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Capítulo 32. Circuitos de corriente alterna El capacitor 32-1. Un circuito de cd en serie consiste en un capacitor de 4 μF, un resistor de 5000 Ω y una

 batería de 12 V. ¿Cuál es la constante de tiempo para este circuito? τ  = RC = (5000 Ω )(4

× 10−6 F) ; τ = 20 ms

32-2. ¿Cuál es la constante de tiempo para un circuito de cd en serie que contiene un capacitor de

6 μF y un resistor de 400 Ω conectados a una batería de 20 V? τ  = RC = (40 (400 Ω )(6

× 10−6 F) ; τ = 2.40 ms

32-3. En el circuito que se describe en el problema 32-1, ¿cuáles son la corriente inicial y la

corriente final? ¿Cuánto tiempo se necesita para asegurarse de que el capacitor esté totalmente cargado?  La corriente inicial I 0 (antes de que la carga se acumule en el capacitor) se determina por la ley de Ohm:  I 0

=

V   R

=

12 V 5000 Ω

;  I 0 = 2.40 mA

Se supone que un capacitor está cargado completamente después de cinco constantes de tiempo: t = 5τ = 5(20 ms); t  =  = 100 ms  La corriente es cero cuando el capacitor está totalmente cargado:  I  f  = 0 A

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32-4. En el circuito del problema 32-2, ¿cuál es la carga máxima para el capacitor y cuánto

tiempo se requiere para cargarlo por completo? Qmáx = CV  B = (6 × 10 10− F)( F)(20 V); V); Qmáx = 120 μF 6

B

t = 5RC = 5(2.40 ms); t = 12.0 ms

*32-5. Un capacitor de 8 μF está conectado en serie con un resistor de 600 Ω y una batería de

24 V. Después de un lapso igual a una constante de tiempo, ¿cuáles son la carga en el capacitor y la corriente en el circuito? Q = CV B (1 − e−

⎛ − ⎝

) = CVB ⎜ 1

t RC 

1⎞

⎟ = CVB (0.6  32) ;

e⎠

Q = (8 μ F )(24 V)(0.632) ; Q = 121 μC  I

=

V  B  R

e −t

RC 

=

⎛ 1 ⎞; ⎜ ⎟ 600 Ω ⎝ e ⎠ 24 V

 I = 14.7 mA

*32-6. Suponga que el capacitor totalmente cargado del problema 32-5 está ahora en proceso de

descarga. Después de una constante de tiempo, ¿cuáles son la corriente en el circuito y la carga en el capacitor?  I

=

−V  B  R

e −t RC  =

−24 V ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟; 600 Ω ⎝ e ⎠  I = −14.7 mA y mA y disminuyendo

⎛1⎞; ⎟ ⎝e⎠

Q = CV B e−t RC  = (8 μ F)(24 V) ⎜

Q = 70.6 μC

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*32-7. Suponga que el capacitor de 8 μF descrito en el problema 32-5 estaba totalmente cargado

y después se deja que se descargue. Calcule el tiempo que tardará la corriente del circuito en disminuir hasta 20% de su valor inicial. [ Procedimiento: sea x = t/RC, resuelva para hallar x, y entonces encuentre t.]  I

=

−V B  R

e −t RC

I 

= I má x e − x ;

I máx

= e− x ;

e− x

= 0.20;

e+ x

=

1 0.2

 Aplique ln en ambos miembros x = ln (5.0) = 1.61. Ahora,

= 5.0 ; =

t   RC 

= 1.61;

t

= 1.61RC

t  = 1.61(600 Ω)(8 × 10−  F); 6

t = 7.73 ms

*32-8. Un capacitor de 5 μF está conectado en serie con una fem de 12 V y un resistor de

4000 Ω. ¿Cuánto tiempo se requiere para acumular una carga de 40 μC en el capacitor? [Sea x = t/RC] Q = CV B (1 − e−t RC ); e − x

= 1 − 0.667;

e− x

40 μ C = (5 μ F)(12 V)(1 e+ x

=

= 1.10;

t

= 0.333;

 x = ln(3) = 1.10;  x =

t   RC 

1 0.333

−

e− x ); 0.667 = (1

−

e− x )

= 3.0 ;

