Universidad San Buenaventura Bogotá. Gutierrez Villegas Camilo.
Tipos de respuesta de los circuitos rlc. Gutierrez,Camilo., Ortiz, Andres Felipe y Urrea, Sebastian. {
[email protected], } Circuitos AC Universidad San Buenaventura Bogotá
En este trabajo explicaremos los circuitos que contienen dos elementos almacenadores de energ a ́ diferentes, como son una bobina y un capacitor y veremos que estos circuitos son descritos por una ecuacio n diferencial de segundo orden, tambi e n ́ ́ encontraremos la respuesta natural, forzada y completa de e stos circuitos. Comenzaremos nuestro ́ estudio con dos ejemplos cl a sicos, para llegar ́ obtener la ecuacio n ba sica del circuito.
́
́
iR + iL + iC = is(t) es decir:
De manera similar, la ecuacio n para el circuito RLC ́ serie (b) se puede obtener aplicando LKV a la malla existente:
vR + vC + vL = vs(t )
es decir
Note que la ecuacio n para el voltaje nodal del ́ circuito RLC paralelo es de la forma que la de la corriente de malla del circuito RLC serie. Por tanto la solucio n de esos circuitos depende de que se
́
resuelva una ecuacio n. Si ambas ecuaciones anteriores se derivan ́ con respecto al tiempo, obtenemos:
Para comenzar nuestro ana lisis vamos a suponer que ́ la energ a puede ser almacenada inicialmente en la ́ bobina y en el capacitor. La La ecuacio n para el circuito ́ RLC paralelo (a), se obtiene de aplicar LKC al nodo de arriba:
Escrito rlc
Universidad San Buenaventura Bogotá. Gutierrez Villegas Camilo.
Se obtiene K=A/a2=xf (t), por tanto la solucio n total ́ ser a:
́
x(t) = A/a2 + xn(t)
Como ambos circuitos conducen a una ecuaci o n ́ diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, vamos a concentrar nuestro an a lisis en ́ este tipo de ecuacio n.
Ahora para encontrar la respuesta natural, hacemos la ecuacio n diferencial de segundo orden igual cero:
́
́
Solucio ́ n a la ecuacio ́ n diferencial de segundo orden
Vamos a emplear el mismo m e todo que hicimos con ́ los circuitos de primer orden para obtener la solucio n ́ de la ecuacio n diferencial de segundo orden que ́ resulta del ana lisis de los circuitos RLC.
donde a1 y a2 son constantes. Por conveniencia y simplicidad rescribimos la ecuacio n diferencial de la ́ siguiente forma:
́
De manera general, en este caso tenemos una ecuacio n de la forma:
́
donde hemos hechos las siguientes sustituciones 2 simples para las constantes a1 = 2ζω y a2 = ωn . Haciendo las mismas consideraciones hechas en el caso de la ecuaci o n de primer orden, la solucio n de
́
Para f(t) ≠ 0 vamos a tener dos respuestas: la respuesta forzada x f (t) (t) y la respuesta natural x n(t), entonces la solucio n completa de la ecuacio n original ́ ́ es: x(t) = x f (t) + xn(t)
la ecuacio n homoge nea debe ser una funcio n cuyas ́ y segundo orden tienen ́ derivadas ́ de primero la misma forma, de modo que el lado izquierdo de la ecuacio n homoge nea se har a ide nticamente cero para ́ ́ ́ ́ todo t. Suponemos una solucio n exponencial para la ́ respuesta natural, st
Si, por el momento nos limitamos a una funcio n de ́ forzamiento constante (es decir, f(t) = A), entonces la respuesta forzada se puede calcular sustituyendo xf (t) = K (donde K es una constante) en la ecuaci o n
́
diferencial segundo orden, obtenemos el valor de la respuestade forzada como sigue:
Escrito rlc
́
xn(t) = K℮ y sustituimos esta expresio n en la ́ ́ ecuacio n homoge nea, para obtener:
́
2
́
K℮st + 2ζωnsK℮st + ωn2K℮st = 0, Dividiendo ambos st lados de la ecuacio n entre K ℮ se obtiene: ́
s
2
s
+2ζωns+ωn2 =0
Universidad San Buenaventura Bogotá. Gutierrez Villegas Camilo.
