Tipos de Geometría

 

Tipos de geometría Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran: Geometría euclidiana Geometría plana Geometría del espacio Geometría no euclidiana Geometría algebraica Geometría analítica Geometría clásica Geometría de dimensiones bajas Geometría descriptiva Geometría diferencial Geometría de curvas y superficies Geometría de Riemann Geometría diferencial de curvas Geometría diferencial de hipersuperficies Geometría diferencial de superficies Geometría diferencial de variedades Geometría diferencial discreta Geometría proyectiva

Otros tipos de geometría Geometría absoluta

Geometría afín

 

Geometría computacional Geometría constructiva de sólidos Geometría conforme Geometría convexa Geometría de incidencia Geometría discreta Geometría elíptica Geometría esférica Geometría finita Geometría fractal Geometría hiperbólica Geometría molecular  Geometría ordenada Geometría sagrada Geometría sintética

Diferentes tipos de geometrías

a geometría moderna abarca desde el estudio de las formas bidimensionales a los campos gravitacionales!

La geometría es el estudio de formas y tamaños en diversas dimensiones. La mayoría de las bases de la geometría fueron descritas en "Elementos" de Euclides, uno de los tetos matem!ticos m!s antiguos. in embargo, la geometría #a progresado desde tiempos antiguos. Los problemas de geometría modernos no s$lo involucran figuras en dos y tres dimensiones, sino tambi%n problemas m!s comple&os como el estudio de los diferenciales y los campos gravitacionales.

Geometría euclidiana

 

a geometría euclidiana o clásica es la más conocida y es la ense"ada en la mayoría de las escuelas# especialmente en niveles bajos! Euclides describió esta geometría a detalle en su obra $Elementos$# %ue es considerada uno de los pilares de las matemáticas! El impacto de $Elementos$ es tal# %ue por casi &!''' a"os# no se uso ning(n otra clase de geometría!

Geometría no euclidiana a geometría no euclidiana es esencialmente# una extensión de los principios de geometría de Euclides sobre objetos tridimensionales! a geometría no euclidiana# también llamada geometría hiperbólica o elíptica# incluye la geometría esférica# la geometría elíptica y más! Esta rama de la geometría muestra cómo los teoremas familiares# tales como la suma de los ángulos de un triángulo# resultan diferentes cuando se aplican en el espacio tridimensional!

Geometría analítica a geometría analítica es el estudio de las figuras geométricas y construcciones mediante el uso de un sistema de coordenadas! as líneas y las curvas son representadas como un conjunto de coordenadas# relacionadas por una regla de correspondencia# %ue usualmente es una función o una relación! os sistemas de coordenadas más utili)ados son el cartesiano# el polar y el paramétrico!

Geometría diferencial a geometría diferencial estudia planos# líneas y superficies en el espacio tridimensional# usando los principios del cálculo integral y diferencial! Esta rama de la geometría se enfoca en diversos problemas# como las superficies de contacto# geodésicas *el camino más corto entre dos puntos sobre la superficie de una esfera+# variedades complejas y muchos otros! a aplicación de esta rama de la geometría abarca desde problemas de ingeniería al cálculo de campos gravitacionales!

La diferencia entre la geometría euclidiana y la esf%rica

La geometría se #a utili'ado desde los primeros días de la civili'aci$n. Los antiguos egipcios y otras civili'aciones antiguas desarrollaron y utili'aron las matem!ticas en sus primeras formas de construir ciudades, revolucionaron su mundo y allanaron el camino para los futuros desarrollos en los campos de la ciencia y las matem!ticas. Los principios de las matem!ticas #an mantenido su verdad a trav%s de las distintas %pocas, incluso a medida (ue se #an desarrollado. La definici$n de Euclides de lo (ue llamamos geometría euclidiana es un ladrillo dentro de la fundaci$n de la matem!tica moderna.

