Texto Guia Mecanica Suelos II UMSS

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Capítulo uno 

Incremento de esfuerzo  Contenido  1 Incremento de esfuerzo ............................................................................................................................................................................ 1  1.1 Introducción ........................................................................................................................................................................................... 3  1.2 Fundaciones por debajo el nivel del terreno natural .......................................................................................................... 7  1.3 Métodos aproximados ....................................................................................................................................................................... 9  1.3.1 Método 2:1 ................................................................................................................................................................................... 9  Ejemplo 1.1…………………………………………………………………………………………………………………………….10   1.3.2 Gráficas de bulbo de presiones de Boussinesq ........................................................................................................ 11  1.4 Método de Boussinesq (1883) .................................................................................................................................................... 13  1.4.1 General ........................................................................................................................................................................................ 13  1.4.2 Incremento de esfuerzos debido a una carga puntual .......................................................................................... 14  1.4.3 Incremento de esfuerzos debido a una carga lineal .............................................................................................. 16  1.4.4 Incremento de esfuerzos debido a una carga continua (ancho finito y longitud infinita) ................... 18  1.4.5 Incremento de esfuerzos debido a un área circular uniformemente cargada........................................... 21  1.4.6 Incremento de esfuerzos debido a un área rectangular uniformemente cargada .................................. 25  1.4.7 Incremento de esfuerzo vertical debido a un área uniformemente cargada de cualquier forma .... 29  1.4.8 Casos especiales de carga para la solución de Boussinesq (1883) ................................................................. 30  Ejemplo 1.2…………………………………………………………………………………………………………………………….36   1.5 Método de Harr (1977) .................................................................................................................................................................. 46  1.5.1 Carga puntual .......................................................................................................................................................................... 46  1.5.2 Carga lineal ............................................................................................................................................................................... 47  1.5.3 Carga continua ........................................................................................................................................................................ 47  1.5.4 Carga vertical uniforme sobre un área rectangular ............................................................................................... 49  1.5.5 Carga vertical uniforme sobre un área circular ....................................................................................................... 49  1.5.6  Determinación  del  incremento  de  esfuerzos  en  medios  estratificados  a  través  del  método  probabilístico ....................................................................................................................................................................... 50  1.6 Método de Westergaard (1983) ................................................................................................................................................. 50  1.6.1 Carga puntual .......................................................................................................................................................................... 50  1.6.2 Carga circular ........................................................................................................................................................................... 52  1.6.3 Carga rectangular .................................................................................................................................................................. 53  Ejemplo 1.3…………………………………………………………………………………………………………………………….53   1.7 Método Numérico (Milovic, 1992) ............................................................................................................................................ 58  1.7.1 General ........................................................................................................................................................................................ 58  1.7.2 Carga de franja continua ..................................................................................................................................................... 59  1.7.2.1 Incremento de esfuerzos debido a una carga de franja continúa (E1>E2) ................................... 59  1.7.2.2 Incremento de esfuerzos en medios finitos debido a una carga de franja continúa ............... 72 

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1.7.3 Superficie cargada en forma circular ............................................................................................................................ 75  1.7.3.1 Incremento de esfuerzos debido a una superficie cargada en forma circular (E1>E2) .......... 75  1.7.3.2 Incremento de esfuerzos en medios finitos debido a una cargada de forma circular ............ 77  1.7.4 Incremento de esfuerzos en medios finitos debido a una cargada de forma rectangular ................... 77  Ejemplo 1.4…………………………………………………………………………………………………………………………….84   Ejemplo 1.5…………………………………………………………………………………………………………………………….87   1.8 Método de Tomlinson (carga de fundación rígida) ........................................................................................................... 95  1.9 Comparación de métodos ............................................................................................................................................................. 96       

 

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Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

1.1 Introducción  Todas las obras de ingeniería civil imparten cargas en el suelo donde son emplazadas, tales cargas producen  compresión, corte y en algunos casos esfuerzos de tracción. Por ejemplo, cuando se construye un tanque de  almacenamiento de petróleo, éste impone una carga uniforme y circular sobre la superficie; la cual produce  deformaciones y en algunas ocasiones planos de falla al corte. Esta presión disminuye a medida que aumenta  la profundidad.  Las fundaciones producen asentamientos – deformación vertical – debidos a un cambio en la forma de la  masa de suelo, es decir, debido a un cambio en el volumen. Este cambio de volumen se debe a un incremento  de esfuerzos efectivos en la masa de suelo.  La forma del perfil de suelo deformado depende de dos factores fundamentales:  ⎯

Estructura del suelo (cohesivo o granular). 

⎯

La rigidez de la fundación. 

Se  define  como  presión  de  contacto  a  la  intensidad  de  carga  transmitida  por  la  cara  inferior  de  la  fundación  al  suelo.  La  figura  1.1  muestra  las  diferentes  posibilidades  de  respuesta  del  suelo  cuando  se  imponen cargas sobre la superficie a través de fundaciones rígidas o flexibles.  

Figura 1.1 (a) Distribución de la presión de contacto debido a la aplicación de cargas para fundaciones rígidas (b)  Distribución del perfil de asentamiento para fundaciones flexibles (Holtz, 1991). 

A partir de la figura 1.1 desarrollada por Holtz (1991), se puede observar que en el caso de fundaciones  rígidas, Fig. 1.1(a), los asentamientos producidos son uniformes mientras que la distribución de la presión de  contacto debajo de la fundación no es uniforme.  Cuando  se  tiene  una  fundación  rígida  emplazada  sobre  un  suelo  cohesivo  perfectamente  elástico,  el  esfuerzo producido en los bordes exteriores se considera infinito; aunque en realidad éste se halla limitado 

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por  la  resistencia  al  corte  del  suelo.  En  el  caso  de  fundaciones  rígidas  emplazadas  en  suelos  granulares,  debido  a  que  el  confinamiento  es  menor  en  los  bordes  exteriores,  el  esfuerzo  en  tales  bordes  es  también  menor.  Para  el  caso  de  fundaciones  muy  anchas  (ejemplo:  losa  rígida  de  fundación),  tanto  el  asentamiento  como la presión de contacto son medianamente uniformes.  La  figura  1.1  (b)  muestra  que  mientras  la  distribución  de  la  presión  de  contacto  debajo  el  área  de  una  fundación flexible cargada es uniforme, los perfiles de asentamiento son bastante diferentes, en función a si  el suelo es cohesivo o granular.  En el caso de suelos cohesivos, la superficie se deforma en forma cóncava ascendente; mientras que en  suelos  granulares,  la  forma  del  perfil  de  asentamiento  es  exactamente  la  opuesta,  cóncava  descendente,  debido  a  que  el  esfuerzo  de  confinamiento  es  mayor  en  el  centro  que  en  los  bordes.  Al  estar  la  arena  confinada en el centro, tiene un módulo de deformación más alto que en los bordes, lo que implica que existe  menor asentamiento en el centro que en los bordes. Por otro lado, si el área cargada flexible es muy grande,  los asentamientos cerca del centro son relativamente uniformes y menores que en los bordes.  Para el diseño estructural de fundaciones, la distribución de la presión de contacto es intermedia entre  fundación  rígida  y  flexible,  y  por  razones  prácticas  se  asume  a  menudo  una  distribución  uniforme  de  la  presión de contacto debajo del área cargada; a pesar que desde  el punto de vista de la mecánica de suelos  esta hipótesis es obviamente incorrecta.  Una adecuada selección del tipo de fundación debe ser hecha en función a la magnitud y a la dirección de  las cargas estructurales, además de las condiciones de la superficie de emplazamiento, el subsuelo y de otros  factores. Los dos tipos de fundaciones más importantes son:  ⎯

Fundaciones superficiales. Son aquellas en las que las cargas estructurales son transmitidas al suelo 

de fundación que se encuentra cercano a la superficie. Según Budhu (2000) una fundación es considerada  superficial cuando la relación entre el nivel de fundación, 

 y el ancho de la fundación,  B; 

por  otro  lado  Bowles  (1996)  indica  que  una  fundación  es  superficial  cuando 

⁄

⁄

2,5; 

1,  pudiendo 

aceptarse en algunos casos un valor mayor. Existen tres tipos de fundaciones superficiales, Fig. 1.2.  Zapatas  aisladas.  Son  una  ampliación  de  la  sección  inferior  de  la  columna,  éstas  actúan  como  un  muro  portante  que  expande  la  carga  estructural  sobre  una  determinada  área  de  suelo.  En  su  mayoría  son  fabricadas de concreto reforzado, dependiendo el tamaño requerido, de la magnitud de la carga y de las  propiedades geotécnicas del suelo donde son emplazadas.  Vigas de fundación. Son aquella donde se apoyan las columnas en una hilera, dicha fundación puede estar  formada  por  más  de  dos  columnas,  este  tipo  de  fundación  se  utiliza  cuando  se  precisa  mayor  área  de  soporte.  Losas  de  fundación.  Son  fundaciones  aisladas  grandes  cuyo  tamaño  abarca  a  toda  o  gran  parte  de  la  estructura.  Debido  a  su  tamaño,  éstas  reparten  el  peso  de  la  estructura  en  un  área  grande,  disminuyéndose  así  tanto  los  esfuerzos  inducidos  como  los  consiguientes  asentamientos  en  el  suelo  de  fundación.  Son  aconsejables  para  estructuras  que  resultan  muy  pesadas  para  el  uso  de  fundaciones  aisladas pero que no son lo suficientemente pesadas para el uso de fundaciones profundas.  

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Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Figura 1.2 Fundaciones superficiales (Coduto, 1999).  

⎯

Fundaciones profundas. Son aquellas que transmiten una o todas las cargas de la estructura a suelos 

profundos o a rocas, Fig. 1.3.  Estas fundaciones son usadas cuando se trabaja con estructuras grandes o cuando el suelo de fundación  es débil. Se dividen en tres tipos principales:  Pilotes.  Son  miembros  estructurales  de  madera,  concretos  y/o  acero  que  son  utilizados  para  transmitir  cargas superficiales a niveles más bajos de la masa de suelo. Esta transferencia puede ser realizada por  distribución  vertical  de  la  carga  a  lo  largo  del  fuste  del  pilote  o  por  aplicación  directa  de  la  carga  a  un  estrato más bajo a través de un punto en el pilote.  Pilas  perforadas.  Son  construidas  perforando  agujeros  cilíndricos  en  el  terreno,  insertando  luego  el  refuerzo de acero y rellenando posteriormente el agujero con concreto.  Otros tipos. Cuya construcción incluye varios métodos híbridos además de otras técnicas.  

Figura1.3 Fundaciones profundas a) Pilotes a compresión b) Pilotes a tensión. Adaptada de  Delgado, 2001. 

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Uno  de  los  objetivos  fundamentales  de  la  ingeniería  geotécnica  es  el  de  determinar  los  esfuerzos  y  deformaciones  que  se  producen  en  el  suelo.  Para  evaluar  los  esfuerzos  en  un  punto  del  suelo  se  necesita  conocer la localización, la magnitud y la dirección de las fuerzas que los causan.  Los  esfuerzos  producidos  en  el  suelo  pueden  ser  de  dos  tipos,  dependiendo  la  manera  en  que  se  producen:  ⎯

Esfuerzos geoestáticos.­ Son aquellos que ocurren debido al peso del suelo que se encuentra sobre el 

punto  que  está  siendo  evaluado.  Los  esfuerzos  geoestáticos  se  presentan  naturalmente  en  el  suelo;  sin  embargo  estos  esfuerzos  pueden  también  ser  causados;  debido  a  actividades  humanas,  tales  como  el  emplazamiento de terraplenes o la realización de excavaciones.  ⎯

Esfuerzos  inducidos.­  Son  aquellos  causados  por  cargas  externas,  tales  como  fundaciones  de 

estructuras,  presas,  muros  de  contención,  etc.  Los  esfuerzos  inducidos  pueden  ser  tanto  verticales  (debido  a  cargas  transmitidas  por  fundaciones)  como  horizontales  o  laterales  (es  el  caso  de  muros  de  contención).  En  este  capítulo  se  desarrollan  íntegramente  las  maneras  de  determinar  los  valores  de  esfuerzos  inducidos,  los  cuales  se  deben  adicionar  a  los  esfuerzos  ya  existentes  debidos  al  peso  del  propio  suelo  (geoestáticos).  Por  tanto  el  cálculo  de  esfuerzos  inducidos  se  considera  como  el  cálculo  del  incremento  de  esfuerzos en la masa de suelo.  Mediante  experimentos  realizados  se  ha  mostrado  que  al  aplicar  una  carga  a  la  superficie  del  terreno  sobre  un  área  bien  definida,  a  una  cierta  profundidad,  los  incrementos  de  esfuerzos  no  se  limitan  a  la  proyección  del  área  cargada,  debido  a  que  en  los  alrededores  de  ésta  ocurre  también  un  aumento  de  esfuerzos.  Como  la  sumatoria  de  incrementos  de  los  esfuerzos  verticales  en  planos  horizontales  es  siempre  constante a cualquier profundidad, el incremento de esfuerzos inmediatamente debajo del área cargada va  disminuyendo  a  medida  que  aumenta  la  profundidad,  debido  a  que  el  área  de  influencia  comprendida  aumenta también con la profundidad (De Sousa Pinto, 2000).  La  figura  1.4  indica  cualitativamente  como  se  presenta  la  distribución  de  incremento  de  esfuerzos  en  planos  horizontales  a  diferentes  profundidades  y  la  figura  1.5  representa  la  variación  del  incremento  de  esfuerzos verticales, ∆ , a lo largo de una línea vertical que pasa por el eje de simetría del área cargada. 

Figura 1.4 Distribución del incremento de esfuerzos en planos horizontales.  

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Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Para  la  determinación  del  incremento  de  esfuerzos  (verticales  y  horizontales)  existen  una  serie  de  métodos desarrollados, basándose todos ellos en la teoría de la elasticidad. A pesar de que el suelo no es un  material  que  cumple  cabalmente  con  esta  teoría,  De  Sousa  Pinto  (2000)  afirma  que  la  aplicación  de  esta  teoría es justificable cuando se trabaja en el análisis de incremento de esfuerzos, debido a que hasta un cierto  nivel  de  esfuerzos  existe  cierta  proporcionalidad  entre  los  esfuerzos  y  las  deformaciones.  Sin  embargo,  la  mayor justificación para la utilización de esta teoría es la de no disponer de una mejor alternativa, así como  que el uso de ésta tiende a presentar una evaluación satisfactoria de los esfuerzos actuantes en el suelo. 

Figura 1.5 Distribución del incremento de esfuerzos en un plano vertical.  

Los métodos para determinar el incremento de esfuerzo basado en la teoría de la elasticidad, más usados  en la actualidad son:  ⎯

Métodos aproximados. 

⎯

Método de Boussinesq. 

⎯

Método de Harr. 

⎯

Método de Westergaard. 

⎯

Métodos numéricos. (Milovic). 

Los métodos aproximados, son de mucha utilidad para determinar el incremento de esfuerzo en el suelo  cuando se requiere una solución rápida o cuando no se dispone de una computadora o calculadora para la  determinación del incremento de esfuerzos. Los métodos aproximados son:  ⎯

Método 2:1 

⎯

Graficas de bulbo de presiones de Boussinesq 

Por  último  se  realizará  el  análisis  de  incremento  de  esfuerzo  considerando  la  aplicación  de  una  carga  rígida. El método de análisis utilizado será el de Tomlinson. 

1.2  Fundaciones  por  debajo  el  nivel  del  terreno  natural  Previo  a  la  explicación  de  los  diferentes  métodos  para  la  determinación  del  incremento  de  esfuerzo  en  el  suelo.  Se  analiza  el  caso  cuando  la  carga  no  es  aplicada  en  la  superficie  del  terreno,  se  hace  necesario  el  realizar las siguientes definiciones: 

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  Nivel de fundación, 

 

 

, es la profundidad a la cual se emplaza la fundación. 

Carga inicial total o sobrecarga,   , es la presión existente antes de la construcción que se debe al peso  del  suelo  sobre  el  nivel  de  fundación.  Según  la  figura  1.6,  esta  carga  es  determinada  en  la  primera  etapa,  ,  Fig.  1.6  (a).  Si  se  considera,  que  para  esta  etapa  el  nivel  freático  se 

donde  la  sobrecarga  es  igual  a  encuentra en la superficie; entonces 

 

 

. 

Carga bruta, q , es la presión total impartida al terreno después de la construcción que incluye:  ⎯

El peso de la fundación, 

⎯

El  peso  del  suelo  sobre  el  nivel  de  fundación.  Este  peso  es  igual  al  peso  de  la  porción  de  suelo 

achurada en la figura 1.6(b),  ⎯

.  . 

La carga impartida por la columna a la fundación, P, que es determinada en el cálculo estructural  y 

puede ser estimada multiplicando una presión aproximada de 10 kN/m2 por el área de cada planta y por  el número total de plantas del edificio y dividiendo entre el área de contacto total.  Todas las cargas anteriores son determinadas después de la construcción, es decir, en la segunda etapa,  Fig. 1.6 (b). Luego, la carga total soportada por la columna es igual a la sumatoria de las cargas anteriores,  dividida por el área de la zapata, obteniéndose de este modo la presión correspondiente a la carga bruta, q. Si  se considera que en la segunda etapa el nivel freático ha descendido hasta una altura  de fundación; entonces el valor final de la presión de poros es: 

 

 por encima del nivel 

. 

Figura 1.6. Tipos de cargas impartidas en el terreno.  

Carga neta, 

, es el incremento neto en esfuerzos efectivos al nivel de fundación, es decir, es la diferencia 

entre las presiones efectivas antes y después de la construcción.  ,

,

 

Ec. 1.1

De  la  ecuación  (1.1)  se  puede  observar  que  tanto  q’  como 

  se  refieren  a  esfuerzos  efectivos,  siendo 

estos, de acuerdo al principio de esfuerzos efectivos iguales a:  ,

,

 

Ec. 1.2

 

De aquí en adelante, debe recordarse que la carga neta 

Ec. 1.3 , es la presión que produce los asentamientos. 

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Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

1.3 Métodos aproximados  1.3.1 Método 2:1  El método 2:1 permite hallar el incremento de esfuerzos verticales a una cierta profundidad situada debajo el  centro  de  un  área  uniformemente  cargada.  Este  método  consiste  en  dibujar  superficies  inclinadas  descendentes a partir del borde del área cargada, como se muestra en la figura 1.7. Tales superficies tienen  una pendiente de 1 horizontal a 2 vertical.  Para calcular el incremento de esfuerzos ∆ , a una profundidad z debajo el área cargada, simplemente  basta  con  dibujar  una  superficie  horizontal  plana  a  esa  profundidad  y  calcular  el  área  del  plano  ubicado  dentro  de  estas  superficies  inclinadas,  dividiéndose  luego  la  carga  total  aplicada   

      por  el  área 

calculada. 

Figura 1.7 Método 2:1 para el cálculo de incremento de esfuerzos.  

Cuando el área uniformemente cargada es un área rectangular de dimensiones 

; Fig. 1.7, el método 

2:1 presenta la siguiente ecuación para el cálculo del incremento de esfuerzo vertical a una profundidad z:   ∆

 

 

Ec. 1.4

Donde:  ∆σ

 Incremento de esfuerzo vertical.   Carga aplicada por unidad de área. 

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 Ancho del área rectangular.   Largo del área rectangular.  Cuando  el  área  uniformemente  cargada  es  un  área  circular  de  diámetro  D,  el  método  2:1  presenta  la  siguiente ecuación para el cálculo del incremento de esfuerzo vertical a una profundidad z: 

 

∆

Ec. 1.5

Donde:  ∆σ

 Incremento de esfuerzo vertical.   Carga aplicada por unidad de área.   Diámetro del área circular. 

Ejemplo 1.1  Una  superficie  circular  de  diámetro  2,5  m  (D)  en  planta,  soporta  una  carga  de  95  kPa  (q).  Determine  el  incremento de esfuerzo vertical  ∆

 debido a la carga, a una profundidad de 4 m (z) debajo del centro de la 

superficie circular. Utilizar el método aproximado 2:1.  Solución: 

Refiérase a la figura 1.8. Para este caso.  

Figura 1.8 Método 2:1 para el cálculo de incremento de esfuerzos.    

De la ecuación (1.5): 

 

∆ Donde:  2,5   ;

95 

 ;

4   

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Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Reemplazando los valores en la ecuación (1.5), se tiene:  ∆

∆

95

2,5 2,5 4

,

 

 

1.3.2 Gráficas de bulbo de presiones de Boussinesq  La distribución de esfuerzos puede también ser obtenida de gráficas adimensionales como las mostradas en  las figuras 1.9 (a), 1.9 (b) y 1.9 (c). El valor de x  y de z para estas figuras es obtenido del mismo modo que en  la  figura  1.4.  Las  curvas  de  estas  gráficas  se  denominan  bulbos  de  presión  o  bulbos  de  esfuerzos  y  son  el  resultado  de  la  unión  de  los  puntos  que  presentan  igual  incremento  de  esfuerzos,  que  es  expresado  en  función de la carga q aplicada uniformemente sobre el área cargada  ∆ ⁄ . 

Figura 1.9 (a) Bulbo de presión para una fundación cuadrada (Coduto, 1999)  

11 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Estas gráficas son fáciles de usar y ayudan a identificar en forma visual la manera en que los esfuerzos se  distribuyen  al  interior  de  la  masa  de  suelo.  Sin  embargo,  estas  gráficas  no  cuentan  con  la  aproximación  proporcionada por el uso de métodos numéricos. 

Figura 1.9 (b) Bulbo de presión para una fundación de carga lineal (Coduto, 1999).  

El método 2:1 considera que la carga es aplicada sobre una fundación flexible, mientras que las gráficas  de los bulbos de presión no son más que una representación gráfica del método de Boussinesq (1883). Tanto  el método de Boussinesq (1883) como sus respectivas hipótesis son desarrollados en el apartado siguiente. 

12 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Figura 1.9 (c) Bulbo de presión para una fundación de carga circular (Coduto, 1999).  

1.4 Método de Boussinesq (1883)  1.4.1 General  Existen  varios  tipos  de  superficies  cargadas  que  se  aplican  sobre  el  suelo.  Para  saber  de  qué  manera  se  distribuyen los esfuerzos aplicados en la superficie al interior de la masa de suelo se debe aplicar la solución  de  Boussinesq  (1883)  quién  desarrolló  un  método  para  el  cálculo  de  incremento  de  esfuerzos  (esfuerzos  inducidos) en cualquier punto situado al interior de una masa de suelo.  La solución de Boussinesq (1883) determina el incremento de esfuerzos como resultado de la aplicación  de una carga puntual sobre la superficie de un semi‐espacio infinitamente grande; considerando que el punto  en  el  que  se  desea  hallar  los  esfuerzos  se  encuentra  en  un  medio  homogéneo,  elástico  e  isotrópico.  A  continuación  se  detalla  el  significado  de  las  hipótesis  realizadas  por  Boussinesq  (1883).  Estas  definiciones  son  realizadas  para  el  contexto  específico  de  incremento  de  esfuerzos.  Todas  las  determinaciones  de 

13 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

incremento  de  esfuerzos  a  partir  de  la  solución  de  Boussinesq  (1883)  consideran  la  aplicación  de  cargas  flexibles.  ⎯

Semiespacio infinitamente grande. Significa que la masa de suelo está limitada en uno de sus lados 

mientras  que  se  extiende  infinitamente  en  las  otras  direcciones.  Para  el  caso  de  suelos,  la  superficie  horizontal es el lado limitante.  ⎯

Un material se considera homogéneo cuando presenta las mismas propiedades a lo largo de todo el 

espacio. Cuando se trabaja con suelos, esta hipótesis se refiere solamente a que el módulo de elasticidad,  el  módulo  cortante  y  el  coeficiente  de  Poisson  deben  ser  constantes;  lo  que  implica  la  no  existencia  de  lugares duros y lugares blandos que afecten considerablemente la distribución de esfuerzos. Sin embargo,  es posible admitir la variación del peso unitario de un lugar a otro.  ⎯

Material isotrópico. Significa que para un sitio dado el módulo de elasticidad, el módulo cortante y el 

coeficiente de Poisson son los mismos en todas las direcciones.   ⎯

Material  con  propiedades  elásticas  lineales  de  esfuerzo‐deformación.  Significa  que  a  cada 

incremento  de  esfuerzos  está  asociado  un  incremento  correspondiente  de  deformación.  Esta  hipótesis  implica que la curva esfuerzo‐deformación es una línea recta que no ha alcanzado el punto de fluencia. 

1.4.2 Incremento de esfuerzos debido a una carga puntual  La solución original de Boussinesq (1883) para la determinación del incremento de esfuerzos en el punto A  de  la  figura  1.10,  debido  a  una  carga  puntual  P  aplicada  en  la  superficie,  fue  realizada  inicialmente  para  el  sistema de coordenadas polares (r, θ ,z). 

Figura 1.10. Solución de Boussinesq (1883) para el sistema de coordenadas polares. 

Para este sistema, el incremento de esfuerzos en el punto A es:  ∆

∆

3 2

 

Ec. 1.6

14 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  ∆

∆

1

3

2

2 2

2

Donde: 

,

1

,

 

Ec. 1.7

 

Ec. 1.8

 Coeficiente de Poisson en condición drenada. 

Posteriormente,  estas  ecuaciones  fueron  transformadas  al  sistema  de  coordenadas  rectangulares,  Fig.  1.11, donde el valor de  z es medido en forma descendente y es igual a la profundidad del plano horizontal  que contiene al punto donde se calculan los esfuerzos, siendo x y y las dimensiones laterales. Las ecuaciones  presentadas por Boussinesq (1883) para el cálculo de esfuerzos se presentan a continuación:  ∆

∆

∆

3 2 2 2 ∆

3 2

1

2

,

1

2

,

 

Ec. 1.10

3 2

Ec. 1.9

/

Ec. 1.11

Donde: 

     Coeficiente de Poisson en condición drenada. 

Figura 1.11 Solución de Boussinesq (1883) para el sistema de coordenadas rectangulares. 

Las ecuaciones (1.9) y (1.10) sirven para determinar el incremento de esfuerzos normales horizontales  (esfuerzos laterales) y dependen del coeficiente de Poisson del medio; mientras que la ecuación (1.11) dada  para el incremento de esfuerzo normal vertical, ∆ , es independiente de tal coeficiente.  

15 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

La ecuación (1.11) puede rescribirse de la siguiente forma:  ∆

3

∆

1

2

Ec. 1.11.a

/

Donde:  3 2 La variación de 

1

/

 

Ec. 1.12

 para varios valores de r/z está dada en la tabla 1.1. 

Tabla 1.1 Variación de  1  para varios valores de r/z.  r/z  0,00  0,10  0,20  0,30  0,40  0,50  0,60  0,70  0,80 

  0,4775  0,4657  0,4329  0,3849  0,3295  0,2733  0,2214  0,1762  0,1386 

r/z  0,90  1,00  1,50  1,75  2,00  2,50  3,00  4,00  5,00 

  0,1083  0,0844  0,0251  0,0144  0,0085  0,0034  0,0015  0,0004  0,00014 

La tabla 1.2 muestra valores típicos para el coeficiente de Poisson de varios tipos de suelo.  Tabla 1.2 Valores del coeficiente de Poisson para diferentes tipos de suelo (Bowles, 1996)  Tipo de suelo 

Coeficiente de Poisson ,   

Arcilla saturada  Arcilla no saturada  Arcilla arenosa  Limo  Arena, arena gravosa  Roca  Loess  Hielo  Concreto 

0,4 – 0,5  0,1 – 0,3  0,2 – 0,3  0,3 – 0,35  0,10 ‐ 1,0a  0,1 – 0,4b  0,1 – 0,3  0,36  0,15 

Valor comúnmente usado 0,3 – 0,4   Es dependiente del tipo de roca 

a  b

1.4.3 Incremento de esfuerzos debido a una carga lineal  A  partir  de  la  solución  desarrollada  por  Boussinesq  (1883),  se  han  desarrollado  muchas  otras  ecuaciones  para  diferentes  tipos  de  carga.  La  extensión  más  simple  de  la  ecuación  de  Boussinesq  (1883)  es  la  desarrollada  para  una  carga  lineal  flexible  que  está  verticalmente  distribuida  a  lo  largo  de  una  línea  horizontal.  Esta  es  una  carga  de  longitud  infinita,  que  no  tiene  anchura  y  que  tiene  una  intensidad  q  por  longitud unitaria, aplicada sobre la superficie de una masa de suelo semi‐infinita, Fig. 1.12.  Luego, el incremento de esfuerzos en el punto A es: 

16 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

    2

∆ ∆

 

Ec. 1.13

2

∆

Ec. 1.14  

 

Figura 1.12 Incremento de esfuerzos debido a una carga lineal. 

La ecuación (1.14) puede reescribirse de tal forma que se convierta en una relación adimensional:  ∆

2

 

Ec. 1.15

1 La variación de ∆ ⁄ ⁄  con x/z se presenta en la tabla 1.3.  Tabla 1.3 Variación de Δσ/(q/z) con x/z.  x/z 

Δσ/(q/z) 

x/z 

Δσ/(q/z) 

0,00  0,10  0,20  0,30  0,40  0,50  0,60  0,70  0,80  0,90 

0,637  0,624  0,589  0,536  0,473  0,407  0,344  0,287  0,237  0,194 

1,00  1,50  2,00  3,00  4,00  5,00  6,00  7,00  8,00  9,00 

0,159  0,06  0,025  0,006  0,0022  0,0009  0,0005  0,00025  0,00015  0,0001 

17 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

1.4.4  Incremento  de  esfuerzos  debido  a  una  carga  continua  (ancho  finito y longitud infinita)  Una carga continua es la carga transmitida por una estructura de ancho finito y largo infinito a la superficie  del suelo. El criterio para considerar a una carga continua varia según los autores, por ejemplo  Mc Carron  (1991) dice que una carga es continua cuando la relación L/B ≥ 5; mientras que Holtz (1991) afirma que esta  relación debe ser mayor a 10 (L/B > 10).  Existen dos tipos de cargas continuas: el primer tipo es el que transmite al suelo un esfuerzo uniforme, y  el  segundo  tipo  es  el  debido  a  una  carga  inducida  por  una  distribución  de  esfuerzos  triangulares  sobre  un  área de ancho B.  La ecuación para el cálculo del incremento de esfuerzos causado por la aplicación de una carga continua  flexible  que  transmite  un  esfuerzo  uniforme  es  deducida  a  partir  de  la  ecuación  (1.14)  y  de  acuerdo  a  la  figura 1.13, considerando que q es la carga unitaria por unidad de área. 

Figura 1.13 Incremento de esfuerzos debido a una carga continua.  

Se considera una franja elemental de ancho dr, siendo la carga por longitud unitaria de esta franja igual a  . Esta franja elemental es tratada como una carga lineal. 

  causado por la franja elemental en   por q y   por  .  el punto A. Para calcular este incremento se debe sustituir en la ecuación (1.14)  La ecuación (1.16) representa el incremento de esfuerzo vertical 

Luego:  2

 

Ec. 1.16

El incremento total en el esfuerzo vertical, ∆ , causado por la carga continua completa de ancho B que se  produce en el punto A se obtiene integrando la ecuación (1.16) con límites de r de –B/2  a +B/2, entonces se  tiene:  /

∆

2

/

18 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  4 2

2

        

Ec. 1.17

4

Simplificando la ecuación (1.17)  ∆

∆

2

Ec. 1.18

El  esfuerzo  horizontal  (esfuerzo  lateral)  producido  por  una  carga  continua  que  transmite  un  esfuerzo  uniforme se obtiene mediante la siguiente ecuación: 

 

2

∆

Ec. 1.19

Los ángulos α y β están definidos en la figura 1.13. En las ecuaciones (1.18) y (1.19) el valor de   y   debe  ser introducido en radianes.  La tabla 1.4 (a) se usa para calcular el esfuerzo vertical en un punto debido a la aplicación de una carga  continua flexible. Esta tabla muestra la variación de ∆ ⁄  con 2z/B y 2x/B.  Cuando  se  pretende  calcular  los  esfuerzos  causados  por  la  aplicación  de  una  carga  continua  flexible  inducida  por  una  distribución  de  esfuerzos  triangulares  (carga  que  varía  linealmente),  es  decir  cuando  la  presión de contacto varía linealmente a través del ancho B de 0 hasta alcanzar su valor máximo; se tienen las  siguientes ecuaciones que son deducidas de la misma manera que las ecuaciones (1.18) y (1.19). 

Figura 1.14 Incremento de esfuerzos debido a una carga que varía linealmente.  

Luego, el incremento en el esfuerzo vertical, ∆ , que se produce en el punto A, Fig. 1.14, se obtiene de la  siguiente ecuación:  ∆

∆

1 2

2

 

Ec. 1.20

El incremento de esfuerzo horizontal (esfuerzo lateral) para este caso es:  ∆

1 2

2

 

Ec. 1.21

19 

0,550  0,543  0,524  0,494  0,455  0,409  0,360  0,311  0,265  0,222  0,185  0,114  0,071  0,045  0,029  0,019  0,013  0,009  0,007  0,004 

0,462  0,458  0,445  0,426  0,400  0,370  0,337  0,302  0,268  0,235  0,205  0,141  0,095  0,065  0,044  0,031  0,022  0,016  0,012  0,007 

0,396  0,393  0,385  0,372  0,355  0,334  0,311  0,286  0,261  0,236  0,211  0,157  0,114  0,082  0,059  0,043  0,032  0,024  0,018  0,011 

0,345  0,343  0,338  0,329  0,317  0,302  0,286  0,268  0,249  0,229  0,210  0,165  0,127  0,096  0,072  0,055  0,042  0,032  0,025  0,015 

0,306  0,304  0,301  0,294  0,285  0,275  0,263  0,249  0,235  0,220  0,205  0,168  0,134  0,106  0,083  0,065  0,051  0,040  0,031  0,020 

0,274  0,273  0,270  0,266  0,259  0,251  0,242  0,232  0,221  0,209  0,197  0,167  0,138  0,113  0,091  0,073  0,059  0,047  0,038  0,025 

0,248  0,247  0,245  0,242  0,237  0,231  0,224  0,216  0,207  0,198  0,188  0,164  0,139  0,117  0,097  0,080  0,065  0,054  0,044  0,030 

0,227  0,226  0,224  0,222  0,218  0,213  0,208  0,202  0,195  0,187  0,179  0,159  0,138  0,119  0,101  0,085  0,071  0,059  0,049  0,035 

0,208  0,208  0,207  0,205  0,202  0,198  0,194  0,189  0,183  0,177  0,171  0,154  0,136  0,119  0,103  0,088  0,075  0,064  0,054  0,039 

0,179  0,179  0,178  0,177  0,175  0,173  0,170  0,166  0,163  0,159  0,154  0,142  0,130  0,117  0,104  0,092  0,080  0,070  0,061  0,046 

0,158  0,157  0,157  0,156  0,155  0,153  0,151  0,149  0,146  0,143  0,140  0,132  0,122  0,112  0,102  0,092  0,083  0,074  0,066  0,052 

0,140  0,140  0,140  0,139  0,138  0,137  0,136  0,134  0,132  0,130  0,128  0,121  0,114  0,107  0,099  0,091  0,083  0,075  0,068  0,055 

0,126  0,126  0,126  0,126  0,125  0,124  0,123  0,122  0,120  0,119  0,117  0,112  0,107  0,101  0,095  0,088  0,082  0,075  0,069  0,058 

2,00 

2,50 

3,00 

3,50 

4,00 

4,50 

5,00 

5,50 

6,00 

7,00 

8,00 

9,00 

10 

7,0 

0,593  0,585  0,563  0,526  0,479  0,425  0,368  0,311  0,258  0,212  0,172  0,101  0,060  0,036  0,023  0,015  0,010  0,007  0,005  0,003 

6,0 

0,642  0,633  0,605  0,562  0,506  0,440  0,373  0,307  0,248  0,197  0,155  0,085  0,048  0,028  0,018  0,011  0,008  0,005  0,004  0,002 

5,5 

1,80 

5,0 

1,60 

4,5 

0,696  0,685  0,653  0,602  0,534  0,455  0,374  0,298  0,232  0,177  0,135  0,069  0,037  0,021  0,013  0,008  0,005  0,004  0,003  0,001 

4,0 

0,755  0,743  0,707  0,646  0,564  0,468  0,371  0,282  0,209  0,152  0,111  0,052  0,026  0,015  0,009  0,005  0,004  0,002  0,002  0,001 

3,5 

1,40 

3,0 

1,20 

2,5 

0,818  0,805  0,766  0,696  0,598  0,480  0,360  0,256  0,177  0,122  0,084  0,036  0,017  0,009  0,005  0,003  0,002  0,001  0,001  0,001 

2,0 

0,881  0,869  0,829  0,755  0,638  0,489  0,338  0,218  0,137  0,086  0,056  0,021  0,010  0,005  0,003  0,002  0,001  0,001  0,001  0,000 

1,8 

1,00 

1,6 

0,80 

1,4 

0,937  0,928  0,896  0,825  0,691  0,495  0,298  0,163  0,088  0,050  0,030  0,010  0,004  0,002  0,001  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000 

1,2 

0,977  0,973  0,955  0,906  0,773  0,498  0,224  0,090  0,040  0,020  0,011  0,003  0,011  0,001  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000 

1,0 

0,60 

0,8 

0,40 

0,6 

0,997  0,976  0,954  0,921  0,831  0,500  0,091  0,020  0,007  0,003  0,002  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000 

0,4 

0,20 

0,2 

1,000  1,000  1,000  1,000  1,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000  0,000 

0,0 

⁄  

0 

⁄  

Tabla 1.4 (a) Variación de ∆ ⁄ , para distintos valores de 2 ⁄     2 ⁄ . 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

       

 

 

20 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  La tabla1.4 (b) presenta los valores de ∆ ⁄  para distintos valores de 2z/B y 2x/B.  Tabla 1.4 (b) Variación de Δσv/q para distintos valores de 2z/B y 2x/B (Das, 1998).  2x/B  2z/B 

0,0 

0,5 

1,0 

1,5 

2,0 

2,5 

3,0 

4,0 

5,0 

‐3,0  ‐2,0  ‐1,0  0,0  1,0  2,0  3,0  4,0  5,0 

0,0  0,0  0,0  0,0  0,50  0,50  0,0  0,0  0,0 

0,0003  0,0008  0,0041  0,0748  0,4797  0,4220  0,0152  0,0019  0,0005 

0,0018  0,0053  0,0212  0,1273  0,4092  0,3254  0,0622  0,0119  0,0035 

0,00054  0,0140  0,0447  0,1528  0,3341  0,2952  0,1010  0,0285  0,0097 

0,0107  0,0249  0,0643  0,1592  0,2749  0,2500  0,1206  0,0457  0,0182 

0,0170  0,0356  0,0777  0,1553  0,2309  0,2148  0,1268  0,0596  0,0274 

0,0235  0,0448  0,0854  0,1469  0,1979  0,1872  0,1258  0,0691  0,0358 

0,0347  0,0567  0,0894  0,1273  0,1735  0,1476  0,1154  0,0775  0,0482 

0,0422  0,0616  0,8580  0,1098  0,1241  0,1211  0,1026  0,0776  0,0546 

1.4.5 Incremento de esfuerzos debido a un área circular  uniformemente cargada  Una superficie circular uniformemente cargada que transmite esfuerzos a la masa de suelo es, por ejemplo, la  fundación circular de un tanque de almacenamiento de petróleo.  Para el caso del incremento de esfuerzo vertical debajo el centro de un área circular flexible de radio  R  uniformemente cargada con carga q, Fig. 1.15(a); la carga que se produce en un diferencial de área es:   

Figura 1.15(a) Incremento de esfuerzos debajo el centro de un área circular uniformemente cargada.  

Entonces,  haciendo  uso  de  la  ecuación  básica  propuesta  por  Boussinesq  (1883),  ecuación  (1.6),  para  carga puntual e integrando ésta sobre el área circular se tiene:  ∆

∆

3 2 1

/

1 /

Luego,  el  incremento  total  de  esfuerzo  vertical  en  el  punto  A  situado  debajo  el  centro  del  área  circular  cargada es: 

21 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

/

∆

∆

1

1

Ec. 1.22

 

1 El incremento de esfuerzo radial (horizontal) es:  ∆

∆

2

1

2 1

2

1

⁄

⁄

1

1 ⁄

Ec. 1.23

⁄

 

La tabla 1.5(a) muestra la variación ∆ ⁄  con z/R.  Tabla 1.5(a) Variación de ∆ ⁄  con z/R.  ⁄  

z/R 

∆

0,00  0,02  0,05  0,10  0,20  0,40  0,50  0,80  1,00  1,50 

1,00  0,9999  0,9998  0,9990  0,9925  0,9488  0,9106  0,7562  0,6465  0,4240 

⁄  

z/R 

∆

2,00  2,50  3,00  4,00  5,00  6,00  7,00  8,00  9,00  10,00 

0,2845  0,1996  0,1436  0,0869  0,0571  0,0403  0,0299  0,0230  0,0182  0,0148 

Sin  embargo,  si  se  desea  calcular  el  incremento  de  esfuerzos  en  cualquier  punto  situado  debajo  de  una  superficie  circular  uniformemente  cargada,  puede  utilizarse  la  tabla  dada  por  Ahlvin  y  Ulery  (1962).  Esta  tabla proporciona los valores de  A’ y B’ que una vez determinados deben ser reemplazados en la siguiente  ecuación:  ∆

∆

 

Ec. 1.22.a

Las tablas 1.5 (b) y 1.5 (c) son tablas propuestas por Ahlvin y Ulery (1962). En esta tabla los valores de A’  y B’ se encuentran en función de los valores de  z/R y r/R; donde z y r son la profundidad y la distancia del  punto al centro del área circular cargada, Fig. 1.15 (b).  

Figura 1.15 (b). Incremento de esfuerzos debajo de cualquier punto de una superficie circular uniformemente cargada.  

22 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

0,0136   

0,0100   

0,0077   

0,0077   

 

6,0 

7,0 

8,0 

9,0 

10 

 

0,0157  0,0125  0,0095  0,0071  0,0053  0,0040  0,0030  0,0018  0,0011  0,00075 

 

0,0194  0,0194   

5,0 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

0,0060   

0,0075   

0,0098   

0,0131   

 

0,0056  0,0052  0,0046  0,0041  0,0035  0,0030  0,0025  0,0018  0,001 

 

0,00096 

0,0070  0,0063  0,0055  0,0047  0,0040  0,0033  0,0027  0,0019  0,0013  0,00094 

0,0089  0,0078  0,0066  0,0055  0,0044  0,0036  0,0030  0,0019  0,0013  0,00091 

0,0047  0,0046  0,0044  0,0040  0,0035  0,0033  0,0027  0,0024   

 

 

 

 

0,0117  0,0098  0,0079  0,0063  0,0050  0,0038  0,0030  0,0019  0,0012  0,00084 

0,0298  0,0298  0,0291  0,0280  0,0283  0,0275  0,0265  0,0249  0,0219  0,0159  0,0111  0,0077  0,0054  0,0038  0,0028  0,0016  0,0009  0,00065 

4,0 

 

0,0513  0,0510  0,0502  0,0488  0,0471  0,0449  0,0424  0,0384  0,0315  0,0198  0,0122  0,0077  0,0051  0,0035  0,0024  0,0013  0,0008  0,00051 

3,0   

0,0715  0,0710  0,0695  0,0670  0,0637  0,5097  0,0555  0,0488  0,0379  0,0214  0,0122  0,0073  0,0046  0,0031  0,0021  0,0011  0,0007  0,00043 

2,5 

0,0183   

0,1056  0,1045  0,1014  0,0965  0,0901  0,0827  0,0747  0,0627  0,0449  0,0222  0,0116  0,0066  0,0040  0,0026  0,0018  0,0009  0,0006  0,00036 

2,0 

 

0,1679  0,1655  0,1588  0,1480  0,1344  0,1189  0,1030  0,0802  0,0512  0,0214  0,0101  0,0055  0,032 

0,0021  0,0014  0,0007  0,0004  0,00027 

0,2318  0,2279  0,2166  0,1989  0,1763  0,1510  0,1257  0,9019  0,0526  0,0193  0,0087  0,0046  0,0027  0,0017  0,0011   

 

 

 

1,5 

1,2 

 

 

 

 

 

 

0,2929  0,2876  0,2700  0,2470  0,2147  0,1787  0,1433  0,0982  0,0518  0,0174  0,0076  0,0039  0,0023  0,0014  0,0009  0,0005  0,0003  0,00018 

 

 

0,3310  0,3249  0,3067  0,2771  0,2383  0,1947  0,1525  0,1009   

 

 

1,0 

 

 

 

 

 

0,0 

0,9 

 

 

 

 

0,0 

 

 

 

 

0,0 

 

 

 

 

 

0,0 

 

 

 

 

 

0,0 

0,3753  0,3683  0,3173  0,3124  0,2658  0,2130  0,1621  0,1024   

 

0,0 

0,4265  0,4187  0,3949  0,3543  0,2983  0,2173  0,1712  0,1023  0,0456   

 

 

0,0 

0,8 

 

0,0 

0,7 

0,0 

 

0,0 

 

0,0 

0,4855  0,4769  0,4508  0,4043  0,3368  0,2559  0,1795  0,1001   

0,0 

0,5528  0,5440  0,5162  0,4645  0,3839  0,2815  0,1855  0,0950  0,0370  0,0101  0,0041  0,0021  0,0012  0,0007  0,0005  0,0002  0,0001  0,00009 

0,5 

0,6 

1,0 

0,5 

1,0 

 

1,0 

0,6286  0,6201  0,5924  0,5377  0,4433  0,3105  0,1871  0,0860  0,0312   

14 

0,4 

12 

 

10 

 

8,0 

 

7,0 

0,7126  0,7052  0,6832  0,6269  0,5208  0,3437  0,1796  0,0720  0,0244  0,0062  0,0025   

6,0 

0,8039  0,7982  0,7789  0,7384  0,6301  0,3827  0,1543  0,0525  0,0168  0,0042  0,0017  0,0008  0,0005  0,0003  0,0002   

5,0 

0,3 

4,0 

0,2 

3,0   

2,0   

1,5 

1,0 

1,2 

0,9005  0,8975  0,8868  0,8613  0,7880  0,4301  0,0964  0,0279  0,0086  0,0021  0,0008  0,0004   

1,0 

1,0 

0,8 

0,1 

0,6 

0 

0,4 

0,2 

⁄  

0,0 

⁄  

Tabla 1.5 (b) Variación de   con  ⁄     ⁄  (Das, 1988). 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

 

 

23 

 

0,3696  0,3627  0,3373  0,2930  0,2289  0,1540  0,0851  0,0179   

0,3535  0,3455  0,3207  0,2782  0,2198  0,1535  0,0921  0,0281  ‐0,0100  ‐0,0111  ‐0,0061  ‐0,0034  ‐0,0021  ‐0,0013  ‐0,0009  ‐0,0005  ‐0,0003  ‐0,00018 

1,0 

 

 

 

0,0152   

0,0121   

 

8,0 

9,0 

10 

 

 

0,0198   

7,0 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

0,0117   

0,0146   

0,0187   

0,0247   

 

 

 

 

 

0,0088  0,0076  0,0063  0,0050  0,0038  0,0028  0,0020   

 

 

0,0105  0,0088  0,0070  0,0053  0,0038  0,0026  0,0017  0,0006  0,0001  ‐0,00012 

0,0128  0,0103  0,0078  0,0055  0,0037  0,0023  0,0014  0,0003  ‐0,0001  ‐0,00025 

0,0157  0,0120  0,0084  0,0054  0,0033  0,0018  0,0009  ‐0,0002  ‐0,0003  ‐0,00037 

0,0197  0,0138  0,0087  0,0050  0,0025  0,0011  0,0002  ‐0,0003  ‐0,0004  ‐0,00045 

 

 

0,0266   

6,0   

0,0247  0,0152  0,0081  0,0037  0,0013  0,0013  ‐0,0004  ‐0,0007  ‐0,0006  ‐0,00049 

 

0,0377  0,0376   

5,0 

 

0,0571  0,0566  0,0556  0,0538  0,0514  0,0477  0,0453  0,0399  0,0366  0,0151  0,0060  0,0015  ‐0,0003  ‐0,0009  ‐0,0011  ‐0,0009  ‐0,0007  ‐0,00050 

4,0  0,0338   

0,0949  0,0939  0,0910  0,0863  0,0803  0,0732  0,0655  0,0535  0,0351  0,0111  0,0015  ‐0,0013  ‐0,0019  ‐0,0018  ‐0,0015  ‐0,0009  ‐0,0006  ‐0,00046 

3,0 

 

 

0,1281  0,1263  0,1212  0,1133  0,1030  0,0913  0,0787  0,0602  0,0343  0,0066  ‐0,0013  ‐0,0027  ‐0,0025  ‐0,0020  ‐0,0015  ‐0,0009  ‐0,0006  ‐0,00030 

2,5 

 

 

0,1789  0,1814  0,1661  0,1520  0,1337  0,1133  0,0925  0,0637  0,0284  0,0003  ‐0,0041  ‐0,0037  ‐0,0028  ‐0,0020  ‐0,0015  ‐0,0008  ‐0,0005  ‐0,00033 

 

 

2,0 

 

 

 

0,2560  0,2502  0,2334  0,2070  0,1737  0,1373  0,1019  0,0574  0,0138  ‐0,0067  ‐0,0060  ‐0,0040  ‐0,0026  ‐0,0018  ‐0,0012  ‐0,0007  ‐0,0004  ‐0,00026 

 

 

 

0,3148  0,3073  0,2848  0,2484  0,2011  0,1491  0,1000  0,0438  0,0002  ‐0,0099  ‐0,0063  ‐0,0038  ‐0,0023  ‐0,0015  ‐0,0011   

 

 

 

1,5 

 

 

 

 

1,2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0 

0,9 

 

 

 

 

 

 

 

0,0 

 

 

 

 

 

0,0 

 

 

 

 

 

0,0 

 

 

 

 

 

0,0 

0,3809  0,3741  0,3513  0,3070  0,2377  0,1529  0,0753  0,0061   

 

0,0 

0,3849  0,3796  0,3607  0,3193  0,2464  0,1498  0,0620  ‐0,0070  ‐0,0233   

 

 

0,0 

0,8 

 

0,0 

0,7 

0,0 

 

0,0 

‐0,0453  ‐0,0252   

0,0 

‐0,00009 

0,0 

 

0,0 

 

0,0 

0,3783  0,3753  0,3631  0,3282  0,2541  0,1444  0,0446  ‐0,0210   

0,0 

0,0358  0,3575  0,3532  0,3311  0,2623  0,1360  0,0216  ‐0,0345  ‐0,0265  ‐0,0099  ‐0,0039  ‐0,0020  ‐0,0011  ‐0,0007  ‐0,0005  ‐0,0002  ‐0,001 

0,0 

0,6 

14 

0,5 

12 

 

10 

0,0320  0,3236  0,3275  0,3227  0,2692  0,1240  ‐0,076 

8,0 

0,4 

7,0 

 

6,0 

‐0,0002  ‐0,0001  ‐0,0001   

5,0 

0,0264  0,2668  0,2802  0,2948  0,2753  0,1076  ‐0,0431  ‐0,0500  ‐0,0217  ‐0,0060  ‐0,0024   

4,0 

0,1886  0,1931  0,2077  0,2352  0,2598  0,0851  ‐0,0776  ‐0,0445  0,0159  ‐0,0041  ‐0,0017  ‐0,008 

3,0 

0,3 

2,0 

0,2 

1,5 

0,0 

1,2 

0,0985  0,1014  0,1114  0,1342  0,1879  0,0539  ‐0,0790  ‐0,0267  ‐0,0084  ‐0,0021  ‐0,0008  ‐0,0004   

1,0 

0,0 

0,8 

0,1 

0,6 

0 

0,4 

0,2 

⁄  

0,0 

⁄  

Tabla 1.5 (c) Variación de  , con  ⁄     ⁄ . 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

24 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

1.4.6 Incremento de esfuerzos debido a un área rectangular  uniformemente cargada  Este  es  el  caso  que  se  presenta  más  a  menudo  cuando  se  calcula  incremento  de  esfuerzos,  debido  a  que  la  mayoría de las fundaciones tienen forma rectangular o una forma muy parecida a ésta.  La  solución  de  Boussinesq  (1883)  es  también  utilizada  para  este  caso,  en  el  que  se  considera  un  área  flexible  rectangular  de  ancho  B  y  de  largo  L  en  la  que  la  carga  q  es  uniformemente  distribuida  por  área  unitaria.  Para determinar el incremento de esfuerzos ∆  en el punto A situado a una profundidad z debajo de la  esquina  del  área  rectangular,  se  considera  una  pequeña  área  elemental  del  rectángulo  dxdy,  Fig.  1.16.  La  carga sobre esta área diferencial es:   

 

Figura 1.16 Incremento de esfuerzos debido a un área rectangular uniformemente cargada.  

El  incremento  de  esfuerzos  en  el  punto  A  causado  por  dq  se  determina  mediante  el  uso  de  la  ecuación  (1.6), entonces se tiene:  3 2

/

                                                                             

El  incremento  total  de  esfuerzo  vertical  se  obtiene  integrando  la  ecuación  anterior  sobre  el  área  rectangular uniformemente cargada:  ∆

∆

3

dσ

 ∆

∆

 

2

0

                                                                                                                                                          (Ec. 1.24) 

Donde, el factor de influencia,  , según Newmark (1935), es:  1 4

2

√

1 1

2 1

2

√

1 1

 

Ec. 1.25

Para: 

25 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

   ;  

 

    1

Cuando  1 4

 

2

 

√

, el argumento de  1 1

 es negativo. En ese caso. 

2 1

2

√

Nota:  Se  debe  de  aclarar  que  las  unidades  del  término  en  paréntesis  son  radianes 

1                  1

Ec. 1.25.a

· ,  por  tanto  ,  una  vez  que  se  ha 

realizado la verificación y la respectiva suma de   en caso de ser necesario, se debe transformar el valor obtenido del paréntesis a  grados sexagesimales y luego proceder recién a calcular 

. 

El valor del factor influencia   se haya tabulado en función de los valores de m y n. La tabla 1.6 presenta  la variación de   con m y n.   Por  otro  lado,  el  valor  de    puede  también  ser  obtenido  a  través  de  la  gráfica  realizada  por  Fadum  (1948), quien graficó un conjunto de curvas que muestran la variación de   con m y n, Fig. 1.17 (a). 

Figura 1.17(a) Ábaco de Fadum (1948). 

26 

1,8 

2,0 

3,0 

4,0 

5,0 

6,0 

0,1561  0,1562 

0,1652  0,1672  0,1686  0,1704  0,1717  0,1719  0,1719 

0,0931  0,1104  0,1247  0,1365  0,1461  0,1537  0,1598  0,1684  0,1739  0,1774  0,1797  0,1812  0,1832  0,1847  0,1849  0,185 

0,162 

0,2323  0,2325 

0,0301  0,0589  0,0856  0,1094  0,13 

0,0306  0,0599  0,0871  0,1114  0,1324  0,1503  0,1652  0,1774  0,1874  0,1955  0,2073  0,2151  0,2203  0,2237  0,2261  0,2294  0,232 

1,2 

1,4 

1,6 

0,0316  0,0602  0,0901  0,1154  0,1374  0,1561  0,1719  0,1849  0,1956  0,2044  0,2175  0,2263  0,2324  0,2366  0,2395  0,2439  0,2479  0,2486  0,2489  0,1957  0,2045  0,2176  0,2264  0,2325  0,2367  0,2397  0,2441  0,2482  0,2489  0,2492 

0,0316  0,0619  0,0901  0,1153  0,1372  0,156 

4,0 

5,0 

6,0 

0,0316  0,062 

0,2455  0,2461  0,2463 

0,0315  0,0618  0,0898  0,115 

3,0 

0,0902  0,1154  0,1374  0,1562  0,1719  0,185 

0,1717  0,1847  0,1954  0,2042  0,2172  0,226 

0,1368  0,1555  0,1711  0,1841  0,1947  0,2034  0,2163  0,225 

0,232 

0,2378  0,242 

0,2362  0,2391  0,2434  0,2472  0,2479  0,2481 

0,2309  0,235 

0,1533  0,1686  0,1812  0,1915  0,1999  0,2124  0,2206  0,2261  0,2299  0,2325  0,2364  0,2391  0,2395  0,2397 

0,0314  0,0616  0,0895  0,1145  0,1363  0,1548  0,1704  0,1832  0,1938  0,2024  0,2151  0,2236  0,2294  0,2333  0,2361  0,2401  0,2434  0,2439  0,2441 

2,5 

0,0887  0,1134  0,135 

0,0311  0,061 

2,0 

0,1521  0,1672  0,1707  0,1899  0,1981  0,2103  0,2183  0,2237  0,2274  0,2299  0,2333  0,2362  0,2366  0,2367 

0,0309  0,0606  0,088 

1,8 

0,1126  0,124 

0,2263  0,2264 

0,1739  0,1836  0,1914  0,2028  0,2102  0,2151  0,2184  0,2206  0,2236  0,226 

0,0293  0,0573  0,0832  0,1063  0,1263  0,1431  0,157 

1,0  0,1475  0,162 

0,0279  0,0547  0,0794  0,1013  0,1202  0,1361  0,1491  0,1598  0,1684  0,1752  0,1851  0,1914  0,1955  0,1981  0,1999  0,2024  0,2042  0,2044  0,2045  0,1684  0,1777  0,1851  0,1958  0,2028  0,2073  0,2103  0,2124  0,2152  0,2172  0,2175  0,2176 

0,027 

0,0528  0,0766  0,0977  0,1158  0,1311  0,1436  0,1537  0,1619  0,1684  0,1777  0,1836  0,1874  0,1899  0,1915  0,1938  0,1954  0,1956  0,1957 

0,0258  0,0504  0,073 

0,0242  0,0474  0,0686  0,0873  0,1034  0,1169  0,1277  0,1365  0,1436  0,1491  0,157 

0,135 

0,9 

0,8 

0,7 

0,1324  0,134 

0,0856  0,0871  0,088 

0,0947  0,1034  0,1104  0,1158  0,1202  0,1263  0,13 

0,0474  0,0559  0,0629  0,0786  0,0731  0,0766  0,0794  0,832 

0,0222  0,0435  0,0629  0,0801  0,0947  0,1069  0,1168  0,1247  0,1314  0,1361  0,1431  0,1475  0,1503  0,1521  0,1533  0,1548  0,156 

1,6 

0,6 

1,4 

0,1363  0,1372  0,1374  0,1374 

1,2 

0,0,198  0,0387  0,0559  0,0711  0,084 

1,0 

0,5 

0,9 

0,0887  0,0895  0,0904  0,0901  0,0902 

0,8 

0,0168  0,0328  0,0474  0,0602  0,0711  0,0801  0,0873  0,0931  0,0977  0,1013  0,01063 0,1094  0,1114  0,1126  0,1134  0,1145  0,1153  0,1154  0,1154 

0,7 

0,0132  0,0259  0,374 

0,6 

0,4 

0,5 

0,3 

0,4 

0,0092  0,0179  0,0259  0,0328  0,0387  0,0435  0,0473  0,0504  0,0528  0,0547  0,0573  0,0589  0,0599  0,0606  0,0610  0,0618  0,0619  0,0620  0,0620 

0,3 

0,0047  0,0092  0,0132  0,0168  0,0198  0,0222  0,0242  0,0258  0,0270  0,0279  0,0293  0,0301  0,0306  0,0309  0,0311  0,0315  0,0316  0,0316  0,0316 

0,2 

0,2 

0,1 

 

0,1 

 

Tabla 1.6 Variación de   con       . 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

 

27 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

El ábaco de Fadum (1948) es utilizado para la determinación del valor del factor de influencia  , con el  objeto de determinar el incremento de esfuerzos debajo de una de las esquinas de una superficie rectangular  cargada.  En  caso  de  que  se  quiera  determinar  el  incremento  de  esfuerzos  en  un  punto  situado  debajo  el  centro  de  un  área  rectangular  cargada,  el  valor  del  factor  de  influencia    debe  ser  obtenido  a  partir  de  la  figura 1.17 (b). Esta figura proporciona también el valor de   para fundaciones circulares y cuadradas.  Cuando el objetivo consiste en determinar el incremento de esfuerzos en un punto cualquiera situado a una  cierta  profundidad  debajo  de  la  superficie  cargada  (no  necesariamente  debajo  el  centro  o  una  de  las  esquinas), tal como el punto P del caso (a) de la figura 1.17 (c); el incremento de esfuerzos calculado será el  causado  por  la  acción  de  la  carga  del  área  ABDC  sobre  el  punto  P.  Este  incremento  es  la  suma  de  los  incrementos producidos por las cargas de los rectángulos AJPM, BKPJ, DLPK, CMPL, que deben ser calculados  separadamente en el punto P que es la esquina común de los cuatro rectángulos.  Por  otro  lado  si  el  objetivo  es  determinar  el  incremento  de  esfuerzos  en  un  punto  externo,  tal  como  el  punto P del caso (b) de la figura 1.17 (c), se debe considerar la acción de la carga sobre el punto P causada  por el rectángulo PKDM, restándose los incrementos producidos por la carga de los rectángulos PKBL y PJCM  y sumando el incremento producido por el área cargada PJAL, debido a que este área fue restada dos veces en  el cálculo de los incrementos realizado a partir de las áreas de los rectángulos anteriores. 

Figura 1.17 (b). Determinación del incremento de esfuerzo vertical debajo de una superficie rectangular flexible  uniformemente cargada (Janbu, Bjerrum y Kjaernsli, 1956). 

Figura 1.17 (c). Incremento de esfuerzos en un área rectangular. (a) En un punto dentro el área. (b) En un punto fuera  del área. 

28 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Finalmente, para saber el valor del incremento de los esfuerzos horizontales ∆    ∆

 que se producen 

en el punto A, Fig. 1.16, se tienen las siguientes ecuaciones:  ∆

∆

2

2

   

Ec. 1.26

   

Ec. 1.27

Donde:  / /

    /

 

1.4.7 Incremento de esfuerzo vertical debido a un área  uniformemente cargada de cualquier forma  Newmark  (1942)  desarrolló  una  carta  de  influencia  (gráfica)  para  determinar  el  incremento  de  esfuerzo  vertical en cualquier punto situado debajo de un área flexible de cualquier forma uniformemente cargada. La  gráfica observada en la figura 1.18 está compuesta de círculos concéntricos divididos por líneas radiales. Esta  fue dibujada a partir de la ecuación (1.22) que fue rescrita de la siguiente forma:  1

∆

/

1 

Ec. 1.28

En  la  ecuación  (1.28),  R/z  y  ∆ ⁄   son  cantidades  adimensionales.  La  tabla  1.7  muestra  valores  de  R/z  para varios valores de ∆ ⁄  en base a la ecuación (1.28).  Tabla 1.7 Valores de R/z para varias razones de carga ∆ ⁄ .  ∆

⁄ . 

0,00  0,05  0,10  0,15  0,20  0,25  0,30 

⁄  

R/z 

∆

0,00  0,1865  0,2698  0,3383  0,4005  0,4598  0,5181 

0,35  0,40  0,45  0,50  0,55  0,60  0,65 

⁄  

R/z 

∆

0,5768  0,6370  0,6997  0,7664  0,8384  0,9176  1,0067 

0,70  0,75  0,80  0,85  0,90  0,95  1,00 

R/z  1,1097  1,2328  1,3871  1,5943  1,9084  2,5232  ∞ 

Luego,  los  radios  de  los  círculos  de  la  gráfica  de  la  figura  1.18  son  iguales  a  valores  de  R/z  correspondientes a ∆ ⁄

 0; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2;……..; 1. Pero, cuando ∆ ⁄

1, R/z=∞, razón por la cual 

se muestran solamente nueve círculos. La longitud unitaria para dibujar los círculos es 

. 

Los círculos están divididos por varias líneas radiales igualmente espaciadas. El valor de influencia de la  carta  está  dado  por  1/N,  donde  N  es  igual  al  número  de  elementos  de  la  carta.  En  la  figura  1.18  hay  200  elementos, por consiguiente el valor de influencia es de 0,005.  El procedimiento para determinar el incremento de esfuerzo vertical en cualquier punto debajo un área  cargada es el siguiente: 

29 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

  1.

 

 

Determinar  la  profundidad  z  debajo  del  área  uniformemente  cargada  en  la  que  se  requiere  el  incremento de esfuerzo.  . 

2.

Dibujar la planta del área cargada con una escala de z igual a la longitud unitaria de la carta 

3.

Colocar la planta dibujada sobre la carta de influencia de manera que el punto en el cual el esfuerzo  será determinado este localizado en el centro de la carta. 

4.

Contar el número de elementos M de la carta encerrados por el área cargada. 

Luego, el incremento de esfuerzo vertical en el punto deseado está dado por: 

 

∆

Ec. 1.29

Donde:   Valor de influencia.   Presión sobre el área cargada.   Número de elementos de la carta encerrados por el área cargada. 

Figura 1.18 Carta de influencia de Newmark para hallar el incremento de esfuerzos a una cierta profundidad.  

1.4.8  Casos  especiales  de  carga  para  la  solución  de  Boussinesq  (1883)  Muchos casos  especiales de superficies cargadas pueden ser resueltos mediante integración de la ecuación  de Boussinesq (1883) sobre el área cargada. En este apartado se presentan dos casos de superficies cargadas 

30 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  con  distribución  de  esfuerzos  triangulares.  En  el  caso  (a)  mostrado  en  la  figura  1.19  se  presenta  una  distribución de esfuerzos triangulares verticales que aumenta desde 0 hasta su valor máximo q; mientras que  para el caso (b) de la misma figura, se tiene una distribución de esfuerzos triangulares verticales y laterales a  la vez que aumenta verticalmente desde 0 hasta su valor máximo q’ y aumenta lateralmente desde q’ hasta su 

valor máximo q.   (a) Variación de carga lineal en una dirección   intensidad = q     

   

 (b) Variación de carga lineal en dos dirección.     intensidad = q; q’ = q/2 

Figura 1.19 Casos especiales de carga para la solución de Boussinesq (1883). B y L siempre se orientan como se muestra.  B puede ser mayor o menor a L. 

Las  ecuaciones  para  determinar  el  incremento  de  esfuerzo  vertical  debajo  de  una  esquina  (punto  A)  y  debajo de la esquina en la que se presenta la intensidad de carga máxima (punto C) del área cargada fueron  desarrolladas por Vitone y Valsangkar (1986) a partir de una integración cuidadosa de la ecuación (1.6) y se  presentan a continuación:  Para el caso (a), de la figura 1.19, el incremento de esfuerzos:  En el punto A es:  ∆

∆

 

2

Ec. 1.30

En el punto C es:  ∆

∆

2

/

Ec. 1.31

Para el caso (b) de la figura 1.19, el incremento de esfuerzos:  En el punto A es:  ,

∆

∆

4

Ec. 1.32

31 

  0,2  0,0636  0,0795  0,0733  0,0635  0,0547  0,0475  0,0418  0,0372  0,0335  0,0304  0,0206  0,0155  0,0125  0,0104  0,0089 

0,1 

0,0796 

0,0637 

0,0477 

0,0374 

0,0306 

0,0258 

0,0223 

0,0196 

0,0174 

0,0157 

0,0105 

0,0079 

0,0063 

0,0053 

0,0045 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0,9 

1,0 

1,5 

2,0 

2,5 

3,0 

3,5 

⁄  

0,0130 

0,0168 

0,0196 

0,0234 

0,0290 

0,0202 

0,0235 

0,0280 

0,0346 

0,0446 

0,0606 

0,0232 

0,0269 

0,0320 

0,0392 

0,0500 

0,0654 

0,0688 

0,0720 

0,0745 

0,0758 

0,0749 

0,0707 

0,0615 

0,0462 

0,0250 

0,6 

0,0257 

0,0298 

0,0353 

0,0430 

0,0540 

0,0681 

0,0706 

0,0727 

0,0738 

0,0734 

0,0707 

0,0647 

0,0546 

0,0400 

0,0212 

0,7 

0,0279 

0,0323 

0,0381 

0,0460 

0,0568 

0,0688 

0,0706 

0,0716 

0,0714 

0,0697 

0,0656 

0,0588 

0,0431 

0,0348 

0,0183 

0,8 

0,0297 

0,0343 

0,0403 

0,0482 

0,0584 

0,0682 

0,0691 

0,0692 

0,0680 

0,0653 

0,0604 

0,0531 

0,0385 

0,0306 

0,0159 

0,9 

0,0312 

0,0359 

0,0420 

0,0498 

0,0592 

0,0666 

0,0668 

0,0660 

0,0641 

0,0606 

0,0553 

0,0480 

0,0227 

0,0270 

0,0139 

1,0 

0,0351 

0,0396 

0,0448 

0,0503 

0,0544 

0,0523 

0,0503 

0,0477 

0,0444 

0,0402 

0,0352 

0,0293 

0,0146 

0,0155 

0,0079 

1,5 

2,5 

0,0353 

0,0387 

0,0421 

0,0447 

0,0445 

0,0384 

0,0361 

0,0335 

0,0305 

0,0270 

0,0232 

0,0190 

0,0100 

0,0098 

0,0335 

0,0358 

0,0375 

0,0377 

0,0352 

0,0284 

0,0263 

0,0241 

0,0216 

0,0190 

0,0161 

0,0131 

0,0072 

0,0067 

0,00050  0,0034 

2,0 

0,0309 

0,0321 

0,0324 

0,0313 

0,0279 

0,0214 

0,0197 

0,0179 

0,0160 

0,0139 

0,0118 

0,0095 

0,0072 

0,0048 

0,0024 

3,0 

0,0280 

0,0283 

0,0278 

0,0260 

0,0223 

0,0166 

0,0152 

0,0137 

0,0122 

0,0106 

0,0089 

0,0072 

0,0054 

0,0036 

0,0018 

3,5 

 

0,0152 

0,0182 

0,0379 

0,0531 

0,0646 

0,0686 

0,0726 

0,0758 

0,0774 

0,0758 

0,0688 

0,0539 

0,0301 

0,5 

 

0,0226 

0,0298 

0,0574 

0,0620 

0,0670 

0,0720 

0,0764 

0,0785 

0,0756 

0,0631 

0,0372 

0,4 

 

0,0430 

0,0470 

0,0516 

0,0569 

0,0630 

0,0696 

0,0759 

0,0792 

0,0732 

0,0476 

0,3 

⁄  

Tabla  1.8 (a). Variación de ∆ ⁄  con  ⁄     ⁄   para el punto   a partir de la ecuación de Vitone y Valsangkar (1986), Fig. 1.20 (a). 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

32 

  0,2  1,4465  1,2224  1,0169  0,8570  0,7356  0,6424  0,5693  0,5209  0,4633  0,4239  0,2992  0,2336  0,1935  0,1665  0,1471 

0,1 

2,4850 

1,7480 

1,3121 

1,0429 

0,8631 

0,7355 

0,6405 

0,5672 

0,5090 

0,4617 

0,3163 

0,2420 

0,1970 

0,1669 

0,1453 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0,9 

1,0 

1,5 

2,0 

2,5 

3,0 

3,5 

⁄  

0,1479 

0,1652 

0,1892 

0,2246 

0,2819 

0,3873 

0,4195 

0,4575 

0,5029 

0,5575 

0,6235 

0,7028 

0,7956 

0,8957 

0,9816 

0,3 

0,1473 

0,1626 

0,1838 

0,2149 

0,2644 

0,3524 

0,3782 

0,4081 

0,4426 

0,4826 

0,5285 

0,5798 

0,6344 

0,6865 

0,7255 

0,4 

0,1454 

0,1589 

0,1775 

0,2046 

0,2470 

0,3195 

0,3399 

0,3630 

0,3890 

0,4179 

0,4495 

0,4828 

0,5158 

0,5446 

0,5641 

0,5 

0,1422 

0,1540 

0,1703 

0,1937 

0,2298 

0,2889 

0,3049 

0,3226 

0,3418 

0,3626 

0,3844 

0,4062 

0,4265 

0,4430 

0,4532 

0,6 

0,1379 

0,1483 

0,1624 

0,1826 

0,2131 

0,2609 

0,2733 

0,2866 

0,3009 

0,3157 

0,3307 

0,3450 

0,3577 

0,3674 

0,3727 

0,7 

0,1330 

0,1420 

0,1542 

0,1716 

0,1971 

0,2355 

0,2450 

0,2550 

0,2654 

0,2760 

0,2863 

0,2957 

0,3037 

0,3093 

0,3118 

0,8 

⁄  

0,1274 

0,1353 

0,1459 

0,1607 

0,1820 

0,2125 

0,2198 

0,2273 

0,2348 

0,2423 

0,2493 

0,2556 

0,2605 

0,2636 

0,2645 

0,9 

0,1217 

0,1285 

0,1376 

0,1502 

0,1678 

0,1920 

0,1974 

0,2030 

0,2085 

0,2137 

0,2185 

0,2225 

0,2254 

0,2270 

0,2270 

1,0 

0,0934 

0,0966 

0,1007 

0,1059 

0,1121 

0,1186 

0,1197 

0,1206 

0,1214 

0,1220 

0,1222 

0,1222 

0,1217 

0,1208 

0,1195 

1,5 

0,0711 

0,0724 

0,0739 

0,0755 

0,0770 

0,0777 

0,0776 

0,0774 

0,0772 

0,0768 

0,0762 

0,0755 

0,0747 

0,0737 

0,0725 

2,0 

0,0549 

0,0552 

0,0554 

0,0554 

0,0551 

0,0539 

0,0535 

0,0531 

0,0526 

0,0521 

0,0515 

0,0508 

0,0500 

0,0492 

0,0483 

2,5 

Tabla  1.8 (b). Variación de ∆ ⁄  con  ⁄     ⁄   para el punto   a partir de la ecuación de Vitone y Valsangkar (1986), fFg. 1.20 (a). 

0,0432 

0,0430 

0,0425 

0,0419 

0,0409 

0,0393 

0,0388 

0,0384 

0,0379 

0,0374 

0,0369 

0,0363 

0,0357 

0,0350 

0,0343 

3,0 

0,0347 

0,0342 

0,0335 

0,0325 

0,0313 

0,0297 

0,0293 

0,0289 

0,0285 

0,0281 

0,0276 

0,0271 

0,0266 

0,0261 

0,0256 

3,5 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

 

 

33 

  0,2  0,0389  0,0509  0,0497  0,0458  0,0419  0,0386  0,0359  0,0337  0,0319  0,0304  0,0256  0,0231  0,0215  0,0205  0,0198 

0,1 

0,0454 

0,0389 

0,0314 

0,0264 

0,0231 

0,0207 

0,0190 

0,0176 

0,0166 

0,0157 

0,0131 

0,0188 

0,0110 

0,0105 

0,0101 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0,9 

1,0 

1,5 

2,0 

2,5 

3,0 

3,5 

⁄  

0,0284 

0,0358 

0,0372 

0,0391 

0,0419 

0,0419 

0,0435 

0,0458 

0,0489 

0,0537 

0,0606 

0,0467 

0,0485 

0,0510 

0,0544 

0,0593 

0,0654 

0,0664 

0,0670 

0,0670 

0,0659 

0,0631 

0,0577 

0,0489 

0,0361 

0,0193 

0,6 

0,0502 

0,0522 

0,0549 

0,0585 

0,0633 

0,0681 

0,0684 

0,0682 

0,0672 

0,0649 

0,0608 

0,0543 

0,0449 

0,0323 

0,0170 

0,7 

0,0527 

0,0548 

0,0576 

0,0612 

0,0657 

0,0688 

0,0686 

0,0676 

0,0657 

0,0625 

0,0575 

0,0504 

0,0409 

0,0290 

0,0151 

0,8 

0,0543 

0,0565 

0,0593 

0,0628 

0,0668 

0,0682 

0,0674 

0,0658 

0,0632 

0,0593 

0,0538 

0,0465 

0,0372 

0,0261 

0,0135 

0,9 

0,0552 

0,0575 

0,0602 

0,0636 

0,0669 

0,0666 

0,0653 

0,0631 

0,0600 

0,0557 

0,0500 

0,0427 

0,0338 

0,0235 

0,0121 

1,0 

0,0538 

0,0557 

0,0577 

0,0592 

0,0587 

0,0523 

0,0497 

0,0465 

0,0427 

0,0383 

0,0332 

0,0275 

0,0212 

0,0144 

0,0073 

1,5 

0,0485 

0,0497 

0,0504 

0,0500 

0,0468 

0,0384 

0,0358 

0,0330 

0,0298 

0,0262 

0,0224 

0,0183 

0,0140 

0,0094 

0,0047 

2,0 

0,0427 

0,0431 

0,0427 

0,0409 

0,0365 

0,0284 

0,0262 

0,0238 

0,0213 

0,0186 

0,0158 

0,0128 

0,0097 

0,0065 

0,0033 

2,5 

0,0373 

0,0370 

0,0358 

0,0332 

0,0286 

0,0214 

0,0197 

0,0178 

0,0158 

0,0137 

0,0116 

0,0094 

0,0071 

0,0047 

0,0024 

3,0 

0,0325 

0,0316 

0,0300 

0,0272 

0,0228 

0,0166 

0,0152 

0,0137 

0,0121 

0,0105 

0,0088 

0,0071 

0,0054 

0,0036 

0,0018 

3,5 

 

0,0295 

0,0310 

0,0461 

0,0531 

0,0621 

0,0634 

0,0644 

0,0647 

0,0636 

0,0601 

0,0528 

0,0403 

0,0221 

0,5 

 

0,0332 

0,0367 

0,0550 

0,0569 

0,0588 

0,0604 

0,0612 

0,0602 

0,0557 

0,0450 

0,0259 

0,4 

 

0,0430 

0,0448 

0,0469 

0,0493 

0,0519 

0,0544 

0,0563 

0,0559 

0,0495 

0,0312 

0,3 

⁄  

Tabla  1.8 (c). Variación de ∆ ⁄  con  ⁄     ⁄   para el punto   a partir de la ecuación de Vitone y Valsangkar (1986), Fig. 1.20 (b). 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

34 

  0,2  0,0985  0,1535  0,1799  0,1938  0,2021  0,2075  0,2114  0,2142  0,2165  0,2182  0,2235  0,2261  0,2276  0,2287  0,2294 

0,1 

0,1592 

0,2009 

0,2151 

0,2220 

0,2261 

0,2288 

0,2307 

0,2321 

0,2332 

0,2341 

0,2367 

0,2381 

0,2388 

0,2394 

0,2398 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0,9 

1,0 

1,5 

2,0 

2,5 

3,0 

3,5 

⁄  

0,2190 

0,2179 

0,2164 

0,2141 

0,2102 

0,2025 

0,1998 

0,1966 

0,1923 

0,1866 

0,1785 

0,1666 

0,1478 

0,1170 

0,0675 

0,3 

0,2084 

0,2070 

0,2050 

0,2021 

0,1971 

0,1870 

0,1836 

0,1793 

0,1738 

0,1664 

0,1564 

0,1421 

0,1214 

0,0913 

0,0500 

0,4 

0,1979 

0,1962 

0,1938 

0,1902 

0,1841 

0,1719 

0,1678 

0,1627 

0,1561 

0,1477 

0,1364 

0,1211 

0,1005 

0,0731 

0,0389 

0,5 

0,1874 

0,1854 

0,1827 

0,1785 

0,1716 

0,1575 

0,1528 

0,1470 

0,1398 

0,1306 

0,1188 

0,1035 

0,0841 

0,0598 

0,0313 

0,6 

0,1771 

0,1749 

0,1719 

0,1672 

0,1594 

0,1438 

0,1387 

0,1325 

0,1249 

0,1154 

0,1036 

0,0890 

0,0711 

0,0499 

0,0258 

0,7 

0,1672 

0,1648 

0,1615 

0,1564 

0,1479 

0,1311 

0,1257 

0,1193 

0,1115 

0,1021 

0,0906 

0,0769 

0,0607 

0,0422 

0,0216 

0,8 

⁄  

0,1577 

0,1551 

0,1515 

0,1461 

0,1370 

0,1194 

0,1139 

0,1073 

0,0996 

0,0904 

0,0796 

0,0669 

0,0524 

0,0361 

0,0184 

0,9 

0,1487 

0,1459 

0,1421 

0,1364 

0,1268 

0,1086 

0,1031 

0,0967 

0,0891 

0,0803 

0,0702 

0,0586 

0,0455 

0,0312 

0,0159 

1,0 

0,1113 

0,1080 

0,1035 

0,0969 

0,0863 

0,0688 

0,0640 

0,0588 

0,0531 

0,0468 

0,0400 

0,0327 

0,0249 

0,0168 

0,0085 

1,5 

0,0851 

0,0817 

0,0769 

0,0702 

0,0603 

0,0456 

0,0420 

0,0381 

0,0340 

0,0297 

0,0251 

0,0204 

0,0154 

0,0104 

0,0052 

2,0 

0,0667 

0,0632 

0,0586 

0,0523 

0,0436 

0,0319 

0,0292 

0,0263 

0,0233 

0,0202 

0,0170 

0,0137 

0,0104 

0,0069 

0,0035 

2,5 

Tabla 1.8 (d). Variación de ∆ ⁄  con  ⁄     ⁄   para el punto   a partir de la ecuación de Vitone y Valsangkar (1986), Fig. 1.20 (b). 

0,0534 

0,0500 

0,0457 

0,0400 

0,0326 

0,0233 

0,0212 

0,0191 

0,0168 

0,0146 

0,0122 

0,0098 

0,0074 

0,0050 

0,0025 

3,0 

0,0436 

0,0404 

0,0364 

0,0313 

0,0251 

0,0177 

0,0161 

0,0144 

0,0127 

0,0109 

0,0092 

0,0074 

0,0055 

0,0037 

0,0019 

3,5 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

 

 

 

35 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

En el punto C es:  ,

∆

∆

2

4

/

Ec. 1.33

Donde: 

      Las  tablas  1.8  (a)  a  1.8  (d)  presentan  la  variación  de  ∆ ⁄     ∆ ⁄   respectivamente,  para  distintos  valores de z/L y B/L. 

Ejemplo 1.2  En la figura 1.20 se muestra el terreno donde se construyeron diferentes obras civiles. 

Figura. 1.20 Vista en planta de diferentes obras civiles.  

36 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Se pide determinar:  1) El incremento de esfuerzo en el centro y borde de cada una de las obras civiles a una profundidad de  6m.  2) La grafica de variación de incremento de esfuerzo vs profundidad en centro de losa circular.  3) El incremento de esfuerzo de la losa rectangular tomando en cuenta la influencia de la losa circular,  a una profundidad de 6m.  Solución: 

Refiérase a la figura 1.20.  

Paso  1.  Determinación  de  la 

  a  la  profundidad  de  fundación 

1,5  ,  en  cada  uno  de  las  obras 

civiles.  Caso a) Losa rectangular.  

La carga neta a nivel de fundación es:  ,

,

 ; 

,

 ;

,

 

Donde:  ,

18

120

1,5

 

27   

9,8

 

 

 

1,5

14,7 

   

   

 

     

 

   

   

   

  ; 

Por lo tanto la carga neta es:  ,

,

120

27

93 

 

Caso b) Losa circular.  

La carga neta a nivel de fundación es:  ,

,

 ; 

,

 ;

,

 

Donde: 

37 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

  ,

 

18

150

1,5

 

 

  9,8

 

27 

 

 

1,5

 

   

14,7 

   

 

   

 

 

  ; 

 

14,7

132,8 

9,8

  0,5

   

    4,9 

  

Por lo tanto la carga neta es:  ,

,

150

4,9

27

 

Caso c) Zapata cuadrada.  

La carga neta a nivel de fundación es:  ,

,

 ; 

,

 ;

,

 

Donde:  ,

 

18

1,5

300 2 2 9,8

 

27  75 

1,5

 

 

 

 

 

 

     

   

  

 

   

   

  

14,7 

Por lo tanto la carga neta es:  ,

,

75

27

 

48 

Caso d) Losa irregular.  

La carga neta a nivel de fundación es:   ,

,

 ; 

,

 ;

,

 

Donde:  ,

 

18

1,5

27 

 

 

 

   

 

38 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  250

 

  9,8

 

 

1,5

   

 

 

 

   

 

  

14,7 

Por lo tanto la carga neta es:  ,

,

250

27

223 

 

Paso 2. Determinación del incremento de esfuerzo ∆  en el centro y en el borde de la estructura.  Caso a) Losa rectangular.  •

En el centro de la losa rectangular de fundación.  

El incremento de esfuerzo en el punto P es:   ∆

∆

∆

∆

∆

∆ ∆

 

∆

 

∆

Empleamos la ecuación (1.24).     

∆ Donde:  93 

   1.6 ;

∆

 

     

∆

 

•

 ;

:  

4 ∆

93  

 

   

3,5 6

0,333  ;  

0,33    

 

   

 

 

 

  2 6

  ;    1.6 

∆

 

0,583    0,0705

4

0,583 

6,556

  

6,556  ,

0,0705 

   

 

En el borde de la losa rectangular de fundación.  

39 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

El incremento de esfuerzo en el punto R.  ∆

∆

∆

  ;  ∆

∆

   

Empleamos la ecuación (1.24).     

∆ Donde:   93 

   1.6 ;  

∆

 

   

 ;  

 

∆

 

:  

93  

 

   

7 6

1,167 

1,167   

  

0,333  ;  

0.33      

  2 ∆

   

 

 

 

  2 6

  ;    1.6 

∆

 

0,0958 2

8,909

8,909  ,

0,0958 

   

 

Caso b) Losa circular.   •

En el centro de la losa circular de fundación. 

40 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Utilizamos la ecuación (1.22).  /

∆

1

1

 

1 Donde:  132,8 

 

5 

 

 

   ,  ,  , en la ecuación (1.22). 

Remplazamos los valores de  /

∆

1

132,8 1

,

5 6

1

 

 

De la misma manera podemos resolver utilizando las tablas 1.5 (a)  6 5

1,2

 ∆ •

    0,557

 1.5  ;  132,8

∆

,

0,557   

 

En el borde de la losa circular de fundación.   

Utilizamos la ecuación (1.22.a)  ,

∆

,

 

Donde:  132.8

 

,

 1.5 

. 

,

 1.5 

. 

