Tomei, M.C. Topologia Elemental. Un Saber Previo A La Lectura de Lacan. 4.1MB PDF

 

M A R IIO O CESAR TOM EI

TOPOLOGIA ELEMENTAL Unsaberp prrevi evio o a la la lect ectura de L

 Ja  J acquesLacan

Prólogo de GERARDO MAESO

 

Composición: Alberto Auné Dibujos: Valeria Valentín] Tomei

ISBN: 987-99569-0-7

Copyright Sara Oliva Sánchez de Bustamante 1784, 5to. “K” 1425 Buenos Aires - República Argentina Hecho el depósito que marca la Ley 11.723 Impreso en la Argentina / Printed in Argentina Libro de edición argentina

 

PROLOGO Jacques Lacan pretendió rigurosidad para su disciplina el  psico  ps icoan análi álisis sis,, q u e e n c o n tr traa b a con co n cada cad a p acie ac ient ntee en su cl clín ínic ica, a, en el lugar de su práctica. Fue tal vez el único psicoanalista que intentó con sus mate rnas formalizar la experiencia para orientarse en ella y hacer de la misma algo que de unacualquier experiencia inefable. hay un “algo” Sabemos quemás detras formalización intuitivo sobre el cual se apoya la estética conceptual. Es así como Mario C. Tomei intenta mostrar los modelos topológicos imaginarios que surgen en las enseñanzas de Lacan y que constituyen el hilo conductor de este libro. La presente obra es el recorrido del autor quien durante dos años trató de aclarar y explicar la banda de Moebius, el cross-cap y el toro. La lectura de este texto nos transmite el asombro y la curio sidad apasionada de un trabajo que constituye el símbolo de un acto creador.

GERARDO MAESO

 

 A mi miss a ami migo goss psic psicoana oanalistas listas... ...

... y a mis otros amigos también.

 

 El p re se n te tra traba bajo jo ti tiee n e p o r origen orig en un una a ser serie ie de no nota tass  que escribí, a modo de guía, para encarar, con un grupo  de psicoanalistas amigos, el estudio de los modelos topo-   lógicos utilizados por Jacques Lacan.  Da do qu  Dado que, e, c o m o es d e pe pens nsar ar ten te n ie ien n d o en c ue nta nt a la   p  prr o fe fesi sió ó n elegi elegida da p o r ello ellos, s, nineruno ssee car caract acteriz erizab aba a p o r   mostrarse demasiado inclinado al estudio de las mate máticas, el lector encontrará que en el desarrollo del   mismo se ha sacrificado en más de una oportunidad   todo tipo de rigor científico en aras de facilitar la com  pren  pr ensi sió ó n d e l tem te m a tr trat atad ado. o.

 EL  E L A U T O R

 

TOPOLOGI TOP OLOGIA A ELEMENTAL

 

Las propiedades de las figuras que se estudian en Geometría Elemental dependen por lo general de sus medidas. Así, decimos que dos triángulos son iguales si tienen sus tres lados correspondientes iguales. Para poder verificar dicha igualdad es necesario medir dichos lados. Estas propiedades que dependen de las medidas de las figu ras son propiedades métricas y para el estudio que vamos a realizar  NO NOS INT IN T E R N . P or lo ta tan to , dejem de jemos os lonuestra escr es crito ito atención a n te teri rioo r mente a modo deE SA Introducción y nconcentremos en la siguiente figura, la cual, como vemos, es una circunferencia que divide a la superficie de la hoja de papel en la que está dibujada en dos partes. Una parte es la zona rayada que ella en cierra y la otra parte es el resto de la hoja. En esta figura se verifica que: I o) Do Doss puntos pun tos ddee una misma parte pueden unirse siem  pre ibcortará u ja jann d o a una un lí línn ea que qu e nuncad ibu laa circunferen cia.. cia 2o ) Si unimos unim os median me diante te una línea dos puntos que pertenezcan a cada una de las partes, ésta cortará cor tará siempre a la circunferencia. circunfere ncia. 3o ) Toda Tod a línea cerrada que dibujemos en cualquiera de las dos partes limita una superficie que pertenece totalmente a la parte en que ha sido dibujada. Lo dicho puede verificarse en los dibujos que se encuentran en la página siguiente.

 

Estas propiedades se siguen cumpliendo si en lugar de dibujar una circunferencia dibujamos un triángulo, un cuadrado, o una superfi super ficie cie encerrada por po r una línea cerrada cualquiera. cualquiera.

Dibujemos ahora dos circunferencias que posean el mismo cen tro y distinto dis tinto radio. Ellas Ellas dividen a la superficie de la la hoja de  p  pap apel el en tr tree s part pa rtes es.. Una es la que encierra la circunferencia circunfe rencia de radio r 2. O tra la que queda comprendida entre la circunferencia circun ferencia de radio r t y la circunferencia de radio r2 a la que se la llama Corona circular y la tercera es el resto de la hoja. Ayalicemos si la corona cir cular tiene las mismas propieda des que la superficie encerrada  po  p o r la c ir ircu cunf nfer eren enci cia. a. Vemos que si dibujamos una línea cerrada dentro de la coro na circular el área que ella encierra no pertenece totalmente a la corona circular pues abarca también la superficie que encierra

 

la circunferencia central. Por lo tanto la propiedad 3) no se cum  ple y la coro co ronn a ci circ rcul ular ar y el círculo no gozan de esta pro  p  pie iedd aPodemos d en co com m ún ún.decir . que hay ciertas propiedades cualitativas que el interior de un círculo, un cuadrado y un triángulo tienen en común que la corona circular no posee. Supongamos ahora que tuviéramos un círculo hecho de caucho, al cual se lo pueda desformar plásticamente convirtiéndo lo en un triángulo, un cuadrado o una figura delimitada por una línea cerrada cualquiera. A medida que vayamos desformando el círculo existirán  pr  pro ied ie d ades ad es mvisto, ét étri rica cassque q u eson se comunes m o d if ific icaaal rán rá ncírculo, , pero pe ro oaltras, tracuadrado s, p o r eje ejemp lo laso pque hemos ymplo a la figura delimitada por una línea cerrada cualquiera, permanecerán invariables a través de toda la deformación. A las propiedades que permanecen invariables a través de una deformación continua se las llama propiedades fonológicas y son estudiadas estudi adas por po r la TOPOLO TOPOLOGIA. GIA. Imaginemos ahora que tenemos un mapa con la división polí tica del mundo, en el cual están todos los países separados unos de otros por sus fronteras dibujadas en negro, y coloreados de forma tal que dos países cualesquiera que tengan una frontera común  pose  po sean an colo co lore ress d if ifer eren ente tes. s. Si tr tree s p aí aíse sess ti tien en en una un a fro fr o n te tera ra común, esta frontera aparecerá en el mapa dibujado como un  pu  p u n to en el cu cual al se u n e n las fr froo n te tera rass de los país pa íses es tom to m ad adoo s de a dos. por ejemplo {BRASIL - PARAGUAY) (ARGENTINA PARAGUAY) (ARGENTINA - BRASIL). Este mapa se dibuja a continuación, en la página siguiente.

 

(ARGENTINA- PARAGUAY)

(OR (O RASILIL- B W G J A Y )

Si pudiéramos mirar a ese punto con una lupa que poseyera un aumento infinitamente grande, lo veríamos rodeado por otros  p  puu n to toss vecin ve cinos os de la sigui sig uien ente te form fo rma: a:

Ahora tomemos el mapa, hagamos con él un bollo y tirémos lo al cesto de los papeles. Pero antes d$ pasar a otro tema, veamos la relación que existe entre el mapa hecho un bollo que está en el cesto de los papeles y el mapa original que tan bien lucía en el escritorio. Para empezar, sabemos que pese a la deformación que sufrió el mapa origina] al hacerse el bollo, el punto de encuentro de las tres fronteras sigue dibujado sobre el papel en algún lugar del

 

 bo llo.. E n to  bollo tonn c e s y a h em o s e n c o n tr traa d o u n a prim pr im e ra rela re laci cióó n y dire di re mos que al punto de encuentro de las tres fronteras del mapa origi nal le corresponde el punto de encuentro de las tres tronteras en el bollo y solamente ese punto y que al punto de encuentro de las tres fronteras en el bollo le corresponde el punto de encuen tro deDado las fronteras el mapa original y solamente ese punto. que esteenpunto es uno de los tantos puntos de la fron tera y sabemos que éstos también se encuentran dibujados en su • totalidad en el bollo. Podemos establecer esta misma relación entre los puntos de las fronteras en el bollo con los puntos de las fronteras en el mapa original. ¿Y acaso, por el solo hecho de arrugar el papel, habrá desa  pare  pa reci cido do o apa ap a re recc id idoo algún alg ún p u n to colo co lore read adoo ? P o d rí ríaa m o s de deci cirr que no, puesto que si deshiciéramos el bollo y plancháramos el  pape  pa pel,l, el m a p a a p a re recc e ría rí a ta tall cual cu al el orig or igina inal.l. Lueg Lu ego, o, ta tam m bi bién én  po  p o d ría rí a m o s esta es tabb le lecc e r la mism mi smaa c o rr rres espp o n d enc en c ia e n tr tree los p u n tos to s celestes, verdes y amarillos del bollo y los puntos celestes, verdes y amarillos del mapa original. Generalizando, Generali zando, diremos: I o ) que a ca cada da pu n to del   mapa original le corresponde un punto y solo uno del   mapa hecho bollo, y 2o) que a cada punto del mapa   hecho bollo le corresponde un punto y solo uno del   mapa original.

