y bajamares. Además se incluyen predicciones horarias para algunos puertos donde la característica de la marea así lo requiere. También se brindan predicciones de corriente de marea, para distintas posiciones del litoral. A continuación se muestran estos datos tomados por el mareógrafo ubicado en el callao. Tablas de mareas del callao Abril del 2002 Día lun lun lun lun mar mar mar mar mie mie mie mie

fecha 01-abr-02 01-abr-02 01-abr-02 01-abr-02 02-abr-02 02-abr-02 02-abr-02 02-abr-02 03-abr-02 03-abr-02 03-abr-02 03-abr-02

hora 02:03 08:42 14:56 20:30 02:47 09:43 16:11 21:21 03:36 10:56 17:52 22:30

cm 12 98 34 79 18 94 43 67 24 91 46 58

fase lunar

Día jue jue jue vie vie vie vie sab sab sab sab dom dom dom dom lun lun lun lun mar mar mar mar mie

fecha 04-abr-02 04-abr-02 04-abr-02 05-abr-02 05-abr-02 05-abr-02 05-abr-02 06-abr-02 06-abr-02 06-abr-02 06-abr-02 07-abr-02 07-abr-02 07-abr-02 07-abr-02 08-abr-02 08-abr-02 08-abr-02 08-abr-02 09-abr-02 09-abr-02 09-abr-02 09-abr-02 10-abr-02

hora 04:38 12:20 19:46 00:18 06:00 13:40 21:03 02:02 07:25 14:42 21:48 03:08 08:32 15:29 22:19 03:51 09:23 16:05 22:44 04:25 10:04 16:35 23:05 04:55

cm 30 91 46 55 34 91 40 55 37 94 37 61 34 94 34 67 34 94 30 70 30 94 27 76

fase lunar

Luna Llena

Cuarto Menguante

Día mie mie mie jue jue jue

fecha 10-abr-02 10-abr-02 10-abr-02 11-abr-02 11-abr-02 11-abr-02

hora 10:41 17:02 23:25 05:24 11:16 17:27

cm 30 91 27 79 30 91

Día jue vie vie vie sab sab sab sab dom dom dom dom lun lun lun lun mar mar mar mar mie mie mie mie jue jue jue jue vie vie vie

fecha 11-abr-02 12-abr-02 12-abr-02 12-abr-02 13-abr-02 13-abr-02 13-abr-02 13-abr-02 14-abr-02 14-abr-02 14-abr-02 14-abr-02 15-abr-02 15-abr-02 15-abr-02 15-abr-02 16-abr-02 16-abr-02 16-abr-02 16-abr-02 17-abr-02 17-abr-02 17-abr-02 17-abr-02 18-abr-02 18-abr-02 18-abr-02 18-abr-02 19-abr-02 19-abr-02 19-abr-02

hora 23:46 05:54 11:50 17:52 00:07 06:24 12:25 18:15 00:28 06:56 13:01 18:37 00:49 07:29 13:39 18:58 01:10 08:05 14:22 19:17 01:33 08:47 15:16 19:38 02:03 09:39 16:35 20:05 02:44 10:45 18:29

cm 24 85 30 88 24 88 34 82 24 88 37 76 24 91 43 73 24 88 46 67 24 88 49 61 27 88 52 58 30 88 52

fase lunar Cuarto Menguante

fase lunar

Luna Nueva

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62 Día vie sab sab sab sab dom dom dom lun lun lun lun mar mar mar mar mie mie mie mie jue jue jue

fecha 19-abr-02 20-abr-02 20-abr-02 20-abr-02 20-abr-02 21-abr-02 21-abr-02 21-abr-02 22-abr-02 22-abr-02 22-abr-02 22-abr-02 23-abr-02 23-abr-02 23-abr-02 23-abr-02 24-abr-02 24-abr-02 24-abr-02 24-abr-02 25-abr-02 25-abr-02 25-abr-02

hora 21:11 03:49 12:02 19:47 23:37 05:24 13:11 20:27 01:27 06:59 14:08 21:02 02:36 08:14 14:57 21:37 03:31 09:17 15:42 22:12 04:20 10:14 16:25

cm 55 34 88 46 52 34 91 40 58 34 98 34 67 30 101 24 79 24 101 15 88 24 101

fase lunar

Cuarto Creciente

Día jue vie vie vie vie sab sab sab dom dom dom dom lun lun lun lun mar mar mar mar

fecha 25-abr-02 26-abr-02 26-abr-02 26-abr-02 26-abr-02 27-abr-02 27-abr-02 27-abr-02 28-abr-02 28-abr-02 28-abr-02 28-abr-02 29-abr-02 29-abr-02 29-abr-02 29-abr-02 30-abr-02 30-abr-02 30-abr-02 30-abr-02

hora 22:50 05:08 11:08 17:07 23:28 05:56 12:02 17:50 00:06 06:45 12:57 18:32 00:46 07:35 13:56 19:16 01:26 08:28 15:02 20:03

cm 9 98 21 98 6 104 24 91 3 110 27 85 6 110 34 76 12 107 37 67

fase lunar

Luna Llena

Preguntas y respuestas sobre el Bench Mark ¿Donde están geográficamente ubicados los B.M.? Los Bench Mark, están ubicados a lo largo y ancho de todo el globo terrestre y son establecidos por instituciones especializadas en cada país; en el Perú es el Instituto Gegráfico Nacional (IGN) la entidad que se ocupa de la colocación y mantenimiento de estas marcas permanentes. ¿Los B.M. se deben ubicar en algún punto en particular? Lo óptimo es que un B.M. se ubique en una zona de suelo firme, sobre una extructura, pilar o muro, en todos los casos de regular importancia de modo que garantize su no demolición en cinco años por lo menos. En realidad, en nuestro país debería existir ciertas normas que reglamenten las dimensiones y características de los cimientos para cada tipo de suelo así como para ciertos casos generales. ¿Como es un B.M. en el terreno? Físicamente un B.M. se representa mediante una placa de bronce de 10 cm de diámetro soldado a una barra de acero; este último colabora con la adherencia entre el concreto y la placa. El disco de bronce debe llevar grabado su código, la flecha de instalación y el nombre de la institución que lo realizó. ¿Que es el N.M.M.? El N.M.M. es el nivel medio del mar, cuya cota absoluta toma el valor de ±0,000 metros, ese dato es proporcionado por el mareógrafo el cual promedia la marea alta, media y baja de un lugar. En el Perú existen cinco mareógrafos a lo largo de nuestro litoral, estos se ubican en: • Talara (Piura) • San Juan (Marcona) • Chimbote (Ancash) • Matarani (Arequipa) • La Punta (Callao) La Marina de Guerra del Perú, es la Institución que se encarga de proporcionar el N.M.M.

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¿Cómo se nivela un B.M.? Generalmente para monumentar un B.M. primero se instala la placa de bronce en el lugar elegido; luego se realiza una nivelación geométrica de alta precisión de circuito cerrado partiendo de un B.M. anteriormente establecido. De este modo se determina la cota de la placa de bronce a cuyo valor se le llama en adelante B.M. ¿Como saber el valor del B.M. de una placa de bronce de interes particular para un topógrafo? La información de dicho dato corresponde al Instituto Geográfico Nacional, el cual lo efectúa a pedido del interesado mediante un documento similar al que se muestra a continuación previo pago por los derechos respectivos.

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Concreto

TITUTO NS

AGO-2001

CIONA NA L

BM. PI-3

O

GRÁFIC EO G

I

Disco de metal Vista de planta

NIVELACIÓN DIRECTA O GEOMÉTRICA Este método determina directamente el desnivel entre dos puntos con la obtención de un plano horizontal; es el más preciso y el más usado. Ejemplo ilustrativo

B

A B

En la figura superior, es fácil entender que con ayuda del equialtímetro es posible obtener directamente la cota en “B”(101,00 m).

El plano o superficie horizontal que pasa por el instrumento es perpendicular a la vertical o plomada que pasa por el centro del aparato, de lo cual se deduce que hay un solo plano horizontal para cada estación.

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Los instrumentos básicos en una nivelacion geométrica son: a) El nivel de ingeniero (equialtímetro) b) La mira Puesta en estación del nivel de Ingeniero 1º Se sueltan los tornillos de las patas del trípode; se colocan las patas juntas tal como se muestra hasta que el nivel de la plataforma coincida aproximadamente con el de la quijada del operador. En esa posición se ajustan los tornillos antes mencionados.

3º Se realiza el calado del nivel esférico. Para este proceso existen dos posibilidades: – Cuando el equialtímetro esta provisto de tornillos nivelantes.

2º Se instala el equipo en la plataforma del trípode con ayuda del tornillo de sujeción; este proceso debe realizarse con mucho cuidado para evitar que el equialtímetro caiga al suelo. Se extienden las patas del trípode, teniendo en cuenta las siguientes condiciones: – La base de las patas del trípode deben formar aproximadamente un triángulo equilátero. – La plataforma del trípode debe estar a la vista del operador en posición horizontal.

Se ubica el telescopio paralelo a la línea recta que une dos tornillos nivelantes cualesquiera, luego se giran simultáneamente dos tornillos ya sea hacia afuera o hacia adentro según el caso.

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Con ayuda del tercer tornillo se realiza el calado de la burbuja.

– Cuando el equialtímetro no tiene tornillos nivelantes: Se afloja el tornillo de sujeción del instrumento y moviendo éste coordinadamente con el equipo, se realiza el calado del ojo de pollo.

4º Se dirige la visual hacia el alineamiento elegido. 5º Se realiza el centrado definitivo, para lo cual se presentan dos posibilidades: – Cuando el equipo tiene un nivel tubular: Para calar la burbuja, se hace uso del tornillo nivelante que más se acerque al eje directriz del nivel tubular.

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– Cuando el equipo tiene un nivel de burbuja partida (parábola): En este caso se realiza el centrado de la burbuja con ayuda del tornillo basculante.

Tornillo basculante

Observación • •

El quinto paso se repite para cada visual . En niveles automáticos, la puesta en estación termina en el 4º paso.

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Casos generales en una nivelación geométrica A) Nivelación relativa

Cuando solo sea necesario conocer el desnivel entre los puntos de la zona de trabajo. Para ello se asume una cota arbitraria a uno de los puntos lo suficientemente grande para no tener en el curso de la nivelación cotas negativas, o bien al punto más bajo se le da cota cero.

B) Nivelación absoluta

Cuando sea preciso trabajar con cotas absolutas. En este caso se ubica el B.M. de un punto cercano a la zona de trabajo; en el Perú, el Instituto Geográfico Nacional nos puede proporcionar dicho dato. A continuación se lleva a cabo una nivelación de circuito cerrado entre dicho B.M. y el punto más cercano a la zona por nivelar. Por último se realiza la nivelación en la zona establecida. E

B.M.

A

Zona de trabajo

D

C B Elementos importantes de una nivelación geométrica Puntos de nivel primario (Bancos de nivel) Son los correspondientes a los puntos de control; éstas deben estar monumentadas. Puntos de nivel secundario (Puntos de cambio) Son aquellos puntos que sirven de apoyo para poder enlazar dos puntos de control; sobre dicho punto de cambio se coloca la mira para efectuar las lecturas correspondientes. Se recomienda que los puntos secundarios sean pintados si se tratase de pavimento ó estacados provisionalmente en los jardines o tierra si fuese el caso; generalmente estos puntos deben desaparecer al concluir el trabajo de gabinete. Vista atrás L(+) Es la lectura de la mira correspondiente al punto de cota conocida. Vista adelante L(–) Es la lectura de la mira correspondiente al punto de cota no conocida. L(+)

Nivel instrumental

L(–)

Cota no conocida Cota conocida

Lectura mira (0,22 m)

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Nivel instrumental ( ) Es el nivel correspondiente al eje de colimación del instrumento.

Observación -

Existen miras que tienen adosado un nivel esférico, el cual ayuda a conseguir la verticalidad de la misma. (Fig. A) En la actualidad se utilizan muchas miras que carecen del nivel esférico; cuando por alguna razón el portamira no consigue colocar la regla verticalmente, se aconseja balancearlo; con ello el operador notará varias lecturas en la mira, de los cuales deberá anotar el menor valor, ya que cuanto mayor se la lectura en la mira, tanto mayor será el error debido a la inclinación dada. (fig.B)

(Fig. A)

(Fig. B)

Tipos de nivelación geométrica A) Nivelación geométrica simple

Sirve para encontrar la cota de uno o más puntos del terreno por medio de una sola estación instrumental. Pasos a seguir • Se coloca la mira en el punto de cota conocida (A) • Se ubica el punto de cota por conocer (B). • Se instala el nivel en un punto equidistante a los antes mencionados. • La distancia nivel–mira no debe sobrepasar 120 metros; sin embargo es recomendable trabajar con una distancia máxima de 50 metros.

A

B

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• Con ayuda del nivel se visa la mira en el punto de cota conocida: L(+) y se anota en la libreta de campo. • Se coloca la mira en el punto de cota por conocer. • Con ayuda del nivel se visa la mira en el punto de cota por conocer : L(-) y se anota en la libreta de campo.

A

B

Ejemplo Ilustrativo 1 Dado el punto “A” de cota 100,00 m; se desea conocer la cota del punto “B”.

•

Calculando la cota de “B”

B A

B

Solución:

A Cota “B” = 101,85 – 0,72

•

Cota B = 101,13 m

Ilustrando el proceso de campo en planta. •

A

Comúnmente se hace uso de la siguiente tabla: En el campo

B

Punto A B

L(+) 1,85

L(–) 0,72

Cota 100,00

Calculando la cota de “B” Punto

L(+)

A

1,85

B

B A

•

En general:

L(–)

+

101,85

-

Cota 100,00

0,72

101,13

= L(+) + Cota conocida Cota por conocer =

– L(–)

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Nota En la práctica, no siempre es posible instalar el equipo equidistante a los puntos involucrados; sin embargo se recomienda buscar en lo posible la equidistancia; los motivos se explicarán más adelante.

•

Ejemplo Ilustrativo 2

B

C

D

Solución •

Se instala el nivel en un punto, aproximadamente equidistante.

En el campo Punto A B C D

Dado el punto “A” de cota +100,00 m; se desea conocer las cotas de los puntos B, C y D.

A

A

•

B

C

L(+) 1,85

L(–) 0,72 2,40 1,23

D Cota 100,00

En el gabinete: Punto A B C D

L(+) 1,85

101,85

L(–) 0,72 2,40 1,23

Cota 100,00 101,13 99,45 100,62

B) Nivelación recíproca

Este método se utiliza cuando: – Se desea comprobar si el eje óptico del anteojo del nivel es paralelo a la directriz del nivel tubular. – No es posible colocar el instrumento en un lugar intermedio entre dos puntos de mira, ya sea porque se interponga un río, un pantano o cualquier otro obstáculo.

Cota conocida

Cota por conocer

Pasos a seguir Se explicará los pasos con el apoyo de un ejemplo numérico. – Se coloca el nivel en el extremo de la zona de cota conocida, mientras se colocan las miras en los puntos A y B; para luego calcular la cota del punto B. La distancia PA debe ser lo suficiente, tal que permita al operador visualizar sin dificultad la lectura de la mira en “A”.

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Calculando: cota “B” = 99,39 m – Se traslada el nivel a un punto Q, tal que aproximadamente PA = QB ; para luego calcular nuevamente la cota en “B”.

Calculando: cota “B” = 99,41 m – La cota buscada será el promedio:

Cota “B” =

99, 39 + 99, 41 2

⇒

Cota “B” = 99,40 m

C) Nivelación compuesta

Es una sucesión de niveles simples relacionados entre sí; se utiliza cuando se requiere la diferencia de nivel entre dos puntos muy distanciados o cuando la visibilidad desde una estación no lo permite. Ejemplo ilustrativo A continuación se explicará el presente método mediante un ejemplo numérico. En el croquis se muestran dos puntos, en las cuales, el punto “A” tiene como cota: +100,00 m; el problema consiste en determinar la cota del punto B. No es difícil deducir la imposibilidad en realizar una nivelación simple, por lo cual se elige la nivelación compuesta.

