TopoAplicada_2012.pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE GEODÉSIA

Topografia aplicada à Engenharia Civil (13ª Edição Revisada e Ampliada) Iran Carlos Stalliviere Corrêa

2012

Topografia Aplicada à Engenharia Civil Departamento de Geodésia – IG/UFRGS

2012 / 13ª Edição

Iran Carlos Stalliviere Corrêa Porto Alegre/RS

INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS Departamento de Geodésia

Topografia Aplicada à Engenharia Civil

2012 Iran Carlos Stalliviere Corrêa

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Reitor: Carlos Alexandre Netto

Vice-Reitor: Rui Vicente Oppermann

Diretor do Instituto de Geociências: José Carlos Frantz

Projeto Apostila Projetado e elaborado pelo Departamento de Geodésia Chefe: Andrea Lopes Iescheck Chefe-Substituto: Jorge Luis Barbosa da Silva 13ª Edição Revisada e Ampliada 2012 Segundo a lei n° 9610/98 e o Código Penal no Artigo 184, é vedada a reprodução, por qualquer meio, desta apostila didática, sendo somente permitida com autorização do professor-autor. A cópia não autorizada é punível com sanções administrativas e penais.

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SUMÁRIO APRESENTAÇÃO

07

Capítulo I – LEVANTAMENTOS PLANIMÉTRICOS 1. Intersecção de retas 1.1 Introdução 1.2 Intersecção de retas oblíquas 1.3 Intersecção de retas perpendiculares 1.4 Exercícios aplicativos 2. Solução do problema dos três pontos (Solução de Pothenot) 2.1 Introdução 2.2 Solução de Pothenot 2.3 Exercícios aplicativos

08 08 10 11 12 12 16

Capítulo II – SISTEMA DE COORDENADAS 1. Sistema de coordenadas 1.1 Projeções cartográficas 1.2 Projeção Transversa de Mercator (UTM) 1.3 Deformação das áreas na projeção UTM 1.4 O fator de escala K 1.5 Sistema de coordenadas LTM e RTM aplicadas ao mapeamento Municipal 1.6 Exercícios aplicativos 2. Convergência dos Meridianos 2.1 Introdução 2.2 Cálculo da convergência meridiana 2.3 Exercícios aplicativos

17 18 20 21 22 23 23 24 26

Capítulo III – MEDIDAS DE ÂNGULOS HORIZONTAIS 1. Medidas de ângulos horizontais 1.1 Método da reiteração 2. Teoria dos Erros 2.1 Introdução 2.2 Método dos mínimos quadrados 2.3 Exercício elucidativo 2.4 Exercícios aplicativos 3. Medidas indiretas de distâncias 3.1 Introdução 3.2 Determinação de distâncias horizontais 3.3 Exercícios aplicativos 3.4 Determinação de distâncias verticais 3.5 Exercício elucidativo 3.6 Exercício aplicativo

27 28 29 30 33 34 35 36 36 38 40

Capítulos IV – DIVISÃO DE TERRAS (PROPRIEDADES) 1. Divisão de terras (Propriedades) 1.1 Introdução

41 3

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1.2 Divisão de áreas triangulares 1.3 Divisão de áreas trapezoidais 1.4 Divisão de áreas poligonais 1.5 Divisão de terras pelo método analítico 1.6 Exercício elucidativo 1.7 Exercícios aplicativos

41 43 44 45 47 52

Capítulo V – DETERMINAÇÃO DO NORTE VERDADEIRO DE UM ALINHAMENTO ATRAVÉS DA DISTÂNCIA ZENITAL ABSOLUTA DO SOL 1. Determinação do Norte verdadeiro de um alinhamento através da distância zenital absoluta do sol. 1.1 Princípios do método 1.2 Determinação da fórmula para obtenção do azimute do astro 1.3 Correções a serem efetuadas nas observações das distâncias zenitais 1.4 Cálculo da distância zenital compensada (Zc) 1.5 Cálculo da declinação do sol na hora da observação 1.6 Determinação do azimute verdadeiro de um alinhamento(Azimute da Mira) 1.7 Roteiro das operações de campo 1.8 Roteiro das operações de escritório 1.9 Exemplo elucidativo 1.10 Exercícios aplicativos

53 54 54 56 56 57 58 58 58 60

Capítulo VI – CURVAS DE CONCORDÂNCIA E DE TRANSIÇÃO 1. Curvas de concordância e de transição 1.1 Introdução 1.2 Tipos de curvas 1.3 Curva circular horizontal de concordância 1.3.1 Exercício elucidativo 1.3.2 Exercícios aplicativos 1.4 Curva circular horizontal de transição 1.4.1 Espiral de transição – clotóide 1.4.2 Estudo da clotóide 1.4.3 Posição da clotóide 1.4.4 Pontos notáveis 1.4.5 Locação de espiral de transição 1.4.6 Locação de uma espiral de transição com mudança de estação 1.4.7 Exercício elucidativo 1.4.7.1 Exercício elucidativo da curva de transição com mudança de estação 1.4.8 Exercícios aplicativos 2. Curvas verticais de concordância 2.1 Curva vertical simétrica por arco de parábola 2.1.1 Exercício elucidativo 2.1.2 Exercícios aplicativos 2.2 Curva vertical assimétrica por arco de parábola 2.2.1 Exercício elucidativo 2.2.2 Exercícios aplicativos

62 62 63 66 67 68 69 71 73 74 75 76 78 80 83 84 85 86 87 88 89

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Capítulo VII – LEVANTAMENTOS HIDROGRÁFICOS 1. Levantamentos hidrográficos 1.1 Introdução 1.2 Método de levantamento 1.2.1 Hidrometria 1.2.2 Batimetria 1.3 Equipamento 1.3.1 Hidrometria 1.3.2 Batimetria 1.4 Alinhamentos 1.5 Medida de vazão 1.5.1 Método do vertedor 1.5.2 Exercício elucidativo 1.5.3 Exercícios aplicativos 1.5.4 Método do molinete 1.5.5 Regime da bacia fluvial 1.6 Exercício aplicativo

90 90 90 90 90 90 92 93 94 94 95 96 96 100 100

Capítulo VIII – DESLOCAMENTO DE GRANDES ESTRUTURAS 1. Deslocamento de grandes estruturas 1.1 Introdução 1.2 Método trigonométrico para determinação de deslocamento horizontal de grandes estruturas 1.3 Cálculo do método da variação das coordenadas 1.4 Exercício aplicativo 1.5 Método geométrico para determinação do deslocamento vertical de grandes estruturas

101 101 103 106 107

Capítulo IX – LOCAÇÃO DE OBRAS 1. Locação de obras 1.1 Introdução 1.2 Locação de túneis 1.2.1 Locação de túneis por poligonal. 1.2.2 Locação de túneis por triangulação 1.3 Locação de eixos de pontes 1.4 Locação de prédios e outras obras de Engenharia 1.4.1 Locação de estacas 1.4.2 Locação de paredes 1.5 Exercício aplicativo

109 109 109 111 112 114 115 121 122

Capítulo X – TERRAPLENAGEM 1. Terraplenagem 1.1 Introdução 1.2 Exercício elucidativo das diversas situações em terraplenagem 1.3 Exercícios aplicativos

123 124 134

Bibliografia Consultada Respostas dos Exercícios Aplicativos

135 137

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APRESENTAÇÃO

Com a finalidade de atender às necessidades dos alunos da disciplina de Topografia Aplicada à Engenharia Civil, ministrada pelo Departamento de Geodésia do Instituto de Geociências, para o curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), é que foi organizada esta coletânea de informações referentes a notas de aulas elaboradas durante mais de trinta anos de magistério. A elaboração deste trabalho não tem o intuito de compará-lo a um livro didático e sim apenas um complemento para os alunos, no acompanhamento das aulas e, também, para futuras consultas na vida profissional dos mesmos já que a Topografia é uma ferramenta que contribui notavelmente para a área da Engenharia Civil. Esta obra tenta apresentar de forma simples e compreensível as principais aplicações da Topografia na área da Engenharia Civil e apresenta também, exemplos elucidativos de diversos casos reais observados na vida profissional, bem como propõe, exemplos aplicativos para o bom desenvolvimento do raciocínio dos alunos durante o desenrolar do curso. Quero expressar aqui o meu mais profundo agradecimento ao Prof. Clóvis Carlos Carraro, meu Mestre e Professor, o qual me ensinou os primeiros passos na área da Topografia e que me fez gostar desta ciência tornando-me, mais tarde, professor da mesma. Agradeço a ele também, pela sua paciência em revisar estas notas e pelas inúmeras sugestões apresentadas. Expresso também, os meus mais sinceros agradecimentos ao Prof. Laureano Ibrahim Chaffe, meu amigo e colega e ex-professor dessa disciplina, que me ensinou as principais aplicações da topografia na área da Engenharia Civil. A ambos meu respeito e gratidão.

O Autor,

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CAPÍTULO I LEVANTAMENTOS PLANIMÉTRICOS 1 - INTERSECÇÃO DE RETAS 1.1. Introdução O cálculo da intersecção de retas pelo processo trigonométrico leva vantagem sobre o processo que aplica a geometria analítica pela simplicidade das fórmulas aplicadas, onde os elementos disponíveis, tais como azimutes e coordenadas, entram diretamente no cálculo. O processo de intersecção de retas pode ser de dois tipos: por intersecção de retas oblíquas e por intersecção de retas perpendiculares. 1.2. Intersecção de Retas Oblíquas Seja determinar as coordenadas métricas de um ponto situado na intersecção de duas retas como mostra a figura 1 onde os elementos conhecidos são: Coordenadas do ponto A (NA, EA) Coordenadas do Ponto B (NB, EB) Azimute da linha AI (AzA) Azimute da linha BI (AzB) E os elementos procurados: Coordenadas da Intersecção (NI, EI) I (NI-EI)

∆NB

N

N

∆EB ∆NA

AzA ∆EA

B

(NB-EB)

AzB

A (NA-EA)

Figura 1. Intersecção oblíqua de duas retas

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A partir da figura 1 podemos dizer: EI = E A + ∆E A E I = E B + ∆E B

N I = N A + ∆N A N I = N B + ∆N B

(1) (2)

(3) (4)

logo: ∆E A = ( N I − N A ) tgAz A ∆EB = ( N I − N B ) tgAz B

(5) (6)

substituindo-se as equações (5) e (6) nas equações (1) e (2) temos: EI = E A + ( N I − N A ) tgAz A EI = EB + ( N I − N B ) tgAz B

(7) (8)

analogamente podemos dizer: ∆N A = ( EI − E A ) cot gAz A ∆N B = ( EI − EB ) cot gAz B

(9) (10)

substituindo-se as equações (9) e (10) nas equações (3) e (4) termos: N I = N A + ( EI − E A ) cot gAz A N I = N B + ( EI − EB ) cot gAz B

(11) (12)

Igualando-se as equações (7) e (8) temos: E A + ( N I − N A ) tgAz A = EB + ( N I − N B ) tgAz B E A + N I tgAz A − N A tgAz A = EB + N I tgAzB − N B tgAzB

( E A − N A tgAz A ) − ( EB − N B tgAz B ) = N I (tgAz B − tgAz A ) logo:

NI =

( E A − N A tgAz A ) − ( EB − N B tgAz B ) tgAz B − tgAz A

da mesma maneira se igualarmos as equações (11) e (12) temos: N A + ( EI − E A ) cot gAz A = N B + ( EI − EB ) cot gAz B N A + EI cot gAz A − E A cot gAz A = N B + EI cot gAz B − EB cot gAz B ( N A − E A cot gAz A ) − ( N B − EB cot gAz B ) = EI (cot gAz B − cot gAz A )

logo: EI =

( N A − E A cot gAz A ) − ( N B − EB cot gAz B ) cot g Az B − cot g Az A

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1.3. Intersecção de retas Perpendiculares

Seja determinar as coordenadas métricas de um ponto situado na intersecção de duas retas como mostra a figura 2 onde os elementos conhecidos são: Coordenadas do ponto A (NA, EA) Coordenadas do Ponto B (NB, EB) Azimute da linha AI (AzA) E os elementos procurados: Coordenadas da Intersecção (NI, EI) N

(NI-EI) I

∆NA

N AzA

∆NB

∆EA A (NA-EA)

∆EB B (NB-EB) (3π/2+AzA)

Figura 2. Intersecção perpendicular de duas retas Da figura 2 podemos dizer que: ∆E A = ( N I − N A ) tgAz A (1) 3π ∆EB = ( N I − N B ) tg ( + Az A ) 2

como tg (

(2)

3π + Az A ) = − cot gAz A 2

substituindo-se na equação (2) temos: ∆E B = ( N I − N B )(− cot gAz A )

(3)

como E I = E A + ∆E A

E I = E B + ∆E B

substituindo-se os valores das equações (1) e (3) temos: EI = E A + ( N I − N A ) tgAz A

(4)

EI = EB + ( N I − N B )(− cot gAz A )

(5)

igualando-se as equações (4) e (5) temos: 10

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E A + ( N I − N A )tgAz A = EB + ( N I − N B )(− cot gAz A ) E A + N I tgAz A − N A tgAz A = EB − N I cot gAz A + N B cot gAz A E A − N A tgAz A − N B cot gAz A − EB = − N I tgAz A − N I cot gAz A

multiplicando-se por (–1) temos: − E A + N A tgAz A + N B cot gAz A + EB = N I tgAz A + N I cot gAz A

logo: NI =

EB − E A + N A tgAz A + N B cot gAz A tgAz A + cot gAz A

de maneira análoga temos: N I = N A + ( EI − E A )co tgAz A (6) 3π N I = N B + ( E I − E B ) cot g ( + Az A ) 2

onde:

(7)

⎛ 3π ⎞ cot g ⎜ + Az A ⎟ = −tgAz A ⎝ 2 ⎠

igualando-se as equações (6) e (7) temos: N A + ( EI − E A ) cot gAz A = N B + ( EI − EB )(−tgAz A ) N A + EI cot gAz A − E A cot gAz A = N B − EI tgAz A + EBtgAz A

N A − E A cot gAz A − EBtgAz A − N B = − EI cot gAz A − EI tgAz A EI (cot gAz A + tgAz A ) = N B − N A + E A cot gAz A + EBtgAz A

logo: EI =

N B − N A + E A cot gAz A + EBtgAz A cot gAz A + tgAz A

1.4. Exercícios Aplicativos:

1) Seja determinar as coordenadas métricas do ponto de intersecção entre duas retas oblíquas que apresentam as seguintes coordenadas e azimutes em seus pontos extremos: NA=6.848.967,807m NB=6.849.025,357m EA=673.040,056m EB=673.165,305m AzA=182º28’16” AzB=209º00’00” 2) Seja determinar as coordenadas métricas do ponto de intersecção entre duas retas perpendiculares que apresentam as seguintes elementos: NA=6.848.967,807m NB=6.848.860,703m EA=673.040,056m EB=673.185,382m AzA=60º00’00”

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3) Pelos extremos de uma base AB, definida pelos elementos AzAB=100°20’e DHAB=350,00m, foi levantado pelo método da intersecção, um ponto M, com posição definida por AzAM=152°08’ e AzBM=214°50’. Pede-se para calcular as coordenadas UTM do ponto M, sabendo-se que as coordenadas UTM do ponto A são: NA=6.870.654,902m e EA= 507.432,385m. 4) Necessita-se recuperar as coordenadas de um ponto (M), pertencente a uma poligonal. Sabe-se do levantamento anterior que o Azimute do alinhamento BM é: AzBM=174º36’27” e o Azimute do alinhamento CM é: AzCM=120º06’16”. As coordenadas dos pontos B e C são respectivamente: NB=6.376.478,500m; EB=765.470,120m e NC=6.376.104,370m; EC=764.916,770m. Calcule também as distâncias horizontais entre os pontos BC, CM e BM e o Azimute do alinhamento BC. 2 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DOS TRÊS PONTOS (SOLUÇÃO DE POTHENOT) 2.1 Introdução

O Problema dos Três Pontos, também conhecido como Solução de Pothetot, inicialmente foi concebido para determinar a posição de embarcações no mar. Com o intuito de diminuir a presença da topografia nas frentes de lavras das minas a céu aberto, foi implantada a solução de Pothenot. O teodolito, neste caso, ocupa uma posição aleatória dentro da cava e através da visada a três ou mais pontos situados fora da mina, dos quais são conhecidas as coordenadas e a altitude, determina-se as coordenadas da estação ocupada pelo teodolito. Com o passar do tempo, a Solução de Pothenot foi utilizada para resolver problemas rotineiros da topografia, principalmente nas áreas rurais e urbanas. 2.2 Solução de Pothenot

B δ d

e

φ

C

γ

y

Az

b

x

A

c a β y

α

P

Fig 3.Esquema da Solução de Pothenot 12

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Seja a figura 3 na qual se deseja determinar as coordenadas métricas do ponto “P” a partir de outros três pontos de coordenadas conhecidas. Dados conhecidos: Coordenadas dos pontos “A, B e C” (Na,Ea; Nb,Eb; Nc,Ec) Dados medidos em campo: Ângulos α e β Dados a serem calculados: Coordenadas do ponto “P” 1) Cálculo dos azimutes (AB), (BA), (BC) e (CB) Eb − Ea Nb − N a E − Ea = arctg b Nb − N a

tgAz AB = Az AB

Az BA = Az AB + 180º tg Az BC =

Ec − Eb Nc − Nb

Az BC = arctg

Ec − Eb Nc − Nb

Az CB = Az BC + 180º

2) Cálculo das distâncias “d” e “e” Eb − E a = d × sen Az AB

d=

Eb − E a sen Az AB

N b − N a = d × cos Az AB

d=

Nb − Na cos Az AB

ou

e E c − Eb = e × sen Az BC

e=

Ec − Eb sen Az BC

N c − N b = e × cos Az BC

e=

Nc − Nb cos Az BC

ou

3) Cálculo dos ângulos “γ, x, y”

γ = Az BA − Az BC (se o resultado for negativo devemos somar 360º) x + y = 360º −(α + β + γ ) 13

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Do triângulo ABP podemos deduzir: b d = sen x sen α

b=d×

sen x sen α

(1)

b = e×

sen y sen β

(2)

Do triângulo BCP podemos deduzir: b e = sen y sen β

Igualando-se as equações (1) e (2) temos: d × sen x e × sen y = sen α sen β

sen x e × sen α = sen y d × sen β

(3)

Pela propriedade das proporções podemos escrever a equação (3) da seguinte maneira: sen x + sen y e × sen α + d × sen β = sen x − sen y e × sen α − d × sen β Dividindo-se o segundo termo por (d x senβ) e desdobrando o primeiro através das transformações de somas e diferenças trigonométricas em produtos temos: e × sen α x+ y x− y +1 × cos 2 2 = d × sen β x+ y x− y e × sen α × sen 2. cos −1 d × sen β 2 2 2. sen

e × sen α +1 x+ y x − y d × sen β tg × cot g = e × sen α 2 2 −1 d × sen β e × sen α −1 x− y x + y d × sen β tg = tg × e × sen α 2 2 +1 d × sen β Para o cálculo de “x” e “y” temos:

x=

x+ y x− y + 2 2

y=

x+ y x− y − 2 2

4) Cálculo dos ângulos “ δ e φ ”

δ = 180º −( x + α )

φ = 180º −( y + β ) 14

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5) Cálculo dos azimutes (AP), (BP), (CP) Az AP = Az AB + x Az BP = Az BC + φ

Az BP = Az BA − δ

Az CP = Az CB − y 6) Cálculo das distâncias “a”, “b” e “c” Para o triângulo ABP temos: a d = sen δ sen α a=

d × sen δ sen α

b d = sen x sen α b=

d × sen x sen α

Para o triângulo BCP temos: b e = sen y sen β b=

e × sen y sen β

c e = sen φ sen β c=

e × sen φ sen β

7) Cálculo das projeções Eap, Ebp, Ecp, Nap, Nbp, Ncp E AP = a × sen Az AP

N AP = a × cos Az AP

E BP = b × sen Az BP

N BP = b × cos Az BP

ECP = c × sen Az CP

N CP = c × cos Az CP

8) Cálculo das Coordenadas Ep e Np E P = E A + E AP

N P = N A + N AP

E P = E B + E BP

N P = N B + N BP

E P = EC + ECP

N P = N C + N CP

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2.3 Exercícios Aplicativos:

1) Deseja-se determinar as coordenadas de um ponto “P” sabendo-se que a partir do mesmo pode-se visualizar três pontos (A,B,C) de coordenadas conhecidas. A partir do ponto “P” foram medidos os ângulos α e β Ponto A Ponto B Ponto C Ea=10,033 Eb=57,964 Ec=108,310 Na=112,45 Nb=126,701 Nc=106,215 Ângulos: α=34º36’20” β=38°41’20” 2) Deseja-se determinar as coordenadas de um ponto “T” sabendo-se que a partir do mesmo pode-se visualizar três pontos (R,S,P)de coordenadas conhecidas. A partir do ponto “T” foram medidos os ângulos α e β. Ponto R Ponto S Ponto P Er=8.863,00 Es=9.465,00 Ep=10.122,00 Nr=9.379,00 Ns=9.702,00 Np= 9.628,00 Ângulos: α=36º58’08” β=38°04’05” 3) Seja determinar as coordenadas de um ponto “M” sabendo-se que a partir do mesmo pode-se visualizar três Marcos Geodésicos (A,B,C) cujas coordenadas são conhecidas. A partir do ponto “M” foram medidos os ângulos α e β. Ponto A Ponto B Ponto C Ea=10.000,00 Eb=16.672,00 Ec=27.732,76 Na=20.000,00 Nb=20.000,00 Nc=14.215,24 Ângulos: α=20º05’53” β=35°06’08”

Fig. 3a – Sistema de Pothenot aplicado na determinação de coordenadas por satélite

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CAPÍTULO II 1. SISTEMA DE COORDENADAS 1.1 Projeções Cartográficas

A superfície da terra quando projetada sobre um plano não conserva ao mesmo tempo, em verdadeira grandeza, as distâncias, os ângulos, as áreas e ainda a verdadeira relação entre estes elementos. A representação deve ser feita por seções, projetando-se partes da superfície da terra sobre a superfície de uma figura geométrica que possa ser distendida em um plano. As superfícies comumente usadas são as do cilindro, do cone e do próprio plano. Estas figuras podem ser tangentes ao esferóide como mostrado na figura 4 ou secante como mostrado na figura 5. A escolha da posição tangente ou secante depende da finalidade da projeção. O sistema Universal Transverso de Mercator (UTM) utiliza o cilindro como figura de projeção e faz com que este seja secante ao esferóide terrestre como mostrado na figura 5.

Fig. 4 - Sistemas de projeções cartográficas utilizando o cilindro, o cone e o plano tangentes ao esferóide terrestre.

Fig.5 - Cilindro secante ao esferóide terrestre. A projeção deve ser escolhida conforme o fim a que se destina, podendo-se adotar uma das seguintes: 1) A Projeção Equivalente, a que mantém a exata proporção entre as áreas do terreno e as representadas nas cartas. 2) A Projeção Conforme, que mantém a forma das pequenas figuras, isto é, que conserva os contornos geográficos de pequenas áreas. Esta projeção não conserva a forma das grandes áreas. 17

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3) A Projeção Azimutal, que mantém corretas as direções de todas as linhas que partem de um ponto. Seja qual for a projeção escolhida, esta deve ser tal que dela resulte a carta que melhor atenda os fins previstos. A Projeção Conforme é a que melhor atende as necessidades militares. A navegação marítima emprega a Projeção Mercator enquanto que a Projeção Azimutal é ideal para as áreas polares e para a confecção de cartas aéreas de distâncias. 1.2 Projeção Transversa de Mercator (UTM)

A projeção de Mercator pode tornar-se transversal fazendo-se a rotação do eixo do cilindro de um ângulo qualquer a partir de sua coincidência com o eixo polar da terra. Na projeção usada nas cartas topográficas editadas pela Diretoria do Serviço Geográfico, o eixo do cilindro é girado de 90º até ficar contido no plano do equador, passando assim a ter forma elíptica na sua seção transversal (Figura 5). O cilindro é ainda reduzido, tornando-se o mesmo secante. Os semidiâmetros tornam-se menores do que os do esferóide terrestre. A superfície do esferóide é cortada pela do cilindro segundo duas linhas paralelas ao meridiano central da projeção. A projeção é matematicamente calculada para conservar iguais as variações de distâncias nos sentidos da latitude e da longitude. Artifícios de cálculo permitem compensar as variações de escala. As especificações estabelecidas para o sistema UTM são as seguintes: 1) Projeção conforme de Mercator, transversa (Gauss) 2) Fusos de 6º de amplitude, limitados por meridianos nas longitudes múltiplas de 6º, coincidindo com os fusos da Carta Internacional ao Milionésimo. Cada sistema deve ser prolongado 30' sobre os contíguos, formando-se assim uma área de superposição, de 1 de largura na junção de dois fusos adjacentes. 3) Adoção de um elipsóide de referência. 1 = 0,9996 4) Fator de redução de escala K 0 = 1 − 2500 5) Origem das coordenadas planas, em um fuso, no cruzamento da linha do equador com o Meridiano Central (MC), acrescidas as constantes +10.000.000,00 de metros (só para o hemisfério Sul) no sentido do Meridiano e +500.000,00 metros no sentido do Paralelo. 6) Numeração dos fusos segundo o critério adotado pela Carta Internacional ao Milionésimo, isto é de 1 a 60, a contar do ante meridiano de Greenwich para lesta(Figura 6).

Fig.6 - Divisão dos fusos no continente brasileiro 18

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O sistema UTM divide o globo em 60 fusos iguais de 6º de amplitude cada um. Conhecendo-se o fuso em que se encontra a área a ser mapeada podemos determinar o meridiano central (MC) referente à mesma, através da seguinte equação: MC = 6 × F − 3 − 180º

onde F é o número do fuso Exemplo: Determinar o meridiano central de um ponto situado na área abrangida pelo fuso 20. MC = 6 × 20 − 3 − 180 MC = 120 − 3 − 180 MC = −63º

Dentro do sistema UTM a Latitude de um ponto é representada pela letra "N" e a Longitude, pela letra "E". Desta forma para que as coordenadas UTM não tenham valores negativos como o que ocorre com as coordenadas geográficas, convencionou-se atribuir à origem "0" (intersecção da projeção do meridiano central com a linha do Equador) as coordenadas N=10.000.000,00 metros e E=500.000,00 metros para o hemisfério Sul e N=0,00 metros e E=500.000,00 metros para o hemisfério Norte. Ficando o Sistema UTM estabelecido da seguinte maneira: Ν

Ε=500.000

Cresce Ν=0 Ν=10.000.000

Cresce

Ε

Cresce Ε=500.000

Cresce

Exemplo de coordenadas UTM de ponto situado no hemisfério Sul e a Oeste do MC: NA=6.675.322,68m

EA=487.866,98m

Distância do ponto A ao meridiano central(MC) 500.000,00 - 487.866,98 = 12.133,02m Distância do ponto A a linha do Equador 10.000.000,00 - 6.675.322,68 = 3.324.677,38m

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1.3 Deformação das áreas na projeção UTM

A fim de reduzir as deformações sofridas no sistema de projeção UTM, limitam-se os campos de aplicação a fusos de 6º de amplitude (3 para cada lado do Meridiano Central). Na projeção Universal Transversa de Mercator (UTM), o cilindro envolvente sofre uma redução, tornando-se secante (Figura 7) . A secância traz mais vantagens que a tangência porque aquela ocasiona duas linhas paralelas ao meridiano central que fornecem distâncias em sua verdadeira grandeza. Estas duas linhas estão situadas a 180km a leste e a oeste do meridiano central do fuso. Desde que para o meridiano central do fuso se estabelece o valor de 500.000,00 metros, as linhas de secância terão coordenadas "E" de 680.000,00 e 320.000,00 metros respectivamente.

