tmp_14061-Ataurima-Arellano M. (2016ii). 002. Operador de Rezagos (UNMSM)747489877.pdf

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Econometría de Series de Tiempo TEMA 2:

Operador de Rezagos Miguel Ataurima Arellano1 [email protected] [email protected] [email protected]

1

MINISTERIO DE ECONOMÍA Y FINANZAS

Dirección General de Políticas Macroeconómicas Dirección de Investigación

2016-II

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Índice 1. Introducción 1.1. Conceptos Preliminares sobre algunos operadores útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operadores de Series de Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Operador de Rezago (Lag Operator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 10 15

2. Ecuaciones en Diferencia de Primer Orden

20

3. Ecuaciones en Diferencia de Segundo Orden

27

4. Ecuaciones en Diferencia de Orden p

38

5. Las condiciones iniciales y las secuencias no acotadas

46

Miguel Ataurima Arellano

2

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

1.

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Introducción Analizaremos las ecuaciones en diferencia usando el álgebra de matrices. Desarrollaremos algunos de los mismos resultados de la clase anterior utilizando los operadores de series de tiempo.

Miguel Ataurima Arellano

3

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

1.1.

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Conceptos Preliminares sobre algunos operadores útiles

Serie de Tiempo Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones inexadas por la fecha de cada observación. Generalmente tenemos datos recolectados que comienzan en una fecha determinada (por ejemplo, t = 1) y termina en otra (digamos, t = T ): (y1 , y2 , . . . , yT ) La muestra observada (y1 , y2 , ..., yT ) puede ser vista como un segmento finito de una secuencia doblemente infinita, denotada por: {yt }∞ t=−∞ : {yt }∞ t=−∞ = {. . . , y−1 , y0 ,

y , y2 , ....yT

|1

{z

, yT +1 , yT +2 , · · · }

}

muestra observada Por lo general, una serie de tiempo {yt }∞ t=−∞ se identifica con la descripción del elemento t-ésimo.

Miguel Ataurima Arellano

4

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

EJEMPLO: Una tendencia en el tiempo es una serie cuyo valor en la fecha t es simplemente la fecha de la observación: yt = t. Caso: t = 1, 2, . . . , 50 Tendencia en el tiempo

50 45 40 35 30 25 20 15 10

xt = t

5 0 0

10

20

30

40

50

t

Miguel Ataurima Arellano

5

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

EJEMPLO: Una serie de tiempo en la que cada elemento es igual a una constante c, independientemente de la fecha de la observación: yt = c. Caso: t = 1, 2, . . . , 50 con c = 20. Tendencia en el tiempo

25

xt = t 20

15

10

5

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t

Miguel Ataurima Arellano

6

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Ruido Blanco Gaussiano Una serie de tiempo importante es el proceso de ruido blanco gaussiano, denotado mediante: yt = εt . donde {εt }∞ de variables aleatorias independientes, cada uno de los cuales t=−∞ es una secuencia
tiene la distribución N 0, σ 2 . εt ∼ N (0, σ 2 )

Miguel Ataurima Arellano

7

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

EJEMPLO: Simule con MATLAB un serie que siga un proceso Ruido Blanco Gaussiano con T = 2000 (semilla = 47). a) Secuencia generada Ruido Blanco Gaussiano (GWN)

5

xt

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

t

Miguel Ataurima Arellano

8

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

b) Histograma 0.4 Histograma de x Distribución Normal Estándar

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Xt

Miguel Ataurima Arellano

9

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

1.2.

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Operadores de Series de Tiempo Un operador de series de tiempo transforma una serie temporal o grupo de series de tiempo en una nueva serie de tiempo. Un operador de series de tiempo acepta como entrada una secuencia tal como {xt }∞ t=−∞ (o un ∞ ∞ grupo de secuencias, tales como {xt }t=−∞ , {wt }t=−∞ ) y tiene como salida una nueva secuencia {yt }∞ t=−∞ . Un operador de series de tiempo es resumido mediante la descripción del valor de un elemento ∞ típico de {yt }∞ t=−∞ en términos de los elementos correspondientes de {xt }t=−∞ .

Miguel Ataurima Arellano

10

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Operador de Multiplicación Este operador es representado como: yt = βxt

(1)

esta ecuación [1] es en realidad la abreviatura de una secuencia infinita de multiplicaciones, una para cada fecha t. {xt }∞ t=−∞ = {. . . , x−1 , x0 , x1 , . . .} ∞ {yt }∞ t=−∞ = {βxt }t=−∞ = {. . . , βx−1 , βx0 , βx1 , . . .}

El operador multiplica el valor de x que adquiere en cualquier fecha t por una constante β para generar el valor de y para esa fecha.