Visto esto, cabe preguntarnos: estos puntos que se correspon den, ¿cómo estarán ubicados unos respecto de otros? Por ejemplo, ejemplo, volviendo nuevamente a la imagen ampliada que teníamos del  pu  p u n to de e n c u e n tr troo de las tr tres es fr froo n te tera ras, s, p o d em o s p reg re g u n ta tam m o s: al punto celeste que en el mapa original está próximo al punto de encuentro de las fronteras, ¿qué punto le corresponde en el  bollo  bo llo?? Dado que no hemos modificado el dibujo, sino que simple mente lo hemos arrugado, las fronteras que se encuentran dibu  jadas  jad as en el b o llo ll o se segu guirá iránn se sepp a ra rann d o a los m ism ismos os pa país íses es,, qu quee separaban en el mapa original, y éstos seguirán coloreados con los mismos colores. Luego, el punto celeste seguirá encontrándose en el bollo próximo al punto de encuentro de las fronteras. Lo

 

mismo podemos afirmar del punto verde y del amarillo, y pode mos decir también que al punto F que separa al punto celeste del verde en el mapa original le corresponderá un punto F que separa al punto celeste del verde en el bollo.

Generalizando, podemos decir, 3o) que a dos puntos   vecinos en el mapa original corresponden dos puntos   vecinos del mapa hecho bollo y a dos puntos vecinos   del mapa hecho bollo corresponden dos puntos vecinos  en el mapa original.

A una transformación que tenga estas dos características se la llama TRANSFORMACION TOPOLOGICA u HOMEOMORFISMO. Un HOMEOMORFISMO entre dos figuras es una   correspondencia tal que a todo punto de una de las dos   fi  figu gura rass co corr rres esp p o n d e u n p u n t o y só sólo lo u n o de la otr otra, a, y   que a dos puntos vecinos de una corresponden dos    p  pu u n to s ve vecin cinos os de la ot otra. ra.

La noción de homeomorfismo desempeña en Topología el mismo papel que el de igualdad en la Geometría Elemental. En Geometría Elemental dos figuras iguales tienen las mismas pro  pied  pi edad ades es.. De igual igu al m o d o , dos do s c o n jun ju n tos to s de p u n tos to s h o m eo eom m o rfo rf o s

 

cualesquiera tienen las mismas propiedades topológicas, y a estas  pro  p ropi pied edad ades es se las llam lla m a in inva vari rian ante tess topo to polo logi gico cos. s. Dos de tales tal es con co n  junn to  ju toss d ebe eb e n se serr m ir iraa d o s en T o p o log lo g ía com co m o no d ife ifere rent ntes es o Veremos que el homeomorfismo entre distintas figuras o conjuntos de puntos no depende en absoluto de su forma o su tamaño. Figura 1: lom em os un seg seg mento de recta AB y unamos cada uno de sus puntos con otro  p  puu n to e x te teri rioo r E p o r m edio ed io de rectas. ¿Cuántas rectas debería mos dibujar? Infinitas. Pero nos conformaremos con dibujar unas  poca  po cass de ellas, haci ha cien endo do n o ta tarr que lo que se da en éstas se veri fica también en las infinitas rectas que no hemos dibujado. Si a este haz de rectas que hemos dibujado lo cortamos con una recta, cada una de las rectas del haz determinará sobre ella un  p  puu n to que qu e tie tienn e su corr co rree sp spoo n diente en el segmento AB. Así, el punto C tiene por correspondiente al punto A, el  pu  p u n to 1 se c o rr rree spo sp o n d e con co n el 2, el 3 c o n el 4, y así as í suce su cesiv sivam amen ente. te. Vemos también puntos vecinos sobre el AB CD le corre correspo sponde ndenn punto puque nto as vecinos en el segmento Asegmento B. Por ejemplo, al punto 1, vecino del punto C, le corresponde el punto 2, vecino del punto A. Luego, entre el segmento CD y el segmento AB existe un homeomo hom eomorfismo, rfismo, pues a un pu nto del segmento segmento CD corresponde corresponde un  p  puu n to y sólo só lo u n o del de l se segg m e n to AB y a dos p u n tos to s ve vecin cinos os del segmento CD corresponden puntos vecinos en el segmento AB. Por lo tanto, el segmento AB y el segmento CD, que en la Geometría Elemental serían considerados diferentes (pues uno es más largo que el otro), en Topología son considerados equivalentes o no diferentes.

 

Vemos en la Figura 2 que entre los puntos del segmento de recta AB y los puntos de la línea curva que corta al haz de rectas se establecen las mismas relaciones que en el ejemplo anterior. Luego, el segmento AB y el segmento curvo CD son homeomorfos y para la Topología son considerados como no dife rentes.Siguiendo el mismo procedimiento, vemos en la Figura 3 que existe un homeomorfismo entre la superficie de una semiesfera y la superficie de un círculo. Luego, para la Topología, la superficie de una semiesfera y un círculo son equivalentes. Si retom am amos os el ejemplo ejemp lo que dimos del círculo hecho de caucho, el cual por deforma ción se puede transformar en un triángulo, un cuadrado o una figura limitada una línea cerrada cualquiera,por podemos decir que entre estas figuras es  posib  po sible le siem sie m pre pr e esta es tabb le lecc er las relaciones de correspondencia y vecindad entre sus puntos,  prop  pr opia iass del h o m e o m o rf rfis ism m o , p o r lo cual cu al son so n top to p o lóg ló g ic icam am e n te equivalentes. Para continuar avanzando en nuestro estudio necesitamos valernos de una superficie, denominada toro. Para visualizarla, inflemos una cámara de bicicleta y nos encontraremos en pre sencia de un toro. Si ahora procedemos a deformar la cámara de bicicleta torcién to rciéndo dola, la, entre la cámara original original y la cámara deformada, siempre, a un punto de una, le corresponderá un  p  puu n to y sólo só lo un p u n to de la o tr traa , y a p u n tos to s vecin ve cinos os de u n a le corresponderán puntos vecinos en la otra. Luego, son topológi camente equivalentes. Además, si dejo la cámara librada a su suertee retomará suert retom ará la forma primitiva. primitiva. Superficies Sup erficies hom eom eomorfas orfas que pueden pasar de unas a otras por una deformación continua, decimos que tienen la misma posición en el espacio. Procedamos ahora a cortar el toro de forma tal que quede como un pedazo de manguera, y hagamos con ella un nudo como muestra la figura siguiente.

 

Luego, unam os lo loss bordes de la manguera de forma tal, que los puntos que coincidían en la cámara antes del corte coincidan nuevamente en esta unión. O sea, que quedenunca en la cámara comotodo si el corte se hubiera realizado. Entre la superficie de esta cámara anudada y la cámara original se cumplirá que a un  p  puu n to de u n a c o rre rr e sp spoo n d e u n o y solo uno de la otra, y a puntos vecinos en una corresponden  p  puu n to toss vecin ve cinos os en la o tr traa ; luego lue go,, son homeomorfos. Si quisiéramos pasar de la cámara anudada a la forma de la cámaray tendríamos primitiva, no podríamos realizar por simple deforma ción, quelocortar la cámara, deshacer el nudo, y unir nuevamente. Las superficies homeomorfas que no gozan de la  proo p ied  pr ie d a d de p as asar ar de u n a a o tr traa p o r m e dio di o de un unaa de defo form rmac ació iónn se dice que tienen distinta posición en el espacio. Dado que en los próximos temas que abordaremos vamos a referirnos a las superficies y a la forma en que éstas se cortan, conviene que veamos algunas de las características que les son  propi  pro pias as.. Todos tenemos idea de lo que es una superficie. Si hablamos de la superficie de la pared todos sabemos que nos referimos a la  pa  p a rte rt e visible vis ible de la p ar ared ed y nunc nu ncaa a la p a rt rtee in te teri rioo r de ella, ta tam m b ié iénn sabemos .que si se nos pide la medida de dicha superficie bastará con que digamos cuál es su largo y cuál es su ancho para contestar a dicha pregunta pero que si por un exceso de celo quisiéramos informar también su profundidad, no lo podríamos hacer, pues nos sería imposible medirla, dado que una superficie no posee  pro  p ro fu funn d id idaa d . Ampliemos un poco más lo ya dicho con otro ejemplo. Cuan do nos referimos a la superficie del mar, realmente a lo que esta mos aludiendo es a la superficie de separación entre el agua del

