Texto Norton

Quinto edición

Síntesis y onólisis

de moquinos y meconismos a.

li:

I

,! )^¿

ROBERT L. NORTON

TACTORES DE CONVERSIÓN

De unidodes estqdounidenses usuoles o unidodes métricqs 1

Blob (bl)

1

Pulgada cúbica (in3)

I Pie (ft) I Caballo de fuerza

(hp)

1

Pulgada (in)

I

Milla, terrestre U.S. (mi)

1

Libra fuerza (lb)

1

Libra masa (lbm)

1

Libra-pie (lb-ft)

1

Libra-pie-segundo (lb-ft/s)

1

Libra pulgada (lb-in)

1

Libra-pulgada-segundo (lb-in/s)

I Libralpie2 (lb/ff2) 1

I

Libra/pulgada2 Gb/in2), (psi) Revolución/minuto (rpm)

1

Slug (sl)

1

Tonelada, corta (2000lbm)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = =

ll5.l2l 16.381

0.3048

145.699 0.0254 1

609.344

4.4482 444822.2

Kilogramos (kg) Centímetros cúbicos (cc)

Metros (m) Watts (W)

Metros (m) Metros (m) Newtons (N) Dinas

0.4536

Kilogramos (kg)

1.3558

Newton-metros (N-m)

1.3558

Joules (J)

1.3558

Watts (W)

0.1128

Newton-metros (N-m)

0.1 128

Joules (J)

0.1128

Watts (W)

47.8803 6894.7 57

0.1047

Pascales (Pa) Pascales (Pa)

Radianes/segundo (radls)

14.5939

Kilogramos (kg)

907.1847

Kilogramos (kg)

Entre un¡dodes estqdounidenses usuoles 1

Blob (bl)

Blob (bl) 1 Pie (ft) 1

1 Caballo de fuerza (hp)

l Nudo 1

Milla, terrestre U.S. (mi)

I Milla/hora I Libra fuerza (lb) I Libra masa (lbm) 1

Libra-pie (lb-ft)

I Libra-pie-segundo (lb-ft/s) I Libra-pulgada (lb-in) 1

Libra-pulgada./segundo (lb-in/s)

1

Libra/pulgada2 (lb/in2), (psi)

1 Radián/segundo (rad/s)

1

Slug (sl)

1

Tonelada, corta

=72 386 = =12 550 = 1.1515 = = 5280 1.4667 = =16 0.0311 = =12 0.001818 0.0833 = 0.0218 = 144 = 9.549 = 32.174 = = 2000

Slugs (sl)

Libras masa (lbm) Pulgadas (in) Libras-pies/segundo (lb-ft/s)

Millas/hora (mph) Pies (ft) Piesiseg

(fls)

Onzas (oz) Slugs (sl)

Libras-pulgadas (lb-in) Caballo de fuerza (hp) Libras-pies (lb-ft) Caballos de fuerza (hp)

Libras/pie2 (lb/fr2) Revolucionesiminuto (rpm) Libras masa (lbm) Libras masa (lbm)

DISEÑo DE MAQUINARIA

B] t A

i ,TEüA . , ,LI',4

REVISORES TÉCNICOS

MÉxICo Ángel Hernández Fernández Sergio Saldaña Sánchez Edgar Ernesto Vera Cárdenas

ESIME Zacatenco, Instituto ESIME Zacatenco, Instituto

Po Pc

litécnico Nacio nal litécnico Nacional

Óscar Cervantes Cabello

Uniuersidad Politécnica de Pachuca Uniu e rs i dad Pan am eri cana

ESPAÑA Angel Ncázar de Velasco fuco José Luis Viesca Rodríguez

Uniuersidad Politécnica de Madrid Uniuersid¿d de Ouiedo

PERÚ

A¡tonio A¡évalo Dueñas

Uniuersidad Nacional de Ingeniería, Lima

DISENO DE MASUINARIA Síntesis y onólisis de móquinqs y mecqnismos Quinta edición

Robert L. IYorton Worcester Polytechnic Institute Worcester, Massachusetts

Revisión técnica: Miguel Ángel Ríos Sánchez Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México

Cuitláhuac Osornio Correa Universidad Iberoameric ana Campus Ciudad de México

Mario Acevedo Alvarado Universidad Panamericana

nÉxrco . eocorÁ. BUENos AIREs . CARACAS . cUATEMALA. MADzuD . NUEVAyoRK SAN JUAN . SANTIAGO . SAO PAULO . AUCKLAND . LONDRES . I,IU-ÁN . MONTREAL NUEVA DELHI . SAN FRANCISCO. SINGAPUR. ST. LOUIS . SIDNEY. TORONTO

Director general México: Miguel Ángel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Ma¡tínez Editor de desarrollo: Edmundo Carlos ZÚrñigaGttiérrez Supervisor de producciónz Zefeino García García T[aductor:

Jesús Elmer Murrieta Murrieta

DISEÑO DE MAQUINARIA Síntesis y análisis de máquinas y mecanismos Quinta edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS

o

2013, 2009, respecto a la quinta edición en español por EDITORES, S.A. DE C.V. Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A,

Mc GRAW-HILL/INTERAMERICANA

Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón, C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Ciámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 97 I -607 -15 -0935 -2 ISBN anterior : 97 8-97 0- 10-6884-7 Traducido de la 5a. edición de Design of Machinery: An Introduction to the synthesis and Analysis of Mechanisms and Machin¿s, de Robert L. Norton. Copyright @ 2OI2,2OO8,2OO4,2OOL, Iggg atd7992 by The McGraw-Hill companies,Inc. All rights reserved.gi\-o-oj-352935-6 1234567890

2456189013

Impreso en México Impreso por Edamsa Impresiones, S.A. de C.V.

Printed in Mexico Printed by Edamsa Impresiones, SA. de C.V.

ACERCA DEL AUTOR Robert L. Norton obtuvo grados de licenciatura tanto en Ingeniería mecánica como en Tecnología industrial en la Northeastem University, y una maestía en Diseño de ingenieía en la Tufts University. Es ingeniero profesional registrado en Massachusetts. Tiene una amplia experiencia industrial en diseño y manufactura de ingeniería, y muchos años de experiencia docente en ingeniería mecánica, diseño de ingenieía, ciencia de la computación y materias relacionadas en la Northeastern Uni-

versity, Tufts University y Worcester Polytechnic Institute. Durante 10 años diseñó cámaras en la Polaroid Corporation, mecanismos afines y maquinaria automatizada de alta velocidad. Trabajó tres años en Jet Spray Cooler Inc., en donde diseñó maquinaria y productos para el manejo de alimentos. Durante cinco años ayudó a desarrolla¡ un corazón artificial y dispositivos de circulación inocua asistida (de contrapulsación) en el Tufts New England Medical Center y el Boston City Hospital. Desde que se retiró de la industria para dedicarse a la docencia, ha continuado desempeñándose como consultor independiente en proyectos de ingeniería que van desde productos médicos desechables hasta maquinaria de producción de alta velocidad. Posee trece patentes estadounidenses. Norton ha formado parte del cuerpo de profesores del Worcester Polytechnic Institute desde 1981 y, en la actualidad, tiene la Distinción Milton Prince Higgins II como profesor en el Departamento de Ingeniería Mecánica, y es director del Gillette Project Center en WPI. Imparte cursos de licenciatura y posgrado en Ingeniería mecánica, especialmente en diseño, cinemática, vibraciones y dinámica de maquinaria. Es autor de numerosos ensayos y artículos técnicos sobre cinemática, dinámica de maquinaria, diseño y fabricación de levas, computadoras en la educación y enseñanzade la ingeniería, y de los textos Machine Design: An Integrated Approach, 4a. ed, y Cam Design and Manufacturing Handbook,2a. ed. Es miembro vitalicio y socio de la American Society of Mechanical Engineers y de la Society of Automotive Engineers. En 2007 fue elegido Profesor del Año en Estados Unidos para el estado de Massachusetts por el Council for the Advancement and Support of Education (CASE) y la Camegie Foundationfor the Advancement of Teaching, que en conjunto presentan los únicos premios nacionales por la excelencia en la enseñanza en Estados Unidos de América.

Este libro estó

dedicodo o lo memorio de mi podre,

Harry J. Norton, Sr, quien despertó el interés de un joven por lo ingenier-rrc;

o lo memorio de mi modre, KathrynW. Norton, quien hizo que todo fuero posible;

o mt esposo, Nancy Norton,

por su inconsoble opoyo y pociencio; y o mis hijos, Robert, Mary y Thomas,

que hicieron que todo voliero lo peno.

CONTENIDO XVIi XIX

Prefocio de lo quinto edición Prefocio de lo Primero edición

Panr¡

I

Cl¡¡euÁrlcA

I

MEcANlsMos. . . . '

DE

3

CopítuloI Introducción. .U

I .2

J

r rvvvJrrv, Propósiio

3

Y cinético Meconismos Y móquinos

Cinemótico

4

.ó

Uno breve hisiorio de lo cinemóiico.

.4

AplicocionesdelocinemÓtico......'

tr

El

..

4

'

E

ó

proceso de diseño Diseño, invención, creatividod ldentificoción de lo necesidod .

6

.

lnvestigociÓn Preliminor

7 .

"

B

Ptonteomiento de obietivos Especificociones de desemPeño . . ' GenerociÓn de ideas e invenciÓn Anólisis,

8

9

t0

t0

.

Selección Diseño detollado CreociÓn de PrototiPos

tó

DiseñoqxiomÓfico 1.7

t8 t9 r .10

lI

1.12

I l3

Y

Producción Otros enfoques ol diseño

il ll il

Pruebos

12 .

..

12

t3

'

Soluciones mÚltiPles Foctores humonos en lo ingenieric. El reporteen ingenieric,

.,,,

t3 t3

.

14

Unidodes Un estudio de coso de diseño EducociÓn poro lo creotividod en ingenier-a Lo que viene Recursos que ocompoñon el iexto.

tó tó 20 20

.

Progromos. . ,

20 20

,

Videos.......

1.14

I l5

Copítulo

21

Referencios......

21

Bibliogrofto

2

24

Fundomentos de cinemático

2.O 2.1 2.2 2.3

lntroducciÓn Grodos de liberiod (gdl) o movilidqd Tipos de movimiento, . , Eslobones, iuntos y codenos cinemÓticos ' diogromos cinemÓticos de uruvrur Dibujo UV LJII.JUJU 2.4 2,4 2.5 Deteiminoción del grodo de libertod o movilidodplonos '' Grodo de liberlod (movilidad) en mecan¡smos Grado de tibertad (movitidod) en mecanismos espocioles Meconismos Y estructuros 2.6 Síntesis de número 2.7 Porodojos. 2.8 lsómeros, 2.9 2,10 Tronsformoción de eslobonomientos Movimienio nterm itente 2.11 ,

'

.

i

2.12 2.13

lnversión Lo condición de Groshof ClasificociÓn del eslobonamiento de cuotro borras'

24 24 25 OE

28 29 30

3l

3l a.a

34 2F

3ó 39 39

4t 44

tx

x

2,14

Eslobonomientos de mÓs de cuotro bonos Eslobonomientos de cinco borros engronodos

45 .

.

Eslobonomienlos de seis borros Criterios de rototibilidod tipo Groshof poro eslobonomientos de orden olto , . . . Los resortes como eslobones. . . ,

2.15 2.16 2.17 2.18

Meconismosflexibles Sistemos microelectromecónicos (MEMS, por sus siglos en inglés) Considerociones Prócticos Juntqs de posodor contro correderos y semiiuntos ¿En volodizo o en doble volodizo? Eslobones cortos. RelociÓn de oPoYo. Correderos comercioles.

2.19

Eslobonomientos contrq levas. Motores y proPulsores Motores eléctricos. Motores neumÓticos e hidrÓulicos Cilindros neumÓticos e hidráulicos

50 52 52 53 53 53

59 59

Problemos

3

50

58 58 59

Solenoides.

Copítulo

48 49

54 54

2,2O Referencios

2.21

.

45 46 46 47

Síntesis grófico de eslobonom¡entos

69 69

3.0

lntroducción

3..l

Síntesis

3.2 3.3 3.4

Generoción de función, troyectorio y movimiento Condiciones límite. . . . Síntesisdimensionol . .

69 .

.

71

72 74

35

3ó 37 3B

3.9 3..l0

3.ll

óptimo de meconismos de cuotro borros de líneo reclo Meconismos con detenimiento. . Meconismos con delenimiento simple, Meconismos con doble delenimiento Otros meconismos Útiles. . . . Movimientos del pistón de velocidod constonle. Movimiento de boloncín con excursiÓn ongulor gronde Movimienlo circulor con cenlro remoto Referencios ......

99 1O2 103

Bibliogrofto Problemos Proyectos

il0

3.12 3..l3 3..l4 Copítulo

O 4.1 4.2

4

Diseño

.

4

105

r0ó 108

108

r09

117

Anólisis de Posición

121

.

121 122

lntroducción Sistemqs de coordenodos Posición y desPlozomiento.

1O4

105

.

123

.

PosiciÓn

Tronsformación de coordenodos Desplozomiento . . ..

.

.

.

123 123 123

:3NTENIDO

43

44 45

xl

complejo

Trosloción, rotoción y movimiento

Trosloción, Rotoción Movirniento complejo. Teoremos

124 l2S 125 125 125

Anólisis grófico de lo posición de mecon¡smos orticulodos. . . Anólisis olgebroico de poslción de meconismos . . . . l?epresentoción en configuroción de lozo vectoriol de meconismos , , , .

126 126

i27

Númeroscomplejoscomovectores,....,

46 47

8 4I 4

4 4

l0 ll

412 J J

l3 14

127

Ecuoción de lozo vector¡al poro un meconismo de cuotro borros, 128 Solución de posición de un meconismo de cuotro borros de monivelo-corredero 132 Solución de posición de un eslobonomiento de cuotro borros

corredero-monivelo. Solución de posición de un meconismo de monivelo-correderq inveriido Eslobonomientos de mós de cuotro borros Eslobonomiento de cinco borros engranodo . . .

134

.

.

138 140

Eslobonomienfos de seis borros Posición de cuolquier punto en un eslobonomiento

141

Ángulosdetronsmisión

142

.

Volores extremos del

.. ...

ángulo de tronsmisión . . . .

142

.

Posiciones límite de cqmbio. Circuitos y romos en meconismos. , . . Método de solución de Newton-Rophson Determinoción de uno roíz unidimensional (método de Newfon) Determinoción de roíces mullidimensionoles (método de Newton-Rophson). Solución de Newlon-Rophson poro el meconismo de cuotro borros. . . . . . Herromienlos poro lo solución de ecuociones . . , . . Referencios Problemos .

.

j l5 i Ió

r3ó 138

.

,

143 144 145 146 147

t48 148 149 149

hpítulo 5 Síntesis onolÍt¡co de meconismos. r58 .l58 50 lntroducción .l58 5 1 Tipos de síntesis cinemótico, a2 SÍntesis de dos posiciones poro solido de boloncÍn l 59 tr 3 Puntos de precisión. I ó0 a4 Generoción de movimiento de dos posiciones medionte sínfesis onolÍtico. . . . . I ó0 55 Comporoción de síntesis onolítico y grófico de dos posiciones 164 5ó Solución de ecuociones simultóneqs. . . . lós a 7 Generoción de movimiento de tres posiciones medionte síntesis onolítico . . . . . 167 58 Comporoción de síntesis onolÍtico y grófico de tres posiciones 17O 59 Síntesis poro lo locolizoción de un pivote fijo especificodo . , . 173 510 Círculosconpuntoenelcí'culoypuntoenelcentro....... 176 5 I I Síntesis onolítico de cuotro y cinco posiciones 177 412 Síntesis onolÍtico de un generodor de troyectorio con temporizoción prescrito 178 5 l3 Sínfesis onolíiico de un generodor de función de cuotro borros. l78 414 Otros métodos de síntesis de meconismos , . . . ]80 jB2 Mélodos de puntos de prec¡s¡ón .l83 Métodos de ecuoción de curvo del ocoplodor , , . , , Métodosdeoptimizoción..... ]83 a 15 Referencios 18ó aló Problemos rcl

-pÍtulo ó Anólisis de Io velocidod. . 50 lntroducción áI Delinición de velocidod 5 2 Anólisis grófico de lo velocidod. . . á 3 Centros insiontóneos de velocidod 54 Anólisis de velocidqd con centros instontóneos .

I93 193 193 195 198

202

Reloción de velocidod ongulor.

203

Ventaja mecónico Utilizoción de los centros instontóneos en el diseño de meconismos

2U 205

xil 206

Centrodos

ó.5

208 208

Meconismo "sln es/obones Cúspides 6.6 6.7

Velocidod de deslizomienfo. . . Soluciones onolÍiicos poro el onÓlisis de velocidod Meconismo de cuotro borros coniunlas de posodor' ' ' ' Monivelo-corredero de cuotro borros

209

.

211

Meconismo corredero-monivela de cuotro borros Meconismo de cuqtro borros monivelo-correderq invertido Anólisis de velocidod del meconismo de cinco borros engronodo

ó.8 6.9

211 213

'

Velocidod de cuolquier punto de un meconismo . . . . .

215 216 217

.

218 219 219

ó.10 Referencios

ó..lI Problemos

CopÍtulo 7.O

7

Anólisis de !o

qceleroc¡ón

233

lntroducción

233 233

Anólisis grófico de lo ocelerociÓn Soluciones onolíiicos poro el qnÓlisis de lo oceleroción Meconismo de cuotro borros con iunfos de posador Meco nismo de cuoÍro borras monivelo-corredero Meconismo corredero-mqnivelo de cuolro barros Aceleroción de Coriolis Meconismo de cuotro borros monivelo-corredero inve¡tido Anólisis de oceleroción del meconismo de cinco borros engronodo Aceleroción de cuolquier punto de un meconismo. . . . . Tolerqncio humono o lo oceleroción . . .

235

Defnicióndelooceleroc¡0n............. ,.

7.1

72 73

238 238 241 243 245

246 249

7.4 7.5 7.6 7.7 Socudimiento 7.8 Mecqnismos de N borros 7.9 Referencios 7.1O Problemos 7.11

Loborotorio virtuol

25O

251

253 255 255 255 268

,

CopÍtulo 8 Diseño de Ievos 80 lntroducción

8l

269 269 269

TerminologÍo de levos Tipo de movimiento del seguidor Tipo de cierre de junto Tipo de seguidor, T¡po de levo. . Tipo de restricciones de movimiento Tipo de progroma de movimiento

270 270 271

272 272 273

.

8.2 8.3

Diogromos SVAJ Diseño de levos con doble detenimiento: selección de los funciones Ley fundomentol de diseño de levos Movimiento ormónico simple (MAS) Desplozomiento cicloidol.

S

VA

J

85 8.ó

I

'

273 274 276 276 278

280

Funciones combinodos, Fqmilio SCCA de funciones de doble detenimiento Funciones polinomioles Aplicociones de polinomios con doble Diseño de uno levo con deienimiento simple: selección de los funciones S VA

29O

Efecto de lo osimetr'to en lo solución polinomiol ol coso de subido-boiodo.

294

detenimiento

84

..,

Aplicociones de polinomios q detenimiento

simple,

Movimiento de troyectorio crítico (CPM) Polinomios utilizodos poro movimiento de trayectorio crítica. Dimensionomiento de lo levo:óngulo de presión y rodio de curvoturo Ánguto de presión: seguidores de rodillo troslodontes Setección del rodio de un círculo primorio Momento de volteo: seguidor de coro plano troslodonte Rodio de curvoturo: seguidor de rodillo troslqdonte, . . Rodio de curvoturo: seguidor de cora plono trasladonte

J .. .

281 287

288 293 297 297 3O2 303

305 30ó 30ó

309

o

CONTENIDO

3

7

xtft

Considerociones prócticos de diseño idor troslado nte u oscilonte?. ¿Con cierre de forma o de fuezo?. ¿Levo rodiol o oxiol?. ¿Segu¡dor de rodillo o de coro plono?. . . . . . . . . ¿Con detenimiento o sin delenimiento? . ¿Rectificor o no rectificor? ¿Lubricor o no lubricor? Referencios Problemos

312

¿Segu

312 313 313 2t 2

.

314

.

314 315 315 315

.

8 9 8 l0 8II 8 8

Loborotorio viriuol

320 320

.

Proyectos

Copítulo

0 9.1 92

9

Trenes de engrones . .

324

.

lntroducción Cilindros rodontes Ley fundomentol de engronoje.

9

324 324

325

Lo formo de involuta en dientes de engrone.

326

Ánguto de presión Combio de lo distoncio entre centros Juego entre dienfes

9

3 9.4

Nomencloturo de diente de engrone. lnterferenciq y socovodo

5 9.6

Reloción de contocto, Tipos de engrones.

327

328 329

329 33r

Formos de diente de cabezo desiguol.

9

332

332

.

335

Engrones rectos, helicoidoles y de espina de pescodo Tornillos sinffn y engrones de tornillo sinfn .

2?E

335

.

Cremollero y piñón.