Miguel Ataurima Arellano

11

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

EJEMPLO: Caso β = 2 Tendencia en el tiempo

40

xt

35

2x t

30 25 20 15 10 5 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t

Miguel Ataurima Arellano

12

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Operador Suma Este operador es representado como: y t = x t + wt Aquí el valor de y en cualquier fecha t es la suma de los valores que x y w asumen para esa fecha. Como los operadores de multiplicación o adición trabajan elemento a elemento, ellos cumplen con todas las reglas estándar del álgebra. Por ejemplo, si multiplicamos cada observación de {xt }∞ t=−∞ por β y cada observación de {wt }∞ t=−∞ por β y sumamos los resultados: βxt + βwt ∞ el resultado es el mismo que si hubiéramos añadido primero {xt }∞ t=−∞ a {wt }t=−∞ y luego multiplicado cada elemento de la serie resultante por β:

β (xt + wt )

Miguel Ataurima Arellano

13

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

EJEMPLO: Tendencia en el tiempo

60 xt yt

50

zt = x t + y t 40

30

20

10

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t

Miguel Ataurima Arellano

14

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

1.3.

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Operador de Rezago (Lag Operator) Supongamos que partimos de una secuencia de {xt }∞ t=−∞ y generamos una nueva secuencia ∞ {yt }t=−∞ donde el valor de y para la fecha t es igual al valor que x tomó en la fecha t − 1: yt = xt−1

(2)

Esto se descrito como la aplicación del operador de rezago a {xt }∞ t=−∞ . Esta operación se representa por el símbolo L: Lxt ≡ xt−1 (3) Potencias del Operador de Rezago • Considere el resultado de aplicar el operador de rezago dos veces para una serie: L (Lxt ) = L (xt−1 ) = xt−2 Tal doble aplicación del operador de rezago se indica mediante L2 : L2 xt = xt−2 • En general, para cualquier número entero k: Lk xt = xt−k

Miguel Ataurima Arellano

15

(4)

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

EJEMPLO: Dada la secuencia finita {xt }Tt=0 con T = 15, representar gráficamente las secuencias L−5 xt = xt+5 , xt y L5 xt = xt−5 . 20 x t+5 = L -5 x t

15 10 5 0 -10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

t 20 xt

15 10 5 0 -10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

t 20 x t-5 = L 5 x t

15 10 5 0 -10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

t

Miguel Ataurima Arellano

16

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Propiedad: Si primero aplicamos el operador de multiplicación y luego el operador de rezago, como en: xt → βxt → βxt−1 , el resultado será exactamente el mismo que si hubiéramos aplicado el operador de rezago primero y luego el operador de multiplicación: xt → xt−1 → βxt−1 Así, el operador de rezago y el operador de multiplicación son conmutativos: L (βxt ) = β · Lxt Propiedad: Si primero sumamos dos series y luego aplicamos el operador de rezago en el resultado, (xt , wt ) → xt + wt → xt−1 + wt−1 , el resultado es el mismo que si hubiéramos aplicado el operador de rezago antes de sumar: (xt , wt ) → (xt−1 , wt−1 ) → xt−1 + wt−1 . Por lo tanto, el operador de rezago es distributivo sobre el operador de adición: L(xt + wt ) = Lxt + Lwt Vemos así que el operador de rezago sigue exactamente las mismas reglas algebraicas como el operador de multiplicación. Por esta razón, existe la tentación de utilizar la expresión “multiplicar yt por L” en lugar de “operar sobre {yt }∞ t=−∞ . mediante L”.

Miguel Ataurima Arellano

17

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Polinomio en el operador de Rezago Frente a una serie de tiempo definida en términos de operadores compuestos, somos libres de usar las leyes algebraicas conmutativa, asociativa y distributiva estándar de la multiplicación y la adición de expresar el operador compuesto en una forma alternativa. EJEMPLO: El proceso definido por: yt = (a + bL)Lxt es exactamente lo mismo que: yt = (aL + bL2 )xt = axt−1 + bxt−2 . EJEMPLO: Considere, (1 − λ1 L)(1 − λ2 L)xt = 1 − λ1 L − λ2 L + λ1 λ2 L2
xt = 1 − [λ1 + λ2 ] L + λ1 λ2 L2 )xt = xt − (λ1 + λ2 ) xt−1 + (λ1 λ2 ) xt−2 .