 

mar y ¿1 *úre- To Toda da perso p ersona na que qu e se zam zambulla bulla en el mar, al atravesar esa superficie dejará de estar en contacto con el aire y tomará contacto con el agua de mar; a la inversa, cuando emerja para res  pira  pi rar, r, al at atra ravv es esar ar dich di chaa supe su perfi rfici cie, e, p a rt rtee de su cue cu e rpo rp o de deja jará rá de estar en contacto con el agua para entrar en contacto con el aire. En ningún momento este nadador, al atravesar esa superficie, se encontrará con algo que sea distinto del agua o del aire, y esto sucede porque esta superficie carece de espesor. De todas formas, si bien carece de espesor, hemos dicho que el nadador la atraviesa desde el aire hacia el agua al zambullirse y desde el agua hacia el aire al emerger. Para que esto suceda, la superficie debe poseer dos caras: •una que da hacia el aire que se atraviesa como primera al zambu llirse, y una que da hacia el agua que se atraviesa como primera al emerger. A superficies con estas características se las llama biláteras.

De lademisma forma, cuando nos hablamos inicialmente de la superficie una pared, realmente referíamos a la superficie de separación del aire y la pared, la cual como hemos visto tendrá dos caras, una que dará hacia la pared y otra que dará hacia el aire. Lo mismo ocurrirá, obviamente, con la superficie de un  pape  pa pel,l, la cual cu al te tenn d rá dos do s lados lad os:: u n la lado do que qu e dará da rá hacia ha cia el pa pape pell y otro lado que dará hacia el aire. Si consideramos una hoja de  pape  pa pel,l, es esto to suce su cede derá rá en las dos do s caras cara s de ella. Por lo tanto, no es correcto considerar a las dos caras de una hoja de papel como a dos lados de una superficie.

espesor 

: SEPARACION AIRE  ¡REVERSO DE  ; LA HOJA ! A IR E --------------------

-0 .3

* AIRE

SUPERFICIE  DE I  SEPARACION ;  ANVE  AN VERS RSO O DE  LA HOJA   AIRE  AI RE

 

La figura anterior representa a una hoja de papel vista de  perfi  pe rfil,l, a la cual cua l se le ha ex exag ager erad adoo el espeso esp esor. r. De todas formas, como para pa ra materializar materializar determinados determinados mode los topológicos no tendremos más remedio que valemos de una hoja de papel, deberemos imaginar que esta hoja de papel carece de espesor y además, para que cada una de sus caras se pueda asi milar a cada uno de los lados de la superficie bilátera, deberemos espesor  considerar a una de las caras de la hoja de papel como vista desde (i (i:: el aire(l) que es realmente desde (2  ) donde nosotros la miramos, y a !a otra cara, si bien la miramos de la misma form a(2) deberemos deberem os aíre imaginar que la miramos desde  AIR  A IR E adentro del papel(3). Siempre que para nuestros ejemplos utilicemos una hoja de  pape  pa pel,l, lo h arem ar emoo s c onsi on sidd er eráá n d o la de esa manera. * Supongamos ahora que es tuviéramos contemplando el agua contenid con tenidaa en una pileta pile ta de natanata ~s ~sir irT T ción, y que en su superficie viéra _ y % espesor  mos reflejada refleja da la imagen ima gen de un ¡jei ^ edificio pintado de amarillo y ubicado de forma tal que todos los rayos luminosos que de él pro vienen se reflejen totalmente en la superficie del agua, como desde nuestro veríamos el con ladoundereflejo la superficie que da hacia el aire, es obviolugar que la veríamos amarillo. Si miramos a esta misma superficie desde abajo del agua veríamos el lado de ella que da hacia el agua. Dado que al estar  bajo  ba jo el agu aguaa el re refle flejo jo am ar arill illoo no lleg llegará ará ha hasta sta noso no sotr troo s, verem ver emos os a ese lado de la superficie de color celeste, debido a que se trans pa  p a re renn ta el c o lo lorr del cielo. cie lo. Lu Lueg ego, o, cada ca da u n o de los lad lados os de un unaa superficie bilátera, a pesar de que la superficie carezca de espesor,  pu  p u ed eden en vers versee c o lo lore read adoo s p o r dos do s colo co lore ress dist di stin into tos. s. Dado que ya sabemos qué son las superficies, veamos qué sucede cuando ellas se cortan entre sí: éste es un concepto que nos conviene tener muy claro pues lo utilizaremos con frecuencia.

 

Cuando decimos que dos rectas se cortan en un punto, real mente, ¿qué queremos decir? Queremos decir que ese punto es común a ambas rectas. Supongamos que una recta r   se corte con una recta  s  en un punto A. Ese punto A pertenecerá tanto a la recta r   como a la recta  s.

Si nos imaginamos a una hormiguita caminando por la recta r,  pasaría por el punto A como si la recta s no existiera, y lo mis mo ocurriría si viniera caminando por la recta  s  : pasaría por el  p  puu n to A com co m o si la re rect ctaa r  no   no existiera. Esto nos hace recordar a un cruce de calles:

santa te       o       a         l         l       a       c

La zona rayada es común a las avenidas Santa F.e y Callao; el  p  puu n to A es com co m ú n a las re rect ctas as r   yy  s .

 

Veamos ahora qué sucede cuando dos superficies planas se cortan. Supongamos que las rectas r   y  s  del ejemplo anterior se en contraran dibujadas en dos superficies planas distintas; el punto A, en el cual se cortan, pertenecería a ambas superficies planas, por ser común a ambas rectas.

De la misma forma que hemos dibujado a las rectas r   y  s  sobre estos planos, podríamos dibujar también en ellos muchas otras rectas similares a r   y  s,   que se cortaran dos a dos en un  pu  p u n to, to , tales tale s c o m o r , s t , r 2 s 2 , r 3 s3  s 3  .

Si dibujáramos los infinitos pares de rectas que sería posible trazar sobre estos planos, los puntos en que ellas se cortan forma rían una recta. Esta recta, que pertenece a ambos planos, que es común a los dos, constituye la línea en la cual estas dos superficies

 

se cortan y cada uno de los puntos de esta recta gozará de las mis mas propiedades que el punto A de nuestro primer ejemplo  p  poo se seía ía.. Por lo tanto, volviendo al ejemplo de la hormiguita, si ésta camina por la recta r   pasará por el punto A como si la recta  s  no existiera, pero vemos que al hacerlo pasa al otro lado de la superfi cie en la que se encuentra dibujada la recta  s ,   como si esta super ficie no existiera.

De la misma forma, si caminara por ia recta  s, al pasar por el  p  puu n to A at atra ravv e sa sarí ríaa a la supe su perf rfic icie ie en la que qu e está es tá d ibu ib u ja jadd a la rect re ctaa r   como si ésta no existiera. Estas propiedades se cumplen para todos los puntos de esta línea de corte co rte que estas estas superficies superficies com comparten parten,, y que perm ite que que ambas superficies puedan ser recorridas en su totalidad como si la otra no existiera. superficies fueran planas, nolas sería una recta Si y sulasforma se veríanoligada a las formasesta quelínea tengan superfi cies que se corten; no obstante, sus puntos seguirán gozando de las propiedades anteriormente citadas. A esta línea de corte se la conoce con el nombre de línea de   p  pee n e tr tra a c ión ió n .

De la misma forma que dos reítas que se cortan tienen un  p  puu n to en com co m ú n , c u a n d o una un a rect re ctaa c o rt rtaa a u n a su supe perfi rfici ciee lo hace en un punto que ambas poseen en común, y si la hormiguita del ejemplo camina por esa recta atravesará la superficie desde uno de sus lados por el punto A.

 

Si después de haber atravesado la superficie realiza el camino inverso, atravesará nuevamente la superficie desde su otro lado por el mismo   punto A. Luego, vemos que al mismo  punto A lo encon tramos en ambos lados de la superficie. Toda superficie se encuen tra constituida por infinitos puntos, cada uno de los cuales perte nece a ambos lados de la superficie. Supongamos que tomamos una tira de papel (recordemos que valiéndonos de determinados supuestos ya expuestos nosotros con sideramos a ambas caras de la hoja de papel como si fueran dos lados u6 una superficie ),   aclarado esto, supongamos que tomamos una tira de papel rectangular ABCD como indica la Figura 1, cuya  base AD es b a s ta tann te m ás larga q u e su a lt ltuu ra AB AB..

