Universidade do Sul de Santa Catarina
Tópicos de Matemática Elementar I Disciplina na modalidade a distância
Palhoça UnisulVirtual 2006
Apresentação
Parabéns! você está recebendo o livro didático da disciplina de Matemática Básica. Este material foi construído especialmente para este curso, levando em consideração o seu perl e as necessidades da sua formação. Como os materiais a cada nova versão receberão melhorias, pedimos que você encaminhe suas sugestões via professor tutor ou monitor sempre que achar oportuno. Recomendamos, antes de você começar os seus estudos, que você leia com atenção o Manual do Aluno e do curso am de receber informações importantes para sua boa produtividade no curso. E tenha em mente: você não esta só nos seus estudos, conte com o sistema tutorial da UnisulVirtual sempre que precisar de ajuda ou de alguma orientação. Desejamos que você tenha êxito neste curso. Equipe UnisulVirtual
Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Christian Wagner
Tópicos de Matemática Elementar I Livro didático Design instrucional Luciano Gamez Karla Leonora Dahse Nunes 2ª edição revista e atualizada
Palhoça UnisulVirtual 2006
Copyright © UnisulVirtual 2006 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição.
510 F62
Flemming, Diva Marília Tópicos de matemática elementar I : livro didático / Diva Marília Flemming, Elisa Flemming Luz, Christian Wagner ; design instrucional Luciano Gamez, Karla Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2006. 20 06. 246 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografi bibliografia. a. ISBN 85-60694-85-4 ISBN 978-85-60694-85-3 1. Matemática. 2. Cálculo. I. Luz, Elisa Flemming. II. Wagner, Wagner, Christian. III. Gamez, Luciano. IV. Nunes, Karla K arla Leonora Dahse. III. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Créditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Distância Campus UnisulVirtual Rua João Pereira dos Santos, 303 Palhoça - SC - 88130-475 Fone/f ax: (48) 3279-1 3279-1541 541 e 3279-1542 E-mail:
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Adriano da Cunha Ana LuisaSérgio Mülbert Ana Paula Reusing Pacheco
Charles Cesconetto Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Itamar Pedro Bevilaqua Janete Elza Felisbino Jucimara Roesler Lauro José Ballock Luiz Guilherme Buchmann Buchmann Figueiredo Luiz Otávio Botelho Lento Marcelo Cavalcanti Mauri Luiz Heerdt Mauro Faccioni Filho Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Alberton Patrícia Pozza Rafael Peteffi da Silva Raulino Jacó Brüning Design Gráfico Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro (coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Evandro Guedes Machado
Fernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi Luciano Pedro Paulo Alves Teixeira Rafael Pessi Vilson Martins Filho Equipe Didático-Pedagógica Angelita Marçal Flores Carmen Maria Cipriani Pandini Carolina Hoeller da Silva Boeing Cristina Klipp de Oliveira Daniela Erani Monteiro Will Dênia Falcão de Bittencourt Elisa Flemming Luz Enzo de Oliveira Moreira Flávia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes Leandro Kingeski Pacheco Ligia Maria Soufen Tumolo
Márcia Loch Patrícia Meneghel
Silvana Denise Guimarães Tade-Ane de Amorim Vanessa de Andrade Manuel Vanessa Francine Corrêa Viviane Bastos Viviani Poyer Logística de Encontros Presenciais Caroline Batista (Coordenadora) Aracelli Araldi Graciele Marinês Lindenmayr José Carlos Teixeira Letícia Cristina Pinheiro Kênia Alexandra Costa Hermann Marcia Luz de Oliveira Priscila Santos Alves Logística de Materiais Jeferson Cassiano Almeida Almeida da Costa (coordenador) Eduardo Kraus Monitoria e Suporte Rafael da Cunha Lara (coordenador) Adriana Silveira Caroline Mendonça Edison Rodrigo Valim Francielle Arruda Gabriela Malinverni Barbieri Gislane Frasson de Souza Josiane Conceição Leal Maria Eugênia Ferreira Celeghin Simone Andréa de Castilho Vinícius Maycot Serafim Produção Industrial e Suporte Arthur Emmanuel F. Silveira (coordenador) Francisco Asp Projetos Corporativos Diane Dal Mago Vanderlei Brasil Secretaria de Ensino a Distância
Karine Augusta Zanoni (secretária de ensino)
Djeime Sammer Bortolotti Carla Cristina Sbardella Grasiela Martins James Marcel Silva Ribeiro Lamuniê Souza Liana Pamplona Maira Marina Martins Godinho Marcelo Pereira Marcos Alcides Medeiros Junior Maria Isabel Aragon Olavo Lajús Priscilla Geovana Pagani Silvana Henrique Silva Secretária Executiva Viviane Schalata Martins Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (coordenador) Ricardo Alexandre Bianchini Rodrigo de Barcelos Martins
Edição – Livro Didático Professors Conteudistas Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Christian Wagner Design Instrucional Luciano Gamez Karla Leonora Dahse Nunes Projeto Gráfico e Capa Equipe Unisul Virtual Ilustrações Ricardo Manhaes (TED e MED) Diagramação Daniel Blass Fernando Roberto Dias Zimmermann Revisão Ortográfica Débora Ouriques
Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Palavras dos professores professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE
1 – 1 2– 3 – 3 4 – 4
Conjuntos Numéricos e operações elementare elementaress . . . . . . . . 15 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Funções do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Funções do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
UNIDADE 5 5 – Funções polinomiais e racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 UNIDADE 6 6 – Funções exponencial e logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 UNIDADE 7 7 – Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Para concluir o estudo. estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Sobre os professores professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Respostas e comentários das atividades atividades de auto avaliação avaliação . . . . . . . . . . . . 209 Para destacar Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Palavras dos professores Prezado participante do curso Neste texto apresentamos conteúdos de Matemática relativos à disciplina de Tópicos Tópicos de Matemática Elementar I. Todos os conceitos apresentados são considerados básicos para a sua formação inicial e são discutidos a partir do ensino fundamental. Vamos ampliar idéias objetivando-se atender as especicidades do projeto pedagógico do curso que preconiza a inserção sistemática de elementos da História da Matemática. Considerando-se que o mundo atual exige a formação de um prossional com competência e habilidades para atuar num contexto informatizado, no decorrer deste texto vamos incentivá-lo e orientá-lo para o uso de diferentes recursos tecnológicos. No ambiente virtual de aprendizagem, você terá a oportunidade opor tunidade de desenvolver atividades atividades e leituras objetivando-se a abertura aber tura de um olhar interdisciplinar. interdiscipli nar. Especicamente, poderá reetir ssobre obre aspectos didáticos do processo ensino-aprendizagem das funções elementares no contexto da Educação Básica. Considerando que estamos trabalhando no contexto da Educação a Distância, adotamos uma linguagem coloquial na parte textual, mostrando sempre as diferentes diferentes linguagens utilizad utilizadas as pela matemática. Essa escolha propiciará o uso de diferente diferentess representações semióticas dos objetos matemáticos. Para nalizar, nalizar, gostaríamos de convidá-lo para ingressar num maravilhoso mundo da educação matemática. Lembre-se sempre qu que, e, no decorrer desta caminhada, a relação didática será dinâmica e virtual, v irtual, portanto, estaremos sistematicamente ao seu lado, basta que ““aa porta esteja aberta” aberta”..
Vamos lá?
Profa. Diva Marília Flemming, Dra. Profa. Elisa Flemming Luz, Dra. Prof. Christian Wagner, Msc.
Plano de estudo O plano de estudos visa orientar você no desenvolvimento da Disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da Disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se se articulam e se complementam, portanto, a construção de competências se dá sobre a articulação ar ticulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação.
São elementos desse processo:
Livro didático. O AVA AVA (Ambiente vir virtual tual de Aprendizagem). Atividades de avaliação (complementares, a distância e presenciais).
Ementa Conjuntos numéricos. Operações elementares. Função: conceitos, propriedades, características e representações grácas. Funções elementares: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
Carga horária 60 horas – 4 créditos
Objetivos Geral:
Discutir e reetir conceitos básicos da Matemática, oportunizando condições para: investigar investigar,, obser observar, var, analisar analisar,, delinear conclusões, testando-as na solução de problemas.
Especícos:
Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemátima temáticas que permitam desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação geral; Analisar objetos de estudo a partir de diferent diferentes es representações semióticas; Aplicar conhecimentos matemáticos nas situações do dia-a-dia, apoiando no processo de tomada de decisões; Desenvolver a capacidade de raciocínio lógico, crítico e Analítico; Desenvolver a capacidade de análise e resolução de problemas; Utilizar corretamente procedimentos e ferramentas tecnológicas na
resolução de problemas; Desenvolver o espírito de equipe estimulando a pesquisa.
Conteúdo programático/objetiv programático/objetivos os Veja, a seguir, as unidades que compõem o Livro Didático desta Disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que você deverá alcançar ao nal de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade denem o conjunto de conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação.
Unidades de estudo UNIDADE 1 2 3 4 5 6 7
CONTEÚDO Conjuntos numéricos e operações elementares Funções Funções do primeiro grau Funções do segundo grau Funções polinomiais e racionais Funções exponencial e logarítmica Funções trigonométricas
CARGA HORÁRIA (horas-aula) 8 8 8 10 8 8 10
Unidade 1 – Conjuntos numéricos e operações elementares Nesta unidade, apresenta-se uma revisão dos conjuntos numéricos, ampliando-se as idéias iniciais com conceitos e propriedades operatórias. O estudo desta unidade permite, também, iniciar o delineamento da prática docente no contexto da educação básica. Unidade 2: Funções Nesta unidade, as funções são apresentadas como objetos matemáticos e como elementos fundamentais para a resolução de problemas do dia-adia. A análise das representações gr grácas ácas permitirá o desenvolvimento de hábitos de boa leitura e visualização de propriedades e características dos diferentess tipos de funções. diferente Unidade 3: Funções do primeiro grau As funções do primeiro grau serão amplamente discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura gráca, a modelagem de problemas práticos, a resolução de equações e sistemas de equações. equações. Também terá a possibilidade de visualizar situações didáticas em diferentes ambientes e níveis de ensino. Unidade 4: Funções do segundo grau As funções do segundo grau serão discutidas possibilitando aspectos interdisciplinares interdiscipli nares na modelagem de problemas de FFísica ísica e outras áreas. A visualização das propriedades e características das representações grácas oportuniza uma nova visão didática do ensino das funções na educação básica. Unidade 5: Funções polinomiais e racionais Nesta unidade, as funções polinomiais e racionais rac ionais serão apresentadas em diferentes diferent es representações (grácas e algébricas). Especicamente nesta unidade, amplia-se a visão dos recursos didáticos para a prática docente com o uso de recursos computacionais. Unidade 6: Funções exponencial e logarítmica Nesta unidade, amplia-se o conceito de modelagem com o uso das funções exponenciais e logarítmicas em diferentes tipos de problemas práticos. O contexto nanceiro é destacado com problemas reais reais de juros e crescimento exponencial.
Unidade 7: Funções trigonométricas As funções trigonométricas serão discutidas partindo-se da resolução de triângulos retângulos. retângulos. A análise das representações grácas grácas dará a oportunidade de resgatar os conceitos de domínio, imagem, periodicidade dentre outros.
Agenda de atividades/ Cronograma
AVA VA”, Verique com atenção o ““A Verique ”, organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e tutor. Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibili disponibilizado zado no AVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina.
Atividades Avaliação a Distância 1 Avaliação a Distância 2 Avaliação a Distância 3 Avaliação a Distância 4 Avaliação Presencial 1 Avaliação Presencial 2 (2ª. chamada) chamada) Avaliação Final (caso necessário) Demais atividades (registro pessoal)
UNIDADE 1
Conjuntos Numéricos e Operações Elementares
Objetivos de aprendizagem
Identicar conjuntos numéricos em diferentes situações problemas. Desenvolver procedimentos procedimentos operatórios que envolvem os números reais. Aplicar propriedades dos números reais na resolução de problemas.
Seções de estudo Seção 1 – Introdução
Seção 2 – Conjuntos numéricos Seção 3 – Adição e subtração com números reais Seção 4 – Multiplicação e divisão com números reais Seção 5 – Resolução de equações
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Para iníci início o de conversa Você deve lembrar que na sua formação escolar foi preciso aprender a “fazer contas”. contas”. Muitos algoritmos foram apresentados e discutido discutidos. s. Você lembra, por exemplo, como calcular a raiz quadrada de 2132? Quase todos esquecem! E, nos dias de hoje, com os recursos tecnológicos, podemos de forma rápida responder essa pergunta, basta ter uma calculadora na mão. Você vai poder relembrar os conjuntos numéricos e vários procedimentos operatórios no decorrer desta unidade. unidade. Anal, você será um futur futuro o professor de matemática!
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Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 1
Introdução O conceito de número é uma das idéias mais primitivas da humanidade e, por incrível que pareça, já nascemos com ela. Um bebê entre seis e doze meses já assimila agrupamentos de seres e objetos. Já consegue reunir num único grupo objetos análogos e percebe se falta algo a lgo a um desses conjuntos familiares. Por exemplo, exemplo, se você entrega ao bebê nesta idade 4 brinquedos e, sem que ele perceba, retira dois deles, certamente ele sentirá falta. Não que já saiba contar, mas porque já possui uma noção de número em sua formação individual. Para ns de padronização, criou-se uma notação comum para representar os números. Utiliza-se os algarismos hindu-arábicos:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Apesar de ouvirmos sons diferent diferentes, es, dependendo do idioma, se não houvesse uma padronização, imagine a confusão que seria!
Olhando o passado! Já há algum tempo, sabe-se que determinadas espécies de animais também são dotadas de um tipo de percepção direta sobre os números. Inúmeras Inúmeras experiências demonstraram que os rouxinóis, as pegas e os corvos eram capazes de distinguir quantidades concretas de um a quatro. Veja o caso do corvo: “Um castelão decidiu matar um corvo que ez seu ninho na torre do castelo. Já tentara várias vezes surpreender surpreender o pássaro pássaro,, mas ao se apro aproximar ximar,, o corvo deixava o ni ninho, nho, instalava-se numa árvore próxima e só voltava quando o homem saía da torre. Um dia, o castelão recorreu a uma artimanha: ez entrar dois companheiros na torre. Instantes Instant es depois, um deles desaparecia, enquanto o outro cava. Mas, em vez de cair nesse golpe, o corvo esperava a partida do segundo para voltar a seu lugar. Da próxima vez ele ez entrar três homens, dos quais dois se aastaram em seguida: o terceiro pôde então esperar a ocasião para pegar p egar o corvo, mas a esperta ave se mostrou ainda
Unidade 1
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mais paciente que ele. Nas tentativas seguintes, recomeçou-se a experiência com quatro homens, sempre sem resultado. Finalmente, o estratagema teve sucesso com cinco pessoas, pois p ois o corvo não conseguia reconhece reconhecerr mais que quatro homens ou quatro objetos...” (Extraído de: IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 8. ed. São Paulo: Globo, 1996. p. 20.)
SEÇÃO 2
Conjuntos numéricos A noção de conjunto é conhecida desde o início dos tempos. Ao invés de usar símbolos para representar os números, utilizava-se a comparação de conjuntos.
A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem informal: é o mesmo que agrupamento, classe ou coleção.
Você pode formar muitos conjuntos. Se você for colecionador de alguma coisa, a sua coleção fará parte de um conjunto. Veja como é possível escrever o conjunto formado pelos estados brasileiros localizados na região sul: A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}.
Pare! Revise!
O conjunto A é dito finito, pois possui 3 elementos, já o conjunto B é dito infinito pois possui um número infinito de elementos.
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Ou ainda, o conjunto dos números pares positivos: B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}. Nesta disciplina o que irá lhe interessar são os conjuntos formados por números ou os conjuntos numéricos. Em especial, o conjunto dos números reais, que irá embasar o estudo dos diferentes tipos de funções. Então, veja como se chegou até estes números reais!
Tópicos de Matemática Elementar I
a) Conjunto dos números naturais Neste conjunto numérico encontram-se os primeiros números conhecidos pela humanidade. Sua representação é dada por:
Pare! Revise!
Quando utilizamos a notação N* representamos a exclusão do zero:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. Perceba que este é um conjunto innito pois é possível sempre acrescentar uma unidade a cada número para que se obtenha um sucessor. sucessor.
N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
Olhando o passado! O número zero tem uma história interessante. Em 662 d.C. o bispo sírio Severus Sebort reeriu-se aos nove sinais, num trabalho público, mas não azia reerência ao zero. O zero surgiu posteriormente e não se s e sabe muito sobre a sua origem. Dizem que a sua origem está no mundo grego. Sua orma se deve aos maias (olho meio aberto), hindus (ovo de ganso) ou aos gregos (letra grega ômicron que é a primeira da palavra Ouden que signica vazio).
b) Conjunto dos números inteiros Olhando o presente! Veja o seguinte problema: P1 Um trabalhador assalariado possui uma conta no banco. No mês de julho ele se perdeu nas contas e acabou gastando mais do que deveria. Quando imprimiu o seu extrato, percebeu que o saldo era de R$130,00 R$1 30,00 D. O que isto signica? Este problema pode mostrar a importância dos números inteiros. Veja porquê! Nos extratos bancários a letra C indica crédito e a letra D indica débito. Isto signica que na conta, havia 130 reais negativos, ou seja, –R$130,00 –R$130,00,, estava faltando R$130,00. Veja como é importante o estudo dos números não positivos ou negativos. Desde a época em que o comércio passou a fazer parte da sociedade, inicialmente com o sistema de trocas até que se instituísse uma moeda, a noção de números negativos já é amplamente utilizada.
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Para representar estes números, usa-se o conjunto numérico chamado de conjunto dos números inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
c) Conjunto dos números racionais Além dos números naturais e inteiros, perceba que em seu dia-a-dia você utiliza também números fracionários. Ao comer uma fatia de um bolo dividido em 8 partes iguais, por exemplo, além da água na boca, você pode dizer que estará comendo uma parte do todo. Estará comendo 1 do bolo. 8
No sistema monetário usa-se funções decimais do real. Por exemplo: R$ 0,50 – cinqüenta centavos é a metade de um real R$ 0,25 – vinte e cinco centavos representa 1 de um real.
4
Olhe para uma régua e perceba a existência de números entre os números inteiros que você já estudou. Entre 0 e 1 temos, por exemplo, 21 ou entre 3 e 4 o número 3,25.
m
As frações são representadas na forma , n ≠ 0, m, n ∈ Ζ e formam o conn junto dos números racionais racionais , denotado por:
Q = = { x || x = =
m , m, n ∈ Ζ e n ≠ 0}. n
Veja alguns exemplos: 3 10 1 9. − 4 7 2 5
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Veja como se faz a leitura de frações:
1 2
Um meio
1 8
Um oitavo
1 3
Um terço
1 9
Um nono
1 4
Um quarto
1 10
Um décimo
1 5
Um quinto
1 Um onze avos* 11
1 6
Um sexto
1 12
Um doze avos
1 7
Um sétimo
1 20
Um vigésimo
*Avos é um substantivo masculino empregado na leitura de frações que possuem denominador maior que dez.
Toda a fração pode ser escrita em uma forma decimal. Veja como se faz: 1 = 0,5 2 1 = 0,3333... 3
3 = 0,75 4 2 = 0,285714285714... 7
Pare! Observe!
Algumas fraçõesdecimal possuem representação exata e outras uma representação decimal periódica. São dízimas periódicas: 51 = 0,5151515151... 99 31 = 0,3444444444... 0,3444444444... 90
São decimais exatas: 1 = 0,2 5 20 4 = 5
Para encontrar a forma decimal você pode realizar as divisões no papel ou mesmo em uma calculadora.
Olhando o presente! Veja o seguinte problema: P2 Em um restaurante um garçom só sabia dividir uma pizza em 10 fatias iguais. Se Mário comeu a metade da pizza e sua namorada comeu 1 quantas fatias sobraram? 5
Para saber quantas fatias sobraram, veja como é possível raciocinar: Se Mario comeu a metade da pizza, então ele comeu a metade de = 5 fatias. 10 fatias, ou seja, 10 2 1 Sua namorada comeu 5 da pizza, então ela comeu 1 de 10 fatias, 5 = 2 fatias. ou seja, ( 1 de 10) = 10 5
Pare! Observe!
Todos os números inteiros são também números racionais pois podem ser escritos na forma de uma fração. Veja:
5
4= 4
Assim, Mario e sua namorada comeram juntos 5 + 2 = 7 fatias. Portanto, sobraram 10 – 7 = 3 fatias. Unidade 1
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7 = 71
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Olhando o passado! Dioanto oi um matemático que viveu em Alexandria no século . Pouco se Dioanto sabe sobre a sua vida, mas existe uma charada que, dizem, teria sido gravada em seu túmulo: “Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu lho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu lho, soreu mais 4 anos antes de morrer.” Você sabe quantos anos viveu Dioanto? Fonte: http://www.exatas.hpg.ig.com.br/curiosidades.htm.
d) Conjunto dos números reais Para denir o conjunto dos números reais, é necessário considerar os m números que não podem ser escritos na forma de com n ≠ 0 e m, n ∈ Ζ. n Estes números formam o conjunto dos números irracionais, que pode ser escrito pela letra Q . São exemplos de números irracionais: π = 3,141592653... e = = 2,718281828...
2 = 1,41...
É comum dizer que o conjunto dos números reais é o resultado da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
Os números reais são representados geometricamente por uma reta numerada, denotada por reta real.
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Olhando o passado! Você não imagina a consternação no seio dos pitagóricos quando descobriram a existência de grandezas que não guardam entre si uma relação de inteiro para inteiro. Isto aconteceu quando vericaram a impossibilidade de mensurar (ou medir) a diagonal de um quadrado de lado igual a 1 unidade de comprimento. Acredita-se que os pitagóricos guardaram guardaram segredo s egredo por muitos anos, pois esta constatação signicava a existência deeste seres disormes no seu mundo regido pelos números. Hoje já se sabe que este ser disorme é a raiz quadrada de dois.
O número Pi A história do número π está ligada à história da vida de muitos matemáticos da Antigüidade. Que tal relembrar, para sermos justos, do nome de Arquimedes, famoso matemático e astrônomo que nasceu em Siracusa, mais ou menos 287 a.C.
No tempo de Arquimedes muitos estudiosos já sabiam que o comprimento de uma circunferência é igual a um número um pouco maior que 3 vezes o seu diâmetro.
Existe o registro histórico de várias tentativas para encontrar o valor exato desse número um pouco maior que 3, que hoje é conhecido como número Pi, simbolizado por π.
Vários métodos geométricos demonstram que o valor do Pi é π = 3, 3,14 141592653... 1592653...
Você pode encher a tela do seu computador com as casas decimais do número Pi .
O número e A origem do número e está está associada à origem dos logaritmos. As tábuas de logaritmos foram inventadas para facilitar os cálculos, pois ao se usar logaritmos consegue-se reduzir multiplicações e divisões em simples
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adições e subtrações. É usual falar ““número número neperiano” em homenagem ao matemático John Napier, uma vez que este, em 1614, apresentou uma maneira prática para denir o logaritmo de e . Além de servir de base para um sistema de logaritmos, o número e é é um número útil em toda a Matemática e ciências ans. a ns. Por exemplo, exemplo, é muito usado na Economia, Estatística, Probabilidad Probabilidades es etc. Nos dias de hoje, não se usa as tábuas de logaritmos porque as calculadoras fazem todos os cálculos. No entanto, não se pode dispensar esse número de nossas vidas. Vários fenômenos são modelados por uma fração que envolve o número e , como por exemplo, o crescimento populacional e o aumento de capital e juros. Nas próximas unidades você vai ouvir falar muito sobre o número e!
= 2,718281828...
e
e) Conjunto dos números complexos Você acha seu nome bonito? Todas as pessoas que você conhece acham ac ham o seu nome bonito? O nome de batismo de uma pessoa pode não ser bonito, mas não causa “mal entendido” porque ele tem um único signicado. Muita gente não aceita o termo “número imaginário” ou “número complexo”” tal como é usado em matemática. E isto causa um mal entendido! plexo Entretanto, é importante lembrar:
Quando uma palavra é denida precisamente e tem apenas um signicado, não há mais razões para criticar seu uso.
Logo, um número imaginário ou complexo é uma idéia matemática precisa.
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Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o passado! Cardano, um grande matemá Cardano, matemático tico do sséculo éculo , oi o primeiro a reconhecer a verdadeira importância desses números. Na sua obra “Ars Magna” discute a Álgebra e dá especial atenção às raízes negativas de uma equação e ao cálculo com números complexos.
O conjunto dos números complexos é formado por todos os números reais e pelas raízes negativas, podendo ser representado por:
C = = { z | z = (a ,b), a , b ∈ R } } Em geral os números complexos são discutidos inicialmente na forma algébrica:
Pare! Revise!
Lembre-se que i = Assim, tem-se que:
z = −4 = 2i = = 0 + 2i = = (0,2)
−1 .
i ×× i = = – 1 i 2 = – 1
z = 2 + −9 = 2 + 3i = = (2,3)
2
Ao olhar para o par ordenado (a,b) torna-se simples visualizar a parte real e a parte complexa ou imaginária do número complexo:
a é é a parte real; b é a parte imaginária.
(
Pare! Observe!
(
Nas próximas seções você irá revisar as operações com os números reais, sendo enfatizado diferentes representações, representações, algoritmos e métodos de tratamento adequados a cada situação identicada.
−1) = –1.
−1) = ( −1)2 = 1 =1 2
está incorreto.
SEÇÃO 3
Adição e subtração de números reais Para discutir as operações de adição e subtração com números reais, veja inicialmente algumas propriedades: Comutativa Associativa Elemento Neutro
a ± b = b ± a (a ± b) ± c = = a ± (b ± c )
a + + 0 = 0 + a = = a 0 é o elemento neutro da adição.
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Nos próximos exemplos você poderá aplicar estas propriedades em situações que envolvam a adição e a subtração com números reais.
Pare! Observe!
É possível estabelecer uma regra prática para calcular a adição ou subtração com números fracionários. Considere as expressões
a c e b d
escritas de forma que b e d são diferentes de zero:
Exemplos
1) Efetuar as seguintes operações: (a)
2 4 10 + 12 22 + = = 3 5 15 15
(b)
1 10 7 + 20 27 + = = 2 7 14 14
(c)
1 2 1+ 6 7 + = = 9 3 9 9
a c ad ± bbcc ± = b d bd
Perceba que esta mesma operação pode ser feita usando-se uma calculadora. O resultado que aparece no visor vai depender da conguração e potencialidades de sua calculadora. Por exemplo, você pode visualizar: 0,7777 0,777777 0,77777777 0,77777777778. (d)
20 + 45 Com uma calculadora, é possível determinar os valores aproximados para 20 e 45 : 20 ≅ 4,472135955 45 ≅ 6,708203932 20 + 45 ≅ 11,180339887 O cálculo é aproximado e o número de casas decimais depende de cada tipo de calculadora. É possível resolver esta adição usando propriedades da radiciação. Na unidade 6 você verá um breve resumo de algumas destas propriedades.
26
Tópicos de Matemática Elementar I
(e)
3 – 0,3 = 0,75 – 0,3 = 0,45. 4 Perceba que o número fracionário foi escrito em sua forma decimal para que a operação fosse realizada. Uma outra opção é escrever o número decimal como um número fracionário: 3 3 3 30 − 12 1188 9 − 0, 3 = − = = = = 0, 45. 4 4 10 40 40 20 20
(f) 1 − 2 = 3 − 10 = −7 . 5 3 15 15 (g) –0,2 + 0,37 = 0,37 – 0,2 = 0,17.
2) Um mergulhador passou da profundidade de –6 m para –4 m. Neste caso, ele subiu ou desceu? Quantos metros? Perceba que o número –6 é menor que o número –4. Assim, quando o mergulhador passa de –6m para –4m ele aumenta duas unidades. Isto signica que ele subiu 2m pois –6m é mais fundo que –4m.
3) Imagine 3 pizzas de mesmo tamanho, cortadas de formas diferentes: a primeira em duas partes, a segunda em quatro partes e a terceira em seis partes. Se Joana come um pedaço de cada uma, ao todo, quanto terá comido? Para saber quanto Joana comeu, é possível representar cada pedaço usando números fracionários: 1 • 1 pedaço da primeira pizza (cortada em duas partes) = 2 ; 1 • 1 pedaço da segunda pizza (cortada em quatro partes) = 4 ; 1 • 1 pedaço da terceira pizza (cortada em seis partes) = 6 .
Podemos escrever, . Assim, Joana comeu
, ou quase uma pizza inteira!! Unidade 1
27
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Um bondoso homem doou 51 da sua fortuna para menores carentes, e 23 para um asilo de idosos. (a) Que fração de suas posses ele doou? Ele doou
1 2 3 + 10 13
+ =
5 3
=
15
.
15
(b) Que fração sobrou? Se ele doou 1−
13 , então sobrou um inteiro menos esta fração: 15
13 1 13 15 − 13 2 = − = = . 15 1 15 15 15
As operações de adição e subtração são utilizadas em inúmeras aplicações que envolvem a modelagem matemática. Na próxima seção você poderá revisar as operações de multiplicação e divisão dos números reais.
SEÇÃO 4
Multiplicação e divisão de números reais Assim como nas operações de adição e subtração, veja algumas propriedades da multiplicação: Comutativa Associativa Elemento Neutro
a × b = b × a (a × b) × c = = a × (b × c )
a × 1 = 1 × a == a 1 é o elemento neutro da multiplicação.
28
Tópicos de Matemática Elementar I
Perceba que as propriedades listadas não são válidas para a divisão
Imagine que dois amigos foram pescar no Pantanal. Em determinado momento, cansados de esperar esperar,, eles conversam: — Esses peixes são muito espertos. Foi a terceira vez que nós dois não pegamos nenhum. — Nosso saldo está devedor. Já gastamos 6 iscas.
Como representar esta situação matematicamente? (+3) × (–2) = –6 Outras situações poderiam ser modeladas por outras multiplicações. Por exemplo: (+3) × (+2) = +6 (–3) × (–2) = +6 (–3) × (+2) = –6
Unidade 1
29
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observando essas operações é possível escrever:
Números de sinais diferentes apresentam resultado negativo e números de sinais iguais apresentam resultado positivo.
Resumindo simbolicamente as regras de sinais: Divisão
Multiplicação
(+) ÷ (+) = (+)
(+) × (+) = (+)
(–) ÷ (+) = (–)
(–) × (+) = (–)
(+) ÷ (–) = (–)
(+) × (–) = (–)
(–) ÷ (–) = (+)
(–) × (–) = (+)
Olhando o presente! Veja o seguinte problema. P3 Durante seis dias a temperatura de uma certa região esteve abaixo de zero, zer o, variando entr entree –18 –18oC. Sabendo-se que a temperatura baixou o mesmo número de graus em cada dia, quantos graus teria abaixado por dia?
