Topik 4
October 12, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Topik 4...
Description
Program Pasca Sarjana Terapan Politeknik Elektronika Negeri Surabaya
robability ity and Random Random Process Probabil Topik 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas Prima Kristalina April 2015
1
Outline 1. 2. 3. 4.
Definisi Variabel Acak Jeni Jeniss Var Varia iabe bell Acak Acak:: Dis Diskr krit it dan dan Kon Konti tiny nyu u Prob Probab abil ilit itas as Dis Distr trib ibus usii Vari Variab abel el Acak Acak Fungs Fungsii Den Densi sita tass Pr Prob obab abil ilita itass pada pada varia variabe bell
acak: PMF dan PDF 5. Fung Fungssi Dis Distr trib ibus usii Kum Kumul ulat atif if (cdf ) pada Variabel Acak
2
Vari ariabe abell Acak Acak • Suat Suatu u fungsi fungsi yang yang berni bernilai lai riil riil dari dari domain domain ruang ruang sampel dari sebuah eksperimen acak. • Nil Nilain ainya ya berhu berhubun bungan gan dengan dengan keja kejadia dian n sederhana dalam ruang sampelnya. ▫
Contoh:
Kandungan sulfur pada 1 kuintal pupuk Jarak yang ditempuh untuk 10 liter bensin Jumlah hari hujan dalam setahun
3
Ilustrasi
Variabel
acak dari ruang sampel yang memp me mpun unya yaii angg anggot ota a a1, a2, a3 dan a4. X(a3) adalah variabel acak yang menghub hubungk gka an nilai riil 2, 2,0 0 ke elemen a3. Artinya a3 bernilai 2,0.
. a1
Is Isti tila lah h ac acak ak di digu gun nak akan an ka kare rena na nil ilai ai da dari ri eksp ek sper erim imen en a be belu lum m da dapa patt di dipa past stik ikan an sebelumnya
. a2
. a3 . a4 1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
Statistika Industri (Var. Random & Distribusi Prob.) – Adithya Sudiarno Sudiarno,, ST,MT
4
Vari ariabe abell Acak Acak • Variabel Acak Diskrit:
Variabel yang memiliki nilai pada titik tertentu. Nilai dari variabel ini dapat dihitung (countable). (c ountable).
Contoh: Jumlah hari hujan dalam 1 tahun
• Variabel Acak Variabel yangKontinyu: memiliki nilai pada range tertentu.
Nilai dari variabel ini tak hingga banyaknya sepanjang interval tertentu
Contoh: Jumlah volume hujan dalam 1 tahun
5
Vari ariabe abell Acak Acak
Notasi: ▫
▫
X variabel acak x nilai variabel acak
Fungsi: ▫
▫
Suatu fungsi variabel acak adalah merupakan variabel acak juga Jika X adalah variabel acak, maka Z f X adalah variabel acak juga. 6
Vari ariabe abell Acak Acak • Contoh 1:
▫
Sebuah laundry memiliki 4 mesin cuci yang bisa disewa pelanggan. Diperkirakan mesin-mesin tersebut dapat berfungsi hingga 5 tahun ke depan. Jika X menyatakan keadaan mesin yang masih baik, tentukan ruang sampel dari variabel acak X.