= 1.10RC ;

t = 1.10(4000 Ω)(5 × 10− F); 6

t  = 22.2 ms

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El inductor 32-9. Un circuito de cd en serie contiene un inductor de 4 mH y un resistor de 80 Ω en serie con

una batería de 12 V. ¿Cuál es la constante de tiempo para este circuito? ¿Cuáles son la corriente inicial y la corriente final? τ  =

 L  R

=

0.004 H 80 Ω

; τ  = 50.0 μs

Cuando t  = 0, i =

V B  R

(1− e − ( R / L )t ) =

V B R

(1 − 1) = 0 ; i0 = 0

Cuando t = ∞, i =

V B  R

(1 − e − ( R / L ) t ) =

V B R

(1 − 0 ) ; i =

12 V 80 Ω

;

i f  = 150 mA

32-10. Un inductor de 5 mH, un resistor de 160 Ω y una batería de 50 V están conectados en

serie. ¿Cuánto tiempo se requiere para que la corriente del inductor alcance 63% de su valor en estado estacionario? ¿Cuál es la corriente en ese instante? (La corriente alcanza un 63% en una constante de tiempo.) τ  =

 L  R

=

0.005 H 160 Ω

; τ  = 31.2 μs

32-11. ¿Cuál es el valor de la corriente en el problema 32-9 después de transcurrida una

constante de tiempo? i=

V  B  R

(1 − e − ( R / L )t ) =

12 V ⎛

1⎞ 1− ⎟; ⎜ 80 Ω ⎝ e⎠

i = (0.15 A)(0.632) ; i = 94.8 mA

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32-12. Suponga que el inductor del problema 32-10 ha alcanzado su valor de estado estacionario.

Si entonces se interrumpe el circuito, ¿cuánto tiempo tendrá que pasar para que se pueda afirmar con seguridad que la corriente en el inductor es cero? ( Después de cinco constantes de tiempo: t = 5τ ) t = 5τ = 5(31.2 ms); t  = 156 μs

32-13. En un solenoide de 25 mH, la corriente aumenta de 0 a 2 A en un lapso de 0.1 s. ¿Cuál es

la magnitud de la fem autoinducida?

E = − L

Δi (2 A - 0) ; = −(0.025 H) 0.1 s Δt  E  =

−500 mV

32-14. Un circuito de cd en serie contiene un inductor de 0.05 H y un resistor de 40 Ω en serie

con una fem de 90 V. ¿Cuáles son la corriente máxima en el circuito y la constante de tiempo? imáx

=

V  B  R

=

90 V 40 Ω

; imáx = 2.25 A

τ  =

 L  R

=

0.05 H 40 Ω

; τ = 1.25 ms

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*32-15. ¿Cuál es la corriente instantánea en el inductor del problema 32-14 después de un tiempo

de disminución de 1.0 ms? (Suponga que la corriente disminuye de su valor máximo de 2.25 A.)

⎛ 40 Ω ⎞ (0.001 s); ⎟ ⎝ 0.05 H ⎠

Sea x = (R/L)t:  x = ⎜ i=

V B  R

e − ( R / L ) t

=

V B R

e− x ; i =

90 V 40 Ω

x = 0.80;

e− x

=

1  x

e

=

1 e0.8

= 0.449

(0.449); i = 1.01 A

Usted debe demostrar que la corriente después de un tiempo de elevación de 1 m/s es 1.24 A.

**32-16. Un inductor de 6 mH, un resistor de 50 Ω y una batería de 38 V están conectados en

serie. ¿Cuánto tiempo después de la conexión alcanzará la corriente un valor instantáneo de 600 mA? Procedimiento: sea x = (R/L)t, entonces resuelva para hallar  x y sustituya para encontrar el tiempo t: i=

V B

e + x

=

 R

(1 − e − x ); 1 0.211

 x = 1.56 =

iR V B

= 1 − e− x ;

e− x

=1−

iR

=1−

V B

(0.6 A)(50 Ω) 38 V

 x

−

; e  = 0.211

= 4.75 . Aplique ln en ambos miembros: x = ln (4.75) = 1.56

 Rt  L

;

t =

1.56 L R

=

1.56(0.006 H) 50 Ω

;

 x = 187 μs

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Corrientes alternas 32-17. Cuando se conecta un voltímetro de ca a través de un resistor de 12 Ω, la lectura que se

obtiene es de 117 V. ¿Cuáles son los valores máximos de voltaje y de corriente? Vmáx

