TOMO I

Universidad Nacional de San Martín - Tarapoto Nueva Ley Universitaria N° 30220 CENTRO PR E

CePre UNSM - T UN

SITARIO IVER

PU

UNSM-T

Economía Historia Geografía Filosofía

Álgebra

Cívica Aritmética

Psicología Física Geometría Razonamiento Matemático Trigonometría

Somos un Centro Pre Universitario y no una academia Ingresa con nosotros y sé un profesional de éxito.

TARAPOTO - PERÚ

Cuaderno

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN-T CARRERAS PROFESIONALES - Agronomía --> Tarapoto. - Agronomía --> Tocache. - Medicina Veterinaria. - Ing. de Sistemas e Informática. - Ing. Agroindustrial --> Tarapoto. - Ing. Agroindustrial --> Juanjui. - Ingeniería Civil. - Medicina Humana.

- Arquitectura. - Enfermería. - Obstetricia. - Ingeniería Ambiental. - Ingeniería Sanitaria. - Idiomas. - Contabilidad --> Tarapoto. - Contabilidad --> Rioja.

- Administración. - Economía. - Turismo --> Lamas. - Derecho. - Educ. Inicial --> Rioja. - Educ. Primaria --> Rioja. - Educ. Secundaria --> Rioja.

TOMO I

Rumbo a la Acreditación

Decimonovena edición 2017

Consejo Editorial del Centro Preuniversitario Universidad Nacional de San Martín – T Tarapoto - Perú

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Rafael Ramírez Tananta Ulises Díaz Ruiz José Alberto Avalos Ríos ALGEBRA Fernando Gatica Ruiz. Víctor A. Ávila Tuesta. Carlín Fasanando García

FISICA Frank Mendoza Acosta Luis Cuzco Trigozo Ulises Díaz Ruiz ARITMETICA Luz Estela Aguilar Ramos de Corcuera Alejando Benavides Barboza James Rodríguez Aspajo Mario Vásquez Torres Marvin Barrera Lozano

GEOMETRIA Mario García Arévalo Leopoldo Ríos Panduro Juan Orlando Riascos Armas TRIGONOMETRIA Jailer J. Pino Gutierrez José A. Avalos Rios. José E. Guzmán Anticona

Revisores Temáticos y de consistencia teórica: Pedro Elías Pérez Vargas Jaime Ramírez Navarro Técnicos en Impresiones: Edvin Gonzales Ramírez. Diseño de Portada: Mario Vásquez Torres Diseño de Interiores: Jhon Henry Herrera Panduro, Daniel Mori Hidalgo. Responsable de la Edición: Fondo Editorial del Centro Preuniversitario UNSM-T. Fondo Editorial del Centro Preuniversitario UNSM-T Jr. Orellana 575 Tarapoto – San Martín RUC UNSM-T: 20160766191 Teléfono: Complejo Universitario (042) 524442 Anexo 18 CPU (042) 524033 Local Central (042) 251366 Ciudad Universitaria (042) 521402 e-mail: [email protected] Facebook: cpu-unsm

Primera Edición 2011 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 1,500 ejemplares Segunda Edición 2011 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 950 ejemplares Tercera Edición 2011 (Ciclo: Septiembre-Diciembre) Primera Impresión 1,000 ejemplares Tercera Edición 2011 (Ciclo: Enero-Febrero) Segunda Impresión 1,650 ejemplares Cuarta Edición 2012 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 1,100 ejemplares Quinta Edición 2012 (Ciclo: Septiembre-Diciembre) Primera Impresión 1,000 ejemplares Sexta Edición 2013 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 1,500 ejemplares Séptima Edición 2013 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 950 ejemplares Octava Edición 2013 (Ciclo: Septiembre-Diciembre) Primera Impresión 950 ejemplares

Décima Edición 2014 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 850 ejemplares Undécima Edición 2014 (Ciclo: Setiembre-Diciembre) Primera Impresión 800 ejemplares Duodécima Edición 2015 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 1200 ejemplares Décimo tercero Edición 2015 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 1000 ejemplares Decimocuarta Edición 2015 (Ciclo: Setiembre-Diciembre) Primera Impresión 1500 ejemplares Decimoquinta Edición 2016 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 1200 ejemplares Decimosexta Edición 2016 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 1500 ejemplares Decimoséptima Edición 2016 (Ciclo: Setiembre-Diciembre) Primera Impresión 1500 ejemplares Decimoctava Edición 2017 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 2000 ejemplares Decimonovena Edición 2017 (Ciclo: Abril -Julio)

ISBN……Registro de proyecto editorial N°………Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú. Registro N°………….. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra Sin previa autorización escrita del autor y del editor. Impreso en Perú / Printed in Perú Pedidos: Jr. Orellana 575 Tarapoto – San Martín. e-mail: cpu.unsm.edu.pe

MENSAJE DEL SEÑOR RECTOR La Universidad Nacional de San Martín – Tarapoto, como primera casa superior de estudios en el ámbito regional, busca la formación integral de los jóvenes acompañada de una excelencia académica lo cual convergerá en tener profesionales modelo que participen activamente en la sociedad y sean agentes de cambio para su desarrollo de manera sostenible, y de ese modo brindar a la futuras generaciones un lugar del cual nos podamos sentir orgullosos. Dentro de este marco, nuestra universidad responde a los desafíos de una sociedad con múltiples necesidades, ofreciendo los mejores recursos: diez Facultades, veinte Escuelas Profesionales y nuestra Escuela de Posgrado, todas en la modalidad de formación presencial, con docentes altamente capacitados, que ostentan los grados de maestro y doctor, infraestructura moderna y un currículo integral, que en conjunto son la garantía de una formación académica de calidad. Además, se está trabajando por una gestión institucional innovadora, eficiente, eficaz, transparente, democrática y con responsabilidad social. Por tal motivo, este Texto Académico es un documento flexible y perfectible, el cual se enriquecerá con la participación de todos los integrantes de la comunidad universitaria y de la sociedad. Desde esa óptica, señor postulante, lo felicito por iniciar sus estudios superiores a través de esta unidad académica, como centro pre universitario que se diferencia ampliamente de una academia por la integralidad de servicios y el inicio de una base humanística como parte de su formación, que exige alto nivel de conocimientos, así como de competitividad; por lo tanto desde el inicio tenga muy presente su meta hasta lograrla, ya que nosotros le garantizamos brindarle todas las herramientas necesarias para afrontar exitosamente sus exámenes y principalmente los conocimientos esenciales requeridos en los estudios universitarios y de la mano con una acentuada practica de valores. Al haber cumplido 37 años de vida institucional y ser fuente de formación de profesionales que con su esfuerzo, pensamiento reflexivo y crítico están al servicio de nuestra país; le damos la más sincera y cordial bienvenida joven postulante por asumir el reto que usted, su familia, la sociedad y ésta, muy pronto su Alma Mater, hemos adquirido. Tiene un futuro promisorio por delante, éste empieza hoy y demanda trabajo, mucho esfuerzo y dedicación plena a sus estudios. Estoy seguro que será capaz de lograrlo. Gracias por formar parte de nuestra familia universitaria. Bendiciones Dr. Aníbal Quinteros García Rector

PROLOGO

La Universidad Nacional de San Martín-Tarapoto a través de su Centro Preuniversitario, nos permite ingresar en contacto con diferentes estudiantes de la región y del país, a quienes nos permiten formar parte de su experiencia y proceso de aprendizaje. Por eso razón nos esforzamos al máximo para convertirnos en colaboradores activos de este importante proceso en sus vidas, y así convertirnos en proveedores y desarrolladores de destrezas que te ayudarán a ser un estudiante íntegro con conciencia plena en el proceso de toma de decisiones. Como dijo Nelson Mandela: “La educación es el arma más poderosa que puedes utilizar para cambiar el mundo”. De allí, se desprende nuestro afán en ofrecerte todo lo que esté a nuestro alcance para que vivencies esta nueva experiencia tan enriquecedora en tu vida como la mejor, otorgándote todas las herramientas, los mejores educadores y el mejor ambiente para que veas al final tu meta alcanzada, con esto no pretendo decir que todo sea fácil, sino que debes tener en cuenta que a todo esto debes sumarle tu esfuerzo perseverante y tu dedicación exclusiva a éste, tu nuevo proyecto de vida que anhelas alcanzar. El presente material bibliográfico se enriquece con el aporte importante de nuestros docentes, quienes nos entregan información selecta, tanto en teoría como en práctica, así como los conocimientos precisos y necesarios que le ayudarán a vencer todos los obstáculos que se presenten durante su permanencia en el Centro Preuniversitario y le permitan, al final, ver convertirse en estudiante universitario. Además, el texto, cuenta con información ampliada acerca de las veinte Escuelas Profesionales que la Universidad Nacional de San MartínTarapoto pone a su disposición. Por otro lado, contamos con servicios adicionales que te permitirán integrar y mantener una vida saludable, apoyándote en alguna situación adversa que se presente en tu entorno durante tu estadía con nosotros, y te acompañaremos para fortalecerte y encontrar, en conjunto, una solución a tal percance, de manera tal que logres enfocar toda tu atención en tus estudios y logres concretar tu objetivo hacia tu meta trazada. Finalizo expresándote mi más profundo agradecimiento por permitirnos formar parte de ti, a través de tu formación y te doy la más cordial bienvenida, así como también pedirte mucha fortaleza y constancia responsable en tu preparación. Obtenga el máximo provecho a este material bibliográfico virtual, de modo que con tu apasionada labor y nuestro permanente apoyo y guía, te convertirás en el nuevo estudiante de la Universidad Nacional de San Martín – Tarapoto.

Dr. Orlando Ríos Ramírez Director

ÍNDICE PÁGINAS PRELIMINARES Mensaje del Señor Rector de la UNSM – Tarapoto Dr. Anibal Quinteros Garcia Prólogo de la Señor Director del CPU-UNSM-T Dr. Orlando Ríos Ramirez Página de asignaturas

Páginas

ÀLGEBRA SEMANA 1: CONCEPTO DE TEORIA DE EXPONENTES, DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA SEMANA 2: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS SEMANA 3: FACTORIZACIÓN ALGEBRAICA SEMANA 4: RADICACIÓN Y RACIONALIZACIÓN SEMANA 5: TEORÍA DE ECUACIONES SEMANA 6: FUNCIONES SEMANA 7: ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS SEMANA 8: MATRICES Y DETERMINANTES SEMANA 9: TEORÍA DE ECUACIONES SEMANA 10: INECUACIONES SEMANA 11: FUNCIONES SEMANA 12: LOGARÍTMO, COLOGARÍTMO Y ANTILOGARÍTMO SEMANA 13: ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS SEMANA 14: NÚMEROS COMPLEJOS SEMANA 15: MATRICES Y DETERMINANTE SEMANA 16: MICELANEA

11 14 16 18 21 24 28 30 33 36 39 44 30 48 50 54

ARITMÉTICA SEMANA N° 1: TEORIA DE CONJUNTOS SEMANA N° 2: SISTEMAS DE NUMERACIÓN SEMANA N° 3: LAS CUATRO OPERACIONES SEMANA N° 4: DIVISIBILIDAD SEMANA N° 5: NÚMEROS PRIMOS SEMANA N° 6: MCD – MCM SEMANA N° 7: FRACCIONES SEMANA N° 8: RAZONES Y PROPORCIONES SEMANA N° 9: PROMEDIOS SEMANA N° 10: MAGNITUDES PROPORCIONALES, REPARTO PROPORCIONAL Y REGLA DE COMPAÑÍA SEMANA N° 11: REGLA DE TRES SEMANA N° 12: TANTO POR CIENTO SEMANA N° 13: REGLA DE INTERÉS SEMANA N° 14: REGLA DE DESCUENTO SEMANA N° 15: MEZCLA Y ALEACIÓN SEMANA N° 16: SISTEMA DE MEDIDA

57 60 63 65 68 70 73 76 79 81 84 87 89 92 95 98

FÍSÍCA SEMANA N° 1: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL SEMANA N° 2: CINEMATICA SEMANA N° 3: MOVIMIENTO PARABOLICO SEMANA N° 4: ESTÁTICA SEMANA N° 5: DINÁMICA LINEAL SEMANA N° 6: TRABAJO, POTENCIA, ENERGÍA SEMANA N° 7: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULA SEMANA N° 8: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE SEMANA N° 9: HIDROSTÁTICA SEMANA N° 10: TEMPERATURA y CALOR SEMANA N° 11: TEORIA CINÉTICA DE LOS GASES SEMANA N° 12: TERMODINÁMICA SEMANA N° 13: ELECTROSTÁTICA Y CAPACITORES SEMANA N° 14: ELECTRODINÁMICA SEMANA N° 15: ELECTROMAGNETISMO SEMANA N° 16: ÓPTICA

103 108 112 116 120 124 129 132 135 139 143 145 148 151 154 156

GEOMETRÍA SEMANA N° 1: NUMERO MAXIMO DE PUNTOS DE INTERSECCION DE FIGURAS GEOMETRICAS SEMANA N° 2: TRIANGULOS SEMANA N° 3: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS SEMANA N° 4: CIRCUNFERENCIA SEMANA N° 5: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS SEMANA N° 6: RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS SEMANA N° 7: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA SEMANA N° 8: LA POLÍGONOS REGULARES Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA.Y LA SEMANA N° 9: AREAS DE REGIONES TRIANGULARES, Y CIRCULARES SEMANA N° 10: ÁREA EN REGIONES CUADRANGULARES Y POLIGONALES. SEMANA N° 11: RELACION ENTRE AREAS DE REGIONES TRIANGULARES SEMANA N° 12: ÁREAS Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: POLIEDROS, PRISMA Y PIRAMIDE, TRONCO DE PRISMA Y PIRAMIDE SEMANA N° 13: ÁREAS Y VOLUMENES EN SOLIDOS GEOMETRICOS: CILINDRO, CONO Y ESFERA, TRONCO DE CILINDROS, CONO SEMANA N° 14: SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES SEMANA N° 15: LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA EN EL PLANO CARTESIANO. SUS ECUACIONES. SEMANA N° 16: LA ELIPSE E HIPÉRBOLA EN EL PLANO CARTESIANO CON SUS ECUACIONES

160 163 167 169 173 177 180 182 185 188 191 195 198 200 203 206

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO SEMANA N° 1: HABILIDAD OPERATIVA: MÉTODO INDUCTIVO – DEDUCTIVO SEMANA N° 2: SUCESIONES DISTRIBUCIONES Y ANALOGÍAS SEMANA N° 3: SERIES Y PROGRESIONES SEMANA N° 4: OPERADORES MATEMATICOS SEMANA N° 5: SISTEMA DE NUMERACION SEMANA N° 6: PROMEDIOS Y RAZONES Y PROPORCIONES SEMANA N° 7: FRACCIONES Y REDUCCIÓN A LA UNIDAD SEMANA N° 8: PORCENTAJE Y MEZCLA PORCENTUAL SEMANA N° 9: CUATRO OPERACIONES SEMANA N° 10: PLANTEO DE ECUACIONES SEMANA N° 11: EDADES SEMANA N° 12: COMPARACIÓN DE MAGNITUDES Y REGLA DE TRES SEMANA N° 13: RELOJES, ADELANTOS Y RETRASOS SEMANA N° 14: MOVILES SEMANA N° 15: ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS Y MOVILES SEMANA N° 16: ANÁLISIS COMBINATORIO - RAZONAMIENTO LÓGICO

211 214 220 223 225 228 230 234 236 238 242 244 248 250 253 258

TRIGONOMETRÍA SEMANA N° 1: ANGULO TRIGONOMÉTRICO SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES SEMANA N° 2: LONGITUD DE ARCO/SECTOR CIRCULAR RUEDAS Y ENGRANAJES SEMANA N° 3: RAZONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS SEMANA N° 4: MISCELANEA SEMANA N° 5: ANGULOS HORIZONTALES Y VERTICALES SEMANA N° 6: RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS EN POSICION NORMAL, CUADRANTALES Y COTERMINALES SEMANA N° 7: REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE SEMANA N° 8: MISCELANEA SEMANA N° 9: IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS SEMANA N° 10: IDENTIDADES DE ANGULOS COMPUESTOS SEMANA N° 11: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO DOBLE Y MITAD SEMANA N° 12: MISCELANEA SEMANA N° 13: ANGULO TRIPLE SEMANA N° 14: TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS SEMANA N° 15: RESOLUCIÒN DE TRIÀNGULOS SEMANA N° 16: MISCELANEA

263 266 269 272 274 276 278 280 281 283 285 286 288 289 290 292

Álgebra

TARAPOTO - PERÚ

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

SEMANA Nº 01 CONCEPTO DE TEORIA DE EXPONENTES DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA: Es una rama de la matemática, estudia las cantidades en su forma más general posible. UTILIDAD: Los conocimientos del álgebra son indispensables en el desarrollo de los cursos de: Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica, el Cálculo diferencial e integral. SÍMBOLOS: Los símbolos que utiliza el álgebra para su estudio son los números y las letras. Los números representan cantidades conocidas y las letras representan toda clase de cantidades (conocidas o desconocidas). Las primeras letras del alfabeto: a, b, c,… representan cantidades conocidas y Las últimas letras del alfabeto: x, y, z,… representan cantidades desconocidas. SIGNOS QUE UTILIZA EL ÁLGEBRA: Son de tres clases: 1. SIGNOS DE OPERACIÓN: Nos indican las operaciones a realizar: Adición ( + ), Sustracción ( – ), Multiplicación ( . ), División (:), Potenciación ( )n y Radicación ( ) 2. SIGNOS DE RELACIÓN: Para relacionar las cantidades: Igual a ( = ), Diferente a (  ); Mayor que ( > ), menor que ( < ), mayor o igual que ( ≥ ), menor o igual que ( ≤ ), idéntico a (  ). 3. SIGNOS DE AGRUPACIÓN: Todas las cantidades que se encierran, se considera como una sola. Estos son: Paréntesis ( ), Corchetes [ ], ll|aves { } y barra o vínculo TÉRMINO ALGEBRAICO: Es la representación de una o más variables unidas por las operaciones de: multiplicación, división potenciación y radicación. Ejemplos: 1) 12xyz 2) 5xy5z7 3) – 9xyz√(𝑥𝑦)(𝑥 2 − 𝑦 2 ) Todo Término algebraico consta de partes o elementos: EXPONENT SIGNO Ejemplo: E 9 + 15 x COEFICIENTE

1.

PARTE LITERAL

COEFICIENTE: Indica las veces que se repite la parte literal como suma. Ejemplo: 5x = x + x + x + x + x 2. EXPONENTE: Indica las veces que se repite la parte literal como producto. Ejemplo: x5 = x .x.x.x.x EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Es la agrupación de términos algebraicos unidos por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos: 1) 8x3 – 7xy2 + 5xy2z – 15 2) 3x√𝑥y3 + √𝑥𝑦𝑧 – 11xy

3)

CPU – UNSM -T

5x2 + √7x2 −8xy3 2xy−5xy2

VARIABLE MATEMÁTICA: Símbolos que pueden recibir diferentes valores numéricos y pertenecen al conjunto de números reales. (x, y, z,… ) CONSTANTE: Está determinada por un número conocido el cual pertenece al conjunto de los números reales. Ejemplos: (2, 3 , 7, etc.) TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal y sus variables tienen los mismos exponentes. Ejemplos: 1) 2x 3; 5 x 3 2) 6 x 3 y 4; – 7x 3 y 4 3 3) √3𝑥 5 𝑦 7 𝑧 9 ; 𝑥 5 𝑦 7 𝑧 9 5 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS: A. POR SU NATURALEZA: Se clasifican en racionales e irracionales: Una expresión algebraica es racional cuando ninguna letra está afectada de un signo radical o exponente fraccionario, caso contrario será irracional. Ejemplos: a) 3x2 + √2xy − 52⁄3 z 3 , es racional. b) 3√x + y − 5 3√x − y + 3, es irracional. EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 1. E.A.R. enteras: los exponentes de las variables son números naturales o enteros positivos. Ejemplos: 2 1) 9x3y 4 + x3y5 3 2) – 3x2y z 4 2. E.A.R. fraccionarias: al menos uno de los exponentes de las variables es un número entero negativo. Ejemplos: 4 1) 2x + z 2) 4𝑥 −2 𝑦𝑧 1 3) – xy – 2 z + y+z

B. SEGÚN LA CANTIDAD DE TÉRMINOS: MONOMIOS: un solo término. Ejemplos: 1) – 5 x 2 y z3 2) x5 y z 3 3) xyz11 7 POLINOMIOS: Es una expresión algebraica que consta de un o más términos algebraicos racionales enteros, un polinomio generalmente se representa de la siguiente manera: P(x): Se lee “Polinomio en la variables x” P(x) = anxn+ an – 1xn – 1 + …+ a2x2 + a1x + a0 Dónde: x: Variable n: Grado del polinomio. an: Coeficiente principal. a0: Término independiente. Ejemplos: 1) x2 + y2 – yz pág. 11

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

2) 5 yxz4 – 2xy 5 3) 3 + 𝑥 2 − 7𝑥𝑦 + √𝑥 − 3𝑦 3 OBSERVACIÓN: P(1) = Suma de sus coeficientes. P(0) = Término independiente.

1. Calcular el valor de: E 

TEORIA DE EXPONENTES FINALIDAD: El objetivo de la teoría de exponentes es estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. LEYES DE LA TEORÍA DE EXPONENTES: 1)

.a .a ... a , n  IN an= a    n  veces

2) 3) 4) 5) 6)

m

n

n

12) (am)n = am.n

16)

17)

n a.b  n a .n b n

n

mn pq

m

m.n. p.q

m

mn

p

19)

mn

x p  m x p  ..."n" radicales  impar

x

5

C) 3

2

D)

3

E) 5

5

(2n + 1) veces

D) x n + 1 E) x n

x

am = a m–n an

p ( m 1) x m1

J=

n

para n

1 23 1 + . − 3 34 4 8 4 2 3 − ∶ + 15 15 5 5

+

1 2 4 1 + ∶ −2 3 5 15 3 1 1 38 22 + 3 − 4.3

A) 0,65 B) 0,64 C) 1,25 D) – 0,6 E) – 0,64

m

x

B)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Simplificar:

p ( mn 1) x m1

par 18)

4n 11

E = x n + 3 + 2n – 3 – 3n + 4 = x 4

x  x  ..."n" radicales  p

n

=

la

E  ( x 4n  53n  2 )(x 2n 1 4 )(x 3n  4 )

a

x p .m x p ...."n" radicales 

m

n

Usando:

a b , con b  0

a 

en

n 1

=4 expresión:

 x 4 n 5   x 2 n 1   1  E   3 n  2   4   3n  4    x   x   x

m n m 13) a  a n

15)

=

 2 n  2  4  2 

Solución: Reduciendo el exponente en el primer y segundo corchete:

n

n

= Reemplazando 4

n 16.16 2

n2

n  2 1  4  2

n 2

=

n2

(3n + 2) veces

b    , con a  0 a

a  b

16. 16

A) x3 B) x 4 C)

b

14)

16 16 n

 x.x.x...x   x.x.x...x   1  E    x3n 4  4  x.x.x...x   x  

(a. b)n = an.bn n an a 10)    , con b  0 n b b

D

n

(4n + 5) veces

b    , con a  0 a

n

n 2

Solución: Transponiendo se tiene: 9 5x – 2 = 90 – 81  9 5x – 2 = 91 Por igualdad de bases: 3  x= 3 5x – 2 = 1  x = 5 5 3. Hallar el valor de:

9)

a 11)  

n2

A) 2

n

n

n

= 4 4 2. Hallar el valor de “x” sabiendo que: 9 5x – 2 + 9 2 = 90

a .a =a am  a m  n , con a  0 n a a 0 = 1, con a  0 1 a– n = , con a  0 an (a. b)n = an.bn

a   b

4 n 1

A) 2 B) 4 C) 2 D) 3 E) 16 Solución: Efectuando operaciones en el denominador:

E

m+n

an a  7)   , con b  0 b bn 8)

CPU – UNSM -T

.n ..

m

n

x

p ( mn 1) m1

nx n

para n

5

2. Hallar: J A) 0

=

(a5 b) c ∶ (a2 b3 ) c2 ba5 ∶ (bc7 )

B) 2

n

EJERCICIOS RESUELTOS

3. Reducir:

C=

C) 4 22

−1

−22

9

6

, si a√b = D) 6

√2 √c

3

E) 8

−2

4

√2−1 pág. 12

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

4

A) √2

8

B) √2

C √2

1

,B=( )

2

J=

2

D) 50

C) 4

B) 𝑏 2

C) b

D) 2

ab

E) 4

4 27 √

√

43 √

(

)

A) 1/2

B) 1/4

1 1 J = [( ) ( ) 2 4

−2

1 ) +( 125

1 − 3

1 1 −2 − 4

1 +( ) ] 81

]

C) 1

D) 2

4

E) 1/3

5

4

14. Sabiendo que : a = 23 , b = 34 , c = 43 , 33

11

6. Efectuar:

3√3

−6−1

33

[

E) 5

5. Si ab = bb = 2, Hallar el valor de J = bab A) 𝑏 4

√

A2 B

B) 1/2

−33

√3 3 √3 √3

1 −(2) 1 −(2)

4. Si A = ( )

A) 2

E) 1

1

1 (2) 1 (2)

Hallar: J =

D) 2

CPU – UNSM -T

44

c2 a5

d b3

d = 92 ; Calcular:

J= √

. √

A) 81/4

C) 27

D) 1 E) 81/8

B) 8/81

15. Encontrar el valor de: 4

A) 0,5

B) 0,25

C) 0,4

D) 4

J=

7. Simplificar:

J={

1 −1 −1 1 −1 1 −2 1 −2 1 −( ) [( ) +( ) +( ) ] ( ) 3 2 3 2 3 1 −1 1 −( ) 1 −1 (2−1+3−1+6−1 )−1 ( ) 2 +( ) 2 5

A) 25

√10 + √42 – √42 − √42⋯

E) 16

B) 5

C) 4

}

J=

A) 3,5

B) 2,5

D) 16

C) 1/3

√2 + √30 + √30 + √30⋯

A)1

E) 1/5

B) 2

16. Si se tiene C

x−5

√

A) 20

7x – 5 + 3x − 5

B) 7

C) 3

√𝑐 4 −𝑐 2 +√𝑐 4 −𝑐 2 +√𝑐 4 −𝑐 2 +⋯ √𝑐 4 +𝑐 2 +√𝑐 4 +𝑐 2 +√𝑐 4 +𝑐 2 +⋯

A) 1/5

, si 𝑥 ≠ 5

75 – x + 35 − x

E) 5

√90 + √90 + √90 +⋯

=

𝐽=

9. Reducir la siguiente expresión:

J=

D) 4

Calcular el valor de: E) √2

D) 4,5

C) 3

√20 + √20 + √20 +⋯

2n + 1 4−2n + 1 + 8−n + 2 16(2n ) −3

8. Reducir:

3

−2

B) 2/5 1

D) 21

E) 4

17. Si x x3 =

3

√9 3

C) 3/5

D) 4/5

, Hallar: “x”

B)3 – 1 C) 3 – 2 D)3 – 3

A)3

E)1

E) 3 – 9

10. Calcular el valor de la siguiente expresión 𝑥−1

√

𝐶= A) 72

2+n2

41 − 𝑥 +61 − 𝑥 +81 − 𝑥

B) 24 n

C) 190

nn

D) 192

E) 12

a−n

B) ab

+ b−n

+ c−n

C) ac

⏞ 3 4 3 4 3 √ √x √ √x ⋯ √ 4√x

D) bc

E) a

[ A) n

√x3 √x4 5√x6 B) 1/n

2 n

[

3n+4 √x 2n n5

x √x

B) 6

C) 9

D) 27

E) 36

J=[

1 (5x)+1 +1 n 1−n (5x) +1 (5x)(5x)

]

5nx

,

5𝑥

]

A) n

C) n2

B) 1/n

20. Efectuar: J = 8−27 D) 0

= 27

Si 5𝑥 = √𝑛 , 𝑛 ≠ 0, 𝑥 ≠ 0

]

C) n2

3 mm + m 3

19. Resolver:

12. Indique el exponente final de “x” en: 3n+24

= 4, mm

Dar el valor de J = m6 n4 A) 3

an bn + an cn +bn cn

11. Calcular: J = √ A) abc

18. Sabiendo que:

3𝑥 − 1+4 𝑥 − 1 +6𝑥 − 1

E) – n

A) 0,5

B) 2

−9−4

D) 5n

E)1

−0,5

C) 0,25

D) 0,75

E) 2,5

13. Reducir: pág. 13

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

21. Resolver: C = 4−9

−2−1

2. 3

3

B) √4

A) 1

−8−9

22. Simplificar: J

C) √2

D)

x

2x

√b3x − y

=

√2 2

3

E) 2 √2

√bx + 4y

3x

√bx + 3y

6𝑥

6𝑥

6

A) √15𝑏 𝑥 + 𝑦

C) 𝑏 √𝑏𝑥 + 3𝑦

B) 𝑏 √𝑏

6

D) 𝑏 3 √𝑏

3.

E)𝑏

23. Si −x1−x = x −x − 1 𝑥𝑥

𝑥 𝑥 Hallar: 𝐽 = √𝑥 √𝑥 . √𝑥 −1 + 1

B)x2

A) x

D) x – 1

C) x3

E) x – 2

24. Si se tiene: x x−2 = 1 − x −1 simplifique:

J=

x x √x

A) x – 2

x

√x xx − 1 B) x – 1

4. C) x

D)1

E) x2

25. Simplificar la expresión: x−x

−1

J = {[

xx

0 2 −x

√x x/2]

A) x - 2x B) x – x

−1

} C) x2x

5. D) 1 E) x x

SEMANA Nº 02 GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

6. 7.

GRADO: El grado de una expresión algebraica racional entera, es una característica relacionada con los exponentes de sus variables, además es un número entero positivo, permite de antemano determinar el número de soluciones de la ecuación algebraica. CLASESDE GRADO: Toda expresión algebraica racional entera tiene dos tipos de grado. G. RELATIVO

CLASES DE GRADOS

1. G. ABSOLUTO

1.

GRADO RELATIVO: Es el exponente de la variable indicada, se toma en relación a una sola variable de la expresión algebraica (Monomio o Polinomio). 2. GRADO ABSOLUTO: Llamado también grado, se toma en consideración a todas las variables de la expresión algebraica. (Monomio o Polinomio). POLINOMIOS ESPECIALES: Son aquellos que tienen ciertas características y que es necesario conocerlos, los más importantes son: 1. POLINOMIO HOMOGÉNEO: Cada término tiene el mismo grado absoluto. Ejemplo:

2.

CPU – UNSM -T

P(x, y) = 5x5 – 3x2y3 + 7x3y2 – xy4 – 8y5 POLINOMIO COMPLETO: Cuando la variable referida presenta todos los exponentes consecutivamente desde la potencia máxima hasta cero. Ejemplo: P(x) = 5x + 27 – 3x3 + 8x4 – 7x2 – 12x5 POLINOMIO ORDENADO: Cuando los exponentes de la variable referida están aumentando o disminuyendo; Es decir, puede estar ordenado en forma creciente o decreciente. Ejemplos: P(x) = 2 + 5x3 – x5 + 7x12, El polinomio está ordenado en forma creciente. P(x) = 5x15 – 8x11 + 3x7 – 2x3 + 15, El polinomio está ordenado en forma decreciente. POLINOMIOS IDÉNTICOS: Cuando los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. P(x) = An x n + An−1 x n−1 + ⋯ + A1 x + A0 Si { Q(x) = Bn x n + Bn−1 x n−1 + ⋯ + B1 x + B0 Son polinomios idénticos si y sólo si: An = Bn , An−1 = Bn−1 , … , A1 = B1 , A0 = B0 POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Cuando los coeficientes de todos sus términos son nulos. P(x) = An x n + An−1 x n−1 + ⋯ + A1 x + A0 , entonces: An = An−1 = … = A1 = A0 = 0 POLINOMIO CONSTANTE: P(x) = K; K IR – {0}, su grado siempre es cero. POLINOMIO MÓNICO: Aquel que tiene una sola variable, su coeficiente principal es uno. VALOR NUMÉRICO DE POLINOMIOS: Es el resultado que se obtiene al reemplazar en la Expresión algebraica cada letra por un valor particular y efectuar operaciones. Ejemplo: Si P(x, y) = x3 + y3 + 2(x2y + xy2) + 2xy2 Calcular su valor numérico, si x = 1 e y =2, Reemplazando se tiene: P (1, 2) = 13 + 23 + 2[(11) (2) + (1) (22)] + 2(1) (22) = 1 + 8 + 2(2 + 4) + 8 = 29 EJERCICIOS DESARROLLADOS Determinar el grado relativo de E = axa + 8+ abxayb – byb + 16 con respecto a y, sabiendo que es homogéneo. A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 Solución: Como E es homogéneo, entonces se cumple: a + 8 = a + b = b + 16, de donde se tiene: 𝑎+8=𝑎+𝑏 𝑎 = 16 { entonces { 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 16 𝑏=8 Luego: E = 16x24 + 128x16y8 – 8y24 Calcular la suma de coeficientes del polinomio: 2 P(x, y) = 2ax n −2 y 4 + 4(a − b)x a y b + (10b − 2 1)x n y 2n−6 Si es homogéneo. A) 8 B) 94 C) 102 D) 107 E) 108 pág. 14

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

3.

Solución: P(x, y) es homogéneo, entonces se cumple: n2 – 2 + 4 = a + b = n2 + 2n – 6, de donde se 2 2 tiene: {𝑛 + 2 = 𝑛 +2 2𝑛 − 6 entonces 𝑎+𝑏 = 𝑛 +2 𝑛=4 { Luego: 𝑎 + 𝑏 = 18 ∑ 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 2𝑎 + 4(𝑎 − 𝑏) + 10𝑏 − 1 = 6(a + b) – 1 = 6(18) – 1 = 107 Hallar “a + b” si se cumple la identidad: 27 + 8x  a(x + 4) + b (2x + 3) A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 Solución: 27 + 8x  ax + 4a + 2bx + 3b 27 + 8x = (4a + 3b) + (a + 2b) x, identificando coeficiente se tiene: 4𝑎 + 3𝑏 = 27 𝑎=6 { De donde { 𝑎 + 2𝑏 = 8 𝑏=1 Luego: a + b = 7 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dado P( x ) 

x2  4  2  x , calcule x2

el valor de P (10) + P (20). A) 0 B)1 C) 2 D) 5

E) 3

7 x n  2 . x 3n 2. Hallar “n” si P(x) = 3 es de 4 n 1

x

segundo grado: A) 3 B) 5

C) 7

D) 9

E) 11

3. Si el polinomio P(x,y) = 4xa – 2 yb – 5 + 5x3y4 + 6xm – 1 yp – 4 , tiene un solo sub término. Hallar: (m + p) – (a + b) A) – 2 B) 1 C) 2 D) 4 E) 6 4. Si el polinomio Q(x, y) = xm – 1y5+ x2yn – 1 Se reduce a un solo término, hallar: “m + n” A) 3 B) – 5 C) 8 D) 12 E) 9 5. Hallar el grado relativo de “y”, si el grado relativo a “z” es 34 en: x 5a 1y 2a  2 z3a  3 M= x 3 a y a 5 z 4  2a A) 11 B) 14 C) 16 D) 19 E) 21

6. Si:

 x 2 n 3 ( x n 2 )3  F ( x)  x 2 n 3

2

,

se

CPU – UNSM -T

P( x, y, z )  (m  n) x m  n

(m 2  n 2 ) y n  (m  n) z m m

A) 8

B) 10

C) 12

D) 15

mn

E) 19

8. Hallar “a + b” en la siguiente identidad: 27 + 8x  a(x + 4) + b(2x + 3) a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12 9. Hallar: “a + b + c + d” si el polinomio: P(x) = 9xc+d – 1 + 6xb – c +1+ 8xa+b – 4+7xa – 3 Es completo y ordenado en forma descendente. A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13 10. Hallar (a + b + c) si se cumple: 4x2 – 14x – 48  a(x +1) (x + 2) + b(x + 2) (x + 3) + c(x + 1) (x + 3) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5

11. Calcular (a + b + c), sabiendo que:

4x 2 c  ax  b  x2 x2

se

cualquier valor de “x” A) 4 B) 6 C) 8

cumple

D) 10

para

E) 12

12. Calcular “a” y “b”, para que el polinomio

P( x)  (2  a) x ab  3x 2  5  2 xa Sea completo e indicar: A) – 1

B) 0

a2  b

C) 2

D) 5

E) 3

13. Si el polinomio:

P( x, y)  (a2  1) xa

2 2 a

y  (a  1) x2a1 y a

2 1

Es homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes. A) 16

B) 13

C) 11

D) 4 E) 22

14. Si el polinomio cuadrático: m

n 5 P( x)  x 3  ( P  13) x  2 P  5 4 Tiene como coeficiente principal a 17, mientras que el término independiente es el triple del coeficiente del término lineal, hallar el valor de E = m + n + p A) 81

B) 12

C) 201

D) 123 E) 80

reduce a un monomio de 3er. grado, calcular el valor de “n” A) 5 B) 3 C) 7 D) 1 E) – 2

15. Determinar el grado del polinomio P(x)

7. Hallar la suma de los coeficientes del trinomio homogéneo:

[P(x)]

2

sabiendo que el grado de [ P( x)] es igual a 21, además el grado de 4 [Q(x)] 2 es igual a 22. A) 2 B) 5 C) 3 D) 7

[Q( x)]3 E) 1

16. ¿Cuánto hay que agregar al polinomio: pág. 15

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

Q( x, y)  3x 4  5xy3  2 x 2 y 2 Para que sea un polinomio homogéneo P(x, y), completo respecto a “x” y que la suma de sus coeficientes sea 21; además: P (2,1) = 114 A) 3x y  8 y 3

C)

4

9x y  8 y 3

7 x3 y  8 y 4

B) 4

D) 11x

3

 8y

P( x, y)  5x m y n2  32 xn1 y m4 D) 6

E) 7

3 3 3 M = 4ax 4  2 4  2 4 ... A) 2 B) 4 C) 5 D) 7

E) 8

20. Hallar el grado de la siguiente expresión algebraica. M= A) 2

1 1 n

...

B) n

x 2 .x 4 .x 6 ...x 2n

C) 2n

D) 3

E) 1/2

21. Dado el polinomio:

P  2x a 4( xy ) a

b4

b4

4 x d 4 .