Miguel Ataurima Arellano

18

(5)

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Una expresión como (aL + bL2 ) se conoce como un polinomio en el operador de rezago. Esto es algebraicamente similar a un polinomio sencillo (az + bz 2 ) donde z es un escalar. La diferencia es que • El polinomio simple (az + bz 2 ) hace referencia a un número en particular. • Un polinomio en el operador de rezagos (aL + bL2 ) hace referencias a un operador que se ∞ aplica a una serie de tiempo {xt }∞ t=−∞ para producir una nueva serie de tiempo {yt }t=−∞ . EJEMPLO: Observe que si {xt }∞ t=−∞ es sólo una serie de constantes, xt = c para todo t entonces el operador de rezago aplicado a xt , produce la misma serie de constantes: Lxt = xt−1 = c EJEMPLO: (αL + βL2 + γL3 )c = (α + β + γ) · c.

Miguel Ataurima Arellano

19

(6)

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

2.

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Ecuaciones en Diferencia de Primer Orden Sea la ecuación en diferencia de primer orden analizada en la sección 1.1: yt = φyt−1 + wt .

(7)

La ecuación [7] puede ser reescrita utilizando el operador de rezago [3] como yt = φLyt + wt . Esta ecuación, a su vez, se puede variar usando álgebra estándar, yt − φLyt = wt , o (1 − φL)yt = wt

Miguel Ataurima Arellano

20

(8)

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Consideremos ahora la “multiplicación” de ambos lados de [8] (1 − φL)yt = wt por el siguiente operador: (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt ).

(9)

El resultado sería : (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt )(1 − φL)yt =(1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt ).

(10)

Expandiendo, luego el operador compuesto en el lado izquierdo de [10] resulta: (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt )(1 − φL) = (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt ) − (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt )φL

(11)

= (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt ) − (φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt + φt+1 Lt+1 ) 



= 1 − φt+1 Lt+1 .

Miguel Ataurima Arellano

21

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Sustituyendo [11] 

(1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt )(1 − φL) = 1 − φt+1 Lt+1



en [10] (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt )(1 − φL)yt =(1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt ). tenemos:









1 − φt+1 Lt+1 yt = 1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt wt .

(12)

Escribiendo explícitamente [12] utilizando [4] obtenemos yt − φt+1 yt−(t+1) = wt + φwt−1 + φ2 wt−2 + φ3 wt−3 + · · · + φt wt−t o yt = φt+1 y−1 + wt + φwt−1 + φ2 wt−2 + φ3 wt−3 + · · · + φt w0

(13)

Observe que la ecuación [13] es idéntica a la ecuación [1.1.7], resultante de aplicar sustituciones recursivas.

Miguel Ataurima Arellano

22

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Análisis de la naturaleza del operador (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt ) en muestras grandes1 . Dijimos en [11] que (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt )(1 − φL)yt = yt − φt+1 y−1 Si |φ| < 1 y si y−1 es un número finito, este residuo φt+1 y−1 será insignificante conforme t se haga grande, esto es t grande φt+1 y−1 −→ 0 por lo tanto: (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φt Lt )(1 − φL)yt ≈ yt para t grande. e de tal manera que NOTA: Una secuencia {yt }∞ t=−∞ se dice que está acotada si existe un número finito y para todo t se cumpla que: |yt | < y˜ para todo t.

Por lo tanto, siempre que |φ| < 1 y considerando la aplicación de un operador a una sucesión acotada, podemos pensar en (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · + φj Lj ) como una aproximación a la inversa del operador (1 − φL) (1 − φL)−1 1

Conforme t se hace grande

Miguel Ataurima Arellano

23

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Propiedad del operador (1 − φL)−1 Podemos hacer esta aproximación arbitrariamente precisa mediante la elección de un j suficientemente grande: (1 − φL)−1 = l´ım (1 + φL + φ2 L2 + φ3 L3 + · · · φj Lj ). (14) j→∞

Este operador (1 − φL)−1 tiene la propiedad: (1 − φL)−1 (1 − φL) = 1, donde “1” denota al operador identidad: 1yt = yt ,

Miguel Ataurima Arellano

24

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Prueba: Siempre que |φ| < 1 y nos restringamos a secuencias acotadas o procesos estocásticos estacionarios, ambos lados de [8] puede ser “dividido” por (1 − φL) para obtener: yt = (1 − φL)−1 wt o yt = wt + φwt−1 + φ2 wt−2 + φ3 wt−3 + · · ·

(15)

Cabe destacar que si no nos limitamos a considerar secuencias delimitadas o procesos estocásticos ∞ estacionarios {wt }∞ t=−∞ y {yt }t=−∞ entonces la expresión [15] no sería una consecuencia necesaria de [7]. La ecuación [15] es consistente con [7], pero la adición de un término a0 φt , yt = a0 φt + wt + φwt−1 + φ2 wt−2 + φ3 wt−3 + · · · ,

(16)

produce otra serie consistente con [7] para cualquier constante a0 . Para verificar que [16] es consistente con [7], multiplicamos [16] por (1 − φL): (1 − φL) yt = (1 − φL) a0 φt + (1 − φL) (1 − φL)−1 wt = a0 φt − φa0 φt−1 + wt = wt de tal manera que [16] es consistente con [7] para cualquier constante a0 .