33ó

Engrones cónicos e hipoidoles Engrones no circulores, Tronsmisiones de

9.7 9.8

Trenes de Trenes de Diseño Diseño

JJ/

337

bondo y codeno

engrones simples engrones compuestos.

de lrenes compuestos. de trenes compuestos revertidos Un olgoritmo poro el diseño de trenes de engrones compuestos

9.9

Trenes de engrones epicíclicos o plonetorios

l0 9ll

9.12

ll

DluÁvllca

l3

Pnnr¡

Copílulo

0 l0.l l0

1O.2

351

352

Tronsmisiones,,..,,

9.14 9..]5

9

348

Método de lo fórmulo Eficiencio de los trenes de engrones Diferencioles Referencios Bibliogrofíc Problemos

I0

354 358 3ó0

3ó0 3ó0

DE MAautNARIA

.

369

.

Fundomentos de dinómico

lntroducción Leyes del movimiento de Newton . , Modelos dinómlcos . . . . .

]0.3 Moso. I0.4 Momento l0 5 Mo ]0.ó Teo 1O.7 Det

341 343

346

Mélodo tobulor. 9

340 340 34r

371 371

37r

,

.

de moso y centro de grovedod

d porol el mo

rcio

omenlo de moso) nsferencio)

moso

Métodos onolíticos

Métodosexperimenloles.., , ,

,

,

.

372 372 373 374 375 376 376

,

376

xrv

.l0.8 lO.9 .l0..l0 ló.1I .10..l

2

Rodio de giro. .

377 377 378

'

Modelodo de eslobones rototorios Centro de Percusión Modelos dinÓmicos con porÓmetros concentrodos

380 380 380

Constonte de resorte

"

Amortiguomiento

'

382

Sistemos equivolentes

Amortiguodores combinodos. .

383 .

384 384 384

CombinociÓn de resorles CombinociÓn de mosos Relociones de Polonco Y engrones

.l0..l3 Métodos de solución .l0..l4 Principio de d'Alembert . . " ' 'I 0,.l5 Métodos de energÍo: trobojo virtuol ó Referencios l0.l .l0..l7 Problemos .

389 390 39.l

392

.

393

.

Copítulo I I Anólisis de fuerzos dinómicos

I-l.0 I l.l 11 .2 I.l.3 11.4

I.l.5

t.ó

r

11.7

I1.8 I1.9

40.l

405 410 412 414 415 415 416 418 423 424 425 425 435 435

AnÓlisisdefuezosdelmeconismodemonivelocorrederoinvertido Anólisis de fuezos: meconismos con mÓs de cuotro borros Fuerzo y momento de sqcudimiento . ' '

I r.l I I r.l2

il.13 I

398 398 399

lntroducción Método de solución newtoniono Un solo eslobón en rotoción puro ' bonos de Anólisis de fuezos de un meconismo orticulodo de tres mqnivelo-corredero. Anólisis de fuezos de un meconismo de cuotro borros' de monivelo-corredero Anólisis de fuezos de un meconismo de cuotro borros

t.l0

I

398

'

l.l4

r.l5 il..ló rt.t7

I

'

medionre mérodos de energío . . . Control del por de torsión de entrodo: volontes Índice de tronsmisión de fuezo en un meconlsmo ' ' Considerociones Prócticos . . . .

nñáriJ,

¿ Ír;;¿r-"" meconismos .

Referencios Problemos

Loborqtorio virtuol Proyectos

438

Copítulo I2 Bolonceo 12.O lntroducción

438 438

121 Bolqnceo estÓtico 12.2 Bolonceo dinÓmico 12.9 Bolonceos de meconismos 12.4 12.5 12.6 12J 12.8 12.9

orticulodos ' ' ' ' Bolqnceo completo de fuerzos de meconismos orticulodos Efecto del bolonceo en fuezos de socudimiento y fuezos en Efecto del bolonceo en el por de torsiÓn de entrodo Bolonceo del momento de socudimiento en meconismos ' Medición y corrección del desbolonceo Referencios Problemos

12..l0 Loborotorio virtuol

Copítulo 13.0 t

3.l

13.2 13.3

r34 3.5 13.ó 13,7 r

I

441

l3

444

posodores'

'

'

445 447 449

450 452 454 455 460

.

461

Dinómico de moiores

lntroducción .... llllluuuv9lvlr Diseño del motor Cinemótico del meconismo de monivelo-corredero Fuerzos del gos y pores de iorsión de gos Mosos equivolentes Fuerzos de inercio y de socudimiento . ' Pores de torsión de inercio y de socudimiento Por de torsión totol del motor. .

461 461 '

466 470 472 475 477

479

p

CONTENIDO

Volontes

3.8 13.9 13.10 r

Fuezos de posodor en un motor de un cilindro Bolonceo del motor de un cilindro Efecto del bolonceo del cigüeñol en los fuezos de Combios y relociones de diseño. Reloción bielo / monivelo

r3.rI

Copítulo

14.2 14.3 14.4 14.5 14.6

posodores . .

488 488

l4

488 489

489 489

493

Molores multicilindros

494 494 494 496 500 50r 502 503 504 50ó

510

.

517

.

4,10 I

14.12 14.13

.l5.0 l5.l

517

Bolonceo secundorio en motores de cuotro cilindros en líneo Motor de dos cilindros perfectomenle bolonceodo, Referencios Bibliogrofro Problemos.

524

Proyectos.

525

CopÍtulo

I5

521

523

523 523

Dinómico de levos

527

lntroducción Anólisis de fuerzos dinómicos del sistemo levo-seguidor con cierre de fuerzo. . /?espuesfo no omortiguodo. . , Respuesto omortiguodo Resononcio Anólisis de fuerzos cinetostóticos del sistemo seguidor-levo con cierre de fueao Anólsisis de fuezos cineiostóticos del sistemo de levo-seguidor con cierre de formo Por de torsión cinetostótico en un órbol de levos Medición de fuezos dinómlcos y ocelerociones . . . Considerociones prócticos

.

,

15.2 15.3 1E

487

.

,

14.7 r 4.8 14.9

l4.t

los

lntroducción Diseños de motores multicilindros Diogromo de fose de mqnivelos Fuezos de socudimiento en motores en lÍneo. Por de torsión de inercio en motores en líneo Momento de socudimiento en motores en líneo Encendido uniforme. Motor con un ciclo de dos tiempos Motor de cuatro tiempos,, . . ., Configurociones de motores en V. Configurociones de motores opuestos Bolonceo de motores multicilindros

4.0

14.1

r

479 480 485

Reloción diómetro ¡nterno del cilindro/correro Moterioles Bibliogrofro Problemos Proyectos

13.12 .l3..l3 .l3..l4

r

XV

Á

155 15.ó 15.7 r 5,8 15,9

.

Referencios Problemos

t5.tI

Loborotorio virtuol

Copítulo

ló

534 535 538 541 543

544 545 545 545 548

Bibliogrofo

15.r0

527 528 528 529

.

Meconismos ¡mpulsodos por Ievo y servomecon¡smos . .

549

lntroducción

549

r ó.1

Servomotores.

550

16.2

Control de servomovimiento

550 5s0

I

ó.0

Funciones de servomovimiento I ó.3

16.4 I ó.5 r ó.ó

Meconismos impulsodos por levo Meconismos servooccionodos Otros mecqnismos Meconismos impulsodos por levos contro servoconducidos . Flexibilidod. Costo

551

558 .

562 562 562 562

CONTENIDO

xvl

562

Confiabilidod

FAA

Compleiidod

5ó3 5ó3 5ó3

Robustez

Empoque.

167

tó

8

tó9

Capacidod de corgo Referencios ,

5ó4 564 564

.

Bibliogrofto Problemos

5óó

Apéndices A B

c

Progromos de comPutodoro. . . Propiedodes de moterioles

5óó

.

5óB

571 573 577

Propiedodes geométricos

D Co rocterísticos de resortes, Atlos de curvos de ocoPlodor E Respuestos de problemos selecclonodos F Ecuociones poro motores multicilÍndricos

subbolonceodos o sobrebolonceodos

' "

578 589

Índice onolÍt¡co

Cotólogo del DVD

599

E

PREFACIO

de lo quinto edición

..'Cu Los Yo

s que hacer este libro para que salga bien, Norton? NTARoN al reeditar la cuatlaedición.

apelé a la quinta.

El ernoR

-

a quinta edición es una mejora evolutiva sobre la cuarta edición y todas las anteriores. En el prefacio :e la primera edición (página XIX) hay información más detallada sobre el propósito y la orginización :¡l libro. Los principales cambios en esta edición son:

' ' .

Se agtegó un nuevo capítulo (16) sobre los mecanismos impulsados por leva y los servomecanismos con base en la experiencia reciente del autor en consultoúas, la cual indica una mayor utilización de servomotores para impulsar los mecanismos de la maquinaria. Se agregaron más de 50 problemas de tarea nuevos. Todas las flguras de los problemas se incluyen como archivos PDF en el DVD, de modo que los alumno-s impriman ü, qu" necesiten para trabajar las soluciones. Varios de los programas escritos por el autor que acompañan el ieron por completo para mejorar su interfaz y facilitar su uso, por lo qui ahora s con los sistemas operativos y computadoras más recientes. Los programas Founnln, Frv¡sA,n, Srxsnn y Sr-mgn se combinaron en un nuevo programa, LtNrlcss, que hace todo lo que los programas anteriores hacían en forma colectiva, y se añadieron algunas características nuevas. EI programa DyNACAM también se reescribió en su totalidad y está muy mejorado. Los progra*ui Moron y M4rnrx permanecieron sin cambios. Estos programas de computadora están sometidos a revisiones fie-

impartir s

sus

programas

os visitar la

'

Se aplicaron muchas pequeñas mejoras al análisis de diversos temas en diferentes capítulos, sobre todo a partir de comentarios de los usuarios, además, se corrigieron todos losLrrores

detectados.

;n

' '

la quinta edición se presenta también el extenso contenido del DVD de la cuarta. El DVD incluye:

El Atlas completo de Hrones y Nelson de las curvas de acoplador, y el Atlas de Zhang de las curvas de acoplador de cinco barras, se proporcionan como archivos pDF en el DVD.

En dieciocho videos instructivos se proporcionan varias clases/demostraciones tutoriales sobre

temas como síntesis de posición, curvas de acoplador y cognados, condición de Grashof, etc. En otros se muestra maquinaria real que utiliza mecanismos, levas y engranajes para tareas como fabricación de resortes, impresión en botellas y mecanismos de iomar y colocar

para montajes

automatizados.

'

Se incluye la simulación de mecanismos de Wang en un entomo multimedia con más de 100 archivos de Working Model (WM) con base en las f,guras del libro, y 19 modelos Matlabd para análisis cinemático y animación.

'

Se

pr

il::: de orras escuelas puedan reatizarestos

irtuales,,que replican laboratorios creados por el máquinas y archivos en hojas de cálculo cán los

ejerciciff::il"J',"T:::,:::$',fJÍ:que

los estudiantes

xvlt

xvlil y

elem

de las fotogtafías otros RncoNocrurENTos Las fuentes de las figuras; el autor desea i;; t;;t.d"io"un "t' tu' i"y"naas disposición estos e qo" g"tt"'o'u-*te posiero' a nuestra

compañías desea reconocer a los usuanos nrimera edición. Éstos incluYe 'Demeulenaere, de la Universi

t'r\iÍ;lil i"",r de ra Universidadwonkwang, lÍi;1;;!,;|"i,*i"r",'ii*""-rir"; rf de ;;;;ü;*",,idad

f,.#:ffili;l

swami Karunamoorthv'

iii;i'rii!r?,í:,1,'!"K.11

ana, R' Devashier' de la Universidad de ago, M' Keefe' de la Univ-ersidad dela y L'We.lls' elz, delYorkCollege' as

o correcciones útiles' Los

Universidad de PennsYlvania'

Cormier

Y

David Taranto' del C

de por sus esfuerz emérito Thoma El autor

miento al Profesor hivos de Working Universidad Mercer' proporclono

yI mediante un impresionante problemas, así como-sus soluciones cook merecen una uuloru, contribuciones del doctor

y los archivo, ¿" ,oro"iJ, [email protected], mención esPecial'

Ep\ert L. Ñrton ,,,[ att oP o is ett,

9v{ as s'

Agosto le 2010

,N

ana.

la

PREFACIO

de lo pr¡merq edición

11n

ad trd

l¡, de rdt

Cuando escucho, olvido. Cuando veo, recuerdo. Cuando hago, entiendo. ANrrcuo pRovERBro cHINo

ad de

,la .os

iia, te tes rón

erde rgh J. ES,

sor de 0es

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ton 'tus.

010

Este texto comprende temas de cinemática y dinámica de maquinaria que a menudo se imparten como curso único, o en dos cursos sucesivos, en el tercer año de lamayoría de los programas de la caffera de ingeniería. Los requisitos son los primeros cursos de estática, dinámica y cálculo. por lo general, el primer semestre, o una parte de é1, se dedica a la cinemática, y el segundo a Ia dinámica de maquinaria. Estos cursos son vehículos ideales como introducción para el estudiante de ingeniería mecánica al proceso de diseño, puesto que los mecanismos tienden a ser intuitivos para que los visualice y elabore. Si bien este texto pretende ser concienzudo y completo en los temas de análisis, también hace hincapié en la síntesis y los aspectos de diseño de los temas con un grado mayor que la mayoría de los otros textos sobre estos temas. Además, aborda el uso de ingeniería asistida por computadora como aproximación al diseño y análisis de esta clase de problemas con una provisión de ioftware que puede mejorar el entendimiento de los estudiantes. No obstante que el nivel matemático está dirigido a estudiantes de segundo y tercer año de lacanera, se presenta y deberá ser comprensible también para los estudiantes de escuelas técnicas La parte I de este texto es adecuada para un curso de cinemática de un semestre o un año. La parte II 1o es para un curso de dinámica de maquinaria de un semestre o un año. Por otra parte, ambos temas pueden cubrirse en un semestre si se hace menos hincapié en algunos de los iemas que se tratan en el texto. La redacción y el estilo de presentación se diseñaron para ser claros, informales y fáciles de leer. Se presentan muchos ejemplos y técnicas de solución, los cuales se explican de manera detallada, tanto por escrito como gráficamente. Todas las ilustraciones se hicieron con programas de dibujo para computadora. También se incluyen algunas imágenes fotográlicas escaneadas. Todo el texto, incluidas las ecuaciones y el trabajo artístico, se imprimió directamente de la computadora del autor con impresora láser para obtener una miíxima claridad y calidad. En la bibliogiafía se incluyen muchas lecturas sugeridas. Al final de los capítulos se proporciona una gran variedad de problemas breves, y en los casos en que se considera apropiado, muchas tareas de proyectos no estructurados de diseño, un poco más extensas. Estos proyectos permiten que los estudiantes lo hagan y entiendan. La aproximación del autor a estos cursos y el texto mismo estiín basados en más de 40 años de experiencia en diseño de ingeniería mecánica, en la industria y como consultor. Ha impartido estas materias desde 1967 en escuelas noctumas a ingenieros practicantes, y en escuelas diumas a estudiantes más jóvenes. La forma de impartir su cátedra ha evolucionado mucho en ese tiempo, desde la forma ¡radicional, que hacía hincapié en el análisis gráfico de muchos problemas estructurados, o en métodos algebraicos cuando las computadoras estuvieron disponibles, hasta el método actual antes descrito. La constante ha sido transmitir el proceso de diseño a los estudiantes para que puedan ahondar en problemas de ingenieía reales etlaprácfica. Por ello, el autor siempre ha promovido el diseño en sus cursos. Sin embargo, sólo hasta hace poco la tecnología ha proporcionado los medios para alcanzar con más eficacia esta meta por medio de gráflcos de microcomputadora. Este texto intinta mejorar los actualmente disponibles al proporcionar métodos y técnicas actualizadas de análisis y síntesis que aprovechan estos gráficos para destacar tanto el diseño como el análisis. También incluye un ratamiento más completo, moderno y concienzudo del diseño de levas que el que hacen los iextos existentes sobre la materia. El autor escribió cuatro programas para computadora fáciles para los estudiantes, interactivos para el diseño y análisis de mecanismos y máquinas.* Estos programas están diseñados para mejorar

+ Uno de estos cuatro programas reemplaza a cuatro

de 1a serie original de siete programas de las ediciones

anteriores del libro, Fou¡.eA.n, Frveaa.n, Srxnnn y Srr»rn, los cuales se combinaron en el nuevo programa Lrnrlcts de la quinta edición

xtx

xx

PREFACIO DE LA PRIMERA EDICIÓN

la comprensión del estudiante de los conceptos básicos, al mismo tiempo que permiten la solución de problemas y larealización de proyectos más amplios y reales en el tiempo disponible que se pudieran haber hecho con técnicas de solución manuales, ya sean gráflcas o algebraiias. se aiignan problemas de diseño no estructurados y reales, que tienen muchas soluciones válidas. Se hacJhincapié en la síntesis y el diseño por igual. Los métodos de análisis que se presentan son actuales, puesto que u¡ilizar] ecuaciones vectoriales y técnicas de mafriz siempre que sean aplicables. A los métodos de análisis gráficos manuales no se les da mucha importancia. Los gráficos de programas para computadora permiten que los estudiantes se percaten de los resultados de la variicién de parámetros de inmediato y con precisión, lo que rcfircrza su aprendizaje. Estos programas para computadora se incluyen en el DVD a junto a este libro, el cual contiene instrucciones para su uso en cualquier PC compatible con IBM capaz de ejecutar con Windows

LrNrlc¡ analiza la cinemática-y la dinámica de los eslabonamientos de cuaffo, cinco y seis barras, así como cuatro barras de corredera. También sintetiza los eslabonamientos de cuatro bamas para dos y tres posiciones. El DyNncllr permite el diseño y análisis dinámico de sistemas de seguidor de leva. El programa ENcrN¡, analiza el eslabonamiento de manivela-corredera tal como se utiliza en el motor de combustión interna y proporciona un análisis dinámico completo de motores de un cilindro y varios cilindros en línea, en V y W, y permite el diseño dinámico de motores. El programa MntRIx resuelve ecuaciones lineales a",rso gáne.al. Éstas son versiones para estudiante de programas profesionales escritos por el autor, los cuales utilizan empresas de todo el mundo. Todos estos programas, excepto M¡.rnIx, proporcionan animación dinámica y gráflca de los dispositivos diseñados. Se recomienda al lector que utilice estos programas para invéstlgar los resultados de la variación de parámetros en estos dispositivos cinemátños. Los programas están diseñados para mejorar y enriquecer el texto en lugar de sustituirlo. Lo inverso también es cierto. En el DVD se incluyen muchas soluciones de ejemplos y problemas del libro. La mayoría de estas soluciones se pueden animar en pantalla para una mejor demostración del concepto, lo que no siempre es posible en la página impresa. Se exhorta a los estudiantes y al instructor á qre aprou"chen l,os p.ogru*u. provistos. En el apéndice A se incluyen instrucciones para su uso. La intención del autor es presentar primero los temas de síntesis para permitir que los estudiantes realicen algunas tareas de diseño sencillas al principio del curso, al mismo tiempó que profundizan en los temas de análisis. Aunque éste no es el método "tradicional" para la enseñanza áel material, es superior a concentrarse inicialmente en el análisis detallado de mecanismos para los cuales el estudiante no tiene un concepto de origen o propósrto. Los capítulos I y 2 son introductorios. Quienes deseen impartir el análisis antes de la síntesis pueden posponer los capítulos 3 y 5 sobre síntesis de eslabonamientos para más adelante. Los capítulos 4' 6 y 7 sobre análisis de posición, velocidad y aceleración, ron r."rén"iales y están basados uro el otro' En realidad, algunas de las series de problemas son comunes entre estos tres capítulos, "n de modo que los estudiantes puedan úilizu sus soluciones de posición para determinar velócidades y utilizarlas más adelante para determinar aceleraciones en los mismos áslabonamientos. El capítulo g sobre levas es más extenso y completo que otros textos de cinemática y adopta el método de diseño. El capítulo 9 sobre trenes de engranes es introductorio. El tratamiento de fuerzas diniímicas en la pate II utiliza métodos matriciales para la solución de sistemas de ecuaciones simultiíneas. No se presta atención al aniílisis gráfico de fuerzas. El capítulo 10 presenta una introducción al modelado de sistemas dinámicos. EI capítulo I 1 analiza las fuerzas de eslabonamientos. El balanceo de maquinaria y eslabonamientos rotatorios se trata en el capítulo 12. Los capítulos 13 y 14 ltllizan el motor de combustión interna como ejemplo para reunir muchos conceptos dinámicos en el contexto de diseño. El capítulo 15 presenta una introducción al modelado de sistemas dinámicos y utiliza el sistema de seguidor de leva como ejemplo. Los capítulos 3, 8, 1i, 13 y l4proporcionan problemas de proyectos abiertos lo mismo que conjuntos de problemas estructurados. Lá asignación yijecución d" p.obl"-u, de proyectos no estructurados pueden facilitar en gran medida la cómprensión del estudiante de los conceptos como 1o describe el proverbio en el epígrafe de este prefacio. NT/2000/XP/Vism,rWindows 7. El programa

RncoNocrl'rrENTos Las fuentes

de las fotografías y otros elementos de arte que no son originales proporcionan en las leyendas y al dorso de la página del título. El autor desea agrade"". lu peración de todas las personas y compañías que generosamente pusieron a nuestra "oodisposición estos elementos. De la misma manera desea dar reconocimiento u uqu"llor que revisaron varias secciones de la primera edición del texto e hicieron muchas sugerencias útiles fara su mejora. El señor John se

PREFACIO DE LA PRIMERA EDICIÓN

Titus de la Universidad de Minnessota revisó el capítulo 5 sobre síntesis analítica y el señor Dennis Klipp, de Klipp Engineering, Waterville, Maine, revisó el capítulo 8 sobre diseño de levas; el profesor William J. Crochetiere y el señor Homer Eckhardt de la Universidad Tufts, Medford, Mass., el capítulo 15. El señor Eckhardt, y el profesor Crochetiere de Tufts y el profesor Charles Warren, de la Universidad de Alabama. impartieron y revisaron la parte I. El profesor Holly K. Ault, del Instituto Politécnico de Worcester, revisó a cabalidad el texto, al mismo tiempo que enseñaba con las versiones de prepublicación y pruebas del libro completo. El profesor Michael Keefe, de la Universidad de Delaware, hizo muchos comentarios útiles. Agradecimientos sinceros también para el gran número Je estudiantes no graduados y asistentes de enseñanza de posgrado que descubrieron errores tipoeráficos en el texto y en los programas mientras utilizaban las versiones de prepublicación. Desde la :rimera impresión del libro, los profesores D. Cronin, K. Gupta, P. Jensen y el señor R. Jantz seña.aron nuestros errores o hicieron sugerencias que han sido incorporadas, por las que se les agradece.

