Texto-Manual Matemática 3 y 4 Diferenciado PDF

Texto-Manual

Matemática

3y4

Plan Diferenciado

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Editorial Crecer Pensando 15-11-16 13:05

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Matemática

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Texto-Manual Matemática 3 y 4 Plan Diferenciado 2ª edición Dirección editorial Pablo Saavedra Rosas Autoría Jocelyn Celedón Montiel Angélica Verdugo Piñeda Marco Linares Rodríguez Asesoría pedagógica Susan Schwerter Felmer Creación de solucionario Carolina Troncoso Gómez Erick Inda Rodríguez Diseño de modelo María Elena Nieto Flores Ilustraciones y fotografías Equipo de diseño Editorial CP

© Editorial Crecer Pensando Ltda.®, 2016 Manquehue Sur 520, oficina 305, Las Condes Atención al cliente: [email protected] Número de inscripción: 271.684 ISBN: 978-956-9593-03-1 Impreso por Maval Chile Ltda. Impreso en Chile/Printed in Chile Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción total o parcial de esta obra, ni su incorporación a un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio (electrónico, mecánico, fotocopia, grabación u otros) sin autorización previa y por escrito de los titulares del copyright. La infracción de dichos derechos puede constituir un delito contra la propiedad intelectual.

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Presentación El Texto-Manual Matemática 3 y 4 Plan Diferenciado (segunda edición) es parte del proyecto que Editorial Crecer Pensando ha creado para ti, y que te acompañará en estos últimos niveles de la enseñanza media, donde has elegido continuar profundizando en la Matemática. Esta segunda edición consta de 6 unidades, donde cada una cuenta con un breve formulario de los contenidos más relevantes que en ella se tratan, una evaluación inicial, una intermedia y una final; además, incorpora una página de práctica y otra de actividades matemáticas, diferentes a las propuestas a lo largo del texto. En cuanto a las páginas de contenidos, se considera una sección inicial (útil a la hora de contextualizar o introducir conceptos), actividades resueltas, formalizaciones, actividades propuestas y secciones de análisis para aprender del error y de complemento de estrategias; todo lo anterior apoyado con cápsulas de ayuda, información complementaria y desafíos. Finalmente, para reforzar la autonomía y confianza en tus aprendizajes, uno de los objetivos principales de la creación de este texto, al terminar las unidades, se incluyen las soluciones de las actividades propuestas. Te invito a que apoyes tu estudio con este texto y aprovecha al máximo las herramientas que te ofrece, para ampliar tus conocimientos y habilidades matemáticas.

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Índice Unidad Unidad

1

Trigonometría y números complejos

Polinomios

Temas Polinomios y valorización Adición y sustracción de polinomios Multiplicación de polinomios División de polinomios Ceros racionales

Unidad

4

Páginas 8 10 12 16 20

2

Temas Sistemas de medición angular Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Razones trigonométricas para 30º, 45º y 60º Razones trigonométricas para ángulos mayores que 90º Trigonometría y números complejos Identidades trigonométricas Otras identidades trigonométricas Teoremas del seno y del coseno Funciones trigonométricas Ecuaciones trigonométricas

Páginas 98 100 103 106 109 114 117 120 122 126

Sumatorias y progresiones

Temas Sucesiones Convergencia y divergencia Sumatorias Progresión aritmética Progresión geométrica Serie aritmética Serie geométrica Progresión armónica

Unidad

Páginas 30 34 36 40 42 44 46 48

5

Lugares geométricos

Temas Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola Cónicas y excentricidad

Unidad

3

6

Páginas 58 61 63 66 70 73 75 78 80 82 84 88

Temas Matrices Adición de matrices Propiedades de la adición de matrices Multiplicación de matrices Propiedades de la multiplicación de matrices Matriz traspuesta: propiedades Matriz inversa: propiedades Ponderación de una matriz por un escalar Determinante de una matriz Regla de Sarrus Propiedades de los determinantes Determinantes y sistemas de ecuaciones: regla de Cramer

Solucionario

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Páginas 136 139 144 147 150

Matrices y determinantes

Límite, derivada e integral

Temas Límite de funciones Propiedades de los límites Cálculo de límites Funciones continuas Derivada Propiedades de la derivada Regla de la cadena y derivación implícita Regla de L'Hôpital Integración Propiedades de la integración Métodos de integración Integrales definidas

Unidad

Páginas 160 162 164 166 169 174 176 178 180 183 185 188

195

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Unidad

1

Polinomios Polinomios de una variable

Teorema del resto

Ceros de un polinomio

P(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x3 + ... + anxn donde a0, a1, ..., an son los coeficientes y x, la variable de p(x), que es de grado n. Adición, sustracción y multiplicación de polinomios

Si P(x) = (x – a)C(x) + r, con r ∈  , entonces: P(a) = r donde P(x) es el dividendo, (x – a) el divisor, C(x) el cociente y r el resto. Teorema del factor

Si P(x) = a0 + a1x + a2x 2 + ... + anxn y P(a) = 0, entonces, a es un cero de P. Teorema fundamental del álgebra

Si P(x) = 4x3 + 6x – 2 y Q(x) = 2x + 1: P(x) + Q(x) = 4x3 + 8x – 1 P(x) – Q(x) = 4x3 + 4x – 3 P(x) · Q(x) = 8x4 + 4x3 + 12x 2 + 2x – 2 División de polinomios P(x) = Q(x)C(x) + R(x) donde P(x) es el dividendo, Q(x) el divispr, C(x) el cociente y R(x) el resto.

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(x – a) es un factor del polinomio P(x), si y solo si P(a) = 0. Función polinómica f(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x1 + a0 Raíces de una función polinómica Si f(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x1 + a0 y f(a) = 0, entonces, a es una raíz de f.

Un polinomio de grado n tiene n ceros, pudiendo ser iguales o distintos y reales y/o complejos. Teorema de los ceros racionales Sea P(x) = anxn + ... + a1x1 + a0. Si los coeficientes an, ..., a1, a0, son números enteros, entonces todos sus ceros racionales son de la forma: p x=± q donde p es divisor de a0 y q es divisor de an.

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Para comenzar Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que debieras conocer. Tema 1: Productos y factorización

1. Calcula los productos. a. (x + 3)(x – 1)

d. (5x – 5)(5x – 11)

g. (6y2 + 5a )(6y2 – 7b)

b. (2z + 6)2

e. (x + 3)3

h. (2x3y5 + a4b)(2x3y5 – a4b)

c. (4x2 – 3xy3)2

f. (x – 2y)(x + 2y)

i. (m – 9n)2 – (m – 6n)(m + 6n)

2. Relaciona las expresiones de cada columna. Para ello, únelas con una línea. a–1

5a – 10

(1 – x)(1 + x + x2)

(3a – 2b)

2

(15 – b)2

x – 144 4

(x2 + 12)(x2 – 12)

m2 – 16m + 55

(m – 11)(m – 5)

10 – 7a

5(a – 2)

1 – x3

–(7a – 10)

225 – 30b + b2

9a2 – 12ab + 4b2

3. Factoriza las expresiones algebraicas. a. 3m – 12n

f. 49a4 – 70a2 + 25

k. 400a4 + 720a2b3 + 324b6

b. 25x + 15x3 – 10x5

g. x2 – 3x – 40

l. m4 – 12m2 – 64

c. 22ab2c – 11a3b2 + 33ab2c4

h. x3 – 8

m. k9 + 64

d. xy2 + 5xy3 + y2 1 4 e. x 2 – 4 9

i. 64m2n4 – 81m6 169 12 6 100 6 3 j. a b – ac 196 49

n. p10 – 2p5q7 + q14 16 48 8 12 4 ñ. x 8 y – x – x y 27 18 21

Tema 2: Ecuaciones, lenguaje algebraico y variables

4. Resuelve las ecuaciones. a. 3x – 18 = 2x – 12

e. 5(1 – 2x ) + 3(x – 1) = 2(x – 5) – 3(1 – 3x)

b. –5(x + 3) = –3(5 – 2x) – 11

f. (3x + 6)2 = 9x2 + 36

c.

x x =4 – 36 18

d. 8 –

6

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x +1 =6 – x 4

g.

5x +12 2x – 3 = 3 4

h.

6x + a x – b – =3 5 5

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Evaluación inicial 5. Valoriza las expresiones algebraicas si a = –3, b = –4 y c = 2. a. 3abc

d. (2a – b)2

g. 3(ab – ac)2

b. 2ab – 3b – ac

e. 3(b – ac)

h. c(bc + c3)

c. (a – c) – (b – c)

f. (b + c) – 2(ab – b – c)

i.

7

a ab b – + c c c

6. Plantea una ecuación para cada enunciado. a. La suma de cinco números pares consecutivos es 90. b. El triple de un número aumentado en siete unidades es igual a 58. c. Un empresario invierte la sexta parte de su dinero, quedándole $3.500.000. d. Un grupo de 6 niños y 5 niñas pagó $25.300 para entrar al zoológico.

7. Identifica las variables dependiente e independiente en cada caso. a. El área de un cuadrado. b. El sueldo de un vendedor, si por cada venta le pagan una comisión de $18.000. c. Un plan de telefonía móvil tiene como cargo fijo $27.900 y por cada minuto adicional cobra $98. d. El kilogramo de pan cuesta $1.250. Tema 3: Plano cartesiano

8. Ubica los pares ordenados en un plano cartesiano. a. (–3, –1) b. (1, 0) c. (–5, –7)

d. (0, –4) e. (–3, –9) f. (7, –5)

Tema 4: Fracciones algebraicas

9. Resuelve las operaciones entre fracciones algebraicas. 1 1 + = x x –16 x+4 x – 2 b. – = x – 3 x+6 2x + 3 4x + 9 c. ⋅ = 12x + 27 4x + 6 –3x + 8 12x – 32 d. : = 81x – 27 27x – 9 a.

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar.

Productos y factorización

Ecuaciones, lenguaje algebraico y variables

Plano cartesiano

Unidad 1

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Fracciones algebraicas

Polinomios

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Polinomios y valorización 2 3 +x –1 x –2 2 – = x ) x 3 ( Q 2 + R(x) x – = – S(x) = 5x 4 – 6) =2 1,1x P(x x – 2, 1 –5 3 5 –2 – 2 4 3 4 10,2 2 –14 5,5 – 1 –1,1 – 5 5 1 –0,1 –2,3 ,3 –1 1 6 4 3

En una caja son depositadas 20 tarjetas, con diferentes polinomios escritos. Luego, cada participante construye un cartón de juego con 9 números. El juego consiste en extraer una tarjeta y describir el polinomio con las características que quiera (ver definiciones). Finalmente, el participante elige a otro estudiante, el que debe indicarle un número de su cartón para que este valorice el polinomio extraído. Ganará quien proporcione más características y valorice primero un cartrón completo de otro participante.

Actividades resueltas 1. Rocío y Eduardo obtuvieron las tarjetas con los polinomios P(x) = –x2 + 3x – 2 y Q(x) = –2x3 + x2 – 1. ¿Qué características tienen estos polinomios?

Un polinomio P es una expresión algebraica de la forma: n P(x) = anx + an – 1xn – 1 + ... + a2x 2 + a1x1 + a0, donde a0 es denominado término independiente del polinomio.

• P(x) y Q(x) son polinomios de tres términos, es decir, trinomios. • El grado de P(x) es 2 y el de Q(x) es 3. • El término independiente de P(x) es –2 y el de Q(x) es –1. • P(x) es un polinomio heterogéneo y completo; mientras que Q(x) es heterogéneo e incompleto; ya que carece del término con x1.

El grado de un término El grado de un algebraico o monomio polinomio es el corresponde a la suma mayor de los grados de los exponentes de sus de los términos variables. Por ejemplo, el algebraicos o grado del término monomios que lo 45x4y3 es 7. forman. Por ejemplo, el grado del polinomio 2. Considerando los polinomios obtenidos por Rocío P(x) = 3x 2 + 5x3 – 2x es 3, y Eduardo, ¿cuál es el valor numérico de P(–0,1) y correspondiente al grado del Un 1  término 5x3 del polinomio. Q –  ? polinomio ° 4 es homogéneo • P(–0,1) = –(–0,1)2 + 3 · (–0,1) – 2 = –2,31 si todos sus 3 2 1 1 1 1 1 29     términos son – 1= – • Q ° –  = – 2 ° –  + ° –  – 1= – 2 ° –  + del mismo grado; de lo contrario, es 4 4 4 64 16 32 heterogéneo. 3. Si se extraen las tarjetas con los polinomios Por otra parte, un polinomio es completo si R(x) = –1,1x – 2,5 y S(x) = 5x4 – 6x2, ¿cuáles son sus catiene todos los términos, desde el término racterísticas y cuál es el valor de R(–5) y S(1,3)? independiente hasta el término de mayor grado. • R(x) y S(x) son binomios, de grado 1 y 4 respectivamente. El término independiente de R(x) es –2,5 y S(x) no tiene. R(x) es un polinomio heterogéneo y completo; mientras que S(x) es heterogéneo e incompleto. • R(–5) = –1,1 · (–5) – 2,5 = 3 • S(1,3) = 5 · 1,34 – 6 · 1,32 = 4,1405

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Polinomio nulo es aquel cuyos coeficientes numéricos son nulos. Valorizar un polinomio en cierto valor, consiste en reemplazar la variable por dicho valor y realizar los cálculos respectivos.

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Aprendiendo del error Analiza cada cuadro y marca un ✔ si está completamente correcto o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas. Sea P(x) = –5x 2 – 4x – 0,1. • P(x) es un trinomio de grado 2. Su término independiente es 1 y es un polinomio heterogéneo completo.

Sea Q(x) = –3x3 + x 2 – 2x. • Q(x) es un trinomio de grado 3. No tiene término independiente y es un polinomio heterogéneo incompleto.

• P(0) = 0,1

• Q(0) = 0

• P(–1) = –1,1

• Q(–1) = 6

 2  31 • P ° –  = 3 29

 2 8 • Q ° –  = 3 9

9 Ayuda •• Un polinomio se

denomina ordenado si sus términos están escritos de mayor a menor grado.

•• Dos polinomios

a. De existir errores, ¿cuáles son? b. Si para algún valor de x, P(x) = Q(x), ¿significaría que los polinomios son iguales? c. ¿Puede haber un polinomio de una variable que sea homogéneo?

son iguales si están compuestos por los mismos términos, sin importar el orden.

Actividades propuestas 1. Identifica el término independiente de cada polinomio. 2 2 1 3 c. R( x ) =10x + x – 3 3 2 6 1 4 2 d. S ( x ) = – x – x + x +1 3 3 3

a. P(x) = –12x5 + 3x3 – x2 – 1 b. Q(x) = 2,2x4 – 54x + 23

e. T(x) = –3,5x + 2 – 8x2 f. U(x) = –6 + 4x3 + 2x

2. Clasifica los siguientes polinomios en homogéneo o heterogéneo y completo o incompleto. 2 2 1 2 3 c. R( x ) = x + x – x + 3 3 3 1 5 3 2 d. S ( x ) = 4,5x – x + x 3 6

a. P(x) = –x4 + 3x3 – 2x2 b. Q(x) = –1,5x2 – 5x + 3

e. T(x) = 4,8xy2 + 2x3 – x2y f. U(x) = 6,1y2 – 12x2 – 3xy

3. Reconoce si los polinomios de cada caso son iguales. a. P(x) = 4x3 + 5x2 – 6 y Q(x) = 6 + 5x2 + 4x3

d. P(x) = –x2 – 3x6 y Q(x) = –3x2 – x6

b. R(x) = –x4 + x3 – x y S(x) = x3 – x4 – x

e. R(x) = 4,2x + x2 + 1 y S(x) = 4,2x + 1 + x2

c. T(x) = 2x + x3 – 2x2 y U(x) = –2x2 + x3 + 2x

f. T ( x ) = – x 8 + x 4 –

5 3 5 x y U( x ) = – x 3 + x 4 + x 8 4 4

4. Valoriza cada polinomio en los valores de las variables dadas. a. P(x) = x3 + 5x2 – 6; x = –1; 4 y

1 5

1 3 3 c. R(x) = –2x2 + x3 + 2x; x = –1; 1 y – 4 b. Q(x) = –x4 + x3 – x; x = 0; –3; 2 y –

2 3 2 e. T(x) = 4,2x + x2 + 1; x = –2,5; –10 y – 5 d. S(x) = –x2 – 3x6 –3x3 – 6; x = –1; 2 y

f. U(x) = –x8 + x4 – 2x3 + x2 – 4; x = 0; –1 y

Unidad 1

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1 2

Polinomios

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Adición y sustracción de polinomios x2 El juego de las tarjetas con R(x) = –9x – polinomios consiste en que el 2 P(x) = x + 12x + 35 3 –2+x x ,1 1 estudiante debe elegir tarjetas – S(x) = 4 + Q x ( al azar y resolver adiciones y 4 3 x ) = x – 49 2 W(x) = x 2 2 +6 V(x2 ) = – x – x 9 = sustracciones entre ellos. U(x) –x 1 2 – 2x + 1 = 3 ) El estudiante que tiene más + x ( 5 E 2x x A(x) = 2 B(x) = 3x 3 C(x) = –x – respuestas correctas, al cabo –x+ G(x) = x + 3 F(x) = –2x – 1 de 10 rondas, gana. D(x) = –x3 – 5x 2 2x + 1 +2

T(x) = x 2 – 4

Actividades resueltas 1. Cristina extrajo las siguientes tarjetas:

P(x) = x2 + 12x + 35

F(x) = –2x – 1

¿Cuáles son los polinomios resultantes de P(x) + F(x) y de P(x) – F(x)? • P(x) + F(x) = (x2 + 12x + 35) + (–2x – 1) = x2 + (12x + (–2x)) + (35 + (–1)) = x2 + 10x + 34 • P(x) – F(x) = (x2 + 12x + 35) – (–2x – 1) = (x2 + 12x + 35) + (2x + 1) = x2 + (12x + 2x) + (35 + 1) = x2 + 14x + 36

2. ¿La adición y sustracción de polinomios es conmutativa? Para verificar la conmutatividad se considerarán los polinomios: P(x) = anxn + an – 1xn – 1 +...+ a2x2 + ax + a0 Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 +...+ b2x2 + bx + b0

Resolver adiciones de polinomios consiste en obtener la suma, término a término, de los monomios de igual factor literal y grado. En el caso de las sustracciones de polinomios, se debe sumar al minuendo el inverso aditivo del sustraendo. Es decir: P(x) – Q(x) = P(x) + (–Q(x)) Para resolver adiciones de polinomios: 1º Ordenar los términos de los polinomios. 2º Agrupar los términos, según el factor literal y grado. 3º Sumar los términos agrupados.

• Para la adición, se tiene: P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn – 1)xn – 1 +...+ (a2 + b2)x2 + (a + b)x + (a0 + b0) Q(x) + P(x) = (bn + an)xn + (bn – 1 + an – 1)xn – 1 +...+ (b2 + a2)x2 + (b + a)x + (b0 + a0) Como los coeficientes ai y bi son números reales y la adición de números reales es conmutativa, entonces ai + bi = bi + ai, para i = 1, 2,..., n. Por lo tanto, la adición de polinomios también es conmutativa. • Para el caso de la sustracción, se tiene: P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn – 1)xn – 1 +...+ (a2 – b2)x2 + (a – b)x + (a0 – b0) Q(x) – P(x) = (bn – an)xn + (bn – 1 – an – 1)xn – 1 +...+ (b2 – a2)x2 + (b – a)x + (b0 – a0) Como los coeficientes ai y bi son números reales y ai – bi puede ser distinto que bi – ai, para i = 1, 2,..., n, entonces, la sustracción de polinomios no es conmutativa.

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Aprendiendo del error Analiza la resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas.

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3 Sean P(x) = –5,3x4 – x3 – 2x + 1 y Q ( x ) = x 4 – 3x + x 3 – 2x 2 – 1. Así: 2 3 4  4 3 3 2 • P ( x ) – Q ( x ) = ( –5,3x – x – 2x + 1) –  x – 3x + x – 2x – 1 2  3  = ( –5,3x 4 – x 3 – 2x + 1) –  x 4 + x 3 – 2x 2 – 3x – 1 2   3  = ( –5,3x 4 – x 3 – 2x + 1) +  – x 4 + x 3 – 2x 2 – 3x – 1  2  3   =  –5,3x 4 – x 4  + ( –x 3 + x 3 ) + ( –2x 2 ) + ( –2x – 3x ) + (1– 1)  2 

= –6,8x4 – 2x 2 – 5x

a. De existir errores, ¿cuáles son? b. ¿Es correcto el resultado? De no serlo, corrige lo necesario para encontrar el resultado correcto.

Actividades propuestas 1. Resuelve las adiciones de los siguientes polinomios. a. P(x) = –12x3 + 3x2 – x5 – 1 y Q(x) = –x4 + 2,1x5 – 54x + 2x2 – 1 b. R(x) = –x3 + 3x4 – 2x2 – 5 y S(x) = 6,5 –1,5x – 5x4 + 3x2 c. T(x) = –3,5x + 2 – 8x2 + 5,5x3 – 2x4 y U(x) = –6 + 4x3 + 2x – 5x4 d. V(x) = –3,8x + 3x2 – 8x + 1,2x4 – x3 y W(x) = –16 + 4x3 – 3x2 – 2,5x4 2 3 1 2 2 2 1 4 2 3 2 e. A ( x ) =10x + x – – x , B( x ) = – x – x + x + 8 y C(x) = 5x3 + 3x – 3 + x2 3 3 9 5 3 9 1 1 2 5 2 2 5 3 5 4 f. D ( x ) = x – x + 2x – 2 , E ( x ) = 4,5x – x + x – 3x – x – y F(x) = –4x2 + 0,5x 3 3 6 3

2. Resuelve las sustracciones de polinomios pedidas en cada caso. a. P – Q, si P(x) = –12x3 + 3x2 – x5 – 1 y Q(x) = –x4 + 2,2x5 – 54x + 2x2 – 1. b. R – S, si R(x) = –x3 + 3x4 – 2x2 – 5 y S(x) = 6,5 –1,5x – 5x4 + 3x2 c. U – T, si T(x) = –3,5x + 2 – 8x2 + 5,5x3 – 2x4 y U(x) = –6 + 4x3 + 2x – 5x4 d. W – V, si V(x) = –3,8x + 3x2 – 8x + 1,2x4 – x3 y W(x) = –16 + 4x3 – 3x2 – 2,5x4 2 1 2 2 1 2 e. A – B – C, si A ( x ) =10x 2 + x 3 – – x , B( x ) = – x 2 – x 4 + x 3 + 8 y C(x) = x4 – 2x 3 3 9 5 3 9 1 1 5 2 f. D – E – F, si D ( x ) = x 2 – x + 2x 5 – 2, E ( x ) = 4,5x 3 – x 2 + x – 3x 5 – x 4 – y F(x) = 1 + 4,5x3 3 3 6 3

Unidad 1

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Polinomios

25-05-16 10:39

Multiplicación de polinomios Considerando nuevamente el juego

2

x de las tarjetas, con la variante de T(x) = x 2 – 4 R(x) = –9x – 2 que el participante debe extraer P(x) = x + 12x + 35 3 –2+x x ,1 1 dos tarjetas y multiplicar los S(x) = – 4 + Q x ( 4 3 x ) – polinomios que ellas contienen, W = = (x) = x 2 – x – 49x 2 V(x2 ) x2 + 6 9 = ) x cada jugador realiza 5 ( U 1 –x 1 + 2 x = 3 2 ) + x partidas y ganará quien 5 E( 2x x – A(x) = 2 B(x) = 3x 3 C(x) = –x – resuelva correctamente más –x+2 G(x) = x + 3 F(x) = –2x – 1 multiplicaciones. D(x) = –x3 – 5x 2x + 1 +2 Actividades resueltas 1. Mario, en una partida, extrajo las siguientes tarjetas: 2

A(x) = 2x – 2x + 1

3

D(x) = –x – 5x + 2

¿Cuál es el polinomio resultante de A(x) · D(x)? A(x) · D(x) = (2x2 – 2x + 1)(–x3 – 5x + 2) = 2x2(–x3 – 5x + 2) – 2x(–x3 – 5x + 2) + 1(–x3 – 5x + 2) = –2x5 – 10x3 + 4x2 + 2x4 + 10x2 – 4x – x3 – 5x + 2 = –2x5 + 2x4 + (–10x3 – x3) + (4x2 + 10x2) + (–4x – 5x) + 2 = –2x5 + 2x4 – 11x3 + 14x2 – 9x + 2 Por lo tanto, A(x) · D(x) = –2x5 + 2x4 – 11x3 + 14x2 – 9x + 2.

2. Si en una segunda partida, Mario extrajo las siguientes tarjetas:

T(x) = x2 – 4

R(x) = –9x – x2

E(x) = 1 – x2

¿Cuál es el polinomio resultante de T(x) · R(x) · S(x)? Para resolver una multiplicación entre tres polinomios se considerarán dos de ellos y luego, el producto será multiplicado por el restante. Así: T(x) · R(x) · E(x) = [T(x) · R(x)] · E(x) Luego: T(x) · R(x) = (x2 – 4)(–9x – x2) = x2(–9x – x2) –4(–9x – x2) = –9x3 – x4 + 36x + 4x2 = –x4 – 9x3 + 4x2 + 36x Ahora: [T(x) · R(x)] · E(x) = (–x4 – 9x3 + 4x2 + 36x)(1 – x2) = 1(–x4 – 9x3 + 4x2 + 36x) – x2(–x4 – 9x3 + 4x2 + 36x) = –x4 – 9x3 + 4x2 + 36x + x6 + 9x5 – 4x4 – 36x3 = x6 + 9x5 + (–x4 – 4x4) + (–9x3 – 36x3) + 4x2 + 36x = x6 + 9x5 – 5x4 – 45x3 + 4x2 + 36x Por lo tanto, T(x) · R(x) · E(x) = x6 + 9x5 – 5x4 – 45x3 + 4x2 + 36x.

12

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Para multiplicar monomios se calcula el producto entre los coeficientes numéricos y luego, entre los factores literales, aplicando la propiedad de potencias de iguales bases. Si en la multiplicación de dos términos, hay letras de los factores literales que son distintas, estas se conservan en el resultado.

Para multiplicar un monomio por una expresión con más de un término se debe aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación por sobre la adición, multiplicando dicho monomio por cada término algebraico de la expresión.

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primero, por cada término del segundo.

Editorial Crecer Pensando 25-05-16 10:39

Más estrategias Analiza la siguiente estrategia para multiplicar tres o más expresiones algebraicas. Luego, responde.

13

(3x – 2y)(x – 4y)(2x + 3y) ➜ 6x3 + 9x 2y (3x – 2y)(x – 4y)(2x + 3y) ➜ 6x3 + 9x 2y – 24x 2y – 36xy2 (3x – 2y)(x – 4y)(2x + 3y) ➜ 6x3 + 9x 2y – 24x 2y – 36xy2 – 4x 2y – 6xy2 (3x – 2y)(x – 4y)(2x + 3y) ➜ 6x3 + 9x 2y – 24x 2y – 36xy2 – 4x 2y – 6xy2 + 16xy2 + 24y3 ➜ 6x3 – 19x 2y – 26xy2 + 24y3 a. Explica paso a paso la estrategia utilizada. ¿Te parece más simple que la ya estudiada?

Actividades propuestas 1. Calcula los productos entre monomios y polinomios. a. –3xy(–4 + 5xy)

d. –ab7c3d(–2a8b2 – cd8 + d6)

g. 1,3jk(kp – 2j3q + 2 + k2j4)

b. 6xy2z(2xyz – x2 + 2x3)

e. 7n2 · (n2m2 – m4) · m3n

h. (r + 1,1u2 – 2rs3u9)(–rstu2)

1 5 2 c. –5x 3  – x 2 + x – 3x 5 –  ° 3 6 3

4 5 f. –x 3 y  – x 2 y – 2x 5 –  ° 3 3

i. –3xy3(2x3ty – 2y3x + 4xt)

2. Calcula los siguientes productos. Ayuda

a. (a – b)(a – b)

f. (2 – x)(3 – x)(5 – x)2

b. (6x + 2y)(6x – 2y)

g. (p – 5q3)3

c. (0,5p2 – 3q2)(0,5p2 + 3q2)

h. (stu + 5t2r7 + 3)(stu + 2t2r7)

d. (5t2r7 + 3)(5t2r7 – 8)

i. (2tr2 + t2r)2 – (2tr2 + t2r)(2tr2 – t2r)

e. (b + 2c2)3

j. (–pq2 + p2q)3 – (–pq2 – p2q)3

Recuerda que: (x + y)2 = x 2 + 2xy + y 2 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x + a)(x + b) = x2 (a + b)x + ab (x + y)(x – y) = x 2 – y 2

3. Resuelve las siguientes operaciones entre los polinomios dados. Para ello, considera P(x) = –4x2 + 3x – 6, Q(x) = 6x + 3, R(x) = 3x2 + 1, S(x) = –0,1x2 – 10x y T(x) = –2x + 1. a. P · Q b. P · R c. P · S d. P · T e. Q · R f. Q · S

m. 10S · 2P + 2T n. 0,5Q · T + Q · 2T ñ. T(P + R) – TP – TR o. (Q + T)(Q – T) p. T(P + 4x2) q. QR – RT

g. Q · T h. R · S i. R · T j. S · T k. Q2 · R l. R · T2

Unidad 1

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Polinomios

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Antes de seguir... Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que has visto en esta unidad. Tema 1: Polinomios y valorización

1. Identifica el término independiente de cada polinomio. Para ello, enciérralo. a. P(x) = –2x5 + x3 – x2 + 3

3 5 4 7 2 d. S ( x ) = – x – x + + x 4 5 3

b. Q(x) = 2,1x3 – 5x2 + 3

e. T(x) = –3,3x2 + 5 – 6x2

1 2 3 c. R( x ) =15x + x – 3 3

f. U(x) = –5 + 3x5 + x

2. Valoriza cada polinomio en el valor dado. a. P(x) = –2x3 + 2x2 – 5; x = 1 b. Q(x) = –2x4 – x2 – 2; x = –2

c. R(x) = –3x2 – x3 + 2; x = –5

Tema 2: Adición y sustracción de polinomios

3. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de polinomios. Para ello, considera P(x) = –2x3 – 30x4 – 2x + 15, Q(x) = –2x4 – 2x5 – 5x + 20x2 – 10 y R(x) = 2x5 – 20x2 – 15x – 8. a. P + Q

c. P – Q

e. P + Q + R

b. Q + R

d. Q – R

f. P – Q – R

14

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Evaluación intermedia Tema 3: Multiplicación de polinomios

4. Resuelve las siguientes multiplicaciones de polinomios. Para ello, considera S(x) = 2x3 – 2x + 5, T(x) = 5x – 2 y U(x) = –2x2 – 3. a. S · T

d. T2 · 2U

b. S · U

e. (S · U)2

c. T · U

f. (T · U)2

15

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Polinomios y valorización

Multiplicación de polinomios

Adición y sustracción de polinomios

Unidad 1

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Polinomios

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División de polinomios El juego consiste en crear tarjetas, que por un lado tienen una situación problemática que el estudiante debe resolver al escoger ¿Cuál si , Q : P e de aleatoriamente una de ellas. En este caso, las de R : s el polino ¿Cuál es el resto2 S 4 + 2x – 1,5x + 1 y m , tarjetas contienen situaciones referidas a la i s o i 4x R(x) = 3 result P(x) = – a nte x 3? + – división de polinomios. 2 2x y 2 = x S(x) = Q(x) x – 5? – 3x + 2 Cada partida consiste en que un participante ¿Qué polinomio extrae 3 tarjetas y el compañero o compañera P(x) dividido por –2x 2 + 3x – 2, cu debe dar respuesta al problema contenido. mple que su cociente es x + 3 Luego, se deben intercambiar los roles y contesta y su resto es 0? el otro estudiante, ganando aquel con mayor cantidad de respuestas correctas. Para dividir dos monomios se divide el coeficiente numérico del dividendo con el coeficiente del 1. Florencia debe hallar el resto de P : Q, si divisor y, luego, se escribe el factor literal con las 4 2 P(x) = –4x + 2x – 1,5x + 1 y Q(x) = 2x – 3? variables ordenadas alfabéticamente (cada una con un Para resolver la división, primero se ordenan exponente correspondiente a la resta del exponente y completan los polinomios (se completan con que tiene en el dividendo y el que tiene en el términos de coeficientes nulos, así, resolver la divisor). El signo del cociente será división entre P y Q es equivalente a resolver: el que corresponda al aplicar la regla de (–4x4 + 0x3 + 2x2 – 1,5x + 1) : (2x – 3) = –2x3 – 3x2 – 3,5x – 6 4 3 los signos. –(–4x + 6x ) 3 2 –6x + 2x – 1,5x + 1 Si al dividir dos –(–6x3 + 9x2) polinomios, se obtiene –7x2 – 1,5x + 1 +:+=+ R(x) ≠ 0, entonces: –(–7x2 + 10,5x) +:–=– Q(x) · C(x) + R(x) = P(x). –12x + 1 –:+=– La división entre dos –(–12x + 18) –:–=+ polinomios P(x) : Q(x), donde –17 // P(x) es el dividendo y Q(x) 3 2 el divisor, consiste en hallar Por lo tanto, P(x) : Q(x) = –2x – 3x – 3,5x – 6 y su resto otro polinomio C(x), denominado es –17. cociente, tal que Q(x) · C(x) = P(x). En este caso, el resto o residuo es R(x) = 0. 2. ¿Cómo puede comprobar florencia que resolvió correctamente la división? Es posible comprobar que la división fue resuelta correctamente, verificando: Para dividir polinomios El resto Q(x) · (–2x3 – 3x2 – 3,5x – 6) + (–17) = P(x) se divide cada término o residuo Luego: del dividendo por cada de una (2x – 3)(–2x3 – 3x2 – 3,5x – 6) + (–17) término del divisor división entre = –4x4 – 6x3 – 7x2 – 12x + 6x3 + 9x2 + 10,5x + 18 – 17 (completados polinomios es = –4x4 + (–6x3 + 6x3) + (–7x2 + 9x2) + (–12x + 10,5x) + (18 – 17) previamente), una expresión = –4x4 + 2x2 – 1,5x + 1 obteniendo en cada algebraica cuyo = P(x) caso cocientes grado es una parciales, y cada uno Por lo tanto, Florencia resolvió correctamente la división. unidad menor al de estos cocientes del dividendo. se suman.

Actividades resueltas

16

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Aprendiendo del error Analiza cada resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas. ¿Cuál es el polinomio resultante de R : S, si R(x) = x3 + 2x2 – 3x + 2 y S(x) = x – 5? (x3 + 2x2 – 3x + 2) : (x – 5) = x 2 + 7x + 32 –(x3 – 5x 2) 7x 2 – 3x + 2 –(7x 2 – 35x) 32x + 2 –(32x – 160) –158 //

¿Qué polinomio P(x) dividido por –2x 2 + 3x – 2, cumple que su cociente es x + 3 y su resto es 0?

17

El problema consiste en hallar P(x) tal que: P(x) : (–2x2 + 3x – 2) = x + 3, con resto 0, es decir: (–2x 2 + 3x – 2)(x + 3) + 0 = P(x) Así: (–2x 2 + 3x – 2)(x + 3) + 0 = –2x3 + 3x 2 – 2x – 6x 2 + 9x – 6 = –2x3 – 3x 2 + 7x – 6 Por lo tanto, P(x) = –2x3 – 3x 2 + 7x – 6.

a. De existir errores, ¿cuáles son? b. ¿Es correcto cada resultado? De no ser así, corrige lo necesario para encontrar el resultado correcto en cada caso.

Actividades propuestas 1. Calcula el resto de las siguientes divisiones de polinomios. a. (x4 + 3x2 – 4) : (x + 1)

g. (2x2 + 2x + 4) : (2x – 5)

m. (–2x3 + 5x + 2x2 – 5) : (x – 1)

b. (x3 + 3x2 + x + 3) : (x2 + 1)

h. (6x3 + 9) : (2x2 + 3)

n. (–4x4 + 2x2 – 12) : (2x – 3)

c. (x3 – x2 – 29x – 6) : (x – 6)

i. (x4 + 2x2 + 3x3 + 6x) : (x + 3)

ñ. (7x3 + 14x2 – 21) : (7x + 1)

d. (–2x3 – 5 + 3x) : (x2 – 3)

j. (5x2 + 10x – 25) : (5x – 5)

o. (x4 + 3x2 – 4) : (x + 1)

e. (x4 – x3 + x2 – 1) : (x – 1)

k. (x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 3) : (x2 + 1)

p. (–2x6 + 4x2 – 3) : (x – 4)

f. (2x3 + 3x2 – x + 3) : (2x + 2)

l. (–x3 + x2 – 2x + 8) : (x + 3)

q. (6x4 + 5x2 – x – 1) : (x2 + 2)

2. Encuentra el polinomio P(x), según las características dadas. a. P(x) : (x + 2) = 4x – 14 y el resto es 30. b. P(x) : (x + 1) = x3 – 5x2 + 28x – 142 y el resto es 711. c. (3x3 – 2x2 + 5x – 6) : (2x + 4) = P(x) y el resto es –48. d. (4x4 + 6x2 – 3x + 2) : (2x2 + 1) = P(x) y el resto es –3x. e. (6x3 + 2x2 – 5) : P(x) = 2x2 y el resto es –5. f. (8x3 + 2x2 – 6x + 5) : P(x) = 4x2 + 7x + 7,5 y el resto es 27,5.

3. Resuelve las siguientes operaciones entre los polinomios dados. Para ello, considera P(x) = –4x3 + 2x – 8, Q(x) = 4x + 1, R(x) = 4x2 – 1, S(x) = –2x – 1 y T(x) = –2x + 1. a. P : Q b. P : R c. P : S d. P : T e. R : Q f. R : S

m. R · T : S n. (R + S) : Q ñ. (P + S) : T o. Q2 : (T + 2S) p. P : (S2 – 2T2) q. (R + S + T) : Q

g. R : T h. Q2 : S i. Q2 : T j. S2 : T k. T2 : S l. P : (S · T) Unidad 1

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Polinomios

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4. Analiza la información. Luego, completa las divisiones en tu cuaderno. La regla de Ruffini permite resolver divisiones entre polinomios, donde el divisor es un binomio de la forma (x – c), con x la variable y c un número real. Por ejemplo, para resolver (4x5 + 2x4 – 3x3 – x + 1) : (x – 2), se tiene:

4

2 8 10

4

–3 20 17

0 34 34

–1 68 67

1 134 135

2

1.° Se escriben los coeficientes del dividendo en la tabla, completando con 0 los que falten, en este caso, el coeficiente de x2. 2.° Se "baja" el primer coeficiente, en este caso, 4 y se multiplica por c, en este caso, 2. (Si el divisor fuera x + 2, el valor de c sería –2). 3.° El producto obtenido se escribe bajo el siguiente coeficiente y se suman ambos valores. 4.° Se repite el proceso con todos los coeficientes. 5.° El último valor obtenido corresponde al resto de la división.

El cociente es un polinomio cuyo grado es una unidad menor al grado del dividendo y sus coeficientes numéricos son los valores obtenidos en la tabla. Por lo tanto, (4x5 + 2x4 – 3x3 – x + 1) : (x – 2) = 4x4 + 10x3 + 17x2 + 34x + 67, quedando como resto, 135. e. (–x3 + x2 – 2x + 8) : (x + 3)

a. (x4 + 3x2 – 4) : (x + 1) 1

0

3

1

–1

4

–4 –4

–4 4

–1 –1

Cociente: b. (x3 – x2 – 29x – 6) : (x – 6) 1

–1

50

Cociente: f. (–2x3 + 5x + 2x2 – 5) : (x – 1)

–6 30

5

–5 6

–2

1

0

Cociente: c. (x4 – x3 + x2 – 1) : (x – 1) –1

–3 4

1

Cociente: g. (x4 + 3x2 – 4) : (x – 1) –1

0

–4

1 1

1

0

1

Cociente: d. (x4 + 2x2 + 3x3 + 6x) : (x + 3) 1

Cociente: h. (–2x6 + 4x2 – 3) : (x – 4)

6 –3

1

0

4 –3

0

Cociente:

18

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–2

–32

Cociente:

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5. Analiza la información. Luego, responde. El teorema del resto permite calcular el resto en una división entre polinomios, donde el divisor es un binomio de la forma (x – c), con x la variable y c un número real.

19

Este teorema señala que el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − c) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor x = c. Por ejemplo, para la división (4x5 + 2x4 – 3x3 – x + 1) : (x – 2), el resto es 135; ya que, P(x) = 4x5 + 2x4 – 3x3 – x + 1 y c = 2, luego: P(2) = 4 · 25 + 2 · 24 – 3 · 23 – 2 + 1 = 4 · 32 + 2 · 16 – 3 · 8 – 2 + 1 = 128 + 32 – 24 – 2 + 1 = 135 Por lo tanto, P(2) es igual al resto. a. ¿El teorema del resto es útil para encontrar el cociente de la división entre polinomios? Explica. b. Si en una división de polinomios, el divisor es (x + 3), ¿el polinomio debe ser evaluado en x = 3 para encontrar el resto de dicha división? c. ¿Para aplicar el teorema del resto, la división entre los polinomios debe ser exacta, es decir, con resto distinto de cero? Justifica.

6. Aplica el teorema del resto para verificar los restos calculados en la actividad 4 de la página anterior.

7. Analiza la información. Luego, aplica el teorema del factor para identificar cuáles de los siguientes polinomios son divisibles por cada binomio dado. El teorema del factor señala que un polinomio P(x) es divisible por otro, de la forma (x − c), si y solo si P(c) = 0.

Ayuda •• Un polinomio P(x) es

divisible por otro de la forma (x – c), si P(c) = 0.

•• Un valor x = c es

Por ejemplo: Sea P(x) = –6x4 – 14x3 + 9x2 – 7x + 6. Aplicando el teorema del factor, como P(–3) = 0, P(x) es divisible por x + 3.

denominado cero de un polinomio P(x), si P(c) = 0.

Además, x = –3 es un cero de P(x). a. P(x) = 5x4 – 3x3 + 2x – 2 y el binomio x – 2. b. Q(x) = 4x4 + 14x3 + x2 – 18x – 9 y el binomio x + 3. c. R(x) = –2x5 – 2x3 – 2x2 + 6x – 2 y el binomio x + 1. d. S(x) = –6x6 + 18x5 – 3x4 + 9x3 + 2x2 – 18 y el binomio x – 3. e. T(x) = 1,5x4 – 3,5x3 + 2,5x2 – 0,5x – 17,5 y el binomio x – 2. f. U(x) = 2,2x4 – 8,92x3 + 9,25x2 – 5,31x + 3,3 y el binomio x – 1,1.

Unidad 1

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Polinomios

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Ceros racionales Ya estudiaste los polinomios, a reconocer su grado, a resolver adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, aplicando el teorema del resto y del factor. Ahora es momento

de estudiar los ceros de un polinomio o raíces de una función polinómica. Para ello, analiza las formalizaciones, actividades resueltas y otras secciones de este tema.

Actividades resueltas 1. ¿Cuáles son las raíces racionales de la función polinómica definida por f(x) = 3x3 – 5x2 + 5x – 2? Hallar las raíces de f es equivalente a encontrar los ceros del polinomio P(x) = 3x3 – 5x2 + 5x – 2. Como los coeficientes de P son valores enteros, es posible aplicar el teorema de los ceros de un polinomio. En este caso: • a0 = –2 y sus divisores son ±1, ±2 • a3 = 3 y sus divisores son ±1, ±3 Luego, los ceros racionales están entre los valores: 1 1 2 2 –1, 1, –2, 2, – , , – y 3 3 3 3 Reemplazando x por estos valores, se obtiene que solo 2 para x = , P(x) = 0, luego, es un cero racional de P. 3 Como el polinomio es de tercer grado, por el teorema 2 fundamental del álgebra, este tiene 3 ceros, donde x = 3 es uno de ellos.

2. ¿Cuáles son los ceros del polinomio P(x) = x4 – 4x + 3? Como los coeficientes de P son valores enteros, es posible aplicar el teorema de los ceros de un polinomio. En este caso: • a0 = 3 y sus divisores son ±1, ±3 • a4 = 1 y sus divisores son 1 y –1 Luego, los ceros racionales están entre los valores: –1, 1, –3 y 3 Reemplazando x por estos valores, se obtiene que para x = 1, P(x) = 0, luego, es un cero racional de P. Como el polinomio es de cuarto grado, por el teorema fundamental del álgebra, este tiene 4 ceros, donde x = 1 es uno de ellos.

3. ¿Cómo son los ceros del polinomio P(x) = x4 – 4x + 3? Como es sabido P tiene 4 ceros por ser de cuarto grado y x = 1 es uno de ellos. Por otra parte, P(x) ≠ (x – 1)4, luego, x = 1 no es de multiplicidad 4. Así, solo queda la opción que sea de multiplicidad 2 y los otros dos ceros sean complejos.

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Una función polinómica es aquella que está definida mediante un polinomio. Por ejemplo, f, definida en  por f(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x1 + a0 es una función polinómica.

Si f(x) es una función polinómica y f(a) = 0, entonces a es una raíz de f; mientras que si P(x) es un polinomio y P(a) = 0, entonces a es un cero de P y una solución de la ecuación P(x) = 0. Además (x – a) es un factor de P.

Un polinomio real de grado impar tiene al menos un cero real. Si un Teorema polinomio tiene un cero fundamental complejo, entonces, del álgebra: el conjugado de ese Todo polinomio número complejo de grado n, tiene n también es ceros, pudiendo ser un cero del iguales o distintos y polinomio. reales o complejos.

Teorema de los ceros racionales: Sea P(x) = a0 + a1x1 + ... + an – 1xn – 1 + an xn. Si los coeficientes an, an – 1, ..., a1, a0, son números enteros, entonces todos sus ceros p racionales son de la forma x = ± , donde p es q divisor de a0 y q es divisor de an.

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Más estrategias Analiza las siguientes estrategias para determinar si un valor es un cero de un polinomio. Considera el polinomio P(x) = 4x3 – 5x 2 – 7x + 2. Determina si x = –1, 2 y 0,25 son ceros de P. • Valorizando el polinomio para los valores en cuestión, se tiene que P(–1) = P(2) = P(0,25) = 0. Luego, estos valores son ceros de P.

21

• Al resolver P(x) : (x + 1), P(x) : (x – 2) y P(x) : (x – 0,25), en todas se obtiene resto 0. Luego, estos valores son ceros de P. • P(x) = 4x3 – 5x 2 – 7x + 2 es factorizable por (x + 1)(x – 2)(4x – 1). Luego, x = –1, 2 y 0,25 son ceros de P. • Sea P(x) = a0 + a1x1 + ... + an – 1xn – 1 + an xn y x = c un valor para evaluar P(x), es decir, para calcular P(c). Para esto, se define lo siguiente: bn = an bn – 1 = an – 1 + bnc bn – 2 = an – 2 + bn – 1c ... b1 = a1 + b2c b0 = a0 + b1c Luego, para evaluar P(x) = 4x3 – 5x 2 – 7x + 2 en x = –1 se tiene que: b3 = 4; b2 = –5 + 4 · (–1) = –9; b1 = –7 + (–9) · (–1) = 2 y b0 = 2 + 2 · (–1) = 0. Por lo tanto, como P(–1) = 0, entonces, es un cero de P. Para x = 2 y 0,25 se realiza el algoritmo de igual forma. a. Explica el procedimiento planteado en cada estrategia. ¿Cuál te parece más sencillo? b. ¿Crees que los ceros de P(x) son los mismos que los de kP(x), con k ∈  ? Justifica.

Actividades propuestas 1. Utiliza los teoremas vistos para determinar los ceros racionales de cada polinomio. a. A(x) = x3 – 7x2 + 6 b. B(x) = 6x4 – x3 – 7x2 + x + 1 c. C(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 d. D(x) = 3x3 – x2 + 27x – 9 e. E(x) = x3 + 3x2 – 9x – 27 f. F(x) = 2x4 + 7x3 – 3x2 + 42x – 90

g. G(x) = 4x3 + 7x2 – 14x + 3 h. H(x) = 9x4 – 6x3 – 2x – 1 i. J(x) = 3x3 + 9x2 – 27x – 81 j. K(x) = 12x4 – 2x3 – 14x2 + 2x + 2 k. L(x) = 3x4 + 9x3 + 9x2 + 9x + 6 l. Ñ(x) = 8x4 + 28x3 – 12x2 + 168x – 360

2. Evalúa cada valor de x dado, para determinar si es o no un cero del polinomio propuesto. a. x = 3 en P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12

g. x = –3 en R(x) = x5 – 6x3 – 6x2 – 7x – 6

b. x = 1 en P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12

h. x = –1 en R(x) = x5 – 6x3 – 6x2 – 7x – 6

c. x = –1 en P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12

i. x = –2 en R(x) = x5 – 6x3 – 6x2 – 7x – 6

d. x = –

1 en Q(x) = 3x3 + x2 – 12x – 4 3

e. x = 2 en Q(x) = 3x3 + x2 – 12x – 4 f. x = – 2 en Q(x) = 3x3 + x2 – 12x – 4

j. x = 1 en S(x) = 4x3 – 2x2 – 4x + 2 1 en S(x) = 4x3 – 2x2 – 4x + 2 2 1 l. x = – en S(x) = 4x3 – 2x2 – 4x + 2 2

k. x =

3. Analiza cada polinomio, según lo obtenido en la actividad 1, y determina cómo son sus ceros. a. A(x) = x3 – 7x2 + 6 b. B(x) = 6x4 – x3 – 7x2 + x + 1 c. C(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 d. D(x) = 3x3 – x2 + 27x – 9

e. E(x) = x3 + 3x2 – 9x – 27 f. F(x) = 2x4 + 7x3 – 3x2 + 42x – 90 g. G(x) = 4x3 + 7x2 – 14x + 3 h. H(x) = 9x4 – 6x3 – 2x – 1 Unidad 1

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Polinomios

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Más práctica Casi has llegado al final de esta unidad. Te invitamos a practicar un poco más de algunos temas estudiados. Tema 1: Valorización de polinomios

1. Valoriza y resuelve. Para ello, considera que S(x) = –4x2 + 3x + 2, T(x) = 6x + 0,5 y U(x) = –8x2 – 17. a. S(1) b. T(0) c. 2U(–2) 1 d. – S(3) 2 e. S(2) + T(–4) f. U(–1) · 2S(1) g. S(–2) · T(2) – 3U(0) h. S(0) + T(–1) – U(–2) · 2S(0,5) i. S(T(–3))  2 1  1 j. – S  + 3T  –   3 2 2 k. S(T(U(0))) l. S(U(–1)) – U(S(–1)) m. T(S(0)) + S(U(2)) – 2S(1) n. 2U(T(–1)) · 3S(S(0)) – T(U(0)) Tema 2: Adiciones y sustracciones de polinomios

2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de polinomios. Para ello, considera que S(x) = –4x2 + 3x + 2, T(x) = 6x + 0,5 y U(x) = –8x2 – 17. a. S + T b. T + U c. S + U d. S + T + U e. S – T + U f. 2S + 3T – 5U g. –2T + 4U + 2T h. 3(S + T – U) + 3U i. –2(T + 2S – 2U) – 3(T + U – S) 1 2 j. – S + T 2 3 2 1 3 k. – U – T + S 3 6 5

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Tema 3: Multiplicaciones y divisiones de polinomios

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones. a. (x + 3)(x – 1) b. 2(x – 4)(2x3 – 3x + 2) c. (2x2 – x – 1)(2x + 1) d. (4x2 – 2x – 12)(x – 2) e. (6x3 + 30x2 + 3x + 15)(6x2 + 3) f. (2x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 1)(x2 + 1)

4. Resuelve las siguientes divisiones. Para ello, utiliza la división sintética. a. (2x2 – x – 1) : (2x + 1) b. (4x2 – 2x – 12) : (x – 2) c. (6x3 + 30x2 + 3x + 15) : (6x2 + 3) d. (2x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 1) : (x2 + 1)

5. Resuelve las siguientes divisiones. Para ello, utiliza la regla de Ruffini. a. (2x4 – 2x3 – 10x2 + 8x + 8) : (x + 2) b. (6x3 + 30x2 + 3x + 15) : (x + 5) c. (2x3 – 2x + 12) : (x + 2) d. (2x2 – x – 1) : (x – 1) Tema 4: Ceros racionales de polinomios

6. Determina los ceros racionales de los siguientes polinomios. a. A(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 b. B(x) = 3x3 + x2 – 12x – 4 c. C(x) = x5 – 6x3 – 6x2 – 7x – 6 d. D(x) = 4x3 – 2x2 – 4x + 2

7. Evalúa si el valor dado de x es un cero de cada polinomio propuesto. a. x = –1 en P(x) = x4 – x3 – 2x – 4 b. x = –2 en P(x) = x4 – x3 – 2x – 4 c. x = 3 en Q(x) = x4 – 7x3 + 17x2 – 35x + 60 d. x = 4 en Q(x) = x4 – 7x3 + 17x2 – 35x + 60

8. Analiza los polinomios y determina cómo son sus ceros. a. A(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 b. C(x) = x5 – 6x3 – 6x2 – 7x – 6 c. P(x) = x4 – x3 – 2x – 4 d. Q(x) = x4 – 7x3 + 17x2 – 35x + 60

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Más actividades Realiza la siguiente actividad que considera contenidos de esta unidad.

23

Crucigrama 1 2 3

4 7 9

5 6

8

»»Vertical

1. Término del polinomio que carece de variable o esta es una potencia de exponente 0. 2. Denominación del polinomio R(x) en la división P(x) : Q(x) = C(x), tal que P(x) = C(x) · Q(x) + R(x). 3. Denominación de c, si P(x) es un polinomio y P(c) = 0. 5. Mayor exponente de la variable en un polinomio. 7. Método de división de polinomios que opera con los coeficientes numéricos y la variable del polinomio. Horizontal 4. Tipo de valores que son los ceros del polinomio P(x) = x2 + 1. 6. Polinomio cuyos coeficientes numéricos son todos ceros. 8. Cantidad máxima de ceros complejos que tiene un polinomio de grado 5. 9. Método de división de polinomios que opera solo con los coeficientes numéricos.

»»

Unidad 1

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Polinomios

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Para finalizar Para terminar la unidad resuelve la siguiente evaluación.

1. ¿Cuál es el grado del polinomio

5. Sean P(x) = –x2y + 2xy2 – 2, Q(x) = –xy + 2 y

P(x) = 8x y – 6x + 2x y ? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8 5 2

6

4 4

2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. –x3 + x2 + x es un polinomio completo de grado 3. II. Un polinomio homogéneo es aquel cuyos términos son todos del mismo grado. III. El término independiente del polinomio –2x4 – 3x2 + 5x + 1 es –1. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III

3. Sean P(x) = –2x3 + 5x – 6, Q(x) = 4x3 – 4x y R(x) = 6. ¿Cuál es el valor numérico de P(–1) – Q(2) – R(0)? A. –39 B. –33 C. 9 D. 15 E. 21

4. Sean P(x) = –5x + 3x – 9, Q(x) = 5x – 3x y 4

3

R(x) = 9. ¿Cuál es el valor numérico de P(x) – Q(x) – R(x)? A. 0 B. –5x4 + 5x3 C. –5x4 – 5x3 + 6x D. –10x7 + 6x2 – 18 E. –5x4 – 5x3 + 6x – 18

24

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R(x) = –1. ¿Cuál es el término independiente del polinomio resultante de P(x) · Q(x) – 2R(x)? A. –2 B. –3 C. –4 D. –5 E. –6

6. Sean P(x) = x3 – 2x + 1 y Q(x) = –6x + 1. ¿Cuál es el polinomio resultante –2P(x) · 2Q(x)? A. 12x4 – 2x3 – 24x2 + 16x – 2 B. –6x4 + x3 + 12x2 – 8x + 1 C. 24x4 – 4x3 – 48x2 + 32x – 4 D. 12x4 + 2x3 + 24x2 – 16x + 2 E. –24x4 + 4x3 + 48x2 – 32x + 4

7. ¿Cuál es el polinomio resultante de la división (x4 + 3x3 + 4x2 + 18x – 12) : (x2 + 6)? A. x2 – 3x + 2 B. x2 + 3x + 2 C. x2 + 3x – 2 D. x2 – 3x – 2 E. x2 + 6x – 2

8. Sean P(x) = –3x3 + 2x – 6 y Q(x) = x – 2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. El resto de P(x) : Q(x) es 14. II. P(2) es igual al resto de la división P(x) : Q(x). III. P(x) : (–3x2 – 6x – 10) = Q(x) A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. Solo II y III

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Evaluación final 9. Al aplicar la regla de Ruffini, ¿cuál es el resto de la división (2x3 + x2 – 6) : (x – 1)? A. –6 B. –3 C. 2 D. 3 E. 6

10. ¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde a la división P(x) : Q(x), utilizando la regla de Ruffini, considerando P(x) = x4 – 2x3 + x – 1 y Q(x) = x – 2? A. 1 –2 1 –1 –2 8 –18 –2 1 –4 9 –19 B.

1 1

C.

1 1

D.

1 1

E.

4 1

–2 2 0

1 0 1

–1 2 1

2

–2 –2 –4

0 8 8

1 –16 –15

–1 30 29

–2

–2 2 0

0 0 0

1 0 1

–1 2 1

2

3 2 6

2 12 14

1 28 29

0 58 58

2

11. ¿Cuántos ceros racionales tiene el polinomio P(x) = x + 2x + 1? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 4

2

12. Considera que la siguiente representación corresponde a la división de dos polinomios, utilizando la regla de Ruffini: 1 a

–3 –1 b

1 c –5

–3 6 3

25

–1

¿Cuál es la suma de a, b y c? A. –10 B. –9 C. –1 D. 9 E. 11

13. ¿Cuál de los siguientes polinomios corresponde al cociente de la división P(x) : Q(x), utilizando la división sintética, considerando P(x) = 2x3 – 4x2 – 10 y Q(x) = x + 2? A. 2x2 B. 2x2 – 8x C. 2x2 – 8x – 42 D. 2x2 – 8x + 16 E. 2x2 + 8x + 16

14. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de valores representan a los posibles ceros racionales del polinomio P(x) = x4 + 2x3 – 4x2 – 10, aplicando el teorema de los ceros racionales de un polinomio? A. {1, 10} B. {1, 2, 5, 10} C. {1, 2, –4, –10} D. {1, –1, 2, –2, 5, –5, 10, –10} E. {1, –1, 2, –2, 4, –4, 10, –10}

15. ¿Cuál de los siguientes valores es el resto de la división (2x4 – 3x + 6) : (x2 + 1)? A. –2 B. 4 C. 8 D. –3x + 8 E. 2x2 – 2

Unidad 1

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2 4 6

Polinomios

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Para finalizar 16. ¿En cuál de las siguientes representaciones de la regla de Ruffini, el cociente es un polinomio de tercer grado, y x = –1 es un cero del dividendo? A. 3 1 –1 2 –3 2 –1 –1 3 –2 1 1 B.

–1 –1

C.

1 1

D.

1 1

E.

1 1

–1 –1 –2

–2 –2 –4

0 –4 –4

1

0 –1 –1

0 1 1

1 –1 0

–1 0 –1

–4 1 –3

4 –3 1

–4 1 –3

3 –3 0

–2 –1 –3

–2 3 1

–2 –1 –3

–3 3 0

–1

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¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto a P? I. (x – 1) es un factor de P. II. P tiene dos ceros racionales y dos complejos.

19. Sea la división de polinomios P(x) : Q(x). Para conocer el cociente, se sabe que: 1) La aplicación de la regla de Ruffini es:

1

2 2

3 –4 –1

0 2 2

0 –4 –4

1 8 9

–2

2) El resto es 9. –1

3 2 x + 12x + 18 2

¿Cuál de los siguientes valores es un cero de P? 1 A. – 2 2 B. 3 3 C. – 2 1 D. 2 3 E. 2

26

P(x) = 2x4 – 6x3 + 11x2 – 21x + 14

III. x = 2 es un cero racional de P. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III

17. Sea el polinomio: P( x ) = x 3 +

18. Sea el polinomio:

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

20. Sea P(x) un polinomio de tercer grado. Para conocer el tipo de ceros que tiene, se sabe que: 1) x = 2 es un cero del polinomio. 2) El polinomio tiene dos ceros complejos. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

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Unidad

2

Sumatorias y progresiones Sucesión Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es  y su recorrido es un subconjunto de  . Convergencia de sucesiones Una sucesión converge a L, si para cualquier ε > 0, existe un N   , tal que ∀ n ∈  , con n > N, se verifica que | an – L | < ε. Sumatorias La sumatoria de los n primeros términos de la sucesión {an} se denota como: n

a1 + a2 +... + an – 1 + an = ∑ ai i=1

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Propiedades y fórmulas n

∑ (a i=1 n

i

n

n

i=1

i=1

± bi ) = ∑ ai ± ∑ bi

∑ c = n °c; con c ∈  i=1 n

n

∑ (c °a ) = c∑ a i

i=1 n

i i=1 m–1

n

∑ a = ∑ a – ∑ a ; con m < n n (n + 1) ∑i = 2 n (n + 1)( 2n + 1) ∑i = 6 i=m

i

i=1

i

i=i

n

i=1 n

2

i=1

 n (n + 1)  ∑i =  2  i=1   n

2

i

Progresión aritmética (P.A.) an = a1 + (n – 1)d Progresión geométrica (P.G.) an = a1 · rn – 1 Serie aritmética n n ∑ ai = 2 2a1 + (n – 1) d i=1 Serie geométrica n

1– r ∑ ( a °r ) = a °1 – r n

i=1

1

n–1

1

Progresión armónica (P.H.) 1 {an} es una P.H. si °  es una P.A.  an 

3

01-01-16 16:05

Para comenzar Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que debieras conocer. Tema 1: Operatoria con números racionales 1. Resuelve las siguientes operaciones. a. 100(23 – 55) + 12 : (–4)

2 1  4  5 b. : –  1 –  +   ° 3 5 5 ° 2

2

c. 1,5 · 2,5 – 1,8 : 0,6 – 1,22

 2 2  4  d.  2 : –  –  : 5 ° 3 5 ° 3 

2

Tema 2: Regularidades numéricas 2. Completa las siguientes secuencias, considerando un patrón determinado. a. 2, 8, 14,

, 26 , 32 ,

b. –3, –7, 1 5 c. , , 3 3

, ,

, –19, –23 ,

17 21 , 3 3

d. 1,1; 1,8; 1 1 e. , , 5 15 f. –6, 12, –18,

; 3,2; ,

; ,

, –30,

,

3. Analiza cada regularidad. Luego, resuelve. a.

b. 1·8+1=9

12 = 1

12 · 8 + 2 = 98

112 = 121

123 · 8 + 3 = 987

1112 = 12.321

1.234 · 8 + 4 = 9876

1.1112 = 1.234.321

Utilizando esta regularidad, ¿de qué forma se puede expresar el número 9.876.543?