6 5

5 5

1,2  ;  

1  ,

De la tabla 1.5 (b)    De la tabla 1.5 (c)   ,

Reemplazando  ,

,

0,23178 

,

   

0,14915   

   

  1.22.

. 

41 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

  ,

∆

,

 

132,8  0,23178

 

0,14915

,

 

. 

Caso c) Zapata cuadrada.  •

En el centro de la zapata cuadrada de fundación.  

Utilizamos la figura 1.17.b. para la determinación de  .  6 2

2  ;   

∆ •

 ;  

   

48

 1.17 

0,12

,

 

0,12 

 . 

 

En el borde de de la zapata cuadrada de fundación.  

El incremento de esfuerzo en el punto R   ∆

∆

∆

  ;  ∆

∆

   

Empleamos la ecuación (1.24).     

∆ Donde:  48 

   1.6 ;

∆

 

    ∆

 ;

:    

   

 

   

 

 

 

  1 6

  ;    1.6 

 

 

0,1667  ;  

0,1667     48

0,0235

2 6

0,333 

0,333   

  

1,128 

0,0235 

 

42 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  ∆σ

2 ∆σz

6m  R

2

6  

1,128

,

 

. 

Caso d) Losa irregular  •

En el borde de la losa irregular de fundación.  

d.1.Para la determinación del incremento de esfuerzo se realizara el siguiente artificio matemático:  Se  puede  observar  que  el  incremento  de  esfuerzo  en  el  punto  P  puede  ser  calculado  aplicando  la  superposición de los efectos de la losa A1, A2 y A3.  El incremento de esfuerzo ocasionado por la losa  A1 es:  Empleamos la ecuación (1.24).     

∆ Donde:  48 

   1.6 ;

∆

 

    ∆

 ; 5 6

  ;    1.6 

:    

 

 

   

 

   

 

 

 

  7 6

0,833  ;   0,833    

223

1,167 

1,167   

0,170

  

37,91 

0,170 

 

El incremento de esfuerzo ocasionado por la losa  A2 es:  ∆

 

    ∆

4 6

  ;    1.6 

:    

 

7 6

0,667  ;   0,833    

223

1,167 

1,167   

0,1511

33,70 

  

0,1511 

 

El incremento de esfuerzo ocasionado por la losa  A3 es:  ∆

 

  ;  

3 6

0,5  ;  

5 6

0,833 

43 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

      ∆

 1.6 

:    

 

0,5     223

 

 

0,833    0,1121

  

0,1121 

 

25,01

Finalmente, el incremento de esfuerzo en el punto P será:  ∆

 

∆

 

∆

 

∆

37,91

 

33,70

25,01

,

 

 

d.2.Tambien se puede calcular el incremento de esfuerzo en el punto P mediante el grafico de Newmark.   Se debe de seguir los siguientes pasos: 

1.

Determinación de la profundidad a la que se requiere el incremento de esfuerzo; z=6m. 

2.

Dibujar en planta el área cargada con una escala de z ; z=AB=6m. 

3.

Colocar  la planta dibujada sobre la carta de influencia de manera que el punto en el cual el esfuerzo  será determinado este localizado en el centro de la carta. 

4.

Contar el número de elementos M de la carta encerrados por el área cargada ; M=40,2 

Luego el incremento de esfuerzo vertical en el punto P:  ∆

 

 

0,005

223

40,2

,

 

 

Paso 3. Determinación de la grafica de variación de incremento de esfuerzo vs profundidad en centro de  losa circular.  Utilizamos la ecuación (1.22). 

44 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  /

∆

1

· 1

 

1 Donde:  132,8    5      0  

 10  

De la ecuación se llega a obtener la siguiente grafica.  

Paso 4. Determinación del incremento de esfuerzo de la losa rectangular tomando en cuenta la influencia  de la losa circular, a una profundidad de 6m. 

El incremento de esfuerzo en el punto R   ∆

∆

∆

 

 

∆ 178,818 

   

     

 

 

   

 2  

45 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Empleamos la ecuación (1.22.a).  ,

 

∆ 6 5

1,2 ; 

10 5

,

2 

De la tabla 1.5.b.  

,

0,05260 

De la tabla 1.5.c.  

,

0,00023 

 

∆

 

132,8  0,05260

0,00023

7,01

 

Finalmente el incremento de esfuerzo en el punto R será:  ∆

∆

 

∆

 

178,818

7,01

,

 

.  

1.5 Método de Harr (1977)  Harr  (1977)  haciendo  uso  de  la  teoría  de  probabilidades,  desarrolló  procedimientos  para  el  cálculo  aproximado de la distribución de esfuerzos con la profundidad en un  cierto punto que  se halla sometido  a  cargas  distribuidas  aplicadas  en  la  superficie  del  suelo.  Para  este  método  se  asume  que  el  medio  es  homogéneo, que las cargas son flexibles, y que la distribución de esfuerzos normales verticales en un punto  depende sólo de la porosidad del medio y del esfuerzo vertical normal esperado en el punto. 

1.5.1 Carga puntual  La  ecuación  determinada  por  Harr  (1977)  para  la  determinación  del  valor  esperado  del  incremento  de  esfuerzo  vertical  ∆   debido  a  la  aplicación  de  una  carga  puntual  P  que  actúa  en  el  origen  del  sistema  de  coordenadas, Fig. 1.21(a), es:  ∆

∆

 

2

2

Ec. 1.34

Donde:   Coeficiente de presión lateral del terreno.   Base logaritmo neperiano. 

Figura 1.21 (a) Determinación del incremento de esfuerzos debido a una carga puntual aplicada en el origen del sistema  de coordenadas (Harr, 1977). 

46 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  La  figura  1.21  (b)  muestra  la  variación  de  para  un  valor  de 

1/5    ⁄

∆ ⁄  para un rango de valores 

      ⁄   .  Por  ejemplo 

0,67 ;  buscar  el  eje  horizontal  correspondiente  al  valor  de  K=1/5  a 

continuación ubicar el valor de r/z=0,67 dado sobre ese eje. Finalmente trazar una vertical hasta interceptar  a la curva. La ordenada correspondiente al punto de intersección es el valor de  

∆ ⁄  buscado. 

Figura 1.21 (b) Solución de la ecuación (1.30), (Harr, 1977). 

1.5.2 Carga lineal  Harr  (1977)  también  determinó  ecuaciones  para  el  cálculo  del  valor  esperado  del  incremento  de  esfuerzo  vertical  debido  a  una  carga  lineal  de  intensidad  q  por  unidad  de  longitud  que  actúa  perpendicular  a  la  superficie en el origen de coordenadas. La ecuación determinada por Harr (1977) es:  ∆

∆

√2

 

 

 

Ec. 1.35

Donde:   Coeficiente de presión lateral del terreno.   Base logaritmo neperiano. 

1.5.3 Carga continua  Para una carga uniforme normal q por unidad de área actuando en una franja de ancho 2B y largo infinito, el  valor esperado del incremento de esfuerzo normal vertical debajo del centro de gravedad de la franja (x=0),  es:  ∆

∆

∆

∆

 

2

Ec. 1.36

√ En general, este valor es:  √

√

Ec. 1.37

47 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Los valores de la función Ψ( ) se presentan en la tabla 1.9; que corresponde a valores tabulados de una  curva de distribución normal estandarizada para una variable aleatoria distribuida normalmente.  Tabla 1.9. Valores de la función   1

 

√2  

 

  1 2

2,2  ;   

  (Harr, 1977). 

1 2 2

⁄

 

 

 

z 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,003969 

0,007978 

0,011966 

0,015953 

0,019939 

0,023922 

0,027903 

0,031881 

0,0035856 

0,1 

0,03928 

0,043795 

0,047758 

0,051717 

0,05567 

0,059618 

0,063559 

0,067495 

0,071424 

0,075345  0,114092 

0,2 

0,07926 

0,083166 

0,087064 

0,090954 

0,094835 

0,098706 

0,102568 

0,10642 

0,110251 

0,3 

0,11791 

0,12172 

0,125516 

0,1293 

0,133072 

0,136831 

0,140576 

0,144309 

0,148027 

0,151732 

0,4 

0,155422 

0,159097 

0,162757 

0,166402 

0,170031 

0,173645 

0,177242 

0,180822 

0,184386 

0,187933 

0,5 

0,191462 

0,194974 

0,198466 

0,201944 

0,205401 

0,20884 

0,21226 

0,215661 

0,219043 

0,222405 

0,6 

0,225747 

0,229069 

0,232371 

0,235653 

0,234914 

0,242154 

0,245373 

0,248571 

0,251748 

0,254903 

0,7 

0,258036 

0,261148 

0,264238 

0,257305 

0,27035 

0,273373 

0,276373 

0,27935 

0,282305 

0,285236 

0,8 

0,288145 

0,29103 

0,293892 

0,296731 

0,299546 

0,302337 

0,305105 

0,30785 

0,31057 

0,313267 

0,9 

0,31594 

0,318589 

0,321214 

0,323814 

0,326391 

0,328944 

0,331472 

0,333977 

0,336457 

0,338913  0,362143 

1,0 

0,341345 

0,343752 

0,346136 

0,348495 

0,35083 

0,353141 

0,355428 

0,35769 

0,359929 

1,1 

0,364334 

0,3665 

0,368643 

0,370762 

0,372857 

0,374928 

0,376976 

0,379 

0,381 

0,382977 

1,2 

0,38493 

0,386861 

0,388768 

0,390651 

0,392512 

0,39435 

0,396165 

0,397958 

0,399727 

0,401475 

1,3 

0,4032 

0,404902 

0,406582 

0,408241 

0,409877 

0,411492 

0,413085 

0,414657 

0,416207 

0,417736 

1,4 

0,419243 

0,42073 

0,422196 

0,423641 

0,425066 

0,426471 

0,427855 

0,429219 

0,430563 

0,431888 

1,5 

0,433193 

0,434476 

0,435745 

0,436992 

0,43822 

0,439429 

0,44062 

0,441792 

0,442947 

0,444083 

1,6 

0,445201 

0,446301 

0,447384 

0,448449 

0,449497 

0,450529 

0,451543 

0,45254 

0,453521 

0,454486 

1,7 

0,455435 

0,456367 

0,457284 

0,458485 

0,45907 

0,459941 

0,460796 

0,461636 

0,462462 

0,463273 

1,8 

0,6407 

0,464852 

0,46562 

0,466375 

0,467116 

0,467843 

0,468557 

0,469258 

0,469946 

0,470621 

1,9 

0,471283 

0,471933 

0,472571 

0,473197 

0,47361 

0,474412 

0,475002 

0,475581 

0,476148 

0,476705 

2,0 

0,47725 

0,477784 

0,478308 

0,478822 

0,479325 

0,479818 

0,480301 

0,480774 

0,481237 

0,481691 

2,1 

0,482136 

0,482571 

0,482997 

0,483414 

0,483823 

0,484222 

0,484614 

0,484997 

0,485371 

0,485738 

2,2 

0,486097 

0,486447 

0,486791 

0,487126 

0,487455 

0,487776 

0,488089 

0,488396 

0,488696 

0,488989 

2,3 

0,489276 

0,489556 

0,48983 

0,490097 

0,490358 

0,490613 

0,490863 

0,491106 

0,491344 

0,491576 

2,4 

0,491802 

0,492024 

0,49224 

0,492451 

0,492656 

0,492857 

0,493053 

0,493244 

0,493431 

0,493613 

2,5 

0,49379 

0,493963 

0,494132 

0,494297 

0,494457 

0,494614 

0,494766 

0,494915 

0,49506 

0,495201  0,496427 

2,6 

0,495339 

0,495473 

0,495604 

0,495731 

0,495855 

0,495975 

0,496063 

0,496207 

0,496319 

2,7 

0,496533 

0,496636 

0,496736 

0,496833 

0,496928 

0,49702 

0,49711 

0,497197 

0,497282 

0,497365 

2,8 

0,497445 

0,497523 

0,497599 

0,497673 

0,497744 

0,497814 

0,497882 

0,497948 

0,498012 

0,498074 

2,9 

0,498134 

0,498193 

0,49825 

0,498305 

0,498359 

0,498411 

0,498462 

0,498511 

0,498559 

0,498605 

3,0 

0,49865 

0,498694 

0,498736 

0,498777 

0,498817 

0,498856 

0,498893 

0,49893 

0,498965 

0,498999 

3,1 

0,499032 

0,499065 

0,499096 

0,499126 

0,499155 

0,499184 

0,499211 

0,499238 

0,499264 

0,499289 

3,2 

0,499313 

0,499336 

0,499359 

0,499381 

0,499402 

0,499423 

0,499443 

0,499462 

0,499481 

0,499499 

3,3 

0,499517 

0,499534 

0,49955 

0,499566 

0,499581 

0,499596 

0,49961 

0,499624 

0,499638 

0,499651 

3,4 

0,499663 

0,499675 

0,499687 

0,499698 

0,499709 

0,49972 

0,49973 

0,49974 

0,499749 

0,499758 

3,5 

0,499767 

0,499776 

0,499784 

0,499792 

0,4998 

0,499807 

0,499815 

0,499822 

0,499828 

0,499835 

3,6 

0,499841 

0,499847 

0,499853 

0,499858 

0,499864 

0,499869 

0,499874 

0,499879 

0,499883 

0,499888 

3,7 

0,499892 

0,499896 

0,49999 

0,499904 

0,49908 

0,499912 

0,49915 

0,499918 

0,499922 

0,499925 

3,8 

0,499928 

0,499931 

0,499933 

0,499936 

0,499938 

0,499941 

0,499943 

0,499946 

0,499948 

0,49995 

3,9 

0,499952 

0,499954 

0,499956 

0,499958 

0,499959 

0,499961 

0,499963 

0,499964 

0,499966 

0,499967 

48 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

1.5.4 Carga vertical uniforme sobre un área rectangular  El valor esperado del incremento de esfuerzo vertical debajo una esquina de un área rectangular cargada con  una intensidad q por unidad de área y de dimensiones  ∆

∆

 

√

√

 es: 

 

Ec. 1.38

Donde:   Coeficiente de presión lateral del terreno  En la ecuación (1.38) el valor de la función Ψ( ) es también determinado a partir de la tabla 1.9. 

1.5.5 Carga vertical uniforme sobre un área circular  El valor esperado del incremento de esfuerzo vertical debajo el centro de un área circular cargada con una  intensidad q por unidad de área y de radio R es:  ∆

∆

1

 

 

Ec. 1.39

Donde:   Coeficiente de presión lateral del terreno.   Base logaritmo neperiano.  En  las  ecuaciones  anteriores  desarrolladas  por  Harr  (1977),  se  utiliza  el  parámetro  K  en  todas;  constituyéndose éste en un indicador importante de las características del suelo durante la transmisión de  los esfuerzos aplicados en la superficie a la masa de suelo.  Cuando  se  trabaja  con  fundaciones,  el  valor  del  parámetro  K  a  ser  usado,  debe  ser  elegido  apropiadamente  en  función  de  un  adecuado  coeficiente  de  presión  lateral  del  terreno.  Holtz  (1991)  recomienda que para suelos granulares este parámetro este muy próximo al coeficiente de presión lateral del  terreno  en  reposo, 

.  Sin  embargo,  bajo  ciertas  circunstancias  es  posible  que  el  mismo  adopte  valores 

próximos a los del coeficiente de presión lateral activa o pasiva. Por ejemplo, si el suelo del sitio de estudio es  un suelo altamente sobreconsolidado entonces el valor de K adoptado debe ser mayor a 1.  La determinación de los coeficientes de presión lateral del terreno es desarrollada en  el Capítulo 5. Sin  embargo, el valor del coeficiente de presión lateral del terreno en reposo puede ser determinado por medio  de ensayos in situ tales como el dilatómetro de Marchetti (Marchetti, 1980; Schmertmann, 1986), siendo este  un método relativamente reciente.  El equipo a utilizarse consiste de una placa plana de dimensiones estandarizadas. Esta placa cuenta con  una membrana de acero, plana, delgada, circular, y expansible de 60 mm de diámetro localizada al ras sobre  el  centro  de  uno  de  los  lados  de  la  placa.  A  continuación,  el  dilatómetro  debe  ser  insertado  en  el  terreno  usando  el  mismo  equipo  utilizado  en  la  prueba  de  penetración  de  cono  (CPT).  Mayores  detalles  a  cerca  de  ambos ensayos pueden ser encontrados en el Capítulo 8.   

49 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

1.5.6  Determinación  del  incremento  de  esfuerzos  en  medios  estratificados a través del método probabilístico  Harr (1977) haciendo uso del método probabilístico considera un espacio multiestratificado sometido a una  carga  lineal  de  intensidad  q  por  unidad  de  longitud.  El  espacio  está  constituido  por  estratos  de  espesor    presentando cada uno valores diferentes del coeficiente de presión lateral del terreno K, Fig. 1.22. Luego el  espesor equivalente de los N­1 estratos superiores es:   … … …

Ec. 1.40

El  incremento  de  esfuerzo  vertical  esperado  en  el  N  estrato  (donde 

  es  la  distancia  vertical  medida 

desde el límite superior al N estrato) es:  ∆

∆

1 2

 

 

Ec. 1.41

Para  los  demás  tipos  de  carga  observados  en  el  apartado  5,  el  incremento  de  esfuerzo  vertical  es  determinado, reemplazando z por 

 en la ecuación correspondiente.  

Figura 1.22 Carga lineal aplicada a un suelo multiestratificado.  

1.6 Método de Westergaard (1938)  1.6.1 Carga puntual  Westergaard (1938) resolvió el mismo problema desarrollado por Boussinesq (1883) para el caso de carga  puntual, pero asumiendo hipótesis ligeramente diferentes. En lugar de considerar un material perfectamente  elástico; asumió uno que contiene varios estratos que se encuentran alternados con refuerzos horizontales  rígidos de espesor infinitesimal, Fig. 1.23; de tal modo que la deformación horizontal sea cero en todos los 

50 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  puntos. El modelo asumido por Westergaard (1938) resulta ser una representación más precisa de algunos  suelos  estratificados.  Por  su  parte,  Terzaghi  (1943)  presentó  la  siguiente  ecuación  para  ∆   en  el  punto  A,  Fig. 1.23, debido a una carga vertical puntual P, basándose en el método de Westergaard (1938):  

Figura 1.23 Solución de Westergaard (1938) para el incremento de esfuerzo vertical debido a una carga puntual.   /

∆

∆

1

 

2

Ec. 1.42

Donde:  1 2 2 1 ,

, ,

 

Coeficiente de Poisson del suelo, que se encuentra entre los refuerzos rígidos. 

La ecuación (1.42) puede ser rescrita de la siguiente forma:  ∆

∆

   

Ec. 1.43

Donde:  1 2

/

1

 

Al igual que para Boussinesq, la tabla 1.10 muestra la variación de 

  para varios valores de r/z, cuando 

el coeficiente de Poisoon es ν = 0,30:  Tabla 1.10. Variación de r/z con   (Bowles)  r/z 

0,00 

0,10 

0,20 

0,30 

0,40 

0,50 

0,75 

1,00 

1,50 

2,00 

 

0,557 

0,529 

0,458 

0,369 

0,286 

0,217 

0,109 

0,058 

0,021 

0,010 

La solución de Westergaard (1938) arroja valores de ∆  iguales o menores que los valores dados por la  ecuación  de  Boussinesq  (1883);  y  a  medida  que  disminuye  y  eventualmente  llega  a  ser  cero  cuando 

  incrementa,  el  incremento  de  esfuerzo  calculado  0,5.  El  método  de  Boussinesq  (1883)  es  más 

51 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

conservador que el método de Westergaard (1938) y probablemente para muchos problemas sea el método  más apropiado. 

1.6.2 Carga circular  La  siguiente  ecuación  calcula  el  incremento  de  esfuerzo  debajo  el  centro  del  área  circular  uniformemente  cargada, como se ve en la figura 1.24. 

Figura 1.24 Solución de Westergaard (1938) para el incremento de esfuerzo vertical debido a una carga circular.  

∆

∆

2

2

Ec. 1.44

Integrando la ecuación tenemos la solución directa:  ∆

∆

 

1

Ec. 1.45

Donde:  1 2 2 1 ,

, ,

 

Coeficiente de Poisson del suelo que se encuentra entre los refuerzos rígidos. 

Reestructurando la ecuación  y utilizando la raíz positiva, se obtiene. 

1

∆

 

Ec. 1.46

Si la ecuación (1.46) se resuelve para valores seleccionados de  , , y cantidades de ∆ ⁄ ,se puede llegar a  obtener bulbo de presiones similares a la de Boussinesq.   

52 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

1.6.3 Carga rectangular  Para el caso de una carga rectangular 

 la ecuación (1.47) [Fadum (1948)] determina el incremento de 

esfuerzo en la esquina de una área rectangular.  

Figura 1.25 Solución de Westergaard (1938) para el incremento de esfuerzo vertical debido a una carga rectangular.  

∆

∆

⁄

2

Ec. 1.47

Donde:    ;    tan ,

1 2 2 1

  ;   

 

 

 

, ,

 

. 

Ejemplo 1.3  En la figura 1.26 se muestra el terreno donde se construyeron diferentes obras civiles.  Se desea determinar:  1) El incremento de esfuerzo en una de las esquinas de la losa rectangular a una profundidad de 6m  utilizando los métodos de Harr y Westergaard.  2) El  incremento  de  esfuerzo  en  el  centro  de  la  losa  circular  a  una  profundidad  de  6m  utilizando  los  métodos de Harr y Westergaard.  3) La  grafica  de  variación  de  incremento  de  esfuerzo  vs  profundidad  en  centro  de  losa  circular  utilizando los métodos de Harr y Westergaard.  Solución: 

Refiérase a la figura 1.26 

     

53 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Figura 1.26 Vista en planta de diferentes obras civiles. 

Paso 1. Determinación de la 

 a la profundidad de fundación 

Del ejemplo 1.2 utilizaremos los valores de la 

1,5  , en cada uno de las obras civiles. 

 anteriormente calculados. 

Caso a) Losa rectangular.  

La carga neta a nivel de fundación es:  ,

,

 ; 

,

 ;

,

93 

 

   

54 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Caso b) Losa circular  

,

,

,

 ; 

 ;

,

132,8 

 

Paso 2. Determinación del incremento de esfuerzo ∆  en el borde de la estructura utilizando el método  de Harr.  Caso a) Losa rectangular  •

Utilizando el método de Harr se determina el ∆  , en una de las esquinas del área rectangular.  

Empleamos la ecuación (1.38).  ∆

∆

 

√

√

4   ;

7   ;

Donde:  93

 ;

6    

0,25 coeficiente de presión lateral del terreno.   1.9 ;  4 √

6 0,25 7

√

6 0,25

1,3    

 

6

   

 1.9     

2,3    

 

6

   

 1.9     

0,413085 

√

0,490863 

√

Por lo tanto el incremento de esfuerzo en la esquina de la losa rectangular es:  ∆

√

√

93

0,413085

0,490863

,

 

 

55 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

  •

 

 

Utilizando  el  método  de  Westergaard  se  determina  el  ∆   ,  en  una  de  las  esquinas  del  área  rectangular. 

Empleamos la ecuación (1.47).  ∆

∆

 

⁄

2

Donde:  93 4 6 ∆

,

 ; 

0.30 

  7 6

0,667 ;  

 

  1 2 2 1

1,167 ;    93 · 2

⁄

2

,

1 2 0,3 2 1 0,3

,

0,534 

0,667 1,167 1,167 0,534 0,667

0,534

 

 

Caso b) Losa circular  •

 Utilizando el método de Harr se determina el ∆  , en el centro del área circular.  

Utilizamos la ecuación (1.39).  ∆

∆

 

1

 

Donde:  132,8 5

   

 

 

0,25 coeficiente de presión lateral del terreno  Base logaritmo neperiano  Remplazamos los valores de  ∆ •

1

 

, , , ,en la ecuación (1.39). 

132,8 1

 

,

,

 

 

 Utilizando el método de Westergaard se determina el ∆  , en el centro del área circular. 

 

56 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Utilizamos la ecuación (1.45)  ∆

∆

 

1

Donde:   ;  ,    

132,8 5

0,30 (Coeficiente de Poisson del suelo).   

,

1 2 2 1

1 2 0,3 2 1 0,3

,

Remplazamos los valores de  ∆

0,534

, , ,  en la ecuación (1.45). 

1

0,534

132,8 1

5 6

,

 

 

0,534

Paso 3. Determinación de la grafica de variación de incremento de esfuerzo vs profundidad en centro de  losa circular utilizando los métodos de Harr y Westergaard.  Utilizamos la ecuación (1.39) y la  ecuación (1.45).  ∆

∆

 

1

∆

  ;  ∆

 

1

Donde:  132,8  

,

 ; 

0,30 ;  

 0,25 

 

 

 0   

5  ; 

 

,

ó  

0,3   

 

 

 

 ;  

  1

2

,

 

. 

⁄2 1

,

0,534 

 10   

De la ecuación (1.39) se llega a obtener la siguiente tabla y grafica.   z(m)  ∆

 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

132,8 

132,8 

132,799 

132,28 

126,96 

114,82 

99,68 

84,93 

71,99 

61,16 

52,25 

De la ecuación (1.45) se llega obtener la siguiente tabla y grafica.   z(m)  ∆

 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

132,8 

118,69 

105,06 

92,28 

80,63 

70,24 

61,15 

53,28 

46,53 

40,77 

35,86 

57 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

1.7 Método Numérico (Milovic, 1992)  1.7.1 General  A menudo, se hace necesario determinar los esfuerzos producidos en un estrato de suelo compresible que se  encuentra  descansando  sobre  uno  o  más  estratos  de  diferentes  propiedades  mecánicas.  Este  problema  ha  sido  analizado  considerando  un  sistema  estratificado,  donde  cada  estrato  presenta  distintas  propiedades  elásticas. Las soluciones a este problema fueron discutidas por Poulos y Davis (1974) y por Perloff (1975),  siendo  la  ingeniería  de  pavimentos  la  rama  de  la  ingeniería  en  la  que  esta  teoría  encuentra  su  mayor  aplicación.  Es  así  que,  si  se  considera  el  caso  de  la  figura  1.27,  donde  se  observa  un  estrato  de  suelo  rígido  descansando  sobre  un  estrato  de  suelo  blando,  el  efecto  de  la  rigidez  del  estrato  superior  ocasiona  una  reducción en la concentración de esfuerzos del estrato inferior. Burmister (1943) trabajó en este problema  introduciendo sistemas flexibles de dos y tres estratos. Posteriormente, Fox (1948), Burmister (1958), Jones  (1962) y Peattie (1962) desarrollaron soluciones tomando en cuenta estos sistemas.  El efecto de la reducción de  la concentración de esfuerzos debido a la presencia de  un estrato superior  rígido es observado en la figura 1.27 (b). Esta figura presenta un área flexible circular de radio R sujeta a una  carga q por unidad de área que se halla descansando en la superficie de un sistema de dos estratos, siendo     

 los módulos de elasticidad del estrato superior e inferior  respectivamente, con la condición de que  .  Para, 

,  la  solución  elástica  para  el  esfuerzo  vertical 

  a  distintas  profundidades  debajo  del 

área  cargada  puede  ser  obtenida  a  partir  de  la  figura  1.27  (b).  La  curva  de  ∆ ⁄   vs  z/R  para 

⁄

1  

representa a los esfuerzos determinados a partir de la ecuación de Boussinesq (1883).  Sin embargo, a partir de las demás curvas se observa que para  de z/R dado disminuye a medida que el valor de 

⁄

⁄

1, el valor de ∆ ⁄  para un valor 

 incrementa. 

Figura 1.27 (a) Área circular uniformemente cargada en un sistema de dos estratos donde  debajo del centro de un área circular uniformemente cargada.  

 (b) Esfuerzo vertical 

58 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  A continuación, en apartados posteriores se presentan las maneras de determinación del incremento de  esfuerzos que se produce en sistemas estratificados sometidos a diferentes tipos de carga.   ⎯

Primeramente,  el  incremento  de  esfuerzos  es  determinado  considerando  un  estrato  rígido  que  se 

halla descansando sobre un estrato blando  ⎯

. 

Luego, la determinación del incremento de esfuerzos es realizada considerando un estrato de suelo 

elástico e isotrópico que se halla descansando sobre una base rígida  ⎯

. 

El último caso es considerado como un caso de incremento de esfuerzos en medio finito. 

1.7.2 Carga de franja continua  1.7.2.1  Incremento  de  esfuerzos  debido  a  una  carga  de  franja  continúa (E1>E2)   Cuando  se  aplica  la  teoría  convencional  de  distribución  de  esfuerzos  que  considera  un  semi‐espacio  homogéneo,  elástico,  e  isotrópico  para  un  sistema  estratificado,  los  valores  de  incrementos  obtenidos  son  muy  altos.  Es  debido  a  estas  limitaciones  que  Milovic  (1992)  basándose  en  las  soluciones  elásticas  para  sistemas  estratificados  desarrolladas  por  Burmister  (1943),  realizó  un  gran  número  de  análisis;  siendo  el  principal  objetivo  de  éstos,  el  demostrar  analíticamente  la  influencia  en  la  disminución  del  incremento  de  esfuerzos  que  tiene  un  estrato  rígido  que  se  halla  descansando  sobre  un  estrato  blando.  Los  análisis  realizados adoptaron un conjunto de valores distintos de propiedades del suelo, a fin de evaluar la influencia  de estos parámetros en los cambios de esfuerzos producidos.  La determinación del incremento de esfuerzos fue calculada para un punto que puede encontrarse dentro  o  fuera  del  área  ocupada  por  una  carga  flexible  de  franja  de  ancho  B  =  1m,  siendo  el  espesor  del  estrato  superior 

 igual a 0,5B; 1,0B; 1,5B; 2,0B y 2,5B. Las razones de 

⁄

 fueron de 1, 5, 10 y 25; siendo 

los  módulos  de  elasticidad  del  estrato  superior  e  inferior  respectivamente  ( ⁄

 y 

 

1  es  el  caso  de  medio 

homogéneo).  La geometría de este problema es mostrada en la Figura 1.28. 

Figura 1.28 Geometría del problema, (Milovic, 1992).  

El  incremento  de  esfuerzo  vertical  ∆   para  medios  estratificados  se  determina  mediante  la  siguiente  expresión: 

59 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

  ∆

∆

 

 

   

Ec. 1.48

Donde:   Carga aplicada    Coeficiente adimensional  Los  valores  para  el  coeficiente    son  obtenidos  de  las  figuras  1.29  a  1.33,  para  el  caso  en  que  el  punto  donde se requiera hallar el incremento de esfuerzos se encuentre a una cierta profundidad sobre el eje que  pasa por el centro de la franja (O).  Las figuras 1.34 a 1.38 presentan el valor de  , para cuando el incremento de esfuerzos es hallado en un  punto que se encuentra en uno de los bordes de la franja, representado en las figuras por el punto C.  Finalmente, de las Figuras 1.39 a 1.42, se determina el valor de   para cuando el incremento de esfuerzos  es hallado en un punto que se encuentra fuera del área ocupada por la carga de franja. 

Figura 1.29 Coeficiente   para 

0,5  (Punto O).  

60 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Figura 1.30 Coeficiente   para 

 

Figura 1.31 Coeficiente   para   

1,0  (Punto O).  

1

1,5  (Punto O).  

61 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Figura 1.32 Coeficiente   para 

1

2,0  (Punto O).  

Figura 1.33 Coeficiente   para 

1

2,5  (Punto O). 

62 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Figura 1.34 Coeficiente   para 

1

0,5  (Punto C).  

Figura 1.35 Coeficiente   para 

1

1,0  (Punto C). 

63 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Figura 1.36 Coeficiente   para 

1

1,5  (Punto C).  

Figura 1.37 Coeficiente   para 

1

2,0  (Punto C). 

64 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Figura 1.38 Coeficiente   para 

Figura 1.39 Coeficiente   para 

1

1

2,5  (Punto C).  

1,0  ;  

1,0 . 

65 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

 

Figura 1.40 Coeficiente   para 

1

1,0  ;  

2,0 . 

Figura 1.41 Coeficiente   para 

1

1,5  ;  

1,0 . 

 

66 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Figura 1.42 Coeficiente   para 

1

1,5  ;  

2,0 .  

Por otra parte, Milovic (1992) también desarrolló una solución para el caso de sistemas estratificados que  se hallan limitados por una base rígida haciendo uso del método de elementos finitos. La geometría de este  problema corresponde a la presentada en la figura 1.43.  

Figura 1.43 Geometría del problema (Milovic, 1992).  

En la figura  1.43 se  tiene  una carga de franja flexible de  ancho  B y de intensidad  q; H es el espesor  del  estrato compresible,  y 

 y 

 son el espesor y el módulo de elasticidad del estrato superior, respectivamente, 

 es el módulo de elasticidad del estrato inferior.  El incremento de esfuerzo vertical ∆  tiene la siguiente expresión:  ∆

∆

   

Ec. 1.49

 

67 

 

⁄

0,976  0,888  0,771  0,667  0,587  0,385 

0,4  0,958 

0,6  0,847 

0,8  0,744 

1,0  0,641 

2,0  0,405 

⁄

0,2  0,994 

0,10 1,000 

⁄

0,0  1,000 

⁄  

⁄

0,348 

0,464 

0,514 

0,583 

0,649 

0,850 

1,000 

1,0 

0,4  

 

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⁄

⁄

2,0  0,410 

1,0  0,662 

0,8  0,758 

0,6  0,854 

0,4  0,960 

0,2  0,994 

0,0  1,000 

⁄  

 

1,0  0,696 

0,5  0,912 

0,4  0,957 

0,3  0,986 

0,2  0,992 

0,1  0,995 

0,0  1,000 

⁄  

⁄

⁄ ⁄

⁄

0,385 

0,587 

0,667 

0,771 

0,888 

0,976 

1,000 

0,10

2  ;  

 

0,674 

0,832 

0,922 

0,953 

0,982 

0,989 

1,000 

0,1 

1  ;   ⁄

⁄

0,330 

0,406 

0,470 

0,558 

0,658 

0,858 

1,000 

1,0 

0,6  

 

0,607 

0,696 

0,744 

0,800 

0,880 

0,957 

1,000 

1,0 

0,3  

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10    

 

 

⁄

⁄

2,0  0,411 

1,0  0,661 

0,8  0,738 

0,6  0,820 

0,4  0,913 

0,2  0,987 

0,0  1,000 

⁄  

 

1,0  0,699 

0,5  0,921 

0,4  0,967 

0,3  1,000 

0,2  0,999 

0,1  0,999 

0,0  1,000 

⁄  

⁄

⁄

⁄

⁄

2  ;  

0,335 

0,587 

0,667 

0,771 

0,888 

0,976 

1,000 

0,10

 

0,674 

0,832 

0,922 

0,807 

0,982 

0,989 

1,000 

0,1 

1  ;  

 

0,297 

0,371 

0,482 

0,617 

0,807 

0,956 

1,000 

⁄

0,549 

0,644 

0,710 

0,953 

0,906 

0,974 

1,0 

 

⁄ 1,000 

1,0 

0,5  

10 

10  

 

2  ;  

 

0,637 

0,761 

0,922 

0,845 

0,896 

0,954 

 

10   

 

2. 

 

 

0,674 

1,0  0,694 

⁄

1,000 

1,0 

0,2  

1 y   ⁄

 

 

0,832 

0,5  0,900 

0,953 

0,3  0,979  0,805 

0,982 

0,2  0,990 

0,4  0,947 

0,989 

⁄

0,1  0,995 

0,10 1,000 

⁄

1  ;  

0,0  1,000 

⁄  

⁄

Tabla 1.11 Valores de    en el punto   para  ⁄

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

   

 

68 

  0,265 

0,231 

⁄

1,000 

0,948 

0,808 

0,671 

0,580 

0,490 

0,244 

⁄

1,000 

0,847 

0,635 

0,446 

0,383 

0,308 

3,0 

⁄  

0,0 

0,3 

0,6 

0,9 

1,2 

1,5 

3,0 

⁄  

0,0 

0,5 

1,0 

1,5 

2,0 

2,5 

0,172 

0,423 

0,440 

1,5 

5,0 

0,496 

0,550 

1,2 

⁄

0,632 

0,668 

0,9 

0,10

0,162 

0,262 

0,315 

0,403 

0,553 

0,821 

1,000 

⁄

0,265 

0,423 

0,496 

0,632 

0,761 

0,901 

1,000 

5  ;  

0,10

⁄

0,761 

0,834 

0,6 

3  ;  

0,901 

0,972 

0,3 

⁄

1,000 

1,000 

⁄

0,0 

0,10

⁄

3  ;  

⁄  

⁄

1,0 

1,5  

1,0 

1,5  

1,0 

0,3  

0,136 

0,174 

0,202 

0,268 

0,344 

0,754 

1,000 

⁄

0,188 

0,229 

0,338 

0,477 

0,709 

0,920 

1,000 

⁄

0,216 

0,357 

0,431 

0,514 

0,643 

0,797 

1,000 

⁄ 0,3  0,6  0,9  1,2  1,5  3,0 

           

0,0  0,5  1,0  1,5  2,0  2,5  5,0 

             

0,5  1,0  1,5  2,0  2,5 

         

5,0 

0,0 

 

 

⁄  

10   

 

⁄  

10   

 

0,0 

5. 

 

3 y  ⁄

⁄  

  10   

Tabla 1.12 Valores de    en el punto   para  ⁄

0,173 

0,306 

0,383 

0,428 

0,572 

0,826 

1,000 

⁄

0,167 

0,287 

0,362 

0,441 

0,631 

0,920 

1,000 

⁄

0,240 

0,472 

0,589 

0,715 

0,881 

0,969 

1,000 

⁄

⁄

⁄

⁄

0,10

0,162 

0,262 

0,315 

0,403 

0,553 

0,821 

1,000 

⁄

0,162 

0,262 

0,315 

0,403 

0,553 

0,821 

1,000 

⁄

0,265 

0,423 

0,496 

0,632 

0,761 

0,901 

5  ;  

0,10

⁄ 1,000 

5 ;  

0,10

3  ;  

1,0 

2,5  

1,0 

0,5  

1,0 

0,6  

0,122 

0,156 

0,216 

0,325 

0,519 

0,810 

1,000 

⁄

0,152 

0,232 

0,275 

0,326 

0,420 

0,562 

1,000 

⁄

0,203 

0,285 

0,339 

0,414 

0,487 

0,797 

1,000 

⁄

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

10   

  ⁄  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,0 

2,5 

2,0 

1,5 

1,0 

0,5 

0,0 

⁄  

3,0 

1,5 

1,2 

0,9 

0,6 

0,3 

0,0 

⁄

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,170 

0,300 

0,375 

0,452 

0,652 

0,870 

1,000 

⁄

0,245 

0,492 

0,603 

0,720 

0,880 

0,962 

1,000 

⁄

0,10

⁄

0,10

⁄

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,162 

0,262 

0,315 

0,403 

0,553 

0,821 

1,000 

⁄

5 ;  

0,265 

0,423 

0,496 

0,632 

0,761 

0,901 

1,000 

3  ;  

1,0 

 

1,0 

0,9   ⁄

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,144 

0,201 

0,227 

0,268 

0,322 

0,694 

1,000 

⁄

0,192 

0,238 

0,304 

0,395 

0,515 

0,836 

1,000 

10 

10 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

 

 

69 

     

⁄

0,500  0,497  0,495  0,481  0,461  0,438  0,337 

0,500 

0,498 

0,495 

0,489 

0,474 

0,450 

0,347 

0,0 

0,2 

0,4 

0,6 

0,8 

1,0 

2,0 

⁄

0,318 

0,381 

0,403 

0,422 

0,448 

0,477 

0,500 

1,0 

0,4  

 

0,425 

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

⁄  

2,0 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

 

1,0 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

⁄  

⁄

0,348 

0,456 

0,479 

0,493 

0,496 

0,498 

0,500 

 

0,435 

0,485 

0,493 

0,497 

0,498 

0,499 

0,500 

⁄

⁄

⁄ ⁄

⁄

0,337 

0,438 

0,461 

0,481 

0,495 

0,497 

0,500 

0,10

2  ;  

 

0,460 

0,480 

0,489 

0,496 

0,497 

0,498 

0,500 

0,1 

1  ;   ⁄

⁄

0,303 

0,348 

0,372 

0,401 

0,440 

0,479 

0,500 

1,0 

0,6  

 

0,420 

0,435 

0,447 

0,459 

0,476 

0,493 

0,500 

1,0 

0,3  

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10    

 

⁄  

2,0 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

 

1,0 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

⁄  

⁄

0,350 

0,461 

0,484 

0,499 

0,499 

0,500 

0,500 

 

0,436 

0,487 

0,499 

0,499 

0,500 

0,500 

0,500 

⁄

⁄

⁄

⁄

0,337 

0,438 

0,461 

0,481 

0,495 

0,497 

0,500 

⁄

2  ;   0,10

 

0,460 

0,480 

0,489 

0,496 

0,497 

0,498 

0,500 

0,1 

1  ;  

 

0,275 

0,322 

0,355 

0,403 

0,453 

0,487 

0,500 

⁄

0,410 

0,427 

0,440 

0,459 

0,480 

0,495 

1,0 

 

⁄ 0,500 

1,0 

0,5  

10 

10  

 

0,10

⁄

 

 

 

⁄

0,460 

0,435 

1,0 

0,449 

0,460 

0,470 

0,481 

0,492 

 

10   

 

2. 

 

⁄  

0,480 

0,482 

0,5 

⁄

0,500 

1,0 

0,2  

1 y   ⁄

 

2  ;  

0,489 

0,496 

0,496 

0,3 

0,491 

0,497 

0,498 

0,2 

0,4 

0,498 

0,499 

0,1 

⁄

0,500 

0,10

0,500 

⁄

1  ;  

0,0 

⁄  

⁄

Tabla. 1.13 Valores de    en el punto   para  ⁄

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

70 

 

0,498 

0,484 

0,453 

0,419 

0,381 

0,268 

⁄

0,500 

0,498 

0,484 

0,465 

0,437 

0,404 

0,274 

⁄

0,500 

0,489 

0,460 

0,394 

0,340 

0,288 

0,3 

0,6 

0,9 

1,2 

1,5 

3,0 

⁄  

0,0 

0,3 

0,6 

0,9 

1,2 

1,5 

3,0 

⁄  

0,0 

0,5 

1,0 

1,5 

2,0 

2,5 

0,164 

0,500 

0,0 

5,0 

⁄

⁄  

⁄

⁄

⁄

0,10

0,158 

0,244 

0,284 

0,340 

0,412 

0,478 

0,500 

⁄

0,249 

0,357 

0,394 

0,436 

0,473 

0,493 

0,500 

⁄

0,249 

0,357 

0,394 

0,436 

0,473 

0,493 

5  ;  

0,10

⁄ 0,500 

3  ;  

0,10

3  ;  

1,0 

1,5  

1,0 

1,5  

1,0 

0,3  

0,131 

0,161 

0,194 

0,238 

0,293 

0,424 

0,500 

⁄

0,193 

0,244 

0,291 

0,354 

0,428 

0,482 

0,500 

⁄

0,246 

0,347 

0,381 

0,414 

0,450 

0,482 

0,500 

⁄

 

1,0  1,5  2,0  2,5 

       

5,0 

0,5 

 

 

0,0 

 

5,0 

2,5 

2,0 

1,5 

1,0 

0,5 

0,0 

⁄  

3,0 

1,5 

1,2 

0,9 

0,6 

0,3 

0,0 

⁄  

5. 

⁄  

3 y  ⁄

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

10   

Tabla 1.14 Valores de    en el punto   para  ⁄

0,164 

0,288 

0,329 

0,373 

0,430 

0,484 

0,500 

⁄

0,157 

0,263 

0,315 

0,369 

0,440 

0,490 

0,500 

⁄

0,270 

0,393 

0,430 

0,459 

0,489 

0,499 

0,500 

⁄

⁄

⁄

⁄

0,10

0,158 

0,244 

0,784 

0,340 

0,412 

0,478 

0,500 

⁄

0,158 

0,244 

0,284 

0,340 

0,412 

0,478 

0,500 

⁄

0,249 

0,357 

0,394 

0,436 

0,473 

0,493 

5  ;  

0,10

⁄ 0,500 

5 ;  

0,10

3  ;  

1,0 

2,5  

1,0 

0,5  

1,0 

0,6  

0,121 

0,150 

0,205 

0,274 

0,379 

0,469 

0,500 

⁄

0,146 

0,223 

0,259 

0,299 

0,358 

0,426 

0,500 

⁄

0,236 

0,307 

0,332 

0,361 

0,393 

0,451 

0,500 

⁄

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

 

 

 

 

 

 

 

10   

 

         

         

 

 

 

 

0,161 

0,278 

0,333 

0,391 

0,460 

0,492 

0,500 

⁄

0,272 

0,401 

0,438 

0,463 

0,488 

0,500 

 

 

⁄ 0,500 

 

 

5,0 

2,5 

2,0 

1,5 

1,0 

0,5 

0,0 

⁄  

3,0 

1,5 

1,2 

0,9 

0,6 

0,3 

0,0 

⁄  

⁄

0,10

⁄

0,10

⁄

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,158 

0,244 

0,284 

0,340 

0,412 

0,478 

0,500 

⁄

5 ;  

0,249 

0,357 

0,394 

0,436 

0,473 

0,493 

0,500 

3  ;  

1,0 

 

1,0 

0,9  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,138 

0,187 

0,213 

0,249 

0,284 

0,412 

0,500 

⁄

0,221 

0,272 

0,301 

0,341 

0,396 

0,451 

0,500 

⁄

10 

10 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

   

 

71 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Las tablas 1.11 y 1.12 presentan los valores de   para el cálculo de ∆  en el punto  O de la figura 1.43  mientras que las tablas 1.13 y 1.14 son utilizadas para el cálculo de ∆  en el punto C de la figura 1.43. 

1.7.2.2  Incremento  de  esfuerzos  en  medios  finitos  debido  a  una  carga de franja continúa  Con  el  objeto  de  estudiar  el  problema  de  incremento  de  esfuerzos  de  una  manera  más  completa,  Milovic  desarrolló el caso en el que  se aplica una carga  uniformemente  distribuida a un estrato de suelo elástico e  isotrópico que se halla descansando sobre una base rígida.   Este  caso  es  observado  en  la  figura  1.44,  donde  se  tiene  una  carga  de  franja  flexible  uniformemente  aplicada  de  ancho  B,  siendo  q  la  carga  uniforme  y  H  y  L  el  espesor  y  el  largo  del  estrato  compresible,  respectivamente.  

Figura 1.44 Área flexible cargada sobre un medio finito (Milovic, 1992).  

Para la determinación del incremento de esfuerzos debido a esta condición de carga se pueden tener dos  posibles situaciones:  Base rígida lisa, es decir que el contacto entre el estrato compresible y la base rígida sea perfectamente  liso. Para este caso, el incremento de esfuerzos verticales ∆ ∆

∆

 en el punto A de la figura 1.44 es: 

   

Ec.1.50

De la figura 1.45 se obtienen los valores de   para varios valores de H/B y z/B.  Base  rígida  rugosa,  es  decir  que  el  contacto  entre  el  estrato  compresible  y  la  base  rígida  sea  perfectamente rugoso. Para este caso, el incremento de esfuerzos verticales ∆  es:  ∆

∆

   

Ec.1.51

De la figura 1.46 se obtienen los valores de   para determinar ∆  en el punto A. Para determinar ∆  en  el punto C los valores de   son obtenidos a partir de la tabla 1.15 para diversos valores de H/B y z/B. 

72 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Figura 1.45 Coeficientes   para cálculo de ∆  en el punto A. (Base lisa).  

Figura 1.46 Coeficientes   para cálculo de ∆  en el punto A. (Base rugosa).    

 

73 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

 

Tabla 1.15 Valores de    en función de  ⁄     ⁄ .   

0,15  ⁄  

 

0,30 

0,45 

  ⁄

 

0,5 

 

 

0,15  ⁄  

 

0,30 

 

  ⁄

 

0,45   

5,00 

0,00 

0,5 

0,5 

0,5 

 

0,00 

0,500 

0,500 

0,500 

0,20 

0,501 

0,501 

0,501 

 

0,20 

0,492 

0,493 

0,493 

0,40 

0,499 

0,498 

0,497 

 

0,40 

0,489 

0,489 

0,489 

 

0,60 

0,469 

0,469 

0,470 

⁄

1,00 

0,00 

0,500 

0,500 

0,500 

 

0,80 

0,442 

0,442 

0,443 

0,20 

0,500 

0,500 

0,500 

 

1,00 

0,411 

0,412 

0,413 

0,40 

0,500 

0,500 

0,500 

 

1,20 

0,381 

0,381 

0,383 

0,60 

0,497 

0,494 

0,490 

 

1,40 

0,352 

0,353 

0,354 

0,80 

0,494 

0,488 

0,484 

 

1,60 

0,326 

0,327 

0,329 

1,00 

0,479 

0,466 

0,454 

 

1,80 

0,303 

0,304 

0,307 

 

2,00 

0,282 

0,284 

0,287 

⁄

2,00 

0,00 

0,500 

0,500 

0,500 

 

2,50 

0,242 

0,244 

0,248 

0,20 

0,497 

0,497 

0,497 

 

3,00 

0,213 

0,216 

0,221 

0,40 

0,494 

0,495 

0,496 

 

3,50 

0,193 

0,196 

0,202 

0,60 

0,480 

0,481 

0,484 

 

4,00 

0,178 

0,181 

0,188 

0,80 

0,460 

0,461 

0,465 

 

4,50 

0,167 

0,169 

0,176 

1,00 

0,437 

0,438 

0,444 

 

5,00 

0,157 

0,158 

0,163 

1,20 

0,414 

0,416 

0,423 

 

 

 

 

 

1,40 

0,394 

0,395 

0,403 

 

 

 

 

 

1,60 

0,376 

0,376 

0,383 

 

 

 

 

 

1,80 

0,360 

0,358 

0,362 

 

 

 

 

 

2,00 

0,343 

0,337 

0,337 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⁄

3,00 

0,00 

0,500 

0,500 

0,500 

 

 

 

 

 

0,20 

0,495 

0,495 

0,496 

 

 

 

 

 

0,40 

0,491 

0,491 

0,492 

 

 

 

 

 

0,60 

0,473 

0,473 

0,475 

 

 

 

 

 

0,80 

0,448 

0,449 

0,451 

 

 

 

 

 

1,00 

0,420 

0,421 

0,425 

 

 

 

 

 

1,20 

0,392 

0,394 

0,398 

 

 

 

 

 

1,40 

0,367 

0,369 

0,375 

 

 

 

 

 

1,60 

0,344 

0,347 

0,353 

 

 

 

 

 

1,80 

0,325 

0,328 

0,335 

 

 

 

 

 

2,00 

0,308 

0,311 

0,319 

 

 

 

 

 

2,50 

0,276 

0,278 

0,286 

 

 

 

 

 

3,00 

0,251 

0,249 

0,252 

 

 

 

 

 

 

   

 

74 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

1.7.3 Superficie cargada en forma circular  1.7.3.1 Incremento de esfuerzos debido a una superficie cargada en  forma circular (E1>E2)   Burmister  (1943)  realizó el  mismo análisis pero considerando un  área flexible circular de radio R con una  carga q uniformemente aplicada en la superficie de un estrato rígido que descansa sobre un estrato blando,  como muestra la figura 1.47.  

Figura 1.47 Área circular uniformemente cargada en un medio estratificado donde 

.  

Para este caso el incremento de esfuerzos, ∆ , en un punto situado a una cierta profundidad por debajo  del centro del círculo es:  ∆

∆

   

Ec. 1.52

 

Figura 1.48 Coeficientes   para  ⁄

1.  

75 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Los  valores  de   son  obtenidos  a  partir  de  las  figuras  1.48  a  1.50  para  h  igual  a  0,5D;  1D;  2D  y  para  distintos valores de  ⁄

. Las figuras 1.49 y 1.50 son extensiones realizadas por Milovic (1992). 

Figura 1.49 Coeficientes   para h/R=2.  

Figura 1.50 Coeficientes   para h/R=4.  

76 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

1.7.3.2 Incremento de esfuerzos en medios finitos debido a una  cargada de forma circular  En el caso de la figura 1.51 se tiene un área flexible circular uniformemente cargada sobre la superficie de un  estrato  compresible  homogéneo  e  isotrópico  que  se  halla  descansando  sobre  una  base  rígida;  la  cual  proporciona un plano de contacto perfectamente rugoso con el estrato compresible. 

Figura 1.51 Área flexible circular cargada sobre un medio finito.  

El incremento de esfuerzos verticales ∆  para la condición de carga dada en la figura 1.51 es:  ∆

∆

   

Ec. 1.53

La tabla 1.16 presenta los valores de   para el cálculo de ∆  en el punto O de la figura 1.51 para H/D =  0,5, 1, 2 y 3. La tabla 1.17 presenta los valores de   para el cálculo de ∆  en el punto C de la figura 1.51. 

1.7.4  Incremento  de  esfuerzos  en  medios  finitos  debido  a  una  cargada de forma rectangular  Finalmente, para el caso de la figura 1.52 que considera un área flexible rectangular uniformemente cargada  sobre la superficie de un  estrato compresible homogéneo e isotrópico  que se halla descansando sobre una  base  rígida;  la  cual  proporciona  un  plano  de  contacto  perfectamente  rugoso  con  el  estrato  compresible;  el  incremento de esfuerzos verticales ∆ , para la condición de carga dada es:  ∆

∆

 

 

Ec. 1.54

Figura 1.52 Área flexible rectangular cargada sobre un medio finito.  

77 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

  La  tabla  1.18  presenta  los  valores  de 

 

 

  para  el  cálculo  de  ∆   en  el  punto  O  de  la  figura  1.52  para 

distintos valores de H/B y L/B. La tabla 1.19 presenta los valores de 

 para el cálculo de ∆  en el punto C 

de la figura 1.52.  Tabla 1.16 Valores de   para el punto   en función de  ⁄     ⁄ .  ⁄

    ⁄  

⁄

0,5  0,15 

 

0  0,30 

    0,45 

 

 

0,03  0,13  0,23  0,33  0,43 

1,004  1,017  1,006  0,964  0,903 

1,003  1,018  1,009  0,965  0,896 

0,551  0,459  0,391  0,400  0,513 

 

 

 

 

⁄

    ⁄  

⁄

1,00  0,15 

 

0  0,30 

    0,45 

 

 

0,05  0,15  0,25  0,35  0,45  0,55  0,65  0,75  0,85  0,95 

1,001  0,981  0,921  0,832  0,734  0,644  0,569  0,509  0,460  0,420 

1,000  0,980  0,921  0,834  0,739  0,651  0,576  0,516  0,467  0,423 

0,991  0,981  0,922  0,839  0,745  0,661  0,592  0,536  0,488  0,443 

 

 

 

 

⁄

    ⁄  

⁄

2,00  0,15 

 

0  0,30 

    0,45 

 

 

0,03  0,10  0,30  0,50  0,73  1,00  1,13  0,14  1,67  1,93 

1,003  0,997  0,863  0,645  0,44  0,297  0,251  0,19  0,154  0,13 

1,002  0,996  0,862  0,644  0,441  0,3  0,254  0,193  0,158  0,132 

1,001  0,997  0,857  0,636  0,438  0,301  0,257  0,199  0,165  0,14 

 

 

 

 

⁄

    ⁄   0,05  0,25  0,45  0,65  0,85  1,10  1,50  1,90  2,30  2,90 

3,00  0,15 

  1,000  0,906  0,694  0,497  0,358  0,247  0,152  0,105  0,080  0,060 

⁄

0  0,30 

  1,000  0,904  0,693  0,497  0,358  0,247  0,153  0,106  0,082  0,061 

    0,45    0,994  0,902  0,690  0,492  0,354  0,246  0,154  0,109  0,085  0,065 

 

78 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Tabla 1.17 Valores de    para el punto   en función de  ⁄     ⁄ .  ⁄

    ⁄  

⁄

0,5  0,15 

 

1,0  0,30 

    0,45 

 

 

0,03  0,13  0,23  0,33  0,43 

0,485  0,467  0,447  0,430  0,414 

0,485  0,466  0,446  0,427  0,406 

0,472  0,455  0,438  0,420  0,395 

 

 

 

 

⁄

    ⁄  

⁄

1,00  0,15 

 

1,0  0,30 

    0,45 

 

 

0,05  0,15  0,25  0,35  0,45  0,55  0,65  0,75  0,85  0,95 

0,478  0,452  0,425  0,397  0,372  0,348  0,326  0,307  0,290  0,273 

0,475  0,452  0,425  0,399  0,374  0,350  0,329  0,309  0,290  0,270 

0,459  0,437  0,417  0,395  0,374  0,353  0,334  0,315  0,295  0,272 

 

 

 

 

⁄

    ⁄  

⁄

2,00  0,15 

 

1,0  0,30 

    0,45 

 

 

0,03  0,10  0,30  0,50  0,73  1,00  1,13  0,14  1,67  1,93 

0,483  0,466  0,401  0,335  0,266  0,207  0,185  0,151  0,128  0,111 

0,481  0,465  0,402  0,335  0,268  0,209  0,187  0,153  0,13  0,111 

0,468  0,45  0,393  0,331  0,267  0,211  0,19  0,159  0,137  0,116 

 

 

 

 

⁄

    ⁄   0,05  0,25  0,45  0,65  0,85  1,10  1,50  1,90  2,30  2,90 

3,00  0,15 

 

⁄

1,0  0,30 

 

0,476  0,415  0,347  0,284  0,230  0,178  0,123  0,091  0,072  0,056 

0,474  0,415  0,347  0,284  0,231  0,179  0,124  0,092  0,073  0,056 

    0,45    0,459  0,404  0,341  0,281  0,230  0,179  0,126  0,095  0,077  0,059 

 

 

 

79 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

Tabla 1.18 Valores de  ⁄

 

 

  en el punto  .  ⁄

1,00 

 

 

0,15 

1,00  0,30 

 

 

 

0,45 

 

 

⁄

⁄

1,00  0,15 

5,00 

 

0,30 

0,45 

⁄  

 

 

 

 

⁄  

 

 

 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

0,20 

0,941 

0,943 

0,947 

 

0,20 

0,930 

0,930 

0,930 

0,40 

0,837 

0,842 

0,855 

 

0,40 

0,798 

0,798 

0,798 

0,60 

0,682 

0,690 

0,712 

 

0,80 

0,450 

0,450 

0,450 

0,80 

0,563 

0,570 

0,595 

 

1,20 

0,258 

0,258 

0,258 

1,00 

0,473 

0,468 

0,478 

 

1,60 

0,162 

0,162 

0,163 

 

 

 

 

 

2,00 

0,110 

0,111 

0,112 

 

 

 

 

 

2,50 

0,075 

0,075 

0,077 

⁄

 

⁄

1,00 

 

0,15  ⁄  

2,00  0,30 

 

 

 

 

3,00 

0,055 

0,056 

0,057 

0,45 

 

3,50 

0,043 

0,044 

0,046 

 

4,00 

0,036 

0,037 

0,039 

 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

 

4,50 

0,031 

0,032 

0,034 

0,20 

0,931 

0,931 

0,931 

 

5,00 

0,027 

0,027 

0,029 

0,40 

0,802 

0,800 

0,804 

 

 

 

 

 

0,80 

0,462 

0,464 

0,469 

 

 

 

1,20 

0,282 

0,286 

0,294 

 

 

1,60 

0,200 

0,204 

0,215 

 

 

2,00 

0,157 

0,155 

0,161 

 

  ⁄

  ⁄

2,00  0,15 

⁄  

1,00 

 

0,30 

 

0,45 

 

 

 

 

 

 

 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

 

 

 

 

 

0,20 

0,976 

0,977 

0,981 

⁄

 

⁄

1,00 

 

0,15 

3,00  0,30 

 

 

0,40 

0,919 

0,924 

0,936 

0,45 

 

0,60 

0,821 

0,827 

0,84 

⁄  

 

 

 

 

0,80 

0,732 

0,734 

0,754 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

 

1,00 

0,651 

0,638 

0,639 

0,20 

0,930 

0,930 

0,930 

 

 

 

 

 

0,40 

0,799 

0,799 

0,799 

 

 

 

0,80 

0,452 

0,453 

0,494 

 

   

1,20 

0,263 

0,264 

0,266 

 

1,60 

0,170 

0,172 

0,175 

 

  ⁄

2,00 

  ⁄

0,15  ⁄  

 

2,00 

 

0,30   

0,45   

2,00 

0,122 

0,124 

0,129 

 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

2,50 

0,091 

0,093 

0,099 

 

0,20 

0,963 

0,963 

0,964 

3,00 

0,073 

0,073 

0,076 

 

0,40 

0,877 

0,878 

0,88 

 

 

 

 

 

0,80 

0,615 

0,619 

0,627 

 

 

 

 

 

1,20 

0,436 

0,441 

0,455 

 

 

 

 

 

1,60 

0,334 

0,34 

0,356 

 

 

 

 

 

2,00 

0,271 

0,269 

0,277 

 

 

 

80 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

    Tabla 1.18 (Continuación). Valores de  ⁄

 

⁄

2,00 

 

0,15 

  en el punto  . 

3,00  0,30 

 

 

 

0,45 

 

 

⁄

⁄

5,00  0,15 

2,00 

 

0,30 

0,45 

⁄  

 

 

 

 

⁄  

 

 

 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

0,20 

0,961 

0,962 

0,962 

 

0,20 

0,971 

0,971 

0,972 

0,40 

0,872 

0,872 

0,873 

 

0,40 

0,889 

0,890 

0,893 

0,80 

0,598 

0,599 

0,602 

 

0,80 

0,667 

0,670 

0,677 

1,20 

0,403 

0,405 

0,409 

 

1,20 

0,524 

0,528 

0,539 

1,60 

0,286 

0,289 

0,295 

 

1,60 

0,441 

0,443 

0,455 

2,00 

0,217 

0,220 

0,229 

 

2,00 

0,385 

0,377 

0,379 

2,50 

0,168 

0,171 

0,180 

 

 

 

 

 

3,00 

0,137 

0,137 

0,142 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⁄

 

⁄

2,00 

 

0,15 

  ⁄

5,00  0,15 

3,00 

 

0,30 

0,45 

 

 

⁄  

 

 

 

0,45 

5,00  0,30 

⁄

 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

⁄  

 

 

 

 

0,20 

0,969 

0,969 

0,970 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

 

0,40 

0,840 

0,884 

0,885 

0,20 

0,961 

0,961 

0,961 

 

0,80 

0,649 

0,650 

0,653 

0,40 

0,870 

0,870 

0,870 

 

1,20 

0,489 

0,492 

0,498 

0,80 

0,594 

0,594 

0,594 

 

1,60 

0,391 

0,395 

0,404 

1,20 

0,393 

0,394 

0,395 

 

2,00 

0,329 

0,333 

0,344 

1,60 

0,270 

0,271 

0,272 

 

2,50 

0,278 

0,281 

0,292 

2,00 

0,195 

0,195 

0,197 

 

3,00 

0,241 

0,239 

0,242 

2,50 

0,138 

0,139 

0,141 

 

 

 

 

 

3,00 

0,104 

0,105 

0,108 

 

 

 

 

3,50 

0,083 

0,085 

0,088 

 

   

⁄

5,00 

  ⁄

 

4,00 

0,070 

0,071 

0,075 

 

4,50 

0,060 

0,062 

0,065 

 

⁄  

 

 

 

5,00 

0,053 

0,053 

0,056 

 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

 

 

 

 

 

0,20 

0,969 

0,969 

0,969 

 

 

 

 

 

0,40 

0,881 

0,881 

0,882 

 

 

0,80 

0,641 

0,641 

0,642 

0,45 

⁄

 

⁄

5,00 

 

0,15 

1,00  0,30 

0,15 

5,00  0,30 

0,45 

 

1,20 

0,474 

0,475 

0,476 

⁄  

 

 

 

 

1,60 

0,367 

0,368 

0,370 

0,00 

1,000 

1,000 

1,000 

 

2,00 

0,294 

0,296 

0,299 

0,20 

0,980 

0,981 

0,983 

 

2,50 

0,233 

0,235 

0,239 

0,40 

0,920 

0,922 

0,930 

 

3,00 

0,191 

0,193 

0,199 

0,60 

0,830 

0,832 

0,843 

 

3,50 

0,162 

0,165 

0,172 

0,80 

0,753 

0,751 

0,760 

 

4,00 

0,141 

0,144 

0,152 

1,00 

0,688 

0,672 

0,665 

 

4,50 

0,126 

0,128 

0,135 

 

 

 

 

 

5,00 

0,113 

0,113 

0,117 

 

 

 

81 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

  Tabla 1.19 Valores de  ⁄

 

  en el punto  .  ⁄

1,00 

 

0,15 

1,00  0,30 

 

 

 

0,45 

 

 

⁄

⁄

1,00  0,15 

5,00 

 

0,30 

0,45 

⁄  

 

 

 

 

⁄  

 

 

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

0,20 

0,250 

0,250 

0,250 

 

0,20 

0,249 

0,249 

0,249 

0,40 

0,250 

0,250 

0,250 

 

0,40 

0,241 

0,241 

0,240 

0,60 

0,249 

0,249 

0,249 

 

0,80 

0,200 

0,200 

0,201 

0,80 

0,241 

0,238 

0,239 

 

1,20 

0,152 

0,153 

0,153 

1,00 

0,227 

0,220 

0,215 

 

1,60 

0,114 

0,114 

0,115 

 

 

 

 

 

2,00 

0,086 

0,087 

0,087 

 

 

  ⁄

   

  ⁄

1,00  0,15 

⁄  

0,30 

 

 

2,50 

0,063 

0,064 

0,065 

 

 

3,00 

0,049 

0,050 

0,051 

0,45 

 

3,50 

0,040 

0,040 

0,042 

 

4,00 

0,034 

0,034 

0,036 

2,00 

 

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

 

4,50 

0,029 

0,030 

0,032 

0,20 

0,250 

0,250 

0,250 

 

5,00 

0,026 

0,036 

0,027 

0,40 

0,243 

0,244 

0,245 

 

 

 

 

 

0,80 

0,210 

0,211 

0,214 

 

 

 

 

1,20 

0,170 

0,172 

0,178 

 

   

⁄

  ⁄

2,00 

 

1,60 

0,141 

0,142 

0,149 

 

2,00 

0,118 

0,117 

0,120 

 

⁄  

 

 

 

 

 

 

 

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

 

 

 

 

 

0,20 

0,250 

0,250 

0,250 

⁄

 

⁄

1,00 

 

0,15 

3,00  0,30 

0,15 

1,00  0,30 

0,45 

 

 

0,40 

0,250 

0,250 

0,250 

0,45 

 

0,60 

0,249 

0,249 

0,249 

⁄  

 

 

 

 

0,80 

0,248 

0,244 

0,240 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

 

1,00 

0,241 

0,232 

0,223 

0,20 

0,249 

0,249 

0,249 

 

 

 

 

 

0,40 

0,241 

0,241 

0,242 

 

 

 

 

 

0,80 

0,203 

0,203 

0,204 

 

 

1,20 

0,157 

0,158 

0,160 

 

 

1,60 

0,121 

0,122 

0,125 

 

⁄  

 

 

 

2,00 

0,096 

0,098 

0,102 

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

2,50 

0,077 

0,078 

0,083 

 

0,20 

0,250 

0,250 

0,250 

3,00 

0,640 

0,065 

0,066 

 

0,40 

0,248 

0,249 

0,248 

 

 

 

 

 

0,80 

0,230 

0,231 

0,234 

 

 

 

 

 

1,20 

0,205 

0,207 

0,212 

 

 

 

 

 

1,60 

0,182 

0,183 

0,188 

 

 

 

 

 

2,00 

0,163 

0,160 

0,160 

⁄

2,00 

⁄

0,15 

2,00 

 

0,30 

0,45 

 

 

 

82 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

      en el punto  . 

Tabla 1.19 (Continuación). Valores de  ⁄

 

⁄

2,00 

 

0,15 

3,00  0,30 

 

 

 

0,45 

 

 

⁄

⁄

5,00  0,15 

2,00 

 

0,30 

0,45 

⁄  

 

 

 

 

⁄  

 

 

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

0,20 

0,250 

0,250 

0,250 

 

0,20 

0,250 

0,250 

0,250 

0,40 

0,246 

0,246 

0,246 

 

0,40 

0,247 

0,247 

0,248 

0,80 

0,222 

0,222 

0,224 

 

0,80 

0,230 

0,230 

0,232 

1,20 

0,190 

0,191 

0,194 

 

1,20 

0,207 

0,208 

0,211 

1,60 

0,162 

0,163 

0,167 

 

1,60 

0,188 

0,188 

0,190 

2,00 

0,139 

0,141 

0,146 

 

2,00 

0,172 

0,168 

0,166 

2,50 

0,119 

0,120 

0,125 

 

 

 

 

 

3,00 

0,103 

0,102 

0,104 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  ⁄

   

  ⁄

2,00  0,15 

⁄  

 

 

  ⁄

5,00  0,15 

3,00 

 

0,30 

0,45 

 

 

⁄  

 

 

 

0,45 

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

 

0,20 

0,249 

0,249 

0,249 

5,00  0,30 

⁄

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

 

0,40 

0,245 

0,246 

0,246 

0,20 

0,250 

0,250 

0,250 

 

0,80 

0,224 

0,225 

0,223 

0,40 

0,245 

0,245 

0,245 

 

1,20 

0,197 

0,197 

0,199 

0,80 

0,218 

0,219 

0,219 

 

1,60 

0,173 

0,174 

0,176 

1,20 

0,183 

0,184 

0,184 

 

2,00 

0,155 

0,156 

0,159 

1,60 

0,151 

0,151 

0,152 

 

2,50 

0,139 

0,138 

0,141 

2,00 

0,124 

0,124 

0,126 

 

3,00 

0,126 

0,123 

0,123 

2,50 

0,099 

0,100 

0,102 

 

 

 

 

 

3,00 

0,081 

0,082 

0,085 

 

 

 

  ⁄

3,50 

0,068 

0,069 

0,073 

 

 

4,00 

0,059 

0,060 

0,064 

 

 

4,50 

0,053 

0,053 

0,057 

 

⁄  

 

 

 

5,00 

0,047 

0,047 

0,049 

 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

 

 

 

 

 

0,20 

0,249 

0,249 

0,249 

 

 

 

 

 

0,40 

0,245 

0,245 

0,245 

⁄

 

⁄

5,00 

 

0,15 

1,00  0,30 

5,00 

  ⁄

0,15 

5,00 

 

0,30 

0,45 

 

 

0,80 

0,800 

0,096 

0,222 

0,45 

 

1,20 

0,191 

0,191 

0,192 

⁄  

 

 

 

 

1,60 

0,164 

0,164 

0,166 

0,00 

0,250 

0,250 

0,250 

 

2,00 

0,142 

0,143 

0,145 

0,20 

0,250 

0,250 

0,250 

 

2,50 

0,122 

0,123 

0,125 

0,40 

0,250 

0,250 

0,250 

 

3,00 

0,107 

0,108 

0,111 

0,60 

0,249 

0,249 

0,249 

 

3,50 

0,096 

0,097 

0,101 

0,80 

0,247 

0,244 

0,242 

 

4,00 

0,088 

0,089 

0,092 

1,00 

0,239 

0,233 

0,226 

 

4,50 

0,081 

0,082 

0,085 

 

 

 

 

 

5,00 

0,075 

0,075 

0,076 

 

 

 

83 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Ejemplo 1.4  Para la figura 1.53, se pide determinar:  1) Determinar el promedio del incremento de esfuerzo en los 6 primeros metros del segundo estrato,  utilizando la figura 1.53 (a)    2) En la figura 1.53 (b), determinar incremento de esfuerzo en el centro y en el borde de la losa circular  a una profundidad de 8m   3) En  la  figura  1.53  (c),  determinar  incremento  de  esfuerzo  en  el  centro  y  en  el  borde  de  la  losa  rectangular a una profundidad de 6m   Solución: 

Refiérase a la figura 1.53.  

Figura. 1.53 (a) Losa circular fundada en dos estratos de suelo   ,(b)losa circular fundada sobre un medio finito,  (c) losa rectangular fundada sobre un medio finito.  

Paso 1. Determinación de la 

 a la profundidad de fundación 

Del ejemplo 1.2 utilizaremos los valores de la 

1,5  , en cada uno de las obras civiles. 

, anteriormente calculados. 

Caso a) Losa rectangular.  La carga neta a nivel de fundación es:  ,

,

 ; 

,

 ;

,

93 

 

Caso b) Losa circular   La carga neta a nivel de fundación es:  ,

,

 ; 

,

 ;

,

132,8 

 

Paso 2. Determinación del promedio de incremento de esfuerzo ∆  en el centro de la losa circular en los  6 primeros metros del segundo estrato   Empleamos la ecuación (1.52). 

84 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  ∆

∆

   

Donde:  132,8 

 ; 

⁄

50/5

,

 

 

5

10      

 1.48  

Por lo tanto:  0   ; 

1 

∆

132,8

1

132,8 

 

5   ; 

0,31 

∆

132,8

0,31

41,17 

 

7   ; 

0,22 

∆

132,8

0,22

29,22 

 

8   ; 

0,19 

∆

132,8

0,19

25,23 

 

9   ; 

0,165 

∆

132,8

0,165

11   ; 

0,13 

∆

132,8

0,13

21,91  17,26 

   

Por lo tanto el incremento de esfuerzo en la centro de la losa circular es:   ∆

∆

4

∆ 6

41,17

∆

4

25,23 6

17,26

,

 

 

Paso  3.  Determinación  del  incremento  de  esfuerzo  en  el  centro  y  en  el  borde  de  la  losa  circular  a  una  profundidad de 8m, utilizando la figura 1.53 (b).  •

En el centro de la losa circular 

Empleamos la ecuación (1.53).  ∆

∆

   

Donde:  ,

132,8   Pa ; H⁄D

10/10

 

 1.16  

 

    8 10

1 ;

: 

0,8 ; 

,

1 ;  

0,30 

5   

   

 1.16 

0,4915 

Entonces el incremento de esfuerzo es:  ∆

∆

 

132,8

0,4915

,

 

 

85 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

  •

 

 

En el borde de la losa circular 

Empleamos la ecuación 1.53.  ∆

∆

   

Donde:  132,8  ,

 

 ;  ⁄

10/10

    8 10

 1.17  

  1 ;

: 

1 ;   5 5

0,8 ; 

5  

,

1 ; 

0,30 

   

 1.17 

0,299 

Entonces el incremento de esfuerzo es:  ∆

∆

 

132,8

0,299

,

 

 

Paso 4. Determinación del incremento de esfuerzo en el centro y en la esquina de la losa rectangular una  profundidad de 6 m.  •

En el centro de la losa rectangular 

Empleamos la ecuación (1.54).  ∆

∆

 

 

Donde:  93  ,

 

 

  8 4

: 

   

 1.18   6 4

2 ;

8 4

1,5 ; 

2 ; 

,

0,30 

   

 1.18 

0,365 

   

 1.19 

0,189 

Entonces el incremento de esfuerzo es:  ∆

∆ •

 

132,8

0,365

,

 

 

En el borde de la losa rectangular 

Empleamos la ecuación (1.54).  ∆

∆

 

 

Donde:  93  ,

  

 

  8 4

: 

   

2 ;

 1.19  6 4

8 4

1,5 ; 

2 ; 

,

0,30 

Entonces el incremento de esfuerzo es:  ∆  

∆

 

93

0,189

,

 

. 

 

86 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Ejemplo 1.5  Se desea determinar el incremento de esfuerzo vertical, producido por una carga de 40 kPa, como se muestra  en la figura 1.54, utilizando el programa SIGMA/W. 

Figura. 1.54 Perfil del suelo con las características geotécnicas del suelo. 

Solución: 

Refiérase a la figura 1.54. 

Paso 1. Abrimos el programa de GeoStudio 2007, elegimos la opción de  Student License, y hacemos clik  en New  SIGMA/W. 

87 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Paso 2. Nombramos el archivo en la opción de Name, y elegimos en Analysis Type: Load/Deformation, y  hacemos clik en la opción de Close. 

Paso 3. En la opción Set Page, nos abre una ventana en donde damos el alto (Width) y el ancho (Heigth)  de la página. En el mismo icono elegimos Unit and Scale, en la opción de View, marcamos Axisymmetric. 

88 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Paso  4.  Vamos  a  la  opción  de  Sketch Axes,  para  dibujar  los  ejes.  Hacemos  clik  en  el  punto  de  inicio  y  soltamos en el punto final.  

Paso 5. Dibujamos el perfil del suelo con la opción Sketch Polylines. 

   

 

89 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Paso  6.  Definimos  el  material,  con  la  opción  KeyIn Materials,  hacemos  clik  en  Add.  En  la  ventana  que  nos abre colocamos las condiciones del estrato superior y inferior. 

Vamos  a  la  opción  de  Draw Region,  y  dibujamos  las  regiones  en  cada  estrato.  Para  designar  el  material  hacemos  clik  en  Draw Materials,  en  la  ventana  que  sale  elijamos  el  tipo  de  material  y  asignamos  a  cada  estrato. 

90 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Paso 7. Definimos la carga en la opción Draw Boundary Conditions, en la ventana que nos abre llenamos  las características de la carga aplicada. 

Para asignar la carga, elegimos la carga definida anteriormente. 

 

 

91 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Paso 8. Para asignar las restricciones de movimiento, vamos a la opción Draw Boundary Coditions, en la  ventana que nos sale elegimos el tipo de restricción y la asignamos. 

Paso 9. Para discretizar los perfiles del suelo, vamos a Draw Mesh Properties. Debido a que utilizamos  la licencia de estudiante, la discretización es limitada a 500  ares, por ello, realizamos la discretización cada  2m. 

   

 

92 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

  Paso 10. Para verificar errores, vamos a Tools Verify/Optimize Data. 

  Paso 11. Para resolver el ejemplo, vamos a Solve/Analyses, hacemos clik en Start. 

 

93 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

Paso  12.  Para  ver  el  incremento  de  esfuerzo  con  la  profundidad,  vamos  a  Countours.  Esta  opción  nos  muestra el bulbo de presiones. 

Paso  13.  Para  ver  los  incrementos  de  esfuerzo  vertical  y  los  horizontales,  en  cada  elemento.  Vamos  a  View Result  Information,  y  hacemos  clik  en  el  elemento  en  el  cual  queremos  ver  los  incrementos  de  esfuerzo. 

94 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

1.8 Método de Tomlinson (carga de fundación rígida)  Todos los métodos para la determinación del incremento de esfuerzos desarrollados anteriormente, tienen  como  una  de  sus  principales  hipótesis  el  considerar  la  aplicación  de  una  carga  flexible,  no  habiéndose  considerado en ningún caso la aplicación de una carga rígida.  Sin  embargo,  para  el  caso  de  fundaciones  rígidas,  es  posible  determinar  el  incremento  de  esfuerzos  o  esfuerzo medio que debe ser usado posteriormente para la determinación de asentamientos. El incremento  de esfuerzos ∆  para una fundación rígida es:  ∆

∆

 

 

El factor de influencia 

Ec. 1.55 , se determina a través de la gráfica propuesta por Tomlinson (1996), Fig. 1.55. 

Esta gráfica permite la determinación del factor de influencia para áreas rectangulares, variando estas desde  superficies cuadradas a superficies continuas para distintas profundidades debajo el nivel de fundación.  

Figura 1.55 Factor de influencia 

 para el cálculo del incremento de esfuerzos debajo el centro de un área rectangular 

rígida 

, uniformemente cargada (Tomlinson, 1996).  

95 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar 

 

 

 

 

1.9 Comparación de métodos  Finalmente, Harr (1977), a través de una serie de experimentos realizados tanto en depósitos de arena como  en depósitos de arcilla, demuestra que su método se aproxima más a la realidad que el método tradicional de  Boussinesq  (1883).  Los  resultados  obtenidos  a  partir  de  los  experimentos,  muestran  que  a  través  de  su  método se presentan esfuerzos picos más altos que los predecidos por la teoría de la elasticidad, siendo estos  esfuerzos disipados más rápidamente de lo que tal teoría indica.  A continuación, a fin de ilustrar la variación de los resultados obtenidos a partir de estos dos métodos, se  presenta  la  determinación  del  incremento  de  esfuerzos  debajo  una  de  las  esquinas  de  un  área  rectangular  uniformemente cargada.  A partir de la figura 1.56, se tiene 

1  ,

2,5     

49 .  El  coeficiente  de  presión  lateral  del  terreno 

de 

20

⁄

. El ángulo de fricción del suelo es 

0,25.  El  incremento  de  esfuerzos  Δ   será 

determinado a 1, 2, 3 y 4 m de profundidad.  La tabla 1.20, observada a continuación, ilustra los resultados obtenidos mediante estos dos métodos. La  figura 1.56 presenta de manera gráfica la distribución de esfuerzos hallada a partir de ambos métodos.  Tabla  1.20  Comparación  entre  los  resultados  obtenidos  a  partir  del  método  de  Boussinesq  (1883)  y  el  método  probabilístico de Harr (1977).  z  ( m ) 

Metodo de Boussinesq  Teoria de la elasticidad  Δσv 

Metodo de Harr  Metodo probabilistico  Δσv 

1  2  3  4 

4,048  2,530  1,600  1,088 

4,20  2,41  1,38  0,85 

Se  puede  observar  que  el  método  probabilístico  presenta  esfuerzos  picos  más  altos  que  el  método  de  Boussinesq  (i.e.  4,20>4,048)  y  que  a  su  vez,  los  esfuerzos  determinados  por  el  método  probabilístico  son  disipados más rápidamente de lo que la teoría de elasticidad indica.  

Figura 1.56 Comparación entre la distribución de esfuerzos obtenida mediante el método de Boussinesq (1883) y la  obtenida mediante el método de Harr (1977).     

96 

Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 

 

Referencias  Ahlvin y Ulery. (1962) “Use of Concentration Index for Pavement Design”.  American  Society  for  Testing  and  Materials,  1999.  “Annual  Book  of  ASTM  Stndards  Volume  04.08  soils  and  rocks”. Filadelphia USA.  Bowles J.E. “Foundation Analysis and Design, Fifth Edition” Mc. Graw Hill”.  Budhu M. “Soil Mechanics and Foundations” John Wiley & Sons”.  Lambe T. William , Whitman Robert V. (1979) “Soil mechanics”.  Leonards G. A. (1962) “Foundation engineering”.  Coduto D.P. “Foundation Design Principles and Practices” Prentice Hall  Das B.M. “Principles of Foundation Engineering, Fifth Edition” Thomson Brooks / Cole  De Sousa Pinto C. “Curso Básico de Mecanica dos Solos” Oficina de Textos  Holtz. (1991) “Grouting, Soil Improvement and Geosynthetics”.  Harr Milton Edward (1984) “Reliability & probability methods in geotechnical engineering”.  Janbu Nilmar,  Torgeir Moan,  , Odd Magnus  Faltinsen (1988) “The  measurement, selection, and use of  design  parameters in geotechnical engineering”.  Mc Carron (1991) “Introductory geotechnical engineering”.  Marangos C. (1995) “Proposal on the improvement of Schmertmann et al. settlement prediction method”   Milovic D. “Stresses and Displacements for Shallow Foundations” Elsevier  Newmark Nathan Mortimore, American Society of Civil Engineers. (1976) “Selected papers”.  Prakash Shamsher, Sharma Hari D. (1990) “Pile foundations in engineering practice”.   Salinas L.M., A. Aranibar (2006) “Mecánica de Suelos”.  Salinas L.M., Campos J. & Guardia G. “Problemas resueltos de Mecánica de Suelos”.  Sridharan A. y Prakash K. (2001) “Limiting Compression Curves”. Geotechnical Testing Journal GTJODJ, 4 (3),  330‐333  Terzaghi y Peck “ Soil Mechanics in engineering practice”.  Tomlinson L.J. “Foundation Design and Construction, Sixth Edition” Longman   Whitlow R. “Basic Soil Mechanics, Third Edition” Longman  Westergaard Harold Malcolm (1952) “Theory of elasticity and plasticity”. 