Fig.7 - Cilindro secante com fuso de 6º de amplitude A figura 8 é a representação esquemática da variação da distorção, nas proximidades do Equador, para qualquer fuso de 6º de amplitude. No meridiano central o fator de escala é 0,9996. A partir deste o fator cresce para oeste e para leste até atingir o valor 1 nas proximidades das coordenadas E=320.000,00m e E=680.000,00m, continuando a crescer até o valor de 1,0010 nos limites do fuso. Redução

K=1,0010 E=834.000m

Linha de secância

Meridiano Central

K=0,9996 E=500.000m

K=1 E=320.000m

Linha de secância

K=1,0010

K=1

3º

3º

E=166.000m

Ampliação

E=680.000m

Ampliação

Fig.8 - Escala de distorção em qualquer fuso de 6º, nas proximidades do Equador

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1.4 O fator de escala K

O fator de escala "K" ou coeficiente de redução de escala é variável conforme o afastamento em relação ao Meridiano Central. As distâncias medidas no terreno, para serem projetadas, devem ser multiplicadas pelo fator correspondente à região onde está sendo efetuada a medida. Inversamente, as distâncias tomadas na carta devem ser divididas pelo fator de escala para que possamos obter o valor das distâncias reais. Nas distâncias curtas não é necessário efetuar esta correção devido o erro cometido ficar aquém dos erros inevitáveis; entretanto, em distâncias consideráveis como nos levantamentos de estradas e grandes áreas, esta correção deverá ser efetuada. A Tabela I fornece o valor do coeficiente de redução (Fator de escala K) até a quinta casa decimal. Tabela I - Fator de escala K no sistema UTM Ordenada E 500.000 500.000 490.000 510.000 480.000 520.000 470.000 530.000 460.000 540.000 450.000 550.000 440.000 560.000 430.000 570.000 420.000 580.000 410.000 590.000 400.000 600.000 390.000 610.000 380.000 620.000 370.000 630.000 360.000 640.000 350.000 650.000 340.000 660.000 330.000 670.000 320.000 680.000 310.000 690.000 300.000 700.000 290.000 710.000 280.000 720.000 270.000 730.000 260.000 740.000 250.000 750.000 240.000 760.000 230.000 770.000 220.000 780.000 210.000 790.000 200.000 800.000 190.000 810.000 180.000 820.000 170.000 830.000 160.000 840.000 150.000 850.000 140.000 860.000 130.000 870.000 120.000 880.000 110.000 890.000 100.000 900.000

Fator K 0.99960 0.99960 0.99960 0.99961 0.99962 0.99963 0.99964 0.99966 0.99968 0.99970 0.99972 0.99975 0.99978 0.99981 0.99984 0.99988 0.99992 0.99996 1.00000 1.00005 1.00009 1.00014 1.00020 1.00025 1.00031 1.00037 1.00043 1.00050 1.00057 1.00065 1.00071 1.00079 1.00086 1.00094 1.00103 1.00111 1.00120 1.00129 1.00138 1.00148 1.00158

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1.5 Sistema de Coordenadas LTM e RTM aplicadas ao mapeamento Municipal.

Em muitos países do mundo, o mapeamento urbano não é efetuado no sistema UTM, em função das distorções lineares que o mesmo acarreta no mapeamento, principalmente nos limites do fuso. Para solucionar estes problemas foi criado, nos Estados Unidos, o sistema SPC (State Plane Coordinate) o qual proporciona o mapeamento de áreas urbanas em grande escala diminuindo os erros de distorções cometidos pelo sistema UTM. Este novo sistema utiliza fuso de 2º, conhecido como RTM (Regional Transverso de Mercator) e fuso de 1º, conhecido como LTM (Local Transverso de Mercator). O sistema LTM atende à necessidade do mapeamento urbano em relação à equivalência entre as distâncias medidas em campo e sua respectiva projeção no mapa topográfico. A distorção linear, mesmo no limite do fuso, é tão pequena que pode ser desprezada em mapeamentos urbanos de grande escala (1:2.000 ou 1:1.000). No sistema LTM, a distorção máxima, no extremo sul brasileiro, considerando o limite do fuso, chega a 1:46.966, enquanto que o sistema UTM ocasiona, para o mesmo ponto, uma distorção de 1:1.831. Para regiões próximas ao meridiano de secância do sistema UTM, pode-se usar o mesmo sistema, que equivale, nesta região, ao sistema LTM, limitando a região em 1º (30’ para cada lado do meridiano de secância). O sistema RTM é utilizado para evitar a transposição de fuso quando a região é próxima ao final do fuso de 1º (LTM). Características do Sistema RTM: a) Fuso de 2 graus b) Meridiano Central nas longitudes ímpares c) K0=0,999995 d) N=5.000.000 – N’ (hemisfério sul) e) N=N’ (hemisfério norte) f) E=400.000 ± E’ (+E’ se o ponto se encontrar a oeste do MC e –E’ se o ponto se encontrar a leste do MC) Características do Sistema LTM: a) Fuso de 1 grau b) Meridiano central nas longitudes de meio grau c) K0=0,999995 d) N=5.000.000 - N’ (hemisfério sul) e) N=N’ (hemisfério norte) f) E=200.000 ± E’ (+E’ se o ponto se encontrar a oeste do MC e –E’ se o ponto se encontrar a leste do MC M C=51° 54º

53º

LTM

LTM

RTM

50º

52 º

LTM

LTM

RTM UTM

LTM

49º

48°

LTM RTM

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1.6 Exercícios Aplicativos

1) De um levantamento topográfico é conhecida as coordenadas UTM de dois pontos referentes a base de uma triangulação. A partir destas coordenadas pede-se para calcular a distância plana (UTM) entre estes dois pontos e a distância real de campo. NA=6.879.475,823m NB=6.881.324,537m EA=232.678,907m EB=230.321,845m 2) Para a elaboração de um projeto de locação de uma estrada, necessita-se saber a distância real existente entre os Marcos Geodésicos denominados Pinheiro Alto e Casa Branca, cujas coordenadas são: NPA=6.767.478,970m NCB=6.747.316,290m EPA=557.560,670m ECB=564.130,580m 2. CONVERGÊNCIA DOS MERIDIANOS 2.1 Introdução

Em obras de engenharia que abrangem grandes distâncias tais como os levantamentos destinados a projetos de linhas de transporte, sejam rodovias, ferrovias, energia elétrica etc., nas quais se utilizam poligonais abertas e portanto sem controle de erros de fechamento, tanto angular como linear, devemos levar em consideração a Convergência dos meridianos no transporte e cálculo dos azimutes. Isto porque ao efetuarmos o levantamento de campo estamos trabalhando sobre uma superfície curva e não sobre um plano. Desta maneira, o azimute de um alinhamento não difere de seu contra-azimute de 180º. Uma das conseqüências deste fato é que a direção N-S num determinado ponto não é paralela à direção N-S em um outro ponto que se encontre a alguns quilômetros de distância. Para amenizar-se este erro no levantamento de poligonais abertas de grande envergadura, são programadas determinações da direção do norte verdadeiro ou geográfico entre intervalos de distância preestabelecidos, geralmente a cada 10km. Com isso, os azimutes dos alinhamentos, que vêm sendo calculados através dos ângulos medidos, podem ser controlados e corrigidos. Dá-se o nome de convergência meridiana à diferença angular existente entre o norte verdadeiro ou geográfico(NV) e o norte da quadrícula (NQ) (Figura 9). Sobre o meridiano central, a convergência meridiana é nula, uma vez que o norte verdadeiro coincide com o norte da quadrícula. À medida que nos afastamos do meridiano central, a convergência meridiana vai aumentando.

Fig.9 - Convergência Meridiana 23

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2.2 Cálculo da Convergência Meridiana

Para a determinação da Convergência Meridiana podemos obter sua dedução a partir da figura 9a:

Fig. 9a – Convergência dos Meridianos PN=Pólo Norte ∆λ=Diferença de longitudes entre os pontos considerados (A e B) ϕ + ϕB φm=Latitude média do local ( A ) 2 γ=Convergência dos Meridianos Da figura 9a temos: Do triângulo ABT podemos dizer que: AB = senγ BT Do triângulo ABO’ podemos dizer que: AB = sen∆λ BO' Do triângulo BO’T podemos dizer que: BO' = senϕ BT Logo equiparando-se as equações acima temos: 24

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senγ =

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BO'×sen∆λ BO' senϕ

senγ = sen∆λ × senϕ como temos dois pontos (A e B) o valor de φ será a média das latitudes (φm) destes dois pontos e assim podemos escrever a equação como: senγ = sen∆λ × senϕ m Como os valores de senγ e sen∆λ são pequenos estes se confundem com os próprios valores de γ e de ∆λ . sendo assim a equação pode ser expressa por:

γ = ∆λ × senϕ m Para o cálculo da convergência meridiana (γ=CM) pode ser usada a seguinte fórmula que nos dá um valor aproximado mas dentro das precisão topográfica: CM = ∆ λ. senφm onde ∆λ é a diferença de longitude entre o meridiano central e o ponto considerado e φ é a latitude do ponto. O valor da latitude (φ) e da longitude (λ) podem ser obtidos a partir de uma carta topográfica com precisão mínima de minuto. Seja um alinhamento AB cujo Azimute de Quadrícula é de 114º34'20" e φ = -32º02'05,6" e λ = -51º14'05,41" as coordenadas do ponto A (Ponto referente do canteiro posterior ao salão de Atos da UFRGS). Determinar o Azimute Verdadeiro do referido alinhamento. Da fórmula da convergência meridiana temos: CM = ∆λ . senφm Donde: ∆λ = MC - λA Meridiano Central (MC) = 51º ∆λ = 51º - 51º14'05,41" ∆λ = -0º14'05,41" CM = -0º14'05,41" x sen-32º02'05,6" CM = (-0.2348361111) x (-0,5304355645) CM = 0,1245654253º CM = 0º07'28,4" Azimute verdadeiro = Azimute da Quadrícula + CM AzVed = 114º34'20" + 0º07'28,4" AzVed = 114º41'48,4"

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2.3 Exercícios Aplicativos:

1) Deseja-se determinar a convergência meridiana em um ponto pertencente a uma poligonal cujas coordenadas geográficas são: φ = -32º27'45" , λ = -49°12'55" e o MC = 51º. 2) Deseja-se conhecer a convergência meridiana do centro de uma carta topográfica cujas coordenadas de vértices são: φA = -28°30' , λA = -52º15'; φB = -28º30', λB = -52º30'; φC = -28º45', λC = -52º30'; φD = -28º45', λ D = -52º15' e cujo MC = 51°. 3) Sabe-se que o Azimute verdadeiro de um alinhamento é de 232º56'30'. Pede-se qual será seu Azimute de Quadrícula, sabendo-se que este ponto apresenta as seguintes coordenadas: φ = - 29º30'45" e λ = -56º10'20". Meridiano Central = 57º.

Fig. 9b – Mapa em coordenadas UTM

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CAPÍTULO III 1. MEDIDAS DE ÂNGULOS HORIZONTAIS 1.1 Método da Reiteração A medida de ângulos pelo método da reiteração consiste em medir cada ângulo em partes diferentes do limbo, atenuando assim prováveis erros que possam ocorrer na graduação dos limbos. Para eliminar prováveis erros de excentricidade do eixo óptico ou erro de inclinação do eixo horizontal, vamos aplicar a esse método a leitura do ângulo na posição direta (PD) e posição inversa (PI) da luneta. O método a ser aplicado consiste em observar todas as direções a partir da estação, uma após outra, no sentido horário e em referir-se todas as direções observadas a uma dentre estas direções, escolhida como origem ou referência. As leituras são efetuadas, primeiramente, na posição direta da luneta (PD) e posteriormente na posição inversa da mesma (PI). Para a determinação do arco de reiterações a ser aplicado na medida dos ângulos, é necessário se estabelecer o número de reiterações (n) pretendido. Supondo que se deseje efetuar 4 reiterações, o arco de reiteração será:

180 180 = = 45º n 4 Estabelecido o arco de reiteração, este indicará o valor correspondente ao arco de afastamento entre cada uma das 4 série de medidas de ângulos. A primeira reiteração partirá com a marcação do limbo em 0º, a segunda reiteração a partir de 45º, a terceira a partir de 90º e a quarta a partir de 135º como pode ser visto no quadro abaixo. Reiteração PD PI 1ª 0°00’00” 180º00’00” 2ª 45º00’00” 225°00’00” 3ª 90°00´00” 270º00’00” 4ª 135º00’00” 315°00’00” arco de reiteração =

Se o aparelho não apresentar nenhum erro sistemático e considerando que o operador não cometa erro acidental, a leitura a ser observada no limbo, quando da inversão da luneta para a leitura na posição inversa (PI), deverá diferir da leitura da posição direta (PD) de 180º. A leitura da posição inversa (PI) não deve ser ajustada no limbo e sim anotar diretamente o valor lido. O ângulo final a ser utilizado será a média entre a leitura da posição direta (PD) e da posição inversa (PI). Ângulo Médio =

PD + PI − 180 2

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2. TEORIA DOS ERROS 2.1 Introdução

Todas as observações topográficas se reduzem na medida de uma distância, de um ângulo ou de uma diferença de nível as quais podem ser afetadas de erros ocasionados pelos aparelhos, pelas condições exteriores e pelo observador. Procura-se eliminar algumas das causas dos erros e reduzir os valores dos que restam, mas como não é possível faze-los desaparecer completamente, torna-se necessário calcular o valor mais provável da grandeza, o qual é obtido através dos resultados das observações efetuadas. Todas as grandezas que nos interessam são medidas ou observadas por intermédio de nosso sentidos e com o auxílio de instrumentos. Efetuando-se uma série de medidas de uma mesma grandeza, a prática revela que essas medidas ou observações nunca são absolutamente concordantes. Se considerarmos uma dessas medidas ou observações como valor exato da grandeza que se está a medir, comete-se erro. Os erros podem ser classificados em duas grandes categorias: sistemáticos e acidentais. a) Erros Sistemáticos: são os erros que aparecem numa medida com absoluta constância ou variando segundo uma lei determinada. Este erro poderá ser eliminado quando sua causa for definida. Os erros sistemáticos apresentam sempre o mesmo sinal, que poderá ser positivo ou negativo, considerando-se a mesma grandeza medida, mesmo equipamento e mesmo operador. b) Erro Acidental: são os erros devidos às ações simultâneas e independentes de causas diversas e desconhecidas. Poderão apresentar ora valor positivo, ora valor negativo para a mesma situação. A ciência se conforma com estes erros e institui métodos para escolher o valor mais representativo da série de grandeza medida. A Teoria dos Erros tem por finalidade estabelecer um método seguro e conveniente, segundo o qual sempre se possa estabelecer o valor mais aceitável de uma grandeza, uma vez que se reconhece ser impossível tornar as medidas isentas de erros. Além disso, a teoria dos erros se preocupa em determinar o erro mais tranquilizador que se pode cometer a respeito do valor de uma determinada grandeza que se mede. Erro Verdadeiro é o afastamento ε, que existe entre o verdadeiro valor de uma grandeza X (desconhecida) e uma medida qualquer l que se obtenha dessa grandeza. ε = X −l Erro Aparente ou resíduo é o afastamento v, que existe entre o valor mais aceitável e mais conveniente x, que se tomou para definir uma grandeza (de valor real X desconhecido) e uma medida qualquer l. v = x−l

Para n medidas efetuadas de uma mesma grandeza (l1, l2, l3,....,ln), o valor mais aceitável é o que se obtém através da média aritmética dos valores dessas medidas. x=

l1 + l 2 + ... + l n n

e serão erros aparentes: 28

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v1 = x − l1

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v2 = x − l 2

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........ v n = x − l n

Erro Médio Aritmético é o valor ε0, obtido através do somatório modular dos erros aparentes (v) dividido pelo número de observações ou medidas.

ε0 =

Σv

Σ v = somatório em valor absoluto

n

2.2 Método dos Mínimos Quadrados

A soma dos quadrados dos erros deve ser um mínimo, isto é, v1v1+v2v2+....+vnvn=mínimo. O quadrado de qualquer quantidade positiva ou negativa é sempre um valor positivo o que tranqüiliza a respeito da co-participação dos sentidos dos erros no critério a adotar, sem os prejuízos oriundos de um mínimo pouco expressivo. Valor mais plausível x de uma grandeza desconhecida X , em torno da qual se efetuam medidas diretas, inspirando todas o mesmo grau de confiança é a média aritmética simples destas medidas (l).

x=

Σl n

Erro Médio Quadrático de uma Observação Isolada é o afastamento mais adequado, expresso por um número ε1, entre o valor real X da grandeza que se mede e o seu valor mais plausível x.

Σ vv (n − 1) onde Σvv representa a soma dos quadrado dos resíduos (v) que são obtidos pela diferença entre a média aritmética (x) e cada uma das medidas (l)

ε1 = ±

Erro Médio Quadrático da Média Aritmética, εm, de uma grandeza X cujo valor mais plausível seja definido por uma média aritmética simples entre os valores das observações é:

εm = ±

ε1 n

ou

εm = ±

Σ vv n(n − 1)

Se utilizarmos a equação do erro médio quadrático da média aritmética (εm) e considerarmos o erro médio quadrático de uma observação isolada (ε1) igual a 1 e variarmos o número de observações efetuadas sobre uma mesma grandeza (n), obteremos valores para εm . Se considerarmos estes valores como y e os valores de (n) como x, podemos construir um gráfico (Fig.10) que nos mostrará o grau de diminuição do erro médio com o aumento do número de repetições da grandeza medida.

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ε1

1,0

0

1

2

3

4

5

6

7

n

Fig.10. Gráfico da variação do erro médio quadrático com o aumento do número de observações A curva obtida, como pode ser vista na figura 10, é uma curva assintótica, o que significa que o erro médio tende para zero à medida que se aumenta indefinidamente o número de observações. Média Aritmética Ponderada (Xp) é o valor ponderado de uma grandeza desconhecida X, em torno da qual se efetuaram medidas não condicionadas, com graus de exatidão diferentes e conhecidos por intermédio dos números p1, p2,....,pn, os quais representam os pesos atribuídos a cada medida efetuada. XP =

Σ ( xi × p i ) Σ pi

onde “i” representa cada série de medida

O valor dos pesos das observações (p) são inversamente proporcionais ao valor do quadrado do erro médio quadrático da média aritmética (εm) de cada observação.

pi =

1 (ε mi ) 2

Erro Médio Quadrático da Média Ponderada é dado pela seguinte equação:

ε mp =

Σ (vvi × pi ) Σ pi (n − 1)

onde:

vv representa o quadrado do resíduo (v) que é obtido pela diferença entre a média ponderada e a média aritmética de cada série de medida. vi = X Pi − xi

onde “i” representa cada série de medidas.

2.3 Exercício Elucidativo:

1) Mediu-se uma grandeza angular com quatro equipamentos e equipes diferentes e obteve-se os seguintes resultados: Equipe I 20°21’10” 20°21’20” 20°21’00” 20°21’10”

Equipe II 20°21’40” 20°21’10” 20°21’20” 20°21’10”

Equipe III 20°21’50” 20°21’30” 20°21’20” 20°21’40”

Equipe IV 20°21’00” 20°21’30” 20°21’10” 20°21’20”

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Pede-se:

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1. Qual é a melhor série de medidas? 2. Qual é o valor angular mais provável em relação às quatro séries de medidas?

1ª Série de Medidas:

xI =

Valor Angular Médio (xI) Resíduos

+ν

1 2 3 4

00

Σ=

10

-ν

νν

00 100 100 00

10 10 00 10

Erro médio aritmético: ε 0 =

Σl = 20º21’10” n

200

Σv n

=

20 =5 4

Σ vv 200 =± = ±8,16 (n − 1) 3

Erro médio quadrático de uma observação: ε 1 = ±

Σ vv 200 =± = ±4,08 n(n − 1) 12

Erro médio quadrático da média aritmética: ε m = ±

2ª Série de Medidas: Valor Angular Médio (xII) Resíduos

+ν

1 2 3 4

10 00 10

Σ=

20

-ν

νν

20

400 100 00 100

20

600

Erro médio aritmético: ε 0 =

Σv n

=

x II =

Σl = 20º21’20” n

40 = 10 4

Erro médio quadrático de uma observação: ε 1 = ± Erro médio quadrático da média aritmética: ε m = ±

3ª Série de Medidas: Valor Angular Médio (xIII)

x III =

Σ vv 600 =± = ±14,14 (n − 1) 3 Σ vv 600 =± = ±7,07 n(n − 1) 12

Σl = 20º21’35” n

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Resíduos

+ν

1 2 3 4

05 15

Σ=

20

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-ν

νν

15

05

225 25 225 25

20

500

Erro médio aritmético: ε 0 =

Σv n

=

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40 = 10 4

Erro médio quadrático de uma observação: ε 1 = ± Erro médio quadrático da média aritmética: ε m = ±

Σ vv 500 =± = ±12,91 (n − 1) 3 Σ vv 500 =± = ±6,45 n(n − 1) 12

4ª Série de Medidas: Valor Angular Médio (xIV) Resíduos

+ν

1 2 3 4

15

Σ=

20

-ν

Σl = 20º21’15” n

νν

05

225 225 25 25

20

500

15 05

Erro médio aritmético: ε 0 =

x IV =

Σv n

=

40 = 10 4

Erro médio quadrático de uma observação: ε 1 = ± Erro médio quadrático da média aritmética: ε m = ±

Σ vv 500 =± = ±12,91 (n − 1) 3 Σ vv 500 =± = ±6,45 n(n − 1) 12

O valor da média aritmética por série de medida com seu respectivo erro médio é: Valor mais provável por série I II II IV

20º21’10” 20º21’20” 20º21’35” 20º21’15”

±4,08 ±7,07 ±6,45 ±6,45

Valor mais provável em relação as quatro séries de medidas, ou seja, o cálculo da Média Ponderada.

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Cálculo do peso (p): pi =

1 (ε mi ) 2

p I = 0,060073049

p II = 0,020006042

p III = 0,024037017

p IV = 0,024037017

Cálculo da média ponderada: Σ ( xi × p i ) XP = Σ pi 1,222653417 + 0,407234099 + 0,489386989 + 0,489253450 = 20,354774454 XP = 0,128153125 X P = 20º 21'17,2" Cálculo do resíduo da média ponderada (v): vi = X P − xi Resíduos

ν

νν

1 2 3 4

7,2 2,8 17,8 2,5

51,84 7,84 316,84 6,25

Cálculo do erro médio quadrático da média ponderada: Σ (vvi × pi ) ε mp = Σ pi (n − 1) . Σ (vvi × pi ) 3,114186860 + 0,156847369 + 7,615888466 + 0,150231356 = = 5,35 ε mp = Σ pi (n − 1) 0,384459375

A melhor série de medidas é a I e o valor angular mais provável em relação as quatro séries de medidas é de: X P = 20º 21'17,2" ± 5,35"

2.4 Exercícios Aplicativos

1) Três equipes de topografia medem uma base AB e obtém os seguintes resultados: Equipe I 704,27m 705,35m 704,64m 704,19m

Equipe II 703,84m 703,97m 704,69m 704,30m

Equipe III 704,18m 704,58m 704,39m 705,02m

Pede-se qual é a melhor série de medidas e qual o valor médio mais provável das três série de medidas?

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2) Uma base RS de uma triangulação para a determinação de uma distância inacessível, foi medida 8 vezes e foram obtidos os seguintes valores: Leitura Medida (m) 1ª 110,60 2ª 110,67 3ª 110,60 4ª 110,56 5ª 110,67 6ª 110,68 7ª 110,63 8ª 110,71 Pede-se: qual o valor mais provável, erro médio quadrático de uma observação e erro médio quadrático da média aritmética.

3. MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS 3.1 Introdução

Quando alguma impossibilidade ou dificuldade na obtenção de uma distância por medidas diretas se apresentar, poderemos obter esta distância por métodos indiretos através de solução matemática com a utilização da trigonometria, onde os valores angulares e lineares necessário para o cálculo são obtidos por equipamentos e métodos topográficos. Os teodolitos a serem empregados para a obtenção dos dados angulares deve permitir leituras de grande precisão, se possível de 20" e interpolação de 10", ou precisão maior. Os dados lineares necessários devem ser medidos com grande exatidão, para que os resultados finais a serem obtidos possam satisfazer o grau de precisão exigido. Suponhamos que se deseja medir a distância entre o ponto "P" e o ponto "Q" (figura 11), os quais poderiam ser considerados como os extremos do eixo de uma ponte ou de um túnel. Para resolvermos o problema, foram escolhidos outros dois pontos auxiliares, "A" e "B", localizados em uma área de fácil acesso e com intervisibilidade entre si e entre os pontos "P" e "Q". Para a obtenção da distância horizontal considerada (PQ), devem ser medidos em campo os ângulos α, β, γ e δ e a distância horizontal "AB", que servirá de base. Q Y

ϕ

l3

P X ε

l2

l4

l5

l1 δ α β

l

γ B

A

Figura 11 - Planta da poligonal de apoio para a determinação da distância "PQ" inacessível. 34

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3.2 Determinação de Distâncias Horizontais

Nos pontos auxiliares, A e B, será montado o teodolito para a medidas dos ângulos α, β, γ e δ, utilizando-se, de preferência, o método das reiterações. Esta base AB deverá, conforme as possibilidades, ter uma orientação o mais paralela possível com o alinhamento a ser determinado. A distância AB deverá ser medida com uma trena com grande precisão e no mínimo duas vezes ou através de um equipamento eletrônico de medida de distância. Para o cálculo da distância, poderemos utilizar a lei dos senos, dos cosenos e das tangentes, de tal maneira que possamos obter a distância PQ por vários caminhos. Trata-se apenas de uma verificação de cálculo, já que partimos dos mesmos dados iniciais e, obviamente, os resultados devem ser iguais, salvo enganos de cálculo ou erros cometidos na medida dos ângulos. Para o resultado final, procura-se utilizar a média da série de cálculos que apresentarem a menor distorção, sempre dentro do erro máximo permitido para o levantamento. Do triângulo PAB (Fig.11), pela lei dos senos podemos determinar l1 e l4: l l = 1 sen ε sen γ l4 l = sen ε sen(α + β )

l. sen γ sen ε l. sen(α + β ) l4 = sen ε l1 =

ε = 180º −(α + β + γ ) Do triângulo QAB (Fig.11), pela lei dos senos podemos determinar l2 e l5: l2 l = sen ϕ sen(γ + δ ) l l = 5 sen ϕ sen β

l. sen(γ + δ ) sen ϕ l. sen β l5 = sen ϕ

l2 =

ϕ = 180º −( β + γ + δ ) Do triângulo APQ (Fig.11), pela lei dos cosenos, podemos determinar a distância PQ (l3)

l3 = l12 + l 22 − 2.l1 .l 2 . cos α Do triângulo BPQ (Fig.11), pela lei dos cosenos, podemos determinar a distância PQ (l3) l3 = l 42 + l52 − 2.l 4 .l5 . cos δ

Utilizando-se a lei das tangentes na figura 11, podemos expressá-la, em relação ao triângulo PQA, como: ⎛l −l α⎞ (X − Y) = arctg ⎜⎜ 2 1 . cot g ⎟⎟ 2 2⎠ ⎝ l 2 + l1 ( X + Y ) 180° − α = 2 2 35

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Das duas expressões podemos tirar: (X + Y ) (X − Y ) X= + 2 2

Y=

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(X + Y ) (X −Y ) − 2 2

Do triângulo PAQ (Fig.11), pela lei dos senos, podemos determinar a distância PQ (l3). l3 =

l 2 . sen α sen X

ou

l3 =

l1 . sen α sen Y

ou pelo triângulo PBQ l3 =

l . sen δ l 4 . sen δ ou l 3 = 5 sen(Y + ϕ ) sen( X − ε )

Desta maneira consegue-se determinar a distância PQ (l3) por seis caminhos diferentes. Comparando-se os resultados, pode-se determinar o valor mais provável através da média aritmética entre os valores mais próximos. Deve-se determinar o erro médio quadrático da média. 3.3 Exercícios Aplicativos:

1) Deseja-se determinar o comprimento do eixo PQ de uma ponte tendo sido medidos, a partir de uma base AB, os ângulos α, β, γ e δ pelo processo da reiteração, conforme esquema da figura 11. α = 15º30'40" β = 123º 48'26,7" γ = 39º58'00" δ = 15º34'46,7" AB = 59,19m 2) Deseja-se determinar a distância entre duas torres de transmissão elétrica (PQ), a partir de uma base AB, medidos os ângulos α, β, γ e δ pelo processo da reiteração conforme esquema da figura 11. α = 16º 47'46,7" β = 131º 21'06,6" γ = 31º19'50" δ = 16º 46'38,3" AB = 52,26m

3.4 Determinação de Distâncias Verticais

O processo da determinação da altitude ou distância vertical de um ponto inacessível pelo método da triangulação pode ser aplicado com grande precisão desde que os ângulos medidos em campo sejam efetuados pelo método da reiteração e com todo o cuidado que deve ser dispensado nas medidas angulares. O método baseia-se na resolução de triângulos retângulos do qual se conhece um dos lados (base) e calcula-se os demais a partir da medida do ângulo vertical entre a estação e o ponto visado. Para maior precisão dos cálculos deve-se levar em consideração a curvatura da terra e efetuar a devida correção. Seja “P” (Fig. 11a) um ponto que se quer determinar a altitude, com o auxilio de uma base AB de comprimento medido l. Com o teodolito montado nas estações A e B, mede-se os ângulos horizontais “α” e “β” e os ângulos verticais “V1” e “V2”. 36

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As distâncias horizontais DH1 e DH2 são obtidas através das relações de proporcionalidade. l × sen β l × sen α DH 1 = DH 2 = sen(α + β ) sen(α + β ) As diferenças de nível DN1 e DN2, em relação as estações e o ponto visado, são obtidas a partir de: DN 1 = h1 ± DH 1 × cot gV1

DN 2 = h2 ± DH 2 × cot gV2

onde h1 e h2 representam, respectivamente a altura do instrumento em cada estação. Quando os pontos encontram-se a distâncias maiores que 200m, deve-se efetuar o cálculo da correção da curvatura terrestre (Ccr) aplicando-se a fórmula abaixo. C cr = 0,068 × DH 2 (km)

o valor da DH deve ser em quilômetros.