28

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Según las potencias calculadas, ¿cuál es el valor de 11.111.1112?

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Evaluación inicial Tema 3: Valorización de expresiones algebraicas 4. Valoriza cada expresión, considerando a = 2, b = –3, c = 4 y d = –2. a. a – b – c + d

c. (a + b)a – (d – b)2

e.

a+b a+d – d b

29

b. ab – 3cd

d. abc – b2

f. ab + cd

Tema 4: Ecuaciones con una incógnita 5. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 2x + 5 – x = 12

c.

2 + x 1– x = – 3x 3 2

1 2 + x = 1 – 5x 3 3

d.

3 4 1 + = x 3x 2

b.

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Operatoria con números racionales Regularidades numéricas

Valorización de expresiones algebraicas Ecuaciones con una incógnita

Unidad 2

U2_Mat_3y4(PE).indd 29

Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Sucesiones El juego consiste en que cada participante extrae aleatoriamente una de las tarjetas escritas que están "boca abajo" y 9 tarjetas en blanco. Luego, uno de los estudiantes lanza el dado (como el mostrado en la figura) y el valor obtenido en la cara superior debe ser considerado como patrón de la sucesión que debe formar con sus tarjetas. Es decir, si obtiene +5, el patrón a seguir es sumar 5, si obtiene –1, el patrón es restar 1. Una vez determinado el patrón, cada participante debe ver el valor obtenido en su tarjeta escrita y completar la sucesión, escribiendo en cada una de las 9 tarjetas en blanco restantes. Gana quien complete correctamente y en menor tiempo todas sus tarjetas.

Tarjetas numeradas Tarjetas en blanco

Actividades resueltas

Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es  y su recorrido es un subconjunto de  .

1. Si una competencia entre 4 amigos, que ganó Clara, el patrón fue +3 y las tarjetas escritas fueron:

Clara: 5

Nicolás: 2

Florencia: 9

Tomás: 7

En general, una sucesión se denota {an}, donde: {an} = a1, a2, a3, ... En ella, an se llama término general y a1, a2, a3, ..., son los términos de la sucesión.

¿Qué valores obtuvieron en la décima tarjeta cada uno? Siguiendo las instrucciones del juego, las tarjetas de Clara fueron: 5 – 8 – 11 – 14 – 17 – 20 – 23 – 26 – 29 – 32 Es decir, Clara en la última tarjeta escribió el numero 32. De la misma forma, se puede verificar que la décima tarjeta de los otros participantes fueron:

Nicolás: 29

Florencia: 36

Tomás: 34

2. Los amigos decidieron jugar nuevamente, ganando esta vez Tomás. Si el patrón fue multiplicar por 2 y la quinta tarjeta de Tomás tenía el número 80, ¿qué número obtuvo en su primera tarjeta?

Una sucesión está bien definida cuando es posible conocer todos sus términos a partir de su término general an, que por lo general está dado como una ley de formación.

Como la tarjeta 5 tenía el número 80 y el patrón fue multiplicar por 2, para obtener el valor de la cuarta tarjeta se debe dividir 80 entre 2. Así, para saber qué valor obtuvo Tomás en su primera tarjeta, se debe dividir por 2, tantas veces sea necesario. Observa:

80 : 2 = 40 ➜ Cuarta tarjeta



40 : 2 = 20 ➜ Tercera tarjeta



20 : 2 = 10 ➜ Segunda tarjeta



10 : 2 = 5 ➜ Primera tarjeta Por lo tanto, la tarjeta escrita que obtuvo Tomás al inicio del juego, contenía el número 5.

30

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Sucesión monótona creciente: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤ ... Sucesión monótona decreciente: a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ an ≥ ...

En algunos casos, el término general de una sucesión se puede obtener a partir de algunos términos anteriores. En ese caso, se dice que la sucesión es recurrente.

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Aprendiendo del error

Ayuda

Analiza cada resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas. En la sucesión {bn} = {3, 5, 7, 9, ...}, el primer término es 1 y su patrón es sumar dos unidades a cada número impar.

Los términos de una sucesión siempre están ordenados de acuerdo a los números naturales, es decir, a1 siempre se obtiene de aplicarle a 1 la ley de formación; a 2, de aplicarle a 2 la ley de formación, y así sucesivamente.

Si la ley de formación de la sucesión {cn} está dada por cn = n2, entonces: {cn} = {1, 4, 9, 16, 25, ...}

a. ¿Cuál es el resultado correcto en cada caso? b. ¿Cuáles fueron los errores cometidos?

31

Actividades propuestas 1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla. Patrón

a1

+2

3

·3

a2

a3

a4

a5

an

6

·3–2

28 16

( )2

n2 + 1 n+1 n+2

2. Analiza cada término general de la sucesión dada. Luego, calcula los primeros cinco términos. a. an = 2n

f. fn = n2 + 1

k. kn = –5n + 0,5n

b. bn = 2n + 1

g. gn = 2n

l. ln = –

c. cn = n3

h. hn = 3n + 1

m. mn = n(n2 – 2)

d. dn =

n +1 n

e. en = n(n + 1)

i. in = (–1)n j. jn =

n2 + 1 n

2n2 – 2 n2

n (n + 1) 2 2 –n (n – 1) ñ. bn = 6 n. an =

Unidad 2

U2_Mat_3y4(PE).indd 31

Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

3. Determina el término general de cada sucesión. Para ello, identifica la ley de formación usada. a. 2, 4, 6, 8, ...

e. 1, 4, 9, 16, ...

i. 7, 7, 7, 7, ...

b. 3, 5, 7, 9, ...

f. –5, 10, –15, 20, ...

j. 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ...

c. –4, –8, –12, –16, ... 1 1 1 d. 1, , , ,... 2 3 4

g. 1, –1, 1, –1, ... 1 1 1 h. 1, , , ,... 2 4 8

k. 7, 2, –3, –8, ... 3 5 7 9 l. , , , ,... 2 4 6 8

4. Analiza las imágenes y completa en tu cuaderno. Luego, responde las preguntas. a.

Figura

1

2

1

2

5

Cantidad de cuadrados

b.

Figura

3

4

Cantidad de cuadrados

c.

Figura

1

3

5

Cantidad de cuadrados

• ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura 10 de cada caso? ¿Y la figura 20? Describe el patrón que consideraste. • Escribe una sucesión que represente cada caso. Describe la ley de formación considerada. • ¿Cuál crees que es la ventaja de conocer la sucesión asociada a cada caso?

32

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

5. Analiza cada sucesión recurrente. Luego, calcula sus 5 primeros términos. 2

a. a1 = 1 y an + 1 = 3an

d. a1 = 1 y an + 1 = 1 + ( an )

b. a1 = 2, a2 = 3 y an + 2 = an + 1 · an

e. a1 = 1, a2 = 2 y an + 2 =

c. a1 = 1, a2 = 1 y an + 2 = an + 1 + an

f. a1 = 1 y an + 1 = 2(an)2 – 3

an + 1 – an 2

33

6. Clasifica las siguientes sucesiones entre crecientes, decrecientes, constantes y alternantes. n

1  i. an =  1 +   n n+1 j. an = n

n

a. 10, 20, 40, 80, ...

° 3 e. an =    2

1 b. 9, 3,1, ,... 3

f. an = 3n – 1

c. 7, –14, 21, –28, ...

g. an = 10 – n

k. 4, 4, 4, 4, ...

d. an = 2n + n

h. an = (–2)n + (–1)n

l. an =

n n+1

7. Resuelve los problemas. a. ¿Cuántas regiones, no necesariamente congruentes, se pueden obtener como máximo al dibujar 15 cuerdas en un círculo?

1 cuerda 2 trozos

2 cuerdas 4 trozos

3 cuerdas 7 trozos

4 cuerdas 11 trozos

b. Un maestro albañil decora patios de forma cuadrada, colocando baldosas rojas al interior y blancas en los bordes. Algunos de esos patios son:

Información complementaria La sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... donde an + 2 = an + 1 + an se denomina sucesión de Fibonacci y es una de las más conocidas en matemática.

¿Cuál es la relación que existe entre las cantidades de baldosas rojas y blancas? ¿Cuántas debería utilizar para un patio cuadrado de n baldosas por lado? c. Observa la construcción de los números triangulares:

t1 = 1 t2 = 3 t3 = 6

t4 = 10

t5 = 15

t6 = 21

t7 = 28

¿Cuántos puntos tendrá la siguiente figura? ¿Cuál es el término general de la construcción?

Unidad 2

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Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Convergencia y divergencia

1, 2, 1, 2, ...

1

1, 8, 27, 64, ... 1

2, 2, 2, 2, ...

4

6 9 12 –5, –10, –15, –20, 3 , , , ,... .... 4, 3, 2, 1, ... 2 4 6 8 2 2 4 –4, –4, –4, –4, ... 6

10, 8, 6, 4, ... 5

4 9 16 1, , , ,... 3 5 7

6

2 1 1 1 ,... , , , 5 5 8 11 5

1 5 5 5 1 1 1 1, , , ,... – , 9 , 27 , – 81,... 4 6 16 3 3 3

El juego con el tablero consiste en que un participante lanza el dado y según el número de puntos obtenido, elegir una casilla. Luego, debe identificar si la sucesión de la casilla es convergente o divergente. El juego termina cuando han sido clasificadas todas las sucesiones.

Actividades resueltas 1. Si Marisol debe analizar la convergencia o divergencia de la sucesión –5, –10, –15, –20, ..., ¿qué debió señalar? Como la distancia entre los términos de la sucesión es siempre 5, se tiene: |(–5) – (–10)| = |(–10) – (–15)| = |(–15) – (–20)| = ... = 5 Entonces, la sucesión es divergente, es decir, no tiende a ningún límite.

2. En una segunda partida, Alonso debe analizar la sucesión –4, 4, –4, 4, ..., ¿qué debió señalar?

Una sucesión es convergente si sus términos se aproximan a un determinado valor L, llamado límite de la sucesión. En caso contrario, la sucesión es divergente.

Como la sucesión es alternante, ya que varía entre los números 4 y –4, y ninguno de ellos puede ser el límite de la sucesión, entonces esta diverge. 1 1 1 , ... es convergente a 0. 4 9 16

3. Demuestra que la sucesión 1, , , En este caso, an =

1 y L = 0. Entonces: n2

an – L =

1 1 1 0, existe un N   , tal que ∀ n ∈  , con n > N, se verifica que | an – L | < ε.

La distancia entre los términos am y an de una sucesión se expresa por | am – an |. Además, si la distancia entre dos términos consecutivos de una sucesión tiende a ser cero, a medida que n crece, entonces la sucesión es convergente.

Es decir, para n > 5, la distancia entre an y 0 es menor que 0,04. Luego, el valor de N puede ser cualquier número natural mayor que 5. De igual forma, para cualquier ε > 0, es posible encontrar N. Por lo tanto, la sucesión converge a 0.

34

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Aprendiendo del error Analiza cada resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas. 3 4 5 6 , , , , ... es diver2 3 4 5 gente; ya que es creciente, y por lo tanto, no tiene límite. La sucesión

La sucesión {an} = 6, 4, 2, ... es convergente; ya que es decreciente y su último término es cero.

35

a. ¿Cuál es el resultado correcto en cada caso? b. ¿Cuáles fueron los errores cometidos?

Actividades propuestas 1. Analiza y completa en tu cuaderno la siguiente tabla. Sucesión

n=1

n=2

n = 10

n = 100

n = 1.000

n = 10.000

1

{a n } = n {bn } =

n + 10 n

{Cn} = (–1)n {dn} = 2n + 5 {en} = 4

a. Clasifica las sucesiones entre decrecientes, constantes, crecientes y alternantes. b. ¿Qué ocurre con los términos de las sucesiones a medida que n crece? c. ¿Cuáles de ellas se acercan a algún valor fijo? ¿A qué valores? d. Clasifícalas entre convergentes y divergentes.

2. Analiza las siguientes sucesiones y clasifícalas entre convergentes y divergentes. En el caso de ser convergentes, señala a qué valor, aproximado a la décima, convergen. n 5

5 n n +1 b. {an } = 4n

1 1 1 f. 1, , , ,... 2 4 16

c. {an} = 1 – n2

g. –2, 4, –8, 16, –32, 64,...

d. {an} = 3

1 3 5 7 h. , , , ,... 2 4 6 8

a. {an } =

e. {an } =

i. –3, 9, –27, 81, ...

Unidad 2

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n +1 n2 1 1 1 1 , ,... k. – , , – 5 25 125 625 n 1  l. {an } =  1 +   n

j. {an } =

Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Sumatorias

100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1 = x



1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = x



101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 = 2x

El juego de Gauss consiste en sumar todos los números naturales hasta cierto valor dado (pueden construir previamente una tabla con una cantidad determinada de números naturales. Se juega entre dos personas, donde cada participante elige uno de los números para que el otro jugador aplique el método de Gauss. El desarrollo mostrado, según se dice, corresponde a un cálculo similar realizado por Gauss cuando tenía 9 años aproximadamente y se le solicitó sumar todos los números naturales hasta el 100.

¡100 veces!



⇒ 100 · 101 = 2x ⇒ 100 · 101 = x 2 Por lo tanto, x = 5.050.

La sumatoria de los n primeros términos de la sucesión {an} se denota como:

Actividades resueltas 1. Pedro debe calcular la suma de los primeros 320 números naturales. ¿Cuál es dicha suma?

320 ⋅ 321 = 160 ⋅ 321 = 51.360 2

2. ¿Cómo se puede calcular la suma de todos los múltiplos de 3 menores que 100? Los múltiplos de 3, menores que 100 forman la sucesión: 3, 6, 9, 12, ..., 93, 96, 99 Luego, el término general de dicha sucesión es an = 3n. Además, a1 = 3 y a33 = 99. Por lo tanto: 33

3 + 6 + 9 + 12 + ... + 93 + 96 + 99 =

∑ 3i i=1

Aplicando propiedades y fórmulas de sumatorias, se tiene que la suma pedida es: 33

33

i=1

i=1

3. Calcula

20

2

i=1

Aplicando propiedades,se tiene: 20

2

i=1

20

20

20

20

i=1

i=1

i=1

i=1

= ∑ ( 9 – 6i + i2 ) = ∑ 9 – 6∑ i + ∑ i2

Usando las fórmulas dadas, se tiene que la suma pedida es: 20 °°21 20 °°21 °°41 = 1.790 ∑ 9 – 6∑ i + ∑ i = 9 °°20 – 6 °° 2 + 6 i=1 i=1 i=1 20

36

U2_Mat_3y4(PE).indd 36

20

20

Es decir, una sumatoria es una forma abreviada de escribir la suma de términos de una sucesión.

Algunas de las propiedades que verifica la sumatoria son: n

n

n

i=1 n

i=1

i=1

• ∑ ( ai ± bi ) = ∑ ai ± ∑ bi • ∑ c = n °c; con c   i=1 n

n

• ∑ ( c °ai ) = c∑ ai i=1

i=1 m–1

n

n

i=m

i=1

• ∑ ai = ∑ ai –

∑ a ; con m < n i=i

i

33 °34 = 99 °17 = 1.683 2

∑ ( 3 – i) .

∑ ( 3 – i)

a1 + a2 + … + an – 1 + an = ∑ ai i=1

Aplicando el procedimiento de Gauss (descrito al inicio de la página), se tiene que la suma pedida es:

∑ 3i = 3∑ i = 3 °

n

2

Algunas fórmulas de sumatorias son: n n (n + 1) • ∑ i = 2 i=1 n

•

∑i

2

i=1

=

n (n + 1)( 2n + 1) 6

 n (n + 1)  • ∑ i =  2  i=1   n

2

3

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Aprendiendo del error Analiza cada resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas. ¿Cuál es el desarrollo de la siguiente sumatoria?

Para calcular la suma de los números pares mayores que 100 y menores que 200 se puede utilizar la sumatoria:

6

∑ ( 3i + 1) i=2

=3·2+3·3+3·4+3·5+3·6+1 = 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 1 = 61

37

200

∑ 2i

i = 100

a. ¿Cuál es el resultado correcto en cada caso? b. ¿Cuáles fueron los errores cometidos?

Actividades propuestas 1. Representa las siguientes expresiones como sumatoria. a. 1 + 2 + 3 + ... + 15

c. 4 + 8 + 12 + 16 + 20

b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9

d.

e. 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 10.000

1 1 1 1 + + + ... + 5 10 15 100

f.

2 4 6 200 + + + ... + 3 5 7 201

2. Expresa como suma de términos cada sumatoria. Luego, calcula la suma. 6

a. ∑ 5i i=1 5

b. ∑ i

2

i=1 4

i c. ∑ i = 1 2i – 1

6

7

d. ∑ ( –1)

g. ∑ ( 2i + 3 )

i

i=1

i=3

4

12

i e. ∑ ( 2 + i)

2 h. ∑ (i + i)

i=1

i = 10 30

4

f. ∑ ( 3 – i)( 3 + i) 

i.

i=1

 1

1

∑  i + 1 – i 

i = 20

3. Aplica propiedades y fórmulas de sumatorias. Luego, calcula. 100

a. ∑ i i=1 50

2 b. ∑ i i=1 20

c. ∑ i

3

i=1

120

18

d. ∑ ( 5i + 2 )

g. ∑ (1 – 4i)

i=1 50

i = 12 50

e. ∑ ( 2 + i)

2

h.

i=1

i = 40 15

15

f.

∑ (3i

∑ i (i + 1)(2i + 1)

i.

i=1

2

i = 10

a. Calcula la suma de todos los números primos mayores que 100 y menores que 200. b. ¿Cuántos múltiplos de 5, mayores que 1.000 y menores que 1.500, existen? ¿Cuál es su suma? c. Calcula la suma de todos los números menores a 2.000 que son cubos perfectos.

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+ 2i – 1)

∑ 4i (3i – 1)

4. Resuelve los problemas.

Unidad 2

2

 

Desafío ¿Existirá alguna sumatoria que represente la suma de los n primeros números primos?

Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Antes de seguir... Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que has visto en esta unidad. Tema 1: Sucesiones

1. Escribe los 5 primeros términos de cada sucesión definida por su término general dado. a. an= 3n – 1

b. an = n2 – 2

c. an =

n+2 n2 – 1

2. Identifica una ley de formación y escribe el término general de cada sucesión. a. 4, 1, –2, –5, ...

5 7 8 c. 4, , 2, , ,... 2 4 5

b. 3, 8, 15, 24, ...

3. Clasifica cada sucesión entre creciente, decreciente, constante o alternante. 1 n2

a. an = (–1)2n + n

c. an =

b. a1 = 1, a2 = 1 y an + 2 = an + 1 + an

2 3 4 5 d. , – , , – ,... 7 8 9 10

Tema 2: Sucesiones convergentes y sucesiones divergentes

4. Analiza si cada sucesión es convergente o divergente. De ser convergente, señala una aproximación del valor al que converge. 1 2 3 4 a. , , , ,... 3 5 7 9

b. {an } =

38

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3 +2 n

c. {an } =

n2 + 1 n

d. 4, –16, 64, –256, ...

e. –3, 3, –3, 3, ...

1 1 1 1 f. – , – , – , – ,... 3 6 9 12

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Evaluación intermedia Tema 3: Sumatorias

5. Representa las siguientes expresiones como sumatoria. Luego, resuélvelas. a. 7 + 15 + 23 + 31 + ... + 799

c. (–2) + 4 + (–6) + 8 + ... + 100

39

b.

1 1 1 1 1 + + + + ... + 2 4 8 16 32.768

d.

4 8 12 16 40 + + + + ... + 3 5 7 9 21

6. Resuelve las siguientes sumatorias. 10

a. ∑ ( 2i i=1

2

20

20

b. ∑ ( 2i – 1)

+ i)

c. ∑ (1 + i)( 2 – i) 

2

i = 10

i= 5

7. Resuelve los siguientes problemas. a. Calcula la suma de todos los números impares mayores que 1.000 y menores que 2.000. b. ¿Cuál es la suma de todos los múltiplos de 7 que son menores que 500?

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Sucesiones

Sumatorias Sucesiones convergentes y sucesiones divergentes

Unidad 2

U2_Mat_3y4(PE).indd 39

Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Progresión aritmética a1 2

–1

1

9

4

1

6

5

–11 4 36

– 36 2

2

4

4

–12

3

7

–8

1

d

35

–8

8

3

5 2

2 3 –1 1 6 3 3 4

1

5

10 1

–5 2

–1 6 –7

4

Este juego consiste en lanzar un dado y elegir un número de la cartilla "a1", correspondiente al primer término de una sucesión. Luego, el participante lanza nuevamente el dado y debe escoger un número de la cartilla "d", que será la diferencia entre los términos de esta sucesión. Finalmente, se debe encontrar el término general de la progresión aritmética formada.

1

Actividades resueltas 1. Elizabeth lanzó el dado y eligió 3 como primer término y 4 como la diferencia. ¿Cuál es el término general de la sucesión correspondiente? Según los datos, se tiene que a1 = 3 y d = 4. Además, como existe una diferencia constante (d = 4) entre los términos de la sucesión, entonces la sucesión es una progresión aritmética. Luego, el término general es: an = a1 + (n – 1)d = 3 + (n – 1)4 = 3 + 4n – 4 = 4n – 1

2. Si ahora es el turno de Juan, quien eligió 2 como primer término y –7 como la diferencia. ¿Cuál es el término general de la sucesión correspondiente?

Una progresión aritmética (P.A.) es una sucesión, en la que cada uno de sus términos (salvo el primero) se obtiene al sumar o restar al anterior un númeSi d > 0, la P.A. ro fijo llamado es creciente; diferencia (d). mientras que si d < 0, esta es decreciente.

Según los datos, se tiene que a1 = 2 y d = –7. Además, la sucesión es una progresión aritmética. Luego, el término general es: an = a1 + (n – 1)d = 2 + (n – 1)(–7) = 2 – 7n + 7 = –7n + 9

3. Calcula el término pedido para cada P.A. a. Si a1 = 4 y d = –6, ¿a13? Como an = a1 + (n – 1)d y n = 13, entonces: a13 = 4 + (13 – 1)(–6) = 4 + 12 · (–6) = 4 – 72 = –68 b. Si a4 = 5 y d = 9, ¿a29? Como se trata de una progresión aritmética, se tiene: a29 = a28 + d = a27 + 2d = ... = a5 + 24d = a4 + 25d Luego: a29 = a4 + 25d = 5 + 25 · 9 = 5 + 225 = 230 c. Si a4 = 34 y a8 = 2, ¿a19? Como a8 = a4 + 4d, entonces, 2 = 34 + 4d. Luego, d = –8. Además, a19 = a8 + 11d, entonces: a19 = 2 + 11 · (–8) = 2 – 88 = –86

40

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El término general an de una P.A. se obtiene de: an = a1 + (n – 1)d donde a1 es el primer término y d la diferencia.

Si {an} es una P.A., entonces se cumple que: ak + 1 – ak = d Es decir, la diferencia entre dos términos consecutivos es d.

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Aprendiendo del error Analiza cada resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas.

Información complementaria

En una P.A., si a1 = –9 y d = –5, entonces:

La sucesión 7, 9, 13, 15, 23, 25, ... es una P.A., con a1 = 7 y d = 2; ya que: 9–7=2 15 – 13 = 2 25 – 23 = 2

Los números naturales pares y los números impares son ejemplos de P.A. ¿Cuál es el primer término y la diferencia en cada caso?

a17 = –5 + (17 – 1) · (–9) = –5 + 16 · (–9) = –149

41

a. ¿Cuál es el resultado correcto en cada caso? b. ¿Cuáles fueron los errores cometidos?

Actividades propuestas 1. Encuentra el término general de cada P.A. según la información dada. a. a1 = 3 y d = 5 b. a1 = –9 y d = 14 c. a1 = 12 y d = –3 d. a1 = –2 y d = –7

e. a1 = 1,5 y d = 1 f. a1 = –2,4 y d = –0,5 g. a1 = 3 y d = –1,5 h. a1 = –0,1 y d = 1,5

i. a1 = 12 y d = 3 j. a1 = –5 y d = –11 k. a1 = 3 y d = –9 l. a1 = 1,5 y d = 8

2. Calcula el término pedido en cada P.A. según la información dada. a. Si a1 = –9 y d = 13, ¿a8? b. Si a1 = 17 y d = –19, ¿a16? c. Si a1 = –42 y d = 3, ¿a78? d. Si a1 = 2 y d = –7, ¿a109?

e. Si a1 = 0,5 y d = 1,5; ¿a13? f. Si a1 = 0,8 y d = –4, ¿a81? g. Si a1 = 3 y d = –1,5; ¿a100? h. Si a1 = 0,1 y d = 1,5; ¿a29?

i. Si a3 = 12 y a4 = 18, ¿a1? j. Si a17 = –9 y a15 = –15, ¿a1? k. Si a10 = 23 y a11 = 1, ¿a3? l. Si a7 = 1,5 y a9 = 3,5; ¿a5?

3. Resuelve los siguientes problemas. a. Un alumno de tercer año medio estudiará todos los días durante dos semanas, haciendo 4 ejercicios diaros más que el día anterior. Si el primer día empezó resolviendo un ejercicio, ¿cuántos ejercicios hará el décimo día? b. En un edificio, el primer piso se encuentra a 8,35 m de altura y la distancia entre dos pisos consecutivos es de 4,15 m. ¿A qué altura está el vigésimo tercer piso? c. ¿Qué posición ocupa el número 92 en una P.A., si su primer término es 8 y su diferencia es 14?

Ayuda

d. El primer día de un tratamiento, la dosis de un medicamento es de 90 mg, disminuyendo 8 mg diariamente por los siguientes días. ¿Qué expresión permite calcular la cantidad de medicamento que se debe ingerir en cualquiera de los días del tratamiento? e. Determina cuatro números entre 7 y 23 (primer y último término de la sucesión), de tal manera que todos formen una progresión aritmética.

Al proceso de encontrar números entre otros dos valores fijos, de tal manera que formen una P.A., se denomina interpolación y los números buscados se llaman medios aritméticos.

f. Interpola ocho medios aritméticos entre 1 y 2,125.

Unidad 2

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Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Progresión geométrica El interés compuesto es una función financiera en la que el interés i, ganado en cierto período, se suma al capital, para calcular el interés del período siguiente. Es decir, si el capital inicial es A, entonces, el capital final en el período n es: n i  C (n) = A  1+   100  Esta variante del juego visto anteriormente consiste en escoger una de las casillas y calcular el interés compuesto de cada cantidad, al cabo del período que le diga el contrincante (entre 3 a 48 meses).

Actividades resueltas 1. Explica por qué las siguientes sucesiones son una P.G. Luego, clasifícalas entre crecientes y decrecientes. a. 2, 6, 18, 54, ...

Una progresión geométrica (P.G.) es una sucesión, en que cada uno de los términos (salvo el primero) se obtiene de multiplicar el anterior por un número positivo distinto de 1, llamado razón (r).

Como a1 = 2, a2 = 6 = 3 · 2 = 3a1, a3 = 18 = 3 · 6 = 3a2, a4 = 54 = 3 · 18 = 3a3, es decir, cada término se obtiene de multiplicar el anterior por 3. Entonces, la sucesión es una P.G. con r = 3 y además es creciente; ya que r > 1. 1 1 b. 5,1, , ,... 5 25 Como a1 = 5, a2 = 1 =

1 1 1 1 1 · 5 = a1, a3 = = · 1 = a2, 5 5 5 5 5

1 1 1 1 = · = a3, es decir, cada término se obtiene de 25 5 5 5 1 multiplicar el anterior por . Entonces, la sucesión es una P.G. con 5 1 r = y además es decreciente; ya que 0 < r < 1. 5

a4 =

2. Calcula el término pedido para cada P.G. a. Si a1 = 3 y r = 4, ¿a6? Como an = a1 · rn – 1, entonces, an = 3 · 4n – 1. Luego: a6 = 3 · 46 – 1 = 3 · 45 = 3 · 1.024 = 3.072

Si r > 1, la P.G. es creciente; mientras que, si 0 < r < 1, esta es decreciente.

El término general an de una P.G. se obtiene de: an = a1 · rn – 1 donde a1 es el primer término y r la razón.

b. Si a3 = 8 y a4 = 2, ¿a8? ak + 1

a4 2 1 = = = r. Además, ak a3 8 4 a8 = a7 · r = a6 · r2 = a5 · r3 = a4 · r4. Luego: Como

= r , entonces,

4

1 1 1 a 8 = 2 ⋅   = 2 ⋅ =  4 256 128

42

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Si {an} es una P.G., entonces, se cumple que: ak + 1 =r ak Es decir, el cociente entre dos términos consecutivos es r.

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Aprendiendo del error Analiza cada resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas. La sucesión –2, 4, –8, 16, ... es una P.G., con a1 = –2 y r = –2; ya que: 4 = (–2) · (–2) –8 = (–2) · 4 16 = (–2) · (–8)

Información complementaria La fórmula de interés compuesto corresponde aI término general de una P.G. Explica cuáles son los términos de la P.G. e identifica el primer término y la razón.

Si a3 = 12 y a5 = 18 son términos de una P.G., entonces, la razón es 3 y el cuarto término es 4, ya que: a4 = 12 : 3 = 4

a. ¿Cuál es el resultado correcto en cada caso? b. ¿Cuáles fueron los errores cometidos?

43

Actividades propuestas 1. Encuentra el término general de cada P.G. según la información dada. a. a1 = 3 y r = 10

e. a1 = 2,5 y r = 2

b. a1 = –1 y r = 5

f. a1 = –

c. a1 = 15 y r =

1 3

d. a1 = –4 y r = 0,1

i. a1 = 10 y a2 = 1

2 1 yr= 3 3

j. a1 = –5 y a2 = –20 1 9

g. a1 = 3 y r = 1,5

k. a1 = 3 y a3 =

h. a1 = –0,5 y r = 2,5

l. a1 = 1,5 y a4 = 12

2. Calcula el término pedido en cada P.G. según la información dada. a. Si a1 = 1 y r = 2, ¿a8?

e. Si a1 = 0,5 y r = 1,5; ¿a5?

i. Si a3 = 12 y a4 = 18, ¿a1?

b. Si a1 = 100 y r = 0,04; ¿a3?

f. Si a1 = 0,8 y r = 2, ¿a4?

j. Si a5 = 9 y a6 = 18, ¿a1?

c. Si a1 = –50 y r = 0,1; ¿a5?

g. Si a1 = 4 y r = 1,5; ¿a6?

k. Si a4 = 23 y a5 = 2,3; ¿a3?

d. Si a1 = 2 y r = 0,8; ¿a4?

h. Si a1 = 0,1 y r = 1,5; ¿a4?

l. Si a7 = 1,5 y a8 = 4,5; ¿a5?

3. Resuelve los siguientes problemas. a. Una cañería en mal estado dejó escapar 4 litros de agua el primer día de falla, 6 litros el segundo, 9 litros el tercero, etc., formando una P.G. Si no se repara y continúa perdiendo agua al mismo ritmo, ¿cuántos litros se perderán solo el décimo día? b. Una empresa ganó cada año de cierto período, un décimo de lo ganado el año anterior. Si el primer año ganó 500 mil dólares, ¿cuánto ganó el quinto año? c. Luego de aplicar un antibiótico, un cultivo de bacteria disminuye un 20% por hora. Si el cultivo inicial era de 100.000 bacterias, ¿qué expresión permite calcular la cantidad de bacterias en un instante t? d. Determina un número real entre 1 y 12, de tal manera que los tres formen una P.G. e. Interpola dos medios geométricos entre 5 y 40. Unidad 2

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Ayuda Al proceso de encontrar números entre otros dos valores fijos, de tal manera que formen una P.G., se denomina interpolación y los números buscados se llaman medios geométricos.

Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Serie aritmética

Figura 1 Figura 2

Figura 4

Figura 3

La imagen muestra una secuencia de figuras formadas con círculos. Utilizando estas figuras, Sofía desafía a Daniel para que le diga cuántos círculos necesita en total si quiere agregar 2 figuras más a la secuencia, sin construirlas y además, calcular cuántos círculos en total se necesitan para construir las primeras 6 figuras. ¿Puedes ayudarlo?

Actividades resueltas Sea {an} una P.A. La las figuras forman una P.A. Luego, calcula la cantidad de círculos suma (Sn) de los primeros n para formar las seis figuras. términos de {an} se denomina serie aritmética y se calcula como: La cantidad de círculos de las figuras 1, 2, 3 y 4 son 3, 5, 7 y 9, n n respectivamente. Entonces, con a1 = 3 y d = 2, la cantidad de ∑ ai = 2 2a1 + (n – 1) d círculos de cada figura forma una P.A., donde: i=1 donde a es el primer término y d es la an = a1 + (n – 1)d = 3 + (n – 1)2 = 3 + 2n – 2 = 2n + 1 1 diferencia de la progresión. Luego, la cantidad de círculos necesarias para formar las figuras 5 y 6 son a5 = 11 y a6 = 13. Por lo tanto, la cantidad de círculos usados en total para construir las primeras seis figuras es: Si {an} es una P.A., donde a1 es el 6 6 primer término y se conoce su ∑ (2n + 1) = 2 2 °3 + (6 – 1) °2  = 3 [6 + 5 °2] = 3 °16 = 48 i=1 último término an, entonces:

1. Para ayudar a Daniel, explica por qué la cantidad de círculos de

2. ¿Qué cantidad de círculos se necesitan para formar 19 figuras?

a +a  Sn = n  1 n  ° 2 

Como an = 2n + 1 y n = 19, entonces la cantidad de círculos para construir la figura 19 es: a19 = 2 · 19 + 1 = 39 Luego, la cantidad de círculos necesaria para formar las primeras 19 figuras es:  a + a19   3 + 39  S19 = 19 ⋅  1 = 19 ⋅ 21 = 399 = 19 ⋅     2  2 

3. Si Sofía ocupó 168 círculos, ¿cuántas figuras formó? Como los 168 círculos fueron utilizados para construir n figuras, se tiene: Sn =

n n 2a1 + (n – 1) d ⇒ 168 = 2 ⋅ 3 + (n – 1) ⋅ 2  ⇒ n2 + 2n – 168 = 0 2 2

Las soluciones de la ecuación son n1 = –14 y n2 = 12. Sin embargo, como n ∈  , solo se considera n2. Así, Sofía formó 12 figuras con los 168 círculos.

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Aprendiendo del error Analiza cada resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas. La suma de de los términos de una P.A., donde a1 = 10 y a12 = 43, es: S12 = (43 + 10) · 3 Ya que la diferencia de la P.A. es 3.

Si la suma de los primeros 50 términos de una P.A. es 3.925, con d = 5, entonces, a1 = 157.

45

a. ¿Cuál es el resultado correcto en cada caso? b. ¿Cuáles fueron los errores cometidos?

Actividades propuestas 1. Calcula la suma de los primeros n términos de cada P.A. según la información dada. a. n = 25, a1 = 10 y d = 4 b. n = 44, a1 = 24 y d = –2 c. n = 50, a1 = 1 y d = 1 d. n = 100, a1 = –9 y d = –3

e. n = 65, a2 = 5 y a3 = 9 f. n = 41, a3 = 0 y a5 = –6 g. n = 120, a10 = 12 y a11 = 12,4 h. n = 30, a2 = 1 y a4 = 0,5

2. Calcula la suma de todos los términos de la P.A. entre a1 y an. a. a1 = 6 y a18 = 98 b. a1 = –8 y a20 = –171 c. a1 = 1 y a100 = 100

d. a1 = –43 y a12 = –96 e. a1 = 0,5 y a12 = 7 f. a1 = 1,5 y a8 = –8,5

g. a1 = 120 y a10 = 30 h. a1 = –12 y a15 = 1 i. a1 = 1 y a13 = 25

3. Calcula el término pedido según la información de la P.A. dada. a. a1 = 5 y S12 = 144, ¿a12? b. a1 = 2 y S18 = 54, ¿a18? c. a1 = –3 y S20 = 120, ¿a20?

d. a1 = 1 y S100 = 200, ¿a100? e. a1 = –34 y S15 = 45, ¿a15? f. a1 = 18 y S18 = 9, ¿a18?

4. Resuelve los siguientes problemas. a. En una P.A., a1 = 4 y an = 34. Si la suma de todos sus términos es 247, ¿cuántos términos tiene la P.A.? b. Una biblioteca compró 50 libros. Por el primero pagó $4.000 y por cada uno de los demás pagó $450 más que el anterior. ¿Cuánto dinero se pagó en total por los libros? ¿Cuánto costó el libro más caro? c. Si 26, 21, 16, ... es una P.A., ¿cuántos términos se deben sumar para que la suma sea 80?

Desafío Demuestra que la suma de los primeros n números naturales es:

d. Calcula la cantidad de términos de una P.A., si d = 2, a1 = 8 y an = 36.

n (n + 1)

e. Una persona, con una deuda de $12.950.000, propone pagar $600.000 el primer mes y cada mes siguiente pagar $50.000 más que el mes anterior. ¿En cuántos meses se cancelará la deuda? ¿cuál será el monto del último pago?

2

Unidad 2

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Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Serie geométrica Una aplicación de las series geométricas consiste en justificar la transformación de números decimales periódicos y decimales semiperiódicos a notación decimal. Analiza las siguientes preguntas con tus compañeros y/o compañeras. Luego, revisa las actividades resueltas.

• ¿Crees que el número 0,9 es menor, igual o mayor que 1? • ¿Crees que el número 0,09 es menor, igual o mayor que 0,1?

Actividades resueltas 1. Expresa el número 0,9 como la suma de infinitos términos de una P.G., identificando su primer término y el valor de la razón. 0,9 = 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... 9 9 9 + + + ... 10 100 1.000 9 1 yr= se tiene que: Luego, para a1 = 10 10 9 9 a2 = , etc. , a3 = 1.000 100 =



Como 0 < r < 1 y 0,9 es la suma de infinitos términos, se tiene: 9 10 1 9 1 0,9 = a1 ⋅ = ⋅ = ⋅ =1 1 1 – r 10 1 – 10 9 10

2. Demuestra que 0,09 =



1 . 10

0,09 = 0,0999... = 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... 9 9 9 = + + + ... 100 1.000 10.000

Luego, para a1 =

9 1 yr= se tiene que: 100 10

9 9 , a3 = , etc. 1.000 10.000 Como 0 < r < 1 y 0,09 es la suma de infinitos términos, se tiene: 9 10 1 1 9 1 0,09 = a1 ⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 – r 100 1 – 1 100 9 10 10 a2 =

Sea {an} una P.G. La suma (Sn) de los primeros n términos de {an} se denomina serie geométrica y se calcula como: n 1 – rn n–1 a ° r = a ° ∑ 1 1 1– r i=1 donde a1 es el primer término y r es la razón de la progresión.

(

)

Si el primer término de una P.G. es a1 y su último término es an, entonces: a – an ⋅ r Sn = 1 1– r

Si {an} es una P.G., donde a1 es su primer término y r es la razón, con 0 < r < 1, entonces, es posible calcular la suma de todos los términos de la progresión, denotada por S∞, con: 1 S∞ = a 1 ⋅ 1– r

3. Calcula la suma de todos los términos de la P.G. cuyos primeros cuatro términos son 16; 4; 1; 0,25. Como a1 = 16 y r = 0,25, entonces la suma pedida es: 1 1 1 4 64 a1 ⋅ = 16 ⋅ = 16 ⋅ = 16 ⋅ = 1– r 1 – 0,25 0,75 3 3

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Aprendiendo del error Analiza cada resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas. La suma de los términos de la progresión geométrica 2, 4, 8, 16,…, es: 1 1 2⋅ = 2⋅ = –2 1– 2 –1

Desafío

Si a1 = 3 y a8 = 384 son el primer y último término de una P.G., entonces: 3 – 384 –381 S8 = = = 381 1– 2 –1

Demuestra que el producto de los primeros n términos de una P.G. es:

(a

47

n

1

⋅ an )

a. ¿Cuál es el resultado correcto en cada caso? b. ¿Cuáles fueron los errores cometidos?

Actividades propuestas 1. Calcula la suma de los primeros n términos de cada P.G. según la información dada. 1 3

b. n = 10, a1 = 0,25 y r = 0,5

4 y r = 0,4 3 f. n = 4, a1 = –1 y r = 6

c. n = 6, a1 = –2 y r = 1,5

g. n = 8, a1 = –0,6 y r = 1,5

2 y r = 0,2 3

h. n = 6, a2 = –1,2 y r = 0,1

a. n = 5, a1 = 3 y r =

d. n = 5, a1 =

e. n = 5, a1 =

2. Calcula la suma de los primeros n términos de cada P.G. considerando a1 y an dados. 128 5

a. a1 = 2 y a8 = 256

e. a1 = 0,1 y a5 =

b. a1 = 5 y a7 = 3.645

f. a1 = 1,5 y a4 = 187,5

c. a1 = 1 y a5 = 256 d. a1 = –3 y a6 = –729

162 625 128 1 h. a1 = – y a8 = 3 3 g. a1 = 2 y a5 =

3. Resuelve los siguientes problemas. a. El número de bacterias de un cultivo aumenta un 5% por cada hora. Si al principio había 50.000 de estas bacterias, ¿cuántas habrá al cabo de 5 horas? b. Un automóvil se deprecia 15% cada año. Si su precio nuevo fue $6.500.000, ¿cuánto costará al cabo de 9 años?

Ayuda En una P.G. se verifica que: an a1

=r

n–1

c. La población de cierta ciudad aumenta un 2% anual. Si actualmente tiene 3 millones de habitantes, ¿cuántos tendrá dentro de 5 años? d. Demuestra que los números a, b, c están en P.G. si b2 = ac. e. En una P.G., a1 = 1, a3 = 9 y la suma de todos sus términos es 29.524. ¿Cuántos términos tiene?

Unidad 2

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Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Progresión armónica 1 1 1 1 La sucesión 1, , , , ..., se denomina 2 3 4 n progresión armónica, ya que se relaciona con la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra. A diferencia de una P.A. y una P.G. no es posible

establecer una fórmula para calcular la suma de sus términos. Sin embargo, es posible establecer una relación con una P.A. para construirla. • Investiga el significado de "longitud de onda de los armónicos de una cuerda".

Actividades resueltas 1. Explica por qué las siguientes sucesiones son progresiones armónicas. 1 1 1 1 a. , , , ,... 5 8 11 14 Los recíprocos de los términos son 5, 8, 11, 14, ... Además, con a1 = 5 y d = 3, esta sucesión es una P.A., entonces, la sucesión 1 1 1 1 , , , ,... es una P.H. 5 8 11 14 b. an =

6 n+1

3 6 6 Los términos de {an} son 3, 2, , ,1, ,... y la sucesión formada 2 5 7 por los recíprocos de {an} es: 1 1 1 2 5 7 °  = , , , ,1, ,...  an  3 2 3 6 6 1 1 y d = , la sucesión 3 6 Luego, {an} es una P.H. Considerando a1 =

Una sucesión {an} es una progresión armónica (P.H.), si los recíprocos de sus términos forman una P.A., es decir, si 1 °  es una P.A.  an  Para interpolar medios armónicos entre dos números, se deben interpolar medios aritméticos entre los recíprocos de esos números.

1 1 1 2 5 7 , , P.A. , ,1, ,... es una ° =  an  3 2 3 6 6

2. Interpola tres medios armónicos entre 2 y 4. Al interpolar medios armónicos entre 2 y 4, se deben considerar los recíprocos de los mismos, es decir,

1 1 y e interpolar tres medios aritméticos entre estos valores. Para 2 4

esto, la diferencia d, se obtiene como el cociente entre la diferencia de los números y la cantidad de medios a interpolar más 1. Así: 1 1 1 – – 1 d= 4 2 = 4 = – 3 +1 4 16 1 1 1 7 7 1 3 3 1 5 1 , a2 = – = , a3 = – = , a4 = – = y a 5 = son los 2 2 16 16 16 16 8 8 16 16 4 términos de la P.A. formada. Luego, la P.H. formada es: 16 8 16 2, , , y4 7 3 5 Así, a1 =

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Aprendiendo del error Analiza cada resolución y marca un ✔ si está correcta o una ✘ si no lo está. Luego, responde las preguntas. La sucesión 2, 4, 8, 10,... es una P.H., ya que sus recíprocos: 1 1 1 1 , , , , ... 2 4 8 10 forman una P.A.

Desafío Demuestra que la media armónica entre a y b es:

Un medio armónico de los números 3 y 9 es 6, ya que: 6–3=9–6=3

2ab

49

a+b

a. ¿Cuál es el resultado correcto en cada caso? b. ¿Cuáles fueron los errores cometidos?

Actividades propuestas 1. Identifica las sucesiones que sean progresiones armónicas. 1 1 1 a. , , ,... 3 4 5 4 b. 2, ,1,... 3

1 2 1 c. , , ,... 3 9 6 1 d. , 3, 9,... 3

e.

3 9 9 , , ,... 10 34 38

f. –1, 0, 1, ...

2. Calcula el término pedido en cada P.H. 1 1 1 a. a12 en 1, , , ,... 3 5 7 3 3 3 b. a10 en , , ,... 2 5 8

1 3 3 , , , 7,... 6 19 20 1 1 1 1 d. a13 en , , , ,... 2 4 6 8

5 10 5 10 , , , ,... 4 13 9 23 2 4 1 4 f. a9 en , , , ,... 7 15 4 17

c. a7 en

e. a18 en

3. Interpola p medios armónicos entre el par de números dados.

b. p = 4, entre 1 y 2.

4 1 y– 5 2 g. p = 2, entre 1,5 y 3.

c. p = 3, entre 1 y 10.

h. p = 3, entre –2 y –1.

d. p = 2, entre 0,5 y 2.

i. p = 4, entre 0,5 y 2,5.

e. p = 4, entre –3 y 3.

j. p = 3, entre –1 y 2.

a. p = 2, entre 3 y 8.

f. p = 3, entre –

Ayuda Para interpolar n medios aritméticos entra a y b, se debe tener que la distancia d verifique: 1

–

1

d= b a n+1

4. Resuelve los siguientes problemas. a. Determina el décimo término de una P.H., si a2 = 3 y a5 = 1,2. b. Demuestra que los números a, b, c están en P.H., si

a a–b . = c b–c

c. Calcula el valor de p, para que p, p + 6 y p + 8 formen una P.H. d. Demuestra que si

a+b b+c están en P.H., entonces, a, b y c forman una P.G. ,b y 2 2

Unidad 2

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Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Más práctica Casi has llegado al final de esta unidad. Te invitamos a practicar un poco más de algunos temas estudiados. Tema 1: Sucesiones y sumatorias

1. Calcula los 5 primeros términos de cada sucesión y clasifícalas entre crecientes y decrecientes. 4n d. {an } = a. {an} = 2n – 1 n+1 b. {an} = –3n + 2 c. {an } =

1 3n + 1

e. {an} = n2 + 2 f. {an} = 1 – 3n2

2. Clasifica las siguientes sucesiones entre convergentes y divergentes. a. {an } =

4 n+1

b. {an} = 3n

n n+8 n2 d. {an } = n–3 c. {an } =

3. Expresa la sumatoria de los primeros n términos de cada sucesión. a. 4, 10, 16, 22,...

c. 5, 3, 1,...

3 5 7 b. , , ,... 4 8 12

2 2 2 d. , , ,... 5 7 9

4. Calcula las siguientes sumas. 20

a. ∑ ( 2i – 1) i=1 24

b. ∑ (i2 – 3i) i=1

10

c. ∑ ( 2i – i) 3

i=1 9

d. ∑ ( 2i – 1) (i2 + 3 )  i = 12

Tema 2: Progresión aritmética y progresión geométrica

5. Calcula lo pedido de cada P.A. según la información dada. a. Si a1 = 5 y d = 3, calcula a12. b. Si a2 = 8 y a3 = 5, calcula a18. c. Si a24 = 15 y d = –2, calcula a1. d. Si a4 = 8 y a8 = 4, calcula a1. e. Si a1 = 10 y a4 = 16, calcula d. f. Si a2 = 1 y a10 = 5, calcula a12.

6. Calcula lo pedido de cada P.G. según la información dada. a. Si a1 = 4 y r = 2, calcula a4. b. Si a4 = 15 y r = 0,5; calcula a1. c. Si a1 = 81 y a4 = 3, calcula r. d. Si a2 = 1 y a6 = 32, calcula a5.

7. Realiza las siguientes interpolaciones. a. Dos medios aritméticos entre 2 y 9. b. Tres medios aritméticos entre –6 y 0. c. Dos medios geométricos entre 1 y 125. d. Tres medios geométricos entre 3 y 48. Tema 3: Serie aritmética y serie geométrica

8. Calcula la suma pedida de cada P.A. según la información dada. a. Si a1 = 5 y d = 4, calcula S12. b. Si a2 = 8 y a3 = 10, calcula S25. c. Si a3 = 4 y d = –3, calcula S100. d. Si a8 = 1 y a10 = 2, calcula S51.

9. Calcula la suma pedida de cada P.G. según la información dada. a. Si a1 = 2 y r = 2, calcula S10. b. Si a2 = 4 y a3 = 2, calcula S5. c. Si a3 = 5 y r = 0,3; calcula S3. d. Si a6 = 2 y a8 = 0,5; calcula S10.

10. Calcula S∞ de cada PG. a. a1 = 5 y r = 0,1 b. a1 = 9 y r = 0,9

c. a1 = 8 y a4 = 1 d. a2 = 25 y a3 = 5

11. Resuelve los problemas. a. Si {an} = 5n + 2 es una P.A., ¿cuántos términos se deben sumar para obtener 6.475? b. Calcula el primer término de una P.A. si su diferencia es –0,5 y la suma de sus primeros 30 términos es 13. 17

c. Calcula la suma

∑ 4 °( –2) i=0

n

.

Tema 4: Progresión armónica

12. Calcula el octavo término de una P.H. si el segundo término es 3 y el quinto es 1,2.

13. Calcula el valor de t si los términos t, t + 12 y t + 16 forman una P.H.

50

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Más actividades Realiza las siguientes actividades que consideran contenidos de esta unidad.

·

Tablero

»»Analiza la tabla de multiplicar.

1

a. ¿Qué tipos de sucesiones están formadas en cada fila? Escribe la regla de formación de tres de ellas y verifica si son P.A.

4 5

5

6 7 8 9

7 8 9

16 18

18 21 24 27

32 36

35 40 45

9

10

12

8

14

9

16

18

18

21

24

48 54

56 63

36

40

42 49

27

32

35

36 42

24

28

30

30

28

8

7

25

24

7

6

20

20

6

5 15

16

15

12 14

12

12

10

6

8

9

8

5

4

6

6

4

4

3

4

3

51

3

2

2

3

c. Encuentra una P.G. en el tablero. Luego, verifica si hay otra.

2

1

2

b. ¿Existen otras P.A. en el tablero? De ser así, ¿cuáles son?

d. La diagonal 2, 6, 12,... es una sucesión por recurrencia. ¿Cuál es su regla de formación?

1

45

48 56 64 72

56 63 72 81

Puntos medios

»»Analiza la figura compuesta por

cuadrados, cuyos vértices son puntos medios de otro cuadrado. a. Calcula las áreas de los primeros 6 cuadrados. ¿Cuál es el término general de la sucesión formada por dichas áreas?

8 cm

b. Escribe la sucesión formada por las longitudes de los lados de los cuadrados. c. Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados generados de esa forma.

Unidad 2

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Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:05

Para finalizar Para terminar la unidad resuelve la siguiente evaluación.

1. ¿Cuál es el término general de una sucesión, cuyo primer término es 5 y se van sumando 4 unidades? A. 4n + 5 B. n + 4 C. 5n + 4 D. 9n – 4 E. 4n + 1

2. ¿Cuál es el cuarto término de la sucesión {an} = (–1)2n + 1 · (2n – 1)? A. –9 B. –8 C. –7 D. 8 E. 9

3. Si an + 1 = 2an es una sucesión recurrente, con a3 = 8, entonces: A. a2 = 2 B. a2 = 4 C. a2 = 8 D. a2 = 16 E. a2 = 32

5

∑ ( 2i – 1) i=1

¿A cuál de las sumas, la expresión es equivalente? A. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 B. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 C. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 D. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 E. 2 + 3 + 4 + 5 + 6

7. Si 3, 7, 11,... es una P.A., ¿cuál de las siguientes expresiones representa la suma de sus primeros 20 términos? 20

A. ∑ 3i i=1 20

B. ∑ ( 3i + 4 ) i=1 20

C. ∑ ( 4i + 3 ) i=1 20

D. ∑ ( 3i + 1) i=1

4. ¿Cuál de las siguientes sucesiones es creciente y convergente? A. {an} = n 1 B. {an } = n+1 n+1 C. {an } = 2 n n2 D. {an } = n+1 n E. {an } = n+1

5. La sucesión {an } =

6. Sea la siguiente sumatoria:

2n + 1 es: 3n2

20

E. ∑ ( 4i – 1) i=1

8. ¿Cuál es el valor de la siguiente sumatoria? 200

∑ 2i i=1

A. 40.200 B. 39.800 C. 20.100 D. 20.000 E. 19.900

A. Divergente. B. Convergente a 0. C. Convergente a 1. 2 D. Convergente a . 3 E. Convergente a 2.

52

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Evaluación final 9. ¿Cuál de las expresiones corresponde a la suma de los 50 primeros múltiplos naturales de 5? 50

A. ∑ 5i i=1 250

B. ∑ 5i i=1 10

C. ∑ 5i i=1 50

D. ∑ (i + 4 ) i=1 10

E. ∑ (i + 5) i=1

10. ¿Cuál de las expresiones representa la suma de los primeros 20 números cubos perfectos? 402 ⋅ 412 A. 4 212 ⋅ 222 B. 4 192 ⋅ 202 C. 4 D.

202 ⋅ 402 4

E.

202 ⋅ 212 4

11. Si an = 3n, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) VERDADERA(S)? I. {an} es una P.A. con d = 3. II. Los términos de la sucesión son los múltiplos naturales de 3. III. La suma de los primeros 10 términos es 30. A. Solo I B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

12. Si {an} es una P.A. con d = 3 y a1 = 5, ¿cuál de los siguientes valores corresponde al décimo término? A. 27 B. 30

E. 48

13. Si {an} es una P.A. con a1 = 10 y a3 = 4, ¿cuál es el valor de a5? A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 E. 3

14. Si en una P.A. se tiene que a1 = 3 y d = –2, ¿cuál de las siguientes expresiones es su término general? A. an = 3n – 2 B. an = 1 – 2n C. an = 3 – 2n D. an = 5 – 3n E. an = 5 – 2n

15. Si {an} es una P.G. con r = 2 y a1 = 4, ¿cuál es el quinto término de la sucesión? A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 E. 512

5 , ¿cuál(es) de las siguientes 2n afirmaciones es (son) VERDADERA(S)? I. {an} es una P.G. con r = 0,5. II. La sucesión es decreciente. 25 III. a2 = 4

16. Si an =

A. Solo II B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III Unidad 2

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53

C. 32 D. 35

Sumatorias y progresiones

01-01-16 16:06

Para finalizar 17. Si {an} es una P.G. con a1 = 5 y r = 3, ¿cuál es

22. ¿Cuál es la suma de los 80 primeros

18. Si {an} es una P.G. con a3 = 10 y a4 = 2,5,

23. Es posible calcular la suma de los 10

el valor de a4? A. 15 B. 27 C. 81 D. 135 E. 405

¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. r = 4 B. a1 = 160 C. Es decreciente D. Es convergente E. Converge a 0.

19. Si {an} es una P.A. con a1 = 1 y a8 = 81, ¿cuál es la suma de sus primeros 8 términos? A. 41 B. 82 C. 320 D. 328 E. 656

20. Si la suma de los cuatro primeros términos de una P.A. creciente es 56 y el menor de ellos es 8, ¿cuál es el mayor? A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 E. 48

21. Si {an} es una P.A. con a100 = 199 y

S100 = 10.000, ¿cuál es la diferencia entre sus términos? A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5 E. 4

54

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múltiplos naturales de 4? A. 320 B. 1.280 C. 3.240 D. 12.960 E. 51.840 primeros términos de una P.G si: (1) a2 = 2 y r = 2 (2) a1 = 1 y a2 = 2 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

24. ¿Cuál es la suma de los infinitos términos de una P.G. si a1 = 10 y r =

2 ? 3

10 A. 3 3 B. 10 C. 15 D. 30 E. 150

25. ¿Cuál es la suma de los infinitos términos de 1

{ a n } = 3n ? 1 3 1 B. 2 C. 1 D. 2 E. 3

A.

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Unidad

3

Límite, derivada e integral Límite de funciones - Si f(a) existe, entonces: lim f ( x ) = f ( a )

Derivadas

f ( x + h) – f ( x ) h→0 h x→a - lim [ f ( x ) ± g ( x )] =eslim igualf (a: x ) ± lim g ( x-)Si f(x) = k, f'(x) = 0 x→a x→a x→a - Si f(x) = xn, f'(x) = nxn – 1 = Kg±( Lx ) lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim - (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) x→a x→a x→a - lim =b K= ±b L x→a

Funciones continuas f es continua en x = a, si: - f(a) existe - lim f ( x ) =existe f (a) x→a

- lim f ( x ) == ff(a) (a) x→a

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f'(x) = lim

Integrales F es una antiderivada de f, si: F'(x) = f(x) Luego, la integral de f(x) es:

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c - ∫ k dx = k ∫ 1dx = kx + c  f ( x )  f' ( x ) g ( x ) – f ( x ) g' ( x ) = - - ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx  g ( x )  [ g ( x )] I

2

Regla de L'Hôpital Si lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 o bien, x→a

x→a

lim f ( x ) = lim g ( x ) = ± ∞, entonces:

x→a

x→a

f (x) f' ( x ) = lim x → a g( x) x → a g' ( x ) lim

n - ∫ x dx =

xn + 1 +c n+1

Teorema fundamental del cálculo b

∫ f ( x ) dx = F (b) – F ( a ) a

01-01-16 16:05

Para comenzar Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que debieras conocer. Tema 1: Funciones

1. Analiza la función real, definida por f ( x ) =

x +1 . Luego, calcula. x2 – 3

a. f(0)

c. f(–1)

e. f(1) – f(–2)

b. f(3)

 1 d. f  –  ° 2

f. 3f(5) + 2f(–3)

2. Analiza las siguientes funciones definidas en los reales. Luego, determina su dominio y recorrido. a. f(x) = x2

c. h ( x ) =

1 x

e. q ( x ) =

1 x –4

b. g(x) = 3x + 1

d. p ( x ) =

1– x x +1

f. r ( x ) =

x+5 x – 5x + 6

2

2

3. Analiza el gráfico. Luego, calcula. Para ello, considera los ejes graduados de 0,5 en 0,5 unidades. a. f(–4) = b. f(–3) = c. f(–2) = d. f(0) = e. f(1) = f. f(1,5) = g. f(2,5) = h. f(5) =

56

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Y

X

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Evaluación inicial 4. Representa gráficamente en el plano cartesiano, la función real g, definida por: si x < – 1 3  2 g ( x ) = x + 2 si – 1≤ x < 2  –x + 5 si x ≥ 2  Tema 2: Fracciones algebraicas

5. Simplifica cada fracción algebraica. x3 + x a. 4 x –1

b.

x 2 + 2ax + a 2 c. mx + ma

x 2 – 9x x 3 – 6x 2 + 9x

d.

x2 + x + 1 e. x3 – 1

a2 x2 – 1 a 2 x 2 + 2ax + 1

f.

57

x2 – 4 x 3 – 7x – 6

Tema 4: Polinomios

6. Resuelve cada división de polinomios. a. (x2 + 5x + 6) : (x + 2)

b. (x4 – 9x2 + x + 3) : (x + 3)

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Funciones

Polinomios Fracciones algebraicas

Unidad 3

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Límite, derivada e integral

01-01-16 16:05

Límite de funciones Representa gráficamente y en un mismo plano cartesiano, las funciones reales definidas por: • f(x) = x2 • i(x) = x – 1 3 • g(x) = x – 3 • j(x) = –x + 3 3 • h(x) = –(x – 1) – 2 • k(x) = –(x + 3)2 – 1

• ¿Qué ocurre con la imagen de x en cada caso, a medida que x aumenta indefinidamente?

Una vez completadas las gráficas, responde las siguientes preguntas:

• ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada función?

• ¿Cuál es el dominio y recorrido de cada función graficada?

Actividades resueltas 1. Calcula el límite lateral por la izquierda de la función real f, definida por f(x) = x2, cuando x tiende a 2. Y Utilizando el

gráfico de f(x) = x2, es posible observar que si los valores de x se acercan, por la izquierda, a x = 2, entonces, sus imágenes tienden a y = 4. Luego:

4 3 →

4 f(x)

2 1

lim x 2 = 4

–2

–1

0

1 2 x→2

X

x → 2–

En este caso: L = f(2) 1 x

2. Calcula el límite lateral por la derecha de f(x) = , cuando x tiende a 0. Y

58

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Utilizando el gráfico de f(x), es posible observar que si los valores de x se acercan a x = 0, por la derecha, entonces, sus imágenes tienden al infinito. X Luego: 1 lim+ = ∞ (no existe) x° 0 x En este caso, f(0) no existe, ya que, f no está definida para x = 0, es decir, 0 ∉ dom(f).

El límite de una función y = f(x) en un punto x = a corresponde al valor L al que tienden (se acercan) las imágenes de los valores de x, que se aproximan a x = a (pudiendo L ser f(a)), tanto por la derecha como por la izquierda. Esto se expresa como: lim f ( x ) = L x→a

Si los valores de x se aproximan a x = a por la izquierda, el límite se denomina límite lateral por la izquierda y se denota: lim– f ( x ) x→a

Mientras que si se aproximan por la derecha, se denomina límite lateral por la derecha y se denota: lim+ f ( x ) x→a

El límite de y = f(x) en x = a es L, si y solo si, sus límites laterales son iguales a L, es decir: lim f ( x ) = L ⇔ lim– f ( x ) = lim+ f ( x ) = L x→a

x→a

x→a

Por lo tanto, si los límites laterales son distintos, entonces: lim f ( x ) no existe. x→a

lim f ( x ) = ±∞ no significa que

x→a

el límite exista; de hecho, representa que justamente dicho límite no existe, porque f crece o decrece indefinidamente. Si uno o ambos límites laterales, de una función en un punto x = a, tiende a crecer indefinidamente (al infinito), entonces, lim f ( x ) x→a no existe.

