Tippens Fisica 7e Soluciones 11

Capítulo 11. Rotación de cuerpos rígidos Aceleración angular 11-1. Un cable está enrollado en torno de un carrete de 80 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones de este carrete se requieren para que un objeto atado al cable recorra una distancia rectilínea de 2 m? ¿Cuál es el desplazamiento angular? [R = 0.04 m, s = 2 m, θ = ?]

!=

s 2m = = 5 rad R 0.400 m

R

# 1 rev $ ! = (5 rad) % & ' 2" rad (

θ = 0.796 rev

s

11-2. La rueda de una bicicleta tiene 26 in de diámetro. Si esa rueda describe 60 revoluciones, ¿qué distancia rectilínea recorrerá? [D = 26 in; R = 13 in = 1.083 ft]

# 2! rad $ " = 60 rev % & = 377 rad ; ' 1 rev (

s = θR = (377 rad)(1.083 ft); s = 408 ft

11-3. Un punto localizado en el borde de una gran rueda cuyo radio es 3 m se mueve en un ángulo de 37º. Halle la longitud del arco descrito por ese punto.

# 2! rad $ " = 370 % = 0.646 rad ; s = θR = (0.646 rad)(3 m); 0 & ' 360 ( s = 1.94 m

144

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11-4. Una persona sentada en el borde de una plataforma de 6 ft de diámetro recorre una distancia de 2 ft. Exprese el desplazamiento angular de esa persona en radianes, grados y revoluciones. [R = 3 ft]

!=

s 2 ft = ; θ = 0.667 rad R 3 ft

# 1 rev $ ! = (0.667 rad) % & ; θ = 0.106 rad ' 2" rad ( # 3600 $ 0 ! = (0.667 rad) % & ; θ = 38.2 2 " rad ' (

11-5. Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? ¿Cuál es el desplazamiento angular después de 6 s?

f = 600

rev " 2! rad # " 1 min # $ %$ % ; f = 62.8 rad/s min & 1 rev ' & 60 s '

! = "t = (62.8 rad/s)(6 s) ; θ = 377 rad 11-6. Una polea giratoria completa 12 revoluciones en 4 s. Calcule la velocidad angular promedio en revoluciones por segundo, revoluciones por minuto y radianes por segundo. f =

12 rev ; f = 3.00 rev/s 4s

f = 3.00

rev " 1 rev # " 60 s # $ %$ % ; f = 28.6 rpm s & 2! rad ' & 1 min '

" = 2! f = 3.00

145

rev # 2! rad $ % & ; ω = 18.8 rad/s s ' 1 rev (

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11-7. Un cubo cuelga de una cuerda enrollada con varias vueltas en un carrete circular cuyo radio es de 60 cm. El cubo parte del reposo y asciende hasta una altura de 20 m en 5 s. (a) ¿Cuántas revoluciones giró el carrete? (b) ¿Cuál fue la velocidad angular promedio del carrete al girar?

!=

s 20 m = = 33.3 rad R 0.600 m

R

# 1 rev $ ! = (33.3 rad) % & ' 2" rad (

θ = 5.31 rev v=

s 20 m = ; t 5s

!=

v 4 m/s = ; R 0.6 m

v = 4.00 m/s

ω = 6.67 rad/s 11-8. Una rueda de 15.0 cm de radio parte del reposo y completa 2.00 revoluciones en 3.00 s. (a) ¿Cuál es la velocidad angular promedio en radianes por segundo? (b) ¿Cuál es la velocidad lineal final de un punto situado en el borde de la rueda?

#=

! 2 rev(2" rad/rev) = ; ω = 4.19 rad/s t 3s

La velocidad angular final es dos veces la promedio, dado que ω0 = 0; ωf = 8.38 rad/s vf = ωfR = (8.38 rad/s)(0.15 m); vf = 1.26 m/s 11-9. Un trozo cilíndrico de material de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rpm. ¿Cuál es la velocidad lineal en la superficie del cilindro? [R = D/2 = 3 in = 0.250 ft.]

rev $ # 1 min $ # v = ! R = 2" fR; v = 2" % 800 &% & (0.25 ft) ; min ( ' 60 s ( ' v = 20.9 ft/s

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11-10. La velocidad tangencial adecuada para fabricar material de acero es de 70 cm/s. ¿A cuántas rpm deberá girar en un torno un cilindro de acero cuyo diámetro es de 8 cm? [R = (0.08 m/2) = 0.04 m] v = ! R;

!=

f = 2.75

v 0.70 m/s = = 17.5 rad/s ; R 0.04 m

f =

17.5 rad/s = 2.75 rev/s ; 2!

rev ! 60 s " rev ; # $ = 167 s % 1 min & min f = 167 rpm

11-11. ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda descrita en el problema 11-8? ¿Cuál es la aceleración lineal de un punto localizado en el borde de esa rueda? [ωf = 8.38 rad/s; ωo = 0, t = 3 s]

"=

! f # !0 t

=

8.38 rad/s # 0 ; 3s

α = 2.79 rad/s2 a = αR = (2.79 rad/s2)(0.15 m); a = 0.419 m/s2 11-12. Un carrete circular de 40 cm de radio gira al inicio a 400 rev/min. Luego se detiene por completo después de 50 revoluciones. ¿Cuáles fueron la aceleración angular y el tiempo de detención? 2αθ = ωf2 – ωo2;

θ = 50 rev(2π rad/rev) = 314 rad;

f = 400 rpm = 41.9 rad/s

"= "=

! 2f $ ! 02 2#

!0 + ! f 2

= t;

(0) 2 $ (41.9 rad/s) 2 ; 2(314 rad) t=

α = 2.79 rad/s2

2" 2(314 rad) ; = !f 41.9 rad/s

t = 15.0 s

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11-13. Una correa pasa por la ranura de una polea cuyo diámetro es de 40 cm. La polea gira con una aceleración angular constante de 3.50 rad/s2. La rapidez rotacional es de 2 rad/s en el t = 0. ¿Cuáles son el desplazamiento angular y la velocidad angular de la polea 2 s más tarde?