 

Geometría euclidiana La geometría euclidiana est! descrita en "Los Elementos", (ue el matem!tico griego Euclides escribi$ en el año )** +. En esa obra se incluyen -) libros, (ue presentan los cinco postulados y principios en (ue se basa la geometría euclidiana. Esta obra es la primera entrega sistem!tica de lo (ue se conoce como geometría. Euclides observ$ las propiedades de los círculos, los cuadrados, los tri!ngulos, los planos y otras entidades geom%tricas, y registr$ estas propiedades como una serie de aiomas y teoremas (ue siguen siendo relevantes #oy en día. Estos cinco principios est!n típicamente establecidos de la siguiente forma dos puntos determinan una línea/ una línea recta se puede etender infinitamente/ dado un punto y una distancia, se puede etraer un círculo con el punto como centro y la distancia como su radio/ todo los !ngulos rectos son iguales/ y dado un punto p y una recta l, #ay eactamente una recta (ue pasa por p no en l (ue es paralela a l. Tambi%n se incluyen en los "Elementos" las siguientes cinco ideas las cosas (ue son iguales a otra cosa tambi%n son iguales entre sí/ y si son iguales y se añaden cosas iguales, entonces los totales son iguales/ y si son iguales y se restan cosas iguales, entonces los restos son iguales/ las cosas (ue coinciden con otra son iguales a la tercera/ y el con&unto es mayor (ue la parte. La geometría no euclidiana a geometría no  no euclidiana euclidiana  es cual%uier campo de la geometría %ue no es  es  euclidiana euclidiana  en su naturale)a! En las geometrías no euclidianas# el %uinto postulado de la geometría  euclidiana# conocido como teorema del postulado de las paralelas# dado un punto p y una recta l# hay exactamente una recta (ue recta (ue pasa por p %ue es paralela a l , no es válido! -e trata de un estudio de las formas las formas geom%tricasy geom%tricasy los objetos %ue no se comportan de acuerdo con los axiomas y postulados establecidos en la geometría euclidiana! .l contrastar las dos descripciones generales de geometría# se consideran dos líneas rectas en un plano de dos dimensiones %ue se extienden indefinidamente# son paralelas entre sí y son perpendiculares a una tercera línea! En la geometría euclidiana# estas líneas se mantienen a una distancia constante la una de la otra# y permanecen paralelas! En algunas geometrías no euclidianas# las líneas se curvan distanciándose la una de la otro! En otras geometrías no euclidianas# las líneas se curvan una hacia la otra y se cru)an!

Geometría elíptica En su sentido más amplio# la geometría elíptica es descrita como una geometría no  no  euclidiana en la %ue si se da una recta l y un punto p# una línea paralela a l %ue pase por p no existe! El postulado de Euclides del teorema de las paralelas no es cierto en la geometría elíptica! En la geometría elíptica# no existen líneas paralelas en absoluto! /na de las propiedades las  propiedades de la geometría elíptica# %ue difiere de la geometría  geometría  euclidiana# es %ue la suma de los ángulos de un

 

triángulo en la geometría elíptica es siempre mayor %ue 01' grados! El teorema de 2itágoras también falla en la geometría geometría elíptica! 3ay dos tipos principales de geometría elíptica: la esférica y la proyectiva!

Geometría esf%rica a geometría esférica es un sub,conjunto de la geometría elíptica! Es la geometría de la superficie de una esfera en dos dimensiones! os conceptos básicos de los puntos y las líneas se definen como en la geometría plana  plana  euclidiana# pero las líneas están definidas de tal forma %ue la distancia más corta entre dos puntos se encuentra a lo largo de ellos! as líneas de la geometría esférica son círculos máximos# %ue son los círculos más grandes %ue se pueden dibujar en una esfera! El ecuador El  ecuador es un ejemplo de un gran círculo! as aplicaciones prácticas de esta geometría incluyen los principios de la navegación y la astronomía!

Geometría #iperb$lica a geometría hiperbólica es una geometría no  no  euclidiana# y es también conocida como lobachevs4iana o geometría 5olyai,lobachevs4iana! El postulado del teorema de las paralelas de la geometría  geometría euclidiana euclidiana  no es cierto en la geometría hiperbólica! En la geometría euclidiana# dada una línea l y un punto p %ue no está en la línea en dos dimensiones# hay exactamente una línea a través de p %ue no interseca l# o# en otras palabras# es paralela a l! En la geometría hiperbólica# hay al menos dos líneas (nicas# llamadas asíntotas# %ue pasan a través de p y %ue no %ue  no se intersecan l! os ángulos de un triángulo en la geometría hiperbólica suman menos %ue un ángulo recto o 01' grados! 6ambién hay triángulos hiperbólicos ideales donde los tres ángulos son iguales a cero grados! a geometría hiperbólica es crucial en la 6eoría de la Relatividad de Einstein y se utili)a ampliamente en el campo de la topografía!

