Tippens Fisica 7e Soluciones 12

Capítulo 12. Máquinas simples Máquinas simples, eficiencia y ventaja mecánica 12-1. Una máquina con 25% de eficiencia realiza un trabajo externo de 200 J. ¿Qué trabajo de entrada requiere?

E=

Trabajo de salida Trabajo de salida 200 J ; Trabajo de entrada = = Trabajo de entrada E 0.25 Trabajo de entrada = 800 J

12-2. ¿Cuál es el trabajo de entrada de un motor de gasolina con 30% de eficiencia si en cada uno de sus ciclos realiza 400 J de trabajo útil?

E=

Trabajo de salida Trabajo de entrada 400 J ; Trabajo de entrada = = Trabajo de entrada E 0.30 Trabajo de entrada = 1333 J

12-3. Un motor de 60 W levanta una masa de 2 kg hasta una altura de 4 m en 3 s. Calcule la potencia de salida.

P=

Trabajo Fs = ; t t

P=

(2 kg)(9.8 m/s 2 )(4 m) 3s P = 26.1 W

12.4. ¿Cuál es la eficiencia del motor del problema 12-3? ¿Cuál es el régimen en el cual se realiza el trabajo contra la fricción? Pent = 60 W; E =

Potencia de salida 26.1 W = Potencia de entrada 60 W

E = 43.5% Ppérdida = 60 W – 26.1 W Ppérdida = 33.9 W

167

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12-5. Una máquina con 60% de eficiencia levanta una masa de 10 kg con una rapidez constante de 3 m/s. ¿Cuál es la potencia de entrada requerida? Psalida = Fv = mgv = (10 kg)(9.8 m/s2)(3 m/s) Psalida = 294 W Pent =

Psal 294 W = E 0.60

Pentrada = 490 W 12-6. Durante la operación de un motor de 300 hp, se pierde energía a causa de la fricción a razón de 200 hp. ¿Cuál es la potencia de salida útil y cuál es la eficiencia del motor? Psalida = 300 hp – 200 hp = 100 hp

E=

Psal 100 hp ; = Pent 300 hp

E = 33.3%

12-7. Una máquina sin fricción levanta una carga de 200 lb hasta una distancia vertical de 10 ft. La fuerza de entrada se mueve a través de una distancia de 300 ft. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal de la máquina? ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de entrada?

MI = Fi =

si 300 ft = 30 = so 10 ft

Fo 200 lb = = 6.67 lb 30 30

Aplicaciones del principio de la palanca 12-8. Un extremo de una caja fuerte de 50 kg se levanta con una varilla de acero de 1.2 m. ¿Qué fuerza de entrada se requiere en el extremo de la varilla si se coloca un punto de apoyo (fulcro) a 12 cm de la caja? (Sugerencia: Para levantar un extremo se requiere una fuerza igual a la mitad del peso de la caja fuerte.) W = mg = (50 kg)(9.8 m/s2) = 490 N; F = W/2 = 245 N

MI =

ri 1.08 m = = 9; ro 0.12 m

Fi =

1.2 m

Fo 490 N = MI 9 Fi = 54.4 N

168

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12-9. En el caso del cascanueces de la figura 12-4a, la nuez se halla a 2 cm del punto de apoyo y una fuerza de entrada de 20 N se aplica en los mangos, los cuales están a 10 cm de dicho punto. ¿Qué fuerza se aplica para partir la nuez?

MI =

ri 10 cm = = 5; ro 2 cm

Fo = M I Fi = 5(20 N)

Fulcro

Fi

Fo

Fo = 100 N 12-10. En el caso de la carretilla de la figura 12-4b, el centro de gravedad de una carga neta de 40 kg se localiza a 50 cm de distancia de la rueda. ¿Qué empuje ascendente se tendrá que aplicar en un punto de los mangos que se encuentra a 1.4 m de la rueda?

MI =

Fi =

ri 1.4 m = = 2.8; ro 0.5 m

(40 kg)(9.8 m/s 2 ) ; 2.8

Fi =

Fo MI

Fi

Fo Fulcro

Fi = 140 N

12-11. ¿ Cuál es la ventaja mecánica ideal de la carretilla descrita en el problema 12-10?