= 2V efe = 1.414(117 V) ; V máx = 165 V

 I máx

=

2 I efe

117 V ⎞ = 1.414 ⎛⎜ ⎟; ⎝ 12 Ω ⎠  I máx = 13.8 A

32-18. En un circuito de ca, el voltaje y la corriente alcanzan los valores máximos de 120 V y

6.00 A. ¿Cuáles son los valores efectivos de ca?  I efe

=

 I máx 2

=

6A 1.414

;  I efe = 4.24 A

V efe

=

V máx 2

=

120 V 1.414 V efe = 84.9 V

32-19. Un capacitor tiene un régimen máximo de voltaje de 500 V. ¿Cuál es el mayor voltaje

efectivo de ca que se le puede aplicar sin producir la ruptura? V efe

=

V máx 2

=

500 V 1.414

; V efe = 354 V

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32-20. Cierto aparato doméstico funciona con un voltaje eficaz de 220 V, con una corriente

efectiva de 20 A. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo? Vmáx

= 2V efe = 1.414(220 V) ; V máx = ± 311 V

 I máx

= 2 I efe = 1.414(20 A) ;  I máx = ± 28.3 A

Reactancia 32-21. Un capacitor de 6 μF está conectado a una línea de ca de 40 V a 60 Hz. ¿Cuál es la

reactancia? ¿Cuál es la corriente ca efectiva en el circuito que contiene una capacitancia  pura?  X C  =

1 2π  fC 

=

1 2π (60 Hz)(6

×

10−6 F)

;  X C   = 442 Ω

 I efe

=

V efe  X C 

=

40 V 442 Ω

;  I efe = 90.5 mA

32-22. Un inductor de 2 H cuya resistencia es insignificante está conectado a una línea de 50 V

de ca de 50 Hz. ¿Cuál es la reactancia? ¿Cuál es la corriente ca efectiva en la bobina?  X L

= 2π fL = 2π (50 Hz)(2 H) = 628 Ω ;  X  L = 628 Ω

 I efe

=

V efe  X  L

=

50 V 628 Ω

;  I efe = 79.6 mA

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32-23. Un inductor de 50 mH y resistencia insignificante está conectado a una línea de 120 V de

ca de 60 Hz. ¿Cuál es la reactancia inductiva? ¿Cuál es la corriente de ca efectiva en el circuito?  X L

= 2π fL = 2π (60 Hz)(0.050 H) = 18.85 Ω ;  X  L = 18.9 Ω

 I efe

=

V efe  X  L

=

120 V 18.85 Ω

;  I efe = 6.37 A

32-24. Un capacitor de 6 μF está conectado a una fuente de ca de 24 V y 50 Hz. ¿Cuál es la

corriente en el circuito?  X C  =

1 2π  fC 

=

1 2π (50 Hz)(6

×

10−6 F)

;  X C = 531 Ω  

 I efe

=

V efe  X C 

=

24 V 531 Ω

;  I efe = 45.2 mA

32-25. Un capacitor de 3 μF conectado a una línea de 120 V de ca consume una corriente

efectiva de 0.5 A. ¿Cuál es la frecuencia de la fuente?  X C

=

 X C  =

V efe  I efe

=

1 2π  fC

120 V 0.5 A ; f  =

; X C  = 240 1 2π CX C 

=

Ω; 1

2π (3

×

10−6 F)(240 Ω )

;

 f = 221 Hz

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32-26. Calcule la reactancia de un capacitor de 60 μF en un circuito de ca y 600 Hz. ¿Cuál es la

reactancia si la frecuencia se reduce a 200 Hz?  X C  =

1 2π  fC 

=

1 2π (600 Hz)(60

×

10−6 F)

;

 X C = 4.42 Ω    X C  =

1 2π  fC 

=

1 2π (200 Hz)(60

×

10−6 F)

;

 X C = 13.3 Ω  

32-27. La frecuencia de una corriente alterna es de 200 Hz y la reactancia inductiva de un solo

inductor es de 100 Ω. ¿Cuál es la inductancia?  X L

= 2π  fL;

