Texto Matematicas 3 - 2013

Universidad Autónoma de Nuevo León

Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica Alejandro Nava Alma Vázquez Juan Cuéllar Mario Leal Salvador Rodríguez

Revisión técnica: Francisco Martín Contreras Amaya

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Jesús Ancer Rodríguez Rector Rogelio Garza Rivera Secretario General Juan Manuel Alcocer González Secretario Académico Alejandro Galván Ramírez Director de Estudios de Nivel Medio Superior

Biblioteca Universitaria “Raúl Rangel Frías”, 4º piso Av. Alfonso Reyes No. 4000 Nte., Col. del Norte C.P. 64440, Monterrey, Nuevo León, México Tels: (81) 8329 4121 – 8329 4122 Fax: (81) 8329 4000, ext. 6608 e-mail: [email protected]

Título de la obra: Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica

Cuarta edición, 2013 © Universidad Autónoma de Nuevo León © Comercializadora y Editora de Libros S.A. de C.V. © © © © ©

Alejandro Nava Segovia Alma Rosa Vázquez Ortiz Juan Antonio Cuéllar Carvajal Mario Alberto Leal Chapa Salvador Rodríguez Vértiz

Portada: © Dirección de Imagen Institucional ISBN (Ediciones DeLaurel): 978-607-7967-68-2

Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas, mecánicas o por fotocopia, sin el consentimiento previo y por escrito de la Universidad Autónoma de Nuevo León y el editor.

Ediciones DeLaurel es una marca registrada de Comercializadora y Editora de Libros, S. A. de C. V. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 3680 Cuidado editorial: Equipo DeLaurel Diseño de portada: Claudia Novelo Chavira

Impreso en México Printed in México Junio de 2013

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Presentación En cumplimiento de la Visión 2020 UANL, la Dirección de Estudios de Nivel Medio Superior, a través de la publicación de los libros de texto correspondientes a cada una de las unidades de aprendizaje que conforman el plan de estudios de Bachillerato General, promueve la formación integral del estudiante en la generación y aplicación del conocimiento como un proceso continuo de mejora en la calidad de la formación universitaria. El Modelo Educativo de la Universidad Autónoma de Nuevo León está constituido por cinco ejes rectores que promueven la educación centrada en el aprendizaje y la educación basada en competencias, la flexibilidad curricular, la internacionalización y la innovación académica. La concreción del modelo se reproduce en cada nivel de estudios que la institución ofrece a través de estos ejes. Este modelo integra los programas y proyectos académicos que están orientados a garantizar una oferta educativa con alto nivel de calidad y pertinencia, acorde con las necesidades de la sociedad en los ámbitos económico, social, político y cultural. El presente texto de Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica forma parte de las unidades de aprendizaje del área de formación propedéutica del plan de estudios del bachillerato general. La primera parte de este curso, llevará al alumno a la comprensión de lo que es una función matemática, entenderá la relación entre dos variables y con ello identificará diferentes fenómenos y comportamientos naturales tales como el crecimiento de poblaciones, variaciones en los mercados, etc. La segunda parte da una visión más matemática, ya que abordará el tema de las secciones cónicas, con lo que el alumno tendrá un buen marco referencial para la modelación de situaciones del mundo real. Estoy convencido de que la excelencia de los programas educativos que nuestra institución ofrece en todos sus niveles, asegura la formación de ciudadanos con la solidez académica y la capacidad para responder al desafío histórico de nuestra sociedad, con la visión global que amerita la época actual, con la firme convicción de su identidad regional y nacional, y con el compromiso para participar con responsabilidad en beneficio de nuestro país. Dr. Jesús Ancer Rodríguez Rector Educación de clase mundial, un compromiso social

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Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica

Agradecimiento Nuestro sincero reconocimiento a los maestros integrantes de los Comités Técnicos Académicos de la Dirección de Estudios de Nivel Medio Superior, quienes colaboraron como autores en las versiones previas a la presente obra. Gracias por compartir con la comunidad educativa y cada generación de estudiantes de preparatoria, sus conocimientos, creatividad y experiencias al caminar juntos en este devenir de formación académica.

Antonio Montemayor Soto † Blanca María Borghes Alonso Fernando Javier Gómez Triana José Luis Guerra Torres María Elena Padilla Soto Miguel Ángel Torrecillas González Roberto Sánchez Ayala

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Contenido Presentación

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Agradecimiento 4 Prefacio

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Etapa 1. Relaciones y funciones polinomiales 11

1.1 Introducción 12

I. Formas de representar una relación II. Gráficas III. Funciones en el mundo real IV. Gráfica de funciones y relaciones. Criterio de la recta vertical

12 14 22 25

1.2 Funciones y relaciones lineales 29 I. Función lineal 29 II. Propiedades de la gráfica de una función lineal 31 III. Formas de la función lineal o ecuación de la recta 39 IV. Ecuaciones de funciones lineales a partir de su gráfica 41 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 44 V. Funciones lineales como modelos matemáticos 47 VI. Desigualdades e inecuaciones lineales 56 VII. Desigualdades e inecuaciones lineales en una variable 60 Conjunto solución de una inecuación 60 VIII. Desigualdades e inecuaciones lineales en dos variables 64 IX. Aplicación de desigualdades a modelos matemáticos 70

1.3 Función cuadrática 73 I. Forma general de la ecuación de la función cuadrática 73 II. Gráfica de una función cuadrática 75 III. Dado un valor de y, calcular x 79 IV. Valores no reales de x, para un valor real dado de y 84 V. Números imaginarios y complejos. Potencias de i 89 Suma y producto de números complejos 96 VI. Dos tópicos importantes de la función cuadrática 99 VII. Bosquejo de la gráfica de la función cuadrática 102 Aspectos importantes de la gráfica 102

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Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica

VIII. IX.

Aplicaciones de la función cuadrática a problemas del mundo real 104 Objeto en movimiento vertical 104 Ecuación de la función cuadrática a partir de su gráfica 112 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables 112 Determinación de la ecuación particular de una función cuadrática, conociendo de ella tres puntos coordenados 115

1.4 Función polinómica de grado superior 121 I. II. III. IV.

Factorización de polinomios de grado superior. El teorema del factor Raíces o soluciones de una función polinómica Teorema del residuo División sintética

121 125 128 130

Etapa 2. Funciones algebraicas racionales e irracionales 137 2.1 Función algebraicas racionales e irracionales 138 I. Introducción a las funciones algebraicas racionales

138

II. Introducción a las gráficas de funciones racionales, discontinuidades y asíntotas

141

III. Más sobre gráficas de funciones algebraicas racionales

147

IV. Introducción a las funciones algebraicas irracionales

154

V. Gráfica de funciones irracionales 155 2.2. Función variación 158

Etapa 3 Funciones exponenciales y logarítmicas 171 I. Introducción a las funciones exponenciales

172

II. Exponenciación para exponentes racionales

174

III. Potencias y radicales sin calculadora

178

IV. Ecuaciones exponenciales

181

Ecuaciones exponenciales resueltas por aproximaciones 181 Ecuaciones exponenciales resueltas por logaritmos 183 V. Logaritmos con otras bases

188

VI. Propiedades de los logaritmos

192

VII. Demostración de las propiedades de los logaritmos

198



202

VIII. Función logarítmica

IX. Gráfica de la función logarítmica

204

X. Funciones exponenciales como modelos matemáticos

205

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Etapa 4. Geometría analítica 213 4.1. Introducción a la geometría analítica 213

I. Sistemas de coordenadas cartesianas II. Fórmula de la distancia entre dos puntos

214 218



III. Punto medio de un segmento de recta

221



IV. Ángulo de inclinación de la recta. Pendiente

226



V. Pendiente de una recta dadas las coordenadas de dos puntos

226



VI. Ecuación de la recta en el plano

229

Ecuación de la recta en forma punto-pendiente

230

Ecuación de la recta en la forma pendiente-intersección

231

Ecuación simétrica de la recta

231

VII. Distancia de un punto a una recta

233

4.2 La circunferencia 237

I. Las secciones cónicas II. La circunferencia III. Ecuación de la circunferencia en la forma general

237 238 244

4.3 La parábola 253 I. Introducción 253 II. Ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en F (a, 0) 253 III. Ecuación en una parábola con el vértice en el origen, eje focal sobre el eje X y foco en F (–a, 0 ) 260 IV. Ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje Y y foco en F (0, a) 263 V. Traslación de ejes 270 Ecuaciones de transformación cuando se realiza una traslación de ejes coordenados 271 VI. Ecuación de una parábola con vértice en el punto V (h, k), distinto al origen 272 VII. Ecuación de una parábola en forma general 275

4.4 La elipse 283 I. Introducción 283 II. Ecuación de una elipse con centro en el origen, cuyo eje focal está sobre el eje X. 284 Simetría 286 Dominio y rango de la ecuación de la elipse 287 Coordenadas de los vértices 288 Coordenadas de los puntos extremos del eje menor 288

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Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica

Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse 289 III. Excentricidad de una elipse 290 IV. Ecuación de la elipse con centro en el origen, cuyo eje focal está sobre el eje Y 294 V. Ecuación de la elipse con centro en el punto C (h, k) y eje focal paralelo al eje X 298 VI. Ecuación de una elipse con el centro en el punto C (h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y 300 VII. Ecuación general de la elipse 302

4.5 La Hipérbola 305

I. La hipérbola

305

Relación entre las cantidades a, b y c de una hipérbola 309 2 2 Dominio y rango de la relación x 2 – y 2 5 1 309 a  b  Excentricidad de la hipérbola 310 Asíntotas de una hipérbola 310 2 2 Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola x 2 – y 2 5 1 311 a  b  II. Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y cuyos focos están en el eje Y 317 III. Ecuación en la forma reducida de una hipérbola con el centro C (h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X 321

IV. Ecuación de una hipérbola con centro C (h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y 322



V. Ecuación general de una hipérbola

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Prefacio El texto de Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica fue diseñado como un curso de matemáticas intermedia para alumnos del tercer semestre de bachillerato, con una estructura más formal como libro de aplicaciones, con soporte de álgebra. Las primeras 3 etapas están dedicadas a lo que es llamado “precálculo” en el que las aplicaciones fueron tomadas de modelos matemáticos de fenómenos del mundo real. El alumno debe seleccionar una clase de función que se ajuste a la situación dada y derivar la ecuación correspondiente que se acomode a la información del problema. La ecuación, entonces, es utilizada para predecir valores cuando una de las dos variables es conocida. Algunas veces el alumno debe usar los resultados de los problemas para hacer interpretaciones acerca del mundo real, por ejemplo, el significado de pendiente, etc. Los problemas requieren que el alumno utilice varios conceptos matemáticos en un mismo problema. Esto contrasta con los “problemas expresados con palabras” tradicionales de álgebra elemental, en los cuales un mismo concepto es usado en varios problemas. En la etapa 4 se exponen los principios y conceptos básicos de la Geometría analítica, tan necesarios para el estudiante de Nivel Medio Superior que desee seguir cursos de matemática superior o de ingeniería, sin embargo, las enseñanzas expuestas en esta parte también son de gran utilidad para aquellos que decidan tomar cursos no tan ligados con las matemáticas puras, ya que podrán desarrollar sus habilidades en el diseño de situaciones que requieran habilidades espaciales y analíticas, además de la adquisición de una cultura general más amplia, ya que se hace una complementación de los temas más selectos de matemáticas en este nivel. Junio de 2013 Atentamente Comité Técnico Académico de Matemáticas

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1 Etapa

Relaciones y funciones polinomiales

El concepto de función es uno de los más importantes en la Matemática. El vasto número y la variedad de sus aplicaciones no sólo justifican, sino que hacen necesario su estudio. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar cierta relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Las funciones y relaciones son importantes porque pueden ser utilizadas para describir la relación entre dos variables en el mundo, entre otras cosas. Cuando vamos al mercado o algún centro comercial, siempre relacionamos un conjunto de determinados objetos (por ejemplo, productos alimenticios) con el costo en pesos, para así saber cuánto podemos comprar. Una persona que confecciona uniformes debe saber cuánto tiempo se lleva en cada uno para calcular el número de uniformes que puede confeccionar en un lapso determinado. Veamos las siguientes citas en donde es utilizado el concepto de función: “La utilización de anticonceptivos es desigual entre distintos países y dentro de un mismo país. Varía en función del ingreso, la educación, el grupo étnico, la proximidad a las clínicas y la fortaleza de los programas de planificación familiar”.1

“El tiempo requerido para el trabajo doméstico se calcula en función de tres variables: número de miembros del hogar, presencia de menores de 10 años y un índice de la intensidad del trabajo doméstico…” 2 Ahora veamos situaciones relacionadas con nuestro ámbito escolar, situaciones que pueden expresarse en términos de dependencia: “La calidad en el aprendizaje depende del tiempo y la calidad del estudio realizado”. “La distancia recorrida por un vehículo depende de su velocidad”. Expresiones de “dependencia” entran al campo de las funciones y las relaciones.

1 2

El estado de la población mundial, http:/www,unfpa.org/swp/index_ spa.htm La pobreza en México (2000-2004), http:/www.jornada.unam.mx/2005/11/25/034oleco.php

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Etapa 1

Las funciones y relaciones son de mucho valor y utilidad para comprender y resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de anatomía, de geología y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. En esta etapa presentaremos una panorámica general del tema Relaciones y funciones polinomiales, el cual iremos desarrollando a detalle a lo largo del curso.

1.1 Introducción El concepto de relación (o de función) involucra la existencia de variables dependientes e independientes. Así, dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y; se dice que Y es una relación o función de X. Definición En una ecuación se llama variable independiente a la que se asignan libremente valores, mientras que la variable cuyos valores dependen de aquella, se llama variable dependiente.

Actividad Identifica la(s) variable(s) independiente(s) y la variable dependiente en cada una de las siguientes ecuaciones.

1. y = 3x - 6

2. A = π r 2

Las relaciones y funciones pueden ser expresadas además en términos de una ecuación que nos dice cómo dos variables están relacionadas: por medio de tablas de valores, conjuntos de pares ordenados, y diagramas de Venn.

I. Formas de representar una relación Objetivo  Reconocer las diferentes formas de representación de las relaciones y funciones.

Veamos la siguiente afirmación: “Todo número tiene su doble”.

12

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Relaciones y funciones polinomiales

Si nos centramos en el conjunto de los números naturales, podríamos representar la afirmación dada como una correspondencia entre números, tal como sigue: N

N

1 2

3

4 6 8

1 2

3

4

5

6

7

5

7

8

9

9 10 .

10 .

..

..

A cada número del primer conjunto se le asigna un número del segundo conjunto. La relación descrita la podríamos representar como parejas de números:

{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), …} Donde el primer número de cada par está donde se inicia la correspondencia y el segundo número de cada par donde termina la correspondencia. Puede expresarse el mismo ejemplo mediante una tabla de valores, denominando a los elementos del primer conjunto como x y a los elementos del segundo conjunto como y. x

1

2

3

4

5

y

1

4

6

8

10

La relación que estamos mostrando sigue una cierta “regla”, que es precisamente que cada elemento se corresponde con su doble, lo cual puede expresarse de la siguiente manera: r: N ¶ N x ¶ 2x Esto es, la relación r, va del conjunto de los números naturales al conjunto de los naturales, y a cada elemento x del conjunto de salida, le asigna 2x, que es su doble, en el conjunto de la llegada. Tal como lo señalamos en la tabla de valores, a los elementos del segundo conjunto, podemos llamarlos y; entonces la regla se escribe como la ecuación y = 2x. r: N ¶ N x ¶ y = 2x

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Etapa 1

Lo cual puede graficarse en el plano cartesiano:

y 10

5

x

0 0

1

2

3

4

5

Nótese que la gráfica es el conjunto de puntos y no la línea que los une, porque la relación hace referencia al conjunto de los números naturales solamente. Si la relación está definida en los números reales, entonces la gráfica estará compuesta no sólo por unos puntos, sino por la unión de estos por medio de una línea. La forma más usual y práctica de representar y trabajar con relaciones y funciones es cuando éstas están dadas en forma de ecuación y se representan en el plano cartesiano.

II. Gráficas Objetivo  Representar en el plano cartesiano la ecuación de una función o relación.

Dada la ecuación de una función o relación la gráfica podrá ser trazada más fácil, si primero transformas la ecuación de tal forma que la variable y quede de un solo lado de la ecuación. La gráfica de una ecuación puede ser trazada al hallar suficientes puntos para obtener cierto patrón. Una vez trazada la gráfica tú podrás decidir si la relación es o no una función, basado en las explicaciones que daremos en este capítulo.

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo x + 2y = 8 Escribe la ecuación. 2y = – x + 8 Resta x en ambos lados de la ecuación. 1 y = – — x + 4 Divide todo por 2. 2 Todo lo que necesitas para obtener pares ordenados es dar todos los valores que quieras a x. Hay algunos que resultan más prácticos que otros, por ejemplo, en esta ecuación donde los valores de x deben ser divididos entre 2, es recomendable asignarle a esta variable valores que sean números múltiplos de 2. Si haces tu tabla de valores y marcas los puntos en un sistema de coordenadas encontrarás una gráfica como la que se muestra en la figura 1. x

y

2

3

4

2

6

1

8

0

y

x

Figura 1

Podemos observar que en la ecuación x + 2y = 8, para cada valor que le damos a x obtendremos un único valor de y; y ésta es la variable dependiente porque el valor que obtienes depende de los valores que hayas escogido de la variable x, la cual es la variable independiente. La variable dependiente se marca en el eje vertical. La gráfica de la figura 1 es una línea recta; muchas funciones y relaciones tienen gráficas que no son rectas, como lo podemos ver en el siguiente ejemplo:

15

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Etapa 1

Ejemplo 1 Grafica y = — x 2 2 Procedimiento

Haz una tabla de valores y luego marca los puntos como se muestra en la figura 2.

Solución x

y

– 3

4.5

– 2

2

– 1

0.5

0

0

1

0.5

2

2

3

4.5

4 — 3

8 — 9

2

1

1 2 y = — x  2

Escribe la ecuación.

1 y = — (–3)2 Sustituye x por –3. 2 y = 4.5 1 y = — (–2)2 Sustituye x por –2. 2 4 y = 2 Hazlo así para los siguientes valores de x = –1, 0, 2, 3, —, 3

2

y

5

x

0 –6

–4

–2

0

2

4

6

Figura 2

Veamos ahora algunas definiciones de conceptos básicos:

16

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Relaciones y funciones polinomiales

Definición El dominio* de una función o relación es el conjunto de valores permitidos en la variable independiente. Observa que en los ejemplos 1 y 2 puedes darle a x cualquier valor real. Algunas veces no todos los va 2 lores de x son permitidos. Por ejemplo, en la ecuación y = –––––, x no puede tomar el valor 2, porque se 2–x tendría una división por cero, la cual no está definida; entonces se calculará el valor de y para valores de x diferentes de 2. En este caso, el dominio es el conjunto de valores distintos de 2. Al conjunto de todos los valores que pueden obtenerse para y por sustitución de todos los valores permisibles de x se llama rango. Definición El rango de una función es el conjunto de valores de la variable dependiente correspondiente a todos los valores de la variable independiente en el dominio. En el siguiente dibujo mostramos lo que serían el dominio y el rango gráficamente. y

Rango

Dominio

x

Figura 3

Definición Relación es cualquier conjunto de pares ordenados o cualquier correspondencia entre conjuntos. Función es una clase especial de relación para la cual hay exactamente un valor de la variable dependiente (y) y para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio. Tenemos entonces que los dos ejemplos mencionados antes son relaciones, pero también funciones. Ahora veamos ejemplos de relaciones que no son funciones.

* La palabra dominio proviene del latín Domus que significa “casa”. Así que el dominio de una relación o función es donde la variable independiente “vive”.

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Etapa 1

Ejemplo

Haz la tabulación y gráfica de la ecuación: y = ± x

Procedimiento La x sólo puede tomar valores no negativos, ya que las raíces de números negativos no son números reales, por lo tanto, la tabulación incluiría valores como los siguientes: Solución x

y

0

0

0.5

± 0.7

1

±1

2

± 1.4

4

±2

9

±3

y 2

x

0 –2

0

2

4

6

8

–2

Figura 4

La definición de función requiere que a cada elemento x del dominio le corresponda un único valor y del rango, lo cual no se cumple en este ejemplo, por lo tanto, tenemos una relación que no es función.

Actividad Discute con tus compañeros y maestro el dominio y el rango de la relación del ejemplo anterior.

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo

Grafica la relación dada del siguiente conjunto de pares ordenados y señala si se trata de una función o no.

{(0, - 1), (0, - 2), (0, 0), (1, 1), (2, 0) } Solución y

1

x

0 –3

–2

–1

0

1

2

3

–1

–2

Figura 5

¿A cada elemento x le corresponde una única y? Vemos que a cada elemento x (el 0) le corresponden tres valores diferentes de y, por lo tanto, esta relación no es una función.

Actividad 1. Discute con tus compañeros y maestro cuál de los siguientes casos son funciones y cuáles no lo son: a) {(1, 2), (2, 1)}

d) {(–3, 5), (3, –5), (2, 3), (–2, 6)}

b) {(a, b), (a, c), (c, d ), (e, f )}

e) {(3, 2), (3, –2), (4, 1), (4, –1)}

c) {(x, 1), (y, 1), (z, 1)}

f) {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)}

Ejemplo 5 Traza la gráfica de y = — para valores de x que están entre 1 y 5 incluyéndolos, y determina el x rango. Señala si se trata de una función. 19

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Etapa 1

Procedimiento Haz tu tabla de valores sustituyendo algunos valores del dominio dado para que encuentres los valores correspondientes en el rango. Solución 5 La gráfica y = — pasa por los puntos que se muestran en la tabla. x x

y

Dominio: D = {x / 1 ≤ x ≤ 5}

1

5

2

2.50

5/2

2

3

1.66

4

1.25

5

1

Rango: R = {y / 1 ≤ y ≤ 5}

y 5

x

0 –5

0

5

–5

Figura 6



5 La ecuación y = — es una función. x

Notas 1. En este ejemplo el domino se ha restringido a valores de x entre 1 y 5 incluyéndolos, pero de hecho la x puede tomar todos los valores reales, excepto el cero. 2. La utilización de los símbolos de desigualdad (, ≥) es para indicar el intervalo de valores permisibles que puede tomar la variable, por ejemplo (–3 ≤ x < 4), “x” es igual o mayor a –3, pero menor a 4. Esto es: los valores están entre –3 y 4, incluido solamente el –3. 20

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejercicios 1. Para los siguientes problemas traza la gráfica de la relación, señala su rango e indica si se trata o no de una función. a) y = – 0.5x; dominio = {números reales} b) y = x – 5; dominio = {enteros positivos} 5 c) y = — ; dominio = {x / – 5 ≤ x ≤ – 1} x d) y = 0. 4x + 5; dominio = { x / –2 ≤ x ≤ 10} e) y = | x + 2 | ; dominio = {números reales} 2 dominio = {números positivos} f) y = x  + 5.4x + 1; 2. De las figuras siguientes determina el dominio y el rango de la función representada. a)

y 10

x

0 –10

0

–5

5

10

15

–10

b) 5

2 0 –4

0

–2

2

4

–2

Nota El punto o círculo negro (•) indica ≤ , ≥ ; esto es, que el punto sí pertenece a la gráfica. El hueco ( ) indica ; esto es, que el punto no pertenece a la gráfica. 3. Haz un bosquejo de una gráfica que tenga cada una de las siguientes características. a) Dominio = {x / –1 ≤ x ≤ 4}, rango = { y / –1 ≤ y ≤ 10} b) Dominio = {x / 0 < x < 5}, rango = {y / –2 < y ≤ 0}

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Etapa 1

III. Funciones en el mundo real Objetivo Dada una situación del mundo real, en la cual el valor de una variable depende del valor de la otra, bosquejar una gráfica razonable mostrando esta relación. 5 En la sección anterior trazaste gráficas de funciones que tenían ecuaciones tales como y = —. x En situaciones del mundo real hay, casi siempre, dos cantidades variables que están relacionadas de tal forma que el valor de una variable depende del valor de la otra. Por ejemplo: 1. La posición de una aguja del velocímetro depende de lo rápido que se desplace el automóvil. 2. La distancia que hayas recorrido depende de qué tiempo has estado viajando (y qué tan rápido vayas también). 3. El peso de una persona depende, entre otras variables, de su estatura. En casos como el ejemplo 2 puedes decir que la distancia recorrida es una función del tiempo. Si tienes nociones de la relación entre distancia y tiempo, puedes ser capaz de escribir una ecuación que vincule las dos variables. Aun si no supieras lo suficiente como para desarrollar una ecuación, puedes dibujar una gráfica razonable que representa dicha relación. En esta sección bosquejarás esta clase de gráficas.

Ejemplo

El tiempo que te toma llegar a casa desde el parque de fútbol y la velocidad a la que te desplazas están relacionadas mutuamente (El desplazamiento puede ser en diversos medios de transporte: caminando, en bicicleta, autobús o automóvil). Bosqueja una gráfica razonable mostrando esta relación.

Procedimiento Como todavía no sabemos cuál variable depende de la otra, tu primer trabajo será determinar esta situación. Debes preguntarte cuál de las siguientes sugerencias es más razonable: “El tiempo que me toma llegar a casa depende de qué tan rápido me desplace”. “Qué tan rápido viaje, depende de cuánto me toma llegar a casa”. La mayoría de la gente piensa que el primer planteamiento es más razonable y escogen el tiempo como la variable dependiente. Así, la velocidad es la variable independiente. Traza la variable dependiente en el eje vertical y marca las coordenadas en la figura 7.

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Relaciones y funciones polinomiales

Tiempo

T

(v, t)

V Velocidad

Figura 7



La gráfica puede mostrarnos cómo escoger una velocidad moderada para un tiempo moderado como en la figura 7. Entonces piensa en lo que ocurre; si varías la velocidad el tiempo es variable; a mayor velocidad, menor tiempo y a menor velocidad mayor tiempo.

Solución

Tiempo

T

V Velocidad

Figura 8

Cuando tengas los suficientes puntos que digan lo que la gráfica quiere mostrar, únelos con una línea curva. La figura 8 muestra la gráfica completa. Te toma siempre cierta cantidad de tiempo no importa qué tan rápido te desplaces, por lo tanto, la gráfica nunca toca el eje horizontal. Similarmente, nunca llegarías a casa si la velocidad fuera cero, la gráfica no toca el eje vertical. Una línea recta que se acerca a la gráfica, pero nunca la toca como lo hacen los ejes horizontal y vertical en la figura 8 se llama asíntota. La palabra viene del griego y significa “no están juntos”. Definición Una asíntota es una recta fija a la cual la gráfica de una función tiende a unirse; en otras palabras, la distancia entre un punto de la gráfica y la recta llamada asíntota tiende a cero. Para los casos que vamos a estudiar en este curso basta con pensar que la gráfica nunca va a tocar a la asíntota.

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Etapa 1

En el ejemplo 1 la velocidad debe ser siempre positiva. La velocidad negativa no tiene significado. Así, el dominio de esta función es: dominio = {v / v > 0}. Solamente los valores positivos del tiempo tienen sentido en este ejemplo. No puedes llegar a casa antes de que inicies o en el instante que empiezas. Así el rango de la función es: rango = {t / t > 0}.

Ejemplo

Si tomas una chuleta del refrigerador y la metes al horno caliente, el cocimiento de la carne depende el tiempo que ésta haya estado en el horno. Diseña una gráfica razonable.

Procedimiento

La figura 9 muestra una gráfica razonable. Cuando el tiempo es menor que cero, la carne aún está en el refrigerador. Para el tiempo mayor que cero, la carne se calienta, rápidamente al principio, después más lentamente y finalmente aprovecha la temperatura del horno muy gradualmente.



Es discutible si la carne realmente alcanza la temperatura del horno, ya que éste está cerrado y nadie puede notar la diferencia. Así, la línea punteada de la temperatura del horno es una asíntota.

Solución Temperatura

Temperatura del horno Temperatura del refrigerador

Dentro del refrigerador

Dentro del horno

Tiempo

Figura 9



El dominio en este caso incluye ambos valores, positivos y negativos, del tiempo. El rango es el conjunto de temperaturas entre la temperatura del refrigerador y la temperatura del horno.

En los ejercicios que siguen desarrollarás práctica en el diseño razonable de gráficas de situaciones cotidianas de acuerdo con el objetivo de esta sección. Muchas de estas situaciones reales aparecerán en capítulos posteriores cuando estudies relaciones que tienen gráficas como éstas.

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejercicios 1. Para cada uno de los problemas diseña una gráfica razonable. a) El número de latas de aluminio que has recolectado está relacionado con la cantidad de dinero que obtendrás al vender las latas. b) La altitud que alcance una pelota de fútbol, depende, entre otras cosas, del número de segundos que trascurran desde que ésta fue pateada. c) Cuando llenas el tanque de gasolina de tu carro y empiezas a manejar, la cantidad de gasolina que quede en el tanque depende de la distancia que has recorrido. d) Cuando abres la llave de la bañera, la cantidad de agua acumulada y el número de segundos que transcurren desde que abres la llave están relacionados una con otro. e) Una mujer desea perder algo de peso; para lograrlo ella reduce su dieta de 5 000 calorías por día a 1 000. Su peso depende del número de días que transcurran desde que redujo la cantidad de calorías de sus alimentos. f) Tu automóvil se descompuso en la carretera y tienes que empujarlo. La velocidad a la cual se desplace el auto depende qué tanto lo empujes. g) La calificación que podrías obtener en un examen determinado depende de cuánto hayas estudiado. h) Cuando abres la llave del agua caliente y ésta corre, su temperatura depende del número de segundos transcurridos desde que la abriste.

IV. Gráfica de funciones y relaciones. Criterio de la recta vertical Objetivo Dada una relación, graficar y decir si la relación es o no una función. Ya has aprendido a graficar la ecuación de una función y has observado que todas tiene un rango en común, para cada valor que le das a x obtienes un único valor de y. A continuación se muestran algunas gráficas. Rápidamente sabrás si ellas son funciones, si trazas una línea vertical imaginaria a lo largo de toda la figura, si la línea vertical (se muestra con una línea punteada) corta la gráfica sólo una vez, eso quiere decir que para cada valor de x existe un único valor de y. En tal caso el gráfico corresponde a una función. En caso contrario corresponde a una relación.

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Etapa 1

A esto se le llamaría criterio de la línea vertical.

Figura 10

Revisemos el ejemplo de la página 16. Teníamos la ecuación y = ± x , con su gráfica; si pasas una línea vertical imaginaria por cualquier parte de la figura observarás que siempre la corta en dos puntos, excepto en x = 0. Esto te indica que para cada valor de “x” estás obteniendo 2 valores deferentes de “y”, lo cual confirma que se trata de una relación. Como ya lo hemos dicho, si para cada valor de “y”, se obtiene un único valor de “x” tenemos una función.

x

y

0

0

1

1 ó – 1

4

2 ó – 2

9

3 ó – 3

16

4 ó –  4

y 2

x

0 0

–2

2

4

6

8

–2

Figura 11

El dominio en este ejemplo es: {x /x ≥ 0} y el rango es:{y / y ∈ }

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo



Grafica | y | = x

Di si la relación es o no una función.

Procedimiento

Los valores convenientes de x deben ser mayores o iguales que cero, porque si le das un valor negativo a x, la ecuación no tiene solución. Si | y | = – 2 la ecuación no tiene solución. La gráfica de | y | = x se muestra en la figura 12.

Solución x

y

0

0

1

1 ó – 1

2

2 ó – 2

3

3 ó – 3

4

4 ó –  4

y

x

Figura 12

Aquí la gráfica no corresponde a una función, puesto que para cada valor de x mayor que cero se obtienen 2 valores diferentes de y. El dominio de la relación es: {x / x ≥ 0}. El rango de la relación es: {y / y ∈ }

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Etapa 1

Ejercicios 1. En cada uno de los siguientes casos indica si la relación es o no función. Toma, como dominio, al conjunto de todos los valores de x para los cuales hay varios valores correspondientes de y que son números reales. a) 9y = x 2

c) | x | = x + 2

b) 2y = x + | x |

d) y 2 = 4x

e) 5x -  2y = 10

2. Indica si cada una de las siguientes gráficas representa o no una función. y

a)

y

e)

x

y

b)

x

y

f)

y

y

g)

y

0

–5

x

y

k)

x

x

y

h)

5

–5

y

x

x

d)

x

j)

x

c)

y

i)

y

l)

5

5

0

–5

x

0 –5 –5

0

–5

x

0 –5

0

–5

x

–5

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Relaciones y funciones polinomiales

1.2 Funciones y relaciones lineales Los científicos acostumbran describir algunas situaciones prácticas con ecuaciones que incluyen dos o más variables; luego con las ecuaciones obtienen gráficas que les permiten una mejor comprensión de estas situaciones y pueden prever el comportamiento de una variable si sabe como se comportará la otra. Pongamos como ejemplo el caso de un objeto que se mueve con una velocidad constante de 12 metros por segundo: si llamamos x al tiempo transcurrido y representamos por y la distancia que separa al objeto del punto de partida en un instante x, el científico concluye que el movimiento queda descrito por la ecuación y = 12x. Con esta ecuación se puede establecer exactamente la posición del objeto para cualquier valor permisible de x, y recíprocamente se puede determinar qué tiempo debe de transcurrir para que el objeto móvil se haya desplazado una cierta distancia, así, cuando x = 5 segundos, y = 60 metros: o bien cuando el objeto se encuentra a 90 metros de su punto de partida. Es decir, cuando y = 90 metros, el tiempo transcurrido es: x = 7.5 segundos. Los pares ordenados (x, y ) que hacen cierta la ecuación, reciben el nombre de soluciones de la misma, entonces (5, 60) y (7.5, 90) son dos soluciones de la igualdad y = 12x. El par ordenado (2, 20) no es solución en esta ecuación, porque si x = 2 entonces y = 24 y 24 ≠ 20. Como x puede sustituirse por un número infinito de valores y como a cada x le corresponde una y, la ecuación anterior tiene infinitas soluciones; esto nos impide enlistarlas y para representarlas es necesario obtener su gráfica o parte de ésta. En la sección anterior aprendiste que una función relaciona dos variables. En esta sección estudiarás una clase especial de función, que probablemente sea las más simple y una de las más útiles: la función lineal. Pero como también nos toca estudiar relaciones y no sólo funciones, aprovecharemos el momento para estudiar las inecuaciones lineales, a partir de nuestro conocimiento muy básico de las relaciones de desigualdad, que ya las hemos utilizado para las notaciones de dominio y rango.

I. Función lineal Objetivo Reconocer la forma de la ecuación y la gráfica de la función lineal. A las funciones se les nombra de acuerdo a su ecuación. Por ejemplo, si la ecuación es: y = 3x + 5 se le asigna el nombre de función lineal porque y es igual a un polinomio lineal (o de primer grado) en la variable x.

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Etapa 1

Definición Una función lineal es una función cuya ecuación general es: y = mx + b, en donde m y b son constantes y m ≠ 0. La ecuación y = mx + b se conoce como ecuación general, pero si damos valores concretos a m y b como en y = 3x + 5, entonces la ecuación es llamada ecuación particular. Si una ecuación particular tiene m = 0, como en y = 7, entonces y será igual a un polinomio de grado cero y la ecuación será llamada función constante y no función lineal. Como la gráfica de una función lineal es una línea recta y una línea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos, las gráficas de estas funciones las obtendremos graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando después la recta que los contiene. Ejercicios

1. Selecciona valores de x y encuentra los valores correspondientes de y; grafica los puntos y traza las gráficas de las siguientes funciones: a) y = x + 3

b) y = 2x + 3

c) y = 0.5x + 3

d) x = 0x + 3

e) y = –2x + 3

f) y = –3x + 3

2. A partir de las gráficas anteriores que trazaste, contesta las siguientes preguntas: a) ¿Por qué las funciones de primer grado son llamadas funciones lineales? b) ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio de coeficiente de la x si la b permanece fija? 3. Ahora realiza las gráficas de las siguientes funciones: a) y = 2x

b) y = 2x + 1

c) y = 2x + 2

d) y = 2x –1

e) y = 2x –2

f) y = 2x –3

4. ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio del término constante si la m permanece fija? 5. ¿En qué se diferencian las gráficas de las funciones de los incisos e y f del problema 1 del resto de las funciones del presente ejercicio? 6. Elabora tus conclusiones con base en las respuestas que diste para las preguntas 2, 4 y 5. Compártelas con tu grupo y discute los resultados.

Actividad La gráfica de cualquier función lineal cortará al eje x. ¿Y al eje de la y?

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Relaciones y funciones polinomiales

II. Propiedades de la gráfica de una función lineal Objetivo Identificar elementos básicos de la función lineal: pendiente e intersecciones con ejes, y utilizarlos para una graficación rápida. Reconocer la ecuación de rectas horizontales y verticales e identificar cuál es función y cuál no lo es. ¿Cómo se puede medir lo “inclinado” de una recta? Veamos cómo se realiza esto en la recta cuya ecuación es: y = 2x – 3. Seleccionamos dos valores de x y encontramos los correspondientes valores de y: si x = 1, entonces y = –1 si x = 4, entonces y = –4 graficamos los puntos y trazamos la gráfica. y

(4, 5) elev. = 6

x (1, –1)

desp. = 3

Figura 13

La recta pasa por los puntos (1, 1) y (4, 5). Entre estos puntos se “eleva” una distancia vertical de 6 unidades y se “desplaza” una distancia horizontal de 3. Se define la pendiente de una recta como sigue:

cambio en la distancia vertical 6 Pendiente de una recta = ––––––––––––––––––––––––––––––––––– = — = 2 cambio en la distancia horizontal 3

Una propiedad de las gráficas de las funciones lineales es que la razón elevación ––––––––––––––––– desplazamiento es constante, no importa qué pareja de puntos escojas. Esta razón es el coeficiente del término en x en la ecuación y = mx + b. 31

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Etapa 1

Definición elevación La pendiente m de una función lineal es la razón ––––––––––––––––, donde el desplazamiento  desplazamiento es la distancia horizontal entre dos puntos de la gráfica y la elevación es la distancia vertical entre ellos (nótese que elevación y desplazamiento pueden ser positivos o negativos).

Cuando encontramos el cambio en una distancia, por lo general restamos a las coordenadas del primer punto las correspondientes del segundo. Así, si (x1, y1) y (x2 y2) son dos puntos de una recta, entonces la elevación y el desplazamiento podemos escribirlos como: Elevación = y2 - y1, y la denotamos como ∆y

(se lee “delta y ”)

Desplazamiento x2 - x1 , y lo denotamos como ∆x

(se lee “delta x ”)

y

Δy = y2 – y1

(x2, y2) (x1, y1)

x Δx = x2 – x1

Figura 14

Fórmula de la pendiente Si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos de la gráfica de una función lineal, entonces:

y2 – y1 ∆y Pendiente = m = ––––––– = ––– con x2 ≠ x1 x2 – x1 ∆x y1 – y2 también puede escribirse: m = ––––––– x1 – x2

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Relaciones y funciones polinomiales

Tal y como debes haber respondido en la actividad al inicio de esta sección, la gráfica de la función lineal no constante es una recta que debe cortar el eje y en algún punto. Regresemos a la gráfica de la ecuación y = 2x –3. Como lo observaste en los problemas del ejercicio 1 de la página 30, la recta corta el eje y en el punto donde y = –3. A este número se le llama “intersección y ” de la recta, y es el valor del término constante (b) en la ecuación y = mx + b. De nuevo, tomando la respuesta de la actividad mencionada, cualquier recta (excepto el caso de que sean paralelas al eje x) tendrá que cortar al eje x en algún punto. En este caso la recta corta al eje x en el punto donde x = 1.5. Al número 1.5 se le llama “intersección x ” de la recta.

Nota Se puede encontrar la gráfica de la ecuación de otra forma: determinando las intersecciones con los ejes. Para encontrar la intersección x, observa que el punto donde la recta corta al eje x es cuando y = 0 en la ecuación y = 2x – 3, obtienes x = 1.5. Así, la intersección x es 1.5 y la gráfica pasa por el punto (1.5, 0) De manera semejante, para encontrar la intersección y, observa que en el punto donde la recta corta al eje y es cuando x = 0. Haciendo x = 0 en la ecuación, obtienes y = – 3. La intersección y es –3 y la gráfica pasa por el punto (0, –3). Ver figura 15. y y = 2x – 3

(1.5, 0)

x (0, –3)

Figura 15

Definición Intersecciones con los ejes La intersección y de una función es el valor de y cuando x = 0. La intersección x de una función es el valor de x cuando y = 0.

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Etapa 1

Observa la gráfica de la figura 16. y

y

b=5 b=3

x

x m = 2.5

m=1

y=x+3

y = 2.5x + 5

y

y

m=0 b=5

b=3

x

x

m = –2

y = –2x + 5

y = 0x + 3

Figura 16

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Relaciones y funciones polinomiales

Actividad Contesta lo siguiente: 1. Las gráficas de las funciones lineales son siempre__________ 2. ¿A qué llamamos pendiente de una recta? _________________ 3. ¿La pendiente de una recta está dada por qué parte de la ecuación? 4. El valor de la m determina la inclinación de la recta así: a) Si m es positiva__________________ b) Si m es negativa __________________ c) Si m = 0 _______________________ 5. ¿Cuándo una función recibe el nombre de función constante? ______________ 6. El valor del término constante (b) señala el punto donde la gráfica cruza el ___________

A manera de resumen tenemos: Forma pendiente-intersección Si y = mx + b, entonces m es la pendiente de la recta y b es la ordenada de la intersección con el eje y (es decir, la intersección y u ordenada al origen).

Ejemplo 2 Traza la gráfica de la ecuación: y = — x + 4 3

Procedimiento Tenemos que: 2 1. La pendiente es — y la intersección y es igual a 4 (porque y = 4 cuando x = 0). 3 2. Por lo tanto, coloca tu lápiz sobre el eje y, ahora 4 unidades arriba del origen en el punto (0, 4). Avanza 3 unidades hacia la derecha y luego sube 2 unidades para señalar otro punto de la gráfica. Repite el proceso si es necesario para obtener más puntos. 3. Une estos dos puntos con una línea recta.

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Etapa 1

Las siguientes gráficas muestran los tres pasos anteriores. y

y 2 3

x

x



Figura 17a

Figura 17b



Encuentra la intersección y.

A partir de ahí encuentra el segundo punto.

Solución Dibuja la recta uniendo los dos puntos. y

x

Figura 17c

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo

Traza la gráfica de la ecuación: 5x + 7y = 14

Procedimiento Puedes cambiar esta ecuación a la forma y = mx + b. Así: 5x + 7y = 14 7y = –5x + 14 5 y = - — x + 2 7 5 Entonces m = - — 7

y b = 2.

Como en este caso la pendiente es un número negativo, uno de los dos, la elevación o el desplazamiento debe ser negativo (y el otro debe ser positivo). Partiendo del punto (0, 2) de la gráfica, puedes avanzar 7 unidades hacia la derecha y luego bajar 5, o bien desplazarte 7 unidades hacia la izquierda y luego subir 5 para encontrar el otro punto de la recta. La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación anterior. Solución

y 5 y = –-– x + 2 –7

+5 +7 –7

x –5

Figura 18

Actividad ¿Cuál será la gráfica de la función y = una constante? Por ejemplo: a) y = 5

b) y = –2

c) y = 0

¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal? ¿Cuál es la pendiente de una recta vertical?

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Etapa 1

Ejemplo

Traza la gráfica de la ecuación: x = 6.

Procedimiento De esta ecuación no se puede despejar y. Pero el trazo de la gráfica es fácil. Como x es siempre 6 sin importar cuál sea y, la gráfica es una recta vertical. Esta relación no es una función, pues existe más de un valor de y cuando x es 6. Como puedes ver, a partir de la fórmula de pendiente, la pendiente de una recta vertical no existe. y

Solución

x=6 5

x

0 0

2

4

6

8

Figura 19

Seguramente no tuviste dificultad en resolver la actividad previa, pasamos ahora a resumir: Rectas horizontales y verticales Si y es constante, la gráfica es una recta horizontal cuya pendiente tiene un valor 0. Si x es constante, la gráfica es una recta vertical, por lo cual no tiene pendiente. Ejercicios

1. Traza correctamente la gráfica de las siguientes ecuaciones en papel cuadriculado. Utiliza el concepto de pendiente e intersección y, donde sea posible. 5 1 a) y = — x –1 b) y = — x + 3 2 4

c) y = 5x – 6

d) y = x + 9

e) 3x + 3y = 12

g) y = 2x

h) y = 5

i) x = 3

f) 4x – 5y = 25 j)



x=0

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Relaciones y funciones polinomiales

Actividad 1. Las relaciones y = -5, x = 3, x = 0, no son llamadas funciones lineales, aunque sus gráficas sean línea rectas. Sin embargo, la razón es diferente en cada caso. Explica por qué a cada una de estas relaciones no se les llama función lineal. 2. Muestra que la relación y - 8 = 3(x -1) es una función lineal convirtiéndola a la forma y = mx + b. Traza la gráfica.

III. Formas de la función lineal o ecuación de la recta Objetivo Escribir La ecuación de una función lineal en cualquiera de sus formas:  Forma pendiente-intersección.  Forma punto-pendiente.  Forma ordinaria.  Forma intersección o simétrica.

Veamos la relación que tiene como ecuación: y - 4 = 2(x - 5). Si sustituyes (x, y ) por (5, 4) ambos miembros de la ecuación serán iguales a cero. Así (5, 4) es un punto de la gráfica porque satisface la ecuación. Distribuyendo el 2 nos queda: y - 4 = 2x - 10 Luego, sumando 4 a ambos miembros, la ecuación queda: y = 2x - 6 por lo tanto, la relación anterior es una función lineal cuya pendiente es 2. Esto mismo es lo que seguramente hiciste en el inciso b de la actividad previa. Una ecuación lineal como y - 4 = 2(x - 5) se dice que está en forma punto– pendiente, porque en la ecuación aparecen las coordenadas de un punto y la pendiente de la recta. La forma familiar y = mx + b de la ecuación de una función lineal es llamada forma pendiente –intersección. Otra forma de la ecuación de una función lineal es Ax + By = C, siendo A, B y C constantes reales y en donde ambas variables están en un solo lado de la ecuación y el término constante en el otro; en este texto a esta ecuación se le llamará forma ordinaria. 39

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Etapa 1

La ecuación de una función lineal también puede ser escrita como:

x y —+—=1 a b

La cual se denomina forma intersección, porque a y b representan las intersecciones de la recta con los ejes horizontal (x) y vertical (y), respectivamente. Formas de la ecuación general de una función lineal

y = mx + b

Forma pendiente-intersección: m es la pendiente de la recta y b es la intersección y de la recta.

y – y1 = m(x – x1)

Forma punto-pendiente: m es la pendiente de la recta y (x1, y1) es un punto de la recta.



Forma ordinaria. A, B y C son números reales.

Ax + By = C

x y — + — = 1 a b

Forma intersección o simétrica: a es la intersección x de la recta y b es la intersección y de la recta.

Actividad A partir de la recta cuya ecuación en la forma punto– pendiente es:

3 y – 8 = – — (x + 4) 2

a) Traza la gráfica. b) Transforma la ecuación a la forma pendiente– intersección. c) Transforma la ecuación a lo forma ordinaria. d) Transforma la ecuación a la forma intersección.

Ejercicios

1. Para las siguientes ecuaciones, realiza lo que se te pide: • Determina la pendiente y las coordenadas del punto que aparece en la ecuación. • Traza la gráfica de la recta. • Transforma la ecuación a la forma pendiente– intersección. • Transforma la ecuación a lo forma ordinaria. • Transforma la ecuación a la forma intersección.

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Relaciones y funciones polinomiales

2 1 a) y - 2 = — (x - 6) b) y + 7 = - — (x - 2) 3 2

c) y - 5 = -2x

2. Para las siguientes ecuaciones, realiza lo que se te pide: • Determina la pendiente y la intersección con el eje y. • Traza la gráfica de la recta. • Transforma la ecuación a la forma punto-pendiente. • Transforma la ecuación a lo forma ordinaria. • Transforma la ecuación a la forma intersección. 1 a) y = -2(x + 7) b) y = — (x – 8) 4

c) y = -3x + 7

3. Escribe la ecuación en la forma punto-pendiente para las funciones lineales descritas. a) Pasa por el punto (1, 7), y tiene pendiente –3. b) Pasa por el punto (6, 6), y tiene pendiente 5. 9 c) Pasa por el punto (- 1, 0), y tiene pendiente —. 2 -2 d) Pasa por el punto (2, - 8), y tiene pendiente –––. 7 2 e) Pasa por el punto - —, 5 , y tiene pendiente 3. 5

(

)

IV. Ecuaciones de funciones lineales a partir de su gráfica Objetivo Graficar funciones lineales a partir de ciertos datos y construir la ecuación de la función. Suponiendo que alguien dijera “si la ecuación de una función lineal es y = 4x –7, ¿Qué valores tienen la pendiente y la intersección y de dicha recta?” Tú dirías; ¡eso es fácil! Los valores son 4 y –7, respectivamente”. También es fácil para ti contestar a la pregunta inversa: si la pendiente y la intersección y de una recta son –3 y 10. ¿Cuál sería la ecuación? La respuesta es: y = – 3x + 10. En esta sección utilizarás la información dada acerca de la gráfica de una función lineal para que determines su ecuación particular. 41

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Etapa 1

Ejemplo Encuentra la ecuación particular de una función lineal cuya gráfica pasa por el punto (5, –7) y –2 cuya pendiente es –––. 3 Procedimiento Como los datos son un punto y la pendiente, la forma más sencilla para encontrar el resultado será utilizar la forma punto-pendiente: 2 y – y1 = m(x – x1), donde x1 = 5, y1 = – 7 y m = – — 3 Por lo tanto la ecuación es: Solución 2 y + 7 = - — (x –5) 3 No es necesario transformar esta ecuación a cualquier otra forma, a menos que te lo pidan.

Ejemplo

Encuentra la ecuación particular de una función lineal cuya gráfica pasa por los puntos (–4, 5) y (6, 10).

Procedimiento Este tipo de problema se puede reducir al tipo de problema anterior si primero determinas el valor de la pendiente, utilizando la fórmula: 5 1 y2 - y1 10 - 5 m = ––––––– = ––––––––– = ––– = — x2 - x1 6 - (-4) 10 2 Y después escoger cualquiera de los dos puntos dados para utilizar la forma punto– pendiente. Solución



1 1 y - 5 = — (x + 4) o y - 10 = — (x - 6) 2 2

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Relaciones y funciones polinomiales

Observa que estas dos ecuaciones son equivalentes, porque si transformaras cada una de ellas a la forma pendiente-intersección, ambas quedarían así: 1 y=—x+7 2 Observemos la siguiente gráfica: y

R1

R2

2 3

2 3

x

Figura 20

2 La figura muestra dos rectas paralelas; la pendiente de ambas rectas es —. 3

Nota Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. 3 En la figura de abajo, la pendiente de la recta R1 es —; la pendiente de la recta R2, perpendicular a R1 4 4 es - —. 3 R2

3 90°

R1

4

x

–4 3

y Figura 21

43

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Etapa 1

Nota Dos rectas son perpendiculares si el valor de la pendiente de una de ellas es el “opuesto del recíproco” de la otra. Si una de las dos rectas perpendiculares no tiene pendiente significa que la otra recta es horizontal. Estos principios se pueden usar para encontrar ecuaciones particulares.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas: R1 y R2 son paralelas si sus pendientes son iguales, m1 = m2, o si ambas carecen de pendientes. 1 Dos rectas: R1 y R2, son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y opuestas, m1 = – –––, m2 o bien si una es horizontal y la otra vertical.

Ejemplo

Encuentra la ecuación particular de la función lineal cuya gráfica pasa por el punto (–1, 5) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 3x + 4y = 28.



Procedimiento



3 Transformando esta ecuación a la forma pendiente-intersección obtienes que: y = ––– x + 7. -4 3 4 La pendiente de la recta dada es –––, por lo tanto, la pendiente de la recta que buscamos debe ser — -4 3 3 el opuesto del recíproco ––– . -4

Solución



4 y – 5 = — (x + 1) 3

(

)

44

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo

Encuentra la ecuación particular de la recta horizontal que pasa por el punto (7, 5).

Procedimiento

La manera más sencilla de resolver este problema es darse cuenta que la ecuación de una recta horizontal es de la forma y = constante. Así determinas directamente que la ecuación es:

Solución

y=5

Este ejemplo también se puede resolver considerando que la pendiente de una recta horizontal es 0, y luego, utilizando la ecuación de la forma punto-pendiente obtienes que: y – 5 = 0 (x – 7), la cual puedes transformar a: y = 5. La gráfica se muestra en la siguiente figura.

y

(7, 5)

5

x

0 –2

0

2

4

6

8

Figura 22

Ejemplo

Encuentra la ecuación particular de una recta vertical que pasa por el punto (7, 5).

