Tom Tat Cong Thuc Toan Cao Cap A1, 2

Hμm mét biÕn 1. C«ng thøc tÝnh ®¹o hµm • (uα)’ = α .u’.uα-1 (α: H»ng sè, U: Hµm sè) • (aU)’ = u’.ln a.aU (a: H»ng sè, U: Hµm sè) • (eU)’ = u’.eU • (Sin u)’ = u’.cos u • Cos u)’ = - u’.sin u

• (arcsin u)’ = • (arccos u)’ =

u' 1− u2 − u'

;

1− u2 u' • (arctg u)’ = ; 1+ u 2 − u' • (arccotg u)’ = 1+ u2

u' ; Cos 2 u − u' • (Cotg u)’= 2 Sin u u' • (Logau)’ = u. ln a

• (Tg u)’=

• (u ± v)’=u’ ± v’ • (u.v)’= u’v+v’u u v

• ( )’ =

u ' v − v' u v2

2. Vi ph©n du = u’.dx 3. Giíi h¹n - V« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng : Lim α ( x) = 0 => α(x) ®−îcgäi lµ v« cïng bÐ khi x->a x →a

Lim x →a

α ( x) = 1 --> α(x) vµ β(x) lµ hai v« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng khi x->a β ( x)

Ký hiÖu : α(x) ∼β(x) khi x->a §Þnh lý : NÕu α(x) ∼α1(x) vµ β (x) ∼β1(x)khi x->a th× Lim x →a ƒ Sin x ∼ x khi x->0 ƒ ArcSin x ∼ x khi x->0 ƒ Tg x ∼ x khi x->0 - C«ng thøc Lopital khö d¹ng

0 ∞ ; : 0 ∞

α ( x) α ( x) = Lim 1 β ( x ) x → a β1 ( x )

ƒ ArcTg x ∼ x khi x->0 khi x->0 ƒ ex-1 ∼ x ƒ ln(1+x) ∼ x khi x->0 Lim x →a

f ( x) f ' ( x) = Lim g ( x ) x→a g ' ( x )

4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè Hµm sè: y = f(x) liªn tôc t¹i x = x0 nÕu : + f(x0) x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n + Lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0

(NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0 th× x0 ®c gäi lµ ®iÓm gi¸m ®o¹n) Hµm sè s¬ cÊp y = f(x) sÏ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mµ hµm sè x¸c ®Þnh 5. TÝch ph©n a. C«ng thøc nguyªn hµm 1 • ∫ cos x.dx = − sin x + C • xα dx = .x α +1 + C (α>0)

∫

• • • •

(α + 1) 1 x x ∫ a dx = ln a .a + C x x ∫ e dx =e + C

∫ sin x.dx = cos x + C

∫ cos

•

x .dx = arcsin + C a a −x 1 1 x ∫ a 2 + x 2 .dx = a .arctg a +C 1 ∫ x .dx = ln x + C

•

1 ∫ sin 2 x .dx = -cotg x + C

• 1

1

•

∫

2

x 1

2

.dx = tg u + C 2

∫ u.dv = u.v − ∫ vdu

b. TÝch ph©n tõng phÇn:

Hμm nhiÒu biÕn 7. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn • •

f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂f ( x0 , y0 ) = Lim Δ x → 0 Δx ∂x f x y ∂ f x y y ( , ) ( , + Δ ) − f ( x0 , y 0 ) 0 0 0 0 f y' ( x0 , y0 ) = = Lim Δy →0 ∂y Δy f x' ( x0 , y0 ) =

• Vi ph©n toµn phÇn cÊp 1: df ( x, y) = f x' ( x, y )dx + f y' ( x, y)dy • Vi ph©n toµn phÇn cÊp 2: d 2 f ( x, y ) = f xx2 ( x, y )dx 2 + 2 f xy2 ( x, y)dxdy + f yy2 ( x, y )dy 2 • C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng:

f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) + fx’(x,y). Δx + fy’(x,y). Δy

• §¹o hµm cña hµm hîp: F(u,v), trong ®ã u =u(x,y); v=v(x,y) : ⎧ ∂F ∂F ∂u ∂F ⎪⎪ ∂x = ∂u ∂x + ∂v ⎨ ∂F ∂F ∂u ∂F ⎪ = + ⎪⎩ ∂y ∂u ∂y ∂v

∂v ∂x ∂v ∂y

• §¹o hµm cña hµm Èn : *NÕu F(x,y) = 0 ; y= y(x): => y ' ( x) = −

Fx' ( x, y ) Fy' ( x, y )

*NÕu F(x,y,z) = 0 ; z= z(x,y): => z ' ( x) = −

Fx' ( x, y, z ) Fx' ( x, y, z ) ; z' ( y) = − ' Fx' ( x, y, z ) Fy ( x, y, z )

8 . Cù trÞ hµm nhiÒu biÕn ⎧⎪ f x' ( x, y ) = 0 B−íc1: T×m ®iÓm c¸c ®iÓm dõng M(xi,yi) lµ nghiÖm cña hÖ PT: ⎨ ' ⎪⎩ f y ( x, y ) = 0