3.o6ert

L. hforton

)'{ottapokett, Mrcs. )gosto le 1991

xxt

,trse a la cinemáticct le recompensará. .;:.fecunda que la geometría: .;i espacio una cuarta dimensión. : T ) SCHEV

PARTE

A SYLVESTER, T873

^

crNEvlÁilcA DE

MECANISMOS

INTRODUCCION :.tt irtspiración siempre surge .,¡ aquellos que trabajan duro.

\róNnro

I,O

PROPóSITO

En este texto se exploran la cinemática y Ia dinámica de maquinaria con respecto a la síntesis de mecanismos para lograr los movimientos o tareas requeridas, así como el análisis de mecanismos rira determinar su comporlamiento dinámico de cuerpo rígido. Estos temas son fundamentales en el .:ma más amplio de diseño de máquinas. Sobre la premisa de que no se puede ar'alizar algo hasta -ue sea sintetizado dentro de su existencia, primero se explorará el tema de síntesis de mecanismos. Luego se investigarán técnicas de análisis de mecanismos. Todo ello con el propósito de desarrollar -u habilidad de diseñar mecanismos viables de solución de problemas de ingeniería no estructurados rediante el proceso de diseño. Se comenzará con deliniciones precisas de los términos utilizados en 3\tOS temas.

.I

.I

CINEMÁTICA Y CINÉflCA

CIrotrÁrrc.L

CINÉrrc¿.

Estudio del movimiento sin considerar las fuerzas. Estudio de las fuerzas sobre sistemas en movimiento.

Estos dos conceptos enrealidad no se pueden separar. Los separamos de manera arbitraria por razones didácticas en la educación de ingeniería. En la práctica de diseño de ingeniería también es válido ;onsiderar primero los movimientos cinemáticos deseados y sus consecuencias, y subsecuentemente investigar las fuerzas cinéticas asociadas con esos movimientos. El estudiante debe considerar que la división entre cinemática y cinética es muy arbitraria, y en gran medida se hace por conveniencia. La mayoría de los sistemas mecánicos dinámicos no pueden diseñarse sin considerar a fondo ambos temas. Es lógico considerarlos en el orden en que aparecen puesto que, por la segunda ley de Newton,

F = mz, en general

se requiere conocer

la aceleración (a) para calcular las fuerzas dinámicas (F)

generadas por el movimiento de la masa (ru) del sistema. También existen situaciones en las que se

conocen las fuerzas aplicadas y se tienen que encontrar las aceleraciones resultantes. Un objetivo fundamental de la cinemática es crear (diseñar) los movimientos deseados de las partes mecánicas y luego calcular matemáticamente las posiciones, velocidades y aceleraciones que los movimientos crearán en las partes. Como para lamayoría de los sistemas mecánicos ligados a la Tierra la masa en esencia permanece constante con el tiempo, la deflnición de aceleraciones como función del tiempo también define las fuerzas dinámicas como una función del tiempo. Los esfuerzos, a su vez, serán una función tanto de las fuerzas aplicadas como inerciales (na). Como el diseño de ingeniería implica crear sistemas libres de falla durante su vida de servicio esperada, el objetivo es mantener los esfuerzos dentro de límites aceptables para los materiales elegidos y las condiciones ambientales encontradas. Esto, obviamente, requiere que todas las fuerzas que actúan en el sistema sean definidas y se mantengan dentro de los límites deseados. En maquinaria que se mueve

CAPíTULO

I

INTRODUCCIóN

(la única interesante), con frecuencia las fuerzas más grandes encontradas son las generadas por la dinámica de la misma máquina. Estas fuerzas dinámicas son proporcionales a la aceleración, la cual lleva de nuevo a la cinemática, el fundamento del diseño mecánico. Las decisiones básicas y tempranas en el proceso de diseño que implican principios cinemáticos pueden ser cruciales para el éxito de cualquier diseño mecánico. Un diseño con cinemática deficiente resultará problemático y funcionará mal.

1.2

MECANISMOS Y MÁAUINAS

Un mecanismo es un dispositivo que transforma el movimiento en un patrón deseable, y por lo

Un meconismo

Uno móquino

general desarrolla fuerzas muy bajas y transmite poca potencia. Hunttl3l deflne un mecanismo como un medio de transmisión, control o restricción del movimiento relativo. Una máquina, en general, contiene mecanismos que están diseñados para producir y transmitir fue¡zas significativas.tllAlgunos ejemplos comunes de mecanismos pueden ser un sacapuntas, un obturador de cámara fotográfica, un reloj análogo, una silla plegable, una lámpara de escritorio ajustable y un paraguas. Algunos ejemplos de máquinas que poseen movimientos similares a los mecanismos antes mencionados son un procesador de alimentos, la puerta de la bóveda de un banco, la transmisión de un automóvil, una niveladora, un robot y unjuego mecánico de un parque de diversiones. No existe una clara línea divisoria entre mecanismos y máquinas. Difleren en su grado y no en su clase. Si las fuerzas o niveles de energía en el dispositivo son signiflcativos, se considerará como una máquina; si no es así, será considerado como un mecanismo. Una definición útil de trabajo de un mecanismo es un sistema de elementos acom.orlatl.os para. tra.n,sm.ili r movimiento rle unrt forma predeterminado. É,sta- puede ser convertida en una definición de una máquina si se le agregan las palabras y energía después de la palabra movimiento. Los mecanismos, si se cargan en exceso y funcionan a bajas velocidades, en ocasiones se pueden tratar de manera estricta como dispositivos cinemáticos; es decir, se pueden analizar cinemáticamente sin considerar las fuerzas. Las máquinas (y mecanismos que funcionan a altas velocidades), por otra parte, primero deben tratarse como mecanismos, sus velocidades y aceleraciones analizadas cinemáticamente y, posteriormente, como sistemas dinámicos en los que sus fuerzas estáticas y dinámicas producidas por esas aceleraciones son analizadas mediante principios de cinética. La parte I de este texto se ocupa de la cinemática de mecanismos, y la parte II de la dinámica de maquinaria. Las técnicas de síntesis de mecanismos presentadas en la parte I son aplicables al diseño tanto de mecanismos como de máquinas, puesto que en cada caso se debe crear algún conjunto de miembros móviles para generar y controlar los movimientos y la geometría deseados.

I.3

UNA BREVE HISTORIA DE tA CINEMÁTICA

Las máquinas y mecanismos fueron ideados desde el amanecei'de la historia. Los antiguos egipcios idearon máquinas primitivas paralaconstrucción de las pirámides y otros monumentos. Aunque los egipcios del Imperio antiguo no conocían la rueda y la polea (montadas en un eje), utilizaron la palanca, el plano inclinado (o cuña) y probablemente el rodador de troncos. La rueda y el eje deflnitivamente no eran conocidos. Su primera aparición quizás ocurrió en Mesopotamia alrededor de 3000 a 4000 a.C. Desde los primeros tiempos se dedicaron grandes esfuerzos a resolver el problema de la medida o cómputo del tiempo, 1o que dio como resultado relojes más complejos. Mucho del diseño primitivo de máquinas estuvo dirigido hacia aplicaciones militares (catapultas, aparatos para escaiar muros, etc.). Más adelante fue acuñado el término ingeniería civil para diferenciar las aplicaciones civiles de las militares. La ingeniería mecánica tuvo sus principios en el diseño de máquinas, a medida que las invenciones de la Revolución Industrial requerían soluciones más complicadas en problemas de control de movimiento. James Watt (1736-1819) probablemente merece el título de primer cinematiciano por su síntesis de un eslabonamiento de línea recta (véase fi.gwa 3-29a, en la página 98) para guiar los pistones de carrera muy larga en las entonces nuevas máquinas de vapor. Puesto que aún no se inventaba el cepillo mecánico (1 8 I 7), no había ningún medio para fabricar u ta gtíalargay recta que funcionara como una cruceta en la máquina de vapor. Watt, ciertamente, fue e1 primero en reconocer el valor de los movimientos del eslabón acoplador en el eslabonamiento de cuatro barras. Oliver Evans (1755-1819), un inventor estadounidense, también diseñó un eslabonamiento en línea recta para un motor de vapor. Euler (1101-1183) fue contemporáneo de Watt, aun cuando aparentemente nunca se conocieron. Euler presentó un tratamiento analítico de mecanismos en su Mechanica Sive

I.4

APLICACIONES DE LA CINEMÁICA

,lfotws ScientaAnalytice Exposita (1736-1742), en la que incluyó el concepto de que el movimiento plano consta de dos componentes independientes, a saber, la trasiación de un punto y la rotación del cue{po en torno a dicho punto. También sugirió la separación del problema de análisis dinámico en "geométrico" y "meciínico" para simplificar la determinación de la dinámica del sistema. Dos de sus contemporáneos, d'Alembert y Kant, también propusieron ideas similares. Éste es el origen de nuestra división del tema en cinemática y cinética, como se describió en la página 3. A principios del siglo xlx, L Ecole Polythecnic, en París, Francia, era la institución depositaria de los conocimientos de ingeniería. Lagrange y Fourier formaron parte de su cuelpo de profesores. Uno de sus fundadores fue Gaspard Monge (1746-1818), inventor de la geometría descriptiva (la cual fue mantenida como secreto militar por el gobierno francés durante 30 años por su valor en la planificación de fortiflcaciones). Monge creó un curso de elementos de máquinas y emprendió la tarea de clasiflcar ¡todos los mecanismos y máquinas conocidos por la humanidad! Su colega Hachette completó el trabajo en 1806 y 1o publicó como 1o que probablemente fue el primer texto sobre mecanismos en 1811. Andre Marie Ampere (1175-1836), también profesor en L'Ecole Polythecnic, emprendió la formidable tarea de clasificar "todo el conocimiento humano". Er stt Essai sur la Philosophie des Sciences, fue el primero en utilizar el término cinematique, derivado de la palabra griega para movimiento,* para describir el estudio del movimiento al omitir las fuerzas, y sugirió que "esta ciencia tiene que incluir todo lo que se puede decir con respecto ai movimiento en sus diferentes clases, independientemente de las fuerzas mediante las cuales se produjo". Más adelante su término fue incluido en inglés como kinematics y et alemán como kinematik. Robert Wittis (1800-1875) escribió el texto Principles of Mechanisms, en 1841, mientras se desempeñaba como profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Intentó sistematizar la tarea de síntesis de mecanismos. Contó cinco formas de obtener movimiento relativo entre eslabones de entrada y salida: contacto rodante, contacto deslizante, eslabonamientos, conectores envolventes (bandas, cadenas) y polipastos (malacates de cuerda o cadena). Franz Reuleaux (1829-1905) publicó Theoretische Kinematik en 1875. Muchas de sus ideas todavía son actuales y útiles. Alexander Kennedy (1847-1928) tradujo a Reuleaux al inglés en 1876. ¡Este texto llegó a ser el fundamento de la cinemática moderna y se imprime actualmente! (Véase la bibliografía al final del capítulo.) Él proporcionó el concepto de un par cinemático (unta), cuya forma e interacción def,nen el tipo de movimiento transmitido entre los elementos del mecanismo. Reuleaux def,nió seis componentes mecánicos básicos: el eslabón, la rueda, la leva, el tornillo, el trinquete y la banda. También deflnió los pares "superiores" e "inferiores"; los superiores tienen un contacto lineal o puntual (como en un cojinete de rodillos o bolas) y los inferiores tienen un contacto superflcial (como en las juntas de pasador). Reuleaux en general es considerado como el padre de la cinemática modema, y es responsable de la notación simbólica de eslabonamientos esqueléticos genéricos utilizados en todos los textos de cinemática modernos. En el siglo xx, antes de la Segunda Guerra Mundial, la mayor parte del trabajo teórico sobre cinemática se realizó en Europa, sobre todo en Alemania. Algunos resultados de esta investigación estuvieron disponibles en inglés. En Estados Unidos, la cinemática fue ampliamente ignorada hasta los años 40, cuando A. E. R. de Jonge escribió "What Is Wrong with 'Kinematics' and 'Mecanisms",t2l lo que hizo que las instituciones de educación en ingeniería mecánica estadounidenses prestaran atención a los logros europeos en este campo. Desde entonces se ha realizado mucho trabajo nuevo, especialmente en síntesis cinemática, por ingenieros e investigadores estadounidenses y europeos, como J. Denavit, A. Erdman, F. Freudenstein, A. S. Hall, R. Hartenberg, R. Kaufman, B. Roth, G. Sandor y A. Soni (todos estadounidenses) y K. Hain (de Alemania). Desde la caída de la "Cortina de Hierro" mucho trabajo original realizado por cinematistas rusos ha llegado a estar disponible en Estados Unidos, como el realizado por Artobolevsky.t:l Muchos investigadores estadounidenses utilizaron la computadora para resolver problemas previamente intratables, tanto de síntesis como de análisis, e hicieron un uso práctico de muchas de las teorías de sus predecesores.l4]Este texto hará un uso extenso de las computadoras paraanalizar y sintelizar con más eflciencia soluciones a problemas de diseño de máquinas. Este libro incluye varios programas de computadora para su uso.

+ Ampere escribió "(La ciencia de los mecanismos), por consiguiente no debe defini¡ una máqurna, como en general lo ha hecho- como un instrumento mediante el cual se puede modiflcar la dirección e intensidad de

tnafiterzt

dada,

sino como un instrumento mediante el cual se puede modificar la dirección y veLocidad de un movimiento dado. A esta ciencia...

1e

he

dado el nombre de Cinemáti-

1.4 APLICACIONES DE LA CINEMÁTICA Una de las primeras tareas al resolver cualquier problema de diseño de máquinas es determinar la conflguración cinemática necesaria para producir los movimientos deseados. En general, los análisis de fuerzas y esfuerzos no pueden ser realizados hasta que los problemas cinemáticos hayan sido

ca, de

¡r movimiento ", en

Maunder, L. (1919). "Theory and Practice". Proc. Sth. Worlrl Cong. on Theory oJ Me chanisms and Machine s.

Montreal, p.

l.

resueltos. Este texto aborda el diseño de dispo y engranes. Cada uno de estos términos será puede ser útil mostrar algunos ejemplos de aplicar Probablemente el lector ha utilizado muchosie

estos sistemas sin pensar en su cinemática.

Virtualmente cualquier máquina o di

elemen_

tos cinemáticos, como eslabonamientos, I ser un ejemplo simple de un sistema generar la multiplicación a"t pu. a"

ta puede

cine to.rio conriere'"

! l rS

,-

ena para

para el frenado. un automóvil de dirección, la suspensión de las llantas y el motor de pistonec conrienan tos; las válvulas del motor son abiertas por levas, y

:iT4"t srstema

a"r.k^--*:^-

la tránsmisi por esratonamienros. :::ln:]:11,:t'lp-Tl.b1i.i:.:on.operados eslabonamiento espacial utilizado para controlar el movimiento de la rueda trasera de un automóvil moderno al pasar sobre baches. Equipos de construcción como tractores, grúas y retroexcavadoras utilizan extensavadora

ttlliza c. Los

o)

diario.

Suspensión trosero con

eslobonomientos espocioles Coiesío de Doimler Benz Co

I.5

Et PROCESO DE DISEÑO Diseño, invención, creolividod

b)

Éstos son términos conocidos pero tienen distintos signif,cados para diferentes personas. Pueden engloba¡ un sinnúmero de actividades: el diseño al" u.opa más mod"rnu, la creación de obras arquitectónicas na para la fabricación de toallai faciales. Er rcomprende estas tres actividades y muchas sigxare' que signif,ca "diseñar"

o

troctor con retroexcovodoro

"marcar'

es ,,bosquejar, graficar o I diseño de ingeniería se

Util

Cortesío de John Deere Co

as y

principios

científicos

proceso o un sistema con suficientes detalle puede ser simple o m implicar un problema universal de la práctic

finiciones, la más

ade_

o ftabajo... concebir; el proceso de aplicar nir un dispositivo, un

general requiere que el estudiante disponga d

¡ c)

Meconismoejercitodor occionodo por un eslobonomiento Corlesío de ICON Heotfh & F¡tness.

lnc

Figuro

I-I

Ejemplos de disposi_ tivos cinemótlcos de uso generol

f-

paso a paso ideados para esclarecer un concepto o conceptos paficulares relacionados con el tema particular. Los problemas de ros hLros de textá en g""".a adoptan la forma de "dados A, B, c y D, encuentre 8". Desafortunadamente, los problemas de ingeniería en la vida real casi nunca están estructurados de esa manera. Con frecuencia, en la realidad adoptan la forma de: "Lo que se necesita es un artefacto p(.tra insertar este artiJicio en el orificio dentro del tie.mpo asignado para la transferencia de este otro cachivache.,, El ingeniero novel buscará en vanó .u. lib. "n p.óbl"-u. rrt" p'onr"-a no se llama ,,síndrorne del papel en blancor,. los ingenieros se encuentran con el problema de la hoja del papel en blanco, cavilando sobre la"manera de resolver un problema mal definido como ése.

esrrucrurado

Mucha

de

descompone

ingenieio

jJjij"H"i::'ffi?Tfl:ll:

se ocupa de temas de anáIisis,

lo que significa

'"XZ'!,:i,Kr!JlJ,ltrJfl,rt::::""1[H,"1T",:H?.u.l

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rlo.

.

:

EL PROCESO DE DISENO

.

las técnicas matemáticas apropiadas -..ios. El análisis requiere un completo conocimiento tanto de de que cualquier sistema pueda ser antes Pero , sistema. del función de la - de la física fundamental poca sustancia para el análisis. Así, proporciona papel en blanco y de hoja una -, - zado, debe existir, que signif,ca conitmtar. de síntesis, es el ingeniería de de diseño ejercicio paso en cualquier , =mer El ingeniero de diieño, en la práctica, sin importar la disciplina, continuamente enfrenta el reto el problema tal como es planteado - -- . , r,,rlr,ro, problemas no estruitura¿los. De manera invariable, - -:eniero está mal definido e incompleto. Antes de que se intente analizar la situación primero se para garattizar . -,= deflnir con cuidado el problema, mediante un método preliminar de ingeniería, ejemplos de muchos problema. Existen el correctamente . - : - iralquier solución propuesta resolverá problema el porque resolvían rechazadas fueron que final al . -.ientás soluciones de ingeniería tenía' realmente que el cliente problema el no resolvían decir, es - : r-..rrer¿ incorrecta, proSe ha investigado ampliamente la definición de varios "procesos de diseño", tratando de viable. - --,onar los medios pariestructurar un problema no estructurado y obtener una solución de estos procesos presentan docenas de pasos, otros sólo unos cuantos. El presentado en la j--.nos autor, ha demostrado que da buenos resultados - , 1 - 1 contiene 10 pasos y, por la experiencia del -.ás : de 40 años de práctica en el diseño de ingeniería.

Antes de discutir cada uno de estos pasos a detalle es necesario señalar que éste no es - ::oceso en e1 que se procede del paso uno al diez de un modo lineal. En su lugar, por su naturaleza, dos pasos hacia delante y uno atrás. -:r proceso iterativo én el cual se avanza de manera vacilante,

-.