Procedimiento

La única manera de resolver este problema es saber que la ecuación de una recta vertical es de la forma x = constante y determinar inmediatamente que la ecuación es x = 7.

Solución

Ya que la pendiente de una recta vertical no existe, entonces no puedes utilizar la forma puntopendiente ni la forma pendiente intersección. La gráfica se muestra en la siguiente figura.

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Etapa 1

y

(7, 5)

5

x

0 –2

0

2

4

6

8

Figura 23

Ejercicios

1. Para los problemas: • Determina le ecuación de la recta descrita. • Transforma la ecuación, si es necesario, a la forma pendiente-intersección. • Transforma la ecuación a la forma ordinaria Ax + By = C. donde A, B y C son constantes reales. a) Tiene pendiente 8 y la intersección y es -9. b) Pasa por el punto (2, -6) y tiene una pendiente -1. 8 c) Pasa por el punto (-3, 8) y tiene una pendiente - —. 5 d) Pasa por los puntos (5, 0) y (8, –  11). e) Pasa por los puntos (12, -4) y (-5, -4). f) Pasa por el punto (7, -2) y es paralela a la recta y = –2x + 13. g) Pasa por el punto (3, – 5) y es perpendicular a la recta y = – 2x + 13. h) Pasa por el punto (2, – 6) y es paralela a la recta 9x –6x = 11. –2 i) Tiene pendiente de ––– y la intersección x es -3. 3 j) Su intersección x es de 4 y su intersección y es 4. k) Es horizontal y pasa por el punto (1, -6). l) Es vertical y pasa por el punto (1, -6). m) Pasa por los puntos (6, 2), (5, 3) y (1, 7).

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Relaciones y funciones polinomiales

Actividad Introducción a los modelos lineales José Garza se traslada diariamente en su automóvil de su casa en Monterrey a su trabajo en Saltillo. Mientras va conduciendo, la distancia a la ciudad de Saltillo depende del número de minutos que hayan transcurrido. Cuando lleva manejando 20 minutos se encuentra a 45 km de su destino y cuando ha manejado 32 minutos le faltan 27 km. Si y es el número de kilómetros que le faltan a José para llegar a Saltillo y x es el número de minutos que ha estado conduciendo. Haz lo siguiente: a) Escribe la información de relación tiempo-distancia como dos pares ordenados. b) Ubica estos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas. c) Considera que la relación anterior, tiempo-distancia es una función lineal. Traza la gráfica del inciso b en el sistema coordenado. d) Determina una ecuación particular para esta función. Transfórmala, si es necesario, a la forma pendienteintersección. e) Utiliza la ecuación anterior para calcular la distancia que le falta recorrer a José para llegar a Saltillo si ha estado conduciendo 40 minutos. f) Utiliza la ecuación anterior para predecir el tiempo total que le tomará a José llegar a su destino.

V. Funciones lineales como modelos matemáticos Objetivo Dada una situación en la cual dos variables del mundo real estén relacionadas linealmente. Bosquejar la gráfica. Encontrar la ecuación particular. Utilizar la ecuación para predecir valores de la otra variable. Comprender el significado del valor de la pendiente y las intersecciones en el mun-

do real.

En la sección anterior elaboraste gráficas que relacionaban dos variables del mundo real. Algunas de ellas eran líneas rectas. Ahora has aprendido cómo encontrar la ecuación de una función lineal si tienes cierta información acerca de su gráfica. Esta ecuación la puedes utilizar para calcular valores de una variable si conoces los valores de la otra. Por lo tanto, la ecuación de una función la puedes usar para predecir valores de una variable del mundo real. Cuando una función se utiliza de esta forma se le conoce como modelo matemático.

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Etapa 1

Ejemplo

Cuando conduces del estadio de fútbol de regreso a tu casa, el número de kilómetros que te faltan para llegar a tu destino depende del número de minutos que has estado conduciendo. Supón que te encuentras a 11 km de tu casa cuando ya has conducido por 10 minutos, y a 8 km de casa cuando has estado manejando por 15 minutos.



Si consideras que la distancia varía linealmente con el tiempo, resuelve: a) b) c) d) e) f) g) h)

Define las variables por el tiempo y la distancia. Bosqueja la gráfica. Encuentra la ecuación particular expresando la distancia en términos de tiempo. Predice la distancia a tu casa cuando has estado conduciendo por 20, 25 y 30 minutos. ¿Cuánto tiempo tienes que conducir para encontrarte a 7 km de tu casa? ¿Cuál es el valor de la intersección-distancia y qué significa en el mundo real? ¿Cuál es el valor de la intersección-tiempo y qué significa en el mundo real? Para que obtengas respuestas razonables, cuál es el dominio de esta función lineal? ¿Cuáles son las unidades de la pendiente? De acuerdo con estas unidades. ¿Qué supones que representa la pendiente de la recta en el mundo real? ¿Qué significado tiene el hecho de que la pendiente sea negativa?

Procedimiento a) Sea t = número de minutos que has estado conduciendo. Sea d = número de kilómetros que te encuentras de tu casa. Para resolver este problema de la forma más sencilla debes escribir la información dada como dos pares ordenados. Como d depende de t, entonces los datos serían (10, 11) y (15, 8). Solución

Como se considera que las dos variables están relacionadas linealmente, la gráfica será una línea recta. Si realizas la gráfica observarás que no contiene puntos fuera del primer cuadrante porque tanto t como d son mayores o iguales que cero.

20

10

0 0

20

40

Figura 24

48

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Relaciones y funciones polinomiales

Procedimiento b) Como los datos del problema son las coordenadas de dos puntos de la recta, puedes utilizar la fórmula de la pendiente y determinarla.

8 - 11 3 m = ––––––– = - — 15 - 10 5

Sustituyendo el valor de la pendiente y las coordenadas de la primera pareja ordenada en la forma punto-pendiente obtienes:

3 d - 11 = -­— (t - 10) 5

La pregunta dice que la variable d debe ser expresada en términos de t. Entonces necesitas transformar la ecuación anterior a la forma pendiente-intersección. Solución 3 d = ––– t + 17 - 5 Procedimiento c) Para predecir la distancia cuando es dado el tiempo, sólo requieres de sustituir los valores dados de t y calcular la d correspondiente. Solución –3 Para t = 20 min d = ––– (20) + 17 = 12 + 17 = 5 km 5 –3 Para t = 25 min d = ––– (25) + 17 = 15 + 17 = 2 km 5 –3 Para t = 30 min d = ––– (30) + 17 = –18 + 17 = –1 km 5 Observa que sustituyendo t por 30 (minutos) se obtiene un valor negativo para la distancia. Como probablemente no conducirás más allá de tu destino, el dominio de la función debe limitarse antes de que t valga 30 minutos. Procedimiento e) Para predecir el tiempo cuando estás a 7 km de distancia de tu casa, sustituye d por 7 y resuelve la ecuación resultante.

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Etapa 1

3 7 = ––– t + 17 –5

sustituyendo d por 7

3 3 — t = 10 sumando — y restando 7 5 5 50 5 t = ––– multiplicando por — 3 3 Solución Aproximadamente t = 16.66 s. Procedimiento e) La intersección d es 17, y es el valor de d cuando t = 0. Cuando t = 0 estás justamente partiendo hacia tu casa. Solución

Por lo tanto la distancia entre el estadio de fútbol y tu casa debe ser de 17 km.

Procedimiento f ) La intersección t es el valor de t cuando d = 0. Haciendo d = 0 en la ecuación obtienes: –3 0 = ––– t + 17 5 3 — t = 17 5 85 t = ––– 3 Solución t ≈ 28.33 s. Cuando d = 0 significa que has llegado a tu casa y el tiempo que te lleva es de 28.3 minutos. Procedimiento g) El dominio deberá ser {t / 0 ≤ t ≤ 28.33}, que son los valores de t permisibles durante el trayecto a tu casa.

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Relaciones y funciones polinomiales



Procedimiento h) La pendiente de una recta es elevación/desplazamiento. La elevación está en kilómetros y el desplazamiento en minutos. “Por” es un palabra para decir “dividido por”, entonces…



Solución

3 Las unidades de la pendiente son km por min. Esto significa que tu velocidad es de — km/min. El 5 signo negativo de la pendiente te indica que la distancia del estadio a tu casa está decreciendo en 5 — km/min. 3

Debes saber que las predicciones realizadas a partir de un modelo matemático no son precisamente exactas, pues las consideraciones originales que haces cuando se establece el modelo pueden cambiar. En el ejemplo que acabas de ver se consideró que la relación entre las variables era una función lineal y con pendiente constante. Pero si en el trayecto la velocidad varía, la gráfica realmente tendría pendiente diferente en lugares distintos. Lo anterior quiere decir que la gráfica real puede no coincidir totalmente, sino sólo parecerse a la del modelo lineal y ésta puede solamente utilizarse como una aproximación. Algunas veces tendrás que determinar la relación que existe entre dos variables; y en ciertos casos concluir que la relación entre ellas es una función lineal. En el ejemplo 2 verás este tipo de problemas.

Ejemplo

En un establecimiento que vende piezas de cristal, el precio de cada vaso de vidrio es de $3.00, más un cargo único de $2.00 por la caja, el servicio, etcétera. a) Determina una ecuación que exprese la cantidad total a pagar por un paquete de vasos como una función del número de vasos comprados. b) Explica por qué la función del inciso anterior es una función lineal. c) Predice el precio de una caja que contiene una docena de vasos. d) ¿Cuántos vasos habrá en la caja si el costo por ella es de $47.00? e) Traza la gráfica de la función usando un dominio adecuado.



Procedimiento a) Si v = número de vasos que contiene la caja. Si c = costo total del paquete. 51

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Etapa 1

Solución

Entonces la ecuación es: c = 3v + 2. b) La función anterior es lineal porque la ecuación es de la forma: c es igual a una expresión de primer grado (lineal) en la variable v.

Procedimiento c) Si v = 12, c = 3(12) + 2 = 36 + 2 = 38

Solución $38.00



Procedimiento d) Si c = 47, 47 = 3v + 2 45 = 3v 45 v = ––– 3 v = 15

Solución 15 vasos Procedimiento e) La gráfica se muestra en la siguiente figura. El dominio de la variable v es precisamente el conjunto de los números enteros no negativos. También la intersección c, en el valor 2 del eje vertical se excluye, ya que v = 0 y probablemente nadie compre una caja vacía ni pague el servicio.

Solución C

20

0 0

5

10

V

Figura 25

52

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Relaciones y funciones polinomiales

El siguiente ejercicio te dará la habilidad necesaria en el uso de las siguientes funciones lineales como modelos matemáticos. Ejercicios 1. Resuelve los siguientes problemas: a) Después de 10 minutos de haber empezado a leer un cuento, a Anita le faltan 35 páginas para terminar de leerlo, y después de 50 minutos de lectura todavía le faltan 5 páginas para terminarlo. Considera que el número de páginas que le faltan por leer varía linealmente con el número de minutos que ha estado leyendo. Escribe la ecuación particular expresando las páginas que le faltan en términos del tiempo en minutos de lectura y úsala para predecir el tiempo que le tomará terminarlo de leer. Luego bosqueja la gráfica. b) Cuando te picas con un alfiler transcurre un instante antes de que digas “¡ay!”. El tiempo de esta reacción varía linealmente con la distancia entre tu cerebro y el lugar donde te picaste. Si el señor Garza pincha a Pedro en la mano y en el pie, estima un tiempo de reacción de 15.2 y 22.9 milésimas de segundo, respectivamente. Considerando que la mano se localiza a una distancia de 100 cm y el pie a 170 cm del cerebro de Pedro: • Escribe la ecuación particular expresando el instante de tiempo en términos de la distancia. • ¿Cuánto tiempo se tardaría Pedro en decir “¡ay!” si se picara en el cuello, a 10 cm del cerebro? • ¿Cuál es el valor de la intersección-tiempo y qué representa en el mundo real? • Bosqueja la gráfica de esta función. • Como las unidades de la pendiente son milésimas de segundo por centímetro, su reciproco es la velocidad con que viaja un impulso nervioso en cm/ms. ¿Cuál es la rapidez de un impulso nervioso en cm/s? c) Basados en la información proporcionada por el departamento de investigación de biología, se encontró que la frecuencia con la que un grillo chirría es una función lineal de la temperatura. A 15°C los grillos emiten 76 chirridos por minuto y a 19°C emiten 100 chirridos por minuto. • Escribe la ecuación particular expresando la razón de chirridos por minuto en términos de temperatura. • Predice la razón de chirridos por minuto para 31°C. • ¿Cuál será la temperatura si cuentas 130 chirridos por minuto? • Calcula la intersección-temperatura. ¿Qué significado tiene este número en el mundo real? • Bosqueja la gráfica de esta función en un dominio adecuado. d) La cantidad de dinero que desembolsas mensualmente por mantenimiento de tu automóvil es función del número de kilómetros por mes que recorriste. Basados en información emitida por la revista Mecánica Popular, el costo varía linealmente con la distancia. Si 300 km recorridos en un mes te implicaron un costo de $240 y por 1 500 km gastaste $600:

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Etapa 1

• Escribe la ecuación particular expresando el costo en términos de la distancia. • Bosqueja la gráfica de esta función. • Predice tu costo mensual si recorres 500, 1 000 y 2 000 km/mes. • ¿Cuál sería tu kilometraje mensual si no debes excederte de $390? e) Los puentes en las carreteras casi siempre tienen juntas de expansión, las cuales son aberturas pequeñas en el asfalto, entre una sección del puente y la próxima. Se deja un hueco en ese lugar para que el puente tenga espacio para expandirse cuando la temperatura se eleva. Supón que un puente tiene una abertura de 1.4 cm cuando la temperatura es de 22°C y que el hueco se estrecha a 1 cm cuando la temperatura sube a 30°C. Considera que el ancho de la abertura varía linealmente con la temperatura. • Escribe una ecuación particular del ancho de la abertura como una función de la temperatura. • ¿Cuál será el ancho de la abertura a 34° C? ¿Y a –6° C? • ¿A qué temperatura podría cerrarse completamente la abertura? ¿Qué nombre matemático se le da a esta temperatura? ¿Es probable que la temperatura pueda subir lo suficiente como para cerrar la abertura? • Bosqueja la gráfica de esta función lineal. f) Supón que tu automóvil tiene 40 meses de uso. En un negocio de autos usados te informan que su valor comercial presente es de $20 000, pero hace 10 meses su valor era de $23 000. Considera que el valor comercial de un automóvil decrece linealmente con el tiempo. • Escribe la ecuación particular expresando el valor comercial de tu carro como una función del tiempo de uso en meses. • Si deseas vender tu carro cuando su valor comercial sea de $14 000. ¿Cuánto tiempo lo conservarás? • ¿Por cuánto dinero se deprecia tu auto en valor cada mes? ¿Qué parte del modelo matemático te indica esto? • ¿Cuándo consideras que el carro ya no tendrá valor? • ¿Cuál fue el valor comercial de tu carro cuando era nuevo? ¿Qué parte del modelo matemático te indica esto? • Bosqueja la gráfica de esta función. g) Las temperaturas Fahrenheit “F” y Celsius “C” de un objeto están relacionadas por una función lineal. El agua hierve a 100° C o 212° F y se congela a 0° C o 32° F. • Escribe una ecuación expresando F en términos de C. • El plomo hierve a 1 620° C. ¿Qué temperatura Fahrenheit es ésta? • La temperatura normal del cuerpo es de 98.6° F. ¿Qué temperatura sería en grados Celsius? • Si el pronóstico del tiempo dice que el día de hoy habrá una temperatura máxima de 104° F. ¿Será un día caluroso, frío o agradable?

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Relaciones y funciones polinomiales

• La temperatura más baja posible es el cero absoluto, –273° C, cuando las moléculas casi no tienen movimiento. ¿Qué temperatura es en grados Fahrenheit? • ¿A que temperatura el número de grados Fahrenheit es igual al número de grados Celsius? • Bosqueja la gráfica de esta función. h) El número de metros de cable necesarios para un elevador depende del número de pisos en servicio del edificio. Supón que m = 7p + 12, donde m es el número de metros de cable del elevador y p es el número de pisos de la construcción. • ¿La relación anterior será una función lineal? ¿Por qué? • ¿Qué cantidad de cable necesitará un elevador para un edificio de 9 pisos? • ¿De cuántos pisos es un edificio que utilizó 124 m de cable en su elevador? • ¿Qué representa la pendiente de la ecuación anterior en el mundo real? • Bosqueja la gráfica de la ecuación anterior. i) Si la constante b en la ecuación y = mx + b es igual a cero, la ecuación queda y = mx y la gráfica de la ecuación resultante pasa por el origen, entonces se dice que y varía directamente con x. La cantidad de galletas que debes preparar para una merienda varía directamente con el número de personas invitadas. Supón que haces 7 charolas de galletas para servir a 10 personas. • Escribe la ecuación particular expresando el número de charolas en términos del número de invitados. • ¿Cuántas charolas de galletas debes preparar para 50 personas? • ¿Cuántas personas puedes invitar, aproximadamente con 12 charolas de galletas? • Bosqueja la gráfica de esta función. j) La cantidad de combustible que consume un avión varía directamente con el tiempo de vuelo. Supón que un avión de carga ligera con motores gemelos consume 300 kg de turbosina en 4 horas. La nave puede transportar una carga útil de 940 kg. De este peso, una parte debe ser destinada para el combustible, cuyo depósito tiene una capacidad de 500 kg de turbosina y el peso sobrante se puede distribuir entre la carga y los pasajeros. Si se incrementa la carga o los pasajeros, se tiene que disminuir la cantidad de combustible suministrado y el tiempo de vuelo será menor. • Traza la gráfica de la cantidad de combustible necesario para volar cierto número de horas. • Escribe la ecuación particular expresando la cantidad de combustible en función del tiempo de vuelo. • ¿Cuántos kg de carga se pueden transportar si el avión debe volar 5 horas para llegar a su destino, considerando que el piloto y el copiloto pesan 80 kg cada uno? • Supón que el avión transportará una carga de 260 kg y a 6 personas que pesan en total 455 kg. ¿Cuál será el tiempo máximo de vuelo?

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Etapa 1

VI. Desigualdades e inecuaciones lineales Objetivo Reconocer la relación de orden entre los números reales para poder expresar situaciones diversas con base en la simbología de desigualdades. Así mismo representar éstas en sus diferentes formas. El conjunto de números reales posee la propiedad de que se puede establecer una relación de orden entre dichos números, por ejemplo: 1 3 es menor que 7, -2 es mayor que -6, - — es menor que 5. 2



Dadas las expresiones numéricas a y b, sucede que, o son iguales (a = b) o son diferentes (a ≠ b). Si son diferentes, uno de los números es mayor o menor que el otro. A esta relación de ser “mayor que” o “menor que” le corresponden los signos >, ” o “ a) así, es claro que da lo mismo decir que 4 es menor que 10, a decir que 10 es mayor que 4. Al escribirlo con símbolos sólo hay que tener presente que la abertura del símbolo va con el número mayor y la punta con el número menor: 4 < 10 o 10 > 4 O incluso, podría escribirse sólo una de las desigualdades —por ejemplo, la primera— y leerla de izquierda a derecha (4 es menor que 10) o leerla de derecha a izquierda (10 es mayor que 4). La desigualdad a ≤ b se lee: a es menor o igual que b ; la desigualdad b ≥ a se lee: b es mayor o igual que a. Los símbolos y ≥ representan la simbología de desigualdad.

Actividad 1. Escribe la desigualdad correspondiente entre… a) …tu estatura y la de uno de tus amigos. b) …el precio de un auto y el de una moto. c) …la distancia que hay de Monterrey a Zacatecas y la que hay de Monterrey a Cancún. 2. ¿Cómo escribirías simbólicamente la relación entre… a) …el número de miembros de tu familia y el número de estudiantes de tu salón? b) …el número de habitantes de Japón y el número de habitantes de Honduras? c) … la longitud del río Hudson y la del río Grijalva? 3. Proporciona tres ejemplos de expresiones que involucren desigualdades y compártelas con tus compañeros.

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Etapa 1

Notas 1. La desigualdad x ≤ 4 denota todos los números reales x que son menores o iguales a 4. 2. La desigualdad – 1< x ≤ 3 significa que x > –1 y x ≤ 3. Esta “doble” desigualdad comprende a todos los números reales entre –1 y 3, incluyendo al 3, pero sin incluir al –1. Como se muestra en la siguiente recta numérica. ( –2

–1

0

1

2

3

4

La representación en una recta numérica de la gráfica de la desigualdad está formada por intervalos. Un intervalo de la forma (a, b) que no contiene sus puntos extremos se denomina intervalo abierto. El intervalo [a, b] que contiene sus puntos extremos se llama intervalo cerrado. Los intervalos de la forma [a, b) y (a, b] se denominan intervalos semiabiertos. Geométricamente un intervalo es un segmento de recta. En la siguiente tabla se representan los tipos de intervalos de la recta lineal. Sean a y b números reales con a < b. Los siguientes intervalos en la recta real son intervalos limitados. Los números a y b son los puntos extremos de cada intervalo.

Notación

Tipo de intervalo

[a, b] Cerrado

Desigualdad a ≤ x ≤ b

(a, b) Abierto

a < x < b

[a, b) Semiabierto

a ≤ x < b



a < x ≤ b

(a, b] Semiabierto

Los siguientes intervalos son intervalos ilimitados o infinitos. [a, ∞) Semiabierto

x ≥ a

(a, ∞) Abierto

x > a

(– ∞, b) Abierto

x < b

(– ∞, b] Semiabierto

x ≤ b

(– ∞, ∞)

x e R

Toda la recta real

Gráfica a a

((

b b

((

a a

a a ((

b b b b

a a

((

b b

a a

((

a a

((

b b b b

Los símbolos –∞ (infinito negativo) y ∞ (infinito positivo) no representan números reales. Sólo son símbolos para describir lo ilimitado de un intervalo.

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Relaciones y funciones polinomiales

Actividad ¿Cómo representarías en la recta numérica las siguientes expresiones? a) “Todos los números negativos”. b) “Todos los números que están entres 2 y 9”. c) “Todos los números del 1 en adelante”. d) “Horario de consultas de 1 a 5”.

Ejemplo

Escribe una desigualdad que represente a los siguientes intervalos e identifica qué tipo de intervalo es:

a) (–4, 6)

b) (– ∞, 24]

c) [–17, – 8]

d ) [6, 37)

Solución a) (–4, 6) Significa que –4 < x < 6 y es un intervalo abierto. b) (–∞, 24] Significa que x ≤ 24 y es un intervalo semiabierto, no limitado por la izquierda. c) [–17, – 8] Significa que –17 ≤ x ≤ – 8 y es un intervalo cerrado. d) [6, 37) Significa que 6 ≤ x < 37 y es un intervalo semiabierto.

Actividad Identifica en qué intervalo se encuentra la variable en cada uno de los siguientes casos: 1. Si digo que cumplo años en el mes de febrero, ¿qué puedes decir de la fecha de mi cumpleaños? 2. El abuelo de Felipe les da dinero a sus nietos según su edad: al más pequeño la da $20, mientras que el mayor recibe $100. ¿Qué puedes decir de la cantidad de dinero que recibe el nieto de en medio? 3. Si en una región determinada la temperatura mínima es de -12° C en invierno y la temperatura máxima en verano es de 38° C. ¿Qué puedes decir del resto de las temperaturas en dicha región en ese periodo?

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Etapa 1

Ejercicios 1. Representa cada una de las desigualdades en forma de intervalo: a)

–6

–5

(

–4 –3

–2

–1

0

1

2

b) –1

0

1

2

3

(

c) –2

d)

–1

0

1

( –3

2

3

( –2

–1

0

1

2

2. Escribe una desigualdad que represente a los siguientes intervalos y grafícalos: a) (–12, ∞)

c) (4, 9]

e) [– 10, 6]

b) (9, 21)

d) (–∞, – 5)

f) [4, ∞)

VII. Desigualdades e inecuaciones lineales en una variable Objetivo Plantear y resolver inecuaciones lineales en una variable, aplicando las propiedades de las desigualdades. Representar las soluciones tanto gráficamente como en forma de intervalo. Para iniciar estudiaremos lo referente a desigualdades lineales en una variable, es decir, “inecuaciones” que contienen una variable de primer grado.

Nota Una desigualdad como x + 4 < 2x es una desigualdad o inecuación lineal porque el exponente (implícito) de la variable x es 1. Al igual que en una ecuación, una inecuación en la variable x se resuelve encontrando todos los valores de x en los cuales se cumpla la desigualdad. En estos casos el conjunto solución es un intervalo que contiene a todos los valores que satisfacen la desigualdad.

Conjunto solución de una inecuación El conjunto de todos los números reales que sean soluciones de una inecuación se llama conjunto solución. 60

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Relaciones y funciones polinomiales

Los procedimientos para resolver inecuaciones lineales en una variable son muy semejantes a los de las ecuaciones lineales. Para aislar la variable usamos las propiedades de las desigualdades. Propiedades de las desigualdades 1. Propiedad transitiva: Si a < b y b < c entonces a < c. 2. Suma de desigualdades: Si a < b y c < d entonces a + c < b + d. 3. Suma de una constante: Si a < b entonces a + c < b + c. 4. Multiplicación por una constante: a) Para c > 0, si a < b entonces ac < bc b) Para c < 0, si a < b entonces ac > bc a a c) Para c > 0, si a < b entonces — < — c c a a d) Para c < 0, si a < b entonces — > — c c

(

)

1 1 1 ya que la división por c representaría la multiplicación por —: a · — > b · —  c c c

Observemos que la propiedad denominada multiplicación por una constante nos dice (incisos b y d) que cuando ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo, la dirección del símbolo de desigualdad se invierte.

Ejemplo

Resuelve la desigualdad lineal 6x + 3 < 2x –8 y traza la gráfica de su conjunto solución.

Procedimiento 6x + 3 < 2x –8

Escribe la desigualdad lineal.

6x < 2x –11

Suma –3 a ambos lados (propiedad 3).

6x –2x < –11

Suma –2x a ambos lados (propiedad 3).

4x < –11

Reduce términos.

11 1 x < – ––– Multiplica ambos lados por — (propiedad 4) 4 4

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Etapa 1

Solución 11 {x / x < - ––– } 4 11 La notación de intervalo para este conjunto solución es (–∞, - –––) y su gráfica es la siguiente: 4 –11/4 –7

–6

–5

–4

(

–3

–2

–1

Comprobar el conjunto solución de una desigualdad no es tan sencillo como hacerlo con la solución de una ecuación, porque por lo general, hay demasiados valores para sustituir la desigualdad original. Sin embargo, podemos obtener un indicio de la validez de un conjunto solución si se sustituyen unos pocos valores convenientes de x. En el caso anterior, por ejemplo, encontramos que el conjunto solución de 6x + 3 < 2x –8 es x < –11/4. Comprueba entonces que un valor x < –11/4, por ejemplo x = –3, satisface la desigualdad original y que el valor de x = –2 no lo satisface, ya que –2 no es menor que –11/4.

Ejemplo 1 Resuelve la inecuación lineal 4 + — x ≤ x – 2 y traza la gráfica de su conjunto solución. 4 Procedimiento 1 4+—x≤x–2 4 16 + x ≤ 4x – 8

Multiplicamos ambos lados por 4.

x – 4x ≤ – 8 –16

Sumamos a ambos lados –4x y –16.

–3x ≤ –24 Reducimos términos. 1 x≥8 Multiplicamos ambos lados por - — y cambiamos la desigualdad, de ≤ a ≥. 3 Solución x ≥ 8, es decir, el conjunto solución es {x e R / x ≥ 8}. La solución gráfica es como sigue: 2

4

6

8

10

12

14

16

Observa que en este ejemplo, el sentido de la desigualdad cambió porque multiplicaste ambos lados por un número negativo.

62

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejercicios 1. En las siguientes desigualdades encuentra el conjunto solución, represéntalo en forma de intervalo y grafícalo en la recta numérica. Para más ejercicios del tema ir a http:/wwwchillan.udec. cl/~jsandov/wpe7.gif a) 6 x ≤ 18 b) 8x + 5 > 29 c) 12 –x ≤ 2x + 4 d) 14 > x +2 e) 7x +14 ≥ 21 f) (6 + x) ≤ 3x –6 g) x + 6 > –9 h) 7x –8(x + 9) ≤ –52 i) –10 –x < 4(x - 5) j) 3 –x ≤ –9 k) –2 ≤ 1 –3(x + 2) l) 4 ≥ 6(5 – x) 6 + 4x m) 7x + 6 < –3x + 4(x + 8) n) 9 ≤ 8(x –12) ñ) 13 –2x ≤ 27 21 – 3x o) ––––––– ≤ 15 5 3x + 2 p) ––––––– < 6 3

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Etapa 1

VIII. Desigualdades e inecuaciones lineales en dos variables Objetivo Reconocer una desigualdad lineal en dos variables como una relación, cuya gráfica es una región del plano; graficar desigualdades de este tipo. Sea la ecuación lineal en dos variables 3x –y = 5. Su equivalente en su forma ordinaria es: y = 3x – 5. La gráfica es la siguiente: y 6 4 2

x

0 –6

–4

0

–2

2

4

6

–2 –4 –6

Figura 26

La recta divide el plano en dos regiones: una sobre la recta y otra bajo de la recta. Cada par ordenado de la recta tiene la forma (x, 3x –5). Así, por ejemplo, el valor 1 de la x le corresponde –2 para la y, esto es, (1, –2) es un punto de la recta. Si tomamos cualquier punto en la región sobre la recta, digamos el que se indica en el siguiente dibujo, tenemos que para la misma x, la y de la región sombreada siempre es mayor a la y de la recta, esto es y > 3x –5. y 6 4

A(1, 3)

2

x

0 –6

–4

0

–2 –2

2

4

6

P(1, –2)

–4 –6

Figura 27

64

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Relaciones y funciones polinomiales

Entonces tenemos que la recta está definida por la ecuación y = 3x – 5. Por encima de la recta la expresión que define a la región es y > 3x – 5; mientras que la región bajo la recta cumple que y < 3x – 5.

Actividad Toma otro punto cualesquiera de la recta y; prueba que para el mismo valor de x, cualquier punto en la región bajo la recta tiene una y de menor valor.

Observación Claramente cualquiera de las expresiones: y < 3x – 5 ó y > 3x – 5, son relaciones. (Aplica el criterio de la recta vertical).

Ejemplo

Señala las regiones en que la recta y = – 2x divide al plano.

Procedimiento

Se grafica la recta y = –2x y se identifican las regiones.

Solución y 15 10 y > –2x

x

0 –6

–4

–2 y < –2x

0

2

4

6

–5 –10 –15

y = –2x

Figura 28

Actividad 1. Señala las regiones en que la recta y = –3, divide al plano e identifícalas en una gráfica. 2. ¿Cómo podrías hacer para graficar la relación y < x?

65

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Etapa 1

Ejemplo 1 Sombrea la región que corresponde a la gráfica de la inecuación: y > —x. 2 Procedimiento 1 1 La región y > — x es la que se encuentra sobre la recta y = — x, por lo tanto, grafiquemos la recta y 2 2 luego sombreamos la región sobre la misma. Solución y 15 10 y = 1/2x y > 1/2x

5

x

0 –6

–4

0

–2

2

4

6

–5 –10 –15

Figura 29

Nota Hay que tener claro que la solución es la región sombreada y no incluye a la recta, donde la y no es menor sino igual.

Ejemplo

Graficar la región solución de la relación y ≤ x – 4.

Procedimiento En este caso el símbolo ≤ significa que la y debe ser no solamente menor que x – 4, sino que también incluye el caso de que y = x – 4. Es decir, la solución será tanto la región por debajo de la recta como la recta misma. 66

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Relaciones y funciones polinomiales

Solución y 15 10 5

x

0 –6

–4

0

–2

2

4

6

–5 –10 –15

Figura 30

Nota Lo más común y recomendable es que cuando se grafican inecuaciones, en este caso lineales, quede completamente establecido si la solución incluye o no a la recta, mediante un recurso muy simple: si la recta es parte de la solución se marca la misma con una línea continua, y si la recta no es parte de la solución, la recta va punteada. Así, grafiquemos las inecuaciones que se muestran en los ejemplos:

Ejemplo

Graficar la inecuación y < 2 – x.

Procedimiento La región que corresponde a la inecuación planteada se encuentra por debajo de la ecuación y = 2 –x, pero como la recta no va incluida, graficamos la recta como una línea punteada y sombreamos la región debajo de ella.

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Etapa 1

Solución y 2

x

0 –6

–4

0

–2

2

4

6

–2

Figura 31

Ejemplo

Graficar la inecuación y ≤ – 1.

Solución y

2

x

0 –6

–4

0

–2

2

4

6

–2

Figura 32

68

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo

Graficar la inecuación x + y > –3

Procedimiento Vamos a transformar la inecuación planteada en una equivalente, donde la y se encuentre despejada, para lo cual se pueden aplicar las propiedades de la desigualdad que se mencionan en la página 61. x + y > –3 y > –x – 3 y 2

x

0 –8

–6

–4

0

–2

2

4

6

–2

Figura 33

Actividad 1. Escribe una inecuación que tenga como conjunto solución y gráfica el semiplano cerrado a la derecha de x = –2. 2. Escribe una inecuación que tenga como conjunto solución y gráfica el semiplano cerrado a la derecha de la recta x – y = – 4.

Ejercicios 1. Traza la gráfica de las inecuaciones planteadas: 3 a) y ≥ — x –2 4

b) 3x + 5y < 20

c) 4x –y ≤ –2

d) x + 4y > 4



f) x + y < 0

e) x ≥ –3 – y

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Etapa 1

2. Señala la expresión que le corresponde a la siguiente figura: y

a) y  –x + 1 2

b) y  –x + 1 x

0 –8

–6

–4

0

–2

2

4

6

c) y = –x + 1 d) y  –x + 1 e) y  –x + 1

–2

Figura 34

IX. Aplicación de desigualdades a modelos matemáticos Objetivo A partir de situaciones de la vida real construir y resolver modelos que involucren inecuaciones lineales de una variable.

Ejemplo

Compra comparativa Un automóvil puede rentarse en cierta compañía A por $180 a la semana, sin cargo extra por kilómetros recorridos. Un auto similar puede rentarse en otra compañía B por $100 a la semana, más 20 centavos por kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer un auto para que la renta de la compañía A sea menor que en la compañía B?

Procedimiento Sea x el número de kilómetros recorridos en una semana. El costo semanal de la compañía A es de $180 y el costo de la compañía B es de $100 + 0, 20x. Como la renta de la compañía A tiene que ser menor que la renta de la compañía B, ponemos: 180 < 100 + 0.20x

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Relaciones y funciones polinomiales

Solución Resolviendo esta desigualdad obtenemos que x > 400. Por lo tanto, el número de kilómetros que debe recorrer en una semana, el auto rentado en la compañía B debe ser mayor de 400 km, por lo que el carro de la compañía A es más barato si el conductor rebasa los 400 kilómetros recorridos en una semana.

Ejemplo

Costo anual de la operación Una empresa de servicio público cuenta con una flota de camiones de reparto. El costo anual de operaciones por unidad es: C(x) = 0.32x + 2 300 en donde x es el número de millas recorridas por un camión en el año. ¿Cuántas millas dará un costo anual de operación menor a los $10 000?

Procedimiento El costo anual está dado por C(x) = 0.32x + 2 300. Como el costo debe ser menor que $10 000 tenemos: 0.32 + 2 300 > 10 000 Resolviendo la desigualdad obtenemos que x < 24 062.5 Solución En consecuencia, para que haya un costo anual menor de $10 000 se tienen que recorrer menos de 24 062,5 millas anuales.

Ejemplo

Ventas diarias Un establecimiento vende una docena de donas en $2.95. Además de los costos fijos por día de renta, acciones, seguros, etc., de $150, los ingredientes (harina, azúcar, etc.) y la mano de obra cuestan $1.45 para producir una docena de donas. Si la utilidad diaria varía entre $150 y $300, ¿entre qué niveles (en docenas) varían las ventas diarias?

Procedimiento Sea x el número de donas (en docenas) producidas y vendidas cada día. El costo total de producir x docenas de donas es: yc = costos variables totales + costos fijos = 1.45x + 150 yc = C (x ) = 1.45x + 150

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Etapa 1

Puesto que cada docena de donas se vende a $2.95, el ingreso R(x) obtenido por vender x docenas de donas es: R(x) = 2.95x Por lo que la utilidad U es: ingresos-costos totales U(x) = (2.95 x) – (1.45x – 150) U(x) = 2.95 x – 1.45x – 150 U(x) = 1.5x – 150 Como la utilidad varía entre $150 y $300 tenemos: 150 < 1.5x –150 < 300 Resolviendo esta desigualdad encontramos que 200 < x < 300. Solución La venta diaria de las docenas de donas está entre 200 y 300. Ejercicios 1. Supongamos que puedes rentar un automóvil en cierta compañía A en $250 por semana, sin cargo extra por millas recorridas. En otra compañía B el mismo auto puede rentarse en $150 por semana, más $0.25 por cada milla recorrida. ¿Cuántas millas debes recorrer en una semana para que la tarifa de la compañía B sea mayor que la de la compañía A? 2. Un centro de fotocopiado realiza un cargo de $0.15 por cada página fotocopiada. Una máquina copiadora vale $ 3 000, y su vida útil es de 4 años. Con tu propia copiadora el costo por página sería de $0.03. ¿Cuántas copias debes sacar en un periodo de 4 años para justificar la compra de la copiadora? 3. El costo de producir cierta cantidad de un artículo x a la semana está dado por C (x) = 5x + 600. ¿Cuántos artículos se tienen que producir mensualmente para que el costo sea menor de $1 200? 4. Una compañía vende la docena de un cierto artículo en $4.50. Además de los costos fijos (renta, seguros, etc.) de $120 diarios, por mano de obra producir una docena de dicho artículo cuesta $1.50. Si la utilidad diaria varía entre $48 y $189. ¿Entre qué límites (en docenas) varían las ventas diarias? 5. El ingreso que se obtiene al vender x unidades de un producto es: U(x) = 125.84x. El costo de producir x unidades es C(x) = 85x + 650. Para obtener utilidad, el ingreso debe ser mayor que el costo. ¿Para qué valores de x el productor obtiene ganancias? 6. Un departamento de cierta empresa compró equipo de oficina nuevo por $12 000. Si se deprecia linealmente en $737.5 al año y se tiene un valor de desperdicio de $ 3 150. ¿Cuál será el tiempo máximo en que estará en uso el equipo?

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Relaciones y funciones polinomiales

1.3 Función cuadrática Las funciones lineales muestran gráficas que son líneas rectas; aun cuando las funciones lineales son modelos de un gran número de fenómenos y situaciones reales, no explican todas las relaciones entre dos variables. En esta sección estudiarás la función cuadrática cuya gráfica es un tipo muy conocido de curva. Hay numerosos ejemplos de este tipo de función, como son los problemas relativos a áreas, pero también los que se refieren a la trayectoria de un objeto que es lanzado, la relación entre la longitud de la cuerda de un péndulo y el tiempo que le toma a éste dar una oscilación completa, relaciones entre un número y su recíproco, y muchos más. Aquí mismo —y como una necesidad para resolver funciones cuadráticas— aprenderás algunas cosas sobre los números imaginarios y complejos. Por último, podrás determinar la ecuación particular de una fracción cuadrática de la información que se deriva de su gráfica. Todo el conocimiento que adquieras se orientará a que sepas interpretar y resolver problemas del mundo real que se expresen en términos de funciones cuadráticas.

I. Forma general de la ecuación de la función cuadrática Objetivo Reconocer la forma general de la ecuación de la función cuadrática. Una ecuación como la siguiente:

(1)

y = 2x 2 - 8x + 6

es la ecuación de una función cuadrática; como puedes observar, en ella existe un término donde la variable independiente x está elevada al cuadrado, de donde se deriva su nombre. Cuando la ecuación de la función está escrita en la forma del ejemplo dado, se dice que está en su forma general. Esto es:

(2)

y = ax 2 + bx + c

Donde a, b y c son constantes. La constante a es el coeficiente del término cuadrado, es decir, x 2; a puede tomar cualquier valor positivo o negativo, pero no puede ser igual a cero, pues en ese caso la ecuación se reduciría a la de una función lineal. 73 71

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Etapa 1

La constante b que es el coeficiente de x, puede tomar cualquier valor positivo, negativo o cero. Al término bx se le llama “término lineal”. A la constante c se le llama “término independiente”, porque su valor no depende de x, además puede tomar cualquier valor positivo, negativo o cero. En la ecuación (1) a = 2, b = -8 y c = 6 Definición La función cuadrática tiene la siguiente ecuación general: y = ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes que pueden tomar cualquier valor, excepto la constante a que no puede valer cero, pues en ese caso la ecuación se convierte en la de una función lineal.

Podemos inferir que la ecuación de una función cuadrática puede carecer del término lineal (bx ), o del término independiente (c), o de ambos, pero debe, obligatoriamente, contener el término donde aparece x 2. Por ejemplo, en las ecuaciones: y = 2x 2 -8x, y = 2x 2 + 6, y = -2x 2, puedes observar que son ecuaciones cuadráticas incompletas, pero aún así son ecuaciones de funciones cuadráticas. Las ecuaciones de las funciones cuadráticas pueden presentarse en forma diferente a la forma general, por ejemplo: y = (2x - 2) (x - 3) y = (x + 2)2 y = (x + 2)2 + 2 Si se desarrollan las ecuaciones anteriores y se reduce los términos semejantes se tendrán las ecuaciones en la forma general. Cuando dijimos que las constantes a, b y c pueden tomar cualquier valor, tal vez tengas en mente sólo números enteros; sin embargo, debes tener presente que pueden tomar también valores racionales o irracionales, por ejemplo: 1 2 1 1 y = — x  + —x + — 4 3 2 y = 0.5x 2 + 1.75x -1 y =

2 3x 2 - —x + 3 2 5

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Relaciones y funciones polinomiales

Actividad Identifica los valores de a, b y c, en cada una de las siguientes funciones cuadráticas: -3 2 1. y = ––– x  - x 4 3 4. y - 3 =

2. y = 3x 2 - 6

3. A = πr 2 + 0.5

1 g 5x 2 - ­— ­x 5. y + x = 1 - 4x2 6. = ––– t 2 7 2π

Ejercicios 1. Transforma las siguientes ecuaciones a la forma general de la ecuación de una función cuadrática. a) y = (x + 3) (x - 2)

d) y - 3 = (x + 4)2

b) y = (x - 3)2

e) y = x (x - 2)

c) y = (x - 3)2 + 2

f) y = (3x - 4) (x + 2)

2. Calcula el valor de y para los valores de x dados. a) y = (x + 3) (x - 2) x = -1, x = 0, x = 1 b) y = 3x 2 + 2x - 3

x = -2, x = 0, x = 2

c) y = x 2 - 4 d) y = x 2 - 4x + 3



x = -2, x = 0, x = 2



x = 1, x = 2, x = 3

II. Gráfica de una función cuadrática Objetivo Comprender las propiedades y características de la función cuadrática, desde el punto de vista analítico y gráfico.

Si das a la variable independiente “x” un valor y lo sustituyes en la ecuación de una función cuadrática obtendrás un valor de la variable dependiente “y ”; veamos un ejemplo: dada la ecuación y = x 2 -4x + 3, calcula el valor de “y ” para x = 0 y para x = 4.  

Si x = 0 Si x = 4

y = (0)2 - 4(0) + 3 y=3 y = (4)2 - 4(4) + 3 y=3

75

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Etapa 1

Como puedes ver, hay dos valores diferentes de x que dan el mismo valor de y, pero veamos si no fue coincidencia; para averiguarlo calcularemos el valor de y en la misma ecuación, para x = 1 y x = 3. y = (1)2 - 4(1) + 3 y=0 y = (3)2 - 4(3) + 3 y=0

Si x = 1 Si x = 3

Vuelve a suceder lo mismo: para dos valores diferentes de x tenemos el mismo valor de y. Para entender mejor el comportamiento de esta función es conveniente trazar su gráfica. Para ello, en la ecuación anterior y = x 2 - 4x + 3, daremos valores a “x ” y calcularemos los valores correspondientes de “y”; los pares de puntos obtenidos los representaremos en un plano coordenado y después los uniremos en una línea para ver qué forma tiene. y x

y

-1

8

0

3

1

0

2

-1

3

0

4

3

5

8

10 (–1, 8)

(5, 8) 5 (0, 3) (1, 0)

0 –2

2

0

(4, 3)

(3, 0)

x

4

(2, –1)

Figura 35

La gráfica de la ecuación de una función cuadrática es una curva llamada parábola. Ahora que ya conoces la forma de la gráfica, te señalaremos las características importantes de la misma, para esto haremos uso de la gráfica de la figura 35. 1. La línea vertical punteada no es parte de la gráfica, se le llama eje de simetría porque divide la gráfica en dos partes simétricas, una imagen espejo de la otra, es decir, para un punto del lado izquierdo de la parábola, hay un punto en el lado derecho —que es como su reflejo— que está a la misma distancia a partir del eje de simetría. 2. Los puntos que están a la misma distancia del eje de simetría, se dice que son simétricos, tienen la misma coordenada y, pero diferente coordenada x ; por ejemplo, los puntos (0, 3) y (4, 3) en la gráfica de la figura 35 son puntos simétricos. 3. Al punto (2, -1) que se encuentra sobre el eje de simetría se le llama vértice de la parábola; es el único punto donde para cada valor de y, hay un sólo valor de x. La ecuación del eje de simetría es igual a la coordenada x del vértice. 4. A los puntos donde la gráfica corta los ejes se le llaman intersecciones de los ejes; el punto (0, 3) es la intersección y, y los puntos (1, 0) y (3, 0) son las intersecciones x.

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Relaciones y funciones polinomiales

Actividad En el ejemplo que acabamos de resolver, la gráfica interseca a ambos ejes; al eje X y al eje Y. ¿Siempre ocurrirá así? Veamos cómo puedes responder a esta pregunta, después de realizar las siguientes gráficas: 1. y = x 2 2. y = 3x 2 - 6 3. y = x 2 + 4 -3 4. y = 1 - x 2 5. y + x = -4x 2 6. y = ––– x 2 - x 4

Después de haber realizado la actividad anterior, debes haberte percatado de que el coeficiente a del término cuadrático tiene dos efectos importantes sobre la orientación y la forma de la gráfica de una función cuadrática.

Efecto 1 sobre la orientación de la gráfica Traza la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: y = x 2, y = -x 2 en un mismo eje de coordenadas; calcula los valores de y con los siguientes valores de x : -2, -1, 0, 1, 2, y traza las gráficas en papel cuadriculado. y = x 2 x

y = - x 2 y

x

y

y

8

-2

-2

-1

-1

0

0

4

1

1

2

2

2

6

0 –8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

x

–2 –4 –6 –8

Si lo hiciste bien, puedes ver que una de las gráficas se abre hacia arriba y la otra hacia abajo, y como la única diferencia entre las dos ecuaciones dadas es el signo del coeficiente a, podemos dar la siguiente: Conclusión Si el coeficiente a del término que contiene la x 2 es positivo, esto es: a > 0, la gráfica se “abre” hacia arriba. Si a es negativo, esto es: a < 0, la gráfica se abre hacia abajo.

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Etapa 1

Nota Cuando la gráfica “abre” hacia arriba se dice que es cóncava hacia arriba; en caso contrario es cóncava hacia abajo.

Efecto 2 sobre la forma de la gráfica Para que puedas compararlas mejor, en un mismo sistema de ejes de coordenadas cartesianas traza las 1 1 gráficas de las siguientes funciones y = — x 2; y = x 2; y = 2x 2 en las cuales el valor de a es —, 1, 2, y en 2 2 todas el valor de a es positivo (a > 0), por lo que ya sabes que abrirán hacia arriba. Emplea para x los siguientes valores: -2, -1, 0, 1, 2. y

1 2 y = — x  2 x

y

y= x

x 2

y= y

x

-2

-2

-2

-1

-1

-1

0

0

0

1

1

1

2

2

2

2x 2

8 6

y

4 2 0 –8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

x

–2 –4 –6 –8

Una vez dibujadas las gráficas podrás observar que al modificar el valor de a se modifica el grado de abertura de la parábola; con el aumento del valor de a los lados de la parábola se cierran.

Conclusión El coeficiente a influye en la forma de la parábola; si su valor aumenta, los lados de la parábola se cierran.

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejercicios 1. Contesta las siguientes preguntas en forma oral o escrita, según lo indique tu maestro. Si tienes dudas al contestarlas, discútelas con tu maestro y/o compañeros. a) ¿Qué forma tiene la gráfica de una función cuadrática y qué nombre recibe? b) ¿Qué es el eje de simetría de la gráfica de una función cuadrática? c) ¿Cuándo dos puntos de la gráfica son simétricos? d) ¿Qué es el vértice de la gráfica y qué características tiene? e) ¿Qué son las intersecciones de la gráfica?

f) ¿Cuánto vale la coordenada x de la intersección y ? g) ¿Cuánto vale la coordenada y de la intersección x ? h) ¿Cuál es la causa de que los lados de la gráfica de una función cuadrática se cierren o se abran? i) ¿Cuál es la causa de que la gráfica se abra hacia arriba o hacia abajo? j) En la ecuación general, ¿qué constante te indica el valor de y, donde la gráfica corta el eje Y ?

III. Dado un valor de y, calcular x Objetivo Determinar las coordenadas de cualquier punto de la función a partir de su ordenada y reconocer: a) En qué forma influye el discriminante en el comportamiento de la gráfica de una parábola. b) Que para cada y de la gráfica le corresponden dos valores de x, excepto para el vértice. Determinar las coordenadas del vértice. Para un valor dado de x es muy fácil calcular el valor de y. simplemente sustituye en la ecuación dada de la función cuadrática, el valor de x, y calcula directamente el valor correspondiente de y, obteniendo así las coordenadas de un punto en el plano coordenado (x, y ). El proceso inverso es calcular los valores de x, para un valor dado de y. Para esto, sustituye el valor dado de y en la ecuación, y se resuelve para calcular los valores buscados de x.

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Etapa 1

Tomemos como ejemplo la ecuación y = x 2 - 4x + 3, de la cual ya tienes la gráfica en la figura 35; ahora encontremos los valores de “x ” dada y = 8: y = x 2 - 4x + 3; si y = 8, entonces: 8 = x 2 - 4x + 3 0 = x 2 - 4x - 5 Pasa el 8 al lado derecho de la ecuación y simplifica. 2 - 4x - 5 = 0 Propiedad de simetría de la igualdad. x  Esta es una ecuación cuadrática que puedes resolver por factorización o empleando la fórmula general cuadrática: - b ± b 2 – 4ac x = ––––––––––––––– 2a



En esta ecuación que vamos a resolver, a = 1, b = -4 y c = -5, por lo tanto: -(-4) ± (-4)2 - 4 (1) (-5) x = –––––––––––––––––––––––– 2(1) 4 ± 16 + 20 4 ± 36 x = –––––––––––– = –––––––– 2 2 4±6 x = ––––– 2 4 + 6 10 4 - 6 -2 x1 = ––––– = ––– = 5 x2 = ––––– = ––– = -1 2 2 2 2 x1 = 5

y

x2 = -1

Los puntos cuya ordenada es y = 8 son dos: el primero tiene una coordenada x = 5 (5, 8) y el otro tiene una coordenada x = -1 (-1, 8). Comprueba en la gráfica de la figura 35 los resultados obtenidos. Como puedes ver, esto es muy fácil. En sentido figurado podríamos decir que “preguntamos” a la ecuación lo que deseamos saber, y la misma ecuación nos conduce al resultado buscado.

Actividad Los puntos donde la gráfica corta el eje X, es decir, las intersecciones x, son puntos donde la coordenada y es igual a cero. En la ecuación y = x 2 - 4x + 3. a) Encuentra las coordenadas de esos puntos. b) Comprueba los resultados en la gráfica de la figura 35 de la etapa 1. Si tienes dudas consulta con tu maestro.

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Relaciones y funciones polinomiales

Vamos a examinar enseguida un caso especial: el vértice de la parábola. La coordenada y del vértice de la gráfica de la función y = x 2 -4x + 3 es: y = -1 (figura 35). Encuentra el valor de la coordenada x para el valor dado de y = -1.

