Théorème_Serposition_Thevenin

LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN

RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN 1 - Méthode de superposition 1.1 - Principe de superposition Soit le circuit électrique ci-contre, on se propose de déterminer le courant I qui circule. • D' après la loi d' ohm généralisé :

I

I=

R1

R2

E1 - E2 R1 + R 2

• Qu' on peut écrire :

E1

E2 I=

E1 E2 − R1 + R 2 R1 + R 2

On peut alors imaginer deux circuits indépendants tel que : ƒ I1 correspond au courant qui circule dans un circuit (1), ƒ I2 correspond au courant qui circule dans un circuit (2), I1

R1

I2

R2

+

R1

E1

I

R2

R1

=

R2

E1

E2

E2

A .N : • G (E 1 = 12V ; R 1 = 1,5 Ω ) • G (E 2 = 8V ; R 2 = 0,5 Ω )

⇒

E - E2 12 - 8 ⎧ = =2A I= 1 ⎪⎪ R 1 + R 2 1,5 + 0,5 ⎨ ⎪I = I1 - I2 = 12 - 8 = 2 A 2 2 ⎩⎪

1.2 - Théorème de superposition Dans un circuit électrique linéaire comprenant plusieurs sources indépendantes, l'intensité de courant électrique dans une branche est égale à la somme algébrique des intensités produites dans cette branche par chacune des sources considérées isolement, les autres sources étant court-circuités. 1.3 - Application Soit le circuit suivant, on se propose de déterminer les intensités des courants dans les trois branches par la méthode de superposition.

I2 R1

Avec : R1 = 2 Ω ; R2 = 5 Ω ; R3 = 10 Ω E1 = 20 V ; E2 = 70 V

I3

I1

E1

R2

R3

E2

Solution : D’après le théorème de superposition, l'état initial est équivalent à la superposition des états distincts (1) et (2), CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE

12

LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN I3

I1 I2 R1

R3

=

R1

I"2 R3

R2

+

E1

E2

I"3

I"1

I'2

R2

E1

I'3

I'1

R1

R2

R3

E2

Les courants réels I1 ; I2 et I3 sont données par : ⎧I = I' - I" ⎪1 1 1 " ' ⎪ ⎨I2 = I2 - I2 ⎪ ' " ⎪I3 = I3 + I3 ⎩

⇒

'

'

'

" "

"

Il faut donc calculer : I1 ; I2 ;I3 et I1;I2 ;I3

a) Calcul de I'1 ; I'2 et I'3 dans le premier cas : E1 20 ⎧' = = 3,75 A ⎪I1 = R .R 5 × 10 ⎪ 2+ R1 + 2 3 15 R2 + R3 ⎪ ⎪' R3 10 ' . I1 = 3,75 . = 2,5 A ⎨I2 = R1 + R 2 15 ⎪ R2 5 ' ⎪' ⎪I3 = R + R . I1 = 3,75 . 15 = 1,25 A 2 3 ⎪ ⎩

b) Calcul de I"1 ; I"2 et I"3 dans le deuxième état : E2 70 ⎧" = = 10,5 A ⎪I2 = R1.R 3 2 × 10 ⎪ 5+ R2 + 12 R1 + R 3 ⎪ ⎪" R3 10 ' . I2 = 10,5 . = 8,75 A ⎨I1 = R1 + R 2 12 ⎪ R1 2 " ⎪" ⎪I3 = R + R . I2 = 10,5 . 12 = 1,75 A 1 3 ⎪ ⎩

c) Calcul de I1 ; I2 et I3 dans l'état réel ⎧I = I' - I" = 3,75 - 8,75 = - 5 A ⎪1 1 1 " ' ⎪ ⎨I2 = I2 - I2 = 10,5 - 2,5 = 8 A ⎪ ' " ⎪I3 = I3 + I3 = 1,25 + 1,75 = 3 A ⎩

Remarque : I1 est négatif, donc son vrai sens est l'inverse du sens choisi,

2 – Methode thevenin 2.1 – Introduction ƒ ƒ

Les deux méthodes précédentes permettent de calculer tous les courants dans le réseau alors que ceci n'est pas toujours indispensable, Souvent on est appelé à connaître le courant dans une seule branche, pour cette raison on se propose de chercher une méthode pratique,

CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE

13

LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN

ƒ ƒ

Considérons un circuit complexe qui comporte des générateurs ou des récepteurs réels. Le problème consiste à remplacer ce circuit complexe (dipôle actif), vues de ces deux bornes A et B par un générateur équivalent dit générateur de Thevenin, Ce générateur possède une source de Thevenin (ETh) en série avec une résistance (RTh), RTh

A

A I

I Circuit

=

Ru

ETh

Ru

Électrique

B

I=

ETh R Th + Ru

B

2.2 - Principe Le théorème de Thevenin permet de transformer un circuit complexe en un générateur de Thevenin dont : ƒ La valeur de la source de Thevenin ETh (UAB) est donnée par la mesure ou le calcul de la tension de sortie à vide (la charge étant débranchée), ƒ La valeur de la résistance interne RTh est mesurée ou calculée vues des bornes de sorties A et B, avec les conditions suivantes ; - La résistance de la charge est débranchée, - Court-circuiter les générateurs de tension, en gardant les résistances internes, - Débrancher les sources de courants, 2.3 – Applications 2.3.1 - Exercice 1 A I