SEMANA Nº 03 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Son transformaciones que se hacen con la finalidad de obtener otra expresión algebraica equivalente. Las operaciones son las siguientes: Consideremos las expresiones algebraicas: M(x) y N(x), entonces se tiene: ADICION: M(x) + N(x) = S(x) ⏟ ⏟ SUMANDOS

1 1 1 1 1 1 1 2 3

 3ya

 5 y 4 a

2 ( b4 )

P( x)  x a  b  2x b  c  3x c  d 

E) 9

19. Hallar el grado absoluto de P(x, y) si los grados relativos de “x” e “y” son 5 y 3 respectivamente, siendo: P( x, y )  5x 2m yn 2  xn  3 ym 2 

A) 4

25. Si

Es un polinomio completo y ordenado en forma ascendente, calcular “a + b + c + d” A) 2 B) 4 C) 8 D) 11 E) 14

18. Hallar el grado de la expresión:

x 2m 1y n B) 5 C) 6 D) 7

24. Hallar “m – n” sabiendo que el polinomio:

(20  n)x 2 y Es un polinomio idénticamente nulo. A) 4 B) 6 C) 8 D) – 4 E) 9

4

Es 8; hallar: “m + n” A) 3 B) 4 C) 5

Se verifique que la diferencia entre los grados relativos de “x” e “y” es 5 y además que el menor exponente de “y” es 3. Halle su grado absoluto. A) 11 B) 15 C) 17 D) 29 E) 21 P( x, y)  mx 2 y  (m  4)xy2  nxy2 

4

E) 13x y  8 y 17. Si el grado absoluto del polinomio: 3

CPU – UNSM -T



b 4

Si la suma de los grados absolutos de todos los términos del polinomio es (a6 +2)2, calcular el valor de “b” A) 4 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12 22. Calcular “m + n” para que el polinomio: P  3xm1yn3  7xm 2 yn1 

 11x m  3 y n  2 Sea de grado absoluto 8 y de grado relativo respecto a “y” igual a 5. A) 5 B) 7 C) 8 D) 11 E) 13 23. Si en el polinomio: P  4x m  n  2 y m  3  8xm  n  5 y m  4 

7xmn  6 ym 2

SUMA

SUSTRACCION: M(x) ⏟ − N(x) ⏟ MINUENDO

SUSTRENDO

=

D(x) ⏟ DIFERENCIA

MULTIPLICACION: M(x). N(x) = P(x) ⏟ ⏟ FACTORES

PRODUCTO

PRODUCTOS NOTABLES DEFINICIÓN: Son ciertas multiplicaciones, tienen formas determinadas y cuyo resultado (producto) se puede escribir en forma directa sin necesidad de efectuar la operación. Los principales productos notables son: PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES: 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. (a – b)2 = a2– 2ab + b2 3. (a + b) (a – b) = a2 – b2 4. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) 5. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3= a3 + b3 + 3ab(a + b) 6. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) 7. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc (a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3+ 3(a + b) (a + c) (b + c) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c) (ab + ac + bc) – 3abc 8. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 9. (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 pág. 16

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

10. (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 11. (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 12. (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 13. (a2 + b2)(x2 + y2)= (ax + by)2 + (ay – bx)2 14. (a + b)4 – (a – b)4= 8ab (a2 + b2) IGUALDADES CONDICIONALES Si a + b + c = 0, entonces se verifica que: 15. a2 + b2 + c2 = – 2(ab + bc + ac) 16. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 17. a3 + b3 + c3 = 3abc EJERCICIOS DESARROLLADOS 1. Efectuar: A = (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) (x4– x2 + 1) (x8– x4 + 1)… hasta n factores. n n−1 A) x16 + x8 + 1 B) x 2 + x 2 +1 n n−1 C) x 2 − x 2 +1 D) x16 – x 8 + 1 E) x16 + x8 + 4 Solución: Tomando dos factores: (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 2 1 = x2 + x2 + 1 Tomando tres factores: (x4 + x2 + 1) (x4 – x2+ 1) 3 2 = x8 + x4+ 1 = x 2 + x 2 + 1 Tomando cuatro factores: (x8 + x4+ 1) (x8 – x4 + 1) = x16 + x8 + 1 4 3 = x2 + x2 + 1 Análogamente, de acuerdo a la ley de formación se observada. Tomando n factores: A = (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) (x4– x2 + 1) (x8– x4 + 1)… hasta n factores: n n−1 A = x2 + x2 +1

(4)3 = a3 + b3 + 3(3) (4) → a3 + b3 = 28 También sabemos que: (a + b)2= a2 + 2ab + b2 Reemplazando se tiene: (4)2 = a2 + 2(3) + b2  a2 + b2 = 10 De (2) y (4) se tiene: 𝐸=

𝑎3 + 𝑏3 28 = 𝑎2 +𝑏2 10

Si x + x– 1 = 3, hallar el valor de : E = x6 + x– 6 A) 302 B) 312 C) 318 D) 320 E) 322 Solución: Para obtener las potencias sextas, elevamos al cuadrado y luego el resultado se eleva al cubo: De: x + x– 1 = 3 Elevando al cuadrado se tiene: x2 + 2 + x– 2 = 9 → x2 + x– 2 = 7 Luego elevando al cubo: (x2)3 + 3(x2) (x– 2) (x2 + x– 2) + (x – 2)3 = 73 → x6 + x– 6 + 3( ⏟ 𝑥 2 + 𝑥 −2 ) = 343 → x6 + x– 6 = 322 Si a + b = 4; ab= 3, entonces el valor de 𝑎3 + 𝑏3 es: 𝑎2 +𝑏2 14 3 B) 5 7

… (3) … (4)

14

= 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Efectuar: M = 256 +7(32 + 2)(34 + 4)(38+ 16) A) 38 B) 39 C) 316 D) 312 E) 163 2. Si x ≠ ±1 , el producto de: J = [

2

(x−1)2 (x2+x+1)

(x+1)(x2 −x+1)

(x3 +1)2 𝑥+1

x3 −1 𝑥−1

A)

][

B)

𝑥−1 3

] es: C) 𝑥 3 − 1

𝑥+1 𝑥 3 −1

D) 𝑥 + 1 E) 𝑥+1 3. Al simplificar: J = (x 2 y −2 − x −2 y 2 )(x −4 − y −4 )−1 , se obtiene: A) 𝑥𝑦 B) −𝑥𝑦 C) −𝑥 2 𝑦 2 2 2 2 2 D) 𝑥 𝑦 E) 𝑥 − 𝑦 4. Para que el cociente:

x5n+3 − y5(n+6) xn−1 − yn+2

notable, el valor de “𝑛” debe ser: A) 6 B) 3 C) 2 D) 4 5. Calcular el resto de dividir:

sea E) 5

𝑥 32 (𝑥+4)32+(𝑥+2)4 𝑥 2 +4𝑥−1

A) 32

B) 20

C) 17

D) 26

E) 12

la división de P(x) = x3 – 2x2 + nx – 20, entre (x – 1) exceda en 10 unidades al residuo de la división de P(x) entre (x – 3). A) –10 B) –12 C) 10 D) 14 E) 5

7. Hallar el resto evaluado en x = 5 , de la 367 x 2 2 x  x 1

división: A) 3 B) 2 8. Si ab = 1;

7

A) C) 5 D) E) 9 4 Solución: Las expresiones a3 + b3 y a2 + b2 lo calculamos a partir de la condición: a + b = 4, ab = 3 … (1) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Reemplazando se tiene:

D) 4

E) 5

a  b  IR. Calcular: b2 + 1

A) b a

𝐸=

C) 1

a2 + 1

P = a. √ a2 + 1 + b. √b2 + 1

7

3.

… (2)

6. Encontrar el valor de n para que el residuo de

x 2n + x 2n − 1 + 1 2.

CPU – UNSM -T

9. Si b + A) 6

B) 2 4b a

1

C) 2(a + b)

1

D) b 3

E) a

a + 6b

= 4. Calcular: S = √3b − a

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

10. Si 𝑎 + 𝑏 = 5 ; 𝑎2 + 𝑏2 = 17 , entonces hallar: 𝐽 = 𝑎 − 𝑏 , donde 𝑎 > 𝑏 A) 10 B)9 C)8 D)4 E)3 11. Al simplificar : pág. 17

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

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(𝑥 2 − 𝑥 + 2)3 − (𝑥 2 + 𝑥 − 2)3 + 2(𝑥 − 2)3 = 𝐽(𝑥 − 2) 𝐽 es igual a: 4 A)𝑥 + 4 B)−6𝑥 2 C)−6𝑥 4 D)6𝑥 4 E)−𝑥 4 8x4 +Ax3 +Bx2 +Cx+D 2x2 −x+1

12. Al dividir:

se obtiene un cociente cuyos coeficientes disminuyen de uno en uno a partir del primero y deja como resto 5x + 1. El valor de: J=

√A + B + C + D A) 2 B) 3 C)4

D) 5

E) 6

13. Suponiendo que: 2x = a + b + c. Hallar “M” tal que:  x2 + M = (x – a)2 + (x – b)2 + (x – c)2 A) abc B) 2(a + b + c) C) a + b + c D) a2 + b2 + c2 E) 2(a + b + c) a+b 2 ( ) 2

a−b 2 ( ) 2

14. Reducir: E = − A) ab B) a – b C) a + b D) 1 E) 2(a + b) 2

4

8

15. Efectuar: 1 +3(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) A) 28 B) 29 C) 232 D) 412 E) 164 16. Al efectuar: 𝐽 = (𝑥 + 3)2 (𝑥 2 + 6𝑥 − 9) − (𝑥 − 3)2 (𝑥 2 − 6𝑥 − 9) El resultado es: A)72𝑥 2 B)24𝑥 3 C)2𝑥 4 D)16𝑥 E)−2𝑥 4 17. Hallar el valor de: 1 𝐽 = 𝑥3 + 3 𝑥 1 Sabiendo que: √𝑥 + 𝑥 = √7 √ A)116 B)110 C)113 D)120 E)115 1

18. si 𝑥 + 𝑥 = 2

1 1 1 + 2+ 3 𝑥 𝑥 𝑥 D)10 E) 8

𝐽 = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 + A)9

B)6

C)7

19. ¿Cuál es el valor de: 𝐽=

𝑥 2 +𝑦 2

Si 𝑥 −1 + 𝑦 A) 0

B) 1

𝑥𝑦 −1

+

𝑥+2𝑦

4

2𝑥

+

2𝑦 𝑥+3𝑦

= 𝑥+𝑦 ? C) 2

D) 4

E) 5

20. Uno de los términos que se obtiene al efectuar la expresión : 2 2 2 2 P  a  2 .a  1 .a  2 .a  1 , es: A) 16a4 B) 33a4 C) a6 D) 22a4 E) a2 – 1 21. Si a4n + a– 4n = 34, entonces el valor de an – a – n es: A) –2 B) 4 C) –4 D) 2 E) 3 2 6 6 22. Sabiendo que: (xy) = b; x – y = a3 + 3ab. Calcular: x2 – y2

CPU – UNSM -T

A) 1 B) 2a C) a D) 3ab E) ab 23. Hallar el valor numérico de P(a,b), para a – b = - 2, si se sabe que: P(a,b) = 7a – 3b + 3b(a – 2b) + 6 (b2 - b) – a(3b - 2) A) -15 B) -13 C) 11 D) 15 E) -18 24. Hallar el valor numérico de E para

x 32 3

, si: E = (x + 5 )3 – (x – 5)3 –

30x2. A) 125 B) 250 C) 180 D) 215 E) 300 25. Hallar el valor numérico de M para:

x  2 3

y  2 3 , si: 2 2 M = (x + 2y) – (2y – x) . A) 8 B) – 8 C) 16 D) – 16 E) 32 SEMANA N° 04 DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS DEFINICIÓN: Es una operación algebraica, consiste en hallar dos expresiones llamadas cociente “Q(x)” y residuo o resto “R(x)”, a partir de dos polinomios llamados dividendo “D(x)” y divisor “d(x)”. D(x) NOTACIÓN: ó D(x) d(x) ; d(x)  0. d(x)

También se puede denotar por: D(x) = d(x).Q(x) + R(x) NOTA: Si un polinomio P(x) es divisible por x – a, entonces se dice que x – a es un factor de P(x). PROPIEDADES: El dividendo y el divisor deben ser polinomios racionales y enteros. El dividendo y el divisor deben ser polinomios completos y ordenados en forma decreciente con respecto a la misma letra ordenatriz. [Q(x)] o = [D(x)] o – [d(x)] o Grado Máximo del: [R(x)] o = [d(x)] o – 1 Si un polinomio P(x) se anula para “x – a”; es decir, P(a) = 0, entonces dicho polinomio es divisible por (x – a). Si un polinomio P(x) es divisible separadamente por: x + a, x + b, x + c, entonces P(x) también es divisible por el producto (x + a) (x + b) (x + c). MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS: Para dividir polinomios enteros de cualquier grado se pueden utilizar cualquiera de los siguientes métodos: Método Clásico (Tradicional). Método de los coeficientes separados. Método sintético de Horner. Método de Ruffini. MÉTODO DE HORNER: Este método nos permite efectuar la división sintética entre dos Polinomios completos y ordenados, para ello solamente se consideran coeficientes. Su esquema clásico es el siguiente:

pág. 18

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CPU – UNSM -T

: d

D I V I D E

N

Cambiar signo

i v

20x4 + 6ax3 − 3bx2 − 17cx + 9d 5x2 − 7x + 2

D O

+

Da un cociente cuyos coeficientes van aumentando de 4 en 4 y deja un resto igual a 34x + 3, hallar el valor de: E = (a + b) – (c + d). A) –9 B) – 8 C) – 7 D) 3 E) 5 Solución: Dividiendo por Horner: 5 20 6a – 3b – 17c 9d 7 28 –8 –2 56 – 16 84 – 24 4 8 12 (– 17c + 68)(9d –24)

+

X

i

s o

RESIDUO

C O C I E N TE

NOTA: Si a un polinomio P(x) le faltan términos, estos se completan con ceros.

El cociente es: 4x2 + 8x + 12 El resto es: (– 17c + 68) x + (9d – 24) = 34x −17c + 68 = 34 → c = 2 +3 →{ 9d − 24 = 3 → d = 3 6a + 28 Luego: =8 →a=2 y

TEOREMA DEL RESTO: P(x) En de la forma: con a ≠ 0, donde P(x) es ax + b un polinomio entero de cualquier grado, El resto es un valor numérico una división que se obtiene b mediante: R(x) = P(− )

5 − 3b – 8 + 56 5

a

COCIENTES NOTABLES DEFICICIÓN: Son divisiones indicadas de dos expresiones binómicas o de expresiones que pueden adoptar la forma y cuyo cociente se puede escribir por simple inspección, sin necesidad de efectuar la operación, cuya forma general es la siguiente:

xn ± yn x±y

FORMAS DE COCIENTES NOTABLES: FÓRMULA PARA CALCULAR UN TÉRMINO CUALQUIERA DE UN COCIENTE NOTABLE Si

xn − yn x−y

es un cociente notable, entonces un

término cualquiera del cociente notable se calcula con la siguiente fórmula: t K = (Signo)x n−k y k−1 Donde: tk: Lugar que ocupa el término. x: Primera base del C.N. y: Segunda base del C.N. n: Exponente del C.N. CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS DE UN COCIENTE NOTABLE Si

xm − yp xn − yq

es un cociente notable, entonces el

número de términos se calcula mediante la m p siguiente fórmula: = = r; r IN n

1.

2.

q

EJERCICIOS DESARROLLADOS Hallar “n”, si el polinomio: x3 – nx2+nx – 1, es divisible entre:x2 – x + 1. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución: Usando el método de Horner: 1 1 –n n –1 1 1 –1 –1 (1 – n) (n – 1) 1 1 – n) 0 (n – 2) Como R = 0, entonces: (n – 2) = 0 n=2 Si la división:

3.

= 12 → b = − 4 Finalmente: E = (a + b) – (c + d) → E = (2 – 4) – (2 + 3) = – 7 Hallar E = m + n, si la siguiente división es xm (x−a)3m− 256(3a−x)2n

exacta: x − 2a A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 Solución: Dato: La división es exacta, el resto es cero. Entonces por el Teorema del resto se tiene: x – 2a = 0 → x = 2a, reemplazando: COCIENTE RESTO O DIVISIÓN NOTABLE RESIDUO xn − yn x − y xn

yn

− x + y

x n−1 + x n−2 y + x n−3 y 2 + … + y n−1

R = 0, ∀ n ∈ IN

x n−1 − x n−2 y + x n−3 y 2 − ⋯ − y n−1 x n−1 − x n−2 y + x n−3 y 2 − ⋯ + y n−1

R = 0, Si n es par R= – 2yn, Si n es impar

R = 0, Si n x n−1 − x n−2 y + es impar x n−3 y 2 − ⋯ + y n−1 R = 2yn , Si x n−1 − x n−2 y n es par + x n−3 y 2 − ⋯ − y n−1 xn + yn x n−1 + x n−2 y + R = 2yn , ∀ n−3 2 n−1 n ∈ IN x y + …+y x − y m 3m R = (2a) (2a – a) – 256 (3a – 2a) 2n Como el resto es cero. → 0 = 2m a ma3m – 2 8 a 2n → 2m a4m = 2 8 a 2n Comparando: m = 8, además 4m = 2n → 4(8) = 2n → n = 16. Luego: E = m + n = 8 + 16 = 24 xn + yn x + y

1.

EJERCICIOS PROPUESTOS Hallar el cociente de la siguiente división algebraica: 4x 5 − 12x 4 + 13x 3 + 12x 2 − x + 1 2x 2 − 3x + 1 3 A) 2𝑥 + 3𝑥 2 − 𝑥 − 9 B) 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 8𝑥 − 5 pág. 19

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C) 𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥 − 11 D) 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 8𝑥 + 8 E) 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 + 9 2.

3.

4. a

11. Hallar el número de términos de la siguiente división notable: 2 29−7n n −1

(xn

Hallar la suma de coeficientes del cociente de dividir: 4x 5 + 13x 3 + 1 + 12x 4 − x + 12x 2 2x 2 + 1 − 3x A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 Hallar el resto de dividir: 𝑥 7 + 3𝑥 5 + 𝑥 2 + 1 𝑥+2 A) 219 B) 200 C) 119

0

b

a

c

b

c

a

2c

b–1 2c

b+c

b–c

c

b+c

b c

7

Hallar J = a + b + c A) 8 B) 7 C) 9 5.

D)  219 E) 295

A partir del siguiente esquema de Horner: a(b + c)

3

c 2 D) 5

8.

9.

2c 6 E) 11

Sea Q(x) el cociente de efectuar: Calcular: Q(1) C) 1 D) 2𝑛 − 2 Hallar el resto de:

E) 2𝑛 + 1

2n  1x 4n  5n  3x 2n  n  5x 2n5  3n  4x19  n  3 : x  1

A) 4 7.

2b

a

xn +nxn−1 −n−1 x−1 A) 𝑛 B) 𝑛2

6.

B) – 1

C) 2

D) – 4

E) – 3

Hallar el residuo de la división de P(x) entre (x – 4) sabiendo que el término independiente del cociente es ( 500) y que el residuo de la división de P(x) entre 80x tiene por residuo a 1992 A) 8 B) – 8 C) 6 D) – 6 E) 5 Luego de efectuar una división de dos polinomios en “x”, el producto de la suma de los coeficientes del divisor y cociente es 15. La diferencia de cuadrados de la suma de los coeficientes del dividendo y el resto es 180 ¿Cuánto suman los coeficientes del dividendo y residuo? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 4 3 2 Al dividir P(x) = x + Ax + Bx + 12x − 3 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo por cociente (x 2 − 100) y como residuo −188𝑥 + 197. Hallar: J = A + B A) 200

B) 400

C) 10

D) 300

E) 100

,

x ∈ ℝ − {1}.

Hallar: J = a − b A) 6 B) 7 C) 8

)

n2 −1

− (y29−7n )n

27−1

A) 60

; 𝑥 ∈ ℝ − {𝑥 = 𝑦}

81−1

√x27 −

√y9

B) 27

C) 72

D) 88

E) 50

12. ¿Cuál de las siguientes divisiones es exacta?

I) (2𝑥 5 − 10𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1): (𝑥 + 1/2) II) (2𝑥 4 + 17𝑥 3 − 68𝑥 − 32): (𝑥 + 1/2) III)(2𝑥 3 + 8𝑥 2 + 14𝑥 − 8): (𝑥 − 2) (3𝑥 3 + 8𝑥 2 + 33𝑥 − 54): (𝑥 − 1) IV) A) Solo I D) II y III

B) Solo II E) II y IV

C) Solo III

13. Hallar J = m. n sabiendo que el polinomio: P(x) = nx 5 + mx 4 + 16x 3 − 9x 2 + x + 10, es divisible por (x − 1)(3x + 2) A) 81 B) 80 C) 79 D) 78 E) 77 14. Calcular: J = m + n sabiendo que la siguiente división es exacta: x 7 + mx 3 + nx 2 + 12 (x − 1)2 A) – 15 B) – 11 C) – 14 D) – 16 E) – 13 15. Determinar “a” y “b” si el polinomio: ax 8 + bx 7 + 1, es divisible por (x − 1)2 A) 7 y  8 B) 7 y 5 C) 8 y 7 D) 10 y  3 E) 5 y 6 16. Hallar el resto de la división: (x − 3)8 + (x − 4)5 + 6 (x − 3)(x − 4) A) 3x + 2 B) 2x − 1 C) 5x − 2 D) x + 2 E) 2 − x x75 +a50

17. Si el cociente notable es:

x3 +a2

Calcular el término diecinueve A) x16 a36 B) x 36 a18 C) x 8 a36 18 36 18 6 D) x a E) x a 18. Hallar el vigésimo 4

a4 +b4

cociente:

octavo

término

del

4

a4 +b4

A) a144 b108 D) −a144 b108

B) a44 b108 E) a14 b10

C) a144

19. Hallar el número de términos del siguiente producto: (x n+1 + x n + ⋯ x 2 + x) (x n−1 − x n−2 + ⋯ + 1 x

x−1+ ) A) n

, si “n” es par:

B) n + 1

C) 2n

D) 3n

E) n + 5

20. Simplificar: 1 x x2 xn x n+1 J = + 2 + 3 + ⋯ + n+1 + n+1 a a a a a (a − x)

10. La siguiente división: ax5 +bx4 +1 (x−1)2

CPU – UNSM -T

D) 9

E) 10

A)

1 a + x

B)

1 a−x

C) x

D) a

E) a + x pág. 20

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21. El cociente notable que dio origen a:

𝑥 32 + 𝑥 30 + 𝑥 28 + ⋯ + 𝑥 4 + 𝑥 2 + 1, es: A)

𝑥 34 −1 𝑥−1

B)

𝑥 32 −1 𝑥−1

D)

𝑥 34 −1 𝑥+1

E)

𝑥 34 −1 𝑥 2 +1

C)

𝑥 34 −1 𝑥 2 −1

22. Simplificar la expresión:

C=

x 78 + x 76 + x 74 + ⋯ + x 4 + x 2 + 1 x 38 + x 36 + x 34 + ⋯ + x 4 + x 2 + 1

A) x 40 − 1 D) x 40 + 1

B) x 38 − 1 E) x19 − 1

C) x19 + 1

23. Hallar: J = m + n, si el término 25 en el desarrollo del cociente notable x129m −a86n x3m −a2n

A) 9

, es

x 270 a288

B) 10

24. Si el cociente:

C) 11

D) 12

x6n + 3 +a6n − 22 x

(

n−6 n−8 2 ) +a( 2 )

Calcular el número de términos A) 25 B) 12 C) 15 D) 35

E) 13 es notable. E) 40

25. En el desarrollo del cociente notable: x245 − ym xp − y2

, el término central es xq y24

Hallar: J = m + p + q A) 220 B) 222 C) 221 D) 223 E) 224

SEMANA Nº 05 FACTORIZACION ALGEBRAICA DEFINICIÓN: Es una transformación sucesiva de un expresión algebraica racional entera en otra equivalente expresada en factores primos. Ejemplo: FACTORIZACIÓN ⏞ ⏞ + 5)(𝑥 + 3 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 = (𝑥 MULTIPLICACIÓN

NÚMERO DE FACTORES Y DIVISORES: Consideremos el polinomio en forma factorizada: P = xα yβ z, donde: x, y, z son los factores primos, Es decir se tiene 3 factores primos. Ejemplo: Consideremos la expresión algebraica factorizada P(x, y) = y2(x + y), donde sus factores primos son: (y), (x + y); y el número total de divisores son: (y), (y2), (x + y), [y(x + y)], [y2(x + y)], (1), por lo que el número total de divisores está dado por: El número total de divisores: ( + 1) ( + 1) = (2 + 1) (1 + 1) = 6. El número total de factores es:  +  +  CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN: Son técnicas a utilizar, según la forma que presente la expresión algebraica. Algunas de estas son: 1. CRITERIO DEL FACTOR COMÚN: 1.1. FACTOR COMÚN MONOMIO: Ejemplo: Factorizar: P(x, y, z) = 4x4y2z – 2x3y5z2 + 18xy4z2

CPU – UNSM -T

Solución: El factor común es: 2xy2z, Luego se tiene: P(x, y, z) = 2xy2z (2x3 – x2y3z + 9y2z) 1.2. FACTOR COMÚN POLINOMIO: Ejemplo: Factorizar o descomponer en factores: P(x, y) = (x + 2) (x – 3) + 3y(x – 3) Solución: El factor común es: x – 3, Luego se tiene: P(x, y) = (x – 3) [x + 2 + 3y] → P(x, y) = (x – 3) (x + 3y + 2) 1.3. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: Se aplica cuando la expresión tiene cuatro o más términos, consiste en formar grupos de 2 ó 3 términos, de tal manera que todos los grupos tengan un factor común. Ejemplo: Factorizar: P(x) = x3 + x2 + x + 1 Solución: Agrupando: P(x) = (x3 + x2) + (x + 1) P(x) = x2(x+ 1) + (x + 1) Factor común: P(x) = (x + 1) (x2 + 1) 2. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES: Este método está basado en algunas identidades algebraicas o productos notables, se considera los siguientes casos: 2.1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO x2m  2xmyn + y2n= (xm  yn)2 Ejemplo: 9x2 + 12xy + 4y2 es un trinomio cuadrado perfecto, pues el cuadrado del binomio (3x + 2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2 2.2. DIFERENCIA DE CUADRADOS: x2m – y2n = (xm + yn) (xm – yn) Ejemplo: Factorizar E = x6 – x 4 + 2x2 – 1 Solución: Agrupando términos: E = x6– (x 4 – 2x2 + 1) E = (x3)2– (x 2 – 1)2 por diferencia de cuadrados se tiene: E = [x3 +(x 2 – 1)] [x3 – (x 2 – 1)] E = (x3 + x 2 – 1) (x3 – x 2 + 1) 2.3. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS: x3m + y3n = (xm + yn) (x2m – xmyn + y2n) ó x3m – y3n = (xm – yn) (x2m + xmyn + y2n) Ejemplo: Factorizar o descomponer en sus factores la expresión: E = (2x – 1)3 + (x – 2)3 Solución: E = (2x – 1)3 + (x – 2)3 E = [(2x – 1) + (x – 2)] [(2x – 1)2 – (2x – 1) (x – 2) + (x – 2)2] E = (2x – 1 + x – 2) (4x2 – 4x + 1 – 2x2 + 5x –2 + x2–4x + 4) E = (3x – 3) (3x2 – 3x + 3) E = 9(x – 1) (x2 – x + 1) Ejemplo: Factorizar o descomponer en sus factores: E = (3x – 2)3 – 125x3 pág. 21

ALGEBRA

3.

4.

5.

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Solución: E = (3x – 2)3 – 125x3 E = (3x – 2)3 – (5x)3 E = (3x – 2 – 5x) [(3x – 2)2 + 5x (3x – 2) + (5x)2] E = (– 2 – 2x) (9x2– 12x + 4 + 15x2 – 10x + 25x2] ç E = – 2(x + 1) (49x2– 22x + 4) E = – 2(x + 1) (49x2– 22x + 4) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Lo ilustramos mediante un ejemplo. Ejemplo: Factorizar E = x4 + x2y2+ y4 Solución: La expresión no es trinomio cuadrado perfecto, entonces: x 4 es x 2 La raíz cuadrada de: { 4 y el doble y es y 2 producto de las raíces es 2x2y2, para que el trinomio sea cuadrado perfecto debemos sumar y restar x2y2, entonces se tiene: E = x4 + 2x2y2 + y4 – x2y2 E = (x2 + y2)2 – (xy)2 Factorizando la diferencia de cuadrados se tiene: E = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 – xy), ordenando E = (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) CRITERIO DE UNA SUMA DE DOS CUADRADOS: En general una suma de dos cuadrados no se puede descomponer en factores racionales, pero si se suma y resta una misma cantidad, se puede llevar al caso anterior y factorizarse. Ejemplo: Factorizar E = 64x4 + y4 Solución: 64x 4 es 8x 2 La raíz cuadrada de: { 4 para que y es y 2 la expresión dada sea un trinomio cuadrado perfecto es necesario sumar y restar el término: 2(8x2) (y2) = 16x2y2 entonces se tendrá: E = 64x4 + 16x2y2+ y4 – 16 x2y2 E = (8x2 + y2)2– (4xy)2 Por diferencia de cuadrados se tiene: E = (8x2 + y2 + 4xy) (8x2 + y2 – 4xy), ordenando E = (8x2 + 4xy + y2) (8x2 – 4xy + y2) CRITERIO DEL ASPA: Se presentan los siguientes casos: 5.1. ASPA SIMPLE: Se utiliza para factorizar trinomios de la forma: P(x) = ax2n + bxn + c ó P(x) = ax2n + bxnym + cy2m Ejemplo: Factorizar: E = x2 – 7x + 10 Solución: Descomponemos los términos fijos en sus factores y luego sumamos los productos en aspa x2 – 7x + 10 x –5 – 5x x –2 – 2x La suma de los productos en aspa es igual al término central = – 7x

CPU – UNSM -T

La expresión factorizada es: E = x2 – 7x + 10 = (x – 5) (x – 2) 5.2. ASPA DOBLE: Se utiliza para factorizar polinomios de seis términos de la forma: ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f consiste en descomponer los términos en x2, y2 y el término independiente, los demás términos se reproducen sumando los productos en aspa, los factores se forman como en el caso anterior. Ejemplo: Factorizar: E = 8x2– 6xy – 9y2 + 10x + 21y – 12 Solución: Descomponiendo los términos fijos: 8x2 – 6xy – 9y2 + 10x + 21y – 12 4x + 3y –3 2x – 3y 4 −12xy + 6xy = −6xy 12y ⏟ ⏟ + 9y = 21y Además: 4x (4) + (2x) (– 3) = 10x (el cuarto término), luego la expresión factorizada es: E = 8x2– 6xy – 9y2 + 10x + 21y – 12 E = (4x + 3y – 3) (2x – 3y + 4) 5.3. ASPA DOBLE ESPECIAL: Se utiliza para factorizar polinomios completos y ordenados de cuarto grado: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, en este método se descomponen los términos extremos en sus factores, la suma algebraica de los productos en aspa debe aproximarse al término en x2, el cual se descompone en sus factores, luego se verifica los términos restantes. Ejemplo: Factorizar: E = 2x4– 5x3 + 10x2 – 10x + 3 Solución: Descomponiendo los términos extremos: 2x4– 5x3 + 10x2 – 10x + 3 3x2 2 2x – 3x 1 x2

–x

3

Luego se la suma de los productos es aspa es: 7x2 Se debe tener: 10x2 Le falta: 3x2. Por lo tanto los factores son: E = 2x4– 5x3 + 10x2 – 10x + 3 E = (2x2 – 3x + 1) (x2– x + 3) E = (2x – 1) (x– 1) (x2– x + 3) 6. OTROS CRITERIOS: 6.1. CRITERIO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS: Este método se utiliza para factorizar polinomios de una sola variable de cualquier grado y que pág. 22

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admita factores lineales de la forma: (ax ± b) ó (x ± b): Es decir el método está basado en el criterio de la divisibilidad. Si P(x) es divisible entre (x – a), entonces R = P(a) = 0, de donde: P(x) = (x – a) Q(x), por lo que todos los divisores se obtienen aplicando Ruffini. Ejemplo: Factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 Solución: Las posibles raíces o ceros de – 4 son: ± 1, ± 2, ± 4. Aplicando Ruffini se tiene: 1 5 7 –1 –8 –4 1 1 6 13 12 4 1 6 13 12 4 0 –1 –1 –5 –8 –4 1 5 8 4 0 –2 –2 –6 –4 1 3 2 0 –2 –2 –2 1 1 0 –1 –1 1 0 Luego: x5 + 5x4 + 7x3 – x2– 8x – 4 = (x – 1) (x + 1)2(x + 2)2 6.2. CAMBIO DE VARIABLE: Este método consiste en ubicar expresiones iguales directas o indirectas realizando ciertas transformaciones, luego se hace un cambio de variable tal que permita transformar la expresión aparentemente complicada en otra expresión sencilla. Ejemplo: Facorizar: E= (x – 2) (x – 1) (x + 2) (x+ 3) + 3 Solución: Efectuando adecuadamente: (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 3 E=(𝑥 ⏟ − 2)(𝑥 + 3) ⏟ E = (x2+ x – 6) (x2+ x – 2) + 3, se tiene una expresión común, se hace: z = x2 + x, reemplazando E = (z – 6) (z – 2) + 3 E = z2 – 8z + 15 E = (z – 5) (z – 3), regresando a la variable original. E = (x2+ x – 5) (x2+ x – 3) 6.3. FACTORIZACIÓN RECÍPROCA: Este método se aplica a los polinomios recíprocos. Ejemplo: Factorizar E = 2x4 + 23x3 + 49x2 + 23x + 2 Solución: Reduciendo a grado mitad. 23 2 E = x2[2x2+ 23x + 49 + + 2], x x agrupando los términos con coeficientes iguales. 1 1 E = x2[2(x2+ 2) + 23(x + ) + 49], x 𝑥 realizando cambio de variable: 1 1 z = x + → x2 + 2 = z2 – 2 𝑥

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E = x2[2(z2 – 2) + 23z + 49] E = x2[2z2 + 23z + 45] E = x2(2z + 5) (z + 9) recuperamos la variable original “x”. 1 1 E = x2[2(x + ) + 5] [x + + 9) x

2 2 2x + 5x + 2

x x2 + 9x + 1 ) 𝑥

E=x ( )( ç 𝑥 2 2 E = (2x + 5x + 2) (x + 9x + 1) E = (2x + 1) (x + 2) (x2 + 9x + 1)

1.

EJERCICIOS PROPUESTOS Luego de factorizar:

P( x)  10abx 2  5ax  1  2bx Indique un término de uno de sus factores primos. A) 5ax B) bx C) 10ax D) abx E) – 1 2.

Indicar la suma de factores del polinomio: P( x, y)  12x 2  xy  y 2 A) 3x + 5y B) 6x + 2y C) 7x + 2y D) 9x E) 7x

3.

Indicar la cantidad de factores lineales del polinomio:

P( x )  9x 4  40 x 2  16 A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 4.

E) 3

Factorizar: E(x) = 7x2 + 29 x – 36 e indicar uno de sus factores A) x + 2 B) x – 1 c) 7x – 1 D) 7x + 2 E) x – 3

5. Luego de factorizar, indique la suma de los coeficientes de los términos en x de sus factores primos de la expresión: M (x) = abx2 + (a2 + b2)x + ab A) a + b B) 2a + b C) a + 2b D) a + 3b E) 2(a + b) 6. Factorizar: F(x, y) = 21x 8 + 32x 4y 3 – 5y 6, señale uno de sus factores: A) 7x4 – y2 B) 3x4 – y3 C) 3x4 – 5y3 D) 3x4 + y3 E) 7x4 – y3 7. Factorizar:

P( x, y)  6 x 2  2 xy  3x  24 y  8 y 2  18 Indicar uno de sus factores A) 3x + 4y – 6 B) 2x + 2 y + 3 C) 2x + 2y – 3 D) 3x + 4y + 6 E) 3x – 4y + 6 8. Factorizar: P( x, y)  2 x 2  7 xy  11x  19 y  6 y 2  15 , indicar uno de sus factores A) 3x + 4y – 6 B) x – 2y + 3 C) 2x + 2y – 3 D) 3x + 4y + 6 E) 2x + 3y + 5 9. Factorizar: P(x, y) = 3x 2 + 4xy + y 2 + 4x + 2y +1, luego señale un factor primo.

x

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A) 2x + y + 1 B) x – y – 1 C) 2x + y – 1 D) x + y + 1 E) 3x + 2y + 2 10. Factorizar: A(x,y) = 9x2 +11xy + 2y2 + 26x + 5y – 3, e indicar el número de factores primos y divisores. A) 3 y 2 B) 3 y 5 C) 5 y 3 D) 4 y 16 E) 2 y 4 11. Factorizar: P(x, y) = 15x2 + 151xy + 10y2 + 45x + 301y + 30, e indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. A) 46 B) 48 C) 50 D) 54 E) 56 12. Reconocer un factor primo de:

P( x)  6 x 4  31x 3  25x 2  13x  6 A) 6x 2 + x + 1 C) x 2 – 5x + 3 E) x 2 + x + 3

B) x 2 + 5x – 3 D) 6x 2 - x + 1

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20. Indicar el producto de los términos independientes de sus factores primos de la expresión: E(x) = 12x 3 + 8x2 – 3x – 2 A) – 1 B) 0 C) – 2 D) 2 E) 5 21. La suma de los factores del polinomio: P( x)  x 5  x 4  1 , es: A) x 3  x 2  2 D) x 2  x  1

B) x 3  x  1 C) x 3  2x  1 E) x 5  2

22. Factorizar: E(x) = 4x 4 – 29x 2 + 25 e indicar la suma de coeficientes del término en “x” de sus factores. A) 6 B) 8 C) 9 D) 11 E) 13 23. Factorizar: A(x) = x 5 + x + 1, luego señale el factor cuadrático. A) x 2 + 2x + 1 B) x 2 + x – 1 C) x 2 – x + 1 D) x 2 + x + 1 E) x 2 + 2x – 1

13. Indicar uno de los factores primos de la siguiente expresión: F(x) = x 4 + 5x 3 + 4x 2 – x – 15 A) x 2 + 3x – 3 B) x 2 + 2x – 3 2 C) x – 3x – 5 D) x 2 + 3x – 5 2 E) x + 2x – 5

24. Factorizar: M(x) = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 1, e indique e factor de grado 4. A) x 4 + 2x + 1 B) x 3 + x + 1 3 C) x + 2x + 1 D) x 4 + 3x + 1 4 E) x + x + 1

14. Uno de los factores de la siguiente expresión: F(x) = x 4 + 7x 3 + 19x 2 + 36x + 18, es: 2 A) x + x + 6 B) x2 + 2x + 6 C) x2 + 2x + 9 D) x2 + x + 9 2 E) x + 3x + 6

25. Factorizar E(x) = 6x 4 + 5x 3 + 6x 2 + 5x + 6, luego dar la suma de los términos independientes de sus factores. A) 2 B) 3 C) 5 D) 8 E) 9

SEMANA Nº 06

15. Factorizar: A(x) = x 4 – 8x 2 – 12 x – 5, luego indicar el producto de los términos independientes de sus factores. A) – 3 B) – 4 C) 5 D) – 5 E) 4

MÁXIMO COMÚN DIVISOR, MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y DESCOMPOSICION DE FRACCIONES

16. Calcular la suma de los coeficientes de uno de sus factores lineales de la expresión: M(x) = x 4 + 2x 3 – 4x 2 + 8x – 32 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 17. Descomponer en sus factores primos e indicar el número de factores y divisores de la expresión: A(x) = x 5 + 4x 4 – 10x 2 – x + 6 A) 2 y 3 B) 3 y 7 C) 4 y 24 D) 5 y 31 E) 4 y 14 18. Factorizar: B(x) = x 5 + 3x 4 – 17x 3 – 27x 2 + 52x + 60, luego indique dos de sus factores primos: A) (x + 1) (x – 4) B) (x + 1)(x – 3) C) (x + 2)(x – 5) D) (x + 1)(x – 8) E) (x - 2)(x + 3) 19. Señalar uno de los factores de la expresión: F(x) = 12x 3 – 56x 2 + 77x – 30 A) 2x + 3 B) 2x – 2 C) 2x – 1 D) 2x – 3 E) x – 3

1. 2.