L=

 X  L 2π  f 

=

100 Ω 2π (200 Hz)

;  L = 79.6 mH

32-28. Se dispone de un resistor de 20 Ω, un capacitor de 2 μF y un inductor de 0.70 H. Cada

uno de ellos se conecta a una fuente de ca de 120 V y 60 Hz como el único elemento del circuito. ¿Cuál es la corriente ca efectiva en cada caso? Sólo la resistencia: i =

V   R

=

120 V 20 Ω i = 6.00 A

Sólo el capacitor:  X C  =

1 2π (60 Hz)(2

×

10−6 F)

= 1326 Ω;

i=

120 V 1326 Ω

;

i = 90.5 mA Sólo el inductor:  X L

= 2π fL = 2π (60 Hz)(0.7 H) = 264 Ω;

i=

120 V 264 Ω

;

i = 455 mA

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Circuitos ca en serie *32-29. Un resistor de 300 Ω, un capacitor de 3 μF y un inductor de 4 H están conectados en

serie con una fuente de ca de 90 V y 50 Hz. ¿Cuál es la reactancia neta del circuito? ¿Cuál es la impedancia?  X C  =

1 2π (50 Hz)(3

×

10−6 F)

= 1061 Ω;

X L

= 2π (50 Hz)(4 H) = 1257 Ω

 Reactancia neta:  X  L – X C = 196 Ω  Z

= R 2 + ( X L − X C ) 2 = (300 Ω)2 + (1257 Ω − 1061 Ω )2 ;  Z = 358 Ω

*32-30. ¿Cuál es la corriente ca efectiva que se suministra al circuito de ca en serie descrito en el

 problema 32-29? ¿Cuál es el valor máximo de esta corriente? i=

V   Z 

=

90 V 358 Ω

;

i = 251 mA imáx

= 2(251 mA) ; i = 355 mA

*32-31. Un circuito de ca en serie está formado por un resistor de 100

Ω, un inductor de 0.2 H y

un capacitor de 3 μF que están conectados a una fuente de ca de 110 V y 60 Hz. ¿Cuáles son los valores de la reactancia inductiva, la reactancia capacitiva y la impedancia de este circuito?  X C  =  X L  Z

494

1 2π (60 Hz)(3

×

10−6 F)

 = 884 Ω

= 2π (60 Hz)(0.2 H) =   75.4 Ω

= R 2 + ( X L − X C ) 2 = (100 Ω)2 + (75.4 Ω − 884 Ω )2 ;  Z = 815 Ω

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*32-32. ¿Cuáles son el ángulo de fase y el factor de potencia del circuito descrito en el problema

32-31? tan φ  =

 X L

− X C   R

=

75.4 Ω − 884 Ω 100 Ω

; φ  = –83.0°

 Factor de potencia = cos φ = cos (−83.0°); Factor de potencia = 0.123 o 12.3%

*32-33. Suponga que todos los elementos del problema 32-28 están conectados en serie con la

fuente allí descrita. ¿Cuál será la corriente efec tiva suministrada al circuito? Según el problema 32-28: R = 20 Ω, X C = 1326 y  X  L = 264 Ω, V  = 120 V,  f = 60 Hz    Z

= R 2 + ( X L − X C ) 2 = (20 Ω )2 + (264 Ω − 1326 Ω )2 ;  Z = 1062 Ω

i=

V   Z 

=

120 V 1062 Ω

; i = 113 mA

*32-34. Un circuito de ca en serie contiene un inductor de 12 mH, un capacitor de 8 μF y un

resistor de 40 Ω conectados a una línea de ca de 110 V y 200 Hz. ¿Cuál es la corriente ca efectiva en el circuito?  X C  =  X L  Z

1 2π (200 Hz)(8

×

10−6 F)

;  X c = 99.5 Ω

= 2π (200 Hz)(0.012 H) ;  X  L = 15.1 Ω

= R 2 + ( X L − X C ) 2 = (40 Ω )2 + (15.1 Ω − 99.5 Ω )2 ;  Z = 93.4 Ω

tan φ  =

 X L

− X C   R

=

15.1 Ω − 99.5 Ω 40 Ω

;

