Tma 2023 2024 TGR 23

TMM_2023-2024_TGR_23

1

Modelado y Simulación Cinemática del Mecanismo de Ghassaei (marzo 2024) J. González Delgado y V. Herreño Carrillo 

Resumen— Los mecanismos caminantes ofrecen ventajas significativas frente a los sistemas de ruedas como su adaptabilidad a terrenos irregulares, versatilidad en diseño, entre otras características, un ejemplo de ello es el mecanismo de Ghassaei, diseñado por Amanda Ghassaei e inspirado en el trabajo de Theo Jansen.

Los objetivos de Amanda al diseñar la pata de su mecanismo eran principalmente lograr simplificar el número de pares cinemáticos, conseguir simetría en la trayectoria respecto al eje de ordenadas, asegurar un índice de retorno rápido útil además de una rectitud y velocidad constante de desplazamiento. En este artículo se estudiará de forma detallada el mecanismo de Ghassaei con el objetivo de realizar una modelización cinemática del mismo utilizando el método de coordenadas mixtas. Prosiguiendo a la realización de una simulación y animación tanto en Matlab como en Working Model.

Ghassaei se centra en varios puntos clave que subrayan la importancia de este innovador enfoque dentro del campo de la robótica, y su potencial intersección con la ingeniería. El principal propósito de este artículo es explorar y analizar el mecanismo de Ghassaei, destacando su relevancia y aplicabilidad potencial en el ámbito de la ingeniería. Este análisis se realiza bajo los siguientes subobjetivos específicos: 1.

En este artículo se estudiará de forma detallada el mecanismo de Ghassaei con el objetivo de realizar una modelización cinemática del mismo utilizando el método de coordenadas mixtas. Prosiguiendo con la ayuda de Matlab y Working Model. De esta manera podemos ver que los cálculos realizados son los correctos, y a su vez simular con los datos obtenidos el funcionamiento del mecanismo, lo que facilita una mejor visualización de cómo funciona el conjunto. 2.

Términos clave— Mecanismo, Ghassaei, coordenadas mixtas, Matlab, Working Model, análisis mecánico y análisis cinemático.

INTRODUCCIÓN La búsqueda de soluciones robóticas que imiten eficazmente los movimientos orgánicos del mundo natural ha sido un objetivo constate en la investigación en robótica biomimética.

CALCULOS REALIZADOS PARA EL DESARROLLO Y COMPRENSIÓN DEL MECANISMO:

COMPRENSIÓN BIOMIMÉTICA:

PROFUNDA

DE

LA

TECNOLOGÍA

Facilitar una comprensión integral de cómo los principios biomiméticos subyacentes al mecanismo de locomoción andante Ghassaei pueden ser aplicados para mejorar la eficiencia, sostenibilidad y flexibilidad de los sistemas robóticos en entornos industriales.

ANÁLISIS MECÁNICO DEL MECANISMO

Actualmente los mecanismos de locomoción andante se utilizan en diferentes ámbitos, como la agricultura o la medicina. Debido a su bajo coste y sencillo diseño, los mecanismos andantes ofrecen gran versatilidad con un gran margen de mejora.

El mecanismo de Ghassaei se compone de once eslabones y el bastidor, los cuales están conectados mediante pares de revolución. El eslabón que actúa como entrada es una manivela movida por un motor, que efectivamente transforma un movimiento rotatorio en uno traslacional.

El mecanismo de Ghassaei es bastante actual, ya que se propuso en 2011. Las aplicaciones actuales se centran en la creación de mecanismo robóticos de pequeñas dimensiones.

A continuación, se muestra una imagen del diseño original del mecanismo [1], unidades Mathematica (izquierda) y unidades pie (derecha):

Cabe mencionar que la propia diseñadora al publicar su tesis recrea el mecanismo con seis patas utilizando tubos de PVC y bridas, pero desafortunadamente este colapsa debido a su propio peso. OBJETIVO

El objeto de realizar un artículo sobre el mecanismo de 

TMM_2023-2024_TGR_23

2

Tabla 1. Longitudes de los eslabones.