97 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

Capítulo dos 

Asentamiento de fundaciones  superficiales  Contenido  2. Asentamiento de fundaciones superficiales ................................................................................................................................ 98  2.1 Introducción ...................................................................................................................................................................................... 100  2.1.1 Causas de asentamientos de las fundaciones ......................................................................................................... 100  2.1.2 Mecanismos generadores de asentamientos .......................................................................................................... 101  2.2 Asentamiento inmediato ............................................................................................................................................................. 103  2.2.1 Asentamiento inmediato en arcillas en un espacio semi‐infinito ................................................................. 109  2.2.2 Asentamiento inmediato en estratos de arcilla de espesor finito ................................................................. 112  2.2.3 Determinación del módulo de elasticidad apropiado a utilizarse en el cálculo de asentamientos  ...................................................................................................................................................................................................... 114  2.3 Asentamiento en suelos granulares ....................................................................................................................................... 121  2.3.1 Naturaleza del problema .................................................................................................................................................. 121  2.3.2 Método de Terzaghi y Peck (1948) ............................................................................................................................. 122  2.3.3 Método de Burland y Burbidge (1985) ...................................................................................................................... 123  Ejemplo 2.1 ............................................................................................................................................................................. 126  2.3.4 Método de Schultze y Sharif (1965) ............................................................................................................................ 128  Ejemplo 2.2 ............................................................................................................................................................................. 129  2.3.5 Método de Schmertmann (1970) ................................................................................................................................. 131  2.3.6 Método de Schmertmann (1978) ................................................................................................................................. 134  Ejemplo 2.3 ............................................................................................................................................................................. 137  2.3.7 Método de Berardi y Lancellotta (1991) ................................................................................................................... 139  Ejemplo 2.4 ............................................................................................................................................................................. 142  2.3.8 Método de Mayne y Poulos (1999) .............................................................................................................................. 145  Ejemplo 2.5 ............................................................................................................................................................................. 148  2.3.9 Comparación de métodos para la predicción de asentamientos en suelos granulares ...................... 151  2.4 Asentamiento por consolidación primaria ......................................................................................................................... 153  2.4.1 Concepto .................................................................................................................................................................................. 153  2.4.2 Determinación del asentamiento por consolidación a partir de la curva de consolidación de campo  ...................................................................................................................................................................................................... 156  2.4.2.1 Determinación del esfuerzo de sobrecarga inicial (σ’o) y el índice de vacios inicial (eo) .... 157  2.4.2.2 Determinación del incremento de esfuerzo promedio (Δσ’v) .......................................................... 157  Ejemplo 2.6 ............................................................................................................................................................................. 159  2.4.2.3 Determinación de la profundidad compresible del estrato de suelo (Ho) ................................. 161  2.4.3 Esfuerzo o presión de preconsolidación ................................................................................................................... 162  2.4.3.1 Definición ................................................................................................................................................................. 162 

98 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  2.4.3.2 Comportamiento elástico y plástico a partir de la presión de preconsolidación ................... 163  2.4.4 Ensayo de consolidación .................................................................................................................................................. 164  2.4.5 Determinación de la curva virgen de compresión de laboratorio ................................................................ 168  2.4.6 Obtención de la curva de consolidación de campo .............................................................................................. 172  2.4.6.1 Determinación de la presión de preconsolidación a partir de la curva de compresión de  laboratorio ............................................................................................................................................................ 173  2.4.6.1.1 Procedimiento de Casagrande ................................................................................................... 173  2.4.6.1.2 Procedimiento Log‐Log ................................................................................................................. 174  2.4.6.2 Determinación de la curva de consolidación de campo a partir de la curva de compresión  de laboratorio ...................................................................................................................................................... 175  2.4.6.2.1 Procedimiento de Schmertmann (1955) .............................................................................. 175  2.4.7 Determinación de los parámetros de deformación ............................................................................................. 177  2.4.7.1 Compresibilidad del suelo ................................................................................................................................ 177  2.4.8 Cálculo del asentamiento producido en el ensayo de consolidación (Asentamiento odómetrico)  ...................................................................................................................................................................................................... 184  2.4.8.1 Cálculo del asentamiento odómetrico en suelos normalmente consolidados ......................... 184  2.4.8.2 Cálculo del asentamiento odométrico en suelos sobreconsolidados ........................................... 185  2.4.9 Cálculo del asentamiento por consolidación primaria determinado a partir del asentamiento  odométrico ............................................................................................................................................................................. 185  2.4.10 Cálculo del asentamiento total producido en arcillas ...................................................................................... 187  2.4.11 Cálculo del asentamiento total producido en suelos estratificados .......................................................... 187  2.4.11.1 Método de Coduto (2001) ............................................................................................................................. 187  2.4.11.2 Método tangente de Janbu (1967) ............................................................................................................. 188  2.4.12 Tiempo de consolidación ............................................................................................................................................... 192  2.4.13 Relación asentamiento ‐ tiempo ................................................................................................................................ 201  2.4.14 Coeficiente de consolidación ....................................................................................................................................... 203  2.4.14.1 Método de Casagrande (Método de Log‐tiempo) ............................................................................... 203  2.4.14.2 Método de Taylor (Método de la raíz cuadrada de tiempo) .......................................................... 204  Ejemplo 2.7 ............................................................................................................................................................................. 207  Ejemplo 2.8 ............................................................................................................................................................................. 212  Ejemplo 2.9 ............................................................................................................................................................................. 215  2.6 Asentamiento por consolidación secundaria ..................................................................................................................... 218  2.7 Asentamientos tolerables, diferenciales y totales ........................................................................................................... 219     

 

99 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

2.1 Introducción  La relación entre los movimientos del terreno y la estabilidad de las estructuras cimentadas sobre él es muy  compleja, debido a que existen variados mecanismos generadores de movimientos del terreno. Por otro lado  existen  diversos  tipos  de  estructuras,  disponiendo  cada  una  de  capacidad  variable  para  resistir  o  ser  deteriorada por el movimiento.  La  mayoría  de  los  daños  en  las  edificaciones,  vinculados  a  movimientos  de  la  fundación  se  presentan  cuando surgen condiciones del suelo no previstas; principalmente por investigación inapropiada del suelo o  por no haberse identificado el comportamiento del mismo. Es fundamental comprender que las condiciones  del suelo son susceptibles a cambiar antes, durante y posteriormente a la construcción (Delgado,1996).  Según  el  principio  de  esfuerzos  efectivos  (Bishop,  1959)  cualquier  deformación  o  asentamiento  es  una  función  de  los  esfuerzos  efectivos  y  no  así  de  los  esfuerzos  totales.  Este  principio  se  aplica  solamente  a  esfuerzos normales y no a esfuerzos cortantes.  Los  asentamientos  de  fundaciones  deben  ser  estimados  con  gran  cuidado;  siendo  los  resultados  obtenidos sólo una buena estimación de la deformación esperada cuando la carga es aplicada.  En  la  selección  y  el  diseño  de  las  fundaciones,  se  presentan  con  frecuencia  condiciones  en  las  que  la  complejidad  e  indeterminación  del  comportamiento  no  permiten  precisar  la  magnitud  de  los  movimientos  del  suelo  portante;  aun  mas,  los  asentamientos  pueden  no  depender  directamente  de  las  presiones  de  fundación. En estas situaciones resulta preferible orientar el diseño hacia la definición de una profundidad y  ubicación seguras para la fundación, o la formulación de medidas de prevención. 

2.1.1 Causas de asentamientos de las fundaciones  A continuación se realiza la clasificación general de las causas de asentamientos, totales y diferenciales según  (Delgado, 1996):  ⎯ Cargas.  ⎯ Estáticas.  ⎯ Permanentes.  ⎯ Transitorias  ⎯ Dinámicas.  ⎯ Vibraciones.  ⎯ Choque o impacto.  ⎯ Cambios en las características del suelo de fundación.  ⎯ Acción del frio intenso.  ⎯ Acción del calor.  ⎯ Cambio de humedad del suelo.  ⎯ Decenso del nivel freático (equivale a un incremento de carga generado por al aumento del  peso unitario del suelo).  ⎯ Causas accidentales variables.  ⎯ Colapso o deformación de mina, cavernas y conductos subterráneos.  ⎯ Erosión subterránea producida por el agua.  ⎯ Derrumbes y deslizamiento plásticos (erosión geológica de la masa). 

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Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  La respuesta del suelo como asentamiento, a la acción de las cargas, depende de la naturaleza, intensidad  y duración de la aplicación de ellas; así mismo, depende de las características del suelo tales como: cohesión,  fricción interna y grado de compacidad. Los asentamientos vinculados a los cambios en las características del  suelo  de  fundación  y  causas  accidentales  variables,  no  están  directamente  relacionados  con  las  cargas,  aunque  es  posible  que  ellas  los  aumenten.  Muchos  de  los  efectos  de  las  cargas  son  complejos  y  de  difícil  predicción. Para anticipar la magnitud de los asentamientos, cuando ello es posible, o formular las medidas  de prevención, es necesario identificar los mecanismos generadores y enfocar acertadamente el problema.   En la tabla 2.1 se resume la trascendencia de la carga respecto a su evaluación.  Tabla 2.1 Causas de asentamientos (tomada de Sower, 1970).  Causa 

Forma como se produce  Deformación (cambio de forma de la  masa del suelo) 

Magnitud del asentamiento  Calcular por la teoría elástica  (incluida parcialmente en la  consolidación). 

Velocidad del asentamiento  Instantánea 

Carga  estructural 

Consolidación:  Cambio en la  relación de vacios. 

Inicial  Primaria

De curva compresibilidad De curva compresibilidad

Secundaria

De la curva tiempo‐ asentamiento  Estimar de curva de  compresibilidad y limite de  pérdida de humedad por  retracción  Calcular de curva de  compresibilidad   Estimar limite por  compacidad relativa (hasta  60%‐70%)  Estimar sensibilidad y  posiblemente magnitud limite 

De la curva tiempo  Calcular por la teoría de  Terzaghi  De la curva tiempo‐ asentamiento  Igual a la velocidad de  secamiento. Rara vez se puede  estimar 

Retracción debido al asentamiento Carga  debido al  medio 

Indepen‐ diente de la  carga  (aunque  puede ser  agravada  por la  carga),  frecuen‐ temente  relacionada  con el  medio, pero  no  dependien‐ do del  mismo. 

Consolidación debido al nivel freático Reorientación de los granos; choque y  vibración  Colapso de la estructura del suelo;  perdida de ligazón entre los granos  (saturación y deshielo, etc.)  Desmoronamiento, erosión en  aberturas, cavidades. 

Estimar sensibilidad pero no  magnitud 

Descomposición bioquímica 

Estimar sensibilidad.

Acción química  Colapso de la masa: colapso de  alcantarilla, mina, caverna  Distorsión de la masa fluencia por corte

Estimar sensibilidad Estimar sensibilidad

Expansión: heladas, expansión de la  arcilla, acción química (se parece al  asentamiento) 

Calcular sensibilidad por  análisis de estabilidad  Estimar sensibilidad; algunas  veces magnitud limite 

Calcular por teoría de  Terzaghi  Errática; depende del choque  y de la densidad relativa  Comienza con cambio  ambiente; velocidad errática.  Errática; gradual o  catastrófica, frecuentemente  aumenta.  Errática, frecuentemente  decrece con el tiempo.  Errática  Probablemente sea  catastrófica  Errática; catastrófica a lenta Errática; aumenta con el  tiempo húmedo 

2.1.2 Mecanismos generadores de asentamientos  La  selección  y  el  diseño  de  las  fundaciones  requieren  identificar  las  causas  actuales  y  precisar  los  mecanismos o procesos generadores de los asentamientos. Esta información es fundamental en la tarea de  predecir la magnitud de los mismos y formular los criterios para su manejo.   

101 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

El  éxito  en  la  solución  de  los  problemas  de  fundación  depende  más  de  la  aplicación  de  un  correcto  enfoque  que  del  uso  de  herramientas  analíticas  más  o  menos  sofisticadas.  El  enfoque  del  problema  esta  naturalmente  vinculado  a  la  acertada  determinación  de  los  mecanismos  o  procesos  generadores  de  asentamientos en cada caso particular. En general, los asentamientos pueden ser el resultado de la acción de  uno solo o cualquier combinación de los siguientes mecanismos:  ⎯ Cambio  de  forma  o  distorsión  del  suelo,  que  ocurre  como  respuesta  casi  inmediata  a  los  cambios  de  esfuerzo introducidos por la fundación bajo carga. Se denomina asentamiento inmediato o de contacto        por  ocurrir  en  forma  concurrente  con  la  aplicación  de  cargas.  Depende  del  comportamiento  esfuerzo‐deformación  del  suelo.  En  los  suelos  cohesivos  saturados,  tiene  un  carácter  aproximadamente  elástico  lineal.  En  los  suelos  granulares,  obedece  a  comportamientos  más  complejos, posiblemente elasto‐platicos o plásticos.  ⎯ Disminución  del  volumen,  asociada  a  una  reducción  del  espacio  de  poros  en  la,  micro‐estructura  del  suelo. Los incrementos de esfuerzo producidos por la fundación  en un manto arcilloso saturado dan  lugar  a  incrementos  en  el  agua  intersticial,  que  conducen  a  su  expulsión  lenta  acompañada  del  correspondiente asentamiento por consolidación 

. Se presenta, a veces, deformaciones lentas en el 

esqueleto solido del suelo, a magnitudes sensiblemente nulas del exceso de presiones del agua de los  poros,  que  reciben  el  nombre  de  asentamientos  por  consolidación  secundaria 

.  Son  procesos,  en 

general, de carácter visco‐plástico.  ⎯ Colapsos  o  grandes  desplazamientos  del  suelo  de  soporte,  cuando  se  inician  fallas  por  corte  o  la  formación de zonas plásticas, al sobrecargar la fundación. Están asociados a procesos estudiados en el  contexto de la capacidad portante, el cual serán estudiados en el siguiente tema.   ⎯ Erosión  y  desplazamientos  geológicos  de  la  masa  que  adquiere  en  general  la  forma  de  derrumbes,  deslizamientos plásticos y flujos. Se relacionan principalmente con la estabilidad geológica natural del  área o el sitio.  ⎯ Deterioro del material de la fundación, cuando actúan agentes agresivos o corrosivos contenidos en el  suelo  que  rodea  la  estructura  de  fundación.  Eventualmente,  puede  llegar  a  fallas  completas  del  elemento.  ⎯ Deterioro y degradaciones, lentos o rápidos, en la micro estructura natural del suelo, ocasionados por  causas  accidentales  varias;  se  traducen  en  asentamientos  cuya  magnitud  y  velocidad  no  es  viable  predecir  con  razonable  certidumbre.  Algunos  de  ellos  serian:  perdidas  en  los  componentes  sólidos  por  arrastres,  socavaciones  y  erosión  interna;  reacomodos  y  densificaciones  producidas  por  vibraciones e impactos, y debilitamientos en los contactos entre las partículas por hundimiento que  pueden prosperar a colapsos en la micro estructura   El  asentamiento  total  de  fundaciones  puede  ser  considerado  como  la  suma  de  tres  componentes  separadas de asentamiento como se presenta a continuación: 

 

Ec. 2.1

Donde:   Asentamiento total de la fundación.    Asentamiento  inmediato.  Se  considera  que  este  asentamiento  ocurre  a  lo  largo  de  un  periodo  cercano a 7 días. Según Bowles (1996), el análisis de asentamiento inmediato se usa para todos los  suelos granulares finos (incluyendo limos y arcillas) cuyo grado de saturación es  

90%  y para 

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Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  todos los suelos de grano grueso con un valor de conductividad hidráulica grande, es decir, mayor a  10‐3 m/s. Luego, el asentamiento total para suelos con las características citadas anteriormente, es  igual al valor del asentamiento inmediato,  .   Asentamiento por consolidación. Este tipo de asentamiento es dependiente del tiempo y toma meses  a años en desarrollarse; pero por lo general se considera que se produce en un periodo de 1 a 5 años,  salvo  casos  extremos  como  el  de  la  Torre  de  Pisa  que  ya  lleva  más  de  700  años  asentándose.  El  análisis de asentamiento por consolidación se usa para todos los suelos saturados o casi saturados  de grano fino, en los cuales puede aplicarse la teoría de consolidación. Para arcillas con 90% 100%,  el  asentamiento  total  producido  es  igual  a  la  suma  del  asentamiento  inmediato, 

  y  el 

asentamiento por consolidación,  .    Asentamiento  por  consolidación  secundaria  o  fluencia  plástica  que  es  dependiente  del  tiempo  y  ocurre  durante  un  periodo  extenso  de  años  después  de  que  se  ha  completado  la  disipación  del  exceso de presión de poros, es decir a un valor de esfuerzos efectivos constantes. Es causado por la  resistencia  viscosa  de  las  partículas  de  suelo  a  un  reajuste  bajo  compresión.  Particularmente,  en  suelos  con  un  alto  contenido  orgánico,  el  asentamiento  por  consolidación  secundaria  es  el  componente principal del asentamiento total. 

2.2 Asentamiento inmediato  El asentamiento inmediato es el asentamiento producido en el suelo durante la aplicación de la carga, como  resultado de una deformación elástica del suelo.  La  aplicación  de  procedimientos  basados  en  la  teoría  de  la  elasticidad  es  muy  útil  cuando  se  desea  determinar  los  asentamientos  producidos  en  el  suelo  situado  debajo  de  una  fundación  sometida  a  la  aplicación de una carga. La determinación de estos asentamientos es realizada considerando al suelo como  un  material  elástico  lineal;  a  pesar  de  que  este  es  en  realidad,  un  material  que  no  obedece  del  todo  a  este  comportamiento. 

Figura 2.1 Curva de esfuerzo‐deformación para un material elástico lineal y no lineal.  

103 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

Un  material  elástico  lineal  es  aquel  en  el  que  para  iguales  incrementos  de  esfuerzo  Δ   se  producen  iguales  deformaciones  Δ ,  obteniéndose  así  una  relación  lineal  de  esfuerzo‐deformación  como  la  mostrada  por  la  recta  OA,  Fig.  2.1.  La  pendiente  de  la  recta  OA  es  igual  al  módulo  de  deformación  .  En  un  material  elástico  lineal,  el  módulo  de  deformación  E  es  igual  al  módulo  elástico  tangente  inicial 

.  Este  último  se 

define como la tangente a la curva esfuerzo–deformación trazada en el origen.   En materiales que obedecen al comportamiento elástico‐lineal, la ley de Hooke es aplicable y pueden por  tanto determinarse a través de ésta, las deformaciones y los esfuerzos principales. Luego, si se considera tan  solo  la  dirección  vertical,  la  deformación  es  directamente  proporcional  al  esfuerzo,  dando  lugar  a  una  ecuación simplificada de la ley de Hooke. Esta relación se halla representada por la siguiente ecuación:  1

 

Ec. 2.2

Donde:   Módulo de deformación definido por la pendiente de la recta OA.  Por otro lado, un material elástico no lineal es aquel cuyo comportamiento es representado por la curva  OB de la figura 2.1. De esta curva se puede observar que al someter a un elemento a iguales incrementos de  esfuerzo Δ  se obtienen diferentes valores de deformación Δ ; pero al producirse la descarga, el elemento  recobra su configuración original. En un material elástico no lineal, el módulo de deformación E  y el módulo  elástico tangente   son iguales a la pendiente de la tangente trazada a la curva en el punto en consideración,  Fig. 2.1. El  módulo secante 

,  es la pendiente de la línea que une el origen con algún punto deseado  de la 

curva esfuerzo‐deformación.  Existen materiales, entre ellos el suelo, que no recobran su configuración original después de la descarga.  Es así, que el comportamiento real del suelo puede ser claramente descrito a través de la figura 2.2, donde la  porción de curva  OA es la reacción del suelo a la carga,  AB es la reacción del suelo a la descarga y  BC es la  reacción del suelo al proceso de recarga.  

Figura 2.2 Curva esfuerzo‐deformación para un material elasto‐plástico. 

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  Las  deformaciones  que  ocurren  durante  la  carga  OA  consisten  de  dos  partes:  una  parte  elástica  o  recuperable BD y una parte plástica o no recuperable OB. Debido a que una parte de la reacción a la carga es  elástica  y  la  otra  parte  es  plástica,  el  suelo  es  considerado  como  un  material  elasto‐plástico;  siendo  la  determinación  de  las  deformaciones  plásticas  la  más  importante,  ya  que  estas  se  constituyen  en  las  deformaciones permanentes del suelo. El valor del esfuerzo en el cual se inicia la deformación permanente se  denomina esfuerzo de fluencia.  A  pesar  de  que,  el  suelo  es  un  material  elasto‐plástico;  el  considerarlo  como  un  material  elástico  tiene  como  una  de  sus  principales  ventajas  la  suposición  de  que  los  parámetros  elásticos  del  suelo,  es  decir,  el  módulo de elasticidad o deformación E y el coeficiente de Poisson ν, son constantes.  Sin  embargo,  a  pesar  de  todo,  existe  similitud  entre  el  comportamiento  real  del  suelo  y  el  de  un  sólido  elástico lineal sobre todo cuando se trabaja con deformaciones  pequeñas. Una deformación es considerada  pequeña en función a la rigidez del suelo.  A  partir  de  la  figura  2.3  puede  observarse  que  la  rigidez  del  suelo  es  inversamente  proporcional  a  las  deformaciones  producidas  en  el  suelo;  y  basándose  en  la  magnitud  de  las  deformaciones,  es  posible  identificar tres regiones de rigidez del suelo. La primera, es considerada como una región de deformaciones  pequeñas. En esta los valores de deformación unitaria son menores a 0,001%. Por otro lado está la región de  deformaciones intermedias que abarca un rango de deformación unitaria de 0,001% a 1%; y finalmente, la  región de deformaciones grandes que considera a los valores de deformación unitaria mayores al 1%.  Cuando se tiene esfuerzos menores a la presión de preconsolidación, que es la máxima presión efectiva  pasada  a  la  que  ha  sido  sometido  el  suelo,  las  deformaciones  producidas  son  muy  próximas  a  ser  recuperables  y  pueden  considerarse  como  deformaciones  elásticas;  mientras  que  si  se  tienen  esfuerzos  mayores  a  esta  presión  las  deformaciones  producidas  son  consideradas  como  permanentes,  es  decir  plásticas. Es por esta razón, que la presión de preconsolidación es considerada como el esfuerzo de fluencia  (Budhu,2000). 

Figura 2.3 Variación del módulo de elasticidad,   vs deformación unitaria, . 

105 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

A  continuación,  la  figura  2.4  presenta  la  aplicación  de  un  incremento  de  esfuerzos  Δ   a  la  muestra  de  arcilla mostrada en la figura 2.4 (a). Esta muestra tiene un contenido de humedad inicial 

 y un índice de 

vacíos inicial  .   En  la  figura  2.4  (b)  se  observa  el  asentamiento  producido  luego  de  aplicada  la  carga.  Éste  se  debe  al  cambio  en  la  forma  de  ordenamiento  de  las  partículas  del  suelo  que  se  produce  bajo  un  contenido  de  humedad  constante,  es  decir,  sin  que  exista  cambio  en  la  cantidad  de  agua  del  suelo.  Por  tanto,  para  la  situación (b) el contenido de humedad final, 

 , es igual al contenido de humedad inicial, 

 y el índice de 

vacíos final,  , es menor a   , debido a la disminución del volumen de vacíos de la muestra.  Considerando  los  tres  componentes  del  suelo:  partículas  sólidas,  agua  y  aire;  la  situación  explicada  anteriormente es ilustrada en las figuras 2.4 (c) y 2.4 (d).  Sin embargo, cuando el incremento de esfuerzos Δ  es aplicado a una muestra de arena, a pesar de que  el asentamiento inmediato es igualmente producido debido a un cambio en la forma de ordenamiento de las  partículas,  para  este  caso,  se  produce  un  cambio  tanto  en  el  índice  de  vacíos  como  en  el  contenido  de  humedad, es decir, 

     

. 

De manera general, al ser el asentamiento inmediato el resultado de la deformación elástica del suelo; su  comportamiento está regido por la ecuación (2.2); a partir de la cual:  ∆

1

∆  

Ec. 2.2.a

Donde:  ∆

 Deformación unitaria. 

Figura 2.4 Asentamiento inmediato en arcillas. 

 

106 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  A partir de la definición de deformación unitaria se tiene: 

 

∆

Ec. 2.3

Donde:  Δ

 Asentamiento del suelo.   Espesor del estrato compresible.  

Reemplazando la ecuación (2.3) en la ecuación (2.2.a), se tiene:  1

∆  

Ec. 2.3.a

La ecuación (2.3.a) puede ser rescrita de la siguiente forma:  1

 

∆

Ec. 2.4

De acuerdo a la notación utilizada, se tiene:  1

 

Ec. 2.5

Donde:   Asentamiento inmediato del estrato.   Módulo de elasticidad elegido según las condiciones en las que se trabaje.   Carga neta aplicada al nivel de fundación.   Espesor del estrato sometido a la carga.  La ecuación (2.5) es la ecuación básica para el cálculo de asentamiento inmediato en una dimensión, ya  sea  en  arcillas  o  arenas.  Generalmente  esta  ecuación  se  halla  multiplicada  por  factores  de  corrección  que  toman en cuenta situaciones tales como: el espesor del estrato, el ancho de la fundación y otros.  Según Davis y Poulos (1968), el asentamiento final en un suelo estratificado puede ser obtenido a partir  de  la  suma  de  las  deformaciones  verticales  en  cada  estrato.  Este  asentamiento  está  dado  por  la  siguiente  ecuación:  1

 

Ec. 2.6

Donde:  ,   ,

 Parámetros elásticos del suelo.  ,

  Esfuerzos debidos a la fundación. 

 Diferencial del espesor de cada estrato.  La ecuación (2.6) es deducida de la misma manera que la ecuación (2.4) y (2.5), con la única diferencia de  que  la  ecuación  de  Davis  y  Poulos  (1968)  toma  en  cuenta  las  deformaciones  producidas  en  las  tres  dimensiones, considerando del mismo modo para la determinación de la carga neta 

, los esfuerzos debidos 

a la fundación que se producen en los tres ejes.  Si  el  perfil  del  suelo  es  razonablemente  homogéneo,  pueden  asignarse  valores  apropiados  a  los  parámetros  elásticos  del  suelo 

 

    ,  que  son  considerados  constantes  a  través  de  toda  la  profundidad. 

107 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

Luego,  aplicando  factores  de  corrección  a  la  ecuación  (2.5),  que  no  es  más  que  la  sumatoria  realizada  en  (2.6), se tiene:     

 

Ec. 2.7

Donde:   Ancho conveniente de la fundación.   Factor de influencia determinado a través de la teoría de elasticidad.  El  módulo  de  elasticidad 

 

  ,  en  la  ecuación  (2.5)  puede  ser  igual  a 

 

  ,  según  se  trabaje  en 

condiciones drenadas o no drenadas, respectivamente.  Por  otro  lado,  Giroud  (1968)  y  Skempton  (1951)  presentan  una  ecuación  desarrollada  basándose  en  la  suposición de que el asentamiento inmediato se debe a una compresión elástica.  Es  así  que  los  valores  más  altos  de  los  esfuerzos  producidos  debido  a  la  aplicación  de  la  carga,  se  presentan inmediatamente debajo del punto de aplicación de ésta y disminuyen lateral y verticalmente a lo  largo de este punto. El efecto de no homogeneidad del suelo produce errores significativos solo cuando las  diferencias ínterestratos son considerables.  Entonces, para el caso en que una carga vertical uniforme es aplicada, el desplazamiento de la superficie  vertical del estrato de suelo de profundidad infinita, está dado por la ecuación (2.8):      1

 

 

Ec. 2.8

Donde:   Dimensión menor de la fundación.   Carga neta aplicada al nivel de fundación.   Factor de influencia por desplazamiento vertical; tabla 2.2. Este factor depende de la forma y rigidez  de la fundación.   Módulo de elasticidad.   Coeficiente de Poisson.  Tabla 2.2 Factor de influencia  semi‐infinito.  Forma 

 para desplazamiento vertical debido a la compresión elástica de un estrato de espesor 

Centro  1     1,122 1,358 1,532

Esquina  0,64

0,561 0,679 0,766

Rígida    0,79      0,82  1,06  1,2 

3,00  4,00 

1,783 1,964

0,892 0,982

1,42  1,58 

10,00  100,00 

2,54 4,01

1,27 2,005

2,1  3,47 

Circular  Rectangular  L/B  1,0  1,50  2,00 

Flexible 

     

108 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

 

2.2.1 Asentamiento inmediato en arcillas en un espacio semi­infinito  El asentamiento inmediato o elástico en arcillas es modelado en un espacio semi‐infinito elástico, asumiendo  que el estrato se encuentra bajo un efecto de compresión elástica, y que las deformaciones producidas como  consecuencia del emplazamiento de una fundación flexible son relativamente pequeñas, Fig. 2.3.  El asentamiento elástico o inmediato en arcillas es determinado a partir de las ecuaciones (2.8) ó (2.54),  con  la  única  diferencia  de  que  si  se  considera  que  el  estrato  de  arcilla  es  cargado  rápidamente,  la  baja  conductividad hidráulica de la arcilla retarda el drenaje del agua presente en los poros, presentándose una  condición  no  drenada.  Es  debido  a  esta  razón,  que  tanto  el  módulo  de  elasticidad  como  el  coeficiente  de  Poisson son considerados iguales a 

 y   respectivamente. El valor de 

 para esta condición es de 0,5. 

Adicionalmente a las ecuaciones presentadas, para determinar el asentamiento inmediato, el Euro‐codigo  7  se  refiere  al  cálculo  de  los  asentamientos  mediante  la  ecuación  (2.9)  como  el  método  de  elasticidad  ajustado.     

1

   

Ec. 2.9

Donde:   Ancho de la fundación.   Modulo de deformación.   Coeficiente de Poisson.   Presión neta de fundación.   Factor de influencia.  El  módulo  drenado 

  es  utilizado  para  el  cálculo  del  asentamiento  total  (inmediato  +  consolidación) 

fundadas  en  gravas,  arenas,  limos  y  arcillas.  El  módulo  no  drenado 

  se  utiliza  para  calcular  los 

asentamientos  inmediatos  de  las  fundaciones  en  suelos  arcillosos  o  limos  arcillosos.  Es  bastante  difícil  estimar  valores  de 

  de  arenas  y  gravas  de  pruebas  de  laboratorio  sobre  muestras  inalteradas,  pruebas 

practicas se utilizan en su lugar. Sin embargo, en la práctica general se obtienen valores de   drenados y no  drenados de arcilla, de pruebas de laboratorio de muestras no disturbadas sacadas de barrenos. El modulo  no  drenado 

  de  las  arcillas  puede  determinarse  a  partir  de  las  relaciones  con  la  resistencia  al  corte  no 

drenada, como se muestran en las figuras 2.10 y 2.11.  Los valores del coeficiente de Poisson   en la ecuación (2.9) son obtenidas de la tabla 2.3.  Tabla 2.3. Valores del coeficiente de Poisson.  Tipo de suelo 

v 

Arcillas (no drenadas) 

0,5 

Arcillas (rígida, no drenada) 

0,1‐0,2 

Limo 

0,3 

Arena 

0,1‐0,3 

Roca 

0,2 

El factor de influencia   es una función de la relación entre longitud y ancho de la fundación, y el espesor  (H)  de  la  capa  compresible.  Terzaghi  obtuvo  un  método  de  cálculo  a  partir  de  curvas  obtenidas  por  Steinbrenner (1936). 

109 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

  Para coeficientes de Poisson de 0,5.  Para coeficientes de Poisson de cero.  Los valores de 

 y 

 

 

   

 para diferentes proporciones de  ⁄  y  ⁄  se dan en la Fig. 2.5. Asentamientos 

elásticos no debe calcularse para el espesor   mayor que 4B. 

Figura 2.5 Cálculo de los asentamientos inmediatos en un área de carga flexible en la superficie de una capa elástica. 

Los asentamientos inmediatos en cualquier punto N, (Fig. 2.5) viene dada por:   

  1

 

Ec. 2.10

Para obtener los asentamientos en el centro del área de carga el principio de superposición es seguida de  forma similar al cálculo del incremento de esfuerzo vertical. El área se divide en cuatro rectángulos iguales, y  el asentamiento en la esquina se calcula con la ecuación (2.9). A continuación, el asentamiento en el centro es  igual a cuatro veces los asentamientos de cualquier esquina.  Las curvas de la figura 2.5 se basan en el supuesto de que el módulo de deformación es constante con la  profundidad.  Sin  embargo,  en  el  suelo  más  natural  y  formaciones  rocosas,  el  módulo  aumenta  con  la  profundidad,  los  cálculos  sobre  la  base  de  un  módulo  constante  dan  estimaciones  exageradas  de  los  asentamientos. Butler ha desarrollado un método, basado en el trabajo de Brown y Gibson, para el cálculo de  los asentamientos en las condiciones de un módulo de deformación creciente linealmente con la profundidad  dentro de una capa de espesor finito.  El valor del módulo a cualquier profundidad z por debajo de la base, está dado por la ecuación siguiente:  1 Donde 

 

   

Ec. 2.11

 es el módulo de deformación a nivel de la fundación. El valor de k se obtiene representando los 

valores  medidos  de 

  contra  la  profundidad  y  trazando  una  línea  recta  a  través  del  canje  de  puntos  para 

obtener valores de sustitución en la ecuación (2.11). Habiendo obtenido k, el factor de influencia apropiada 

110 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

   se obtiene a partir de las curvas de Butler de la figura 2.6. Estos son para diferentes relaciones de 

⁄

, y 

se  aplican  en  una  capa  compresible  de  espesor  no  mayor  que  nueve  veces  B.  Las  curvas  se  basan  en  la  hipótesis  de  que  el  coeficiente  de  Poisson  es  0,5.  Esta  relación  se  aplica  a  las  arcillas  saturadas  para  condiciones no drenadas, es decir, la aplicación inmediata de la carga. 

Figura 2.6 Valores del factor de influencia 

 para módulos de deformación que aumenta linealmente con la 

profundidad y razón modular de 0,5 (Butler). 

En  el  caso  de  una  base  rígida,  por  ejemplo,  viga  maciza  y  placa  de  cimentación  o  pilas  macizas,  los  asentamientos inmediatos en el centro se reduce en un factor de rigidez. El factor comúnmente aceptado es  de 0,8.     

     

 

   

   

 

0,8 

 

En  la  determinación  del  asentamiento  inmediato,  también  se  aplica  la  corrección  por  profundidad  de  fundación, denominada “factor de profundidad” (ver Fig. 2.7).     

111 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

Figura 2.7 Corrección de las curvas de Fox para asentamientos elásticos de fundación rectangular flexible a profundidad.  

2.2.2 Asentamiento inmediato en estratos de arcilla de espesor finito  Cuando se presenta el caso en el que el espesor del estrato del suelo de fundación es menor que dos veces el  ancho de la fundación; la ecuaciones  (2.8), (2.9) y (2.54) arrojan un valor sobreestimado del asentamiento  resultante.  Janbu  (1956)  desarrolló  una  solución  para  la  determinación  del  asentamiento  en  estratos  de  espesor  delgado limitados por un estrato rígido; luego de aplicar una carga a través de una fundación flexible.  La expresión propuesta por Janbu (1956) es la siguiente:   

 

 

 

Ec. 2.12

 

112 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  Donde:   

 

 Coeficientes de corrección por profundidad de fundación y por el espesor del estrato de suelo  de fundación, respectivamente. 

Christian y Carrier (1978) hicieron una evaluación crítica de los factores 

 

 

 y las modificaciones son 

presentadas en la figura 2.8 (a). 

Figura 2.8 (a) Coeficientes de desplazamiento bajo fundación flexible (b) Determinación del asentamiento inmediato en  suelos estratificados.  

113 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

En  la  Figura  2.8  (b),  se  tiene  un  estrato  de  espesor  delgado  debajo  del  estrato  de  fundación.  El  asentamiento  inmediato  puede  ser  calculado  obteniendo  primero  un  valor  de   y obteniendo luego un valor de 

estrato de espesor 

  correspondiente  al 

 que corresponde al estrato de espesor 

Luego, el asentamiento inmediato es obtenido de la ecuación (2.12). En ésta el valor de 

. 

 es igual a: 

 

Ec. 2.12.a

2.2.3 Determinación del módulo de elasticidad apropiado a  utilizarse en el cálculo de asentamientos  Todas las ecuaciones desarrolladas para el cálculo del asentamiento inmediato   se presentan en función del  módulo de elasticidad del suelo. Este módulo es determinado de manera diferente dependiendo del tipo de  suelo con el que se trabaje.  Cuando  se  trabaja  con  arcillas,  al  no  ser  estos  materiales  elásticos  lineales,  la  estimación  de  sus  parámetros elásticos debe ser realizada con bastante cuidado, de modo que los resultados obtenidos sean lo  más aproximados a la realidad.  Para  arcillas  saturadas,  en  las  cuales  el  asentamiento  inmediato  ocurre  en  un  tiempo  tal  que  la  deformación  se  produce  a  volumen  constante,  se  asume  un  coeficiente  de  Poisson  correspondiente  al  coeficiente  de  un  medio  incompresible,  es  decir 

0,5.  Aunque  esta  suposición  no  es  estrictamente 

correcta, según Holtz (1991), la magnitud del asentamiento calculado no es sensible a pequeños cambios en  el coeficiente de Poisson.  Sin embargo, el módulo de elasticidad no drenado 

, no es constante, debido a que varía con el nivel de 

esfuerzos,  con  el  índice  de  vacíos  y  con  la  historia  de  esfuerzos  del  suelo;  por  consiguiente 

  varía  con  la 

profundidad.  Para  propósitos  de  diseño,  para  rangos  relativamente  estrechos  de  profundidades  y  para  arcillas saturadas bajo carga no drenada,  La determinación de 

 puede asumirse como constante. 

 se hace necesaria para el cálculo de asentamientos inmediatos  en arcillas. Para 

esto, existen tres formas de estimar 

, que son: 

⎯ A través de ensayos de laboratorio.  ⎯ A través de ensayos de carga de placa (ver Cap. 8).  ⎯ A través de relaciones empíricas.  El  módulo  de  elasticidad  no  drenado 

  puede  ser  estimado  a  partir  de  los  resultados  obtenidos  de  la 

realización  del  ensayo  de  compresión  no  confinada  o  a  partir  del  ensayo  de  compresión  triaxial.  La  manera  ideal  para  su  estimación  es  aquella  que  adopta  el  valor  del  módulo  tangente  inicial  de  la  curva  esfuerzo‐ deformación  obtenida  a  partir  de  cualquiera  de  los  dos  ensayos  anteriores.  La  figura  2.9  presenta  la  curva  esfuerzo  desviador‐deformación,  obtenida  a  partir  de  un  ensayo  triaxial  y  por  medio  de  la  cual  puede  obtenerse el módulo secante. Según Padfield y Sharrock (1983) una regla muy usada para la determinación  del módulo tangente inicial es aquella que considera que el módulo secante hallado en el máximo esfuerzo  desviador  es  aproximadamente  igual  al  20%  del  módulo  tangente  inicial  cuando  se  trabaja  con  deformaciones  pequeñas.  Alternativamente,  puede  utilizarse  el  valor  del  módulo  secante 

  determinado 

para un nivel de esfuerzos similar al que se producirá en campo.     

114 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

 

Figura 2.9 Curva esfuerzo desviador‐deformación obtenida a partir de un ensayo triaxial.  

Por otro lado, el valor de 

 puede ser considerado igual al valor de 

, siendo 

 el valor del módulo 

secante  determinado  en  el  punto  cuya  ordenada  es  igual  a  la  mitad  de  la  ordenada  del  esfuerzo  desviador  pico, Fig. 2.9.  Sin embargo, numerosos datos recopilados tanto de campo como de laboratorio indican que los valores  obtenidos  tanto  de 

  como  de 

  son  bastante  bajos,  debido  primordialmente  a  dos  razones,  que  son:  la 

alteración ocasionada en la muestra durante el muestreo y la preparación previa al ensayo y defectos tales  como fisuras que son muy comunes en depósitos de suelos sedimentarios.    puede  ser  también  determinado  a  partir  del  ensayo  de  carga  de  placa.  Las  relaciones 

El  valor  de 

existentes para la determinación de 

 son presentadas a continuación: 

⎯ Para suelos o rocas considerando una placa rígida circular uniformemente cargada en un sólido semi‐ infinito, elástico, isotrópico, en el que la rigidez no se incrementa con la profundidad. Poulos y Davis  (1974).  1 4

 

(Ec. 2.13.a) 

Donde:   Esfuerzo aplicado entre la placa y el terreno.   Diámetro de la placa.   Coeficiente de Poisson.  Asentamiento producido en la placa  ⎯  Para una placa circular aplicada en la superficie  ⁄

0 , Giroud (1972) propone que el módulo de 

deformación es igual a: 

115 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

  0,85

1

 

 

 

(Ec. 2.13.b) 

Donde:   Asentamiento promedio  que es igual al asentamiento actual,  medido en un radio equivalente  a  0,75 del radio.  Sin embargo, debe tenerse en cuenta que debido a la diferencia existente entre el tamaño de la placa del  ensayo  y  el  tamaño  de  la  fundación  real,  no  siempre  es  posible  realizar  la  extrapolación  requerida  para  obtener el asentamiento real de la fundación, debido principalmente a que el asentamiento en esta puede ser  influenciado por la presencia de estratos compresibles que se hallen por debajo de la zona de influencia de la  placa cuya profundidad es determinada de acuerdo a las dimensiones de la placa del ensayo. Por otro lado,   son también dependientes del nivel de esfuerzos cortantes impuestos en la placa. 

los valores obtenidos de 

Debido a las desventajas que presentan los dos ensayos anteriores, es que resulta ser muy común asumir  que 

 se halla relacionado de cierta manera con la resistencia al corte no drenado,  . La aproximación más 

utilizada es la propuesta por Bjerrum (1963, 1972) quien determinó 

 a partir de la razón 

⁄ , tomando 

en cuenta un rango de variación de 500 a 1500, donde   fue obtenida a partir de los resultados obtenidos de  la realización del ensayo de veleta en campo o del ensayo de compresión triaxial no drenada.  Por  otro  lado  D’Appolonia  (1971)  registró  un  promedio  de 

⁄   igual  a  1200  para  ensayos  de  carga 

realizados en diez sitios, mientras que para arcillas de alta plasticidad el rango registrado fue de 80 a 400.  Los casos estudiados por Bjerrum, D’Appolonia, además de otros autores son graficados en la figura 2.10 que  ⁄  en función del índice de plasticidad IP. 

presenta una gráfica de 

Figura 2.10 Razón de 

⁄

 

 

 a partir de los resultados obtenidos de varios ensayos que fueron reportados por  distintos autores (Holtz, 1991). 

116 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  Finalmente Duncan y Buchignani (1976) presentan también una relación entre el módulo no drenado 

 

y OCR. Esta relación es presentada en la tabla 2.4.  Tabla 2.4 Relación entre el módulo no drenado 

 y la razón de sobreconsolidación OCR(Duncan y Buchignani, 1976). 

OCR 

/   IP50 

5 

150 

75 

50 

Las siguientes  correlaciones  empíricas fueron propuestas por Bowles  (1996) y pueden ser usadas para   en arcillas. 

estimar el valor de 

Luego, para arcillas sensitivas normalmente consolidadas: 

 

200   500

(Ec. 2.14) 

Para arcillas no sensitivas normalmente consolidadas y arcillas ligeramente sobreconsolidadas:  750   1200

 

(Ec. 2.15) 

Para arcillas muy sobreconsolidadas:  1500   2000

 

(Ec. 2.16)  ,  para  arcillas  puede  ser  determinado  a  través  de 

Finalmente,  el  módulo  de  elasticidad  no  drenado 

relaciones entre éste y la resistencia al corte no drenado, como se muestra en la figura 2.11.   Por  otro  lado,  para  utilizar  el  método  de  Schmertmann  es  necesario  estimar  la  rigidez  del  suelo  a  diferentes  profundidades.  Esta  rigidez  se  halla  representada  por  el  módulo  equivalente  de  elasticidad  E’  llamado también módulo equivalente de Young.  La  estimación  del  módulo  de  elasticidad  equivalente  E’  puede  realizarse  mediante  correlaciones  que  dependen esencialmente de la resistencia de punta del cono  , que es obtenida a partir del ensayo CPT; y del  tipo de suelo.  El ensayo CPT, originalmente conocido como el ensayo de penetración del cono holandés, es otro método  disponible  para  la  exploración  del  subsuelo.  Mediante  éste  se  puede  determinar  tanto  el  perfil  de  suelo  existente como las propiedades geotécnicas de dicho suelo. Este ensayo se basa en la penetración a velocidad  constante  de  un  cono  en  el  suelo.  Para  su  realización  no  es  necesaria  la  realización  de  sondeos  de  exploración. El CPT así como los demás métodos de exploración del subsuelo son abordados en el Capítulo 8.  Schmertmann (1970) sugiere utilizar un valor de E’, igual a:  2   

(Ec. 2.17.a) 

Posteriormente,  luego  de  la  modificación  de  1978;  Schmertmann  sugiere  nuevas  expresiones  para  la  determinación del valor de E’. Tales expresiones son las siguientes:  2,5   

 

í

 

é

;

3,5   

 

í

 

;

10

1

(Ec. 2.17.b)  (Ec. 2.17.c) 

117 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

Schmertmann recomienda utilizar estas relaciones para arenas limosas o arenas que se hallan drenando  libremente. 

Figura 2.11. Gráfica de 

/  

 

 para arcillas con IP (Jamiolkowski et al, 1979). 

Por otra parte, el Manual Canadiense de ingeniería de fundaciones (CFEM) sugiere que a partir del valor  obtenido de la resistencia en la punta del cono  , E’ puede ser determinado a partir de la siguiente ecuación:     

(Ec. 2.18) 

Donde:  1,5 Para limos y arenas.  2,0 Para arenas compactas.  3,0 Para arenas densas.  4,0 Para arenas y gravas.  Las ecuaciones anteriores pueden subestimar de cierta manera el valor del módulo de elasticidad, sobre  todo cuando se trabaja con suelos granulares sobreconsolidados debido a que los efectos de preesfuerzo en  materiales granulares influyen más intensamente en la rigidez del suelo, es decir en el módulo de elasticidad,  que en la resistencia.  Una  única  relación  entre  el  módulo  de  elasticidad  y 

  no  ha  podido  ser  determinada,  debido 

principalmente  a  que  esta  relación  depende  del  tipo  de  suelo,  de  la  densidad  relativa  y  de  la  historia  de  esfuerzos y deformaciones del depósito. Es así, que la tabla 2.5 presenta una serie de correlaciones para la  determinación del módulo equivalente de elasticidad, E’. 

118 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  Tabla 2.5 Correlaciones empíricas para la determinación del módulo equivalente de elasticidad,  .  Suelo 

CPT 

Arena (normalmente consolidada) 

8000

 

1,2 3

  2

1

 

   

Arena (saturada)   

1;

 

0,6 ;

3,5  7 

Arena (sobreconsolidada) 

6

30

Arena arcillosa 

3

6

 

Limo; limo arenoso o limo arcilloso 

1

2

 

 

2,5

 

2500

4 Arcilla suave o limo arciloso 

 

3

5000 8

2500

  5000

 

 

Las gráficas mostradas en las figuras 2.12 y 2.13 son el resultado de varias investigaciones realizadas por  Jamilkowski (1985), mediante ensayos de cámaras de calibración. 

Figura 2.12 Gráfica de  ⁄  

 

 (Jamiolkowski et al, 1988). 

 

119 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

Estas gráficas  se hallan en función del módulo confinado  M, que es igual al recíproco  del coeficiente de  compresibilidad volumétrica 

  , hallado a partir del ensayo de consolidación (ver apartado 2.4.4) pudiendo 

también  ser  determinado  a  partir  del  ensayo  triaxial.  El  CFEM  (1985)  da  la  siguiente  relación  entre  M  y  el  módulo de elasticidad obtenido a partir del ensayo triaxial, E’.  1 1

1

2

 

Para arenas drenadas 

(Ec. 2.19)  1⁄4   1⁄3.  

Las gráficas de las figuras 2.12 y 2.13 muestran que las relaciones entre el módulo confinado, M y  decir, 

⁄    

, es 

⁄   producen  valores  más  altos  para  arenas  sobreconsolidadas  que  para  arenas 

normalmente  consolidadas.  Por  tanto,  se  puede  concluir  que  es  imposible  estimar  un  valor  adecuado  del  módulo equivalente de elasticidad, E’ sin conocer previamente la historia de esfuerzos del depósito. 

Figura 2.13 Gráfica de  ⁄    

 

 (Jamiolkowski et al, 1988).  

 

120 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

 

2.3 Asentamiento en suelos granulares  La magnitud y velocidad de asentamientos y deformaciones resultantes, medidos en estructuras cimentadas  sobre  suelos  granulares,  señalan  que  la  parte  del  asentamiento  de  principal  trascendencia  es  de  carácter  inmediato. No obstante que la magnitud de este asentamiento puede ser apreciablemente menor que la de  similares  fundaciones  sobre  suelos  cohesivos,  es  necesario  considerar  debidamente  los  asentamientos  de  estructuras sobre arena y estimarlos con precisión, porque la mayoría de las estructuras son más sensibles a  los  asentamientos  rápidos  de  distorsión  que  a  los  lentos;  hasta  el  punto  de  que,  con  notable  frecuencia,  el  diseño de fundaciones sobre suelos granulares resulta regido por el criterio de asentamiento.   Efectivamente,  en  contraste  con  fundaciones  superficiales  sobre  arcillas  sobreconsolidadas  con  anchos  menores de 6 a 15 m (dimensiones menores que la de las placas corridas de fundación), en las que la presión  portante admisible suele ser controlada por la condición de falla cortante del suelo de soporte, en cimientos  sobre arena, con lados mayores que 1,2 m; dicha presión portante admisible resulta casi siempre controlada  por el criterio de asentamiento límite.  La  alta  permeabilidad  característica  de  las  arenas  y  gravas  es  responsable  de  que  la  mayor  parte  del  asentamiento tenga lugar durante la aplicación de las cargas sobre la fundación; es más a pesar de que las  arenas  estén  por  debajo  del  nivel  freático  y  completamente  saturadas,  los  excesos  de  presión  de  poros  se  disipan  rápidamente  durante  el  proceso  de  carga.  Por  esto,  se  debe  calcular  el  asentamiento  en  las  arenas  para la máxima intensidad funcional de carga (muerta + viva). Si dicha aplicación ocurre durante el proceso  constructivo, el asentamiento se habrá movilizado en su mayor parte al terminar el periodo de construcción.  Por  consiguiente,  con  posterioridad  a  la  finalización  de  dicho  periodo  solo  son  probables  asentamientos  menores  por fluencia, excepto cuando se  requiera fundaciones  muy  anchas, o se presenten  mezclas  areno‐ limosas.  Otros  problemas  de  asentamiento  posterior  a  la  construcción  pueden  estar  relacionadas  con  densificaciones inducidas por:  ⎯ Vibración, tal como la producida por maquinaria.  ⎯ Cargas fluctuantes como  las de viento, el llenado y vaciado de silos y tanques de combustibles, y  cambios rápidos en el nivel freático.  ⎯ Otros cambios rápidos de carga.  ⎯ Efectos sísmicos. 

2.3.1 Naturaleza del problema  Es  costoso,  difícil  y  en  muchos  casos  virtualmente  imposible  obtener  muestras  inalteradas  de  los  suelos  granulares.  Más  aun,  el  recompactar  los  suelos  granulares  a  exactamente  la  misma  densidad  relativa  existente in situ no garantiza que las relaciones esfuerzo‐deformación de laboratorio sean similares a los que  rigen  en  el  campo,  por  causa  de  efectos  de  sobreconsolidación.  Cuando  estos  existen,  no  resultan  apropiadamente reproducidos los esfuerzos laterales de campo ni la disposición estructural de granos.  Por  dichos  motivos,  los  principales  métodos  para  determinar  la  compresibilidad  de  los  suelos  granulares  se  fundamenta en correlaciones con resultados de ensayos in situ, tales como:  ⎯ Ensayo de carga de placa.  ⎯ Ensayo dinámico de penetración estándar (SPT).  ⎯ Ensayo estático de cono (CPT). 

121 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

⎯ Prueba de presurometros.   ⎯ Pruebas con dilatómetros (DMT).  Sin embargo, se usan con mayor frecuencia el ensayo de carga de placa, el de penetración estándar y el  ensayo  estático  del  cono  holandés.  Menos  frecuentemente  se  usan  ensayos  de  laboratorio  tales  como  pruebas edometrías y triaxiales, para determinar la trayectoria de esfuerzos.  Es bien conocido que no se dispone de métodos racionales con base teórica simple para la predicción del  asentamiento de fundaciones superficiales sobre suelos granulares, lo que ha llevado a tener que recurrir a  procedimientos empíricos en la práctica de la ingeniería. En general el enfoque predictivo que se emplea es o  bien una correlación empírica directa del asentamiento con resultados de ensayos in situ, o el desarrollo de  correlaciones  empíricas  con  el  modulo  de  deformación,  utilizable  en  teoría  elástica  para  anticipar  los  asentamientos. 

2.3.2 Método de Terzaghi y Peck (1948)  Terzaghi y Peck (1948) propusieron el primer método racional para estimar el asentamiento de fundaciones  cuadradas en suelos granulares. Ellos llevaron a cabo ensayos de carga de placa cuadrada de 300 mm de lado    y  el  de  la  placa 

en  arenas.  Relacionaron  el  asentamiento  con  ancho  B  (m)  de  la  fundación  , por la siguiente ecuación: 

cuadrada de 300 mm de lado 2  0,3

1

Ec. 2.20

4

Donde:   Asentamiento de la fundación.   Asentamiento de la placa cuadrada de 300 mm de lado.  2  ⁄ 1

 Factor de incidencia del ancho de la fundación. 

0,3 ⁄4 

 Factor de incidencia de profundidad de la base de la fundación. 

Conviene saber que al crecer B la relación de asentamientos 

ó  /

 , tiende hacia un máximo de 

cuatro. Bjerrum y Eggestad  (1963), sugirieron que la correlación era también dependiente de la densidad, e  hicieron la propuesta mostrada en la figura 2.14.  Se ha sugerido que la gradación de la arena tiene incidencia en la correlación (Meigh, 1963): suelos bien  gradados tienen relaciones bajas; en cambio, suelos finos con gradación uniforme presentan relaciones altas  de  relaciones  de  asentamientos.  D’Appolonia  y  otros  (1968)  encontraron  relaciones  de  asentamiento  mayores que 10 para arena fina densa uniformemente gradada.  La  ecuación  (2.20)  puede  ser  relacionada  con  el  número  de  golpes  corregido 

 del  ensayo  de 

penetración estándar (SPT), mediante la siguiente ecuación (según D’Appolonia, 1970):   

 

2 

1

0,3

4 

 

Ec. 2.21

Donde:    Carga neta aplicada al nivel de fundación  7,62⁄

 

. 

  

122 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

   Numero de golpes corregido, realizado en el ensayo de penetración estándar (SPT).   Ancho de la fundación 

. 

 Profundidad del nivel de fundación 

. 

Figura 2.14 Correlaciones entre la relación de asentamientos y la relación ancho de placa‐fundación, según Terzaghi y  Peck (1948) y Bjerrum y Eggestad (1963). 

El ensayo SPT, así como los demás métodos de exploración del subsuelo son abordados en el Capítulo 8. 

2.3.3 Método de Burland y Burbidge (1985)  Por otra parte, Burland y Burbidge (1985) establecieron otro método semi‐empirico, usando el numero de  golpes  del  ensayo  de  penetración  estándar  (SPT),  basada  en  el  análisis  de  más  de  200  casos  históricos  referentes a asentamientos de fundaciones superficiales, tanques y terraplenes, sobre arenas y gravas. Según  estos  autores  el  asentamiento  inmediato  producido  en  arenas  y  gravas  es  obtenido  mediante  la  siguiente  ecuación:                

Ec. 2.22

Donde:   Carga neta aplicada al nivel de fundación.   Profundidad de influencia, es aproximadamente 

,

donde       están en metros, también se puede 

determinar mediante la figura 2.15.   Índice de compresibilidad 

. Se halla relacionado con el valor de 

 y es obtenido a partir de 

la figura 2.16 y la siguiente ecuación: 

123 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

  1,71 ,

 

 

 

Ec. 2.23

 Es el valor promedio de golpes corregido, del ensayo SPT.   

1,25 ⁄ ⁄ 0,25

 

Ec. 2.24

  Corrección  por  el  factor  de  profundidad  del  estrato  de  arena  o  grava,  que  se  utiliza  cuando  la  profundidad de influencia   es mayor que la profundidad de arena o grava H.  

 

2

Ec. 2.25

  Factor  de  corrección  según  Burland  que  asume  que  el  asentamiento  en  arenas  y  gravas  puede  ser  dependiente del tiempo.  1

3

 

Ec. 2.26

Donde:  3  ñ

  

 Razón de deformación plástica expresada como una proporción del asentamiento inmediato,    que  toma lugar en un ciclo de log del tiempo.    Asentamiento  dependiente  del  tiempo,  tomado  como  una  proporción  del  asentamiento  inmediato    que ocurre durante los primeros tres años después de la construcción. 

Figura 2.15. Relación entre el ancho del área cargada B y la profundidad de influencia   (Burland y Burbridge, 1985).  

En suelos normalmente consolidados la ecuación (2.22) se vuelve:   

1,71 ,

,

 

      

Para  suelos  sobreconsolidados,  conociendo  la  presión  de  preconsolidacion 

Ec. 2.27   ,  la  ecuación  (2.22)  se 

vuelve:  1 3

 

1,71 ,

 

,

                        

Ec. 2.28

124 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  2   3

 

 

1,71 ,

El  valor  promedio  de   

 

,

        

Ec. 2.29

  debe  ser  tomado  a  una  profundidad  igual  a  la  profundidad  de  influencia 

 

obtenida a partir de la figura 2.15. Los límites probables de aproximación de la ecuación (2.22) pueden ser  evaluados a partir de los límites superior e inferior de   observados en la figura 2.16. Es necesario tomar en  cuenta  estos  límites  cuando  los  asentamientos  diferenciales  y  totales  son  un  factor  crítico  en  el  diseño  de  fundaciones.  

Figura 2.16 Valores del índice de compresibilidad para arenas y gravas (Burland y Burbridge, 1985). 

El término 

 es introducido para tomar en cuenta los posibles efectos de sobreconsolidación previa del 

suelo. Para el factor de corrección según Burland, el mismo autor recomienda usar valores conservativos de  0,2 y 0,3 para los valores de  R y 

, respectivamente, para el caso de carga estática. Para el caso de cargas 

fluctuantes usar 0,8 y 0,7, respectivamente.  Es  importante  notar  que  no  se  realizan  correcciones  al  número  de  golpes  corregido  nivel freático, debido a que este método considera que los valores de 

  por  efecto  del 

 por si solos reflejan las condiciones 

del sitio. Las correcciones al número de golpes  , son realizadas a objeto de tomar en cuenta errores posibles  causados por variaciones en el equipo de ensayo durante la realización del mismo y también con objeto de  considerar la presencia del nivel freático. Todas estas correcciones son presentadas en el Capítulo 8.  Sin embargo, Terzaghi y Peck (1967) decidieron corregir el número de golpes  arenas finas o arenas limosas. En este caso, debido a que el valor de 

 cuando se trabaja con 

 para este tipo de suelos es mayor a 

15 debe asumirse que la densidad del suelo, es igual a la densidad de una arena, que tiene un valor de 

 

125 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

igual (15

0,5

 

 

15 . Para gravas y gravas arenosas el valor de 

 debe ser incrementado por un factor 

de 1.25.  Finalmente  Tomlinson  (1995)  indica  que  cuando  el  valor  de 

  incrementa  linealmente  con  la 

profundidad,  situación  que  se  presenta  en  arenas  normalmente  consolidadas,  los  métodos  de  Burland  y  Burbidge  (1985)  tienden  a  dar  asentamientos  más  altos  que  los  obtenidos  por  los  métodos  de  Schultze  y  Sharif (1965) sobre todo para suelos sueltos en los que el valor de 

 es menor que 10. 

Ejemplo 2.1  Una  zapata  cuadrada  con  4  m  de  lado  esta  fundado  a  3  m  de  profundidad,  en  arena  con  caracteristicas  señaladas en la figura 2.17. El nivel freatico en condiciones iniciales es a 2 m de profundidad y en condiciones  finales se encuentra en el nivel de fundación, La zapata esta sometida a una fuerza de 4000 kN. Calcular el  asentamiento por el metodo de Burland y Burbridge (1985). 

Figura. 2.17 Perfil del suelo de estudio, con sus características geotécnicas.  

Solución: 

Refiérase a la figura 2.17 

 a la profundidad de fundación 

Paso 1. Determinación de la 

3  . 

La carga neta a nivel de fundación es:  ,

,

 ; 

,

  ; 

,

 

Donde:  16 4000 

4

2      0,4

0,4

19

1     2,6 4 

24  4 

51  4

  2,6

0,4

2,6  20 

302,502 

 

126 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  9,8

1 

9,8

9,8

0 

0 

 

Por lo tanto la carga neta es:  ,

,

302,502

0

51

9,8

261,302 

. 

Paso 2. Determinación del asentamiento inmediato, utilizando el método de Burland y Burbridge (1985).  Utilizamos la ecuación (2.22):                Se procede a calcular los factores de influencia para una zapata cuadrada.  261,302 

. 

Profundidad de in luencia de la fundación obtenida de la grá ica 2.15.  1,9 

Figura 2.15 Relación entre el ancho del área cargada B y la profundidad de influencia   (Burland y Burbridge, 1985). 

Como la profundidad de influencia es menor que el espesor compresible,   1,0  El factor de forma se determina con la ecuación (2.24):  1,25 ⁄ ⁄ 0,25

 1,25 4/4

 4/4   0,25

1,0 

El factor de tiempo se determina con la ecuación (2.26):  1

3

 

Los valores recomendados por Burland son:  0,2 ; 

0,3   

3  ñ

3  ñ

. 

127 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

Reemplazando los valores en la ecuación (2.26):  1

0,3

3 3

0,2

1,3 

El índice de compresibilidad se calcula con la ecuación (2.23):  1,71   ,

 

 Es el valor promedio de 

 dentro de la profundidad de influencia  . 

20.  Cundo el valor de 

  es mayor a 15, se debe de hacer una corrección cuando se trabaja con arenas finas o 

arenas limosas.  15

 

0,5

15

15

0,5 20

15

17,5 

Reemplazando los valores en la ecuación (2.23):  1,71 17,5 ,

 

0,0310 

Por último se reemplaza todos los valores calculados en la ecuación (2.27):   

1,71

,

  ,

 

 

,

   

0,261302

0,0310

4

,

1,0

1,0

1,3

0,02778

 

. 

2.3.4 Método de Schultze y Sharif (1965)  A partir del número de golpes corregido ( 

) obtenido  mediante  el ensayo de penetración estándar  SPT;  ), 

Schultze y Sharif (1965) establecieron una relación empírica entre dicho numero de golpes corregido (

las dimensiones de la fundación y la profundidad de fundación.  Esta relación permite la determinación del  asentamiento  inmediato   ,  obtenido  a  partir  de  los  valores  del  coeficiente  de  asentamiento  “  s  ”,  que  es  hallado mediante la gráfica observada en la figura 2.18.  La gráfica de la figura 2.18 fue establecida a partir de la correlación hallada entre los valores de 

 y los 

asentamientos  observados  en  estructuras.  Es  importante  notar,  que  la  profundidad  de  influencia  sobre  la   es igual a dos veces el ancho de la fundación. 

cual se toma el valor promedio de 

Luego, el valor del asentamiento inmediato es obtenido a partir de la siguiente expresión:      , 1 0,4 ⁄

Ec. 2.30

Donde:    Carga neta aplicada al nivel de fundación    

  Coeficiente de asentamiento 

/

/

.  . 

 Numero de golpes corregido, realizado en el ensayo de penetración estándar (SPT).   Ancho de la fundación 

. 

128 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

   Profundidad del nivel de fundación 

. 

Figura 2.18. Determinación del asentamiento en la fundación a partir de los resultados del SPT (Schultze y Sharif, 1965). 

Ejemplo 2.2  Una losa de fundación de 4,0 m   7,0 m, trasmite una carga de 120 kPa al suelo en estudio. El nivel freatico se  encuentra  en  el  nivel  de  la  superficie.  El  estudio  geotecnico  ejecutado,  determino  el  perfil  mostrado  en  la  figura 2.19. Se pide determinar el asentamiento por los metodos de Schultze & Sharif (1965) y Terzaghi  &  Peck (1948).  

Figura 2.19 Perfil del suelo, con las características geotécnicas del suelo granular. 

Solución: 

Refiérase a la figura 2.19 

129 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

 a la profundidad de fundación 

Paso 1. Determinación de la 

1,5  . 

La carga neta a nivel de fundación es:  ,

,

 ; 

,

 ;

,

 

Donde:  ,

 

120 

18

1,5

 

 

9,8

 

1,5

27 

 

 

 

   

14,7 

  ; 

 

   

 

 

   

   

 

   

Por lo tanto la carga neta es:  ,

,

120

27

93 

 

Paso 2. Determinación del asentamiento inmediato, utilizando el método de Schultze y Sharif (1965).  Utilizamos la ecuación (2.30):        , 1 0,4 ⁄ Donde:  93 

.  

1,5  .   4  .  ;   

7  . 

Figura 2.18 Determinación del asentamiento en la fundación a partir de los resultados del SPT (Schultze y Sharif, 1965).  

El coeficiente de asentamiento    , se determina mediante la figura 2.18.  7  4 

1,75

   

 2.15. ;

0,85

/

 

130 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  El factor de reducción por  ⁄ De la grafica 2.18

2 , se determina mediante la figura 2.18. 

El factor de reduccion

0,895 

 promedio a una profundidad de 2  , se determina mediante la siguiente ecuación:  20

25 3

28

24,333 

Reemplazando los valores calculados en la ecuación (2.30), el asentamiento inmediato es:    .

1

0,4

 

⁄

 

ó

0,85 24,333

,

93

1

0,4

1,5 4

0,895

,

 

.

Paso 3. Determinación del asentamiento inmediato, utilizando el método de Terzaghi y Peck (1948).  Utilizamos la ecuación 2.21:   

2 

 

0,3

1

4 

 

Donde:  93 

.  

24,333.    7,62⁄

7,62⁄24,33

0,313 

⁄

3,13

⁄

10  

  

4  .   1,5  .   Reemplazando los valores determinados en la ecuación (2.21):  93 ,

3,13  

10

2 4 4 0,3

1

1,5 4 4

9,13

10

.

. 

2.3.5 Método de Schmertmann (1970)  J.  H.  Schmertmann  (1970)  propuso  un  nuevo  procedimiento  para  el  cálculo  del  asentamiento  debido  a  fundaciones  continuas  emplazadas  en  suelos  granulares.  Este  método  es  usado  comúnmente  con  ensayos  CPT (Cone Penetration Test), aunque puede ser adaptado a otros tipos de ensayo. Tanto el ensayo CPT  como  los ensayos más importantes para la exploración del subsuelo son desarrollados en el Capítulo 8.  El método de Schmertmann es un procedimiento empírico desarrollado a partir de un modelo físico de  asentamientos  que  fue  calibrado  mediante  el  uso  de  datos  empíricos.  Este  método  a  pesar  de  su  carácter  empírico,  tiene  una  base  racional  en  la  teoría  de  elasticidad,  el  análisis  de  elementos  finitos  y  en  observaciones realizadas tanto en campo como en laboratorio.  Es así, que Schmertmann (1970) basado en los resultados de medidas de desplazamientos producidos en  masas  de  arena  sometidas  a  carga,  además  del  análisis  de  elementos  finitos  y  deformaciones  realizado  en  materiales  con  comportamiento  no–lineal,  postula  que  la  distribución  de  deformación  al  interior  de  una  masa de arena cargada es muy similar en forma a la de un medio elástico lineal. 

131 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

Luego, a partir de la teoría de elasticidad y de la ecuación (2.2); la distribución de Schmertmann para la  deformación vertical; al interior de un semi‐espacio elástico lineal sujeto a una superficie cargada; para un  suelo granular está dada por:   

∆

 

Ec. 2.31

Donde:   Carga neta aplicada al nivel de fundación.   Módulo de elasticidad equivalente del medio elástico, pudiendo variar el valor de este de un punto a  otro.   Factor de influencia por deformación.  Con afán de simplificar los cálculos se asume que el módulo de elasticidad equivalente E’ es una función  lineal. Sin embargo, debido a que el suelo no es un material elástico lineal, el E’ utilizado debe reflejar en lo  posible  las  características  equivalentes  de  un  material  lineal  confinado,  de  tal  manera  que  los  resultados  obtenidos sean lo más reales posibles. Luego, el valor de diseño de E’, considerado por Schmertmann refleja  implícitamente  las  deformaciones  laterales  del  suelo,  siendo  éste  E’  mayor  que  el  módulo  de  elasticidad  Es  determinado para condiciones drenadas y menor que el módulo confinado M.  En  el  apartado  anterior,  se  desarrollaron  los  procedimientos  y  las  correlaciones  existentes  para  la  como de      . 

obtención tanto de 

La distribución de la deformación vertical, a partir de la cual se obtienen el valor de 

, fue determinada a 

través de varias medidas de deformación realizadas al interior de estratos de arena cargados; en los que se  observó que, debajo el centro de la fundación, esta distribución es muy similar en forma, a la que se presenta  en  un  medio  elástico  lineal.  Posteriormente,  fue  basándose  en  esta  similitud  que  Schmertmann  (1970)  propuso la distribución  general simplificada de 

  vs. Profundidad relativa, a la que denominó distribución 

2B­0,6. Esta distribución se aproxima a un triángulo con un valor de 

 igual a 0,6 en z/B=0,5  y un valor de 

 igual a 0 para z/B=2.  Luego, integrando la ecuación (2.31) sobre la profundidad de influencia, se tiene: 

 

Ec. 2.32

La  ecuación  (2.32)  además  de  que  no  es  una  ecuación  matemáticamente  solucionable,  requiere  para  obtener el asentamiento de los correspondientes ajustes empíricos.  Fue para salvar estas deficiencias; que Schmertmann propuso utilizar una sumatoria de asentamientos de  capas  aproximadamente  homogéneas,  seleccionadas  todas  ellas  de  manera  apropiada.  Posteriormente  el  asentamiento inmediato es obtenido de la siguiente expresión: 

 

Ec. 2.33

Donde:   Carga neta aplicada al nivel de fundación.   Factor de influencia de deformación para la distribución 2B­0,6   Módulo de elasticidad calculado en la mitad del estrato i de espesor ∆  (ver apartado 2.2.3).   Factor de corrección por profundidad. 

132 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

   Factor de corrección por fluencia en el tiempo.    es  el  factor  de  corrección  por  profundidad.  Este  incorpora  el  efecto  de  alivio  de  deformaciones  que  existe al nivel de fundación y está dado por la siguiente expresión:  1

0,5

 

Ec. 2.34

Donde:   Presión de sobrecarga efectiva al nivel de fundación (Condiciones iniciales).   Carga neta aplicada al nivel de fundación.  El  factor  empírico 

  fue  introducido  por  Schmertmann  para  considerar  el  posible  aumento  de  los 

asentamientos debido a la fluencia en el tiempo. Este tiene la siguiente expresión:  1

0,2

0.1

 

Ec. 2.35

Donde:    Periodo de años en el que se calcula el asentamiento 

0.1  ñ

. 

En  la  mayoría  de  los  casos  estudiados  por  Schmertmann,  los  asentamientos  dependientes  del  tiempo  ocurren probablemente como consecuencia de la consolidación de estratos delgados de limo y arcilla que se  presentan al interior de la arena. Consiguientemente, el asumir una distribución elástica no es apropiada en  arcillas, y debido a que el uso del método CPT para la determinación del módulo de elasticidad, 

2

  es 

cuestionable  en  este  tipo  de  suelos,  Holtz  (1991)  aconseja  que  no  es  recomendable  el  uso  del  factor  de  corrección  , y sugiere adoptar para éste un valor de 1.  Sin embargo, por otro lado, Pestana y Whittle (1998) con el fin de poder incorporar la dependencia del  tiempo  en  el  comportamiento  de  arenas  sometidas  a  esfuerzos  de  compresión,  realizaron  una  simple  modificación a su modelo propuesto en 1995.  El modelo de 1995 asume que: (a) el incremento de deformación volumétrica puede ser subdividido en  componentes  elásticas  y  plásticas  y  (b)  el  módulo  tangente  volumétrico  puede  ser  escrito  por  medio  de  funciones  separables  del  índice  de  vacíos  actual    y  el  esfuerzo  efectivo  medio 

.  Luego,  realizando  la 

modificación a este modelo, Pestana y Whittle (1998) asumen que la componente elástica de deformación es  independiente del tiempo y por consiguiente los efectos del tiempo se introducen solamente a través de una  formulación  plástica.  Entonces,  el  comportamiento  del  suelo  sometido  a  esfuerzos  altos  de  compresión  es  independiente de la densidad de formación inicial (índice de vacíos inicial), pero es a su vez dependiente del  tiempo.  Tal  dependencia  se  halla  representada  por  la  Curva  de  Compresión  Limitante  (LCC,  Limiting  Compression  Curve),  que  presenta  una  forma  lineal  en  el  espacio  formado  por  el  logaritmo  de  índice  de  vacíos – logaritmo de esfuerzos efectivos (La forma de esta curva se presenta en el apartado 4: Asentamiento  por consolidación primaria).  Es  así  que  a  través  de  este  modelo  fue  posible  describir  dos  características  importantes  del  suelo,  que  son: (a) En niveles bajos de esfuerzos (régimen transitorio), la razón de deformación incrementa a medida  que incrementan tanto el índice de vacíos como los esfuerzos efectivos, mientras que en el régimen  LCC la  razón  de  deformación  converge  para  todas  las  densidades  de  formación  y  eventualmente  disminuye  en  niveles de esfuerzos grandes, y (b) el esfuerzo efectivo en el inicio de un cambio de deformación significante  es dependiente del tiempo en la densidad de formación inicial (índice de vacíos inicial). 

133 

Capítulo 2. Asentamientos de fundaciones superficiales 

 

 

 

 

2.3.6 Método de Schmertmann (1978)  Posteriormente, Schmertmann y Hartmann (1978) introdujeron varias modificaciones al método propuesto  en  1970, ecuación (2.33). La principal modificación realizada fue la de considerar las condiciones de  carga  axisimétrica (L/B = 1; distribución 0,6‐2B) y de carga plana (L/B = 10) separadamente. De la figura 2.20(a) se  puede notar que la profundidad de influencia del factor 

 va de 2B para la condición axisimétrica a 4B para 

la condición plana.   El máximo valor o valor pico del factor de influencia  a la presión de sobrecarga en el punto pico. Luego,  0,5

 es entonces 0,5 más un incremento relacionado 

 es determinado mediante la siguiente expresión: 

0,1

Ec. 2.36

Donde:   Factor de influencia de deformación pico. Para fundaciones cuadradas y circulares (L/B=1),  calcula a una profundidad  continuas 

⁄

10 , 

 se 

⁄2 debajo de la superficie; mientras que para zapatas 

 se calcula a una profundidad 

. 

 Carga neta aplicada al nivel de fundación.   Presión de sobrecarga efectiva previa a la carga de fundación calculada en la profundidad donde se  presenta 

, figura 2.20 (b). 

Figura 2.20 (a)Modificación de Schmertmann (1978) al diagrama de factor de influencia de deformación. (b)  Determinación de esfuerzos en la ecuación (2.36). 

134 

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, H.J. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar. 

  Schmertmann  (1978)  recomienda  que  cuando  la  relación  de  L/B  es  mayor  a  1  y  menor  a  10,  la  distribución del factor de influencia de deformación para el valor real de L/B  debe ser obtenida mediante la  interpolación  de 

  realizada  entre  los  dos  valores  calculados  en  el  punto  de  interés  para  el  caso 

axisimétrico (L/B = 1) y el caso de deformación plana (L/B = 10), respectivamente.  La última modificación realizada por Schmertmann incluye un tercer factor de corrección 

 referido a la 

forma  de  la  zapata,  además  de  una  expresión  para  la  realización  de  la  interpolación  por  medio  de  una  ecuación.  Estas  correcciones  consideran  de  igual  manera,  tanto  la  condición  de  carga  axisimétrica  como  la  condición de carga plana.  Ahora, el asentamiento inmediato es:  ∆  

     

Ec. 2.37

Donde:   Carga neta aplicada al nivel de fundación.    Factor  de  influencia  de  la  distribución  general  simplificada  de  I13  vs.  Profundidad  relativa  en  el  punto medio del estrato.   Módulo de elasticidad equivalente calculado en la mitad del estrato i de espesor ∆ .   Factor de corrección por profundidad.   Factor de corrección por fluencia en el tiempo   Factor de forma.   ,

Las expresiones desarrolladas para el cálculo de 

   y para 

 continúan siendo válidas. El factor de 

corrección por forma   se obtiene a partir de la siguiente expresión:  1,03

0,73 

0,03 ⁄

Ec. 2.38

Donde:   Ancho de la fundación.   Largo de la fundación.   Por otra parte, la interpolación a realizarse para la obtención de 

 cuando 13,0 ≤3,0

Clasificación

ND4 ND2 ND1

50

10

0,8 – 1,0

Método B Clasificación

Carga (mm)

Tiempo de ensayo (min)

Cantidad final de flujo a través de la muestra (ml/s)

D SD

50 180 380 380

5 5 5 5

1,0 – 1,4 1,4 – 2,7 1,8 – 3,2 ≤3,0

ND

Método C

Color de flujo al final del ensayo

Del costado (a)

Del tope (b)

Oscuro Moderadamente oscuro Levemente oscuro

Muy oscuro Oscuro

Apenas visible

Claro Perfectamente claro

Diámetro del orificio después del ensayo (mm)

Moderadamente oscuro Levemente oscuro Apenas visible Perfectamente claro

≥2,0 >1,5 ≤1,5 ≥1,5 1,5 ≥1,5

Apenas visible

10,0

Cero Bajo Moderado Moderadamente severo Severo

Potencial de colapso, 𝑰𝑰𝒄𝒄 (%)

Severidad del problema

Tabla 4.7. Relación del potencial de colapso con la severidad en problemas de fundaciones (Clemente & Finbarr, 1981). 0–1 1–5 5 – 10 10 – 20 20

Ejemplo 4.3

Ningún problema Problema moderado Problema Problema severo Problema muy severo

ENSAYO DE COLAPSO (ASTM-D5333) Solicitante:

Proyecto:

Ubicación:

Fecha:

Estado: Inalterado

Muestra:

Clasificación: ML

Profundidad (m): 1,20 – 1,80

310

Capítulo 4. Suelos especiales Tabla 4.8. Datos del ensayo de colapso.

DATOS DEL ESPECIMEN

Contenido de humedad inicial, (%) Contenido de humedad final, (%) Grado de saturación inicial, (%) Grado de saturación final, (%) ETAPA SIN AGUA

8,3 24,9 23,9 71,7

Altura, h (cm) Diámetro, ф (cm) Gravedad especifica, Gs

Lectura final (mm)

Asentamiento (mm)

Altura promedio (mm)

Altura drenada (mm)

0,00 0,10 0,20 0,40 0,80 1,60

11,950 11,865 11,790 11,710 11,595 11,398

0,00 0,08 0,16 0,24 0,35 0,35

19,00 18,92 18,84 18,76 18,65 18,45

9,50 9,46 9,42 9,38 9,32 9,22

Carga aplicada (𝐊𝐊𝐊𝐊⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 )

Lectura final (mm)

Asentamiento (mm)

Altura promedio (mm)

Altura drenada (mm)

5,490 5,000

6,46 6,95

12,54 12,05

6,27 6,03

Carga aplicada (𝐊𝐊𝐊𝐊⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 )

ETAPA CON AGUA

1,60 3,20

1,9 6,0 2,8

Densidad seca (𝐠𝐠⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟑𝟑 )

Relación de vacios (e)

Deformación vertical (%)

1,419 1,425 1,431 1,437 1,446 1,461

0,974 0,965 0,957 0,949 0,937 0,916

0.0 0,4 0,8 1,3 1,9 2,9

Densidad seca (𝐠𝐠⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟑𝟑 )

Relación de vacios (e)

Deformación vertical (%)

0,303 0,252

34,0 36,6

2,149 2,237

Figura 4.14. Curva del ensayo de colapso.

311

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

4.3.2.2.2 Ensayo del doble odómetro Jennings & Knight (1956, 1975) desarrollaron el método del doble odómetro. Este método consiste de la

realización de dos ensayos de consolidación: uno realizado sobre una muestra con contenido de humedad natural y el otro sobre una muestra que se encuentra saturada. Por medio de este ensayo es posible

determinar el valor del potencial de hidrocolapso, ξ w , como función del esfuerzo normal. De este modo, es posible obtener a partir de este ensayo un nuevo parámetro para medir el potencial de colapso.

Preparación de la muestra

La preparación de las muestras para este ensayo es realizada del mismo modo que para el ensayo de consolidación unidimensional (ver Capítulo 2).

Procedimiento del ensayo

Este ensayo se realiza de manera semejante al ensayo de consolidación especificado según norma bajo la designación ASTM D-2435. El ensayo de consolidación en su totalidad ya fue desarrollado en el Capítulo 2.

Los pasos a seguir son los siguientes: 1. 2. 3.

Ensambladas las dos muestras en el odómetro, someter a las dos muestras a una presión de 1 [kN/m2] durante 24 horas.

Pasadas las 24 horas, saturar una de las muestras inundándola durante 24 horas. La muestra restante debe mantener su contenido de humedad natural.

Concluida la inundación, continuar con la aplicación de carga hasta alcanzar el nivel deseado (nivel a

ser alcanzado en campo). La aplicación de los incrementos de carga es realizada del mismo modo que

4. 5. 6. 7. 8. 9.

en el ensayo de consolidación, ASTM D-2435.

Trazar las curvas de consolidación de laboratorio, para ambos ensayos.

Trazar una línea vertical a través de σ’ o .

Determinar la presión de preconsolidación, σ’ c , para la muestra de suelo inundada. Si 𝜎𝜎𝑐𝑐′ /𝜎𝜎𝑜𝑜′ = 0,8 − 1,5 el suelo es normalmente consolidado, mientras que si 𝜎𝜎𝑐𝑐′ /𝜎𝜎𝑜𝑜′ > 1,5 el suelo es sobreconsolidado.

Calcular 𝑒𝑒𝑜𝑜′ , que es el índice de vacíos correspondiente al esfuerzo de 𝜎𝜎𝑜𝑜′ para la curva de

consolidación de laboratorio de la muestra saturada.

Por el punto (𝜎𝜎𝑜𝑜′ , 𝑒𝑒𝑜𝑜′ ), dibujar una curva paralela a la curva de consolidación de laboratorio de la

muestra con contenido de humedad natural.

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, ∆𝜎𝜎𝑣𝑣 . Dibujar una línea vertical correspondiente al

esfuerzo, 𝜎𝜎𝑜𝑜′ + ∆𝜎𝜎𝑣𝑣 y trazar por este una vertical.

10. A partir de la vertical trazada, determinar ∆𝑒𝑒1 y ∆𝑒𝑒2 , Fig.4.15. Luego, el asentamiento o deformación producida en el suelo sin cambio en el contenido de humedad natural es:

𝜀𝜀1 =

∆𝑒𝑒1 𝐻𝐻 1 + 𝑒𝑒

Y la deformación o asentamiento cuasado por el colapso de la estructura del suelo es: ∆𝑒𝑒2 𝜀𝜀2 = 𝐻𝐻 1 + 𝑒𝑒𝑜𝑜

(Ec. 4.4) (Ec. 4.5) 312

Capítulo 4. Suelos especiales

Donde: H = Espesor del suelo susceptible a colapsarse

Luego el índice de hidrocolapso, ξ w , es determinado como:

𝜉𝜉𝑤𝑤 = (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2 ) × 100

(Ec. 4.6)

(a)

(b) Figura 4.15. Resultados obtenidos a partir del ensayo del doble odómetro (a) Suelo normalmente consolidado (b) Suelo sobreconsolidado.

313

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

4.3.2.3 Relaciones empíricas Houston et al (2001) propone el siguiente método de identificación de suelos colapsables a partir de la

clasificación de suelos:

 Suelos no plásticos: El suelo puede ser colapsable si: 𝐷𝐷60 < 0,1 𝑚𝑚𝑚𝑚 Donde:

𝐷𝐷60 = Diámetro mayor de partícula correspondiente al 60% más fino del suelo.  Suelos plásticos: El suelo puede ser colapsable, si: 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 > 10 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 =

Donde:

𝐼𝐼𝐼𝐼(%) ∗ 𝑃𝑃200 100

(Ec. 4.7)

(Ec. 4.8) (Ec. 4.9)

ωIP = Valor de normalización de suelos plásticos.

𝑃𝑃200 =Porcentaje que pasa el tamiz No 200.

La tabla 4.9 presenta varios criterios para la identificación de los parámetros físicos de suelos colapsables.

Tabla 4.9. Criterios para la identificación de suelos colapsables (Das, 1999).

Investigador

Año

Criterio

Denisov

1951

Clevenger

1958

Priklonski

1952

Sovietic Building Code

1962

Coeficiente de subsidencia 𝐾𝐾 (1) = 0,5 − 0,75 : Altamente colapsable 𝐾𝐾 (1) = 1,0 : Francamente no colapsable 𝐾𝐾 (1) = 1,5 − 2,0 : Suelos no colapsables Si el peso unitario seco es menor que 12 KN/𝑚𝑚3 , el asentamiento será grande; Si el peso unitario seco es mayor que 14,1 KN/𝑚𝑚3 , el asentamiento será pequeño. 𝐾𝐾 (2) < 0 : Suelos altamente colapsables 𝐾𝐾 (2) > 0,5 : Suelos no colapsables 𝐾𝐾 (2) > 1,0 : Suelos expansivos

Feda Benites

1964 1968

Handy

1973

𝐿𝐿 =

𝑒𝑒𝑜𝑜 − 𝑒𝑒𝐿𝐿 1 + 𝑒𝑒𝑜𝑜

Donde: 𝑒𝑒𝑜𝑜 = Índice de vacios natural 𝑒𝑒𝐿𝐿 = Índice de vacios en el límite líquido Para un grado de saturación natural menor que 60%, si L < 0,1, entonces es un suelo colapsable. (3) Si 𝐾𝐾𝐿𝐿 > 0,85 para Ѕ < 100%, es un suelo subsidente.

Un ensayo de dispersión en el cual 2 g de suelo se dejan caer en 12 ml de agua destilada, y se toma el tiempo cronometra hasta la dispersión. Un tiempo de 20 a 30 segundos corresponde a suelos colapsables. Loess de Iowa con contenido de arcilla ( 20

Despreciable Moderado Alto Muy alto

4.4.2.3.3 Ensayo de expansión controlada según ASTM D-4546 Este ensayo es realizado sobre muestras de suelo inalteradas, sirve para determinar la magnitud de

expansión o asentamiento bajo una presión vertical conocida, o determinar la magnitud de presión vertical necesario para mantener el volumen de altura constante, a su vez presenta tres alternativas para la determinación de la magnitud de expansión del suelo. Dichas alternativas se detallan a continuación:

Método A

Este método determina:  La expansión libre

 El porcentaje de levantamiento debido a la aplicación de una carga vertical.

 Presión de expansión

Método B

Este método determina:

 El porcentaje de levantamiento debido a la aplicación de una carga vertical, que usualmente es equivalente a la presión inicial de sobrecarga in situ o a cualquier otra carga vertical.

 Presión de expansión.

Método C

Este método determina:

 Presión de expansión.

 Presión de preconsolidación.

 Porcentaje de levantamiento.

Preparación de las muestras Para la realización de este ensayo se utilizan muestras de suelos inalteradas que deben ser compactadas y moldeadas de la misma manera que para un ensayo de consolidación normal.

A partir de la curva de expansión Fig. 4.19, que no es más que la curva obtenida a partir de la realización

del ensayo de consolidación invertida, pueden realizarse las siguientes definiciones:

321

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

 Expansión primaria.- Expansión arbitraria realizada a corto plazo. La intersección de las tangentes sacadas a la curva de la figura 4.19, se considera el fin de la expansión primaria.

 Expansión secundaria.- Expansión a largo plazo. El inicio de la expansión secundaria es el fin de la expansión primaria.