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Más estrategias Analiza otra estrategia para calcular límites. Luego, responde. Además de representar gráficamente la función, para calcular límites, es posible utilizar una tabla de valores. Observa cómo calcular el límite lateral, por la derecha, de la función real f, definida por f(x) = x3 – 3, cuando x tiende a 1. x

y = x3 – 3

1,5

0,375

1,3

–0,803

1,1

–1,669

1,01

–1,969699

1,001

–1,99699699

1,0001

–1,99969997

Información complementaria

Como se debe calcular el límite lateral por la derecha, se deben asignar valores de x, de tal manera, que se aproximen a 1, y que siempre sean mayores que 1. En este caso, se aprecia que mientras más cercano a 1 sea el valor de x, su imagen, es decir, f(x) se aproxima a –2. Por lo tanto:

Existen casos en que el límite de un función definida por f(x), cuando x tiende a un valor a es f(a), es decir: lim f ( x ) = f ( a )

59

x→a

Sin embargo, la existencia de f(a) no implica que el límite es dicho valor.

lim+ ( x 3 – 3 ) = – 2

x→1

a. ¿Qué ventajas y desventajas tienen las estrategias propuestas hasta ahora? b. ¿Cuál es el valor de f(1)? ¿Cómo determinar en qué casos es posible calcular directamente f(x = a)?

Actividades propuestas 1. Calcula cada límite lateral con la estrategia que prefieras. a. lim– ( x 3 – 3 )

d. lim+

x –1

g. lim– (log x 2 )

b. lim+ ( 3x 2 + 5x – 7)

e. lim+

1 x–3

h. lim– ex

x →1

x →1

x→3

x →1

c. lim – x ° –3

3 x+3

x→0

x→0

(

i. lim– –4 ( x – 2 )

f. lim– 4 x

x→2

x→0

–3

)

2. Analiza la información. Luego, verifica si existe cada límite. En caso de existir, calcúlalo. Analiza la existencia del límite de f, si f es una función real definida por tramos. Dada su siguiente gráfica: Y

• Cuando x tiende a 3, se tiene lo siguiente: lim– f ( x ) = – 2 y lim+ f ( x ) = 1

3

x→3

1 –1 –2

3

9

x→3

Por lo tanto, como los límites laterales son distintos, lim f ( x ) no existe. X

x→3

• Cuando x tiende a 9, se tiene lo siguiente: lim– f ( x ) = lim+ f ( x ) = 3 x→9

x→9

Por lo tanto, como los límites laterales son iguales, lim f ( x ) = 3. x→9

 x + 3 si 0 < x < 1 a. lim f ( x ), con f ( x ) =  2 x →1 3x + 1 si x ≥ 1

2x – 1 si x ≤ – 1  b. lim f ( x ), con f ( x ) =  –2x 3 si – 1 < x ≤ 1 x →1  2 5x + 2 si x > 1

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 59

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:05

3. Analiza la información. Luego, verifica si existe cada límite. En caso de existir, calcúlalo. Analiza la existencia del límite de f, para casos cuando la gráfica considere asíntotas. Por ejemplo, dada la gráfica de la función: Y

• Cuando x tiende a –2, se tiene lo siguiente: lim – f ( x ) = – ∞ y lim + f ( x ) = ∞

3

x → –2

x → –2

Por lo tanto, como los límites laterales no son números reales e iguales, lim f ( x ) no existe.

–2 –1

X

x → –2

• Cuando x tiende a –1, se tiene lo siguiente: lim – f ( x ) = lim + f ( x ) = 3 x → –1

x → –1

Por lo tanto, como los límites laterales son iguales, lim f ( x ) = 3. x → –1

lim f ( x ), con f(x) = –2(x + 1) –3 + 1 a. x → –2

b. lim f ( x ), con f(x) = –(x + 3) –2 – 4

−

x → –3

4. Analiza los gráficos. Luego, en parejas, determinen si existe el límite de f, cuando x tiende a p. Además, comparen, cuando esté definido, el valor de f(p) con el límite y reconozcan si son iguales. a.

b.

Y

c.

Y

Y

r q

q p

X

q p

p

X

X

5. Analiza el gráfico de la función real f, considerando que los ejes están graduados de 1 en 1 unidad y que x = 3 e y = –5 son asíntotas. Luego, calcula lo pedido y responde. a. f(–6)

h. lim f ( x )

b. f(3)

i. lim + f ( x )

c. f(–4)

j. lim f ( x )

d. f(5)

k. lim f ( x )

e. f(–2)

l. lim f ( x )

f. lim − f ( x )

m. lim f ( x )

g. lim f ( x )

n. lim f ( x )

x → –4

Y

x → –6 x → –7 x→3

x → –2

x → –5

X

x→5

x → –2 x → –6

• ¿Qué característica gráfica presenta una función real, definida por y = f(x), y el valor x = c, para que se verifique que el límite de f, cuando x tiende a c, es igual al valor de f(c)?

60

U3_Mat_3y4(PE).indd 60

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

–1

Propiedades de los límites Y

3

El gráfico muestra la gráfica de las funciones reales f y g. ¿Cuál crees que es el valor de los siguientes límites? Discute en parejas.

y = f(x)

2

y = g(x)

1

X –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

lim [ f ( x ) + 5g ( x )]

•

x → –2

• lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )]

61

x →1

–1

f (x ) • xlim → 2 g(x )

–2 –3

Sean a, b ∈  y n ∈  +, se tienen los siguientes límites: lim b = b •

Actividades resueltas 1. Aplica las propiedades para calcular los límites propuestos al inicio

x→a

de la página. Para ello, considera las funciones f y g graficadas.

x=a • xlim →a

a. lim [ f ( x ) + 5g ( x )] = lim f ( x ) + lim 5g ( x ) = lim f ( x ) + 5 lim g ( x ) x → –2

x → –2

x → –2

x → –2

• lim xn = an

x → –2

De las gráficas se tiene que lim f ( x ) = 1 y lim g ( x ) = – 1. Luego: x → –2

x→a

x → –2

lim [ f ( x ) + 5g ( x )] = 1+ 5 ⋅ ( –1) = 1 – 5 = – 4

x → –2

b. lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) x →1

x →1

x →1

De las gráficas se tiene que lim f ( x ) = 2 , sin embargo, lim g ( x ) x →1

x →1

no existe; ya que, sus límites laterales son distintos: lim+ g ( x ) = – 1 y lim– g ( x ) = – 2 x →1

Sean a, b ∈  , n ∈  + y f, g funciones reales tales que: lim f ( x ) = K y lim g ( x ) = L x→a

x→a

Luego, se tienen las siguientes propiedades: • lim [bf ( x )] = b ⋅ lim f ( x )

x →1

Luego, lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] no existe. x →1

x→a x→a f ( x) . Como lim g ( x ) = 0, no es posible utilizar la propie= bK x→2 g( x) lim f x ± g f ( x ) ± lim g ( x ) ( ) ( x )] = xlim • x → a [ dad. Sin embargo, cuando x → 2 se tiene que →a x→a g(x) → 0 y f(x) tiende a un valor real positivo, entonces, =K ±L f ( x) f ( x) lim f x ⋅ g x = f ( x ) ⋅ lim g ( x ) ( ) ( ) • x → a [ ] xlim → ∞, por lo que lim no existe. →a x→a x → 2 g( x) g( x) = K ⋅L 2. Calcula los siguientes límites. f (x) f ( x ) xlim →a lim = • x → a ; con L ≠ 0 a. lim ( 3x 2 + 5x – 7) = 3 lim x 2 + 5 lim x – lim 7 g ( x ) lim g ( x ) x →1 x →1 x →1 x →1

c. xlim →2



x→a

= 3 · 12 + 5 · 1 – 7 = 1

K = L 2 x + 2 lim x – lim 1 ( –2 )3 + 2 ( –2 ( x + 2x – 1) xlim x 3 + 2x 2 – 1 xlim 1 )n – 1 –8 + 8 – 1 x → –2 x → –2 → –2 → –2 n lim = = = = =– b. x → –2 lim f x = K ( ) • [ ] 5 – 3x lim 5 – 3 lim x 5+6 11 lim ( 5 – 3x ) x → a 5 – 3 ( –2 ) 3

=

lim ( x 3 + 2x 2 – 1)

x → –2

lim ( 5 – 3x )

3

2

x → –2

=

x → –2

lim x 3 + 2 lim x 2 – lim 1

x → –2

x → –2

x → –2

lim 5 – 3 lim x

x → –2

x → –2

x → –2

3

=

2

x → –2

2

1 ( –2 ) + 2 ( –2 ) – 1 –8 + 8 – 1 = =– 5 – 3 ( –2 ) 5+6 11

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 61

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:05

Aprendiendo del error Analiza las afirmaciones. Luego, responde. • Si lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] existe, entonces, siempre se tiene que lim f ( x ) y lim g ( x ) también existen. x→a

x→a

x→a

1  1 • Sean f(x) = x y g(x) = . Entonces, lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim  x ⋅  = lim 1 = 1. x→1 x→1  x x→1 x a. ¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? b. Corrige las falsas y explica los errores cometidos.

Actividades propuestas 1. Calcula. Para ello, considera lim f ( x ) = – 4, lim g ( x ) = 0 y lim h ( x ) = 2. x→a

a. lim [ f ( x ) ⋅ g ( x ) – h ( x )] x→a

b. lim [ f ( x ) + g ( x )] x→a

3f ( x ) h( x)

d. lim

3

x→a

x→a

x→a

h( x) e. lim x → a 4g ( x )

i. lim

x→a

1 + f ( x) f. lim x → a 1 – h( x)

2

c. lim

x→a

g. lim

3

h. lim

h( x) 4 – f ( x)

x→a

x→a

Si lim f ( x ) existe, entonces:

( f ( x ))2

x→a

h( x) – 1 2

( f ( x ))

lim

–3

x→a

x→a

( f ( x ))m es= n lim ( f ( x ))m x→a

n lim equivalente ( f ( x )) =a

n

x→a

x→a

l. lim

n

m

k. lim [ xf ( x ) – a ]

5 – f ( x)

x→a

(h ( x ))2

j. lim

Ayuda

2f ( x ) – 4

m

lim ( f ( x ))

x→a

g( x) – x x2 + h ( x )

2. Analiza los gráficos. Luego, de existir, calcula los límites. 2

y = f(x)

Y

2

1

Y y = g(x)

1 X

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

X

4

–4

–3

–2

–1

–1

–1

–2

–2

a. lim [ f ( x ) + g ( x )]

c. lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )]

e. lim  x 2 f ( x )  x→2

b. lim [ f ( x ) + g ( x )]

d. lim

f ( x) g( x)

f. lim 8 + f ( x )

x→2

x →1

x→0

x → –1

a. lim ( 4x – 3x + 2 ) x→3

4x + 2 –1 x 2 – x + 2

b. lim x°

2

c. lim

( t + 1)

t → –2

62

U3_Mat_3y4(PE).indd 62

t–2

d. lim (h – 1)( 2h + 2 )  h → –1 ° 4p + 24  e. lim  2 p → 0  p – 7p + 12   3

f. lim

s° 4

1

2

3

4

x →1

Desafío

3. Aplica las propiedades para calcular cada límite. 3

0

s+9

3

(2 + r ) g. lim r→0

2

h. lim

i° 3

r +1

–8

Demuestra que: lim x = 0

x→0

1 1+ i

i. lim k + 1 k ° –1

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

Cálculo de límites Para calcular límites, en muchos casos, es posible sustituir el límite en el valor x = a dado y obtener directamente el resultado; sin embargo, también hay muchos casos, en los que al evaluar el límite en x = a, se obtienen formas indeterminadas, como por ejemplo, expresiones  0  ∞ de la forma   ,   o ( ∞ – ∞ ).  0  ∞

Analiza de qué forma son los siguientes límites: x2 – 1 x 2 + 2x – 3 3x 3 – 4x – 1 lim • x → ∞ 5x 3 – 3

• xlim →1

Para calcular límites de 0 la forma , se puede 0 factorizar y simplificar o racionalizar la expresión.

1. Analiza cada límite. Luego, calcula. x2 – 1 0 . Al sustituir x = 1, se obtine . Luego, factorizando: 2 x + 2x – 3 0 2 x –1 ( x – 1)( x + 1) = lim x + 1 lim = lim x → 1 x 2 + 2x – 3 x → 1 ( x – 1)( x + 3 ) x →1 x + 3

Al sustituir nuevamente x = 1, pero en la expresión obtenida, se tiene x2 – 1 x + 1 1+ 1 2 1 que lim 2 = lim = = = . x ° 1 x + 2x – 3 x →1 x + 3 1+ 3 4 2 3x 3 – 4x – 1 ∞ . Al considerar x → ∞, se obtiene la forma . 3 5x – 3 ∞ Luego, dividiendo numerador y denominador por x3, y considerando a que cuando x → ∞, la expresión tiende a 0, se tiene: x 3x 3 4x 1 4 1 3– 2 – 3 3–0–0 3 – 3 – 3 3 3x 3 – 4x – 1 x = lim x x = lim = lim x 3 x = 3 x→∞ x→∞ x→∞ 3 5x 5x 3 – 3 5–0 5 5 – – 3 3 3 x x x

b. xlim →∞

2 c. lim ° x + 3 – x . Al considerar x → ∞, se obtiene la forma ∞ – ∞. x→∞ Luego, racionalizando y considerando x → ∞, se tiene:

 lim  x 2 + 3 – x  = lim   x→∞  x→∞  

(

 x2 + 3 + x   x2 + 3 – x  2   x + 3 + x  

)

  30  x2 + 3 – x2  3 =0 = lim  2  = lim  2 = x→∞  x + 3 + x  x → ∞  x + 3 + x  ∞  2x 2x  – d. lim  2 . Al considerar x → ∞, se obtiene la forma x→∞ ° x – 1 x – 1 ∞ – ∞. Luego, restando y considerando x → ∞, se tiene:  2x – 2x – 2x   −2x   2x 2x  = lim  = lim  2 lim  2 – 2   → → x ∞ x ∞ x –1 ° x – 1 x – 1 °  ° x – 1 ∞ Que es de la forma . Luego, dividiendo numerador y ∞ denominador por x2, se tiene que el límite es –2. 2

2

x→∞

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 63

 2x 2x  – • xlim 2 →∞  ° x – 1 x – 1

63

Actividad resuelta

a. xlim ° 1

2 • lim ° x + 3 – x  x→∞

Para calcular límites de la forma ∞ – ∞, que involucra raíces, es posible racionalizar; mientras que si involucra fracciones, es posible resolver la sustracción. Para calcular límites de la ∞ forma , se puede ∞ dividir el numerador y denominador por el factor literal de mayor exponente.

Sean f una función polinómica y a ∈  . Entonces: lim f ( x ) = f ( a ) x→a

Sean f y g dos funciones polinómicas, a ∈  y g(a) ≠ 0. Entonces: f ( x) f (a) lim = x → a g( x) g(a)

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:05

Aprendiendo del error Analiza las afirmaciones. Luego, responde. k xn = lim , donde k es un número real distinto de 0. x → ∞ xn x→0 k 0 • Si lim f ( x ) = , entonces, el límite de f no existe. x→a 0 a n x n + ... + a 1x + a 0 a • lim = 0 , si n < m; mientras que si n = m, el límite es n y si n > m, no existe límite. x → ∞ b x m + ... + b x + b bm m 1 0 • lim

a. ¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? b. Corrige las falsas y explica los errores cometidos.

Actividades propuestas 0

∞

    1. Identifica de qué forma son los siguientes límites. Para ello, clasifícalos en   ,   o ( ∞ – ∞ ). En 0 ∞ caso de no corresponder a ninguno de estos casos, escribe "otro caso". x3 – 1 x →1 x – 1

d. lim

x2 + 1 x –1

1  1 g. xlim  –  →0 ° x x

x–2 4 – x2

e. lim

x3 – 1 x –1

 1 – 1 h. xlim   → 0 ° x2 x3 

x2 – 1 1 +1 x

 1 – 1 i. xlim   → ∞ ° x2 x3 

a. lim

b. lim

x→2

 5 x2  lim – c. x → 0 ° x 2 x 

x° ∞

x→∞

f. lim

x° ∞

0

∞

    2. Reconoce y calcula los límites que son de la forma   ,.   o ( ∞ – ∞ ) 0 ∞  x2 – 9  a. lim  x→3 ° 3 – x  

° x 2 – 81 g. lim  x→9  x + 3 

  x m. lim   x→0 ° 1 – 3x – 1

° x 2 + 2x – 3  b. lim  2 x → 1  x – 5x + 4  

 x – 2 h. lim  x→4 ° x – 4  

° x –1  n. xlim  2  →1  x + 3 – 2

 x4 – x 5  c. lim  x →1 ° 1 – x  

 ° x2 – a2 i. lim  2 2 x → a  x + 2ax + a  

 2 – x – 2 ñ. lim   x→0 x ° 

° x 2 – 2x – 35  d. lim  2 x → 5  x + 3x – 10  

 x 3 – 27  j. lim  2 x→3 ° x – 9  

° 4 – x2  lim  o. x → 2  2  3 – x + 5

°2 – x + 2 e. lim   x→2  x+2 

° x2 – 9  k. lim  x → –3  3 + x  

°  x2 – 9   p. xlim 3 2 → –3  3 – –x + 2x 

° x 3 + 3x + 2  f. lim  2 x → –2  x – x – 6  

 x2 – 7  l. lim  x→ 7 ° x – 7 

° x 2 – 2x – 15  q. lim  x→5  2 x + 32 

64

U3_Mat_3y4(PE).indd 64

2

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:05

 0  ∞  .o ( ∞ – ∞ ) 0  ∞

3. Calcula los límites que son de la forma   , 

 3 8x 3 – x  k. lim   x→∞ ° 4x – 6 

 x3 – 1  a. lim  3 x→ ∞ ° x – x 

 x5 f. lim  5 x → – ∞ ° 2x –

 x 

 2x 2 – 1 b. lim  3 x→∞ ° x – x  

° 25x 3 – 9  g. lim  4 x → – ∞  x – 3x + 8  

° x + 2 l. lim  x→∞  x – 2  

 2x 4 – x 2  c. lim  4 x → ∞ ° 3x – 50x  

 2 – 3x 3  h. lim  x → –∞ ° x 3 

 5xn – x  m. lim  n x→∞ ° x –1  

° 1– x  d. lim  x → ∞  3x + 2  

° x2 + 4  i. lim   x→∞  x –1 

° x3 – 1 – x2  n. lim  3  2 x→∞ x + x – x

 7x 3 – 1  e. lim  3 x → ∞ ° 4x – 10x 2  

 5x 2 – 1  j. lim   4 x→∞ ° 4x – 12 

 3x 6 – 5x 4  ñ. lim  x → –∞ ° x 6 – x 

65

° an xn + an – 1xn – 1 + ... + a1x1 + a 0  • Considera lim  . ¿Qué ocurre si m > n, si m = n y si m < n? m–1 x → – ∞ b xm + b + ... + b1x1 + b0   m m – 1x 0 ∞  0  ∞

 4. Calcula, en caso de existir, los límites que son de la, forma  o ( ∞ – ∞ ). x–4 f. lim  2 – x→∞ ° x

a. lim

(

x 2 + 3x – x

b. lim

(

x2 + 4 – x2 – 4

c. lim

(

x –2 – x +x

d. lim

(

4x 2 + 3x – 2x

x→∞

x→∞

x→∞

x→∞

2

)

2

)

° x 2 + 2 x 2 + 1 e. lim  – x→∞  x +1 x 

) )

x – 2 x 

k. lim

x→∞

(

)

x + 1 – x 

)

  x  3 –x  m. lim  3 x→∞ 2 x – °  x

° x +1 x2  – 2 i. lim  x→∞  x –1 x – 1

n. lim x − x 2 + 5

1  1 j. lim  –  x→0 ° x x

ñ. lim

x→∞

(

x → –∞

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 65

x2 + 3 – x

° 3x 3 + 5 4x 3 – x  – l. lim  x→∞  x + 2 x – 2 

° 2x 2 – 5  g. lim  – 2x  x→∞  x + 3 

h. lim  x x→∞ 

(

(

)

x−3− x+3

)

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

Funciones continuas Y

Y

Y

X

X

X

Una función real es continua en un intervalo, si su gráfica no tiene cortes o saltos. • ¿Cuál(es) de los gráficos representa(n) una función continua?

Actividades resueltas 1. Analiza las siguientes funciones y encuentra los puntos en que son discontinuas. 2 . Como f no está definida para x = 1, es decir, 1 ∉ dom(f), enx –1 tonces, f es discontinua en x = 1.

a. f ( x ) =

1  b. g ( x ) =  x 1

si x ≠ 0 . Aunque g(0) está definda, la función g es dissi x = 0

continua en x = 0; ya que, lim g ( x ) no existe. x→0

2x si x < 2  c. h ( x ) = 3 si x = 2 . Aunque h(2) está definida y lim h ( x ) existe, h x→2  2  x si x > 2 es discontinua en x = 2; ya que, h(2) = 3 y, calculando límites laterales, se tiene que lim– h ( x ) = lim+ h ( x ) = 4, luego, lim h ( x ) = 4. Por lo x→2 x→2 x→2 tanto: lim h ( x ) ≠ h(2) x→2

2. Analiza la gráfica e identifica puntos de discontinuidad en ]–5, 5[. 5

Y y = f(x)

4

Una función real f es continua en x = a, cuando: • f(a) está definida 0 • lim f ( x ) =existe x→a 0 0 • lim f ( x ) = f(a) x→a 0 Si una de las tres condiciones anteriores no se cumple, f es discontinua en x = a.

Sean f y g dos funciones reales continuas en x = a, entonces, también son continuas: • (f + g)(x) • (f – g)(x) • (f · g)(x)  f

3

•   ( x ), con g(a) ≠ 0  g

2 1 X –5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

–1

• f es discontinua en x = –3, ya que, f(–3) no está definida. • f es discontinua en x = –2, ya que, no existe el límite de f(x), cuando x tiende a –2. • f es discontinua en x = 3, ya que, lim f ( x ) ≠ f(3). x→3

66

U3_Mat_3y4(PE).indd 66

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza las afirmaciones. Luego, responde. x–4 x–4 es continua para cualquier valor de su dominio, ya = 1. f ( que, x) = x–4 x–4 0 = • Si lim f ( x ) existe, entonces, siempre se tiene que f es continua en x = a. x→a 0 • Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio. a. ¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? b. Corrige las falsas y explica los errores cometidos.

• f ( x ) =

67

Actividades propuestas 1. Analiza la continuidad o discontinuidad en los valores de x dados (a, b, c o d). a.

c.

Y

a

b.

b

c

b

d.

Y

a b

a

X

c

X

e.

Y

c

d

a

X

b

b

f.

Y

a

Y

c d

X

Y

a

X

c

b c

X

2. Verifica, justificando, si cada función es continua o discontinua en el punto dado. a. f ( x ) =

b. f ( x ) =

x , en x = –2,5 2x + 5 2

x –1 , en x = 1 x –1

x2 si x < 2 c. f ( x ) =  , en x = 2 3x – 1 si x ≥ 2 x2 si x < 2  si x = 2 , en x = 2 d. f ( x ) = 4 3x – 2 si x > 2 

3. Analiza las funciones y, de tener, encuentra sus puntos de discontinuidad. x –1 a. f ( x ) = 2 x –1

3x – 1 si x ≤ – 1  d. f ( x ) =  x 2 + 5x si – 1 < x < 1  3 si x ≥ 1 3x

4x b. f ( x ) = 2 x +x–2

si x < 0 2x  e. f ( x ) = senx si 0 < x ≤ π  x – π si x > π 

2x si x < 1 c. f ( x ) =  2  x si x ≥ 1

 senx si x ≠ 0  f. f ( x ) =  x 0 si x = 0

lim

x→0

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 67

Ayuda senx =1 x

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

Antes de seguir... Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que has visto en esta unidad. Tema 1: Límite de funciones y propiedades

1. Analiza los gráficos. Luego, de existir, calcula el límite. 4

y = f(x)

Y

4

y = g(x)

3

3

2

2

1

1

Y

X –4

–3

–2

–1

1

0

2

3

4

X –4

–3

–2

–1

0

–1

–1

–2

–2

1

2

3

4

a. lim– f ( x ) =

e. lim– f ( x ) =

i. lim– g ( x ) =

m. lim g ( x ) =

b. lim– f ( x ) =

f. lim f ( x ) =

j. lim+ g ( x ) =

n. lim g ( x ) =

c. lim+ f ( x ) =

g. lim f ( x ) =

k. lim g ( x ) =

ñ. lim g ( x ) =

d. lim f ( x ) =

h. lim– g ( x ) =

l. lim+ g ( x ) =

o. lim+ f ( x ) =

x→0

x→3

x → –3

x →1

x→0

x→0 x→3

x→0

x→2 x→0 x→0 x→2

x → –1

x → –3 x →1

x→3

2. Representa cada función en un mismo plano cartesiano. Luego, calcula los límites. 2x f ( x) =  2 x

si x < 2 si x ≥ 2

 x 2 + 1 si x < – 1 g( x) =  3x + 1 si x ≥ – 1 x3 – 1 si x < 0  h ( x ) = 0 si x = 0   x + 1 – 2 si x > 0 2x + 1  i ( x ) = 3 2x + 1 

si x < – 1 si – 1 ≤ x ≤ 1 si x > 1

a. lim– f ( x ) =

e. lim + g ( x ) =

i. lim– h ( x ) =

m. lim – i ( x ) =

b. lim+ f ( x ) =

f. lim g ( x ) =

j. lim h ( x ) =

n. lim– i ( x ) =

c. lim f ( x ) =

g. lim – g ( x ) =

k. lim h ( x ) =

ñ. lim i ( x ) =

d. lim f ( x ) =

h. lim g ( x ) =

l. lim h ( x ) =

o. lim i ( x ) =

x→2 x→2 x→2 x →1

68

U3_Mat_3y4(PE).indd 68

x → –1 x → –1 x → –1 x→0

x→0 x→0

x → –1 x→3

x → –1

x →1

x→0

x → –1

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Evaluación intermedia Tema 2: Cálculo de límites

3. Calcula los siguientes límites. a. lim ( 3x 3 + 3x + 1) = x→0

d. lim

x° 1

x –1 = x –1

g. lim 3 3x + 2 = x→2

x2 + x = x → 2 x 2 – 3x

x–5 = 2 x3 – 1

x2 + x – 2 = x → 1 x 2 – 3x + 2

b. lim

e. lim

h. lim

x2 – x – 6 c. lim = x° 3 x–3

x –2 f. lim = x° 4 x – 4

x3 – 1 i. lim 2 = x → 1 x + 2x – 3

x°

69

Tema 3: Funciones continuas

4. Analiza la continuidad de x = 1, en cada función real dada. 3x a. f ( x ) =  x + 2

3x b. f ( x ) =  2

si x ≤ 1 si x > 1

si x ≤ 1 si x > 1

3x c. f ( x ) =  1

si x ≠ 1 si x = 1

x2 d. f ( x ) =  x

si x ≤ 1 si x > 1

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Límite de funciones y propiedades

Funciones continuas

Cálculo de límites

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 69

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

Derivada Y

Y

Y

X

X

X

Para comprender el significado de la derivada se debe tener claridad en la identificación de la recta tangente a un punto, en una curva. Para esto, discute con tus compañeros(as): • ¿Cuál(es) de los gráficos muestra(n) una recta tangente al punto dibujado?

Actividades resueltas 1. Deduce la fórmula de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, en un punto x = c. Como se debe encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x), en x = c, (recta de color rojo) se considera la recta que interseca a la curva en los puntos (c, f(c)) y (h, f(h)). La ecuación de esta última Y y = f(x) recta (azul) es: f ( h) – f ( c ) y – f ( c) = ( x – c) h–c f(h) (h, f(h)) f (h) – f ( c) Donde y – f (m c) = (esx – c) h–c su pendiente. Como ∆x = h – c, entonces, h = c + ∆x. Luego: f(c) (c, f(c)) f ( c + x ) – f ( c) m= x c h X ∆x Considerando infinitas rectas, de tal manera que h se acerque a c, es decir, que ∆x → 0, es posible expresar la pendiente de la recta tangente (roja) como: f ( c + x ) – f ( c) m = lim x → 0 x

2. Calcula las siguientes derivadas. Para ello, utiliza la definición dada. a. Derivada de f(x) = k, en x = a; con a, k ∈  . f ( a + h) – f ( a ) k–k 0 = lim = lim = lim 0 = 0 h→0 h → 0 h → 0 h h h h→0

f'(a) = lim

Sea f una función definida en un intervalo que contiene a c. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, en el punto (f, f(c)), es: f ( c + x ) – f ( c ) lim x → 0 x

La derivación es una operación matemática que consiste gráficamente en encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva asociada a una función, en un punto.

Algebraicamente, la derivada de una función f, en x, está dada por: f'(x) = lim

h→0

f ( x + h) – f ( x ) h

b. Derivada de f(x) = x, en x = a; con a ∈  . f ( a + h) – f ( a ) a+h–a h = lim = lim = lim 1 = 1 h→0 h→0 h→0 h h→0 h h

f'(a) = lim

c. Derivada de f(x) = x2, en x = a; con a ∈  . f'(a) = lim

h→0

70

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f ( a + h) – f ( a ) h

2

( a + h) = lim h→0

h

– a2

h ( 2a + h) a 2 + 2ah + h2 – a 2 = lim ( 2a + h) = 2a = lim h→0 h 0 h→0 → h h

= lim

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza las afirmaciones. Luego, responde. • Si f(x) = c, con c ∈ , entonces, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, en cualquier punto (xi, f(xi)) es 0; ya que, f'(x) = 0. • A la gráfica de f(x) = x no es posible asociarle una recta tangente en x = 0; ya que, f(0) = 0. f ( x + h) – f ( x ) f ( c + x ) – f ( c ) y lim representan lo mismo. • Los límites: lim h → 0 x → 0 h x

71

a. ¿Son verdaderas las afirmaciones? b. Corrige las falsas y explica los errores cometidos.

Actividades propuestas 1. Analiza el ejemplo. Luego, calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, en x = a dado. Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) =

x, en x = 3.

• Calcular la pendiente pedida es equivalente a calcular la derivada de f(x) en x = 3. Luego: 3+h – 3 f ( 3 + h) – f ( 3 ) = lim = lim h→0 h→0 h→0 h h lim

= lim

h→0

h

(

h 3+h+ 3

)

(

= lim

3+h – 3

h→0

h

(

)(

3+h+ 3

3+h+ 3

1 = 3+h+ 3

)

) = lim

h→0

h

(

3+h–3 3+h+ 3

)

1 1 = 3+ 3 2 3

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente descrita es m = f'(3) =

1 . 2 3

Otra estrategia posible de utilizar consiste en calcular f'(x) y luego, evaluar dicha expresión en el valor de x dado. En este caso: 1 • Si f(x) = x, entonces, utilizando la definición, se obtiene f'(x) = . Luego, evaluando 2 x en x = 3, se tiene: 1 f'(3) = 2 3 a. f(x) = 3, en x = 2.

g. f(x) = 3x2 + 5x, en x = –7.

m. f ( x ) =

b. f(x) = 4x2, en x = 5.

h. f(x) = x3, en x = –2.

n. f ( x ) =

c. f(x) = x + 1, en x = –1.

i. f ( x ) = 2x, en x = 4.

ñ. f ( x ) =

d. f(x) = –7x, en x = 3.

j. f ( x ) = x + 4, en x = –3.

o. f ( x ) =

e. f(x) = (x + 2)2, en x = –2.

k. f ( x ) = 5 x , en x = 3.

p. f ( x ) =

f. f(x) = 8x, en x = 0.

l. f ( x ) = – 6 x, en x = 9.

q. f ( x ) =

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 71

1 , en x = –5. x 2 , en x = –9. x 1 , en x = 4. 3x 1 , en x = 1. x +1 1 , en x = 1. – x +1 x , en x = –1. x –1

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

2. Analiza las gráficas. Luego, dibuja las rectas tangentes a las curvas en los valores de x dados y determina si su derivada es menor, igual o mayor que cero. Y

Y y = g(x)

y = f(x)

X x1

x2

x3

x4

x5

X x1

x6

x2

x3

x4

x5

x6

3. Obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto correspondiente, según el valor de x dado. a. f(x) = x, en x = 1.

i. f(x) = 2 – 5x2, en x = –4.

b. f(x) =2x, en x = –3.

j. f ( x ) = x , en x = 4.

c. f(x) = 2 – 3x, en x = 0.

k. f ( x ) = x – 4, en x = 5.

d. f(x) = x2, en x = 5.

l. f ( x ) = 4 x, en x = 9.

e. f(x) = x2 – 6x, en x = 2.

m. f ( x ) =

Ayuda La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función, en el punto (c, f(c)) está dada por: y – f(c) = f'(c)(x – c)

1 , en x = 3. x 5 n. f ( x ) = , en x = –4. x 1 ñ. f ( x ) = , en x = 1. 3x 1 o. f ( x ) = , en x = 2. x–4

f. f(x) = (x – 3)2, en x = –3. g. f(x) = x2 – 4x, en x = 0. h. f(x) = 3x2 – 7, en x = –2.

4. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es el valor de f(4) y de f'(4), si la recta tangente a la gráfica de f, en el punto (4, 3), pasa por el punto (0, 2)? b. Dibuja la gráfica de una función continua f, tal que f(0) = 0, f'(0) = 3, f'(1) = 0 y f'(2) = 1.

5. Analiza las gráficas y determina en cuántos puntos, las funciones no son derivables. a.

b.

Y

c.

Y

X X

72

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Ayuda

Y

X

Una función es diferenciable o derivable en un punto, si existe una única recta tangente a la gráfica de f, en dicho punto.

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Propiedades de la derivada Hasta ahora, has usado la definición, mediante límites, para calcular la derivada de una función. En lo que sigue, conocerás varias propiedades y "reglas" de la derivada, que te permitirán calcularla, sin utilizar el concepto de límite. Dichas propiedades y reglas puedes verificarlas mediante el límite que define a la derivada.

Utiliza la definición, mediante límites, para calcular f'(x) en cada caso: • f(x) = x5 • f(x) = x–3 • f(x) = (1 + x7)(2 – x12)

73 Actividades resueltas 1. Deriva, mediante límite y con la propiedad, la función real definida por

Sea f una función derivable, c ∈  y n racional, entonces: • f(x) = c ⇒ f'(x) = 0 • f(x) = x ⇒ f'(x) = 1 • (cf(x))' = cf'(x) • f(x) = xn ⇒ f'(x) = nxn – 1

f(x) = x5. • Mediante límite se tiene que, si f(x) = x5, entonces, f'(x) = 5x4. 5

f ( x + h) – f ( x ) x + h) – x 5 ( lim = lim h→0 h→0 h h x 5 + 5x 4h + 10x 3h2 + 10x 2h3 + 5xh4 + h5 – x 5 = lim h→0 h 4 3 2 2 = lim ( 5x + 10x h + 10x h + 5xh3 + h4 ) h→0

= 5x 4 • Utilizando la propiedad de la derivada de la potencia, se tiene que, si f(x) = x5, entonces, f'(x) = 5x5 – 1 = 5x4.

2. Deriva, utilizando la propiedad y la regla de la división, la función real definida por f(x) = x–3. • Utilizando la propiedad de la derivada de la potencia, se tiene que, si f(x) = x–3, entonces, f'(x) = –3x–3 – 1 = –3x–4. 1 • Como f(x) = x–3 = 3 , entonces, aplicando la regla de la x división, se tiene: 3 3 I 2  1  = 1' ⋅ x – 1 ⋅ ( x ) ' = 0 – 3x = – 3  3  2 x x6 x4 ( x3 )

Sean f y g dos funciones derivables, entonces: • (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) • (f(x) – g(x))' = f'(x) – g'(x) • (f(x) · g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) I

 f ( x )  f' ( x ) g ( x ) – f ( x ) g' ( x ) •  = 2  g ( x )  [ g ( x )]

Expresión que es equivalente a –3x–4.

3. Deriva, utilizando la regla de la multiplicación, la función real definida por f(x) = (1 + x7)(2 – x12). • Por la regla de la multiplicación, se tiene: •

f'(x) = (1 + x7)'(2 – x12) + (1 + x7)(2 – x12)' = (1' + (x7)')(2 – x12) + (1 + x7)(2' – (x12)') = 7x6(2 – x12) + (–12x11)(1 + x7) = 14x6 – 7x18 – 12x11 – 12x18 = –19x18 – 12x11 + 14x6 Otra forma de calcular la derivada consiste en expresar f(x) = (1 + x7)(2 – x12), resolviendo la multiplicación, es decir, f(x) = –x19 – x12 + 2x7 + 2. Luego, f'(x) = –19x18 – 12x11 + 14x6. Unidad 3

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Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza las afirmaciones. Luego, responde. • Si la derivada de la multiplicación de las funciones f y g es 0, entonces, siempre se cumple que f'(x) = 0 y g'(x) = 0. • Si f ( x ) = 4 x 3 , entonces, f' ( x ) = 4 3x 2 . p

• Siempre se cumple que si f ( x ) = x q , entonces, f' ( x ) =

q p q–p x . p

a. ¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? b. Corrige las falsas y explica los errores cometidos.

Actividades propuestas 1. Aplica las reglas de la adición o sustracción para hallar la derivada de cada función. (Observación: la derivada de ex es la misma expresión, es decir, (ex)' = ex). 3 1 a. f(x) = x + x d. f ( x ) = x – 3 g. f ( x ) = x 4 – x 4 x b. f(x) = x3 + 3x4 c. f ( x ) = 4 +

1 x

e. f(x) = 4x3 + 5x2 – x6 1 1 – 4 x x

f. f ( x ) =

h. f ( x ) = x –2 – x 3 i. f ( x ) =

3 4 5 + 3 – 5 x x x

j. f(x) = ex + 7 k. f(x) = 3x – ex l. f ( x ) = 3 x 4 – x 0,3

2. Aplica la regla de la multiplicación para hallar la derivada de cada función. a. f(x) = x2ex

d. f ( x ) = x ( 2 + 3x 3 )

b. f(x) = x–4ex

e. f ( x ) = x 2 1 + 3 x

c. f(x) = 12x4(3x5 + 9)

f. f(x) = ex(2 + 3x4)

(

)

g. f ( x ) = x 3 x

j. f ( x ) = x –8 x 3

h. f ( x ) = ex x

k. f ( x ) = 3 x 4 x 3

i. f ( x ) =

1 x e x4

l. f ( x ) = x –4 4 x

3. Aplica la regla de la división para hallar la derivada de cada función. 1+ x a. f ( x ) = 1– x

x+x d. f ( x ) = 3–x

g. f ( x ) =

1 + x + 3x 2 1 – 3x

j. f ( x ) =

ex 2+x

b. f ( x ) =

2x 1 – x2

e. f ( x ) =

4 + x –2 1 + 3x

h. f ( x ) =

1+ 3 x 3 x

k. f ( x ) =

x2 1– x

c. f ( x ) =

x 1 + x3

f. f ( x ) =

4 + ex x–3

i. f ( x ) =

x2 1 – x2

l. f ( x ) =

x –2 1 – x –2

4. Obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto correspondiente, según el valor de x dado. x , en x = 1 a. f ( x ) = 1+ x b. f(x) = 2xex, en x = 0

x , en x = 4 1+ x ex d. f ( x ) = , en x = 1 x

c. f ( x ) =

5. Resuelve los siguientes problemas. I

 f a. Si f(5) = 1, f'(5) = 6, g(5) = –3 y g'(5) = 2, ¿cuál es el valor de (f · g)'(5) y de   ( 5)?  g b. Si f(x) = exg(x), con g(0) = 2 y g'(0) = 5, ¿cuál es el valor de f'(0)?

74

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Regla de la cadena y derivación implícita Cuando sea posible expresar una función como una composición de funciones, derivar esta función es equivalente a derivar la composición respectiva. En estos casos, es posible utilizar la denominada "Regla de la cadena".

Expresa las siguientes funciones definidas en los reales, como una composición de funciones: 2

• y = e x • y = x 3 + 4x • y = e2x + 1

• y = x 2 + 5 • y = (x3 + 3x)25 • y = (x + 1)2

Actividades resueltas

75

1. Expresa cada función, como una composición de funciones. Si y = (f o g)(x) = f(g(x)), entonces, la regla de la cadena establece que la derivada de y está dada por: y' = [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

a. y = x 2 + 5 Considerando g(x) = x2 + 5 y f (u) = u, se tiene: x2 + 5

y = (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 5) = b. f(x) = (x3 + 3x)25

Considerando g(x) = x3 + 3x y f(u) = u25, se tiene: y = (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x3 + 3x) = (x3 + 3x)25 Una función explícita es aquella en que una variable está expresada en función de otra. Por ejemplo: 2 • y = 3x + 1 • y = ex

2. Deriva cada función, utilizando la regla de la cadena. a. y = (x + 1)2 Sean u = g(x) = x + 1 e y = f(u) = u2. Luego, y = f(g(x)), por lo que: y' = [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) = (u2)' · (x + 1)' = 2u · 1 = 2u Ahora, como u = x + 1, entonces, y' = 2(x + 1) = 2x + 2. b. y = ex

2

Sean u = g(x) = x2 e y = f(u) = eu. Luego, y = f(g(x)), por lo que: y' = [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) = (eu)' · (x2)' = 2xeu

Una función implícita es aquella que no cuenta con una variable expresada en función de otra. Por ejemplo: • xy = 1 • x3 + y2 = 6xy

2

Ahora, como u = x2, entonces, y' = 2xeu = 2xex . 3 c. y = x + 4x

Sean u = g(x) = x3 + 4x e y = f (u) = u. Luego, y = f(g(x)), por lo que: 3x 2 + 4 y' = [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) = u ' · (x3 + 4x)' = 2 u 2 2 3x + 4 3x + 4 Ahora, como u = x3 + 4x, entonces, y' = = . 2 u 2 3x 2 + 4

( )

d. y = x

2

1 – x2

Con la regla de la multiplicación, se tiene: y ' = 2x 1 – x + x 2

2

(

1– x

Aplicando la regla de la cadena, se tiene: I I 1 1 x 1 – x2 = ⋅ (1 – x 2 ) = ⋅ ( –2x ) = – 2 2 2 1– x 2 1– x 1 – x2

(

)

Luego:  x ( 2 – 3x 2 ) x  x3 2 y ' = 2x 1 – x 2 + x 2 ⋅  – = 2x 1 – x – =  2 1 – x2 1 – x2  1– x  Unidad 3

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2

)

I

Para derivar implícitamente una función respecto a x, se debe considerar que cualquier otra variable involucrada, está expresada implícitamente en función de x; por lo que se debe aplicar la regla de la cadena.

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Ayuda

Analiza las afirmaciones. Luego, responde. • Si y = e 3x , entonces, y = f(g(x)), donde g(x) = u = e3x e y = f (u) = u . • Considerando la misma función del caso anterior, es decir, y = e 3x , también es posible afirmar que y = f(g(h(x))), donde h(x) = v = 3x, u = g(v) = ev e y = f (u) = u . • Si y = e 3x , entonces, y' =

1

3e 3x

⋅ e 3x ⋅ 3 =

. 2 e 3x 2 e 3x a. ¿Son verdaderas las afirmaciones? b. Corrige las falsas y explica los errores cometidos.

Si una función corresponde a la composición de más de dos funciones, entonces, es posible aplicar la regla de la cadena las veces que sea necesario. Por ejemplo, si y = f(g(h(x))), entonces: y' = [f(g(h(x)))]' = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x)

Actividades propuestas 1. Deriva las siguientes funciones reales. a. y = (x3 + 7)4

f. y = ex

b. y = x 3 + 3

g. y =

c. y =  x + 

1  x

+ 5x

(2x

3

k. y = (2x + e2)3 3

– 5)

l. y = – xe– x

2

2

d. y = (x3 + 7x2)5 e. y =

3

1 x3 + 3

h. y = i. y = j. y =

m. y = 3 2 + ex

x +1

4

e–2 x e2 x

1 e3 x

n. y =

1 x2

ñ. y = e

–

x 2

2. Obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto correspondiente, según el valor de x dado. 8 , en x = 4 3x + 4

d. y =

b. y = e2x + e –x, en x = 0

e. y =

c. y = x 2 + x , en x = 3

f. y =

a. y =

2 , en x = 0 1 + e– x x 2 – x2 1 + x2 x

, en x = 1 , en x = 1

3. Resuelve los siguientes problemas. a. Si F(x) = f(g(x)), g(3) = 6, g'(3) = 4 y f'(6) = 7, ¿cuál es el valor de F'(3)? b. Si G(x) = f(g(x)), g(0) = 2, f'(2) = 3 y g'(0) = 5, ¿cuál es el valor de G'(0)?

76

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

4. Analiza los ejemplos. Luego, deriva implícitamente y respecto a x. Deriva respecto a x, la función definida por x3 + y2 = 6xy, y la función definida por x + y = xy 3. Como en ambos casos se debe derivar respecto a x, se debe obtener y'. Luego, sin despejar y, se deriva implícitamente: • x3 + y2 = 6xy (x3)' + (y2)' = (6xy)' 3x2 + 2y · y' = 6y + 6xy' 2y · y' – 6xy' = 6y – 3x2 y'(2y – 6x) = 6y – 3x2

x + y = xy 3

•

(

)

x + y ' = ( xy 3 ) '

77

1 ⋅ (1 + y ') = y 3 + 3xy 2 y ' 2 x+y 1 + y ' = 2y 3 x + y + 6xy 2 x + yy '

6y – 3x 2 y' = 2y – 6x

y ' – 6xy 2 x + yy ' = 2y 3 x + y – 1

(

)

y ' 1 – 6xy 2 x + y = 2y 3 x + y – 1 y' =

2y

3

x + y –1

1 – 6xy 2 x + y

Observación: En el segundo caso, es posible reemplazar 2xy 6 − 1 . se obtiene: y ' = 1 − 6x 2 y 5

x + y = xy 3, con lo que

2 = exy y

i. xey = ex

a. x2 + y2 = 1

e.

b. x2 + xy2 – x2y = 3y

f.

c. xy3 – x3y = 3x

g. x + y 2 + 5x = 6

d. x2 – y2 = 1

h.

j. ex + y = ex – y

xy + y = 2x

k. x2(x2 + y2) = y2

1 =y x+y

l. x3 – 2x2y + 3xy2 = 38

5. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f, en el punto dado. a. y2 = x3(2 – x), en (1, 1)

b. 2(x2 + y2)2 = 25(x2 – y2), en (3, 1)

6. Resuelve los siguientes problemas. a. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva y2 = 5x4 – x2, denominada "Kampyle de Eudoxo", en el punto (1, 2). b. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y2 = x3 + 3x2, denominada "Tshirnhausen cúbica", en el punto (1, –2). x2 y 2 c. Muestra que la ecuación de la recta tangente a la elipse de ecuación 2 + 2 = 1, en el punto a b xp yq (p, q) es 2 + 2 = 1. a b x2 y 2 d. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la hipérbola de ecuación 2 – 2 = 1, en (p, q). a b

Unidad 3

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Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

Regla de L'Hôpital Si al evaluar un límite de cocientes de funciones, se obtiene una forma indeterminada, es decir: 0 ∞ –∞ ∞ –∞ , , , o 0 ∞ ∞ –∞ –∞ Es posible utilizar la regla de L'Hôpital, que consiste en calcular el límite del cociente de la derivada de cada función.

Con tu profesor(a), analiza lo siguiente: f (x ) – f (a) f (x ) – f (a) x–a f (x ) lim = lim = lim x → a g(x ) x → a g(x ) – g(a) x → a g(x ) – g(a) x–a f (x ) – f (a) x–a f' ( x ) f' ( a ) = = = lim g ( x ) – g ( a ) g' ( a ) x → a g' ( x ) lim x→a x–a lim

x→a

Actividad resuelta 1. Verifica si al evaluar cada límite, se genera una forma indeterminada. Luego, calcúlalo. x2 – 1 1 – 1 0 = = . Luego, aplicando L'Hôpital, se tiene: 1 x –1 1– 1 0 ( x2 – 1)' = lim 2x = 2 ⋅ 1 = 2 x2 – 1 lim = lim x →1 x – 1 x → 1 ( x – 1) ' x →1 1 1

a. lim x°

ex – 1 1 – 1 0 = = . Luego, aplicando L'Hôpital, se tiene: 0 x 0 0 x ex – 1) ' ( e –1 e x e0 lim = lim = lim = =1 x→0 x→0 1 x→0 x x' 1

b. lim x°

Si f y g son funciones derivables en un intervalo, con g'(x) ≠ 0 (no necesariamente en x = a), tales que: lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0

x –2 2–2 0 = = . Luego, aplicando L'Hôpital, se tiene: x ° 16 x – 16 0 0 1 4 4 3 4 x – 2 ' x –2 1 1 1 lim = lim = lim 4 x = lim 4 3 = = 3 4 x → 16 x – 16 x → 16 ( x – 16 ) ' x → 16 → x 16 32 1 4 x 4 16

c. lim

4

(

x→a

x→a

O bien: lim f ( x ) = lim g ( x ) = ± ∞

x→a

x→a

Entonces, la regla de L'Hôpital establece que: lim

)

x→a

f (x) f' ( x ) = lim x → a g( x) g' ( x )

La regla también es válida cuando x tiende a ±∞.

ex e∞ ∞ = = . Luego, aplicando L'Hôpital, se tiene: ∞ x ∞ ∞ ex ) ' ( ex ex e∞ lim = lim = lim = = ∞. Por lo tanto, el límite no existe. x → ∞ x' x→∞ x x→∞ 1 1

d. lim x°

3x 3 + 1 ∞ = . Luego, aplicando L'Hôpital, se tiene: x → ∞ 4x 3 + 2x 2 + 1 ∞ 3x 3 + 1) ' ( 3x 3 + 1 9x 2 ∞ lim lim lim = = = x → ∞ 12x 2 + 4x x → ∞ 4x 3 + 2x 2 + 1 x → ∞ 4x 3 + 2x 2 + 1 ' ∞ ( )

e. lim

Como nuevamente se obtuvo una forma indeterminada, es posible aplicar otra vez la regla de L'Hôpital. Por lo tanto: 9x 2 18x ∞ 18x 18 3 = lim = y finalmente, lim = lim = . x → ∞ 12x 2 + 4x x → ∞ 24x + 4 x → ∞ 24x + 4 x → ∞ 24 ∞ 4 lim

78

U3_Mat_3y4(PE).indd 78

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza la resolución. Luego, responde. lim

x→0

e2x – 1 e0 – 1 1 – 1 0 = = = . Luego, aplicando la regla de L'Hôpital, se tiene: x 0 0 0

e2x – 1 e2x – 1 – x ⋅ 2e2x e2x – 1 – 2xe2x = lim = lim x→0 x→0 x→0 x x2 x2 e2x (1 – 2x ) – 1 e0 (1 – 0 ) – 1 0 = = = lim x→0 x2 0 0 Por lo tanto, el límite no existe. lim

79

a. ¿Es correcta la resolución? De existir errores, explica cuáles son y corríjelos.

Actividades propuestas 1. Aplica la regla de L'Hôpital, para calcular cada límite. x+2 –2 x 2 – 4

g. lim

x2 – 4 2 x 2 – 3x + 2

h. lim

x +1 –1 x 2 + 4x + 3

i. lim

a. lim x°

b. lim x°

c. lim x°

x –1 x –1

m. lim

2x 2 + 1 ∞ e2 x

n. lim

x →1

x°

p. lim

x ln ( x ) + 2x

x ln ( x )

q. lim

x xe + 2x

l. xlim →∞

x°

(ln ( x )) ' =

ln ( x ) x→∞ x

2x 3 – 4x + 1 –∞ x3 – 4

f. lim

ln ( x ) x →1 x – 1

o. lim

k. lim

x°

La derivada del logaritmo natural de x es la siguiente:

ex – 1 – x x→0 x2

3x 2 + 2 ∞ x2 – 4

Ayuda

ex x → ∞ ln ( x )

ñ. lim

j. lim

e. lim

2x − 2 x + 26 – 3

x3 x → ∞ ex

ex – e– x x→0 x

d. lim

x →1 3

1 x

ln3 ( x ) x→∞ x2 x→∞

x° 0

3

x

2. Evalúa los límites y verifica la forma ∞ – ∞ (de no serlo, escribe "otro caso"). Luego, resuelve la sustracción y aplica L'Hôpital. 1 1 a. lim  4 – 2  x→0° x x 

 x 1  – f. lim  x → 1 x – 1 ln ( x ) 

 1 1  – b. lim  x → 1  ln ( x ) x – 1

 1 1  – 2 g. lim  x→2° x – 2 x – 4 

 1 e  c. lim  – x x → –1 ° x – 1 e – e 

 1 – h. lim  x→0° x

 1 1 d. lim  –  x → 0 ln ( x + 1) x 

° x 2 + 1 i. lim  x – x→∞ x – 3 

1 e. lim  3 – e– x  x→0° x 

x – 1 j. lim  2x –  x→∞° x 

1   2x 

Unidad 3

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Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

Integración 1 – 2 x

2ex

1 x

e2x

2x

1 2 x x 4

x 4

1 0

x3

–2 x

9x 2

x

x2

e 2x

2x

2e

2ex

3x3

Forma parejas de tarjetas, considerando una función y su derivada. Luego, completa las parejas de tarjetas con las funciones que falten derivar.

ln(x)

Actividades resueltas 1. Comprueba si la función F es una antiderivada de f. x4 y f(x) = x3. 4 x3 = x3 = f(x), entonces, F es una antiderivada de f. Como F'(x) = 4 4 b. F(x) = e3x y f(x) = 3e3x. a. F(x) =

Como F'(x) = 3e3x = f(x), entonces, F es una antiderivada de f.

La integración es la operación inversa de la derivación. Así, si: F'(x) = f(x) F es una antiderivada (o primitiva) de f.

c. F(x) = x5 y f(x) = x4. Como F'(x) = 5x4 ≠ f(x), entonces, F no es una antiderivada de f.

2. Encuentra dos antiderivadas para cada función. a. f(x) = 3x2 Las funciones F(x) = x3 + 2 y G(x) = x3 – 6 son dos antiderivadas de f(x) = 3x2, ya que: F'(x) = (x3)' + (2)' = 3x2 + 0 = 3x2 = f(x) G'(x) = (x3)' – (6)' = 3x2 – 0 = 3x2 = f(x) b. f(x) = 3e3x Las funciones F(x) = e3x + 1 y G(x) = e3x son dos antiderivadas de f(x) = 3e3x, ya que: F'(x) = G'(x) = 3e3x = f(x)

3. Analiza la veracidad de cada proposición. a. ∫ 4x 3 dx = x 4 + c; con c ∈ 

En este caso, f(x) = 4x3 y F(x) = x4 + c. Luego, como: F'(x) = (x4)' + c' = 4x3 + 0 = 4x3 = f(x) Entonces, la proposición es verdadera.

La antiderivada no es única; es decir, si F es una primitiva de f, entonces, las funciones de la forma: F(x) + c donde c es una constante, también son antiderivadas de f.

Si F es una antiderivada de f, entonces, la integral indefinida de f es:

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c donde ∫ f ( x ) dx se = Flee +c ( x )"integral de f, respecto a x".

b. ∫ e4 x dx = e4 x + c; con c ∈ 

En este caso, f(x) = e4x y F(x) = e4x + c. Luego, como: F'(x) = (e4x)' + c' = 4e4x + 0 = 4e4x ≠ f(x) Entonces, la proposición es falsa.

80

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza las afirmaciones. Luego, responde. 1 • Si f ( x ) = , entonces, entre las funciones definidas por F(x) = ln(x) + c y G(x) = ln(cx), x solo una de ellas es antiderivada de f. • Las funciones definidas por f(x) = x 2 + 3 y g(x) = x 2 – 6, no tienen antiderivadas en común. a. ¿Son verdaderas las afirmaciones? b. Corrige las falsas y explica los errores cometidos.

81

Actividades propuestas 1. Verifica si F es una antiderivada de f. a. F(x) = x2, f(x) = 2x

g. F(x) = x3, f(x) = 3x

b. F(x) = 3, f(x) = 0

h. F(x) =

c. F(x) = x + 1, f(x) = 1

i. F(x) =

d. F(x) = 12x, f(x) = 4x3

j. F(x) =

e. F(x) = e –3x, f(x) = –ex

k. F(x) =

f. F(x) = x2 + x, f(x) = 2x

l. F(x) =

x3 + 3, f(x) = x2 3 1 x, f(x) = x 1 , f(x) = ln(x) x x 1 , f(x) = 2 2 1 2x , f(x) = 2x

Ayuda I

 xn + 1  n ° n + 1 = x

2. Identifica si las funciones F o G son antiderivadas de f. a. f(x) = 3x2, F(x) = x3 + c, G(x) = cx3 b. f(x) = ex, F(x) = ex + c, G(x) = ex + x c. f(x) = 1, F(x) = cx + 1, G(x) = x + c

1 , F(x) = ln(c + x), G(x) = ln(cx) x 1 e. f(x) = , F(x) = cx, G(x) = x + c 2x 1 c 1 f. f(x) = – 2 , F(x) = , G(x) = + c x x x

d. f(x) =

3. Identifica en cada caso cuál de las expresiones corresponden a f y F, tales que ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c. a. x y 1 b. 4x5 y 20x4 c. –4e –4x y e –4x d. ex y ex + 3 e.

x5 y x4 5

x 1 y 5 5 x4 x3 g. y 8 2

k. xex y xex – ex

f.

l. 1 – 3x4 y x – 3

1 x 2 1 i. 2 y – 3 x x h. ln(3x) y

m. (2x + 3)2 y 4(2x + 3) n. 2x – e –3x y x2 +

j. e –x y –e –x

ñ. ln(x + 1) y

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 81

x5 5

e–3 x 3

1 x +1

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

Propiedades de la integración En sus inicios, el cálculo de la derivada y la integral fue utilizado para resolver cuatro problemas:

• Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo, encontrar la velocidad y la aceleración. Estos problemas fueron analizados desde el siglo XVII, y desarrollados en las obras del filósofomatemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton.

• Encontrar la recta tangente a una curva, en un punto. • Encontrar los valores mínimo y máximo. • Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

Actividades resueltas 1. Integra las siguientes funciones reales. Si n es un número racional, con n ≠ –1, entonces: xn + 1 n x dx = +c ∫ n+1 Si n = –1, entonces: 1 ∫ x dx = ln ( x ) + c

a. f(x) = 3x5

∫ 3x

5+1

x x6 x6 dx = 3 ∫ x 5 dx = 3 °° +c=3 +c= +c 5 +1 6 2

5

b. f(x) = 5 3 x

∫5

3

1 3

x dx = 5∫ 3 x dx = 5∫ x dx = 5 °°

1 +1 3

4 3

x x +c=5 +c 1 4 +1 3 3

15 3 4 15 43 x +c= x +c 4 4 3 c. f(x) = 3 x 3 1 x –3 + 1 –3 = = = ° ° +c dx 3 dx 3 x dx 3 ∫ x3 ∫ x3 ∫ –3 + 1 =

Sean f y g dos funciones y k un número real, entonces:

• ∫ k dx = k ∫ 1dx = kx + c

x –2 3 = 3 °° +c=– 2 +c –2 2x 5 d. f(x) = x 5 1 ∫ x dx = 5∫ x dx = 5ln ( x ) + c

• ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx • ∫ [ f ( x ) ± g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

2. Aplica propiedades para integrar las siguientes funciones reales. a. f(x) = 2x 4 – x 1 2

4 +1

1 +1 2

3 2

x x 2 x x dx = 2 ∫ x 4 dx – ∫ x dx = 2 °° + c1 – + c2 = x 5 + c1 – + c2 1 3 5 4 +1 +1 2 2 2 3 2 5 2 3 2 5 2 3 2 5 = x + c1 – x + c2 = x – x + ( c1 + c2 ) = x – x +c 5 3 5 3 5 3 x b. f(x) = 3x –1 + 4 1 1 x1 + 1 1 x2 x2  –1 x  –1 3x + dx 3 x dx x dx 3ln x c ° ° + c = 3ln x + ° ° + c = 3ln x + +c = + = + + ( ) 1 ( ) ( )  2 ∫  ∫ 4 4∫ 4 1+ 1 4 2 8

∫ (2x

4

82

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)

– x dx = ∫ 2x 4 dx –

∫

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza las afirmaciones. Luego, responde. x –1 + 1 x0 +c= + c, entonces, la integral de x–1 no existe. –1 + 1 0 x1 + 1 x2 x3 • ∫ x 2 dx = ∫ x °°x dx = x ∫ x dx = x °° + c = x °° + c = +c 1+ 1 2 2 a. ¿Son verdaderas las afirmaciones? b. Corrige las falsas y explica los errores cometidos. • Como ∫ x –1 dx =

83

Actividades propuestas 1. Resuelve las siguientes integrales. a. ∫ x dx

e. ∫

b. ∫ 4dx

f.

c. ∫

x3 dx 2

d. ∫ 4x 3 dx

3 dx x5

∫ 7x

g. ∫

–6

dx

1 dx 3x 2

2

i.

∫ 4x 3 dx

j.

∫

k. ∫

h. ∫ 3 x dx

l.

∫

4 x3 1

4

x5 2 x

–

2 3

dx dx dx

2. Aplica propiedades para resolver cada integral. a. ∫ ( x 4 + x ) dx

3 2 e. ∫ ° 3 –  dx x 3x 

b. ∫ ( 3x 4 – 4x ) dx

f.

c. ∫ ( –x –3 + 3x ) dx

g. ∫ ( 4x –4 – 1) dx

 x2 1  d. ∫  + – 2 dx  3 x 

h. ∫



∫ 

(

x3 +

4

i.

1   dx x

j.

1 1   3 2 + x x – x ∫   dx

° 1 – 2 – 1  dx 3 x 2

∫  4x

° –2 4  k. ∫  x 3 – dx x  

)

x – x 3 dx

l.

° 5 3 x 4 – x –1 – 5 dx 

∫  2

3. Resuelve cada integral. Para ello, expresa la fracción como una suma de fracciones. a. ∫

2x + 3 dx x

f.

b. ∫

x 3 – 5x dx 3x

g. ∫

1 + 4x 4 dx 5x –2

c. ∫

x – 4x 3 dx x

h. ∫

1 – 3x 2 dx x4

4 x –1 dx d. ∫ x2 e. ∫

x3 + 4 dx x

∫

–x + 1 dx x

Ayuda Recuerda que: 2x + 3 2x 3 = + x x x 3 =2+ x

1 + 3x –3 i. ∫ dx 2x j.