Pare! Revise!
Quando uma divisão tem resto zero, trata-se de uma divisão exata. Por exemplo,
12 ÷ 6 = 2. Isto é verdade, pois 2 × 6 = 12. Da mesma forma, 35 ÷ 5 = 7, pois 7 × 5 = 35.
30
Para modelar esta situação, é possível escrever: (–18) ÷ (+6) = (–3) Isto signica que a temperatura baixou 3oC por dia, até que chegasse a –18oC. Veja a regra prática para a multiplicação que envolve frações, sendo b e d números números diferentes de zero:
a c a ⋅c ⋅ = b d b ⋅d
Tópicos de Matemática Elementar I
Exemplos
1) Resolver as operações indicadas: (a)
1 1 1⋅1 1 ⋅ = = 4 3 4 ⋅ 3 12
(b) 5 ⋅ −1 = 5 ⋅ −1 = −5 8 4 8 ⋅ 4 32 (c)
(d) 0,25 × 1,3 = 0,325
(e) 0,721 × 3,69 = 2,66049
1 10 1⋅10 10 ⋅ = = =1 2 5 2 ⋅ 5 10
1 3 e deste valor. 2 5 Para resolver este problema multiplique o valor total por suas frações:
2) Se 350 corresponde ao valor total, calcule
1 1 350 de 350 → ·350 = = 175 2 2 2 3 3 1050 de 350 → ·350 = = 210. 5 5 5 3) Um bolo foi dividido em partes iguais entre sete pessoas. Uma pessoa comeu metade da sua fatia. Quanto do bolo ela comeu? 1 Uma (1) fatia representa a sétima parte do bolo ou . 7 1 1 1 1 . do bolo, ou × = A metade de 1 fatia representa 7 2 14 14 1 do bolo. Assim, a pessoa comeu 14 4) Se no bolo do problema anterior anterior,, dividido entre 7 pessoas, cada pedaço custasse R$ 0,80, quanto custariam três pedaços do bolo? 1 1 pedaço do bolo → → R$ 0,80 7 3 3 pedaços do bolo → → 3 × R$ 0,80 = R$ 2,40 7 Logo, três pedaços do bolo custariam R$2,40.
Unidade 1
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Olhando o passado! Matemático Matemá tico tem cada idéia!
Veja o problema histórico criado para justicar a regra de sinais (–) × (–) = (+).
“Eu tinha 3 dívidas, todas de 4 moedas moed as de ouro. Mas, as pessoas para quem eu devia morreram. Per di 3 vezes a dívida de 4 moedas. Assim, quei 12. moedas mais rico”. “perdiPerdi 3 vezes a dívida de 4 moedas” → (–3) × (–4) = (12)
Quando você realiza a divisão de duas frações está multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda.
Exemplos
Pare! Revise!
Você não pode fazer uma divisão por zero. Por exemplo, não é possível dividir dois por zero (2 ÷ 0), pois se 2 ÷ 0 = x , então x · · 0 = 2. Não existe número que multiplicado por zero seja igual a 2.
Resolver as operações indicadas: 2 5 2 4 2⋅4 8 ÷ = ⋅ = = 3 4 3 5 3 ⋅ 5 15 1 1 5 1⋅ 5 5 (b) 2 = ⋅ = = 3 2 3 2⋅3 6 5 ÷5 ÷ 3 5 −5 5 −6 5 ⋅ −6 − 30 − 6 2 (c) ÷ = ⋅ = = = − = ÷5 ÷ 3 9 6 9 5 9 ⋅5 3 45 9 (a)
Após tratar das operações de multiplicação e divisão com números reais, é possível introduzir um importante conceito, utilizado em diversas situações de nosso dia-a-dia: a porcentagem porcentagem.. É comum você se deparar com expressões do tipo: a inação no último mês foi de 4% (quatro por cento); promoção: descontos de 30% à vista; o índice da bolsa em São Paulo está em queda de 0,2%.
32
Tópicos de Matemática Elementar I
Mas o que isso signica?
A porcentagem é uma forma de comparar números usando a proporção direta. É o valor obtido quando se aplica uma razão centesimal a um valor. Como o nome já diz é por 100 ou sobre 100. x
Em linguagem algébrica a porcentagem de um número a , à razão x
100
é:
100 × a . x
por x %. 100 Para entender melhor, melhor, veja a aplicação deste conceito nos exemplos abaixo apresentados. Indica-se a expressão:
Exemplos
1) Calcule 10% de 500. 10 A razão centesimal é dada por 10% = . Portanto, 100 5000 10 = 50. ·500 = 10% de 500 → 100 100 2) Calcule 25% de 210. 25 . Portanto, Neste caso, a razão centesimal é dada por 25%= 100 25 5250 25% de 210 → ·210 = = 52,5 100 100 3) Qual a taxa porcentual de 3 sobre 4? Equacione a taxa indicada como 3 100 4 4x = = 3·100 4x = = 300 x
=
300 x = = 4 → Então a taxa é de 75%.
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Uma loja divulga uma promoção de 10% sobre o preço de suas mercadorias vendidas à vista. Se uma camisa custa R$90,00, qual será o seu valor com o desconto? O desconto de 10% será sobre o valor de R$ 90,00. Assim teremos: 10 900 10% de 90 → 100 ·90 = 100 = 9. Isto signica que a camisa custará R$ 9,00 a menos. Portanto, o preço a 81,00. ser pago é de R$ 90,00 – R$ 9,00 = R$ 81,00.
Parada recreativa Você lembra do matemático Diofanto? Que tal calcular quantos anos ele tinha quando morreu? Veja o que estava em seu túmulo: “Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se se casar.. Cinco anos após nasceu seu lho, com quem concasar viveu metade da sua vida. vida. Depois da morte de seu lho, lho, soreu mais 4 anos antes de morrer.”
Vamos identicar por V o o tempo de vida de Diofanto, medido em anos. O tempo de vida de Diofanto é a soma de cada uma das frações indicadas. Assim, temos:
= V
V
+
V
+
V
V
+ + +
6 12 7 5 2 4 .
Resolvendo a soma de frações, teremos: V
+
V
+
V
V
V
+ + − V = −9
6 12 7 V
V
+
V
−
V
= −9 6 12 7 2 1 14V + 7V + 12V + 42V − 84V = −9 84 −9V = −9 84 V = 84
34
+
2
Tópicos de Matemática Elementar I
Determinando o valor de V , é possível saber que Diofanto viveu 84 anos. Veja na tabela abaixo a divisão destes 84 anos:
Menino
84 = 14 anos 6
Até 14 anos
Rapaz
84 = 7 anos 12
14 aos 21 anos
Antes de casar
84 = 12 anos 7
21 aos 33 anos
Filho nasceu
5 anos depois de casar
33+5 = 38 anos
Conviveu com o lho
84 = 42 anos 2
38 aos 80 anos
Morreu
4 anos depois da morte lho
80+4 = 84 anos
SEÇÃO 5
Resolução de equações Quando você está diante de um problema, pode resolvê-lo usando mais de um caminho ou estratégia. Se o problema requer o uso de objetos matemáticos, a solução pode ser obtida a partir do envolvimento de algoritmos numéricos, resolução de equações ou sistemas de equações. Para cada situação, usa-se a ferramenta matemática adequada que poderá ser simples ou de nível mais complexo, como é o caso de derivadas e integrais (objetos matemáticos não estudados nesta disciplina). Os problemas considerados da área econômica, em geral, são modelados através de expressões algébricas resultando em fórmulas práticas. Ao aplicar os dados, você ca diante de uma equação ou de um sistema de equações. É importante que neste momento você faça uma breve revisão sobre a resolução de equações do 1o e 2o graus, pois estes conceitos serão amplamente aplicados no estudo das funções nas próximas unidades.
Equação do 1o grau A resolução de uma equação do 1 o grau consiste na determinação da incógnita x , ““isolando-a” isolando-a” em um dos lados da igualdade. Para tal, você precisa relembrar dois princípios: Unidade 1
Pare! Revise!
É usual utilizar letras para representar os valores que uma variável pode assumir. É comum, de forma mais tradicional, usar o termo incógnita para expressar o valor que é desconhecido e se procura saber.
35
Universidade do Sul de Santa Catarina
Princípio aditivo da igualdade: adicionando (ou subtraindo) aos dois membros de uma igualdade o mesmo número, a igualdade não se altera. Em outras palavras, ao passar um número que está somando (ou subtraindo) para o outro lado da igualdade, deve-se inverter seu sinal.
Princípio multiplicativo da igualdade: multiplicando igualdade: multiplicando (ou divi-
dindo) os dois de uma igualdade mesmo que número, igualdade não membros se altera. Em outras palavras,pelo um número está a multiplicando passa para o outro lado da igualdade dividindo; já um número que está dividindo passa para o outro lado da igualdade multiplicando.
Exemplos
1) Determinar o valor da incógnita x das das seguintes equações do 1o grau: (a) 8x + + 4 = 12 8x = = 12 – 4 8x = = 8 8 x = = 8 x = = 1 (b) –3x + + 4 = –3 –3x = = –3 –4 –3x = = –7 −7 x = = −3 7 x = = 3
36
2 –3 = 5 (c) 7 x –3 2 x = = 5 + 3 7 2 x = = 8 7 7 x = = 8· 2 56 x = = 2 x = = 28
Tópicos de Matemática Elementar I
2) O testamento de um moribundo impõe que se sua esposa, que está grávida, tiver um lho, este herdará 3 e a viúva 1 dos bens; mas 4 4 5 7 se nascer uma lha, esta herdará e a viúva dos bens. Como devem 12 12 ser divididos os bens no caso de nascer um casal c asal de gêmeos?1 Este é um problema discutido na Idade Média e tem origem romana. A solução considerada viável faz uma suposição satisfatória pois, rigorosamente, não semoribundo, poderia solucioná-lo visto que não se (poderia, conhece opor critério adotado pelo no caso de lhos gêmeos exemplo, ser uma escolha aleatória). A sugestão de solução considera que o moribundo queria deixar: para um lho o valor equivalente ao triplo do valor da viúva pois:
1 3 = 3 × 4 4
para uma lha o valor equivalente a 75 do valor da viúva pois:
5 7 7 = × 12 5 12
Assim, é possível escrever a equação: 7 5
= 1. x + + 3x + + x = Considerando-se que a herança foi repartida para 3 pessoas (viúva, lho e lha), e mantendo-se a proporcionalidade inicialmente proposta, na equação o valor de x representa representa a parte da viúva. Para resolver a equação, é possível aplicar os princípios enunciados para a resolução de uma equação do 1o grau. Veja: 7
x + 3x + x = 1
5 5x + 15x + 7x =1 5 27x =1 5 27x = 5 5 x = . 27
Problema extraído de EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Matemática. Campinas: UNICAMP, 1995, p. 314.
1
Unidade 1
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Assim, a solução pode ser resumida da seguinte forma: 5
A viúva receberá 27 dos bens, o que corresponde a 18,51% do total. 5 5 dos bens, o que corres = 15 → 3 × 27 O lho recebe o triplo de 27 27 ponde a 55,56% do total. 7 5 5 dos bens, o que corresponde = 27 → 75 × 27 A lha recebe 75 de 27 a 25,93% do total.
Equação do 2o grau Para resolver uma equação do segundo grau é preciso utilizar algumas regras gerais que foram criadas para auxiliar nestes cálculos. A fórmula mais conhecida é a fórmula de Báskara:
−b ± ∆ −b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = x = 2⋅a 2 ⋅ a −b + b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c x 1 = 2 a
−b − b 2⋅ − 4 ⋅ a ⋅ c x 2 = 2 ⋅ a
Exemplos
1) Resolver as equações do 2o grau. a) 2x 2 + 5x – – 3 = 0
−5 ± 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ − 3 x = 2⋅2 −5 + 7 2 1 x 1 = = =
4 4 2 −5 − 7 −12 x 2 = = = −3 4 4
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Tópicos de Matemática Elementar I
b) 16 – x 2 = 0
−0 ± 02 − 4 ⋅ −1⋅16 0 ± 64 ±8 x = = = 2 ⋅ −1 −2 −2 x 1 =
x 2
=
8 = −4 −2 −8
=
−2 4
2) Encontrar o preço de equilíbrio e a respectiva quantidade para as funções de demanda e oferta, sendo x a a quantidade e y o o preço
x 2 + 5x –– y + + 1 = 0 – 9 = 0 2x 2 + y – Para determinar o preço de equilíbrio e a quantidade vamos resolver o sistema de equações dado. Isolamos = 9 – 2 2 e substituímos na primeira y x equação:
x 2 + 5x – – (9 – 2x 2) + 1 = 0 x 2 + 5x – – 9 + 2x 2 + 1 = 0 3x 2 + 5x – – 8 = 0 Aplicando os valores referentes à equação a ser solucionada, temos:
−5 ± 52 − 4 ⋅ 3 ⋅ −8 −5 ± 25 + 9966 −5 ± 121 = = x = 2⋅3 6 6 x 1 = −5 + 11 = 6 = 1
6 6 −5 − 11 −16 = x 2 = 6 6
Como x representa representa a quantidade do produto, não faz sentido ser representado por um número negativo. Assim, apenas nos interessa o valor de x 1 = 1.
Unidade 1
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Substituindo x = = 1 em uma das equações, temos:
y = = 9 – 2x 2 y = = 9 – 2·12 y = = 9 – 2 y = = 7 Portanto os valores y = = 7 e x = = 1 representam o preço de equilíbrio e a quantidade para as funções de demanda e oferta apresentadas.
Parada recreativa Você já ouviu falar em Quadrados Mágicos? Um quadrado dividido em 4, 9 ou 16 quadrados iguais é dito um quadrado mágico se a soma dos números numa coluna, numa linha ou em qualquer das diagonais for sempre a mesma.
16
A origem dos quadrados mágicos é obscura. Na Índia muitos reis usavam o quadrado mágico como amuleto; um sábio do Iemen armava que os quadrados mágicos eram preservativos de certas moléstias. Um quadrado mágico de prata, preso ao pescoço, evitava, segundo a crença de certas tribos, o contágio da peste.
2 10 4
Se a tradição for verdadeira, vale a pena completar o quadrado mágico proposto. Lembre-se que ao somar os valores das linhas, colunas e diagonais você deve obter o mesmo valor.
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Tópicos de Matemática Elementar I
Síntese Ao nalizar esta unidade você já pode dizer que conhece os números que são amplamente discutidos na Matemática e, muitas vezes, erroneamente utilizados em nosso dia-a-dia. Perceba que os conc conceitos eitos relacionados aos números, as frações e as operações são importantes importa ntes para que você avance e amplie seus estudos na Matemática. Você ainda vai ouvir muito sobre sobre os números nesse curso curso.. Os conceitos vão sendo aprofundados, mas isto só será possível se você sanar todas as suas dúvidas desde desde já. Então aproveite! Vá até o A AVA, VA, analise as idéias apresentadas nos diferentes ícones e desenvolva todas as atividades propostas. Não esqueça de sanar suas dúvidas com o seu professor tutor tutor.. Nas próximas unidades você irá estudar as funções. Ate lá!
Unidade 1
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Atividades de auto-avaliação 1) Efetue as operações indicadas: 2 5 (a) + 3 6
3 (c) 10 ÷ 4
(d)
1 – 0,3 4
(f (f))
(e)
42
(b)
1 2 – 9 7
4 9 – 5
3 1 × 4 3
Tópicos de Matemática Elementar I
(g)
1 7 ×3 + 2 3
(h)
3 5 ÷ 4 3
(j)
10 5 3
7 (i)
6 7
2) O salário do funcionário de uma empresa é igual a R$1200,00. No mês de suas férias ele recebe o seu salário mais 1 referente às férias. Quanto 3 ele receberá?
Unidade 1
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3) Mario trabalhou 7 meses numa empresa, com salário de R$ 600,00. Por isso, recebeu a quantia igual a de 7 de um salário, correspondente 12 à parte do 13º salário. De quanto foi a quantia recebida?
4) Se 2 correspondem a 180, a quanto corresponde um inteiro? 5
5) O tanque do carro está seco. Se pusermos 14,5 litros, num carro que roda, em média, 7,14 km/l, conseguiremos chegar a um hotel que ca a 98 quilômetros de distância?
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Tópicos de Matemática Elementar I
6) Numa receita de bolo usa-se 0,5 litros de leite, sendo que 0,25 dessa quantidade vai no recheio. Que fração do litro é usada no recheio?
7) Uma mãe deu dinheiro aos três lhos, dizendo que era um terço para cada um. O primeiro lho gastou só um terço da sua parte. Que fração do total ele gastou?
8) Um clube tem 60 associados, 18 dos quais com menos de 15 anos de idade. Esses jovens correspondem a que fração do quadro de associados?
Unidade 1
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9) Em uma aplicação nanceira tem-se rendimento igual a 1,0% ao mês, sendo descontada uma taxa anual xa, relativa à administração, a dministração, igual a 5% do depósito inicial. Se um indivíduo possui R$6000,00 e aplica este dinheiro durante um ano e meio, qual será o seu saldo nal?
10) Numa pesquisa de intenção de voto, realizada com 500 pessoas de uma cidade, obteve-se os seguintes resultados Número de pessoas apresentados na tabela ao lado: Calcule os valores percentuais da pesquisa realizada.
Candidato A Candidato B Indecisos
132
x
74
11) Um incêndio destruiu 30% da área verde de uma oresta. Se 20% desta oresta é formada por rios e riachos e o restante somente por área verde, qual o percentual da oresta atingida pelo fogo?
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Tópicos de Matemática Elementar I
12) Resolva as seguintes equações: 3x + 1 (a) = −x 5
(c)
2x + 5 1 = x − 4 2
1 (e) (x − 3) x + = 0 2
(b) 3x + + 3 = –12
– 3 = 0 (d) x 2 + 2x –
(f) (2x – – 5)(4 – x ) = 0
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais Uma sugestão para descontrair e para que você perceba que a Matemática não está presente apenas nos livros, é a leitura do livro Mar Sem Fim Fim de Amyr Klink (veja a seguir a referência completa). Além de navegar junto com o autor, você poderá expandir seus conhecimentos e observará a Matemática presente em cada página, nos maravilhosos relatos do autor sobre sua aventura ao redor da Antártica! KLINK, Amyr. Mar sem m: m: 360o ao redor da Antártica. São Paulo: Companhia das Letras, 2000.
48
UNIDADE 2
Funções
Objetivos de aprendizagem
Identicar funções presentes no cotidiano e que modelam situações problemas. Analisar representações graas dos diferentes tipos de funções. Analisar características e propriedades das funções;
Seções de estudo Seção 1 – Introdução
Seção 2 – Tipos de funções Seção 3 – Propriedades e características Seção 4 – Função inversa
2
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Para iníci início o de conversa Você vai ouvir muito a palavra função no decorrer do seu curso e terá sempre a oportunidade de constatar a importância impor tância desse objeto matemático para a sua formação como futuro profess professor or de matemática e também para a sua formação como cidadão que necessita lidar com diferentes situações situações problemas. A Matemática está presente nos currículos escolares em uma boa parte par te da formação escolar de um cidadão, exatamente pelo fato de que estamos diante de um “combustível” que faz a sociedade funcionar. Vamos conhecer um pouco mais de perto a maravilhosa formalidade de objetos matemáticos!
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Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 1
Introdução Você já parou para pensar onde aparecem as funções discutidas na matemática em sua vida? Mas antes disso, você sabe realmente o que é uma função?
Você pode pensar, intuitivamente, intuitivamente, que uma função é uma relação entre variáveis. Assim, por exemplo, podemos dizer que a temperatura depende da umidade relativa do ar, da localização que está sendo considerada, da altitude, da presença de um ar condicionado, entre outras coisas. É possível dizer, de forma simplicada, que a temperatura é uma função destas variáveis elencadas, ou seja, Temperatura = f(umidade relativa do ar, localização, altitude, ar condicionado) Esta pode ser uma função que envolve várias variáveis.
Para entender as funções de várias variáveis, é importante que você conheça, num primeiro momento, algumas funções mais simples, chamadas de funções de uma variável. São também relações que envolvem apenas duas variáveis: uma dita dependente e outra dita independente.
Existem inúmeras situações que envolvem estas funções de uma variável, por exemplo:
o espaço percorrido por um automóvel depende do tempo; a área de uma sala quadrada depende da medida do seu lado; o custo de fabricação de um produto depende do número de unidades produzidas.
Unidade 2
51
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nos exemplos colocados, é possível identicar as variáveis dependentes e independentes:
Variáveis dependentes: espaço percorrido, área da sala, custo de Variáveis fabricação do produto; Variáveiss independentes: tempo, medida do lado da sala, número Variávei de unidades produzidas.
Para modelar essas situações, são utilizadas funções do tipo y = = f (x ),), sendo x a a variável independente e y aa variável dependente. Para denir uma função é necessária a existência de dois conjuntos e uma relação especíca entre eles. A Figura 2.1 mostra diagramas que representam os dois conjuntos e a relação em três diferentes situações situações.. Observe que:
todos os elementos do conjunto A têm um único correspondente no conjunto B; no conjunto D você pode ter elementos que são correspondentes de mais de um elemento no conjunto C; no conjunto F você pode ter elementos que não são utilizados na relação entre os dois conjuntos.
(a)
(c)
(b) C
E
F
Apresenta uma função de A
Apresenta uma função de C
Apresenta uma função de E
em B: a cada elemento do con junto A corresponde um único elemento do conjunto B.
em D. Pode-se dizer que 2 é imagem de 1 e 4 é imagem de 0 e 2, ou,
em F. O conjunto F tem um elemento que não é imagem da função.
f (1) = 2 f (0) = f (2) (2) = 4 Figura 2.1 Diagramas com funções.
52
D
Tópicos de Matemática Elementar I
Denição de função Formalmente podemos denir função da seguinte forma:
Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos números A → B é reais. Uma função f função f : : A é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B.
Linguagem Simbólica: f : A → B x f (x )
A f → B
ou
x y = f (x )
Podemos dizer que uma função denida no conjunto dos reais é uma relação especíca, pois estamos diante de um subconjunto do produto R
R
cartesiano × . Assim, a representação gráca de uma função y = = f (x ) é o conjunto dos pares ordenados (x , f (x )), )), e para cada valor de x existe existe um único correspondente y . É usual identicar:
Domínio de uma função: conjunto em que a função é denida (conjunto A). Contra-domínio de uma função: conjunto em que a função toma valores (conjunto B). Conjunto Imagem de uma função ou simplesmente Imagem da função: conjunto dos valores f (x ))..
Pare! Observe!
Na linguagem mais coloquial é usual confundir as notações f com f (x )):: f é a função f : A → B , enquanto que f (x ) é o valor que a função assume em x . Costuma-se falar que f ( x x ) é a imagem de x .
Unidade 2
53
Universidade do Sul de Santa Catarina
Olhando o passado! Euler oi um escritor prolíco da história da matemática. Sua produtividade surpreendente não oi prejudicada quando cou cego. Publicou P ublicou 530 trabalhos durante sua vida e muitos manuscritos publicados após a sua morte. É muito grande a sua contribuição para a matemática. Destaca-se aqui, a sua auto autoria ria por notações matemáticas que permanecem imutáveis imutáveis através dos sé séculos. culos. Por exemplo, exemplo, a notação de unções y = = f (x ))..
Acompanhe os exemplos a seguir:
Exemplos
1) Considere as funções apresentadas na Figura 2.1. Determine o domínio D(f ),), o contra-domínio CD(f ) e o conjunto imagem Im(f )).. (a)
(b)
(c)
f : A → B
f : C → D
f : E → F
D( f ) = {1,2} CD( f ) = {2,4} Im( f ) = {2,4}
D( f ) = {0,1,2} CD( f ) = {2,4} Im( f ) = {2,4}
D( f ) = {1,2} CD( f ) = {2,4,7} Im( f ) = {2,4}
Em geral os conjuntos A e B são subconjuntos do conjunto dos números reais. Neste caso, as funções são ditas reais com variáveis reais e a representação usual é a representação algébrica da lei de formação que dene a relação entre os conjuntos. 2) Para cada uma das funções, identicadas a partir de sua representação 1 algébrica, calcule a imagem nos pontos 1, –3 e 2 : (a) f (x ) = x – – 1 Para calcular a imagem nos pontos indicados, é necessário fazer 1 x = = 1, x = = –3 e x = = 2 . Assim, temos: (1) = 1 – 1 = 0
f f (–3) = –3 – 1 = –4 54
1 1 2 2
f = − 1 =
1− 2 −1 = 2 2
Tópicos de Matemática Elementar I
(b) g (t ) = –t 2 1
Neste caso, vamos fazer t = = 1, t = = –3 e t = = 2 . Assim, temos:
g (1) = –12 = –1 g (–3) = –(–3)2 = –9
2
1 1 1 g = − = − . 2 2 4
Pare! Observe!
Veja a diferença entre a imagem e o conjunto imagem de uma função: o conjunto imagem são todos os pontos que a função pode assumir, ou seja, todos os valores que a variável y assume. assume. A imagem de uma função é calculada para cada ponto identificado. Assim, é possível calcular f (1), f (–3) ou f (½) que serão, respectivamente, a imagem da função no ponto 1, –3 ou ½ .
SEÇÃO 2
Tipos de funções Para ns didáticos é interessante que as funções sejam classicadas de acordo com algumas características. Nesta disciplina você terá a oportuopor tunidade de aprofundar o estudo das funções polinomiais do primeiro e segundo graus (unidades 3 e 4), das funções racionais e polinomiais com grau maior do que 2 (unidade 5), das funções exponenciais e logarítmicas (unidade 6) e, por m, das funções trigonométricas (unidade 7). Neste momento, você terá apenas uma panorâmica geral destes tipos de funções, para que possa estudá-las separadamente nas demais unidades. Vereque nas Figuras 2.2 até 2.8, exemplos grácos de diferentes tipos de funções. f(x)
f(x)
3
3
2 2 1 1
x -3
-2
-1
1 -1
2
x
3 -3
-2
-1
1
2
3
-1 -2
-2
-3
Figura 2.2 Função polinomial do primeiro grau y = = x + + 1
Figura 2.3 Função polinomial do segundo grau y = = x 2 + 1
Unidade 2
55
Universidade do Sul de Santa Catarina
f(x)
f(x) 3
3
2 2 1 1
x x -3
-2
-1
1
2
-3
-2
-1
3
1
2
3
-1
-1 -2
-2
-3
Figura 2.5 Função racional y =
Figura 2.4 Função polinomial do terceiro grau y = = x 3 + 1 f(x)
1 x + 1
f(x)
3
3
2
2
1
1
x -2
-1
1
2
3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
Figura 2.6 Função exponencial y = = 2x
1
x -
-1
Figura 2.8 Função trigonométrica y = = sen x
2
Figura 2.7 Função logarítmica y = = log x
f(x)
56
x 3
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o futuro! Existem vários sofwares matemáticos que auxiliam no tratamen tratamento to de grácos de unções. Os grácos apresentados neste material oram eitos no sofware ., que está disponível disp onível para download em em http://www.padowan.dk/ graph/. Mas você pode utilizar qualquer outro sofware para azer grácos de unções. Experimente procurar na Internet. Lá encontrará várias versões demo prontas para download . Vale a pena tentar! Experimente!
Olhando o presente! Os problemas estão ao nosso redor mostrando exemplos de funções. Conra! P1 A equação de demanda de um produto é p 2 + 2 p + + 2x – – 24 = 0, sendo p o o preço de uma unidade da mercadoria e x o o número de unidades da mercadoria. Se o produto fosse de graça, qual seria a demanda? Para resolver este problema, é importante entender o que é a equação de demanda. Num primeiro momento, perceba que estamos trabalhando com duas variáveis:
p o o preço de uma unidade da mercadoria; x a a quantidade de mercadoria demandada.
Usando métodos estatísticos e dados econômicos, você pode montar uma equação de demanda que demanda que pode representar funções do tipo p = = f (x ) (função preço) ou x = = g (( y y ) (função de demanda). Em situações econômicas normais, o domínio dessas funções é um subconjunto dos números reais não negativos. Ao fazer o gráco dessas funções é usual na área de Economia representar a variável p no no eixo horizontal e a função ca denida em intervalos convenientes. oferta envolvendo as Podemos considerar também a equação de oferta envolvendo variáveis:
p o o preço de uma unidade da mercadoria; x a a quantidade de mercadoria a ser ofertada por um produtor produtor..
Unidade 2
57
Universidade do Sul de Santa Catarina
Numa situação econômica normal a curva de oferta é crescente. Quando o preço da mercadoria aumenta, o produtor aumenta a oferta para tirar vantagem dos preços altos. A curva da demanda é decrescente, pois quando o preço aumenta a procura do produto diminui.
O equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada a um dado preço é igual à quantidade de mercadoria ofertada àquele preço. Em outras palavras, o equilíbrio de mercado ocorre quando tudo que é oferecido para a venda de um determinado preço é comprado. No decorrer deste texto vamos voltar a discutir sobre esse tipo de problema que pode ser modelado por funções polinomiais. A partir destas considerações, podemos denir a demanda, para a situação apresentada em P1, caso o produto fosse de graça. A representação gráca + 2x – – 24 = 0 da função denida a partir da equação de demanda p 2 + 2 p + poderá auxiliar neste momento.
p ) e para isto, Podemos determinar a função de demanda dada por x = = f ( p vamos isolar a variável x na na equação de demanda do produto: p 2 + 2 p + 2x − 24 = 0
2x = − p 2 − 2 p + 24 x = x=
58
− p 2 − 2 p + 24 2
−1 2
p 2 − p + 12
Tópicos de Matemática Elementar I
Usando um software matemático, podemos fazer o gráco da função −1 2 x= p − p + 12 , conforme mostra a Figura 2.9: 2
Pare! Observe!
No contexto econômico costuma-se representar a função inversa para que se tenha o preço no eixo vertical.
x 12
10
8
6
4
2
p 0.5
1
1.5
2
2.5
3
3. 5
4
4.5
Figura 2.9 Curva de demanda do produto.
Olhando para o gráco da Figura 2.9 é possível determinar que, se o produto fosse de graça, ou seja, a variável p = = 0, o valor da variável x seria seria igual a 12, ou seja, a demanda seria de 12 unidades do produto analisado. É possível encontrar este valor de forma algébrica, fazendo p = = 0 na função encontrada: x=
−1
p 2 − p + 12
2 −1 x = 02 − 0 + 12 2 x = 12.
