TI - 03 Solucion 2

Soluci´ on Taller Integrado 3 C´ alculo Multivariable 2021-1

Resultados de aprendizaje - Utilizar las propiedades del gradiente en la resoluci´on de problemas de distinta complejidad. - Optimizar la derivada direccional usando el gradiente de una funci´on.

Taller Aplicado Durante la noche del 14 y la madrugada del 15 de abril de 1912, hace casi 109 a˜ nos, sucedi´o uno de los mayores naufragios de la historia ocurridos en tiempos de paz, el conocido transatl´antico brit´ anico, Titanic. Los naufragios generan la necesidad de estudiar el lecho marino. En la antig¨ uedad, la profundidad marina se med´ıa usando un escandallo, una pieza similar a un peso de plomo, que unida a un cordel (sondaleza) se sumerge hasta el fondo del mar. Hoy en d´ıa se usan las llamadas sondas ac´ usticas, que env´ıan un espectro de impulsos de ondas hacia el fondo del oc´eano y la profundidad marina se calcula a partir de la diferencia en el tiempo en que rebota el sonido registrado. Ejercicio: Un equipo de ocean´ ografos est´a elaborando un mapa del fondo del oc´eano para ayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el siguiente modelo D = 250 + 30x2 + 50 sen(

πy ) 2

, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2

donde D es la profundidad en metros, y x y y son las distancias en kil´ometros a un faro, considerando que el eje positivo Y se˜ nala el norte y el eje positivo X el este. a) Utilice un sistema algebraico por computadora para representar gr´aficamente la superficie. Soluci´ on: Usando Geogebra se obtiene

Note que para apreciar la superficie no se consider´o en la gr´afica la restricci´on de dominio.

b) Como la gr´ afica del inciso anterior da la profundidad, no es un mapa del fondo del oc´eano. ¿C´omo podr´ıa modificarse el modelo para que se pudiera obtener una gr´afica del fondo del oc´eano? Soluci´ on: Bastar´ıa con considerar una reflexi´on de la superficie definida por D = z = f (x, y) con respecto del plano XY , es decir, considerar −D = −250 − 30x2 − 50 sen( πy 2 ). c) ¿Cu´al es la profundidad a la que se encuentra el barco si se localiza en las coordenadas x = 1 y y = 0.5? Soluci´ on: Basta con evaluar D = D(x, y) en el punto (1, 0.5), resultando π  √ D(1, 0.5) = 250 + 30 + 50 sen = 280 + 25 2 ≈ 315.36 metros de profundidad. 4 d) Determine la pendiente del fondo del oc´eano en la direcci´on del eje X positivo a partir del punto donde se encuentra el barco. Soluci´ on: Como se debe determinar la pendiente del fondo del oc´eano consideraremos la funci´ on F (x, y) = −D = −250 − 30x2 − 50 sen( πy ) que modela el fondo marino. 2 La pendiente en la direcci´ on del eje X positivo est´a dada por ∂F (1, 0.5) = (−60x) = −60 [m/km] ∂x (1,0.5) Esto nos dice que el punto (1, 0.5) la pendiente del fondo del oc´eano en la direcci´on este es -0.06. e) Determine la pendiente del fondo del oc´eano en la direcci´on del eje Y positivo en el punto donde se encuentra el barco. Soluci´ on: An´ alogo al ´ıtem anterior, consideramos F (x, y) = −D = −250 − 30x2 − 50 sen( πy 2 ). La pendiente en la direcci´ on del eje Y positivo est´a dada por √  ∂F πy  −25π 2 (1, 0.5) = −25π cos( ) =− ≈ −56 [m/km] ∂y 2 2 (1,0.5) Esto nos dice que el punto (1, 0.5) la pendiente del fondo del oc´eano en la direcci´on norte es -0.056. f) Determine la direcci´ on de mayor tasa de cambio de la profundidad a partir del punto donde se encuentra el barco. Soluci´ on: Considerando F (x, y) = −D = −250 − 30x2 − 50 sen( πy 2 ) y el punto (1, 0.5), la mayor tasa de cambio se alcanza en la direcci´on de  πy  ≈ (−60, −56) ∇F (1, 0.5) = −60x, −25π cos( ) 2 (1,0.5)

Taller de Profundizaci´ on Ejercicio 1: Sean ~u y ~v dos vectores en R3 y sea α el ´angulo formado entre ellos. Usando la relaci´ on ~u · ~v = ||~u||||~v || cos(α) Demuestre la Propiedad 1. Soluci´ on: Como f es diferenciable eb x0 entonces para todo vector unitario ~u existe D~u f (x0 ) y adem´as D~u f (x0 ) = ∇f (x0 ) · ~u = k∇f (x0 )kk~uk cos(α), donde α el ´angulo entre los vectores ∇f (x0 ) y ~u. Ahora bien, como ~u es unitario se tiene que D~u f (x0 ) = k∇f (x0 )k cos(α), luego D~u f (x0 ) es m´ axima si cos(α) = 1, es decir, cuando el gradiente de f y ~u est´an en la misma direcci´on y en este caso D~u f (x0 ) = k∇f (x0 )k. An´alogamente, D~u f (x0 ) toma su valor m´ınimo cuando cos(α) = −1, es decir, cuando el gradiente de f y ~u est´an en direcciones opuestas y en este caso D~u f (x0 ) = −k∇f (x0 )k. a2 definida en todo R2 excepto en los puntos (x, y) tales xy que xy = 0, es decir, excepto en los planos coordenados XZ y Y Z. Demuestre que el plano tangente a la superficie z = f (x, y) forma un tetraedro de volumen constante con los planos coordenados.

Ejercicio 2: Considere la funci´ on f (x, y) =

Soluci´ on: Sea P0 (x0 , y0 , z0 ) un punto cualquier en la superficie F (x, y, z) = z −

a2 = 0, entonces el xy

plano tangente a la superficie en P0 est´ a dado por ∇F (x0 , y0 , z0 ) · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0 Tenemos

∂F a2 ∂F a2 ∂F = 2 , = 2 y = 1, de modo que el plano resulta ∂x x y ∂y xy ∂z  2    a2 a2 a , , 1 · x − x 0 , y − y0 , z − =0 x 0 y0 x20 y0 x0 y02 a2 a2 a2 x + y + z − 3 =0 x0 y0 x20 y0 x0 y02

Para hallar el volumen del tetraedro que este plano forma con los planos coordenados, debemos determinar las intersecciones que tiene con los ejes coordenados, sean ´estas x (con el eje X), y (con el eje Y ) y z (con el eje Z).

Considerando y = z = 0, resulta x = 3x0 . Considerando x = z = 0, resulta y = 3y0 . Considerando x = y = 0, resulta z = 3

a2 . x 0 y0

Por lo tanto, el volumen del tetraedro ser´a V =

1 1 9 a2 = a2 , · x · y · z = · 3x0 · 3y0 · 3 6 6 x 0 y0 2

resultado que no depende de las coordenadas de P0 (x0 , y0 , z0 ).