Tipos de geometría Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran: geometría plana y del espacio Geometría euclidiana a geometría euclidiana *o geometría parabólica+ es a%uella %ue estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional! En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con superiores con propiedades similares! -in embargo# con frecuencia# geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana y de geometría clásica! 7ragmento de os elementos de Euclides# escrito en papiro# hallado en el yacimiento de 8xirrinco *Egipto+! 9esde un punto de vista historiográfico# la geometría euclidiana es a%uella

 

geometría %ue postuló Euclides# en su libro os elementos# dejando al margen las aportaciones %ue se hicieron posteriormente desde .r%uímedes hasta ;a4ob -teiner! -eg(n la contraposición entre método sintético y método algebraico,analítico# la geometría euclidiana sería# precisamente# precisamente# el estudio por métodos sintéticos de los invariante invariantes s de un espacio vectorial real de dimensión < dotado de un producto escalar muy concreto *el frecuentemente denominado =producto escalar habitual>+! -eg(n el programa de Erlangen# la geometría euclidiana sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclidiano *espacio vectorial real de dimensión finita# dotado de un producto escalar+!

Geometría plana a geometría plana es una parte de la geometría euclidiana %ue trata de a%uellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano! a geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana# pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones!

Geometría espacial a geometría espacial o geometría del espacio es la rama de la geometría %ue se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo! Entre estas figuras# también llamadas sólidos# se encuentran el cono# el cubo# el cilindro# la pirámide# la esfera# el prisma# los poliedros regulares *los sólidos platónicos# convexos# y los sólidos de ?epler,2oinsot# no convexos+ y otros poliedros! a geometría del espacio amplía y refuer)a las proposiciones de la geometría plana# y es la base fundamental de la trigonometría esférica# la geometría analítica del espacio# la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas! -e usa ampliamente en matemáticas# en ingeniería y en ciencias naturales! lamamos cuerpos geométricos a las figuras %ue se han de representar en el espacio tridimensional! os cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio!  .simismo# los cuerpos cuerpos %ue están huecos huecos pueden pueden albergar albergar en su interior interior otros cuerpos cuerpos en una una cantidad %ue recibe el nombre de capacidad! Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen %ue éste ocupa! a geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes *@#A#B+:

 

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8rtogonales *perpendiculares & a &+

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Cormali)ados *las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales+

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9extrógiros *el tercer eje es producto vectorial de los otros &+

Geometría no euclidiana -e denomina geometría no euclidiana o no euclídea# a cual%uier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en alg(n punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos! Co existe un sólo tipo de geometría no euclídea# sino muchos# aun%ue si se restringe la discusión a espacios homogéneos# en los %ue la curvatura del espacio la misma en cada punto# en los %ue los puntos del puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:

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a geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero!

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a geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa!

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a geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva!

6odos estos son casos particulares de geometrías riemannianas# en los %ue la curvatura es constante# si se admite la posibilidad de %ue la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general# como sucede en la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio tiempo# siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa# lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo!

Geometría riemanniana En geometría diferencial# la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de RiemannD es decir de una aplicación %ue a cada punto de la variedad# le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente# aplicación %ue varía suavemente de un punto a otro! Esto da ideas locales de *entre otras magnitudes+ ángulo#

 

longitud de curvas# y volumen! . partir de éstas# pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales! 7ue propuesta por primera ve) de forma general por 5ernhard Riemann en el siglo @@! Fomo casos especiales particulares aparecen los dos tipos convencionales *geometría elíptica y geometría hiperbólica+ de geometría Co,Euclidiana# así como la geometría euclidiana misma! 6odas estas geometrías se tratan sobre la misma base# al igual %ue una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas %ue varían de punto a punto!

Geometría analítica a geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis  y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas! -u desarrollo histórico matemático y matemático comien)a con la geometría cartesiana# impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Farl 7riedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica! .ctualmente la geometría analítica tiene m(ltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería# pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones! Otras Geometría diferencial# proyectiva# descriptiva# de incidencia!