SEÇÃO 3
Propriedades Propried ades e características Quando você for trabalhar com funções, é importante que reconheça as diversas linguagens utilizadas em sua representação. Em especial, nas representações grácas onde é possível visualizar propriedades e características das funções sem a necessidade de desenvolvimentos algébricos mais elaborados. Unidade 2
59
Universidade do Sul de Santa Catarina
Veja a seguir, a formalização das principais propriedades e características das funções, que serão estudadas de forma especíca para cada tipo de função nas próximas unidades.
Representação algébrica: É algébrica: É a lei de formação da função. Usualmente utiliza-se a notação y = = f (x ) Representação gráca: É gráca: É o gráco da função no sistema cartesiano de coordenadas.
Domínio: São os valores que a variável independente pode assumir Domínio: São assumir.. Na representação gráca, é possível identicá-lo a partir da análise do eixo x . Conjunto imagem: São imagem: São os valores v alores que a variável y assume. assume. Na representação gráca, é possível identicá-lo a partir da análise do eixo y . Zero ou raiz: Quando raiz: Quando igualamos a lei de formação a zero ( y y = = 0), haverá um valor correspondente de x . Assim, o(s) valor(es) de x tais tais que f (x ) = 0 será(ão) o(s) zero(s) da função. Gracamente é o ponto em que o gráco corta o eixo x .
Sinal de uma função: O função: O sinal de uma função é dado pelo sinal da imagem da função. Quando os valores de y assumem assumem sinal positivo, dizemos que f (x ) > 0, ou seja, a função assume sinal positivo. positivo. Quando os valores de y assumem assumem sinal negativo, dizemos que f (x ) < 0, ou seja, a função assume sinal negativo. negativo. Gracamente, a função é positiva acima do eixo x e é negativa abaixo deste eixo. Crescimento ou decrescimento: Uma decrescimento: Uma função é crescente crescente se, se, para dois valores quaisquer x 1 e x 2, com x 1 < x 2, tivermos f (x 1) f (x 2).
Olhando o presente! Veja o seguinte problema. P2 Numa indústria, vericou-se que quando o preço de uma peça era igual a R$5,00, os clientes encomendavam 50 unidades por dia. Quando o preço passou a ser R$4,50, as encomendas passaram para 60 unidades por dia. Como podemos representar a função de demanda desta peça? 60
Tópicos de Matemática Elementar I
Para resolver este problema, vamos inicialmente fazer o gráco da função p = = f (x ) sendo p o o preço e x a a quantidade demandada. Com os dados do problema, podemos dizer que esta função passará pelos pontos (50,5) e (60;4,5), conforme mostra o gráco da Figura 2.10.
p 8 7 6 5 4 3 2 1
x 20
40
60
80
100
120
140
-1
Figura 2.10 Representação gráca da função de demanda da peça.
Para esta função, vamos analisar suas propriedades e características:
Representação algébrica: A algébrica: A lei de formação desta função é dada por y = = –0,05x + + 7,5. Representação gráca: Veja gráca: Veja a Figura 2.10. Domínio: A variável x assume Domínio: A assume valores que vão de 0 até 150. Portanto temos: D( f ) = [0,150]. Observe que na prática x é é um número inteiro, mas na área econômica esse formalismo é relaxado. Conjunto imagem: Analisando o eixo y do do gráco, podemos perceber que a variável y assume assume valores que vão de 0 até 7,5. Portanto, temos: Im( f ) = y ∈ [0;7,5] Zero ou raiz: O raiz: O zero da função é o ponto cujo gráco corta o eixo x . Nesta função, isto acontece quando x = = 150. Sinal de uma função: Esta função: Esta função é toda positiva pois o seu gráco está todo acima do eixo x . Crescimento ou decrescimento: É decrescimento: É uma função decrescente pois a medida em que os valores de x aumentam, aumentam, os valores de y dimi diminuem. Dos dados do problema podemos mostrar que se x 1 = 50 e x 2 = 60, com x 1 < x 2, teremos: f (x 1) = 5, f (x 2) = 4,5 e f (x 1) > f (x 2). Unidade 2
61
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Olhando o futuro! Estamos de orma sistemática incentivando o uso de sofwares. Veja, Veja, no exemplo desenvolvido, desenvolvido, que a expressão que dene a lei de ormação oi ornecida pelo sofware Graph. Colocamos os pontos dados usando a erramenta Function e Insert point series. Para azer o traçado do gráco usamos um ajuste de curva cur va com a erramenta Function e Insert trendline escolhendo a opção linear . Se vocêpossível ainda não delivre um sofware não pois percaeletempo, o mais rápido umdispõe que seja na Internet, vai serpesquise seu ajudan ajudante te no decorrer desta disciplina.
SEÇÃO 4
Função inversa Ao denirmos uma função y = = f (x ) na forma f : A → B , ressaltamos que se trata de uma lei ou regra que a cada c ada elemento de A se se faz corresponder um único elemento de B . Em algumas funções para cada y ∈ B existe existe exatamente um valor x ∈ A A A na tal que y = = f (x ).). Nestes casos, dene-se uma função g :: B → A na forma x = = g ( ( y y ) . A função g é é dita inversa de f , e é denotada por f –1. Nem todas as funções possuem inversa. As funções do segundo grau, por exemplo, não possuem inversa, a não ser que seja feita uma restrição conveniente no seu domínio e contra-domínio. Acompanhe os exemplos a seguir:
Exemplos
1) Determinar a função inversa de f (x ) = 2x – – 1. Para determinar a representação algébrica da função inversa de f (x )),, troca-se o x pelo pelo y na na função dada. Assim tem-se:
x = = 2 y – – 1.
62
Tópicos de Matemática Elementar I
Isolando a variável y determina-se determina-se a função inversa: x + 1 = 2 y y =
x + 1
2
x + 1
Portanto, f −1 =
.
2 + 3. Faça sua repre2) Vericar a existência da função inversa de y = = x 2 – 4x + sentação gráca, caso exista. Veja na Figura 2.11 a representação gráca da função y = = x 2 – 4x + + 3:
f(x) 8 7 6 5 4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
Figura 2.11 Gráco da função y = + 3 = x 2 – 4x +
Na função do segundo grau é necessário realizar uma restrição no domínio pois para cada y ∈ B existem existem mais de um x ∈ A A correspondente. correspondente. Veja no gráco que quando y = = 3 ⇒ x = = 0 ou x = = 4. Portanto, a função inversa só poderá ser identicada caso haja uma restrição no domínio da função. Suponha que a função passe a ser denida como f : [2,+∞) → R. Veja na Figura 2.12 o gráco da função:
Unidade 2
63
Universidade do Sul de Santa Catarina
f(x) 8 7 6 5 4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
Figura 2.12 Gráco da função y = = x 2 – 4x + + 3 denida de [2,+∞) → R
Gracamente, observa-se uma simétria em relação à reta y = = x . Veja a representação gráca das duas funções na Figura 2.13.
f(x) 7 6 5 4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1 -2 -
Figura 2.13 Função f : [2,+∞) → R, y = = x 2 – 4x + + 3 e sua inversa.
64
Tópicos de Matemática Elementar I
Parada recreativa Malba Tahan, Tahan, foi um escritor famoso por suas aatividades tividades recreativas envolvendo a matemática. Veja se você consegue resolver a seguinte situação apresentada apresenta da pa para ra ““o o calculista” ca lculista”.. Como pagamento de pequeno lote de carneiros, três criadores de damasco receberam 21 vasos de vinho:
7 cheios; 7 meio-cheios; 7 vazios.
Como dividir em partes iguais, de forma que cada um deles recebera o mesmo número de vasos e a mesma m esma quantidade de vinho, sem abrir os vasos?
Síntese Ao nalizar esta unidade, é importante que você perceba que está com uma ferramenta matemática poderosa e muito útil na modelagem de problemas práticos. O detalhamento dos itens qu quee foram aqui mostrados será apresentado no decorrer das próximas próximas unidades unidades.. Mas não siga adiante sem antes sanar todas as suas dúvidas. Não esqueça de analisar os conceitos destacados no AV AVA A e as leituras indicadas na midiateca. Procure seu professor tutor para ajudá-lo na resolução das atividades apresentadas no AVA, caso você encontre diculdades. A próxima unidade tratará das funções do primeiro grau. Até mais!
Unidade 2
65
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação 1
1) Calcule f (0) e f ( 2 ) para as funções representadas algebricamente por: x + 1 (a) f (x ) = x 2 – x + 1 (b) f (x ) = x − 1
2) A função que expressa o custo total, em reais, de fabricação de um produto é dada por C (q ) = q 3 – 10q 2 + 100q + + 100, sendo q o o número de unidades do produto. (a) Calcule o custo de fabricação de cinco unidades. (b) Qual o custo de fabricação da quinta unidade?
66
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Sejam as funções representadas gracamente nas guras 2.14 e 2.15:
f(x)
9 8 7 6 5 4 3 2 1 x
-9
--8 8
--7 7
--6 6
--5 5
--4 4
--3 3
--2 2
--1 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
Figura 2.14 Gráco de f (x ).).
g(x)
10
5
x
-9
--8 8
--7 7
--6 6
--5 5
--4 4
--3 3
--2 2
--1 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 2.15 Gráco de g ((x ).).
Unidade 2
67
Universidade do Sul de Santa Catarina
Complete a tabela com as características c aracterísticas e propriedades das funções f (x ) e g ( (x ))..
f(x)
g(x)
Domínio
Conjunto imagem
Zero ou raiz
Sinal da função
Intervalo de crescimento Intervalo de decrescimento
4) Determine a representação algébrica da função inversa de: (a) f (x ) =
68
x
2
+3
(b) y = = 4 – 5x
Tópicos de Matemática Elementar I
Saiba mais Em todas as áreas do conhecimento as funções são usadas para modelar fenômenos físicos e naturais. A leitura de gráco é requerida em quase todas as áreas. Para saber mais sobre a aplicação das funções na área biológica, visite o site http://www.virtual.epm.br/material/tis/curr http://www.virtual.epm.br/material/tis/curr-bio/ -bio/ trab2003/g5/ que apresenta vários grácos que são lidos e interpretados por médicos no contexto da cardiologia.
Unidade 2
69
UNIDADE 3
Função do primeiro grau
Objetivos de aprendizagem
Identicar uma função do primeiro grau por meio de sua forma algébrica. Conhecer e analisar as propriedades e características de uma função do primeiro grau. Utilizar as funções do primeiro grau.
Plano de estudo Seção 1 – Denição Seção 2 – Gráco da função do primeiro grau
Seção 3 – Propriedades e características Seção 4 – Aplicações
3
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iníci início o de conversa Você vai perceber no decorrer desta unidade que as funções lineares são muito importantes para a resolução de diversos problemas. Elas são muito usadas, por exemplo, elas são usadas muito no contexto econômico para modelar funções de demanda e de oferta de um determinado produto. As propriedades e características desse tipo de funções são facilmente identicadas tanto na sua representação gráca como na sua representação algébrica. Lembre-se, no decorrer do estudo desta unidade, que muitos matemáticos dedicaram horas de estudo para formalizar conceitos que nos dias de hoje apresentamos como simples e de fácil aplicação. Esse fato tem implicações didáticas, sobre as quais você vai reetir no decorrer de todo o seu curso.
72
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 1
Introdução receita,, custo custo e lucro Você já deve ter escutado o uso de termos como receita e lucro quando se fala sobre assuntos relacionados à área econômica.T econômica.Todos odos estes termos podem ser analisados através de formas algébricas que são funções do 1° grau. grau.
Olhando o presente!
Pare! Revise!
Lembre-se que receita é tudo que se ganha, custo é aquilo que se paga e o lucro é obtido diminuindo o custo da receita.
Veja os seguintes problemas: P1 Uma oricultura tem como principal produto buquês de rosas que são vendidos a R$25,00 cada buquê. A despesa mensal com aluguel, luz e funcionários é de R$2000,00. O custo para compor cada buquê é de R$15,00. Escreva a função receita, custo e lucro e calcule quantos buquês devem ser vendidos para que a receita seja igual ao custo, ou seja, para que o lucro seja zero. P2 Suponha que um retângulo tem lados iguais a x ee x + + 2, qual a função que nos dá o perímetro deste retângulo? Para resolver estes problemas devemos ter em mãos os conceitos relacionados com as funções de 1° grau.
Denição: Chama-se de função do primeiro grau grau a função que associa cada número real x , o número real a ·x + + b.
Linguagem Simbólica:
f : R → R f (x ) = ax + + b sendo a , b ∈ R com a ≠ 0 Unidade 3
73
Universidade do Sul de Santa Catarina
Os números reais a ee b são chamados de coeciente angular e angular e coeciente linear, linear, respectivamente.
Pare! Observe!
As funções do 1° grau podem ser classicadas de acordo com os valores assumidos por a ee b, veja a tabela a seguir:
Observe que a função do
Condição dos Coecientes
primeiro grau chamada de identidade é única, ou seja, existe apenas um caso onde:
a ≠ 0 e b ≠ 0
b = 0 e a = = 1.
b = 0
b = 0 e a = = 1
Representação Algébrica
Nome da função
f (x ) = a ⋅x + + b
Função Am
f (x ) = a ⋅x
Função Linear
f (x ) = x
Função Identidade
Exemplos
1) Classicar as segu seguintes intes funções funções quanto ao seu tipo: (a) f (x ) = –2x 1 (b) g ((x ) = x – 9 2 (c) y = = x
Função Linear
(d) r ( (t ) = 4 –7t
Função Am
Função Am Função Identidade
2) Escolher um númer número o qualquer qualquer,, multiplicar por doi doiss e somar dez. Escrever esta regra como uma função do primeiro grau na forma algébrica. a lgébrica. Escolher um número: x Multiplicar por dois: 2⋅x Somar dez: 2⋅x + + 10 Assim, temos: f (x ) = 2⋅x + + 10. Esta função associa cada número x ao ao seu dobro mais 10.
74
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Escrever a forma algébrica de uma função f que associa a cada número a sua metade e do resultado subtrai seis. Em seguida calcule f (–2), f (0) e f (2). 1 2 1 f (–2) = ·(–2) – 6 = –1 – 6 = –7 2
– 6 é a função pedida. f (x ) = x –
f (0) = 1 ·(0) – 6 = 0 – 6 = –6
2 1 f (2) = ·(2) – 6 = 1 – 6 = –5 2
P1,, sobre a 4) Agora já estamos aptos a resolv resolver er nosso prob problema lema inicial P1 venda de buquês em uma oricultura. Vamos considerar x a a quantidade de buquês vendidos no mês. Como cada buquê é vendido a R$ 25,00, temos que a receita total no m do mês é dada por 25⋅x , logo
R (x ) = 25⋅x Esta é uma função do primeiro grau do tipo linear linear.. O custo total da oricultura é a soma do custo variável e do custo xo. Como gasta-se R$ 15,00 para a confecção de cada buquê, segue que o custo variável é de C V = 15⋅x . Já o custo xo é de C F = 2000 logo, o custo total é dado por:
C = C V + C F C (x ) = 15⋅x + + 2000 Esta é uma função do primeiro grau do tipo am. Agora para obter a função que nos dá o lucro total da oricultura, basta subtrair o custo da receita, ou seja,
L(x ) = R (x ) – C (x ) L(x ) = 25⋅x – – (15⋅x + + 2000) L(x ) = 10⋅x – – 2000 Esta também é uma função do 1° grau do tipo am. Unidade 3
75
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Observe!
O ponto onde a receita coincide com o custo, ou seja, o ponto onde o lucro é zero, é chamado de ponto de nivelamento. Os economistas usam a palavra: break even point .
Pare! Revise!
Você lembra como calcular o perímetro de um retângulo? É muito simples, basta somar todos os lados. Assim de maneira mais formal, definimos que o perímetro de um retângulo é a soma dos seus lados.
Falta agora calcularmos a quantidade vendida para que a receita seja igual ao custo, ou seja, o lucro seja zero. Se L(x ) = 0, então 10⋅x – – 2000 = 0, resolvendo esta equação temos que x = = 200. Assim, concluímos que, se a venda for inferior a 200 unidades, então a oricultura ainda está tendo prejuízo, e se a venda for maior que 200 unidades, os lucros começam a aparecer aparecer.. No início desta seção tínhamos um outro problema a ser resolvido, que era o cálculo do perímetro de um retângulo. Agora já podemos encontrar a função que nos dá o perímetro de um retângulo que tem dimensões x ee x + + 2. Assim:
P = = x + + x + + (x + + 2) + (x + + 2) P = + 4 = 4⋅x + Usando a notação de função temos que P (x ) = 4⋅x + + 4.
SEÇÃO 2
Gráco da função do primeiro grau Nesta seção você vai estudar a representação gráca da função do primeiro grau.
Olhando o presente! Veja a seguir os novos problemas para você analisar. P3 Suponha que você tenha dois pontos no plano cartesiano, como obter a lei de formação da função do primeiro grau? P4 Análise a representação gráca da função lucro obtida no problema P1 P1..
76
Tópicos de Matemática Elementar I
Para obter a representação gráca de uma função do primeiro grau, fazemos o uso de uma tabela de valores, para em seguida colocar os pontos obtidos no plano cartesiano.
Olhando o passado! Dizem que uma mosca pode ter motivado a notação do sistema cartesiano. O matemático René Descartes observava uma mosca mos ca que caminhava no orro de seu quarto quarto,, junto a um dos cantos. Chamou sua atenção o ato de que o caminho da mosca sobre o orro poderia ser descrito se as distâncias até as paredes adjacentes ossem conhecidas.
Exemplos
y = = x + + 2
x
(x y ,y )
1) Representar gracamente a fu função nção y = = x + + 2.
–2
y = = –2 + 2 = 0
(–2,0)
Inicialmente, constrói-se uma tabela atribuindo valores
–1
y = = –1 + 2 = 1
(–1,1)
para x e e determinando os valores de y correspondente. correspondente. Note que cada par ordenado (x y ,y ),), corresponde um ponto no plano cartesiano. Assim obtém-se o gráco mostrado na Figura 3.1.
0 1
y = = 0 + 2 = 2 y = = 1 + 2 = 3
(0,2) (1,3)
2
y = = 2 + 2 = 4
(2,4)
f(x) 5 4 3 2 1
x -4
-3
-2
-1
Pare! Observe!
1
2
3
4
-1 -2 -3
Note que uma reta pode ser definida por apenas dois pontos. Logo basta determinar dois pontos para a construção do gráfico de uma função do primeiro grau.
Figura 3.1 Gráco da função y = = x + + 2
Unidade 3
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2) Represente gracamente a fu função nção y = = x . O gráco desta função é mostrado na Figura 3.2.
x
y = x
(x, yy)
0
y = = 0
(0,0)
1
y = = 1
(1,1)
f(x) 5 4 3 2 1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3
Figura 3.2 Gráco da função y = = x
Olhando o futuro! Os grácos mostrados nas Figuras 3.1 e 3.2, podem ser gerados por sofwares matemáticos. matemá ticos. V Você ocê pode utilizar qualquer sofware para azer grácos de unções. Experimente procurar na Internet que você encontrará várias várias versões demo prontas para o download . Vale a pena tentar! Experimente!
Apesar destes programas nos auxiliarem na construção dos grácos, é bom saber fazer esboços grácos sem ajuda tecnológica, pois a construção manual possibilita a identicação de características carac terísticas da função. Agora que você já sabe como fazer o gráco de uma função do primeiro grau, já podemos retornar aos problemas P3 P3 e e P4 P4 do do início da seção. O problema P3 requer que denamos a lei de formação de uma função do primeiro grau, conhecendo apenas dois pontos. Considere uma reta que passa pelos pontos (–1,3) e (2,4). Visualize esta reta na Figura 3.3.
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Tópicos de Matemática Elementar I
f(x) 5 4 3 2 1
x -1 0
-8
-6 -6
--4 4
-2 -2
2
4
6
8
-1 -2 -3
Figura 3.3 Gráco da reta que passa pelos pontos (-1,3) e (2,4)
A lei de formação é dada por f (x ) = a ⋅x + + b. Temos que:
A imagem de –1 é 3, logo f (–1) = a ⋅(–1) + b = 3 A imagem de 2 é 4, logo f (2) = a ⋅(2) + b = 4
Agrupando estas equações, temos o seguinte sistema:
−a + b = 3 2 ⋅ a + b = 4 . Resolvendo este sistema, tem-se que a = = 31 e b = 10 3 Logo a lei de formação da função é dada por:
f (x ) = 31 ·x + + 10 . 3 Voltamos a resolução do problema P4 P4 para para analisar a representação gráca da função lucro obtida no problema P1 P1.. P1,, temos que: Lembre-se que, de acordo com o problema P1
L(x ) = 10⋅x – – 2000. Note, inicialmente, que para fazer o gráco desta função devemos ter x ≥ 0, pois x representa representa quantidade, logo, o gráco de L está todo a direita do eixo y . Veja o gráco na Figura 3.4.
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L(x) 2500 2000 1500 1000 500
x 50
100
1 50
20 0
25 0
300
-500 -1000 -1500 -2000 -2500
Figura 3.4 Gráco da função L(x ) = 10⋅x – – 2000
O coeciente linear é igual b = –2000, isto é, o gráco de L, toca o eixo y no no ponto (0,–2000). Neste ponto nada foi vendido. = 200 é o O ponto (200,0) é onde a reta corta o eixo x . Assim, x =
ponto tal que a receita é igual ao custo. < 200, temos prejuízo, o gráco está abaixo do eixo x . Quando x < > 200, obtemos lucro efetivo, o gráco está acima do eixo x . Quando x >
SEÇÃO 3
Propriedades Propriedad es e características A forma algébrica de uma função do primeiro grau nos leva a uma série de conclusões sobre a função, mesmo sem termos a sua representação geométrica. Algumas características que serão analisadas, considerando apenas sua representação algébrica são: o domínio, a imagem, o zero da função, o crescimento e o decrescimento e o sinal da função. Para a análise completa vejamos a comparação entre duas funções do primeiro grau representadas nas Figuras 3.5 e 3.6.
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Tópicos de Matemática Elementar I
f(x)
f(x)
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x -3
-2
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
2
Figura 3.6 Gráco de f (x ) = –2x + + 4
Figura 3.5 Gráco de f (x ) = 2x + + 4
O que vamos observar?
f (x) = 2x + 4
Representação Gráca
f (x) = –2x + 4
é uma reta
Domínio
Conjunto dos números reais
Imagem
Conjunto dos números reais
Zero ou raiz: raiz: Ponto onde o gráco corta o eixo dos x , isto é, f (x ) = 0 Crescimento e decrescimento: A análise é feita através do sinal do coeciente angular. Se a > > 0, a função é crescente e se a < < 0, a função é decrescente. Sinal da função: Análise da imagem da função. Como f (x ) = a ⋅x + + b, segue que f (x ) > 0, quando a ⋅x + + b > 0, ou x > > – b e
f (x ) < 0 se x < < –
b a .
3
a
2x + + 4 = 0 ⇒ x = = –2
–2x + + 4 = 0 ⇒ x = = 2
Como a = = 2 > 0, segue que a função é crescente.
Como a = = –2 < 0, segue que a função é decrescente.
f (x ) = 2⋅x + + 4 > 0 se x > > –2
f (x ) = –2⋅x + + 4 > 0 se x < < 2
e f (x ) = 2⋅x + + 4 < 0 se
e f (x ) = –2⋅x + + 4 < 0 se
x < < –2.
x > > 2.
Note que todas estas características podem ser visualizadas diretamente com a análise gráca.
Exemplos
P1.. Analise suas propriedades e 1) Considere a função lucro do problema P1 características.
Unidade 3
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Temos que L(x ) = 10⋅x – – 2000 (Veja ( Veja o gráco na Figura 3.4). Note pelo gráco que:
O domínio é dado por: D( L) = [0,+∞), isto é, x ≥ ≥ 0. A imagem é dada por Im(L) = [–2000, +∞), isto é, y ≥ –2000. = 200. O zero desta função é quando L(x ) = 0, neste caso x = = 10 > 0 Esta função é crescente pois a = > 200 e negativa quando x < < 200. A função é positiva quando x >
2) Seja f (x ) = –3x + + 9. Determine: (a) (b) (c) (d)
O gráco de f (x )).. O ponto em que a reta cruza o eix eixo o x . O ponto em que a rreta eta cruza o ei eixo xo y . A função é crescente ou decresc decrescente? ente?
(a) A Figu Figura ra 3.7 apresenta a visualização gr gráca áca de f (x ) = –3x + + 9.
11
f(x)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3
-2
-1
-1
x 1
2
3
-2 -3
Figura 3.7 Gráco da função f (x ) = –3x + + 9
(b) O ponto em que a reta cruza o eix eixo o x , é o ponto onde y = = 0, logo: –3⋅x + + 9 = 0 ⇒ –3⋅x = = –9 ⇒ x = = 3 Assim, a reta corta o eixo x no no ponto (3,0).
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Tópicos de Matemática Elementar I
(c) O ponto em que a reta cruza o eix eixo o y , é o ponto onde x = = 0, logo:
y = = –3⋅0 + 9 ⇒ y y = = 9 Assim, a reta corta o eixo y no no ponto (0,9). Note que o valor 9 é perceptível na forma algébrica da função (coeciente linear). (d) A fun função ção é decrescente pois a = = –3 < 0.
SEÇÃO 4
Outras aplicações Já notamos que algumas variáveis econômicas podem ser modeladas através de funções de primeiro grau. Entre elas, a receita, o custo e o lucro.
Olhando o presente! Veja a aplicação de demanda e oferta no mercado. P5 A quantidade demandada de um bem é dada por q d = 8 – 4 p e a quantidade ofertada é dada por q o = –2 + 6 p. Qual é o preço ótimo em reais a ser cobrado para este bem, para que toda a oferta seja demandada, ou seja, a quantidade submetida ao mercado seja consumida? O problema P5 faz a menção de duas novas variáveis: Quantidade Demandada e Quantidade Ofertada. Veja a denição de ambas:
Função Demanda A quantidade demandada de um determinado bem (q d ) depende do preço deste bem. É a quantidade que o consumidor está disposto a consumir.. Muitas destas relações são representadas por funções do primeiro sumir grau. O coeciente angular desta função é negativo, ou seja, a função é decrescente; isto é, a medida que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui e a medida que o preço diminui, a quantidade procurada aumenta.
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Os grácos destas funções estão no primeiro quadrante, já que as variáveis envolvidas, preço e quantidade são sempre maiores ou iguais a zero.
Função Oferta A quantidade ofertada de um determinado bem ( q o ) depende do preço deste bem. É a quantidade que o comerciante deveria submeter ao mercado. Muitas destas relações são representadas por funções do primeiro grau. O coeciente angular desta função é positivo, ou seja, a função é crescente, isto é, a medida que o preço aumenta, a quantidade ofertada também aumenta e a medida que o preço diminui a quantidade ofertada também diminui. Os grácos destas funções estão no primeiro quadrante, já que as variáveis envolvidas, preço e quantidade são sempre maiores ou iguais a zero. Voltando ao problema P5 P5.. Note que as funções demanda q = 8 – 4 p ee d oferta q o = –2 + 6 p , estão de acordo com as denições acima. Primeiramente, veja o gráco das duas funções, traçadas no mesmo sistema de coordenadas na Figuras 3.8.
q 8
q d
=
− 4 p 8
qo
2 + 6 p
= −
6
4
2
p 1
2
-2
Figura 3.8 Grácos das funções q d = 8 – 4 p e q o = –2 + 6 p
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Tópicos de Matemática Elementar I
Perceba que estas funções se interceptam em um ponto e este ponto é chamado de ponto de equilíbrio, equilíbrio, ou preço de equilíbrio. equilíbrio. Neste ponto tudo que é ofertado é vendido, seria o preço ótimo do produto no mercado. Esta análise pode ser feita algebricamente também. Como queremos que a quantidade demandada seja igual a quantidade ofertada, temos:
q d d = q o 8 – 4 p = = –2 + 6 p 10 p = = 10 p = = 1 Portanto, o preço de equilíbrio é de R$ 1,00. Para p = = 1, temos q d = q o = 4. Isto quer dizer que se o preço do bem for de 1 real, e se forem disponibilizados 4 unidades no mercado, todas serão vendidas.
Parada recreativa Antes de apresentar sugestões para a sua auto-avaliação, vamos fazer um relaxamento. Dois amigos, Ted e Mad, no tempo de colégio, gostavam de charadas e jogos. Nunca se entendiam. Dona Flor, mãe de Ted, nos contou que um dia eles caram várias horas discutindo sobre o tamanho das mesas que apareciam no calendário da sua cozinha. Ted, armava que ambas as mesas tinham a mesma medida e Mad dizia que não. Anal! Quem estava com a razão?
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Síntese Nesta unidade você teve contato com as funções do primeiro grau e percebeu que muitas aplicações práticas do dia-a-dia são modeladas com estas funções, entre elas, as funções de oferta e demanda, além das funções receita, custo e lucro. lucro. Muitas das características destas funções podem ser visualizadas na representação gráca, e, neste caso, o uso de softwares ajuda no desenvolvimento gráco com uma apresentação de qualidade. Não esqueça de dar uma passada pelo AV AVA A para analisar os o s destaques, as celebridades e mais uma aula para a sua coleção didática. Na próxima unidade você vai estudar as funções do segundo grau e perceber que alguma situação prática já discutida nesta unidade pode ser retomada e novos modelos serão apresentados. Até mais!
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Tópicos de Matemática Elementar I
Atividades de auto-avaliação 1) Identique as seguintes fun funções ções quanto ao seu tipo: (a) f (x ) = –3x (b) ( ) = 1 – 4
h t (c) s ((t ) = t
t
(d) g ((x ) = 2x + + 1 2) Encontre a lei de fformação ormação para a função que associa a cada cada número x qualquer, qualquer, um valor x adicionado adicionado com 2 e ao seu resultado multiplicado por 5.
3) Na fabricação de um determinad determinado o bem, vericou-se qu quee o custo total foi obtido a partir de uma taxa xa de R$ 1.000,00, adicionada de um custo de produção de R$ 500,00 por unidade. Determine a função custo total em relação a quantidade produzida e o custo de fabricação de 10 unidades.
Unidade 3
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4) Um locadora de carros cobr cobraa R$ 50,00 o aluguel de u um m carro mais R$ 2,00 por quilometro rodado. Determine. (a) O preço a ser pago para rodar 10 km. (b) O preço a ser pago para rodar 35 km. (c) Qual a função que modela esta situação?
5) Seja s (t) = –4 + 8t, determine: (a) (b) (c) (d)
88
O gráco de s (t ). O domíni domínio o e a imagem de s (t ). Se a função s (t ) é crescente ou decrescente. O ssinal inal d daa função s (t ).