∫

3x – 1 dx x −1 Unidad 3

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Límite, derivada e integral

01-01-16 16:06

Métodos de integración En las secciones anteriores has calculado integrales de algunas funciones, encontrando directamente antiderivadas; sin embargo, esto no siempre es simple de realizar. Por ejemplo:

∫ 2xe

x2

Para resolver esta integral indefinida, se debe 2 Para ello, encontrar una antiderivada de∫ 2xe x . dx es posible realizar una sustitución, obteniendo la integral de una función, de la cual, encontrar una antiderivada es más simple. • ¿Cuál crees que puede ser dicha sustitución?

dx

Actividades resueltas La integración por sustitución consiste en lo siguiente: Si u = g(x) es una función derivable e y = f(x) es una función continua, entonces:

1. Resuelve cada integral. Para ello, utiliza una sustitución. 2

a. ∫ 2xex dx

2

Sea I = ∫ 2xex dx. Considerando, u = x2, se tiene que: du = 2x ⇒ du = 2x dx dx Reordenando y reemplazando: I = ∫ ex 2x dx = ∫ eu du

∫ f (g ( x )) g' ( x ) dx = ∫ f (u) du

2

Integrando:

∫e

x

2

2x dxI == ∫ eu du = eu + c

2

Expresando en términos de x, se tiene que ∫I 2xe = x .dx b. ∫ 2x x 2 + 1dx

La integración por partes consiste en lo siguiente: Si f y g son funciones continuas y derivables, entonces:

∫ f ( x ) g' ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) – ∫ g ( x ) f' ( x ) dx

Sea I = ∫ 2x x + 1dx. Considerando, u = x + 1, se tiene: o bien, considerando sustituciones: du = 2x ⇒ du = 2x dx ∫ udv = uv – ∫ v du dx Reordenando, reemplazando e integrando: 1 2 3 I = ∫ 2x x 2 + 1dx = ∫ x 2 + 1 °°2x dx = ∫ u du = ∫ u2 du = u2 + c 3 Por lo tanto: 3 3 2 2 I = ∫ 2x x 2 + 1dx = ( x 2 + 1) 2 + c = x 2 + 1) + c ( 3 3 2

2

(

)

2. Aplica la integración por partes para resolver lo siguiente. a. ∫ xex dx

Para aplicar la integración por partes, se debe identificar u y la derivada de v, es decir, dv. Luego, con estos datos se calculan du y v. En este caso: u = x, dv = ex dx ⇒ du = dx, v = ex Luego: b. ∫ ln ( x ) dx

∫ xe

x

dx = xex – ∫ ex dx = xex – ex + c

1 dx, v = x. Luego: x 1 ∫ ln ( x ) dx = ln ( x ) x – ∫ x x dx = xln ( x ) – ∫ 1dx = xln ( x ) – x + c

Sean u = ln(x), dv = dx, entonces, du =

84

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza cada resolución. Luego, responde. Si ∫ e2x dx y considerando u = 2x, entonces: u

∫ e 2du = 2∫ e

u

du = 2eu + c = 2e2x + c

Para ∫ xe x dx , es posible considerar u = ex y dv = x dx. Luego, du = ex dx y v = Con esto, la integral resultante es posible resolverla directamente.

x2 . 2

85

a. ¿Son correctas las resoluciones? De existir errores, explica cuáles son y corríjelos.

Actividades propuestas 1. Utiliza la sustitución propuesta en cada caso para integrar. a. ∫ x 2 x 3 + 2 dx, u = x 3 + 2 –

2

b. ∫ x 3 ( x 4 + 1) 3 dx, u = x 4 + 1 c.

∫

(

x +2

)

dx, u = x

x

3

e. ∫ 2x ( x 2 + 1) dx, u = 2x

∫

2x + 1 dx, u = x 2 + x – 1 x + x –1 2

1

h. ∫

x

3

d. ∫ x ( x 3 – 3 ) dx, u = x 3 – 3

f.

g. ∫

x2

dx, u = x 3 – 3

3

x –3

(

2

)

x +1

4

dx, u = x + 1

i.

∫ x (ln ( x ))

j.

3 4 4 ∫ x x – 3 dx, u = x – 3

k. ∫ xex l.

dx, u = ln ( x )

2

∫e

2

x

+1

dx, u = x 2 + 1

ex + 4 dx, u = ex + 4

m. ∫ n. ∫ ñ. ∫ o. ∫

x

e

dx, u = x

x

ex – e– x dx, u = ex + e– x x –x e +e 1

xln

( x)

dx, u = ln

e2 x

(e

2x

3

+ 1)

( x)

dx, u = e2 x + 1

p. ∫

ln ( x ) dx, u = ln ( x ) x

q. ∫

x dx, u = x 2 + 4 x +4 2

2. Utiliza una sustitución adecuada para integrar. a. ∫

6x

(x

2

4

– 3)

dx

f.

g. ∫

b. ∫ 3x x 2 – 7 dx c. ∫

x2

(x

3

2

– 1)

dx

2 3

)

2

3x

– 3)

6x

3

(3x

4

4

– 3)

dx

Desafío dx

Demuestra que: b

a ∫ x (1 – x ) dx

h. ∫ 3 1 – 3x dx

d. ∫ x 2 ex dx e. ∫ 4x ( 8 – 2x

∫ (2e

e3 x

dx

3

i.

∫ (3x – 1)

j.

∫ xln ( x ) dx

3

es igual a: b ∫ x (1 – x ) dx a

dx

1

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 85

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:07

3. Utiliza en cada caso la sustitución propuesta, para aplicar integración por partes. a. ∫ xe2 x dx, u = x

e. ∫ xe– x dx, u = x

b. ∫ x 2 ln ( x ) dx, u = ln ( x )

f.

c. ∫ x 2 e–3 x dx, u = x 2

g. ∫ x ln ( x ) dx, u = ln ( x )

d. ∫ xln ( x ) dx, u = ln ( x )

h. ∫

∫ ln ( x ) dx, u =

x3 4+x

2

x

dx, u = x 2

i.

∫ 2xe

j.

∫ x ln ( x ) dx, u = x

x

dx, u = x

2

k. ∫ xe–3 x dx, u = x l.

∫ xln (2x ) dx, u = x

4. Analiza la información. Luego, utiliza una sustitución trigonométrica para resolver cada integral. En algunos casos, los métodos de sustitución simple y de integración por partes no bastan para calcular integrales. Un método que podría servir es el de sustitución trigonométrica. Para ello, es necesario considerar las siguientes derivadas: • (secx)' = secxtanx • (senx)' = cosx • (cosx)' = –senx • (tanx)' = sec2x Por lo que: • •

∫ senx dx = – cos x + c ∫ sec x dx = tan x + c

•

2

•

∫ cos x dx = senx + c ∫ tan x dx = ln (sec x ) + c

• •

∫ cos ec x dx = – cot anx + c ∫ cot anx dx = ln (senx ) + c 2

Las posibles sustituciones trigonométricas, según la función a integrar son: Forma de la expresión

Sustitución

Identidad

a2 – x2

x = asenθ

1 – sen2θ = cos2θ

a2 + x2

x = atanθ

1 + tan2θ = sec2θ

x2 – a2

x = asecθ

sec2θ – 1 = tan2θ

Por ejemplo, para resolver

∫x

1 2

2

x +4

dx , se tiene x = 2tanθ, dx = 2sec2θ dθ y:

x 2 + 4 = 4 tan2 θ + 4 = 4 ( tan2 θ + 1) = 4 sec2 θ = 2 sec θ Sustituyendo:

∫x

1 2

x2 + 4

dx =

2 sec2 θ 1 sec θ 1 cos θ ∫ 4 tan2 θ °°2 sec θdθ = 4 ∫ tan2 θdθ = 4 ∫ sen2θdθ

Luego, considerando u = senθ, se tiene du = cosθ dθ, entonces: 1 1 cos θ 1 1 1 –2 1 1 ∫ x2 x2 + 4 dx = 4 ∫ sen2θ dθ = 4 ∫ u2 du = 4 ∫ u du = – 4u + c = – 4senθ + c Expresando en términos de x, y considerando el triángulo rectángulo dado, se tiene:

∫x 86

U3_Mat_3y4(PE).indd 86

1

2

1 +c=– dx = – 2 4senθ x +4

x2 + 4 4x

x2 + 4

x

+c 2

θ

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

a. ∫ b. ∫ c. ∫

1 x

2

x

2

x

2

2

x –9 1 9 – x2 1 2

x +1

1

d. ∫

dx

e. ∫ x x 2 + 1dx

dx

f.

2

x –4

∫x

1 2

Información complementaria

dx

dx

36 – x 2

•• senθ = x ⇒ θ = arcsenx •• cosθ = x ⇒ θ = arccosx •• tanθ = x ⇒ θ = arctanx

dx

87

5. Analiza la información. Luego, aplica fracciones parciales para resolver cada integral. P ( x) , donde P(x) y Q(x) son polinoQ( x)

Para facilitar la integración de funciones racionales del tipo

mios, es posible descomponer en fracciones parciales. Los tipos de fracciones parciales que se obtienen son 4 y dependen del tipo de factorización de Q(x). En este texto solo se considerarán las siguientes fracciones parciales: • Tipo I: Q(x) es factorizado solo con expresiones lineales distintas. Por ejemplo: 1

=

( x + 2 )( x – 1)

A B + x + 2 x –1

• Tipo II: Q(x) es factorizado solo con expresiones lineales, pudiendo repetirlas. Por ejemplo: 1 A B C = + + x + 2 x – 1 x – 1 x + 2 x – 1 ( )( )( ) ( x – 1)2 Luego, el problema se reduce a calcular los valores de las constantes A, B, C, etc., que aparecen en la descomposición. Por ejemplo: 1

( x + 2 )( x – 1)

=

A B + x + 2 x –1

/ ⋅ ( x + 2 )( x – 1)

1 = A ( x – 1) + B ( x + 2 ) 1 = ( A + B) x + ( 2B – A ) Como esta igualdad es entre polinomios, se tiene que: 0 = A + B y 1 = 2B – A Entonces, A = – Por lo tanto:

1 1 yB= . 3 3 1

=–

( x + 2 )( x – 1) a. ∫ b. ∫ c. ∫

1

dx

d. ∫

dx

e. ∫

( x + 2 )( x – 1) 1

( x + 1)( x – 1) x

( x + 1)( x + 2 )

dx

f.

x–8 2

( x – 2)

1 1 . + 3 ( x + 2 ) 3 ( x – 1)

dx

5x + 3 dx ( x + 3 )( x – 1) x 2 + 2x + 3

∫ ( x + 1) ( x – 1) 2

dx

7x + 3 dx ( x + 4 )( x – 1)

h. ∫

x 2 + 2x – 1 dx x ( 2x – 1)( x + 2 )

i.

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 87

g. ∫

∫

5x 2 – 36x + 48 2

x ( x – 4)

dx

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:07

Integrales definidas Sea f una función continua en un intervalo [a, b]. Si dicho intervalo es dividido en n subintervalos de b–a ancho ∆ x = , y de cada uno de esos subintervalos se considera un xi, entonces, se generan n n rectángulos de base ∆ x y altura f(xi). La suma de las áreas de los rectángulos se denomina "suma de Riemann". Por otra parte, si la cantidad de intervalos aumenta, tendiendo al infinito, es decir, n → ∞, la suma de las áreas de los rectángulos es el área bajo la curva de f, entre los valores x = a y x = b. Dicho límite se denomina "integral definida de f, entre a y b". Y

Y

∆x

0

a



y = f(x)

xi

b

Suma de Riemann

X

n

∑ f ( x i ) · ∆ x i=1

0

a

b

b

X

n

∫ f ( x ) dx = lim ° f ( xi ) · ∆x = Área bajo la curva n→ ∞

a

i=1

Actividades resueltas 1. Calcula las siguientes integrales definidas en cada intervalo.

El teorema fundamental del cálculo establece que si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces:

1 2

a. ∫ 3x dx 0

1

∫ 3x 0

2

1

dx =  x 3 0 = 13 – 03 = 1

b

∫ f ( x ) dx = F (b) – F ( a )

6

1 b. ∫ dx x 3

a

donde F es una antiderivada de f, esto es, F'(x) = f(x).

6

1 6  6 ∫3 x dx = [ln ( x )]3 = ln (6) – ln (3) = ln  3  = ln (2)

2. Calcula el área de la superficie limitada por la gráfica de y = x2, y = 0 y x = 1. La superficie descrita está representada en el gráfico y su área se calcula de la siguiente manera:

Y y=x

2

1

0

88

U3_Mat_3y4(PE).indd 88

1

1

 x3  13 03 1 x dx = = – = 3 ∫0 3 3  0 3 2

1

X

Es decir, el área (A), en unidades del plano cartesiano (u), de la región descrita es: 1 A = u2 3

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Aprendiendo del error Analiza cada resolución. Luego, responde. 2

2

° x 2  12 22 1 3 ∫1 x dx =  2  = 2 – 2 = 2 – 2 = – 2 1 Si f(x) = c, con c una constante, entonces: b

∫ f ( x ) dx = c (b – a )

89

a

a. ¿Son correctas las resoluciones? De existir errores, explica cuáles son y corríjelos.

Actividades propuestas 1. Calcula las siguientes integrales definidas. 1

2

0

1

8

2

0

1 ∫4 3x dx

–1

8

b. ∫ ( 4x + 1) dx c.

1 i. ∫ 3 dx x 2

e. ∫ e dx

a. ∫ x dx

f.

2 ∫–2 x2 dx

0

l.

1

x–3 dx x

1

ex – 1 dx ex 0

ñ. ∫

1 dx x+2 –1

∫ senx dx

o. ∫

0

–3

4

n. ∫

1

°

h. ∫ (1 – x ) dx

2

2 3  3 x + x ∫0   dx

k. ∫ ( ex – e– x ) dx

–1

4

0

1

0

2

m. ∫ cos x dx

8

j.

g. ∫ x dx

d. ∫ ( x 2 + 3x ) dx

°

5

2x

3

2. Calcula el área bajo la curva que representa cada función, según el intervalo dado. a. f ( x ) = x , x ∈ [1, 4]

d. f(x) = ex, x ∈ [–1, 1]

g. f(x) = x3, x ∈ [2, 4]

b. f(x) = x2, x ∈ [2, 3]

e. f(x) = x, x ∈ [1, 3]

h. f(x) = senx, x ∈ [2π, 3π]

f. f(x) = x2 + 1, x ∈ [0, 1]

π π i. f(x) = cosx, x ∈  – ,  ° 2 2 

c. f ( x ) =

1 , x ∈ [1, 2] x2

3. Calcula el área de la región pintada. a.

b.

Y 1

Si f y g son funciones continuas, tales que: f(x) > g(x) > 0 Entonces, el área de la región limitada por sus gráficas, entre a y b es:

1

y= x

y = x2 y = x2

0

Ayuda

Y

b

y = x3 1

X

0

A = ∫ ( f ( x ) – g ( x )) dx 1

X

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 89

a

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:07

Más práctica Casi has llegado al final de esta unidad. Te invitamos a practicar un poco más de algunos temas estudiados.

1. Calcula los siguientes límites. 2

( x + 3) e. lim

x 2 – 7x + 10 a. lim x° 2 x2 – 4

x°

2

f. lim

x° 0

–9

x

x→0

x +x–2 –1 x2 – 1

x 2 + 12 – 12

° 1 1  – g. lim  x→0 5 + x 5 – x 

d. lim

( x – 4) h. lim

5– x x → 25 25 – x

3

9–x x –3

x→4

x→∞

si x ≤ 1 si x > 1

c. lim

si x ≤ 2 si x > 2

d. lim

x2 – 4 x+4 –3 x–5

x° 5

Tema 5: Integrales

7. Resuelve las siguientes integrales. c. ∫ ln ( 3x ) dx

a. ∫ e–5x dx b. ∫

x dx x +3 2

d. ∫ x 2 ex dx

8. Calcula las siguientes integrales definidas en

discontinuidad.

cada intervalo. 4

a. ∫ ( x 3 + 2 ) dx

Y

1

3

e. ∫ 0

ln( 5)

4

b.

∫( )

1

X 1

2

3

d. ∫

–2

x 2 + 9 dx

2°

1

–1

∫x

g. ∫ cos x dx

c. ∫ 3 x dx y = f(x)

f.

0

2

2

1 dx x +1

4

e3 x dx

ln 2

3

0

+4 6x – 5 x+2 –4 3

x° 2

4. Analiza el gráfico y determina los puntos de

–1

x – 2x x 3

x2 + a si x ≤ 2  f ( x ) =  x + 2b si 2 < x ≤ 5 16 + 2ax si x > 5 

–2

6. Aplica la regla de L'Hôpital y calcula.

( x + 4) b. lim

x – 3 si x ≤ 4 c. f ( x ) =  si x > 4  –1 3. Determina los valores de a y b para que y = f(x) sea continua en x = 2 y en x = 5.

–3

x x+4 5

x + x2 3–x 1 f. f ( x ) = 2–x 2 g. f ( x ) = 3 x +5 x h. f ( x ) = ln ( x + 3 ) e. f ( x ) =

Tema 4: Regla de L'Hôpital

x→0

2. Analiza la continuidad de cada función.

–4

d. f ( x ) =

a. lim

4–x

Tema 2: Funciones continuas 0 a. f ( x ) =  x – 1 x2 b. f ( x ) =  x + 3

b. f(x) = x4e3x c. f ( x ) = 3x + 4

x2

c. lim

x→9

5. Calcula la derivada de cada función. a. f(x) = x2 + 5x – 7

Tema 1: Límites

b. lim

Tema 3: Derivadas

1

0

3 dx

( x – 1)

°

h. ∫ senx dx –°

4

–1

90

U3_Mat_3y4(PE).indd 90

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Más actividades Realiza la siguiente actividad que considera contenidos de esta unidad.

Carrera al cálculo

»»El juego consiste en lanzar dos veces un dado de seis caras numeradas del

1 al 6. El primer lanzamiento indica la posición en la que cae el participante; mientras que el segundo lanzamiento corresponde a la operación que debe realizar con la expresión correspondiente: derivación, si es par, o integración, si es impar. Si el participante calcula correctamente conserva la posición; de lo contrario, vuelve al lugar en el que estaba.

4. 3 x

1 3x 13. e2x + 1 14. 2 x x +5 15. xex

5. x – 3

16. e2x

6. x

17. 1 x 18. 3x 2 19. x–2

1. x2

21. x(x2 + 1)2 22. x2ex 23.

1 xln ( x )

21 20 19 18

13

20. ln(x)

17

5 4 3 2 1

16

14 15

Inicio

Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 91

22

12

4 x2 9. 1 x 10. 12 x 11. x2 + 1 x +x

8.

6

11

7. 2x + 5x3

7

x2 + 3

23

10

3. 3x4

Final

9

x

8

2.

12.

91

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:07

Para finalizar Para terminar la unidad resuelve la siguiente evaluación.

1. Con respecto a la función graficada, ¿cuál de las alternativas es falsa?

4. Del gráfico de la función f, ¿cuál de las alternativas es verdadera? Y

Y

3

1

–3

2

–2

X

A. lim f ( x ) no existe

A. lim + f ( x ) = ∞

B. lim+ f ( x ) = 3

B. lim – f ( x ) = – ∞

C. lim f ( x ) no existe

C. lim f ( x ) = 1

D. lim− f ( x ) = 3

D. lim f ( x ) = 1

E. lim f ( x ) > 0

E. lim f ( x ) = 1

x → –3

x → –2

x→2

x → –2

x→2

x→0 x →1

x→2 x→0

x→∞

2. El límite de la función graficada, cuando x tiende a 2 es:

2 1 1

2

X

A. No existe B. 0 C. 1 D. 2 E. 4 x→3

lim ( 2f ( x ) – g ( x )) es:

x→3

A. –1 B. 0 C. 3 D. 4 E. No existe

U3_Mat_3y4(PE).indd 92

x→4

x3 – 1 ? x →1 x – 1

6. ¿Cuál es el valor de lim A. 0 B. 3 C. 9 D. 27 E. No existe

3. Si lim f ( x ) = 1y lim g ( x ) = – 2 y entonces,

92

5. Si f(x) = 7, entonces, lim f ( x ) es: A. 0 B. 4 C. 7 D. 11 E. 28

Y

x→3

X

3x 4 + 2x 2 – 3 ? x→∞ 2x 4 + 24

7. ¿Cuál es el valor de lim A. 1 B. 1,5 C. 3 2 D. 3 E. No existe

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Evaluación final 13. ¿Cuál de las alternativas es verdadera

8. ¿Cuál es el lim ( x – x + 1)?

respecto a f?

x→∞

A. –∞ B. –1 C. 0 D. 1 E. ∞

2x si x < – 1  f ( x ) =  –2 si – 1 ≤ x < 2  –x si x > 2  2

1

 9. ¿Cuál es el valor de lim  – ? x →0° x x A. 0 B. 1 C. 2

D. 4 E. No existe

x→0

D. lim f ( x ) = – 2 x→3

E. lim– f ( x ) = – 2

14. Si f(x) = x–1 + x + x2, entonces, f'(x) es: A. 0 B. 1 + x C. x–2 + 1 + 2x D. –x–2 + 2x E. –x–2 + 1 + 2x

15. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a

11. Respecto al gráfico de f, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? Y 2 1

–1

1

3

X

A. f es discontinua en x = –1 B. f es continua en x = 3 C. f es discontinua en x = 0 D. f es continua en x = 1 E. f es continua en x = 2

12. ¿Para qué valor de k, f es continua en x = 3?  x 3 – 2x + k si x ≠ 3 f ( x) =  si x = 3 7

la gráfica de f(x) = x2 + 1, en el punto (2, 5)? A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. 9 x +1 16. ¿Cuál es la derivada de f(x) = ? x 1 A. 1 D. 2 x 1 2x – 1 B. – 2 E. 2 x x 1 C. – x

17. ¿Cuál es la derivada de f(x) = x –1 ? A. –

1

2 x3 1 B. – 2 x 1 – C. 2 x3 1 D. – 2 x 1 – 3 E. x Unidad 3

U3_Mat_3y4(PE).indd 93

93

C. lim f ( x ) = – 1

x→2

x +1 10. ¿Cuál es el valor de lim ? x →1 x + 1 A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. No existe

A. –14 B. 0 C. 3 D. 7 E. 14

A. f es discontinua en x = –1 B. f es continua en x = 2

Límite, derivada e integral

01-01-16 16:07

Para finalizar 18. Si xy = ey es una función implícita, entonces: A. y ' = B. y ' = C. y ' = D. y ' =

y ey − x x y e +y x y e –y y y e –y

entonces, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? b

A. ∫ F ( x ) dx = f (b ) – f ( a ) a

b

B. ∫ f ( x ) dx = F (b ) – F ( a ) a

b

C. ∫ F ( x ) dx = f ( a ) – f (b )

E. y' = ey – x

19. ¿Cuál de las siguientes funciones no es una antiderivada de f(x) = 2x + 1? A. G(x) = x2 + 1 B. H(x) = x2 + x C. P(x) = x2 + x + 1 D. Q(x) = x2 + x – 1 E. R(x) = x2 + x – 3

20. ¿Cuál es el valor de A. 4x + 1 + c B. 5x5 + 2x2 + c C. x5 + x3 + c x3 D. + 1 + c 3 x 5 x2 +c E. + 5 2 3

23. Si F es una antiderivada de f en [a, b],

∫ (x

4

+ x ) dx ?

a

b

D. ∫ f ( x ) dx = F ( a ) – F (b ) a

b

E. ∫ f ( x ) dx = f (b ) + f ( a ) a

3

24. ¿Cuál es el valor de ∫ x dx ?

25. Con respecto al gráfico, ¿cuál es el área pintada? Y

21. ¿Cuál es el valor de ∫ e –3x dx?

f(x) = x2 – 1

e–3 x +c 3 B. –3e –3x + c C. e –3x + c D. –e –3x e–3 x E. 3

3

A. –

22. ¿Qué expresión corresponde a ∫ f ( x ) g' ( x ) dx? A. f ( x ) g ( x ) + ∫ g ( x ) f' ( x ) dx

B. f ( x ) g ( x ) – ∫ g ( x ) f' ( x ) dx C. f' ( x ) g ( x ) – ∫ g ( x ) f' ( x ) dx D. f ( x ) g ( x ) – ∫ g' ( x ) f ( x ) dx E. f ( x ) g' ( x ) – ∫ g ( x ) f' ( x ) dx

94

U3_Mat_3y4(PE).indd 94

1

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8

0

1

2

X

–1

1 3 2 B. 3 C. 1 4 D. 3 E. 2 A.

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Unidad

4

Funciones trigonométricas Razones trigonométricas C b A

α

a c

β

B

a b senα = ; senβ = c c b a cosα = ; cosβ = c c a b tanα = ; tanβ = b a Razones trigonométricas recíprocas 1 1 , secα = cosec α = senα cosα 1 cotanα = tanα

U4_Mat_3y4(PE).indd 95

Forma trigonométrica de un número complejo z z = | z |(cosα + isenα) Multiplicación de complejos en forma trigonométrica z1 · z 2 = | z1 | · | z 2 | cis(α + β) z1 z1 = cis (α – β ) z2 z2 Fórmula de De Moivre zn = | z |n (cos(nα) + isen(nα)) z–n = | z |–n (cos(–nα) + isen(–nα)) Identidades trigonométricas sen2α + cos2α = 1 cotan2α + 1 = cosec2α tan2α + 1 = sec2α senα cosα tanα = cotanα = cosα senα

1 1 cotanα = cotanα tanα cosα = 1 – sen2α tanα =

senα = 1 – cos2α sen(α ± β) = senαcosβ ± cosαsenβ cos(α ± β) = cosαcosβ senαsenβ sen2α = 2senαcosα cos2α = cos2α – sen2α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sen2α 2tanα tan2α = 1– tan2 α Teorema del seno senα senβ senγ = = a b c Teorema del coseno a2 = b2 + c2 – 2bc · cosα

01-01-16 16:06

Para comenzar Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que debieras conocer. Tema 1: Ecuaciones racionales

1. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales. a.

x–2 3x + 1 = 2x + 3 6x – 6

b.

1 1 1 + = 2x – 2 3x + 3 6x – 6

c.

1 2 1 = 2 – 2 x–3 x –9 x +x–6

Tema 2: Teorema de Pitágoras y su recíproco

2. Resuelve los siguientes problemas. a. Tres piscinas cuadrangulares están dispuestas de tal forma que encierran un terreno en forma triangular. Si la longitud de cada lado de la primera piscina es 10 m; de la segunda, 24 m; y de la tercera, 26 m, ¿cuál es el área del terreno central formado por ellas? b. ¿Cuál es el perímetro y área de la siguiente figura? A

AC = 8 cm 4,4 cm E

B

4,8 cm

6 cm

D

C

Tema 3: Teorema de Euclides

3. Analiza la figura. Luego, responde. C

a. Si q = 2 cm y p = 8 cm, ¿cuál es el valor de hc? a

b. Si a = 10 cm y q = 5 cm, ¿cuál es el valor de c?

B

b

hc q

D c

p

A

c. Si a = 3 cm y b = 4 cm, ¿cuál es el valor de hc?

96

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Evaluación inicial Tema 4: Funciones

4. Analiza las funciones reales dadas por las siguientes reglas de formación. Luego, determina su dominio y su recorrido. b. f(x) =

a. f(x) = (x + 3)2 – 3

x –1

c. f(x) =

x +1

log x x+2

97 5. Valoriza las funciones reales definidas por las siguientes reglas de formación. a. f(x) = (x – 1)2 – 2; en x = 1

b. f(x) =

3x – 4 x–3

; en x =

4 3

c. f(x) =

4x ; en x = –0,5 2x – 1

6. Representa gráficamente las funciones reales definidas por cada regla de formación. a. f(x) = (x – 5)2 + 2

b. f(x) = 4x – 1

c. f(x) =

x +1 x

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Ecuaciones racionales

Teorema de Euclides

Teorema de Pitágoras y su recíproco

Funciones

Unidad 4

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Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

Sistemas de medición angular Los ángulos pueden ser medidos en distintos sistemas de medición; los más comunes y utilizados son: • Sistema sexagesimal • Sistema centesimal • Sistema radial o radián 360 partes congruentes 400 partes congruentes

O

1 ángulo completo es de 360o 1o = 60' 1' = 60''

O

1 ángulo completo es de 400g 1g = 100min 1min = 100seg

O

r α

r r

1 ángulo completo es de 2π rad 1 rad = α π rad = 180o

Actividades resueltas 1. Demuestra que π rad = 180°. Para demostrar la relación entre los radianes y grados sexagesimales planteada, considera lo siguiente: 1.° 1 rad = α, donde α es un ángulo que subtiende un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia. 2.° La medida sexagesimal del ángulo del centro de una circunferencia es 360°. 3.° La longitud de la circunferencia de radio r es 2πr. 4.° Estableciendo y resolviendo una proporción, se tiene: 360° 2πr ⇒ 2π rad = 360° ⇒ π rad = 180° = 1rad r Por lo tanto, π rad = 180°.

2. Expresa 15° en radianes. Como ya se demostró, π rad = 180°. Luego: 1 π rad 180° ⇒ 15π = 180x ⇒ x = π = 12 x rad 15° 1 Por lo tanto, 15° son equivalentesx a = π radianes. 12 3 3. Expresa π rad en grados sexagesimales. 4 Utilzando proporciones se tiene: π rad 180° ⇒ x = 135 = 0,75π rad x° 3 Por lo tanto, π rad son equivalentes a 135°. 4

98

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En el sistema sexagesimal, la unidad es el grado sexagesimal (o) y corresponde a la división del ángulo completo en 360 partes congruentes. 1o equivale a 60 minutos sexagesimales En el sistema y 1 minuto a centesimal, la 60 segundos unidad es el grado sexagesimales. centesimal (g) y corresponde a la división del ángulo completo en 400 partes congruentes. 1g equivale a 100 minutos centesimales y 1 minuto centesimal a 100 segundos centesimales.

En el sistema radial, la unidad es el radián (rad) y su medida es equivalente a la del ángulo del centro de la circunferencia, que subtiende un arco, cuya longitud es igual a la del radio de dicha circunferencia.

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza las conversiones. Luego, responde. • Expresa 250g en grados sexagesimales.

Información complementaria

360° ⋅ 250 360° x° ⇒ = = x° ⇒ x = 225 g g 400 250 400g • Expresa 25o 30' 15'' solo en grados sexagesimales. g

En 1871, James Thomson ya utilizaba el término radián como variante de rad o radial.

1° 60' 1° 3.600'' ⇒ x = 0,5 ⇒ x = 0,00416 = = x° 30' x° 15'' Por lo tanto, 25o 30' 15'' son equivalentes a 25,50416°.

99

a. ¿Existen errores en las conversiones? De ser así, corrígelos. b. ¿Comprendiste cómo realizar las conversiones? Comenta con un compañero o compañera.

Actividades propuestas 1. Expresa en el sistema señalado para cada caso. a. 10° a radial b. 20° a radial c. 30° a radial d. 10° a centesimal e. 20° a centesimal f. 30° a centesimal g. 50° a radial

h. 75° a radial i. 90° a radial j. 50° a centesimal k. 75° a centesimal l. 90° a centesimal m. 0,5π rad a sexagesimal n. 1,8π rad a sexagesimal

2. Representa en el plano gráficamente los siguientes ángulos. a. 50°

f. 100g

b. 90°

g.

c. 120°

h. π radianes

d. 50g

i.

e. 2π radianes

ñ. 3π rad a sexagesimal o. 0,5π rad a centesimal p. 1,8π rad a centesimal q. 3π rad a centesimal r. 30'' a radial s. 45° 40' a radial t. 60° 10' 15'' a centesimal

Ayuda Si al construir un ángulo, se hace según el sentido en el que giran las manecillas del reloj, entonces, dicho ángulo se denota, anteponiendo un signo menos "–".

π radianes 6

2π radianes 3 5π j. radianes 6

–α Sentido antihorario

3. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la longitud en radianes de un cuarto de circunferencia?

α

b. Si π = 3,14, ¿cuántos radianes son 30 grados sexagesimales? c. En una circunferencia de radio r = 15 cm, ¿cuál es la longitud en grados sexagesimales del arco π subtendido por un ángulo de radianes? 6 d. ¿Cuál es el radio de una circunferencia, si se sabe que la longitud del arco que subtiende un ángulo de 1,5π radianes es 60π cm? Unidad 4

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Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Guía de observación Transportador

Hilo y plomada

Utiliza un medidor de ángulos como el de la imagen y podrás estimar la altura de diversos objetos de gran tamaño. El uso de este instrumento está basado en las relaciones α dadas entre los ángulos interiores A: altura del de un triángulo observador rectángulo y sus lados. D: distancia al árbol

Actividades resueltas

Considera el siguiente triángulo rectángulo.

1. Supón que la estatura de la persona que está midiendo el án-

C

gulo es 1,75 m, que está a 5,8 m de la base del árbol y que el ángulo medido es 40°. ¿Cuál es la altura del árbol?

b

La figura que representa la situación es:

C

h: altura del árbol

A

α

a c

β

B

x A 1,75 m

40°

B

h

5,8 m

Donde h = x + 1,75 m. Como el triángulo ABC es rectángulo, es posible relacionar la medida del ángulo BAC, la longitud de su cateto opuesto y la de su cateto adyacente, mediante la tangente de 40°. Así: x tan40° = ⇒ x = 5,8 m ⋅ tan40° 5,8 m Utilizando una calculadora científica, es posible obtener que la tangente de 40°, redondeada a la centésima es 0,84. Por lo tanto, la altura aproximada del árbol es: h = (5,8 m · 0,84 m) + 1,75 m ≈ 4,87 m + 1,75 m ≈ 6,62 m

2. Calcula AC, considerando el triángulo de la actividad 1. Relacionando los 40°, el cateto adyacente y AC, se tiene: 5,8 m 5,8 m 5,8 cos40° = ⇒ AC = ≈ m ≈ 7,53 m AC cos40° 0,77

3. Calcula sen40°, considerando las actividades 1 y 2. 4,872 m ≈ 0,65. Valor muy similar al que se 7,53 m obtiene con calculadora. sen40° ≈

100

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En el triángulo rectángulo (como el dibujado), el seno de un ángulo es la relación por cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. a b senα = ; senβ = c c

En el triángulo rectángulo (como el dibujado), el coseno de un ángulo es la relación por cociente entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. b a cosα = ; cosβ = c c

En el triángulo rectángulo (como el dibujado), la tangente de un ángulo es la relación por cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo. a b tanα = ; tanβ = b a

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error

Ayuda

Analiza cada relación y verifícala en el triángulo rectángulo dado. De ser cierta para ese caso, marca un ✔, de lo contrario marca una ✘. Luego, responde. B β 5 cm C

B β 5 cm

13 cm α 12 cm

A

C

•• cos2α = cosα · cosα •• sen2α = senα · senα

13 cm α 12 cm

• cos2α + sen2β = 1

• cos2β + sen2β = 1

• cos2β + sen2α = 1

• cos2α + sen2α = 1

A

a. ¿Se cumplieron las relaciones propuestas? De ser así, ¿crees que se verifican en todos los triángulos rectángulos? Explica.

101

Actividades propuestas 1. Calcula las razones trigonométricas pedidas. Para ello, considera el

C

triángulo equilátero de altura CD, la que forma dos triángulos rectángulos congruentes. Luego, responde. a. cos30°

d. cos60°

b. sen30°

e. sen60°

c. tan30°

f. tan60°

30° 6 cm

6 cm 3 3 cm

A

• ¿Observas alguna relación entre las razones calculadas? De ser así, explica en qué consiste.

3 cm

60° B 3 cm

D

2. Con los resultados obtenidos en la actividad anterior, comprueba que se cumple: cos2α + sen2α = 1

3. Calcula las razones trigonométricas pedidas. Para ello, considera el

B

triángulo rectángulo e isósceles de base AB. Luego, responde. a. cos45°

b. sen45°

45°

c. tan45°

5 cm

• ¿Observas alguna relación entre las razones calculadas? De ser así, explica en qué consiste.

C

5 2 cm

5 cm

45°

A

4. Con los resultados obtenidos en la actividad anterior, comprueba que se cumple: cos2α + sen2α = 1

5. Calcula el valor de x en cada triángulo rectángulo. Puedes utilizar calculadora. a.

b. x 38°

8m

65°

c. x

12 m 45°

18 m

Unidad 4

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x

Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

6. Analiza las razones recíprocas de seno, coseno y tangente. Luego, considera cosα = el valor de cada razón trigonométrica pedida.

5 y calcula 13

1 1 • secante: sec α = senα cosα 1 • cotangente: cotan α = tanα

• cosecante: cosec α =

a. senα

b. tanα

c. cosecα

d. cotanα

c. secβ

d. cotanβ

c. secθ

d. cosθ

5 7

7. Si senβ = , calcula el valor de: a. cosβ

b. tanβ

6 , calcula el valor de: 11 a. cosecθ b. cotanθ

8. Si senθ =

9. Calcula los valores de las razones trigonométricas y sus recíprocos (expresadas en términos de α y β), considerando cada caso.

a. Un triángulo rectángulo de lados 10 cm, 24 cm y 26 cm. b. Un triángulo rectángulo de catetos 5 m y 9 m. c. Un triángulo rectángulo isósceles de catetos 6 cm. d. Un triángulo formado por los lados de un cuadrado de lado 10 cm y una de sus diagonales.

10. Resuelve los siguientes problemas. a. Si la altura de una torre es de 85 m, ¿cuál es la longitud aproximada de su sombra, cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 35° con el techo de la torre? b. La longitud de la sombra de un árbol, cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 55° con el suelo, es de 12 m. ¿Cuál es la altura aproximada del árbol? c. Considerando el ángulo formado por un rayo de Sol y el árbol, que en la imagen es de 62° y que el árbol tiene una altura de 18 metros (ver figura), ¿cuál es la longitud aproximada de la sombra proyectada por el árbol? d. En el ∆ABC, ¿cuál es el valor de x e y? B

18 m 62° Sombra proyectada

50° 65°

C

102

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x

D

y

100 m

A

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Razones trigonométricas para 30º, 45º y 60º cos30º

se n 4 5 º

tan60º sec60º

cotan30 º

cosec30º

cosec45º

se c 3 0 º

tan45º cos45º

se n 6 0 º

cotan60 º

La actividad consiste en extraer una tarjeta y demostrar el valor de la razón trigonométrica dado en las formalizaciones. Para ello, es posible utilizar la circunferencia goniométrica (circunferencia de radio 1) y formar en ella triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros. Analiza las formalizaciones y actividades resueltas.

Actividades resueltas

103

1. Colomba debe calcular sen45°. 1.° En este caso, se dibuja un ángulo del centro de 45º, cuB yos lados son radios unitarios 1 de la circunferencia gonioméx trica. 45º O C A 2x 45º 2.° Se forma un triángulo isósceles OCB, rectángulo en C. 1 3.° Según lo estudiado en el D triángulo rectángulo, sen45º = x/OB = x/1 = x. 4.° Se dibuja, de manera contigua, el ángulo –45º, formando así, el triángulo isósceles BOD, rectángulo en O, cuyos catetos son de longitud 1 y la hipotenusa 2x.

Para el ángulo de medida 30º, se tiene: • sen30º = 0,5 • cosec30º = 2 3 2 3 • tan30º = 3

• cos30º =

Para el ángulo de medida 45º, se tiene: 2 • cosec45º = 2 • sen45º = 2 • sec45º = 2 2 • cos45º = 2 • cotan45º = 1 • tan45º = 1

5.° Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene: 12 + 12 = (2x)2 ⇒ 2 = 4x2 ⇒ x2 = 0,5 Resolviendo y racionalizando, se obtiene que x1 = –

2 y 2

2 son las soluciones de la ecuación; sin embargo, 2 como se trata de la longitud de un segmento, se considera el valor positivo. x2 =–

Por lo tanto, sen45º =–

2 . 2

2. ¿Cuál es el valor de cos45°? Considerando la misma figura, cos45º = OC. Como en la ac2 , es posible tividad anterior se obtuvo que sen45º = x =– 2 aplicar el teorema de Pitágoras:

Para el ángulo de medida 60º, se tiene: 3 2 3 • sen60º = • cosec60º = 2 3 • cos60º = 0,5 • sec60º = 2

• tan60º = 3

2

 2 2 (OC) + x = 1 ⇒ (OC) +   = 12 ⇒ OC = 2  2  2

2

3 3

2 . 2

Unidad 4

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• cotan60º =

2

2

Por lo tanto, cos45º =–

2 3 3 • cotan30º = 3

• sec30º =

Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza el valor de verdad de cada afirmación. Luego, responde. • La tangente de un ángulo corresponde al cociente entre el seno y el coseno de dicho ángulo, sin importar cual es el dividendo y cual el sucesor. • El seno de un ángulo interior en un triángulo rectángulo, varía según las longitudes de los lados del triángulo rectángulo. • A medida que el ángulo del centro de la circunferencia goniométrica, del cual se quieren calcular sus razones trigonométricas, tiende a 90º, el seno de dicho ángulo tiende a 1 y el coseno del mismo, a 0. • A medida que el ángulo del centro de la circunferencia goniométrica, del cual se quieren calcular sus razones trigonométricas, tiende a 0º, el seno de dicho ángulo tiende a 0 y el coseno del mismo, a 90º. • Conociendo uno de los ángulos interiores distintos de 90º de un triángulo rectángulo y la longitud de uno de sus catetos o de su hipotenusa, es posible obtener la longitud de sus lados y ángulos restantes. a. Justifica las afirmaciones que son falsas y corrígelas para que sean ciertas. b. Representa gráficamente la tercera afirmación.

Actividades propuestas 1. Analiza cada imagen y explica paso a paso cómo calcular el valor de la razón trigonométrica dada. En caso de faltar alguna parte del dibujo, complétalo. a. sen30º

c. tan30º

e. cos60º B

B 1 O

B

30º

C A 2x

1

30º

O

O 60º C x 1

CA

1

D

b. cos30º

1

1

x

D

d. sen60º

f. tan60º B

B 1 O

30º

1

x

CA D

A

1

B 1

x

O 60º C 1

O 60º C 1

A

A

2. Utiliza la circunferencia goniométrica para verificar los siguientes valores. a. sen0º = 0 b. cos0º = 1 c. tan0º = 0

104

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d. sen90º = 1 e. cos90º = 0 f. tan90º no está definida

g. sec0º = 1 h. cosec90º = 1 i. cotan90º no está definida

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

3. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones. El uso de la calculadora solo debe ser para verificar el cálculo realizado. a. (sec45º – sen60º)2

c.

cos 30º – sen45º cos 90º – cos 60º

e. 3sec60º + 3cos30º

b. tan60º + cos60º

d.

2 tan30º – cot an60º sen90º – 2sen45º

f.

2 cos 30º – cosec30º 2 cos 0º – 3 cos 30º

Ayuda

4. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones. a. sen260º + 3tan245º b. sec230º – sen230º c. 2cosec245º – sec230º

La igualdad: sen2α = (senα)2 es aplicable a cos, tan, cosec, sec y cotan.

d. cos260º · sec260º e. sen245º · cos260º f. tan60º · cos260º

105

5. Demuestra si las siguientes igualdades son verdaderas. sen2 45º ⋅ cos 60º 1 = 2 2 tan 60º cot an 30º ⋅ 2 sec45º cos 30º – 2sen60º = – sen30º b. sec30º + tan30º a.

c.

cos2 60º ⋅ tan30º = cos ec60º – cot an60º sen2 30º

d.

sen2 60º sec60º sen2 30º – ⋅ tan2 30º = – 3 2 3

b.

x cos 60º ⋅ s en2 45º –sen60º – sec30º = tan60º ⋅ cos ec2 45º sec2 45º ⋅ sec60º

6. Resuelve las siguientes ecuaciones. a.

sen2 45º + cos2 45º sen60º =x sec60º tan2 60º

7. Calcula el valor de la o las incógnitas en cada caso. a.

C x

A

30º

b.

50 m

B

c.

C x

A 20 cm

C

y z

x 60º

B A

45º

120º 80 m

B

8. Resuelve los siguientes problemas. a. Una persona de 1,8 m de estatura observa, con un ángulo de elevación de 30º, a un pájaro que está posado en la parte más alta de un poste de electricidad. Si la persona se encuentra a 30 m de la base del poste, ¿a qué distancia está el pájaro del suelo? b. Un edificio es 25 m más alto que otro que está a su lado. Si a cierta hora, las sombras de ambos edificios están alineadas y coinciden en su punto final, a 80 m del edificio más bajo y el ángulo de depresión desde la cima del edificio más alto es de 30º, ¿cuál es la altura de cada edificio?

Ayuda Ángulo de elevación

Ángulo de depresión

c. Desde un barco, un tripulante observa un avión, con un ángulo de elevación de 60º. Si el avión vuela a 300 pies de altura, respecto al nivel del mar, ¿a qué distancia se encuentra el barco del avión?

Unidad 4

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Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

Razones trigonométricas para ángulos mayores que 90º sen240 º

tan150 º se c 210 º

cosec se c

5π

4π

3

3 cotan330º

cotan

5π 2

cosec405º 7π se n 6

tan

La actividad consiste en extraer una tarjeta y calcular (sin calculadora científica) el valor de la razón trigonométrica (de los ángulos en grados sexagesimales y en radianes). Para ello, es necesario utilizar las distintas igualdades dadas en las formalizaciones. Analiza las actividades resueltas para que comprendas cómo realizar esta actividad.

7π 4

cos225º

cos

3π 4

Actividades resueltas

• sen(180º – α) = senα • cos(180º – α) = –cosα • tan(180º – α) = –tanα • cosec(180º – α) = cosecα • sec(180º – α) = –secα • cotan(180º – α) = –cotanα

1. Utiliza la circunferencia de radio 1, para explicar por qué se obtienen valores negativos al calcular razones trigonométricas. En la circunferencia de radio 1, cuyo centro coincide con el origen del plano cartesiano, se tienen los puntos: Pi(senαi, cosαi) Luego, se tiene: P1(senα1, cosα1) P5(senα5, –cosα5) P8(–senα8, –cosα8) P9(–senα9, cosα9)

Y 1 P4

P5 P6

P3 P2

P7

P1 1

O

–1

P8

X

P9 –1

5π . 3 Observando la imagen de la actividad anterior, es posible observar que si el ángulo del centro tiende a 180º, la longitud del segmento de color rojo, cuya longitud corresponde al seno de dicho ángulo, tiende a 0. • Luego, para calcular sen240º, en la imagen se puede apreciar que: sen240º = sen(180º + 60º) C 240º A = –sen60º 1 O 3 1 = – 2 B(–sen240º, –cos240º) • Para el segundo caso, se tiene: 5π 5 ⋅ 180º = = 300º 3 3 Luego, utilizando las relaciones dadas, se tiene que: 5π cosec = cosec300º = cosec(360º – 60º) = –cosec60º 3 5π 1 2 3 = – = – . Por lo tanto, cosec 3 sen60º 3

2. Calcula el valor de sen240° y de cosec

106

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• sen(180º + α) = –senα • cos(180º + α) = –cosα • tan(180º + α) = tanα • cosec(180º + α) = –cosecα • sec(180º + α) = –secα • cotan(180º + α) = cotanα

• sen(360º – α) = –senα • cos(360º – α) = cosα • tan(360º – α) = –tanα • cosec(360º – α) = –cosecα • sec(360º – α) = secα • cotan(360º – α) = –cotanα

• sen(360º + α) = senα • cos(360º + α) = cosα • tan(360º + α) = tanα • cosec(360º + α) = cosecα • sec(360º + α) = secα • cotan(360º + α) = cotanα

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza los siguientes cálculos de razones trigonométricas que involucran ángulos mayores que 90º. Luego, responde. tan

13π 6

Como

sec315º – sen

cos135º Como: • sec315º = sec(360º – 45º) = sec45º = 2

13π 13 ⋅ 180º = = 390º 6 6

Luego:



• sen

13π tan = tan390º 6 = tan(360º + 30º) = –tan30º 3 =– 3

3 ⋅ 180º 3π = sen = sen135º 4 4

• cos135º = cos(180º – 45º) = –cos45º = –

2 2

107

• tan135º = tan(180º – 45º) = –tan45º = –1 Luego: sec315º – sen



3π 4

cos135º

3π 4 = sec315º – tan135º = 2 – 1

a. ¿Son correctas las resoluciones? De encontrar errores, corrígelos y calcula el valor de la expresión. b. ¿Cómo justificarías que sen540º = sen180º?

Actividades propuestas 1. Representa en la circunferencia goniométrica. Luego, señala si cada resultado es mayor o menor que cero. a. sen98º b. cos100º c. tan125º d. cosec105º e. sec220º f. cotan230º

g. sen239º h. cos305º i. tan335º j. cosec275º k. sec350º l. cotan400º

m. sen445º n. cos365º ñ. tan380º o. cosec195º p. sec250º q. cotan170º

2. Calcula las siguientes razones trigonométricas. Puedes utilizar la calculadora científica para verificar tus resultados. a. sen120º b. cos135º c. tan150º d. cosec210º e. sec225º f. cotan240º g. sen270º h. cos300º

i. tan315º j. cosec330º k. sec390º l. cotan405º m. sen420º n. cos450º ñ. tan225º o. cosec150º

p. sec420º q. cotan330º r. sen150º s. cos225º t. tan405º u. cosec420º v. sec135º w. cotan120º

Unidad 4

U4_Mat_3y4(PE).indd 107

Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

3. Identifica la razón trigonométrica (seno o coseno) representada en cada caso. Considera que el segmento de color rojo corresponde a la razón que se quiere calcular y el ángulo es mayor que 90° y menor que 360°. a.

c.

e.

1 45º

60º O

1

O

60º O

1

1

b.

1

1

d.

f.

1 O

1 30º 1

30º

1

1

O

O 45º 1

4. Calcula las siguientes razones trigonométricas. Puedes utilizar la calculadora científica para verificar tus resultados. 2π a. cos 3 3π b. tan 4 5π c. sen 6 7π d. cotan 6 5π e. cosec 4 4π f. sec 3 3π g. cos 2 5π h. tan 3

7π 4 11π j. cotan 6 13π k. cosec 6 9π l. sec 4 7π m. cos 3 4π n. tan 3 5π ñ. sen 4 5π o. cotan 6 i. sen

7π 3 11π q. sec 6 5π r. cos 6 5π s. tan 4 9π t. sen 4 7π u. cotan 3 3π v. cosec 4 2π w. sec 3 p. cosec

5. Calcula el valor numérico de cada expresión. sen a.

108

U4_Mat_3y4(PE).indd 108

3π 5π – cos 4 4 3π 2cos 4

sec b.

7π 3π ⋅ cosec 4 4 2 5π cos 4

7π 5π + sec 3 3 c. 7π 5π – sen cos 6 6 tan

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Trigonometría y números complejos z = (a, b) En la figura, está representado el número complejo z = a + bi, su vector asociado, cuya longitud es z = a 2 + b2 y, el ángulo α, denominado argumento

Y b

de z, formado con el eje X y dicho vector. Además, se observa que con algunos de estos elementos se forman triángulos rectángulos, y si se usan las razones trigonométricas, es posible obtener las siguientes relaciones: b a • senα = ⇒ b = z senα • cosα = ⇒ a = z cosα z z

z

X

α a

109 Actividades resueltas

Dado un número complejo z = a + bi. Para calcular su argumento, es decir, el valor de α, se tiene: b b tanα = ⇒ α = tan –1 a a Para calcular este valor, debes presionar en la calculadora científica, la tecla tan –1, que generalmente, es SHIFT + tan.

1. Representa en forma trigonométrica los números complejos z1 = 2 + 2i, y z2 = –3 – 3i.

Y

• Para z1 se tiene:

2

z1 = (2, 2)

z1 = 22 + 22 = 8 = 2 2 y z1 2 tanα = = 1 ⇒ α = tan–11 2 α ⇒ α = 45º 2 X Finalmente, z1 = 2 2cis(45º). Observación: tan225º = 1; sin embargo, este ángulo no corresponde al representado. • Para z2 se tiene: 2

z 2 = ( –3) + ( 3 ) = 9 + 3 = 12 = 2 3 2

– 3 3 – 3 3 = ⇒ α = tan=–1 –3 3 –3 3 ⇒ α = 30º Como z2 está en el tercer cuadrante, al valor obtenido de α se deben sumar 180º, luego z2 = 2 3cis(210º). y tanα =

Nota: tan –1α ≠ cotanα La forma trigonométrica para representar un número complejo z = a + bi es: z = | z |cis(α) donde cis = (cosα + isenα)

Y –3

(

α

z 2 = –3, – 3

)

X – 3

Sean z1 = | z1 |cis(α) y z 2 = | z 2 |cis(β). Entonces: • z1 · z2 = | z1 | · | z2 | cis(α + β)

2. Resuelve z1 · z2 y z1 : z2. Para ello, considera z1 = –3 + 2i, y

•

z1 z1 = cis (α – β ) z2 z2

z2 = 2 – 5i. Expresando los números complejos en su forma trigonométrica (redondando los ángulos), se tiene: z1 = 13 cis(146º) y z2 = 3cis(312º) Luego: • z1 · z2 = | z1 | · | z2 | cis(α + β) = 3 13cis(146º + 312º) = 3 13cis(458º), que es equivalente a 3 13cis(98º). 13 • z1 : z2 = | z1 | : | z2 | cis(α – β) = cis(146º – 312º) 3 13 13 = cis(–166º), que es equivalente a cis(194º). 3 3

Fórmula de De Moivre: zn = | z |n (cos(n · α) + isen(n · α)) z–n = | z |–n (cos(–n · α) + isen(–n · α)) donde n ∈  y z ∈ 

El valor de α obtenido se debe sumar o restar a 180º o 360º, según el cuadrante al que pertenece el número complejo. Unidad 4

U4_Mat_3y4(PE).indd 109

Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza los siguientes cálculos. Luego, responde. (1 + i)4 Aplicando la fórmula de De Moivre, se tiene: zn = | z |n cis(n · α) Luego: • | z |4 =

(

2

2

1 +1

) = ( 2) 4

4

• tanα = 1 ⇒ α = 45º (que corresponde al ángulo dibujado, según el cuadrante al que pertenece z. Por lo tanto: (1 + i)4 = 4cis(180º)

4 2

(1 + i)4 Expresando con multiplicaciones, se tiene: (1 + i)4 = (1 + i)2(1 + i)2 Luego:

2

=2 =2 =4 Y

(1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i + 1 = 2 + 2i Por lo tanto, (1 + i)4 = (2 + 2i)2 = 4 + 8i + 4i2 = 8 + 8i

z = (1, 1)

1

Por otra parte, aplicando la fórmula de De Moivre, se obtuvo que (1 + i)4 = 4cis(180º), que es equivalente a: 4(cos180º + isen180º) = 4(–1 + i · 0) = –4

α

1 X



Luego, no es lo mismo calcular potencias de un número complejo, aplicando la fórmula de De Moivre, que resolviendo las respectivas multiplicaciones.

a. ¿Son correctos los cálculos realizados? De existir errores, corríjelos y detecta por qué crees que se produjeron. b. ¿Es cierta la afirmación realizada, una vez resuelta la potencia con ambos métodos? Justifica. c. ¿Qué resultado se obtendrá al resolver (1 – i)4 , (–1 + i)4 y (–1 – i)4?

Actividades propuestas 1. Representa en forma trigonométrica los siguientes números complejos. 1 3 + i 2 2

a. –2

e. 2 – 6i

b. 5i

f.

6 – 2i

j. –2 3 – 2i

c. 4 – 4i

g.

3 1 + i 6 2

k.

d. 2 + 2i

h. – 3 – i

i.

1 3 + i 5 5

l. –

1 3 – i 5 5

2. Representa en forma trigonométrica los números complejos representados gráficamente. Luego, responde. a. ¿Cuál es el valor absoluto de los números complejos representados? b. ¿Qué importancia tiene considerar el cuadrante del plano, al que pertenece cada número complejo, para representar en forma trigonométrica estos números? c. ¿La suma de dos números complejos, independiente de como estén expresados (par ordenado, binomio o en forma trigonométrica), cambia de una representación a otra? d. ¿La forma trigonométrica de z1 y z6 es la misma? De no ser así, explica.

110

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z4

Y 3

z3

z2

32º 27º 35º 60º

–3

45º 15º

z5

–3

z1

15º

3

X

z7 z6

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

3. Resuelve las siguientes operaciones de números complejos. a. 4cis(30º) · 2cis(45º) b. 6cis(45º) · 3cis(60º) c. 2cis(120º) · 2cis(90º) d. 3cis(135º) · 5cis(30º) e. 3cis(180º) · 2cis(270º) f. cis(330º) · 7cis(315º)

g. 6cis(405º) · 3cis(420º) h. 4cis(450º) · 2cis(225º) i. 2cis(420º) · cis(240º) j. 4cis(30º) : (2cis(45º)) k. 6cis(45º) : (3cis(60º)) l. 2cis(120º) : (2cis(90º))

m. 3cis(135º) : (5cis(30º)) n. 3cis(180º) : (2cis(270º)) ñ. cis(330º) : (7cis(315º)) o. 6cis(405º) : (3cis(420º)) p. 4cis(450º) : (2cis(225º)) q. 2cis(420º) : (cis(240º))

4. Representa cada número complejo en su forma trigonométrica. Luego, resuelve las siguientes operaciones. a. (1 + i)(1 – i)

1 3  i g. (–1 – i) + 2  2

m. (–1 + i) : ( 6 – 2i)

b. (4 – 4i)(–4i)

1 3  h.  + i( –2 3 – 2i)  5 5 

n. (1 – i) : ( – 3 – i)

c. (–1 – 2i)(2 + 2i)

1 3  1 3   + i.  + i i  2 2  5 5 

ñ. ( –2 3 – 2i) : (2 – 2i)

d. (–1 + i)( 6 – 2i)

j. (1 + i) : (1 – i)

1 3  i o. (–1 – i) :  + 2  2

e. (1 – i)( – 3 – i)

k. (4 – 4i) : (–4i)

1 3  p.  + i : ( –2 3 – 2i)  5 5 

f. ( –2 3 – 2i)(2 – 2i)

l. (–3 – 6i) : (2 + 2i)

1 3   1 3   :  + q.  + i i  2 2   5 5 

111

5. Aplica la fórmula de De Moivre para calcular las siguientes potencias de números complejos. 3

a. (1 + i)

h. (6 – 3i)

3

b. (4 – 4i)5 c. (–4 – 4i)

i. 5

(

1 3  ñ.  + i  2 2 

4

3

 1 3  o.  – – i  2 2 

3

6 – 2i)

j. ( – 6 + 2i)

4

 1 3  q.  – – i  5 5 

4

d. (–3 – 6i)4

k. ( 3 + i)

e. (6 + 3i)4

l. ( – 3 – i)

3

4

r.

4

1 3  s.  – i  5 5 

2

 1 3  t.  – + i  5 5 

m. ( –2 3 – 2i)

g. (–6 – 3i)4

n. ( –2 3 + 2i)

4

Unidad 4

U4_Mat_3y4(PE).indd 111

 1   – + 3 i   2 2 

2

4

f. (–6 + 3i)

4

1 3  p.  + i  5 5 

3

Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

Antes de seguir... Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que has visto en esta unidad. Tema 1: Sistemas de medición angular

1. Expresa en el sistema señalado para cada caso. a. 225° a radial

c. 120° a centesimal

e. 3π a sexagesimal

b. 10g a sexagesimal

d. π a centesimal

f. 120° 45' 30'' a radial

Tema 2: Razones trigonométricas

2. Calcula las razones trigonométricas pedidas. Para ello, considera el triángulo rectángulo dibujado. a. cosβ

c. tanα

e. secα

A 8m

b. senβ

d. cosecα

f. cotanβ

α B

β

C

17 m

3. Calcula el valor de x. Puedes utilzar calculadora. a.

C

x

A

112

U4_Mat_3y4(PE).indd 112

30º

130º 60 m

B

D

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Evaluación intermedia 4. Calcula el valor numérico de cada expresión. cos a.

5π – sen330º 6 3π tan 4

2π 4π + sec 3 3 c. 3π 3π – sen cos 2 2

7π 3π ⋅ sec 4 4 2 5π sen 4

tan

cotan b.

113

Tema 3: Trigonometría y números complejos

5. Representa cada número complejo en su forma trigonométrica. Luego, resuelve las siguientes operaciones y escribe el resultado en las casillas. a. (–1 + i)(–1 – i)

1 3  c.  + i( 6 – 2i)  2 2 

e. ( –2 3 + 2i)

b. (–3 + 6i) : ( 6 – 2i)

d. (1 – 2i)

 1 3  f.  – – i  2 2 

2

4

5

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Sistemas de medición angular

Trigonometría y números complejos Razones trigonométricas

Unidad 4

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Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

Identidades trigonométricas A c

α b

B

β a

C

se tiene: ión. lo ABC, mostrac u e g d n iá te tr n l en e la siguie itágoras 2 Analiza m a de P re o te l e o  1 ≠ 0 Aplicand 2 / ⋅   ; c 2 2 + b = c c a otencias 2 dad de p ie p 2 ro p / b a + 2 =1 2 c no c o y c o se 2 2 n d e se n ió  ic n b  fi e d  a  +   = 1 /    c  c 2 1 2 cos α = se n α +

Actividades resueltas senα 1. Demuestra que tanα = . cosα Considerando el triángulo ABC de inicio de página, por definición de tangente de un ángulo, se tiene: 1 a⋅ a c ; con c ≠ 0 tanα = ⇔ tan α = 1 b b⋅ c a senα ⇔ tanα = c ⇔ tanα = b cosα c senα Por lo tanto, tanα = . cosα

Una identidad es una igualdad algebraica que siempre puede ser verificada para cualquier valor de sus variables. Por ejemplo: 2 • (a + b) = a2 + 2ab + b2 • a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

senα + tanα = tanα ⋅ senα. cotanα + cosecα senα senα + senα + tanα cosα = 1 1 cotanα + cosecα + tanα senα senα senα + cosα = 1 cosα + senα senα senα ⋅ cosα + senα cosα = cosα + 1 senα senα (cosα + 1) senα tan α

2. Demuestra que

=

cosα cosα + 1

= cosα = 1 = tan α ⋅ senα 1 1 senα senα

senα senα + tanα Por lo tanto, = tanα ⋅ senα. cotanα + cosecα

114

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Una identidad trigonométrica es una igualdad, en la que intervienen razones trigonométricas, que siempre puede ser verificada para cualquier valor de sus ángulos. Por ejemplo: 2 • sen α + cos2α = 1 • cosec2α – cotan2α = 1 • sec2α – tan2α = 1 • tan2α = sec2α – 1 senα • tanα = cosα cosα • cotanα = senα 1 • tanα = cotanα 1 • cotanα = tanα

• cosα = 1 – sen2α • senα = 1 – cos2α Las identidades trigonométricas pueden ser utilizadas para demostrar otras.

