TI 2001 or 1 - Kuliah 07 - Analisis Sensitivitas - 11 MAR 14 (1)
October 16, 2017 | Author: BrYan Wpe | Category: N/A
Short Description
Download TI 2001 or 1 - Kuliah 07 - Analisis Sensitivitas - 11 MAR 14 (1)...
Description
Analisis Sensitivitas (Sensitivity Analysis) Kuliah 07
TI 2001 Penelitian Operasional I
1
Materi Bahasan ① Pengertian analisis sensitivitas ② Analisis sensitivitas dengan metode grafis ③ Analisis sensitivitas dengan metode simplex
TI 2001 Penelitian Operasional I
2
① Pengertian Analisis Sensitivitas
TI 2001 Penelitian Operasional I
3
Analisis Sensitivitas • Analisis thd. perubahan solusi optimal & nilai optimal krn. perubahan parameter model (data input). • Perubahan: 1) Koefisien fungsi tujuan, c 2) Konstanta ruas kanan, b 3) Koefisien teknologi, aij • Penambahan aktivitas atau variabel baru • Perubahan pengunaan sumber dari aktivitas (perubahan kolom) • Penambahan pembatas baru TI 2001 Penelitian Operasional I
4
Efek dari Perubahan Parameter Model • Perubahan parameter model yg. mempengaruhi optimalitas : – Perubahan koefisien fungsi tujuan – Penambahan aktivitas (variabel) baru – Perubahan penggunaan sumber daya dari aktivitas
• Perubahan parameter model yg. mempengaruhi kelayakan : – Perubahan konstanta ruas kanan – Penambahan pembatas baru TI 2001 Penelitian Operasional I
5
② Analisis Sensitivitas dengan Metode Grafis
TI 2001 Penelitian Operasional I
6
Analisis Sensitivitas – Perubahan Konstanta Ruas Kanan (ketersediaan SumberDaya)
• Masalah Sensitivitas 1 – Berapa banyak suatu sumber daya dapat ditingkatkan untuk memperbaiki nilai fungsi tujuan optimum Z* ? – Berapa banyak suatu sumber daya dapat diturunkan tanpa menyebabkan perubahan solusi optimum x*saat ini?
TI 2001 Penelitian Operasional I
7
Pembatas binding dan nonbinding (1) • Pembatas – Binding sumber daya yg langka (scarce resource) – Non-binding sumber daya yg berlebihan (abundant resource)
TI 2001 Penelitian Operasional I
8
Contoh Masalah Produk Campuran (*) Variabel keputusan: x1 = jumlah cat eksterior yang diproduksi per hari x2 = jumlah cat interior yang diproduksi per hari
(*) Contoh persoalan PL yg telah dibahas sebelumnya TI 2001 Penelitian Operasional I
9
Contoh Masalah Produk Campuran (*) Pembatas: 1) Ketersediaan bahan Bahan A : x1 + 2x2 6 Bahan B : 2x1 + x2 8
2) Permintaan Selisih permintaan : Permintaan cat interior :
x2 – x1 1 x2 2
3) Pembatas tak negatif x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 TI 2001 Penelitian Operasional I
10
Contoh Masalah Produk Campuran (*)
Fungsi Tujuan: Memaksimumkan Pendapatan Total : Z = 3x1 + 2x2
TI 2001 Penelitian Operasional I
11
Contoh Masalah Produk Campuran (*)
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2 6 2x1 + x2 8 –x1 + x2 1 x2 2 x1, x2 ≥ 0
TI 2001 Penelitian Operasional I
12
x2
(6)
Pembatas binding dan nonbinding (2) Pada Titik Optimal C, pembatas-pembatas yang binding (aktif) & non-binding (nonaktif) adalah : Binding (1) : Bahan A (2) : Bahan B Nonbinding (3) : Selisih permintaan (4) : Permintaan cat interior
(2)
(4)
E (3)
F
D C
(1)
(5)
B A
TI 2001 Penelitian Operasional I
13
x1
x2
(6)
Peningkatan Pembatas (1) : x1 + 2x2 6 Bila b1= 7, Titik K merupakan solusi optimum baru : x1* = 3, x2* = 2; Z* = 13 Bahan A dapat ditingkatkan s.d. = 3(1) + 2(2) = 7 ton.