φ  = −64.6º

 Factor de potencia = cos φ = cos (−64.6°);  Factor de potencia = 0.428 o 42.8 %

495

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*32-35. Cuando un resistor de 6 Ω y un inductor puro están conectados a una línea de ca de

100 V y 60 Hz, la corriente efectiva en el circuito es de 10 A. ¿Cuál es la inductancia? ¿Cuál es la pérdida de potencia a través del resistor y cuánta potencia se pierde a través del inductor?  Z

=

110 V 10 A

= 11.0 Ω;

 X  L = 9.22 Ω;  L =

X L

 X  L 2π  f 

=

=

Z 2 − R2

(9.22 Ω) 2π (60 Hz)

=

(11.0)2

− (6 Ω)2

;

;

 L = 24.5 mH  P = I  R = (10 A) (6.00 Ω); 2

2

 P = 600 W  No hay pérdida de potencia en el inductor: 0

*32-36. Un capacitor está conectado en serie con una resistencia de 35 Ω y con una línea de ca

de 220 V. La reactancia del capacitor es de 45 Ω. ¿Cuál es la corriente ca efectiva? ¿Cuál es el ángulo de fase? ¿Cuál es el factor de potencia?  Z

= R 2 + (0 − X C )2 = (35 Ω)2 + (45 Ω)2 = 57.0 Ω ;

i =

220 V 57.0 Ω

= 3.86 A ; i = 3.86 A

tan φ  =

 X L

− X C   R

=

−45 Ω ; 35 Ω φ  = −52.1°

 Factor de potencia = cos 52.1° = 61.4%

496

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*32-37. Una bobina cuya inductancia es 0.15 H y un resistor de 12 Ω están conectados a una

línea de 110 V y 25 Hz. ¿Cuál es la corriente efectiva en el circuito? ¿Cuál es el factor de potencia? ¿Cuánta potencia se pierde en el circuito?  (X C  = 0)  X L  Z

= 2π fL = 2π (25 Hz)(0.15 H) = 23.56 Ω ; Z = R 2 + X  L2 ;

=

(12)2

+ (23.56)2 = 26.44 Ω;

i=

110 V 26.44 Ω

;

i = 4.16 A tan φ  =

 X L

− X C   R

=

23.56 Ω 12.0 Ω

; φ  = 63°; Factor de potencia = cos 63° = 45.4%

Se pierde potencia sólo en la resistencia: P = I  R = (4.16 A) (12 Ω) = 2

2

208 W

*32-38. ¿Cuál es la frecuencia resonante del circuito que se describe en el problema 32-29?

 f r  =

1 2π   LC 

=

1 -6

;

2π  (4 H)(3 x 10 F)  f r   = 45.9 Hz

*32-39. ¿Cuál es la frecuencia resonante del circuito descrito en el problema 32-34?

 f r  =

1 2π   LC 

=

1 2π  (0.012 H)(8

×

10−6 F)

;

 f r = 514 Hz  

497

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Problemas suplementarios 32-40. Para el circuito de la figura 32-13, calcule la corriente que sale de la batería después de

una constante de tiempo: a) Cuando el interruptor se cierra en S1. b) Cuando el interruptor se cierra en S2. (a) i =

V  B  R

e −t

RC 

=

12 V ⎛ 1 ⎞

⎜ ⎟;

50 Ω ⎝ e ⎠

i = 88.3 mA (b) i =

V  B  R

(1 − e − ( R / L )t ) =

12 V ⎛

1⎞ 1− ⎟; ⎜ 50 Ω ⎝ e⎠

i = 0.152 A

32-41. Si el circuito del problema 32-40 llegara a un estado estacionario y luego sufriera una

ruptura, ¿cuál sería la corriente instantánea al cabo de una constante de tiempo? (Decaimiento de un inductor.) i=

V  B  R

e − ( R / L )t  =

12 V ⎛ 1 ⎞

⎜ ⎟;

50 Ω ⎝ e ⎠

i = 88.3 mA

32-42. Un circuito resonante tiene una inductancia de 400 μH y una capacitancia de 100 pF.