Síndrome del PoPel

en blonco

TABTA I-I Un proceso de diseño

I

ldeniifcoción de lo

2

lnvesiigoción preliminor

3

Plonteomiento de

¡nrcróN

. .:herentemente circular. Iterar significa repeti4 regresctr a un estado previo. Si, por ejemplo, que viola la segunda ley de la termodinámica, ¡se - ie palece ser gran idea, al analizafla, resulta mejor! O, si es necesario, regresar a uno de los y otra buscar -.:e iegresar al paso de ideación - - .'.-,o, puro, p.o""ro, quizás a la investigación de fondo y aprender más sobre el problema. "nil de que la ejecución real del proceso implica iteración, por simplicidad, ahora - el entendimiento . -:.alizará cada paso en el orden listado en la tabla I - 1.

Centificoción de lo necesidod .:= primer paso es realizado por alguien, jefe o cliente, al decir: "Lo que se necesita es..." Por lo Estará muy lejos de proporcionarle un planteamien- . .:ial este enunciado será breve y sin detalles. Por ejemplo, el enunciado del problema podría ser: "Se necesita una problema. del ' :=.rructurado ,-.r podadora de pasto."

necesidod

objetivos.

4

Especificociones de desempeño ldeoción e ¡nvenciÓn,

5 ó Anólisis 7 Selección, 8 Diseño detollodo 9 Creoción de

prototipos y pruebos.

l0

Producción

'1vestigoción preliminor importante del proceso, y desafortunadamente con mucha frecuencia la más ignoEl término investigación, utilizado en este contexto, no debe conjurar visiones de científicos de que reúne -:. blanca mezclando sustancias en probetas. Más bien es una investigación más mundana, problema. Además, es : -.rmación de fondo sobre la física, química u otros aspectos pertinentes del -=:,inente indagar si éste, o un problema similar, ya ha sido resuelto con anterioridad. No tiene caso : t\ entar la rueda. Si tiene suerte suficiente de encontrar en el mercado una solución ya obtenida, sin j¿ será más económica de adquirir que crear una solución propia. Es muy probable que éste no será -: , rSo, pero puede aprender mucho sobre el problema investigando el "arte" existente asociado con compañías adquieren, desarman y analizan los productos - - nologías y productos similares. Muchas conocido como benchmarking. ocaslones proceso en _: >us Competidores, un técnicas en la materia son fuentes obvias de iny publicaciones las paténtes de La liteiatura .-',nación y son vía accesible a la wide web. La U.S. Patent and Trademark Office mantiene un :o web en www.uspto.gov donde se pueden encontrar patentes por palabra clave, inventor, título, - '.mero de patente u otros datos. Se puede imprimir una copia de la patente desde el mismo sitio. Un ..o comercial en www.delphion.com también proporciona copias de patentes existentes, incluidas .. publicadas en países europeos. Se requiere la sección de "revelación" o "especificación" de una . =¡ente para describir la invención con tal detalle que cualquier "versado en la materia" puede hacer un monopolio durante - invención. A cambio de esta revelación total el gobierno otorga al inventor Es claro que, si puede usarla. cualquiera plazo que expira, ese vez Una la invención. -. años sobre .: encuentra que existe la solución y está amparada por una patente en vigor, se tienen sólo algunas :ciones éticas: adquirir la solución existente con el dueño de la patente, diseñar algo que no cree

.:.

iln o 'de rte

lo

en d en

EI te te an

la E1

- -"

es la fase más

-r conflicto

con la patente, o desechar el proyecto.

ldentificociÓn de lo necesidod

Reinvención de lo

ruedo

CAPÍTULO

I

INTRODUCCIóN

Las publicaciones técnicas en ingeniería son numerosas y variadas, y son provistas por un gran número de organizaciones profesionales. Para el objeto de este texto, la American §ocien of Mechanical Engineers (ASME), la cual ofrece membresías económicas para estudiantes, y la

International Federationfor the Theory of Machines and Mechani.szs (IFToMM) poseen publicaciones pertinentes: el ASME Journal of Mechanical Design y el Mechanism and Machine-Theory.. respectivamente. Las bibliotecas escolares pueden estar suscritas a éstos, y es posible adquirir copias de artículos desde sus sitios web en www.asme.org/pubs/journals/ y www.elsevier.ctm/inca/

Cortodores de posto

publications, respectivamente. La red mundial es un recurso increíblemente útil para el ingeniero o estudiante en busca de información sobre cualquier tema. Los muchos motores de búsqueda disponibles proporcionan un caudal de información en respuesta a las palabras clave seleccionadas. En la web ei fácil encontrar

fuentes de parles adquiridas tales como engranes, cojinetes y motores para diseñar máquinas. Además. mucha información de diseño de máquinas está disponible en la wet. Varios sitios web útiles estiín catalogados en la bibliografía de este capítulo. Es muy importante dedicar tiempo y erergía suf,cientes en esta fase de investigación y preparación del proceso para evitar la turbación de encontrar una gran solución al probleÁa La mayoría de los ingenieros no experimentados (y algunos éxperimentados) prestan poca "quíuá.ado. atención a esta fase y pasan con demasiada rapidez a la etapa de ideación e invención ael proceso. ¡Esto debe evitarse! Hay que disciplinarse y no tratan de resolver el problema antes de ésar periectamente preparado para hacerlo.

Plqnteomiento de objetivos Utavez

TABLA I-2 Especificociones de desempeño

1

dispositivo debe

El

confor con suministro de energío independiente.

2

dispositivo debe

El

ser resistente o lo corroston

3

que se entiende por completo el antecedente del problema como originalmente se planteó, se estará listo para replantearlo en forma de enunciado de objetivos más coherentes. Este nuevo enunciado del problema deberá tener tres características. Deberá ser conciso, general e incoloro en cuanto a expresiones que predigan una solución. Deberá ser expresado en términás de üsualización funcional, l'o que significa visualizar sufunción, en lugar de cualquier incorporación particular. por ejemplo, si el enunciado original de la necesidadfie"Diseñar una mejor podidora cle pasto" después á" qu" pu. años se han investigado mil formas de cortar el pasto, el ingeniero docto podría replaniear

el oü¡etivo

como "Diseñar un medio de acortar el pasto". El enunciado originai del problema contiene una trampa incorporada en la fotma de las palabra s coloridas "podadorá de céspád". para la mayoría de las personas, esta fiase les creará una visión de algo con aspas zumbantes y un motor ruidoso. para que la fase de generación de ideas sea más exitosa, es necesario evitar talás imágenes y plantear el problema general de manera clara y concisa. Como un ejercicio, mencione l0 maneias de cortar el césped. La mayoría de ellas no se le ocurrirían en caso de que le pidieran 10 diseños mejores de podadora de césped' ¡Debe utilizar visualización funcional para ávitar la limitación innácesaria de su creatividad!

dispositivo debe

El

costor menos de s.l 00.00.

4

dispositivo debe emitir < 80 dB de

El

intensidod de ruido o

l0

5

El

m,

dispositivo debe

cortor I /4 de ocre de césped por horo,

ó

Eic, ,.,, etc,

+ OrsonWelles. famoso autor y cineasta, una vez dijo: El enemip¡o deL arte es la au.sencia de limitacionas. Se puede parafrasear como El enemigo rlel díseño es La uusencic de especi/icnción

Especifi coc¡ones de desempeño* Cuando se entiende el antecedente y se plantea el objetivo con claridad, se está listo para formular un conjunto de especfficaciones de desempeño (también llamado especfficaciones d"'tarror). Éstas no deberán ser especif,caciones de diseño. La diferencia es que las éspetificaciones de desempeño definen lo que el sistema debe hacer, mientras que las especificaciánes de diseño definen ümo debe hacerse. En esta etapa del proceso de diseño ro pru,l".rte intentar especificar cómo sefie¡1e "r que lograr el objetivo. Esto se deja para la fase de ideación. El propósito delas especificaciones de desempeño es deflnir y limitar con cuidado el problema de modo qie pueda ser resuelto y se pueda mostrar lo que se resolvió después del hecho. En la tabla 1-2 se presenta un conjunto muestra de especif,caciones de desempeño de nuestra ,.podadora de césped,,. Obsérvese que estas especifrcaciones limitan el diseño sin restringir demasiado la libertad de diseño del ingeniero. Será inapropiado requerir un motor de gasolina a la especif,cación 1, porque existen otras posibilidades que proporcionarán la movilidad "oifo.rn" deseada. Asimismo, demandar acero inoxidable para todos los componentes en la especificación 2 no sería prudente, puesto que se puede obtener resistencia a la cor:rosión mediante otros materiales menos onerosos. En suma, las especificaciones de desempeño sirven para definir el problema de una manera tan completa y general

Et PROCESO DE DISENO

, ro seaposible, -

y como una deflnición contractual de

1o

que se tiene que lograr. El diseño acabado

,:de ser probado en cuanto cumpla con las especiflcaciones.

Generoción de ideos e invención -::

paso está lleno tanto de diversión como de frustración. Esta fase es potencialmente la más sa.::s-rori& para la mayoría de los diseñadores, pero también la más difícil.. Se ha realizado una gran -:idad dá investigación para explorar el fenómeno de ttcreatividad". Ésta es, y la mayoría está

:

:Cusrdo, una cualidad humana. Ciertamente es una actividad exhibida en alto grado por todos . riños. La velocidad y grado de desar:rollo que ocurre en el ser humano desde su nacimiento a 1o que los

---¡ de los primeros años de vida requiere algo de creatividad innata. Algunos han alegado : .rdos de la educación occidental tienden a asfixiar la creatividad natural de los niños al promover -,¡ntbrmidad y restringir la individualidad. Desde "colorear dentro de líneas" en el jardín de niños

,.:¡ imitar los patrones de escritura de libros de texto en grados posteriores, se suprime la individua,.J a favor de una conformidad socializante. Esto quizá sea necesario para evitar Ia anarquía, pero : .3 el efecto de reducir la habilidad del individuo para pensar de manera creativa. Algunos aflrman No existen evidencias concretas Probablemente es cierto que la creatividad que se pierde o suprime puede ser ,, irada. Otros estudios sugieren que la mayoría subutiliza sus habilidades creativas potenciales. ' : :uede mejorar su creatividad mediante varias técnicas.

,.'

irr creatividad puede ser enseñada, otros dicen que es heredada.

: -n& u otra teoría.

:?116¡59 cREATrvo Se han desarrollado muchas técnicas para mejorar o inspirar la solución ':

-:iva de problemas. De hecho, en tanto se han def,nido procesos de diseño, se muestra el proceso :ir r¡ en la tabla 1-3. Este proceso creativo se puede impartir como un subconjunto del proceso de .-io l,existir dentro de é1. El paso de ideación e invención, por lo tanto, se puede dividir en cuatro

-: isos.

5o Generoción de ideos

5b

,rrrucróN

DE rDEAS Es el más difícil de estos pasos. Incluso las personas muy creativas .-.:n dificultad para inventar "por pedido". Se han sugerido muchas técnicas para mejorar la ' -Lrcción de ideas. La técnica más importante es aquella de juicio diferido,lo que signiflca que -:iricalidad deberá ser temporalmente suspendida. No trate de juzgar la calidad de sus ideas en - 3rapa. Eso se hará más adelante, en la fase de análisis. El objetivo aquí es obtener una gran ' lad de diseños potenciales como sea posible. Incluso las sugerencias superficialmente ridículas . -:rán ser bienvenidas, ya que pueden generar ideas nuevas y sugerir otras soluciones más reales '--i1r-&S.

TABLA'I-3 Proceso creotivo Frustroción

5c Incuboción 5d ¡Eurekol

y

para generar soluciones crea- L \ I.{ DE IDEAS Es una técnica que algunos aflrman es muy exitosa Esta técnica requiere un grupo, de preferencia de 6 a 15 personas, e intenta superar la barrera . - :rande que enfrenta la creatividad: el temor al ridículo. La mayoría de las personas, cuando están no expresarán sus pensamientos reales sobre una materia por eI temor de que se rían de =:upo, Las reglas de esta técnica requieren que nadie se burle o critique las ideas de cualquier persona, .rtportar cuán ridículas sean. Un participante actúa como "escriba" y su deber es registrar todas -rserencias, no importa cuán tontas parezcar ser. Cuando se realiza de manera apropiada, esta . .:a puede ser divertida y en ocasiones dar por resultado una "frenética alimentación" de ideas

-,

-. ..

- : i. :

\'igorizan entre sí. Se puede generar una gran cantidad de ideas en poco tiempo. El juicio

su

calidad se pospone.

Cuando se trabaja solo, se requieren otras técnicas. Las analogías e inversiones en ocasiones

- -.riles. Hay que intentar sacar analogías entre el problema en cuestión y otros contextos físicos. -. un problema mecánico, convertirlo por analogía en un fluido o eléctrico. La inversión voltea

-

¡blema hacia fiera. Por ejemplo, considérese que Io que se desea mover permanezca inmóvil - i\ ersa. A menudo surgen las ideas. Otra ayuda útil para la creatividad es el uso de sinónimos. -rir el verbo de acción en el enunciado del problema y luego elaborar una lista con tantos sinó- ' de1 verbo como sea posible. Por ejemplo:

: :.lunciado del problema: Mueva este objeto del punto A al punto B.

.,bo de acción es "mot,er". Algunos sinónimos son empujar, jalar, deslizar, lanzar. e.rptrlsat; t

,. -,1

derramar.

Lluvio de ideos

IO

un al problema.. . ¡Eureka! Muy probablemente' e iterar! retroceder que así' sei De ¡hay ráru"iOr.

y quizás incluso una redefinición del problema' tres requerlmrerrtos para las ideas creatlvas: En (lnlocking Human Creativirylsl Wallen describe

. . .

FrustrociÓn

Fascinación por el Problema' datos y el antecedente del problema' Saturación con losiechos, ideas técnicas,

Periodo de reorganización' la motiva a descrito su subco

haga el trabajo duro!

Análisis

algunos

conforme el análisis ponga de manifiesto para es del proceso de diseño como sea necesarlo garantizar su éxito.

Selección

Seguridad Desempeño Cont'íabilidad RáNGO

Costo

Factor de ponderación

Diseño

1

Diseño

2

Diseño

3

dr/

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n,/ 4 'r/.uo // rtt/ 1.40 9 /'/ 1." ,/2.70

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Diseño 4

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Diseño

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5

FIGURA

E-

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20

15

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35

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10 53

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)

e

Eslabón I

x-

longitud=C=2

Eslabón 4

----\

longitud=A=3.5

b) Creoción del eslobonomiento con lo informoción del oflos FIGURA 3-I 7 Selección de uno curvo del ocoplodor y construcción del eslobonomiento o portir del otlos de Hrones y Nelson

* En realidad, ia curva del acoplador de cuatro bar¡as tiene 9 puntos dobles, de los cuales 6 realmente son comúnmente imaginarios. Sin embargo, Fichter y Huntisbl señalan que algunas configuraciones únicas del mecanismo de cuatro barras (es decir, rombos y paralelogramos y los que se aproximan a esta configuración) pueden tener hasta 6 puntos dobles reales, los que ellos denotan como 3 "propios" y 3 "impropios" puntos dobles reales. Para mecanismos de cuatro banas Grashof de caso especial con ángulos de transmisión rnínimos adecuados para aplicaciones de ingenieía, sólo aparecerán 3 puntos dobles ,.propios',. Esta figura se incluye como archivos animados AVI y Working Model en et DVD. Su nomb¡e es el mismo que el número de la figura.

'

Crúnoda

\-4 X

-\? Cúspide

l) Curvo triple FIGURA 3-Ió "Cotólogo resumido" de formos de curvo del

ocoplodor

88

CAPíTULo

Película

--

--.: >1} - ^u4 . ' \-

Oz

FIGURA 3-l 8 Meconismo poro el ovonce de películo de cómoro de cine Tomoda de Die Wissenschoffliche und Angenwondfe Phofogrofie. Michel Kurl, (ed ) (1955), Vol 3, Horold We¡se, Die K¡nemotogro-

phische Komero. pó9. 202, Springer Verlog, OHG, V¡en-

no (Abrose el orchivo F03-l 8,4br en el progromo

poro onimor el meconismo )

3

SÍNTESIS GRÁFICA DE ESLABoNAMIENToS

longitudes de eslabón con la manivela se dan en cada página. Las longitudes de los eslabones pueden incrementarse o disminuir para adaptarlas a las restricciones del paquete y esto afectará el tamano. mas no la forma de la curva del acoplador. Cualquiera de los diez puntos del acoplador puede utilizarse al incorporarlo a un eslabón acoplador ffiangular. La ubicación del punto del acoplador elegido puede tomarse a escala del atlas y queda definida en el acoplador por la posición del vector R, cuyo ángulo constante E se mide con respecto a la línea de centros del acoplador. Las curvas del acoplador H&N se muestran con líneas punteadas. Cada ciclo a rayas representa cinco grados de rotación de la manivela. Así, para una velocidad de la manivela constante supuesta, la separación de las rayas es proporcional a la velocidad de la trayectoria. Los cambios de velocidad y lanaflraleza de retomo rápido del movimiento de la curva del acoplador pueden verse con claridad por la separación de las rayas. Se pueden repasar los recursos de este atlas de mecanismos en el DVD del libro y encontrar una solución aproximada a virtualmente cualquier problema de generación de trayectoria. Entonces. se puede tomar la solución tentativa del atlas y utilizarse en un recurso CAE, tal como el programa LrNr.q.cps para reflnar aún más el diseño, con base en el análisis completo de posiciones, velocidades y aceleraciones realizado por el programa. Los únicos datos necesarios para el programa LrNr.q.crs ubicación del punto seleccionado para el acoplador con coplador como se muestra en la figura 3-17. Estos paráINKAGES para modifrcar y af,nar el diseño. Cárguese el AGES para animar el mecanismo mostrado en esa flgura. o "Curvas del acoplador" en el DVD. o de una aplicación de un mecanismo de cuatro barras a un avance de película de una cámara de cine (o proyector). El es impulsada por un motor a velocidad constante. El punto B son los pivotes móviles. Los puntos A, B y C definen al acopladordonde C

"cuadro" de la cual imagen. la película

cerado para bonar del ojo humano es demasiado lento para notar el pestañeo asociado con estacorriente discontinua de imágenes fijas, por lo que parece un flujo continuo de imágenes cambiantes. El mecanismo mostrado en la f,gura 3-18' está inteligentemente diseñado para proporcionar el movimiento requerido. Un gancho en el acoplador de este mecanismo de Grashof de manivelabalancín de cuatro barras en el punto C genera la curva mostrada. El gancho entra en uno de los orificios de la película para rueda dentada al pasar por el punto F yHay que observar que la dirección del movimiento del gancho en ese punto es casi perpendicular a la película, de modo que entra en el orificio limpiamente. Luego gira de modo abrupto hacia abajo y sigue una más o menos aproximada línea recta aljalar con rapidez la película hacia abajo al siguiente cuadro. La película es guiada por separado por un carril recto llamado "compuerta". El obturador (impulsado por otro mecanismo con la misma flecha motriz en Or) se cierra durante este intervalo de movimiento de la película. y deja en blanco la pantalla. En el punto F2hay una cúspide en la curva de acoplador que hace que el gancho se desacelere suavemente a velocidad cero en la dirección vertical, y luego conforme se acelera de manera uniforme hacia arriba y hacia fuera del oriflcio. La abrupta transición de la dirección en la cúspide permite que el gancho retroceda hacia fuera del orificio sin hacer vibrar o trepidar la película. lo cual haría que la imagen saltara en la pantalla cuando se abre el obturador. El resto del movimiento

Lrr.rx,rers

*

Esta flgura se incluye como a¡chivos animados AVI y Working Model en

e1

DVD. Su nombre

es el mismo que el número

de la figura.

'

Hace mucho que eJ atlas de Hrones y Nelson no se impdme pero se incluye una reproducción en forma de archivos pDF en el DVD de este libro. Tamhién se proporciona un video "Curvas del acoplador" en el DVD, el cual describe las propiedades de las cuñas y muestra cómo extraer la información del atlas y utilizarla para diseñar un mecanismo práctico. Además. un volumen similar a1 libro H&N llamado Atlas of Linkage Design and Anal¡,sis Vol l: The Four Bar Linkage está disponible en Saltire Software, 9725 SW Gemini Drive, Beavefon, OR 97005, (800) 659-1874.