A

B

Altimetría

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Pasos a seguir – Se elige un punto: 1 (punto de cambio), con la condición de acercarnos al punto “B”. – Se realiza una nivelación simple entre A y 1 como si B no existiese. – Se calcula cota del punto 1.

A 1

B

Punto A 1

L(+) 2,54

102,54

L(–)

Cota 100,00 101,12

1,42

– Se elige el punto “2” (punto de cambio) con la condición de acercarnos más aún hacia “B”. – Se realiza una nivelación simple entre “1” y “2” como si los demás puntos no existiesen. – Se calcula la cota del punto “2”

A 1

2

B

Punto 1 2

L(+) 0,56

101,68

L(–) 2,53

Cota 101,12 99,15

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– Se elige el punto “3” (punto de cambio) con la condición de llegar al punto “B”. – Se realiza una nivelación simple entre los puntos “2” y “3” como si los demás puntos no existiesen. – Se calcula la cota del punto “3” A

2

B

3 Punto 2 3

L(+) 1,44

100,59

L(–) 0,54

Cota 99,15 100,05

– Finalmente se realiza una nivelación simple entre los puntos “3” y “B”. – Se calcula la cota del punto “B”, que es el resultado final. A

B

3

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Punto 3 B

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L(+) 2,56

102,61

L(–) 1,82

Cota 100,05 100,79

Cota “B” = 100,79 m

– Sintetizando: El recorrido en planta de la nivelación compuesta sería la siguiente:

A 1

B

2

3 •

En el campo Es posible unir las tablas de las nivelaciones simples independientes: Punto A 1 2 3 B

L(+) 2,54 0,56 1,44 2,56

L(–) 1,42 2,53 0,54 1,82

Cota 100,00

•

En el gabinete

Punto A 1 2 3 B

L(+) 2,54 0,56 1,44 2,56

102,54 101,68 100,59 102,61

L(–) 1,42 2,53 0,54 1,82

Cota 100,00 101,12 99,15 100,05 100,79

Nota En el presente ejemplo ilustrativo se tomó tres puntos de cambio; en la práctica el número de dichos puntos lo elegirá el ingeniero. Comprobación de una nivelación geométrica Una vez realizado el calculo de la libreta de campo, se debe efectuar la comprobación de dicha nivelación, para ello se utiliza la actividad A y B.

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A) Comprobación del cálculo matemático de la libreta

Muchas veces el cálculo de la libreta se realiza en campo, por ende está sujeto a posibles errores, el cual se puede detectar con la siguiente expresión:

ΣL(+) – ΣL(–) = Cota final – Cota inicial En el ejemplo anterior: ΣL(+) = 7,10 ΣL(–) = 6,31 Cota final = 100,79 Cota inicial = 100,00

     

7,10 – 6,31 = 100,79 – 100,00 0,79 = 0,79 ....... (conforme) Lo cual significa que el calculo es correcto.

Demostración:

2

n

1

3

n-1

Analizando cada nivelación simple: L (+) – L (–) = Cota 2 – Cota 1 1 2 L (+) – L (–) = Cota 3 – Cota 2 2 3 L (+) – L (–) = Cota 4 – Cota 3 3 4 .. .. .. .. Ln – 1(+) – Ln(–) = Cota n – Cotan – 1 ΣL(+) – ΣL(–) = Cota n – Cota 1 ΣL(+) – ΣL(–) = Cota final – Cota inicial B) Comprobación de la nivelación propiamente dicha

....... (demostrado)

La comprobación de la libreta de campo, no indica si la nivelación es correcta, para ello es necesario verificar que el error accidental total sea menor que el máximo tolerable, el cual dependerá de la precisión buscada.

Altimetría

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Existen dos casos: B-1) Cuando sólo sea conocido un banco de nivel

Generalmente se utiliza cuando el objetivo es determinar la cota de uno o varios puntos específicos, partiendo de una cota conocida.

Cota conocida

Cota por conocer

A

B

Para ello es necesario realizar la nivelación tanto de ida como de regreso. Teóricamente la cota inicial debe ser exactamente igual a la cota final, dado que es el mismo punto, en la práctica, siempre existe una diferencia entre dichas lecturas; a esta diferencia se le llama error de cierre altimétrico, su aceptación dependerá de la precisión que se busca.

Ida

A

B Regreso

Ejemplo ilustrativo El croquis muestra dos puntos: A y B; cota “A” = 100,00 m y cota “B” = desconocida; mediante una nivelación compuesta se determina la cota en “B” la cual es 120,00; para comprobar dicha nivelación es preciso regresar por cualquier otro recorrido. La figura muestra que la cota de llegada es 100,01 m con lo cual el error de cierre altimétrico es 0,01 m. Asumiendo que el máximo error tolerable en metros es: Emax = 0,02 k (k = número de kilometros) ¿Es aceptable la nivelación?

Solución: •

Sea

•

Dato:

B

Regreso

Emax = 0,02 k

8(50) = 0, 4 km 1 000 Emax = 0,02 0, 4 Emax = 0,013 m k=

Ida

A

E = error de cierre altimétrico E = Cota final – Cota inicial E = 100,01 – 100,00 E = 0,01 m

•

Se observa: E < Emax Con lo cual se da por aceptable la nivelación.

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78 B-2) Cuando se conozcan dos bancos de nivel

Generalmente se utiliza cuando el objetiCota por vo es deter minar la configuración conocer altimétrica del terreno a lo largo de una Cota Cota línea definida planimétricamente y que conocida conocida enlaza los puntos dados. B A 4 Para ello es necesario realizar la nivelación 2 5 1 de ida solamente. 3 Ida Teóricamente la cota final calculada, debe ser exactamente igual a la cota final conocida, dado que es el mismo punto; en la práctica, siempre existe una diferencia entre dichas lecturas; a esta diferencia se le llama error de cierre altimétrico, su aceptación dependerá de la precisión que se busca.

Ejemplo ilustrativo El croquis muestra dos puntos: A y B; cota “A” = 100,00 m; cota “B” = 101,60 m. Mediante una nivelación compuesta, partiendo de la cota del punto “A”, se determina la cota de los puntos que muestra la tabla. Sabiendo que la longitud total del itinerario es 800 metros y asumiendo que el máximo error tolerable en metros es: Emax = 0,02 k (k = número de kilometros) ¿Es aceptable la nivelación?

A 1

2

Libreta de campo: Punto A 1 2 3 4 5 B

L(+) 1,63 1,82 1,76 1,93 2,16 1,87

L(–) 1,20 1,36 1,41 1,62 1,93 2,06

Cota 100,00

4 3 •

•

11,17

101,63 102,25 102,65 103,17 103,71 103,65

L(–) 1,20 1,36 1,41 1,62 1,93 2,06 9,58

Chequeando el cálculo matemático

Comprobando la nivelación propiamente dicha: E = error de cierre altimétrico E = Cota “B” (real) – Cota “B” (calculado) E = 101,60 – 101,59 E = 0,01 m

En el gabinete: L(+) 1,63 1,82 1,76 1,93 2,16 1,87

5

ΣL(+) – ΣL(–) = Cota final – Cota inicial 11,17 – 9,58 = 101,59 – 100,00 1,59 = 1,59 ....... (conforme)

Solución Punto A 1 2 3 4 5 B Σ

B

Cota 100,00 100,43 100,89 101,24 101,55 101,78 101,59

•

Dato: Emax = 0,02 k = 0,02

800 1 000

Emax = 0,017 m •

Se observa: E < Emax Con lo cual se da por aceptable la nivelación.

Altimetría

79

Precisión de una nivelación compuesta La precisión en una nivelación compuesta, está en relación directa al objetivo que se persigue; así pues, si se requiere realizar un levantamiento preliminar, no justificaría usar un equipo de alta precisión por cuanto ello llevaría consigo una mayor inversión económica. No obstante cualquiera sea el caso, es necesario tomar ciertas precauciones cotidianas como: – Revisar y ajustar el instrumento antes de ser usado. – No apoyarse en el trípode y/o nivel. – No instalar el equipo en zonas de posible vibración (como en las calzadas vehiculares). – Tratar de nivelar en climas templados, dado que una alta o baja temperatura dilata o contrae respectivamente la mira además de afectar al equipo. – Evitar trabajar en épocas de viento y/o lluvias . Sin embargo, por más precaución que se tenga, es imposible evitar la presencia de errores accidentales. Es posible cuantificar la precisión, mediante el error máximo tolerable, el valor de dicho error está en función de dos parámetros: •

El error kilométrico (e).- Máximo error accidental del instrumento en un itinerario de 1 kilómetro.

•

Número de kilometros (k).- La distancia en kilómetros del itinerario. Emax : error máximo tolerable (metros) e : error kilométrico (metros) k : número de kilometros

Emax = e k

En el presente texto estableceremos la siguiente clasificación general para la nivelación geométrica. Nivelación aproximada

Se usa en reconocimientos o levantamientos preliminares, las visuales pueden ser hasta 300 metros, la lectura en la mira puede tener una aproximación hasta de 5 cm, no es necesario que el instrumento se encuentre equidistante respecto a los puntos por nivelar, el punto de apoyo puede ser en terreno natural. Emax = ±0,10 k Emax : error máximo tolerable (m) k : número de kilometros del itinerario Nivelación ordinaria

Se emplea en trabajos de caminos, carreteras, ferrocarriles, trabajos comunes de topografía, etc. Las visuales pueden ser hasta 150 metros, la lectura en la mira puede tener una aproximación hasta de 0,5 cm; el equipo debe ubicarse aproximadamente equidistante entre los puntos a nivelar, para ello basta medir a pasos dichas distancias; el punto de apoyo de la mira debe ser un cuerpo sólido. Emax = ±0,02 k

Nivelación precisa

Se utiliza en la determinación de bancos de nivel, en la elaboración de planos catastrales, en trabajos de cartografía; las visuales pueden ser hasta 100 metros, la lectura en la mira puede tener una aproximación hasta 0,1 cm; el equipo debe ubicarse aproximadamente equidistante entre los puntos a nivelar, para ello basta medir a pasos dichas distancias; el punto de apoyo de la mira debe ser un cuerpo sólido. Emax = ±0,01 k Nivelación de alta precisión

Se usa en la determinación de bancos de nivel muy distanciados entre ellos, en el establecimiento de B.M. así como en trabajos de geodesia de primer orden; las visuales pueden ser hasta 100 metros, la lectura en la mira puede tener una aproximación hasta 0,1 cm; el equipo debe ubicarse aproximadamente equidistante entre los puntos a nivelar, para ello basta medir por el método de estadía dichas distancias; el punto de apoyo de la mira debe ser un cuerpo sólido; el equipo debe estar protegido del sol; no obstante se recomienda no nivelar en dias calurosos y/o de fuertes vientos. Emax = ±0,004 k

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80

Compensación de errores en una nivelación geométrica Cuando la comprobación de una nivelación geométrica de un trabajo topográfico tiene un resultado satisfactorio, se procede a repartir el error de cierre total en cada una de las cotas de los puntos intermedios, dado que estos llevan consigo cierto error accidental. En el caso particular que el error de cierre altimétrico supere el valor del error máximo tolerable, habrá que repetir el trabajo de campo. A) En un itinerario cerrado

La compensación del error de cierre se realiza repartiendo dicho error en todas las cotas de los puntos intermedios y será directamente proporcional a la distancia entre dicho punto y el inicial.

Ci = Ci : ai : EC : dt :

( a i ) (EC ) dt

2

3

1

compensación en el punto “i” distancia del punto inicial al punto “i” error de cierre distancia total

4

n n-1

i

Ejemplo de aplicación La siguiente tabla muestra los datos de una nivelación cerrada; si se requiere una nivelación ordinaria; se pide realizar la compensación de cotas. Pto A 1 2 3 4 B 5 6 7 8 A

L(+) 0,289 1,493 1,619 1,240 0,896 2,332 2,078 1,997 2,169 2,076

L(–) 1,885 1,322 2,723 2,703 2,490 2,076 0,308 0,268 2,197 0,208

Cota d(m) 113,845 80,00 78,40 92,10 131,60 124,80 140,18 130,72 111,80 138,46 92,88

Croquis

2

1

3

7

6

5

•

•

B 8

Pto A 1 2 3 4 B 5 6 7 8 A Σ

L(+) 0,289 1,493 1,619 1,240 0,896 2,332 2,078 1,997 2,169 2,076

114,134 113,742 114,039 112,556 110,749 110,591 110,593 112,282 114,183 114,062

16,189

L(–) 1,885 1,322 2,723 2,703 2,490 2,076 0,308 0,268 2,197 0,208 16,18

Cota 113,845 112,249 112,420 111,316 109,853 108,259 108,515 110,285 112,014 111,986 113,854

Calculando el error de cierre. Ecierre = Σ V. atras – Σ V. adelante Ecierre = 0,009 m

4

A

Desarrollando la tabla:

Calculando el error tolerable máximo. Emax = ±0,02 d (en este caso) Emax = ±0,02 1,12 Emax = ±0,021 m

d(m) 80,00 78,40 92,10 131,60 124,80 140,18 130,72 111,80 138,46 92,88 1120,94

Altimetría

•

81

Comparando Ecierre con Emax

•

Pto

Ecierre < Emax

A 1 2 3 4 B 5 6 7 8 A

La nivelación es conforme •

Compensación de cotas:

Compensando:

Ci =

( a i ) (Ecierre ) dt

Ci =

a i × 0, 009 ⇒ C i = 8, 029 × 10 –6 a i 1 120, 94

Cota

Ci

113,845 112,249 112,420 111,316 109,853 108,259 108,515 110,285 112,014 111,986 113,854

– 0,001 – 0,001 – 0,002 – 0,003 – 0,004 – 0,005 – 0,006 – 0,007 – 0,008 – 0,009

Cota ai compensada 113,845 112,248 80,00 112,419 158,40 111,314 250,50 109,850 382,10 108,255 506,90 108,510 647,08 110,279 777,80 112,007 889,60 111,978 1028.06 113,845 1120,94

B) En un itinerario abierto

El procedimiento es similar al de un itinerario cerrado.

Ci = Ci : ai : EC : dt :

( a i ) (EC ) dt

2

compensación en el punto “i” distancia del punto inicial al punto “i” error de cierre distancia total

n

1

3

n-1

Ejemplo de aplicación El siguiente croquis y tabla respectiva, muestra los datos de una nivelación abierta; si se requiere una nivelación ordinaria; se pide realizar la compensación de cotas.

Cota = 165,458

A

B

1

2

3

Cota = 163,221 Pto A 1 2 3 B

L(+) 2,105 1,860 1,632 2,068

L(–) 1,270 1,465 0,922 1,765

Cota 163,221

d

Lado

79,30 52,90 109,20 33,80

A–1 1–2 2–3 3–B

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82

Emax = ±0,02 0, 2752

Desarrollando la tabla: Pto A 1 2 3 B Σ •

L(+) 2,105 1,860 1,632 2,068

L(–)

165,326 165,916 1,270 166,083 1,465 167,229 0,922 1,765 7,665 5,422

Cota 163,221 164,056 164,451 165,161 165,464

d

Lado

79,30 52,90 109,20 33,80 275,20

A–1 1–2 2–3 3–B

Chequeando el cálculo matemático.

Emax = ±0,01 m •

Comparando EC con Emax EC < Emax La nivelación es conforme

•

Compensando:

( a i ) (EC ) dt a i × 0, 006 Ci = ⇒ C i = 2, 18 × 10 –5 a i 275, 20 Ci =

ΣL(+) – ΣL(–) = Cota “B” – Cota “A” 7,665 – 5,422 = 165,464 – 163,221 2,243 = 2,243 ....... (conforme) •

•

Calculando el error de cierre. EC = Cota “B” (calculado) – Cota “B” (dato) EC = 165,464 – 165,458 EC = +0,006 m

•

Calculando el error tolerable. Emax = ±0,02 k

Compensación de cotas: Pto A 1 2 3 B

Cota

ai

163,221 164,056 79,30 164,451 132,20 165,161 241,40 165,464 275,20

Ci – 0,002 – 0,003 – 0,005 – 0,006

Cota compensada 163,221 164,054 164,448 165,156 165,458

Nivelación geométrica entre dos puntos extremadamente alejados Cuando se trata de realizar una nivelación geométrica entre dos puntos muy distantes entre si; se recomienda dividir el circuito total en sub-circuitos

Ida A

B Regreso

Al nivelar en un circuito cerrado dos puntos muy alejados; es posible cometer una serie de errores cuya presencia ocasionaría un error de cierre altimétrico mayor que el máximo tolerable, lo cual obligaría al topógrafo a repetir posiblemente todo el trabajo.