B−íc2: KiÓm tra ®iÓm M(xi,yi) cã lµ cùc trÞ A=fxx”(xi,yi); B=fxy”(xi,yi); C=fyy”(xi,yi); A0: M(xi,yi)--- Cùc tiÓu B2-AC > 0 M(xi,yi)--- kh«ng lµ cùc trÞ 2 B -AC = 0 M(xi,yi)--- Ch−a kÕt luËn ®−îc Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: T×m cùc trÞ hµm: u=f(x,y,z) víi ®k: g(x,y,z)=0 ⎧ f x' f y' f z' = ⎪ = Gi¶i hÖ PT: ⎨ g x' g 'y g z' ⎪ ⎩ g ( x, y , z ) = 0

=> NghiÖm M(x,y,z)

9. TÝch ph©n kÐp a. Trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c: - NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ c ≤ y ≤d th×:

∫∫ D

b

d

a

c

f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy

- NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ y1(x) ≤ y ≤y2(x) th×: b

y2 ( x )

a

y1 ( x )

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy D

2

b. §æi biÕn trong tÝch ph©n kÐp: x=x(u,v) ; y=y(u,v)

∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ | J | . f [ x(u, v), y(u, v)]dudv D

D

' D( x, y ) xu trong ®ã: J= = D(u , v) yu'

xv' yv'

c. Trong hÖ täa ®é cùc: I= ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.drdϕ D

(x= r.cosϕ; y= r.sinϕ)

D'

y

y

y

r=g2(ϕ)

D

ϕ2

r=g(ϕ)

r=g(ϕ)

ϕ2

r=g1(ϕ)

ϕ1 0

ϕ2

g 2 (ϕ )

ϕ1

g 1(ϕ )

I = ∫ dϕ

x

∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.dr

0

ϕ1

ϕ2

g (ϕ )

ϕ1

0

I = ∫ dϕ

10. TÝch ph©n ®−êng lo¹i 1

x

D

∫

- NÕu: y=y(x), a ≤ x ≤b th×:

AB

0

D

∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.dr

x

2π

g (ϕ )

0

0

I = ∫ dϕ

∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.dr

b

f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y ( x)) 1 + y '2 ( x).dx a

∫

- NÕu: x=x(t), y=y(x), t1 ≤ t ≤t2 th×:

AB

t2

f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )). x '2 (t ) + y '2 (t ).dt t1

11 . TÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 - NÕu AB ®−îc cho bëi: y=y(x), a,b lµ hoµnh ®é cña A vµ B th× b

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( x, y( x)) +Q( x, y( x)). y '( x)]dx

AB

a

- NÕu AB cho bëi: x=x(t), y=y(t), t=tA (t¹i A), t=tB (t¹i B) th× : B

tB

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( x(t ), y(t )).x '(t ) +Q( x(t ), y(t )). y '(t )]dt

AB

tA

- C«ng thøc Green :

∂P

∂Q

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy L

D

(L- lµ miÒn biªn cña D và lµ mét ®−êng khÐp kÝn) HÖ qu¶: NÕu

∂Q ∂P trong D th×: = ∂x ∂y

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0

D

L

• §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t−¬ng ®−¬ng: L Cho P(x,y) vµ Q(x,y) liªn tôc, cã ®¹o hµm riªng cÊp 1 trong miÒn D. Khi ®ã, 4 mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: (1) (2) (3)

∂Q ∂P = ∂x ∂y

∃ u(x,y) sao cho: du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy Mäi ®−êng cong kÝn L ⊂ D th×: ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0 L+

+

(4)

(L - ®Þnh h−íng d−¬ng, do c«ng thøc Green) TÝch ph©n ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy kh«ng phô thuéc vµo ®−êng cong nèi 2 ®iÓm A,B AB

3

Ph−¬ng tr×nh vi ph©n F(x,y,y’) = 0 hoÆc y’= f(x,y) 12 . Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1: (1) Ph−¬ng tr×nh ph©n ly: - TÝch ph©n 2 vÕ:

y' =

− f ( x) dy − f ( x) ⇔ = ⇔ f ( x)dx + g ( y )dy = 0 g ( y) dx g ( y)

∫ f ( x)dx + ∫ f ( y)dy = C ⇔ F(x)+ G(x) = C

y (2) Ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp: y ' = f ⎛⎜ ⎞⎟ x ⎝ ⎠

y ⇒ y = u(x).x ⇒ y’= u(x)+ u’(x).x Thay vµo PT ta cã: x du u+u’.x= f(u) ⇔ x.u’ = f(u) – u hay x. = f (u ) − u dx

- §Æt u(x) =

* NÕu f(u) – u = 0: x.u’= 0 ⇒ u’= 0 ⇒ u= C ⇒ y = C.x * NÕu f(u) – u ≠ 0:

- lµ 1 hä nghiÖm

dx du (®©y lµ mét PT ph©n ly). TÝch ph©n hai vÕ : = x f (u ) − u y

φ( ) dx du ∫ x = ∫ f (u ) − u ⇒ ln | x |= φ (u) + ln | C | ⇒ x = C.e x 1 (Φ(u) lµ mét nguyªn hµm cña ) f (u ) − u

(3) Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh: y’+p(x).y=q(x) Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: y’+p(x).y=0 y = e∫

C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t:

P ( x ) dx

.(C + ∫ Q( x).e ∫

P ( x ) dx

dx)

(4) Ph−¬ng tr×nh Becnuly: y '+ p( x). y = q( x). yα (α ≠ 0, α ≠ 1) (Ph−¬ng ph¸p gi¶i: ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh) • α>0: y= 0 lµ 1 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh • Víi y ≠ 0 chia c¶ 2 vÕ cho yα vµ ®Æt z(x) = y1-α ⇒ z’(x) = (1-α).y’.yα thay vµo PT z'+(1-α).p(x).z=(1-α).q(x) --- Lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh (5) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (trong ®ã: y

x

NghiÖm tæng qu¸t:

u ( x, y ) = ∫ P ( x, y0 )dx + ∫ Q( x, y )dy = C x0

Hay :

∂P ∂Q ) = ∂y ∂x

y0

x

y

x0

y0

u ( x, y ) = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q( x0 , y )dy = C

( trong ®ã (x0,y0) bÊt kú ∈ D). §Ó ®¬n gi¶n chän x0= 0, y0= 0, nÕu (0,0) ∈ D * Trong tr−êng hîp

∂P ∂Q ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn b»ng c¸ch ≠ ∂y ∂x

nh©n hai vÕ víi μ(x,y): μ(x,y).P(x,y)dx + μ(x,y).Q(x,y)dy = 0. ∂P ∂Q − − ϕ ( x ).dx ∂y ∂x - NÕu = ϕ ( x) th× μ ( x, y ) = μ ( x) = e ∫ Q ∂P ∂Q − ϕ ( y ).dy ∂y ∂x = ϕ ( y ) th× μ ( x, y ) = μ ( y ) = e ∫ - NÕu P

13. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2: F(x,y,y’,y’’) = 0 hoÆc y’= f(x,y,y’) (1) Ph−¬ng tr×nh khuyÕt (ph−¬ng ph¸p gi¶i: H¹ cÊp => ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1): • KhuyÕt y vµ y’: f(x,y’’) = 0 hay y’’= f(x) -> tÝch ph©n 2 lÇn 4

NghiÖm tæng qu¸t: y = ∫ ( ∫ f ( x).dx)dx + C1 x + C2

• KhuyÕt y: f(x,y’,y’’) = 0. §Æt z(x) = y’ ⇒ y’’ = z’(x). Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f(x,z,z’) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(x) • KhuyÕt x: f(y,y’,y’’) = 0. §Æt z(y) = y’ => y '' = Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f ( y, z , z.

dy ' dz ( y ) dz dy dz dz = = . = . y ' = z. dx dx dy dx dy dy

dz ) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(y) dy

(2) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã hÖ sè h»ng : a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè) PT thuÇn nhÊt: a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2) NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: y = y + y * trong ®ã : y* - lµ nghiÖm riªng cña (1) y - lµ nghiÖm TQ cña (2) B−íc 1 : T×m nghiÖm tæng qu¸t cña PTTN(2) Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt : a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2) NghiÖm TQ: y = C1.y1(x)+ C2.y2(x) (C1, C2 : H.sè)

Δ>0 PT (3) cã 2 no: k1, k2 + y1 ( x) = ek x + y2 ( x ) = e k x y = C1.ek1.x+ C2.ek2.x 1

2

PT ®Æc tr−ng : a.k2 + b.k+ c = 0 (3) Δ=b2- 4ac Δ=0 Δkh«ng kh¼ng ®Þnh ®−îc chuçi n →+∞

n →+∞

∞

∑u n =1

n

héi tô) - NÕu Lim un ≠ 0 th× chuçi n →+∞

∞

∑u n =1

n

ph©n kú

• C¸c quy t¾c kh¶o s¸t tÝnh héi tô cña chuçi sè ∞

- Quy t¾c D’lembert: chuçi d−¬ng

∑u n =1

∞

- Quy t¾c Cauchy: chuçi d−¬ng

∑u n =1

n

n

U n +1 =k n →+∞ U n

, Lim

, Lim n U n = k n →+∞

k1: ph©n kú k1: ph©n kú

15 . Chuçi hµm *T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm Un(x): b1: T×m giíi h¹n: l ( x) = Lim

n → +∞

U n +1 ( x) hoÆc l ( x) = Lim n U n ( x) n→+∞ U n ( x)

b2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: l(x) < 1 ®Ó t×m kho¶ng héi tô cña chuçi hµm b3: T¹i x = x0 mµ l(x)=1 ta thay x = x0 ®Ó xÐt trùc tiÕp b4: KÕt luËn miÒn héi tô cña hµm

6