Figura 4.19. Curva de expansión (American Society for Testing and Materials, ASTM D4546, 1999).

Procedimiento del ensayo El procedimiento a seguir es el siguiente: 1.

2. 3.

Colocar la muestra en el anillo de consolidación, tratando de que no exista evaporación del contenido de humedad de la muestra y aplicar una carga de asiento 1 kPa.

Aplicar la presión de sobrecarga inicial in situ, y una vez transcurridos 5 min después de la aplicación, ajustar el medidor a cero.

A continuación, se sigue el mismo procedimiento realizado para un ensayo de consolidación normal, con las siguientes excepciones:

Para el método A. Después de haber registrado la deformación inicial, inundar la muestra y registrar las deformaciones a diversos intervalos de tiempo. Las lecturas se dejan de tomar una vez que se ha completado la expansión primaria.

Después del fin de la expansión primaria, aplicar incrementos sucesivos de carga de 5, 10, 20, 40, 80

kPa, etc. La duración de cada incremento de carga es aquella que asegure el 100% de consolidación primaria.

Para el método B. El ensayo comienza aplicando una presión mayor a la presión de sobrecarga inicial. Al cabo de 5 min leer la deformación debida a la presión.

Luego inundar la muestra y realizar las lecturas respectivas hasta la finalización de la expansión primaria. Proceder a la aplicación de incrementos de carga tal como en el método A.

322

Capítulo 4. Suelos especiales

Para el método C. El ensayo comienza aplicando una presión equivalente a la presión estimada in situ. Al cabo de 5 min leer la deformación inicial e inundar inmediatamente la muestra.

A la muestra inundada, aplicar incrementos de carga, estos incrementos de carga tendrán la magnitud 4.

necesaria para evitar la expansión de la muestra

La determinación del porcentaje de levantamiento es realizada de la siguiente manera:

∆ℎ 𝑒𝑒 − 𝑒𝑒𝑜𝑜 ∗ 100 = ∗ 100 ℎ0 1 + 𝑒𝑒𝑜𝑜

(Ec. 4.18)

Donde:

𝑒𝑒𝑜𝑜 = Índice de vacíos inicial.

𝑒𝑒 = Índice de vacíos a una cierta presión 𝜎𝜎.

∆ℎ = Cambio en la altura de la muestra.

ℎ0 ∆ℎ ℎ0

= Altura inicial de la muestra.

∗ 100 = Porcentaje de levantamiento.

Ejemplo 4.4 ENSAYO DE EXPANSIÓN CONTROLADA (ASTM D-4546, METODO A) Solicitante:

Estado: Inalterado

Proyecto:

Muestra:

Ubicación:

Clasificación: SC-ML

Fecha:

Profundidad (m): 1,20 – 1,80

Carga de asiento (Kg⁄cm2 ): 0,01

DATOS DEL ESPECIMEN

Contenido de humedad inicial, (%) Contenido de humedad final, (%) Grado de saturación inicial, (%) Grado de saturación final, (%)

5,24 13,22 40,85 98,76

Altura, h (cm) Diámetro, ϕ (cm) Gravedad especifica, Gs

Tabla 4.14. Datos del ensayo de expansión controlada.

1,90 6,00 2,73

ETAPA DE EXPANSION

Tiempo (min)

Lect. Dial (mm)

Expansión (mm)

Altura (mm)

0,00 0,20 0,50 0,80 1,00 2,00 4,00 8,00 15,00 30,00

5,720 5,740 5,760 5,770 5,780 5,800 5,820 5,840 5,859 5,880

0,000 0,020 0,040 0,050 0,060 0,080 0,100 0,120 0,139 0,160

19,00 19,02 19,04 19,05 19,06 19,08 19,10 19,12 19,14 19,16

Densidad seca (𝐠𝐠⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟑𝟑 ) 2,02 2,02 2,02 2,02 2,02 2,01 2,01 2,01 2,01 2,01

Relac. de vacios (e)

Expansión (%)

0,350 0,351 0,353 0,354 0,354 0,356 0,357 0,359 0,360 0,361

0,000 0,105 0,211 0,263 0,316 0,421 0,526 0,632 0,732 0,842

323

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar Tabla 4.14 (continuación). Datos del ensayo de expansión controlada.

ETAPA DE EXPANSION

Tiempo (min)

Lect. Dial (mm)

Expansión (mm)

Altura (mm)

65,00 140,00 170,00 305,00 550,00 4160,00 4565,00 5595,00 6080,00 7055,00 8495,00 9935,00 11375,00 12815,00 14255,00

5,900 5,913 5,915 5,920 5,922 5,931 5,932 5,933 5,934 5,935 5,936 5,936 5,936 5,936 5,936

0,180 0,193 0,195 0,200 0,202 0,211 0,212 0,213 0,214 0,215 0,216 0,216 0,216 0,216 0,216

19,18 19,19 19,20 19,20 19,20 19,21 19,21 19,21 19,21 19,22 19,22 19,22 19,22 19,22 19,22

Carga (𝐊𝐊𝐊𝐊⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 )

Lect. Final (mm)

Asentamiento (mm)

Alt. Prom. (mm)

5,936 5,934 5,900 5,838 5,772 5,704 5,704 5,704

0,000 0,002 0,036 0,098 0,164 0,232 0,232 0,232

19,216 19,214 19,180 19,118 19,052 18,984 18,984 18,984

0,05 0,10 0,20 0,40 0,80 1,60 3,20 6,40

Densidad seca (𝐠𝐠⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟑𝟑 )

Relac. de vacios (e)

Expansión (%)

2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00

0,363 0,364 0,364 0,364 0,364 0,365 0,365 0,365 0,365 0,365 0,365 0,365 0,365 0,365 0,365

0,947 1,016 1,026 1,053 1,063 1,111 1,116 1,121 1,126 1,132 1,137 1,137 1,137 1,137 1,137

Densidad seca (𝐠𝐠⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟑𝟑 )

Relac. de vacios (e)

Def. vertical (%)

0,365 0,365 0,363 0,358 0,354 0,349 0,349 0,349

0,000 0,010 0,187 0,510 0,853 1,207 1,207 1,207

ETAPA DE CONSOLIDACION

2,00 2,00 2,00 2,01 2,02 2,02 2,02 2,02

ETAPA DE CARGA

0,10 𝐊𝐊𝐊𝐊⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 Tiempo (min)

Def. (mm)

0,20 𝐊𝐊𝐊𝐊⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 Tiempo (min)

Def. (mm)

0,40 𝐊𝐊𝐊𝐊⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 Tiempo (min)

Def. (mm)

0,80 𝐊𝐊𝐊𝐊⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 Tiempo (min)

Def. (mm)

1.60 𝐊𝐊𝐊𝐊⁄𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐 Tiempo (min)

Def. (mm)

0,00 0,13 0,25 0,50 1 2 4 8 15 30 70

0,000 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002

0,00 0,13 0,25 0,50 1 2 4 8 15 30 60 155 215

0,000 0,019 0,020 0,021 0,023 0,024 0,024 0,025 0,027 0,029 0,030 0,033 0,034

0,00 0,13 0,25 0,50 1 2 4 8 15 30 70 995

0,000 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,051 0,052 0,055 0,058 0,060 0,062

0,00 0,13 0,25 0,50 1 2 4 8 15 40 90 140 320 1415

0,000 0,035 0,038 0,038 0,039 0,042 0,045 0,048 0,048 0,049 0,055 0,057 0,059 0,066

0,00 0,13 0,25 0,50 1 2 4 8 15 30 60 160 230 640 1420

0,000 0,040 0,042 0,043 0,044 0,047 0,050 0,052 0,043 0,054 0,056 0,059 0,061 0,065 0,068

324

Capítulo 4. Suelos especiales

Figura 4.20. Curva del ensayo de colapso.

4.4.2.3 Relaciones empíricas

4.4.2.3.1 A partir de correlaciones gráficas Existen varios sistemas de clasificación para suelos expansivos, basados todos ellos en los problemas que este tipo de suelos ocasiona en la construcción de fundaciones.

La posibilidad de expansión de los suelos puede ser establecida a partir de la figura 4.21, según

Abduljauwad y Al- Sulaimani (1993).

Vijayvergiya y Ghazzaly (1973) analizaron varios resultados obtenidos de ensayos de expansión libre, y a

partir de estos elaboraron una correlación gráfica entre la expansión libre, el límite líquido y el contenido de humedad natural, Fig. 4.22.

325

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Figura 4.21. Criterios comúnmente usados para determinar el potencial de expansión, según Abduljauwad y AlSulaimani, 1993 (Das, 1999).

4.4.2.3.2 A partir de tablas

La tabla 4.15 presenta un resumen de distintos criterios utilizados para la clasificación de suelos expansivos.

La tabla 4.16 presenta el sistema de clasificación desarrollado por la U.S. Army Waterways Experiment

Station (Snethen et al, 1977) que es el más usado en los Estados Unidos.

326

Capítulo 4. Suelos especiales

Figura 4.22 Relación entre el porcentaje de expansión libre, límite líquido y contenido de humedad natural (después de Vijayvergiya y Ghazzaly, 1973)

Tabla 4.15. Resumen de criterios para identificar el potencial de expansión (según Abduljauwad y Al-Sulaimani, 1993). Referencia

Criterios

Observaciones

Holtz (1959)

𝐶𝐶𝐶𝐶 > 28; 𝐼𝐼𝐼𝐼 > 35 𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿 < 11(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) 20 ≤ 𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 31; 25 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 41 𝑦𝑦 7 ≤ 𝐿𝐿𝐿𝐿 ≤ 12(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) 13 ≤ 𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 23; 15 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 28 𝑦𝑦 10 ≤ 𝐿𝐿𝐿𝐿 ≤ 16 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 15; 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 18 𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿 ≥ 15 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏)

Basado en CC,IP y LC

Seed y otros (1962) Altemeyer (1955)

Dakshanamanthy y Raman (1973)

Véase la figura 15 (a)

𝐶𝐶𝐶𝐶 < 5; 𝐿𝐿𝐿𝐿 < 12 𝑦𝑦 𝐸𝐸𝐸𝐸 < 0,5 (𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 5 ≤ 𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 8; 10 ≤ 𝐿𝐿𝐿𝐿 ≤ 12 𝑦𝑦 0,5 ≤ 𝐸𝐸𝐸𝐸 ≤ 1,5 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝐶𝐶𝐶𝐶 > 8; 𝐿𝐿𝐿𝐿 < 10 𝑦𝑦 𝐸𝐸𝐸𝐸 > 1,5 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 15; 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 18 𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿 ≥ 15 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏)

Véase la figura 15 (b)

Con Base en la prueba del odómetro usando una muestra compactada, porcentaje de arcilla < 2µm y actividad.

Con base en CL, LC y EP.

Muestra

𝜌𝜌𝑑𝑑(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ) 𝑦𝑦 𝜔𝜔𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜

remoldeada,

empapada

sobrecarga de 6.9 kPa.

bajo

Basado en la carta de plasticidad.

327

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar Tabla 4.15 (continuación). Resumen de criterios para identificar el potencial de expansión (según Abduljauwad y AlSulaimani, 1993). Referencia

Raman (1967)

Sowers y Sowers (1970) Van Der Merwe (1964) Uniform Building Code, 1968 Snethen (1984)

Chen (1988) McKeen (1992) Vijayvergiya y Ghazzaly (1973) Kayak y Christensen(1974) Weston (1980) Notación:

Criterios

Observaciones

𝐼𝐼𝐼𝐼 > 32 𝑦𝑦 𝐼𝐼𝐼𝐼 > 40 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) 23 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 32 𝑦𝑦 30 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 40 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) 12 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 23 𝑦𝑦 15 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 30 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝐼𝐼𝐼𝐼 < 12 𝑦𝑦 𝐼𝐼𝐼𝐼 < 15 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏)

𝑆𝑆𝑆𝑆 < 10 𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑃𝑃 > 30 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) 10 ≤ 𝑆𝑆𝑆𝑆 ≤ 12 𝑦𝑦 15 ≤ 𝑃𝑃𝑃𝑃 ≤ 30 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑆𝑆𝑆𝑆 > 12 𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑃𝑃 < 15 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏)

Véase la figura 15 (c)

𝐼𝐼𝐼𝐼 > 130 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) 𝑦𝑦 91 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 130 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) 51 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 90 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑦𝑦 21 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 50 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) 0 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 20 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵) 𝐿𝐿𝐿𝐿 > 60; 𝐼𝐼𝐼𝐼 > 35; 𝜏𝜏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 > 4 𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑃𝑃 > 1,5 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)

30 ≤ 𝐿𝐿𝐿𝐿 ≤ 60; 25 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 35; 1,5 ≤ 𝜏𝜏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ≤ 4

𝑦𝑦 0,5 ≤ 𝑃𝑃𝑃𝑃 ≤ 1,5 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝐿𝐿𝐿𝐿 < 30; 𝐼𝐼𝐼𝐼 < 25; 𝜏𝜏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 < 1,5 𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑃𝑃 < 0,5 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≥ 35 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)𝑦𝑦 20 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 55 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) 10 ≤ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 35 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑒𝑒 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 15 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏)

Véase la figura 15 (d)

log 𝑃𝑃𝑃𝑃 = (0,5)(0,44𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝜔𝜔𝑜𝑜 + 5,5)

PE = (0,00229IP)(1,45C)/𝜔𝜔𝑜𝑜 + 6,38

𝑃𝑃𝑃𝑃 = 0,00411(𝐿𝐿𝐿𝐿𝑤𝑤 )4,17 𝑞𝑞−3,86 𝜔𝜔𝑜𝑜−2,33

𝐶𝐶 = % de arcilla. 𝐶𝐶𝐶𝐶 = % de contenido coloidal. 𝐼𝐼𝐼𝐼 = Índice de expansión = 100 x % de expansión x fracción que pasa la malla No 4. 𝐼𝐼𝐼𝐼 = Índice de liquidez (%). 𝐿𝐿𝐿𝐿 = Límite Líquido (%). 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑤𝑤 = Límite Líquido pesado, (%). 𝐶𝐶𝐶𝐶 = Contracción lineal, (%). 𝐼𝐼𝐼𝐼 = Índice de plasticidad, (%).

Basado en IP e IC.

Poca expansión ocurrirá cuando 𝜎𝜎𝑤𝑤 conduce a un IL de 0,25 Con base en IP, porcentaje de arcilla < 2µm y actividad.

Con base en la prueba del odómetro en una muestra compactada con grado de saturación del 50% y sobrecarga de 6,9 KPa. EP es representativa para condición de campo, se usa 𝜏𝜏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 , pero se reducirá la exactitud. Basado en IP. Con base en mediciones de pequeño contenido de agua, succión y cambio de volumen al secarse. Ecuaciones empíricas Ecuaciones empíricas

Ecuaciones empíricas

𝐸𝐸𝐸𝐸 = Expansión probable, (%). 𝑞𝑞𝑜𝑜 = Sobrecarga 𝐼𝐼𝐼𝐼 = Índice de contracción, (%) = LL − LC 𝑃𝑃𝑃𝑃 = Potencial de expansión, (%). 𝜔𝜔𝑜𝑜 = Contenido de humedad natural del suelo (%). 𝜏𝜏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = Succión natural del suelo en tsf. 𝜌𝜌𝑑𝑑(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ) = Densidad seca máxima. 𝜔𝜔𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = Contenido de humedad óptimo (%).

328

Capítulo 4. Suelos especiales Tabla 4.16. Sistema de clasificación de suelos expansivos (O’Neill y Poormoayed, 1980). Límite Líquido < 50 50 – 60 > 60

Índice de plasticidad < 25 25 – 35 > 35

Expansión potencial (%) < 0,5 0,5 – 1,5 > 1,5

Clasificación de la expansión potencial Baja Marginal Alta

Expansión potencial = expansión vertical bajo una presión igual a la presión de sobrecarga.

4.4.3 Medidas de prevención y/o solución cuando se trabaja con suelos expansivos Los daños en las estructuras de fundación que ocurren como resultado de la presencia de un suelo con

elevado potencial de expansión, pueden ser evitados a través de la aplicación de las posibles alternativas:

 Reemplazar el suelo expansivo bajo la fundación. Esta alternativa es viable en caso de que se trate de suelos poco profundos.

 Estabilización del suelo expansivo, ya sea mediante compactación controlada, prehumedecimiento del suelo y/o estabilización química.

La compactación cuando se trabaja con suelos expansivos puede ser una medida útil para disminuir el

potencial de expansión. Por lo general, no se recomienda el uso de losas de fundación, sobre todo en casos donde se espera un levantamiento mayor a 38 mm.

Por otro lado, el principal objetivo del prehumedecimiento es que la mayor parte del levantamiento se de

antes de la construcción. Esto se consigue incrementando el contenido de humedad del suelo a través de un embalse. Posteriormente, se agrega 4-5% de cal hidratada a la capa superior de suelo, obteniéndose de esta manera una capa de suelo menos plástica y más trabajable. La desventaja principal de este procedimiento radica en que la infiltración en suelos arcillosos es muy lenta.

Finalmente, la estabilización química del suelo es realizada con ayuda de cal y cemento. La cal o cemento

y agua son mezclados con la capa superior de suelo, para luego ser compactadas. Este procedimiento puede

ser realizado hasta 1,5 m de profundidad, siendo el principal objetivo el de disminuir el límite líquido, el índice de plasticidad y las características de expansión del suelo.

Referencias

Coduto, Donald P. “Geotechnical Engineering Principles and Practices”. Prentice Hall.

Coduto, Donald P. “Geotechnical Engineering Principles and Practices, Second Editión”. Prentice Hall.

Holmgren, G.G.S and Flanagan, C.P. (1976). “Factors Affecting Spontaneous Dispersion of Soil Materials as Evidenced by Crumb Test. Proceedings”. American Society for Testing and Materials. Publication N° 623.

Holtz, W. G. and Gibbs, H. J. (1956). Engineering properties of expansive clays, Trans. Am. Soc. Civil Engneering, 121: 63-64.

Salinas L.M., Rojas J.C., Salinas R.A. (2003). “Suelos colapsables: Identificación y estabilización química”.

Sherard, J.L., Dunnigan L.P. Decker, R.S. y Steel E.F. (1976). “Pinhole Test for Identifying Dispersive Soils”. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE.

Sherard, J.L., y Decker, R.S., (1977), eds., “Dispersive Clays, Related Piping, and Erosion in Geotechnical Projects”. STP 623, ASTM, Philadelphia, Pensylvania.

329

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Sherard, J.L. y Decker, R.S. (1977). “Some Engineering Problems with Dispersive Clays”. Proc. Symposium on Dispersive Clays, Related Piping, Erosion in Geotechnical Projects, ASTM SPT G23, pp. 3-12.

Vijayvergiya V. N., Ghazzaly O. I. 1973. “Prediction of swelling potential for natural clays”. Proc. of the 3rd Int. Conf.on Expansive Clay Soils. 1. Jerusalem: Jerusalem Academic Press.

330

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Capítulo cinco

Esfuerzos laterales del terreno Contenido 5 Esfuerzos laterales del terreno .........................................................................................................................................................331 5.1 Introducción.......................................................................................................................................................................................333

5.2 Esfuerzo lateral del terreno en condición de reposo ......................................................................................................337 Ejemplo 5.1 ............................................................................................................................................................341 Ejemplo 5.2 ............................................................................................................................................................343

5.3 Esfuerzo lateral del terreno en condición activa ..............................................................................................................344 5.3.1 Teoría de Rankine................................................................................................................................................................345

5.3.1.1 Esfuerzo activo horizontal para condiciones drenadas .....................................................................345

5.3.1.1.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal de suelo granular ..346 Ejemplo 5.3 ............................................................................................................................................................348 Ejemplo 5.4 ............................................................................................................................................................349

5.3.1.1.2 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado de suelo granular.....350 Ejemplo 5.5 ............................................................................................................................................................351

5.2.1.1.3 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal de suelo cohesivo ..352

Ejemplo 5.6 ............................................................................................................................................................355

5.2.1.1.4 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado de suelo cohesivo ....356

Ejemplo 5.7 ............................................................................................................................................................357

5.3.1.2 Esfuerzo activo horizontal para condiciones no drenadas ...............................................................359

5.2.1.2.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal en condiciones no drenadas..................................................................................................................................................................359

5.2.1.2.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado en condiciones no drenadas..................................................................................................................................................................359

5.3.2 Teoría de Coulomb ..............................................................................................................................................................360

5.3.2.1 Esfuerzo activo para suelos granulares determinado a través de la Teoría de Coulomb (condiciones drenadas) ....................................................................................................................................................360

5.3.2.1.1 Solución gráfica para la teoría de Coulomb en suelos granulares (Método de Culmann).................................................................................................................................................................367 Ejemplo 5.8 ............................................................................................................................................................369

5.3.2.2 Esfuerzo activo para suelos cohesivos determinado a través de la Teoría de Coulomb (condiciones no drenadas) .............................................................................................................................................371

5.4 Esfuerzo lateral del terreno en condición pasiva .............................................................................................................373 5.4.1 Teoría de Rankine................................................................................................................................................................373

5.4.1.1 Esfuerzo lateral pasivo para condiciones drenadas.............................................................................373

5.4.1.1.1 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal de suelo granular .375 Ejemplo 5.9 ............................................................................................................................................................377

Ejemplo 5.10..........................................................................................................................................................378

331

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

5.4.1.1.2 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado de suelo granular....379 Ejemplo 5.11..........................................................................................................................................................380

5.4.1.1.3 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal de suelo cohesivo .381 Ejemplo 5.12..........................................................................................................................................................383

Ejemplo 5.13..........................................................................................................................................................384

5.4.1.1.4 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado de suelo cohesivo ...386

Ejemplo 5.14..........................................................................................................................................................387

5.4.1.2 Esfuerzo lateral pasivo para condiciones no drenadas ......................................................................388

5.2.1.2.1 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal en condiciones no drenadas..................................................................................................................................................................388

5.2.1.2.2 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado en condiciones no drenadas..................................................................................................................................................................388

5.4.2 Teoría de Coulomb ..............................................................................................................................................................389

5.4.2.1 Esfuerzo pasivo para suelos granulares determinado a través de la teoría de Coulomb (condiciones drenadas) ....................................................................................................................................................389 Ejemplo 5.15..........................................................................................................................................................391

5.4.2.2 Esfuerzo pasivo para suelos cohesivos determinado a través de la Teoría de Coulomb (condiciones no drenadas) .............................................................................................................................................393

5.4.3 Determinación de la presión pasiva del terreno considerando una superficie de falla circular (Método de Terzaghi & Peck) ....................................................................................................................................................393

5.5 Cartas semi-empíricas para la determinación del esfuerzo lateral del terreno .................................................398

5.6 Determinación del esfuerzo lateral del terreno basada en la teoría de elasticidad..........................................400

5.7 Determinación del esfuerzo lateral del terreno en cortes ............................................................................................402 5.8 Comentarios .......................................................................................................................................................................................405

332

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

5.1 Introducción A menudo en la naturaleza nos encontramos con taludes verticales o casi verticales de suelo, o en la mayoría

de obras civiles, es necesario alterar la superficie del perfil del terreno, originándose de tal manera, superficies verticales o muy próximas a esta situación, estos taludes verticales o casi verticales de suelo son soportados por estructuras de retención.

Para el análisis de estabilidad de estas estructuras, se requiere conocer tanto la naturaleza de la

estructura del muro, como la naturaleza del material que será soportado; al igual que la manera en que el muro podría moverse o ceder después de la construcción.

El método a utilizarse para la determinación de las cargas ejercidas por el terreno sobre las estructuras

de retención, depende de la rigidez de las estructuras.

Por ejemplo, los métodos de Rankine y Coulomb desarrollados entre los años 1700 a 1900, se basan en la

idealización de la estructura de retención, como una estructura rígida y que se comporta como una unidad. Sin embargo, a pesar de que esta suposición ignora el efecto real que existe en la interacción suelo-estructura

y el proceso de construcción del sistema, en la actualidad, estructuras más complicadas han sido diseñadas aplicando modificaciones empíricas a estos métodos.

Como algunos ejemplos comunes de estructuras de retención, se tienen los observados en la figura 5.1.

La figura 5.1 (a) muestra una de las formas más simples de estructuras de retención, el muro de gravedad,

que por sus características, es una estructura suficientemente rígida en la que no se producen deformaciones por flexión.

La figura 5.1 (b) presenta un tabique o muro flexible, en el que se presentan deformaciones por flexión.

Para este tipo de estructuras, las presiones del terreno deben ser determinadas mediante métodos desarrollados para sistemas flexibles.

(a) (b) Figura 5.1. Tipos de estructuras de retención (a) Muro de gravedad, (b) Tabique o muro flexible.

El proceso de construcción del sistema involucra primeramente la edificación de la estructura de

retención, procediéndose a continuación con el colocado del relleno que se encuentra situado entre el muro y el talud excavado. El material de relleno será seleccionado de los materiales disponibles in-situ. Si acaso en el

sitio de construcción se disponen solamente de arcillas expansivas, o de cualquier otro tipo de material no adecuado para relleno, puede ser necesario transportar de otro sitio un material adecuado para el relleno.

333

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Day (2000) afirma que la recomendación estándar para material de relleno es la de un suelo granular

limpio (sin limo ni arcilla). Existen varias razones para esta recomendación. Éstas se enuncian a continuación:

 Comportamiento predecible.- Un relleno granular tiene generalmente un comportamiento más predecible en términos de la presión del terreno ejercida sobre el muro. Por otra parte, al utilizarse un relleno granular limpio, se asegura que no existirán ningún tipo de fuerza expansiva.

 Sistema de drenaje.- Para prevenir el crecimiento de la presión hidrostática de agua en el muro de

retención, es a menudo construido un sistema de drenaje en el pie del talón. El drenaje seré más efectivo si el suelo es altamente impermeable, de tal modo, el relleno compuesto de suelo granular limpio es en todo caso el más adecuado.

 Acción congelante.- En climas fríos, la acción congelante ha sido la causa del movimiento de muchos

muros, ocasionado que éstos queden fuera de uso. Por tanto, si las temperaturas bajas prevalecen, el relleno de suelo puede ser susceptible al congelamiento, produciéndose la formación de lentes de hielo paralelos al muro que causan movimiento horizontal. En estos casos, el relleno de suelo

granular limpio y un adecuado sistema de drenaje contribuyen a la protección del muro contra la acción congelante.

Por otro lado el adecuado diseño de estas estructuras requiere la estimación de los esfuerzos laterales del

terreno, que son una función de varios factores, tales como: 

El tipo y la magnitud del movimiento de los muros.

 los parámetros de resistencia al cortante del suelo.

 El peso específico del suelo.

 Las condiciones de drenaje en el relleno.

En muros de retención, pueden alcanzarse tres posibles situaciones:

 Esfuerzo lateral del terreno en condición de reposo.- Esta situación es alcanzada cuando el muro 𝐴𝐴𝐴𝐴 es estático, Fig. 5.2 (a); es decir, no existe movimiento ni a la derecha ni a la izquierda de su posición

inicial. Para este caso la masa de suelo permanece en equilibrio estático, es decir la deformación unitaria horizontal es cero.

 Esfuerzo lateral del terreno en condición activa.- El muro 𝐴𝐴𝐴𝐴, Fig. 5.2 (b), se inclina respecto al suelo

retenido hasta alcanzar la posición 𝐴𝐴′𝐵𝐵; entonces la masa de suelo triangular 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶′ que se encuentra

adyacente al muro alcanza el equilibrio plástico y falla, es decir, el suelo se expande, deslizándose descendentemente a través del plano 𝐵𝐵𝐵𝐵′. Para este caso el esfuerzo lateral se reduce desde el valor

del esfuerzo en condición de reposo hasta el valor del esfuerzo lateral activo, que es el valor mínimo del esfuerzo lateral.

El término equilibrio plástico, se refiere a la condición en que cada punto en la masa de suelo está a punto de fallar. Esta condición, se desarrolla por lo general, al fallar cualquier muro de retención.

 Esfuerzo lateral del terreno en condición pasiva.- El muro 𝐴𝐴𝐴𝐴, Fig. 5.2 (c), es empujado hacia el suelo

retenido hasta alcanzar la posición 𝐴𝐴′′𝐵𝐵; entonces la masa de suelo triangular 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 ′′ que se encuentra

adyacente al muro alcanza el equilibrio plástico y falla, es decir, el suelo se comprime deslizándose ascendentemente a través del plano 𝐵𝐵𝐵𝐵′′. El esfuerzo lateral pasivo es el máximo valor que puede alcanzar el esfuerzo lateral.

334

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

(a)

(b)

(c) Figura 5.2. Naturaleza de la presión lateral de tierra (a) Presión en reposo (b) Presión activa (c) Presión pasiva.

Cuando un muro es empujado hacia el suelo, caso pasivo, el esfuerzo lateral incrementa; mientras que

cuando un muro se inclina respecto al suelo, caso activo, el esfuerzo lateral decrece.

335

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Según Clough y Duncan (1991), en las últimas décadas, se ha observado, que después de producirse

grandes movimientos, las condiciones límites de presión pasiva máxima y presión activa mínima son alcanzadas.

Una vez que estas presiones son alcanzadas, los movimientos continúan incrementándose mientras que

las presiones límites permanecen constantes. La cantidad de movimiento requerida para alcanzar las condiciones límites, ha sido investigada experimentalmente. Un resumen de dichas investigaciones es presentado en la tabla 5.1.

Tabla 5.1. Magnitudes aproximadas de movimientos requeridos para alcanzar la condición de presión activa mínima y pasiva máxima (Clough y Duncan, 1991). Material del relleno

Arena densa Arena media a densa Arena suelta Limo compactado Arcilla magra compactada Arcilla grasa compactada

Referencias de la tabla 5.1:

Valores de ∆/H Activa

Pasiva

0,001 0,002 0,004 0,002 0,01 0,01

0,01 0,02 0,04 0,02 0,05 0,05

∆ = Movimiento requerido de la parte superior del muro para alcanzar la presión mínima activa y máxima pasiva, por inclinación o traslación lateral. 𝐻𝐻 = Altura del muro.

Los resultados de la tabla 5.1 muestran que:

 El movimiento requerido para alcanzar la presión límite de tierra es proporcional a la altura del muro.

 El movimiento requerido para alcanzar la presión máxima pasiva es aproximadamente diez veces más grande que el requerido para alcanzar la presión mínima activa.

 El movimiento requerido para alcanzar las presiones límites, es mayor para suelos sueltos que para suelos densos.

La figura 5.3 presenta la variación de la presión lateral del terreno con la inclinación del muro tomando

en cuenta los estados activo y pasivo para los diferentes tipos de suelo que se presentan en la tabla 5.1.

A continuación se desarrollan tanto los métodos como sus correspondientes ecuaciones, a partir de los

cuales se realiza la determinación de los esfuerzos laterales en condición de reposo, en condición activa y pasiva.

Históricamente, la solución al problema de presión lateral de terreno fue una de las primeras aplicaciones

de los métodos científicos para el diseño de estructuras; siendo los dos pioneros en este campo: el francés Charles Augustin Coulomb y el escosés W. J. M. Rankine.

Coulomb presentó su teoría en 1773 y la publicó tres años después (Coulomb, 1776), mientras que

Rankine desarrolló su teoría más de 80 años después (Rankine, 1857). A pesar de esta cronología, por simplicidad, es más fácil discutir conceptualmente primero la teoría de Rankine.

Finalmente se presenta otro método popular para la estimación de la presión del terreno. Este es el

método de la espiral logarítmica que fue propuesto por Terzaghi en 1943.

336

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Figura 5.3. Variación de la magnitud de la presión lateral del terreno con la inclinación del muro.

Debe enfatizarse que, dependiendo del ángulo de inclinación del terreno, el empuje activo y pasivo

calculado mediante distintos métodos puede ser bastante diferente.

Con el paso del tiempo, trabajos experimentales fueron realizados por Terzaghi (1932), Schofield (1961),

Rowe y Peaker (1965), Mackey y Kirk (1967), Narain et al. (1969), James y Bransby (1970), Matteotti (1970), Bros (1972), Sherif y Mackey (1977), Sherif et al (1982), Sherif et al (1984), Duncan y Seed (1986), Fang y

Ishibashi (1986), Duncan et al. (1991), Fang et al (1994) y otros investigadores; pero a pesar de la contribución de estos autores al conocimiento en el campo de presiones laterales, el trabajo de Rankine y

Coulomb fue fundamental y aún hoy en día constituye la base para los cálculos realizados en la determinación de la presión lateral del terreno. En nuestros días existen más de 50 teorías disponibles, teniendo todas ellas sus raíces en las teorías de Rankine y de Coulomb.

5.2 Esfuerzo lateral del terreno en condición de reposo Si el estado de esfuerzos de una masa de suelo se encuentra debajo de la envolvente de falla de Mohr-

Coulomb, el suelo está en equilibrio, Fig. 5.4. En depósitos de suelos formados naturalmente, se produce una

deformación horizontal despreciable, y como consecuencia el suelo permanece en estado de reposo. Los

círculos a y d de la figura 5.4 corresponden a un suelo normalmente consolidado y a un suelo sobreconsolidado, respectivamente; ambos en condición de reposo.

Para ilustrar esta situación se tiene la figura 5.2 (a) en la que la masa de suelo mostrada, se halla limitada

por el muro sin fricción 𝐴𝐴𝐴𝐴. Esta masa se halla ubicada a una profundidad 𝑧𝑧 debajo de la superficie y el nivel

freático se encuentra a una distancia 𝐻𝐻1 de la misma. Los esfuerzos efectivos, verticales y horizontales son 𝜎𝜎𝑣𝑣′ y 𝜎𝜎ℎ′ respectivamente.

337

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Figura 5.4. Presión lateral del terreno en reposo (Whitlow, 1997).

La relación entre el esfuerzo efectivo horizontal y el vertical se llama coeficiente de esfuerzo lateral del

terreno en reposo y se denomina 𝐾𝐾𝑜𝑜 : 𝐾𝐾𝑜𝑜 =

𝜎𝜎ℎ′ 𝜎𝜎𝑣𝑣′

(Ec. 5.1)

Valores experimentales de 𝐾𝐾𝑜𝑜 fueron obtenidos a partir de la realización del ensayo del presurímetro

mediante el cual es posible realizar la medición del esfuerzo horizontal total y el valor de la presión de poros in situ. Los resultados obtenidos por Mair y Word (1987) son presentados en la tabla 5.2. Tabla 5.2. Rango de valores típicos de 𝐾𝐾𝑜𝑜 (Mair y Wood, 1987).

Tipo de suelo

Arena suelta Arena densa Arcilla normalmente consolidada Arcilla sobreconsolidada Arcilla compactada

𝑲𝑲𝒐𝒐

0,45 – 0,6 0,3 – 0,5 0,5 – 0,7 1,2 – 4,0 0,7 – 2,0

La tabla 5.3 presenta un resumen de algunos de los criterios existentes para la determinación de 𝐾𝐾𝑜𝑜 .

Conocido el valor de 𝐾𝐾𝑜𝑜 , se determina el valor de esfuerzo 𝜎𝜎ℎ , que actúa sobre el muro, siendo éste igual a

𝜎𝜎ℎ = 𝜎𝜎ℎ′ + 𝑢𝑢.

La figura 5.5 muestra la distribución de los esfuerzos laterales para un muro en condición de reposo, con

las mismas características que el observado en la figura 5.2 (a).En ambos casos 𝛾𝛾1 y 𝛾𝛾2 son el peso específico

del suelo por encima y por debajo del nivel freático, respectivamente.

338

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Tabla 5.3. Criterios para la determinación del coeficiente de esfuerzo lateral del terreno en reposo 𝐾𝐾𝑜𝑜 . Referencia

Criterios

Jaky (1944)

𝐾𝐾𝑜𝑜 = 1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ′

Jaky (1944)

Moroto y Muramadsu (1987)

Sherif, Fang y Sherif (1984)

Massarchs (1979) Das (2001)

Mayne y Kulhawy (1982) Tschebotarioff

Danish Geotechnical Institute (1978)

𝐾𝐾𝑜𝑜 = 1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ′ 𝐸𝐸

Observaciones

1 + 23 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ′ 1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ′

Suelos normalmente consolidados. Ecuación simplificada de Jaky para suelos normalmente consolidados.

𝐾𝐾𝑜𝑜 = � 𝐸𝐸ℎ

Arcilla sobreconsolidada anisotrópica.

𝑣𝑣

Donde: 𝐸𝐸ℎ = Modulo de elasticidad horizontal. 𝐸𝐸𝑣𝑣 = Modulo de elasticidad vertical.

𝛾𝛾𝑑𝑑 𝐾𝐾𝑜𝑜 = (1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ′ ) + � − 1� 5,5 𝛾𝛾𝑑𝑑(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 )

Arenas densas

Donde: 𝛾𝛾𝑑𝑑 = Peso unitario seco compactado de la arena. 𝛾𝛾𝑑𝑑(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ) = Peso unitario seco de la arena en su estado más suelto.

𝐾𝐾𝑜𝑜 = 0,44 + 0,42 � 𝐾𝐾𝑜𝑜 (𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

)

𝐼𝐼𝐼𝐼(%) � 100

= 𝐾𝐾𝑜𝑜 (𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

𝐾𝐾𝑜𝑜 = (1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ′ )𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜙𝜙

′

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 )

√𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂

𝑣𝑣 𝐾𝐾𝑜𝑜 = 1 − 𝑣𝑣

𝐾𝐾𝑜𝑜 = (1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ′ )(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)

Donde: 𝛼𝛼 = Inclinación del relleno medido a partir de la horizontal.

Suelos finos normalmente consolidados. Arcillas preconsolidadas.

Suelos sobreconsolidados. Ensayo de compresión unidimensional.

Para rellenos inclinados

Luego, la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre el muro, se obtiene sumando las áreas de los

respectivos diagramas de presiones, Fig. 5.5.

𝑃𝑃𝑜𝑜 = Área ACE + Área CEFB + Área EFG + Área JIK 1

1

1

𝑃𝑃𝑜𝑜 = 2𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝐻𝐻12 + 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝐻𝐻1 𝐻𝐻2 + 2𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻22 + 2𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻22

(Ec. 5.2)

Nota.- El esfuerzo lateral total es una presión ejercida por el suelo sobre el muro, y se expresa en

unidades de presión kPa, Pa, etc. Por otro lado, la fuerza por unidad de longitud, 𝑃𝑃𝑜𝑜 tiene por unidades kN/m,

N/m, etc.

339

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar Esfuerzo lateral efectivo 𝜎𝜎ℎ′ = 0

Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻1

𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 − 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝛾𝛾

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝛾𝛾

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝐻𝐻1

Para 𝑧𝑧 ≥ 𝐻𝐻1

𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 − 𝑢𝑢 = [𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )] −

𝜎𝜎ℎ′ 𝜎𝜎ℎ′

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 (𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻2 )

Presión de poros

=

𝐾𝐾𝑜𝑜 𝜎𝜎𝑣𝑣′

𝛾𝛾𝑤𝑤 (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )

= 𝐾𝐾𝑜𝑜 [𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )]

(a)

Esfuerzo lateral total

𝑢𝑢 = 0

Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻1

𝜎𝜎ℎ = 𝜎𝜎ℎ′ + 𝑢𝑢

𝜎𝜎ℎ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝛾𝛾

𝑢𝑢 = 0

Para 𝑧𝑧 ≥ 𝐻𝐻1

𝜎𝜎ℎ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝐻𝐻1

𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )

Para 𝑧𝑧 > 𝐻𝐻1

𝜎𝜎ℎ = 𝜎𝜎ℎ′ + 𝑢𝑢

𝜎𝜎ℎ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 [𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )] + 𝛾𝛾𝑤𝑤 (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )

𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2

𝜎𝜎ℎ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 (𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻2 ) + 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2

(b) (c) Figura 5.5. Distribución de la presión en reposo para un suelo parcialmente sumergido. (a) Esfuerzo lateral efectivo (b) Presión de poros (c) Esfuerzo lateral total.

Para el caso particular en que se tiene suelo seco, Fig. 5.6, de manera análoga al caso anterior; la fuerza

por unidad de longitud ejercida por el suelo seco sobre el muro es: 1

𝑃𝑃𝑜𝑜 = 2𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝐻𝐻 2

(Ec. 5.3) 340

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻

𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 − 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝛾𝛾

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝛾𝛾

(u=0)

𝜎𝜎ℎ = 𝜎𝜎ℎ′ + 𝑢𝑢 = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝛾𝛾

Figura 5.6. Distribución del esfuerzo lateral total en condición de reposo para un suelo seco.

Ejemplo 5.1

Para el muro de retención mostrado en la figura 5.7, determine la fuerza lateral de la tierra en reposo por

unidad del muro. Determine también la posición de la línea de fuerza resultante.

Solución:

Figura 5.7. Muro de retención con relleno horizontal parcialmente saturado.

Paso 1. Calculo de 𝐾𝐾𝑜𝑜 .

Para calcular 𝐾𝐾𝑜𝑜 utilizaremos la ecuación de Jaky (1944) 𝐾𝐾𝑜𝑜 = 1 − sen𝜙𝜙 ′

1 + 23 sen𝜙𝜙 ′ = 0,55 1 + sen𝜙𝜙 ′

Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral del terreno.

La presión lateral efectiva y la presión de poros tienen que calcularse por separado. En 𝑧𝑧 = 3,5 m

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾1 𝐻𝐻1 = 0,55(17)(3,5) = 32,73 kN/m2

Ahora, para el estrato inferior del suelo.

341

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

En 𝑧𝑧 = 7 m

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑜𝑜 (𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻2 ) = 0,55[(17)(3,5) + (19 − 9,81)(3,5)] = 50,41 kN/m2 La presión de poros es cero de 𝑧𝑧 = 0 a 𝑧𝑧 = 3,5 m

En 𝑧𝑧 = 7 m, 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 = 9,81(3,5) = 34,34 kN/m2

Paso 3. Calculo de la fuerza total por longitud unitaria del muro.

𝑃𝑃𝑎𝑎 = Area 1 + Area 2 + Area 3 + Area 4

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 0,5(3,5)(32,73) + (3,5)(32,73) + 0,5(3,5)(50,41 − 32,73) + 0,5(3,5)(34,34) 𝑃𝑃𝑎𝑎 = 57,28 + 114,56 + 30,94 + 60,09

𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝐤𝐤𝐤𝐤

El diagrama de presiones se grafica en la figura 5.8.

Figura 5.8. Distribución del esfuerzo lateral total en condición de reposo para un suelo seco.

Paso 4. Calculo de la línea de acción de la fuerza total.

La distancia de la línea de acción de la fuerza resultante desde el fondo del muro (𝑧𝑧̅) se determina

tomando momentos respecto al fondo del muro (punto O en la figura 5.8) ∑ 𝑃𝑃 × 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑧𝑧̅ = ∑ 𝑃𝑃 3,5 3,5 3,5 3,5 ) + 114,56( ) + 30,94( ) + 60,09( ) 57,28(3,5 + 2 3 3 3 𝑧𝑧̅ = 262,87 𝒛𝒛� = 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝐦𝐦

342

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Ejemplo 5.2 Para un muro de retención soportando un relleno inclinado de arena con peso específico 𝛾𝛾 = 17 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3 ,

ángulo de fricción interna 𝜙𝜙 = 30° y cohesión 𝑐𝑐 = 0, determine la fuerza lateral de la tierra en reposo por

unidad del muro. Determine también la posición de la fuerza resultante. Solución:

Refiérase a la figura 5.9.

Paso 1. Calculo de 𝐾𝐾𝑜𝑜 .

Para calcular 𝐾𝐾𝑜𝑜 utilizaremos la ecuación del Danish Geotechnical Institute (1978) 𝐾𝐾𝑜𝑜 = (1 − sen𝜙𝜙 ′ )(1 + sen𝛼𝛼) = 0,63

Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral del terreno.

𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝛾𝛾 = 0,63(17)7,5 = 80,33 kN⁄m2

Paso 2. Calculo de la fuerza total por longitud unitaria del muro. 𝑃𝑃𝑜𝑜 = 0,5𝐾𝐾𝑜𝑜 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 = 0,5(0,63)(17)(7,5)2 = 301,22 kN

Paso 3. Localización del centro de presión medido desde el fondo del muro. 𝐻𝐻 7,5 = = 2,5 m 3 3

La presión lateral en reposo tiene una inclinación con un ángulo igual a la del relleno inclinado, con

respecto de la horizontal.

Figura 5.9. Distribución del esfuerzo lateral total en condición de reposo para un suelo seco.

343

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

5.3 Esfuerzo lateral del terreno en condición activa En la figura 5.10 se observa que cuando el círculo de Mohr correspondiente al suelo no toca la envolvente de

falla, el suelo permanece en una condición de reposo, es decir, el muro no cede. Por otro lado, si el muro tiende a moverse alejándose del suelo, se produce un fenómeno de expansión lateral, y los esfuerzos laterales del suelo 𝜎𝜎ℎ′ decrecen, hasta alcanzarse el equilibrio plástico. Este equilibrio es alcanzado en el mínimo valor de 𝜎𝜎ℎ′ que es igual a 𝜎𝜎𝑎𝑎′ .

Una vez que se ha alcanzado este valor, la resistencia total al cortante se moviliza, es decir, ocurre la falla.

El círculo b de la figura 5.10 representa el círculo de falla para la condición activa.

(a)

(b)

(c) Figura 5.10. Presión activa de Rankine (a) Circulo de Mohr para el estado activo en un suelo granular (c’=0) (b) Planos de deslizamiento para el estado activo (c) Esquema del muro considerado para la determinación de esfuerzos laterales en la figura 5.11.

344

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

5.3.1 Teoría de Rankine La teoría de Rankine (1857) presenta una solución basada en las siguientes hipótesis:  La cara posterior del muro es completamente lisa y vertical.  La fricción entre el muro y el suelo no es considerada

 El relleno detrás del muro es una masa de suelo sin cohesión que se halla en un estado de equilibrio límite.

 La magnitud de los esfuerzos laterales 𝜎𝜎ℎ′ depende sólo del esfuerzo efectivo vertical y la resistencia al cortante del suelo, siendo el problema estáticamente determinado.

 Se asume que la cedencia de toda la estructura coincide con la cedencia del primer elemento, teniendo de esa manera una solución de borde inferior.

Luego, si se considera un espacio semi-infinito en el que se encuentra una masa de suelo con un ángulo de

fricción 𝜙𝜙 ′ ; se supone que esta masa es llevada a un estado de equilibrio plástico para un valor dado de esfuerzos verticales 𝜎𝜎𝑣𝑣′ .

La condición inicial de esfuerzos es representada por el círculo a de la figura 5.10 (a). Por otro lado, se

permite que el muro vaya alejándose gradualmente del suelo, es decir, se permite que los esfuerzos

horizontales principales vayan disminuyendo, hasta alcanzar el estado de equilibrio plástico, para el cual, el suelo falla. Este último estado es representado por el círculo b de la figura 5.10 (a) y se denomina estado activo de Rankine. Para este estado el círculo de Mohr toca la envolvente de falla.

El círculo b de la figura 5.10 (a) representa el círculo de falla una vez que se ha alcanzado el equilibrio

límite.

El esfuerzo activo horizontal, 𝜎𝜎𝑎𝑎′ , es determinado para las siguientes condiciones:  Esfuerzo activo horizontal para condiciones drenadas.



Esfuerzo activo horizontal para condiciones no drenadas.

5.3.1.1 Esfuerzo activo horizontal para condiciones drenadas El esfuerzo activo horizontal para condiciones drenadas, puede ser determinado para los siguientes casos:

 Determinación del esfuerzo activo horizontal para un relleno horizontal, (𝛼𝛼 = 0°), de suelo granular, (𝑐𝑐′ = 0).

 Determinación del esfuerzo activo horizontal para un relleno inclinado, (𝛼𝛼 > 0°), de suelo granular, (𝑐𝑐′ = 0).

 Determinación del esfuerzo activo horizontal para un relleno horizontal, (𝛼𝛼 = 0°), de suelo cohesivo, (𝑐𝑐′ > 0).

 Determinación del esfuerzo activo horizontal para un de relleno inclinado, (𝛼𝛼 > 0°), de suelo cohesivo, (𝑐𝑐′ > 0).

345

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

5.3.1.1.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal de suelo granular El procedimiento a seguir para la determinación del esfuerzo activo horizontal para un muro de relleno

horizontal, (𝛼𝛼 = 0°), de suelo granular, (𝑐𝑐′ = 0), es el siguiente: A partir de la figura 5.10(a) se puede observar que: (𝜎𝜎𝑣𝑣′ − 𝜎𝜎𝑎𝑎′ ) sin 𝜙𝜙 ′ = ′ 2 ′ (𝜎𝜎𝑣𝑣 + 𝜎𝜎𝑎𝑎 ) 2

(Ec. 5.4)

Luego:

𝜎𝜎𝑣𝑣′ sin 𝜙𝜙 ′ + 𝜎𝜎𝑎𝑎′ sin 𝜙𝜙 ′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ − 𝜎𝜎𝑎𝑎′

Agrupando términos:

𝜎𝜎𝑎𝑎′ sin 𝜙𝜙 ′ + 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ − 𝜎𝜎𝑣𝑣′ sin 𝜙𝜙 ′

(1 + sin 𝜙𝜙 ′ )𝜎𝜎𝑎𝑎′ = (1 − sin 𝜙𝜙 ′ )𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝜎𝜎𝑎𝑎′ (1 − sin 𝜙𝜙 ′ ) = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ (1 + sin 𝜙𝜙 ′ )

Posteriormente, el coeficiente de presión activa de Rankine 𝐾𝐾𝑎𝑎 , se define como: 𝐾𝐾𝑎𝑎 =

𝜎𝜎𝑎𝑎′ (1 − sin 𝜙𝜙 ′ ) = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ (1 + sin 𝜙𝜙 ′ )

(Ec. 5.5)

Reordenando la ecuación (5.5), se tiene: 𝐾𝐾𝑎𝑎 = tan2 �45 −

𝜙𝜙′ � 2

Finalmente, el esfuerzo activo horizontal es: 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝜎𝜎𝑣𝑣′

(Ec. 5.6)

(Ec. 5.7)

De la figura 5.10 (b), se observa que los planos de falla forman en el suelo ángulos de ±(45 + φ’/2) con el

plano principal mayor, que es para este caso el plano horizontal. Las ecuaciones (5.6) y (5.7) corresponden al

coeficiente de presión lateral activa y esfuerzo lateral activo para un esquema de muro similar al presentado en la figura 5.10(c).

A continuación, la figura 5.11, presenta la determinación del esfuerzo lateral activo, 𝜎𝜎𝑎𝑎 , para un muro de

características similares al del esquema de la figura 5.10(c).

346

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

𝜎𝜎𝑎𝑎′

Esfuerzo lateral efectivo

= 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝑞𝑞

Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻1

𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 = 𝑞𝑞 + 𝛾𝛾(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )

𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )]

𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 (𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝑞𝑞)

Para 𝑧𝑧 ≥ 𝐻𝐻1

𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 − 𝑢𝑢

𝜎𝜎𝑣𝑣′ = [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )]

𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )] 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻2 ) 𝑢𝑢 = 0

Presión de poros

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝑞𝑞

Esfuerzo lateral total Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻1

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝜎𝜎𝑎𝑎′ + 𝑢𝑢

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )]

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝑞𝑞

𝑢𝑢 = 0

Para 𝑧𝑧 > 𝐻𝐻1

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )] +𝛾𝛾𝑤𝑤 (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻2 ) + 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2

𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2

Figura 5.11. Distribución de la presión del terreno activa de Rankine, contra un muro de retención con relleno de suelo granular parcialmente sumergido que se halla soportando una sobrecarga.

Finalmente, la fuerza de empuje total por unidad de longitud que ejercen el relleno y el agua sobre la

altura total del muro H, es determinada hallando el área del diagrama de presiones de esfuerzos totales. 1

1

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑞𝑞 + 2𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝐻𝐻12 + 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝐻𝐻1 𝐻𝐻2 + 2(𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾 ′ + 𝛾𝛾𝑤𝑤 )𝐻𝐻22

(Ec. 5.8)

347

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Ejemplo 5.3 Para un muro de retención de 7,5 metros de altura, soportando un relleno horizontal de arena con peso específico 𝛾𝛾 = 17 kN⁄m3 , ángulo de fricción interna 𝜙𝜙 = 30° y cohesión 𝑐𝑐 = 0, determine la fuerza lateral

activa para el muro y la posición de la fuerza resultante. Solución:

Refiérase a la figura 5.12.

Paso 1. Calculo del coeficiente de presión lateral según Rankine:

𝜙𝜙 𝐾𝐾𝑎𝑎 = tan2 �45 − � 2 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 0,333

Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral del terreno.

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 = 0,333(17)7,5 = 42,5 kN⁄m2

Paso 3. Calculo de la fuerza total por longitud unitaria del muro.

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 0,5𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 = 0,5(0,333)(17)(7,5)2 𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐤𝐤𝐤𝐤

Figura 5.12. Distribución del esfuerzo lateral total en condición de activa soportando un relleno horizontal seco.

Paso 4. Localización de la fuerza resultante medido desde el fondo del muro.

𝐻𝐻 7,5 = = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 𝐦𝐦 3 3

348

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Ejemplo 5.4 Un muro de retención de 7 metros de altura debe soportar un suelo de relleno horizontal parcialmente sumergido que se halla soportando una sobrecarga 𝑞𝑞 = 100 kN⁄m3 , con peso específico del suelo

𝛾𝛾1 = 17 kN⁄m3 , en el estrato superior, 𝛾𝛾2 = 18 kN⁄m3 para el estrato inferior, un ángulo de fricción para

ambos estratos es 𝜙𝜙 = 30° y cohesión 𝑐𝑐 = 0. Determine la fuerza activa por unidad de longitud del terreno y

determine también la línea de acción de la fuerza resultante. Solución:

Refiérase a la figura 5.13

Paso 1. Calculo de los esfuerzos laterales en el estrato superior.

Si la cohesión, c, es igual a cero 𝜎𝜎ℎ′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝐾𝐾𝑎𝑎

Para la capa superior del suelo 𝜙𝜙 = 30° , para lo cual

𝜙𝜙 30 𝐾𝐾𝑎𝑎 = tan2 �45 − � = tan2 �45 − � = 0,333 2 2

La presión lateral efectiva y la presión de poros tienen que calcularse por separado.

En 𝑧𝑧 = 0, 𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝑞𝑞 = 0,333(100) = 33,3 kN/m2

En 𝑧𝑧 = 3,5 𝑚𝑚, 𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾1 𝐻𝐻1 + 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝑞𝑞 = 0,333(17)(3,5) + 33,3 = 53,11 kN/m2

Paso 2. Calculo de los esfuerzos laterales y presión de poros en el estrato inferior.

En 𝑧𝑧 = 7 𝑚𝑚, 𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻2 + (𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾1 𝐻𝐻1 + 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝑞𝑞) = 0,333(19 − 9,8)(3,5) + 53,11 = 63,83 kN/m2

La presión de poros, es cero de 𝑧𝑧 = 0 a 𝑧𝑧 = 3,5 m

En 𝑧𝑧 = 7 m, 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 = 9,8(3,5) = 34,3 kN/m2

El diagrama de distribución de presiones se grafica en la figura 5.13.

Paso 3. Fuerza total por longitud unitaria del muro. 𝑃𝑃𝑎𝑎 = Area 1 + Area 2 + Area 3 + Area 4 + Area 5

𝑃𝑃𝑎𝑎 = (3,5)(33,3) + 0,5(3,5)(53,11 − 33,3) + (3,5)(53,11) + 0,5(3,5)(63,83 − 53,11) + 0,5(3,5)(34,3) 𝑃𝑃𝑎𝑎 = 116,55 + 34,67 + 185,89 + 18,76 + 60,03

𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒, 𝟗𝟗 𝐤𝐤𝐤𝐤

Paso 4. Línea de acción.

La distancia de la línea de acción de la fuerza resultante desde el fondo del muro (𝑧𝑧̅) se determina

tomando momentos respecto al fondo del muro (punto O en la figura 5.14) 𝑧𝑧̅ =

116,55(3,5 +

3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 ) + 34,67(3,5 + ) + 185,89( ) + 18,76( ) + 60,03( ) 3 2 3 3 = 2,86 m 2 415,9 349

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Figura 5.13. Distribución del esfuerzo lateral total en condición activa.

5.3.1.1.2 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado de suelo granular Pueden presentarse a menudo situaciones similares al esquema de muro mostrado en la figura 5.14, donde se observa un relleno inclinado(𝛼𝛼 > 0), de suelo granular (𝑐𝑐 ′ = 0).

Figura 5.14. Presión del terreno activa de Rankine, muro de retención con relleno inclinado.

El coeficiente de presión lateral activa de Rankine en este tipo de situaciones es: 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − �cos 2 𝛼𝛼 − cos 2 𝜙𝜙′ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + �cos 2 𝛼𝛼 − cos 2 𝜙𝜙′

La tabla 5.4 presenta valores de 𝐾𝐾𝑎𝑎 para distintos valores de α y ϕ.

(Ec. 5.9)

350

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

El procedimiento desarrollado en la figura 5.11 es válido cuando el relleno de suelo es horizontal. Cuando

se presenta el caso de rellenos inclinados; el procedimiento a seguir es el mismo, con la única diferencia de que la fuerza total de empuje se halla inclinada en un ángulo α con la horizontal.

Tabla 5.4. Valores de 𝐾𝐾𝑎𝑎 para distintos valores de 𝛼𝛼 y 𝜙𝜙, considerando un muro soportando un relleno inclinado. 𝜶𝜶 (grados) 0 5 10 15 20 25

28

30

32

0,361 0,366 0,380 0,409 0,461 0,573

0,333 0,337 0,350 0,373 0,414 0,494

0,307 0,311 0,321 0,341 0,374 0,434

𝝓𝝓 (grados) 34

36

38

40

0,283 0,286 0,294 0,311 0,338 0,385

0,260 0,262 0,270 0,283 0,306 0,343

0,238 0,240 0,246 0,258 0,277 0,307

0,217 0,219 0,225 0,235 0,250 0,275

Ejemplo 5.5 Un muro de retención de 7,5 metros de altura debe soportar un suelo de relleno inclinado 𝛼𝛼 = 15°, con peso específico 𝛾𝛾 = 17 kN⁄m3 , un ángulo de fricción 𝜙𝜙 = 30° y cohesión 𝑐𝑐 = 0. Determine la fuerza activa por

unidad de longitud del terreno y determine también la línea de acción de la fuerza resultante. Solución:

Refiérase a la figura 5.15.

Paso 1. Coeficiente de presión lateral según Rankine:

𝐾𝐾𝑎𝑎 = cos𝛼𝛼

cos𝛼𝛼 − �cos 2 𝛼𝛼 − cos 2 𝜙𝜙 ′ cos𝛼𝛼 + �cos 2 𝛼𝛼 − cos 2 𝜙𝜙 ′

𝐾𝐾𝑎𝑎 = 0,373

Figura 5.15. Distribución del esfuerzo lateral total en condición activa para un suelo seco.

Paso 2. Esfuerzo lateral del terreno.

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 = 0,373(17)7,5 = 47,56 kN⁄m2

351

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Paso 3. Fuerza total por longitud unitaria del muro. 𝑃𝑃𝑎𝑎 = 0,5𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 = 0,5(0,373)(17)(7,5)2

𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐤𝐤𝐤

Paso 4. Localización del centro de presión medido desde el fondo del muro.

𝐻𝐻 7,5 = = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 𝐦𝐦 3 3

5.2.1.1.3 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal de suelo cohesivo El procedimiento para la determinación del esfuerzo activo horizontal de un muro soportando un relleno horizontal (𝛼𝛼 = 0), de suelo cohesivo en condiciones drenadas, (𝑐𝑐′ > 0), se basa en la figura 5.16

Figura 5.16. Presión del terreno activa de Rankine, muro de retención con relleno inclinado.

A partir de la figura 5.16, se puede observar que el círculo b corresponde al estado de equilibrio plástico

para el cual el suelo falla, alcanzándose de este modo el estado activo de Rankine. Luego, el esfuerzo activo horizontal, 𝜎𝜎𝑎𝑎 , es determinado de la siguiente manera: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ′ =

𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑂𝑂𝑂𝑂

Pero CD es el radio del círculo de falla:

𝐶𝐶𝐶𝐶 =

𝜎𝜎𝑣𝑣′ − 𝜎𝜎𝑎𝑎′ 2

𝑂𝑂𝑂𝑂 =

𝜎𝜎𝑣𝑣′ + 𝜎𝜎𝑎𝑎′ 2

𝐴𝐴𝐴𝐴 tan 𝜙𝜙′ = 𝑐𝑐 ′

Reemplazando en la ecuación 5.4 se tiene: 𝜎𝜎𝑣𝑣′ − 𝜎𝜎𝑎𝑎′ 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 = 𝜎𝜎 ′ + 𝜎𝜎𝑎𝑎′ 1 ′ c + 𝑣𝑣 tan𝜙𝜙 ′ 2 ′

352

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Reordenando: 𝑐𝑐 ′ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜙𝜙 ′ +

𝜎𝜎𝑣𝑣′ + 𝜎𝜎𝑎𝑎′ 𝜎𝜎𝑣𝑣′ − 𝜎𝜎𝑎𝑎′ sen𝜙𝜙 ′ = 2 2

Despejando 𝜎𝜎𝑎𝑎′ : 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′

1 − sen 𝜙𝜙′ cos 𝜙𝜙′ − 2𝑐𝑐 ′ 1 + sen 𝜙𝜙′ 1 + sen 𝜙𝜙′

Donde:

(Ec. 5.10)

1 − sen 𝜙𝜙′ 𝜙𝜙′ = tan2 �45 − � 1 + sen 𝜙𝜙′ 2

Reemplazando en la ecuación 5.10 tenemos: 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ tan2 �45 − Luego:

𝜙𝜙′ 𝜙𝜙′ � − 2𝑐𝑐 ′ tan �45 − � 2 2

𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝐾𝐾𝑎𝑎 − 2𝑐𝑐 ′ � 𝐾𝐾𝑎𝑎

(Ec. 5.11) (Ec. 5.12)

Luego, a manera de ilustración, en la figura 5.17 se determina, el esfuerzo lateral total generado detrás de

un muro con relleno horizontal de suelo cohesivo. Para este caso en particular, se asume que el suelo del relleno se encuentra seco, es decir, se asume que en la altura considerada no se ha detectado la posición del

nivel freático.

El caso observado en la figura 5.17 es el caso más crítico que existe para rellenos de suelo cohesivo. Para

el esfuerzo lateral efectivo, se puede observar que cuando 𝑧𝑧 = 0, el valor de 𝜎𝜎𝑎𝑎 es negativo, por tanto, se

generan en el suelo, esfuerzos de tensión. A continuación el valor de 𝜎𝜎𝑎𝑎 va incrementándose hasta alcanzar el punto donde 𝜎𝜎𝑎𝑎 es igual a cero. A partir de este punto el valor de 𝜎𝜎𝑎𝑎 se hace positivo y se incrementa de

manera lineal en función a la profundidad.

La profundidad existente entre la superficie y el punto donde 𝜎𝜎𝑎𝑎 se hace igual a cero, se denomina grieta

de tensión. Para este caso, el valor de la profundidad de la grieta de tensión es determinado igualando a cero la ecuación (5.12). Luego se tiene: 𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝛾𝛾𝑧𝑧𝑜𝑜 − 2𝑐𝑐 ′ = 0 ⇒ 𝑧𝑧𝑜𝑜 =

2𝑐𝑐′

(Ec. 5.13)

𝛾𝛾�𝐾𝐾𝑎𝑎

Cuando existe presencia del nivel freático o cuando se aplica una sobrecarga en la superficie, el valor del

esfuerzo lateral total en la superficie puede no ser negativo dependiendo, en todo caso, tanto de la magnitud

de la sobrecarga como de la magnitud de la presión de poros. Si a pesar de la aplicación de estas presiones, el esfuerzo lateral total continúa siendo negativo; el valor de la profundidad de la grieta de tensión puede ser determinado de manera similar a la ecuación (5.13).

El cálculo de la fuerza total de empuje activa, es realizado a partir del diagrama de presiones del esfuerzo

lateral total, Fig. 5.17. Entonces, la fuerza de empuje total por unidad de longitud ejercida sobre el muro, es: 1

1

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 2�𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑎𝑎 �(𝐻𝐻 − 𝑧𝑧𝑜𝑜 ) − 2�2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑎𝑎 �𝑧𝑧𝑜𝑜

(Ec. 5.14)

353

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Si se decide tomar en cuenta las grietas de tensión, que es muy común en la práctica; la fuerza de empuje

total sobre el muro, es causada sólo por la distribución de presiones ubicada en 𝑧𝑧𝑜𝑜 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻, Fig. 5.17.

Entonces, 𝑃𝑃𝑎𝑎 es: 1

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 2�𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑎𝑎 �(𝐻𝐻 − 𝑧𝑧𝑜𝑜 )

−2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑎𝑎

Para 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻

𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 − 𝑢𝑢 𝜎𝜎𝑣𝑣′

(Ec. 5.15)

Para 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑎𝑎

= 𝛾𝛾𝛾𝛾

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾

Para 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑜𝑜 𝜎𝜎ℎ′ = 0

Para 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑎𝑎

𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾

2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑎𝑎

𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑎𝑎

𝑢𝑢 = 0 Figura 5.17. Distribución de la presión del terreno activa de Rankine, contra un muro de retención con relleno horizontal de suelo cohesivo seco.

354

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Para fines de cálculo en algunos problemas de diseño de muros de retención, un relleno de suelo cohesivo

se reemplaza por un suelo supuesto granular con un diagrama de presión activa triangular de Rankine, donde, 𝜎𝜎𝑎𝑎 = 0 para 𝑧𝑧 = 0 y 𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑎𝑎 para 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻. Entonces 𝑃𝑃𝑎𝑎 es: 1

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 2�𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑎𝑎 �𝐻𝐻

(Ec. 5.16)

Ejemplo 5.6 Un muro de retención de 7,5 metros de altura debe soportar un relleno horizontal, con peso específico 𝛾𝛾 = 18 kN⁄m3 , un ángulo de fricción interna 𝜙𝜙 = 30° y cohesión 𝑐𝑐 = 15. Determine la fuerza activa por

unidad de longitud del muro antes y después de que ocurra la grieta de tensión y determine también la línea de acción de la fuerza resultante en ambos casos. Solución:

Refiérase a la figura 5.18.

Paso 1. Coeficiente de presión lateral del terreno según Rankine.

𝜙𝜙 𝐾𝐾𝑎𝑎 = tan2 �45 − � 2 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 0,333

�𝐾𝐾𝑎𝑎 = 0,577

Paso 2. Calculo de los esfuerzos laterales.

En 𝑧𝑧 = 0; 𝜎𝜎𝑎𝑎 = −2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑎𝑎 = −2(15)(0,577) = 17,31 kN/m2

En 𝑧𝑧 = 7,5; 𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑎𝑎 = 0,333(18)(7,5) − 2(15)(0,577) = 44,96 − 17,31 = 27,65 kN/m2 Paso 3. Calculo de la grieta de tensión. 2𝑐𝑐

𝑧𝑧𝑜𝑜 =

𝛾𝛾�𝐾𝐾𝑎𝑎

=

2(15) = 2,89 m 18(0,577)

Paso 3. Fuerza activa tomando en cuenta la grieta de tensión. 1 �𝐾𝐾 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑎𝑎 �(𝐻𝐻 − 𝑧𝑧𝑜𝑜 ) 2 𝑎𝑎 1 𝑃𝑃𝑎𝑎 = [0,333(18)(7,5) − 2(15)(0,577)](7,5 − 2,89) 2

𝑃𝑃𝑎𝑎 =

𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟔𝟔𝟔𝟔, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝐤𝐤𝐤𝐤

La línea de acción de la resultante estará localizada a una altura 𝑧𝑧̅ medida desde el fondo del muro. 𝑧𝑧̅ =

𝐻𝐻 − 𝑧𝑧𝑜𝑜 7,5 − 2,89 = = 1,54 m 3 3

355

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Figura 5.18. Distribución de la presión del terreno activa de Rankine, contra un muro de retención con relleno horizontal de suelo cohesivo seco.

Paso 4. Calculo del la presión activa para un suelo supuesto granular.

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 0,5𝐻𝐻�𝛾𝛾𝛾𝛾𝐾𝐾𝑎𝑎 − 2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑎𝑎 � = 0,5(7,5)[18(7,5)(0,333) − 2(15)(0,577)]

𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝐤𝐤𝐤𝐤 (La línea de acción está situada a un tercio de la altura del muro)

5.2.1.1.4 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado de suelo cohesivo En el esquema de muro presentado en la figura 5.19, se observa un relleno inclinado (𝛼𝛼 > 0), de suelo cohesivo en condiciones drenadas (𝑐𝑐′ > 0).

Figura 5.19. Presión activa de Rankine, muro con relleno inclinado.

356

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

El cálculo del esfuerzo lateral activo es realizado con ayuda de la ecuación (5.12): 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝐾𝐾𝑎𝑎 − 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑎𝑎

El coeficiente de presión activa de Rankine, 𝐾𝐾𝑎𝑎 , en este caso es determinado a partir de las ecuaciones

desarrolladas por Mazindrani & Ganjali (1997), y son las siguientes: 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎′ cos 𝛼𝛼

(Ec. 5.17)

Donde:

𝐾𝐾𝑎𝑎′ =

2 1 𝑐𝑐′ 𝑐𝑐′ 𝑐𝑐′ �2 cos2 𝛼𝛼 + 2 �𝛾𝛾𝛾𝛾 � cos 𝜙𝜙′ sin 𝜙𝜙′ − ��4 cos2 𝛼𝛼 �cos2 𝛼𝛼 − cos2 𝜙𝜙 ′ + �𝛾𝛾𝛾𝛾 � cos2 𝜙𝜙 ′ + 8 �𝛾𝛾𝛾𝛾 � cos2 𝛼𝛼 cos2 𝜙𝜙 ′ sin2 𝜙𝜙 ′ ��� − 1 cos2 𝜙𝜙′

Algunos valores de 𝐾𝐾𝑎𝑎′ se dan en la tabla 5.5.

Tabla 5.5. Valores de 𝐾𝐾𝑎𝑎′

ϕ (grados)

α (grados)

15

0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15

20 25 30

𝒄𝒄 𝜸𝜸𝜸𝜸

0,025

0,05

0,1

0,5

0,550 0,566 0,621 0,776 0,455 0,465 0,497 0,567 0,374 0,381 0,402 0,443 0,305 0,309 0,323 0,350

0,512 0,525 0,571 0,683 0,420 0,429 0,456 0,514 0,342 0,348 0,366 0,401 0,246 0,280 0,292 0,315

0,435 0,445 0,477 0,546 0,350 0,357 0,377 0,417 0,278 0,283 0,296 0,321 0,218 0,221 0,230 0,246

-0,179 -0,184 -0,186 -0,196 -0,210 -0,212 -0,218 -0,229 -0,231 -0,233 -0,239 -0,250 -0,244 -0,246 -0,252 -0,263

En este caso la altura de la grieta de tensión se calcula a partir de la siguiente ecuación: 𝑧𝑧𝑜𝑜 =

2𝑐𝑐 1 + sin 𝜙𝜙′ � 𝛾𝛾 1 − sin 𝜙𝜙′

(Ec. 5.18)

Ejemplo 5.7

Para un muro de retención de 7,5 metros de altura que soporta un relleno inclinado 𝛼𝛼 = 15°, con peso

específico 𝛾𝛾 = 18 kN⁄m3 , un ángulo de fricción 𝜙𝜙 = 30° y cohesión 𝑐𝑐 = 15 kN⁄m2 . Determine la fuerza

activa por unidad de longitud y la localización de la línea de acción de la fuerza resultante después de que ocurre la grieta de tensión. Solución:

Refiérase a la figura 5.20.

Paso 1. Calculo de la altura de la grieta de tensión, medido desde la parte superior del muro. 357

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑧𝑧𝑜𝑜 =

2𝑐𝑐 1 + sin 𝜙𝜙 2𝑐𝑐 1 + sin 30° � � = = 2,89 m 𝛾𝛾 1 − sin 𝜙𝜙 18 1 − sin 30°

Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral. En 𝑧𝑧 = 7,5 m

Entrar en la tabla 5.5.

𝑐𝑐 15 = = 0,1 𝛾𝛾𝛾𝛾 18(7,5)

Entrar en la tabla 5.7.

Para 𝜙𝜙 = 30°, 𝑐𝑐/𝛾𝛾𝛾𝛾 = 0,1 y 𝛼𝛼 = 15°; el valor de 𝐾𝐾𝑎𝑎′ es 0,246

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝐾𝐾𝑎𝑎 = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝐾𝐾𝑎𝑎′ cos 𝛼𝛼 = 18(7,5)(0,246) cos 15° = 32,08 kN/m2

Figura 5.20. Distribución del esfuerzo lateral total en condición activa para un suelo cohesivo seco.

Paso 3. Fuerza activa real después de la ocurrencia de la grieta de tensión.

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 0,5(𝐻𝐻 − 𝑧𝑧𝑜𝑜 )(𝛾𝛾𝛾𝛾𝐾𝐾𝑎𝑎 ) = 0,5(7,5 − 2,89)(32,08) 𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟕𝟕𝟕𝟕, 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝐤𝐤𝐤𝐤

Paso 4. Calculo de la línea de acción.

La línea de acción de la resultante estará localizada a una altura 𝑧𝑧̅ medida desde el fondo del muro. 𝑧𝑧̅ =

𝐻𝐻 − 𝑧𝑧o 7,5 − 2,89 = = 1,54 m 3 3

358

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Paso 5. Calculo de fuerza activa a partir del diagrama supuesto de presión activa después de la

ocurrencia de la grieta de tensión.

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 0,5𝐻𝐻(𝛾𝛾𝛾𝛾𝐾𝐾𝑎𝑎 ) = 0,5(7,5)(32,08) 𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐤𝐤𝐤𝐤

5.3.1.2 Esfuerzo activo horizontal para condiciones no drenadas 5.2.1.2.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal en condiciones no drenadas Para el cálculo del esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal de suelo cohesivo en

condiciones no drenadas reemplazar 𝑐𝑐′ = 𝑐𝑐𝑢𝑢 y 𝜙𝜙′ = 0 en la ecuación (5.11), entonces se tiene: 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ − 2cu

(Ec. 5.19)

Como el coeficiente de presión lateral del terreno está en función de 𝜙𝜙′, entonces reemplazando 𝜙𝜙′ = 0 se

tiene 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 1, para suelos cohesivos en condiciones no drenadas.

Para el cálculo del empuje activo pueden ser reemplazados los valores de 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 1 y 𝑧𝑧𝑜𝑜 = 2cu ⁄γ en la

ecuación (5.14). Luego reordenando la misma ecuación, se tiene: 1

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 2𝛾𝛾𝐻𝐻 2 − 2𝑐𝑐𝑢𝑢 𝐻𝐻

(Ec. 5.20)

De la misma manera, si se decide tomar en cuenta las grietas de tensión, la fuerza de empuje total sobre el

muro, es causada sólo por la distribución de presiones ubicada en 𝑧𝑧𝑜𝑜 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻, Entonces, 𝑃𝑃𝑎𝑎 es: 1

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 2𝛾𝛾𝐻𝐻 2 − 2𝑐𝑐𝑢𝑢 𝐻𝐻 + 2

𝑐𝑐𝑢𝑢 2 𝛾𝛾

(Ec. 5.21)

5.2.1.2.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado en condiciones no drenadas Para muros de retención con relleno inclinado de suelo cohesivo en condiciones no drenadas se toma las

ecuaciones desarrolladas por Mazindrani & Ganjali (1997), reemplazando 𝑐𝑐′ = 𝑐𝑐𝑢𝑢 y 𝜙𝜙′ = 0, entonces se tiene

lo siguiente:

𝐾𝐾𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎′′ cos 𝛼𝛼

Donde 𝐾𝐾𝑎𝑎′ para condiciones no drenadas es: 𝑐𝑐

2

𝐾𝐾𝑎𝑎′′ = �2 cos 2 𝛼𝛼 − ��4 cos 2 𝛼𝛼 �cos 2 𝛼𝛼 + �𝛾𝛾𝛾𝛾𝑢𝑢 � ��� − 1 359

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

5.3.2 Teoría de Coulomb La teoría de Rankine (1857) es un método de análisis que proporciona cálculos simples. Sin embargo debido

a las hipótesis que considera tiene sus limitaciones, y por lo general, los resultados obtenidos haciendo uso de ésta son de cierto modo pesimistas, al ser esta teoría considerada como una solución de borde inferior.

En contraparte, la teoría de Coulomb (1776) salva en cierto modo estas limitaciones. Esta se basa en las

siguientes hipótesis:

 Se considera una cuña de suelo, moviéndose activamente hacia el muro.

 La cuña se desliza hacia abajo presentando una superficie de falla plana.

 La cara posterior del muro al igual que el relleno pueden ser inclinados.  Se considera la fricción del muro.

 La condición límite es la cedencia de toda la cuña: solución de borde superior.

5.3.2.1 Esfuerzo activo para suelos granulares determinado a través de la Teoría de Coulomb (condiciones drenadas) Anotadas las hipótesis asumidas por Coulomb, considerar la cuña de suelo mostrada en la figura 5.21. Al

inclinarse el suelo hacia el muro, para un cierto valor de esfuerzos, éste alcanza el estado activo límite, deslizándose la cuña a través de la superficie de falla 𝐵𝐵𝐵𝐵. El equilibrio límite es mantenido por tres fuerzas actuantes en la cuña, Fig. 5.21 (b). Dichas fuerzas son:

𝑃𝑃𝑎𝑎 = Es la fuerza activa por unidad de longitud del muro y se halla inclinada, formando un ángulo 𝛿𝛿 con la normal dibujada a la cara posterior del muro, siendo 𝛿𝛿 el ángulo de fricción entre el muro y el suelo.

𝑊𝑊 = Es el peso de la cuña de suelo.

𝐹𝐹 = Es la fuerza resultante de las fuerzas normales y cortantes en el plano de deslizamiento, y forma un ángulo de 𝜙𝜙 ′ con la normal trazada al plano de deslizamiento.

La geometría de la cuña depende de la altura del muro 𝐻𝐻, de los ángulos 𝛼𝛼 y 𝜃𝜃 que son conocidos, y

finalmente del ángulo 𝛽𝛽 de la superficie de falla que es desconocido. Del polígono de la figura 5.21 (b), 𝑃𝑃𝑎𝑎 y 𝐹𝐹

son desconocidas, por tanto, el problema es estáticamente indeterminado, pudiendo ser resuelto a través de un método analítico o mediante iteraciones.

A partir de la figura 5.21 (b), por ley de senos se tiene:

𝑊𝑊 𝑃𝑃𝑎𝑎 = ′ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(90 + 𝜃𝜃 + 𝛿𝛿 − 𝛽𝛽 + 𝜙𝜙 ) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛽𝛽 − 𝜙𝜙 ′ )

Ordenando para 𝑃𝑃𝑎𝑎 y reemplazando el valor de 𝑊𝑊: 𝑃𝑃𝑎𝑎 =

1 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃 − 𝛽𝛽) 𝛾𝛾𝐻𝐻 � � 2 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃(𝛽𝛽 − 𝛼𝛼)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(90 + 𝜃𝜃 + 𝛿𝛿 − 𝛽𝛽 + 𝜙𝜙 ′ )

(Ec. 5.22)

En la ecuación (5.22), 𝛽𝛽 es la única variable. Luego, para hallar el valor crítico de 𝛽𝛽 se hace 𝑃𝑃𝑎𝑎 máxima,

entonces:

𝛿𝛿𝑃𝑃𝑎𝑎 =0 𝛿𝛿𝛿𝛿 360

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

(a)

(b) Figura 5.21. Presión activa de Coulomb (a) Cuña de falla de prueba (b) Polígono de fuerzas.

Luego, la presión activa de Coulomb es: 𝑃𝑃𝑎𝑎 =

1 𝐾𝐾 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 2 𝑎𝑎

Donde:

𝐾𝐾𝑎𝑎 =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛿𝛿

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝜙𝜙 ′ − 𝜃𝜃)

+ 𝜃𝜃) �1 + �

(Ec. 5.23) 2

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛿𝛿 + 𝜙𝜙 ′ )𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜙𝜙 ′ − 𝛼𝛼) � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃 − 𝛼𝛼)

(Ec. 5.24)

El ángulo de fricción del muro 𝛿𝛿, depende del ángulo de fricción del suelo y de la rugosidad del muro. Para

la condición activa Das (2001) recomienda usar un valor de 𝛿𝛿 de aproximadamente 2⁄3 𝜙𝜙 ′ , siendo el valor máximo recomendable de 20°.

El valor de 𝛿𝛿 puede también ser determinado en función al tipo de material de relleno y al tipo de

estructura. La tabla 5.6 presenta diferentes valores de 𝛿𝛿 que varían de acuerdo al tipo de estructura.

361

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Para el caso particular de un relleno horizontal (𝛼𝛼 = 0) de suelo granular (𝜙𝜙 ′ > 0), situado detrás de un

muro cuya cara posterior es vertical (𝜃𝜃 = 0), la tabla 5.7 presenta los valores de 𝐾𝐾𝑎𝑎 para distintos valores de 𝛿𝛿. Las tablas 5.8 y 5.9 presentan los valores de 𝐾𝐾𝑎𝑎 que fueron obtenidos a partir de la ecuación (5.24) para 𝛿𝛿 = 2⁄3 𝜙𝜙 ′ y 𝛿𝛿 = 1⁄2 𝜙𝜙 ′ respectivamente.

Tabla 5.6. Valores de ángulo de fricción 𝛿𝛿 y adhesión 𝑐𝑐𝑎𝑎 para distintos materiales según California Trenching and Shoring Manual.

Interface de materiales

Angulo de fricción, δ (°)

Cortina de pilotes de acero, contra los siguientes suelos: Grava limpia, mezcla de arena y grava, terraplén de roca bien gradada con escamas. Arena limpia, mezcla de arena limosa y grava, terraplén de roca dura de un solo tamaño. Arena limosa, grava o arena mezclada con limo y arcilla. Limo arenoso fino, limo no plástico. Concreto formado, cortina de pilotes de concreto contra los siguientes suelos: Grava limpia, mezcla de arena y grava, terraplén de roca bien gradada con escamas. Arena limpia, mezcla de arena limosa y grava, terraplén de roca dura de un solo tamaño. Arena limosa, grava o arena mezclada con limo y arcilla. Limo arenoso fino, limo no plástico.

22 17 14 11

22 – 26 17 – 22 17 14

Masa de concreto en los siguientes materiales: Roca limpia. Grava limpia, mezcla de arena y grava, arena cuarzosa. Arena limpia fina a media, arena limosa media a cuarzosa, grava limosa o arcillosa. Arena limpia fina, arena fina limosa o arcillosa de fina a media, limo arenoso fino, limo no plástico. Arcilla muy rígida o preconsolidada.

35 29 – 31 24 – 29 19 – 24 17 – 19

Varios materiales estructurales: Mampostería en roca, rocas ígneas o metamórficas: Roca revestida débil sobre roca revestida débil. Roca revestida dura sobre roca revestida débil. Roca revestida dura sobre roca revestida dura. Mampostería en madera. Acero en acero en una cortina de pilotes interbloqueados.