A

B

Los puntos que definen los sub-circuitos, deberán ser estacados con mucho cuidado de modo que posteriormente sean fácilmente ubicable y no altere el valor de su cota en ningún momento. En cada sub-circuito se debe calcular su error de cierre altimétrico y cada uno de ellos debe ser menor que el máximo tolerable respectivo. Es posible que en una de los sub-circuitos el error de cierre sea mayor que el tolerable; de ser así, el topógrafo deberá repetir el trabajo tan solo en el sub-circuito comprometido.

Altimetría

83

Sea: E1 : error de cierre altimétrico en el sub-circuito 1 E2 : error de cierre altimétrico en el sub-circuito 2 E3 : error de cierre altimétrico en el sub-circuito 3 .. .. En : error de cierre altimétrico en el sub-circuito n

L1 : Longitud total del sub-circuito 1 L2 : Longitud total del sub-circuito 2 L3 : Longitud total del sub-circuito 3 .. . L : Longitud total del sub-circuito n n

El error de cierre altimétrico del circuito total será:

Etotal = ± E12 + E 22 + E32 + ... + En2 te:

Este error encontrado deberá ser menor que el máximo tolerable, el cual se calculará teniendo presend = L1 + L2 + L3 + ... + Ln Por último, se tendrá que realizar la compensación de cotas en cada sub-circuito independientemente unos de los otros.

Fenómenos físicos que afectan una nivelación Cuando se requiera determinar el desnivel entre dos puntos separados a una distancia considerable, hay que tomar en cuenta el error proveniente de la curvatura de la tierra y la refracción atmosférica. Influencia de la curvatura terrestre

Es conocido que todo plano o superficie horizontal es tangente a la superficie de nivel en un punto; si la distancia entre dos puntos es pequeña la línea que las une se puede considerar tangente, pero si es grande es imprescindible tomar en cuenta la curvatura de la superficie de nivel. Ahora, para efectuar nivelaciones en ingeniería, se utilizan instrumentos ópticos que permiten visualizar toda una horizontal sin importar la distancia Lectura visualizada

Lectura verdadera

Lectura visualizada

Nivel instrumental

A

B

Si la distancia entre A y B no es mayor que 50 metros se puede considerar la superficie del nivel instrumental y su respectiva horizontal confundidos en un mismo plano. Cota B = nivel instrumental – lectura visualizada

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84

Horizontal

E+ al nt

-

m e

C

Niv el i ns tr u

Niv el i

ns tr u m en t

a

l+

Lectura visualizada

A

B

Lectura verdadera

Si A y B están separadas por una distancia considerable, el plano horizontal y su respectivo nivel instrumental provocan un error en la lectura: Error por curvatura terrestre (Ec) Cota B = nivel instrumental + Ec – lectura visualizada Cota B = (nivel instrumental – lectura visualizada) + Ec De donde se deduce que la corrección por curvatura terrestre siempre es positiva, es decir, hay que sumarla algebraicamente a la cota del punto visado. Ec : error por curvatura terrestre D : distancia horizontal entre los puntos R : radio terrestre.

Ec = +

D2 2R

Influencia de la refracción atmosférica

Sabemos que todo rayo de luz que pasa de un medio a otro de diferente densidad cambia de dirección, a este fenómeno se le llama refracción. En el proceso de nivelación, el rayo que sale del anteojo del nivel y que se dirige a la mira, sufre dicha refracción debido a que en su viaje tiene que atravesar diferentes capas de aire de diversas densidades, ello hace que dicho rayo se vaya refractando en cada una de ellas resultando curvilíneo.

Lectura verdadera Lectura visualizada

Altimetría

85

Lectura verdadera

Horizontal

Niv e Niv l ins el i tru nst m ru e m

E4 al nt tal – en

B

A

-

R

Lectura visualizada De la figura:

Cota “B” = (nivel instrumental – ER) – Lectura visualizada Cota “B” = (nivel instrumental – lectura visualizada) – ER

De donde se deduce que la corrección por refracción siempre es negativa, es decir hay que restar algebraicamente a la cota del punto visado. ER : error por refracción D : distancia horizontal entre los puntos R : radio terrestre

ER = `

D2 14R

Corrección de nivel aparente (C)

Cuando se realiza una nivelación entre dos puntos separados por una distancia considerable hay que tener en cuenta el error de nivel aparente, que viene a ser la suma algebraica del error por curvatura y el error por refracción; nótese que dicho error es positivo.

C = EC + E R C=

D2  –D2  +  2R  14R 

C=

6  D2    14  R 

A continuación se muestran algunos valores de C para diferentes distancias. D (m) 0 30 60 90 120 150 180

C (m) 0,0000 0,0000 0,0002 0,0005 0,0010 0,0015 0,0022

D (m) 210 240 270 300 330 360 390

C (m) 0,0030 0,0039 0,0049 0,0061 0,0073 0,0087 0,0102

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86

Observación para evitar realizar la corrección de nivel aparente, se recomienda instalar el nivel aproximadamente en un punto equidistante respecto a los puntos por nivelar; de este modo los errores cometidos se compensan entre si.

Horizontal -C

A

-C

Horizontal -R

B

Si el aparato se coloca equidistante respecto a A y B los errores por curvatura se compensan.

A

-R

B

Si el aparato se coloca equidistante respecto a A y B, los errores por refracción se compensan.

Ajuste y corrección de niveles o equialtímetros Aparte de las correcciones y ajustes que realizan los fabricantes , todos los instrumentos necesitan ser comprobados y corregidos en el campo antes de efectuar un determinado proyecto , tal es el caso del nivel. Condiciones que debe de cumplir un equialtímetro

Nos vamos a referir al equipo más común: el de anteojo y nivel fijos. 1.- El eje del nivel tubular ha de ser perpendicular al eje vertical del instrumento. 2.- El hilo horizontal del retículo debe estar en un plano perpendicular al eje vertical. 3.- La línea de visado ha de ser paralela al eje del tubo del nivel. Chequeo de las condiciones y corrección de éstas en el instrumento

1

ero

Perpendicularidad entre el eje del nivel Eje del nivel tubular tubular y el eje vertical Tuerca Tuerca – Se centra con precisión sobre un par de tornillos nivelantes, nivelando la burbuja. – Se gira el instrumento 180° alreddedor de su eje vertical. – Si la burbuja permanece calada; el nivel está corregido, es decir está bien. – Si el nivel no está corregido, el corrimiento de Eje vertical la burbuja es igual al doble del error verdadero. – La corrección que hay que aplicar es que la burbuja recorra la mitad de su distancia al punto medio del nivel por medio de las tuercas que se encuentran en el extremo del nivel tubular.

do

Perpendicularidad entre el hilo horizontal del retículo y el eje vertical – Se enfoca el hilo horizontal sobre un punto fijo “P” y se giran alrededor del eje vertical de tal manera que no salga del enfoque el punto “P”. Si continúa sobre el hilo horizontal no hay que hacer ninguna corrección. – Si se aleja del hilo, se corrige mediante los tornillitos adjunto al anteojo.

2

Altimetría

87

Vertical

Vertical

Horizontal

P

P

Horizontal

Correcto 3

ro

P

P

Incorrecto

Paralelismo entre el eje de colimación del anteojo y el eje directriz del nivel tubular Se comprueba y/o corrige mediante la llamada “prueba de las estacas”. – Se colocan dos estacas en el suelo, a una distancia aproximada de 80 metros uno del otro. – Procurar que el terreno sea horizontal. – Se instala el equipo en un punto aproximae e damente equidistante a las estacas y de preferencia en el alineamiento que los une. – Se coloca una mira en cada estaca (garantizar la verticalidad de éstos, en su defecto habrá que balancearlas) para luego tomar las lecturas correspondientes. A B – Se calcula el desnivel entre los puntos A y B d ; 80,00 m mediante la diferencia de las lecturas. – El desnivel calculado será el verdadero, dado Desnivel (A y B) = 1,572 – 1,456 que por la equisdistancia, los errores ( si los Desnivel (A y B) = 0,116 m hubiesen) se anulan. – Se traslada el equipo a uno de los extremos , (en nuestro caso “A”) lo más cerca que se puede a dicha estaca para evitar la propagación de algún error. Se toma la lectura (con el ojo del observador en el objetivo). – Con dicha lectura y el desnivel (A y B) ya conocido se calcula la lectura que deberá leerse en el punto “B”. – Se gira el anteojo hasta ubicar la mira en la estaca “B”; se toma la lectura correspondiente, si dicho valor coincide con el calculado, el aparato está en perfecto estado, de no ser así se suelta los tornillos verticales del retículo para subir o bajar los retículos hasta que marque la lectura calculada.

A

B

Lectura correcta = 1,355 + desnivel (A y B) Lectura correcta = 1,355 + 0,166 = 1,471

Se recomienda volver a chequear de las tres condiciones para verificar el correcto ajuste realizado.

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NIVELACIÓN INDIRECTA Este método se basa en el uso de un instrumento u operación matemática mediante el cual se calcula indirectamente el desnivel entre dos puntos. Se emplea cuando no se requiere tanta precisión como para optar por una nivelación directa. Nivelación trigonométrica La trigonometria es el principio fundamental en este tipo de nivelación; en este método es preciso contar como datos: el ángulo vertical “α” y la distancia inclinada entre A y B o la correspondiente proyectada al horizonte, el objetivo es calcular el desnivel ∆h entre dos puntos. Se emplea mucho en terrenos ondulados y donde hay quebradas; en las exploraciones y reconocimiento mediante la utilización del eclímetro y distancia a pasos. En trabajos de mayor precisión , los ángulos se miden con teodolitos y las distancias con estadía. Hoy en día este método se usa masivamente con ayuda de la estación total ; no obstante ello, la precisión por el método trigonométrico no es comparable con el geométrico. Corrección de nivel aparente (C) Cuando la distancia horizontal entre los puntos a nivelar es muy grande hay que tener en cuenta el error de nivel aparente que viene a ser la suma de los errores producidos por la curvatura terrestre y la refracción atmosférica. El análisis es similar al que se realizó en el método de nivelación geométrica.

C=

B

A α

A continuación se muestran algunos valores de C para diferentes distancias.

6  D2    14  R 

C : corrección de nivel aparente (siempre positivo) D : distancia horizontal entre los puntos a nivelar R : radio terrestre (6 400 km)

D (m) 0 100 250 500 1000 1500 2000 2500 3000

C (m) 0,0000 0,0007 0,004 0,017 0,067 0,15 0,27 0,42 0,60

Los instrumentos básicos en la nivelación trigonométrica El eclímetro.- Ya descrito en la pagina 50 El teodolito.- Su descripción se verá en el tema referente a taquimetría. La estación total.- Su descripción se verá en el tema referente a taquimetría. Métodos para hacer levantamientos trigonométricos A) Levantamiento con teodolito o estación total

Dado que hasta el momento no se ha descrito las componentes y el uso de estos equipos; tan solo nos limitaremos a explicar en términos generales la presente metodología postergando su explicación detallada en el tema: taquimetría.

Altimetría

89

En la ilustración: se trata de calcular el desnivel entre A y B con ayuda de una estación total. Nivel base

Analizando el nivel base:

Horizontal

H

ra ectu =L . .I D

B

Cota A + h + Dv = Cota B + H Cota B – Cota A = Dv + (h – H) Si: H = h

h

Cota B – Cota A = Dv

A B) Levantamiento con eclímetro

Este método sirve para determinar la pendiente de una línea recta que une dos puntos en el terreno; para ello es importante el uso de una mira. Para determinar la pendiente entre los puntos Lectura h A y B; el operador se estaciona en el punto A y coloca el eclímetro a la altura de su ojo; se mide con cinta métrica la altura que hay desde el punto “A” hasta el eclímetro (h); se coloca la mira en el punto “B”; se busca con el eclímetro la Horizontal α lectura “h” en la mira; con ello estamos consiB guiendo trazar imaginariamente una línea recta h paralela a la línea AB del terreno. El ángulo “α” en grado o en porcentaje será la pendiente de AB buscada. A Este método también se puede usar para replantear en el terreno pendientes preliminares.

Nivelación barométrica Este método se fundamenta en el siguiente fenómeno físico: la presión atmosférica disminuye al aumentar la altura respecto al nivel medio del mar. Torricelli fue el primero en determinar la presión atmosférica con la demostración del principio que lleva su nombre. Está claro entonces, que es posible determinar la presión producida por la atmósfera terrestre para diferentes alturas respecto al nivel medio de mar. En topografía se usa la nivelación barométrica para calcular el desnivel entre dos puntos midiendo la presión atmosférica en cada uno de ellos. Este tipo de nivelación se usa en los levantamientos de exploración o de reconocimiento, cuando las diferencias de elevaciones son grandes como en zonas montañosas y/o colinas. Si la densidad del aire que rodea a la tierra fuese constante, el decrecimiento de la presión atmosférica respecto a la altitud obedecería a una ecuación lineal, experimentalmente se demuestra que cuando la temperatura es cero grados centígrados: ∆h = 10,5 ∆P ∆h : diferencia de altitudes (metros) ∆P : diferencia de presión atmosférica (mmHg)

....... Ecuación lineal patrón

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90

Como quiera que en la actualidad existen barómetros que miden la presión con aproximación al 0,1 mm de Hg: podemos obtener desniveles con precisión al metro. Parámetros que afectan la ecuación lineal patrón

En realidad la densidad de nuestra atmósfera no es uniforme, pues varía fundamentalmente con la variación de la humedad y la temperatura. La humedad; las diferentes cantidades de vapor de agua que se presentan en diversos lugares hacen que a mayor vapor, mayor densidad. La temperatura; a mayor temperatura, el aire se dilata, por tanto disminuye su densidad. Fórmulas más comunes usadas en los barómetros de mercurio A) Fórmula simplificada de Laplace

ZBA = 18 400 log

PA PB

B) Fórmula de Babinet

2 ( TA + TB )   P − PB   ZBA = 16 000  A 1 +   1 000   PA + PB  

  TA + TB   1 + 0, 004  2  

ZBA : Desnivel entre los puntos A y B (metros) PA : Presión atmosférica en el punto A cuando T = 0 °C (mm hg) PB : Presión atmosférica en el punto B cuando T = 0 °C (mm hg) TA : Temperatura del aire en el punto A TB : Temperatura del aire en el punto B Ejemplo de aplicación

Recomendaciones

Se ha medido la presión atmosférica en los puntos A y B. Los datos obtenidos son los siguientes:

Sean A y B puntos sobre la superficie terrestre donde se requiere una nivelación barométrica

PA = 760 mmHg cuando TA = 22 °C PB = 720 mmHg cuando TB = 18 °C

B

Calcular el desnivel aplicando la fórmula simplificada de Laplace y de Babinet

∆h A

Solución: •

D

Aplicando la fórmula simplificada de Laplace

ZBA = 18 400 log

760   22 + 18   1 + 0, 004    720   2  

ZBA = 466,62 m •

Aplicando la fórmula de babinet

 760 − 720    22 + 18   ZBA = 16 000  1+ 2     760 + 720    1 000   ZBA = 467,03 m

– – – –

Evitar tomar lecturas barométricas en momentos de lluvias, altas temperaturas, fuertes vientos, etc. Antes de tomar las lecturas hay que esperar que el barómetro adquiera la temperatura ambiente. Las lecturas barométricas se deben tomar simultáneamente en ambos puntos. La nivelación barométrica se debe realizar en una misma zona para no variar las características atmosféricas, como promedio se puede recomendar no sobrepasar 15 km para “D” y 1 000 metros para “∆h”.

