Texto_Grupos_Aneis

Teoria dos Grupos e Anéis 6.1. Definição de Operações Binárias

Sendo E um conjunto, não vazio, toda aplicação (função) f: ExE → E recebe o nome de operação binária

sobre E. Notação: f(x , y) = x * y.

6.1.1. Propriedades de Operações Binárias

Seja * uma operação binária sobre um conjunto E. a)  Fechamento: Para quaisquer x e y Î E tem-se x * y Î E  b)  Associativa : Para quaisquer x, y e z Î E tem-se: x * (y * z) = (x * y) * z. c) Comutativa : Para quaisquer x, y Î E tem-se: x * y = y * x. d)  Elemento Neutro : Existe, um elemento, e Î E tal que, para todo x Î E tem-se x * e = e *x = x. e)   Elementos Simetrizáveis: x' Î E, é chamado simétrico de x se x * x' = x' * x = e (elemento neutro). f)  Elementos Regulares: a * x = a * y ⇒ x = y  a Î E, é um elemento regular se:  x * a = y * a ⇒ x = y " x, y Î E.

6.1.3. Exercícios Propostos

1) Considere as tabelas abaixo e, responda: * 1 2

1 1 1

2 1 2

* 1 2

1 1 2

2 1 2

* 1 2

1 1 1

2 2 1

* 1 2

1 1 2

2 2 2

* 1 2

1 2 1

2 1 2

TABELA 1 TABELA 2 TABELA 3 TABELA 4 TABELA 5 a) Quais das tabelas acima, de operação binária binária (*) no conjunto conjunto {1, 2}, 2}, são comutativa comutativas? s? Justifique Justifique

a sua resposta. r esposta.  b) Responda Responda:: “a tabela tabela 5 é associat associativa iva?”. ?”. Justifi Justifique que a sua resposta. resposta. c) Preen Preench chaa a tabe tabela la:: TABELA 1 TABELA 5 Elemento neutro Simétrico de 1 Simétrico de 2 2) Considere Considere a operação operação * definida sobre o conjunto R * x R , onde:

"(a, b) e (c,d) Î R * x R, (a,b) * (c,d) = (ac, ad + b). Verifique as propriedades: propriedades: comutativa, comutativa, associativa, elemento neutro e elemento simétrico.

6.2. Grupos

6.2.1.Definições e aplicações

Sejam G, um conjunto, não vazio, e * uma operação binária sobre G. Dizemos que G é um grupo em relação à operação *, e denotamos por (G,*) se, e somente se: i)

a * (b * c) = (a * b) * c

" a, b e c Î G;

ii)

Existe e Î G tal que a * e = e * a = a " a Î G;

iii)

Todo elemento de G é simetrizável em relação a operação *, isto é: " a Î G, $ a' Î G tal que a * a' = a' * a = e (elemento neutro)

Exemplo: Mostre que (a, b) * (c, d) = (a+c, b+d) é um grupo. 6.2.2.Grupos Comutativos ou Abelianos

Dizemos que um grupo (G,*) é abeliano ou comutativo se, e somente se, a * b = b * a " a, b Î G. Exemplo: Prove que: M 2x2(IR ) é um grupo abeliano. 6.2.3. Subgrupos

Seja (G, ∆) um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H, H Ì G, é um subgrupo de G se, somente se: I)

" a, b Î H Þ a ∆ b Î H (isto é, H é fechado para a lei de composição interna de G);

II)

(H, ∆) também é um grupo (a lei de composição é a mesma de G, só que restrita a H).