35 33 29 26 17

Interface de materiales

Adhesión 𝒄𝒄𝒂𝒂 (𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷)

Suelos cohesivos muy blandos (0 – 250 psf) Suelos cohesivos blandos (250 – 500 psf) Suelos cohesivos medianamente rígidos (500 – 1000 psf) Suelos cohesivos rígidos (1000 – 2000 psf) Suelos cohesivos muy rígidos (2000 – 4000 psf)

Tabla 5.7. Valores de 𝐾𝐾𝑎𝑎 para distintos valores de 𝛿𝛿 ; para 𝛼𝛼 = 0 y 𝛽𝛽 = 0

ϕ (grados) 28 30 32 34 36 38 40 42

𝜹𝜹 (grados)

0 – 250 250 – 500 500 – 1000 1000 – 2000 2000 – 4000

0

5

10

15

20

25

0,3610 0,3333 0,3073 0,2827 0,2596 0,2379 0,2174 0,1982

0,3448 0,3189 0,2945 0,2714 0,2497 0,2292 0,2089 0,1916

0,3330 0,3085 0,2853 0,2633 0,2426 0,2230 0,2045 0,1870

0,3251 0,3014 0,2791 0,2579 0,2379 0,2190 0,2011 0,1841

0,3203 0,2973 0,2755 0,2549 0,2354 0,2169 0,1994 0,1828

0,3186 0,2956 0,2745 0,2542 0,2350 0,2167 0,1995 0,1831

362

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno Tabla 5.8.Variación de 𝐾𝐾𝑎𝑎 - ecuación (5.24), para 𝛿𝛿 = 2⁄3ϕ 𝜶𝜶 (grados) 0

5

10

15

ϕ (grados) 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32

𝜹𝜹 (grados) 0

5

10

15

20

25

0,3213 0,3091 0,2973 0,2860 0,2750 0,2645 0,2543 0,2444 0,2349 0,2257 0,2168 0,2082 0,1998 0,1918 0,1840 0,3431 0,3295 0,3165 0,3039 0,2919 0,2803 0,2691 0,2583 0,2479 0,2379 0,2282 0,2188 0,2098 0,2011 0,1927 0,3702 0,3548 0,3400 0,3259 0,3123 0,2993 0,2868 0,2748 0,2633 0,2522 0,2415 0,2313 0,2214 0,2119 0,2027 0,4065 0,3881 0,3707 0,3541 0,3384

0,3588 0,3647 0,3349 0,3235 0,3125 0,3019 0,2916 0,2816 0,2719 0,2626 0,2535 0,2447 0,2361 0,2278 0,2197 0,3845 0,3709 0,3578 0,3451 0,3329 0,3211 0,3097 0,2987 0,2881 0,2778 0,2679 0,2582 0,2489 0,2398 0,2311 0,4164 0,4007 0,3857 0,3713 0,3575 0,3442 0,3314 0,3190 0,3072 0,2957 0,2846 0,2740 0,2636 0,2537 0,2441 0,4585 0,4397 0,4219 0,4049 0,3887

0,4007 0,3886 0,3769 0,3655 0,3545 0,3439 0,3335 0,3235 0,3137 0,3042 0,2950 0,2861 0,2774 0,2689 0,2606 0,4311 0,4175 0,4043 0,3916 0,3792 0,3673 0,3558 0,3446 0,3338 0,3233 0,3131 0,3033 0,2937 0,2844 0,2753 0,4686 0,4528 0,4376 0,4230 0,4089 0,3953 0,3822 0,3696 0,3574 0,3456 0,3342 0,3231 0,3125 0,3021 0,2921 0,5179 0,4987 0,4804 0,4629 0,4462

0,4481 0,4362 0,4245 0,4133 0,4023 0,3917 0,3813 0,3713 0,3615 0,3520 0,3427 0,3370 0,3249 0,3164 0,3080 0,4843 0,4707 0,4575 0,4447 0,4324 0,4204 0,4088 0,3975 0,3866 0,3759 0,3656 0,3556 0,3458 0,3363 0,3261 0,5287 0,5128 0,4974 0,4826 0,4683 0,4545 0,4412 0,4283 0,4158 0,4037 0,3920 0,3807 0,3697 0,3590 0,3487 0,5868 0,5672 0,5484 0,5305 0,5133

0,5026 0,4908 0,4794 0,4682 0,4574 0,4469 0,4367 0,4267 0,4170 0,4075 0,3983 0,3894 0,3806 0,3721 0,3637 0,5461 0,5325 0,5194 0,5067 0,4943 0,4823 0,4707 0,4594 0,4484 0,4377 0,4273 0,4172 0,4074 0,3978 0,3884 0,5992 0,5831 0,5676 0,5526 0,5382 0,5242 0,5107 0,4976 0,4849 0,4726 0,4607 0,4491 0,4379 0,4270 0,4164 0,6685 0,6483 0,6291 0,6106 0,5930

0,5662 0,5547 0,5435 0,5326 0,5220 0,5117 0,5017 0,4919 0,4824 0,4732 0,4641 0,4553 0,4468 0,4384 0,4303 0,6190 0,6056 0,5926 0,5800 0,5677 0,5558 0,5443 0,5330 0,5221 0,5115 0,5012 0,4911 0,4813 0,4718 0,4625 0,6834 0,6672 0,6516 0,6365 0,6219 0,6078 0,5942 0,5810 0,5682 0,5558 0,5437 0,5321 0,5207 0,5097 0,4990 0,7670 0,7463 0,7265 0,7076 0,6895

363

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar Tabla 5.8 (continuación).Variación de 𝐾𝐾𝑎𝑎 - ecuación (5.24), para 𝛿𝛿 = 2⁄3𝜙𝜙

α (grados)

20

ϕ (grados)

δ (grados) 0

5

10

15

20

25

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

0,3234 0,3091 0,2954 0,2823 0,2698 0,2578 0,2463 0,2353 0,2247 0,2146 0,4602 0,4364 0,4142 0,3935 0,3742 0,3559 0,3388 0,3225 0,3071 0,2925 0,2787 0,2654 0,2529 0,2408 0,2294

0,3732 0,3583 0,3442 0,3306 0,3175 0,3050 0,2929 0,2813 0,2702 0,2594 0,5205 0,4958 0,4728 0,4513 0,4311 0,4121 0,3941 0,3771 0,3609 0,3455 0,3308 0,3168 0,3034 0,2906 0,2784

0,4303 0,4150 0,4003 0,3862 0,3726 0,3595 0,3470 0,3348 0,3231 0,3118 0,5900 0,5642 0,5403 0,5179 0,4968 0,4769 0,4581 0,4402 0,4233 0,4071 0,3916 0,3768 0,3626 0,3490 0,3360

0,4969 0,4811 0,4659 0,4513 0,4373 0,4237 0,4106 0,3980 0,3858 0,3740 0,6714 0,6445 0,6195 0,5961 0,5741 0,5532 0,5335 0,5148 0,4969 0,4799 0,4636 0,4480 0,4331 0,4187 0,4049

0,5761 0,5598 0,5442 0,5291 0,5146 0,5006 0,4871 0,4740 0,4613 0,4491 0,7689 0,7406 0,7144 0,6898 0,6666 0,6448 0,6241 0,6044 0,5856 0,5677 0,5506 0,5342 0,5185 0,5033 0,4888

0,6721 0,6554 0,6393 0,6238 0,6089 0,5945 0,2805 0,5671 0,5541 0,5415 0,8880 0,8581 0,8303 0,8043 0,7799 0,7569 0,7351 0,7144 0,6947 0,6759 0,6579 0,6407 0,6242 0,6083 0,5930

ϕ (grados)

𝜹𝜹 (grados) 0

5

10

15

20

25

0,3264 0,3137 0,3014 0,2896 0,2782 0,2671 0,2564 0,2461 0,2362 0,2265 0,2172 0,2081 0,1994 0,1909 0,1828 0,3477 0,3370 0,3202 0,3072 0,2946

0,3629 0,3502 0,3379 0,3260 0,3145 0,3033 0,2925 0,2820 0,2718 0,2620 0,2524 0,2431 0,2341 0,2253 0,2168 0,3879 0,3737 0,3601 0,3470 0,3342

0,4034 0,3907 0,3784 0,3665 0,3549 0,3436 0,3327 0,3221 0,3118 0,3017 0,2920 0,2825 0,2732 0,2642 0,2554 0,4327 0,4180 0,4048 0,3915 0,3787

0,4490 0,4363 0,4241 0,4121 0,4005 0,3892 0,3782 0,3675 0,3571 0,3469 0,3370 0,3273 0,3179 0,3087 0,2997 0,4837 0,4694 0,4556 0,4422 0,4292

0,5011 0,4886 0,4764 0,4645 0,4529 0,4415 0,4305 0,4197 0,4092 0,3990 0,3890 0,3792 0,3696 0,3602 0,3511 0,5425 0,5282 0,5144 0,5009 0,4878

0,5616 0,5492 0,5371 0,5253 0,5137 0,5025 0,4915 0,4807 0,4702 0,4599 0,4498 0,4400 0,4304 0,4209 0,4117 0,6115 0,5972 0,5833 0,5698 0,5566

Tabla 5.9. Variación de 𝐾𝐾𝑎𝑎 - ecuación (5.24), para 𝛿𝛿 = 1⁄2 𝜙𝜙 𝜶𝜶 (grados) 0

5

28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32

364

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno Tabla 5.9 (continuación). Variación de 𝐾𝐾𝑎𝑎 - ecuación (5.24), para 𝛿𝛿 = 1⁄2 𝜙𝜙 𝜶𝜶 (grados)

10

15

20

ϕ (grados) 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

𝜹𝜹 (grados) 0

5

10

15

20

25

0,2825 0,2709 0,2596 0,2488 0,2383 0,2282 0,2185 0,2090 0,1999 0,1911 0,3743 0,3584 0,3432 0,3286 0,3145 0,3011 0,2881 0,2757 0,2637 0,2522 0,2412 0,2305 0,2202 0,2103 0,2007 0,4095 0,3908 0,3730 0,3560 0,3398 0,3244 0,3097 0,2956 0,2821 0,2692 0,2569 0,2450 0,2336 0,2227 0,2122 0,4614 0,4374 0,4150 0,3941 0,3744 0,3559 0,3384 0,3218 0,3061 0,2911

0,3219 0,3101 0,2986 0,2874 0,2767 0,2662 0,2561 0,2463 0,2368 0,2276 0,4187 0,4026 0,3872 0,3723 0,3580 0,3442 0,3309 0,3181 0,3058 0,2938 0,2823 0,2712 0,2604 0,2500 0,2400 0,4594 0,4402 0,4220 0,4046 0,3880 0,3721 0,3568 0,3422 0,3282 0,3147 0,3017 0,2893 0,2773 0,2657 0,2546 0,5188 0,4940 0,4708 0,4491 0,4286 0,4093 0,3910 0,3736 0,3571 0,3413

0,3662 0,3541 0,3424 0,3310 0,3199 0,3092 0,2988 0,2887 0,2788 0,2693 0,4688 0,4525 0,4368 0,4217 0,4071 0,3930 0,3793 0,3662 0,3534 0,3411 0,3292 0,3176 0,3064 0,2956 0,2850 0,5159 0,5964 0,4770 0,4598 0,4427 0,4262 0,4105 0,3953 0,3807 0,3667 0,3531 0,3401 0,3275 0,3153 0,3035 0,5844 0,5586 0,5345 0,5119 0,4906 0,4704 0,4513 0,4331 0,4157 0,3991

0,4166 0,4043 0,3924 0,3808 0,3695 0,3585 0,3478 0,3374 0,3273 0,3174 0,5261 0,5096 0,4936 0,4782 0,4633 0,4489 0,4350 0,4215 0,4084 0,3957 0,3833 0,3714 0,3597 0,3484 0,3375 0,5812 0,5611 0,5419 0,5235 0,5059 0,4889 0,4726 0,4569 0,4417 0,4271 0,4130 0,3993 0,3861 0,3733 0,3609 0,6608 0,6339 0,6087 0,5851 0,5628 0,5417 0,5216 0,5025 0,4842 0,4668

0,4750 0,4626 0,4505 0,4387 0,4272 0,4160 0,4050 0,3944 0,3840 0,3738 0,5928 0,5761 0,5599 0,5442 0,5290 0,5143 0,5000 0,4862 0,4727 0,4597 0,4470 0,4346 0,4226 0,4109 0,3995 0,6579 0,6373 0,6175 0,5985 0,5803 0,5627 0,5458 0,5295 0,5138 0,4985 0,4838 0,4695 0,4557 0,4423 0,4293 0,7514 0,7232 0,6968 0,6720 0,6486 0,6264 0,6052 0,5851 0,5658 0,5474

0,5437 0,5312 0,5190 0,5070 0,4954 0,4840 0,4729 0,4620 0,4514 0,4410 0,6719 0,6549 0,6385 0,6225 0,6071 0,5920 0,5775 0,5633 0,5495 0,5361 0,5230 0,5103 0,4979 0,4858 0,4740 0,7498 0,7284 0,7080 0,6884 0,6695 0,6513 0,6338 0,6168 0,6004 0,5846 0,5692 0,5543 0,5399 0,5258 0,5122 0,8613 0,8313 0,8034 0,7772 0,7524 0,7419 0,7066 0,6853 0,6649 0,6453

365

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar Tabla 5.9 (continuación). Variación de 𝐾𝐾𝑎𝑎 - ecuación (5.24), para 𝛿𝛿 = 1⁄2 𝜙𝜙 𝜶𝜶 (grados)

ϕ (grados) 38 39 40 41 42

𝜹𝜹 (grados) 0

5

10

15

20

25

0,2769 0,2633 0,2504 0,2381 0,2263

0,3263 0,3120 0,2982 0,2851 0,2725

0,3833 0,3681 0,3535 0,3395 0,3261

0,4500 0,4340 0,4185 0,4037 0,3894

0,5297 0,5127 0,4963 0,4805 0,4653

0,6266 0,6085 0,5912 0,5744 0,5582

Por otra parte, si el relleno de suelo que se encuentra detrás del muro no es homogéneo, Fig. 5.22, es

decir, presenta diferentes tipos de suelo y si se considera el caso en el que el nivel freático se encuentra

ubicado a cualquier profundidad comprendida entre la superficie y la altura del muro, consideraciones adicionales, que incluyen también el caso de sobrecarga en la superficie, deben realizarse.

Figura 5.22. Determinación de la fuerza activa según el método de Coulomb.

En tal caso se hace necesaria la modificación del valor del peso específico 𝛾𝛾, a utilizarse en la ecuación

(5.23), por un valor correspondiente al de un peso específico equivalente que toma en cuenta la influencia

tanto de estratos superiores como de cualquier posible sobrecarga. El valor de 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 es determinado a partir de

la ecuación (5.25). 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝛾𝛾1 + � Donde:

sin(90 − 𝜃𝜃) 2𝑞𝑞 � � � cos 𝛼𝛼 sin(90 − 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼) 𝐻𝐻1

(Ec. 5.25)

𝛾𝛾1 = Peso específico del estrato en consideración.

𝑞𝑞 = Sobrecarga que existe en la superficie del estrato en consideración. Esta sobrecarga puede ser el resultado de la presencia del estrato superior, y por tanto será igual al esfuerzo total causado por éste

en ese punto.

𝜃𝜃 = Ángulo que forma la cara posterior del muro con la vertical. 𝛼𝛼 = Inclinación del relleno que se encuentra detrás del muro.

𝐻𝐻1 = Espesor del estrato o porción de estrato en consideración.

366

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Notar que cuando el estrato en consideración o alguno superior se encuentran saturados, la ecuación

(5.25) debe considerar tal efecto, por tanto, dicha ecuación se convierte en: ′ 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝛾𝛾1′ + �

sin(90 − 𝜃𝜃) 2𝑞𝑞 � � � cos 𝛼𝛼 sin(90 − 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼) 𝐻𝐻1

Siendo los pesos específicos efectivos igual al peso específico del suelo menos el peso específico del agua.

La sobrecarga debe también ser hallada, tomando en cuenta la posible presencia del nivel freático.

Luego, una vez determinado 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 , este valor es introducido en la ecuación (5.23). La posición de la fuerza

activa determinada es la misma que la explicada al inicio de este apartado.

Finalmente, la fuerza causada por la presencia de agua sobre el muro, Fig. 5.22, es determinada por medio

de la ecuación (5.26). La fuerza U es normal a la cara posterior del muro, y por tanto, forma un ángulo 𝜃𝜃 con la horizontal. 𝑈𝑈 =

1 (𝑙𝑙)(𝑢𝑢) 2

Donde:

(Ec. 5.26)

𝑢𝑢 = Presión del agua al final del estrato.

𝑙𝑙 = Hipotenusa del triángulo del diagrama de presión del agua = 𝐻𝐻 ⁄cos 𝜃𝜃

5.3.2.1.1 Solución gráfica para la teoría de Coulomb en suelos granulares (Método de Culmann) Culmann(1875) desarrolló un método gráfico para determinar la presión del terreno de acuerdo a la teoría de Coulomb. Esta solución se ha constituido a través del tiempo en una herramienta muy útil para determinar la presión lateral del terreno.

La solución de Culmann realiza las siguientes consideraciones:

 Se considera la fricción del muro, sin tener en cuenta las irregularidades tanto del relleno como de la sobrecarga.

 Se considera un relleno de suelo granular (𝑐𝑐 ′ = 0).

Los pasos a seguir para la solución de Culmann son los siguientes, Fig. 5.23: 1. 2.

Dibujar la geometría del muro y el relleno a una escala conveniente. Determinar el valor de 𝜓𝜓 (°).

𝜓𝜓 = 90 − 𝜃𝜃 − 𝛿𝛿 Donde:

𝜃𝜃 = Ángulo que forma la cara posterior del muro con la vertical.

3. 4. 5.

𝛿𝛿 = Ángulo de fricción del muro.

Dibujar una línea BD que forme un ángulo 𝜙𝜙 ′ con la horizontal. Dibujar una línea BE que forme un ángulo 𝜓𝜓 con la línea BD.

A partir de B dibujar un número de líneas convenientes 𝐵𝐵𝐶𝐶1 , 𝐵𝐵𝐶𝐶2 , … . 𝐵𝐵𝐶𝐶𝑛𝑛 que corresponden a las

posibles cuñas de falla.

367

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

6. 7.

(a) Figura 5.23. Solución de Culmann para presión activa del terreno.

(b)

Determinar las áreas de las posibles cuñas de falla. (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶1 , 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶2 , … . 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝑛𝑛 ).

Determinar el peso por unidad de longitud de cada una de las posibles cuñas de falla.

𝑊𝑊1 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶1 × 𝛾𝛾 × 1

𝑊𝑊2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶2 × 𝛾𝛾 × 1 .

8. 9.

𝑊𝑊𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝑛𝑛 × 𝛾𝛾 × 1

Sea BD, el eje donde los pesos son dibujados a una escala conveniente de la siguiente manera:

𝐵𝐵𝑐𝑐1 = 𝑊𝑊1 , 𝐵𝐵𝑐𝑐2 = 𝑊𝑊2 , … . , 𝐵𝐵𝑐𝑐𝑛𝑛 = 𝑊𝑊𝑛𝑛

Dibujar 𝑐𝑐1 𝑐𝑐1′ que es una línea paralela a BE que une 𝑐𝑐1 con BC 1 (BC 1 es la línea que determina la

posible superficie de falla para la cuña 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶1 ). De la misma manera dibujar 𝑐𝑐2 𝑐𝑐2′ , … . , 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑛𝑛′ .

10. Dibujar la línea de Culmann. Esta línea es la curva que une los puntos 𝑐𝑐1′ 𝑐𝑐2′ , … . , 𝑐𝑐𝑛𝑛′ .

11. Dibujar B’D’ que es tangente a la línea de Culmann. B’D’ debe ser paralela a la línea BD. El punto de tangencia se denomina 𝑐𝑐𝑎𝑎′ .

12. Dibujar la línea 𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑎𝑎′ , ésta línea debe ser paralela a BE.

13. La fuerza activa por unidad de longitud del muro 𝑃𝑃𝑎𝑎 es: ′ 𝑃𝑃𝑎𝑎 = (𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐������ 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑎𝑎 ) × 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

14. Dibujar la línea 𝐵𝐵𝑐𝑐𝑎𝑎′ 𝐶𝐶𝑎𝑎 que es la cuña de falla buscada.

El método de Culmann sólo proporciona el valor de la fuerza activa por unidad de longitud y no así el

punto de aplicación de esta fuerza. Sin embargo, para determinar éste puede ser realizada otra construcción gráfica basada en los siguientes pasos:

368

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

1. 2. 3.

Una vez determinada la superficie de falla BC a través del método de Culmann, determinar el centro de gravedad de la cuña de falla, O, Fig.5.24.

Trazar una línea paralela a la superficie de deslizamiento BC que pase por el punto O.

El punto de intersección de la línea dibujada en el paso 2 con la cara posterior del muro, O’,

constituye el punto de aplicación de la fuerza.

Figura 5.24. Método aproximado para encontrar el punto de aplicación de la resultante de la fuerza activa.

Debido a que el método de Culmann no es más que la solución gráfica al método de Coulomb, es necesario

realizar entonces las mismas consideraciones anteriores para el caso de relleno no homogéneo con presencia de agua y la probabilidad de sobrecarga en la superficie. Entonces, el valor de 𝛾𝛾 a utilizarse en la

determinación del peso de las posibles cuñas de falla debe ser del mismo modo que en Coulomb el correspondiente a 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 determinado a partir de la ecuación (5.25).

Ejemplo 5.8

Para el muro mostrado en la figura 5.25, se pide calcular el empuje activo mediante el método de Coulomb.

Figura 5.25. Muro de gravedad con relleno inclinado y sobrecarga.

369

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Solución: Paso 1. Calculo de θ y β. 1 tan 𝜃𝜃 = 4

𝜃𝜃 = 14,04°

90 − 𝜃𝜃 = 90 − 14,04 = 75,96°

Paso 2. Calculo de los coeficientes de presión activa según Coulomb.

𝐾𝐾𝑎𝑎 1 =

𝐾𝐾𝑎𝑎 1 =

𝐾𝐾𝑎𝑎 2 =

cos 2 (𝜙𝜙 − 𝜃𝜃)

sin(𝛿𝛿 + 𝜙𝜙) sin(𝜙𝜙 − 𝛼𝛼) cos 2 𝜃𝜃 cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) �1 + � � cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) cos(𝜃𝜃 − 𝛼𝛼)

2

cos 2 (15,96)

2

= 0,485

cos 2 (21,96)

2

= 0,404

cos 2 (14,04) cos(34,04) �1

cos 2 (14,04) cos(38,04) �1

sin(50) sin(20) � +� cos(34,04) cos(4,04) sin(60) sin(26) � +� cos(38,04) cos(4,04)

Paso 3. Calculo del peso específico equivalente para el estrato 1.

𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 1 = 𝛾𝛾1 + �

sin(90 − 𝜃𝜃) 2𝑞𝑞 � � � cos 𝛼𝛼 sin(90 − 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼) 𝐻𝐻1

𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 1 = 18 + �

sin(75,96) 2 × 10 �� � cos(10) = 24,39 kN/m2 sin(85,96) 3

Paso 4. Calculo del empuje activo para el estrato 1.

1 1 𝑃𝑃𝑎𝑎 1 = 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 1 𝐾𝐾𝑎𝑎 1 𝐻𝐻1 2 = (24,39)(0,485)(3)2 = 𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐤𝐤𝐤𝐤/𝐦𝐦𝟐𝟐 2 2

Paso 5. Calculo del peso específico equivalente para el estrato 2. 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 2 = 𝛾𝛾2′ + �

sin 𝛽𝛽 2�𝑞𝑞 + (3𝛾𝛾1 )� �� � cos 𝛼𝛼 𝐻𝐻2 sin(𝛽𝛽 + 𝛼𝛼)

𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 2 = (20 − 9,8) + �

sin(75,96) 2�10 + (3 × 18)� �� � cos(10) = 40,85 kN/m2 sin(85,96) 4

Paso 6. Calculo del empuje activo para el estrato 2.

1 1 𝑃𝑃𝑎𝑎 2 = 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 2 𝐾𝐾𝑎𝑎 1 𝐻𝐻2 2 = (40,85)(0,404)(4)2 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐤𝐤𝐤𝐤/𝐦𝐦𝟐𝟐 2 2

Paso 7. Calculo del empuje de la presión de poros. 1

𝑈𝑈 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝑙𝑙 2 , donde: 𝑙𝑙 = 𝑈𝑈 =

2

4

cos 𝜃𝜃

= 4,123

1 (9,8)(4,123)2 = 𝟖𝟖𝟖𝟖, 𝟑𝟑 𝐤𝐤𝐤𝐤 2

370

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Figura 5.26. Presión activa calculada por el método de Coulomb.

5.3.2.2 Esfuerzo activo para suelos cohesivos determinado a través de la Teoría de Coulomb (condiciones no drenadas) Una condición no drenada se presenta cuando el muro se encuentra soportando un relleno de arcilla

saturada y cuando el periodo de construcción es lo suficientemente corto como para evitar la disipación del exceso de presión de poros generado.

Para la determinación de la presión activa en un muro similar al de la figura 5.27, se considera además de

las condiciones anteriores, que el valor de la cohesión es mayor a 0, 𝑐𝑐𝑢𝑢 > 0, que a cara posterior del muro es

vertical rugosa y que el relleno de arcilla saturada tiene una superficie horizontal.

Luego, siguiendo la teoría de Coulomb, se considera que la superficie de falla plana (BT para nuestro

caso) se extiende hasta el final de la grieta de tensión (𝑧𝑧𝑜𝑜 ).

En el estado activo límite el equilibrio de la cuña ABTC es mantenido por las siguientes fuerzas: 𝑊𝑊 = Peso de la cuña ABTC.

𝑃𝑃𝑎𝑎 = Fuerza activa por unidad de longitud del muro. 𝑅𝑅 = Fuerza normal en el plano de falla.

𝐹𝐹𝑐𝑐 = Fuerza de resistencia al cortante a lo largo del plano de falla BT (𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑢𝑢 (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧𝑜𝑜 )𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐). 𝐹𝐹𝑤𝑤 = Fuerza de resistencia al cortante a lo largo de la cara del muro �𝐹𝐹𝑤𝑤 = 𝑐𝑐𝑤𝑤 (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧𝑜𝑜 )�. 𝑃𝑃𝑤𝑤 = Empuje horizontal debido al agua en la grieta de tensión 1⁄2 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝑧𝑧𝑜𝑜2 .

𝑐𝑐𝑢𝑢 = Resistencia al corte no drenado del suelo.

𝑐𝑐𝑤𝑤 = Adhesión no drenada suelo-muro, respectivamente. La magnitud de la adhesión suelo-muro 𝑐𝑐𝑤𝑤 varía entre 0,3 𝑐𝑐𝑢𝑢 para arcillas duras a 𝑐𝑐𝑢𝑢 para arcillas blandas.

371

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Figura 5.27. Teoría de Coulomb para condiciones no drenadas.

Del polígono de fuerzas mostrado en la figura 5.27 (b) se tiene:

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑊𝑊 − 𝐹𝐹𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐹𝐹𝑤𝑤 Luego:

𝑅𝑅 = 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 − 𝐹𝐹𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

De la sumatoria de fuerzas horizontales:

𝑃𝑃𝑎𝑎 − 𝑃𝑃𝑤𝑤 = 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐹𝐹𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑊𝑊 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝐹𝐹𝑐𝑐 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) − 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 Sustituyendo 𝑊𝑊, 𝐹𝐹𝑐𝑐 y 𝐹𝐹𝑤𝑤 en función de 𝛾𝛾, H y 𝑧𝑧𝑜𝑜 , se tiene:

𝑃𝑃𝑎𝑎 − 𝑃𝑃𝑤𝑤 =

1 cw γ(𝐻𝐻 2 − 𝑧𝑧𝑜𝑜2 ) − cu (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧𝑜𝑜 ) ��1 + � tanβ + cotβ� 2 cu

(Ec. 5.27)

En la ecuación (5.27) 𝛽𝛽 es la única variable. Para hallar el valor crítico de 𝛽𝛽, hacer 𝑃𝑃𝑎𝑎 máxima, entonces:

𝛿𝛿𝑃𝑃𝑎𝑎 =0 𝛿𝛿𝛿𝛿

Luego la fuerza activa ejercida sobre el muro por unidad de longitud es: 372

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

𝑃𝑃𝑎𝑎 =

1 γ(𝐻𝐻 2 − 𝑧𝑧𝑜𝑜2 ) − cu (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧𝑜𝑜 )𝐾𝐾𝑎𝑎 + 𝑃𝑃𝑤𝑤 2

Donde:

𝐾𝐾𝑎𝑎 = 2�1 +

𝑐𝑐𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑢𝑢

(Ec. 5.28)

(Ec. 5.29)

El esfuerzo lateral para una profundidad dada es: 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 2𝑐𝑐𝑢𝑢 �1 +

𝑐𝑐𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑢𝑢

Luego la profundidad de la grieta de tensión, es decir, la profundidad a la cual 𝜎𝜎𝑎𝑎′ = 0, es: zo =

2𝑐𝑐𝑢𝑢 �1 + 𝛾𝛾

𝑐𝑐𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑢𝑢

(Ec. 5.30)

(Ec. 5.31)

5.4 Esfuerzo lateral del terreno en condición pasiva La condición pasiva en un suelo se produce cuando el muro tiende a moverse hacia el suelo, produciéndose

un fenómeno de compresión, para el que los esfuerzos laterales del suelo 𝜎𝜎ℎ′ , se incrementan hasta alcanzar

el equilibrio plástico. Este equilibrio es alcanzado para el máximo valor de 𝜎𝜎ℎ′ .

Del mismo modo que en la condición activa, una vez que el máximo valor de 𝜎𝜎ℎ′ es alcanzado, ocurre la

falla. El circulo c de la figura 5.4 representa el círculo de falla para la condición pasiva.

5.4.1 Teoría de Rankine

La teoría de Rankine (1857) para la condición pasiva, considera las mismas hipótesis expuestas ya, para la condición activa.

Se considera un espacio semi-infinito en el que se encuentra una masa de suelo que tiene un ángulo de

fricción 𝜙𝜙 ′ . Se asume que para un valor dado de esfuerzos verticales 𝜎𝜎𝑣𝑣′ , esta masa alcanza el estado de equilibrio plástico

La figura 5.28 presenta el círculo de falla b, una vez que se ha alcanzado el equilibrio límite.

El esfuerzo pasivo horizontal, 𝜎𝜎𝑝𝑝′ , es determinado para los siguientes condiciones:  Esfuerzo lateral pasivo para condiciones drenadas.

 Esfuerzo lateral pasivo para condiciones no drenadas.

5.4.1.1 Esfuerzo lateral pasivo para condiciones drenadas El esfuerzo lateral pasivo para un relleno de suelo en condiciones drenadas puede ser determinado para los siguientes casos:

373

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

 Determinación del esfuerzo lateral pasivo horizontal para un relleno horizontal, (𝛼𝛼 = 0°), de suelo granular, (𝑐𝑐′ = 0).

 Determinación del esfuerzo lateral pasivo horizontal para un relleno inclinado, (𝛼𝛼 > 0°), de suelo granular, (𝑐𝑐′ = 0).

 Determinación del esfuerzo lateral pasivo horizontal para un relleno horizontal, (𝛼𝛼 = 0°), de suelo cohesivo, (𝑐𝑐′ > 0).

 Determinación del esfuerzo lateral pasivo horizontal para un de relleno inclinado, (𝛼𝛼 > 0°), de suelo cohesivo, (𝑐𝑐′ > 0).

(a)

(b)

(c) Figura 5.28. Presión pasiva de Rankine (a) Círculo de Mohr para el estado pasivo en un suelo granular (c = 0) (b) Planos de deslizamiento para el estado pasivo (c) Esquema del muro para la determinación de esfuerzos.

374

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

5.4.1.1.1 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal de suelo granular El procedimiento a continuación es solo para la determinación del esfuerzo pasivo horizontal para un relleno

horizontal (𝛼𝛼 = 0°), de suelo granular (𝑐𝑐′ = 0).

A partir de la figura 5.28(a) se puede observar que:

�𝜎𝜎𝑝𝑝′ − 𝜎𝜎𝑣𝑣′ � sin 𝜙𝜙 ′ = ′ 2 ′ �𝜎𝜎𝑝𝑝 + 𝜎𝜎𝑣𝑣 � 2 Luego:

(Ec. 5.32)

𝜎𝜎𝑣𝑣′ sin 𝜙𝜙 ′ + 𝜎𝜎𝑝𝑝′ sin 𝜙𝜙 ′ = 𝜎𝜎𝑝𝑝′ − 𝜎𝜎𝑣𝑣′ Agrupando términos:

𝜎𝜎𝑝𝑝′ sin 𝜙𝜙 ′ − 𝜎𝜎𝑝𝑝′ = −𝜎𝜎𝑣𝑣′ − 𝜎𝜎𝑣𝑣′ sin 𝜙𝜙 ′

(sin 𝜙𝜙 ′ − 1)𝜎𝜎𝑝𝑝′ = −(1 + sin 𝜙𝜙 ′ )𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝜎𝜎𝑝𝑝′ (1 + sin 𝜙𝜙 ′ ) = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ (1 − sin 𝜙𝜙 ′ )

Posteriormente, el coeficiente de presión activa de Rankine, 𝐾𝐾𝑝𝑝 , se define como: 𝐾𝐾𝑝𝑝 =

𝜎𝜎𝑝𝑝′ (1 + sin 𝜙𝜙 ′ ) = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ (1 − sin 𝜙𝜙 ′ )

Reordenando la ecuación (5.33), se tiene: 𝐾𝐾𝑝𝑝 = tan2 �45 +

𝜙𝜙′ � 2

Finalmente, el esfuerzo pasivo horizontal es: 𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝜎𝜎𝑣𝑣′

(Ec. 5.33)

(Ec. 5.34)

(Ec. 5.35)

De la figura 5.28 (b), se observa que los planos de falla forman en el suelo ángulos de ±(45 − 𝜙𝜙′⁄2) con

el plano principal menor, que es para este caso el plano horizontal. Las ecuaciones (5.34) y (5.35)

corresponden al coeficiente de presión lateral pasiva y esfuerzo lateral pasivo para un esquema de muro similar al presentado en la figura 5.28(c).

A continuación, la figura 5.29, presenta la determinación del esfuerzo lateral total pasivo, 𝜎𝜎𝑝𝑝 , para un

muro de características similares al del esquema de la figura 5.28(c); En tal caso la fuerza de empuje total por

unidad de longitud que ejercen el relleno y el agua sobre la altura total del muro H, es determinada hallando el área del diagrama de presiones de esfuerzos totales.

1 1 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾𝐻𝐻12 + 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾𝐻𝐻1 𝐻𝐻2 + �𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾′ + 𝛾𝛾𝑤𝑤 �𝐻𝐻22 2 2

(Ec. 5.36) 375

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Esfuerzo lateral efectivo 𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑞𝑞

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 )

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′𝐻𝐻2 )

𝑢𝑢 = 0

Presión de poros

Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 = 0) 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 = 𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝛾𝛾)

Para 𝑧𝑧 > 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 > 0) 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 − 𝑢𝑢 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )] −𝛾𝛾𝑤𝑤 (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 ) 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )] 𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝜎𝜎𝑣𝑣′

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )]

Esfuerzo lateral total 𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑞𝑞

Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 = 0)

𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝜎𝜎𝑝𝑝′ + 𝑢𝑢

𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝛾𝛾)

𝑢𝑢 = 0

𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 )

Para 𝑧𝑧 > 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 > 0) 𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝜎𝜎𝑝𝑝′ + 𝑢𝑢

𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )] +𝛾𝛾𝑤𝑤 (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )

𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2

𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′𝐻𝐻2 ) + 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2

Figura 5.29. Distribución de la presión del terreno pasiva de Rankine, contra un muro de retención con relleno de suelo granular parcialmente sumergido que se halla soportando una sobrecarga.

376

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Ejemplo 5.9 Para un muro de retención de 7,5 metros de altura soportando un relleno horizontal de arena, con peso especifico 𝛾𝛾 = 17 kN/m3 , cohesion 𝑐𝑐 = 0 y con ángulo de fricción interna 𝜙𝜙 = 30°, determine la fuerza lateral de la tierra pasiva y la posición de la fuerza resultante. Solución:

refiérase a la figura 5.30.

Paso 1. Coeficiente de presión lateral del terreno según Rankine.

𝜙𝜙 𝐾𝐾𝑝𝑝 = tan2 �45 + � = 3 2

Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral en el fondo del muro.

𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾𝛾𝛾 = 3(17)7,5 = 382,5 kN⁄m2

Figura 5.30. Diagrama del esfuerzo lateral total en condición de reposo para un suelo seco.

Paso 3. Fuerza total por longitud unitaria del muro. 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 0,5𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾𝐻𝐻 2

𝑃𝑃𝑝𝑝 = 0,5(3)(17)(7.5)2 𝑷𝑷𝒑𝒑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐤𝐤𝐤

Paso 4. Localización de la línea de presión medida desde la base del muro. 𝑧𝑧̅ =

𝐻𝐻 7,5 = 3 3

𝑧𝑧̅ = 2,5 m

377

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Ejemplo 5.10 Un muro de retención de 7 metros de altura debe soportar un suelo de relleno horizontal parcialmente saturado, que se halla soportando una sobrecarga 𝑞𝑞 = 100 kN⁄m3 , con peso específico del suelo

𝛾𝛾 = 17 kN⁄m3 en el estrato superior, 𝛾𝛾 = 18 kN⁄m3 para el estrato inferior, un ángulo de fricción 𝜙𝜙 = 30° y

cohesión 𝑐𝑐 = 0. Determine la fuerza pasiva por unidad de longitud del terreno y determine también la línea de acción de la fuerza resultante. Solución:

refiérase a la figura 5.31.

Paso 1. Coeficiente de presión lateral del terreno según Rankine. 𝜙𝜙 30 𝐾𝐾𝑝𝑝 = tan2 �45 + � = tan2 �45 + � = 3 2 2

Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral en función de la profundidad.

La presión lateral efectiva y la presión de poros tienen que calcularse por separado, entonces: En 𝑧𝑧 = 0, 𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑞𝑞 = 3(100) = 300 kN/m2

En 𝑧𝑧 = 3,5 𝑚𝑚, 𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾1 𝐻𝐻1 + 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑞𝑞 = 3(17)(3,5) + 300 = 478,5 kN/m2

En 𝑧𝑧 = 7 𝑚𝑚, 𝜎𝜎ℎ′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻2 + (𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾1 𝐻𝐻1 + 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑞𝑞) = 3(19 − 9,8)(3,5) + 478,5 = 575,1 kN/m2

La presión de poros, es cero de 𝑧𝑧 = 0 a 𝑧𝑧 = 3,5 m

En 𝑧𝑧 = 7 m; 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 = 9,8(3,5) = 34,3 kN/m2

El diagrama de distribución de presiones se grafica en la figura 5.31.

Figura 5.31. Distribución del esfuerzo lateral total en condición pasiva para un suelo seco.

Paso 3. Calculo de la fuerza total por longitud unitaria del muro.

378

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

𝑃𝑃𝑎𝑎 = Area 1 + Area 2 + Area 3 + Area 4 + Area 5

𝑃𝑃𝑎𝑎 = (3,5)(300) + 0,5(3,5)(478,5 − 300) + (3,5)(478,5) + 0,5(3,5)(575,1 − 478,5) + 0,5(3,5)(34,3)

𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝐤𝐤𝐤𝐤

Paso 4. Calculo de la línea de acción de la fuerza resultante.

La distancia de la línea de acción de la fuerza resultante desde el fondo del muro (𝑧𝑧̅) se determina

tomando momentos respecto al fondo del muro. 𝑧𝑧̅ =

1050(3,5 +

3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 ) + 312,38(3,5 + ) + 1673( ) + 169,05( ) + 60,03( ) 3 2 3 3 = 3,11 m 2 3264,46

5.4.1.1.2 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado de suelo granular Pueden presentarse a menudo situaciones similares al esquema de muro presentado en la figura 5.32, donde

se observa un relleno inclinado (𝛼𝛼 > 0), de suelo granular (𝑐𝑐 ′ = 0). El cálculo del esfuerzo lateral pasivo y

del coeficiente de presión lateral pasiva en este tipo de situaciones es realizado con ayuda de las siguientes ecuaciones:

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝜎𝜎𝑣𝑣′

𝐾𝐾𝑝𝑝 = cos 𝛼𝛼

cos 𝛼𝛼 + �cos 2 𝛼𝛼 − cos 2 𝜙𝜙′ cos 𝛼𝛼 − �cos 2 𝛼𝛼 − cos 2 𝜙𝜙′

(Ec. 5.37)

Figura 5.32. Presión pasiva de Rankine, muro con relleno inclinado.

Nota. El procedimiento desarrollado en la figura 5.29 es válido cuando el relleno de suelo es horizontal.

Cuando se presenta el caso de rellenos inclinados; el procedimiento a seguir es el mismo, con la única

diferencia de que la fuerza total de empuje se halla inclinada en un ángulo 𝛼𝛼 con la horizontal y 𝐾𝐾𝑝𝑝 es

determinado a partir de la ecuación (5.37).

La tabla 5.10 presenta valores de 𝐾𝐾𝑝𝑝 para distintos valores de 𝛼𝛼 y 𝜙𝜙.

379

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar Tabla 5.10. Valores de 𝐾𝐾𝑝𝑝 para distintos valores de α y ϕ, considerando un muro soportando un relleno inclinado. ϕ (grados)

𝜶𝜶 (grados) 0 5 10 15 20 25

28

30

32

34

36

38

40

2,770 2,715 2,551 2,284 1,918 1,413

3,000 2,943 2,775 2,502 2,132 1,664

3,255 3,196 3,022 2,740 2,362 1,894

3,537 3,476 3,295 3,003 2,612 2,135

3,852 3,788 3,598 3,293 2,886 2,394

4,204 4,136 3,937 3,615 3,189 2,676

4,599 4,527 4,316 3,977 3,526 2,987

Ejemplo 5.11 Un muro de retención de 7,5 metros de altura debe soportar un suelo de relleno inclinado 𝛼𝛼 = 15°, con peso específico 𝛾𝛾 = 17 kN⁄m3 , un ángulo de fricción 𝜙𝜙 = 30° y cohesión 𝑐𝑐 = 0. Determine la fuerza activa por

unidad de longitud del terreno y determine también la línea de acción de la fuerza resultante. Solución:

refiérase a la figura 5.33.

Paso 1. Coeficiente de presión lateral del terreno según Rankine.

𝐾𝐾𝑝𝑝 = cos𝛼𝛼

cos𝛼𝛼 + �cos 2 𝛼𝛼 − cos 2 𝜙𝜙 ′

𝐾𝐾𝑝𝑝 = 2,502

cos𝛼𝛼 − �cos 2 𝛼𝛼 − cos 2 𝜙𝜙 ′

Figura 5.33. Distribución del esfuerzo lateral total en condición pasiva para un suelo seco.

Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral en el fondo del muro.

𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾𝛾𝛾 = 2,502(17)7,5 = 319,01 kN⁄m2

Paso 3. Fuerza total por longitud unitaria del muro. 380

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

𝑃𝑃𝑝𝑝 = 0,5𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 = 0,5(2,502)(17)(7.5)2

𝑷𝑷𝒑𝒑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐤𝐤𝐤𝐤

Paso 4. Localización del centro de presión medido desde el fondo del muro.

𝐻𝐻 7,5 = = 2,5 m 3 3

5.4.1.1.3 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal de suelo cohesivo La determinación del esfuerzo pasivo horizontal, 𝜎𝜎𝑝𝑝′ , para un relleno horizontal, (𝛼𝛼 = 0) , de suelo cohesivo, (𝑐𝑐 > 0), a través de la teoría de Rankine es realizada a partir de la figura 5.34, de la misma manera que para

la condición activa.

Figura 5.34. Círculo de Mohr para el estado pasivo en un suelo cohesivo.

Luego, el esfuerzo pasivo horizontal es: 𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ tan2 �45 + Luego:

𝜙𝜙 ′ 𝜙𝜙 ′ � + 2𝑐𝑐 ′ tan �45 + � 2 2

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ � 𝐾𝐾𝑝𝑝

(Ec. 5.38) (Ec. 5.39)

Cuando se trabaja con relleno de suelo cohesivo en condiciones no drenadas reemplazar 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑢𝑢 y ϕ = 0

en la ecuación (5.38)

Luego, a manera de ilustración, en la figura 5.35 determina, el esfuerzo lateral total generado detrás de un

muro con relleno horizontal de suelo cohesivo. Para este caso en particular, se asume que el suelo del relleno

se encuentra seco, es decir, se asume que en la altura considerada no se ha detectado la posición del nivel freático.

Finalmente, la fuerza de empuje total por unidad de longitud que ejercen el relleno y el agua sobre la

altura total del muro H, es determinada de manera similar a la hallada para suelos granulares, es decir,

sumando las áreas de los diagramas de presiones del esfuerzo lateral efectivo y de la presión de poros, o también, determinando el área del diagrama de presiones de esfuerzos totales, Fig. 5.35.

381

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar Esfuerzo lateral efectivo, 𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑞𝑞𝐾𝐾𝑝𝑝

Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 = 0) 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 = 𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝐾𝐾𝑝𝑝 = (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝛾𝛾)𝐾𝐾𝑝𝑝

(𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 )𝐾𝐾𝑝𝑝

Para 𝑧𝑧 > 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 > 0) 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣 − 𝑢𝑢 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )] − 𝛾𝛾𝑤𝑤 (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 ) 𝜎𝜎𝑣𝑣′ = [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )] 𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝐾𝐾𝑝𝑝 = [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )]𝐾𝐾𝑝𝑝

(𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′𝐻𝐻2 )𝐾𝐾𝑝𝑝 𝜎𝜎𝑝𝑝′

Esfuerzo lateral efectivo ′

= 𝑞𝑞𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 �𝐾𝐾𝑝𝑝

2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝

Presión de poros 𝑢𝑢 = 0

Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 = 0)

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝛾𝛾)𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 )𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝

𝑢𝑢 = 0

Para 𝑧𝑧 > 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 > 0)

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )]𝐾𝐾𝑝𝑝 ′

+2𝑐𝑐 �𝐾𝐾𝑝𝑝

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′𝐻𝐻2 )𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝 ′

Esfuerzo lateral total

𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝑞𝑞𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 �𝐾𝐾𝑝𝑝

𝜎𝜎𝑝𝑝 = (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 )𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝

Para 𝑧𝑧 > 𝐻𝐻1

𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )

𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 Para 𝑧𝑧 ≤ 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 = 0)

𝜎𝜎𝑝𝑝 = (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝛾𝛾)𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝

Para 𝑧𝑧 > 𝐻𝐻1 (𝑢𝑢 > 0)

𝜎𝜎𝑝𝑝 = [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )]𝐾𝐾𝑝𝑝 +2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝 + 𝛾𝛾𝑤𝑤 (𝑧𝑧 − 𝐻𝐻1 )

𝜎𝜎𝑝𝑝 = (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾′𝐻𝐻2 )𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝 + 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2

Figura 5.35. Distribución de la presión del terreno pasiva de Rankine, contra un muro de retención con relleno de suelo cohesivo parcialmente sumergido que se halla soportando una sobrecarga.

382

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Nota.- El caso observado en la figura 5.35 es un caso general para rellenos de suelo cohesivo. Cuando se

analiza el estado pasivo, a diferencia del estado activo, se observa que el esfuerzo lateral efectivo, ecuación (5.39), siempre es positivo, por tanto no se generan esfuerzos de tensión. Al no producirse esfuerzos de tensión, se concluye que para el caso pasivo no se forman las grietas de tensión.

Ejemplo 5.12

Un muro de retención de 7,5 metros de altura debe soportar un suelo de relleno horizontal, con peso específico 𝛾𝛾 = 18 kN⁄m3 , un ángulo de fricción 𝜙𝜙 = 30° y cohesión 𝑐𝑐 = 15. Determine la fuerza pasiva por

unidad de longitud del muro y determine también la línea de acción de la fuerza resultante. Solución:

refiérase a la figura 5.36.

Paso 1. Coeficiente de presión lateral según Rankine.

𝜙𝜙 𝐾𝐾𝑝𝑝 = tan2 �45 + � 2 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 3

�𝐾𝐾𝑝𝑝 = 1,732

Paso 2. Calculo de los esfuerzos laterales en función de la profundidad. 𝑧𝑧 = 0, 𝜎𝜎𝑝𝑝 = 2𝑐𝑐�𝐾𝐾𝑝𝑝 = 2(15)(1,732) = 51,96 kN/m2

En 𝑧𝑧 = 7,5; 𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾𝛾𝛾 + 2𝑐𝑐 �𝐾𝐾𝑝𝑝 = 3(18)(7,5) − 2(15)(1,732) = 405 + 51,96 = 456,96 kN/m2

Figura 5.36. Distribución del esfuerzo lateral total en condición pasiva para un suelo seco.

Paso 3. Fuerza total pasiva por longitud unitaria del muro.

𝑃𝑃𝑝𝑝 = 0,5𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐�K p = 0,5(3)(18)(7.5)2 + 2(15)(7,5)(1,732) = 1518,75 + 389,7 = 1908,45 kN 383

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑷𝑷𝒑𝒑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝐤𝐤𝐤𝐤

Paso 4. Calculo de la línea de acción de la fuerza total.

La línea de acción de la resultante estará localizada a una altura 𝑧𝑧̅ medida desde el fondo del muro y se

determina mediante la siguiente ecuación: 𝑃𝑃𝑝𝑝 𝑧𝑧̅ = 𝑃𝑃1 𝑧𝑧1 + 𝑃𝑃2 𝑧𝑧2

1908,45 𝑧𝑧̅ = 1518,75(2,5) + 389,7(3,75)

𝑧𝑧̅ = 2,75 m

Ejemplo 5.13 Un muro de retención de 7 metros de altura debe soportar un suelo de relleno horizontal parcialmente saturado que se halla soportando una sobrecarga 𝑞𝑞 = 100 kN⁄m3 , con peso específico del suelo 𝛾𝛾 = 17 kN⁄m3 en el estrato superior, 𝛾𝛾 = 18 kN⁄m3 para el estrato inferior, un ángulo de fricción 𝜙𝜙 = 30° y

cohesión 𝑐𝑐 = 15 kN⁄m2 . Determine la fuerza pasiva por unidad de longitud del terreno y determine también la línea de acción de la fuerza resultante. Solución:

refiérase a la figura 5.37.

Paso1. Coeficiente de presión lateral del suelo según Rankine. 𝜙𝜙 30 𝐾𝐾𝑝𝑝 = tan2 �45 + � = tan2 �45 + � 2 2 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 3

�𝐾𝐾𝑝𝑝 =1,732

Paso 2. Calculo de los esfuerzos laterales en función de la profundidad. La presión lateral efectiva es: En 𝑧𝑧 = 0

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑞𝑞 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝 = 3(100) + 2(15)√3 = 351,96 kN/m2

En 𝑧𝑧 = 3,5 𝑚𝑚

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = (𝑞𝑞 + 𝛾𝛾1 𝐻𝐻1 )𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝 = [100 + (17)(3,5)]3 + 2(15)√3 = 530,46 kN/m2 En 𝑧𝑧 = 7 𝑚𝑚

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = [𝑞𝑞 + 𝛾𝛾1 𝐻𝐻1 + 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻2 ]𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝 = [100 + (17)(3,5) + (9,19)(3,5)]3 + 2(15)√3 = 616,46 kN/m2

La presión de poros, es cero de 𝑧𝑧 = 0 a 𝑧𝑧 = 3,5 m

En 𝑧𝑧 = 7 m, 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 = 9,8(3,5) = 34,3 kN/m2

El diagrama de distribución de presiones se gráfica en la figura 5.37. 384

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Paso 3. La fuerza total por longitud unitaria del muro es:

𝑃𝑃𝑝𝑝 = Area 1 + Area 2 + Area 3 + Area 4 + Area 5

𝑃𝑃𝑝𝑝 = (3,5)(351,96) + 0,5(3,5)(178,5) + (3,5)(530,46) + 0,5(3,5)(86) + 0,5(3,5)(34,3) 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 1231,86 + 312,38 + 1856,61 + 150,5 + 60,03

𝑷𝑷𝒑𝒑 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐤𝐤𝐤

Figura 5.37. Diagrama de presiones del esfuerzo lateral total en condición pasiva para un suelo parcialmente saturado.

385

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Paso 4. Línea de acción.

La distancia de la línea de acción de la fuerza resultante desde el fondo del muro (𝑧𝑧̅) se determina

tomando momentos respecto al fondo del muro. 𝑧𝑧̅ =

1231,86(3,5 +

𝒛𝒛� = 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝐦𝐦

3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 ) + 312,38(3,5 + ) + 1856,61( ) + 150,5( ) + 60,03( ) 3 2 3 3 2 3611,38

5.4.1.1.4 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado de suelo cohesivo En el esquema de muro presentado en la figura 5.38, se observa un relleno inclinado (𝛼𝛼 > 0), de suelo

cohesivo (𝑐𝑐′ > 0) . El cálculo del esfuerzo lateral pasivo, 𝜎𝜎𝑝𝑝 , es realizado con ayuda de las siguientes

ecuaciones:

𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ 𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 ′ �𝐾𝐾𝑝𝑝

El valor de 𝐾𝐾𝑝𝑝 se calcula con las siguientes ecuaciones presentadas por Mazindrani & Ganjali (1997): 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝′ cos 𝛼𝛼

(Ec. 5.40)

Donde:

𝐾𝐾𝑝𝑝′ =

2 1 𝑐𝑐′ 𝑐𝑐′ 𝑐𝑐′ �2 cos2 𝛼𝛼 + 2 �𝛾𝛾𝛾𝛾 � cos 𝜙𝜙′ sin 𝜙𝜙′ + ��4 cos 2 𝛼𝛼 �cos 2 𝛼𝛼 − cos2 𝜙𝜙 ′ + �𝛾𝛾𝛾𝛾 � cos2 𝜙𝜙 ′ + 8 �𝛾𝛾𝛾𝛾 � cos 2 𝛼𝛼 cos2 𝜙𝜙 ′ sin2 𝜙𝜙 ′ ��� − 1 2 cos 𝜙𝜙′

Figura 5.38. Distribución de la presión del terreno.

386

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Algunos valores de 𝐾𝐾𝑝𝑝′ se dan en la tabla 5.11.

Tabla 5.11. Valores de 𝐾𝐾𝑝𝑝′

φ (grados)

α (grados)

15

0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15

20 25 30

Ejemplo 5.14

𝒄𝒄 𝜸𝜸𝜸𝜸

0,025

0,05

0,1

0,5

1,764 1,716 1,564 1,251 2,111 2,067 1,932 1,696 2,542 2,499 2,368 2,147 3,087 3,042 2,907 2,684

1,829 1,783 1,641 1,370 2,182 2,140 2,010 1,786 2,621 2,578 2,450 2,236 3,173 3,129 3,996 2,777

1,959 1,917 1,788 1,561 2,325 2,285 2,162 1,956 2,778 2,737 2,614 2,409 3,346 3,303 3,174 2,961

3,002 2,971 2,880 2,732 3,468 3,435 3,339 3,183 3,034 3,999 3,895 3,726 4,732 4,674 4,579 4,394

Para un muro de retención de 7,5 metros de altura que soporta un relleno inclinado 𝛼𝛼 = 15°, con peso

específico 𝛾𝛾 = 18 KN⁄m3 , un ángulo de fricción 𝜙𝜙 = 30° y cohesión 𝑐𝑐 = 15. Determine la fuerza activa por unidad de longitud y la localización de la línea de acción de la fuerza resultante. Solución:

refiérase a la figura 5.39.

Figura 5.39. Distribución del esfuerzo lateral total en condición de reposo para un suelo seco y relleno inclinado.

387

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Paso 1. Determinación del coeficiente lateral del terreno según Rankine. En 𝑧𝑧 = 7,5 m

Entrar en la tabla 5.15 𝑐𝑐 15 = = 0,111 𝛾𝛾𝛾𝛾 18(7,5)

De la tabla 5.15 para 𝜙𝜙 = 30°, 𝑐𝑐/𝛾𝛾𝛾𝛾 = 0,111 y 𝛼𝛼 = 15°; luego de la interpolación el valor de 𝐾𝐾𝑝𝑝′ es 3,0

Paso 2. Calculo de los esfuerzos laterales en función de la profundidad. 𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝐾𝐾𝑝𝑝 = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝐾𝐾𝑝𝑝′ cos 𝛼𝛼 = 18(7,5)(3) cos 15° = 391,23 KN/m2

Paso 3. Fuerza total pasiva del muro.

𝑃𝑃𝑝𝑝 = 0,5𝛾𝛾𝐻𝐻 2 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 0.5(18)(7,5)2 (2,898) 𝑷𝑷𝒑𝒑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝐤𝐤𝐤𝐤

Paso 4. Línea de acción.

La línea de acción de la resultante estará localizada a una altura de 𝐻𝐻/3 medida desde el fondo del muro: 𝑧𝑧̅ =

𝐻𝐻 7,5 = = 2,5 m 3 3

𝑧𝑧̅ = 2,5 m

5.4.1.2 Esfuerzo lateral pasivo para condiciones no drenadas 5.2.1.2.1 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal en condiciones no drenadas Para el cálculo del esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal de suelo cohesivo en condiciones no drenadas reemplazar, 𝑐𝑐′ = 𝑐𝑐𝑢𝑢 y 𝜙𝜙′ = 0 en la ecuación (5.38). Luego el coeficiente de presión

lateral del terreno será 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 1, entonces se tiene: 𝜎𝜎𝑝𝑝′ = 𝜎𝜎𝑣𝑣′ + 2cu

(Ec. 5.41)

5.2.1.2.2 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado en condiciones no drenadas Para muros de retención con relleno inclinado de suelo cohesivo en condiciones no drenadas reemplazar

𝑐𝑐′ = 𝑐𝑐𝑢𝑢 y 𝜙𝜙′ = 0 en las ecuaciones desarrolladas por Mazindrani & Ganjali (1997), entonces: 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝′′ cos 𝛼𝛼

Donde 𝐾𝐾𝑝𝑝′′ para condiciones no drenadas es: 388

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

𝑐𝑐

2

𝐾𝐾𝑝𝑝′′ = �2 cos 2 𝛼𝛼 + ��4 cos 2 𝛼𝛼 �cos 2 𝛼𝛼 + �𝛾𝛾𝛾𝛾𝑢𝑢 � ��� − 1

5.4.2 Teoría de Coulomb La teoría de Coulomb (1776) puede ser utilizada para establecer tanto el esfuerzo pasivo como la fuerza total de empuje. El análisis utilizado para la condición pasiva se basa en las mismas hipótesis que fueron expuestas en el apartado 5.3.2.

5.4.2.1 Esfuerzo pasivo para suelos granulares determinado a través de la teoría de Coulomb (condiciones drenadas) El muro y el relleno de suelo granular mostrados en la figura 5.40 (a) cumplen con las hipótesis establecidas

por la teoría de Coulomb. Luego, si se considera la condición pasiva, la cuña de suelo de la figura 5.40 se halla

sometida a esfuerzos de compresión.

Los esfuerzos de compresión van incrementándose en el suelo hasta alcanzar un estado de equilibrio

límite. Este equilibrio es mantenido por tres fuerzas actuantes en la cuña, Fig. 5.40 (b):

𝑃𝑃𝑝𝑝 , Es la fuerza pasiva por unidad de longitud del muro y está inclinada formando un ángulo 𝛿𝛿 con la normal dibujada a la cara posterior del muro. 𝛿𝛿 es el ángulo de fricción entre el muro y el suelo. 𝑊𝑊 y 𝐹𝐹, Son las mismas fuerzas consideradas para la condición activa.

Las consideraciones realizadas tanto para la geometría de la cuña, como para la identificación de

variables incógnitas en la condición activa, continúan vigentes para la condición pasiva, por tanto, el estado pasivo es también un problema estáticamente indeterminado.

(a) Figura 5.40. Presión pasiva de Coulomb (a) Cuña de falla (b) Polígono de fuerzas.

389

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

(b) Figura 5.40 (continuación). Presión pasiva de Coulomb (a) Cuña de falla (b) Polígono de fuerzas.

A partir del polígono de fuerzas mostrado en la figura 5.40 (b), y de manera análoga a la realizada para la

condición activa, la presión pasiva de Coulomb 𝑃𝑃𝑝𝑝 es: 1 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 2 Donde:

𝐾𝐾𝑝𝑝 =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃(𝛿𝛿

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝜙𝜙 ′ + 𝜃𝜃)

(Ec. 5.42) Ec. 5.43)

2

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜙𝜙 ′ − 𝛿𝛿)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜙𝜙 ′ + 𝛼𝛼) − 𝜃𝜃) �1 − � � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛿𝛿 − 𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝜃𝜃)

El ángulo de fricción del muro 𝛿𝛿 depende del ángulo de fricción del suelo y de la rugosidad del muro. Para

la condición pasiva Das (1999) recomiendan un valor de 𝛿𝛿 de aproximadamente 1⁄2 𝜙𝜙 ′ , siendo el valor

máximo recomendable de 15°. Del mismo modo que para la condición activa, 𝛿𝛿 es también determinado en función al tipo de material de relleno y al tipo de estructura (véase la tabla 5.6).

Para el caso particular de un relleno horizontal (𝛼𝛼 = 0) de suelo granular(𝜙𝜙 ′ > 0), situado detrás de un

muro cuya cara posterior es vertical (𝜃𝜃 = 0). La tabla 5.12 presenta valores de 𝐾𝐾𝑝𝑝 , obtenidos a partir de la ecuación (5.43) para distintos valores de 𝛿𝛿.

Tabla 5.12. Valores de 𝐾𝐾𝑝𝑝 para distintos valores de 𝛿𝛿; para 𝛼𝛼 = 0 y 𝜃𝜃 = 0.

ϕ (grados)

δ (grados) 0

5

10

15

20

15 20 25 30 35 40

1,698 0,204 0,246 0,300 3,690 4,600

1,900 2,313 2,283 3,506 4,390 5,590

2,130 2,636 3,286 4,143 5,310 6,946

2,405 3,030 3,855 4,977 6,854 8,870

2,735 3,525 4,597 6,105 8,324 11,772

390

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Las consideraciones a realizarse por el efecto del: nivel freático detrás del muro, de una posible

sobrecarga en la superficie y de un suelo de relleno que no es homogéneo, son las mismas ya explicadas para

el caso activo, es decir, que para el caso pasivo tales situaciones son tomadas también en cuenta a través de la

determinación del peso específico equivalente 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 , que una vez determinado por medio de la ecuación (5.25) es introducido en la ecuación (5.41).

La fuerza originada por la presencia del agua es determinada de la misma manera que en el caso activo.

Ejemplo 5.15

Para el muro mostrado en la figura 5.41, se pide calcular el empuje activo mediante el método de Coulomb.

Solución:

Figura 5.41. Muro de gravedad con relleno inclinado y sobrecarga.

Paso 1. Calculo de θ y β. 1 tan 𝜃𝜃 = 4

𝜃𝜃 = 14,04°

90 − 𝜃𝜃 = 90 − 14,04 = 75,96°

Paso 2. Calculo de los coeficientes de presión activa según Coulomb. cos 2 (𝜙𝜙′ + 𝜃𝜃) 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 2 sin(𝜙𝜙′ − 𝛿𝛿) sin(𝜙𝜙′ + 𝛼𝛼) � cos 2 𝜃𝜃 cos(𝛿𝛿 − 𝜃𝜃) �1 − � cos(𝛿𝛿 − 𝜃𝜃) cos(𝛼𝛼 − 𝜃𝜃)

𝐾𝐾𝑝𝑝1 =

cos 2 (44,04)

2

sin(10) sin(40) cos 2 (14,04) cos(5,96) �1 − � � cos(5,96) cos(−4,04)

= 1,753

391

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝐾𝐾𝑝𝑝2 =

cos 2 (50,04)

cos 2 (14,04) cos(9,96) �1

−�

2

sin(12) sin(46) � cos(9,96) cos(−4,04)

= 1,197

Paso 3. Calculo del peso específico equivalente para el estrato 1. sin 𝛽𝛽 2𝑞𝑞 � � � cos 𝛼𝛼 sin(𝛽𝛽 + 𝛼𝛼) 𝐻𝐻1

𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 1 = 𝛾𝛾1 + �

𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 1 = 18 + �

sin(75,96) 2 × 10 �� � cos(10) = 24,39 kN/m2 sin(85,96) 3

Paso 4. Calculo del empuje activo para el estrato 1. 1 1 𝑃𝑃𝑝𝑝1 = 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 1 𝐾𝐾𝑝𝑝1 𝐻𝐻1 2 = (24,39)(1,753)(3)2 = 192,4 kN/m2 2 2

Paso 5. Calculo del peso específico equivalente para el estrato 2. sin 𝛽𝛽 2�𝑞𝑞 + (3𝛾𝛾1 )� 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 2 = 𝛾𝛾2′ + � �� � cos 𝛼𝛼 𝐻𝐻2 sin(𝛽𝛽 + 𝛼𝛼) 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 2 = (20 − 9,8) + �

sin(75,96) 2�10 + (3 × 18)� �� � cos(10) = 40,85 kN/m2 sin(85,96) 4

Paso 6. Calculo del empuje activo para el estrato 2. 1 1 𝑃𝑃𝑝𝑝2 = 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 2 𝐾𝐾𝑝𝑝1 𝐻𝐻2 2 = (60,1)(1,197)(4)2 = 391,18 kN/m2 2 2

Paso 7. Calculo del empuje de la presión de poros. 1

𝑈𝑈 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝑙𝑙 2 , donde: 𝑙𝑙 = 𝑈𝑈 =

2

4

cos 𝜃𝜃

= 4,123

1 (9,8)(4,123)2 = 86,3 kN 2

Figura 5.42. Presión pasiva calculada por el método de Coulomb.

392

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

5.4.2.2 Esfuerzo pasivo para suelos cohesivos determinado a través de la Teoría de Coulomb (condiciones no drenadas) La determinación de la presión pasiva en el caso de suelos cohesivos (𝑐𝑐𝑢𝑢 > 0), se realiza de manera análoga a

la determinación de la presión activa, con la única diferencia de que en esta condición no se generan grietas de tensión.

Luego, al considerar una superficie de falla plana, la fuerza total pasiva por unidad de longitud es: 1 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐾𝐾𝑝𝑝 2 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 2�1 + Donde:

𝑐𝑐𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑢𝑢

(Ec. 5.44) (Ec. 5.45)

𝑐𝑐𝑢𝑢 = Resistencia al corte no drenado del suelo. 𝑐𝑐𝑤𝑤 = Adhesión no drenada suelo-muro.

La magnitud de la adhesión suelo-muro 𝑐𝑐𝑤𝑤 varía entre 0,3 𝑐𝑐𝑢𝑢 para arcillas duras a 𝑐𝑐𝑢𝑢 para arcillas blandas.

5.4.3 Determinación de la presión pasiva del terreno considerando una superficie de falla circular (Método de Terzaghi & Peck) La teoría propuesta por Coulomb (1776) tiene como dos de sus consideraciones principales, el tomar en

cuenta la rugosidad del muro y el suponer que se presentan superficies de falla planas. Sin embargo, el efecto de la fricción cerca de la base del muro, produce superficies curvas de falla tanto en la condición activa como en la condición pasiva, Fig. 5.43.

(a) (b) Figura 5.43. Superficie de falla curva debido a la fricción del muro (a) Condición activa (b) Condición pasiva.

Por tanto, el asumir una superficie de falla plana introduce error en el cálculo de la presión lateral del

terreno. Este error es despreciable cuando se calcula la presión activa del terreno, sin embargo, para el

cálculo de la presión pasiva y el empuje lateral en cortes esta suposición produce resultados inseguros, debido a que se obtienen valores de 𝑃𝑃𝑝𝑝 mayores a la resistencia real del suelo.

393

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

A través del tiempo, han sido propuestos métodos alternativos para la determinación de la presión

pasiva. Estos métodos consideran a la parte curva como un arco circular, una elipse o una espiral logarítmica.

A continuación se desarrolla el método propuesto por Terzaghi & Peck (1967), utilizado para la

determinación de la presión pasiva en suelos granulares. Este método considera a la parte curva de la superficie de falla como una espiral logarítmica.

La ecuación de una espiral logarítmica presenta la siguiente forma:

𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑜𝑜 𝑒𝑒 𝜃𝜃tan 𝜙𝜙

′

Donde:

(Ec. 5.46)

𝑟𝑟 = Radio de la espiral.

𝑟𝑟𝑜𝑜 = Radio inicial en 𝜃𝜃 = 0°

𝜙𝜙 ′ = Angulo de fricción del suelo. 𝜃𝜃 = Angulo entre r y 𝑟𝑟𝑜𝑜

Para la espiral logarítmica de centro O mostrada en la figura 5.44; el área del sector AOB está dada por:

𝐴𝐴 =

𝑟𝑟12 − 𝑟𝑟𝑜𝑜2 4tan𝜙𝜙 ′

(Ec. 5.47)

La propiedad más importante de una espiral logarítmica es que cualquier línea radial, forma un ángulo 𝜙𝜙 ′

con la normal dibujada a la espiral, en el punto de intersección de la línea radial y la espiral, representadas por las líneas punteadas en la figura 5.44.

es:

Luego, a partir de la figura 5.45, para el muro de altura H, la resistencia al cortante del relleno granular 𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 ′

La porción BC 1 de la superficie curva de falla, es una espiral logarítmica. El centro de la espiral

logarítmica cae sobre la línea C 1 A, siendo la porción superior de la superficie de falla C 1 D una línea recta que forma un ángulo de (45 − 𝜙𝜙 ′ ⁄2) con la horizontal. La porción de suelo que se encuentra en la zona AC 1 D 1 se halla en estado pasivo de Rankine.

Figura 5.44. Parámetros generales de una espiral logarítmica (Das, 1999).

394

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

El procedimiento para determinar la presión pasiva de un suelo granular (𝑐𝑐 = 0) es el siguiente: 1.

2.

3.

Dibujar la geometría del muro y el relleno a una escala apropiada.

Dibujar la línea C 1 A de tal manera que forme un ángulo de (45 − 𝜙𝜙 ′ ⁄2) con la superficie del relleno.

Luego, sea BC 1 D 1 la posible cuña de falla en la cual BC 1 es un arco de espiral logarítmica cuyo centro ������ es O 1 ; siendo ����� 𝑂𝑂1 𝐵𝐵 = 𝑟𝑟𝑜𝑜 , 𝑂𝑂 1 𝐶𝐶1 = 𝑟𝑟1 y < 𝐵𝐵𝑂𝑂1 𝐶𝐶1 = 𝜃𝜃1 , Fig. 5.45. Para la estabilidad de la cuña 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶1 𝐶𝐶1′ , se considera que el equilibrio es mantenido por las siguientes

fuerzas por unidad de longitud, Fig. 5.45 (b):

 𝑊𝑊1 es el peso de la cuña ,𝑊𝑊1 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶1 𝐶𝐶1′ × 𝛾𝛾 × 1

 𝑃𝑃𝑑𝑑 (1) es la fuerza total pasiva de Rankine ejercida sobre la cara vertical 𝐶𝐶1 𝐶𝐶1′ que se encuentra en la zona pasiva de Rankine.

1 𝜙𝜙 ′ 𝑃𝑃𝑑𝑑 (1) 𝛾𝛾(𝑑𝑑1 )2 tan2 �45 + � 2 2

Donde: ′ ������ 𝑑𝑑1 = 𝐶𝐶 1 𝐶𝐶1 = La fuerza 𝑃𝑃𝑑𝑑 (1) es aplicada a una distancia de 𝑑𝑑1 ⁄3 medida de la base.

𝐹𝐹1 = Fuerza resultante de las fuerzas normales y cortantes que actúan a lo largo de la superficie de deslizamiento 𝐵𝐵𝐶𝐶1 . 𝐹𝐹1 , forma un ángulo de 𝜑𝜑 ′ con la normal a la espiral trazada en el punto de

intersección de la línea radial y el arco de espiral; por tanto la línea de aplicación de 𝐹𝐹1 pasa a través

del punto 𝑂𝑂1 .

𝑃𝑃1 = Fuerza pasiva por unidad de longitud del muro. Esta actúa a una distancia 𝐻𝐻 ⁄3 medida desde la

4.

base del muro y forma un ángulo de 𝛿𝛿 con la cara posterior del muro.

En O 1 , tomar momentos para todas las fuerzas descritas en el paso 3. Luego, por equilibrio se tiene:

𝑊𝑊1 = �𝑙𝑙𝑊𝑊(1) � + 𝑃𝑃𝑑𝑑 (1) [𝑙𝑙1 ] + 𝐹𝐹1 [0] = 𝑃𝑃1 �𝑙𝑙𝑃𝑃(1) � Despejando 𝑃𝑃1 :

𝑃𝑃1 =

1

𝑙𝑙𝑃𝑃(1)

�𝑊𝑊1 𝑙𝑙𝑊𝑊(1) + 𝑃𝑃𝑑𝑑(1) 𝑙𝑙1 �

(Ec. 5.48)

(a) Figura 5.45. Presión pasiva contra un muro de retención considerando una superficie de falla curva (Das, 1999).

395

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(b)

(c) Figura 5.45 (Continuación). Presión pasiva contra un muro de retención considerando una superficie de falla curva (Das, 1999).

5.

A continuación, se realiza el procedimiento anterior para un número apropiado de posibles cuñas de

falla, Fig. 5.45 (c). Las fuerzas pasivas por unidad de longitud determinadas son graficadas a cierta

6.

escala.

Finalmente, unir los puntos que representan las fuerzas calculadas. El punto más bajo de la curva

resultante es la fuerza pasiva por unidad de longitud 𝑃𝑃𝑝𝑝 .

Por otro lado, Caquot & Kerisel (1948), afirman que la fuerza pasiva por unidad de longitud ejercida

sobre un muro que tiene un relleno de suelo granular, puede ser calculada mediante la siguiente ecuación: 1 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝛾𝛾𝐻𝐻12 𝐾𝐾𝑝𝑝 2

(Ec. 5.49) 396

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

En la ecuación (5.49), 𝐻𝐻1 es medido de la manera que se observa en la figura 5.46. Para la determinación

del coeficiente de presión pasiva 𝐾𝐾𝑝𝑝 existen dos posibles maneras:  Si 𝛿𝛿 ⁄𝜙𝜙 ′ = 1 usar la gráfica de la figura 5.46.

 Si 𝛿𝛿 ⁄𝜙𝜙 ′ ≠ 1 seguir el siguiente procedimiento: 1.

2. 3. 4. 5.

Asumir 𝛿𝛿 y 𝜙𝜙 ′ . Calcular 𝛿𝛿 ⁄𝜙𝜙 ′ .

Con el valor calculado en el Paso 2, determinar el valor del factor de reducción R de la tabla 5.13. Nota.- La tabla 5.13 es usada para 𝜃𝜃 = 0 y 𝑐𝑐 = 0.

Determinar 𝐾𝐾𝑝𝑝 de la figura 5.46.

Calcular 𝐾𝐾𝑝𝑝 corregido para 𝛿𝛿 ⁄𝜙𝜙 ′ ≠ 1 de la siguiente manera:

𝐾𝐾𝑝𝑝 = 𝑅𝑅�𝐾𝐾𝑝𝑝(𝛿𝛿 ⁄𝜙𝜙 ≠1) �

Figura 5.46. Solución de Cauquot y Kerisel para 𝐾𝐾𝑝𝑝 (Das, 1999).

(Ec. 5.50)

397

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Figura 5.46 (Continuación). Solución de Cauquot y Kerisel para 𝐾𝐾𝑝𝑝 (Das, 1999).

Shields & Tolunay (1973), usando el método de los fragmentos, improvisaron una solución a partir del

método de Terzaghi & Peck. El método de los fragmentos es desarrollado en el Capítulo 7 de estabilidad de taludes. Los valores de 𝐾𝐾𝑝𝑝 obtenidos a través de este método son presentados en la tabla 5.14. Tabla 5.13. Factor de reducción R en función de 𝜙𝜙 ′ y 𝛿𝛿 ⁄𝜙𝜙 ′ según Caquot & Kerisel (1948). 𝝓𝝓′ (grados) 10 15 20 25 30 35 40 45

𝜹𝜹⁄𝝓𝝓′(grados) 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0,978 0,961 0,939 0,912 0,878 0,836 0,783 0,718

0,962 0,934 0,901 0,860 0,811 0,752 0,682 0,600

0,946 0,907 0,862 0,808 0,746 0,674 0,592 0,500

0,929 0,881 0,824 0,759 0,686 0,603 0,512 0,414

0,912 0,854 0,787 0,711 0,627 0,536 0,439 0,339

0,898 0,830 0,752 0,666 0,574 0,475 0,375 0,276

0,881 0,803 0,716 0,620 0,520 0,417 0,316 0,221

0,864 0,775 0,678 0,574 0,467 0,362 0,262 0,174

Tabla 5.14. Valores de 𝐾𝐾𝑝𝑝 en función de 𝜑𝜑 ′ y 𝛿𝛿 según Shields & Tolunay (1973). 𝝓𝝓′ (grados) 20 25 30 35 40 45

𝜹𝜹 (grados) 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2,04 2,46 3,00 3,69 4,69 5,83

2,26 2,77 3,43 4,29 5,44 7,06

2,43 3,03 3,80 4,84 6,26 8,30

2,55 3,23 4,13 5,34 7,05 9,55

2,70 3,39 4,40 5,80 7,80 10,80

3,63 4,64 6,21 8,51 12,04

5,03 6,59 9,18 13,26

7,25 9,83 14,46

11,03 15,60

18,01

5.5 Cartas semi-empíricas para la determinación del esfuerzo lateral del terreno Terzaghi & Peck (1967) desarrollaron cartas semi-empíricas que pueden ser utilizadas para la determinación del esfuerzo lateral activo de tierra. La figura 5.47 es utilizada en la determinación de 𝐾𝐾ℎ y 𝐾𝐾𝑣𝑣 , para los casos

observados en la misma figura.

(1⁄2) 𝐾𝐾𝑣𝑣 𝐻𝐻2′ , es la componente vertical de la fuerza activa, mientras que (1⁄2)𝐾𝐾ℎ 𝐻𝐻2′ es la componente

horizontal. Los números sobre las curvas indican el tipo de suelo que es descrito en la tabla 5.19. Los casos de la figura 5.38 son casos que se presenta a menudo en la práctica.

398

Capítulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Figura 5.47. Carta para estimar la presión del relleno contra muros de retención que soportan rellenos con superficies inclinadas hacia arriba desde la cresta del muro hasta una distancia limitada (Terzaghi y Peck, 1967).

399

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas

Figura 5.47 (Continuación). Carta para estimar la presión del relleno contra muros de retención que soportan rellenos con superficies inclinadas hacia arriba desde la cresta del muro hasta una distancia limitada y luego se vuelven horizontales (Terzaghi y Peck, 1967).

Tabla 5.19. Tipos de relleno para muros de retención (Terzaghi y Peck, 1967). Tipos de relleno para muros de retención.

1. Suelo de grano grueso, sin contenido de partículas finas (arena limpia o grava). 2. Suelos de grano grueso, de baja permeabilidad debido a la presencia de partículas de limo. 3. Suelo residual con bolos, gravas y arena fina limosa, con una cantidad visible de arcilla. 4. Arcilla blanda o muy blanda, limos orgánicos o arcillas limosas. 5. Arcilla compacta o medianamente compacta, depositada en terrones y protegida de tal forma que la cantidad de agua que penetra detrás del muro durante las lluvias o inundaciones es despreciable. Si esta condición no se cumple, la arcilla no debe usarse como suelo de relleno. Cuanto más compacta es la arcilla, mayor es el peligro de fallo del muro, como consecuencia de la infiltración del agua.

5.6 Determinación del esfuerzo lateral del terreno basada en la teoría de elasticidad Cuando se aplican cargas verticales en la superficie, se produce un incremento tanto en los esfuerzos

verticales como en los esfuerzos laterales. Cuando el área en el que se aplica la carga es infinitamente grande, 400

Capitulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

los esfuerzos horizontales y verticales son constantes a lo largo de toda la profundidad. Sin embargo, cuando

la superficie cargada no es uniforme o cuando la carga no actúa sobre una gran área, se requiere de cálculos más complejos para la determinación de los esfuerzos laterales.

La determinación del esfuerzo lateral debido a una carga puntual se realiza siguiendo el método de

Boussinesq cuyas hipótesis fueron ya expuestas en el Capítulo 1. Luego, a partir de la ecuación (1.9), el

esfuerzo lateral producido en el plano xz para 𝑣𝑣 = 1⁄2, es: 𝜎𝜎ℎ′ =

𝑃𝑃 3𝑥𝑥 2 𝑧𝑧 � � 2𝜋𝜋 𝐿𝐿5

(Ec. 5.51)

𝜎𝜎ℎ′ =

3𝑃𝑃 𝑚𝑚2 𝑛𝑛 � 2 � 2 2𝜋𝜋𝐻𝐻 (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛2 )5�2

(Ec. 5.52)

Según la figura 5.48 (a), y sustituyendo en la ecuación (5.51) 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 y 𝑧𝑧 = 𝑛𝑛𝑛𝑛, se obtiene:

Gerber (1929) y Spangler (1938) realizaron investigaciones para poder incluir en la ecuación (5.52) el

efecto del muro. Los resultados obtenidos se presentan a continuación: Para 𝑚𝑚 > 0,4 𝜎𝜎ℎ′ =

1,77 𝑃𝑃 𝑚𝑚2 𝑛𝑛 � 2 � 2 (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛2 )3 𝐻𝐻

(Ec. 5.53)

𝜎𝜎ℎ′ =

0,28 𝑃𝑃 𝑛𝑛2 � � (0,16 + 𝑛𝑛2 )3 𝐻𝐻 2

(Ec. 5.54)

Para 𝑚𝑚 ≤ 0,4

El esfuerzo lateral debido a una carga lineal que se aplica paralela a la cresta, es determinado a partir de

las ecuaciones modificadas por Gerber & Spangler. La distribución de esfuerzos laterales sobre la cara posterior del muro es mostrada en la figura 5.48 (b). Luego el esfuerzo lateral es: Para 𝑚𝑚 > 0,4 𝜎𝜎ℎ′ =

4 𝑞𝑞 𝑚𝑚2 𝑛𝑛 � 2 � 𝜋𝜋𝜋𝜋 (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛2 )2

(Ec. 5.55)

𝜎𝜎ℎ′ =

0,203 𝑞𝑞 𝑛𝑛 � � (0,16 + 𝑛𝑛2 )2 𝐻𝐻

(Ec. 5.56)

Para 𝑚𝑚 ≤ 0,4 Donde:

𝑞𝑞 = Carga por unidad de longitud aplicada en la superficie.

Finalmente el esfuerzo lateral debido a una carga de ancho finito 𝑚𝑚2 y largo infinito que tiene una

intensidad de q por unidad de área, y se halla a una distancia 𝑚𝑚1 del muro, es: 𝜎𝜎ℎ′ =

2 𝑞𝑞 (𝛽𝛽 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝛼𝛼) 𝐻𝐻

(Ec. 5.57)

La ecuación (5.57) toma en cuenta el efecto de confinamiento del muro. La distribución de los esfuerzos

laterales a lo largo de la profundidad es presentada en la figura 5.48 (c).

401

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas

(a)

(b)

(b) Figura 5.48. Esfuerzo lateral en un muro de retención debido a: (a) Carga puntual (b) Carga lineal y (c) Carga continua

5.7 Determinación del esfuerzo lateral del terreno en cortes Por lo general, en trabajos de construcción es necesario realizar excavaciones. Para asegurar la estabilidad de tales excavaciones, éstas deben ser apuntaladas ya sea mediante vigas montantes, tablas de revestimiento, o tablaestacas de acero; esto con el objeto de resguardar las paredes de la excavación hasta que se alcance la profundidad deseada.

Para el diseño de cortes apuntalados es necesario estimar el esfuerzo lateral del terreno. La cedencia de

cortes apuntalados es distinta a la cedencia de muros de retención en condición activa, principalmente porque en los cortes, la deformación de la pared crece gradualmente con la profundidad.

Para muros de retención, se considera una distribución lineal de los esfuerzos laterales; mientras que

para cortes la distribución se halla muy lejos de ser lineal.

402

Capitulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Con el objeto de determinar la magnitud del esfuerzo lateral en cortes apuntalados, Terzaghi (1943)

usando la teoría general de cuñas supuso que la superficie de falla era una espiral logarítmica que sigue la ecuación (5.46).

Luego, si se considera un muro de retención cuyo ángulo de fricción en la pared es 𝛿𝛿 = 0 y un corte

realizado en arena igualmente con 𝛿𝛿 = 0 ; se puede apreciar que para el muro de retención de altura H, la

fuerza activa por unidad de longitud tiene su punto de aplicación a una distancia de 𝐻𝐻 ⁄3 de la base del muro;

mientras que para el corte apuntalado esta distancia varía de 0,33 a 0,5 o 0,6.

Por tanto, cuando se trabaja con cortes apuntalados lo más importante es recordar que, la distribución

lateral del terreno en cortes es muy distinta a la distribución que se presenta en muros de retención.

Peck (1969) sugirió el uso de envolventes de presión para el diseño de cortes apuntalados en arenas y

arcillas.

El método de Terzaghi & Peck se basa en las siguientes condiciones:  Se aplica a excavaciones de 6,1 m o más.

 Para determinar la carga sobre los puntales se usa un diagrama artificial de carga que se denomina diagrama de presión aparente.

 Se considera que el nivel freático se encuentra por debajo del fondo de la excavación. En arcillas se considera la resistencia al corte en estado no drenado. No se considera la presión de poros.

 Para excavaciones en arcilla, la expresión de estabilidad está dada por la siguiente ecuación:

𝑁𝑁 =

𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑐𝑐

(Ec. 5.58)

Para valores de N mayores a 3 o 4 se producen movimientos significantes en el terreno, mientras que

para 𝑁𝑁 ≥ 6 la base falla.

Para cortes en arena la presión lateral del terreno se expresa como: 𝜎𝜎ℎ = 0,65𝛾𝛾𝛾𝛾𝐾𝐾𝑎𝑎 Donde:

(Ec. 5.59)

𝛾𝛾 = Peso especifico del suelo.

𝐻𝐻 = Altura del corte.

𝐾𝐾𝑎𝑎 = tan2 (45 − 𝜙𝜙′⁄2) = Coeficiente de presión activa de Rankine

La distribución de la envolvente de presión se observa en la figura 5.49 (a).

Para cortes en arcilla blanda y media, la envolvente de presión es mostrada en la figura 5.49 (b). El

esfuerzo lateral es igual a: 4𝑐𝑐 𝜎𝜎ℎ = 𝛾𝛾𝛾𝛾 �1 − � �� 𝛾𝛾𝛾𝛾

(Ec. 5.60)

𝜎𝜎ℎ = 0,3𝛾𝛾𝛾𝛾

Las ecuaciones anteriores sólo se utilizan cuando 𝑁𝑁 =

(Ec. 5.61) 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑐𝑐

>4

Para cortes en arcilla dura, la envolvente de presión es mostrada en la figura 5.49 (c). El esfuerzo lateral

es igual a:

403

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas

𝜎𝜎ℎ = 0,2𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑎𝑎 0,4𝛾𝛾𝛾𝛾

Por lo general se usa un promedio de 𝜎𝜎ℎ = 0,3𝛾𝛾𝛾𝛾. La ecuación (5.61) es aplicable cuando 𝑁𝑁 =

(Ec. 5.62)

𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑐𝑐

>4

(a) (b) (c) Figura 5.49. Envolvente de la presión aparente de Peck (1969) para: (a) Cortes en arena (b) Cortes en arcilla suave a media (c) Cortes en arcilla dura.

Finalmente Peck (1943) propuso la ecuación (5.63) para la determinación del esfuerzo lateral, cuando se

realiza una excavación en un medio estratificado que consta de un estrato de arena descansando sobre un estrato de arcilla. 𝜎𝜎ℎ = 𝐾𝐾𝑎𝑎′ 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻 Donde:

𝐾𝐾𝑎𝑎′ = 1 −

(Ec. 5.63)

2𝑐𝑐𝑢𝑢′ 𝛾𝛾 ′ 𝐻𝐻

La resistencia promedio de la arena y arcilla en términos de resistencia a compresión no confinada es: 𝑐𝑐𝑢𝑢′ =

1 [𝛾𝛾 𝐻𝐻 2 𝐾𝐾 tan 𝜙𝜙 + (𝐻𝐻 − 𝐻𝐻𝑠𝑠 )𝑛𝑛𝑐𝑐𝑢𝑢 ] 𝐻𝐻 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠

Donde el subíndice

s

se refiere al estrato de arena y

n

se refiere a la razón entre la resistencia a

compresión no confinada determinada en campo y la resistencia determinada en laboratorio. El peso unitario promedio es: 𝛾𝛾 ′ =

1 (𝛾𝛾 𝐻𝐻 + 𝛾𝛾𝑐𝑐 𝐻𝐻𝑐𝑐 ) 𝐻𝐻 𝑠𝑠 𝑠𝑠

Donde el subíndice c se refiere al estrato de arcilla.

404

Capitulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

Según Dismuke (1991), la aproximación con la que el esfuerzo lateral puede ser determinado en suelos

mixtos que exhiben tanto cohesión como fricción, es menor a la aproximación obtenida en suelos granulares que no tienen cohesión.

Para determinar el esfuerzo lateral, uno debe decidir que propiedad será predominante durante la etapa

de excavación, establecer las restricciones en el movimiento del muro, así como la permeabilidad y la posición del nivel freático.

Lambe (1970) ha revisado varios métodos de determinación de esfuerzos en excavaciones y movimientos

de suelos y ha comparado los resultados con datos obtenidos de excavaciones reales. A través de este estudio fue visto que los movimientos del suelo afuera de la excavación y las cargas de puntales no pueden ser adecuadamente predecidas en la mayoría de las condiciones que se presentan en campo.