θ = ω0t + ½αt2; R = 0.40 m/2 = 0.20 m; ωo = 0, t = 2 s, α = 3.5 rad/s θ = ω0t + ½αt2 = (2 rad/s)(2 s) + ½(3.5 rad/s2)(2 s)2; ωf = ωo + αt = 2 rad/s + (3.5 rad/s2)(2 s);

θ = 11.00 rad

ωf = 9.00 rad/s

11-14. En el problema 11-13, ¿cuáles son la rapidez lineal final y la aceleración lineal final de la correa cuando se mueve sobre la ranura de la polea? (Se debe usar el radio R = 0.20 m) v = ωf R = (9.00 rad/s)(0.200 m);

v = 1.80 m/s

a = αR = (3.50 rad/s2)(0.200 m) ;

a = 0.750 m/s2

*11-15. Una rueda gira al inicio a 6 rev/s y después se somete a una aceleración angular constante de 4 rad/s2. ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 s? ¿Cuántas revoluciones completará la rueda?

ωο = 2πfR = 2π(6 rev/s) = 37.7 rad/s; α = 4 rad/s2; ωf = ωo + αt; ωf = 37.7 rad/s + (4 rad/s2)(5 s); θ = ω0t + ½αt2;

t=5s

ωf = 57.7 rad/s

θ = (37.7 rad/s)(5 s) + ½(4 rad/s2)(5 s)2; θ = 238 rad

# 1 rev $ ! = 238 rad % &; ' 2" rad (

θ = 38.0 rev *11-16. Un disco rectificador detiene su movimiento en 40 revoluciones. Si la aceleración de frenado fue de −6 rad/s2, ¿cuál fue la frecuencia inicial de giro en revoluciones por segundo? [θ = 40 rev (2π) = 251 rad] 2αθ = ωf2 – ωo2;

! 0 = $2"# = $2($6 rad/s 2 )(251 rad) ;

" 1 rev # f = 54.9 rad/s $ %; & 2! rad '

148

ωo = 54.9 rad/s

f = 8.74 rev/s

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*11-17. Una polea de 320 mm de diámetro gira inicialmente a 4 rev/s y luego recibe una aceleración angular constante de 2 rad/s2. ¿Cuál es la velocidad lineal de una correa montada en dicha polea, al cabo de 8 s? ¿Cuál es la aceleración tangencial de la correa? [R = 0.320/2 = 0.160 m]

ωo = 4 rev/s (2π rad/rev) = 25.1 rad/s; α = 2 rad/s2; t = 8 s ωf = ωo + αt = 25.1 rad/s + (2 rad/s2)(8 s); ωf = 41.1 rad/s v = ωf R = (41.1 rad/s)(0.160 m) ; a = αR = (2 rad/s2)(0.160 m);

v = 6.58 m/s a = 0.320 m/s2

*11-18. Una persona que al inicio se encontraba en reposo, colocada a 4 m del centro de una plataforma giratoria, recorre una distancia de 100 m en 20 s. ¿Cuál es la aceleración angular de la plataforma? ¿Cuál es la velocidad angular al cabo de 4 s? Primero encuentre la aceleración lineal: 0 2 s 2(100 m) s = v0t + ? at 2 ; a = 2 = = 0.500 m/s 2 2 t (20 s)

a = ! R;

a 0.500 rad/s 2 != = ; R 4m

α = 0.125 rad/s2

0 ωf = ωo + αt; ωf = (0.125 rad/s2)(4 s);

ωf = 0.500 rad/s

Energía cinética rotacional; momento de inercia 11-19. Una masa de 2 kg y otra de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm. El sistema gira en la horizontal a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg. ¿Cuál es el momento de inercia en torno de este eje? ¿Cuál es la energía cinética rotacional? 20 cm

I = ΣmR2 = (2 kg)(0.2 m)2 + (6 kg)(0.1 m)2 I = 0.140 kg m2

ω = 300 rpm = 31.4 rad/s

Ek = ½Iω2 = ½(0.140 kg m2)(31.4 rad/s)2;

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2 kg

10 cm 6 kg

Ek = 69.1 J

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11-20. Una masa de 2 kg y otra de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm. El sistema gira en la horizontal a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg. ¿Cuál es el momento de inercia en torno de este eje? ¿Cuál es la energía cinética rotacional?