Si y = -1, tenemos: -1 = x 2 - 4x + 3 0 = x 2 - 4x + 4 x 2 - 4x + 4 = 0 Usando la fórmula general cuadrática para calcular x, se tiene: -(-4) ± (-4)2 - 4(1) (4) x = ––––––––––––––––––––––– 2(1) 4 ± 16 - 16 4 ± 0 x = –––––––––––– = ––––––– 2 2 4 x=—=2 2 Obtuvimos un solo valor de x; era algo que debíamos esperar, pues sabemos que el punto del vértice es el único de todos los puntos de la gráfica tal que para un valor de y existe un solo valor de x. Observa que se obtiene un solo valor de x, si la expresión dentro del radical en la fórmula general cuadrática es igual a cero; vamos a examinar con más cuidado el comportamiento de esta expresión. -b ± b 2 - 4ac En la fórmula general cuadrática: x = –––––––––––––– 2a a la expresión dentro del radical b2 – 4ac se le llama “discriminante”. Examinaremos su comportamiento en los dos casos anteriores. En el primer caso cuando y = 8, donde se obtuvieron dos valores de x reales y diferentes, la expresión dentro del radical era un número positivo, es decir, b 2 - 4ac > 0, en el segundo caso, cuando y = 1, se obtuvo un solo valor real de x, la expresión dentro del radical fue b 2 - 4ac = 0; de esto podemos concluir lo siguiente:

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Etapa 1

Conclusión Si en la fórmula general cuadrática el discriminante b2 - 4ac > 0, es un número positivo, los valores que se obtienen para x son dos números reales y diferentes, para el valor dado de y. Si b2 - 4ac = 0, se obtiene una respuesta única: un solo valor de x, para el valor dado de y. El vértice es el único punto donde para un valor de y existe un solo valor de x, en la gráfica de la función cuadrática.

Cuando para un valor dado de y, la fórmula general cuadrática nos da un solo valor de x, podemos concluir de lo dicho anteriormente, que el valor dado de y, junto con el valor calculado de x, son las coordenadas del vértice. Si examinamos la fórmula general cuadrática en el caso en que el discriminante b 2 -4ac = 0, tenemos: -b ± b 2 - 4ac x = –––––––––––––– 2a



cuando b 2 -4ac = 0:

b xv = – ––– 2a

Como puedes observar, obtuvimos un solo valor para x, por lo tanto, podemos concluir que la fórmula anterior es una forma fácil y directa de calcular la coordenada xv del vértice de la grafica de la función cuadrática. Si conoces el valor de la coordenada x del vértice, sustituye su valor en la ecuación de la función dada, y obtendrás directamente el valor de la coordenada y del vértice de la gráfica.

Ejemplo

Determina las coordenadas del vértice de la parábola que es gráfica de la función cuadrática y = 2x 2 -4x + 3.

Procedimiento

Aplicamos la fórmula para obtener la coordenada x del vértice: -(-4) 4 xv = ––––– = — = 1 2(2) 4 La coordenada x del vértice es entonces x = 1.

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Relaciones y funciones polinomiales

Ahora sustituye este valor de x en la ecuación dada y calcula la coordenada y. y = 2(1)2 - 4(1) + 3 y=2-4+3 yv = 1 Solución El vértice de la gráfica de la ecuación y = 2x 2 - 4x + 3 se ubica en el punto (1, 1): V(1,1).



Ejercicios 1. Contesta las siguientes preguntas en forma oral o escrita como tu maestro lo indique: a) Dada la ecuación de una función cuadrática y un valor de y: ¿Cuál es el número máximo de valores de x que satisfacen la ecuación dada para el valor de y dado? b) ¿Cuál es el único punto de una función cuadrática, donde para un valor de y dado, existe un solo valor de x que satisface la ecuación de la función? c) En la fórmula general cuadrática, ¿a qué expresión se le llama discriminante? d) Si el discriminante es positivo, ¿cuál es la cantidad y la naturaleza de las respuestas que se obtienen? e) Si el discriminante es igual a cero, ¿qué puedes decir acerca de la cantidad y naturaleza de las respuestas obtenidas? f) ¿Cómo calculas la coordenada x del vértice de la gráfica de una función cuadrática? g) ¿Cómo calculas la coordenada y del vértice de la gráfica? 2. En las siguientes ecuaciones calcula el valor de y para los valores de x: a) x = 2, b) x = 0. a) y = x 2 - x + 6

c) y = x 2 + 3

b) y = 2x 2 + 12x + 20

d) y - 4 = 2(x - 2)2

3. En las siguientes ecuaciones de las funciones cuadráticas, determina la intersección en y, es decir, las coordenadas del punto donde las gráficas de cada una de ellas corta el eje Y. a) y = x 2 - 6x + 8

e) y = x 2 + 2x

b) y = 3x 2

f) y = x 2 - 9

c) y = x 2 + 4x + 7 d) y - 2 = 3(x + 2)2



g) y = (x + 1)2 h) y = (x + 2) (x - 3)

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Etapa 1

4. En las siguientes ecuaciones de funciones cuadráticas, calcula los valores de x, para los valores de y: y = 1, y = 0. a) y = (x + 2)(x - 1)

d) y = (x + 2)2 - 3

b) y - 3 = -2(x -1)2

e) y = x 2 + 2x - 3

c) y = -x 2 + 4x

f) y = x 2 - 4x + 1

5. En las siguientes ecuaciones de funciones cuadráticas, determina las intersecciones de x. (resuelve por factorización donde sea posible). a) y = x 2 + 4x

d) y = 2x 2

b) y = x 2 - 9

e) y = x 2 + 2x - 3

c) y = 0.5x 2 - 1.25x + 0.5

f) y = x 2 + 0.1x - 1.65

6. Calcula las coordenadas del vértice de las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas y da la ecuación del eje de simetría. a) y = x 2 - 2x - 8

d) y = x 2 + x - 0.75

7 b) y = (x + 2)2 e) y = 7x 2 – — x + 1 2 c) y = -x 2 + 5x - 6

f) y = 0.32x 2 + 0.4x - 6

IV. Valores no reales de x, para un valor real dado de y Objetivo Conocer y comprender el significado de las soluciones “no reales” de la fórmula general cuadrática en la gráfica de la función cuadrática. Resumiendo lo que hemos aprendido: Si tenemos una función cuadrática dada, y = ax 2 + bx + c, al sustituir en ella la x por un valor real dado, obtenemos un valor real para y. También aprendimos el proceso inverso, es decir, si damos un valor real a y, podemos calcular los valores de x que satisfacen la ecuación. En este último caso, si el discriminante en la fórmula cuadrática es positivo, b2 - 4ac > 0, los valores de x que satisfacen la ecuación son dos, reales y diferentes; y si b2 - 4ac = 0 el valor de x es un único número real.

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Relaciones y funciones polinomiales

Pero, ¿qué pasa si el discriminante, b2 - 4ac < 0, es decir, es negativo? Para contestar esta pregunta vamos a volver a la función y = x 2 - 4x + 3, y a su gráfica en la figura 1. Veamos un punto en el tercer cuadrante, digamos (-1, -2); la ordenada de ese punto es y = -2. Para este caso, ¿cuáles serán los valores de x que al sustituirlos en la ecuación se obtenga y = -2? y = x 2 - 4x + 3, si y = -2

-2 = x 2 - 4x + 3



0 = x 2 - 4x + 5

x 2 - 4x + 5 = 0 -(-4) ± (-4)2 - 4(1)(5) x = ––––––––––––––––––––––– 2(1) 4 ± -4 x = –––––––– 2 Pero -4 no es un número real, ya que no existe un número real que elevado al cuadrado sea igual a -4, ¿Qué significa esto? O para exponerlo mejor ¿Qué significa que el discriminante b2 - 4ac < 0? Significa que no existen valores de x que sustituidos en la ecuación dada, nos den un valor de y = -2. Si observamos la gráfica de la figura 35, comprobamos lo anterior al notar que ningún punto perteneciente a la parábola tiene ordenada y = -2. Precisamente por esto, a la expresión b 2 -4ac se le llama discriminante, porque de todas las soluciones posibles que podemos obtener al usar la fórmula general cuadrática, esta expresión “discrimina”, o sea permite diferenciar las soluciones “no reales”, de las que sí son números reales. A los números que aparecen al querer obtener raíz cuadrada de números negativos y que no son, por tanto números reales, se le denomina números imaginarios, los cuales explicaremos a detalle en la siguiente sección.

Actividad ¿Qué pasa con la gráfica de cualquier función cuadrática en la cual los valores de las intersecciones x no son números reales? Discute la respuesta con tu maestro y/o compañeros.

Conclusión Si al resolver la ecuación de una función cuadrática para un valor dado de y, el discriminante en la fórmula general cuadrática b2 - 4ac < 0, es decir, es negativo, significa que no existen valores reales en el dominio de la función que satisfagan la ecuación para el valor dado de y.

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Etapa 1

El dominio de la función cuadrática está formado por todos los valores reales que puede adoptar la variable independiente x, para cada uno de los cuales la ecuación da un valor real de la variable dependiente y. En la función cuadrática la variable independiente x puede tomar cualquier valor real, es decir, el dominio es el conjunto de todos los números reales denotados por R. también se denota el conjunto R mediante el intervalo: (-∞, ∞). Sin embargo, el rango o contradominio de la función cuadrática que está formado por todos los valores reales que toma la variable dependiente “y ”, en función de los valores de la variable “x ”. no es en ningún caso (-∞, ∞). Como ya vimos anteriormente, cuando obtuvimos valores no reales de x, para un valor dado de y. Si conoces la gráfica de una función cuadrática, es muy fácil determinar, a partir de las coordenadas del vértice y de la dirección de la abertura de la gráfica, el rango de la función. Por ejemplo, supongamos que tenemos en la figura 36 la gráfica de una función cuadrática que se abre hacia arriba y con vértice en el punto (1, -2). • Traza una línea punteada paralela al eje de las x que pase por el vértice de la parábola. Esta línea divide el eje y en dos partes. • Todos los valores de y que corresponden a puntos situados hacia el lado donde se abre la gráfica componen el rango de la función.

y 10

5

x

0 –4

0

–2

2

4

V(1, –2) –5

Figura 36

En la gráfica de la figura anterior el rango está formado por valores de “y ” que cumplen la condición y ≥ -2 que también se denota por [-2, ∞), o por R = {y / y ≥ -2}.

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo

Sea la gráfica de una función cuadrática como la que se muestra en la figura 37. ¿Cuál es el rango de la función? y V(2, 11) 10

5

x

0 –4

0

–2

2

4

6

–5

Figura 37

Traza la línea punteada. El rango de la función está formado por todos los valores de y tales que si y ≤ 11, o sea, (-∞, 11]. Ejercicios 1. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la naturaleza de las respuestas de la fórmula general cuadrática cuando el discriminante b 2 - 4ac < 0? b) ¿Qué significa que los valores de x dados por la ecuación general cuadrática sean números “no reales”, cuando se resuelve para un valor dado de y ? c) ¿Cuál es el dominio de una función cuadrática? d) Gráficamente, ¿cómo encuentras el rango de una función cuadrática? e) En las siguientes funciones cuadráticas, investiga si los valores dados de y pertenecen al rango de la función. a) y = x 2 + 2x - 8 para y = 0; y = -10 para y = 0, y = -3 b) y = x 2 - 2 c) y = (x + 1) (x - 3) para y = 1; y = 0 2 d) y - 2 = (x - 3) para y = 3; y = 0 para y = 3; y = 1.25 e) y = x 2 - 3x + 1.25

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Etapa 1

f) En las siguientes gráficas identifica el rango de al función cuadrática representada en cada figura. y

a)

b)

y 6

4

4

2

x

0 –4

0

–2 –2

2

2

4

y

d) 6

(0.5, 2.25)

–5

4

x

0 0

4

–2

5

–2

0 (1, 0) 2

–2

(0, –2)

y

c)

x

0

2

4

2

–2

x

(1, 1)

0 0

2

4

g) Si la gráfica se abre hacia arriba, ¿qué puedes decir del vértice de la parábola? h) Si la gráfica se abre hacia abajo, ¿qué puedes decir del vértice de la parábola?

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Relaciones y funciones polinomiales

V. Números imaginarios y complejos. Potencias de i Objetivo Objetivo Familiarizarse con la forma de las soluciones no reales, así como con el valor de la unidad imaginaria y sus diferentes potencias. Conocer que las operaciones con números complejos se realizan siguiendo las reglas básicas de la multiplicación algebraica, para que pueda efectuarlas de presentarse el caso.

Cuando estudiamos las soluciones de una función cuadrática utilizando la fórmula general cuadrática, en ocasiones obtenemos soluciones “no reales”. La razón es que la solución indica la raíz cuadrada de un número negativo, como era el caso de -4. Hay que recordar que un número elevado al cuadrado es siempre un número positivo(o cero en el caso del 0). Para darle sentido a estas soluciones donde intervienen raíces cuadradas de números negativos, es necesario “crear” una denominación para esta nueva clase de números. Para esto definimos la unidad de los números imaginarios.

Definición i es la unidad de números imaginarios. i es un número que elevado al cuadrado es igual a -1. i 2 = -1, por lo tanto, i = –1.

Ahora podemos definir -4 en términos de i. -4 =

(-1)(4) =

-1 4 = i

4 = 2i

Al número 2i se le llama número imaginario.

Conclusión Un número imaginario es el producto de un número real y la unidad de los números imaginarios: -x = i

x, si x ≥ 0

Ahora podemos escribir las soluciones “no reales” de la fórmula general cuadrática en términos de i.

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Etapa 1

Ejemplo

Encontremos ahora las soluciones de x 2 - 4x + 8 = 0

Procedimiento 4 ± - 16 Aplicando la fórmula cuadrática x = –––––––––– 2 4 ± i 16 4 ± 4i x = ––––––––– = –––––– 2 2 Solución x = 2 ± 2i, las soluciones son: x = 2 + 2i y x = 2 - 2i. Hemos obtenido números que llamaremos complejos.

Definición Número complejo Un número complejo es la suma de un número real y uno imaginario, y tiene la forma general a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad de los números imaginarios. Número complejo conjugado A los números complejos a + bi y a - bi, que difieren sólo en el signo de la parte imaginaria, se les llama complejos conjugados, uno respecto del otro.

El conjunto de los números complejos, es el sistema numérico general de álgebra, pues con este sistema podemos expresar todas las soluciones posibles que se pueden obtener de las diferentes operaciones algebraicas. Los conjuntos de números reales y de números imaginarios son subconjuntos del conjunto de números complejos, ya que son casos especiales: Si en un número complejo a + bi, la parte imaginaria (bi) es cero, obtenemos un número real a, y si la parte real a es cero, obtenemos un número imaginario bi.

El coeficiente de un número imaginario puede ser positivo, negativo o cero, por lo tanto, podemos crear un eje para representar los números imaginarios, al igual que lo hacemos para los números reales.

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Relaciones y funciones polinomiales

3i

2i

1i

0

–1i

–2i Figura 38

Ahora podemos representar los números complejos como puntos en un plano, en el cual el eje horizontal represente números reales y en el eje vertical vayan los números imaginarios. y 3i

2i

1i

x

0 –4

–3

–2

0

–1

1

2

3

4

5

6

–1i

–2i

Figura 39

El número complejo 2 + 3i quedaría representado por el punto con coordenadas 2 y 3i.

Nota Un número complejo se representa gráficamente como un punto en un plano. A este sistema coordenado se le da el nombre de plano de números complejos.

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Etapa 1

Actividad Representa gráficamente los siguientes números complejos:

( )

1 1 a) 3 - 4i b) -7.5 + 5i c) - — - i d) 1 +  —  i 2 3

Ejemplo

Resuelve la ecuación x 2 - 10x + 50 = 0

Procedimiento Resolvamos la ecuación x 2 - 10x + 50 = 0, por fórmula:



-(-10) ± 100 - 4 (1)(50) x = –––––––––––––––––––––––– 2(1) 10 ± -100 10 ± i 100 x = –––––––––––– = ––––––––––– 2 2 10 ± 10i x = –––––––– = 5 ± 5i 2 Solución x 1 = 5 + 5i y x 2 = 5 - 5i Como puedes observar las soluciones son números complejos conjugados. Ahora comprobaremos que los valores obtenidos son realmente soluciones de la ecuación dada. Si sustituimos x1 = 5 + 5i en la ecuación x 2 - 10x + 50 = 0, tenemos lo siguiente: x 2 - 10x + 50 = 0 (5 + 5i )2 - 10 (5 + 5i) + 50 = 0 25 + 50i + 25i 2 - 50 - 50i + 50 = 0 25 + 25i 2 = 0 25 + 25(-1) = 0 25 - 25 = 0 Como puedes observar la solución si satisface la ecuación dada. Lo importante es no olvidar que i 2 = -1.

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Relaciones y funciones polinomiales

Actividad a) Comprueba que x 2 = 5 - 5i también es solución de la ecuación del ejemplo anterior. b) Resuelve la ecuación x 2 - 6x + 13 = 0 y comprueba soluciones.

Potencias de i Ahora veamos el comportamiento de i cuando se eleva a una potencia de n, es decir, “i n”. Hacemos lo siguiente: i=

-1

(por definición)

entonces: i=

-1 = i

i 2 = -1 13 = 12 · i = (-1) 1 = - i i 4 = i 2 · i 2 = (-1) (-1) = 1 Recuerda que i 2 = -1 y que i 0 = 1. Sabiendo ahora que i 2 = -1, i 3 = -1 y que i 4 = 1. ¿Cómo podríamos encontrar el resultado de i n, si n es mayor que cuatro? Ejemplo

Calcula i 13 Procedimiento



i 13 = i 12 + 1

Leyes de los exponentes.

i 12 + 1 = i 12i

Leyes de los exponentes.

i 12 i = i 4 i 4 i 4i

Leyes de los exponentes.

i 13 = (1) (1) (1) i 

Sustituyendo el valor de i 4.

Solución

i 13 = i

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Etapa 1

Ejemplo Calcula i 14 Procedimiento i 14 = i 12 · i 2 i 12 i 2 = i 4 i 4 i 4 i 2 i 12 i 2 = (1) (1) (1) i 2 i 12 i 2 = i 2

Solución i 14 = i 2 = –1

Ejemplo Calcula i 15 Procedimiento i 15 = i 12 · i 3 i 12 i 3 = i 4 i 4 i 4 i 3 i 12 i 3 = (1) (1) (1) (i 3) i 12 i 3 = i 3

Solución i 15 = i 3 = –i

¿Qué conclusión podemos obtener de estos ejemplos? Podemos concluir que para elevar el número i a una potencia dada n > 4, se debe expresar como el producto de dos potencias de “i ”: una con un exponente que es múltiplo de 4, cuyo valor siempre será igual a la unidad, como se pudo observar en los ejemplos anteriores; la otra tiene un exponente que siempre será menor o igual a 3, es la que nos da la respuesta buscada. El procedimiento es equivalente a dividir el exponente de la potencia a la cual se va a elevar el número i, entre 4, y el residuo será el exponente de la potencia a la cual tenemos que elevar el número i para obtener el resultado.

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo Calcula i138 Procedimiento 34 4 138 18 2 Solución El residuo es 2, entonces; i 138 = i 2 = –1



Esta es una forma muy fácil de obtener cualquier potencia del número i; recordemos cómo llegamos a esto y escribimos: i 138 = i 136 · i 2 i 136 es igual a 1, pues el exponente es múltiplo de 4, por lo tanto, i 138 = i 2 = -1

Ejemplo Calcula i 1 503 Procedimiento 375 4 1503 30 23 3 Solución El residuo es 3, por lo tanto: i 1 503 = i 3 = i 2 i = –i

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Etapa 1

Ejemplo Calcula i 16 Procedimiento 4 4 16 0 Solución El residuo es cero, por lo tanto: i 16 = i 0 = 1



Recuerda que todo número distinto de cero elevado al exponente cero da como resultado la unidad; en otras palabras, si el exponente de i es un múltiplo de 4, el valor numérico de esa potencia de i es 1. Para terminar este tema, mostraremos cómo operan los números complejos:

Suma y producto de números complejos Suma Sean (a + bi ) y (c + di ), dos números complejos, entonces:

= (a + bi ) + (c + di )

= a + bi + c + di

Quitamos los paréntesis.



Simplificamos los términos semejantes.

= (a + c) + (b + d )i

Ejemplo

Sumar los números complejos (8 -3i ) + (-2 + 7i )

Procedimiento Se realiza la suma algebraica de términos semejantes: números reales con reales y números imaginarios con imaginarios: Solución 6 + 4i

(8 - 2 = 6) (7i - 3i = 4i )

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Relaciones y funciones polinomiales

Producto Sean (a + bi ) y (c + di ), dos números complejos, entonces:

= (a + bi) (c + di )

= ac + bci + adi + bdi 2

Realizamos el producto como el de binomios.

= ac + (bc + ad)i + bd(-1)

Simplificamos los términos semejantes y sustituimos el valor numérico de i 2.

Ejemplo

Efectuar el producto de (-2 + 3i ) y (3 - 6i )

Procedimiento Realizamos el producto como el de binomios: (-2 + 3i ) (3 -6i ) = 6 + 12i + 9i - 18i 2 = 6 + 21i - 18 (-1) = -6 + 21i + 18 Solución 12 + 21i

Ejercicios 1. Representa gráficamente los siguientes números complejos: a) 2 + 3i

d) 1 + i

g) 4 - 2i

b) 2i

e) -i

h) 1.5 + 0.5i

3 2 5 c) - — + 3i f) 3 - i i) - — - — i 2 3 3

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Etapa 1

2. En las siguientes ecuaciones calcula el discriminante y analiza si las soluciones serán complejas o reales (no resuelvas la ecuación). a) 2x 2 - 6x - 20 = 0

b) 2x 2 - 4x + 5 = 0

c) 4x 2 - 16x + 6 = 0

d) 3x 2 - 4x - 20 = 0

e) 6x 2 + 12x + 11 = 0

f) 6x 2 - 24x + 19 = 0

3. Analiza la naturaleza de los valores de x, para las siguientes ecuaciones y para los valores señalados: a) y = 3x 2 - 12x + 10, los siguientes valores de y: y = 2; y = 0; y = -3; y = -10. b) y = x 2 - 2x - 8, los siguientes valores de y: y = 16; y = 0; y = -8; y = -10. 4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones en la ecuación dada. a) x 2 - 2x + 2 = 0

b) 2x 2 - 2x + 1 = 0

c) 2x 2 - 12x + 50 = 0

d) 4x 2 + x + 25 = 5x - 12

e) 2x 2 + 8x + 16 = 0

f) x 2 - x + 8 = 3x + 3

g) 5x 2 - 6x + 13 = 3x 2 + 0.5

h) 3x 2 - 18x + 30 = 0

5. Calcula las siguientes potencias de la unidad de los números imaginarios: a) i 5 =

b) i 1 514 =

c) i 403 =



d) i 43 =

e) i  0 =

f) i 135 =



g) i 21 =

h) i 215 =

i) i 30 =

6. Efectúa las operaciones indicadas entra los números complejos: a) (5 - 3i ) + (-5 -3i )

b) (0 + 4i ) - (12 - 6i )

c) (-9 -14i ) + (10 + 15i )

d) (5 - 3i ) (-5 - 3i )

e) (6 - 3i) (6 + 3i ) f) (8 -7i ) (8 + 9i )

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Relaciones y funciones polinomiales

VI. Dos tópicos importantes de la función cuadrática Objetivo Comprobar la validez de la fórmula para la x del vértice. Al mismo tiempo dar una forma alterna de obtenerlo.

La coordenada x del vértice como la semisuma algebraica de las coordenadas x de dos puntos simétricos Existe otra forma de demostrar que la coordenada x del vértice de la gráfica de una función cuadrática b es xv = - –––, como se muestra enseguida. 2a En la figura 40 tenemos dos puntos de la gráfica que tiene la misma coordenada y (en este caso, y = 0), ya que están sobre el eje, pero podrían no estarlo) y están equidistantes respecto al eje de simetría. Vamos a mostrar que la x del vértice es el promedio de las coordenadas x1 y x2, es decir: x1 + x2 xv = –––––– 2 y

5

x2

x

0 –2

0

4

2

6

x1 xv

Figura 40

Como el eje de simetría pasa por el vértice, entonces este valor “x” corresponde a la coordenada xv del vértice. Si usamos la fórmula general cuadrática para calcular x1 y x2, tenemos que: b b2 - 4ac -b + b2 - 4ac x1 = –––––––––––––– = - ––– + ––––––––– 2a 2a 2a b b2 - 4ac -b - b2 - 4ac x2 = –––––––––––––– = - ––– - ––––––––– 2a 2a 2a 99

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Etapa 1

Por lo tanto, b b2 - 4ac b b2 - 4ac x1 + x2 = - ––– + –––––––––– - ––– - –––––––––– 2a 2a 2a 2a Los términos que contienen el radical son iguales y de signos contrarios, por lo tanto se eliminan, entonces:

( )

b b -b b x1 + x2 = - ––– - ––– = 2  –––  = - — 2a 2a 2a a ahora la semisuma es: b - — x1 + x2 a b x = –––––– = –––– = - ––– 2 2 2a que, como recordamos, coincide con la fórmula que teníamos para la x del vértice: b xv = - ––– 2a

Forma vértice de la ecuación de la función cuadrática Objetivo Escribir la ecuación de la función cuadrática en la forma vértice, a partir de la forma general y viceversa.

Empleando el procedimiento de completar el cuadrado, puede darse a la ecuación de una función cuadrática, la llamada “forma vértice”, porque en ella se encuentran directamente las coordenadas del vértice de la gráfica. Veamos un ejemplo:

Ejemplo

Transforma la función cuadrática y = x 2 - 4x + 3 a la forma del vértice.

Procedimiento y = x 2 - 4x + 3 y-3=

x 2

- 4x

La ecuación en la forma general. Pasa el término independiente al lado izquierdo de la igualdad.

Ahora en la parte derecha vamos a completar el cuadro, igual a como se hizo anteriormente, pero ahora tenemos una igualdad y debemos conservarla. 100

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Relaciones y funciones polinomiales

El procedimiento de completar el trinomio cuadrado perfecto, como te acordarás, es: dividir el coeficiente del término real, -4, entre 2, luego elevar el resultado al cuadrado y sumarlo a la expresión, pero al tener una ecuación, también debemos restarlo para que no se altere la igualdad. y - 3 = x 2 - 4x + (-2)2 - (-2)2 y - 3 = [x 2 - 4x + (-2)2] - 4 Los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto. y - 3 = (x - 2)2 - 4

Factorizamos.

y - 3 + 4 = (x - 2)2

La constante se pasa al lado izquierdo.

Solución y + 1 = (x -2)2

Simplifica los términos semejantes.

Esta ecuación final es la ecuación de una función cuadrática en la forma del vértice. El valor de x que anula la parte derecha de la ecuación es la coordenada xv del vértice, porque así se obtiene un solo valor de y, que es la característica de las coordenadas del vértice. En este ejemplo, la coordenada x del vértice es x = 2, y la coordenada “y ” sería: y + 1 = (2 - 2)2 y+1=0 y=-1 Por lo tanto las coordenadas del vértice son x = 2; y = –1.

Conclusión La forma del vértice se escribe: y - k = a (x - h)2 donde k, h, a son constantes y el punto V (h, k) es el vértice de la parábola.

Ejemplo

Transforma a la forma del vértice la función y = 3x 2 - 12x + 15, para encontrar las coordenadas del vértice.

Procedimiento y - 15 = 3x 2 - 12x

Pasa el término independiente al lado izquierdo de la ecuación.

y - 15 = 3(x 2 - 4x)

El coeficiente a de x 2 se saca como factor común.

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Etapa 1



Ahora procedemos en la misma forma con la expresión dentro del paréntesis.

y - 15 = 3[x 2 - 4x + (-2)2 -(-2)2] Divide el coeficiente del término lineal entre dos, elévalo al cuadrado y súmalo y réstalo dentro del paréntesis. y - 15 = 3[(x -2)2 -4]

Los tres primeros términos forman un binomio al cuadrado.

y - 15 = 3(x -2)2 - 12

Ejecuta la multiplicación y quita el paréntesis rectangular.

y - 15 + 12 = 3(x - 2)

Pasa el término independiente (-12), a la parte izquierda de la ecuación.

y - 3 = 3(x - 2)2

Reduce los términos semejantes.

Solución Las coordenadas del vértice en este caso son: V (2, 3).

Actividad Intenta trazar las gráficas de las siguientes funciones sin realizar tabulación, sino simplemente guiándote por puntos especiales de la gráfica, como son: el vértice, las intersecciones con los ejes, puntos simétricos, etcétera. a) y - 1 = (x - 3)2

b) y + 4 = x 2

VII. Bosquejo de la gráfica de la función cuadrática Objetivo Bosquejar la gráfica de una función cuadrática. Bosquejar una gráfica significa dibujarla en forma aproximada, pero calculando exactamente las coordenadas de ciertos puntos importantes, representar en un plano coordenado los pares de números obtenidos y unirlos con una línea continua.

Aspectos importantes de la gráfica • Orientación de la gráfica Recuerda que el signo del coeficiente de x 2 te indica si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo. • El vértice Calcula las coordenadas del vértice y grafícalo en un plano coordenado.

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Relaciones y funciones polinomiales

• Intersección “y ” Calcula las coordenadas del punto donde la gráfica corta el eje Y. Para esto, toma x = 0, sustituye este valor en la ecuación de la función dada y calcula la intersección “y ”, después dibuja este punto (0; y ) en el plano coordenado. • Eje de simetría Conociendo la posición del vértice de la gráfica, puedes trazar el eje de simetría que pasa por el vértice y es paralelo al eje Y. La ecuación del eje de simetría es x = h. • Punto simétrico a la intersección “y” Encuentra las coordenadas del punto simétrico de la intersección y, ya que tienen la misma coordenada y, siendo la coordenada x el doble de la distancia del punto donde la gráfica corta el eje Y, al eje de simetría. Si el vértice de la gráfica está sobre el eje Y, es decir, el eje Y es, a la vez, el eje de simetría, entonces el vértice y la intersección y son el mismo punto. • Intersección “x ” Calcula las intersecciones “x ”, para lo cual toma y = 0, y sustituye este valor en la ecuación dada; después resuélvela para encontrar los valores de x, ya sea por factorización o empleando la fórmula general cuadrática. Si los valores de la intersección “x ” no son valores reales, significa que la gráfica no corta al eje X. Si por la forma en que está dada la ecuación, decides obtener primero las intersecciones x o primero las intersecciones y, y luego las coordenadas del vértice o hacerlo en otro orden, es tu elección, ya que el cálculo de uno u otro es independiente. Ejercicios 1. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cómo encuentras las coordenadas del vértice? b) ¿Cómo encuentras la intersección y? c) ¿Cómo encuentras las intersecciones x ? 2. En un papel cuadriculado bosqueja las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas: a) y = x 2 - x - 6

b) y = x 2 + 6x + 7

c) y = (x - 2)2 - x - 6

d) y = x 2 - 4x

e) y = - x 2 + 4

f) y = - x 2 + 2x -3

g) y = x 2 - x - 2

h) y = - x 2 + 2x + 3

i) y = x 2

j) y = (x + 2)2

3. Contesta las siguientes preguntas: a) Si la intersección x es un solo valor, ¿cómo queda situada la gráfica de la función? b) Si las intersecciones x no son números reales, ¿cómo queda situada la gráfica de la función? c) ¿Qué define si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo?

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Etapa 1

VIII. Aplicaciones de la función cuadrática a problemas del mundo real Existen muchos problemas prácticos, en la vida cotidiana que, para su estudio, se representan matemáticamente como una función cuadrática.

Objetivo Interpretar y resolver aquellas situaciones del mundo real que puedan ser expresadas en términos de una función cuadrática, aplicando los conocimientos adquiridos. Cuando estudiamos la función cuadrática y su comportamiento, identificamos una variable dependiente y, cuyos valores dependen de los valores que tomaba una variable independiente que llamamos x. En los problemas prácticos estas dos variables representan valores de cosas reales, y necesitamos determinar el valor de cuál de ellas depende el valor de la otra; después de esto, debemos darles una identificación, es decir, asignarles una letra apropiada para manejarlos fácilmente. En muchos casos las letras que asignamos a las variables no serán x o y, pero siempre el eje vertical, en un sistema de coordenadas, será el de los valores de la variable dependiente, y el eje horizontal será el de los valores de la variable independiente. Veamos dos ejemplos prácticos que pueden estudiarse con ayuda de la función cuadrática.

Objeto en movimiento vertical Lanzamiento de un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial conocida. Cuando un objeto como una piedra o una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial conocida, la distancia a la que se encuentra el objeto a partir del punto de lanzamiento, depende del tiempo que haya transcurrido desde que fue lanzado. La distancia es la variable dependiente a la que llamaremos (h). El tiempo es la variable independiente y la llamaremos (t). En tus cursos de Física se demuestra que la siguiente ecuación es la que establece la relación entre h y t. h = V0 t - 4.9 t 2 donde: h Altura a la que se encuentra el objeto del punto de lanzamiento. t Tiempo transcurrido desde que el objeto fue lanzado. V0 Velocidad inicial con que el objeto fue lanzado. Como puedes ver, la variable dependiente h está en función de la variable independiente t, cuyo mayor exponente es 2, es decir, la relación entre ellas es una función cuadrática. Apliquemos esto en un problema: 104

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo

Si una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s, y su altura (distancia) respecto al tiempo t está definida por la ecuación y = – 4.9t 2 + 30t, ¿Cuánto tiempo está en el aire la pelota? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota lanzada?

Procedimiento

Aplicamos la fórmula h = -4.9t 2 + 30t. Para visualizar mejor la relación entre la altura y el tiempo transcurrido, vamos a bosquejar la gráfica de la ecuación dada, calculando el vértice de la gráfica, las intersecciones con los ejes Y, y los representaremos en un plano coordenado. 1. La gráfica es una parábola que abre hacia abajo, ya que “a” es menor que cero. b 30 2. El vértice: la abscisa del vértice es: t = - ––– = - ––––––– = 3.06 2a 2(-4.9) Este valor lo sustituimos en la ecuación y calculamos hv, la ordenada del vértice: hv = - 4.9 (3.06)2 + 30(3.06) hv = - 45.86 + 91.80 = 45.94 m Las unidades de h son metros (m). El vértice se encuentra en t = 3.06 y h = 45.94. 3. Calculemos las coordenadas del punto donde la gráfica corta el eje vertical, para ello, tomamos t = 0 y lo sustituimos en la ecuación: h = - 4.9 (0)2 + 30(0) = 0 La gráfica corta el eje vertical en t = 0; h = 0, es decir, en el origen de las coordenadas. 4. Los puntos donde la gráfica corta el eje horizontal es donde h = 0, calcula los valores de t: 0 = - 4.9t 2 + 30t Por simetría de la igualdad. -4.9t 2 + 30t = 0 t (-4.9t + 30) = 0 Por factorización. Esta expresión es cero si: t = 0 o -4.9t + 30 = 0 por lo tanto los valores buscados son: t = 0s y t = 6.12

Las unidades de t son segundos (s).

Con estos datos y sabiendo que la gráfica se abre hacia abajo, pues a < 0, podemos bosquejar la gráfica. 105

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Etapa 1

h (metros)

(3.06, 45.94)

50

(6.12, 0)

0 –4

–2

(0, 0)

0

2

4

6

t (segundos)

Figura 41

Si observamos la gráfica, podemos contestar las dos preguntas iniciales. 1. La altura máxima es: h = 45.94 m, que es la ordenada del vértice y se alcanza a los 3.06  s de lanzado el objeto. 2. La pregunta de cuánto tiempo estuvo en el aire no es difícil de responder: Cuando t = 0, es el momento en que se va a lanzar el objeto; el valor de y = 0, lo que significa que todavía está en el suelo. Ahora, cuando han transcurrido 6.12 s, el valor vuelve a ser cero (h = 0), es decir, es el momento en que llega al suelo; por lo tanto, estuvo 6.12 s en el aire, que es la respuesta que buscamos. Además, podemos observar que existen dos tiempos diferentes en que el objeto está a la misma altura, cuando sube y después cuando baja.

Las fórmulas son modelos matemáticos que representan los fenómenos y problemas del mundo real En el problema que analizamos en el ejemplo 1, la fórmula es válida si despreciamos la fricción del aire. Además, la fórmula de la función cuadrática da un valor de la variable dependiente, para cada valor real que tome la variable independiente, pero nos interesan solamente aquellos que corresponden al problema que analizamos en cada caso.

Notas 1. Vemos en el problema que los valores de h para valores negativos de t y para valores de t mayores que 6.12 s, no corresponden al movimiento del objeto lanzado en este caso: para valores negativos de t el objeto no ha sido lanzado todavía, y para t > 6.12 s el objeto ya cayó al suelo y el movimiento cesó.

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Relaciones y funciones polinomiales

2. La parte de la gráfica con línea continua, es la que representa la relación entre h y t que nos interesa, porque corresponde al problema que estudiamos y los puntos de la línea punteada pertenecen a la gráfica de la función, h = f (t), pero no corresponden al caso que analizamos.

Ejemplo Promoción turística



Una agencia de turismo quiere hacer una promoción para sus viajes por el centro histórico de la ciudad. El costo del boleto por persona es de $20.00, pero anuncian que si el número de pasajeros excede de 20, el costo del boleto disminuirá $0. 50 por persona. La agencia quiere determinar el número de personas que exceden de 20, para obtener el máximo ingreso, ya que no es difícil concluir que si el número de personas que exceden de 20 es bastante grande, llegará el momento en que el boleto saldría gratis.

Procedimiento El costo del boleto = 20 - 0.5x, donde x es el número de personas que exceden de 20. El número de turistas = 20 + x. El ingreso (recaudación) es el producto del número total de turistas, por el costo del boleto en cada caso; entonces: R = (20 + x) (20 - 0.5x) R = 400 - 10x + 20x - 0.5x 2 R = 400 + 10x - 0.5x 2 R = -0.5x 2 + 10x + 400

Reordenemos los términos.

El ingreso R es función del número x de turistas que excede de 20, es decir, la ecuación es la de una función cuadrática. La variable independiente es x y la variable dependiente es R. Tracemos la gráfica en un sistema de coordenadas: 1. La gráfica se abre hacia abajo, pues a < 0. 2. La intersección con el eje vertical R. Hacemos x = 0 y calculamos R de la ecuación y = 400.

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Etapa 1

3. Las intersecciones con el eje X, hacemos R = 0. 0 = -0.5x 2 + 10x + 400 -0.5x 2 + 10x + 400

Por simetría de la igualdad.

-10 ± (10)2 - 4(-0.5) 400 x = ––––––––––––––––––––––––– 2(-0.5) -10 ± 900 -10 ± 30 x = ––––––––––– = –––––––– -1 -1 -10 + 30 20 x1 = ––––––––– = –––– = - 20 -1 -1 -10 - 30 -40 x2 = ––––––––– = –––– = 40 -1 -1 4. Las coordenadas del vértice. xv = -(-10) = 10 Rv = -0.5(10)2 + 10(10) + 400 Rv = -50 + 100 + 00 = 450 Por lo que las coordenadas del vértice son (10, 450). Con los datos anteriores se bosqueja la gráfica: y 600 (10, 450) 400

200

(–20, 0) –20

(40, 0)

0 0

20

x

40

Figura 42

Podemos apreciar que el ingreso es máximo para x = 10 personas extras, es decir, si el grupo está formado por 30 personas; el ingreso, en este caso, será de $450.00.

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Relaciones y funciones polinomiales

Si aumenta el número de personas extra. El ingreso disminuye, cuando x = 40, el boleto saldría gratis, pues 20 - 0.5(40) = 20 - 20 = 0. Con esto la agencia sabe que la promoción no debe sobrepasar de 10 personas extras, en un grupo inicial de 20 personas.

Actividad Hay partes de la gráfica (que se señalan con línea punteada) que ya no se ajustan a la realidad, es decir, carecen de significado en el contexto del problema. ¿Qué explicación encuentras para las partes punteadas en la gráfica del problema anterior?

Como puedes observar, en los problemas reales sólo una parte de todos los pares de puntos que nos da una función cuadrática, responden a la realidad que analizamos. Por lo tanto, en ocasiones no será necesario bosquejar la gráfica completa de la función, pues bastará con analizar las soluciones que se ajusten al valor dado de la función. Por ejemplo: “En los problemas que pueden representarse matemáticamente como funciones cuadráticas, en donde se pide que encontremos el valor máximo o mínimo de la función, sólo será necesario encontrar las coordenadas del vértice de la gráfica de la función, ya que si la gráfica se abre hacia arriba, representará el valor mínimo; y si abre hacia abajo, representará un máximo”. Actividad Área máxima de un rectángulo Se necesita formar un rectángulo, de tal forma que su perímetro sea igual a 40 cm.¿Cuánto deben medir los lados del rectángulo para que el área del mismo sea máxima?

Ejercicios 1. Un comerciante de manzanas necesita hacer una promoción para vender rápido su producto, pues no cuenta con un cuarto de enfriamiento para su conservación. El precio del kilogramo de manzana es de $10.00, pero si el número de kilogramos que lleve el cliente es mayor de 5, piensa disminuir en $0.20 el precio por cada kilogramo; para ello preparará bolsas que contengan diferente cantidad de manzanas. a) Determinar cuál es el número de kilogramos del paquete más grande que debe hacer para que su utilidad sea máxima. b) ¿Cuánto pagará el cliente si se lleva la bolsa más grande? 2. Un ganadero quiere construir un corral para engorda de ganado, y tiene pensado hacerlo a orillas de un pequeño río que pasa por su propiedad, pues así se ahorrará material en la

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Etapa 1

construcción de la cerca y además el ganado podrá abrevar fácilmente. Cuenta con 200 metros de malla de alambre para construir el corral. Si su forma es rectangular. ¿Qué dimensiones debe tener el corral para que su área sea máxima?

Corral

3. En un parque de forma rectangular, que mide 100 m de largo y 50 m de ancho, se piensa construir una pista para correr alrededor del mismo para que la gente pueda hacer ejercicio. Se cuenta con material para construir 1 600 m2 de pista. a) ¿Qué ancho debe tener la pista para que el área de la misma sea de 1 600 m2? b) ¿Qué opinas sobre la solución negativa que se obtiene de la fórmula general cuadrática? c) Bosqueja la parte de la gráfica que relaciona el área de la pista con el ancho de la misma. d) Si el costo de construcción es de $25.00 por metro cuadrado. ¿Cuánto costaría construir una pista alrededor del parque de 10 m de ancho?

50 m

100 m

4. La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es de 20 cm. Calcula las longitudes de los catetos para que el área del triángulo sea máxima. a) ¿Cuál sería el área máxima? b) Calcula las longitudes de los catetos para que el área sea la mita del área máxima calculada.

110

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Relaciones y funciones polinomiales

5. Don Pedro es el dueño de un hotel de 60 habitaciones y sabe que si el precio del alquiler es de $200.00 se rentan todas las habitaciones. Pero también sabe que si aumenta el precio tendrá una habitación vacía por cada $5.00 de aumento en el precio. a) ¿Cuál es el precio óptimo por habitación para que la utilidad sea máxima? b) ¿Cuántas habitaciones quedarían vacías? c) Bosqueja la gráfica y señala en ella la parte de la misma que corresponde a la realidad que se analiza. 6. Por medio de un estudio de mercado, se determina que la demanda “x ” de cierto producto está dada por la ecuación x = 6 000 - 30p, donde p es el precio del producto. Si el ingreso es l (x ) = px, donde la p es el precio de venta y la x es la cantidad de artículos vendidos. a) Determina el precio del producto que dé mayor ingreso y el número de unidades que se necesita vender para obtener dicho ingreso máximo. b) Bosqueja la gráfica. 7. El costo de producción de un artículo está dado en función del número de unidades producidas por la ecuación C(x ) = 5 -6x - 0.2x 2, donde x es el número de unidades. a) Determina el número de unidades que se debe producir para que el costo de las mismas sea el mínimo. b) Bosqueja la gráfica. 8. Una compañía encuentra que sus costos al producir x unidades diarias están dados por la ecuación C(x ) = x 2 + 50x + 400. El precio de venta de cada unidad es de $250.00. Si la utilidad se obtiene mediante la diferencia del ingreso y el costo (U = ingreso- costo) encuentra: a) La cantidad de unidades que se tiene que producir y vender para que la utilidad sea máxima. b) El monto de la utilidad máxima por día. 9. Un agricultor de manzanas sabe que si siembra 100 árboles por hectárea, la producción promedio será de 130 kg de manzana por árbol, y por estudios realizados sabe que la producción promedio disminuye 1 kg por cada árbol extra que siembre por hectárea. ¿Cuál es el número óptimo de árboles sembrados por hectárea, para que la producción sea máxima?

111

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Etapa 1

IX. Ecuación de la función cuadrática a partir de su gráfica En el punto anterior, la ecuación de la función cuadrática se estableció relacionando las variables bajo las condiciones inherentes a cada problema; sin embargo, existen muchos casos donde es necesario establecer la ecuación de la función que relaciona las variables, a partir de datos contenidos en su gráfica. Por ejemplo, cuando se diseña un puente, la cortina de una presa o se analiza el movimiento de un cuerpo lanzado en cierto ángulo sobre el horizonte. En esta sección mostraremos la forma de hacerlo.

Objetivo Dadas las coordenadas de tres puntos de la gráfica, o las coordenadas del vértice y las de otro punto, encontrar la ecuación particular de la función cuadrática, tanto en la resolución de ejercicios como en problemas prácticos. Los puntos dados no deben estar en una línea recta, ni dos de ellos deben estar en una misma línea vertical. Este tipo de problemas implica la resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables, por tanto, para poder trabajar esta sección es necesario que estudiemos antes la manera de resolver dichos sistemas.

Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables Aprenderemos a resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, utilizando únicamente el método de combinación lineal o suma y resta.

Objetivo Encontrar un triple ordenado que satisfaga un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.

Ejemplo

Resuelve el sistema de ecuaciones:

2x - 3y + 4z = 8

(1)

3x - 2y + z = 7

(2)

5x + 2y - 3z = 1

(3)

Procedimiento Elijamos una de las tres variables, por ejemplo la y. A partir del sistema dado vamos a obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas donde no aparezca la y. Comenzaremos sumando miembro a miembro las ecuaciones (2) y (3).

112

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Relaciones y funciones polinomiales

3x - 2y + z = 7

(2)

5x + 2y - 3z = 1 –––––––––––––––– 8x - 2z = 8

(3) Dividimos por 2 y nos queda:

4x

- z = 4



Esta ecuación la designamos por (4).

Ahora eliminaremos la misma variable, o sea y, entre una de las dos que ya usamos, es decir, la (2) o (3) y la restante (1); en este caso tomamos las ecuaciones (1) y (3): Para ello multiplicamos en la (1) por 2 y en la (3) por 3. 4x - 6y + 8z = 16 15x + 6y - 9z = 3 ––––––––––––––––––– 19x - z = 19

¡Sumamos! La designamos por (5).

Ya tenemos un nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: la x y la z. 4x - z = 4



(4)

19x - z = 19 –––––––––––– 15x = 15

(5) Restando la ecuación (4) a la (5).

Luego x = 1 Sustituyendo en (4) 4 - z = 4 que nos da: z = 0. Ya tenemos x = 1 y z = 0. Sustituyendo estos valores en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema dado, por ejemplo en la (1); obtenemos: 2 - 3y + 0 = 8 - 3y = 8 - 2 - 3y = 6 y=-2 Ahora podemos comprobar los tres valores hallados en el sistema dado; Para poder afirmar que x = 1, y = -2 y z = 0, es la solución del sistema.

2+6+0=8

(1)



3+4+0=7

(2)

5 - 4 + 0 = 1

(3)

Solución x = 1, y = -2, z = 0

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Etapa 1

Actividad El siguiente problema se resuelve planteándolo como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: La familia Jiménez abre una panadería familiar. Elaboran tres tipos de pastelillos: vainilla, canela y crema, los cuales tienen un costo de preparación de $4.00, $6.00 y $7.00, respectivamente y su precio de venta son de $6.00, $9.00 y $12.00 cada uno en el mismo orden. La preparación de 120 de dichos pastelillos tiene un costo diario de $683.00 y la venta de los mismos deja un ingreso de $1 074.00. En estas condiciones, ¿cuántos pastelillos de cada tipo se preparan?

Ejercicios 1. Resuelve los sistemas siguientes: a) 2x - 4y + 6z = 6 b) x - 3y - 3z = 21 c) x + 3y- 5z = 23 2x + y + 5z = 8 3x + 5y + z = -10 3x + 2y -z = 10 6x - 2y -6z = -44 8x - 6y + 4z = 8 x + 4y + 2z = 3 d) 5x + 7y -3z = 3 e) x + 3y + 5z = 9 f) x + y + z = 9 x + 3y - 5z = -7 4x - 2y + 7z = 9 2x - 3y + 2z = 3 3x + 4y + 2z = 6 2x + 3y + 5z = 10 2x + y - z = 3 g) 3z + 4y = 19 h) 2x -3y = 5 2y + 3z = 8 4y + 2z = -6 4x - 5z = 7 5x + 7z = -15 i) Resuelve el sistema. x y z — + — + — = 24 2 4 3 x y z — + — + — = 29 4 3 2 x y z — + — + — = 25 3 2 4 2. Resuelve los siguientes problemas: a) Juan, Pedro y Ramón comparan la velocidad a la cual cada uno puede correr. La suma de sus velocidades es de 50 km por hora. La velocidad de Ramón más 1/3 de la velocidad de Juan es 36 km/h más que la velocidad de Pedro. Cuatro veces la velocidad de Juan, más tres veces la velocidad de Pedro, menos dos veces la velocidad de Ramón, da 20 km/h. Encuentra qué tan rápido corren Juan, Pedro y Ramón. b) El camino de las Torres a San Pedro es: de subida 9 km, a nivel, 8 km y de bajada 12 km. Caminando de San Pedro a Las Torres se hacen 4 horas. Y de Las Torres a San Pedro; 3.55 h. Pero si inicias el recorrido en Las Torres hasta la mitad del camino y te regresas, el tiempo es de 3.52 h. ¿Cuáles son los tiempos de subida, a nivel y de bajada?

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Relaciones y funciones polinomiales

Ahora que ya hemos practicado cómo resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, determinemos la ecuación de la función cuadrática a partir de su gráfica.

Determinación de la ecuación particular de una función cuadrática, conociendo de ella tres puntos coordenados Ejemplo

Encontrar la ecuación particular de la función cuadrática cuya gráfica pasa por los siguientes puntos: (1, 2), (-1, 0), (2, 9).

Procedimiento Partimos de la ecuación general de la función cuadrática: y = ax 2 + bx + c Hay tres constantes: a, b y c que son los valores que necesitamos determinar. Cuando sustituimos las coordenadas de cada uno de los puntos dados en la ecuación general, obtenemos en cada caso una ecuación lineal que relaciona las constantes buscadas, con las cuales formamos un sistema de tres ecuaciones, resolviendo los valores buscados. Si sustituimos las coordenadas de los puntos dados en la ecuación general, obtenemos las siguientes ecuaciones: 1. a + b + c = 2 2. a - b + c = 0 3. 4a + 2b + c = 9 Lo resolveremos por el método de suma y resta: 1. a + b + c = 2 -1(a - b + c) = 0 (-1) 2. ––––––––––––––––––– 2b = 2 b=1 Ahora: 1. (-1) (a + b + c) = 2( -1) 4a + 2b + c = 9 2. –––––––––––––– 3a + b = 7 Como b =1 3a = 6

a = 2 115

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Etapa 1

Conociendo los valores de a y b sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos c. a + b + c = 2

2 + 1 + c = 2



c = -1

Solución La ecuación particular buscada es: y = 2x 2 + x -1

Ejemplo

Encuentra la ecuación particular de la función cuadrática cuya gráfica contiene los siguientes puntos: (0, -3), (2, 5) y (1, 0).



Procedimiento Partimos nuevamente de la ecuación general de la función cuadrática: y = ax 2 + bx + c Ahora, el primer punto son las coordenadas de la intersección y, es decir, si x = 0, y = - 3, por lo tanto, conocemos que c = -3, así que sólo nos falta encontrar a y b, para ello sustituimos, en la ecuación general, las coordenadas de los otros dos puntos. Si c = -3, y = ax 2 + bx -3. Ahora, si en y = ax 2 + bx - 3, sustituimos (2, 5) y nos queda: 4a + 2b = 8 Finalmente, al sustituir (1, 0) en y = ax 2 + bx - 3 nos queda: a +b=3 Ahora multiplicamos por (-2), los dos lados de la ecuación a + b = 3, y la sumamos a 4a + 2b = 8. 4a + 2b = 8 (-2) (a + b) = 3(-2) ––––––––––––––––– 2a = 2 a = 1 Pero a + b = 3, entonces: b = 3 - a b = 2

Solución Si a = 1, b = 2, c = -3, la ecuación buscada es: y = x 2 + 2x - 3.

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Relaciones y funciones polinomiales

Por otro lado, si empleamos la forma del vértice de la ecuación de la función cuadrática: y - k = a (x - h)2 Donde (h, k) son las coordenadas del vértice, si éstas son conocidas sólo necesitamos las coordenadas de un punto más para calcular el valor del coeficiente a. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Las coordenadas del vértice de la gráfica de una función cuadrática son (-2, 3) y las coordenadas de otro punto que también pertenece a la gráfica de la función son (1, 21). Determina la ecuación particular de la función cuadrática.