Altimetría

91

Instrumentos básicos en la nivelación barométrica

En la actualidad los barómetros más usados en topografía son: El barómetro de Fortín y el aneroide (altímetro), sin embargo por motivos didácticos citaremos y describiremos el barómetro de Torricelli y el de cubeta además de las mencionadas. A) El barómetro de Torricelli

Consiste en un tubo de vidrio calibrado, de aproximadamente 80 – 90 centímetros de longitud, cerrado por un extremo y abierto por el otro; puede ser de cualquier diámetro, sin embargo por su facil manejo se prefiere usar los de 5 a 8 milimetros, se llena completamente dicho tubo con mercurio. Así mismo es preciso contar con un recipiente (cubeta) conteniendo también mercurio. Tapando el extremo libre del tubo se sumerge dicho tubo en la cubeta hasta hacer coincidir el cero de la graduación del tubo con el nivel libre del mercurio en la cubeta; en esta posición se destapa el tubo, si nos encontramos al nivel del o o mar, a una temperatura de 0 C y a 45 de latitud, el nivel del mercurio bajará hasta alcanzar una altura sobre el nivel libre del mercurio de 760 mm; esto se debe a que el peso del mercurio del tubo se equilibra con la presión del aire (presión atmosférica) el cual sería 760 mm de mercurio. Se comprueba que para altitudes superiores al n.m.m la altura de mercurio disminuye.

Mercurio

760 mm

Cubeta

Este aparato tiene la desventaja de tener que ser desmontado cada vez que sea trasladado, dado que hay que hacer coincidir el cero de la graduación del tubo con el nivel libre del mercurio en la cubeta. Si se fabricase un barómetro no desmontable, la coincidencia del cual se hace mención, casi nunca se cumpliría porque si la presión aumenta, entra mercurio en el tubo y baja el nivel de la cubeta, sucediendo lo contrario al disminuir la presión.

B) El barómetro de cubeta

Es un aparato muy similar al de Torricelli, sus diferencias básicas son dos: – La base de la cubeta es móvil (puede subir o bajar) gracias a la acción de un tornillo variando su capacidad a voluntad, se lleva a que enrase la superficie del mercurio con el punto cero de la escala. – No obstante tener marcado el cero de la graduación en el tubo, se ha adosado una punta de metal o marfil (inmóvil) que acompañado con la cubeta de vidrio nos puede avisar el enrase buscado.

Punto de metal o marfil

Base de cubeta

Tornillo Es imprescindible cuidar la verticalidad del tubo, pues alguna inclinación del mismo daría lecturas erróneas de presión. Estas modificaciones sirven para obtener un barómetro de Torricelli no desmontable y poder trasladarlo a diferentes lugares; sin embargo éste sigue siendo un aparato delicado y tedioso en su uso. C) El barómetro de Fortín

Podría definirse como un barómetro de cubeta portátil. Consta de una cubeta de forma cilíndrica, cuya parte superior “A” es de vidrio y la inferior “B” de metal, y de un tubo que se introduce en la cubeta, protegido por una armadura metálica que está graduada en medios milímetros, a lo largo de una ranura que permite la observación

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

92

de la columna de mercurio; un cursor “C”, lleva un índice que puede colocarse al menisco de la parte superior de la mencionada columna para leer con exactitud la altura. En la parte superior de la cubeta está colocada una gamuza que impide la salida del mercurio, pero permite la acción de la presión atmosférica al dejar entrar el aire. Para usar este aparato, algunos hacen uso de un trípode y un nivel circular para garantizar la verticalidad del tubo. Para enrasar la superficie libre del mercurio con la punta metálica o de marfil se hace girar el tornillo “D”. No obstante, siendo un equipo portátil sigue siendo molestoso y tedioso en su transporte, por lo que solo puede emplearse fácilmente en estaciones fijas.

C

A

B

D

Nota -

-

Las superficies del mercurio sufren los efectos de capilaridad, lo que ocasiona cierto error. La fórmula simplificada de Laplace que es la que más se usa es válida para una latitud de 45º , esto significa que para latitudes diferentes (el caso común) habrá que hacer las correcciones respectivas. Comúnmente en levantamientos barométricos no se realizan la corrección por capilaridad ni por latitud, dado que sus valores son mínimos y no tienen mayor incidencia en los trabajos preliminares.

D) El barómetro aneroide

Se le llama también altímetro y son los que más se usan por su fácil traslado y operación, no obstante ser menos preciso que el barómetro de Fortín. Este instrumento consta de una caja cilíndrica metálica que contiene en su interior una cápsula cilíndrica con tapas de metal delgado con acanaluras concéntricas que le dan mayor sensibilidad a las diferencias de presiones; dentro de la cápsula se ha hecho un vacío parcial. Al variar la presión atmosférica, las tapas de la cápsula vibran lo cual se transmite a una aguja que va marcando en una escala circular de graduaciones en milímetros equivalentes a los de la columna de mercurio; en muchos aneroides existe una escala adicional que indica la diferencia de altura.

Altimetría

93

Métodos para hacer levantamientos barométricos

En topografía es común hacer uso de los aneroides, puesto que los barómetros de Fortín pese a su precisión requieren de mucho cuidado en su transporte. Para tomar la lectura que marca el altímetro, se recomienda que éste se encuentre en posición horizontal y a la altura del pecho de la persona y siempre evitar el contacto directo de los rayos solares. A continuación citaremos los métodos más importantes. A) Levantamiento con un aneroide

Es importante contar con la cota o B.M. del punto de partida. Los instrumentos adicionales que nos deben acompañar son: un termómetro y un reloj o cronómetro. En adelante asumiremos la lectura de presión o altitud, temperatura y tiempo de observación de un punto, al promedio de los cinco valores que deberán tomarse con un lapso aproximado de dos minutos entre cada observación en el mismo punto; se muestra a continuación la tabla modelo. PUNTO A Observación 1 2 3 4 5 Promedio

Presión (mmHg)

Altitud (m)

Pasos a seguir:

•

•

Tiempo

Lectura

Campo •

Temperatura (°C)

Se coloca el altímetro en el punto de partida, se toma como datos la presión, altitud, temperatura y tiempo. Se traslada el aparato a cada uno de los puntos cuya cota se desea conocer; en cada uno de ellos se toma como datos: la presión, altitud, temperatura y tiempo. Se regresa al punto inicial y se vuelve a tomar las lecturas mencionadas.

h

Gabinete • • •

Se calcula el error de cierre que viene a ser la diferencia de la altitud de llegada con la altitud de partida (ambas lecturas del altímetro). El error de cierre se reparte proporcionalmente al tiempo a cada uno de los puntos levantados. Se calcula la cota de la superficie del terreno restando la altura (se recomienda constante) que hay entre el altímetro y el punto propiamente dicho.

Altitud (A) = Lectura – h •

Entre la cota o B.M. del punto de partida y su correspondiente altitud compensada existirá cierta diferencia; Se tomará como cota base o patrón de dicho punto, el B.M. La diferencia se suma algebraícamente a cada punto levantado el cual será la cota buscada.

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

94 B) Levantamiento con dos aneroides

Es importante contar también con la cota o B.M. del punto de partida, asi como dos termómetros, dos radios de comunicación y dos relojes o cronómetros. Asumiremos la ilustración en planta.

Punto de partida A

1

2

3

Datos del barómetro móvil

Pasos a seguir: Campo • •

•

•

Se colocan los dos altímetros en el punto de partida , se toman las lecturas. Se traslada uno de los altímetros al siguiente punto y se toman las lecturas respectivas tanto en el punto de partida como en el siguiente punto en forma simultánea con ayuda de la radio. Se vuelve a trasladar el altímetro “móvil” al otro punto, mientras que el primero permanece en el punto de partida, en forma simultánea se vuelve a tomar las lecturas. Se prosigue el mismo proceso moviendo tan solo uno de los altímetros hasta regresar al punto de partida.

Punto A 1 2 3 .. .. ..

Altitud Dato Dato Dato Dato .. .. ..

Temperatura Dato Dato Dato Dato .. .. ..

Tiempo 0 t1 t2 t3 .. .. ..

A

Dato

Dato

tn

Gabinete •

Se realiza el cálculo del error de índice, que viene a ser la diferencias de altitudes barométricas en el punto de partida (A) cuando tiempo = 0

e = Altitud con barómetro móvil – Altitud con barómetro fijo Datos de campo:

•

Datos del barómetro fijo Punto A A A A .. .. ..

Altitud Dato Dato Dato Dato .. .. ..

Temperatura Dato Dato Dato Dato .. .. ..

Tiempo 0 t1 t2 t3 .. .. ..

A

Dato

Dato

tn

• •

Se aplica el error de índice a todas las lecturas tomadas por el altímetro móvil; de este modo reducimos todas las lecturas respecto al altímetro fijo. Se calcula el desnivel da cada punto respecto al punto de partida para un mismo instante para luego hacer la corrección por temperatura. Entre la cota o B.M. del punto de partida y su correspondiente altitud compensada existirá cierta diferencia. Se tomará como cota base o patrón de dicho punto, el B.M. La diferencia se suma algebraicamente a cada punto levantado el cual será la cota buscada.

Altimetría

95

RED DE NIVELACIÓN Cuando un conjunto de circuitos cerrados dependen unos de otros, es decir están enlazados entre si; constituyen en global una red de nivelación. En tal situación es preciso ajustar los desniveles entre cada dos puntos para que por uno u otro camino resulten iguales. Para dicho ajuste es posible usar el método de mínimos cuadrados el cual implica la solución de un número de ecuaciones de condición como circuitos existentes en la red; no obstante es posible usar el método de aproximaciones sucesivas para llegar al mismo objetivo. En este libro se va a usar el método de aproximaciones sucesivas, el cual consiste en realizar una serie de iteraciones sucesivas para lo cual nos apoyaremos en un ejemplo numérico. Ejemplo ilustrativo Se muestra una red de nivelación constituida por dos circuitos cerrados; se tiene como datos la longitud y el desnivel entre cada banco de nivel. Se pide realizar el ajuste respectivo.

B km 0,6 L = 7,324 m – ∆=

A

79 m 12,1 m + ∆ = 0,85 k L= I ∆ = –4 ,8 L = 1,0 70 m km

∆= L = –7,84 1,20 3 m km II

C

∆ = 15,172 m L = 0,9 km

D

Solución: • •

Las flechas en cada línea nos indica el sentido del recorrido del circuito. La denotación “∆” indica el desnivel entre dos bancos:

P •

Q

Se calcula el error de cierre de cada circuito. En el circuito I: En el circuito II:

•

∆ = Cota Q – Cota P

EC = 12,179 + (–7,324) + (–4,870) = –0,015 m EC = +0,005

Se recomienda dar inicio por el circuito cuyo error de cierre sea mayor; sin embargo si la diferencia entre estos dos son mínimos, se hace indiferente empezar por cualquier circuito.

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

96

•

Calculando el error máximo tolerable en el circuito I; en nuestro caso asumiremos: Emax = ±0,01 k Emax = 0,01 2, 45 Emax = 0,016 m

•

Dado que:

EC = 0,015 m < Emax = 0,016

Es posible continuar •

Ajustando el circuito I:

circuito

I

•

distancia

iteracion I

L (km)

%

desnivel

correccion

desn.correg.

AB

0.85

0.347

12.179

0.005

12.184

BC

0.6

0.24

-7.324

0.004

-7.320

CA

1

0.41

-4.87

0.006

-4.864

TOTAL

2.45

1.000

-0.015

0.015

0.000

Ajustando el circuito II: Tener presente que el desnivel del lado común (AB) corresponde al valor ajustado. circuito

II

•

lado

lado

distancia L (km)

%

desnivel

iteracion I correccion

desn.correg.

BC CD

0.6 0.9

0.222 0.333

-7.32 15.172

-0.002 -0.003

-7.322 15.169

DB TOTAL

1.2 2.7

0.444 1.000

-7.843 0.009

-0.004 -0.009

-7.847 0.000

Ajustando el circuito perimetral: Tener presente que los desniveles a tomar son los últimos que han sido ajustados.

circuito

PERIMETRAL

lado

distancia L (km)

%

desnivel

iteracion I correccion

desn.correg.

AB

0.85

0.215

12.184

0.000

12.184

BD DC

1.2 0.9

0.304 0.228

7.847 -15.169

0.001 0.000

7.848 -15.169

0.253 1.000

-4.864 -0.002

0.001 0.002

-4.863 0.000

CA TOTAL

1 3.95

Altimetría

•

97

Repitiendo la misma operación desde el circuito I tomando como desniveles los últimos ajustados. circuito

I

II

PERIMETRAL

lado

distancia

iteracion I

iteracion II

iteracion III

L (km)

%

desnivel

correccion

desn.correg.

desnivel

correccion desn.correg.

desnivel

AB

0.85

0.347

12.179

0.005

12.184

12.184

0.000

correccion

desn.correg.

12.184

12.184

0.000

BC

0.6

0.24

-7.324

0.004

-7.320

-7.322

12.184

0.000

-7.322

-7.322

0.000

CA

1

0.41

-4.87

0.006

-4.864

-4.863

-7.322

0.001

-4.862

-4.862

0.000

-4.862

TOTAL

2.45

1.000

-0.015

0.015

0.000

-0.001

0.001

0.000

0

0.000

0.000

BC

0.6

0.222

-7.32

-0.002

-7.322

-7.322

0.000

-7.322

-7.322

0.000

-7.322

CD

0.9

0.333

15.172

-0.003

15.169

15.169

0.000

15.169

15.169

0.000

15.169

DB

1.2

0.444

-7.843

-0.004

-7.847

-7.848

0.001

-7.847

-7.847

0.000

-7.847

TOTAL

2.7

1.000

0.009

-0.009

0.000

-0.001

0.001

0.000

0

0.000

0.000

AB

0.85

0.215

12.184

0.000

12.184

12.184

0.000

12.184

12.184

0.000

12.184

BD

1.2

0.304

7.847

0.001

7.848

7.847

0.000

7.847

7.847

0.000

7.847

DC

0.9

0.228

-15.169

0.000

-15.169

-15.169

0.000

-15.169

-15.169

0.000

-15.169

CA

1

0.253

-4.864

0.001

-4.863

-4.862

0.000

-4.862

-4.862

0.000

-4.862

TOTAL

3.95

1.000

-0.002

0.002

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

La iteración finaliza cuando la suma de desniveles en todos los circuitos sea cero. El resultado final será:

B

m

∆=

∆=

∆

84 12,1 =+

Ejemplo ilustrativo 2

Resultado final

m 18, 63 6

C

=

+2 0, 1 49

E ∆=

4, 8 40 m

D

∆

m

∆ = –24,768

A

–2

m ∆ = –24,765 L = 1,8 km m III 47 9 , 3 km +1 2,4 ∆= L =

∆=

II

L= = 2 2,4 0,1 km 42 m

=

L = 1,6 km

E

∆

∆

m 35 4,8 km –2 2,0 ∆= L =

IV

B

∆ = –4,603 L = 2,0 km

∆= L = 18,64 1,8 2 m km

A

D

∆ = 15,169 m

C

B

I

7m

m

∆ = –4 ,862 m

22 –7,3

A

–7,8 4

∆ = –4,619

•

D

5 ,94 3 +1

m

m

C

98

circuito

I

II

III

Perimetral

distancia

iteracion I

L (km)

%

desnivel

AB

1.8

0.352

18.642

-0.006

BE

2

0.39

-4.603

EA

1.32

0.26

TOTAL

5.12

BC

2.4

CE

1.8

EB

2

TOTAL CE

iteracion II

correccion desn.correg.

iteracion III

desnivel

correccion

desn.correg.

desnivel

correccion

desn.correg.