α = 3.00 rad/s2; I = mR2 = (1.2 kg)(0.70 m)2; I = 0.588 kg m2 ωf = ωo + αt = (0) + (3 rad/s2)(4 s);

ωf = 12.0 rad/s

Ek = ½Iωf2 = ½(0.588 kg m2)(12.0 rad/s)2; Ek = 42.3 J *11-21. Un disco esmeril de 16 lb gira a 400 rev/min. ¿Cuál es el radio del disco si su energía cinética es de 54.8 ft lb? ¿Cuál es el momento de inercia? [400 rpm = 41.89 rad/s] m = (16 lb/32 ft/s2) = 0.500 slugs; Ek = ½Ιω2 = 54.8 ft lb; I = ½mR2

I=

2 Ek 2(54.8 ft lb) = ; 2 ! (41.89 rad/s) 2 I = 0.0625 slug ft2

I = ½mR2; R =

2I 2(0.0625 slug ft 2 ) ; = m 0.50 kg

R = 0.500 ft o 6.00 in *11-22. ¿Cuál deberá ser el radio de un disco circular de 4 kg si se requiere que su momento de inercia sea igual al de una varilla de 1 kg de peso y 1 m de peso y longitud que oscila apoyada en su punto medio? [ID = ½mR2; IR = (1/12)mL2]

? md R 2 =

mr L2 ; 12

R=

mr L2 (1 kg)(1 m) 2 ; = 6md 6(4 kg) R = 0.204 m

150

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*11-23. La rueda de una carreta mide 60 cm de diámetro y está montada en un eje central sobre el cual gira a 200 rev/min. Se puede considerar que la rueda es un aro circular de 2 kg de masa y cada uno de sus 12 rayos de madera de 500 g puede considerarse una varilla delgada que gira sobre sus extremos. Calcule el momento de inercia de toda la rueda. ¿Cuál es su energía cinética rotacional? mw = 2 kg, Rw = 0.30 m; ms = 0.5 kg; Ls = 0.30 m,

IT = I w + 12 I s

IT = mw R 2 + 12( 1 3 mL2 ); IT = (2 kg)(0.3 m) 2 + 4(0.5 kg)(0.3) 2 ;

I = 0.360 kg m2; ω = 200 rpm = 20.94 rad/s Ek = ? I! 2 = ? (0.360 kg m 2 )(20.94 rad/s) 2 ;

Ek = 78.9 J *11-24. Compare la energía cinética rotacional de tres objetos que tienen radios y masas iguales: un aro circular, un disco circular y una esfera sólida. Las inercias de rotación son: I H = mR 2 ;

I D = ? mR 2 ;

I S = 2 5 mR 2

Para fines de comparación, suponga que ajusta m = 1 kg y R = 1 m Así que: I H = 1 kg m 2 ;

I D = 0.5 kg m 2 ;

I S = 0.4 kg m 2

Ahora, Ek = ½Iω2, tal que a una velocidad de rotación dada, el aro tiene la energía cinética mayor; le sigue el disco y después la esfera.

Segunda ley de Newton y rotación 11-25. Una cuerda que está enrollada en un carrete circular de 5 kg permite arrastrar objetos con una tensión de 400 N. Si el radio del carrete es de 20 cm y puede girar libremente sobre su eje central, ¿cuál es la aceleración angular?

τ = FR = Iα; I = ½mR2 FR = (? mR 2 )! ;

!=

2F 2(400 N) = ; mR (5 kg)(0.20 m)

α = 800 rad/s2

151

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R

F = 400 N

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11-26. Un volante de motor tiene un momento de inercia de 24 slug · ft2. ¿Qué momento angular se requiere para acelerar el volante desde el reposo hasta una velocidad angular de 400 rpm en 10 s?

ωf = 400 rpm = 41.9 rad/s; ωo = 0; t = 10 s, I = 24 slug ft2 "=

! f # !o t

=

41.9 rad/s - 0 = 4.19 rad/s 2 ; 10 s

τ = Iα = (24 slug ft2)(4.19 rad/s2); τ = 1010 N m *11-27. Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto medio. ¿Qué momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20 revoluciones al tiempo que su rapidez de rotación se incrementa de 200 a 600 rev/min?

θ = 20 rev(2π rad) = 126 rad; ωo = 200 rpm = 20.94 rad/s ωf = 600 rpm = 62.8 rad/s; m = 3 kg; L = 0.40 m

L = 0.40 m m = 3 kg

2αθ = ωf2 - ωo2; 2α(126 rad) = (62.8 rad/s)2 – (20.94 rad/s)2; α = 13.9 rad/s2 I=

1 12

mL2 ! = I" =

1 12

mL2" =

1 12

(3 kg)(0.40 m) 2 (13.9 rad/s 2 ) ;

τ = 0.558 N m *11-28. Una rueda grande de turbina pesa 120 kg y tiene un radio de giro de 1 m. Un momento de torsión friccional de 80 N ⋅ m se opone a la rotación del eje. ¿Qué momento de torsión se deberá aplicar para acelerar la rueda desde el reposo hasta 300 rev/min en 10 s?

ωo = 0, ωf = 300 rpm = 31.4 rad/s, t = 2 s "=

!0 # ! f t

=

I = 120 kg m2;

31.4 rad/s - 0 = 15.7 rad/s 2 ; I = mk2 = (120 kg)(1 m)2 2s

τ = Iα = (120 kg m2)(15.7 rad/s2); τ = 1885 N m

152

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11-29. Una masa de 2 kg se balancea en el extremo de una varilla ligera, describiendo un círculo de 50 cm de radio. ¿Qué momento de torsión resultante se requiere para impartir a esa masa una aceleración angular de 2.5 rad/s2? I = mR2 = (2 kg)(0.5 m)2 = 0.5 kg m2;

τ = Iα = (0.5 kg m2)(2.5 rad/s2); τ = 1.25 N m *11-30. Una cuerda está enrollada con varias vueltas en un cilindro de 0.2 m de radio y 30 kg de masa. ¿Cuál es la aceleración angular del cilindro si la cuerda tiene una tensión de 40 N y gira sin fricción alguna?