Figura 11a – Planta e perfil do nivelamento trigonométrico para determinação da altitude de um ponto inacessível

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3.5 Exercício Elucidativo

Seja determinar a altitude de um ponto “P” a partir de duas estações A e B, nas quais foram obtidas as seguintes medidas. ESTAÇÃO

PONTO VISADO

ÂNGULO HORIZ.

A

B P

0°00’00” 88°52’30”

B

P A hiA=1,45m hiB=1,45m

0°00’00” 86°17’00” DHAB=61,85m

ÂNGULO VERT. 91°31’00” 82°42’00”

82°42’00” 91°04’30” CotaA=15,00m

hP 0,00 0,00

0,00 0,00

1.Cálculo da DN entre os extremos da base DN AB = hi A ± DH AB × cot gV AB − h pB DN AB = 1,45 − 61,85 × cot g 91°31'00"−0,00 DN AB = −0,1876m DN BA = hi B ± DH AB × cot gVBA − h pA DN BA = 1,45 − 61,85 × cot g 91°04'30"−0,00 DN AB = +0,2894m DN AB − DN BA 2 DN ' AB = −0,2385m DN ' AB =

2. Cálculo da DH entre os extremos da base e o ponto “P” DH AB × senβ DH AP = sen(α + β ) 61,85 × sen86°17'00" DH AP = sen(88°52'30"+86°17'00" ) DH AP = 731,2570m

DH AB × senα sen(α + β ) 61,85 × sen88°52'30" = sen(88°52'30"+86°17'00" ) = 732,6570m

DH BP = DH AP DH AP

38

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3. Cálculo da DN entre a base e o ponto “P” DN AP = hiA + DH AP × cot gV AP − h pP DN AP = 1,45 + 731,2570 × cot g 82°42'00"−0,00 DN AP = 95,1262m DN BP = hiB + DH BP × cot gVBP − h pP DN AP = 1,45 + 732,6570 × cot g 82°42'00"−0,00 DN AP = 95,3055m 4. Correções DN ' AB + DN BP + DN PA = 0 − 0,2385 + 95,3055 − 95,1262 = 0,0592

ε = −0,0592 Curvatura: C cr = 0,068 × DH 2 (km) C crAP = 0,068 × (0,731257) 2 C crAP = 0,036362m C cr = 0,068 × DH 2 (km) C crBP = 0,068 × (0,728511) 2 C crAP = 0,036089m Diferença de nível corrigida da curvatura: DN ' AP = DN AP − C crAP DN ' AP = 95,1262 − 0,036362 DN ' AP = 95,08984m DN ' BP = DN BP − C crBP DN ' BP = 95,3055 − 0,036089 DN ' BP = 95,26944m 5. Erro permitido:

ε = 0,06 Perímetro(km) ε = 0,06 0,06185 + 0,731257 + 0,728511 ε = 0,07401m

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Erro permitido = 0,07401m Erro cometido = -0,0592m DN " AP = DN ' AP +

ε 2

DN " AP = 95,08984 +

− 0,0592 2

DN " AP = 95,0602m DN " BP = DN ' BP −

ε 2

DN " BP = 95,2694 −

− 0,0592 2

DN " BP = 95,2990m 6. Verificação: DN " PA + DN " BP + DN ' AB = 0 − 95,0605 + 95,2990 − 0,2385 = −0,0003m

ε = −0,0003m 7. Cota do ponto “P” Cota P = Cota A + DN " AP Cota P = 15,00 + 95,0602 Cota P = 110,0602m Cota P = Cota B + DN " BP Cota P = Cota A − DN ' AB + DN " BP Cota P = 15,00 − 0,2385 + 95,2990 Cota P = 110,0605m 3.6 Exercício Aplicativo

Deseja-se determinar a altitude de um ponto “M” a partir de duas estações I e II, nas quais foram obtidas as seguintes medidas. ESTAÇÃO

PONTO VISADO

ÂNGULO HORIZ.

I

M II

0°00’00” 135°29’30”

II

I M hI=1,42m hII=1,41m

0°00’00” 41°59’00” DHI-II=49,89m

ÂNGULO VERT. 87°44’18” 93°49’52”

89°23’18” 87°42’13” CotaII=45,423m

hM (m) 13,45 0,00

0,00 13,45

40

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CAPITULO IV 1. DIVISÃO DE TERRAS (PROPRIEDADES) 1.1 Introdução

A divisão de uma propriedade ocorre em situações diversas como por venda de parte do terreno, por espólio e divisão entre os herdeiros ou por loteamento da área. Não é possível efetuar uma divisão de terras confiável, sem proceder a um levantamento exato do que vai ser o objeto de divisão. Quando a divisão é feita através de uma linha já existente, a tarefa da topografia é a de medir esta linha divisória e determinar a área de cada uma das partes. Supondo-se que uma propriedade a ser dividida seja atravessada por um córrego e que ele seja escolhido como linha divisória, a topografia efetuará um levantamento planimétrico geral e calculará as áreas de cada parcela. Aqui trataremos apenas de alguns casos de divisão de terras, pois o problema abrange estudos sobre legislação de terras, pois sempre que houver menores na partilha a ação deve ser judicial. Plantas existentes, muitas das quais incompletas ou medidas toscamente, devem ser abandonadas, dando lugar a novas medidas. Há ocasiões, no entanto, nas quais é necessário separar determinadas áreas. Para esta hipótese é que apresentaremos algumas soluções geométricas. 1.2 Divisão de áreas triangulares

a) Seja dividir uma área triangular ABC em duas partes que estejam entre si em uma dada relação (m,n), por meio de uma reta paralela a um dos lados do triângulo.

B

β m

N

M n

γ

C

α A Fig.12 - Área triangular a ser dividida em duas partes proporcionais. Seja o triângulo ABC o qual se quer dividir em duas partes que estejam entre si na proporção "m" e "n", por meio de uma reta paralela, por exemplo, ao lado AC, conforme mostra a figura 12. 41

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Da relação de triângulos temos: ) ABC (m + n) ) = m MBN

(1)

também podemos dizer: ) ABC BA 2 ) = MBN BM 2

(2)

igualando-se as equações (1) e (2) temos: BA 2 (m + n) = 2 m BM logo: BM = BA

m (m + n)

Utilizando-se o mesmo raciocínio podemos deduzir a fórmula para o lado BN Donde: BN = BC

m (m + n)

Com as coordenadas obtidas a partir do levantamento geral do polígono podemos determinar as coordenadas dos vértices da linha divisória, bem como seu comprimento e sua orientação. b) Seja dividir uma área triangular em duas ou mais partes equivalentes através de retas que passem por um ponto situado sobre um de seus lados. B

Q P

M C

A

Fig.13 - Área triangular dividida a partir de um ponto preestabelecido.

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Seja o triângulo ABC ( Figura 13) o qual se quer dividir em partes iguais ou equivalentes e que o ponto "P", situado sobre o lado AB, o vértice de partida da linha divisória. Primeiramente, determina-se o ponto médio "Q" ,do lado BC. Do vértice A traça-se uma paralela ao alinhamento PQ. A reta obtida entre o ponto "P" e o ponto "M" será a linha divisória. A comprovação poderá ser feita através da seguinte relação: Os triângulos AQM e APM são equivalentes pois ambos têm a mesma base e a mesma altura. O triângulo AQC é equivalente à metade do triângulo ABC. Tirando-se o triângulo AQM do triângulo ACQ e substituindo-se este pelo triângulo APM chegamos a conclusão que o quadrilátero APMC é equivalente à metade do triângulo ABC. Conhecendo-se as coordenadas dos vértices do triângulo ABC e o comprimento de seus respectivos lados podemos determinar o comprimento de BM para a locação do vértice "M". Sabendo-se que: 1 BQ = BC 2 do triângulo BAM e do triângulo BPQ podemos deduzir: BA BM = BP BQ ou BM =

BA × BC 2 BP

Se em vez de dividir o triângulo em duas partes iguais, necessitarmos dividi-lo em três, quatro ou mais partes, divide-se o lado BC em tantas quantas forem as partes desejadas e procede-se o cálculo da mesmo modo. 1.3 Divisão de áreas trapezoidais

Seja dividir uma área trapezoidal em duas partes proporcionais a "m" e "n" e que a linha divisória seja paralela às bases do trapézio.

l3

D δ

A2

l4 x

A

α l1-l3

γ n

z

G

E

C

H

A1

y l 2 F

m

l1

β

B

Fig.14 - Área trapezoidal

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Levando-se em consideração que as coordenadas dos vértices ABCD do trapézio são conhecidas, bem com sua área total, podemos calcular as áreas A1 e A2 respectivamente em relação às proporcionalidades "m" e "n". A1 =

m × ÁreaTotal ABCD (m + n)

A2 =

n × ÁreaTotal ABCD ( m + n)

Pela semelhança dos triângulos ADH e EDG (Figura 14), podemos calcular o comprimento da linha divisória EF (z) pela seguinte fórmula: (l 32 × n ) + (l12 × m) EF = z = (m + n) Conhecendo-se o comprimento da linha divisória (z) podemos calcular as distâncias DE (x) e CF (y) as quais possibilitarão a locação dos vértices da linha divisória. DE = x =

l4 ( z − l3 ) ( l1 − l 3 )

e

CF = y =

l2 ( z − l3 ) ( l1 − l 3 )

Conhecidas as coordenadas dos vértices C e D pode-se determinar as coordenadas dos vértices E e F da linha divisória. 1.4 Divisão de áreas poligonais

Seja dividir um quadrilátero ABCD de modo que a linha divisória seja paralela a um de seus lados.

C l2

γ

B β l1 M A

α

y

A1

l3

n

x A2

N m

l4

δ

D

Fig.15 - Área de um quadrilátero Considerando-se o quadrilátero da Figura 15, de vértices ABCD com coordenadas e Área total (AT) conhecidas, deseja-se dividi-lo, por meio de uma reta paralela ao lado AD, em duas partes proporcionais a "m" e "n". Com a mesma relação do exemplo anterior calcula-se os valores das áreas A1 e A2, em relação à proporcionalidade estabelecida "m" e "n". A determinação do comprimento de "x" e "y" resulta: 44

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(l 4 + x ) y = 2 A2 (1) (l 4 − x ) = y ( ctgα + ctgδ ) (2)

multiplicando-se as equações (1) e (2) teremos:

x = l 42 − 2 A2 ( ctgα + ctgδ ) da equação (1) obtemos y: 2 A2 y= (l 4 + x ) para o cálculo dos comprimentos AM e DN, para a locação dos vértices da linha divisória, temos: y y e AM = DN = sen α sen δ

1.5 Divisão de Terras pelo Método Analítico

Seja dividir analiticamente uma poligonal ABCDEF (Fig.16) em três partes proporcionais a m, n e p. Pelo processo analítico, calcula-se a área total (ST ) do polígono. As áreas parciais, A1, A2 e A3 a separar são facilmente calculadas por:

F

Y

P

Q

E

q2 h A

q1 A1

A3

(p)

D

(m) X

A2 (n)

C B

Fig.16 - Polígono ABCDEF a ser dividido analiticamente em partes proporcionais A1 =

ST × m (m + n + p)

A2 =

ST × n (n + m + p)

A3 =

ST × p ( p + n + m)

S T = A1 + A2 + A3

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Admitindo-se que as linhas divisórias partam dos vértices B e C e considerando-se que as mesmas irão passar pelos pontos P e Q localizados sobre o alinhamento EF, pode-se determinar os valores exatos dos mesmos. Através das coordenadas dos vértices da poligonal, obtidas a partir dos dados de campo, podemos calcular a área dos triângulos ABF e CDE, que comparadas com as áreas A1 e A3 a separar, nos dará as áreas dos triângulos suplementares BFP (q1) e CEQ (q2). Pela Geometria Analítica sabemos que a distância de um ponto (x',y') a uma reta ( y = ax + b) é dada por: ax'+b − y ' h= a2 +1 que a equação de uma reta que passa por dois pontos dados (x',y') e (x",y") é: y "− y ' y − y' = ( x − x' ) x"− x ' e que o ângulo formado por duas retas y=ax+b e y=a'x+b' é obtido pela seguinte equação: a − a' tgV = 1 + aa ' Podemos com isso determinar, em primeiro lugar, a altura (h) do triângulo BFP que é igual a distância do ponto B a reta EF, dada pela seguinte equação: a X + b1 − Y B h= 1 B a2 +1 As coordenadas do ponto B são XB e YB e a equação da reta EF é: Y − YE y − YE = F (x − X E ) XF − XE ou y=

YF − YE Y − YE x− F X E + YE XF − XE XF − XE

temos ainda que: y = a1 x + b1 fazendo-se: a1 =

YF − YE XF − XE

e

b1 =

YF − YE X E + YE XF − XE

Para o cálculo do comprimento do alinhamento FP, base do triângulo FBP utilizamos a fórmula: bh q1 = 2 onde b é igual ao alinhamento FP e daí temos: 2 × q1 FP = h analogamente, podemos efetuar o mesmo raciocínio para o triângulos suplementar QCE. 46

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A determinação das coordenadas do ponto P sobre a reta EF pode ser obtida através da determinação das projeções x e y do alinhamento FP, através das equações: x FP = Dh FP × sen Az FP

y FP = Dh FP × cos Az FP

e

logo: X P = X F + x FP

Y P = Y F + y FP

e

1.6 Exercício Elucidativo

Seja a poligonal ABCDE (Fig.17) a ser dividida pelo método analítico em três partes proporcionais a "m", "n", e "p" , cujas coordenadas de seus vértices são conhecidas e considerando-se o ponto C como ponto comum de partida das linhas divisórias.

N

E Q q2 A2

A

n

P q1 A1

B

m

d2

d1

E A3

p

D

H2

H1 C

Fig.17 - Polígono ABCDE a ser dividido em partes proporcionais 1) Dados de campo e Coordenadas VÉRTICES

ÂNGULOS

AZIMUTES

RUMOS

COMPRIMENTO (m)

A B C D E Σ

137°07' 064°24' 142°06' 080°02' 116°21' 540°00'

210°00' 085°36' 056°30' 316°32' 252°53'

S 30°00' W N 85°36' E N 56°30' E N 43°28' W S 72°53' W

306,10 626,55 337,20 382,60 512,45 2.164,90

VÉRTICES

ABSCISSAS

ORDENADAS

A B C D E

0,00 - 153,04 + 471,69 + 752,90 + 489,72

0,00 - 265,06 - 313,07 - 126,93 + 150,78 47

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2) Cálculo da área total da poligonal Pelo método analítico calcula-se a área total do polígono ABCDE. Área total ABCDE = 262.229,7985 m2 3) Cálculo da área de cada um do polígonos formados pela união do vértice C com os vértices AeE Área ∆ABC = S1 = 86.469,1921 m2 Área ∆ACE = S2 = 112.219,0293 m2 Área ∆CDE = S3 = 63.541,5771 m2 Área TOTAL = S1 + S2 + S3 , Área TOTAL = 262.229,7985 m2 4) Cálculo das áreas a separar de cada quinhão. Sejam as razões: m=3 n=5 p=2 ATotal A1 = × 3 ⇒ A1 = 78.668,9396m 2 10 ATotal A2 = × 5 ⇒ A2 = 131.114,8992m 2 10 A A3 = Total × 2 ⇒ A3 = 52.445,9597 m 2 10 ATotal = A1 + A2 + A3

,

ATotal = 262.229,7985m 2

5) Cálculo da área dos triângulos de compensação APC e CEQ q1 = S1 − A1 q1 = 86.469,1921 − 78.668,9396 2 q1 = 7.800,2525m q 2 = S 3 − A3

q 2 = 63.541,5771 − 52.445,9597

q 2 = 11.095,6174m 2 6) Cálculo do comprimento das diagonais AC (d1) e CE (d2) d 1 = ( X C − X A ) 2 + (YC − Y A ) 2

d 1 = ( 471,69 − 0) 2 + (313,07 − 0) 2 d 1 = 566,13m d 2 = X E − X C ) 2 + (Y E − YC ) 2

d 2 = 489,72 − 471,69) 2 + (150,78 + 313,07) 2 d 2 = 464,20m 7) Cálculo d o comprimento das perpendiculares H1 e H2 Para isso devemos estabelecer a equação das retas AB e DE. 48

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Equação da reta AB: y − YA Y − YA = B x− XA XB − XA y − 0 − 265,06 − 0 = x − 0 − 153,04 − 0 − 265,06 y= x − 153,04 y = 1,7319655 x Equação da reta DE: y − YD Y − YD = E x − XD XE − XD y − ( −126,93) 150,78 − ( −126,93) = 489,72 − 752,90 x − 752,90 y = 667,5371289 − 1,05520936 x Conhecidas as equações das retas aplica-se a fórmula abaixo apresentada para o cálculo da altura dos triângulos PAC e EQC em relação às equações das retas. ax + b − y H= a2 +1 No nosso caso: Para H1: H1 =

aX C + b − YC a2 +1

As equações das retas nos fornecem os valores de "a" e "b" e com as coordenadas do ponto C temos: 1,7319655 × 471,69 + 0 − ( −313,07) H1 = (1,7319655) 2 + 1 H 1 = 565,0312m

Para H2: H2 =

H2 =

aX C + b − YC a2 +1 − 1,05520936 × 471,69 + 667,5371289 − ( −313,07) (1,05520936) 2 + 1

H 2 = 332,1524m

8) Cálculo da determinação dos vértices P e Q da linha divisória. Calcula-se inicialmente as distâncias AP e EQ dos triângulos de compensação.

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AP × H 1 = 2 × q1

AP =

AP = 27,6099m EQ × H 2 = 2 × q 2 2 × q2 EQ = H2 EQ = 66,8104m

EQ =

2 × q1 H1

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AP =

2 × 7.800,2525 565,0312

2 × 11.095,6174 332,1524

9) Cálculo das coordenadas dos pontos P e Q da linha divisória. Coordenadas de P: Como o ponto P está localizado sobre o alinhamento AB, temos que o Azimute de AB é igual ao Azimute de AP, logo: Az AP = 210º 00' Dh AP = 27,6099 as projeções são: x AP = Dh AP × sen Az AP x AP = 27,6099 × sen 210º 00' x AP = −13,8049 y AP = Dh AP × cos Az AP y AP = −23,9109

a coordenada de P será: X P = X A + x AP X P = −13,8049 Y P = Y A + y AP YP = −23,9109

y AP = 27,6099 × cos 210º 00'

X P = 0 + (−13,8049)

Y P = 0 + ( −23,9109)

Coordenada de Q Az ED = 136º 32' Az EQ = 136º32' Dh EQ = 66,8104 as projeções são: x EQ = Dh EQ × sen Az EQ x EQ = 66,8104 × sen 136º32' x EQ = 45,9610 y EQ = Dh EQ × cos Az EQ

y EQ = 66,8104 × cos 136º32'

y EQ = −48,4893 a coordenada de Q será: X Q = X E + x EQ

X Q = 489,72 + 45,9610

X Q = 535,681 YQ = Y E + y EQ

YQ = 150,78 + ( −48,4893) 50

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YQ = 102,2907 10) Cálculo do comprimento das linhas divisórias "CP" e "CQ" calculadas pelas coordenadas. CP = ( X C − X P ) 2 + (YC − Y P ) 2

CP = ( 471,69 + 13,8049) 2 + ( −313,03 + 23,9109) 2 CP = 565,0621 CQ = ( X C − X Q ) 2 + (YC − YQ ) 2 CQ = ( 471,69 − 535,681) 2 + ( −313,03 − 102,2907) 2 CQ = 420,2215 11) Cálculo dos azimutes dos alinhamentos PC e QC Azimute de PC XC − XP YC − Y P 471,69 − ( −13,8049) = artg − 313,07 − ( −23,9109) = artg − 1,678988833

Az PC = artg

Az PC

Az PC Az PC = −59º13'19,62"

como o alinhamento encontra-se no segundo quadrante, o Azimute é: Az PC = 120º 46'40,38" Azimute de QC Az QC = artg Az QC Az QC

XC − XQ

Y C − YQ 471,69 − 535,681 = artg − 313,07 − 102,2907 = artg + 0,1540612773

Az QC = 8º 45'29,53" como o alinhamento encontra-se no terceiro quadrante, o Azimute é: Az QC = 188º 45'29,53" A divisão de grandes extensões de terra devem ser efetuadas pelo processo analítico, por ser este mais exato.

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1.7 Exercícios Aplicativos:

1) Seja dividir uma área triangular de vértices ABC, conforme figura 12, cujos lados medem: AB=420,00m; BC=340,00m e CA=520,00m, em duas partes com proporcionalidade de m e n iguais a 65% e 35% respectivamente. 2) Deseja-se dividir uma área trapezoidal, conforme figura 14, em duas partes proporcionais a n e m, na razão 70% e 30%. Sabe-se que os lados do trapézio medem: AB=416,00m; BC=150,00m; CD=260,00m e DA=180,00m. Os ângulos α e β medem respectivamente 52º35' e 72º30'. 3) Quer se dividir um polígono de 5 lados em duas partes iguais, sendo que a linha divisória seja paralela ao lado 4-5 da poligonal. São conhecidas as coordenadas dos vértices da poligonal. Pede-se para calcular todos os dados necessários a locação e caracterização da linha divisória. A área total do polígono é de 10.578,0173m2. Vértices X Y 1 45,129 45,126 2 100,130 57,132 3 163,190 18,410 4 169,314 122,154 5 52,131 143,129

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CAPITULO V

1. DETERMINAÇÃO DO NORTE VERDADEIRO DE UM ALINHAMENTO ATRAVÉS DA DISTÂNCIA ZENITAL ABSOLUTA DO SOL. 1.1 - Princípios do método

A relação entre os sistemas de coordenadas astronômicas horizontais e as horárias resulta em um triângulo esférico que fica definido pelo meridiano do local, o círculo da vertical e o círculo da declinação do astro, os quais se interceptam dois a dois e que é denominado triângulo de posição. Z

º 90

90 º

-ϕ

Az

-h

H P

90º - δ

p

S

Fig.18 - Triângulo de Posição Na figura 18 é representado o triângulo de posição onde os vértices correspondem: P = Pólo Z = Zênite do local S = Astro ( o sol ou uma outra estrela) os ângulos do triângulo de posição: H = Ângulo horário Az = Azimute p = ângulo paralático e os lados do triângulo de posição: 90º - φ = Co-latitude 90º - h = Distância zenital ( ângulo zenital do astro observado, Z) 90º - δ = Distância polar ou co-declinação do astro observado, δL) Este método consiste em se observar o sol em uma posição qualquer de sua trajetória medindo-se a distância zenital (z) entre o zênite do local e o astro observado. O Azimute do Astro é calculado a partir da resolução do triângulo de posição (Fig.18), do qual se conhece a co-latitude e a distância polar (co-declinação do astro). Para a obtenção do Azimute verdadeiro de um alinhamento basta que saibamos o ângulo horizontal formado por este com o astro observado. 53

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1.2 - Determinação da fórmula para obtenção do Azimute do Astro

Aplicando a fórmula dos quatro elementos no triângulo de posição (Fig.18) obtemos: cos(90º −δ ) = cos(90º −ϕ ) × cos(90º −h ) + sen(90º −ϕ ) × sen(90º −h ) × cos Az ⊗ onde

sen δ = (sen ϕ × cos Z ) + (cos ϕ × sen Z × cos Az ⊗ )

donde

sen δ = sen ϕ × cos Z + cos ϕ × sen Z × cos Az ⊗

finalmente o azimute do astro é obtido por: sen δ ⊗ − sen ϕ × cos Z (1) CosAz ⊗ = cos ϕ × sen Z onde: Az ⊗ = Azimute do sol na hora da observação δ ⊗ = Declinação do sol na hora da observação ϕ = Latitude da área de observação obtida de uma carta Z = Distância zenital média Esta fórmula permite calcular o azimute do astro (sol) a partir do norte (azimute topográfico). Nas visadas pela manhã o Azimute do Astro é o obtido diretamente pelo arco coseno da equação (1); se as visadas forem efetuadas à tarde, devemos subtrair o valor obtido de 360º. 1.3 Correções a serem efetuadas nas observações das distâncias zenitais

As medidas das distâncias zenitais efetuadas no campo devem ser corrigidas antes de serem utilizadas nos cálculos. a) Correção do zênite instrumental Devido a imperfeições na construção dos teodolitos, pode ocorrer que o zênite do local não coincida exatamente com o zênite do instrumento. Este erro pode ser determinado por observação direta e inversa do teodolito. Para determinar-se este erro do equipamento, devemos procurar um ponto fixo no qual efetuaremos um par de medidas do ângulo vertical, na posição direta (PD) e posição inversa (PI) da luneta. Para maior segurança, usa-se o valor médio de uma série de pelo menos seis observações. A fórmula a ser empregada para a determinação da Correção Instrumental (Ci) é: Ci =

360º −( PD + PI ) 2

O valor de "Ci" a ser utilizado nos cálculos deverá ser a média das repetições efetuadas, considerando-se somente aquelas que apresentarem pequeno desvio padrão.

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b) Correção da paralaxe Este erro é devido ao desvio que ocorre nas medidas dos ângulos zenitais por serem as observações efetuadas a partir da superfície terrestre (topocêntricas) e não a partir do centro da terra (geocêntricas). Todas as distâncias zenitais deverão ser referidas ao centro da terra. A correção da paralaxe (Cp) deverá ser subtraída do ângulo zenital médio de cada par de observação. Sol

cp

cp

Zm Zc Zc

Terra

Fig.19 - Correção da Paralaxe A Correção da Paralaxe pode ser determinada pela seguinte equação: C p = −8,8"× sen Z m onde Zm é o ângulo zenital médio medido em campo c) Correção da Refração Atmosférica. Esta correção é devida ao desvio dos raios luminosos quando atravessam as diferentes camadas de ar que envolvem o nosso planeta. A correção da refração depende das condições locais de pressão e temperatura. V Zm

Z

S' CRM

S

Camadas de ar

E

O Terra

Fig.20 - Correção da Refração Atmosférica 55

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Em relação à figura 20, temos: Z = Distância Zenital real Zm = Distância Zenital medida em campo CRM = Correção da Refração Atmosférica a condições de 760mmHg e a 0ºC S' = Posição do astro onde ele é visto S = Posição real do astro E = Estação de observação do astro A equação que permite determinar a Correção da Refração Atmosférica (CRM) nas condições ambientais de pressão de 760mmHg e temperatura de 0ºC é dada por: C RM = 60,08".tgZ m − 0,067".tg 3 Z m Se as condições ambientais apresentarem pressão e temperatura diferentes das condições padrão da fórmula acima, devemos introduzir a correção da pressão e da temperatura, ficando a equação da seguinte maneira: C R = C RM ×

P 1 × 760 1 + 0,00384 × T

onde: P = pressão atmosférica na hora da medida T =temperatura ambiente na hora da medida A Correção Atmosférica é acrescida ao ângulo zenital médio medido em campo. 1.4 - Cálculo da Distância Zenital Compensada (ZC)

Ao valor da Distância Zenital Média (Zm) devemos aplicar as correções: instrumental (Ci); da paralaxe (Cp) e da refração atmosférica (CR). Z C = Z m + Ci + C p + C R 1.5 - Cálculo da Declinação do Sol na Hora da Observação (δ ⊗ )

O valor da Declinação do Sol (δ ) e da variação horária da mesma ( ∆δ ) é obtido através das Tabelas Astronômicas que estão calculadas para a zero hora de Greenwich (GRW). Devido a isto, necessita-se transformá-la para a declinação da hora da observação. Para efetuarmos este cálculo, necessita-se conhecer a Hora Legal (TC), a qual corresponde à hora em que a observação foi efetuada em campo. TC = Hora Legal ou hora da observação A Hora Legal (TC) deve ser transformada para a Hora Civil (TU), também denominada Tempo Universal. Para isto basta levar em consideração o Fuso Horário do País. TU = TC + Fuso Horário

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Conhecido o Tempo Universal (TU), podemos calcular a Declinação do Sol na hora da observação: δ ⊗ = δ + ( ∆δ × TU ) onde:

δ ⊗ = Declinação do Sol na hora da observação δ = Declinação do Sol obtida da Tabela Astronômica (relacionada à hora de GRW) ∆δ = Variação horária da declinação do sol obtida da Tabela Astronômica TU = Tempo Universal ou Hora Civil Conhecida a Declinação do Sol na hora da observação, podemos calcular o Azimute do Sol através da equação (1). 1.6 - Determinação do Azimute Verdadeiro de um Alinhamento (Azimute da Mira)

Para o cálculo do Azimute Verdadeiro do alinhamento (Azimute da Mira) necessita-se conhecer o ângulo horizontal (Hz) formado entre o alinhamento (mira) e o sol na hora da observação. Posição do sol pela Tarde N

Posição do Sol pela Manhã N

Sol

Az sol

Sol

Hz

Hz

W

E

A

W

Azsol

E

A AzM

Az M B

B

S

Fig 21 - Azimute de um alinhamento em relação a posição do sol O cálculo do Azimute Verdadeiro do Alinhamento (AzM) é feito pela equação:

Az M = Az ⊗ − Hz (2) onde: Az M = Azimute verdadeiro do alinhamento (mira) Az ⊗ = Azimute do sol na hora da observação Hz = ângulo horizontal entre o alinhamento e o sol na hora da observação

Se o resultado obtido através da equação (2) for negativo deve-se somar 360º, conforme pode ser deduzido através da figura 21.