18.636

18.642

-0.006

18.636

18.636

0.001

18.637

-0.007

-4.610

-4.609

-0.007

-4.616

-4.620

0.001

-4.619

-14.021

-0.005

-14.026

-14.016

-0.004

-14.020

-14.018

0.000

-14.018

1.000

0.018

-0.018

0.000

0.017

-0.017

0.000

-0.002

0.002

0.000

0.387

20.142

0.008

20.150

20.141

0.005

20.146

20.147

0.001

20.148

0.290

-24.765

0.006

-24.759

-24.769

0.003

-24.766

-24.768

0.001

-24.767

0.323

4.603

0.006

4.609

4.616

0.004

4.620

4.619

0.000

4.619

6.2

1.000

-0.02

0.020

0.000

-0.012

0.012

0.000

-0.002

0.002

0.000

1.8

0.310

-24.765

-0.004

-24.769

-24.766

-0.002

-24.768

-24.771

0.000

-24.771

ED

1.6

0.276

10.832

-0.004

10.828

10.826

-0.002

10.824

10.821

0.000

10.821

DC

2.4

0.414

13.947

-0.006

13.941

13.948

-0.003

13.945

13.944

-0.001

13.943

TOTAL

5.8

1.000

0.014

-0.014

0.000

0.008

-0.008

0.000

-0.006

-0.001

-0.007

ED

1.6

0.325

10.832

-0.006

10.826

10.824

-0.003

10.821

10.821

0.000

10.821

DA

2

0.407

-24.835

-0.007

-24.842

-24.835

-0.004

-24.839

-24.839

0.000

-24.839

AE

1.32

0.268

14.021

-0.005

14.016

14.02

-0.002

14.018

14.018

0.000

14.018

TOTAL

4.92

1.000

0.018

-0.018

0.000

0.009

-0.009

0.000

0

0

0.000

AB

1.8

0.209

18.642

0.000

18.642

18.636

0.000

18.636

18.637

-0.001

18.636

BC

2.4

0.279

20.142

-0.001

20.141

20.146

0.001

20.147

20.148

-0.001

20.147

CD

2.4

0.279

-13.947

-0.001

-13.948

-13.945

0.001

-13.944

-13.943

-0.001

-13.944

DA

2

0.233

-24.835

0.000

-24.835

-24.839

0.000

-24.839

-24.839

0.000

-24.839

TOTAL

8.6

1.000

0.002

-0.002

0.000

-0.002

0.002

0.000

0.003

-0.003

0.000

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

IV

lado

Altimetría

circuito

I

II

III

IV

Perimetral

lado

iteracion IV

iteracion V

iteracion VI

iteracion VII

desnivel

correccion

desn.correg.

desnivel

correccion

desn.correg.

desnivel

correccion

desn.correg.

desnivel

correccion

desn.correg.

AB

18.636

0.000

18.636

18.636

0.000

18.636

18.636

0.000

18.636

18.636

0.000

18.636

BE

-4.619

0.001

-4.618

-4.62

0.001

-4.619

-4.619

0.000

-4.619

-4.619

0.000

-4.619

EA

-14.018

0.000

-14.018

-14.018

0.001

-14.017

-14.017

0.000

-14.017

-14.017

0.000

-14.017

TOTAL

-0.001

0.001

0.000

-0.002

0.002

0.000

0

0

0.000

0

0

0.000

BC

20.147

0.002

20.149

20.149

0.000

20.149

20.15

-0.001

20.149

20.149

0.000

20.149

CE

-24.771

0.002

-24.769

-24.768

0.000

-24.768

-24.768

0.000

-24.768

-24.768

0.000

-24.768

EB

4.618

0.002

4.620

4.619

0.000

4.619

4.619

0.000

4.619

4.619

0.000

4.619

TOTAL

-0.006

0.006

0.000

0

0

0.000

0.001

-0.001

0.000

0

0

0.000

CE

-24.769

0.001

-24.768

-24.768

0.000

-24.768

-24.768

0.000

-24.768

-24.768

0.000

-24.768

ED

10.821

0.001

10.822

10.822

0.000

10.822

10.822

0.000

10.822

10.823

0.000

10.823

DC

13.944

0.002

13.946

13.945

0.001

13.946

13.945

0.001

13.946

13.945

0.000

13.945

TOTAL

-0.004

0.004

0.000

-0.001

0.001

0.000

-0.001

0.001

0.000

0

0

0.000

ED

10.822

0.000

10.822

10.822

0.000

10.822

10.822

0.001

10.823

10.823

0.000

10.823

DA

-24.839

-0.001

-24.840

-24.84

-0.001

-24.841

-24.841

0.001

-24.840

-24.84

0.000

-24.840

AE

14.018

0.000

14.018

14.017

0.000

14.017

14.017

0.000

14.017

14.017

0.000

14.017

TOTAL

0.001

-0.001

0.000

-0.001

-0.001

-0.002

-0.002

0.002

0.000

0

0

0.000

AB

18.636

0.000

18.636

18.636

0.000

18.636

18.636

0.000

18.636

18.636

0.000

18.636

BC

20.149

0.000

20.149

20.149

0.001

20.150

20.149

0.000

20.149

20.149

0.000

20.149

CD

-13.946

0.001

-13.945

-13.946

0.001

-13.945

-13.946

0.001

-13.945

-13.945

0.000

-13.945

DA

-24.84

0.000

-24.840

-24.841

0.000

-24.841

-24.84

0.000

-24.840

-24.84

0.000

-24.840

TOTAL

-0.001

0.001

0.000

-0.002

0.002

0.000

-0.001

0.001

0.000

0

0

0.000

99

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

100

Ejemplo ilustrativo 3

B F

A I

F IV

G V

G

V

II

H

E

E H

III

C

D

Resultado final

B F

A

F

G

H

E

E H

D

G

C

PERIMETRAL

V

IV

III

II

I

circuito

3.1 1

4.9

15.4

1

0.9

AF FE

ED

TOTAL

EF

FG

9.8

6.4

28.3

TOTAL

BC

DA

7.5

AB

CD

3.6

4.6

TOTAL

0.6

6.4

DA

1.1

21.5

TOTAL

HE

6.2

GH

0.6

4.9

DE

EH

9.8

CD

HC

17.8

TOTAL

1.1

HG

3

6.2

CH

GB

7.5

1.000

0.226

0.346

0.265

0.163

1.000

0.167

0.306

0.250

0.278

1.000

0.318

0.201 0.065

0.416

1.000

0.288

0.028

0.228

0.456

1.000

0.169

0.062

0.348

0.421

1.000

0.27

3.1

11.6

FA

BC

0.26 0.08

0.397

3 0.9

4.6

distancia L (km) %

TOTAL

BG GF

AB

lado

0.1

39.133

-52.631

46.362

-32.764

-0.01

-1.821

4.31

-2.61

0.111

0.02

-24.039

-14.963 -0.111

39.133

0.035

26.806

1.821

24.039

-52.631

0.03

-15.216

-4.31

-26.806

46.362

0.025

14.963

15.216 2.61

-32.764

desnivel

-0.100

-0.023

-0.035

-0.027

-0.016

0.010

0.002

0.003

0.003

0.003

-0.020

-0.006

-0.004 -0.001

-0.008

-0.035

-0.010

-0.001

-0.008

-0.016

-0.030

-0.005

-0.002

-0.010

-0.013

-0.025

-0.007

-0.006 -0.002

-0.010

0.000

39.110

-52.666

46.335

-32.780

0.000

-1.819

4.313

-2.608

0.114

0.000

-24.045

-14.967 -0.112

39.125

0.000

26.796

1.820

24.031

-52.647

0.000

-15.221

-4.312

-26.816

46.349

0.000

14.956

15.210 2.608

-32.774

iteracion I correccion desn.correg.

-0.005

39.115

-52.665

46.331

-32.786

0.001

-1.819

4.314

-2.607

0.113

-0.013

-24.046

-14.963 -0.114

39.11

-0.003

26.799

1.819

24.045

-52.666

0.009

-15.217

-4.313

-26.796

46.335

0.016

14.967

15.221 2.608

-32.78

desnivel

0.005

0.001

0.002

0.001

0.001

-0.001

0.000

0.000

0.000

-0.001

0.013

0.004

0.003 0.001

0.005

0.003

0.001

0.000

0.001

0.001

-0.009

-0.002

-0.001

-0.003

-0.004

-0.016

-0.004

-0.004 -0.001

-0.006

0.000

39.116

-52.663

46.332

-32.785

0.000

-1.819

4.314

-2.607

0.112

0.000

-24.042

-14.960 -0.113

39.115

0.000

26.800

1.819

24.046

-52.665

0.000

-15.219

-4.314

-26.799

46.331

0.000

14.963

15.217 2.607

-32.786

iteracion II correccion desn.correg.

0.001

39.116

-52.662

46.333

-32.786

0

-1.819

4.314

-2.607

0.112

0.001

-24.043

-14.96 -0.112

39.116

-0.003

26.799

1.819

24.042

-52.663

-0.002

-15.22

-4.314

-26.8

46.332

0.001

14.96

15.219 2.607

-32.785

desnivel

-0.001

0.0000

0.0000

-0.0010

0.0000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

-0.001

0.000

0.000 0.000

0.000

0.003

0.001

0.000

0.001

0.001

0.002

0.000

0.000

0.001

0.001

-0.001

0.0000

0.0000 0.0000

-0.0010

0.000

39.116

-52.662

46.332

-32.786

0.000

-1.819

4.314

-2.607

0.112

0.000

-24.043

-14.960 -0.112

39.116

0.000

26.800

1.819

24.043

-52.662

0.000

-15.220

-4.314

-26.799

46.333

0.000

14.960

15.219 2.607

-32.786

iteracion III correccion desn.correg.

0

39.115

-52.661

46.333

-32.787

0

-1.819

4.314

-2.607

0.112

0.001

-24.043

-14.96 -0.112

39.116

-0.001

26.799

1.819

24.043

-52.662

-0.002

-15.22

-4.314

-26.8

46.332

0.001

14.96

15.22 2.607

-32.786

desnivel

0

0.000

0.000

0.000

0.000

0

0.000

0.000

0.000

0.000

-0.001

0.000

0.000 0.000

-0.001

0.001

0.0000

0.0000

0.0000

0.0010

0.002

0.000

0.000

0.001

0.001

-0.001

0.000

0.000 0.000

-0.001

0.000

39.115

-52.661

46.333

-32.787

0.000

-1.819

4.314

-2.607

0.112

0.000

-24.043

-14.960 -0.112

39.115

0.000

26.799

1.819

24.043

-52.661

0.000

-15.220

-4.314

-26.799

46.333

0.000

14.960

15.220 2.607

-32.787

iteracion IV correccion desn.correg.

0

39.115

-52.661

46.333

-32.787

0

-1.819

4.314

-2.607

0.112

0

-24.043

-14.96 -0.112

39.115

0

26.799

1.819

24.043

-52.661

0

-15.22

-4.314

-26.799

46.333

0

14.96

15.22 2.607

-32.787

desnivel

0

0.000

0.000

0.000

0.000

0

0.000

0.000

0.000

0.000

0

0.000

0.000 0.000

0.000

0

0.000

0.000

0.000

0.000

0

0.000

0.000

0.000

0.000

0

0.000

0.000 0.000

0.000

0.000

39.115

-52.661

46.333

-32.787

0.000

-1.819

4.314

-2.607

0.112

0.000

-24.043

-14.960 -0.112

39.115

0.000

26.799

1.819

24.043

-52.661

0.000

-15.220

-4.314

-26.799

46.333

0.000

14.960

15.220 2.607

-32.787

iteracion V correccion desn.correg.

Altimetría 101

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

102

Clasificación de la red de nivelación La presencia de bancos de nivel o B.M., es importante en un país o una región, dado que estos servirán como puntos de partida para trabajos topográficos en obras de ingeniería. No todos los bancos de nivel tendrán la misma importancia o precisión, ello dependerá del grado u orden en el cual se involucre el circuito al cual pertenezca. Nivelación de primer orden

Se deben utilizar equipos de alta precisión, el proceso de campo debe ser de alta rigurosidad; los subcircuitos cerrados debe tener una longitud máxima de 4 kilometros (2 de ida y 2 de regreso) El error máximo en metros está limitado por: Emax = 0,004 k

Lmáx = 2 km A

1

B

2

Lmáx = 2 km Se usa generalmente en redes principales de un país así como enlace con cotas fijas en todas las estaciones mareográficas; la distancia entre cada banco puede variar entre 50 a 300 km.

A

F

B

G

C

D

E Nivelación de segundo orden

Difiere respecto a la de primer orden en el error máximo tolerable (en metros): Emax = 0,008 k Se permitirá nivelar las líneas en un solo sentido cuando comiencen y terminen en bancos de nivel previamente establecido mediante nivelacion de orden mayor; en dicho caso tambien rige:

A

B

Altimetría

103

Se usa en areas urbanas para grandes y medianas obras de ingeniería, topografía y cartografía.

A

B

F

G

C

D

LEYENDA 1° orden 2° orden

E

Nivelación de tercer orden

Subdividen las nivelaciones de primer y/o segundo orden; el máximo error tolerable en metros es: Emax = 0,012 k Se utiliza como dato altimétrico de arranque en trabajos de ingeniería menores o cartografía a pequeña escala. Métodos de nivelación geométrica en redes de nivelación Obligatoriamente se debe usar el método de nivelación geométrica; sin embargo dentro de ésta, existen diversas metodologías que dependen del tipo del instrumento a usar. Obviando por ahora los niveles electrónicos; usaremos los equipos citados en el capítulo 3. A continuación presentaremos algunos de los métodos más usados. A) Método de la doble libreta simultánea

Los pasos a seguir son los mismos que los descritos en nivelación geométrica; la diferencia radica en que por cada vista se toman dos lecturas.

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

104

Ejemplo ilustrativo Se realiza una nivelación de 1° orden con el objetivo de calcular la cota del punto B, partiendo de A, en un circuito cerrado; a continuación se muestran las libretas calculadas. •

Chequeando el cálculo matemático. 22,12254 – 22,12073 = 112,66921 – 112,66740 0,00181 = 0,00181 ...ok

•

Calculando el error de cierre máximo tolerable. Emax = ±0,004 k Emax = ±0,004 0, 86 Emax = ±0,00371

•

Calculando el error de cierre en la libreta 1 EC = 112,66921 – 112,66740 EC = 0,00181 < 0,00371 ...ok

Libreta 1 Pto A 1 2 3 4 5 6 7 B 8 9 10 11 12 13 A

V. atras 1,35041 1,59480 1,46575 1,20738 1,15628 1,04580 0,99521 1,30808 1,52145 2,08720 1,87951 1,82961 1,82590 1,40401 1,45115

114,01781 114,02890 114,22200 113,88334 113,27592 112,39576 111,28109 110,67164 110,83611 111,85110 112,82191 113,51779 114,13034 114,15776 113,88660

22,12254

V. adelante 1,58371 1,27265 1,54604 1,76370 1,92596 2,10988 1,91753 1,35698 1,07221 0,90870 1,13373 1,21335 1,37659 1,72231 1,21739 22,12073

Cota d (m) 112,66740 112,43410 54 112,75625 50 112,67596 56 112,11964 60 111,34996 66 110,28588 60 109,36356 60 109,31466 34 109,76390 60 110,94240 60 111,68818 60 112,30444 64 112,75375 62 112,43545 60 112,66921 54 860

Libreta 2 •

Chequeando el cálculo matemático. 67,68663 – 67,68462 = 112,66941 – 112,66740 0,00201 = 0,00201 ...ok

•

Calculando el error de cierre en la libreta 2 EC = 112,66941 – 112,66740 EC = 0,00201 < 0,00371 ...ok

Pto A 1 2 3 4 5 6 7 B 8 9 10 11 12 13 A

V. atras 4,38885 4,63190 4,50298 4,24439 4,19363 4,08396 4,03350 4,34416 4,55930 5,12483 4,91724 4,86740 4,86389 4,44190 4,48870 67,68663

117,05625 117,06587 117,25870 116,91999 116,31246 115,44176 114,32818 113,71679 113,88259 114,89681 115,86798 116,66383 117,28708 117,31428 117,04283

V. adelante 4,62228 4,31015 4,58310 4,80116 4,95466 5,14708 4,95555 4,39350 4,11061 3,94607 4,07155 4,24064 4,41470 4,76015 4,37342 67,68462

Cota d (m) 112,66740 112,43397 54 112,75572 50 112,67560 56 112,11883 60 111,35780 66 110,29468 60 109,37263 60 109,32329 34 109,77198 60 110,95074 60 111,79643 60 112,42319 64 112,87238 62 112,55413 60 112,66941 54 860

El resultado final será el promedio de la cota del punto “B” entre ambas libretas, previa compensación.