! = FR = I" ; FR = (? mR 2 )" ; " =

2F 2(40 N) = ; mR (30 kg)(0.20 m)

α = 13.3 rad/s2 *11-31. Un disco rectificador de 8 kg tiene 60 cm de diámetro y gira a 600 rev/min. ¿Qué fuerza de frenado se deberá aplicar tangencialmente al disco para detener su movimiento de rotación en 5 s?

ω0 = 600 rpm = 62.8 rad/s, ωf = 0, " =

!0 # ! f t

=

62.8 rad/s - 0 = 12.6 rad/s 2 5s

! = FR = I" ; FR = (? mR 2 )" ; F = ? mR! = ? (8 kg)(0.30 m)(12.6 rad/s 2 ) ;

F = 15.1 N 11-32. Un momento de torsión no balanceado de 150 N · m le imparte una aceleración angular de 12 rad/s2 al rotor de un generador. ¿Cuál es el momento de inercia?

τ = Iα ;

I=

! 150 N m = ; " 12 rad/s 2 I = 12.5 kg m2

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Trabajo rotacional y potencia 11-33. Una cuerda enrollada en un disco de 3 kg y 20 cm de diámetro recibe una fuerza de tracción de 40 N que la desplaza una distancia lineal de 5 m. ¿Cuál es el trabajo lineal realizado por la fuerza de 40 N? ¿Cuál es el trabajo rotacional realizado sobre el disco? [R = 20/2) = 10 cm o 0.10 m] Trabajo = F s = (40 N)(5 m); Trabajo = 200 J

!=

s 5m = = 50 rad R 0.10 m

Trabajo = τθ = FRθ = (40 N)(0.10 m)(50 rad); Trabajo = 200 J *11-34. Aplique el teorema del trabajo y la energía para calcular la velocidad angular del disco, si éste parte del estado de reposo en el problema 11-33. Trabajo = ½Iωf2 – (0); I = ½mR2;

!f =

Trabajo = ½(½mR2) ωf2

4(200 J) 4(200 J) ; = 2 mR (3 kg)(0.10 m) 2

ωf = 163 rad/s *11-35. Un motor de 1.2 kW impulsa durante 8 s una rueda cuyo momento de inercia es 2 kg m2. Suponiendo que la rueda estaba inicialmente en reposo, ¿qué rapidez angular promedio llegó a adquirir? P=

Trabajo ; t

Work = Pt = (1200 W)(8 s) = 9600 J

Trabajo = ½Iωf2 – (0);

9600 J = ½(2 kg m2) ωf2;

ωf = 98.0 rad/s

154

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*11-36. Un cordón está enrollado en el borde de un cilindro que tiene 10 kg de masa y 30 cm de radio. Si se tira del cordón con una fuerza de 60 N, ¿cuál es la aceleración angular del cilindro? ¿Cuál es la aceleración lineal del cordón? I = ½mR2 = ½(10 kg)(0.30 m)2 = 0.450 kg m2; τ = (60 N)(0.3 m) = 18 N m

! = I" ;

"=

! 18 N m = ; I 0.450 kg m 2

α = 40 rad/s2 11-37. Un motor de 600 W impulsa una polea con una velocidad angular promedio de 20 rad/s. ¿Cuál es el momento de torsión así obtenido? P = !" ;

!=

P 600 W = " 20 rad/s

τ = 30.0 N m 11-38. El cigüeñal de un automóvil desarrolla un momento de torsión de 350 lb · ft a 1800 rpm. ¿Cuál es la potencia resultante en caballos de fuerza? Nota: 1800 rpm = 188.5 rad/s. P = τω = (350 ft lb)(188.5 rad/s) = 65, 973 ft lb/s o

120 hp

Rotación y traslación combinadas 11-39. Un cilindro de 2 kg tiene un radio de 20 cm. Rueda sin delizarse a lo largo de Una superficie horizontal a una velocidad de 112 m/s. (a) ¿Cuál es su energía cinética traslacional? (b) ¿Cuál es su energía cinética rotacional? (c) ¿Cuál es la energía cinética total?

R = 0.20 m 2

2

(a) K = mv = (2 kg)(12 m/s) ; K = 144 J 1 2

1 2

(b) K = 12 I! 2 ; pero

!=

v y I = 12 mR 2 R

v m = 2 kg

2

!v " K = 12 ( 12 mR 2 ) # 2 $ = 14 mv 2 ; K = 14 (2 kg)(12 m/s) 2 ; K = 72 J %R &

(c) Total K = 12 mv 2 + 12 I ! 2 = 144 J + 72 J ; Total K = 216 J

155

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11-40. Un aro circular tiene la misma masa y radio que el cilindro del problema 11.39. ¿Cuál es la energía cinética total si rueda con la misma velocidad horizontal? Total K = 12 mv 2 + 12 I ! 2