MI =

ri 1.4 m = = 2.8 ro 0.5 m Mi = 2.8

12-12. Calcule la ventaja mecánica ideal del alzaprima (barreta) descrito en la figura 12-4c si la fuerza de entrada se aplica a 30 cm del clavo y el punto de apoyo se localiza a 2 cm de dicho clavo.

Fo

MI =

Fi

ri 30 cm - 2 cm = = 14 ro 2 cm Mi = 14.0

169

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Fulcro

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12-13. La fuerza de entrada que ejerce un músculo del antebrazo (véase la figura 12-4d) es de 120 N y actúa a una distancia de 4 cm del codo. La longitud total del antebrazo es de 25 cm. Calcule cuánto es el peso que se ha levantado.

MI =

ri Fo = ; ro Fi

Fo =

Fi

ri Fi (4 cm)(120 N) = ro 25 cm Fo =19.2 N

Fo

Fulcro

12-14. Una rueda de 20 cm de diámetro está unida a un eje cuyo diámetro es de 6 cm. Si se agrega al eje un peso de 400 N, ¿qué fuerza habrá que aplicar al borde de la rueda para levantar el peso con rapidez constante? No tome en cuenta la fricción.

MI =

Fo R = ; Fi r

Fi =

Fo r (400 N)(3 cm) = R 10 cm

Fo R

Fi

Fi = 120 N

r W

12-15. Una masa de 20 kg va a ser levantada con una varilla de 2 m de largo. Si se puede ejercer una fuerza descendente de 40 N en un extremo de la varilla, ¿dónde se deberá colocar un bloque de madera que actúe como punto de apoyo?

ro

F (20 kg)(9.8 m/s 2 ) MI = MA = o = ; M I = 4.9 Fi (40 N)

MI =

ri = 4.9; ri = 4.9ro ; ro

ro + ri = 2 m;

Al resolver para r0 da: ro = 0.339 m También puede encontrar ri:

ri

mg

40 N

sustituya: ro + (4.9ro) = 2 m

El fulcro debe estar a 33.9 cm del peso.

ri = 4.9(0.339 m) o

ri = 1.66 m

12-16. Calcule la fuerza F que se requiere para levantar una carga W de 200 N por medio de la polea que muestra la figura 12-16a.

M I = 2;

MI = MA =

Fo ; Fi

Fi =

Fo 200 N = ; MA 2 Fi = 100 N

170

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12-17. ¿Qué fuerza de entrada se necesita para levantar la carga de 200 N con el sistema ilustrado en la figura 12-16b?

M I = 4;

MI = MA =

Fo ; Fi

Fi =

Fo 200 N = ; MA 4 Fi = 50 N

12-18. ¿Cuáles son las fuerzas de entrada necesarias para levantar la carga de 200 N con los sistemas que se muestran en las figuras 12-16c y d?

M I = 5;

MI = MA =

Fo ; Fi

Fi =

Fo 200 N = ; MA 5 Fi = 40 N

M I = 4;

MI = MA =

Fo ; Fi

Fi =

Fo 200 N = ; MA 4 Fi = 50 N

12-19. ¿Cuál es la ventaja mecánica de un destornillador utilizado como rueda y eje (cabria) si su hoja tiene 0.3 in de ancho y su mango tiene 0.8 in de largo? MI =

0.8 in. ; 0.3 in.

0.3 in.

0.8 in.

MI = 2.67

*12-20. El malacate de cadena de la figura 12-17 es una combinación de la rueda y eje con el aparejo de poleas. Demuestre que la ventaja mecánica ideal de este dispositivo está dada por Trabajo de salida = Trabajo de entrada; si = 2πR

MI =

171

2! ( R " r ) so = 2

Fo 2R = ; Fi R ! r

MI =

Fisi = Foso

# 2! ( R " r ) $ Fi (2! R) = Fo % &( 2 '

Fi Fi

2R R!r

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*12-21. Suponga que el radio mayor de la figura 12-17 es tres veces mayor que el radio pequeño. ¿Qué fuerza de entrada se requiere para levantar una carga de 10 kg sin fricción alguna? Fo = mg = (10 kg)(9.8 m/s2) = 98.0 N;

MI =

2R 2(3r ) = = 3; R ! r 3r ! r

MI =

R = 3r

F0 98 N ; Fi = Fi 3 Fi = 32.7 N

La transmisión del momento de torsión 12-22. Un motor de 1 500 rev/min tiene una polea de tracción de 3 in de diámetro y la polea arrastrada tiene un diámetro de 9 in. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal y cuál es el número de revoluciones por minuto de la polea de salida?