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Aprendiendo del error Analiza la siguiente demostración. Luego, responde. Se quiere demostrar que sen2α · secα · cotan2α = cosα 1 cos2α · cosα sen2α 2 1  cos α  cos2α = ·  – · cosα  cosα  sen2α sen2α · secα · cotan2α = (1 – cos2α) ·

1 cos2α · cosα sen2α



= secα · (–cos2α)



= secα · (–cos2α) · secα ·



= secα(1 – cos2α) ·



cos2α sen2α

115

cos2α sen2α = sen2α · secα · cotan2α

Como se llegó a la misma expresión, entonces se demostró lo pedido. a. ¿Crees que la demostración está correcta? Justifica. b. Si crees que no es correcta la demostración, corrígela.

Actividades propuestas 1. Utiliza las definiciones de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo dibujado para demostrar las siguientes identidades. sec α cot anα + cos α a. e. = cos α = sec α + tan α 2 2 cos ec α ⋅ tan α cot anα ⋅ cos α sec α – 1 f. cosecα – cotanα = b. cot an2α = cos αsenα tan α cos ec α senα + tan α cos ec α 1 c. g. – = cotanα = cot anα senα ⋅ tan α senα sec α 1+ cot anα 1+ tan α d. senα · secα = tanα h. =– B 1 – cot anα 1 – tan α

A α c

β a

b

C

2. Demuestra las siguientes identidades. Para ello, considera la identidad sen2α + cos2α = 1. a. cotan2α = cosec2α – 1

f. tanα ⋅ cos α = 1 – cos2α

b. tan2α + 1 = sec2α

g. cosec2α – cos2α · cosec2α = 1

c. senα = 1 – cos2α

h. sec2α – cos2α · sec2α = tan2α

d. cosα = 1 – sen2α

i.

2 2 + = 4sec2α 1+ senα 1 – senα

e. senα = 1 – sen2α tanα

j.

1+ tan2 α = tan2 α 1 + cot an2α Unidad 4

U4_Mat_3y4(PE).indd 115

Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

3. Describe para qué valores de α las siguientes igualdades son verdaderas. a. –cotan2α · cos2α + cotan2α = sen2α b. cos ecα (senα + 1) :

1 1 = cosecα – 1 tan2 α

c.

cos2 α – sen2α =1 cos4 α – sen4α

d. 1 – sen2α = cos α

4. Identifica cuál de las expresiones es igual a 1. 1 cot an2α

f.

sec α cos α – cos ecα sec α

cot an2α + sen2α cos ec2α

g.

sec α tan α – cos α cot anα

c. sec2 α –

sec2 α cos ec2α

h.

1 2 – 1– – cot an4α 4 sen α tan2 α

d. cos2 α +

1 cos ec2α

i. (sen4α + cos4 α) – (sen2α + cos2 α)

a. sen2α · (1 + tan2α) – b.

2

2  sec α  2 e. (sec α ⋅ cot anα) –    tan α 

j.

1 1 – cot an2α – sec2 α + 2 cot an α sen2α

5. Simplifica las siguientes expresiones, considerando las restricciones correspondientes.

(tan2α + 1) cosec2α a. (cotan2α + 1) sec2α

g.

tan2α 1+ cotan2α ⋅ 1+ tan2α cotan2α cot an2α + cot an4α cos ec2α

b.

senα ⋅ cot anα cos α

h.

c.

sec2 α ⋅ cot anα cos ec2α

i.

d.

cos α 1+ cot an2α cot anα 2

e. f.

cos ec2α

(1 – senα)(1+ senα) cos2 α

cot anα

j.

senα cos α + cos ecα sec α

k.

sen2α – 1 cos ec2α – 1

l.

sec2α – 1 sec2 α

2

(cot anα – 1) + (cot anα + 1)

(1+ cot anα + cos ecα)(1+ cot anα – cos ecα)

6. Demuestra las siguientes identidades que involucran dos ángulos distintos. a.

tan2α + sec2 β =1 sec2 α + tan2 β

b.

sec2 αtan2 β – tan2 α sec2 β =1 tan2 β – tan2α

c.

sen2α – cos2 β =1 sen2 β – cos2 α

116

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

Otras identidades trigonométricas 1

B α 1

A F

β

D E

α

C

O

G

1

o, . Para ell osαsen β aria). c + β s o it un nαc + β) = se la circunferencia e sen(α y d o n n ió la c p a l str te de er uadran la demo os β Analiza ujo (1 c ib d l e y OD = c n β C n o B c e s = te = ía /1 D u g BC e, B C/BO = E) = α D, dond + β) = B gulo en m( CO n = tá ) c D re B 1º sen(α , E B : ( a el ∆OD luego, m D = se n β donde B sen β 2 º Se form ∆BDE (por A A), , F n e lo ~ sα gu 3 º ∆OCE D, rectán αsen β y BF = co s β: a el ∆ B F en O D = co s rm e fo = d n e D o S F d º , 4 G n e ulo β , rectáng nαcos β senαcos el ∆OGD G D = se a rm fo lo), FC = e u g n 5º S tá β c n se D re β + cos α se r F C G senαcos DG (por = = F C B F + o C 6 º Com α + β) = F nto, sen( Por lo ta

117

Actividades resueltas Identidades trigonométricas: suma y diferencia de ángulos

1. Calcula sen75°, cos75°, sen15°, cos15° y tan105°. • sen75° = sen(30° + 45°) = sen30°cos45° + cos30°sen45° 2+ 6 1 2 3 2 2 6 = ⋅ + ⋅ = + = 2 2 4 2 2 4 4 • cos75° = cos(30° + 45°) = cos30°cos45° – sen30°sen45° 6– 2 3 2 1 2 6 2 ⋅ – ⋅ = – = 2 2 4 2 2 4 4 • sen15° = sen(45° – 30°) = sen45°cos30° – cos45°sen30° 6– 2 2 1 6 2 2 3 = ⋅ – ⋅ = – = 4 2 2 2 2 4 4 • cos15° = cos(45° – 30°) = cos45°cos30° + sen45°sen30°

=

6+ 2 2 3 2 1 6 2 ⋅ + ⋅ = + = 2 2 4 2 2 4 4 • tan105° = tan(60° + 45°) 3 +1 3 +1 tan60° + tan45° = = = 1 – tan60° ⋅ tan45° 1 – 3 ⋅ 1 1 – 3

=

• sen(α + β) = senαcosβ + cosαsenβ • sen(α – β) = senαcosβ – cosαsenβ • cos(α + β) = cosαcosβ – senαsenβ • cos(α – β) = cosαcosβ + senαsenβ tanα + tan β

• tan(α + β ) = 1– tanα tan β tanα – tan β

• tan(α – β ) = 1 + tanα tan β

Identidades trigonométricas: ángulo doble • sen2α = 2senαcosα • cos2α = cos2α – sen2α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sen2α 2tanα • tan2α = 1– tan2 α

Racionalizando, tan105° = –2 – 3.

2. Utiliza una identidad del ángulo doble y los resultados anteriores para demostrar que sen30° = 0,5. Considerando que sen30° = sen(2 · 15°), se tiene: • sen(2 · 15°) = 2sen15° · cos15° =

1– cos2α 2 1 + cos2α • cos2 α = 2 1– cos2α • tan2 α = 1 + cos2α

• sen2 α =

6+ 2 66 – 22 2 1 3 6 2 12 1 1 2 3 ⋅ = + – ⋅= 2==· =2· = = + =· ⋅ – 2 22 4 2 2 4 4 4 4 4 2 2 2 4

Unidad 4

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Identidades trigonométricas: reducción de potencias

Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

Más estrategias Analiza las siguientes herramientas que puedes utilizar para determinados tipos de tareas. Luego, responde las preguntas.

sen

0º 30º 45º 60º 90º 0 1 2 3 4

cos

4

3

2 1

0

2



tan cosec sec cotan CO CA HIP HIP CA CO CA CO

cos CA HIP

sen CO HIP π

2π 3π 4 5π

2 90º

3 120º

1

135º

π 60º

3 π 45º 4

6 150º

5π 180º

–1

6 7π

π

30º

6

0º

1

330º

210º

6

11π 6

5π 225º 4

240º

315º

–1

4π 3

270º 3π 2

300º 5π

7π 4

3

a. ¿Cómo crees que se utiliza cada representación mostrada? Explica. b. ¿Para qué tipo de tareas crees que puede ser útil cada representación mostrada? Da ejemplos. c. ¿Conocías alguna de estas representaciones? Comenta con un compañero o compañera. d. ¿Conoces otra representación que pueda ser útil en esta unidad? De ser así, exponla al curso.

Actividades propuestas 1. Calcula el valor de cada expresión. Para ello, utiliza las identidades trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos. a. sen(105º)

e. cos(195º)

 5π  – 30° i. tan 6 

b. cos(165º)

f. tan(165º)

 7π  + 45° j. sen 6 

c. tan(255º)

π  g. sen + 135°  6

 5π  – 30° k. cos   4

d. sen(120º)

π  h. cos  + 45°  3

 7π  – 45° l. tan  6

118

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:06

2. Calcula el valor de cada expresión. Para ello, utiliza las identidades trigonométricas para el ángulo doble. a. sen(240º)

e. cos(240º)

 5π  i. tan  3

b. cos(120º)

f. tan(240º)

 7π  j. sen  3

c. tan(315º)

 5π  g. sen  3

 7π  k. cos   3

d. sen(270º)

 5π  h. cos   3

 7π  l. tan  3

119

3. Calcula el valor de cada expresión. Para ello, utiliza las identidades trigonométricas respectivas. a. sec(240º)

e. cotan(105º)

 5π  i. cos ec  3

b. cotan(195º)

f. cosec(165º)

 5π  – 30º  j. cos ec 4 

c. cosec(240º)

 5π  g. sec  3

 7π  k. cot an  3

d. sec(315º)

 5π  + 45º  h. cot an 3 

 7π  – 45º  l. sec 6 

4. Analiza el valor de verdad de las siguientes igualdades. a. sen(α – β) = senαcosβ – cosαsenβ

α α f. senα = 2sen cos 2 2

b. cos(α + β) = cosαcosβ + senαsenβ

g.

1+ cosα = cotanα senα

c. cos(α – β) = cosαcosβ + senαsenβ

h.

sen(α + β) = tanα + tanβ cosαcosβ

d. sen2α = 2senαcosα

i. senα =

e. cos2α = cos2α + sen2α

π  π  cos2α – sen2α j. cos  + α cos  – α = 4  4  2

1 – cos α 2

5. Calcula las razones trigonométricas, según los valores dados. 7 4 y cosβ = , calcula sen(α + β) y cos(α – β). 25 5 17 13 y secβ = , calcula sen2α y cos2β. b. Si cosecα = 8 5 8 24 y cotanβ = , calcula sec(α + β) y cotan(α + β). c. Si tanα = 15 7 5 17 y cosecβ = , calcula cosec2α y cotan2β. d. Si cotanα = 12 8

a. Si senα =

Unidad 4

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Funciones trigonométricas

01-01-16 16:06

Teoremas del seno y del coseno C γ γ1 γ2 a

b

A

α

β p

c

D

q

B

CD uego, .L se n β = a y e: = α n e r se por lo qu b le obten = asen β, ib s α o n p e s s e b ne CD, es, se tie la altura xpresion e Al trazar s la β o n d e e igualan senα = s ndo CD a: despeja ivalente b a e es equ u q , γ n γ se 2 CD ⋅ c γ + cos 1 sen γ1cos 2 D (p + q) = = C ) γ q ⋅ + D = 2 n(γ ab p ⋅ CD + C e n γ = se 1 ab CD q = Ahora: s D ue: C ⋅ p ab btiene q + ⋅ a en β, se o s a b n o c eg o b a enα y lu r con bs la a u ig l γ a nγ ab ⋅ sen = CD, que enβ = se senα = s Luego, c c ulo. b de triáng a uier tipo lq a u c ara umple p que se c n ió c la e R CD

Actividades resueltas

En cualquier tipo de triángulo, sea rectángulo o no, es posible relacionar el seno y coseno de sus ángulos interiores, mediante el teorema del seno y el teorema del coseno.

C

1. Calcula BC. Primero, al analizar el triángulo: m( ACB) = 45º Luego, aplicando el teorema del seno, para calcular BC = x, se tiene la relación:

120º

A

15º 5 cm

sen45º sen120º 5sen120º = ⇒ x= 5 x sen45º 2 Donde sen45º = y 2 3 1 3 ⋅ = sen120º = sen(2 · 60º) = 2sen60ºcos60º = 2 ⋅ . 2 2 2 3 2 5 3 5 6 : = ⇔ (racionalizando). Por lo tanto, x = 5 ⋅ 2 2 2 2

2. Calcula AC.

C

7 cm

Aplicando el teorema del coseno, para calcular AC = x, se tiene la relación: x2 = 52 + 72 – 2 · 5 · 7 · cos135º Como: cos135º = cos(90º + 45º) = cos90ºcos45º – sen90ºsen45º 2 2 –1· =0· 2 2 2 =– 2  2   = 74 + 35 2 Por lo tanto, x = 25 + 49 – 70 ·  –  2 

120

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B

Para enunciar los teoremas del seno y del coseno se considerará un triángulo con sus magnitudes denotadas como el El teorema del triángulo ABC del seno relaciona inicio de página. de manera

B 135º 5 cm

proporcional los lados de un triángulo con el seno de cada ángulo opuesto a su respectivo lado. En la figura propuesta, se tiene: senα senβ senγ = = a b c

A El teorema del coseno relaciona un ángulo interior de cualquier triángulo, con sus otros dos ángulos interiores y con el coseno del ángulo formado por ellos. En la figura propuesta, se tiene: • a2 = b2 + c2 – 2bc · cosα • b2 = a2 + c2 – 2ac · cosβ • c2 = a2 + b2 – 2ab · cosγ

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Aprendiendo del error Analiza la resolución. Luego, responde. Sea el triángulo ABC dibujado. ¿Cuál es la longitud del segmento AC? C

Como se tiene el ángulo interior (de medida 75º), opuesto al lado del triángulo del cual se quiere calcular su longitud (segmento AC), y la medida de otro ángulo interior con la longitud de su lado opuesto, es posible aplicar el teorema del seno y establecer la siguiente relación entre ellos: sen75º sen60º 8sen75º ⇒ AC = = AC 8 sen60º Como sen60º = tiene que:

AC =

8⋅

8 cm

3 1 2 1+ 2 = y sen75º = sen30º + sen45º = + , se 2 2 2 2

1+ 3 2 = 3 2

A

8 (1 + 3 ) 1 3 1

121

=

60º

75º

B

8 + 8 3 8 3 + 8 ⋅ 3 24 + 8 3 = = 3 3 3

a. Discute con un compañero o compañera si la resolución es correcta. De tener errores, corríjelos.

Actividades propuestas 1. Calcula lo pedido en cada caso, considerando un triángulo ABC. a. BC = 12 cm, m( BAC) = 30º y m( CBA) = 45º. Calcula AC y AB. b. AC = 7 cm, m( BAC) = 120º y m( ACB) = 30º. Calcula AB + BC. c. AB = 8 cm, m( CBA) = 15º y m( ACB) = 60º, Calcula 3BC – 3CA. d. AB = 10 cm, BC = 15 cm y m( CBA) = 45º. Calcula CA. e. AB = 12 cm, CA = 7 cm y m( BAC) = 105º. Calcula 2BC. f. BC = 9 cm, CA = 11 cm y m( ACB) = 135º. Calcula 3AB. 1 2 m, m( CBA) = 30º y AC = m. Calcula m( BAC), si  BAC < 90º. g. BC = 3 3 h. AB = 91 cm, BC = 5 cm y AC = 6 cm. Calcula m( ACB).

2. Calcula el valor de x en cada figura. a.

b.

A

A

Desafío

60º 30º

5 cm

B

x

x

48 cm 9 cm

C

Demuestra que en toda circunferencia de centro O y radio r, circunscrita a un triángulo ABC, se cumple que: a

B

senα

=

b senβ

=

c sen γ

= 2r

C Unidad 4

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Funciones trigonométricas

01-01-16 16:07

Funciones trigonométricas El siguiente gráfico representa las curvas asociadas a las funciones trigonométricas definidas por y = sen(x), y = cos(x) e y = tan(x). Y 2 1 X –2,5π

–2π

–1,5π

–π

0

–0,5π

0,5π

π

1,5π

2π

2,5π

–1 –2 • Analiza las curvas y determina a qué función trigonométrica representa cada una.

Actividades resueltas 1. ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función tangente? Observando la gráfica de inicio de página (líneas de color verde), se tiene que dom f =  – {0,5π + kπ}, con k ∈  ; mientras que rec f =  .

2. ¿Cuál es el período de las funciones seno, coseno y tangente? • Para f(x) = sen(x), se tiene que sen(x + 2π) = sen(x). Luego, el período de la función seno es 2π. • Para f(x) = cos(x), se tiene que cos(x + 2π) = cos(x). Luego, el período de la función coseno es 2π. • Para f(x) = tan(x), se tiene que tan(x + π) = tan(x). Luego, el período de la función tangente es π.

3. Analiza si las funciones seno, coseno y tangente son pares, impares o ninguna de ellas. • f(x) = sen(x) es impar, ya que, sen(–x) = –sen(x). • f(x) = cos(x) es par, ya que, cos(–x) = cos(x). • f(x) = tan(x) no es par ni impar.

El dominio de las funciones definidas por f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) es  ; mientras que el recorrido de ambas es [–1, 1].

Una función es periódica si existe p ≠ 0, con p ∈  , tal que f(x + p) = f(x). El menor valor positivo de p se denomina período de la función.

Se dice que una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje Y; mientras que si es simétrica respecto al origen, se dice que es impar. Algebraicamente: • y = f(x) es par si f(–x) = f(x) • y = f(x) es impar si f(–x) = –f(x)

4. Analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones seno, coseno y tangente. • f(x) = sen(x) es creciente en ]–0,5π + 2kπ; 0,5π + 2kπ[ y decreciente en ]0,5π + 2kπ; 1,5π + 2kπ[, con k ∈  . • f(x) = cos(x) es creciente en ]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ y decreciente en ]0 + 2kπ, π + 2kπ[, con k ∈  . • f(x) = tan(x) es creciente en todo su dominio; no decrece.

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Una función f es creciente en un intervalo, si para cualquier x1 y x 2 del intervalo, con x1 < x 2, se tiene f(x1) < f(x 2); mientras que f es decreciente, si para x1 < x 2, se tiene f(x1) > f(x 2).

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Aprendiendo del error Analiza si las afirmaciones son correctas. Luego, responde. • Los mínimos de la función seno ocurren para x = para x =

π + 2kπ, con k ∈  . 2

3π + 2kπ y los máximos, 2

Ayuda Para verificar las afirmaciones, utiliza el gráfico propuesto al inicio de la página anterior y reemplaza k por varios valores enteros.

• Los mínimos de la función coseno ocurren para x = π + 2kπ, y los máximos, para x = 2kπ, con k ∈  . • Los mínimos de la función tangente ocurren para x = kπ, y los máximos, para kπ x = , con k ∈  . 2

123

• Tanto la función seno como coseno son positivas para todo π   π  π 3π x ∈  – + 2kπ, + 2kπ  y negativas para todo x ∈  + 2kπ, + 2kπ , con  2 2  2   2  π k ∈  ; mientras que la función tangente es positiva para todo x ∈  kπ, kπ +   2   π  y negativa para todo x ∈  kπ – , kπ , con k ∈  . 2   a. Si existen errores, ¿cuáles son?

Actividades propuestas 1. Esboza la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde. (Puedes esbozar la gráfica manualmente o ayudarte con un graficador de la web). 1  k. y = –3sen(x) f. y = sen x a. y = 2sen(x) 2  b. y = 3sen(x) c. y = 4sen(x) 1 sen( x) 2 1 e. y = sen( x) 3 d. y =

g. y = sen(2x)

Ayuda

l. y = –4sen(x)

h. y = sen(3x)

m. y = sen(–2x)

i. y = 2sen(2x)

n. y = sen(–3x)

j. y = –2sen(x)

ñ. y = 2sen(–2x)

Desde internet, puedes descargar varios programas para graficar o incluso puedes graficar en línea.

• ¿En qué influye cambiar el valor de a en la función definida por f(x) = asen(x)? • ¿En qué influye cambiar el valor de b en la función definida por f(x) = sen(bx)? • ¿Las funciones definidas siguen siendo impares, al igual que f(x) = sen(x)?

2. Analiza las funciones definidas en la actividad anterior y determina su dominio, recorrido y período.

Unidad 4

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Funciones trigonométricas

01-01-16 16:07

3. Esboza la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde. (Puedes esbozar la gráfica manualmente o ayudarte con un grafi cador de la web). a. y = 2cos(x)

1  f. y = cos  x 2 

k. y = –3cos(x)

b. y = 3cos(x)

g. y = cos(2x)

l. y = –4cos(x)

c. y = 4cos(x)

h. y = cos(3x)

m. y = cos(–2x)

i. y = 2cos(2x)

n. y = cos(–3x)

j. y = –2cos(x)

ñ. y = 2cos(–2x)

1 cos ( x) 2 1 e. y = cos ( x) 3 d. y =

• ¿En qué influye cambiar el valor de a en la función definida por f(x) = acos(x)? • ¿En qué influye cambiar el valor de b en la función definida por f(x) = cos(bx)? • ¿Las funciones definidas siguen siendo pares, al igual que f(x) = cos(x)?

4. Analiza las funciones definidas en la actividad anterior y determina su dominio, recorrido y período. 5. Esboza la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde. (Puedes esbozar la gráfica manualmente o ayudarte con un graficador de la web). a. y = 2tan(x)

1  f. y = tan x 2 

k. y = –3tan(x)

b. y = 3tan(x)

g. y = tan(2x)

l. y = –4tan(x)

c. y = 4tan(x)

h. y = tan(3x)

m. y = tan(–2x)

i. y = 2tan(2x)

n. y = tan(–3x)

j. y = –2tan(x)

ñ. y = 2tan(–2x)

1 tan( x) 2 1 e. y = tan( x) 3 d. y =

• ¿En qué influye cambiar el valor de a en la función definida por f(x) = atan(x)? • ¿En qué influye cambiar el valor de b en la función definida por f(x) = tan(bx)? • ¿Las funciones definidas siguen no siendo pares ni impares, al igual que f(x) = tan(x)?

6. Analiza las funciones definidas en la actividad anterior y determina su dominio, recorrido y período. 7. Grafica las siguientes funciones. Luego, responde. a. y = sen(x + π)

c. y = tan(x + π)

b. y = cos(x – π)

 d. y = sen x + 

π   2 

 3π  e. y = cos  x –   2   π f. y = tan x –   2

• ¿En qué influye el valor de a en las funciones definidas por f(x) = sen(x + a), f(x) = sen(x – a), g(x) = cos(x + a), f(x) = cos(x – a), f(x) = tan(x + a) y f(x) = tan(x – a)?

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Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

8. Analiza las siguientes gráficas de funciones. Luego, responde. Y 4 3 2 1 X –2,5π

–2π

–1,5π

–π

0

–0,5π

0,5π

π

2π

1,5π

2,5π

125

–1 –2 –3 –4

a. Si las gráficas corresponden a las funciones recíprocas de seno, coseno y tangente; es decir, cosecante, secante y cotangente, ¿cuál curva corresponde a cada una de ellas? b. A partir de las gráficas, ¿cuál es el dominio y recorrido de cada una de las funciones dadas? c. A partir de las gráficas, determina el período de cada una de las funciones dadas. d. A partir de las gráficas, determina los mínimos y máximos de cada una de las funciones dadas. e. A partir de las gráficas, determina, si los hubiera, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las funciones dadas. f. A partir de las gráficas, determina los intervalos en donde cada una de las funciones dadas es positiva y en los que es negativa.

Ayuda Recuerda que: cosec ( x) = sec ( x) =

1 sen( x) 1

cos ( x)

cotan( x) =

1 tan( x)

9. Grafica las siguientes funciones. Luego, responde. a. y = 2cosec(x) b. y = 3sec(x) c. y = 4cotan(x)

 π d. y = cos ec x +   2  3π  e. y = sec x –   2   π f. y = cot an x –   2

g. y = cosec(2x) h. y = sec(3x) i. y = cotan(4x)

• ¿En qué influye cambiar el valor de a y el de b, en las funciones definidas por f(x) = acosec(bx), g(x) = asec(bx) y h(x) = acotan(bx)? • ¿En qué influye el valor de a en las funciones definidas por f(x) = cosec(x ± a), g(x) = sec(x ± a) y h(x) cotan(x ± a)?

Unidad 4

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Funciones trigonométricas

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Ecuaciones trigonométricas Y 2 1

x2

x1

x3 –π

–2π –2,5π

x4

–1,5π

0 –0,5π –1

π 0,5π

–2

La gráfica corresponde a la función coseno, y los puntos xi dibujados satisfacen la ecuación cos(x) = 0,5; luego, son solución de la ecuación. Sin embargo, no son los únicos; ya que, el dominio de f(x) = cos(x) es  . x6 x5 X Para expresar la solución general de la ecuación, se consideran los valores de x, tales 2π que x ∈ [0, 2π], es decir, x4 y x5, y se le suman 1,5π 2,5π los múltiplos enteros de su período (2π). Así, la solución general de la ecuación es: x = x4 + 2kπ o x = x5 + 2kπ, con k ∈  • ¿Cuáles son las coordenadas de x4 y de x5?

Actividades resueltas 1. Resuelve la ecuación 2cos2x = 1. 1 2 1 ⇒ cosx = ± ⇔ cosx = ± 2 2 2 2 Como en [0, 360º], cos45º = cos315º = y 2 2 , entonces, para x = 45º, 135º, cos135º = cos225º = − 2 225º y 315º la igualdad es verdadera. Así, la solución es: S = {45º + 360º · k} ∪ {135º + 360º · k} ∪ {225º + 360º · k} ∪ {315º + 360º · k}, donde k ∈  , en radianes: S = {π/4 + 2kπ} ∪ {3π/4 + 2kπ} ∪ {5π/4 + 2kπ} ∪ {7π/4 + 2kπ}

Una ecuación trigonométrica es una igualdad que considera expresiones trigonométricas y su solución Para es un conjunto determinar de medidas el conjunto de angulares. soluciones de una ecuación trigonométrica, se debe considerar si 2. Resuelve la ecuación cos2x + senx = 1 en [0, 2π]. estas se buscan en todo su dominio o en un determinado cos2x + senx = 1 ⇔ 1 – sen2x + senx = 1 ⇒ –sen2x + senx = 0 intervalo. Considerando u = senx, se debe resolver: –u2 + u = 0 ⇒ u(–u + 1) = 0 ⇒ u = 0 ∨ –u + 1 = 0 ⇒ u = 0 ∨ u = 1 • Para u = 0, se tiene senx = 0 ⇒ x = 0º, 180º, 360º Y • Para u = 1, se tiene senx = 1 ⇒ x = 90º. π Cuadrante II Cuadrante I Por lo tanto, S = {0º, 90º, 180º}, en radianes, S = 0, , π, 2π . senx: + senx: + 2 cosx: – cosx: + 3. Resuelve la ecuación cos2x = 2 – 3senx, tal que 0 ≤ x ≤ 2π. tanx: – tanx: + cos2x = 2 – 3senx ⇔ 1 – 2sen2x = 2 – 3senx ⇒ –2sen2x + 3senx – 1 = 0 X 0 Cuadrante III Cuadrante IV 2 Considerando u = senx, se debe resolver –2u + 3u – 1 = 0. senx: – senx: – Luego, se obtiene que u = 0,5 o u = 1. cosx: – cosx: + • Para u = 0,5 se tiene senx = 0,5 ⇒ x = 30º ∨ 150º. tanx: + tanx: – • Para u = 1, se tiene senx = 1 ⇒ x = 90º. π π 5π . Por lo tanto, S = {30º, 90º, 150º}, en radianes, S = , , 6 2 6 2cos2x = 1 ⇒ cos2x =

{

}

{

126

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}

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Aprendiendo del error Analiza la resolución. Luego, responde. Resuelve la ecuación cos2x + senx = 1 en [0, 2л] Considerando cos2x + sen2x = 1 ⇒ cos2x = 1 – sen2x, se tiene: cos2x + senx = 1 ⇔ 1 – sen2x + senx = 1

⇔ –sen2x + senx = 0



⇔ –senx + 1 = 0

/+ (–1) 1 /⋅ ; con x ≠ kπ , k ∈  senx /+ (–1)



⇔ –senx = –1

/· (–1)



⇔ senx = 1

127

Igualdad, que en el intervalo dado, es verdadera para x = 90º. Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 90º. a. Si existen errores, ¿cuáles son? b. ¿Por qué solo se obtuvo x = 90º, si esta ecuación ya fue resuelta en la segunda actividad de la página anterior y se obtuvo que el conjunto solución es S = {0º, 90º, 180º, 360º}? Explica.

Actividades propuestas Ayuda

1. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas. 2 a. senx = – 2 3 b. cos x = – 2 c. tan x = 3

d. cosecx = –2

7 g. 3senx + 2 = 2

e. secx = –2

h. 2 cos x – 6 = – 5

f. cot anx =

3 3

i. 2tan2x = 6

Recuerda que si al resolver una ecuación trigonométrica no está indicado cierto intervalo, entonces, se deben expresar las soluciones que contenga el dominio de la función trigonométrica involucrada.

2. Utiliza las identidades trigonométricas para resolver las siguientes ecuaciones en [0, 2π]. a. –sen2x + 1 = cosx

h. sen2 x + 2senxcosx + cos2 x =

b. 4sen2x + 8senx + 3 = 0

i. 2cos2 x – 2sen2 x = 2

c. 4cos2x – 1 = 0

j. sec2x – tanx = 1

d. secxcosecx = 2cosecx

2 k. tan x –

1 cos2x e. + cos2 x = secx + 2 2

1 +2=2 cotanx tan x + cot anx 1 = l. 2 cosx

f. sen2x – senx = 0

m. sen2x + cos2x = –1 – 2cosx

g. (senx + cosx)2 = 0

n. cos

x – cos x = 1 2

Ayuda Considera que: sen cos

Unidad 4

U4_Mat_3y4(PE).indd 127

1 2

x 2 x 2

=± =±

1 – cosx 2 1 + cosx 2

Funciones trigonométricas

01-01-16 16:07

Más práctica Casi has llegado al final de esta unidad. Te invitamos a practicar un poco más de algunos temas estudiados. Tema 1: Sistemas de medición angular

Tema 4: Identidades trigonométricas

5. Calcula las siguientes razones trigonométricas. a. sen165º

1. Expresa cada medida en el sistema respectivo.

e. cotan165º  3π  f. sen – 30º  4   7π  g. cos  + 45º  6   5π π  h. tan –  3 4

b. tan195º

a. 60º en el sistema centesimal b. 150º en el sistema radial c. 1,5π en el sistema sexagesimal

c. cosec195º

Tema 2: Razones trigonométricas

d. sec105º

2. Calcula el valor de x.

Tema 5: Teoremas del seno y del coseno

a.

A

6. Calcula el valor de x. a.

x 30º

B

b.

105º

C

17 m

45º

A x

A

b.

B

25 m

A

C

c.

14 cm

C B

A

B

3. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones. π cos – sen150º 4 a. 5π tan 4

π π sec cotan 4 6 b. π cos 3

Tema 3: Trigonometría y números complejos

4. Representa cada número complejo en su forma trigonométrica. Luego, resuelve. a. (2 – 2i)(3 + 3i)

c. (1 – 2i) : ( 2 + i)

b. (–1 + i)(–1 – 2i)

1 2   d.  2 – 2 i  

5

128

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16 cm

C

7. Esboza la gráfica de las siguientes

120º x

60º

x

Tema 6: Funciones y ecuaciones trigonométricas

120 m 45º

C

20 cm

B

60º

x

funciones. Luego, señala su dominio, recorrido, período, mínimos, máximos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y si es par, impar o ninguna de ellas. a. f(x) = sen(2x) + cos(2x) b. f(x) = sec(x) – tan(x) c. f(x) = cosec(2x + 45º)

8. Resuelve las siguientes ecuaciones en el intervalo [0, 2π]. a. tan( x) = –

3 3

b. cosec(x) = –1 c. cos(2x) + 3senx = 2

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Más actividades Realiza las siguientes actividades que consideran contenidos de esta unidad.

Trigonometría en las manos Observa la imagen. En ella se muestra una estrategia, para que puedas recordar cómo se relacionan los lados de un triángulo rectángulo con las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

»»Intenta comprenderla y aplicarla cuando estimes conveniente. ¿Cómo podrías incluir los recíprocos cosecante, secante y cotangente?

»»

O T A

S

A

129

C H

Problema Resuelve el siguiente problema.

»»¿Cuál es la distancia del árbol al edificio, si la

altura de cada piso del mismo es de 3 metros y los ángulos, cuyos vértices son la base del árbol, que subtienden los primeros dos pisos y los tres últimos, son iguales?

Unidad 4

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Funciones trigonométricas

01-01-16 16:07

Para finalizar Para terminar la unidad resuelve la siguiente evaluación.

1. ¿Cuál de las siguientes medidas angulares, expresadas en radianes, es equivalente a 200 grados centesimales? A. π B. 180º C. 360º π D. 2 10π E. 9

2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)? I. Un grado centesimal corresponde a dividir una circunferencia en 100 partes iguales. II. Un grado sexagesimal corresponde a dividir una circunferencia en 60 partes iguales. III. Un radián corresponde al ángulo del centro de la circunferencia, que subtiende a un arco de la misma, cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo I y III

3. Si en un triángulo rectángulo, se tiene a , ¿cuál de las siguientes b expresiones corresponde cosα?

que senα =

A. a 2 – b2 B. a 2 + b2 C. b2 – a 2 1 D. b2 – a 2 2 2 E. b – a b

130

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4. Si en el triángulo ABC dibujado, se cumple

que 2cos(90° – α) = 1, ¿cuál es el valor de la incógnita x? A

α

B

x 20 cm

C

A. 10 cm B. 40 cm C. 30º D. 60º E. Faltan datos

5. ¿Cuál es el resultado de 2sen45° – 3cos60°? 1 2 B. 2 2 C. 2 – 6 3 D. 2 – 2 3 E. 2 + 2 6. Una escalera está apoyada en una pared, formando un ángulo de elevación (ángulo formado por el piso y la escalera) de 45°. Si el largo de la escalera es de 4 metros, ¿a qué altura de la pared está afirmada la escalera? A. 1 m B. 4 m C. 2 2 m 2 2m D. 4 2 E. m 2 A.

7. Si x = cosα e y = sen2α, ¿cuál es el valor de 2x2 + 2y? 1 A. 2 B. 1 C. 2 D. 4 E. 6

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Evaluación final 8. Considerando el siguiente triángulo:

complejo z = 7 – 7i? A. 7 2cis (45º )

A 5 cm

x

B. 7 2cis (135º ) C. 7 2cis (225º )

α B

D. 7 2cis (270º )

C

3 cm

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. x = 4 cm II. cosα = 0,6 III. x2 = 32 + 52 – 30cosα A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo I y III

9. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el valor de x en el triángulo ABC?

10 cm 60º

45º x

C

10sen75º sen60 10sen45º B. x = sen60 sen45º ⋅ sen60º C. x = 10 sen45º ⋅ sen75º D. x = 10 sen60º ⋅ sen75º E. x = 10 A. x =

10. ¿En qué parte del plano complejo se ubica el número z = –3 + 8i? A. En el cuadrante I. B. En el cuadrante II. C. En el cuadrante III. D. En el cuadrante IV. E. En el eje real.

E. 7 2cis (315º )

12. ¿Cuál(es) de los siguientes números complejos se representa(n) en el segundo cuadrante del plano complejo? I. –4cis(30º) II. 2cis(225º) III. –4cis(240º) A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo I y III 4 8 y cosβ = , ¿cuál es el valor 5 17 de sen(α + β)? 13 A. 85 26 B. 85 32 C. 85 64 D. 85 77 E. 85

14. Si senα =

12 , ¿cuál es el valor de sen2α? 13

24 13 24 B. 26 120 C. 13 120 D. 169 144 E. 169

A.

Unidad 4

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131

13. Si senα =

A

B

11. ¿Cuál es la forma trigonométrica del número

Funciones trigonométricas

01-01-16 16:07

Para finalizar 15. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función definida por f(x) = 2cos(x)? A. Y 2 1 –2π

0

2π

X

–1 –2 B.

0

2π

X

Y 2 1 2π

X

–1 –2 D.

es solución de la siguiente ecuación trigonométrica?

1 0

2π

π 4 3π II. x = 4 9π III. x = 4

Y 2 1 0 –1 –2

132

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2 en [0, 2π] 2

I. x =

–2

–2π

cosx = –

X

–1

E.

A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III

18. ¿Cuál(es) de los valores de x dados

Y 2

–2π

3 2

I. x =

–2

0

senx = – 4π 3 5π II. x = 3 6π III. x = 3

–1

–2π

I. f(x) = sen(x) II. f(x) = 2tan(x) III. f(x) = sec(x) A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo I y III es solución de la siguiente ecuación trigonométrica?

1

C.

trigonométricas tiene(n) período 2π?

17. ¿Cuál(es) de los valores de x dados

Y 2

–2π

16. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones

2π

X

A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III

Editorial Crecer Pensando 01-01-16 16:07

Unidad

5

Lugares geométricos Circunferencia (centro P(x1, y1) y radio r) (x – x1)2 + (y – y1)2 = r2 r=

2

(x – x ) + (y – y ) 2

1

1

x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde:  D E P ( x 1, y 1 ) = P  – , –   2 2 1 2 2 D + E – 4F , con D2 + E2 > 4F 2 Parábola (vértice V(x1, y1)) (x – x1)2 = 4p(y – y1) (vertical) (y – y1)2 = 4p(x – x1) (horizontal) x 2 + Dx + Ey + F = 0, donde:  D D2 – 4F  V ( x 1, y 1 ) = V  – , (eje focal  2 4E  paralelo al eje Y) r=

y2 + Dx + Ey + F = 0, donde:  E2 – 4F E  V ( x 1, y 1 ) = V  , –  (eje focal 2  4D paralelo al eje X) Elipse centrada en C(x1, y1) 2

1

1

= 1 (eje focal

a2 b2 paralelo al eje X) 2

2

(x – x ) + (y – y ) 1

1

= 1 (eje focal b2 a2 paralelo al eje Y) Ax 2 + By2 + Dx + Ey + F = 0; A, B > 0. A < B (eje focal paralelo al eje X) A > B (eje focal paralelo al eje Y) Hipérbola centrada en C(x1, y1) 2

2

(x – x ) – (y – y ) 1

a2 b2 paralelo al eje X)

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2

(x – x ) + (y – y )

1

= 1 (eje focal

2

2

(y – y ) – (x – x ) 1

1

= 1 (eje focal a2 b2 paralelo al eje Y) b y = ± ( x – x 1 ) + y 1 (asíntotas hipérbola a horizontal) a y = ± ( x – x 1 ) + y 1 (asíntotas hipérbola b vertical) Ax 2 – By2 + Dx + Ey + F = 0 (eje focal coincide o es paralelo al eje X) Ay2 – Bx 2 + Dx + Ey + F = 0 (eje focal coincide o es paralelo al eje X) Excentricidad c ε= a Circunferencia: ε = 0 Parábola: ε = 1 Elipse: 0 < ε < 1 Hipérbola: ε > 1

28-05-16 9:55

Para comenzar Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que debieras conocer. Tema 1: Ecuaciones

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 5(–3x + 5) – 8(3x + 5) = 2x

b. (x + 3)2 – 2(x + 2)(x – 2) = 1

c.

4 2x 1 + 2 = 3 – x –x + 9 x + 3

Tema 2: Puntos y distancia en el plano

2. Resuelve los siguientes problemas. 1 2 a. Sean los puntos A(2, –4), B(–3, 3) y C  – , –  del ° 3 5 plano cartesiano. ¿Cuál de las distancias d(A, B), d(A, C) y d(B, C) es menor y cuál es mayor? ¿Cuál de los puntos está más alejado del origen del plano cartesiano? b. ¿Cuál es el perímetro del polígono cuyos vértices, al ubicarlos en el plano catesiano, corresponden a los 7 3 1 puntos A(4, –3), B(–1, 6), C  – ,  y D  – , – 4 ? ° 4  ° 2 2 Tema 3: Ecuación de la recta en el plano

3. Resuelve los siguientes problemas. 2 1 a. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, –5) y B  – ,  ? ° 3 2

b. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por P(3, 4) y es perpendicular a la recta que pasa por el punto A(–1, 1) y tiene pendiente m = –3?

c. ¿En qué punto se cortan las rectas L1 y L2, si L1: y = 4x – 1 y L2: 5x – 2y = 3?

134

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Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Evaluación inicial Tema 4: Función cuadrática

4. Analiza las funciones cuadráticas definidas en los reales y determina sus raíces. a. f(x) = (x + 3)2 – 3

b. f ( x ) = 6x 2 –

17 5 x– 2 2

c. f(x) = 3x2 + 6x + 4 = 0

5. Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas definidas en los reales. a. f(x) = (x – 5)2 + 2

b. f(x) = 2x2 + x – 3 = 0

c. f(x) = –x2 + 12x + 36 = 0

135

6. Resuelve los siguientes problemas. a. La altura en metros de un objeto que ha sido lanzado está representado por h(t) = 10t – 5t2, donde t es el tiempo en segundos. ¿A los cuántos segundos caerá al suelo?

b. Considerando la situación anterior, ¿cuántos metros de distancia hay entre el punto de lanzamiento del objeto y el punto en el que cae al suelo?

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Ecuación de la recta en el plano

Ecuaciones Puntos y distancia en el plano

Función cuadrática

Unidad 5

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Lugares geométricos

28-05-16 9:55

Circunferencia Y y2

P( 2,0 ,r ) =2 P(0, 0), r = 3,5 P(1/2, 1), r =2 P(2, –1/2), r =1 5 = r , 0) , 1 (– P 4 P = (–2, 2), r , –2), r =7 = 1 P(0 r , ) 1 , 1 P(– 2 = 1/ P(3, –1), r = 4 1/4 P(0, 0), r = r , ) 0 P(0, P(2/3, –1), r = 6 P(–1, 5), r P(–4, 0), r =5 =4 P(1, 1), r = 3

Q(x 2, y 2) r

y1

P(x1, y1) x2

x1

X

El juego consiste en que un participante extrae sin mirar una de las tarjetas y debe dibujar en la pizarra, la circunferencia descrita. Luego, cada estudiante del curso debe nombrar y dibujar un punto que pertenezca a dicha circunferencia; perdiendo aquel que no logre identificar un punto de ella o nombre un punto que no pertenezca.

La circunferencia es el lugar geométrico compuesto por los puntos del plano que equidistan de otro, llamado centro de la circunferencia. La distancia que se mantiene constante en una circunferencia se denomina radio.

Actividades resueltas 1. Escribe la ecuación principal y general de la circunferencia C(P, r), donde P(3, –1) y r = 2 unidades del plano cartesiano. La circunferencia descrita es: Y 2 1 –1 0 –1

X 1

2

3

4

–2 –3 –4

5

6

La ecuación principal de la circunferencia C(P, r) es: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4 Desarrollando los cuadrados e igualando a cero, se obtiene la ecuación general de la circunferencia: x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0

2. Determina el centro y radio de la circunferencia cuya ecuación principal es (x + 4)2 + (y + 3)2 = 16. Analizando la ecuación, es posible afirmar que la circunferencia descrita es de radio 4 y está centrada en el punto P(–4, –3).

Sea C(O, r) la circunferencia centrada en el origen del plano cartesiano y de radio r, entonces, la ecuación que satisfacen sus puntos es: x2 + y2 = r2

Sea C(P, r) la circunferencia centrada en el punto P(x1, y1) y de radio r, entonces, la ecuación que satisfacen sus puntos es: (x – x1)2 + (y – y1)2 = r2 Esta ecuación se conoce como la ecuación principal de la circunferencia. Además:

3. Determina el centro y radio de la circunferencia cuya ecua-

r=

ción es 2x + 2y + 8x – 4y – 8 = 0. 2

2

2x2 + 2y2 + 8x – 4y – 8 = 0 / · 0,5 ⇔ x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0 / agrupando y (+4) ⇔ (x2 + 4x) + (y2 – 2y) = 4 Para completar los cuadrados de binomios se suman 4 y 1 unidades, respectivamente, obteniendo: (x2 + 4x + 4) + (y2 – 2y + 1) = 4 + 4 + 1 ⇔ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 9 Por lo tanto, la circunferencia es de radio 3 y está centrada en el punto P(–2, 1).

136

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2

(x – x ) + (y – y ) 2

1

1

La ecuación general de una circunferencia C(P, r) es: x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde:  D E • P ( x1, y1 ) = P  – , –   2 2

• r = 1 D2 + E2 – 4F , con D2 + E2 > 4F 2

Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Más estrategias Analiza la siguiente estrategia para determinar el centro y radio de una circunferencia. Luego, responde. Determina el centro y radio de la circunferencia, cuya ecuación general es x 2 + y2 – 6x + 8y – 12 = 0 Sea D = –6, E = 8 y F = –12. Utilizando las fórmulas dadas en las formalizaciones de la página anterior, se tiene que el centro de la circunferencia es:  D E P ( x 1, y 1 ) = P  – , –  = P ( 3, – 4 )  2 2 Mientras que el radio de la circunferencia es: 1 2 2 1 1 1 r= D + E – 4F = ( –6 )2 + 82 – 4 ⋅ ( –12) = 36 + 64 + 48 = 2 37 = 37 2 2 2 2 Por lo tanto, la circunferencia está centrada en P(3, –4) y su radio es r = 37. a. Al comparar esta estrategia con la que utiliza completación de cuadrados, ¿cuál prefieres? Explica. b. Utiliza las fórmulas para verificar que la tercera actividad resuelta de la página anterior es correcta. c. Utiliza la completación de cuadrados para verificar que la actividad resuelta en esta sección es correcta.

137

Actividades propuestas 1. Escribe la ecuación principal de cada circunferencia. Para ello, considera el centro P y radio r dados (el radio está definido en unidades del plano cartesiano). a. P(3, –2) y r = 1

d. P(–3,4; 8) y r = 0,5

3 3 8 g. P  – , –  y r = ° 2 2 3

b. P(–1, –4) y r = 5

2 e. P  4, –  y r = 3 ° 5

 3 1 8 h. P  ,–  yr= 2 5 ° 4

c. P(0, 0) y r = 8

1 f. P  5,  y r = 3 ° 5

 2 3 2 i. P  ,  yr= 5 ° 3 5

2. Escribe la ecuación general de cada circunferencia descrita en la actividad propuesta 1. 3. Escribe la ecuación principal y general de cada circunferencia. Para ello, considera los puntos P y Q dados; donde, el primero es el centro de la circunferencia y el segundo, un punto cualquiera de ella. a. P(3, –2) y Q(0, 0)

2 e. P  4, –  y Q( 3, – 6 )  5

b. P(–1, –4) y Q(–1, 8)

1 1 f. P  –1, –  y Q  2,  ° ° 5 5

c. P(0, 0) y Q(–2, –5)

2 1 2 3 g. P  – ,  y Q  ,  ° 3 4 ° 3 4

d. P(–3,4; 8) y Q(–1,4; 0)

1 h. P – 2,3 y Q  8,   2

(

Ayuda Encuentra el radio de cada circunferencia, calculando la distancia entre P y Q.

)

4. Representa gráficamente las circunferencias descritas en las actividades propuestas anteriores. Unidad 5

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Lugares geométricos

28-05-16 9:55

5. Reconoce cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias. Para ello, puedes apoyarte en graficadores o programas. Luego, responde. a. x2 + y2 – 4x – 5y + 4 = 0 e. (x + 4)2 – (y + 1)2 = 10 b. –x2 + y2 – 6x + y – 2 = 0 f. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 1 c. x2 + y2 – 4x + 4y – 19 = 0 g. (2x + 3)2 + (2y – 1)2 = 8 d. 2x2 + 2y2 – 5x + 6y – 9 = 0 h. (–3x + 1)2 + (–3y – 1)2 = –4 • ¿Cómo son los coeficientes numéricos de los términos cuadráticos en aquellas ecuaciones generales que representan circunferencias? Justifica. • ¿Cómo debe ser el término independiente en aquellas ecuaciones generales que representan circunferencias? Justifica. • ¿Existe otra condición que deba cumplir otro parámetro de la ecuación para que esta corresponda a una circunferencia?

Ayuda Recuerda que los términos cuadráticos son aquellos de segundo grado, en este caso, los que contienen solo x 2 o y 2; mientras que el término independiente es aquel que está compuesto solo por un número y carece de factor literal.

6. Identifica el centro y radio de las circunferencias que fueron rerpresentadas por su ecuación, en la actividad propuesta anterior.

7. Analiza las siguientes ecuaciones principales de circunferencias. Luego, identifica el centro y radio en cada una de ellas.

(

g. x – 3

a. (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1

d. (x – 1)2 + (y + 5)2 = 4

b. x2 + y2 = 1

25 1 2 e.  x +  + ( y – 5) =   3 4

c. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 16

f. ( x + 5) + ( y + 5) = 3

2

2

2

2

2

) + (y – 2 ) 2

2

2

2

=6

4 1   h.  x +  +  y –  = 5 ° ° 9 2 2 5 2   i.  x +  +  y +  = ° ° 3 4 2

8. Analiza las siguientes ecuaciones generales de circunferencias. Luego, identifica el centro y radio en cada una de ellas. 21 =0 4

a. x2 + y2 – 2x – 2y – 16 = 0

e. x 2 + x + y 2 – 6y +

b. x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0

f. x 2 + 2 2x + y 2 – 2 3y – 20 = 0

c. 3x2 + 3y2 – 7x – y – 6 = 0

g. x 2 –

d. 2x2 + 2y2 – 8x + 12y – 72 = 0

 13 2 2 2 2 =0 – h. x – x + y + y +  3 ° 36 2 

1 27 x + y 2 + 3y – =0 2 16

9. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿En qué puntos P1 y P2 del plano cartesiano puede estar centrada una circunferencia de radio 2 unidades, si se sabe que el punto Q(2, 3) pertenece a dicha circunferencia y que la abscisa de su centro es el doble de su ordenada? b. ¿Cuál es la ecuación principal y cuál es la ecuación general de la circunferencia de diámetro AB, 25 3 7 9 si A  , –  y B  , –  ? ° 2 2 ° 2 2

138

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Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Parábola Y

P1 F

d

P3 V d2

d1

d3

X

En cursos anteriores se estudió la función cuadrática y su gráfica, que corresponde a una parábola vertical. Toda parábola se caracteriza por tener una recta asociada, llamada directriz (d) y un punto (F) del plano cartesiano, denominado foco de la parábola, que cumplen la condición de que la distancia al foco, de cualquier punto (P) que pertenece a la parábola, es igual a la distancia de dicho punto a la directriz. • ¿Crees que las parábolas puedan ser solamente verticales? • ¿Cómo se representa en el dibujo, lo explicado anteriormente?

Actividades resueltas 1. Determina la ecuación principal de la parábola cuyo foco es F(2, –1) y directriz d: y = 2. Y

d1

y=2

V

X

F(2, –1)

Si V es el vértice de la parábola, entonces: d(F, V) = d(V, d) Esta distancia se denota p, por lo que: d(F, d) = 2p

Al representar F y d en el plano cartesiano, se puede deducir que la parábola es vertical y sus ramas "abren hacia abajo". Por lo que su ecuación es de la forma: (x – x1)2 = 4p(y – y1) Donde, V(x1, y1) es el vértice y p es d(F, V).

• Como d(F, d1) = 2p, y d1(2, 2) y F(2, –1), entonces, d(d1, F) = 3 = 2p. Luego, p = d(F, V) = 1,5. • Como d(F, V) = p = 1,5, entonces, sumando 1,5 unidades a la ordenada de F(2, –1), se obtiene V(2; 0,5). • Como sus ramas abren hacia abajo, p < 0, luego, se considera p = –1,5. Finalmente, la ecuación principal de la parábola es: (x – 2)2 = –6(y – 0,5)

2. Determina el vértice, foco y directriz de la parábola, cuya ecuación general es y2 – 3x – 2y + 4 = 0. Agrupando y completando cuadrados, se tiene: y2 – 3x – 2y + 4 = 0 ⇔ y2 – 2y = –4 + 3x ⇔ y2 – 2y + 1 = 3x – 4 + 1 ⇔ (y – 1)2 = 3x – 3 ⇔ (y – 1)2 = 3(x – 1) Esta ecuación corresponde a una parábola horizontal, cuyo vértice es el punto V(1, 1) y 4p = 3, por lo que, p = 0,75 (parábola horizontal de concavidad hacia la derecha). • Sumando p a la abscisa de V, se obtiene el foco F(1,75; 1). • Restando p a la abscisa de V, se obtiene el punto d1(0,25; 1), por lo que, la directriz es d: x = 0,25.

139

Ecuación principal de la parábola con V(0, 0): • x 2 = 4py (parábola vertical) • y2 = 4px (parábola horizontal) Ecuación principal de la parábola con V(x1, y1): • (x – x1)2 = 4p(y – y1) (parábola vertical) • (y – y1)2 = 4p(x – x1) (parábola horizontal)

Si p < 0, la concavidad (hacia donde abren las ramas) es hacia abajo o a la izquierda, según corresponda; mientras que si p > 0, la concavidad es hacia arriba o derecha.

La ecuación general de la parábola, cuyo vértice es el punto V(x1, y1) y su eje focal es paralelo al eje Y es: x 2 + Dx + Ey + F = 0, donde:  D D2 – 4F  • V ( x1, y1 ) = V  – ,  2 4E  Mientras que si el eje focal es paralelo al eje X, es: y2 + Dx + Ey + F = 0, donde:  E2 – 4F E  = V x , y V ( ) • 1 1  4D , – 2  Unidad 5

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El eje de simetría (o eje focal) es la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

Lugares geométricos

28-05-16 9:55

Aprendiendo del error Analiza el valor de verdad de cada afirmación. Luego, responde. • La ecuación x 2 = –4y corresponde a una parábola de concavidad hacia abajo, cuyo vértice es V(0, 0), su foco es F(0, –1) y su directriz es y = 1. • La ecuación –y2 = –4x corresponde a una parábola de concavidad hacia la izquierda, cuyo vértice es V(0, 0), su foco es F(–1, 0) y su directriz es x = 1. • El eje focal de la parábola, cuya ecuación general es y 2 + 8x – 2y + 17 = 0 es paralelo al eje X. • La distancia desde el foco a la directriz, de la parábola cuya ecuación general es x 2 + 4x + 2y – 2 = 0, es –2. Además, su foco es F(–2; 2,5) y su directriz es y = 3,5. a. Justifica las afirmaciones que son falsas y corrígelas para que sean ciertas. b. Representa gráficamente cada parábola descrita.

Actividades propuestas 1. Reconoce la concavidad de cada parábola, de la cual se conoce su ecuación principal o general. 2

a. (x – 3)2 = 4(y – 5)

d. y2 + 5x – 2y – 3 = 0

b. (y – 1)2 = –2(x + 2)

e. –x2 + 3x – y + 6 = 0

2

2 1  c.  x +  = – ( y – 1)  2 3

1 2 f. – y 2 + 4x – y – 2 = 0 4 3

1  1  g.  2x –  = 3  y +1 ° °2  3 2 5  3  h.  y –  = – 5  x – 5 ° °4  2 4 2 3 x + 4y – = 0 i. – x 2 – 5 2 2

2. Escribe la ecuación principal de cada parábola. Para ello, considera el foco F y el punto d1 dados (d1 es la intersección de la directriz y el eje focal).

a. F(0, 0) y d1(4, 0)

d. F(4,8; –2) y d1(4,8; –4,5)

1 2 g. F  – , –1 y d1  – , –1 ° 4  ° 5 

b. F(–2, –5) y d1(–2, 7)

1 3 1 e. F  , –  y d1  , – 5 ° 2 2 °2 

h. F –1, 2 y d1 2, 2

c. F(5, –3) y d1(8, –3)

4 4 5 f. F  , –1 y d1  ,  °3  ° 3 2

  3 3 3 y d1  – ,– i. F  0, –  5  5  ° ° 3

(

)

(

)

3. Escribe la ecuación general de cada parábola descrita en la actividad propuesta 2. 4. Escribe la ecuación principal de cada parábola. Para ello, considera el foco F y la directriz d dados. a. F(0, 0) y d: y = 5

1 1 e. F  3, –  y d: y = °  5 5

b. F(–1, –4) y d: y = –5

2 17 f. F  – ,2 y d: y = – ° 7  5

c. F(–2, –5) y d: x = –5

4 2 7 g. F  , –  y d: y = – ° 5 3 5

d. F(1,4; 5) y d: x = 3,5

h. F

140

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(

)

5, – 3 y d: y =

1 4

Ayuda Sea el punto P(x1, y1) y la recta L: Ax + By + C = 0. Luego, la distancia de P a la recta L, está dada por: d (P, L ) =

Ax 1 + By 1 + C A 2 + B2

Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

5. Escribe la ecuación general de cada parábola descrita en la actividad propuesta 4. 6. Representa gráficamente las parábolas descritas en las actividades propuestas anteriores. 7. Analiza las siguientes ecuaciones de parábolas. Luego, identifica el vértice, foco y directriz de cada una de ellas. 5 3 2 i. ( y + 4 ) = –  x –  2 5

a. (x – 5)2 = –8(y + 1)

7 e. y 2 = x 6

b. (y + 5)2 = 6(x – 5)

f. y 2 + x –

1 c. x = – y 2

1 g. ( y – 3 ) = ( x + 5) 4

 2 = 2( y – 8) k.  x – 3  

d. y2 – 4x + 3y – 2 = 0

h. x2 + 6x – 5y + 2 = 0

2 1 1 l. y – 7 =  x +  2 2

2

3 2 y – =0 5 3

j. x 2 –

2 2 5 x – y + =0 3 3 6 2

2

(

141

)

8. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la ecuación general de una parábola cuyo vértice es el punto V(3, –5) y su directriz es la recta x = –8? b. ¿Cuál es la ecuación de la directriz de una parábola, cuyo vértice es el punto V(–5, –9) y su foco es el punto F(4, –9)? c. La trayectoria de un clavadista es una parábola, cuya directriz y foco, en el plano cartesiano, son d: y – 7 = 0 y F(2, 3), respectivamente. • ¿Cuál es la altura máxima, en metros, que alcanza el clavadista? • ¿Desde qué altura saltó el clavadista? • ¿Cuál es la ecuación que describe la altura h en metros, que alcanza el clavadista, en un determinado instante t en segundos? • ¿A los cuántos segundos aproximadamente, luego de saltar, el clavadista cae al agua? d. Un objeto es lanzado hacia arriba y la altura, en metros, del mismo, cada cierto instante t en segundos, sigue una trayectoria de parábola, cuya ecuación general es x2 – 15x + 5y – 1 = 0: • ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto? • ¿Desde qué altura fue lanzado el objeto? • ¿Cuál es la ecuación que describe la altura h en metros, que alcanza el objeto, en un determinado instante t en segundos? • ¿A los cuántos segundos aproximadamente, luego de ser lanzado, el objeto cae al suelo? 3 e. Sean dos parábolas, cuyos focos son los puntos F1(0, 0) y F2  , 5 , y cuyas directrices están de°2  9 finidas por las ecuaciones d1: x = –6 y d2 : x = , respectivamente. 2 Ayuda • ¿Cómo es la concavidad de ambas parábolas? Para encontrar los puntos de • ¿Cuál es la ecuación principal de cada parábola? intersección entre lugares • ¿Cuál es la ecuación general de cada parábola? geométricos, debes resolver el sistema de ecuaciones • ¿En cuántos puntos se intersecan ambas parábolas? que las representa. • ¿Cuáles son los puntos de intersección de ambas parábolas? Puedes utilizar una calculadora científica para realizar los cálculos. Unidad 5

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Lugares geométricos

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Antes de seguir... Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que has visto en esta unidad. Tema 1: Circunferencia

1. Identifica el centro y radio de cada circunferencia, dada su ecuación. a. (x – 3)2 + y2 = 16

c. (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25

e. 2x2 + 2y2 + 9x – 2y + 1 = 0

b. x2 + y2 – 6x + 3y – 12 = 0

d. x2 + y2 + 6x + 2y – 71 = 0

f. (x – 5)2 + (y + 3)2 = 1

2. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la ecuación general de la circunferencia centrada en el punto C(–3, 1), cuyo diámetro es 10 unidades del plano cartesiano?

b. ¿Cuál es el perímetro y área del cuadrado circunscrito a la circunferencia, cuya ecuación es 4x2 + 4y2 – 4x + 12y – 11 = 0?

Tema 2: Parábola 3. Identifica el foco, vértice y directriz de cada parábola, dada su ecuación. a. y2 = 16x

c. (y + 1)2 = 6(x + 2)

e. y2 – 2x – 6y + 7 = 0

b. x2 + 5x – 6y + 8 = 0

d. x2 = 16y

f. (x – 7)2 = –9(y + 3)

142

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Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Evaluación intermedia 4. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la ecuación general de la parábola cuyo foco es F(–3, –6) y su directriz es x = –6?

b. La trayectoria de un clavadista es una parábola, cuya directriz y foco, en el plano cartesiano, son d: y – 4 = 0 y F(3, 3), respectivamente. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el clavadista?

143 Tema 3: Intersección de circunferencia y parábola

5. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuáles son los puntos de intersección de la circunferencia, cuya ecuación es x2 + (y – 3)2 = 49 y la parábola de ecuación (x + 1)2 = 4(y – 1)?

b. Sean dos parábolas (P1 y P2) cuyos vértices coinciden en el punto V(2, 3). Si el foco de la primera es F1(2, 4) y el de la segunda es F2(3, 3), ¿cuál es la ecuación de la circunferencia centrada en el vértice común V de las parábolas y cuyo radio es igual a la distancia de V a la intersección de ambas parábolas?

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Circunferencia

Parábola Intersección de circunferencia y parábola

Unidad 5

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Lugares geométricos

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Elipse Y B1

P(x, y)

B1

P(x, y)

X A1

F1

F2

La elipse es el lugar geométrico formado por los puntos del plano, cuyas sumas de las distancias de cada punto a dos puntos fijos, denominados focos de la elipse, es constante.