Tópicos de Matemática Elementar I
6) Uma pequena fábrica de móv móveis eis tem como seu pri principal ncipal produto a fabricação de banquetas. Cada banqueta é vendida ao preço de R$ 25,00. A fábrica tem um custo xo mensal de R$ 5.000,00 em aluguel e máquinas, conta de luz, compra de material e pagamento de funcionários. A mesma gasta R$ 15,00 para fabricar cada banqueta. Determine: (a) A função Receita Total e Custo Total. (b) A função Lucro Total. (c) Qual o ponto de nivelamento. (d) Se a venda mensal for de 500 banquetas. A fábrica obterá lucro ou prejuízo? (e) Qual a quantidade que deve ser vendida para um lucro de R$ 1.000,00? (f) (f ) Qual o lucro para a vvenda enda de 760 banquetas me mensais? nsais?
7) A quantidade demandada de um bem é d dee q d = 5 – p e e a quantidade ofertada é de q o = –1 + 2 p . Discuta o preço de equilíbrio algebricamente e geometricamente.
Unidade 3
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Saiba mais Caso você queira ampliar e aprofundar detalhes das funções do primeiro grau, recomendamos a leitura do livro FLEMMING, D. M. ; LUZ, E. F. Representações grácas. grácas. São José: Saint Germain, 2003. Neste texto você vai encontrar outras aplicações contextualizadas através da leitura gráca. Bom trabalho!
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UNIDADE 4
Função do segundo grau
Objetivos de aprendizagem
Identicar uma função do segundo grau por meio de sua forma algébrica. Conhecer,, esboçar e analisar o gráco de uma função do Conhecer segundo grau. Aplicar as funções do segundo grau em situações reais.
Seções de estudo Seção 1 – Introdução Seção 2 – Gráco da função de segundo grau
Seção 3 – Propriedades e características
4
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Para iníci início o de conversa Ao estudar as funções do segundo grau você terá a oportunidade de visualizar a importância dos recursos tecnológicos no contexto do processo ensino-aprendizagem da Matemática. Para auxiliar na construção de grácos e na modelagem de problemas os recursos computacionais são usados para facilitar o “trabalho “trabalho braçal” braçal”.. É importante que você sempre tenha em mente de que a tecnologia está presente no nosso dia-a-dia, não para resolver os problemas, mas para auxiliar no desenvolvimento de ações mecânicas, por exemplo, cálculos e construções grácas. Tenha a certeza de que vvamos amos fazer bons trabalhos com recursos tecnológicos.
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Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 1
Introdução Para falar das funções do segundo grau, tente fazer o exercício de olhar ao seu redor à procura de parábolas. Precisa de uma dica? Procure uma antena parabólica e perceba que esse objeto muito comum no nosso diaa-dia tem a forma de uma parábola. TTodas odas as parábolas são modeladas com funções do segundo grau. Outros fenômenos utilizam as funções ditas quadráticas para formalizar a modelagem. Por exemplo:
Modelos econômicos; Objetos em queda livre; Balística; Os faróis de um carro.
Olhando o presente! Veja os seguintes problemas: P1 Uma revendedora de doces percebeu que a equação de demanda de seu principal produto (barras de chocolate) é dada por x = 20 – p, e a função custo é dada por C (x) = 2x + 17. 17. Obtenha a função lucro e a partir da análise gráca da função, determine o número de barras de chocolate a serem vendidas pela revendedora, am de que a mesma possa obter lucro máximo. P2 Uma pedra é atirada para cima com uma velocidade de 40m/s, a sua altura depois de t segundos segundos é dada por h = 40t – – 16 16t 2. Analise as características da função. Para resolver estes problemas devemos discutir as funções do segundo grau. Unidade 4
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Denição: Chama-se de função do segundo grau a função que associa cada número real x, o número real ax2 + bx + c , com a, b, c pertencentes pertencentes aos reais e a ≠ 0.
Linguagem Simbólica:
f : R → R f (x ) = ax 2 + bx + + c sendo sendo a , b e c ∈ R com a ≠ 0.
Pare! Observe!
Perceba que em algumas funções os valores de b e c são iguais a zero. O que não pode ocorrer é a = 0, pois assim não caracterizaria uma função do segundo grau.
Exemplos
1) São exemplos de funções do segundo grau: (a) f (x ) = x 2 + 2x + + 1 (b) ( ) = 9 2 t x – (c) hs (tx ) = 10 – 20x 2 que associa a cada número o seu 2) Escreva a forma algébr algébrica ica da função f quadrado multiplicado por 2 e ao resultado subtraí-se 18. Encontre também f (–1), f (0) e f (1).
A função pedida é f (x ) = 2x 2 – 18.
f (–1) = 2⋅(–1)2 – 18 = 2 – 18 = –16 f (0) = 2⋅(0)2 – 18 = 0 – 18 = –18 f (1) = 2⋅(1)2 – 18 = 2 – 18 = –16 3) Resolver o problema P1 P1.. O problema solicita que encontremos a função lucro, mas para isso necessitamos primeiramente encontrar a função receita, já que a função lucro é dada por:
L(x ) = R (x ) – C (x ))..
94
Tópicos de Matemática Elementar I
Discutimos na Unidade 3 que R (x ) = p ·x , sendo p o o preço do produto que no caso do problema P1 P1 são são barras de chocolate. Perceba que nesta situação o preço não é dado explicitamente, ele varia de acordo com a quantidade, então:
x = = 20 – p ou p = = 20 – x . Assim a função receita é dada por: R(x) = p⋅x = (20 – x) ⋅x = 20x – x2. Logo a função lucro é: L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 20x – x2 – (2x + 17) L(x) = –x2 + 18x – 17.
Note que a função lucro pedida é uma função do segundo grau. A resolução da segunda parte do problema (discussão do lucro máximo) será feita mais adiante depois da apresentação das características, propriedades e representação gráca da função do segundo grau.
SEÇÃO 2
Gráco da função do segundo grau Nesta seção você vai estudar a representação gráca das funções do segundo grau. Da mesma maneira como zemos com as a s funções do primeiro grau, vamos fazer uso de uma tabela de valores va lores para obter a representação gráca de uma função do segundo grau, e você vai perceber que apenas dois pontos não são necessários para obter a representação gráca deste tipo de função.
Unidade 4
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Exemplos
1) Representar gracamente a fu função nção y = = x 2 – x – – 2. Vamos construir uma tabela, atribuindo valores aleatórios para x ee determinando os valores de y cor cor-
y = x2 – x – 2
(x, yy)
–3
y = = ( –3) –3)2 + 3 – 2 = 10
10
–2 –1
–2)2 + 2 – 2 = 4 y = = ( –2) y = = ( –1) –1)2 + 1 – 2 = 0
4 0
0
y = = 02 – 0 – 2 = –2
–2
1
y = = 12 – 1 – 2 = –2
–2
2
y = = 22 – 2 – 2 = 0
0
3
y = = 32 – 3 – 2 = 4
4
x
respondentes. Colocando estes pontos no plano cartesiano obtém-se o gráco da função y = = x 2 – x – – 2, como mostra a gura 4.1.
f(x) 8 7 6 5 4 3 2 1 -4
-3
-2
-1
x 1
2
3
4
5
-1 -2 -3
Figura 4.1 Gráco da função y = = x 2 – x – – 2
Olhando o futuro! O gráco mostrado na Figura 4.1 oi obtido usando-se o sofware Graph, já apresentado nas unidades anteriores. Um sofware algébrico, potente no contexto da Matemática, Matemática, é o Derive cuja versão demo é encontrada em diversos sites na Internet. Basta colocar a palavra chave “Derive” num site de busca para pesquisar um local de acesso para download .
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2) Podemos agora obter o gráco da função lu lucro cro do problema P1 e responder a questão sobre lucro máximo que deixamos em aberto na seção anterior. –1 17 x L(x) = –x2 + 18x – Veja a tabela de valores ao lado: 0 L = –02 + 0 –17 = –17 Na gura 4.2 temos o gráco. Observe que as 1 L = –12 + 18 –17 = 0 parábolas têm simetrias e, portanto, ao fazer um gráco com lápis e papel é interessante colocar pontos simétricos para que o traçado que com mais perfeição. A tabela apresentada neste exemplo apresenta o cálculo de um par de pontos simétricos: (1,0) e (17,0).
(x, yy) –17 0
5 9
L = –52 + 90 –17 = –48 L = –92 + 162 –17 = –64
48 64
10
L = –102 + 180 –17 = –63
63
17
L = –172 + 306 –17 = 0
0
f(x) 64
x 1
9
17
-17
Figura 4.2 Gráco da função L(x ) = –x 2 + 18x –17 –17
Pare! Revise!
Note que a partir do gráco podemos analisar algumas propriedades da função. Por exemplo:
a concavidade da parábola é voltada para baixo; no ponto (0,–17) , que é exatamente o valor a função corta o eixo y no de c na na forma geral de uma função do segundo grau; em dois pontos, x = = 1 e x = = 17. Para obtê-los a função corta o eixo x em
Lembre-se que para resolver uma equação do segundo grau do tipo ax 2 + bx + c = = 0, usamos a conhecida fórmula de Baskhara: x =
−b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a
fazemos L(x ) = 0, obtendo a equação do segundo grau cuja raízes são x = = 1 e x = = 17. Unidade 4
97
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Note que o maior valor de L(x) ocorre no vértice da parábola, que
é o ponto (9,64). Assim a pergunta do problema P1 já pode ser respondida, ou seja, o lucro máximo será de R$64,00, quando forem vendidas 9 barras de chocolate.
Olhando o passado! “O primeiro registro conhecido da resolução de problema problemass envolvendo o que hoje chamamos de equação do 2º. grau data de 1700 a.C. aproximadamen aproximadamente, te, eito numa tábula de argila através de palavras. A solução s olução era apresentada como uma “receita matemática” e ornecia somente uma raiz positiva. Os mesopotâmicos enunciavam enunciavam a equação e sua resolução em palavras, mais ou menos do seguinte modo: Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870? (o que hoje se escreve: x 2 – x = 870). E a “receita” era: Tome a metade de 1 (coeciente de x) e multiplique por ela mesma, (0,5 x 0,5 = 0,25). Some o resultado a 870 (termo independente). Obtém-se um quadrado (870,25=29,52 ) cujo lado somado somado à meta metade de de 1 vai dar (30) (30) 1 o lado do quadrado procurado”.
Todas as informações observa observadas das gracamente podem ser obtidas conhecendo-se apenas a forma algébrica da função de segundo grau. É importante que você esteja atento para usar a linguagem adequada (gráca ou algébrica) na resolução das diferentes situações problemas.
SEÇÃO 3
Propriedades Propriedad es e características Nesta seção, a partir da forma algébrica da função do segundo grau você vai estudar as seguintes características e propriedades das funções: domínio, imagem, concavidade, vértice, raízes, crescimento e decrescimento e sinal da função. Gráca: Você percebeu que em todos os nossos Representação Gráca:
exemplos anteriores o gráco de uma função do segundo grau é sempre uma parábola parábola.. Domínio:: O domínio de uma função do segundo grau é o conjunto Domínio
dos números reais.
FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma abordagem da equação do 2º grau. Revista grau. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n. 43, p.20-25, 2º. quadrimestre de 2000.
1
98
Tópicos de Matemática Elementar I
Concavidade: Na seção 2, tivemos a oportunidade de construir o
gráco de duas funções do segundo grau, na Figura 4.1 a concavidade é voltada para cima e na Figura 4.2 a concavidade é voltada para baixo. É possível saber a concavidade apenas analisando a forma algébrica. A parábola tem concavidade voltada para cima se a > > 0 e concavidade voltada para baixo se a < < 0.
Exemplos
1) Considere as seguin seguintes tes fun funções: ções: f (x ) = x 2 + 2x + + 3 e g (x ) = –x 2 – 2x + + 3. Determine o domínio, a concavidade e o gráco das funções. A representação gráca é mostrada nas Figuras 4.3 e 4.4. f(x)
f(x) 6 8 4 6 2 4
x -4
2
-2
x -4
-2
2
-2
2
Figura 4.3 Gráco da função f (x ) = x 2 + 2x + + 3
Figura 4.4 Gráco da função g (x ) = –x 2 – 2x + + 3
O quadro a seguir apresenta um resumo das propriedades solicitadas.
O que vamos observar? Representação gráca Domínio
Concavidade
f (x ) = x 2 + 2x + + 3
g (x ) = –x 2 – 2x + + 3
É uma parábola. Conjunto dos números reais. Como a = = 1 > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima.
Unidade 4
Como a = = – 1 < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo.
99
Universidade do Sul de Santa Catarina
Continuando com as características das funções do segundo grau, temos:
Simetria: A parábola apresenta simetria em relação a reta paralela
ao eixo dos y passando pelo vértice. vér tice. b ∆ Vértice: O vértice da parábola ocorre no ponto V − 2a , − 4a . Este
ponto é um ponto de máximo ou mínimo conforme a concavidade esteja voltada para baixo ou para cima, respectivamente. O ponto
acima pode ser encontrado formalmente a partir do momento que analisamos a função f (x ) = ax 2 + bx + + c reescrita reescrita como bx c + a a 2 b b2 b2 c = a x + 2 ⋅ ⋅ x + 2 − 2 + 2a 4a 4a a 2 b 4 ac − b 2 = a x + + 4a 2 2a
f ( x ) = a x 2 +
2 −∆ b = a x + + 2 . 2a 4a
Numa rápida inspeção é possível observar e conjecturar conjec turar a importância do sinal do a e do discriminante ∆ = b2 – 4ac no no formalismo algébrico e conseqüentemente na identicação das propriedades e características da função do segundo grau.
Imagem: Se a concavidade é voltada para cima, então a imagem são os valores de y pertencentes pertencentes ao intervalo [ y y V ,+∞), ou seja, y ≥ ≥ y V . Se a concavidade é voltada para baixo, então a imagem são os valores de y pertencentes pertencentes ao intervalo (–∞, y y V ], ou seja, y ≤ ≤ y V . Lem-
brando que
é a ordenada do ponto do vértice da parábola. V
y
Exemplo
Uma indústria prevê que o lucro total do seu principal produto, ao nal do mês, é dado pela função L(x ) = –2x 2 + 9x –10, –10, sendo x a a quantidade vendida em milhares e L é o ganho em milhões de reais. Encontre o valor de x que que maximiza o lucro.
100
Tópicos de Matemática Elementar I
Note que a = = –2 < 0, e portanto a concavidade é voltada para baixo, o que nos leva a concluir que o vértice vér tice é um ponto de máximo. Para responder a pergunta da questão basta determinar o vértice. b 92 − 4( −2)( −10) ∆ 9 V − , − = − ,− 4( −2) 2a 4a 2( −2) 9 81− 80 9 1 = 4 , − −8 = 4 , 8 = (2, 25; 0,125)
Assim o lucro máximo é de 0,125 milhões de reais quando forem vendidas 2,25 milhares de unidades. Veja o gráco da função na gura abaixo:
L(x)
0.2
0.1
x -0 .5
0.5
1
1 .5
2
2 .5
Figura 4.5 Gráco da função L(x ) = –2x 2 + 9x –10 –10
Outras características das funções do segundo grau.
Zero ou Raiz: São os pontos onde f (x ) = 0, o que nos leva a resolver uma equação do segundo grau (ax 2 + bx + + c = = 0).
Crescimento e Decrescimento: Varia de acordo com a concavi-
dade da parábola. Se a concavidade for para cima, o intervalo de crescimento é x > > x V e o intervalo de decrescimento é x < < x V . Já se a concavidade for para baixo, o intervalo de crescimento é quando x < < x V e o de decrescimento quando x > > x V . Lembrando que x V é a abscissa do ponto do vértice da parábola. Unidade 4
101
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo
Considere as equações de demanda e oferta q = = 4 – p 2 e q = = 4 p – – 1. Discuta usando a representação gráca e algébrica do equilíbrio do mercado. Algebricamente: Algebricamente: O equilíbrio ocorre quando a demanda e a oferta são iguais, ou seja: 4 – p 2 = 4 p – – 1 – p 2 – 4 p + 5 = 0 ou
p 2 + 4 p – – 5 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau temos que p = = 1 e p = = –5. O valor para p = = –5, deve ser descartado descar tado já que não temos preço de mercado negativo. Estes valores obtidos são as raízes da equação – p 2 – 4 p + + 5 = 0. Portanto, o valor que nos interessa é p = = 1. Se analisamos simplesmente a função f ( p p ) = – p 2 – 4 p + + 5, podemos armar que os valores obtidos para p são são as os pontos tais que o gráco de f corta o eixo x , ou seja, f ( p p ) = 0. Geometricamente: Geometricamente: Fazendo Fazend o o gráco das duas funções (ver Figura 4.6), o equilíbrio ocorre no ponto de interseção gráca que é o ponto (1,3), ou seja, quando p = = 1, q = = 3.
q 4
3
2
1
p 1
2
Figura 4.6 Ponto de equilíbrio do mercado
102
3
Tópicos de Matemática Elementar I
Para terminar o estudo das propriedades e características das funções do segundo grau, falta apenas o estudo do sinal da função, isto é, para quais valores de x , uma função é positiva ou negativa. Sinal da Função: São os valores de x para para o qual os valores de y são são positivos ou negativos, ou seja, analisa-se o sinal da imagem da função. Nas guras 4.7 a 4.12 apresentamos a presentamos exemplos com as situações que podem ocorrer ocorrer.. f(x)
f(x)
x x 2
x 1
x x 2
x 1
Figura 4.7 Parábola com ∆ > 0, a > > 0 e x 1 < x 2
Figura 4.8 Parábola com ∆ > 0, a < < 0 e x 1 < x 2
Neste exemplo temos: sinal positivo em x ∈ (–∞,x 1) ∪ (x 2,+∞) sinal negativo em x ∈ (x 1,x 2)
Neste exemplo temos: sinal positivo em x ∈ (x 1,x 2) sinal negativo em x ∈ (–∞,x 1) ∪ (x 2,+∞)
f(x)
f(x)
x 1= 1= x 2
x
x x 1= 1= x 2
Figura 4.9 Parábola com ∆ = 0, a > > 0 e x 1 = x 2
Figura 4.10 Parábola com ∆ = 0, a < < 0 e x 1 = x 2
Neste exemplo temos sinal positivo em toda reta real, portanto a função não assume valores negativos.
Neste exemplo temos sinal negativo em toda reta real, portanto a função não assume valores positivos. Unidade 4
103
Universidade do Sul de Santa Catarina
f(x)
f(x)
x
x
Figura 4.11 Parábola com ∆ < 0, a > > 0 e não tem raízes reais
Figura 4.12 Parábola com ∆ < 0, a < < 0 e não tem raízes reais
Neste exemplo temos sinal positivo em toda reta real, portanto a função não assume valores negativos.
Neste exemplo temos sinal negativo em toda reta real, portanto a função não assume valores positivos.
Exemplo
P2.. 1) Agora já podemos analisar o problema P2 Uma pedra é atirada para cima com uma velocidade de 40 m/s, a sua altura depois de t segundos segundos é dada por h = 40t – – 16t 2. Analise as características da função. Na Figura 4.13 você pode visualizar o gráco da função h = 40t – – 16t 2. h(t) 25
20
15
10
5
t 1
2
3
Figura 4.13 Gráco da função do problema P2
104
Tópicos de Matemática Elementar I
Observe que vamos analisar as características carac terísticas desta função contextualizadas no problema . Lembre-se que não temos tempo negativo e altura negativa – pedra sobre até uma altura máxima e depois cai até o solo. O solo está sendo considerado no eixo dos x . Sendo assim: 5
é o tempo não pode O domínio da função é D = [0, 2 ), pois como t é
mos considerar valores negativos. = –16 < 0. A concavidade é voltada para baixo, pois a =
Vértice: Temos que ∆ = 402 – 4⋅(–16)⋅0 = 1600, logo.
5 = s em que a bola atinge a altura Este ponto representa o tempo t = 4 máxima. O valor h = 25 m representa a altura máxima.
Como a concavidade é voltada para baixo e y V = 25, segue que
. 5 = 2. = 0 e t = As raízes são t =
Como a concavidade é voltada para baixo, tem-se que h é crescente > 45 . quando t < < 45 e decrescente quando t >
= –16 < 0 e ∆ = 1600 > 0 então Para o sinal da função temos que a = h(t ) > 0 quando t ∈ 0, 52 . Como h está relacionada com a altura, tem-se que não temos valores para t tal que h seja negativa.
2) Seja y =
x 2
− 20 . Para qual valor de x , a função assume o menor valor? 5 Como a = 51 > 0, temos que a concavidade é voltada para cima, logo a função tem um ponto de mínimo. Esse ponto de mínimo ocorre no vértice da parábola.
Temos: 1 2 0 4 ( 2 0 ) − ⋅ ⋅ − 0 16 ∆ b 5 V − , − = − ,− 0 , = − = (0, −20) 1 4 2a 4a 2 ⋅ 1 4⋅ 5 5 5
Logo o menor valor que a função assume é y = = –20 e ocorre quando x = = 0.
Unidade 4
105
Universidade do Sul de Santa Catarina
Veja o gráco na Figura 4.14 para tirar suas conclusões.
f(x) 20
10
x -1 0
10
-10
-20
Figura 4.14 Gráco da função y =
x 2
5
− 20
Parada recreativa Que tal fazermos economia de maneira diferente: V Vamos amos supor que no primeiro dia do mês você guarde 1 centavo, no segundo 2 centavos, no terceiro 4 centavos, no quarto dia 8 centavos e , assim, dobrando sucessivamente durante 30 dias seguidos. Quanto teria você guardado ao nal de um mês? 100 reais, 200 reais? É possível para qualquer mortal uma economia deste tipo? Pense, mas não se precipite nas suas conclusões!
Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar mais detalhes da função do segundo grau. Os exemplos mostraram que este tipo de funfunção é muito importante na modelagem de de vários problemas práticos. práticos. O uso das representações grácas associadas à representação algébrica auxilia na visualização das propriedades e características dessas funções. A discutir as propriedades podemos encontrar as respostas dos problemas práticos. No AVA AVA apresentamos como destaque o uso das funções do primeiro e segundo grau no contexto de funções denidas por várias sentenças. 106
Tópicos de Matemática Elementar I
Não esqueça que você agora não deve dispensar o uso de um software para fazer grácos. Na unidade seguinte você vai poder avançar analisando outros tipos de funções. Bom trabalho!
Atividades de auto-avaliação 1) Encontre uma função f que associa a cada número x o o seu quadrado, mais o seu dobro e mais uma unidade. Em seguida encontre f (–1), f (0) e f (1).
2) Trace Trace o gráco das segui seguintes ntes funções: (a) y = = x 2 –2x –3
(b) y = = –x 2 +2x – – 4
Unidade 4
107
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Seja p = = 50 – 2x , onde x é é quantidade demandada e o preço é p , encontre a função receita total, esboce o seu gráco e em seguida encontre o valor de x para para que a receita seja máxima.
4) Seja f (x ) = x 2 – 7x + + 10. Analise as propriedades e características carac terísticas (Domínio, imagem, concavidade, raízes, vértice, crescimento e decrescimento e o sinal da função) e esboce o gráco de f .
5) Um terreno retangu retangular lar tem dimensões de modo que sua largu largura ra é o triplo da altura. Encontre as dimensões deste retângulo de modo que sua área seja de 300 m2.
108
Tópicos de Matemática Elementar I
6) A função demanda de um produ produto to é p = = 10 – x e e a função custo é dada por C (x ) = 20 + x . Encontre o valor de x para que o lucro seja máximo.
Saiba mais Uma boa sugestão para que você se aprofunde a profunde nesta unidade, unidade, é fazer uma pesquisa na internet, usando um site de busca, utilizando por exemplo, a palavra-chave parábola. Você verá sugestões de leituras de interessantes aplicações das funções de segundo grau. É importante que você faça a leitura de vários sites am de obter uma análise crítica dos objetos mamtemáticos apresentados. É um exercício que vale a pena fazer! Bom trabalho!
Unidade 4
109
UNIDADE 5
Funções polinomiais e racionais
Objetivos de aprendizagem
Identicar funções polinomiais de grau maior do que 2. Identicar funções racionais. Analisar a representação algébrica e gráca das funções polinomiais e racionais. Discutir aplicações das funções polinomiais e racionais.
Seções de estudo Seção 1 – Funções polinomiais Seção 2 – Funções racionais
Seção 3 – Outros tipos de funções
5
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iníci início o de conversa Você já deve ter percebido que estamos alargando os horizontes no contexto do estudo das funções. Você pode visualiz visualizar ar as funções como alicerces básicos necessários para a resolução de problemas e para a construção de novos conceitos e objetos matemáticos. Não esqueça de que é importante você ter uma certa habilidade com o uso de softwares auxiliares na construção gráca das funções, pois as representações grácas são recursos fantásticos para o processo ensinoaprendizagem da Matemática. Como você costuma fazer a leitura de representações grácas?
112
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 1
Funções polinomiais Após estudar as funções de primeiro e segundo graus, você pode agora visualizar as características e propriedades das funções polinomiais de grau maior do que 2. Mas como são estas funções?
Denição: A função polinomial é denida por f (x (x ) = a 0 x n + a 1x n–1 + ... + a n–1x + + a n sendo a 0, a 1, ..., a n números reais, com a 0 ≠ 0, chamados de coecientes e n um número inteiro não negativo que determina o grau da função.
A representação gráca das funções polinomiais é uma curva que pode apresentar pontos de máximos ou mínimos. São grácos que, para serem traçados com mais facilidade, necessitam de conceitos do cálculo diferencial (não estudados nesta disciplina) ou de softwares matemáticos como o Graph, já citado nas unidades anteriores.
Exemplos
Classicar as seguintes funções polinomiais quanto ao seu grau: (a) f (x ) = 2x + + 3 É uma função polinomial de grau 1. Perceba que esta é a função do primeiro grau estudada na unidade 3. (b) f (x ) = 2x 2 + 3x – – 1 É uma função polinomial de grau 2. Perceba que esta é a função do segundo grau estudada na unidade 4.
Unidade 5
113
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Observe!
A partir da análise da representação algébrica da função polinomial é possível dizer que o domínio destas funções será sempre o conjunto dos números reais.
(c) f (x ) = x 3 + x 2 – 3 É uma função polinomial de grau 3. (d) f (x ) = 4x 7 + x 6 – 1 É uma função polinomial de grau 7.
Para analisar as características propriedades dasafunções polinomiais, neste momento, é importante eque você visualize representação gráca da função. Existem casos particulares das funções polinomiais que são interessantes de serem analisados. Por exemplo, as funções escritas como f (x ) = x n, sendo n um inteiro positivo. Para n > 2 a forma do gráco depende de n ser par ou ímpar. Veja as Figuras 5.1 e 5. 5.2. 2.
y
y=x6
2 y=x4 y=x
1.5
1
0.5
x -1.5
-1
-0.5
Figura 5.1 Gráco de y = = x n com n par
114
0.5
1
1.5
Tópicos de Matemática Elementar I
y
y=x5
y=x3 y=x
1
x -1
1
-1
Figura 5.2 Gráco de y = = x n com n ímpar
As funções y = = x n possuem aspectos comuns. Veja na tabela como cam as propriedades e características destas funções.
Representação algébrica Representação gráca Domínio
Crescimento
y = = x n
n é par
n é ímpar
Figura 5.1
Figura 5.2
conjunto dos reais [0,+∞)
Conjunto imagem Zero ou raiz Sinal da função
y = = x n
conjunto dos reais
x = = 0
Positivo para qualquer x ∈ R.
Positivo para x > > 0 e negativo para x < < 0
x > > 0
A função é crescente para qualquer x ∈ R.
x < < 0
Não possui intervalos de decrescimento
Decrescimento
Unidade 5
115
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Observe!
Se você comparar o gráfico de y = x3 (Figura 5.2) com o gráfico de y = x 3 + 1 (Figura 5.3), pode perceber que a curva foi deslocada 1 unidade para cima no eixo y. Isto acontecerá em vários casos, por exemplo, y = x3 + 2 estará deslocado 2 unidades para cima, y = x 3 + 3, 3 unidades para cima e y = x 3 – 4, 4 unidades para baixo.
Exemplos
Analisar as características e propriedades das funções polinomiais. (a) y = = x 3 + 1 y
3
2
1
x -4
--3 3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
-1
-2
-3
Figura 5.3 Gráco de y = = x 3 + 1
Representação algébrica
y = = x 3 + 1
Representação gráca
Figura 5.3
Domínio Conjunto imagem
conjunto dos reais conjunto dos reais
Zero ou raiz
116
x = = –1
Sinal da função
Positivo para x > > –1 e negativo para x < < –1.
Crescimento/Decrescimento
A função é crescente para todos os valores de x ∈ R.
Tópicos de Matemática Elementar I
(b) y = = x 4 – x 3 – 2x 2
Pare! Observe!
y
3
2
1
x -4
--3 3
--2 2
-1 -1
1
2
3
4
Quando a função passa de decrescente para crescente, temos um ponto de mínimo. Quando passa de crescente para decrescente temos um ponto de máximo. Perceba que na Figura 5.4 estão assinalados dois pontos de mínimo e o ponto de máximo.
-1
-2
-3
Figura 5.4 Gráco de y = = x 4 – x 3 – 2x 2
Representação algébrica
y = = x 4 – x 3 – 2x 2
Representação gráca
Figura 5.4
Domínio
conjunto dos reais
Conjunto imagem
[–2,83;+∞) Observando que o valor –2,83 é
Zeros ou raízes
aproximado.
x = = –1, x = = 0, x = = 2
Sinal da função
Positivo para x ∈ (–∞,–1) ∪ (2,+∞) e negativo para x ∈ (–1,2).
Crescimento/Decrescimento
A função possui intervalos de crescimento e decrescimento decrescimento..
Unidade 5
117
Universidade do Sul de Santa Catarina
(c) y = = x 5 – x 3 y
3
2
1
x -4
-3 -3
-2 -2
--1 1
1
2
3
4
-1
-2
-3
Figura 5.5 Gráco de y = = x 5 – x 3
Representação algébrica
y = = x 5 – x 3
Representação gráca
Figura 5.5
Domínio
R
Conjunto imagem Zeros ou raízes
118
R
x = = –1, x = = 0, x = = 1
Sinal da função
Positivo para –1 < x < < 0 ou x > > 1 e negativo para x < < –1 ou 0 < x < < 1.
Crescimento/Decrescimento
A função possui intervalos de crescimento e decrescimento.
