Tir Multiple -Controversias- Casos Practicos

ANÁLISIS DE LA TASA DE INTERNA DE RETORNO MÚLTIPLE CONCEPTO BÁSICO: -

TIR:

Tasa de interés o rentabilidad que ofrece una inversión. Es decir, es el porcentaje de  beneficio o pérdida que qu e tendrá una inversión inversió n para las cantidades que q ue no se han retirado del proyecto. En palabras simples, es nada más ni nada menos, que la tasa de rentabilidad promedio anual que el proyecto paga a los inversionistas por invertir sus fondos allí.

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TIR MÚLTIPLE:

La TIR Múltiple es la tasa interna de retorno con reinversión. Cuando exista más de un cambio de signo en los flujos de fondos puede que exista más de una TIR. A medida que el tipo de descuento aumenta, el VAN aumenta en un principio y después disminuye. La razón de esto es el cambio de signo de la corriente de flujos. Un proyecto puede tener tantas TIR como cambios de signo se produzcan en los flujos de fondos.

USO DE LA TIR MÚLTIPLE: El problema que surge cuando existe un caso de TIR Múltiple se soluciona introduciendo el concepto de TIR Modificada (TIRM). Este concepto se introduce para intentar dar sentido financiero a un caso raro como es el de la TIR Múltiple, ya que no tiene sentido que una operación financiera tenga varias TIR.

TIR Modificada:

La Tasa Interna de Retorno Modificada (TIRM) es un método de valoración de inversiones que mide la rentabilidad de una inversión en términos relativos (en  porcentaje), cuya principal cualidad es que elimina el problema de la inconsistencia que  puede surgir al aplicar la TIR. Tasa Interna de Retorno Modificada (TIRM) que viene hacer los flujos de caja del  proyecto descontados con una tasa de financiamiento y capitalizados a una tasa de reinversión. La tasa de financiamiento es lo que se paga por los recursos ajenos destinados al  proyecto y se utiliza para traer a valor actual a los flujos de caja negativo, la tasa de reinversión es la tasa obtenida por los flujos de caja y se utilizan para llevar a valor futuro a los flujos de caja positivo.

Veamos un sencillo ejemplo asumiendo que la tasa de financiamiento y de reinversión es del 10%:

FÓRMULA:

Cuánto más elevada es la TIRM respecto al coste de capital más viable es el proyecto, en este caso no hay mucha diferencia.

Controversias en las escalas de inversión inicial Ezra Solomon (1920 — 2002), en un artículo publicado en 1956, analiza el problema del conflicto de ordenamiento según VAN y TIR de alternativas mutuamente excluyentes, y como resultado enuncia lo que se conoce como el supuesto implícito de reinversión. Señala que lo que ocurre con los fondos entre el momento en que se producen y el momento final de la inversión "es obviamente una información importante". "Ni el enfoque de la tasa de rentabilidad ni el de valor actual responden explícitamente esta  pregunta. Pero lo hacen implícitamente de modos diferentes. Esta es la fuente de los resultados contrapuestos que proporcionan." Considera que el elemento importante es el valor final acumulado (la "riqueza", wealth), y señala que "en general, el supuesto implícito en el enfoque de la tasa de rentabilidad es que la tasa de reinversión es al menos igual a la tasa que promete el más largo de los dos  proyectos". Los dos criterios se concilian si se explicita la misma tasa de reinversión, como ejemplifica Solomon en una tasa de rentabilidad promedio que es la primera versión de lo que después se denomina TIR modificada. "La comparación válida no es simplemente entre dos proyectos sino entre dos cursos de acción alternativos. El criterio final es la riqueza total que el inversor puede esperar de cada alternativa en la fecha final del proyecto más largo. Para una comparación adecuada, debe hacerse un supuesto explícito y común de la tasa a la cual pueden reinvertirse los fondos que produce cada proyecto, hasta la fecha final." Solomon es bastante explícito en su argumento acerca del supuesto implícito en ambas medidas, y a partir de éste se desarrollan nociones acerca de las posibles tasas "externas" de reinversión para computar la rentabilidad de un proyecto de inversión. El ejemplo que usa Solomon es simple, y plantea la situación de proyectos mutuamente excluyentes con distinta vida económica, cuyo ordenamiento según VAN es diferente al ordenamiento según TIR: Si los $ 120 del proyecto X se reinvierten a 12% anual hasta el fin del año 4, el valor final es $ 168,5 (menor que el del proyecto Y). El proyecto X tiene una rentabilidad de 20% durante el primer año, y de 12% (tasa a la que pueden reinvertirse los fondos) durante los otros tres. La tasa total es 13,9% (menor que la TIR del proyecto Y). Las tres medidas (valor actual neto, valor final y tasa de rentabilidad) dan el mismo ordenamiento: el proyecto Y es preferible al proyecto X. Específicamente, Renshaw señala: "La contribución del artículo de Solomon fue mostrar que el conflicto aparente entre estos dos procedimientos de ordenamiento se debe a los diferentes supuestos implícitos acerca de las tasas de reinversión (el enfoque de valor actual supone la reinversión de los importes intermedios a la tasa de actualización, mientras que el enfoque de la tasa de rentabilidad supone la reinversión a la tasa interna) y sugerir que el conflicto puede eliminarse haciendo un supuesto explícito acerca del rendimiento estimado de la reinversión." Baldwin plantea que, además de la tasa de rentabilidad "interna" (TIR) se puede calcular una tasa de rentabilidad equivalente (equivalent rate of return, o ERR), la cual reconoce explícitamente las tasas de reinversión y de financiamiento Puede decirse que, a fines de los años 1950, no sólo comienza el análisis del denominado supuesto implícito de reinversión: también aparece el asunto de la denominación de esa tasa que sería distinta a la TIR. Lohmann (1988) analiza los componentes dentro del flujo de fondos y muestra lo que ya había explicado Richard Bernhard (1962): la tasa de rentabilidad calculada como la TIR