(2)
Bila b1>7, solusi optimum tetap di Titik K. (4)
K
E (3)
F
D C
(1) B
A
Pembatas (1) : ditingkatkan : b1 p, dimana p>7
Pembatas (1) :ditingkatkan : b1 7 Pembatas (1) :posisi awal : b1 6
x1
x2
(6)
Peningkatan Pembatas (2) : 2x1 + x2 8
Pembatas (2) : posisi awal : b2 8
(2)
Pembatas (2) : ditingkatkan : b2 p, dimana p>12
Pembatas (2) : ditingkatkan : b2 12
Bila b2=12, Titik J adalah solusi optimum baru : x1* = 6; x2* = 0; Z* = 18. Bahan B dapat ditingkatkan s.d. = 2(6) + 1(0) = 12 ton. Bila b2>12, solusi optimum tetap di Titik J.
(4)
E (3)
F
D C
(1) B
A
(5) J
TI 2001 Penelitian Operasional I
15
x1
x2
(6)
Penurunan Pembatas (3) : -x1 + x2 1 Konstanta ruas kanan : – x1 + x2 = -31/3 + 11/3 = -2 atau pembatas menjadi: – x1 + x2 -2 x1 - x2 ≥ 2 Solusi optimal pada Titik C saat ini tak berubah walaupun selisih antara permintaan eksterior dg. interior menjadi 2 ton.
(2)
(4)
E (3)
F
D C
(1)
(5)
B A
TI 2001 Penelitian Operasional I
16
x1
x2
(6)
Penurunan Pembatas (4) : x2 2 Konstanta ruas kanan : x2 = 11/3 atau pembatas menjadi: x2 11/3
(2)
Solusi optimal pada Titik C saat ini tdk berubah walaupun batas permintaan cat interior turun hingga 11/3 ton.
(4)
E (3)
F
D CC
(1)
(5)
B A
TI 2001 Penelitian Operasional I
17
x1
Analisis Sensitivitas – Sumberdaya yang diprioritaskan untuk ditingkatkan
• Masalah sensitivitas – Sumberdaya mana yang perlu ditingkatkan?
Zi yi max bi max
maxZi = perubahan maksimum dari nilai Z akibat peningkatan pembatas i maxbi = perubahan maksimum dari sumber daya/pembatas i yi = shadow price pembatas i TI 2001 Penelitian Operasional I
18
Shadow price Perubahan maksimum dari fungsi tujuan (x 1.000)
Shadow price
Sumber daya
Jenis
Perubahan maksimum dari sumber daya
1
Langka
7 – (6) = 1
13 – 122/3 = 1/3
(1/3)/1 = 1/3
2
Langka
12 – (8) = 4
18 – 122/3 = 51/3
(51/3)/4= 4/3
3
Berlimpah
– 2 – (1) = –3
122/3 – 122/3 = 0
0
4
Berlimpah 11/3 – (2) = – 2/3
122/3 – 122/3 = 0
0
TI 2001 Penelitian Operasional I
19
Interpretasi • Sumber daya 2 (bahan B) seharusnya mendapatkan prioritas dalam pengalokasian dana • Sumber daya 3 dan 4 tidak perlu ditingkatkan
TI 2001 Penelitian Operasional I
20
Analisis Sensitivitas - Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan • Perubahan koefisien fungsi tujuan akan mempengaruhi slope dari garis lurus yg merepresentasikannya. • Perubahan koefisien fungsi tujuan akan mengubah status dari suatu sumber daya (langka atau berlimpah) • Pertanyaan: – Berapa besar koefisien fungsi tujuan dpt diubah tanpa menyebabkan perubahan pada solusi (titik) optimal. – Berapa besar koefisien fungsi tujuan dpt diubah utk mengubah status sumber dari berlimpah ke langka, dan sebaliknya.
TI 2001 Penelitian Operasional I
21
Analisis Sensitivitas - Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Pada contoh kasus yang telah dibahas sebelumnya : Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 s/t : x1 + 2x2 6 2x1 + x2 8 – x1 + x2 1 x2 2 x1,, x2 ≥ 0 TI 2001 Penelitian Operasional I
22
Analisis Sensitivitas - Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan (6)
x2
(2) Peningkatan c2 Penurunan c1
Titik C tetap sebagai titik optimal sepanjang slope dari Z berubah antara slope pembatas (1) dan (2)
(4)
E (3)
F
D C
(1) B
A
Peningkatan c1 Penurunan c2
TI 2001 Penelitian Operasional I
(5) 23
x1
x2
Analisis Sensitivitas - Perubahan Koefisien Suatu Fungsi Bentuk Fungsi : Z = c1x1 + c2x2
Z = 6x1 + 2x2 Z = 3x1 + 2x2
TI 2001 Penelitian Operasional I
24
x1
x2
Analisis Sensitivitas - Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan (6)
Slope Z sama dengan slope pembatas (1)
(2)
(4)
E (3)
F
D C
(1)
(5)
B A
TI 2001 Penelitian Operasional I
25
x1
Analisis Sensitivitas - Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan (6)
x2
Slope Z sama dengan slope pembatas (2)
(2)
(4)
E (3)
F
D C
(1)
(5)
B A
TI 2001 Penelitian Operasional I
26
x1
Rentang c1 untuk mempertahankan solusi optimal pada titik C (dengan c2 tetap) Minimum dari c1 → slope Z = slope pembatas (1): F. Tujuan : Z = 3x1 + 2x2 Pembatas (1) : x1 + 2x2 6 → c1/c2 = ½ Slope Z = c1min/c2 = c1min/2 = ½ → c1min = 1.