Procedimiento Sea y - k = a(x - h)2 Si h = 2 y k = 3, entonces y -3 = a [x - (-2)]2 y - 3 = a(x + 2)2 Ahora sustituimos el segundo punto: x = 1, y = 21: 21 - 3 = a(1 + 2)2

18 = 9a

a = 2 Solución Entonces, y - 3 = 2(x + 2)2 en la forma vértice. Si desarrollas y simplificas la ecuación, y le das la forma general llegas a: y = 2x 2 + 8x + 11

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Etapa 1

Ejercicios 1. En los siguientes problemas encuentra la ecuación particular de la función cuadrática que contiene los pares ordenados dados. Escribe la ecuación en la forma y = ax 2 + bx + c. a) (1, 6), (3, 26), (-2, 21) b) (1, 2), (-2, 23), (3, 8) c) (-2, -41), (-3, -72), (5, -48) d) (-3, 18), (6, -9), (12, -57) e) (10, 1), (20, 22), (-30, -3) f) (2, -2.8), (-3, -6.3), (5, -17.5) g) (-4, 37), (2, 11), (0, -1) h) (0, 5), (4, 1), (-3, -13) i) (0, 0), (-1, 7), (6, 42) j) (0, 0), (-1, 4), (3, -48) k) El vértice está en (-4, 3) y contiene el punto (-6, 11). l) El vértice esté en (-2, 3) y contiene el punto (4, 12). m) Demuestra que no hay una función cuadrática que contenga los puntos (-2, -1), (1, 8) y (3, 14). 2. Resuelve los siguientes problemas de aplicación de situaciones del mundo real. En cada uno se trata de que identifiques 3 puntos, de los cuales conozcas sus coordenadas para aplicar el procedimiento expuesto en esta sección. a) Se quiere construir un puente peatonal sobre un río, tal como se muestra en el dibujo siguiente. El puente debe estar sostenido por un arco parabólico, es decir, tiene la forma de una parábola invertida. y

40 m

x 8m

Tirante

Arco

118

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Relaciones y funciones polinomiales

• Encuentra la ecuación de la parábola del arco, tomando el origen de las coordenadas en la parte izquierda del puente, como se muestra en el dibujo. • Para sostener la plataforma del puente se piensa poner tirantes apoyados en el arco, a una distancia de 3m cada uno. Calcula la longitud de los tirantes de la parte izquierda del puente. y

x

b) El puente de la figura de a lado está colgado por medio de tirantes de un arco parabólico en la parte central, y en los extremos está sostenido por el mismo arco. y 60 m 15 m x

x 10 m 30 m x

• Encuentra la ecuación de la parábola en la forma de vértice y calcula los valores de x donde la plataforma del puente corta el arco parabólico.

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Etapa 1

c) El techo de un hangar para aviones se construirá con estructuras formadas por dos arcos parabólicos superpuestos, como se muestra en la siguiente figura. y

10 m Tirante

8m

x 17 m

40 m

• Encuentra las ecuaciones de los dos arcos, con los datos que contiene el dibujo del hangar, en la forma de vértice y en la forma general. • Calcula la longitud del tirante que se encuentra a 17 m de la parte izquierda de la estructura. d) Un comerciante tiene una promoción que consiste en aumentar el porcentaje (%) de descuento, si el cliente compra más de cierta cantidad de piezas de un artículo determinado. Si el cliente compra 20 piezas o más el descuento es de 10 %. Si compra 80 piezas o más, obtiene 20 % de descuento. Si algún cliente llega a adquirir más de 180 piezas alcanza un descuento del 30 %. El objetivo del comerciante es que el número de piezas que se vendan dependa del porcentaje (%) de descuento que quisiera lograr el cliente, y para ello estableció una función cuadrática, tomando como variable independiente el porcentaje (%) y como variable dependiente el número de piezas que adquiera el cliente. • Encuentra la ecuación partiendo de los datos que proporciona el comerciante. • Si el porcentaje de descuento máximo llega a 40 %. ¿Cuál sería el número mínimo de piezas que debería comprar el cliente para lograr ese 40 % de descuento? • Bosqueja la parte de la gráfica que representa el problema analizado.

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Relaciones y funciones polinomiales

1.4 Función polinómica de grado superior Se denomina función polinómica o polinomial a aquella expresión matemática formada por una suma de productos de números reales por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es una expresión de la forma P (x) = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4…, en la que la mayor potencia de la variable se llama grado de polinomio. Los números representados por las literales a, b, c, d…, se llaman coeficientes de la función. Anteriormente estudiamos las siguientes funciones: f (x) = b, función constante o de grado 0. f (x) = mx + b, función lineal o de primer grado. f (x) = ax 2 + bx + c, donde a es diferente de cero, función cuadrática o de segundo grado. Ahora estamos ya preparados para abordar funciones como la siguiente: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, donde a es diferente de cero, función cúbica o, incluso, funciones de grado mayor. Nos interesa estudiar el modo que pueden factorizarse los polinomios de grado ≥ 3, para simplificar las funciones racionales que habrán de estudiarse en la próxima sección. Asimismo, y sin que signifique trabajarlo a profundidad, un tema que a partir de ahora habrá que tomar en cuenta, que es el que se relaciona con las intersecciones de la función con los ejes coordenados.

I. Factorización de polinomios de grado superior. El teorema del factor Objetivo Encontrar la factorización completa de polinomios cúbicos y de grado superior. Ahora, además de las funciones cuadráticas, ya sabes también factorizar ciertos polinomios especiales. Por ejemplo: a 3 - 2a 2 - 3a + 6 Obtienes por agrupación: a 3 - 2a 2 - 3a + 6 a 2 (a - 2) - 3(a - 2) = (a  - 2) (a 2 - 3)

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Etapa 1

Esta técnica funciona ya que (a - 2) es un factor común. Desafortunadamente en un polinomio como el siguiente: x 3 - 2x 2 - 5x + 6, esta técnica no funciona, ya que no hay manera de agruparlos que permita encontrar un polinomio como factor común. Un procedimiento para factorizar polinomios de grado superior es simplemente suponer un factor y verificar si es la solución, para luego, mediante una división encontrar los otros factores. Aplicaremos lo que llamamos teorema del factor y que se enuncia como sigue:

Definición Teorema del factor x – b es un factor de P (x), si y sólo si P (b) = 0

El procedimiento se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo

Encuentra los factores de P (x) = x 3 + x  2 - 8x -12

Procedimiento Cuando el coeficiente del término de mayor grado es 1 procederemos así, los factores de -12 son: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12, que serán los posibles ceros de la función (o del polinomio). P (1) = 1 + 1 - 8 - 12 ≠ 0

Así que x - 1 no es un factor.

P (-1) = -1 + 1 + 8 - 12 ≠ 0

Así que x + 1 no es un factor.

P (2) = 8 + 4 - 16 - 12 ≠ 0

Así que x - 2 no es un factor.

P (-2) = -8 + 4 + 16 - 12 = 0

Así que x + 2 es un factor.

Los otros factores pueden encontrarse con una división: x 2 - x - 6 x + 2 x 3 + x 2 - 8x - 12 - x 3 - 2x 2 –––––––––2 - x  - 8x + x 2 + 2x –––––––– - 6x + 12 + 6x + 12 ––––––––– 0

∴ P (x) = (x + 2) (x 2 - x - 6) 122

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Relaciones y funciones polinomiales

El segundo factor puede o no factorizarse otra vez. En este caso sí se puede; la respuesta final es: Solución P (x) = (x + 2) (x + 2) (x - 3) = (x + 2)2 (x - 3) Ahora planteamos otro teorema importante para lograr nuestro objetivo.

Definición Teorema de la raíz racional

()

b ax – b es factor de P (x) si y sólo si P — = 0 a



El teorema obtiene el nombre por el hecho de que b/a es raíz o solución de la ecuación P (x) = 0, y se explica como sigue: Si ax - b es un factor P (x), entonces P (x) será a cero cuando ax - b = 0, esto es, ax = b ; o sea: b x=— a

()

b Así que ax - b es un factor de P (x) si y sólo si P — = 0. a Ejemplo

Factoriza P (x) = 2x 3 - x 2 - x - 3 Procedimiento Para factorizar un polinomio con coeficiente de x 3 diferente de 1, el factor sería de la forma ax – b, donde a es un factor del primer coeficiente de P (x) y b es factor del término constante del polinomio; por lo tanto, aplicamos el teorema de la raíz racional. b En ax – b, b puede ser ± 3 o ± 1 y a puede ser ± 1 o ± 2, entonces los valores posibles de — son: a 1 3 1 3 ± —, ± —, ± — y ± —. 1 1 2 2 P (1) = 2 -1 - 1 - 3 ≠ 0

Así que x - 1 no es un factor.

P (-1) = - 2 -1 + 1 - 3 ≠ 0

Así que x + 1 no es un factor.

P (3) = 54 - 9 - 3 - 3 ≠ 0

Así que x - 3 no es un factor. 123

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Etapa 1

() ( ) ()

1 1 1 1 P  — = — - — - — - 3 ≠ 0 2 4 4 2

Así que 2x - 1 no es un factor.

1 1 1 1 P  - — = - — - — + — - 3 ≠ 0 2 4 4 2

Así que 2x + 1 no es un factor.

3 27 9 3 P  — = –– - — - — - 3 = 0 2 4 4 2

Así que 2x - 3 es un factor.

Por división: x 2 + x + 1 2x - 3 2x 3 - x 2 - x - 3 -2x 3 - 3x 2 –––––––––2 2x  - x - 2x 2 + 3x ––––––––– 2x - 3 -2x + 3 ––––––– 0 ∴ P (x) = (2x - 3) (x 2 + x + 1) En este caso el segundo factor no puede factorizarse otra vez. Por lo tanto: Solución P(x) = (2x - 3) (x 2 + x + 1) Ejemplo Factoriza P (x) = x 3 - 4x 2 + 3x - 2 Procedimiento Como el coeficiente del primer término es 1, necesitas probar con factores del tipo x – b, los posibles valores de b son ± 1, ± 2. P (1) = 1 - 4 + 3 - 2 ≠ 0

Así que x - 1 no es un factor.

P (-1) = -1 - 4 - 3 - 2 ≠ 0

Así que x + 1 no es un factor.

P (2) = 8 -16 + 6 - 2 ≠ 0

Así que x - 2 no es un factor.

P (-2) = - 8 -16 - 6 - 2 ≠ 0

Así que x + 2 no es un factor.

Como ninguno de los factores del término constante -2 hace P (x) igual a cero, puedes concluir que:

124

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Relaciones y funciones polinomiales

Solución

P (x) no tiene factores lineales con coeficientes enteros.

Ejercicios 1. En los siguientes problemas utiliza el teorema del factor o el de la raíz racional para factorizar completamente el polinomio o probar que no tiene factores lineales con exponentes enteros. a) x 3 + 9x 2 + 24x + 20 b) x 4 + 4x 3 – 7x 2 - 34x - 24 c) 3x 3 + 5x 2 -7x - 2 d) 18x 3 + 9x 2 - 2x - 1 e) 18x 3 - 9x 2 - 38x + 24

II. Raíces o soluciones de una función polinómica Objetivo Determinar las raíces de una función polinómica mediante la factorización. Identificar las raíces como las intersecciones con el eje x. Para encontrar las soluciones de una ecuación solemos emplear procedimientos algebraicos comunes: despeje de la variable, si se trata de una ecuación lineal; utilización de una fórmula, en el caso de funciones cuadráticas. Para funciones polinomiales de grado superior es necesario usar métodos alternos para la búsqueda de soluciones.

Definición Un número r es raíz o solución de una función polinómica si P (r) = 0.

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Etapa 1

Ejemplo Considera la función f (x) = x 2 - 4. Muestra que las intersecciones con el eje x en - 2 y en 2 son las raíces o soluciones de f (x). Procedimiento

Se grafica la función. 4

y

2

x

0 –3

–2

–1

0

1

2

3

–2

–4

Las intersecciones con el eje x están en -2 y en 2. f (-2) = (-2)2 - 4 = 0 y f (2) = (2)2 - 4 = 0. Por lo tanto, las intersecciones son raíces de la función. Ejemplo

Encuentra las soluciones o las raíces de la función f (x) = - x 2 - 2x + 3.

Procedimiento Graficamos la función,

5

y

x

0 –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

–5

–10

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Relaciones y funciones polinomiales

Y efectuamos su factorización: f (x) = (x + 3) (x - 1) = 0, de donde x = -3 y x = 1 Son las soluciones o raíces, que efectivamente son las intersecciones con el eje x. Si factorizamos ahora la función cúbica y = f (x) = x 3 - 8 = (x - 2) (x 2 + 2x + 4) y buscamos raíces haciendo 0 la función, tenemos: f (x) = 0 cuando (x - 2) (x 2 + 2x + 4) = 0, esto es para (x -2) = 0 y (x 2 + 2x + 4) = 0. En este caso x = 2 hace 0 al binomio, pero no hay valor de x real que haga 0 al trinomio x 2 + 2x + 4. Por lo tanto, hay sólo una solución real, esto es, una intersección con el eje x, en x = 2. Graficando:

y 10

x

0 –3

–2

–1

0

1

2

3

–10

Ejercicios 1. Obtén las soluciones o raíces de las siguientes funciones polinómicas. En los siguientes problemas habrá que aplicar lo visto en la sección previa (teorema del factor y división algebraica). Grafica las funciones. a) y = f (x) = 3x – 6

b) y = f (x) = x 2 – 3x – 10

c) y = f (x) = 2x 2 – x – 6

d) y = x 3 + 4x 2 + x – 6

e) y = f (x) = x 3 + 2x 2 - x – 2

f) y = x 3 – 3x 2 - 4x – 12

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Etapa 1

III. Teorema del residuo Objetivo Evaluar funciones polinomiales; asimismo, obtener el residuo de la división de un polinomio entre un binomio sin realizar la operación.

Teorema del residuo Si un polinomio P (x) se divide entre (x – a) hasta obtener un residuo en el que no aparece la variable x, el residuo resultante es igual a P (a). Si dividimos P (x) entre (x – a) y designamos por Q(x) el cociente y por R el residuo, entonces P (x ) = Q(x) (x – a) + R. Como la igualdad anterior es válida para todo x e R, lo será para x = a, luego: P (a) = Q(a) (a - a) + R P (a) = Q(a) (0) + R P (a) = 0 + R P (a) = R

Ejemplo Determina el residuo que resulta de dividir el polinomio P (x) = x 2 - 10x - 15 entre x + 5.



Procedimiento De acuerdo con el teorema del residuo tenemos que P (-5) es igual al residuo de la división en cuestión, luego: P (-5) = (-5)2 - 10 (-5) - 15 P (-5) = 25 + 50 - 15 P (-5) = 60

Solución El residuo de la división (x 2 - 10x - 15) ÷ (x + 5) es igual a 60.

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejemplo

Dada f (x) = 2x 3 - 5x 2 - 4, determina f (-2) utilizando la división sintética.

Procedimiento De acuerdo con el teorema del residuo f (-2) es el residuo que resulta de dividir el polinomio f (x) = 2x 3 - 5x 2 - 4 entre (x + 2), luego: 2

–5

0

–4

–4

18

–36

–9

18

–40

–2 2 Solución f  (-2) = - 40 Comprobación f (-2) = 2 (-2)3 - 5x(-2)2 - 4 f (-2) = 2(-8) - 5(4) - 4 f (-2) = - 16 - 20 - 4 f (-2) = - 40 Ejercicios 1. Realiza lo que se indica, aplicando el teorema del residuo y la división sintética. a) Evalúa las siguientes funciones polinómicas en los valores de x que se señalan: • Si P (x) = 2x 3 – 5x 2 + 4x – 6 encuentra P (3). • Si P (x) = 4x 4 + 10x 3 + 19x + 5 halla P (-3). • Si P (x) = 3x 4 – 16x 2 - 3x + 7 calcula P (-2). • Dada f (x) = 3x 2 – 5x – 6 encuentra f (-2). • Dada f (x) = 2x 3 – 7x 2 - 8x – 36 determina el valor f (-3). • Dada f (x) = x 4 – x 2 - 9x 3– 10x – 38 encuentra f (-4).

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Etapa 1

b) Determina el residuo de las siguientes divisiones: • (x 3 + 8x 2 + 6x + 1) ÷ (x + 5) • (-2 + x 3 – 45x) ÷ (x + 7) • (x 3 - 27) ÷ (x - 3) • (6 - 57x + 2x 3 + 5x 2) ÷ (x - 4)

IV. División sintética Objetivo Factorizar ágilmente polinomios de grado superior, lo cual es útil en la búsqueda de las raíces de una función, pero también en la simplificación en la escritura de ciertas funciones. La división sintética es un método rápido para encontrar la factorización de polinomios o, lo que es equivalente, la búsqueda de raíces de funciones polimómicas de grado superior. Este método requiere que los términos de la función polinómica se acomoden en orden descendente y que el término ausente se sustituya por cero. Si combinamos esta técnica con el teorema del factor, podemos proceder a una factorización más ágil que la que mostramos en la sección II. Asimismo, podemos simplificar las funciones del tipo que se trabajará en el siguiente capítulo.

Ejemplo

Sea el polinomio P (x) = x 3 + x 2 - 8x - 12. Encontremos su factorización completa mediante división sintética.

Procedimiento Del polinomio P (x) = x 3 + x 2 - 8x - 12 habíamos encontrado, por el teorema del factor que P (-2) = 0, o lo que es lo mismo que x + 2 es un factor. Para realizar la división sintética hacemos lo siguiente: Escribimos sólo los coeficientes del polinomio y se efectúa una división con respecto al valor que nos hace 0 al polinomio, de la siguiente manera: 1

1

−8

− 12

−2

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Relaciones y funciones polinomiales

1. El primer valor numérico de la izquierda se baja igual al tercer renglón. 1

1

− 8 − 12

−2

1

2. Se multiplica este número por el valor del cuadro superior derecho, en este caso, -2. 3. El resultado se coloca debajo del siguiente número a la derecha y se realiza la operación entre ellos, escribiendo el resultado (en este caso -1) en la misma columna, pero en el tercer renglón. 1

1

− 8 − 12

−2

− 8 − 12

−2

−2

1

−1

1

1

4. Se repiten el paso 2 y 3,

1

−2

2

−1

−6

5. Se repite el paso 2, y así sucesivamente hasta terminar con todas las columnas. 1

1

1

−8

− 12

−2

2

12

−1

−6

0

−2

Si el resultado final es 0, entonces se corrobora que P (-2) = 0, o lo que es lo mismo, que x + 2 es factor del polinomio. Simultáneamente, la tercera fila muestra los coeficientes ordenados de un polinomio de un grado menor al original, con el cual puede repetirse el procedimiento de dividir sintéticamente, o bien puede factorizarse directamente. Como el polinomio original era cúbico, entonces la última línea nos da los coeficientes de un polinomio cuadrado: esto es, x 2 - x - 6, que observamos que puede factorizarse también, en este caso como (x - 3) (x + 2), por lo que la función original queda factorizada de la siguiente manera: Solución P (x) = x 3 + x 2 - 8x - 12 = (x + 2) (x - 3) (x + 2) = (x + 2)2 (x - 3)

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Etapa 1

Ejemplo Factorizar a 3 - 4a 2 - 19a + 6



Procedimiento Como el coeficiente del término de mayor grado es 1, los factores enteros de 6 son: ± 1, ± 2, ± 3, que serán los posibles ceros de la función (o del polinomio). Probemos haciendo la división sintética con ellos para ver con cual valor b, P (b) = 0, de ese modo (x – b) sería factor del polinomio. Como P (-3) = 0, por el teorema del factor, (a + 3) es factor del polinomio, y ya que la última línea nos muestra los coeficientes de un polinomio cuadrático, tenemos:

1

4

− 19

6

1

3

− 16

1

−3

− 16

− 10

1

−4

− 19

6

−1

5

− 14

1

−5

− 14

−8

1

−4

− 19

6

2

−4

− 46

1

−2

− 23

− 40

1

−4

− 19

6

−2

12

14

1

−6

−7

20

1

−4

− 19

6

−3

21

−6

−7

2

0

1

1

−1

2

−2

−3

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Relaciones y funciones polinomiales

Solución a 3 - 4a 2 - 19a + 6 = (a + 3) (a 2 - 7a + 2). La expresión (a 2 - 7a + 2) no puede factorizarse ya que el discriminante es igual a 41, que no es cuadrado exacto. Ejemplo Factorizar x 3 - 27



Procedimiento Los posibles factores del polinomio son: ± 1, ± 3, ± 9 y se tendría que hacer la división escribiendo 0 para el término cuadrático y 0 para el término lineal. x 3 + 0x 2 + 0x - 27, Para la división sintética escribiríamos: 1

0

0

-27

Solución En este caso reconocemos que el polinomio es una diferencia de cubos y no sería necesario realizar la división para saber la factorización. x 3 - 27 = (x - 3) (x 2 - 3x + 9) Puedes constatar el resultado realizando la división sintética.

Ejemplo

Factoriza P (x) = 2x 3 - x 2 - x -3

Procedimiento Para factorizar un polinomio con coeficiente de x 2 diferente de 1 el factor sería de la forma ax – b, donde a es un factor del coeficiente de P (x) y b es factor del término constante en P (x). Si ax – b es un factor de P (x), entonces P (x) será cero; así: ax – b = 0 ax = b b ∴x=— a

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Etapa 1

()

b Así que ax – b es un factor de P (x) si y sólo si P  — = 0, como b puede ser ± 3 ± 1 y a puede ser a b 1 3 1 3 ± 1 ± 2 entonces los valores posibles de — son ± —, ± —, ± — y ± — a 1 1 2 2 P (1) = 2 - 1 - 1 - 3 ≠ 0

Así que x - 1 no es un factor.

P (-1) = - 2 - 1 + 1 -3 ≠ 0

Así que x + 1 no es un factor.

P (3) = 54 - 9 - 3 -3 ≠ 0

Así que x - 3 no es un factor.

() ( ) ()

1 1 1 1 P  — = ­— - —­ - — - 3 ≠ 0 2 4 4 2

Así que 2x - 1 no es un factor.

1 1 1 1 P   - — = — - — + — - 3 ≠ 0 2 4 4 2

Así que 2x + 1 no es un factor.

3 27 9 3 P   — = ––– - — - — - 3 = 0 2 4 4 2

Así que 2x - 3 es un factor.

Por división sintética: 2

2

−1

−1

−3

3

3

3

2

2

0

3/2

Lo que nos daría: 2x 3 - x 2 - x - 3 = (x - 3/2) (2x 2 + 2x + 2) = (x - 3/2)2 (x 2 + x + 1)

Sacando factor común.

Solución

P (x) = (2x - 3) (x 2 + x + 1) distribuyendo el 2 en el primer factor. En este caso el segundo factor no puede factorizarse otra vez.

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Relaciones y funciones polinomiales

Ejercicios 1. Realiza las operaciones indicadas por el método de división sintética. a) (2x 3 + 5x 2 + 4x – 6) ÷ (x + 3) b) (3x 4 + 2x 3 + x 2 + 4x + 2) ÷ (x + 2) c) (x 3 + 5x 2 + 4x + 6) ÷ (x - 3) d) (2x 4 + 3x 2 - x – 5) ÷ (2x -1) e) (4x 3 - 5x 2 + 1) ÷ (4x - 1) 2. Factoriza los siguientes polinomios. Utiliza la división sintética, el teorema del residuo y el teorema del factor. a) x 3 - 5x 2 - 2x  + 24 b) x 3 + 5x 2 - 2x - 24 c) x 3 - 6x 2 - x - 30 d) x 3 - 2x 2 - 11x  + 12 e) x 3 -x 2 - 22x  + 40

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2 Etapa

Funciones algebraicas racionales e irracionales

En esta etapa estudiarás dos tipos de funciones: aquellas que se expresan como el P (x) cociente de dos polinomios; ––––, donde Q (x) debe ser diferente de 0, para que el co Q (x) ciente esté determinado; estas funciones se llaman funciones racionales. En el estudio de ellas nos interesan, particularmente, aquellos valores de x para los cuales el polinomio numerador P (x) o el denominador Q (x) se vuelvan cero. Para ello es necesario que cuando se tengan funciones racionales se factoricen P (x) y Q (x). Aquí aplicaremos resultados y procedimientos para factorizar polinomios de grado superior vistos en la etapa previa (el teorema del factor y la división sintética). Así mismo, en esta etapa, nos abocaremos al estudio de funciones en las que la variable independiente aparece con exponente fraccionario o bien dentro de un radical; dichas funciones se llaman funciones irracionales. De todas ellas estudiaremos sus gráficas, sus dominios y sus rangos.

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Etapa 2

2.1 Funciones algebraicas racionales e irracionales I. Introducción a las funciones algebraicas racionales Objetivo Descubrir, marcando diferentes puntos en un plano cartesiano, cómo es la gráfica de una función racional a partir de su ecuación.

Actividad 1. Grafica en papel cuadrícula o milimétrico las funciones indicadas en este cuadro. Para hacerlo, procede como es costumbre, tabula algunos valores de x (positivos, negativos e incluso decimales) y encuentra los correspondientes valores de y. 2. ¿Qué diferencia entre las ecuaciones provoca la diferencia en las gráficas? 3. Compara tus resultados con los que te presentamos enseguida: x 1-x a) y = f (x ) = — c) y = f (x ) = ––––– 2 3 2 -3 b) y = f (x) = — d) y = f (x) = ––––– x 3-x

Resultados de la actividad anterior: x a) y = f (x) = — 2

y 5

x

0 –5

0

5

–5

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

y

2 b) y = f (x) = — x

5

x

0 –5

5

0

–5

1-x c) y = f (x) = ––––– x

y 5

x

0 –5

5

0

–5

-3 d) y = f (x) = ––––– 3–x

y 5

x

0 0

5

10

–5

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Etapa 2

Ahora reflexionemos acerca de los resultados obtenidos que presentaron las gráficas: Si bien todas las funciones involucran fracciones, las funciones a) y c) son lineales, mientras que las funciones b) y d ) muestran curvas fuera de lo común. ¿Qué diferencia hay entre las ecuaciones de uno y otro caso? Aventura una respuesta y comenta con tu maestro. x 10 3x 3 – 2x + 9 4x + 7 x 2 - 1 Expresiones como: ––––––––––, ––––––––, –––––––––––, –––––––, etcétera, sabes que reciben el nom x 2 – 2x + 1 10x 2 + 4 x 4 2 bre de expresiones algebraicas racionales. Observa con atención y contesta las siguientes preguntas: ¿Qué características comparten todas ellas? En todas ellas el numerador y el denominador son polinomios de grado mayor que cero. ¿Cuál es la diferencia esencial entre la última expresión y las otras tres? El denominador de la última es un polinomio de grado 0. ¿Por qué puede ser importante este hecho? En la última expresión sabemos con certeza el valor numérico del denominador, mientras que en tres primeras el valor de denominador depende del valor que la variable tenga.

Definición Función algebraica racional Una función algebraica racional (o simplemente función racional) es una función cuya ecuación general es:

P (x ) f (x ) ––––– Q (x )

donde P (x ) y Q (x ) son polinomios, Q (x ) ≠ 0.

Las gráficas de funciones racionales son muy interesantes ya que su variación hace que no tengan una forma determinada o única como en los casos previos —la función lineal, la parábola o como se verá para la curva exponencial —. Otro elemento importante es que la función se indetermina cuando el denominador toma el valor de 0; resulta entonces esencial: • Tener en consideración del dominio de la función. • Saber qué sucede alrededor de los valores de x que provocan que el polinomio del denominador se vuelva 0.

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

Ejercicios x+2 1. Dado f (x ) = ––––––––– 2 x  – x – 6 a) Encuentra f (0), f (2), f (5), f (-1) y f (-3). b) ¿Qué notas al evaluar f (3) y f (-2)? c) Los valores de x para los cuales la función no está definida deben ser excluidos del dominio. ¿Qué números son excluidos del dominio de esta función? d) Para que tengas una mejor idea de lo que pasa acerca de x = 3 y x = -2, grafica y evalúa los puntos f (2.9), f (3.1), f (-1.9) y f (-2.1). e) Basado en tu gráfica, ¿qué podría pasar cuando el valor de x hace el denominador igual a cero? f) Guarda tu gráfica para que la compares con la correspondiente a la primera explicación de la siguiente sección.

II. Introducción a las gráficas de funciones racionales, discontinuidades y asíntotas Objetivo Determinar qué valor o valores de x se excluye(n) del dominio de una función racional dada. Determinar qué pasa con la gráfica en estos puntos. Identificar el tipo de discontinuidad: removible o asíntota. Dibujar la función tomando en cuenta las discontinuidades. x+2 En el ejercicio anterior graficaste la función f (x) = –––––––––– 2 (x  - x – 6) El sustituir y evaluar valores para x se facilita si primero simplificas la función, siempre que ello sea posible. Para simplificar factoriza el denominador dado, entonces quedaría así: x + 2 f (x) = –––––––––––– (x + 2) (x – 3)

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Etapa 2

En este momento debes tener claro el dominio de la función: D = {x /x e Reales, x ≠ -2, x ≠ 3} lo cual también se puede expresar como: Domf : Reales – { -2, 3} Dando por sentado que x ≠ -2, se simplifica la expresión, entonces: x + 2 1 f (x) = –––––––––––– = –––––, con x ≠ 3. (x + 2) (x – 3) x – 3 Así es más fácil realizar la tabulación, sustituyendo los valores de x en esta función, que es equivalente a la original (excepto que ya no es visible la exclusión del 2 del dominio). Aquí mostramos algunos valores: x

–5

y

-1/8

–4 -1/7

–3 –1/6

–2 No valor

–1 -1/4

0 -1/3

1 -1/2

2

3

4

5

6

-1

No valor

1

1/2

1/3

Los valores cercanos a 3 producen interesantes resultados: 1 1 f (3.1) = ––––––– = ––– = 10 3.1 - 3 0.1 1 1 f (2.9) = ––––––– = –––– = -10 2.9 - 3 -0.1 1 1 f (3.01) = –––––––– = –––– = 100 03.1 - 3 0.01 1 1 f (2.99) = –––––––– = ––––– = -100 2.99 - 3 -0.01 1 1 f (3.001) = ––––––––– = –––––– = 1000 3.001 - 3 0.001 1 1 f (2.999) = ––––––––– = ––––––– = -1000 2.999 - 3 -0.001 Ya sabemos que x no puede ser igual a 3, y como mientras más se aproxima la x a 3 a través de valores mayores, más grande es el valor de f (x) —estos es, la curva se dispara hacia arriba—, mientras que, en cambio, cuando x se aproxima a 3 mediante valores menores, f (x) decrece, o sea que la curva se dispara hacia abajo, esto significa que hay una asíntota vertical en x = 3. En la función la x tampoco puede tomar el valor de – 2; sin embargo, los valores cercanos a -2 producen los siguientes resultados: 1 1 1 f (-2.1) = ––––––––– = ––––– ≈ - — (-2.1 – 3) - 5.1 5

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

1 1 1 f (-1.9) = ––––––––– = ––––– ≈ - — (-1.9 – 3) - 4.9 5 1 Cuando x se aproxima a -2, tomando valores ligeramente mayores o menores, f (x) se acerca a - —; 5 1 como x no puede ser igual a -2, queda un hueco en el punto -2, - — . La gráfica se muestra en la 5 siguiente figura:

(

)

y 5

x

0 0

5

10

–5

El valor de x en el cual la gráfica de una función se interrumpe se llama discontinuidad; las discontinuidades pueden ser de dos tipos: si la gráfica se dispara hacia el infinito como en el punto x = 3, a esto se le llama asíntota vertical; si la gráfica sólo termina antes del punto y empieza inmediatamente después de él, la discontinuidad es llamada discontinuidad removible; el nombre se da ya que la discontinuidad 1 es evitable si se cancela el término (x + 2) en el numerador y el denominador entonces queda f (x) = –––––, x-3 1 de donde obtenemos que f (-2) = - —. 5 Entonces tenemos la siguiente gráfica: y 5

(–2, 1/5)

x

0 0

Discontinuidad removible

5

10

Asíntona x=3

–5

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Etapa 2

Ejercicios 1. Haz la gráfica de f (x) = 1/x para x variando de 0.1 hasta 10 (escoge x algunos valores dentro de este intervalo). Luego haz lo mismo para el intervalo de -10 hasta -0.1 a) ¿Qué pasa cuando x = 0? b) ¿Cuál es el dominio de la función? c) ¿Cuál es la relación de la gráfica con el eje x? d) ¿Cuál es el comportamiento de la gráfica de la función cuando x toma valores que se van aproximando a cero (tanto mediante valores mayores como menores que 0)? 1 2. Dada la función g (x) = –––– x -1 a) Da diversos valores a la x y grafica. b) ¿Qué pasa cuando x = 1? c) ¿Cuál es el dominio de la función? d) ¿Cómo es la gráfica de la función g si la comparas con la función f del problema 1?

Actividad x-2 Bosqueja la gráfica de r (x) = –––––––––––. Muestra la(s) asíntota)s) y la(s) discontinuidad(es) removible(s). 2 x  + 3x -10

Resultado de la actividad:

y 5

x

0 –10

0

–5

–5

144

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

Para determinar el dominio de la función, nos fijamos en las exclusiones del dominio, que resultaron evidentes cuando se factorizó el denominador: (x -2) (x + 5). Por lo tanto, ya que x ≠ 2, x ≠ -5, el dominio es D = {x /x ≠ 2, x = -5} ó D = Reales -{2, -5}. El rango son todos los reales, excepto el 0 (el eje x es asíntota horizontal) y el 1/7 (el valor de y en el “hueco” de la función). Rango: R = {y /y ≠ 0, x ≠ 1/7} ó R = Reales -{0, 1/7}. y

6 a) f (x) = –––––––––– 2 x  + 3x + 2 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –7 –6

0 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

2

3

4

5

x

6

–2 –3 –4

Si se factoriza el denominador de la función, resulta evidente que existen dos asíntotas verticales: una en x = -2 y la otra en x = -1, lo cual quiere decir que entre las dos asíntotas debe existir una curva que no es visible en esta imagen. x 2 + 7x + 12 b) f (x) = –––––––––––– x+4

y 4

2

x

0 –4

–2

0

2

La gráfica de esta función racional resulta una recta discontinua en el punto (-4, -1). 145

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Etapa 2

Actividad 6 1. Da valores entre – 2 y -1 para trazar la curva que falta en el ejercicio anterior: f (x) = –––––––––– 2 x  + 3x + 2 x 2 + 7x + 12 2. Determina el dominio y el rango de f (x) = –––––––––––– x+4

Ejercicios 1 1. Bosqueja la gráfica de f (x) = ––––– x+2 a) Determina su dominio. b) Identifica su discontinuidad como del tipo removible o asíntota vertical. x 3 + 8 2. Dado g (x) = –––––– x+2 a) Factoriza y simplifica. b) ¿En qué valor de x se tiene una discontinuidad? c) Excepto por el hecho de la discontinuidad, ¿de qué figura geométrica se trata? d) Bosqueja la gráfica rápidamente, marcando, de ser posible, sólo los puntos esenciales.

Actividad Para cada una de las siguientes funciones determina el dominio. x 3 + 2x 2 x 2 - 36 1. f (x) = –––––––– 2. g(x) = ––––––– 2 x  x 2 - 6x x 3 + 2x 2 – 9x – 18 x 3 + 4x 2 - x - 4 3. h(x) = ––––––––––––––––– 4. f (x) = –––––––––––––– x+3 x-1

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

III. Más sobre gráficas de funciones algebraicas racionales Vamos a continuar con las gráficas de las funciones racionales para abundar sobre algunos elementos que hay que tener presentes en su estudio. x+2 En las secciones anteriores trabajamos la gráfica de f (x) = –––––––––, la cual quedó como muestra x 2 – x – 6 la siguiente figura: Factorizando el denominador se obtuvo: y 5

(–2, –1/5)

x

0 0

Discontinuidad removible

5

10

Asíntona x=3

–5

x + 2 f (x) = –––––––––––– (x + 2) (x – 3) Según vimos, para x = -2 y x = 3, f (x) es indefinida ya que hace el denominador igual a cero. En x = 3 se encuentra la asíntota vertical: En x = -2 se encuentra el punto donde la gráfica termina y empieza de nuevo, llamándose a esto discontinuidad removible o evitable. En esta sección usarás lo aprendido en la sección anterior para bosquejar la gráfica de una función racional. 5 a) Si sustituyeras la x por 3 en f (x) obtendrás —, que es una expresión que no está definida. 0 Vamos ahora qué ocurre cuando x toma valores que hacen que el valor absoluto del denominador sea cercano a cero.

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Etapa 2

5 5 5 –––– = 500 –––––– = 50 000 ––––––––– = 5 000 000 0.01 0.0001 0.000001 Como observamos, mientras más cercano haces el denominador a cero, más grande se hace la fracción (en valor absoluto). 0 b) Si sustituyeras -2 en lugar de x en f (x) obtendrías —, que al igual que en a) dicha expresión es 0 indefinida, pero en este caso cabe la posibilidad de evitar esta división entre 0 si cancelamos los factores (x + 2) en el numerador y el denominador, así, al sustituir -2 en la fracción simplificada obtenemos el valor que tendría la función para x = -2. Una vez que has encontrado lo que sucede en la gráfica cuando el denominador es igual a cero, enConclusión Si en una función al sustituir c en lugar de x hace el denominador de f (x) igual a cero. Existen dos posibilidades: no cero a) f (c) tiene la forma –––––––, entonces f (c) es “infinitamente grande”, en valor absoluto y tendremos cero una asíntota vertical en x = c. 0 b) f (c) adopta la forma —, entonces f (c) es indeterminado, y estamos frente a una discontinuidad remo 0 vible. En otras palabras: Una función racional donde los polinomios que la componen se factoricen, tendrá una discontinuidad removible en el valor de x que haga 0 al factor que puede ser cancelado, y habrá una asíntota vertical en el valor de x que haga 0 al factor que no pueda ser cancelado.

tonces sólo necesitas determinar y marcar otros puntos, guiándote por la localización y el tipo de las discontinuidades.

Ejemplo x 2 – 1 Dibuja la gráfica de: f (x) = –––––––––– x 2 + 2x – 3 Procedimiento

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

Factorizando tenemos:

(x + 1) (x + 1) f (x) = –––––––––––– (x + 3) (x – 1)

f (x) es indefinido cuando x = - 3 o x = 1. -2 Si x = – 3, entonces f (-3) = ––– 0 La cual es “infinitamente grande” en el valor absoluto; así que hay una asíntota vertical en x = -3. Lo cual puede observarse desde la función, ya que (x + 3) es el factor del denominador que no es posible cancelar. 0 Si x = 1, f (x) tiene la forma —, la cual es indeterminada; o bien, el factor (x - 1) es el que puede 0 ser cancelado y así “evitar” la división entre 0, lo que significa que aquí tenemos la discontinuidad removible. Si cancelamos x -1 nos queda: x + 1 f (x) = ––––– x + 3

Nota Esta función es equivalente a la original, con la sola excepción de la discontinuidad removible. Sustituyendo x = 1 en la fracción simplificada nos queda:

1 + 1 2 1 –––— = — = — 1 + 3 4 2

Solución Así que la discontinuidad removible está en el punto (1, 1/2). En la actividad que viene a continuación presentamos una tabla que se construye dando a la x valores estratégicamente posicionados a partir de las discontinuidades.

149

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Etapa 2

Trabajamos con la función simplificada sin perder de vista que existen restricciones de dominio para la función original, que es la que al final de cuentas nos interesa graficar. Como tarea para ti está completar la tabla llenando los espacios con los valores adecuados. Los valores de f (x) son calculados simplemente dividiendo los valores de la columna x + 1 entre los valores de la columna x + 3. Para ver el comportamiento de los valores de f (x), se recomienda que x tome valores ascendentes. Para los valores de x elegidos encuentra los valores de x + 1 y enseguida los de x + 3.

Actividad Completa la tabla escribiendo en los espacios en blanco los valores que sean correctos para las expresiones correspondientes.

x

x+1

x+3

-6

-5

-3

-3

-5 2 ––– = 1 — -3 3 -4 ––– = 2 -2

-1 -2

0

0

1



-2 ––– (indefinido)(asíntota) 0 -1 ––– = -1 1

2 3 4



3

4



1 -1



-4 -4

x + 1 f (x) = ––––– x + 3



4

6

5

7

1 — 3 2 1 —=— 4 2 3 — 5

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

La gráfica se presenta en la siguiente figura: x 2 - 1 f (x ) = –––––––––– x 2 + 2x - 3

y

(x + 1)(x – 1) = –––––––––––– (x + 3)(x - 1)

5

0 10

x

0

5

En la gráfica anterior se nota que cuando x crece la fracción “se acerca” a 1: 1 001 Y lo constatamos analíticamente: f (1 000) = ––––– ≈ 0.998 ≈ 1. 1 003 En la gráfica también se puede observar el dominio y el rango de la función, las cuales serían: Dominio: {x /x ≠ -3, x ≠ 1} ó reales –{-3, 1} Rango: {y /y ≠ 1} ó reales –{1}

Actividad Para cada una de las siguientes gráficas, determina el dominio y el rango. y

a)

x

0 0

–5

5

10

–5

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Etapa 2

b)

y 5

x

0 0

–5

5

–5

c)

y 2

x

0 0

–2

2

4

–2

Ejercicios x 3 + 8 1. Dado g(x) = –––––– x+2 a) factoriza y cancela. b) ¿Para qué valores de x la función no está definida? (Es discontinua) c) Excepto por el hecho de la discontinuidad, ¿qué figura geométrica parece? d) Bosqueja la gráfica rápidamente, marcando los menos puntos posibles. 2. Para los siguientes problemas:

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

• Hallar el dominio. • Escribe la ecuación de la asíntota vertical y las coordenadas del punto donde hay discontinuidad removible. • Halla algunos puntos y dibuja la gráfica. Nota

En las funciones donde el denominador es un binomio de menor grado al polinomio del numerador, haz uso de la división sintética y del teorema de factor estudiados en el capítulo previo.

x + 2 a) f (x) = –––––– x 2 – 4

x 3 + 3x 2 – 18x – 40 b) f (x) = –––––––––––––––––– x+5

x 2 - 16 c) f (x) = –––––––––– x 2 – 2x - 8

x 2 – 7x – 18 d) f (x) = ––––––––––– x 2 – 8 - 9

x 2 + 6x - 7 e) f (x) = –––––––––– x – 1

x 3 + 1 f) f (x) = –––––– x + 1

x - 1 g) f (x) = –––––––––– 2 x  + 6x – 7

3x + 3 h) f (x) = ––––––– x 3 + 1

x 2 + 7x i) f (x) = ––––––––––– x 2 + 5x – 14

2a 3 - a 2 – 13a – 6 j) f (x) = ––––––––––––––––– 2a + 1

3. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en el mismo sistema de ejes y comprueba que tiene la misma asíntota: 10 a) f (x) = ––– x 2

10 b) g(x) = –––––– 2 x  + 1

10 c) h(x) = –––––– 2 x  + 2

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Etapa 2

IV. Introducción a las funciones algebraicas irracionales Objetivo Identificar la forma de la función algebraica irracional, determinar su dominio y señalar el trazo de su gráfica, hallando puntos de la misma.

Una función tal como f (x) = 2 + x + 4, donde la variable independiente se encuentra dentro de un radical, el cual no puede eliminarse pues x + 4 no es un cuadrado exacto, a esto se llama función algebraica irracional. Recordarás que la raíz de un número es igual al número elevado a un exponente racional, así       x = x ½.

Definición Función algebraica irracional Una función algebraica irracional es aquella en que la variable aparece dentro de un radical. (En lugar del radical puede ir un exponente fraccionario).

Una cuestión interesante de las funciones irracionales es cuando le damos valores a la variable independiente x que hacen que el radicando sea negativo; como recordarás la raíz cuadrada, raíz cuarta, etcétera de números negativos son números imaginarios, por lo que no se grafican en el plano cartesiano.

Actividad Dada f (x) = 2 + x + 4 a) Encuentra f (-4), f (-3), f (0), f (12). b) Ahora encuentra f (-5) y f (-8). ¿Qué resultados observas? c) ¿Qué valores del dominio de la función deberán ser excluidos? d) Con los datos obtenidos del problema 1, traza la gráfica de f (x). e) Encuentra x si f (x) = 1. Puedes hacer esto aislando el radical a un solo miembro de la ecuación y después elevar al cuadrado ambos miembros. f ) Encuentra x si f (x) = 0. Muestra en la gráfica que la respuesta que obtienes posiblemente no sea cierta. g) Intenta imaginarte la razón de por qué obtienes el resultado del inciso f.

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

V. Gráfica de funciones irracionales Objetivo Dada la ecuación de una función algebraica irracional:  Encontrar f (x) cuando x es dada.  Encontrar x cuando f (x) es dada.  Determinar si existen las intersecciones de la función con los ejes.  Trazar la gráfica.

En la actividad previa exploraste la función f (x) = 2 +

x + 4. Su gráfica se muestra en la siguiente figura:

y 5

x

0 –5

0

5

Figura 1

Dos cosas interesantes se presentan cuando evalúas esta función. 1. Si le das valores a x menores que -4, el radicando en x + 4 será negativo, así f (x) es un número imaginario que no se podrá representar en la gráfica. (las coordenadas de un punto son números reales).

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Etapa 2

2. Si le das a f (x) el valor 1 para encontrar x, obtendrás la siguiente ecuación: 1=2+ -1 =

x + 4

Escribe la ecuación.

x + 4

Aísla el radical.

(-1)2 = ( x + 4)2

Eleva al cuadrado.

1 = x + 4

Despeja x.

-3 = x Sin embargo, en la gráfica se observa que no hay valores de x para los cuales f (x) = 1. El valor x = -3 es una solución extraña de la ecuación -1 = 2 + x + 4. Si analizamos -1 = 2 + x + 4, se puede afirmar que no hay soluciones, pues la raíz cuadrada positi­va        x + 4 no es posible que sea igual a -1. Cuando se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación el resultado se hace positivo y aparece la solución extraña. En la siguiente figura se muestra el resultado de x = -3, cuando f (x)) = -1, obteniendo el conjugado de la función mostrada como: g (x) = 2 - x + 4 ( es la curva punteada). y f (x) = 2 + x + 4

5

(–3, 1)

x

0 0

–5

5 g (x) = 2 – x – 4

–5

Al hecho de elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación se le llama “paso irreversible”. Si a partir de a = b, concluimos que a 2 = b 2, esto es verdadero, lo cual no ocurre si hacemos la operación en forma inversa, es decir, de a 2 = b 2 no podemos aseverar que a = b, pues puede ser a = –b. En el trabajo con ecuaciones que contienen expresiones irracionales es factible, en cualquier momento, efectuar un paso irreversible, obteniéndose así una solución extraña.

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

Ejercicios 1. Para los problemas del 1 al 5, traza la gráfica de la función para el dominio dado. a) f (x) = - x

Dominio {0, 0.1, 0.2,…, 1}.

b) f (x) =

3

x

El dominio del inciso 1, incluyendo además {-0.2, -0.1, 0.1, 0.2}.

c) f (x) =

6

x

Dominio {0, 0.1, 0.2,…, 1}.

d) f (x) = x 2/3

Para los mismo valores del ejercicio 2. Compara las dos gráficas.

e) Dadas las funciones:

f (x) = x – 3

x+4

• ¿Cuál es el mínimo valor de x para el cual f (x) está definida? ¿Cuál es el valor de x en este punto? • Grafica la función f (x) usando un dominio sencillo (inicia en el valor que respondiste en el inciso a). • ¿Cuál es la intersección y ? • ¿Cuál es la intersección x ? • Encuentra, si lo hay, el valor de x para el cual f (x) = -4. • Encuentra, si lo hay, el valor de x para el cual f (x) = -6.

f (x) = 3 –

3–x

• Señala el dominio de la función. • Grafica la función f (x) usando un dominio sencillo. • ¿Cuál es la intersección y ? • ¿Cuál es la intersección x ? • Encuentra, si lo hay, el valor de x para el cual f (x) = -5. • Encuentra, si lo hay, el valor de x para el f (x) = 8. 2. Grafica las funciones f (x) = 2 + x + 3, f (x) = 2 + x - 3, f (x) = -2 + x + 3 y f (x) = - 2 + en el mismo eje de coordenadas. ¿Qué pasaría si en lugar de sumar la raíz se restara?

x - 2,

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Etapa 2

2.2 Función variación Objetivo Dada una función del mundo real:  Determinar qué clase de función variación es un modelo matemático razonable.  Encontrar la ecuación particular para la función.  Predecir valores de x o y, es decir, valores para cualquiera de las dos variables del

problema.

La función variación es un tipo relativamente simple de función, lo cual es muy útil como modelo matemático, es una ecuación en la cual la y es una constante multiplicada o dividida por una potencia de x. Son ejemplos de función variación las siguientes ecuaciones: y = 4x 2 13 y = ––– x 0.732 y = –––––– x y = 1.9x Si la constante es multiplicada por la variable, entonces y varía directamente con la potencia de x. Si la constante es dividida por la variable, entonces y varía inversamente con la potencia de x. A la constante 1.9 en el ejemplo (y = 1.9x), se le llama constante de proporcionalidad. La letra K es usada a menudo para definir esta constante, porque viene de la palabra Konstante. Definición Si K y n son constantes, entonces “y varía directamente con la enésima potencia de x ”, esto significa que: y = Kxn mientras que si “y varía inversamente con la enésima potencia de x ” significa que:

K y = ––n x 

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

Es importante tomar en cuenta: 1. La ecuación y = Kx n puede incluir variación directa o inversa dependiendo de si n es positivo o negativo. 2. Si n es un entero positivo, entonces la función variación directa es un caso especial de funciones polinomiales (lineales, cuadráticas, etc.) y la función variación inversa es un caso de funciones algebraicas racionales. Las funciones variación en las cuales n no es un entero se verán más adelante. 3. Las frases “varía directamente con” o “varía inversamente con” pueden sustituirse por “es directamente proporcional a” o “es inversamente proporcional a”, dependiendo del caso.

Algunos ejemplos de ecuaciones de función variación se presentan a continuación: Ecuación

Nombre

y = Kx

y  variación directa con x.

y = Kx 2

y  variación directa con el cuadrado de x.

y = Kx 3

y  variación directa con el cubo de x.

1 y=— x

y  variación inversa con x.

1 y = —–2 y  variación inversa con el cuadrado de x. x  Gráficas de variación directa. 8

6

y = kx3

y varía directamente con el cubo de x. y = kx2

y varía directamente con el cuadrado de x.

4

y = kx

Variación directa.

2

y = kx0 −4

−2

−2

2

y no varía con x.

4

−4

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Etapa 2

Gráficas de variación inversa.

y 5

k y=— x 0

x

5

0

Variación inversa.

k y = —2 x

y varía inversamente con el cuadrado de x.

Hay una propiedad de las funciones variación que nos dice qué potencia de x se está usando. Para y = Kx la gráfica es una línea a través del origen (se muestra en la siguiente figura); por la propiedad de triángulo semejantes, tenemos por ejemplo, si el valor de x 2 es tres veces x 1 entonces y2 será tres veces y1. En general multiplicando el valor de x por alguna constante, el valor de y queda multiplicado por la misma constante. y

y2 = 2y1 y1

x x1 x2 = 2x1

Una propiedad similar se mantiene para las demás funciones variación directa o inversa. 162 Supón que f (x) = 5x 2 y g(x) = ––––. x 2 Tomando ciertos valores de x y examinando los valores correspondientes de y, tenemos: x y = f (x) 1 5 · 12 = 5 por 3 3 5 · 32 = 45 por 3 9 5 · 92 = 405 por 3 27 5 · 272 = 3 645

por 9 por 9 por 9

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

x y = g(x)



162 3 –––– = 162 12 por 3 162 3 –––– = 18 32 por 3 162 9 –––– = 2 92

÷9

÷9

Para la función f cada vez que x es multiplicada por 3, y es multiplicada por 32. Para la función g cada vez que x es multiplicada por 3, y es dividida por 32; es fácil ver por qué: Supón que y = f (x) = kx 2. Sustituyendo la constante c por x tenemos f (c) = kc2. Sustituyendo 3c por c da: f (3c) = K(3c)2

Sustituyendo.

= K(9c 2)

Elevando al cuadrado.

(Kc 2)



=9



= 9 · f (c)

Propiedad conmutativa y asociativa. Ya que Kc 2 = f (c).