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1.7 - Roteiro das Operações de Campo

a) Para as operações de campo necessita-se de um teodolito com precisão de segundo, de um aneróide ou barômetro com precisão de milímetro, de um termômetro com precisão de meio grau, um relógio com hora certa (erro inferior a 30 segundos), uma folha de cartolina branca(10x10cm) e material acessório de topografia (baliza, piquetes, etc.). b) As leituras de campo devem ser efetuadas entre às 8 e 10 horas da manhã ou entre às 14 e16 horas da tarde. c) Estacionar e nivelar o teodolito em um dos vértices do alinhamento que se quer determinar o azimute verdadeiro. d) Visar um ponto fixo e medir o ângulo vertical em relação ao mesmo na posição direta (PD) e inversa (PI) da luneta para determinar a correção instrumental (Ci). Deve-se repetir a operação no mínimo seis vezes e utilizar o valor médio das leituras. e) Zerar o limbo horizontal em relação ao alinhamento que se quer determinar o Azimute verdadeiro. f) Com o teodolito nivelado e zerado, visar o sol através da projeção do mesmo sobre uma cartolina branca. g) Coloca-se a cartolina próxima à ocular e com o auxílio do foco da ocular e da objetiva deixa-se o retículo e o sol com imagem bem nítida. h) Observa-se o movimento solar e com o auxilio dos cursores micrométricos, posiciona-se a imagem do sol em um dos quadrantes do retículo. i) Com o cursor do movimento horizontal, mantém-se a imagem do sol tangenciando o fio vertical e com o cursor do movimento vertical faz-se com que a imagem do sol tangencie o fio horizontal. j) Quando houver a dupla tangência, lê-se a hora da observação e os ângulos zenital e horizontal. k) Efetuada a primeira leitura, transfere-se a imagem do sol para o quadrante oposto ao da primeira leitura e repete-se as operações i e j. l) Com os valores obtidos na primeira e segunda posição do sol (quadrantes opostos), efetuase a média. m) Deve-se efetuar tantos pares de observações quantos forem necessários para a precisão estabelecida ao levantamento. Recomenda-se, para uma boa precisão, seis pares de observações. n) Em cada par de observações, recomenda-se observar o estacionamento (centragem) do teodolito e seu nivelamento (calagem), ajustando-se o mesmo se for necessário e efetuando-se, após isso, novas leituras. 1.8 - Roteiro das Operações de Escritório

a) Extrair de uma carta da região a latitude (ϕ ) do ponto, com erro inferior a um minuto (1'). b) Obter no Anuário Astronômico o valor da declinação do sol (δ ) e a variação horária da declinação do sol ( ∆δ ) para o dia da observação. c) Efetuar os cálculos para a determinação do Azimute do sol e posteriormente do Azimute Verdadeiro do alinhamento. 1.9 Exemplo Elucidativo

Seja calcular o Azimute Verdadeiro de um alinhamento AB efetuado na localidade de Porto Alegre-RS em 24 de abril de 1984.

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Dados de Campo: Posição do Sol Hora da Observação 1 15h 10min 07seg 2 15h 11min 58seg Média das Leituras 15h 11min 02,5seg

Ângulo Horizontal 206º 45' 12" 205º 45' 08,8" 206º 15' 10,4"

Ângulo Zenital 59º 13' 56,2" 59º 00' 45" 59º 07' 20,6"

Data da observação = 24/04/1984 Pressão Atmosférica = 763mmHg Temperatura do ar = 23,5ºC Declinação do Sol à 0h de GRW (δ ) = +12º51'07" Variação horária da Declinação do sol ( ∆δ ) = +49,4" Correção instrumental (Ci) = -16,3" Fuso Horário = 3 horas Latitude do ponto (ϕ ) = -30º 01' 55" a) Cálculo da Correção da Paralaxe (Cp) C p = −8,8". sen Z m C p = −8,8". sen 59º07'20,6"

C p = −7,5527365" b) Cálculo da Correção da Refração Atmosférica (CRM) C RM = 60,08".tgZ m − 0,067".tg 3 Z m

C RM = 60,08".tg 59º 07' 20,6"−0,067.tg 3 59º 07' 20,6" C RM = 100,1620681" c) Cálculo da Correção Atmosférica para a temperatura e pressão na hora da observação(CR) P 1 763 1 × × C R = C RM × C R = 100,1620681 × 760 1 + 0,00384.T 760 1 + 0,00384 × 23,5 C R = 92,23422795" C R = 1' 32,23422795" d) Cálculo da Distância Zenital Compensada Z C = Z m + C p + C R + Ci

Z C = 59º 07' 20,6"+ ( −7,5527365" ) + 1' 32,23422795"+( −16,3" ) Z C = 59º 08' 28,98" e) Cálculo do Tempo Universal da hora da observação (TU) TU = TC + FusoHorário TU = 15h 11 min 02,5seg + 3h TU = 18h 11 min 02,5seg d) Cálculo da Declinação do Sol na Hora da Observação δ ⊗ = δ + ( ∆δ × TU ) δ ⊗ = +12º 51' 07"+( +49,4"×18h 11 min 02,5seg ) δ ⊗ = +12º 51' 07"+14' 58,29" δ ⊗ = 13º 06' 05,29" 59

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e) Cálculo do Azimute do Sol na Hora da Observação sen δ ⊗ − sen ϕ × cos Z c CosAz ⊗ = cos ϕ × sen Z c CosAz ⊗ =

sen 13º 06' 05,29"−(sen − 30º 01' 55"× cos 59 º 08' 28,98" ) cos− 30º 01' 55"× sen 59 º 08' 28,98"

CosAz ⊗ =

0,4833845852 0,7431876174

CosAz ⊗ = 0,6504206662 Az ⊗ = 49º 25' 36,03" Como a visada ao sol foi efetuada à tarde, deve-se subtrair de 360º do valor obtido:

Az ⊗ = 360º −49º 25' 36,03" Az ⊗ = 310º 34' 23,97" f) Cálculo do Azimute Verdadeiro do Alinhamento AB Az M = Az ⊗ − Hz Az M = 310º 34' 23,97"−206º 15' 10,4" Az M = 104 º 19' 13,57" 1.10 - Exercícios Aplicativos

1) Determinar o Azimute Verdadeiro de um alinhamento RS efetuado na localidade de CocalSanta Catarina em 11 de março de 1982. Dados de Campo: Posição do Sol Hora da Observação 1 7h 26min 10Seg 2 7h 27min 20Seg Média das Leituras 7h 26min 45Seg

Ângulo Horizontal 271º 29' 43" 271º 26' 36" 271º 28' 09,5"

Ângulo Zenital 76º 42' 14" 76º 14' 06" 76º 28' 10"

Data da observação = 11/03/1982 Pressão Atmosférica = 757mmHg Temperatura do ar = 23ºC Declinação do Sol à 0h de GRW (δ ) = -3º 55' 40" Variação horária da Declinação do sol ( ∆δ ) = +58,8" Correção instrumental (Ci) = -16,3" Fuso Horário = 3 horas Latitude do ponto (ϕ ) = -28º 36' 45"

60

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2) Seja determinar o Azimute Verdadeiro de um alinhamento PQ (Escola de EngenhariaMorro Santana) efetuado na localidade de Porto Alegre-RS em 24 de abril de 1984. Dados de Campo: Posição do Sol Hora da Observação 1 8h 52min 27Seg 2 8h 53min 14seg Média das Leituras 8h 52min 50,5seg

Ângulo Horizontal 313º 01' 01" 313º 27' 23" 313º 14' '12"

Ângulo Zenital 66º 42' 20,6" 66º 02' 05" 66º 22' 12,8"

Data da observação = 24/04/1984 Pressão Atmosférica = 763mmHg Temperatura do ar = 21ºC Declinação do Sol à 0h de GRW (δ ) = +12º 51' 07" Variação horária da Declinação do sol ( ∆δ ) = +49,4" Correção instrumental (Ci) = -16,3" Fuso Horário = 3 horas Latitude do ponto (ϕ ) = -30º 01' 55" 3) Determinar o Azimute Verdadeiro de um alinhamento ED efetuado no Campus do ValeUFRGS em 17 de novembro de 1999. Dados de Campo: Posição do Sol Hora da Observação 1 16h 44min 02Seg 2 16h 47min 34Seg Média das Leituras 16h 45min 48Seg

Ângulo Horizontal 80º 24' 30" 80º 40' 50" 80º 32' 40"

Ângulo Zenital 49º 22' 00" 50º 40' 30" 50º 01' 15"

Data da observação = 17/11/1999 Pressão Atmosférica = 766mmHg Temperatura do ar = 31ºC Declinação do Sol à 0h de GRW (δ ) = -18º 48' 56,2" Variação horária da Declinação do sol ( ∆δ ) = -37,179165" Correção instrumental (Ci) = -21,5" Fuso Horário = 2 horas Latitude do ponto (ϕ ) = -30º 04' 24"

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CAPÍTULO VI 1. CURVAS DE CONCORDÂNCIA E DE TRANSIÇÃO 1.1 Introdução

O eixo de uma estrada é formado por inúmeras linhas retas as quais encontram-se ligadas entre si por curvas. Cada duas seqüências de linhas retas adjacentes são ligadas por uma curva cujo raio varia de acordo com as condições de tráfego que utilizarão a via e as condições da superfície do terreno. As curvas empregadas em traçados de vias são geralmente circulares, havendo, porém, casos em que curvas parabólicas podem ser empregadas. Emprego de curvas circulares concordando com o alinhamento inicial e final, por meio de arcos de parábola ou espiral de transição são utilizadas a fim de se obter melhor adaptação e visibilidade dos veículos. Quando uma direção sofre mudança em sua linha de transporte, torna-se necessário a locação de uma curva de concordância. Para as estradas rodoviárias e ferroviárias, a curva mais indicada é a do tipo circular, isto é, um arco de circunferência de circulo. Em áreas exclusivamente residenciais, onde a circulação de veículos deve ser de baixa velocidade, a concordância entre as tangentes pode ser efetuada por uma curva circular, sem a espiral de transição, com raio mínimo que permita a circulação de veículos de pequeno porte, entretanto, deverá ser observada a sobrelevação de no máximo 6% e no mínimo 2%. 1.2 Tipos de Curvas

a) Curva Simples é aquela que apresenta um único valor de raio, como a curva AB apresentada na figura 22. O ponto A é chamado de Ponto de Curva (PC) e o ponto B é denominado de Ponto de Tangência (PT). A

B R

O

Fig 22. Curva Simples b) Curvas Compostas são aquelas curvas contínuas formadas de dois ou mais arcos de curvas, de raios diferentes, como a curva apresentada na figura 23. Os pontos A e D são, respectivamente, os pontos PC e PT da curva, enquanto que os pontos B e C são Pontos de Curva Composta (PCC). B

C

R A

O" R"

R' O'

D

O

Fig.23 Curvas Compostas 62

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c) Curvas Reversas são aquelas curvas contínuas formadas por arcos de dois círculos de mesmo raio ou de raios diferentes cujos centros se encontrem em lados opostos da curva. O ponto B, comum às duas curvas é denominado de Ponto de Curva Reversa (PCR). O'

R'

A

C

B

R

O

Fig.24 Curvas Reversas As Curvas Reversas têm aplicações limitadas e não é muito aconselhável sua aplicação a não ser nas pêras de concordância dos traçados em serpentina para galgar encostas íngremes. Em vias rodoviárias e ferroviárias, devido à passagem brusca de uma curva a outra e à força centrífuga gerada pela mudança de direção, as curvas reversas não são empregadas senão com tangentes intermediárias.

O R B O'

C

R"

R' A

O"

D

Fig.25 Curvas reversas em pêra

1.3 Curva Circular Horizontal de Concordância

Com base na figura 26, podemos estabelecer os elementos geométricos da curva circular.

63

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PT 59+16,00

59

58 PI E

58 C

57

57

a rd co

R T

56

56

d20

55

I/2

PC 54+8,00 54

R

I D O

Fig.26 Curva Circula PC = Ponto de início da curva PI = Ponto de intersecção das tangentes PT = Ponto de tangência ou término da curva R = Raio da curva T = Tangente (distância entre PC e PI que é igual à distância entre PI e PT) I = Ângulo interno da curva C = Comprimento da curva D = Grau da curva d = Ângulo de deflexão (entre a tangente e a corda) E = Distância entre PI e a curva A curva será locada através de cordas com valor pré estabelecido, o qual é normalmente de 20 metros. Este valor depende muito do raio da curva. Quanto menor for o raio da curva, menor será o comprimento da corda, facilitando assim a locação da mesma no campo. a) Ângulo Interno da Curva (I) O ângulo interna da curva (I) é equivalente à deflexão das tangentes e pode ser determinado pela diferença dos azimutes das mesmas conforme figura 27.

PI

I

N

PT

N

Az

Az

PC

Fig. 27 64

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Desta maneira, podemos dizer que: I = 180º −( Az PC − PI − Az PT − PI ) b) Comprimento da Curva O comprimento da curva é a distância em arco entre PC e PT. Pode ser determinado a partir da figura 26, considerando-se as cordas de 20 metros:

ou

C 20 = I D

logo

C=

C 2π R = I 360

logo

C=

c) Cálculo das estacas PC e PT PC = PT − C

I × 20m D

π .R.I 180

PT = PC + C

d) Cálculo do Grau da Curva (D) Chama-se Grau da Curva (D) o ângulo central, que compreende uma corda de um dado comprimento. O grau da curva é independente do ângulo central da curva (I). Pela figura 26 podemos dizer que:

D I = 20 C

logo

D=

I .20 C

e) Cálculo da tangente (T) A tangente (T) é o segmento de reta que vai de PC a PI ou de PI a PT. Pela figura 26 podemos dizer que:

T = R × tg

I 2

f) Cálculo do Raio da Curva (R) O Raio da Curva é um elemento selecionado por ocasião do projeto, de acordo com as características técnicas da rodovia e a topografia da região. O cálculo do Raio da Curva está relacionado diretamente com o Grau da Curva (D), considerando-se cordas de 20 metros. 360º D = 2.π .R 20

logo

R=

3600 π .D

g) Cálculo do Afastamento (E) O Afastamento (E) é a distância entre o ponto PI e a curva Da figura 26 podemos dizer, a partir do triângulo PC-O-PI: 65

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cos

I R = 2 (R + E)

E=

R cos

I 2

−R

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logo

(R + E) =

R cos

sabendo-se que

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I 2

sec α =

1 podemos substituir e teremos: cos α

⎡ ⎛I ⎞ ⎤ E = R⎢sec⎜ ⎟ − 1⎥ ⎣ ⎝2⎠ ⎦ h) Ângulo de deflexão para cordas de 20 metros O ângulo de deflexão permitirá a locação, em campo, dos pontos que demarcarão o eixo da curva. D d 20 = 2 1.3.1 Exercício Elucidativo

Deseja-se calcular e preparar a planilha para a locação de uma Curva Horizontal Circular pelo método das deflexões, estaqueada de 20 em 20 metros e cujos dados conhecidos do projeto são: Grau da Curva D=3°12’ Ângulo Interno da Curva I=17°36’ à direita Ponto de Intersecção PI=91+7,40m Devido à impossibilidade de visualização total da curva a partir do ponto PC, sugerese mudança de estação nas estacas 91 e 93. 1) Cálculo do Raio da Curva (R) 3600 3600 R= R= 3,1416 × 3°12' π .D

R = 358,098m

2) Cálculo do Comprimento da Tangente (T) 17°36' I T = R × tg T = 358,098 × tg 2 2 3) Cálculo do Comprimento da Curva (C) I 17º36' C = × 20 C = × 20 D 3°12'

T = 55,436m

C = 110,00m

4) Cálculo do ponto de curva (PC) PC = PI − T PC = (91 + 7,40) − (2 + 15,44) 5) Cálculo do ponto de tangência (PT) PT = PC + C PT = (88 + 11,96) + (5 + 10,00)

T = 2 + 15,436m

C = 5 + 10,00m

PC = 88 + 11,96m PT = 94 + 1,96m

66

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6) Cálculo das deflexões das cordas de 20 metros. D 3º12' d 20 = d 20 = d 20 = 1°36' 2 2 7) Cálculo das deflexões fracionárias em relação aos pontos PC e PT. 8,04 1,96 d 8, 04 = d 20 × d1,96 = d 20 × 20 20 8,04 1,96 d 8, 04 = 1°36'× d1,96 = 1º36'× 20 20 d 8, 04 = 0°38'35,52" d1,96 = 0º 09'24,48" 8) Elaboração da Tabela Estação

Cordas (m)

Deflexão

Leitura Limbo

PC 88+11,96 89 90 91 92 93 94 PT 94+1,96

8,04 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 1,96

0°38’35,52” 1°36’ 1°36’ 1°36’ 1°36’ 1°36’ 0°09’24,48”

47º30’00” 48°08’35,52” 49°44’35,52” 51°20’35,52” 56°47’11,04” 58°23’11,04” 63°11’11,04” 63°20’35,52”

Azimute da Tangente 47°30’00”

55°11’11,04” 61°35’11,04” 65°06’00”

9) Cálculo do Azimute da Tangente nas estações 91 e 93, devido ao posicionamento do aparelho nestas estações. Aztg 91 = 51°20'35,52"+(0°38'35,52"+1°36'+1º36' ) Aztg 91 = 55º11'11,04" Aztg 93 = 58°23'11,04"+(1º36'+1°36' ) Aztg 93 = 61º35'11,04" 10) Verificação dos resultados Aztg PT = 63°20'35,52"+(1°36'+0°09'24,48" ) Aztg PT = 65º 06'00" Aztg PT = Aztg PC + I Aztg PT = 47°30'+17°36' Aztg PT = 65°06'00" 1.3.2 Exercícios Aplicativos

1) Calcular o raio (R) de uma curva circular horizontal cujo comprimento entre as duas tangentes é de 450,00m e cujos azimutes das tangentes são: AztgPC-PI=216°32’30” AztgPI-PT=297°50’00” 67

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2) Calcular o raio (R), o grau da curva (D) e o comprimento da Curva(C) de uma curva circular horizontal com as seguintes características: Azimute da tg inicial=37º30’00” T = 419,00m Azimute da tg final=117°20’00” 3) Preparar a tabela para a locação de uma curva circular horizontal pelo método das deflexões, da qual se sabe os seguintes dados: Estaca do PI = 1.042+5,40m I = 16º à direita D = 2°30’ Azimute da tangente inicial = 136°50’ Usar um ponto de mudança na estaca 1042 1.4 Curvas Circular Horizontal de Transição

Quando um veículo passa de um alinhamento reto para um trecho curvo, surge uma força centrífuga que atua sobre o mesmo, tendendo a desviá-lo da trajetória que normalmente deveria percorrer. Este fato representa um perigo e um desconforto para o usuário da estrada. Interessa ao Engenheiro de Estradas o conhecimento de métodos que possibilite variar progressivamente a curvatura de uma estrada, desde zero graus até um valor constante correspondente à curvatura de uma curva circular horizontal. Qualquer tipo de curva que nos possibilite esta variação poderá ser utilizada; entretanto, as mais aplicadas são: a Clotóide, a Lemniscata e a Parábola Cúbica (Fig. 28). Y Clotóide

Parábola Cúbica Lemniscata

X

Fig. 28 a) Clotóide (também conhecida como Espiral de Cornu ou Radióde aos arcos) A clotóide ou espiral é definida por: R×l = K2 onde: “R” é o raio de curvatura em seu ponto genérico “l” é o comprimento da curva até o ponto genérico, a contar da origem b) Lemniscata de Bernouille A lemniscata é definida por: R× p = K2 onde: “R” é o raio de curvatura em seu ponto genérico “p” é a distância polar deste ponto a origem 68

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c) Parábola Cúbica A parábola cúbica é definida pela equação: Y = K2X 3 Todos estes tipos de curvas têm curvatura nula na origem (isto é, raio de curvatura infinito), assumindo a curvatura valores crescentes com o desenvolvimento, enquanto que o raio de curvatura assume valores decrescentes. A maior ou menor variação da curvatura depende do valor adotado para a constante “K”, qualquer que seja o tipo de curva de transição adotada. Essa constante é denominada constante característica da curva de transição. 1.4.1 Espiral de Transição – Clotóide

Trata-se de uma curva horizontal colocada nas saídas das curvas horizontais circulares, com o intuito de fazer uma transição suave do raio infinito da reta com o raio reduzido da curva circular e o inverso na saída da mesma. a) Comprimento das Curvas de Transição Comprimento Mínimo – 1º Critério (Dinâmico) Para este cálculo leva-se em consideração a velocidade (V) constante que o veículo percorre a curva de transição para alcançar a curva circular, a taxa de variação da aceleração centrípeta (Jmáx) e o raio da curva circular (RC). Experimentalmente, verifica-se que a taxa de variação da aceleração centrípeta (J) não deve exceder ao valor de 0,6m/s3. Fixados os valores da velocidade (V) e do raio (RC) da curva circular, determina-se o valor do comprimento mínimo da curva de transição (Lsmin). Para “V” em km/h, “RC” em m e Jmáx =0,6m/s3, resulta: 0,035 × V 3 Ls min = (em metros) RC Comprimento Mínimo – 2º Critério (Superelevação) A superelevação é obtida através da alteração de cota relativa entre os bordos do pavimento e o eixo da pista. O desnível máximo a ser mantido constante em toda a curva circular, deve ser alcançado gradativamente ao longo da curva de transição. Seu valor “H” dependa da superelevação na curva circular (e) e da largura da faixa de tráfego (lf).

bordo eixo

H H

H= Ls min

lf

lf

e bordo

e×lf 100 = 400 × H

69

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Comprimento Mínimo – 3º Critério (Tempo de Transição) É desejável que o tempo de percurso da curva de transição não seja inferior a um valor mínimo, que é normalmente tomado como 2 segundos (DNER, AASHO). Fixada a velocidade (V), resulta, em relação há este tempo mínimo (tsmin), um comprimento mínimo (Lsmin). Ls min = V × ts min Para “V” em km/h e adotando “tsmin” igual há 2 segundos temos: Ls min = 0,556 × V

(em metros)

Comprimento Máximo de Transição È necessário, também, limitar superiormente o comprimento das curvas de transição. Um critério bastante usual para a determinação do comprimento máximo de transição é a fixação de uma taxa mínima de variação da aceleração centrípeta na curva de transição, isto é, a adoção de um “Jmin”, usualmente 0,3m/s3. V3 Ls máx = J min × RC e, para “V” em km/h, “RC” em metros e “Jmin” igual a 0,3m/s3, temos: 0,07 × V 3 Ls máx = (em metros) RC b) Escolha do Comprimento de Transição O maior valor obtido através do cálculo de “Lsmin” , a partir do 1º, 2º e 3º critério, é o limite que deverá ser observado para o cálculo da curva de transição. Normalmente, são escolhidos para “Ls” valores múltiplos de 20 metros, correspondendo a um número inteiro de estacas; este procedimento, todavia, é opcional. O valor mínimo de “Ls”, assim determinado, é um valor de referência; sempre que possível, adota-se para “Ls” valores maiores, os quais proporcionarão uma transição mais confortável. O valor máximo de “Ls”, calculado com o critério fixado em comprimento máximo de transição, é um limite cuja observância é desejável, mas não obrigatório. A incompatibilidade entre os valores mínimos de “Ls” e os valores máximos revela uma escolha inadequada dos parâmetros de cálculo (V,RC , e). c) Exemplos: 1) Determinar o comprimento de transição da curva, mínimo e máximo, sabendo-se que: V=120km/h RC=300m e=8% lf=3,50m Comprimento Mínimo: 0,035 × V 3 0,035 × 120 3 = = 201,60m a) Ls min = RC 300 e × l f 8 × 3,50 H= = = 0,28m b) Ls min = 400 × H 100 100 Ls min = 400 × 0,28 = 112,00m 70

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c) Ls min = 0,556 × V = 0,556 × 120 = 66,72m Lsmin adotado = 201,60m Comprimento Máximo a) Ls máx =

0,07 × V 3 0,07 × 120 3 = = 403,20m RC 300

Conclusão: O valor de Ls deverá ser: 201,60 ≤ Ls ≤ 403,20 Pode-se adotar Ls=300m, verificando-se a possibilidade de adoção desse valor face ao critério comprimento máximo da clotóide. 2) Determinar o comprimento de transição da curva, mínimo e máximo, sabendo-se que: V=100km/h RC=600m e=5% lf=3,50m Comprimento Mínimo: 0,035 × V 3 0,035 × 100 3 = = 58,33m RC 600 e × l f 5 × 3,50 H= = = 0,175m b) Ls min = 400 × H 100 100 Ls min = 400 × 0,175 = 70,00m a) Ls min =

c) Ls min = 0,556 × V = 0,556 × 100 = 55,60m Lsmin adotado = 70,00m Comprimento Máximo b) Ls máx =

0,07 × V 3 0,07 × 100 3 = = 116,66m RC 600

Conclusão: O valor de Ls deverá ser: 70,00 ≤ Ls ≤ 116,66 Pode-se adotar Ls=100m, verificando-se em seguida o critério comprimento máximo da clotóide. 1.4.2 Estudo da Clotóide

Sabemos que para qualquer ponto da clotóide é valida a relação “Rl=K”. Em particular, se uma clotóide de comprimento “Ls” liga uma tangente a uma curva circular de raio “Rc”, essa relação, no ponto da espiral-curva circular (EC), coincidente com o ponto PC da curva circular, assume a forma: Rc × Ls = K 2 71

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permitindo assim, o valor da constante característica dessa clotóide que será: Rc × Ls R × l = Rc × Ls (1) R= l LT

TS

PI l

θ

θs P

Ls R

θ

R

dl

ST

dθ

EC

k

θs

RC

Fig. 29 A partir da figura 29 podemos dizer que “Ls” é o comprimento total da espiral de TS até EC e “l” o comprimento de TS até um ponto qualquer “P”. O ângulo total da espiral é “θs”, enquanto o ângulo até o ponto “P” é “θ”. Se levarmos em consideração um comprimento infinitesimal da espiral “dl”, ele corresponde a um ângulo infinitesimal “dθ ”. dl dθ = R substituindo “R” pela equação (1): l × dl dθ = Rc × Ls integrando: l2 θ= (2) 2 Rc × Ls substituindo “θ “ por “θs” e “l” por “Ls” Ls 2 Ls θs = = (3) 2 Rc × Ls 2 Rc o valor de “θs” está expresso em radianos, para convertê-lo em graus devemos multiplicar por 3600 180 e substituir na fórmula “Rc” pela fórmula Rc = . π .Dc π Ls × 180° × π × Dc Ls × Dc θs = = (em graus) 2 × π × 3600 40 relacionando-se “θ” com “θs” ( equação 2 e 3) temos: l 2 × 2 Rc l l θ = = ( )2 θ = θs ( ) 2 Ls Ls θs 2 Rc × Ls × Ls A deflexão ψ para um ponto qualquer é: 1 θs l ou ψ= θ ψ = ( )2 3 Ls 3 72

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1.4.3 Posição da Clotóide

Examinando um segmento “dl” da curva, a uma distância “l” do Ponto de TangenteEspiral (TS) podemos determinar que as projeções “x” e “y” indicadas na figura 30 são respectivamente: dx

TS

P

dy

x θ

dl

l

EC

Rc

y

Fig.30 dx = dl × cosθ dy = dl × sen θ As coordenadas “x” e “y” do ponto P são obtidas através de integração. l

l

x = ∫ cosθ × dl

y = ∫ sen θ × dl

0

0

Desenvolvendo o “cosθ” e “senθ”, em série de potências, temos: dx = (1 −

θ2 2!

+

θ4 4!

−

θ6 6!