FIG 1

 A Marquemos en ella el punto P de forma tal que divida al lado AB en dos partes iguales, y el punto P\ que haga lo mismo con el lado CD. Unam Un amos os P con co n P’ y obte ob tenn drem dr em os la líne líneaa PP’ PP ’, que es la mediana del rectángulo ABCD y lo divide en dos partes iguales. Tracemos esta línea y coloreemos el rectángulo PBCP’ como indica la Figura 1 en ambas caras del del papel. Si ahora unimos el borde AB con el borde CD de forma tal que coincidan los puntos A y D y otro tanto ocurra con los puntos

 

B y C, obtendremos una superficie cilindrica como la que repre senta la Figura 2. Si quisiéramos relacionarla FIG 2 con una forma que nos resulte familiar, diremos que se asemeja  b í t muchoSi a en un lugar servilletero. de unir ambos  pp  p p * lados como lo hemos hecho ante AD riormente, los unimos de forma, tal que el punto A coincida con el punto C y el punto B coincida con el punto D, al hacerlo,obtendremos una superficie como la

que representa 3. A esta superficie se la conoce con el nombre de Cintala deFigura Moebius.

FIG 3 A modo de ejercicio, veamos si la superficie cilindrica y la cinta de Moebius son topológicamente equivalentes. Dado que a ambos modelos los hemos construido con la misma banda de  pape  pa pel,l, p o d em o s deci de cirr con co n se segu gurid ridad ad,, au aunn sin mira mi rarr las figura fig uras, s, que qu e a un punto de la cinta cilindrica le corresponde un punto y sólo uno de la cinta de Moebius, y viceversa. Luego, una de las dos condiciones necesarias para que esfas superficies sean homeomorfas se cumple. Si ahora miramos las dos figuras, que representan ambos mo delos, del os, vemos que en la figura que repres representa enta a la superficie supe rficie ccilin ilin drica los puntos coloreados, salvo a lo largo de la línea central, se encuentran siempre próximos entre ellos, o sea que al lado de un

 

 pu  p u n to c o lo lore reaa d o h ab abrá rá si siem em pr pree u n p u n to c o lore lo reaa d o y lo m is ism mo ocurre con los puntos sin colorear. En cambio, en la figura que re  pres  pr esen enta ta a la c in inta ta de M oeb oebius ius,, vem ve m os que qu e en la lí línn e a de u n ión ió n de la tira de papel los puntos coloreados se encuentran próximos a los puntos sin colorear: luego, a dos puntos vecinos de la superfi cie cilindrica le corresponden dos puntos en launacinta de Moebius y a lanoinversa: esto significa que novecinos se cumple de las dos condiciones necesarias para que dos superficies sean homeomorfas. En consecuencia, una superficie cilindrica y una cinta de Moebius no son topológicamente equivalentes. Supongamos ahora que tuviéramos que fabricar grandes can tidades de estos dos modelos de cintas y que para satisfacer esta necesidad nos viéramos obligados a contratar a un grupo de perso nas para que se encarguen de su armado. Para ello, además de entregarles las tiras de papel y el pega mento, deberemos establecer una regla, a seguir para su pegado, que sea letras de fácilcomo interpretación. primero que seque nosrealizamos ocurre es utilizar en las dosLoconstrucciones anteriormente, pero este método nos parece demasiado laborio so para aplicarlo a una gran producción. Descartado este método, decidimos analizar todas las fases que requiera e¡ armado de cada una de estas superficies, y al hacerlo vemos que, para la fabrica ción de ambos modelos, la cinta de papel debe ser unida por sus lados más pequeños. Por lo tanto, si identificamos estos dos lados con una letra minúscula, por ejemplo la letra a,  podremos especi ficar que para su armado se unan siempre los bordes identificados con la misma letra.

Entonces, al entregar las tiras de papel, podemos acompañar las con una nota que diga: “Para su armado deberán unirse los lados identificados con la letra a " .   Con esta indicación queda per fectamente definido qué lados deben unirse, pero nos falta indicar cómo deben unirse estos dos lados. Para ello dibujaremos una

 

flecha sobre cada uno de los bordes identificados con la letra a  y completaremos la nota explicativa, la cual en su texto final dirá: “Para su armado deberán unirse los lados identificados con la letra a de forma tal que las puntas de las flechas queden superpuestas”. En la superficie cilindrica las flechas indicarán la misma dirección:

En la cinta de Moebius las flechas indicarán direcciones opuestas:

Es común que cuando se construyan superficies por medio de desfo desforma rmación ción y pegado de polígo polígonos nos,, en eell caso anterior an terior un cuadrilátero, se indique su construcción como lo acabamos de ver. Por ejemplo, el dibujo que vemos a continuación indica los  pas  pasos os denominada a seguir seg uir para pa raToro. o b te tenn e r, a p a r ti tirr de un rec re c tá tánn g u lo, lo , u n a su supp er er  ficie

Sobre esto volveremos cuando tratemos al Toro en parti cular.

 

Volviendo a la cinta de Moebius, vemos que las flechas dibu  jadas  jad as en la tira ti ra de pape pa pell in indi dica cann dire di recc ccio ionn es op opue uesta stass y en cons co nse e cuencia, para que sus puntas coincidan, al ser pegada la tira de  pape  pa pel,l, ésta és ta d eber eb eráá e fe fecc tu tuaa r sob so b re s í m isma ism a un semigiro sem igiro y éste és te  p  poo d rá realiz rea lizar arse se haci ha ciaa la dere de rech chaa o haci ha ciaa la iz izqu quier ierda da.. Para Par a acla ac la rar esto, imaginemos las agujas de un reloj, que indiquen la hora a las seis de la tarde. Todos sabemos que en una hora la aguja de los minutos realizará un giro completo y ocu  p  par aráá n u eva ev a m e n te la mism mi smaa posi po si ción. También sabemos que para que la aguja de los minutos ocu  pe la p o sic si c ió iónn q u e tien ti ene, e, en es este te caso, la aguja de las horas bastará con realice la reco rridoque anterior, o mitad sea undelmedio giro, y este semigiro podrá reali zarse hacia la derecha si la aguja avanza como lo haría normal mente un icloj, o hacia la izquier da, moviéndose como lo hace cuando nosotros atrasamos un reloj. De la misma forma, para que coincidan las puntas de las flechas, para su pegado, la tira de papel podrá torcerse sobre sí misma una un semigiro hacia la derecha o hacia realizando la izquierda, obteniéndose cinta de Moebius con torsión derecha o izquierda respectivamente.

SEMIGIRO DERECHO

SEMIGIRO IZQUIERDO

Una cinta de Moebius con torsión izquierda es homeomorfa con una cinta de Moebius con torsión derecha, pero no se puede

 

 pa sarr de u n a a o tr  pasa traa p o r una un a defo de form rmac ació iónn c o n ti tinn u a , pues pu es o cup cu p an  posic  po sicio ione ness di dife fere renn te tess en el espa e spacio cio.. Retomando nuevamente el tema al cual estamos abocados,  p  poo d ría rí a m o s en entr treg egar ar las tiras tira s de pape pa pell de do doss co colo lore ress d if ifer eren ente tes, s,  p  poo r ej ejem empl ploo tiras tira s de pape pa pell amari am arilla llass y tiras tir as de pape pa pell azul az ules es,, y deci de cirr en nuestra nota explicativa: “Para su forma armadotaldeberán lados identificados con la letra a  de que las unirse puntas los de las flechas queden superpuestas, y para ello, en caso de ser necesa rio, deberá realizarse en las cintas amarillas un semigiro a la iz quierda, y en las azules un semigiro a la derecha”. Por último, notemos que las direcciones de las flechas las  p  poo d em o s in indi dica carr h acie ac ienn d o u n a mues mu esca ca tr triá iáng ngul ular ar,, co conn u n a ti tije jera ra,, sobre el borde de la tira de papel a modo de cola de la flecha, como muestran las figuras que vemos a continuación:

T

/ V

.

.....