Miguel Ataurima Arellano

25

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Por lo tanto, cualquier proceso de la forma de [16] es consistente con la ecuación en diferencia [7], observe que a partir de que |φ| < 1, a0 φt → ∞ conforme t → ∞. ∞ Así, siempre que {wt }∞ t=−∞ sea una secuencia acotada, la solución {yt }t=−∞ dada por [16] está acotada a menos que a0 = 0 en [16].

Asi, había una razón particular para definir el operador [14] como la inversa de (1 − φL), esto es, (1 − φL)−1 definido en [14] es el único operador que satisface (1 − φL)−1 (1 − φL) = 1 ∞ que mapea una secuencia acotada {wt }∞ t=−∞ en una secuencia acotada {yt }t=−∞ .

La naturaleza de (1 − φL)−1 cuando |φ| > 1 será discutida mas adelante.

Miguel Ataurima Arellano

26

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

3.

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Ecuaciones en Diferencia de Segundo Orden Consideremos ahora la ecuación en diferencia de segundo orden: yt = φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + wt .

(17)

Reescribiendola en la forma operador de rezago 



1 − φ1 L − φ2 L2 yt = wt .

(18)

El lado izquierdo de [18] contiene un polinomio de segundo orden en el operador de rezago L. Suponga que factorizamos este polinomio, esto es, encontrar números λ1 y λ2 tales que 







1 − φ1 L − φ2 L2 = (1 − λ1 L) (1 − λ2 L) = 1 − [λ1 + λ2 ] L + λ1 λ2 L2 .

(19)

Esta es justo la operación en [5] en reversa. Dados los valores de φ1 y φ2 , buscamos los números λ1 y λ2 con la propiedad de que λ 1 + λ 2 = φ1 y λ1 λ2 = −φ2 . Por ejemplo, si φ1 = 0,6 y φ2 = −0,08, entonces podemos escoger λ1 = 0,4 y λ2 = 0,2: 

Miguel Ataurima Arellano



1 − 0,6L + 0,08L2 = (1 − 0,4L) (1 − 0,2L) .

27

(20)

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

¿Cómo podemos encontrar λ1 y λ2 en general? La tarea es escoger λ1 y λ2 de tal manera que se asegure que el operador del lado derecho de [19] sea idéntico al del lado izquierdo. Esto sera cierto siempre que la siguiente expresión represente las funciones idénticas de z: 



1 − φ1 z − φ2 z 2 = (1 − λ1 z) (1 − λ2 z) .

(21)

Esta ecuación reemplaza al operador de rezago L en [19] 



1 − φ1 L − φ2 L2 = (1 − λ1 L) (1 − λ2 L)

con un escalar z. ¿Para que valores de z es el lado derecho de [21] 



1 − φ1 z − φ2 z 2 = (1 − λ1 z) (1 − λ2 z)

igual a cero?. −1 La respuesta es, si z = λ−1 1 o z = λ2 , entonces el lado derecho de [21] será cero.

NOTA: No tiene sentido responder una pregunta análoga de [19] pues L denota un operador particular, no un número, y L = λ−1 1 no es una afirmación razonable.

Miguel Ataurima Arellano

28

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

−1 ¿Porqué debemos tener cuidado con que el lado derecho de [21] sea cero si z = λ−1 1 o si z = λ2 ?

Recordemos que la meta es escoger λ1 y λ2 de tal manera que los dos lados de [21] 



1 − φ1 z − φ2 z 2 = (1 − λ1 z) (1 − λ2 z) .

representen un polínomio idéntico en z. Esto significa que para cualquier valor particular z las dos funciones deben producir el mismo número. Si encontramos un valor de z que establezca el lado derecho a cero, este mismo valor de z deberá establecer al lado izquierdo a cero. Pero los valores de z que establecen el lado izquierdo a cero 



1 − φ1 z − φ2 z 2 = 0,

(22)

estan dados por la fórmula cuadrática z1 = z2 =

Miguel Ataurima Arellano

φ1 −

q

φ1 +

q

φ21 + 4φ2

−2φ2 φ21 + 4φ2

−2φ2

29

(23) (24)

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Estableciendo z = z1 o z = z2 hacemos que el lado izquierdo de [21] sea cero, mientras z = λ−1 1 o −1 λ2 fijan el lado derecho de [21] en cero. Así λ−1 1 = z1

(25)

λ−1 2

(26)

= z2 .