Este modelo es llamado la propiedad de “multiplicación-multiplicación” de la función variación. Definición • Propiedad “multiplicación-multiplicación” de funciones de variación: Si y = Kx n, entonces al multiplicar el valor de x por la constante c la función multiplica el valor de y por la constante cn. K Si y = ––, entonces al multiplicar el valor de x por la constante c, la función divide el valor de xn y por la constante c n. Nota: esta propiedad es similar a las propiedades de funciones lineales y exponenciales. • Propiedad de “adición-adición” de funciones lineales. Para funciones lineales, la suma de una constante a x, suma una constante a y. • Propiedad de la “adición- multiplicación” de funciones exponenciales. Para funciones exponenciales sumando una constante a x multiplicas y por una constante. • Propiedad “multiplicación-multiplicación” de funciones variación. Para funciones variación multiplicando x por una constante multiplicas y por una constante (dividir por c n se puede realizar como una 1 multiplicación por ––– ). c n

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Etapa 2

Una vez que entiendes las propiedades, ya estás listo para seleccionar el tipo de función variación que es apropiado en una situación dada.

Ejemplo

La presión requerida para hacer que el agua fluya a través de una esprea de una manguera de jardín depende del número de litros por minuto (lpm) que quieres que fluya. Encuentras que para que fluyan 3 lpm se necesita una presión de 10 kg por cm2 (k/cm2), para 6 lpm se requerirá una presión de 40 k/cm2; predice: a) La presión requerida para un flujo de 12 lpm. b) La presión requerida para un flujo de 4.2 lpm. c) El número de lpm que obtienes con una presión de 5 k/cm2.

Procedimiento a) Si y = número de litros por minuto. P = número de kg / cm2 (presión). Puedes observar que doblando y (de 3 a 6) P aumenta 4 veces (de 10 a 40). Asumiendo que este modelo continúa, debes esperar que doblando y (de 6 a 12) P se hace 4 veces más grande, entonces: Solución P = 4(40) = 160 kg  / cm2 Procedimiento b) Como 4.2 no es un múltiplo de 3, y ya que al doblar y hace 4 veces P (4 veces más grande) como 4 = 22, puedes concluir que P varía directamente en el cuadrado de y. La ecuación general es: P = ky 2 Sustituyendo un par ordenado (3, 10): 10 = k (3)2 10 ––– = k 9

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

Entonces la ecuación particular es: 10 P = ––– y 2 9 Con una ecuación puedes fácilmente predecir p para algún valor de y. Sustituyendo 4.2 obtienes: 10 P = ––– (4.2)2 9 Solución P = 19.6 k/cm2 Procedimiento c) Si P = 5, entonces 10 5 = ––– y 2 9 Solución 2.1213… = y 2.12 lpm.

Ejemplo

El área de un cascarón de huevo es directamente proporcional a la masa del huevo elevada a la 2/3. Suponiendo que un cascarón de un huevo normal de 60 g tiene un área de 28 cm2. a) Determina la ecuación particular. b) Predice el área de la superficie de un huevo de avestruz de 1 600 g. c) ¿Cuánto pesaría un huevo de lagartija cuya área es de 0.6 cm2? Si se duplica el peso, ¿se duplicaría el área?

Procedimiento a) A: área de superficie en cm2.

M: masa en g.

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Etapa 2

La ecuación general es: A = KM 2/3 Para encontrar la ecuación particular, debes calcular K (constante de proporcionalidad), sustituyendo A y M en la ecuación general, tenemos: 28 = K(60)2/3 Dividiendo cada miembro de la ecuación por 602/3, tenemos: 28 –––––– =K 60 2/3 1.8269… = K

Solución La ecuación particular: A = 1.8269 M 2/3, o bien A = 1.827 M 2/3. El valor de K deberá quedar almacenado en la memoria para que lo uses en el resto del problema. El modelo está listo para usarse. Por ejemplo, para predecir el área de la superficie de un huevo de Avestruz de 1 600 g.

Procedimiento b) Sustituye 1 600 g en lugar de M y haz las operaciones: A = 1.827 (1 600)2/3 A = 249.92 Solución Los huevos de avestruz tienen alrededor de 250 cm2 de cascarón. Este modelo también puede ser usado en “retroceso” para predecir la masa del huevo cuando ya sabes el área de la superficie. Procedimiento c) Si un huevo de lagartija tiene un área de 0.6 cm2. Para encontrar la masa, se sustituye 0.6 en lugar de A en la ecuación y se resuelve para M. 0.6 = 1.827 M 2/3

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

Divide todo por 1.827 0.6 –––––– = M 2/3 1.827 Eleva cada miembro de la ecuación a 3/2. 0.188 = M Solución El huevo de lagartija pesa alrededor de 0.19 g. Procedimiento d) Si la masa se duplicara, ¿se duplicaría el área de la superficie? Sustituye M = 1 y M = 2 y obtienes: Si M = 1 A = 1.8269 (1)2/3 A ≈ 1.83 Si M = 2 A = 1.8269 (2)2/3 A ≈ 2.90 Solución Si el doble de 1.83 es 3.66 y A es sólo 2.90, entonces al duplicar la masa no se duplica el área. Este hecho puede ser anticipado porque M está elevado a una potencia distinta de 1. Si A fuera igual a KM1, entonces al duplicar M se duplica A.

Ejercicios 1. Resuelve los siguientes problemas. a) Tu peso expresado en libras es directamente proporcional a tu peso expresado en kilogramos. Maria se sube a una báscula y ésta marca 50 kilogramos, si ella sabe que pesa 110 libras. • Escribe una ecuación particular que exprese las libras en términos de kilogramos. • Escribe cuántas libras pesaría una persona si lees:

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Etapa 2

i) 100 kilogramos. ii) 25 kilogramos. iii) 150 kilogramos. • ¿Cuántos kilogramos pesaría María si pesara 165 libras? • ¿Cuántas libras pesas tú? • Dibuja la gráfica de esta función. • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en el mundo real? b) Cuando buceas, la presión en tus oídos varía directamente proporcional con la profundidad a la que bajas. A los 10 pies, la presión es cerca de 4.3 libras por pulgada cuadrada (psi). • Escribe una ecuación que exprese la presión en términos de la profundidad. • Predice la presión a 50 pies. • Es inseguro para un novato bucear si la presión es mayor que 65 psi, ¿qué profundidad es esa? • Dibuja la gráfica de la presión contra la profundidad. c) La cantidad de fuerza que debes hacer para apretar un tornillo con una llave de tuercas depende de la longitud de la llave. Supón que para determinado tornillo, una llave de 7 pulgadas de longitud requiere una fuerza de 270 libras y una llave de 21 pulgadas requiere de una fuerza de 90 libras. • ¿Cómo varía la fuerza con la longitud? • Escribe la ecuación particular. • ¿Cuál es la unidad de la constante de proporcionalidad (torque)? • Encuentra la fuerza necesaria para llaves de 3, 10, 15, 30 y 60 pulgadas de longitud. • ¿Cuál sería el tamaño de la llave para una persona que aplica una fuerza de 300 libras? • ¿Y para una persona que aplica 50 libras? • Dibuja una gráfica de fuerza contra longitud de la llave con un dominio de 3 a 69 pulgadas. d) El número de casas que pueden ser servidas por una tubería de agua, varía directamente proporcional con el cuadrado del diámetro de la tubería. Supón que una tubería de 10 cm de diámetro abastece 50 casas. • Escribe una ecuación particular para esta función. • ¿Cuántas casas pueden abastecerse de una tubería de 30 cm, 43 cm y un metro? • Una colonia de 1 500 casas, ¿qué diámetro de tubería necesita?

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

e) Cuando un bote va a alta velocidad, la mayoría del poder generado por el motor se va en la formación de la estela de agua. La cantidad de poder usada para generar la estela es directamente proporcional a la séptima potencia de la velocidad del bote. Supón que un bote que va a 10 nudos usa 0.1 caballos de fuerza para la generación de la estela. • Escribe la ecuación particular de esta función. • ¿Cuánto poder se va en la estela cuando un bote va a 30 y a 40 nudos? • ¿Por qué es tan difícil para un bote ir muy rápido? f) En Química, la Ley de Boyle establece que el volumen de una cantidad de gas es inversamente proporcional a la presión del gas. • Escribe una ecuación particular que exprese el volumen en términos de presión, si una presión de 46 psi comprime el gas a un volumen de 360 pies cúbicos. • Dibuja la gráfica de volumen contra presión en un dominio de 10 a 100 psi. • ¿Qué presión sería necesaria para comprimir el gas a un volumen de 276 pies cúbicos? • De acuerdo con tu modelo, ¿podrías comprimir el gas a volumen cero? • Prueba que el producto de la presión por el volumen es constante. (Esta es la manera en que la Ley de Boyle es establecida en algunos libros de Química). g) Parkinson establece (como broma) que la cantidad de tiempo que una agencia gasta en discutir un artículo en su presupuesto, es inversamente proporcional a la cantidad de dinero involucrado. Supón que cierto comité de la Universidad gasta 15 minutos discutiendo un artículo de $ 1 000 000. Acorde con la Ley de Parkinson cuánto tiempo gastarían discutiendo: • Un artículo de $ 30 000 000. • Otro de $1 000. h) La fuerza de una señal de radio recibida por un transmisor, varía inversamente con el cuadrado de la distancia del transmisor. • Deriva la ecuación particular que exprese la fuerza en términos de la distancia, si la fuerza es de 1 000 unidades a una distancia de 2 kilómetros. • Predice la fuerza a 10 km del transmisor. • Predice la fuerza 100 m del transmisor.

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Etapa 2

i) El ingreso de dinero (R) que obtienes al llevar a reciclar latas de aluminio, varía directamente con el número de latas que obtengas. Si el precio es de 40 centavos la libra (23 latas): • Escribe una ecuación particular que exprese el número de centavos en términos de las latas que llevas a reciclar. • ¿Cuánto recibes por 100 latas? • Si quieres ganar $100, ¿Cuántas latas tendrías que recolectar?

j) En una tormenta, el intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno es directamente proporcional a la distancia entre tú y el rayo. • Define las variables que te gustaría usar para la distancia y el intervalo de tiempo. • Escribe una ecuación particular si un rayo que cae a 50 km de distancia, se escucha su trueno 15 segundos después. • Calcula el tiempo del trueno si un rayo cae a 1, 2, 5 y 10 km de donde estás. • Dibuja la gráfica de tiempo contra distancia. • Si el intervalo de tiempo es de 29 s. ¿Qué tan lejos cayó el rayo? • ¿Qué pasaría si ves el rayo y oyes el trueno al mismo tiempo? k) Cuando un barco se desplaza a alta velocidad sobre el agua, la mayor potencia generada por los motores se transforma en la formación de la estela (las ondas que se forman atrás del barco). Esta velocidad del barco es proporcional a la raíz séptima de la potencia generada por los motores, supón que el barco va a 30 nudos (30 millas náuticas por hora) y los motores generan una potencia de 45 000 caballos de fuerza. • Escribe la ecuación particular, expresando la velocidad en términos de potencia. • Los motores del barco son capaces de producir 90 000 caballos de fuerza. ¿Qué tan rápido se desplazaría el barco si el capitán da la orden : “a toda velocidad”? • ¿Se duplicaría la potencia al duplicar la velocidad? l) La aceleración con que se desplaza un objeto varía directamente proporcional con la magnitud de la fuerza aplicada. Si la aceleración de un objeto es de 3 m/seg2 cuando se le aplica una fuerza de 240 N, entonces encuentra: • La aceleración del objeto si la fuerza aplicada es de 280 N. • La fuerza que se requiere aplicar sobre el objeto, para su aceleración sea de 2 m/seg2.

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Funciones algebraicas racionales e irracionales

m) De acuerdo con la información del libro de Ecología de J. M Emien. Titulado Una aproximación evolucionaria, el número de acres en los cuales un animal restringe sus movimientos es directamente proporcional al peso de su cuerpo elevado a la 1.41. • Encuentra la ecuación particular para esta función, si un venado de 80 kg se restringe en un rango de 2 000 acres. • Predice el rango de hábitat de: i) Un elefante africano de 6 000 kg. ii) Una musaraña de 0.002 kg. • Supón que localizas un demonio de Tasmania extendido en un rango de 300 acres. ¿Qué peso crees que tiene el demonio de Tasmania? n) El número de minutos que tarda en cocinarse el tocino en un horno de microondas, depende de cuántas rebanadas se colocan al mismo tiempo. Una marca popular de hornos especifica 1. 75 minutos por dos rebanadas, 2.5 min por 4 rebanadas. • Se asume que el número de minutos varía directamente con alguna potencia del número de rebanadas (no necesariamente un valor entero). Usa los datos para derivar la ecuación particular, expresando el número de minutos en términos del número de rebanadas (el sistema de ecuaciones que obtienes al sustituir los valores puede ser resuelto para las dos constantes desconocidas). Debes ser capaz de figurártelo. • Explica por qué el número de minutos no varía en forma directamente proporcional con el número de rebanadas. • ¿Cuántos minutos necesitarías para cocinar 8 rebanadas, 6 rebanadas y una rebanada en cada caso? • El tiempo en este horno puede programarse hasta 30 minutos. ¿Cuál sería el número máximo de rebanadas que se pueden cocinar a la vez? • ¿Cuál es el dominio y rango de esta función? ñ) La policía puede estimar algunas veces la velocidad con la que se desplazaba un automóvil antes de frenar, a partir de la longitud de las marcas de las llantas sobre el pavimento. Supón que en una superficie seca la longitud de las marcas al frenar fue de 9 m cuando la velocidad es de 50 km/h. Considerando que la velocidad es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de las marcas. • Escribe la ecuación particular. • Estima la velocidad inicial si la longitud de las marcas es de 50 m.

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3 Etapa

Funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones polinomiales con las que has trabajado hasta ahora se han construido elevando a exponentes constantes enteros y positivos. A éstas se le llaman “funciones algebraicas”. Si una función no es algebraica se dice que es “trascendente”. En esta etapa estudiarás dos tipos de funciones trascendentes, a saber, las funciones exponenciales y logarítmicas. Estas funciones aparecen cuando una constante es elevada a un exponente variable. Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen muchas aplicaciones. En esta etapa se incluyen problemas relacionados con el crecimiento de bacterias, la intensidad del sonido, el interés compuesto, la presión atmosférica, el crecimiento de la población, la ley de enfriamiento, la escala de Richter en los terremotos, etcétera.

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Etapa 3

I. Introducción a las funciones exponenciales

Conocer la forma de la función exponencial y descubrir cómo es su gráfica.

Una función cuadrática puede tener una ecuación de la forma y = ax 2. Si intercambiamos el lugar del 2 y la x , se obtiene una clase completamente diferente de función: y = a · 2x  Como la variable es un exponente se le llama función exponencial.

Definición Una función exponencial es una función en la que la ecuación general es y = a · bx, donde a y b representan constantes, b es positiva, y x, y son las variables independiente y dependiente respectivamente.

Para describir verbalmente esta clase de funciones puedes decir: “y  varía exponencialmente con x ”. Los efectos de las constantes a y b en la gráfica y la razón por la cual b debe ser positiva serán aclarados más adelante en el capítulo.

Actividad Sea f (x) = 2x. 1. Calcula el valor de f (4), f (3), f (2) y f (1) Localiza los puntos correspondientes en un sistema de coordenadas y únelos con una curva tenue. 2. Escribe los resultados del problema anterior en una tabla de valores. Observa que f (3) es la mitad de f (4), f (2) es la mitad de f (3), y así sucesivamente. Continuando con este patrón encuentra los valores de f (0), f (-1), f (-2) y f (-3). Localiza estos puntos en la gráfica y prolonga la curva a través de los puntos. 3. ¿Qué efecto tienen en la gráfica los valores negativos de x? 4. Aunque no se han definido las potencias con exponentes fraccionarios, puedes estimarlos a partir de su gráfica. Encuentra una aproximación (un lugar decimal) para 22.5 efectuando la lectura en tu gráfica de f (2.5). 5. Confirma que tus respuestas de los números 2 y 4 son correctas, evaluando: 20,2-1, 2-2, 2-3 y 22.5 utilizando la calculadora. La secuencia de teclas por presionar para evaluar 2-3, por ejemplo, es: 2 y x 3 +/- =.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

Respuesta a la actividad anterior: y

Gráfica de f (x ) = 2x  6 5.6568

Potencia con exponentes no entero 4

Potencias con exponentes negativos

2

x

0 –4

–2

0

2

4

6

Tenemos por ejemplo que f (-3) = 2-3, con la calculadora encuentras que es igual a 0.125, lo cual coincide con el valor de 1/8 que se obtiene siguiendo el patrón señalado de sacar la mitad al valor previo de la función. Por otro lado, la calculadora evaluó f (2.5) = 22.5, es decir, 5.6568…, que concuerda con el valor encontrado en la curva para x  = 2.5. Antes de continuar, presentaremos algunos ejemplos y conceptos sobre la potenciación con exponentes enteros con el objetivo de tener bases firmes para la comprensión del trabajo a realizar con exponentes racionales. Definición Potenciación Para exponentes enteros positivos x n significa el producto de n veces x como factor.

En la expresión x n x es llamada base. n es llamada exponente. x n toda la expresión se nombra potencia. Si la base de una potencia está compuesta de más de un símbolo, entonces debes colocarla entre paréntesis. Por ejemplo: (x y)5, (x – y)5, (-x)5 Por el contrario, si el exponente sólo afecta a un símbolo se puede omitir. Por ejemplo: xy 5 = x(y)5, x – y 5 = x – (y)5, - x 5 = -(x 5).

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Etapa 3

II. Exponenciación para exponentes racionales Objetivo Aprender y aplicar las definiciones de exponenciación para exponentes racionales (en particular fraccionarios y no positivos) en el trabajo de evaluar y simplificar expresiones que involucren potencias. Hacer esto mismo utilizando calculadora. Las propiedades de la exponenciación para exponentes enteros-positivos se generalizan a los exponentes racionales. Cuando utilizas la calculadora puedes evaluar potencias con exponentes negativos o con exponentes no-enteros (2-3 = 0.125, o 22.5 = 5.656854…). En realidad lo que hace la calculadora es seguir un algoritmo basado en esas propiedades de los exponentes. Recordemos las reglas que nos van a permitir el trabajo con exponentes no positivos o no enteros. La propiedad del cociente de dos potencias con bases iguales, establece que: x  a — = x a-b x  b Si “a” es menor que “b”, la propiedad conlleva a los exponentes negativos. Por ejemplo: 3 x  ––5 = x 3-5 = x -2 x 

La respuesta también puede ser encontrada escribiendo las x  y después cancelando factores comunes del numerador y denominador, respectivamente. 3 x  · x  · x  1 x  ––5 = ––––––––––––– = ––2 x  x  · x  · x  · x  · x  x 

1 Por lo tanto, x -2 es igual al recíproco de x 2: –––. Para que la propiedad sea válida cuando los exponentes x 2 son negativos, es necesario definir los exponentes negativos en términos de recíprocos.

Definición Exponentes negativos 1 La expresión x -n es definida como: x -n = ––. x n

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Funciones exponenciales y logarítmicas

De la misma manera, si en (1) “a” es igual que “b”, la propiedad conduce a un exponente cero. Por ejemplo: 3 x  ––3 = x 3-3 = x 0 x 

Pero igualmente la respuesta es 1, ya que cualquier número (excepto 0) que sea dividido por si mismo obtiene 1 como respuesta. De nueva cuenta, para hacer que la propiedad del cociente de dos potencias sea aplicable para todos los exponentes, es necesario definir x 0 igual a 1. Definición Exponente cero x 0 = 1, siempre que x  ≠ 0.

Veamos ahora el significado de los exponentes fraccionarios. La propiedad de una potencia elevada a otra potencia es válida para cualquier tipo de exponentes; entonces tenemos:

(x  )3 = x (  ) (  ) = x 1 = x  1 – 3

1 3 – 3   

1 –

Por lo tanto, x 3  es un número que cuando se eleva al cubo, la respuesta es x . Lo cual coincide exactamente con la definición de “raíz cúbica”. Definición Raíz cúbica La “raíz n-ésima” de x  es un número que cuando se eleva a la n potencia se obtiene x  como respuesta. Se suele representar con la expresión radical n x . Cada una de las partes de la expresión n x  tiene nombres específicos: n… índice de la raíz, x … radicando, …signo radical. Exponentes recíprocos 1 – La raíz n-ésima puede ser expresada en términos de exponentes recíprocos: n x  = x n

3 Si el exponente de x  es una fracción como —, y como lo hemos dicho, las propiedades son todavía váli 4 das para este tipo de exponentes, entonces: x 4  = x ( 4 ) (3)  = x  4  = (4 x )3 3 –

1 –

( )3 1 –

Esto conduce a una definición general de exponentes fraccionarios. 175

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Etapa 3

Definición Exponentes fraccionarios a–

x b = (b x )a donde “a” y “b” representan números enteros positivos.

Con estas definiciones y ejemplos obtienes un significado preciso de las diferentes potencias, cuyos exponentes son números racionales. Ya que un número irracional no puede expresarse como una razón entre dos enteros, todavía no se puede definir la exponenciación para exponentes irracionales. Sin embargo, puedes evaluar expresiones como 5 ó 7  3, utilizando calculadora. Ejemplo 3 –

1 –



Evalúa 136 4  de dos formas: primero como (4 136)3 = (136 4 )3, y después como 1360.75. Muestra que las dos respuestas son iguales.



Procedimiento Presiona en tu calculadora las siguientes teclas: 1 –

136x y  4 = x y 3 = . El resultado es 39.82485… Luego presiona: 136 x y 0.75

Solución El resultado es 39.82485… Las dos respuestas son iguales. Esto confirma que 3 –

1 –

136 4  = (136 4 )3 = (4 136)3 Ejemplo

Evalúa 6 85.766121 utilizando la definición de exponentes racionales. Verifica que tu respuesta es correcta, multiplicando. Procedimiento 6

85.766121 = (85.766121)1/6 1 –

La secuencia de teclas es: 85.766121 x y  6

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Funciones exponenciales y logarítmicas



Solución La respuesta es 2.1 Para verificar esta respuesta, multiplica: (2.1), (2.1), (2.1), (2.1), (2.1), (2.1); o bien en la calculadora (2.1) x y 6. La respuesta es: 85.766121.

Ejercicios 1. Realiza lo siguiente: 1 –

a) Utilizando la calculadora evalúa 57 3. Almacena la respuesta en la memoria de la calculadora. Después evalúa al cubo la respuesta, multiplicando (respuesta) (respuesta) para verificar la definición de potencias con exponentes recíprocos. 1 -3 b) Evalúa  —  , primero usando la definición de exponentes negativos y luego elevando al cubo. 4 1 -3 Simplifica la respuesta lo más posible. Después evalúa  —  directamente en la calculadora. 4 Comprueba que las dos respuestas son iguales.

( )

( )

c) Evalúa 789, primero escribiéndola como una potencia con un exponente fraccionario. Después 789 directamente con la tecla de raíz cuadrada de tu calculadora. Muestra que son las mismas respuestas. También comprueba que si elevas al cuadrado cualquiera de las respuestas obtienes 789. d) Lupita se equivocó al contestar una pregunta de un examen por decir que: 1 1 – Explica qué error cometió y cómo podría evitarlo en el futuro. 8 3 = –––. 83 e) Problemas del cero. • Evalúa 05. • Evalúa 50. • Javier piensa que cualquier número elevado a la 0 potencia es igual a 1, y 0 elevado a cualquier potencia es igual a 0. Pero él desea saber a qué es igual 00, a 0 o a 1.

Dile la respuesta correcta.

• Sara tecleó en su calculadora 0-3 y obtuvo un mensaje de “error” como respuesta.

¿Qué debería recordar para explicar este resultado?

2. En los siguientes problemas, evalúa el radical utilizando la definición de exponentes recíprocos. Verifica tu respuesta por multiplicación. a)

6

437

b)

c)

7

279 936

d)

4

99 735 73 157

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Etapa 3

III. Potencias y radicales sin calculadora Has aprendido cómo elevar números a potencias donde el exponente es un número racional, positivo o negativo. Es importante que desarrolles la habilidad para realizar operaciones rápidamente (mentalmente, sin usar calculadora), cuando los números son relativamente pequeños y su raíz es exacta.

Evaluar rápidamente expresiones que contienen radicales o exponentes fraccionarios, usando la calculadora sólo para verificar la respuesta.

Ejemplo

2 –

Evalúa 8 3.

Procedimiento 2 –

8 3 = 3 82 Aquí puedes seguir cualquiera de dos procedimientos: a) Elevar al cuadrado el 8, obteniendo 64, y a este resultado extraerle raíz cúbica, lo cual da 4. b) Sacar la raíz cúbica al 8, que es 2, y luego elevarla al cuadrado, lo cual da 4. Solución 4 Para resolver este problema mentalmente, debes identificar que 8 es igual a 23, así que la raíz cúbica de 8 es 2; o bien, identificar que 64 es 43, lo que significa que la raíz cúbica de 64 es 4.

Ejemplo

Evalúa

4 – 216 3

Procedimiento



Ya que la base 216 es relativamente grande, primero debes factorizarlo y expresarlo como producto de potencias. Una manera de hacer esto se muestra a continuación: 216 ÷ 2 = 108 108 ÷ 2 = 54 54 ÷ 2 = 27 27 ÷ 3 = 9 9 ÷ 3 = 3 3 ÷ 3 = 1

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Funciones exponenciales y logarítmicas

Este procedimiento se puede describir mejor como “sacar partes”. 216 entre 2 es 108. El 108 se anota debajo del 216. Se continúa con este proceso, siempre dividiendo entre el número primo más pequeño que divida exactamente al cociente. Los factores primos de 216 aparecen a la derecha del signo de división: Así: 216 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 23 · 33 4 –

Para evaluar 216 3, debes por tanto escribir: 4 –

4 –

3 = (23 · 33) 3 216 

La base factorizada.

4 = 24 · 34 Aplica el — sobre los exponentes dentro del paréntesis. 3 = (16) (81) Solución = 1 296 Algunas expresiones con radicales pueden simplificarse sin la necesidad de extraer raíces y trabajar como aproximaciones decimales. Esto puede hacerse si es posible transformar los radicales a potencias con exponentes fraccionarios, potencias exactas donde luego se usen las propiedades de los exponentes para hacer la simplificación.

Ejemplo

Simplifica

6

256 ÷ 4 64

Procedimiento 6

256 ÷ 4 64 1 –

1 –

= 256 6 ÷ 64 4



1 – (28) 6

÷

1 – (26) 4



=



= 2 3 ÷ 2 2

4 –



=

1 – – 2  6

3 –





Convierte la forma exponencial. Ya que 256 = 28 y 64 = 26. Multiplica los exponentes y simplifica. Como es división los exponentes se restan.

Solución 1 = ––– 1

– 6 2 



Definición del exponente negativo.

1 La respuesta puede escribirse en forma radical ––––. 6 2

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Etapa 3

Actividad Tabla de potencias Utiliza una calculadora cuando sea necesario y elabora una pequeña tabla de potencias de enteros. La tabla debe incluir desde 22 hasta 210, desde 32 hasta 36, desde 42 hasta 45, desde 52 hasta 54 y los cuadrados y cubos de los números 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. No es necesario que memorices estos números, pero poder identificarlos debe ser parte de tu repertorio literario (o numérico) como estudiante de matemáticas.

Ejercicios 1. Con ayuda de los resultados de la tabla que elaboraste en la actividad anterior, evalúa mentalmente el radical en los siguientes problemas. a) 9 512

b) 3 64

c) 4 81

d) 4 625

e) 3 343

f) 3 216

g) 5 32 h) 3 512 i)

1 024

j) 625 2. En los siguientes problemas evalúa la potencia mentalmente. Escribe la respuesta como una fracción cuando sea necesario. Puedes verificar tus respuestas con la calculadora. 2 – a) 64 3

3 – b) 9 2

3 -– c) 64  2

2 - – d) 64 3

2 – e) (-64) 3

g)

2 – -64 3

h)

j)

6 -– -32  3

2 – k) 128 7

3 – l) 256 4

4 -– n) 243  3

2 – ñ) 343 3



3 -– m) 81  2

3 – -64 2



3 – f) (-64) 2 6 – i) 32 3

( )

3 3 – – 9 - 3– p) -100 2 q) –––  2 o) 36 2 49

(

)

125 - 4– r) - ––––  3 27

1 –

s) 121 2

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Funciones exponenciales y logarítmicas

3. En los siguientes problemas simplifica la expresión convirtiendo los radicales a la forma exponencial. Reporta la respuesta como un radical o como una potencia, no como una aproximación decimal. Puedes verificar tus respuestas usando la calculadora. a)

b)

6 ÷ 2

d) 3 81 · 3 9

e)

72 ÷ 4 3

8 ÷ 4 32

9 c) f)

16

3

64

Actividad Encuentra el valor de x  en cada caso; debes hacerlo con cuidado puesto que x  puede ser entero o fraccionario, positivo o negativo. a) 3x  = 243

b) 64x  = 4

c) 49x = 343

d) 512x  = 4

IV. Ecuaciones exponenciales Ecuaciones exponenciales resueltas por aproximaciones Considera que f (x ) = 2x , y que deseas encontrar el valor de x  que hace f (x ) igual a 10. Como se muestra en la gráfica, el valor buscado de x  está entre 3 y 4. Para encontrar el valor exacto considera que f (x ) = 10.

y = f (x)

15

10

5

x

0 –1

0

1

2

3

4

¿Para qué valor de x , f (x ) = 2x  = 10?

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Etapa 3

La expresión 2x  = 10 es llamada ecuación exponencial porque la incógnita es un exponente. Es evidente que la ecuación no puede resolverse explícitamente para x utilizando las propiedades y las operaciones del álgebra que hasta ahora conoces. En esta sección verás cómo encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones exponenciales por “tanteos”, usando la calculadora, para luego resolverla por un procedimiento más exacto y corto, utilizando logaritmos.

Ejemplo Si f (x ) = 2x , encuentra el valor de x  ajustando el resultado a 5 decimales, tal que hace que f (x ) = 10. Procedimiento El procedimiento a seguir debe ser similar a esto: como 23 < 10 < 24; por lo tanto x  debe ser un número entre 3 y 4. Usando la calculadora tenemos: 23.1 = 8.574…….

Abajo de 10.

23.2 = 9.189…….

Abajo de 10.

23.3 = 9.849…….

Abajo de 10.

23.4 = 10. 556…….

Se pasó, o sea que es mayor que 10, por lo que el exponente debe estar entre 3.3 y 3.4, veamos.

23.31 = 9.9588…….

Abajo.

23.32 = 9.9933…….

Abajo.

23.33 = 10.0563…….

Se pasó, o sea que es mayor que 10, por lo que el exponente debe estar entre 3.32 y 3.33.

23.321 = 9.99356…….

Abajo.

(y así sucesivamente). Este proceso te conduce a determinar que x  ≈ 3.32193. Y solamente es necesario que reportes la ecuación y el valor de x  encontrado, así: 10 = 2x 

Solución x  ≈ 3.32193, pues las operaciones restantes fueron realizadas por la calculadora. El método mostrado en este ejemplo te puede resultar tedioso usando la calculadora, pero te resultaría muy fácil si lo pudieras realizar programando una computadora.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

Ejercicios 1. En los siguientes problemas resuelve la ecuación exponencial, encontrando el valor de x con una aproximación de tres dígitos significativos. a) 3x = 20

b) 3x = 100

c) 4x = 20

d) 4x = 100

e) 5x = 0.4

f) 4x = 0.8

2. Si se depositan $1 000.00 en una cuenta de ahorros que paga el 12% de interés compuesto por un año, entonces la cantidad de dinero acumulada en la cuenta al finalizar x  años está dada por la fórmula: d (x ) = (1 000) (1.12x) a) ¿Cuánto dinero habrán en la cuenta al término de 5 años? ¿Cuánto dinero será de intereses? b) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al término de 15 años? ¿La cantidad de dinero obtenido en 15 años es el triple de los obtenidos en 5 años? c) ¿Cuál será el tiempo mínimo necesario para que la cuenta “duplique” los $1 000.00?

Ecuaciones exponenciales resueltas por logaritmos Objetivo Solucionar ecuaciones exponenciales mediante logaritmos y con el auxilio de la calculadora científica. En la sección anterior resolviste por “tanteos” ecuaciones exponenciales como 2x = 10. En esta sección aprenderás el orden y las teclas que tienes que presionar en tu calculadora para resolver este tipo de ecuaciones directamente. Debes estudiar la siguiente información con la calculadora en la mano, para que puedas entender lo que se está explicando.

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Etapa 3

Ejemplo

Resuelve la ecuación 10x = 3

Procedimiento La solución de la ecuación 10x = 3 es aproximadamente 0.477121255. Para confirmar que esto es correcto, eleva 10 a 0.477121255. Así: 100.477121255 ≈ 3 Ahora busca en tu calculadora la tecla marcada como “log”, que se refiere a logaritmos decimales o de base 10. En algunas calculadoras debes presionar primero la tecla “second function”. Presiona 3 log. Solución La respuesta deberá ser 0.4771212547 (o algo muy parecido por el redondeo). Observa que este valor es aproximadamente el mismo que la solución de la ecuación anterior.

Las letras “log” de la tecla de tu calculadora son una abreviatura de “logaritmo”. Esta palabra, a su vez es una combinación de “lógica” y “aritmética”. El logaritmo decimal de un número es el exponente al que se tiene que elevar la base 10 para obtener el mismo valor del número. Esto es: log 3 = 0.477121… ya que 100.477121 = 3. El símbolo “log 3” (que se lee como “el logaritmo de tres”, se refiere, en este caso, “al exponente que se debe elevar la base 10 para obtener un valor de 3”). La definición formal es la siguiente:

Definición Logaritmo base 10 Si 10x = N, se dice que x = log N y viceversa.

Nota La expresión x = log N es equivalente a decir x = log10 N.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

En esta sección utilizarás los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Las primeras tendrán como base al 10, con el fin de familiarizarnos con los logaritmos y las ecuaciones posteriores tendrán como base otros números.

Ejemplo

Resuelve y verifica la ecuación 10x  = 457

Procedimiento 10x = 457

Escribe la ecuación dada.

x  = log 457

Utiliza la definición de logaritmo base 10.

Solución x  = 2.659916

Encuentra en tu calculadora el valor de log 457.

Debes almacenar esta respuesta en tu calculadora, sin redondearla, para utilizarla en la comprobación. 102.659916 = 457 = 2.659916…

Presiona10y x RCL = Escribe la respuesta.

Logaritmo de una potencia de 10 log 10x = x

Una manera sencilla de recordar lo que esta propiedad dice, es observar que el log y el 10 “se cancelaron, quedando solamente el exponente. Recuerda que x  = log10x  es equivalente a decir x  = log10 10x .

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Etapa 3

Ejemplo

Resuelve y comprueba la ecuación 17 × 10-0.4x  = 29.

Procedimiento

17 × 10-0.4x  = 29

Escribe la ecuación.

29 10-0.4x  = ––– 17

Divide entre 17 ambos miembros de la ecuación.

29 log10-0.4x = log ––– 17

Saca log en cada miembro.

29 -0.4x = log ––– 17

Utiliza la propiedad de log de una potencia de 10.

29 log ––– 17 x = ––––––– Divide entre -0.4 ambos miembros. -0.4 Solución x  = -0.579872

Usa la calculadora.

Debes realizar primero todos los pasos algebraicos antes de evaluar. Este valor, x  = -0.579872, debe ser almacenado en la memoria de la calculadora para realizar la comprobación. Comprobación: 17 × 10 (-0.4x -0.579872…) = 29 Considera ahora que la base de una ecuación es diferente de 10, como en la ecuación 6x  = 152. Una forma de resolver este problema es transformarlo a las formas anteriores con base 10. Para esto, tienes que sustituir el 6 por una potencia de 10 adecuada y el procedimiento será el mismo.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplo

Resuelve y comprueba la ecuación 6x  = 152.

Procedimiento 6x  = 152 (1) 6 = 10k (2)



Para algún k, entonces:

k = log 6 Por definición de logaritmo base 10. (10k)x = 152

Por sustitución de (2) en (1).

10kx  = 152

Potencia de una potencia.

log (10kx ) = log 152



Log en cada miembro.

kx  = log 152

Log de una potencia de 10.

log 152 x  = ––––––– k

Divide entre k ambos miembros.

log 152 x = ––––––– Ya que k = log 6 (como se muestra arriba). log 6 Solución x = 2.803881… Usa la calculadora y almacena la respuesta en la memoria. Comprobación: 62.803881… = 152

S = {2.803881…}

Por calculadora. Solución comprobada.

En el siguiente ejercicio resolverás algunas ecuaciones exponenciales, primero con base 10 y después con otras bases. Ejercicios 1. En los siguientes problemas, resuelve las ecuaciones. Es recomendable que verifiques tus respuestas. a) 10x = 397

b) 10-x = 4.35

c) 47x 10x = 6.7

d) 3.5x 10x = 8.53

e) 103x = 4.333

f) 91.2x 100.3x = 438

2. En los siguientes problemas, resuelve la ecuación transformándola primero a base 10. Comprueba tus respuestas. a) 3x  = 2

b) 7.41x  = 268

c) 85x  = 40 800

d) 11x 5x  = 12

e) 73x  = 10 000

f) 4(230.2x ) = 371

g) 22x = 64

h) 23x  = 8

i) (72)(3.4 )x = 8 650

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Etapa 3

Actividad Se puede encontrar una fórmula para resolver ciertas ecuaciones exponenciales rápidamente. a) Deriva una fórmula para resolver ecuaciones exponenciales de la forma bx  = c resolviendo para x  en términos de b y de c. Utiliza la misma técnica que se empleó en el ejemplo 4. b) Usa la fórmula anterior para resolver la ecuación 29x  = 0.87 y comprueba tu respuesta.

V. Logaritmos con otras bases

Resolver expresiones que involucren logaritmos de base diferente a 10.

En la sección anterior aprendiste a resolver ecuaciones de la forma b x = c, usando logaritmos. En la presente sección se estudiará material destinado a complementar tus conocimientos acerca del tema de logaritmos. Todo con el fin de que puedas resolver problemas en donde el modelo a seguir es una función exponencial. A partir de la definición de logaritmo base 10 que dimos en la sección previa, a saber: log N = x , si y sólo si, 10x  = N La cuestión más importante es que te des cuenta que el significado de logaritmo es un exponente. Para una expresión como 25 = 32, el exponente 5 es el logaritmo en la base 2 de 32. Esta oración se puede abreviar así: log232 = 5 A partir de este ejemplo, la definición formal de logaritmo es:

Definición Logaritmo base b logb N = x , si y sólo si bx  = N

donde N > 0, b > 0, b ≠ 1

En la actividad al final de esta sección encontrarás por qué hay restricciones para los valores de N y b.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

En la expresión Logb N = x , los números se identifican con los siguientes nombres: x  es el logaritmo. b es la base. N es el argumento. Si la base del logaritmo es diferente de 10, la base debe ser suscrita después de las letras “log”. Si la base del logaritmo es 10, entonces se puede omitir la anotación (tal como lo hemos hecho en la sección anterior), a menos que necesites enfatizarla. log N = log10 N Hay una forma muy sencilla para recordar la definición de logaritmo sin necesidad de memorizarla. Supón que desean saber el significado de: v = loga w Tu proceso mental debe ser el siguiente: 1. La ecuación se lee, “v es igual al logaritmo en la base a de w”. Así es que a debe ser la base. 2. La ecuación se lee, “v es el logaritmo…”, y un logaritmo es un exponente. Así es que v es el exponente. 3. Solamente el número que falta es la w. Así que debe ser la “respuesta”, y finalmente puedas escribir la forma exponencial av = w. Ejemplo

Encuentra el valor de x , si log3 x  = - 4.

Procedimiento La clave para resolver este problema es transformando la expresión a la forma exponencial. log3 x  = - 4 3-4 = x

Utiliza la definición de logaritmo.

Solución 1 x = ––– 81

Definición de exponentes negativos.

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Etapa 3

Ejemplo

Encuentra el valor de x , si log2 8 = x .

Procedimiento Log2 8 = x  2x = 8

Utiliza la definición de logaritmo.

2x = 23

Expresa ambos miembros de la ecuación con la misma base.

Solución

x  = 3

Por ser 3 el único valor de x , por el cual 2x  = 8.

Ejemplo 2 Encuentra el valor de x , si log x 4 = —. 3

Procedimiento

2 logx  4 = — 3 2 –

3 x  = 4

2 3 – –

3 –

(x 3) 2 = 4 2

Utiliza la definición de logaritmo. Eleva ambos miembros de la ecuación a la solución (el recíproco del exponente de la x ). Multiplica los exponentes en el lado izquierdo y evalúa la potencia en el derecho.

Solución x  = 8

Actividad La definición de logaritmo establece que: x  = logb N, si y sólo si, bx  = N, donde N > 0, b > 0 y b ≠ 1. Al contestar la presente actividad te darás cuenta de por qué los valores de N y b están restringidos. a) Encuentra un ejemplo que muestre que N sería un número imaginario si la b es negativa. b) Explica por qué no existe valor para los siguientes números: log1 5 y log0 5. c) Explica por qué el argumento N debe ser una cantidad positiva si la base b es positiva. d) Trata de encontrar el valor de log(-5) en tu calculadora. ¿Qué ocurrió?

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Funciones exponenciales y logarítmicas

Con el siguiente ejercicio obtendrás práctica en el uso de la definición de logaritmo. Al final del ejercicio se introducirán las propiedades de los logaritmos. Ejercicios 1. En los siguientes problemas encuentra el valor de x. a) log3 x  = 2

k) log5 x  = 2

b) log3 x  = -3

l) log 1 x  = 5 – 2

1 1 c) log4 x  = — m) log-4 x  = — 2 2

() ( )

1 d) log3 81 = x  n) log3 — = x  9 1 e) log 1 8 = x ñ) log 1 ––– = x  – –– 4 64 20 f) log3 3 = x

o) log5 1 = x 

g) log3 35 = x

p) logb b n = x ; b > 0 y b ≠ 1

h) logx  16 = 4

q) logx 4 = 1; x > 0 y x ≠ 1

() ( )

1 3 i) logx  — = 3 r) logx 64 = — 8 4

( )

1 1 1 j) logx  ––– = — s) logx ––– = -6 25 2 64 2. Existen tres propiedades de los logaritmos que corresponden a tres propiedades de los exponentes. En este problema tratarás de descubrir cuáles son esas propiedades. a) El logaritmo de un producto. • Encuentra log3. • Encuentra log5. • Encuentra log15. • ¿Verdadero o falso? log(3 · 5) = (log3) (log5). • Determina si log (3 · 5) realmente se puede expresar en términos de log3 y log5. • Saca la conclusión: log(x y) = • Comprueba tu conclusión con log(37 · 89) escribiendo primero a qué debe ser igual el otro lado de la igualdad, y después evalúa ambos lados. • Completa la siguiente oración: “El logaritmo de un producto es igual a….”.

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Etapa 3

b) El logaritmo de un cociente.

()

x • Saca la conclusión: log — = ____________________. y 30 • Comprueba tu conclusión con log ––– , escribiendo primero a qué debe ser igual el otro 5 lado de la igualdad y después evalúa ambos lados. •

( )

Completa la siguiente oración: “El logaritmo de un cociente es igual a…____________”.

c) El logaritmo de una potencia. • Muestra que log25 = 5 log2, evaluando ambos lados. • Saca la conclusión: log(y n) = _____________________. • Comprueba tu conclusión con log(34), escribiendo primero a qué debe ser igual el otro lado de la igualdad, y después evalúa ambos lados. • Completa la siguiente oración: “El logaritmo de una potencia es igual a… –––––––––––”. • Dada la ecuación 7x  = 13, aplica log en ambos lados y muestra cómo esta propiedad puede usarse para resolver la ecuación.

VI. Propiedades de los logaritmos Objetivo Conocer y aplicar las propiedades de los logaritmos, como una extensión de las leyes de los exponentes, con el fin de utilizarlas, cuando sea necesario, en el trabajo de funciones exponenciales o logarítmicas, o en problemas de aplicación.

Existen tres propiedades de los logaritmos que provienen directamente de las correspondientes propiedades de la exponenciación. Probablemente ya descubriste cuáles son esas propiedades al realizar el segundo ejercicio de la sección anterior. Debes tener tu calculadora a la mano mientras estudias las propiedades de los logaritmos para que puedas verificar dichas propiedades. Veamos un ejemplo de cada propiedad: 1. El logaritmo de 15, que es un número compuesto, puede obtenerse directamente, pero también sumando los logaritmos de dos de sus factores, 5 y 3. log15 = 1.176981…

Directamente.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

Por otro lado: log5 = 0.698970… log3 = 0.477121… –––––––––––––––––– = 1.176981…

Sumando las dos log.

Los resultados coinciden, en otras palabras, log(5 · 3) = log5 + log3. Generalizando tenemos: log(M · N) = logM + logN Esta propiedad pudiera tener la apariencia de una propiedad distributiva, pero no lo es, porque la operación cambia de multiplicación a suma. La propiedad es simplemente un ejemplo de que los logaritmos son exponentes y cuando multiplicas dos potencias de la misma base, sumas sus exponentes. 30 2. Una propiedad similar se aplica al logaritmo de un cociente. Por ejemplo, ––– igual 6. 5

log6 = 0.778151…

Directamente.

Luego; log30 = 1.477121 log5 = 0.698970… ––––––––––––––––– = 0.778151…

Restando los log.

30 Para este caso observamos que log ––– = log30 – log5. 5 Generalizando:

( )

M log ––– = logM – logN N Otra vez, la propiedad es un resultado directo de que los logaritmos son exponentes, porque cuando divides potencias de la misma base, restas sus exponentes. 3. La tercera propiedad se aplica al logaritmo de una potencia. Por ejemplo, 32 es igual a 25. Es posible obtener el valor de log32, multiplicando 5 por log2.

log32 = 1.505149…

5(log2) = 5(0.301029…) = 1.505149…

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Etapa 3

En otras palabras: log(25) = 5(log2) Esta propiedad puede justificarse utilizando varias veces la propiedad del logaritmo de un producto. log(25) = log(2 × 2 × 2 × 2 × 2) = log2 + log2 + log2 + log2 + log2 = 5(log2) Esta característica también puede ser explicada observando que cuando elevas una potencia a un exponente, multiplicas los exponentes, pues tanto el 5 como el log2 son exponentes. En general: log(M b) = b(logM) Estas propiedades del logaritmo son válidas para cualquier base (valor permisible) y pueden resumirse y enunciarse formalmente de esta manera: Propiedades de los logaritmos 1. Logaritmo de un producto. logb (x y) = logb x  + logb y 2. Logaritmo de un cociente.

()

x logb — = logb x  - logb y y

3. Logaritmo de una potencia. logb (x n) = n(logb x ) “El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base”.

Ejemplo

Si log2 ≈ 0.301 y log3 ≈ 0.477, utiliza las propiedades de los logaritmos para encontrar un valor aproximado de log48, sin usar la tecla “log” de la calculadora.



Procedimiento El procedimiento consiste en descomponer el 48 en sus factores primos (en base a factores primos 2 y 3).

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Funciones exponenciales y logarítmicas

log48

= log(24 × 3)



= log24 + log3

Log de un producto.



= 4(log2) + log3

Log de una potencia.



≈ 4(0.301) + 0.477

Sustituye los valores dados.

Solución ≈ 1.681 Si deseas puedes verificar tu respuesta en tu calculadora: log48 = 1.681241…

Nota La respuesta que obtienes en este tipo de problemas puede diferir a partir del tercer lugar decimal del resultado que te da la calculadora, pues recuerda que trabajaste con cantidades redondeadas.

Ejemplo

Expresa log7 3 + 2log7 5, como un logaritmo único, de un solo argumento.

Procedimiento log7 3 + 2 log7 5

= log7 3 + log7 52

Log de una potencia (a la inversa).



= log7 (3 · 52)

Log de un producto (a la inversa).

Solución log775 Las propiedades de los logaritmos te permiten resolver ecuaciones exponenciales sin la necesidad de sustituir la base por una potencia de 10. De seguro también lo descubriste al terminar de resolver el ejercicio de la sección anterior.

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Etapa 3

Ejemplo Resuelve la ecuación 7x  = 83, aplicando el log a cada miembro y utilizando la propiedad de potencia de los logaritmos.



Procedimiento

7x  = 83 log7x  = log83 x  log7 = log83

Log de una potencia.

log83 x = ––––– log7

Divide entre log7.



Solución

x = 2.270834… No está por de más verificar mentalmente la pertinencia de la respuesta para comprobar que hemos estado utilizando los procedimientos correctos. La respuesta es adecuada, pues 72 = 49, 73 = 343 y 83 está entre 49 y 343. Por lo tanto; S = {2.270834…}. Antes de que existieran las calculadoras, los logaritmos ofrecían una manera eficiente para multiplicar varios números juntos, como: (317)(22.4)(7 810)(4.9) En el siglo XVIII, el matemático inglés, Henry Briggs recopiló en una tabla logaritmos de base 10 (llamados logaritmos “comunes”). Con esta tabla era posible buscar los logaritmos de cada uno de los factores y sumarlos. La ventaja era que una multiplicación se podía transformar en una suma de de logaritmos y toda la operación se realizaba al mismo tiempo, en una misma columna, pues la multiplicación hecha con “papel y lápiz” solamente se puede efectuar tomando dos factores a un tiempo. El procedimiento consistía en esto: Factores Logs 317 2.5011 22.4 1.3502 7 810 3.8927 4.9 0.6902 –––––––– Suma... 8.4342 La respuesta es igual a 108.4342 (por definición de logaritmo). Luego, usando la misma tabla, pero en forma contraria a la anterior, uno encuentra que 108.4342 es como 2.72. Por lo tanto, la respuesta en notación científica es aproximadamente 2.72 × 108. (Con una calculadora puedes, tranquilamente, comprobar que el resultado de la multiplicación anterior es 2.717405… × 108). 196

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Funciones exponenciales y logarítmicas

La tabla de logaritmos de Briggs la encuentras todavía al final de algunos textos de matemáticas. En la actualidad las tablas han pasado al desuso, en su lugar, ahora se manejan calculadoras científicas. Nota

Las partes de un logaritmo reciben nombres específicos. Por ejemplo, en la igualdad: log317 ≈ 2.5011 Al 2 se le llama característica del logaritmo. Al .5011 se le llamaría mantisa del logaritmo. Al argumento 317 se le llama antilogaritmo de 2.5011, o simplemente antilog.

Actividad Contesta las siguientes preguntas: a) Buscar en un tabla logarítmica los tres logaritmos mostrados anteriormente: log22.4, log7 810 y log4.9. Asegúrate de conocer dónde encontrar la mantisa y cómo determinar el valor de la característica. b) Encuentra la forma de cómo usar la tabla de logaritmos a la inversa para determinar que el antilog de 0.4330 es 2.71. c) Muestra que ya aprendiste a usar la tabla de logaritmos y encuentra el valor aproximado de (79.2)(37 400)(409).

Ejercicios 1. Muestra que la propiedad es válida, evaluando ambos miembros de la ecuación. a) log(9)(5) = log9 + log5 b) log(51 ÷ 3) = log51 -log3 c) log(54) = 4(log5) 2. Encuentra los siguientes logaritmos sin usar la tecla “log” de tu calculadora. Considera que log2 ≈ 0.301 y que log3 ≈ 0.477.

()

3 a) log6 b) log — 2 c) log27 d) log36 e) log16

f) log2100

g) log1 000

h) log2 000

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Etapa 3

i) log4 000

j) log6 000

k) log8 000

l) log(3 × 103)

m) ¿Qué patrón advertiste en las respuestas de los incisos g) a l)? 3. Escribe la expresión como un logaritmo único de un solo argumento. 17. log73 + log78

18. log512 – log53

19. log116 + log115 + log114

20. log2225 + log23 – log215

21. log54

22. 4log83 – log827

4. Muchas calculadoras no pueden trabajar con números grandes o que tienen exponentes mayores de 99. Sin embargo, puedes evaluar estas potencias si en tu calculadora encuentras el logaritmo de la respuesta. Sigue las indicaciones para efectuar lo siguiente: • Evalúa 1 77653 • Evalúa 2 08397 • Evalúa 0.007105 • Si 854231 fuera evaluado exactamente, ¿cuántos dígitos tendría la respuesta? • Si 0.21 000 fuera evaluado exactamente, cuántos ceros existirían entre el punto decimal y el primer dígito distinto de cero?

VII. Demostración de las propiedades de los logaritmos En la sección anterior aprendiste tres propiedades de los logaritmos. En esta sección se demostrarán formalmente y conocerás otras propiedades que te serán de mucha utilidad en las aplicaciones al mundo real.

A partir de las propiedades de los exponentes, y por lo tanto de los logaritmos, derivar otras propiedades y probar su veracidad. La primera propiedad que derivarás proviene del problema de transformar un logaritmo con una base a un logaritmo con otra base.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplo

Encuentra aproximadamente el valor de log245, utilizando logaritmos base 10.

Procedimiento La manera de resolver este problema es convirtiéndolo a la forma exponencial. Si x = log245, entonces: 2x = 45

Definición del logaritmo.

log2x  = log45

Saca el logaritmo base 10 a cada miembro.

x  log2 = log45

Log de una potencia.

log45 x = –––––– log2

Divide entre log2.

log45 log245 = –––––– log2

Sustituye la x .