Jawab:
Jika B menyatakan kondisi mesin baik, dan R menyatakan mesin rusak, maka kombinasi dari kemungkinan kondisi ke4 mesin cuci tersebut adalah: BBBB, BBBR, BBRB, BBRR, BRBB,BRBR,BRRB,BRRR,RBBB,RBBR,RBRB,RBRR,RRBB, RRBR,RRRB,RRRR 7
Vari ariabe abell Acak Acak Kondisi Mesin
Bil_Real
RRRR
0
BBBR,BBRB,BRBB,RBBB
3
BBRR BB RR,B ,BRR RRB, B,BR BRBR BR,R ,RBR BRB, B,RR RRBB BB,R ,RBB BBR R
2
BRRR,RBRR,RRBR,RRRB
1
BBBB
4
• Dari tabel dapat diketahui variabel acak X adalah: X=0,1,2,3,4 dan ruang sampel S adalah: S x | 0 x 4
8
Proba robabil bilita itass Vari ariabe abell Acak • Peluang terjadinya / kemunculan nilai dari variabel acak X. • Nilainya berkisar dari 0 sampai 1. • Peluang kemunculan nilai variabel acak X pada sebuah range tertentu akan tersebar dengan model sebaran tertentu Distribusi Probabilitas. • Jumlahan dari seluruh fungsi distribusi probabilitas akan menuju ke nilai maksimum dari probabilitas, yaitu 1. Jumlahan ini dinamakan: Cummulative Distribution Function (CDF). 9
Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit • Fungsi Massa Probabilitas (Probability Mass Function - pmf): a. Jika p pada ada seb sebuah uah pe pengamat ngamatan an ditam ditampilk pilkan an selu seluruh ruh outcome (keluaran) yang mungkin dari variabel diskrit X, yaitu x1, x2, ... ,xn maka nilai-nilai probabilitas masingmasing variabel diskrit X dinyatakan sebagai: P X x1 , P X x2 , P X x3 , ..., P X xn atau p x1 , p x2 , p x3 , ..., p xn
b. Nilai-nilai fungsi probabilitas berada erada dalam interval 0 p x 1 b 0 sampai 1,dari sehingga c. Jumlah selur seluruh uh nil nilai ai fung fungsi si pr probabi obabilitas litas adalah 1, sehingga: p x 1 10
Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit • Fungsi Distributif Kumulatif (Cummulative Distribution Function – cdf): ▫
▫
Menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan. dinyatakan sebagai: F x P X x p x
dan
F x P X x
=P X x1 P X x2 ... P X xn 11
Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit • Mean dari distribusi probabilitas diskrit n
x
xi p xi i 1
• Varians dari distribusi probabilitas diskrit 2
x
n
2
xi x p xi i 1
12
Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit ▫
Contoh 2: Dari pelemparan dua dadu, dapatkan probabilitas jumlahan yang mungkin dari kedua dadu tersebut Jawab: Ruang sampel : S X | X 2 dan X 12
P X 2 P 1, 1
12 P S P X i i 2 12
=
i 2
P X i
36
P X 3 P 1, 2 , 2 , 1
2 36
P X 4 P 1, 3 , 2 , 2 , 3, 1
Probabilitas ruang sampel:
1
P X
3 36
5
P 1, 4 , 2 , 3 , 3, 2 , 4 , 1
4 36
P X 6 P 1, 5 , 2 , 4 , 3, 3 , 4 , 2 , 5, 1
5 36
P X 7 P 1, 6 , 2 , 5 , 3, 4 , 4 , 3 , 5, 2 , 6 , 1 P X 8 P 2 , 6 , 3, 5 , 4 , 4 , 5 , 3 , 6 , 2
5
6 36
36
P X 9 P 3, 6 , 4 , 5 , 5 5,, 4 , 6 , 3 4 36 3 P X 10 P 4 , 6 , 5, 5 , 6 , 4 36 2 6,, 5 P X 1 1 P 5, 6 , 6 36 1 P X 1 2 P 6 , 6 36 13
Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit 0.18
1
0.16
0.9
0.14
0.8
0.7
0.12 0.6
0.1 ) x ( p
) x (
0.5
F
0.08
0.4
0.06
0.3
0.04
0.2
0.02
0.1
0
0 2
3
4
5
6
7
8
9
10 10
11
12
x
Grafik distribusi probabilitas contoh 2
2
3
4
5
6
7
8
9
10 10
11
12
x
Grafik cdf cdf contoh 2
14
Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit • Contoh 3: Sebuah dealer motor mempunyai rincian jumlah motor terjual perhari selama 200 hari seperti berikut: Jumlah motor motor terjual dalam dalam sehari Jumlah hari hari 2 35 3 76 4 42 5 27 6 20 TOTAL 200
a. Buatl Buatlah ah distr distribusi ibusi pr probabi obabilitas litas pe penjual njualan an motor motor selam selama a 200 hari tersebut dan sajikan dalam bentuk grafik. b. Cari fungsi distribusi kumulatif dan sajikan dalam bentuk grafik
15
Jawab: a. Distribusi frekuensi frekuensi dan grafik distr distribusi ibusi frekuensi dari contoh 3 0.4
x 2 3 4
p(x) 0, 175 0,38 0,21
5 6 TOTAL
0, 135 0, 1 1
0.35
0.3
0.25
) x ( p
0.2
0.15
0.1
0.05
0 2
3
4
5
6
x
b. Fungsi distribusi kumulatif dan grafik cdf dari contoh 3 1
x
p(x)
0.9
0.8
2
0,175
3
0,555 =0,175+0,38
4
0,765 =0 =0,175+0,38+0,21
5
0,90 =0,175+0,3 ,38 8+0,21+0,135
6
1,00 1,00 =0,1 =0,175 75+ +0,38 0,38+ +0,21 0,21+0 +0,1 ,13 35+ 5+0, 0,1 1
0.7
0.6 ) x ( F
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 2
3
4
5 x
6
16
Distribusi Distri busi Variabe ariabell Acak Kontinyu • Distri Distribusi busi v vari ariabel abel acak acak ko konti ntinyu nyu se serin ring g dise disebut but sebagai fungsi kepadatan atau Fungsi Kepadatan Probabilitas ( probability density function – pdf )).. • Fung Fungsi si in inii b buk ukan an fu fung ngsi si pr prob obab abil ilit itas as • Pdf Pdf di diny nyat atak akan an seb sebag agai ai f(x) f(x),, dan nilainya bisa lebih besar dari 1. • Pdf Pdf h har arus us m mem emen enui ui ssya yara ratt sb sbb: b: a.