Altimetría

105

B) Método de los tres hilos

Muchos niveles tienen hilos estadimétricos cuya función explicaremos más adelante, no obstante estos servirán también para poder afinar la nivelación geométrica en un circuito.

Hilo estadimétrico superior (H.S.) Hilo reticular horizontal (H.C.)

Hilo estadimétrico inferior (H.I.) La metodología por este método es similar al de una nivelación compuesta, la diferencia radica en que por cada vista se tendrá que tomar tres lecturas: hilo superior (H.S.), hilo central (H.C.), hilo inferior (H.I.). La lectura definitiva por cada vista será el promedio de las tres no sin antes verificar que dicho valor difiera minimamente del valor del hilo central. Ejemplo ilustrativo

En el gabinete:

Libreta de campo

Se procede a promediar los valores respecto a los tres hilos, no sin antes verificar que el promedio entre los valores extremos (H.S. e H.I.) sea muy cercano al valor del hilo central.

Pto L(+) A H.S. 1,765 H.C. 1,655 H.I. 1,545 1 H.S. 1,372 H.C. 1,231 H.I. 1,092 2 H.S. 1,385 H.C. 1,243 H.I. 1,100 B H.S. 1,918 H.C. 1,787 H.I. 1,653 3 H.S. 1,875 H.C. 1,771 H.I. 1,665 4 H.S. 1,595 H.C. 1,492 H.I. 1,389 A

L(–)

H.S. 1,800 H.C.1,723 H.I 1,644 H.S. 1,896 H.C.1,777 H.I 1,649 H.S. 1,916 H.C.1,782 H.I 1,650 H.S. 1,389 H.C.1,245 H.I 1,103 H.S. 1,386 H.C.1,250 H.I 1,112 H.S. 1,483 H.C.1,400 H.I 1,313

Cota (m) d (m) 108,255

Pto A 1 2 B 3 4 A Σ

38,00 52,00 55,00 55,00 48,00

•

L(+) 1,655 1,232 1,243 1,786 1,770 1,492 9,178

109,910 109,420 108,886 108,889 109,413 109,656

L(–) 1,722 1,777 1,783 1,246 1,249 1,399 9,176

Cota (m) 108,255 108,188 107,643 107,103 107,643 108,164 108,257

d (m) 38,00 52,00 55,00 55,00 48,00 37,00 285,00

Chequeando el cálculo matemático. 9,178 – 9,176 = 108,257 – 108,255 0,002 = 0,002 ...conforme

•

Calculando el error máximo tolerable. Emax = 0,004 k = 0,004 0, 285 Emax = 0,0021 m

37,00 •

Calculando el error de cierre. EC = 108,257 – 108,255 = 0,002 m EC < Emax ...conforme

Luego se puede proceder a realizar la compensación.

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106

CURVA DE NIVEL Curva de nivel es una línea imaginaria que une los puntos que tienen igual cota respecto a un plano de referencia (generalmente el nivel medio del mar). El uso de las curvas de nivel, permite representar el relieve de un terreno con gran facilidad y precisión respecto a otros métodos, dado que en conjunto representan cualitativa y cuantitativamente las elevaciones, depresiones y accidentes del terreno. Representación

Curva de nivel D

A

B

C

Cota A = Cota B = Cota C = Cota D Curvas de nivel más importantes Por motivos didácticos mostraremos con ejemplos numéricos, las curvas más representativas. 1. El cerro

Representa las elevaciones, las curvas cambian de menor a mayor altitud, de modo que la de mayor altitud es una curva cerrada dentro de las demás.

Nivel +100,00 Nivel +99,00 Nivel +98,00 Nivel +97,00

Altimetría

107

2. El Hoyo

Representa una depresión, las curvas cambian de mayor a menor altitud, de modo que la de menor altitud es una curva cerrada dentro de los demás.

Nivel +100,00 Nivel +99,00 Nivel +98,00 Nivel +97,00

3. Entrante (quebrada)

Se puede considerar como una porción de hoyo; esta representada por curvas en forma de U, toda el agua que caiga correrá formando corrientes por las quebradas en dirección hacia las cotas más baja.

Nivel +100,00 Nivel +99,00 Nivel +98,00 Nivel +97,00

Quebrada

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108

4. Saliente

Puede considerarse como una porción de cerro y determina la línea divisoria de los valles.

Nivel +100,00 Nivel +99,00 Nivel +98,00 Nivel +97,00 Línea divisoria de valles

Ladera 1

Ladera 2

Ejemplos de aplicación Ejemplo 1

Quebrada

Divisoria

Divisoria

Quebrada

Altimetría

109

Ejemplo 2

Quebrada auxiliar

Divisoria

Quebrada auxiliar Quebrada principal Características de las curvas de nivel 1. Las curvas de nivel nunca se cortan 2. Las curvas de nivel son siempre líneas cerradas aunque no se cierren en el área representada en el plano 3. Las curvas de nivel están separadas unas de otras por una distancia vertical constante llamada equidistancia; ésta depende básicamente de la escala del plano; no obstante también de la topografía del terreno. 4. Las equidistancias que se usan frecuentemente son: – Para escalas superiores de 1/5000 -----------------------------– Para escala de 1/5 000 -------------------------------------------– Para escala de 1/10 000 ------------------------------------------– Para escala de 1/25 000 ------------------------------------------– Para escala de 1/50 000 -------------------------------------------

1 metro 2,5 metros 5 metros 10 metros 20 metros

5. Las curvas de nivel están separadas una de otras por una distancia horizontal variable. – En pendientes uniformes, el espaciamiento horizontal de las curvas de nivel es constante. – En pendientes pronunciadas las curvas de nivel se encuentran casi juntas. – En pendientes poco pronunciadas, las curvas de nivel se encuentran muy separadas. 6. En superficies planas, las curvas de nivel son rectas y paralelas entre sí. 7. Si las proyecciones de curvas de diferentes cotas coinciden, el terreno forma cantil y todos los puntos se encontrarán prácticamente en un mismo plano vertical. 8. Las curvas de nivel no deben cruzar las estructuras artificiales.

110

Ejemplo Ilustrativo

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Altimetría

111

PERFIL LONGITUDINAL El perfil longitudinal topográfico a lo largo de un eje longitudinal en planta, es una línea quebrada que proviene de la intersección de la superficie topográfica con el y/o plano/s vertical/es que contiene al eje de dicha planta. Se utiliza para representar el relieve o accidente del terreno a lo largo de un eje longitudinal.

Cota

PLANO VERTICAL

100 95 90 85 80 75

A

B Eje Longitudinal

A

B

Plano horizontal (Planta) El perfil longitudinal se determina mediante la nivelación de un conjunto de puntos de la superficie de la tierra situados a corta distancia entre sí y a lo largo de un alineamiento previamente establecido. Los perfiles longitudinales se utilizan en el trazo de ejes de caminos, carreteras, de ferrocarriles, de instalaciones de alcantarillado, etc. Recomendaciones –

con el fin de obtener un perfil donde se aprecie fácilmente el desnivel entre los diversos puntos, se acostumbra tomar una escala vertical mucho más grande que la horizontal. A menudo se usa la relación 10 a 1 Como ejemplos podemos citar: Vertical 1/10 1/20 1/25 1/50 1/100

Horizontal 1/100 1/200 1/250 1/500 1/1000

–

–

Se deben nivelar puntos del terreno, obedeciendo una secuencia constante; generalmente se toman puntos cada 20 metros (ocasionalmente se nivelarán cada 10 a 5 metros, dependiendo de la topografía del terreno y de los objetivos del levantamiento). No obstante seguir con la secuencia constante de 20 metros; será obligatorio nivelar ciertos puntos del itinerario como: • Los puntos donde hay cambio de pendiente (A). • Las cotas más altas y bajas del perfil. • Los puntos altimétricamente extremos de un escalón, talud o muro vertical, indicando que es cero la distancia horizontal entre ellos (B y C).

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112

• El principio y fin de una estructura artificial (D y E). • Las orillas y eje de un canal, quebrada acequia etc (F, G y H).

Estructura artificial

Cota C

D

E

FH

B

G

A

d Métodos para la construcción de perfiles longitudinales Según la precisión buscada, se pueden obtener perfiles directamente desde planos ó mediante levantamientos topográficos realizados especialmente para tal fin. I

Método directo

Proviene especialmente de un levantamiento topográfico; es más preciso respecto al indirecto; se puede obtener mediante una nivelación geométrica ó trigonométrica, ésta última se explicará más adelante, dado que su principio está basado en la taquimetría. Para obtener el perfil longitudinal de un alineamiento entre dos puntos, haciendo uso de la nivelación geométrica, se presentan dos casos. A) Cuando existen varios bancos de nivel

En el caso de tener uno o más bancos de nivel en el itinerario del eje longitudinal, se recomienda trabajar por tramos, para de esta forma verificar que el error de cierre no sobrepase al tolerable (Emax = e k )

D B

C Banco de nivel

A (B.M.) ó banco de nivel Tramo 1

Banciovel de n

2 Tramo

Analizando el tramo 1: – Se estaca los puntos a nivelar – Se nivela los puntos estacados – Se calcula el error de cierre con el punto “C” (en este caso) – Se verifica: EC < Emax = e k – En caso que el error de cierre sea menor que el tolerable, se procede a repartir dicho error en todos los puntos nivelados (compensación). – A continuación se realiza la misma operación en el siguiente tramo.

Altimetría

113

D B

A

20 m

20 m

20 m 12 m 8 m 8m

20 m

20 m

20 m

20 m

16 m

C

B) Cuando sólo se cuenta con el B.M. o banco de nivel del primer punto

B8 m

20 m

20 m

20 m

m

20 m

20

m

12

m

En este caso se hace necesario realizar el recorrido de ida y vuelta para verificar la precisión buscada. Analizando el circuito. – Se estaca los puntos a nivelar. – Se nivela los puntos estacados. – Se cierra el circuito, el recorrido de regreso puede realizarse por cualquier camino conveniente. – Se verifica: EC < Emax = e k – En caso que el error de cierre sea menor que el tolerable se procede a repartir dicho error en los puntos nivelados (compensación).

16 m

C

80 m

20

A

20 m

70 m

P

Observaciones -

Las distancias AP y CP pueden medirse a pasos, dado que su aplicación será exclusivamente para la determinación de la precisión del trabajo y la compensación respectiva. Cuando el eje longitudinal es muy extenso, se recomienda realizar varios sub-circuitos cerrados.

Ejemplo de aplicación Se tiene una poligonal cerrada con cinco puntos de control estacados de la forma que se muestra, si el único banco de nivel es el que corresponde al punto “A” (109,213 m); se pide dibujar el perfil longitudinal.

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A

16,5

20

13,95

20

20

E

2,50

17,50

114

E

D

6,05

A

20

20

18

16

15

D

14 13

1 20

20 20 9

11

20

20

20

20

16,65

10 4

5

6

7

B

3,35

8

9

C

C

Libreta de campo

Calculando y compensando cotas

L(+) 1,028

L(–)

1,670

1,883

2,370

0,832

0,825

1,02

1,193

1,717

A

11 3

20

B

12 2

20

Pto A 1 2 3 B 4 5 6 7 8 C 9 10 11 12 13 D 14 15 E 16 17 18

17

L.I. 1,353 1,500 1,930 1,785 1,542 1,336 1,037 0,868 2,271 1,983 1,857 1,372 1,084 1,260 1,565 1,229 1,452 1,497

Cota 109,213

d (m) 20 20 20 9 11 20 20 20 20 16,65 3,35 20 20 20 20 6,05 13,95 20 17,50 2,50 20 20 16,5

Pto L(+) A 1 2 3 B 4 5 6 7 8 C 9 10 11 12 13 D 14 15 E 16 17 18 A

L(–) L.I.

1,028 110,241

1,670 110,028 1,883

2,370 111,566 0,832

0,825 111,371 1,02 1,193 110,847 1,717

1,622

1,353 1,500 1,930 1,785 1,542 1,336 1,037 0,868 2,271 1,983 1,857 1,372 1,084 1,260 1,565 1,229 1,452 1,497

Cota d(m) Cota Comp. 109,213 109,213 108,888 20 108,887 108,741 20 108,739 108,311 20 108,309 108,358 9 108,355 108,243 11 108,240 108,486 20 108,482 108,692 20 108,688 108,991 20 108,986 109,160 20 109,155 109,195 16,65 109,190 109,295 3,35 109,289 109,583 20 109,576 109,709 20 109,702 110,194 20 110,186 110,482 20 110,474 110,546 6,05 110,537 110,111 13,95 110,102 109,806 20 109,796 109,654 17,50 109,643 109,618 2,50 109,607 109,395 20 109,384 109,350 20 109,339 109,225 16,5 109,213

Nota Como muestra el siguiente gráfico, todo perfil longitudinal consta de dos partes: El gráfico propiamente dicho y la guitarra (datos numéricos: cotas distancias pendientes etc).

Altimetría

GRÁFICO-PERFIL LONGITUDINAL (correspondiente al ejemplo ilustrativo)

115

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116

II Método indirecto

El perfil longitudinal se genera en base a un plano topográfico o fotogramétrico de curvas de nivel pre-establecido. Para ello se elige técnicamente bajo ciertos criterios de ingeniería el eje longitudinal; la intersección de dicha línea con las curvas de nivel, permitirán graficar el perfil longitudinal,

Ejemplo de aplicación

Determinando las cotas de las estacas Pto A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B

dparcial (m) 0 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 15,4

dacumulada (m) 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 140,00 160,00 180,00 200,00 215,40

Cota terreno (m) 887,90 887,90 890,80 893,30 894,20 892,80 889,20 884,20 880,10 880,40 894,00 887,30

Altimetría

117

GRÁFICO-PERFIL LONGITUDINAL Denotaciones más comunes de las estacas en un perfil longitudinal En la actualidad existen diferentes formas en denotar los puntos estacados en un perfil longitudinal; a continuación se mostrará dos de ellos. I

Cuando las estacas base se definen por el kilometraje

Veamos un ejemplo: – El punto “A”; se inicia con el kilómetro N° 160. (160 + 00) – Los puntos que obedecen la secuencia constante, están denotados por un número que representa las decenas de metros; así: 08, significa que su ubicación en el eje de las abcisas es el km 160 + 80 metros. – Los puntos importantes del itinerario; como quiera que no obedecen la secuencia constante se denotarán por dos sumados, el primero indica las decenas de metros y el segundo las unidades; así: el punto B; 24 + 5,81; significa que su ubicación en el eje de las abcisas es el km 160 + 240 metros + 5,81 metros.

Descripción Progresiva dacumulada (m) Cota terreno (m) A 160 + 00 0,00 660,00 160 + 02 20,00 660,00 160 + 04 40,00 559,50 160 + 06 60,00 660,00 160 + 08 80,00 654,00 6160 + 10 100,00 654,80 60 + 12 120,00 658,20 60 + 14 140,00 654,00 60 + 16 160,00 670,00 60 + 18 180,00 676,80 20 200,00 674,00 22 220,00 666,00 24 240,00 658,00 B 24 + 5,81 245,81 657,20 26 260,00 659,00 28 280,00 666,00 C 28 + 2,34 282,34 666,50 30 300,00 669,00 32 320,00 670,00

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GRÁFICO-PERFIL LONGITUDINAL

118

II Cuando las estacas base se definen por el punto hectométrico

Veamos un ejemplo: – El punto “A”; se inicia con el hectómetro cero (0 + 00,00). – Lospuntos intermedios se designan por la numeración del hectómetro inmediatamente anterior más la distancia en metros que la separa de aquel.