+ ......)dl

2 4 6 ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ l2 l2 l2 ⎟ ⎥ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢ ⎜⎜ 2 Rc × Ls ⎟⎠ 2 Rc × Ls ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎝ 2 Rc × Ls ⎠ ⎝ ⎝ − + ∫ dx = ∫ ⎢1 − ⎥ dl 2! 4! 6! ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

⎡ ⎤ l4 l8 l 12 x = ∫ ⎢1 − + − ⎥ dl 2 4 6 ⎣ (2 Rc × Ls ) × 2! (2 Rc × Ls ) × 4! (2 Rc × Ls ) × 6!⎦ Integrando-se a equação e levando-se em consideração a equação de “θ” l2 ) obtemos: (θ = 2 Rc × Ls

x = l (1 −

θ2 10

+

θ4 216

− ........)

De maneira análoga, podemos obter a expressão para o cálculo de “y”: dy = (θ −

θ3 3!

+

θ5 5!

− .......)dl 73

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3 5 ⎡⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ l2 l2 l2 ⎟ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎜⎜ 2 Rc × Ls ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎝ 2 Rc × Ls ⎠ ⎝ 2 Rc × Ls ⎠ ⎝ + ∫ dy = ∫ ⎢ 1! − 3! ⎥dl 5! ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

⎡ l2 ⎤ l6 l 10 y = ∫⎢ − + ⎥ dl 3 5 ⎣ 2 Rc × Ls (2 Rc × Ls ) × 3! (2 Rc × Ls ) × 5!⎦

Integrando-se a equação e levando-se em consideração a expressão de “θ” ( θ =

l2 ) 2 Rc × Ls

obtemos:

θ

θ3

θ5

y = l( − + − .........) 3 42 1320 Os termos seguintes das duas séries podem ser desprezados. Devemos lembrar que o valor de “θ” nas equações deverá ser em “Radianos”. Se fizermos “l=Ls” e “θ=θs” obtém-se “x=Xs” e “y=Ys”, coordenadas de EC em relação ao sistema de referência indicado na figura 30. As coordenadas de qualquer ponto da clotóide podem ser determinadas a partir das expressões “x” e “y”, acima determinadas. 1.4.4 Pontos Notáveis

A figura 31 que representa uma concordância entre duas tangentes por meio de uma curva circular e duas clotóides simétricas, permite determinar que:

Ts Xs TS

PI p

θs

k

Ys

x AC

EC

θs

Rc

y

Fig. 31

74

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“p” e “k” são as coordenadas retangulares de recuo do PC e PT da curva circular original em relação à tangente, tomando como referência o TS ou ST. p = Ys − Rc(1 − cosθs )

k = Xs − ( Rc × sen θs )

logo: Ts = ( Rc + p ) × tg

AC +k 2

sendo “AC” o ângulo de deflexão entre as duas tangentes das clotóides. Esses elementos permitem determinar a posição do ponto TS (tangente-espiral) e do ponto ST (espiral-tangente), em relação ao ponto PI (ponto de intersecção). A posição do ponto EC (espiral-circular) em relação ao ponto TS e do ponto CE (circular-espiral) em relação ao ponto ST são determinados pelas coordenadas “Xs” e “Ys”. O cálculo das estacas dos Pontos Notáveis podem ser obtidas por: TS = PI − Ts EC = TS + Ls CE = EC + C

onde: C= e

Ic × 20m Dc

Dc =

3600 πRc

Ic = AC − 2θs

ST = CE + Ls

A estaca TS é locada medindo-se a tangente total (Ts) a partir de PI, em direção a ré, sobre a tangente anterior, da mesma maneira, em direção a vante, a partir de PI, loca-se a estaca ST. 1.4.5 Locação da Espiral de Transição

A locação de espirais de transição no terreno, é efetuada com recursos e precisões topográficas, por meio de medidas de ângulos e distâncias. Existem várias formas de se locar uma espiral de transição no terreno, sendo as duas mais utilizadas: (1) a locação da espiral por coordenadas cartesianas; e (2) a locação por deflexão e comprimento. A locação de uma espiral de transição, por coordenadas cartesianas, pode ser feita por meio das coordenadas (x;y) as quais podem ser obtidas a partir das equações: x = l (1 −

θ2 10

+

θ4 216

− ........)

θ

θ3

θ5

y = l( − + − .........) 3 42 1320

para diferentes pontos ao longo da espiral de transição. Para a locação da espiral por meio da deflexão e comprimento, utiliza-se a locação por deflexão acumulada. No processo de locação por deflexões acumuladas, a posição de cada ponto da curva de transição é definida pelo alinhamento que corresponde ao ângulo de deflexão em relação à tangente à curva, onde se encontra instalado o teodolito, e pela distância, medida ao longo da curva de transição, desde o teodolito (TS) até o ponto em questão. 75

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A figura 31a representa uma espiral de transição, referida a um sistema de eixos cartesianos, a qual tem origem no ponto TS, eixo das ordenadas, coincidente com a direção da tangente à espiral na origem, e eixo das abscissas, perpendicular a curva neste ponto. Para a locação, por coordenadas cartesianas das estacas referentes aos pontos da espiral de transição, calcula-se as coordenadas (x;y) de cada ponto e mede-se, sobre o eixo da tangente, que corresponde ao eixo da estrada que foi piqueteado, o valor das coordenadas (y), e a partir destes mede-se o valor das coordenadas (x), perpendicular, estas, ao eixo da tangente. Caso se deseje efetuar a locação dos pontos da espiral de transição pelo método das deflexões acumuladas, os ângulos de deflexão poderão ser calculados a partir da equação:

ψ=

θs l (

3 Ls

)2

Fig. 31a. Com o teodolito instalado no ponto TS, início da espiral de transição, e orientado na direção da tangente (eixo da estrada), mede-se o ângulo de deflexão do primeiro ponto (ψa) e com a trena esticada com o valor da corda estabelecida a partir do ponto TS, marca-se a posição do primeiro ponto (A) que deverá estar sobre o eixo da direção obtida pelo ângulo de deflexão medido. Para a locação do segundo ponto (B), procede-se da mesma maneira, utilizando agora o ângulo acumulado para o segundo ponto (ψb), obtendo-se assim a nova direção do novo plano de visada, a partir do primeiro ponto (A), estica-se a trena do valor da corda correspondente e marca-se o segundo ponto (B) sobre o novo alinhamento. Para os demais pontos se procede da mesma maneira. 1.4.6 Locação de uma Espiral de Transição com Mudança de Estação

Na hipótese de não haver possibilidade de visibilidade para a locação de todos os pontos da espiral de transição, com o teodolito instalado na origem, a locação pode ser 76

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efetuada a partir de qualquer ponto já locado da espiral de transição, bastando que se instale o teodolito na nova estação e que se determine à direção da nova tangente à espiral de transição neste ponto, tangente esta que será a direção de referência para a locação dos demais pontos, através das deflexões acumuladas. O procedimento para a locação da espiral de transição com mudança de estação é o mesmo que para o caso da curva circular horizontal simples, tomando-se o cuidado apenas no cálculo dos ângulos de deflexão (vente e ré), já que a espiral de transição tem curvatura diferente em cada ponto. Na figura 31b, está representada uma espiral de transição, estando nela representado três pontos (A, B e C), os ângulos centrais da espiral (φA, φB, φC), estes correspondentes as áreas compreendidas entre a origem e os respectivos pontos. Observando-se a figura 31b, pode-se dizer que o ângulo (ω) que será determinado para a locação da nova direção da tangente da curva no ponto C será:

Fig. 31b.

ω = φC − ψ c Com o valor de (ω) conhecido, instala-se o teodolito no ponto C, visualiza-se o ponto de última estação, no caso TS, e orienta-se o alinhamento. Gira-se a luneta de 180º, ficando assim no prolongamento do alinhamento (TS-C), e mede-se o valor de (ω), a nova direção obtida é a tangente a espiral na nova estação. Os demais pontos serão locados com os seus respectivos ângulos de deflexão, somados ao valor da direção da nova tangente.

77

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1.4.7 Exercício Elucidativo

1) Elaborar a tabela de locação de uma Curva Horizontal para Espiral de Transição, conhecendo-se os seguintes dados do Projeto da Estrada: Ângulo entre as duas tangentes da espiral (AC) =32º Grau da Curva Circular (Dc) = 3º Velocidade de Projeto (V) = 86km/h ou 23,88m/s Estaqueamento de 20 em 20 metros O comprimento da espiral (Ls) deve ser arredondado para o múltiplo de 20m mais próximo. Estaca do PI = 1.115+7,40m a) Cálculo do comprimento Ls: 3600 3600 = = 381,97m Rc = π × Dc π × 3º V3 23,88 3 Ls máx = = = 118,83m ≅ 120,00m J min × Rc 0,3 × 381,97 b) Cálculo do ângulo da espiral (θs): Ls × Dc 120,00 × 3 θs = = = 9,0000 = 9°00' 40 40 ou θs = 0,15708rad c) Cálculo de Ts ( lembrar-se que o valor de “θs” deve ser em radianos) AC Ts = ( Rc + p ) × tg +k 2 1) Cálculo de “Xs” e “Ys” θs 2 θs 4 0,15708 2 0,15708 4 Xs = Ls (1 − + − ..) = 120(1 − + ) = 119,704m 10 216 10 216 θs θs 3 θs 5 0,15708 0,15708 3 0,15708 5 Ys = Ls ( − + − .........) = 120( − + ) = 6,272m 3 42 1320 3 42 1320 2) Cálculo de “p” e “k” p = Ys − Rc(1 − cosθs ) = 6,272 − 381,97(1 − cos 0,15708) = 1,569 k = Xs − ( Rc × sen θs ) = 119,704 − (381,97 × sen 0,15708) = 59,950 logo: Ts = ( Rc + p) × tg

32 AC + k = (381,97 + 1,569) × tg + 59,950 = 169,928m 2 2

d) Estaca TS, EC, CE, ST TS = PI − Ts = (1.115 + 7,40) − (8 + 9,93) = 1.106 + 17,47m EC = TS + Ls = (1.106 + 17,47) + (6 + 0,00) = 1.112 + 17,47m CE = EC + C onde: Ic = AC − 2θs = 32º −(2 × 9) = 14º 78

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Ic 14º × 20m = × 20 = 93,33 Dc 3º CE = EC + C = (1.112 + 17,47) + (4 + 13,33) = 1.117 + 10,80m ST = CE + Ls = (1.117 + 10,80) + (6 + 0,00) = 1.123 + 10,80m

C=

e) Elaboração da planilha para a locação da espiral de transição. 2 Estacas l Corda l ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ Ls ⎝ Ls ⎠ TS 1.106+17,47 1.107 1.108 1.109 1.110 1.111 1.112 EC 1.112+17,47

2,53 22,53 42,53 62,53 82,53 102,53 120,00

2,53 20 20 20 20 20 17,47

0,02108 0,18775 0,35442 0,52108 0,68775 0,85442 1

0,000444 0,035250 0,125613 0,271524 0,473000 0,730028 1

Deflexão (ψ )

0º00’04,8” 0°06’20,7” 0º22’36,6” 0º48’52,4” 1º25’08,4” 2º11’24,3” 3º00’00”

As deflexões (ψ) foram calculadas a partir da fórmula: (o valor de “θs” deve ser em graus)

ψ=

θs l (

3 Ls

)2

Para a deflexão da Estaca 1.107 temos:

θs l

2

9º ⎛ l ⎞ ψ = ( ) = ⎜ ⎟ = 3º×0,035250 = 0,10575 = 0°06'20,7" 3 Ls 3 ⎝ Ls ⎠ Para os demais pontos, calcula-se da mesma maneira. 2

f) Elaboração da planilha para a locação da Curva Circular: A partir dos dados conhecidos temos: Grau da Curva (D) = 3º Estaca PC = Estaca EC = 1.112+17,47 Estaca PT = Estaca CE = 1.117+10,80 Comprimento da Curva (C) = 93,33m Cálculo do Ângulo da Curva (I) C × D 93,33 × 3º I= = = 13º59'58,2" 20 20 Cálculo das deflexões (d) D 3º d 20 = = = 1º30' 2 2 2,53 d 2,53 = d 20 × = 1º30'×0,55150 = 0º11'23,1" 20 10,80 d10,80 = d 20 × = 1º30'×0,1150 = 0º 48'36" 20 Levar em consideração uma mudança na estaca 1.116, por problemas de visibilidade. 79

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Estacas

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Corda

PC=EC 1.112+17,47 1.113 1.114 1.115 1.116 1.117 PT=CE 1.117+10,80

Deflexão

2,53 20,00 20,00 20,00 20,00 10,80

0°11’23,1’ 1º30’ 1º30’ 1º30’ 1º30’ 0º48’36”

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Leitura no Limbo Azimute da Tangente 0°00’00” 0°00’00” 0°11’23,1” 1°41’23,1” 3°11’23,1” 4°41’23,1” 9°22’46,2” 10°52’46,2” 11°41’22,2” 13°59’58,2”

A verificação dos cálculos pode ser feita através da comparação do resultado obtido no Azimute da tangente final (PT) com o valor do ângulo da curva (I), os quais deverão ser iguais. g) Elaboração da planilha para a locação da espiral de transição entre as Estacas ST e CE. A locação da espiral de transição de saída é feita de ST para CE, para não alterar o sistema de cálculo, isto é, seu raio diminuindo. 2 Estacas l Corda Deflexão (ψ ) l ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ Ls ⎝ Ls ⎠ ST 1.123+10,80 1.123 10,80 10,80 1.122 30,80 20 1.121 50,80 20 1.120 70,80 20 1.119 90,80 20 1.118 110,80 20 CE 1.117+10,80 120,00 9,20 As deflexões (ψ) foram calculadas a graus) θs l ψ = ( )2 3 Ls

0,09000 0,00810 0º01’27,5” 0,25666 0,06587 0°11’51,4” 0,42333 0,17921 0º32’15,5” 0,59000 0,34810 1°02’39,5” 0,75666 0,57254 1º43’03,4” 0,92333 0,85254 2º33’27,4” 1 1 3º00’00” partir da fórmula: (O valor de “θs” deve ser em

Para a deflexão da Estaca 1123 temos:

θs l

2

9º ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ = 3º×0,00810 = 0,02430 = 0°01'27,5" 3 Ls 3 ⎝ Ls ⎠ Para os demais ponto calcula-se da mesma maneira.

ψ=

(

)2 =

1.4.7.1 Exercício Elucidativo da Curva de Transição com Mudança de Estação.

1) Levando-se em consideração o exercício elucidativo anterior, da locação da curva de transição, e considerando-se a necessidade de se efetuar uma mudança de estação, sobre a referida espiral, no ponto 1110, temos: a) Cálculo dos ângulos (θ) da espiral de transição:

80

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l2 2 Rc × Ls θ 1107 = 0,000025136

θ=

θ 1108 = 0,005537094 θ 1109 = 0,019731053 θ 1110 = 0,042651702 θ 1111 = 0,074299038 θ 1112 = 0,114673064 θ 1112+17 , 47 = 0,157080399 Devemos nos lembrar que os valores dos ângulos (θ) se encontram em RADIANOS b) Cálculo das projeções (x) e (y) dos pontos da espiral: x = l (1 − x1107

θ2

+

θ4

)

10 216) = 2,5299 y1107

θ

θ3

θ5

y = l( − + ) 3 42 1320 = 0,000021

x1108 = 22,5299 y1108 = 0,0416 x1109 = 42,5283 y1109 = 0,2797 x1110 = 62,5186 y1110 = 0,8889 x1111 = 82,4844 y1111 = 2,0432 x1112 = 102,3952 y1112 = 3,9155 x1112+17 , 47 = 119,7042 y1112+17 , 47 = 6,2722

Deve-se ter o cuidado em saber em que posição se está considerando o eixo da tangente, se este está sobre o eixo “x” ou o eixo “y” do sistema cartesiano. Neste exemplo a tangente a espiral (eixo do alinhamento da estrada) está coincidente com o eixo “x” do sistema cartesiano. c) Cálculo das deflexões Conforme a tabela abaixo, aproveitamos os mesmos já que estes haviam sido calculados anteriormente. Planilha para a locação da espiral de transição com o valor das deflexões 2 Estacas l Corda Deflexão (ψ ) l ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ Ls ⎝ Ls ⎠ TS 1.106+17,47 1.107 1.108 1.109 1.110 1.111 1.112 EC 1.112+17,47

2,53 22,53 42,53 62,53 82,53 102,53 120,00

2,53 20 20 20 20 20 17,47

0,02108 0,18775 0,35442 0,52108 0,68775 0,85442 1

0,000444 0,035250 0,125613 0,271524 0,473000 0,730028 1

0º00’04,8” 0°06’20,7” 0º22’36,6” 0º48’52,4” 1º25’08,4” 2º11’24,3” 3º00’00” 81

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d) Considerando-se a mudança de estação no ponto 1110. Para a determinação do Azimute da nova tangente necessitamos calcular: Cálculo do ângulo θ no ponto 1110.

θ 1110 = 0,042651702rad θ 1110 = 2º 26'37,5" Segundo a figura 31b, o cálculo da Ré (ω) no ponto 1110 é:

ω1110 = θ 1110 − ψ 1110 ϖ 1110 = 2º 26'37,5"−0º 48'52,4" ϖ 1110 = 1º37'45,1" e) Cálculo do Azimute da nova tangente na nova estação (Ponto 1110), conforme figura 31b. Az NT = Az anterior + ψ 1110 + ω1110 Az NT = 351º +0º 48'52,4 + 1º37'45,1" Az NT = 353º 26'37,5" f) Cálculo das novas deflexões acumuladas a partir da nova estação (Ponto 1110).

ψ 1110−1111 = arctg

y1111 − y1110 − θ 1110 x1111 − x1110

(2,0432 − 0,8889) − 2º 26'37,5" (82,4844 − 62,5186) = 0º51'54,2"

ψ 1110−1111 = arctg ψ 1110−1111

ψ 1110−1112 = arctg

y1112 − y1110 − θ 1110 x1112 − x1110

(3,9155 − 0,8889) − 2º 26'37,5" (102,3952 − 62,5186) = 1º53'47,8"

ψ 1110−1112 = arctg ψ 1110−1112

ψ 1110−1112+17, 47 = arctg

y1112+17 , 47 − y1110 x1112+17 , 47 − x1110

− θ 1110

(6,2722 − 0,8889) − 2º 26'37,5" (119,7042 − 62,5186) = 2º56'02,6"

ψ 1110−1112+17, 47 = arctg ψ 1110−1112+17, 47

Para a confirmação dos resultados determina-se o Azimute da tangente final que irá ser a tangente da Curva Circular:

82

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g) Cálculo da Ré no ponto (1112+17,47) – (Ponto PC da Curva Circular)

ω (1112+17 , 47 )−(1110 ) = (θ 1112+17, 47 − θ 1110 ) − ψ (1110) −(1112+17, 47 ) ϖ (1112+17 , 47 ) −(1110) = (9º 00'00"−2º 26'37,5" ) − 2º56'02,6" ϖ (1112+17 , 47 ) −(1110) = 3º37'19,9" h) Cálculo do Azimute da tangente a Curva Circular (no final da Curva de Transição – Ponto PC): Az NT = Az anterior + ψ (1110 ) −(1112+17 , 47 ) + ω (1112+17 , 47 ) −(1110 ) Az NT = 353º 26'37,5"+2º5602,6 + 3º37'19,9" Az NT = 360º 00'00" Elaboração da planilha para a locação da espiral de transição com mudança de estação Estacas l Corda Az da Tg x y θrd Deflexão (ψ ) TS 1.106+17,47 1.107 1.108 1.109 1.110 1.111 1.112 EC 1.112+17,47

Ré

351º00’00” 2,53 22,53 42,53 62,53 82,53 102,53 120,00

2,53 20 20 20 20 20 17,47

0,000025136 0,005537094 0,019731053 0,042651702 0,074299038 0,114673064 0,157080399

2,5299 22,5299 42,5283 62,5186 82,4844 102,3952 119,7042

0,0001 0,0416 0,2797 0,8889 2,0432 3,9155 6,2722

0º00’04,8” 0°06’20,7” 0º22’36,6” 0º48’52,4” 0º51’54,2” 1º53’47,8” 2º56’02,6”

353º26’37,5”

1º37’45,1”

360º00’00”

3º37’19,9”

1.4.8. Exercícios Aplicativos

1) Seja calcular todos os elementos e as tabelas necessárias à locação da curva a seguir indicada, formada por duas clotóides simétricas e uma curva circular. Dados: Ponto de Intersecção das tangentes da Clotóide (PI) = 458+11,22 AC = 45°12’ Rc =350,00m V = 100 km/h Ls = 160,00 e = 6% lf = 3,50m Corda = 20m 2) Calcular as tabelas para locação da duas clotóides e da curva circular e verificar os cálculos. Rc = 850,00m AC = 36°24’ V = 140 km/h PI = 234+12,30m 3) Em um projeto de estrada são conhecidos os seguintes elementos da curva circular: V=80km/h, AC=35°, Rc=500m, Ls=50m e PI=228+17,00. Pede-se para calcular os seguintes elementos da curva circular de transição: Xs, Ys, θs, p, k, Ts, TS, SC ou PC, CS ou PT e ST.

Fig. 31c – Curva Simples e curva reversa 83

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2. CURVAS VERTICAIS DE CONCORDÂNCIA

A curva recomendada para ligar duas rampas é o arco de parábola. Este pode ser simétrico ou assimétrico, sendo o primeiro o recomendado. 2.1 Curva Vertical Simétrica por Arco de Parábola

A utilização da parábola como curva de concordância vertical é de grande conveniência no estabelecimento dos elementos necessários ao perfil longitudinal, uma vez que as cotas dos diversos pontos da curva serão facilmente obtidas através de cálculos rápidos. As curvas verticais podem ser do tipo Côncavas ou Convexas. As curvas do tipo côncavas são as curvas de baixada ou depressão. São as curvas que se encontram sempre acima das tangentes. As curvas do tipo convexas são as de lombada ou de crista, encontrandose estas sempre abaixo das tangentes.

Cotas

EV

t t'

r=(r1-r2)

h ) (%

r1

EI

P

L

f

r2 (

% )

h S

EF Dh

Fig.32 Curva de Concordância Vertical Parabólica A parábola representada na figura 32 é uma curva que obedece à seguinte equação: f (t ' ) 2 = 2 (1) h t onde: f = afastamento vertical de um ponto genérico da parábola em relação ao greide h = afastamento vertical máximo da parábola em relação ao greide. E S h= V 2 t = distância horizontal correspondente ao afastamento de EV. L t= 2 t’ = distância horizontal correspondente ao afastamento “f”. Pelos triângulos EIEVS e EIEFP podemos deduzir: EF P L EF P L = = L 2h EV S t 2

E F P = 4h

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Do triângulo EVEFP temos: E F P = 4h = (r1 − r2 )

L 2

considerando-se que: r = r1 − r2 = diferença a lg ébrica dos greides

temos: 4h = r

L 2

da equação (1) obtemos que: (t ' ) 2 f = 2 ×h t

h=r

L 8

(2)

(3)

ou substituindo a equação (2) na (3) temos: L (t ' ) 2 f = 2 ×r× 8 t r f = (t ' ) 2 × 4t

(t ' ) 2 2t ×r× 2 8 t r f = (t ' ) 2 × 2L

f =

Examinando-se a equação (3) e sabendo-se que os valores de “h” e “t” são facilmente obtidos uma vez que seja escolhida preliminarmente a distância “L” entre os extremos da parábola, conclui-se que a obtenção dos elementos que interessam para a locação da curva de concordância vertical, ou seja, “f” e “(t’)”, não apresentam qualquer dificuldade. 2.1.1 Exercício Elucidativo

1) Preparar a tabela da Curva vertical simétrica pelo método do arco de parábola sabendo-se que: r1=5% r2= -3% L=200m EV=238+0,00 Estaqueamento de 20 em 20m Cota de EV=234,50m a) Cálculo da Estaca Inicial (EI) L 200 E I = (238 + 0,00) − E I = EV − 2 2 E I = (238 + 0,00) − (5 + 0,00) E I = 233 + 0,00 b) Cálculo da Estaca Final (EF) L 200 E F = (238,00 + 0,00) + E F = EV + 2 2 E F = (238,00 + 0,00) + (5 + 0,00) E F = 243,00 + 0,00 c) Cálculo da Cota da estação Inicial (EI) 5 200 L Cota E I = 234,50 − × Cota E I = Cota EV − r1 2 100 2 Cota E I = 229,50m d) Cálculo da Cota da Estação Final (EF) L CotaE F = CotaEV + r2 2 CotaE F = 231,50m

CotaE F = 234,50 +

− 3 200 × 100 2 85

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e) Cálculo do valor de “r” r = r1 − r2 = 5 − (−3) = 8% = 0,08 f) Cálculo de “h” (o sinal de “h” será (+) por ser a curva convexa) L 200 h = 2,00m h = r× h = 0,08 × 8 8 g) Cálculo de “t” L t= 2

t=

200 2

t = 100,00m

h) Conhecidos os valores de “t” e “h” e fazendo-se variar os valores de “(t’)”, podemos calcular o valor de “f” (o sinal de “f” será (-) por ser a curva convexa). Estacas

EI 233 234 235 236 237 EV 238 239 240 241 242 EF 243

Rampa na tangente

+5% +5% +5% +5% +5% -3% -3% -3% -3% -3%

t’ (m)

t '2 t2

Cota na tg (m)

f (-) (m)

20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 140,00 160,00 180,00 200,00

0,04 0,16 0,36 0,64 1,00 0,64 0,36 0,16 0,04 -

229,50 230,50 231,50 232,50 233,50 234,50 233,90 233,30 232,70 232,10 231,50

0,08 0,32 0,72 1,28 2,00 1,28 0,72 0,32 0,08

Cota na Curva (m) 229,50 230,42 231,18 231,78 232,22 232,50 232,62 232,58 232,38 232,02 231,50

O cálculo da Cota sobre a tangente é obtido através de: DN ascendente = Corda × tg r1 DN descendente = Corda × tg r2 O cálculo da Cota sobre a curva é obtido por: Cota Curva = CotaTangente ± f 2.1.2 Exercícios Aplicativos

1) Preparar a tabela para a locação de uma Curva Vertical Simétrica pelo método do arco de parábola (Curva de depressão ou côncava): Rampa Inicial (r1) = -2,7% Rampa Final (r2) = +4,2% Comprimento da Curva (L) = 180m em cordas de 10 metros Cota do vértice (CotaEv) = 123,780m Estaca do vértice (EV) = 321+10,00m 2) Preparar a tabela para a locação de uma Curva Vertical Simétrica pelo método do arco de parábola que apresenta os seguintes dados (Curva de lombada ou convexa): Comprimento da Curva (L) = 180m com corda de 20 metros Cota do Vértice (CotaEv) = 103,040m Estaca do Vértice (EV) = 56+10,00m ) = -0,7% Rampa Final (r2) = -5,2% Rampa Inicial (r1 86

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3) Preparar a tabela para a locação de uma Curva Vertical Simétrica que apresente os seguintes dados (Curva de lombada ou convexa): Rampa Inicial (r1) = +4,8% Rampa Final (r2) = -3,3% Comprimento da Curva (L) = 220m em cordas de 20 metros Estaca do Vértice (EV) 745+0,00m Cota do Vértice = 656,340m 2.2 Curva Vertical Assimétrica por Arco de Parábola

As curvas verticais assimétricas são formadas por dois arcos de parábolas diferentes, os quais ocasionam uma menor estabilidade para os veículos devido os mesmos não serem constantes. Elas são utilizadas quando não há outra solução. Entretanto, apresentaremos seu desenvolvimento.

g EV h

f’

r1

EI

(r1-r2)

r2

f”

EF

h

l2

l1 L

Fig.33 Curva Vertical Assimétrica Com base na figura 33 podemos dizer: g × l1 g L ∴ 2h = = L 2h l1

∴

h=

g × l1 2L

sabendo-se que: g = (r1 − r2 ) × l 2

e substituindo-se “g” na equação anterior temos: h = (r1 − r2 )

l1 × l 2 2L

O valor de “f” nas Curvas Verticais Assimétricas deverá ser calculado independentemente para cada tangente, devido ao fato que as distâncias “l1” e “l2” são diferentes. (Fig.33) Utilizando-se a equação para o cálculo de “f” das Curvas Verticais Simétricas temos:

87

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Para a primeira tangente f '=