Regresando al ejemplo numérico [20] en el cual φ1 = 0,6 y φ2 = −0,08, podemos calcular z2 z1 =

0,6 −

q

(0,6)2 − 4 (0,08) 2 (0,08)

= 2,5

=

0,6 +

q

(0,6)2 − 4 (0,08) 2 (0,08)

= 5,0,

y asi λ1 = 1/2,5 = 0,4 λ2 = 1/5,0 = 0,2 como se encontró en [20]. Cuando φ21 +4φ2 < 0, los valores de z1 y z2 son complejos conjugados, y sus recíprocos λ1 y λ2 pueden ser encontrados escribiendo el número complejo en forma de coordenada polar. Específicamente, escribimos z1 = a + bi como z1 = R · [cos (θ) + i · sin (θ)] = R · eiθ . Entonces z1−1 = R−1 · e−iθ = R−1 · [cos (θ) + i · sin (θ)] .

Miguel Ataurima Arellano

30

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Método directo para el cálculo de valores de λ1 y λ2 a partir de φ1 y φ2 . Divida ambos lados de [21] 

entre z 2 :



1 − φ1 z − φ2 z 2 = (1 − λ1 z) (1 − λ2 z) .







z −2 − φ1 z −1 − φ2 = z −1 − λ1



z −2 − λ2



(27)

Defina λ como una variable z −1 : λ ≡ z −1 .

(28)

Sustituyendo [28] en [27] se obtiene 



λ2 − φ1 λ − φ2 = (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) .

(29)

Una vez mas, [29] debe mantenerse para todos los valores de λ para que los dos lados de [21] representen el mismo polinomio.

Miguel Ataurima Arellano

31

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Los valores de λ que establecen el lado derecho a cero son λ = λ1 y λ = λ2 . Estos mismos valores deben establecer el lado izquierdo de [29] a cero 



λ2 − φ1 λ − φ2 = 0.

(30)

Calculamos los valores de λ1 y λ2 factorizando el polinomio en [19], encontrando que las raíces de [30] son:

λ1 = λ2 =

φ1 + φ1 −

q

φ21 + 4φ2

(31)

q2

φ21 + 4φ2

(32)

2

Para el ejemplo de [20] tenemos que:

λ1 = λ2 =

Miguel Ataurima Arellano

0,6 +

q

(0,6)2 − 4 (0,08) 2

0,6 −

= 0,4

q

(0,6)2 − 4 (0,08) 2

32

= 0,2,

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

NOTA: Comparando estos resultados con los obtenidos la clase anterior, en el que la dinámica de la ecuación en diferencia de segundo orden [17] fué resumida mediante el cálculo de la matriz F dada por "

F=

φ1 φ2 1 0

#

.

(33)

Los valores propios de F fueron vistos como los dos valores de λ que satisfacen la ecuación [1.2.13]: 



λ2 − φ1 λ − φ2 = 0.

Éste es el mismo cálculo como en [30]. Proposición 2.1: Factorizar el polinomio 1 − φ1 L − φ2 L2 como






1 − φ1 L − φ2 L2 = (1 − λ1 L) (1 − λ2 L)

(34)

es el mismo cálculo que encontrar los valores propios de la matriz F en [33]. Los valores propios λ1 y λ2 de F son los mismos que los parámetros λ1 y λ2 en [34], y están dados por las ecuaciones [31] y [32].

Miguel Ataurima Arellano

33

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Una Posible Confusión La correspondencia entre el cálculo de los valores propios de una matriz y la factorización de un polinomio en el operador de rezago es muy instructivo. Sin embargo, ésto introduce una menor fuente de posible confusión semántica acerca de la cual se debe tener cuidado. Observamos que el sistema [17] es estable si λ1 y λ2 son menores que 1 en módulo y son explosivas si λ1 o λ2 son mayores que 1 en módulo. Algunas veces esto es descrito como el requerimiento de que las raíces de   λ 2 − φ1 λ − φ2 = 0 (35) caigan dentro del círculo unitario. La posible confusión es que a menudo es conveniente trabajar directamente con el polinomio en la forma en la que aparece en [18], 



1 − φ1 z − φ2 z 2 = 0,

(36)

cuyas raices, ya vistas, son los reciprocos de las de [35].