Do 9 in. = = 3; Di 3 in.

MI =

!o =

MI =

Do ! i = = 3; Di ! o

! i (1500 rpm) = 3 3

ω o = 500 rpm 12-23. Una polea de entrada de 30 cm de diámetro gira a 200 rev/min sobre una correa de transmisión conectada a una polea de salida de 60 cm diámetro. ¿Cuál es la relación entre el momento de torsión de salida y el momento de torsión de entrada? ¿Cuántas revoluciones por minuto hay en la salida?

! o Do 60 cm = = ; ! i Di 30 cm MI =

172

Do ! i = = 2; Di ! o

!o =2 !i

!o =

! i 200 rpm ; ωo = 100 rpm = 2 2

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12-24. Un sistema de poleas con correa en V tiene poleas de tracción de salida y entrada cuyos diámetros son 6 in y 4 in. Se aplica un momento de torsión de 200 lb · in a la tracción de entrada. ¿Cuál es el momento de torsión de la salida?

! o Do 6 in = = ; ! i Di 4 in

!o = 1.5 ; τo = 1.5(200 lb in.); !i

τo = 300 lb ft 12-25. La relación entre la velocidad de salida y la de entrada de un sistema de impulsión por engranajes es de 2:1. ¿Cuál es la ventaja mecánica en este caso?

MI =

Do ! i = ; Di ! o

!o 1 2 = = ; !i M i 1 MI = ½

12-26. Un conjunto de dos engranajes rectos tiene 40 dientes y 10 dientes. ¿Cuáles son sus posibles ventajas mecánicas ideales?

MI =

Do N o = ; Di N i

Razones posibles:

40 10 y 10 40

MI = 4.0 y 0.250 12-27. Para los engranajes rectos del problema 12.26, ¿cuál es la rapidez rotacional del engranaje más pequeño si la rapidez del engranaje más grande es de 200 rev/min?

DL N L ! s = = ; Ds N s ! L

!s =

N L! L 40(200 rpm) = Ns 10

ωs = 800 rpm

173

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Aplicaciones del plano inclinado 12-28. ¿Cuál deberá ser el espesor de la base si una cuña tiene 20 cm de longitud y se desea que la fuerza de entrada sea igual a la décima parte de la fuerza de salida? MI =

L = 10; t

t=

L 20 cm = 10 10

L

t

t = 2.00 cm

12-29. ¿Cuál debe ser el ángulo de la punta de una cuña para que su ventaja mecánica sea de 10? tan ! =

t ; L

MI =

L = 10; t

tan ! =

1 10

θ = 5.710 12-30. Una caja de 10 kg es llevada desde el piso hasta una plataforma de carga a través de una rampa de 6 m de longitud y 2 m de altura. Suponga que µk = 0.25. ¿Cuáles son las ventajas mecánicas ideal y real de esa rampa? [sen θ = 2/6; θ = 19.5°] MI =

Fi

L 6m = ; t 2m

MI = 3.00 2

Fo = mg = (10 kg)(9.8 m/s ); Fo = 98.0 N

Fk = µkN = µkmg cos θ ; Fk = (0.25)(98 N)cos 19.50 = 23.1 N Fi – Fk – mg sen θ = 0;

MA =

N

Fo 98.0 N ; = Fi 55.77 N

Fi – 23.1 N – (98 N)sen 19.50 = 0;

6m θ

2m

F θ

mg cos θ

Fo = mg Fi = 55.77 N

MA = 1.76

12-31. En el caso de la rampa del problema 12.30, ¿cuál es la eficiencia de dicha rampa?