(t ' ) 2 ×h t2

substituindo-se “h” e fazendo-se (t=l1) temos: (t ' ) 2 (r1 − r2 )(l1 × l 2 ) × f '= 2L (l1 ) 2 temos: (t ' ) 2 × r × l1 × l 2 f '= (l1 ) 2 × 2 L r × l2 f ' = (t ' ) 2 × 2 L × l1

sabendo que: r = r1 − r2

analogamente, temos: f " = (t ' ) 2 ×

r × l1 2L × l2

2.2.1 Exercício Elucidativo

1) Deseja-se preparar a tabela para a locação de uma curva vertical assimétrica por meio de parábola sobre o eixo de uma estrada que foi estaqueado inicialmente de 20 em 20 metros. Sabe-se que: Rampa Inicial (r1) = +4% Rampa Final (r2) = +1% Comprimento do 1° ramo (l1) = 40m em cordas de 10 metros Cota do Vértice (EV) =68,250m Comprimento da 2º ramo (l2) = 60m em corda de 10 metros Estaca do Vértice (EV) = 72+0,00m a) Cálculo da Estaca Inicial (EI) E I = EV − l1

E I = (72 + 0,00) − (2 + 0,00)

E I = 70 + 0,00m

b) Cálculo da Estaca Final (EF) E F = EV + l 2

E F = (72 + 0,00) + (3 + 0,00)

E F = 75 + 0,00m

c) Cálculo das cotas das estacas EI e EF CotaE I = CotaEV − r1l1 CotaE F = CotaEV + r2 l 2

4 × 40 100 1 CotaE F = 68,250 + × 60 100 CotaE I = 68,250 −

CotaEV = 66,650m CotaEV = 68,850m

d) Cálculo do valor de “r” r = r1 − r2

r = (+4) − (+1)

r = + 3%

L = 40 + 60

L = 100

e) Cálculo do valor de “L” L = l1 + l 2

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f) Cálculo do valor de “f” e elaboração da tabela. (o sinal de “f” será (-) por ser a curva convexa) Estacas Rampa na Cota na (t’)2 (-f) Cota na Tangente Tangente Curva EI 70 66,650 66,650 70+10 +4% 67,050 100 0,023 67,027 71 +4% 67,450 400 0,090 67,360 71+10 +4% 67,850 900 0,203 67,647 EV 72 68,250 1600 0,360 67,890 72+10 +1% 68,350 2500 0,250 68,100 73 +1% 68,450 1600 0,160 68,290 73+10 +1% 68,550 900 0,090 68,460 74 +1% 68,650 400 0,040 68,610 74+10 +1% 68,750 100 0,010 68,740 EF 75 68,850 68,850 2.2.2 Exercícios Aplicativos

1) Preparar a tabela para a locação da curva vertical assimétrica com corda de 10 em 10 metros. Cota EI = 178,22m Estaca de Início (EI) = 43+0,00 Cota EF = 178,42m Estaca de Fim (EF) = 48+0,00 Cota EV = 177,14m Estaca do Vértice (EV) = 46+0,00 2) Preparar a tabela para uma curva vertical de depressão assimétrica com corda de 20 metros. Cota EI = 58,340m Estaca de Início (EI) = 136+10,00 Cota EV = 52,940m Estaca do Vértice (EV) = 141+10,00 Cota EF = 56,620m Estaca de Fim (EF) = 145+10,00

Fig. 33 a1 – Curva Vertical Côncava

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CAPÍTULO VII 1. LEVANTAMENTOS HIDROGRÁFICOS 1.1. Introdução

Os trabalhos hidrográficos podem ser definidos como sendo os levantamentos topográficos efetuados para a obtenção da posição de pontos em leitos de água tais como rios, lagos, lagoas e ambientes oceânicos. Os objetivos principais é o conhecimento da morfologia de fundo destes ambientes para a construção de cartas náuticas bem como para a planificação e controle de projetos de engenharia como pontes, túneis, barragens, portos e outros trabalhos relacionados à engenharia. Consiste, também, na determinação da variação do nível d’água em um reservatório ou em um curso d’água. 1.2 Método de Levantamento 1.2.1 Hidrometria

O processo consiste em se medir a profundidade da água ou espessura da lâmina d’água através de sondas em diferentes pontos. Se o nível da superfície da água for variável, a profundidade medida deverá ser corrigida desta variação e todos os pontos levantados serem relacionados a uma origem comum. O controle topográfico horizontal pode ser estabelecido na margem do curso d’água, a partir do qual se iniciará o levantamento topográfico com a demarcação dos pontos onde se efetuará a sondagem. No levantamento dos dados devemos registrar as informações correspondentes às marés e às variações de nível para obtenção da altura da água cada vez que se efetuar uma sondagem. 1.2.2 Batimetria

A batimetria tem por finalidade conhecer o comportamento da morfologia de fundo de um reservatório, de um rio ou mesmo de um oceano. O levantamento batimétrico consiste, basicamente, na obtenção de um conjunto de pontos distribuídos, de forma homogênea, por todo a área do reservatório, do fundo oceânico ou da seção do rio referente ao projeto em estudo, de maneira que toda a área estudada seja coberta. Cada ponto obtido deverá apresentar três coordenadas, sendo as duas primeiras referentes a localização do ponto em relação a coordenadas geográficas e a terceira referente a profundidade naquele ponto A superfície, a ser mapeada, deve ser dividida em uma malha de linhas eqüidistantes de maneira conveniente para que sirva de diretriz para o levantamento. . 1.3 Equipamento 1.3.1 Hidrometria

Para a hidrometria, as medidas podem ser efetuadas a partir de réguas linimétricas ou de linígrafos, devidamente referenciados a uma cota conhecida e materializada no terreno. 90

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Nas medidas de vazão são utilizados cabos aéreos, pontes ou barcos hidrométricos (Fig. 33 a).

Fig. 33a.

Locais de instalação de uma estação hidrométrica

Os linígrafos consistem em registradores automáticos do nível d’água na seção hidrométrica. Os linígrafos de bóia flutuam na superfície d’água e acompanham a variação de nível, as quais são transmitidas através de um cabo a uma polia que registra sobre papel, mantido sobre um tambor rotativo, o registro da variação do nível d’água em função do tempo (Fig. 33b).

Fig. 33b Línigrafos de bóia

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As réguas linimétricas são escalas graduadas em centímetros, que são colocadas em uma seção apropriada do curso d’água em um ou vários lances, referenciadas a uma referência de nível conhecida, para que se possa estabelecer a altitude zero das réguas (Fig. 33c).

Fig. 33c Réguas Linigráficas 1.3.2 Batimetria

Nos levantamentos batimétricos de áreas de pequena profundidade, podemos utilizar uma haste de madeira de ±5m de comprimento, graduada em centímetros e com seus extremos recobertos por uma lâmina metálica, a qual servirá de proteção. São utilizados, também, cordas ou correntes com um lastro de 3 a 5kg preso na extremidade inferior. Na utilização deste tipo de equipamento para sondagem, deve-se ter cuidado em áreas que apresentem correntes no fluido aquoso, o que poderá ocasionar um desvio da vertical da sonda, acusando uma profundidade maior que a real. Equipamentos mais sofisticados, como os ecobatímetros, (Fig. 33d), podem ser utilizados em qualquer profundidade. Estes equipamentos realizam um registro contínuo e preciso da profundidade. Fundamentalmente, estes equipamentos são instalados no casco de uma embarcação e emitem uma onda de freqüência preestabelecida e registra o intervalo de tempo desde o instante em que se produziu a onda original até o momento em que se capta o retorno do eco desta onda, vindo da superfície de fundo. Estes equipamentos estão ajustados para obterem a profundidade de acordo com a velocidade do som em relação ao tipo de água em que está sendo utilizado, seja água doce ou salgada.

Fig. 33d - Ecobatímetro 92

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1.4 Alinhamentos

A operação batimétrica deve ser feita com o apoio topográfico de terra, para que se possa conferir o posicionamento correto da embarcação, que deve ser mantida em velocidade constante. Para indicar as posições em que foram efetuadas as sondagens são utilizados alinhamentos, que são estaqueados nas margens ou, em áreas de pouca profundidade por estacas nos próprios pontos de sondagem ou bóias flutuantes (Fig. 34).

Vértice da Triangulação Pontos Auxiliares Pontos de Sondagem Alinhamento

Fig.34

Esquema para o levantamento hidrográfico por triangulação

A locação dos pontos de sondagem pode ser determinada pelo método da triangulação. Conhecendo-se as coordenadas das estações e os ângulos que os alinhamentos fazem entre si em relação ao ponto de sondagem, podemos determinar as coordenadas destes e locá-las, posteriormente, em cartas. Atualmente, em trabalhos que exijam uma maior precisão na localização dos pontos de sondagem, há uma tendência em complementar o apoio topográfico de terra com GPS ou DGPS e softwares especialmente desenvolvidos que permitem in loco registrar a cada momento a posição do barco e do ponto sondado.

Fig. 34a Distribuição da rede de pontos batimétricos 93

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1.5 Medida de Vazão

Vazão de um curso de água é a quantidade de água que passa numa determinada seção num certo período de tempo. A vazão de qualquer curso natural de água varia constantemente, desde as menores, em época de seca, até as maiores, em época de chuva. O que interessa ao Engenheiro é estabelecer a vazão média. Para isso, necessita-se de tomada de dados por um período mais prolongado, alguns meses ou alguns anos. Os métodos que pode ser utilizado são o do vertedor e o do molinete. 1.5.1 Método do Vertedor

Este processo baseia-se na necessidade de se fazer toda a água que corre num determinado canal, do qual se quer medir a vazão, passar por um vertedor que pode apresentar forma retangular, triangular ou circular (Fig.35).

Fig.35 Tipos de vertedores Por exemplo, vamos considerar um vertedor do tipo retangular que apresente uma abertura de 0,60 x 0,20m (Fig.36). A parte inferior da abertura deve ser cortada de forma chanfrada para diminuir o atrito da água. Esta barreira deve ser colocada de forma a interceptar a passagem da água, vedando-se as partes laterais e o fundo, ou seja, represando a água entre as margens e a barreira. Como conseqüência, o nível d’água irá se elevar até atingir a abertura e começará a fluir por ela. Espera-se a estabilização do nível e iniciam-se as medidas para o cálculo da vazão.

0,20cm

0,20cm

A'

L=0,60cm

a

A

Montante

Corte chanfrado Jusante

Corte AA'

Fig.36 Vertedor com abertura retangular Para determinarmos a altura “h” (altura da água sobre a aresta do vertedor) com precisão milimétrica devemos utilizar o nivelamento geométrico. Efetua-se uma leitura de 94

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mira com ela apoiada na aresta do vertedor (lv) e outra (le) com a mira apoiada numa estaca localizada no leito do rio a uma distância de 4L (distância recomendada pela hidráulica), ou seja, para nosso exemplo de L=0,60m, a distancia ficaria em 2,5m. Necessita-se medir a leitura “n”, que corresponde à altura da água sobre a estaca (Fig.37).

lv

le n

h 4L

Fig.37 Vista lateral de um canal com vertedor logo temos: h = lv − le + n 1.5.2 Exercício Elucidativo

Supomos uma barreira construída para o cálculo da vazão que tenha um vertedor de 0,60 x 0,20m e que as leituras efetuadas sobre a mira foram de: le=1,678m; lv=1,532m e a altura n = 0,412m. Calcular a altura “h” no vertedor. h = lv − le + n h = 1,532 − 1,678 + 0,412 h = 0,266m O cálculo da vazão, será através das equações empíricas propostas por Bernouille ou por Francis: ⎛ h⎞ ( Bernouille) Q = 1,78 × L × h 3 ( Francis) Q = 1,826 × L × h 3 ⎜1 − ⎟ ⎝ 5⎠ Aplicando-se Bernouille temos: Q = 1,78 × L × h 3 = 1,78 × 0,60 × 0,266 3 = 0,1465m 3 → 146,50 l

s

Aplicando-se Francis temos: ⎛ h⎞ ⎛ 0,266 ⎞ 3 Q = 1,826 × L × h 3 ⎜1 − ⎟ = 1,826 × 0,60 × 0,266 3 × ⎜1 − ⎟ = 0,14231m → 142,31 l s 5 ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ É necessário lembrar que, em ambas as equações, os valores de “L” e “h” devem ser em metros para que a vazão resulte na unidade de metros cúbicos por segundo. Para ambientes com vazão mais elevada, a solução para empregar o processo do vertedor é o de construir instalações permanente de alvenaria ou concreto, desviando-se o curso d’água temporariamente para ser construídos o vertedor e, posteriormente, fazer o curso d’água retornar ao antigo leito. Para a obtenção das leituras diárias “n” (altura da água sobre a estaca), podemos instalar uma régua graduada fixa sobre esta estaca, a qual é conhecida como linígrafo ou régua de leitura. 95

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Além deste método, existem os métodos dos flutuadores e dos molinetes, com os quais podemos determinar a vazão em diversos níveis de profundidade. Estes casos serão abordados pela hidrologia, já que os mesmos não fazem parte dos métodos topográficos. 1.5.3 Exercícios Aplicativos

1) Seja determinar a vazão de um canal cujo vertedor apresente uma largura L=0,75m e as leituras obtidas nas miras foram: le=2,679, lv=2,612, n=0,124. 2) Deseja-se conhecer a altura (h) no vertedor e a vazão que um canal apresenta, tendo sido obtidos os seguintes valores sobre as miras: le=1,815, lv=1,792, n=0,056, e L=1,24m. 3) Deseja-se conhecer a vazão de um vertedor de um canal que apresentou a seguintes medidas sobre a mira: le=3,470, lv=1,897, n=2,130 e L=15,50m 1.5.4 Método do Molinete

O molinete é um equipamento destinado a medir a velocidade da água em qualquer profundidade (Fig.37a). Este equipamento assemelha-se a um cata-vento, cujas hélices giram com maior ou menor velocidade, dependendo da velocidade do vento. O molinete hidráulico faz o mesmo e suas hélices giram mais rapidamente conforme a velocidade do fluxo de água que passa pelas mesmas. Existem molinetes que são utilizados para ambientes com baixa velocidade de fluxo de vazão e outros para ambientes de alto fluxo de vazão. Para efetuar-se a tomada das medidas, coloca-se o molinete em uma determinada seção do curso d’água, variando as posições, não só ao longo da seção mas também ao longo da profundidade. Antes da utilização do molinete para a tomada de dados, os mesmo deve ser aferido em um laboratório de hidráulica, para que se tenha uma perfeita relação entre o número de voltas dada pelas hélices do molinete com a velocidade da água. Para isso o molinete deve ser aplicado em velocidades de correntes conhecidas, contando-se, assim, o número de voltas que o mesmo dá em 60 segundos. Destes testes resultam tabelas ou gráficos que serão aplicados nas medições. TABELA N° de voltas em 60s Velocidade m/s 5 0,12 10 0,23 20 0,40 30 0,56 40 0,71 50 0,85 60 0,98

Tabela I – Exemplo de tabela elaborada, como padrão, para um molinete Para a determinação da velocidade dos valores obtidos no campo e que não se encontram na tabela, efetua-se a interpolação dos valores encontrados medidos no campo com os valores da tabela.

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Fig. 37a. Molinetes Para um melhor resultado do cálculo de vazão e do estabelecimento das distâncias entre os perfis verticais, recomenda-se o levantamento batimétrico do perfil transversal. Este processo permitirá um melhor conhecimento da morfologia de fundo para a determinação da localização de cada perfil vertical e de sua respectiva profundidade. O número de pontos recomendados sobre uma seção transversal está relacionado com a largura do rio e o número de pontos recomendados a serem obtidos sobre cada seção vertical de acordo com a profundidade do rio. Estes podem ser obtidos a partir das Tabela II e III). Largura do rio (m) Distância entre as seções verticais (m) 250 12,0 Tabela II – Distância recomendada entre cada seção vertical, de acordo com a largura do rio (Santos et al. 2001). Profundidade (m) 0,15 a 0,60 0,61 a 1,20 1,21 a 2,00 2,01 a 4,00 >4,01

Número de Pontos 1 2 3 4 6

Profundidade dos Pontos 0,6p 0,2p e 0,8p 0,2p; 0,6p e 0,8p 0,2p; 0,4p; 0,6p e 0,8p S; 0,2p; 0,4p; 0,6p; 0,8p e F 97

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Tabela III – Número e profundidade recomendada em cada seção vertical de acordo com a profundidade do rio (Santos et al. 2001). S=superfície do canal; F= fundo do canal; p=profundidade do canal. A partir das Tabelas II e III pode-se observar que a medida de vazão de uma seção transversal a um canal fluvial está baseada na medida da velocidade da corrente em um grande número de pontos. Estes pontos estão dispostos segundo linhas verticais com distâncias conhecidas a partir da margem do rio ou canal (Fig.37b)

Fig. 37b. Visualização de uma seção transversal a um curso d’água com a localização dos pontos de coleta de dados e seus respectivos valores. Com os dados obtidos conforme pode ser visualizado na Figura 37b, pode-se elaborar um mapa de curvas de igual velocidade (Curvas isovelozes) (Fig.37c), com a interpolação dos valores obtidos em campo.

Fig.37c. Visualização de uma seção transversal a um curso d’águas com curvas de igual velocidade (Curvas isovelozes)

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Para o cálculo de vazão de uma seção transversal a um curso d’águas, efetua-se o cálculo de vazão para cada seção vertical, conforme o apresentado a seguir. Levando-se em consideração a vertical 3 da figura 37c, calculamos a vazão parcial influenciada por esta vertical (Fig.37d):

Fig.37d. Perfil vertical da seção 3 com os dados de velocidade da corrente

⎛ 59 + 68 ⎞ ⎛ 68 + 40 ⎞ ⎛ 40 + 19 ⎞ S =⎜ ⎟ × 150 + ⎜ ⎟ × 150 + ⎜ ⎟ × 100 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ S = 9.525 + 8.100 + 2.950 S = 20.575

Cálculo da velocidade média (Vm) na vertical 3: Vm =

20.575 400

Vm = 51,4375cm / s

Vm = 0,514375m / s

A área de influência da vertical 3 deverá ser correlacionada a metade do caminho entre as verticais vizinhas, no caso a dois (2) e a quatro (4), a qual distância será para o exemplo de 1,00m. ⎛ 3,90 + 4,00 ⎞ ⎛ 4,00 + 4,15 ⎞ A=⎜ ⎟ × 1,00 + ⎜ ⎟ × 1,00 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A = 3,95 + 4,075 A = 8,025m 2

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Cálculo da Vazão Parcial para a vertical 3 e sua área de influência (V): V = Vm × A V = 0,514375m / s × 8,025m 2 V = 4,1278m 3 / s

1.5.5 Regime da Bacia Fluvial

Naturalmente, de nada adianta conhecer a vazão de um rio apenas em um dado momento. Com a variação dos períodos de chuvas e de estiagens, as vazões apresentarão grandes variações. Por este motivo é necessário conhecer estas variações durante um período de cheia e vazante ou mesmo durante vários períodos. Para isso deverá ser efetuada medida em diferentes épocas, sempre se relacionando a vazão encontrada com o nível da água que deverá estar referenciado a um nível estável. Com isso se estabelece uma correlação entre nível d’água e a vazão, através de gráficos ou tabelas. Assim, para medidas futuras basta ler o nível d’água diariamente para ter, através do gráfico ou da tabela, a vazão do dia. 1.5.6 Exercício Aplicativo

1) Calcule a vazão da seção transversal de um rio, conforme dados da figura 37b, cujas distâncias verticais entre os pontos amostrados são: Perfil 1=1,50/1,00; Perfil 2=1,50/1,50/0,50; Perfil 3=1,50/1,50/1,00; Perfil 4=1,50/1,50/1,20; Perfil 5=1,50/1,50/0,90; Perfil 6=1,50/1,00m. Distância entre os perfis verticais, a partir das margens, é de 2,00m.

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CAPÍTULO VIII 1. DESLOCAMENTO DE GRANDES ESTRUTURAS 1.1 Introdução

Os processos de medida de deslocamento de grandes estruturas tais como barragens, pontes, edificações, bases de reatores, etc. podem ser obtidos através de teodolitos e níveis. Os deslocamentos sofridos por grandes estruturas podem ser de dois tipos: horizontais e verticais. Vamos tratar isoladamente estes dois tipos de deslocamento. O processo que vamos descrever poderá ser utilizado em qualquer tido de estrutura que se queira determinar, durante ou após sua construção, o deslocamento que esteja sofrendo. Para facilitar a compreensão do método a ser aplicado na determinação do deslocamento de uma estrutura, vamos imaginar esta estrutura como a de uma barragem. As primeiras observações podem ser realizadas durante a construção da obra. Desta maneira, poderá o construtor determinar a deformação da obra desde o início de sua construção, o que é de vital importância. Durante alguns anos, devem ser observadas as deformações, no caso de uma barragem, por meio da elevação e abaixamento periódico do nível d'água represada, até se constatar que a barragem adquiriu sua definitiva elasticidade. O método a ser aplicado neste processo de deslocamento permite também determinar possíveis movimentos das rochas que servem de base à barragem 1.2 Método Trigonométrico para Determinação de Deslocamento Horizontal de Grandes Estruturas

A medida dos deslocamentos de uma barragem (vamos usar esta como exemplo) pelo método trigonométrico tem por fim a determinação do deslocamento no espaço de pontos localizados sobre a construção e que são materializados por marcas ou sinais especiais. Marcas fixas são colocadas sobre a barragem e sobre as rochas encaixantes da barragem, em pontos afastados da mesma, tais como os mostrados na figura 38 e em pontos frontais à barragem, de tal maneira que se possa avistar todas as marcas colocadas sobre a barragem e sobre as rochas encaixantes, a partir de pilares construídos para a sustentação dos aparelhos (Teodolitos), normalmente em número de quatro ou mais. A partir destes pilares, que serão as estações dos teodolitos, constrói-se uma triangulação topográfica (Fig39), de preferência amarrada a uma ou mais Referências de Nível (RN), com a medida de uma base a fim de se conhecer as distâncias e as posições relativas dos pilares e marcas.

Fig.38 - Miras ou pontos de visada 101

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N

M

I

II RN

IV

RN

III

Fig.39 - Vista em planta da triangulação efetuada entre as estações e os pontos da barragem A fim de se precaver da hipótese de um deslocamento dos pilares de observação, é aconselhável estabelecer, fora da zona de possível movimentação do terreno, outros pilares e marcas de referência, sempre em relação, se possível, de um RN. Tendo em vista a precisão exigida na medida dos ângulos, pois se trata da determinação de deslocamento da ordem de milímetros, deve-se tomar certas precauções: 1) As observações devem ser efetuadas à noite, para que as perturbações atmosféricas sejam diminuídas; 2) Perfeita centragem do aparelho sobre os pilares; 3) Na medida dos ângulos, deve-se empregar o método da reiteração com todos os requisitos para se eliminar os erros residuais dos instrumentos e os extra-instrumentais; 4) O erro residual da verticalidade do eixo principal deve ser determinado e corrigido , utilizando-se o nível de cavaleiro; 5) Deve-se cuidar da refração ocasionada pelas massas rochosas das vizinhanças da barragem. Consideremos uma marca "M" da barragem, dois pilares "I" e "II" engastados no terreno e de marcas "RN" de referência, também engastadas no terreno mas distanciadas da barragem conforme figura 40.

M M' dα

dβ

α RN

II I

β RN

Fig.40 - Triangulação em relação a uma marca da barragem Supondo-se que o terreno onde se encontram os pilares (I e II) e as referências de nível (RN) não sofram qualquer deslocamento ou deformação por ação da pressão exercida pela 102

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água da barragem ou mesmo pela construção desta, o problema consiste em se determinar o deslocamento horizontal MM' da barragem em relação aos pilares considerados fixos. Para isso, basta montar um teodolito de precisão em cada um dos pilares e medir os ângulos que, em duas épocas diferentes entre as quais se deseja medir o deslocamento, a direção entre o pilar e o RN faz com a direção entre o pilar e a marca da barragem. A diferença entre estas duas medidas, feitas em épocas diferentes, permite determinar a nova posição M' da marca, relativa à antiga posição M. 1.3 Cálculo do Método da Variação das Coordenadas

Este método determina o deslocamento de pontos por processo analítico em função da variação de dα , o qual representa a diferença angular entre duas medidas efetuadas em épocas diferentes. Considerando-se a figura 41, temos: N

(NM-NI)

EM

M'

α

EI I

M

lα dα

NM

(EM-EI) NI E

Fig.41 Partindo-se da fórmula do sistema cartesiano, temos: E − EI tgα = M NM − NI logo, podemos dizer que:

α = arctg

EM − EI NM − NI

derivando-se a equação, temos: E − EI dα = darctg M NM − NI

(1)

sabendo-se que a derivada do arco tangente de um ângulo é: dV darctgV = 1+V 2 e considerando-se para o caso que "V" é igual a: E − EI V= M NM − NI 103

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derivando a equação (1) teremos: ( N M − N I )( dE M − dE I ) − ( E M − E I )( dN M − dN I ) (N M − N I )2 dα = (EM − E I ) 2 1+ (N M − N I )2 pela figura 41, podemos deduzir que: ( E M − E I ) = lα . sen α e ( N M − N I ) = lα . cos α substituindo, temos:

lα . cos α ( dE M − dE I ) − lα . sen α ( dN M − dN I ) (N M − N I )2 dα = (lα . sen α ) 2 1+ (N M − N I )2

onde:

lα . cos α ( dE M − dE I ) − lα . sen α ( dN M − dN I ) (N M − N I )2 dα = (lα . cos α ) 2 + (lα . sen α ) 2 (N M − N I )2

simplificando-se os denominadores e colocando-se lα em evidência, temos: dα =

lα . cos α (dE M − dE I ) − lα . sen α (dN M − dN I ) lα (cos 2 α + sen 2 α ) 2

simplificando-se, temos: cos α ( dE M − dE I ) − sen α ( dN M − dN I ) dα = lα a equação acima nos fornece dα em radianos; para transformá-la em segundos, devemos multiplicar a equação por 206265. Logo: cos α (dE M − dE I ) − sen α (dN M − dN I ) dα " = × 206265 (2) lα Se efetuarmos o mesmo cálculo para a estação II da figura 40 teremos: cos β (dE M − dE I ) − sen β (dN M − dN I ) × 206265 (3) dβ " = lβ Da equação (2) e (3) dE M e dN M representam a variação das coordenadas da barragem dE I e dN I representam a variação das coordenadas da estação

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Se considerarmos que as estações, a partir das quais são efetuadas as medidas angulares, não sofrem perturbações ou deslocamento, pode-se escrever as equações dα e dβ da seguinte forma: cos α dE M − sen α dN M × 206265 dα " = lα cos β dE M − sen β dN M × 206265 dβ " = lβ Isolando-se uma das incógnitas nas duas equações, temos: dα "×lα = cos α dE M − sen α dN M 206265 logo: dα ".lα + sen α dN M dE M = 206265 (4) cos α e dβ "×l β = cos β dE M − sen β dN M 206265 logo: dβ ".l β + sen β dN M dE M = 206265 (5) cos β Igualando-se as equações (4) e (5) teremos: dβ " l β dα ".lα + sen α dN M + sen β dN M 206265 206265 = cos β cos α multiplicando-se os denominadores pelos numeradores temos: dβ " l β dα ".lα ( × cos β ) + dN M sen α . cos β = ( × cos α ) + dN M . sen β . cos α 206265 206265 isolando-se dN M temos: dβ ".l β dα ".lα dN M . sen α . cos β − dN M . sen β . cos α = ( × cos α ) − ( × cos β ) 206265 206265 ou dβ ".l β dα ".lα dN M (. sen α . cos β − sen β . cos α ) = ( × cos α ) − ( × cos β ) 206265 206265 onde dβ ".l β dα ".lα ( × cos α ) − ( × cos β ) 206265 206265 dN M = sen α cos β − sen β cos α ou dβ ".l β dα ".lα ( × cos α ) − ( × cos β ) 206265 206265 dN M = sen(α − β ) 105

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Obtendo-se o valor de dN M , podemos calcular o valor de dE M a partir das equações (4) e (5). Aconselha-se o emprego de quatro grupos de quatro séries de medidas por época em condições diferentes de temperatura e de pressão. 1.4 Exercício Aplicativo Deseja-se calcular o deslocamento sofrido por uma barragem da qual se obteve os dados da tabela abaixo em duas épocas diferentes. Desenhar o deslocamento em perfil e plana na escala horizontal de 1:1.000 e na vertical de 1:100.