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o presente! Veja o seguinte problema: P1 Suponha que a função C(q) = q3 – 20q2 + 300q + 250 expresse o custo total de fabricação de um produto. Como calcular o custo de cinco unidades? E o custo de fabricação da quinta unidade? Se você já tem a função que expressa o custo total de fabricação de um determinado produto, produto, pode facilmente responder as duas questões solicitadas. Para facilitar você irá supor que a função seja:
C (q ) = q 3 – 20q 2 + 300q + + 250. O custo de fabricação de cinco unidades é encontrado quando se calcula a imagem da função no ponto q = = 5. Portanto,
C (5) (5) = 53 – 20×52 + 300×5 + 250 = 125 – 500 + 1500 + 250 = 1375
Se você trabalhar com unidades monetárias em reais, a resposta é R$ 1375,00. Para saber o custo da quinta unidade, você precisa fazer a diferença entre o custo de cinco unidades e o custo de quatro unidades, ou seja, C(5) – C(4) = (53 – 20×52 + 300×5 + 250) – (43 – 20×42 + 300×4 + 250) = 1375 – 1194 = 181 Assim, o custo da quinta unidade é de R$ 181,00. Observe que o gráco desta função pode auxiliar na obtenção de outras análises (veja a Figura 5.6).
Unidade 5
119
Universidade do Sul de Santa Catarina
C(q)
25000
20000
15000
10000
5000
q 10
20
30
Figura 5.6 Gráco da função custo total C (q ) = q 3 – 20q 2 + 300q + + 250
Por exemplo, exemplo, é possível observar que o aumento do custo de produção cresce mais rapidamente a partir de, aproximadamente, 20 unidades.
SEÇÃO 2
Funções racionais As funções racionais são bastante utilizadas em aplicações práticas relacionadas à situações reais. Perceba que são denidas como o quociente de duas funções polinomiais.
P (x )
Denição: A função racional é denida por f ( (xx) = Q(x ) sendo P (x) e Q (x) polinômios e Q (x) ≠ 0.
São exemplos de funções racionais: f (x ) =
x − 1 x 1 , y = e h(x ) = . 2 x + 3 x + 3 x
Diante da denição da função racional e a partir da análise de sua representação algébrica é fácil constatar que o domínio da função é dado pelo con junto de nú números meros reais exclu excluindo indo todos os val valores ores de x tais tais que Q (x ) = 0.
120
Tópicos de Matemática Elementar I
Exemplos
Analisar as características e propriedades das funções indicadas. (a) y =
1 x − 1 y 8 7 6 5 4 3 2 1 x -3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
Figura 5.7 Gráco da função y =
1 x − 1
Representação algébrica
y =
1 x − 1
Representação gráca
Figura 5.7
Domínio
R – { 1 }
Conjunto imagem
R – { 0 }
Zero ou raiz
Não possui zero ou raiz.
Sinal da função
Positivo para x > > 1 e negativo para x < < 1.
Crescimento/Decrescimento
A função é toda decrescente.
Unidade 5
121
Universidade do Sul de Santa Catarina
(b) y =
x + 7 x − 9 y
15
10
5
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 11 1
1 12 2
1 13 3
1 14 4
1 15 5
1 16 6
1 17 7
-5
-10
-15
Figura 5.8 Gráco da função y =
x + 7 x − 9
Representação algébrica
y =
x + 7 x − 9
Representação gráca
Figura 5.8
Domínio
R – { 9 }
Conjunto imagem Zero ou raiz
122
R – { 1 }
x = = -7
Sinal da função
Positivo para x > > 9 e x < < -7 negativo para x ∈ (-7, 9).
Crescimento/Decrescimento
A função é toda decrescente.
1 18 8
1 19 9
Tópicos de Matemática Elementar I
(c) y =
x 2
x − 1 y
15
10
5
x -4
--3 3
--2 2
-1 -1
1
2
3
4
-5
-10
-15
Figura 5.9 Gráco da função y =
x 2
x − 1
Representação algébrica
y =
x x 2 − 1
Representação gráca
Figura 5.9
Domínio
R – {–1,1}
Conjunto imagem Zeros ou raízes
Sinal da função
R
x = = 0 Positivo para –1 < x < < 0 ou x > > 1. Negativo para x < < –1 ou 0 < x < < 1.
Crescimento/Decrescimento
A função é toda decrescente.
Unidade 5
123
Universidade do Sul de Santa Catarina
(d) y =
3 2
x + 1 y
4
3
2
1
x -9
-8 -8
--7 7
--6 6
--5 5
--4 4
--3 3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
Figura 5.10 Gráco da função y =
3 2
x + 1
Representação algébrica
124
y =
3 2
x + 1
Representação gráca
Figura 5.10
Domínio
R
Conjunto imagem
0 > 0
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o presente! Veja o seguinte problema: 400 . x + 4 Analise o gráco da função de demanda, escrita como x = f (P ). ). P2 A função preço de um determinado bem é dada por P =
Para fazer o gráco da função de demanda, escrita como x = = f (P ), num primeiro momento, isola-se a variável x da da função preço: 400 x + 4 P × (x + 4 ) = 400 400 x + 4 = P =
P
x =
400 P
−4
O gráco da função de demanda é mostrado na Figura 5.11. x 80
60
40
20
P - 90
- 80
- 70
- 60
- 50
- 40
- 30
- 20
- 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-20
-40
-60
-80
Figura 5.11 Gráco da função de demanda x =
400 P
−4
Perceba que para analisar o gráco da função de demanda, basta considerar os valores em que o preço é maior do que zero, já que não faz sentido falar em preço negativo. Portanto, veja na Figura 5.12 este mesmo gráco considerando apenas este intervalo. Unidade 5
125
Universidade do Sul de Santa Catarina
x 90
80
70
60
50
40
30
20
10
P 10
20
30
Figura 5.12 Gráco da função x =
40
400 P
50
60
70
80
90
> 0 − 4 para valores de P >
Ao analisar a representação gráca da Figura 5.12 é possível perceber que o preço aumenta a medida que a demanda diminui. Portanto, a função de demanda é decrescente. Em valores próximos de P = = 0 a demanda é bem alta, isto signica que, com um preço baixo, a demanda tende a um valor alto.
SEÇÃO 3
Outros tipos de funções Nesta seção você poderá visualizar representações grácas de outros tipos de funções, como por exemplo, as funções irracionais, as que envolvem expressões polinomiais, as que possuem raízes quadradas, dentre outras. A idéia é que você visualize gracamente estes tipos de funções, deixando claro que uma ferramenta computacional é imprescindível, neste momento, para que você consiga traçar estes grácos.
126
Tópicos de Matemática Elementar I
Exemplos
Traçar o gráco das funções indicadas. 1 (a) y = x 2 + x
y
8
6
4
2
x -4
--3 3
--2 2
-1 -1
1
2
3
4
-2
-4
-6
-8
1
2 Figura 5.13 Gráco da função y = x + x
Ao analisar o gráco da Figura 5.13 é possível dizer que o domínio desta função é dado pelos números reais exceto x = = 0 e o conjunto imagem é formado pelos números reais. A função possui intervalos inter valos de crescimento e decrescimento e um zero no valor de x = = –1.
Unidade 5
127
Universidade do Sul de Santa Catarina
(b) y = x
y
4
3
2
1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 5.14 Gráco da função y = x
Já que a raiz quadrada de um número é sempre um valor positivo, então esta função possui como imagens apenas números positivos tendo como sinal apenas valores positivos. O domínio são todos os reais não negativos incluindo-se o zero, ou seja, os valores em que x ≥ ≥ 0 e o conjunto imagem são todos os valores reais tais que y ≥ ≥ 0. A função é toda crescente e possui como zero o valor de x = = 0.
128
Tópicos de Matemática Elementar I
(c) y = x 2 − 4
y 9
8
7
6
5
4
3
2
1
x -9
--8 8
--7 7
--6 6
--5 5
-4 -4
-3 -3
--2 2
--1 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2 Figura 5.15 Gráco da função y = x − 4
Esta função, assim como a do exemplo anterior, tem como imagem o conjunto dos números reais positivos, incluindo o zero. O domínio é dado pelos valores de x ≤ ≤ –2 e x ≥ ≥ 2. Veja que no gráco da função não há imagens entre os valores –2 e 2. A função decresce para x ≤ ≤ –2 e cresce para x ≥ ≥ 2. O sinal é sempre positivo e os zeros da função são –2 e 2.
Unidade 5
129
Universidade do Sul de Santa Catarina
Olhando o presente! Veja o seguinte problema: P3 Seja a função de demanda, representada na Figura 5. 5.16, 16, sendo x a quantidade demandada e y o preço expresso em reais. Determine as quantidades demandadas se o preço for igual a R$10,00 e R$100,00.
x (dema nda)
40
30
20
10
y (preço) (preço) 10
20
30
40
50
Figura 5.16 Gráco da função de demanda x =
60
70
80
90
100
12,03 y 0,21
A função de demanda apresentada é decrescente de forma que, a medida em que o preço aumenta, a demanda diminui. Per Perceba ceba que a quantidade demandada próxima a umque valor abaixoseja de 10 e acima 0, aproxia proximadamente ca 5. Assim, mesmo o preço muito alto, de a quantidade demandada ca praticamente estável neste intervalo. inter valo. Para determinar as quantidades demandadas para os preços indicados no problema, basta localizar no gráco os pontos indicados. Quando o preço é igual a R$100,00 a quantidade demandada ca entre 0 e 10, próximo de 5. Quando o preço é igual a R$10,00 esta quantidade está próxima do valor 10, mas ainda abaixo dele.
130
Tópicos de Matemática Elementar I
Para encontrar estes valores, é possível substituir a variável y na na forma algébrica da função de demanda. Assim temos:
y = = 10 x =
12,03 ≅ 7,41763 (10)0,21
y = = 100 x =
12,03 ≅ 4,57367 (100)0,21
Os valores foram calculados com a ajuda de uma calculadora.
Parada Recreativa Dois amigos preparam uma lista de convidados para uma festa. — Ah Ted, Ted, acho que precisamos inicialmente denir o quanto queremos gastar. — É verdade, a diversão é boa, mas também não adianta entrar no negativo. As coisas estão muito caras hoje em dia. — Talvez Talvez um churrasco vá bem, apesar da carne estar cara. Mas aí podemos pedir para que cada um traga a sua bebida. — Tudo Tudo bem, então vamos fazer a lista de convidados. Começamos pelos amigos em comum: Flávio, Marta, Junior, Ricardo, Sil... chato.. Eu não quero ele aqui... — Ah, não, o Ricardo não. Ele é muito m uito chato — Mas ca chato convidar a Marta e não chamar o Ricardo. A Marta é uma pessoa muito interessante interessante.. chata quanto — Mas se é namorada do Ricardo já considero tão chata quanto ele. Por favor! — Mas eu não abro mão da Marta. Será que não há uma forma de conciliarmos isto? Vamos ajudar os amigos a resolverem o problema da lista de convidados? Você percebeu que eles falaram sobre pessoas chatas chatas e e interessantes? Não há quem não pense dessa forma: algumas pessoas são interessantes. Outras são chatas. Faça uma lista das pessoas que você considera chatas e outra de pessoas interessantes. Depois analise a lista das chatas. Identique a mais chata das chatas. Mas veja: se ela é a mais chata das chatas, passa a ser extremamente interessante e muda de lista. Unidade 5
131
Universidade do Sul de Santa Catarina
Agora, outra pessoa será a mais chata das chatas, o que a torna interessante também. Assim, a certa altura, todas as pessoas serão interessantes. Será assim??! Pense nisso...
Síntese Nesta unidade você teve contato com funções polinomiais, racionais, irracionais e outros tipos de funções que usualmente aparecem em aplicações práticas. É importante que, ao naliz nalizar ar esta unidade, você tenha percebido a importância da representação gráca para que possamos fazer análises inerentes aos problemas de aplicações. O gráco da função auxiliacas e, em casos, mostra claramente propriedades e características característi demuitos uma função. Portanto, tenha emtodas menteas que a leitura correta das representações grácas é muito importante para o entendimento de situações modeladas por funções. No AVA AVA você deve ter observado os recursos tecnológicos que se dispõe para a confecção de representações grácas. Antes de seguir em frente, conra se todas as suas atividades propostas no AVA AV A e neste livro já foram desenvolvidas. Se necessário, solicite a ajuda do seu tutor. Na próxima unidade você vai estudar as funções exponenciais e logarítmicas que possuem um campo vasto de aplicações nos famosos problemas de crescimento populacional e na economia. Até mais!
132
Tópicos de Matemática Elementar I
Atividades de auto-avaliação 1
1
16
1) Seja a função f (x ) = 3 x 3 − 2 x 2 − 2x − 3 , representada gracamente na Figura 5.17. Determine o que se pede:
y
15
10
5
x -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
-5
-10
-15
1 3
1 2
3 2 Figura 5.17 Gráco da função f (x ) = x − x − 2x −
16 3
(a) Grau d daa função função polinomi polinomial. al. (b) Domínio da função. (c) Raiz da função. (d) Intervalos de crescimento. (e) Intervalos de decrescimento. (f (f)) Análise do ssinal inal d daa fun função. ção.
Unidade 5
133
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Um estudo sobre e eciência ciência de trabalhadores d do o turno da manhã de uma certa fábrica indica que o operário que chega ao trabalho às 8 horas da manhã, terá montado, x horas horas após, f (x ) = –x 3 + 6x 2 + 15x peças peças do produto. (a) Quantas peças o operário terá montad montado o às 11 horas da manhã? (b) Quantas peças ter teráá montado entre 10 e 11 horas da manhã?
3) Usando um software g gráco ráco (por exemplo o Graph) faça o gráco da x + 1 função y = 1 e analise suas propriedades e características. x −
134
Tópicos de Matemática Elementar I
4) Analise as características e pr propriedades opriedades das funç funções ões representadas gracamente nas Figuras 5.18 e 5.19. y 1800
y 1500 15
1200
10
900
5
x 600 -4
-3 -3
--2 2
--1 1
1
2
3
4
-5
300
-10
10
20
-15
-300
Figura 5.18 Gráco da função y = = x (30 (30 – 2x )(25 )(25 – 2x )
Representação algébrica
Figura 5.19 Gráco da função y =
y = = x (30 (30 – 2x )(25 )(25 – 2x )
x 2 4 − x 2
x 2 y = 4 − x 2
Domínio Conjunto imagem Zero ou raiz Sinal da função
Unidade 5
135
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais Caso você queira ampliar e aprofundar detalhes das funções polinomiais e racionais, recomendamos o primeiro capítulo do volume 1 do livro Cálculo: um novo horizonte, de autoria de Howard Anton. Neste texto você vai encontrar outras aplicações contextualizadas, bem como a análise de outras representações grácas deste tipo de funções. Procure o seu professor tutor para esclarecer suas dúvidas. Bom trabalho!
136
UNIDADE 6
Funções exponencial e logarítmica
Objetivos de aprendizagem
Identicar funções exponenciais e logarítmicas em diferentes situações problemas. Desenvolver procedimentos operatórios que envolvem exponenciais e logaritmos. Fazer leituras de representações grácas e identicar propriedades e características das funções envolvidas.
Seções de estudo Seção 1 – Introdução
Seção 2 – Função exponencial Seção 3 – Função logarítmica Seção 4 – Outras aplicações
6
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iníci início o de conversa Você vai ter a oportunidade de observar no decorrer desta unidade que, para modelar o crescimento populacional de qualquer espécie do nosso planeta, é necessário o uso das funções exponenciais. Sempre é bom lembrar que a exponenciação é uma operação inversa da logaritmação, assim como adição e subtração ou multiplicação e divisão. Portanto, para analisar os fenômenos de crescimento populacional ou problemas econômicos, vai ser necessário o uso também dos logaritmos. Não se assuste! Os recursos tecnológicos (computador ou calculadora) serão seus aliados nesta caminhada.
138
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 1
Introdução O estudo das funções exponenciais e logarítmicas envolve o uso de operações com potências e logaritmos. Sabendo da importância impor tância de se ter bastante clareza dos conceitos envolvidos, optou-se por fazer uma rápida revisão dos objetos matemáticos envolvidos.
Potência com expoente natural Vamos, a seguir, seguir, apresentar procedimentos operatórios que nortearão os seus passos diante de procedimentos operatórios que envolvem potências com expoentes naturais, inteiros e racionais. Consideremos um número real a e e um número natural n, diferente de zero. A expressão a n (potência de base a e e expoente n), representa um produto de n fatores iguais de a :
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ⋅ n fatores
Exemplos
1) 21 = 2. Para n = 1, considera-se por denição que a 1 = a , uma vez que não há produto com um único fator. 2) 53 = 5∙5∙5 = 125 3) (–5)2 = (–5)∙(–5)= 25 3
1 1 1 1 1 4) = ⋅ ⋅ = 3 3 3 3 27
Pare! Observe!
(–3)2 = (–3)·(–3) = 9
–32 = –(3·3) = –9
Assim: (–3)2 ≠ –32
Unidade 6
139
Universidade do Sul de Santa Catarina
Propriedades das potências com expoente natural Lembrar de propriedades no momento de efetuar as continhas é muito interessante. Observe: i) 23∙24 = (2∙2∙2)∙(2∙2∙2∙2) = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2 = 27 ou 23∙24 = 23 + 4 = 27. ii) 33∙34∙32∙35 = (3∙3∙3)∙(3∙3∙3∙3)∙(3∙3)∙(3∙3∙3∙3∙3) = = 3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3 = 314 ou 33∙34∙32∙35 = 33 + 4 + 2 + 5 = 314. Podemos concluir:
Prop.1: Para multiplicar potência Prop.1: potênciass de mesma base mantemos a base e somamos os expoentes. m
n
m+n
a ∙a = a Observe: 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 21 = 2 i) 24 ÷ 23 = (2·2·2·2) ÷ (2·2·2) = 2⋅2⋅2 ou 24 ÷ 23 = 24 – 3 = 21 = 2 6⋅6⋅6⋅6 = 62 = 36 ii) 64 ÷ 62 = (6·6·6·6) ÷ (6·6) = 6⋅6 ou 64 ÷ 62 = 24 – 2 = 62 = 36 Podemos concluir que:
Prop.2: Para dividir potências de mesma base mantemos a base e subtraímos os expoentes. m am ÷ an = am – n ou a n com a ≠ 0 a
140
Tópicos de Matemática Elementar I
O que acontece quando os expoentes são iguais? 5⋅5⋅5 = 1 53 ÷ 53 = (5·5·5) ÷ (5·5·5) = 5 5 5 ⋅ ⋅ ou 53 ÷ 53 = 53 – 3 = 50 Podemos armar que:
a 0 = 1 com a ≠ ≠ 0 Temos, ainda, um outro ccaso aso interessante quando o expoente do divisor é maior do que o do dividendo. 2⋅2⋅2⋅2 1 1 = = 3 24 ÷ 27 = (2·2·2·2) ÷ (2·2·2·2·2·2·2) = 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 2 ⋅2 ⋅2 2 ou 24 ÷ 27 = 24 – 7 = 2–3. Podemos armar que: −n
1
=
a
a n
Como conseqüência você pode observar que: −n
1
= a e a = b −n a b a
n
n
Exemplos
−1
1 7 7 2 1) 7 = 2 = 1⋅ 2 = 2 . 7 −2
2
2) 3 == 5 = 25 . 5 3 9 3)
1 3 −3 = 2 = 8. 2
Unidade 6
141
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe a situação denominada potência de potência. A base elevada é elevada à um expoente, e todo esse número é elevado a outro expoente. Veja: i) (34)2 = 34·34 = 34 + 4 = 38 ou (34)2 = 34·2 = 38 ii) (73)4 = 73·73·73·73 = 73 + 3 + 3 + 3 = 712 ou (73)4 = 73·4 = 712
Pare! Observe!
(53)2 = 53·2 = 56
Podemos escrever: (a m)n = a m·n
532 = 59
Considere as expressões:
Assim, (53)2 ≠ 532
i) (2·7)2 = (2·7)·(2·7) = 2·2·7·7 = 22·72 3
3 3 3 3 33 ii) (3 ÷ 8) = = ⋅ ⋅ = 3 = 33 ÷ 83 8 8 8 8 8 3
Podemos armar que: (a ·b)n = a n·bn e n
n (a ÷ ÷ b) = a ÷ b ou a = a n b b
n
n
n
Olhando o futuro! Os recursos tecnológicos não abrem mão de uma notação baseada nas propriedades das potências. Se você tem uma calculadora cientíca, observe o que chamamos de notação cientíca.
Quando trabalhamos com números muito grandes ou o u muito pequenos é conveniente escrever em forma de potência.
142
247 000 = 2,47 · 105 100 000000 = 108 0,000 001 = 10–6 0,000 123 = 1,23 · 10–4 1 10–1 = 0,1 = 10 1 10–3 = 0,001 = 1000 5 · 107 = 50 000 000
Tópicos de Matemática Elementar I
Esta forma de expressar um número é conhecida como notação cientíca. c ientíca. Para representá-la representá-la usamos um número real pertencente ao intervalo [1,9] multiplicado por uma potência de 10. Note que o valor do expoente da potência 10 é o número de casas que a vírgula teve que percorrer.
Potência com expoente racional
Para a real, real, b real e n inteiro positivo ímpar, temos
n
a = b sempre que
.
Para a ee b real, positivo ou nulo e n inteiro positivo par, temos
n
a = b sempre que
.
Denominamos:
n = índice;
Pare!
a = = radicando; b = raiz. Usamos a representação da raiz n-ésima como
Observe!
n
m n
a = a . m
Não existe raiz real de índice par de números negativos.
Exemplos
1) Verique as seguintes raízes ditas exatas
25 = 5 ⇔ 5·5 = 52 = 25
(a) (b)
3
−125 = – 5 ⇔ (–5)·(–5)·(–5) = (–5)3= –125
(c)
6
64 = 2 ⇔ 2·2·2·2·2·2 = 26 = 64
2) Verique a existência d das as raízes: (a)
4
34 = 3
(b)
4
−3 não existe
(c)
3
−27 = –3
Unidade 6
143
Universidade do Sul de Santa Catarina
Propriedades das potências com expoente racional As propriedades para expoentes racionais são as mesmas utilizadas com expoentes naturais. Observe a validade das expressões no contexto dos reais. Vejamos um resumo: (a)
n
a ⋅ m a = n×m a n +m
(b)
n
a ⋅b = n a ⋅ n b
(c)
n
a n a = b nb
(d) ( n a )m = n a m (e)
m n
3)
144
Exemplos 1 2
1 4
3 ⋅ 3 = 3 ⋅3 = 3 4
1) 2)
a = n⋅m a .
4
1 1 + 2 4
=3
2 +1 4
=3
3 4
3 ⋅ 4 5 = 4 3 ⋅ 5 = 4 15
ou 5
4
1 4
10
2 = 2 ou 3
1 4
1 4
3 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 = (3 ⋅ 5) = 4 3 ⋅ 5 = 4 15 4
3
5
1 2
31 3 ⋅ 5 2 1 2 = 2 = 2 = 2 0 3
3 5
Tópicos de Matemática Elementar I
Parada recreativa Ufa! É um monte de continhas. Vamos relaxar? Veja o que aconteceu com Ton Toninho inho na sua infância. Professor: — Toninho preste atenção, vou fazer a primeira pergunta. Se Professor: você responder, responder, nada mais lhe perguntarei. Dar-me-ei por satisfeito satisfeito.. Digame: quantos os de cabelo tem na sua cabeça? Toninho: — Duzentos e quarenta e cinco vezes dez elevado a cem. Professor: Profess or: — Como chegou a essa conclusão? Toninho: — Caro professor, não se esqueça de que o senhor garantiu que só faria uma pergunta. TTrato rato é trato.
Unidade 6
145
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 2
Função exponencial Vamos agora discutir as funções exponenciais. Observe que essas funções são usadas para modelar o crescimento e o decrescimento populacional e, também, em várias situações da Matemática Financeira.
Olhando o presente! Discutir aplicação nanceira é uma atividade do dia-a-dia de muitos cidadãos. É possível que um grande número de pessoas desconheçam os objetos matemáticos que estão inseridos neste contexto. Lembrando da conversa do Ted Ted com o Mad, é possível formular o seguinte problema: P1 A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao mês (creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se aplicarmos R$ 100,00 hoje, quanto teremos te remos daqui a 11 meses? E daqui a 10 anos? P2 Como podemos modelar a população de um país para o ano de 2010? Estes e outros problemas podem ser modelados a partir par tir de funções exponenciais. Podemos dizer que as funções exponenciais são amplamente utilizadas em problemas que apresentam fenômenos da natureza e da sociedade.
Denição: Função exponencial é uma função real que associa a cada número real x o número ax, com a > 0 e a ≠ 0.
Linguagem simbólica:
f : R → R f (x ) = a x para a > > 0, a ≠ ≠ 1
146
Tópicos de Matemática Elementar I
Pare! Observe!
Exemplos
1) f (x ) = 2x
1 2) f (x ) = 2
Por que a deve ser positivo?
x
Suponha que
a = – 9 e x = ½ .
3) f (x ) = e x
A função
f (x) = (– 9)½ = −9 .
Você não deve confundir a função exponencial com a função potência. Na função exponencial a variável é expoente e na função potência a variável está na base.
Assim, teríamos como resposta um número não real.
Gráco da função exponencial Vamos analisar o gráco das funções exponenciais. Não esqueça de que você deve observar as características carac terísticas das funções para facilitar o esboço de grácos de forma manual. Neste texto os grácos apresentados são desenvolvidos com recursos tecnológicos. Basicamente vamos ter duas situações para analisar. Observe os exemplos das Figuras 6.1 e 6.2. Veja que ao fazer um gráco manualmente você deve inicialmente construir uma tabela para posteriormente fazer o traçado gráco. Na Figura 6.1 temos o exemplo da função y = = 2x e na Figura 6.2 temos o x 1 exemplo da função y = = . 2
x
2−3 =
1 1 = 23 8
−3, 1 8
–2
2−2 =
1 1 = 22 4
−2, 1 4
–1
2−1 =
1 1 = 21 2
−1, 1 2
4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
-1
Figura 6.1 Gráco da função f (x ) = 2x
Unidade 6
(x, yy)
–3
f(x) 5
f (x) = 2x
0
20 = 1
(0,1)
1
21 = 2
(1,2)
2
22 = 4
(2,4)
3
23 = 8
(3,8) 147
Universidade do Sul de Santa Catarina
x
1 f (x ) = 2
x
(x, yy) f(x)
−2
–2
1 = 22 = 4 2
(–2,4)
5
4
−1
–1
21 = 21 = 2
0
1 =1 2
(–1,2)
3
2
0
1
1
2
(0,1) 1
1 = 1 2 2
1, 1 2
2
2, 1 4
1 = 1 2 4
x -3
-2
-1
1
2
3
-1
1 Figura 6.2 Gráco de f ( x ) = 2
x
Propriedades Pela observação das tabelas e grácos, podemos enunciar as seguintes características: o domínio são todos os reais; a imagem é sempre positiva, excluindo o zero; o gráco passa pelo ponto (0,1); para a > > 1 a função é crescente; para 0 < a < < 1 a função é decrescente.
Com um pouco de formalismo matemático é possível provar que essas características são gerais para as funções exponenciais.
Exemplos
1) Analisar com o uso d dee um software os grácos das seguintes fu funções: nções: (a) y = = 2x + + 1 (b) y = = 2x + 1 (c) y = = –2x + + 1
148
Tópicos de Matemática Elementar I
+1 , na Figura 6.4 a Na Figura 6.3 apresentamos o gráco da função y = = 2x +1 +1 . função y = = 2x + 1 e na Figura 6.5 a função y = = –2x +1
f(x)
f(x) 7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1 -6
-4
1
x
-2
2
4
-6
6
-4
-2
x 2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
4
6
Figura 6.4 Gráco da função y = = 2x + 1
Figura 6.3 Gráco da função y = = 2x + + 1
f(x) 4
2
x -6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Figura 6.5 Gráco da função y = = –2x + + 1
Observe os grácos das Figuras 6.3 e 6.5, verique que eles são simétricos em relação ao eixo dos x . Observe as leis de formação da função e verique que este efeito está representado pela troca de sinal. Agora, observe os grácos das Figuras 6.1 e 6.4 e compare-os. Observe que o acréscimo de uma unidade na variável y provocou provocou a subida do gráco em uma unidade.
Unidade 6
149
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Analisar gracament gracamentee o comportamento de uma família de funções do tipo f (x ) = a x com a > > 0 e a ≠ ≠ 1.
(1/5)x
f(x) (1/10)
5x
10x
x
8
6
(1/2)x
2x
4
(2/3)x
(3/2)x
2
x -1
1 -2
Figura 6.6 Família de funções exponenciais
Observe a Figura 6.6 e perceba o comportamento compor tamento da família de funções exponenciais. As características comuns aos membros da família, tais como:
passam pelo ponto (0,1); duas a duas simétricas em relação ao eixo dos y ; o gráco nunca corta o eixo dos x (observar que os recursos de desenho podem causar a impressão de que algum gráco toque o eixo do x , mas isto não é verdade); domínio é o conjunto dos reais; conjunto imagem é o conjunto (0,∞).
3) Faze Fazerr o gráco gráco da função f (x ) = 3x e f (x ) = x 3. Comparar o crescimento dos grácos. O que é possível armar? Na Figura 6.7 podemos observar os grácos das funções solicitadas no mesmo sistema cartesiano. Ao comparar o crescimento (ambas são funções crescentes) podemos armar que o gráco da função exponencial f x (x ) = 3 cresce mais rapidamente que o gráco da função potência f (x ) = x 3. O comportamento dessas funções para valores menores que zero são completamente diferentes, diferentes, pois a função potência assume valovalo res negativos.
150
Tópicos de Matemática Elementar I
f(x) 8
6
3x
4
x3
2
x -1
1 -2
Figura 6.7 Gráco das funções f (x ) = 3x e f (x ) = x 3
Aplicações Foi possível observar ao discutir as características e propriedades das funções exponenciais que elas são interessantes para modelar fenômenos populacionais e econômicos. Estamos assim prontos para resgatar agora os problema P1 P1 e e P2 P2 desta desta unidade. P1 queremos No problema P1 queremos discutir uma aplicação nanceira em caderneta de poupança. P1 A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao mês (creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se aplicarmos R$ 100,00 hoje, quanto teremos daqui a 11 meses? E daqui a 10 anos? O regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais e nanceiras é o de juros compostos, que se baseia no seguinte princípio:
ao nal do 1o período, os juros incidentes sobre o capital inicial são a
ele incorporados, produzindo o 1o montante; ao nal do 2o período, os juros incidem sobre o 1o montante e incorporam-se a ele, gerando o 2 o montante; ao nal do 3o período, os juros, calculados sobre o 2o montante, incorporam-se a ele, gerando o 3o montante; e assim por diante.