Esta ecuacio n comu nmente se llama ecuacio n ́ ́ ́ caracter stica; ζ se llama razo n o coeficiente de ́ ́ amortiguamiento y a ωn se le llama frecuencia resonante no amortiguada. La importancia de e sta ́ terminolog a se har a clara conforme avancemos con ́ ́ el desarrollo de este ana lisis. Si e sta ecuacio n se ́ ́ ́ st satisface, nuestra solucio n supuesta xn(t) = K ℮ es ́ correcta.
Donde K 1 y K 2 son constantes que pueden ser evaluadas v a las condiciones iniciales
́
x(0) y dx(0)/dt. Por ejemplo ya que:
De aqu , x(0) y dx(0)/dt producen dos ecuaciones ́ simulta neas, que cuando se resuelven dan las ́ constantes K 1 y K 2. Empleando la f o rmula cuadr a tica, encontraremos ́ ́ que la ecuacio n caracter stica se satisface si:
Respuesta natural de los circuitos de segundo orden
Por lo tanto hay dos valores stica: de s, s1 y s2 que o n caracter satisfacen la ecuaci
Un examen minucioso de las ecuaciones s 1 y s2 indica que la forma de la solucio n de la ecuacio n ́ ́ homoge nea depende del valor de ζ. Por ejemplo, si ζ ́ > 1, las ra ces de la ecuacio n caracter stica s1 y s2, ́ ́ ́ tambie n llamadas frecuencias naturales debido a que ́ determinan la respuesta natural de la red, son reales y diferentes; si ζ < 1, las ra ces son nu meros ́ ́ complejos; y finalmente, si ζ = 1,, las ra ces son ́ reales e iguales. Cada uno de esos casos es muy importante; por lo tanto, examinaremos ahora cada uno con algu n detalle.
́
́
́
́
Esto significa que x que xc1 (t ) = K 1e s1t es una solucio n de ́ la ecuacio n homoge nea y que x que xc2 (t ) = K 2e s2t tambie n ́ ́ ́ es una solucio n a la ecuacio n homoge nea; es decir,
́
́
́
́
Respuesta sobre amortiguada
Veamos el caso, donde ζ > 1, en este caso a la solucio n se le llama respuesta sobre amortiguada. ́ Las frecuencias naturales s1 y s2 son reales y diferentes, tanto,onladiferencial respuesta de natural de la red descrita porpor la ecuaci segundo orden ́ es de la forma: La suma de estas dos ecuaciones produce la igualdad: i gualdad:
xn (t ) = K 1e s1t + K 2e s2t , donde s1 y s2 toman los valores:
Es importante advertir que la suma de las dos soluciones tambie n es una solucio n. Por lo tanto, en ́ ́ general, la solucio n complementaria de la ecuacio n
Donde K 1 y K 2 se encuentran de las condiciones iniciales. Esto indica que la respuesta
homoge nea es de la forma:
natural es la suma de dos exponenciales decrecientes.
xn(t )= K 1e s1t + K 2e s2t
Respuesta Subamortiguada
́
́
Escrito rlc
́
Universidad San Buenaventura Bogotá. Gutierrez Villegas Camilo.