4

 y y y ’ 

Vemos entonces que podemos prescindir de dibujar las flechas y entregar las tiras de papel provistas únicamente de estas dos muescas, y decir en la la no nota ta explicativa que la lass ti tiras ras de papel deben ser unidas de forma tal que las muescas coincidan. Ahora que Usted está en condiciones de encarar la produc ción de cintas de Moebius a nivel industrial, por favor: fabrique una cinta de Moebius para usted, utilizando una tira de papel como a continuación indicamos: indicamos: -SUP^RPlCie ClUfsDrtlCA

£ co  — —  ----------   33 cm. cm. Cif CifiTA OC nOG&‘

 

 No deje de je de d ib ibuu ja jarr la lín lí n e a c e ntra nt rall de la tira tir a de pa pape pell en ambas caras de ésta. Las medidas que proponemos no deben ser necesariamente las que usted debe utilizar, pero conviene que a cada centímetro de altura que tenga la cinta ie haga corresponder 11 centímetros o más en su longitud. Esto facilita su manipuleo.

Una vez construidos nuestros modelos, de superficie cilin drica y de cinta de Moebius, vamos a estudiar a cada una de ellas en particular. Comencemos con la superficie   cilindrica:

Vemos en primer lugar que 2 bordes esta superficie tiene dos bordes, los cuales limitan los dos lados aue posee la misma. Podemos comprobar en nuestro modelo que es posible colorear cada uno de los lados de esta superficie con un color distinto, por ejem  plo u n lado la do c o lo lorr am a rillo ri llo y un lado color rojo, y si hiciéramos caminar a nuestra pequeña cola  bo  b o ra radd o ra ra,, la horm ho rmig iga, a, sobr so bree el la lado do am arill ar illoo de la supe su perfi rfici cie, e, ésta ést a sólo podría Llegar al lado rojo pasando por encima de uno de los  bo  b o rd rdee s o a tra tr a v e sa sann d o la supe su perf rfic icie ie desd de sdee su la lado do am amar arillo illo.. Si por po r algún motivo hiciera el camino inverso, atravesaría la superficie desde el lado rojo. Evidentemente, la superficie cilindrica es bi látera. Veamos ahora ahora la cinta de Mo ebius:

 

La cinta de Moebius es una superficie que se caracteriza por tener un solo borde y un solo lado. Para comprobar que la cinta de Moebius tiene un solo borde, identifiquemos un punto cualquiera de él con una marca, y a partir de ese punto recorramos el borde, siempre en una misma di rección. Veremos que después de un cierto tiempo de hacer esto, ha  brem  br emos os re recc o rr rrid idoo to todd o el b o rd e y no noss e n c o n tr traa rem re m o s nu nuev evam am en ente te en el punto de partida. Este único borde que posee la cinta de Moebius limita una superficie, la cual si intentamos colorear de dos colores distintos, con la condición de que estos dos colores estén siempre separados por el borde, nos resultará imposible y al hacer lo descubriremos que a la superficie de la cinta de Moebius sólo se la puede colorear de un solo color, respetando la condición esta  blec  bl ecida ida.. E s to suce su cede de c o m o c onse on secu cuen enci ciaa de qu quee la supe su perf rfic icie ie de la cinta de Moebius tiene un solo lado. A las superficies que tienen uniláteras un solo lado se lasun denomina Ampliemos poco esto: en el modelo Usted podrá com  p  pro ro b a r que qu e la sup su p er erfi fici ciee de la nnta de Moebius puede ser atravesada por un alfiler en cual quiera de sus puntos. De la mis ma forma que el alfiler una recta,  p  poo d rá c o rta rt a r la supe su perf rfic icie ie en c u a l quiera de sus puntos. Tomemos ahora una recta que corte la superficie de la cinta

de un punto de su líneaMoebius central. en Como ya sabemos, esa recta y la línea central tienen un punto común. Imaginemos que dos hormi guitas pasan por ese punto, una caminando por la línea central y la otra caminando por la recta; esta última hormiguita, al pasar  po  p o r el p u n to , at atra rave vesa sará rá la sup su p e r ficie. Si después de haber atravesado la superficie advirtiera que se ha olvidado sus anteojos y tuviera que regresar a buscarlos, debería

 

realizar el camino inverso, y atravesaría la superficie por el mismo  pu  p u n to en el se senn tido tid o in inve verso rso.. El h ec echo ho de que qu e la h orm or m igui ig uita ta pu pued edaa atravesar atraves ar la superficie po r eese se punto pu nto en dos direc direcciones ciones opuestas, lo cual también se cumplía para todo punto de una superficie bi látera, llegar a desconcentrarnos un poco; peroeseveamos hubierapuede ocurrido si la hormiguita no hubiese tenido olvido.qué Si la hormiguita no hubiese olvidado sus anteojos y una vez atrave sada la superficie se hubiese detenido en el punto; después de transcurrido cierto tiempo hubiera visto venir caminando por la línea central a la otra hormiguita, la cual poco después alcanzará su misma posición, caminando siempre sobre la superficie de la cinta de Moebius y sin haber atravesado la superficie. Para concretar, diremos que cuando hacemos un análisis  p  puu n tu tual al de la su supe perf rfic icie ie p o d e m o s pe pens nsar ar,, p o r el h e ch choo de que qu e ella  p  puu ed edee se serr atra at ravv es esad adaa e n u n p u n t o e n dos do s dire di recc ccion iones es opue op uest stas as,, que qu e nos hallamos en presencia de una superficie bilátera, pero cuando integramos punto de la superficie vemos, por punto la carac terística de elella, queallaresto superficie es atravesada en ese en doss direcciones opuestas pero desde el mismo lado. do Para seguir analizando la cinta de Moebius tracemos sobre ella una recta, a la cual identificare mos con la ícüa  J,  J ,  que corte a la línea central en el punto P. Vemos que esa recta cortará también al borde de la cinta de Moebius en el punto A y en el  p  puu n to B, los cuale cu aless se encu en cuen en tr tran an sobr sobree la la rect rectaa a y a ambo amboss lados del punto P. Luego, en la cinta de Moebius, a cada punto de la línea central le corresponden dos puntos en su borde.  El  pu  p u n to A y el p u n to B d e te term rm in inaa n con co n el p u n to P los segme seg mento ntoss AP y PB, que obviamente pertenecen a la recta a. Imaginemos ahora que cuan do en el ejemplo anterior la hor miguita que camina sobre la línea central comienza su marcha pa sando por el punto P otra hormi guita la acompaña, pero haciendo su salida desde un punto cual

 

quiera del segmento PB (notemos que tanto el punto P como este  p  puu n to del de l se segm gmen ento to PB pe p e rten rt enee ce cenn a la rec re c ta a).  A esta hormiguita se le ha encomendado la tarea de colorear el área comprendida entre la línea central y el borde, de la cinta de Moebius, sin cruzar en ningún momento por encima de ellos. Sabemos que cuando hormiguita de queloscamina por (recorde la línea central se encuentra con lala hormiguita anteojos mos que estamos ampliando el ejemplo anterior) habrá realizado una vuelta completa y se encontrará nuevamente sobre la recta a  en el punto P. Podríamos pensar que lo mismo haya ocurrido con la hormi guita pintora, y que ésta también se encuentre en su punto de par tida, pero no es así, pues si bien al igual que la otra hormiguita ha realizado una vuelta a lo largo de la cinta de Moebius y se encon trará en un punto de la recta a,  este punto pertenece al segmento AP, y si quisiera llegar a ubicarse en su punto de partida debería cruzar por sobre la linea central de la cinta de Moebius dado que el punto desde el cual ella ha partido pertenece al segmento PB. Si la línea central de la cinta de Moebius fuera un río, la hormi guita, saliendo de una de sus orillas, hubiera pasado a la orilla opuesta sin haber cruzado el río. Todo esto hace que para concluir su tarea la hormiguita deberá trabajar otro tanto y recién ella podrá decir “tarea cum  p  pli lidd a ” desp de spué uéss de dar da r dos do s vuel vu elta tass a lo l o largo larg o de la ccin inta ta de Moebiu Moe bius. s. Cuando haya hecho ésto, la superficie de la cinta de Moebius que dará con dos zonas bien definidas; una pintada y la otra sin pintar, separadas entre sí por la línea central y por el borde de la cinta de Moebius, y si la hormiguita quisiera pasar de la zona pintada a la zona sin pintar, sólo podría hacerlo de una de estas tres maneras: 1)

Atra Atravesand vesandoo la superficie. superficie .

2)

Pasando sobre el borde.

3)

Pasando sobre la línea central.

Conviene que, como ejercicio, ejercicio, ustedcoloree usted coloree de la forma form a an ante te riormente indicada su modelo de cinta de Moebius ycompruebe y compruebe  p  pee rs rsoo n al alm m ente en te to todd o lo que qu e hem he m os di dich cho. o. Si lo h a c e '«o '« o tire el mo delo así as í ob obtenid tenid o, pu pues es lo usaremos m ás adel adelante ante..