PRIMEIRA TOMADA DE DADOS PARA O CÁLCULO DE DESLOCAMENTO DA BARRAGEM Est. PV Azimute Distância N E I 5,000 115,000 1 304°12’54,8” 90,690 55,995 40,006 2 336°40’50,3” 63,159 63,000 89,998 3 21°57’39,2” 66,850 66,999 140,000 4 50°52’38,6” 96,675 66,000 190,000 5 65°29’13,3” 137,383 62,000 240,000 6 73°02’28,8” 172,407 55,288 279,910 7 336°40’50,3” 63,159 63,000 89,998 8 21°57’39,2” 66,850 66,999 140,000 9 50°52’38,6” 96,675 66,000 190,000 10 65°29’13,3” 137,383 62,000 240,000 11 21°57’39,2” 66,850 66,999 140,000 12 50°52’38,6” 96,675 66,000 190,000 II 84°24’02,4” 102,489 15,000 217,000 II 1 283°02’26,8” 181,489 55,995 40,006 2 290°42’14,1” 135,770 63,000 89,998 3 304°01’53,8” 92,913 66,999 140,000 4 332°06’09,8” 57,706 66,000 190,000 5 26°04’31,3” 52,326 62,000 240,000 6 57°21’51,2” 74,705 55,288 279,910 7 290°42’14,1” 135,770 63,000 89,998 8 304°01’43,8” 92,913 66,999 140,000 9 332°06’09,8” 57,706 66,000 190,000 10 26°04’31,3” 52,326 62,000 240,000 11 304°01’53,8” 92,913 66,999 140,000 12 332°06’09,8” 57,706 66,000 190,000

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SEGUNDA TOMADA DE DADOS PARA O CÁLCULO DE DESLOCAMENTO DA BARRAGEM PV Azimute I dα Azimute II dβ dN dE 1 304°12’49,8” 283°02’24,3” 2 336°40’52,8” 290°42’08,6” 3 21°57’55,3” 304°01’39,7” 4 50°53’09,1” 332°05’52,5” 5 65°29’24,0” 26°04’55,9” 6 73°02’31,5” 57°21’55,2” 7 336°40’55,5” 290°42’00,1” 8 21°57’58,9” 304°01’10,8” 9 50°53’04,4” 332°05’30,2” 10 65°29’22,1” 26°04’45,2” 11 21°57’47,3” 304°01’29,2” 12 50°53’10,0” 332°05’38,0” 1.5 Método Geométrico para Determinação de Deslocamento Vertical de Grandes Estruturas

Este método é um processo de alta precisão, pois não exige medida de ângulos. São estabelecidas marcas sobre a estrutura que se quer determinar o deslocamento vertical. Estas marcas deverão estar engastadas e fixas sobre a estrutura e deverão estar relacionadas à Referências de Nível (RN) localizadas fora da área de influências de qualquer movimentação causada pela estrutura. Sobre estas marcas é efetuado um nivelamento geométrico, em uma determinada época, e correlacionado com os demais nivelamentos geométricos efetuadas em épocas diferentes. A diferença de nível entre a primeira observação e cada uma das demais nos dará o deslocamento vertical sofrido pela estrutura. Este método de determinação de deslocamento vertical pode ser utilizado para barragens, pontes, estradas, vias suspensas, edificações de grande estrutura, obras arquitetônicas sem colunas de sustentação central, etc. Os equipamentos aqui utilizados permitem a leitura direta sobre a mira do centímetro e, através de um micrômetro no aparelho, permite a leitura direta do milímetro e do décimo do milímetro e a interpolação do centésimo do milímetro. Um dos aparelhos que permite esta precisão é o Wild N3 (Figura 42).

Fig.42 - Vista em corte do Nível N3 da Wild 107

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Para se efetuar o nivelamento das marcas ou pontos engastados sobre a estrutura, com a precisão exigida, são empregadas miras de metal formado por uma liga de cromo e níquel, denominada INVAR (Fig.43). Somente estas miras permitem alcançar a precisão exigida para o método. Estão graduadas de 10 em 10 milímetros e apresentam marcação dupla defasada uma da outra, o que permite efetuar a dupla leitura, uma em cada escala, e comprovar o resultado. Estas miras podem ter até 3 metros de comprimento e são sustentadas por um tripé com nivelamento. Outras, para medidas de pequena amplitude, apresentam comprimento de 10 centímetros e podem ser acopladas a marcas ou pontos sobre a estrutura que se quer determinar o deslocamento.

Fig.43 - Mira Invar para Nivelamento de Precisão A leitura do nivelamento é feita diretamente sobre a mira até a casa dos centímetros; posteriormente, através de um dispositivo do nível, se faz a coincidência do fio nivelador com um valor inteiro da mira. O deslocamento efetuado para ocasionar esta coincidência será lido através de um micrômetro existente no nível, conforme pode ser observado na figura 44. Também é observada neste mesmo visor a bolha bipartida, que deverá estar nivelada antes de cada leitura.

Fig.44 - Exemplo de leitura sobre o nível Wild N3 (Leitura=148,653cm)

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CAPITULO IX 1. LOCAÇÃO DE OBRAS 1.1 Introdução

Os levantamentos para locação de obras podem ser de maior ou menor complexidade, dependendo da forma do terreno, da importância da estrutura a ser locada e da amplitude da obra. Entretanto, quatro tipos de trabalhos topográficos se fazem necessários para a locação de obras: 1) Levantamento preliminar, o qual consiste em um levantamento topográfico da superfície que incluirá a estrutura a ser construída; 2) Levantamento para o projeto o qual consiste na obtenção de dados de detalhamento para a confecção do projeto da obra; 3) Levantamento de controle, o qual consiste em obtenção e confirmação de dados que permitam a locação da obra com grande precisão; 4) Locação da obra, a qual consiste na determinação dos pontos, em campo, que permitirão o início da construção da obra. 1.2 Locação de Túneis

Nos levantamentos topográficos para a locação de túneis, os trabalhos a serem efetuados consistem na determinação e materialização da direção do eixo nas duas frentes de serviço, bem como a determinação do desnível entre os dois extremos. Dois sistemas podem ser utilizados para a locação dos eixos de túneis: por poligonação ou por triangulação. Toda a vez que se trabalha com estes métodos, devemos utilizar, como coordenadas dos pontos ou estações, as coordenadas do sistema de projeção métrica (UTM). 1.2.1 Locação de Túneis por Poligonal

O sistema de locação de um eixo de túnel por poligonal pode ser aplicado em áreas de pouco relevo. Este processo consiste em se efetuar um reconhecimento da área e a locação inicial das estações correspondentes aos dois extremos do túnel, que deverão estar amarradas a Referências de Nível (RN) e suas coordenadas estabelecidas (Fig.45) Poligonal de Superfície RN RN Eixo do Túnel RN

Fig.45 Locação do eixo de um túnel por poligonal Conhecidas as coordenadas dos dois extremos do eixo a ser locado, determina-se o Azimute do alinhamento e a partir deste traça-se a poligonal em campo e vai-se estaqueando o alinhamento em intervalos regulares preestabelecidos. O comprimento dos intervalos de estaqueamento dependerá do comprimento do eixo do túnel e da morfologia do terreno. Seja locar o eixo AB de um túnel, conforme a Figura 46. 109

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B'

L

RN α A

1 1'

β

β

180º

2'

5

4

3

2

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3'

d

d'

d"

l 5'

4'

B

Fig.46.Locação do eixo de um túnel por poligonal A partir do azimute do alinhamento inicia-se o estaqueamento medindo-se 180º a partir do ponto anterior, obtendo-se assim o prolongamento do alinhamento sobre o qual mede-se à distância “l” pré-determinada, obtendo-se a posição do ponto posterior. Prosseguese desta maneira até atingir um ponto B’, próximo do ponto “B”, correspondente ao outro extremo do eixo. Pode ocorrer que o ponto B’, demarcado em campo, se encontre deslocado do ponto B correspondente ao extremo oposto do alinhamento do eixo que se quer locar. Para corrigirmos o deslocamento do alinhamento, mede-se à distância BB’, a qual denominaremos de “d” e o ângulo “β” . Conhecido o comprimento “L”, correspondente ao alinhamento estaqueado em campo, e a distância “l”, entre cada estaca, poderemos determinar as distâncias d’, d”, d”’ e assim sucessivamente através da relação de igualdade de triângulos. d' =

d × (L − l) L

d"=

d × ( L − 2l ) L

d '" =

d × ( L − 3l ) .......... L

Para a locação do eixo do túnel, instala-se o teodolito sobre as estacas do alinhamento AB’, orienta-se o limbo em relação ao mesmo e mede-se o ângulo β. Conhecidas às distâncias d’, d”, d’” e assim sucessivamente, mede-se as mesmas sobre o terreno e os novos pontos locados serão os correspondentes ao eixo do túnel, sobre a superfície do terreno. Caso seja necessária a implantação de chaminés, poderão ser abertas sobre estes novos pontos locados e que correspondem ao eixo do túnel, conforme apresentado na figura 47. Poligonal de Superfície RN RN

Chaminé RN

A

Eixo do Túnel

B

Fig.47 Eixo do túnel com locação das chaminés Após a locação das estacas na superfície do terreno, correspondentes ao eixo do túnel, deverá ser efetuado o nivelamento geométrico de cada uma das mesmas, tomando-se como ponto de partida a altitude de um dos RN utilizado na poligonação. Conhecidas às altitudes dos pontos extremos do eixo, pontos A e B da figura 47, pode-se determinar a diferença de nível (DN) entre os extremos do eixo. Com a diferença de nível (DN) e a distância horizontal (AB) entre os extremos, as quais podem ser determinadas por suas coordenadas, pode-se determinar a declividade do túnel. 110

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Conhecida a declividade do túnel e as altitudes das estacas demarcadas sobre o terreno, determina-se o comprimento que cada chaminé a ser aberta deverá ter para alcançar o eixo do túnel. 1.2.2 Locação de Túneis por Triangulação

No caso de abertura de túneis em regiões acidentadas, o método de locação mais aconselhado é o da triangulação (Fig. 48). Após o reconhecimento da área e a demarcação dos pontos extremos do eixo a ser locado, determina-se à localização das estações que servirão de apoio à triangulação. Sempre que possível, a rede de triangulação a ser levantada deverá estar amarrada a RN conhecidas. Caso contrario, necessita-se medir uma base inicial e uma base de cheque final para que se possa determinar o azimute do eixo e seu respectivo comprimento, com o auxílio dos ângulos internos da triangulação. RN

4

N

3

se Ba

A

5

Eix o do

α

Tún el

1

B 6

2 heque Base C

7

RN

8

RN

Fig.48 Locação de eixo de túnel por triangulação Com os dados da triangulação, calcula-se o comprimento dos lados da mesma, o azimute dos alinhamentos, as coordenadas das estações e finalmente às coordenadas dos extremos do eixo e sua respectiva orientação. Com as coordenadas dos extremos do eixo conhecidas, determina-se o comprimento do mesmo. As coordenadas dos vértices do eixo permitirão, igualmente, o cálculo do azimute direto e inverso, os quais possibilitarão que as escavações possam ser realizadas a partir das duas extremidades. Caso haja possibilidade, o nivelamento do eixo deverá ser efetuado pelo método geométrico. Se este não for possível, utiliza-se o nivelamento trigonométrico pelo método das visadas recíprocas e simultâneas entre as estações da triangulação. Na locação de um eixo de túnel, deve-se ter cuidado para que o erro de nivelamento e alinhamento sejam os menores possíveis e sempre abaixo do erro máximo permitido pelo projeto. Exemplos da precisão alcançada em alguns trabalhos de locação de eixo de túneis de grande envergadura: Túnel Simplon (19.803m) São Gothardo (14.900m)

Erro de alinhamento 0,2032m 0,3299m

Erro de nivelamento 81,28mm 50,04mm 111

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1.3 Locação de Eixos de Pontes

A locação de eixos de pontes é efetuada através do processo da triangulação que pode ser controlado a partir de uma ou duas bases. Quando o vão da ponte for de pequena amplitude, de 200 a 300 metros, a locação do eixo pode ser efetuada medindo-se uma base, em uma das margens do rio, com erro relativo menor que 1:20.000. (Fig.49) Ri o

B β

Base

A

α γ

C

Fig.49 Locação do eixo de uma ponte com base próxima a margem Quando a base não pode ser medida na margem do rio, devemos medir a mesma em local mais afastado e aumentar a triangulação e a precisão das medidas (Fig.50). Rio B Eixo da Ponte β

E σ D

ω

φ

A

η

α

ϕ θ

δ

γ

ε C

Fig.50 Locação do eixo de ponte com base afastada Quando as condições do terreno permitirem a medida de duas bases, uma em cada margem, podemos utilizar o esquema apresentado na figura 51.

Ri o

B se d eC h eq

A

Ba

te Pon a d o E ix

ue

D

C

Fig.51 Locação de eixo de ponte com duas bases 112

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Às vezes é recomendada a utilização de uma triangulação com ponto de apoio interno, como mostrado na figura 52. Neste caso, o ponto interno está localizado sobre uma ilha.

o Ri

D G da Eixo

A

e Pont

C

de Base

E F

ue Cheq

B Fig.52 Locação de eixo de ponte com ponto central de apoio Nos levantamentos topográficos para a locação de eixos de pontes, como no caso já visto dos túneis, a triangulação deve sempre estar amarrada a RN. Através do comprimento da base medida em campo e dos ângulos internos, a triangulação possibilitará determinar as coordenadas de cada estação e por fim as coordenadas dos extremos da ponte, permitindo assim calcular o vão. Na triangulação ao longo de um rio, para a locação de uma ponte, é importante que à distância ao longo da linha central da estrutura, eixo da ponte, seja determinada com precisão e que seja possível se efetuar uma verificação. A precisão exigida é geralmente de 1:10.000 para as pontes com vãos compridos. A implantação dos pilares de uma ponte pode ser efetuado como mostra a figura 53. Seja A e B os extremos do eixo de uma ponte. Os pontos P1, P2, P3 .....etc., os pilares que serão locados a partir dos vértices da triangulação, pelo método das interseções.

o Ri

E

D de Base

B

A

P2 P1

P3

P5

e Bas

ue Cheq

P4

F

C 113

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Fig.53 Locação dos pilares de uma ponte Cada ponto pode ser determinado a partir de ambas as margens ou utilizando as interseções melhor conformadas, existindo sempre uma condição rígida a qual é de que os pontos determinados se encontrem todos sobre o mesmo alinhamento, no eixo da ponte. As primeiras observações destinam-se à implantação dos pilares; entretanto, devemos ter certo cuidado na precisão estabelecida pelo projeto. Todavia, para a implantação dos apoios dos arcos ou das vigas das pontes sobre os pilares já construídos, convém proceder a marcação rigorosa dos pontos. Na implantação dos apoios da ponte (arcos ou vigas) é necessário, além de os definir planimetricamente, defini-los altimetricamente, o que se efetua por nivelamento geométrico. Chamamos a atenção para a possibilidade da triangulação se localizar sobre a água, o que acarretará na construção de estaqueamento especial para as estações com lugar separado para o observador. 1.4 Locação de Prédios e outras Obras de Engenharia

Locação de uma obra é a operação inversa ao levantamento. O levantamento consiste na obtenção, em campo, das medidas de ângulos e distâncias que permitirão, em escritório, calcular e desenhar a superfície levantada. A locação consiste em tomarmos os dados calculados em escritório, de um determinado projeto de obra, e implantá-lo no terreno. O sucesso da obra dependerá de um correto levantamento, de um projeto bem elaborado e de uma boa locação. Existem diferentes métodos de locação, os quais variam em função do tipo de edificação. É evidente que há diferenças em se locar um “shopping center” de 450x300m2 de área, de um edifício de vários pavimentos de 30x38m2 de área ou uma habitação térrea de 8x12m2 de área. No projeto de locação a obra estará referenciada a um ponto conhecido e previamente definido. A partir deste ponto, passa-se a locar no solo a projeção da obra desenhada na planta. É comum ter-se como referência, para a locação da obra, os seguintes pontos: • o alinhamento da rua; • um poste localizado no alinhamento do passeio; • um ponto deixado pelo topógrafo quando da realização do controle da terraplenagem; ou • uma lateral do terreno quando este estiver corretamente localizado. Para ilustrar estes referenciais, imagina-se a necessidade de locar uma casa de área 8x12m2, em um terreno de 15x40m2 de área. O projeto de locação deverá indicar o referencial fixo adotado para a implantação da obra. Este referencial poderá ser o alinhamento do terreno, se este esteja corretamente definido, o alinhamento do passeio, ou um poste como exemplificado na figura 53a.

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Terreno

Obra x y

Poste

Alinhamento da rua

Fig 53a Ilustração do projeto de implantação utilizando como ponto de referencia um poste 1.4.1 Locação de Estacas

Para que os diversos detalhes de um projeto, no caso a construção de um edifício ou de uma casa, sejam locados sobre o terreno, é necessária a locação inicial dos elementos da fundação, tais como as estacas, os tubulões, as sapatas isoladas ou corridas, entre outros. Para efetuarmos isto, devemos, inicialmente, efetuar o estaqueamento da obra; somente após, iremos locar as paredes da mesma. Os cuidados com a locação dos elementos de fundação de maneira precisa e correta são fundamentais para a qualidade final da obra, pois a execução de todo o restante da obra estará dependendo deste posicionamento, já que este é a referência para a execução da estrutura que passa a ser referência para as alvenarias e estas, por sua vez são referências para os revestimentos. O tempo empreendido para a correta locação dos eixos da obra favorece uma economia geral de tempo e custo. A demarcação dos pontos que irão definir a obra no terreno é feita a partir do referencial previamente definido, considerando-se três coordenadas, sendo duas planimétricas e uma altimétrica. Deve-se levar em consideração em uma obra que utilizará o bate-estacas, que o mesmo, por ser uma máquina pesada e que é transportada arrastando-se no terreno, irá destruir qualquer locação prévia das paredes. A demarcação poderá ser realizada com o auxílio de um teodolito ou nível, ou mesmo com o auxílio de um nível de mangueira, régua, fio de prumo e trena. A definição por uma ou outra técnica dependerá do porte da obra e das condições topográficas do terreno. O processo topográfico é utilizado principalmente em obras de grande envergadura ou em obras executadas com estruturas pré-fabricadas. Nestes casos qualquer erro poderá comprometer seriamente a obra. Nos casos de obras de pequeno porte é comum o emprego dos procedimentos manuais. Em qualquer um dos casos a materialização da demarcação da obra exigirá um elemento auxiliar, o qual poderá ser constituído por simples piquete, por cavaletes ou pela tabeira (também denominada tapume, tábua corrida ou gabarito) (Figura 53b).

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(A) Pregos Tábua 2,5x15cm

1,8 0

m

Fio de náilon

( B) 0

Prumo

1,8 0

Cavaletes

Estacas ou pontales 7,5x7,5cm m

Fig. 53b Ilustração dos elementos auxiliares para a locação de obras. (A) Gabarito; (B) Cavaletes O gabarito é montado com o auxílio de estacas de madeira de 7,5x7,5cm, espaçadas de 1,50 a 1,80m, nas quais são fixadas as tábuas de 15 ou 20cm de largura, as quais servirão de suporte para as linhas que definirão os elementos demarcados. O gabarito, devidamente nivelado, é colocado ao redor da obra a ser locada, a aproximadamente 1,20 ou 1,50 do local da construção e com uma altura superior ao nível do baldrame, variando de 0,40 a 1,50m acima do nível do solo. O gabarito pode ser utilizado em terrenos acidentados ou com desnível acentuado. Nestes casos, este deverá ser construído em patamares, conforme figura 53c.

Tábuas em nível

o linad c n i eno Terr

Fig. 53c Ilustração de gabarito em terreno inclinado. Para a locação das estacas, que permitirão a locação dos detalhes da obra, convém elaborar uma planta destes detalhes como o apresentado na figura 54.

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Fig.54 Planta de detalhe para a locação das estacas (modificada de Borges,1992) Deve-se estabelecer um ponto de origem para os eixos de coordenadas ortogonais e a partir deste ponto, as distâncias marcadas serão acumulativas. Nos projetos que exigem estrutura de concreto, caberá ao escritório de cálculo o fornecimento da planta de locação das estacas. No local, será construída uma armação de madeira em torno de toda a área da construção, formando assim um retângulo. Esta armação deverá estar dentro do esquadro e nivelada. A armação de madeira que circundará a área a ser construída deverá estar afastada desta de 1,50m, permitindo assim a passagem dos obreiros e a construção de futuros andaimes. Para a locação da armação de madeira em volta da obra, serão cravadas no solo estacas de madeira de 3 x 3 polegadas (Fig.55). 117

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Terreno

Estacas

Tábua corrida Tábua corrida

1,50

Gabarito

8,50

Tábua corrida

3,20

Área de contrução

13,00

13,00

1,50

2,30

1,50

1,50

8,50

4,50

x

y

Gabarito

Tábua corrida

Poste (RN)

2,00

Frete do terreno Meio fio

Fig.55 Planta com a localização da armação de madeira para a locação da obra De posse das plantas com os eixos, loca-se a posição do gabarito, o qual deverá contornar a área em construção, observando-se uma folga entre as paredes e o sarrafo de 1,50m, para que as estacas possam ser utilizadas como futuras passarelas dos andaimes (Figura 55). Posteriormente, loca-se aleatoriamente dois eixos no sentido longitudinal e dois no sentido transversal, amarrando-os às divisas do terreno e observando-se a perfeita ortogonalidade dos mesmos (Figura 55a). Após tal locação, estica-se uma linha e verifica-se a medida das duas diagonais do retângulo. Se estas diagonais apresentarem o mesmo valor significa que a demarcação está corretamente feita. Caso contrario deverá ser corrigido eventuais erros. Somente após a total correção é que deve-se continuar a locação da obra.

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Divisa do Terreno

Comprimento aleatório (X) Tábua corrida 3

Comprimento aleatório (X)

4

4 on ag Di al al

2

1 Di ag on

2

2 Posição 2 teodolito obter linha 2-2 perpendicular a linha 1-1

90º

Área de contrução 3

1

Gabarito

Tábua corrida

Divisa do Terreno

1

Comprimento aleatório Frete do terreno 90º Poste (RN)

Meio fio Posição 1 teodolito: obter esquadro com o meio fio

Fig. 55a Ilustração da locação aleatória dos eixos As estacas deverão ser cravadas no solo cerca de 0,60m para sua melhor fixação e espaçadas de 2,50m, para que os vãos das tábuas das passarelas dos futuros andaimes tenham resistência (Fig.56)

0,60

Tábua Horizontal

2,50m 2,50m Distâncias entre estacas

Fig.56 Estaqueamento Sobre o sarrafo serão medidas e demarcadas as diversas distâncias apresentadas na planta. Estes pontos serão fixados por intermédio de pregos em ambos os lados do retângulo. Isto acarreta que uma estaca necessita de quatro pontos demarcados sobre o sarrafo de madeira para que o mesmo seja localizado sobre o terreno (Fig.57) 119

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Prego 1

Prego 2

Estaca X

Prego 2

Prego 1

Fig.57 Locação de estaca através do retângulo de madeira formado em torno da obra A estaca X da figura 57 tem seu local determinado pela interseção das duas linhas esticadas, prego 1 ao prego 1 e prego 2 ao prego 2. Os pregos correspondentes e opostos recebem a mesma denominação para facilitar a identificação na hora de se estabelecer um ponto no terreno. Caso exista diversos pontos a serem locados no mesmo alinhamento, o mesmo par de pregos servirá para todos eles. Ao esticar-se as linhas, o ponto de interseção estará muito acima da superfície do solo; por intermédio de um fio de prumo levamos a vertical até a superfície do solo e nele cravaremos um piquete, este deverá estar pintado de uma cor bem marcante para facilitar sua identificação posterior. Deverá, também, estar totalmente cravado no solo, para que o bate-estacas não o arranque ao passar sobre ele. Deve-se ainda, transferir a cota do RN para o gabarito. Com esta cota do gabarito pode-se marcar todas as cotas de arrasamento das estacas (Figura 57a). Calçada

Recuo

Prego inicial Cota do Gabarito

Prego que marca o ponto X

Cota do respaldo do alicerce

RN Terreno natural

Fig. 57a - Ilustração da transferência da cota do RN para a cota do gabarito. Após a conclusão das locações dos eixos, caberá a colocação dos pregos laterais que irão marcar a largura necessária para a abertura das valas, das vigas e das paredes. A figura 57b mostra um conjunto de pregos que 2 a 2 marcam com 12cm a largura da parede (só tijolo sem revestimento), com 20cm a largura da viga e com 40cm a largura da vala. É importante também o controle da profundidade da vala, o qual é controlado através de uma galga, nivelada com a cota do gabarito.

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Prego maior marca eixo da estaca Cota do gabarito

Gabarito

20cm 40cm

Fig. 57b – Ilustração da colocação dos pregos sobre o gabarito 1.4.2 Locação de Paredes A locação das paredes de uma obra deve ser feita com muito cuidado para que não haja uma desarmonia entre o projeto e a execução. Ao marcar-se a posição das paredes, deve-se fazê-la pelo eixo, para que se tenha uma distribuição racional das diferenças de espessura das paredes, na planta e na realidade (Fig.58).

0,27m

Largura do Terreno = 10,00m 0,15m

1,40 Recuo Lateral

2,41

1,535

2,660

3,10

2,40 Recuo Lateral

3,310

2,535

Fig.58. Locação dos eixos das paredes com distribuição equitativa das obras A locação das paredes da obra deve ser efetuada pelo processo da tábua corrida onde é demarcada sobre a mesma, com pinos ou pregos, a posição do eixo de cada uma delas como pode ser visto na figura 59.

1,50

2,50

Obra

Pregos

Tábua contornando a obra

Estacas

Fig.59 Locação de um prédio 121

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3

4

Seja qual for o método de locação empregado, é de extrema importância que ao final de cada etapa de locação, seja devidamente conferido os eixos demarcados, procurando-se evitar erros nesta fase. A conferencia pode ser feita através de equipamentos de topografia ou mesmo de maneira simples, através da verificação do esquadro das linhas que originam cada ponta da locação. Para isso pode-se utilizar o princípio do triângulo retângulo (3,4,5) como ilustra a figura 59a.

5

Fig. 5a – Ilustração do uso do triângulo retângulo para a conferência do esquadro Entre linhas ortogonais de uma demarcação 1.5 Exercício Aplicativo

1) Na elaboração de um projeto de locação de um túnel que apresenta um eixo de 4.101,430m entre o ponto inicial A (NA=3.276.478,553m e EA=674.318,122m) e o ponto final B (NB=3.279.874,318m e EB=677.618,233m) e cujas cotas do ponto inicial A=124,327m e do ponto final B=177,413m. Pede-se para calcular a declividade do eixo do túnel e seu Azimute de Quadrícula. 2) Ao efetuar-se a abertura de um túnel cujas coordenadas do eixo do mesmo são: Na=7.316.475,380; Ea=377.402,210; Nb=7.318.712,290; Eb=383.612,490 e cujas cotas dos extremos são: Cota de A=784,755m e a Cota de B=741,312m, deparou-se com a necessidade de abertura de uma chaminé (M) localizada a uma distância de 3.200,00m da entrada (A) do túnel. A cota do ponto M onde se localiza a chaminé é de 839,473m. Necessita-se saber qual será a profundidade que a chaminé deverá ser perfurada para atingir o eixo do túnel? 3) O projeto de locação do eixo de uma ponte está caracterizado pelas coordenadas de seu ponto inicial e final respectivamente (Na=5.379.317,103; Ea=575.307,003; Nb=5.379.622,037; Eb=575.003,705). Baseado no comprimento do eixo da ponte, está previsto a locação de 4 pilastras de sustentação localizadas, a primeira a 65,043m do ponto inicial (A) e as outras três (3) a 100m uma da outra. Pede-se para calcular as respectivas coordenadas UTM das pilastras a serrem locadas.

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CAPÍTULO X 1. TERRAPLENAGEM 1.1 Introdução

Neste capítulo, trataremos da terraplenagem para construção de plataformas horizontais ou inclinadas. Para que se possa efetuar a terraplenagem de uma área e obter-se os resultados desejados, devemos conhecer o modelo original do terreno ou, em outras palavras, sua forma plano-altimétrica, antes de iniciarmos os trabalhos. O método mais apropriado para o levantamento das curvas de nível do terrenos é o do nivelamento por quadriculação. A área a ser terraplenada deve ser locada e em seguida quadriculada. O lado dos quadrados tem seu comprimento estabelecido em função da extensão da área e da sinuosidade do terreno, considerando-se que as cotas a serem obtidas serão as dos vértices dos quadrados. Os estaqueamentos para a quadriculação deverão ser o mais próximo possível de uma reta para que os resultados a serem obtidos sejam o mais próximo da realidade. Em geral as quadrículas podem apresentar lados com comprimento de 10, 20, 30 ou 50 metros. Isto dependerá do relevo do terreno. Para terrenos localizados em áreas urbanas pode-se utilizar quadrados com lados de 5 ou 4 metros. Estabelecido o comprimento a ser adotado, este será padrão para toda a quadriculação. Em terraplenagem, quatro situações podem ocorrer: 1) Estabelecimento de um plano horizontal final sem a imposição de uma cota final pré estabelecida; 2) Estabelecimento de um plano horizontal final com a imposição de uma cota pré estabelecida; 3) Estabelecimento de um plano inclinado sem a imposição da cota que este plano deverá apresentar; 4) Estabelecimento de um plano inclinado impondo uma determinada cota a este, através da escolha da cota de um determinado ponto. Sabe-se que o custo de uma terraplenagem compõem-se basicamente do custo do corte e do transporte. O aterro é uma conseqüência direta do corte e do transporte, e por tal motivo não entra no custo. Com base nestas informações, podemos dizer que nas situações 1 e 3 a topografia da área determinará uma altura do plano final que apresente volumes iguais de corte e aterro, fazendo com que se corte o mínimo possível e também se reduza o transporte ao mínimo. Caso o projeto determine uma cota para o plano final, restará à topografia sua aplicação e a determinação dos volumes de corte e aterro que serão diferentes. Para elucidar a metodologia aplicada na terraplenagem, em relação às quatro situações citadas acima, vamos utilizar um mesmo modelo de terreno estaqueado de 20 em 20 metros, em forma de um retângulo com dimensões de 60m x 80m, e cujos vértices tiveram suas cotas determinadas por nivelamento geométrico com precisão decimétrica. Este modelo não está de acordo com a realidade prática, pois para uma área destas dimensões o quadriculado deveria ser no máximo de 10 metros e as cotas com precisão de centímetros. Para não alongar os cálculos é que foi escolhido o lado de 20m e as cotas com precisão de decímetros (Fig. 60)

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Fig.60 Planta do terreno (modificada de Borges,1992) 1.2 Exercício Elucidativo das Diversas Situações em Terraplenagem

a) Exemplo da 1ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano horizontal porém não impõe uma cota final.