3.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD). El MCD de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de mayor grado contenida como factor un número entero de veces en dichas expresiones. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM). El MCM de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de menor grado que contiene un número entero de veces, como factor, a dichas expresiones. Pasos a seguir para calcular el MCD y MCM de dos o más Expresiones Algebraicas. Se factorizan las expresiones dadas. El MCD se determina considerando sólo factores comunes a todas las expresiones pero elevadas a su menor exponente. El MCM estará expresado por la multiplicación de los factores comunes a todas las expresiones pero elevadas a su mayor exponente luego multiplicado por los no comunes. PROPIEDADES: pág. 24

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El MCD de dos o más expresiones algebraicas primas entre si es la unidad y su MCM el producto de ellas. Solo para dos expresiones o polinomios se cumple: A.B = MCM (A, B).MCD (A, B)

MCM(A, L) = (x – 1)(x + 3) (x – 2)(x + 2). Por lo tanto el número de factores primos es: 4 Rpta: A FRACCIONES ALGEBRAICAS: F(x) Es una expresión de la forma siguiente:

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dados los monomios: ya – 3.zb– 2; ya – 1.zb + 5; ya + 4.zb – 3. El MCD de ellos es ynz; el MCM de los mismos es y10zm. Calcule: a + b + m + n. A) 24 B) 22 C)18 D)20 E) 16 Solución: El MCD de: (ya – 3.zb – 2; ya – 1.zb + 5; ya + 4.zb – 3) MCD = ya – 3.zb– 3. Luego se tiene: ya – 3.zb – 3 = ynz de donde: a – 3= n;  b – 3 = 1  b = 4 Además; el MCM de: (ya – 3.zb – 2; ya – 1.zb + 5; ya + 4.zb – 3) MCM = ya + 4.zb + 5  ya + 4.zb + 5 = y10zm De donde: a + 4 = 10  a = 6 y b+5= m m=9 Además. a – 3 = n  n = 3 Por lo tanto: a + b + m + n = 22 Rpta: B 2. Indique lo que se obtiene luego de multiplicar los polinomios A(x).L(x) y dividirlo entre su MCD; A(x) = x3– x2+ 7x – 18 y L(x) = x4 + 7x2 – 10x – 9 A) (x + 2)(x2 + x + 9)(x2– x – 1) B) (x – 2)(x2 + x + 9)(x2+ x – 1) C) (x – 2)(x2 + x – 9)(x2– x – 1) D) (x – 2)(2x2 + x + 2)2 E) (x – 2)(x2 + x + 9))(x2– x – 1) Solución: Factorizando se tiene: A(x) = (x – 2) (x2 + x + 9) ; L(x) = (x2 + x + 9) (x2 – x – 1) A( x).L( x) Se cumple que: MCM(A, L) = = MCD ( A, L)

son expresiones racionales en donde al menos en el denominador debe contener una variable. CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS: FRACCIÓN PROPIA: Una fracción se dice que es propia, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, en cualquier otro caso se le denomina fracción impropia. Son fracciones propias:

1.

2.

G(x)

1.

x 1

x 7  x 5  3x  5 x2  3 No son fracciones propias: x2  9

2.

x 3

,

6x 2  3 x 3

No son fracciones homogéneas:

3.

x 3  x  16

fracciones:

4.

5.

1.

x 2  9x x 5

Son “fracciones heterogéneas”. x2  3 FRACCIONES EQUIVALENTES: Dos

y

x2  x  9

 L(x) = (x – 1)(x+3)(x+2) Luego se tiene:

x 3  2 x  11

y Son “fracciones x 3 x2  3 impropias”. FRACCIONES HOMOGÉNEAS: Dos o más fracciones serán llamadas homogéneas, si no poseen el mismo denominador, de no ocurrir esto se les llamará fracciones heterogéneas. 5x 3  x

( x  2)(x 2  x  9)(x 2  x  9)(x 2  x  1)

Por lo tanto: MCM(A,L) = (x – 2) (x2 + x + 9)(x2 – x – 1) Rpta: E 3. Si el MCD de los polinomios: A(x) = x 3 + 4x2 + ax + b y L(x) = x3+cx + d es (x –1)(x + 3). Halle el número de factores primos que tiene el MCM de ellos. A) 4 B) 2 C) 3 D) 1 E) 5 Solución: A( x) Por propiedad: es una división MCD ( A, L) exacta:  A(x) = (x – 1) (x+3) (x – 2) L( x) es una división exacta MCD ( A, L)

x5  2x  3

y

x w son equivalentes si se  y z

verifica la siguiente condición. x w  Si: xz = yw y z  FRACCIONES COMPLEJAS: Una fracción se dice que es compleja si su numerador y/o denominador son fracciones. 2 x x Ejemplo: x3 FRACCIÓN DE VALOR CONSTANTE: Llamada también, fracción independiente de sus variables, es aquella que admite el mismo valor numérico al sustituir sus variables por cualquier sistema de valores permisibles. OPERACIONES CON FRACCIONES: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN. Para fracciones homogéneas: m n mn   x x x

pág. 25

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Para

fracciones

heterogéneas:

Simplificando se obtiene:

m n my  nx   x y xy

2.

MULTIPLICACIÓN:

1 5n  1 5n n 5S =  S= 5n  1 5n  1 5S = 1 –

m n m.n .  x y xy

m n my :  x y nx DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES: Consiste en transformar una fracción dada, como una suma de dos ó más fracciones simples. A continuación indicaremos los cuatro casos de descomposición de fracciones. CASO I. Si el denominador tiene únicamente factores de primer grado, por cada denominador de la forma: “ax + b”, le corresponde una fracción simple de la forma: A , A = cte. ax  b CASO II. Si el denominador presenta factores repetidos de primer grado de la forma: (ax + b)n por cada uno de estos factores le corresponderán “n” fracciones simples de la forma siguiente: An A1 A2   ...  2 ax  b (ax  b) (ax  b) n CASO III. Si el denominador presenta únicamente factores cuadráticos (no factorizables) de la forma: ax 2  bx  c por cada uno de estos factores le corresponderá una fracción simple de la forma: Ax  B 3.

DIVISIÓN:

2.

ax 2  bx  c

1.



A2 x  B2 (ax 2  bx  c) 2

 ...

A)

De donde. 5  A  B  0  3B  A  A = 3 y 3.

10 x 2  6 x  22 10 x 2  6 x  22  x 3  2 x 2  5 x  6 ( x  1)( x  2)( x  3) 10 x 2  6 x  22 a b c    --(*) ( x  1)( x  2)( x  3) x  1 x  2 x  3 a( x  2)(x  3)  b( x  1)(x  3)  c( x  1)(x  2) 10x 2  6 x  22  ( x  1)(x  2)(x  3) ( x  1)(x  2)(x  3)

De donde. 10x 2  6x  22  a( x  2)(x  3)  b( x  1)(x  3)  c( x  1)(x  2)

Asignando valores convenientes para la variable x, obtenemos los valores de a, b, c Si: x  1  10  6  22  a(3)(2)  a  3 Si: x  2  40  12  22  b(3)(5)  b  2 Si: x  3  90  18  22  c(2)(5)  c  5 Reemplazando en (*) se tiene:

(ax 2  bs  c) n

10 x 2  6 x  22 3 2 5    ( x  1)( x  2)( x  3) x  1 x  2 x  3

n 5n  1 2n E) 5n  1

C)

Multiplicando por 5 ambos miembros se tiene: 5 5 5 5    ... 1x6 6 x11 11x16 (5n  4)(5n  1)  1 1 1   1 1  5S = 1   +    +    +…+ 6   6 11   11 16   1   1     5n  4 5n  1 

5S =

Rpta: C fracción:

Indicando como respuesta la suma de los numeradores de todas las fracciones simples encontradas. A) 14 B) 12 C) 15 D) 18 E) 10 Solución:

An x  Bn

1 1 1 1    ...  6 66 176 (5n  4)(5n  1)

B = 2. Luego: A + B = 5 Descomponer la siguiente

10 x 2  6 x  22 en fracciones parciales. x 3  2 x 2  5x  6

Por lo tanto la suma de los numeradores es 10 Rpta: E

Solución: S=

Se

5x A B ( A  B ) x  3B  2 A    ( x  3)( x  1) x  x6 x3 x2

1 1 1 1    ...  6 66 176 (5n  4)(5n  1)

n n B) 5n  1 n 1 n D) 5n  1

5x x  x6 2

2

EJERCICIOS RESUELTOS Sumar las “n” fracciones mostradas: S=

Si la fracción algebraica:

Rpta: D

descompone en 2 fracciones parciales de numerador A y B. Hallar el valor de: A + B A) 4 B) 2 C) 5 D) 8 E) 6 Solución: Descomponiendo la fracción en fracciones simples se tiene:

ax 2  bx  c CASO IV. Si el denominador presenta factores cuadráticos (irreductibles) de la forma: 2 n ( ax  bx  c ) por cada uno de estos factores le corresponderán “n” fracciones simples de la forma: A1 x  B1

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1.

Si

EJERCICIOS PROPUESTOS se cumple: 2 x 2  3x  7 A B C    x( x  3)(x  4) x x  3 x  4

El valor de (A + B + C)4, es: A) 8 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25

pág. 26

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P( x)  ax 2  2 x  b y

2. Sean:

Q( x)  ax 2  4 x  b , si x – 3, es el MCD de P(x) y Q(x). El valor de (a + b) es: A) 28/3 B) 3 C) 10/3 D) 4 E) 29/3 3. Calcular

M

el

valor

de

m n  p . mn  mp  np 2

2

la

fracción

se

cumple:

2

Si

( x  m) 2  2( x  m)(x  n)  ( x  n) 2  0 ( x  m) 2  2( x  m)(x  p)  ( x  p) 2  0 A) 2

B) 3

C) 1

4. Si en la expresión E  reemplaza por

D) 4

y

E) 6

x2 cada x se x2

x2 , el valor que resulta al x2

sustituirse después x por 1/3 es: A) – 3/17 1/17

B) 17 E) – 1/17

C) – 17/3

D)

5. El producto de dos expresiones es (x2 – 1)2 y el cociente de su MCM y su MCD es (x – 2 1) . el MCD es: A) x2 – 1 B) x2 + 1 C) x – 1 D) x +1 E) (x + 1)2 6. Hallar el M.C.D. de los siguientes polinomios: A(x) = x3 + 5x2 + 8x + 4; B(x) = x3 + 3x2 – 4; C(x) = x3+ 6x2 + 12x + 8 A) x + 2 B) (x + 2)2 C) (x + 2)3 3 2 D) (x + 1) E) (x + 3) 7.

8.

El M.C.M. de P(x) y Q(x) es x3 – x2 – 4x + 4 y su M.C.D. es x2 + x – 2. Hallar el número de factores primos de P(x).Q(x) A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Hallar el valor numérico del M.C.D. de los polinomios: P(x) = x6 + 2x5 + x4 + x + 1; Q(x) = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x + 2, Para x = √2 + 1. A) 5 – 3√2 B) 5 + 3√2 C) 5 – 2√2 D) 5 + 2√2 E) 2 + 5√2

𝐼 = 𝑥 3 +2𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑃 = 𝑥 2 + 7𝑥 + 6 A)𝑥 − 1 B)𝑥 + 2 C)𝑥 + 3 D)𝑥 + 1 E)𝑥 − 2 12. Hallar el 𝑀. 𝐶. 𝑀. de: 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 𝐼(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 𝐽(𝑥) = 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 9 𝐶(𝑥) = 𝑥 3 − 9𝑥 + 𝑥 2 − 9 A) (𝑥 + 3)(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) B) (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) C) (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)(𝑥 + 1)(𝑥 + 4) D)(𝑥 + 8)(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) E) (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 3𝑤−4

13. Descomponer: 𝐽= 2 ; en 𝑤 −𝑤−6 fracciones parciales , e indicar una de ellas: A) 3/(𝑤 + 3) B) 2/(𝑤 − 2) C) 1/(𝑤 − 3) D) 3/𝑤 E) 4/(𝑤 + 5) 14.

Reducir a su mínima expresión: 𝐽=

A)

a + √a2 −1

a −√a2 − 1

La simplificación de: E = − a −√a2 − 1 a + √a2 − 1 es: A) √a2 − 1 B) a√a2 − 1 C) 4a√a2 − 1 D)√a2 − 1 E) √a + 1 3x3 + 12x2 + 15x − 2 x3 + 5x2 + 9x + 5

Ax − 1

x+B

= + 2 x+1 x + 4x + 5 Hallar “A + B” A) 4 B) – 4 C) 0 D) 6 E) – 6

10. Si

11. Hallar el 𝑀. 𝐶. 𝐷(𝐽, 𝐼, 𝑃) si: 𝐽 = 𝑥2 − 1

𝑎 𝑏

𝑎2 −𝑏2

−

𝑎𝑏−𝑏2

; resulta:

𝑎𝑏 𝑎𝑏−𝑎2 𝑎𝑏−2𝑏2 B) C)𝑎2 𝑎𝑏

D)

𝑏 𝑎

2𝑏2 −𝑎𝑏 𝑎𝑏

E)

15. Dadas las expresiones algebraicas: A = (𝑋2 − 4)(𝑋2 𝑌 + 3𝑋𝑌) B= 𝑋4 𝑌 2 + 8𝑋𝑌 2 ¿Por qué expresiones deberá multiplicarse cada una de ellas para que su MCD sea 𝑥 2 𝑦 2 (𝑥 2 − 4)? A) x(y+2) B) xy C) y+2 D) xy(x+2) E) y(x+1) 16. Simplificar: 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 21𝑥 𝑥 3 − 9𝑥 𝑥+7 𝑥−3 A) B) C) 𝑥+3

𝑥+3

𝑥+7 𝑥−3

D)

𝑥+3 𝑥+7

E)

𝑥−7 𝑥−3

17. Si 𝑎−1 − 1 se divide por (𝑎 − 1), el cociente es:

A) 1

1 𝑎

B)−

1

C) a

𝑎

D) 1

E) –

𝑎𝑏

18. Reducir: A)

9.

CPU – UNSM -T

E)

𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑏 𝑎

𝑎 − 𝑎+𝑏 𝑎𝑏

𝑎 + 𝑎−𝑏

B)

𝑎 𝑏

C)

𝑎−𝑏 𝑎+𝑏

D)

𝑎2 +𝑏2 𝑎2 −𝑏2

19. Si P(x) = x3 + 8 y Q(x) = x4 + 4x2 + 16, hallar la suma de los coeficientes del M.C.D. de P(x) y Q(x). A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 20. Si M(x, y) es el M.C.D. de P(x, y) = x4 + 4y4 y Q(x, y) = x4 – 2x3y + 2x2y2 en R(x, y), hallar M(1, 2) A) 11 B) 9 C) 7 D) 5 E) 3 pág. 27

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ALGEBRA

21. ¿Cuántos factores primos tiene el M.C.M. de los polinomios: P(x) = x7 – x, Q(x) = x5 – x R(x) = x4 – x? A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

1.

2. 22. Descomponer en fracciones parciales F(x) = 3x + 4

3.

x2 + 3x + 2 3 1 + x+2 x+1 2 1 C) − x+2 x+1

A)

E) 23. Efectuar R =

2 3 + x+2 x+1 1 1 D) − x+2 x+1

B) 2 1 + x+2 x+1

4.

5.

(x + a + b + c)(x + a + b + d)− cd (x + b + c + d)

A) x + a + b B) x + c + d C) x + a + d x+a+c E) x + b + d

D)

6.

P( x)  ax 2  2 x  b

y

7.

24. Sean:

Q( x)  ax  4 x  b , si x – 1 es el 2

MCD de P(x) y Q(x). El valor de a.b es: A) 3 B) 2 C) 6 D) 4 E) 5 25. Hallar el M.C.D y dar como respuesta el número de divisores: 𝑃(x, y, z) = x 2 y 7 z 8 P(x, y, z) = x 4 y 3 z 9 P(x, y, z) = x 5 y 2 z 8 A) 108 B) 528 C) 825 D) 81 E) 208

SEMANA Nº 07 RADICACIÓN Y RACIONALIZACIÓN RADICACIÓN POLINOMIAL: Es una operación matemática, que consiste en hallar una expresión algebraica llamada raíz tal que elevada al índice resulte otra expresión llamada radicando o cantidad subradical. Índice

Signo radical

n

Radicando

1.

MÉTODO DE EXTRACCIÓN DE LA RAIZ CUADRADA: Ordenar el polinomio en forma descendente respecto a una de sus variables, si falta un término se completa con términos de coeficiente cero. Los términos del polinomio se agrupan de dos en dos, de derecha a izquierda. Se extrae la raíz cuadrada del primer término, el cual es el primer término de la raíz. El término obtenido de la raíz se eleva al cuadrado y se le resta al primer término del polinomio. Bajar los dos términos del polinomio y duplicar la raíz obtenida hasta el momento. Se divide el primer término de los bajados entre la raíz duplicada. El resultado es el segundo término de la raíz. A este término se le suma la raíz duplicada y todo ello se multiplica por el segundo término de la raíz para luego restarlo del polinomio. Se baja los siguientes dos términos y se prosigue como en los pasos anteriores hasta que el grado del residuo sea menor que el de la raíz o que este resulte nulo. RADICALES DOBLES: Se caracterizan por que dentro de un radical se tienen otros radicales ligados con las operaciones de adición y sustracción, muchos de ellos se pueden transformar en una suma o resta de radicales simples. Tienen la siguiente forma: A  B , donde A y B son expresiones racionales positivas. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES EN RADICALES SIMPLES PARA RADICALES DE LA FORMA:

A  B Donde A y B son números racionales, y que además existen otros números racionales positivos “x” e “y” 𝐴+𝐶 𝐴−𝐶 tales que: √𝐴 ± √𝐵 = √ ±√ , 2

n  Z+, n  2

A  r  r n  A,

2.

2

− B, (A – B es un cuadrado

Donde C =

√A2

perfecto).

Regla

2

A2 B =

práctica:

( x  y)  2 xy  x 

Raíz

RAÍZ CUADRADA DE POLINOMIOS: Cuando el índice de la radicación es 2, se denomina raíz cuadrada. Dado que la raíz cuadrada de un polinomio no siempre resulta otro polinomio, se considera un término adicional llamado residuo, de modo que todos los términos de la radicación sean polinomios. RAIZ CUADRADA DE UN POLINOMIO P(x) Q(x) R(x)  P(x) = Q2(x) + R(x) 0 [P(x)] = par; [R(x)] o < [Q(x)] o Si R(x) = 0, entonces la raíz cuadrada es exacta. Si R(x)  0, entonces la raíz cuadrada es inexacta.

CPU – UNSM -T

y , con: x > y

RADICALES DE LA FORMA: √𝐴 + √𝐵 + √𝐶 + √𝐷 donde A, B, C y D son números racionales positivos, su fórmula de transformación es la siguiente: A

B 

C 

D 

A, B, C , D, X , Y , Z   Q

x 

y 

z



x  y  z  A 4 xy  B   4 yz  C  4 xz  D

Regla práctica: √(x + y + z) + 2√xy + 2√xz + 2√yz = √𝑥 + √𝑦 + √𝑧

pág. 28

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

3.

RADICALES

DE

LA

ax4 + 3ax3 + (6a + b) x2 + 6ax + a2

FORMA:

(mx  nx  p) 2

A  B  C  D La transformación de este radical doble es semejante al caso anterior. Es decir, se tiene:

ax 4  3ax 3  (6a  b) x 2  6ax  a 2  m 2 x 4  2mnx3  (n 2  2mp) x 2 2npx  p 2

RADICALES DE LA FORMA: 3 A  B , el cual se puede expresar como: 3

Por ser polinomios idénticos: 𝑎 = 𝑚2 ; 3a = 2mn 6a + b = n2 + 2mp 6a = 2np a2 = p2 De donde: a = p = 4; b = 1; m = 2 y n = 3 Rpta: A Transformar a radicales simples, el siguiente

A  B  x  y ; {A, B, x, y}  Q+

4 x 3  3(3 A 2  B ) x  A  0 Donde :  Dónde: C  y  x 2  3 A 2  B 3

2

= A  B es una raíz exacta. RACIONALIZACIÓN: Es una transformación de una expresión algebraica irracional en otra equivalente racional, para ello ambos términos de la fracción se multiplica por una expresión llamada factor racionalizante. Los casos que se presentan se resumen en la siguiente tabla: DENOMIN DENOMINA FACTOR ADOR DOR RACIONALIZAN DE LA RACIONALI TE FORMA ZADO n

n

√Am

A

A

B

3

√A + √B 3

3

√A − √B

2.

radical doble: 2  3 A) 1 3 1 1 3   B) C) 2 2 2 2

3 3  3  1  2  3  2  4   2  2  2  2     4 4    2  2 

3.

Halle

A

A)

A–B

3

3

A–B

B 3

C) D)

A 2  3 AB  B 2

A+B

A 2  3 AB  3 B 2

A–B

n

√A − √B nIN

n

n

√A + √B nIN impar n

n

√A + √B nIN par

1.

𝑛

4 1 2 3 5

5 7 5  10 6  10 5 8 8 6 x

y z

16  2 5.4  2 4.7  2 7.5  7  5  4

A–B

Rpta: A EJERCICIOS PROPUESTOS 3

3

1. Dada la siguiente expresión E = 3 2m – A+B

m3 128 + 4m3 2 – 2m3 54 , el valor de E3

𝑛

√𝐵𝑛−1

+ 𝑛 √𝐴𝑛−1 𝑛 − √𝐴𝑛−2 𝐵 + ⋯

Rpta: B de:

cuadrada

16  80  112  140 

√𝐴𝑛−1

+ √𝐴𝑛−2 𝐵 + ⋯ 𝑛 + √𝐵𝑛−1 𝑛 √𝐴𝑛−1 𝑛 − √𝐴𝑛−2 𝐵 + ⋯

raíz

E) Solución:

𝑛 n

la

3 1  2 2

16  80  112  140

A

B

1 2

D) 1

E) 3  2 Solución:

B)

A B 3

A nm

=

2

Desarrollando y reduciendo, se tiene:

A B  C  D  x  y  z 4.

CPU – UNSM -T

es: A) – 9m3 D) –54m3

A+B

𝑛

+ √𝐵𝑛−1

EJERCICIOS RESUELTOS Hallar a.b si la raíz cuadrada de: ax4 + 3ax3 + (6a + b) x2 + 6ax + a2 es exata. A) 4 B) 8 C) 7 D) 10 E) 5 Solución: Aplicando el método de los coeficientes indeterminados. El polinomio es de grado 4, implica que su raíz cuadrada será de grado 2, es decir: raíz( x)  mx2  nx  p Luego:

2.

Al

B) – 6m3 E) – 18m3 simplificar

M

la

C) 54m3 expresión

52 6 , el valor de 2 3 2  6

M es: A) 3.

2  1 B) 2  1 C) 2 D) 2 E) 2  3 Calcula

el

valor

de

E  4 17  6 8  4 17  6 8 A)

2

3

B)

2

C) 3

D) 1

E) 4.

pág. 29

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

2 3 2 5

4. Después de racionalizar: el nuevo denominador es: A) 8 B) 6 C) 5

D) 4

E) 3

5. Transformar a radicales simples la siguiente 3

expresión: A) 1 3

38  17 5

B)

C) 2  5

2 5

E)

3

3

6. Calcular: x = √20 + 14√2 + √20 − 14√2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 √2x + √4x 2 − 4 7. Transformar: E = en radicales simples A) √x + √x − 1 B) √x + 1 + √x C) 2√x D) √x + 1 + √x − 1 E) 1 + √x − 1 4 8. Descomponer M = √7 + 4 √3 3 2

1 5

3 5

A) √ + √ 3 2

1 3

3

1

2

2

1 2

B) √ + √ 2 3

C) √ + √

D) √ + √

1 2

E) √ + √ 9.

2n

2n

Efectuar: S = √(√3 + 2)2 . √7 − 4 √3

A) – 1 B) 1 C) 2 3 10. Racionalizar: 3 √54

A) √54

D) – 2 √144 2

B) √144 C) 18

11. Racionalizar:

E) 3

3

5

144 3

D) √2 E)

24

3

√2

+3

√16

3

3

B)

C)

D)

B) 1

C) 3

D) 2

+

E) 4

5

14. Reducir: a + √ab a−b a2 + 5√c

A)

2

√3a7 b6 c5

E) 5

3

3

2m

B)

 3 3m

D) 0 25. Racionalizar:

C)

3

3m

E) m

√5 + √3 + √10 + √6 Para luego indicar como respuesta el denominador racional: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SEMANA Nº 08 ANÁLISIS COMBINATORIO

5

√24a2 bc

B)

denominador

1

y

13. Calcular x en: √x + 44 + 14√x − 5 √x + 59 + 16√x − 5 = 17 A) 6

√2 + √3 − √5

como respuesta el racionalizado. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

A)

√x+y 2

√x+y

E)

17. Calcule el cubo de: J = ( √17 + 12√2)3 A) 9 + 5√2 B) 12 + 6√2 C) 8 + 4√2 D) 7 + 6√2 E) 7 + 5√2 15 5 18. Efectuando J = √7 − 5√2 . √1 + √2 , se obtiene: A) – 1 B) 1 C) 2 D) – 2 E) – 3 19. Luego de racionalizar y simplificar dar como respuesta el denominador de: 35 J= 5 3 + √2 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 20. Hallar la raíz cuadrada de: x4 + 29x2 – 10x3 – 20x + 4 2 A) x – 5x + 2 B) x2 – 3x +2 C) 2 x + 2x – 5 D) x2 – 3x + 2 E) x2 –x+2 21. La raíz cuadrada de: 16 + 2√55 es: A) √5 + √10 B) √11 − √5 C) √11 + √5 D) √8 + √7 E) √11 + 6 n 2n 22. Calcular el valor de E = √√3 + 2. √7 − 4√3 A) 4 B) 5 C) 3 D) 1 E) 2 6 23. Después de racionalizar E = dar

obtiene:

x−y 2x

2y

C) E)

16. Hallar J = a. b , si la raíz cuadrada de: ax4 + 3ax3 + (6a + b) x2+ 6ax + a2 es exacta. A) 4 B) 8 C) 7 D) 10 E) 5

24. Luego de simplificar:

√x − y x + y− √x − y √

x−y A) x+y x−y + √x2 −y2

B) 3𝑥 2 + 2𝑥 + 7 D) 3𝑥 2 + 3𝑥 + 7

3. 2m3 – m.3 128 + 4m.3 2 – m.3 54 , se

A) √2 B) 15√75 C) 15 √4 D) √4 E) √4 12. Racionalizar:

A)3𝑥 2 + 2𝑥 − 7 3𝑥 2 + 3𝑥 − 7 2x 2 − 3x − 7

4

2 3

2 3

D)

CPU – UNSM -T

ab 5 √ac 4 2 b+2c

E)

C)

a−c a+b

a

15. Hallar la raíz cuadrada de: J(x) = 9x 4 + 12x 3 + 49 − 28x − 38x 2

D)

FACTORIAL DE UN NÚMERO: El factorial de un número entero y positivo “n”, se define como el producto que resulta de multiplicar todos los números enteros consecutivos desde 1 hasta el número considerado. Se denota como: n! FORMA MATEMÁTICA: n! = 1.2.3.4… (n – 1).n, donde n ≥ 1 pág. 30

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

PROPIEDADES: 1. 0! = 1, 2. 1! = 1, 3. n! = n(n – 1)!; n ≥ 1 4. a! b! (a  0  b  1)  (a  1  b  0)  (a  b) NÚMERO COMBINATORIO: DEFINICIÓN: Se define como el número total de grupos que se pueden formar con n elementos tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse de otro por lo menos de un elemento. FORMA MATEMÁTICA:

Ckn  1.

PROPIEDADES: Combinaciones complementarias

1.2. C1n  Cnn1  n

3.

2

5.

6.

7.

8.

1.

3.



Tc2 = Tn + 3

Si “n” es

2

n

Suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de (axp + byq)n es:

( p  q)(n)(n  1) 2

El número de términos del desarrollo de ( x1  x2  x3  ...  xr ) n esta dado por:

El equivalente del valor máximo en el desarrollo de ( x  y) n es el término central si n es para y los dos centrales si n es impar. PERMUTACIONES: Para “n” objetos diferentes el número de permutaciones es: Pn = n! PERMUTACIÓN CIRCULAR: El número de permutaciones circulares de “n” elementos distribuidos alrededor de una curva cerrada es: Pnc = (n − 1)! PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN: El número de permutaciones en el que se repite alguno de ellos es: n! n P(k = 1 , k2 , k3 … km ) k1 ! k 2 ! k 3 ! … k m ! Donde: k1 , k 2 , k 3 , … , k m : Número de veces que se repite cada elemento k1 + k 2 + k 3 + ⋯ + k m = n: Número total de elementos. EJERCICIOS RESUELTOS Cuantos valores de “x” dan existencia a

x   1 ! , si “x” es menor que 30? 3  A) 5 B) 6 Solución:

C) 7

D) 8

E) 9

 x  1  z 0 3 

Debe cumplir que: 

 x es múltiplo de 3, Además: 0  x  30



Dónde: k + 1: es el término del lugar buscado. n: es la potencia del binomio. x: es el primer término del binomio. y: es el segundo término del binomio. Término General contado de derecha a izquierda se encuentra. Tk 1  Ckn y n  k x k

2

y

(n  r  1)! n!(r  1)!

FÓRMULA DE NEWTON: Dado el binomio: (x + y) y n  IN, se tiene: Donde el desarrollo del polinomio es completo y homogéneo de grado “n”. PROPIEDADES: 1. El desarrollo de binomio tiene (n + 1) términos. 2. Término General contado de izquierda a derecha se encuentra: Tk 1  Ckn x n  k y k

n

y 2 . Si n es par y

impar, existen dos términos centrales. Suma de todos los coeficientes del desarrollo de (ax + by)n es:

 exp. 

 nm  kr    n  m  k  r  m 

( x  y) n  C0n x n  C1n x n1 y  C2n x n2 y 2  ...  Cnn y n

n 2

 coef .  (a  b)

n C kn1 Sólo índice superior: C kn  nk n  k 1 n Ck 1 Sólo índice inferior: C kn  k TEOREMA: m

n

2

C kn  C kn1  C kn11 Degradación de índices n Ambos índices: C kn  C kn11 k

n

1

n  Cn x

Tc1 = Tn + 1

Suma de combinaciones de igual índice superior pero inferiores diferenciados en 1.

Si: C k  C r

Término Central tiene la forma: Tc  T n

n! . Dónde: {n; k}  IN, n ≥ k. k!(n  k )!

C kn  C nnk Corolarios: 1.1. C0n  Cnn  1 2.

4.

CPU – UNSM -T

Es decir: x  3;6;9;12;15;18;21;24;27 Luego x toma 9 valores. Rpta: E 2.

 n   n  1  , 

En la suma combinatoria de: S=      2  2 donde n es natural, mayor o igual que 3. simplificar se obtiene:

Al

pág. 31

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A) Un número primo B) Un cuadrado perfecto C) Un número impar D) Un numeró par E) Un múltiplo de 4 Solución: Desarrollando. S = (n2) + (n−1 ) 2

6. Hallar la suma de los coeficientes de todos los términos que se obtienen al desarrollar: (5x – 4xy4)12 A) 12 B) 13 C) 0 D) 1 E) – 1

S=

8. Si Cn  28 , Hallar el valor de “n” n2 A) 7 B) – 7 C) 8 D) 9

S= 3.

CPU – UNSM -T

7. La suma de los exponentes de todos los términos del desarrollo de: (x4 + y2)20 es: A) 1260 B) 840 C) 420 D) 1470 E) 2100

(n−1)! n! + 2!(n−2)! 2!(n−3(¡ (𝑛−2)!(𝑛−1)𝑛 (𝑛−3)!(𝑛−2)(𝑛−1)

+

2(𝑛−2)! (n − 1)2

s= Hallar

el

2(𝑛−3)!

término

3 2 1   x   3x  2 2

Rpta: B independiente de:

t

C

tk + 1 =

93  k 2



C

18

 x2  

93   k 2

9 k

9 k

 

 18 – 3k = 0

6

 1     3x 

3

C

9 6

6

k

B) 220

k

A) 4!

independiente

será:

3 1 9! 3 1 x x 6  7 / 18      2 3 6 !. 3 ! 8 3    

B) 2

4!. 25!( 4! )!. 5! 5! ( 4! )!4! (24! ) C) 3

B) 9!

C) 8!

D) 7!

E) 2!

12. Si: C n  2C n  C n  C a15 . Hallar: Cna 12 13 14 n5 A) 200 B) 144 C) 126 D) 80 E) 100 13. Encontrar el coeficiente del término cuya parte literal es: x20 en el desarrollo de: 12

 3 1 x   x 

D) 4

A) 495

E) 5

(n!2)3 (n! )! (n! )!(n!1)!(n!2)! B) n! + 1 C) n! + 2 D) n! + 3

2. Simplificar: A) n!

E) 270

(8! )8!1.(7! )9!.(9! )8! [9(7! )9.(8! )2 ]8!

EJERCICIOS PROPUESTOS

A) 1

D) 224

3

Rpta: B

1. Simplificar:

C) 222

10. En el desarrollo del binomio: 2x  y 10 el coeficiente de x6y4 es: A) 13 800 B) 13 450 C) 13 400 D) 13 440 E) 13 455 11. Simplificar:

  1  183k   .x  3 

De donde: k = 6. Luego el término 3

x 2  3y5

A) 218

7

 k 1

9. Hallar el coeficiente del cuarto término del desarrollo de la siguiente potencia:

9

A) B) C) D) E) 18 18 7 7 8 Solución: Sea tk+1el lugar que ocupa el término independiente es decir:

E) 10

B) 395

C) 490

C8  C8  C9 5 6 4. Simplificar: 4 10 C 4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2

E) 3/2

Cn .Cn  2 n  5. Calcular “n” a partir de: 2 4 4 C n 1 3 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

E) 275

   (2n  3)!  (n  1)!n! 14. Simplificar     (2n  1)!(2n  2)!   (n  2)!  A) 2 B) 3 C) (2n + 1)! D) (2n + 2)! E) (2n + 3)!

15. Calcular el valor de E 

E) (n! + 2)! 3. Para que cumpla la siguiente igualdad y! x!!  y!. y!. y!..... y! , se requiere que     x!! y!720 719  veces “x” sea igual a: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

D) 390

A) 12

B) 4

C) 10

2C15  8C15 6 9 5C15 6 D) 8

E) 2

16. ¿Para qué valor de “n” en el tercer término del desarrollo de: (x – 1 – 2 x17)n el Coeficiente es igual al exponente de “x”? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 18



n

17. Si el desarrollo del binomio: 2x 3  3y 2 tiene 15 términos, hallar el grado absoluto del décimo tercer término. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

89n! (10! ) 2  (8! ) 2  , el valor de “n” es: (n  8)! 10!8! A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

18. Si:

pág. 32

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19. Hallar “x” (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)! + 𝑥(𝑥 − 1)! + (𝑥 + 1)𝑥! = 864 A) 1 B) 5 C) 4 D) 0 E) 3 1. 20. Calcular “n” en:

(n  2)! (n  1)! n!  2n  30 (n  1)! n!

A) 29

B) 32

C) 31

D) 26

E) 33 2.

21. Hallar k si: 18  16  40   51  k k A) 2

B) 3

C) {33, 2}

D) 6

22. Hallar el término independiente



desarrollo de:  x 



A) 80

B) 81

1   4 x

C) 82

E)8 del

3.

9

D) 83

E) 84

23. Hallar el término que ocupa el lugar 103



104

en el desarrollo de x 3  3 y A) 5 536 x5y34 B) 5 365 x5y35 C) 5 635 x6y36 D) 5 356 x6y34 E) 5 434 x5y35

4.

24. Si la expresión: (n  6)!(n  5)!(n  4)! , es E 1  (n  6)!(n  3)!   1  n5 (n  3)!  equivalente a la unidad. Indicar cuáles son los posibles valores de n. A) {– 4, – 3} B) – 3 C) – 4 D) 3 E) 4

2x 4x6x8x...x200 100! C) 1002 D) 2100 E) 21000

25. Simplificar: E  A) 200

B) 100

SEMANA Nº 09 TEORÍA DE ECUACIONES IGUALDAD: Es una relación que existe entre dos expresiones matemáticas, mediante el signo “=” (igual). Primer miembro

A=B

Segundo miembro

CLASES DE IGUALDADES: Son las siguientes: 1. IGUALDAD NUMÉRICA: Formada por números: Ejemplo: 32 + 3 = 23 + 4 2. IGUALDAD LITERAL: Está formada por números y letras: 2.1. IGUALDAD ABSOLUTA: Se verifica para cualquier valor de sus variables. Ejemplo: x2 – y2 = (x – y) (x + y) 2.2. IGUALDAD RELATIVA: Se verifica para valores específicos de las variables. Ejemplo: 5x + 3 = 3x + 7

1. 2.

3. 4.

1. 2.

CPU – UNSM -T

ECUACIÓN: Es una igualdad condicional, tiene por lo menos una variable o incógnita, puede tener o no solución. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES: ECUACIONES ALGEBRAICAS: Con las incógnitas se pueden realizar todas las operaciones matemáticas. Estas son: b) POLINOMIALES. c) FRACCIONARIAS. d) IRRACIONALES. ECUACIONES TRASCENDENTES: Si por lo menos uno de sus miembros son expresiones no algebraicas. Estás son: a) EXPONENCIALES. b) LOGARÍTMICAS. c) TRIGONOMÉTRICAS. SEGÚN SUS SOLUCIONES: pueden ser: a) COMPATIBLES: Tienen solución:  DETERMINADA: Tienen un número limitado de soluciones: Ejemplo: 8x – 4 = 3x + 6 x = 2  INDETERMINADAS: Tiene un número ilimitado de soluciones. Ejemplo: 2(x – 3) = 2x – 6  0x = 0 b) INCOMPATIBLES: No tiene solución. SEGÚN SU GRADO: Pueden ser de: a) Primer Grado o lineales. b) Segundo grado o cuadráticas. c) Tercer grado o cúbicas, etc. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA DEFINICIÓN: Una ecuación de primer grado o lineal es aquella que tiene la forma: ax + b = 0, a  0, donde a y b se denominan coeficientes. REGLA GENERAL PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA: Se efectúa las operaciones indicadas, si los hay. Se hace la transposición de términos, poniendo en un miembro los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas. Se simplifica términos semejantes en cada miembro. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita. ECUACIONES CUADRÁTICAS: Son aquellas que tienen la forma: ax2 + bx + c = 0 con a  0, Donde a, b y c  IR. MÉTODO DE SOLUCIÓN: Usando el método factorización. Usando la fórmula de Carnot:

x

b

b 2  4ac 2a

pág. 33

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RELACIÓN ENTRE RAÍCES Y COEFICIENTES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces se tiene:

b c ax + bx + c = 0  x + x   0 , donde: a a b La suma de las raíces: S = x1  x2 =  a c El producto: P = x1 .x 2 = . a 2 b  4ac La diferencia: D = x1  x 2  a 2

2

Entonces la ecuación cuadrática se construye mediante: x2 – Sx + P = 0 ECUACIONES BICUADRÁTICAS: Son aquellas ecuaciones que no son cuadráticas, pero, mediante un artificio se reducen a cuadráticas. Son de la forma: ax4 + bx2+ c = 0, con a ≠ 0, donde sus coeficientes: a, b y c  IR. MÉTODO DE SOLUCIÓN: 1. Factorizando e igualando a cero cada factor, o 2. Haciendo: x2 = y, Luego reemplazando en la ecuación dada, esta se trasforma en una ecuación de segundo grado:ay2 + by + c = 0 ECUACIONES RECÍPROCAS: Son aquellas que tienen sus coeficientes extremos y equidistantes a los extremos iguales en valor y en signo es decir: Ax4 + Bx3 + Cx2 + Bx + A = 0 En dichas ecuaciones: Si se verifica para: x = m, también se verificará para: x =

1 m

MÉTODO DE SOLUCIÓN: Se considera: 1. Cuando la ecuación es de grado impar, admite necesariamente la raíz: x = – 1. 2. Si los coeficientes de los términos equidistantes a los extremos son de signo contrario, admite necesariamente la raíz x = 1 (Caso especial). 3. Cuando la ecuación es de grado par, se lleva a una ecuación de grado mitad. ECUACIONES IRRACIONALES: Son aquellas ecuaciones que contiene radicales. El método de solución consiste en eliminar los radicales y resolver la ecuación resultante por los métodos conocidos. Sin embrago se debe tener precaución de sustituir todas las raíces posibles en la ecuación original puesto que el método de eliminación de radicales requiere elevar a una determinada potencia los dos miembros de la igualdad. Este procedimiento puede introducir raíces en la ecuación final que no lo son de la ecuación original. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO: Sea “x” un número real, su valor absoluto se denota por x y se define por la siguiente regla:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1.