OBS: A propriedade associativa é válida para todo, os elementos de G; em particular, é válido aos

elementos de H ; pois , H Ì G. TEOREMA: Seja (G, ∆) um grupo e H um subconjunto não vazio de G. H é um subgrupo de G se, somente se: I)

" a, b Î G; se a, b Î H Þ a ∆ b Î H

II)

" a Î G; se a Î H Þ a’ Î H

6.2.4. Exercícios Propostos

1) Responda as perguntas abaixo, justificando sua resposta. a) “Diz-se que um conjunto A munido da operação binária * é um grupóide relativamente à operação *, e, representa-se o grupóide por: (A, *). ” Responda: os pares ordenados (N, -) e

(N, .) são grupóides? Por quê?  b) Se considerarmos o conjunto A = {a, b, c} munido da operação *, definida pela tabela abaixo: * a b c A a c b B c b a C b a c responda e justifique: (A, *) é um semigrupo?

c) O que você pode afirmar em relação às estruturas (N, +) e (N, .)? Especifique os respectivos elementos neutros. d) Determine o elemento simétrico de um elemento qualquer de (Z, +) e (Q, .). 2) Considere a operação * definida sobre o conjunto R * x R , onde: "(a, b) e (c,d) Î R * x R, (a,b) * (c,d) = (ac, ad + b) a) A estrutura (R * x R, *) é um grupo? É uma estrutura abeliana? Justifique sua resposta.  b) Caso a operação * fosse definida sobre o conjunto Z x Z, a estrutura (Z x Z, *) seria um grupo? Justifique sua resposta. 3) Considere o conjunto dos números reais r munido da operação * definida por: x * y = x + y - 3. Mostre que ( IR , *) é um grupo abeliano. 4) Verifique se z x z é grupo em relação a alguma das seguintes leis: a) Soma Direta - Å: " (a,b) e (c,d) Î z x z, (a,b) Å (c,d) = (a + c, b +d)  b) Produto Direto - Ä: " (a,b) e (c,d) Î z x z, (a,b) Ä (c,d) = (ac, bd) c) (a, b) * (c, d) = (ac – bd, ad + bc) d) (a, b) * (c, d) = (ac, ad + bc) 5) Sejam A um conjunto não vazio e

IR A

o conjunto das aplicações de A em

“adição” e uma “multiplicação” em

IR A

assim:

" f, g Î IR A :

. Definimos uma

IR 

(f + g) (x) = f (x) + g (x), " x Î A

(f . g) (x) = f (x) . g (x), " x Î A a) Mostre que ( IR A, +) é grupo.

b) Verifique se ( IR A, . ) é grupo.

6) Mostre que só há um modelo de tábua para grupos de ordem 3. 7) Se G = { e, a , b, c} é um grupo em relação à tabela abaixo, complete-a. * E A B

e e a  b

Material de aula da Prof. Silvia Fernanda M. Brandão

a a

b b

c c

c 3

C c e a 8) Construir a tábua de um grupo G = {e, a, b, c, d, f}, de ordem 6, sabendo que :

I)

G é abeliano;

IV)

a ∆ d = b ∆ c = f 

II)

O neutro é e;

V)

a∆c=b∆b =d

III)

a∆f=b∆d =e

VI)

c∆d=a

9) O conjunto G = {e, a, b, c, d, f} tem uma estrutura de grupo em relação à tabela abaixo: * e a b c d f  a) Seja H1 = {e, c}. Verifique

e a b c d f e a b c d f a b e f c d b e a d f c c d f e a b d f c b e a f c d a b e se H 1 é subgrupo de G.

   

 b) Seja H2 = {e, a, f}. Verifique se H 2 é subgrupo de G. 10) Verifique se H = 2z = {0, ±2, ±4, ...} é subgrupo de (z, +). 11) Mostre que H = 3z = {3k | k Î z} é subgrupo do grupo aditivo z. 12) Provar que se H1 e H2 são subgrupos de um grupo G, então H 1 Ç H2 é um subgrupo de G. 6.2.5. Propriedades de um Grupo

a) O elemento neutro de (G, *) é único  b) Existe um único elemento simétrico para cada elemento a Î G c) Se a, b Î G Þ

(a * b)’ = b’ * a’

d) Se a Î G Þ (a’)’ = a e) Se a, b Î G então a equação a * x = b, onde x é uma variável em G. A equação admite uma única solução no conjunto G. f) Seja (G, *) um grupo. Em particular, vale a lei do cancelamento: a * b = a* c Þ

b=c

Exercício Proposto : Provar as propriedades de grupo. 6.3. Morfismos: Semigrupos e Grupos

6.3.1.Homomorfismo de Grupo

Dados dois grupos (G, ∆) e homomorfismo

(J, *), dizemos que uma aplicação f : G → J é um

de G em J se, e somente se: " a, b Î G; f(a ∆ b) = f(a) * f(b) , isto é, f é compatível

com as leis de G e J.