Unidade 6
151
Universidade do Sul de Santa Catarina
De modo geral, um Capital C , a juros compostos, aplicados a uma taxa unitária xa i , durante n períodos, produz:
M = = C (1 (1 + i )n No problema dado temos C = = 100, i = = 0,5% = ⁄ = 0,005 e n = 11 na primeira pergunta e n = 120 na segunda questão. TTemos: emos: Para 10 anos ou 120 meses temos R$ 181,94. De fato:
Para 11 meses temos R$ 105,64. De fato:
M = = C (1 (1 + i )n
M = = C (1 (1 + i )n
120
11
0, 5 M = 100 1+ 100 0,0005)120 = 100(1+ 0,0 ≅ 181,94
0, 5 M = 100 1+ 100 0,0005)11 = 100(1+ 0,0 ≅ 105,64
A gura 6.8 apresenta um gráco da evolução do investimento.
M
300
200
100
n 40
80
120
160
200
240
Figura 6.8 Gráco de M = = 100(1 + 0,005)n
Vamos agora discutir o problema P2 P2..
152
280
320
360
Tópicos de Matemática Elementar I
P2 Como podemos modelar a população de um país para o ano de 2010? Vamos supor que tenhamos dados da população do Brasil de 1950 a 1996. Com esses dados é possível fazer uma estimativa da população do ano de 2010. Veja como! Temos os seguintes dados obtidos através das estatísticas mundiais divulgadas em diferentes mídias.
Veja, por exemplo os dados em http://www.novomilenio.inf.br/porto/mapas/nmpop. htm)
Vamos colocar esses dados em um software que tem a capacidade de nos dá a função exponencial que modela esse crescimento populacional. A Figura 6.9 mostra resultado apresentado quando usamos o softwareo Graph.
P
Ano
População Brasil x milhões
1950
53.443
1960 1970
71.695 95.684
1980
122.958
1990
151.084
2000
175.553
150000
100000
50000
t 10
20
30
40
50
Figura 6.9 Modelo de crescimento populacional
A função apresentada é P (t ) = 56404,04 × (1,02439)t . Observar que consideramos a contagem do tempo a partir de 1950. Assim, 1950 corresponde = 0
a t
= 10
; 1960 a t
, etc.
Unidade 6
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para achar a estimativa da população para o ano de 2010 basta fazer
P (60 (60 ) = 56404,04 × (1,02439)60 ≅ 239,459 Portanto, 239.459 milhões de habitantes.
SEÇÃO 3
Função logarítmica Vamos agora discutir as funções logarítmicas. Observe Obser ve que essas funções são usadas associadas aos modelos exponenciais. Você terá a oportunidade de observar que isto não é por acaso. Vamos mostrar nesta seção que estamos diante de funções inversas.
Olhando o presente! Usando a função logarítmica vamos poder dimensionar, por exemplo, o tempo em que as aplicações nanceiras duplicam ou triplicam. P3 Uma aplicação de R$ 1 10 0 000,00 a juros de 1 10% 0% ao ano rendeu um montante de R$ 13 310,00, neste sentido, por quanto tempo durou a aplicação? Para resolver este problema vamos precisar de algebrismos do objeto matemático logaritmo. Logaritmo Acompanhe o nosso raciocínio! Pense num número, digamos 16, agora perguntamos: A qual expoente devemos elevar o número 2 para obter 16? Sem muitas diculdades chegamos ao resultado 4, ou seja 24 = 16.
154
Tópicos de Matemática Elementar I
O que acabamos de fazer foi encontrar o logaritmo do número 16 na base 2. Apesar de um nome um pouco assustador — logaritmo—, o que se faz, nada mais é que a busca de um expoente. Calcular o logaritmo de um número b > 0 numa base a > > 0 e a ≠ ≠ 1, é simples desde que tenhamos uma maneira de escrever b como uma potência de a , melhor dizendo, qual expoente que devemos elevar a para para obter b? No nosso exemplo: log216 = 4 pois 24 = 16.
Pare! Observe!
Quando calculamos
De maneira geral, simbolicamente escrevemos: loga b = x ⇔ a x = b sendo b > 0, a > > 0 e a ≠ ≠ 1
loga b = x, note que para qualquer base a > 0, não existe expoente para a, que nos retorne um número negativo, logo b > 0.
logaritmando;; O número b é chamado de logaritmando base;; é chamado de base O número a é logaritmo.. é chamado de logaritmo O número x é
Note que nunca podemos calcular o log1 b, pois o número 1 elevado a qualquer expoente é sempre igual a 1, ou seja, não conseguimos escrever qualquer número positivo b, na base 1, logo obrigatoriamente a ≠ 1. Quando a base do logaritmo for igual a 10, não costumamos escrever a base, por exemplo, log10 100 100 escrevemos escrevemos simplesmente log 100, 100, e ca subentendido que a base é 10. Aos logaritmos na base 10, damos o nome de logaritmos decimais ou de Briggs. Aos logaritmos que utilizam a base e (número (número neperiano) damos o nome de logaritmos naturais ou naturais ou logaritmos neperianos. neperianos. A sua notação também pode ser diferente: loge b = lg b ou ln b.
Exemplos
1) Calcular log 1000 Se log 1000 = x então então 10x = 1000 Portanto log 1000 = 3.
Unidade 6
155
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2) Calcule
.
Se
= x então
.
1 72 73x = 7−2 3x = −2 2 x = − 3
(73 )x =
3) Calcule log243 3 . Se log243 3 = x então 5 x
1 2
5 x
1 2
(3 ) = 3
243x = 3
3 =3 1 5x = 2 1 x = 10 4) Veriqu Veriquee para q qual ual valor de x, os logaritmos abaixo existem. a) log4 (x – – 6) A base já é um número positivo e diferente de 1, logo a condição deve ser estabelecida apenas para o logaritmando: x – – 6 > 0 x > > 6 b) log(x – 2) 100 Como o logaritmando já é um número positivo, estabelecemos apenas a condição para a base:
x – 2 > 0 e x – – 2 ≠ 1 ou x > 2 e x ≠ ≠ 3 = {x ∈ R, x > Assim o conjunto verdade é dado por V = > 2 e x ≠ ≠ 3}.
156
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o passado! Na escala Ritcher temos o uso de logaritmos!
Você por acaso sabe o que signica dizer que um terremoto atingiu 5 graus na escala Ritcher? Na verdade este número é o logaritmo da energia liberada pelo tremor. tremor. Quem criou esta escala oi o sismologista americano Charles Ritcher.. A energia liberada por tremores é um número enorme, na casa dos bitcher lhões. O que Richer ez, oi calcular o logaritmo da energia em uma unidade 11,8 do resultado do logaritmo da energia, erg. Emoseguida subtraiu echamada por m dividiu resultado por 1,5. Com estas simplicações, os valores na escala vão de 1 à 10, uma simplicação e tanto, não é? (Nota: o número 11,8 que é subtraído do resultado do logaritmo logaritmo,, é um número arbitrá arbitrário). rio).
Propriedades do Logaritmo As propriedades que seguem não ditas operatórias e são usadas em diferentes momentos em que o uso dos logaritmos é indicado. Lembrar que ao usar a linguagem simbólica estamos considerando que os parâmetros literais são dimensionados de modo que o logaritmo exista. 1) O logaritmo do produt produto o de dois ou mais números, números, em uma mesma base, é a soma dos logaritmos destes números na mesma base. Simbolicamente loga (m·n) = loga m + loga n
2) O logaritmo do quocient quocientee de dois númer números os numa mesma base é a dif difeerença entre o logaritmo do numerador e o logaritmo do denominador, denominador, na mesma base. Simbolicamente loga (m ⁄ n) = loga m – loga n
3) O logaritmo de uma potênci potênciaa é igual ao produto do expoente desta potência pelo logaritmo da base da potência, mantendo o logaritmo na mesma base.
Unidade 6
157
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Simbolicamente loga bn = n loga b
Como propriedades gerais podemos ter: a) loga 1 = 0, pois a 0 = 1; b) loga a = = 1, pois a 1 = a ; c) loga a m = m.
Exemplos
1) Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule log 24. Primeiramente fatoramos o número 24 = 23·3, assim: log 24 = log (23·3) = log 23 + log 3 = 3·log 2 + log 3 = 3·0,3010 + 0,4771 = 1,3801 2) Sabendo que log a = = 0,3010, log b = 0,4771 e log c = = 0,8450, a × c . b2 Vamos usar as propriedades: calcule log
log
a × c = log( a × c ) − log(b 2 ) 2 b
= log
1 2 a
+ log c − 2 ⋅lloog b
1 2 1 = × 0, 3010 + 0, 8450 − 2 × 0, 447771 2 = 0,0413
= log a + log c − 2 ⋅ log b
158
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Calcule log 0,02 , sabendo-se que log 2 = 0,3010. Temos: log 0,02 = log 2
100
= log 2 – log 102 = 0,3010 – 2 × 1 = – 1,699
Mudança de base de logaritmo As bases de logaritmo mais comuns são as decimais ou de Briggs e as naturais ou neperianas. Estas aparecem na maior parte das calculadoras cientícas e nanceiras.
Olhando o futuro! Se você é inseparável da sua calculadora nanceira ou cientíca. Parabéns! Você tem a visão de que a tecnologia está eem m constantes avanços e que precisamos nos atualizar. atualizar. Mas, cuidado! A calculadora não raciocina e não consegue viabilizar situações sem que você assuma o comando. Por exemplo, exemplo, se você está diante de um logaritmo logaritmo com bbase ase 4? Sua calculadora va vaii resolver?
Usamos a mudança de base. Acompanhe as idéias seguintes: log A B = = C ⇒ A C = B
(1)
logD B = = F ⇒ D F = B
(2)
logD A A = = G ⇒ D G = A
(3)
De (1) e (2) temos que A C = D F . Como de (3) temos que D G = A , podemos reescrever:
A C = D F (D G )C = D F D GC = D F ou GC = = F F C = G
Unidade 6
159
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Assim, podemos reescrever (1) como:
log A B =
F G
log A B =
logD B logD A
Quando D = = B , podemos escrever:
log A B =
logB B logB A
log A B =
1 logB A
ou
Exemplos
1) log2 13 = 2) log3 5 =
log3 13 log5 13 log7 13 log13 1,113943 = = = = = 3, 70044. log3 2 log5 2 log7 2 log 2 0, 301030
log 5 0, 69 698970 = = 1, 464974. log 3 0, 47 477121
Vamos lembrar do problema do início dessa seção para constatar a importância de saber lidar com logaritmos. P3 Uma aplicação de R$ 1 10 0 000,00 a juros de 1 10% 0% ao ano rendeu um montante de R$ 13 31 310,00, 0,00, por quanto tempo durou a aplicação? Solução: Para resolver este problema vamos precisar utilizar o conceito de Solução: logaritmo. Temos:
M = = 13310 C = = 10000 i = = 10%
160
Tópicos de Matemática Elementar I
Assim,
M = = C (1 (1 + i )n 13310 = 10000(1 + i )n 1,1n =
13310 = 1,331 10000
Para encontrarmos n, vamos aplicar logaritmo: log (1,1)n = log 1,331 Usando propriedades de logaritmos e usando uma calculadora temos:
n·log (1,1) = 0,124 n·0,041 = 0,124 n = 0,124 0,041 n ≅ 3. Ou seja, o capital inicial cou aplicado por aproximadamente 3 anos. Estamos agora prontos para discutir na seção seguinte as funções logarítmicas. Vamos Vamos discutir a função logarítmica de forma comparativa com a função exponencial. Vamos vericar que essas funções são inversas uma da outra.
Ao resolver um problema prático é possível observar que podemos usar a função exponencial ou a função logarítmica. Por que isto acontece?
Para responder esta pergunta vamos lembrar da denição de logaritmo. Temos: loga b = x ⇔ a x = b As operações indicadas são ditas inversas. Da mesma forma que a função exponencial é a função inversa da função logarítmica ou vice-versa. vice -versa.
Unidade 6
Pare! Revise!
A existência da inversa fica garantida, pois ambas as funções são ditas bijetoras. Veja: Se y = f (x) é uma função de A em B e se para cada y ∈ B , existir exatamente um A tal valor x ∈ A tal que y = f (x), então podemos definir uma função g = = f –1 tal que x = g y (y).
161
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para facilitar o esclarecimento da denição acima visualizamos a Figura 6.10. Ela mostra as funções y = = log2 x ,, y = = 2x e y = = x . Podemos observar uma função exponencial, uma função logarítmica e a função linear y = = x . Verique Verique a perfeita simetria das cur curvas vas em relação a reta.
f(x) 4
3
2
1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Figura 6.10 Função exponencial e logarítmica
Olhando o presente! Para reforçar as idéias acima vamos resgatar um problema prático. P4 A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao mês (creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se aplicarmos R$ 100,00 em quanto tempo vamos ter um saldo de R$135,00? Este problema pode ser resolvido usando-se funções exponenciais ou função logarítmica. Temos:
M = = C (1 (1 + i )n M = = 100(1 + 0,005)n M = = 100 × 1,005n Na Figura 6.11 podemos visualizar a função exponencial M = 100 × 1,005 n que modela o problema e na Figura 6.12 podemos visualizar a função logarítmica n = 461,67(log M – – 2) que modela o mesmo problema. A resposta do problema pode ser observada no próprio gráco, ou seja, 60 meses ou 5 anos.
162
Tópicos de Matemática Elementar I
M reais
n meses
135
60
n meses
M reais 135
60
Figura 6.11 Gráco da função M = = 100 × 1,005 n
Figura 6.12 Gráco da função n = 461,67(log M – – 2)
Observe que se não usamos a representação gráca podemos resolver o problema usando representação algébrica. Neste caso a função logarítmica é recomendada. Veja como a função logarítmica foi estruturada. Vamos escrever a inversa de M = = 100(1,005)n. Basta aplicar logaritmo e explicitar o valor de n. Temos: log M = = log [100(1,005)n] log M = = log 100 + n log 1,005 n=
lo g M − log100 log1,005
Usando a calculadora podemos obter: (observar que estamos usando logaritmo na base 10).
n = 461,67log
M
100
ou
n = 461,67(log M – – log 100) n = 461,67(log M – – 2)
Unidade 6
163
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para responder a pergunta do problema basta aplicar o valor R$135,00 para obtermos o valor de n.
n = 461,67(log 135 – log 100) n ≅ 60 Temos, portanto 60 meses ou 5 anos. Formalmente podemos denir a função logarítmica como a função inversa da função exponencial. Assim:
y = = loga x ⇔ a y = x Observando que a > > 0, a ≠ ≠ 1 e x > > 0. Vamos fazer uma análise conjunta das duas funções facilitando, assim, as reexões sobre as propriedades e características. c aracterísticas.
Função Exponencial
Função Logaritmica
Denição: Dado um número real a , tal que 0 < a ≠1, ≠1, chama-se função exponencial de base a a a função f de R em R que associa a cada x real real o número a x .
Denição: Dado um número real a , tal Denição: Dado que 0 < a ≠1, ≠1, chama-se função logaritmica de base a a a função f de R em R que associa a cada x real real o número loga x .
f : R → R+* x → a x
f : R+*→ R x → loga x
O domínio da função exponencial é D( f f ) = R e a imagem é Im( ff ) = (0,+∞).
O domínio da função logarítmica é D( ff ) = (0,+∞) e a imagem é Im( f f ) = R.
f (x ) = a x é crescente se, e somente se a > 1 (ver Figura 6.13) e decrescente se, e somente se 0 < a < < 1 (ver Figura 6.14).
f (x ) = loga x é é crescente se, e somente se a > > 1 (ver Figura 6.15) e decrescente se, e somente se, 0 < a < < 1 (ver Figura 6.16).
164
Tópicos de Matemática Elementar I
Função Exponencial
Função Logaritmica
Com relação ao gráco da função f (x ) = a x , pode-se dizer que:
Com relação ao gráco da função f (x ) = loga x pode-se pode-se dizer que:
1°) A curva que representa esta função está toda acima do eixo dos x , pois,
1°) A curva que representa esta função está todo a direita do eixo dos y , já que
x
= a > 0 para todo x ∈ R. y =
esta função só é denida para x > > 0. 2°) A curva corta o eixo dos x no no ponto de abscissa 1, pois, se x = = 1, então f (1) = loga 1 = 0.
2°) A curva sempre corta o eixo y no no = 0, ponto de ordenada 1, pois, se x = (0) = a 0 = 1. então f
f(x)
f(x)
2
2
1
x
x -2
1
1
2
-1
-1
-2
-2
Figura 6.13 Gráco de y = = a x , para a > > 1
Figura 6.15 Gráco de y = = loga x , para a > > 1
f(x)
f(x)
2
2
1
x -2
1
1
x 1
2
-1
-1
-2
-2
Figura 6.14 Gráco de y = = a x para 0 < a < < 1
Figura 6.16 Gráco de y = = loga x , para 0 < a < < 1
As funções f (x ) = a x e g (x ) = loga x , são inversas uma da outra. O gráco de f (x ) = = x . a x é simétrico ao gráco da função g (x ) = loga x em em relação a reta y =
Unidade 6
165
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 4
Outras aplicações Vamos apresentar exemplos para nalizar esta unidade. Observe bem os detalhes para esclarecer todos os conceitos e propriedades das funções discutidas nesta unidade.
Exemplos
1) Como modelar a produção de um operário em uma fábrica. A produção de um operário em uma fábrica pode ser modelada. Por exemplo, f (t ) = 50(1 – e –kt ),), sendo t o o tempo em dias e k uma constante característica do contexto no qual os dados são coletados. A partir de uma informação pontual é possível achar o valor de k. Por exemplo, se o operário produzir 37 unidades em 4 dias, temos:
f (4) = 37 ou f (4) = 50(1 – e –k4) = 37 Podemos reescrever: 50 – 50e –k4 = 37 – 50e –k4 = 37 – 50 – 50e –k4 = – 13 13 e –k4 = 50 Aplicando logaritmo natural: 13 50 –4k ≅ –1,35 k ≅ 0,34
ln e –k4 = ln
Assim a função que modela é f (t ) = 50(1 – e –0,34t ) (ver Figura 6.17).
166
Tópicos de Matemática Elementar I
f(x)
60
40
20
x 5
10
15
Figura 6.17 Gráco de f (t ) = 50(1 – e –0,34t )
Vejamos outros exemplos. 2) Em um laboratório, u um m determinado inset inseto o apresenta um ciclo rreproeprodutivo de 1 hora: a cada hora um par de inseto gera outro par. Um par foi deixado junto para reprodução. Depois de 5 horas vericou-se o número de insetos presentes. Qual o valor encontrado? Como modelar essa experiência? Acompanhe a análise: P0 = população inicial =2 P1 = população após 1 hora = P0·2 P2 = população após 2 horas = P1·2 = P0·2·2 P3 = população após 3 horas = P2·2 = P0·2·2·2 P4 = população após 4 horas = P3·2 = P0·2·2·2·2
= P0·21 = P0·22 = P0·23 = P0·24
P5 = população após 5 horas = P4·2 = P0·2·2·2·2·2 = P0·25 Genericamente, poderíamos dizer que para este ciclo, teríamos: Pn = P0·2n sendo
n = número de horas P0 = população inicial Pn = população após determinado número de horas
Unidade 6
167
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Qual a taxa mensal (%) para dobrar um capital em 2 anos? A expressão que devemos usar para resolver esse problema é: M = = C (1 (1 + i ))n
Queremos encontrar i tal tal que C seja seja duplicado, ou seja M = = 2C . Como queremos taxa mensal vamos usar n = 2 anos = 24 meses. Assim,
2C = C (1+ i )24 2 = (1+ i )24 24
2 = 1+ i i = 24 2 − 1 i ≅ 0,029
Portanto, temos 2,9%.
Síntese Nesta unidade você analisou as funções exponenciais e as funções logarítmicas. Você deve ter observado o detalhamento inicial de objetos objetos matemáticos e operações elementares no contexto das potências, raízes e logaritmo. Você deve sair dessa unidade com a certeza de que consegue visualizar situações práticas que são modeladas com funções exponenciais ou logarítmicas. Lembre-se de que, você como futuro professor de matemática, deve ter prazer em manusear expressões algébricas que envolvem expoentes e logaritmos. Não esqueça de retornar ao A AVA VA par paraa vericar se todas as seções desta unidade foram reetidas e analisadas. Na última unidade você vai vivenciar o estudo das funções trigonométricas. Bom trabalho!
168
Tópicos de Matemática Elementar I
Atividades de auto-avaliação Desenvolva as atividades que seguem para que você possa fazer a sua auto-avaliação. As respostas discutidas estão no nal do livro. Mas, lembre-se, só consulte-o após a realização de todas as atividades. Mãos a obra! 1) Escreva n naa for forma ma decimal: a) 1034 b) 105 c) 2·102
2) Escreva na notação cientíca: cientíca: a) 72 000 b) 0,004 c) 0,022
3) Escreva na forma de uma única potência: a) 2 ·2
(133 )4 b) (132 )5
c) 4 ·8·2
5−2 ⋅ 5−3 d) −10 8 5 ⋅5
–5
3
2
–5
Unidade 6
169
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Calcule:
39 ⋅ 9 −2 a) 277 ⋅ 81−5
5) Simplique: w 6 ⋅ z −6 a) 3 2 z ⋅w
b)
125 ⋅ (252 )3 3
725
4
x 3 ⋅ ( y 2 )3
b)
3 y 4
⋅
1 4 x
6) Esboce o gráco das seguintes funções: a) f (x ) = 2x
170
b) f (x ) = 3x –– 1
Tópicos de Matemática Elementar I
c) f (x ) = log2 x
d) f (x ) = log(½) x
7) Identique se o as seguintes fun funções ções são crescentes ou decrescentes: x
b) f (x ) = 3 2
x
a) f (x ) = 6
x
3 c) f (x ) = 4
d) f(x) = (0,125)x
e) f (x ) = log3 x
f ) f (x ) = log x 1 3
Unidade 6
171
Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Calcule os segu seguintes intes logaritmos
1 243
(a) log327
(b) log3
(c) log10100
(d) log81 4 3
9) Determine o valor d dee x :
172
(a) log(1/625)5 = x
(b) logx 25 = 2
(c) log2 x = 8
(d) logx (8/27) = 3
Tópicos de Matemática Elementar I
10) Determine o valor de x de de tal modo que os seguintes logaritmos existam: (a) log3 (x + 1)
(b) log(7x – – 21) 4
11) Sabendo que log 2 = 0,3010 , calcule log0,0002.
12) Um capital de R$ 56,00 é aplicado aplicado,, a juros compostos, por por 2 anos e meio, à taxa de 4 % a.m. a. m. Qual o valor resultante dessa aplicação?
13) Um capital foi aplicado aplicado,, a juros compostos, d durante urante 3 meses, à tax taxaa de 20 % a.m. Se, S e, decorrido esse período, o montante produzido foi de R$ 864,00, q qual ual o capital apli aplicado? cado?
Unidade 6
173
Universidade do Sul de Santa Catarina
14) Qual a taxa mensal (%) para quadruplicar um capital em 8 anos?
15) A taxa de cresciment crescimento o populacional do Brasil é de, aprox aproximadamente, imadamente, 2% ao ano. Em quantos anos a população irá dobrar, mantendo esta taxa de crescimento?
16) O álcool no sangue d dee um motorista alcançou o ní nível vel de 2 gramas por litro após ingerir uma bebida. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N = = 2(0,5)t , onde t é é o tempo em horas. Quanto tempo deverá o motorista esperar, se o limite permitido por lei é de 0,8 gramas de álcool por litro de sangue? (considerar log 2 = 0,3).
174
Tópicos de Matemática Elementar I
Saiba mais Sugerimos que você faça uma pesquisa na Internet para visualizar situações que são modeladas com funções exponenciais e funções logarítmicas. Como curiosidade sugerimos a leitura do artigo “Tabela Price e a Prática de Anatocismo” de Luiz Gonzada Junqueira de Aquino que poderá ser visualizado em http://www.sindec http://www.sindecon-esp.org/br/artigos/resptabelaprice on-esp.org/br/artigos/resptabelaprice.. pdt
Unidade 6
175
UNIDADE 7
Funções trigonométricas
Objetivos de aprendizagem
Identicar funções trigonométricas em diferente diferentess situações problemas. Desenvolver leituras grácas envolvendo funções trigonométricas.
Seções de estudo Seção 1 – Introdução Seção 2 – Relações trigonométricas no triângulo retângulo Seção 3 – Funções trigonométri trigonométricas cas
Seção 4 – Funções trigonométricas inversas
7
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iníci início o de conversa Nesta última unidade da nossa disciplina você vai ter a oportunidade opor tunidade de reetir sobre elementos da Trigonometria Trigonometria e das funções trigonométricas. Muitos conceitos aqui citad citados os serão retomados no decorrer do seu curso em outras disciplinas, por exemplo, na disciplina de Trigonometria Trigonometria e Números Complexos. É importante você ter em mente que a TTrigonometria rigonometria tem uma linda história na evolução da Humanidade e seus objetos de estudo são fundamentais em diferentes áreas de conhecimento. Você vai encerrar seu estudo nesta disciplina visualizando interessantes interessantes problemas reais.
178
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 1
Introdução Para discutir as funções trigonométricas é necessário lembrar da trigonometria no triângulo retângulo. Assim, nesta primeira seção vamos fazer uma revisão para que você possa discutir com facilidade os objetos envolvidos no contexto das funções trigonométricas. Vamos iniciar discutindo o que é um índice de subida. Este conceito é conhecido pelos alpinistas, pois existe uma preferência por subidas íngremes. Na Figura 7.1 você pode observar duas subidas. Qual é a mais íngreme?
(A)
(B)
Figura 7.1 Subidas
Com toda a certeza você vai responder que a subida mais íngreme é a subida em (A). A referência matemática para fazer a análise é a medida do ângulo de subida que no caso (A) é maior que o caso (B). É possível denir o ângulo de subida a partir par tir do conhecimento de pelo menos duas das medidas relacionadas com a situação: percurso, altura e afastamento (ver Figura 7.2).
Unidade 7
179
Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 7.2 Medidas relacionadas com o ângulo de subida
Para discutir essa situação problema e outras situações similares são necessários objetos matemáticos no contexto da trigonometria no triângulo retângulo. Em geral o índice de subida é dado pela relação
índice de subida =
altura afastamento
Você vai observar na seção seguinte que esta relação é a denição da tangente do ângulo de subida. Outras relações podem ser denidas para facilitar cálculos necessários na resolução de diferentes problemas práticos A partir dessas relações podemos discutir as funções trigonométricas ou funções circulares.
Olhando o passado! A trigonometria é uma parte da Matemática bem antiga. A primeira tabela com razões trigonométricas oi compilada por Hiparco Hiparco,, no século a.C. Essa erramenta matemática atendia aos interesses da astronomia, agrimensura e navegação. A transição dos estudos das razões trigonométricas para as unções trigonométricas começou no século com o Matemático Vièt Viètee e culminou no século com o trabalho de Euler. Euler.
Formalmente, existe diferença entre as denições das funções trigonoméFormalmente, tricas e das funções circulares1, entretanto neste texto, não vamos nos preocupar com essa diferença, para tal vamos ter o cuidado de trabalhar com os ângulos medidos em radianos. Para os interessados em maiores detalhes recomendamos recomendamos a leitura do artigo Seno de 30 é um meio? de Renate G. Watanabe, disponív disponível el na Revista do Professor de Matemática, N. 30, pg. 26 – 32 do primeiro quadrimestre de 1996. 1
180
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 2
Relações trigonométricas no triângulo retângulo Quando estamos falando de trigonometria no triângulo retângulo os ângulos são medidos de 0° (zero graus) a 180° (cento e oitenta graus) ou de 0 a π radianos. Observe na Figura 7.3, as propriedades e as razões estabelecidas a partir par tir do triângulo retângulo ABC.
Pare! Observe!
Para todo círculo, a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante. Esta constante é denotada pela letra grega π (Pi) que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para π com 10 dígitos é 3,1415926536...
Figura 7.3 Triângulo retângulo
(1) O triângulo ABC é retângulo. O ângulo Aˆ é o ângulo reto (mede noventa graus). (2) A hipotenusa do tri triângulo ângulo dado mede a, e os cate catetos tos medem b e c. (3) O cateto b é opos oposto to ao ângu ângulo lo Bˆ e adjacente ao ângulo Cˆ . (4) O cateto c é opost oposto o ao ângul ângulo o Cˆ e adjacente ao ângulo Bˆ . (5) Vale o Teorema de Pitágora Pitágoras: s: a2 = b2 + c2. (6) Valem as relações qu quee denem: Seno de ˆ
B Cosseno de Bˆ Tangente de Bˆ
Pare! Revise!
É importante que você pare e revise o Teorema de Pitágoras.
ˆ cateto oposto ˆ b sen B = hipotenusa ou sen B = a
cos Bˆ =
tg Bˆ =
cateto adjacente c ou cos Bˆ = hipotenusa a
cateto oposto b ou tg Bˆ = cateto adjacente c
De forma similar, podemos estabelecer as razões para o ângulo Cˆ : (7) A cotangente de um âng ângulo ulo é o invers inverso o da tangente. (8) A secante é o inverso do cosseno cosseno.. (9) A cossecante é o inverso do seno.
Se considerarmos:
a = medida da hipotenusa; b = medida do cateto oposto ao ângulo B; c = = medida do cateto oposto ao ângulo C. Podemos escrever: = 2 +
2
2
a b c
Unidade 7
181
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Você pode fazer um jogo algébrico e formatar várias expressões envolvendo ângulos e lados de um triângulo retângulo. Ao fazer isto você estará analisando a Trigonometria no triângulo retângulo.
Olhando o passado! A palavra trigonometria signica medida dos três ângulos de um triângulo:
TRI três; GONO ângulos; METRIA medida.
A palavra seno tem origem na palavra árabe jaib, que signica dobra, bolso ou prega de uma vestimenta, portanto, não tem nada a ver com o conceito matemático. Trata-se de uma tradução deeituosa que dura até os nossos dias. A palavra que deveria ser traduzida é jiba que signica um arco de caça ou de guerra. Na tradução do árabe para o latim as consoantes jb são traduzidas para sinus e para a nossa língua seno.
Exemplos
1) Observe os triângulos retângulos dados e encontre o valor de x assinalado. assinalado. Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x 2 = 22 + 62 x 2 = 4 + 36 x 2 = 40 x = = 40 x ≈ ≈ 6,32 Pelo Teorema de Pitágoras temos: 62 = 22 + x 2 36 = 4 + x 2
x 2 = 36 – 4 x 2 = 32 x = = 32 x ≈ ≈ 5,6
182
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o presente! Veja o seguinte problema P1 O ângulo de subida (ou de elevação) do pé de uma árvore, a 30 m da base de um morro, ao topo do morro é de 60°. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo do morro? Qual a altura do morro? Na gura 7.4 você pode observar observ ar a situação apresentada no problema P1 e constatar que a solução é obtida a partir do uso de uma relação trigonométrica. Para calcular o comprimento x basta basta aplicar a relação entre o afastamento e o comprimento:
cos 60° =
cateto adjacente hipotenusa
= 30 x
O valor do cosseno de 60 graus pode ser obtido através de uma tabela ou de forma mais rápida utilizando uma calculadora (cos 60° = 0,5)
0, 5 =
30
Figura 7.4 modelo do problema P1
x
0, 5 × x = 30 30 x = 0, 5 metross x = 60 metro
Pare! Observe!