!=

v e I = mR 2 R

R = 0.20 m m = 2 kg

! v2 " 1 2 1 2 Total K = mv + (mR ) # 2 $ = 2 mv + 2 mv %R & 1 2

2

1 2

2

Total K = mv 2 = (2 kg)(12 m/s) 2

Total K = 288 J 11-41. Considere un plano inclinado de 16 m de altura. Cuatro objetos de diferentes materiales tienen la misma masa de 3 kg: un aro circular, un disco, una esfera y una caja. Suponga que la fricción es insignificante para la caja, pero hay suficiente fricción para que los otros objetos rueden sin deslizarse. Al calcular las velocidades finales en cada caso, determine el orden en el que llegan al punto más bajo del plano. Nota: en aplicación de la conservación de la energía, todos los términos contienen masa, por lo que no se requieren. El total de TODAS las energías en lo alto de la inclinación es igual que el total en el plano bajo. Considere el aro: mgho + 0 + 0 = 0 + ½mv2 + ½Iω2; Aro: I = mR2

mgh0 = 12 mv 2 + 12 (mR 2 )

v2 = mv 2 y v = gho R2

h = 16 m

2

v = gh0 = (9.8 m/s )(16 m) o v = 12.5 m/s ! v2 " Ahora para el disco: I = ½mR2 y mgh0 = ? mv 2 + ? (? mR 2 ) # 2 $ o gho = ½ v2 + ¼ v2 %R &

Resolviendo para v se obtiene: v =

4

3

gh0 =

4

3

(9.8 m/s 2 )(16 m)

o v = 14.5 m/s

! v2 " La esfera: I = (2/5)mR2; y mgh0 = ? mv 2 + ? ( 2 5 mR 2 ) # 2 $ ; %R & gh0 = 12 v 2 + 15 v 2 = 107 v 2

156

v=

10 7

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gh0 =

10 7

(9.8 m/s 2 )(16 m) ; v = 15.0 m/s

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Para la caja, no hay rotación:

v = 2(9.8 m/s 2 )(16 m)

mgho = ½ mv2 y o

v 2 = 2 gh0

or

v = 2 gh0

v = 17.7 m/s

El orden de llegada es, primero la caja, la esfera, el disco, y al final el aro. Por supuesto, se ignoro la fricción de la caja la cual es requerida para la rotación de los otros. *11-42. ¿Qué altura debe tener un plano inclinado para que un disco ruede desde una posición de reposo hasta el punto más bajp del plano con una velocidad final de 20 m/s? (conservación de energía). ! v2 " Para el disco: I = ½mR2 y mgh0 = ? mv 2 + ? (? mR 2 ) # 2 $ ; %R &

gho = ½ v2 + ¼ v2 Resuelva para ho:

h=?

3v 2 3(20 m/s) 2 h0 = = 4 g 4(9.8 m/s 2 )

o h = 5.53 m

Momento angular 11-43. Una varilla de acero de 500 g y 30 cm de longitud oscila sobre su centro y gira a 300 rev/min. ¿Cuál es su momento angular? [ω = 300 rpm = 31.4 rad/s; m = 0.5 kg] I=

1 12

mL2 =

1 12

I = 0.00375 kg m2

(0.50 kg)(0.30 m) 2 ;

I! = (0.00375 kg m 2 )(31.4 rad/s) ;

Iω = 0.118 kg m/s2 11-44. En el problema 11-43, ¿qué momento de torsión promedio deberá aplicarse para detener totalmente la rotación en 2 s?

"=

! f # !0 t

=

0 # (31.4 rad/s) = #15.7 rad/s 2 2s

τ = Iα = (0.00375 kg m2)(15.7 rad/s2); τ = 0.0589 N m

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*11-45. Un momento de torsión de 400 N · m se aplica repentinamente en el borde de un disco al inicio en reposo. Si la inercia rotacional del disco es de 4 kg · m2 y el momento de torsión actúa durante 0.02 s, ¿cuál será el cambio en el momento angular? ¿Cuál será la velocidad angular final?

0

cambio del momento angular = impulso angular;

τ Δt = Iωf - Iωο

τ Δt = (400 N m)(0.02 s) = 8.00 kg m/s2 τ Δt = Ιωf = 8.00 kg m/s2

!f =

8.00 kg m/s 2 ; 4 kg m 2

ωf = 2.00 rad/s

*11-46. En la figura 11-14, un disco A de 6 kg, que gira en el sentido de las manecillas del reloj a 400 rev/min, se acopla a un disco B de 3 kg que inicialmente estaba en reposo. El radio del disco A es de 0.4 m y el del disco B es de 0.2 m. ¿Cuál es la rapidez angular combinada después de que los dos discos se acoplan? IA = ½(6 kg)(0.4 m)2 = 0.480 kg m2; IB = ½(3 kg)(0.2 m)2 = 0.060 kg m2

ωAo = 400 rpm = 41.9 rad/s; ωBo = 0; ωAf = ωBf = ωc; Conservación del momento:

!c =

ΙΑωAo + IBωBo = (IA + IB) ωc

I A! A0 (0.48 kg m 2 )(41.9 rad/s) ; = I A + I B 0.48 kg m 2 + 0.060 kg m 2

ωc = 37.2 rad/s *11-47. Suponga que el disco B del problema 11-46 girará inicialmente en el sentido de las manecillas del reloj a 200 rev/min, en la misma dirección que el disco A. ¿Cuál sería entonces la rapidez angular común después de su acoplamiento? Determine positiva la dirección de las manecillas del reloj y use unidades de rpm para la velocidad angular.