E=

M A 1.76 ; = Mi 3

E = 0.586 E = 58.6%

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*12-32. Una fuerza de entrada de 20 lb se aplica al mango de 6 in de una llave de tuercas que se usa para apretar una tuerca de 1/4 in de diámetro. Se produce una fuerza real de salida de 600 lb. Si el perno tiene 10 cuerdas o roscas por pulgada, ¿cuál es la ventaja mecánica ideal y cuál es la eficiencia? P = 1/10 in/cuerdas = 0.167 in;

MA =

Fo 600 lb = = 30 ; Fi 20 lb

E=

MI =

2! R 2! (6 in) = = 377; P 0.1 in

M A 30 ; = M I 377

MI = 377

E = 8.00%

12-33. La palanca de un gato de tornillo tiene 24 in de largo. Si el tornillo tiene 6 cuerdas o roscas por pulgada, ¿cuál es la ventaja mecánica ideal? P = 1/6 in/cuerdas = 0.167 in;

MI =

2! R 2! (24 in) = = 904; P 0.167 in

MI = 904 12-34. Si el gato de tornillo del problema 11.33 tiene 15% de eficiencia, ¿qué fuerza se requiere para levantar con él 2000 lb? MA =E MA = (0.15)(904) = 136

MA =

Fo = 136; Fi

Fi =

2000 lb 136 Fi = 14.7 lb

175

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Problemas adicionales *12-35. Un plano inclinado tiene 6 m de longitud y 1 m de altura. El coeficiente de fricción cinética es 0.2. ¿Cuánta fuerza se requiere para empujar con rapidez constante un peso de 2400 N hacia la parte alta del plano inclinado? ¿Cuál es la eficiencia del plano inclinado? [sen θ = 1/6; θ = 9.59°] MI =

L 6m = ; t 1m

MI = 6.00

Fo = 2400 N

N Fi

0

Fk = µkN = µkW cos θ ; Fk = (0.2)(2400 N)cos 9.59 = 473 N Fi – 473 N – (2400 N)sen 9.590 = 0

Fi – Fk – mg sen θ = 0;

Fi = 873 N

Fo 98.0 N ; MA = 1.76 = Fi 55.77 N

MA =

6m θ

M A 1.76 = ; MI 6 E = 29.3%

E=

1m

F θ

W cos θ

Fo = 2400 N

*12-36. Una rueda y un eje se usan para elevar una masa de 700 kg. El radio de la rueda es de 0.50 m, y el radio del eje es de 0.04 m. Si la eficiencia real es de 60%, ¿qué fuerza de entrada se deberá aplicar a la rueda? Fo = W = mg = (700 kg)(9.8 m/s2); Fo = 6860 N;

MI =

R 0.5 M = = 12.5; E = A = 0.60 ; r 0.04 MI

MA =

Fo = 7.5; Fi

Fi =

EA = 0.60; R = 0.50 m

MA = 0.60(12.5) = 7.5

6860 N ; 7.5 Fi = 915 N

*12-37. Un eje que gira a 800 rev/min imparte un momento de torsión de 240 N m a un eje de salida que gira a 200 rev/min. Si la eficiencia de la máquina es de 70%, calcule el momento de torsión de salida. ¿Cuál es la potencia de salida? [ω0 = 200 rpm = 20.94 rad/s]

E=

! o" o = 0.70; ! i" i

!o =

0.70(240 N m)(800 rpm) ; 200 rpm

Po = τoωo = (672 N m)(20.94 rad/s);

176

τ o = 672 N m

Po = 14.1 kW

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*12-38. El tornillo de un gato tiene una cuerda cuyo paso de rosca es de 0.25 in. Su manija tiene 16 in de largo y se está levantando con él una carga de 1.9 toneladas. Sin tener en cuenta la fricción, ¿qué fuerza se debe aplicar en el extremo de la manija? ¿Cuál es la ventaja mecánica? MI =

2! R 2! (16 in.) = ; P 0.25 in.

MI = 402

Despreciando la fricción: M A = M I =

Fo ; Fi

Fi =

1.9 ton(2000 lb/ton) 402

Fi = 9.45 lb En ausencia de fricción: MA = MI = 402 MA = 402 *12-39. Cierto compresor para refrigeración viene provisto de una polea de 250 mm de diámetro y está diseñado para funcionar a 600 rev/min. ¿Cuál deberá ser el diámetro de la polea del motor para que la velocidad de éste sea de 2000 rev/min?