Solución

log245 = 5.491853… Comprueba con la calculadora: 25.491853… = 45. La propiedad que buscamos aparece arriba, antes de la evaluación (penúltimo paso). Observa que la propiedad te servirá para representar en base los logaritmos de otras bases y viceversa. Una forma rápida para encontrar el logaritmo en base 2 de 45 es, como se vio en el ejemplo anterior, encontrar el logaritmo base 10 de 45 y luego dividirlo entre el logaritmo base 10 de 2. log45 log245 = ––––– log2 Éste es un ejemplo de:

La propiedad del cambio de base de un logaritmo logax logbx = ––––– log ab

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Etapa 3

Ejemplo

Demuestra que logb(x  y) = logbx  + logby

Demostración: Si m = logbx  y n = logby, entonces; m = x  y bn = y b 

Por definición de logaritmo.



Trasponiendo luego los miembros de la igualdad, obtienes:

Si multiplicas x  por y

bmbn = x y

b(m + n) = xy Así que:



m + n = logb (x y)

Por definición de logaritmo.

Por lo tanto; logb(x y) = logbx  + logby

Por simetría y sustitución.

Ésta es una de las propiedades estudiadas y analizadas en la sección previa.

Ejercicios 1. En los siguientes problemas, encuentra el valor del logaritmo: a) log728

b) log4563

c) log578125

2. En los siguientes problemas, demuestra las siguientes propiedades especiales: logbb = 1 c) logb0 es indefinido. a) logb1 = 0 b) 3. Evalúa los siguientes problemas:

2 –

a) log998

b) 3 log44 3

c) 5log57

d) 10log5

e) Demuestra la propiedad del logaritmo de un cociente. f) Demuestra la propiedad del logaritmo de una potencia.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

4. En lo siguientes problemas se presentan algunas propiedades poco comunes de logaritmos. Demuestra cada propiedad: a) Cambio de base logbx  logax  = ––––– logba b) Proporcionalidad directa logax  = (c) (logbx ) donde c es una constante c) Producto de dos logaritmos (logab) (logbc) = logac d) Recíproco. 1 logab = ––––– logba e) Base con una potencia 1 log(bn) x  = — logax  n f) Base y argumento con una potencia logC(b n)(x n) = logbx 

Actividad 1. Hay una tecla en tu calculadora marcada como ln. La “l” es por “logaritmo” y la “n” es por “natural” o “neperianos” (en honor al matemático escocés, John Napier). En este problema investigarás los logaritmos naturales: a) Encuentra ln2 y ln3. b) Una de las propiedades especiales de los logaritmos es que logbb = 1. Si puedes encontrar un número b, tal que lnb = 1; ese número es la base de los logaritmos naturales. Encuentra una aproximación con tres lugares decimales para esta base. c) La base de los logaritmos naturales es un número trascendente llamado e. Para encontrar un valor más preciso de e, anota 1 en tu calculadora y luego presiona la tecla ex . La respuesta en el inciso b debe estar muy cerca de este valor. 2. La propiedad de “proporcionalidad directa”, ofrece una forma rápida para encontrar logaritmos de otras bases.

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Etapa 3

a) En la actividad previa aprendiste el significado de logex , donde e = 2.7182818284… Encuentra el valor de la constante que debe multiplicar a log10x para obtener ln en la respuesta. b) Verifica que tu respuesta en el inciso a es correcta, evaluando “ln5” de dos formas; multiplicando la constante por log5 y directamente en la calculadora utilizando la tecla ln. c) ¿Cómo encontrarías el valor de log17, si sabes que ln17 = 2.833213…?

VIII. Función logarítmica Objetivo Aplicar los conocimientos sobre logaritmos en problemas y situaciones de la vida real. Aún cuando existen, como vimos en las actividades anteriores, otro tipo de logaritmos (naturales o neperianos) tan útiles como los decimales, en los siguientes problemas de aplicación vamos a hacer referencia únicamente a los logaritmos de base 10. Con todo lo que has estudiado hasta el momento, estás en condiciones de abordar esta sección aplicando directamente la función logarítmica a diversos problemas del mundo real. Si encuentras dificultades, consulta con tu maestro y tus compañeros. Ejercicios 1. En cada uno de los siguientes problemas, escribe la información dada como una función logarítmica, para así contestar lo que se te pide. a) La cantidad de energía Richter de un temblor está determinada por el logaritmo base 10 de la intensidad (amplitud de vibración). El temblor que sacudió la ciudad de San Francisco en abril de 1965 fue de 7 grados en la escala de Richter. El temblor de la ciudad de México, en septiembre de 1985, llegó a los 8.25 grados Richter. Para una persona que conoce poco acerca de los logaritmos, 8.25 no le representa mucha diferencia con respecto a 7. Utilizando tus conocimientos sobre los logaritmos, determina cuántas veces fue más intenso el temblor de la Ciudad de México en relación con el de San Francisco. b) La intensidad de sonido es medida en decibeles. La cantidad de decibeles es 10 veces el logaritmo base 10 de la potencia acústica relativa de las ondas sonoras. Un sonido estándar débil que tiene la fuerza suficiente para ser escuchado tiene una potencia acústica relativa de 1. Calcula la intensidad en decibeles de los siguiente sonidos:

Sonido

Potencia acústica relativa

• • • •

Un susurro Música suave Nivel normal de la voz Avión (jet)

125 4 000 12 000 2.3 × 1012

202

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Funciones exponenciales y logarítmicas

• Si un género de música fuerte, “heavy metal”, tiene una intensidad de 118 decibeles; encuentra su potencia acústica relativa. c) La acidez de una solución es medida por su pH (potencial de hidrógeno). El pH es el “negativo” del logaritmo base 10 de la concentración del ión-hidrógeno en moles por litro (H+). pH = -log(H+) • Encuentra el pH de las siguientes sustancias: Solución

Concentración de iones-hidrógeno

Agua natural

1.0 × 10-7

Leche

4.0 × 10-7

Sangre humana

6.3 × 10-8

Jabón de lejía

9.2 × 10-12

• Si el pH del vino es 3.3, encuentra su concentración de iones-hidrógeno. • Si el pH del tomate es 4.2, encuentra su concentración de iones-hidrógeno. ¿Son lo tomates más o menos ácidos que el agua natural? d) Otra forma de calcular la intensidad del sonido d medida en decibeles (dB), y cuya potencia “P” medida en watts/cm2; se calcula con la ecuación: d = 10(log P + 16). • Calcula la intensidad de un sonido cuya potencia es de 0.0025 watts/cm2. • Calcula la potencia de un sonido cuya intensidad es de 135 decibeles (dB). e) Los niveles de intensidad del sonido en decibeles (dB) b1 y b2, a las distancias d1 y d2, de una fuente sonora están relacionados por la ecuación siguiente:

d1 b2 = b1 + 20 log ––– d2

Si el nivel de intensidad del sonido en un concierto de rock es de 120 dB a una distancia d1 de 2 m de los altavoces, entonces: • Determina el nivel de intensidad a una distancia de 20 m. • ¿A qué distancia se debe colocar una persona para que el nivel del sonido sea de 80 dB? f) Considera que la siguiente ecuación log A = -2.144 + 0.425 log m + 0.725 log h relaciona el área A de la superficie de un cuerpo en m2, la masa m de dicho cuerpo medida en kg y su altura h medida en cm. Resuelve lo siguiente: • Si la masa de un cuerpo es de 65 kg y su altura es de 160 cm, ¿cuál será el área de su superficie corporal? • Si la masa es de 65 kg y el área corporal es de 1.75 m2, ¿cuál será su altura? • Si la altura es de 155 cm y el área es de 1.47 m2, ¿cuál seá el valor de la masa?

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Etapa 3

IX. Gráfica de la función logarítmica

Identificar la forma de la gráfica de la función logarítmica, así como realizar el trazo de una función logarítmica cualquiera.

Sea una función logarítmica, por ejemplo; y = log5x. Sabemos que si no escribimos la base, nos damos por enterados de que se trata de base 10. Hagamos, con ayuda de la calculadora, una tabla de valores para esta función: x

y = f (x ) = log5x 

1

0.7

2

1

3

1.18

4

1.3

0

error

-1

error

y 2

x

0 –1

0

1

2

3

4

–2

¿Por qué no hay valor de la función para x  = 0, para x  = -1? Si recuerdas la definición para logaritmo, en general tenemos: logbN = x , si y sólo si, bx  = N, donde N > 0, b > 0, b ≠ 1 donde N, es decir el argumento, debía ser positivo, al igual que la base. Pues bien, en este ejemplo y = log5x , el argumento 5x  debe ser positivo, por lo que no admite que la x  sea 0 ni negativa. Fíjate, en cambio, la y si puede ser negativa. ¿Por qué? Pues porque en la ecuación y = log5x , la y es justamente el exponente de la base 10, y el exponente sí puede tomar valores negativos, o incluso 0. 204

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Funciones exponenciales y logarítmicas

¿Cuál sería el dominio y el rango de esta función? Tal como decíamos, para que el argumento 5x  sea positivo, de acuerdo con la definición de logaritmo, la x  no puede ser negativa, ni tampoco 0. Por lo tanto, el dominio sería todos los reales positivos:

Dominio = { x /x  es real y x  > 0 }

El rango, en cambio, como decíamos, que y es el exponente de la base 10, puede tomar cualquier valor real:

Rango = { y /y  es real } = reales

Ejercicios

1. Realiza las gráficas que se te piden y determina en cada una el dominio y el rango: x a) y = f (x ) = log2x  b) y = f (x ) = log — 2 c) y = f (x ) = log22x

d) y = f (x ) = log5x 

X. Funciones exponenciales como modelos matemáticos Objetivo Modelar situaciones del mundo real que involucren funciones exponenciales y logarítmicas, resolviéndolas con la aplicación de las propiedades estudiadas.

La ecuación general de una función exponencial es: f (x) = abx donde a y b son valores constantes. En los temas anteriores has aprendido cómo encontrar y cuando el valor de a es dado, y cómo encontrar x cuando el valor de y es dado, por la relación que existe entre la forma exponencial y la forma logarítmica de una expresión. En esta sección aprenderás una propiedad que te permitirá, primero, calcular muchos valores de y rápidamente, también a analizar los datos para ver si corresponden a los de una función exponencial y después, encontrar la ecuación particular y de esta manera determinar el modelo matemático.

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Etapa 3

Considera que la ecuación particular de una función exponencial es f (x ) = 3(2)x . x

f (x )

0

3

1

6

2

12

3

24

4

48

5

96

Cada vez que se suma 1 a x, el valor de f (x) se multiplica por 2. Este hecho no debe sorprenderte porque el exponente x  te dice cuántos 2’s se multiplican juntos. En general, sumar una constante al valor de x  en una función exponencial tiene el efecto de multiplicar f (x ) por una constante diferente. Para la función anterior, sumar 2 a la x implica que f (x) se tenga que multiplicar por 4. Propiedad de la suma-multiplicación de una función exponencial Si f (x ) = a(b)x , entonces f (x  + c) = f (x )b c. (Sumar una constante al valor de x , entonces f (x ) se tiene que multiplicar por una constante, en general, diferente).

Ejemplo

Considera que f (x ) varía exponencialmente con x , si f (3) = 100 y f (5) = 80. Calcula valores de f (x ) y úsalos para trazar la gráfica de la función:

Procedimiento Observa que la función es exponencial, así que puedes usar la propiedad de la suma-multiplicación. También, que x  se incrementa en 2 (va de 3 a 5). Luego, ¿por qué factor tienes que multiplicar el 100 para obtener 80? La respuesta es 0.8. Para entrar en la tabla de la página siguiente, cuando x  se incrementa en 2, el valor de f (x ) se encuentra multiplicando el valor precedente por 0.8. Cuando x  se decrementa en 2, el valor de f (x ) se encuentra dividiendo entre 0.8 el valor anterior.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

x

f (x )

3

100

5

80

7

64

9

51.2

11

40.69

1

125

-1

156.25

-3

195.31

y = f (x) 200

100

x

0 –2

0

2

4

6

8

10

12

Ejemplo

Considera que el número de bacterias por milímetro cuadrado (mm2) en un cultivo, en el laboratorio de Biología, varía exponencialmente con el tiempo. El martes hay 2 000 bacterias por mm2. El jueves el número de bacterias se incrementó a 4 500. a) Deriva la ecuación particular. b) Predice el número de bacterias por mm2 que tendrá el cultivo en una semana. c) Predice el tiempo que tardarían en reproducirse hasta llegar a 10 000 bacterias por mm2. d) Traza la gráfica de la función.

Procedimiento a) Si N es el número de bacterias/mm2 , t es el tiempo (en días) desde el martes, como N varía exponencialmente con t, la ecuación general es: N = a(b)t

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Etapa 3

Y los pares ordenados dados son (0, 2 000) y (2, 4 500). Sustituyendo (0, 2 000) en la ecuación general, obtienes que: 2 000 = ax b 0 2 000 = a Sustituyendo a por 2 000 y (2,4500) en la ecuación general, obtienes: 4 500 = 2 000b 2 1 Para despejar la b, primero divide entre 2 000 y luego eleva cada miembro a la —. 2 4 500 –––––– = b 2 2 000 2.25 = b 2 1 –

1 –

(2.25) 2 = (b 2) 2 1.5 = b Por lo tanto, la ecuación es: Solución N = 2 000(1.5)t b) Para el próximo martes, t será igual a 7, entonces; N = 2 000 × 1.57 = 34  171.87… Solución Bacterias 34 000 ––––––––– mm2 c) Sustituye 10 000 por N. Para obtener t, debes sacar logaritmo a cada miembro de la ecuación resultante, pues t es un exponente. Pero primero ordena un poco la ecuación.

10 000 = 2 000 × 1.5t 5 = 1.5t



log5 = log(1.5t )



log5 = t (log1.5)

log5 –––––– = t = 3.9693… log1.5 Solución t ≈ 4 días

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Funciones exponenciales y logarítmicas

bacterias Aproximadamente el sábado (como 4 días después), el cultivo tendría 10  000 –––––––– mm2 d) Una aproximación gráfica se muestra en la siguiente figura: y 4  10ˆ 4

2  10ˆ 4

x –2

2

0

4

6

8

10

Ejercicios 1. En los siguientes problemas, considera que f es una función exponencial con los dos valores dados. Utiliza la propiedad de las funciones exponenciales para calcular otros cuatro valores de f (x), para dos valores de x y para dos valores menores de x. Luego úsalos para trazar la gráfica. a) f (2) = 36 y f (5) = 54

b) f (3) = 20 y f (7) = 24

c) f (4) = 100 y f (6) = 70

d) f (1) = 50 y f (3) = 20

2. ¿Cuáles de las siguientes funciones podrían ser una función exponencial? ¿Por qué las otras no lo son? a

b

c

d

x

f (x )

x

g (x )

x

h (x )

x

k (x )

1

12

5

20

7

1.73

7

1.73

4

48

10

40

13

6.40

13

6.40

7

192

15

60

19

25.12

19

23.68

10

768

20

80

25

82.47

25

87.63

3. Considera que la población del país se incrementa exponencialmente con el tiempo. El censo de 1980 mostró que la población era de 82 millones de habitantes. El censo de 1990 mostró que la población se incrementó a 100 millones aproximadamente. a) ¿Cuál fue el factor de crecimiento de la población de 1980 a 1990? Utiliza este factor y las propiedades de las funciones exponenciales para predecir los resultados para los años 2000, 2010 y 2020.

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Etapa 3

b) Traza la gráfica de población contra tiempo desde 1980 a 2020. c) Encuentra la ecuación particular expresando la población en términos de número de años que han transcurrido desde 1980. d) Utiliza la ecuación anterior para predecir la población de este año. Verifica tu respuesta en la gráfica del inciso b. e) Predice el año en que la población del país alcanzará los 200 millones de habitantes. f ) De acuerdo con tu modelo matemático, ¿cuál era la población del país cuando estalló la Revolución Mexicana (en 1910)? Verifica el dato en una enciclopedia y explica cualquier diferencia que puedas observar. 4. El señor Garza está conduciendo su automóvil en línea recta, en una autopista nivelada, a km 64 kilómetros por hora ––– , cuando en ese momento se le acaba la gasolina. A pesar de h que no pisa el pedal del freno, tampoco le responde el acelerador y su velocidad disminuye exponencialmente con el número de segundos desde que se acabó el combustible, cayendo km a 48 –––, después de 10 segundos. h

( )

a) Escribe la ecuación particular expresando la velocidad en términos del tiempo. b) Predice la velocidad del auto del señor Garza después de 25 segundos.

km c) ¿En cuánto tiempo, el señor Garza, podrá reducir la velocidad del auto a 10 –––? h d) Traza la gráfica de la función como un dominio desde 0 hasta el tiempo en que el auto km alcanzó los 10 –––. h e) Explica por qué este modelo matemático no obtiene respuestas adecuadas cuando el tiempo toma valores muy grandes. 5. Considera que el número de horas que la leche permanece fresca decrece exponencialmente con la temperatura. Supón que la leche dentro del refrigerador, a 0 °C, se conservará por 192 horas, y que afuera del refrigerador, en la cocina, a 20 °C, se conservará solamente por 48 horas. a) Si h es el número de horas que la leche se conserva fresca y t es la temperatura en grados centígrados. Escribe la ecuación particular expresando h en términos de t. b) A partir de la ecuación determina cuánto tiempo se conservará la leche en buen estado, si la colocas en el patio de tu casa, en un día caluroso, a 35 °C. c) Aplicando la propiedad de las funciones exponenciales, predice h para las temperaturas de 40 °C, 60 °C y 80 °C. d) Traza la gráfica de h contra t, para valores de t, desde 0 °C hasta 80 °C.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

6. La niña Sandra García, accidentalmente inhaló un gas insecticida venenoso. Veinte horas después, al no sentirse bien, su mamá la llevó con un doctor. Del análisis de sangre, el doctor midió una concentración de veneno de 0.00372 miligramos por cm3 (mm/cc) e inmediatamente la internó en el hospital. Ocho horas después, en un segundo análisis se le encontra mg ron 0.00219 –––. cc mg a) Si C es la concentración de veneno en la sangre en ––– y t son las horas que han trans cc

currido desde el primer análisis, determina la ecuación particular de esta función, considerando que C es eliminado, por la misma sangre, exponencialmente con respecto a t.

b) El doctor le dice a la mamá de la niña que pudo tener serias consecuencias si la concen mg tración hubiera sido superior a 0.015 –––. Basado en tu modelo matemático, ¿cuál fue la cc

C, inmediatamente después del accidente?

mg c) La niña Sandra será dada de alta del hospital cuando su C haya bajado hasta 0.00010 –––. cc

¿En cuánto tiempo la niña volverá a realizar sus actividades normales?

d) Traza la gráfica de C contra t, desde el tiempo en que inhaló el gas hasta el tiempo en que salió del hospital. 7. Después de servir una taza de café hirviendo, éste se va enfriando de tal forma que la “diferencia” entre la temperatura del café y la temperatura de la habitación, decrece exponencialmente con el tiempo, según la “ley del enfriamiento de Newton”. Supongamos que sirves una taza de café; tres minutos después mides su temperatura y encuentras que está a 85 °C. Cinco minutos después de la primera lectura observas que ha bajado a 72 °C. La habitación normalmente se mantiene a una temperatura de 20 °C. Si:

c = temperatura del café.



D = diferencia de temperatura (la del café y la de la habitación).



t = tiempo (desde que se tomó la primera lectura).

a) Demuestra que entendiste las definiciones de D y t, escribiendo la información dada como dos pares ordenados, (t, D). b) Determina la ecuación particular expresando D en términos de t. c) ¿Cuál es el valor de t cuando el café fue servido en la taza? Sustituye este valor de t en la ecuación y encuentra D. Basado en tu respuesta, ¿cuál era la temperatura, c, del café cuando fue servido en la taza? d) Considera que el café se puede tomar a partir de una temperatura de 55 °C. ¿Cuánto tiempo después de haberse servido se puede tomar el café?

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Etapa 3

e) Utilizando las propiedades de las funciones exponenciales, determina la temperatura c del café, cada cinco minutos, desde t = 10 hasta t = 60. No olvides sumarle al valor de D calculado, la temperatura de la habitación. f ) Traza la gráfica de la función, temperatura del café contra tiempo, desde que fue servido en la taza hasta t = 60. Dibuja una línea punteada en el lugar apropiado para mostrar la asíntota. 8. Si la cantidad de material radiactivo remanente (Q) medido en gramos de una sustancia después de t años se calcula con la expresión: Q (t ) = 200(0.8)t. a) Encuentra la cantidad de material radiactivo que quedará después de 15 años. b) ¿Después de cuántos años quedarán 33.6 g? 9. Supón que debes realizar un experimento con bacterias, pero debido a tus actividades le pides a un amigo tuyo que inicie el experimento. Él empieza, pero no sabe cuántas bacterias puso al principio. Al realizar tus conteos encuentras que a las dos horas de iniciado el experimento había 4 500 bacterias y a las 4 horas tenías 10 125 bacterias. Si de pronto viene tu maestro y te pregunta: ¿Con cuántas bacterias empezaste? ¿Cuál sería tu respuesta? 10. Considera que invertiste $1 000 en el banco y éste te paga el 10% anual de intereses, los cuales se van agregando al capital. Encuentra una ecuación exponencial que represente el dinero acumulado en el tiempo. a) ¿Cuánto dinero tendrías al trascurrir 20 años? b) ¿Cuántos años transcurrirán para que tengas acumulado el doble de lo invertido? 11. Considera que la población P de un país es de 65 millones de habitantes y está creciendo exponencialmente a una tasa anual de 1.5 %. Escribe la ecuación que describe este comportamiento después de t años. 12. Cuenta la leyenda que, hace muchos años, un poderoso rey del Medio Oriente recibió como regalo un tablero de ajedrez magníficamente elaborado. El rey aprendió a jugarlo y le agradó tanto que le daría lo que pidiera a quien se lo regaló. La persona que se lo regaló le pidió lo siguiente: “Deseo tener suficiente trigo para poner un grano en la primer casilla del tablero, dos granos en la segunda casilla, cuatro en la tercera y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez, hasta llegar a la última casilla”

El rey ordenó que trajeran inmediatamente un costal de trigo, pero pronto se empezó a preocupar e hizo venir al matemático de la corte. ¿Qué le habrá dicho el matemático al rey? ¿Será éste un comportamiento exponencial? Si lo es encuentra una ecuación que lo represente. a) Suponiendo que 1 000 granos de trigo pesan 35 gramos, ¿Cuánto trigo tendría que entregar el rey por la casilla 32? b) ¿Y cuánto por la última casilla?

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4 Etapa

Geometría analítica

4.1 Introducción a la geometría analítica La geometría y el álgebra son ramas de la matemática que se fueron desarrollando de forma independiente hasta el siglo xvii, cuando el matemático y filósofo René Descartes escribió una obra* en la que incluía un tema sobre geometría, en donde establece una relación entre ésta rama de la matemática con el álgebra, al elaborar el método de las coordenadas como una forma de localizar cualquier punto en un plano. Hoy en día es muy común el método de las coordenadas. En él se emplea el sistema de coordenadas cartesianas, llamado así el sistema desarrollado por Descartes para localizar un punto o un objeto por medio de números y otros símbolos. Con ello, se pudieron emplear los métodos utilizados por el álgebra en la solución de problemas planteados por la geometría y a la vez, apoyar con la geometría a los problemas planteados por el álgebra, dando origen a una nueva rama de la matemática: la geometría analítica. Con su llegada se enriquecieron ambas disciplinas, sentando así las bases para el surgimiento de una nueva rama de la matemática: el cálculo. Esto dio un gran impulso al desarrollo de la matemática. Sin la geometría analítica es imposible dominar el cálculo diferencial e integral, las cuales constituyen a su vez, herramientas imprescindibles en la formación de ingenieros, físicos, matemáticos, químicos, economistas, biólogos, agrónomos y otros profesionistas. Así pues, estos temas que se incluyen en el texto pueden resultar de gran importancia para quien lo estudie.

* Esta obra de extraordinaria importancia para la ciencia es el Discurso del Método, publicado en 1637, y en su última parte incluye un tratado sobre geometría.

213

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Etapa 4

I. Sistemas de coordenadas cartesianas Objetivo Localizar diferentes puntos usando sus coordenadas en la recta numérica y en el plano cartesiano.

El punto de partida de la geometría analítica son los llamados sistemas de coordenadas cartesianas, mediante los cuales pueden ser resueltos, una gran variedad de problemas de geometría, empleando recursos del álgebra. Seguramente recordarás que en una recta numérica se pueden representar los números reales tanto los positivos como los negativos, los racionales y los irracionales. En dicha recta se escogen dos puntos arbitrarios: O y U que van a ser las representaciones gráficas de los números cero (0) y uno (1), respectivamente. A continuación se muestra una recta numérica donde se han situado varios puntos y los números que les corresponden. La ubicación de los puntos correspondientes a los números enteros no necesita de explicación. ( –) –4

–3

–2

U’

O

U

–1

0

1

( ) 2

3

4

Figura 1

Supongamos que queremos representar el número – 2.4. Como – 3 , – 2.4 , 2, dividimos el segmento que une los puntos asociados a –3 y a – 2 en 10 partes iguales, de los cuales tomaríamos 4 partes hacia la izquierda, a partir de – 2, de esta manera localizaríamos la representación de – 2.4, el punto M. De manera análoga podríamos representar un número racional cualquiera, por ejemplo: 3.5 – 43 , etc. ¿Pero cómo podríamos representar el número 10 , que no es racional? Pues muy fácilmente. Dibujas un triángulo de catetos 3 y 1 usando como unidad un segmento igual a OU. Como 10 5 9 1 1 5 (3)2 1 (1)2, la longitud de la hipotenusa será 10: tomas un segmento igual a la hipotenusa, a partir de O, hacia la izquierda sobre la recta numérica; el extremo de dicho segmento es el punto que representa gráficamente a 10 . De esta manera, a todo número real x (racional o no) le corresponde un punto P y recíprocamente. Es decir, que: A todo punto P le corresponde un número real x (abscisa de P) que será positivo si P está a la derecha del origen O y negativo en caso contrario. Esta correspondencia entre los elementos de dos conjuntos es uno a uno (es decir, a un punto le corresponde un número real y viceversa), es lo que se llama biyección. A una recta numérica se le llama también “eje”, y en ocasiones, “recta orientada”. El eje está formado por dos semi-ejes o semirrectas. El semi-eje positivo es el que tiene origen en O y contiene al punto U, el otro semi-eje con origen en O y que contiene U’ se llama, lógicamente, el semi-eje negativo. 214

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Geometría analítica

Explicaremos ahora en qué consiste un sistema de coordenadas cartesianas y para qué se utiliza. Comenzaremos trazando dos rectas perpendiculares, cortadas por un punto O llamado origen; para indicar la dirección positiva se dibuja una punta de una flecha como se muestra en la figura 2. Las dos rectas que hemos trazado dividen el plano en cuatro regiones o cuadrantes. El primer cuadrante (I) ocupa la parte superior derecha, el segundo cuadrante (II) se coloca en la parte superior izquierda, el tercer cuadrante (III) en la parte inferior izquierda y el cuarto cuadrante (IV) en la parte inferior derecha. Y II

I

1 O 1

III

X

IV

Figura 2

Finalmente, al eje horizontal se designa con la letra X y al vertical con la letra Y. Sea ahora P un punto cualquiera del plano. Vamos a explicarte a qué llamaremos coordenadas de P. Por este punto trazamos la perpendicular al eje X, al cual cortará un punto: M en la figura 3. Al punto M le corresponderá, en la recta numérica horizontal, un número real “x” que llamaremos abscisa de P. Por este mismo punto trazamos otra perpendicular, pero ahora al eje Y, al cual cortará en el punto N; a éste corresponderá, en la recta numérica o eje Y, un número real “y” que llamaremos ordenada de P. De este modo hemos hecho corresponder a cada punto del plano dos números reales: “x” que escribiY N

O

P

M

X

Figura 3

remos en primer lugar, “y” que pondremos en segundo lugar, ambos dentro de un par de paréntesis, formando así una pareja ordenada de números reales; el paréntesis irá precedido de la letra P, que designa al punto P(x, y). Así A(–5, 2) servirá para designar el punto A cuya abscisa es –5 y cuya ordenada es 2. Para representar el punto A tomamos 5 unidades en el eje X a partir de O hacia la izquierda (pues la abscisa es negativa) y designamos por M el extremo de este segmento; a continuación haremos lo mismo con dos unidades

215

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Etapa 4

a partir de O sobre el eje Y, obteniendo el punto N. Finalmente trazamos por M una perpendicular al eje X y por N otra al eje Y; ambas perpendiculares se cortarán en el punto A. Y A (−5, 2)

M

N

0

X

Figura 4

Hemos dicho que mediante un sistema de coordenadas hacemos corresponder a cada punto P del plano, una pareja ordenada (x, y) de números reales. Debemos ahora añadir que también ha quedado establecida la correspondencia al revés, es decir, a cada par de números reales ordenados, le corresponde un punto del plano. Es costumbre representar al conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales por R2. Podemos decir, que hemos logrado establecer una biyección entre el conjunto de todos los puntos en el plano y R2.1 Es muy importante insistir en que se trata de parejas ordenadas pues no es lo mismo, por supuesto, el punto A(–5, 2) que el B(2, –5). En general, no es lo mismo el punto (x, y) que el (y, x), excepto si x 5 y; en cuyo caso coinciden.   Observaciones importantes 1.  Un punto está en el eje X si su ordenada es cero y recíprocamente. 2.  Un punto está en el eje Y si su abscisa es cero y recíprocamente. 3. Un punto está en el interior del primer cuadrante si x . 0 y y . 0, en el segundo cuadrante si x , 0 y y . 0, en el tercer cuadrante si x , 0 y y , 0 y en el cuarto cuadrante si x . 0 y y , 0. Si en el cuadrante considerado incluimos los semi–ejes que lo forman, entonces en cada caso anterior se incluirá el cero en la desigualdad.

Ejemplo

En un sistema de coordenadas rectangulares de un plano, situar los puntos: A(6, 1); B(4, 3); C(– 1, 3); D(4, 2); E(0, 5); F(2, 0); G(0, 4); H(5, 2); I(3.5, 2)

1 Después

de esto, no debe haber confusión si no tenemos en cuenta la diferencia entre puntos (objetos geométricos) y pares ordenados de números reales (objetos algebraicos).

216

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Geometría analítica Y 5

E

4

B

3 I

2

A

1 −4

−3

−2

O −1 −1

1

2

3

−2 C

−3 −4

4

5

D

H

6

X

G Figura 5

(

) (

Así pues, en lo que sigue usaremos frases como el punto P(–10, 4), o los puntos –2, 5 y 3

)

2, – 5   . 3

Ejemplo

Determina las coordenadas de los vertices del polígono de la figura.

Solución A

A (–2, 5) B (4, 2) C (2, –4) D (– 5, –1)

Y

B

X D

C

Figura 6

217

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Etapa 4

Ejemplo

Dibujar el triángulo cuyos vértices son los dos puntos: A(5, 2); B(–1, 4) y C (0, – 5).

Solución Y B

4 3 A

2 1 –4

–3

–2

–1

1

–1

3

2

4

5

6

X

–2 –3 –4 –5

C Figura 7

II. Fórmula de la distancia entre dos puntos Objetivo Calcular la distancia entre dos puntos situados en el plano cartesiano usando la fórmula. Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos de coordenadas conocidas con las restricciones siguientes x1 ? x2 y y1 ? y2. Esto significa que la recta P1 P2 no es paralela a ninguno de los ejes coordenados.

Y

y2

P1

Figura 8

P2

M

y1 x1

O

x2

X

218

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Geometría analítica

Hallemos la distancia entre P1 y P2 en función de las coordenadas de ambos. Por P1 hemos trazado la paralela al eje X y por P2 la paralela al eje Y. Ambas rectas se cortan perpendicularmente en M, formándose así el triángulo rectángulo P1MP2, cuyos catetos son P1 M y M P2 y la hipotenusa es, desde luego P1 P2. Es fácil ver que la abscisa de M es la misma que la de P2 y su ordenada, la misma que la de P1, así M(x2, y1). Entonces: P1M 5 x2 – x1  y  MP2 5 y2 – y1 El teorema de Pitágoras, aplicado al triángulo D P1MP2 nos permite escribir que: (P1 P2)2 5 (P1M)2 1 (MP2)2 5 (x2 – x1)2 1 (y2 – y1)2 Y extrayendo la raíz cuadrada: o

P1P2 5

(x2 – x1)2 1 (y2 – y1)2,

d5

(x2 – x1)2 1 (y2 – y1)2

Que es la fórmula que permite hallar la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. Para lograr este objetivo restamos las abscisas y elevamos la diferencia al cuadrado, hacemos lo mismo con las ordenadas, sumamos los dos cuadrados obtenidos y hallamos la raíz cuadrada de la suma:

Ejemplo

Hallar la distancia entre los puntos: A(–2, 6) y B(1,10).

Solución

d5

(x2 – x1)2 1 (y2 – y1)2

d5

(10 – 6)2 1 [ 1 –(–2)]2

d5

(4)2 1 (3)2

d5

25

d55

Ejemplo

Hallar las coordenadas del punto situado sobre el eje Y equidistante de los puntos M (5, 5) y N (4, 2).

Solución Como el punto pedido P está sobre el eje Y, y su abscisa es cero, su ordenada la designamos por y, entonces P(0, y).

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Etapa 4

La distancia de P a M es: (5 – 0)2 1 (5 – y)2 Y la de P a N: (4 – 0)2 1 (2 – y)2 Como ambas deben ser iguales: 52 1 (5 –y)2 5

42 1 (2 – y)2

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad y efectuamos los cuadrados indicados, quedando: 25 1 25 – 10y 1 y2 5 16 1 4 – 4y 1 y2 Cancelando y2 y dejando en el primer miembro solamente los términos en y: – 10y 1 4y 516 1 4 –25 –25 Lo que nos lleva a y 5 5. La respuesta es (0, 5).

Ejercicios  1. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: a)  (7, 3), (12, 5)

e)  (–1, –5), (2, –3)

b)  (–7, 4), (1, –11)

f )  (–3, –1), ( 9, 4)

c)  (–2, 8), (–6, 1)

g)  (1, –5), (6, 2)

d)  (2,.6), 2, –2)  2. Demuestra que los puntos A(–5, 3), B(3, 2) y C(–1, –4) son vértices de un triángulo isósceles.

 3. Demuestra que (–1, 4), (–3, –6) y (3, –2) son vértices de un triángulo isósceles.

 4. Demuestra que los puntos A(6, 5), B(3, 7) y C(2, –1) son vértices de un triángulo rectángulo.

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Geometría analítica

 5. Demuestra que (–8, –3), (8, 5) y (2, –4) son los vértices de un paralelogramo: a)  Por diferencia. b)  Si lo pones del lado opuesto es un paralelogramo. c)  Si dos lados opuestos son paralelos e iguales.  6. ¿Para qué valores de x la distancia en (1, 7), (x, 3) es igual a 5?  7.  Halla el perímetro de los triángulos cuyos vértices son: a)  A(6, 9), B(–2, –6), C(–5, 8) b)  A(–1, 3), B(–4, 7) , C(0, 4) c)  (–1, –2), (4, 2), (–3, 5) d)  (–2, –3), (4, 3) , (–3, 4)  8. Demuestra que los puntos A(–2, 7), B(5, 4),C(–1, –10) y D(–8, –7) son los vértices de un rectángulo.  9. Halla las coordenadas del punto situado en el eje Y y que es equidistante de los puntos fijos: (6, 2) y (8, –2). 10. Halla las coordenadas del punto situado en el eje X y que es equidistante de los puntos fijos: (2, 3) y (5, 2).  11. Demuestra que los siguientes puntos son colineales: A(1, 3), B(–2, –3), C(3, 7).

III. Punto medio de un segmento de recta Objetivo  Dadas las coordenadas de los puntos extremos de un segmento, calcular su punto

medio.

 Dadas las coordenadas del punto medio y de uno de los extremos del segmento,

calcular las coordenadas del otro extremo.

221

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Etapa 4

El problema que vamos a resolver a continuación nos llevará a obtener dos fórmulas (muy parecidas entre sí) que nos servirán para hacer algo importante: hallar las coordenadas del punto medio de un segmento cuando se conocen las coordenadas de los extremos. Sean P1 (x1, y1) y P2(x2, y2) los extremos de un segmento de recta P1 P2 y M(x, y) su punto medio (es decir, el punto medio del segmento P1 P2). Trasladamos esta situación a una gráfica o dibujo en la cual añadimos algunas líneas auxiliares: Y y2

P2 M

y y1

S

P1 R Q

x1 Q1

O

x

x2 Q2

X

Figura 9

El señalamiento de varios ángulos rectos nos permite afirmar que:  Los triángulos DP1 RM y DMSP2 son rectángulos en R y S, respectivamente.  Las hipotenusas P1M y M P2 tienen igual longitud (es decir, son iguales) por ser M el punto medio del

segmento P1 P2.

 El ángulo /M P1 R es congruente al P2MS por ser ambos correspondientes entre las paralelas P1 R y

MS cortadas por la transversal P1 P2.

Podemos afirmar entonces que los triángulos DP1RM y DP2MS son congruentes por tener la hipotenusa y un ángulo agudo respectivamente iguales. Por tanto: P1 R 5 MS Por oponerse a ángulos iguales en triángulos iguales. Pero,

P1R 5 Q1Q 5 OQ – OQ1 5 x – x1

Y MS 5 QQ2 5 OQ2 – OQ 5 x2 – x Entonces: x – x1 5 x2 – x De donde obtenemos: 2x 5 x1 1 x2 222

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Geometría analítica

Finalmente al despejar x: x5

x1 1 x2 2

Que nos da el valor de la abscisa de M. Procediendo de manera similar, pero trazando perpendiculares al eje de ordenadas se llega sin dificultad a: y 1 y2 y5 1 2 De manera que si tienes las ordenadas de los extremos de un segmento y necesitas hallar las del punto medio, sumas las abscisas y divides la suma por dos; haces exactamente lo mismo con las ordenadas, y ¡eso es todo!

Ejemplo

Dados los puntos A(–4, 8) y B(8, 0). Sean M el punto medio de AB y N el punto medio de AM. Hallar las coordenadas de N.

Solución Si M tiene coordenadas (xM, yM) entonces: xA 1 xB –4 1 8 5 52 2 2 y 1 yB 810 5 54 yM 5 A 2 2 yM 5

Ahora:

xA 1 xM –4 1 2 5 5 –1 2 2 y 1 yM 814 56 5 xN 5 A 2 2 xN 5

Respuesta N(–1, 6).

Ejemplo

Dados los puntos A(– 4, 2) y B(6, 0). a)  Representar y trazar el segmento que los une. b)  Hallar las coordenadas del punto medio de M.

223

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Etapa 4

Solución a)  Y

A(–4, 2) B(6, 0) X

O Figura 10

b) Si M (xM , yM) sabemos que: xM 5

xA 1 xB y 1 yB ;   yM 5 A 2 2

xM 5

–4 1 6 210 ;   yM 5 51 2 2

Respuesta M(1, 1)

Ejemplo

Uno de los extremos de un segmento es el punto A(4, 6) y su punto medio es M(0, 1). Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento.

Solución Sea B(xB, yB) el otro extremo. Sabemos que: xM 5

xA 1 xB y 1 yB   y  yM 5 A 2 2

Sustituyendo xA 5 4, yA 5 6; xM 5 0, yM 5 1, tenemos que: 05

4 1 xb 6 1 yb   y–1 5 2 2

De los cuales obtenemos, respectivamente: xb 5 4 y yb 5 8.

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Geometría analítica

Ejercicios 1. Halla las coordenadas del punto medio de los segmentos de recta cuyos puntos extremos son: a)  (8, –5), (–2, 9) b)  (3, 2) , (7, 6) c)  (–2, 3), (–9, –6) d)  (5, 15), (–7, –11) e)  (–3. 3), (5, 7) f )  (7, –4), ( –9, 6)

2. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (–2, 9). Si un extremo del segmento es A(–10, 14), encuentra las coordenadas del otro extremo.

3. El punto (5, –1) es el punto medio del segmento de recta AB. Si las coordenadas del punto A son (3, –4), encuentra las coordenadas del punto B.

4. El punto ( 7 , –1) es el punto medio del segmento de recta AB. Si las coordenadas del punto A 5 son (3, 5 . encuentra las coordenadas del punto B. 7

5. El punto ( 7 , –3.27) es el punto medio del segmento de recta AB. Si las coordenadas del punto A 5 son (4.39, – 7 ), encuentra las coordenadas del punto B. 5

6. El punto (7, 3) biseca el segmento de recta que une a (x, 6) y (9, x). Encuentra los valores de x y de y.

7. El punto (4, 1) es el punto medio del segmento de recta que une a (x, 7) y (5, y). Encuentra los valores de x y de y.

225

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Etapa 4

IV. Ángulo de inclinación de la recta. Pendiente Objetivo Identificar y calcular el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. Sea una recta que corta al eje X en un punto I, tal como se muestra en la figura y M un punto del eje X a la derecha de I. Y r

 I

0

M

X

Figura 11

Hagamos girar la semirrecta IM en sentido contrario al movimiento de las manecillas de un reloj hasta que dicha semirrecta coincida por primera vez con parte de r. En el caso que consideramos 0# x #180°. Denotemos por a al ángulo de giro. Éste se llama “ángulo de inclinación de la recta r”, en el sistema de coordenadas escogido). La tangente del ángulo de inclinación de una recta se llama pendiente de la recta. (La rapidez con que asciende la línea, es la rapidez con que se eleva). Este último concepto desempeña, como podrás apreciar posteriormente, un papel importantísimo en la geometría analítica.

V. Pendiente de una recta dadas las coordenadas de dos puntos Objetivo Identificar y calcular el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta.

Sea “r” una recta que pasa por los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2). Si x1 5 x2, es decir, la recta es vertical o dicho de otro modo, su ángulo de inclinación es de 90°, la pendiente de r sería tan 90°, pero en este caso la tangente (tan) no está definida, no existe. Por lo tanto, si los dos puntos dados P1 y P2 tienen la misma abscisa, la recta r carece de pendiente, o sea, ésta no existe. Supongamos ahora que x1? x2. Si partiendo de esta suposición fuera y1 5 y2, la recta r sería paralela al eje X, su ángulo de inclinación sería de 0° y, como tal la tan 0° 5 0, la pendiente de r sería 0.

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Geometría analítica

Supongamos por último, que x1 ? x2 y y1 ? y2. La recta r no sería vertical ni tampoco paralela al eje X, luego cortaría a éste en un punto, digamos M. Designemos por a el ángulo de inclinación. La pendiente m de r es, por definición, igual a tan a. Y

P1

y1

 M

r

P2

y2

Q

M1 O

x1

M2 x2

X

Figura 12

Nos proponemos encontrar m en función de las coordenadas de P1 y P2. El dibujo formado por los ejes, la recta r, el ángulo a, y los puntos P1 y P2 no es suficiente para llevar a cabo nuestro propósito. Tracemos dos líneas auxiliares: la paralela a OX por P1 y la paralela a OY por P2. Estas dos rectas se cortan en Q formando un triángulo rectángulo, en el /Q P1P2 5 a por ser estos ángulos correspondientes entre las paralelas OX y P1Q cortadas por la transversal r. Entonces: M 5 tan/ QP1P2 5 Por tanto:

m5

QP2 M P – M2Q 5 2 2 P1Q OM2 – OM1 y2 – y1 x2 – x1

La pendiente buscada resulta ser el cociente que tiene por numerador la diferencia de ordenadas y por denominador la diferencia de abscisas en el mismo orden. En la fórmula a la cual hemos llegado en el numerador y denominador aparecen como minuendos las coordenadas de P2, pero esto no tiene que ser así. En efecto, fíjate que: y2 – y1 –(y1 – y2) y –y 5 1 2 5 –( x1 – x2) x2 – x1 x1 – x2 Y como puedes ver, los papeles de las coordenadas de P1 y P2 se han invertido.

Nota Esta fórmula sirve para todos los casos, pues si y1 5 y2, entonces m 5 0 como ya sabíamos, y si x1 5 x2, el denominador de la fórmula es cero (pero no el numerador) y m no estaría definida, lo cual también sabíamos. 227

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Etapa 4

Notemos además que si m . 0 y observamos el dibujo de izquierda a derecha, la recta sube; al contrario si m , 0, la recta baja (al movernos de izquierda a derecha).

Ejemplo

Hallar la pendiente de la recta que pasa por A(–3, 5) y B(1, 9). ¿Cuál es el ángulo de inclinación?

Solución m5

yB – yA 9–5 4 5 51 5 xB – xA 1 – (–3) 4

La pendiente es 1. Como tan a 5 1 y 0° , a , 180°; en este intervalo hay un solo ángulo cuya tangente vale 1: a 5 45°. Éste es, pues, el ángulo de inclinación (el valor del ángulo lo encuentras con el inverso de la tangente usando la calculadora).

Ejemplo

Demostrar que los puntos A(–1, 1), B(2, 2), C(8, 4) y D(5, 3) pertenecen a la misma recta.

Solución Pendiente de AB con A(–1, 1) y B(2, 2) : m 5 Pendiente de AC con C(8, 4): m 5

2–1 1 5 2 – (–1) 3

4–1 3 1 5 5 8 – (–1) 9 3

O sea que las rectas AB y AC tiene la misma pendiente y un punto común: A. Por lo tanto, coinciden, es decir que los puntos A, B y C pertenecen a la misma recta, o dicho de otro modo, están alineados. yD – yA

3–1

2

1

Si D(5, 3), entonces : mAD 5 xD – xA 5 5 – (–1) 5 6 5 3 , que es igual a la pendiente de AC, luego A, C y D están alineados. Finalmente, si tomamos además E(–4, 0), entonces: mAE 5

yE – yA 0–1 1 1 5 5 5 xE – xA –4 1 1 –3 3

Por lo tanto A, B, C, D y E son colineales.

228

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Geometría analítica

Ejercicios 1.  Halla las pendientes de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos: a)  (6, –4), (2, –3) b)  (–3, 0), (1, 2) c)  (–3, 3), (3, –4) d)  (–3, 2), (2, 1) e)  (4, 1), (–1, 6) f )  (7, 3), (4, – 3)

VI. Ecuación de la recta en el plano Objetivo Determinar la ecuación de una recta. Supongamos que tenemos dos puntos de coordenadas conocidas, por ejemplo: A(–2, 3) y B(4,5) y consideremos la recta r que pasa por ellos. Sabemos que tal recta existe y que es única. Además, que la misma recta contiene infinidad de puntos. Nos proponemos hallar una ecuación que quede satisfecha para las coordenadas de todos los puntos r, y nada más que por ellos. Y B

5

P

y A

3

–2

O

x

4

X

Figura 13

Sea P(x, y) un punto “genérico” de r, es decir, un punto que representa a todos los puntos de r. Si unimos P con uno de los puntos dados, por ejemplo con A, la pendiente de AP será la misma que la de AB. Aplicando la fórmula de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B, tenemos: m5

5–3 2 1 5 5 4 – (–2) 6 3

229

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Etapa 4

En cambio, si P no estuviera situado en r, la pendiente de AP sería distinta a 1 . Por lo tanto, P está en 3 r, si y sólo si: y–3 1 5 x11 3 Lo que equivale a: 3y – 9 5 x 1 2 O lo que es lo mismo, a: x – 3y 1 11 5 0 Observemos que al sustituir x por – 2 y y por 3 el primer miembro de la ecuación es cero, de modo que, efectivamente, A es un punto de la gráfica de x – 3y 1 11 5 0. Lo mismo ocurre con B(4, 5).

Ecuación de la recta en forma punto-pendiente Sea r una recta que pasa por el punto P1(x1, y1) de coordenadas conocidas y cuya pendiente, también conocida, es m. Con estos datos nos será muy fácil escribir la ecuación de r. y

P1

y1 r

a 0

x1

x

Figura 14

Tenemos un punto cualquiera de r. P(x, y) Entonces la pendiente de P1P es m. En cambio, si P no está en r, entonces la pendiente de P1P no es m. Es decir, que P está en r, si y sólo si, la pendiente de P1P es igual a m. Pero la pendiente de la recta que pasa por dos puntos se obtiene dividiendo la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de sus abscisas en el mismo orden. Es decir, que la pendiente de r es por una parte: y – y1 x – x1 Y por otra parte es m, luego: y – y1 5m x – x1 230

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Geometría analítica

de donde: y – y1 5 m(x – x1) que es la ecuación de la recta en la forma pedida, o sea, la forma punto–pendiente.

Ecuación de la recta en la forma pendiente–intersección Sea r una recta que corta al eje Y en el punto (0, b) y que tiene pendiente m. Vamos a hallar la ecuación de r en función de m y de b. Y

r

(0, b)

O

X

Figura 15

Es muy fácil lograr nuestro propósito. Sabemos ya que la forma punto–pendiente es: y – y1 5 m(x – x1) donde (x1, y1) es un punto fijo en la recta r al que podemos tomar como (x – y1) 5 (0, b), de donde x1 5 0 y y1 5 b. Sustituyendo en:

y – y1 5 m(x – x1)



y – b 5 m(x – 0)



y – b 5 mx

y 5 mx 1 b que es la ecuación de r en la forma pendiente–intersección.

Ecuación simétrica de la recta Sea r una recta que corta a los ejes X y Y en los puntos (a, 0) y (0, b) respectivamente, con a y b diferentes de cero.

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Etapa 4

Vamos a hallar la ecuación de r suponiendo conocidos los valores de a y b. Recordemos la fórmula que da la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2): m5

y – y1 x – x1

Tenemos P1 como la intersección de r con el eje X, es decir, x1 5 a y y1 5 0 y P2 como la intersección de r con el eje Y, o sea x2 5 0 y y2 5 b. Entonces: m5

b–0 b 5 –  0–a a

La ecuación en la forma punto–pendiente es: y – y1 5 m(x – x1) b Sustituyendo x1 5 a, y1 5 0 y m 5 –  , queda: a b y – 0 5 –  (x – a) a ay 5 – b(x – a) ay 5– bx 1 ab bx 1 ay 5 ab Dividiendo ambos miembros por ab (esto puede hacerse porque ab no es cero). bx ay 1 51 ab ab x y 1 51 a b



A esto se le llama ecuación simétrica de la recta o intersección. Se dice que es intersección porque debajo de la x está la intersección de la r con el eje X y debajo de la y está la intersección de r con el eje Y. Ejercicios 1. En cada uno de los ejercicios encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. •  En la forma punto– pendiente. •  En la forma punto–intersección. •  En la forma general u ordinaria.   a)  A(–2, –5), B(4, 1)

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Geometría analítica

  b)  A(4, 7), B(6, 11)   c)  A(1, 1), B(4, 6)   d)  A(–10, –7), B(– 6, –2)   e)  A(2, –3), B(10, –9)   f)  A(–2, 3), B(7, 4)   g)  A(–1, 4), B(–1, –6)   h)  A(–4, –18), B(3, 12)   i)  A(2, –10), B(–3, 25) j) A(–10, 21), B(8, –6)

VII. Distancia de un punto a una recta Objetivo Calcular la menor distancia entre un punto y una recta. P0 r’

I r Figura 16

Sea r una recta y P0 un punto que no pertenece a r. La distancia de P0 a r se define así: llamaremos r’ a la recta que pasa por P0 y es perpendicular a r. Entonces r’ corta r en un punto I. La distancia de P0 a r es, por definición, la longitud del segmento P0I. Veamos ahora qué implicación tiene lo anterior en geometría analítica a través de un ejemplo:

233

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Etapa 4

Ejemplo

Dada la recta r : 3x 1 4y – 12 5 0 y el punto P(1, 1). Hallar la distancia de P a r.

Solución Tenemos que la pendiente de r está dada por: mr 5 – 

3 4

Ahora la pendiente de la recta perpendicular a r es: 1 4 m 5 –  5 mr 3 Luego la ecuación de la recta r’ que es perpendicular a r y pasa por P(1, 1); 4 y–15 (x – 1) 3 Hallemos ahora las coordenadas del punto I de intersección de r con r’. Para ello resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas. r : 3x 1 4y – 12 5 0(1) 4 (x – 1) (2) 3

r’: y 5 1 1 Usando el método de sustitución:

(

)

4 (x – 1) – 12 5 0 3 16 (x – 1) – 12 5 0 3x 1 4 1 3 3x – 4 1 1

9x 1 12 1 16 x – 16 – 36 5 0 25 x 5 40 x5

8 5

Sustituyendo en (2): y511 Así que: I

( 85 , 95 )

( )

4 3 4 9 511 5 3 2 5 5

Sólo falta hallar la distancia entre los puntos P e I. Aplicando la fórmula de distancia:

( 85 – 1) 1 ( 95 – 1) 2

2

5

( 35 ) 1 ( 45 ) 2

2

51

234

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Geometría analítica

Veamos el caso general. Si hiciéramos todo el proceso que acabamos de exponer, el resultado al cual llegaríamos sería el que presentamos a continuación mediante la fórmula: d5

|Ax0 1 By0 1 C| A2 1 B2

Es decir, tomas el primer miembro de la ecuación r (escrito en forma general), sustituyes x por x0 y y por y0 ; tomas el valor absoluto y te quedas con el mismo número si éste te dio positivo y le cambias el signo si te dio negativo. Veamos un caso particular. Ejemplo

Hallar la distancia del punto (1, 1) a la recta cuya ecuación es 3x 1 4y – 12 5 0.