Exemplos: 1) Seja f : (IR , + ) → (IR *, . ) e f (x) = 2x . " a, b Î IR ; f(a + b) = 2a+b = 2a . 2 b = f(a) . f(b) Portanto, f é um homomorfismo de ( IR , + ) em ( IR *, . ). 2) Seja f : (z, + ) → (z, + ) e f (x) = 2x . " a, b Î z ; f(a + b) = 2(a+b) = 2 a + 2 b = f(a) + f(b) Portanto, f é um homomorfismo de (z, + ) em (z, + ). TEOREMA: Sejam (G, *), (J, *) e (L, *) grupos de f : G → J e g : J → L homomorfismos. Então a aplicação gof : G → L é, também, um homomorfismo. Demonstração: " a, b Î G ; gof(a * b) = g(f(a * b)). A função f é um homomorfismo então g(f(a * b)) = g(f(a) * f(b)). A função g é um homomorfismo então g(f(a) * f(b)) = gof(a) * gof(b). Portanto, gof é um homomorfismo.

Núcleo de um Homomorfismo Sejam (G, ∆) e (J, *), grupos e a função f : G → J um homomorfismo. Chama-se núcleo de

f e denota-se por N(f) ou Ker(f) o seguinte subconjunto de G :  N(f) = {x Î G | f(x) = u } , onde ‘u’ indica o elemento neutro de J.

Exemplo: Seja f : (IR , + ) → (IR *, . ) e f (x) = 2x .um homomorfismo. O núcleo do homomorfismo é: N(f) = { x Î IR | 2x = 1 } = { 0 }. 6.3.2. Monomorfismo de Grupos

Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *). Uma aplicação f : G → J é um monomorfismo do grupo G em J se, somente se : a) f é injetora;  b) f é um homomorfismo de grupo. 6.3.3. Isomorfismo de Grupos

Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *). Uma aplicação f : G → J é um isomorfismo do grupo G em J se, somente se : a) f é bijetora; Material de aula da Prof. Silvia Fernanda M. Brandão

5

 b) f é um homomorfismo de grupo. 6.4. Exercícios Propostos

1) Seja f : (z, +) → (C*, .), dada por f (m) = i m, "m Î z. a) mostre que f é um homomorfismo  b) dê o núcleo de f  c) verifique se f é um monomorfismo 2) Seja f : (IR *+, +) → (IR , +), dada por f (x) = log (x), "x Î r *+. a) mostre que f é um homomorfismo  b) dê o núcleo de f  c) verifique se f é um monomorfismo d) verifique se f é um isomorfismo 3) Seja f : (C*, .) → (IR *+, .), dada por f (z) = | z | , "z Î C*. a) mostre que f é um homomorfismo  b) dê o núcleo de f  c) verifique se f é sobrejetora d) verifique se f é um isomorfismo 4) Prove as seguintes afirmações: (Livro de Álgebra - Gelson Iezzi) a) Se f é um isomorfismo do grupo (G, *) no grupo (J, ∆), então f -1 é um isomorfismo