 

A continuación veamos qué ocurre si cortamos a la cinta de Moebius por su línea central. Hasta este momento, siempre que hemos hablado de “cortar”, lo hemos hecho utilizando la acepción estrictamente matemática del término, y para cortar a una super ficie lo hemos hecho utilizando una recta u otra superficie; en esta oportunidad imaginemos que la cortamos con una tijera, imagine mos que la seccionamos. Como introducción al tema, veamos que ocurre cuando cor tamos  je  jera ra.. una hoja de papel, siguiendo su línea central, con una ti Tomemos una hoja de papel y dibujemos en ella su línea central, la cual dividirá a la hoja de papel en dos partes iguales. Luego, tracemos en los dos bor des de la hoja de papel, paralelos a la línea central, cen tral, sendos send os puntos. a 3 que identificaremos respectiva mente con la letra A y la letra B. Dibujemos en el papel a la recta que pasa por el punto Á y por el Dunto B, a la cual identificare mos con la letra a  y que determina sobre la línea central el  p  puu n to P. Cortemos el papel por la línea central. Una vez realizado el corte, lo primero que salta a la vista es que la hoja de papel ha perdido su unidad y se ha transformado en dos hojas de    pa  p a p el   más pequeñas. En segundo lugar, vemos que una vez cortado

 

el papel por su línea central, ésta desaparece y en su lugar nos en contramos que el corte ha creado dos bordes, sobre los cuales la recta a  determ ina los puntos pun tos A, y B i, que corresponden correspon den al punto pu nto P de la línea central, como muestra la figura. Si desplazamos los dos pedazos de papel de forma tal que los  bord  bo rdes es p er erm m a n ezc ez c a n para pa rale lelo loss e n tr tree sí y que qu e el p u n to A t o cup cu p e el lugar que ocupaba, en el espacio, el punto A antes de efectuarse el corte y lo mismo m ismo ocurra entre en tre el pu n to B, B, y el pu nt ntoo B, vemos

que entre el pu nto A t y el pu nto nt o Bj Bj queda determ determinado inado el seg seg m ento en to A, A , Bi (en línea líne a de punto pu nto s en la la figura) figura) que oc ocupa upa en el espacio el mismo lugar que ocupaba originariamente el segmento AB sobre el papel. Estopara quetodos hemoslosvisto paradeunella punto la línea central, se cumple puntos y endeconsecuencia a cada  p  puu n to de la lín lí n e a c e n tr traa l le c o rre rr e sp spoo n d e n de desp spué uéss de dell c o rt rtee dos  p  puu n to s , cada ca da u n o de los cual cu ales es es p arte ar te c o n st stit ituu ti tivv a de ca cada da u n o de los bordes creados por el corte. Estos pares de puntos determi nan en el espacio segmentos de rectas similares al segmento A t B, y con sus sus mismas características, caracte rísticas, y estos estos infinitos segmen tos de recta crean una superficie que ocupa en el espacio el mismo lugar que ocupaba antes del corte la superficie del papel. Para visualizar con una imagen que nos es familiar de qué manera puede quedar definida una superficie en el espacio por su borde, pense mos en un arco de football, en el cual, el travesaño y los dos

 

 po stess d e term  poste te rm in inaa n u n a su supp er erfi fici ciee que qu e es nece ne cesar sario io atrav atr aves esar ar en cualquiera de sus puntos con la pelota para convertir el gol, y esta superficie únicamente depende para su existencia del arco de football que la limita. De la misma manera, los dos bordes creados  po  p o r el c o rte rt e cr crea eann u n a supe su perf rfic icie ie en el espa es pacio cio vacío va cío que qu e los separa.

Ya sabemos qué ocurre cuando cortamos una hoja de papel  porr su lín  po lí n e a c e n tr traa l. P ar araa cont co ntin inuu a», a» , y ante an tess de a b o rda rd a r c c rt rtee de la cinta de Moebius, veamos qué ocurre si cortamos por su línea central a una superficie cilindrica. Una vez realizado el corte, lo  pri  p rim m e ro que qu e n o ta tam m o s es que qu e la su supp er erfi fici ciee ci cilin lindr dric icaa ha p erdi er dido do su unidad y se ha transformado en dos superficies cilindricas   de menor altura.

 

En segundo lugar, vemos que la línea central, que era en la

superficie original una línea interior, se ha transformado en dos  bord  bo rdes es,, los cuale cu aless lim li m itan it an e n tr tree si en el espac esp acio io que qu e los sepa se para ra un unaa nueva superficie cilindrica. Veamos ahora, para finalizar, qué sucede cuando cortamos la cinta Para de Moebius a lo largo dehaciendo su línea un central utilizando tijeras. ello comenzaremos estudio parcialunas del corte, para luego integrar su resultado a toda la cinta de Moebius. Tracemos sobre la cinta de Moebius una recta Que corte a su línea central en el punto P y de termine sobre su borde a los pun tos A y B. Hecho esto, nos da mos cuenta que si limitamos nuestro estudio a una pequeña zona de la cinta de Moebius que contenga el segmento de recta AB nos encontraremos que en esta zona se debe cumplir todo lo expuesto en el ejemplo ante rior para la hoja de papel, pues no difiere en absoluto de ella. En consecuencia, si cortamos a la cinta de Moebius por su línea central, ésta desaparece y en su lugar encontramos que el corte ha creado dos bordes y si a estos bordes los desplazamos con venientemente, en forma similar a como fueron desplazados los  b  bor orde dess cr crea eado doss p o r el cort co rtee en la ho hoja ja de pa pape pell del ej ejem empl ploo a n te te rior, crean en el espacio vacío que los separa una superficie que ocupa elporlugar ocupado anteriormente la zona de la cinta de Moebius en estudio. Si continuamos con el corte, al cortar, se seguirán creando local mente esos dos bordes, los cuales desplazados convenientemente crearán en el espacio que los se  para  pa ra un unaa supe su perfi rficie cie que, qu e, com co m o hemos dicho, ocupara el lugar ocupado anteriormente por la cinta de Moebius, que va desapareciendo con su corte por su línea central.

 

Cuando terminemos de seccionar el último punto de la línea central y ésta haya desaparecido totalmente, nos daremos cuenta de que estos dos bordes, que visto parcialmente, creaba el corte, al considerar el corte en su conjunto aparecen integrando un borde único y ese borde limita en el espacio una superficie que ocupa el lugar que ocupaba, antes de ser cortada, la cinta de Moebius. Este  bord  bo rdee ú n ico ic o n o es ni m ás ni m eno en o s que qu e el b o rde rd e de u na ci cint ntaa de Moebius que se ha creado en el espacio vacío a consecuencia del corte. Hemos visto que si cortamos una hoja de papel por su línea central, ésta pierde su unidad y se transforma en dos hojas de  pape  pa pell m ás p e q u e ñ a s, c ada ad a u n a de las cuales cua les es top to p o lóg ló g ic icaa m e n te equivalente a la hoja de papel original y que lo mismo ocurre con la superficie cilindrica, la cual después del corte se transforma en dos superficies cilindricas de menor altura, que mantienen las mismas propiedades topológicas que la superficie original. Entonces, generalizando, podríamos inclinamos a pensar que si cortamos la cinta su pequeñas. línea central, seS trans formaría en ados cintasdedeMoebius Moebiuspor más  NA  N A ésta DA E M A S    IN E X A C T O QU QUE E E S T A SU SUPO POSIC SICIO ION. N.

Veamos ahora, realmente, qué es lo que sucede cuando corta mos a una cinta de Moebius por po r su línea líne a central. Para ell elloo utilice mos el modelo que hicimos, co mo ejercicio en el ejemplo de la hormiguita pintora, el cual se en cuentra coloreado de forma tal que su zona coloreada y su zona sin colorear se encuentran separa das por la línea central. Si cortamos a la cinta de Moebius a lo largo de su línea cen tral, lo primero que observamos, para nuestro asombro, es que la cinta de papel que la constituye no se divide en dos partes, sino que sigue manteniendo su unidad y que, si la medimos, su longitud comparándola con la longitud que tenía la cinta de Moebius antes del corte, ha aumentado al doble. Vemos también que esta cinta tiene dos lados, uno coloreado y uno sin colorear, los cuales se encuentran separados entre sí por dos bordes. De lo observado nos damos cuenta que, como consecuencia del corte, se ha des truido la estructura de la cinta de Moebius y nos encontramos en  pre  p rese senc ncia ia de u n a  su p e rfic rf icie ie biláte bi látera ra   la cual, si bien es topológica-

 

mente equivalente a una superficie cilindrica, ocupa respecto de ésta un lugar distinto en el espacio, debido a que presenta cuatro semitorsiones que la superficie cilindrica no tiene.

