Titik Berat Dan Momen Inersia

 

 MEKANIKA  MEKANI KA REKAYASA

 MOMEN, KOPEL, TITIK TITIK BERAT  DAN MOMEN INERSIA INERSIA

 JTS FT UNESA

3.1

TITIK BERAT Titik berat merupakan letak titik keseimbangan sebuah materi. Ada bebrapa titik letak titik berat yang akan dibahas dalam bab ini, antara lain: 1. Ti Titi tik k ber berat at gari garis. s. Titik berat garis terletak ditengah-tengah garis tersebut, sebagai pengganti gaya  berat garis materi. 0 ."

0 ."

)" ambar 3.!. 3.!. "etak titik berat garis. #alil m$men %arign$n &garis berat garis': n "i.(i dan *$ ) ($ ) "t i =1  

∑

n

∑  i =1

"i.*i "t

+. Titik Titik berat berat bang bangun un bidang bidang datar. datar. Titik berat bangun bidang datar belum tentu terletak ditengah-tengah bangun tersebut, tetapi bergantung dari bentuk bangun tersebut. #alil m$men %arign$n &garis berat garis': n

($ )

i.(i

∑  i =1

t

n

dan *$ )

∑  i =1

i.*i t

n

 dan $ )

i.-i

∑  i =1

t

#imana: i ) luas bangun I, (i, *i, i ) titik berat bangun I, t ) luas t$tal bangun  bidang datar.

ambar 3.1. Beberapa letak titik berat berat bangun bidang bidang datar. /$nt$h:

 Pengajar:  Suprapto, S.Pd., MT.

!

 

 MEKANIKA  MEKANI KA REKAYASA

 MOMEN, KOPEL, TITIK TITIK BERAT  DAN MOMEN INERSIA INERSIA

 JTS FT UNESA

#iketahui bangun seperti di baah ini, hitung letak titik berat bangun datar tersebut 2ara analitis.

ambar 3.11. erhitungan ditabelkan, sebagai berikut: Tabel 3.1. erhitungan titik berat bangun "uas &m+' 4 37 1+ 1!7

Bagian A B / 8

(i &m' 5 1,5 1

*i &m' + 1+ 3

i.(i

i.(i

+ 54 1+ 1454

6 4+3 37 15!+

9aka:

($ )

n

,i.(i

∑

,t 

i =1

n

*$ ) ∑ i =1

,i.*i ,t 

1454

= 1!7 ) ,4+ 2m =

15!+ 1!7

 ) 6,1+ 2m

ambar 3.1+. 3.1+. "etak garis berat bangun

 Pengajar:  Suprapto, S.Pd., MT.

1

 

 MEKANIKA  MEKANI KA REKAYASA

 MOMEN, KOPEL, TITIK TITIK BERAT  DAN MOMEN INERSIA INERSIA

 JTS FT UNESA

Bila dalam bangun bangun terdapat terdapat lubang lubang maka perhitungan perhitungan harus memperhitungk memperhitungkan an adanya lubang, seperti perumusan sebagai berikut: 8 ) t ; lubang 8i.(i ) i.(i ; &ilubang ; (lubang' 8i.*i ) i.*i ; &ilubang ; *lubang'

3.+

9IA 9$men 9$me n inersia atau m$men kelembaman kelembaman &I' dapat dihitung dihitung dengan integrasi integrasi dA. dA. 9$men inersia untuk rumus lenturan harus dihitung terhadap sumbu?garis netral daerah irisan penampang lihat gambar 3.13.

ambar 3.13. Ilustrasi statis m$men sebuah elemen. Tabel 4.+. Rumus umum yang yang berkaitan dengan m$men m$men inersia "uas

A)

∫ dA A

> @ ) ∫ y.dA

9$men statis

A

> y ) ∫ @.dA A

arak titik berat 9$men inersia &pribadi'

 

) > y ?A y ) > @ ?A

@

+

I@$ ) ∫ y .dA A

Iy$ ) ∫ 

+

@ .dA

A

9$men sentriugal

I@$.y$ ) ∫ @ . y . dA A

 Pengajar:  Suprapto, S.Pd., MT.