ΙΑωAo + IBωBo = (IA + IB) ωc (0.48 kg m2)(400 rpm) + (0.06 kg m2)(200 rpm) = ( 0.48 kg m 2 + 0.060 kg m 2 )ωc 204 kg m2 rpm = 0.54ωc;

ωc = 378 rpm

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*11-48. Suponga que existen las mismas condiciones descritas en el problema 11-46, con excepción de que el disco B gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y A gira en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la velocidad angular combinada después del acoplamiento de los discos? (0.48 kg m2)(400 rpm) + (0.06 kg m2)( –200 rpm) = ( 0.48 kg m 2 + 0.060 kg m 2 )ωc 180 kg m2 rpm = 0.54ωc;

ωc = 333 rpm 11-49. La varilla que conecta los dos pesos de la figura 11-15 tiene un peso insignificante, pero está configurada para permitir que los pesos resbalen hacia fuera. En el instante en que la rapidez angular es de 600 rev/min, las masas de 2 kg están separadas 10 cm. ¿Cuál será la rapidez rotacional cuando las masas estén a 34 cm de distancia una de otra? 34 cm

10 cm 2 kg

2 kg

2 kg

2 kg

Io = (2 kg) 0.05 m)2 + (2 kg)(0.05 m)2; If = (2 kg)(0.17 m)2 + (2 kg)(0.17 m)2 I0 = 0.010 kg m2; If = 0.68 kg m2;

ωo = 600 rpm;

Ioωo = Ifωf; (0.010 kg m2)(600 rpm) = (0.116 kg m2)ωf;

ωf = 51.9 rpm

Problemas adicionales *11-50. Un disco rectificador circular de 6 kg gira inicialmente a 500 rev/min. El radio del disco es de 40 cm. ¿Cuál es la aceleración angular del disco si el eje ejerce una fuerza tangencial de 120 N en el borde? ¿Cuántas revoluciones describirá el disco antes de detenerse? ¿Qué trabajo se realiza y qué potencia se pierde en el proceso? [ω0 = 500 rpm = 52.35 rad/s]

τ = FR = (120 N)(0.40 m) = 48 N m; I = ½mR2 = ½(6 kg)(0.4 m)2 = 0.48 kg m2 τ = Iα ; " =

159

! #(48 N m) = ; I 0.48 kg m 2

α = -100 rad/s2

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2αθ = ωf2 – ωo2;

"=

$! 02 $(52.35 rad/s) 2 = ; 2# 2( $ 100 rad/s 2 )

Trabajo = τθ = (48 N m)(13.7 rad); P=

Trabajo

!=

!0 + ! f 2

=

θ = 13.7 rad = 2.18 rev

Trabajo = 658 J

(52.35 rad/s)+0 = 26.2 rad/s; P = "! 2

P = (48 N m)(26.18 rad/s);

P = 1.26 kW

*11-51. Una rueda de 3 kg con rayos de masa insignificante gira libremente sobre su centro sin fricción alguna. El borde de la rueda, de 40 cm de radio, es golpeado repentinamente con una fuerza tangencial promedio de 600 N durante 0.002 s. (a) ¿Qué impulso angular se le imparte a la rueda? (b) Si la rueda estaba inicialmente en reposo, ¿cuál era su rapidez angular al final del intervalo de 0.002 s?

τ = FR = (600 N)(0.40 m) = 240 N m; I = mR2 = (3 kg)(0.40 m)2; I = 0.48 kg m2

τ Δt = (240 N m)(0.002 s); τ Δt = Iωf – 0; " f =

τ Δt = 0.48 N m s

! #t 0.48 N m s = ; I 0.480 kg m 2

ωf = 1.00 rad/s *11-52. El disco A tiene el triple de la inercia rotacional del disco B. El disco A gira inicialmente en el sentido de las manecillas del reloj a 200 rev/min y el disco B gira en la dirección opuesta a 800 rev/min. Si los dos discos se acoplan, ¿cuál será el régimen común de rotación de los discos combinados? Suponga que la dirección de las manecillas del reloj es positiva:

ΙΑωAo + IBωBo = (IA + IB)ωc; IA = 3 IB (3 IB)(200 rpm) + IB (–800 rpm) = (3IB + IB)ωc – (200 rpm) IB = 4IB ωc ; ! c =

"200 rpm ; 4

ωc = –50.0 rpm

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*11-53. Si los discos del problema 11-52 giran inicialmente en la misma dirección, ¿cuál será su rapidez angular común después del acoplamiento? (La dirección de las manecillas del reloj es positiva.) (3 IB)(200 rpm) + IB (+800 rpm) = (3IB + IB)ωc (1400 rpm) IB = 4IBωc; ! c =

1400 rpm ; 4

ωc = 350 rpm *11-54. El radio de giro de una rueda de 8 kg es de 50 cm. Halle su momento de inercia y su energía cinética cuando está girando a 400 rev/min. ω = 400 rpm = 41.9 rad/s I = mk2 = (8 kg)(0.5 m)2; I = 2.00 kg m2 Ek = ½Iω2 = ½(2 kg m2)(41.9 rad/s)2; Ek = 1750 J *11-55. ¿Cuánto trabajo se requiere para reducir la rotación de la rueda del problema 11-54 a 100 rev/min? Trabajo = cambio en energía cinética Trabajo = ½I wf2 –½Iwo2

ωo = 41.9 rad/s; ωf = 100 rpm = 10.5 rad/s Trabajo = ½(2 kg m2)(10.5 rad/s)2 – ½(2 kg m2)(41.9 rad/s)2 Trabajo = –1644 J 11-56. Una rueda de 2 ft de radio tiene un momento de inercia de 8.2 slug ft2. Una fuerza constante de 12 lb actúa tangencialmente en el borde de la rueda, la cual está inicialmente en reposo. ¿Cuál es la aceleración angular?