MI =

Do ! i = ; Di ! o

Di =

! o Do (600 rpm)(250 mm) = !i 2000 rpm Di = 75.0 mm

*12-40. En la correa de un ventilador, la rueda impulsora es de 20 cm de diámetro y la de arrastre tiene un diámetro de 50 cm. La potencia de entrada proviene de un motor de 4 kW que hace girar a la rueda motriz a 300 rev/min. Si la eficiencia es de 80%, calcule el número de rev/min y el momento de torsión que se imparten a la rueda impulsada. Nota: 300 rpm = 31.4 rad/s.

Do 50 cm = = 2.5 ; MA = EMI = 0.8(2.5) = 2 Di 20 cm P 4000 W Pi = ! i" i ; ! i = i = = 127.3 N m " i 31.4 rad/s τo = MAτi = 2(127.3 N m) MI =

τo = 255 N m !o =

Di! i (20 cm)(300 rpm) = Do 50 cm

ωo = 120 rpm

177

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12-41. Una cuña para partir leños mide 16 cm por lado y el ángulo de la punta es de 10º. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal? L 16 cm = t 2.78 cm MI = 5.76

t = L sen θ = (16 cm) sen 100 = 2.78 cm;

MI =

12-42. Una máquina tiene una eficiencia de 72%. Una fuerza de entrada de 500 N se ejerce a través de una distancia paralela de 40 cm. ¿Cuánta energía se pierde en el proceso? Trabajo de entrada = (500 N)(0.40 m) = 200 J; Trabajo de salida = 0.72(200 J) = 144 J Pérdida de energía = Trabajo de entrada – Trabajo de salida = 200 J – 144 J Pérdida = 56.0 J *12-43. Un motor con 80% de eficiencia acciona un malacate con una eficiencia de 50%. Si la potencia que se imparte al motor es de 6 kW, ¿a qué altura elevará el malacate una masa de 400 kg en un tiempo de 4 s? ET = (0.80)(0.50) = 0.40;

Trabajo de entrada = (6000 W)(4 s) = 24,000 J

Trabajo de salida = 0.40(24,000 J) = 9600 J;

so =

Trabajo de salida = Foso

Trabajo de salida 9600 J = Fo (400 kg)(9.8 m/s 2 ) so = 2.45 m

Preguntas para la reflexión crítica 12-44. Un peso de 60 N es levantado por los tres procedimientos diferentes que se ilustran en la figura 12-18. Calcule la ventaja mecánica ideal y la fuerza de entrada que se requiere para cada aplicación.

MI = Fi =

60 N

ri 80 cm = ro 40 cm Fo MI

Fi =

MI = 2.00 60 N ; 2.0

r 120 cm MI = i = ro 40 cm

178

Fi = 30 N

MI = 3.00

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80 cm

40 cm

Fi

Fi

60 N 80 cm

40 cm

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12-44. (Cont.)

Fi = MI =

Fi =

Fo MI

Fi =

60 N ; 3.0

ri 40 cm = ro 120 cm

Fo MI

Fi =

Fi = 20 N

60 N

MI = 0.333

60 N ; 0.333

Fi

80 cm

40 cm

Fi = 180 N

Los anteriores son ejemplos de las tres clases de palancas. Note las ventajas y desventajas de cada tipo de palanca en términos de la ventaja mecánica y la producción de fuerza que se requiere. *12-45. Una transmisión de tornillo sin fin, figura 12-11, tiene n dientes en la rueda dentada. (Si n = 80, una vuelta completa del tornillo sin fin hará avanzar la rueda un octavo de revolución.) Obtenga una expresión para calcular la ventaja mecánica ideal de la rueda dentada para el tornillo sin fin en función del radio de la polea de entrada R, el radio del eje motor r y el número de dientes n de la rueda dentada. Trabajo de entrada = Trabajo de salida;

" 2! r # Fi (2! R) = Fo $ %; & n '

MI =

Fo nR = ; Fi r

Fi si = Fo so ;