10,60

L7

5,2

L8

15,4

L9

L4

LCA L AB LCD LBD

11,2

L5

L DH

19,29

L6

LCH

15

L1 0 L1 1 L1 2

L1 L2 L3

Figura 1. Dimensiones originales.

Con base en las dimensiones de la Figura 1 y considerando que están dimensionadas para un mecanismo de grandes proporciones usaremos un factor de escala de 0,2 para recrear el mismo mecanismo más pequeño, y para las dimensiones de los eslabones que no se indican en la Figura 1 se tomarán de referencia las dimensiones propuestas en [2] que coincide con las obtenidas, pero con un factor de escala adicional de 0,01. Cabe destacar que el mecanismo se puede simplificar si se mantienen los ángulos indicados en la Figura 1.

L HE LCE L EG LCF

21,76

LGF

15

LFB

11,2

15,4 15 15,4

Las coordenadas de los pares cinemáticos fijos son las siguientes: Tabla 2. Coordenadas pares cinemáticos fijos.

xA

0

xC

-10,60

yA

0

yC

-0,016

En Matlab las coordenadas del par cinemático C, se introducirán con la relación geométrica para mayor precisión.

Figura 2. Mecanismo Ghassaei simplificado con 4 patas.

Teniendo lo anterior en cuenta se plantea el siguiente esquema: Figura 4. Esquema indicando las respectivas longitudes.

Se observa de forma esquematizada los movimientos que realiza el mecanismo, apreciándose como transforma la rotación originalizada en el punto A, en una translación llevada a cabo por el punto G. Continuando con el estudio del mecanismo se verifica que solo existe un grado de libertad en el mismo. Tabla 3. Variables fórmula de Grübler.

Número de eslabones Pares cinemáticos de 1 grado de libertad (PI) Pares cinemáticos de 2 grados de libertad (PII)

12 16 0

Para ello, aplicamos la fórmula de Grübler: Figura 3. Esquema detallado de una de las patas del mecanismo.

Las longitudes que se utilizarán son las siguientes:

G . D . L=3 ( n−1 ) – 2 P I – P II =3 ( 12−1 )−2∗16=1 El motor que genera el movimiento se desplaza a:

TMM_2023-2024_TGR_23

3

19,1 RPM ≈ 2 rad/s Habiendo razonado todo esto, se procede al análisis cinemático. MODELADO CON EL MÉTODO DE COORDENADAS MIXTAS Para esta parte se partirá identificando que coordenadas son variables y cuales son constantes, los valores y la coordenada del grado de libertad. Tabla 4. Análisis de las coordenadas del mecanismo con su grado de libertad. Parámetr o

Valor

Parámetro

xA

Constante

0

LFB

yA

Constante

0

LBD

xC

Constante

-10,60 cm -0,016 cm

LCD

yC

Constante

L AB xE yE xG yG xF xB yB xD yD L HE LCE L EG LGF LCF θCH θ HE θ EG θGF θCE

Constante

5,2 cm

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Constante

21,76 cm

Constante

15,4 cm

Constante

15 cm

Constante

15 cm

Constante

15,4 cm

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

L DH LCH yF θ FB θ BD θCD θ DH xH yH θCF θ AB

Valor Constant e Constant e Constant e Constant e Constant e

11,2 cm 11,2 cm 15,4 cm 19,29 cm

  

Coordenadas: n = 23 GDL del mecanismo: g = 1 Número de ecuaciones de restricción: r = 23-1 = 22

Más la ecuación de gobierno nos quedan 23 ecuaciones. Como se puede comprobar el sistema no es lineal por lo que será necesario aplicar el método numérico iterativo de Newton-Raphson. Para resolver el problema de la posición se establecen las ecuaciones de restricción, en nuestro caso son todas ecuaciones de restricción geométrica de relación geométrica entre coordenadas salvo la última que corresponde con la ecuación de gobierno. Evaluando las ecuaciones de restricción, nos queda el vector columna de ecuaciones de restricción:

15 cm

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

-

Variable

2t

Se calcula el Jacobiano (matriz cuadrada 23x23): Derivando respecto a:

El ángulo θAB y sus derivadas respecto al tiempo es el GDL del mecanismo. Las coordenadas del punto G son las salidas. El vector de constantes estará formado por las constantes de las dimensiones principales:

Las coordenadas mixtas del mecanismo serán las coordenadas identificadas como variables en la Tabla 4:

Se calcula la derivada respecto al tiempo del Jacobiano (matriz cuadrada 23x23):

TMM_2023-2024_TGR_23

Derivando respecto a:

La ecuación de gobierno es la siguiente: θ AB −2∗t , de tal forma que si la derivamos nos da:

∂ θ AB−2∗t =−2 ∂t

Calculamos su segunda derivada y nos da igual a 0. Por lo que la matriz (23x1) para resolver el problema de la velocidad es igual a:

[] 0 0

ϕ⃗ ( t )=

⋮

−2

Y la matriz (23x1) para resolver el problema de aceleración es igual a:

[]

ϕ⃗˙ ( t )=

0 0

⋮ 0

Con la ayuda de AutoCad se calcularon las posiciones iniciales de las coordenadas mixtas para lograr el menor número de iteraciones y sobre todo evitar posibles errores. El vector inicial de coordenadas mixtas es el siguiente:

[]

4

5 ,2 0 0,26347 10,05339 −18,9705 11,5214 −23.09867 −9,84335 −11,07759 −18,815 1.4398 q⃗ 0= −10,5499 1,2284 rad 2,02724 rad 0,79128 rad 3,0654 rad 2,16589 rad 4,52122 rad 3,7612 rad 5,6420 rad 0,58358 rad 5,60579 rad 0 rad

SIMULACIÓN Y ANIMACIÓN DEL MOVIMIENTO DEL MECANISMO GHASSAEI EN MATLAB Se modifica el programa en Matlab para recrear el mecanismo a partir del modelo matemático descrito antes y poder resolver el problema de posición, velocidad y aceleración.

TMM_2023-2024_TGR_23

5

Figura 6. Resolución del problema de la posición. Figura 5. Secuencia de pasos seguidos.

En la figura 5 se representa los pasos seguidos para la creación del video de la animación de las gráficas y del mecanismo. El color verde representa los apartados que necesitarán modificaciones, el violeta las acciones del programa y el gris lo que se debe introducir y el resultado final.

TMM_2023-2024_TGR_23

6

Figura 7. Resolución del problema de la velocidad. Figura 9. Representación del mecanismo.

En las Figuras 7, 8 y 9 se puede ver el procedimiento seguido para resolver el problema de posición, velocidad, aceleración y la representación del mecanismo. Tras la ejecución del programa obtenemos los siguientes gráficos:

Figura 10. Animaciones de la posición, velocidad, aceleración y el mecanismo

SIMULACIÓN Y ANIMACIÓN DEL MOVIMIENTO DEL MECANISMO GHASSAEI EN WORKING MODEL.

Figura 8. Resolución del problema de la aceleración.

Con el objeto de comprobar los resultados obtenidos en la simulación realizada con Matlab se recreará el mismo mecanismo utilizando Working Model. Se tomarán las mismas condiciones iniciales en todos los eslabones, de tal forma poder evitar posibles errores. Se procederá a crear todos los eslabones con las longitudes correspondientes, indicar el nombre de los mismos y posteriormente ensamblar los pares cinemáticos correspondientes.

TMM_2023-2024_TGR_23

Figura 11. Mecanismo Ghassaei en Working Model.

7

TMM_2023-2024_TGR_23

8

REFERENCES [1] [2] [3] [4]

Amanda Ghassaei, “The Design and Optimization of a crank based leg mechanism”, Pomona College Department of physics and astronomy, April 20, 2011. Advances in Asian Mechanism and Machine Science: Proceedings of IFToMM Asian MMS 2021. (2021). Suiza: Springer International Publishing. “Category:Ghassaeis Linkage - Wikimedia Commons.” https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Ghassaeis_Linkage Wikipedia contributors, “Leg mechanism,” Wikipedia, Nov. 01, 2022. https://en.wikipedia.org/wiki/Leg_mechanism