¿Cuál es la frecuencia de resonancia?  f r  =

1 2π   LC 

1

= 2π  (4

×

−4

10 H)(1

×

−10

10

; F)

 f r = 796 kHz  

498

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32-43. Un circuito LR de cd tiene una constante de tiempo de 2 ms. ¿Cuál es la inductancia si el

valor de la resistencia es de 2 k Ω? ¿Cuál será la corriente instantánea 2 ms después de conectar el circuito a una batería de 12 V? τ

=

 L  R

;  L = τ R = (0.002 s)(2000 Ω) ;  L = 4.00 H

i=

V  B  R

(1 − e − ( R / L )t ) =

12 V

1 (1 − ) ; 2000 Ω e i = 3.79 mA

32-44. Un circuito de cd en serie está formado por una batería de 12 V, un resistor de 20 Ω y un

capacitor cuyo valor es desconocido. La constante de tiempo es 40 ms. ¿Cuál es la capacitancia? ¿Cuál es la carga máxima en el capacitor? τ  =  RC; C  =

τ   R

=

0.040 s 20 Ω

; C = 2.00 mF

Q = CV = (2 mF)(12 V) = 24 mC *32-45. Un inductor de 2 H cuya resistencia es de 120 Ω está conectado a una batería de 30 V.

¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que la corriente alcance 63% de su valor máximo? ¿Cuál es la rapidez inicial del incremento de la corriente en amperes por segundo? ¿Cuál es la corriente final?  La corriente alcanza 63% de su valor máximo en un tiempo igual a una constante de tiempo: τ  =

 L  R

=

2H 120 Ω

 Para la espira:

; τ = 16.7 ms

ΣE  = Σ IR

o

L V B

−L

R

Δi = iR Δt 

 Al despejar Δi/ Δt con i = 0 inicial , se tiene:

V B

0 Δi

− iR = L

;

Δt 

Δi V  B = ; Δt L

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Δi V  B 30 V ; = = Δt L 2 H

Δi = 15 A/s Δt 

 La corriente final es la máxima: im á x

=

V  B  R

=

30 V 120 Ω

imáx = 250 mA

*32-46. Considere el circuito mostrado en la figura 32-13. ¿Cuál es la impedancia? ¿Cuál es la

corriente efectiva? ¿Cuál es la pérdida de potencia en el circuito? L

R

C

 L = 4 mH; C  = 10 μF;  R = 20 Ω;  X  L = 2π   fL = 2π (600 Hz)(0.004 H) = 15.1 Ω  Fuente: 50 V, 600 Hz  X C  =

1 2π (600 Hz)(10

×

−6

10 F)

Z = 23.0 Ω

 Impedancia:

i=

 Z  = (20

= 26.5 Ω ; V   Z 

=

50 V 23 Ω

Ω)2 + (15.1 Ω − 26.5 Ω )2

;

 ;

Corriente efectiva: i = 2.17 A Toda la potencia se pierde en la resistencia: P = i R = (2.17 A) (20 Ω); 2

2

 P = 94.2 W

*32-47. El circuito de un sintonizador contiene un inductor de 4 mH y un capacitor variable.

¿Cuál deberá ser la capacitancia para que el circuito resuene a una frecuencia de 800 Hz?  f r

=

C  =

1 2π   LC 

f r 2

;

=

1 4π 2 LC

1 2

4π  (0.004 H)(800 Hz)2

;

C  =

1 4π 2 Lf r 2

;

; C  = 9.89 μF

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*32-48. Un capacitor de 8 μF está conectado en serie con un resistor de 40 Ω y con una fuente de

ca de 117 V y 60 Hz. ¿Cuál es la impedancia? ¿Cuál es el factor de potencia? ¿Cuánta  potencia se pierde en el circuito? ( Nota: X  L = 0, de modo que toda la reactancia se debe al capacitor.) 1

 X C  =

2π (60 Hz)(8

 Z  = (40

×

−6

10 F)

R

= 332 Ω ;

Ω)2 + (0 − 332)2 ;  Z = 334 Ω

i=

V   Z 

=

tan φ  =

C

117 V 334 Ω

; i = 350 mA

− X C 

 X L

 Fuente: 117 V, 60 Hz

 R

=

−332 Ω ; φ  = −83.1°; factor de potencia = cos 83.1° = 40 Ω 12.0%

 La potencia se pierde sólo en la resistencia: P = I  R = (0.350 A) (40 Ω) = 2

2

4.90 W

*32-49. Una persona desea construir un circuito que tenga una frecuencia resonante de 950 kHz.