Ahora consideremos el caso en que ζ < 1, en este caso a la solucio n se le llama respuesta subamortiguada. ́ Como ζ < 1, las ra ces de la ecuacio n caracter stica ́ ́ ́ dada pueden escribirse como:
ilustra que la respuesta natural es una respuesta oscilatoria exponencialmente amortiguada. Respuesta cr iticamente amortiguada ́
Por u ltimo el caso en que ζ = 1, en este caso a la ́ solucio n se le llama respuesta cr ticamente ́ ́ amortiguada. Como ζ = 1, la parte del radical de las ra ces s1 y s2 se hacen cero y esto genera:
́
s1 = s2 = -ζωn. Por consiguiente x consiguiente xn (t ) = K 3e−ζωnt As las frecuencias naturales son n u meros complejos. ́ ́ La respuesta natural es entonces:
́
xn (t ) = K 1e−(σ −− j jωωd )t + K 2e−(σ ++ j jωωd )t ,
En el caso donde la ecuaci o n caracter stica tiene ́ una soluci ́ o n de la ra ces repetidas, puede obtenerse ́ ́ siguiente manera. Si se sabe que x 1(t) es una solucio n ́ de la ecuacio n homoge nea de segundo orden, ́ ́ entonces v a la sustitucio n x(t) = x 1(t)y(t) podemos ́ ́ transformar la ecuacio n diferencial dada en una ́ ecuacio n de primer orden en dy(t)/dt. Como esta ́ ecuacio n resultante es so lo una funcio n de y(t), puede ́ ́ ́ resolverse para encontrar la solucio n general x(t) = ́ x1(t)y(t)
que se puede escribir como: −σt jωd t − jω jωd t xn(t )=e−σt ( K K 1e jω + K 2e )
Utilizando las identidades de Euler: j jθ θ
±
e
=
donde K 3 = K 1 + K 2. Sin embargo esta no puede ser una solucio n a la ecuacio n diferencial de segundo ́ ́ orden, debido a que en general no es posible satisfacer las dos condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt con la u nica constante K 3.
cosθ ± jsenθ ,
obtenemos: −σt ], [ K xn(t )=e−σt K 1(cosωd t + jsenωd t )+ K 2(cosωd t − jsenωd t ))],
Para nuestro caso, s1 = s2 = - ζωn. Por simplicidad hacemos α = ζωn, y, de aqu, la ecuacion basica es:
́
reduciendo esto tenemos:
́
́
−σt senωd t ]],, xn(t )=e−σt [( K K 1 + K 2)cosωd t +( jK jK 1 − jK 2) sen
que lo podemos escribir como: −σt −σt
x (t ) = e
−αt Y una solucio n conocida es x es x((t )= Ke−αt
́
( A A cosω t + A senω t )
Donde A1 y A 2 como K 1 y K 2 son constantes que se evalu an usando las condiciones iniciales x(0) y ́ dx(0)/dt. Si xn(t) es real, K 1 y K 2 ser a n complejos y
́
*
K 2 = K 1 . A1 = K 1 + K 2 es, por tanto, dos veces la parte real de K 1 y A2 = jK 1 - jK 2, es dos veces la parte imaginaria de K 1. A1 y A2 son nu meros reales. Esto
́
Escrito rlc
Empleando la -αt x2(t) = x1(t)y(t) = K 3℮ y(t), la ecuacio n cuadr a tica se convierte en:
́
́
sustitucio n:
́
Universidad San Buenaventura Bogotá. Gutierrez Villegas Camilo.
Evaluando las derivadas obtenemos:
Si sustituimos esas expresiones en la ecuaci o n ́ precedente se obtiene:
y(t) = A1 + A2t. Por ende la solucio n general es:
́
-αt
x2(t) = x1(t)y(t) = K 3℮ (A1 + A2t), la cual xn(t) puede escribirse como: x (t )= x (t )= Be−ζωnt + B te−ζωnt ,
donde B1+ B2 son constantes derivadas de las condiciones iniciales. La Figura 7.3.1 ilustra gr a ficamente los tres casos ́ para las situaciones en las que xn(0) = 0. Advertimos que la respuesta cr ticamente amortiguada tiene un ́ pico y decae ma s r a pido que la respuesta sobre ́ ́ amortiguada. La respuesta subamortiguada es una senoide exponencialmente amortiguada cuya velocidad de decaimiento depende del factor ζ. En Escrito rlc
realidad los te rminos ±e ±e−ζωnt definen lo que se ́ llama la envolvente de la respuesta, y las oscilaciones amortiguadas (es decir, las oscilaciones de amplitud decreciente) exhibidas por la forma de onda de la figura se llaman oscilaciones amortiguadas.
Universidad San Buenaventura Bogotá. Gutierrez Villegas Camilo.
Escrito rlc