5.8 Comentarios

Basados en los datos experimentales obtenidos de la investigación realizada por la NTCU (National Chiao

Tung University, Taiwán) publicados por Yung – Show Fang en el Journal of Geotechnical and Enviromental

Engineering en agosto de 1997, pueden ser citadas las siguientes conclusiones:

Condición activa. Para un muro alejándose del terreno, la distribución experimental de la presión del terreno es esencialmente lineal para cada etapa del muro, en la que este se acerca hacia la falla. Los puntos

de aplicación del empuje total están localizados a 0,29𝐻𝐻 a 0,33𝐻𝐻 por encima de la base del muro, para

rellenos con distintas inclinaciones. El estado activo es alcanzado a diferentes profundidades de manera casi

simultánea y el movimiento del muro necesario para alcanzar este estado se incrementa a medida que se incrementa la inclinación del relleno.

El coeficiente de presión del terreno activa experimental 𝐾𝐾𝑎𝑎,ℎ es muy próximo a los valores determinados

por los métodos de Coulomb y Terzaghi. La solución de Rankine tiende a sobreestimar el empuje activo, especialmente cuando el relleno tiene un ángulo de inclinación negativo, Fig. 5.28. Por tanto, el autor del

artículo indica que el adoptar la teoría de Rankine para determinar la presión activa del terreno contra un muro rígido con relleno inclinado puede ser inapropiado.

Condición pasiva. Para un muro moviéndose hacia el terreno, la distribución experimental de la presión del

terreno es aproximadamente lineal en cada etapa de movimiento del muro. Independientemente del ángulo

del relleno, el punto de aplicación del empuje total varía entre 0,33 H a 0,41 H por encima de la base del

muro. La distribución experimental de presión pasiva se halla muy bien representada por la aproximación original desarrollada por Coulomb en 1776. El movimiento del muro, requerido para que el relleno alcance el

estado pasivo, se incrementa a medida que incrementa el ángulo de inclinación del relleno. Luego, para un mismo muro, el desplazamiento requerido para alcanzar el estado pasivo es aproximadamente igual a 230

veces el desplazamiento requerido para alcanzar el estado activo; entonces, la teoría de Rankine tiende a subestimar el empuje pasivo.

La discrepancia entre los resultados obtenidos de los ensayos y los obtenidos a partir de la solución de

Rankine incrementa a medida que incrementa el ángulo de inclinación del relleno. Para una inclinación de

+15°, el empuje pasivo calculado con la teoría de Rankine es sólo el 18 % del valor experimental obtenido. Por consiguiente, puede no ser apropiado adoptar la teoría de Rankine para determinar la presión pasiva del terreno ejercida sobre un muro rígido que sostiene un relleno inclinado.

405

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas

Referencias

Figura 5.50. Ángulo de inclinación positivo y negativo.

Bowles J.E. “Foundation Analysis and Design, Fifth Edition” Mc. Graw Hill”

Das, Braja M. (2001). “Principios de Ingeniería de Cimentaciones”. Thomson Learning.

Whitlow, Roy (1994). “Fundamentos de Mecanica de Suelos, Segunda Edición”. CECSA, México.

406

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

Capítulo seis

Diseño de muros de contención Contenido 6 Diseño de muros de contención .......................................................................................................................................................407 6.1 Introducción.......................................................................................................................................................................................408

6.2 Tipos de muros de contención ..................................................................................................................................................408

6.2.1 Muros de contención tipo gravedad ...........................................................................................................................408

6.2.2 Muros de contención tipo ménsula (voladizo).......................................................................................................409

6.2.3 Muros de contención con contrafuertes ...................................................................................................................409 6.2.4 Muros de contención tipo bandeja ..............................................................................................................................409

6.2.5 Muros de contención tipo criba ....................................................................................................................................410

6.3 Predimensionamiento de muros de contención ...............................................................................................................411

6.4 Fuerzas actuantes en un muro de contención....................................................................................................................412 Ejemplo 6.1.............................................................................................................................................................................414 Ejemplo 6.2.............................................................................................................................................................................416 Ejemplo 6.3.............................................................................................................................................................................420 Ejemplo 6.4.............................................................................................................................................................................421

6.5 Diseño de muros de contención ................................................................................................................................................424

6.5.1 Verificación al volteo respecto a la punta del muro ............................................................................................424 Ejemplo 6.5.............................................................................................................................................................................427 Ejemplo 6.6.............................................................................................................................................................................428 Ejemplo 6.7.............................................................................................................................................................................429 Ejemplo 6.8.............................................................................................................................................................................430

6.5.2 Verificación al deslizamiento a lo largo de la base ...............................................................................................432 Ejemplo 6.9.............................................................................................................................................................................435 Ejemplo 6.10 ..........................................................................................................................................................................435

Ejemplo 6.11 ..........................................................................................................................................................................436 Ejemplo 6.12 ..........................................................................................................................................................................437

6.5.3 Verificación a la falla por capacidad de apoyo de la base .................................................................................438 Ejemplo 6.13 ..........................................................................................................................................................................439

Ejemplo 6.14 ..........................................................................................................................................................................440 Ejemplo 6.15 ..........................................................................................................................................................................441 Ejemplo 6.16 ..........................................................................................................................................................................442

6.5.4 Verificación a la falla por asentamiento ....................................................................................................................443

6.6 Fallas por cortante en un muro de contención ..................................................................................................................444

407

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

6.1 Introducción En el capítulo anterior se desarrollaron los procedimientos usados para la determinación de los esfuerzos laterales que actúan sobre las estructuras de retención.

Las estructuras de retención, más específicamente los muros de contención, tienen como principal

función la de proporcionar soporte lateral permanente al terreno, que dependiendo el propósito de la construcción puede tratarse de terreno natural o de rellenos artificiales.

En el presente capítulo se lleva a cabo el diseño de muros de contención basado en la verificación de la

estabilidad externa del muro.

6.2 Tipos de muros de contención Entre los tipos más generales de muros de contención se destacan los siguientes: −

− − − −

Muros de contención tipo gravedad.

Muros de contención tipo ménsula (voladizo). Muros de contención con contrafuertes. Muros de contención tipo bandeja.

Muros de contención tipo criba.

6.2.1 Muros de contención tipo gravedad Son muros que se construyen de concreto o de mampostería, en los que la resistencia es conseguida a través

de su propio peso, Fig. 6.1(a). Este tipo de construcción no es económica para muros altos, pero puede ser interesante para muros de altura moderada siempre y cuando su longitud no sea muy grande.

Los muros tipo gravedad no resultan ser muy económicos debido a que al no utilizarse armadura, por lo

general se trabaja con grandes volúmenes de concreto. Son aconsejables cuando el ancho de la base tiene una dimensión de 1⁄2 a 1⁄3 de la altura total del muro.

Los muros de semigravedad son aquellos muros de gravedad a los que se incorpora armadura con el

objetivo de disminuir la sección del muro, Fig. 6.1 (b).

(a)

(b)

Figura 6.1. Muros de contención (a) Tipo gravedad (b) Tipo semi-gravedad.

408

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

6.2.2 Muros de contención tipo ménsula (voladizo) Son muros que se construyen de hormigón armado y consisten de un tallo o cuerpo delgado y una losa de base. Son los más usados actualmente; y pueden tener la forma de una L o una T invertida, Fig. 6.2.

Son usados generalmente a partir de una altura de 6 m. y se considera que son económicos hasta una

altura de 8 a 10 m.

Su aplicación depende de los costos relativos de excavación, hormigón, acero, encofrados y relleno, así

como también de la apariencia y durabilidad de la obra, sobre todo en áreas urbanas.

Figura 6.2. Muro de contención tipo ménsula.

6.2.3 Muros de contención con contrafuertes

Este tipo de muros constituye una solución evolucionada a los muros tipo ménsula, cuya concepción nace debido a la necesidad de aligerar las piezas en aquellos muros de gran altura en los que se requerirían, por consiguiente, grandes espesores.

La geometría de estos muros, Fig.6.3, es similar a la del muro ménsula con la diferencia de que a

intervalos regulares de longitud se tienen losas verticales delgadas de concreto, denominadas contrafuertes, que se hallan uniendo la cara posterior del muro con la base. Estas losas se constituyen en rigidizadores de tensión que disminuyen tanto los esfuerzos de flexión como los esfuerzos cortantes.

Los muros de contención con contrafuertes son aconsejables a partir de los 12 m o cuando el relleno se

halla muy sobrecargado.

6.2.4 Muros de contención tipo bandeja El concepto de funcionamiento de estos muros es muy diferente al de los muros con contrafuertes. En este tipo de muro no se trata de resistir el momento flector aumentando el canto y aligerando la sección, sino que

se trata de reducir los momentos flectores debidos al relleno mediante los momentos producidos por la carga del propio relleno sobre las bandejas, Fig. 6.4.

409

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Su principal desventaja radica en la complejidad de la construcción, pero puede ser una buena alternativa

al muro con contrafuertes para grandes alturas.

Figura 6.3. Muro de contención con contrafuertes.

Figura 6.4. Muro de contención tipo bandeja.

6.2.5 Muros de contención tipo criba

El sistema de este tipo de muros emplea piezas prefabricadas de hormigón de muy diversos tipos que forman

una red espacial que se rellena con el propio suelo, Fig. 6.5. La concepción de estos muros tiene su origen en

la de muros análogos que se realizaban antiguamente con troncos de árboles.

410

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

Figura 6.5. Muro de contención tipo criba.

Desarrolladas las características de los principales tipos de muros de contención, a continuación se

presenta para un caso general de muro, la notación utilizada a lo largo del capítulo, Fig. 6.6.

Figura 6.6. Componentes de un muro de contención.

6.3 Predimensionamiento de muros de contención Cuando se diseña muros de contención, con objeto de realizar la primera verificación de estabilidad se debe realizar un predimensionamiento o proporcionamiento de las dimensiones iniciales del muro.

En caso de que la primera revisión de estabilidad no de buenos resultados, las secciones se cambian y

deben volver a revisarse. Esta secuencia se sigue hasta conseguir las dimensiones óptimas del muro.

A través del tiempo y basándose en la experiencia acumulada de la observación de muros estables para la

condición de Rankine; se ha logrado estimar las proporciones generales tanto para muros de gravedad como para muros tipo ménsula. Estas proporciones son utilizadas para realizar la primera verificación de

estabilidad. La figura 6.7 presenta las citadas proporciones. En tal figura la dimensión mínima de D debe ser

0,6 m. Es común, por lo general, que el ancho de la base sea de aproximadamente 0,5H. Por otra parte, el espesor de la parte superior del tallo debe ser tal que permita el adecuado vaciado del concreto.

Finalmente, para muros de contención con contrafuertes, la separación de las losas de contrafuerte debe

ser de 0,5 a 0,7H y el espesor de las losas de 0,3 m.

411

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

(a)

(b)

Figura 6.7. Dimensiones aproximadas para varias componentes de un muro de contención para revisiones iniciales de estabilidad: (a) Muro tipo gravedad (b) Muro tipo ménsula (Das, 2001).

6.4 Fuerzas actuantes en un muro de contención Cuando se considera un muro de contención, ya sea de tipo gravedad o de tipo ménsula, las fuerzas actuantes en éste son calculadas, por lo general, en términos de componentes horizontales y verticales.

Las fuerzas verticales incluyen el peso del suelo, el posible empuje vertical del agua, la componente

vertical de la resultante de la presión del terreno, que sólo se presenta cuando la cara posterior del muro no es vertical, cuando el relleno es inclinado o cuando se considera la fricción suelo-muro, o finalmente cualquier otra fuerza vertical que pudiera presentarse.

Las fuerzas horizontales incluyen la componente horizontal de la resultante de la presión del terreno y

cualquier otro tipo de fuerza horizontal.

Es necesario recordar, que en la resultante de la presión del terreno deben estar incluidos los efectos

causados por una posible sobrecarga en la superficie, la carga debida a compactación o cualquier otro tipo de fuerza horizontal.

La determinación de la fuerza activa 𝑃𝑃𝑎𝑎 que actúa sobre la cara posterior del muro debe ser realizada

considerando una superficie o cara de soporte virtual.

Esta cara de soporte virtual es definida realizando las siguientes consideraciones: −

Si se aplica la teoría de la presión de tierra de Rankine, la cara virtual de soporte es definida trazando una línea vertical a través del punto A que está localizado en la esquina inferior del talón de la losa de

base, Fig. 6.8. Luego, se asume que en el plano AB existe la condición activa de Rankine y pueden utilizarse entonces todas las ecuaciones de Rankine desarrolladas en el capítulo 5.

Las fuerzas actuantes a considerarse para este caso son: el peso del concreto 𝑊𝑊𝑐𝑐 , el peso del suelo que

se encuentra sobre el talón 𝑊𝑊𝑠𝑠 y la fuerza activa de Rankine 𝑃𝑃𝑎𝑎 .

412

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

La teoría de la presión de tierra de Rankine es correctamente utilizada sólo cuando la zona cortante

limitada por la línea AC no es obstruida por el tallo del muro, es decir cuando la línea AC no cruza el tallo del muro; pudiendo definirse como 𝜂𝜂 al ángulo que forma la línea AC con la vertical. 𝜂𝜂 es

determinado analíticamente a través de la ecuación (6.1) propuesta en Das (2001). 𝛼𝛼 𝜙𝜙1 sin 𝛼𝛼 𝜂𝜂 = 45 + − − sin−1 � � 2 2 sin 𝜙𝜙1

(a)

(Ec.6.1)

(b)

Figura 6.8. Cara de soporte virtual aplicada para la teoría de Rankine (a) Muro tipo ménsula (b) Muro tipo gravedad.

−

Si se aplica la teoría de la presión de tierra de Coulomb, el punto de aplicación de la fuerza activa de

Coulomb 𝑃𝑃𝑎𝑎 se encuentra directamente en la cara posterior del muro; por tanto las fuerzas actuantes a considerarse para este caso son solamente: el peso del concreto 𝑊𝑊𝑐𝑐 y la fuerza activa 𝑃𝑃𝑎𝑎 , Fig. 6.9.

Figura 6.9. Cara de soporte virtual aplicada para la teoría de Coulomb.

413

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Ejemplo 6.1 Para el muro de contención mostrado en la figura 6.10, se pide calcular las fuerzas actuantes mediante el método de Rankine.

Figura 6.10. Muro de contención soportando un relleno inclinado y una sobrecarga.

Solucion:

Paso 1. Verificamos que η no cruza el tallo del muro. 𝛼𝛼 𝜙𝜙1 sin 𝛼𝛼 10 30 sin 10 𝜂𝜂 = 45 + − − sin−1 � � = 45 + − − sin−1 � � 2 2 sin 𝜙𝜙1 2 2 sin 30 𝜂𝜂 = 15° O.K.

Paso 2. Calculamos el coeficiente de presión activa según Rankine.

𝐾𝐾𝑎𝑎 = cos 𝛼𝛼 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 0,35

cos 𝛼𝛼 − �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜙𝜙 cos 𝛼𝛼 + �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜙𝜙

= cos 10

cos 10 − √𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 10 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 30 cos 10 + √𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 10 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 30

Paso 3. Calculamos 𝐻𝐻 ′ :

𝐻𝐻1 = 3 × tan 10 = 0,53

𝐻𝐻 ′ = 𝐻𝐻 + 𝐻𝐻1 = 7 + 0,53 = 7,53 𝑚𝑚

Paso 4. Esfuerzo lateral y el empuje activo debido a la sobrecarga. Para 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 7,53 𝑚𝑚,

𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝑞𝑞𝐾𝐾𝑎𝑎 = 50(0,35) = 17,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

𝑃𝑃1 = 𝑞𝑞𝐾𝐾𝑎𝑎 𝐻𝐻 ′ = 17,5(7,53) = 131,78 𝑘𝑘𝑘𝑘

Paso 5. Esfuerzo lateral y empuje activo por influencia del terreno. 414

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

En 𝑧𝑧 = 0, 𝜎𝜎𝑎𝑎 = 0

En 𝑧𝑧 = 7,53 𝑚𝑚, 𝜎𝜎𝑎𝑎 = 𝛾𝛾1 𝐻𝐻 ′ 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 18(7,53)0,35 = 47,44 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

1 1 𝑃𝑃2 = 𝛾𝛾1 𝐾𝐾𝑎𝑎 (𝐻𝐻 ′ )2 = (18)(0,35)(7,53)2 = 178,61 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2

Figura 6.11. Diagrama de esfuerzos en el muro de contención.

Paso 6. Calculo de la fuerza total activa.

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2 = 131,78 + 178,61 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌

Paso 7. Calculo de la localización del centro de presión medido desde el fondo del muro. 7,53 7,53 7,53 7,53 � + 𝑃𝑃2 � � 131,78 � � + 178,61 � � 𝑃𝑃1 � 2 3 3 2 = 𝑧𝑧̅ = 𝑃𝑃𝑎𝑎 310,39 𝒛𝒛� = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎

Figura 6.12. Presión activa calculada por el método de Rankine.

415

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Ejemplo 6.2 Para el muro de contención mostrado en la figura 6.13, se pide calcular las fuerzas actuantes mediante el método de Rankine.

Figura 6.13. Muro de contención soportando un relleno inclinado y una sobrecarga.

Solución:

Paso 1. Verificamos que los ángulos η no cruza el tallo del muro. 𝛼𝛼 𝜙𝜙1 sin 𝛼𝛼 10 30 sin 10 𝜂𝜂1 = 45 + − − sin−1 � � = 45 + − − sin−1 � � 2 2 sin 𝜙𝜙1 2 2 sin 30 𝜂𝜂1 = 15°

O.K.

𝜂𝜂2 = 45 +

𝛼𝛼 𝜙𝜙2 sin 𝛼𝛼 10 36 sin 10 − − sin−1 � � = 45 + − − sin−1 � � 2 2 sin 𝜙𝜙2 2 2 sin 36

𝜂𝜂3 = 45 +

𝛼𝛼 𝜙𝜙3 sin 𝛼𝛼 10 32 sin 10 − − sin−1 � � = 45 + − − sin−1 � � 2 2 sin 𝜙𝜙3 2 2 sin 32

𝜂𝜂2 = 14,82° O.K. 𝜂𝜂3 = 14,87° O.K.

Paso 2. Calculo de los coeficientes de presión activa según Rankine. 𝐾𝐾𝑎𝑎 1 = cos 𝛼𝛼 𝐾𝐾𝑎𝑎 2 = cos 𝛼𝛼

cos 𝛼𝛼 − �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜙𝜙 cos 𝛼𝛼 + �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜙𝜙

cos 𝛼𝛼 − �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜙𝜙 cos 𝛼𝛼 + �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜙𝜙

Paso 3. Calculamos 𝐻𝐻 ′ :

= cos 10 = cos 10

cos 10 − √𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 10 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 30 cos 10 + √𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 10 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 30

cos 10 − √𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 10 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 36 cos 10 + √𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 10 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 36

= 0,35 = 0,26

𝐻𝐻1 = 3 × tan 10 = 0,53

𝐻𝐻 ′ = 𝐻𝐻 + 𝐻𝐻1 = 7 + 0,53 = 7,53 𝑚𝑚 416

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

Paso 4. Calculo de los esfuerzos laterales y las fuerzas de empujes activos debido a la sobrecarga. Para 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 3,53 𝑚𝑚

𝜎𝜎𝑎𝑎 1 = 𝑞𝑞𝐾𝐾𝑎𝑎 1 = 50(0,35) = 17,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

𝑃𝑃1 = 𝑞𝑞𝐾𝐾𝑎𝑎 1 (𝐻𝐻 ′ − H2 ) = 17,5(3,53) = 61,78 𝑘𝑘𝑘𝑘

Para 3,53 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 7,53 𝑚𝑚,

𝜎𝜎𝑎𝑎 2 = 𝑞𝑞𝐾𝐾𝑎𝑎 2 = 50(0,26) = 13 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 𝑃𝑃2 = 𝑞𝑞𝐾𝐾𝑎𝑎 2 𝐻𝐻2 = 13(4) = 52 𝑘𝑘𝑘𝑘

Paso 5. Calculo de los esfuerzos laterales y empujes activos por influencia del terreno.

En 𝑧𝑧 = 0, 𝜎𝜎𝑎𝑎 = 0

En 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 3,53 𝑚𝑚

𝜎𝜎𝑎𝑎 3 = 𝛾𝛾1 (𝐻𝐻 ′ − 𝐻𝐻2 )𝐾𝐾𝑎𝑎 1 = 18(3,53)0,35 = 22,24 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

1 1 𝑃𝑃3 = 𝛾𝛾1 𝐾𝐾𝑎𝑎 1 (𝐻𝐻 ′ − H2 )2 = (18)(0,35)(3,53)2 = 39,25 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2 𝜎𝜎𝑎𝑎 4 = 𝛾𝛾1 (𝐻𝐻 ′ − 𝐻𝐻2 )𝐾𝐾𝑎𝑎 2 = 18(3,53)0,26 = 16,52 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

𝑃𝑃4 = 𝜎𝜎𝑎𝑎 4 𝐻𝐻2 = 16,52(4) = 66,08 𝑘𝑘𝑘𝑘

En 3,53 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 7,53 𝑚𝑚

𝜎𝜎𝑎𝑎 5 = 𝛾𝛾2′ 𝐻𝐻2 𝐾𝐾𝑎𝑎 2 = (20 − 9,8)(4)0,26 = 10,61 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

1 1 𝑃𝑃5 = 𝛾𝛾2′ 𝐾𝐾𝑎𝑎 2 (H2 )2 = (20 − 9,8)(0,35)(4)2 = 21,22 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2

Figura 6.14. Diagrama de esfuerzos en el muro de contención.

Paso 6. Calculo de la fuerza total activa.

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2 + 𝑃𝑃3 + 𝑃𝑃4 + 𝑃𝑃5 = 61,78 + 52 + 39,25 + 66,08 + 21,22 = 240,33 𝑘𝑘𝑘𝑘 417

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Paso 7. Calculo de la localización del centro de presión medido desde el fondo del muro. 𝑧𝑧̅ = 𝑧𝑧̅ =

𝑃𝑃1 �4 +

3,53 4 3,53 4 4 � + 𝑃𝑃2 � � + 𝑃𝑃3 �4 + � + 𝑃𝑃4 � � + 𝑃𝑃5 � � 2 2 3 2 3 𝑃𝑃𝑎𝑎

61,78 �4 +

𝑧𝑧̅ = 3,43 𝑚𝑚

4 3,53 4 4 3,53 � + 52 � � + 39,25 �4 + � + 66,08 � � + 21,22 � � 2 3 2 3 2 240,33

Paso 8. Calculo del esfuerzo debido a la presión de poros. En 𝑧𝑧 = 0 𝑚𝑚, 𝑢𝑢 = 0

En 𝑧𝑧 = 3,53 𝑚𝑚, 𝑢𝑢 = 0

En 𝑧𝑧 = 7,53 𝑚𝑚, 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 = 9,8(4) = 39,2 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 1 1 𝑈𝑈 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻22 = (9,8)(4)2 = 78,4 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2

Paso 9. Calculo de la fuerza de levante mediante redes de flujo, Fig 6.15.

𝑁𝑁𝑑𝑑 = 6

Figura 6.15. Redes de flujo en el muro de contención.

𝑁𝑁𝑓𝑓 = 3

Para el punto A: 𝑛𝑛d A = 2

∆ℎ𝐴𝐴 =

∆𝐻𝐻 3 𝑛𝑛d A = (2) = 1 𝑁𝑁𝑑𝑑 6

ℎ𝑝𝑝 𝐴𝐴 = 9 − 5 − 1 = 3

418

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

𝑢𝑢𝐴𝐴 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 ℎ𝑝𝑝 𝐴𝐴 = 9,8(3) = 29,4 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 Para el punto B: 𝑛𝑛d B = 5

∆ℎ𝐵𝐵 =

∆𝐻𝐻 3 𝑛𝑛 = (5) = 2,5 𝑁𝑁𝑑𝑑 d B 6

ℎ𝑝𝑝 𝐵𝐵 = 9 − 5 − 2,5 = 1,5

𝑢𝑢𝐵𝐵 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 ℎ𝑝𝑝 𝐵𝐵 = 9,8(1,5) = 14,7 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

Figura 6.16. Fuerzas de levante debido a la presión de poros.

𝐹𝐹1 = 𝑢𝑢𝐵𝐵 5 = 14,7(5) = 75,5 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 1 𝐹𝐹2 = (𝑢𝑢𝐴𝐴 − 𝑢𝑢𝐵𝐵 )5 = (29,4 − 14,7)(5) = 36,75 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2

La fuerza de levante es:

𝐹𝐹 = 𝐹𝐹1 + 𝐹𝐹2 = 75,5 + 36,75 = 110,25 𝑘𝑘𝑘𝑘

La localización de la fuerza de levante medido desde el punto B del muro es: 5 5 𝐹𝐹1 � � + 𝐹𝐹2 �5 − � 2 3 𝑥𝑥̅ = 𝐹𝐹 5 5 73,5 � � + 36,75 �5 − � 3 2 𝑥𝑥̅ = 110,25 𝑥𝑥̅ = 2,78 𝑚𝑚

El esquema de todas las fuerzas en el muro de contención se muestra en la figura 6.17.

419

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Figura 6.17. Fuerzas en el muro de contención calculada por el método de Rankine.

Ejemplo 6.3

Para el muro de contención mostrado en la figura 6.18, se pide calcular las fuerzas actuantes mediante el método de Coulomb.

Figura 6.18. Muro de contención soportando un relleno inclinado y una sobrecarga.

Paso 1. Calculamos los ángulos θ y β:

420

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

tan 𝜃𝜃 =

1,5 6

𝜃𝜃 = 14,04°

90 − 𝜃𝜃 = 90 − 14,04 = 75,96°

Paso 2. Calculo del coeficiente de presión activa según Coulomb. cos 2 (𝜙𝜙 − 𝜃𝜃) 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 2 sin(𝛿𝛿 + 𝜙𝜙) sin(𝜙𝜙 − 𝛼𝛼) 2 � cos 𝜃𝜃 cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) �1 + � cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) cos(𝜃𝜃 − 𝛼𝛼) 𝐾𝐾𝑎𝑎 =

cos 2 (15,96)

cos 2 (14,04) cos(34,04) �1

𝐾𝐾𝑎𝑎 = 0,485

+�

2

sin(50) sin(20) � cos(34,04) cos(4,04)

Paso 4. Calcularemos un peso específico equivalente tomando en cuenta la sobrecarga. sin(90 − 𝜃𝜃) 2𝑞𝑞 sin(75,96) 2 × 50 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝛾𝛾 + � � � � cos 𝛼𝛼 = 18 + � �� � cos(10) = 31,68 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 sin(90 − 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼) 𝐻𝐻 sin(85,96) 7

Paso 5. Calculo del empuje activo. 1

1

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝐻𝐻 2 = (31,68)(0,485)(7)2 = 376,44 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 2

Ejemplo 6.4

2

Figura 6.19. Presión activa calculada por el método de Coulomb.

Para el muro de contención mostrado en la figura 6.20, se pide calcular las fuerzas actuantes mediante el método de Coulomb. Solución:

Paso 1. Calculo de θ y β. El muro es el mismo del ejemplo 6.3 por lo tanto los ángulos θ y β son: 421

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝜃𝜃 = 14,04° y 90 − 𝜃𝜃 = 75,96°

Figura 6.20. Muro de contención soportando un relleno inclinado y una sobrecarga.

Paso 2. Calculo de los coeficientes de presión activa según Coulomb. cos 2 (𝜙𝜙 − 𝜃𝜃) 𝐾𝐾𝑎𝑎 1 = 2 sin(𝛿𝛿 + 𝜙𝜙) sin(𝜙𝜙 − 𝛼𝛼) cos 2 𝜃𝜃 cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) �1 + � � cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) cos(𝜃𝜃 − 𝛼𝛼) 𝐾𝐾𝑎𝑎 1 =

𝐾𝐾𝑎𝑎 2 =

cos 2 (15,96)

2

= 0,485

cos 2 (21,96)

2

= 0,404

sin(50) sin(20) cos 2 (14,04) cos(34,04) �1 + � � cos(34,04) cos(4,04) sin(60) sin(26) cos 2 (14,04) cos(38,04) �1 + � � cos(38,04) cos(4,04)

Paso 3. Calculo del peso específico equivalente para el estrato 1. sin(90 − 𝜃𝜃) 2𝑞𝑞 sin(75,96) 2 × 50 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 1 = 𝛾𝛾1 + � � � � cos 𝛼𝛼 = 18 + � �� � cos(10) = 49,93 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 sin(90 − 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼) 𝐻𝐻1 sin(85,96) 3

Paso 4. Calculo del empuje activo para el estrato 1. 1 1 𝑃𝑃𝑎𝑎 1 = 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 1 𝐾𝐾𝑎𝑎 1 𝐻𝐻1 2 = (49,93)(0,485)(3)2 = 108,96 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 2 2

Paso 5. Calculo del peso específico equivalente para el estrato 2. sin 𝛽𝛽 2�𝑞𝑞 + (3𝛾𝛾1 )� 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 2 = 𝛾𝛾2′ + � �� � cos 𝛼𝛼 𝐻𝐻2 sin(𝛽𝛽 + 𝛼𝛼)

𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 2 = (20 − 9,8) + �

sin(75,96) 2�50 + (3 × 18)� �� � cos(10) = 60,01 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 sin(85,96) 4

Paso 6. Calculo del empuje activo para el estrato 2.

422

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

1 1 𝑃𝑃𝑎𝑎 2 = 𝛾𝛾𝑒𝑒𝑒𝑒 2 𝐾𝐾𝑎𝑎 1 𝐻𝐻2 2 = (60,1)(0,404)(4)2 = 193,93 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 2 2

Figura 6.21. Presión activa calculada por el método de Coulomb.

Paso 7. Calculo del empuje de la presión de poros. 1

𝑈𝑈 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝑙𝑙 2 , donde: 𝑙𝑙 = 𝑈𝑈 =

2

4

cos 𝜃𝜃

= 4,123

1 (9,8)(4,123)2 = 86,3 𝑘𝑘𝑘𝑘 2

Paso 8. Fuerza de levante. (Véase ejemplo 6.2, figura 6.15) En la figura 6.22 se muestra el diagrama de fuerzas.

Figura 6.22. Fuerzas existentes en el muro de contención según el método de Coulomb.

423

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6.5 Diseño de muros de contención En el diseño de muros de contención se consideran diferentes modos posibles de falla, debiendo los cálculos realizados proporcionar una adecuada seguridad contra estos tipos de fallas.

Cuando se verifica la estabilidad externa de un muro, el muro es considerado como un monolito rígido

donde se asume que no existe distorsión interna.

Para la verificación de la estabilidad externa de los tres primeros tipos de muros del apartado 6.1, que

son muros que dependen esencialmente de su propio peso, se deben realizar las siguientes verificaciones: −

− − − −

Verificación al volteo respecto a la punta del muro. Verificación al deslizamiento a lo largo de la base.

Verificación a la falla por capacidad de carga de la base.

Verificación por asentamiento.

Verificación por estabilidad del conjunto.

6.5.1 Verificación al volteo respecto a la punta del muro Para realizar la verificación al volteo se considera un caso general, que toma en cuenta particularmente la existencia de flujo de agua, Fig. 6.23. Cuando se presenta esta condición, la carga de presión en un cierto punto es determinada a partir del análisis de flujo. Tal análisis debe considerar el tipo de fundación, el

material de relleno, el posible rango de permeabilidades horizontales y verticales, así como también la eficiencia de los drenajes.

Existen varias técnicas aplicables al diseño de muros, entre las cuales se tiene la aplicación de métodos

numéricos tal como el método de elementos finitos y el método de fragmentos. Por simplicidad, cuando se

presente esta condición, la fuerza de levante o empuje producida por el flujo en la base del muro es calculada mediante el procedimiento aprendido en cursos anteriores.

Figura 6.23. Muro de contención con presencia de flujo.

424

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

Entonces, para el caso específico de la figura 6.23, la fuerza de levante F es calculada como el promedio de

las presiones en los puntos A, B, C y D. El punto de aplicación es el centro de gravedad del diagrama de presiones.

Luego, las figuras 6.24 y 6.25 presentan las fuerzas que actúan en un muro de gravedad y en un muro tipo

ménsula cuando se asumen las hipótesis de Rankine y Coulomb respectivamente.

(a)

(b)

Figura 6.24. Verificación al volteo: Fuerzas que actúan en un muro para la teoría de Rankine (a) Muro tipo gravedad (b) Muro tipo ménsula.

(a)

(b)

Figura 6.25. Verificación al volteo: Fuerzas que actúan en un muro para la teoría de Coulomb (a) Muro tipo gravedad (b) Muro tipo ménsula.

425

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

El factor de seguridad FS contra el volteo respecto al punto C, y despreciando la fuerza pasiva, es

determinado a partir de la siguiente ecuación: ∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ) = ≥ (1,5 𝑎𝑎 2,0) ∑ 𝑀𝑀𝐴𝐴

(Ec.6.2)

Donde:

∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 = Sumatoria de los momentos de las fuerzas que tienden a resistir el volteo en el punto C.

∑ 𝑀𝑀𝐴𝐴 = Sumatoria de los momentos de las fuerzas que tienden a voltear el muro respecto a C.

La sumatoria de momentos resistentes ∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 , para el caso de un muro tipo gravedad en el que la presión

activa es calculada a través de la teoría de Rankine, es determinada a partir de la tabla 6.1. Para los demás casos, la sumatoria de momentos resistentes es calculada de manera análoga, a partir de las figuras 6.24 y 6.25.

La forma más sencilla para la determinación de 𝑊𝑊𝑖𝑖 consiste en dividir el muro y el suelo que se encuentra

sobre el talón, cuando se toma la hipótesis de Rankine, en triángulos y rectángulos, facilitándose así el cálculo

de las áreas y la determinación del respectivo brazo de las fuerzas calculadas. Recordar que para un área rectangular el punto de aplicación de la fuerza se halla ubicado a 1⁄2 de la altura; mientras que para un área triangular este se encuentra a 1⁄3 de la base.

Tabla 6.1.Determinación de la sumatoria de momentos resistentes ∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 para un muro de gravedad, asumiendo que la teoría de Rankine es válida.

Sección

Área

Peso/longitud unitaria del muro

Brazo de momento medido a partir de C.

Momento respecto a C.

1 2 3 4 5 6

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6

𝑊𝑊1 = 𝛾𝛾1 × 𝐴𝐴1 𝑊𝑊2 = 𝛾𝛾1 × 𝐴𝐴2 𝑊𝑊3 = 𝛾𝛾𝑐𝑐 × 𝐴𝐴3 𝑊𝑊4 = 𝛾𝛾𝑐𝑐 × 𝐴𝐴4 𝑊𝑊5 = 𝛾𝛾𝑐𝑐 × 𝐴𝐴5 𝑊𝑊6 = 𝛾𝛾𝑐𝑐 × 𝐴𝐴6 𝑃𝑃𝑣𝑣

𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 𝑋𝑋3 𝑋𝑋4 𝑋𝑋5 𝑋𝑋6 B

𝑀𝑀1 𝑀𝑀2 𝑀𝑀3 𝑀𝑀4 𝑀𝑀5 𝑀𝑀6 𝑀𝑀𝑣𝑣

𝛾𝛾1 = Peso específico del relleno. 𝛾𝛾𝑐𝑐 = Peso específico del concreto.

� 𝑉𝑉

� 𝑀𝑀𝑅𝑅

𝐵𝐵 = Ancho de la fundación 𝑋𝑋𝑖𝑖 = Brazos de los momentos medidos a partir de C.

Nota. 𝑃𝑃𝑣𝑣 es la componente vertical de 𝑃𝑃𝑎𝑎 , siendo 𝑃𝑃𝑎𝑎 la fuerza activa total, es decir: 𝑃𝑃𝑎𝑎 = 𝑃𝑃𝑎𝑎′ + 𝑢𝑢.

Para la determinación del momento de volteo o momento actuante ∑ 𝑀𝑀𝐴𝐴 , deben considerarse todas las

fuerzas que tienden a volcar al muro. Para este caso en especial, se tiene, a la componente horizontal de la fuerza activa total 𝑃𝑃ℎ y a la fuerza de levante F ocasionada por el flujo de agua. De la misma manera que para

el cálculo de la ∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 aquí debe recordarse, que la fuerza total de empuje activa 𝑃𝑃𝑎𝑎 es igual a la fuerza de

empuje efectiva más la presión de poros, 𝑃𝑃𝑎𝑎 = 𝑃𝑃𝑎𝑎′ + 𝑢𝑢 Luego, la ∑ 𝑀𝑀𝐴𝐴 es igual a: � 𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑃𝑃ℎ 𝑌𝑌ℎ + 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑓𝑓 Donde:

(Ec.6.3)

𝑌𝑌ℎ , 𝑋𝑋𝑓𝑓 = Brazos de momentos de las fuerzas 𝑃𝑃ℎ y F, respectivamente, medidos a partir del punto C. 426

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

A través del tiempo se ha observado los modos de falla en un gran número de muros, en los cuales la falla

por volteo es la que se presenta con menos frecuencia. Finalmente, se puede decir que cuando se realiza la

verificación por volteo, el despreciar la fuerza pasiva hace más conservador el diseño, ya que el tomarla en cuenta incrementa el factor de seguridad.

Ejemplo 6.5

Realizar la verificación al volteo respecto de la punta del muro para el ejemplo 6.1.

Solución:

Figura 6.26. Áreas para calcular momentos resistentes en el muro del ejemplo 6.1.

refiérase a la figura 6.26.

Paso 1. Momentos resistentes respecto de O.

Tabla 6.2. ∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 Para el un muro de gravedad del ejemplo 6.5.

Sección

Área (m2)

Peso unitario (kN/m3)

Peso (kN)

Brazo (m)

Momento (kN.m)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) P=3×q 𝑃𝑃𝑎𝑎 𝑣𝑣

5 6 4,5 4,5 9 0,795

24 24 24 18 18 18

120 144 108 81 162 14,31 150 53,9

2,5 1,5 2,5 3 4,25 4 3,5 5

300 216 270 243 688,5 57,24 525 269,5

� 𝑉𝑉 =

Paso 2. Momentos actuantes respecto de O.

833,21

� 𝑀𝑀𝑅𝑅 =

2569,24

427

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 310,39 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑧𝑧̅ = 3,04 𝑚𝑚

𝑃𝑃𝑎𝑎 ℎ = 𝑃𝑃𝑎𝑎 cos 𝛼𝛼 = 310,39(cos 10°) = 305,67 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃𝑎𝑎 𝑣𝑣 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 sen 𝛼𝛼 = 310,39(sen 10°) = 53,90 𝑘𝑘𝑘𝑘

� 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 ℎ × 𝑧𝑧̅ = 305,67(3,04) = 929,24 Paso 3. Factor de seguridad. 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 =

∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 2569,24 = ∑ 𝑀𝑀𝐴𝐴 929,24

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕

Ejemplo 6.6

Realizar la verificación al volteo respecto de la punta del muro para el ejemplo 6.2.

Solución:

Figura 6.27. Áreas para calcular momentos resistentes en el muro del ejemplo 6.2.

refiérase a la figura 6.27.

Paso 1. Momentos actuantes respecto de O. 𝑃𝑃𝑎𝑎 = 240,33 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑧𝑧̅ = 3,43 𝑚𝑚

𝑃𝑃𝑎𝑎 ℎ = 𝑃𝑃𝑎𝑎 cos 𝛼𝛼 = 240,33(cos 10°) = 236,68 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃𝑎𝑎 𝑣𝑣 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 sen 𝛼𝛼 = 240,33(sen 10°) = 41,73 𝑘𝑘𝑘𝑘

428

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

𝑈𝑈 = 78,4 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝐹𝐹 = 110,25 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥̅ = 2,78 𝑚𝑚

4 � 𝑀𝑀𝑂𝑂 = (𝑃𝑃𝑎𝑎 ℎ × 𝑧𝑧̅) + �𝑈𝑈 × � + (𝐹𝐹 × 𝑥𝑥̅ ) 3 4 � 𝑀𝑀𝑂𝑂 = (236,68 × 3,43) + �78,4 × � + (110,25 × 2,78) 3 � 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 1222,81

Paso2. Momentos resistentes respecto de O.

Tabla 6.3. ∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 para el un muro de gravedad del ejemplo 6.6.

Sección

Área (m2)

Peso unitario (kN/m3)

Peso (kN)

Brazo (m)

Momento (kN.m)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) P=3×q 𝑃𝑃𝑎𝑎 𝑣𝑣

5 6 4,5 1,125 0,795 6,75 1,125 4,5

24 24 24 18 18 18 20 20

120 144 108 20,25 14,31 121,5 22,5 90 150 53,9

2,5 1,5 2,5 2,5 4 3,875 3,25 4,25 3,5 5

300 216 270 50,625 57,24 470,81 73,125 382,5 525 208,65

� 𝑉𝑉 =

Paso 3. Factor de seguridad.

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 =

832,29

� 𝑀𝑀𝑅𝑅 =

2553,95

∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 2553,95 = = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∑ 𝑀𝑀𝐴𝐴 1222,81

Ejemplo 6.7

Realizar la verificación al volteo respecto de la punta del muro para el ejemplo 6.3. Solución:

refiérase a la figura 6.28.

Paso 1. Momentos resistentes respecto de O.

Tabla 6.4. ∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 para el un muro de gravedad del ejemplo 6.7.

Sección

Área (m2)

Peso unitario (kN/m3)

Peso (kN)

Brazo (m)

Momento (kN.m)

(1) (2) (3) 𝑃𝑃𝑎𝑎 𝑣𝑣

5 6 4,5

24 24 24

120 144 108 210,72

2,5 1,5 2,5 3,168

300 216 270 667,56

� 𝑉𝑉 =

Paso 2. Momentos actuantes respecto de O:

582,72

� 𝑀𝑀𝑅𝑅 =

1453,56

429

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 376,44 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑧𝑧̅ = 2,66 𝑚𝑚

𝑃𝑃𝑎𝑎 ℎ = 𝑃𝑃𝑎𝑎 cos(𝜃𝜃 + 𝛿𝛿) = 376,44(cos 34,04°) = 311,936 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑃𝑃𝑎𝑎 𝑣𝑣 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 sen(𝜃𝜃 + 𝛿𝛿) = 376,44(sen 34,04°) = 210,72 𝑘𝑘𝑘𝑘

Figura 6.28. Áreas para calcular momentos resistentes en el muro del ejemplo 6.3.

� 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 ℎ × 𝑧𝑧̅ = 311,94(2,66) = 727,85

Paso 3. Factor de seguridad.

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 =

∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 1453,56 = ∑ 𝑀𝑀𝑂𝑂 727,85

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟗𝟗𝟗

Ejemplo 6.8

Realizar la verificación al volteo respecto de la punta del muro para el ejemplo 6.4. Solución:

refiérase a la figura 6.29.

Paso 1. Momentos actuantes respecto de O. 𝑃𝑃𝑎𝑎 1 = 108,96 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑧𝑧̅1 = 5 𝑚𝑚

𝑃𝑃𝑎𝑎 1ℎ = 𝑃𝑃𝑎𝑎 1 cos(𝜃𝜃 + 𝛿𝛿1 ) = 108,96(cos 34,04°) = 90,29 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑃𝑃𝑎𝑎 1𝑣𝑣 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 1 sen(𝜃𝜃 + 𝛿𝛿1 ) = 108,96(sen 34,04°) = 60,99 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃𝑎𝑎 2 = 193,93 𝑘𝑘𝑘𝑘

430

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

𝑧𝑧̅2 = 1,33 𝑚𝑚

𝑃𝑃𝑎𝑎 2ℎ = 𝑃𝑃𝑎𝑎 2 cos(𝜃𝜃 + 𝛿𝛿2 ) = 193,93(cos 38,04°) = 152,74 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑃𝑃𝑎𝑎 2𝑣𝑣 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 2 sen(𝜃𝜃 + 𝛿𝛿2 ) = 193,93(sen 38,04°) = 119,50 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑈𝑈 = 83,3 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑈𝑈ℎ = 𝑈𝑈 cos 𝜃𝜃 = 83,3 cos 14,04 = 80,81 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑈𝑈𝑣𝑣 = 𝑈𝑈 sen 𝜃𝜃 = 83,3 sen 14,04 = 20,21 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐹𝐹 = 110,25 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥̅ = 2,78

4 � 𝑀𝑀𝑂𝑂 = (𝑃𝑃𝑎𝑎 1ℎ × 𝑧𝑧̅1 ) + �𝑃𝑃𝑎𝑎 2ℎ × 𝑧𝑧̅2 � + �𝑈𝑈ℎ × � + (𝐹𝐹 × 𝑥𝑥̅ ) 3 4 4 � 𝑀𝑀𝑂𝑂 = (90,29 × 5) + �152,74 × � + �80,81 × � + (110,25 × 2,78) 3 3 ∑ 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 1069,26

Figura 6.29. Áreas para calcular momentos resistentes en el muro del ejemplo 6.4.

Paso2. Momentos resistentes respecto de O.

Tabla 6.5. ∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 para el un muro de gravedad del ejemplo 6.8.

Sección

Área (m2)

Peso unitario (kN/m3)

Peso/Fuerza (kN)

Brazo (m)

Momento (kN.m)

(1) (2) (3) 𝑃𝑃𝑎𝑎 1𝑣𝑣

5 6 4,5

24 24 24

120 144 108 60,99

2,5 1,5 2,5 2,5

300 216 270 152,475

20,21

3,417

69,06

𝑃𝑃𝑎𝑎 2𝑣𝑣 𝑈𝑈𝑣𝑣

119,5 � 𝑉𝑉 =

572,7

3,417

408,33 � 𝑀𝑀𝑅𝑅 =

1415,86

431

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Paso 3. Factor de seguridad.

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 =

∑ 𝑀𝑀𝑅𝑅 1415,86 = ∑ 𝑀𝑀𝑂𝑂 1069,26

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑

6.5.2 Verificación al deslizamiento a lo largo de la base El factor de seguridad contra deslizamiento es definido como la razón entre la suma de las fuerzas resistentes horizontales y la suma de las fuerzas horizontales de empuje, como se indica en la siguiente expresión:

𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 Donde:

)

=

∑ F𝑅𝑅 ≥ 1,5 ∑ F𝑂𝑂

(Ec.6.4)

∑ 𝐹𝐹𝑅𝑅 = Sumatoria de fuerzas resistentes. ∑ 𝐹𝐹𝑂𝑂 = Sumatoria de fuerzas de empuje.

La fuerza resistente es la fuerza producida por la resistencia al cortante del suelo, desarrollada

inmediatamente debajo de la base del muro. Esta resistencia está definida por la siguiente expresión: 𝜏𝜏 = 𝜎𝜎 ′ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛿𝛿 + 𝑐𝑐 Donde:

(Ec. 6.5)

𝛿𝛿 = Ángulo de fricción entre el suelo y la losa de base. 𝑐𝑐 = Adhesión entre el suelo y la losa de base.

El ángulo 𝛿𝛿 puede ser tomado como 𝜙𝜙 cuando el hormigón es pobre comparado con el suelo, para los

demás casos 𝛿𝛿 es tomado de acuerdo a la tabla 5.8 presentada en el capítulo 5.

Por otra parte, la adhesión entre el suelo y el muro es determinada aplicando un factor de 0,6 a 0,8 a la

cohesión del suelo de fundación.

Luego, la fuerza resistente a lo largo de la losa de base es: 𝑅𝑅 = 𝜏𝜏 × 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝜏𝜏 × 𝐵𝐵 × 1

(Ec.6.6)

𝑅𝑅 = 𝐵𝐵𝜎𝜎 ′ tan 𝛿𝛿 + 𝐵𝐵𝐵𝐵

(Ec.6.7)

Reemplazando (6.5) en (6.6) Pero:

𝐵𝐵𝜎𝜎 ′ = 𝐵𝐵(𝜎𝜎 − 𝑢𝑢) y 𝜎𝜎 = ∑ 𝑉𝑉 ⁄𝐵𝐵 × 1. Luego, la ecuación (6.7) se convierte en: 𝑅𝑅 = 𝐵𝐵 �

∑ 𝑉𝑉

𝐵𝐵 × 1

− 𝑢𝑢� tan 𝛿𝛿 + 𝐵𝐵𝐵𝐵

(Ec.6.8)

El valor de la presión de poros en la ecuación (6.8) es igual al valor de la presión de poros que se produce

en la base del muro. Para el caso particular de la figura 6.23 es igual al valor de la presión de poros originado debido a la fuerza de levante F.

En la figura 6.30 se observa que la fuerza pasiva 𝑃𝑃𝑝𝑝 es también una fuerza resistente, luego, para ∑ 𝐹𝐹𝑅𝑅 se

tiene:

432

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

� 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 𝐵𝐵 �

∑ 𝑉𝑉 − 𝑢𝑢� tan 𝛿𝛿 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑃𝑃𝑝𝑝 𝐵𝐵 × 1

(Ec.6.9)

La componente horizontal de la fuerza activa total 𝑃𝑃ℎ es la única fuerza que tiende a producir el

deslizamiento y es definida por la siguiente ecuación: � 𝐹𝐹𝑜𝑜 = 𝑃𝑃ℎ = 𝑃𝑃𝑎𝑎 cos 𝛼𝛼

(Ec.6.10)

Para una verificación más conservadora se suele a veces despreciar la fuerza pasiva o la componente

vertical de la fuerza activa. Se aconseja tomar en cuenta la fuerza pasiva cuando el suelo base se halla en estrecho contacto con el pie del muro, por otro lado se debe tomar en cuenta, que en ocasiones, no se debe considerar para el cálculo de la fuerza pasiva toda la profundidad debido a que esta puede estar sujeta a fenómenos de erosión, sobre todo cuando se trabaja en carreteras.

Figura 6.30. Verificación al deslizamiento a lo largo de la base.

Cuando el factor de seguridad obtenido es menor al recomendado en la ecuación (6.4), la resistencia

puede incrementarse usando un dentellón o disminuyendo la fuerza activa.

El usar un dentellón como el mostrado en la figura 5.30 implica un aumento de la fuerza pasiva, ya que

aumenta la altura de cálculo de ésta.

Entonces, la fuerza pasiva considerando el dentellón es: 1 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝛾𝛾𝐷𝐷12 𝐾𝐾𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐𝐷𝐷1 �𝐾𝐾𝑝𝑝 2

(Ec.6.11)

Como 𝐷𝐷1 > 𝐷𝐷, evidentemente, se incrementa la fuerza pasiva. Este dentellón es usualmente construido

debajo del cuerpo del muro.

Para disminuir la fuerza activa se usa el método desarrollado por Elman y Ferry (1988) que tiene como

principal limitación la de ser válido sólo para muros con relleno granular horizontal.

A partir de la figura 6.31 (a), al ser el relleno horizontal no existe componente vertical de la fuerza activa;

luego se puede definir la fuerza horizontal como la suma de las fuerzas correspondientes al tallo y al talón:

433

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑃𝑃𝑎𝑎 = 𝑃𝑃𝑎𝑎(1) + 𝑃𝑃𝑎𝑎 (2)

(Ec.6.12)

Para disminuir la magnitud de 𝑃𝑃𝑎𝑎 se puede reducir la magnitud de 𝑃𝑃𝑎𝑎 (2) reduciendo el talón del muro,

como se muestra en la figura 6.31 (b). Esta reducción es válida para un ángulo de 𝛼𝛼 ′ = 45°. Luego:

𝑃𝑃𝑎𝑎 (2)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐴𝐴𝑃𝑃𝑎𝑎(2)

(Ec.6.13)

(a)

(b)

Figura 6.31. Muro de contención con talón inclinado (Das, 1999).

El valor de A es obtenido a partir de la figura 6.32.

Figura 6.32. Variación de A con el ángulo de fricción del relleno (Elman y Ferry, 1988).

𝑃𝑃𝑎𝑎 (1) Se define a partir de la siguiente expresión: 1 𝑃𝑃𝑎𝑎 (1) = 𝛾𝛾𝐾𝐾𝑎𝑎 (𝐻𝐻 ′ − 𝐷𝐷′ )2 2 Para cuando el talón no tiene reducción:

(Ec.6.14)

434

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

𝑃𝑃𝑎𝑎 =

1 𝛾𝛾𝐾𝐾 𝐻𝐻′2 2 𝑎𝑎

Reemplazando (6.14) y (6.15) en (6.12). 1 𝑃𝑃𝑎𝑎 (2) = 𝛾𝛾𝐾𝐾𝑎𝑎 [𝐻𝐻′2 − (𝐻𝐻 ′ − 𝐷𝐷′ )2 ] 2

Finalmente, 𝑃𝑃𝑎𝑎 para el talón con reducción es: 1 1 𝑃𝑃𝑎𝑎 = 𝛾𝛾𝐾𝐾𝑎𝑎 (𝐻𝐻 ′ − 𝐷𝐷′ )2 + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐾𝐾𝑎𝑎 [𝐻𝐻′2 − (𝐻𝐻 ′ − 𝐷𝐷′ )2 ] 2 2

De esta manera se logra disminuir el valor de la presión activa.

(Ec.6.15)

(Ec.6.16)

Ejemplo 6.9

Realizar la verificación al deslizamiento a lo largo de la base del muro para el ejemplo 6.1. Solución:

Paso 1. Fuerzas resistentes. ∑ 𝑉𝑉 833,21 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝐵𝐵 � − 𝑢𝑢� tan 𝛿𝛿 = 5 � − 0� tan 22 𝐵𝐵 × 1 5×1 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 336,64 𝑘𝑘𝑘𝑘

Calculamos la fuerza debido a la presión pasiva.

𝐾𝐾𝑝𝑝 = tan2 (45 + 𝜙𝜙′/2) = tan2 (45 + 32′/2) = 3,254 1 1 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾ℎ2 = (3,254)(20)(1)2 = 32,54 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2

� 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 𝐹𝐹𝑟𝑟 + 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 336,64 + 32,54

� 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 369,18 𝑘𝑘𝑘𝑘

Paso 2. Fuerzas actuantes.

� 𝐹𝐹𝑂𝑂 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 ℎ = 305,67 𝑘𝑘𝑘𝑘

Paso 3. Factor de seguridad.

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 =

∑ 𝐹𝐹𝑅𝑅 369,18 = ∑ 𝐹𝐹𝑂𝑂 305,67

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐

Ejemplo 6.10

Realizar la verificación al deslizamiento a lo largo de la base del muro para el ejemplo 6.2. Solución:

Paso 1. Fuerzas resistentes. ∑ 𝑉𝑉 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝐵𝐵 � − 𝑢𝑢� tan 𝛿𝛿 𝐵𝐵 × 1 𝐹𝐹 110,25 𝑢𝑢 = = = 22,05 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 𝐵𝐵 × 1 5×1

435

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

832,29 − 22,05� tan 22 5×1

𝐹𝐹𝑟𝑟 = 5 �

𝐹𝐹𝑟𝑟 = 291,72𝑘𝑘𝑘𝑘

Calculamos la fuerza debido a la presión pasiva.

𝐾𝐾𝑝𝑝 = tan2 (45 + 𝜙𝜙′/2) = tan2 (45 + 𝜙𝜙′/2) = 3,254

1 1 1 1 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾 ′ (ℎ)2 + 𝛾𝛾𝑤𝑤 (ℎ)2 = (3,254)(20 − 9,8)(1)2 + (9,8)(1)2 = 21,5 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2 2 2

� 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 𝐹𝐹𝑟𝑟 + 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 291,72 + 21,50

� 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 313,22 𝑘𝑘𝑘𝑘

Paso 2. Fuerzas actuantes.

� 𝐹𝐹𝑂𝑂 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 ℎ + 𝑈𝑈 = 236,68 + 78,4 = 315,08 𝑘𝑘𝑘𝑘

Paso 3. Factor de seguridad.

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 =

∑ 𝐹𝐹𝑅𝑅 313,22 = ∑ 𝐹𝐹𝑂𝑂 315,08

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗

Ejemplo 6.11

Realizar la verificación al deslizamiento a lo largo de la base del muro para el ejemplo 6.3. Solución:

Paso1. Fuerzas resistentes. ∑ 𝑉𝑉 582,72 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝐵𝐵 � − 𝑢𝑢� tan 𝛿𝛿 = 5 � − 0� tan 22 𝐵𝐵 × 1 5×1 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 235,43 𝑘𝑘𝑘𝑘

Calculamos la fuerza debido a la presión pasiva. cos 2 (𝜙𝜙 − 𝜃𝜃) 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 2 sin(𝛿𝛿 + 𝜙𝜙) sin(𝜙𝜙 − 𝛼𝛼) cos 2 𝜃𝜃 cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) �1 − � � cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) cos(𝜃𝜃 − 𝛼𝛼) 𝐾𝐾𝑝𝑝 =

cos 2

cos 2 (32)

2

sin(10) sin(32) 0 cos(22) �1 − � � cos(22) cos(0)

= 1,65

1 1 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾ℎ2 = (1,65)(20)(1)2 = 16,53 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2

� 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 𝐹𝐹𝑟𝑟 + 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 235,43 + 16,53

� 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 251,96 𝑘𝑘𝑘𝑘

436

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

Paso2. Fuerzas actuantes.

� 𝐹𝐹𝑂𝑂 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 ℎ = 311,94 𝑘𝑘𝑘𝑘

Paso 3. Factor de seguridad.

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 =

∑ 𝐹𝐹𝑅𝑅 235,43 = = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∑ 𝐹𝐹𝑂𝑂 311,94

Ejemplo 6.12

Realizar la verificación al deslizamiento a lo largo de la base del muro para el ejemplo 6.4. Solución:

Paso 1. Fuerzas resistentes. ∑ 𝑉𝑉 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝐵𝐵 � − 𝑢𝑢� tan 𝛿𝛿 𝐵𝐵 × 1 𝐹𝐹 110,25 𝑢𝑢 = = = 22,05 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 𝐵𝐵 × 1 5×1 572,7 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 5 � − 22,05� tan 22 5×1 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 186,84 𝑘𝑘𝑘𝑘

Calculamos la fuerza debido a la presión pasiva. 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 =

cos 2 (𝜙𝜙 − 𝜃𝜃)

2

sin(𝛿𝛿 + 𝜙𝜙) sin(𝜙𝜙 − 𝛼𝛼) cos 2 𝜃𝜃 cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) �1 − � � cos(𝛿𝛿 + 𝜃𝜃) cos(𝜃𝜃 − 𝛼𝛼) cos 2

cos 2 (32)

2

sin(10) sin(32) 0 cos(22) �1 − � � cos(22) cos(0)

= 1,65

1 1 1 1 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝛾𝛾 ′ (ℎ)2 + 𝛾𝛾𝑤𝑤 (ℎ)2 = (1,65)(20 − 9,8)(1)2 + (9,8)(1)2 = 13,32 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 2 2 2

� 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 𝐹𝐹𝑟𝑟 + 𝑃𝑃𝑝𝑝 = 186,84 + 13,32

� 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 200,16 𝑘𝑘𝑘𝑘

Paso 2. Fuerzas actuantes.

� 𝐹𝐹𝑂𝑂 = 𝑃𝑃𝑎𝑎 1ℎ + 𝑃𝑃𝑎𝑎 1ℎ + 𝑈𝑈ℎ = 90,29 + 152,74 + 80,81 = 323,84 𝑘𝑘𝑘𝑘

Paso 3. Factor de seguridad.

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 =

∑ 𝐹𝐹𝑅𝑅 200,16 = ∑ 𝐹𝐹𝑂𝑂 323,84

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔

437

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

6.5.3 Verificación a la falla por capacidad de apoyo de la base El incremento de la presión vertical causado por el emplazamiento del muro, es transmitido al suelo a través de la losa de base. Este incremento de esfuerzos puede ocasionar la falla del suelo por capacidad de apoyo.

La distribución de la presión del terreno debajo de la losa de base puede ser trapezoidal o triangular, Fig.

6.33, ocurriendo generalmente la presión máxima debajo del pie del muro. Esta presión máxima no debe exceder la capacidad de apoyo del suelo.

Figura 6.33. Distribución de la presión del terreno debajo de la losa de base de un muro de contención.

La fuerza resultante que actúa sobre la base del muro tiene por componente vertical a la sumatoria de

fuerzas verticales ∑ 𝑉𝑉, siendo su componente horizontal la sumatoria de las fuerzas horizontales ∑ 𝐻𝐻 que para el caso en consideración es igual a la componente horizontal de la fuerza activa total 𝑃𝑃ℎ .

Para los muros observados en las figuras 6.24 y 6.25, el momento neto 𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 calculado a partir del punto

C, Fig. 6.33, es la diferencia entre la sumatoria de los momentos resistentes y la sumatoria de los momentos

actuantes, definidos en la tabla 6.1 y en la ecuación (6.3) respectivamente. 𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = � 𝑀𝑀𝑅𝑅 − � 𝑀𝑀𝑜𝑜

(Ec.6.16)

Luego, si se considera que la línea de acción de ∑ 𝐻𝐻 pasa por el punto C, entonces el 𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 es solamente

causado por ∑ 𝑉𝑉:

𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = � 𝑉𝑉𝑋𝑋�

(Ec.6.17)

Luego, la excentricidad de la resultante R se expresa como: 𝐵𝐵 𝑒𝑒 = − 𝑋𝑋� 2

(Ec.6.18)

Las presiones máxima 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 y mínima 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 son determinadas a partir de la ecuación general de mecánica

de materiales: ∑ 𝑉𝑉 𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑦𝑦 𝑞𝑞 = ± 𝐴𝐴 𝐼𝐼

(Ec.6.19)

Donde:

𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = Momento neto = ∑ 𝑉𝑉𝑉𝑉

𝐴𝐴 = Área de la sección base por unidad de longitud = 𝐵𝐵 × 1

𝐼𝐼 = Momento de inercia por unidad de longitud de la sección base =

1

12

(1)(𝐵𝐵)2 438

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

Reemplazando valores en la ecuación (6.19), y considerando que el valor de y para la determinación de la

presión máxima y mínima del terreno, es igual a 𝐵𝐵/2, se tiene: ∑ 𝑉𝑉

𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =

𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =

𝐵𝐵 × 1 ∑ 𝑉𝑉 𝐵𝐵

∑ 𝑉𝑉 𝐵𝐵

+

𝐵𝐵 2

1 (1)(𝐵𝐵)2 12

�1 + �1 −

∑ 𝑉𝑉𝑉𝑉 ×

6𝑒𝑒 � 𝐵𝐵

6𝑒𝑒 � 𝐵𝐵

𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 y 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 se producen en el pie y en el talón de la base del muro respectivamente.

(Ec.6.20) (Ec.6.21)

Cuando 𝑒𝑒 < (𝐵𝐵/6) la distribución de la presión del terreno es trapezoidal, mientras que cuando

𝑒𝑒 > (𝐵𝐵/6) la distribución de la presión del terreno es triangular, existiendo una fracción de la base en la que se presentan esfuerzos negativos, esfuerzos de tensión, representados por el segmento AB en la figura 6.33.

En el diseño de muros de contención deben evitarse totalmente los esfuerzos de tensión debido a que la

resistencia del suelo a la tensión es prácticamente nula en comparación con su resistencia a la compresión.

Finalmente, la capacidad de apoyo del suelo puede ser determinada a través de la ecuación de Hansen

(1970):

𝑞𝑞𝑢𝑢 = 𝑐𝑐𝑁𝑁𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑐𝑐 + 𝑞𝑞 ∗ ′ 𝑁𝑁𝑞𝑞 𝑠𝑠𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 + 0,5𝛾𝛾𝛾𝛾′𝑁𝑁𝛾𝛾 𝑠𝑠𝛾𝛾 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑖𝑖𝛾𝛾 Donde:

(Ec.6.22)

𝑠𝑠𝑐𝑐 , 𝑠𝑠𝑞𝑞 , 𝑠𝑠𝛾𝛾 = 1, debido a que el muro es considerando como una fundación continúa, ancho finito y largo infinito.

Los factores de profundidad 𝑑𝑑𝑖𝑖 y los factores de inclinación 𝑖𝑖𝑖𝑖 pueden ser obtenidos, según se requiera, a

partir de las ecuaciones dadas en el capítulo 3.

Bowles recomienda tomar el valor de 𝛼𝛼1 = 3 para el factor de inclinación 𝑖𝑖𝑞𝑞 , y adoptar un exponente de

𝛼𝛼 = 2 para 𝑖𝑖𝛾𝛾 . La reducción realizada a estos factores se debe a que la profundidad de fundación del muro, es por lo general, considerable.

La ecuación (6.22) es utilizada para calcular la capacidad de apoyo del suelo situado debajo de una

fundación rectangular, sometida a la aplicación de una carga excéntrica.

Luego, el área efectiva de la base, originada debido a la aplicación de una carga excéntrica, es calculada

adoptando una largo unitario, 𝐿𝐿 = 1 y teniendo cuidado de que y, medido a partir del origen mostrado en la figura 6.33 sea ≤ 𝐵𝐵/3 garantizándose de esta manera que no se presentan esfuerzos de tensión.

Ejemplo 6.13

Realizar la verificación a la falla por capacidad de apoyo de la base del muro para el ejemplo 6.1. Solución:

Paso 1. Carga máxima del muro. 𝐻𝐻 = 305,67 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑉𝑉 = 833,21 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = � 𝑀𝑀𝑅𝑅 − � 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 2569,24 − 929,24 = 1640 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 439

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 1640 = = 1,97 𝑚𝑚 ∑ 𝑉𝑉 833,21 𝐵𝐵 5 𝑒𝑒 = − 𝑥𝑥̅ = − 1,97 = 0,53 𝑚𝑚 2 2 ∑ 𝑉𝑉 6𝑒𝑒 833,21 6(0,53) 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �1 + � = �1 + � = 272,62 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 𝐵𝐵 𝐵𝐵 5 5

𝑥𝑥̅ =

Paso 2. Capacidad de apoyo del suelo a través de la ecuación de Hansen. 𝑞𝑞𝑢𝑢 = 𝑐𝑐𝑁𝑁𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑐𝑐 + 𝑞𝑞 ∗ ′ 𝑁𝑁𝑞𝑞 𝑠𝑠𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 + 0,5𝛾𝛾𝛾𝛾′𝑁𝑁𝛾𝛾 𝑠𝑠𝛾𝛾 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑖𝑖𝛾𝛾

𝑞𝑞𝑢𝑢 = 𝑞𝑞 ∗ ′ 𝑁𝑁𝑞𝑞 𝑠𝑠𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 + 0,5𝛾𝛾𝛾𝛾′𝑁𝑁𝛾𝛾 𝑠𝑠𝛾𝛾 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑖𝑖𝛾𝛾

𝑞𝑞 ∗ ′ = 20(1) = 20

𝐵𝐵′ = 𝐵𝐵 − 2𝑒𝑒 = 5 − 2(0,53) = 3,94

Para 𝜙𝜙 ′ = 32°

𝑁𝑁𝑞𝑞 = 23,2

𝑁𝑁𝛾𝛾 = 20,8

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 1 + 2 tan 𝜙𝜙′ (1 − sin 𝜙𝜙′)2 𝑘𝑘, donde 𝑘𝑘 = 1/5

𝑑𝑑𝛾𝛾 = 1

𝑠𝑠𝑞𝑞 = 1

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 1,06

𝑠𝑠𝛾𝛾 = 1

0,5𝐻𝐻 3 0,5(305,67) 3 � = �1 − � = 0,544 𝑉𝑉 833,21 0,7𝐻𝐻 2 0,7(305,67) 2 𝑖𝑖𝛾𝛾 = �1 − � = �1 − � = 0,552 𝑉𝑉 833,21

𝑖𝑖𝑞𝑞 = �1 −

𝑞𝑞𝑢𝑢 = 20(23,2)(1)(1,06)(0,544) + 0,5(20)(3,94)(20,8)(1)(1)(0,552) 𝑞𝑞𝑢𝑢 = 719,936 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

Paso 3. Factor de seguridad. ∑ q𝑢𝑢 719,936 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = = ∑ 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 272,62

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔

Ejemplo 6.14

Realizar la verificación a la falla por capacidad de apoyo de la base del muro para el ejemplo 6.2. Solución:

Paso 1. Carga máxima del muro.

𝐻𝐻 = 315,08 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑉𝑉 = 832,29 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = � 𝑀𝑀𝑅𝑅 − � 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 2553,95 − 1222,815 = 1331,135 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 𝑥𝑥̅ =

𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 1331,135 = = 1,6 𝑚𝑚 ∑ 𝑉𝑉 832,29

𝑒𝑒 = 𝐵𝐵⁄2 − 𝑥𝑥̅ = 5⁄2 − 1,6 = 0,9 𝑚𝑚 440

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =

∑ 𝑉𝑉 𝐵𝐵

�1 +

6𝑒𝑒 832,29 6(0,9) �= �1 + � = 346,23 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 𝐵𝐵 5 5

Paso 2. Capacidad de apoyo del suelo a través de la ecuación de Hansen. 𝑞𝑞𝑢𝑢 = 𝑞𝑞 ∗ ′ 𝑁𝑁𝑞𝑞 𝑠𝑠𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 + 0,5𝛾𝛾𝛾𝛾′𝑁𝑁𝛾𝛾 𝑠𝑠𝛾𝛾 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑖𝑖𝛾𝛾

𝑞𝑞 ∗ ′ = (20 − 9,8)(1) = 10,2

𝐵𝐵′ = 𝐵𝐵 − 2𝑒𝑒 = 5 − 2(0,9) = 3,2

Para 𝜙𝜙 ′ = 32°

𝑁𝑁𝑞𝑞 = 23,2

𝑁𝑁𝛾𝛾 = 20,8

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 1 + 2 tan 𝜙𝜙′ (1 − sin 𝜙𝜙′)2 𝑘𝑘, donde 𝑘𝑘 = 1/5

𝑑𝑑𝛾𝛾 = 1

𝑠𝑠𝑞𝑞 = 1

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 1,06

𝑠𝑠𝛾𝛾 = 1

0,5𝐻𝐻 3 0,5(315,08) 3 � = �1 − � = 0,532 𝑉𝑉 832,29 0,7𝐻𝐻 2 0,7(315,08) 2 𝑖𝑖𝛾𝛾 = �1 − � = �1 − � = 0,54 𝑉𝑉 832,29

𝑖𝑖𝑞𝑞 = �1 −

𝑞𝑞𝑢𝑢 = 10,2(23,2)(1)(1,06)(0,532) + 0,5(10,2)(3,2)(20,8)(1)(1)(0,54) 𝑞𝑞𝑢𝑢 = 316,75 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

Paso 3. Factor de seguridad. ∑ q𝑢𝑢 316,75 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = = ∑ 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 346,26

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗

Ejemplo 6.15

Realizar la verificación a la falla por capacidad de apoyo de la base del muro para el ejemplo 6.3. Solución:

Paso 1. Carga máxima del muro. 𝐻𝐻 = 311,94 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑉𝑉 = 582,72 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = � 𝑀𝑀𝑅𝑅 − � 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 1453,56 − 727,85 = 725,71 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚

𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 725,71 = = 1,25 𝑚𝑚 ∑ 𝑉𝑉 582,72 𝐵𝐵 5 𝑒𝑒 = − 𝑥𝑥̅ = − 1,25 = 1,25 𝑚𝑚 2 2 ∑ 𝑉𝑉 6𝑒𝑒 582,72 6(1,25) 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �1 + � = �1 + � = 291,36 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 𝐵𝐵 𝐵𝐵 5 5

𝑥𝑥̅ =

Paso 2. Capacidad de apoyo del suelo a través de la ecuación de Hansen. 𝑞𝑞𝑢𝑢 = 𝑞𝑞 ∗ ′ 𝑁𝑁𝑞𝑞 𝑠𝑠𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 + 0,5𝛾𝛾𝛾𝛾′𝑁𝑁𝛾𝛾 𝑠𝑠𝛾𝛾 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑖𝑖𝛾𝛾

441

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑞𝑞 ∗ ′ = 20(1) = 20

𝐵𝐵′ = 𝐵𝐵 − 2𝑒𝑒 = 5 − 2(1,25) = 2,5 Para 𝜙𝜙 ′ = 32°

𝑁𝑁𝑞𝑞 = 23,2

𝑁𝑁𝛾𝛾 = 20,8

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 1 + 2 tan 𝜙𝜙′ (1 − sin 𝜙𝜙′)2 𝑘𝑘, donde 𝑘𝑘 = 1/5

𝑑𝑑𝛾𝛾 = 1

𝑠𝑠𝑞𝑞 = 1

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 1,06

𝑠𝑠𝛾𝛾 = 1

0,5𝐻𝐻 3 0,5(311,94) 3 � = �1 − � = 0,393 𝑉𝑉 582,72 0,7𝐻𝐻 2 0,7(311,94) 2 𝑖𝑖𝛾𝛾 = �1 − � = �1 − � = 0,391 𝑉𝑉 582,72

𝑖𝑖𝑞𝑞 = �1 −

𝑞𝑞𝑢𝑢 = 20(23,2)(1)(1,06)(0,393) + 0,5(20)(2,5)(20,8)(1)(1)(0,391) 𝑞𝑞𝑢𝑢 = 396,61 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

Paso 3. Factor de seguridad. ∑ q𝑢𝑢 396,61 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = = ∑ 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 291,36

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟏𝟏,36

Ejemplo 6.16

Realizar la verificación a la falla por capacidad de apoyo de la base del muro para el ejemplo 6.4. Solución:

Paso 1. Carga máxima del muro. 𝐻𝐻 = 323,84 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑉𝑉 = 572,70 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = � 𝑀𝑀𝑅𝑅 − � 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 1415,87 − 1069,26 = 346,61 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 346,61 = = 0,6 𝑚𝑚 ∑ 𝑉𝑉 572,70 𝐵𝐵 5 𝑒𝑒 = − 𝑥𝑥̅ = − 0,6 = 1,9 𝑚𝑚 2 2 ∑ 𝑉𝑉 6𝑒𝑒 572,70 6(1,9) 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �1 + � = �1 + � = 375,69 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2 𝐵𝐵 𝐵𝐵 5 5

𝑥𝑥̅ =

Paso 2. Capacidad de apoyo del suelo a través de la ecuación de Hansen.

𝑞𝑞𝑢𝑢 = 𝑞𝑞 ∗ ′ 𝑁𝑁𝑞𝑞 𝑠𝑠𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 + 0,5𝛾𝛾𝛾𝛾′𝑁𝑁𝛾𝛾 𝑠𝑠𝛾𝛾 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑖𝑖𝛾𝛾 𝑞𝑞 ∗ ′ = (20 − 9,8)(1) = 10,2

𝐵𝐵′ = 𝐵𝐵 − 2𝑒𝑒 = 5 − 2(1,9) = 1,2

Para 𝜙𝜙 ′ = 32°

442

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

𝑁𝑁𝑞𝑞 = 23,2

𝑁𝑁𝛾𝛾 = 20,8

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 1 + 2 tan 𝜙𝜙′ (1 − sin 𝜙𝜙′)2 𝑘𝑘, donde 𝑘𝑘 = 1/5

𝑑𝑑𝛾𝛾 = 1

𝑠𝑠𝑞𝑞 = 1

𝑑𝑑𝑞𝑞 = 1,06

𝑠𝑠𝛾𝛾 = 1

0,5𝐻𝐻 3 0,5(323,84) 3 � = �1 − � = 0,369 𝑉𝑉 572,70 0,7𝐻𝐻 2 0,7(323,84) 2 𝑖𝑖𝛾𝛾 = �1 − � = �1 − � = 0,365 𝑉𝑉 572,70

𝑖𝑖𝑞𝑞 = �1 −

𝑞𝑞𝑢𝑢 = 10,2(23,2)(1)(1,06)(0,369) + 0,5(10,2)(1,2)(20,8)(1)(1)(0,365) 𝑞𝑞𝑢𝑢 = 139,02 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2

Paso 3. Factor de seguridad. ∑ q𝑢𝑢 139,02 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = = ∑ 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 375,69

𝑭𝑭𝑭𝑭𝒄𝒄𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑

6.5.4 Verificación a la falla por asentamiento Para hallar el incremento de esfuerzos, se considera una distribución trapezoidal de la presión del terreno, pudiendo ser empleadas las ecuaciones de Boussinesq desarrolladas en el Capítulo 1. El incremento de

esfuerzos puede ser fácilmente determinado dividiendo esta carga trapezoidal en un rectángulo y un triángulo respectivamente. El incremento de esfuerzos producido por este tipo de cargas ya fue abordado en

el apartado 4 del Capítulo 1. La determinación del asentamiento producido en el terreno debido al emplazamiento de un muro de contención se realiza mediante los procedimientos ya expuestos en el capítulo 2 que dependen fundamentalmente de la naturaleza del suelo, es decir si el suelo es cohesivo o granular. Si la base del suelo es un material saturado cohesivo o si existe un estrato profundo de suelo cohesivo dentro la zona de influencia de esfuerzos, asentamientos por consolidación ocurrirán a lo largo del tiempo. Caso contrario, si la base del suelo es granular, el asentamiento se producirá durante la construcción. En cualquiera de los casos puede existir asentamientos diferenciales entre el pie y el talón, sobretodo

cuando existe una gran diferencia de presión entre ambas posiciones.

Los asentamientos en el talón son mayores a los producidos en el pie cuando existe un incremento

sustancial del relleno, que representa un consiguiente incremento en la carga del suelo.

Una situación más crítica ocurre cuando para la construcción de la fundación se lleva a cabo la excavación

del suelo usando maquinaria especial. Como producto de la excavación puede ser encontrada una base

rugosa y luego si esta es cubierta con una delgada capa de arena; se presentarán grietas en el muro, sobre

todo poco después de que la construcción es completada. La ocurrencia de estas grietas puede ser evitada

con una adecuada supervisión de la construcción y cumpliendo a cabalidad las especificaciones de compactación a realizarse antes de que la losa de base sea vaciada.

Por otro lado, los asentamientos en el pie son más difíciles de controlar debido a que estos son

producidos a causa de esfuerzos laterales del terreno. Este inconveniente, puede ser de algún modo salvado si se utiliza una losa de base amplia que permita disminuir en cierto modo la presión de base.

443

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

6.6 Fallas por cortante en un muro de contención En un muro de contención pueden producirse dos posibles tipos de falla por cortante: −

−

Falla por cortante superficial.

Falla por cortante profunda.

La falla por cortante superficial en el suelo de fundación de la base del muro, se presenta a lo largo de la

superficie cilíndrica abc, Fig. 6.34. El centro O del arco abc corresponde al centro del arco que fue

determinado mediante tanteos, como el centro que presentaba el menor factor de seguridad. Este tipo de falla se produce debido a un esfuerzo cortante excesivo en la superficie de falla abc. La ocurrencia de la falla puede ser evitada asegurando un 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

)

> 1,5 debido a que el factor de

seguridad contra falla al cortante superficial es mayor que el factor de seguridad contra deslizamiento de la base.

La falla por cortante profunda se produce debido a la existencia de un estrato débil situado debajo del

suelo de fundación, a una profundidad de aproximadamente 1,5 veces el ancho de la base del muro de contención. Esta falla se manifiesta a través de una superficie cilíndrica abc, Fig.6.35.

Figura 6.34. Falla por cortante superficial.

Para determinar la superficie de falla se debe realizar tanteos sucesivos. Mediante estos, la superficie de

falla así como su centro son determinados como aquellos que presentan el menor factor de seguridad.

Con este propósito, Teng (1962) propuso un procedimiento que es válido sólo para pendientes suaves de

relleno; es decir 𝛼𝛼 < 10° .Dicho procedimiento se detalla a continuación: 1.

2. 3.

4.

Dibuje el muro de contención y el perfil del suelo de fundación a una escala conveniente.

Dibujar el primer arco de círculo de tanteo abcd con su respectivo centro O, siendo r el radio del

círculo de tanteos, Fig. 6.36 (a). Por motivos prácticos se considera que el peso de suelo del área abcde es simétrico respecto a una línea vertical trazada a través del punto O.

Dividir el área de la zona efgh en dovelas rectangulares o triangulares según convenga. Esta división es hecha para facilitar la determinación de la fuerza de hundimiento sobre la superficie de falla.

Determinar el área de cada dovela y posteriormente hallar su peso W por longitud unitaria del muro.

444

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

5.

6.

7.

8.

9.

Determinar el centroide de cada dovela, para posteriormente trazar una vertical y extenderla hasta que intersecte la superficie cilíndrica de falla.

Unir el centro O con los puntos de intersección hallados en el paso anterior.

Determinar el ángulo 𝜔𝜔, que es el ángulo que forma la línea vertical con la línea radial.

Calcule 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 𝜔𝜔.

Determinar la fuerza activa 𝑃𝑃𝑎𝑎 = 0,5𝛾𝛾1 𝐻𝐻′2 𝐾𝐾𝑎𝑎 que actúa sobre la cara df.

Figura 6.35. Falla por cortante profunda.

10. Luego, la fuerza total de hundimiento es: 𝑃𝑃𝑎𝑎 𝑋𝑋� �(𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 𝜔𝜔) + 𝑟𝑟

Donde: 𝑋𝑋� =Distancia perpendicular entre la línea de acción de 𝑃𝑃𝑎𝑎 y el centro O.

(Ec. 6.23)

11. Determinar la fuerza resistente sobre la superficie de falla. Para esto, dividir el área de las zonas abk y idefj en dovelas rectangulares o triangulares, Fig. 6.36 (b). A continuación determinar el peso de

cada dovela por unidad de longitud 𝑊𝑊1 . No confundir 𝑊𝑊1 con el peso W determinado para la zona efgh.

12. Determinar los centroides de las dovelas definidas en el paso 11. Pasar una línea vertical a través del

centroide hasta que ésta choque con la superficie de falla, obteniéndose de esta manera distintos puntos de intersección.

13. Unir el centro O con los puntos de intersección determinados en el paso 12. Luego, determinar el ángulo 𝜔𝜔1 que es el ángulo que forma la línea radial con la línea vertical trazada en el paso 12.

14. Obtener para cada dovela 𝑊𝑊1 tan 𝜙𝜙2 cos 𝜔𝜔1 . 15. Calcular

𝑐𝑐2 𝑙𝑙1 + 𝑐𝑐3 𝑙𝑙2 + 𝑐𝑐2 𝑙𝑙3

Donde:

𝑙𝑙1 , 𝑙𝑙2 , 𝑙𝑙3 = Longitudes de los arcos ab, bi, e id, respectivamente.

16. La fuerza máxima que se genera a lo largo de la superficie de falla es: �(𝑊𝑊1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜙𝜙2 cos 𝜔𝜔1 ) + 𝑐𝑐2 𝑙𝑙1 + 𝑐𝑐3 𝑙𝑙2 + 𝑐𝑐2 𝑙𝑙3

445

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

(a)

(b) Figura 6.36. Análisis de falla por cortante profundo.

17. Finalmente se determina el factor de seguridad para falla por cortante profunda a través de la siguiente expresión:

𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 )

=

∑(𝑊𝑊1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜙𝜙2 cos 𝜔𝜔1 ) + 𝑐𝑐2 𝑙𝑙1 + 𝑐𝑐3 𝑙𝑙2 + 𝑐𝑐2 𝑙𝑙3 𝑃𝑃 𝑋𝑋� ∑(𝑊𝑊 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔) + 𝑎𝑎 𝑟𝑟

18. Luego se determina el factor de seguridad para otras posibles superficies de falla, hasta encontrar la superficie que presente el mínimo factor de seguridad.

446

Capítulo 6. Diseño de muros de contención

Referencias Das, Braja M. (2001). “Principios de Ingeniería de Cimentaciones”. Thomson Learning.

Whitlow, Roy (1994). “Fundamentos de Mecanica de Suelos, Segunda Edición”. CECSA, México.

447

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Capítulo siete

Estabilidad de taludes Contenido 7 Estabilidad de taludes ...........................................................................................................................................................................448 7.1 Introducción.......................................................................................................................................................................................450

7.2 Caracterización de los movimientos .......................................................................................................................................450

7.2.1 Nomenclatura de un talud o ladera .............................................................................................................................451

7.2.2 Nomenclatura de los procesos de movimiento......................................................................................................451

7.2.3 Etapas en el proceso de falla...........................................................................................................................................452

7.2.4 Procesos en la etapa de deterioro ................................................................................................................................453 7.2.4.1 Caída de granos .....................................................................................................................................................453

7.2.4.2 Descascaramiento ................................................................................................................................................453

7.2.4.3 Formación, inclinación y caída de losas de roca ....................................................................................455

7.2.4.4 Caídos de bloques ................................................................................................................................................455

7.2.4.5 Desmoronamiento del talud............................................................................................................................455

7.2.4.6 Caídos de roca ........................................................................................................................................................455

7.2.4.7 Lavado superficial o erosión ...........................................................................................................................455

7.2.4.8 Flujo de detritos ....................................................................................................................................................456

7.2.4.9 Colapso ......................................................................................................................................................................456

7.2.4.10 Disolución .............................................................................................................................................................456

7.2.5 Clasificación de los movimientos en masa ...............................................................................................................456

7.2.5.1 Caído...........................................................................................................................................................................456

7.2.5.2 Inclinación o volteo .............................................................................................................................................458

7.2.5.3 Reptación .................................................................................................................................................................459

7.2.5.4 Deslizamiento ........................................................................................................................................................459

7.2.5.4.1 Deslizamiento rotacional ..............................................................................................................460

7.2.5.4.2 Deslizamiento de traslación ........................................................................................................462

7.2.5.5 Esparcimiento lateral .........................................................................................................................................463 7.2.5.6 Flujo ............................................................................................................................................................................463

7.2.5.6 Avalanchas...............................................................................................................................................................464

7.3 Análisis de estabilidad ...................................................................................................................................................................465

7.4 Consideraciones de niveles y presiones de agua ..............................................................................................................470 7.4.1 Superficie freática................................................................................................................................................................470

7.4.2 Superficie piezométrica ....................................................................................................................................................472

7.4.3 Coeficiente de presión de poros r u ..............................................................................................................................472 Ejemplo 7.1 ............................................................................................................................................................474

7.5 Taludes infinitos...............................................................................................................................................................................475

7.5.1 Talud infinito sin flujo de agua ......................................................................................................................................476

7.5.2 Talud infinito con flujo de agua .....................................................................................................................................478

448

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Ejemplo 7.2 ............................................................................................................................................................480

7.6 Taludes finitos ...................................................................................................................................................................................482

7.6.1 Deslizamiento traslacional ..............................................................................................................................................483 Ejemplo 7.3 ............................................................................................................................................................486

7.6.2 Deslizamiento rotacional .................................................................................................................................................487 7.6.2.1 Método de masas ..................................................................................................................................................489

7.6.2.1.1 Método de masas – Condición a corto plazo ........................................................................489

7.6.2.1.2 Método de masas – Condición a largo plazo ........................................................................493

Ejemplo 7.4 ............................................................................................................................................................502

7.6.2.2 Método de fragmentos .......................................................................................................................................503

7.6.2.2.1 Método de Bishop simplificado .................................................................................................506 Ejemplo 7.5 ............................................................................................................................................................509

Ejemplo 7.6 ............................................................................................................................................................511

7.6.2.2.2 Método de Bishop & Morgenstern ...........................................................................................513 Ejemplo 7.7 ............................................................................................................................................................517

7.6.2.2.3 Método de Spencer ..........................................................................................................................517

Ejemplo 7.8 ............................................................................................................................................................520

7.6.2.2.4 Método de Morgenstern & Price ...............................................................................................520 Ejemplo 7.9 ............................................................................................................................................................525

Ejemplo 7.10..........................................................................................................................................................531

7.6.2.2.5 Método generalizado del equilibrio límite ...........................................................................532

Ejemplo 7.11..........................................................................................................................................................533

7.6.2.2.6 Comparación de métodos .............................................................................................................535

7.7 Fluctuación del factor de seguridad........................................................................................................................................536

7.7.1 Fluctuación del factor de seguridad para terraplenes........................................................................................537

7.7.2 Fluctuación del factor de seguridad para cortes ...................................................................................................539

449

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

7.1 Introducción Un talud o ladera es una masa de tierra que no es plana sino que posee pendiente o cambios de altura

significativos. En la literatura técnica se define como ladera cuando su conformación actual tuvo como origen un proceso natural y talud cuando se conformó artificialmente siendo este el resultado de un proyecto de

ingeniería. El esquema de la figura 7.1 presenta algunos ejemplos de estos tipos de taludes.