de (J, ∆) em (G, *).  b) Sejam (G, *) , (J, *) e (L, *) grupos de f : G → J e g : J → L. Se f e g são monomorfismos, então gof : G → L também o é. c) Sejam (G, *) , (J, *) e (L, *) grupos de f : G → J e g : J → L. Se f e g são isomorfismos, então o mesmo ocorre com gof . 5) Verificar em cada caso, se f é um homomorfismo. Caso afirmativo, determine o núcleo e verifique se é um isomorfismo. a) f : (z, +) → (z, +), dada por f (x) = kx, onde k é um inteiro dado  b) f : ( IR *, .) → (IR *, .), dada por f (x) = | x | , "x Î IR *. c) f : (IR , +) → (IR , +), dada por f (x) = x + 1 d) f : (z, +) → (zxz, +), dada por f (x) = (x, 0) e) f : (zxz, +) → (z, +), dada por f (x, y) = x f) f : (z, +) → (2z = {0, ±2, ±4, ...}, +), dada por f (x) = 2x 6) a) Seja a Î IR +, com a = 1. Mostre que G = { a m / m Î z} é um subgrupo de ( IR +, .).  b) Mostre que f : (z, +) → (G, .), dada por f (m) = am é um isomorfismo.

7. Anéis 7.1. Definições e Aplicações

Seja A um conjunto, não vazio, dizemos que (A, +, .) é um anel se: i)

O conjunto A é abeliano em ralação à adição, isto é: a) a + (b + c) = (a + b) + c b) a + b = b + a

" a, b, c Î A; " a, b Î A;

c) Existe e Î G tal que a + e = e + a = a

" a Î A;

d) Todo elemento de A é simetrizável em relação a operação +, isto é: " a Î A, $ a' Î A tal que a + a' = a' + a = e (elemento neutro) ii)

A multiplicação (.) é associativa, isto é: a . (b . c) = (a . b) . c

iii)

" a, b, c Î A;

A multiplicação (.) é distributiva em relação a adição (+), isto é: a . (b + c) = a . b + a . c

" a, b, c Î A;

(b + c) . a = b . a + c . a Exemplos 1) Mostre que (Z, +, .) é um anel. 2) Mostre que (2Z, +, .) é o anel dos inteiros pares. 3) Mostre que A = {f | f: Z → Z} é um anel. Dados: (f  + g) : Z → Z tq (f  + g)(x) = f(x) + g(x)   (f . g) : Z → Z tq (f . g)(x) = f(x) . g(x)

7.2. Anel Unitário

Se num anel (A, +, .), for satisfeita a condição de (A, .) ser um monóide dizemos, então, que A é um anel unitário ou um anel com unidade. O símbolo 1 A é chamado unidade do anel. Exemplo: (Z, +, .) é um anel unitário, cuja unidade é 1. 7.3. Anel Comutativo

Se num anel (A, +, .), for satisfeita a condição de (A, .) ser um semigrupo comutativo dizemos, então, que A é um anel comutativo. 7.4. Propriedades de um Anel

Consideremos um anel (A, +, .): Material de aula da Prof. Silvia Fernanda M. Brandão

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a) Quanto a adição, A é um grupo abeliano, então: a1) o zero do anel é único a2) Para cada a Î A existe um único simétrico aditivo: a3) Dados b1, b2, b3, . . ., b n Î A tem-se: -( b1 + b2 + b3 +, . . ., + b n) = (-b1) + (-b2) + (-b3) +, . . ., + (-b n) a4) Para todo a Î A tem-se -(-a) = a a5) Para todo a, x e y Î A tem-se: a + x = a + y Þ x = y. a6) O conjunto solução da equação a + x = b, com a e b Î A é: (-a) + b  b) Para todo a Î A Þ a . 0 = 0 . a = 0 c) Para todo a e b Î A tem-se: a . (-b) = (-a) . b = -(a . b) 7.5. Homomorfismo de Anel

Sejam (A, +, .) e (B, *, ∆) dois anéis. Uma aplicação f: A → B é chamada homomorfismo de A em B se as seguintes condições se verificam: i)

Para todo x e y Î A tem-se: f(x + y) = f(x) * f(y);

ii)

Para todo x e y Î A tem-se: f(x . y) = f(x) ∆ f(y).

Obs.: Como (A, +) e (B, *) são grupos, a função f é, em particular, um homomorfismo de grupo. Núcleo de um Homomorfismo Dado f : (A, *, ∆) → (B, *, ∆) um homomorfismo. Indicaremos por N(f) e chamaremos de núcleo

de f o seguinte subconjunto de A:  N(f) = {x Î A | f(x) = u } ,

onde ‘u’ indica o zero do anel B. 7.6. Isomorfismo de Anel

Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação f: A→ B é chamada isomorfismo de A em B se: i)

f é bijetora;

ii)

f é um homomorfismo de anéis.