Para calcular a altura do morro podemos usar o Teorema de Pitágoras fazendo:
x 2 = 302 + h2 602 = 302 + h2 h2 = 602 – 302 h2 = 3600 – 900
h2 = 2700 h = 2700 h ≅ 51,96 metros
Unidade 7
Verifique que o valor da altura do morro poderia ser encontrada utilizando-se, também a razão trigonométrica:
tg 60° =
cateto oposto cateto adjacente
183
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Exemplos
1) Um observador visualiza o ponto culminant culminantee de um morro sob um ângulo de 60 graus. Afastando-se mais 20 metros do morro, visualiza o mesmo ponto sob um ângulo de 45 graus. Qual a altura do morro? (2) Triângulo DBC: h tg 60° = . x Considerando tg 60° = 3 temos h 3 = ou h = 3x x Dessas relações podemos escrever um sistema:
Estamos diante de dois triângulos retângulos: (1) Triângulo ABC:
tg 45° =
h x + + 20
Considerando que tg 45° = 1 temos h ou h = x + + 20 1= x + + 20
h = x + 20 h = 3x ou
x + + 20 = 3x = 20 3x – x – x = x ( 3 – 1) = 20 20 x = = 3 −1 x ≅ 27,32 Portanto a altura h do morro é
h = x + 20 = 27,32 + 20 = 47,32 metros. 2) A 2000 metros de u um m aeroporto tem-se uma torre ccom om 40 metros de altura. Para segurança do vôo, ao sobrevoar a torre o avião deverá estar no mínimo 500 metros acima da mesma. Qual deve ser o ângulo de subida para que se tenha um vôo dentro dos limites de segurança? Na Figura 7.5 apresenta-se um modelo para auxiliar a visualização do problema.
184
Tópicos de Matemática Elementar I
Figura 7.5 Modelo do problema do exemplo 1
Considerando os dados do problema podemos dizer que a altura h é igual a:
h = 40 + 500 = 540 metros. Do triângulo retângulo que modela o problema temos o valor do cateto oposto (altura h) e do cateto adjacente (afastamento horizontal). Assim, podemos escrever:
tg θ =
altura h 540 = = 0, 0,27. 27. af afas asta tame ment nto o ho hori rizo zont ntal al 20 2000 00
Usando uma tabela ou uma calculadora, vamos vericar que o ângulo de subida, denotado por θ, mede aproximadamente 15°. 3) Uma aplicação bastante interessante e atual do Teorema de Pitágoras é nos fractais. Na Figura 7.6 (A) apresenta-se um fractal2 e na Figura 7.6 (B) o modelo que mostra nitidamente os quadrados que são usados para a demonstração do Teorema Teorema de Pitágoras de forma geométrica (ou através de recortes de guras).
(A)
(B)
Figura 7.6 Fractal Fractais são estruturas geométricas de grande complexidade e muita beleza, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o todo, innitamente multiplicada multiplicadass dentro de cada parte, escapando assim, da compreensão em sua totalidade pela mente humana. 2
Unidade 7
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É possível constatar a presença do Teorema Teorema de Pitágoras na Figura 7.6. Observe a Figura 7.7 e compare. Para mostrar o Teorema Teorema de Pitágoras através da Figura 7.7 basta recortar o quadrado de lado b nas quatro partes assinaladas e em conjunto com o quadrado de lado a faça faça a composição do quadrado de lado c . Ao nal deste livro você pode recortar um modelo para fazer sua experiência.
Figura 7.7 Teorema de Pitágoras
Olhando o futuro! Você deve ter percebido como é importante importante uma calculadora para o desen volvimentoo rápido da volviment dass situações pr problemas. oblemas. Cabe observar que o uuso so da calculadora, neste contexto, quase sempre vai nos apresen apresentar tar um resultado com aproximação aproximação numérica, pois os valores das unções trigonométricas são usados de orma aproximada.
SEÇÃO 3
Funções Funç ões trigonométricas Geralmente as funções trigonométricas são introduzidas a partir de um círculo de raio 1, denominado de círculo trigonométrico. Na Figura 7.8 apresenta-se um círculo trigonométrico com todas as funções representadas geometricamente a partir do triângulo OAP OAP.. Observe que nesse triângulo a hipotenusa mede 1 unidade de medida.
186
Tópicos de Matemática Elementar I
Figura 7.8 Círculo trigonométrico
As relações trigonométricas estabelecidas no triângulo retângulo apresentado na seção anterior podem ser novamente estabelecidas e cam geometricamente representadas por segmentos. Por exemplo:
sen α =
medida de AP = medida de AP ou medida de OB medida de OP
cos α =
medida de OA = medida de OA ou medida de BP medida de OP
Observe que estamos trabalhando no plano cartesiano e, portanto, podemos ampliar a análise para os demais quadrantes.
As funções trigonométricas Basicamente no item anterior já denimos as funções trigonométricas. As funções seno e cosseno podem ser denidas a partir par tir do círculo trigonométrico e as demais em termos de seno e cosseno.
Unidade 7
187
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Função Seno e Função Cosseno Considere x um um número real que representa a medida em radianos de um ângulo central desenhado no círculo trigonométrico, como mostra a Figura 7.9. Observe que o ponto P é a interseção de um dos lados do ângulo com a circunferência. Denominamos de seno de x a a ordenada OP1 do ponto P e cosseno de x a a abscissa OP2 do ponto P. Assim podemos escrever:
P = (OP (OP1 ,OP ,OP2 ) = ((se sen n x, co coss xx).).
Figura 7.9 Círculo trigonométrico trigonométrico..
É possível variar o valor do x para para estabelecer o gráco das funções. Observe o comportamento da função seno e da função cosseno na tabela que segue e nos grácos da Figura 7.10 e 7.11. Vamos trabalhar com valores múltiplos de π, pois daqui para frente, vamos utilizar a unidade radianos para medir os ângulos.
188
Tópicos de Matemática Elementar I
0 π⁄6 π⁄3 π⁄2 2π⁄3 5π⁄6
sen x = OP1 0 0,5 0,866 1 0,866 0,5
cos x = OP2 1 0,866 0,5 0 –0,5 –0,866
7ππ⁄6 4π⁄3 3π⁄2 5π⁄3 11π⁄6 2π
–00,5 –0,866 –1 –0,866 –0,5 0
–0–,8166 –0,5 0 0,5 0,866 1
x
Observe que:
f(x) 1
x – 3 2
– –
2
2
3 2
(1) o domínio da função seno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto [–1,1]; (2) tem intervalos de crescimento e decrescimento.
–1
Figura 7.10 Função Seno (senóide)
f(x) 1
x – 3 2
– –
2
2
–1
3 2
Observe que: (1) o domínio da função cosseno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto [–1,1]; (2) tem intervalos de crescimento e decrescimento.
Figura 7.11 Função Cosseno (cossenóide)
Unidade 7
189
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Denição: Dizemos que uma função é periódica se existe um número real T ≠ 0 tal que f (x + T) = f (x) para todo x ∈ D( f ). Ao observar o gráco de uma função periódica você verica que se repete a cada intervalo de comprimento | T |.
Pare! Observe!
Observe bem os gráficos e verifique que existe uma repetição do formato no decorrer de todo o domínio. Essa característica está relacionada com o fato das funções trigonométricas serem periódicas.
Exemplos
1) A função seno é periód periódica ica de período 2π. Assim, sen (x + + 2π) = sen x . 2) A função cosseno é periódica de período 2π. Assim, cos (x + + 2π) = cos x . Uma característica muito interessante da função seno e da função cosseno está relacionada com a paridade paridade.. Para todos os reais vale: sen x = = – sen (–x ) e cos x = = cos (–x ) Pode-se dizer que a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par. Conra essa armação na seguinte denição.
Denição: Uma função f (x) é par, se para todo x no seu domínio temos f (x) = f (–x). Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio temos f (x) = f – f (–x).
Observe a seguir as demais funções trigonométricas que são denidas em função de seno e cosseno. Tem-se:
f(x)
tg x = x – 3 2
– –
2
2
Figura 7.12 Função tangente
190
3 2
sen x cos x
(1) domínio é o conjunto dos dos reais para os quais cos x ≠ ≠ 0; (2) periódica de período π; (3) sempre crescente; (4) função ímpar.
Tópicos de Matemática Elementar I
Tem-se:
f(x)
cotg x = x – 3 2
– –
2
2
3 2
cos x sen x
(1) domínio é o conjunt conjunto o dos reais para os quais sen x ≠ ≠ 0; (2) periódica de p período eríodo π π;; (3) sempre decrescente; (4) função ímpar.
Figura 7.13 Função cotangente
4
Tem-se:
f(x)
3
sec x =
2 1 – 3 2
– –
x
2
2
–1
3 2
–2 –3 –4
1 cos x
(1) domínio é o conjunt conjunto o dos reais para os quais cos x ≠ ≠ 0; (2) periódica de p período eríodo 2π 2π.. (3) possui intervalos de crescimento e de decrescimento; (4) função par.
Figura 7.14 Função secante
4
Tem-se:
f(x)
3 2
cossec x =
1 x – 3 2
– –
2
–1
2
3 2
–2 –3 –4
1 sen x
(1) domínio é o conjunt conjunto o dos reais para os quais sen x ≠ ≠ 0; (2) periódica de p período eríodo 2π 2π;; (3) possui intervalos de crescimento e de decrescimento; (4) função ímpar.
Figura 7.15 Função cossecante
Unidade 7
191
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Exemplos
1) Usando um software, soft ware, desenvolva o gráco dos conjuntos das funções dadas e identique domínio, conjunto imagem e período. (a) y = = sen x ; y = = sen 2x ; y = = sen 3x . Para resolver esse exercício vamos usar o software Graph. Porêm, você pode utilizar outro software de sua livre escolha. Veja as guras geradas para o intervalo de [–2π,2π] [–2π,2π]..
f(x)
f(x)
f(x)
1
1
1
x
–1
x
x
–1
–1
Figura 7.16 Grácos de y = = sen x ; y = = sen 2x ; y = = sen 3x .
Observe que:
o domínio de todas as funções é o conjunto dos reais; o conjunto imagem de todas as funções é o intervalo [–1,1]; = sen x é é 2π; o período da função y = = sen 2x éé o período da função y = 2π π e o período da função y = = sen 3x éé . 3
Portanto, ao multiplicar o valor de x , da função y = = sen x por por um número real vamos observar que o período da função ca 2π dividido por este número.
192
Tópicos de Matemática Elementar I
(b) y = = |sen x |
f(x)
Veja o gráco gerado no software ao colocarmos para variar entre [–2π,2π]. Tem-se que:
1
o domínio é o conjunto dos
x
reais; o conjunto imagem é [0,1]. o período é π
–1
Figura 7.17 Gráco de y = = |sen x |.|.
Olhando o presente! Você sabia que na sua viagem de negócios ou de passeio a trigonometria acompanha você? P2 Como modelar matematicamente a situação de um avião voando a 240 mi/h (milhas por hora) com proa de 60 graus com um vento de 30 mi/hora de 330 graus? Antes de discutir este problema é importante fazer alguns esclarecimentos de nomenclatura (acompanhe nas Figuras 7.18 e 7.19): Proa de de um avião é a direção para o qual o avião está apontando. Proa
A proa é medida no sentido horário a partir do norte e expressa em graus e minutos. No problema tem-se 60 graus.
ar (determinada na leitura do indicador na aero Velocidade no ar (determinada
nave) é a velocidade do avião em ar parado. avião é a direção na qual ele se move em relação ao chão. Rota do avião é Ela é medida no sentido horário a partir do norte. solo é a velocidade do avião em relação ao solo. Velocidade de solo é deriva (ou ângulo de correção do vento) é a diferença Ângulo de deriva (ou (positiva) entre a proa e a rota.
Unidade 7
193
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Figura 7.18 Modelagem do problema P2
Figura 7.19 Triângulo retângulo OBC
Podemos calcular a velocidade de solo, representada pela hipotenusa no triângulo retângulo OBC. Onde temos:
v 2 = 2402 + 302 v 2 = 58500 v ≅ 241,87 milhas/hora Para encontrar a rota é necessário encontrar o ângulo θ. Temos que: tg θ =
30
= 0,125.
240 Usando a calculadora podemos vericar que o ângulo θ é aproximadamente igual a 7 graus. Assim, Rota = 60° + 7° = 67°.
194
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 4
Funções trigonométricas inversas Você já discutiu as funções inversas na seção 4 da Unidade 2. Agora vamos analisar a existência das funções trigonométricas inversas. Num olhar inicial pode-se dizer que é impossível denir função inversa para cada uma das funções trigonométricas, pois a cada valor de y corresponde corresponde uma innidade de valores de x . Para formalizar a denição das funções inversas é necessário fazer restrição no domínio. Veja como ca inicialmente a inversa da função seno.
Função arco seno π π
Vamos redenir a função f (x ) = sen x para para o domínio − , . Assim, a 2 2 função inversa de f (x ),), será chamada de função arco a rco seno e denotada por π π y = = arcsen x . TTem-se em-se que para cada x ∈ [–1,1] corresponde y ∈ − , , 2 2
valendo a seguinte equivalência:
y = = arcsen x ⇔ sen y = = x Observe o gráco da Figura 7.18 para identicar as seguintes características dessa função:
D(arcsen x ) = [–1,1];
π π Im(arcsen x ) = − , ; 2 2
f(x)
2
função sempre crescente.
x
–1
1
– 2 Figura 7.20 Função arco seno
Unidade 7
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Observe as demais funções trigonométricas inversas Função arco cosseno
f(x)
Para 0 ≤ y ≤ ≤ π temos:
y = = arcsen x ⇔ x = = cos y
2
Observe que esta função é decrescente em todo o seu domínio. x
–1
1
Figura 7.21 Função arco cosseno
Função arco tangente
f(x)
2
π
π
2
2
< Para – 1.
Figura 7.25 Função arco cossecante
Exemplos
No contexto do seu dia-a-dia você exercita o uso das funções inversas quando precisa saber o valor do ângulo a partir par tir do seno, cosseno ou tanP2 e gente. Retome o problema P2 e constate que este conceito foi usado: tg θ =
30 = 0,125 240
θ = arctg 0,125 θ = 0,124 radianos. Podemos converter para graus lembrando da relação: π radianos = 180 graus. Assim, para transformar radianos em graus usamos: Medida do ângulo em graus =
medida do ângulo em radianos × 180°
π
medida do ângulo em radianos × 180° 3,14 = medida do ângulo em radianos × 57,32
=
Unidade 7
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Observar que estamos trabalhando com valores aproximados. Assim:
θ = arctg 0,125 θ = 0,124 radianos ou θ ≅ 7 graus
Parada Recreativa! No domingo, dois amigos se encontraram rapidamente na rua movimentada. — Olá, como vai? — Puxa cara! Que corrida. Minha vida deu uma virada de 360°. — Ah! Ah! Ah! Que piada! Conta outra. Você sabe por que ele cou rindo?
198
Tópicos de Matemática Elementar I
Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar as funções trigonométricas que possuem aplicações em várias situações situações.. Em especial, as funções trigonométricas são trabalhadas em matemática mais avançada modelando fenômenos físicos que têm a característica de periodicidade. Com o estudo desta unidade você encerra encerra a sua disciplina. Lembre que os objetos discutidos, ao longo das unidades, mostram a beleza e a grandeza da Matemática enquanto ferramenta para modelar problemas e também para auxiliar no desenvolvimento de novas idéias. Não deixe de passar no AVA AVA para vericar se suas atividades estão todas prontas e revisadas. Aproveite e coloque su suas as últimas considerações relacionadas com o desenvolvimento desta disciplina no fórum nal da disciplina. Até a próxima disciplina!
Unidade 7
199
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação 1) Faça o gr gráco áco e analise as características e pr propriedades opriedades das funções: funções: (a) y = = 1 + sen x x (b) f (x) = cos
)2 (c) g (x ) = 2tg(x
200
Tópicos de Matemática Elementar I
2) Uma escada rolante liga d dois ois pisos de uma loja d dee departamentos e tem uma inclinação de 30°. Sabendo que o comprimento linear da escada é de 12 m, qual é a altura entre os dois pisos da loja?
3) Ted e Mad ao fazer um passeio no campo contemplaram o pico de um morro segundo um ângulo de 45 graus. Ao caminharem mais 50 metros em direção ao morro passaram a ver o pico segundo um ângulo de 60 graus. Qual é a altura do morro?
4) Qual é o tamanho da sombra d dee um prédio de 50 metros de altura quando o sol está 20 graus acima da linha do horizonte?
Unidade 7
201
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Uma escada apóia-se na parede de um prédio com seu pé a 4 metros do edifício. A que distância do chão está o ponto mais alto da escada e qual é seu comprimento se ela faz um ângulo de 70 graus com o chão?
6) Do topo de um far farol, ol, 120 metros acima do nível nível do mar, mar, o ângulo de depressão de um barco é 15 graus. Qual é a distância do farol ao barco?
202
Tópicos de Matemática Elementar I
7) Na gura 7.26 tem-se que: CD = 5 cm BC = 4 cm AB = 3,2 cm AC = x cm BD = y cm Figura 7.26 Triângulos retângulos
Pergunta-se: a) b) c) d)
Qual o valor de x ? Qual o valor de y ? Quais são os valores das ffunções unções trigonométricas do ângulo α? Quais são os valores d das as funções trigonométricas d do o ângulo β?
Unidade 7
203
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais Se você cou interessado em conhecer mais detalhes sobre as funções trigonométricas ou sobre a história da trigonometria recomendamos que você faça uma busca na Internet. Observe que este é um dos temas preferidos em sites que discutem objetos matemáticos. Vale a pena conferir! Em especial recomendamos:
http://www.dapp.min-edu.pt/nonio/softeduc/soft3/circ. htm para obter um software livre e http://www.cecm.sfu. ca/projects/ISC/data/pi.html para constatar 10000 dígitos do número Pi.
204
Para concluir o estudo Você concluiu o estudo desta disciplina que é parte integrante do primeiro semestre do seu curso. curso. Para nalizar nalizar,, gostaríamos de deixar uma mensagem destacando a importância dos conteúdos desta disciplina como alicerces básicos para outras disciplinas do contexto da Matemática, além da aplicação direta na resolução de problema do dia-a-dia. Lembre-se sempre que todos os conteúdos de matemática inseridos em seu curso serão discutidos por você no exercício da sua futura prossão e, portanto, o seu olhar deve ir além dos conteúdos. É necessário iniciar o processo de repensar repensar a prática educativa. Aproveite bem as estratégias metodológicas da EAD relacionadas com o uso de diferentess mídias e tecnologias, para focar uma educação inovadora que diferente vai além dos conteúdos. conteúdos. Uma educação que precon preconiza iza um cidadão ético e crítico. Talvez você ainda não tenha essa percepção, percepção, mas a Matemática delineia uma visão socializadora, pois exercita a mente, apontando diferentes caminhos para a resolução de problemas. Siga em frente! Discuta sistematicamente com a equipe de professores tutores de seu curso, amadureça as idéias e concretize o seu ideal prossional. Uma boa caminhada para você!
205
Referências Cálculo: um ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Matemática. Campinas: UNICAMP, 1995. grácas. São José: Saint GerFLEMMING, D. M. ; LUZ, E. F. Representações grácas. São main, 2003. A: funções, FLEMMING, Diva Marília; GONÇAL GONÇALVES, VES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação integração. São Paulo: Makron Books, 1992. FRAGOSO,, Wagner da Cunha. Uma abordagem da equação do 2º. grau. FRAGOSO Revista do Professor de Matemática. São Matemática. São Paulo, n. 43, p.20-25, 2º. quadrimestre de 2000. IFRAH, Georges. Os números: história números: história de uma grande invenção. 8. ed. São Paulo: Globo, 1996. m: 360° ao redor da Antártica. KLINK, Amyr. Mar sem m: 360° Antár tica. São Paulo: Companhia das Letras, 2000. WATANABE, Renate G. Seno de 30 é um meio? Revista do Professor de Matemática, n. Matemática, n. 30, p. 26 – 32 1º. quadrimestre de 1996.
206
Sobre os professores conteudistas Diva Marília Flemming é doutora em Engenharia de Produção pela Universidade Federal Federal de Santa Catarina (UFSC). É mestre em Matemática Aplicada e graduada em Matemática, ambos pela UFSC. Já atuou no ensino de disciplinas em cursos de administração na Universidade para o Desenvolvimento do Estado de SC (UDESC), como professora convidada. Aposentada como professora pela UFSC, atualmente é professora e pesquisadora na Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL). No contexto do ensino de Matemática tem desenvolvido suas atividades na Unisul com alunos dos cursos de Engenharia e de Matemática. É autora de livros de Cálculo Diferencial e Integral, adotados em vários estados do Brasil. Como pesquisadora, no Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM-UNISUL) dedica-se à Educação Matemática com ênfase nos recursos tecnológicos. Realiza trabalhos interdisciplinares no Mestrado em Educação da Unisul como professora e como orientadora de dissertações. Sua atual paixão prossional está nos desaos da educação a distância, realizando experimentos na formação de professores de Matemática. Atualmente, coordena o primeiro curso de especialização implantado na Unisul na modalidade a distância: Curso em Educação Matemática e é autora de vários livros no contexto da UnisulVirtual. Elisa é doutora em(UFSC), Engenharia Produção pelaElétrica UniversidadeFlemming Federal deLuz Santa Catarina mestredeem Engenharia e graduada em Engenharia Elétrica, ambos pela UFSC. Atua como professora da Unisul desde 1996 ministrando disciplinas na área da Matemática para os cursos de engenharia. Ministra disciplinas em cursos de especialização presenciais e a distância. É pesquisadora do Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM-UNISUL), desenvolvendo atividades de pesquisa na área da Educação Matemática. Atua na educação a distância, no gerenciamento de projetos, como designer instrucional de cursos a distância. É autora e tutora de materiais didáticos e atualmente trabalha na equipe de capacitação e apoio pedagógico à tutoria.
207
Christian Wagner é mestre em Física-Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e bacharel em Matemática e Computação Cientíca pela UFSC. Foi professor substituto na UFSC entre 2001 e 2003. Professor horista da Unisul desde 2001; atualmente atua no Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM-UNISUL) nas atividades de ensino e extensão voltadas para as diculdades de aprendizagem da matemática. No contexto da pós-graduação atua na especialização em educação Matemática na modalidade a distância como autor e tutor de disciplinas.
208
Respostas e comentários das atividades de auto avaliação Unidade 1 1) Efetue as operações indicadas: 2 5 (a) + 3 6
(b)
1 2 – 9 7
2 5 2 ⋅ 2 + 5 ⋅1 + = 3 6 6 4+ 5 9 3
1 2 1⋅ 7 − 2 ⋅ 9 − = 9 7 9 ⋅7 7 − 18 −11
6
63
=
(c) 10 ÷
= =
=
=
6 2
3 4
3 4 40 10 ÷ = 10 × = 4 3 3
(d)
9 –
63
4 5
4 4 3 4 9 − =3− = − 5 5 1 5 3 ⋅ 5 − 4 15 − 4 11 = = = 5 5 5
209
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 – 0,3 4
(e)
3 1 3 ×1 3 1 × = = = 4 3 4 × 3 12 4
1 − 0, 3 = 0 , 25 − 0, 30 = −0, 05 4
1 7 ×3 + 2 3
(g)
(h)
=
=
2×3
3 5 ÷ 4 3
3 5 3 3 3×3 9 ÷ = × = = 4 3 4 5 4 × 5 20
1 7 1 9+7 ×3+ = × 2 3 2 3 1 16 = × 2 3 1×16 1 6 16 8
=
6
3
7
6 7
(i)
3 1 × 4 3
(f (f))
(j)
10 5 3
10 10 5 10 3 10 × 3 = ÷ = × = 5 1 3 1 5 1× 5 3 30 = =6 5
7
6 = 7 ÷ 7 = 7 × 1 = 7 ×1 7 6 1 6 7 6 ×7 7 1 = = 42 6
2) O salário do funcionário de uma empresa é igual a R$1200,00. No mês de suas férias ele recebe o seu salário mais 1 referente às férias. Quanto 3 ele receberá? Vamos calcular 1 de R$ 1200,00 3
1 de R$ 1200,00 = 1 ×1200 = 3
3
1200 = 400 3
Assim o funcionário receberá, no mês de suas férias R$1200,00 + R$400,00 = R$1600,00.
210
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Mário trabalhou 7 meses numa empresa, com salário de R$ 600,00. Por isso, recebeu a quantia igual a de 7 de um salário, correspondente 12 à parte do 13º salário. De quanto foi a quantia recebida?
Para determinar a quantia recebida, é preciso calcular 7
× 600 =
12
4200
7 de R$ 600,00: 12
= 350
12
Assim, Mario recebeu R$350,00 referente à parte do 13o salário.
4) Se 2 correspondem a 180, a quanto corresponde um inteiro? 5
2 → 180 5 5 = 1 → x 5
2 ⋅ x = 180 ⋅1 5 2 ⋅ x = 180 5 5 x = 180 ⋅ = 450 2
Assim, um inteiro será igual a 450.
5) O tanque do carro está seco. Se pusermos 14,5 litros, num carro que roda, em média, 7,14 km/l, conseguiremos chegar a um hotel 98 quilômetros distante? Vamos calcular a distância que o carro roda se zer a média estabelecida e se pusermos 14,5 litros: 7,14 km/l 14,5 l = 103,53 km Se o carro consegue rodar 103,53 km, então com certeza chegará ao hotel que ca a 98 quilômetros de distância do início do percurso.
211
Universidade do Sul de Santa Catarina
6) Numa receita de bolo usa-se 0,5 litros de leite, sendo que 0,25 dessa quantidade vai no recheio. Que fração do litro é usada no recheio? No recheio usa-se 0,25 de 0,5 litros de leite. Isto pode ser escrito da seguinte forma: 0,25 de 0,5 = 0,25 × 0,5 = 0,125. Assim, utiliza-se 0,125 litros de leite no recheio. Veja que esta quantidade corresponde a 81 do litro.
7) Uma mãe deu dinheiro aos três lhos, dizendo que era um terço para cada um. O primeiro lho gastou só um terço da sua parte. Que fração do total ele gastou? Se o primeiro lho gastou 1 de sua parte, então ele gastou 1 de 1 : 3 3 3 1 1 1 · = . 3 3 9 1 Então ele gastou do valor total. 9
8) Um clube tem 60 associados, 18 dos quais com menos de 15 anos de idade. Esses jovens correspondem a que fração do quadro de associados? Vamos colocar os dados do problema na regra de três:
60 associados → 1 60x = 18 ⋅ 1 → x 60x = 18 18 associados 18 3 x = = 60 10
212
Os jovens com menos de 15 anos de idade correspondem a 3 do quadro de associa10 dos. Veja Veja que esta fração corresponde a 30% do número total de associados do clube.
Tópicos de Matemática Elementar I
9) Em uma aplicação nanceira tem-se rendimento igual a 1,0% ao mês, sendo descontada uma taxa anual xa, relativa à administração, igual a 5% do depósito inicial. Se um indivíduo possui R$6000,00 e aplica este dinheiro durante um ano e meio, qual será o seu saldo nal? Inicialmente vamos calcular o valor do rendimento mensal, que é igual a 1,0% de R$6000,00:
6000 1 1 = 60 × 6000 = de 6000 = 100 100 100 O rendimento é igual a R$60,00 por mês. Em um ano e meio, ou seja, em 18 meses, temos: 18 × 60 = 1080 o que indica que o rendimento total será de R$1080,00. A taxa de administração é dada por 5% do depósito inicial e é cobrada anualmente: No 1o ano: 5% de 6000 =
5 5 × 6000 × 6000 = = 300 . 100 100
No 2o ano: 5% de 6000 =
5 5 × 6000 × 6000 = = 300 . 100 100
Assim, o saldo nal será calculado pela soma entre o depósito inicial e os rendimentos, subtraindo-se os valores relativos à taxa de administração: R$6000,00 + R$1080,00 – (R$300,00 + R$300,00) R$6000,00 + R$1080,00 – R$600,00 R$7080,00 – R$600,00 R$6480,00
213
Universidade do Sul de Santa Catarina
10) Numa pesquisa de intenção de voto, realizada com 500 pessoas de uma cidade, obteve-se os seguintes resultados apresentados na tabela ao lado: Número de pessoas Candidato A 132 Calcule os valores percentuais Candidato B x da pesquisa realizada. Indecisos 74 Se a pesquisa foi realizada com 500 pessoas, então já é possível determinar a variável x , uma incógnita na tabela:
500 = 132 + x + + 74 x = = 500 – 132 – 74 x = = 294
Portanto, a tabela pode ser reescrita como: Número de Valor percentual pessoas Candidato A
132
500A = 100·132 A =
13200 = 26,4% 500
Candidato B
294
500B = 100·294 B =
29400
Indecisos
74
500 → 100% 132 → A%
500 I = 100·74 I =
500 → 100% 294 → B%
= 58,8%
500 7400 = 14,8% 500
500 → 100% 74 → I%
11) Um incêndio destruiu 30% da área verde de uma oresta. Se 20% desta oresta é formada por rios e riachos e o restante somente por área verde, qual o percentual da oresta atingida pelo fogo? É possível equacionar as considerações do problema para determinar o percentual de área verde que a oresta possui. Assim, temos: 100%(área total da oresta) – 20%(rios e riachos) = 80% de área verde. Isto signica que a oresta possui 80% de área verde. Para calcular o percentual atingido pelo fogo, basta calcular 30% destes 80%: 30% de 80% = 30 × 80 = 0,3 × 0,8 = 0,24 = 24% da oresta. 100 100
Assim, 30% da área verde correspondem a 24% da oresta. O incêndio atingiu 24% da área total da oresta. 214
Tópicos de Matemática Elementar I
12) Resolva as seguintes equações: 3x + 1 (b) 3x + + 3 = –12 (a) = −x 5
3x + 1 = −5x 3x + 5x = −1 8x = −1 1 x = − 8
(c)
3x + 3 = −12 3x = −12 − 3 3x = −15 15 x = − = −5 3
2x + 5 1 = x − 4 2
(d) x 2 + 2x – – 3 = 0
2 ⋅ (2x + 5) = x − 4 4x + 10 = x − 4 4x − x = −4 − 10
Para resolver a equação do segundo grau, vamos usar a fórmula de Bhaskara: 2
3x = −14 14 x = −
2
4ac =162 – 4·1·(–3) Δ = b4 + –12 Δ= = =
3
−2 ± 16 −2 ± 4 = 2a 2 ⋅1 2 −2 + 4 −2 − 4 = 1 x 2 = = −3 x1 = x =
−b ± ∆
=
2
2
Assim, a solução desta equação é igual a 1 e –3.