CPU – UNSM -T

  x, si x  0 x   x si x  0   , TEOREMAS DEL VALOR ABSOLUTO: ∀ x ∈ IR: | x | ≥ 0 ∀ x ∈ IR: |x |2 = x 2 ∀ x ∈ IR: | x| = √x 2 ∀ x ∈ IR: | x| = | − x | ∀ x ∈ IR: | x. y | = | x |. | y | x y

∀ x, y ∈ IR: y ≠ 0 → | | =

|x| |y|

| x | = y ↔ (y ≥ 0)  (x = y  x = −y) | x| = | y | ↔ (x = y  x = − y) La solución de ecuaciones con valor absoluto se efectúa haciendo uso de los teoremas anteriores. EJERCICIOS RESUELTOS: x  1 x  5 2 x 2  x  11 Resolver:   x  3 x  2 x 2  5x  6 A) – 2 B) 3 C) 1 D)  E) 0 Solución: La ecuación está bien definida para:

x3  0  x  3

 x2 0 x  2

Luego:

( x  1)( x  2)  ( x  5)( x  3) 2 x 2  x  11  2 0 ( x  2)( x  3) x  5x  6 2 x 2  x  17  (2 x 2  x  11) 0 ( x  3)( x  2) 2x  6  0  2x  6  0  x  3 ( x  3)( x  2)

Como: x  3  C.S. =  2.

Rpta: D

Resolver: x  1  x  8  6 x  1 1

A) { ; 8} B) 4 C) 6 3 Solución: Elevando al cuadrado:

D) 8 E) 3

x  1  2 ( x  1)( x  8)  x  8  6 x  1 De donde: x 2  9 x  8  2 x  4 Elevando otra vez al cuadrado:

x 2  9 x  8  4 x 2  16x  16 1  3x 2  25x  8  0  x   x 8 3

3.

Comprobando las raíces en la ecuación original sólo satisface para x = 8. Por lo tanto C. S = 8 Rpta: D Hallar el conjunto de solución de la siguiente ecuación: 3x  5  x  5 A) {1; 3} B) 2 C)  1;3 D) 1 Solución:

E) 3

3x  5  x  5  ( x  5  0)  (3x  7  x  5  3x  7   x  5)

 ( x  5)  ( x  1  x  3) Por lo tanto: C.S. = {1; 3}

Rpta: A

pág. 34

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1.

EJERCICIOS PROPUESTOS El conjunto solución de la ecuación: b(x−b) a(x−a) + = x ; a ≠ 0, b ≠ 0 es: a b A) {a; b} B) {b} C) {a + b} D) {a} E) {a2 + b2}

Si 𝑋1 𝑦 𝑋2 son las raíces de : √𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 , además 𝑋1 > 𝑋2 Calcular el valor de 𝑥1 𝑥2 A) 81 B) 27 C) 16 D) 64 E) 9 2 2 3. Sea la ecuación: 3k x – 6kx – (k + 2) = 0, k  0. Si la suma de sus raíces es igual doble de su producto, hallar k. A) B) – 2 C) 1 D) 2 E) – 1/2

3𝑥(𝑥 − 2) − (𝑥 − 6) = 23(𝑥 − 3), resultado es: A) 3 B) 5 C) 4 D) 2

16.

Hallar el valor de k para que el producto de las raíces de la ecuación : (k – 2)x2 – 5x + 2k = 0, sea 6, A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 Para m ≠ 5, resolver la ecuación: m 2(x – 1) = 5(5x – m)

17.

m+5 m m−2

A) A) 16/25 B) 12/25 C) 13/25

D

D) 25/16 E) 1/2 5. La suma de las raíces de la ecuación

A) 7.

8.

b 4

B)

b3 4

C)

b2 2

D)

b2

E)

4

3

A) 20.

Hallar el valor de “k” si las raícen de:(4 – k)x2 + 2kx + 2 = 0; son iguales. A) 1 ó 2 B) 3 ó 4 C) 2 ó 3 D) 1 ó 3 E) 2 ó – 4

E)

10.

Hallar “P” en : x2 – Px + 15 = 0, para que la diferencia de los cuadrados de sus raíces sea 16 A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2

11.

Al resolver: 𝑥−2 𝑥+1 4 − 2 = 2 , el resultado es: 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥 −9 𝑥 −4𝑥+3 A) 2/3 B) −3/4 C) 5/6 D) −5/9 E) 1/2

12.

Al resolver 2(6𝑥−𝑎) = , el resultado es: 4𝑥+𝑎 A) 2𝑎 B) −3𝑎 C) −4𝑎 D) 3𝑎

2𝑎+3𝑥 𝑥+𝑎

13.

14.

E) 5𝑎

Al resolver: √4𝑥 − 3 − √3𝑥 − 5 − √𝑥 − 2 = 0, el valor de “x”, es: A) 2/3 B) −2/3 C) −2 D) 3/2 E) 3

5 18 5

B)

7 25

C)

18 25

D)

22 25

E)

7 30

La ecuación x2 + px + q = 0 tiene como conjunto solución {r; s} y también se cumple la condición que: r – s = 4 y r2 – s2 = 32. Hallar

2

D) 2

m+5

De un depósito lleno de agua se extrae la sexta parte ¿Qué fracción del resto se debe volver a sacar para que quede sólo 3 los de su capacidad inicial.

x + √x + y = 32

Resolver: x + √x 2 + 9 = 21 A)  √27 B)  2 C)  4 4

C) m

19.

A) 9.

E)

m

m+2 m m

El valor de “x” en la siguiente ecuación: 2x − 1 x−4 2 − = , es: 2x + 1 3x − 2 3 A) 7 B) – 9 C) – 11 D) 12 E) 13

b2

Calcular: “x.y” en { y + √x + y = 31 A) 600 B) 500 C) 400 D) 300 E) 200

B)

18.

x 2  3x  6  3x  x 2  4 es: A) 3 B) – 2 C) 2 D) – 3 E) 2 6. Resolver la ecuación: √x − 4b + 16 + √x = 2√x − 2b + 4

E) 6

Al resolver: 𝑎+𝑥 2𝑥−𝑎 − + 4 = 0 , la diferencia de sus 𝑎−𝑥 𝑎+𝑥 raíces, es: A) 𝑎 B) – 𝑎 C) 2𝑎 D) −3𝑎 E) −5𝑎

x  x  1 x 1

Resolver:

el

15.

2.

4.

CPU – UNSM -T

3 2

B) −

3 2

p2 q2 9 C) 4

D)

4 9

E) −

4 9

21.

El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3, cuando B planta x rosas en una hora, A planta x+2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas? A)6 B) 81 C) 32 D) 24 E) 12

22.

Al resolver la ecuación 𝑥 + √𝑥 − 2 = 4,se puede afirmar que: A) Tiene raíces reales B) Tiene una raíz real y otra imaginaria C) Tiene raíces imaginarias D) Tiene solo una raíz E) Tiene solo una raíz imaginaria

23.

El producto de las soluciones del sistema de ecuaciones simultaneas: 1 1 + = 𝑎 ; 𝑥 + 𝑦 = 𝑏 , es: 𝑥

𝑦

1

1

𝑎 𝑏 D) 𝑎

𝑏

A) +

1

1

𝑎 𝑎 E) 𝑏

𝑏

B) −

1

C) − 𝑏 𝑎

Al resolver: pág. 35

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24.

Determinar el valor de k para la ecuación: (k – 4)𝑥 2 + 1= (2k + 2) x – k, tenga raíces iguales 𝐴) 2 B) 3 C) – 1 D) 4 E) 0

25. Un estudiante se compromete a presentar a su padre la resolución de ocho problemas diarios. El padre da al hijo $. 9 por cada problema bien resuelto y el hijo abona a su padre $. 6 por cada problema que deja de presentar o está mal resuelto. Al cabo de 20 días el hijo gano $. 540. ¿Cuántos problemas resolvió bien el estudiante? A) 60 B) 150 C) 160 D) 50 E) 100

SEMANA N° 10 INECUACIONES DESIGUALDADES: Es una relación de orden que se establece entre dos cantidades, donde una de ellas es mayor que la otra. Así: A > B ó A: Mayor que RELACIONES ESTRICTAS a} x

 +

x

 +  = IR = {x / x  IR} + –– , INECUACIÓN: Es una desigualdad condicional que se establece entre expresiones algebraicas; se representa mediante las siguientes formas: P(x)  Q(x) ó P(x) > Q(x) ó P(x)  Q(x) ó P(x) > Q(x) Por ejemplo: 3x + 4 > 2x – 6 TIPOS DE INECUACIONES: Son las siguientes: 1. Inecuaciones Lineales. 2. Inecuaciones cuadráticas. 3. Inecuaciones polinómicas 4. Inecuaciones Racionales. 5. Inecuaciones con Radicales o Irracionales. 6. Inecuaciones con Valor Absoluto. INECUACIONES LINEALES: Tienen la forma: ax + b > 0 ó ax + b < 0 ó ax + b  0 ó ax + b 0, Donde, a, b  IR, a  0 Para resolver esta inecuación se debe considerar: a > 0. b b Es decir: x > − ó x b 4. a  b  c si y solo si a  b  b  c INECUACIONES CUADRÁTICAS: Son aquellas que tienen la forma: ax2 + bx + c  0 ó ax2 + bx + c  0 ó ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c < 0, donde: a, b y c  IR y además a  0. MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS: Este método sirve para resolver Inecuaciones de segundo grado e inecuaciones racionales consiste en: 1. Factorizar la expresión hasta obtener binomios de la forma (ax + b) 2. Hallar los puntos críticos: es decir aquellos puntos en los cuales se anula la expresión. 3. Ordenar los puntos en la recta numérica. 4. Determinar las regiones de derecha a izquierda, en forma intercalada: +; –; +;

– +  r1 r2 Luego escribir la solución de la inecuación:  Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0. La solución es:  ∞, r1 U r2, + ∞



+

pág. 36

-

x

b

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

NOTA: Cualquier Inecuación irracional se reduce en inecuaciones de las formas:

Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0. La solución es: r1, r2 INECUACIONES POLINÓMICAS: Son aquellas que tienen la forma: P(x): a 0 x n + a 1 xn – 1 + a 2x n – 2+… + a n> 0 P(x): a 0 xn + a1 xn – 1 + a 2x n – 2+… + a n< 0 Con: a0  0, n  Z+, n  0 Para resolver estas inecuaciones se debe tener en cuenta: 1. Consideremos a > 0 (Si no lo es, multiplicamos por (– 1) 2. Factorizar el polinomio p(x) hasta encontrar solo fracciones lineales de coeficientes reales o trinomios cuadráticos positivos. 3. Los trinomios positivos no interviene en el conjunto de solución por lo tanto se pueden descartar. A los factores lineales restantes aplicaremos el método de los puntos críticos. INECUACIONES RACIONALES: Son aquellas que tienen la forma: P( x) 0 Q( x)

ó

a) La inecuación f ( x)  h( x) es equivalente al sistema de inecuaciones siguientes.  f ( x)  0  x  S1  . f ( x )  h ( x )  h ( x )  0  x  S 2  2  f ( x)  [h( x)]  x  S 3 C.V.A = S1  S 2 y S.G = S1  S 2  S3

f ( x)  h( x)

b) La inecuación es equivalente al sistema de inecuaciones siguientes.  f ( x)  0   f ( x)  0 . f ( x )  h( x )        h ( x )  0 h ( x )  0  2  f ( x)  [h( x)]

C.S. = S (  )  S (  ) Para la desigualdad:

P( x)  0 , Q(x)  0 Q( x)

2n1

2. 3.

Si: x  0  x  y   y  x  y

4.

Si: y  0  x  y  x  y  x   y EJERCICIOS RESUELTOS: Resolver la inecuación: 3x 7 x 4 6x     5 20 10 5 20 A)  ,4

ó

P( x)  0  P(x).Q(x) < 0 Q( x)

Para solucionar las inecuaciones racionales se debe tener en cuenta: 1. Hallaremos el C.V.A. (Conjunto de Valores Admisibles), C.V.A.

 p( x)   Q( x)   IR  x / Q( x)  0  

El C.V.A. de la inecuación Q2(x) > 0,  x  IR. Multiplicando a la inecuación por Q2(x) se obtiene la inecuación equivalente: P(x) Q(x) > 0 ó P(x) Q(x) < 0, la cual será resuelta por el método de los puntos críticos. 3. El conjunto solución es la intersección del C.V.A. con la solución del paso anterior. INECUACIONES IRRACIONALES: Son de la forma: F [ P( x) , 3 Q( x) ,...,n R( x) ]  0 ó 2.

F [ P( x) , 3 Q( x) ,...,n R( x) ]  0 Donde P(x), Q(x) y R(x), son expresiones irracionales. Para solucionar estas inecuaciones se debe tener en cuenta: 1. Hallar el C.V.A. de las expresiones irracionales. 2. Transformar la inecuación irracional en otra más sencilla, mediante pasos equivalentes, de tal modo que consignamos resolver tal inecuación. 3. El conjunto solución se obtiene interceptando el C.V.A. con las soluciones de la inecuación.

f ( x)  g ( x)  f ( x)  [ g ( x)]2n1

Válido para: (, , ) INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO La solución de inecuaciones con valor absoluto se obtiene haciendo uso de los siguientes teoremas. Teoremas: x, y  IR : x  y  x  y (desigualdad triangular) x, y  IR | x | < | y |  x2< y2

Donde P(x) y Q(x) pueden ser monomios o polinomios. Se resuelven haciendo uso de: P( x)  0  P(x).Q(x) > 0 Q( x)

CPU – UNSM -T

1.

1.

1  B)   ,  4  1  C)   ,  2  D)  ,4 E)  ,1 / 4 Solución:

6  4 7 3 1  x     5 10  5 10 20  8 1 x 20 10 1 x 4

2.

C.S =  ,1 / 4 Resolver la inecuación:

Rpta: B

mnx 2  (m  n) x  1  0 Donde m > 0 y n < 0. pág. 37

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A)  ,1 / n B)  ,1 / m C) 1 / m,1 / n D)  , 1 1 E)  ,  n m Solución: Factorizando se tiene: … (1) (mx  1)(nx  1)  0 Como: n < 0, (mx  1)(1  nx)  0 … (2) 1 1 Puntos críticos:  ;  m n

1 1 CS =  ,  n m

Rpta: E 3.

Resolver la inecuación:

3x 2  10 x  9 0 x 2  4x  3 A)  ,3   1, B)  ,3

C)  ,1  3, D)  ,1 E) 1,3 Solución: 3x 2  10x  9

1.

0

2 x 1  3 x 1 2. Resolver:

3

>6 B) x < – 1 E) x < 4

3. Resolver: x2 + 8x + 16

D)

A  23 BC

El valor de A) 1 D) – 1



B)

es:

B) 1/2 E) – 1/2

C) 2

5. Resolver: x(3x + 2) < (x + 2)2 B)  1, 1 E)  1, 3

C)  1, 2

6. Tres personas cuentan el número de artículos que fabrican una máquina por minuto, el primero contó la mitad menos 3, el segundo contó la sexta parte y 7 artículos y el tercero contó la cuarta parte y 5 artículos. Si el primero contó más artículos que el segundo pero menos que el tercero ¿Qué número de ellos arroja la máquina? B) 30 E) 33 x+1 x −1

A) 2 < x ≤ 3 D) 2 < x ≤ 5

C) 31

0 A) 〈−2, 4〉

B) ℝ − {

D) 〈−∞, 9. Resolver:

2 3

〉

2 3

E) 〈−

C) 〈

} 2 3

,

2 3

2 3

, +∞〉

〉

x 2 − 3x + 6 < 0

A) IR B) 〈−2, 2〉 D) ∅ E) 〈−2, 4〉 10. Resolver la Inecuación: 3

A) [− ; 2 > 4 〈−∞, 2〉

C) 〈−1, 0〉

4x + 3 x−2

≤0

B) < −2, 2 > C) 〈2, 2〉 E) [2, +∞〉

D)

x2 − 1

x

A) x > – 1 D) x < – 2

 4,6

es conjunto solución del sistema

13 x  5 3 x  8 2 x  7   1  2 5 3  3x 1 x 1 x  1   5 2 7 

7. Resolver: 2 ≤

EJERCICIOS PROPUESTOS Encontrar el número M máximo con la propiedad de que para todo x R, se tiene: M  x2 – 4x + 29 A) 25 B) 12 C) 16 D) 4 E) 9

A) {4}

4. Si

A ;B C

A) 29 D) 32

x  4x  3 Analizando el trinomio: 3x2 – 10x + 9, tiene  < 0, el trinomio se verifica ∀ x  IR. Luego la inecuación se reduce a: (x – 1) (x – 3) > 0 Por tanto: C.S. = x   ,1  3, Rpta: C 2



A) 1, 2 D) 1, 3

1 1 x n m

De (1):

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C) x < 2

12. Al resolver:

0

𝑥 3 −4𝑥 2 −3𝑥+18

 4,4 E)

11. Resolver la inecuación: ≤ 0, e x2 + 9x + 18 indicar una parte de su solución : A) 〈−1, +∞〉 B) 〈−2, +∞〉 ∪ {−3} C) 〈0, +∞〉 D) [−6, −3] E) 〈−6, −3〉

 2,0

𝑥 2 −4𝑥+3

C) {– 4}

≤ 0, el resultado, es:

A) [−2; 1⟩ ∪[3; +∞⟩ C) [1; 3⟩

D) [−2; 1⟩

B) ⟨−∞; −2] ∪ 〈1; 3〉 E) 〈−∞; 1〉 ∪ ⟨1; 3] pág. 38

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ALGEBRA

13. Si al resolver

A)

𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥−24 𝑥−1

≤ 0. El conjunto solución es: [𝑎, 𝑏] ∪ ⟨𝑐, 𝑑]. El valor de 𝑄 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 𝑑, es: A) 4 B) 2 C) 3 D) −2 E) −3 ≥ 0 , el resultado, es: A) ⟨−2; 5] B) [1; 6⟩ C) ⟨−6; −1] D) 〈2; 3〉 E) 〈−6; 1〉

15. Al resolver: 12 + 23𝑥 + 9𝑥 2 − 3𝑥 3 − 𝑥 4 > 0, el resultado, es A) 〈−4; 3〉 B) [−3; 4⟩ C) 〈−∞; 3〉 D) 〈−3; +∞〉 E) 〈−∞; −4〉 16. El conjunto solución de la inecuación: 𝑥+3 𝑥+4 ≥ , es: 𝑥−1 𝑥+2 A) 〈−5; −2〉 ∪ 〈−1; +∞〉 B) ℝ − {1; 2} C) 〈−2; 1〉 D) [−5; 2⟩ ∪ 〈1; +∞〉 E) ⟨−∞; −5] ∪ 〈−2; 1〉 pertenece al intervalo [5, 8〉 entonces

27 9

A) [ , ] D)

25 8 27 9  , ] 25 7

B) 

27 25

E)

9

x+1 x+2

, ]

8 27 9 [ , 〉 25 8

es

C)  −

7 8

C) E)

 6,1

 2,2

,−

23 25

SEMANA Nº 11: FUNCIONES PAR ORDENADO: Son entes matemáticos compuestos de dos elementos x e y denotado por (x, y) donde: x: primera componente; y: segunda componente Ejemplo: Son pares ordenados: (2, 3); (3, 5); (2, 4) Nota: el par (3, 4) es diferente del par (4, 3)

]

18. La solución de la inecuación: √4 − 𝑥 + 4 √𝑥 + 2 ≥ 0 es A) [ 2, 4] B) 〈−∞, −2] C) [2, 4] D)[2, +∞ E) [4, +∞ 19. Hallar los no verifican a la inecuación: |x – 3|2 – 3|x – 3|  18 > 0 A) 〈−∞, −3〉 B) 〈9, +∞ C) [3, 9] 〉 [−3, [−3, D) +∞ E) 9] 20. Hallar el conjunto solución de: 𝑥2 + 𝑥 − 1 ≥ 6 + 𝑥 + 𝑥2 A) ℝ B)∅ C){7} D){0}

 2,6

0,2

A)  ∞,  5 U3, + ∞ B)  ∞,  3 U5, + ∞ C)  ∞,  4 U4, + ∞ D)  ∞,  5 U5, + ∞ E)  ∞,  2 U3, + ∞

𝑥 3 +8𝑥 2 +14𝑥+12

el intervalo al cual pertenece

B)

24. Resolver: √x 2 − 25 > − 8

−𝑥−1

2x + 5 −3

 6,2 D)

14. Al resolver:

17. Si

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E) {−7}

1. 2. 1.

PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos conjuntos, el producto cartesiano de A y B se denota y define: A x B = {(x, y) / x  A  x  B} RELACIÓN: Sean los conjuntos: A y B entonces se define: R es una relación de A en B si y solo si RAxB FUNCIÓN: DEFINICIÓN: A la relación f de A en B le llamaremos función de A en B si y solo si se verifica: fAxB (a, b)  f  (a, c)  f  b = c OBSERVACIONES: Una función f de A en B denotada por f: A f

21. Si se tiene que: −1 < 𝑥 − 1 < 1 entonces se cumple que: 𝑎 < 𝑥 2 − 1 < 𝑏 donde : A) 𝑎 = −1 , 𝑏 = 3 B) 𝑎 = −5 , 𝑏 = −2 C) 𝑎 = 3 , 𝑏 = 5 D) 𝑎 = 4 , 𝑏 = 8 E) 𝑎 = −4 , 𝑏 = −3 22. Se desea saber el mayor número de postulantes que hay en un aula. Si al doble del número de estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16. A) 20 B) 22 C) 21 D) 18 E) 19 23. Para que valores de “a” en la inecuación cuadrática siguiente se cumple, para todo x  R: x2 + ax – 2 < 2x2 – 2x + 2

2.

3. 4. 5.

 B, y se lee “f es una función de  B; A  A en B”, donde A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada. Si el par (a, b)  f, se escribe: b = f(a) y se dice que b es la imagen de “a” por f ó también, que b = f(a) es el valor de f en el punto a. Si A = B = IR, a la función f: IR  IR, se denomina función real de variable real. y = f(x)  (x, y)  f f = {(x, y)  IR x IR / y = f(x)} TEOREMA: f es una función de IR en IR si y solo si toda recta paralela al eje Y corta la gráfica a lo más en un solo punto. (Si)

(No) pág. 39

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ALGEBRA

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OPERAC IONES CON FUNCIONES: f ( x) y g ( x) ; Dada las funciones

x  Dom( f ( x))  Dom( g ( x)) Se define: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Sea f: A  B una función, se define al dominio y al rango como: Df = {x  A /! y  B  (x, y)  f}  A Rf = {y  B /  x  A  (x, y)  f}  B f A

B Df

( x, f ( x)  g ( x))

SUSTRACCIÓN:  f  g ( x) 

( x, f ( x)  g ( x))

MULTIPLICACIÓN:  f .g ( x)  ( x, f ( x).g ( x)) DIVISIÓN:  f / g ( x) 

Rf

COMPOSICIÓN:  fog ( x) 

y

x

ADICIÓN:  f  g ( x) 

Dom fog ( x) 

CÁLCULO DE DOMINIOS DE ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES

g (x) entonces

1)

Si f(x) =

2)

Dom (f) = g(x)  0 Si f(x) = 3 g (x) entonces Dom (f) = Dom (g(x))

3)

Si f ( x) 

P( x) entonces Q( x)

Dom (f) = IR – {Q(x) = 0} Si f(x) = log b U(x); b > 0,  b  1, entonces el Dom( f ) = {x  IR / U(x) > 0}

5)

;a Si f ( x)  a Dom (f) = Dom (U(x))

 0; a  1

entonces el

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a la función Graf (f) = {(x, y) IR 2/ y = f(x); x Dom (f)} Las funciones se pueden representar mediante: PLANO CARTESIANO: Y II (, +)

I (+, +) X

III (, )

IV (+ )

DIAGRAMA SAGITAL:

1

a

2

b

3

c

ALGEBRA DE FUNCIONES:

( x, y) / y 

f ( g ( x))

x  Dg / x  Dg  g ( x)  D f )

Ejemplo: 1. Sean las funciones: f = {(1, 4); (4, 5); (2, 3); (3, 2)} y g= {(0, 2); (1, 2); (2, −1); (3, 0)} Hallar: A) f + g, B) f − g C) f. g f D) g

4)

u ( x)

( x, f ( x) / g ( x)), g ( x)  0

E) fog Solución: Primero calculamos los dominios: Dom(f) = {1; 2; 3; 4} y Dom(g) = {0; 1; 2; 3} Ahora calculamos el dominio de Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = {1; 2; 3} Calculamos los pares que pertenecen a “f + g” (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 4 + 2 = 6 {(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 3 − 1 = 2 (f + g)(3) = f(3) + g(3) = 2 + 0 = 2 (1,6) ∈ (f + g)  {(2,2) ∈ (f + g) (3,2) ∈ (f + g) Luego la suma f + g = {(1,6); (2,2); (3,2)} De manera similar para “f – g” y “f. g” f − g = {(1, 2); (2, 4); (3, 2)} f. g = {(1, 8); (2, −3); (3, 0)} f f Para el Dom( ) = {1; 2} se excluye 3 por g

g

que 𝑔(3) = 0 f = {(1,2); (2, −3)} g Para “fog” D(fog) = {x ∈ Dg / x ∈ Dg Λ g(x) ∈ Dom(f) } x = 0 ∈ Dom(g) Λ g(0) = 2 ∈ Dom(f) x = 1 ∈ Dom(g) Λ g(1) = 2 ∈ Dom(f) x = 2 ∈ Dom(g) Λ g(2) = −1 ∉ Dom(f) x = 3 ∈ Dom(g) Λ g(3) = 0 ∉ Dom(f) Entonces el Dom(fog) = {0; 1} Su regla de correspondencia. fog(0) = f(g(0)) = f(2) = 3 fog(1) = f(g(1)) = f(2) = 3 ∴ fog = {(0,3); (1,3)} pág. 40

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ALGEBRA

1.

FUNCIONES REALES ESPECIALES Función Constante: f(x) = c

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Y

Y c

X

0

X

0

2.

Dom(f) = IR Rang(f) = {c} Función Identidad: f(x) = x

7.

Dom(f) = IR Rang(f) = [0, ∞ Función Máximo entero: f(x) = ⟦𝑥 ⟧ Y

Y X

0

3.

Dom(f) = IR Rang(f) = ℤ

X

0

Dom(f) = IR Rang(f) = IR Función Lineal: f(x) = ax + b, a ≠ 0

8.

Función Signo:

Y

f(x) = Sgn(x) =

b X

0

4.

Dom(f) = IR Rang(f) = IR Función Cuadrática: f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 Para: a > 0

Y 1

9.

Dom(f) = IR -1 Rang(f) = {−1; 0; 1} Función Escalón Unitario: 0, x  0 f(x) = u(x) =   1, x  0

4ac − b2 4a

Y 0

−

1

X

b

X

2a

Dom(f) = IR Rang(f) = {0; 1} 10. Función de Polinomios de Grado n: f(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn – 2 … + an donde: a1 , a2, …, an son constantes, además a0  0, n >0. Dom(f) = ℝ 11. Función Racional:

Dom(f) = IR 4ac−b2 [ , ∞ 4a

Para: a < 0 Y

4ac − b2 4a 0

Dom(f) = ℝ Rang(f) =  5.

−

F(x)

X

b

2a

Función Raíz Cuadrada: f(x) =

x

Y

X

0

IR + 0

Dom(f) = = [0, ∞ Rang(f) = [0, ∞ Función valor absoluto: f(x) = |x|

n n 1  ...  a n f ( x ) a 0 x  a1 x = = , m m  1 g(x ) b x  b x  ...  bm 0 1

g(x)  0 Dom(f) = IR − {x/ g(x) = 0}

4ac−b2 − ∞, ] 4a

1.

6.

X

0

Y

Rang(f) =

 1, x  0   0, x  0  1, x  0 

2.

CLASES DE FUNCIONES FUNCIÓN INYECTIVA (UNIVALENTE Ó 𝟏 𝒂 𝟏) f: A → B, es inyectiva si ∀ x1 , x2 ∈ Df; se verifica: Si f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ x1 = x2 FUNCIÓN SURYECTIVA, O SOBREYECTIVA f: A → B, es suryectiva si: ∀ y ∈ B, x ∈ A/(x, y) ∈ f ó Ran(f) = B pág. 41

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ALGEBRA

3.

FUNCIÓN BIYECTIVA: f: A → B es biyectiva si f es inyectiva y suryectiva a la vez. FUNCION PAR E IMPAR FUNCIÓN PAR: Se caracteriza por ser simétrica respecto al eje Y, es decir se cumple: Si x ∈ Df → −x ∈ Df , Λ f(x) = f(−x), ∀x ∈ Df FUNCIÓN IMPAR: Se caracteriza por ser simétrica respecto al origen, esto es: x ∈ Df → − x ∈ Df , Λ f(x) = − f(−x), ∀ x ∈ Df

1.

EJERCICIOS RESUELTOS Sea “f” una función real de variable real talque f(x + 2) = x 2 + x .Calcular: f(a + 3) − f(a − 3) J= , 𝑎 ≠ 3/2 2a − 3 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Solución: Calculando 𝑓(𝑥) f(x + 2 − 2) = (x − 2)2 + (x − 2) f(x) = (x − 2)2 + (x − 2) Entonces: f(a + 3) = (a + 3 − 2)2 + (a + 3 − 2) f(a + 3) = (a + 1)2 + (a + 1) f(a + 3) = a2 + 2a + 1 + a + 1 f(a + 3) = a2 + 3a + 2 De manera análoga para f(a − 3) f(a − 3) = a2 − 9a + 20 Remplazamos en “J”: J=

2.

a2 + 3a + 2 − (a2 − 9a + 20) 2a − 3 6(2a − 3)

=

12a − 18 , 2a − 3

a ≠ 3/2

J= =6, a ≠ 3/2 2a − 3 J=6 Si f es una función definida por: f(x) = √25 − x 2 − 2 Entonces determine el: Dom(f) ∩ rang(f) A) [2, 3] B) [−5, 2] C) [−2, 3] D) [−5, 5] E) [−3, 3] Solución: De la raíz cuadrada se tiene que: 25 − x 2 ≥ 0 → x 2 ≤ 25 Por propiedad de inecuaciones: −5 ≤ x ≤ 5 …(∗) Por lo tanto el dominio será: Dom(f) = [−5,5] Elevando al cuadrado (∗): 0 ≤ x 2 ≤ 25 Multiplicamos por (– 1): −25 ≤ − x 2 ≤ 0 Sumamos 25: 0 ≤ 25 − x 2 ≤ 25 Sacamos raíz cuadrada:

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0 ≤ √25 − x 2 ≤ 5 Restamos 2 −2 ≤ ⏟ √25 − x 2 − 2 ≤ 3 De donde: −2 ≤ f(x) ≤ 3 Rang(f) = [−2,3] ∴ Dom(f) ∩ Rang(f) = [−2, 3] 3.

Dadas las funciones : 1 , si x ≥ 1 f(x) = { x y −x, si x < −1 x, si x < 0 g(x) = { x − 1, si x > 10 Hallar: J = (f − g)(12) + (f − g)(−5) A) – 11 12 B) – C) –

13 11

D) – 11

12 11 13

E) 12 Solución: J = f(12) − g(12) + f(−5) − g(−5) 1 J = − (12 − 1) − (−5) − (−5) J= J=

1.

2.

12 1 − 11 12 − 11 12

+ 5 + 5J =

− 11 12

EJERCICIOS PROPUESTOS Si: 𝑓(𝑥) = √𝑥 3 − 3𝑥 2 − 10𝑥 + 24 el dominio de 𝑓(𝑥), es: A) ℝ B) ℝ − {2,3} C) [−3; 2] ∪ [4; +∞⟩ D) ⟨−∞; −3] ∪ [2; +∞⟩ E) [−3; 2] ∪ 〈3; +∞〉 Si: 𝐴 = {1,2,4,6,8} y 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 / 3 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 + 𝑦 }. La suma de todos los elementos del rango de 𝑅1 , es: A) 36 B) 32 C) 24 D) 21 E) 18

3. Si 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 4 . El valor de 𝑓(3 − 𝑥), es: A) 𝑥 2 + 𝑥 + 2 B) 𝑥 2 − 𝑥 + 1 2 C) 𝑥 + 2𝑥 − 1 D) 𝑥 2 − 3𝑥 + 5 2 E) 𝑥 + 3𝑥 − 2 4.

Si 𝑓(2𝑥 − 1) = 4𝑥 + 5 . El valor de 𝑓(2) − 𝑓(−3), es: A) 6 B) −8 C) 10 D) −10 E) −6

5.

Si la gráfica de función: 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, intersecta al eje X en 3

los puntos (−2,0) y (5,0), asimismo al eje Y en el punto (0, 𝑘). El valor de 𝑄 = 𝑘 − 𝑏 − 𝑐, es: A) 2/3 6.

B) −3/2

C) 3 D) −1/2

E) 2

Dada las funciones : 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑦 = √4 − 𝑥} pág. 42

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑦 =

1

13.

} −4 Entonces el dominio de la función: 𝑓+𝑔 es: A) < 2,4] B) 3 22. Dada la función f(x) = {x 2 − 2; −2 ≤ x ≤ 3 , 2x + 3; x < − 2 calcule el valor de

12. Sean las funciones f(x) = x + 5

x 2  2x . Calcular: 2

h(f(h(f(2)))) A) 4250/7 B) 425/8 C) 5621/8 2200/2 E) 4221/8

𝑥 5 −5𝑥 4 +6𝑥 3 𝑥(𝑥−2)(𝑥−3)

B) [1, 2,3] E) 3

20. Hallar el dominio de: f(x)

A){(1,6); (2,2); (3,2)}

h(x) =

E) 1,5

D) [1;2] E) [2;1]

11 13

E) 10. Sean las funciones: f = {(1,4); (4,5); (2,3); (3,2)} y g = {(0,2); (1,2); (2, −1); (3,0)} Hallar: 𝐽 = f + g

y

La siguiente relación de pares ordenados: R = {(1,2a), (2,7), (5,1), (1,3a5), (7,9)} es una función. Indicar la suma de los elementos del rango de dicha función. A) 24 B) 27 C) 18 D) 22 E)15

Si el D f,𝜖 [-3; 2] Determinar el rango de la función f(x)=2-3x A) [3;4] B) [-4;11] C) [1;4] B) D) [-2 ;11] E) [7;5] 𝑥+1 18. Hallar el domino y rango de f(x)= 𝑥−2 A) [-2;3] B) [5;2] C) [-2;-1]4

si x < 0 si x > 10

C) –

1 (x + 3). 2

17.

Hallar: J = (f − g)(12) + (f − g)(−5) 12 13

Hallar f (3). C) 1 D) 2 E)8

B) 6

Entonces evaluar (f o g)-1(1). A) 4 B) 3 C) -1 D) 2 E)1

La ecuación :

x, g(x) = { x − 1,

2x  1  x  5 .

14. Si f(x) =2x – 3; g(x) =

𝑎2

9.

Si f es una función real de variable real tal que: f (2x – 5) =

Indicar el dominio de: f(x) = √x(x − 5) A)< −∞, 0] ∪ [5, ∞ > B)< −∞, 0 >∪ [5, ∞ > C)< −∞, 0] ∪< 5, ∞ > D)< −∞, 2] ∪ [5, ∞ > E)< −∞, 0] ∪< 2, ∞ > 𝑥2

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E = f (2) + f (1) + f ( 3) + f (4) A) 3 D)

B) 5

C) 7

D) 9

E) 11

23. Dada la función: f(x) = mx + b, ∀ x  IR, si se sabe que f (3) = 11; f ( 3) = 6. Hallar m +b. pág. 43

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

A)

28 3

B)

28 5

C)

8 3

D)

5 3

E)

11 3

E) 18

SEMANA Nº 12 LOGARÍTMO, COLOGARÍTMO Y ANTILOGARÍTMO DEFINICIÓN: El logaritmo del número N (N > 0) en una base b (b > 0  b  1) se define Así. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑁 = 𝑥 ↔ 𝑏 𝑥 = 𝑁 Ejemplo: log 2 128 = x ↔ 2x = 128 2x = 27 x=7 SISTEMAS DE LOGARÍTMOS: Existen infinitos sistemas, los de mayor aplicación matemática son los logaritmos decimales y los logaritmos naturales: 1. SISTEMA LOGARITMOS DECIMALES: Notación: Log 10 N = Log N = x, se lee el logaritmo decimal del número N. (N > 0) 2. SISTEMA DE LOGARITMOS NATURALES: Notación: LogeN = Ln = x, se lee logaritmo natural del número N. Donde: e = 2, 71828… PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS: Las propiedades generales de los logaritmos son las siguientes: 1. El logaritmo de la unidad es cero: Log b 1 = 0,  b > 0  b  1 2. El logaritmo de la base es uno: Log b b = 1,  b > 0  b  1 3. El logaritmo de un producto: Log b (A.B) = Log b A + Log b B 4. El logaritmo de un cociente:

6.

El logaritmo de una potencia: Logb A Logb A El logaritmo de una raíz: Log b n A =

7.

8.

Si N y b se elevan a un mismo exponente (no nulo) o si se extraen de ambos radicales del mismo índice (no nulo) el logaritmo no se altera: p log b N = log bp Np = log p √N , p ≠ 0 √b Cambio de base, sea: a = la base desconocida, y b = la base conocida, entonces:

m logb a n

b

1.

COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO COLOGARITMO: El cologaritmo de un número N (N > 0) en base b (b > 0  b  1), se denota por: CologbN y se define como: Cologb N = Log b (

2.