MI =

si = 2! R;

so =

2! r n

nR r

*12-46. La transmisión de tornillo sin fin del problema 12.45 tiene una rueda dentada con 80 dientes. Si el radio de la rueda de entrada es 30 cm y el radio del eje motor es 5 cm, ¿qué fuerza de entrada se requiere para levantar una carga de 1200 kg? Suponga una eficiencia de 80%. nR (80)(30 cm) = = 480; r 5 cm (1200 kg)(9.8 m/s 2 ) Fi = 384

MI =

M A = EM I = (0.8)(480) = 384

Fi = 30.6 N

179

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*12-47. La chumacera de un remo de 3.5 m está instalada a 1 m del extremo del mango. La persona que rema en un bote aplica una fuerza de 50 N al extremo del mango. ¿Cuáles son la ventaja mecánica ideal y la fuerza de salida? ¿Aumenta o disminuye la ventaja mecánica si la chumacera se coloca más cerca del extremo del mango? ¿A qué distancia del extremo del mango se debe instalar la chumacera para obtener un incremento de 20% en la fuerza de salida?

MI =

ri 1m = ro 2.5 m

1m

MI = 0.400

2.5 m

Fo

Fi Al mover la chumacera acercándolo a las manos produce una ventaja mecánica menor: Menor Un 20% de incremento en F0 significa que la nueva ventaja mecánica es 1.2MA M’A = 1.2(0.40) = 0.48;

ri = 0.48; ro ri = 1.14 m

ri = 0.48ro = 0.48(3.5 m - ri );

ri = 1.68 – 0.48ri

La chumacera debe ser puesta a 1.14 m de la mano.

*12-48. Dibuje un sistema de aparejo de poleas con una ventaja mecánica de 5. El sistema dibujado a la derecha tiene cinco cuerdas de levantamiento para tirar del peso hacia arriba y así tiene una ventaja mecánica de 5. *12-49. Un motor de 60 W impulsa la polea de entrada de una transmisión por correa a 150 rev/min. Los diámetros de las poleas de entrada y de salida son 60 cm y 20 cm. Suponga que en este caso la ventaja mecánica real es de 0.25. (a) ¿Cuál es el momento de torsión de salida? (b) ¿Cuál es la potencia de salida? (c) ¿Cuál es la eficiencia?

Mi =

Do 20 cm = = 0.333 Di 60 cm

!o =

Di! i (60 cm)(150 rpm) = Do 20 cm

ωo = 450 rpm

M A 0.25 ; E = 0.750 or 75.0% = M I 0.333 Po = 0.75Pi = 0.75(60 W) = 45 W; Po = 45 W E=

τoωo = 45 W; ωo = 450 rpm = 47.1 rad/s;

180

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!o =

45 W ; 47.1 rad/s

τo = 0.955 N m

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*12-50. Un par de poleas por pasos (figura 12-19) permite cambiar las velocidades de salida con una sencilla modificación de la correa. Si un motor eléctrico impulsa la polea de entrada a 2000 rev/min, halle los valores posibles de la rapidez angular del eje de salida. Los diámetros de las poleas son 4, 6 y 8 in. Considere primero la polea de 4 in, la cual puede dirigir una polea de salida de 4, 6 y 8in. El caso 1 tiene di = 4 in, y d0 = 4 in. (a) ωodo = ωidi

ωi = 2000 rpm

" 4 in # !o = $ % (2000 rpm); & 4 in '

ωo = 2000 rpm

" 4 in # !o = $ % (2000 rpm); & 6 in '

ωo = 1333 rpm

" 4 in # !o = $ % (2000 rpm); & 8 in '

ωo = 1000 rpm

(b) En seguida considere la polea de 6 in como la polea de entrada.

" 6 in # !o = $ % (2000 rpm); & 4 in '

ωo = 3000 rpm

" 6 in # !o = $ % (2000 rpm); & 6 in '

ωo = 2000 rpm

" 6 in # !o = $ % (2000 rpm); & 8 in '

ωo = 1500 rpm

(c) En seguida consideramos la polea de 8 cm como la polea de entrada.

181

" 8 in # !o = $ % (2000 rpm); & 4 in '

ωo = 4000 rpm

" 8 in # !o = $ % (2000 rpm); & 6 in '

ωo = 2667 rpm

" 8 in # !o = $ % (2000 rpm); & 8 in '

ωo = 2000 rpm

Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 12

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