1 (e) ( x − 3) x + = 0 2
(f) (2x – – 5)(4 – x ) = 0
Observe que esta é uma equação do segundo grau que está escrita na forma fatorada. Desta forma, para resolvê-la basta igualar seus fatores a zero:
(x − 3) = 0 1 x + = 0 x = 3 2 1 x = − 2
Assim como no item anterior anterior,, vamos igualar os fatores a zero:
(2x − 5) = 0 2x = 5 ( 4 − x ) = 0 5 −x = −4 x = 2 x = 4 A solução é igual a 5 e 4. 2
Assim,a solução é igual a 3 e – 1 2 215
Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade 2 1
1) Calcule f (0) e f ( 2 ) para as funções representadas algebricamente por: x + 1 (a) f (x ) = x 2 – x + 1 (b) f (x ) = x − 1 1
= 0 e x = = 1 nas funções indiPara calcular f (0) e f ( 2 ) basta substituir x = 2
cadas. f (0 ) = 02 − 0 + 1 = 1 2
1 1 1 f = − + 1 2 2 2 1− 2 + 4 3 = = 4
4
0 +1 1 = = −1 0 − 1 −1 1 1+ 2 3 + 1 1 f = 2 = 2 = 2 2 1 − 1 1− 2 −1 2 2 2 3 2 6 = ⋅ = = −3 2 −1 −2 f (0 ) =
2) A função que expressa o custo total, em reais, de fabricação de um produto é dada por C (q ) = q 3 – 10q 2 + 100q + + 100, sendo q o o número de unidades do produto. (a) Calcule o custo de fabricação de cinco unidades. (b) Qual o custo de fabricação da quinta unidade? a) O custo d dee fabricação de 5 unidades é calculado fazendo-se C(5). Assim, temos: 3
2
C(5) = 5 – 10∙5 + 100∙5 + 100 = 125 – 250 + 500 + 100 = 475 Assim, o custo de fabricação de cinco unidades é igual a R$475,00. b) Para calcular o custo da quinta unidade, é necessário fazer a diferença entre o custo de cinco unidades e o custo de quatro unidades: C(5) = 53 – 10∙52 + 100∙5 + 100 = 125 – 250 + 500 + 100 = 475 C(4) = 43 – 10∙42 + 100∙4 + 100 = 64 – 160 + 400 + 100 = 404 C(5) – C(4) = 475 – 404 = 71 Assim, o custo da quinta unidade será de R$71,00.
216
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Sejam as funções representadas gracamente nas guras 2.14 e 2.15:
f(x)
9 8 7 6 5 4 3 2 1 x
-9
--8 8
--7 7
--6 6
--5 5
--4 4
--3 3
--2 2
--1 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
Figura 2.14 Gráco de f (x ).).
g(x)
10
5
x
-9
--8 8
--7 7
--6 6
--5 5
--4 4
--3 3
--2 2
--1 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 2.15 Gráco de g ((x ).).
217
Universidade do Sul de Santa Catarina
Complete a tabela com as características c aracterísticas e propriedades das funções f (x ) e g ( (x ))..
f(x)
g(x)
Domínio
x ∈ (–∞,6)∪(6,+∞) ou x ∈ R – {6}
x ∈ (–∞,0)∪(0,+∞) ou x ∈ R – {0}
Conjunto imagem
y ∈ (–∞,3)∪(3,+∞) ou x ∈ R – {3}
Zero ou raiz
Sinal da função
Intervalo de crescimento
O zero da função é igual a 3 pois a função cruza o eixo x no ponto em que x = = 3.
A função não possui zero ou raiz.
Função positiva: x > > 3 Função negativa: x < < 3.
A função é toda positiva.
A função é crescente para todos os valores de .
Intervalo de decrescimento
y ∈ (0,+∞)
x ∈ (–∞,0)
x ∈ (0,+∞)
x A função não possui intervalo de decrescimento decrescimento..
4) Determine a representação algébrica da função inversa de: (a) f (x ) =
x
2
+3
x =
y
x − 3 =
y
2
+3
2
2(x − 3) = y y = 2x − 6
218
(b) y = = 4 – 5x x = 4 − 5 y x − 4 = −5 y y = y =
x − 4
−5 4 − x 5
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 3 1) Identique as seguintes fun funções ções quanto ao seu tipo: (a) f (x ) = –3x
Função linear
(b) h (t ) = 1 – 4t Função am (c) s ((t ) = t
Função identidade
(d) g ((x ) = 2x + + 1 Função am 2) Encontre a lei de fformação ormação para a função que associa a qualquer qualquer número x , um valor x adicionado adicionado com 2 e ao seu resultado multiplicado por 5. Valor de x adicionado adicionado de 2: x + + 2 Resultado multiplicado por 55:: 5·(x + + 2) Logo a função procurada é dada por: f (x ) = 5x + + 10.
3) Na fabricação de um determinad determinado o bem, vericou-se qu quee o custo total foi obtido a partir de uma taxa xa de R$ 1.000,00, adicionada de um custo de produção de R$ 500,00 por unidade. Determine a função custo total em relação a quantidade produzida e o custo de fabricação de 10 unidades. Custo Fixo: CF = 1000 Custo variável: CV = 500∙x , onde x é é a quantidade produzid produzida. a. Função Custo Total: C(x ) = CV + CF C(x ) = 500∙x + + 1000 O custo para a fabricação de 10 unidades é dada por C(10), logo C(10) = 500∙10 + 1000 = 6000 Assim o custo para a fabricação de 10 unidades é de R$ 6.000,00.
219
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Um locadora de carros cobr cobraa R$ 50,00 o aluguel de u um m carro mais R$ 2,00 por quilometro rodado. Determine. (a) O preço a ser pago para rodar 10 km. (b) O preço a ser pago para rodar 35 km. (c) Qual a função que modela esta situação?
(a) O preço a ser p pago ago para rodar 10 km é dado por: 50 +10∙2 +10∙2 = 70, ou seja 70 reais. (b) O preço a ser pago para rodar 35 km é dado por: 50 + 35∙2 = 120, ou seja 120 reais. (c) A função que modela este problema é f (x ) = 2∙x + + 50, onde x é é o quilometro rodado.
5) Seja s ( (t ) ) = –4 + 8t , determine: (a) (b) (c) (d)
O gráco de s (t ). O domíni domínio o e a imagem de s (t ). Se a função s (t ) é crescente ou decrescente. O ssinal inal d daa função s (t ).
(a) Na gura ao lado, temos o gráco da função
s(t) 36
32
(b) Como se trata de uma função
28
24
do primeiro grau tem-se que: D(s ) = R e Im(s ) = R
20
16
(c) Como a = = 8 > 0, a função s (t ) ) é crescente.
12
8
4
(d) A função é positiva quando
t -1
s (t ) ) > 0 ⇒ –4 + 8t > > 0 ⇒ ⇒ 8t > > 4 ⇒ t > > ½, ou seja t ∈ (½ ,+∞)
1
2
3
-4
-8
A função é negativa quando
s (t ) ) < 0 ⇒ –4 + 8t < < 0 ⇒ 8t < < 4 ⇒ t < < ½, ou seja t ∈ (–∞,½ ) 220
4
5
Tópicos de Matemática Elementar I
6) Uma pequena fábrica de móv móveis eis tem como seu pri principal ncipal produto a fabricação de banquetas. Cada banqueta é vendida ao preço de R$ 25,00. A fábrica tem um custo xo mensal de R$ 5.000,00 em aluguel de máquinas, conta de luz, compra de material e pagamento paga mento de funcionários. A mesma gasta R$ 15,00 para fabricar cada banqueta. Determine: (a) A função Receita Total e Custo Total. (b) A função Lucro Total. (c) Qual o ponto de nivelamento. (d) Se a venda mensal for de 500 banquetas. A fábrica obterá lucro ou prejuízo? (e) Qual a quantidade que deve ser vendida para um lucro de R$ 1.000,00? (f) (f ) Qual o lucro para a vvenda enda de 760 banquetas me mensais? nsais?
(a) Considere x a a quantidade. Assim se cada banqueta é vendida a 25 reais, tem-se que a rec receita eita total é d dada ada por: R(x ) = 25∙x Custo xo: CF = 5000 Custo variável: CV = 15x Custo total: C = C V + CF, ou seja, C(x ) = 15x + + 5000 (b) O lucro total é dado por: L = R – C, então: L(x ) = R(x ) – C(x ) L(x ) = 25x – – (15x + + 5000) L(x ) = 10x – – 5000 (c) Ponto de ni nivelamento velamento ou de equ equilíbrio: ilíbrio: R = C, en então: tão: 25x = = 15x + + 5000 10x = = 5000 x = = 500 Portanto o lucro será zero quando forem vendidas 500 banquetas. (d) Como a venda de 500 ban banquetas quetas nos dá um lu lucro cro de zero zero,, não obteremos nem lucro nem prejuízo. (e) Quantidade que deve ser vendida vendida para um lucro de R$ 1.000,00. 1000 = 10x – – 5000 10x = = 6000 x = = 600 Assim a venda de 600 banquetas, acarreta um lucro de R$1.000,00. (f (f)) Nest Nestee caso x = = 760 , então devemos calcular L(760), ou seja, L(760) = 10·760 – 5000 L(760) = 7600 – 5000 L(760) = 2600 O lucro para a venda de 760 banquetas é R$2.600,00. 221
Universidade do Sul de Santa Catarina
7) A quantidade demandada de u um m bem é de q d = 5 – p e e a quantidade ofertada é de q o = –1 + 2 p . Discuta o preço de equilíbrio algebricamente e geometricamente. O preço de equilíbrio ocorre quando q d = q o, então 5 – p = = –1 + 2 p 3 p = = 6 p = = 2 Geometricamente é mostrado nos gráco que segue. Observar que estamos trabalhando somente com valores positivos. q
6
qo =-1+2p 4
2
qd =5-p =5-p
p -1
222
1
2
3
4
5
6
7
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 4 1) Encontre uma função f que associa a cada número x o o seu quadrado mais o seu dobro mais uma unidade. Em seguida encontre f (–1), f (0) e f (1).
f (x ) = x 2 + 2x + + 1 2
f (0) (–1)==0(–1) + +2∙(–1) 2 f + 2∙0 1 = 1+ 1 = 0 f (1) = 12 + 2∙1 + 1 = 4
2) Trac Tracee o gráco das seguin seguintes tes funções: (a) y = = x 2 –2x –3 –3 y 5 4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 -5
(b) = – 2 +2 – 4
y
x
x y 4 3 2 1 -4
--3 3
-2 -2
-1 -1
x 1
2
3
4
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
223
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Seja p = = 50 – 2x , onde x é é quantidade demandada e o preço é p , encontre a função receita total, esboce o seu gráco e em seguida encontre o valor de x para para que a receita seja máxima. A função Receita é dada por R(x) = p∙x R(x) = (50 – 2x)x R(x) = 50x – 2x2 Trata-se de uma função do segundo grau com a concavidade voltada para baixo, portanto esta função atinge o seu máximo no vértice. b ∆ 50 2500 , − = − ,− = (12, 5; 312, 5) ⋅ − ⋅ − 2 a 4 a 2 ( 2 ) 4 ( 2 )
V −
Devem ser vendidas 12,5 unidades para que a receita seja máxima. Caso o produto não possa ser particionado, par ticionado, o valor deve ser arrendondado para 13 unidades. V Veja eja o gráco. y 350 300 250 200 150 100 50
x -5
5 -50
224
10
15
20
25
30
Tópicos de Matemática Elementar I
4) Seja f (x ) = x 2 – 7x + + 10. Analise as propriedades e características carac terísticas (Domínio, imagem, concavidade, raízes, vértice, crescimento e decrescimento e o sinal da função) e esboce o gráco de f . Temos as características da função que podem ser observadas gracamente. y 5
4
3
2
1
x
7/2 -1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
- 9/4 -3
Domínio: D( f f ) = R Concavidade: Como a = = 1 > 0, a concavidade é voltada para cima. Raízes: f (x ) = 0
x 2 – 7x + + 10 = 0 Usando a fórmula de Baskhara, segue que x = = 2 e x = = 5. ∆ 7 9 b Vértice: V − , − = , − 2a 4a 2 4
Imagem: Im( f f ) = − 9 , +∞
4
A função é decrescen decrescente te no iintervalo ntervalo −∞ , 7 2 7 e crescente no intervalo , +∞ .
2
Os valores de x para para o qual f (x ) > 0, ocorre nos intervalos (–∞,2)∪(5,+∞) e os valores de x para para o qual f (x ) < 0 ocorre no intervalo (2,5).
225
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Um terreno retan retangular gular tem dimensões d dee modo que sua largu largura ra é o triplo da altura. Encontre as dimensões deste retângulo de modo que sua área seja de 300 m2. Vamos considerar: Altura: x
Como a área vale 300 m2, segue que
Largura: 3x
A área do retângulo é dada por A = x ∙∙33x A = 3x 2
300 = 3x 2 x = = ±10 Podemos descartar o valor negativo, logo devemos ter como dimensões de 30 m × 10 m.
6) A função demanda de um produt produto o é p = = 10 – x e e a função custo é dada por C (x ) = 20 + x . Encontre o valor de x para que o lucro seja máximo. A função receita é dada por: R(x ) = p ∙x R(x ) = (10 – x )x R(x ) = 10x – – x 2 A função lucro é dada por: L(x ) = R(x ) – C(x ) L(x ) = 10x – – x 2 – (20 + x ) – 20 L(x ) = –x 2 + 9x – Trata-se de uma função do segundo grau com concavidade voltada para baixo, e portanto o seu vértice é um ponto de máximo.
9 1 b ∆ , − = , = ( 4 , 5; 0, 25). 2a 4 a 2 4
V −
O lucro será máximo quando a quantidade vendida for de 4,5 unidades. Caso o produto não possa ser particionado a resposta deve ser arredondada para 5 unidades.
226
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 5 1
1
16
1) Seja a função f (x ) = 3 x 3 − 2 x 2 − 2x − 3 , representada gracamente na Figura 5.17. Determine o que se pede:
y
15
10
5
x -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
-5
-10
-15
1 3
1 2
3 2 Figura 5.17 Gráco da função f (x ) = x − x − 2x −
16 3
(a) Grau d daa função função polinomi polinomial. al. A função polinomial possui grau 3. Assim, é uma função do 3° grau. (b) Domínio da função. A função está denida para todos os reais. (c) Raiz da função. As raízes reais da função podem ser observadas pelo corte do gráco no eixo dos x . Portanto, é dado como raiz real x = = 4. Observamos que as outras duas raízes são complexas (não observáveis gracamente). (d) Intervalos de crescimento. Crescimento em (–∞,–1) e (2,+∞). 227
Universidade do Sul de Santa Catarina
(e) Intervalos d dee decrescimento. Decrescimento em (–1,2). (f (f)) Análise do si sinal nal d daa função função.. A função é positiva para valores maiores que 4 (observar (obser var a parte do gráco acima do eixo dos x) e negativa nos demais pontos do seu domínio. 2) Um estudo sobre e eciência ciência de trabalhadores d do o turno da manhã de uma certa fábrica indica que o operário que chega ao trabalho às 8 horas da manhã, terá montado, x horas horas após, f (x ) = –x 3 + 6x 2 + 15x peças peças do produto. (a) Quantas peças o operário terá montad montado o às 11 horas da manhã? (b) Quantas peças ter teráá montado entre 10 e 11 horas da manhã? (a) Às 11 horas da manhã o operário terá trabalhado 3 horas se chegou às 8 horas da manhã.
f (x ) = –x 3 + 6x 2 + 15x f (3) = –(3)3 + 6(3)2 + 15(3) f (3) = –27 + 6×9 + 45 f (3) = –27 + 54 + 45 f (3) = 72 Portanto, ele terá montado 72 peças às 11 horas da manhã. (b) Para saber o número de peças montadas entre 10 e 11 horas, podemos calcular a diferença entre o número de peças montadas até 10 horas (que será calculado abaixo) e o número de peças montadas até 11 horas (calculado no item a). Quando x = = 2 calculamos o número de peças montadas até 10 horas:
f (x ) = –x 3 + 6x 2 + 15x f (2) = –(2)3 + 6(2)2 + 15(2) f (2) = –8 + 6×4 + 30 f (2) = –8 + 54 f (2) = 46 Assim, entre 10 e 11 horas teremos 72 – 46 = 26 peças montadas.
228
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Usando um software gr gráco áco (por exemplo o Gr Graph) aph) faça o gráco da x + 1 função y = 1 e analise suas propriedades e características. x −
Usando o Graph, a representação gráca da função é dada por:
y 8
6
4
2
x -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
-2
-4
-6
-8
Representação algébrica Domínio
x + 1 x − 1
R – {1}
Conjunto imagem Zero ou raiz Sinal da função
y =
Cres Cresci cime ment nto o ou de decr cres esci cime ment nto o
R – {1}
x = = -1 Positiva (acima do eixo x): x > > 1 e (-∞, -1). Negativa (abaixo do eixo x): x ∈ (-1, 1). A fu funç nção ão é em ttod odo o o sseu eu dom domíínio decrescente.
229
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Analise as características e pr propriedades opriedades das fu funções nções representad representadas as gracamente nas Figuras 5.18 e 5.19. y 1800
y 1500 15
1200
10
900
5
x 600 -4
-3 -3
--2 2
--1 1
1
2
-5
300
-10
10
20
-15
-300
Figura 5.18 Gráco da função y = = x (30 (30 – 2x )(25 )(25 – 2x )
Representação algébrica Domínio Conjunto imagem Zero ou raiz
Figura 5.19 Gráco da função y =
y = = x (30 (30 – 2x )(25 )(25 – 2x )
R – {–2,2}
R
R
Para determinar os zeros da função, podemos mantê-la
x = = 0 30 – 2x = = 0 ⇒ x = = 15 25 – 2x = = 0 ⇒ x = = 12,5
230
x 2 y = 4 − x 2
R
na forma fatorada e calcular:
Sinal da função
x 2 4 − x 2
x = = 0
Positiva (acima do eixo x )):: 0 < x < < 12,5 ou x > > 15.
Positiva (acima do eixo x )):: –2 < x < < 2.
Negativa (abaixo do eixo x )):: x < < 0 ou 12,5 < x < < 15.
Negativa (abaixo do eixo x )):: x < < –2 ou x > > 2.
3
4
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 6 1) Escreva n naa for forma ma decimal: a) 1034
112 550 881
b) 105
100 000 2
c) 2·10
200
2) Escreva na notação cientíca: cientíca: a) 72 000
7,2 × 104
b) 0,004
4 × 10–3
c) 0,022
2,2 × 10–2
3) Escreva na forma de uma única potência: a) 2 ·2 –5
2
2–3
3
(133 )4 b) (132 )5 1312–10 = 132
–5
c) 4 ·8·2 (22)3·23·2–5 = 24
5−2 ⋅ 5−3 d) 5−10 ⋅ 58 5−5 −5−( −2 ) −3 =5 =5 −2 5
231
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Calcule:
39 ⋅ 9 −2 a) 277 ⋅ 81−5
b)
125 ⋅ (252 )3 3
725
4
39 ⋅ (3 (3 2 )−2 35 4 = = 3 = 81 (33 )7 ⋅ (34 )−5 3
5) Simplique: w 6 ⋅ z −6 a) 3 2 z ⋅w
x 3 ⋅ ( y 2 )3
b)
3 y 4
w4·z–9
⋅
1 4 x
4 3 1 6− − x 3 / 2 ⋅ y 6 2 4 = x ⋅ y 3 4 /3 1/ 4 y ⋅ x
= x 5 / 4 ⋅ y 14 / 3
6) Esboce o gráco das seguintes funções: a) f (x ) = 2x f(x) 8
7
6
5
4
3
2
1
x -3
-2
-1
1
-1
232
2
3
4
5
Tópicos de Matemática Elementar I
b) f (x ) = 3x – – 1 y 8
7
6
5 4
3
2
1
x 1
2
-1
c) f (x ) = log2 x y 3
2
1
x -1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
233
Universidade do Sul de Santa Catarina
d) f (x ) = log(½) x y
3
2
1
x -1
1
2
3
4
-1
-2
-3
7) Identique se as seguintes fun funções ções são crescentes ou decrescentes: x a) f (x ) = 6x b) f (x ) = 3 2 Crescente
Crescente x
3 c) f (x ) = 4
d) f(x) = (0,125)x
Decrescente
Decrescente
e) f (x ) = log3 x Crescente
234
f ) f (x ) = log x 1 3
Decrescente
Tópicos de Matemática Elementar I
8) Calcule os segu seguintes intes logaritmos: (a) log327
(b) log3
log327 = x ⇒ 3x = 27
1 243
1 1 = x ⇒ 3x = 243 243 ou 3x = 3−5 x = −5
log3
ou 3x = 33
x = = 3
(d) log81 4 3
(c) log10100 log10100 = x ⇒ 10x = 100 x
ou 10 = 102
1 4
log81 3 = x ⇒ 81 = 3 ou 3 = 3 4 x
x = = 2
x
1 4
1 4
4x = 1 4 1 x = 16
9) Determine o valor de x : (a) log(1/625)5 = x
(b) logx 25 = 2 x
1 log(1/625) 5 = x ⇒ 625 = 5 ou 5–4 x = 5 −4x = 1 x = −
logx 25 = 2 ⇒ x 2 = 25 ou x = 25 x = 5
1 4
235
Universidade do Sul de Santa Catarina
(c) log2 x = 8
(d) logx (8/27) = 3
log2 x = = 8
8 27 3 2 3 x = 3 x 3 =
28 = x
x = = 256
x = 2
3
10) Determine o valor de x de de tal modo que os seguintes logaritmos existam: (a) log3 (x + 1)
(b) log(7x – – 21) 4
A base já é um número positivo e diferente de 1, logo a condição deve ser estabelecida apenas
Como o logaritmando já é um número positivo, estabelecemos apenas a condição para a base:
para o logaritmando:
7x – 21 > 0 e 7x – – 21 ≠ 1
x + + 1 > 0
7x > 21 e 7x ≠ ≠ 22 22 x > 3 e x ≠ ≠ 7
x > > –1
11) Sabendo que llog og 2 = 0,3010 , calcule log0,0002.
log0,0002 = log
2
= log
2 4
= log 2 – log 104
= log 2 – 4log 1010000 = 0,3010 – 4 =10 –3,699.
12) Um capital de R$ 56,00 é aplicad aplicado, o, a juros compost compostos, os, por 2 anos e meio, à taxa de 4 % a.m. Qual o valor resultante dessa aplicação?
C = 56
Cn = 56(1 + 0,04)30 Cn = 56(1,04)30 Cn = 56×3,24339751 Cn = 181,63
i = = 4% = 0,04 n = 30 meses
O valor resultante da aplicação de R$56,00 é de R$181,63.
Sabemos que Cn = C(1 + i ) )n Dados do Problema:
236
Tópicos de Matemática Elementar I
13) Um capital foi aplicado aplicado,, a juros compostos, d durante urante 3 meses, à tax taxaa de 20 % a.m. Se, S e, decorrido esse período, o montante produzido foi de R$ 864,00, q qual ual o capital apli aplicado? cado? Dados do problema:
n = 3
Cn = C(1 + i ) )n 864 = C(1 + 0,2)3 864 = C(1,2)3
i = = 20% = 0,2 Cn = 864
C=
864 = 500 1,728
O Capital aplicado foi de R$500,00.
14) Qual a taxa mensal (%) para quadruplicar um capital em 8 anos? Dados do problema
n = 8 anos = 96 meses Cn = 4C Cn = C(1 + i ) )n 4C = C(1 + i ) )96 4 = (1 + i ))96 log 4 = log (1 + i ) )96
log4 96 0,60205 log(1+ i ) = 96 log(1+ i ) = 0, 00627
log(1+ i ) =
10log(1+i ) = 100 ,00627 1+ i = 1, 01454 i = 0 ,0 ,011454 = 1,4 ,455%
15) A taxa de crescimento populacional do Brasil é de, aproximad aproximadamente, amente, 2% ao ano. Em quantos anos a população irá dobrar, mantendo mantendo esta taxa de crescimento? Equação a ser utilizada: P = P0 (1 + i ) )n Dados do problema: P = 2P0 i = = 2% = 0,02 2P0 = P0(1 + 0,02)n n
22 = + 0,02) n = (1 (1,02)
log 2 = log (1,02)n log 2 = n log 1,02
log2 log1,02 0,3010 n= = 35. 0,0086 n=
A população irá dobrar em 35 anos.
237
Universidade do Sul de Santa Catarina
16) O álcool no sangue d dee um motorista alcançou o ní nível vel de 2 gramas por litro após ingerir uma bebida. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N = = 2(0,5)t , onde t é é o tempo em horas. Quanto tempo deverá o motorista esperar, se o limite permitido por lei é de 0,8 gramas de álcool por litro de sangue? (considerar log 2 = 0,3). Temos que N = 2 × (0,5)t , onde N = 0,8, portanto
0, 8 = 2 × (0, 5)t 0, 8 (0,5)t = 2 t (0, 5) = 0 , 4 log(0 , 5)t = log 0, 4 1 4 t log = log 2 10
t log 2−1 = log 4 − log10
−t log2 = log 22 − 1 −t log2 = 2 log2 − 1 2 log 2 − 1 −t =
log2 2 × 0, 3 − 1 −t = 0, 3 −t = −1,3333
t = = 1,3333 horas = 80 minutos = 1 hora e 20 minutos.
Unidade 7 1) Faça o gr gráco áco e analise as características e pr propriedades opriedades das funções: funções: (a) y = = 1 + sen x f(x)
2
x
238
Tópicos de Matemática Elementar I
x (b) f (x) = cos 2 f(x)
1
x
(c) g (x ) = 2tg(x ) f(x)
2
1
x
-1
239
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Uma escada rolant rolantee liga dois pisos de u uma ma loja de dep departamentos artamentos e tem uma inclinação de 30°. Sabendo que o comprimento linear da escada é de 12 m, qual é a altura entre os dois pisos da loja? Observe a gura que modela o problema.
sen 30° =
x
12 x = sen 30° × 12 1 x = × 12 = 6 metros 2
A altura x é é de 6 metros.
3) Ted e Mad ao fazer u um m passeio no campo contemplaram o pico pico de um morro segundo um ângulo de 45 graus. Ao caminharem mais 50 metros em direção ao morro passaram a ver o pico segundo um ângulo de 60 graus. Qual é a altura do morro? Veja a gura que modela o problema. Temos que: h x
tg 60° = ⇒ h = 3x tg 45° =
h
50 + x
⇒ h = 50 + x
Observar que estamos usando os valores tg 60° = 3 e tg 45° = 1 Podemos igualar as relações encontradas:
3x = 50 + x 3x − x = 50 x ( 3 − 1) = 50 x =
50 3 −1
x ≅ 68,30 metros A altura do morro é aproximadamente igual a 68,30 metros. 240
Tópicos de Matemática Elementar I
4) Qual é o tamanho da sombra d dee um prédio de 50 metros de altura quando o sol está 20 graus acima da linha do horizonte? Observe a gura que modela o problema.
tg 20° =
50 x
0,364 = 50 x
x =
50 ≅ 137,36 metros. 0,364
O tamanho da sombra é aproximadamente 137,36 metros.
5) Uma escada apóia-se na parede d dee um prédio com se seu u pé a 4 metros do edifício. A que distância do chão está o ponto mais ma is alto da escada e qual é seu comprimento se ela faz um ângulo de 70 graus com o chão? Observe a gura que modela o problema.
tg 70° = 2,747 =
h
4 h
4 h = 2, 747 × 4 ≅ 10 , 99 metros
A distância do ponto de apoio até o chão é de 10,99 metros. Para achar o valor de x, vamos aplicar o TTeorema eorema de Pitágoras: x 2 = h 2 + 42 x 2 = 10 , 992 + 4 2 x 2 = 120 , 78 + 16 x 2 = 136,78
78 ≅ 11, 70 70 metros x = 136 , 78 O comprimento da escada é de 11,70 metros.
241
Universidade do Sul de Santa Catarina
6) Do topo de um far farol, ol, 120 metros acima do nível nível do mar, mar, o ângulo de depressão de um barco é 15 graus. Qual é a distância do farol ao barco? Observe a gura que modela o problema.
tg 15° = x 120 0,268 =
x
120 x = 0 , 268 × 120 ≅ 32,16 metros
A distância do farol até o barco é de 32, 16 metros.
7) Na gura 7.26 tem-se que: CD = 5 cm BC = 4 cm AB = 3,2 cm AC = x cm BD = y cm Pergunta-se: a) b) c) d)
242
Figura 7.26 Triângulos retângulos
Qual o valor d dee x ? Qual o valor de y ? Quais são os valores das fu funções nções trigonométricas do ângulo α? Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo β?
Tópicos de Matemática Elementar I
Vamos colocar os valores conhecidos na gura para facilitar a visualização das relações trigonométricas nos triângulos retângulos.
c) Os valores valores das funções tr trigonoigonoa) Para encontrar o valor de x vamos aplicar o TTeorema eorema de Pitá- métricas do ângulo alfa: goras no triângulo retângulo CAB. 2, 4 3,2 4 = x +3,2 x 2 = 42 –3,22 x 2 = 16 –10,24 x 2 = 5,76
= 0, 6 = 0, 8 cos α = 4 4 2, 4 3,2 = 0,75 ≅ 1,33 cotg α = tg α = 3,2 2, 4 4 4 = 1,25 ≅ 1,67 cossec α = sec α = 3,2 2, 4
x = = 5,76
d) Os valores das fu funções nções trigono-
x = = 2,4 cm
métricas do ângulo beta:
b) Para encontrar o valor de y vamos aplicar o TTeorema eorema de Pitágoras no triângulo retângulo CBD.
3 4 sen β = = 0, 6 cos β = = 0, 8 5 5 3 tg β = = 0,75 cotg β = 4 = 1,333 4 3 5 sec β = = 1,25 cossec β = 5 = 1,67 4 3
sen α =
2
2
2
52 = 42 + y 2 y 2 = 25 – 16 y 2 = 9 y = = 3 cm
243
Para destacar Teorema de Pitágoras recortar o quadrado de lado b nas quatro partes assinaladas e em conjunto com o quadrado de lado a fazer fazer a composição do quadrado de lado c .
245