τ = Iα; τ = FR = (12 lb)(2 ft) = 24 lb ft "=

! (24 lb ft) = ; I 8.2 slug ft 2

α = 2.93 rad/s2

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*11-57. En el problema 11-56 la rueda se detuvo por completo en 5 s. ¿Cuánto trabajo se realizó? ¿Qué potencia se desarrolló en caballos de fuerza?

θ = ω0t + ½αt2 = 0 + ½(2.93 rad/s2)(5 s)2; θ = 36.6 rad Trabajo = τθ = (24 lb ft)(36.6 rad); Trabajo = 878 ft lb P=

Trabajo 878 ft lb = ; t 5s

P = 175.7 ft lb/s o 0.319 hp *11-58. Una máquina funciona a 1800 rev/min y desarrolla 200 hp, ¿qué momento de torsión desarrolla?

ω = 1800 rpm = 188.5 rad/s; P = 200 hp = 110 000 ft lb P = !" ;

!=

P (110 000 ft lb/s) = ; " 188.5 rad/s

τ = 584 lb ft 11-59. Una fuerza constante de 200 N actúa sobre el borde de una rueda de 36 cm de diámetro y la impulsa a 20 revoluciones en 5 s. ¿Qué potencia se ha desarrollado?

τ = FR = (200 N)(0.18 m); τ = 36.0 N m #=

! 2" (20 rev) = = 25.13 rad/s t 5s

P = τω = (36 N m)(25.13 rad/s); P = 904 W

Preguntas para la reflexión crítica 11-60. Un aro circular con 2 kg de masa y 60 cm de radio gira libremente sobre su centro, al cual está conectado por medio de rayos centrales ligeros. Una fuerza de 50 N actúa tangencialmente sobre el borde de la rueda durante un lapso de 0.02 s. (a) ¿Cuál es el impulso angular? (b) ¿Qué cambio se registra en la cantidad de movimiento angular? (c) Si el aro estaba inicialmente en reposo, ¿cuál fue la rapidez angular final? (d) Aplique el teorema del trabajo y la energía para calcular el desplazamiento angular.

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τ = FR; Impulso = τ Δt τ Δt = FRΔt = (50 N)(0.6 m)(002 s); τ Δt = 0.600 N m s Ιωf – Iωo = τΔt; Cambio en el momentum = 0.600 kg m2/s I = (2 kg)(0.60 m)2 = 1.2 kg m2; Ιωf – Iωo = 0.600 kg m2/s I = mR2;

!f =

0.600 kg m 2 /s 0.600 kg m 2 /s = ; ωf = 0.833 rad/s mR 2 (2 kg)(0.6 m) 2

Trabajo = τθ = FRθ; FRθ = ½Iω2f – 0;

"=

I! 2f 2 FR

=

(0.600 kg m 2 /s)(0.833 rad/s) 2 ; 2(50 N)(0.6 m)

θ = 0.00833 rad 11-61. El ciclo de exprimido de una máquina lavadora disminuye de 900 a 300 rev/min en 4 s. Calcule la aceleración angular. ¿Actúa una fuerza para extraer el agua de la ropa o la ausencia de dicha fuerza produce este efecto? Cuando el ciclo opera a 900 rev/min, la potencia resultante es de 4 Kw. ¿Qué momento de torsión se desarrolla? Si el radio de la tina es de 30 cm, ¿cuál es la rapidez lineal de la ropa que se encuentra cerca del borde inferior?

ωo = 90 rpm = 94.25 rad/s; ωf = 600 rpm = 62.83 rad/s; R = 0.30 m "=

! f # !0 t

=

62.83 rad/s - 94.25 rad/s ; 4s

α = –7.86 rad/s2

P 4000 W = ; " 94.25 rad/s

τ = 42.4 N m

v = ωR = (94.25 rad/s)(0.30 m);

v = 27.7 m/s

P = τω ; ! =

11-62. Un bloque está unido a un cordón que pasa por la ranura de una polea a través de un orificio en la cubierta horizontal de una mesa como se muestra en la figura 11-16. Inicialmente, el bloque gira a 4 rad/s a una distancia r del centro del orificio. Si se tira del cordón desde abajo hasta que su radio es de r/4, ¿cuál será la nueva velocidad angular?