11

 

 MEKANIKA  MEKANI KA REKAYASA

 MOMEN, KOPEL, TITIK TITIK BERAT  DAN MOMEN INERSIA INERSIA

 JTS FT UNESA

9$men inersia p$lair 

Ip )

∫ r 

+

.dA

A

  ) I@$ C Iy$ ari-Dari inersia

I@ ) Iy )

ari-Dari inersia kutub 9$men laan

Ip )  

Keseimbangan pergeseran sumbusumbu

I@$ A Iy$

A

Ip A

ω1  ) I@$?y1 ω+  ) I@$?y+ I@ ) I@$ C Ay+ Iy ) Iy$ C A@+ I@y ) I@$y$ C A.

@

.y

I@ dapat dihitung dari ambar 3.13. 9$men inersia I@ $ terhadap sumbu h$ris$ntal ($ yang melalui titik beratnya yaitu: +

I@$ ) ∫ y .dA , dimana y diukur dari sumbu titik berat, sedang m$men terhadap A

sumbu ( adalah:

  ( y  + y ) , dengan mengkadratkan besaran-besaran didalam tanda kurung I@ ) ∫  +

A

dan menemp menempatk atkan an k$nstan k$nstanta-k ta-k$ns $nstan tanta ta keluar keluar dari dari integr integral, al, maka maka akan akan didapa didapatt  persamaan berikut: +

+ I@ ) ∫  y +  + y.y + y dA , A +

  y.y.dA + y + dA y dA + + y

)A

∫ 

  ∫  A

∫ 

A

+

+ ) ∫ y dA + +  y  ∫ y.dA + y ∫ dA A

A

A

  + y+ .A , I@ ) I@$  + + y ∫ ydA A

Karena sumbu

y

diukur melalui titik berat dari daerah luas, maka

∫ ydA atau

y

 

A

sama dengan n$l, Dadi: I@ ) I@$ C  C y +A ) I@$ C y+A. /$nt$h 1:

 Pengajar:  Suprapto, S.Pd., MT.

1+

 

 MEKANIKA  MEKANI KA REKAYASA

 MOMEN, KOPEL, TITIK TITIK BERAT  DAN MOMEN INERSIA INERSIA

 JTS FT UNESA

#iketahui penampang seperti di baah ini, hitung m$men inersianya

ambar 3.14.

enyelesaian: I@ ) I@$ C y+A  y )  &tidak Darak tehradap sumbu y ) I@$ C  )

∫ y

+

A

h?+

)

.dA  dA ) b. d

y

+

∫  y . b.y −h ? +

h?+

I@ ) b

∫ 

+

y . b.y = b. 13 .y 3

−h ? +

h?+

=  b. 13 .& h ? +' 3 − b. 13 .& −h ? +' 3

h?+

I@ ) b.1?3.1?6.h3Cb.1?3.1?6.h3)+?+4.b.h3)1?1+.b.h.h3

ϖ@ )

i@ )

I@ y

I@ =

A

=

h

I@ =

+.I@ h

+

1 1+

. b.h 

 b.h

=

=

+. 11+  b . .h 3 h 1 .h + 1+

=

=

1 7 b . .h +

,+6!h

Fntuk beberapa penampang nilai-nilai m$men inersia telah ditabelkan, lihat buku:

 Pengajar:  Suprapto, S.Pd., MT.

13

 

 MEKANIKA  MEKANI KA REKAYASA

 MOMEN, KOPEL, TITIK TITIK BERAT  DAN MOMEN INERSIA INERSIA

 JTS FT UNESA

Ir. >ungg$n$.1!64. Buku >ungg$n$.1!64. Buku Teknik Sipil . Bandung: =$Ga, atau lampiran dalam buku ini. Contoh 2:

#iketahui penampang seperti di baah ini, hitung besaran-besaran inersianya

ambar 3.15. "etak titik berat terhadap sumbu ( &m$men statis terhadap dasar penampang'. *)

3+.+.35 + 3.3.1! + 4.4.+ 3+.+ + 3.3 + 4.4

 Pengajar:  Suprapto, S.Pd., MT.

= 13,7 2m

14