Respecto de estas bandas, o cintas, podemos decir que cuan do tienen un número  par de se sem m it itor orsi sio o ne s  ellas son homeomorfas con una superficie cilindrica y cuando tienen un número impar de   sem  se m it ito o rsio rs ion n e s   son topológicamente equivalentes a una cinta de Moebius. Resumiendo: a consecuencia del corte de la cinta de Moebius  p  poo r su lín lí n e a c e n tr traa l, desa de sapa pare rece ce la e s tr truu c tu r a de la c inta in ta de Moebius y aparece una banda, bilátera, con cuatro semitorsiones. Si cortamos esta nueva cuita por su línea cenüal obtendremos dos cintas entrelazadas, a las cuales sólo podremos separar si cortamos transversalmente a una de ellas. Es importante notar que cada una de estas cintas asi anudadas serán siempre superficies biláteras y que nunca a consecuencia del corte de una de estas cintas se creará una cinta de Moebius. Por último, si cortamos a una cinta de Moebius siguiendo una línea que partiendo un puntosiempre que se aencuentre la línea central y el borde sedemantenga la mismaentre distancia de ambos, veremos que para realizar dicho corte deberemos dar, en forma similar a lo que le ocurrió a la hormiguita pintora, dos vueltas completas a la cinta de Moebius. Una vez realizado el corte, veremos que la estructura de la cinta de Moebius no ha desaparecido , ya que como consecuencia del corte se ha desprendido de ella una banda bilátera con cuatro semitorsiones que se halla entrelazada con la cinta de Moebius de la cual se desprendió. Es conv co nvenien eniente te que corte co rte Usted una cinta de .M .Moe oebi bius us ddee la la forma indicada, indicad a, para visual visualiz izar ar lo dicho anteriorm anteriormente. ente.

 

Al referimos a la cinta de Moebius hemos mencionado, con frecuencia, a su borde y a su línea central. El primero de ellos es una línea cerrada que encierra a la superficie de la cinta de Moebius y separa al interior de la superficie del exterior, en forma similar a la frontera de un país. La segunda, la línea central de la cinta de Moebius, es también una línea cerrada pero que  pe  pert rten enec ecee   al interior   de la superficie y no encierra ningún area de ésta. Deci mos que está en el interior   de la superficie pues no constituye su  borde  bo rde.. Si miramos en una cinta de Moebius a esta línea central, vere mos que ella se nos muestra en el espacio como formando un ocho alargado, como un signo de infinito. Es por esto y por su condi ción ci ón de línea inte rior rio r que a la la línea líne a central cen tral de la cinta de Mo Moeb ebiu iuss se la conoce también con el nombre de ocho interior. Para finalizar con el tema, diremos que la línea cerrada que constituye el borde de la cinta de Moebius se nos presenta en el espacio como que formando dos montaña rizos. Para pensemos en los dos rizos tiene una rusavisualizarlo de un parque de diver siones.

© Debido a esto, la línea cerrada que constituve el borde de la cinta de Moebius se la conoce con el nombre de dob le rizo rizo..

 

Todos hemos visto alguna vez, en algún libro de Matemáti cas, el dibujo de un cubo. Este dibujo está realizado siguiendo un método que se denomina  pers  pe rspe pecti va,,  y que nos da sensa ción dectiva profundidad.

También hemos visto que sí por alguna necesidad en la explicación hace falta mostrar las aristas del cubo que quedan ocultas a nuestra vista, por las caras visibles del cubo, ellas se indican con una línea de puntos. Hasta ahora, siempre que hemos dibujado a una cinta de Moebius lo hemos hecho tratando de lograr en el dibujo la ilusión de profundidad. Veamos cómo podemos dibujar una cinta de

Moebius valiéndonos representada. únicamente de dos dimensiones y que ella quede perfectamente Tomemos uno de nuestros modelos de cinta de Moebius y achatémoslo de forma tal que podamos guardarlo entre las hojas de un libro. Al hacerlo, veremos que en la superficie del modelo aparecerán tres pliegues, y que su borde se superpondrá tres veces como consecuencia de esos pliegues. Pongamos un papel carbónico sobre una hoja de papel y apoyemos sobre él a la cinta de Moebius así achatada. Pasemos un lápiz sobre el borde visible y también sobre las líneas formadas  porr los plie  po pliegu gues es del m odel od elo. o. Al retirar el papel carbónico y la cinta de Moebius, quedará sobre la hoja de papel la huella de esta última constituida por un dibujo, de dos dimensiones, que representa un borde que realmen te se corresponde con el borde visible de la cinta de Moebius. Los tres puntos en los cuales el borde se corta en el dibujo corresponderán a los lugares en los,cuales el borde de la cinta de Moebius se superpone a causa del achatamiento de la misma. Para indicar que el borde de la cinta de Moebius es único y continuo,  p  poo d em o s es esta tabl blec ecer er que qu e la p a rte rt e del b o rde rd e qu quee o c u lt ltaa de n u estr es traa vista la superficie visible de la cinta sea dibujada, como en el dibujo del cubo, en línea de puntos. A este dibujo se alude cuando se habla de un aplanamiento

 

de la cinta de Moebius. Este dibujo desde el plano, con dos dimen siones y realizado con lincas rectas, de una sola dimensión, descri  be en fo form rmaa a ca cabb ada ad a la e s tr truu c tu tura ra de la c inta in ta de Moebius. Moeb ius. Veamos, a continuación, algunos ejemplos:

 

CN TA DE M0 CNTA M0EB EB1U 1US S  ecn serrígiro derecho & g(

¡

espacio se ardan 1m utua utuame mente nte

CINTA CE M0E3US   con tressemigiros   hacia la derecha

CINTA CIN TA CE NCEEI NCEEIUS US 00 00N N TRES SEMITCRSIONES  HACIA HAC IA LA DEREC DERECHA HA CO CORt Rt ACA  FOR SU LIN LINEA EA C CEN ENTR TRAL AL

 

Ya hemos visto con anterioridad que cuando decimos que dos superficies se cortan, estamos diciendo que ellas tienen una línea en común y que a consecuencia de esa línea cada una de las superficies desconoce la existencia de la otra. superficie (SUP 1) 2) se corta Si conunaotra superficie (SUP en una recta esa recta pertene pe rtene ce tanto a (SUP 1) como a (SUP 2), y cada punto   de la recta a  debe ser considerado como el conjunto de dos puntos distintos, uno perteneciente a (SUP 1) y el otro perteneciente a (SUP 2). Así como dos superficies  pu  p u ed eden en c o rta rt a rs rsee e n tr tree sí sí,, p u ed e suceder que una un a superficie se corte así

misma,se misma, se pe  p e netr ne tre, e, en

nartes pa parte ella; ellmoism ocu larfici línea líne corteser seráá com co m ún a dos  pa  parte srte d isti isde tinn ta tas s desilaello isocurre m a rre supe su perfi cie. e.a de corte Tomemos una superficie plana, rectangular, con la forma de la tira de papel que utilizamos I i narü fabr fa bric icar ar la cinta cin ta d ~ Moebius. En ella tracemos la recta a-±  y la recta a 2, como muestra la Figura fig 1 1. Luego hagamos que esta su  perf  pe rfic icie ie se c o rt rtee a sí mi mism smaa en la recta a  de forma tal que la recta a x  y la recta a 2  ocupen el mismo lugar en el espacio, con lo cual 1

r

i

i

t

1 OI Jn

r

a  puede cada punto de la recta ser considerado como el conjun to de un punto de la recta a, y un punto.de la recta a 2 .  Imaginemos que nuestra  p  peq equu eña eñ a am amig igui uita ta cami ca mina na p o r la línea central de la superficie antes de que ésta se penetre a sí misma (Figura 1, al comienzo de la página siguiente,). Ella atravesará la recta a t y  la m recta au 2  por un punto que pertenecerá respectivamente a cada una de las rectas. Si realiza el mismo camino después que la superficie se haya  pe  p e n e tra tr a d o a s í mi mism smaa (Fig (F igur uraa 2 de la págin pá ginaa sig siguie uiente nte), ), al atrav atr avesa esarr la recta a  lo hará inicialmente por un punto perteneciente a la

algu algu 

 

recta a¡   , y en segundo lugar por un punto de la recta a 2 ,  que en conjunto constituyen el punto de la recta a,  lo hará tal cual lo hubiera hecho en la superficie de no haber existido la penetración. O sea que la hormiguita, al igual que la superficie, desconoce esta penetración y en consecuencia, para ella, la superficie antes y despue's de haberse penetrado en nada será diferente.