Figura 7.1. Taludes y laderas (Whitlow, 1995).

Las laderas que han permanecido estables por muchos años pueden fallar en forma imprevista debido a

cambios topográficos, sismicidad, flujos de agua subterránea, cambios en la resistencia del suelo, meteorización o factores de tipo antrópico o natural que modifiquen su estado natural de estabilidad.

La inestabilidad de taludes es entendida como la tendencia que tienen todos los taludes a moverse y

fallar, originándose un consiguiente movimiento de masa. Este movimiento de masa, es por lo general, el

resultado de la falla al corte que se produce en una superficie interna del talud; pudiendo deberse también a la disminución del esfuerzo efectivo existente entre partículas que ocasiona la licuefacción del suelo. La resistencia a la falla en taludes radica principalmente en la resistencia al cortante del suelo mismo y en la geometría del talud.

Hoy en día, debido al incremento de obras de ingeniería relacionadas con cortes y rellenos, la necesidad

de entender métodos analíticos, y métodos de estabilización que puedan resolver el problema de estabilidad de taludes ha ido creciendo, es por esta razón que se hace fundamental el entendimiento de la geología,

hidrología, y de las propiedades del suelo, de tal modo que estos conceptos básicos sean aplicados de manera correcta al problema de estabilidad de taludes.

7.2 Caracterización de los movimientos Las zonas montañosas tropicales son muy susceptibles a sufrir problemas de deslizamientos de tierra debido a que generalmente, se reúnen cuatro de los elementos más importantes para su ocurrencia tales como son

la topografía, sismicidad, meteorización y lluvias intensas.

Previamente a la profundización en el estudio del comportamiento de los taludes en zonas tropicales, se

requiere establecer una serie de pautas en lo referente a nomenclatura y clasificación. Para ello en la

literatura se encuentran dos sistemas de clasificación propuestos por Hutchinson (1968) y por Varnes (1958 y 1978).

450

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Este último sistema fue actualizado por Cruden y Varnes en el “Special Report 247” del Transportation

Research Board de los Estados Unidos (1996) y es el sistema que se utiliza en el presente texto; Sin embargo,

a esta clasificación se agregaron algunos factores importantes, entre ellos la diferenciación entre los procesos

de deterioro y los de deslizamiento, pero en términos generales se mantuvieron los principios básicos de la

clasificación del Transportation Research Board.

7.2.1 Nomenclatura de un talud o ladera Antes de desarrollar las distintas maneras en las que puede fallar un talud, es necesario conocer la nomenclatura que será utilizada a lo largo del capítulo. A partir de la figura 7.2 se tiene:

La altura es la distancia vertical entre el pie y la cabeza, la cual se presenta claramente definida en taludes

artificiales pero es complicada de cuantificar en las laderas debido a que el pie y la cabeza no son accidentes topográficos bien marcados.

El pie corresponde al sitio de cambio brusco de pendiente en la parte inferior.

La cabeza o escarpe se refiere al sitio de cambio brusco de pendiente en la parte superior.

La altura del nivel freático es la distancia vertical desde el pie del talud o ladera hasta el nivel de agua

medida debajo de la cabeza.

La pendiente es la medida de la inclinación del talud o ladera. Puede medirse en grados, en porcentaje o

en relación m/1, en la cual m, es la distancia horizontal que corresponde a una unidad de distancia vertical.

Ejemplo: 45°, 100%, o 1H:1V.

(a) (b) Figura 7.2. Nomenclatura de taludes y laderas (a) Talud artificial (b) Ladera Natural (Suárez, 1998).

7.2.2 Nomenclatura de los procesos de movimiento

Los procesos geotécnicos activos de los taludes y laderas corresponden generalmente, a movimientos hacia abajo y hacia afuera de los materiales que conforman un talud de roca, suelo natural o relleno, o una

combinación de ellos. Los movimientos ocurren generalmente, a lo largo de superficies de falla, por caída libre, movimientos de masa, erosión o flujos. Algunos segmentos del talud o ladera pueden moverse hacia arriba, mientras otros se mueven hacia abajo.

451

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Figura 7.3. Nomenclatura de un deslizamiento (Suárez, 1998).

En la figura 7.3 se muestra un deslizamiento o movimiento en masa típico, con sus diversas partes cuya

nomenclatura es la siguiente:

El escarpe principal corresponde a una superficie muy inclinada a lo largo de la periferia del área en

movimiento, causado por el desplazamiento del material fuera del terreno original. La continuación de la superficie del escarpe dentro del material forma la superficie de falla.

El escarpe secundario es una superficie muy inclinada producida por desplazamientos diferenciales

dentro de la masa que se mueve.

La cabeza corresponde a la parte superior del material que se mueve a lo largo del contacto entre el

material perturbado y el escarpe principal.

La cima es el punto más alto del contacto entre el material perturbado y el escarpe principal.

La corona es el material que se encuentra en el sitio, prácticamente inalterado y adyacente a la parte

más alta del escarpe principal.

La superficie de falla corresponde al área debajo del movimiento que delimita el volumen de material

desplazado. El volumen de suelo debajo de la superficie de falla no se mueve.

El pie de la superficie de falla es la línea de interceptación (algunas veces tapada) entre la parte

inferior de la superficie de rotura y la superficie original del terreno.

La base es el área cubierta por el material perturbado abajo del pie de la superficie de falla. La punta o uña es el punto de la base que se encuentra a más distancia de la cima.

El costado o flanco es un lado (perfil lateral) del movimiento.

7.2.3 Etapas en el proceso de falla

La clasificación de deslizamientos pretende describir e identificar los cuerpos que están en movimiento relativo. Las clasificaciones existentes son esencialmente geomorfológicas y solamente algunas de ellas introducen consideraciones mecánicas o propiamente geológicas.

452

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Las caracterizaciones geotécnicas son necesarias y por esta razón, las clasificaciones eminentemente

topográficas y morfológicas, como las propuestas por Varnes (1978), Hutchinson (1988), etc., deben adaptarse a las condiciones verdaderas de los movimientos.

En este orden de ideas se deben considerar cuatro etapas diferentes en la clasificación de los

movimientos: 1.

2. 3.

Etapa de deterioro o antes de la falla donde el suelo es esencialmente intacto.

Etapa de falla caracterizada por la formación de una superficie de falla o el movimiento de una masa importante de material.

La etapa post-falla que incluye los movimientos de la masa involucrada en un deslizamiento desde el momento de la falla y hasta el preciso instante en el cual se detiene totalmente.

7.2.4 Procesos en la etapa de deterioro

Cuando un talud se corta, para la construcción de una vía o de una obra de infraestructura, ocurre una

relajación de los esfuerzos de confinamiento y una exposición al medio ambiente, cambiándose la posición de equilibrio por una de deterioro acelerado.

El deterioro comprende la alteración física y química de los materiales y su subsecuente desprendimiento

o remoción. Este incluye la alteración mineral, los efectos de relajación y la abrasión. La iniciación y propagación de fracturas es de significancia particular en la destrucción de la superficie que puede conducir

a caídos de roca o colapso del talud.

La clasificación de los modos comunes de deterioro fue propuesta por Nicholson y Hencher (1997), pero

en el presente texto se amplió con el objeto de incluir la mayoría de los procesos que ocurren previamente a la falla masiva.

7.2.4.1 Caída de granos Consiste en la caída de granos individuales de la masa de roca con desintegración física a granos como

prerequisito. Depende de la resistencia de las uniones intergranulares y las microgrietas relacionadas con los granos.

Causa un debilitamiento general del material de roca. No representa una amenaza en sí misma pero

puede conducir a la pérdida de soporte y subsecuente colapso en pequeña escala. Los finos pueden

sedimentarse y producir depósitos dentro de las estructuras de drenaje.

Como solución se sugiere la limpieza de los residuos en el pie del talud y el cubrimiento con técnicas de

bioingeniería concreto lanzado y refuerzo local, donde exista riesgo de colapso.

7.2.4.2 Descascaramiento

Caída de cáscaras de material de la masa de roca. Las cáscaras tienen forma de láminas con una dimensión

significativamente menor a las otras dos dimensiones. Puede reflejar la litología, fisilidad, o puede reflejar la penetración de la meteorización.

Los fragmentos en forma de láminas no son grandes y no constituyen una amenaza significativa, sin

embargo, se produce un depósito de sedimentos en el pie del talud.

453

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Como tratamiento se sugiere las técnicas de bioingeniería y concreto lanzado con pequeños anclajes y

obras de concreto dental.

Caída de granos

Caídos de roca

Descascaramiento

Lavado superficial

Inclinación y caída de losas

Flujo de detritos

Caída de bloques

Colapso

Desmoronamiento

Disolución

Figura 7.4. Procesos de deterioro en macizos rocosos (Nicholson y Hencher, 1997).

454

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

7.2.4.3 Formación, inclinación y caída de losas de roca Se forman prismas o pequeñas placas con dimensión mínima de 50 mm, pudiendo existir deslizamiento y

rotación o pandeo. Generalmente, las fracturas a tensión paralelas a la superficie del talud son pre-requisito

para su ocurrencia, seguidas por la pérdida de soporte.

Pueden caer grandes bloques de material y pueden significar una amenaza importante, causando daño a

los canales de drenaje, cercas, pavimentos o puede crear taludes negativos. Las inclinaciones pueden

considerarse como un proceso de deterioro o como un movimiento del talud.

Como tratamiento se sugiere la construcción de gradas o escaleras, bermas intermedias, refuerzo con

pernos o estructuras de contención.

7.2.4.4 Caídos de bloques Pueden caer por gravedad, en forma ocasional bloques individuales de roca de cualquier dimensión, produciendo un deterioro en la estructura del talud.

La amenaza es difícil de predecir debido al gran rango de tamaños que pueden caer y especialmente los

bloques grandes pueden causar daño estructural. En ocasiones bajan saltando y rodando y pueden caminar

grandes distancias. Estos caídos corresponden a los caídos de roca en la clasificación general de movimientos

en taludes.

Como tratamiento se sugiere la construcción de gradas, la utilización de mallas de acero, concreto

lanzado o mampostería.

7.2.4.5 Desmoronamiento del talud El desmoronamiento general del talud produce la caída de bloques de diversas dimensiones en forma semi-

continua. Puede causar una amenaza significativa y crear grandes acumulaciones de detritos en el pie del talud.

Como solución se sugiere la construcción de gradas, colocación de mallas, trampas para detritos y cercas

protectoras. Los bloques grandes pueden requerir aseguramiento con pernos, anclajes o cables. Las áreas con desintegración severa pueden requerir soporte total o disminuir el ángulo de inclinación del talud.

7.2.4.6 Caídos de roca

La caída de muchos bloques de roca “en un solo evento” requiere que haya ocurrido un debilitamiento de la

masa de roca, debido a la fragmentación y a la ausencia de soporte lateral. El volumen de la falla depende de

los diversos planos de discontinuidad y puede cubrir en un solo momento varios planos (falla en escalera).

7.2.4.7 Lavado superficial o erosión

La erosión es el desprendimiento, transporte y depositación de partículas o masas pequeñas de suelo o roca,

por acción de las fuerzas generadas por el movimiento del agua. El flujo puede concentrarse en canales produciendo surcos y cárcavas.

455

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Las gotas de lluvia pueden contribuir al desprendimiento de las partículas o granos. Puede producir

sedimentación de materiales en el pie del talud.

Como solución se propone generalmente, la construcción de obras de drenaje y de bioingeniería, así como

concreto dental, concreto lanzado o modificaciones de la topografía del talud.

7.2.4.8 Flujo de detritos

Es el desprendimiento y transporte de partículas gruesas y finas en una matriz de agua y granos en forma de

flujo seco o saturado. Los flujos de detritos son impredecibles, mueven grandes volúmenes de material y pueden crear una amenaza moderada a alta.

Se requiere un análisis especial de cada caso para su tratamiento. Generalmente no se les considera como

procesos de deterioro sino como deslizamientos. Sin embargo, pueden generar grandes deslizamientos del

macizo al producir cambios topográficos importantes.

7.2.4.9 Colapso

Bloques independientes de gran tamaño colapsan debido a la falta de soporte vertical. El tamaño de los

bloques es de más de 500 mm e incluyen los taludes negativos. Representa una escala grande de amenaza, de

acuerdo a su tamaño y potencial de colapso. Las soluciones incluyen concreto dental, estructuras de refuerzo y otras estructuras de retención.

7.2.4.10 Disolución La disolución de materiales solubles en agua que puede ser acelerado por las condiciones locales, especialmente la presencia de aguas agresivas, puede producir cavidades internas que podrían colapsar o

formar cárcavas kársticas.

Como tratamiento se sugiere la inyección o relleno de las cavidades o la construcción de estructuras de

puente.

7.2.5 Clasificación de los movimientos en masa Existen una amplia variedad de tipos de movimientos (fallas) observados en taludes. Para clasificar estos

modos de falla se han desarrollado varios métodos. En el presente capítulo se adopta el sistema propuesto

originalmente por Varnes (1978), el cual tipifica los principales tipos de movimiento.

Algunos de estos movimientos están incluidos en la clasificación de los procesos de deterioro previos a

un deslizamiento y es difícil identificar cuando son procesos de deterioro y cuando son componentes principales del movimiento del talud.

7.2.5.1 Caído

En los caídos una masa de cualquier tamaño se desprende de un talud de pendiente fuerte, a lo largo de una superficie, en la cual ocurre ningún o muy poco desplazamiento de corte y desciende principalmente, a través del aire por caída libre, a saltos o rodando, Fig. 7.5 y Fig. 7.6.

456

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Figura 7.5. Caídos de bloques rodando (Suárez, 1998).

Figura 7.6. Caídos de bloques por gravedad en roca fracturada (Suárez, 1998).

El movimiento es muy rápido a extremadamente rápido y puede o no, ser precedido de movimientos

menores que conduzcan a la separación progresiva o inclinación del bloque o masa de material. La observación muestra que los movimientos tienden a comportarse como caídos de caída libre cuando la

pendiente superficial es de más de 75 grados. En taludes de ángulo menor generalmente, los materiales

rebotan y en los taludes de menos de 45 grados los materiales tienden a rodar. Los “caídos de roca” corresponden a bloques de roca relativamente sana, los caídos de residuos o detritos están compuestos por

fragmentos de materiales pétreos y los caídos de tierra corresponden a materiales compuestos de partículas pequeñas de suelo o masas blandas, Fig. 7.7.

457

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

(a) (b) Figura 7.7. Esquema de caídos de roca y residuos (a) Caído de roca (b) Caído de residuos (Suárez, 1998).

7.2.5.2 Inclinación o volteo

Este tipo de movimiento consiste en una rotación hacia adelante de una unidad o unidades de material térreo con centro de giro por debajo del centro de gravedad de la unidad y generalmente, ocurren en las formaciones rocosas, Fig. 7.8.

Figura 7.8. Volteo o inclinación en materiales residuales (Suárez, 1998).

Las fuerzas que lo producen son generadas por las unidades adyacentes, el agua en las grietas o juntas,

expansiones y los movimientos sísmicos. La inclinación puede abarcar zonas muy pequeñas o incluir volúmenes de varios millones de metros cúbicos.

458

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Dependiendo de las características geométricas y de estructura geológica, la inclinación puede o no

terminar en caídos o en derrumbes, Fig. 7.9. Las inclinaciones pueden variar de extremadamente lentas a

extremadamente rápidas.

7.2.5.3 Reptación

Figura 7.9. Proceso de falla al volteo (Suárez, 1998).

La reptación consiste en movimientos muy lentos a extremadamente lentos del suelo subsuperficial sin una

superficie de falla definida. Generalmente, el movimiento es de unos pocos centímetros al año y afecta a grandes áreas de terreno, Fig. 7.10.

Se le atribuye a las alteraciones climáticas relacionadas con los procesos de humedecimiento y secado en

suelos, usualmente, muy blandos o alterados. La reptación puede preceder a movimientos más rápidos como los flujos o deslizamientos.

Figura 7.10. Esquema de un proceso de reptación (Suárez, 1998).

7.2.5.4 Deslizamiento

Este movimiento consiste en un desplazamiento de corte a lo largo de una o varias superficies, que pueden detectarse fácilmente o dentro de una zona relativamente delgada, Fig. 7.11. El movimiento puede ser progresivo, o sea, que no se inicia simultáneamente a lo largo de toda, la que sería, la superficie de falla.

459

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Los deslizamientos pueden ser de una sola masa que se mueve o pueden comprender varias unidades o

masas semi-independientes.

Los deslizamientos pueden obedecer a procesos naturales o a desestabilización de masas de tierra por el

efecto de cortes, rellenos, deforestación, etc.

Figura 7.11. Deslizamientos en suelos blandos (Suárez, 1998).

Los deslizamientos se pueden a su vez dividir en dos subtipos denominados deslizamientos rotacionales

y translacionales o planares. Esta diferenciación es importante porque puede definir el sistema de análisis y estabilización a emplearse, en la figura 7.12 se muestra una relación numérica para adoptar el tipo de

deslizamiento al que corresponde el deslizamiento.

Figura 7.12. Relaciones Dr/Lr para deslizamientos de traslación y rotación (Abramson y otros, 2002).

7.2.5.4.1 Deslizamiento rotacional

En un deslizamiento rotacional la superficie de falla es formada por una curva cuyo centro de giro se encuentra por encima del centro de gravedad del cuerpo del movimiento, Fig. 7.13.

Visto en planta el deslizamiento posee una serie de agrietamientos concéntricos y cóncavos en la

dirección del movimiento. El movimiento produce un área superior de hundimiento y otra inferior de deslizamiento generándose comúnmente, flujos de materiales por debajo del pie del deslizamiento.

460

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

(a) (b) Figura 7.13. Deslizamiento rotacional típico (a) Movimiento de las masas de tierra (b) Orientación de los arboles (Suárez, 1998).

En muchos deslizamientos rotacionales se forma una superficie cóncava en forma de “cuchara”.

Generalmente, el escarpe debajo de la corona tiende a ser semivertical, lo cual facilita la ocurrencia de movimientos retrogresivos. El movimiento aunque es curvilíneo no es necesariamente circular, lo cual es común en materiales residuales donde la resistencia al corte de los materiales aumenta con la profundidad.

En la cabeza del movimiento, el desplazamiento es aparentemente semivertical y tiene muy poca

rotación, sin embargo se puede observar que generalmente, la superficie original del terreno gira en dirección de la corona del talud, aunque otros bloques giren en la dirección opuesta.

Figura 7.14. Efectos de la estructura en la formación de deslizamientos a rotación (Suárez, 1998).

461

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Frecuentemente la forma y localización de la superficie de falla está influenciada por las

discontinuidades, juntas y planos de estratificación. El efecto de estas discontinuidades debe tenerse muy en cuenta en el momento que se haga el análisis de estabilidad, Fig. 7.14.

Los deslizamientos estrictamente rotacionales ocurren usualmente, en suelos homogéneos, sean

naturales o artificiales y por su facilidad de análisis son el tipo de deslizamiento más estudiado en la literatura.

En zonas tropicales este tipo de suelos no es común y cuando existe rotación, la superficie de falla es

usualmente curva pero no circular; Sin embargo, en zonas de meteorización muy profunda y en rellenos de altura significativa algunas superficies de falla pueden asimilarse a círculos.

Dentro del deslizamiento comúnmente o simple, ocurren otros desplazamientos curvos que forman

escarpes secundarios y ocasionalmente ocurren varios deslizamientos sucesivos en su origen pero que conforman una zona de deslizamientos rotacionales independientes, Fig. 7.15.

(a) (b) (c) Figura 7.15. Deslizamientos rotacionales (a) Simples (b) Múltiples (c) Sucesivos (Suárez, 1998).

7.2.5.4.2 Deslizamiento de traslación

En el deslizamiento de traslación el movimiento de la masa se desplaza hacia fuera o hacia abajo, a lo largo de

una superficie más o menos plana o ligeramente ondulada y tiene muy poco o nada de movimiento de rotación o volteo, Fig. 7.16. La diferencia importante entre los movimientos de rotación y traslación está principalmente, en la aplicabilidad o no de los diversos sistemas de estabilización.

Figura 7.16. Deslizamiento de traslación en la vía Tijuana – Ensenada en México (Suárez, 1998).

Sin embargo, un movimiento de rotación trata de autoestabilizarse, mientras uno de traslación puede

progresar indefinidamente a lo largo de la ladera hacia abajo. Los movimientos de traslación son

comúnmente controlados por superficies de debilidad tales como fallas, juntas, fracturas, planos de

estratificación y zonas de cambio de estado de meteorización que corresponden en términos cuantitativos a 462

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

cambios en la resistencia al corte de los materiales o por el contacto entre la roca y materiales blandos o

coluviones. En muchos deslizamientos de traslación la masa se deforma y/o rompe y puede convertirse en flujo.

Los deslizamientos sobre discontinuidades sencillas en roca se les denomina deslizamientos de bloque,

cuando ocurren a lo largo de dos discontinuidades se le conoce como deslizamiento de cuña y cuando se

presentan sobre varios niveles de una familia de discontinuidades se le puede denominar falla en escalera.

7.2.5.5 Esparcimiento lateral

En los esparcimientos laterales el modo de movimiento dominante es la extensión lateral acomodada por fracturas de corte y tensión. El mecanismo de falla puede incluir elementos no solo de rotación y translación sino también de flujo, Fig. 7.17. Generalmente, los movimientos son complejos y difíciles de caracterizar.

La rata de movimiento es por lo general extremadamente lenta.

Los esparcimientos laterales pueden ocurrir en masas de roca sobre suelos plásticos y también se forman

en suelos finos, tales como arcillas y limos sensitivos que pierden gran parte de su resistencia al remoldearse.

Figura 7.17. Esquema de un esparcimiento lateral (Suárez, 1998).

La falla es generalmente progresiva, o sea, que se inicia en un área local y se extiende. Los esparcimientos

laterales son muy comunes en sedimentos glaciales y marinos pero no los son en zonas de suelos tropicales residuales. Se deben distinguir dos tipos de esparcimiento lateral: 1.

Movimientos distribuidos en una extensión pero sin una superficie basal bien definida de corte o de

2.

Movimientos que envuelven fracturas y extensión de roca o suelo, debido a licuación o flujo plástico

flujo plástico. Esto ocurre predominantemente en rocas, especialmente en las crestas de serranías. La mecánica de este movimiento no es bien conocida.

del material subyacente. Las capas superiores pueden hundirse, trasladarse, rotarse, desintegrarse o pueden licuarse y fluir.

7.2.5.6 Flujo

En este caso de movimiento la masa de suelo deslizante es alterada internamente, moviéndose parcial o totalmente como un fluido. Los flujos ocurren a menudo en suelos saturados débiles en los que la presión de

poros se ha incrementado lo suficiente como para producir una perdida general de la resistencia al cortante del suelo.

463

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

En un flujo existen movimientos relativos de las partículas o bloques pequeños dentro de una masa que

se mueve o desliza sobre una superficie de falla. Los flujos pueden ser lentos o rápidos, Fig. 7.18, así como secos o húmedos y los puede haber de roca, de residuos, de suelo o tierra.

(a)

(b)

(c) (d) Figura 7.18. Flujos a diferentes velocidades (a) Lento a rápido (b) Muy rápido (c) Rápido a Muy rápido (d) Avalancha (Suárez, 1998).

Los flujos muy lentos o extremadamente lentos pueden asimilarse en ocasiones, a los fenómenos de

reptación y la diferencia consiste en que en los flujos existe una superficie fácilmente identificable de

separación entre el material que se mueve y el subyacente, mientras en la reptación la velocidad del movimiento disminuye al profundizarse en el perfil, sin que exista una superficie definida de rotura.

La ocurrencia de flujos está generalmente, relacionada con la saturación de los materiales

subsuperficiales. Algunos suelos absorben agua muy fácilmente cuando son alterados, fracturados o

agrietados por un deslizamiento inicial y esta saturación conduce a la formación de un flujo. Algunos flujos

pueden resultar de la alteración de suelos muy sensitivos tales como sedimentos no consolidados.

7.2.5.6 Avalanchas

En las avalanchas la falla progresiva es muy rápida y el flujo desciende formando una especie de “ríos de roca

y suelo”, Fig. 7.19. Estos flujos comúnmente se relacionan con lluvias ocasionales de índices pluviométricos excepcionales muy altos, deshielo de nevados o movimientos sísmicos en zonas de alta montaña y la ausencia de vegetación, aunque es un factor influyente, no es un pre-requisito para que ocurran.

464

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Las avalanchas son generadas a partir de un gran aporte de materiales de uno o varios deslizamientos o

flujos combinados con un volumen importante de agua, los cuales forman una masa de comportamiento de

líquido viscoso que puede lograr velocidades muy altas con un gran poder destructivo y que corresponden

generalmente, a fenómenos regionales dentro de una cuenca de drenaje. Las avalanchas pueden alcanzar velocidades de más de 50 metros por segundo en algunos casos.

Figura 7.19. Avalancha en cauce de río por acumulación de materiales (Suárez, 1998).

7.3 Análisis de estabilidad

Cuando se realizan análisis de estabilidad de taludes pueden utilizarse métodos cualitativos o métodos cuantitativos. Estos análisis requieren a menudo de la habilidad del ingeniero, necesitando también la consideración de las condiciones presentes y las condiciones futuras del talud.

Para el análisis de fallas potenciales y derrumbamientos se suelen utilizar métodos cualitativos y semi-

cuantitativos, basándose éstos principalmente en una evaluación geológica del lugar. Para derrumbamientos,

estos métodos podrían ser reemplazados por un método de análisis límite cuantitativo. Sin embargo para el caso de flujos es recomendable utilizar análisis semi- cuantitativos.

Finalmente, los deslizamientos son favorablemente analizados por medio de métodos cuantitativos que

se basan en la evaluación de una superficie potencial de falla a través de un factor de seguridad. El presente

capítulo se enfoca principalmente en el análisis cuantitativo de deslizamientos, debido a que este tipo de análisis es ampliamente usado.

Sin embargo, el énfasis realizado en este método no significa que los deslizamientos son más importantes

que cualquier otro tipo de falla, ni tampoco significa que los análisis cualitativos no son usados, sino por el

contrario, debe tenerse en cuenta que una adecuada evaluación de problemas de estabilidad requiere de la aplicación de una amplia variedad de métodos y técnicas.

465

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Haciendo uso de los métodos cuantitativos, la estabilidad de taludes puede ser analizada usando uno o

más de los siguientes métodos:

 Método del análisis límite.

 Método de elementos finitos.  Método del equilibrio límite.

El método de análisis límite trabaja con modelos que consideran al suelo como un material perfectamente

plástico. Este método hace uso de las características esfuerzo–deformación y de un criterio de falla para el suelo. La solución de un análisis límite es una solución de borde inferior, es decir, la solución obtenida es menor que la carga de colapso real.

El método de elementos finitos requiere la discretización del dominio del suelo, de igual manera al

anterior, hace uso de las características esfuerzo-deformación del suelo y de un criterio de falla utilizado,

para identificar las regiones del suelo que han alcanzado un estado de esfuerzos de falla. El método de elementos finitos no requiere de especulaciones acerca de una posible superficie de falla.

El método del equilibrio límite, debido a su simplicidad, es el más utilizado para el análisis de estabilidad

de taludes. Este tipo de análisis requiere información sobre los parámetros de resistencia del suelo y no así

sobre la relación esfuerzo-deformación; por otra parte, este método proporciona una solución de borde superior, es decir, la solución encontrada involucra una carga de colapso mayor a la real.

Durante el último siglo se han desarrollado una serie de métodos basados en el método del equilibrio

límite, siendo las principales hipótesis de este método las siguientes:

 Mecanismos de rotura con superficies de falla planas o curvas.

 El cuerpo deslizante sobre la superficie de falla puede ser dividido en un número finito de fragmentos, generalmente verticales.

 La falla se produce cuando la resistencia al cortante a lo largo de la superficie potencial de falla

asumida iguala a la resistencia al cortante del suelo; es decir cuando el factor de seguridad es igual a 1 (FS = 1).

 Se realizan suposiciones a cerca de las fuerzas interfragmentos con el objetivo de volver al problema determinado.

 El factor de seguridad se calcula a partir de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos. Este

método supone que en el caso de una falla, las fuerzas actuantes y resistentes son iguales a lo largo de la superficie de falla (FS = 1).

 Asume que el factor de seguridad calculado es constante en toda la superficie de falla.

En el método del equilibrio límite, el análisis de estabilidad de taludes se basa fundamentalmente en la

determinación del factor de seguridad, que es de vital importancia en el momento de realizar diseños racionales de taludes.

Al elegir la manera de determinar el factor de seguridad se debe tomar en cuenta la confiabilidad de los

resultados obtenidos. Por lo general, cuando la exploración del sitio es de baja calidad, debe adoptarse un elevado factor de seguridad, considerando por otra parte la experiencia que pudiera tener el ingeniero

trabajando con casos similares. Abramson et al (1996) recomienda para el diseño de taludes en carreteras utilizar un factor de seguridad entre 1,25 y 1,5. Sin embargo, factores de seguridad mayores pueden ser

utilizados si existe un alto riesgo de pérdida de vidas humanas o incertidumbre pertinente a los parámetros 466

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

de diseño utilizados. La tabla 7.1 muestra algunos criterios de valores de factor de seguridad aceptables para el diseño de taludes.

Tabla 7.1. Criterios para seleccionar un factor de seguridad para el diseño de taludes. Caso

Factor de seguridad

Si puede ocurrir la pérdida de vidas humanas al fallar el talud. Si la falla puede producir la pérdida de más del 30% de la inversión de la obra específica o pérdidas consideradas importantes. Si se pueden producir pérdidas económicas no muy importantes. Si la falla del talud no causa daños.

1,7 1,5 1,3 1,2

El factor de seguridad para el talud observado en la figura 7.20 se define como: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝜏𝜏𝑓𝑓 𝜏𝜏𝑑𝑑

Donde:

(Ec. 7.1)

𝜏𝜏𝑓𝑓 = Resistencia al cortante promedio del suelo= 𝑐𝑐 + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 ′

𝜏𝜏𝑑𝑑 = Resistencia al cortante promedio desarrollada a lo largo de la superficie de falla 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑑𝑑 + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 ′

Figura 7.20. Falla de un talud.

Cuando se considera la diferenciación entre condiciones drenadas (parámetros efectivos) y no drenadas

(parámetros totales), aparecen factores de seguridad respecto a la fricción y a la cohesión, respectivamente. El factor de seguridad respecto a la fricción es: 𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙 =

tan 𝜙𝜙 tan 𝜙𝜙𝑑𝑑

tan 𝜙𝜙𝑑𝑑 =

tan 𝜙𝜙 𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙

El factor de seguridad respecto a la cohesión es: 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 =

𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑑𝑑

cd =

c FSc

FS =

𝑐𝑐 + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 𝑐𝑐𝑑𝑑 + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙𝑑𝑑

A partir de la ecuación (7.1) se tiene:

(Ec. 7.2)

(Ec. 7.3) (Ec. 7.1.a) 467

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Reemplazando las ecuaciones (7.2) y (7.3) en la ecuación (7.1.a), se tiene: FS =

𝑐𝑐 + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 𝑐𝑐 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙

(Ec. 7.1.b)

De acuerdo a una de las hipótesis del método de equilibrio límite, la falla se produce cuando 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 1, y

esto ocurre sólo cuando 𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙 es igual a 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 , y ambos son iguales a 1.

Entonces, según el método de equilibrio límite, la falla ocurre cuando:

𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 = 1

(Ec. 7.1.c)

Según otra de las hipótesis del método del equilibrio límite, el factor de seguridad se calcula a partir de

las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos. Si se considera una superficie de falla plana, Fig. 7.21, el

factor de seguridad es determinado como la razón entre la sumatoria de las fuerzas resistentes y la sumatoria de las fuerzas desarroladas. El factor de seguridad para este caso es: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

(Ec. 7.4)

Figura 7.21. Definición del factor de seguridad según el método del equilibrio límite; Equilibrio de fuerzas.

Por otro lado si se considera una superficie de falla circular, Fig. 7.22, el factor de seguridad es

determinado como la razón entre la sumatoria de momentos resistentes y la sumatoria de momentos desarrollados, como se indica a continuación: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(Ec. 7.5)

Figura 7.22. Definición del factor de seguridad según el método del equilibrio límite; equilibrio de momentos.

Para la determinación del factor de seguridad en el análisis de estabilidad de taludes realizado en cortes o

terraplenes, es necesario considerar, tanto las condiciones inmediatas como las condiciones a largo plazo; así

también si la falla se produce en una superficie nueva de deslizamiento o en una superficie de deslizamiento ya existente.

468

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Para la elección de los parámetros de resistencia, a utilizarse en el diseño de taludes, existen guías que

ayudan a una elección adecuada de valores que puedan conducir a la obtención de resultados confiables, sin

dejar de lado que existe la posibilidad de que uno se encuentre con problemas de condiciones muy particulares, en los que el ingeniero debe aplicar su criterio en el momento de la elección de estos valores.

Estas guías se basan principalmente en la consideración de que si la superficie de falla es nueva o

preexistente, y se presentan a continuación:

 Deslizamientos a lo largo de superficie preexistentes.- Este estado de falla ocurre sólo cuando ya se han presentado grandes desplazamientos. Los parámetros de resistencia residual deben ser utilizados:

Condición no drenada: 𝜏𝜏𝑟𝑟 = (𝑐𝑐𝑢𝑢 )𝑟𝑟

Condición drenada: 𝜏𝜏𝑟𝑟 = 𝜎𝜎 ′ tan(𝜙𝜙 ′ )𝑟𝑟

 Deslizamiento a lo largo de una superficie nueva de falla.- En este caso la superficie nueva de falla, se presenta debido a que la resistencia pico o la resistencia última ha sido alcanzada. La elección de los

parámetros de resistencia se realiza en función a la historia de preesfuerzo y a las condiciones de drenaje. De acuerdo a la historia de preesfuerzo se tiene:

− Suelos normalmente consolidados y ligeramente sobreconsolidados, entre los que se encuentran suelos de baja densidad y aquellos que presentan más humedad que en su estado crítico. Los parámetros de resistencia a utilizarse son:

Condición no drenada (resistencia pico): 𝜏𝜏𝑝𝑝 = 𝑐𝑐𝑢𝑢 𝑝𝑝 −

Condición drenada (resistencia crítica): 𝜏𝜏𝑐𝑐 = 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙𝑐𝑐′

Suelos sobreconsolidados entre los que se encuentran suelos de alta densidad y aquellos que

presentan menos humedad que en su estado crítico. En este tipo de suelos ocurren por lo general

deformaciones pequeñas y la resistencia pico es mayor a la resistencia crítica. Se recomienda ser

cuidadoso cuando las deformaciones a producirse son desconocidas o difíciles de predecir. Los parámetros de resistencia son:

Deformaciones pequeñas:

Condición no drenada (resistencia pico): 𝜏𝜏𝑝𝑝 = 𝑐𝑐𝑢𝑢 𝑝𝑝

Condición drenada (resistencia pico): 𝜏𝜏𝑝𝑝 = 𝑐𝑐𝑝𝑝′ + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 ′ 𝑝𝑝

Deformaciones desconocidas o difíciles de predecir:

Condición no drenada (resistencia crítica): 𝜏𝜏𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑢𝑢 𝑐𝑐

Condición drenada (resistencia crítica): 𝜏𝜏𝑐𝑐 = 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙𝑐𝑐′

Deformaciones muy grandes:

En arcillas altamente sobreconsolidadas la caída en la resistencia después de la deformación pico

puede ser considerable. Bajo tales circunstancias, sería más apropiado usar (quizás con un factor de seguridad reducido) los parámetros de resistencia residual: Condición no drenada (resistencia residual): 𝜏𝜏𝑟𝑟 = (𝑐𝑐𝑢𝑢 )𝑟𝑟 Condición drenada (resistencia crítica): 𝜏𝜏𝑐𝑐 = 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙𝑐𝑐′

Arenas:

Más densas que en su estado crítico (resistencia pico): 𝜏𝜏𝑝𝑝 = tan 𝜙𝜙𝑝𝑝′

Menos densas que en su estado crítico (resistencia crítica): 𝜏𝜏𝑐𝑐 = tan 𝜙𝜙𝑐𝑐′

469

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

7.4 Consideraciones de niveles y presiones de agua Cuando el análisis de estabilidad realizado en un talud considera condiciones drenadas, es necesario efectuar un análisis de esfuerzos efectivos en el que se incluya el efecto de la presión de poros debida al flujo de agua al interior del talud.

Para el análisis de presiones de poros sobre una superficie de falla se deben tener en cuenta sus

condiciones de drenaje. Cuando existe drenaje, la presión de poros disminuye hacia la superficie del talud, pero cuando el drenaje es deficiente se puede presentar un aumento importante de la presión de poros en el pie del talud, Fig. 7.23.

Figura 7.23. Presiones de poro sobre una superficie de falla potencial para diferentes condiciones de drenaje (Lembo Facio y Ribacchi, 1988).

La presión de poros es usualmente estimada a partir de uno de los siguientes métodos:  Superficie freática.

 Superficie piezométrica.

 Coeficiente de presión de poros 𝑟𝑟𝑢𝑢 .

7.4.1 Superficie freática

Cuando se trabaja en dos dimensiones, esta superficie o línea, está definida por el nivel freático libre y puede ser delineada en campo a través de pozos de monitoreo.

470

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Luego, una vez que la superficie freática ha sido definida, la presión de poros puede ser calculada

considerando una condición de flujo en estado estático, Fig. 7.24.

Este cálculo se halla basado en la suposición de que todas las líneas equipotenciales son rectas y

perpendiculares al segmento de la superficie freática que se encuentra pasando a través del fragmento.

Figura 7.24. Cálculo de la carga de presión de poros de agua por medio de la superficie freática.

Así, si la inclinación de la superficie freática pasando a través del fragmento es igual a θ y ℎ𝑤𝑤 es la

distancia vertical entre la base del fragmento y la superficie freática. La presión de poros está dada por: 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 (ℎ𝑤𝑤 cos 2 𝜃𝜃)

(Ec. 7.6)

La ecuación (7.6) es una ecuación fácil de programar, de modo que la superficie freática puede ser

determinada con pocos datos.

Sin embargo, si la superficie freática es curva, la ecuación (7.6) da valores muy altos en el caso de

superficies convexas, o valores muy bajos en el caso de superficies cóncavas. La figura 7.25 presenta una

superficie freática curva en la que se podrían obtener valores muy altos de la presión de poros si se asumiera a la línea CD como la superficie freática. Es por tal razón, que cuando se presentan superficies freáticas

curvas como la superficie AB, las líneas equipotenciales deben también ser curvas.

Figura 7.25. Superficie freática y líneas equipotenciales curvas.

471

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

En el caso de la figura 7.25, una solución típica suele usar el valor de la carga de presión de poros ℎ1 en

lugar del valor de carga de presión verdadero ℎ2 . A pesar de que esta determinación es errónea, la

sobreestimación del valor de la presión de poros es muy pequeña y afectará solamente a pocos fragmentos de la masa de suelo deslizante.

7.4.2 Superficie piezométrica La superficie piezométrica puede ser definida como aquella que corresponde a una sola y única superficie de

falla. Esta característica es típicamente usada para el análisis de taludes que ya han alcanzado la falla en los cuales la presión de poros puede haber sido determinada de medidas in situ. Debe notarse claramente, que la superficie piezométrica es distinta a la superficie freática, por tanto los valores obtenidos de la presión de poros son diferentes en ambos casos.

La figura 7.26 muestra una superficie piezométrica a partir de la cual puede ser calculado el valor de la

presión de poros. Para este cálculo, la carga de presión de poros es igual a la distancia vertical entre la base del fragmento y la superficie piezométrica, ℎ𝑤𝑤 .

Sin embargo, cuando se asume que la superficie freática y la superficie piezométrica son iguales, el valor

de la presión de poros es sobreestimado, debido a que el valor de carga de presión de poros para la superficie freática es igual a ℎ𝑤𝑤 cos 2 𝜃𝜃, Fig. 7.24, y no así a ℎ𝑤𝑤 .

Figura 7.26. Cálculo de la carga de presión de poros para una superficie piezométrica específica.

7.4.3 Coeficiente de presión de poros r u

La determinación del coeficiente de presión de poros 𝑟𝑟𝑢𝑢 es un método simple que permite normalizar el valor de la presión de poros. Este coeficiente es hallado mediante la siguiente expresión: 𝑟𝑟𝑢𝑢 =

𝑢𝑢 𝜎𝜎

Donde:

(Ec. 7.7)

𝑢𝑢 = Presión de poros de agua

𝜎𝜎 = Esfuerzo vertical total determinado en la sub-superficie del suelo

De la ecuación (7.7) se observa que 𝑟𝑟𝑢𝑢 es el cociente entre la presión de poros y el esfuerzo total calculado

en la misma profundidad.

La mayor dificultad que se presenta en el cálculo de 𝑟𝑟𝑢𝑢 es la asignación de los parámetros de resistencia a

diferentes partes del talud, haciéndose por lo general necesario el subdividir el talud en varias regiones.

Para la determinación de los coeficientes de estabilidad en el análisis de estabilidad de taludes a través de

cartas, se utiliza un valor promedio de 𝑟𝑟𝑢𝑢 . Este puede ser obtenido siguiendo el método propuesto por Bromhead (1986).

472

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

El procedimiento a seguir es el siguiente: 1.

2. 3.

4.

Dividir el suelo en franjas de igual ancho, como se observa en la figura 7.27.

Dividir cada franja verticalmente en tres fracciones iguales. Graficar las líneas isóbaras de 𝑟𝑟𝑢𝑢 .

El valor promedio de 𝑟𝑟𝑢𝑢 es obtenido para la zona de fragmento elegida. La elección es realizada de acuerdo al siguiente criterio, Fig. 7.27: −

− −

Para modos de falla superficiales, usar los tercios superiores.

Para fallas generales, usar los tercios medios.

Para modos de falla de fundación: usar los tercios inferiores y los fragmentos del pie y la cresta.

Figura 7.27. Determinación del coeficiente de presión de poros.

5.

Se pueden obtener valores zonales de 𝑟𝑟𝑢𝑢 a través de la figura 7.28.

Una vez obtenido el valor promedio de 𝑟𝑟𝑢𝑢 para la zona elegida de cada fragmento, el valor total

promedio de 𝑟𝑟𝑢𝑢 es igual a:

𝑟𝑟𝑢𝑢 =

∑(∆𝐴𝐴𝑟𝑟𝑢𝑢 ) ∑ ∆𝐴𝐴

Donde:

(Ec. 7.8)

∆𝐴𝐴 = Área de la zona de fragmento elegida.

Sharma (1995) realizó una comparación entre los métodos anteriores e indicó que el método de la

superficie piezométrica y el del coeficiente de presión de poros dan resultados casi idénticos; mientras que si

se utiliza la superficie freática para simular la superficie piezométrica el resultado obtenido es muy conservador y con valores alejados respecto a los hallados mediante los otros métodos. Por tanto, se concluye que no es conveniente usar programas computacionales que utilicen la superficie freática para

simular la superficie piezométrica.

473

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Ejemplo 7.1

Figura 7.28. Valores zonales de 𝑟𝑟𝑢𝑢 (Whitlow, 1994)

Para la figura 7.29 se pide determinar la razón de presión de poros, 𝑟𝑟𝑢𝑢 , a partir del método de Bromhead.

Figura 7.29. Talud parcialmente saturado.

474

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Solución:

Figura 7.30. Fragmentos del talud.

Debido a que en el talud se produce una falla general, la fracción de fragmento elegida según el método de

Bromhead, es el tercio medio.

Luego, el coeficiente de presión de poros es: 𝑟𝑟𝑢𝑢 =

∑(Δ𝐴𝐴 𝑟𝑟𝑢𝑢 )

; 𝑟𝑟𝑢𝑢 =

∑ Δ𝐴𝐴

𝑢𝑢

𝜎𝜎

El valor del coeficiente de presión de poros, es entonces determinado a partir de la tabla 7.2

Tabla 7.2. Determinación del coeficiente de presión de poros. N°

b (m)

h (m)

ΔA (m2)

u (kPa)

σ (kPa)

ru

ΔAr u

1 2 3 4 5 6

4 4 4 4 4 4

5,71 4,86 4,09 3,29 2,57 1,71

22,84 19,44 16,36 13,16 10,28 6,84

0 7,28 19,04 32,20 43,96 54,6

136,80 134,60 118,60 104,20 90,50 87,70

0 0,05 0,16 0,31 0,49 0,62

0 1,05 2,63 4,07 4,99 4,26

∑ΔA =

88,92

∑ΔAr u =

16,95

Entonces: 𝑟𝑟𝑢𝑢 =

16,95 88,92

𝒓𝒓𝒖𝒖 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏

7.5 Taludes infinitos El deslizamiento producido en un talud infinito es comúnmente descrito por un movimiento traslacional que

se lleva a cabo a lo largo de una superficie plana, poco profundo y paralelo a la superficie del talud.

Generalmente, una superficie de falla plana se presenta cuando por debajo del talud existe un estrato de suelo duro, Fig. 7.31. En este caso, se ignoran los efectos de curvatura de la superficie de falla en la parte superior e inferior del talud.

475

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Este tipo de rotura es frecuente en las laderas naturales en las que el suelo que recubre a la roca o suelo

firme subyacente desliza según una superficie que, en buena parte de su desarrollo, es paralela al borde

externo del terreno natural. El deslizamiento se puede producir por obras de excavación (deslizamiento de la zona superior a la excavación) o por obras que aumenten la carga (estructuras o rellenos), produciéndose

entonces el deslizamiento de la carga añadida y de la zona inferior de la ladera. La parte alta, como consecuencia, también puede deslizar. El deslizamiento también puede producirse por causas naturales (periodos de lluvia, por ejemplo).

Figura 7.31. Deslizamientos planos o de reptación.

Para la determinación del factor de seguridad en taludes infinitos y de acuerdo al método del equilibrio

límite, se consideran dos posibles condiciones:  Talud infinito sin flujo de agua.

 Talud infinito con flujo de agua.

7.5.1 Talud infinito sin flujo de agua Se considera la sección del talud presentada en la figura 7.32. Se espera que el talud observado falle a lo largo

de una superficie plana paralela a la superficie. Según el método de equilibrio límite, el factor de seguridad para tal situación es: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝜏𝜏𝑓𝑓 𝜏𝜏𝑑𝑑

La resistencia al cortante del suelo 𝜏𝜏𝑓𝑓 , es: 𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 ′ + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 ′

(Ec. 7.9)

En la ecuación (7.9) 𝑐𝑐 ′ y 𝜙𝜙 ′ son obtenidos de ensayos de laboratorio; mientras que 𝜎𝜎 ′ está referido al

valor de esfuerzos efectivos, es decir 𝜎𝜎 ′ = 𝜎𝜎 − 𝑢𝑢.

Para el caso de un talud sin flujo de agua 𝑢𝑢 = 0, entonces 𝜎𝜎 ′ = 𝜎𝜎.

De acuerdo a la figura 7.32, la inestabilidad del elemento prismático de longitud unitaria perpendicular al

plano de la figura es causada por el peso del elemento: 𝑊𝑊 = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾

(Ec. 7.10)

Al ser el peso una fuerza vertical, esta debe ser descompuesta en sus componentes normales y cortantes

al plano de deslizamiento. Luego, se tiene:

476

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑁𝑁 = 𝑊𝑊 cos 𝛽𝛽

(Ec. 7.11)

𝑇𝑇 = 𝑊𝑊 sen 𝛽𝛽

(Ec. 7.12)

Donde:

N = Fuerza normal al plano de deslizamiento

T = Fuerza cortante a lo largo del plano de deslizamiento

Figura 7.32. Análisis de un talud infinito sin flujo de agua.

Entonces, el esfuerzo total normal σ es igual a la sumatoria de fuerzas normales a la superficie de

deslizamiento dividida por el área de la base del talud 𝐴𝐴 = (𝐿𝐿⁄cos 𝛽𝛽 ) × 1. Luego, se tiene: 𝜎𝜎 =

𝑁𝑁 𝑊𝑊 cos 𝛽𝛽 = 𝐿𝐿 𝐴𝐴 ×1 cos 𝛽𝛽

(Ec. 7.13)

𝑊𝑊 cos 𝛽𝛽 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 𝛽𝛽 = = 𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 2 𝛽𝛽 L 𝐿𝐿 ×1 cos 𝛽𝛽 cos β

(Ec. 7.14)

Reemplazando la ecuación (7.10) y en la ecuación (7.13), se tiene: 𝜎𝜎 =

Reemplazando (7.14) en (7.9), se tiene: 𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 ′ + 𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 2 𝛽𝛽 tan 𝜙𝜙 ′

(Ec. 7.15)

𝑇𝑇 W sin β = 𝐿𝐿 𝐴𝐴 ×1 cos 𝛽𝛽

(Ec. 7.16)

𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 = 𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 𝐿𝐿

(Ec. 7.17)

Luego, el esfuerzo cortante desarrollado en la superficie de deslizamiento es igual a: 𝜏𝜏𝑑𝑑 =

Reemplazando la ecuación (7.10) en la ecuación (7.16), se tiene: 𝜏𝜏𝑑𝑑 =

Luego, el factor de seguridad para un talud de estas características es igual a:

477

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑐𝑐 ′ + 𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 2 𝛽𝛽 tan 𝜙𝜙 ′ = 𝜏𝜏𝑑𝑑 𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑐𝑐 ′ cos 𝛽𝛽 𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 2 𝛽𝛽 tan 𝜙𝜙 ′ × + 𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽

Reordenando la ecuación (7.18):

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑐𝑐 ′ tan 𝜙𝜙 ′ + 2 𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 𝛽𝛽 tan β tan 𝛽𝛽

Para un suelo granular 𝑐𝑐′ = 0, el factor de seguridad es:

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

(Ec. 7.18)

(Ec. 7.19)

tan 𝜙𝜙 ′ tan 𝛽𝛽

Por tanto, en suelos granulares el FS es independiente de la altura del talud y este es estable si 𝛽𝛽 < 𝜙𝜙. Sin

embargo, si el suelo posee cohesión y fricción, la profundidad a lo largo de la cual ocurre la falla, puede ser determinada sustituyendo 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 1 y 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐 en la ecuación (7.19). Entonces, se tiene: 𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐 =

𝑐𝑐′ 𝛾𝛾 cos 2 𝛽𝛽 (tan β − tan 𝜙𝜙′)

(Ec. 7.20)

7.5.2 Talud infinito con flujo de agua Se considera la sección del talud presentada en la figura 7.33, y se asume que existe flujo a través del suelo. La posición del nivel freático coincide con la superficie.

Según el método de equilibrio límite, el factor de seguridad es: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝜏𝜏𝑓𝑓 𝜏𝜏𝑑𝑑

Para estimar el valor del factor de seguridad del talud contra deslizamiento a lo largo del plano AB, se

considera nuevamente un elemento prismático de longitud unitaria perpendicular al plano de la figura 7.33. La inestabilidad de dicho elemento es causada por su propio peso, que de manera análoga al caso anterior es: 𝑊𝑊 = 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐿𝐿𝐿𝐿

La resistencia al cortante del suelo 𝜏𝜏𝑓𝑓 es: 𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 ′ + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 ′

(Ec. 7.9)

En la ecuación (7.9) 𝑐𝑐 ′ y 𝜙𝜙 ′ son obtenidos de ensayos de laboratorio; mientras que 𝜎𝜎 ′ , está referido al

valor de esfuerzos efectivos, es decir, 𝜎𝜎 ′ = 𝜎𝜎 − 𝑢𝑢

El valor de la presión de poros de agua 𝑢𝑢 = (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) × 𝛾𝛾𝑤𝑤 . A partir de la figura 7.33 (b), la altura piezométrica h es: ��� cos 𝛽𝛽 = (𝐻𝐻 cos 𝛽𝛽) cos 𝛽𝛽 = 𝐻𝐻 cos 2 𝛽𝛽 ℎ = 𝑒𝑒𝑒𝑒

(Ec. 7.21)

𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻 cos 2 𝛽𝛽

(Ec. 7.22)

Finalmente la presión de poros de agua u es:

478

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(a)

(b) Figura 7.33. Análisis de un talud infinito con flujo de agua.

El valor del esfuerzo normal y el esfuerzo cortante en la base se determina de la misma manera que en el

caso anterior, con la única diferencia de que el peso específico utilizado en los cálculos es el peso específico

saturado. Luego, se tiene: 𝜎𝜎 =

𝑁𝑁 W cos β 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐿𝐿𝐿𝐿 cos 2 𝛽𝛽 = = = 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐻𝐻 cos 2 𝛽𝛽 𝐿𝐿 𝐴𝐴 𝐿𝐿 ×1 cos 𝛽𝛽

Luego, el esfuerzo cortante desarrollado en la superficie de deslizamiento es igual a: 𝜏𝜏𝑑𝑑 =

𝑇𝑇 W sen β 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐿𝐿𝐿𝐿 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 = = = 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐻𝐻 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 𝐿𝐿 𝐴𝐴 𝐿𝐿 ×1 cos 𝛽𝛽

(Ec. 7.23)

(Ec. 7.24) 479

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Entonces, el valor del esfuerzo efectivo en la ecuación (7.9) es igual a: 𝜎𝜎 ′ = 𝜎𝜎 − 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐻𝐻 cos 2 𝛽𝛽 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻 cos 2 𝛽𝛽 𝜎𝜎 ′ = 𝐻𝐻 cos 2 𝛽𝛽 (𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 )

(Ec. 7.25)

𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 ′ + 𝐻𝐻 cos 2 𝛽𝛽 (𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 ) tan 𝜙𝜙 ′

(Ec. 7.26)

Reemplazando la ecuación (7.25) en la ecuación (7.9) se tiene: Luego, el factor de seguridad para este caso es igual a: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑐𝑐 ′ + (𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 )𝐻𝐻 cos 2 𝛽𝛽 tan 𝜙𝜙 ′ = 𝜏𝜏𝑑𝑑 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐻𝐻 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽

(Ec. 7.27)

Reordenando la ecuación (7.27), se tiene: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑐𝑐 ′ cos 𝛽𝛽 (𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 )𝐻𝐻 cos 2 𝛽𝛽 tan 𝜙𝜙 ′ × + 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐻𝐻 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐻𝐻 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 𝑐𝑐 ′ 𝛾𝛾 ′ tan 𝜙𝜙 ′ + 2 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐻𝐻 cos 𝛽𝛽 tan 𝛽𝛽 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 tan 𝛽𝛽

Donde:

(Ec. 7.28)

𝛾𝛾 ′ = 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝛾𝛾𝑤𝑤

De la misma manera que para talud sin flujo de agua; para un suelo granular 𝑐𝑐 = 0, y el factor de

seguridad es: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝛾𝛾 ′ tan 𝜙𝜙 ′ × 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 tan 𝛽𝛽

Si el suelo posee cohesión y fricción, la profundidad a lo largo de la cual ocurre la falla, puede ser

determinada sustituyendo 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 1 y 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐 en la ecuación (7.28). Entonces, se tiene: 𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐 =

𝑐𝑐 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 sin 𝛽𝛽 − 𝛾𝛾 ′ cos 𝛽𝛽 tan 𝜙𝜙

(Ec. 7.29)

Ejemplo 7.2

Para el talud de la figura 7.34, se pide determinar: a)

El factor de seguridad en función de c’, ϕ’, γ, β y H.

b) Factor de seguridad para los siguientes datos: 𝑐𝑐 ′ = 0, 𝜙𝜙 ′ = 30°, 𝛾𝛾 = 20 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3 , 𝐻𝐻 = 5 𝑚𝑚 y 𝐻𝐻2 = 3 𝑚𝑚.

Solución:

a) 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑓𝑓(𝑐𝑐 ′ , 𝜙𝜙 ′ , 𝛽𝛽, 𝛾𝛾, 𝐻𝐻)

El factor de seguridad es: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝜏𝜏𝑓𝑓 𝜏𝜏𝑑𝑑

Paso 1. Peso propio del suelo. 𝑊𝑊 = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾

480

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Figura 7.34. Talud infinito parcialmente saturado.

Paso 2. Fuerzas normal y cortante a lo largo del plano de deslizamiento. 𝑁𝑁 = 𝑊𝑊 cos 𝛽𝛽 𝑇𝑇 = 𝑊𝑊 sin 𝛽𝛽

Paso 3. La resistencia al cortante del suelo es: 𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 ′ + 𝜎𝜎′ tan 𝜙𝜙′

Paso 4. El esfuerzo total es: 𝜎𝜎 =

𝑁𝑁 𝑊𝑊 cos 𝛽𝛽 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 2 𝛽𝛽 = = = 𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 2 𝛽𝛽 𝐿𝐿 𝐿𝐿 𝐴𝐴 cos 𝛽𝛽

Paso 5. Presión de poros de agua. 𝑢𝑢 = ℎ𝑝𝑝 𝛾𝛾𝑤𝑤

A partir de la figura 7.34, la altura piezométrica sera:

ℎ𝑝𝑝 = 𝐻𝐻2 cos 2 𝛽𝛽

Luego la presión de poros de agua es: 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 cos 2 𝛽𝛽

Paso 6. El esfuerzo efectivo será:

𝜎𝜎 ′ = 𝜎𝜎 − 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 2 𝛽𝛽 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 cos 2 𝛽𝛽 = (𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 ) cos 2 𝛽𝛽

Paso 7. Luego la resistencia al cortante del suelo es: 𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 ′ + (𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 ) cos 2 𝛽𝛽 tan 𝜙𝜙′

481

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Figura 7.35. Altura piezométrica en un talud infinito parcialmente saturado.

Paso 8. Esfuerzo cortante, 𝜏𝜏𝑑𝑑 .

𝜏𝜏𝑑𝑑 =

𝑇𝑇 𝑊𝑊 sin 𝛽𝛽 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝛽𝛽 = = = 𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 𝐿𝐿 𝐿𝐿 𝐴𝐴 cos 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽

Paso 9. Finalmente el factor de seguridad es:

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑐𝑐 ′ + (𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 ) cos 2 𝛽𝛽 tan 𝜙𝜙′ = 𝜏𝜏𝑑𝑑 𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

(𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 ) tan 𝜙𝜙′ 𝑐𝑐 ′ + 𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 𝛾𝛾𝛾𝛾 tan 𝛽𝛽

𝑭𝑭𝑭𝑭 =

(𝜸𝜸𝜸𝜸 − 𝜸𝜸𝒘𝒘 𝑯𝑯𝟐𝟐 ) 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝝓𝝓′ 𝜸𝜸𝜸𝜸 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝜷𝜷

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

(𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝛾𝛾𝑤𝑤 𝐻𝐻2 ) tan 𝜙𝜙′ [20(5) − 9,8(3)] tan 30° = 𝛾𝛾𝛾𝛾 tan 𝛽𝛽 20(5) tan 20°

Reordenando:

Para un suelo granular 𝑐𝑐 ′ = 0, el factor de seguridad es: b) 𝑐𝑐 ′ = 0, 𝜑𝜑 ′ = 30°, 𝛾𝛾 = 20 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3 , 𝐻𝐻 = 5 𝑚𝑚 y 𝐻𝐻2 = 3 𝑚𝑚. 𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏

7.6 Taludes finitos Se considera a un talud como finito cuando la altura del talud tiende a la altura crítica. Debe recordarse que el análisis de estabilidad para este tipo de taludes se basa en el método del equilibrio límite plástico, por tanto, este análisis considera que la falla ocurre cuando en el talud se origina un deslizamiento en el que las deformaciones continúan incrementándose aún cuando los esfuerzos permanezcan constantes.

482

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Para el análisis de estabilidad, es necesario definir la geometría de la superficie de deslizamiento, la masa

del suelo que se mueve a lo largo de esta superficie (considerado como cuerpo libre); sin dejar de lado la

comparación que debe realizarse entre la resistencia al cortante del suelo y la resistencia al cortante desarrollada en la superficie de deslizamiento.

La figura 7.36 muestra las distintas formas de superficies de deslizamiento que existen. La forma más

simple de estas, es la superficie propuesta por Cullmann (1866) que se muestra en la figura 7.36(a), que considera un plano infinitamente largo que pasa a través del pie del talud.

(a)

(b) Figura 7.36. Tipos de superficie de falla (a) Deslizamiento traslacional (b) Deslizamiento rotacional.

7.6.1 Deslizamiento traslacional

En un deslizamiento traslacional se presentan superficies de falla plana y ocurren usualmente en taludes con

un estrado delgado de suelo que tiene resistencia relativamente baja comparada con la de los materiales que se encuentran por encima.

En muchos casos, pueden desarrollarse grietas de tracción en la cresta del talud. A su vez, en estas grietas

puede evidenciarse la presencia de agua, Fig. 7.37. La estabilidad del talud para tal caso es determinada

considerando una superficie de falla plana.

El factor de seguridad para una superficie de falla plana, es determinado a partir del esquema observado

en la figura 7.37, haciendo uso del método del equilibrio límite.

Para este caso, además de las hipótesis expuestas en el apartado 7.5, se considera:

 Existe presión de agua y se producen grietas de tensión como se observa en la figura 7.37.  El talud tiene una longitud unitaria perpendicular al plano de la figura 7.37.  No existe cizallamiento en los extremos del talud.  Las cargas no aplican momento neto.

A partir de la ecuación (7.9), se tiene: 𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 ′ + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 ′

A partir de la figura 7.37, la longitud del plano de falla es: (𝐻𝐻 − 𝑧𝑧) 𝑙𝑙 = sin 𝜃𝜃

(Ec. 7.30)

483

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Figura 7.37. Superficie de falla.

Las fuerzas a considerarse para el tipo de falla de la figura 7.37 son: 𝑈𝑈 = 𝑉𝑉 =

(𝐻𝐻 − 𝑧𝑧) 1 𝑧𝑧𝑤𝑤 𝛾𝛾𝑤𝑤 2 sin 𝜃𝜃

1 2 z 𝛾𝛾 2 w 𝑤𝑤

1 1 𝑧𝑧 2 1 𝑊𝑊 = 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 � �1 − � � � − � 2 tan 𝜃𝜃 𝐻𝐻 tan 𝛽𝛽 Donde:

(Ec. 7.31)

(Ec. 7.32) (Ec. 7.33)

𝑈𝑈 = Fuerza debida a la presión del agua.

𝑉𝑉 = Fuerza de empuje del agua en la grieta de tensión. 𝑊𝑊 = Peso del bloque deslizante.

𝑧𝑧𝑤𝑤 = Altura de agua en la grieta de tensión. 𝑧𝑧 = Profundidad de la grieta. 𝐻𝐻 = Altura del talud.

𝛽𝛽 = Inclinación del talud.

𝜃𝜃 = Inclinación del plano de falla.

La suma de las componentes de las fuerzas paralelas al plano de deslizamiento AB tiende a producir el

deslizamiento de la cuña:

Por sumatoria de fuerzas paralelas al plano, se tiene la fuerza desarrollada: 𝑇𝑇𝑑𝑑 = 𝑊𝑊 sin 𝜃𝜃 + 𝑉𝑉 cos 𝜃𝜃

La fuerza máxima resistente que se desarrolla a lo largo del plano AB es:

(Ec. 7.34)

𝑇𝑇𝑓𝑓 = 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑙𝑙

𝑇𝑇𝑓𝑓 = (𝑐𝑐′ + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙)𝑙𝑙

484

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑇𝑇𝑓𝑓 = (𝑐𝑐′𝑙𝑙 + (𝜎𝜎 ′ × 𝑙𝑙) tan 𝜙𝜙)

(Ec. 7.35)

𝜎𝜎 ′ × 𝑙𝑙 = (𝜎𝜎 × 𝑙𝑙) − (𝑢𝑢 × 𝑙𝑙)

(Ec. 7.36)

La fuerza efectiva que se produce en el plano de deslizamiento es igual a:

En la ecuación (7.43) el primer término corresponde a la fuerza total en el plano de deslizamiento, que es

igual a la sumatoria de las fuerzas verticales que actúan en la superficie de falla. Luego, se tiene: 𝜎𝜎 × 𝑙𝑙 = 𝑊𝑊 cos 𝜃𝜃 − 𝑉𝑉 sin 𝜃𝜃

(Ec. 7.37)

𝑢𝑢 × 𝑙𝑙 = 𝑈𝑈

(Ec. 7.38)

Y la fuerza originada por la presión de poros es igual a: Reemplazando (7.37) y (7.38) en (7.36) y luego en (7.35), se tiene:

𝑇𝑇𝑓𝑓 = 𝑐𝑐′𝑙𝑙 + (𝑊𝑊 cos 𝜃𝜃 − 𝑉𝑉 sin 𝜃𝜃 − 𝑈𝑈) tan 𝜙𝜙

Luego, el factor de seguridad con respecto a la resistencia está dado por:

𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑇𝑇𝑓𝑓 𝑐𝑐′𝑙𝑙 + (𝑊𝑊 cos 𝜃𝜃 − 𝑉𝑉 sin 𝜃𝜃 − 𝑈𝑈) tan 𝜙𝜙 = 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑊𝑊 sin 𝜃𝜃 + 𝑉𝑉 cos 𝜃𝜃

(Ec. 7.39)

A partir de la ecuación (7.39), pueden ser derivadas las expresiones para determinar el factor de

seguridad de casos especiales, como se presenta a continuación: a) Talud seco de suelo granular (U=0, V=0 y c’=0)

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

tan 𝜙𝜙 tan 𝜃𝜃

(Ec. 7.40)

De la ecuación (7.40), se observa que el factor de seguridad es independiente de la altura del talud. b) Corte vertical seco sin grietas (U=0, V=0, z=0 y β=90°)

Para este caso: 𝑙𝑙 =

𝐻𝐻

sin 𝜃𝜃

y 𝑙𝑙 =

1 𝛾𝛾 𝐻𝐻 2

2 tan 𝜃𝜃

Reemplazando en la ecuación (7.39), se tiene: 2𝑐𝑐′

𝐹𝐹𝐹𝐹 = sin 𝜃𝜃

𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 𝜃𝜃 tan 𝜙𝜙 tan 𝜃𝜃 𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃

+

Reordenando, se tiene: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

2𝑐𝑐 ′ + 𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 2 𝜃𝜃 tan 𝜙𝜙 𝛾𝛾𝛾𝛾 cos 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃

La altura crítica es obtenida haciendo 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 1 en la ecuación (7.41) y reemplazando 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐 . Luego, se tiene:

𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐 =

2𝑐𝑐 ′ cos 𝜙𝜙 𝛾𝛾 cos 𝜃𝜃 sin(𝜃𝜃 − 𝜙𝜙)

(Ec. 7.41)

(Ec. 7.42) 485

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Para este caso, la altura crítica ocurre cuando: 𝜋𝜋 𝜙𝜙 𝜃𝜃 = � + � 4 2

c) En términos de esfuerzos totales (c’=c u , ϕ =0) 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑐𝑐𝑢𝑢 𝐻𝐻 2𝑐𝑐𝑢𝑢 sin 𝜃𝜃 = 1 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 𝛾𝛾𝛾𝛾 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 2 tan 𝜃𝜃

(Ec. 7.43)

4𝑐𝑐𝑢𝑢 𝛾𝛾

(Ec. 7.44)

El valor de la altura crítica es obtenido de manera similar al inciso (b), de tal modo que: 𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐 =

En términos de esfuerzos totales, la altura crítica ocurre cuando 𝜃𝜃 = 𝜋𝜋⁄4

Ejemplo 7.3

Para el talud de la figura 7.38, se pide establecer el factor de seguridad.

Solución:

Figura 7.38. Falla plana en un talud finito.

Paso 1. Calculo de la longitud del plano de falla.

𝑙𝑙 = �82 + 22 = 8.25 m

El diagrama de fuerzas se denota en la figura 7.39. Paso 2. Calculo de los angulos α y θ. 𝛼𝛼 = tan−1 (2/8) = 14,04°

𝜃𝜃 = 45° − α = 45° − 14,04° = 30,96°

Paso 3. Calculo de la presión de poros. 𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 ℎ𝑝𝑝 = 9,8(2) = 19,6 kN/m2

Paso 4. Calculo del peso de la masa de suelo deslizante.

𝑊𝑊 = 𝛾𝛾𝛾𝛾 = 20[(3 × 5) + (0,5 × 5 × 5) − (0,5 × 2 × 8)] = 390 kN 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 𝑊𝑊 cos ∝ = 390 cos 14,04° = 378,35 kN

486

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑊𝑊T = 𝑊𝑊 sin ∝ = 390 sin 14,04° = 94,61 kN

Figura 7.39. Diagrama de fuerzas en el talud.

Paso 5. Calculo de la fuerza debida a la presión de agua. 𝑈𝑈 =

1 1 (𝑙𝑙)(𝑢𝑢) = (8,25)(19,6) = 80,85 kN 2 2

𝑉𝑉 =

1 1 (𝑧𝑧)(𝑢𝑢) = (2)(19,6) = 19,6 kN 2 2

Paso 6. Fuerza de empuje del agua en la grieta de tensión es:

𝑉𝑉𝑁𝑁 = 𝑉𝑉 sin 𝛼𝛼 = 19,6 sin 14,04° = 4,75 kN

𝑉𝑉𝑇𝑇 = 𝑉𝑉 cos 𝛼𝛼 = 19,6 cos 14,04° = 19,01 kN

La descomposición de la tensión en el cable será: 𝑇𝑇𝑁𝑁 = 𝑇𝑇 cos 𝜃𝜃 = 100 cos 30,96° = 85,75 kN 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 sin 𝜃𝜃 = 100 sin 30,96° = 51,44 kN

Paso 7. La sumatoria de las fuerzas es:

� 𝑁𝑁 = 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑇𝑇𝑁𝑁 − 𝑉𝑉𝑁𝑁 − 𝑈𝑈 = 378,35 + 85,75 − 4,75 − 80,85 = 378,5 kN � 𝑇𝑇 = 𝑊𝑊𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑉𝑉𝑇𝑇 = 94,61 − 51,44 + 19,01 = 62,18 kN Paso 8. Factor de seguridad.

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑅𝑅 ⁄𝑙𝑙 𝑅𝑅 𝑐𝑐 ′ 𝑙𝑙 + ∑ 𝑁𝑁 tan 𝜙𝜙′ 10(8,25) + 378,5 tan 30° = = = = ∑ 𝑇𝑇 𝜏𝜏𝑑𝑑 ∑ 𝑇𝑇⁄𝑙𝑙 ∑ 𝑇𝑇 62,18

𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝟒𝟒, 𝟖𝟖𝟖𝟖

7.6.2 Deslizamiento rotacional Aunque el análisis de equilibrio de cuerpo libre a realizarse para el caso de deslizamiento traslacional es

bastante simple, los resultados obtenidos sólo son buenos para taludes casi verticales, ya que para los demás casos se obtienen valores muy altos del factor de seguridad.

487

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Sin embargo, Whitlow (1994) afirma que aunque la selección de una superficie más compleja como una

espiral logarítmica o una forma irregular produce resultados más cercanos al valor real, el análisis requerido tiende a ser largo y tedioso.

Por tal razón, los análisis de estabilidad utilizados en la actualidad tienden a considerar a la superficie de

deslizamiento como una superficie cilíndrica que presenta la forma de un arco circular en su sección

transversal, este tipo de superficie de deslizamiento son típicos en suelos homogéneos, Fig. 7.40 (a).

En suelos heterogéneos, ya sean taludes de excavación o taludes de relleno, las líneas de rotura suelen

parecerse a una sección circular, de manera que la hipótesis de rotura circular es adoptada por la mayoría de las situaciones. Esto no excluye el tanteo de otros tipos de línea de rotura en aquellos casos en las que la

disposición del terreno indique otras posibles formas de deslizamiento, no circulares, que pudieran ser mas criticas, Fig. 7.40 (b).

Cuando se considera una superficie de deslizamiento circular, el círculo de falla puede tener distintas

formas, Fig. 7.40 (a), recibiendo cada una las siguientes denominaciones:

 Círculos de pie. Ocurre cuando al producirse la falla, el círculo de falla pasa por el pie del talud.

 Círculos de talud. Ocurre cuando al producirse la falla, el círculo de falla pasa por encima de la punta del talud.

 Círculos profundos o círculos de medio punto. Se caracteriza porque la superficie de deslizamiento pasa a cierta distancia debajo del pie del talud.

(a) (b) Figura 7.40. Tipos de deslizamientos rotacionales (a) Deslizamientos circulares (b) deslizamientos no circulares.

En el análisis de estabilidad cuando se considera una superficie de deslizamiento rotacional, puede ser

llevado a cabo a través de dos métodos: 1.

Método de masas. Es un método muy útil cuando se considera que el suelo que forma el talud es

2.

Método de los fragmentos. La masa de suelo que se encuentra sobre la superficie de deslizamiento es

homogéneo. En este método, la masa de suelo que se encuentra sobre la superficie deslizante es tomada como una unidad. Asume una superficie de deslizamiento circular.

dividida en varios fragmentos verticales. La principal ventaja de este método es que en su aplicación pueden considerarse efectos tales como la heterogeneidad de los suelos, la presión de poros del agua y tomar en cuenta esfuerzos normales que se presentan en la superficie de falla. Toma en cuenta

superficies de falla circulares y no circulares.

488

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7.6.2.1 Método de masas Para desarrollar tanto el método de masas como el método de los fragmentos se debe considerar que el

análisis de estabilidad de un corte o de un terraplén se halla fuertemente relacionado a un posible cambio en el valor de la presión de poros.

Por ejemplo, durante la construcción de un terraplén, se produce un incremento en el valor de la presión

de poros, tal incremento disminuye gradualmente con el tiempo, una vez finalizada la construcción. Por otra parte, cuando se realiza un corte la excavación causa una disminución del valor de la presión de poros. Dicho valor se incrementa gradualmente con el tiempo.

Por consiguiente, se puede notar, que debido a que la resistencia al cortante y la presión de poros tienen

una relación inversa, el factor de seguridad más bajo en un terraplén se presenta inmediatamente después de

la construcción (condición a corto plazo), mientras que en un corte este se presenta después de un cierto tiempo de finalizada la construcción (condición a largo plazo).

Los métodos a desarrollarse a continuación consideran la condición a corto plazo (fin de la construcción)

como una condición totalmente no drenada en la que la resistencia al cortante está dada por 𝜏𝜏 = 𝑐𝑐𝑢𝑢

realizándose para esta condición un análisis de esfuerzos totales.

La condición a largo plazo toma en cuenta los problemas que pudieran presentarse mucho tiempo

después de la construcción, y se considera como una condición drenada en la que se debe realizar un análisis de esfuerzos efectivos.

7.6.2.1.1 Método de masas – Condición a corto plazo Para este caso se considera un corte o terraplén construidos sobre arcilla totalmente saturada. El análisis a realizar es un análisis de esfuerzos totales. Para este, la resistencia al cortante está definida por: 𝜏𝜏 = 𝑐𝑐𝑢𝑢

El procedimiento a seguir está basado en la suposición de que un bloque de suelo rígido se desliza a

través de una superficie cilíndrica cuyo centro se encuentra sobre la parte superior del talud. Para esta suposición, existen un sin número de superficies de deslizamiento, siendo el objetivo fundamental del procedimiento el de determinar la superficie que presente el factor de seguridad más bajo.

El factor de seguridad crítico es determinado a través de un procedimiento de ensayo y error que se

realiza de la siguiente manera:

Figura 7.41. Análisis de estabilidad de un talud en un suelo homogéneo de arcilla saturada. (Das, 1997).

489

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

A partir de la figura 7.41, se realiza el análisis de estabilidad por medio del método del equilibrio límite

que considera para este caso la razón entre momentos resistentes y movilizadores. Para el círculo de falla

observado en la figura 7.41 y considerando una longitud unitaria perpendicular al plano de la figura; el peso de la masa de suelo sobre la superficie de deslizamiento AED es: 𝑊𝑊 = 𝑊𝑊1 + 𝑊𝑊2 Donde:

𝑊𝑊1 = (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹) × 𝛾𝛾

𝑊𝑊2 = (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) × 𝛾𝛾

El momento que tiende a producir el deslizamiento es igual a la sumatoria de los momentos producidos

por 𝑊𝑊1 y 𝑊𝑊2 , siendo este: 𝑀𝑀𝑑𝑑 = 𝑊𝑊1 𝑙𝑙1 − 𝑊𝑊2 𝑙𝑙2 Donde:

(Ec. 7.45)

𝑙𝑙1 y 𝑙𝑙2 = Brazos de momentos causados por 𝑊𝑊1 y 𝑊𝑊2 , respectivamente.

Por otro lado, el momento resistente es el momento ocasionado por la fuerza cortante debida a la

cohesión del suelo que actúa a lo largo de la superficie circular de deslizamiento AED. 𝑀𝑀𝑅𝑅 = 𝑐𝑐𝑑𝑑 (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴)(1)(𝑟𝑟) = 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑟𝑟 2 𝜃𝜃

A partir de la ecuación (7.5), se tiene: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

(Ec. 7.46)

∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Según el método de equilibrio límite la falla se produce cuando el factor de seguridad tiene un valor igual

a 1. Entonces de la ecuación anterior se tiene: 𝑀𝑀𝑅𝑅 = 𝑀𝑀𝑑𝑑

𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑟𝑟 2 𝜃𝜃 = 𝑊𝑊1 𝑙𝑙1 − 𝑊𝑊2 𝑙𝑙2

Luego: 𝑐𝑐𝑑𝑑 =

𝑊𝑊1 𝑙𝑙1 − 𝑊𝑊2 𝑙𝑙2 𝑟𝑟 2 𝜃𝜃

(Ec. 7.47)

𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑐𝑐𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑑𝑑

(Ec. 7.48)

De lo expresado anteriormente:

De la ecuación (7.48) se observa que el factor de seguridad mínimo se obtiene cuando 𝑐𝑐𝑑𝑑 alcanza un valor

máximo. Por tanto, para encontrar la superficie crítica de deslizamiento deben probarse varios círculos de falla hasta encontrar el crítico.

Sin embargo, estos problemas de estabilidad fueron resueltos analíticamente por Fellenius (1927) y

Taylor (1961) quienes expresan que la cohesión desarrollada en círculos críticos está dada por la siguiente

ecuación:

(𝐹𝐹𝐹𝐹)𝛾𝛾𝛾𝛾 = 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑁𝑁𝑠𝑠

𝑁𝑁𝑠𝑠 =

(𝐹𝐹𝐹𝐹)𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑐𝑐𝑑𝑑

(Ec. 7.49)

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Donde:

𝑁𝑁𝑠𝑠 = Coeficiente de estabilidad (adimensional)

La altura crítica se presenta entonces cuando 𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑢𝑢 . Luego: 𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐 =

𝑁𝑁𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑢𝑢 𝛾𝛾

La figura 7.42 permite obtener el coeficiente de estabilidad 𝑁𝑁𝑠𝑠 a partir del ángulo del talud β. Para el uso correcto de la figura 7.43 deben realizarse las siguientes consideraciones:

 Si 𝛽𝛽 > 53°; entonces el círculo de deslizamiento o círculo crítico es un círculo de pie. Para situar el centro de este círculo utilizar la figura 7.44.

 Si 𝛽𝛽 < 53° ; entonces el círculo crítico puede ser un círculo de pie, de talud o de medio punto dependiendo de la posición del estrato firme bajo el talud. Por tanto 𝑁𝑁𝑠𝑠 depende de la función de profundidad D que se define como:

𝐷𝐷 =

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

(Ec. 7.50)

 Si el círculo critico es un círculo de medio punto (es decir, superficie de deslizamiento tangente al estrato firme), su posición se determina por medio de la figura 7.45. El máximo valor del número de estabilidad para este tipo de círculos críticos es de 5,52.

 La localización de círculos críticos de pie en los que 𝛽𝛽 < 53°; fue investigada por Fellenius (1927) y es hallada a partir de la figura 7.46 y la tabla 7.2.

Figura 7.42. Estabilidad de taludes a corto plazo en arcillas saturadas (Taylor, 1961).

491

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Figura 7.43. Localización del centro de los círculos críticos para 𝛽𝛽 < 53° (Das, 1997).

Figura 7.44. Localización del círculo de medio punto (Das, 1997).

492

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Figura 7.45.Localización del centro de los círculos críticos de punta para 𝛽𝛽 < 53° (Das, 1997).

Tabla 7.2. Localización del centro de los círculos críticos de punta para 𝛽𝛽 < 53° (Das, 1997). 𝜷𝜷 (°)

𝒏𝒏′

1,0 1,5 2,0 3,0 5,0

45 33,68 26,57 18,43 11,32

𝜶𝜶𝟏𝟏 (°) 28 26 25 25 25

𝜶𝜶𝟐𝟐 (°) 37 35 35 35 37

El ábaco de la figura 7.46 relaciona el número de estabilidad 𝑁𝑁𝑒𝑒 , el ángulo del talud 𝛽𝛽, y 𝜙𝜙 para valores

entre 0° y 25°. En la zona A, el círculo crítico de pie queda totalmente por encima del pie del talud, en la zona B, el círculo de pie más desfavorable penetra por debajo del pie del talud. El numero de estabilidad 𝑁𝑁𝑒𝑒 , esta dada por la siguiente ecuación: 𝑁𝑁𝑒𝑒 =

𝑐𝑐𝑑𝑑 (𝐹𝐹𝐹𝐹)𝛾𝛾𝛾𝛾

(Ec. 7.51)

7.6.2.1.2 Método de masas – Condición a largo plazo 7.6.2.1.2.1 Método de círculo de fricción para suelos c’–ϕ’ y u=0 Este método es muy usado en suelos homogéneos donde 𝜙𝜙′ > 0, de tal manera que la resistencia al cortante

dependa de los esfuerzos normales. Este método puede ser utilizado cuando se desea considerar en los cálculos tanto las componentes cohesivas como las de fricción.

El método intenta satisfacer la condición de equilibrio completo, asumiendo la dirección de la resultante

de las fuerzas de fricción y normales, F que actúa en la superficie de falla.

La superficie de falla se produce una vez que se haya movilizado la fricción total; por tanto la línea de

acción de la resultante F forma un ángulo ϕ con la normal al arco de deslizamiento AC; siendo esta línea de acción tangente al círculo de fricción cuyo radio es igual a 𝑟𝑟 sin 𝜙𝜙.

Esta suposición es equivalente a decir que la resultante de todas las fuerzas normales que actúan en la

superficie de deslizamiento se concentra en un punto, hecho que garantiza la obtención del factor de seguridad más bajo.

493

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Figura 7.46. Estabilidad de taludes homogéneos en terrenos con rozamiento interno (Taylor, 1961; en Jimenez Salas y otros, 1976).

494

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Las fuerzas a tomarse en cuenta son las siguientes, Fig.7.47:

 La fuerza debida al peso de la cuña de suelo, 𝑊𝑊 = (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) × 𝛾𝛾

 𝑐𝑐𝑑𝑑 , es la fuerza resultante de los esfuerzos cortantes cohesivos que actúan en la superficie de deslizamiento AC. Esta fuerza actúa paralela a la dirección de la cuerda ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 . La distancia a de la fuerza 𝑐𝑐𝑑𝑑 al centro del círculo O es determinada tomando momentos entre la resultante 𝑐𝑐𝑑𝑑 y la fuerza de cohesión cortante distribuida 𝑐𝑐𝑑𝑑 , obteniéndose: 𝑎𝑎 =

𝑐𝑐𝑑𝑑 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐴𝐴𝐴𝐴)𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 ���� 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴

 La fuerza F es la resultante de las fuerzas normal y de fricción que actúan a lo largo de la superficie de deslizamiento.

Para que se cumpla la condición de equilibrio, F debe pasar por el punto de intersección de las fuerzas W

y 𝑐𝑐𝑑𝑑 . Luego, las direcciones de W, 𝑐𝑐𝑑𝑑 y F al igual que la magnitud de W son conocidas; pudiendo dibujarse el

polígono de fuerzas mostrado en la figura 7.47 (b).

La magnitud de 𝐶𝐶𝑑𝑑 se encuentra a través del polígono de fuerzas, mientras que el valor de la cohesión 𝑐𝑐𝑑𝑑

es determinado a través de la siguiente expresión: 𝑐𝑐𝑑𝑑 =

𝐶𝐶𝑑𝑑 ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴

(Ec. 7.52)

(a)

(b)

Figura 7.47. Análisis de taludes en suelos homogéneos con 𝜙𝜙 > 0.