Maksimum dari c1 → slope Z = slope pembatas (2) : Pembatas (2) : 2 x1 + x2 8 → c1/c2 = 2/1 = 2 Slope Z = c1max/c2 = c1max/2 = 2 → c1max = 4. Rentang c1 agar titik C tetap sebagai titik optimal:
1 c1 4
TI 2001 Penelitian Operasional I
27
Rentang c2 untuk mempertahankan solusi optimal pada titik C (dengan c1 tetap) Minimum dari c2 → slope Z = slope pembatas (2): F. Tujuan : Z = 3x1 + 2x2 Pembatas (2) : 2x1 + x2 8 → c1/c2 = 2/1 Slope Z = c1/c2min = 3/c2min = 2/1 → c2min = 3/2.
Maksimum dari c2 → slope Z = slope pembatas (1) : Pembatas (1) : x1 + 2x2 6 → c1/c2 = 1/2 Slope Z = c1/c2max = 3/c2max = 1/2 → c2max = 6. Rentang c2 agar titik C tetap sebagai titik optimal:
3 c 6 2 2 TI 2001 Penelitian Operasional I
28
③ Analisis Sensitivitas dalam Metode Simplex
TI 2001 Penelitian Operasional I
29
Masalah Pemrograman Linier
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2 6 (Bahan A) 2x1 + x2 8 (Bahan B) – x1 + x2 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior) x2 2 (Permintaan cat interior) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 TI 2001 Penelitian Operasional I
30
Tabel Awal cj
3
2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x3
1
2
1
0
0
0
6
0
x4
2
1
0
1
0
0
8
0
x5
-1
1
0
0
1
0
1
0
x6
0
1
0
0
0
1
2
Baris c
3
2
0
0
0
0
Z=0
TI 2001 Penelitian Operasional I
31
Tabel Akhir (Tabel Optimal) cj
3
2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x2
0
1
2/3
-1/3
0
0
4/3
3
x1
1
0
-1/3
2/3
0
0
10/3
0
x5
0
0
-1
1
1
0
3
0
x6
0
0
-2/3
1/3
0
1
2/3
Baris c
0
0
-1/3
-4/3
0
0
Z = 38/3
TI 2001 Penelitian Operasional I
32
Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan • Perubahan koefisien fungsi tujuan dari : a) variabel basis b) variabel non basis c) variabel basis dan non basis
TI 2001 Penelitian Operasional I
33
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan dari Variabel Basis 2/3 1/ 3 c3 0 (2, c1 ,0,0) 1 2 / 3 1 / 3 2/3 c4 0 (2, c1 ,0,0) 1 1 / 3
Variabel x1:
c3
4 c1 3
2 2c1 c4 3
Kondisi tetap optimal : c3 0 4 c1 0 c1 4 3 c4 0
2 2c1 0 3
c1 1
TI 2001 Penelitian Operasional I
1 c1 4 34
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan dari Variabel Basis Variabel x1: misal, nilainya berubah : c1 4 Z 4 x1 2 x2 2/3 1/ 3 0 c3 0 (2,4,0,0) 1 2 / 3
1 / 3 2/3 2 c4 0 (2,4,0,0) 1 1 / 3 TI 2001 Penelitian Operasional I
35
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan dari Variabel Basis cj
4
2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x2
0
1
2/3
-1/3
0
0
4/3
4
x1
1
0
-1/3
2/3
0
0
10/3
0
x5
0
0
-1
1
1
0
3
0
x6
0
0
-2/3
1/3
0
1
2/3
0
0
0
-2
0
0
Z = 16
Baris c
TI 2001 Penelitian Operasional I
36
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan dari Variabel Basis Variabel x1: misal, nilainya berubah : c1 5 Z 5x1 2 x2 2/3 1/ 3 1/ 3 c3 0 (2,5,0,0) 1 2 / 3
1 / 3 2/3 8 / 3 c4 0 (2,5,0,0) 1 1 / 3 TI 2001 Penelitian Operasional I
37
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan dari Variabel Basis cj
5
2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x2
0
1
2/3
-1/3
0
0
4/3
5
x1
1
0
-1/3
2/3
0
0
10/3
0
x5
0
0
-1
1
1
0
3
0
x6
0
0
-2/3
1/3
0
1
2/3
0
0
1/3
-8/3
0