On considère le circuit électrique donné par la figure suivante : ƒ On donne : E = 8 V ; R1 = 4 Ω ; R2 = 12 Ω ; R3 = 9 Ω ƒ Calculer le courant I qui traverse la résistance R3 en appliquant le théorème de Thevenin,

R1

R2

R3

E1 B

Solution : 1) Calcul de ETh On débranche la résistance R3, la configuration sera donc : A R2 R1

R2

ETH = UAB

=

E1

A R2

E1

ETH = UAB B

B R2 12 E Th = E= =6V R1 + R 2 4 + 12

2) Calcul de RTh R3 étant toujours débranchée, on court-circuite E, la configuration sera donc : CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE

14

LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN A

R1

R Th =

R2

R1.R 2 4 × 12 = =3Ω R1 + R 2 4 + 12

B

3) Calcul de I RTh

A I=

R3

ETh

E Th 6 = = 0,5 A R Th + R 3 3 + 9

B

2.3.2 - Exercice 2 Appliquons le théorème de Thevenin pour calculer le courant I du circuit suivant : On donne : E1 = 20 V ; E2 = 70 V ; R1 = 2 Ω ; R2 = 10 Ω ; R3 = 5 Ω A I R1

R3

R2

E1

ETH

E2 B

Solution : ƒ Supprimons la résistance dont nous voulons déterminer le courant, soit R3, ƒ Calculons les grandeurs caractéristiques du générateur équivalent de Thevenin, 1) Déterminons ETh : I0 R1 E1

A

A I0 RTh

R2

ETH

=

ETH = UAB

ETh

E2 B

B

20 5 E1 ⎧ ⎪⎪I0 = R + R = 10 + 2 = 3 A 1 2 ⎨ ⎪ETh = R3 .I0 - E2 = 10. 5 - 70 = - 160 V ⎪⎩ 3 3

2) Déterminons RTh Supprimons les f.e.m E1 et E2 et calculons la résistance RTh A

R2 CHAPITRER11 : ELECTROCINETIQUE

B

15

LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN R Th =

R1.R 2 2 × 10 5 = = Ω R1 + R 2 12 3

3) calcul de I RTh

A 160 − ETh 3 =-8 A I= = 5 R Th + R3 +5 3

R3

ETh

B

Remarque : Le signe (-) veut die que le courant dans la branche 3 circule dans le sens inverse, 2.3.3 - Exercice 3 On considère le circuit électrique donné par la figure suivante : A I R1

R2

R3

E1

R4

E2

ƒ On donne : E1 = 10 v ; E2 = 5 v ; R1 = R3 = R4 = 100 Ω ; R2 = 50 Ω ƒ Calculer le courant I en appliquant le théorème de Thevenin

B

Solution : 1) Calcul de ETh On débranche la résistance R4, la configuration sera donc : A R1 A

R2

R3

ETh1

E1 R1 E1

R2

R3

ETh

B

=

+

E2

A B R1

R2

R3

ETh2

E2 B

CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE

16

LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN R 2 .R 3 ⎧ ⎪ R2 + R3 ⎪E Th1 = E1 = 2,5 V R ⎪ 2 .R 3 R + 1 ⎪ R2 + R3 ⎪⎪ ⎨ ⎪ R1.R 2 ⎪ ⎪ R1 + R 2 E 2 = 1,25 V ⎪E Th2 = R .R 1 2 ⎪ + R3 ⎪⎩ R1 + R 2

⇒

E Th = E Th1 + E Th2 = 3,75 V

2) Calcul de RTh A

R1

R2

R Th =

R3

1 = 25 Ω 1 1 1 + + R1 R 2 R 3

B

3) calcul de I3 RTh

A

I=

R4

ETh

E Th = 0,03 A R Th + R 4

B

2.3.4 - Exercice 4 On considère le circuit électrique donné par la figure suivante : A R3

R1 E2

R2 E1

D

B

ƒ On donne : E1 = 10 v ; E2 = 5 v ; R1 = R3 = R4 = 100 Ω ; R2 = 50 Ω ƒ Calculer le courant I en appliquant le théorème de Thevenin

R5

R4 C

Solution : 1) Calcul de ETh A

E1

A R3

R1 ETh

B

R1 D

=

E1

B

UAB ETh

C

CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE

UAD

D R5

R4 R5

R4

R3

C

17

LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN ⎧ ⎪E = U - U AD AB ⎪ Th R1 ⎪ E1 = 3 V ⎨U AB = R1 + R 4 ⎪ R3 ⎪ ⎪U AD = R + R E1 = 6,85 V 3 5 ⎩

⇒

E Th = U AD - U AB = 3,85 V

2) Calcul de RTh A

B R3

R1

R1 D

B

=

A

C

C

D

R Th =

R5

R4

R5

R4

R3

C

R1.R 4 R .R + 3 5 = 96,42 Ω R1 + R 4 R3 + R5

3) calcul de I3 RTh

B R4 I3 =

ETh

ETh + E2 = 17,4 mA R Th + R 2

E2 D

CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE

18