Considerando-se o terreno como reto entre dois pontos de cotas conhecidas, podemos considerar a altura média (hm) de cada quadrícula como a média aritmética das alturas médias de seus quatro vértices. A altura média final de todas as quadrículas será a média ponderada das alturas de todos os vértices com os seus respectivos pesos 1, 2, 3 ou 4, conforme cada altura pertença a 1, 2, 3 ou 4 quadrados, respectivamente. Desta maneira os vértices A1, A5, D5 e D1, terão peso 1. Os vértices A2, A3, A4, B1, B5, C1, C5, D2, D3, D4 terão peso 2 e os vértices internos B2, B3, B4, C2, C3 e C4 terão peso 4 (Fig.60). Aplicando-se no exemplo dados temos: 1) Cálculo da Cota Final Média Peso1 → 36,3 + 30,8 + 33,9 + 37,2 = 138,2 Peso 2 → 34,8 + 33,5 + 32,2 + 32,1 + 32,9 + 35,1 + 35,8 + 36,3 + 36,6 + 36,4 = 345,7 Peso 4 → 34,9 + 33,6 + 32,3 + 33,5 + 34,4 + 35,5 = 204,2 Peso1 → 138,2 × 1 = 138,2 Peso 2 → 345,7 × 2 = 691,4 Peso 4 → 204,2 × 4 = 816,8 Soma total dos pesos ponderados ΣPesos Ponderados = 138,2 + 691,4 + 816,8 = 1.646,4 Determinação do número de vértices com sua respectiva ponderação Peso1 → 4 × 1 = 4 Peso 2 → 10 × 2 = 20 Peso 4 → 6 × 4 = 24

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Soma do número de vértices com seu respectivo peso ΣVértices = 4 + 20 + 24 = 48 Determinação da cota média final (hm) ΣPesos Ponderados 1.646,4 hm = = = 34,3m ΣVértices 48 2) Cálculo de “x” e “y” correspondentes aos pontos de locação da Curva de Passagem. DN P −3 × Dh2−3 (34,3 − 33,5) × 20 x1 = = = 12,31m DN 2−3 (34,8 − 33,5) onde DN=Diferença de Nível e Dh=Distância horizontal, seguindo-se o mesmo raciocínio temos: (34,3 − 33,6) × 20 x2 = = 10,77m (34,9 − 33,6) (34,3 − 33,5) × 20 x3 = = 17,78m (34,4 − 33,5) (34,3 − 33,9) × 20 x4 = = 6,67 m (35,1 − 33,9) (34,3 − 33,6) × 20 y1 = = 17,50m (34,4 − 33,6) (34,3 − 33,5) × 20 y2 = = 10,00m (35,1 − 33,5) 3) Cálculo das áreas das seções Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área de trapézios e triângulos temos: Perfil A (Fig.61):

Fig. 61 ⎧ 20 × [(36,3 − 34,3) + (34,8 − 34,3)]⎫ ⎡ 7,69 × (34,8 − 34,3) ⎤ SC = ⎨ = 26,9225m 2 ⎬+ ⎢ ⎥ 2 2 ⎩ ⎭ ⎣ ⎦

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⎡12,31 × (34,3 − 33,5) ⎤ ⎧ [(34,3 − 32,3) + (34,3 − 33,5)]× 20 ⎫ SA = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ [(34,3 − 32,3) + (34,3 − 30,8)]× 20 ⎫ 2 +⎨ ⎬ = 89,9240m 2 ⎩ ⎭ Perfil B (Fig. 62):

Fig. 62 ⎡ 9,23 × (34,9 − 34,3) ⎤ ⎧ 20 × [(36,4 − 34,3) + (34,9 − 34,3)]⎫ 2 +⎨ SC = ⎢ ⎬ = 29,7690m ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎡10,77 × (34,3 − 33,6) ⎤ ⎧ [(34,3 − 32,3) + (34,3 − 33,6)]× 20 ⎫ SA = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ [(34,3 − 32,1) + (34,3 − 32,3)]× 20 ⎫ 2 +⎨ ⎬ = 72,7700m 2 ⎩ ⎭ Perfil C (Fig. 63):

Fig. 63 ⎡ 2,22 × (34,4 − 34,3) ⎤ ⎧ 20 × [(35,5 − 34,3) + (34,4 − 34,3)]⎫ SC = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ 20 × [(36,6 − 34,3) + (35,5 − 34,3)]⎫ 2 +⎨ ⎬ = 48,1110m 2 ⎩ ⎭ ⎡17,78 × (34,3 − 33,5) ⎤ ⎧ [(34,3 − 32,9) + (34,3 − 33,5)]× 20 ⎫ 2 +⎨ SA = ⎢ ⎬ = 29,1120m ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

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Perfil D (Fig.64):

Fig. 64 ⎡13,33 × (35,1 − 34,3) ⎤ ⎧ 20 × [(35,8 − 34,3) + (35,1 − 34,3)]⎫ SC = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨ 2 2 ⎣ ⎩ ⎭ ⎧ 20 × [(36,3 − 34,3) + (35,8 − 34,3)]⎫ +⎨ ⎬ 2 ⎩ ⎭ ⎧ 20 × [(37,2 − 34,3) + (36,3 − 34,3)]⎫ 2 +⎨ ⎬ = 112,3320m 2 ⎩ ⎭ ⎡ 6,67 × (34,3 − 33,9) ⎤ SA = ⎢ = 1,3340m 2 ⎥ 2 ⎣ ⎦ 4) Cálculo do volume de corte e aterro Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, isto é, o volume entre as seções “A e B”, “B e C” e entre “C e D” a qual é obtida a partir da equação proposta por Bezout. ⎧ 20 ⎫ VTotal Corte = ⎨ × [(26,9225 + 112,3320) + 2(29,7690 + 48,1110)]⎬ = 2950,1450m 3 ⎩2 ⎭ 20 ⎧ ⎫ VTotal Aterro = ⎨ × [(89,9240 + 1,3340) + 2(72,7700 + 29,1120)]⎬ = 2950,2200m 3 ⎩2 ⎭ A pequena diferença entre os dois cálculos é devida ao arredondamento na interpolação das distâncias referentes à curva de passagem. Esta pequena diferença é aceita para os cálculos. b) Exemplo da 2ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano horizontal com cota final igual a 34,00m. Caberá ao topógrafo determinar a cota de cada vértice do terreno tendo por base a cota final preestabelecida pelo projeto, as áreas de corte e aterro de cada seção e os volumes de corte e aterro finais que, naturalmente, não serão iguais. Cota Final imposta para o terreno após a terraplenagem será de 34,00m, considerandose ainda a figura 60.

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1) Cálculo de “x” correspondente a distância entre o vértice da quadrícula e a curva de passagem de 34,00m preestabelecida. (34,0 − 33,5) × 20 x1 = = 7,69m (34,8 − 33,5) onde DN=Diferença de Nível e Dh=Distância horizontal, seguindo-se o mesmo raciocínio temos: (34,0 − 33,6) × 20 x2 = = 6,15m (34,9 − 33,6) (34,0 − 33,5) × 20 x3 = = 11,11m (34,4 − 33,5) (34,0 − 33,9) × 20 x4 = = 1,67m (35,1 − 33,9) 2) Cálculo das áreas das seções Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área de trapézios e triângulos temos: Perfil A:

⎧ 20 × [(36,3 − 34,0) + (34,8 − 34,0)]⎫ ⎡12,31 × (34,8 − 34,0) ⎤ SC = ⎨ = 35,9240m 2 ⎬+ ⎢ ⎥ 2 2 ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎡ 7,69 × (34,0 − 33,5) ⎤ ⎧ [(34,0 − 32,3) + (34,0 − 33,5)]× 20 ⎫ SA = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ [(34,0 − 32,3) + (34,0 − 30,8)]× 20 ⎫ 2 +⎨ ⎬ = 72,9225m 2 ⎩ ⎭

Perfil B:

⎡13,85 × (34,9 − 34,0) ⎤ ⎧ 20 × [(36,4 − 34,0) + (34,9 − 34,0)]⎫ 2 +⎨ SC = ⎢ ⎬ = 39,2325m ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎡16,15 × (34,0 − 33,6) ⎤ ⎧ [(34,0 − 32,3) + (34,0 − 33,6)]× 20 ⎫ SA = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨ 2 2 ⎣ ⎩ ⎭ ⎧ [(34,0 − 32,1) + (34,0 − 32,3)]× 20 ⎫ 2 +⎨ ⎬ = 58,200m 2 ⎩ ⎭

Perfil C:

⎡ 8,89 × (34,4 − 34,0) ⎤ ⎧ 20 × [(35,5 − 34,0) + (34,4 − 34,0)]⎫ SC = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ 20 × [(36,6 − 34,0) + (35,5 − 34,0)]⎫ 2 +⎨ ⎬ = 61,7780m 2 ⎩ ⎭

⎡11,11 × (34,0 − 33,5) ⎤ ⎧ [(34,0 − 32,9) + (34,0 − 33,5)]× 20 ⎫ 2 +⎨ SA = ⎢ ⎬ = 18,7775m ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ 128

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Perfil D:

⎡18,33 × (35,1 − 34,0) ⎤ ⎧ 20 × [(35,8 − 34,0) + (35,1 − 34,0)]⎫ SC = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨ 2 2 ⎣ ⎩ ⎭ ⎧ 20 × [(36,3 − 34,0) + (35,8 − 34,0)]⎫ +⎨ ⎬+ 2 ⎩ ⎭ ⎧ 20 × [(37,2 − 34,0) + (36,3 − 34,0)]⎫ 2 +⎨ ⎬ = 135,0815m 2 ⎩ ⎭

⎡1,67 × (34,0 − 33,9) ⎤ = 0,0835m 2 SA = ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ 3) Cálculo do volume de corte e aterro Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, como no caso anterior temos: ⎧ 20 ⎫ VTotal Corte = ⎨ × [(35,9240 + 135,0815) + 2(39,2325 + 61,7780)]⎬ = 3730,2650m 3 ⎩2 ⎭ ⎧ 20 ⎫ VTotal Aterro = ⎨ × [(74,9225 + 0,0835) + 2(58,2300 + 18,7775)]⎬ = 2290,2100m 3 ⎩2 ⎭ VTotalde Corte − VTotal Aterro = 1440,0550m 3

c) Exemplo da 3ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano inclinado na direção da estaca 1 para a estaca 5, com rampa de -1%, porém não é imposta uma altura determinada para este plano. A topografia colocará este plano numa altura tal que os volumes finais de corte e aterro sejam iguais. A maneira de conseguir tal objetivo é manter a altura do plano inclinado no centro de gravidade da área àquele do plano horizontal cuja curva de passagem era de 34,30m. O centro de gravidade (CG) está localizado na linha 3 entre os pontos B e C (Fig. 65). 1) Cálculo do Centro de Gravidade -1%

D

1

2

Cota 34,10

Cota 34,30

Cota 34,50

C

Cota 34,70

B CG

3

4

Cota 33,90

A

5

Fig. 65 129

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Sabendo-se que no Centro de Gravidade (CG) a cota do mesmo é de 34,30, estabelecida no projeto e que o plano de declividade é de –1% , do perfil 1 em direção ao perfil 5, determina-se as cotas dos demais perfis por uma simples regra de três. Cotas dos Perfis:: DN = 20 ×

1 = 0,20m 100

Cota Perfil 2 = 34,30 + 0,20 = 34,50m Cota Perfil 1 = 34,50 + 0,20 = 34,70m Cota Perfil 4 = 34,30 − 0,20 = 34,10m Cota Perfil 5 = 34,10 − 0,20 = 33,90m 2) Cálculo de “x” correspondente à distância entre o vértice da quadrícula e a curva de passagem da cota correspondente a cada perfil (Figs 60 e 65). (34,8 − 34,5) × 20 x1 = = 5,45m (34,6 − 33,5) Não devemos esquecer de considerar a declividade do plano para o cálculo de “x”. A cota de 34,6 corresponde ao ponte de cota 34,8 menos 1% da declividade do plano. (34,9 − 34,5) × 20 x2 = = 7,27m (34,7 − 33,6) (34,4 − 34,3) × 20 x3 = = 2,86m (34,2 − 33,5) 3) Cálculo das áreas das seções Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área de trapézios e triângulos temos: Perfil A:

⎧ 20 × [(36,3 − 34,7) + (34,8 − 34,5)]⎫ ⎡ 5,45 × (34,8 − 34,5) ⎤ SC = ⎨ = 19,8175m 2 ⎬+ ⎢ ⎥ 2 2 ⎩ ⎭ ⎣ ⎦

⎡14,55 × (34,3 − 33,5) ⎤ ⎧ [(34,1 − 32,3) + (34,3 − 33,5)]× 20 ⎫ SA = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ [(34,1 − 32,3) + (33,9 − 30,8)]× 20 ⎫ 2 +⎨ ⎬ = 82,8200m 2 ⎩ ⎭ Perfil B:

⎡ 7,27 × (34,9 − 34,5) ⎤ ⎧ 20 × [(36,4 − 34,7) + (34,9 − 34,5)]⎫ 2 +⎨ SC = ⎢ ⎬ = 22,4540m ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

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⎡12,73 × (34,3 − 33,6) ⎤ ⎧ [(34,1 − 32,3) + (34,3 − 33,6)]× 20 ⎫ SA = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ [(33,9 − 32,1) + (34,1 − 32,3)]× 20 ⎫ 2 +⎨ ⎬ = 65,4550m 2 ⎩ ⎭ Perfil C:

⎡ 2,86 × (34,4 − 34,3) ⎤ ⎧ 20 × [(35,5 − 34,5) + (34,4 − 34,3)]⎫ SC = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ 20 × [(36,6 − 34,7) + (35,5 − 34,5)]⎫ 2 +⎨ ⎬ = 40,1430m 2 ⎩ ⎭

⎡17,14 × (34,1 − 33,5) ⎤ ⎧ [(33,9 − 32,9) + (34,1 − 33,5)]× 20 ⎫ 2 +⎨ SA = ⎢ ⎬ = 21,1420m ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ Perfil D:

⎡ 20 × (35,1 − 34,1) ⎤ ⎧ 20 × [(35,8 − 34,3) + (35,1 − 34,1)]⎫ SC = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ 20 × [(36,3 − 34,5) + (35,8 − 34,3)]⎫ +⎨ ⎬+ 2 ⎩ ⎭ ⎧ 20 × [(37,2 − 34,7) + (36,3 − 34,50)]⎫ 2 +⎨ ⎬ = 111,0000m 2 ⎩ ⎭

S A = 0m 2 4) Cálculo do volume de corte e aterro Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, como no caso anterior temos: ⎧ 20 ⎫ VTotal Corte = ⎨ × [(19,8175 + 111,0000) + 2(22,4540 + 40,1430)]⎬ = 2560,1150m 3 ⎩2 ⎭ ⎧ 20 ⎫ VTotal Aterro = ⎨ × [(82,8200 + 0) + 2(65,4550 + 21,1420)]⎬ = 2560,1400m 3 ⎩2 ⎭ Como se esperava, foi obtido volumes iguais de corte e aterro. d) Exemplo da 4ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano inclinado na direção da estaca 1 para a estaca 5, com rampa de -1%, e da estaca A para B com uma rampa de +2% e estabelece como cota de 34,00m para a estaca A-5. 1) Cálculo do Centro de Gravidade Para o cálculo do centro de Gravidade determina-se todos as cotas dos pontos da quadrículas em relação as rampas preestabelecidas. As novas cotas dos vértices variarão de +0,20m da Estaca 5 para a Estaca A e de +0,40 da estaca 5 para a Estaca D a partir da cota estabelecida para a Estaca A-5 (Fig.66). 131

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-1% A

34,8#36,3 34,6#34,8 34,4#33,5

34,2#32,2 34,0#30,8

35,2#36,4 35,0#34,9 34,8#33,6 34,6#32,3 34,4#32,1

C

D

+2%

B

35,6#36,6 35,4#35,5 35,2#34,4 35,0#33,5 34,8#32,9

36,0#37,2 35,8#36,3 35,6#35,8 35,4#35,1 35,2#33,9 5 1 2 3 4

Fig. 66 As valores que se encontram em itálico (Fig.66) correspondem às cotas do levantamento do terreno; os que se encontram à esquerda destes são as cotas calculadas em relação às rampas preestabelecidas pelo projeto. Com os dados das novas cotas do projeto, podemos determinar a Curva de Passagem da mesma maneira que foi calculada no exemplo da 1ª situação. Desta maneira temos que a Curva de Passagem é igual a 35,0m. 2) Cálculo de “x” correspondente a distância entre o vértice da quadrícula e a curva de passagem da cota correspondente a cada perfil. (34,8 − 34,6) × 20 x1 = = 3,64m x1' = 16,36m (34,6 − 33,5) Não devemos esquecer de considerar a declividade do plano para o cálculo de “x”. A cota de 34,6 corresponde ao ponte de cota 34,8 menos 1% da declividade do plano. (35,0 − 34,9) × 20 x2 = = 1,54m x 2' = 18,46m (36,4 − 35,1) (35,5 − 35,4) × 20 x3 = = 2,22m x3' = 17,78m (35,3 − 34,4) (35,8 − 35,6) × 20 x4 = = 8,00m x 4' = 12,00m (35,6 − 35,1) Cálculo das áreas das seções Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área de trapézios e triângulos temos: Perfil A:

⎧ 20 × [(36,3 − 34,8) + (34,8 − 34,6)]⎫ ⎡ 3,64 × (34,8 − 34,6) ⎤ SC = ⎨ = 17,3640m 2 ⎬+⎢ ⎥ 2 2 ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ 132

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⎡16,36 × (34,4 − 33,5) ⎤ ⎧ [(34,2 − 32,2) + (34,4 − 33,5)]× 20 ⎫ SA = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ [(34,2 − 32,2) + (34,0 − 30,8)]× 20 ⎫ 2 +⎨ ⎬ = 88,3620m 2 ⎩ ⎭ Perfil B: ⎡18,46 × (36,4 − 35,2) ⎤ = 11,0760m 2 SC = ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎡1,54 × (35,0 − 34,9) ⎤ ⎧ [(35,0 − 34,9) + (34,8 − 33,6)]× 20 ⎫ SA = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨ 2 2 ⎣ ⎩ ⎭ ⎧ [(34,8 − 33,6) + (34,6 − 32,3)]× 20 ⎫ +⎨ ⎬+ 2 ⎩ ⎭ ⎧ [(34,6 − 32,3) + (34,4 − 32,1)]× 20 ⎫ 2 +⎨ ⎬ = 94,0770m 2 ⎩ ⎭

Perfil C:

⎡ 2,22 × (35,5 − 35,4) ⎤ ⎧ 20 × [(35,5 − 35,4) + (36,6 − 35,6)]⎫ 2 +⎨ SC = ⎢ ⎬ = 11,1110m ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎡17,78 × (35,2 − 34,4) ⎤ ⎧ [(35,0 − 33,5) + (35,2 − 34,4)]× 20 ⎫ SA = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨⎩ 2 2 ⎣ ⎭ ⎧ [(35,0 − 33,5) + (34,8 − 32,9)]× 20 ⎫ 2 +⎨ ⎬ = 64,1120m 2 ⎩ ⎭ Perfil D:

⎡ 8,00 × (35,8 − 35,6) ⎤ ⎧ 20 × [(35,8 − 35,6) + (36,3 − 35,8)]⎫ SC = ⎢ ⎬+ ⎥⎦ + ⎨ 2 2 ⎣ ⎩ ⎭ ⎧ 20 × [(37,2 − 36,0) + (36,3 − 35,8)]⎫ 2 +⎨ ⎬ = 24,8000m 2 ⎩ ⎭

⎡12,00 × (35,4 − 35,1) ⎤ ⎧ [(35,4 − 35,1) + (35,2 − 33,9)]× 20 ⎫ 2 +⎨ SA = ⎢ ⎬ = 17,8000m ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ 3) Cálculo do volume de corte e aterro Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, como no caso anterior temos: ⎧ 20 ⎫ VTotal Corte = ⎨ × [(17,3640 + 24,8000) + 2(11,0760 + 11,1110)]⎬ = 865,3800m 3 ⎩2 ⎭ ⎧ 20 ⎫ VTotal Aterro = ⎨ × [(88,3620 + 17,8000) + 2(94,0770 + 64,1120)]⎬ = 4225,4000m 3 ⎩2 ⎭ V Aterro − VCorte = 4225,4000 − 865,3800 = 3360,0200m 3 133

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1.3 Exercícios Aplicativos

1) Calcular a cota final para um plano horizontal de um terreno a ser terraplenado, com os dados a seguir apresentados de maneira que sobrem 130m3 de terra que serão utilizados em outro aterro. A eqüidistância entre os pontos nivelados é de 10 em 10 metros. A

1

B

C

D

64,3

2 62,9

66,3

3 62,7

4 63,8

65,8

65,3

64,4

64,9

66,9

66,3

65,7

66,1

66,7

70,0

69,7

67,6

67,0

68,3

5 65,0

2) Um terreno de 60 x 40 metros foi quadriculado de 20 em 20 metros e nivelado geometricamente, obtendo-se as seguintes cotas: 1 2 3 4 A 13,9 14,8 15,7 16,5 B 14,7 15,5 16,4 17,3 C 15,4 16,3 17,4 18,2 a) Calcular a cota final do plano horizontal que resulte em volumes de corte e aterro iguais; b) Desenhar a planta e traçar a curva de passagem entre a área de corte e a de aterro; c) Calcular o volume total de aterro; d) Calcular o volume total de corte; e) Qual será a cota final do plano horizontal que fará sobrar 570m3 de terra. 3) Em uma área retangular de 60 x 80 metros, em que se deseja efetuar uma terraplenagem, pretende-se que o plano final seja inclinado de –3% na direção do perfil 1 para o perfil 5, de tal maneira que resulte volumes de corte e aterro iguais. Calcular também os volumes de corte e aterro. A

B

C

D

1 23,5

2 22,9

22,5

3 22,5

4 22,3

21,8

21,4

21,2

21,6

21,5

20,9

20,1

19,9

20,5

21,1

20,4

19,4

18,9

19,3

5 22,7

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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS APLICATIVOS

Capítulo I Intersecção de retas Exercício 1: NI=6.848.785,182m EI=673.032,175m Exercício 2: NI=6.849.003,958m EI=673.102,673m Exercício 3: NB=6.870.592,121m EB=507.776,708m NM=6.870.338,057m EM=507.599,910m Exercício 4: NM=6.375.743,311m EM=765.539,519m DHBC=667,959m DHCM=719,847m DHBM=738,457m AzBC=235º56’11,97” Solução de Pothenot Exercício 1: NP=43,179m EP=58,547m Exercício 2: NT=8.709,44m ET=9.748,33m Exercício 3: NM=1.653,48m EM=10.325,21m

Capítulo II Coordenadas Exercício 1: DHUTM=2.995,577m DHREAL=2.994,111m K=1,00048949737 Exercício 2: DHUTM=21.206,069m DHREAL=21.213,670m K=0,99964169125 Convergência Exercício 1: CM=-0°57’28,68” Exercício 2: CM=-0°39’31,42” Exercício 3: CM=-0°24’27,99” AzUTM=233°20’57,99”

Capítulo III Medidas de ângulos Exercício 1: Exercício 2: xm=110,64m e1=±0,0507 em=±0,0179 Medidas de distância Horizontal Exercício 1: PQ=1.611,72m Exercício 2: PQ=1.532,32m Medidas de distância vertical Exercício 1: Cota M = 63,258m

Capítulo IV Divisão de Terras Exercício 1: BM=338,61m (sobre o lado BA) BN=274,12m (sobre o lado BC) Exercício 2: DE=63,483m (sobre o lado AD) CF=52,903m (sobre o lado CD) Exercício 3: At=10.578,0173m2 XM=48,952m YM=98,631m (lado 5-1) XN=166,686m YN=77,629m (lado 4-3)

Capítulo V Norte verdadeiro Exercício 1: AzRS= 175º26’15,64” Exercício 2: AzPQ=104º19115,04” Exercício 3: AzED=189º07’30,7”

Capítulo VI Curvas horizontal de concordância Exercício 1: R=524,175m Exercício 2: R=500,822m C=697,827m D=2º17’17”

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Exercício 3:

1039+0,98 136º50’ 1040 138º01’19,5” 139º16’19,5” 1041 140º31’19,5” 144º12’39” 1042 145º27’39” 1043 146º42’39” 1044 147º57’39” 1045 1045+8,98 148º31’19,5” 152º50’ Curva horizontal de transição Exercício 1:TS=447+4,41 EC=PC=455+4,41 CE=PT=461+0,52 ST=469+0,52 Exercício 2: Ls=200m Ts=210+12,28 EC=PC=220+12,28 CE=PT=237+12,28 ST=247+12,28 Exercício 3: θs=2º51’53,2” Xs=49,987 Ys=0,833 p=0,208 k=24,997 Ts=9+2,712 TS=219+14,588 PC=222+4,588 PT=235+0,021 ST=237+10,021 Curva horizontal transição com mudança de estação Exercício 1: Exercício 2: Curva vertical simétrica Exercício 1: 317 126,21 317+10 125,95 318 125,70 318+10 125,57 125,44 319 319+10 125,34 125,27 320 320+10 125,25 125,25 321 321+10 125,23 125,40 322 322+10 125,55 125,78 323 323+10 125,94 126,19 324 324+10 126,47 126,78 325 325+10 127,15 326 127,56 Exercício 2: 52 103,670 53 103,479 103,188 54 102,805 55 102,310 56 56+10 102,027 101,720 57 101,035 58 100,238 59 99,349 60 61 99,360 Exercício 3: 739+10 651,060 651,522 740 652,344 741 652,999 742 138

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743 744 745 746 747 748 749 750 751 Curva vertical assimétrica Exercício 1: 43 43 +10 44 44+10 45 45+10 46 46+10 47 47+10 48 Exercício 2: 136+10 137+10 138+10 139+10 140+10 141+10 142+10 143+10 144+10 145+10

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653,519 653,870 654,113 654,190 654,120 653,899 653,544 653,022 652,710 178,22 178,10 177,92 177,83 177,76 177,73 177,74 177,80 177,93 178,13 178,42 58,340 57,340 56,535 55,900 55,442 55,162 55,110 55,335 55,839 56,620

Capítulo VII Medida de vazão Exercício 1: Bernouille: Q=18,16 l/s Francis: Q=18,63 l/s Exercício 2: Bernouille: Q=213,9 l/s Francis: Q=209,8 l/s Exercício 3: Bernouille: Q=11.469,24 l/s Francis: Q=10.454,94 l/s Método do Molinete Exercício 1: Vazão total = 14,0212m3/s

Capítulo IX Locação de obras Exercício 1: Declividade=1,294% AzAB=44º10’53,6” Exercício 2: Prof. Chaminé= 75,774m Exercício 3: Np1(65,043)=5.379.363,219m Ep1(65,043)=575.261,134m Np2(100,00)=5.379.434,119m Ep2(100,00)=575.190,614m Np3(100,00)=5.379.505,019m Ep3(100,00)=575.120,094m Np4(100,00)=5.379.575,919m Ep4(100,00)=575.049,574m

Capítulo X Terraplenagem Exercício 1: Cota média = 65,812m Cota Final para sobra de 130m3=65,704m

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Exercício 2: a)Cota Final=16,0m c)Vaterro=946,8m3 d)Vcorte=946,8m3 e)Cota=15,76m ~15,8m Exercício 3: Cota média=21,1 Vc=2045,4m3 Va=2045,4m3

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