También hay un sitio web en http://www.cedarville.edu/depleg/kinematics/ccapdf/fccca.htm creado por el profesor. Thomas J. Thompson de Cedarville College, el cuat proporciona un atlas interactivo de curvas del acoplador que permite cambiar las dimensiones de Ios eslabones y generar curvas del acoplador en panta1la.t2rl El programa Lrr.rKACEs, adjunto con este texto, también permite una nípida investigación de formas de curva del acoplador Para cualquier geometría definida del mecanismo, el programa dibuja la curva Al hacer clic con e1 ratón en el punto del acoplador y arrastrarlo, verá la forma de la cur-va del acoplador, instantáneamente actualizada por cada nueva ubicación punto del acoplador. Cuando suelte el botón del ratón, se conserva la nueva geometría del mecanismo con esa curva.

de1

3.ó

CURVAS DEL ACOPLADOR

89

de la curva de acoplador es, en esencia, un

"tiempo desperdiciado" ya que prosigue hacia Ia parte de atrás para estar listo a entrar en la película de nuevo y repetir el proceso. Hay que cargar el archivo F03-18.4br con el programa LINrncps para animar el mecanismo mostrado en esa figura. Algunas ventajas alúllizar este tipo de dispositivo en esta aplicación son: sencillez y bajo costo (sólo cuatro eslabones, uno de los cuales es el armazón de la cámara), es en extremo conflable, tiene baja fricción si se utilizan buenos cojinetes en los pivotes, y puede confiablemente sincronizarse con Ios demás elementos en el mecanismo global de la cámara mediante una flecha común impulsada por un solo motor. Existen miles de ejemplos de curvas del acoplador utilizadas en máquinas y mecanismos de todas clases. Otro ejemplo de una aplicación muy diferente es el de la suspensión automotriz (flgura 3-19.)" Por lo general, los movimientos hacia arriba y hacia abajo de las ruedas del carro son controlaclos por alguna combinación de mecanismos de cuatro barras planos, dispuestos por duplicado para proporcionar control tridimensional, como se describió en la sección 3-2 (p.11). Sólo unos cuantos fabricantes en la actualidad utilizan un mecanismo espacial verdadero en el cual los eslabones no están dispuestos en planos paralelos. En todos los casos, el ensamble de rueda está unido a un acoplador del ensamble del eslabonamiento y su movimiento es a lo largo de un conjunto de curvas del acoplador. La orientación de la rueda también es de interés en este caso, de modo del carro que éste no es estrictamente un problema de generación de trayectoria. A1 diseñar el mecanismo para controlar las trayectorias de varios puntos en la rueda (parche - Resot'tes de contacto de la llanta, centro de la rueda, etc., los cuales son puntos en el mismo eslabón acoplador extendido), la generación de movimiento se logra ya que el o) Eslobonomientos plonos de cuoiro acoplador tiene movimiento complejo. La figura 3-19a* y á+ muestra mecanismos borros duplicodos en plonos porolelos, desplozodos en lo dirección z detrós de cuatro barras planos de los cuales penden las ruedas. La curva del acoplador del de los eslobones mostrodos centro de la rueda es casi una línea recta a 1o largo del pequeño desplazamiento vertical requerido. Esto es deseable, ya que la idea es mantener la llanta perpendicular al suelo para una mejor tracción en todos los virajes y cambios en el comporlamiento de la carrocería del auto. Esta es una aplicación en la cual un mecanismo de no Grashof es perfectamente aceptable, porque la rotación completa de la rueda en este plano podía tener algunos resultados y sorpresas indeseables para el conductor. Desde luego, se utilizan topes limitadores para evitar tal comportamiento, así que incluso se podría utilizar un mecanismo de Grashof. Los resoftes soportan el peso de1 vehículo y actúan como un quinto "eslabón de fuerza" de longitud variable que estabiliza el mecanismo como se describió en la sección 2-15 (p. 41).Lafunción del mecanismo de cuatro barras es únicamente guiar y controlar los movimienros de la rueda. La ligura 3- 19c muestra un verdadero mecanismo espacial de siete b) Eslobonomienio plono porolelo utilizodo eslabones (incluido el chasis y la rueda) y nuevejuntas (algunas de las cuales son poro controlor el movimiento de ruedo de rótula) utilizado para controlar el movimiento de la rueda trasera. Estos eslaVtper Codesio de Ch4tsle¡ ¿6¡p6¡o¡¡o, bones no se mueven en planos paralelos, sin embargo, controlan er movimiento tridimensional del acoplador que soporta el ensamble de la rueda.

Cunvas DEL ACopLADoR DE cuATRo BARRAS sruÉrnrc,ts Cuando la geometría de un mecanismo de cuatro barras es tal que el acopiador ¡z balancín son de la misma longitud de pasador a pasado¡ todos los puntos dei acoplador que quedan en un círculo centrado en lajunta acoplador-balancín, con radio igual a la longitud del acoplador, generará curvas simétricas. La flgura 3-20 (p. 90) muestra un mecanismo como ése, su curva de acoplador simétrica y el lugar geométrico de todos los puntos que producirán curvas simétricas. Si se utiliza Ia notación de esa f,gura, el criterio para la simetría de curva de acoplador puede establecerse como: (3.4)

AB=O+B=BP

un mecanismo para el cual la ecuación 3.4 es verdadera se conoce como mccanismo de cuatro barras simétrico. El eje de simetría de la curva del acoplador es la línea oaP trazada cuando la manivela o2A y el eslabón de tierra o2oa están colineales y extendidos (es decir, 0z = 180'). Las curvas del acoplador simétricas " Esta f,gura se incluye como archivos animados AVI y working Model en el mismo que el número de la figura.

DVD

Su nombre es el

c) Eslobonomiento espociol verdodero con eslobones múltiples utilizodo poro controlor el nlovimiento de ruedo trosero Coiesia de Mercedes Benz of North America, !nc

FIGURA 3-I9 Eslobonomientos utilizodos en suspensíones de chosis outomotriz

90

r:18,r; --l )o,

lzi .qp=2(tn)co.6)

Lugar geométrico de los puntos de acoplador para curvas simétricas

..--\. I

Punto P del acoplador

I/

Curva del acoplador

íJP

,-)o) -t

FIGURA

3-2o

Esrobonomienlo de cuotro borros con curvo der ocoprodor simétr¡co en varias de las siguientes secciones. Algunas son muy buenas aproximaciones de líneas rectas

s son

meftos para definir la geometría de un mecanismo Se pueden reducir a cinco como sigue. .acoplador.i, bicación y orientación del eslabón ¿. Uun.uáu. La,

pero no cambiará la forma de ésta. Un mecanismo de cuatro barras simétrico

*

Los nueve parámetros independientes de un meca_ nismo de cuafo barras son: cuatro longitudes de eslabón, dos c.oordenadas del punto del acoplador con respecto al eslabón acoplador, y tres parámetros que definen la

ubicación y orientación del eslabón fijo en el sistema de coordenadas global. T Adaptada de materiales provlstos por el profesor Sridha¡ Kota, Universidad de Michigan.

terísticas de curvas del acoplador de mecanismos

3.6

t{

9t

CURVAS DEL ACOPLADOR

N

=\

-.-{ ial

=\ =. =\ :\ = :.j

I

36 12 108 144 t80 216 252

ú.

"'

|

Ángu1o del acoplador 7(grados)

Angulo del acoplador 7(grados)

/orioción de lo formo de curvo del ocoplodor con uno -eloción común de eslobones y Óngulo del ocoplodor coro uno reloción de eslobÓn boncodo \ /12 = 2.0

:IGURA

3-21

lo formo de curvo del ocoplodor con uno reloción de eslobÓn boncodo y Óngulo del ocoplodor poro uno reloción común de eslobones Ls/ L2= La/ L2=BPlL2=2.5

b) Vorioción de

Formos de curvos de ocoplodor de eslobonomientos simétricos de cuotro

borros

Adoptodo de la referencio [9]

- :Jrnismo afecfalaforma de la curva del acoplador. Utilizada en combinación con una herramienta ,. liseño de mecanismos tal como el programa LtNr.r.cns, estas gráficas de diseño pueden servir de --.; para el diseñador en la selección de valores apropiados de los parámetros del mecanismo para ::3r un movimiento de trayectoria deseada. L {s cuRyAS DEL ACOPLADOR DE CrNCO BARRAS ENGRANADO (Figura 3-23) son más complejas - -: la variedad de cuatro barras. Debido a que hay tres variables de diseño independientes adicionales :- un mecanismo de cinco barras engranado en comparación con el de cuatro banas (una relación ,: ::labón adicional, la relación de engranes y el ángulo de fase entre los engranes), las curvas del -- :plador pueden ser de grado más alto que las del mecanismo de cuatro barras. Esto significa que -- rurvas pueden convolucionarse, con más cúspides y crúnodas (lazos). De hecho, si larelación de

:

lr&fleS utilizada no es entera, el eslabón de entrada tendrá que hacer un número de revoluciones -.1 al factor necesario para lograr que la relación sea un entero antes de que el patrón de la curva ,= :coplador se repita. EI Atlas de Mecanismos de Cinco Barras Engranadas (GFBM, por sus si-

s.25 4.15

!

4.25

E 1.15

¡

.o

2.15

!

ü tr

2.25

¡o

r 25

ro s4 eo

126

,u,

tr,

--

+

r\o ,io ,i,l

,0i.,§

Angulo de1 acoplador (grados)

FIGURA

3-22

Mopo tridimensionol de formos de curvo del ocoplodor de eslobonomientos simétri-

::s de cuotro bonoslel

92

Parámetros

Alpha = 5.0 Beta = 3.2 Lambda = -2.0

t t L FIGURA

t

3-23

Uno pógino del otlos de Zhong-Norton-Hommond de curvos del ocoplodor poro mecon¡smos de cinco borros engronodostlol

glas en inglés) deZhang, Norton, Hammond (ZNHlttol muestra curvas del acoplador típicas de estos

imétrica (p. ej., eslabón 2 . En la flgura 3-23, se rep es y en el DVD del libro muestra la familia de curvas del acoplador obtenidas mediante conjunto particular de relaciones de eslabón y relación de engranes. Una clave en la esquina superior derecha de cada página define las relaciones: a eslabón 3/eslabón 2, = F = eslabón tÉJtaA,On Z, ), = engrane 5/engrane 2. La simetría deflne los eslabones 4 y 5 como ya sé señaló. El ángulo de fase c se anota en los ejes trazados en cada curva del acoplador y se ve que tiene un efecto significativo en la forma de la curva de acoplador resultante. Esta referencia está pensada para utilizarse como punto de inicio en el diseño de un mecanismo de cinco baras engranadas. Las relaciones de eslabón, la relación de engranes y el ángulo de fase se pueden ingresar al programa LINrac¡s y luego modificarlos para obserriar los efectos en la forma de la curva del acoplador, las velocidades y aceleraciones. Se puete introducir asimetría de los eslabone:

y una ubicación del punto del acoplador diferente de lajunia de pasador entre los eslabones 3 y 4 definidos en el programa LrNxecss. Hay que observar que el programa LrNr.qcBs supone que Ia relación de engranes tiene la forma engran e 2lengrane 5, la cual lu iru".ru de la relación L en elatlas

"r

3.7

I En el DVD del libro se proporciona el video "Cognados", que muestm cómo encontrar los cognados de un mecanismo de cuatro barras.

t

Di¡ksman y Smalst25l establecen que un mecanismo de manivela-correde¡a invertido no posee ningún cognado

ZNH.

COGNADOS*

un mec.ctnismo, de diftrente geome (1875;tz:l y Chebyschev (1878) des

la misma cut-va del acoplador. Samuel Robert: rema que ahora lleva sus nombres:

Teorema de Roberts-Chebyschev Tres mecanismos diftrentes planos de iuntas de pasador trazarán cun)as del acoplador idénticas.

Hartenberg Y Denavittltl presentaron extensiones de este teorema para los mecanismos de seis

barras y de manivela-corredera:

Dos mecanismos planos de coruedera-manivela diferentes trazarán ctoyas del acoplador idénticas.

3,7

COGNADOS

93

In curva

del punto del acoplador de un mecanismo prano cre cuatro ba*as ¡ambién es descrita por la junta de una díada de un mecanismo de seis

barras apropiado.

La flgura 3-24a mtestra un mecanismo de cuatro bar:ras para el cual se desea encontrar los dos cognados. El primer paso es liberar los pivotes fijos Oa y 06. Mientras se mantiene el acoplador inmóvil, hay que girar los eslabones 2y 4hastaque queden colineales con la línea de centros (A¡81) del eslabón 3, como se muestra en la figura 3_24b. Ahora se pueden construir líneas paralelas a todos los lados de los eslabones en el mecanismo original para crear el diagrama de Cayleyt2al en la ñgura 3-24c. Este arreglo esquemático define las longitudes y formas de los eslabones 5 a l0 a los cuales pertenecen los cognados. Los tres mecanismos de cuatro bar:ras comparten el punto del acoplador original P y, por 1o tanto, generarán el mismo movimiento de trayectoria en sus curvas del acoplador. Para localizar la ubi del pivote fijo 0¿ con el diagrama de Cayley, los

extremos

s2y

F o) Meconismo de cuotro borros originol (cognodo número I ) P

4 son regresados a las ubica_

ciones originales de los pivotes fljos oa y os, como se muesÍa en la figura -j-25a. Los demás eslabones seguiriín este movimiento y se mantenárán Ias relaciones de paralelogramo entre los eslabones, y el pivote fijo O, estará entonces en su ubicación apropiada en el plano de bancada. Esta '-onf,guración se llama diagrama de Roberts, tres cognados de mecanismo de cuatro barras que comparten la misma curva del acoplador.

El diagrama de Roberts puede dibujarse directamente con el

me_

a J

(+t--

'

2.i1 Ar

81

ar que los presentes

similares. cta con el en la flgura 3-25a. Se construye colocando su base (AB) entre Oa

de ser rrotamiento y el punto P la cual es la misma para I mecanismo de Roberts Los cognados pueden s r cualquiera de los tres

,'

\\l-

o.

-1

\.:\. Og

b) Alinee los eslobones 2y 4 con el ocoplodor

La conflguración

de Cayley más iciones dé aga_ del acoplador, se moverá si el el pivote es tierra. gura3_25b (p.94) ar la misma curva del acoplador. Los eslabones correspondientes en los cognados tendrán la misma velocidad angular que el mecanismo original, como se def,ne en la frgura 3-25.

oc

la tierra) ahora puede

Nolletl2l reporta el trabajo de Lucktl3l (en alemán) que deflne el ca¡áctq de todos los cognados de cuatro bar:ras y sus ángulos de transmisión. Si el mecanismo original es un manivera-barancín de Grashof. entonces un cognado también lo será, y los demás serán un doble baángulo mínimo de transmisión del cognado de el mismo que el mecanismo original de manivela nismo original es un Grashof de doble manive_

d detran

1a (eslabón gulos

ffi ü;i,ffi

dos también lo serán y sus án_ s enpares que sonimpulsados

.,entoncesamboscognadosram;ri1é?:3lrTffi:,ff

'ffi1

j;

Estos hallazgos indican que los cognados de los mecanismoi de Grashof no ofrecen iíngulos de transmisión mejorados sobre el mecanisrno original. Sus ventajas principales son la diferente ubicación del pivote fijo, y las diferentes velocidades y aceleraciones de los demás punios en

M7B1P

- M2PB2- A,PA3B3 B3

B2 Cognado número 2

Cognado número 3

Ar

li

t' I

oA2A,

814o,

Cognado número I

c) Troce líneos porolelos o todos los lodos del meconismo de cuotro borros originol poro creor cognodos FIGURA 3-24 Diogromo de Coyley poro encontror cognodos de un meconismo de cuotro borros

94

B2 Cognado número 2

B3 Cognado número 3

A2 3

Al OA

\o, B¡

1 El pivote fijo 5{

r-

2 Lalínea O¡A2

-iID\

«l

Cognado

O¿ queda en la línea de centros OaOs extendid,a

la divide con la misma relación que el punto p divide decir, O¿lO¡= PA/AB).

aOaO3O¡-LAlByP

lizando A2.

3 La línea O6Aj o) Regrese los eslobones 2 y 4 o sus pivotes fijos Oa y 06, El punto 06 osumiró su ubicoción opropiódo - '

lizando A1.

es

paralela

a

a

1

AB (is

A1p y A2p es paralela a OaAy, loca_

es paralela a Bf y

A.p

es paralela a OuBr, loca_

CO

el A.Afi1P-LAzPBz-ApA3B3

Cognado núrnero 2

la nd

oc

9PPP ooo-ró

B3 Cognado número 3

I oB

Los tres eslabonamientos entonces pueden separarse y cada uno de manera independiente generará la misma curva de acóplador. El ejemplo elegido para la figwa3-26 (p. 95) es inusual .n qr" los dos gognados del mecanismo son gemelos, de imagen de espejo idéntica. Estos son mecanismos especiales y serán anilizados a fondo en la siguiente sección.

El programa

LrNx,rcns calculará de manera automática los dos cognados de cualquier configuración que se introduzcan en é1. Las velocidades y aceleraciones de cada cágnado entonces pueden calcularse y compararse. El programa tambiJn dibuja el diagáma de Cayley para el conjunto de cognados. cárguese er archivo poz-z+.+ar con el programa LlNr¡.css para ver en pantalla el diagrama de Cayley

de la figura 3-24 (p.93). cárguense los archivos cocN¡,r¡1.4br. CocNl,r¡2.4br y CocN,rrp3.4br para animar y ver el movimiento

b) Sepore los tres cognodos. El punto p recorre lo mismo troyectoriq en codo cognodo

de cada cognado mostrado en la figura 3_25. Sús curvas del acopla_ dor_(p9l lo menos las partes que cada cognado puede alcanzar) se verán idénticas.

FIGURA 3-25 Diogromo de Roberts de tres cognodos de cuotro borros

Movimiento porolelo* Es muy común desear que el eslabón de salida de un mecanismo siga una trayectoria particular eve a lo largo de la trayectoria. Una vez que a de un acoplador y su mecanismo de cuatro e mecantsmo proporciona un medio conveniente coplador y proporcionar traslación curvilínea (es noce como movimiento pararero. su criseño .. será un mecanismo de seis barras de wattf que incorpora el mecanismo áe cuatro barras vr'6,'lqru originales rpaftes de su cognado. El método mostrado es como se describe en Sqni.ti+i"*

o.J:ii:'f,13.t'"Tf:r;:fi13::il3ffilJr:J"::1

á¡uwpro Problemo: I

3-u

Movimiento porolelo de uno curvo del ocoplodor del meconismo de cuotro borros.

Diseñe un mecanismo de seis barras para movimiento paralelo a lo largo de la trayectoria de un acoplador de mecanismo de cuatro baras.

En el DVD del libro

se

proporciona el video sobre mec

3,7

COGNADOS

Solución:

(Véase la

95

figlia3-21 , p.96.)

La figura 3-27a mtesfra el mecanismo de Grashof de cuatro baras de manivela-balancín seleccionado y su curva del acoplador. El primer paso es crear el diagrama de Roberts y encontrar sus cognados como se muestra en la frgrra3-21b. El mecanismo de Roberts puede encontrarse de manera directa, sin recurrir al diagrarna de Cayley, como se describe en la p. 85. El centro f,jo O6.se eocuentra dibujando un triángulo similar al triángulo del acopladorA rBrP atyabase es OoOu. Uno de los cognados de un mecanismo manivela-balancín también será un mecanismo de manivela-balancín (aquí el cognado número 3) y et otro es un mecanismo de Grashof de doble balancín (aquí el cognado número 2). Deseche el mecanismo de doble balancín y conserve los eslabones numerados 2,3,4, 5,6 y

(p.96).Hay que observar que los eslabon es 2 y 7 son las dos manivelas y ambos tienen la misma velocidad angular. La estrategia es unir estas dos manivelas en un centro común (O¡) y luego combinarlas en un solo eslabón. Tracelalínea qq paralelaalalínea O¡O¿y a través del punto Os como se muestra 7 en la figura 3-21b

enlafigrra3-27c. Sin permitir que los eslabones 5, 6 y 7 giren, deslícelos como un ensamble a lo largo de las líneas O¡Oc! qqhasfa que el extremo libre del eslabón 7 quede en

o) Meconismo de cuotro borros y su curvo de ocoplodor

el punto O¿. El extremo iibre del eslabón 5 quedará entonces en el punto O'¡ y el punto P en el eslabón 6 quedará en P'. Agregue un nuevo eslabón de longitud O¡O¿entre P y P'. Éste es el ¡za evo eslabón de .salida 8 y todos los puntos en é1 describirán la curva del acoplador original como se ilustra en los puntos P, P'y P" enlafrg:ura3'27c. El mecanismo en la figura 3-2'lc fiene ocho eslabones, 10 juntas revolutas y un GDI. Cuando son impulsados tanto por las manivelas 2 como por la7, todos los puntos en el eslabón 8 duplicarán Ia curva del acoplador del punto P Este es un mecanismo sobrecerrado con eslabones redundantes. Debido a que los eslabones 2 y 1 tienen la misma velocidad angular, pueden unirse para formar un eslabón, como se muestra en la flgura 3-27d.En tal caso, eI eslabón 5 puede eliminarse y el eslabón 6 reducirse a un eslabón binario soportado y restringido como una parle del lazo 2,6,8,3. El mecanismo resultante es un mecanismo Watt del tipo I de seis barras (véase la figura 2-14, p.40) con los eslabones numerados 1,2,3,4,6 y 8. El eslabón 8 está en traslación curvilínea y sigue ta rrayectoria del acoplador del punto original P.r'

B1

A

9¿ B2

"6

D,, \8

1

oB

Cognodos de cinco borros engronodos del mecon¡smo de cuotro borrqs Chebyschev también descubrió que cualquier curva del acoplador del mecanismo de cuatro baffas puede duplicarse con un mecanismo de cinco barras

engranado cuya relación de engranes sea más uno, lo que significa que los engranes giran con la misma velocidad y dirección. Las longitudes de los

b) Cognodos del meconismo de cuotro borros FIGURA 3-2ó Locolizoción de cognodos de un meconismo de cuotro borros cuondo su punto ocoplodor estó en lo líneo de centros del ocoplodor

eslabones del mecanismo engranado de cinco barras serán diferentes de las del mecanismo de cuatro barras, pero pueden determinarse directamente con éste. La figura 3-28a muestra el método de construcción, como 1o describe Halltlsl, para obtener el mecanismo de cinco barras engranado que producirá la misma curya del acoplador que el de cuatro baffas. El mecanismo de cuatro barras originar es o¡Afi1ou (eslabones I,2, 3,4). El de cinco baras es o¡A2pBro¡ (eslabones 1, 5, 6,7 ,8). Los dos mecanismos compaften sólo el punto del acoplador P y los pivotes fijos O¡ y Os. EI mecanismo de cinco barras se construye simplemente con dibujar el eslabón 6 paralelo al eslabón 2, el eslabón 7 paralelo al eslabón 4, el eslabón 5 paralelo alA¡P y el eslabón 8 paralelo al

Bf.