Solución a)  Evaluamos el primer miembro para x 5 1 y y 5 1. |3(1) 1 4(1) – 12| 5 |3 1 4 – 12| 5 |– 5| 5 5 Así que el numerador de la fórmula es 5. b)  Veamos el denominador, como aquí A 5 3 y B 5 4, entonces: A2 1 B2 5

32 1 42 5

9 1 16 5

25 5 5

Así que el denominador es 5. c)  Luego d 5

5 51 5

235

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Etapa 4

Ejercicios   1.  Encuentra la distancia de la recta 3x – 4y 1 4 5 0 al punto (6, – 2).   2.  Encuentra la distancia de la recta 12x 1 5y – 6 5 0 al punto (4, – 6).   3.  Encuentra la distancia de la recta 4x 1 3y –5 5 0 al punto (2, – 5).   4.  Encuentra la distancia de la recta 3x – 4y – 12 5 0 al punto (–2, –1).   5.  Encuentra la distancia de la recta 6x – 8y 1 10 5 0 al punto (4, 2).   6.  Encuentra la distancia de la recta 5x – 12y 1 17 5 0 al punto (–3, –2).

  7.  En los siguientes ejercicios encuentra la distancia entre las dos rectas paralelas.

a) 3x 1 4y – 12 5 0 3x 1 4y 1 17 5 0



b) 70x 1 24y 1 43 5 0 35x 1 12y – 24 5 0

 

c) 15x 1 8y 1 30 5 0 15x 1 8y – 4 5 0

d) 9x 1 12y – 27 5 0 9x 1 12y 1 33 5 0 e) 5x 1 12y – 10 5 0 5x 1 12y 1 2 5 0 3 f) 70x 1 4y 1 50 5 0 12x 1 16y – 12 5 0

236

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Geometría analítica

4.2 La circunferencia I. Las secciones cónicas Las figuras geométricas que estudiaremos a continuación son aquellas que se pueden obtener cuando se interseca un cono circular recto de dos mantos con un plano, por este motivo se les llaman secciones cónicas o simplemente cónicas. Como se muestra en la figura 17a, si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono, entonces la curva formada por la intersección se llama elipse. Si un plano corta a uno de los mantos de un cono pero no lo cruza, y además no tiene contacto con el otro, como se muestra en la figura 17b, entonces la curva formada por la intersección se llama parábola. Si un plano corta a los dos mantos de un cono, como se muestra en la figura 17c, la curva formada por la intersección se nombra hipérbola.

a) Elipse

b) Parábola

c) Hipérbola

Figura 17

Si el plano corta perpendicularmente al eje de un cono se obtiene una circunferencia como se muestra en la figura 18, tema que analizaremos a continuación.

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Etapa 4

Las secciones cónicas pueden variar cambiando la posición del plano y la forma del cono, pudiéndose obtener las llamadas cónicas degeneradas. Por ejemplo, se obtiene un punto cuando el plano corta a un cono de dos mantos en el vértice; asimismo, si el eje del cono coincide con el plano, se obtienen un par de rectas que se intersecan, y por último, si el plano coincide con una de las generatrices del cono, se obtiene una recta.

Circunferencia Figura 18

II. La circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano P (x, y) que son equidistantes de un punto fijo. El punto fijo es el centro de la circunferencia y cualquier segmento de recta cuyos extremos sean un punto cualquiera de la misma y su centro se llama radio. La ecuación de una circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y radio r: (x – h)2 1 (y – k)2 5 r 2 La expresión anterior se conoce con el nombre de ecuación en la forma ordinaria o reducida de una circunferencia. y

r

P(x, y)

C(h, k) x

O Figura 19

238

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Geometría analítica



Demostración Si en la figura anterior el punto P (x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia y C (h, k) es su centro, entonces el segmento de recta que los une es uno de sus radios, y de acuerdo con la fórmula de las distancia entre dos puntos, tenemos que: (x2 – x1)2 1 (y2 – y1)2 5 d 2 Es decir: (x – h)2 1 (y – k)2 5 r 2 Si el centro de una circunferencia es el origen, entonces resulta: x 2 1 y 2 5 r 2 La expresión anterior es la forma más simple de la ecuación ordinaria y se denomina forma canónica de una circunferencia. y

r 0

x

Figura 20

Veamos a continuación cómo encontrar la ecuación de una circunferencia determinada por diferentes condiciones geométricas.

Ejemplo

Encontrar la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y de radio 5.

Solución (x– h)2 1 (y – k)2 5 r 2 (x – 0) 2 1 (y – 0) 2 5 52 2 1 y 2 5 25 x 

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Etapa 4 y

5 x

O

Figura 21

Ejemplo

Hallar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es C(–4, 3) y radio 5.

Solución h5–4 k53 r55 (x– h)2 1 (y – k)2 5 r2 [x – (–4)] 2 1 (y – 3)2 5 52 (x 1 4) 2 1 (y – 3)2 5 25 Al desarrollar y simplificar el miembro izquierdo de la ecuación anterior, tenemos: 2 1 8 x 1 16 1 y 2 – 6y 1 9 5 25 x  2 1 y 2 1 8x – 6y 1 25 – 25 5 0 x  2 1 y 2 1 8x – 6y 5 0 x 

y

5 C(–4, 3) O

x

Figura 22

240

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Geometría analítica

Ejemplo Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (4, –5) y cuyo centro es C (6, – 4). Solución La longitud del radio de la circunferencia es igual a la distancia que hay entre los puntos mencionados, es decir: 2 5 (x – h)2 1 (y – k)2 r  2 5 (6 – 4) 2 1 [– 4 – (–5)] 2 r  2 5 (2) 2 1 (–4 1 5) 2 r  25411 r  255 r  r 5 5

Con r 5

5 y el punto C (6, –4) podemos determinar la ecuación de la circunferencia:

(x – h)2 1 (y – k)2 5 r2 (x – 6) 2 1 [y – (– 4)] 2 5 ( 5) 2

(x –

6) 2

1 (y 1

4) 2

55

y x

O

2 – 12x 1 36 1 y 2 1 8y 1 16 – 5 5 0 x  2 1 y 2 – 12x x 

1 8y 1 47 5 0

C(6, –4) (4, –5)

5 Figura 23

Ejemplo

Hallar la ecuación de la circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son los puntos P (6, 2) y Q (–2, – 4).

Solución Para encontrar la ecuación de la circunferencia necesitamos conocer la longitud de su radio y las coordenadas de su centro. De acuerdo con las condiciones mencionadas, las coordenadas del centro C (h, k) son las que tiene el punto medio del diámetro y la longitud del radio es la mitad del diámetro, por consiguiente: h5

6 1 (–2) 2 1 (–4) 5 2,      k 5 5 –1 2 2 241

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Etapa 4

Es decir, las coordenadas del centro son C (2, –1). Asimismo: r5

d 2

En donde la distancia no dirigida “d” es la longitud del diámetro, Por la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos que: 2 5 (– 2 – 6)2 1 (– 4 – 2) 2 d  2 5 (–8) 2 1 (–6) 2 d  2 5 64 1 36 d  2 5 100 d 

d 5

100

d 5 10 De acuerdo con lo anterior: 10 2 r 5 5

r5

Con el centro de la circunferencia C (2, – 1) y radio 5, determinemos la ecuación de la circunferencia en cuestión: (x – h)2 1 (y – k)2 5 r 2 (x – 2) 2 1 [y – (–1)]2 5 52 (x – 2) 2 1 (y 1 1) 2 5 25 2 – 4x 1 4 1 y 2 1 2y 1 1 5 25 x  2 1 y 2 – 4x 1 2y – 20 5 0 x 

y

P(6, 2) O

x

Q(–2, –4)

Figura 24

242

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Geometría analítica

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (10, – 5) y que es tangente a la recta 4x 1 3y – 50 5 0. y 4x + 3x – 50 = 0

x

0

T r C(10, –5)

Figura 25

Solución Por geometría elemental, sabemos que una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio cuyos puntos extremos son el punto de tangencia y el centro de dicha circunferencia, como se observa en la figura 25. La longitud del radio es igual a la distancia no dirigida que hay del centro C (h, k) a la recta tangente. De acuerdo con lo anterior, la distancia no dirigida que hay del punto C (10, – 5) a la recta 4x 1 3y – 50 5 0 es la longitud de su radio, es decir: r5

| 4 (10)(4)1 31(–5)(3) – 50 | 5 | –255 | 5 5 2

2

Con el punto C (10, – 5) y r 5 5, determinemos la ecuación de la circunferencia: (x– h)2 1 (y – k)2 5 r 2 (x – 10)2 1 [y – (–5)] 2 5 52 (x – 10)2 1 (y – (–5) 2 5 25 2 – 20x 1 100 1 y 2 1 10y 1 25 5 25 x  2 1 y 2 – 20x 1 10y 1 100 5 0 x 

243

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Etapa 4

III. Ecuación de la circunferencia en la forma general Al desarrollar la ecuación ordinaria (x – h)2 1 (y – k)2 5 r 2 , obtenemos: x 2 – 2hx 1 h 2 1 y 2 – 2ky 1 k 2 5 r 2 O también: x 2 1 y 2 – 2hx – 2ky 1 h 2 1 k 2 – r 2 5 0 Si hacemos que: D 5 –2h E 5 – 2k F 5 h 2 1 k 2 – r 2 Entonces la ecuación anterior es de la forma: x 2 1 y 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 A dicha ecuación de la circunferencia se le denomina forma general. Según los valores de las constantes D, E y F la ecuación general: a)  Representa una circunferencia si: D 2 1 E 2 – 4F . 0

(

)

D E b)  Representa el punto P –  , –  , si: 2 2 D 2 1 E 2 – 4F 5 0 c)  No representa un lugar geométrico si: D 2 1 E 2 – 4F , 0 Lo anterior quedará demostrado a continuación utilizando el método de completar trinomios cuadrados perfectos. Agrupemos los términos de la ecuación general de una circunferencia de la siguiente manera: (x 2 1 Dx) 1 (y 2 1 Ey) 1 F 5 0 De donde: (x 2 1 Dx) 1 (y 2 1 Ey) 5 – F

244

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Geometría analítica

Sumemos en ambos miembros de la ecuación anterior los términos que se requieran para formar trinomios cuadrados perfectos con las expresiones agrupadas:

[x  1 Dx 1 ( D2 ) ] 1 [y  1 Ey 1 ( E2 ) ] 5 –F 1 ( D2 ) 1 ( E2 ) 2

2

2 

2

(x 1 D2 ) 1 (y 1 E2 ) 2

2

5 –F 1

D 2 E 2 1 4 4

(x 1 D2 ) 1 (y 1 E2 ) 5 –4 F 14D 2

2

(x 1 D2 ) 1 (y 1 E2 ) 2

2

2

2

2

5

1 E2

D 2 1 E 2 – 4F 4

Por analogía de la ecuación anterior con la forma ordinaria; (x – h)2 1 (y – k)2 5 r 2, observamos lo siguiente: D –h 5 ; luego: 2 D h 5 –  2 E ; luego: – k 5 2 E k 5 –  2 2 2 2 5 D 1 E – 4F ; o sea: r  4 1 D 2 1 E 2 – 4F r 5 2 Al analizar la expresión de r concluimos lo siguiente: a) Si D 2 1 E 2 – 4F 5 0, entonces r 5 0 y por lo tanto la ecuación general representa únicamente al punto: –D –E   ,  2 2

(

)

b) Si D 2 1 E 2 – 4F , 0, el valor de r no es un número real, y por esta razón la ecuación general no representa un lugar geométrico, es decir, no tiene gráfica. c) Si D 2 1 E 2 – 4F . 0, entonces r es un número real positivo distinto de cero y por lo tanto la ecuación , –E , y de radio: general es una circunferencia de centro –D 2 2

(

r5

)

1 2

D 2 1 E 2 – 4F

245

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Etapa 4

Ejemplo Determinar si la ecuación x 2 1 y 2 – 14x – 8y 1 40 5 0 representa o no una circunferencia. En caso de que lo sea, encuentra. a) el radio; b) las coordenadas del centro; c) el perímetro de la circunferencia y d) su área. Solución 1 a)  r 5 2

D 2 1 E 2 – 4F

r5

1 2

( –14)2 1 (–8)2 – 4(40)

r5

1 2

196 1 64 – 160

r5

1 2

100

r5

10 2

r55 La ecuación representa una circunferencia de radio igual a 5. b)  h 5

–D – (–14) 5 57 2 2

k5

–E – (–8) 5 54 2 2

El centro es el punto C(7, 4). c)  P 5 2pr P 5 2p(5) P 5 10p P 5 31.42 u. El perímetro de la circunferencia es 31.42 u. d)  A 5 pr 2 A 5 p (5)2 A 5 25p u 2 A 5 78.54 u 2.

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Geometría analítica

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (–1, –3), B (5. 5) y C (6, –2).

Solución La ecuación general de una circunferencia de la forma x 2 1 y 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0. Para determinar la ecuación de la circunferencia cuyas condiciones conocidas son tres de sus puntos que están en su gráfica, se requiere encontrar los valores para D, E y F tales que se satisfaga con las coordenadas de cada uno de los puntos dados. Por consiguiente, debemos sustituir x y y con las coordenadas de esos puntos, respectivamente. Es decir, como el punto A (–1, –3) pertenece a la circunferencia, entonces se cumple lo siguiente: (–1)2 1 (–3)2 1 D(–1) 1 E(–3) 1 F 5 0 1 1 9 – D – 3E 1 F 5 0 –D – 3E 1 F 5 – 10; o también: D 1 3E – F 5 10

(1)

Análogamente como el punto B(5, 5) también está en la circunferencia, entonces: (5)2 1 (5)2 1 D(5) 1 E(5) 1 F 5 0 25 1 25 1 5D 1 5E 1 F 5 0 5D 1 5E 1 F 5 – 50

(2)

Asimismo, al considerar el punto C(6, –2), resulta: (6) 2 1 (–2) 2 1 D(6) 1 E(–2) 1 F 5 0 36 1 4 1 6D – 2E 1 F 5 0 6D – 2E 1 F 5 – 40

(3)

De esta manera hemos obtenido el siguiente sistema de ecuaciones: D 1 3E – F 5 10

(1)

5D 1 5E 1 F 5 – 50

(2)

6D – 2E 1 F 5 – 40

(3)

Tomemos las ecuaciones (1) y (2), luego la (1) y (3) para eliminar la constante F y obtener un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: D 1 3E – F 5 10

(1)

5D 1 5E 1 F 5 – 50

(2)

247

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Etapa 4

Al sumar miembro a miembro las ecuaciones resulta: 6D 1 8E 5 – 40

(4)

Al dividir por 2 ambos miembros de la ecuación resulta: 3D 1 4E 5 – 20

(5)

Tomamos ahora las ecuaciones (1) y (3): D 1 3E – F 5 10

(1)

6D –– 2E + F 5 – 40

(3)

Al sumar miembro a miembro estas ecuaciones resulta: 7D 1 E 5 –30

(6)

3D 1 4E 5 –20

(5)

7D 1 E 5 –30

(6)

Así hemos obtenido el sistema:

Al multiplicar la ecuación (6) por – 4, obtenemos: 3D 1 4E 5 –20 –28D 1 4E 5 120 Al sumar miembro a miembro la ecuación anterior resulta: – 25D 5 100 Es decir: D5

100 –25

D5–4 Con este valor utilizaremos la ecuación (5) para encontrar el valor de E: 3D 1 4E 5 –20 3(–4) 1 4E 5 –20 –12 1 4E 5 –20 4E 5–20 1 12 4E 5 –8 8 E 5 –  , luego: 4 E 5 –2 248

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Geometría analítica

Con los valores obtenidos de los coeficientes D y E utilizaremos la ecuación (2) para obtener el de F: 5D 1 5E 1 F 5 –50 5(–4) 1 5(–2) 1 F 5 –50

–20 – 10 1 F 5 –50

F 5 – 50 1 30 F 5 –20 De acuerdo con los valores obtenidos, la ecuación que buscamos es: x 2 1 y 2 – 4x – 2y – 20 5 0 Si deseamos encontrar las coordenadas del centro y de la longitud del radio, entonces: –D – (–4) 5 52 h 5 –  2 2 k 5 – 

–E – (–2) 5 51 2 2

Es decir, el centro de la circunferencia es el punto C (2, 1). Hallemos a continuación la longitud de su radio: r5

1 2

D 2 1 E 2 – 4F

r5

1 2

(–4) 2 1 (–2) 2 – 4 (–20)

r5

1 2

16 1 4 1 80

r5

1 2

100

r5

10 2

r55

249

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Etapa 4

Ejercicios 1. Para los siguientes ejercicios, completa el trinomio cuadrado perfecto (si es necesario) para encontrar el centro y el radio de cada circunferencia. Después dibuja la gráfica.   a)  x 2 1 y 2 – 10x 1 8y 1 5 5 0   b)  x 2 1 y 2 1 12x – 2y 1 21 5 0   c)  x 2 1 y 2 – 6x – 4y – 12 . 0   d)  x 2 1 y 2 1 16x 1 10y –11 , 0   e)  x 2 1 y 2 – 8x 1 6y – 56 # 0   f)  x 2 1 y 2 1 4y – 18y 1 69 $ 0   g)  x 2 1 y 2 1 4x – 5 5 0   h)  x 2 1 y 2 – 14y 1 48 5 0   i)  x 2 1 y 2 5 49   j)  x 2 1 y 2 5 4

2. Resuelve. a) Dados los puntos A(–1, 5) y B(–2, –7), encuentra la ecuación de la circunferencia si el segmento AB es un diámetro. b) Dados los puntos A(0, 6) y B(3, –1), encuentra la ecuación de la circunferencia si el segmento AB es un diámetro. c) Dados los puntos A(–12, 10) y B(–2, –2), encuentra la ecuación de la circunferencia si el segmento AB es un diámetro. d) Encuentra la ecuación de la circunferencia del diámetro, el segmento AB que une los puntos (6, –2) y (2, –4).

250

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Geometría analítica

e) Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–2, 3) que sea tangente a la recta 20x – 21y – 42 5 0. f) Halla la ecuación de la circunferencia de centro (5, –2) que sea tangente a la recta 3x – 4y 1 4 5 0. g) Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro (2, –1) que sea tangente a la recta 3x – 4y 1 5 5 0. h) Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro (–3, –4) que es tangente a la recta 3x – 4y 1 5 5 0. i) Halla la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y: • Radio r 5 6 •  r 5 10 •  r 5

5

3. Para los siguientes problemas escribe la ecuación en forma reducida (x – h)2 + (y – k)2 5 r2 y en la forma general x 2 + y 2 + Dx + Ey + F 5 0 de las circunferencias descritas. a)  Centro en (7, 5), pasando por (3, –2)

b)  Centro en (–4, 6), pasando por (–2, –3)

c)  Centro en (–9, –2), pasando por (0, 0)

d)  Centro en (5, –4), pasando por (0, 3)

e)  Centro en el origen, conteniendo (–6, –8)

f)  Centro en el origen, conteniendo (–5, 1)

251

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Etapa 4

g)  Escribe la ecuación en forma reducida para una circunferencia: •  de radio r con centro en un punto del eje X. •  de radio r con centro en un punto del eje Y. •  de radio r con centro en el origen. 4. Contesta. a) ¿Qué supones que significa círculo de un punto? ¿Cómo puedes saber de la ecuación, que el círculo, es un círculo de un punto? b) A veces la gráfica de una relación cuadrática no tiene puntos. ¿Cómo puedes saber de acuerdo a la ecuación, si esto va a suceder?

252

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Geometría analítica

4.3 La parábola I. Introducción La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano, cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz. La figura 26 representa una parábola cuyas características son: a) Ser P un punto cualquiera del plano que está en su gráfica. b)  La recta fija D sea su directriz. c) Sea Q un punto que pertenece a la recta D, de tal forma que PQ sea perpendicular a D, es decir, la distancia que hay del punto P a la directriz D es la longitud del segmento PQ. d) Sea F su foco y la recta L su eje, la cual es perpendicular a la directriz y contiene al foco. e) Sea V su vértice, el cual está colocado en el punto medio del segmento de la recta RF. Observa que el vértice es el punto más cercano a la directriz. f )  De acuerdo con la definición de la parábola se tiene que: PF 5 PQ. D P

Q

V R

F

L

Figura 26

II. Ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en F(a, 0) Para hallar la ecuación de una parábola en un sistema de coordenadas coloquemos su eje focal sobre el eje X, el vértice V en el origen y el foco en el punto F(a, 0) como se muestra en la figura 27, y por tanto, la ecuación de su directriz es x 5 –a ó x 1 a 5 0.

253

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Etapa 4

De acuerdo con la definición de la parábola y con la figura, tenemos que: a)  FP 5 PQ b)  PQ 5 x 1 a c)  FP 5

(x – a) 2 1 (y – 0) 2

Por consiguiente: (x – a) 2 1 (y – 0) 2 5 x 1 a Elevemos a continuación ambos miembros de la ecuación al cuadrado.

[

]

(x – a) 2 1 (y – 0) 2

2

5 (x 1 a)2

Al desarrollar y simplificar la ecuación anterior resulta: (x 1 a) 1 y 2 5 x 21 2ax 1 a 2 x 2 –2ax 1 a 2 1 y 2 1 2ax 1 a 2 Despejamos a continuación y 2: y 2 5 2ax 1 2ax y 2 5 4ax y D

Q (–a, y)

P(x, y)

V O

F(a, 0)

x

x = –a

Figura 27

254

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Geometría analítica

La ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje focal en el eje X y cuyas coordenadas son F(a, 0) es: y 2 5 4ax De acuerdo con la ecuación anterior podemos deducir lo siguiente: 1. Su gráfica es simétrica con respecto al eje x, es decir, si el punto P(x, y) satisface su ecuación, entonces el punto P(x, –y) también la satisface; esto significa que ambos puntos están en dicha gráfica. 2. Si y es diferente de cero, entonces y2 será siempre un número positivo, por lo que se deduce que tanto el valor de a como el de x deben tener el mismo signo. Si a es mayor que cero, entonces la x sólo podrá tener números positivos, es decir, el dominio de la relación y2 5 4ax, donde a . 0 es el intervalo x . 0, mientras que su rango es el conjunto de los números reales, ya que y 5 6 4ax. De acuerdo con estas condiciones, la curva resulta una parábola abierta que se extiende infinitamente hacia la derecha, hacia arriba y hacia abajo como se muestra en la figura 28. El segmento de la recta LR de la figura que es perpendicular al eje focal Y, pasa por el foco llamado lado recto y su longitud es 4a. Esto se puede demostrar al sustituir en la ecuación y2 5 4ax, la a por la x, es decir, si x 5 a, entonces: y 2 5 4a (a) y 2 5 4a2 Luego:  y 2 5

4a 2

|y| 5 2a y 5 6 2a Es decir, las coordenadas del punto L son (a, 2a) y las de R son (a, 2a) y de acuerdo con la fórmula de la distancia tenemos que: y LR 5

(a – a) 2 1 [ 2a – (–2a)] 2

LR 5

0 1 (4a) 2

LR 5

|(4a) 2|

D

L(a, 2a)

LR 5 |4a|

O

R(a, –2a)

Figura 28

x

F(a, 0)

y4 = 4ax a>0

x = –a

255

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Etapa 4

Ejemplo

Dada la ecuación de la parábola y 2 5 12x, encontrar: a)  Las coordenadas del foco. b)  La longitud del lado recto. c)  La ecuación de la directriz. d)  Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto. e)  La gráfica.

Solución a)  Coordenadas del foco. La ecuación es de la forma y 2 5 4ax; luego: 4a 5 12 12 a 5 4 a 5 3 De acuerdo con lo anterior, las coordenadas del foco son F(3, 0). b)  Longitud del lado recto. LR 5 |4a| LR 5 |4(3)| 5 |12| LR 5 12 c)  Ecuación de la directriz. x 5 – a x 5 – 3 o también: x 1 3 5 0 e)  Coordenadas de los puntos extremos del lado recto. El valor de las abscisas en los puntos extremos del lado recto es el correspondiente a la abscisa del foco; luego, x 5 3, por consiguiente: 2 5 4ax y  2 5 4(3) (3) y  2 5 36 y 

y 5 6

36

y 5 6 6 Es decir, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (3, 6) y (3, – 6). 256

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Geometría analítica

e)  La gráfica. y 6

L(3, 6)

V(0, 0) O

3 F(3, 0)

x

R(3, –6)

–6 x = –3

Figura 29

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en F(4, 0).

Solución De acuerdo con las condiciones geométricas señaladas, el eje focal está en el eje X por lo que su ecuación es la forma y 2 5 4ax, en donde a 5 4, por lo tanto, su ecuación es: y 2 5 4(4)x y 2 5 16x

y 8

L(4, 8)

V(0, 0) O

8

4 F(4, 0)

x

R(4, –8)

Figura 30

257

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Etapa 4

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, cuya longitud del lado recto es 14 y su gráfica se abre hacia la derecha.

Solución Como su gráfica se abre hacia la derecha y su vértice está en el origen, su ecuación es de la forma y 2 5 4ax, con a . 0; luego: LR 5 4a 4a 5 14 Es decir: y 2 5 14x x = –3.5

y 7

L(3.5, 7)

V(0, 0) –4 –3 –2–1O

–7

F(3.5, 0)

x

R(3.5, –7)

Figura 31

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, cuya ecuación de su directriz es x 5 –4.

Solución De acuerdo con las coordenadas señaladas, la ecuación x 5 –4 es equivalente a x 1 4 5 0, la cual es de la forma x 1 a 5 0; luego, por analogía, determinamos que a 5 4. Por consiguiente, el foco es el punto (4, 0) y su ecuación es: y 2 5 4ax y 2 5 4(4)x y 2 5 16x 258

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Geometría analítica y L

8

V(0, 0) (–4, 0)

O

F(4, 0)

x

–8 R

x–4 Figura 32

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, que pasa por el punto P (3, 6) y cuyo eje focal está sobre el eje X.

Solución Como su eje focal está sobre el eje X, entonces su ecuación es de la forma y 2 5 4ax, en donde a . 0 (recuerda que x y a deben tener el mismo signo, y en el punto (3, 6) el signo del número 3 es positivo). Luego si x 5 3, entonces y 5 6, por lo tanto: (6)2 5 4a (3) 36 5 12a a 5 3 Por consiguiente, la ecuación es: 2 5 4(3)x; o sea y  2 5 12x y 

259

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Etapa 4 y 6

L(3, 6)

V(0, 0) –3

x

O

F(3, 0)

–6

R(3, –6)

Figura 33

III. Ecuación en una parábola con el vértice en el origen, eje focal sobre el eje x y foco en F(–a, 0) Si a es menor que cero, entonces la x sólo puede tomar valores negativos, es decir, su dominio es (– `, 0), mientras que el rango de la variable y es Re (el conjunto de los números reales), por lo que, debido a estas condiciones, la gráfica de la ecuación resulta una curva abierta que se extiende infinitamente hacia la izquierda, hacia arriba y abajo, como se muestra en la figura 34 y su ecuación es: y 2 5 – 4ax y D

y2 = –4ax

L(–a, 2a)

V F(–a, 0)

O

x

L(–a, –2a)

LR = |4a|

x=a Figura 34

260

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Geometría analítica

Ejemplo

Dada la ecuación de la parábola y 2 5 –8x determina: a)  Las coordenadas del foco. b)  La ecuación de la directriz. c)  La longitud del lado recto. d)  Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto. e)  Su gráfica.

Solución a)  Coordenadas del foco. 4a 5 –8 8 a 5 –  4 a 5 –2 entonces el foco es F (–2,0) b)  Ecuación de la directriz. x 5 – a x 5 – (–2) x 5 2: o también x – 2 5 0 c)  Longitud del lado recto. LR 5 |4a| LR 5 |4(– 2)| LR 5 |–8| LR 5 8 d) Coordenadas de los puntos extremos del lado recto. En los puntos extremos de dicho segmento x 5 –2; luego, sustituyendo este valor en la ecuación resulta: y2 5 – 8x y2 5 – 8(–2) y2 5 16 y 5 6

16

y 5 6 4 Por consiguiente, los puntos extremos del lado recto son: (–2, 4) y (–2, –4).

261

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Etapa 4

e)  Su gráfica.

y x=2

4

L(–2, –4)

V F(–2, 0)

O

R(–2, –4)

–4

x

Figura 35

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuyas coordenadas de su foco son: F( –4, 0).

Solución De acuerdo con las condiciones señaladas, el eje focal está en el eje X y su gráfica se abre hacia la izquierda (a 5 – 4 , 0) ; entonces su ecuación es de la forma y 2 5 4ax, en donde a 5 –4; luego: y 2 5 4(– 4)x y 2 5 – 16x y

8

L(–4, 8)

V F(–4, 0)

R(–4, –8)

O

x

–8

Figura 36

262

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Geometría analítica

IV. Ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje Y y foco en F(0,a) Deduzcamos a continuación la ecuación de una parábola con vértice en el origen y cuyo eje focal está en el eje Y, como se muestra en la figura 37. y

P(x, y) F(0, a) x

0 y = –a Q(x, –a) Figura 37

De acuerdo con la figura anterior y la definición de la parábola, tenemos que se cumple la siguiente condición geométrica: PF 5 PQ Luego: (x – 0)2 1 (y – a)2 5

(x – x)2 1 [ y– (– a)]2 5

(y 1 a)2

(x 2 1 (y – a)2 5 y 1 a Elevemos a continuación al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior para eliminar el radical: x 2 1 (y – a)2 5 (y 1 a) 2 Desarrollemos y simplifiquemos la expresión anterior: x 2 1 y 2 –2 ay 1 a 2 5 y 2 1 2ay 1 a 2 Al despejar x 2 resulta: x 2 5 2ay 1 2ay x 2 5 4ay La expresión anterior es la ecuación que queremos deducir. Por lo tanto podemos decir que: 1. Su gráfica es simétrica con respecto al eje Y, es decir, para cada punto P (x, y) que le satisface, entonces el punto (–x, y) también lo satisface.

263

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Etapa 4

2.  El lado recto pasa por el foco; luego, si y 5 a, entonces de acuerdo con la ecuación tenemos que: x2 5

4a 2

|x| 5 2a x 5 62a De acuerdo con lo anterior, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (2a, y) y (–2a, y) y su longitud es la distancia que hay entre dichos puntos: LR 5

[2a –(–2a)]2 1 (y – y)2

LR 5

(4a)2

LR 5 |4a| Es decir, la longitud del lado recto es el valor absoluto del producto 4a. 3.  Si x es diferente de cero, entonces x 2 es un número positivo, por lo que los valores de a y y deben tener siempre el mismo signo, es decir, ambos positivos o ambos negativos. 4. Si a es mayor que cero (a . 0), entonces su gráfica es una curva que se extiende infinitamente hacia arriba y hacia ambos lados, como se indica en la figura 38, esto es debido a que el valor de y será siempre un número positivo o cero, es decir, su rango es y . 0, y el dominio de la ecuación es el conjunto de números reales (Re), por lo tanto la x puede tomar cualquier valor real. y

F(0, a)

x2 = 4ay x V(0, 0)

D

y = –a

Figura 38

5.  Si a es menor que cero (a , 0), entonces su gráfica es una curva abierta que se extiende infinitamente hacia abajo y hacia la derecha e izquierda respectivamente, como se muestra en la figura 39, esto debido a que el valor de y será cero o siempre un número negativo, es decir su rango es y # 0, y porque el dominio de la x es el conjunto de números reales (Re).

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Geometría analítica

En estas condiciones la ecuación de la parábola es: x2 5 – 4ay y y=a

D V(0, 0)

x

F(0, –a)

x2 = –4ay

Figura 39

Ejemplo

Dada la ecuación de la parábola x 2 5 16y, encontrar: a)  Las coordenadas del foco. b)  La longitud del lado recto. c)  Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto. d)  La ecuación de la directriz. e)  Su gráfica.

Solución a) Coordenadas del foco. Como la ecuación indicada es de la forma x2 5 4ax, en donde 4a 5 16, es decir, a 5 4, entonces su gráfica es una parábola que se abre hacia arriba con foco en el punto F(0, 4). b)  Longitud del lado recto. LR 5 |4a| LR 5 4 |4| LR 5 16 c)  Coordenadas de los puntos extremos del lado recto. Hacemos y 5 4; luego: 2 5 4(4)(4) x  2 5 64 x 

265

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Etapa 4

x 5 6

64

x 5 6 8 Por consiguiente, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (–8, 4) y (8, 4). d) La ecuación de la directriz. y 5 – 4 y 1 4 5 0 e)  Su gráfica. 7

y

6 5

L(–8, 4)

4

F(0, 4)

R(8, 4)

3 2 1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

–2

2

3

4

5

6

7

8

x

Directriz y  –4

–3 –4 –5 –6 –7

Figura 40

Ejemplo

Dada la ecuación de la parábola x 2 5 – 8y, determinar: a)  Las coordenadas del foco. b)  La ecuación de la directriz. c)  Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto. d)  La longitud del lado recto. e)  Su gráfica.

Solución a) Coordenadas del foco. La ecuación de la parábola es de la forma x 2 5 –4ay; luego, su gráfica es una parábola que se abre hacia abajo con vértice en el origen y foco en el punto (0, – 2), ya que:

266

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Geometría analítica

4a 5 –8 8 a 5 –  4 a 5 –2 b) Ecuación de la directriz. y 1 a 5 0 y 1 (–2) 5 0 y –2 5 0 c) Coordenadas de los puntos extremos del lado recto. Si y 5 –2, entonces: 2 5 –8y x  2 5 –8(–2) x  2 5 16 x 

x 5 6

16

y 5 6 4 Por lo tanto, los puntos extremos del lado recto son (4, –2) y (–4, –2). d)  Longitud del lado recto. LR 5 |4a| LR 5 | 4(–2)|

LR 5 |–8|

LR 5 8 e) Su gráfica. y

y=2

D –4 L(–4, –2)

V(0, 0)

4 R(4, –2)

F(0, –2)

Figura 41

267

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Etapa 4

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuyas coordenadas del foco son F(0, 5).

Solución De acuerdo con las condiciones geométricas señaladas, su eje focal está en el eje Y y su gráfica se abre hacia arriba (a 5 5 . 0); luego, su ecuación es de la forma x 2 5 4ay, en donde a 5 5, es decir: x 2 5 4(5)y x 2 5 20y y

F(0, 5) x

0 Figura 42

Ejemplo

Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuyas coordenadas del foco son F (0,–7).

Solución De acuerdo con las condiciones geométricas señaladas su eje focal está en el eje Y y su gráfica se abre hacia abajo (a 5 –7 , 0); por consiguiente, su ecuación es de la forma: x 2 5 – 4ay, en donde a 5 –7, es decir: x 2 5 4(–7)y x 2 5 –28y

y O

x

F(0, –7)

Figura 43

268

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Geometría analítica

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, cuya longitud de su lado recto es 16 y su gráfica se abre hacia abajo.

Solución De acuerdo con las condiciones geométricas indicadas, la ecuación es de la forma x 2 5 – 4ay, en donde |4a| 5 16, es decir, la ecuación es: x2 5 –16y y O

x

F(0, –4)

Figura 44

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya ecuación de la directriz es y 5 – 6.

Solución De acuerdo con las condiciones señaladas a 5 6 y su eje focal está sobre el eje Y; luego, la ecuación es de la forma x 2 5 4ay, es decir: x 2 5 4(6)y x 2 5 24y

y

F(0, 6)

O

x y = –6

D

Figura 45

269

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Etapa 4

Ejemplo

Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuyo eje focal está sobre el eje Y y cuya gráfica contiene el punto P (8, –4).

Solución Como el eje focal está sobre el eje Y, entonces la ecuación es de la forma x 2 5 4ay. Como la gráfica contiene el punto P (8, –4), entonces se cumple lo siguiente: 82 5 4a (–4) 4a 5

64 –4

4a 5 –16 Por consiguiente, la ecuación es: x 2 5 –16y y O

x P(8, –4) F(0, –4)

Figura 46

V. Traslación de ejes Antes de continuar con el estudio de la parábola, hagamos un paréntesis para tratar lo relacionado con la operación denominada traslación de los ejes coordenados, que consiste en desplazar los ejes coordenados en el plano a una posición diferente, de tal forma que los nuevos ejes sean, respectivamente, paralelos a los ejes originales y con la dirección en el mismo sentido. Dicha operación se realiza con el fin de simplificar las ecuaciones y facilitar su proceso de resolución. Por otro lado, la traslación de ejes será de mucha utilidad para estudiar las secciones cónicas cuando su centro no está en el origen.

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Geometría analítica

Ecuaciones de transformación cuando se realiza una traslación de ejes coordenados Si los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas se traslada de tal forma que: 1.  Los nuevos ejes sean paralelos, respectivamente, a los ejes originales. 2.  Las coordenadas del nuevo origen sean O 9(h, k) con respecto al sistema original o primitivo. 3.  Las coordenadas de cualquier punto P antes de la traslación sean (x, y) y después de la misma (x 9, y 9). Entonces las ecuaciones de transformación son: x 5 x 9 1 h o también x 9 5 x – h y 5 y 9 1 k o también y 9 5 y – k

Demostración

y’ y’

y

k

0

P y’

O’

h

x’

x’

x

x

Figura 47

De acuerdo con la figura anterior, tenemos que x 5 x 9 1 h, en donde al despejar x 9 resulta: x 9 5 x – h Análogamente: y 5 y 9 1 k y 9 5 y – k A continuación utilizaremos estas fórmulas para encontrar la ecuación de una parábola cuyo vértice no está en el origen.

271

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Etapa 4

VI. Ecuación de una parábola con vértice en el punto V(h,k), distinto al origen Caso 1. Su eje es paralelo al eje X. Consideremos que su eje focal es paralelo al eje X, además el foco está situado a la derecha del vértice, como se muestra en la figura 48. y y’

D a

|VF| = 4a V

k

F

O’

x’

x

h

O

Figura 48

Para hallar la ecuación de una parábola cuyo vértice no está en el origen y cuyas coordenadas son V(h, k), efectuamos una traslación de ejes, de tal manera que el nuevo origen O 9 coincida con el vértice, entonces, de acuerdo con las ecuaciones de transformación, tenemos: y 2 5 4ax 9 En donde, como ya lo hemos demostrado, x 9 5 x – h y y 9 5 y – k, es decir: (y – k)2 5 4a (x – h) La expresión anterior es la ecuación de la parábola en la forma reducida con vértice V(h, k), eje paralelo al eje X y radio focal de longitud a. Caso 2. Ecuación en la forma reducida de la parábola con vértice en V(h, k), eje focal paralelo al eje X y cuyo foco está situado a la izquierda del vértice. y D

k

0

F(x, k)

x

|VF| = a |VQ| = a V

h

Q

x Figura 49

272

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Geometría analítica

Como el foco está situado a la izquierda del vértice, entonces si efectuamos una traslación de ejes con el punto (h, k), como nuevo origen con respecto al sistema de coordenadas primitivo, entonces su ecuación es de la forma: y 9 2 5 –4ax 9 Luego: (y – k)2 5 – 4a (x – k) Caso 3. Ecuación de la parábola con vértice V(h, k), eje focal al eje Y y cuya gráfica se abre hacia arriba: y y

F(h, y) |VQ| = a |FV| = a

k

V(h, k) Q

D

y=k–a x

h Figura 50

Si efectuamos una traslación de ejes cuyas coordenadas del nuevo origen sean (h, k) con respecto al sistema primitivo, entonces de acuerdo con las condiciones geométricas señaladas, la ecuación es de la forma: x 9 2 5 4ay Es decir: (x – h)2 5 4a (y– k) Caso 4. E  cuación de la parábola que se abre hacia abajo, con vértice en (h, k), eje focal paralelo al eje Y. Si efectuamos una traslación de ejes donde el nuevo origen sea el punto (h, k) con respecto al sistema primitivo, entonces, de acuerdo con las condiciones es de la forma: x 9 2 5 – 4ay 9 Utilizando las ecuaciones de transformación que se derivan de la traslación de ejes resulta: (x – h)2 5 – 4a (y – k)

273

UANL Mate 3 Cap. 9.indd 273

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Etapa 4 y D

V(h, k)

y=k+a

k F(h, k – a) 0

x

h Figura 51

Podemos resumir lo anterior en la siguiente tabla (en todos los casos el vértice de la parábola es el punto V(h, k). Caso 1. Descripción

Ecuación

Foco

Directriz

Gráfica y

Eje focal paralelo al eje X y su grá(x – h)2 5 4a (x – h) fica se abre hacia la derecha.

(h 1 a, k)

x5h–a

V

k

O

a = |VF|

FV

x

h

Caso 2. Descripción

Ecuación

Foco

Directriz

Gráfica

y

Eje focal paralelo al eje X y su grá(y – k)2 5 – 4a (x – h) fica se abre hacia la izquierda.

(h – a, k)

x5h1a

a = |VF| F

V k h

O

x

274

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Geometría analítica

Caso 3. Descripción

Ecuación

Foco

Directriz

Gráfica y

Eje focal paralelo al eje Y y su grá(x – h)2 5 4a (y – k) fica se abre hacia arriba.

(h, k 1 a)

y5k–a

a = |VF|

F

k

V

O

x

h

Caso 4. Descripción

Ecuación

Foco

Eje focal paralelo al eje Y y su cur(x – h)2 5 –4a (y – k) va se abre hacia abajo.

Directriz

Gráfica

k

(h, k – a)

y5k1a

y

V F

a = |VF|

O

h

x

VII. Ecuación de una parábola en forma general Toda ecuación de una parábola puede escribirse en la forma: y 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 Si su eje focal es paralelo al eje X, o: x 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 Si su eje focal es paralelo al eje Y. Las expresiones anteriores resultan al desarrollar y simplificar la ecuación de una parábola escrita en su forma reducida. Asimismo, también podemos proceder en sentido contrario, es decir, dada una ecuación en la forma general, obtener su expresión en la forma reducida, utilizando el método de completar un trinomio cuadrado perfecto, como lo veremos en el siguiente ejemplo. 275

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Etapa 4

Ejemplo

Dada la ecuación de la parábola y 2 – 6x – 16x 1 41 5 0, encontrar: a)  La ecuación en su forma reducida. b)  Las coordenadas del vértice. c)  Las coordenadas del foco. d)  La ecuación de la directriz.

Solución a)  Ecuación en su forma reducida. Primer paso. Dejemos en el lado izquierdo únicamente los términos que contienen la variable y. y 2 – 6y 5 16x – 41 Segundo paso. Sumemos en ambos miembros de la ecuación el número que se requiere para que la expresión del lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto.

( )

( )

2 6 2 – 6y 1 –  6 y  5 16x – 41 1 –  2 2

2

2 – 6y 1 9 5 16x – 41 1 9 y  2 – 6y 1 9 5 16x – 32 y 

Tercer paso. Factoricemos las expresiones de ambos miembros de la ecuación anterior: (y – 3) 2 5 16 (x – 2) La expresión anterior es la ecuación de la parábola en la forma reducida. b)  Coordenadas del vértice. De acuerdo con la ecuación anterior, h 5 2 y k 5 3; luego, las coordenadas del vértice son V  (2, 3). c)  Coordenadas del foco. De acuerdo con la ecuación, su gráfica es una parábola que se abre hacia la derecha con eje focal paralelo al eje X, donde el vértice y el foco están situados en la recta horizontal y 5 3, como se muestra en la figura 52.

276

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Geometría analítica

De acuerdo con la ecuación, tenemos que 4a 5 16, es decir, a 5 4. Por lo tanto, el valor de la abscisa del foco es: y

x 5h 1 a x5214 x56

a = |VF|

k=3

0

V(2, 3) F(6, 3) x h=2 Figura 52

Por consiguiente, las coordenadas del foco son: F (6, 3) d)  Ecuación de la directriz. Si efectuamos una traslación de ejes con nuevo origen en (h, k), la ecuación de la directriz es: x 9 1 a 5 0 x 9 1 4 5 0 Luego, (x – h) 1 4 5 0 x – 2 1 4 5 0 x1250 O también x5–2

Ejemplo

Dada la ecuación de la parábola x 2 – 2x – 8y 1 33 5 0, encontrar: a)  La ecuación en su forma reducida. b)  Las coordenadas del vértice. c)  Las coordenadas del foco. d)  La ecuación de la directriz. 277

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Etapa 4

Solución a)  Ecuación en su forma reducida. 2 – 2x 5 8y – 33 x 

( )

( )

2 2 2 2 – 2x 1 –  2 5 8y – 33 1 –  x  2 2 2 x  – 2x 1 1 5 8y – 33 1 1 2 – 2x 1 1 5 8y – 32 x 

(x – 1) 2 5 8(y – 4) b)  Coordenadas del vértice. De acuerdo con la ecuación anterior las coordenadas del vértice son V (1, 4). c)  Coordenadas del foco. De acuerdo con la ecuación la parábola se abre hacia arriba y su eje focal es paralelo al eje Y, como se muestra en la figura 53. De acuerdo con la ecuación tenemos que: 4a 5 8 8 a 5 4 a52 Por consiguiente, la ordenada del foco es: y 5 k 1 a y

F(1, 6)

k=4

V(1, 4) y=2

D O h=1

x

Figura 53

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Geometría analítica

Es decir: y5412 y56 Por lo tanto, las coordenadas del foco son: F (1, 6) d)  Ecuación de la directriz. Si efectuamos una traslación de ejes donde el nuevo origen es el punto O 9(h, k), entonces la ecuación de la directriz es de la forma: y 9 5 – a y 9 5 – 2 Es decir: y–k5–2 y–45–2 Donde: y5–214 y52

Ejercicios Ejercicios 1. En los siguientes ejercicios encuentra: •  La longitud del lado recto. •  Las coordenadas del foco. •  La ecuación de la directriz para cada una de las parábolas que se indican. a)  y 2 5 16x b)  y 2 5 –16x c)  y 2 5 4x

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Etapa 4

  d) 3y 2 5 16x   e)  y 2 5 8x   f)  y 2 5 –2x   g)  y 2 5 24x   h)  x 2 5 4y   i)  x 2 5 – 6y   j)  x 2 5 8y 2. En los siguientes ejercicios, encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que satisface las condiciones dadas.   a)  Foco en (4, 0)   b)  Foco en (3, 0)   c)  Foco en (5, 0)   d)  Foco en (0, 0)   e)  Foco en (– 4, 0)   f)  Foco en (0, –5)   g) Directriz x 5 5   h) Directriz y 5 –2   i) Directriz x 5 –4   j)  La longitud del lado recto es 10 y se abre hacia la derecha.   k)  La longitud del lado recto es 16 y se abre hacia abajo.

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Geometría analítica

  l)  La longitud del lado recto es 20 y se abre hacia la izquierda.   m)  La longitud del lado recto es 12 y se abre hacia arriba.   n)  Para el punto (–3, 6), su eje focal se encuentra sobre el eje X.   ñ)  El foco está sobre el eje X y la parábola pasa por el punto (3, 4).   o)  La parábola pasa por el punto (–3, 4) y su eje focal está sobre el eje X.   p)  La parábola pasa por el punto (6, –3) y su foco está sobre el eje Y.   q)  Su foco está sobre el eje Y y la parábola pasa por el punto (2, 3).   r)  Su foco está sobre el eje X y la parábola pasa por el punto (2, – 3).   s)  Su foco está sobre el eje Y y la parábola pasa por el punto (–3, – 9). 3. En los siguientes ejercicios, encuentra la ecuación de la parábola con los datos que se te indican.   a)  Foco en (–3, 2) y vértice en V (–3, –5).   b)  Foco en (3, – 8) y vértice en V (3, –2).   c)  Foco en (–1, 0) y vértice en V (–1, –4).   d)  Foco en (–5, 5) y vértice en V (–5, 8).   e)  Foco en (–2, 2) y vértice en V (2, 2).   f)  Foco en (4, 2) y vértice en V (0, 2).   g)  Foco en (6, –2) y vértice en V (4, –2).   h)  Foco en (2, –3) y vértice en V (4, –3).

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Etapa 4

4. En los siguientes ejercicios hallar: •  La ecuación en la forma reducida de la parábola que se indica. •  Las coordenadas del vértice. •  Las coordenadas del foco. •  La ecuación de la directriz. •  La longitud del lado recto. a)  y 2 – 4y 1 8x – 28 5 0 b)  y 2 1 8y 1 6x 1 16 5 0 c)  y 2 1 20x 1 2y – 39 5 0 d)  y 2 – 8x – 8y 1 64 5 0 e)  y 2 – 6x – 4y 1 22 5 0 f)  x 2 – 6x – 12y – 15 5 0 g)  x 2 1 8y – 4x – 36 5 0 h) 2x 2 1 2x – 3y 1 1 5 0 i)  x 2 – 8x – 6y – 8 5 0 j)  x 2 – 6x – y 1 5 5 0

282

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Geometría analítica

4.4 La elipse I. Introducción La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos es constante, la cual siempre es mayor que la distancia entre dichos puntos fijos. La siguiente figura representa una elipse en la cual podemos distinguir los siguientes elementos: 1.  Focos. Los puntos F y F 9son los puntos fijos denominados focos. 2.  Eje focal. Es la recta que pasa por los focos; en la figura es la recta L. 3.  Vértices. Son los puntos de intersección de la elipse con su eje focal. En la figura los puntos V y V 9 son los vértices de la elipse. 4.  Eje mayor. Es el segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la elipse, es decir, el segmento VV 9. B L’

L

V V’

F’

C

V

F

R

L

R’ B’ Figura 54

5.  Centro de la elipse. Es el punto medio del segmento de la recta cuyos puntos extremos son los focos de la elipse. En la figura el punto C representa el centro de la elipse. 6.  Eje menor. Es el segmento de la recta que pasa por el centro de la elipse, es decir, por el punto C, y que es perpendicular al eje focal. En la figura el segmento BB 9 representa el eje menor de la elipse. 7.  Lado recto. El segmento de recta que es perpendicular al eje focal que pasa por uno de sus focos y cuyos extremos están en la elipse se llama lado recto. Obviamente, la elipse contiene dos lados rectos por tener dos focos. En la figura LR y L 9R 9 son los lados rectos de la elipse. Con las definiciones anteriores podemos encontrar la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas.