Miguel Ataurima Arellano

34

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Asi, podemos decir con igual precisión que la ecuación en diferencia yt = φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + wt

"Es estable siempre que las raíces de [35] 



λ 2 − φ1 λ − φ2 = 0

caigan dentro del círculo unitario” o que “Es estable siempre que las raices de [36] 



1 − φ1 z − φ2 z 2 = 0

caigan fuera del círculo unitario” Por convención usaremos el término “valor propio” para referirnos a las raices de [35]. Siempre que el término “raíz” sea usado, indicaremos explícitamente la ecuación cuyas raices estén siendo descritas.

Miguel Ataurima Arellano

35

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

A partir de aqui, asumiremos que la ecuación en diferencia de segundo orden es estable, con los valores propios λ1 y λ2 distintos y ambos dentro del círculo unitario. Donde este sea el caso, las inversas (1 − λ1 L)−1 = 1 + λ11 L + λ21 L2 + λ31 L3 + · · · (1 − λ2 L)−1 = 1 + λ12 L + λ22 L2 + λ32 L3 + · · · están bien definidas para secuencias acotadas. Escribir [18] en forma factorizada: (1 − λ1 L) (1 − λ2 L) yt = wt y operar sobre ambos lados mediante (1 − λ1 L)−1 (1 − λ2 L)−1 : yt = (1 − λ1 L)−1 (1 − λ2 L)−1 wt .

(37)

Siguiendo a Sargent (1987, p. 184), cuando λ1 6= λ2 , podemos usar el siguiente operador: (λ1 − λ2 )−1



λ2 λ1 − . 1 − λ1 L 1 − λ2 L 

(38)

Observe que es esta es una simple manera de escribir el operador en [37]: (λ1 − λ2 )

Miguel Ataurima Arellano

−1

λ1 λ2 − 1 − λ1 L 1 − λ2 L   λ1 (1 − λ2 L) − λ2 (1 − λ1 L) = (λ1 − λ2 )−1 (1 − λ1 L) · (1 − λ2 L) 1 = (1 − λ1 L) · (1 − λ2 L)





36

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Asi, [37] puede ser escrita como −1

yt = (λ1 − λ2 )



λ1 λ2 − wt 1 − λ1 L 1 − λ2 L 

i λ1 h 1 + λ1 L + λ21 L2 + λ31 L3 + · · · λ1 − λ2 i λ2 h 2 2 3 3 −− 1 + λ1 L + λ1 L + λ1 L + · · · wt λ1 − λ2 

=

o h

i

yt = [c1 + c2 ] wt + [c1 λ1 + c2 λ2 ] wt−1 + + c1 λ21 + c2 λ22 wt−2 h

i

(39)

c1 = λ1 / (λ1 − λ2 )

(40)

c2 = −λ2 / (λ1 − λ2 )

(41)

+ + c1 λ31 + c2 λ32 wt−3 + · · · , donde

A partir de [39] el multiplicador dinámico puede ser leído directamente como ∂yt+j = c1 λj1 + c2 λj2 , ∂wt que resulta ser el mismo resultado al que se llegó en la clase anterior.

Miguel Ataurima Arellano

37

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

4.

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Ecuaciones en Diferencia de Orden p Generalizado estas técnicas, sea una ecuación en diferencia de orden p de la forma yt = φ1 yt−1 + φyt−2 + · · · + φp yt−p + wt .

(42)

Escribimos [42] en términos del operador de rezago como 



1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φp Lp yt = wt .

(43)

Factorizando el operador del lado izquierdo de [43] 



1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φp Lp = (1 − λ1 L) (1 − λ2 L) · · · (1 − λp L)

(44)

Esta es la misma que encuentra los valores de (λ1 , λ2 , . . . , λp ) tales que los siguientes polinomios son los mismos para todo z: 

Miguel Ataurima Arellano



1 − φ1 z − φ2 z 2 − · · · − φp z p = (1 − λ1 z) (1 − λ2 z) · · · (1 − λp z) .

38

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Así como en sistema de segundo orden, multiplicamos ambos lados de esta ecuación por z −p y definimos λ ≡ z −1 : (λp − φ1 λp−1 − φ2 λp−2 − · · · − φp−1 λ − φp ) = (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) · · · (λ − λp ) .