no es la rentabilidad de la "inversión inicial" sino del saldo periódico no recuperado (unrecovered balance). A partir de eso distingue la rentabilidad de la inversión en sí y el uso de la misma en la decisión. "La TIR como medida de valía (measure of worth) expresa la tasa a la cual el capital que permanece invertido (o prestado) en la oportunidad j crece entre t=0 y t=H. La TIR como medida de valía no implica nada acerca de la tasa a la que crecería después el importe generado por la decisión en la oportunidad j. Sin embargo, la TIR como criterio de decisión, que comprende tanto la medida de valía como las reglas de decisión, implica que el capital que permanece invertido en la oportunidad j crecería a la TIR (vía la medida de valía) y que el importe que genera la decisión puede ser invertido para crecer a la tasa marginal de rentabilidad del decididor (vía las reglas de decisión). Esto es, la comparación de la tasa de rentabilidad r con la tasa marginal m implica que el dinero generado por la decisión de la oportunidad j puede invertirse a la tasa m mientras el capital que permanece invertido en la oportunidad j crecería a la tasa r." Lohmann destaca que, en varias situaciones de efectiva reinversión, la TIR es igual pero no lo es el efecto total (medido como valor actual o como valor final). Se atiene a las características de cada medición, e implícitamente considera que el conflicto de ordenamiento se salda a favor del valor actual. Carlson, Lawrence y Wort (1974) también consideran que la reinversión no está implícita en la medida propia de la inversión, pero sí cuando se enfoca el efecto total (en términos de Solomon, la riqueza) como criterio de decisión. Es un razonamiento similar al que  plantea De Pablo (1974, 1976). "La medida razonable de una inversión depende de los objetivos del inversor. Para Fisher el objetivo de inversión es ampliar el consumo y maximizar la utilidad. Entonces, para él la medida apropiada fue la tasa de rentabilidad actualiz ada (‘discount'), una mecánica que no requiere la reinversión de los importes intermedios." "En el análisis moderno, el objetivo de la inversión se ve como la maximización de la riqueza del inversor en algún punto futuro del tiempo. Entonces, en la perspectiva de los teóricos modernos un proyecto individual no es considerado en sí mismo, y se requiere el análisis en conjunto con las inversiones a las que el capital puede aplicarse a medida que se recupera de la inversión bajo estudio. La medida de la TIR consistente con estos objetivos es la tasa interna de rentabilidad ‘compuesta', la cual requiere la reinversión de los importes intermedios." Existe una respuesta más drástica al tema de las limitaciones de la TIR como indicador  para la decisión de inversión. Se plantea por la posibilidad matemática de varias TIR o ninguna (que es un aspecto técnico de la medida), y porque el supuesto implícito de reinversión afecta su carácter de medida "verdadera" de la rentabilidad. Entonces, se concluye, no debería usarse para ordenar alternativas de inversión. Este juicio se inicia con un análisis realizado por Jack Hirshleifer (1958), y más detalladamente por Gerald Fleischer (1966) y James Mao (1966), y se mantiene hasta el  presente en todos los casos en que se considera que la medida "verdadera" de la inversión es el valor actual neto, y que una TIR es válida sólo cuando es compatible con ése. Esto es lo que Miroslav Hajdasinski denomina NPV-compatibility, la compatibilidad con VAN de cualquier otra medida de la inversión: "Un criterio de evaluación de proyectos de inversión es completamente compatible con VAN si indica, en cada instancia de la evaluación del proyecto, el mismo estado de rentabilidad que indica VAN". Para completar el asunto se suele realizar una lista de defectos de la TIR:

1. pueden existir varias tasas al realizar el cálculo (varios puntos de VAN=0, lo que se conoce como TIR múltiples); 2. puede que no exista una tasa con valor real (lo que ubica la solución del polinomio en el dominio de los números complejos); 3. el ordenamiento de proyectos según la TIR puede no ser equivalente al ordenamiento según el VAN; 4. la TIR puede ser un criterio ambiguo, ya que no distingue entre la tasa resultante del flujo de fondos de un proyecto y de un préstamo; 5. puede que no exista compatibilidad con el VAN (es un caso especial del aspecto 4 anterior); 6. la TIR no puede usarse como criterio de decisión si el costo de capital varía a lo largo del tiempo.

CASOS PRACTICOS Caso 1.- TIR Múltiple (Dos tasas) ABC Cia. quiere invertir en un proyecto cuyo horizonte de tiempo es de dos años para lo cual en el tiempo 0 realiza un desembolso de $1,600,000 y los flujos serán de $10,000,000 en el año 1 y -10,000,000 en el año 2. La Cia desea saber cual es la Tasa Interna de Retorno para este proyecto.

 Año F lujo Caja 0 $1,600.00 1 $10,000.00 2 $10,000.00 Para ver cuales son las Tasas Internas de Retorno, formaremos dos columnas: La de Tasa de Descuento y VAN. Trabajaremos con las Tasa de Descuento desde 0.00% hasta 1,000.00%. Las filas sombreadas con amarillo son aquellas cuyas tasa nos dara un VAN cero.

Tasa Dto. 13.00% 14.00% 15.00% 16.00% 17.00% 18.00% 19.00% 20.00% 21.00% 22.00% 23.00% 24.00% 25.00%

VAN $581.91 $522.75 $465.78 $410.94 $358.13 $307.27 $258.29 $211.11  $165.67  $121.90  $79.74  $39.13  $0.00

Tasa Dto. 394.00% 395.00% 396.00% 397.00% 398.00% 399.00% 400.00% 401.00% 402.00% 403.00% 404.00% 405.00% 406.00%

VAN $14.52 $12.08 $9.65 $7.23 $4.81 $2.40 $0.00 $2.40 $4.79 $7.17 $9.55 $11.92 $14.29

26.00% 27.00% 28.00% 29.00% 30.00%

$37.69 $74.00 $108.98 $142.68 $175.15

407.00% 408.00% 409.00% 410.00% 411.00%

$16.64 $19.00 $21.34 $23.68 $26.02

$1,500.00 $1,000.00

$500.00 $0.00 0.00% $500.00

200.00%

400.00%

600.00%

800.00%

1000.00%

$1,000.00 $1,500.00 $2,000.00

Gráficamente se observa ambos porcentajes que cortan la TIR, tanto en 25% y en 400%.

TIR 1 25% TIR 2 400% Cuando la gráfica del VAN corta varias veces el eje horizontal nos encontramos en un caso de TIR múltiple. Si todos los flujos de caja, salvo el desembolso inicial, son  positivos nunca nos encontraremos con un caso de TIR múltiple. Pero si alguno o algunos de los flujos de caja, salvo el desembolso inicial, fuera negativo entonces puede darse el caso de TIR múltiple. Encontrarnos con un caso de TIR múltiple es raro. ´

Caso 2.- TIR Múltiple (Tres tasas) Para el siguiente ejemplo la compañía ABC analizará otro proyecto con diferentes flujos con respecto al proyecto anterior, con el mismo fin: Hallar la Tasa Interna de Retorno.