Dado que la superficie que hemos utilizado para realizar este ejemplo es similar a la que hemos utilizado anteriormente para realizar tanto a lasus cinta de Moebius, si después quea la ellasuperficie se haya cilindrica penetrado como unimos bordes mas pe queños podremos obtener, de acuerdo a cómo lo hagamos, una superficie cilindrica que se penetra a sí misma o una cinta de Moebius que se penetra a sí misma. Las figuras que vemos a continuación muestran las muescas características que llevan las tiras de papel en ambos casos:

Sup. cilin ci lindr dric icaa que se pen penetra etra a s i noi noisma sma

 

cinta de moebius que se penetra a si m is ism ma Si Usted desea realizar un modelo que simule la penetración de la superficie, tome una tira de papel de las que utilizamos para realizarla ellínea modelo de lacomo cinta indica de Moebius, en de ellapuntos haga dos cortes hasta central, en línea la figura. Uno de los cortes, partiendo de uno de los bordes, finalizará sobre la línea central en el punto A; el segundo corte, comenzando en el otro borde, terminará sobre la línea central en el punto B.

Después de realizados los cortes, la tira de papel se verá de la siguiente manera (el dibujo exagera el espesor del corte):

Luego, doble la tira de papel haciendo que ambos cortes se enfrenten —com o se indica ai ai comienzo de la página sig u ie n te -y a continuación deslice uno dentro del otro, de forma tal que el  pu  p u n to A y el p u n to B se sup su p er erpp ong on g an. an .

 

Para Finalizar, sólo le resta pegar la tira de papel de forma tal que las muescas hechas en sus bordes se superpongan. Sabemos que si dispusiéramos de un instrumento lo sufi cientemente preciso para realizar cortes y volverlos a cerrar, de forma tal que se unieran punto por punto los bordes que el corte  pr  pro o d u c e , qpodríamos u e d a n d o lacortar supe su perf rfic icie iecinta co com mde o siMoebius el cort co rteey no se hde u bier bipro eraa realizado, una luego ducir en ella la deformación que se nos ocurra, la cual puede in cluir, pliegues, nudos y penetraciones, al unirla con ayuda de este mágico instrumento obtendremos nuevamente una cinta de Moebius que para la topología en nada diferirá de la original, salvo el hecho de que, posiblemente, ocupará un lugar distinto del que ésta ocupaba en el espacio. Veamos si podemos crear un modelo que sin importarnos si se ajusta o no a la realidad nos ayude a visualizar los rudimentos del funcionamiento de este fantasioso instrumento. Tomemos una superficie en la cual se haya dibujado cinco círculos alineados como muestra la figura de la derecha. Imagine o o o o o mos que se auisiera dividir a esta superficie en dos pedazos me diante un corte que también di vida al grupo de círculos por la mitad, como vemos en las figuras del comienzo de la página siguiente, y que además se quisiera poder unir nuevamente a esta superficie de forma tal que los círculos aparecieran después de unida ésta, como si el corte no hubiese existido

 

A poco de pensar nos damos cuenta que si identificamos a cada circulo con una letra, el hecho de que la unión se realice correctamente estaría garantizado, pero nos encontramos con el inconveniente de laqueletra si escribimos letra lodentro del círculo, al seccionar a éste se destruirá.la Esto solucionamos escri  bie  b ienn d o la letr le traa a am a m bos bo s la lado doss de los cí círc rcuu los: lo s:

Una vez señalada la superficie, de esta forma nos damos cuenta que bajo ciertas condiciones al unir a dos semicírculos identificados con una misma letra no sólo el círculo que ellos for man queda unido correctamente, sino que el resto de los círcu los también lo hacen.  No o b s ta tann te si u n im o s a los do doss sem se m icírc icí rcul ulos os iden id entif tific icad ados os con la letra C podemos obtener dos resultados diferentes: en uno

 

de ellos ellos los restantes resta ntes círculos círc ulos se unen corre c orrecta ctam m en ente. te. Hn el o tro no lloo hacen de manera correcta, como vemos en las siguientes figuras:

CORRECTO

INCORRECTO

Este hallazgo nos lleva a concebir otras dos formas para señali zar a la superficie, que nos garantizan la perfecta unión de los circu ios, las cuales, como veremos más adelante, también podrán usarse conjuntamente. En ambas, previamente a realizar el corte, debere mos identificar a uno de los círculos con una letra, pero mientras en una de ellas dibujaremos una flecha a ambos lados de la línea  p  poo r don do n d e pasa pa sará rá el cort co rtee con co n sus p u n ta tass indi in dica cand ndoo la m is ism m a dire di rec c ción, en la otra variante se identificará a la línea por donde pasará el corte con dos letras distintas según se encuentre de un lado o del otro del círculo identificado. Veamos en particular, con un ejem  plo,, cada  plo cad a una un a de estas esta s fo form rmas. as. En la primera variante deberemos identificar uno de los círcu los con la letra C y también dibujar una flecha a'ambos lados de la línea por donde se realizará el corte con sus puntas indicando la misma dirección. Cuando después del corte unamos a los dos semicírculos identificados con la letra C cuidando que al hacerlo las puntas de las flechas indiquen la misma dirección, podemos garantizar que los demás semicírculos se unirán correctamente. El gráfico que representa esta variante se.indica a conti nuación:

 

Para realizar la segunda variante, deberemos, además de iden tifica' a uno de los círculos con la letra C’, también identificar a la línea por po r donde dond e pasará p asará el corte, co rte, con !a letra letra a  hacia un lado del circulo identificado con la letra C, y con la letra b  hacia el otro lado como vemos en esta fisura:

Cuando después del corte unamos a los dos semicírculos identificados con la letra C, cuidando que se una la parte de los  bord  bo rdes es id idee n tifi ti ficc a d o s c o n la le letr traa a,   y lo mismo haga la parte de los bordes identificados con la letra b,  podemos garantizar que los demás círculos se unirán correctamente. Si imaginamos que estos círculos fueran los puntos de la línea por donde pasa el corte, a los cuales los estuviéramos viendo con un microscopio que posea un aumento infinitamente grande, nuetro modelo quedaría concluido. En rigor de verdad, no se  pued  pu edee h a bl blaa r de se secc ci cioo n ar p u n to toss p o r la m it itaa d sin c o m e te terr des desde de el

 

 p  puu n to de vista vis ta m a te tem m á tic ti c o u n a h e rejí re jíaa impe im perd rdoo n ab able le.. Sólo Só lo un  b  buu rr rroo p o d ría rí a re rebb u z n a r se sem m ej ejan ante te cosa. cosa . Pe Pero ro en los resu re sult ltad adoo s fin fina a les, todo se da en la realidad pomo si esto ocurriera efectivamente así. Debido a esto, al visualizar a los modelos de superficies que  p  pró róxx ima im a m ente en te m o st stra rare rem m o s, nos será ser á de m uc ucha ha u ti tili lidd ad verlos ver los como si sus puntos se comportaran como los círculos del modelo anterior  De lo visto se desprende que nuestra máquina deberá para cumplir su cometido, poder identificar y señalizar cada uno de los puntos de la línea por donde se realizará el corte, y además, seccionarlos por la mitad y volverlos a unir. Si imaginamos que ella cumple mágicamente con todas estas exigencias, existirán tres aspectos, del resultado que se obtendrá al usarla, que conviene resaltar: 1)

Cada vez vez que se se realice un co corte rte sobre una superfic superficie, ie, éste  p  pro rodd u c ir iráá , lo locc al alm m e n te te,, dos bo bord rdes es..

2)

Siempre podrá obtene ob tenerse rse nuev nuevamen amente, te, sobre la superficie, la línea por donde se ha realizado el corte, uniendo ios bordes que éste produjo.

3)

Cada uno de los los punto pu nto s de esta línea así obtenid ob tenida, a, deberá siempre considerarse, como un solo punto, y no como for mado por el conjunto de dos puntos.

En ybase a esto dedeaquí en nada más, tendrán para nosotros, el concepto de línea el concepto borde en común. Tanto es así que de la figura de la derecha  p  poo d re rem m o s d ecir ec ir dos do s cosas cos as d is isti tinn  tas, sea que consideremos a sus trazos como rectas o los veamos significando dos bordes. Si consideramos a los dos trazos como rectas diremos: “La recta a y la recta b se cortan   en el punto P, y éste debe ser considerado como formado por el conjunto de do doss pun tos,  uno  p  pee rte rt e n e c ie ienn te a la re rect ctaa a y otro perteneciente a la recta b " .

 

Si a los trazos los vemos significando a dos bordes producidos  po  p o r un cort co rtee di dire rem m o s: “El borde a  y el borde b se unen   en el punto P. el cual es un punto   de la línea por donde ha pasado el corte que les dio origen.” Para remarcar estas diferencias, podemos agregar, que cuando dos rectas ocupan el mismo lugar en el espacio, que es el caso que se presenta en la línea de penetración de dos superficies que se