(45)

Los valores (λ1 , λ2 , . . . , λp ) deben ser números tales que establezcan el lado izquierdo de la expresión [45] a cero λp − φ1 λp−1 − φ2 λp−2 − · · · − φp−1 λ − φp = 0. (46) Esta expresión es de nuevo idéntica a la proporcionada por la Proposición 1.1, que caracteriza los valores propios (λ1 , λ2 , . . . , λp ) de la matriz F definida en la ecuación [1.2.3]. Así, la Proposición 2.1 puede generalizarse. Proposición 2.2: Factorizando un polinomio de orden p en el operador de rezago, 



1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φp Lp = (1 − λ1 L) (1 − λ2 L) · · · (1 − λp L) ,

es el mismo cálculo que encontrar los valores propios de la matriz F definida en [1.2.3]. Los valores (λ1 , λ2 , . . . , λp ) de F son los mismos que el de los parámetros (λ1 , λ2 , . . . , λp ) en [44] y estan dados por las soluciones de la ecuación [46].

Miguel Ataurima Arellano

39

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

La ecuación en diferencia [42] yt = φ1 yt−1 + φyt−2 + · · · + φp yt−p + wt es estable si los valores propios (las raices de [46]) caen dentro del círculo unitario, o equivalentemente su las raíces de 1 − φ1 z − φ2 z 2 − · · · − φp z p = 0 (47) caen fuera del círculo unitario. Asumiendo que los valores propios estan dentro del círculo unitario y que estamos considerando secuencias acotadas, las inversas (1 − λ1 L)−1 , (1 − λ2 L)−1 , . . ., (1 − λp L)−1 existen, permitiendo que la ecuación en diferencia (1 − λ1 L) (1 − λ2 L) · · · (1 − λp L) yt = wt pueda ser escrita como yt = (1 − λ1 L)−1 (1 − λ2 L)−1 · · · (1 − λp L)−1 wt

(48)

Siempre que los valores propios (λ1 , λ2 , . . . , λp ) sean distintos, el polinomio asociado con el operador sobre el lado derecho de [48] puede de nuevo ser expandido con fracciones parciales: 1 (1 − λ1 L) (1 − λ2 L) · · · (1 − λp L) c1 c2 cp = + + ··· + . (1 − λ1 z) (1 − λ2 z) (1 − λp z) Miguel Ataurima Arellano

40

(49)

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Siguiendo a Sargent (1987, pp. 192-93), los valores de (c1 , c2 , . . . , cp ) que hacen cierta a [49] pueden ser encontrados multiplicando ambos lados por (1 − λ1 L)(1 − λ2 L)· · · (1 − λp L): 1 =c1 (1 − λ2 z) (1 − λ3 z) · · · (1 − λp z) + c2 (1 − λ1 z) (1 − λ3 z) · · · (1 − λp z) + · · ·

(50)

+ cp (1 − λ1 z) (1 − λ2 z) · · · (1 − λp−1 z) . La ecuación [50] tiene que mantenerse para todos los valores de z. Como éste es un ponomio de orden (p − 1), si (c1 , c2 , . . . , cp ) son elegidos de tal manera que [50] se mantenga para p particulares distintos valores de z, entonces [50] se mantendrá para todo z. Para garantizar que [50] se mantenga en z = λ−1 1 se requiere que 

1 = c1 1 − λ2 λ−1 1 o c1 =







1 − λ3 λ−1 · · · 1 − λp λ−1 1 1

λp−1 1 . (λ1 − λ2 ) (λ1 − λ3 ) · · · (λ1 − λp )



(51)

−1 −1 Para que se mantenga [50] para z = λ−1 2 , λ3 , . . ., λp se requiere

c2 =

λp−1 1 . (λ2 − λ1 ) (λ2 − λ3 ) · · · (λ2 − λp )

(52)

λp−1 p . (λp − λ1 ) (λp − λ3 ) · · · (λp − λp−1 )

(53)

.. . cp =

Miguel Ataurima Arellano

41

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Note de nuevo que éstos son idénticas a la expresión [1.2.25] en el Capítulo 1. Recuerde a partir de aquella discusión que c1 + c2 + · · · + cp = 1. Para concluir, [48] puede ser escrita como yt =

c2 cp c1 wt + wt + · · · + wt (1 − λ1 L) (1 − λ2 L) (1 − λp L) 







= c1 1 + λ1 L + λ21 L2 + λ31 L3 + · · · wt + c2 1 + λ2 L + λ22 L2 + λ32 L3 + · · · wt 



+ · · · + cp 1 + λp L + λ2p L2 + λ3p L3 + · · · wt o yt = [c1 + c2 + · · · + cp ] wt + [c1 λ1 + c2 λ2 + · · · + cp λp ] wt−1 h

i

h

i

+ c1 λ21 + c2 λ22 + · · · + cp λ2p wt−2

(54)

+ c1 λ31 + c2 λ32 + · · · + cp λ3p wt−3 + · · · donde (c1 , c2 , · · · , cp ) están dados por las ecuaciones desde la [51] hasta la [53]. De nuevo, el multiplicador dinámico puede ser leído directamente [54]: h i ∂yt+j = c1 λj1 + c2 λj2 + · · · + cp λjp , ∂wt

(55)

reproduciendo el resultado de la clase anterior.