*

Otro ejemplo de mecanismo de seis barras de movimiento paralelo es el mecanismo Chebyschev de línea recta de la figura método

P2-5a,enlap 63.Esunacombinacióndedosdeloscognadosmostradosenlafigura3-26ensambladosmedianteel descrito en el ejemplo 3-l I y mostrados en la figura 3-21 (p.96)

' Otro método común utilizado para obtener movimiento paralelo es duplicar el mismo mecanismo (es decir, el cognado idéntico), conectarlos con un lazo en configuración de paralelogramo y eliminar dos eslabones redundantes. Esto da por resultado un mecanismo de ocho eslabones. Véase la figura P3-7 en Ia p. I 12 para un ejemplo de un mecanismo como ése. El método mostrado aquí produce un mecanismo más simple, pero uno u otro método alcanzará la meta deseada.

96

CAPíTULo

3

SíNTESIS GRÁFICA DE ESLABONAMIENTOS

LOaOsOg

-

M1B1P

Cognado núme¡o 2

8--

Bzd

z?,q

1a

Curva del acoplador

oA

o) l\4econismo de cuotro borros originol con curvo del ocoplodor

ú,2.= 0,7 =

o,\67

(4

Oa Cognado número

ct4= @5= @rc @4=

a6=

OB

1

b) Diogromo de Roberts que muestro

ú4

l)

todos los cognodos

Cognado número I

Curva del acoplador

\,

Nuevo eslabón de salida 8

Nuevo eslabón de salida 8

Curva del acoplaoor

\

Cognado núme¡o 3

acoplador 1

c) Cognodo número

3

desplozodo con 06 q moviéndose hocio 04

o) Eslobón 5 redundonte omitido y eslobones y 7 combinodos que formon un meconismo de seis borros de Wott

2

FIGURA 3-27 Método de construcción de un meconismo de seis borros de Wott que replico uno troyectorio del ocoplodor con trosloción curvilíneo (movimiento porolelo)lr4l

Se requiere un sistema de tres engranes para acoplar los eslabones 5 y 8 con una relación de más 1 (el engrane 5 y el engrane 8 son del mismo diámetro y giran en la misma dirección, debido al engrane loco), como se muestra en la figura 3-28b.El eslabón 5 se une al engrane 5, como el

eslabón 8 al engrane 8. Esta técnica de construcción puede aplicarse a cada uno de los tres cognados de cuatro banas, y produce tres mecanismos de cinco barras engranados (los cuales pueden o no ser de Grashof). Los tres cognados de cinco barras en realidad pueden verse en el diagrama de Roberts. Hay que observar que en el ejemplo mostrado, un mecanismo de no Grashof de cuatro barras de triple balancín produce un mecanismo de Grashof de cinco barras, el cual puede impulsarse por un motor. Esta conversión a un mecanismo GFBM sería una ventaja cuando se ha encontrado la curva del acoplador "correcta" en un mecanismo no Grashof de cuatro barras, pero se requiere una salida continua a través de las posiciones de agarrotamiento del mecanismo de cuatro barras. Por 1o tanto, se puede observar que hay por lo menos siete mecanismos que generarán la misma curva del acoplador, tres de cuatro barras, tres GFBM y uno o más de seis barras. El programa LINr¡.cps calcula la conflguración de cinco barras engranada equivalente de cualquier mecanismo de cuatro barras y despliega el resultado. El archivo F03-28a.4br puede abrirse en LINrncBs para animar el mecanismo mostrado en Ia ligura 3-28a. Entonces también abra el archivo

E

38

97

MECANISMOS DE LÍNEA RECTA

F03-28b.5br en el programa LrN«lcns para ver el movimiento del mecanismo de cinco barras engranado equivalente. Hay que observar que el mecanismo original de cuatro barras es un triple balancín, de modo que no puede alcanzartodas las partes de la curva del acoplador cuando se impulsa por un balancín. Pero, el mecanismo equivalente de cinco barras engranado puede realizar una revolución completa y reconer toda la trayectoria del acoplador. El programa LrNr¡.cns creará el GFBM equivalente de cualquier eslabonamiento de cuatro barras.

3.8

O¡

MECANISMOS DE LíNEA RECTA B2

Una aplicación muy común de las curvas del acoplador es la generación de líneas rectas aproximadas. Los mecanismos de línea recta se conocen y utilizan desde la época de James Watt en el siglo xvIII. Muchos cinemáticos tales como

Watt, Chebyschev, Peaucellier, Kempe, Evans y Hoeken (y otros) a lo largo del siglo pasado desarrollaron y descubrieron mecanismos en línea aproximados o exactos, y sus nombres están asociados con esos dispositivos hasta este día.

rTas

o) Construcción de un meconismo de cinco borros equivolente

La flgura 3-29 (p. 98) muestra un conjunto de los mecanismos más conocidos, la mayoría de 1os cuales también vienen como archivos animados en el DVD. La primera aplicación registrada de una curva del acoplador a un problema de movimiento es el de mecanismo de línea recta de Watt, patentado en 1784 ¡ mostrado en la figura 3-29a.Watt ideó varios mecanismos de línea nectapara guiar el pistón de caffera larga de su motor de vapor en una época en que la ma-

-Ensrane

5

quinaria de corte de metal que podía crear una guía larga recta aún no existía.x La flgura 3-29b mtestra el mecanismo que Watt usaba para guiar el pistón de su motor de vapor.t Este mecanismo de triple balancín aún se utiliza en sistemas de suspensión automotrices para guiar el eje trasero hacia arriba y hacia abajo en línea recta así como también en muchas otras aplicaciones.

Richard Roberts (1789-1864) (quien no debe confundirse con

Samuel b) Meconismo

resultonte de cinco borros

Roberts de los cognados) descubrió ei mecanismo de línea recta de Roberts engronodo mostrado en la figura 3-29c.Éxees un triple balancín. Hay otros valores posibles FIGURA 3-28 cognodo de un meconismo de AP y BP, pero los que se muestran proporcionan la línea recta más exacta de cinco borros engronodo de un meconiscon una desviación de sólo 0.047o (0.0004 decVo) de la longitud del eslabón 2 mo de cuotro borros sobre el rango de 49" < 02 < 69". Chebyschev (1821-1894) también inventó muchos mecanismos de línea recta, y un doble balancín de Grashof, mostrado en la fi,gwa 3 -29 d. El mecanismo de Hoekentl6l en la fi.gura 3-29e (p. 98) es un mecanismo de Grashof de manivela-balancín, el cual es una significativa ventaja práctica. Además, el mecanismo Hoeken tiene la característica de velocidad casi constante a lo largo de la parte central de su movimiento en línea rccta.Es interesante observar que los mecanismos de Hoeken y Chebyschev son cognados uno del otro.l Los cognados mostrados en la flgura 3-26 (p.95) son los mecanismos de Chebyschev y Hoeken. La figura 3-29f muestra un mecanismo de línea recta de Evans. Es un triple balancín con un rango de movimiento del eslabón de entrada de aproximadamente 27 a333" entre las posiciones de

" En 1a época de Watt, el movimiento en 1ínea recta era apodado "movimrento paralelo" aun cuando en la actualidad se utiliza el término de una manera un tanto diferente. Se dice que James Watt le dijo a su ttljo Aun cuando no ansío Ia fama, nrc siento mis orgttlloso del movimiento paraLelo que de cualquier otra de mis invenciones mecánicas. Citado en Muirhead, J.P (1 854), The Origin and Progrcss of the Mechtutical lnventions of James Watt, vol.3, Londres, p. 89. Hay que observar también en 1a flgura 3-29b (y en la flgura P2-10 en la p. 63) que la díada impulsada (eslabones 7 y 8 en 1a figura 3-29b o3 y 4 en lafiguraP2-10, p.63) son un areglo complicado de engranes sol y planetarios con el eje planetario en una vía circular. Éstos tienen el mismo efecto que la manivela y biela más simples. Watt se vio obligado a inventar la transmisión de engranes sol y planetarios para evadir la patente de I 780 de James Piokard del cigüeñal y biela. : HaintrTl (1967) cita la refe¡encia Hoekentl6) 0926) de este mecanismo Nollelrsl ( 1974) muestra el mecanis¡ro Hoeken, pero 1o cita como un Chebyschev de manivela-balancín sin adveÍir su relación cognada con el Chebyschev de doble balancín, que también muestra. Es ciertamente concebible que Chebyschev, como uno de los creadores del teorema de los mecanismos cognados, habría descubierlo el cognado "Hoeken" de su propio doble balancín. Sin embargo, este autor no ha podido encontrar ninguna mención de su génesis en la literatura inglesa aparte de las aquí citadas.

CAPÍTULO

98

3

SÍNTESIS GRÁFICA DE ESLABONAMIENTOS

agarrotamiento. La parte de la curva del acoplador mostrada está entre 150 y 210', y tiene una línea recta muy precisa con una desviación de sólo O.25Vo (0.0025 decTo) de la longitud de la manivelaEn la figura 3-299 se muestra un segundo mecanismo en línea recta de Evans, que también es un triple balancín con un rango de movimiento del eslabón de entrada de aproximadamente -81 a +8 1o entre las posiciones de agarrotamiento. La pafe de la curva del acoplador que se muestra está entre -40 y +4O", y tiene una línea recta larga pero menos precisa con una desviación de 1.57o (O.Ol5 decTo) de la longitud de la manivela. En la figura 3-29h se muestra un tercer mecanismo en línea recta de Evans. Es un triple balancín con un rango de movimiento del eslabón de entrada de aproximadamente -75 a +75' entre las posiciones de agarrotamiento. La parte de la curva del acoplador que se muesffa es la alcanzable entre esos límites y tiene dos partes rectas. El resto de la curva del acoplador es una imagen especular que forma la figura de un ocho. Algunos de estos mecanismos en línea recta se proporcionan como ejemplos incorporados aI programa LnKAGES. También pueden encontrarse archivos AVI y Working Model, muchos de ellos en el DVD. Artobolevs§tzol presenta siete mecanismos en línea recta deWatt, siete de Chebyschev, cinco de Roberts y dieciséis de Evans en su volumen I, el cual incluye los que se muestran aquí. Una mirada rápida al atlas Hrones y Nelson de curvas del acoplador (en el DVD) revelará un gran número de curvas del acoplador con segmentos en línea recta aproximada. Son muy comunes. Para generar una línea recta exacta con sólo juntas de pasador son necesarios más de cuatro eslabones. Por Io menos se requieren seis eslabones y sietejuntas de pasador para generar una línea recta exacta con un mecanismo de juntas revolutas puras, es decir, un mecanismo de seis ba¡ras de Watt o de Stephenson. En la figura 3.29i se muestra el mecanismo inversor de seis barras en línea recta exacta de Hart. Un mecanismo de cinco barras engranado simétrico (f,gura 2-21,p.46)

L1

=4 Lz=2 Lz=

1

Lt =2 AP =0.5

O2

o) Meconismo de lÍneo recto de Wott

Lt=2 L2= | Lz=t I¡=7 AP = 1.5

*

Las relaciones de eslabones

O2

On

P.,

BP = 1.5

del mecanismo de línea recta de Chebyschev mostrados se

c) Meconismo de líneo recto de Roberts

han repo(ado de ma¡era diferente por varios autores. Las

b) Meconismo de lÍneo recto de Wott P

B

relaciones utilizadas aquí son las reportadas por primera vez (en inglés) por Kempe (1877). Pero Kennedy (1893) describe eI mismo mecanismo, "como

Lt=2 Lz=2.5

L2=

Chebyschev lo demostró en

Lz=1

L3 = 2.5

I

Ia exhibición de Viena de 1

3

I

AP = 0.5

AP=5

de Kempe es correcta como se indica en la figura. Ambas pueden ser correctas ya que

Chebyschev registró varios

o2

línea recta.t2ol

t

04

o) Meconismo de líneo recto de

diseños de mecanismos de

FIGURA 3-29 porte

I

Chebyschev*

7

L¡ = 2.5

Lt = 2.5

893" con las relaciones de

eslabones 1, 3.25, 2.5, 3.25 Se supondrá que la referencia

Lt=2

e)

Algunos meconismos de líneo recto oproximodo comunes y clósicos

99

Ll = 1.2

L'¡=l L3 = 7.6 L+ = 1.039 .7P

=2.69

02\

Meconismo de lÍneo recto oproximodo de Evons

\

.

Lq= 1.167 | ¿ i AB=1.2 Ap=t.5 L2=

Ll=2 L2=

\

Lt=2305

número I

7

\.8

L't= I

g) Meconismo de líneo recto oproximodo de Evons número 2

Ls= |

\P =2

Ls= Le= Lt

x Peaucellier fue un capitán de la armada francesa e ingeniero militar que por primera vez propuso su "compass

= Ls

compose" o compás compuesto en 1864, pero no recibió ningún reconocimiento inmediato por eso. (Posteriormente recibió el "Premio Montyon", del Instituto de Francia.) El

Lt=Lz Lt=Lq

'r) Meconismo de líneo recto oproximodo de Evons número 3 1

B

matemáti co bri tánico-estadounidense, James Silvester,

\

O+\

o2

I

\__.\Oa/AB

)

=

AE/AD

= PC/ BC =

m

O

posición relativa

Esto puede parecer un punto un tanto fino de distinguir, pero la distinción demosffará ser útil y lis razones de ello más claras cuando se analicen las velocidades y aceleraciones. cuando se presentan situaciones (caso 2) en las cuales dos cuerpos ocupan la "rp"tid "n misma posición al mismo tiempo, pero con movimientos diferentes.

4.3

FIGURA

la ecuación

En el ejemplo de la figura

-\ o)

gráfi,ca de

IRASLACIÓN, ROTACIóru Y MOVIMIENTO COMPLEJO

Hasta ahora se ha estudiado una partícula, o punto, en movimiento plano. Sin embargo, es más interesante considerar el movimiento de un cuerpo rígido o eslabón, que implica tanto la posición de un punto como la orientación de una línea sobre el eslabón, algunas veces llamada la POSTURA (POSE) del eslabón.Lafi.gua4-3a (p. 125) muestra un eslabónAB denotado por un vector de posición R ¡. Se colocó un sistema de ejes en la base del vector, en el punto A. por conveniencia.

43

125

TRASLACIÓN, ROTACIóN Y MOVIMIENTO COMPLEJO

Trosloción Lafigtra4-3b muestra

el eslabónAB movido a unanueva

posiciónA?'portraslación

'¡)

gracias al desplazamíenfo AA' o B,B'los cuales son iguales, es decir, R¡a = Rs¡.

Una definición de traslación es: Todos los puntos en el cuetpo tienen el mismo desplazamiento. Por consiguiente, el eslabón conserva su orientación angular. Obsérvese que la trasla-

o)

ción no debe necesariamente efectuarse a 1o Iargo de una trayectoria recta. Las líneas ,-urvas de A a A' y B a B' son la traslación curvilínea del eslabón. El eslabón no rota .i estas trayectorias son paralelas. Si la trayectoria es recta, entonces será el caso espe cial de traslación rectilínea, y la trayectoria y el desplazamiento serán los mismos.

H¡'a R-ai+'

R.a¿

Rotqción La figura 4-3c muestra el mismo eslabón AB movido de su posición inicial en el rri-een por una rotación con un cierto ángulo. El punto A permanece en el inicial, :ero B se mueve a través del vector de diferencia de posición R¡¡ = R¡a - R¡¡. L na

definición de rotación es:

?:ttttos dferentes del cuetpo sufren desplazamientos diferentes, y por lo tanto .,:iste una dferencia de desplazamiento entre dos puntos cualesquiera elegidos. =l eslabón ahora cambia su orientación angular con respecto al marco de referencia, ¡odos los puntos tienen desplazamientos diferentes.

Movimiento complejo

:.

caso general de movimiento complejo es la suma de las componentes y rotación. La figura 4-3d muestra el mismo eslabón movido tanto traslación -: ,r traslación como por rotación. Observe que el orden en el cual estas dos com.. nentes se agregan no es imporlante. El desplazamiento resultante complejo será :. mismo, ya sea si primero se hace girar y luego trasladar o viceversa. Esto se -;.oe a que los dos factores son independientes. El desplazamiento total complejo -:. punto B se define mediante la siguiente expresión:

B

c)

Desplazamiento total = componente de traslación + componente de rotación

R¡"¡ = R¡'¡ *

R¡'¡'

(4.1c)

Rr¿

N

La nueva posición absoluta del punto B referida al origen en A es:

R6-r=go,o1Pr,,

'[{

,

,'1

(4.1ó

Obsérvese que las dos fórmulas anteriores son meramente aplicaciones de la

:--acióndediferenciadeposición 4.la(p.123).Véasetambiénlasección2.2(p. --' para definiciones y discusión de rotación, traslación y movimiento complejo.

:-:.¡s

estados de movimiento pueden expresarse según los teoremas siguientes.

Teoremqs

FIGURA

4-3

Trosloción, rotoción y

movimiento complejo

Trorema de Euler:

r

;t;plazamiento general de un cuerpo rígido con un punto fijo es rotación alrededor de un eje. , se aplica a rotación pllra como se def,nió con anterioridad en la sección 2.2 (p. 25). Chasles -q-l-1880) proporcionó un corolario al teorema de Euler ahora conocido como:

-

T¡-rrema de Chasles:t61. .. quier desplazamiento de un cuerpo rígido equivale a La sLtma de una traslación de cualquier ',. en él una rotación alrededor de un eje que pasa por ese punto. ,v-

: -: , describe el movimiento complejo, como se definió con anterioridad ^.irr ese que la ecuación 4.lc es una expresión del teorema de Chasles.

en la sección 2.2 (p. 25).

s CeccarellitTl señala que el teorema de Chasles (París, 1 830) fue publicado con anterioridad (Nápoles, 1 763) por Mozzi,lsl pero este trabajo a1 parecer fue desconocido o ignorado en el resto de Europa y el teorema se asoció con el nombre de Chasles.

CAPíTULO

126

4,4

4

ANÁLISIS DE POSICIóN

ANÁLISIS GRÁFICO DE LA POSICIÓN DE M ECANISMOS ARTICULADOS

w GDL, tal como uno de cuatro barras, se requiere sólo un parámetro para deflnir por completo las posiciones de todos los eslabones. El parámetro usualmente elegido es el ángulo de eslabón de entrada. Éste se muestra como 92 en la flgura 4-4. Se quieren hallar 03 y 0a, y se conocen las longitudes de los eslabones. Observe que en estos ejemplos siempre se numera el eslabón lijo como 1 y el motriz como 2. El análisis gráhco de este problema es trivial y puede realizarse sólo con geometría de bachillerato. Si se dibuja el mecanismo de manera Para cualquier eslabonamiento con

4-4 Medición de óngulos en el meconismo de cuotro borros FIGURA

Y

LNCS

0n''

\..

f^

Cruzada

ll'

cuidadosa a escala, con una regla, compás y transportador en una posición particular (dado 02), entonces sólo es necesario medir los ángulos de los eslabones 3 y 4 con el transportador. Obsérvese que todos los ángulos de los eslabones se miden con respecto a un eje Xpositivo. En la figura 4-4 se creó una sistema de ejes xy local, paralelo al sistema XY global, en el punto A para medir 03. La precisión de esta solución gráfrca se verá limitada por el cuidado y habilidad para dibujar, y por las limitaciones del transporlador. No obstante, se puede hallar una solución aproximada muy rápida para cualquier posición. La flgura 4-5 muestra la construcción de la solución gráfica de posición. Se dan las cuatro longitudes de los eslabores a, b, c, d y eI ángulo 02 del eslabón de entrada. Primero se dibuja el eslabón fijo (l) l' el eslabón de ettrada(2) a una escala conveniente, de modo que se corlen en el origen O2 del sistema de coordenadas XI global con el eslabón 2 colocado en el ángulo de entrada 02.Por conveniencia, el eslabón 1 se dibuja a lo largo del eje X. El compás se abre a la longitud a escala del eslabón 3 y se traza un arco de ese radio en tomo al extremo del eslabón 2 (punto A). Luego se abre el compás a la longitud a escala del eslabón 4 y se traza un segundo arco en tomo al extremo del eslabón 1 (punto Oa). Estos dos arcos tendrán dos intersecciones en B y B' que deflnen las dos soluciones al problema de posición de un mecanismo de cuatro barras. el cual puede ensamblarse en dos configuraciones llamadas circuitos. designados como abierlo y cruzado en la flgura 4-5. Los circuitos en mecanismos serán analizados en una sección posterior. Los ángulos de los eslabones 3 y 4 se miden con un transpor-

tador. Un circuito tiene los ángulos %y 0+, el otro fu,y 0a,.Una solución gráfica sólo es válida para el valor particular del ángulo de entrada utilizado. Para cada análisis de posición adicional habrá que volver a dibujar por completo. Esto puede llegar a ser tedioso si se requiere un análisis completo con cada incremento de 1 o 2 grados de 02. En ese caso convendrá derivar una solución analítica paru 03y 0a,la cual puede resolverse por computadora.