1 ) = – Log b N N

ANTILOGARITMO: Esta es otra forma de denotar a la función exponencial, se denota y define por: Antilogbx = exp. b (x) = b x EJERCICIOS RESUELTOS:

1.

5x−1

Si log 3 ( ) = 2 , Calcular: J = 3x−5 A) 0 B)1 C)2 D)3 E)4 Solución: 5x − 1 log 3 ( )=2 3x − 5 5𝑥 − 1 = 32 3𝑥 − 5 5𝑥 − 1 = 27𝑥 − 45 −22𝑥 = −44 𝑥=2 Remplazando en “J” se tiene: J=

= n

1 Log b A n



log 1 N   log b N

J=

n

m

1 log a b

11. 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑁 = 𝑁 12. Si se invierte la base de un logaritmo, este cambia de signo:

 A Log b   = Log b A – Logb B B 5.

Regla de la cadena:

10. logb n a D) 15

log b N log b a

Log b a. Log a b = 1  Log b a =

2𝑥 + 1 ; 𝑥 ≤ 8 g(x) = { 2𝑥 3 ; 𝑥 > 8 E = 𝑔[𝑓(3)] + 𝑓[𝑔(0)] A) 1 B) 14 C) 7

Log a N = 9.

2𝑥 + 1 ; 𝑥 ≥ 1 24. Dada la función f(x) = { 2 𝑥 −2 ;𝑥 < 1

CPU – UNSM -T

2.

x x + log7 5 5log7 2

22+log7 5 22 .2log7 5 = log7 2 5log7 2 5 4. 5log7 2

5log7 2 J=4 Calcular: 1 1 1 J= + + log a bc + 1 log b ac + 1 log c ab + 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución: 1 1 J= + log a bc + log a a log b ac + log b b 1 + log c ab + log c c pág. 44

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

1 1 1 + + log a abc log b abc log c ab c J = log abc a + log abc b + log abc c J = log abc abc → J = 1

8. Calcular:

J=

3.

R

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El valor de  3 49  3 3      log    log 0,2  5  es: G  log 0,7  6 , 75  2   5   6 4900        A) 1/2 B) 4/3 C) – 4/3 D) 3/4 E) – 1/2 2. Si se cumple: anti log 5 co log 5 x   5 , el valor de: log 5 co log 5 (anti log x 5) , es: A) 1 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1/2







3. El valor de: anti log 3 log 2 anti log 4 2 co log 6 8 , es: 3 2 A) 2 B) 1/2 C) 1 D) – 1 E) 3 4. Reducir: E  Co log 4 log 2 log 2 anti log 4 log1,4 1,96 A) – 0,5

B) – 1,5

C) – 4

D) 1,5

5. Calcule: E = colog29+log481+antilog3colog32. A) 4 B) 1/2 C) 5 D) 7



6. Reducir:

E) 2

E) 9



N  anti log5 co log8 [anti log 8 4] A) 1

B) 1/2

C) 1/25

D) 2

E) 3

7. Calcular: 1    ln 2    E  anti log    ln 10      

A) 8

B)

3

2

C)

3

4

log( 111).(

2 1

11  1)co log( 2 1)

B) 2 + 1

2–1

C)

E) 3 – 2 2

D) 3 + 2 2

  n 1 log n logn n.n1 / n  .  

9. Hallar:

Siendo n > 1 A) – 1/4 B) – 1/2

C) – 1

10. Hallar: log( 25 2 ) 84 8 A) 4/5 B) 25/8 C) 35/8

D) 1

D) 2

E) 2

E) 4

11. Si el log3 = a ; log2 = b, hallar el valor de: log(5!) B) 3a + b – 1 D) 2b + a + 1

A) 3a + b + 1 C) 2b + a - 1 E) 3a – b + 1

12. Al calcular el logaritmo de

am .n a en

la base: an .m a ; donde m, n > 0, a > 0 y a  1 obtenemos: A) n/m B) nm C) m/n D) m E) n 13. Calcular el log 5 300 , si log 5 2  a

y

log 5 3  2b B) a + b C) a – b + 1 E) 2a + b – 2

A) a + b + 1 D) a + b – 1

14. Reducir: E  log xy x.log xy y[log x y  log y x  2] A) 1/2

C) – 1

B) 1

E) – 1/2

D) 2

15. Simplificar la expresión: 4 log7 ( 2 1)  log 3 log 4 (2 3 )  log     ( 2  1 ) ( 2  3 ) L  7  4          

A) – 1/12 B) 1/6 C) 1/12 D) 1/4

E)1/3

16. Si log24 + log242 +.…+ log24n = log246 . Calcular el valor de “n”. A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 17. Si x – y = log x ; 10x – 10y = x – 1. Calcular: 10x + 10y A) x + y B) (x – y)2 C) x – y D) x + 1 E) 2x 18. La suma de los cuadrados de dos números es 29, y la suma de sus logaritmos en base 10 es igual a 1, entonces la suma de los números es: A) 7 B) 5 C) 2 D) 6 E) 9 n

log 27 3

D) 2



A) 1

Si log 2 5 = a, log 5 75 = b , Calcular : J = log 2 3 A) a − b − 2 B) a(b + 2) C) a(ab − 2) D) ab − 2 E) a(b − 2) Solución: Sabemos que: log 5 75 = log 5 52 . 3 = log 5 52 + log 5 3 log 5 75 = 2 + log 5 3 b = 2 + log 5 3 log 5 3 = b − 2 En “J” se tiene: log 5 3 b−2 J = log 2 3 = = 1 log 5 2 log 2 5 b−2 J= = a(b − 2) 1 a



CPU – UNSM -T

E) 4

 1   , B  a x donde a > 0 y x  0, 19. Si A =   b a  calcular el valor de xlogBA A) an B) – bn C) n D) cn E) bn pág. 45

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

logb P( x)  logb Q( x) .

20. Reducir:

N  anti log 2 . log 3 .anti log 4 . log 6 8 b b b b A) 3 2

B) 3 4

D) 23 4

C) 23 2

D) 3/2

D) 25

3. C) 30

E) 49

23. Hallar el logaritmo de 125 en base 625. A) 0,75 B) 7,75 C) 4,65 D) 0,125 E) 3,75 24. ¿Cuál es la base del logaritmo de 8 si este es igual a – 1,5? A) 1/6 B) 3 C)4 D) 1/4 E)3/2

SEMANA Nº 13 ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ECUACIÓN EXPONENCIAL: DEFINICIÓN: La ecuación exponencial es aquella que contiene una incógnita o incógnitas como exponente. Ejemplos: 1) 5x = 125 2) 6x + y = 216 x2  y 2

3) 2 4  256 Para resolver una ecuación exponencial se hace uso de las siguientes propiedades: 1. a x  a y  x  y ; a > 0  a  1 2. Se hace un cambio de variable: k x = y, se tendrá una ecuación algebraica respecto a y. 3. a x = b x  a = b, a> 0  b> 0 n

(x x )n  (xn ) x xx

xx

1.

2.

1.

2.

1.

n

aa

aa

a Si, x entonces x = a,  x  0. Por analogía matemática. ECUACIÓN LOGARÍTMICA: DEFINICIÓN: Estas ecuaciones presentan por lo menos, una incógnita bajo el operador logarítmico. Ejemplos: 1. Log 2 (x2 + 7x + 12) = x + 2 2. 2x + log38 = 9 (no es ecuación logarítmica) SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA: Para obtener la solución de la ecuación: 5.

2.

E) 8/3

log 7 5 22. Calcular: 25 A) 44 B) 15

4.

1.

E) 4

21. Halle el logaritmo de 4 en base 2 2 . A) 3/4 B) 4/3 C) 1/2

CPU – UNSM -T

Se hace uso de

los siguientes criterios: Se debe analizar la base y las expresiones P(x) y Q(x) que dependen de la incógnita, que garanticen la existencia del logaritmo. Se debe hallar los valores de la incógnita que satisface la relación: P(x)> 0  Q(x)>0  b>0 b 1 Los posibles valores de la incógnita se halla resolviendo la ecuación: P(x) = Q(x). Las soluciones de la ecuación logarítmica se determinan interceptando los valores obtenidos en el paso (1) y (2) INECUACIONES EXPONENCIALES: Sean las inecuaciones exponenciales: V b P ( x )  b Q( x ) b P ( x )  b Q( x ) Donde P(x) y Q(x) son funciones en términos de x. Entonces: Si b > 1 se tiene: b P( x)  b Q( x)  P(x) > Q(x) b P( x)  b Q( x)  P(x) < Q(x) Si 0 < b < 1 se tiene: b P( x)  b Q( x)  P(x) < Q(x) b P( x)  b Q( x)  P(x) > Q(x) INECUACIONES LOGARÍTMICAS: Se presentan dos casos: Si x > 0, b > 1; m  IR, entonces: a) log b x  m  x  b m b) log b x  m  x  b m Si x > 0; 0 < b < 1, m  IR, entonces: a) log b x  m  0  x  bm b) log b x  m  x  b m EJERCICIOS RESUELTOS: Si :4x − 4x−1 = 24 Hallar el valor de J = (2x)x A) √5 B) 5√5 C) 5 D) 25 E) 25√5 Solución: Del dato: 4x − 4x 4−1 = 24 Factorizando 4 𝑥 en el primer miembro: 1 3 4x (1 − ) = 24 → 4x ( ) = 24 → 4x = 32 4 4 5 → 22x = 25 → 2x = 5 → x = 2 Remplazando en “J” se tiene: 5 5 2

J = (2. )2 = √55 → J = 25√5 2.

Rpta: E Si “x” es un entero positivo que verifica la 4 8 relación: √(0,8)(x−3)⁄4 > √(0,64)(x−2)⁄5 Podemos afirmar que: A) Hay infinitas soluciones B) El mayor valor de x es 11 C) el menor valor es 15 D)7 es una solución E) La suma de todas las soluciones es 21 pág. 46

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

𝐴) < −∞, 21/5 > B) < −∞, 21/5] C) [1, ∞+> D) < 1, ∞+> E) < −∞, −21/5 >

Solución: Expresando la inecuación con exponente x−3

3.

2(x−2)

fraccionario: (0,8) 16 > (0,8) 40 Como la base es menor que: 1 se cumple que: x−3 2(x−2) x−3 x−2 < → < 16 40 4 5 → 5x − 15 − (4x − 8) < 0 → x < 7 Comox ∈ ℤ+ , entonces: x = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Luego la suma de todas las soluciones es: 21. Rpta: E Sea la inecuación: 2logx < x 3 Determine el conjunto solución. A) 2, ∞ B) 3, ∞ C) 0, ∞ D) 1,∞ E) 8, ∞ Solución: De: log 𝑥se tiene: 𝑥 > 0 Tomando logaritmo en ambos lados de la inecuación: log 2logx < log x 3 log x log 2 < 3 log x  x log 2 − 3 log x < 0 Factorizando log x (log 2 − 3) < 0 Como:(log 2 − 3) < 0  log x (3 ⏟ − log 2) > 0 +

 log x > 0  𝐶. 𝑆:  1, ∞

6.

Resolver: √81𝑥+15 < √243𝑥−10 𝐴) < −∞, 110 > B) < −∞, 1] C) [110, ∞+> D) < 110, ∞+> E) < −∞, −110 >

7.

Resolver: 42𝑥−2 .45−3𝑥 4𝑥+3

8.

≥

(4𝑥+1 )

2𝑥−3

43𝑥+1

𝐴) < −1,2 > B) < −2,1] D) < 1,2 > E) [−1,2] Resolver: 5𝑥+1 + 5𝑥 = 750

C) [1,2 >

A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) 0 9.

Resolver la ecuación exponencial: 2𝑥+2 − 2𝑥−1 = 28 A) 3

10.

x>1

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B) 4 C) 2 D) 6 E) 9

Resolver: 2(81𝑥 ) = 36𝑥 + 3(16) 𝑥

Rpta: D 1.

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver la inecuación: 27𝑥−1 < 9𝑥+3

A) ¼ 11.

A) < −∞, 9 > B) < 9, ∞+> C) < −∞, ∞+> D) < −∞, −9 > E) < −9, ∞+> 2.

Resolver: 25𝑥+8 < 16𝑥+5 A) < −∞, −12 > B) < −∞, 12 > C) [−∞, 12 > D) [−∞, 12] E) < 12, ∞+>

B) 1 C) ½ D) 2 E) 1/3

Resolver: 1 1 12 (3 ⁄2𝑥 ) − 3 ⁄𝑥 = 27 A) ½

12.

B) 4 C) 2 D) 81 E) 1/9

Resolver:

𝑥

4

A) 2 B) 8 C) 4 D) 0 E) 16 13.

Consideremos: La siguiente expresión: 20𝑛 +16𝑛 +5(22𝑛+1 )

3.

20𝑛 +25𝑛 +2(5𝑛+1 )

Resolver: 3 3𝑥 . 32𝑥 > 27

A) 4/5 B) 4𝑛 /5 C) 5/4 D) (4/5)𝑛 E) (5/4)𝑛 14.

Resolver. 𝑥−5 2

2

𝑥−9 3

5.

Resolver: 3 √27𝑥+1 ≤ √9𝑥−3

Simplificar: 𝑅=

>8

𝐴) < −∞, 13 > B) < −∞, 13] C) [13, ∞+> D) < 13, ∞+> E) < −∞, −13 >

Encuentre el equivalente

simplificado.

A) < −∞, 1 > B) < −∞, 1] C) [1, ∞+> D) < 1, ∞+> E) < −∞, −1 > 4.

𝑥

4

( √√10 + 3) − ( √√10 − 3) = 12√10

𝑚2 +2

2

2

36(6)𝑚 +81(9)𝑚

√

2 2 4(2)𝑚 +9(3)𝑚

A) 3 B) 6 C) 5 D) 2 E) 9 15.

Reducir: 𝑛

𝑅=

𝑛

√3−𝑛+2𝑛 + √3𝑛+2−𝑛 𝑛

√6𝑛 +1

A) 5/3 B) 1/3 C) 6/5 D) 5/6 E) 1/2 pág. 47

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

16.

Reducir: 1

7𝑥

𝑅= √

(81)𝑥+4

3𝑥+1 √3−3

A) 3 B) √3 C) 3√3 D) √2 17.

E) 1

Sabiendo que: 𝑥 𝑛 +9𝑛 1 = 81𝑛 +𝑥 𝑛 3 𝑥−24 𝑥−23 √𝑥 𝑛

√

Calcular el valor de:

A) 27 B) 9 C) 81 D) 3 E) 243 18.

Simplificar: 𝑅=

1

7.2𝑥+2 − −𝑥−4−6.2𝑥−1 2 2𝑥+5 −15.2𝑥 −2.2𝑥+3

A) 2 B) 9 C) 81 D) 3 E) 243 19.

Calcular: 1

𝑅=

5−𝑥 6𝑥−3 −5.6𝑥−5 [ 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−4 𝑥−5] 2 +2 +2 +2 +2

A) 1/3 B) 3 C) 1/5 D) -1/3 E) -3 20.

Calcular: 𝑅=

𝑛−1

𝑛−1 91−𝑛 +1 9𝑛−1 +1 − √ 𝑛−1 1−𝑛 9 +1 9 +1

√

A) 79/9 B) 81/ 5 C) 80/9 D) 9 E) 1/9 21.

Reducir: 𝑥 log 𝑥𝑦 + log 𝑥 2 + log ( ) − log 𝑥 4 𝑦

A) 5 B) 6 C) 0 D) 3 E) 2 22.

Resolver: (log 𝑥)2 + log 𝑥 = 2 A) 1 B) 5 C) -10 D) 1/10 E) 10

23.

Encontrar el mayor valor de “x” en: 5

log11(𝑥 2 −7𝑥+21)

log11 25

=3

A) 2 B) 3 C) 5 D) 11 E) 1 24.

Resolver: log 5 𝑥 log5 𝑥 = 4 A) 5 B) 3 C) 15

25.

A)

UNIDAD IMAGINARIA: Se llama así al número √−1 y se designa por la letra: i = √−1 Ejemplo: √− 4 = √4 √−1 = 2i NÚMERO IMAGINARIO: Un número imaginario lo denotaremos por: 𝑏𝑖 donde: b: es un número real. i: unidad imaginaria. POTENCIA DE LA UNIDAD IMAGINARIA: i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = −i i8 = 1 i9 = i ⋮ NÚMERO COMPLEJO EN FORMA BINÓMICA: Al número a + bi le llamaremos complejo en forma binómica. El número “a” se le llama parte real del número complejo. El número “b” se le llama parte imaginaria del número complejo. OBSERVACIÓN: Al conjunto de todos los números complejos se denota por ℂ. ℂ = {a + bi / a, b ∈ ℝ} Los números complejos de la forma: a + bi y – a − bise llaman opuestos. Los números complejos de la forma:a + bi ya − bi se llaman conjugados. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: (a + bi). (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: a + bi a + bi c − di ac + bd bc − ad = . = + i c + di c + di c − di c 2 + d2 c 2 + d2 MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO: El módulo o magnitud de un número complejoz = a + bi viene dado por la siguiente expresión: |z| = √a2 + b 2 FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO: Y

r

D) 2 E) 25

Resolver la ecuación. 𝑥 log 𝑥 =

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2 104 ( ) 𝑥

10 B) 100 C) 4 D) -2 E) ∅ SEMANA N º 14 NÚMEROS COMPLEJOS

0

 r.cos 𝜃

r. sen θ X

LA EXPONENCIAL z = r (cos  + i sen COMPLEJA: ) Cuando z = a + bi la habíamos escrito z = r(cosθ + isenθ) también la podemos escribir z = reiθ donde: pág. 48

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

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b

θ = arctg ( ) Argumento de z a En particular, si se necesita multiplicar 𝑧 consigo mismo n veces entonces: z n = r n . einθ = r n (cos(nθ) + isen(nθ)) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Siendo “i” la unidad imaginaria ,calcular el valor de la expresión: i + i2 + i3 + i4 + i5 … + i1003 J= 2 − i + i2 − i3 A) – 1 B) 1 1 C) 2

2.

3.

5.

J ⏞ i + i2 + i3 + i4 + ⏞ … + i1000 + i1001 + i1002 + i1003 = 2 − i + i2 − i3 0 + ⋯ + 0 + i1 + i2 + i3 J= 2−i−1+i i−1−i J= 1 𝐽 = −1 Rpta: (A) La expresión J = A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

(1+i)2 (1+3i) i−3

es igual a:

J=

E) 1

D) −𝑖

C) 4

E) 𝑖

Reducir:𝑅 = √2√𝑖 − √2 √𝑖 − 1 9

C) 2𝑖

B) 1

E) – 1

D) 𝑖

Indicar el modulo: (1+𝑖)22 (1+𝑖)20 𝑍 = (1−𝑖)20 + (1−𝑖)16 A) 10 B) 20 C) 25 D) 12

E) 15

Calcular “b” para que el complejo: 𝑧 = 3 + 4𝑖 Sea imaginario puro. 1 + 𝑏𝑖 A) 0.5 B) 0.25 C) 0.6 D) 1.5 E) – 0.75

7.

Calcular: b  a , si:

2 − 𝑘𝑖

A) 2 9.

B) 3

 2  3i 

C) 7

2

 a  bi

D) 17

E) 23

Hallar el valor de “k” para que el cociente 𝑘−𝑖

J=

D) −𝑖

6.

8.

−3+i (−3) −i 2i(−3−i−9i−3i2 ) 2i(−3−10i+3) = 9−i2 9+1 −20i2 20 = =2 10 10

C) 𝑖

i 98

Calcular: A) 1 B) -1

A) 2

Solución: Sabemos que:(1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i Remplazando en “J” 2i(1+3i) 2i(1+3i)(−3−i) J= = 2 2

𝜋

B) 𝑒 −2 𝑖

61 3845

A) 0

E) Solución:

i

Calcular el valor de: A) – 1

4.

1 2 1 i ( ) 2

D) –

2.

2529

2123

sea un número real. B) √2

C) 3

D) 𝑖

E) √2𝑖 3

Dados: 𝑍1 = −3 + 4𝑖; 𝑍2 = 5 − 2𝑖 y 𝑍3 = 2 𝑍4 = 7𝑖 Calcular: 𝑍1 𝑍2 + 𝑍3 𝑍4 21 21 A) −28 − 2 𝑖 B)−28 C) − 2 𝐷) − 21 −

28 𝑖 2

E) −28 +

21 𝑖 2

Rpta: (D) 3.

Efectuar: J =

12(cos15+isen15) [3(cos41+isen41)][2(cos64+isen64)]

A) 2 B) – 2 C) – 2i D) i E) 1 Solución: 0 12e15 i J= 0 0 (3e41 i )(2e64 i ) 0 J = 2e15 i−41i−64i 0 J = 2e−90 i = 2[cos(−90) + isen(−90)] J = 2[0 − i] = −2i EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

i 93  i 75  i 63  i 49 Calcular: R  i 72  i 93 A) 0

B) 1

C) – 1

D) 𝑖

10. Del ejercicio anterior calcular:

𝑍2 ) 𝑍3 A) −12 + 9𝑖 𝐷) − 9 + 12𝑖

B) −2𝑖 21 E) 9 + 2 𝑖

(𝑍1 − C) 9𝑖

11. Si 𝑍1 𝑦 𝑍2 son complejos conjugados tal 1

3

que:𝑍1 = − 2 − 2 𝑖

Calcular:𝑍1 3 − 3𝑍1 . 𝑍2 + 𝑍2 3 A) 1 B) −𝑖 C)  1 D) 𝑖

E) 0

12. Si (𝑎 + 𝑏𝑖)2 = (𝑎 − 𝑏𝑖)3 Calcular: 𝑀 =

2𝑎(2𝑎 + 1) A) 1 B) 0

C) 4

D) 7

E) 2

13. Sabiendo que : √𝐴 + 𝐵𝑖 = 𝑥 + 𝑦𝑖

E) − 𝑖 pág. 49

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ALGEBRA

A) – 1

𝐵2

Hallar el valor de:𝑃 = 𝑦2 𝐴+𝑦4 A) 4

B) 5

C) 15

E) 5𝑖

D) 2

24.

real. A) 7

(𝑎−2)(𝑎2 +𝑎−8)𝑖

B) 4

C) 2

D) 8

[𝑖

15. El valor simplificado de:

B) – 1

A) 0

𝑁=[

B) 𝑖

A) 1

𝑖

(

]

1−1 + 𝑖

, es:

] E) – 1

D) 2𝑖

17. Sea el número complejo: z = 1 + i.

Calcular: z8 A) 5 B) 8 18.

19.

C) 12 D) 16

E) 32

Hallar “n” en: (1 + i)n = 512 i A) 2 B) 4 C) 9 D) 15 E) 18 n + 3i

Si

2 − 5i

es un número complejo puro,

hallar el valor de “n”

A) 20.

15

B) 2

2

C) 6

D) 15

E) 29

Hallar un número complejo cuyo conjugado coincide con su cuadrado 1

A) −  2√2 i B) 2

1

1 2

1

 √3 i

C) − ± 1

2

√3 i 2

E) − 4  √3 i

D) − 2 + 3 √3 i 21.

Calcular el módulo del siguiente número complejo: z = sen240° + cos240° + cos50° + i sen50° A) 2 B) 2cos25° C) cos25° D) 2cos50° E) 2sen25°

22.

Siendo z un número complejo, tal que: z=

(1  i) 2  (1  i) 3 (1  i) 2  (1  i) 3

Calcular el valor de: A) 2 23.

B) – 1/2

Im(z )  1 Re( z )  1 C) 3

Calcule el valor de:

Li

7 5 3

i

D) 1/2

B) 2/3

La expresión

J=

E) 1

(1 + i)2 (1 + 3i) i−3

es

E) 0

B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 SEMANA Nº 15 MATRICES Y DETERMINANTES MATRIZ: Una disposición rectangular de números o funciones, sujeta a determinadas reglas de operación, recibe el nombre de matriz. Simbólicamente:

1+𝑖

C) – 𝑖

( 3  i) 5 (1  i ) 4 C) 2 D) 2/5

A) 5

E) −𝑖

1−1 − 𝑖

E) 0

igual a:

21 ) 15

𝑖 6 +𝑖 8 +𝑖 10

1−𝑖

16. Simplificar:

777! 776!

D) 𝑖

C) 1

25.

E) 1

C) 1 D) 2i

Hallar el módulo del siguiente número

A) 1/5

Es un número

(𝑎−2)+(𝑎−1)

B) – i/2

complejo z  3

14. Para que valores reales de “a” el siguiente

complejo:

CPU – UNSM -T

 a11  a A   21  ...   a m1

a12 a 22

... am2

 ... a 2 n  ... ...   ... a mn  mxn ...

a1n

Dónde: m = número de filas; n = número de columnas y “m x n” indica el orden. Si m = n es una matriz cuadrada. OBSERVACIÓN: Si una matriz es de orden “n x n”, entonces se dice de orden “n”. IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices son iguales si y sólo si tiene el mismo orden y todos los elementos correspondientes son iguales. OPERACIONES CON MATRICES: SUMA DE MATRICES: La suma de dos matrices del mismo orden se efectúa sumando los elementos correspondientes. DIFERENCIA DE MATRICES: La diferencia de dos matrices del mismo orden se efectúa restando los elementos correspondientes. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES: Si A es una matriz de orden “m x p” y B una matriz de orden “p x n”; el producto A.B se define como la matriz de orden “m x n” cuyo elemento de la i – ésima fila y la j – ésima columna se obtiene multiplicando los elementos de la i – ésima fila de A, por los elementos e la j – ésima columna de B, sumando después los resultados. CLASES DE MATRICES: MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1.

9 7 5 pág. 50

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1 0 In   ...  0

0

...

1

...

...

...

0

...

0 0  ...  1  nxn

1. 2.

EJEMPLO DE MATRIZ SIMÉTRICA:  1 9  6 M 3   9 2 7   6 7 5 

MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal 1 M 3  0 0

0 2 0

0 0 5

MATRIZ TRANSPUESTA: Es la matriz que se obtiene de 𝐴 al cambiar las filas por las columnas, o lo que es igual columnas por filas y se denota como: At TRAZA DE UNA MATRIZ: Es la suma de los elementos de la diagonal principal. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ: El determinante viene a ser una función definida por: det: Mnxn → ℝ Notación: se denota como: det(A) ó |A| DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2: a11 a12 A = [a ]  |A| = a11 . a22 − a21 . a12 21 a 22 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3: a11 a12 a13 A = [a21 a22 a23 ] a31 a32 a33 a11 a12 a13 |a21 a22 a23 |  |A| = a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 |A| = a11 . a22 . a33 + a21 . a32 . a13 + a31 . a12 . a23 − (a13 . a22 . a31 + a23 . a32 . a11 + a33 . a12 . a21 ) OBSERVACIÓN: Este método es solo para matrices de orden 3 OBSERVACIÓN: Para matrices de orden 3, 4 ó más se puede utilizar el siguiente método: a11 a12 a13 a14 a a22 a23 a24 A = [ 21 ] a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 Tomemos como referencia a la primera fila (en los ejercicios la fila ó columna que tenga más ceros) a22 a23 a24 a21 a23 a24 a a a a33 a34 | |A| = a11 | 32 33 34 | − a12 |a31 a42 a43 a44 a41 a43 a44 a21 a22 a24 + a13 |a31 a32 a34 | a41 a42 a44 a21 a22 a23 − a14 |a31 a32 a33 | a41 a42 a43

3.

4. 5.

6.

7.

8. 9. 10.

7 |6 4 7 6

CPU – UNSM -T

Donde los signos van intercalados empezando del elemento “𝑎11 ” PROPIEDADES DE DETERMINANTES: |A| = |At | El determinante de una matriz A cambia de signo, si dos filas (ó columnas) se intercambian. Si en una matriz A se tiene que en una fila (ó columna) es múltiplo de otra fila(ó columna) entonces el determinante de dicha matriz vale cero. Si en una matriz A todos los elementos de una fila (ó columna) son ceros, entonces su determinante vale cero. Si en una matriz A todos los elementos de una fila (ó columna) son multiplicados por un escalar “k”, entonces el determinante de la matriz A queda multiplicado por k. Si en una matriz A de orden “n” es multiplicado por un escalar “k”, entonces el determinante de la matriz A queda multiplicado por k n . Si a una fila (ó columna) de una matriz A se le suma el múltiplo de otra fila (ó columna) se tendrá que el valor del determinante de A no varía. El determinante de la matriz identidad es 1. |A. B| = |A|. |B| En general para matrices del mismo orden |A + B| ≠ |A| + |B| Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz 7 6 4 −2 J = [8 0 −3 0 ] 6 2 −5 3 4 −3−2 1 Solución: Tomemos como referencia la fila 2 (por tener más ceros) 6 4 −2 7 4 −2 | J | = −8 | 2 −5 3 | + 0 |6 −5 3 | − −3 −2 1 4 −2 1 7 6 −2 7 6 4 (−3) |6 2 3 | + 0 |6 2 −5| 4 −3 1 4 −3 −2 Para el 1 er determinante, como la fila 1 es múltiplo de la fila 3 por propiedad el determinante es cero Para el 3 er determinante 6 −2 2 3| −3 1 = (7)(2)(1) + (6)(−3)(−2) + 6 −2 2 3 (4)(6)(3) − [(−2)(2)(4) + (3)(−3)(7) + (1)(6)(6)] Resolviendo se tiene: 165 Remplazando se tiene: J = −(−3)(165) → J = 495 INVERSA DE UNA MATRIZ: Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A– 1 si se verifica que: A·A– 1 = A– 1·A = I pág. 51

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 a11 a12   . La inversa de A a 21 a 22 

NOTA: Si A  

1  a 22  a12    A  a 21 a11  EJERCICIOS RESUELTOS: Dada la matriz A, definida por: es: A 1 

1.

2.

3.

A= i − j ; si i ≠ j (aij)3x4 tal que: aij = { i + j ; si i = j Determine la suma de todos los elementos de A. A) 6 B) 12 C) 0 D) 8 E) 4 Solución: a11 a12 a13 a14 a Sabemos que: A = [ 21 a22 a23 a24 ] a31 a32 a33 a34 a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 − 2 = −1 a13 = 1 − 3 = −2, a14 = 1 − 4 = −3 a21 = 2 − 1 = 1, a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 − 3 = −1, a24 = 2 − 4 = −2 a31 = 3 − 1 = 2 a32 = 3 − 2 = 1 a33 = 3 + 3 = 6 a34 = 3 − 4 = −1 2 −1 −2−3 A = [1 4 −1−2] 2 1 6 −1 La suma de sus elementos de A es: 6 Rpta: (A) 0 1 1 2 3 Si A = [ ] , B = [−2 2] Calcule 0 −1 −2 3 4 Tr(A. B), donde Tr = traza de la matriz cuadrada. A) – 10 B) – 5 C) 0 D) 5 E) 10 Solución: 0 1 1 2 3 A. B = [ ] . [−2 2] 0 −1 −2 3 4 A. B = 1(0) + 2(−2) + 3(3) 1(1) + 2(2) + 3(4) [ ] 0(0) − 1(−2) − 2(3) 0(1) − 1(2) − 2(4) 5 17 A. B = [ ] − 4 −10 Tr(A. B) = 5 + (−10) = −5 Rpta: (B) Calcular el determinante de: 1 2 3 J = [4 5 6] 7 8 9 A) – 3

CPU – UNSM -T

B) – 2 C) – 1 D) 0 E) 1 Solución: 4 6 5 6 4 5 J = 1| | −2| | + 3| | 7 9 8 9 7 8 J = 1(45 − 48) − 2(36 − 42) + 3(32 − 35) J = −3 + 12 − 9 J=0 Rpta: (D) EJERCICIOS PROPUESTOS 2x − 1 y 1. Sean las matrices: A = [ ], B= 3−y 2 5−y 2−x −2 5 [ ] y C=[ ]. Hallar 𝐴 + x+1 2 4 −1 𝐶,tal que 𝐴 = 𝐵 2 3 7 1 5 3 𝐴) [ ] 𝐵) [ ] 𝐶) [ ] 5 1 3 5 1 1 8 9 5 3 𝐷) [ ] 𝐸) [ ] 5 1 9 1 2. Hallar: J = a + b + c + d si las matrices 2a + b −4 A=[ ] y 13 3c + d 19 a + 2b B=[ ] Son iguales: c + 3d 15 A) 4 B) 6 C) 8

D) 10

E) 12

3. Escribir explícitamente siguiente matriz: A = [aij] / aij = 2i − j 2x3 1 0 −1 3 1 −1 A) [ ] B) [ ] 3 2 1 3 2 1 1 0 −1 1 2 −1 C) [ ] D) [ ] 0 −1 1 3 3 1 1 −5 E) [ 4 2

−1 ] 1

2 4. Si A = [−1 0

−1 2] 1

y

4 8 B=[ 2 −1

1 ] 3

Hallar la traza (AB) A) 3 B) 2

C) − 1 D) 6 E) − 10

5 a−b 2 5. Si A = [ 4 8 a ] es simétrica a+b x−b 9 Hallar: J = a12 + a31 + a32 A) 6

B) 12

C) 8

 1 2 3 6. En la matriz A   1 2 -3   0 1 2

D) 9

E) 10

4 4  , el valor de 3 

(a13 – a23 + a31) es: pág. 52

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A) 4

B) 6

7. Dadas

C) 5

las

D) 7 E) 8

11. Si las matrices A =

2 3  A  4  5

matrices:

7  4  B  , el valor de la matriz  2  3

y

(B – 2A)

es:

1 2   3 0 

B) 

 x  y u  v  x  y u  v y  

20 12  12  4 son iguales, el valor de   A) 2 408

B) 2 008

D) 2 048

E) 2 480

B=

E = xyuv es:

C) 2 084

3 3 6 8  , B=    , el valor 6 3 3 7 

 3 10    6 7 

 2 3   1 4 

A) 

CPU – UNSM -T

12. Sean las matrices A = 

C) 

de la (Tr (A).Tr (B)) es:

 3 10   3 10  E)    6 7   6 7 

A) 13

D) 

 2 3  1 2   4 5 .  4 5     , la matriz que se 8. Al efectuar  obtiene es:

14 19   16 17 

14 19    24 33

A) 

12 15   17 32 

B) 

los elementos de la segunda columna de la matriz obtenida es:

10. Indicar

D) 14

explícitamente

 

 

matriz: B  bij

la

donde: bij  2  j 1

3

7

1

6

5 

1 C) 0  1

E) I

1 5  3 2  6 7 

1

5

0

6

1

2 

B)  3 1 7   

1 D)  3  7

2 6  y   y C= 1 6  x 

B= 

0 2 6

E) 84

x , y 

 4  8 , si 2 3  

  2 0   6 9

 2  1 6  7

C) 

B) 

 2  1  2  1 E)   9 9  8 7

D) 

a  b  1  1  14. Si la matriz A = 3 b  es simétrica,  2 b  x a  x 4  el valor de S = a 12 + a 31 + a 32 es:

E) 19

i

A) 0 1 2   

x  3y  1

 1  1  7 9

 2 3   1 2  9. Luego de efectuar  4 1 .  , la suma de 3 4    2 3

C) 16

D) 6

13. Sean las matrices A = 

A) 

12 19  14 16  E)     22 34  24 36

B) 12

C) 19

A = B, el valor de (3A+ 2C) es:

C) 

D) 

A) 8

B) 78

3x 3

A) 8 ,

B) 6

C) 4

D) 2

E) 1

a  8 p  b m  a   n  b  es una matriz 15. Si A = a  5 b  9 5  a b  2  2c  5 diagonal, el valor de E = m – n + p es: A) 1

1 1  5 

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9

16. El mayor elemento de la matriz A, siendo A = BC,

 2 3 4 donde B =   y 1  5 6

 1 1 2  C=  1  2 3     0 1  2

es: pág. 53

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ALGEBRA

A) 15

B) 10

C) 12

D) 6

E) 19

sea único es:

17. En la siguiente ecuación

a 1

b c d 4 9 2 

1 0  0  0

A) 7

0 2 0 0 1 1 = 1 0 0  0 1 0

1 1

0 6 6

9 8 4 ,

el

B) 12

C) 15

D) 0

B) 1

C) X

E) 6

 2 3 3 2 , el valor de la traza de  

( A2 – 4A) es: A) 11

B) 12

E) 10

D) 10

E) 12

1 2 2  3 B) 2

C) 6

tgx  sec x es: cos x ctgx

20. El valor de A) – 1

D) 4

2  3 1 2

19. Calcular: A) 1

C) 6

B) 0

C) 1

1

4

21. Sean A =  2

9

1

2

D) 2

 1/ 7 1/ 7    3 / 7 4 / 7 

B) 

E) 4

3

2 1 el valor de 2 y B= 3 1 4

A) – 2 B) 1 C) 2 / 5 ó 1 D) 2 E) – 2 / 5

x y 2

y( x  y)  0 , el valor de x y

x es: A) 0

x

B) 1

y

C) – 2

D) 3

E) 2

z

x y 23. si 1 0 1  0 , el valor de es: z 1 1 2

A) – 2

B) – 1

C) 1

D) 2

1   3   3 / 7 4 / 7

1 / 7 1 / 7   3 4 

D) 

1  1  2 3 

1 3    2 4

E) 

SEMANA Nº 16 MICELANEA PRACTICA 1. Simplificar:

√𝑥. √𝑥. √𝑥 … … 20 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 ; 𝑥 ∈ ℝ+ 𝑥. 𝑥. 𝑥 … . … . .10 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 1 A) 𝑥 B) 1 C) 𝑥 2 D) 𝑥 10 E) 𝑋

2. Proporcionar el valor de “x” que verifica:

“x” en la ecuación Bx2 – Ax + 2 = 0 es:

22. Si: x – 2y = 6 y

E) 1/ 7

4  1  es: 3 1 

C)  18. Dada la matriz A =

D) – 7

25. La inversa de la matriz A = 

A) 

valor de (a.b.c.d) es: A) 8

CPU – UNSM -T

E) 3

2  x x  tiene por 3  x

24. La matriz 

Determinante, el número (x + b), el valor de “b” de tal manera que dicho número

325 A) 1

B) 2

x+2

5x

12−x = √25

C) 3

D) 4

E) 5

3. Si 𝐹(𝑥 + 5) = 3𝑥 + 7;encontrar :𝐹(𝑥 − 5) A) 3𝑥 − 7 B) 3𝑥 − 23 C) 7𝑥 − 3 D) 23𝑥 − 7 E) 𝑥 − 23 4. El grado de 𝑀(𝑥). 𝑁(𝑥) es 7 y el grado de 𝑀(𝑥) ÷ 𝑁(𝑥) es 3.calcular el grado de : 𝑀(𝑥) + 𝑁(𝑥) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. Hallar "𝑚 − 𝑛 + 𝑝" si se sabe que el polinomio: 𝑃(𝑥) = 𝑥 𝑚−10 + 𝑥 𝑚−𝑛+15 + 𝑥 𝑝−𝑛+6 Es completo y ordenado en forma descendente A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 6. Si:𝑎4 − 𝑏 4 = 24˄𝑎2 − 𝑏 2 = 3 Calcular:𝑎2 + 𝑏 2 A) 21 B) 8C) 13 D) 4 E) 5 7. Si:𝑥 + 𝑥 −1 = 4 Calcular el valor de:𝑥 3 + 𝑥 −3 A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55 8. Si la división es exacta:

𝑥 5 − 2𝑥 4 − 6𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 + 3

Calcular el valor de:𝑎 + 𝑏 + 𝑐 A) 1 B) 2 C) 3 D) 7 E) 5

pág. 54

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

CPU – UNSM -T

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

√5log𝑎 𝑥 + 6. 𝑥 log𝑎 5 Cuando:𝑥 = 7log5 𝑎 a> 2 A) 5 B) 7 C) 3 D) 4

E) 6

9. Encontrar el residuo de dividir:

𝑥2 A) 1

5𝑛

B) 2

3𝑛

𝑛

+ 𝑥2 + 𝑥2 + 2 𝑛 𝑥2 + 1 C) 3

D) 4

E) 5

10. Indicar el número de términos del cociente notable de:

𝑥 4𝑚−3 − 𝑦 4𝑚+12 𝑥 𝑚−9 − 𝑦 𝑚−8 A) 12

B) 13

C) 14

18. Calcular el valor de:

19. Si :log 𝑥 2 = 𝑎 ˄ log 𝑦 2 = 𝑏 10

𝑥

Calcular:20 log √ 𝑦

D) 16 E) 15

11. Reconocer un factor de: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 4 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 2 − 𝑥𝑦 4 A) 𝑥 + 𝑦B) 𝑥 2 + 𝑦 2 C) 𝑥 2 + 𝑦 D) 𝑥 2 E) 𝑥 − 𝑦 2 12. Cuál es el denominador racional de:

A) 𝑎 + 𝑏B) 𝑎 − 𝑏C) 𝑏 − 𝑎 D) 𝑎𝑏 E) N.A 20. La ecuación:𝑥 + √𝑥 + 2 = 4 tiene: A) Dos raíces reales B) Una raíz real y una imaginaria C) Dos raíces imaginarias D) Una raíz real solamente E) Una raíz imaginaria solamente

4𝑥 2 7

21. La ecuación :√2𝑥 + 3 − √3𝑥 − 5 = 1 tiene por

√3𝑥 4 𝑦 3

A) 𝑥

B) 𝑦

C) 𝑥𝑦

D) 3𝑥E) 3𝑦

13. Encontrar el coeficiente del termino cuya parte literal es:𝑥 20 en el desarrollo de:

solución: A) 23 B) -3

C) 5

D) 1

E) N.A

22. Efectuar:

1 12 (𝑥 3 + ) 𝑥

𝑥 = √8 ÷ √8 ÷ √8 ÷ … … … .