Miguel Ataurima Arellano

42

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Hay un camino muy conveniente para calcular el efecto de wt sobre el presente valor de y usando la representación operador de rezago. Escribimos [54] como yt = ψ0 wt + ψ1 wt−1 + ψ2 wt−2 + ψ3 wt−3 + · · · donde

i

h

ψj = c1 λj1 + c2 λj2 + · · · + cp λjp .

(56)

(57)

Luego, reescribimos [56] en notación de operador de rezago como yt = ψ(L)wt ,

(58)

donde ψ(L) denota un polinomio de orden infinito en el operador de rezago: ψ(L) = ψ0 + ψ1 L + ψ2 L2 + ψ3 L3 + · · · . Observe que ψj es el multiplicador dinámico [55]. El efecto de wt sobre el valor presente de y está dado por ∂

P∞

j=0 β

jy

t+j

∂wt

= =

∞ X j=0 ∞ X

βj

∂yt+j ∂wt

β j ψj .

(59)

j=0

Miguel Ataurima Arellano

43

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

Pensando en ψ (z) como un polinomio en el numero real z, ψ(z) = ψ0 + ψ1 z + ψ2 z 2 + ψ3 z 3 + · · · ,

(60)

Pero comparando [58] con [48], es aparente que ψ(L) = [(1 − λ1 L) (1 − λ2 L) · · · (1 − λp L)]−1 , y a partir de [44] se tiene que h

ψ(L) = 1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φp Lp

i−1

.

Concluimos que h

ψ(z) = 1 − φ1 z − φ2 z 2 − · · · − φp z p

i−1

para cualquier valor de z, en particular h

ψ(β) = 1 − φ1 β − φ2 β 2 − · · · − φp β p

i−1

.

(61)

Sustituyendo [61] en [60] se revela que ∂

P∞

j=0 β

∂wt

jy

t+j

=

1 1 − φ1 β − φ2 β 2 − · · · − φp β p

(62)

reproduciendo lo afirmado en la Proposición 1.3.

Miguel Ataurima Arellano

44

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

INDICE

De nuevo, el multiplicador de largo plazo es obtenido como el caso especial de [62] ∂

P∞

j=0 β

∂wt

jy

t+j

=

1 1 − φ1 β − φ2 β 2 − · · · − φp β p

con β = 1: "

l´ım

j→∞

Miguel Ataurima Arellano

∂yt+j ∂yt+j ∂yt+j + + ··· + ∂wt ∂wt+1 ∂wt+j

45

#

=

1 1 − φ1 − φ2 − · · · − φp

.

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

5.

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Las condiciones iniciales y las secuencias no acotadas Dada una ecuación en diferencia de orden p yt = φ1 yt−1 + φyt−2 + · · · + φp yt−p + wt ,

(63)

y−1 , y−2 , . . . , y−p ,

(64)

p valores iniciales de y, y una secuencia de valores de la variable de entrada wt , {w0 , w1 , . . . , wt } ,

(65)

buscamos calcular la secuencia de valores para la variable de salida y: {y0 , y, . . . , yt } . Sabemos que la ecuación de movimiento del sistema [63] y su actual estado [64] y se desea caracterizar los valores que {y0 , y, . . . , yt } debe tomar sobre las diferentes especificaciones de {w0 , w1 , . . . , wt }. Existen ejemplos en economía y finanzas en los cuales la teoría solo especifica: • Las ecuaciones de movimiento [63] y • Una secuencia de variables de control [65]. Estas dos partes de información, solas son insuficientes para determinar la secuencia {y0 , y, . . . , yt }, y es necesaria alguna teoría económica o financiera adicional a la contenida en la ecuación en diferencia [63] para describir completamente la dependencia de y sobre w.

Miguel Ataurima Arellano

46

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas

INDICE

SERIES DE TIEMPO Operador de Rezagos

Referencia Hamilton J. (1994). Time Series Analysis, Princeton University Press.

Miguel Ataurima Arellano

47

[email protected]