Año

Flujo Caja 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-365 200 200 200 200 200 -200 -200 -200 -200 -200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 400

Al igual que en el Caso 1, formaremos dos columnas: La de Tasa de Descuento y VAN. Trabajaremos con las Tasa de Descuento desde 0.00% hasta 100.00%. Las filas sombreadas con amarillo son aquellas cuya tasa es aproximada a la TIR y se utilizará en la función de Excel para obtener las tres TIR’s.

Tasa 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5%

VAN S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/ S/

35.00 21.29 9.93 0.61 -6.94 -12.97 -17.69 -21.27 -23.90 -25.70 -26.80 -27.32 -27.35 -26.98 -26.27 -25.30 -24.11 -22.77

Tasa 9.0% 9.5% 10.0% 10.5% 11.0% 11.5% 12.0% 12.5% 13.0% 13.5% 14.0% 14.5% 15.0% 15.5% 16.0% 16.5% 17.0% 17.5%

VAN S/ 21.30 S/ 19.75 S/ 18.14 S/ 16.51 S/ 14.87 S/ 13.25 S/ 11.67 S/ 10.13 S/ 8.64 S/ 7.23 S/ 5.89 S/ 4.63 S/ 3.45 S/ 2.37 S/ 1.37 S/ 0.47 S/ 0.33 S/ 1.04

Tasa 18.0% 18.5% 19.0% 19.5% 20.0% 20.5% 21.0% 21.5% 22.0% 22.5% 23.0% 23.5% 24.0% 24.5% 25.0% 25.5% 26.0% 26.5%

VAN S/ 1.65 S/ 2.17 S/ 2.60 S/ 2.94 S/ 3.18 S/ 3.34 S/ 3.42 S/ 3.41 S/ 3.32 S/ 3.15 S/ 2.90 S/ 2.59 S/ 2.20 S/ 1.74 S/ 1.22 S/ 0.64 S/ 0.00 S/ 0.70

VAN S/ 50.00

S/ 0.00 0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

S/ -50.00

S/ -100.00

S/ -150.00

S/ -200.00

La grafica nos muestra los tres puntos en los que se cortan las tres TIR (1.54%,16.79% y 26%) del eje horizontal.

TIR 1 TIR 2 TIR 3

1.537% 16.788% 26.000%

Sin embargo, estos indicadores no son útiles ni confiables para realizar un análisis financiero ya que entenderíamos que existen tres rentabilidades para un proyecto. En  busca de una solución es que aparece la TIR Modificada.

Caso 3.- TIR Modificada Para encontrar la TIR Modificada realizamos el mismo procedimiento para hallar la TIR Múltiple. Siendo las filas amarillas aquellos valores aproximados a la tasa interna de retorno (3).

Año Flujo Caja 0 1 2 3 4

-15,000 €   10,229 €   9,609 €   15,004 €   3,774 €  

Tasa 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0%

VAN 1,489.00 €   967.74 €   544.55 €   206.06 €   -59.46 €  

Tasa

VAN

30.5% 31.0% 31.5% 32.0% 32.5%

964.60 € 924.40 € 882.71 € 839.60 € 795.15 €

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-9,709 €   -18,097 €   4,217 €   18,298 €   -12,041 €   -10 €  -7,500 €   -11,855 €   -12,070 €   -6,349 €   13,570 €   377 €  -10,068 €   16,642 €   1,609 €   10,859 €  

2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0%

-262.31 €   -411.53 €   -515.02 €   -579.73 €   -611.72 €   -616.30 €   -598.10 €   -561.15 €   -508.97 €   -444.61 €   -370.72 €   -289.60 €   -203.22 €   -113.28 €   -21.24 €   71.65 €  

33.0% 33.5% 34.0% 34.5% 35.0% 35.5% 36.0% 36.5% 37.0% 37.5% 38.0% 38.5% 39.0% 39.5% 40.0% 40.5%

749.45 € 702.57 € 654.57 € 605.54 € 555.53 € 504.60 € 452.83 € 400.27 € 346.96 € 292.97 € 238.35 € 183.15 € 127.40 € 71.17 € 14.48 € -42.62 €

VAN

4,000 2,000 0 0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

120.0%

140.0%

160.0%

180.0%

200.0%

-2,000 -4,000 -6,000 -8,000 -10,000 -12,000

TIR 1 TIR 2 TIR 3

1.88% 9.61% 40.13%

Observamos el movimiento del VAN en función de la TIR. Y hasta aquí todo bien, ya que obtuvimos la TIR múltiple y lo graficamos.