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Etapa 4

II. Ecuación de una elipse con centro en el origen, cuyo eje focal está sobre el eje X. Para encontrar la ecuación de una elipse que tenga las condiciones geométricas señaladas, primero colocamos su centro en el origen, de tal forma que su eje mayor VV 9 coincida con el eje X, como se muestra en la figura 55. Asimismo, consideremos que C sea la distancia desde el centro de la elipse a cada uno de los focos, entonces las coordenadas de éstos serán F(C, 0) y F 9(–c, 0), y por último, denotamos por la expresión 2a la distancia constante a la que nos referimos en la definición de la elipse. y B

P(x, y)

V’

V 0

F’(−c, 0)

F(c, 0)

x

B’ Figura 55

Por consiguiente, si el punto P (x, y) es un punto cualquiera de la elipse, de acuerdo con su definición, tenemos que: FP 1 F 9P 5 2a En donde: FP 5 F 9P 5

(x – c)2 1 (y – 0) 2 (x 1 c)2 1 (y – 0) 2

Por lo tanto: (x –c)2 1 y 2 1

(x 1 c)2 1 y 2 5 2a

Pasemos el segundo radial al miembro derecho de la ecuación: (x –c)2 1 y 2 5 2a– (x 1 c)2 1 y 2

284

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Geometría analítica

A continuación elevemos al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior para eliminar el radical del miembro izquierdo:

[

]

2

[

(x –c)2 1 y 2  5 2a–

]

(x 1 c)2 1 y 2 2

De donde resulta: (x –c)2 1 y 2 5 4a 2 – 4a

(x 1 c)2 1 y 2 1 (x 1 c)2 1 y 2

Simplifiquemos a continuación la expresión anterior: x 2 –2xc 1 c 2 1 y 2 5 4a 2 – 4a

(x 1 c)2 1 y 2 1 x 2 1 2xc 1 c 2 1 y 2



– 4xc 5 4a 2 – 4a

(x 1 c)2 1 y 2



– 4xc 5 4a 2 – 4a

(x 1 c)2 1 y 2

Al dividir ambos miembros de la ecuación anterior por – 4 resulta:

– 4xc 5 4a 2 – 4a –4

(x 1 c)2 1 y 2 –4

cx 5 – a 2 1 a (x 1 c)2 1 y 2 O también: cx 1 a 2 5 a

(x 1 c)2 1 y 2

Elevemos de nuevo ambos miembros de la ecuación al cuadrado para eliminar su radical:

[

(cx –a 2)2 5 a

] ]

(x 1 c)2 1 y 2

[

2

c 2 x 2 12a 2cx 1 a4 5 a 2 (x 1 c)2 1 y 2

c 2 x 2 12a 2cx 1 a4 5 a 2 (x 2 12cx 1 c 2 1 y 2 ) c 2 x 2 1 2a 2cx 1 a4 5 a 2 x 2 1 2a 2cx 1 a 2 c 2 1 a 2 y 2 c 2 x 2 1 a4 5 a 2 x 2 1 a 2 c 2 1 a 2 y 2 c 2 x≤2 – a 2 x 2 – a 2 y 2 5 a 2 c 2 – a4 2 (c 2 – a 2 ) – a 2 y 2 5 a 2 (c 2 – a 2 ) x  2 (c 2 – a 2 ) – a 2 (c 2 – a 2 ) 5 a 2 y x 

Al multiplicar por –1 ambos miembros de la ecuación resulta: x 2 (a 2 – c 2 ) 1 a 2 y 2 5 a 2 (a 2 – c 2 )

(1) 285

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Etapa 4

Como lo precisamos al inicio de este capítulo, la suma de las distancias de un punto P (x, y) a los focos es constante, y ésta debe ser mayor que el segmento de la recta FF 9, es decir: 2a . 2c Por consiguiente, a.c Por lo que también se cumple: a 2 . c 2 Por lo tanto: a 2 – c 2 . 0 Si hacemos que b 2 5 a 2 – c 2, en donde b . 0, entonces la ecuación (1) la podemos rescribir de la siguiente manera: b 2 x 2 1 a 2 y 2 5 a 2b 2 Al dividir ambos miembros de la ecuación por a 2b 2, resulta: b 2 x 2 1 a 2 y 2 5 a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2



x 2 1 y 2 5 1 a 2 b 2



La ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en F(c, 0) y F 9(–c, 0) es: x 2 1 y 2 5 1 a 2 b 2 Analicemos a continuación la ecuación anterior. Simetría  Con respecto al eje Y: De acuerdo con la ecuación, ésta no se altera al sustituir x por –x, por consiguiente, es simétrica con respecto al eje Y; por tanto, si un punto P (x, y) pertenece a su gráfica, entonces el punto P(–x, y) también le pertenece.  Con respecto al eje X: Como la ecuación tampoco se altera cuando se sustituye y por –y, entonces es simétrica con respecto al eje X; es decir, si el punto P(x, y) está en su gráfica, entonces el punto P(x,– y) también le pertenece.

286

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Geometría analítica

Dominio y rango de la ecuación de la elipse Despejemos la y en la ecuación para analizar y determinar su extensión con respecto a la x, es decir, el dominio de la relación: x 2 1 y 2 5 1 a 2 b 2 y 2 5 1 –  x 2 b 2 a 2 De donde:

y 2 5 a 2 – x 2 b 2 a 2

 2  2 2 2 5 b (a – x  ) y   2 a

b 2 (a 2 – x 2) a 2

y 5 6 y 5 6 b a

(a 2 – x 2)

De la ecuación anterior deducimos que la expresión del radicando a 2 – x 2 es mayor o igual que cero, si y sólo si –a , x , a; es decir, el dominio de la relación es el conjunto de los números reales que están en el intervalo desde –a hasta a, ambos inclusive: por consiguiente, x sólo puede tomar valores que están en dicho intervalo. Despejemos a continuación la variable para determinar la expresión de la elipse con respecto a la y, es decir, su rango:



x 2 1 y 2 5 1 a 2 b 2 x 2 5 1 –  y 2 a 2 b 2

[

]

2 2 5 a 2 1 – y  x   2 b  2 2 2 5 a 2 _ a y  x   2 b  2  2  2 2 2 5 a b – a y  x  b 2  2  2 2 x 2 5 a (b  2– y  ) b

De donde: a 2 (b 2 – y 2) b 2  2 2 x 5 6a b – y  b x 5 6

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Etapa 4

De la ecuación anterior, el radicando b 2 – y 2 debe ser mayor o igual que cero, si y sólo si –b , y , b, es decir, el rango de la relación es el conjunto de los números reales que están en el intervalo desde –b hasta b, ambos inclusive; por consiguiente, y sólo puede tomar valores que están en dicho intervalo. De acuerdo con el domino y el rango de la ecuación, su gráfica es una curva cerrada en donde los valores máximos y mínimos de x son a y – a, respectivamente, mientras que los valores máximos y mínimos de y son b y – b. Coordenadas de los vértices Para encontrar las coordenadas de los vértices hagamos y 5 0; luego: x 2 1 0 5 1 a 2 b 2 Es decir, x 2 5 1 a 2 Luego, x 2 5 a 2, de donde x 5 6 a; por consiguiente, las coordenadas de los vértices son V (a, 0) y V 9(–a, 0). Coordenadas de los puntos extremos del eje menor Para encontrar las coordenadas de los puntos extremos del eje menor hacemos que x 5 0, luego: 02 1 y 2 5 1 a 2 b 2 Es decir, y 2 5 1 b 2 Luego, y 2 5 b 2, por consiguiente, y 5 6 b. De acuerdo con lo anterior, las coordenadas de los puntos extremos del eje menor son B(0, b) y B 9(0, –b). Longitud de cada lado recto Para determinar la longitud de cada lado recto de la elipse hagamos x 5 c o x 5 – c, con el fin de obtener las coordenadas de los puntos extremos de dicho segmento y a continuación hallar la distancia entre ellos, es decir, su longitud. De acuerdo con la fórmula de la distancia entre dos puntos tenemos que: d 2 5 (x 2 – x1) 2 1 (y 2 – y1) 2 Luego:

[ ( )]

 2  2 LR 2 5 (c – c)2 1 b – –b a a

2

288

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Geometría analítica

De donde:

[ ( )]

 2  2 LR2 5 b – –b a a

2

Es decir,  2 LR5 2b a

Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse Para cada elipse a representa la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor y c la distancia de su centro a uno de los focos y están relacionados por la expresión: c 2 5 a 2 – b 2 Lo que demostraremos a continuación: y B(0, b)

V’(−a, 0)

F’(−c, 0) O

F(c, 0)

x V(a, 0)

B’(0, −b) Figura 56

Considerando la figura 56 y la definición de la elipse, se cumple la siguiente condición geométrica: FP 1 F 9P 5 2a De donde, al considerar la suma de las distancias del punto B(0, b) a los focos tenemos:

(0 – c)2 1 (b – 0)2 1

(0 1 c)2 1 (b – 0)2 5 2a c 2 1 b 2 1

c 2 1 b 2 5 2a

2 c 2 1 b 2 5 2a

Es decir, c 2 1 b 2 5 a Al elevar ambos miembros de la ecuación anterior al cuadrado, para eliminar el radical, resulta:

(

c 2 1 b 2) 5 a 2

c 2 1 b 2 5 a 2 De donde c 2 5 a 2 – b 2, lo que queríamos demostrar. 289

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Etapa 4

En resumen La gráfica de la ecuación: x 2 1 y 2 5 1, en donde a 2 . b 2 y c 2 5 a 2 – b 2 a 2 b 2 Es una elipse que tiene las siguientes características: 1.  Su centro está en el origen. 2.  Su eje focal está en el eje X. 3.  Las coordenadas de sus vértices son V(a, 0) y V 9(–a, 0). 4.  Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B(0, b) y B 9(0, – b). 5.  Las coordenadas de sus focos son F(c, 0) y F 9(–c, 0). 6.  La longitud de su eje mayor VV 9 es 2a. 7.  La longitud de su eje menor BB 9 es 2b.  2 8.  La longitud de cada uno de sus lados rectos (LR) es 2b . a

La figura 57 representa la gráfica de dicha ecuación y sus elementos correspondientes: y B(0, b) (−c,

F’(−c, 0)

V’(−a, 0) (−c, −

(c,

b) a 2

O

b2 ) a

x V(a, 0)

F(c, 0)

b2 ) a

(c, −

b2 ) a

B’(0, −b) Figura 57

III. Excentricidad de una elipse La excentricidad (e) de una elipse se define como la razón c , es decir: a e5 c 5 a

a 2 – b 2 , en donde e , 1, ya que c , a. b

Dependiendo del valor de la excentricidad de una elipse, ésta puede ser más largada o casi circular, como se indica en las figuras 58 y 58a.

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Geometría analítica

a)  Excentricidad cercana a 1.

b)  Excentricidad cercana a cero.

y

y

x

x

Figura 58

Figura 58a

De acuerdo con la ecuación de la excentricidad, si el valor de b se acerca al de a, entonces la excentricidad tiende a cero y la gráfica de la elipse es casi circular; mientras que si el valor de b es casi cero, entonces la excentricidad tiende a uno y la gráfica de la elipse es muy aplanada. Ejemplo

Dada la ecuación de la elipse: x 2 1 y 2 5 1 16 12 Encontrar: a) Las coordenadas de los focos. b) Las coordenadas de los vértices. c) La longitud de cada lado recto. d) La longitud del eje mayor. e) La longitud del eje menor. f ) La excentricidad.

Solución a) La elipse tiene centro en el origen y su eje focal está en el eje X, luego: a 2 5 16 y b 2 5 12, por consiguiente: c 2 5 a 2 – b 2 c 2 5 16 – 12 c 2 5 4

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Etapa 4

Es decir, c56 4 c562 De acuerdo con los resultados obtenidos, las coordenadas de los focos son F(2, 0) y F 9(–2, 0). b) De acuerdo con las condiciones indicadas, las coordenadas de los vértices son de la forma V(a, 0) y V 9(–a, 0), es decir, V(4, 0) y V 9(– 4, 0). c) Para encontrar la longitud de cada lado recto:  2 LR 5 2b a

Es decir, LR 5 2(12) 4 LR 5 6 d) Para calcular la longitud del eje mayor: W 9 5 2a W 9 5 2(4) W 9 5 8 e) Para calcular la longitud del eje menor: BB 9 5 2b BB 9 5 2( 12) 5 2 (4 (3)) BB 9 5 4 ( 3) 5 6.9 f ) Para hallar la excentricidad: e 5 c a e 5 2 4 e 5 1 2

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Geometría analítica

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la elipse con vértices en V(3, 0) y V 9(– 3, 0) y cuya excentricidad es igual a 2. 3

Solución El centro de la elipse es el punto medio del segmento VV 9; luego, el centro es el origen y de acuerdo con la localización de los vértices, el eje focal están en el eje C; por consiguiente, la ecuación buscada es de la forma: x 2 1 y 2 5 1 a 2 b 2 En donde: e 5 c a 2 Con a 5 3 y e 5 , luego: 3 2 5 c 3 3 De donde: c 5 2(3) 3 c 5 2 Determinemos a continuación el valor de b 2. b 2 5 a 2 – c 2 b 2 5 (3) 2 – (2) 2 b 2 5 9 – 4 b 2 5 5 Por lo tanto, la ecuación de la elipse es:

x 2 1 y 2 5 1 9 5

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Etapa 4

IV. Ecuación de la elipse con centro en el origen, cuyo eje focal está sobre el eje Y De las misma manera que determinamos la ecuación: x 2 1 y 2 5 1 a 2 b 2 Podemos demostrar que la ecuación de la elipse que tiene las condiciones geométricas señaladas es: x 2 1 y 2 5 1 b 2 a 2 La figura 59 representa una elipse con estas condiciones geométricas y en ella se señalan sus elementos correspondientes. y V(0, a) L(− ba , c)

R( ba , c)

2

2

F(0, c) B’(−b, 0)

B(b, 0) x

O F’(0, −c) L’(−

b2 , a

−c)

R’( ba , −c) 2

V’(0, −a) Figura 59

En resumen La gráfica de la ecuación: x 2 1 y 2 5 1, en donde a 2 . b 2 y c 2 5 a 2 – b 2 b 2 a 2 Es una elipse que tiene las siguientes características: 1.  Su centro está en el origen. 2.  Su eje focal está en el eje Y. 3.  Las coordenadas de sus vértices son V(a, 0) y V 9(0,–a). 4.  Las coordenadas de sus focos son F(0, c) y F 9(0, –c). 5.  La longitud de su eje mayor VV 9 es 2a. 6.  La longitud de su eje menor BB 9 es 2b.

294

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Geometría analítica  2 7.  La longitud de cada lado recto (LR) es 2b . a 8.  Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B(b, 0) y B 9(– b, 0). 9.  Su excentricidad es e 5 c  . a

Ejemplo

Dada la ecuación de la elipse 25x 2 1 16y 2 5 400, encontrar: a)  Las coordenadas de los focos. b)  Las coordenadas de los vértices. c)  La longitud de cada lado recto. d)  La longitud del eje mayor. e)  La longitud del eje menor. f)  La excentricidad.

Solución 25x 2 1 16y 2 5 400 a)  Si dividimos ambos miembros de la ecuación anterior por 400, resulta: 25x 2 1 16y 2 5 400 400 400





25x 2 1 16y 2 5 1 400 400

Es decir,

x 2 1 y 2 5 1 16 25

De acuerdo con la ecuación anterior, la elipse tiene su centro en el origen y su eje focal está sólo en el eje Y, por lo tanto, las coordenadas de sus focos son de la forma F(0, c) y F 9(0, – c), de donde: c 2 5 a 2 – b 2 c 2 5 25 – 16 c 2 5 9 Es decir, c 5 6 9 c 5 6 3 Por consiguiente las coordenadas de sus focos son F(0, 3) y F 9(0, –3). 295

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Etapa 4

b) De acuerdo con la ecuación de la elipse, las coordenadas de los vértices son de la forma: V(0, a) y V 9(0, –a); como a 2 5 25, entonces las coordenadas de los vértices son V(0, 5) y V 9(0, –5). c) Para encontrar la longitud de cada lado recto:  2 LR 5 2b a

LR 5 2(16) 5 LR 5 6.4 d) Para calcular la longitud del eje mayor: W 9 5 2b W 9 (2)10 W 9 5 10 e)  Para determinar la longitud del eje menor: BB 9 5 2b BB 9 5 2(4) BB 9 5 8 f )  Para hallar la excentricidad: e 5 c a e 5 3

5

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la elipse cuyas coordenadas de sus focos son F(0, 3) y F 9(0, –3) y las de sus vértices son V( 0, 5) y V 9(0, –5).

Solución El centro de la elipse es el punto medio del segmento de la recta FF 9, es decir, el origen del sistema de coordenadas. Por lo tanto, se trata de una elipse con centro en el origen y cuyo eje focal está sobre el eje Y, de acuerdo con la localización de sus focos. A partir de las condiciones geométricas señaladas, tenemos que la ecuación es de la forma: x 2 1 y 2 5 1 b 2 a 2 296

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Geometría analítica

En donde c 5 3 y a 5 5; luego: c 2 5 a 2 – b 2 (3)2 5 (5)2 – b 2 9 5 25– b 2 9 1 b 2 5 25 b 2 5 25 – 9 b 2 5 16 Por lo tanto, la ecuación de la elipse es: x 2 1 y 2 5 1 16 25

Ejemplo

Hallar la ecuación de la elipse cuyas coordenadas de sus vértices son V(0, 5) y V 9(0, – 5) y cuya longitud del lado recto es 6.

Solución De acuerdo con la localización de los vértices, el centro de la elipse es el origen y su eje focal está sobre el eje Y, por lo tanto, su ecuación es de la forma: x 2 1 y 2 5 1 b 2 a 2 En donde a 5 5; luego:  2 LR 5 2b a

Es decir,



2b 2 5 6 5 b 2 5 15

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es: x 2 1 y 2 5 1 15 25

297

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Etapa 4

V. Ecuación de la elipse con centro en el punto C(h, k) y eje focal paralelo al eje X La figura 60 representa una elipse que tiene las condiciones geométricas indicadas. Para determinar su ecuación realizaremos una traslación de ejes, en donde las coordenadas del nuevo origen serán (h, k) con respecto al sistema primitivo, luego, su ecuación es de la forma: x 92 1 y 92 5 1 a 2 b 2 De acuerdo con las fórmulas de traslación de ejes: x 9 5 x – h y 9 5 y – k y’

y

B

b

V’ F’

a O’ (h, k) F

V

x’

B’ x

O Figura 60

Por consiguiente, la ecuación de la elipse es: (x – h)2 1 (y – k)2 5 1 a 2 b 2 A dicha ecuación se le denomina forma reducida de una elipse con centro en C(h, k). A continuación veamos cómo determinar las coordenadas de los vértices y los focos de la elipse determinada por las condiciones indicadas. De acuerdo con la figura tenemos que |FC| 5 c y |F 9C| 5 c; entonces las coordenadas de los focos son: F(h 1 c, k) y F 9(h – c, k), respectivamente. A partir de la figura anterior tenemos que |VC| 5 a y |V 9C| 5 a luego, las coordenadas de los vértices son: V(h 1 a, k) y V 9(h – a, k)

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Geometría analítica

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la elipse con centro en el punto C(3, – 4), eje focal paralelo al eje X, cuya longitud del eje mayor es 10 y de excentricidad 4 . 5

Solución De acuerdo con las condiciones geométricas indicadas, la ecuación de la elipse en la forma reducida es: (x – 3)2 1 (y 1 4)2 5 1 a 2 b 2 En donde 2a 5 10, es decir, a 5 5, e 5 c 5 4 , es decir, c 5 4; luego: a 5 c 2 5 a 2 – b 2 b 2 5 a 2 – c 2 De donde b 2 5 25 – 16 b 2 5 9 Por consiguiente, la ecuación de la elipse es: (x – 3)2 1 (y 1 4)2 5 1 25 9 Al multiplicar ambos miembros de la ecuación anterior por 225 (es decir 25 ? 9) resulta: 225(x – 3)2 1 225(y 1 4)2 5 225 25 9 Es decir, 9(x – 3) 2 1 25 (y 1 4) 2 5 225 De donde: 9(x 2 – 6x 1 9) 2 1 25 (y 2 1 8x 1 16) 5 225 9x 2 – 54x 1 81 1 25y 2 1 200y 1 400 – 225 5 0 9x 2 1 25y 2 – 54x 1 200y 1 256 5 0 Las coordenadas de los vértices de la elipse son: V(h 1 a, k)

V 9(h – a, k)

V(3 1 5, – 4)

V 9(3 – 5, – 4)

V(8, – 4)

V 9(–2, – 4)

299

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Etapa 4

Las coordenadas de los focos son: F(h 1 c, k)

F 9(h – c, k)

F(3 1 4, –4)

F 9(3 – 4, –4)

F(7, –4)

F 9(– 1, –4)

VI. Ecuación de una elipse con centro en el punto C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y La figura 61 representa una elipse con las condiciones geométricas indicadas. Para determinar su ecuación realizaremos una traslación de ejes, cuyo origen del nuevo sistema de coordenadas será (h, k) con respecto al sistema primitivo, luego, su ecuación es de la forma: x  9 2 1 y  9 2 5 1 b 2 a 2 En donde al utilizar las fórmulas de traslación de ejes resulta: (x – h)2 1 (y – k)2 5 1 b 2 a 2 y V F

k

B’

C(h, k)

B

F’ 0

V’ h

x

Figura 61

De acuerdo con la figura, tenemos que las coordenadas de los focos son: F(h, k 1 c) y F 9(h, k, – c) De acuerdo con la figura, las coordenadas de los vértices son: V(h, k 1 a) y V 9(h, k – a)

300

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Geometría analítica

Ejemplo



Hallar la ecuación de la elipse con centro en el punto C(–2, 1), eje focal paralelo al eje Y, cuya longitud del eje menor es 16 y de longitud de cada lado recto igual 32 . 3

Solución De acuerdo con las condiciones indicadas, la ecuación de la elipse es de la forma: (x – h)2 1 (y – k)2 5 1 b 2 a 2 En donde h 5 – 2 y k 5 1. Además: 2b 5 16 Es decir, b 5 16 2 b 5 8  2 LR 5 2b 5 32 a 3 2(64) 5 32 a 2 3

2(64)(3) 5 32a De donde: a 5 2(64)(3) 32 a 5 12 Por consiguiente, la ecuación de la elipse en la forma reducida es: (x 1 2)2 1 (y – 1)2 5 1 64 144 Al multiplicar ambos miembros de la ecuación anterior por 9 216 ( es decir, 64 3 144), resulta:

144 (x 1 2) 2 1 64(y –1) 2 5 9 216



144 (x 2 1 4x 1 4) 1 64(y 2 –2y 1 1) 2 5 9 216

144x 2 1 576x 1 576 1 64y 2 –128y 1 64 – 9 216 5 0 144x 2 1 64y 2 1 576x – 128y – 8 576 5 0

301

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Etapa 4

Las coordenadas de los focos de la elipse son: F(h, k 1 c)

F 9(h, k – c)

F(– 2, 1 1 4 5)

F 9(–2, 1 –4 5)

Las coordenadas de los vértices son: V(h, k 1 a)

V 9(h, k – a)

V(– 2, 1 1 12)

V 9(–2, 1 – 12)

V(–2, 13)

V 9(–2, –11)

Observa que c 5 144 – 64 5

80 5

16(5) 5 4 5

VII. Ecuación general de la elipse Toda ecuación de una elipse se puede escribir en la denominada forma general que es: Ax 2 1 By 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 En donde A y B son diferentes de cero y tienen el mismo signo. A partir de la ecuación general de una elipse podemos encontrar la expresión de su forma reducida aplicando el método de completar trinomios cuadrados perfectos, como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Encontrar la ecuación en la forma reducida y el centro de la elipse: 9x 2 1 16y 2 – 90x 1 96y 1 225 5 0

Solución Paso 1.  Agrupar los términos que contienen x en un paréntesis y los que contienen y en otro: (9x 2 – 90x) 1 (16y 2 1 96y) 1 225 5 0 Paso 2. Trasponer el término numérico 225 al lado derecho de la ecuación y factorizar las expresiones algebraicas agrupadas, sacando el máximo factor común: 9(x 2 – 10x) 1 16(y 2 1 6y) 5 – 225 Paso 3. Formar trinomios cuadrados perfectos con las expresiones agrupadas en el lado izquierdo en la forma acostumbrada y sumar en el miembro derecho los números necesarios para que se obtenga una ecuación equivalente a la anterior:

[

( )]

[

( ) ] 5 – 225 1 225 1 144

2 9 x 2 – 10x 1 10 116 y 2 1 6y 1 6 2 2

2

302

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Geometría analítica

Observa que 9(10) es igual a 225 y que 16( 6 ) es igual a 144, que son los números agregados en 2

2

2

2

el miembro derecho para obtener la ecuación equivalente a la inicial. Paso 4.  Factorizar los trinomios cuadrados perfectos y simplificar el miembro derecho: 9(x – 5) 2 1 16(y 1 3) 2 5 144 Paso 5.  Dividir ambos miembros de la ecuación anterior por 144: 9(x – 5)2 1 16(y 1 3)2 5 1 144 De donde: 9(x – 5)2 1 16(y 1 3)2 5 1 144 144 Paso 6. Simplificar las fracciones del lado izquierdo de la ecuación: (x – 5)2 1 (y 1 3)2 5 1 16 9 La expresión anterior es la ecuación en la forma reducida de la elipse de centro en el punto C(5, – 3), eje focal paralelo al eje X, en donde a 5 4, b 5 3 y c 5 7. Por consiguiente, las coordenadas de sus vértices son: V(h 1 a, k)

V 9(h – a, k)

V(5 1 4 – 3)

V 9(5 – 4, –3)

V(9, – 3)

V 9(1, –3)

Asimismo, las coordenadas de los focos son: F(h 1 c, k)

F 9(h – c, k)

F(5 1

F 9(5 –

7, – 3)

7, – 3)

Utilizando el método anterior podemos demostrar que las coordenadas del centro de la elipse son: Ax 2 1 By 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 Se calculan con las siguientes fórmulas: h 5 –D 2A

k 5 –E 2B

Es decir, las coordenadas del centro son:

(

C  –D , –E 2A 2B

) 303

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Etapa 4

Ejercicios 1. Para cada una de las elipses indicadas. Hallar: •  La longitud del eje mayor. •  La longitud del eje menor. •  Las coordenadas de los focos. •  Las coordenadas de los vértices. •  La longitud de sus lados rectos. •  La excentricidad.  2  2   a)  x 1 y 5 1 25 9  2  2   b)  x 1 y 5 1 100 64  2  2   c)  16x 1 y 5 1 169 144

  d)  x 2 1 25y 2 5 400   e)  36x 2 1 100y 2 5 3 600  2  2   f)  x 1 y 5 1 64 100

2. Para cada una de las siguientes elipses. Hallar. •  La ecuación en la forma reducida. •  Las coordenadas del centro. •  Las coordenadas de los focos. •  Las coordenadas de los vértices. a) 9x 2 1 16y 2 – 36x 1 96y 1 36 5 0 b) 25x 2 1 9y 2 – 50x 1 36y – 164 5 0 c) 16x 2 1 25y 2 – 32x – 100y –284 5 0  d) 169x 2 1 144y 2 – 338x – 864y – 22 871 5 0  e) 4x 2 1 25y 2 – 16x – 504y – 59 5 0  f) 9x 2 1 4y 2 1 36x – 24y 1 36 5 0

304

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Geometría analítica

4.5 La hipérbola I. La hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cartesiano de modo que el valor absoluto de las diferencias de su distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Para deducir la ecuación, seleccionemos el origen en el punto medio del segmento de recta cuyos puntos extremos son los focos de la hipérbola, estableciendo que sus coordenadas sean F (c, 0) y F 9(–c, 0), por lo que la distancia entre ellos es 2c. Asimismo, sea 2a, la constante referida en la definición, que será siempre un número positivo. Además, sea P(x, y) un punto cualquiera de la hipérbola como se muestra en la figura 62. De acuerdo con la figura y con la definición de la hipérbola tenemos: PF 9 – PF 5 2a De donde: (x 1 c)2 1 y 2 –

(x – c)2 1 y 2 5 2a y

P(x, y)

O

F’(–c, 0)

F(c, 0)

x

Figura 62

A continuación, pasemos el segundo radical al miembro derecho: (x 1 c)2 1 y 2 5

(x – c)2 1 y 2 1 2a

Ahora elevemos al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior y simplifiquemos:

[

(x 1 c) 2 1 y 2]2 5 [ (x – c) 2 1 y 2 1 2a] 2

(x 1 c) 2 1 y 2 5 (x – c) 2 1 y 2 1 4a (x – c) 2 1 y 2 1 4a 2 x 2 1 2cx 1 c 2 1 y 2 5 x 2 – 2cx 1 c 2 1 y 2 1 4a (x – c)2 1 y 2 1 4a 2 4cx 5 4a (x – c)2 1 y 2 1 4a 2 305

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Etapa 4

Al dividir entre 4 la ecuación anterior, resulta: cx 5 a (x – c)2 1 y 2 1 a 2 de donde: cx – a 2 5 a (x – c)2 1 y 2 Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior y simplificando: (cx – a 2)2 5 (a (x – c)2 1 y 2)2 c 2x 2 – 2a 2cx 1 a 4 5 a 2 (x 2 – 2cx 1 c 2 1 y 2) c 2x 2 – 2a 2xc 1 a 4 5 a 2 x 2 – 2a 2cx 1 a 2c 2 1 a 2 y 2 c 2x 2 – a 2 x 2 – a 2 y 2 5 a 2 c 2 – a4 x 2(c 2 – a 2) – a 2 y 2 5 a 2 (c 2 – a 2) Analicemos a continuación el signo de la expresión c 2 – a 2. De acuerdo con el triángulo de la figura anterior, la longitud del lado FF 9 es 2c y la diferencia de los otros es 2a, luego: c.a Si elevamos al cuadrado ambos miembros de la desigualdad anterior, resulta: c 2 . a 2 de donde: c 2 – a 2 . 0 Como la expresión c 2 – a 2 representa siempre un número positivo, podemos denotar que dicha expresión es igual a b 2, es decir: b 2 5 c 2 – a 2 de donde resulta: x 2 (b 2) – a 2y 2 5 a 2(b 2) o también: b 2x 2 – a 2y 2 5 a 2b 2

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Geometría analítica

Al dividir ambos miembros de la ecuación anterior por a 2b 2, resulta: b 2x 2 – a 2y 2 5 a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 Es decir, x 2 – y 2 5 1 a 2 b 2 La expresión anterior es la ecuación de una hipérbola con centro en el origen y cuyos focos están en el eje X. La figura siguiente representa su gráfica y sus respectivos elementos. y

L’(−c,

B(0, b)

b2 a)

L (c,

b2 ) a

V(−a, 0) V(a, 0) F(−c, 0)

O

F’(−c, 0) R’(−c, −

b2 a )

B’(0, b)

R

(c, −

x

b2 ) a

Figura 63

Los puntos V(a, 0) y V 9(–a, 0) son los vértices de la hipérbola, y sus abscisas son las intersecciones en x, es decir, los valores de x cuando y es igual a cero. El segmento de la recta VV 9 se llama eje transverso y su longitud es 2a, mientras que el segmento BB 9 se llama eje conjugado* y su longitud es 2b. La intersección de los ejes transverso y conjugado es el centro de la hipérbola y el segmento de recta que es perpendicular al eje transverso y pasa por un foco se llama lado recto, su longitud se puede determinar sustituyendo c por x en la ecuación. x 2 – y 2 5 1 a 2 b 2

* El eje conjugado no tiene ningún punto en común con la hipérbola, sin embargo, es muy útil conocerlo para graficar esta

cónica.

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Etapa 4

como lo haremos a continuación: c 2 – y 2 5 1 a 2 b 2 de donde:  2  2 – y  2 5 1 – c 2 b a



(

 2 – y 2 5 b 2 1 – c 2 a  2–c 2 a – y 2 5 b 2 a 2

(

)

)

como c 2 – a 2 5 b 2, tenemos que: a 2 – c 2 5 – b 2, o sea:  2  2) ; luego se multiplica por –1 –y 2 5 b (–b  2 a  2  2) y 2 5 b (b a 2 4 y 2 5 b 2 a

de donde, al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación anterior, resulta: y 2 5 

b4 , luego a 2

 2 y 5  b a

De acuerdo con la expresión anterior, si x 5 c, entonces:  2  2 y 5 b   o  y 5 –b a a

Luego, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto (LR) son:

(c, ba ) y (c, –ba )  2

 2

La longitud del lado recto es la distancia que hay entre sus puntos extremos, es decir:

[

( )]

 2  2 LR 5 (c – c)2 1 b – –b a a

2

( ) (2ba )

 2 2 LR 5 0 1 2b a

LR 5

 2 2

 2 LR 5 2b a

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Geometría analítica

A la misma expresión llegamos si x 5 – c, es decir: La longitud de cada uno de los lados rectos de una hipérbola se calcula con la expresión:  2 LR 5 2b a

Relación entre las cantidades a, b y c de una hipérbola La cantidad a representa la distancia del centro de la hipérbola a uno de los vértices; b la distancia del centro a un extremo cualquiera del eje conjugado, y c, la distancia del centro a cualquiera de los focos; para este tipo de cónicas hay las siguientes relaciones entre dichas cantidades. 1. c . a 2. c 2 5 a 2 1 b 2 3.  No hay restricción para los valores de dichas distancias. 2 2 Dominio y rango de la relación x 2 – y 2 5 1 a  b  Despejemos y en la ecuación indicada:

x 2 – 1 5 y 2 a 2 b 2 o también: y 2 5 x 2 – 1 b 2 a 2  2  2 y 2 5 b 2 (x – 2a ) a  2 y 2 5 b 2 (x 2 – a 2) a

de donde:  2 y 5 6 b 2 (x 2 – a 2) a

y56 b a

x 2 – a 2

De la ecuación anterior deducimos lo siguiente: 1.  Los valores permitidos para x es el conjunto de los números reales excepto los que pertenecen al intervalo –a , x , a, ya que se toma un valor de dicho intervalo; la expresión x 2 – a 2 es un número imaginario, pues x 2 , a 2. Por esta razón, observa que en la figura anterior no hay gráfica para los números reales que están en el intervalo –a , x , a. Podemos concluir:

309

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Etapa 4

 2  2 El dominio de la hipérbola: x 2 – y  2 5 1 a b

es el conjunto de todos los números reales excepto los que pertenecen al intervalo –a ,x ,a, es decir, excepto aquellos para los cuales x 2 , a 2.

2.  Al despejar la y resultó la expresión: y56b a

x 2 – a 2

De ella deducimos que el rango de la ecuación es el conjunto de todos los números reales. Excentricidad de la hipérbola Al igual que la elipse, la excentricidad de la hipérbola se define como la razón c/a, por tanto: e5 c 5 a

(a 2 1 b 2) a

Como c es mayor que a, entonces la excentricidad de una hipérbola es mayor a uno. Asíntotas de una hipérbola Si para la gráfica de una ecuación existe una recta tal que, a medida que un punto P(x, y) que le pertenece se aleja infinitamente del origen, de tal forma que la distancia entre dicha recta y el punto decrece continuamente tendiendo a ser igual a cero, entonces decimos que esa recta es una asíntota de la gráfica de la ecuación. Una asíntota puede ser una recta vertical, horizontal u oblicua según su posición con respecto a los ejes de coordenadas. Es horizontal si es paralela o coincide con el eje x (figura 64a), es vertical si es paralela al eje y (figura 64b), es oblicua si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados (figura 64c). y

y

x=a

a

x

b x=b

x

Figura 64a

Figura 64b

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Geometría analítica y

y = mx

x

Figura 64c

Las asíntotas en general no son objeto de estudio en este libro, sólo trataremos lo relacionado con las asíntotas de una hipérbola. 2 2 Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola x 2 – y 2 5 1 a  b  Como ya lo hicimos anteriormente, al despejar la y de la ecuación:

x 2 – y 2 5 1 a 2 b 2 resulta: y56 b a

(

 2 x 2 1– a 2 x

)

La expresión anterior se puede reescribir de la forma siguiente:  2 de donde: y 5 6 bx 1– a 2 a x

Analicemos la ecuación anterior, ¿Qué sucede si un punto cualquiera de la curva se mueve de tal forma que x aumente su valor sin límite? Analicemos concretamente la expresión del radicando:  2 1 – a 2 x

¿Qué sucede con el valor de dicha expresión a medida que los valores de x se hacen más y más grandes sin límite? Decir que x se hace más y más grande significa que x tiende a infinito y lo representaremos por x ` (se lee: x tiende a infinito). Supongamos que a 5 8 y démosle valores a la x cada vez más grandes y que sean múltiplos de 10. 311

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Etapa 4

  Si x 5 10, entonces:

a 2 5 82 5 0.64 x 2 (10)2   Si x 5 100, entonces:

a 2 5 82 5 0.0064 x 2 (100)2   Si x 5 1 000, entonces:

a 2 5 82 5 0.000064  2 x (1 000)2   Si x 5 10 000, entonces:

a 2 5 82 5 0.00000064  2 x (10  000)2  2  2 Podemos observar que si el valor de x sigue creciendo, entonces a 2 tiende a cero, y por lo tanto: 1 – a 2 x x tiende a uno; luego:

y 5 6 bx 1 a es decir, que la ecuación tiende a la forma: y 5 6 bx a cuando x tiende al infinito; por consiguiente: Las rectas y 5 bx , y y 5 –bx , son las asíntotas de la hipérbola: a a x 2 – y 2 5 1 a 2 b 2 Una manera sencilla para trazar la gráfica de las asíntotas de una hipérbola consiste en dibujar un rectángulo de tal forma que un par de lados pasen por los vértices y ambos perpendiculares al eje transverso, mientras que los otros dos lados pasen por los extremos del eje conjugado. Las asíntotas son las rectas que resultan de las prolongaciones de las diagonales de dicho rectángulo, como se muestra en la figura 65.

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Geometría analítica y y=–

b a

x

y=–

b a

x

w (0, b) b v’(−a, 0)

a

x v’(a, 0)

w’(0, b)

Figura 65

Si a 5 b, el rectángulo es un cuadrado, y entonces las asíntotas se cortan perpendicularmente entre sí y decimos que la hipérbola es equilátera. En resumen La gráfica de la ecuación:

x 2 – y 2 5 1 a 2 b 2

es una hipérbola con: a)  Centro en el origen. b)  Vértices en (a, 0); (–a, 0). c)  Focos en (c, 0); (–c, 0), es decir, el eje focal está en el eje X. c 2 5 a 2 1 b 2 d)  La longitud del eje transverso igual a 2a. e)  Longitud del eje conjugado igual a 2b.  2 f )  Longitud de cada lado recto es 2b . a c g) Excentricidad: e 5 a h) Su gráfica consta de dos curvas o ramas, una que se prolonga infinitamente hacia la derecha y la otra hacia la izquierda y su rango es el conjunto de los números reales, es decir, puede tomar cualquier valor. En el intervalo –a , x , a no hay gráfica.

i)  Las rectas y 5 a x y y 5 – b x son las asíntonas de la hipérbola. b a

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Etapa 4

Ejemplo

 2  2 Dada la ecuación de la hipérbola: x – y 5 1 4 5 Encuentra:

a) Las coordenadas de los focos. b) Las coordenadas de los vértices. c) La excentricidad. d) La longitud de cada uno de sus lados rectos. e) Las ecuaciones de las asíntotas. Solución a)  Coordenadas de los focos. c 2 5 a 2 1 b 2 De donde a 2 5 4 y b 2 5 5, es decir: c 2 5 4 1 5 c 2 5 9 c 2 5 63 De acuerdo con la ecuación, la hipérbola tiene centro en el origen y sus focos están en el eje x; luego las coordenadas de los focos son: F (3, 0) y F 9(–3, 0) b) De acuerdo con la ecuación, las coordenadas de los vértices son de la forma: V(a, o) y V 9(–a, 0) donde a 5 2; luego, los vértices de la hipérbola son: V(2, 0) y V 9(–2, 0) c)  La excentricidad. e 5 c a e 5 3 2

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Geometría analítica

es decir, e 5 1.5 d) La longitud de cada uno de sus lados rectos.  2 LR 5 2b 2

LR 5 2(5) 2 LR 5 5 e) De acuerdo con la ecuación de la hipérbola, las expresiones de las asíntotas son de la forma: y5

5x , de donde     y 5 – 5x , de donde 2 2

2y 5

5x, luego     2y 5 – 5x, luego 5x – 2y 5 0      5x 1 2y 5 0

Ejemplo

Dada la ecuación de la hipérbola 16x 2 – 9y 2 5 144, encuentra: a) Las coordenadas de los focos. b) Las coordenadas de los vértices. c) La excentricidad. d) La longitud de cada uno de sus lados rectos. e) Las ecuaciones de las asíntotas.

Solución a) Las coordenadas de los focos. Primero dividamos ambos miembros de la ecuación entre 144 para obtener una expresión de la forma: x 2 – y 2 5 1 a 2 b 2 luego, 16x 2 – 9y 2 5 144 144 144 144 315

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Etapa 4

de donde resulta: x 2 – y 2 5 1 9 16 De acuerdo con la ecuación, a 2 5 9; luego a 5 3; y b 2 5 16; luego, b 5 4. c 2 5 a 2 1 b 2 c 2 5 9 1 16 c 2 525 de donde c 5 5. Por lo tanto, de acuerdo con el valor de c obtenido y con la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de los focos son: F (5, 0) y F 9(–5, 0) b) De acuerdo con la ecuación, las coordenadas de los vértices son de la forma: V(a, 0) y V 9(–a, 0) en donde a 5 3; luego, los vértices son: V(3, 0) y V 9(–3, 0) c) La excentricidad. e 5 c a e 5 5 3 d) La longitud de cada uno de sus lados rectos.  2 LR 5 2b a

LR 5 2(16) 3 LR 5 32 3 e) De acuerdo con la ecuación, las ecuaciones de las asíntotas son de la forma: y56 b x a

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Geometría analítica

luego, las ecuaciones son: y 5 4x , de donde    y 5 –4x , de donde 3 3 3y 5 4x; luego    3y 5 –4x; luego 4x – 3y 5 0    4x 1 3y 5 0

II. Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y cuyos focos están en el eje Y Si los focos de una hipérbola con centro en el origen están en el eje Y; su ecuación es: y 2 – x 2 5 1 a 2 b 2 La figura siguiente representa la gráfica de la ecuación anterior con sus respectivos elementos. Además se puede observar: 1.  Las coordenadas de los vértices son V(0, a) y V 9(0, –a). 2.  Las coordenadas de los focos son F (0, c) y F 9(0, –c). 3.  La longitud del eje transverso es 2a. 4.  La longitud del eje conjugado es 2b.  2 5.  La longitud de cada lado recto (LR) es: 2b a 6.  La excentricidad: e 5 c a

y=–

a b

y

y= x

F(0, c)

a b

x

V(0, a) B(−b, 0)

B(b, 0) x V(0, –a)

F(0, –c) Figura 66

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Etapa 4

7.  Las ecuaciones de las asíntotas son: y 5 ax    y 5 –ax b b 8. Su gráfica está constituida por dos curvas o ramas, una de ellas se abre infinitamente hacia arriba y la otra hacia abajo. En el intervalo –a , y , a no hay gráfica; es decir, el rango de la relación es el conjunto de todos los números reales excepto los que están en el intervalo –a , x , a. Con respecto al dominio, al despejar la y, resulta la ecuación: y56 a b

x 2 1 b 2

el radicando x 2 1 b 2 siempre es un número positivo; luego, x puede tomar cualquier valor, es decir, el dominio de la ecuación: y 2 – x 2 5 1 a 2 b 2 es el conjunto de los números reales.

Ejemplo

Dada la ecuación de la hipérbola: y 2 – x 2 5 1 25 144 Encuentra: a) Las coordenadas de los focos. b) Las coordenadas de los vértices. c) Las ecuaciones de las asíntotas.

Solución a) Las coordenadas de los focos. De acuerdo con la ecuación, los focos están sobre el eje Y, donde a 5 5 y b 5 12. c 2 5 a 2 1 b 2 c 2 5 25 1 144 c 2 5169 es decir, c 5 13

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Geometría analítica

por consiguiente, las coordenadas de los focos son: F (0, 13) y F 9(0, – 13) b) De acuerdo con la ecuación, las coordenadas de los vértices son de la forma: V(0, a) y V 9(0, – a) luego, éstos son: V(0, 5) y V 9(0, – 5) c) De acuerdo con las condiciones geométricas de la hipérbola, las ecuaciones de sus asíntotas son de la forma: y 5 6 ax b luego, las ecuaciones son: y 5 5x ; de donde    y 5 –5x , de donde 12 12 12y 5 5x; luego    12y 5 –5x; luego 5x – 12y 5 0    5x 1 12y 5 0

Ejemplo

Dada la ecuación de la hipérbola 25y 2 – 144x 2 5 3 600, encuentra: a) Las coordenadas de los focos. b) Las coordenadas de los vértices. c) Las ecuaciones de las asíntotas. d) La excentricidad. e) La longitud de cada uno de sus lados rectos.

Solución a) Las coordenadas de los focos. Dividamos ambos miembros de la ecuación entre 3 600 para obtener una ecuación de la forma: y 2 – x 2 5 1 a 2 b 2 319

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Etapa 4

luego;

25y 2 – 144x 2 5 3 600 3 600 3 600 3 600 y 2 – x 2 5 1 144 25

de donde a 5 12 y b 5 5, de ahí: c 2 5 a 2 1 b 2 c 2 5 144 1 25 es decir, c 5 13 De acuerdo con la ecuación, las coordenadas de los focos son de la forma: F (0, c) y F 9(0, – c) Luego, los focos son los puntos: F (0, 13) y F 9(0, – 13) b) De acuerdo con la ecuación las coordenadas de los vértices son de la forma: V(0, a) y V 9(0, –a) En donde a 5 12, luego, los vértices son los puntos: V(0, 12) y V 9(0, – 12) c) De acuerdo con la expresión de la hipérbola, las ecuaciones de las asíntotas son de la forma: y 5 6 ax b luego, las ecuaciones son: y 5 12x , de donde   y 5 –12x , de donde 5 5 5y 5 12x; luego    5y 5 –12x; luego 12x – 5y 5 0    12x 1 5y 5 0 d)  La excentricidad: e5 c a e 5 13 12 320

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Geometría analítica

e) La longitud de cada uno de sus lados rectos.  2 LR 5 2b a

LR 5 5(5) 6 LR 5 25 6

III. Ecuación en la forma reducida de una hipérbola con centro C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X Si el centro de una hipérbola no está en el origen y su eje focal es paralelo al eje x, entonces, para obtener su ecuación efectuamos una traslación de ejes, en donde el nuevo origen tenga coordenadas (h, k) con respecto al sistema primitivo; luego, la ecuación de la hipérbola es: x 92 – y 92 5 1 a 2 b 2 donde x 9 5 x – h, y y 9 5 y – k. Por consiguiente la ecuación es: (x – h)2 – (y – k)2 5 1 a 2 b 2 La expresión anterior es la ecuación de la hipérbola en la forma reducida con centro en C(h, k) y el eje focal paralelo al eje X. La figura siguiente representa su gráfica y sus elementos respectivos. y

y−k=−

b a

y’

(x – h)

y−k=

b a

(x – h)

B(o, b)

k

F’ F’(h − c, k)

V

V’ C C(h − k)

F

x’

F(h + c, k)

B’(o, −b)

x Figura 67

h

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Etapa 4

Observa que las expresiones de las coordenadas de sus vértices y focos son: V(h 1 a, k) y V 9(h – a, k) F (h 1 c, k) y F 9(h – c, k) Asimismo, si efectuamos una traslación de ejes con nuevo origen en el punto (h, k) con respecto al sistema primitivo, tenemos que las ecuaciones de las asíntotas son: y 9 5 6 bx 9 a luego, y – k 5 6 b(x – h) a Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro C(h, k) y eje paralelo al eje X son: y – k 5 b(x – h) a y – k 5 –b(x – h) a

IV. Ecuación de una hipérbola con centro C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y Para hallar su ecuación efectuemos una traslación de ejes cuyas coordenadas del nuevo origen sean (h, k) con respecto al sistema original; luego, de acuerdo con las condiciones geométricas señaladas, la ecuación de dicha hipérbola es: y 92 – x 92 5 1 a 2 b 2 donde y 9 5 y –k, y x 9 5 x – k. Es decir: (y – k)2 – (x – h)2 5 1 a 2 b 2 La expresión anterior es la ecuación en la forma reducida de la hipérbola con centro en C(h, k) y eje focal paralelo al eje X. La figura de la siguiente página representa su gráfica. Observa que las expresiones de las coordenadas de sus vértices y focos son: V(h, k 1 a)  y  V 9(h, k – a) F (h, k 1 c)  y  F 9(h, k – c)

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Geometría analítica y y’ y−k=

b a

(x – h)

y− k= − b

F

a

– (x h)

V k

C

x’ x

h V’

C(h − k) |VV’| = 2a V(h, k + a) V’(h, k – a) |FF’| = 2c F(h, k + c) F’(h, k + c) |BB’| = 2b

F’

Figura 68

Asimismo, realizando una traslación de ejes podemos deducir que las asíntotas de una hipérbola con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y son: y – k 5 a(x – h) b y – k 5 –a(x – h) b

V. Ecuación general de una hipérbola Toda ecuación de una hipérbola se puede escribir en la forma: Ax 2 1 By 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 donde A y B tienen signos distintos y ambas son diferentes de cero. Si la ecuación de una hipérbola está expresada en la forma general, se puede obtener su expresión en la forma reducida utilizando el método de completar trinomios cuadrados perfectos como lo hicimos con la elipse.

Ejemplo

A partir de la ecuación de la hipérbola 9x 2 –16y 2 – 54x 1 64y – 559 5 0, hallar: a)  La ecuación de la hipérbola en la forma reducida. b)  Las coordenadas del centro de la hipérbola. 323

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Etapa 4

Solución a)  Utilizamos la técnica de completar trinomios cuadrados perfectos en la forma acostumbrada. 9x 2 –16y 2 – 54x 1 64y – 559 5 0 (9x 2 – 54x) – (16y 2 – 64y) 5 559 9(x 2 – 6x) – 16(y 2 – 4y) 5 559 9(x 2 – 6x 1 9) –16(y 2 – 4y 1 4) 5 559 1 81 – 64 9(x –3)2 – 16(y – 2)2 5 576 Al dividir ambos miembros de la ecuación anterior por 576, resulta: 9(x – 3)2 – 16(y – 2)2 5 576 576 576 576 de donde: (x – 3)2 – (y – 2)2 5 1 64 36 b) De acuerdo con la ecuación anterior, las coordenadas del centro de la hipérbola son C(3, 2).

Ejemplo

A partir de la ecuación de la hipérbola 16y 2 – 9x 2 1 54x – 32y – 209 5 0, encuentra: a)  La ecuación de la hipérbola en la forma reducida. b)  Las coordenadas del centro de la hipérbola.

Solución a) 16y 2 – 9x 2 1 54x – 32y – 209 5 0, luego: (16y 2 – 32y) – (9x 2 – 54x) 5 209 16(y 2 – 2y) – 9(x 2 – 6x) 5 209 16(y 2 – 2y 1 1) – 9(x 2 – 6x1 9) 5 209 1 16 – 81 16(y – 1)2 – 9(x – 3)2 5 144

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Geometría analítica

Al dividir ambos miembros de la ecuación anterior entre 144 anterior resulta: (y – 1)2 – (x – 3)2 5 1 9 16 b) De acuerdo con la ecuación anterior, las coordenadas del centro son C(3, 1).

Ejercicios 1. Dada la ecuación encuentra: • Las coordenadas de los vértices. • Las coordenadas de los focos. • Las ecuaciones de las asíntotas. • La excentricidad. • La longitud del eje transverso. • La longitud del eje conjugado. • La longitud de cada lado recto. • Esboza la gráfica.  2  2 a)  x – y 5 1 25 9

b)  16x 2 – 9y 2 5 144 c)  16x 2 – 25y 2 5 400   2.  A partir de la ecuación de la hipérbola 16x 2 – 25y 2 5 400, encuentra: a) Las coordenadas de los vértices. b) Las coordenadas de los focos. c) Las ecuaciones de las asíntotas. d) La excentricidad. e 5 1.28 e) La longitud del eje transverso. 10

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Etapa 4

f ) La longitud del eje conjugado. 8 g) La longitud de cada lado recto. LR 5 6.4 h) Esboza la gráfica.  2  2   3.  A partir de la ecuación de la hipérbola y – x 5 1, halla: 144 25 a) Las coordenadas de los vértices.

b) Las coordenadas de los focos. c) Las ecuaciones de las asíntotas. d) La excentricidad. e) La longitud del eje transverso. 24 f ) La longitud del eje conjugado. 10 g) La longitud de cada lado recto. LR 5 4.17 h) Esboza la gráfica.   4.  A partir de la ecuación de la hipérbola 9y 2 – 16x 2 5 144, halla: a) Las coordenadas de los vértices. b) Las coordenadas de los focos. c) Las ecuaciones de las asíntotas. d) La excentricidad. e 5 1.25 e) La longitud del transverso. 8

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Geometría analítica

f ) La longitud del eje conjugado. 6 g) La longitud de cada lado recto. LR 5 4.5 h) Esboza la gráfica.   5.  A partir de la ecuación de la hipérbola 25y 2 1 7x 2 5 175, encuentra: a) Las coordenadas de los vértices. V(0,6 7) b) Las coordenadas de los focos. F (0,64 2) c) Las ecuaciones de las asíntotas. y6

7x 5

d) La excentricidad. e 5 2.14 e) La longitud del eje transverso. 2 7 f ) La longitud del eje conjugado. 10 g) La longitud de cada lado recto. LR 5 18.9 h) Esboza la gráfica.   6.  A partir de la ecuación de la hipérbola 36x 2 1 64y 2 1 144x 1 384y – 2 736 5 0, halla: a) La ecuación en la forma reducida. b) Las coordenadas del centro. C(–2, 3)

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Etapa 4

  7.  A partir de la ecuación de la hipérbola: 9y 2 – 16x 2 – 54y 1 64x – 127 5 0 a) La ecuación en la forma reducida. b) Las coordenadas del centro.

C(–2, 3)

8.  A partir de la ecuación de la hipérbola 5x 2 – 4y 2 –20x – 8y – 4 5 0, halla: a) La ecuación en la forma reducida. b) Las coordenadas del centro.

C(2, –1)

9.  A partir de la ecuación de la hipérbola 16y 2 – 9x 2 – 32y 1 54x– 209 5 0, encuentra: a) La ecuación en la forma reducida. b) Las coordenadas del centro.

C(3, 1)

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