0
Z = 38/3
Baris c
TI 2001 Penelitian Operasional I
38
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan dari Variabel Basis cj
5
2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
X3
0
3/2
1
-1/2
0
0
2
5
x1
1
1/2
0
1/2
0
0
4
0
x5
0
3/2
0
1/2
1
0
5
0
x6
0
1
0
0
0
1
2
0
-1/2
0
-5/2
0
0
Z = 20
Baris c
TI 2001 Penelitian Operasional I
39
b) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan dari Variabel Non Basis Variabel non basis x3: 2/3 1/ 3 c c 1 c3 c3 (2,3,0,0) 3 3 1 3 2 / 3
Kondisi tetap optimal : 1 1 1 c c3 c3 c3 0 3 3 3 3 TI 2001 Penelitian Operasional I
40
Penambahan Aktivitas Baru
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 + 3/2 x7 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2 + 3/4 x7 6 (Bahan A) 2x1 + x2 + 3/4 x7 8 (Bahan B) – x1 + x2 – x7 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior) x2 2 (Permintaan cat interior) x1 , x2 , x7 ≥ 0
TI 2001 Penelitian Operasional I
41
Penambahan Aktivitas Baru c7 c 7 πa7 c7 3 / 2
2/3 3 / 4 1/ 3 3 / 4 B 1 a7 1 1 0 2 / 3
π π 2 ,π1 ,π 5 ,π 6 cB B1
2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 2,3,0,0 1 1 2 / 3 1 / 3
1 3,4 3,0,0
TI 2001 Penelitian Operasional I
1 / 3 0 0 2 / 3 0 0 1 1 0 1 / 3 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1
42
Penambahan Aktivitas Baru 3 / 4 3 / 4 1/ 4 c7 c 7 πa 7 3 / 2 1 / 3,4 / 3,0,0 1 0 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 a7 1 1 2 / 3 1 / 3
0 0 3 / 4 1 / 4 0 0 3 / 4 1 / 4 1 0 1 1 0 1 0 1 / 4
TI 2001 Penelitian Operasional I
43
Penambahan Aktivitas Baru cj
3
2
3/2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x7
x3
x4
x5
x6
2
x2
0
1
1/4
2/3
-1/3
0
0
4/3
3
x1
1
0
1/4
-1/3
2/3
0
0
10/3
0
x5
0
0
-1
-1
1
1
0
3
0
x6
0
0
-1/4
-2/3
1/3
0
1
2/3
Baris c
0
0
1/4
-1/3
-4/3
0
0
Z = 38/3
TI 2001 Penelitian Operasional I
44
Penambahan Aktivitas Baru cj
3
2
3/2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x7
x3
x4
x5
x6
3/2
x7
0
4
1
8/3
-4/3
0
0
16/3
3
x1
1
-1
0
-1
1
0
0
2
0
x5
0
4
0
5/3
-1/3
1
0
25/3
0
x6
0
1
0
0
0
0
1
2
Baris c
0
-1
0
-1
-1
0
0
Z = 14
TI 2001 Penelitian Operasional I
45
Perubahan dalam Penggunaan Sumber dari Aktivitas • Perubahan pada aktivitas (variabel) non basis – Dilakukan analisis seperti kasus penambahan aktivitas baru
• Perubahan pada aktivitas (variabel) basis – Menyelesaikan masalah pemrograman linier dari awal lagi
TI 2001 Penelitian Operasional I
46
Perubahan yang Mempengaruhi Ketidaklayakan • Perubahan dalam konstanta ruas kanan • Penambahan pembatas baru
TI 2001 Penelitian Operasional I
47
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan Pembatas 1:
b1 8 b* 1 2
B 1b 0 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 B 1 1 1 2 / 3 1 / 3
0 0 0 0 1 0 0 1
TI 2001 Penelitian Operasional I
48
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 B 1b* 1 1 2 / 3 1 / 3
0 0 b1 2b1 / 3 8 / 3 0 0 8 b1 / 3 16 / 3 b1 9 1 0 1 0 1 2 2b1 / 3 14 / 3
2b1 8 0 b1 4 3 3 b 16 1 0 b1 16 3 3
4 b1 7
b1 9 0 b1 9 2b1 14 0 b1 7 3 3 TI 2001 Penelitian Operasional I
49
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan Pembatas 1:
7 8 b* 1 2