Debido a que la TIR Múltiple no puede ser usada como herramienta de análisis, optaremos por realizar el calculo de la TIR Modificada. Procedemos a separar los flujos  positivos de los negativos y le asignaremos el costo (8%) a los gastos ya que tendrán que ser cubierto por financiamiento, asimismo, a los ingresos se le asignará un  porcentaje por el cual esos flujos recibidos podrían ser reinvertidos en cualquier otro  proyecto.

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Q+ 0€ 10,229 € 9,609 € 15,004 € 3,774 € 0€ 0€ 4,217 € 18,298 € 0€ 0€ 0€ 0€ 0€ 0€ 13,570 € 377 € 0€ 16,642 € 1,609 € 10,859 €

Q-15,000 € 0€ 0€ 0€ 0€ -9,709 € -18,097 € 0€ 0€ -12,041 € -10 € -7,500 € -11,855 € -12,070 € -6,349 € 0€ 0€ -10,068 € 0€ 0€ 0€

Una asignada dichas tasas, traemos a valor  presente (año 0) los gastos - 56,285.27 euros - y llevamos a valor final (año 20) los ingresos –  336,321.08 euros -. Finalmente la formula para calcular la TIR Modificada con los valores obtenidos sería: = (336,321/56,285)^(1/20)-1 = 9.35%

Tasa Descuento Gastos Tasa Capitalización Ingresos

10%

TIR Modificada (Excel)

9.3498%

Valor Actual Gastos

56,285.27 €

Valor Final Ingresos

336,321.08 €

TIR Modificada (Manual)

9.3498%

8%

Caso 4.- Intersección de Fisher. La intersección de Fisher se da cuando al analizar dos proyectos, sus Valores Actuales  Netos coinciden en alguna tasa para ambos. Dicha tasa es la TIR de las Diferencias entre los flujos de cada proyecto. Para el siguiente ejemplo nos arrojó 7.17%.

Intersección de Fisher Year 0 1 2 3 4 IRR

Project A Project B Difference -1000 500 400 300 100

-1000 100 300 400 600

14.49%

11.79%

0 -400 -100 100 500 7.17%

A continuación los Valores Actuales Netos de cad a periodo con diferentes “k” como tasas de descuento, para analizar el comportamiento del VAN en cada proyecto con tasa mayores y menores al 7.17%.

k 0.00% 1.00% 2.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00% 7.00% 7.50% 8.00% 9.00% 10.00% 11.00% 12.00% 13.00% 14.00% 15.00% 16.00%

NPV(A) 300.00 € 274.44 € 249.74 € 225.87 € 202.77 € 180.42 € 158.79 € 137.84 € 127.62 € 117.55 € 97.89 € 78.82 € 60.33 € 42.39 € 24.98 € 8.08 € -8.33 € -24.27 €

NPV(B) 400.00 € 357.92 € 317.63 € 279.02 € 242.00 € 206.50 € 172.44 € 139.75 € 123.89 € 108.35 € 78.18 € 49.18 € 21.29 € -5.53 € -31.35 € -56.20 € -80.14 € -103.21 €

El VAN de dos proyectos se cruza 600.00 € Fisher  Intersection

400.00 € 200.00 € 0.00 €

-200.00 €

0%

10%

20%

30%

40%

50%

-400.00 € -600.00 € -800.00 € Tasa de descuento

Como podemos observar en la grafica. La intersección de Fisher será de mucha utilizar  para saber que proyecto nos conviene dependiendo de nuestro Costo de Oportunidad. Ya que si nuestro Cok es mayor al 7.17% nos convendrá optar por el proyecto “A”, sin embargo, si el Cok es menor a dicha tasa el VAN será mayor en el proyecto “B”.

NPV(A) NPV(B)