163

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Ioωo = Ifωf ; (mro2)ωo = (mrf2)ωf

El momento angular se conserva: 2 0

"r r! ! f = 2 0 = !0 $ 0 $ rf rf &

" r ! f = (4 rad/s) $ 0 $$ r0 & 4

2

# %% ; '

2

# % = (4 rad/s)(16) %% '

ωf = 64 rad/s *11-63. Suponga que el bloque de la figura 11-16 tiene una masa de 2 kg y gira a 3 rad/s cuando r = 1 m. ¿A qué distancia r la tensión del cordón será de 25 N? Ioωo = Ifωf ; (mro2)ωo = (mrf2)ωf ;

F=

mv 2f rf

;

F=

m! 2f rf2

r02! 0 Sustituya ! f = 2 rf

rf

3

r02! 0 rf2

v2 = ω2r2

= m! 2f rf ; m! 2f rf = 25 N

en m! 2f rf = 25 N y resuelva para rf :

" r 4! 2 # m $ 0 4 0 % rf = 25 N; $ rf % & ' rf =

!f =

rf3 =

mr04! 02 mr 4! 2 ; rf = 3 0 0 25 N 25 N

(2kg )(1 m) 4 (3 rad/s) 2 ; 25 N

rf = 0.849 m u 84.9 cm *11-64. Considere la figura 11-17, en la cual m = 2 kg, M = 8 kg, R = 60 cm y h = 6 m. Escriba la segunda ley de Newton para el caso del disco, en función de la tensión sobre la cuerda, el momento de inercia del disco y la aceleración angular. A continuación, escriba la segunda ley de Newton para masas en caída libre, en función de la tensión sobre la cuerda, la masa y la aceleración lineal. Elimine T de estas dos ecuaciones. Halle la aceleración lineal de la masa de 2 kg, para lo cual ha de recordar que v = ωR, a = αR e I = ½mR2.

164

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!a" (a) τ = FR = Iα; TR = (? MR 2 ) # $ ; %R&

T = ? Ma

R

R

(b) mg – T = ma; mg – (½Ma) = ma

T

(c) 2mg – Ma = 2ma; 2mg = Ma + 2ma

T

a=

2mg 2(2 kg)(9.8 m/s 2 ) = ; M + 2m [8 kg + 2(2 kg)]

M

m

mg

h

2

a = 3.27 m/s

*11-65. Aplique la conservación de la energía para hallar la velocidad de la masa de 2 kg en la figura 11-17 inmediatamente antes de que toque el suelo, que se encuentra 6 m más abajo. Use los datos correspondientes al problema 11-64. Dado: m = 2 kg, M = 8 kg, R = 60 cm y h = 6 m, I = ½MR2

R

Epo de la masa que cae = Ekf de la masa que cae + Ekf del disco en rotación mgh = ½mv2 + ½Iωf2 ;

I = ½MR2;

! v2 " mgh = ? mv + ? (? MR 2 ) # 2 $ ; %R &

ωf2 = vf2/R2

M

mgh = ½mv2 + ¼Mv2

(2 kg)(9.8 m/s2)(6 m) = ½(2 kg)v2 + ¼(8 kg)v2; v2 = 39.2 m2/s2; v = 6.26 m/s *11-66. Aplique la conservación de la energía para hallar la velocidad de la masa de 2 kg en la figura 11-17 inmediatamente antes de que toque el suelo, que se encuentra 6 m más abajo. Use los datos correspondientes al problema 11-64. *11-67. Un estudiante está de pie sobre una plataforma, con los brazos extendidos, sosteniendo una pesa en cada mano, de manera que su inercia rotacional es de 6.0 kg m2. La plataforma inicia un movimiento constante de rotación a 90 rev/min sin fricción alguna. Ahora el estudiante puede reducir la inercia rotacional a 2 kg m2 si retrae las pesas acercándolas a su cuerpo. (a) ¿Cuál será el nuevo régimen de rotación en ausencia de un momento de torsión externo? (b) ¿Cuál es la razón entre la energía cinética final y la energía cinética inicial? (c) Explique el incremento en la energía. [ωo= 90 rpm, Io = 6 kg m2, If = 2 kg m2]

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m

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h

Conservacion del momento: Ioωo = Ifωf (6 kg m2)(90 rpm) = (2 kg m2) ωf;

ωf = 270 rpm ωo = 90 rpm = 9.425 rad/s; ωf = 270 rpm = 28.27 rad/s Ekf Ek 0

=

? I f ! 2f ? I 0! 02

=

? (2 kg m 2 )(28.27 rad/s) 2 ; ? (6 kg m 2 )(9.425 rad/s) 2

Ek/Ef = 3.00 La energía cinética final es tres veces la energía inicial. El incremento en energía proviene del trabajo que se realiza sobre las masas para acercarlas al cuerpo. 11-68. Considere el aparato que se muestra en la figura 11-18. Imagine la polea grande como un disco de 6 kg y 50 cm de radio. La masa de la derecha es de 4 kg y la masa de la izquierda es de 2 kg. Considere tanto la energía de rotación como la de traslación y calcule la velocidad inmediatamente antes que la masa de 4 kg toque el piso. Conservación de energía: La energía potencial inicial de la masa a la derecha es igual a la suma de las energías potencial y cinética finales, incluidas la Ek de rotación y la Ek de traslación. Tres masas:

2

2

R M

m2

2

m2gh = m1gh + ½m2v + ½m1v + ½Iω

Sustituya I = ½MR2 y ωf2 = v2/R2

m1

h

m2gh = m1gh + ½m2v2 + ½m1v2 + ½(½MR2)(v2/R2) m2gh = m1gh + ½m2v2 + ½m1v2 + ¼Mv2 ½m2v2 + ½m1v2 + ¼Mv2 = m2gh – m1gh ½(4 kg)v2 + ½(2 kg)v2 + ¼(6 kg)v2 = (4 kg)(9.8 m/s2)(6 m) – (2 kg)(9.8 m/s2)(6 m) 2v2 + v2 + 1.5 v2 = 117.6 m2/s2; v = 5.11 m/s

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