Y

A2

A1

C

F1

B2

F2

A2 X

B2

Actividades resueltas 1. Determina el centro, los focos, vértices principales y sex2 y2 + = 1. 4 25 • De la ecuación se deduce que el centro es C(0, 0) y que el eje focal coincide con el eje Y. Además: • Como a2 = 25 ⇒ a = 5, la Y longitud del eje mayor es A1A2 = 10; A1 y como b2 = 4 ⇒ b = 2, la longitud F1 del eje menor es B1B2 = 4 (solo se a consideran los valores positivos de a y b, ya que se trata de distancias). X Luego, los vértices principales son B1 B2 b O A1(0, 5) y A2(0, –5); mientras que los secundarios son B1(–2, 0) y B2(2, 0). • Para determinar los focos, se F2 considera el triángulo rectángulo OF1B1 A2 dibujado, donde a = 5 y b = 2 son sus catetos. Luego, c2 = a2 – b2, es decir: cundarios de la elipse, cuya ecuación es

2

2

)

(

c = OF1 = a – b = 25 – 4 = 21

(

)

Por lo tanto, los focos son F1 0, 21 y F2 0, – 21 .

2. Escribe la ecuación de la elipse centrada en C(–1, 2), cuyos vértices secundarios son B1(–4, 2) y B2(2, 2) y uno de sus focos es F1(–1, 6).

Considerando las elipses dibujadas: • Eje focal: recta que contiene a F1 y F2. • Distancia focal: distancia entre F1 y F2. • Vértices: A1, A2, B1 y B2. • Vértices principales: aquellos cuya distancia es mayor (A1 y A 2). • Vértices secundarios: aquellos cuya distancia es menor (B1 y B2). • Eje mayor: segmento cuyos extremos son los vértices principales (A1A 2 = 2a). • Eje menor: segmento cuyos extremos son los vértices secundarios (B1B2 = 2b).

• PF1 + PF2 = 2a • F1F2 = 2c La ecuación de la elipse centrada en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X es: x2 y2 + =1 a 2 b2 La ecuación de la elipse centrada en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje Y es: x2 y2 + =1 b2 a 2

Según los datos, se tiene una elipse cuyo eje focal es paralelo al eje Y. Además: • Como C(–1, 2), entonces, x1 = –1, y1 = 2. • De los vértices secundarios dados, se obtiene que la longitud del eje menor es d(B1, B2) = 6. Luego, b = 3. • Se considera el triángulo F1CB2, rectángulo en C, con F1C = 4, CB2 = 3 y B2F1 = 5. • Como B2 pertenece a la elipse, se tiene que B2F1 + B2F2 = 2a. Luego, como B2F1 = B2F2 = 5 entonces, 2a = 10 ⇒ a = 5. Por lo tanto, la ecuación de la elipse es: 2

( x +1) 9

144

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2

( y – 2) + 25

=1

Ecuación de la elipse centrada en C(x1, y1), cuyo eje focal es paralelo al eje X: 2

2

(x – x ) + (y – y ) 1

1

=1 a2 b2 Ecuación de la elipse centrada en C(x1, y1), cuyo eje focal es paralelo al eje Y: 2

2

(x – x ) + (y – y ) 1

b2

1

a2

=1

Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Aprendiendo del error Analiza la siguiente resolución. Luego, responde. Determina la ecuación de la elipse graficada. • Como la distancia focal (d(F1, F2)) es 4, entonces, d(F1C) = d(F2, C) = 2. Luego, C(3, 1).

Y B1 F1(1, 1)

• Como A 2(8, 1) y d(C, A 2) = a = 5, entonces, A1(–2, 1).

A

1 • Considerando el triángulo B1CF2, rectángulo en C, se tienen los catetos CF2 = 2 y B1C = b. Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene la hipotenusa F2B1 = b2 + 4 . Luego, como B1 es un punto de la elipse, se tiene:

F2(5, 1) C

A 2(8, 1) X

B2

d(B1, C) + d(B1, F2) = 2a ⇔ b + b2 + 4 = 10 /+ (–b)



145

⇔ b2 + 4 = 10 – b / ( )2



⇔ b2 + 4 = 10 – b ⇔ b2 + b – 6 = 0 Factorizando, se obtiene que (b + 3)(b – 2) = 0, y considerando b > 0, se tiene que b = 2. Por lo tanto, la ecuación de la elipse graficada es: ( x – 3)2 + ( y – 1)2 = 1 25 4

a. ¿La ecuación encontrada corresponde a la elipse graficada? De encontrar errores, corrígelos y determina la ecuación correcta. b. ¿Qué información es necesaria conocer para poder encontrar la ecuación de una elipse?

Actividades propuestas 1. Representa gráficamente las ecuaciones que correspondan a una elipse. 2

a.

( x – 1)

b.

( x – 2)

2

+

9

( y + 2)

2

16

25

d.

x2 y2 + =1 49 100

g.

( x – 3)

=1

e.

x2 y 2 – =1 9 4

h.

( x + 7)

i.

( x + 4)

2

+

( y – 3) 4

2

=1

x2 y 2 c. + =1 81 64

2

f.

( x – 4) 36

1 4

2

+

( y – 3)

+

( y – 8)

2

2

2

( y + 5) + 25

9 4

=1

6

=1

9 2

=1

16 25

2

( y – 9) + 5

=1

2. Representa algebraicamente, con su ecuación, cada elipse, según los focos (F1 y F2) y uno de los vértices principales (A1) dados.

a. F1(0, 0), F2(5, 0), A1(7, 0)

1  5  d. F1  , –1 ,F2  , –1 y A1 ( 0, –1) 2  2 

b. F1(–3, 5), F2(–3, 8), A1(–3, 1)

 3   3 1  3 5 e. F1  – , – 2 ,F2  – , –  y A1  – , –  ° 2  ° 2 2 ° 2 2

c. F1(–6, –4), F2(–1, –4), A1(–12, –4)

 1  9 1  3 1 f. F1  3,  ,F2  ,  y A1  ,  ° 2 ° 2 2 ° 2 2 Unidad 5

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Lugares geométricos

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3. Determina el centro y los vértices principales de cada elipse encontrada en la actividad propuesta 1. 4. Representa gráficamente las elipses planteadas en la actividad propuesta 2. 5. Representa gráfica y algebraicamente, con su ecuación, cada elipse, según el foco (F1) y los vértices secundarios (B1 y B2) dados. a. F1(–2, –2), B1(–4, 0), B2(0, 0)

5  1  d. F1 ( –4, –1),B1  1,  y B2  1, −   2  2

b. F1(2, 3), B1(4, 1), B2(4, 5)

 9 15  5   13  e. F1  ,  ,B1  ,0 y B2  ,0 °2 4  °2  ° 2 

c. F1(0, 8), B1(–3, 0), B2(3, 0)

1 23   19    f. F1  – , – 6 ,B1  –4, –  y B2  –4, –  ° 2  ° ° 2 2

6. Analiza la información. Luego, escribe la ecuación general de cada elipse. La ecuación general de la elipse es: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0; con A, B > 0. Además, si el eje focal es paralelo al eje X, entonces, A < B; mientras que si el eje focal es paralelo al eje Y, entonces, A > B. 2

Ejemplo: Determina la ecuación general de la elipse de ecuación 2

( x – 1)

( x – 1) 9

2

+

( y + 2) 25

=1.

2

( y + 2) +

=1 /· 225 9 25 ⇔ 25(x – 1)2 + 9(y + 2)2 = 225 ⇔ 25x2 – 50x + 25 + 9y2 + 36y + 36 = 225 ⇔ 25x2 + 9y2 – 50x + 36y – 164 = 0 Por lo tanto, la ecuación general pedida es 25x2 + 9y2 – 50x + 36y – 164 = 0.



x2 y 2 a. + =1 81 64

2

( x – 4) b. 36

2

2

( y + 5) + 25

( x + 7) c.

=1

9 4

2

( y – 8) + 16 25

=1

7. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la ecuación de la elipse centrada en el origen del plano cartesiano, que pasa por el punto P(3, 2) y cuyo eje menor es de longitud 5? b. ¿Cuál es la ecuación de la elipse centrada en el punto (3, 1) y que contiene al punto P(3, –3), si se sabe que su distancia focal es 4 unidades del plano cartesiano? c. ¿Se intersecan las elipses de las preguntas a y b? d. ¿La ecuación 4x2 + 3y2 + 2x – 4y + 4 = 0 representa una elipse? Fundamenta. e. ¿Cuáles son los focos de la elipse, cuya ecuación general es 25x2 + 9y2 – 50x + 36y – 164 = 0? f. ¿Cuál es el área y cuál es el perímetro del rectángulo circunscrito a la elipse centrada en el origen del plano cartesiano, cuyo eje menor es de longitud 8 unidades, uno de sus vértices secundarios es B(4, 0) y su distancia focal es 14 unidades? g. Considerando el problema anterior, ¿cuál es el área del rombo inscrito en la misma elipse? 2

( x – 2) h. Representa gráficamente la elipse cuya ecuación es 4

146

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2

( y + 2) + 5

= 8.

Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Hipérbola En las hipérbolas: B1

F1

A1

C

A2 F2 P(x, y)

A1

b a

a

A2

b B2

Actividades resueltas 1. Determina el centro, los focos y los vértices de la hipérx2 y2 – = 1. 25 64 • De la ecuación se deduce que el centro es C(0, 0) y que el eje focal coincide con el eje X. Además: Y • Como a2 = 25 ⇒ a = 5. Luego: A1(–5, 0) y A2(5, 0) • Para determinar los focos, se X utiliza la relación c2 = a2 + b2, A2 A1 C F1 F2 donde ya se calculó a = 5. Como b2 = 64 ⇒ b = 8, luego: c2 = 52 + 82 ⇒ c2 = 89 ⇒ c = 89 bola, cuya ecuación es

• F1 y F2 son focos. • A1 y A2 son vértices. • C es el centro.  • FF 2 es el eje focal. 1  • A1A 2 es el eje real.  • B1B2 es el eje imaginario. • Las rectas que se intersecan en C y no cortan a la hipérbola se denominan asíntotas. La hipérbola es el lugar geométrico compuesto por todos los puntos, cuyas diferencias entre las distancias, a dos puntos fijos denominados focos, se mantiene constante (igual a la distancia entre sus vértices). Es decir, considerando la primera hipérbola dibujada, si P(x, y) pertenece a ella: d(P, F1 ) – d(P, F2 ) = 2a

147

En la hipérbola, A1A 2 = 2a, B1B2 = 2b y F1F2 = 2c. Además, se cumple la relación: c 2 = a 2 + b2

Luego, F1 ( – 89, 0) y F2 ( 89, 0).

2. Escribe la ecuación principal de la hipérbola, cuyos vértices son A1(2, 3), A2(2, –5) y uno de sus focos es F1(2, 4).

Si C(0, 0), la ecuación principal de la hipérbola, cuyo eje focal es el eje X es: x2 y2 – = 1 (hipérbola horizontal) a 2 b2 Si C(0, 0), la ecuación principal de la hipérbola, cuyo eje focal es el eje Y es: y2 x2 – = 1 (hipérbola vertical) a 2 b2

De los elementos dados, se desprende que el eje focal es paralelo al eje Y, por lo que, la hipérbola es vertical: • Como d(A1, A2) = 8, entonces, a = 4. Luego, el centro es el punto: C(2, –1) • Se tiene que d(F1, C) = 5. • Como d(F1, F2) = 2c, y los focos equidistan del centro de la hipérbola, Si C(x1, y1), la ecuación principal de la entonces, d(F1, C) = 5 = c. hipérbola, cuyo eje focal es paralelo al eje X es: • Utilizando la relación c2 = a2 + b2, se calcula que b = 3. ( x – x1 )2 – ( y – y1 )2 = 1 (hipérbola horizontal) a2 b2 La ecuación de una hipérbola vertical, centrada en C(x1, y1) 2 2 Si C(x1, y1), la ecuación principal de la y – y1 ) ( x – x1 ) ( hipérbola, cuyo eje focal es paralelo al eje Y es: es – =1, así, la ecuación buscada es: a2 b2 ( y – y1 )2 – ( x – x1 )2 = 1 (hipérbola vertical) 2 2 ( y + 1) – ( x – 2 ) =1 a2 b2 16 9 Unidad 5

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Lugares geométricos

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Aprendiendo del error Analiza la siguiente resolución. Luego, responde. Y

Determina la ecuación de la hipérbola graficada, si su distancia focal es 12 unidades. • Como la distancia focal (d(F1, F2)) es 12 y P(–8, 14) pertenece a la hipérbola, entonces, d(P, F1) – d(P, F2) = 12 = 2a. Luego, a = 6.

X O

F1

F2

• Como la hipérbola es vertical y está centrada en el origen del plano cartesiano, entonces, su ecuación es de la forma: y2 x2 – =1 a 2 b2 Luego, reemplazando los valores que se tienen:

( –14 )2 62

–

P(8, –14)

82 196 648 = 1⇔ – 2 =1 b2 36 b

72 . 5 y2 5 2 y2 x2 – x = 1. =1⇔ – Finalmente, la ecuación de la hipérbola graficada es 36 72 36 72 5

Despejando b2, se tiene b2 =



a. ¿La ecuación encontrada corresponde a la elipse graficada? De haber errores, corrígelos y determina la ecuación correcta. b. ¿Qué información es necesaria conocer para poder encontrar la ecuación de una hipérbola?

Actividades propuestas 1. Determina el centro, los focos y los vértices de cada hipérbola. 2

a.

( x – 1)

b.

( y – 2)

9

2

–

( y + 2)

–

( x – 3)

2

c.

16

25

d.

y2 x2 – =1 49 100

g.

( x – 3)

=1

e.

x2 y 2 – =1 9 4

h.

( x + 7)

i.

( x + 4)

2

4

2

=1

x2 y 2 – =1 81 64

2

f.

( x + 7) 36

( y – 3)

–

( y – 8)

–

( y – 9)

2

( y – 3) 25

9 4

=1

6

=1

9 2

2

2

–

1 4

2

–

=1

16 25

2

5

=2

2. Representa algebraicamente, con su ecuación, cada hipérbola, según los vértices (A1 y A2) y uno de sus focos (F1) dados.

a. A1(0, 0), A2(5, 0), F1(7, 0)

1  5  d. A1  , –1 , A 2  , –1 y F1 ( 0, –1) 2  2 

b. A1(–3, 5), A2(–3, 8), F1(–3, 1)

 3   3 1  3 5 e. A1  – , – 2 , A 2  – , –  y F1  – , –  ° 2  ° 2 2 ° 2 2

c. A1(–6, –4), A2(–1, –4), F1(–12, –4)

 5 1  9 1  3 1 f. A1  ,  , A 2  ,  y F1  ,  ° 2 2 ° 2 2 ° 2 2

148

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Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

3. Analiza la información. Luego, escribe la ecuación de las asíntotas de las hipérbolas propuestas. Escribe la ecuación de las asíntotas de la hipérbola, cuya ecuación es: 2

( y + 1) 16

2

( x – 2) –

=1

9

Observa el gráfico. Para obtener las ecuaciones de las asíntotas (L1 y L2), de la ecuación de la hipérbola se conocen C(2, –1), a = 4 y b = 3. Luego, es posible determinar las coordenadas de los vértices del rectángulo de largo 2a y ancho 2b, cuyas diagonales se intersecan en el centro de la hipérbola; en particular, se tienen los vértices Q1(5, 3) y Q2(–1, 3). Así, la ecuación de L1 es la ecuación de la recta que pasa por C y Q1, y la de L2, la de la recta que pasa por C y Q2, es decir: 4 4 11 5 L1: y = x – y L 2: y = – x + 3 3 3 3

Y

Eje focal L1

L2 Q2

Q1

a b

X

b a

Eje imaginario

C

149

Otra forma de encontrar las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola centrada en C(x1, y1) es utilizar lo siguiente: b • Si la hipérbola es horizontal, las ecuaciones son: y = ± ( x – x1 ) + y1. a a • Si la hipérbola es vertical, las ecuaciones son: y = ± ( x – x1 ) + y1. b Precisamente, con esta última fórmula puedes verificar que las ecuaciones de L1 y L2 obtenidas para el ejemplo, son correctas. a.

x2 y 2 – =1 81 64

2

b.

( x – 4) 36

2

2

–

( y + 5) 25

=1

c.

( x + 7) 9 4

2

–

( y – 8) 16 25

=1

4. Analiza la información. Luego, escribe la ecuación general de cada hipérbola propuesta. La ecuación general de la hipérbola, cuyo eje focal coincide o es paralelo al eje X es: Ax2 – By2 + Dx + Ey + F = 0 La ecuación general de la hipérbola, cuyo eje focal coincide o es paralelo al eje Y es: Ay2 – Bx2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplo: Expresa en su forma principal, la ecuación y2 – 6x2 – 12x – 6y + 1 = 0. /completando cuadrados y2 – 6x2 – 12x – 6y + 1 = 0 ⇔ (y2 – 6y) – 6(x2 + 2x) = –1 2 2 ⇔ (y – 6y + 9) – 6(x + 2x + 1) = –1 + 9 – 6 ⇔ (y – 3)2 – 6(x + 1)2 = 2 / · 0,5 2



( y – 3) ⇔



( y – 3) ⇔

2

2

x2 y 2 a. – =1 81 64

2

2

– 3 ( x + 1) =1 2

( x + 1) – 1 3

2

( x – 4) b. 36

=1

2

2

( y + 5) – 25

( x + 7) c.

=1

9 4

Unidad 5

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2

( y – 8) – 16 25

=1

Lugares geométricos

28-05-16 9:55

Cónicas y excentricidad Como ya se dijo, toda parábola se caracteriza por tener una recta asociada, llamada directriz (d) y un punto (F) del plano cartesiano, denominado foco, tales que la distancia de cualquier punto (P) de la parábola es igual a la distancia de dicho punto a la directriz. Para la elipse y la hipérbola, aunque su definición como lugar geométrico no menciona explícitamente una directriz, también es posible relacionar cada uno de sus puntos con un foco y una directriz, de tal manera que la razón de la distancia de cualquier punto de la curva a cada foco y a la directriz asociada es una constante.

Actividades resueltas 1. Calcula la excentricidad de la sección cónica, cuya ecuación general es 25x2 + 9y2 – 50x + 36y – 164 = 0. Escribiendo la ecuación en su forma principal (completando cuadrados) se obtiene la elipse de ecuación: 2

( x – 1)

Al cortar un cono con un plano se obtiene una sección cónica (en el dibujo se observa una circunferencia, una elipse, una parábola y una rama de una hipérbola).

2

( y + 2) +

Una sección cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que, sus distancias a un punto (foco) y La relación una recta (directriz) entre las fijos es constante. distancias de los

=1 9 25 Como a = 5 y b = 3, entonces c2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Luego, c = 4. c 4 Por lo tanto, la excentricidad es ε = = = 0,8. a 5

2. Calcula la excentricidad de la sección cónica, cuya ecuación general es 9x2 – 4y2 + 54x + 48y – 99 = 0. Escribiendo la ecuación en su forma principal (completando cuadrados) se obtiene la hipérbola de ecuación: 2

( x + 3)

2

( y – 6) –

=1 4 9 Como a = 2 y b = 3, entonces c2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13. Luego, c = 13 . c 13 ≈ 1,8. Por lo tanto, la excentricidad es ε = = a 2

3. Calcula la excentricidad de la sección cónica, cuya ecuación general es y2 – 4x + 3y – 2 = 0.

Sea F un foco de una sección cónica, D su directriz, P un punto de dicha cónica y Q un punto de D, tal que PQ ⊥ D. La excentricidad de la sección cónica es la razón entre d(P, F) y d(P, D), PF es decir, ε = . PQ

Escribiendo la ecuación en su forma principal (completando cuadrados) se obtiene la parábola de ecuación: 2  y + 3  = 4  x + 17   °  ° 2 16  Como la distancia entre cualquier punto P de la parábola y su foco F es igual a la distancia entre P y su directriz, entonces: ε=1

150

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puntos de la cónica y el foco, y la de los puntos de la cónica y la directriz se denomina excentricidad (ε).

En las elipses e hipérbolas, se tiene c que ε = , donde 2c es la longitud a del eje focal y 2a es la longitud del eje mayor.

Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Aprendiendo del error Analiza la siguiente resolución. Luego, responde.

Ayuda

¿Cuál es la ecuación de la hipérbola centrada en C(2, –2), cuya excentricidad es ε = 0,75?

•• En las circunferencias, la

4 Como la excentricidad es 0,75, se tiene, ε = . 3 4 c Luego, ε = = , por lo que, c = 4 y a = 3. Así, como en la hipérbola se tiene 3 a 2 2 que c = a – b2, entonces, 42 = 32 – b2 ⇒ b2 = 7. Por lo tanto, la ecuación de 2

•• En las parábolas, la

excentricidad es 1 ( ε = 1).

•• En las elipses, la

excentricidad varía entre 0 y 1, es decir, 0 < ε < 1.

2

( x – 2) – ( y + 2) la hipérbola es 9

excentricidad es 0 ( ε = 0).

7

= 1.

•• En las hipérbolas, la

excentricidad es mayor que 1 (ε > 1).

a. ¿Es correcta la resolución? De ser incorrecta, corrígela.

151 Actividades propuestas 1. Calcula la excentricidad de las siguientes cónicas. 2

a. (x – 3)2 = 4(y – 5) b.

x2 y 2 + =1 81 64 2

( y – 2) c. 16

4

=1

2

( y + 2) +

=1

e.

+

=1

2

( x – 3) –

2

( x – 1) d.

9 ( x – 2)2 16

25 ( y – 3 )2 4

( x – 1) g.

2

( y + 2) –

=1 25 2 1 2  h.  x +  = – ( y – 1)   2 3 9

i.

f. (y – 1)2 = –2(x + 2)

x2 y 2 – =1 81 64

2. Clasifica las siguientes cónicas según la excentricidad dada. a. ε = 0 b. ε = 1 c. ε = 0,8

d. ε = 1,2 e. ε = 1 f. ε = 0,4

g. ε = 1,5 h. ε = 2 i. ε = 0,2

3. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál de las cónicas, representadas por las ecuaciones C1: 25x2 + 9y2 + 20x – 18y – 216 = 0, C2: 9x2 – y2 – 54x + 6y + 71 = 0 y C3: x2 – 15x + 5y – 1 = 0, tiene mayor excentricidad? b. ¿Cuál es la ecuación de la elipse centrada en el origen del plano cartesiano, que pasa por el punto P(0, 4) y su excentricidad es 0,6? c. ¿Cómo incide en la excentricidad de una elipse, mantener fijos los vértices principales y aumentar o disminuir la distancia entre los vértices secundarios? Para responder, considera los vértices principales A1(–6, 0) y A2(6, 0). 5 d. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola horizontal centrada en C(1, 1), cuya excentricidad es ε = ? 4 e. ¿Hay puntos de intersección entre la circunferencia centrada en C(3, 5), cuyo radio es r = 8, y la 4 elipse centrada en C(3, –1), cuya excentricidad es ε = y su eje focal es paralelo al eje X? 5 f. ¿Cómo incide en la excentricidad de una hipérbola, mantener fijos los vértices y aumentar o disminuir la distancia focal? Para responder, considera los vértices A1(–3, 0) y A2(3, 0).

Unidad 5

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Lugares geométricos

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Más práctica Casi has llegado al final de esta unidad. Te invitamos a practicar un poco más de algunos temas estudiados. Tema 1: Circunferencia rencia, dada su ecuación. a. x + (y – 2) = 49 2 1 1 2  b. ( x – 5) +  y –  =   2 4 2 2 c. –x – y + 6x – 3y + 12 = 0 2. Resuelve los siguientes problemas. 2

a. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia centrada en C(0, –8) y radio r = 8? b. ¿Cuál es el centro y radio de la circunferencia, cuya ecuación general es 4 3.587 4x 2 + 4y 2 – x + 2y – = 0? 3 36 Tema 2: Parábola

3. Identifica el foco, vértice y directriz de cada parábola, dada su ecuación. a. (y – 4) = –8(x + 4) 2 1 4  b.  x +  = ( y – 1)   5 4 2 c. 4x + 5x – 2y + 21 = 0 2

4. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo 4 foco es F  4,  y su directriz, d: y = –3? ° 5 b. ¿Cuál es el foco y la directriz de la parábola, cuya ecuación es ( y – 2 )2 = – 23 ( x + 3 )? Tema 3: Elipse

5. Identifica los focos y vértices principales de cada elipse, dada su ecuación. 2

( x + 1) a. 4

2

+

( y – 2) 16

=1

2

b.

6. Identifica las asíntotas de cada hipérbola, dada su ecuación. 2

1. Identifica el centro y radio de cada circunfe2

Tema 4: Hipérbola

x2 ( y + 3) + =1 9 25

( x + 1) a. 4

2

( y – 2) –

=1

16

2

x2 ( y + 3) – =1 b. 9 25 c. 4x2 – 49y2 + 8x – 196y + 4 = 0

7. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la ecuación general de la hipérbola centrada en C(–1, 2), donde el punto A(3, 2) es uno de sus vértices y el punto F(–7, 2) es uno de sus focos? b. ¿En cuántos puntos se intersecan la elipse, cuya ecuación general es 4x2 + 9y2 – 12x – 8y – 25 = 0 y la hipérbola, cuya ecuación general es 4x2 – 9y2 – 12x – 8y – 25 = 0? Tema 5: Cónicas y excentricidad

8. Calcula la excentricidad de los siguientes lugares geométricos. a. (y – 4)2 = –8(x + 2) 2

( x + 2) b.

2

( y – 3) +

=1 16 36 c. 4x2 – 49y2 + 8x – 196y + 4 = 0

9. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Hay puntos de intersección entre la circunferencia centrada en el punto C(4, –2), cuyo radio es r = 6, y la elipse centrada 4 en C(2, –1), cuya excentricidad es ε = 5 y su eje focal es paralelo al eje Y? De haber, ¿cuántos son? b. ¿Hay puntos de intersección entre la parábola de vértice en V(1, –1) y directriz d: x – 3 = 0, y la hipérbola centrada en el origen del plano cartesiano, cuya excen5 tricidad es ε = y su eje focal es el eje X? 3 De haber, ¿cuántos son?

c. 4x2 + 49y2 + 8x – 196y + 4 = 0

152

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Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Más actividades Realiza la siguiente actividad que considera contenidos de esta unidad.

Parábolas en papel Materiales

»»1 hoja de papel »»1 plumón o destacador Lee las instrucciones y construye una parábola en una hoja de papel.

153

1. Toma una hoja de papel y dibuja un punto en cualquier lugar de ella. 2. Escoge una esquina de la hoja y superponla sobre el punto dibujado, doblando la hoja. 3. Marca con el plumón o destacador la parte doblada de la hoja.

»»El punto dibujado al

4. Desdobla la hoja y realiza otro doblez, de tal forma que un lado de la hoja siempre quede justo sobre el punto dibujado, sin taparlo completamente.

inicio de la actividad corresponde al foco de la parábola; mientras que el borde de la hoja, opuesto al vértice de la parábola, es la directriz de la misma.

5. Repite este proceso, hasta que juntes la siguiente esquina de la hoja con el punto dibujado. 6. Desdobla y voltea la hoja. Verás dibujada la parábola. Intenta dibujar otras secciones cónicas, utilizando la misma técnica.

Unidad 5

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Lugares geométricos

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Para finalizar Para terminar la unidad resuelve la siguiente evaluación.

1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia? A. 3x2 + 3y2 = 8 B. 2x2 – 2y2 = 4 C. 3x2 + 2y2 = 9 D. x2 + y2 + 2x + 3 = 0 E. (x – 4)2 + (2y + 2)2 = 1

2. Entre las siguientes ecuaciones, ¿cuál de ellas representa a la circunferencia de mayor radio? A. x2 + y2 = 16 B. 3x2 + 3y2 = 9 C. 5x2 + 5y2 – 25 = 0 D. (x – 1)2 + (y + 3)2 = 4 E. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 35

3. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia centrada en C(4, –1) y radio 8? A. x2 + y2 = 8 B. 4x2 – y2 = 64 C. x2 + y2 = 64 D. (x + 4)2 + (y – 1)2 = 8 E. (x – 4)2 + (y + 1)2 = 64

4. ¿Cuál es la ecuación general de una parábola cuyo vértice es C(–3, 6) y cuyo foco es el punto F(–6, 6)? A. (y – 6)2 = –12(x + 3) B. (y – 6)2 = 12(x + 3) C. (y + 3)2 = –12(x – 6) D. (x – 6)2 = –12(y + 3) E. (x – 3)2 = 12(y – 6)

5. ¿Cuáles son los vértices principales y el centro de la elipse de ecuación 9x2 + 16y2 – 144 = 0? A. (–4, 0), (4, 0) y (0, 0) respectivamente B. (–4, 0), (4, 0) y (3, 4) respectivamente C. (0, –3), (0, 3) y (0, 0) respectivamente D. (–4, 0), (0, 4) y (0, 0) respectivamente E. (0, –3), (0, 3) y (3, 4) respectivamente

154

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6. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la directriz de la parábola de vértice V(–1, 4) y foco F(–1, 6)? A. x = 2 B. y = 2 C. x = 8 D. y = 5 E. y = 8

7. ¿Desde qué altura en metros se lanzó un proyectil desde un edificio, si se sabe que su trayectoria puede ser modelada por la gráfica de la ecuación (x + 3)2 = –6(y – 12)? A. 12 m B. 10,5 m C. 6 m D. 3 m E. 2 m

8. ¿Cuál es la distancia focal en una elipse, cuyos vértices principales son A1(–3, 1) y A2(–3, –9) y cuyos vértices secundarios son B1(–5, –4) y B2(–1, –4)? A. 10 B. 21 C. 29 D. 2 21 E. 2 29

9. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una hipérbola centrada en el punto C(–3, 4)? 2

( x – 3) A. 4

2

( y – 4) –

=1

9

2

( x – 3) B.

2

–

9

2

( y – 4) C. 25

( y + 4) 16

2

( x + 3) – 4

2

( y + 4) D.

=1 =1

2

–

( x – 3)

49 64 x2 y 2 =1 E. – 9 16

=1

Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Evaluación final 10. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la elipse 3x2 + 2y2 – 24x – 16y + 74 = 0? A. (4, 4) B. 0,4 + 3

( ) C. ( 4 – 2,4 ) D. ( 4 – 2, – 4 ) E. ( –4,4 + 3 )

11. ¿Cuáles son los vértices de la hipérbola,

( x + 2) cuya ecuación es 4

2

( y – 2) – 9

2

= 1?

A. (–2, 2) y (4, 9) B. (–2, 2) y (2, 3) C. (–4, 2) y (0, 2) D. (–2, 0) y (–2, 4) E. (0, 2) y (1, 2)

14. ¿Cuál de las siguientes hipérbolas está centrada en C(–1, 0) y tiene una asíntota de ecuación y = x + 1? A. x2 – y2 – 9 = 0 B. x2 – y2 + 2x – 2 = 0 C. x2 – y2 – 2x – 3 = 0 D. y2 – x2 – 2y – 4 = 0 E. y2 – x2 + 2y – 5 = 0

15. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que la de una elipse. II. La excentricidad de una parábola siempre es mayor que la de una elipse.

155

III. La excentricidad de una circunferencia siempre es cero.

12. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. La excentricidad de una parábola es 0. II. La excentricidad de una elipse es mayor que 0 y menor que 1. III. La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1.

A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

16. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto a la figura? Y y2

A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

y1

Q(x 2, y 2) r P(x1, y1) x1

x2

X

13. ¿Cuál de las siguientes secciones cónicas representadas por sus ecuaciones tiene una mayor excentricidad? 2

A.

( x + 3) 4

2

( y – 2) – 9

2

B.

( x + 3) 4

=1 2

+

( y – 2) 9

=1

C. (y + 3)2 = 100(x – 1) D. (x + 2)2 + (y – 4)2 = 4 E. 3x2 – 3y2 + 3x – 2y + 24 = 0

I. x2 + y2 = r2 representa a la circunferencia dibujada. II. Si P(3, 4) y Q(8, 10), entonces, r = 61. III. La ecuación x2 + y2 – 4x – 4y – 41 = 0 puede representar a la circunferencia dibujada. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

Unidad 5

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Lugares geométricos

28-05-16 9:55

Para finalizar 17. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

19. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s) respecto a la figura?

(son) verdadera(s) respecto a la figura? Y

Y

Eje focal L1

L2 Q2

P1

b

F

d

P3 V d2

d1

III. El foco de la parábola puede ser F(0, 2).

I. Si a = 8, b = 6 y C(3, –1), entonces, la ecuación de una de las asíntotas es 4 y = ( x – 3 ) – 1. 3 2

( y – 1) II. La ecuación

A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

2

( x + 3) –

=1, puede 16 9 representar la hipérbola dibujada.

III. Si C(3, –1) y a = 8, entonces, uno de sus vértices es el punto A(0, –8).

18. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto a la figura? Y

A1 F1

a

A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es X b

O

B2

F2 A2

I. Si A1(0, 5), entonces, A2(0, –5). II. Si A1(0, 5) y B1(–3, 0), entonces, F1(4, 0). III. La ecuación 25x2 + 4y2 – 100 = 0 puede representar la elipse dibujada. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

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Eje imaginario

C

d3

II. y2 = 4x puede representar a la parábola.

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X

b a

X

I. La directriz es una recta paralela al eje X, cuya ecuación es y = a, con a ∈  –.

B1

Q1

a

(son) verdadera(s)? I. La intersección de una circunferencia y una parábola puede ser vacía, 1, 2, 3 o 4 puntos del plano. II. La intersección de una elipse y una hipérbola puede ser vacía, 2 o 4 puntos del plano. III. La intersección de una parábola y una hipérbola puede ser máximo, 4 puntos del plano. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

Editorial Crecer Pensando 28-05-16 9:55

Unidad

6

Matrices y determinantes Matriz A de orden m x n  a 11 a 12 a 13  a 1n   a 21 a 22 a 23  a 2n   = (aij) A=       ° a a m3  a mn  m1 a m2 Adición de matrices Sean A y B matrices de orden m x n, entonces A + B se resuelve: ° a 11 + b11 a 12 + b12  a 1n + b1n   a +b a 22 + b22  a 2n + b2n  21 21  A+B=       a + b a + b a + b   m1 m1 m2 m2 mn mn  Multiplicación de matrices Si Am x n = (aij) y Bn x p = (bij), entonces AB = C, con Cm x p = (cij) se define por: n

cij = ∑ aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj k=1

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(

)

Matriz traspuesta

Determinante de una matriz

Si A = (aij), entonces AT = (aji). (AT)T = A; (kA)T = kAT; con k ∈  (A + B)T = AT + BT; (A · B)T = BT · AT Matriz inversa

Si A = (aij), entonces: |A| = a11 · a22 – a12 · a21

A · A–1 = A–1 · A = In  a c  Si A =  , luego: ° b d  A–1 =

Regla de Cramer

1  d –c  ad – bc ° –b a 

(A ) = A; (AB) = B · A Ponderación de una matriz –1 –1

–1

–1

–1

 a c  y k ∈  . Luego: Si A =  ° b d   ak ck  k·A=  ° bk dk 

Si A = (aij), entonces: |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31 ax + cy = e  ∆y ∆ ° →x= x; y= bx + dy = f  ∆ ∆ Donde Δ =

a c = ad – bc, b d

∆x =

e c = ed – fc y f d

∆y =

a e = af – be. b f

25-05-16 9:20

Para comenzar Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que debieras conocer. Tema 1: Ecuaciones

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 1,5(–x + 5) – 2(x + 4) = –2x

b. (3x – 1)2 – 2(x + 3)(x – 3) = 20 c.

5 x 2 + 2 = x – 5 x – 25 x + 5

Tema 2: Sistemas de dos ecuaciones lineales

2. Resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones. a.

3x + 6y = – 5   2x – 8y = 6 

c.

0,2x + 0,3y = 0,5   0,5x + 1,5y = 26 

1 2  + = – 5 x y   e. 3 4 – = 25   x y

b.

x – 3y = – 7   2x + y = 7 

d.

2x – 3y = 1 °  –3x – 5y = – 3 

f.

158

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  3 x – 5 y = – 9  x+ y =5

Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:20

Evaluación inicial Tema 3: Análisis de soluciones

3. Analiza los siguientes sistemas de ecuaciones y determina si tienen una, infinitas o no tienen solución. a.

–5x + 12y = – 8   10x – 24y = 16 

b.

7x – 4y = – 6   –21x + 12y = 19 

c.

–71x + 45y = 55   71x + 40y = 50 

Tema 4: Sistemas de tres ecuaciones lineales

4. Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales.

159

  ° 10x – 2y = 14  8x – 3y = 7 3x – 2y = 0

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Ecuaciones

Análisis de soluciones Sistemas de dos ecuaciones lineales

Sistemas de tres ecuaciones lineales

Unidad 6

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Matrices y determinantes

25-05-16 9:20

Matrices 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Sigue las instrucciones: • Elige una de las casillas y rodea al número contenido. Luego, "tacha" todas las otras casillas de su misma fila y su misma columna. • Repite el proceso anterior con una segunda casilla que no esté "tachada". • Realiza lo mismo con una tercer casilla que no esté "tachada". • Suma los números de las tres casillas escogidas y el de la casilla que quedó sin "tachar". ¡Listo!, la suma que obtuviste es 34.

Actividades resueltas 1. Identifica el orden de cada matriz y representa el elemento (aij) correspondiente a cada variable.  –5 –4 x 2 a. A =  ° 4 –2 –3 4

  

La matriz A está compuesta por 2 filas y 4 columnas, luego, es de orden 2 x 4. Además, x corresponde a su elemento a13 (primera fila y tercera columna).  1 0  b. B =  ° x 1  B está compuesta por 2 filas y 2 columnas, luego, es cuadrada de orden 2. Además, x corresponde a su elemento a21 (segunda fila y primera columna).  –3  c. C =  –4    ° x  La matriz C está compuesta por 3 filas y una columna, luego, es de orden 3 x 1. Además, x corresponde a su elemento a31 (tercera fila y primera columna).

2. Calcula el valor de cada variable. Para ello, conside-

Una Si una matriz tiene m filas matriz es un y n columnas, se dirá que ordenamiento es de orden m x n (se rectangular lee m por n). de números, es decir, dispuestos en filas y columnas. Una matriz A de orden m x n, se denota:  a 11 a 12 a 13  a 1n   a 21 a 22 a 23  a 2n   = (aij) A=       ° a a m3  a mn  m1 a m2 Donde aij el elemento aij es aquel que se encuentra en la i-ésima fila y j-ésima columna; considerando i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2, ..., n.

La matriz A, de orden m x n, se denota Am x n.

Si m = n, se dirá que la matriz es cuadrada de orden n y se denota An.

ra A = B.  3  3 x + y –4  4 –4   5 –4x – 2y 5  A =  5 –18 5  y B =     ° –5 ° –5 –1 –1 6  6  Como A = B, es posible considerar el sistema: x+y=4

 ° –4x – 2y = –18  Resolviendo, se tiene que x = 5 e y = –1.

160

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Si la matriz es Dos matrices son iguales cuadrada si son de igual orden de orden n, y sus elementos entonces, los correspondientes, elementos es decir, "posición a11, a22, a33, ..., ann a posición", son forman la diagonal iguales. principal de A.

Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:20

Aprendiendo del error Analiza las siguientes afirmaciones. Para ello, considera las matrices:  –x –3   7 z  A = (5), B =  y C=  ° 1 –2  ° 1 –2y  • A es una matriz de orden 5. • Considerando B = C, se tiene que x = –7, y = –1 y z = –3. • x e y son los valores de la diagonal principal de A; mientras que los de B son 7 y –2. a –b –c • 11 12 22 = 3,5 c11 ( c21 + 4b21 ) a. Justifica las afirmaciones que son falsas y corrígelas para que sean ciertas.

Actividades propuestas 1. Identifica el orden de cada matriz y representa el elemento (aij) correspondiente a cada variable.  –2 –3  a. A =  ° 1 x 

 x  b. B =  –1    ° –4 

 –3 0 y  c. C =  1 x –2    ° 2 0 1 

161

d. D = ( –2 1 x y )

2. Considera las siguientes matrices. Luego, identifica cada uno de sus elementos y resuelve.  0   –5 0 3  4 –5   –3  , C =  4 –5 –1 B = , A=    ° –2 5  ° 4  ° 3 0 –5 a. a11 + a22 – b31

d. (a12 + d11)2 – (a12 – d11)2

b. c33 – c11 – c32 + d14

e.

c. (b21 – c23) (b21 + c23)

a12 – b11 – c22 f. b21 – c31 – d14

  y D = ( –3 – 2 0 – 1)   c32 ( a 22 – b31 – d12 ) g. a 21 – b31 – d13

a 21 +b31 – d12 4

h.

d11 ( –4c11 – 3c22 – 2c33 ) 2a11 + 3b11 – 2d13 3

(d12 ) –5b31 ⋅ 2c23 i. 3 a + b – –2c – 2d ( 21 31 ) 13 14

3. Calcula el valor de cada variable. Para ello, considera A = B.  1 9   1 3x  y B=  a. A =    ° 3 –8  ° 3 2y    10x +1 8  y 8  y B = b. A =     –8 2  ° ° 3x – y 2   –x + y – z  –4 8 2y – z  8 1  c. A =   y B=   –8 2x + 3y 5  5 ° ° –8 13   3 3  – 4 x + 6y – 4  5 d. A =  0  4  3  0 ° 2

 2  3 –  – 3 x – 6y  4   5 1  y B=  x – 144y   4 2   3   2x +12y  0  2  ° 0

   1   2  6x + 22 4  – y  3 7 

Unidad 6

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0

Matrices y determinantes

25-05-16 9:21

Adición de matrices Días de atraso (1er semestre 2015)

Medio de transporte

Básica

Media

Automóvil

43

53

Locomoción

12

34

Otro

25

23

Medio de transporte

Días de atraso (2o semestre 2015) Básica

Media

Automóvil

48

59

Locomoción

7

23

Otro

21

18

Las tablas representan la cantidad de estudiantes de un colegio, de enseñanza básica y media, que llegaron tarde a clases durante el primer y segundo semestre del año 2015, utilizando un determinado medio de transporte. • Construye una tabla que represente la cantidad de atrasos, según el medio de transporte y nivel de enseñanza (básica y media), registrados durante el año 2015.

Actividades resueltas 1. Representa con matrices las tablas propuestas al inicio de página. Luego, calcula su suma. Las matrices que representan cada tabla son:  43 53   48 59      A =  12 34  y B =  7 23  ° 25 23  ° 21 18  La matriz suma es:  43 + 48 53 + 59   91 112      34 + 23  =  19 57  A +B =  12 + 7 ° 25 + 21 23 +18  ° 46 41 

2. Resuelve A – B, considerando las mismas matrices plantedas en la actividad anterior.

Sean A y B matrices de orden m x n, entonces A + B es una matriz de orden m x n, donde cada elemento que la compone corresponde a la suma de los elementos correspondientes de ambas matrices, es decir:  b11 b12  b1n   a 11 a 12  a 1n  b  a 21 a 22  a 2n  b  b2n    y B =  21 22 A=            b b b  ° a  ° m1 m2 m1 a m2  a mn  mn  Luego: ° a 11 + b11 a 12 + b12  a 1n + b1n   a +b a 22 + b22  a 2n + b2n  21 21  A+B=       a + b a + b a + b   m1 m1 m2 m2 mn mn 

A – B es equivalente a resolver A + (–B), y –B está compuesta por los inversos aditivos de B, es decir:  48 59   –48 –59      –23  . Luego: Como B =  7 23  , entonces –B =  –7 ° 21 18  ° –21 –18   43 53   –48 –59   –5 –6      –23  =  5 11 A – B = A + ( –B) =  12 34  +  –7  25 23   –21 –18   4 5

Para resolver adiciones de matrices, estas deben ser del mismo orden, es decir, deben tener igual número de filas y columnas.    

3. Calcula el valor de p y q para que se cumpla la igualdad.  –12 21   –24 –5q   –36 –4    +  =  –17  ° 20 –9  ° 12p 8  ° –4 De la igualdad, es posible obtener las ecuaciones: 12p – 4 = 20 21 – 5q = –4 Resolviendo, se tiene que p = 2 y q = 5 satisfacen la igualdad.

162

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Sean A y B matrices de igual orden, entonces: A – B = A + (–B) Si B es una matriz de orden m x n, con elementos de la forma bij, entonces, –B es la matriz de orden n x m, compuesta por los inversos aditivos –bij.

Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:21

Más estrategias Analiza la siguiente estrategia para resolver sustracciones de matrices. Luego, responde.  –4 25 –3   7 21 23    Si A = –6 –4 –21 y B =  –4 5 –2  , entonces:     ° 14 27 33  ° 12 –7 0   –4 – 7 25 – 21 –3 – 23  A – B =  –6 – ( –4 ) –4 – 5 –21– ( –2 )  14 – 12 27 – ( –7 ) 33 – 0 

    

 –11 4 –26  =  –2 –9 –19     2 34 33 

a. ¿En qué se diferencia la estrategia propuesta en esta sección con la mostrada en la página anterior? Explica cuál prefieres utilizar y por qué.

Actividades propuestas

163

1. Resuelve las siguientes adiciones de matrices. a. D + H; D = ( –3 – 2 –1) y H= ( –21 10 – 8 )

 –5 0   23 10      c. C + G; C =  4 –5  y G=  –51 –19  ° 3 –1  ° 31 –51 

 4 –5   –3 –15  y E= b. A + E; A =   ° –2 5  ° 5 –52 

 –3   0   –2      d. B + F + P; B = –3 , F = 9 y P =  –9        ° 4  ° 51  ° 5 

2. Resuelve H + D, E + A, G + C y B + P + F, considerando las matrices de la actividad anterior. 3. Resuelve las siguientes sustracciones de matrices.  –5 0   23 10      c. C – G, si C =  4 –5  y G=  –51 –19  ° 3 –1  ° 31 –51 

 4 –5   –3 –15  a. A – E, si A =  y E=  ° –2 5  ° 5 –52   –3   0    b. B – F, si B = –3 y F =  9      ° 4  ° 5 

d. D – H, si D = ( –3 – 2 –1) y H= ( –21 10 – 8 )

4. Resuelve E – A, F – B, G – C y H – D, considerando las matrices de la actividad anterior. 5. Calcula el valor de las variables para que se cumpla cada igualdad. a. ( –3x – 2 – y ) + ( –20 10 – 5) = ( –2 8 16 )  x + 3 –1   –3y –5x + y   8 –5  b.  + = 8  ° 8 –2 ° –6  ° 2 6   –5x 0   2y 10   11 –10   –5y  –  –1 –3x  =  5 1 c.  4 ° x + y –1  ° 3 1  ° –8 –2

    Unidad 6

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Matrices y determinantes

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Propiedades de la adición de matrices Cuando se considera un conjunto y una determinada operación, si se cumplen: • Clausura • Asociatividad • Existencia de un único elemento neutro • Existencia de elemento inverso

Entonces, el conjunto y operación considerados tienen una estructura de grupo. Además, si se cumple la conmutatividad, entonces se dice que el conjunto, con la operación determinada, constituye una estructura de grupo abeliano o conmutativo.

Actividad resuelta 1. Demuestra que el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 (M2) y la adición constituyen una estructura de grupo abeliano.  e g   a c   i k  Sean A =   y C= , B=   . Luego: ° b d  ° j l  ° f h 

Sean A, B matrices cuadradas de orden n. La adición de matrices cuadradas de orden n cumple con la propiedad de clausura, es decir: A + B = C, donde C también es una matriz cuadrada de orden n.

• Clausura  a c   e g   a +e c+g  A + BA= = =  =  =K B+ ° b d  ° f h  ° b+ f d+h  Como K es una matriz cuadrada de orden 2, se cumple la clausura, es decir, la adición es una operación cerrada en M2.

Sean A y B matrices de orden n. La adición de matrices cuadradas de orden n es conmutativa, es decir: A+B=B+A

• Conmutatividad

 a +e c+g   e+a g+c  A+B= =  =B+A  =K ° b + f d + h  ° f +b h + d 

Sean A, B y C matrices de orden n. La adición de matrices cuadradas de orden n es asociativa, es decir: (A + B) + C = A + (B + C)

• Asociatividad (A + B) + C =  ( a + e) +i ( c + g) + k   (b + f ) + j (d + h) +l

  a + ( e +i) c + (g + k )  =   b + ( f + j) d + (h +l)

  = A + (B + C) 

• Elemento neutro  a c   0 0   a c   0 0  Como A= =  es + A=  , entonces,  ° b d  ° 0 0  ° b d  ° 0 0  el elemento neutro para la adición de matrices M2. • Elemento inverso  a c   –a –c   0 0  Como A= +  =  , entonces, ° b d  ° –b –d  ° 0 0   –a –c   a c  =   es el elemento inverso Ade . ° –b –d  ° b d  Es decir, para cualquier matriz P, cuadrada de orden 2, la matriz –P es su matriz inversa. Por lo tanto [M2, +] tiene una estructura de grupo abeliano.

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El elemento neutro para la adición de matrices de orden n es la matriz nula (todos sus elementos son 0).

Si A es una matriz cuadrada de orden n, su inverso aditivo es la matriz –A.

El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n y la adición (Mn, +) constituyen una estructura de grupo abeliano, es decir, se cumplen:

• Clausura • Elemento neutro • Conmutatividad • Elemento inverso • Asociatividad

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Aprendiendo del error Analiza las siguientes afirmaciones. Luego, responde. • El elemento neutro para la adición de matrices cuadradas de orden 3 es cero. • El conjunto de matrices de orden 2 x 3 y la adición constituyen una estructura de grupo. • Resolver una sustracción de matrices es equivalente a resolver una adición entre la primera y la inversa de la segunda, es decir, A – B ⇔ A + (–B). • Debido a que la sustracción puede ser expresada como una adición, el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 y la sustracción también constituyen una estructura de grupo abeliano. a. ¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? Justifica las falsas. b. Da un ejemplo para aquellas afirmaciones falsas.

Actividades propuestas 1. Verifica que se cumple la clausura y conmutatividad con la adición de cada par de matrices dadas.  –2 4 8   4 0 –3  a. A =   y B=  ° –1 0 2  ° 2 0 –5 

 –0,5 0   –1,5 0      c. E =  4,2 –1  y F =  0,8 –1,1  ° 3,1 –8  ° 3,9 –6 

 3 b. C =  ° –2

 1 d. G=  ° 2

 –2 3 – 5   y D= 5  ° –5

2 5   3 

5

  1 –2,1  y H=  –2,1 2  °

165

 5  

2. Resuelve las siguientes sustracciones de matrices. Para ello, utiliza el inverso aditivo o matriz inversa respectiva.  6 –5,1   –4 2,34   a.   – ° –5 1  ° –1 1,1   6   8    b.  – 3  –  –4 3 ° 2  ° 3 2

  6    –  –2 3  ° 4 2

   

 4 2 18  –11 c.  –6,4  ° 24 – 100

  4 8    –  –5,2    ° 2 54

 3  4 d.   –4 ° 3

  1   5  –   –2  ° 3

1 2 2 3

–

6 5 5 – 6

    – 361  8 10

2 5 3 4

–

7 8 8 – 7

    

3. Calcula el valor de las variables para que se cumpla cada igualdad. Luego, explica qué propiedades utilizaste en cada caso.  x –3   –6 3    –6 3   –8 –3  a.   –  +  =  ° –2 y  ° 5 –4   ° 5 –4  ° –2 6   –6,2 –3   –3 –3,2   –3 –3,2  b.   +X=  –  8  ° 4 8  ° 4 ° 5,1 – 2   5 c. X –  ° –3

   = 12  ° 4

15 –4

–2   5  – 6  ° –3

  12  4

Unidad 6

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Matrices y determinantes

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Multiplicación de matrices  –1  2 °

–5 4

0   1 

 2   3 –2 ° 3 

 –2 4   ° 3 –2    –1   –2    ° –3 

 5   –2 ° 1

 1   –2  0 °

–3 –2 1

    

0 0  –1 3  2 –1  

    °

El juego consiste en que un participante extrae sin mirar dos de las tarjetas y debe reconocer si es posible multiplicar las matrices que ellas contienen. De poder realizar esta operación, debes resolverla correctamente para obtener un punto. Si las tarjetas extraídas no permiten resolver una multiplicación o la resuelves incorrectamente, pierdes el turno.

1 –3  –2 –2   0 1  

3  2 ° –5 

Actividades resueltas 1. Andrés extrajo las siguentes tarjetas:  –1  ° 2

–5 0   4 1 



 –2  ° 3

Para calcular el producto de un valor real k y una matriz de orden n x m, se multiplica cada elemento de la matriz por el valor k.

4   –2 



Solo es posible multiplicar dos matrices si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. Así, si A es una matriz de orden m x n y B es una matriz de orden n x p, entonces, AB = C es una matriz de orden 2. Considera las mismas tarjetas extraídas por Andrés, pero camm x p. biando el orden. ¿Es posible multiplicarlas ahora? De ser así, resuelve. Como ahora, la primera matriz es de orden 2 x 2 y la segunda matriz es de orden 2 x 3, es posible multplicarlas, Resolver una multiplicación de matrices ya que el número de columnas de la primera es igual al consiste en sumar, caso a caso, los número de filas de la segunda. Luego: productos entre cada elemento de las filas Reconoce si es posible multiplicar las matrices y resuelve. Como la primera matriz es de orden 2 x 3 y la segunda matriz es de orden 2 x 2, no es posible multplicarlas, ya que el número de columnas de la primera no es igual al número de filas de la segunda.

° –2 4  ° –1 –5 0   3 –2  ⋅  2 4 1     –2 ⋅ ( –1) + 4 ⋅ 2 –2 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 –2 ⋅ ( –5) + 4 ⋅ 4 =  3 ⋅ ( –1) + ( –2 ) ⋅ 2 3 ⋅ ( –5) + ( –2 ) ⋅ 4 3 ⋅ 0 + ( –2 ) ⋅ 1

  

por cada elemento de las columnas. Es decir, si Am x n = (aij) y Bn x p = (bij), entonces, AB = C, con Cm x p = (cij) está definida por:

 10 26 4  =  ° –7 –23 –2  Así, al resolver la multiplicación de una matriz de orden 2 x 2 y una matriz de orden 2 x 3, se obtiene una matriz de orden 2 x 3.

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n

cij = ∑ aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj k=1

(

)

Al multiplicar los elementos de la i-ésima fila por los de la j-ésima columna, el producto corresponde al elemento cij de la matriz producto.

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Aprendiendo del error Analiza las siguientes resoluciones. Luego, responde.  –1  1 –3   –2 ⋅  –2 –2       –3  0 1    =  

( –1) ⋅ 1 + ( –1) ⋅ ( –2) + ( –1) ⋅ 0 ( –1) ⋅ ( –3) + ( –1) ⋅ ( –2) + ( –1) ⋅ 1 ( –2) ⋅ 1 + ( –2) ⋅ ( –2) + ( –2) ⋅ 0 ( –2) ⋅ ( –3) + ( –2) ⋅ ( –2) + ( –2) ⋅ 1 ( –3) ⋅ 1 + ( –3) ⋅ ( –2) + ( –3) ⋅ 0 ( –3) ⋅ ( –3) + ( –3) ⋅ ( –2) + ( –3) ⋅ 1

  1 4      = 2 8    3 12    

Encuentra el valor de p y q en la siguiente expresión:

(

 1 –3    –1 2 1 ⋅  p –2  =  0 1   

)



(

–3 2q

)⇒( ⇒

) ( –3

–1 ⋅ 1 + 2 ⋅ p + 1 ⋅ 0 –1 ⋅ ( –3 ) + 2 ⋅ ( –2 ) + 1 ⋅ 1 =

( –1 + 2p 0 ) = ( –3

2q

2q

)

167

)

Luego, –1 + 2p = –3 y 2q = 0, por lo que p = –1 y q = 0. a. ¿Son correctas las resoluciones mostradas? De existir errores, corrígelos.

Actividades propuestas 1. Considera las siguientes matrices. Luego, de ser posible resolver las operaciones, señala el orden de la matriz que se obtiene como resultado.  0   –5 0 2  1 –5     1 –3 –1 B = , , C = A= –2    ° –2 1  ° 4  ° 3 0 –5

  , D = ( –3 1 0 – 1)  

 –1   0   4 –5     1 4 3  2     – –2 5 G = E=  , F =  –2 2 2  y  3  °  ° 2 5   1    ° 2  a. A · F b. B · F c. C · E d. C · B e. D · E f. E · A g. E · F

h. F · D i. F · C j. F · E k. G · D l. A · G m. B · D n. D · G

ñ. F · B o. (A · F) · B p. (B · D) · G q. (C · E) · F r. (C · B) · D s. (E · A) · (F · B) t. (B · D) · (D · G)

2. Resuelve las multiplicaciones factibles de realizar de la actividad propuesta anterior. Unidad 6

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Matrices y determinantes

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3. Considera las siguientes matrices. Luego, de ser posible resolver las operaciones, calcula.  1   4   3 2 0     0 1 2   4 –5  2      1 –1 –2  , , , B = , C = D = A= – 4 –1 0  3      ° 6 –7  ° 0 1 4  ° 1 0 5    3   ° 4   1 –3   2 4 6    E =  –1 3  y F =   ° –1 2 –2  ° 0 2  a. 2A · F b. C + D c. FE d. EF e. 2C – 3D f. CE + A g. A3

h. B3 i. C2 j. D2 k. E3 l. F2 m. FE + A2 n. 3 · 2F

ñ. 6F o. –(2A · F) – 2F p. (C · D) – (E · F) q. 3B – 12(C · B) r. 0,5F(E · A) – A s. (2C + 3D) · 12B t. A(F · B) – (F · B)

4. Evalúa la veracidad de las siguientes afirmaciones. Luego, da un ejemplo de las verdaderas y un contraejemplo de las falsas. a. Sean A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p. Si A tiene una fila compuesta solo por números ceros, entonces la matriz AB tiene una fila compuesta solo por números ceros. b. Sean A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden p x m. Si A tiene una columna compuesta solo por números ceros, entonces la matriz BA tiene una columna compuesta solo por números ceros. c. Sean A y B matrices de orden n. Si A tiene una diagonal compuesta solo por números ceros, entonces la matriz AB tiene una diagonal compuesta solo por números ceros.

5. Resuelve las siguientes ecuaciones. Para ello, considera x, y, z ∈  y la matriz X. ° 6 –2  ° 3 –4  ° 7x –11y  ⋅ = a.    5 1   –5 –1   10 –21  ° 1 0  ° –2 4 4  ° x y 4  ⋅ b.   =   0 1   3 –2 z   3 –2 3   3 2 1   4 4   x       c.  –2 2 1  ⋅  2 –1  = 3  ⋅    –1 2 0   2 2   –1 

(y

z

)

 5 –2 –1   –2 2 1   4 0 1   2 –2 0          –3  + X  7 3 1  =  1 –2 7  –  –6 2 –1  d. X  –1 1 ° 0 –2 0  ° 4 –1 0  ° –3 2 0  ° –7 1 0 

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Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:21

Propiedades de la multiplicación de matrices Como ya es sabido, el conjunto de matrices cuadradas de orden n y la adición (Mn, +) constituye una estructura de grupo abeliano, ya que se cumplen la clausura, asociatividad, existencia de único elemento neutro, existencia del elemento inverso y la conmutatividad. Ahora, si además se considera la multiplicación, se tendrá que (Mn, +, ·) es un anillo, si la multiplicación cumple: • Clausura

• Asociatividad • Distributividad de la +, respecto a la · Por otra parte, si se cumple la conmutatividad de la multiplicación, entonces se dice que (Mn, +, ·) constituye una estructura de anillo conmutativo. Finalmente, si el anillo cuenta con un elemento neutro, considerando la multiplicación, entonces, se denomina anillo unitario.

Actividades resueltas 1. Demuestra que el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 (M2), la adición y la multiplicación constituyen un anillo unitario.  e g   a c   i k  Sean A =   y C= , B=   . Luego: ° b d  ° j l  ° f h  • Clausura

Sean A, B matrices cuadradas de orden n. La multiplicación de matrices cuadradas de orden n cumple con la clausura, es decir: A · B = C, donde C también es una matriz cuadrada de orden n.

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Sean A, B y C matrices de igual orden. La multiplicación de matrices cuadradas de orden n es asociativa, es decir: (A · B) · C = A · (B · C)

 a c   e g   ae + cf ag + ch  A · BA= = B =·   =  =K ° b d  ° f h  ° be + df bg + dh  Como K es una matriz cuadrada de orden 2, la multiplicación de matrices de orden 2, cumple la clausura. • Asociatividad (desarrolla las multiplicaciones para verificar)

El elemento neutro para la multiplicación de matrices de orden n es la matriz identidad de orden n (todos los elementos de su diagonal principal, formada por los valores aij, con i = j, son unos, y el resto son solo números ceros).

(A · B) · C ° aei + cfi + agj + chj aek + cfk + agl + chl  =   bei + dfi +bgj + dhj bek + dfk +bgl + dhl  ° aei + agj + cfi + chj aek + agl + cfk + chl  =  = A · (B · C)  bei +bgj + dfi + dhj bek +bgl + dfk + dhl  • Distributividad (desarrolla las multiplicaciones para verificar) A · (B + C) = ° a c  ° e +i g + k  ° ae + ai + cf + cj ag + ak + ch + cl    =   ⋅  b d   f + j h +l   be +bi + df + dj bg +bk + dh + dl  = AB + AC • Elemento neutro  a c   1 0   a c   1 0  Como A= = · A=  , entonces,   es ° b d  ° 0 1  ° b d  ° 0 1  el elemento neutro para la multiplicación de matrices M2. Por lo tanto, como (M2, +, ·) cumple la clausura, asociatividad, distributividad y existe un elemento neutro, entonces es un anillo unitario.

Unidad 6

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Sean A, B y C matrices de igual orden. La multiplicación de matrices cuadradas de orden n es distributiva, respecto de la adición, es decir: A · (B + C) = A · B + A · C El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n, la adición y la multiplicación (Mn, +, ·) constituyen una estructura de anillo unitario; sin embargo, como la multiplicación de matrices de orden n no es conmutativa, entonces, este anillo no es conmutativo.