Altimetría

119

Descripción Progresiva dacumulada (m) Cota terreno (m) A 0 + 00 0,00 220,00 160 + 20 20,00 222,50 160 + 40 40,00 223,00 160 + 60 60,00 220,50 160 + 80 80,00 225,00 6160 +1 + 00,00 100,00 226,00 60 + 20 120,00 228,00 60 + 40 140,00 230,00 B 60 +52,60 152,60 226,00 60 + 60 160,00 224,50 80 180,00 227,00 2 + 0,00 200,00 229,50 20 220,00 232,50 C 27,30 227,30 230,00 40 240,00 228,00 60 260,00 222,00 80 280,00 218,50 D 3 + 0,00 300,00 215,00

GRÁFICO-PERFIL LONGITUDINAL

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120

SECCIÓN TRANSVERSAL Se le llama también perfil transversal y viene a ser el corte perpendicular al eje del perfil longitudinal en cada estaca (por lo menos); generalmente se toman varios puntos a la derecha y a la izquierda, dependiendo de la envergadura del proyecto. Ilustración 1

PLANTA Sección transversal 1

COTA

Ilustración 2

Sección transversal 2

Perfil longitudinal

Sección transversal 3

d

Observación El uso de las secciones transversales en un proyecto, está supeditado al ancho que compromete al eje longitudinal; así tenemos que un sistema de alcantarillado y drenaje no requiere de este tipo de secciones, dado que su ancho no lo amerita. Sin embargo en proyectos de carreteras, vías de ferrocarril, diques, etc. Se hace imprescindible el levantamiento de secciones transversales, el ancho de estas debe ser suficiente para cubrir el trabajo propuesto (5; 10; 15; 20; 50 m; etc. a cada lado del eje longitudinal).

Altimetría

121

Recomendaciones –

Convencionalmente se establece que recorriendo el sentido creciente de la progresiva, las distancias horizontales sobre los ejes transversales que se miden hacia la derecha serán positivas y las que se midan hacia la izquierda serán negativas.

–10 m

–10 m

–10 m

–10 m

–5 m

–5 m

–5 m

–5 m

+20 +5 m

+40 +5 m

+60 +5 m

0 +00,00 +5 m +10 m

– –

+10 m

+10 m

+10 m

Las escalas que se usan en ambos ejes, suelen ser los mismos y éstas obedecen a la precisión con que hay que determinar el trazo horizontal transversal y cálculo del área de las secciones tranversales. No existe una secuencia constante entre los puntos a levantar en las secciones transversales; más bien estos obedecen a la topografía del terreno (accidentes, cambios de pendientes, etc.)

Método para la construcción de secciones transversales I

Método directo

Una vez estacados los puntos del itinerario del perfil longitudinal se procede ha realizar el levantamiento topográfico de las secciones transversales en campo. La aplicación de una nivelación geométrica, en su gran mayoría se hace innecesaria y costosa; se usa en casos el proyecto lo crea conveniente. El uso de la taquimetría con estación total es el más recomendable dado su precisión y rapidez (ver capítulo de taquimetría).

II Método Indirecto

Una vez estacados los puntos del itinerario del perfil longitudinal se procede a graficar las secciones transversales con ayuda de planos topográficos o fotogramétricos pre-establecidos; el procedimiento es similar al del perfil longitudinal. Obviamente la precisión por este método no será la misma que por el método directo.

Ejemplo Ilustrativo Tomaremos como referencia la progresiva 160 + 18; la tabla muestra la nivelación de la sección transversal correspondiente a dicha progresiva.

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122

TABLA Sección transversal: Progresiva 160 + 18 Nombre Descripción 1 2 3 4 5 6 7 8 18 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Escala Horizontal : 1/500 Escala Vertical : 1/500

Izquierdo Izquierdo Izquierdo Izquierdo Izquierdo Izquierdo Izquierdo Izquierdo Derecho Derecho Derecho Derecho Derecho Derecho Derecho Derecho Derecho Derecho Derecho

Distancia

Cota

40,0000 31,5975 25,2316 21,2602 15,3041 10,9228 4,7526 0,5854 0,0000 6,5397 9,7520 11,6307 18,8028 19,8223 20,0894 21,5050 30,4268 32,1098 38,5348 40,0000

652,959 658,560 663,389 666,453 670,019 672,253 674,891 676,640 676,800 678,800 679,866 680,308 681,197 681,344 681,379 681,630 683,305 683,685 684,846 685,100

Altimetría

123

PROBLEMAS DE APLICACIÓN Estación 2

1. La visual en una mira colocada a 80 m del instrumento resultó 2,378 m con la burbuja descentrada dos divisiones en dirección de la mira. Sí el tubo del nivel está bien ajustado y su sensibilidad es de 40 segundos. ¿Cuál debe ser la lectura correcta? Solución

A

2,378 m

α α

V. Adelante = 2,96 m lectura en “E”

2. Calcular el valor de la lectura que se leerá si hubiera sido factible visualizar la mira en el punto “E” desde la estación del nivel número dos. V. Adelante

Lectura en la mira X desde A = 1,753 m Lectura en la mira X desde B = 2,080 m Lectura en la mira Y desde A = 2,550 m Lectura en la mira Y desde B = 2,895 m

2,34 2,12 2,61 2,97

Si la elevación de X es 90,37 m.s.n.m. calcular la cota de Y. Solución

Procediendo a calcular la libreta de campo; para ello, asumiremos arbitrariamente la cota de A: 100,00 m. Punto V. Atrás A B C D E

3. Se realiza una nivelación a través de un río, las observaciones dieron las siguientes lecturas sobre miras colocadas en X e Y desde las estaciones A y B de cada lado:

Cota

Solución •

E

99,15 = 102,11 – V. Adelante

Dato: α = 2(40°) = 80° L = 2,378 – 80tan 80° L = 2,347 m

V. Atrás 2,95 1,50 1,92 2,82

D

Cota E = Nivel Instrumental en 2 – V. Adelante (E)

80 m

Punto A B C D E

C

En la estación 2

β

L=?

B

2,95 1,50 1,92 2,82

•

Analizando la nivelación en la estación A.

1,753

V. Adelante Cota 102,95 102,11 101,91 102,12

2,34 2,12 2,61 2,97

100,00 100,61 99,99 99,30 99,15

A

2,550 X

Y

Nivel instrumental = Cota X + 1,753 = Cota Y + 2,550 Nivel instrumental = 90,37 + 1,753 = Cota Y + 2,550 Cota Y = 89,573 m

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

124

•

Analizando la nivelación en la estación B.

2,080

•

2,895

X

Y

A B

Nivel instrumental = Cota X + 2,080 = Cota Y + 2,895 Nivel instrumental = 90,37 + 2,080 = Cota Y + 2,895 Cota Y = 89,555 m •

89, 573 + 89, 555 2

87,51432

Cota B = 86,24032 m •

•

86, 24632 + 86, 24032 2 Cota B = 86,24332 Cota B =

Calculando la Cota en el punto “C” (estación 2)

A + 0,764 = Cota C + 0,464 Nivel instrumental = Cota  !

Cota Y = 89,564 m

87,51432

4. Se realiza una nivelación geométrica con dos estaciones, se pide calcular la cota del punto C, usando obligatoriamente el punto de cambio B.

A

B

A + 0,764 = Cota B + 2,038 Nivel instrumental = Cota  !

Finalmente: Nivelación recíproca Cota Y =

Calculando la Cota del punto “B”; tomando la segunda estación: 90 m 50 m

B

Cota C = 87,81432 m 5. En el perfil longitudinal correspondiente a una red de desagüe; determinar la cota de llegada de la tubería al buzón 19.

C

Cota A= 87,51432 m 1° Estación Lectura mira en A = 1,472 Estación Lectura mira en B = 2,740 2° Estación Lectura mira en A = 0,764 Estación Lectura mira en B = 2,038 Estación Lectura mira en C = 0,464 Solución •

Calculando la cota del punto “B”; tomando la primera estación.

50 m

90 m

A

B

A + 1,472 = Cota B + 2,740 Nivel instrumental = Cota  ! 87,51432

Cota B = 86,24632 m

Solución •

Analizando el desnivel en los extremos de la tubería. Y 178, 28 = 5, 05 1 000 Y = 0,900 Cota = 3 440,46 – 0,900 Cota = 3 439,56 m

Altimetría

125

6. Calcular la altura H de piso a puente.

Solución •

De la figura: Cota “B” = Cota A + (1,63) + (1,94) Cota B = 100 + 1,63 + 1,94 Cota B = 103,57 m

•

De la figura: H = Cota “B” – 99,00 = 103,57 – 99 H = 4,57 m

B

7. Se muestra un corte longitudinal de un tunel; elaborar la libreta de campo y determinar las cotas de los puntos: A, B, 1, 2, PC1 y PC2

Solución •

•

Calculo de las cotas: A; 1; y 2 Pto V. Atrás BM 2 1 A

1,848

V. Adelante

Cota

0,846 1,120 2,120

136,418 137,420 137,146 136,146

138,266

Calculo de las cotas: PC1; PC2 y B Pto V. Atrás BM 1,345(+) 137,763 PC1 1,924(–) 138,325 PC2 0,876(–) 139,773 B

V. Adelante

Cota

2,486(+) 2,324(+) 0,428(–)

136,418 140,249 140,649 139,345

8. En la nivelación geométrica cuyo croquis y tabla se muestra, se usa un nivel descalibrado, siendo el error de colimación 0,50 cm hacia arriba por cada 10,00 m de distancia horizontal. Determinar las cotas de los puntos. Pto V. Atrás A 1 2 B C D 3 E

V. Adelante

V.I.

1,67

C

Cota 50,30

2

2,16 1,10 2,32 1,94 1,42

1,42 1,21 2,16

1 A

3

B D

1,80 1,64

E

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

126

Solución •

Dado que el error de colimación es 0,005 m hacia arriba, para determinar el valor correcto, habrá que efectuar: Lectura correcta = Lectura – (0,005×n)

Eje de colimación Horizontal

Siendo n = Número de decenas de metros

10 m •

•Calculando la libreta.

Corrigiendo las lectura leídas: Pto V. Atrás A 1 2 B C D 3 E

V. Adelante

V.I.

1,66

50,30 2,13 1,04

2,315 1,850 1,415

Cota

1,38 1,15 2,14 1,77 1,59

Pto V. Atrás A 1 2 B C D 3 E

V. Adelante V.I.

1,66

51,960

2,315 1,85 1,415

52,895 53,595 52,870

1,38 1,15 2,14 1,59

Cota

50,300 2,13 49,830 1,04 50,920 50,580 51,745 51,455 1,77 51,100 51,280

9. Se realiza una nivelación geométrica cerrada con un nivel láser; asumiendo que no existe ningún tipo de error instrumental, se pide: A) Determinar la cota de los puntos 1; 2; 3; 4. B) Calcular el error de cierre altimétrico, así como el error máximo tolerable(precisión ordinaria). 2 R(tierra) = 6370 km (C = +6D /14R). Nota: Se recomienda (para futuros trabajos) no realizar nivelaciones geométricas para distancias tan grandes como la mostrada en el problema. Cota (B.M.) “A” = 107,623 m

Altimetría

127

ΣV. Atras – ΣV. Adelante = 0,008 m   ok Cota Final – Cota Inicial = 0,008 m 

Solución: •

Elaborando la libreta de campo: Pto

V. Atrás

A 1 2 3 4 A

1,40 1,22 1,20 1,71 0,80

•

V. Adelante

Luego: Ecierre = 0,008 m

Cota 107,623

•

1,62 1,87 0,42 1,87 0,508

E max = 0, 02 k (nivelación ordinaria)

Del gráfico: k = 2,13 Emax = 0,029 m Dado que: 0,008 m < 0,029 m La nivelación se dá por aceptada.

Calculando el error aparente para cada distancia D 150 360 120 390 330 30 60 210

•

2

C = +6D /14R 0,002 0,009 0,001 0,01 0,007 0,000 0,000 0,003

•

V. Atrás

A 1 2 3 4 A

1,402 1,221 1,201 1,710 0,80

V. Adelante

Cota

V. Atrás

A 1 2 3 4 A Σ

1,402 1,221 1,201 1,710 0,80 6,334

109,025 108,617 107,938 109,221 108,142

1,629 1,880 0,427 1,879 0,511 6,5326

Cota(m) 107,623 107,396 106,737 107,511 107,342 107,631

di (m)

Ci (m)

510,00 1020,00 1470,00 1860,00 2130

–0,002 –0,004 –0,006 –0,007 –0,008

Cota Comp. (m) 107,623 107,394 106,733 107,505 107,335 107,623

10. Los puntos que se muestran en la tabla, forman el eje de un futuro camino rural, si la subrasante de dicha vía estará conformada por la línea recta imaginaria que une los puntos superficiales A y 5, determinar el volumen de tierra que se deberá cortar, así como el volumen de tierra que se deberá rellenar, si el ancho a explanar es de 1 metro a cada lado del eje.

Cota

Pto V. Atrás V. Adelante Cota Dist(m) A 2,311 108,254 1 1,133 1,134 50 2 0,982 2,003 50 3 1,358 2,312 50 4 2,002 3,022 50 5 3,021 1,359 50 A 0,983 50

1,629 1,880 0,427 1,879 0,511

V. Adelante

Pto A 1 2 3 4 A

EC × d i 0, 008 × d i = Perímetro 2 130

107,623

• Calculando la libreta: Pto

Realizando la compensación de cotas. Ci =

Realizando la corrección de nivel aparente Pto

Cálculo del error tolerable máximo

107,623 107,396 106,737 107,511 107,342 107,631

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

128

Solución •

•

Desarrollando el cálculo de la libreta. Pto

V. Atrás

A 1 2 3 4 5 A

2,311 1,133 0,982 1,358 2,002 3,021

110,565 110,564 109,543 108,589 107,569 109,231

V. Adelante

Cota

1,134 2,003 2,312 3,022 1,359 0,983

108,254 109,431 108,561 107,231 105,567 106,210 108,248

d(m) Cota compensada 50 50 50 50 50 50

108,254 109,432 108,563 107,233 105,571 106,215 108,254

Graficando el perfil longitudinal del terreno.

110 109 108 107 106 105 •

A

1

2

3

Area de corte: Entre A y 1

Y = –0,008156X + 108,254 X = 50 ⇒ Y = 107,846 m

108,254

A(+) A

5

Calculando Y: En “1”

109,432 108,254

4

50

A(–) 1 A

50

 108, 254 + 107, 846  A(–) =   50   2 2 A(–) = 5402,5 m ∆A = A(+) – A(–) = 5 442,15 – 5 402,5 2 ∆A = 39,65 m ................. (1)

Y

1 •

 108, 254 + 109, 432  A(+) =   50   2 2 A(+) = 5442,15 m

Area de corte: Entre 1 y 2  109, 432 + 108, 563  A(+) =   50   2

A(+) = 5 449,875 m2

Altimetría

129

Calculando Y: En “2”

•

Y = –0,008156X + 108,254 X = 100 ⇒ Y = 107,438 m

 107, 846 + 107, 438  A(–) =   50   2 2 A(–) = 5 382,10 m ∆A = A(+) – A(–) = 5 449,875 – 5 382,10 2 ∆A = 67,775 m .............. (2) •

Dado que el ángulo a explanar es 2 metros: Vcorte = (141,426)(2) Vcorte = 282,852 m •

 106, 965 + 106, 623  A(+) =   (50 – 8, 0689)   2 2 A(+) = 4 477,99 m

Calculando Y: En “3” Y = –0,008156X + 108,254 X = 150 ⇒ Y = 107,0306 m

Terreno:  106, 965 + 105, 571  A(–) =   (50 – 8, 0689)   2 2 A(–) = 4 455,934 m 2 ∆A = 22,056 m .............. (5)

•

Area de corte: Entre “3” y el punto de intersección.