Si una bobina de ese circuito tiene una inductancia de 3 mH, ¿qué capacitancia habrá que añadir al circuito?  f r

=

C  =

1 2π   LC 

;

f r 2

=

1 4π 2 LC

;

1 2

4π  (0.003 H)(950 000 Hz)2

C  =

1 4π 2 Lf r 2

;

; C  = 9.36 pF

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*32-50. Un capacitor de 50 μF y un resistor de 70 Ω están conectados en serie con una línea ca

de 120 V y 60 Hz. Calcule la corriente en el circuito, el ángulo de fase y la pérdida de  potencia total.  X C  =

1 2π (60 Hz)(50

 Z  = (70 i=

V   Z 

=

×

10−6 F)

Ω)2 + (0 − 53.05)2

120 V 87.8 Ω

= 53.05 Ω ;

R

C

; Z = 87.8 Ω  Fuente: 120 V, 60 Hz

; i = 1.37 A

tan φ  =

 X L

− X C   R

=

−53.05 Ω ;φ 70 Ω

= −37.2°; factor de potencia = cos 37.2° = 79.8%

Se pierde potencia sólo en la resistencia: P = I  R = (1.37 A) (70 Ω) = 2

2

131 W

*32-51. Tome como referencia el problema 32-50. ¿Cuál es el voltaje a través del resistor? ¿Cuál

es el voltaje a través del capacitor? ¿Qué inductancia será necesario agregar al circuito  para que entre en resonancia? V = iR = (1.37 A)(70 Ω) = 95.6 V V C = iX C = (1.37 A)(53.05 Ω) =     72.5 V  f r

=

L=

1 2π   LC 

;

f r 2

=

1 2

4π  LC

1 4π 2 (50

×

10−6 F)(60 Hz)2

;

L=

1 2

4π  Cf r 2

;  L = 141 mH

502

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Problemas para la reflexión crítica *32-52. Un inductor de 8 H tiene una resistencia de 200 Ω. Si este inductor se conecta

repentinamente a través de una diferencia de potencial de 50 V, ¿cuál será la rapidez inicial del incremento de la corriente en A/s? [Véase la ecuación (32-15).] ¿Cuál es la corriente estacionaria final? ¿Con qué rapidez aumenta la corriente al cabo de una constante de tiempo? ¿Cuánto tiempo después de conectar la fuente de fem llega la corriente a la mitad de su valor final? ( Al inicio la corriente es cero.) τ  =

 L  R

=

8H 200 Ω

L

; τ = 40.0 ms

 Para la espira:

ΣE  = Σ IR

o V B

−L

R

Δi = iR Δt 

 Al despejar Δi/ Δt con i = 0 inicial, se tiene: V B

0 Δi

− iR = L

; Δt 

Δi V  B = ; Δt L

Δi V  B 50 V ; = = Δt L 8 H Δi = 6.25 A/s Δt   La corriente final es máxima: imáx

=

V  B  R

=

50 V 200 Ω

;

imáx = 250 mA  Para encontrar el índice de incremento después de un tiempo constante es necesario  saber i en t = τ :

⎛  ⎝

i = imá x (1 − e − t / τ  ) = (250 mA) ⎜ 1 − V B

−L

Δi = iR; Δt

L

Δi = V − iR; Δt B

Δi V B − iR 50 V − = = Δt  L

1 ⎞

⎟;

e⎠

i = 158 mA

Δi V  B − iR ; = L Δt

(0.158 A)(200 Ω ) 8H

;

Δi = 2.30 A/s Δt  Sea x =

503

 Rt  L

, luego :

i imá x

= (1 − e− x ) = 0.50;

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e− x

= 0.5;

e+ x

= 2.0 ;

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 x = 0.693 =

 Rt  ;  L

t =

0.693(8 H) 200 Ω

; t = 27.7 ms

*32-53. En el capítulo 29 se vio que la densidad del flujo magnético dentro de un solenoide se

calcula mediante: (1)  B =

Φ  A

=

μ 0 NI  l 

Aquí se ha usado l  para indicar la longitud del solenoide con el fin de evitar confusiones con el símbolo L, que se emplea para la inductancia. También sabe que la fem inducida se puede calcular en dos formas: (2) E = − N