Matrices y determinantes

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Aprendiendo del error Analiza cada afirmación. Luego, responde.  3 0 0 Sean las matrices A =  0 4 0  ° 0 0 –1 ° 3 0 0 A·B= 0 4 0   0 0 –1

  –2 0 0  y B =  0 –1 0    ° 0 0 1

 ° –2 0 0  ⋅  0 –1 0     0 0 1

  . Luego, como:  

 ° –6 0 0  =  0 –4 0     0 0 –1

 y  

° –2 0 0  ° 3 0 0  ° –6 0 0  B · A =  0 –1 0  ⋅  0 4 0  =  0 –4 0         0 0 1   0 0 –1   0 0 –1  Entonces, la multiplicación de matrices cuadradas de orden 3 es conmutativa.  i k m   e g   a c  y C = Sean las matrices A =  , B =  . Luego, como:    ° j l n  ° b d  ° f h   a+e c+g (A + B) · C =   b + f d + h

  i k m  ° ai + ei + cj + gj ak + ek + cl + gl am + em + cn + gn  ⋅ =   j l n   bi + fi + dj + hj bk + fk + dl + hl bm + fm + dn + hn

° ai + cj ak + cl am + cn AC + BC =   bi + dj bk + dl bm + dn

 ° ei + gj ek + gl em + gn  +   fi + hj fk + hl fm + hn

° ai + cj + ei + gj ak + cl + ek + gl am + cn + em + gn =   bi + dj + fi + hj bk + dl + fk + hl bm + dn + fm + hn

 y 

  

  

Entonces, la multiplicación de matrices de cualquier orden es distributiva respecto de la adición. a. Justifica las afirmaciones que son falsas y corrígelas para que sean ciertas. b. ¿Para demostrar una propiedad basta con mostrar que se cumple para un ejemplo? Explica.

Actividades propuestas 1. Verifica que se cumple la clausura con la multiplicación de cada par de matrices dadas.  1 0 0   0 1 1   c. E = 0 1 0 y F =  1 0 1    ° 0 0 1  ° 1 1 0

a. A = (–5) y B = (4)

 2 b. C =  ° –2

170

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 – 3  D= 2 2 y   ° – 3 5 

– 3   2 

  d. G=   °

2 0 0 0

2 2 0 0

2 2 2 0

2 2 2 2

     y H=     °

0 2 2 2

0 0 2 2

    0 0 0 2

0 0 0 0

    

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2. Resuelve las siguientes operaciones. ° –2 –5  ° –4 2,34   ° 1 0  a.  ⋅   ⋅  –5 1   –1 1,1    0 1  ° 3 0 0  ° 1 2 3 b.  –1 3 0  ⋅  –3 1 5     2 2 1   4 0 –2 °   c.     

1 8

0

0

1 8

0

0

 ° 3 0 0  ° –1 –2 –3   +  –1 3 0  ⋅  3 –1 –5         2 2 1   –4 0 2 

 0    ° 16 0 0  0  ⋅   0 –8 0      0 0 –24 1   8 

 ° 0 –4 –16  ° 0 0 0     + 0 0 4  +  –8 0 0        0   24 8 0     0 0

° 3 1 0  ° 0 –4 –6   ° 1 1 1    d. 3 ⋅  –3 –6 0  ⋅  0 7 4   ⋅  1 1 1         0 0 0   0 0 0    1 1 1 

171

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Luego, explica qué propiedades utilizaste en cada caso. ° –3 5  ° –3 x   ° 1 0  ° –36 0  a.  ⋅  =  ⋅   6 –2   –y 1    0 1   0 8  ° 2 0 0  ° 6 1 4  b.  0 2 0  ⋅  x 3z –5     0 0 2   2y 0 –1 °   c.     

1 3

0

0

1 3

0

0

 ° –1 0 0   ° 10 2 8   +  1 1 0   =  4 –12 –10       –4    –2 0 –1    –4 0

 0    ° 0 –3 –18   ° 1 0 0     0 ⋅  X +  –3 0 6 = 0 1 0       0    0 0 1   6 9   1  3 

•• Matriz nula: todos sus elementos son cero.

•• Matriz diagonal: matriz

cuadrada, cuyos elementos que no pertenecen a su diagonal principal son ceros.

4. Evalúa la veracidad de las siguientes afirmaciones. Luego, da un ejemplo de las verdaderas y un contraejemplo de las falsas. a. La multiplicación de matrices diagonales de orden 3 es asociativa. b. La multiplicación de matrices escalares de orden 3 es distributiva respecto de la adición. c. Al multiplicar una matriz triangular superior de orden 3 por una matriz triangular inferior de orden 3, se obtiene la matriz nula de orden 3. d. Si A es una matriz escalar de orden n, entonces A corresponde al producto de un número real k por la matriz identidad de orden (In). e. Sean A, B y C matrices de orden n. Se cumple: A·C=B·C⇒A=B

Unidad 6

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Ayuda

•• Matriz escalar: es una

matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales y los demás son ceros.

•• Matriz triangular superior: matriz cuadrada cuyos elementos aij, con i > j, son todos ceros.

•• Matriz triangular inferior: matriz cuadrada, cuyos elementos aij, con i < j, son todos ceros.

Matrices y determinantes

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Antes de seguir... Resuelve en tu cuaderno la siguiente evaluación con temas que has visto en esta unidad. Tema 1: Matrices 1. Considera las siguientes matrices. Luego, identifica cada uno de sus elementos y resuelve.  2   –3 2 3  –3 –6   –1  , C =  2 0 –2 B = , A=   1   ° 2 ° 3  ° –3 3 –3 a. a11 + a22 – b31

c. (a12 + d11)2 – (a12 – d11)2

b. (b21 – c23) (b21 + c23)

d.

a 21 +b31 – d12 4

  y D = ( –2 2 0 1)   e.

a12 – b11 – c22 b21 – c31 – d14

f.

d11 ( –4c11 – 3c22 – 2c33 ) 2a11 + 3b11 – 2d13

Tema 2: Adición de matrices. Propiedades. 2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de matrices. Para ello, considera:  –3 –6   3 6 , B= A=  1  ° 2 ° –2 –1 a. A + B – (B – A)

 –3 2 3    , C =  2 0 –2 ° –3 3 –3

b. C – (D + C + C)

  3 –2 –3  y D =  –2 0 2    ° 3 –3 3

   

c. (B – A) – (A – B)

3. Calcula en tu cuaderno el valor de las variables para que se cumpla cada igualdad.  –4 –3y   –8 –2x   –12 –9  a.   +  2y – 1 –2  =    ° 15 0  ° 2x + 5 2  °

x=

ey=

 –6x 1   18y 8   –46 9        –3y  –  –2 –12x  =  0 79  b.  –2 ° x + 2y –2  ° 4 –3  ° 3 –5 

x=

ey=

172

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Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:21

Evaluación intermedia Tema 3: Multiplicación de matrices. Propiedades. 4. Resuelve las siguientes operaciones de matrices. Para ello, considera:  2   –3 2 3   –2 5 2   –3 –6     2 0 –2  y D =  B = , , A= C = –1  –3 –4 4    1    ° 2 ° 3 3 3 –3 – °  °  a. A · D – 2D

c. A3

b. 2(C · B)

d. D · C2

173

5. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno. Luego, escribe el valor de cada variable. ° –x 2  ° –4 1   ° 1 1  ° –8 –8  a.   ⋅  =  ⋅  –1 2y   3 2    1 1   6 6  ° 4 0 0 b.  0 4 0   0 0 4 x=

x=

ey=

 ° 1 0 0  ° –1 3 1   ° 0 12 4  ⋅  x 2z 0  +  0 1 –2   =  12 –16 –8       –8   4y 0 –1   0 0 –1    –32 0 ,y=

   

yz=

¿Qué debo mejorar? Luego de revisar esta evaluación con tus compañeras, compañeros y profesora o profesor, te invitamos a que reflexiones. Marca con un ✔ el o los temas que crees que debes mejorar. Multiplicación de matrices. Propiedades.

Matrices Adición de matrices. Propiedades.

Unidad 6

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Matrices y determinantes

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Matriz traspuesta: propiedades  –1 –5 0  2 4 1  °

  

 2   3 –2 ° 3 

 –2 4   ° 3 –2    –1   –2    ° –3 

 5   –2 ° 1

 1   –2  0 °

–3 –2 1

    

0 0  –1 3  2 –1  

    °

1 –3  –2 –2   0 1  

3  2 ° –5 

Actividades resueltas  –1 –5 0  . ° 2 4 1 

1. Encuentra la matriz traspuesta de A = 

Intercambiando filas y columnas se tiene que:  –1 2    T A =  –5 4  ° 0 1 

2. Verifica si la matriz B es simétrica o antisimétrica.  5 0 0 B =  –2 –1 3  ° 1 2 –1

   

Intercambiando filas y columnas se tiene que:  5 –2 1  T B =  0 –1 2    ° 0 3 –1  Luego, como B ≠ BT, entonces B no es simétrica. Por otra parte, tampoco se cumple que BT = –B, luego, B no es antisimétrica. Por lo tanto, B no es simétrica ni antisimétrica.

El juego consiste en que un participante extrae sin mirar una de las tarjetas y debe encontrar la matriz traspuesta de la que ella contiene. Debe calcularla correctamente para obtener un punto. Si cometes algún error, obtienes un punto negativo y además, pierdes el turno.

La matriz traspuesta se obtiene intercambiando las filas y las columnas, es decir, si A = (aij) es una matriz de orden m x n, entonces la traspuesta de A es la matriz AT = (aji) de orden n x m.

• (AT)T = A • (kA)T = kAT; con k ∈  • Am x n · (An x m)T = Am x m • (A + B)T = AT + AT (con A y B ma-

trices de igual orden)

Sean A una matriz de orden m x n y B otra matriz de orden n x p, entonces: (A · B)T = BT · AT

3. Verifica que (A · B)T = BT · AT, considerando:  –1 –5 0   –2 4  A= y B =   ° 3 –2  ° 2 4 1  T ° 10 –7  T ° ° –2 4  ° –1 –5 0   ° 10 26 4    (A · B)T =   ⋅  =  26 –23   =     3 –2   2 4 1    –7 –23 –2   4 –2 

Una matriz A es simétrica, si: A = AT Una matriz A es antisimétrica, si: AT = –A

° –1 2  ° 10 –7  °      –2 3 BT · AT =  –5 4  ⋅  = 26 –23  Por lo tanto, (A · B)T = BT · AT.  4 –2    0 1   4 –2 

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Aprendiendo del error Analiza las siguientes afirmaciones. Luego, responde. • Toda matriz tiene una matriz traspuesta asociada. • Sea A una matriz de orden m x n. Luego, A · AT = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n. • Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x m. Luego, AT · BT = (A · B)T. • Una matriz puede ser simétrica, antisimétrica o ninguna de ellas. • Sean A, B y C matrices de orden n. Luego, (A + B + C)T = AT + BT + CT. • Sean An x m, Bm x n y Cn x n. Luego, (A · B · C)T = CT · BT · CT. a. ¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? Justifica las falsas. b. Da un ejemplo para aquellas afirmaciones falsas.

Actividades propuestas 1. Encuentra la matriz traspuesta de las siguientes matrices.

175

 –2 4 8  a. A =   ° –1 0 2 

 –2 3 d. D =  ° –5

 4 0 –3  b. B =   ° 2 0 –5 

 –0,5 0    e. E =  4,2 –1  ° 3,1 –8 

 1 h. H=  –2,1 2 °

 3 c. C =  ° –2

 –1,5 0    f. F =  0,8 –1,1  ° 3,9 –6 

 –3 2 3  i. I=  2 0 –2    ° –3 3 –3 

– 5   5 

2 5   3 

 1 g. G=  ° 2

5

 –2,1    5  

2. Reconoce si entre las matrices de la actividad anterior hay matrices simétricas o antisimétricas. 3. Considera las siguientes matrices. Luego, de ser posible resolver las operaciones, calcula.  0   –5 0 2   1 –5     , B = –2 , C = A= 1 –3 –1  , D = ( –3 1 0 – 1)     ° –2 1  ° 4  ° 3 0 –5   –1   0   4 –5      1 4 3 2     E =  –2 5  , F =   y G=  –  3 –2 2 2  ° ° 2 5   1    ° 2  a. AT + A b. BT · D c. (ET)T + E d. CT · F T e. BT · (E + F T)

f. G · (GT · D) g. (B + BT) · G h. (C + CT) · B i. (BT · D)T j. ((ET)T + E)T

k. (CT · F T)T l. (BT · (E + F T))T m. (G · (GT · D))T n. ((B + BT) · G)T ñ. (C + CT)T · B Unidad 6

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Matrices y determinantes

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Matriz inversa: propiedades  –1 –5 0  2 4 1  °

  

 2   3 –2 ° 3 

 1   –2  0 °

 –2 4   ° 3 –2    –1   –2    ° –3 

 5   –2 ° 1

–3 –2 1

    

0 0  –1 3  2 –1  

    °

1 –3  –2 –2   0 1  

3  2 ° –5 

Actividades resueltas  1. Determina si la matriz A =  –2 ° 3

4  tiene inversa. –6 

 x z  –1 Sea A–1 =   la matriz inversa de A. Luego, A · A = I2. ° y w  ° –2 4  ° x z  ° 1 0  ⋅ Así:  . De donde se obtienen: =  3 –6   y w   0 1  –2x + 4y = 1  –2z + 4w = 0  y  3x – 6y = 0  3z – 6w = 1  Ambos sistemas no tienen solución, por lo que es posible afirmar que no existe A–1, es decir, no tiene inversa. Observación: una matriz A de orden 2 es singular,  a c si ad – bc = 0, considerando A =  ° b d  2. Encuentra la inversa de A =  –2

  .

4  . –2 

° 3

Primero, como (–2) · (–2) – 3 · 4 = –8 ≠ 0, A es no singular, por lo que existe A–1. Luego, se tiene: ° –2 4  ° x z  ° 1 0   3 –2  ⋅  y w  =  0 1  . De donde se obtienen:  

El juego consiste en que un participante extrae sin mirar una de las tarjetas y debe encontrar la matriz inversa de la que ella contiene. Debe calcularla correctamente para obtener un punto. Si cometes algún error, obtienes un punto negativo y además, pierdes el turno.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz cuadrada A–1 de orden n, tal que A · A–1 = A–1 · A = In (matriz identidad de orden n), entonces A–1 es la inversa de A.

Una matriz A, cuadrada de orden n, es denominada no singular o invertible, si existe A–1. Sean A y B matrices no singulares y de orden n, entonces: • A–1 y B –1 son no singulares • (A–1) –1 = A • (AT) –1 = (A–1)T • AB es no singular • (AB) –1 = B –1 · A–1

–2x + 4y = 1  –2z + 4w = 0  y  3x – 2y = 0  3z – 2w = 1  Al resolver ambos sistemas se obtiene que x =   Finalmente, se tiene que A–1 =   °

176

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1 4 3 8

1 2 1 4

  .  

1 3 1 1 ,y= ,z= yw= . 4 8 2 4

 a c  Sea A =  . ° b d  Luego, la matriz inversa de A está dada por: 1  d –c  A–1 = ad – bc ° –b a 

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Aprendiendo del error Analiza las siguientes afirmaciones. Luego, responde. • Toda matriz tiene una matriz inversa asociada. • Sea A una matriz de orden m x n. Luego, A puede ser no singular. • Para todas las matrices diagonales de orden 2 existe una única matriz inversa de orden 2. • Para todas las matrices escalares de orden 3 existe una única matriz inversa de orden 2. • Sean A y B matrices no singulares de orden n. Luego, A + B = C es una matriz no singular de orden n. • Sean A y B matrices no singulares de orden n. Luego, A · B = C es una matriz no singular de orden n. a. ¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? Justifica las falsas. b. Da un ejemplo para aquellas afirmaciones falsas.

Actividades propuestas 1. Identifica cuáles de las siguientes matrices poseen inversa y cuáles no. Luego, calcula aquellas que existen.  4 –6  a. A = ° –3 4 

 1  –2 c. C =   –2 ° 3

  b. B = –5 –4 ° –20 8 

 1 2  d. D =  3   0  2  °

3 2 3 2

    

 1 –1 2 e. H =  2 2 0  ° 3 –3 –1  2 –1 –1 f. I =  0 –1 0  ° 0 –1 2

177

   

   

2. Analiza el siguiente método para encontrar la inversa de una matriz. Luego, aplícalo para verificar las matrices inversas encontradas en la actividad anterior. Puedes pedir ayuda a tu profesor(a).  1 1 1 Demuestra que la matriz inversa de A =  1 2 3  ° 0 1 1

  es A–1 =  

 1 0 –1   1 –1 2  .   ° –1 1 –1 

 1 1 1   1 2 3  0 1 1 °

1 0 0   0 1 0  F2 = F2 – F1 0 0 1 

 1 0 –1   0 1 2  0 0 1 °

2 –1 0   –1 1 0  F1 = F1 + F3 –1 1 –1 

 1 1 1   0 1 2  0 1 1 °

1 0 0   –1 1 0  F3 = F2 – F3 0 0 1 

 1 0 0   0 1 2  0 0 1 °

1 0 –1   –1 1 0  F2 = F2 – 2F3 –1 1 –1 

 1 1 1   0 1 2  0 0 1 °

1 0 0   –1 1 0  F1 = F1 – F2 –1 1 –1 

 1 0 0   0 1 0  0 0 1 °

1 0 –1   1 –1 2  → A–1 –1 1 –1 

Unidad 6

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Matrices y determinantes

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Ponderación de una matriz por un escalar

  3 ° –2

 –2  3 °

4   –2   5 0  –  2 –1

2  3  

 ° 1

1

–5

10,2 1 3

2

3 4 –14

 1   –2  –1 ° 0   3   –1  °





En una caja son depositadas 20 tarjetas, con diferentes matrices escritas. Luego, cada participante construye un cartón de juego con 9 números. El juego consiste en extraer una tarjeta y ponderar la matriz que ella contiene por el número real que el contrincante elija de su cartón de juego. Ganará quien pondere correctamente un mayor número de matrices, hasta que se complete un cartón de juego de cualquier participante.

3  2 5 °–

 –1 –5 0   2 4 1 

2 4 –3 5,5 – 1 –1,1 5 ,3 – 2 1 6

–2

2 5 –0,1 –2,3 –

–3  –2   1 

Actividades resueltas 1. Mónica extrajo las siguientes tarjetas:  5   –2  ° 1

0 –1 2

0   3   –1 

 1   –2  –1 °

–3   –2  1 

Si Pedro le pide a Mónica que pondere la primera matriz por 3 – 2 y la segunda por , ¿cuáles son las matrices resultantes? 4  5 0 0   –5 2 0 0      3  = 2 2 • – 2 ·  –2 –1 2 – 6  ° 1 2 –1  ° – 2 –2 2   1 –3  3   • · –2 –2  4  ° –1 1 

 3  4  3 = –  2  3  – ° 4

9 4 3 – 2 3 4 –

       

2. Calcula 2A + 3A. Para ello, considera que A es la primera matriz propuesta en la actividad anterior.

Ponderar una matriz por un número real consiste en multiplicar todos los elementos de la matriz por el valor correspondiente.

 a c  Sea A =  y k ∈  . Luego: ° b d   ak ck  k·A=  ° bk dk 

Sean A y B matrices de orden m x n y p y q números reales. Luego: • 1 · A = A · 1 = A • p(A + B) = pA + pB • (p + q)A = pA + qA • p(qA) = (pq)A = q(pA)

Aplicando una de las propiedades de la ponderación, se tiene:  25 0  2A + 3A = (2 + 3)A = 5A =  –10 –5 ° 5 5 2

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  5 3  –5  0

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Aprendiendo del error Analiza las siguientes resoluciones. Luego, responde. ° 1 –3  ° 1 4  ° 2 8  ° –1 ° 1 –3  ° –1 1         4 ⋅  –2 ⋅ ⋅  –2 –2  = 2 ⋅  –2 ⋅  –2 –2  = 2 ⋅  2 8  =  4 16      2  0 1   3 12   6 24   –3  0 1   –3       Encuentra el valor de p y q en la siguiente expresión:

(

 1 –3    –1 2 1 ⋅ p  p –2  =  0 1   

)

(

–3 2q

)⇒(

–1 + 2p2

) ( –3

3 – 4p + 1 =

2q

)

Luego, resolviendo –1 + 2p2 = –3 y 3 – 4p + 1 = 2q, se obtiene que: p = ± i y q = 2 ± 2i, con p, q ∈  a. ¿Son correctas las resoluciones mostradas? De existir errores, corrígelos. b. ¿Crees que la ponderación de una matriz por un número complejo es de la misma forma que la vista para un número real? Explica.

179

Actividades propuestas 1. Considera las siguientes matrices. Luego, de ser posible resolver las operaciones, calcula.  –5 0 2  4 –9   1 –5   1 –3 –1 , , C = A= B = ° –8 10   ° –2 1  ° 3 0 –5

  , D =  8 –4  ° 6 –12   

 –1 0  1 1 1  1   –1 5   0 2 –2  y G = E =  2 –2 –2  , F =      ° 2 –1  0  ° –1 2 1  ° 1 0

a. 2AT + 2A b. 3BT · 3B c. 0,5CT · 2CT d. 2(D + F T)

i. –3(CT · ET)T j. 2B –1 · 4(D + F T) k. (2G · (2GT · 2C))T l. (–2A–1 – 2AT) –1 · 0,5D

e. 0,2(G · C) f. (E + G) · 2C g. (BT · 0,5D) –1 h. (2(AT)T + 2B –1)T

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.  ° –3 5  ° –3 x   ° 1  ° 1 0   ° –36 0  a.  –3    ⋅  –  ⋅    ⋅ 2 =   6 –2   –y 1    6   0 1    0 8  ° –0,25 ° –1 0 0   ° 10 –2 0 0   ° 6 1 4  8        ⋅ –4 x 3z –5 – 4  1 1 0   =  4 –12 –10  0 –0,25 0 b.           –4  0 0 –0,25    2y 0 –1   –2 0 –1    –4 0

Unidad 6

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Matrices y determinantes

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Determinante de una matriz Toda matriz cuadrada de orden n tiene asociado un valor real, denominado determinante de la matriz. Para calcular este valor se debe considerar el concepto de permutación; el cual corresponde al número de ordenamientos distintos de un conjunto de elementos. Así, por ejemplo, si A = {1, 2, 3}, entonces es posible escribir las permutaciones de tres elementos: 123, 132, 213, 231, 312 y 321, o sea 3! ordenaciones. Además, si en una permutación, ocurre que un entero mayor precede a un entero menor, entonces se dirá que tiene una inversión. Luego: • 123 no tiene inversiones • 231 tiene dos inversiones (21 y 31) • 132 tiene una inversión (32) • 312 tiene dos inversiones (31 y 32) • 213 tiene una inversión (21) • 321 tiene 3 inversiones (32, 31 y 21)

Actividades resueltas 1. Justifica las fórmulas dadas para el cálculo del determinante asociado una matriz cuadrada de orden 2 y de orden 3.  a11 a12  • Sea A =   . Como es de orden 2, se tiene ° a 21 a 22  que considerar las permutaciones de dos elementos del conjunto {1, 2}, que son: 12 (par y positiva, ya que no tiene inversiones), y 21 (impar y negativa, ya que tiene una inversión) Luego, formando la sumatoria de los productos: |A| = a11 · a22 – a12 · a21  a11 a12  • Sea A =  a 21 a 22  a 31 a 32 °

a13   a 23  . Como es de orden 3, a 33 

se tiene que considerar las permutaciones de tres elementos del conjunto {1, 2, 3}, que son las ya vistas al inicio de página. Luego, formando la sumatoria de los productos, se tiene: |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31

2. Calcula el determinante asociado a cada matriz.  –5 –4  . Utilizando la definición, se tiene: • Sea A =  ° 10 9 

Una permutación es par si tiene un número par de inversiones (incluyendo al 0); mientras que es impar si tiene un número impar de inversiones.

Sea A = (aij) una matriz de orden n. El determinante de A, denotado |A|, corresponde a la sumatoria de los productos de las permutaciones dadas en {1, 2, ..., n}. Por ejemplo, si  a 11 a 12  A=  , entonces: ° a 21 a 22  |A| = a11 · a22 – a12 · a21 Donde las permutaciones pares se consideran positivas y las impares, negativas.

 a 11 a 12 a 13    Si A =  a 21 a 22 a 23  , entonces:  a 31 a 32 a 33   ° |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31

|A| = –5 · 9 – (–4) · 10 = –5  –4 0 –5 • Sea A =  –5 4 0  ° 1 2 –9

  . Utilizando la definición, se tiene:  

|A| = –4 · 4 · (–9) + 0 · 0 · 1 + (–5) · (–5) · 2 – (–4) · 0 · 2 – 0 · (–5) · (–9) – (–5) · 4 · 1 = 214

180

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Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:21

Más estrategias Analiza la siguiente estrategia para calcular determinantes de matrices de orden 3. Luego, responde.  –4 0 –5 Sea A =  –5 4 0  ° 1 2 –9

  . Calcula el determinante asociado a A.  

1º Se elige una fila o columna cualquiera. En este caso, se escoge la primera fila (–4, 0 y –5), es decir, los elementos a11, a12 y a13. 2º Se calcula el determinante de cada submatriz de orden 2, formada al no considerar los elementos de la fila y columna que contiene a cada valor aij de la fila o columna escogida. En este caso, las submatrices son:  –4 0 –5 • Para –4, se tiene  –5 4 0  ° 1 2 –9

  → M(–4) =  4 0  ; donde |M(–4)| = 4 · (–9) – 2 · 0 = –36 ° 2 –9   

 –4 0 –5   –5 0  ; donde |M(0)| = –5 · (–9) – 1 · 0 = 45 • Para 0, se tiene  –5 4 0  → M(0) =    ° 1 –9  1 2 –9 °   –4 0 –5 • Para –5, se tiene  –5 4 0  ° 1 2 –9

181

  → M(–5) =  –5 4  ; donde |M(–5)| = –5 · 2 – 1 · 4 = –10 – 4 = –14 ° 1 2   

3º Se multiplica cada valor de la fila o columna escogida por 1 o –1, según la suma de los subíndices de su posición en la matriz original. En este caso: • –4 está en la posición a11, luego, como 1 + 1 = 2 es par, entonces –4 se multiplica por 1. • 0 está en la posición a12, luego, como 1 + 2 = 3 es impar, entonces 0 se multiplica por –1. • –5 está en la posición a 13, luego, como 1 + 3 = 4 es par, entonces –5 se multiplica por 1. 4º Se suman los productos obtenidos en el punto anterior, multiplicando cada uno por su respectivo determinante asociado. En este caso: –4 · (–36) + 0 · 45 + (–5) · (–14) = 214 Finalmente, se tiene que |A| = 214. Esta estrategia se conoce como "desarrollo por menores". a. ¿Comprendiste la estrategia propuesta? De ser así, explícasela a algún compañero o compañera que no la haya entendido. Si no la comprendiste, busca ayuda con algún compañero o compañera o con tu profesor o profesora. b. ¿Crees que esta estrategia podría servir para matrices cuadradas de orden 4? Explica. c. ¿Crees que el determinante de una matriz puede ser un número negativo? Justifica.

Actividades propuestas 1. Reconoce el número de inversiones que hay en cada permutación propuesta, respecto al conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. a. 12345 b. 13245 c. 54321

d. 12354 e. 13524 f. 24135

g. 32145 h. 32154 i. 51234

2. Clasifica las permutaciones de la actividad anterior, en par o impar. Unidad 6

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Matrices y determinantes

25-05-16 9:21

3. Calcula el determinante asociado a las siguientes matrices cuadradas de orden 2.  4 –6  a. A = ° –3 4 

 1 2  e. E =  3    0 2  °

  b. B = –5 –4 ° –20 8 

 1 2 f. F =  3  0 – 2 °

 8 –6  c. C = ° –5 1 

 2,1 –5  d. D =   ° 0,2 1,5 

 – 2 i. I =  ° – 8    

8   2 

 –4 3 j. J =  ° –2 5

–3 5   –6 3 

 –2 6  1  g. G =  4 –   2  ° 3

 –3 6 k. K =  ° 54

– 96   –2 24 

 3 1   –2 32   h. H =   –5 –3  ° 4 2 

 2 50  3  l. L =  2  – 5 °

18   20   – 2  

5

4. Calcula el determinante asociado a las siguientes matrices cuadradas de orden 3.  1  –2  e. E =  4    2 °

 1 –1 2  a. A =  2 2 0    ° 3 –3 –1 

0 1 2 0

 1   2    1  2 

 5  i. I =  –2 ° 1

–1 2

   

  2  –3 0 0    1  2 –2  f. F = –   2    –3 0 0   ° 2

  j. J =   °

 –3 –4 6 c. C =  5 2 4  ° 0 –1 –2

 5   –1 0 – 2    4   g. G = –3 2 –  5     0 0 3  ° 2 

 2 5  k. K =  0 ° 3

 1 –1 0 b. B =  1 1 0  ° 3 –3 –1

   

 –0,1 –1 0  d. D =  1,1 2,1 0    ° 0,1 0 0,1 

182

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 0,1 0  1  –1 2 h. H =  10  1  0,1 10 °

0   0   2   5 

0   3  –1 

0

5

3

0

–1

3

0

0   3  –1 

10 –1 1

 –2 5 10  l. L =  2 2 5  0 –1 °

0   2  –1 

10   5  – 5 

Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:21

Regla de Sarrus Otra estrategia que puedes utilizar para calcular determinantes de matrices de orden 3, es la siguiente:  a11 a12 a13  Luego, se aplica lo siguiente:   • Calcular la suma de los productos de cada Sea A =  a 21 a 22 a 23  . Para calcular su trío de valores que están en línea recta y dia a 31 a 32 a 33  °  gonal hacia la derecha (a11a22a33, a12a23a31 y a13a21a32). determinante se considera: • Calcular la suma de los productos de cada a11 a12 a13 a11 a12 trío de valores que están en línea recta y diaa 21 a 22 a 23 a 21 a 22 gonal hacia la izquierda (a13a22a31, a11a23a32 y a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a12a21a33). • Calcula la sustracción de ambas sumas.

Actividades resueltas 1. Utiliza la regla de Sarrus (horizontalmente) para calcular el determinante de la matriz:  –4 0 –5 A =  –5 4 0  ° 1 2 –9 –4 0 –5 Considerando –5 4 0 1 2 –9 Luego:

   

–4 0 –5 4 1 2

|A| = –4 · 4 · (–9) + 0 · 0 · 1 + (–5) · (–5) · 2 – (1 · 4 · (–5) + 2 · 0 · (–4) + (–9) · (–5) · 0 = 144 + 0 + 50 – (–20 + 0 + 0) = 144 + 50 + 20 = 214

2. Utiliza la regla de Sarrus (horizontalmente) para calcular el determinante de la matriz:  –4 0 –5 A =  –5 4 0  ° 1 2 –9 –4 –5 Considerando 1 –4 –5

0 –5 4 0 2 –9 0 –5 4 0

   

183

La estrategia descrita al inicio de página es conocida como "Regla de Sarrus", asociada al matemático francés Pièrre-Fréderic Sarrus.

La regla de Sarrus también puede ser aplicada, repitiendo las primeras dos filas de la matriz, de la siguiente forma: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Calculando la sustracción de las sumas de los siguientes productos: a11a22a33, a21a32a13, a31a12a23 y a31a22a13, a11a32a23, a21a12a33.

|A| = –4 · 4 · (–9) + (–5) · 2 · (–5) + 1 · 0 · 0 – (1 · 4 · (–5) + (–4) · 2 · 0 + (–5) · 0 · (–9) = 144 + 50 + 0 – (–20 + 0 + 0) = 144 + 50 + 20 = 214 Unidad 6

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Matrices y determinantes

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Aprendiendo del error Analiza las siguientes afirmaciones. Luego, responde. • La regla de Sarrus también puede ser aplicada, invirtiendo el orden de los sumandos. • La regla de Sarrus también puede ser utilizada en matrices cuadradas de orden 2. • Si una matriz cuadrada de orden 3 tiene una fila compuesta solo por valores 0, entonces es conveniente utilizar la regla de Sarrus, en su forma vertical. Además, su determinante es 0. • Utilizar la forma vertical u horizontal de la regla de Sarrus, no tiene incidencia alguna en el cálculo del determinante. Es decir, este no cambia. a. ¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? Justifica las falsas. b. Da un ejemplo para aquellas afirmaciones falsas.

Actividades propuestas 1. Utiliza la regla de Sarrus para calcular el determinante asociado a cada matriz.  0   –2    1  2 

 3 1 0  a. A =  –2 –2 0    ° 1 3 1 

 1  –3  e. E =  6    1 °

 5 1 0  b. B =  1 2 –2    ° –1 2 1 

 2  –5   1 f. F =  – 5  3  – ° 5

 –1 –3 1  c. C =  0 4 2    ° 2 –2 1 

 1   –2 2 – 2    1   g. G = –1 –2 –  5     1 –1 1  ° 2 

 3 6  k. K =  1  –3 °

 1,1 1 –1  d. D =  –1,1 1,1 –1    ° 0,2 0 –0,1 

 0,2 0  1  –2 2 h. H =  2  3 1 –  10 ° 10

1   0    0  

 –3 8  l. L =  2  0 °

–1 2 3 1

 2   –2 0    0 1   1

 2  i. I =  2  –1 °

  j. J =   °

1   3  –1 

0 2 3

5

0

2

–1

5

2

5   –1  –1 

10 – 2 1

5 5 3 2 – 20

2   10  – 3 

5   – 2  – 9 

2. Utiliza la regla de Sarrus para verificar los cálculos de los determinantes obtenidos en la segunda actividad propuesta de la página 200.

184

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Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:21

Propiedades de los determinantes Los determinantes cumplen ciertas propiedades; por ejemplo, si una matriz B se obtiene a partir de una matriz A, tal que una de sus filas o columnas es multiplicada por un valor c, entonces |B| = c · |A|.  3 5 3   3 5 3  Sean A =  0 6 1  y B =  0 6 1  .     ° 1 2 1  ° 2 4 2  Al analizarlas, es posible apreciar que la tercera fila de B corresponde a la tercera fila de A multiplicada por 2. Luego, |B| = 2|A|.

3 5 3 • |B| = 0 6 1 2 4 2

3 5 0 6 = –2 2 4

3 5 3 • 2|A| = 2 · 0 6 1 1 2 1

3 5 0 6 = 2 · (–1) = –2 1 2

Actividades resueltas 1 

 1

4

 ° 0

 –1 0 

 4

1 –1 

1. Sean A =  3 –5 3  y B =  0 5 –5  . Demuestra que |A| = 0   ° 0 0 –2 

y |B| = –40. • |A| = 0. Como la primera y tercera columna de la matriz A son iguales, entonces se cumplen las condiciones para aplicar una de las propiedades formalizadas y asegurar que |A| = 0. Sin embargo, a modo de mostrar el cálculo, se tiene: 1 4 1 |A| = 3 –5 3 0 –1 0

1 4 3 –5 = 0 + 0 + (–3) – (0 + (–3) + 0) = 0 0 –1

• |B| = –40. Como B es una matriz triangular inferior, entonces se cumplen las condiciones para aplicar una de las propiedades formalizadas y asegurar que |B| = a11 · a22 · a33. Observa el cálculo: 4 1 –1 |B| = 0 5 –5 0 0 –2

4 1 0 5 = –40 + 0 + 0 – (0 + 0 + 0) = –40 0 0

Observación: cuando se cumplan las condiciones de alguna propiedad, es posible aplicarla sin realizar cálculos adicionales.

2. Aplica las propiedades de los determinantes para calcular el valor de

2B 15 A

185

Si A es una matriz de orden 3, tal que tiene dos filas o columnas iguales, entonces, |A| = 0. Así como, si A tiene una fila o una columna compuesta solo por ceros, entonces |A| = 0.

Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces |A| = |AT|.

Sean A y B matrices de orden n. Si B se obtiene a partir de A, tal que una de sus filas o columnas es multiplicada por un valor c, entonces |B| = c · |A|.

. Para ello, considera las siguientes matrices:  5 6 2 A =  –2 –4 1  ° –2 1 0

 15 6 2   y B =  –6 –4 1    ° –6 1 0

Si A es una matriz triangular superior o inferior, entonces, |A| = a11 · a22 · a33 · ... · ann

   

Como la primera columna de B es posible obtenerla, multiplicando por 3 cada valor de la primera columna de A, 2B 2⋅3 A 6 2 entonces |B| = 3|A|. Luego, = = = . 15 A 15 A 15 5 Unidad 6

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Si A y B son matrices cuadradas de orden 3, tales que B se obtiene a partir de un intercambio de 2 filas o 2 columnas de A, entonces |B| = –|A|.

Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces A es no singular, si y solo si, |A| ≠ 0.

Matrices y determinantes

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Más estrategias Analiza las siguientes propiedades de determinantes de matrices de orden 3. Luego, responde.  3 –2 –3   5 –2 –3   2 –2 –3  Sean las matrices A =  2 1 –4  , B =  0 1 –4  y C =  2 1 –4  .       ° 5 0 7  ° 3 0 7  ° –2 0 7  Observando sus primeras columnas, se tiene: 5 = 3 + 2 2 = 0 + 2

3 = –2 + 5

Luego, |A| = |B| + |C|. Observa el cálculo: 5 –2 –3 • |A| = 2

1

3

0

3 • |B| = 0

–4 7

2

1 = 35 + 24 + 0 – (–9 + 0 + (–28)) = 96

3

0

–2 –3

3

–2

1

0

1 = 21 + (–16) + 0 – (6 + 0 + 0) = –1

–2

0

–2

0

–4 7

2 –2 –3 • |C| = 2 5

5 –2

1

–4 7

0

2 –2 1 = 14 + 40 + 0 – (–15 + 0 + (–28)) = 97

2 5

0

 –6 3 –1   0 0 17  Sean las matrices A =  1 –4 1  y B =  1 –4 1      ° –2 1 –6  ° –2 1 –6  Observando los valores de la primera fila de ambas matrices, se tiene: 0 = –6 + (–2) · (–3) 0 = 3 + 1 · (–3) 17 = –1 + (–6) · (–3) Luego, |A| = |B|. Observa el cálculo: –6

3

–1

–6

3

• |A| = 1

–4

1

1

–4 = –144 + (–6) + (–1) – (–8 + (–6) + (–18)) = –119

–2

1

–6

–2

1

0 • |B| = 1

0

17

0

0

–4

1

1

–4 = 0 + 0 + 17 – (136 + 0 + 0) = –119

–2

1

–6

–2

1

a. ¿Comprendiste las propiedades ejemplificadas? De ser así, explícasela a algún compañero o compañera que no las haya entendido. Si no las comprendiste, busca ayuda con algún compañero o compañera o con tu profesor o profesora. b. Representa cada propiedad, utilizando letras. c. ¿Crees que las propiedades ejemplificadas son aplicables tanto para las filas como en las columnas? Ejemplifica. d. ¿Para qué casos utilizarías la primera propiedad ejemplificada? e. ¿Para qué utilizarías la segunda propiedad ejemplificada? ¿Crees que es útil para simplificar el cálculo de un determinante, ya que es posible cambiar valores por cero?

186

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Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:21

Actividades propuestas 1. Resuelve las operaciones, utilizando las propiedades vistas de los determinantes. Para ello, considera los determinantes asociados a las matrices dadas en cada caso.  2 5   –3  –3 0  0  a. Sean A =  ,B= yC= .   ° –3 0  ° –10 –25  ° 2 5  • |A| – |B|

• –|A| + 2|B| – |C|

• |2AT · 3A|

• 3|A| + |B|

• |A · B|

• –

• |BT| – 6|A|

• |C · CT|

• –

• 5|A| + |B| – |C|

• –3|A| · (–|A|)

•

A 3A B C

2A B

T

+

A B

–3

C B

187

 –6 0  –6 0  –6 –3 0  –3  –3       b. Sean A = 5 –10 –1  . 5 –1 –10 , B = 5 –10 –1 y C =       –5  –5 8  ° 8 –10 16  ° 4 ° 4 8 • |A| – |B|

• –|A| + 2|B| – |C|

• |2AT · 3A|

• 3|A| + |B|

• |A · B|

• –

• |BT| – 6|A|

• |C · CT|

• –

• 5|A| + |B| – |C|

• –3|A| · (–|A|)

•

A 3A B C

2A B

T

+

A B

–3

C B

2. Resuelve los siguientes problemas.  4 –3 8 a. Sean A =  5 2 6  ° –2 4 –4

  4 8 –3   y B =  5 6 2  . Sin calcular los determinantes asociados, de   ° –2 –4 4  

muestra que |A| + |B| = 0.  3 1 4   5 2 6   2 1 2      b. Sean A = 3 –2 5 , B = –3 2 5 y C =  2 –2 –1  . Si |A| = – |B + C|, ¿cuál es el       ° –1 0 4  ° 4 –3 8  ° x y z  valor de 5x – 3y + 2z?  x 0 0  3 2y 0 c. Sean A =  ° –1 4 –3z 2A B

T

–

2B AT

  2x 1 –3  yB= 0 y 6    ° 0 0 –6z

  . ¿Cuál es el valor numérico de la expresión  

?

Unidad 6

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Matrices y determinantes

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Determinantes y sistemas de ecuaciones: regla de Cramer  e c   a c  ,B= Sean las matrices A =   ° b d  ° f d   a e  . Sus determinantes son: yC= ° b f 

ed – fc af – be e y= ad – bc ad – bc Escribiendo las soluciones en términos de determinantes, se tiene: x=

|A| = ad – bc, |B| = ed – fc y |C| = af – be ax + cy = e  Por otra parte, la solución del sistema °, bx + dy = f  donde las incógintas son x e y, es:

x=

Actividades resueltas 1. Resuelve el siguiente sistemas de dos ecuaciones lineales:

–5x – 4y = 8  ° 4x + 6y = – 5 

 8 –4   –5 8   –5 –4  Sean A =  ,B= yC= .   ° –5 6  ° 4 –5  ° 4 6  Luego: Δ = |A| =

–5 –4 = ( –5) ⋅ 6 – 4 ⋅ ( –4) = –30 + 16 = –14 4 6

Δx = |B| =

8 –4 = 8 ⋅ 6 – ( –5) ⋅ ( –4) = 48 – 20 = 28 –5 6

Δy = |C| =

–5 8 = ( –5) ⋅ ( –5) – 4 ⋅ 8 = 25 – 32 = –7 4 –5

Utilizando la regla de Cramer, se tiene: Δ Δ 28 7 1 x= x = = – 2; y = y = =– Δ –14 2 Δ –14 1  Luego, la solución del sistema es (x, y) =  –2,  . ° 2 2. ¿Qué condición debe cumplir m para que el sistema mx + 5y = 2  ° tenga solución única? 4x – 3y = 5  Δ=

m 5 = m ⋅ ( –3) – 4 ⋅ 5 = –3m – 20 4 –3

Para que el sistema tenga solución única, debe cumplirse que el determinante sea distinto de cero. Luego: 20 –3m – 20 = 0 ⇒ –3m = 20 ⇒ m = – 3 20 Por lo tanto, para cualquier m ≠ – , el sistema tendrá una 3 única solución.

188

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B A

=

e c f d a c b d

e y=

C A

=

a e b f a c b d

Los determinantes pueden ser utilizados para resolver sistemas de ecuaciones; en este caso, lineales. Para esto, se plantea la regla de Cramer. Sea el sistema de ecuaciones ax + cy = e  ° , con a, b, c, d, e y f números bx + dy = f  reales. La regla de Cramer considera el determinante principal: Δ=

a c = ad – bc b d

El determinante de la variable x: ∆x =

e c = ed – fc f d

y el determinante de la variable y: ∆y =

a e = af – be b f

Finalmente, la solución del sistema está dada por: ∆ ∆ x= x; y= y ∆ ∆

• Si ∆ ≠ 0, el

sistema tiene solución única. • Si ∆ = ∆ x = ∆y = 0, el sistema tiene infinitas soluciones. • Si ∆ = 0 y ∆ x ≠ 0, o ∆y ≠ 0, el sistema no tiene solución. En los últimos dos casos, no es posible aplicar la regla de Cramer.

Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:21

Más estrategias Analiza lo siguiente. Luego, responde. x + 3z = 6

  Resuelve el sistema –2x + 3y + 6z = 22 ° . –x – 2y + 2z = 10   6 0 3   1 6 3  1 0 3      Sean A = –2 3 6 , B = 22 3 6 , C =  –2 22 6      ° –1 –2 2  ° 10 –2 2  ° –1 10 2

Δ = |A| = 39

Δ x = |B| = –114

  1 0 6   y D =  –2 3 22  . Luego:     ° –1 –2 10 

Δy = |C| = –22

Δ z = |D| = 116

Por lo tanto: x=

Δ x –114 38 = =– ; Δ 39 13

y=

Δy Δ

=

–22 22 =– ; 39 39

z=

Δ z 116 = Δ 39

a. ¿A qué corresponde la estrategia mostrada?, ¿tiene relación con la regla de Cramer? b. ¿Comprendiste la estrategia propuesta? De ser así, explícasela a algún compañero o compañera que no la haya entendido. Si no la comprendiste, busca ayuda con algún compañero o compañera o con tu profesor o profesora. c. ¿Crees que esta estrategia podría servir para sistemas de más de 3 ecuaciones e incógnitas? Explica con un ejemplo.

189

Actividades propuestas 1. Resuelve los sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. a.

3x – 2y = 7  ° 5x – 4y = 5 

d.

–4x + 2y = 2 °  5x – y = – 3 

g.

0,1x – 1,2y = 0,2 °  0,2x + 0,3y = – 0,2 

b.

–5x – y = – 1°  –2x + 4y = 2 

e.

8x + 8y = 7 °  –3x – 2y = – 2 

h.

–0,2x – 0,3y = – 0,1 °  0,1x + 0,2y = – 0,3 

c.

7x – 3y = 4  ° –8x – 2y = 3 

f.

–6x – 3y = 9 °  5x + 3y = – 7 

i.

–0,25x – 0,5y = – 0,75 °  0,2x + 0,6y = – 0,8 

2. Resuelve los sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. –x + 2y + 2z = 6   a. –2x + 2y + 4z = 22 ° –3x – y + 2z = 6 

–2x – y – z = – 3   d. –x – 3y + 3z = –12 ° –5x + 2y + 4z = 4 

2x – y + 4z = 4   b. –x + 2y – 2z =16 ° 3x – 3y + 2z = 2 

x – 2y – 3z = – 8   e. –2x + 2y + 3z = 9 ° –4x + y – 4z = – 8 

–2y + 3z = 7   c. –4x – z = 8 ° x – 4y + 2z = 5 

–5x – 5y – 4z =14   f. –3x – 2y + z = – 9 ° –x + 5y – 8z = 7 

Unidad 6

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Matrices y determinantes

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Más práctica Casi has llegado al final de esta unidad. Te invitamos a practicar un poco más de algunos temas estudiados. Tema 1: Matrices

1. Considera las siguientes matrices. Luego, identifica cada uno de sus elementos y resuelve.  2 1 –3   3 3  C =  –3 –2 1  A=   ° –1 –4  ° 2 –1 5   –2  D = (8 – 7 4 0) B= 3    ° 2  a. a11 + a22 – b31 b. c33 – c11 – c32 + d14 c. (a21 – c23) (b21 + d12)

considera las siguientes matrices:  2 1 –3  3 3   –3 –2 1 C = A=  ° –1 –4  ° 2 –1 5

   

 –1 0 0   D= 4 3 –2    ° –2 –2 –5 

   

 8 2 0   D = –5 1 –2    ° –9 –2 1 

a. 2(A–1 + B –1) – 3(B – A)T b. (2AT · B2) –1 c. 4(CT + D –1)2

 3,5 3,2  b. B =   ° –1,2 –4,2   –3 2 9  c. C =  6 –1 –4    ° 6 –3 9   8 0 0 d. D =  9 –1 0  ° –12 –3 –3

   

Tema 6: Matrices y sistemas de ecuaciones

6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Para ello, utiliza matrices.

3. Resuelve las operaciones. Para ello, considera las siguientes matrices:  –1 6 –2 C =  –2 7 0  ° 0 4 3

   

 8 2 0   D = –5 1 –2    ° –9 –2 1 

a. 2(AT + BT) – 3(B – A)T b. (2AT · B2)T c. 4(CT + DT)2

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 –3 –4  B= ° –8 0 

 –1 6 –2 C =  –2 7 0  ° 0 4 3

 3 3  a. A =  ° –1 –4 

Tema 3: Matriz traspuesta

190

 3 3  A= ° –1 –4 

matriz.

a. 2(A + B) – 3(B – A) b. 2A · B2 c. 4(C + D)2

 –3 –4  B= ° –8 0 

considera las siguientes matrices:

5. Calcula el determinante asociado a cada

2. Resuelve las operaciones. Para ello,

 3 3  A= ° –1 –4 

4. Resuelve las operaciones. Para ello,

Tema 5: Determinantes y propiedades

Tema 2: Operatoria de matrices: propiedades

 –2 –2  B= ° 1 –1 

Tema 4: Matriz inversa

a.

3x – 4y = 5  ° –x + 5y = – 8 

b.

–4x – 6y =15  ° –3x + 8y = –16 

–5x – 2y – 6z = 8   c. –2x + 5y – 4z = –1° 5x – 10y + 8z =16  8x + 7y – 2z = 9   d. –6x + 4y – 4z = –10 °  3x – 2y + 2z = 5 

Editorial Crecer Pensando 25-05-16 9:21

Más actividades Realiza la siguiente actividad que considera contenidos de esta unidad.

Ingenio y matrices

191

Unidad 6

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Matrices y determinantes

25-05-16 9:21

Para finalizar Para terminar la unidad resuelve la siguiente evaluación.

1. Considerando la matriz:  4 –5  A= ° –2 5  ¿Cuál es el valor de a21 – a11 · a22 – a12? A. –43 B. –35 C. –25 D. –23 E. –17

2. ¿Cuál es el valor de 3(xz – yw) en la siguiente igualdad?  –4 2y –5   –4 2 2x    =  3w –2 –2   4 –2 –2    ° –z –4 3  ° –8 –4 3  A. –84 B. –64 C. 56 64 D. – 3 56 E. 3

3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), considerando la siguiente igualdad?  –5 2y   –2z 7x   –z –8    + = 6  ° –2y 6w  ° –4 –5  ° x I. –2x + 4y = 2 II. –3z – 12w = 37 III. –12(x + y + z + w) > 0 A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

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4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. La adición y el conjunto de matrices cuadradas de orden 3 tienen una estructura de grupo abeliano. II. La adición de matrices de orden 3 x 2 es conmutativa. III. El elemento neutro de la adición de matrices de orden 2 es el número real 0. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo II y III

5. Considerando las matrices:  –4 2 –5   4 –2 5   A= 4 –2 –2 y B =  –4 2 2    4 –3 ° –2 –4 3  ° 2

   

¿Cuál es el resultado de AB + BA? A. La matriz nula de orden 3. B. La matriz identidad de orden 3.  –34 –8 0  C.  20 –20 22    8 –27  ° 14  –16 –4 –25  D.  –16 –4 –4    ° –4 –16 –9   –68 –16 –2 E.  40 –40 44  ° 28 16 –54

   

6. Si A es una matriz de orden 3 x 2, B una matriz cuadrada de orden 2 y C una matriz de orden 2 x 1, ¿cuál de las siguientes operaciones no es posible resolver? A. (A · B) · C B. A · (B · C) C. (A · C) · B D. B2 · C + C E. A(6B – 2)

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Evaluación final 7. Considerando las matrices:  –3 –1   3 1  y B= A=  ° –2 5  ° 2 –5 

10. Considerando las matrices:  –3 –1   3 1  y B= A=  ° –2 5  ° 2 –5 

¿Cuál es el resultado de 2ATBT?  –11 4  A.  ° 2 –27 

¿Cuál es el resultado de B –1 · A–1?  –11 2  A.  ° 4 –27 

 –22 8  B.  –54  ° 4

 –11 4  B.  ° 2 –27 

 –11 2  C.  ° 4 –27 

 3.179 –578  C.  ° –1.156 7.803 

 –22 4  D.  –54  ° 8

 11  289 D.   – 4 ° 289

 4 –54  E.  ° –22 8 

8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Si A es una matriz de orden 4 x 3, los elementos a11, a22 y a33 son los mismos que los elementos a11, a22 y a33 de AT. II. El orden de la matriz traspuesta de AB, si A es una matriz de orden 3 x 2 y B es una matriz de orden 2 x 1, es de 3 x 1. III. La traspuesta de la traspuesta de una matriz de orden 3 x 4 es de orden 4 x 3. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo II y III

9. Si A y B son matrices cuadradas de orden 3, ¿cuál de las siguientes igualdades es siempre verdadera? A. A–1 + A = I3 B. (A–1) –1 = A–2 C. A–1 = AT D. (AT) –1 = (A–1)T E. A · A–1 = AT

 27  – 289 E.   – 4 ° 289

    

2 289 11 – 289

    

–

193

11. Considerando las matrices:  –3 –1   3 1  y B= A=  ° –2 5  ° 2 –5  ¿Cuál es el resultado de |A| – |B|? A. 0 B. 4 C. –4 D. –30 E. –34

12. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I. Si el determinante de una matriz es cero, entonces, dicha matriz es triangular superior o inferior. II. Si A = I3, entonces |A| = 1. III. Si A es una matriz de orden 2, entonces |A| = |AT|. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III Unidad 6

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2 289 27 289

–

Matrices y determinantes

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Para finalizar 13. ¿Cuál es el determinante asociado a la siguiente matriz?  –3 –1 –4  A =  –5 –7 2    ° 1 –1 –1 

16. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), considerando el siguiente sistema de ecuaciones? 2x – 4y = – 7  ° –3x – 6y = – 5  I. Aplicando la regla de Cramer, se tiene que el determinante principal de la matriz asociada es –24.

A. –72 B. –38 C. –14 D. 0 E. 72

II. x =

14. ¿Cuál es el valor de t en la siguiente matriz?  –4 2t –5  A =  2 –1 –2    ° 1 0 3  1) |A| = –9 2) t > 0 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

15. ¿Cuál de las matrices propuestas tiene por determinante, al inverso aditivo del determinante de la matriz A?  2 0 –3   A = –4 –6 1    ° –1 5 9  A. La matriz nula de orden 3. B. La matriz identidad de orden 3.  4 0 –6  –8 –12 2 C.  ° –2 10 18

   

 –4 –6 1  D.  2 0 –3    ° –1 5 9   2 –4 –1  E.  0 –6 5    ° –3 1 9 

194

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III. y =

–7 4 –5 6 2 4 –3 6 2 –7 –3 –5 2 –4 –3 –6

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo I y III

17. ¿En cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones no es posible utilizar la regla de Cramer? 2x – 4y = – 7  A. ° –3x – 6y = – 5  B.

2x + 3y = 8  ° –4x – 5y =10 

2x – 4y + 2z = – 7   C. –3x – 6y – 3z = – 5 ° 3x – 3y + 3z =12  2x – 4y – 6z = – 7   D. –3x – 6y – 5z = – 5 ° 3x – 3y – z =12  x – 3y + 2z =10   E. –x + 6y – 2z = – 8 ° x + 3y + 2z =12 

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UNIDAD 1 Página 9 1. a. -1 b. 23 2. a. Heterogéneo incompleto b. Heterogéneo completo 3. a. No b. Sí 4. 724 1 a. P(-1) = -2, P(4) = 138, P     125  5

c. -1/3

d. 1

e. Homogéneo f. Homogéneo

c. Sí

e. Sí

d. No

f. No

1.846 2 d. S(-1) = -7, S(2) = -226, S     243 3 13  2 e. T(-2,5) = -3,25; T(-10) = 59, T      25  5

195  3 c. R(-1) = -5, R(1) = 1, R      64  4 Página 11 1. 5 4 3 2 a. P(x) + Q(x) = 1,1x – x – 12x + 5x – 54x – 2 4 3 2 b. R(x) + S(x) = -2x – x + x – 1,5x + 1,5 4 3 2 c. T(x) + U(x) = -7x + 9,5x – 8x – 1,5x – 4 4 3 d. V(x) + W(x) = -1,3x + 3x – 11,8x – 16

1.009 1 f. U(0) = -4, U(-1) = -1, U    256 2

1 53 53 25 14 e. A(x) + B(x) + C(x) =  x 4  x 3  x2  x  3 9 5 9 3 10 2 8 5 4 3 f. D(x) + E(x) + F(x) = -x – x + 4,5x – x +x– 3 3

2. 5 4 3 2 a. P(x) – Q(x) = -3,2x + x – 12x + x + 54x 4 3 2 b. R(x) – S(x) = 8x – x – 5x + 1,5x – 11,5 4 3 2 c. T(x) – U(x) = -3x – 1,5x + 8x + 5,5x – 8 4 3 2 d. V(x) – W(x) = -3,7x + 5x – 6x + 11,8x – 16

2. 2 a. 4x – 6x + 2 4 3 2 b. x – 4x + 23x – 114x + 569 3 21 c. x2  4x  2 2

f. -6

c. Heterogéneo completo d. Heterogéneo incompleto

 1  23 b. Q(0) = 0, Q(-3) = -105, Q(2) = -10, Q      3  81

Página 13 1. 2 2 a. 12xy – 15x y 2 3 2 3 2 4 2 b. 12x y z – 6x y z + 12x y z 5 25 10 c. x 5  x 4  15x 8  x 3 3 6 3 9 9 3 7 4 9 7 3 7 d. 2a b c d + ab c d – ab c d 5 5 7 3 e. 7m n – 7m n 2. 2 2 a. a – 2ab + b 2 2 b. 36x – 4y 4 4 c. 0,25p – 9q 14 4 7 2 d. 25r t – 25r t – 24 3 2 2 4 6 e. b + 6b c + 12bc + 8c 3. 3 2 a. -24x + 6x – 27x – 18 4 3 2 b. -12x + 9x – 22x + 3x – 6 4 3 2 c. 0,4x + 39,7x – 29,4x + 60x 3 2 d. 8x – 10x + 15x – 6 3 2 e. 18x + 9x + 6x + 3 3 2 f. -0,6x – 60,3x – 30x Páginas 17, 18 y 19 1. a. 0 d. -3x – 5 b. 0 e. 0 c. 0 f. 5

e. 2

2 4 52 16 25 e. A(x) – B(x) – C(x) =  x 4  x 3  x2  x  3 9 5 9 3 4 2 7 7 5 4 3 f. D(x) – E(x) – F(x) = 5x + x – 9x + x – x – 3 6 3

4 5 2 5 x y  2x 8 y  x 3y 3 3 p+1 3q + 3 5 3 g. 1,3jk – 2,6j + 1,3j k 2 2 4 2 4 11 h. –r stu – 1,1rstu + 2r s tu 3t + 1 4 2 6 t+1 3 i. -6x y + 6x y – 12x y f.