A) 495 B) 395 C) 490 D) 390 E) 275

A) 1

B) 2

C) 3

D) 8

E) 5

14. Calcular: 83!

𝑀 = 81!+82! ∗ A) 1 B) 2

40!+41! 42!

C) 3

D) 4

E) 5

23. Calcular: 1+𝑖 1−𝑖 𝑃= − 1−𝑖

15. Reducir: 30 100 28 𝐶020 + 𝐶1100 − 𝐶30 − 𝐶99 + 𝐶27 A) 26 B) 27C) 28 D) 29 E) 30

16. Determinar “k” en la ecuación: 𝑥 2 − 2(𝑘 − 1)𝑥 + (𝑘 + 5) = 0 ; (𝑘 > 0) Si las raíces son iguales. A) -1 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 17. Ecuación: 2𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0 Calcular:𝑀 = 𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 E) -2

A) 0

1+𝑖

B) 2i

C) -2

D) 4

E) i

24. Calcular el determinante de la siguiente matriz: 3 2 1 𝐴 = [1 1 1 ] 2 1 1 A) -1 B) 2 C) 0 D) 4 E) 1 25. Calcular "𝑎 + 𝑏" si el conjunto: 𝐹 = {(2; 5), (−1; −3), (2; 2𝑎 − 𝑏), (−1; 2𝑏 − 𝑎), (3; 𝑎)}Es una función:

pág. 55

TARAPOTO - PERÚ

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Semana 01 TEORÍA DE CONJUNTOS

UNSM-CPU-T

El número de subconjuntos propios está dado por: n  P( A)  2n ( A) - 1

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: Un CONJUNTO es un concepto no definido, pero nos da una idea de él, toda agrupación de objetos homogéneos de posibilidades reales o abstractas. A los integrantes de la colección o conglomerado se les llama “elementos” DEL CONJUNTO. NOTACIÓN: Los Conjuntos se representan con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. A = { a, b, c, ….. z }

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: 1.POR COMPRENSIÓN: Se enuncia una propiedad común que caracterice a todos los elementos:

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos. A  B  { x / x A  xB } 2. INTERSECCIÓN: Se llama intersección de dos conjuntos A y B, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. A  B  { x / x A  xB } 3. DIFERENCIA:

A  B  { x / x A  xB } 4. DIFERENCIA SIMÉTRICA:

A = { 𝑥/𝑥 ∈ 𝑁 ; 3 < 𝑥 < 9 } 2. POR EXTENSIÓN: Se nombran uno a uno los elementos del Conjunto. A = { 4; 5; 6; 7; 8 }

AB  ( A  B)  ( B  A) ó

AB  ( A  B)  ( A  B)

5. COMPLEMENTO (A’); (AC); C(A):

RELACIÓN DE PERTENENCIA:

A’ = { x / x U  x  A }

Cuando un elemento es parte del conjunto o pertenece a él, se denota con  . Si no pertenece se denota con  : 4  A ; 2  A.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 1. INCLUSIÓN (  ): Se dice que un Conjunto A está incluido en un conjunto B, si todos los elementos de A “pertenecen a B: A  B Observación: El conjunto vacío  está incluido en todo conjunto. 2.SUBCONJUNTO PROPIO: Un subconjunto propio de A es todo subconjunto de A que no es igual a él. Nº de subconjuntos propios de A  2

n ( A)

1

3. IGUALDAD DE CONJUNTOS: Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos: A  B A  B  B  A

4. CONJUNTOS DISJUNTOS: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. 5. CONJUNTO POTENCIA  P( A) : El conjunto Potencia de A está formado por todos los subconjunto de A. Su cardinal está dado por:

n  P( A)  2n ( A)

1. UNIÓN:

RELACIÓN CON CARDINALES: 1. Si A y B son disjuntos. n( A  B)  n( A)  n( B) 2. Para 2 conjuntos cualesquiera A y B: - n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B) - n( A  B)  n( A)  n( A  B) - n( A  B)  n( A  B)  n( A  B)  n( B  A) 3. Para 3 conjuntos cualesquiera A, B y C: n( A  B  C )  n( A)  n( B)  n(C )  n( A  B) 

n( A  C )  n( B  C )  n( A  B  C )

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar la suma de los elementos del siguiente conjunto: 𝑥+1 𝐴 = {( ) ∈ 𝑁/𝑥 ∈ 𝑁; 13 ≤ 2𝑥 ≤ 39} 3 A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 Solución Los elementos del conjunto A son números x 1 enteros provenientes de la fracción 3 Los valores de “x” son números naturales determinados por la inecuación 13  2 x  5  39 que luego de simplificarla es:  

4  x  17 ,

por lo que estos valores son: 4; 5; 6; ……..; 17 57

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De todos estos valores se deben seleccionar 0

aquellos que cumplan: x  1  3 , o sea x: 5; 8; 11; 14; 17 Se reemplaza estos valores en la fracción x 1 : 3  A = { 2; 3; 4; 5; 6}  La suma de los mismos es 20

2. En un avión viajan 120 personas, de los cuales Los 2/3 de ellos no beben Los 4/5 de ellos no fuman 72 no fuman ni beben ¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben? A) 80 B) 57 C) 88 D) 86 E) 85 Solución Para este caso lo más apropiado es utilizar un diagrama de Carroll. Se coloca en el cuadro, primero el total de totales 120 y luego se van llenando los demás casilleros de acuerdo a los datos: 2 Total de los que no beben: .120 = 80 3 4 Total de los que no fuman: .120 = 96 5 Los demás casilleros se completan hallando las diferencias de los datos que se colocaron primero, quedando así: Fuman

No Fuman

Totales

Beben

16

24

40

No Beben

8

72

80

Totales

24

96

120

De acuerdo a este cuadro, las personas que fuman y beben son 16; y las que no fuman ni beben son 72. La respuesta a la pregunta planteada se hallará sumando ambos datos, ya que el significado conjuntista de “o” es “Unión”. 16 + 72 = 88 3. Dado el gráfico:

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Observamos que el conjunto A es el triángulo, B es el círculo y C el rectángulo. Al estar incluido A en B, A  B = A, o sea al triángulo. La parte sombreada del triángulo corresponde a la operación: [ (A  B) – C)] La parte sombreada en el rectángulo es claramente C – B. Uniendo ambas operaciones se obtiene la alternativa E) [ (A  B) – C)]  (C – B)

PROBLEMAS

PROPUESTOS

1. Determinar la suma de los elementos del conjunto: A={ x2/ x  Z; -5 < x < 5 } A) 12 B) 18 C) 22 D) 30 E) 60 2. Si A, B y C son conjuntos tales que A  B  C, simplificar:

( A  C)  (B  C)  ( A  B  C)  (B  A) A) A

B) B

C) C

D) ϕ

E) U

3. Si A = {x / x ϵ Z ˄ 10 < x < 20} y B={y+5 / y ϵ Z ˄ (√𝑦 + 15) ϵ A} ¿Cuál es la suma de los elementos de B? A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65 4. Sabiendo que el conjunto: A = {a+b; a+2b-2; 10} es un conjunto unitario, ¿cuál es el valor de a2 + b2? A)16 B) 80 C) 68 D) 58 E) 52 5. Dados los conjuntos unitarios: 𝐴 = {(𝑛 + 𝑚); (𝑛 + 𝑝); 8} y 𝐵 = {(𝑚 + 𝑛); 10}. Hallar: (m+n-p) A) 3 B) 8 C) 7 D) 5 E) 4 6. Hallar (b+c+a), sabiendo que los conjuntos A; B y C son conjuntos iguales. 𝐴 = {𝑎 + 2; 3𝑎}; 𝐵 = {𝑎 − 1; 6 − 𝑎}; 𝐶 = {1; 𝑏 + 𝑐} A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. Los conjuntos A y B son tales que n(AUB) = 30; n(A-B) = 12 y n(B-A) = 10. Hallar: n(A) + n(B). A) 22 B) 38 C) 36 D) 25 E) 37 8. ¿Cuántos tipos de jugo surtido se pueden preparar, si se dispone de 6 clases de fruta? A) 56 B) 57 C) 60 D) 63 E) 64

¿Cuál de las siguientes afirmaciones representa la zona sombreada? A) [ (A  B) - C]  B B) (A – C)  B C) (B – C)  A D) (A  B  C)  (C – B) E) [ (A  B) – C)]  (C – B) Solución

9. Si el conjunto A tiene 3 elementos, ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto potencia de A? A) 23-1 B) 28-1 C) 216-1 D)2256-1 E)264-1

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10. Si 𝐴 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑍 ^ 𝑦 / 10 < 𝑥 < 20} y 𝐵 = {𝑦 + 5 / 𝑦 ∈ 𝑍 ^ (√𝑦 + 15) ∈ 𝐴}. ¿Cuál es la suma de los elementos de B? A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55 11. Hallar n(B) si n{P(AUB)} = 256; n(A) – n(B) = 1 y n(A∩B) = 3. A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6 12. Para los conjuntos A, B, C, se cumple: n(AUBUC)=36 ; n(A) = 19; n(B) =25; n(C)=22;

n  A  B   C   7

;

n  B  C   A  8

n  A  B   C   3 ;  . Determinar: 𝑛[𝐴∆𝐵) − 𝐶] A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 8 13. Si n(A) ≤ 1 y B = C. Calcular el valor de: m+n+p. A = { 2p; m }; B = { n+1; 2m - 3 }; C = { n+5; 2p - 1 } A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 14. El conjunto A tiene 31 subconjuntos propios y n(A).n(B) es igual a 35. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene B? A) 7 B) 8 C) 64 D) 127 E) 128 15. En un salón de clases de 80 alumnos, 60 están matriculados en Física y 50 en Matemática. ¿Cuántos alumnos están matriculados en los dos cursos? A) 28 B) 18 C) 30 D) 24 E) 32 16. En un grupo de 44 secretarias se determinó que 7 eran peruanas, simpáticas, altas, flaquitas y morenas; 24 son peruanas simpáticas, 21 son morenas; 23 son altas flaquitas, 10 son peruanas, morenas simpáticas, 15 so peruanas flaquitas altas y simpáticas y 11 son morenas altas y flaquitas. ¿Cuántas de las secretarias no tienen ninguna de las 5 características mencionadas? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 17. De un total de 120 alumnos se observa lo siguiente: 45 aprobaron Física, 46 Química, 38 aprobaron Matemática, 7 aprobaron Física y Química, 8 aprobaron Química y Matemática, 10 aprobaron Matemática y Física y 12 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprobaron al menos 2 cursos? A) 17 B) 22 C) 13 D) 24 E) 15 18. En una fiesta de promoción, exclusivo para egresados, se conoce que el total de personas asistentes es 72. En un momento dado, las mujeres que no bailan

UNSM-CPU-T son el doble del número de varones que bailan. Si el total de varones en la fiesta es la mitad del número total de mujeres. ¿Cuántas personas no bailan en ese momento? A) 20 B) 50 C) 56 D) 40 E) 38

19. De 52 personas se sabe que: 5 mujeres tienen ojos negros, 16 mujeres no tienen ojos negros, 14 mujeres no tienen ojos azules, 10 varones no tienen ojos azules ni negros. ¿Cuántos varones tienen ojos negros o azules? A)21 B) 20 C) 22 D) 23 E) 19 20. ¿Cuántos elementos tiene un conjunto “A” sabiendo que tiene 60 subconjuntos más que un conjunto binario? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 21. Juan tiene 6 clases de vino y desea obtener más tipos de vino, mediante combinaciones que van a realizar. Determinar cuántos tipos de vinos adicionales obtendrá Juan. A) 18 B) 26 C) 57 D) 63 E) 84 22. Un estudiante durante todas las mañanas del mes de octubre desayunó panetón y/o chocolate. Si durante 23 mañanas desayunan panetón y 19 chocolate, ¿cuántas mañanas desayunarán panetón con chocolate? A) 11 B) 12 C) 10 D) 13 E) 14 23. En cierta clase hay 15 magister de los cuáles 10 son hombres, 15 no son magister y 30 son mujeres; ¿cuántos estudiantes hay en clases? A) 55 B) 60 C) 40 D) 30 E) 23 24. En un salón de clases de 65 alumnos, se observó: 30 son hombres, 40 son del ciclo semianual, 35 son mujeres, hay 10 señoritas que no son del ciclo semianual. ¿Cuántos son los hombres que no estudian en el ciclo semianual? A) 20 B) 25 C) 40 D) 15 E) 10 25. En un instituto de idiomas estudian 40 alumnos, de los cuales 20 no estudian italiano, 15 no estudian alemán ni italiano, 23 no estudian alemán. ¿cuántos estudian solo alemán? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 26. De 38 turistas se sabe que 20 son mujeres, 26 no tienen pasaporte, 10 varones tienen pasaporte, ¿cuántas mujeres tienen pasaporte? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 27. De 70 mendigos se conoce que: 26 son mudos, 30 son cantantes, 20 son ciegos, de los ciegos 6 son mudos, de los cantantes 10 son ciegos, ¿Cuántos no son mudos, ni cantantes, ni ciegos? A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

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28. En una encuesta realizada a 300 universitarios, se sabe que 120 son mujeres, 110 personas estudian ingeniería, 60 mujeres no estudian ingeniería, ¿Cuántos varones no estudian ingeniería? A) 95 B) 108 C) 130 D) 135 E) 152 29. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 cifras son múltiplos de 2 pero no de 3? A) 150 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350

Semana 02 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Es el conjunto de principios, leyes y artificios que se emplean para expresar los números y representarlos correctamente.

II Caso: Del sistema decimal a un sistema de base n (n ≠ 10). El método que se emplea es el de las “Divisiones Sucesivas” Para pasar un numeral de base n(n ≠10) a otro de base m (m ≠ 10) se convierte el número dado al decimal (Primer Caso) y de aquí al sistema pedido (Segundo Caso) CAMBIOS DE BASE ESPECIALES: 

1011000112 La conversión es de Base 2 a Base 22 -

-

CIFRA: Es cada uno de los símbolos arbitrarios utilizados para representar a los números mediante los numerales.

 

  

El lugar de una cifra se ubica de izquierda a derecha. El orden se ubica de derecha a izquierda. La base de un numeral nos indica cuántas unidades de un orden cualquiera se necesita para formar una unidad de orden inmediato superior. Toda cifra es un numeral, siempre debe ser entera no negativa y menor que su respectiva base. El valor absoluto de una cifra es como la figura en el numeral. El valor relativo de una cifra tiene en cuenta la base y el orden.

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO Siendo el número: N = abcd ......xyz (n) “K” cifras

Al pasar a una base mayor, obtendremos un numeral de menos cifras. ¿Cuánto menos? El exponente 2 indica que por cada dos cifras del numeral de base 2 se tendrá uno en base 4; esto se evidencia en el cuadro, donde se separan las cifras en grupos de dos, contados de derecha a izquierda. Cada una de los numerales así obtenidos se descompone polinómicamente, lo cual nos dará las cifras de la respuesta. 1 1

01 1

10 2

00 0

11 3

112 = 1(2)+ 1 = 3, y así sucesivamente.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES: 

De base “n” a base nk

Ejemplo: Escribir en Base cuatro:

NÚMERO: Es un ente (idea) matemático que nos indica cantidad y nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. NUMERAL: Es la representación gráfica y escrita del número, utilizando para ello uno o más símbolos arbitrarios.

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 1011000112 = 112034



-

-

De base nk a base “n” Ejemplo: Escribir en base 2 el numeral 76138 La conversión es de Base 23a base 2 El numeral que se obtenga tendrá más cifras por estar en base menor. El exponente 3 indica que por cada cifra del sistema de base 8, se escribirán tres en base 2, completando con ceros a la izquierda si fuese necesario. Para ello se efectuarán divisiones sucesivas de cada grupo formado (De base 10 a base 2). 7 111

6 110

1 001

3 011

 76138 = 1111100010112

PROPIEDADES: Descomponiendo tendremos:

polinómicamente

N= a.nk-1+ b.nk-2 +c.nk-3 +…+ z.no CAMBIOS DE BASE: I Caso: De un sistema de base “n” (n ≠ 10) a base 10. El método a emplear será la Descomposición Polinómica

1. Toda base es mayor que cualquiera de sus cifras 2. Si un número se expresa en dos sistemas de numeración, se cumple que: “A mayor numeral, menor base y a menor numeral, mayor base” abcd ( x )  mnp( y ) ; Si abcd . > mnp.  x < y

3. Para convertir el mayor numeral de “k” cifras de base “n” al sistema decimal: 60

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* ( n –1) ( n –1) … (n -1) (n) = nk – 1 “k” cifras * nk -1 ≤ abc...xy ( n ) ≤ nk - 1 “ k “ cifras Para bases sucesivas, o bases de bases:

CONTEO DE CIFRAS: PAGINACIÓN:

4.1

Es el acto de enumerar páginas, recordando que un tipo de imprenta equivale a una cifra.

1a 1b = n + (a + b + … + x)

C1 → N = (N + 1) k – 111… 111 “k” cifras

1x ( n )

4.2

C1 → N = Cantidad de cifras N = Número dado k = número de cifras de N

1a = n + a. k

1a

“k” veces

PROBLEMAS RESUELTOS

1a ( n )

NÚMERO CAPICÚA: Es aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales es decir se leen iguales por ambos lados. ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑏𝑎

;

̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎

Solución

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑐𝑏𝑎

;

CONTEO DE NÚMEROS Y CIFRAS PROGRESIÓN ARITMÉTICA: a1; a2; a3 ;…; an donde: Primer término:

a1

Último término:

an = a1 + r(n-1)

Razón:

r = ai -ai -1

Número de términos: n  Suma de términos: S 

an  a1 1 r

(a1  an )n 2

MÉTODO COMBINATORIO: Numéricamente igual al producto de las Cantidades de valores que pueden tomar dichos órdenes o variables. Ejemplo: Para hallar cuántos numerales de 4 cifras en base 10 existen de la forma:

(a  1)(b  2)6c(a  3) Encontramos los valores que satisfacen las condiciones dadas para cada cifra, multiplicando luego las cantidades de cifras correspondientes.

(a  1)(b  2)6c(a  3) 0 1 2

1. Si los números: 33n, nnm , mm6 ; están bien representados, calcular : m+n A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 11

0 60 1 1 2 2

6 7 9 _____________ 7 x 8 x 1 x 10 = 560

Considerando el principio que toda cifra de un numeral es siempre menor que su base, se puede deducir la siguiente relación: 3 < n < m < 6 n + m = 9 ↓ ↓ 4 5 2. Una persona empieza a enumerar páginas desde el número 4000 y se detiene en el número que representa la cantidad de dígitos utilizados. Dar la suma de los cuadrados de las cifras del último número escrito. A) 42 B) 47 C) 52 D) 54 E) 59 Solución Utilizando la fórmula del conteo de cifras y el principio “Una parte es igual al todo menos la otra parte”: (C1 → abcd ) – (C1 → 3999) = abcd





[ abcd  1 4 -1111] - [ (3999+1) 4 -1111] = = abcd 4 abcd - 1107 – 14 889 = abcd 15996 abcd = = 533 3  55 + 32 + 32 + 22 = 47 3. Expresar el numeral 352(6) en base 7 Solución En primer lugar hay que pasar el numeral de base 6 a base 10 y luego de base 10 a base 7. 352(6) = 3 . 62 + 5 . 6 + 2 = 140 61

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Por divisiones sucesivas: 140 = 260(7)

140

7

0

20

7

6

2

UNSM-CPU-T número, se obtiene otro que excede en 1755 al original. Dar como respuesta la suma de las 4 cifras del número primitivo. A) 10 B) 14 C) 17 D) 20 E) 24

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 3847 se escribe con 3 cifras? A) 18 B) 19 C) 20 D) 48 E) 58 2. La suma de un número de dos cifras y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a once veces la diferencia de los números. Hallar el mayor de dichos números. A) 54 B) 64 C) 85 D) 44 E) 74 3. Halle la siguiente suma y dé su respuesta en base 11. 42(6) + 42(7) + 42(8) + …+ 42(80) A) 13050(11) B) 9894(11) C) 4302(11) D) 9872(11) E) 13078(11) 4. Dado el capicúa: (a  3)(b  1)(a  2)(9  a) hallar a-b A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 5. Si ab = 9(a+b), hallar a . b A) 8 B) 18 C) 9 D) 27

E) 81

6. Si ac(b)  cb( a  2) y a+b+c = 24, hallar abc A) 978 B) 987 C) 897 D) 798 E) 789

13. Si xxx.......xxx (2) = 8191 “n” cifras iguales 14. Hallar N = nnn expresado en base 10. A) 1780 B) 2543 C) 2743 D) 2780 E) 3720 15. Con las cifras 0; 2; 3; 5; 7 y 9, ¿Cuántos numerales comprendidos entre 300 y 700 se pueden formar? A) 71 B) 72 C) 80 D) 108 E) Más de 108 16. ¿Cuántos números capicúas pares de 7 cifras hay, tal que su cifra central sea impar? A) 1000 B) 1500 C) 1600 D) 2000 E) 2500 17. ¿Cuántos números de 4 cifras tienen por lo menos una cifra igual a 3? A) 3168 B) 3256 C) 3600 D) 6561 E) 4584

7. Hallar un número de 2 cifras que, al restarle el mismo número, pero con las cifras invertidas dé como resultado 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

18. Para enumerar la primera cuarta parte de las páginas de un libro se emplearon 342 cifras. ¿Cuántas cifras se emplearon para enumerar todo el libro? A) 1 600 B) 1 653 C) 1 692 D) 1705 E) 1712

8. El numeral 8765(9) se escribe en el sistema ternario como: A) 202122(3) B) 22212012(3) C) 12202122(3) D) 121120(3) E) 11122120(3)

19. Si los numerales ab1 y ab 4 son dos términos consecutivos de una PA, además el primer y último términos son 11 y 902.Hallar “n” A) 296 B) 297 C) 298 D) 299 E) 300

9. El mayor número de 3 cifras diferentes en cierto sistema de numeración, convertido a base 6 es 313. Hallar la base de dicho sistema A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

20. ¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a su primera cifra se le agrega 2 unidades, a la segunda cifra se le quita 3 unidades y a su tercera cifra se le aumenta una unidad? A) Aumenta 61 unidades B) Disminuye 61 unidades C) Aumenta 123 unidades D) Disminuye 123 unidades E) Aumenta 171 unidades

10. Expresar: 120210222111021(3) en base 27. Dar como resultado la diferencia de mayor y menor cifra. A) 22 B) 21 C) 20 D) 19 E) 18 11. Exprese el numeral 1010011101(2) en el sistema octanario. A) 2700(8) B) 1545(8) C) 1235(8) D) 3521(8) E) 5610(8) 12. Hallar un número de 4 cifras que empieza en 2, tal que ese 2 se coloca al final del

̅̅̅̅̅̅̅(12) = 𝑐𝑑𝑐𝑑 ̅̅̅̅̅̅(13) , 21. Si 𝑁 = 𝑎𝑏𝑎𝑏 valores puede tomar N? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

cuantos

22. Calcular el valor de “a” en: 13 13 13 = 98 62

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN

ARITMÉTICA 3) Suma de los “n” primeros positivos.

“a” veces 13(𝑎𝑎 ̅̅̅̅) A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

UNSM-CPU-T

Si = 1+3+5+…+(2n – 1) = n2

E) 9

23. ¿Cuál es la base del mayor número de 20 cifras que equivale a: 999…999 (100 cifras) A) 10 B) 104 C) 106 D) 105 E) 103 24. ¿En qué sistema de numeración, los numerales: 479; 698 y 907 están en progresión aritmética? A) Decimal B) Undecimal C) Duodecimal D) Vigesimal E) Hexadecimal 25. ¿Cuál es el décimo quinto término de la siguiente progresión aritmética: 16n; 27n; 40n; ….? A) 203n B) 204n C) 214n D) 212n E) 205n 26. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? A) 900 B) 100 C) 125 D) 675 E) 225 27. ¿Cuántos tipos de imprenta se utilizaron al enumerar un libro de 540 hojas? A) 2131 B) 2132 C) 3213 D) 3134 E) 3135 28. Una persona muy bondadosa reparte S/3000 entre cierto número de personas, entregándoles S/1; S/7; S/49 y S/343;…; con la condición que ellas estén agrupadas de modo que no existan más de 6 personas en cada grupo. Determinar el total de personas favorecidas con el reparto. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

Semana 03 LAS CUATRO OPERACIONES

4) Suma de los “n” primeros perfectos.

Sn 2 

n(n  1)(2n  1) 6

5) Suma de los “n” primeros Perfectos.

Sumas notables: 1) Suma de los “n” primeros números positivos consecutivos. Sn = 1+2+3+…+n =

𝑛(𝑛+1) 2

2) Suma de los “n” primeros números pares positivos Sp = 2+4+6+…+2n = n(n+1)

cubos

Sn3 = 13+23+33+ …+n3  n(n  1)    2 

2

Sn3  

6) Suma de las “n” primeras potencias naturales de un número. S = A0+A1+A2+A3+…+An Sn 

An1  1 A 1

7) Suma de términos de una Progresión Aritmética S = a1+a2+a3+…+ an. a  a ) Sn   1 n  n  2 

SUSTRACCIÓN: Operación binaria inversa a la adición, que consiste en que dadas dos cantidades llamadas minuendo y sustraendo poder encontrar otra cantidad llamada diferencia, tal que sumada con el sustraendo reproduzca el minuendo Propiedades 1) Se cumple que : M+S+D = 2M 2) Dado el número abc ; donde a cumple.

> c se

abc 

mnp

Es una operación binaria cuyo objeto es reunir varias cantidades homogéneas en una sola llamada suma total

cuadrados

Sn2 = 12+ 22+32+… +n2

cba

ADICIÓN:

impares

n=9; m+p=9

a-c=m+1

COMPLEMENTO ARITMÉTICO: Es lo que le falta a un número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden En general: sea “N” un número de “K” cifras Luego: CA(N) = 10k – N También: CA (abc) = (9  a)(9  b)(10  c)

MULTIPLICACIÓN Es una operación directa, que consiste en repetir como sumando un número llamado multiplicando, tantas veces como lo indica otro 63

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN

ARITMÉTICA

número llamado multiplicador y así conseguir un resultado llamado producto. M.m = P

Cantidad de producto.

cifras

posibles

de

(a+9)(b +a)=p+549 P+9(a+b)= p+468 a+b=52 a-b= 18 a= 35; b=17//

un

La cantidad de cifras que tiene un numeral se puede delimitar con las potencias de 10. La cantidad de cifras posibles con las que puede contar un producto, dependerá de la cantidad de cifras de sus factores.

3. Hallar el mayor número entero que al dividirlo entre 70 se obtenga un cociente que es la raíz cuadrada del resto. A) 602 B) 632 C) 532 D) 624 E) 642

N 70 𝑞2 q

101 ≤ ab < 102 102 ≤ abc < 103 10 n-1 ≤ N < 10n

Es una operación inversa a la multiplicación, que consiste en conocer dos cantidades llamadas dividendo y divisor para encontrar otra cantidad denominada cociente, tal que multiplicada por el divisor, reproduzca el dividendo. D = d.q + r División exacta: r = 0 División inexacta: 1.- Por defecto: D = d.qd + rd 2.- Por exceso: D = d(q + 1) - re

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Hallar M = 7 + 10 + 15 + 22 + … si son 40 términos. A)22 280 B) 22 380 C) 22 680 D)22 580 E) 22 480

2.

En la P.A. halla la suma de términos. 31 n; 35n; 40n; …; 400n A)13 200 B) 13 400 C) 13 800 D)13 600 C) 13 000

3.

La suma de dos números es igual al mayor número de 3 cifras y su diferencia es igual a la tercera parte de la suma. ¿Quién es el menor? A)222 B) 666 C) 444 D) 555 E) 333

4.

Hallar las 3 últimas cifras de la siguiente suma: 3 + 53 + 353 + 5353 + … si dicha sumatoria tiene 24 sumandos. A)13 B) 11 C) 12 D) 10 E) 14

5.

Calcular: 12 + 32 + 52 + 72 + … + 312 A)5 454 B) 5 455 C) 5 456 D)5 460 E) 5 458

6.

Si: 1 + 2 + 3 + … + n = aaa . El valor de “a” es : A)5 B) 7 C) 4 D) 8 E) 6

7.

Los siguientes números son pares consecutivos: 33n ; 35n ; 40n ; … ; 213n . Hallar la suma en base decimal. A)2 838 B) 2 816 C) 2 856 D)2 896 E) 2 800

8.

Hallar (x + y + z) si:

Propiedades 1) 0 < r < d 2) rmax = d – 1 ; rmín = 1 3) rd + re = d 4) Si al dividendo y al divisor lo multiplicamos o dividimos por un número diferente de cero, el residuo también se multiplica o divide por el número, pero el cociente no se altera. Si D : d = q + r → D.a : d.a = q + r.a

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar un número de 4 cifras, tal que al restarle el quíntuple de su complemento aritmético se obtenga 1246 de resultado dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 13 ̅̅̅̅̅̅̅ Sea el número: 𝑎𝑏𝑐𝑑 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 − 5(10000 − ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 ) = 1426 6abcd - 50000 = 1246 6abcd = 51246 abcd = 8541 a+b+c+d = 18// 2. Aumentando en 9 los 2 factores de un producto el resulta aumenta en 549. Hallar una de los factores, si la diferencia de ellas es 18. A) 36 B) 16 C) 34 D) 17 E) 28

N= 70q+q 2

Para que “N” sea lo mayor posible, entonces “q” debe ser lo mayor posible. Si r 𝑏

Propiedades: (𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏) … … (𝒏 − 𝟏)(n)=nk-1 

y la ecuación 3 𝑥 + 2 = 𝑐

“k” veces 

Donde c es un número real. ¿De qué intervalo se pueden escoger los valores de c de tal forma que la ecuación anterior tenga por lo menos una solución real para x? A) 𝑐 ≤ 3

B) 𝑐 > 3

C) 𝑐 = 2

D) 𝑐 < 3

𝟏𝒂 𝟏𝒃 = n+c+b+a 𝟏𝒄(n) b) De base 10 a base n (n≠10) Se usa las divisiones sucesivas Ejemplo: Convertir 418 al sistema quinario.

E)

𝑐≠3 21. Si: a * b = 2a – 3b. Calcular el valor de “x”, si: (2x + 1) * (x – 1) = 8 A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 0 22. Siendo: a Θ b = a3 + 2a. Calcular: E = 3 Θ (4 Θ (5 Θ (…))) A) 32 B) 35 C) 34 D) 33 E) 36

418=3133(5) c) De base n a base m(m,n≠10) Pasar de base n a base 10 y luego pasar de base 10 a base m. NOTA: 0,𝒂𝒃𝒄(n) = 𝒂𝒃𝒄(n) 𝟏𝟎𝟎𝟎(n) ̂ (n)= 0,𝒂𝒃𝒄 𝒂𝒃𝒄(n) 225 | P á g i n a

RAZONAMIENTO MATEMATICO

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(n) Conteo de cifras: Dada la secuencia: 1,2,3,4…..N(n),N tiene k cifras, entonces: # de cifras (1 N(n)= (N(n) +1) k – 11….111(n) “k” cifras Base 2 3 11

Sistema binario ternario Undecimal

Cifras 0,1 0,1, 2 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α

4 5 6

cuaternario 0,1, 2, 3 quinario 0,1, 2, 3, 4 senario 0,1, 2, 3, 4, 5

7 8 9

eptal octal nonal

0,1, 2, 3, 4, 5, 6 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8

10

decimal

0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9

  10    11  23 (13)  2  10  3 (13)   12    Números capicúas. Son aquellos números cuya lectura de izquierda a derecha o viceversa es la misma. aa

 2 cifras

aba  3 cifras abba  4 cifras

Descomposición polinómica: Es descomponer en sumandos tal que estos sean potencias o múltiplos de la base. ab (n)  a  n   b abc (n)  a  n   b  n   c



CPU – UNSM -T

abc (n)

 n  1  n  1  n  1 (n) aa  11a aaa  111a

aaaa  1111a CRIPTO ARITMÉTICA Es el proceso de encontrar las cifras que están representadas por letras u otros símbolos los cuales intervienen en la formación de números en las operaciones aritméticas y otros teniendo en cuenta las propiedades de las mismas. Características: A cada letra corresponde una y solamente una cifra o viceversa. A letras iguales corresponde cifras iguales. Si las cantidades vienen representadas por otros símbolos que no son letras cada símbolo no equivale necesariamente a cifras diferentes, a no ser que se indique en el problema. La letra “O” no representa necesariamente el cero, a no ser que sea dado en el problema. EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Si el número: (𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎 − 2)(4), llevarlo a base (6). A) 124 B) 421 C) 412 D) 121E) 223

2.

̅̅̅̅̅̅̅(n) Hallar “a+b+c+d+n” si : 102(3) = 𝑎𝑏𝑐𝑑 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

3.

Si el numeral: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑎 − 1)𝑏(𝑏 + 1)(𝑎 + 5)(3 − 𝑎) es capicúa, hallar la cifra del tercer orden. A) 4 B) 8 C) 7 D) 5 E) 9

4.

Si los números están correctamente escritos calcular “a+b” ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (2𝑎)(𝑎 − 2)(5) y ( )(𝑏 + 5)(9)

2

abcd (n)  a  n   b  n   c  n   d 3

2

ab  10a  b abc  100a  10b  c abcd  1000a  100b  10c  d Descomposición por bloques:

    abcabc  1000  abc   abc  1001  abc  abab  100 ab  ab  101 ab

Observaciones: A mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa.

3

A) 2

234 (5)  10212 (3) mnp (x)= abc (x)    m= a , n= b , p= c mayor menor El mayor numeral de “x” cifras de base “n”.

 n  1  n  1  ......  n  1  (n)  n x  1 1a

 n  xa

1a

"x "veces

0, abc (n) 

1a (n)

abc (n) 1000 (n)

D) 6

E) 3

Cuantos números de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras. A) 1 B) 3 C) 5 D) 4 E) 7

6.

Un numero de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de las decenas más nueve veces la cifra de las unidades. ¿Cuál es la suma de las cifras del número? A) 10 B) 11 C) 12 D) 17 E) 15 Si : ̅̅̅ 𝑎𝑏 + ̅̅̅ 𝑏𝑎 = 143 𝑦 𝑎 − 𝑏 = 5 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ̅̅̅ 𝑎𝑏2 A)8836 B)8826C) 8766 D) 625 E) 100

7.

x cifras

* 1a

C) 5

5.

mayor

menor

B) 6

8.

Un número está compuesto por 2 cifras cuya suma es 10 y tal que al invertir el orden de sus cifras el número disminuye en 36 unidades, dar como respuesta el producto de sus cifras. A) 21 B) 10 C) 16 D) 14 E) 28 226 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

9.

Calcular 3m + 2n – p, si se sabe que los siguientes números están ̅̅̅̅̅̅(4) , ̅̅̅̅̅ correctamente escritos:31𝑚 21𝑛(m) , ̅̅̅̅̅(n) 𝑝𝑝0 A) 11 B) 12 C) 16 D) 13 E) 15

10. El cuádruplo de un número es de la forma ̅̅̅ ab, pero si al número se le multiplica por 3 ̅̅̅. y luego se le divide entre 2 se obtiene ba Hallar: (a-b). A) 3 B) 7 C) 5 D) 8 E) 9 11. El número telefónico de Rosita tiene 6 cifras y es capicúa. Si la primera cifra se multiplica por 11, se le añade la segunda; luego todo se multiplica por 11 y Finalmente añadimos la tercera cifra y obtenemos 985 ¿Cuál es la suma de sus cifras del número? A) 18 B) 28 C) 30 D) 36 E) 32

21. Hallar el valor de a si (a  3)a(a  2)7 es de 3 cifras. A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6 22.

Hallar:  a  b  si:

 x  1  x  1  x  1  x  1 (x)  ab4 A) 6

B) 7

13. Hallar el valor de “a” si : ̅̅̅̅̅ 1𝑎4 =504𝑛 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 14. Cuántas cifras se emplean al escribir la siguiente serie? 30, 33, 36, 39, ……………………….2238

284 ; 21; 2 B) 12 C) 13

26.

E) 16

Hallar: a  b si.



ab  ba  11 ab  ba



A) 11 B) 12 C) 13

15. Cuántos números de la forma ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎(𝑎 − 2)𝑏(6 − 𝑏) existen en el sistema decimal? A) 56 B) 64 C) 72 D) 81 E) 48

A) 232 B) 200

llevarlo a base decimal.

) 14

25. Cuál es la última cifra del menor número capicúa de 5 cifras cuya suma de cifras es 27. Siendo c/u de ellas menores que 9. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

27.