FIGURA 4-5 Solución de posición grófico de los configurociones obierto y cruzodo del meconismo de cuotro borros

4.5

ANÁLISIS ALGEBRAICO DE POSICIÓN DE MECANISMOS

El mismo procedimiento utilizado en la flgura 4-5 pararesolver geométricamente las intersecciones B y B' y los ángulos de los eslabones 3 y 4 puede codificarse en un algoritmo algebraico. Las coordenadas del punto A se encuentran con A' = acosQz (4.2a) AY

= asen?z

Las coordenadas del punto B se encuentran con las ecuaciones de los círculos en torno b2 = c2

(8. -,+,)' + (n,

=(B^-ttf

-,tr)'

Oa.

(4,2b) (4.2c)

+ B!

las cuales constituyen un par de ecuaciones simultáneas en

aAy

B,y 8,.

127

Si se resta la ecuación 4.2c de la 4.2b se obtiene una expresión para 8,.

o _ o' - b= + c) - d2 2A,.8,. ^ 2A,8,. 2(A-d) - ,\AJ)=;- r,a, -a)

"' -

(4.2d)

Si se sustituye la ecuación 4.2d enla 4.2c, se obtiene una ecuación cuadrática en 8,, la cual tiene dos soluciones correspondientes a las de la figura 4-5.

A'B'-¿l s( A^-d -.'=o

sl' *(

(4.2e)

)

Ésta se resuelve con la expresión conocida para las raíces de una expresión cuadrática.

B"= donde:

-Ox"tT'4PR

(4.2f )

2P

A?

P=------ , +1 lA, - dr p=(d-S)2 -c2

a2

s=

-b2 +c2 -d2 2(A,

- d)

Observe que las soluciones de esta ecuación pueden ser reales o imaginarias. Si resultan imaginarias, ello indica que los eslabones no se pueden conectar con el ángulo de entrada dado o no se pueden conectar del todo. Unavez que se encuentran los dos valores de.B_" (si son reales), pueden sustituirse en la ecuaciórt4.2d para encontrar su componentes r correspondientes. Los ángulos de 1os eslabones para esta posición se determinan entonces con

o,=ran '

lq -o'

'l

[8.-A,./ (4.2s)

e,=an'l

''

)

\B^-d )

Se debe utilizar una función de arcotangente de dos argumentos para resolver las ecuaciones 4.29 puesto que los ángulos pueden estar en cualquier cuadrante. Las ecuaciones 4.2 pueden codificarse en

cualquier lenguaje de computadora o resolvedor de ecuaciones, y el valor de 02 puede variar dentro del rango utilizable del mecanismo para encontrar todos los valores correspondientes de los otros dos ángulos de eslabón.

Representoción de los eslobonom¡entos como un lozo vector¡ql Un método alterno al análisis de posición de eslabonamientos consiste en crear un lazo vectorial (o lazos) alrededor del eslabonamiento, como 1o propuso Raventel por primera vez. Este método ofrece algunas ventajas en la síntesis de mecanismos que serán abordados en el capítulo 5. Los eslabones se representan como vectores de posición.Lafi,gura4-6 muestra el mismo mecanismo de cuatro barras de la figura 4-4 (p. 126), pero los eslabones ahora no están dibujados como vectores de posición que forman un lazo vectorial. Este lazo se cierra sobre sí mismo y hace que la suma de los vectores alrededor de él sea cero. Las longitudes de los vectores son las longitudes de los eslabones ya conocidas. La posición actual del mecanismo queda definida por el ángulo de entrada 02, ya que es un mecanismo de un GDL. Se requiere encontrar los ángulos %y 0+. para hacerlo se necesita una

l' I

notación conveniente para representar los vectores.

e1

Números complejos como vectores Existen muchas maneras de representar vectores. pueden definirse en coordenadas polares por su magnitud y ángulo, o en coordenadas cartesianas como componentes r y y. Estas formas desde luego son

FIGURA 4-ó Lozo vectoriol de posición de un meconismo de cuotro borros

128

CAPÍTULO

4

ANÁUSIS DE PosIcIÓñ

fáciles de convertir unas en otras con las ecuaciones 4.0a. Los vectores de posición en la figura 4-6 pueden representarse como cualquiera de estas expresiones: Forma polar

Rsen

0i

R@

ZE

r eje

Forma cartesiana

r cos2l + r

sen

0j

rcos0+jrsen0

(4.3,; (4.3b

La ecuación 4.3a úiliza vectores unitarios para representar las direcciones de los componentes vectoriales -r y 1l en 1a forma cartesiana. La figura 4-7 muestra la notaRcos 0 i ción de vector unitario para un vector de posición. La ecuación 4.3b uflliza notacióD de número complejo, donde el componente en la dirección X se llama p arte real y el componente en la dirección Iz se llama p arte imaginaria. Este desafortunado término Forma polar: imaginario surge del uso de la notación j para representar la raíz cuadrada de menos n¿l ou ¿ uno, la que, por supuesto, no puede evaluarse numéricamente. Sin embargo, este número imaginario se utiliza en un número complejo como operador, no como valor.Lafi,gtra Foma cartesiana: 4-8a muestra el plano complejo en el cual el eje real representa la componente en la AA Rcos 0i, Rsen gj dirección X del vector en el plano, y el eje imaginario,la componente en la dirección I del mismo vector. De manera que cualquier término en un número complejo que no FIGURA 4-7 Notoción vectoriol tenga el operadorj es una componente x yj indica una componente ),. unitorio poro vectores de posición Observe en la figura 4-8á que cada multiplicación del operador R¡ por el operador j produce sÍa rotación en sentido contrctrio al de las manecillas del reloj del vector a través de 90 grados. El vector R¡ = jR¡ está dirigido a lo largo del eje imaginario positivo o j. El vector R. = j2Ro está dirigido a lo largo del eje real negaForma polar: nrje tivoporqtre j2 = -1, por 1o tanto, R6 - -R¿. Del mismo modo, R, =j3R¡ = -7R.,. y esta componente está dirigida a lo largo del eje j negaÍivo. Rcos0+jRsen0 Forma cartesiana: Una ventaja de utilizar esta notación de número complejo para representar iR¿ vectores planos se deriva de la identidad de Euler:

n=

Imasinario

erjo=cos01-

j

sen

0

(4.4a

Cualquier vector bidimensional puede representarse por medio de la notación polar compacta en el lado izquierdo de la ecuación 4.4a. No hay ninguna función más fácil de diferenciar o integrar, puesto que es su propia derivada:

jRsen 0

de.¡e d0

iB

(4.4b

Se utilizará esta notación de números complejos para vectores para desarrollar y derivar las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de mecanlsmos.

o) Representoción de un número complejo de un veclor de pos\c\ón Imaginario

Ecuoc\6n de \qzo vector\o\ porcr un es\obonqmiento de cuqtro bqrrqs Las direcciones de los vectores de posición en la figura 4-6 se eligen de modo que deflnan sus ángulos donde se desea medirlos. Por deflnición, el ángulo de un vector siempre se mide en su raíZ, no en su cabeza. Se quiere medir e1 ángulo 0a en el. pivote fijo Oa, de modo que el vector Ra se acomoda para que su raíz quede en ese punto. Se desea medir el ángulo 0¡ en el punto donde los eslabones 2 y 3 se unen, de modo que el vector R3 tenga su raíz allí. Una lógica similar dicta el arreglo de los vectores R1 y R2. Observe que el eje X (real¡ se elige por conveniencia a lo largo del eslabón 1 y el origen del sistema de coordenadas global en el punto 02,laraíz del vector del eslabón de entrada. Rr. Estas elecciones de las direcciones y sentidos de los vectores, indicados por sus puntas de flecha, conducen a esta ecuación de lazo vectorial:

b) Rotociones vectorioles en el plono complejo FIGURA 4-8 Representoción de un número complejo de vectores en el plono

R2+R3-R1-R1=0

(4.5a)

Una notación alterna para estos vectores de posición es utilizar los rótulos de los puntos en las puntas y raíces (en ese orden) como subíndices.

4.5

ANÁLISIS ALGEBRAICO DE POSICIóN DE MECANISMOS ARTICULADOS

El segundo subíndice

129

se omite por convención si es el origen del sistema de coordenadas global

(punto O2):

Ro+Rro-R¡o¿-Ro*=0

(4.sb)

A continuación, se sustituye la notación de número complejo para cada vector de posición. Para simpliflcar la notación y reducir al mínimo el uso de subíndices, se denotan las longitudes escalares de los cuatro eslabones como 4, b, c y d. Éstos están rotulados así en la figura 4-6 (p. 121). La ecuación se transforma entonces en: onioz

¡6/02 -rnie+ -¿riet -g

(4.5c')

Éstas son tres formas de la misma ecuación vectorial, y como tales pueden resolverse para dos incógnitas. Hay cuatro variables en esta ecuación, es decir, los cuatro ángulos de los eslabones. Las longitudes de los eslabones son constantes en este mecanismo particular. Además, el valor del ángulo del eslabón 1 es f,jo (cero) puesto que es el eslabón fijo. La yariable independiente es 02, la cual se .-ontrolará con un motor u otro dispositivo motriz. Esto deja a los ángulos de los eslabones 3 y 4 por >er encontrados. Se necesitan expresiones algebraicas que definan 9jy 0acomo funciones sólo de las iongitudes constantes de los eslabones y del ángulo de entrada, 02. Estas expresiones ser¿ín de la forma: 0, = f{",b, c, d,02}

(4.sü

0o = g{a, b, c, cl, 02}

Para resolver la forma polar de la ecuación vectorial 4.5c, se deben sustituir las equivalentes de Euler (ecl.tación 4.4a,p. I28) para los términos elo, y luego dividir la forma cartesiana de la ecuación r ectorial en dos ecuaciones escalares, las cuales se resuelven, de manera simultánea, paru 0j y 0a. Al .ustituir la ecuación 4.4a en la ecuación 4.5c: a(cos 02 +

j

j sen d3 ) - c(cos 0o + j

sen 0,r) + b(cos á3 +

sen 0a)

-

il(cos 0 r+j sen d,) = 6

(4.5e)

Esta ecuación ahora puede dividirse en sus paftes real e imaginariay cadauna se iguala a cero.

pafte real (componente x): acos02 + bcos9.,

Pero: 4 = 0,

-

c cos 0a

-

dcos Q = g

así que:

(1.6a) acos 0, + b cos 0.

-

c cos

0o

-

d=

O

parte imaginaria (componente y):

ja

pero:

et = 0, y las

j

sen 0, +

se

jb

sen 03

eliminan, por

- jc

sen 0a-

jd

sen 0, = 0

10 tanto:

asen

01

(4.6b)

+bsen 03-csen 0o=Q

Las ecuaciones escalares 4.6a y 4.6b se resuelven de manera simultánea para 03 y ga. Resolver este sistema de dos ecuaciones trigonométricas simultáneas es simple pero tedioso. Alguna sustitución de identidades trigonométricas simpliflcará las expresiones. El primer paso es volver a escribir las ecuaciones 4.6a y 4.6b para aislar una de las dos incógnitas en el lado izquierdo. En este ejemplo se

¡ísla 0¡ y

se resuelve

pra

0a.

b cos 0,

= -acos 0, + c cosqa + d

b sen 03=

-¿7 sen 02+ c sen

(4.6c) (4.6d)

0a

Ahora se elevan al cuadrado ambos lados de las ecuaciones 4.6c y 4.6dy se suman:

b2(sen|0r+"os'4) = (-a

sen 0, +

c sen 0a)2 +(-acos02+ccos0a+ d)2

(4.1a)

Observe que la cantidad entre paréntesis del primer miembro es igual a 1, al eliminar 03 de la ecuación. y sólo quedar 0a, y la ecuación ahora puede resolverse para:

b' =(-a

sen

0r+c

sen 0^)2

+(-acos02+ccos0a+d)2

(4.7b)

Expanda esta expresión y reúna los términos similares. b2 = r¡2 + c2 + cl2

-

2acl cos 02 +

2c cl cos 0a

Divida enfte2ac y reordene para obtener

-

2 ac(sen 02 sen 0a

+

cos 02 cos 0a)

(4.7

c'1

130

d ^ d ^ o2-b2+c2+d2 - - cos U2 * ---- Cos U4

= sen 02 sen 04 + cos 02 cos 94

é.7A

Para simplificar aún más esta expresión, las constantes Kr, K2y K3 se definen en función de las longitudes constantes de los eslabones en la ecuación 4.7d:

_-d Kz=-

Kr=d

Kt=

c

Y

Kt

cos 0^

a2

-b2 +c2 +d2 2ac

- K, cos 02 + Kz = cos 0z cos 0, + sen 0., sen 0a

Si se sustituye la identidad cos (02 como ecuación de Freudenstein.

-

0a)

= sltgrcosga + sen02

e.gbl

senpa, se obtiene la forma conocida

Klcos0a-K2cos02+K.=css(gr_9.¡ Para simplificar la ecuación 4-8b parusu solución, será útil sustituir que conveftirán los términos sen 0a y cos ga en términos tan ga:

/ú¿s

(4.gr.r

iclentidades semiangulares

(4.9)

De este modo se obtiene la siguiente forma simplif,cada, donde los términos de las longitudes de los eslabones y el valor de entrada (02) conocidos se reunieron como constantes A, B y C.

,u.'19)*

\2)

donde:

s,un(

Ll+c- = o

(4.lOat

(2i

A=cos0z-K,-Kr.cos2r+K. B = _2 set9z

C=&_(Kz+l)cosdr+K3 Observe que la ecuación 4.lOa es cuadrática y la solución es:

_B+182 _4AC

""(+)=

2A

oo,.- = 2*ran(-Bt @=-AC

l.2A)

(4.t\b

'

I

La ecuación 4.10b tiene dos soluciones, obtenidas a partir de las condiciones + en el radical. Estas dos soluciones, como con cualquier ecuación cuadiática, pueden ser de tres tipos: reales e iguales, reales y desiguales,y complej en tal caso la solución es compleja co los eslabones elegidas no son capaces Esto puede ocurrir cuando las longitudes de los esl una conexión en cualquier posición o, en un mecanismo de no Grashof, cuando el ángulo de entrada queda más allá de la posición límite estacionaria. No existe entonces ninguna solución real con ese Salvo en es la solución por lo genéral será real y desigual, lo valores de sponden a cualquier valor de 92. Éstas .á.ono_ cruzada y el mecanismo, y también como los dos circuitos del mecanismo.x En el mecanismo de cuatro barras, la solución negativa da 0aparala configuración abierta, y la positiva da 0a para la conf,gurac ión crtzada.

* En la sección 1-13 (p.1441 hay un análisis más completo de los crrcuitos y ramas en mecanlsmos

crttzan entre sí, y como abierto si no Io hacen en esta posición. Observe que la configuración del mecanismo, cruzad.ao abierta, depende sólo de la forma en que los eslabones están ensamblados. No se puede predecir sólo con las üngitudes de los eslabones cuál de las soluciones será la deseada. En oiras palabras, se puede obtener una solución

con el mismo mecanismo. simplemente con quitar el perno qo" los eslabones 3 y 4 en la figura 4-5 (p.126), y moviendo los eslabonesi tas únitas posiciones "on..á en las que el perno lós conectará otravez. Al hacer esto, se cambiará de una solución dá posición, o circuito, a la otra.

4,5

I3I

ANÁLISIS ALGEBRAICO DE POSICIÓN DE MECANISMOS ARTICULADOS

La solución para el ángulo 9j es, en esencia, similar a la que se da para ga. Al volver a las ecuaciones 4.6, es posible reacomodarlas para aislar 0a del primer miembro. c cos 0o = a cos 02 + b cos 0.

-d

(4.6e)

csen0a=asen0z+bsen

Q

(1.6f)

0a. La ecuación resultante puede que para 1o se obtiene esta expresión: 0a, con para se hizo anteriormente 01 como resolverse

Si se elevan al cuadrado y suman estas ecuaciones, se eliminará K1 cos 03 + Ka cos02

1-

K, =

gos

9,

cos 03

+ sen 02 sen

(4.tIa)

03

La constante K1 es la misma definida en la ecuación 4.8b. K+ y Ks son:

K,=!..

Ks =

b

c'-d2 -a2 -b2

(4.1tb)

2ab

Ésta también se reduce a una forma cuadrática:

o.un'(L\+ r,unl4)* r=

\

2

/

\2 )

(4.12)

r-r

D = cos9z - K, + Kacos0, + K5 E = -2 sen 0.2

donde:

r= Kt-(Kq-l)cosá2+K.

i

er,,,=zur"tunf-I=)

la solución es:

(4.13)

Como con el ángulo 0a, ésta también tiene dos soluciones, conespondientes zrdo y abierlo del mecanismo, como se muestra en la flgura a-5 @.126).

á¡¡fUpLO Problemo:

4-l

a

los circuitos cru-

Anólisis de posición de un eslobonomiento de cuotro borros medionte el método del lozo vectoriol.

i

Dado un eslabonamiento de cuatro barras con las longitudes de eslabón L1 = = 100 mm, L2 = ¿1 = 40 mm, = !1 = 120 mm ! L+ = c = 80 mm encuentre, con O = 40', todos los valores

\

posibles de

Solución:

$y

0a.

Vea la f,gura 4-6 (p. 127) para deter^rninar Ia nomenclatura.

Con la ecuación 4.84, calcule las razones de eslabón K1,

Kzy

K3.

K1=q=#=r t x"=!=loo=t.zs 'c80 a2-D,2 +(' 2+a,2 Kz=

2uc

(a)

=

= 0.562

Con estas razones de eslabón encuenfte los parámetros intermedios A, B y C a partir de la ecuación 4. I 0a.

- K t - Kzcoso2 + f: = cos (40") - 2.5 - 1.25 cos (40') + 0.562 = -2.129 B=-2sen0z=-2 sen(+o')=-r.zao

A = cosl z

c = \ - (Kz+

1)cos02 +

K.

= 2.s- ( t.zs + t) cos (+o') + o .562 =

(b)

1 -339

Con la ecuación4.l0b encuentre 0a en las configuraciones abierta y cmzada.

-B-'[f,4Acl=ru,.,on[ e^ =:ur.,unl, inbi,.,,,l2AllJ,.,

I

= 57.33"

-aAC l=rur.,rnl o^¿.t,, =2ur.,un[ -a*nE 24 1.n,

I

= -98.01'

I

l.

I )

CAPÍTULO

132

4

Con la ecuación 4.110 encuentre las relaciones

4

ANÁLISIS DE POSTCIÓN

Kq! K1

u^=*=ffi=0t., o- --12 -d2 -o2 -b2 ,,¡

2ab

-

802

-1002 -.402 -1202 2(40X120)

Con la ecuació n 4.12 enctenfre los parámetros intermedios

D' E y

=-).042

F'

- K]+ K4cos02 + K5 = tot(+0")- 2'5 + 0 833(40') -2'042= -3'137 E=-2sen0z=-zsen(ao")=-1'286

D

=

@l

cos}z

@)

p=Kt+(K+-1)cos02+Ks=2'5+(o's::-t)cos(+0")-2'042=0'331 Con la ecuación 4.13 encuentre

o3oo,",

03 en

las conflguraciones abierta

y cruzada.