fungsi kepadatan probabilitas f x 0
b. c.
integral seluruh pdf dx g1tter k x Pr Prob obab abil ilit itas as v var aria iabe bell a aca cak ang erle leta tak ka ant ntar ara aad dan an f xyyan b b memenuhi P a X b f x dx a 17
Fungsi Kepadatan Probabili robabilitas tas Variabel Acak Kontinyu • Seca Secara ra teoriti teoritiss kurva p proba robabil bilita itass popul populasi asi diw diwakil akilii oleh poligon frekuensi relatif yang dimuluskan (variabel acak kontinyu diperlakukan seperti variabel acak diskrit yang rapat). • Kare Karena na itu fun fungsi gsi f x dar darii vari variabe abell aca acak k kont kontuny unyu u merupakan fungsi kepadatan probabilitas (probability density dens ity fun functi ction on - pdf pdf). ). • Pdf Pdf menggambarkan menggambarkan besarnya propabilitas per unit interval nilai variabel acaknya.
18
Fungsi Kepadatan Probabili robabilitas tas Variabel Acak Kontinyu
Mukhtasor, JTK-FTK,ITS, Bab 4: Distribusi Probabilitas 19
Fungsi Kepadatan Probabili robabilitas tas Variabel Acak Kontinyu
• Mean dari distribusi probabilitas kontinyu: x. f x dx
x
• Varians dari distribusi probabilitas kontinyu: 2
x
n
2
x x f x dx i 1
20
Fungsi Kepadatan Probabili robabilitas tas Variabel Acak Kontinyu • Contoh 4: Diketahui suatu variabel acak X memiliki fungsi kerapatan probabilitas (pdf) sbb: untuk 0 x 2 x / 2 f x
0
untuk nilai x lainny lainnyaa
a. Gamba ambark rkan an gr gra afi fik k pdf pdf ny nya a b. Tunjukkan bahwa P 0 X 2 1 c. Hitung P 0, 5 X 1, 5
21
1 0.9
• Jawab:
0.8 0.7
0.6
a.
) x ( f
Grafik pdf:
0.5 0.4
0.3 0.2 0.1
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
b. Bukti P 0 X 2 1 2
P 0 X 2
2
x
f x dx 2dx 0
0
2
2 1 x
2.2
1
0 2
1
2
2 0 1 4
4
1,5
c.
Untuk
P 0, 5 X 1, 5
x2
0,5
=
1 4
2
1
2
1, 5 0, 5 4
2, 25 0, 25 4
1 2 22
Fungsi Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Pada variabel diskrit, cdf cdf dinyatakan dinyatakan sebagai jumlahan dari fungsi probabilitas masing-masing variabelnya, sedangkan pada variabel kontinyu cdf cdf dinyatakan dinyatakan sebagai integral dari fungsi variabelnya, dan nilainya kontinyu dalamkepadatan interval tertentu
F x P X x
f x dx
23
Beberapa sifat Probabilit robabilitas as Variabel Variabel Acak Kontinyu 1) f x 0, x
2)
f x dx 1
3) F 0 4) F 1 b
5) P a X b
f t dt F b F a a
c
6) P X c
f t dt F c F c 0 c
7) P a X b P a X b P a X b P a X b
24
View more...
Comments