ΔΦ Δt

(3) E = − L

y

Δi Δt 

Demuestre las siguientes relaciones para un solenoide de longitud l  que tiene N  espiras de área A: (3)  L =

 N Φ

y

 I

L=

μ N 2 A l 

 Al combinar las ecuaciones (2) y (3) anteriores, se obtiene: N Δφ  = L Δ i  Ahora, con la máxima corriente I: Nφ  = LI  o bien:  L =  De acuerdo con (1): φ  =  L =

 Nφ   I

=

μ 0 NIA l 

 N φ   I 

, lo que resulta en

N  ⎛ μ 0 NIA ⎞ I

⎜ ⎝

l 

⎟ ⎠

Y por último:  L =

μ 0 N 2 A l 

 Nota: L no depende de la corriente o el voltaje.

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*32-54. Un inductor consiste en una bobina de 30 cm de largo con 300 espiras cuya área es 2

0.004 m . Calcule la inductancia (véase el problema 32-53). Se conecta una batería y la corriente aumenta de 0 a 2.00 A en 0.001 s. ¿Cuál es la fem inducida promedio en la  bobina?  L =

2 μ 0 N A

l 

(4π 

=

10−7 T ⋅ m/A)(300)2 (0.004 m2 )

×

0.300 m

;

 L = 1.51 mH

E = − L

Δi = −(1.51 × Δt 

⎛ 2 A − 0⎞; ⎟ ⎝ 0.001 s ⎠

10−3 H) ⎜

E  =

−3.02 V

*32-55. Un inductor, un resistor y un capacitor están conectados en serie con una línea de ca de

60 Hz. Con un voltímetro conectado a cada uno de los elementos del circuito se obtienen las siguientes lecturas: V  R = 60 V, V  L = 100 V y V C =   160 V. ¿Cuál es la caída de voltaje total en el circuito? ¿Cuál es el ángulo de fase? VT

= VR2 + (VL − VC ) 2 =    (60 V)2 + (100 V − 160 V)2 ; V T = 84.6 V

tan φ  =

V L − V C  V  R

=

(100 V

−

160 V)

60 V

; φ  = −45.0°

*32-56. El circuito de la antena de un receptor de radio consiste en un capacitor variable y una

 bobina de 9 mH. La resistencia del circuito es de 40 Ω. Una onda de radio de 980 kHz  produce una diferencia de potencial de 0.2 mV en el circuito. Calcule la capacitancia necesaria para alcanzar la resonancia. ¿Cuál es la corriente al alcanzar la resonancia?  f r

=

C  =

1 2π   LC 

;

f r 2

=

1 4π 2 LC

;

1 2

4π  (0.009 H)(980 000 Hz)2

C  =

1 4π 2 Lf r 2

;

; C  = 2.93 pF

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 A la f r, X  X  L  y: Z = R = 40 Ω; i =   C =  

0.2 mV 40 Ω

;

i = 5.00 mA

*32-57. Un circuito RLC  en serie tiene los siguientes elementos: L = 0.6 H, C  = 3.5 μF y

 R = 250 Ω. El circuito es energizado por un generador que produce una fem máxima de 150 V y 60 Hz. ¿Cuál es la corriente ca efectiva? ¿Cuál es el ángulo de fase? ¿Cuál es la  pérdida de potencia promedio en este circuito? L

(Primero se calcula V ef  ) V efe

=

V má x 2

=

150 V 2

R

C

; V ef  = 106 V  Fuente: 150 V, 60 Hz

 L = 0.600 H; C  = 3.5 μF;  R = 250 Ω;  X  L = 2π   fL = 2π(60 Hz)(0.6 H) = 226 Ω  X C  =

1 2π (60 Hz)(3.5

 Impedancia: tan φ  =

 X L

10 F)

Z = 588 Ω

− X C   R

×

−6

=

= 758 Ω ; i=

226 Ω − 758 Ω 250 Ω

V   Z 

=

 Z  = (250

106 V 588 Ω

Ω)2 + (226 Ω − 758 Ω )2

;

; Corriente efectiva: i = 180 mA

; φ  = −64.8°

 La potencia se pierde por completo en la resistencia: P = i R = (0.180 A) (250 Ω); 2

2

 P = 8.10 W

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