770 (5)

D) 9 E) 10

24. En qué sistema de numeración los números que se dan, están en progresión aritmética.

A) 200 B) 1000 C) 1600 D) 2600E) 2560

16. El número

C) 8

23. Elías nació en el año 19ab y se sabe que en 19 ba cumplió 2b años. Cuantos años cumplirá en el año 2005. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 58

A) 11 12. Cuantos números de cuatro cifras mayores que 2700 terminan en 25 y 75? A) 145 B) 146 C) 147 D) 150 E) 120

CPU – UNSM -T

D) 14

E) 20

Expresar 1658 – 1 en el sistema binario y dar como respuesta la suma de sus cifras: C) 100 D) 231 E) 421

28) ¿Cuál de los siguientes numerales representa el mayor número? A) 4024 (5) B) 2215 (6) C) 1340 (7) D) 1004 (8) E) 371(12)

A) 215 B) 210 C) 220 D) 230 E) N.A 17. El número 333 de base decimal llevarlo a base 7. A) 555 (7) B) 654 (7) C) 325 (7) D) 650 (7) E) N.A 18. Cuantos números de 3 cifras hay en base 8. A) 325 B) 448 C) 447 D) 457 E) 458

19.

20.

29) ¿Cuántas cifras se emplearan para escribir todos los términos de la sucesión siguiente? 401 , 443 , 487 , 533 , ......... , 1541

A) 48 B) 25 C) 40 D) 42 E) 30 30) Se tiene una colección de pesas:1kg, 3kg, 9kg, 27kg,……….. se desean pesar 317kg . ¿Cuál es el menor número de pesas que deben tomarse? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

En qué sistema se realizó la operación: 50-27=22 A) 8 B) 9 C) 11 D) 13 E) 12 Calcular: a+b+c si.

aabc (7)  babb (5) A) 6 B) 9 C) 7

D) 8

E) 4

227 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

SEMANA N° 06 PROMEDIOS Y RAZONES Y PROPORCIONES RAZONES Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación puede ser de dos maneras: Razón Aritmética y Razón Geométrica Ejemplo: comparar los números 64 y 16  Razón Aritmética: 64-16 =48  Razón Geométrica: 64/16=4 RAZON ARITMETICA a–b=r Razón aritmética b: Consecuente a:Antecedente RAZON GEOMETRICA a  k k:Razón geométrica b

a:Antecedente B:Consecuente PROPORCIONES Se establece una proporción al igualar 2 razones, entonces las proporciones pueden ser Geométricas o Aritméticas. PROPORCION ARITMETICA Se llama así a la igualdad de dos razones aritméticas de un mismo valor: Si: a – b = r y c – d = r a – b = c – d Proporción Aritmética Terminología: a y c: antecedentes b y d: consecuentes a y d:extremos b y c: medios CLASES DE PROPORCION ARITMETICA 1. PROPORCION ARITMETICA DISCRETA a–b=c–d d: cuarta diferencial 2. PROPORCION ARITMETICA CONTINUA a–b=b–c b: media diferencial c: tercera diferencial PROPORCION GEOMETRICA Se llama así a la igualdad de dos razones geométricas de un mismo valor: Si: a b

 k

y

c d

 k

a b



c d

Proporción Geométrica Terminología: a y c: antecedente b y d: consecuente a y d: extremos b y c: medios Donde k: constante de proporcionalidad CLASES DE PROPORCION GEOMETRICA 1. PROPORCION GEOMÉTRICA DISCRETA a c  b d d: cuarta proporcional 2. PROPORCION GEOMÉTRICA CONTINUA

CPU – UNSM -T

a b  b c b: media proporcional c: tercera proporcional PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS a) La suma o resta de los dos primeros términos es a la suma o resta de los dos últimos términos, como los antecedentes son entre si o como los consecuentes son entre si. Si: a  c  a  b  a  b b

d

cd

c

d

b) La suma de los dos primeros términos es a su resta como la suma de los dos últimos términos es a su resta. a c ab cd    b d ab cd

c) La suma o la diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes como cada antecedente es a su respectivo consecuente. a c ac a c     b d bd b d

d) En toda proporción geométrica la suma o resta de los dos términos de la primera razón es a su consecuente i antecedente como la suma o resta de los dos términos de la segunda razón es a su consecuente o antecedente. ab c  d  a c  b d   b dab  c  d  a c

e) La suma de antecedentes es a su diferencia como la suma de consecuentes es a su diferencia. a  c  a  c  b  d b

d

ac

bd

PARA RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES En forma genérica podemos afirmar que: a1 a 2 a3 a    ....  n  k(razón) b1 b 2 b3 bn

a) La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes NO hace variar la razón: a1  a 2  a3  ....  an  k(razón) b1  b 2  b3  ...  bn

b) El producto de los antecedentes sobre el producto de los consecuentes hace variar la razón: a1  a 2  a3  ....  an n  k (razón) b1  b 2  b3  ...  bn

PROMEDIOS Se llama promedio o cantidad media de un conjunto de números a un número que es mayor que la menor cantidad y menor que la mayor. a1  a 2  a3  ......  an a1  Pr ome dio  an

Media aritmética (M.A) Media aritmética de a y b. M.A 

ab 2

228 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

Media aritmética (M.A) de “n” Números. M.A 

a1  a 2  a3  ......  an n

A) 94

ab

Hallar la tercera proporcional de una proporción geométrica continua donde el producto de sus cuatro términos es 6561 y el primer término es 9 veces el último término. A) 3 B) 18 C) 27 D) 81 E) 243

8.

Si: 30 12 10 y además: a + b + c = 52 Hallar el valor de: a – c A) 20 B) 24 C) 8 D) 12

Media armónica (M.H) Media armónica de “a” y “b”.

ab

n M.H  1 1 1 1    ......  a1 a 2 a 3 an

No olvide que: M.A  M.G  M.H MG2= MA.MH Media ponderada (M.P.) Es el promedio de cantidades que poseen pesos EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Dos números están entre sí como 7 es a 12. Si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro número debe triplicarse. Hallar el mayor de los 2 números. A) 60 B) 48 C) 36 D) 72 E) 84 2.

En un corral la relación entre el número de pollos y el número de gallinas es como 5 es a 3. Si se mueren 1/3 del número de aves del cual 2/3 eran pollos y el resto gallinas. ¿Cuál será la nueva relación entre el número de pollos y gallinas que quedan?. A) 29/19 B) 29 C) 19 D) 3/2 E) 4/3 32

3.

4.

bc

4

c 4 e Si: b Hallar el valor de “e”. A) 1 B) 2 C) 4

D) 3 E) 8

Sabiendo que:

a a 1 aa b aa y que la suma de los términos de esta proporción es 144. Calcular el valor de la media proporcional. A) 16 B) 27 C) 32 D) 9 E) 25



5.

Los antecedentes de varias razones geométricas equivalentes son: 2 ; 3 ; 4 y 5 el producto del primer antecedente y los 3 últimos consecuentes es 41160. La suma de los consecuentes es:

E) 97

7.

M.G  n a1  a2  a3  ......  an

2ab ab Media armónica (M.H) para “n” números.

D) 96

Determinar la tercia proporcional entre la media proporcional de 9 y 16; con la cuarta proporcional de 10; 15 y 14. A) 38 B) 36, 75 C) 40 D) 34, 25 E) 32, 5

Media geométrica (M.G) de “n” Números.

M.H 

C) 95

6.

Media geométrica (M.G) Media geométrica de “a” y “b”.

M.G 

B) 98

CPU – UNSM -T

9.

 bc  ca

E) 10

En una proporción geométrica continua, la suma de sus términos extremos es 51; y la suma de sus cubos es 110619. Hallar la suma de los términos de la proporción. A) 102 B) 95 C) 147 D) 75 E) 180 a

 b k

b c 10. Si: y ab  ac  320 Hallar: a + b + c; siendo a, b, c y k números enteros y distintos entre sí. A) 1090 B) 2102 C) 1092 D) 2100 E) 318

11. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es a la diferencia de sus extremos como 3 es a 1. ¿Cuál es la razón geométrica del extremo mayor al extremo menor?. A) 4 : 1B) 3 : 2 C) 2 : 3D) 1 : 2 E) 5 : 1 12. Tres números forman una proporción aritmética continua de constate igual a 5. Si los dos mayores están en la proporción de 4 a 3. Calcular l tercera diferencia. A) 5 B) 15 C) 20 D) 10 E) 12 13. En un aula de 40 alumnos el promedio de los 10 aprobados es 14. Hallar el promedio de los desaprobados si el promedio de la clase es 08. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 14. El promedio de 5 números es 85. se considera un sexto número y el promedio aumenta en 15. Hallar el sexto número. A) 15 B) 35 C) 75 D) 115 E) 175 15. El promedio de las edades de los cuatro hermanos de Pedro es 20 y de los 3 hermanos de Elsa es 30. ¿Cuál será el promedio de todos ellos incluido Pedro y Elsa, si la suma de las edades de ambos es 46 años?. A) 20 B) 30 C) 25 D) 24 E) 35 229 | P á g i n a

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RAZONAMIENTO MATEMATICO

16. Sean a y b dos números enteros pares, si el producto de la MA con su MH es igual a cuatro veces su MH, entonces el menor valor que toma uno de dichos números es. A) 4 B) 6 C) 2 D) 8 E) 10 17. Sean a y b dos números enteros si el producto de la MA con su MH es igual al doble de su media geométrica, entonces el menor valor de (a + b) es: A) 1 B) 2 C) 5 D) 4 E) 6 18.

En el último Examen de Admisión 20171 CPU-UNSM, se obtuvo que el promedio de notas de los varones es 1100 y el promedio de notas de las damas 1150. si el número de varones respecto al de damas es como 5 es a 7. ¿Cuál es el promedio del Examen?. A) 1032 B) 1051 C) 1079 D) 1129.16 E) 1143

19. Se tienen 60 objetos, cuyos pesos son un número entero de kilogramos. Sabiendo que el promedio de los pesos es 50 kgs. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos, si ninguno pesa menos de 48 kg?. A) 150 KG B) 560 C) 580 D) 650 E) 168 𝐴+𝐵

𝐵+𝐶

𝐴+𝐶

20. Si: = = , además 3A+2B-C = 9 11 10 240 halle;(A+B-C) A) 30 B) 36 C) 40 D) 45 E) 48 √𝑚2 −18

√𝑛2 −98

√𝑝2 −32

21. Si : = = = 𝐾, ademas 3 7 4 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑎𝑎0(𝐾) =𝐾0(3) hallar el valor de: 𝑀 = √𝑚2 + 27 + √𝑛2 + 147 + √𝑝 2 + 48 A) 36

CPU – UNSM -T

produce la máquina B, la máquina C produce 2. En un día, la máquina A produjo 4400 botellas más que C. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día? A) 2000 B) 4000 C) 6000 D) 3000 E) 5000 25. La relación entre las edades de dos hermanas es, actualmente, 3/2. Se sabe que, dentro de 8 años, dicha relación será 5/4. ¿Cuál es la edad actual de la hermana menor? A) 4años B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 26. En una serie de tres razones geométricas continuas e iguales, la suma de los consecuentes es 180 y la suma de las tres razones es 9/4. Hallar la suma de los antecedentes. A) 405 B) 120 C) 135 D) 245 E) 240 27. En una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia de cuadrados de los términos de la segunda razón es un numero de tres cifras lo menor posible, halle la media diferencial. A) 12 B) 14 C) 16 D) 21 E) 35 28. El promedio de 20 números es 40. Si agregamos 5 números, cuyo promedio es 20. ¿Cuál es el promedio final? A) 32 B) 33.5 C) 38 D) 36 E) 45 29. El promedio de las 6 calificaciones de matemáticas de Juanito es 75, afortunadamente para Juanito su profesor eliminó su peor nota y el promedio de Juanito subió a 85, ¿cuál era la peor nota de Juanito? A) 20 B) 25 C) 30 D) 15 E) 50

B) 30 C) 42 D) 45 E) 32

22. Dos pescadores tienen 5 y 4 truchas respectivamente. Se encuentran con un cazador cansado y de hambre, con quien comparten las truchas en partes iguales. El cazador al despedirse, como agradecimiento, les obsequia $ 42, ¿cuánto le corresponde a cada pescador? A) 30 y 12 B) 26 y 16 C) 28 y 14 D) 21 y 18 E) 35 y 28 23. En una bolsa hay 165 monedas. si por cada 5 monedas de S/.2 hay 8 monedas de S/.5 y por cada 2 monedas de S/.5 hay 5 monedas de S/.1, halle el número de monedas de S/.5. A) 32 B) 58 C) 48 D) 64 E) 40 24. En una fábrica embotelladora, se tienen 3 máquinas (A, B y C). Por cada 7 botellas que produce la máquina A, la máquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que

30. La edad promedio de 4 hombres es 65 años. Ninguno de ellos es mayor de 70 años. ¿Cuál es la edad mínima que cualquiera de los hombres puede tener? A) 67 B) 65 C) 64 D) 50 E) 54

SEMANA N° 07 FRACCIONES Y REDUCCIÓN A LA UNIDAD INTRODUCCIÓN: Uno de los conceptos más usados en nuestra vida cotidiana es la fracción. Cuando vamos al mercado pedimos ½ kg. de arroz, ¾ de pollo, etc. En esta parte se estudiará el fascinante mundo de las fracciones. FRACCIÓN: Se denomina fracción o quebrado a un número racional que no es entero f

a b

Numerador

Denomin ador Fracción

230 | P á g i n a

RAZONAMIENTO MATEMATICO

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES: 1. Comunes u ordinarios. 2 7 10 Ejemplos: , , , etc 3 5 7 2. Decimales. 5 9 7 , , ,etc Ejemplos: 10 100 1000 3. Por la relación de sus términos. a f a b b a) Propias: 7 30 6 , , ,etc 14 57 11 a b) Impropias: f   a  b b 16 19 35 , , ,etc Ejemplos: 7 9 23 a c) Igual a la unidad: f   a  b b 5 7 9 , , ,etc Ejemplos: 5 7 9 4. Por grupos de fracciones. a a) Heterogéneas: f   b  diferentes b 4 3 9 , , Ejemplo: 5 7 4 a b) Homogéneas: f   b  iguales b 5 13 18 , , , etc Ejemplos: 7 7 7 Número mixto: Es aquel que resulta de sumar un entero y una fracción. Ejemplo:

Ejemplos:



5

3. Si a los dos términos de una fracción propia se le suma o resta un mismo número, la fracción aumenta o disminuye, respectivamente. 5 53  8  8  5 Ejemplo: 12 12  3 15 15 12 4. Si a los dos términos de una fracción impropia se les suma o se les resta un mismo número, la fracción disminuye o aumenta respectivamente. 19 Ejemplo: 17

19  6 25 25 19    17  6 23 23 17 5. Si al numerador de una fracción se le multiplica o divide por un número sin variar el denominador, la fracción queda multiplicada o dividida por dicho número respectivamente. 5 Ejemplo: Sea la fracción 7

5  3 15  quedo multiplicado por 3 7 7 5 3 5  quedo dividido por 3 7 21 6. Si al denominador de una fracción se le multiplica o divide por un número sin variar el numerador, la fracción queda dividida o multiplicada por dicho número, respectivamente. 5 Ejemplo: Sea la fracción 7

5 5 5 15  ;  7  3 21 7  3 7

1 1 1 1 4 4 5 9 3 3 ; 9

FRACCIÒN GENERATRIZ: Fracción: a/b= Nº Decimal exacto:  0,8 = 8/10  0,21 = 21/100 Decimal Periódico Puro:  0, 3̂ = 3/9 ̂ = 2/999  0, 002 Decimal Periódico Mixto: 24−2  0,24̂ = 90 3542−35

̂=  0,3542 9900 PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES ORDINARIAS: 1. De un grupo de fracciones que tienen igual denominador, es mayor el que tiene mayor numerador. 6 7 19 19 Ejemplo: , ,  el mayor es : 8 8 8 8 2. De un grupo de fracciones que tienen igual numerador, es mayor el que tiene menor denominador. 5 5 5 5 Ejemplo: , ,  elmayor es : 6 9 16 6

CPU – UNSM -T

7. Si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por un mismo número, la fracción no se altera. Ejemplo: Sea la fracción

3 32 6  = 16 16  2 32 GANANCIAS Y PÉRDIDAS SUCESIVAS: Si consideramos una cantidad como unidad es posible que se pierda o gane una parte (fracción) con respecto a esta. Quedando entonces disminuida o aumentada nuestra cantidad inicial. Pierdo Queda Gano Tengo 2 4 1 1 3 3 3 3 5 3 ( ) 9 4 𝑚/𝑛

4 3 ( ) 9 4 𝑛−𝑚 𝑛

5 3 ( ) 9 4

14 3 ( ) 9 4

𝑚/𝑛

𝑛+𝑚 𝑛

Ej. 231 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

Luego de perder en forma sucesiva ½ y 2/5 de lo que iba quedando, Raúl gana en forma consecutiva sus 3 últimos juegos: 1/2, ¼ y 1/6 de la cantidad que iba acumulando, retirándose con S/.70. ¿Cuánto tenía al inicio? P: pierde ; G: Gana INICIO P P G G G FINAL 1/3 2/5 ½ ¼ 1/6 70 QUEDA 2/3 x 3/5 x 3/2 x 5/4x 7/6X = 70 X = 80 II.- REDUCCIÓN A LA UNIDAD: Es una variedad de fracciones en la cual se trata de homogenizar lo hecho por cada objeto o personajes ya sea en 1 día, 1 hora, 1 min., etc. Ej. Si Antonio hace una obra en 4 días, entonces, en 1 día hace ¼ de la obra o viceversa, si Antonio en 1 día hace ¼ de la obra, entonces toda la obra lo hace en 4 días, es decir en forma práctica inviertes las cantidades. EJEMPLO: 1.- En una lancha pueden caber 15 mujeres o bien 10 hombres. ¿Cuántas parejas pueden caber en la mencionada lancha? Al abordar las 15 mujeres cada una ocupa 1/15 de la capacidad de la lancha. Cuando abordan los 10 hombres cada uno ocupa 1/10. Cuando aborda una pareja, la mujer ocupa 1/15 y el hombre 1/10. Entre los 2 ocupan: 1/15 + 1/10 = 1/6 Entonces si cada pareja ocupa 1/6 de la capacidad de la lancha, significa que en ella caben 6 parejas. (Inviertes). 2.- Ana hace un trabajo en 20 días y Beto lo hace en 30 días el mismo trabajo. En cuántos días harán dicho trabajo junto. Juntos en 1 día harán: 1/20 + 1/30 = 1/12 del trabajo Toda la obra lo hará en 12 días. EJERCICOS PROPUESTOS: 1.-De las siguientes fracciones: 21/19, 18/171,20/115. Halle la inversa de la suma de la mayor y la menor de las fracciones indicadas. A)2

105 190

B)3

50 91

C)3

101 112

D)3

100 137

E)2

117 137

2.-Si a los dos términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuánto suman los términos de la fracción original? A) 11 B)8 C)3 D) 13 E)10 3.-Cuantos números de dos cifras significativas cumplen con que la suma de sus cifras sea 1/n del valor del número? (n ∈ 𝑍) A) 10 B) 12 C) 14 D)16 E)18

CPU – UNSM -T

4.-La quinta parte de un número de tres cifras equivale al triple de la suma de las cifras del número. Halle el producto de dicha cifras. A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 21 5.-Una fracción sumada con su inversa resulta 50 veces el valor de la fracción original. Si el producto de los términos de la fracción es 50575. Señale la diferencia de los números. A) 105 B) 150 C)220 D)300 E)510 6.-Cuantas fracciones equivalentes a 432/648 tienen como suman de términos a un valor menor a 1000, que posee una cantidad impar de divisores? A) 4 B) 5 C) 6 D) 15 E) 18 ̅̅̅ 7.-Hallar axb, si la fracción 𝑎𝑏⁄̅̅̅ es equivalente 𝑏𝑎 a 57/152. A) 12 B)14 C)16 D)15 E)18 8.-Un reservorio de agua tiene una capacidad de 9600 litros de agua, pero falta llenar los 3/16 de su volumen. Se extrae ¼ de lo que hay en él. ¿Qué cantidad de agua habrá que agregar para que solo falte llenar 1/6 de su capacidad? A) 2500 Lt B)2100 C)2150 D)2650 E)2700 9.-Se tiene un paquete de harina, que pesa 1450 gramos. Para preparar un biscocho se utiliza 2/5 de lo que hay en el paquete y para alfajores se usa 10/19 de lo que no se utiliza. ¿Cuántos gramos de harina quedan? A) 750gr B)570 C)480 D)450 E)654 10.-Una vasija llena de agua contiene 1K de sal en disolución, se bota ¼ del contenido y se vuelve a llenar con agua, se bota nuevamente 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua. Por último se bota la mitad del contenido. ¿Qué cantidad de sal queda en la vasija? A)1/4k B)3/7k C)1/3k D)1/2k E)1/7k 11.-Una obra se divide en varias etapas, cada una con el mismo volumen a trabajar, contratando 15 obreros. Al terminar la primera etapa se despide un número de obreros igual a la cuarta parte del número de obreros que no se despide, trabajando ellos toda la segunda etapa. Si se lleva trabajando 9 días. ¿Cuántos obreros se deben contratar para la siguiente 232 | P á g i n a

RAZONAMIENTO MATEMATICO

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

etapa de modo que se termine según lo planificado? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 12.-Se tiene un recipiente cuya capacidad es de 27/4 litros y un envase de 3/7 lt con el cual se desea llenar el recipiente pero cada vez que se trae el agua en el envase se derrama 1/8 de lo que está lleno. ¿Cuántas veces habrá que utilizar el envase, para llenar el recipiente? A) 10 B)12 C)16 D)18 E)20 13.-Antes de la votación, los ¾ del total apoyaban una lista A, la mitad del resto votarían por B y 27 estaban indecisos. Después de la votación, los resultados mostraron que solo la mitad de los que apoyaban la lista A votaron por ella, 1/34 del total no voto, y el resto voto por B. ¿Cuántos votos de diferencia obtuvieron las listas A y B? A) 24 B) 25 C) 30 D)31 E)35. 14.-A una varilla de fierro se le hacen cuatro cortes de la forma siguiente: el primero para reducirlo en ¼ de su longitud, el segundo 1/5 de lo que ha quedado, el tercero 1/6 del resto y el cuarto 1/7 del nuevo resto, quedando de la varilla 42 cm. ¿Cuál era la longitud inicial? A) 0.99m B)1 C) 0.97 D) 0.96 E)0.98 15.-Carlos adelanta a Manuel en 24 pasos y avanza 6 pasos por cada 5 que da Manuel, pero tres pasos de Carlos equivalen a 2 pasos de Manuel. ¿Cuántos pasos debe dar este último para que alcance a Carlos? A) 75 B) 80 C) 84 D) 85 E) 90 16.-En un recipiente de 50 litros de capacidad hay 23 litros de vino, 17 de alcohol y el resto se completa con agua. Se bota la cuarta del contenido y se vuelve a llenar con agua, luego se bota 1/3 y se llena otra vez con agua. Por último se bota 1/5 y se vuelve a llenar con agua. ¿Cuál es la cantidad de agua contenida en el recipiente? A) 30 Lt B) 34 C)36 D)40 E)42 17.-En una carrera de campo, un corredor observa que ha recorrido 7/13 de lo que le falta recorrer. ¿Cuánto tiempo ha empleado, si toda la carrera lo hace en 80 minutos?

CPU – UNSM -T

18.-Los 2/5 de una barrica más 10 litros son de vino y 5/9 de la barrica menos 8 litros son de agua. ¿Cuántos litros son de vino? A) 17 B)19 C)21 D)23 E)28 19.-Según el censo nacional de 1993, en el Perú, la población que se concentra en la región amazónica es los 2/15 de lo que se encuentra en la faja costera, y esta es los 3/5 de la población total del país. ¿Qué parte de la población total, no está en la región amazónica ni en la faja costera? A) 8/25 B)4/15 C) 11/15 D)17/25 E)11/25 20.-Carlos debe 120 soles, piensa amortizar la deuda pagando 7/15 del valor de esta, pero realiza gastos de modo que solo puede pagar ¾ de lo que pensaba dar. Si hubiese pagado 8 soles. ¿Qué parte de la deuda le faltaría pagar? A)3/7 B)4/15 C)4/7 D)7/12 E)1/15 21.-Raul y José alquilan un local comercial. Raúl ocupa los 3/7 del local y paga mensualmente 240 dólares. José paga quincenalmente y por ello le descuenta 1/32 de lo que debía pagar. ¿Cuánto paga José quincenalmente en dólares? A) 115 B)130 C)120 D)155 E)160 22.-¿A qué hora del día, los 5/8 del tiempo transcurrido es la mitad de lo que falta por transcurrir? A) 6:40 a.m. B)6:00 a.m. C)2:00 p.m. D)10:10 a.m. E)10:40 a.m. 23.-Dos carpinteros pueden hacer 20 bancos, trabajando juntos 24 días. El más joven puede hacer 1 banco en 3 días. Si han hecho 15 bancos. ¿Cuántos días más de lo señalado entregaran los bancos, si el menor se retira? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 4/3 24.-Una lámina de Gerflex, sometido a una determinada temperatura, se dilata aumentando su largo en 1/9 y su ancho en 7/20. ¿Qué fracción del área inicial de la lámina es la nueva área? A)2/3 B)3/4 C)3/5 D)3/2 E)4/3 25.-Se mesclan tres tipos de arroz cuyos costos unitarios son de S/3, S/2.2, S/1.5 en las

A) 28 Minutos B) 20 C)30 D)52 E)24 233 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

siguientes cantidades: 9kg, 5kg, 6kg,. Calcular el costo de la mescla.

Si se tiene “n” aumentos sucesivos: A1, A2, …, An, el aumento único equivalente Au, será: AU=[

A) 2.35 B) 3.3 C) 3.8 D) 3.9 E) 4.9

CPU – UNSM -T

(100+A1 )(100+A2 )…(100+An ) 100n−1

]%-100%

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO 26.-En qué relación deben de mesclar café de s/20 el kg con café de s/30 el kg para obtener café de s/23.

Pv : Precio de venta Pc: Precio de compra D: Descuento G : Ganancia P: Pérdida PL: Precio de Lista = PF: Precio Fijado Pv = Pc + G

A) 4/5 B) 4/9 C) 7/3 D) 3/7 E) 4/5 27.-Se mescla 12 litros de pisco de s/8 el litro con 10 litros de s/7.5 y 8 litros de s/5. ¿A cómo se deberá vender para ganar el 10% del costo? A) 7.73 B) 8.73 C)8.43 D)9.33 E)9.53 28.-Un comerciante ha comprado 350 litros de aguardiente a 1.35 el litro. ¿Qué cantidad ¿Qué cantidad de agua habrá de añadir para vender el litro a s/1.75 y ganar el 30%? A) 1 Litro B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 29.-Se mezclan 40 litros de alcohol de 90% de pureza con X litros de alcohol al 50% y 30 litros al 80% de pureza. Halle X si se sabe que la mezcla tiene 75% de pureza. A) 30 litros 40 litros

B) 120 litros E) 20 litros

C) 50 litros

D)

30.-A 80 litros de alcohol al 60% se le adiciona 40 litros de agua. ¿Cuantos litros de alcohol puro se deben agregar a esta nueva mezcla para obtener la concentración inicial? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90

Pv = Pc – P

Pv = PL – D

Ejemplo: El 25% de 44 es: 25/100(44) = 11 Conversión del tanto por ciento a fracción o decimal: 20% = 20/100 =2/100 = 0,2 500% = 500/100 = 5/10 = 0,5 Variaciones Porcentuales: En las variaciones porcentuales solo se analiza las cantidades que varían, más no las cantidades fijas. Ejemplos: 1) ¿En qué porcentaje aumenta el área de un cuadrado cuando u lado aumenta en 30%? Resolución: Por suposición adecuada: Consiste en dar valores adecuados de tal manera que la magnitud cuya variación se quiere analizar sea 100 (100%). Asumamos que el lado del cuadrado sea 10 (este valor tiene 30% y además hace que el área sea como 100). Área=102=100 Área = 132 = 169 100%

13

10 169% Aumenta 10 10 69% El área aumenta 30% 10

13

30% (10) =3

13

13

SEMANA N° 08 PORCENTAJE Y MEZCLA PORCENTUAL Es el número de partes iguales que se toman de una cantidad total (unidad), dividida en partes iguales, % 1/100. En general: a por ciento de N = a%N = a/100(N). TANTO POR CUANTO Es Una o varias partes de una unidad cualquiera: “El A por B de N:

A

B

(N) ”

Observaciones: 1. N = 100%N 2. a%N ± b%N = (a ± b)%N DESCUENTOS SUCESIVOS Si se tiene “n” descuentos sucesivos: D1, D2, …, Dn, el descuento único equivalente Du, será: DU=100%- [

(100−D1 )(100−D2 )…(100−Dn ) 100n−1

]%

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.-Calcular el 3 por 15 del 20 por ciento del 400 por 1000 de 6250. A) 100 B) 200 C)120 D) 90 E)150 2.-En un salón el 25% del número de mujeres es igual al número de hombres. Calcular que tanto por ciento representa el número de hombres con respecto al total. A) 105 B) 20 C) 30 D) 40 E)34 3.-Si A aumenta en un 20%. ¿En cuánto aumentara A3?

AUMENTOS SUCESIVOS 234 | P á g i n a

RAZONAMIENTO MATEMATICO

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

A) 24% B) 33.2 C)42 D)15 E)72.8

CPU – UNSM -T

4.-Diana lleva 2000 huevos al mercado y encuentra que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaron sin vender?

reparte estos productos a las tiendas de comercio ganando una comisión del 15% del precio al por mayor. La tienda remata el artículo haciendo un descuento dl 10% del precio de compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje se eleva el precio de fábrica del producto?

A) 230 B) 324 C) 720 D) 660 E) 834

A) 24.2% B)22.15 C)25.32 D)32 E)31.21

5.-Al venderse un televisor se gana el 20% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de costo se está ganando?

14.-Un comerciante compra al contado un artículo con un descuento del 20% del precio de lista. ¿Qué porcentaje del precio fijado en lista representa el precio de venta del comerciante si él debe ganar el 20% del precio de compra?

A) 15 B) 20 C) 25 D)30 E)35 6.-Un comerciante al vender un televisor en s/406.4 gano el 10% del 20% del 80% del costo. ¿A cuánto debe vender el televisor para ganar el 20% del 25% del 65% del costo? A) 413 B) 235 C) 427 D) 399 E) 440 7.-Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en 30%, pero al venderlo se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó?

A) 96% B) 72 C)113 D)87 E)99 15.-Un ejército por dos veces durante una campaña es atacado muriendo el 10% de los soldados que batallaban en cada ocasión. ¿Cuántos hombres tenían el ejército al empezar la campaña si termino la campaña 7290 soldados? A) 3700 B)8990 C)7500 D)10380 E)9000

8.-¿A qué descuento único equivale el hacer dos descuentos sucesivos del 20% y 20%?

16.-Al venderse un artículo se sabe que el precio de venta más el precio de costo es el 150% de la ganancia. En qué relación se encuentra el precio de venta y la ganancia?

A)32% B)33 C)35 D)36 E)37

A)2/3 B)5/4 C)3/5 D)9/11 E)11

9.-¿A cuánto equivale los descuentos sucesivos del 20%, 20% y 20% de una misma cantidad?

17.-Que porcentaje del 25% de 480 es el 50% del 40% del 80% de 600?

A)48.8% B)50 C)32 D)52 E)44

A) 80 B)90 C)100 D)110 E)120

10.-Si el 125% de x es igual al 4 por 5 de (x+a). ¿Qué porcentaje de x es a?

18.-El precio de venta de un objeto es s/8970, el comerciante gano en esta operación el 15%. Si la ganancia neta fue de s/970. Calcular los gastos que produce la venta.

A)17% B)19 C)18 D)15 E)22

A) 35.21% B)42.32 C)56.25 D)51 E) 44.6 11.-Que porcentaje de un número que tiene por 20% al 40% de 60 es el 72% de otro número que tiene por 40% al 60% de 20? A) 12 B) 14 C)16 D)17 E)18 12.-En una reunión los hombres exceden en 50% a las mujeres, si las mujeres aumentan 5%. ¿En qué porcentaje deben aumentar los hombres para que el total de personas aumente 20%?

A) 101 B)176 C) 200 D)250 E)276 19.-Si Soledad se retiró del casino con s/240 habiendo perdido primero el 20% y luego ganando el 50% de lo que quedaba. ¿Con cuanto fue al casino? A) s/343 B)288 C)250 D)200 E)240 20.-Se vende un artículo ganando el 60%, si se otorgan dos descuentos sucesivos de 20%. ¿Qué porcentaje se ganara?

A) 10 B)20 C)30 D)40 E)50 A) 20% B) 38.4 C) 2.4 D) 36 E) 31 13.-Un mayorista vende un producto ganando el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor 235 | P á g i n a

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21.-Que porcentaje habrá que disminuir a un número para que sea igual al 30% del 15% del 80% del 10% de sus 25/9 parte.

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A) 40 B) 50 C)60 D)65 E)70

SEMANA N° 09 CUATRO OPERACIONES

A) 99% B) 77 C) 81 D) 32 E) 15 22.-En una ciudad de 2500 habitantes el año pasado se casaron el 12% de los varones y el 8% de las mujeres. ¿Qué tanto por ciento del total de los habitantes son varones? A) 20% B) 60 C) 40 D) 45 E) 50 23.-Un litro de mescla formada por 75% de alcohol y 25% de agua pesa 970 gramos. ¿Cuánto pesa un litro de mescla formada por 255 de alcohol y 75% de agua? A) 920gr B)970 C)990 D)975 E)995 24.-Pilar tiene 30 litros de una solución que contiene 12 litros de alcohol. ¿Cuántos litros de agua debe agregar para obtener una solución al 25%? A) 20 B) 15 C) 16 D)21 E)18

Adición: 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑆 Donde 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 : sumando S = suma total Sustracción: M-S=D M= minuendo S= sustraendo D= diferencia 𝑀+𝑆+𝐷 PROPIEDAD:M= 2 Multiplicación:𝑎𝑥𝑏 = 𝑝 a= multiplicando b= multiplicador p= producto División: División exacta: D 0

D

D

26.-Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% su área aumenta en 121m 2. Si el lado disminuye en 205. ¿En cuánto disminuye su área?

A)1/2 B)2 C)3/2 D)3 E)5/2 28.-Se tiene dos recipientes de 10 litros cada uno, el primero con 60% de alcohol y el segundo con 80% de alcohol. ¿Cuántos litros deben intercambiarse para que ambos tengan el mismo porcentaje de alcohol?

r

A) 325 B) 330 C)335 D)340 E)345 30.-¿A cuánto equivale el 4 por 9 del 3 por 7 de 315?

d

D= dxq+r

d

D= d(q+1)-r

q+1

METODOS GRAFICOS DE SOLUCION:  M. Rombo.  M. Cangrejo.  M. Rectángulo.  M. Equivalencias  M. falsa Suposición. EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.

La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustracción es 19 456 Y el minuendo es el cuádruple del sustraendo. Hallar el sustraendo. A) 2 432 B)608 C) 1 216 D) 3040 E) 3648

2.

Un alumno tiene que multiplicar un número por 30; pero se olvida de poner el cero a la derecha del producto; por lo que obtiene un resultado que difiere del verdadero en 5 751. Hallar dicho número. A) 639 B)219 C) 1 917 D)213 E) 426

A)6 lt B)4 C)7 D) 5.4 E)5 29.-De un grupo de 400 personas el 15 por 80 son mujeres. ¿Calcular el número de hombres?

q

q r   Por exceso:

A) 13520 B) 13540 C) 13620 D)13480 E)13650

27.-Para aumentar en un 125% el área de un círculo, su radio se debe multiplicar por:

D= dxq

División inexacta:  Por defecto:

25.-El 40% del 75 por mil de 8 por 9 de un numero se le suma la quinta parte del 5 por 7 del 42% de dicho numero el resultado es 1183. Hallar el número.

A) 120m2 B) 105 C)108 D)99 E)103

d

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3.

¿Cuánto se debe sumar al dividendo de una división cuyo divisor y residuo son 15 y 6, para que el cociente aumente en 3 y el resto sea máximo? A) 48 B) 57 C)50 D)53 E) 62

4.

Se tiene el producto: a x 15 x 18 si aumentamos 7 unidades a cada uno de los factores el producto aumenta en 4 970. Hallar. "a": A) 8 B) 4 C)6 D)9 E) 16

5.

A un número formado por un 2, un 7, y un 1 se le resta otro formado por un 5 y dos 7y se obtiene un número formado por un 3, un 1 y un 5. ¿Cuál es el resultado? A) 135 B)315 C)153 D)513 E) 351

6.

Hallar la suma de las cifras de ab2, sabiendo que este número disminuido en Su C.A. da un número de tres cifras iguales. A) 9 B)15 C) 11 D) 6 E)13

7.

El cociente y el resto en una división inexacta son 4 y 30 respectivamente, si se suman los términos el resultado es 574. Hallar el divisor. A) 438 B)102 C)430 D) 170 E) 108

8.

Se han comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas; unas tienen 8 onzas y las otras 15 onzas. Si el contenido total es de 861 onzas. ¿Cuántas latas de 8 onzas se compraron? A) 42 B) 20. C) 39 C) 35 D)40 9. Debo pagar 2050 dólares con 28 billetes de 50 y 100 dólares. ¿Cuántos billetes de 100 dólares debo emplear? A) 15 B) 14 C)13 D) 16 E) 17

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13. A un número se le multiplica por 3, se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 y se le extrae raíz cúbica, obteniéndose 9. Cuál es dicho número? A) 12 B)18 C)24 D) 30 E) 36 14. En un corral hay 180 patas y54 cabezas; si lo .único que hay son gallinas y conejos. ¿Cuál es el número de alas? A) 36 B)48 C)18 D) 60 E) 54 15. Una vasija llena de agua pierde durante la primera hora las 1/3 parte de su capacidad. durante la segunda hora la 1/3 del resto y así sucesivamente. Al cabo de 5 horas, quedan 32 litros en la vasija. ¿Cuál es la capacidad de esta? A) 486 litros B) 343 litros C) 81 litros D) 162 litros E) N.A. 16. Un padre propone 12 problemas a su hijo con la condición de que porcada problema que resuelva el muchacho reciba 10 soles y por cada problema que no resuelva perderá 6 soles. Después de trabajar en los 12 problemas el muchacho recibe 72 soles. ¿Cuántos problemas resolvió? A) 3 B)9 C)6 D)7 E)8 17. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, de la misma manera por 8 kilos de azúcar dan 4 kilos de frijoles; por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. ¿cuántos kilos de carne de res nos darán por 30 kilos de arroz? A) 2 B)8 C) 4 D) 12 E)5

10. Se forma la longitud de 1 metro, colocando 37 monedas de 50 y 100 pesos en contacto y a continuación unas de las otras. Los diámetros de las monedas eran de 25 y 30 mm. ¿Cuántas monedas son de 50 pesos? A) 20 B) 26 C)18 D)22 E)25

18. En una fiesta hay 60 personas entre damas y caballeros, una primera dama bailó con 5 caballeros, una segunda dama bailó con 8 caballeros, una tercera dama bailó con 13 caballeros, y así sucesivamente hasta que la última dama bailó con todos los caballeros. ¿Cuántos caballeros asistieron a dicha fiesta? A) 53 B)47 C)25 D) 37 E) 30

11. Una persona participó en 3 apuestas; en la primera duplicó su dinero y gastó 30 soles. En la segunda triplicó lo que le quedaba y gastó 54 soles, en la tercera cuadriplicó la suma restante y gastó 72 soles. Al final le quedó 48 soles. ¿Cuánto tenía al comienzo? A) 30 B)28 C) 31 D) 51 E)29

19. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos; si 5 monos cuestan 150 soles. ¿Cuánto tengo que pagar para adquirir 5 patos? A) S/.50 B)S/.60 C) 70.D) S/.80 E) S/.65

12. En un estacionamiento para bicicletas y triciclos, habían 70 timones y 170 llantas. ¿Cuántos triciclos había? A) 30 B)40 C)20 D) 15 E)10

20. Un vendedor vende 3 grabadoras por 500 soles y otro que tiene el doble de grabadores, los vende a 2 por 300 soles. Si se juntan para evitar la competencia las deben vender a: A) 5 por 800 soles B) 7 por 1 100 soles 237 | P á g i n a

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C) 7 por 550 soles D) 9 por 1 400 soles E) 3 por 700 soles 21.