 106, 623 + 106, 215  A(+) =   50   2 2 A(+) = 5 320,95 m

Y = –0,03324X + 112,219 Ecuación de la subrasante:

Terreno:

Y = –0,008156X + 108,254

 105, 571 + 106, 215  A(–) =   50   2 2 A (–) = 5 294,65 m 2 ∆A = 26,30 m .............. (6)

Intersectando: X = 158,0689 Y = 106,965

 107, 0306 + 106, 965  A(–) =   8, 0689   2 2 A(–) = 863,355 m 2 ∆A = 0,816 m .............. (4)

Area de Relleno: Entre 4 y 5 Subrasante:

Ecuación de la recta del terreno entre “3” y “4”:

 107, 233 + 106, 965  A(+) =   8, 0689   2 2 A(+) = 864,171 m

Area de relleno: Entre punto de intersección y “4”

Y = –0,008156X + 108,254 X = 200 ⇒ Y = 106,623 m

 108, 563 + 107, 233  A(+) =   50   2 2 A(+) = 5 394,900 m

•

3

Subrasante:

Area de corte: Entre 2 y 3

 107, 438 + 107, 0306  A(–) =   50   2 2 A (–) = 5 361,715 m ∆A = A(+) – A(–) = 5 394,900 – 5 361,715 2 ∆A = 33,185 m .............. (3)

Area de corte total: (1) + (2) + (3) + (4) 2 Area de corte total = 141,426 m

•

Area de relleno total: (5) + (6) Area de relleno total = 48,356 m2 Vrelleno = (48,356)(2) 3

Vrelleno = 96,712 m

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

130

11. Se realiza una nivelación geométrica en tres circuitos cerrados como se muestra en el croquis, teniendo como dato la libreta de campo, se pide dibujar el perfil longitudinal del tramo P–R, sabiendo que se trata de una nivelación ordinaria. Elegir la escala que ud. crea conveniente. C: punto de cambio •

Traslado de BM–ESTADIO a BM–Q Punto BM–Estadio C BM–Q C BM–Estadio

•

V(+) 1,450 1,511 1,166 3,469

V(–)

Cota 133,90

3,621 1,165 1,338 1,470

distancia(m)

Cota Comp.

40,000 40,000 40,000 40,000

Circuito BM P–BM Q Punto C BM–P 0 + 52 C

C

C

C C

C

C E5 BM–Q

BM P

48 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100

V(+) 1,140

1,165

2,069

2,539

1,862 1,455

1,105

0,710

2,560 2,110 1,079 0,803 1,415 1,481

V(–) 1,838 1,055 1,238 1,532 1,785 1,910 1,153 1,205 1,409 1,230 1,342 1,766 1,391 0,815 0,782 2,036 1,496 0,880 0,341 0,540 1,234 1,070 1,295 1,202 1,279 1,367 1,581 1,714 1,101 1,543 1,897 1,970 1,056 1,546 1,800 2,000 2,093 0,878 1,280 2,613 3,282 0,842 1,042

Cota

distancia Acum. (m) 0,000 20,00 40,00 50,00 60,00 80,00 100,00 120,00 130,00 140,00 160,00 180,00 190,00 200,00 220,00 240,00 260,00 270,00 280,00 300,00 310,00 320,00 340,00 360,00 380,00 390,00 400,00 420,00 440,00 450,00 460,00 480,00 490,00 500,00 500,00

1000,00

Cota Comp.

Altimetría

•

131

Circuito BM Q–BM R Punto BM–Q C

C

E6 C

C

C

C F2 E7 C

BM–R

102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136

V(+) 2,095

V(–) 2,630 2,695 1,321 1,942 2,471 2,638 1,278 1,841 2,322 2,338 2,561 1,158 1,625 1,877 2,132 2,264 1,261 1,354 1,579 1,672 1,367 1,462 1,663 1,672 1,820 1,376 1,401 1,454 1,485 1,618 1,785 1,360 1,488 1,671 1,739 1,870 1,005 0,581 0,082 0,495

0,841

0,770

0,602

1,300

1,373

1,452

138 140 142 144 146 148 150

BM–Q

Cota

1,411

1,660 1,690 2,482 3,803

distancia Acum. (m) 0,000 20,000 30,000 40,000 60,000 80,000 90,000 100,000 120,000 140,000 150,000 155,000 160,000 180,000 200,000 220,000 230,000 240,000 260,000 280,000 290,000 300,000 320,000 340,000 360,000 370,000 375,000 380,000 390,000 400,000 420,000 430,000 440,000 460,000 480,000 500,000 500,000

Cota Comp.

1000,000

Solución Analizando la relación entre los itinerarios, es posible representarlo mediante un croquis. Estadio A continuación, procedamos a calcular la tabla del itinerario ESTADIO–Q; dado que se conoce el P R BM del estadio . Q •

Traslado de BM–ESTADIO a Q Punto BM–Estadio C BM Q C BM estadio

V(+) 1,450 1,511 1,166 3,469

134,840 132,731 132,731 134,862

V(–) 3,621 1,165 1,338 1,470

Cota 133,390 131,220 131,566 131,393 133,392 ∆ = +0,002

distancia Acum. (m) 40,000 80,000 120,000 160,000

Cota Comp. 133,390 131,219 131,565 131,392 133,390

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

132

Con lo cual se ha calculado la cota relativa del punto Q(100,395 m).

Emax = 0, 02 0, 16 Emax = 0, 008 m

Dado:

•

0,002 m < 0,008 m (ok)

Para desarrollar la siguiente tabla se ha tenido que partir de una cota relativa: 100

Cota = 100,000 C

•

Ida

P

Q

Regreso

Dado que la cota absoluta de Q es 131,565 m, se genera una diferencia: 131,565 – 100,395 = 31,170 m Para calcular la cota absoluta de los demás puntos, se ha sumado a sus respectivas cotas relativas el valor 31,170; ya que la diferencia es constante.

Circuito P–Q Punto C BM P 0+52 C

C

C

C C

C

C E5 BM–Q

BM–P

V(+) 48 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100

1,140

101,140

1,165

100,395

2,069

101,122

2,539

102,879

1,862

104,201

1,455

104,361

1,105

103,752

0,710

102,492

2,560 2,110 1,079 0,803 1,415 1,481

102,959 104,191 103,990 102,180 100,313 100,952

V(–)

Cota Relativa

1,838 1,055 1,238 1,532 1,785 1,910 1,153 1,205 1,409 1,230 1,342 1,766 1,391 0,815 0,782 2,036 1,496 0,880 0,341 0,540 1,234 1,070 1,295 1,202 1,279 1,367 1,581 1,714 1,101 1,543 1,897 1,970 1,056 1,546 1,800 2,000 2,093 0,878 1,280 2,613 3,282 0,842 1,042

100,000 100,085 99,902 99,600 99,355 99,230 99,242 99,190 98,986 99,165 99,053 99,356 99,731 100,307 100,340 100,843 101,383 101,999 102,538 102,339 102,967 103,131 102,906 103,159 103,082 102,994 102,780 102,647 102,651 102,209 101,855 101,782 101,436 100,946 100,692 100,492 100,399 102,081 102,911 101,377 98,898 99,471 99,910 Ecierre = 0,008

d(acumulada)

Cota Comp. Relativa

Cota Comp. Absoluta

0,000 20,000 40,000 50,000 60,000 80,000 100,000 120,000 130,000 140,000 160,000 180,000 190,000 200,000 220,000 240,000 260,000 270,000 280,000 300,000 310,000 320,000 340,000 360,000 380,000 390,000 400,000 420,000 440,000 450,000 460,000 480,000 490,000 500,000 500,000

99,902 99,608 99,355 99,230 99,242 99,189 98,985 99,164 99,052 99,355 99,730 100,306 100,338 100,841 101,381 101,997 102,536 102,337 102,965 103,129 102,904 103,156 103,079 102,991 102,777 102,644 102,648 102,206 101,851 101,778 101,432 100,942 100,688 100,488 100,395

131,072 130,778 130,525 130,400 130,412 130,359 130,155 130,334 130,222 130,525 130,900 131,476 131,508 132,011 132,551 133,167 133,706 133,507 134,135 134,299 134,074 134,326 134,249 134,161 133,947 133,814 133,818 133,376 133,021 132,948 132,602 132,112 131,858 131,658 131,565

1000,000

99,902 Ecierre = 0,000

131,072 Ecierre = 0,000

Altimetría

133

Emax = 0, 02 k = 0, 02 0,16 Emax = 0, 008 m

Dado que: •

0,002 m < 0,008 m (ok)

Circuito Q–R Punto BM–Q C

C

E6 C

C

C

C F2 E7 C

BM–R

102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136

V(+) 2,095

133,660

0,841

131,806

0,770

129,938

0,602

127,979

1,300

127,015

1,373

126,716

1,452

126,348

1,411

125,974

1,660 1,690 2,482 3,803

125,764 126,449 128,350 132,071

V(–) 2,630 2,695 1,321 1,942 2,471 2,638 1,278 1,841 2,322 2,338 2,561 1,158 1,625 1,877 2,132 2,264 1,261 1,354 1,579 1,672 1,367 1,462 1,663 1,672 1,820 1,376 1,401 1,454 1,485 1,618 1,785 1,360 1,488 1,671 1,739 1,870 1,005 0,581 0,082 0,495

138 140 142 144 146 148 150

BM–Q

Cota distancia Acum. (m) 131,565 0,000 131,030 20,000 130,965 30,000 130,485 40,000 129,864 60,000 129,335 80,000 129,168 90,000 128,660 100,000 128,097 120,000 127,616 140,000 127,600 150,000 127,377 155,000 126,821 160,000 126,354 180,000 126,102 200,000 125,847 220,000 125,715 230,000 125,754 240,000 125,661 260,000 125,436 280,000 125,343 290,000 125,349 300,000 125,254 320,000 125,053 340,000 125,044 360,000 124,896 370,000 124,972 375,000 124,947 380,000 124,894 390,000 124,863 400,000 124,730 420,000 124,563 430,000 124,614 440,000 124,486 460,000 124,303 480,000 124,235 500,000 124,104 500,000 124,759 125,868 128,268 131,576 1000,000 Ecierre = 0,011

Emax = 0, 02 k = 0, 02 1, 0 Emax = 0, 02 m

Dado que:

0,011 m < 0,02 m (ok)

Cota Comp. 131,565 131,030 130,965 130,485 129,863 129,334 129,167 128,659 128,096 127,614 127,598 127,375 126,819 126,352 126,100 125,845 125,712 125,751 125,658 125,433 125,340 125,346 125,250 125,049 125,040 124,892 124,968 124,943 124,890 124,859 124,725 124,558 124,609 124,481 124,298 124,230 124,099

131,565

134

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

Altimetría

135

INDICE CAPÍTULO 1 :

GENERALIDADES

Concepto de topografía ......................................................................................................................................................................... 5 Breve reseña histótica ............................................................................................................................................................................. 6 Instrumentos importantes en la topografía ........................................................................................................................................ 8 Instrumentos complementarios en la topografía .............................................................................................................................. 9 División básica de la topografía ......................................................................................................................................................... 10 Importancia de la topografía en la ingeniería ................................................................................................................................... 11 Levantamiento topográfico ................................................................................................................................................................. 11 Entes importantes en la topografía ................................................................................................................................................... 14 El punto de control en la topografía ................................................................................................................................................. 15 Introducción a la geodesia .................................................................................................................................................................. 17 Sistemas de unidades ............................................................................................................................................................................ 19 Escala ...................................................................................................................................................................................................... 20 Sistema de coordenadas ....................................................................................................................................................................... 22 CAPÍTULO 2 :

TEORÍA DE OBSERVACIONES

Introducción .......................................................................................................................................................................................... 23 Teoría de probabilidades ..................................................................................................................................................................... 25 Observaciones de igual precisión .......................................................................................................................................... 28 Observaciones de diferente precisión .................................................................................................................................. 37 Errores en las operaciones matemáticas .............................................................................................................................. 38 Correcciones en las operaciones matemáticas .................................................................................................................... 39 CAPÍTULO 3 :

EQUIPOS BÁSICOS DE ALTIMETRÍA

El nivel tubular ...................................................................................................................................................................................... 45 Nivel de burbuja partida ...................................................................................................................................................................... 47 Nivel esférico ......................................................................................................................................................................................... 48 El telescopio .......................................................................................................................................................................................... 48 La mira .................................................................................................................................................................................................... 51 El nivel de ingeniero ............................................................................................................................................................................ 52 El eclímetro ........................................................................................................................................................................................... 58 CAPÍTULO 4 :

ALTIMETRÍA

Conceptos fundamentales ................................................................................................................................................................... 59 Clases de nivelación .............................................................................................................................................................................. 60 Nivelación directa o geométrica ......................................................................................................................................................... 64 Puesta en estación del nivel de ingeniero ............................................................................................................................ 65 Casos generales en una nivelación geométrica ................................................................................................................... 68 Elementos importantes de una nivelación geométrica ...................................................................................................... 68 Tipos de nivelación geométrica ............................................................................................................................................. 69 Comprobación de una nivelación geométrica ..................................................................................................................... 75 Precisión de una nivelación compuesta ............................................................................................................................... 79 Compensación de errores en una nivelación geométrica .................................................................................................. 80 Nivelación geométrica entre dos puntos extremadamente alejados ............................................................................... 82 Fenómenos físicos que afectan una nivelación ................................................................................................................... 83 Ajuste y corrección de niveles o equialtímetros ................................................................................................................. 86 Nivelación indirecta .............................................................................................................................................................................. 88 Nivelación trigonométrica ...................................................................................................................................................... 88 Nivelación barométrica ........................................................................................................................................................... 89 Red de nivelación .................................................................................................................................................................................. 95 Curva de nivel .................................................................................................................................................................................... 106 Perfil longitudinal .............................................................................................................................................................................. 111 Sección transversal ............................................................................................................................................................................. 120

Jor Jorge ge Mendoza Dueñas / Samuel Mora Quiñones

136

BIBLIOGRAFÍA TOPOGRAFÍA PRÁCTICA

:

Samuel Mora Quiñones - Editor M&Co - 1 990 Lima/Perú

TOPOGRAFÍA

:

Nabor Ballesteros Tena - Ed. Limusa Mexico - 1 995

TOPOGRAFÍA

:

Alvaro Torres Nieto, Eduardo Villate Bonilla Ed. Escuela Colombiana de Ingenieria; Colombia 2 001

TÉCNICAS MODERNAS EN TOPOGRAFÍA

:

A. Bannister, S. Raymond, R. Baker - Alfaomega Grupo Editor S.A. - Mexico 2 002

TOPOGRAFÍA

:

Francisco Valdéz Doménech - Ediciones CEAC Barcelona/España

TOPOGRAFÍA Y FOTOGRAMETRÍA EN LA PRÁCTICA MODERNA

:

Carl - Olof Ternryd, Eliz Lundin - Compañia Editorial Continental S.A. - Mexico

TOPOGRAFÍA

:

Miguel Montes de Oca - Alfaomega Grupo Editor S.A. - Mexico 1996

TOPOGRAFÍA

:

Dante Alcántara García - McGraw - Hill/Interamericana de mexico S.A.

TRATADO DE TOPOGRAFÍA 1 TEORÍA DE ERRORES E INSTRUMENTACIÓN

:

Manuel Chueca Pazos, José Herráez Boquera, José Berné Valero - Ed. Paraninfo S.A. Madrid/España - 1 996

TRATADO DE TOPOGRAFÍA 2 MÉTODOS TOPOGRÁFICAS

:

Manuel Chueca Pazos, José Herráez Boquera, José Berné Valero - Ed. Paraninfo S.A. Madrid/España - 1 996

TRATADO DE TOPOGRAFÍA

:

Raymond E. Davis, Francis S. Foote, Joe W. Kelly - Aguilar S.A. de Ediciones - Madrid/España

TRATADO GENERAL DE TOPOGRAFÍA

:

Jordan W. - Ed. Gustavo Gili. Barcelona/España

TRATADO DE TOPOGRAFÍA

:

Claudio Passini - Ed. Gustavo Gili Barcelona/España

TOPOGRAFÍA

:

Paul R. Wolf, Russell C. Brinker -Alfaomega Grupo Editor S.A. - Mexico - 1 997

TOPOGRAFÍA

:

Willian Irvine - Ed. McGraw - Hill Mexico

DATOS TÉCNICOS

:

Instituto Geográfico Nacional (I.G.N.) Lima/Perú

DATOS TÉCNICOS

:

Dirección de Hidrografía de la Marina de Guerra del Perú Callao/Perú

APUNTES DE CLASE TOPOGRAFÍA I

:

Samuel Mora Quiñones - Universidad Nacional de Ingeniería Lima/Perú

APUNTES DE CLASE TOPOGRAFÍA I

:

Jorge Mendoza Dueñas - Universidad Nacional de Ingeniería Lima/Perú