7.7. Exercícios Propostos 1) Mostrar que (ZxZ,*, ∆) é um anel com unidade e comutativo. Considere as operações * e ∆ em

ZxZ, definidas por: (a,b) * (c,d) = (a+c, b+d)

e

(a,b) ∆ (c,d) = (ac - bd, ad + bc)

2) Verifique se (Z,*, ∆) é um anel. Considere as operações * e ∆ em Z, definidas por:

a*b=a+b+1

e

a ∆ b = a + ab

3) Prove que são anéis. Verifique se são comutativos? Quais têm unidade? Determinar a unidade no caso de existir. a) (Z,+, ∆) - o conjunto Z dotado das leis adição usual e da operação ∆ assim definida: a ∆ b = 0 ; " a, b Î z.  b) (ZxZ, *, ∆) - considere as operações * e ∆ em ZxZ, definidas por: (a,b) * (c,d) = (a+c, b+d)

e

(a,b) ∆ (c,d) = (ac, ad + bc)

c) (Q,*, ∆) - considere as operações * e ∆ em Q, definidas por: a*b=a+b-1

e

a ∆ b = a + b - ab . Ache os elementos inversíveis de Q.

4) Sabe-se que A = {a, b, c, d} e (A, +, .) é um anel em que os elementos neutros das operações + e . são, respectivamente, a e b. Conhecendo-se os compostos b + b = a, c + c = a, c.d = a, construir as

tábuas das duas operações. 5) Considere as operações * e ∆ em Z definidas por: x * y = x + ay - 2 e x ∆ y = xy + bx + cy + d, onde a, b, c , d são números inteiros dados. Determinar a, b, c , d de modo que (Z,*, ∆) seja um anel. Para os valores obtidos de a, b, c , d, (Z,*, ∆) é um anel comutativo com unidade? 6) Considere os seguintes anéis: (R, +, .) e (R, *, ∆), sendo: a*b=a+b+1

e a ∆ b = a + b + ab. Mostre que f: (R, +, .) → (R, *, ∆) dado por f (x) = x - 1,

"x Î R é um isomorfismo. Defina o isomorfismo inverso. 7) Verificar em cada caso, se f é um homomorfismo de anel em anel. Caso afirmativo, determine o núcleo e verifique se é um isomorfismo. a) f : (z, +, .) → (z, +, .), dada por f (x) = x + 1  b) f : (z, +, .) → (z, +, .), dada por f (x) = 2x c) f : (z, +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (x, 0), "x Î z. d) f : (zxz, +, .) → (z, +, .), dada por f (x, y) = x, " (x,y) Î zxz. e) f : (zxz, +, .) → (zxz, +, .), dada por f (x, y) = (y, x), " (x,y) Î zxz. f) f : (C, +, .) → (C, +, .), dada por f (a + bi) = a - bi g) f : (zxz, +, .) → (zxz, +, .), dada por f (x, y) = (0, y), " (x,y) Î zxz. h) f : (zxz, +, .) → (z, +, .), dada por f (x, y) = y, " (x,y) Î zxz. i) f : (z, +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (2x, 0), "x Î z.  j) f : (z, +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (0, x), "x Î z. a) f : (zxz, +, .) → (zxz, +, .), dada por f (x, y) = (-y, -x), " (x,y) Î zxz. Obs.: Considere:

Produto Direto (.): " (a,b) e (c,d) Î Z x z, (a,b) . (c,d) = (a . c, b .d) Soma Direta (+): " (a,b) e (c,d) Î Z x z, (a,b) + (c,d) = (a + c, b +d) 8) Seja f : zxz → zxz dada por f (x, y) = (mx+ny, px+qy). Calcular m, n, p, q de modo que f seja Material de aula da Prof. Silvia Fernanda M. Brandão

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um homomorfismo do anel zxz nele mesmo;