4

3

2

f. x – 15x + 81x – 185x + 150 3 2 3 6 9 g. p – 15p q + 75pq – 125q 2 2 2 3 7 4 14 2 7 h. s t u + 7st r u + 10t r + 3stu + 6t r 3 3 2 4 i. 4r t + 2r t 6 3 4 5 j. 2p q + 6p q 2

4

g. 3 – 12x 4 3 2 h. -0,3x – 30x – 0,1x – 10x 3 2 i. -6x + 3x – 2x + 1 3 2 j. 0,2x + 19,9x -10x 4 3 2 k. 108x + 108x + 63x + 36x + 9 4 3 2 l. 12x – 12x + 7x – 4x + 1

g. 21,5 h. 9 – 9x i. 0

j. -10 k. 0 l. 50

m. 0

111 n.  4 2

d. 2x + 2 e. 3x + 1 f. 2x – 3

3

2

m. 8x + 794x – 588x + 1.196x + 2 2 n. -30x + 7,5 ñ. 0 2 o. 32x + 40x + 8 2 p. -6x + 15x – 6 3 2 q. 24x + 6x + 8x + 2

ñ.  o. 0

1.016 49

p. -8.131 q. 13 – x

3. f. C(x) = 1 – 2x, R(x) = 0 1 7 135 1 19 a. C  x   x2  x  ;R  x    ñ. C  x   2x 2  x  ;R x    g. C(x) = -2x – 1; R(x) = 0 4 16 16 2 2 h. C(x) = -8x; R(x) = 1 b. C(x) = -x; R(x) = x – 8 8 8 1 o. C  x    x  ;R  x   i. C(x) = -8x – 8; R(x) = 9 1 17 3 9 9 c. C  x   2x2  x  ;R  x    j. C(x) = -2x – 3; R(x) = 4 2 2 p. C(x) = x + 3; R(x) = -33x – 5 k. C(x) = 3 – 2x; R(x) = 4 1 15 5 1 2 l. C(x) = -x; R(x) = x – 8 d. C  x   2x  x  ;R x    q. C  x   x  ;R  x   2 2 2 4 4 m. C(x) = 4x – 4x + 1; R(x) = 0 1 3 3 5 e. C  x   x  ;R  x    n. C  x   x  ;R  x    4 4 4 4 4. Los valores están de arriba a abajo y de izquierda a derecha. 3 2 a. 0, -1, 1, 0. Cociente: x – x + 4x – 4 2 b. -29, 6, 6, 1, 1. Cociente: x + 5x + 1 3 c. 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1. Cociente: x + x + 1 3 d. 3, 2, 0, -6, 0, 0, 2, 0. Cociente: x + 2x 2 e. 1, -2, 8, 3, -12, 42, -1, -14. Cociente: -x + 4x – 14; R(x) = 50 2 f. -2, 2, 5, 0, 5, -2, 0, 5, 0. Cociente: -2x + 5 3 2 g. 1, 3, 0, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 4, 4, 0. Cociente: x + x + 4x + 4 5 4 3 2 h. -2, 0, 0, 0, 0, -3, -8, -32, -128, -512, -2.032, -8.128, 4, -8, -128, -508, -2.032, -8.131. Cociente: -2x – 8x – 32x – 128x – 508x – 2.032; R(x) = -8.131. 5. a. No, solo para encontrar el resto. c. No, solo el divisor debe ser de la forma x – c. b. No, en x = -3. 6. Se deja al estudiante. 7. a. No b. Sí c. No d. Sí e. No f. Sí Página 21 1. g. -3; 0,25; 1 a. 1 1 1 1 3 l. -5, d. j. -1;  ; , 1 1 1 1 3 3 2 2 h.  ; 1 b. -1;  ; ; 1 3 2 3 e. -3; 3 k. -2; -1 f. -5; 1,5 c. -2; -1 i. -3; 3 2. a. Sí b. No c. Sí d. Sí e. Sí f. Sí g. No h. Sí i. Sí j. Sí k. Sí l. No 3. a. Uno real y dos complejos. c. Dos reales y dos complejos. e. Tres reales. g. Tres reales. b. Cuatro reales. d. Uno real y dos complejos. f. Dos reales y dos complejos. h. Dos reales y dos complejos. Más práctica Página 22 1. a. 1 c. -98 e. -31,5 g. -199 i. -1.275,5 k. -41.511,5 m. -9.738,5 b. 0,5 d. 12,5 f. -50 h. 241,5 j. -11,75 l. -2.356 n. 12.533,5 2. 2 2 2 a. -4x + 9x + 2,5 d. -12x + 9x – 14,5 g. -32x – 68 5 2 44 2 4 249 2 2 2 j. 2x2  x  k. x  x b. -8x + 6x – 16,5 e. -12x – 3x – 15,5 h. -12x + 27x + 7,5 2 3 15 5 20 2 2 2 c. -12x + 3x – 15 f. 32x + 24x + 90,5 i. -4x – 33x – 21,5 3. 2 3 5 4 3 2 a. x + 2x – 3 c. 4x – 3x – 1 e. 36x + 180x + 36x + 180x + 9x + 45 4 3 2 3 2 6 5 4 3 2 b. 4x – 16x – 6x + 28x – 16 d. 4x – 10x – 8x + 24 f. 2x + 3x + 5x + 6x + 4x + 3x + 1 4. 2 a. C(x) = x – 1; R(x) = 0 b. C(x) = 4x + 6; R(x) = 0 c. C(x) = x + 5; R(x) = 0 d. C(x) = 2x + 3x + 1; R(x) = 0 5. 3 2 2 a. C(x) = 2x – 6x + 2x + 4; R(x) = 0 c. C(x) = 2x – 4x + 6; R(x) = 0 2 b. C(x) = 6x + 3; R(x) = 0 d. C(x) = 2x + 1; R(x) = 0 6. a. -1, 3 c. -2, -1, 3 1 1 b. -2,  , 2 d. -1, , 1 3 2 7. a. Sí b. No c. Sí d. Sí 8. a. 2 reales y 2 complejos b. 3 reales y 2 complejos c. 2 reales y 2 complejos d. 2 reales y 2 complejos

Para finalizar Páginas 24, 25 y 26 1. E 3. A 2. B 4. E

5. A 6. C

7. C 8. A

9. B 10. D

11. A 12. B

13. D 14. D

15. D 16. E

17. C 18. E

19. A 20. B

UNIDAD 2 Páginas 31, 32 y 33 1. Patrón +2 3 3 – 2 2 () Sumar impares desde 3 Numerador + 1 y denominador + 1

a1 3 2 4 1 2

a2 5 6 10 4 5

a3 7 18 28 9 10

a4 9 54 82 16 17

a5 11 162 244 25 26

an 2n + 1 n–1 23 n 3 +1 2 n 2 n +1

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

n1 n2

2. a. 2, 4, 6, 8, 10 b. 3, 5, 7, 9, 11 c. 1, 8, 27, 64, 125 3 4 5 6 d. 2, , , , 2 3 4 5

e. 2, 6, 12, 20, 30 f. 2, 5, 10, 17, 26 g. 2, 4, 8, 16, 32 h. 4, 10, 28, 82, 244 i. -1, 1, -1, 1, -1

3. a. 2n b. 2n + 1

d.

m. -1, 4, 21, 56, 115 5 10 17 26 j. 2, , , , n. 1, 3, 6, 10, 15 2 3 4 5 k. -4,5; -24; -123,5; -623; -3.122,5 ñ. 0,  2 , 3, 8,  50 3 3 3 16 15 48 l. 0,  ,  ,  ,  2 9 8 25 2

n+1

k. 12 – 5n e. n g. (-1) i. 7 2n  1 1 1–n n –n l. h. 2 f. (-1)  5n j. 3  10 2n n 4. Las preguntas se dejan al estudiante. a. Figura: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; cantidad de cuadrados: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, respectivamente. b. Figura: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; cantidad de cuadrados: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, respectivamente. c. Figura: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; cantidad de cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, respectivamente. 5. a. 1, 3, 9, 27, 81 c. 1, 1, 2, 3, 5 f. 1, -1, -1, -1, -1 1 3 5 e. 1,2, ,  ,  b. 2, 3, 6, 18, 108 d. 1, 2, 3,2, 5 2 4 8 6. a. Creciente c. Alternante e. Creciente g. Decreciente i. Creciente k. Constante b. Decreciente d. Creciente f. Creciente h. Alternante j. Decreciente l. Creciente 7. a. 121 regiones 2 2 b. La relación se deja al estudiante. Para un patio de n baldosas por lado se necesitan n baldosas, de las cuales (n – 2) son rojas. nn  1  c. La figura siguiente tiene 36 puntos. tn  2 Página 35 1. Sucesión n=1 n=2 n = 10 n = = 100 n = 1.000 n = 10.000 1 1 1 1 1 1 1 an   n 1.000 10.000 2 10 100 11 6 2 n  10 1.001 11 101 bn  n 1.000 10 100 n -1 1 1 1 1 1 c    1 c. -4n

n

dn  2n  5

7

9

25

205

2.005

20.005

en  4

4

4

4

4

4

4

a. {an} y {bn} decrecientes, {cn} alternante, {dn} creciente y {en} constante. b. Algunas tienden a un valor, otras no. c. y d. {an}, {bn} y {en} convergen a 0, 1 y 4, respectivamente, {cn} y {dn} divergen. 2. a. Converge a 0. e. Diverge. b. Converge a 0,25. f. Converge a 0. c. Diverge. g. Diverge. d. Converge a 3. h. Converge a 1.

i. Diverge. j. Converge a 0. k. Diverge. l. Converge a e  2,71828

Página 37 1. 15

a.

5

i

b.

i1

5

2i  1

c.

20

 4i

d.

i1

i1

100

1

 5i

e.

100

i

2

f.

i1

i1

2n

 2n  1 i1

2. 6

a.

5i  5  10  15  20  25  30  105

6

d.

i1 5

b.

i

2

 1  4  9  16  25  55

4

2  i  3  6  11  20  40

h.

4

e.

i

i

1

2

3

4

298

 3  i3  i  8  5  0  7  6 i1

i 12

2

i10

4

f.

2i  3  9  11  13  15  17  65 i3

i1

 2i  1  1  3  5  7  105 i1

g.

i

i1

i1

c.

7

 1  1  1  1  1  1  1  0

30

i.

 i  110  132  156  398

 1

1

11

 i  1  i    620 i20

3. a. 5.050 b. 42.925 c. 44.100 d. 36.540 e. 48.225 f. 32.640 g. -413 h. 68.134 i. 422.880 4. a. 3.167 b. Son 99 y 123.750 c. 6.084 Página 41 1. a. an = 5n – 2 c. an = 15 – 3n e. an = 0,5 + n g. an = 4,5 – 1,5n i. an = 12 – 9n k. an = 12 – 9n b. an = 14n – 23 d. an = 5 – 7n f. an = -0,5n – 1,9 h. an = -1,6 + 1,5n j. an = 6 – 11n l. an = -6,5 + 8n 2. a. a8 = 82 c. a78 = 189 e. a13 = 18,5 g. a100 = -145,5 i. a1 = 0 k. a3 = 177 b. a16 = -268 d. a109 = -754 f. a81 = -319,2 h. a29 = 42,1 j. a1 = -57 l. a5 = -0,5 3. a. 37 ejercicios d. an = -8n + 98 b. A 99,65 m de altura e. {an} = 7; 10,2; 13,4; 16,6; 19,8; 23 c. Séptima f. {an} = 1; 1,125; 1,25; 1,375; 1,5; 1,625; 1,75; 1,875; 2; 2,125 Página 43 1. 2–n n–1 2–n n–2 1–n n 5 3 i. an = 10 a. an = 3  10 c. an = 5  3 e. an = 5  2 g. an = 2  3  n n–1 n–1 3–n 1–n –n –n n–1 k. an = 32 2 b. an = -5 j. an = -5  4 d. an = -2  5 f. an = -2  3 h. an = -2  5 n–2 l. an = 3  2 2. a. a8 = 128 c. a5 = -0,005 e. a5 = 2,53125 g. a6 = 30,375 i. a1 = 16/3 k. a3 = 230 b. a3 = 0,16 d. a4 = 1,024 f. a4 = 6,4 h. a4 = 0,3375 j. a1 = 0,5625 l. a5 = 1/6 3. 6–t a. 153,8 L aprox. e. 5, 10, 20, 40,… c. 32  5 d. 1,2 3,12,... b. 50 dólares Página 45 1. a. 1.450 c. 1.275 e. 8.385 g. 3.864 285 h.  b. -836 d. 15.750 f. -2.214 4 2. a. 936 b. -1.790 c. 5.050 d. -834 e. 45 f. -28 g. 750 h. -82,5 i. 169 3. a. a12 = 19 b. a18 = 4 c. a20 = 15 d. a100 = 3 e. a15 = 40 f. a18 = -17 4. a. 13 términos d. 15 términos b. En total se pagarán $751.250 y el libro más caro costó $26.050. e. En 14 meses. El último pago será de $1.250.000. c. 5 términos Página 47 1. 665 4.124 3.783 121 c.  e. g.  a. 16 1.875 128 27 f. -259 1.023 1.562 333.333 b. d. h.  2.048 1.875 25.000 2. a. 510 2.882 341 e. g. b. 5.465 625 10 c. 341 f. 234 85 h. d. -1.092 3

3. a. 63.814 bacterias b. $1.505.510 Página 49 1. a. Sí 2. 1 a. 23 3. 72 36 a. 3, , ,8 19 7 10 5 10 5 b. 1, , , , ,2 9 4 7 3

b. Sí b.

3 29

c. Sí

e. Sí

c.

d. No

1 8

d.

e.

f. No

10 93

f.

8 4 8 h. 2,  ,  ,  , 1 5 3 7 1 25 25 25 25 5 i. , , , , , 2 42 34 26 18 2

4 16 8 16 1  , , , , 5 23 13 29 2 3 9 9 g. , , ,3 2 5 4

b. Se deja al estudiante.

c. P = -12

8 j. 1,  , 4,8,2 5

d. Se deja al estudiante.

b. Divergente

c. Convergente

2i  1 4i i1 n

b.

n



c.

d.

d. 4.008

d. a1 = 11

1 3

d. a5 =



2

 2i  3 i1

c. 5.995 c. a1 = 61

c. r =

n

 7  2i i1

b. 4.000 b. a18 = -40

d. Divergente

4

e. d = 2

32

f. a12 = 6



3

7. a. 2,

13 20 , ,9 3 3

8. a. S12 = 324 9. a. S10 = 2.046 b. S15 = 15,5

3 4 13. t = -24 Para finalizar Páginas 52, 53 y 54 1. E 4. E 2. C 5. B 3. B 6. A

b. -6; -4,5; -3; -1,5; 0 c. 1, 5, 25, 125

d. 3, 6, 12, 24, 48

b. S25 = 750

c. S100 = -13.850

c. S8 =

10. a. 50/9 11. a. 50 términos

695 9

d. S10 =

b. 90

d. S51 = 510

1.023 8

c. 16 b. a1 =

d. 156,25 c. -349.524

461 60

12. a8 =

7. E 8. A 9. A

2 11

8 16 10 d. 2, ,3, , Creciente 3 5 3 e. 3, 6, 11, 18, 27 Creciente f. -2, -11, -26, -47, -74 Decreciente

n

i1

1 26

f.

40 20 40 , , ,10 31 11 13 1 2 d. , ,1,2 2 3 e. -3, -5, -15, 15, 5, 3

23i  1

4. a. 400 5. a. a12 = 38 6. a. a4 = 32 b. a1 = 120

e. 10 términos

c. 1,

4. a. a10 = 0,6 Más práctica Página 50 1. a. 1, 3, 5, 7, 9 Creciente b. -1, -4, -7, -10, -13 Decreciente 1 1 1 1 1 Decreciente c. , , , , 4 7 10 13 16 2. a. Convergente 3. a.

c. 3.312.242 habitantes aprox. d. Se deja al estudiante.

10. E 11. B 12. C

13. A 14. E 15. C

16. B 17. D 18. A

19. D 20. C 21. C

22. D 23. D 24. D

25. B

UNIDAD 3 Páginas 59 y 60 1. a. -2 b. 1

e.  (no existe) f. 1

c. - (no existe) d. 0

g. - (no existe) h. 1 i.  (no existe)

2. a. Sí existe, es 4. b. No existe. 3. Las preguntas se dejan al estudiante. a. Sí existe, es 3. b. No existe. 4. a. No existe. b. El límite es q y f(p) no existe. c. El límite es q y f(p) = r. 5. a. 0 c. 0 e. 3 g. -1 i. -1 k. No existe m. No existe b. No definido d. -4 f. 3 h. No existe j. -3 l. -4 n. No existe Página 62 1. a. -2 a 3 1 g. 3 9 d. 3 4 i.  j. l.  2 b. 16 a 2 4 13 e. No existe 1 h. c. -6 f. 3 k. -5a 4 2. a. 2 b. No existe c. 0 d. 0,5 e. 8 f. 3 3. a. 101 e. 4 1 1 c.  h. 1 f. 13 4 2 b.  2 d. 0 g. 0 i. 0 Páginas 64 y 65 1. c. otro caso f. otro caso h.  –    0 0 a. b. d. e. g.  –  i. otro caso   0 0 2. a. -6

4 b.  3 c. 1 d. No es de la forma 3. a. 1 2 c. b. 0 3

e. No es de la forma f. No es de la forma g. No es de la forma 1 h. 4 d. 

1 3

i. No es de la forma 9 j. 2 k. -6

e.

7 4

l. 2 7

ñ. 

2 m.  3 n. 2

o. 6 p. No es de la forma q. No es de la forma h. -3 i. 1

1 2 g. 0 f.

2 4

j.

5 2

k.

1 2

l. 0

m. 5 n. 0 ñ. 3

4. f. 0 j. No existe 3 1 3 1 h. c.  d. g. -6 k. 0 2 2 4 2 l. No existe b. 0 e. -1 i. 0 Página 67 1. a. Discontinua en a y b, continua en c. c. Discontinua en c y d, continua en a y b. b. Discontinua en a, b y c. d. Discontinua en b, c y d, continua en a. 2. a. Discontinua b. Discontinua c. Discontinua 3. a. Continua en su dominio (x = -1 y x = 1 no c. x = 1 pertenecen al dominio) d. x = 1 b. Continua en su dominio (x = -2 y x = 1 no e. Continua en su dominio (x = 0 no pertenecen al dominio) pertenece al dominio) a.

Páginas 71 y 72 1. a. 0 f. 8 b. 40 g. -37 c. 1 h. 12 d. -7 e. 0

2 4 1 j. 2

i.

5 3 6 l. -1 k.

1 25 2 n.  81

m. 

m. otro caso n. 0 ñ.0

e. Discontinua en a y c, continua en b. f. Discontinua en a, b y c. d. Continua f. x = 0

1 48 1 o.  4 ñ. 

p.

1 4

q. 

1 4

2. Los segmentos de rectas azules corresponden a parte de las rectas tangentes.

3. a. y = x b. y = 2x c. y = 2 – 3x d. y = 10x – 25 e. y = -2x – 4 4.

f. y = -12x g. y = -4x h. y = -12x – 19 i. y = 40x + 82

a. f(4) = 3, f´(4) =

1 j. y  x  1 4 1 3 k. y  x  2 2

2 l. y  x  6 3 1 2 m. y   x  9 3

5 5 x 16 2 1 2 ñ. y   x  3 3

b. Varias respuestas.

1 4

5. a. Un punto. Página 74 1.

b. Dos puntos.

1

a. f´(x) = 1 

1 o. y   x 4

n. y  

1

1

3 4 2 x x 2 5 e. f´(x) = 12x + 10x – 6x 1 4 f. f´(x) =  5 2 x3 x

d. f´(x) =

2 x 2 3 b. f´(x) = 3x + 12x 1 c. f´(x) =  2 x 2. x 2 x a. f´(x) = 2xe + x e -5 x -4 x b. f´(x) = -4x e + x e 8 3 c. f´(x) = 324x + 432x 5

21x 2 1 d. f´(x) =  2 x

3  g. f´(x) = 4x 3  x 4 4 3 h. f´(x) = 2x 3  x 2



4

h. f´(x) =

7x 3 e. f´(x) =  2x 3 x 4 3 f. f´(x) = e (3x +12x +2) 7x 2

g. f´(x) =

c. Un punto.

i. f´(x) =

5 2

i. f´(x) = 

3 12 25   x2 x 4 x 6

x

j. f´(x) = e x k. f´(x) = 3 – e

ex (2x  1) 2 x

j. f´(x) = 

ex (x  4) x5

13 x 3 2x 9

l. f´(x) = 

1312 x 12

k. f´(x) =

b. f´(x) =

c. f´(x) =

2

1  x 

2  x2  1

2 3  x 

2

e. f´(x) = 

1  x 

2 2

1  5x 3

2 x  x  1 3

x6 x 3

d. f´(x) =

2

g. f´(x) =

x

12x 3  9x  2 2

i. f´(x) =

 x  3

2

2

j. f´(x) =

1  3x 

2

h. f´(x) = 

x 3  3x  1

ex  x  4   4

f. f´(x) =

9x2  6x  4 1

k. f´(x) =

3 3 x4 2x

ex  x  1 

 x  2 x  x  2  2 1  x 

l. f´(x) = 

1  x 

2 2

2

x

2x 2

 1

2

4.

1 1 a. y  x  4 4 5. a. -16 y -20/9 Páginas 76 y 77 1. 2 3 3 a. y´= 12x (x + 7) b. y´=

3x

2

2 x3  3

b. y = 2x

c. y  

d. y = e

3 13 x 100 25

b. 7

e. y´= 

x

3x 2 3

h. y´=

 3

2

f. y´= ex 5x  3x2  5 2 x3 g. y´= 9x2 2x3  5 3 2 2 d. y´= 5(x + 7x )(3x + 14x) 3

4  x  1

i. y´= 

c. y´= 2x 

2 2

k. y´= 6(2x+e )

1

j. y´= 

3 3x e 2 1 2 x3

3 4

l. y´= e m. y´=

 x2

2x e

2

x

1  ñ. y´=  e 2 2

 1

x 2

3 e  2  3 x

-4x

n. y´= -4e

2.

3 11 x 16 4 b. y = x + 2 a. y  

7 3 3 x 12 4 1 d. y  x  1 2 c. y 

15 19

4x 4

3. a. f´(x) =

43 x  0,3x 0,7 3

l. f´(x) =

e. y = 2x – 1 f. y  

2 3 2 x 2 2

3. a. 28 4.

b. 15

a. y'  

x y

e. y'  

y2 1  xy

h. y'  

1

x  y

2

b. y' 

2x  2xy  y 3  x2  2xy

f. y' 

4 xy  y x  2 xy

i. y' 

ex  y  1 x

c. y' 

3  3x2 y  y 3 x 3  3xy2

g. y' 

10 x  y2  1 2y

j. y' 

1  e2y 1  e2y

d. y' 

x y

2

5. a. y = x

b. y  

k. y' 

1

l. y' 

x  2x2  y2  y  x2 y 3x2  4xy  3y2 2x2  6xy

9 40 x 13 13

6. c. Se deja al estudiante. 9 5 9 1 xp yq a. y  x  b. y   x  d. 2  2  1 2 2 4 4 a b Página 79 1. e. 3 i. 0 k. 0 n. , no existe p. 0 1 1 1 a.  c. g. f. 2 q. , no existe l. , no existe ñ. 1 1 4 2 2 j. m. 54 o. 0 2 b. 4 d. 2 h.0 2. e. Otra forma c. Otra forma i. -3 a. , no existe g. , no existe j. otra forma h. , no existe 1 1 1 f. d. b. 2 2 2 Página 81 1. a. Sí b. Sí c. Sí d. No e. No f. No g. No h. Sí i. No j. No k. Sí l. Sí 2. a. F sí, G no b. F y G no c. F no, G sí d. F no, G sí e. F y G no f. f no, G sí 3. a. f(x) = 1, F(x) = x x5 x3 x4 4 4 5 g. f(x) = , F(x) = l. f(x) = 1 – 3x , F(x) = x  3 b. f(x) = 20x , F(x) = 4x 5 2 8 -4x -4x c. f(x) = -4e , F(x) = e 2 m. f(x) = 4(2x + 3), F(x) = (2x + 3) x x 1 d. f(x) = e , F(x) = e + 3 h. f(x) = , F(x) = ln(3x) 3x e x -3x n. f(x) = 2x – e , F(x) = x2  x5 4 e. f(x) = x , F(x) = 3 1 2 5 i. f(x) =  3 , F(x) = 2 1 x x , F(x) = ln(x + 1) ñ. f(x) = 1 x f. f(x) = , F(x) = j. Cualquiera puede ser F o f x 1 x x x 5 5 k. f(x) = xe , F(x) = xe – e Página 83 1. 2 3 1 x2 x4 12 3 x 5 e.  4 + c g.  + c k.  +c a. c. +c c i. +c 4x 3x 2 8 3 x3 5 4 b. 4x + c d. x + c 7 3 3 x4 j. 16 4 x + c 6 3 x5 f.  5 + c h. +c l. +c 5x 4 5 2. 4 1 x x 5 x2 x3 g.  3  x  c j.  2   2ln(x)  c a. d.  c  2x  ln(x)  c 3x 8x 2 5 2 9 b.

3x 5  2x2  c 5

c.

3x  1 c 2x2

e. 

4

h.



3

f.

3. a. 2x + 3ln(x) + c 1 b. x x 2  15  c 9



4 4 x5 x4  c 5 4 1 i. 8 x 3  9 3 x 4  6x2  c 12

3 2ln(x)  c 2x2 3



2x x 2 x c 5

4x 3 c 3 1 8 c d.  x x c. x 

2 x3  4ln(x)  c 3 2 f.  x  x  3  c 3

e.



k. 3 3 x  8 x  c l.

15 3 x 7  5x  ln(x)  c 14

1 1  ln(x)  3   c 2 x 

g.

x 3 4x 7  c 15 35

i.

h.

9x 2  1 c 3x 3

j. x 3 

x2 c 2

Páginas 85, 86 y 87 1. 3 2 a. x3  2  c 9 3 b. 3 x 4  1  c 4





c. 4 x 3 

2

x  12x  16 x  c 2

x 5 3x2  c 5 2 4 1 e.  x2  1  c 4 2. 1 a.  c 3 2 x   3

d.

x

b.

2

ex 1 c 2 3 2 l.  ex  4   c 3 2

2 x3  3 c 3 2 g. ln(x + x – 1) + c 2 h.  c x 1 f.

1 6

2

c

2 3 ln (x)  c 3 1 q. ln x 2  4   c 2

  x   c

3

1 c 3  3x 3 x 2 d. e (x – 2x + 2) + c 2 4 e. -4(x – 4) + c

3

4  e  1

ñ. 2ln ln

 x 4  3  c

1 c 18  12e3x 1 g.  c 3 162 x 4  1

c.

 7  c

1

2x

p.

m. 2e x  c x -x n. ln(e + e ) + c

4 i.  c ln(x) j.

o. 

k.

13 4 1  3x   c 4 1 i.  c 2 2  3x  1 h. 

f.

j. ln(ln(x)) + c 3. a.

e2x 2x  1  c 4

b.

x3  3ln(x)  1   c 9

c. 

x2  8 2 x 4 c 3 x i. 2e (x – 1) + c

x2 2ln(x)  1   c 4 -x e. –e (x + 1) + c x f. ln(x)  1  c 2

h.

d.

e3x 9x2  6x  2  c 27

g.

j.

2 x3  3ln(x)  2  c 9

x2  9 c 9x

b. 

9  x2 c 9x

c. 

k. 

x2  1 c x

x2 2ln(2x)  1  c 4

x3  3ln(x)  1  c 9 e3x  3x  1  c 9

4. a.

l.

d. ln





x2  4  x  c e.

x

2

 1

3

3

c

f. 

36  x2 c 36x

5.

ln(1  x)  ln(x  2) c 3 ln(1  x)  ln(x  1) b. c 2 c. 2ln(x + 2) – ln(x + 1) + c Página 89 1. 15 110 a. d. 4 3 b. 10 e2  1 e. c. 1 2

d.

f.

ln(2) 3

g.

32 2 3

2. En unidades cuadradas del plano cartesiano. -1 d. e – e 14 19 1 a. b. c. e. 4 3 3 2

h. 6 21 i. 200

f.

n. 3 – 3ln(4) -1 ñ. e o. ln(3)

156 5 -1 k. -2 + e + e l. 2 m. 1 j.

4 3

g. 60 h. 2

3. En unidades cuadradas del plano cartesiano. 1 1 a. b. 3 12 Más práctica Página 90 1. b. No existe d. -6 3 1 f. 4 3 a.  c. e. 6 4 10 g. 0 2. a. Continua b. Continua  x   – {2} 3. Para a = -1 y b = 0,5. 4. Es discontinua en x = -3.

g. 2ln(x – 1) + 5ln(x + 4) + c ln1  2x   5ln x  ln x 2  h. c 10 4 i.  2ln 4  x   3ln x   c x4

6  ln x  2   c x 2 e. 2ln(x – 1) + 3ln(x + 3) + c 3ln x  1 ln x  1 1 f.   c x 1 2 2

a.

i. 2

h. 0

c. Continua  x   – {4}

5. a. f’(x) = 2x + 5 3 3x b. f’(x) = x e (3x + 4) 3 c. f’(x) = 2 3x  4

6. a. No existe

x4 x  5 10 x  4

d. f’(x) = e. f’(x) =

f. f’(x) =

x2  6x  3

1  1    2 2x

g. f’(x) = 

3  x 

2

3

h. f’(x) =

 x  3ln x  3  x  x  3ln2  x  3

3x2

x

3

 5

3

b.

1 6

c. No existe

b.

ln(x 2  3) c 2

c. x(ln(3x) – 1) + c x 2 d. e (x – 2x + 2) + c

d.

1 6

7. a. 

e5x c 5

8. b. 39 279 4 Para finalizar Páginas 92, 93 y 94 1. D 4. E 7. B 2. D 5. C 8. C 3. D 6. B 9. E

c.

a.

3 3  4 4

d. 

3

10. C 11. D 12. A

13. E 14. E 15. C

e. 2

5 72

16. B 17. A 18. A

19. A 20. E 21. A

f.

22. B 23. B 24. C

g. 0 h. 0

98 3

25. D

UNIDAD 4 Página 99 1. g g g g m. 90°  5   100   100   500   14.441  a. r. h. rad rad rad f.  j.  t.  d.  n. 324°     18 12 21.600  9   3   9   216  ñ. 540°   137 g g g 5  b. rad i. rad s. rad o. 100  200   250  g. rad e.  k.  g 9 2 540   18 p. 360  9   3  g  g q. 600 l. 100 c. rad 6 2. Las representaciones se dejan al estudiante, sin embargo, se entregan las medidas angulares en grados sexagesimales. a. 50° b. 90° c. 120° d. 45° e. 360° f. 90° g. 30° h. 180° i. 120° j. 150° 3. c. 30° d. 40 cm  b. 0,523rad a. rad 2 Páginas 101 y 102 1. Las relaciones se dejan a discusión de curso. 1 1 f. 3 3 3 3 b. d. a. c. e. 2 2 2 3 2 2. La relación se cumple. 3. Las relaciones se dejan a discusión de curso. c. 1 2 2 a. b. 2 2 4. La relación se cumple. 5. Los resultados son aproximaciones por redondeo. a. 6,3 m b. 19,9 m c. 12 2 m 6. a.

12 13

b.

12 5

c.

13 12

d.

5 12

2 6 7

b.

5 6 12

c.

7 6 12

d.

2 6 5

11 6

b.

85 6

c.

11 85 85

d.

85 11

7. a. 8. a. 9.

12 5 12 13 13 5 5 12 5 13 , cos = , tan = , cosec = , sec = , cotan = , sen = , cos = , tan = , cosec = , 13 13 5 12 5 12 13 13 12 5 13 12 sec = , cotan = 12 5 a. sen =

b. sen = tan =

9 9 106 5 106 , cos = , tan = , cosec = 5 106 106

5 , cosec = 9

c. sen45 =

106 , sec = 5

106 , sec = 9

9 106 , cotan = 5 9

2 2 , cos45 = , tan45 = 1, cosec45 = 2 2

2 , sec45 =

2 2 , cos45 = , tan45 = 1, cosec45 = 2 , sec45 = 2 2 10. Las medidas son aproximadas. a. 60 m b. 17 m Páginas 104 y 105 1. Se deja al estudiante. 2. Se recomienda discutir en el curso. 3. 11 1 c.  3  2 b.  3 a.  6 4 2 4. 15 13 8 a. b. c. 4 12 3 5. a. Falsa b. Verdadera 6.

d. sen45 =

b. x 

8. a. A 19 m aproximadamente Páginas 107 y 108 1. La representación se deja al estudiante. a. Mayor c. Menor e. Menor b. Menor d. Mayor f. Mayor 2.

3 2

b. 

2 2

2 , cotan45 = 1

2 , cotan45 = 1 c. 34 m

d. 

d. x = 95 m e y = 119 m

3 6 3

d. 1

e.

12  3 3 2

f.

e.

1 8

f.

c. Verdadera

4 3 2 11 3 4

d. Verdadera

b. x = -7

a. x  3 7. a. 100 m

a.

5 106 5 106 9 106 , cotan = , sen = , cos = , 9 5 106 106

c. 

3 3

d. -2

e.  2

g. Menor h. Mayor

h.

e.  2

3. a. sen135° 4. 1 1 a.  c. 2 2 b. -1 d. 3

b. 46 m y 71 m aproximadamente

1 2 i. -1 j. -2

3 3 g. -1 f.

k.

h.  3

2 3 3

m.

i. 

l.

2 2

2 1 m. 2

j.  3 k. 2

n.

m. Mayor n. Mayor

p. 2

3 2

s. 

q.  3 r.

2 2

o.  3

3

f. 2 2cis  330

e. 2 2cis  300

g.

ñ. Mayor o. Menor u.

2 3 3

p.

2 3 3

r. 

q.

2 3 3

s. 1

3 2

p. Menor q. Menor w. 

t.

2 2

u.

3 3

f. cos315° v. 2 w. -2

c. 5  3 3

h. 2cis(210°) i. cis(60°) j. 4cis(210°)

k.

2 cis  60  5

l.

2 cis 240  5

3 cis  60  3 2. z1 = 3cis(15°), z2 = 3cis(63°), z3 = 3cis(122°), z4 = 3cis(145°), z5 = 3cis(240°), z6 = 3cis(285°) y z7 = 3cis(315°) a. 3 c. No b. En la obtención del argumento. d. No, porque están en distintos cuadrantes. 3. a. 8cis(75°) e. 6cis(90°) i. 2cis(300°) m. 0,6cis(105°) q. 2cis(180°) 1 ñ. cis 15  b. 18cis(105°) f. 7cis(285°) j. 2cis(345°) 3 7 n. cis 270  c. 4cis(210°) g. 18cis(105°) k. 2cis(345°) 2 o. 2cis(345°) d. 15cis(165°) h. 8cis(315°) l. cis(30°) p. 2cis(225°) c. 4 2cis  315

3 3

v.  2

e. sen240°

b. 4

d. 2 2cis 45

2 2

t. 1

1 2

d. cos150° ñ. 



c. A 346 pies aproximadamente

k. Mayor l. Mayor

n. 0 ñ. 1 o. 2

c. cos240°

5. a. -1 Páginas 110 y 111 1. a. 2cis(0°) b. 5cis(90°)

i. Menor j. Menor

l. 1

b. sen330° f. -2 g. 0



c. x  40 3  3

40 40 3 20 3 , y , z 3 3 3

4. Algunos ángulos fueron redondeados. a. 2cis(0°) e. 2 2cis 165 b. 16 2cis 225

i. 0,4cis(120°) j. cis(90°)

f. 8 2cis 165

c. 2 10cis 288

g.

d. 4cis(105°)

k.

2cis 285

h. 1,6cis(270°) 5. Algunos ángulos fueron redondeados. e. 2.025cis(106°) a. 2 2cis 135 f. 2.025cis(254°) 6 b. 4 2cis 135 g. 2.025cis(106°) 6 h. 2.025cis(254°) c. 4 2cis  45

3 5 cis 198  2 2 m. 0,5cis(165°) l.

2cis  45

j. 16 2cis  90 k. 16cis(120°) l. 16cis(120°) m. 16cis(60°) n. 16cis(300°)

i. 16 2cis 270 d. 2.025cis(254°) Páginas 115 y 116 1. b, d, f y h se dejan al estudiante. 1 1 sec  cos  cos   cos  a.   1 1 sen2 cosec2 tan2   2 sen2 cos2  cos 

ñ. cis(180°) o. cis(0°) 16 p. cis 240 625

n.

2 cis 105  2

ñ.

2cis 255

o.

2cis 165

1 cis 210  10 q. 2,5cis(0°) p.

16 cis 240 625 r. cis(0°) 16 s. cis 120  625 q.

t.

16 cis 120  625

1 cosec sen cos  c.    cotan 1 sec2  sen cos 

cos  cos  cos  1  sen   cotan  cos  sen 1  sen 1 sen 1  sen      sec   tan 2 cos2  cos2  cotan  cos  cos  cos  cos  sen sen sen  cos   1 sen sen  sen  tan 1 1 1  cos  1 cos  cos   1  cos  g.   1      cotan sen2 sen2 sen tan sen sen sen sen sen sen cos  cos  2. f, g, h, i y j se dejan al estudiante. 2 2 c. y d. se despejan sen y cos de sen  + cos  = 1. cos2  1  sen2 1 a. cotan2     1  cosec2  1 2 2 2 sen  sen  sen  sen  sen e.  1  cos   1  sen2 sen2 1  cos2  cos2  1 2 b. tan   1  1    sec2  tan  sen 2 2 2 2 cos  cos  cos  cos  cos  3. 2 2 a. sen  0 y cos = sen c. sen  0, cos  0 y cos   –sen  b. sen  0 y 1 y tan  0 d. sen  1 4. Las expresiones b, c, d, y g son iguales a 1. 5. 2 2 a. 1 e. 2 i. 2 c. tan g. tan  k. –sen  2 2 b. 1 f. 1 j. 1 d. 1 h. cotan  l. sen  6. e.

a. b.

tan2   sec2  sec2   1  1  tan2   1 sec2   tan2  sec2   tan2  2 2 2 2 sec2  tan2   tan2 sec 2  1  tan   tan   tan  1  tan   tan2   tan2  tan2   tan 2   tan 2 tan 2  tan 2   tan 2     1 tan2   tan2  tan2   tan2  tan2   tan2  tan2   tan2 

sen2  cos2  sen2  1  sen2 1  cos2   1  sen2  cos2   sen2    1 sen2  cos2  sen2  cos2  sen2  cos2  sen2  cos2  Páginas 118 y 119 1.

c.

a. b. 

c. 2  3

2 6 4

3 d. 2

2 6 4

e. 

2 6 4

3 2

f.

i.  3

6 2 4

g. h. 

k. 

2 6 j.  4

6 2 4

2 6 4

3 2

l.

2. a. 

3 2

b.  c. -1

1 2

d. -1

1 e.  2

f.

3

g. 

3 2

h.

1 2

i.  3

j.

3 2

k.

1 2

l.

3

3. a. -2 b. 2  3

c. 

2 3 3

4. a. V b. F 5. Respectivamente: 4 117 a. y 5 125 Página 121 1. a.

AC  12 2 cm AB  6





2  6 cm

d.

2

e.

3 2

c. V

f. 2  6 g. 2 d. V

b.



e. F

240 119 y 289 169



b. 7  7 3 cm

h. 2  3

i. 

f. V

j.  2  6

g. F c.

d.

2 3 3

h. V

d.

e.

2 193  42

c. 8 6 cm

3 3



l.

i. F

425 304 y 304 297

325  150 2 cm

k.

2 6

j. V

169 161 y 120 240

f. 3 202  99 2 cm 6  2 cm g. 45° h. 120°



2. a.

75 cm

b.

21 cm

Páginas 123, 124 y 125 1. y 2. Los períodos se discuten en clase a. Dom = , rec = [-2, 2] d. Dom = rec = [-1/2, 1/2] g. Dom = , rec = [-1, 1]

j. Dom = , rec = [-2, 2]

m. Dom = , rec = [-1, 1]

b. Dom = , rec = [-3, 3]

e. Dom = rec = [-1/3, 1/3] h. Dom = , rec = [-1, 1]

k. Dom = , rec = [-3, 3]

n. Dom = , rec = [-1, 1]

c. Dom = , rec = [-4, 4]

f. Dom = , rec = [-1, 1]

l. Dom = , rec = [-4, 4]

ñ. Dom = , rec = [-2, 2]

3. y 4. Los períodos se discuten en clase a. Dom = , rec = [-2, 2] d. Dom = rec = [-1/2, 1/2] g. Dom = , rec = [-1, 1]

j. Dom = , rec = [-2, 2]

m. Dom = , rec = [-1, 1]

b. Dom = , rec = [-3, 3]

e. Dom = rec = [-1/3, 1/3] h. Dom = , rec = [-1, 1]

k. Dom = , rec = [-3, 3]

n. Dom = , rec = [-1, 1]

c. Dom = , rec = [-4, 4]

f. Dom = , rec = [-1, 1]

l. Dom = , rec = [-4, 4]

ñ. Dom = , rec = [-2, 2]

i. Dom = , rec = [-2, 2]

i. Dom = , rec = [-2, 2]

5. y 6. Los períodos se discuten en clase a. Dom =  - {0,5 + k}, d. Dom =  - {0,5 + k},

g. Dom =  - {0,25 +

j. Dom =  - {0,5 + k},

m. Dom =  - {-0,25 –

rec = 

rec = 

0,5k}, rec = 

rec = 

0,5k}, rec = 

b. Dom =  - {0,5 + k},

e. Dom =  - {0,5 + k},

h. Dom =  - {/6 + k/3}, k. Dom =  - {0,5 + k},

n. Dom =  - {-/6 - k/3},

rec = 

rec = 

rec = 

rec = 

rec = 

c. Dom =  - {0,5 + k},

f. Dom =  - { + 2k},

i. Dom =  - {0,25 +

l. Dom =  - {0,5 + k},

ñ. Dom =  - {-0,25 –

rec = 

rec = 

0,5k}, rec = 

rec = 

0,5k}, rec = 

7. a.

b.

c.

d.

e.

f.

8. a. Cosecante: amarilla, secante: morada, cotangente: café. b. Cosecante: Dom =  - {k}, rec =  - ]-1, 1[, secante: Dom =  - {(2k + 1)/2}, rec =  - ]-1, 1[, cotangente: Dom =  - {k}, rec =  c. Cosecante y secante: período 2, cotangente: período . d. Cosecante: min(/2 + 2k, -1) y max(3/2 + 2k, -1); secante: min( + 2k, -1) y max(2k, -1); cotangente: no tiene mín ni máx. e. Se deja al estudiante. f. Se deja al estudiante. 9. a. c. e. g. i.

b.

d.

f.

h.

Página 127 1.   5   a. S  2k    2k   4  4 

  7   d. S  2k    2k   6  6 

  5   g. S  2k    2k   6  6 

5   5   b. S  2k    2k   6  6 

2   2   e. S  2k    2k   3  3 

    h. S  2k    2k   4  4 

  c. S  k   3 

  f. S  k   3 

    i. S  k    k   3  3 

2.

  3  a. S  0, , ,2  2 2 

e. S = {0, 2}    f. S  0, , ,2  2 

 7 11  b. S   ,  6 6 

 3 7  g. S   ,  4 4  7 11 19  23  h. S   , , ,   12 12 12 12 

  2 4 5  c. S   , , ,  3 3 3 3    5  d. S   ,  3 3  Más práctica Página 128 1. g a. (200/3) 2. a. 8,5 m

  7 9 15  i. S   , , ,  8 8 8 8 

  3  m. S   , ,  2 2

  5  j. S  0, , , ,2  4  4 

 2  n. S   ,  3 

  5  k. S  0, , , ,2 4  4    5  l. S   ,  6 6 

c. 270°

b. 5/6 rad b.





c. 120  40 3 m

25 3 m 3

3.

2 1 2

a.

b. 2 6

4. a. 12cis(0°)

b.

c. cis(270°)

10 cis(342 )

d. 0,49cis(86°)

5.

6 2 4

a. 6.



b. 2  3

d.  2  6

c.  2  6

e. 2  3

f.



a. 20  20 3 cm

2 6 4

g. 

6 2 4

h. 2  3

b. 2 57 cm

7. Se deja al estudiante. 8.  5 11  a. S   ,  6 6  Para finalizar Páginas 130, 131 y 132 1. A 3. E 2. D 4. B

 3  b. S    2

5. D 6. C

7. C 8. C

9. A 10. B

UNIDAD 5 Páginas 137 y 138 1. y 2. Ecuación principal y general respectivamente. 2 2 2 2 a. (x – 3) + (y + 2) = 1 y x – 6x + y + 4y + 12 = 0 2 2 2 2 b. (x + 1) + (y + 4) = 25 y x + 2x + y + 8y – 8 = 0 2 2 2 2 c. x + y = 64 y x + y – 64 = 0 2 2 2 2 d. (x + 3,4) + (y – 8) = 0,25 y x + 6,8x + y – 16y + 75,31 = 0 2

4 179 2 2  e.  x  4    y    9 y x2  8x  y2  y  0 5 25 5 

4 81 2  809 2  e.  x  4    y    y x2  8x  y2  y   0 5 5 5 25  4. Se deja al estudiante. 5. y 6. 5  5 a. Sí, C  2,  ,r  2  2 b. No

c. Sí, C(2, -2), r = 3 3

11. E 12. A

13. E 14. D

2

15. D 16. E

17. C 18. B

2

47 3  3  64  y x2  3x  y2  3y   0 g.  x     y    2  2 9 18  2

2  3  1 8 3 47 h.  x  y x2  x  y2  y  0    y    4   2  25 2 400  2

2

2 551 1  f.  x  5   y    3 y x2  10x  y2  y  0 5 5 25  3. Ecuación principal y general respectivamente. 2 2 2 2 a. (x – 3) + (y + 2) = 13 y x – 6x + y + 4y = 0 2 2 2 2 b. (x + 1) + (y + 4) = 144 y x + 2x + y + 8y – 127 = 0 2 2 2 2 c. x + y = 29 y x + y – 29 = 0 2 2 2 2 d. (x + 3,4) + (y – 8) = 68 y x + 6,8x + y – 16y + 7,56 = 0 2

2

   5  c. S   , ,  6 2 6 

2  2  3 2 2 6 47 2 2 i.  x     y    y x  2 x  y  y   0 3 5 5 3 5 75    

2

2 203 1  229 2  y x2  2x  y2  y  f.  x  1   y    0 5 25 5 25  2

2

4 1 73 2  1  73  g.  x     y    y x2  x  y2  y  0 3 2 48 3  4  36 



h. x  2

133  5 3 d. Sí, C  ,   ,r  4 4 2 e. No



2

  y  3  2

97 53 y x2  2 2x  y2  6y   0 4 4

f. Sí, C(3, 2), r = 1  3 1 g. Sí, C   ,  ,r  2  2 2

h. No

7. a. C(-1, -1), r= 1 b. C(0, 0), r = 1 c. C(3, 2), r = 4 d. C(1, -5), r = 2

5  1  e. C   ,5  ,r  2  3 

g. C





3, 2 ,r  6

 2 5 i. C   ,   ,r   3 4

 4 1 h. C   ,  ,r  5  9 2

f. C  5, 5 ,r  4 3

2 2

8. a. C 1,1 ,r  3 2

61 7 1 c. C  ,  ,r  18 6 6 d. C(2, -3), r = 7

b. C(1, 1), r = 1

 1  e. C   ,3  ,r  2  2 



 1 3 g. C  ,   ,r  2 4 2



1 1 h. C  ,   ,r  2 3

2 2

f. C  2, 3 ,r  5

9.

 18 9  a. P1 = (2, 1) y P2 =  ,   5 5 Páginas 140 y 141 1. a. Arriba b. Izquierda c. Abajo d. Izquierda 2. y 3. 2 2 a. y = -8(x – 2); y + 8x – 16 = 0 2 2 b. (x + 2) = -24(y – 1); x + 4x + 24y – 20 = 0 13 2   2 c.  y  3  6  x   ; y + 6y + 6x – 30 = 0 2  2 2 d. (x – 4,8) = 5(y + 3,25); x – 9,6x – 5y + 6,79 = 0

b.  x  8    y  3  2

e. Abajo

2

f. Derecha

g. Arriba

h. Izquierda

i. Arriba

2

8 125 4 3   f.  x    7  y   ; x2  x  7y  0 3 4 3 36   g.  y  1  2



h. y  2

2

45 1 13    e.  x    7 y   ; x2  x  7y   0 2 4 2  

45 101 y x2  16x  y2  6y  0 2 2



2

3 13  2 3 361 0  x   ; y  2y  x  10  40  10 400 1   6  x   ; y2  2 2y  6x  1  0 2 

2

 3  2 3 3 2 2 3 2 3 16 i.  y     x  6  ; y  5 y  3 x  75  0 5 3    

4. y 5.

5 2  a. x2  10  y   ; x + 10y – 25 = 0 2 

4 4 2 e.  x  3   y ; x2  6x  y  9  0 5 5

9 2 2  b.  x  1  2  y   ; x + 2x – 2y – 8 = 0 2 

4 54 9.161 2  54  7   f.  x     y   ; x2  x  y  0 7 5 10  7 5 1.225 

7 2 2  c.  y  5  6  x   ; y + 10y – 6x + 4 = 0 2 

8 22 197 4  22  31   g.  x     y   ; x2  x  y  0 5  15  30  5 15 225 

d.  y  5  4,2 x  2,45  ; y2  10y  2

1 1  c. V  0,0  ;F  0,   ;d: y  8 8  33  17 3   1 3  d. V   ,   ;F   ,  ;d: x   16  16 2   16 2  7  7  e. V  0,0  ;F ,0  ;d: x   24  24  8. 2 a. y + 10y – 44x + 157 = 0 b. x = -14 t2 t 9   ; 8,3 seg. 8 2 2

d. 11,45 m; 0,2 m; h(t)  

2

21 1.471 x 0 5 100

6. Se deja al estudiante. 7. a. V(5, -1); F(5, -3); d: y = 1 7  13  b. V  5, 5 ;F  , 5 ;d: x  2 2 

c. 5 m; 4,5 m; h(t)  

2

t2 1  3t  ; 15 seg. 5 5



h. x  5

151  227 3   38 3  f. V  ,  ;F ,  ;d: x  150  300 10   75 10  81  79  g. V  5,3 ;F  ,3  ;d: x   16  16  7  3 53  h. V  3,  ;F  3,  ;d: y   5  20  20  49 3   1  i. V  , 4  ;F  , 4  ;d: x  40 5   40 



2



13 223 13  11  2 0  y   ; x  2 5x  y  2 16 2 8

 2 7  2 4 ,  ;F  ,  ;d: y  1 j. V   6 6  6 3  2   2 17  15 ,8  ;F  ,  ;d: y  k. V  3 3 2 2     5  1   3  l. V   , 7  ;F  , 7  ;d: x   8  2   8 

2

e. Derecha e izquierda, respectivamente; y = 12(x + 3), 2 2 2 (y – 5) = -6(x – 3); y – 12x – 36 = 0, y – 10y + 6x + 7 = 0; en dos

 29 5 166 10 166   5 166 29 10 166  ,   ,  puntos:     y  . 27 3 3   27 54 3 3   54

Páginas 145 y 146 1. e. no es elipse. a.

c.

f.

h.

b.

d.

g.

i.

2. y 3. a.

4 y2 5 2  x  2,5   1;C  ,0 ;A1 7,0 ;A2  2,0  81 14 2 

 x  3

2

b.

2



28

2

d.

4  13  13    y    1;C  3,  ;A1  3,1 ;A2  3,12 121  2 2 

2

2

3  16  5   3 5  3 5  3  e.  x     y    1;C   ,   ;A1   ,   ;A2   ,0  2  25  4   2 4  2 2  2 

2

c.

4 3 4 2 3   x     y  1  1;C  , 1  ;A1  0, 1 ;A2  3, 1 9 2 5 2 

4  7 1 2  7   x     y  4   1;C   , 4  ;A1  12, 4 ;A2  5, 4  289  2  66  2 

2

f.

2

16  15  2  1  15 1   3 1   1   x     y    1;C  ,  ;A1  ,  ;A2  6,  81  4  9 2  4 2 2 2  2

4. Se deja al estudiante. 5. Las representaciones gráficas se dejan al estudiante.

 x  2

2

a.



4

y2 1 8

2

x2 y2  1 9 73 4 4 2 2 d.  x  1   y  1   1 109 9 c.

 x  4    y  3  1 b. 8 4 6. 2 2 a. 64x + 81y = 5.184 2 2 b. 25x – 200x + 36y + 360y + 400 = 0 2

2

c.

e.

1 9 16 2 y 1 x    4 2  289

f.

2 4 2 2 x  4   y  6  1 121 121

4 2 56 25 1.087 x  x  y2  25y  0 9 9 16 9

7. a.

 x  3

2

b.

c. Sí d. No e. (1, -6) y (1, 2)

x2 4 2  y 1 25 25

 y  1 

2

12 16 Páginas 148 y 149 1.

1

g. A  8 65u2 h. Se deja al estudiante.





f. P  16  4 65 u;A  16 65u2



   b. C 3,2 ;F 3,2 2 5 ;F 3,2 2 5 ;V 3, 2 ;V 3,6  c. C  0,0 ;F  145,0 ;F 145,0 ;V  9,0 ;V 9,0  d. C  0,0 ;F 0,  149 ;F 0, 149 ;V 0, 7 ;V 0,7  e. C  0,0 ;F  13,0 ;F 13,0 ;V  3,0 ;V 3,0 



a. C 1, 2 ;F 1  34, 2 ;F 1  34, 2 ;V  2, 2 ;V  4, 2 

 



f. C  7,3;F 7  61,3 ;F 7  61,3 ;V  13,3;V  1,3

 37   37   5   7  ,3  ;F 3  ,3  ;V  ,3  ;V  ,3  g. C  3,3 ;F  3  2 2     2  2   87   53   17   11  h. C  7,8 ;F   ,8 ;F   ,8 ;V   ,8 ;V   ,8   10   10   2   2 



 

 

 

i. C  4,9 ;F 4  22,9 ;F 4  22,9 ;V 4  2 3,9 ;V 4  2 3,9

2. 2

4 5  y2 x    1 25  2  14

b.

4 13   x  3 1 y    9 2 28 2

4 7  y  4 1 x    25  2 66 2

2

a.

c. 2

2

2

e.

2

16  5  3 y   x   1 9 4  2 2

2

3 4 2  d.  x     y  1  1 2 5 

7  1 1  f.  x     y    1 2  3 2 

5 25 5 5 b. y  x  ;y   x  6 3 6 3

c. y 

3.

8 8 a. y  x;y   x 9 9 4. 2 2 a. 64x – 81y – 5.184 = 0

2

2

b. 25x – 200x – 36y – 360y – 1.400 = 0

2

8 176 8 64 x ;y   x  15 15 15 15 2

c. 64x + 896x – 225y + 3.600y – 11.408 = 0



Página 151 1. a. 1

17 9

b.

c.

d. 0,8

5 2

2. a. Circunferencia b. Parábola c. Elipse 3. a. C2

e.

f. 1

3 2

g.

d. Hipérbola e. Parábola f. Elipse

h. 1

34 3

i.

145 9

g. Hipérbola h. Hipérbola i. Elipse

x2 y2  1 25 16 c. Si aumenta dicha distancia, la excentricidad disminuye; mientras que si la distancia disminuye, la excentricidad aumenta. b.

 x  1

2

 y  1

2

1 16 9 e. Sí, dos puntos. f. Si aumenta dicha distancia, la excentricidad aumenta; mientras que si la distancia disminuye, la excentricidad disminuye. Más práctica Página 152 1. a. C(0, 2) y r = 7 1  1 3 93  b. C  5,  ,r  c. C  3,   ,r  2  2 2 2 

d.



2. 2 2 a. x + (y + 8) = 64

1 1 b. C  ,   ,r  5 6 4

3. a. F(-6, 4), V(-4, 4), d: x = -2

15  4 17   4  b. F  ,  ,V   ,1  ,d: y  16  5 16   5 

307  5 315   5 311  c. F  ,  ,V   ,  ,d: y  32  8 32   8 32 

4. a. x2  8x  5.



17  19  b. F   ,2  ,d: x   6 6  

38 191 y 0 5 25

 



a. F1 1,2  2 3 ,F2 1,2  2 3 ,V1  1, 2  ,V2  1,6  b. F1  0, 7 ,F2 0,1 ,V1 0, 8 ,V2 0,2 



 



c. F1 1  3 5,2 ,F2 1  3 5,2 ,V1  8,2  ,V2 6,2  6. a. y = 2x + 4; y = -2x

5 5 b. y  x  3;y   x  3 3 3

7. 2 2 a. -5x + 4y – 10x – 16y + 91 = 0 8. a. 1 9. a. No se intersecan. Para finalizar Páginas 154, 155 y 156 1. A 3. E 2. E 4. A

2 16 2 12 c. y   x  ;y  x  7 7 7 7

b. En dos puntos. b.

5 3

c.

53 2

b. En dos puntos.

5. A 6. B

7. B 8. D

9. C 10. C

11. C 12. D

13. A 14. B

15. E 16. D

17. C 18. E

19. B 20. D

UNIDAD 6 Página 161 1. a. 2; a22 2. a. 5 b. -1 3. a. x = 3, y = -4 Página 163 1. a.  24 8 9 

b. 3 x 1; a11 c. 8

d. 60

e. 1

f. 0

b. x = 1; y = 11

2. Iguales resultados que los obtenidos en 1. 3.  7 10   3  a.     b.  12   7 57   1    4.  7 10   3  a.     b.  12   7 57  1    5. a. x = -6; y = -21 Página 165 1. Se deja al estudiante. 2.  8     10 82 / 11  b.  5 3  a.    4  0,1      6 2  3. Las propiedades se dejan al estudiante. a. x = -8; y = 6

d. 3 x 1 e. No f. 3 x 2

g. 0

h. -75/8

i. 14/3

d. x = 84, y = 77/132

 5    d.  3   60   

 28 10    c.  55 14   28 50   

d. 18 12 7 

10   28   c.  55 14   28 50   

d.  18 12 7 

b. x = ½; y = -3/2

c. No tiene solución

 4 2  c.  1,2   4 6

 6,2 b. X =   5,1 

g. 3 x 3 h. No i. 2 x 3

2  21  9 

3   2 

m. 3 x 4 n. 1 x 1 ñ. 2 x 1

0 0 0   0   m.  6 2 0 2   12 4 0 4    n.  5 / 2 4 ñ.   4   0 0  0 2/3   0 1 / 2 

0

1

 11 / 20 1 / 10 13 / 40  d.    2 / 3 1 / 12 13 / 42 

 15 c. X =   4 

j. 2 x 2 k. 4 x 4 l. No

 14 6 2    g.  12 2 4   8 18 16     8 12 17  i.    18 6 16   2 30  j.    8 30  1  3  0 0 k.   2 2 / 3   3 / 2 1 / 2

d. 1 x 4; a13, a14

c. x = 2; y = 3; z = 5

10   18   c.  47 24   34 52   

 1 20  b.    3 47 

Páginas 167 y 168 1. a. 2 x 3 b. No c. 3 x 2 2.  11 6 7  a.    4 6 4   16 35    c.  8 25   2 40    8    d.  2   20     14 25    f.  12 15   8 5   

c. 3; a22, a13

 16  o.    4   0   p.  5   10   

2   6 

o. 2 x 1 p. 3 x 1 q. 3 x 3

 86 6  q.  58 18  82 72   24 8  r.  6 2  60 20   55 / 2    s.  15 / 2   65 / 2   

r. 3 x 4 s. 3 x 1 t. No

22   26  74  0 8   0 2  0 20 

3.  26 a.   38 3  b.  5 1   2 c.   3

12 68   20 100 

3 2   2 2  1 9  18   5

6  e.  5 2  f. No  34 g.   42

1 6   1 6  3 2  35   43 

h. No  17 4 0    i.  8 9 0   8 2 25   

1 1  j.  1 0 1 3  k. No l. No  16 m.   21

6   4  14 

33   24 

 30 20 80  o.    36 24 96   3 6 10    p.  4 3 22   2 2 26     31 / 4    q.  22   183 / 4   

 16    s.  19   180     269 / 12  t.    116 / 3 

 12 24 36  n.    6 12 12   46 73  r.    12 24 36  ñ.   3 13    6 12  12   4. Los ejemplos y contraejemplos se dejan al estudiante. a. V b. V c. F 5. a. x = 4; y = 2 c. Proposición falsa. b. x = -2; y = 4; z = 3 d. x11 = -38/27; x12 = 19/27; x13 = -43/27; etc. Páginas 170 y 171 1. Se deja al estudiante. 2. 57   13 10,18  0 0 0  2 1 / 2 2   57 57 a.         b. c. d. 19  10,6  108  108  108  0 0 0  1  1 1 / 2         0 0 0 3  0 0  3  1  0    3. Las propiedades se dejan al estudiante. a. x = 5/3; y = 9 b. x = 1; y = 0; z = -7/3 3 18   3   c. X =  3 3 6   6 9 3    4. Los ejemplos y contraejemplos se dejan al estudiante. a. V b. V c. F d. V e. F Página 175 1.  1,5 0,8 3,9   2 1   3 2   2,1  f.        c.  a.  4 0 1,1 6  0  5 5   h. 1/2   8 2     1/2  5   2 3 5      d. 4 2   g.  5   3 2 3  2 5   3    2,1    b.  0 0  i. 0 3   2  3 5  0,5 4,2 3,1    3 2 3    e.     1 8   0 2. No hay simétricas ni antisimétricas. 3. Las propiedades se dejan al estudiante. 18   2 7   8 12 17   8  18   18  a.  k.          d. h. ñ.  7 2 18  6  16  12  6 8          8        b. No  17 16   38   38   16  l.    8 10  i. No e. 16 14   14    c.  4 10  8  4 4   f. No m. No j.    4 10  g. No n. No  10 10 10   Página 177 1. 3   2  1 4 / 3   1 / 2 3 / 4 1 / 4  d.  a.      f.  3 / 2  2 0 2 / 3 1 0       0  0 1 / 2 1 / 2    1 / 15 1 / 30   1 / 14 1 / 4 1 / 7  b.     e.  1 / 14 1 / 4 1 / 7   1 / 6 1 / 24   3/7 0 1 / 7  6  6    c.    8 / 3 2 

 5 2 12    d.  5 2 12   2 4 4  

Página 179 1. 14   4 a.   14 4   

9 0 b.   0 9

 1 / 5 3 / 5 4 / 5    e.  4 / 5 6 / 5 8 / 5   2 6 / 5 9 / 5   6 22   14   f.  44 0 48   10 12 14     7 / 96 5 / 72  g.    1 / 96 1 / 72 

9 / 2   11 / 8 h.   169 / 16 7/4    21   24 0   i.  54 18 48   15 0 6    169 / 4 137 / 4  j.   17   25

80   72 112   k.  0 192 48   32 144 224     101 / 226 77 / 113  l.    106 / 113 71 / 113 

 31 11 30    c.  0 9 0   20 10 31    14 4  d.    22 26  2. a. x = 5/3; y = 9 b. Proposición falsa. Páginas 181 y 182 1. y 2. a. 0; par d. 1; impar g. 3; impar b. 1; impar e. 3; impar h. 4; par c. 10; par f. 3; impar i. 4; par 3. a. -2 c. -22 e. 3/2 g. -7 i. 6 k. 144 b. -120 d. 4,15 f. -3/2 h. 53/8 j. 42 l. -11/3 4. a. -28 f. 0 j. 5  3 3 b. -2 g. -3 k. 2 10  2 5 c. -70 h. 0,084 l. 10  10 2  20 5  2 10 d. 0,089 i. 5  5 6 e. -9/8 Página 184 1. f. -7/5 a. -4 j. 10  5 2  2 5 g. 3/2 b. 31 k. 18  2  6 15  30 h. -0,55 c. -28 l. 88  54 5 d. -0,211 i. 2  2 2  2 3 e. 38/9 2. Se deja al estudiante. Página 187 1. De arriba abajo y de izquierda a derecha: a. -30 -30 105 -135 -30 -225 5625 675 8100 -1/3 -6/5 -17 b. -930 -930 3255 -2790 465 -216225 864900 648675 46704600 -1/3 -3/2 -8 2. a. Como B se obtiene intercambiando 2 columnas de A, entonces, |B| = -|A|. Luego, |A| + |B| = 0. b. Como |A| = -|B + C|, es posible afirmar que B + C tiene las mismas filas o columnas que A, pero en distinto orden. Luego, escribiendo las matrices respectivas y despejando las incógnitas respectivas, se obtiene que x = -1, y = 1 y z = -3. Por lo que, 5x – 3y + 2z = -14. c. Como A y B son matrices triangulares, |A| = -6xyz y |B| = -12xyz. Luego, el valor numérico de la expresión en cuestión es -3. Página 189 1. a. x = 9; y = 10 e. x = ¼; y = 5/8 h. x  11; y  -7 b. x = 1/11; y = 6/11 f. x = -2; y = 1 i. x  17; y  -7 c. x = -1/38; y = -53/38 g. x = -2/3; y = -2/9 d. x = -2/3; y = -1/3 2. a. x = 15/2; y = -5; z = 47/4 c. x = -41/17; y = -35/34; z = 28/17 e. x = -1; y = -8/11; z = 31/11 b. x = 15; y = 12; z = -7/2 d. x = 3/32; y = 217/64; z = -37/64 f. x = 201/46; y = -185/46; z = -181/46 Más práctica Página 190 1. a. -3 b. 4 c. 8 2. 44 16   17 17   8 a.     c.  8 20 16   6 19   12 12 12     6 30  b.   20  4  

3. 3   18 a.    19 20 

348 452   44   c.  464 16 192   152 40 120   

 198 54  b.    8 184 

4.

 2 / 465 b.   3 / 1240

 170 / 9 257 / 12  a.    365 / 18 599 / 48 

5. a. -9 6. a. x = -7/11; y = -19/11 Para finalizar Páginas 192, 193 y 194 1. E 4. D 2. B 5. E 3. D 6. C

b. -10,86

1 / 2480   41 / 9920 

c.

2116 16   625 1   24025 26244 10816  121  4 7056   625

c. -201

b. x = -12/25; y = -109/50

7. B 8. A 9. D

d. 24

c. x = 14; y = -75/19; z = -222/19 d. Infinitas soluciones

10. E 11. A 12. D

13. A 14. A 15. D

16. E 17.

Contenidos: • Polinomios • Sumatorias y progresiones • Límites, derivadas e integrales • Trigonometría y números complejos • Lugares geométricos • Matrices y determinantes

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