Hallar el mayor abc tal que: C.A.(abc) = 2(cba - 1) y dar como respuesta (a + b+ c). A) 7 B)10 C) 8 D) 12 E)9 22. El cociente de una división es 11 y el resto 39. Determinar el dividiendo sabiendo que es menor que 500 y que su cifra de unidades es cero. A) 490 B)460 C)480 D) 450 E)470 23. Uno de los factores de un producto es doble del otro, si a cada uno de ellos se le suma dos unidades, el producto aumenta en 100 unidades. ¿Cuál fue el mayor de los factores? A) 32 B) 16 C) 72 D)24 E) 8 24. Un pastor que llevaba carneros a la feria: Si vendo mis carneros a 20 soles clu podré comprar un caballo y tener 90 soles de sobra; pero si los vendo a 18 soles cl u comprando el caballo no me sobran más que 6 soles. ¿Cuánto suma el precio de caballo y la cantidad de carneros que tenía el pastor? A) 795 B) 792 C)784 D)692 E) no vendió los carneros 25. En un examen de "n" preguntas, cada respuesta correcta recibe 6 puntos y cada respuesta equivocada - 4 puntos, si un estudiante saca cero. ¿Cuántas preguntas buenas tuvo? A) n/10 B) 3n/10 C) n/5 D) 2n/5 E) 3n/4 26. El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. En cada hora baja el nivel Del agua en 2/3 de la altura; más 2 metros. Determinar el espesor que tenía la capa de agua. A) 38m B) 46,5 m C) 78m D) 72 m E) 54m 27. Un ingeniero quiere premiar a algunos de sus ayudantes; dando 5 soles a cada uno le faltarían 3 soles y dándoles 4 soles le sobrarían 7 soles. Dar la suma del número de ayudantes y el número total de soles? A) 10 B) 67 C)47 D) 48 E) 57 28. Si el precio del transporte de una encomienda de un punto a otro es SI. 30,5 por los 4 primeros kilos y SI. 1,5 por cada kilo adicional. ¿Cuál es el peso de una encomienda cuyo transporte ha costado SI. 62? A) 40 Kg B) 30 Kg. C) 41 Kg D) 25 Kg.E) 28 Kg

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29. Un escolar duda comprar entre 360 cuade s o por el mismo precio 45lapiceros y 45 lápices; pero decide comprar el mismo número de artículos de las 3 clases. ¿Cuántos artículos compró en total? A) 120 B)195 C) 135 E) 200 C)180 30. Ocho personas tienen que pagar por partes iguales una deuda de SI. 250 (en total). Como algunas de ellas no pueden hacerla; cada una de las restantes abonan SI. 18,75 más. ¿Cuántas personas no pagaron? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 31. Tres jugadores P, Q Y R acuerdan jugar tres partidas, donde el que quede último en cada uno de ellas duplicará el dinero a los otros dos, si cada uno perdió una partida en el orden indicado de presentación y al final, el primero tiene SI. 480, el segundo SI. 560 Y el tercero SI. 280. ¿Cuánto dinero tenía "A" al empezar el juego? A) SI. 640 B) SI. 840 C) 6 D) SI. 720 SI. 960

E)

32. Se tiene 48 naranjas repartidas en 3 montones diferentes. Del primer montón se pasó al segundo tantas naranjas como hay en éste, luego del segundo se pasó al tercero tantas naranjas como hay en ese tercero y por último del tercero se pasó al primero tantas como aún quedaban en ese primero. Si los tres tienen ahora igual número. ¿Cuántas naranjas había al principio en cada montón? A) 26,12 y 10 B) 20,16 y 12 C) 20,16 Y 23 D)22,14y12 D) 18, 1·6Y 14

SEMANA N° 10 PLANTEO DE ECUACIONES Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de interpretar enunciados sobre problemas de diversa índole, para su posterior representación simbólica, desarrollar las habilidades abstracción cuantitativa, es decir capacidad para representar simbólicamente a las cantidades y las y las relaciones existentes entre ellas. Enfrentar la manera adecuada las diferentes formas de plantear y resolver una ecuación asimismo; como de la vida cotidiana. Veamos a continuación algunos ejemplos de pequeñas frases u oraciones traducidas del lenguaje castellano al lenguaje simbólico.

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LENGUAJE LENGUAJE CASTELLANO ALGEBRAICO La suma de 3 x+(x+1)+(x+2)= números 153 consecutivos es 153 La edad de Ángel es 2 A=2x años veces la edad de B=x años Beatriz Yo tengo la mitad de YO =x lo que tú tienes y él TU =2x tiene el triple de lo que El= 6x tú tienes El exceso de A sobre A –B = 50 B es 50 El triple de un número, 3x +10 aumentado en 10 El triple, de un numero 3(x+10) aumentado en 10 He comprado tantas Compro=xcami camisas como soles sas cuesta cada una C/u = S/. x Sugerencias: - Leer detenidamente el texto del problema hasta comprender de qué se trata. - Ubicar los datos y la pregunta - Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a trabajar - Relacionar los datos con las variables para plantear una o más ecuaciones que al resolver nos den la solución al problema. ejemplos: 1. Anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy y lo que tengo hoy es el doble de lo que tenía ayer, que fue 50 soles menos que anteayer. ¿cuántos soles debo agregar a mi dinero para poder comprar un pantalón que cuesta S/ 60. Resolución:Anteayer ayer hoy S/. 6x S/. x S/. 2x Por dato:6x – x = 50 X=10 Hoy tengo S/. 20 me falta agregar S/. 60 – S/. 20 = S/. 40 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.

En un negocio de aves, se venden pavos; gallinas y codornices. Son todos gallinas menos 5; son todos pavos menos 7, Y son todos codornices menos 4, si un cliente compró todas las gallinas y codornices entonces: A) Compró 8 aves B) Sólo quedó 1 pavo C) Dejó 3 pavos D) Habían 7 pavos E) Llevó 16 aves

2.

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Si al comprar una docena de lapiceros me regalan 1 lapicero. ¿Cuántas docenas he comprado si recibo 338 lapiceros? A) 21 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

3.

"A" tiene un año menos que "B" y "B" un año menos que "C". Si el cuadrado de la edad de "C" se resta el cuadrado de la edad de "B", la diferencia es 11 años menos que los .17/5 de la edad de "A". ¿Hallar la edad de "C"? A. 10 años B) 13 C) 11 D) 14 E) 12

4.

En una tienda hay la siguiente oferta: un cuadro grande con marco vale 6 cuadros pequeños sin marco, 2 cuadros grandes sin marco valen uno pequeño con marco, tres pequeños sin marco valen uno pequeño con marco. ¿Cuántos cuadros pequeños sin marco se pueden cambiar por los marcos de dos cuadros grandes? A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12

5.

Si tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50 son de matemáticas, suponiendo que a cada pregunta de matemáticas se dé el doble de tiempo que a cada pregunta no relacionada, con esta materia. ¿Cuánto demorará resolver matemáticas si el . Examen dura tres horas? A) 45 min B) 60 C) 52 D) 70 C) 62

6.

Para ensamblar 50 vehículos, entre bicicletas, motocicletas y automóviles, se utilizaron entre otros elementos 38 motores y 148 llantas. ¿Cuántas motocicletas se ensamblaron? A) 10 B)12 C)14 D) 16 E) 24

7.

El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 121.Si de este cuadrado se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las 2 cifras; se obtiene 81. ¿Cuál es el número? A) 65 B)56 C)47 0)38 E)29

8.

Hoy gané S/.1 más que ayer y lo que he ganado en los dos días es 25 soles más que los 2/5 de los que gané ayer. ¿Cuánto gané ayer? A) S/.15 B) 17 C) 16 D) 13 E) 1.4.

9.

"A" Y"B"· comienzan a jugar con igual suma: de dinero; cuando "B" ha perdido los 3/4 del dinero con que empezó a jugar, lo que ha ganado "A" es 24 soles más que la tercera parte de los que le queda a "B". ¿Con cuánto empezaron a jugar? para que quede los 2/3 del mismo? A) 20 soles O) 23 B) 21 E) 36 E) 22

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10. Se reunieron varios amigos y quienes tomaron cuatro tazas de leche y dos tazas de café y tuvieron que pagar 20 soles. Si en otra oportunidad; consumiendo 1 taza de leche y 3 tazas de café pagaron 10 soles. Entonces una taza de leche cuesta. A) 2.5 soles B) 4 C) 6 s D) 3 E) 5 11. En 7 horas 30 minutos una costurera puede confeccionar un pantalón y tres camisas; o 2 pantalones y una camisa. ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa? A) 3 horas C) 4 horas E) 5 horas . B) 3 horas 30 min 4 horas 30 min 12. hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil. ¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer piso para que en el primer piso haya tantos libros como en el segundo y tercero juntos? A) 20 mil B) 100 C) 150 D) 50 E) 75 13. Si a un número se le quita 30 unidades, queda los 3/5 del número. ¿Qué cantidad se le debe quitar al número inicial A) 10 B) 18 C) 15 D) 20 E) 25 14. En un corral de chanchos y pelícanos el número de ojos es 24 menos que el número de patas (extremidades). ¿Hallar el número de hocicos? A) 6 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20. 15. Los cuadrados de 2 números están entre sí como 25 y 36. Si la diferencia entre los cubos de dichos números es 728.¿Hallar el menor? A) 10 ·B) 12 C) 15 D)18 E) 20 16. Si a un número le agregamos un tercio de su valor, luego este resultado lo multiplicamos por un octavo del número inicial y por último a este resultado se le quita un sexto del número inicial. Si el resultado de toda esta operación es 2. ¿Hallar el número inicial? A) 5 B) 42. C) 15 D) 3 E) 4 17. Se divide un mismo número entre 2 números consecutivos, obteniéndose en ambos casos 45 de cociente. Si los 2 residuos suman 73 uno de ellos es. A) 12 B) 14 C) 16 D)18 E) 24 18. Una persona pierde en una apuesta S/.300 luego pierde S/.400, enseguida pierde la mitad de lo que le quedaba y por último pierde la mitad del resto, quedándose con S/.250 ¿Cuánto tenía inicialmente? A) SI. 2 800 B) SI. 1 400 C) SI. 1 700 D) SI. 1 950 E) SI. 1 100

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19. En una expedición a la selva, unos científicos encontraron un animal raro tal es así que los dedos de sus cuatro extremidades inferiores excedían en 16 al total de dedos de sus tres extremidades superiores. Si el total de dedos que posee es igual al total que tienen. Dos seres humanos. ¿Cuántos dedos tienen en sus extremidades inferiores? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 28 20. Si la mitad del tiempo que ha pasado desde las 7 a.m., es una tercera parte del tiempo que falta para las 10 p.m. ¿Qué hora es? A) 11 a.m. B) 12 a.m. C) 10 a.m. D) 1 p.m. E) 2 p.m. 21. Un frutero gasta tres sumas iguales de dI era en comprar manzanas, naranjas y plátanos. Cada naranja cuesta SI. 10 menos que una manzana y SI. 15 más que un plátano; en total compró 150 frutas. El número de naranjas excedió al de manzanas en tantos plátanos como pudo comprar por SI. 150.¿Cuánto invirtió en total el frutero? A) SI. 4 000 B) SI. 3800 C) 4200 D) SI. 3200 E) SI. 3 600 22. Un grupo de hombres, estaban formados en cuadrado, de manera que el marco lo constituían tres filas de hombres. Se observó que separando 3 hombres se podrá formar un cuadrado lleno en el cual el número de hombres de cada lado excedería en 19 a la raíz cuadrada del número de hombres que había en el lado mayor del primitivo. ¿Cuántos hombres existen en total A) 684 B) 924 C) 720 D) 732 E) 600 23. Un rectángulo de 30 x 100 cm,será agrandado para formar otro rectángulo de área doble, para ello se añade, una tira de igual anchura en sus bordes. ¿Cuál es el ancho de la tira en metros? A) 0,01 m B) 0,1 m C) 0,2 m D) 0.02. E) 0,3 m 24. Un comerciante compró algunos radios por 5 300 soles y luego queriendo tener una ganancia de 50 soles en cada radio los vendió por SI. 5 700 ¿Cuántos radios compró? A) 6 B) 8 C) 15 D) 18 E) 20 25. El producto de dos números es 918. Si al multiplicador le restamos 2 unidades, el producto disminuye en 68. Hallar el mayor de los dos números. A) 34 B) 102 C) 153 D) 51 E) 72

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RAZONAMIENTO MATEMATICO

26. En un examen Carlos obtuvo 5 puntos menos que Esteban, quien tuvo 2 puntos menos que Juan, cuyo puntaje es igual a la semisuma de lo obtenido por Esteban y Alberto. Si este último obtuvo 12 puntos, ¿Cuántos puntos obtuvo Carlos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 27. Un lapicero de tinta seca cuesta S/.8 y un lápiz S/.5. Se quiere gastar exactamente S/.96 de manera de poder adquirir la mayor cantidad posible de artículos. ¿Cuál es el número de lápices comprados? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 28. Un obrero gana S/.3 más que otro diariamente. Al cabo de 26 días se retira el primero y seis días después el segundo. Si los dos han cobrado la misma cantidad. ¿Cuál es el jornal diario del primero? A) 13 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 29. La diferencia de 2 números más 60 unidades es igual al cuádruple del menor, menos 50 unidades. ¿Hallar los números si la suma de ambos es 70? A) 20 Y 30 B) 40 Y 30 C) 10 Y 20 D) 15 Y 25 E) 40 Y 20 30. Un taxista compra 6 galones diarios de gasolina al precio de S/.15 el galón. ¿Cuántos galones podrá comprar con la misma cantidad de dinero si la gasolina sube a S/.18 el galón? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 31. Al preguntar una madre a su hija cuando había gastado de los 40 soles que le dio. Ella respondió. “Si no hubiera comprado un regalo que me costó 10 soles tan solo hubiera gastado los

3 de lo que no hubiera 5

gastado” ¿Cuánto gasto? A) 15 B) 20 C) 25

D) 30 E) 16

32. Un taxista compra 6 galones diarios de gasolina al precio de S/.15 el galón. ¿Cuántos galones podrá comprar con la misma cantidad de dinero si la gasolina sube a S/.18 el galón? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

CPU – UNSM -T

33. Si reparto tantos caramelos como niños hay me faltan 2; pero si doy un caramelo a cada niño me sobran 70 caramelos. ¿Cuantos caramelos tengo? A) 70

B) 79 C) 80

D) 68 E) 54

34. Cuando se instaló agua a una población correspondía a cada habitante 60 litros de agua por día. Ahora que la población se ha aumentado en 40 habitantes a cada uno de ellos les corresponde 58 litros de agua por día. Hallar la población actual. A) 1000 B) 1100 C) 1200 D) 800

900 E)

35. En una reunión se encuentran tantos caballeros como tres veces el número de damas, después se retiran 8 parejas; el número de caballeros que aún quedan es igual a 5 veces el de damas. ¿Cuántos caballeros había inicialmente? A)

10 B) 42

C) 45

D) 4 E) 24

36. Una persona concurre al hipódromo con S/. 500 y apostó en 10 carreras. Por cada carrera que acierta gana S/. 250 y por cada desacierto pierde S/. 150. Si se retira con S/. 1400. ¿Cuántas apuestas acertó? A)

5

B) 6

C) 8

D) 7 E) 4

37. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12, se tiene el cuádruplo del menor. Hallar el producto de los números dados. A) 352 B) 328

C) 334

D) 224

E) 330

38. Una persona tiene S/. 120 y otra S/. 50; después que cada una de ellas gastó la misma cantidad de dinero, a la primera le queda el triple de los que a la segunda. ¿Cuánto les queda en conjunto a ambas personas? A) 140 B) 120

C) 100

D) 150

E) 240

39. Dos docenas de libros cuestan tantos soles como libros dan por S/. 2 400. ¿Cuánto cuestan 4 libros? A) S/. 40 B) 36

C) 41 D) 48 E) 39

40. En un corral hay liebres y loros. Si comparamos el doble del número de cabezas con el número de patas, éste excede a aquel en 16. ¿Cuántas liebres son? A) 3

B) 16

C) 8

D) 6

E) 7

241 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

SEMANA N° 11 EDADES Cuando interviene 1 Sujeto: Sea “X” la edad actual de una persona, entonces dentro de “n” años tendrá “X + n” años y hace “m” años tenía “X - m” años. -m

Hace m años

+n

Hoy tengo

X-m

X m+n

Hace n años X+n

Pasado

Presente

Futuro

22

25

32

27

30

37

14

17

24

Se cumple:  La diferencia de edades de dos personas en el transcurso del tiempo es constante: 27 – 22 = 5 Se deduce 30 – 25 = 5  Se concluye que la suma en aspas(de valores ubicados, simétricamente) es constante: Ejemplo: 22 25 = 52 Ejemplo:

+ 27

20

=

Suponiendo que fue hace “X” años, luego en ese momento yo tenía: 40 − 𝑋 = 4 + 4(40 ÷ 4 − 4) 40 − 𝑋 = 28 𝑋 = 12 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Rafael cuenta que cuando cumplió años en 1994, se dio cuenta que su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía en 1,999? A) 25

B) 36 C) 28 D) 24 E) 30

2. En el año 2002 un profesor sumó los años

Se deduce

Ojo: Cuando en un enunciado nos mencionan “hace…” o “dentro de…”, se debe tomar como punto de referencia el tiempo de presente, (hoy). Cuando Intervienen 2 ó Más Sujetos: Para este tipo de situaciones se sugiere utilizar un cuadro, con el propósito de razonar ordenadamente. ¡Veamos ahora una observación muy importante!. Asumiendo que las edades de tres personas en el pasado, presente y futuro son:

Y o T u E l

CPU – UNSM -T

de nacimiento de 45 estudiantes de un salón y luego las edades de los estudiantes, en seguida sumó ambos resultados y obtuvo 90068. ¿Cuántos estudiantes no cumplieron años en dicho año? A) 22

B) 23 C) 24

D) 25 E) 21

3. Cuando tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad que tengo ahora. ¿Cuál será tu edad cuando yo tenga el doble de la edad que tienes, si en ese entonces nuestras edades sumarán 56 años? A) 25

B) 24 C) 30 D) 32

E) 18

4. La edad de 3

hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que: 3; 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como: 5; 6 y 7. ¿Qué edad tiene el mayor?

A) 10

B) 12 C) 4

D) 15

E) 18

5. Ulises le dice a Carlitos: “Tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que yo tengo, yo tendré el doble de la edad que tu tenías hace 12 años”. ¿Cuánto suman sus edades actuales? A) 70

B) 64

C) 68

D) 72

E) 73

6. Hace 6 años la edad de un tío es 8 veces la de su sobrino; pero dentro de 4 años solo será el triple. ¿Calcular la suma de sus edades? A) 56 B) 48 C) 64 D) 52 E) 42

52

7. Las edades de Roberto y Griselda suman Se deduce

Relación con el año de nacimiento:  Si la persona que cumplió años: Año de nacimiento + Edad actual = Año actual  Si la persona aún no cumple años: Año de nacimiento + Edad actual = Año actual -1 Ejemplos: 1) Sabiendo que tengo 40 años, ¿hace cuantos años tenía 4 años, más que 4 veces la edad que tenía cuando cumplí 4 años menos de la cuarta parte de mi edad actual? Resolución:

en la actualidad 120 años. Si Roberto tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de su edad actual. ¿Qué edad tiene Griselda? A) 76 B) 75 C) 74 D) 73 E) 72

8. La edad de un padre y la de su hijo suman 90. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años ¿Cuántos años tiene el hijo? A) 22 B) 30 C) 27 D) 35 E) 19

9. Hace 4 años la edad de Andrés era los 2/3 de la edad de Rosa y dentro de 8 242 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

años será los 5/6. ¿Cuál es la edad de Rosa? A) 12 B) 11 C) 17 D) 15 E) 16

10. Fernando tiene 4 años. La raíz cuadrada del año en que nació, mas su edad actual es igual a la edad cuando murió. ¿a qué edad murió, si nació en el año ̅̅̅̅̅̅̅ 19𝑎𝑏 ? A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 49

11. Un padre tuvo a su primer hijo a los 18 años. Si actualmente su edad es el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la suma de las edades? A) 59

B) 54

C) 60

D) 65

E) 78

12. La edad de Pedro es la mitad de la edad de Carlos, y es los tres cuartos de la edad de su Paola. Si la suma de las tres edades es 65 años. Hallar la edad de Paola. A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

19. Juana tiene una hija a los 20 años y una nieta 24 años después; cuando la nieta tiene 11 años la abuela dice tener 45 años y la hija 30 años. ¿Cuál es la suma de las edades que ocultan ambas? A) 10

B) 15 C) 20 D) 25

mi edad aumentada en 4 años, tendría 32 años. ¿Qué edad tengo? A) 36

B) 18

C) 54

D) 14

E) 28

14. Hace 14 años, la relación de mi edad a tu edad era como 5 es a 1, y dentro de 6 años dicha relación será como 5 es 3. ¿Qué edad tengo? A) 30

B) 20

C) 36

D) 18

E) 34

E) 30

20. Luis sumo: 1 año, más dos años, mas tres años y así sucesivamente hasta la edad actual que tiene dando como resultado un numero de tres cifras iguales, ¿Cuál es la edad de Luis? A) 36

B) 38

C) 40 D) 42 E) 44

21. Si tuviera 13 años más de la edad que tengo, entonces lo que me faltaría para cumplir 72 años seria los 3/4 de la edad que tenía hace 3 años ¿dentro de 8 años que edad tendré? A) 38 B) 36

13. Si al triple de la edad que tengo se le quita

CPU – UNSM -T

C) 43

D) 35

E) 46

22. Teresa le dice a Gilma “Yo tengo el doble de la edad que tu tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 54 años. ¿cuál es la edad de Gilma? A) 21

B) 18 C) 12 D) 22

E) 16

23. Tú tienes la edad que yo tenía cuando tú 15. Dentro de 20 años, Pedro tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tendrá dentro de dos años? A) 40 B) 42 C) 30 D) 32 E) 36 16. Un alumno le pregunto por su edad a su profesor, este contesto:” Mi edad es la suma de todos aquellos números naturales tales que el cuadrado, de su cuádruple disminuido en 2, es mayor que 9 pero menor que 625”. ¿Cuál es la edad del profesor? A) 20 B) 30 C) 40

D) 50

E) 60

17. Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tu tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 8 ¿Qué edad tengo? A) 22 B) 32 C) 42

D) 52

E) 62

18. Si a la suma de los años de nacimiento de 40 alumnos se le suma sus edades se obtiene 78868. Si la suma se hizo en octubre de 1972. ¿Cuántos cumplieron años ya ese año? A) 21 B) 23

C) 25

D) 28

tenías 10 años. Se sabe que cuando yo tenga 34 años tú tendrás la edad que tengo. ¿Cuántos años tienes actualmente? A) 14 B) 16

C) 18

D) 20

E) 22

24. Hace 3 años Pepe Lucho le dijo a Henry “dentro de 7 años la relación de nuestras edades será como 22 a 7. Determinar la edad actual de Pepe, si la relación actual es como 4 a 1. A) 40 B) 20 C) 30 D) 42

E) 48

25. El doble de la suma de las edades de 2 personas es 60 años. Si dentro de 10 años la edad del primero será el doble de la edad que tuvo el segundo hace 10 años. ¿Cuál es la edad del segundo? A) 5 años

B) 30

C) 20

D) 15 E) 25

E) 31 243 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

26. Hace “X” años tuve 30 años, dentro de “3X” años tendré 54 años ¿Cuántos años tengo actualmente? A) 32

B) 34

C) 36

D) 40 E) 45

27. Alberto tiene 32 años

y su edad es el cuádruplo de la edad que tenía Ana, cuando Alberto tenía la tercera parte de la edad que ahora tiene Ana. Hallar la edad de Ana que tendrá dentro de 10 años. A) 36 B) 38 C) 39 D) 40 E) 45 28. Jaimito tiene la edad que tenía pepito, cuando Jaimito tenía la tercera parte de la edad que tiene pepito, Si Pepito tiene 12 años más que Jaimito ¿Cuántos años tiene Pepito? A) 24 B) 32 C) 30 D) 36 E) 50 29. Carlos nació 4 años antes que María. En 1970 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades de 1994. ¿En qué año tendrá 60 años Carlos? A) 2010 B) 2012 C) 2015 D) 2018 E) 2020 30. La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de este cuadrado. ¿Dentro de cuantos años tendrá el cuádruplo de los años de los años que tenía hace 3 años? A) 20 B) 24 C) 12 D) 18 E) 10

SEMANA N° 12 COMPARACIÓN DE MAGNITUDES Y REGLA DE TRES COMPARACIÓN DE MAGNITUDES MAGNITUD: Es todo aquello que es susceptible a sufrir variación (aumento o disminución) y que puede ser medido, la comparación de magnitudes puede realizarse considerando 2 magnitudes, 3 magnitudes, etc. Existen 2 tipos de comparación: A) Comparación Simple.- Se elimina así cuando se compara solamente 2 magnitudes: como resultado de esta comparación podemos diferenciar dos tipos de magnitudes: 1.-Magnitudes Directamente Proporcionales (DP): Se dice que dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando el cociente de cada par de sus valores es constante. Sean en valores de: A: a1, a2,…, an B: b1, b2,…, bn => ADPB Si se cumple que:

a a1 a 2 a 3 = = =…= n =k b1 b2 b3 bn

CPU – UNSM -T

* Un carpintero hace 10 docenas de sillas en 24 días. Cuantas sillas hará en 2 semanas. # sillas # días 120 ----------------- 24 x --------------------- 14

# sillas 120 x = cte => = => x=70 # días 24 4

 Hará 70 sillas

2.-Magnitudes inversamente proporcionales (IP): Se dice que A es IP a B, cuando los productos de cada par de sus valores son iguales: Sean los valores de: A: a1, a2,…, an B: b1, b2,…, bn => A IP B Si se cumple que: a1b1 = a2b2 =…= anbn = k Ej. Se observa que si el número de obreros aumenta, el número de días disminuye: => (# # Obreros # días obreros)IP(# 2 72 días) = cte 4 36 => 2x72 = 8 18 4x36 = 8x18 = 1 144 1x144=144 * Un encuestador pensó visitar 20 casas, pero visitó 5 casas menos por permanecer un minuto más en cada visita. ¿Cuánto tiempo dedicó a cada casa? # casas# minutos en c/casa 20 x 15 x +1 => (# casas)(# minutos en c/casa) = cte. 20 (x) = 15(x +1) x=3  En cada casa dedicó: 4 minutos B) Comparación Múltiple.- Se presenta cuando se comparan más de dos magnitudes DP y/o IP. Ej.: * Para enlosetar el piso de una sala de 5 m de largo y 4 m de ancho, se han empleado tres operarios, durante 2 días, trabajando 10 horas diarias. ¿Cuántos operarios harán falta para enlosetar en 3 días trabajando 8 horas diarias, otro piso de 8 m de largo y 5 metros de largo?.

(# operarios)(# días)(h/d) = cte Área 3.2.10 x.3.4 = x=5 5.4 8.5

 Harán falta 5 operarios REGLA DE TRES Es una operación matemática que consiste en hallar el cuarto última de proporción geométrica cuando se conocen 3 de ellos. La Regla de Tres puede ser:  Simple: Cuando sólo intervienen en ella 2 magnitudes. 244 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

 Compuesta: Cuando intervienen más de dos magnitudes. R3SD: Es aquella en la que las magnitudes que se presentan son directamente proporcionales. Ejm: * Sabiendo que de 125 kg de remolacha pueden extraerse 15 kg de azúcar. ¿Cuántos kg de azúcar proporcionar 50 Kg de remolacha? remolacha azúcar

8

r

20

1

d

10

5r

x

1

10d

Luego se tiene: 8.r.20.1.10d=10.5r.x.1.d X = 32 días EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. A es D.P con B2 e I.P a C , cuando A=4, B=8 y C=16. Hallar A cuando B=12 y C=36.

125 ----------- 15 50 ----------- x

A) 4

125 15 = =>125x = (50)(15) 50 x

2.

R3SI: Se presenta cuando las magnitudes son I.P. Ejm: * Un grupo de 24 excursionistas llevan víveres para 18 días, pero al inicio de la excursión se suman 3 personas más. ¿Cuántos días antes se acabarán los víveres? ExcursionistasDías 24 8 (24+3) x => 24(18) = 27(x) x = 16 Por lo tanto, los víveres se acabarán 18 – 16 = 2 días antes R3Compuesta: Es aquella que está formada por dos o más reglas de tres simple sea directa o inversamente proporcional. Método práctico de solución Método de rayas: Para esto se debe tener en cuenta que se entienda por: causa, circunstancia y efecto. 1) Causa o acción: Es todo aquello que realiza o ejecuta una obra pudiendo ser hombre animal o máquina con su respectiva habilidad, eficiencia o rapidez. 2) Circunstancia: Es el tiempo, modo, forma, como se produce o fabrica algo : (tantos días, tantas horas diarias, tantas raciones diarias) 3) Efecto: Es todo lo hecho, producido, consumido, gastado, realizado, fabricado con su respectiva dificultad.

Hombre días Maquinaria h/d Animal ración diaria

B) 8

C) 9

D) 12

E) 6

A es D.P con B e I.P con C, cuando C es igual a 3/2, A y B son iguales. ¿Cuál

x=6

Causa Circunstancia

CPU – UNSM -T

es el valor de B cuando A es igual a 1 y C =12. A) 8 3.

B) 6

C) 4

D) 12

Si el precio de un diamante es D.P al cuadrado de su peso ¿Cuánto se perdería si un diamante se rompe en 2 pedazos siendo el peso de uno dos veces más que el otro?(el diamante entero estaba en 32000 soles)

4.

A) 5000 B) 10000

C) 12000

D) 6000

E) 12500

Un buey atado a una cuerda de 7.5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance, en 2 días ¿qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 15m?

5.

A) 10

B) 8

Una

cuadrilla

C) 12 de

10

D) 9

E) 11

obreros

se

comprometen a construir en 24 días cierta obra, al cabo de 18 días solo han

Efecto

hecho 5/11 de la obra. ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar

Trabajo realizado con su respectiva dificultad

Ej.: Con 8 Obreros se puede hacer una obra en 20 días. ¿En cuántos días 10 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores harán una obra 9 veces más difícil que la primera. Solución: Ordenando las cantidades y aplicando el método de rayos. Obreros rapidez días obra dificultad

E) 9

a la

cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado? A) 23 6.

B) 25

C) 25

D) 26 E) 30

Una familia de 5 personas gasta 6000 soles para vivir 3 meses en una ciudad. ¿Cuánto deben gastar? para vivir en otra ciudad durante 5 meses, si el costo de vida es 5/4

245 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

de la anterior, sabiendo que se une la suegra a la familia. A) 15000 soles D) 14000 7.

12. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están engranadas. Cuando funcionan 4 minutos,

B) 18000

C)

16000

E) 19000

una a dado 70 vueltas más que el otro ¿Cuál es la velocidad del engranaje

Una bomba demora 10 horas y 15 minutos

pequeño en RPM?

para llenar un estanque. Cuando el

A) 37,5 B) 40 C) 38,5 D) 50 E) 35,5

tanque está lleno hasta 1/5 se malogra y su

13. Para pintar un cubo de de 10cm de lado se

rendimiento disminuye en 1/3. ¿Cuánto

gasta S/ 360 ¿Cuánto se gastara para

tiempo tardará la bomba para llenar el

pintar un cubo de 15cm de lado?

reservorio?

A) 800 S/.

A) 12. h 35’ B) 13h. 25’ C) 14h. 21’ D) 11h. 12’ 8.

B) 810

D) 450

E) 14h. 25’

C) 900 E) 500

14. 6 caballos tienen ración para 15 días, si se

Repartir 2500 en partes que sean D.P. a

aumentan 3 caballos mas ¿Para cuantos

220; 223 y 224 y dar como respuesta la suma

días alcanzara la ración anterior?

de la parte menor con la mayor.

9.

CPU – UNSM -T

A) 12 B) 10 C) 14 D) 9 C) 100

E) 13

A) 1700

B) 1600

15. Tres obreros hacen una obra en 10 días

D) 2400

E) 2000

trabajando 8h/d ¿Cuántos días necesitaran

Fue organizado un concurso de matemática

5 obreros trabajando 6h/d para hacer la

por equipos. El equipo ganador de 3

misma obra?

integrantes recibió un premio; el cual se repartió

entre

C) 9

D) 7

E) 10

miembros

16. Un ingeniero puede construir 6 km. De pista

proporcionalmente al número de problemas

con 40 obreros en 50 días, trabajando 8

resueltos durante el concurso, siendo éstos

horas diarias. ¿Cuántos días tardaría este

36, 32 y 30 respectivamente. Si el segundo

ingeniero en construir 8 km. De pista, con

hubiera resuelto un problema más, habría

50 obreros doblemente eficientes que los

recibido S/. 143. más. ¿A cuánto ascendió

anteriores, en un terreno de triple dificultad,

el premio?

trabajando 2 horas más por día?

A) 21000

sus

A) 12 B) 8

B) 21021

D) 15000

C)

14014

10. Al repartir cierta cantidad en 3 partes que sean D.P. a 3 , 3

n –1

D) 60

E) 65

n –1

admisión en 10 horas; (n+18) lo pueden realizar en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se

4n + 1 y 4n respectivamente y se observa que

realizará el mismo examen, si no pudieron

la primera excede a la última en 216.

asistir 18 profesores?

Hallar la cantidad a repartir.

A)16 h B) 24 h C) 33 h

B) 1980

D) 1660

e I.P. con 4

C)64

,

A) 1480

y3

n+1

B)54

17. “n” profesores elaboran el examen de

E) 20000 n

A) 55

C) 1660

D) 30 h E) 26 h

18. El ladrillo de los usados en construcción de

E) 1530

hornos pesa 3 kg. ¿Cuánto pesara un

11. Si “A (DP) B y C (IP) D2. Averiguar cómo

ladillo hecho del mismo material si las

varia A cuando B aumenta en su tercera

dimensiones se reducen a la mitad?

parte, C disminuye en sus 2/5 y D aumenta

A) 3 kg. B) 3/2 C) 1/3

en la 1/5 parte de su valor. A) 5/9

B) 4/9 C) ¾

D) 4/3

D) 3/8

E) 2/3

19. Una cuadrilla de 12 obreros pueden E) ½

terminar un trabajo en 15 días, trabajando 10 horas diarias. Al cabo de 7 días de 246 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

CPU – UNSM -T

labor, se dan de baja 5 obreros y no son

obreros para construir 4 zanjas en igualdad

reemplazados sino al cabo de 3 días.

de condiciones, pero de 36m. de largo.

¿Cuántos obreros habrán de tomarse para poder cumplir con el trabajo en el día

26. Al repartir cierta cantidad en 3 partes que sean D.P. a 3n, 3n –1 y 3n + 1 e I.P. con 4n –1,

determinado? A) 24

A) 60 B) 96 C) 110 D) 120 E) 150

B) 13

C) 21

4n + 1 y 4n respectivamente y se observa que

D) 18 E) 8

20. Una obra pueden terminar 63 obreros en 18 días trabajando 6 horas diarias, pero

la primera excede a la última en 216. Hallar la cantidad a repartir.

deseando terminar 5 días antes, a los 4 días

A) 1480

de trabajo se tuvo que aumentar más

D) 1660

B) 1980 C) 1660 E) 1530

obreros y trabajar 2 horas más por día.

27. La capacidad de un condensador es D.P. a

¿Cuántos obreros se aumentaron para

su longitud “L” e I.P. a su sección “A”. ¿Qué

terminar la obra en el plazo deseado?

sucede con la capacidad si “L” se hace la

A) 21

3ra parte y “A” se hace la sexta parte?

B) 15

C) 35

D) 42

E) 37

21. Una rueda de 27 dientes engrana con otra de 12 dientes, dando la primera 836 vueltas

A) Se hace la mitad C) no varía

por minuto. ¿Cuántas vueltas dará por hora, la segunda?

B) se duplica D)

se

cuadruplica

E) se triplica 28. El siguiente cuadro presenta algunos de los

A) 112 860 B) 1881 C) 122 860 D) 211 860 E) 2780 22. Cuatro personas inician una empresa por un lapso de 2 años, aportando para ello

valores correspondientes a las magnitudes A y B, relacionadas mediante condiciones de proporcionalidad. Hallar “x”

cantidades iguales; luego de un año, dos de ellos aumentan su capital en su mitad y los otros dos, retiran la mitad del suyo. ¿Cuál fue la utilidad total obtenida, si uno de los

A

847 567

X

B

11

5

9

A) 135 B) 145 C) 155 D) 165 E) 175 29. Si un alumno hábil

puede resolver 20

que retiran la mitad de su capital recibe

problemas durante 2 horas. ¿Cuántos

9000 de beneficio?

problemas podrá resolver otro alumno

A) 40 000 B) 42 000 C) 46 000 D) 48 000 E) 52 000 23. Un móvil recorre 500 m en 10 minutos con velocidad constante ¿Qué tiempo empleará en

recorrer

los

siguientes

200

m.

manteniendo su velocidad? A) 12

B) 6

C) 4

días

E) 7

emplearan

40

obreros

realidad la misma obra? B) 7

C) 8

D) 11

de dificultad que los primeros, en 3 horas A) 20

B) 32 C) 75

D) 40

E) 18

30. Tres prados tienen la misma área pero en

anterior. El pasto del 1er prado

igualmente hábiles que los anteriores en

A) 5

anterior y cuyos problemas tienen el doble

c/u el grado de crecimiento es el doble del

D) 5

24. Si 20 obreros hacen una obra en 10 días. ¿Cuántos

hábil, cuya habilidad es 5 veces que el

puede

alimentar 72 ovejas en 36 días y el 2do puede alimentar a 48 en 90 días ¿Cuántas ovejas se comerán todo el pasto del tercero en 60 días?

E) 13

A) 75

B) 72

C) 81

D) 78

E) 84

25. 20 obreros construyen 3 zanjas de 18 m. de largo c/u, empleando 27 días en esa labor. Determinar el tiempo que tardarán 15 247 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

RAZONAMIENTO MATEMATICO

SEMANA N° 13 RELOJES, ADELANTOS Y RETRASOS Hr = Hm + Rt Hr = Hm - At Dónde: Hr =Hora real Hm =Hora marcada Rt =Retraso total At =Adelanto total Fórmula para calcular la medida del ángulo que forman el horario y el minutero: a) Cuando el horario adelanta al minutero 11 𝜃 = − m + 30H 2

Dónde: H: Hora de referencia (0 ≤ H