2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 B 1b* 1 1 2 / 3 1 / 3
0 0 7 2 0 0 8 3 1 0 1 2 0 1 2 0
Z 33 22 20 00 13 TI 2001 Penelitian Operasional I
50
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan
cj
3
2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x2
0
1
2/3
-1/3
0
0
2
3
x1
1
0
-1/3
2/3
0
0
3
0
x5
0
0
-1
1
1
0
2
0
x6
0
0
-2/3
1/3
0
1
0
0
0
-1/3
-4/3
0
0
Z = 13
Baris c
TI 2001 Penelitian Operasional I
51
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan Pembatas 1:
9 8 b* 1 2
2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 B 1b* 1 1 2 / 3 1 / 3
0 0 9 10 / 3 0 0 8 7 / 3 1 0 1 0 0 1 2 4 / 3
TI 2001 Penelitian Operasional I
52
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan Terapkan dual simplex cj
3
2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x2
0
1
2/3
-1/3
0
0
10/3
3
x1
1
0
-1/3
2/3
0
0
7/3
0
x5
0
0
-1
1
1
0
0
0
x6
0
0
-2/3
1/3
0
1
-4/3
0
0
-1/3
-4/3
0
0
Baris c
TI 2001 Penelitian Operasional I
53
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan
cj
3
2
0
0
0
0
cB
Konstanta
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x2
0
1
0
0
0
1
2
3
x1
1
0
0
1/2
0
-1/2
3
0
x5
0
0
0
1/2
1
-3/2
2
0
x3
0
0
1
-1/2
0
-3/2
2
0
0
0
-3
0
-1/2
Z = 13
Baris c
TI 2001 Penelitian Operasional I
54
Penambahan Pembatas Baru • Solusi optimal saat ini memenuhi pembatas baru Pembatas baru bersifat nonbinding atau redundant sehingga tidak mengubah solusi optimal saat ini.
• Solusi optimal saat ini tidak memenuhi pembatas baru Pembatas baru bersifat binding
TI 2001 Penelitian Operasional I
55
Penambahan Pembatas Baru Pembatas baru:
x1 4
Solusi optimal saat ini : x = (x1, x2, x5, x6) = (10/3, 4/3, 3, 2/3) x1 = 10/3 4
TI 2001 Penelitian Operasional I
56
Penambahan Pembatas Baru Pembatas baru:
x1 3
Solusi optimal saat ini : x = (x1*, x2*, x5*, x6*) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)
Solusi optimum saat ini utk variabel x1* = 10/3 , lebih besar dari 3 → x1* = 10/3 > 3 sehingga pembatas baru ini akan mengubah solusi optimum saat ini Pada pembatas baru ditambahkan variabel slack x7 :→ x1 + x7 = 3
TI 2001 Penelitian Operasional I
57
Penambahan Pembatas Baru
cj
3
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
cB
2
0
0
0
0
0 Konstanta
2
x2
0
1
2/3
-1/3
0
0
0
4/3
3
x1
1
0
-1/3
2/3
0
0
0
10/3
0
x5
0
0
-1
1
1
0
0
3
0
x6
0
0
-2/3
1/3
0
1
0
2/3
0
x7
1
0
0
0
0
0
1
3
0
0
-1/3
-4/3
0
0
0
Baris c
TI 2001 Penelitian Operasional I
58
Penambahan Pembatas Baru Terapkan dual simplex cj
3
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
cB
2
0
0
0
0
0 Konstanta
2
x2
0
1
2/3
-1/3
0
0
0
4/3
3
x1
1
0
-1/3
2/3
0
0
0
10/3
0
x5
0
0
-1
1
1
0
0
3
0
x6
0
0
-2/3
1/3
0
1
0
2/3
0
x7
0
0
1/3
-2/3
0
0
1
-1/3
0
0
-1/3
-4/3
0
0
0
Z = 38/3
Baris c
TI 2001 Penelitian Operasional I
59
Penambahan Pembatas Baru
cj
3
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
cB
2
0
0
0
0
0 Konstanta
2
x2
0
1
1/2
0
0
0
-1/2
3/2
3
x1
1
0
0
0
0
0
1
3
0
x5
0
0
-1/2
0
1
0
3/2
5/2
0
x6
0
0
-1/2
0
0
1
½
½
0
x4
0
0
-1/2
1
0
0
-3/2
1/2
0
0
-1
-4/3
0
0
0
Z = 12
Baris c
TI 2001 Penelitian Operasional I
60
View more...
Comments