-Eo=z u'"tu'I (h

= 20.30'

7

= -60.98' La solución se muestra en la frgura 4-9'

4.6

SOLUCIÓN DE POSICIÓI'¡ O¡ UN MECANISMO DE CUATRO BARRAS DE MANIVELA.CORREDERA

barras con juntas de pasador El mismo método delazovectorial utilizado para el mecanismo de cuatro 4-10 muestra un mecarusLa flgura correderas. puras puede aplicarse a mecanismos que contienen El término descentrado 1' número inversión , a de cuatro b mo mani Éste es el caso manivela' la pivote cle por el a la corredera significa 2-13 (p' 39) flgura la en mostrados scentrados mos manivel general. posición, de vectores tres por sólo representarse podría son los casos especiales.) Este mecanismo

Rz,R¡yR,,perounodeellos(R,)seráunvectordemagnitudyángulovariables'Serámásfácil

Circuito

I

(abierto)

,= 57.33"

0+,=

-98.01'

'7¡ u.' -t R,

Circuito 2 (cruzado)

r1

O Lozo vectoriol de posiciÓn poro un meconismo monivelo-corredero o corredero-monivelo FIGURA 4-I

133

utilizar cuatro vectores, R1, Rr, R: y Ra con R1 dispuesto paralelamente al eje del deslizamiento y Ra perpendicular. En realidad, el par de vectores

Rr y R+ son componentes ortogonales del vector de

posición R5 del origen hasta la corredera. El anáiisis se simplif,ca si se coloca un eje de coordenadas paralelo a1 eje de deslizamiento- El vector de dirección constante y longitud variable R1 representa entoncas la posición de la corredera con magnitud d. El vector Ra es orlogonal a R1 y deflne el descentrado de magnitud constante del mecanismo. Observe que en el caso especial, versión no descentrada, el vector R4 será cero y Rr = Rs. Los vectores Rz y R¡ completan ellazo vectorial. El vector de posición R3 del acoplador sqcolgca con su raíz en la corredera, la cual define entonces su ángulo 03 en el punto B. Este arreglo particular de vectores de posición conduce entonces a una ecuación de lazo vectorial similar a la del ejemplo de mecanismo de cuatro baras con juntas de pasador: (4.14a)

Rz-R¡-Ra-R1=Q

A1 comparar la ecuación 4.14a con la ecuación 4.5a (p. 128), se observa que la única diferencia es el signo de R3. Esto se debe tan sólo a la elección, un tanto arbitraria, del sentido del vector de posición R3 en cada caso. El angulo 03 siempre debe medirse enlaruíz del vector R3 y, en este ejemplo, convendrá tener el ángulo 03 en la junta B .Ihavezque se hacen estas elecciones arbitrarias

ei crucial que los signos algebraicos resultantes

se observen con cuidado en las ecuaciones, o los

resultados ierán completamente erróneos. Si las magnitudes vectoriales (longitudes de los eslabones) se representan por a, b, c, cl como se muestra, se pueden sustituir los equivalentes en números complejos por los vectores de posición. ctdoz

¡

r rie+

-

0r)-b(cos|+

j

6

-

¿iot

¿

niet

-

(4.t4b)

g

Se sustituyen los equivalentes de Euler: a(cos22+

j

sen

i

-c(cos0a+

sen

sen

Q)

j sen á,) = g

0o)- d(cos0¡+

(4.t4c)

Se separan las componentes real e imaginario:

parle real (componente x): acos 02

Pero:

0t =

0,

Pot

10

-

-

bcos 03

ccos9a

- d cos 0t = Q (4.15a'¡

tanto: a cos 02

- b cos 03 - c cos 0a - d = 0

parte imaginaria (componente Y):

ja

pero: 4=0,y lasj

sen

0..- jb

sen 03

- jc

sen 0a

- jd

sen 0, = 0

(4.1sb)

seeliminan, porlotanto: asen

02-b

sen

01-c

sen dr =

Q

Las ecuaciones 4.15 se resuelven simultáneamente para las dos incógnitas, la longitud del eslabón d y el ángulo del eslabón fu.Lavariable independiente es el ángulo de la manivela 02.Las longitudes dá los esiabones ay b,el descentrado c y el ángulo 04, se conocell. Pero observe que como se dispuso el sistema de coordenadas paralelo y perpendicular al eje del bloque deslizante, el ángulo 01 es cero y 0a es de 90'. La ecuación 4.I5b seresuelve para 03 y se sustituye el resultado en la ecuaciót4.15a para resolverla para d. La solución es:

ár

=

/asená.-c) arcsenliJ

d=acos0z-bcos01

(4.16a) (4.16b)

Obsérvese que de nuevo existen dos soluciones válidas corespondientes a los dos circuitos del mecanismo. La función arcoseno es de valores múltiples. Su evaluación dará un valor entre +90', que representa sólo un circuito del mecanismo. El valor de d depende del valor calculado de 03. El valor de 03paru el segundo circuito del mecanismo se calcula con:

rr ¿sen0,-c\ 6::=arcsenfb )*,

(4.t7)

134

capÍrulo

/r-

IaJEJEMPLO

Problemo: Solución: 1

4'2

¿

a¡lÁusls o¡ poslclóru

Anólisis de posición de un eslobonomiento de cuotro borros monivelo-corredero medionte el método del lozo vectorlol.

Dado un eslabonamiento de cuatro barras de manivela-corredera con las longitudes de eslabón L2 = s = 40 mm, L¡ = b - r 20 mm y desviación c = = -20 mm encuentre, con 0, = 60., todos los valores posibles de 0j y la posición d de la corredera. (Vea la figura 4-10 para determinar la nomenclatura.)

Con la ecuación 4.16a, calcuJe el ángulo de acoplador 0. del eslabón para Ia conflguración abierta.

""' b ]=u,.r.n[!§ú0"):l-:o) , t2o )l= r5z.sr. I

0.n0,.,,,,=-.r.n[Í!s1-0r-:f

\

2

(or

Con la ecuación 4.16b y el resultado del paso 1, calcule Ia posición d de la corredera para el eslabonamiento

abielto.

d=acos0z-Dcos03 =+Ocos(60.)-120cos(152.91") =126.84

3

A partir

mm

@)

de Ia ecuación 4.17, calcule el ángulo de acoplador g¡ del eslabón para la configuración cruzada.

^

u.\,,,,n,h,

( asen g. - c ) I +O sen(óO.) =arcsenl----J+r=arcsen[

Con la ecuación 4.16b y el resultado del paso 3, calcule la posición cruzado.

¿/

-(-20)

)

(c

)+r=Zt.OO"

de la corredera para el eslabonamiento

d=acos02-bcos0: =40cos(60.)-tZOcos(22.09.) =_g6.g4 Obse¡ve que

03 se

Circuito

*-

@J

mide en el extremo de la corredera del acoplador, como se muestra en Ia figura 4-

2

\

(cruzado) O2

1

I

.

Circuito I (abierto)

oz = 60"

X

0r,,,*r;

21 '09 "

Desviación c =

L

-20 mm

= 152.91'

\_

Eje de corredera drruzodo =

FIGURA 4-l

I

-86.84 mm

t

1,tlti, r:, t

= 126.84 mm

Solución ot ejempto 4-2

4.7 SOLUCIÓN DE POSICIÓru

Or UN ESLABONAMIENTO DE CUATRO

BARRAS CORREDERA.MAN IVELA

El eslabonamiento de cuatro barras cotedera-manivela tiene la misma geometría

qtte

el esla-

bonamiento de cuatro barras manivela-corredera que se analizó en la sección previa. El cambio de nombre indica que se impulsa con la corredera como entrada y la manivela como salida. Este mecanismo se denomina en ocasiones manivela-corredera "con impulso inverso". Aquí usaremos el término corredera-manivela para deflnir un mecanismo impulsado áesde la corredera. Se trata de una configuración de eslabonamiento muy común. Cada pistón en un motor de combustión interna tiene un mecanismo de este tipo por cada cilindro . El lazo vectorial es como se muestra en la figura 4. l0 (p' 123), y la ecuación dellazo vectorial es idéntica a la ecuación 4.I4a.Peroahora debe despejarse 02 en esta ecuación en función de la posición d delacorredera. Inicie con la ecuación 4.l4a,haga las sustituciones de la ecuación 4.I4b y las simplif,caciones de las ecuaciones 4.15 para obtener el mismo conjunto de ecuaciones simultáneas: acos

02- ácos

asen

03

-

02-b sen

c cos 04 03

-c

-

d=

O

sen 04 = 0

(4.t5u

t

(4.15bt

4,7

SOLUCIÓN DE POSICIóN DE UN ESLABONAMIENTO DE CUATRO BARRAS

0+ =

pero

90" .'. sen 04 = 1, cos 0+ = 0

acose2-bcosfu-d=0 asen92 - ásen03 - c = 0

entonces

135

(4.18a) (4.18b)

Como se hizo en la solución del eslabonamiento de cuatro barras. aísle los términos con 03 en un lado, eleve al cuadrado ambas ecuaciones y súmelas para eliminar 0j.

eleve al cuadrado:

Dcos03

=acos0z-d

b sen 03

= asen)2

b2 cos2 b2

*(r"nz

93

sen2

-c

et=lacoso2-d)) o3= (crsenl- r2)2

*cos2 e.)=(acoser-a)2 +(asenl2-c)2

- a)z +(asene2- c)2 er-2adcos$+d2 +a2sen2 02 -2acsener+12

¡12

=(acos02

b2

=az

b2

=

o2

-b2 +c2 +d2

"o"2

(r.n'e, +"or2 0r)-zoaco"e2-2acsen02+cz +d2

o2

-2acsen02-2adcos1r=Q

(4.19)

Para simplificar, cree algunos parámetros constantes: sea

Kt= oz - b2 + cz + d2, K2 = -2ac, Kt = -2ad

t Los mecanismos de manivela-corredera y coredera-manivela tienen dos circuitos o conf,guraciones en los que pueden ensamblarse de manera independiente, en ocasiones denominados

Kr+Kzsen02*K3cosQ =Q

entonces

(4.20)

Como se hizo con el eslabonamiento de cuatro barras, sustituya las identidades tangenciales de medio (ecuaci& 4.9) por sen 02 y cos ?2para obtener la ecuación en términos de una función "nsulo :rigonométrica.

simpliflque sea

entonces

v

(

x, - K.¡tun2 A=

L

+

zr supuestos de sus elecciones libres. Pese a su nombre, más adelante se deben pagar las consecuencia-. de esas "elecciones libres,,. ¡Haga un modelo!

5.5

COMPARACIÓI.I O¡ SÍNTESIS ANALÍTICA Y GRÁFICA DE DOS POSICIONES

observe que en la solución

t

2()

abÓ

Esrabó

\

a este problema de síntesis de dos posiciones

(en el ejempl.. -gráfica 3-3'p'76, ylafigura 3-6,p.76),también setuvieronquehacer tr"r eirrr¡or"slibrespararesol'er el problema' El problema de síntesis de dos posiciones, idéntico a la fieur. Eslabón4 3-6, se.reproduce en la figura 5-3. EI métoot q"-pL"'_i ¡ ".pt"uoo.l"i B" t,E como puntos ae fijacián para los pivores móvilei l:':1]1_1t Í",.^ri{::! La figtra 5-3a t muestra la construcción gráfica rtiiir"á" pí*;;rr-

,;

pivotes fijos o2 y Oa.Parala solución unulíti"u se utilizarán los puntos A y.á como-juntas de las dos diadasWZy US. Estas díadas coinciden en el punte l,urr rr punto de precisión. El vector de posición relativa p2, define nto del punto de precisión.

At

ente el vector d<

AyB..neleslavariables, ¿ y p. enre, se elrglo el valor de w al seleccionr, ,r" ,ijáj,J 02 en la bisectriz perpendicular. Cuando se hizo esa tercer¿ 0, fueron determinado

gnitas restantes, los ángulos

§^

r'^

tie so sra.co )

.

simult¿áneas 5.ga (p. 162,

drd,Lruu representan oos solucion".

s-r

Síntesis onolÍtico de movimiento de dos

posiciones. Br t,

I

(z

Problemo: Solución: 1

2 o2

b)

n gráfica fue de hecho u¡

mismo problema. Todos estos problemas pueden resolverse "1,;;;;; tanto analítica corm Un método puede constiruir una buena verificación ot o. f*a flil:i.""",:. A continuación se resolverá esre problema analíticamenñ;;;;';"¡r.-, "l los resultados con la solución gráf,cu del capítulo 3.

á¡uwtplo

"--ffi

hy

Síntesis onolítico

FIGURA 5-3 SÍntesis de movimiento de dos posiciones con solido de ocoplodor

3

Diseñe un mecanismo de cuatro barras para mover el eslabón.ApB mostrado de la posición A ,prB, a Arp2B2. (Véase la figura 5-3.)

Dibuie el eslabón ApB en sus dos posiciones deseada s, ArprB, y A2prB2a escala ea el plano como se muestra. Mida o calcule los valores de la magnitud y el ángulo del vector p2r, es deci¡ p,¡ ¡_ fi. En esre ejemplo son:

J^ÍlÍ; *

Mida o carcure " ^r.!áLl la posición 2. En", este ejemplo es:

^"r3",

Ct2= 43'3"

fj Á!, vecror zde

ra

posición r e

5.ó ;

SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMUTTÁNEAS

Los tres valores en los pasos 2 y 3 son los únicos deflnidos en el enunciado del problema. Se deben suponer tres "elecciones libres" más para resolver el problema. El método dos (véanse las ecuaciones 5.8, p. 162) elige la longitud r y el ángulo rp del vector Z y p2, el cambio de ángulo del vector W. Para obtener la misma solución que el método gráflco producido en la flgwa5-3a (con la infinidad de soluciones disponibles), se elegirán

:

-

ló5

1os

valores compatibles con la solución gráfica.

z=

1.298;

g=

26.5";

Fz

= 38.4"

Sustituya estos seis valores en las ecuaciones 5.8 y obtenga: w = 2.461 0 = 77.6' Compárelos con la solución gráfica; w =2.48 0=71" la cual es una correspondencia razonable dada la precisión grálica. Este vector W1 es el eslabón 2 del mecanismo de cuatro barras. Repita el procedimiento para el eslabón 4 del mecanismo. Las elecciones libres ahora serán:

3

s = 1.035; V= 104.1'l, Tz= 85.6 Sustituya estos tres valores junto con los tres valores originales de los pasos 2 y 3 en las ecuaciones 5.12 (p. 163) y obtenga:

9

Compárelos con la solución gráfica:

tt= u

1.486

o=

75.4"

1.53

o=

l4o

=

Estos son una corespondencia razonable dada la precisión gráfica. EI vector U, es el eslabón 4 del mecanismo de cuatro barras. 0 Lalínea ArB¡ es el eslabón 3 y puede encontrarse con la ecuación 5.2a (p. 161). La línea O2Oaes el eslabón 1 y puede encontrarse con la ecuación 5.2b (p.161). Veriflque la condición de Grashoi y repita los pasos 4 a 7 si no está satisfecho. Observe que cualquier condición es potencialmente aceptable en este caso. Construya un modelo en CAD o de cartón y verifique su funcionamiento para asegurarse de que puede ir de la posición inicial a la final sin que encuentre posiciones límite (de agarrotamiento). Revise los ángulos de transmisión.

\lediante el archivo E05-01.4br, que

5.ó

se abre con el programa LTNKAGEs, se puede ver el

ejemplo 5-1.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Estos métodos de síntesis analítica conducen a conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas. El problema de síntesis de dos posiciones produce dos ecuaciones simultáneas que pueden resolverse mediante sustitución directa. El problema de síntesis de tres posiciones conduce a un sistema de cuatro ecuaciones lineales simultáneas y requiere un método de solución más complicado. Un método conveniente para la solución de conjuntos de ecuaciones simultáneas lineales es ponerlas en tbrma matricial estándar y utilizar un resolvedor de matrices numéricas para obtener las respuestas. Los resolvedores de matrices vienen incorporados en la mayoría de calculadoras de bolsillo cientílicas y de ingeniería. Algunos paquetes de hoja de cálculo y resolvedores de ecuaciones también

solucionan matrices. Como un ejemplo considérese el siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas:

-2*t -x2 +x3 =-1 x1 *x2 +\= 6 3*t txz -xz= 2

(5.t3a)

Un sistema así de pequeño puede resolverse a mano mediante el método de eliminación, pero se plantea en forma matricial para demostrar el método general que funcionará sin importar el número de ecuaciones. Las ecuaciones 5.13a pueden escribirse como el producto de dos matrices igual a la tercera matriz.

tl [,

-1 1

1-

il[t]ill

Se hace referencia a estas matrices como

(5.t3b)

A, B y C,

[c]

(5. I 3c)

Ióó

CAPíTULo

5

síNTEsIs ANALíTICA DE MEcANISMos

donde A es la matriz de coeficientes de las incógnitas, B es un vector columna de los términos desconocidos y C es una columna de vectores de términos constantes. Cuando la matriz A es multiplicada por B, el resultado puede ser el mismo del lado izquierdo de la ecuació n 5.l3a.Véase cualquiár texto de álgebra lineal que hace referenciatTl a la discusión del procedimiento de multiplicación dá matrices

Si la ecuación 5.13c fuera una ecuación escalar

ab= c

(5.14a

et vez de una ecuación

de vector (matriz), sería muy fácil resolverla para determinar la incógnita á cuando a y c sorr conocidas. Simplemente se dividiría c entre a para encorirar b.

b=9

(s.14b

a

Desafortunadamente, la división no está def,nida para matrices, así que se debe utilizar otro método. Observe que también se puede expresar la división en la ecuación 5.14á como:

b= a-lc

(5.14c

Si las ecuaciones que se van a resolver son linealmente independientes, entonces se puede encontrar la inversa de la matriz A y multiplicarla por lamatriz C para encontrar B. La inveña de una matriz se def,ne como la matriz que, cuando se multiplica por la matriz original, produce la matiz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada con números uno en la diagonal principal y ceros en todas las demás partes. La inversa de una matriz está denotada por la adición á. u., irperíndice de uno negativo al símbolo de la matriz original.

[.r]-' * ,^,= ,r,=

[á ? :l [oo ,l

(5.r5

No todas las matrices poseerán una inversa. El determinante de la matriz debe ser no cero para que exista una inversa. La clase de problemas aquí abordados darán matrices que tienen inversas siempre que todos los datos sean calculados de manera correcta para introducirlos en la matiz y representen un sistema físico real. El cálculo de los términos de la inversa de una matriz es un p.o"áro numérico complicado que requiere una computadora o una calculadora de bolsillo preprogramada para invertir cualquier matriz de tamaño signif,cativo. Para encontrar una inversa, en general se utilizá un método numérico de eliminación de Gauss-Jordan. En nuestro ejemplo simple áe la ecuación 5.13 (p. 165 la inversa de la matriz A es:

r

i;ltl=[]3i3l3l l, ,-' ] L,oo.s

Si

(s.16

05]

puede encontrar la inversa de la matriz A, se puede resolver la ecuación 5.13 (p. 165) para las incógnitas B al multiplicar ambos lados de la ecuación por la inversa A. Observe que, a diferencia de la multiplicación escalar, la multiplicación de matrices no es conmutativa, es deóir, A x B no es igual a B x A. se premultiplicará cada lado de la ecuación por la inversa. se

pero:

[A]r x [A] x tBl = [A] 'x [C] [A]-rx [A]= [I]

por Io tanto:

(s.17

lBl=[A]rxlcl

El producto de A y su inversa en el lado izquierdo de la ecuación es igual alamatrizidentidad I. Multiplicar por la matriz identidad equivale, en términos escalares, a muliiplicar por uno, de modo

que no afecta el resultado. Por lo tanto, se pueden encontrar las incógnitas at premutiiplcar la inversa de la matriz de coeflcientes A por lamafriz de términos constantes C.

Este método de solución funciona sin importar cuántas ecuaciones estén presentes, mientras la inversa de A pueda encontrarse y se disponga de suficiente memoria o tiempo de computadora para tealizar el cálculo. Observe que en realidad no es necesario encontrar la inversa de la matriz A para resolver el conjunto de ecuaciones. El algoritmo de Gauss-Jordan que encuentra la inversa también puede utilizarse para encontrar directamente las incógnitas B al ensamblar las matrices A y C en la forma de una matriz aumentada de n filas y n + I columnas. La columna agregada es el vector C.

I

5.7

167

GENERACIóN DE MOVIMIENTO DE TRES POSICIONES MEDIANTE SíNTESIS ANALíTICA

Este método requiere menos cálculos, por 1o que es más rápido y preciso. Lamatriz aumentada en este

ejemplo es:

l-z -l

t, [,

1

11 1 -1

;l

(5.1 8a)

,)

El algoritmo de Gauss-Jordan manipula esta matriz aumentada hasta que está en la forma mostrada a continuación, en la que 1a parle izquierda cuadrada ha sido reducida alamatttz identidad, r la columna de más a la derecha contiene los valores del vector columna de incógnitas. En este caso, los resultados son 11 originales 5.13 (p. 165).

=

7, x1

=2

!\

= 3, los cuales son la solución correcta de las ecuaciones

[r o o 1] lo r o.21 [oo r

(s. 1 8D)

3]

El programa LrNrlc¡s adjunto con este texto resuelve estos problemas con el método de eliminación de Gauss-Jordan y opera lamafriz aumentada sin encontrar en realidad la inversa de A en forma explícita. Véase el apéndice A para instrucciones sobre la ejecución del programa LINr