495

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Posteriormente se realizan varias pruebas, hasta obtenerse la superficie crítica de deslizamiento, a lo

largo de la cual el valor de 𝑐𝑐𝑑𝑑 es máximo. Luego:

𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝛾𝛾𝛾𝛾[𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙)]

Cuando el equilibrio límite es alcanzado, 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑐𝑐. Entonces, el número de estabilidad m se halla

definido de la siguiente manera: 𝑚𝑚 =

𝑐𝑐 = 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙) 𝛾𝛾𝐻𝐻𝑐𝑐𝑐𝑐

Para la determinación de m, Taylor proporciona una serie de gráficas, estando todas ellas en función de 𝛽𝛽

y 𝜙𝜙. El procedimiento a seguirse es un procedimiento iterativo.

Figura 7.48. Curvas del número de estabilidad con ángulo de talud (después de Taylor 1937).

Posteriormente, Singh (1970), utilizando el método de Taylor para el análisis de estabilidad de taludes,

proporciona gráficas de iguales factores de seguridad, FS, para varios taludes.

Estas gráficas son presentadas en la figura 7.49. En todas ellas, el valor de la presión de poros es asumido

como cero.

496

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Pendiente 0,5H:1V

Pendiente 0,75H:1V

Pendiente 1H:1V

Pendiente 1,5H:1 V

Pendiente 2H:1V Pendiente 2,5H:1V Figura 7.49. Curvas de Factor de Seguridad para diferentes pendientes de talud.

497

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Pendiente 3H:1V Figura 7.49 (continuación). Curvas de Factor de Seguridad para diferentes pendientes de talud.

7.6.2.1.2.2 Cartas de Cousins para suelos c’ –ϕ’ con u>0

El método de Cousins (1978) es una variación al método del círculo de fricción de Taylor que se usa para

analizar la estabilidad de taludes construidos en suelos homogéneos. Este método toma en cuenta el efecto de la presión de poros de agua ocasionada por el flujo.

Las cartas de Cousins son presentadas en las figuras 7.50 y 7.51. Los parámetros utilizados en la

elaboración de estas cartas, se detallan a continuación:  Altura del talud H.

 Función de profundidad D.  Peso unitario del suelo γ.

 Parámetros efectivos de resistencia al corte del suelo c’ – ϕ’.

 Coeficiente de presión de poros de agua 𝑟𝑟𝑢𝑢 . La manera de determinación y las consideraciones a tomarse para la obtención de 𝑟𝑟𝑢𝑢 se desarrollaron en el apartado 4.3.

𝜆𝜆𝑐𝑐 ′ −𝜙𝜙 ′ =

𝛾𝛾𝛾𝛾 tan 𝜙𝜙 ′ 𝑐𝑐 ′

(Ec. 7.53)

 Factor de estabilidad 𝑁𝑁𝑠𝑠 . 𝑁𝑁𝑠𝑠 =

𝛾𝛾𝛾𝛾(𝐹𝐹𝐹𝐹) 𝑐𝑐 ′

(Ec. 7.54)

La figura 7.48 debe ser usada para círculos críticos de pie, mientras que la figura 7.49 se usa para círculos

críticos con varias funciones de profundidad D.

El valor de 𝑟𝑟𝑢𝑢 a utilizarse en estas figuras; debe ser el valor promedio que se presenta a lo largo de toda la

superficie de deslizamiento.

Para la determinación del mínimo factor de seguridad se recomienda realizar verificaciones tanto para

círculos de pie como para círculos con distintas funciones de profundidad.

498

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Figura 7.50. Número de estabilidad de Cousins para círculos críticos de pies.

499

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Figura 7.50 (continuación). Número de estabilidad de Cousins para círculos críticos de pies.

Figura 7.51. Número de estabilidad de Cousins para círculos críticos de pies con factores de profundidad especificados.

500

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Figura 7.51 (continuación). Número de estabilidad de Cousins para círculos críticos de pies con factores de profundidad especificados.

501

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Ejemplo 7.4 Para el talud de la figura 7.52 se pide determinar: a)

Factor de seguridad con el método de Taylor a corto y largo plazo.

b) Factor de seguridad con el método de Coussin (condición a largo plazo)

Solución:

Figura 7.52. Talud finito completamente saturado.

𝐷𝐷𝐷𝐷 = 11 𝐷𝐷 =

11 11 = = 1,57 7 𝐻𝐻

El ángulo del talud es: 1 𝛽𝛽 = tan−1 � � = 26,57° 2

Como el talud se encuentra completamente saturado se tiene: 𝑟𝑟𝑢𝑢 = 0,50 a)

Método de Taylor.

Condiciones no drenadas. De la figura 7.42 se obtiene el coeficiente de estabilidad 𝑁𝑁𝑠𝑠 = 6,247 Factor de seguridad a corto Plazo. 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑁𝑁𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑢𝑢 6,247(50) = 𝛾𝛾′𝐻𝐻 10,2(7)

𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟑𝟑

Condiciones drenadas. De la figura 7.48 el número de estabilidad no existe en para 𝜙𝜙 = 30°, pero sabemos que tiene que ser muy pequeño, entonces 𝑚𝑚 = 0,01. Factor de seguridad a largo Plazo. 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑐𝑐′ 10 = 𝛾𝛾′𝐻𝐻𝐻𝐻 10,2(7)(0,01)

𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝟏𝟏𝟏𝟏

b) Método de Coussin. 𝜆𝜆𝑐𝑐,𝜑𝜑 =

𝛾𝛾′𝐻𝐻 tan 𝜑𝜑′ 10,2(7) tan 30° = = 2,06 𝑐𝑐′ 20 502

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Para círculo de pie y 𝑟𝑟𝑢𝑢 = 0,50 se obtiene el factor de estabilidad 𝑁𝑁𝑠𝑠 = 13,5 Para círculo de D se obtiene el factor de estabilidad 𝑁𝑁𝑠𝑠 = 11,9

El factor de seguridad se calcula con el menor valor de factor de estabilidad: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

𝑐𝑐′𝑁𝑁𝑠𝑠 20(11,9) = 𝛾𝛾′𝐻𝐻 10,2(7)

𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑

7.6.2.2 Método de fragmentos El método de masas desarrollado anteriormente, no depende de la distribución de esfuerzos efectivos normales a lo largo de la superficie de falla. Sin embargo, cuando se desea calcular la resistencia al corte movilizado para un suelo 𝑐𝑐 ′ − 𝜑𝜑 ′ , esta distribución de esfuerzos debe ser conocida.

Esta condición se logra analizar, discretizando la masa de suelo que se encuentra sobre la superficie de

deslizamiento en pequeños fragmentos, donde cada uno es tratado como un bloque deslizante individual.

La principal ventaja de este método es que se adapta fácilmente a geometrías de taludes complejas, a

condiciones variables del terreno y a la influencia de cargas externas de borde, Fig. 7.53.

Figura 7.53. División de una masa potencial deslizante en fragmentos.

En este apartado se desarrollan varios procedimientos para el análisis de estabilidad por el método de

fragmentos, basándose todos estos en el análisis de equilibrio límite.

Todos los métodos de fragmentos, excepto el método ordinario de fragmentos, se destacan por tener más

de una condición de equilibrio. En otras palabras, dos o tres condiciones de equilibrio se usan en la

determinación del factor de seguridad. Por consiguiente, incógnitas auxiliares deben ser introducidas con objeto de hacer el número de incógnitas compatible con el número de ecuaciones.

Sin embargo, a pesar de que la distribución de esfuerzos normales es desconocida, mediante esta, se

provee una manera de introducir variables incógnitas auxiliares, que logren hacer al problema determinado.

503

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Un método de equilibrio límite riguroso se considera a aquel que satisface todas las condiciones de

equilibrio, por tanto, dos incógnitas auxiliares deben ser introducidas con objeto de hacer al problema determinado. Un método de equilibrio límite no riguroso es aquel donde dos condiciones de equilibrio son considerados, por tanto, sólo una incógnita auxiliar debe ser introducida.

La figura 7.54 muestra el sistema general de fuerzas que afectan a cada fragmento. La línea de empuje

observada en la figura, conecta los puntos de aplicación de las fuerzas interfragmentos 𝑍𝑍𝐿𝐿 y 𝑍𝑍𝑅𝑅 . La posición

de la línea de empuje puede ser asumida o puede ser determinada utilizando un método de análisis riguroso que satisfaga el equilibrio completo.

𝐹𝐹𝐹𝐹 = Factor de seguridad.

𝑍𝑍𝐿𝐿 = Fuerza interfragmento izquierda.

𝜏𝜏𝑑𝑑 = Resistencia al corte movilizado.

𝜃𝜃𝐿𝐿 = Angulo de fuerza interfragmento izquierda.

𝜏𝜏𝑓𝑓 = Resistencia al corte del suelo.

𝑈𝑈𝛼𝛼 = Fuerza debida a los poros de agua.

𝑈𝑈𝛽𝛽 = Fuerza debida al agua en la superficie.

𝑍𝑍𝑅𝑅 = Fuerza interfragmento derecha.

𝜃𝜃𝑅𝑅 = Angulo de fuerza interfragmento derecha. ℎ𝐿𝐿 = Altura para la fuerza 𝑍𝑍𝐿𝐿 .

𝑊𝑊 = Peso del fragmento.

ℎ𝑅𝑅 = Altura para la fuerza 𝑍𝑍𝑅𝑅 .

𝑄𝑄 = Sobrecarga externa.

𝛽𝛽 = Inclinación de la parte superior del fragmento.

𝑘𝑘𝑣𝑣 = Coeficiente sísmico vertical.

𝑏𝑏 = Ancho del fragmento.

𝑁𝑁 ′ = Fuerza normal efectiva.

𝑘𝑘ℎ = Coeficiente sísmico horizontal. ℎ𝑐𝑐 = Altura del centroide del fragmento.

𝛼𝛼 = Inclinación de la base del fragmento.

ℎ = Altura del fragmento.

Figura 7.54. Fuerzas actuantes en un fragmento típico (Abramson, 1996).

Para el sistema de fuerzas mostrado en la figura 7.54 existen (6𝑛𝑛 − 2) ecuaciones incógnitas y 4n

ecuaciones conocidas, tabla 7.3, por tanto, la solución al sistema de ecuaciones es estáticamente

indeterminada.

504

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar Tabla 7.3. Ecuaciones e incógnitas asociadas al método de fragmentos. Ecuación

Condición

n 2n n 4n

Equilibrio de momentos para cada fragmento. Equilibrio de fuerzas en dos direcciones (para cada fragmento) Relación Mohr-Coulomb entre la resistencia al cortante y los esfuerzos efectivos normales. Número total de ecuaciones.

Ecuación 1 n n n n-1 n-1 n-1 6n-2

Condición

Factor de seguridad. Fuerza normal en la base de cada fragmento, 𝑁𝑁 ′ Ubicación de la fuerza normal, 𝑁𝑁 ′ Fuerza cortante en la base de cada fragmento, 𝑆𝑆𝑚𝑚 Fuerza interfragmento, Z Inclinación de la fuerza interfragmento, 𝜃𝜃 Ubicación de la fuerza interfragmento, línea de empuje. Número total de incógnitas

Sin embargo, el número de ecuaciones incógnitas puede ser reducido haciendo ciertas suposiciones. Las

suposiciones hechas por los distintos métodos con el objeto de hacer al problema determinado, se detallan a continuación:

Método de Bishop simplificado.- Bishop (1955) asume que todas las fuerzas cortantes interfragmentos son

iguales a cero. Este método fue originalmente desarrollado para analizar la estabilidad de superficies de deslizamiento circulares, donde el equilibrio de fuerzas verticales y el equilibrio de momentos son

satisfechos.

Método de Spencer.- Spencer (1967, 1973) satisface rigurosamente las condiciones de equilibrio estático

asumiendo que la resultante de las fuerzas interfragmentos tiene una inclinación constante pero desconocida. Esta suposición reduce en (𝑛𝑛 − 1) el número de incógnitas, obteniéndose finalmente (4𝑛𝑛 − 1) incógnitas; pero al ser la inclinación desconocida el número de incógnitas se incrementa en 1 haciendo de esta manera que el sistema sea determinado.

Método de Bishop riguroso.- Bishop (1955) asume (𝑛𝑛 − 1) fuerzas cortantes interfragmentos para calcular

el factor de seguridad. Luego de que la suposición produce (4𝑛𝑛 − 1) incógnitas, la condición de equilibrio de momentos no es directamente satisfecha.

Sin embargo, Bishop introduce una incógnita adicional asumiendo que existe una distribución única de

las fuerzas cortantes interfragmentos y despreciando la posible existencia de un número infinito de distribuciones.

Método de Morgenstern & Price.- Morgenstern & Price (1965) proponen un método que es similar al

método de Spencer, con la diferencia de que se asume que la inclinación de la fuerza resultante interfragmento varía de acuerdo a una porción de función arbitraria. Esta porción de función arbitraria introduce una incógnita adicional, convirtiéndose de esta manera en determinado al sistema.

Las condiciones de equilibrio satisfechas en cada método en particular, se resumen en la tabla 7.4.

Tabla 7.4.Condiciones de equilibrio estático satisfechas por el método de equilibrio límite (Abramson, 1996). Método

Superficie de falla

x

Equilibrio de fuerzas y

Equilibrio de momentos

Bishop simplificado Bishop riguroso Spencer Morgenstern-Price Método generalizado de equilibrio límite

Circular Cualquier forma Cualquier forma Cualquier forma Cualquier forma

Si Si Si Si Si

No Si Si Si Si

Si Si Si Si Si

505

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

7.6.2.2.1 Método de Bishop simplificado El método de Bishop simplificado utiliza el método de los fragmentos para discretizar la masa de suelo que se encuentra sobre la superficie deslizante, con el objeto de determinar el valor del factor de seguridad.

Este método satisface el equilibrio de fuerzas verticales y sólo debe ser utilizado para superficies

circulares de deslizamiento. Este método asume que las fuerzas cortantes interfragmentos son iguales a cero.

La figura 7.55 (a) muestra un talud a través del cual existe una infiltración con flujo establecido. A partir

de la discretización del talud de la figura 7.55 (a), Fig. 7.55 (b), se puede realizar el diagrama de fuerzas para

uno de los fragmentos. Este es observado en la figura 7.55 (c).

Para el talud de la figura 7.55 (a), la presión de poros promedio en la base del n-ésimo fragmento es igual

a 𝑢𝑢𝑛𝑛 = ℎ𝑛𝑛 𝛾𝛾𝑤𝑤 . La fuerza total causada por la presión de poros en la base del fragmento es igual a 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 .

Las fuerzas normales y cortantes en la base del fragmento, debidas a la reacción del peso son 𝑁𝑁𝑑𝑑 y 𝑇𝑇𝑑𝑑

respectivamente:

𝑁𝑁𝑑𝑑 = 𝑊𝑊𝑖𝑖 cos 𝛼𝛼𝑖𝑖

(Ec. 7.55)

𝑇𝑇𝑑𝑑 = 𝜏𝜏𝑑𝑑 (∆𝐿𝐿i ) 𝑇𝑇𝑑𝑑 = 𝑇𝑇𝑑𝑑 =

𝜏𝜏𝑓𝑓 1 ′ (∆𝐿𝐿𝑖𝑖 ) = (𝑐𝑐 + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 ′ )∆𝐿𝐿𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹 1 ′ (𝑐𝑐 ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 + (𝜎𝜎 − 𝑢𝑢) tan 𝜙𝜙 ′ ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 ) 𝐹𝐹𝐹𝐹

(Ec. 7.56)

(Ec. 7.57)

El esfuerzo normal total en la base del fragmento es igual a la razón entre las fuerzas normales y el área

de la base. Luego: 𝜎𝜎 =

𝑁𝑁𝑑𝑑 ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 × 1

Reemplazando la ecuación (7.58) en la ecuación (7.57), se tiene: 𝑇𝑇𝑑𝑑 =

1 ′ 𝑁𝑁𝑑𝑑 �𝑐𝑐 ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 + � − 𝑢𝑢� tan 𝜙𝜙 ′ ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 � 𝐹𝐹𝐹𝐹 ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 × 1

(Ec. 7.58) (Ec. 7.59)

A partir del polígono de fuerzas observado en la figura 7.55 (c), donde ∆𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑃𝑃𝑖𝑖+1 . La sumatoria de

fuerzas verticales es realizada de la siguiente manera: 𝑊𝑊𝑖𝑖 + ∆𝑇𝑇 = 𝑁𝑁𝑑𝑑 cos 𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝑇𝑇𝑑𝑑 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖

Reemplazando (7.59) en (7.60), se tiene: 𝑊𝑊𝑖𝑖 + ∆𝑇𝑇 = 𝑁𝑁𝑑𝑑 cos 𝛼𝛼𝑖𝑖 + �

Luego: 𝑁𝑁𝑑𝑑 =

𝑊𝑊𝑖𝑖 + ∆𝑇𝑇 +

(Ec. 7.60)

1 ′ 𝑁𝑁𝑑𝑑 �𝑐𝑐 ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 + � − 𝑢𝑢� tan 𝜙𝜙 ′ ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 �� sin 𝛼𝛼𝑖𝑖 ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 × 1 𝐹𝐹𝐹𝐹

𝑐𝑐 ′ ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑢𝑢 tan 𝜙𝜙 ′ ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹 tan 𝜙𝜙 ′ sin 𝛼𝛼𝑖𝑖 cos 𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝐹𝐹𝐹𝐹

(Ec. 7.61)

Por equilibrio en la cuña ABC, realizando sumatoria de momentos a partir del punto O, Fig. 7.55 (b), se

tiene:

506

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝑖𝑖=𝑛𝑛

𝑖𝑖=𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

� 𝑊𝑊𝑖𝑖 𝑟𝑟 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖 = � 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑟𝑟

(Ec. 7.62)

(a)

(b)

Figura 7.55. Análisis de estabilidad por el método ordinario de los fragmentos (a) Talud con infiltración en régimen permanente (b) Superficie de falla de prueba (c) Fuerzas que actúan en la n-ésima dovela y polígono de fuerzas de equilibrio (Das, 2001).

507

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Reemplazando las ecuaciones (7.59) y (7.61) en (7.62) y si se considera por simplicidad que ∆𝑇𝑇 = 0 y ∆𝐿𝐿𝑖𝑖

es aproximadamente igual 𝑏𝑏𝑖𝑖 ; 𝑏𝑏𝑖𝑖 = ∆𝐿𝐿𝑖𝑖 ⁄cos 𝛼𝛼𝑖𝑖 se tiene: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

∑𝑖𝑖=𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 [𝑐𝑐𝑏𝑏𝑖𝑖 + (𝑊𝑊𝑖𝑖 − 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖 ) tan 𝜙𝜙] ∑𝑖𝑖=𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑊𝑊𝑖𝑖 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖

Donde:

𝑚𝑚𝛼𝛼 (𝑖𝑖) = cos 𝛼𝛼𝑖𝑖 +

1 𝑚𝑚𝛼𝛼 (𝑖𝑖)

(Ec. 7.63)

tan 𝜙𝜙 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐹𝐹

𝑊𝑊𝑖𝑖 = Peso total del fragmento

La ecuación (7.63) es utilizada para el caso en el que el valor de la presión de poros es distinto de cero, es

decir, es utilizada cuando existe presencia de agua. Sin embargo, cuando no existe infiltración a través del

talud, la presión de poros es igual a cero.

A partir de la ecuación (7.63) puede derivarse la expresión que permite hallar el factor de seguridad para

el caso de talud seco. Para este caso, el valor de la presión de poros es igual a cero 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 0. Luego, el valor del factor de seguridad está dado por la siguiente ecuación: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

∑𝑖𝑖=𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 [𝑐𝑐𝑏𝑏𝑖𝑖 + 𝑊𝑊𝑖𝑖 tan 𝜙𝜙]

Donde:

∑𝑖𝑖=𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑊𝑊𝑖𝑖 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖

𝑚𝑚𝛼𝛼 (𝑖𝑖) = cos 𝛼𝛼𝑖𝑖 +

1 𝑚𝑚𝛼𝛼 (𝑖𝑖)

(Ec. 7.64)

tan 𝜙𝜙 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐹𝐹

𝑊𝑊𝑖𝑖 = Peso total del fragmento

Para el caso general de la figura 7.56 que presenta un talud con presencia de agua, el factor de seguridad

es determinado de manera simple haciendo uso de la tabla 7.4.

Figura 7.56. Caso general con presencia de nivel freático.

De la tabla 7.5 puede que las columnas 1 a la 7 corresponden a los datos del perfil y a los cálculos cuyos

valores permanecen constantes en todas las iteraciones. Las columnas 17 y 18 corresponden a la iteración para la determinación del factor de seguridad.

El valor de 𝛼𝛼𝑛𝑛 es calculado con la siguiente ecuación: 𝑥𝑥 𝛼𝛼𝑛𝑛 = sin−1 � � 𝑅𝑅

508

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

En resumen, para la determinación del factor de seguridad debe dibujarse primero un círculo de falla a lo

largo del talud. Con el círculo definido realizar los cálculos correspondientes a las columnas 1 a 7. Luego asumir un valor de factor de seguridad, calcular con este último el valor de 𝑚𝑚𝛼𝛼 , y calcular la columna 18.

Por último comparar el valor del factor de seguridad asumido con el valor de factor de seguridad

calculado. Realizar las iteraciones necesarias hasta obtener que el valor del factor de seguridad asumido sea

igual al valor del factor de seguridad calculado.

Tabla 7.5. Determinación del factor de seguridad a partir del método de Bishop simplificado.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nº Frag.

b

x

z

u

W

b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7

u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7

W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7

𝛂𝛂𝐢𝐢

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛂𝛂𝐢𝐢

c’

1 2 3 4 5 6 7

𝐡𝐡𝐩𝐩

11

12

ϕ'

c'*b

13

u*b

ϕ’ 1 ϕ’ 2 ϕ’ 3 ϕ’ 4 ϕ’ 5 ϕ’ 6 ϕ’ 7

14

𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝛟𝛟′

15

h p1 h p2 h p3 h p4 h p5 h p6 h p7

(W-u*b)*tanϕ’

16 (12)+(15)

17

𝟏𝟏/𝐦𝐦𝛂𝛂

α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

18

19

(16)*(17)

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛂𝛂𝐢𝐢

∑Col 18

Ejemplo 7.5

c’ 1 c’ 2 c’ 3 c’ 4 c’ 5 c’ 6 c’ 7

20

𝐖𝐖 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛂𝛂𝐢𝐢

∑Col 20

Para el talud de la figura 7.57, que tiene centro en el punto O y pasa por el pie del talud, se pide determinar el factor de seguridad contra deslizamiento por el método de Bishop simplificado.

Figura 7.57. Talud parcialmente saturado.

509

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Solución: En la figura 7.58 se muestra la geometría del talud dividido.

Figura 7.58 Geometría del talud.

El factor de seguridad se define como: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

∑[𝑐𝑐𝑏𝑏𝑖𝑖 + (𝑊𝑊𝑖𝑖 − 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 ) tan 𝜙𝜙′]

Donde:

∑ 𝑊𝑊𝑛𝑛 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖 + ∑

𝑚𝑚𝛼𝛼 (𝑖𝑖) = cos 𝛼𝛼𝑖𝑖 +

𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑅𝑅

1 𝑚𝑚𝛼𝛼 (𝑖𝑖)

tan 𝜙𝜙′ sin 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐹𝐹

∑ 𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 : Representa los momentos resultantes de las fuerzas que se encuentran fuera de la masa de suelo,

por ejemplo cargas en la superficie, como se muestra en la figura 7.59. En este caso el momento externo ocasionado por el nivel de agua externo es:

𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴 × 𝑎𝑎 78,4(35 − 1,33) = = = −75,41 𝑅𝑅 𝑅𝑅 35

Figura 7.59. Presión hidrostática del agua.

510

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Los cálculos correspondientes son tabulados de la siguiente manera: 𝑥𝑥 𝛼𝛼𝑛𝑛 = sin−1 � � 𝑅𝑅

Tabla 7.6. Planilla de cálculo para el ejemplo 7.5 (método de Bishop simplificado) 1

2

3

4

Nº Frag.

b

x

z

1 2 3 4 5 6

5 5 3,12 3,12 3,94 3,94

2,5 7,5 11,56 14,68 18,21 22,15

0,91 2,19 2,66 2,64 2,17 0,95

11

12

ϕ'

c'*b

13

u*b

30 30 30 30 30 30

75 75 46,8 46,8 39,4 39,4

191,59 156,31 62,07 23,54 0 0

14

𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝛟𝛟′

0,577 0,577 0,577 0,577 0,577 0,577

5

𝐡𝐡𝐩𝐩

15

3,91 3,19 2,03 0,77 0 0

6

7

8

9

10

u

W

243,87 286,05 177,97 128,95 168,98 72,02

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛂𝛂𝐢𝐢

c’

38,32 31,26 19,89 7,55 0 0

𝛂𝛂𝐢𝐢

16

(W-u*b)*tanϕ’

(12)+(15)

30,17 74,86 66,87 60,82 97,5 41,56

105,17 149,86 113,67 107,62 136,9 80,96

17

𝟏𝟏/𝐦𝐦𝛂𝛂

0,989 0,979 0,988 1,006 1,041 1,107

4,1 12,37 19,29 24,8 31,35 39,26 18

(16)*(17) 103,97 146,81 112,38 108,3 142,55 89,6 703,6

Finalmente después de varias iteraciones en la tabla, el factor de seguridad es: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

0,997 0,977 0,944 0,908 0,854 0,774 19

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛂𝛂𝐢𝐢

0,071 0,214 0,33 0,419 0,52 0,633

15 15 15 15 10 10

20 𝐖𝐖 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛂𝛂𝐢𝐢

17,31 61,21 58,73 54,03 87,87 45,59

324,75

703,6 324,75 − 75,41

𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝟐𝟐, 𝟖𝟖𝟖𝟖

Ejemplo 7.6 Para el talud del ejemplo 7.5, se pide calcular el factor de seguridad contra el deslizamiento, suponiendo que el talud se encuentra completamente seco.

Figura 7.60. Talud seco.

511

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Solución: Utilizaremos la misma geometría del anterior ejercicio pero sin agua como se muestra en la figura 7.61,

en tal caso la sumatoria de momentos exteriores se hace cero.

Los cálculos correspondientes son:

Figura 7.61. Geometría del talud.

Tabla 7.7. Planilla de cálculo para el ejemplo 7.6 (método de Bishop simplificado)

1

2

3

4

Nº Frag.

b

x

z

1 2 3 4 5 6

5 5 3,12 3,12 3,94 3,94

2,5 7,5 11,56 14,68 18,21 22,15

0,91 2,19 2,66 2,64 2,17 0,95

11

12

13

ϕ'

c'*b

u*b

30 30 30 30 30 30

75 75 46,8 46,8 39,4 39,4

0 0 0 0 0 0

El factor de seguridad es: 𝐹𝐹𝐹𝐹 =

14

𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝛟𝛟′

0,577 0,577 0,577 0,577 0,577 0,577

5

15

0 0 0 0 0 0

𝐡𝐡𝐩𝐩

6

7

8

9

10

u

W

96,87 237,05 177,97 128,95 168,98 72,02

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛂𝛂𝐢𝐢

c’

0 0 0 0 0 0

𝛂𝛂𝐢𝐢

16

(W-u*b)*tanϕ’

(12)+(15)

55,89 136,78 102,69 74,4 97,5 41,56

130,89 211,78 149,49 121,2 136,9 80,96

17

𝟏𝟏/𝐦𝐦𝛂𝛂 0,988 0,979 0,987 1,004 1,038 1,103

4,1 12,37 19,29 24,8 31,35 39,26 18

(16)*(17) 129,36 207,24 147,53 121,7 142,14 89,27 837,25

0,997 0,977 0,944 0,908 0,854 0,774 19

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛂𝛂𝐢𝐢 0,071 0,214 0,33 0,419 0,52 0,633

15 15 15 15 10 10

20 𝐖𝐖 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛂𝛂𝐢𝐢

6,88 50,73 58,73 54,03 87,87 45,59

303,82

837,25 = 2,75 303,82

𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝟐𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕

512

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

7.6.2.2.2 Método de Bishop & Morgenstern El método desarrollado por Bishop & Morgenstern (1960) involucra el uso de coeficientes de estabilidad

de una manera similar al método de Taylor, con la diferencia de que este método trabaja con esfuerzos efectivos. La determinación del factor de seguridad depende de cinco variables que se enuncian a continuación:

 Ángulo de inclinación del talud β

 Factor de profundidad D (definido de la misma manera que en el método de Taylor).  Ángulo de resistencia al cortante 𝜙𝜙 ′

 Parámetro no dimensional 𝑐𝑐 ⁄𝛾𝛾𝛾𝛾

 Coeficiente de presión de poros 𝑟𝑟𝑢𝑢

Este método fue desarrollado a partir de la ecuación (7.63) correspondiente al método de Bishop

simplificado, realizando las siguientes consideraciones: 𝑊𝑊𝑖𝑖 = 𝛾𝛾𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 Donde:

(Ec. 7.65)

𝑊𝑊𝑖𝑖 = Peso del n-ésimo fragmento.

𝑧𝑧𝑖𝑖 = Altura promedio del n-ésimo fragmento.

𝑢𝑢𝑖𝑖 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 ℎ𝑖𝑖 = Presión de poros de agua en el fondo del n-ésimo fragmento.

El coeficiente de presión de poros en el n-ésimo fragmento 𝑟𝑟𝑢𝑢(𝑛𝑛) es una cantidad adimensional y se halla

definido por la siguiente expresión: 𝑟𝑟𝑢𝑢(𝑖𝑖) =

𝑢𝑢𝑖𝑖 𝛾𝛾𝑤𝑤 ℎ𝑖𝑖 = 𝛾𝛾𝑧𝑧𝑖𝑖 𝛾𝛾𝑧𝑧𝑖𝑖

Reemplazando las ecuaciones (7.65) y (7.66) en la ecuación (7.63), se tiene: 𝑐𝑐 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝑖𝑖=𝑛𝑛 + �1 − 𝑟𝑟𝑢𝑢(𝑖𝑖) � tan 𝜙𝜙 1 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝐻𝐻 𝐻𝐻 𝐻𝐻 𝐹𝐹𝐹𝐹 = � �×�� � 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝑚𝑚𝛼𝛼 (𝑖𝑖) ∑𝑖𝑖=𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1 𝐻𝐻 𝐻𝐻 sin 𝛼𝛼𝑖𝑖

(Ec. 7.66)

(Ec. 7.67)

La ecuación (7.76) considera una condición de infiltración con flujo establecido, por tanto, se adopta un

valor promedio de 𝑟𝑟𝑢𝑢(𝑖𝑖) . Este valor promedio debe ser constante y se denomina 𝑟𝑟𝑢𝑢 .

El valor del factor seguridad puede ser determinado a partir de la ecuación (7.76) de la siguiente manera: 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑚𝑚′ − 𝑛𝑛′𝑟𝑟𝑢𝑢 Donde:

(Ec. 7.68)

𝑚𝑚′, 𝑛𝑛′ =Coeficientes de estabilidad.

Las tablas 7.8 presentan valores de 𝑚𝑚′ y 𝑛𝑛′ para varias combinaciones de 𝑐𝑐 ⁄𝛾𝛾𝛾𝛾, D, β y 𝜙𝜙 ′ . Finalmente el factor de seguridad es determinado siguiendo los siguientes pasos:  Obtener ϕ′, β, 𝑐𝑐 ⁄𝛾𝛾𝛾𝛾

 Obtener 𝑟𝑟𝑢𝑢 (valor promedio).

 De la tabla 7.6, obtener 𝑚𝑚′ y 𝑛𝑛′ para 𝐷𝐷 = 1; 1,25 y 1,50

 Con los valores de 𝑚𝑚′ y 𝑛𝑛′; determinar el factor de seguridad para cada valor de D.

 El factor de seguridad requerido, FS, es el menor valor de los obtenidos en el paso anterior.

513

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Tabla 7.8 (a). Coeficientes de estabilidad m’ y n’ para 𝑐𝑐 ⁄𝛾𝛾𝛾𝛾 = 0

Coeficientes de estabilidad para taludes de tierra Talud 2:1

Talud 3:1

Talud 4:1

Talud 5:1

φ

m’

n’

m’

n’

m’

n’

m’

n’

10 12,5 15 17,5

0,353 0,443 0,536 0,631

0,441 0,554 0,670 0,789

0,529 0,665 0,804 0,946

0,588 0,739 0,893 1,051

0,705 0,887 1,072 1,261

0,749 0,943 1,139 1,340

0,882 1,109 1,340 1,577

0,917 1,153 1,393 1,639

30 32,5 35 37,5

1,155 1,274 1,400 1,535

1,444 1,593 1,750 1,919

1,732 1,911 2,101 2,302

1,924 2,123 2,334 2,558

2,309 2,548 2,801 3,069

2,454 2,708 2,977 3,261

2,887 3,185 3,501 3,837

3,001 3,311 3,639 3,989

20 22,5 25 27,5

40

0,728 0,828 0,933 1,041

1,678

0,910 1,035 1,166 1,301

2,098

1,092 1,243 1,399 1,562

2,517

1,213 1,381 1,554 1,736

2,797

1,456 1,657 1,865 2,082

3,356

1,547 1,761 1,982 2,213

3,566

1,820 2,071 2,332 2,603

4,196

1,892 2,153 2,424 2,706

4,362

Tabla 7.8 (b). Coeficientes de estabilidad m’ y n’ para c/γH = 0.025 y D=1.00. Coeficientes de estabilidad para taludes de tierra Talud 2:1

Talud 3:1

Talud 4:1

Talud 5:1

φ

m’

n’

m’

n’

m’

n’

m’

n’

10 12,5 15 17,5

0,678 0,790 0,901 1,012

0,534 0,655 0,776 0,898

0,906 1,066 1,224 1,380

0,683 0,849 1,014 1,179

1,130 1,337 1,544 1,751

0,846 1,061 1,273 1,485

1,365 1,620 1,868 2,121

1,031 1,282 1,534 1,789

30 32,5 35 37,5

1,606 1,739 1,880 2,030

1,567 1,721 1,885 2,060

2,235 2,431 2,635 2,855

2,078 2,285 2,505 2,741

2,873 3,127 3,396 3,681

2,622 2,883 3,160 3,458

3,508 3,823 4,156 4,510

3,191 3,511 3,849 4,209

20 22,5 25 27,5

40

1,124 1,239 1,356 1,478

2,190

1,022 1,150 1,282 1,421

2,247

1,542 1,705 1,875 2,050

3,090

1,347 1,518 1,696 1,882

2,993

1,962 2,177 2,400 2,631

3,984

1,698 1,916 2,141 2,375

3,778

2,380 2,646 2,921 3,207

4,885

2,050 2,317 2,596 2,886

4,592

514

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar Tabla 7.8 (c). Coeficientes de estabilidad m’ y n’ para c/γH = 0,025 y D=1,25. Coeficientes de estabilidad para taludes de tierra Talud 2:1

Talud 3:1

Talud 4:1

Talud 5:1

φ

m’

n’

m’

n’

m’

n’

m’

n’

10 12,5 15 17,5

0,737 0,878 1,019 1,162

0,614 0,759 0,907 1,059

0,901 1,076 1,253 1,433

0,726 0,908 1,093 1,282

1,085 1,299 1,515 1,736

0,867 1,098 1,311 1,541

1,285 1,543 1,803 2,065

1,014 1,278 1,545 1,814

30 32,5 35 37,5

1,956 2,139 2,331 2,536

1,915 2,112 2,321 2,541

2,431 2,659 2,901 3,158

2,342 2,686 2,841 3,112

2,953 3,231 3,524 3,835

2,806 3,095 3,400 3,723

3,511 3,841 4,191 4,563

3,299 3,638 3,998 4,379

20 22,5 25 27,5

40

1,309 1,461 1,619 1,783

2,753

1,216 1,379 1,547 1,728

2,775

1,618 1,808 2,007 2,213

3,431

1,478 1,680 1,891 2,111

3,399

1,961 2,194 2,437 2,689

4,164

1,775 2,017 2,269 2,531

4,064

2,334 2,610 2,879 3,196

4,958

2,090 2,373 2,669 2,976

4,784

Tabla 7.8 (d). Coeficientes de estabilidad m’ y n’ para c/γH = 0,05 y D=1,00. Coeficientes de estabilidad para taludes de tierra Talud 2:1

Talud 3:1

Talud 4:1

Talud 5:1

φ

m’

n’

m’

n’

m’

n’

m’

n’

10 12,5 15 17,5

0,913 1,030 1,145 1,262

0,563 0,690 0,816 0,942

1,181 1,343 1,506 1,671

0,717 0,878 1,043 1,212

1,469 1,688 1,904 2,117

0,910 1,136 1,353 1,565

1,733 1,995 2,256 2,517

1,069 1,316 1,567 1,825

30 32,5 35 37,5

1,888 2,029 2,178 2,336

1,630 1,789 1,958 2,138

2,574 2,777 2,990 3,215

2,157 2,370 2,592 2,826

3,261 3,523 3,803 4,103

2,693 2,961 3,253 3,574

3,934 4,256 4,597 4,959

3,259 3,585 3,927 4,288

20 22,5 25 27,5

40

1,380 1,500 1,624 1,753

2,505

1,071 1,202 1,338 1,480

2,332

1,840 2,014 2,193 1,380

3,451

1,387 1,568 1,757 1,952

3,071

2,333 2,551 2,778 3,013

4,425

1,776 1,989 2,211 2,444

3,926

2,783 3,055 3,336 3,628

5,344

2,091 2,365 2,651 2,948

4,668

515

Capítulo 7. Estabilidad de taludes Tabla 7.8 (e). Coeficientes de estabilidad m’ y n’ para c/γH = 0,05 y D=1,25. Coeficientes de estabilidad para taludes de tierra Talud 2:1

Talud 3:1

Talud 4:1

Talud 5:1

φ

m’

n’

m’

n’

m’

n’

m’

n’

10 12,5 15 17,5

0,919 1,065 1,211 1,359

0,633 0,792 0,950 1,108

1,170 1,376 1,583 1,795

0,766 0,941 1,119 1,303

1,344 1,563 1,782 2,004

0,886 1,112 1,338 1,567

1,594 1,850 2,109 2,373

1,042 1,300 1,562 1,831

30 32,5 35 37,5

2,161 2,343 2,535 2,738

1,950 2,141 2,344 2,560

2,964 3,232 3,515 3,817

2,342 2,583 2,839 3,111

3,221 3,500 3,795 4,109

2,819 3,107 3,413 3,740

3,829 4,161 4,511 4,881

3,324 3,665 4,025 4,405

20 22,5 25 27,5

40

1,509 1,663 1,822 1,988

2,953

1,266 1,428 1,595 1,769

2,791

2,011 2,234 2,467 2,709

4,136

1,493 1,690 1,897 2,113

3,400

2,230 2,463 2,705 2,957

4,442

1,799 2,038 2,287 2,546

4,090

2,643 2,921 3,211 3,513

5,273

2,107 2,392 2,690 2,999

4,806

Tabla 7.8 (f). Coeficientes de estabilidad m’ y n’ para c/γH = 0,05 y D=1,50. Coeficientes de estabilidad para taludes de tierra Talud 2:1

Talud 3:1

Talud 4:1

Talud 5:1

φ

m’

n’

m’

n’

m’

n’

m’

n’

10 12,5 15 17,5

1,022 1,202 1,383 1,565

0,751 0,936 1,122 1,309

1,170 1,376 1,583 1,795

0,828 1,043 1,260 1,480

1,343 1,589 1,835 2,084

0,974 1,227 1,480 1,734

1,547 1,829 2,112 2,398

1,108 1,399 1,690 1,983

30 32,5 35 37,5

2,568 2,798 3,041 3,299

2,342 2,580 2,832 3,102

2,964 3,232 3,515 3,817

2,696 2,975 3,269 3,583

3,443 3,753 4,082 4,431

3,120 3,436 3,771 4,128

3,967 4,326 4,707 5,112

3,577 3,940 4,325 4,735

20 22,5 25 27,5

40

1,752 1,943 2,143 2,350

3,574

1,501 1,698 1,903 2,117

3,389

2,011 2,234 2,467 2,709

4,136

1,705 1,937 2,179 2,431

3,915

2,337 2,597 2,867 3,148

4,803

1,993 2,258 2,534 2,820

4,507

2,690 2,990 3,302 3,626

5,543

2,280 2,585 2,902 3,231

5,171

516

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Ejemplo 7.7 Para el talud de la figura 7.62 se pide determinar el factor de seguridad con el método de Bishop Morgenstern.

Solución:

Figura 7.62. Talud completamente saturado.

Paso 1. Calculo de D, recordemos que, 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 11, entonces: 11 11 = = 1,57 7 𝐻𝐻 𝑐𝑐 20 = = 0,28 𝛾𝛾′𝐻𝐻 10,2(7) 𝐷𝐷 =

Paso 2. Para 𝑐𝑐 ⁄𝛾𝛾′𝐻𝐻 = 0,05 y 𝐷𝐷 = 1,5 los coeficientes de estabilidad son: 𝑚𝑚′ = 2,568 y 𝑛𝑛′ = 2,342

Paso 3. Factor de seguridad.

𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑚𝑚′ − 𝑛𝑛′𝑟𝑟𝑢𝑢 = 2,568 − 2,568(0,5) 𝑭𝑭𝑭𝑭 > 1,397

7.6.2.2.3 Método de Spencer Muchas superficies de falla no son ni planas ni circulares, por tanto no pueden ser analizadas por los

métodos anteriores. Debido a esto, se han desarrollado métodos de análisis que puedan acomodarse a

superficies de falla de forma irregular. Estos métodos se denominan métodos de análisis no circulares.

Entre estos métodos se encuentran el método de Morgenstern & Price (1965), Spencer (1967, 1973), y

otros. Las suposiciones realizadas en cada método fueron explicadas en la sección 7.6.2.2. En este método se

supone todas las fuerzas entre elementos, Fig. 7.63.

También se supone que las fuerzas entre rebanadas tienen una inclinación constante θ a lo largo de toda

la recta, de forma que: 𝑇𝑇 = tan 𝜃𝜃 𝑃𝑃

(Ec. 7.69) 517

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Siendo:

𝑇𝑇 = Fuerzas verticales.

𝑃𝑃 = Fuerzas horizontales.

La fuerza normal en la base del elemento será: 𝑁𝑁 =

�𝑊𝑊(𝑃𝑃𝑛𝑛 − 𝑃𝑃𝑛𝑛+1 ) tan 𝜃𝜃 −

Donde:

𝑚𝑚𝑖𝑖 = cos 𝑖𝑖 �1 + tan 𝑖𝑖 Siendo:

1 ′ (𝑐𝑐 𝑙𝑙 sin 𝑖𝑖 − 𝑢𝑢𝑢𝑢 tan 𝜙𝜙′ sin 𝑖𝑖)� 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑚𝑚𝑖𝑖

tan 𝜙𝜙′ � 𝐹𝐹

(Ec. 7.70) (Ec. 7.71)

𝑃𝑃𝑛𝑛 y 𝑃𝑃𝑛𝑛 +1 = Fuerzas horizontales entre los elementos de la rebanada.

𝑢𝑢 = Presion de poros en la superficie de rotura. 𝑙𝑙 = longitud de la base de la rebanada.

𝑖𝑖 = inclinacion de la base del elemento.

Figura 7.63. Representación de las fuerzas actuantes en una rebanada consideradas en el método de Spencer y Morgenstern-Price.

La solución de Spencer se basa en asumir un valor inicial de θ, y calcular dos valores de factor de

seguridad, el de equilibrio de fuerzas (𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 ) y el de equilibrio de momentos (𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙 ).

Luego, el valor de θ es iterado hasta que el valor del factor de seguridad hallado mediante el equilibrio de

fuerzas y el hallado mediante el equilibrio de momentos, coincidan.

Spencer estudio la relación entre Fc y Fφ y desarrollo unos ábacos, Fig. 7.64, donde introduce el ángulo de

fricción desarrollado que se calcula mediante la siguiente expresión: tan 𝜙𝜙 𝜙𝜙𝑑𝑑 = tan−1 � � 𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙

(Ec. 7.72)

518

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Figura 7.64. Cartas de estabilidad para diferentes coeficientes de presión de poros 𝑟𝑟𝑢𝑢 (Spencer, 1967)

519

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Ejemplo 7.8 Para el talud del ejemplo 7.7, se pide determinar el factor de seguridad con el método de Spencer.

Solución:

Figura 7.65. Talud completamente saturado.

Paso 1. Realizamos las iteraciones del factor de seguridad.

Si 𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙 = 2, entonces 𝜙𝜙𝑑𝑑 = 16,1°, luego: 𝑐𝑐′⁄𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 𝛾𝛾′𝐻𝐻 = 0,085 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 =

𝑐𝑐′ 20 = = 3,29 0,085𝛾𝛾′𝐻𝐻 0,085(10,2)(7)

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 =

𝑐𝑐′ 20 = = 2,66 0,105𝛾𝛾′𝐻𝐻 0,105(10,2)(7)

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 =

𝑐𝑐′ 20 = = 2,8 0,10𝛾𝛾′𝐻𝐻 0,10(10,2)(7)

Si 𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙 = 3, entonces 𝜙𝜙𝑑𝑑 = 10,9°, luego: 𝑐𝑐′⁄𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 𝛾𝛾′𝐻𝐻 = 0,105 Si 𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙 = 2,75, entonces 𝜙𝜙𝑑𝑑 = 11,9°, luego: 𝑐𝑐′⁄𝐹𝐹𝐹𝐹𝑐𝑐 𝛾𝛾′𝐻𝐻 = 0,10 Paso 2. Finalmente el factor de seguridad es:

𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝑭𝑭𝑭𝑭𝝓𝝓 = 𝑭𝑭𝑭𝑭𝒄𝒄 ≅ 𝟐𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕

7.6.2.2.4 Método de Morgenstern & Price El método de Morgenstern & Price (1965) es aplicable a superficies de deslizamiento de forma cualquiera. La

masa deslizante considerada se divide en este método igual que en otros métodos de rebanadas en n fajas verticales con coordenadas 𝑥𝑥0 , 𝑥𝑥1 ,…, 𝑥𝑥𝑛𝑛 con respecto al punto más alto de la masa deslizante, el cual se

considera como centro de coordenadas. Esta división se efectúa de tal manera que, dentro de cada faja, la parte de superficie de deslizamiento puede suponerse lineal, Fig. 7.66.

El efecto de la variación del número de rebanadas al valor del factor de seguridad (FS) viene dado por

Spencer (1967). El valor del factor de seguridad aumenta acotadamente con el incremento del número de

rebanadas, pero cuando se divide la masa deslizante en 32 rebanadas se alcanza una precisión suficiente según Spencer.

520

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Figura 7.66. Masa deslizante dividida en rebanadas.

De forma análoga a como se procede en otros métodos, se establecen las condiciones de equilibrio de

cada rebanada proyectando todas las fuerzas que actúan en la misma sobre las direcciones normal y tangencial a su base y tomando momentos con relación al punto medio de dicha base.

El sistema es indeterminado y hay que introducir algunas hipótesis para llegar a una solución. En este

método se supone que existe una relación entre las fuerzas normales (𝑁𝑁𝑖𝑖 ) y tangenciales (𝑇𝑇𝑖𝑖 ) que actúan en las caras verticales de las fajas: 𝑇𝑇𝑖𝑖 = 𝜆𝜆 × 𝑓𝑓(𝑥𝑥) × 𝑃𝑃𝑖𝑖

(Ec. 7.73)

Siendo: 𝑥𝑥 - la abscisa y 𝑓𝑓(𝑥𝑥) - una función que hay que definir a priori y la que se denomina "función de

distribución" o "función de las solicitaciones en las interfaces de las rebanadas" y representa la dirección

relativa de las fuerzas resultantes entre rebanadas. Así el problema se convierte en estáticamente determinado y se pueden obtener λ y FS mediante una solución del sistema de ecuaciones diferenciales que satisfaga las condiciones de contorno.

El factor llamado λ (parámetro de Morgenstern & Price) es una de las incógnitas del cálculo.

Este parámetro es un valor escalar, constante, que representa el porcentaje (en forma decimal) de la

función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) utilizada, es decir figura como el factor de minoración de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) . El parámetro λ

representa un parámetro de ajuste desconocido, que habrá que obtener durante el cálculo del coeficiente de seguridad (FS), la otra incógnita a encontrar. Mediante el valor de λ se pueden definir las diferencias

principales entre todos los métodos de equilibrio límite referente a las fuerzas normales y tangenciales entre rebanadas. Cuando el valor de λ es igual a 0, significa que no existen las fuerzas tangenciales entre las

rebanadas.

En principio, la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) puede ser cualquier expresión matemática. Pero, considerando que el

comportamiento tanto del suelo como de la roca impone ciertas limitaciones, sólo algunos tipos de funciones

serían razonables. Esta función se podría obtener experimentalmente mediante mediciones de las tensiones

internas reales en un talud; o puede ser escogida a partir de otros tipos de análisis (por ejemplo mediante el método de elementos finitos o el método de diferencias finitas); o por simple intuición: cuanto mayor es la

curvatura de la superficie de deslizamiento supuesta al principio, tanto mayor sería el cociente entre las

tensiones cortantes y normales en el lado de cada faja. También el factor a considerar a la hora de elegir la 521

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es la presión intersticial, es decir cuanto mayor sea la presión intersticial en la cara de la faja de que se trate, menor será la tensión cortante que puede desarrollarse. Siempre y cuando el valor de T/N es

menor de tan 𝜑𝜑, la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) supuesta es correcta. El valor del factor de seguridad obtenido mediante el método de Morgenstem & Price (1965) no es sensible a la forma supuesta para 𝑓𝑓(𝑥𝑥) siempre que dicha

forma sea razonable (Whitman & Bailey, 1967; Spencer, 1973). Como resultado de este método se obtiene

también la posición del empuje sobre el lado vertical de cada faja, lo cual permite comprobar si la hipótesis hecha sobre la forma de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) era razonable o no (viendo qué tracciones aparecen en el lado vertical de la faja).

Este método es tanto más preciso cuanto más la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) escogida se corresponda a la realidad.

Para encontrar los valores de λ y FS (factor de seguridad), tales que queden satisfechas todas las

condiciones de equilibrio, se comienza empleando unos valores λ y FS estimados a priori y se integran a

través de todas las fajas. Así se obtendrán valores de la fuerza horizontal y del momento del último punto de

la última rebanada (pie de deslizamiento), que en general no serán ambos iguales a cero. Entonces, por un procedimiento iterativo sistemático, se modifican los valores λ y FS hasta conseguir unos valores de la fuerza normal y el momento iguales a cero en el punto del pie del talud.

El método de Morgenstern & Price (1965) requiere el uso de un ordenador por la mayor complejidad de

las ecuaciones que utiliza; es decir la programación de ecuaciones de equilibrio, para obtener el valor de

factor de seguridad como índice de estabilidad de talud. Es un método o procedimiento capaz de satisfacer todas las ecuaciones de equilibrio. Este método se emplea, como todos los métodos de rebanadas, para calcular el factor de seguridad de una superficie de deslizamiento predeterminada. Para encontrar el coeficiente de seguridad mínimo habrá que variar la superficie de deslizamiento.

Para la función f(x) se pueden emplear, entre otras, las distintas formas dadas por Fredlund & Krahn

(1977) y Fan, Fredlund & Wilson (1986): constante, medio seno, medio seno con un extremo elevado, trapezoide, específica, Fig. 7.67.

Figura 7.67. Variación funcional de la dirección de la fuerza en interfaz de la rebanada respecto a la dirección x (Fan, Fredlund & Wilson, 1986)

522

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Fan, Fredlund & Wilson (1986) propusieron una función de distribución generalizada para la dirección de

las fuerzas resultantes entre rebanadas. La función se basa en el análisis mediante el método de elementos finitos en dos dimensiones de un continuo elástico lineal usando elementos de deformaciones triangulares constantes para calcular las tensiones normales (la dirección x) y tangenciales (la dirección y) a lo largo de

los planos verticales dentro de la masa deslizante. Las tensiones se integran verticalmente y el cociente entre

las fuerzas tangenciales y normales entre rebanadas se calcula, Fig. 7.68. A lo largo de cada sección vertical

entre rebanadas se han trazado las magnitudes relativas de la fuerza tangencial y horizontal para ver la distribución de la dirección de la fuerza resultante en la interfaz de cada rebanada.

Maksimovic (1979) ha utilizado el método de elementos finitos y el comportamiento no lineal del suelo

para calcular las tensiones, y luego ha introducido esas tensiones en el análisis de equilibrio límite.

Figura 7.68. Fuerzas normales y tangenciales que actúan al lado derecho vertical de la rebanada (Fan, Fredlund & Wilson, 1986)

Los análisis de taludes, efectuados mediante el análisis lineal de tensiones, confirmaron que la función

𝑓𝑓(𝑥𝑥) se puede aproximar con una extensión de la ecuación de la función del error. Los puntos de inflexión se

encuentran muy próximos a la coronación y el pie del talud. El talud de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) resultante es más escarpado en el punto medio del talud y tiende a cero en los puntos próximos a la coronación y el pie del talud. La forma matemática de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) viene dada de la siguiente forma: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐾𝐾 × 𝑒𝑒 −0,5(𝑐𝑐 Siendo:

𝑛𝑛 𝜔𝜔 𝑛𝑛 )

(Ec. 7.74)

523

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

𝐾𝐾 = El valor de la función de distribución entre rebanadas en el punto medio del talud (es decir el valor máximo)

𝑐𝑐 = La variable que define los puntos de inflexión cerca de la coronación y el pie del talud.

𝑛𝑛 = La variable que determina la curvatura de la función.

𝜔𝜔 = La posición adimensional dada con respecto al punto medio, Fig. 7.69.

Los valores de c y n dependen del ángulo del talud.

Figura 7.69. Definición de la distancia adimensional 𝜔𝜔 para el talud (Fan et al, 1986)

El valor de K se relaciona con la inclinación media del talud y el factor de profundidad 𝐷𝐷𝑓𝑓 , para la

superficie de deslizamiento considerada. El logaritmo de K depende de la función lineal del factor de profundidad y se define mediante la siguiente ecuación: 𝐾𝐾 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸�𝐷𝐷𝑖𝑖 + 𝐷𝐷𝑠𝑠 �𝐷𝐷𝑓𝑓 − 1�� Siendo:

(Ec. 7.75)

𝐷𝐷𝑓𝑓 = El factor de profundidad (viene definido en la figura 7,70) 𝐷𝐷𝑖𝑖 = El logaritmo natural de la ordenada y cuando 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 1

𝐷𝐷𝑠𝑠 = El talud de la relación de K versus el factor de profundidad.

Los valores de 𝐷𝐷𝑖𝑖 y 𝐷𝐷𝑠𝑠 dependen del ángulo de la inclinación del talud y del factor de 𝐷𝐷𝑓𝑓 .

Figura 7.70. Factor de profundidad

El método de Morgenstem & Price (1965) es igual que el método de Spencer (1967) para la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

constante. La comparación efectuada por Fredlund & Krahn (1977) entre los métodos de Spencer (1967) y

de Morgenstem & Price (1965) para la función de distribución 𝑓𝑓(𝑥𝑥) constante, obtiene diferencias del orden

del 0,2% entre los valores del factor de seguridad obtenidos, y para el valor de λ es de 9%.

524

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La influencia de distintas funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el valor del factor de seguridad (FS) obtenido para la

superficie de deslizamiento no circular ha sido estudiada por Maksimovic (1995). Se obtiene la diferencia de

±1-2%, Fig. 7.67, para el talud con una misma geometría, los mismos parámetros geotécnicos, para el material heterogéneo y con el nivel freático presente, lo cual no viene presentado en la figura 7.71.

Ejemplo 7.9

Figura 7.71. Resultados de cálculo para distintos f(x) (Maksimovic, 1995).

Para el talud de la figura 7.72, determinar el factor de seguridad con el método de Morgenstern – Price utilizando el programa SLOPE/W.

Solución:

Figura 7.72. Talud parcialmente saturado.

Paso 1. Abrir el programa GeoStudio 2007, ir por la opción New → SLOPE/W para ingresar al programa.

Luego nos desplegara una ventana donde elegimos las siguientes opciones: Name: SLOPE/W Analysis

Analysis Type: Morgenstern-Price

525

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

PWP Conditions from: Piezometric Line

Slip Surface → habilitar la opción Entry and Exit → Close.

Figura 7.73. Tipo de análisis: Morgenstern-Price.

Paso 2. Ajustamos la escala 1:200 horizontal y vertical, las unidades de las fuerzas en kiloNewtons y el

peso unitario del agua será de 9,81 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3 , Fig. 7.74. Set → Units and Scale → OK.

Figura 7.74. Unidades y escala.

Paso 3. Realizamos el dibujo de la grafica del perfil para el talud.

Sketch → Axes, Fig. 7.75

Posteriormente dibujamos la geometría del talud como se muestra en la figura 7.76. Sketch → Polylines. 526

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Figura 7.75. Dibujo del perfil del talud.

Figura 7.76. Dibujo de la geometría del talud.

527

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Paso 4. Dibujar los dos estratos de suelo que tenemos, Fig. 7.77. Draw → Regions.

Figura 7.77. Estratos superior e inferior.

Paso 5. Definimos las propiedades de los materiales, Fig. 7.78. Draw → Materials, click en Key In… → Add

→ New luego anotar las propiedades del los estratos de suelo.

Figura 7.78. Propiedades de los estratos de suelo.

528

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Paso 6. Posteriormente asignamos a los estratos de suelo sus respectivos materiales, simplemente

haciendo click en cada región, Fig. 7.79.

Figura 7.79. Asignación de las propiedades de los estratos.

Paso 7. Ahora dibujaremos la línea piezométrica, Fig. 7.80. Draw → Pore-Water Pressure → Add → draw.

Figura 7.80. Dibujo de la línea piezométrica.

Marcamos la superficie de deslizamiento, Fig. 7.81, esta superficie esta marcado con rojo y corresponde al

rango de superficie que el programa tomara para hacer las iteraciones de los posibles círculos de falla, el circulo de falla que de el menor valor de factor de seguridad será la solución.

529

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Draw → Slip Surface → Entry and Exit.

Figura 7.81. Dibujo de la superficie de deslizamiento.

Paso 8. Ahora verificamos si existen errores en el cargado, Fig. 7.82. Tools → Verify/Optimize.

Figura 7.82. Verificación de errores en el cargado del talud.

Finalmente hacemos click en el botón de la barra de herramientas Solve Analyses y el programa resolverá

el ejercicio. Para visualizar la solución ir al botón que está al lado derecho del botón Solve Analyses, Fig. 7.83.

530

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Ejemplo 7.10

Figura 7.83. Solución del talud.

Para el talud del ejemplo 7.7, se pide determinar el factor de seguridad con el método de Morgenstern &

Price utilizando el programa GeoStudio 2007 .

Figura 7.84. Talud completamente saturado.

Para resolver este ejercicio se deben seguir todos los pasos del ejemplo anterior con la única diferencia

de que la geometría utilizada es la siguiente:

Figura 7.85. Geometría del talud en programa SLOPE/W.

531

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Es fácil de notar que la geometría de la figura 7.85 es el espejo de la figura 7.84, hacemos este cambio

para facilitar el cargado de datos al programa. Entonces la solución será: 𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝟐𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕

Figura 7.86. Solución del talud en programa SLOPE/W.

7.6.2.2.5 Método generalizado del equilibrio límite El método generalizado del equilibrio límite (Chugh, 1986; Frelund et. al., 1981) fue desarrollado con el objeto de abarcar muchas de las suposiciones realizadas por los distintos métodos, pudiendo ser usado para analizar tanto superficies de falla circulares como superficies de falla no circulares.

Este método es uno de los métodos más populares debido a su aplicación universal; y su procedimiento

se basa en la selección de una apropiada función que describa la variación del ángulo de la fuerza interfragmento, de manera tal que se satisfaga el equilibrio completo.

El método adopta una función 𝜃𝜃𝑖𝑖 = 𝜆𝜆 × 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) para describir la variación del ángulo de la fuerza

interfragmento ubicado en el lado derecho del fragmento i, Fig.7.54. La función 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) oscila entre 0 y 1,

representa esencialmente la forma de la distribución usada para describir la variación del ángulo de la fuerza interfragmento, Fig. 7.87. La función 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) puede ser fijada como una constante 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 ), emulándose de esta

manera el método de Spencer o caso contrario puede ser de cualquier otra forma emulando en este caso el método de Morgenstern & Price.

La formulación adoptada usa una forma discreta de una función continua 𝑓𝑓(𝑥𝑥), para calcular la función en

cada borde interfragmento y para calcular los ángulos 𝜃𝜃𝑅𝑅 y 𝜃𝜃𝐿𝐿 , que son los ángulos ubicados a la derecha e

izquierda del fragmento respectivamente, Fig. 7.54.

Luego, para el borde de un interfragmento típico, 𝜃𝜃𝑅𝑅 se halla a partir de 𝜃𝜃𝑅𝑅 = 𝜆𝜆𝜆𝜆(𝑥𝑥) donde 𝑥𝑥 es la

coordenada 𝑥𝑥 del lado derecho del fragmento seleccionado. Por lo general, el valor de

normalizado con respecto a la extensión horizontal de la superficie de falla.

x

se halla

La extensión horizontal de la superficie de falla se considera entre el borde interfragmento del primer y

último fragmento, debido a que el ángulo de la fuerza interfragmento en el lado izquierdo del primer fragmento y el ángulo de la fuerza interfragmento en el lado derecho del último fragmento se asumen iguales a cero.

532

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

Figura 7.87. Ejemplos de funciones para describir la variación del ángulo de la fuerza interfragmento (Abramson, 1996).

El procedimiento para el método generalizado del equilibrio límite se basa en cumplir las condiciones de

equilibrio y las condiciones de borde de la siguiente manera: 1.

2.

3.

4.

Asumir 𝜃𝜃𝐿𝐿 para el primer fragmento y 𝜃𝜃𝑅𝑅 para el último fragmento; iguales a cero.

Determinar el FS a partir de la condición de equilibrio de fuerzas (tomadas en forma normal a la base del fragmento), de tal manera que 𝑍𝑍𝑅𝑅 en el último fragmento (cresta) sea igual a la fuerza de borde.

Con los valores obtenidos de 𝑍𝑍𝑅𝑅 y 𝑍𝑍𝐿𝐿 , determinar la magnitud de 𝜃𝜃𝑅𝑅 a partir de la ecuación de

equilibrio de momentos (tomados a partir del punto medio de la base del fragmento); de tal manera que ℎ𝑅𝑅 para el último fragmento sea igual a cero. Desarrollar estos cálculos consecutivamente para

cada fragmento comenzando con la condición de que 𝜃𝜃𝐿𝐿 y ℎ𝐿𝐿 para el primer fragmento son iguales a cero.

Repetir los pasos anteriores hasta el FS y el ángulo de la fuerza interfragmetno se encuentren dentro de los límites tolerables.

Ejemplo 7.11

Para el talud del ejemplo 7.7, se pide determinar el factor de seguridad con el método generalizado del equilibrio límite utilizando el programa GeoStudio 2007 .

Figura 7.88. Talud completamente saturado.

533

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Para resolver el ejercicio mediante el método generalizado de equilibrio limite, seguir todos los pasos del

ejemplo 7.9 con la diferencia de cambiar la opción de Morgenstern-Price por la de GLE, como se ve en la

figura 7.89.

Ahora bien el resultado es:

Figura 7.89. Programa SLOPE/W.

𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝟐𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕

Figura 7.90. Solución del talud en el programa SLOPE/W.

534

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

7.6.2.2.6 Comparación de métodos El método de Bishop simplificado y el método de Janbu son en la actualidad, los métodos más usados para el

análisis de estabilidad de taludes. A pesar de que el primero no satisface el equilibrio de fuerzas y el segundo no satisface el equilibrio de momentos; el valor del FS mediante estos métodos puede ser fácilmente

calculado para la mayoría de los taludes, obteniéndose resultados que difieren por lo general en un ±15% en comparación con los resultados obtenidos a través de los métodos de Spencer y Morgenstern & Price que son métodos que cumplen totalmente con las condiciones de equilibrio.

A pesar de que no siempre puede ser realizada una comparación entre todos los métodos, por lo general

el valor del FS para superficies circulares obtenido a través del método de Bishop simplificado difiere en menos del 5% con el método de Spencer y el método de Morgenstern & Price. Por otro lado el método de

Janbu simplificado usado para superficies no circulares subestima el FS en aproximadamente 30% con

respecto al valor obtenido con el método riguroso de Janbu. Sin embargo, para algunos taludes el método de Janbu simplificado sobreestima el valor del FS en más del 5%.

A continuación se presenta un ejemplo de comparación de estos métodos realizado por Fredlund y Krahn

(1977) en el que se analiza la superficie de falla mostrada en la figura 7.91.

Figura 7.91. Ejemplo de talud usado para la comparación de métodos de equilibrio límite (Abramson, 1996).

Los resultados obtenidos del análisis se observan en la figura 7.92, en la que λ se define como la razón

entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan a lo largo de la superficie vertical interfragmento.

De la figura 7.92 se puede observar que los resultados obtenidos con los métodos de Spencer y

Morgenstern & Price son similares a los resultados obtenido a través del método de Bishop simplificado;

mientras que el valor del FS obtenido con los métodos de Janbu riguroso y simplificado es ligeramente

menor.

Las dos curvas observadas en la figura 7.92 son denominadas 𝐹𝐹𝑚𝑚 y 𝐹𝐹𝑓𝑓 , y están representadas por puntos

correspondientes a un valor de FS y a un valor de λ que satisfacen el equilibrio de momentos y el equilibrio

de fuerzas respectivamente. La intersección de estas dos curvas da una combinación única del FS y de λ que satisface completamente la condición de equilibrio estático.

535

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

Figura 7.92. Comparación de valores de factor de seguridad usando diferentes métodos de equilibrio límite. La solución de Morgenstern – Price usa una distribución uniforme de λ (Abramson, 1996).

Como se pudo ver, los métodos que satisfacen completamente la condición de equilibrio estático son

mucho más complejos que otros métodos tales como el método de Bishop simplificado o el método de Janbu simplificado; sin embargo, se puede observar a través de la figura 7.92 que el método de Bishop simplificado

proporciona valores muy similares a los obtenidos por los métodos de Spencer y de Morgenstern & Price (métodos que satisfacen completamente la condición de equilibrio), por tanto, sobre todo para superficies circulares, su uso es bastante aconsejable.

7.7 Fluctuación del factor de seguridad En el diseño de un talud es necesario considerar una serie de aspectos que responden a preguntas fundamentales tales como:

 ¿Se trata de un corte o de un terraplén construido?

 ¿Cuáles son las consecuencias de la construcción respecto a la presión de poros, a los esfuerzos efectivos y al cambio de volumen?

 ¿Las consecuencias son a corto o a largo plazo?

 ¿Qué condiciones cambian en el futuro?

Para responder a estas preguntas es necesario analizar la fluctuación del factor de seguridad a lo largo del

tiempo, haciendo una diferenciación fundamental entre cortes y terraplenes construidos.

536

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

7.7.1 Fluctuación del factor de seguridad para terraplenes Los terraplenes son construidos a través de distintas formas de compactación, esta es aplicada a sucesivas capas de suelo seleccionado.

El proceso de compactación inicialmente expulsa aire y a medida que la altura del terraplén se

incrementa, se produce en las capas inferiores un aumento en la presión de poros. En suelos granulares el exceso de presión de poros se disipa rápidamente; pero en suelos finos el exceso de presión de poros se

disipa lentamente y el proceso de consolidación puede llevarse a cabo durante años.

Para observar de manera más clara esta situación, se considera un terraplén de arcilla construido sobre

un estrato de arcilla blanda saturada, Fig. 7.93 (a).

Sea P un punto que pertenece a la superficie circular de deslizamiento APB. Luego, una vez terminada la

construcción del terraplén, la presión de poros de agua en el punto P es: 𝑢𝑢 = ℎ𝛾𝛾𝑤𝑤

Si se asumen condiciones ideales, es decir, si se considera que el relleno es colocado uniformemente a

través de capas sucesivas hasta alcanzar la altura del terraplén, se obtiene la gráfica de altura del relleno observada en la figura 7.93 (b). Luego, en 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡1 la altura total del terraplén H es alcanzada, y para 𝑡𝑡 > 𝑡𝑡1 esta permanece constante.

La variación de la resistencia al corte promedio τ en la superficie potencial de deslizamiento es también

observada en la figura 7.93 (b). Debido al incremento de esfuerzos totales σ originado por la colocación del relleno, τ incrementa linealmente con el tiempo hasta 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡1 , permaneciendo constante para 𝑡𝑡 > 𝑡𝑡1 .

Por otro lado, a medida que se construye el terraplén, la presión de poros en el punto P continúa

incrementándose, Fig. 7.93 (c). En 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡1 , 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢1 > ℎ𝛾𝛾𝑤𝑤 .

(a)

(b) Figura 7.93.Variación del factor de seguridad con el tiempo para un terraplén construido en arcilla blanda (Redibujado después de Bishop y Bjerrum, 1960).

537

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

(c)

(d)

(e) Figura 7.93 (continuación). Variación del factor de seguridad con el tiempo para un terraplén construido en arcilla blanda (Redibujado después de Bishop y Bjerrum, 1960).

Este incremento se debe al drenaje lento que presenta el estrato de arcilla. Sin embargo, para 𝑡𝑡 > 𝑡𝑡1 la

presión de poros va disminuyendo gradualmente hasta completarse el proceso de consolidación en 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡2 , donde el valor de la presión de poros es nuevamente de 𝑢𝑢2 = ℎ𝛾𝛾𝑤𝑤 .

Por tratarse de arcilla, se considera que al ser el proceso de construcción rápido, no existe disipación de

la presión de poros, por tanto, en el periodo de 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡1 se trabaja bajo condiciones no drenadas, siendo el

valor de la resistencia al corte constante e igual a 𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐𝑢𝑢 , Fig. 7.93 (d).

Para 𝑡𝑡 > 𝑡𝑡1 , el proceso de consolidación avanza y la magnitud de 𝜏𝜏𝑓𝑓 va incrementando gradualmente a

causa de la disipación del exceso de presión de poros. Para 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡2 el valor de 𝜏𝜏𝑓𝑓 se hace. En este tiempo la

consolidación ha sido completada, y el valor de la resistencia es:

538

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙 ′

Finalmente, la fluctuación del FS es hallada en base a la ecuación (7.1). Para este caso el valor de FS

resulta ser la división de las resistencias mostradas en las figuras 7.93 (d) y 7.93 (b).

La variación del FS con el tiempo es mostrada en la figura 7.93 (e), donde se observa que el FS

inicialmente decrece hasta el fin de la construcción 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡1 , para luego ir incrementándose hasta 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡2 ,

tiempo a partir del cual adquiere un valor constante.

Por tanto, el FS crítico para un terraplén se presenta al fin de la construcción, es decir, bajo condiciones a

corto plazo.

7.7.2 Fluctuación del factor de seguridad para cortes Los cortes a diferencia de los terraplenes son básicamente proyectos de excavación. La naturaleza de la superficie deslizante depende de las condiciones del suelo.

Por ejemplo, en suelos arenosos o limos arenosos, el deslizamiento es generalmente traslacional y

superficial, mientras que en suelos arcillosos homogéneos la forma de la superficie de deslizamiento es circular y está situada a mayor profundidad.

La figura 7.94 (a) muestra un corte realizado en una arcilla blanda saturada en la que se asume que APB

es una superficie circular de deslizamiento. Durante el avance del corte la resistencia al corte en la superficie

de deslizamiento τ se incrementa. Finalizada la construcción en 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡1 la magnitud de τ adquiere un valor

constante, figura 7.94 (b).

(a)

(b) Figura 7.94.Variación del factor de seguridad con el tiempo para un corte realizado en arcilla blanda (Redibujado después de Bishop y Bjerrum, 1960).

539

Capítulo 7. Estabilidad de taludes

(c)

(d)

(e) Figura 7.94 (continuación). Variación del factor de seguridad con el tiempo para un corte realizado en arcilla blanda (Redibujado después de Bishop y Bjerrum, 1960).

Durante la excavación los esfuerzos totales disminuyen, y por consiguiente, disminuye también el valor

de la presión de poros. La variación de la presión de poros con el tiempo es mostrada en la figura 7.94 (c).

Finalizada la excavación en 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡1 , el exceso negativo de la presión de poros va disipándose, hasta hacerse

igual a 0 en 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡2 , tiempo a partir del cual permanece constante.

De la misma manera que en terraplenes, se considera que el proceso de excavación es rápido, por tanto

no existe disipación de la presión de poros. Entonces, en el periodo de 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡1 se trabaja bajo condiciones no drenadas, siendo el valor de la resistencia al corte constante e igual a 𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐𝑢𝑢 , Fig. 7.94 (d).

Para 𝑡𝑡 > 𝑡𝑡1 , debido a la disipación del exceso de presión de poros negativo, la magnitud de 𝜏𝜏𝑓𝑓 va

disminuyendo gradualmente hasta adquirir un valor constante en 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡2 , tiempo en el cual el valor de la

resistencia es:

540

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas, A. Aranibar

𝜏𝜏𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 + 𝜎𝜎 ′ tan 𝜙𝜙′

El valor del FS es determinado a partir de la ecuación (7.1). De acuerdo a la figura 7.94, resulta ser la

división entre los valores de las gráficas de las figuras 7.94 (d) y 7.94 (b).

La variación del FS con el tiempo es mostrada en la figura 7.94 (e). En esta se observa que el FS crítico

para un corte se presenta en 𝑡𝑡 ≥ 𝑡𝑡2 , lo que equivale a decir, que el análisis de un corte es crítico en condiciones a largo plazo.

Referencias

Abramson L.W., Lee T.S., Sharma S., Boyce G.M. “Slope Stability and Stabilization Methods” John Wiley & Sons.

Fellenius, W. (1936). “Calculation of the Stability of Earth Dams”. Trans. 2nd Congresson Large Dams, Washington. vol. 4 pp 445.

Janbu, N. “Stability Analysis of Slopes with dimensionless parameters”. Harvard Soil Mechanics Series N° 46―Universidad de Harvard―1954.

Janbu, N. (1954), “Application of Composite Slip Surfaces for Stability Analysis”. roceeding of the European Conference on Stability of Earth Slopes, Sweden, Vol. 3.

Morgenstern, N. R., & Price, V. E. (1965). “The Analysis of the Stability of General Slip Surfaces”. Geotechnique, Vol.15, 1965.

Niclolson D.T., Hencher S. (1997). “Assesing potential for deterioration of engineered rockslopes”. The Proceedings International Symposium on Engineering Geology and the Environment. Athens.

Spencer, E. (1967). “A Meted of Análisis of the Stability of Embankments Assumming Parallel InterlSlice Forces”. Geotechnique, Vol.17.

Suarez, Jaime (1998). “Deslizamiento y Estabilidad de Taludes en zonas Tropicales”. Instituto de Investigaciones sobre Erosión y Deslizamientos.

Skempton A.W. Hutchinson J.N. (1969). “Stability of Natural Slopes and Embankment Foundations”. Seventh International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering Mexico City. State of the art.

Volume 2.

Transportation Research Board (1996). “Landslides investigation and mitigation”. Special report 247. Washington.

Varnes D.J. (1958). “Landslides types and processes”. Special report 29: Landslides and engineering practice (E.B. Eckel, ed.) HRB, National Research Council, Washington, D.C.

Varnes D.J. (1978). “Slope movement types and processes”. Special report 176: Landslides: Analysis and control (R.L. Schuster and R.J. Krizek, eds.), TRB, National Research Council, Washington, D.C.

Wyllie D.C. , Norrish N.I. (1996). “Stabilization of rock slopes”. Landslides investigation and mitigation. Special report 247. Transportation Research Board. National research council.

541

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Capítulo ocho

Exploración del subsuelo Contenido 8 Exploración del subsuelo.....................................................................................................................................................................542 8.1 Introducción.......................................................................................................................................................................................543 8.2 Profundidad y número de sondeos .........................................................................................................................................544 8.3 Perforaciones.....................................................................................................................................................................................547 8.4 Muestreo de suelo ...........................................................................................................................................................................551 8.5 Ensayo de penetración estándar (Standard Penetration Test: SPT) .......................................................................554 8.5.1 Factores que afectan el número de golpes N ..........................................................................................................555 8.5.2 Método empírico para estimar el valor de N60 y N70............................................................................................557 8.5.3 Correlaciones a partir de ensayos SPT ......................................................................................................................559 8.5.4 Capacidad de apoyo en arenas a partir de ensayos SPT ....................................................................................562 Ejemplo 8.1.............................................................................................................................................................................564 8.6 Ensayo de carga de placa (Plate loading Test) ...................................................................................................................565 8.6.1 Determinación de la capacidad de apoyo convencional a partir del ensayo de carga de placa ......570 Ejemplo 8.2.............................................................................................................................................................................572 8.7 Ensayo de penetración del cono (Cone Penetration Test, CPT).................................................................................575 8.7.2 Valores de capacidad de carga en arenas a partir de ensayos CPT ..............................................................583 8.7.3 Valores equivalentes con el ensayo SPT ...................................................................................................................583 Ejemplo 8.3.............................................................................................................................................................................584 8.8 Ensayo del dilatómetro (Dilatometer Marchetti Test, DMT) ......................................................................................585 Ejemplo 8.4.............................................................................................................................................................................588 8.9 Ensayo de refracción sísmica .....................................................................................................................................................592 Ejemplo 8.5.............................................................................................................................................................................595 8.10 Sondeo eléctrico vertical (SEV) ..............................................................................................................................................596

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Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

8.1 Introducción La exploración del subsuelo es el proceso mediante el cual se recoge toda la información relevante de un sitio, en el que se propone a futuro, la construcción de cualquier proyecto de ingeniería. La investigación del terreno debe involucrar también la adquisición de información acerca de las condiciones que se presentan en los alrededores del sitio de estudio. La investigación del sitio es una tarea muy importante debido a que, a diferencia de los demás materiales usados en la construcción de estructuras de ingeniería, el suelo presenta propiedades que varían sustancialmente de un lugar a otro. Según Simons et al. (2002); los objetivos de la exploración del subsuelo, varían según los fines del proyecto, siendo de un modo general, los más importantes los siguientes:  Estimar la disponibilidad general del sitio y sus alrededores.  Permitir la preparación de un diseño adecuado y económico, incluyendo el diseño de trabajos temporales, técnicas de mejoramiento del terreno y control del nivel freático.  Información necesaria para determinar el tipo de fundación requerido.  Información suficiente que permita al ingeniero geotecnista realizar recomendaciones acerca de la capacidad de carga de la fundación.  Hacer posible la realización de suficientes ensayos de laboratorio que permitan realizar posteriores predicciones de asentamiento.  Determinar la posición posible del nivel freático (o determinar si este se encuentra en la zona de construcción). Para ciertos proyectos, es necesario conocer las variaciones del nivel freático. Estas variaciones pueden ser determinadas a través de la instalación de piezómetros o pozos de monitoreo.  Establecer métodos de construcción para condiciones cambiantes del subsuelo.  Información para la identificación de posibles problemas que puedan presentarse durante la construcción.  Identificación de problemas potenciales (asentamientos, grietas o cualquier otro tipo de daño) en construcciones adyacentes.  Identificación de posibles problemas medio ambientales y su solución. El programa de exploración del subsuelo consta básicamente de tres etapas principales: 1.

Investigación literaria.

2.

Reconocimiento de campo.

3.

Exploración del subsuelo

Investigación literaria Consiste en la recopilación de toda la información posible a cerca de la estructura propuesta y de las condiciones del subsuelo. Los datos a recopilarse a cerca de la estructura son: su localización y dimensiones, el tipo y uso propuestos para la construcción, además del conocimiento de los códigos de construcción locales sobre todo en lo que se refiere a asentamientos permitidos. La información acerca de las condiciones del subsuelo deberá constar, en la medida de lo posible de datos acerca de la historia geológica del lugar, recopilación de resultados de posibles investigaciones realizadas 543

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

anteriormente en el lugar, la revisión de mapas de suelos, de fotografías aéreas y finalmente obtener datos de la localización de fundaciones que pudieran ser afectadas por la construcción propuesta.

Reconocimiento de campo Es la visita de campo del ingeniero geotecnista con objeto de determinar ciertas características del sitio, tales como: la existencia de construcciones previas en la zona, el funcionamiento de estas, determinar la evidencia de deslizamientos o desniveles, así como la observación del acceso a la zona y su influencia durante los futuros trabajos de exploración. Finalmente el ingeniero debe observar si la construcción propuesta afectará a construcciones cercanas o si condiciones externas podrían afectar a la construcción.

Exploración del subsuelo Consiste de la investigación de las condiciones del subsuelo y la obtención de muestras del suelo. Esta información provee la base para la determinación del perfil de suelo y sus propiedades. El presente capítulo presenta los métodos más comunes para la perforación, muestreo y ensayos de campo realizados a objeto de determinar las características del subsuelo.

8.2 Profundidad y número de sondeos No existen reglas absolutas para determinar el número, espaciamiento o profundidad de las perforaciones, debido a que estas varían debido a muchos factores tales como el costo, el tiempo disponible para la investigación y en ocasiones la disponibilidad del equipo y personal. Estas decisiones están basadas en lo determinado por el reconocimiento de campo, el juicio del ingeniero y normas usadas en la práctica. El proceso de determinar estos factores debe responder a las siguientes interrogantes (Coduto, 1999):  ¿Cuán grande es el sitio?  ¿Qué tipo de condiciones de suelo y roca se esperan?  ¿El perfil de suelo presenta una distribución homogénea?  ¿Qué es lo que se va a construir?  ¿Cuán crítico es el proyecto y cuáles serían las consecuencias de falla?  ¿Cuán larga y pesada es la estructura propuesta?  ¿Son todas las áreas accesibles a los equipos de perforación? La determinación exacta de estas interrogantes suele ser muy complicada. Sin embargo, es recomendable, que mediante la recopilación de información y el reconocimiento de campo se logre obtener, antes de la realización de las perforaciones, al menos una idea de ellas. Existen algunas recomendaciones que pueden ser utilizadas como guías para la determinación de estas variables. Coduto (1999) propone valores de espaciamiento y profundidades de investigación en función a las condiciones del subsuelo y el tipo de estructura, Tabla 8.1 y Tabla 8.2. Ambas tablas fueron adaptadas a partir de Sowers (1979). Para la tabla 8.2 S es el número de pisos y Df es la profundidad anticipada de fundación.

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Tabla 8.1. Espaciamiento recomendado para la realización de sondeos de exploración. Condiciones del subsuelo

Espaciamiento por cada sondeo (m2)

Baja calidad y/o errático Promedio Alta calidad y uniformidad

100 – 300 200 – 400 300 - 1000

Según Simons et al (2002) el espaciamiento de sondeos destinados a la construcción de fundaciones de estructuras se sitúa a menudo en el rango de 20 a 40 m. La disposición típica de algunos sondeos es observada en la figura 8.1. Tabla 8.2. Profundidades de sondeos de exploración para edificaciones con fundaciones superficiales. Condiciones del subsuelo

Profundidad mínima de perforaciones (m)

Pobre Promedio Buena

6S0,7 + Df 5S0,7 + Df 3S0,7 + Df

Figura 8.1. Disposición típica de sondeos. (a) Almacén grande (b) Losas de bloques multipisos (Simons et al, 2002).

Así mismo, Simons et al (2002) recomiendan que los sondeos deben ser realizados lo más próximos a las fundaciones propuestas, sobre todo cuando el estrato de fundación es irregular. La disposición y frecuencia de los sondeos son parcialmente controladas por las condiciones geológicas del lugar, es decir, si las condiciones del terreno son relativamente uniformes los sondeos pueden realizarse a espaciamientos relativamente grandes, pero si las condiciones del terreno son complejas el espaciamiento de los sondeos debe ser significantemente menor. La profundidad del sondeo es determinada tomando en cuenta la profundidad a la cual, el suelo es afectado por la carga aplicada a la fundación. Así, si la fundación propuesta es un pilote, entonces la profundidad del sondeo debe extenderse hasta una profundidad tal por debajo de la punta del pilote, en la que el incremento de esfuerzos debido a la carga aplicada a la fundación deje de causar un efecto adverso en el desarrollo de la estructura.

545

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Según Simons et al (2002), para una fundación de ancho B la profundidad del sondeo a considerarse es de aproximadamente 1,5 a 2,0 de B, puesto que se asume que el incremento de esfuerzos debajo este nivel no causa un efecto adverso en la estructura. Algunas autoridades consideran que el incremento de esfuerzos igual al 10 % de la carga aplicada a la fundación es un límite aceptable. Debe notarse, que para fundaciones cuadradas y circulares el incremento de esfuerzos verticales debajo de la carga aplicada es aproximadamente igual al 15% de la carga a una profundidad de 1,5 B y cerca al 10% de la carga para una profundidad de 2,0 B. Para una fundación infinitamente larga estos valores corresponden a 40 y 30% respectivamente y en tales casos resulta prudente investigar el terreno hasta una profundidad debajo del nivel de fundación de más de 2,0 B, para trabajar de este modo en el lado seguro. La figura 8.2 presenta las sugerencias dadas por Simons et al (2002) para adoptar el valor de la profundidad de sondeo. Este valor depende de las condiciones que presenta la fundación.

(a)

(b)

(c) Figura 8.2. Profundidad de investigación de acuerdo al tipo de fundación (a) Zapata aislada o losa de fundación (b) Zapatas poco espaciadas (c) Pilotes (Simons et al, 2002)

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Para determinar la profundidad mínima de sondeo pueden también aplicarse las reglas establecidas por la ASCE (American Society of Civil Engineers, 1972). Según estas reglas, se determina primero la variación del incremento de esfuerzos verticales ∆ profundidad. A continuación se determina la profundidad para la que el incremento de esfuerzos ∆ al 10% de la carga neta

con la es igual

aplicada al nivel de fundación.

Luego se determina la profundidad para la cual el incremento de esfuerzos es igual al 5% del esfuerzo efectivo vertical para dicha profundidad ∆ ⁄

= 0,05.

Finalmente, la profundidad de sondeo es igual a la menor de las dos profundidades calculadas. A partir de las reglas de la ASCE, Sowers y Sowers (1970) determinaron la profundidad de sondeo para un edificio de 30,5 m de ancho. La Tabla 8.3 presenta estas profundidades para distintos números de pisos. Tabla 8.3. Profundidad de sondeo de acuerdo al número de pisos para un edificio de 30,5 metros de ancho (Sowers y Sowers, 1972). Número de pisos

Profundidad de sondeo (m)

1 2 3 4 5

3,5 6,0 10,0 16,0 24,0

Para hospitales y edificios de oficinas, la profundidad de perforación está dada por la siguiente expresión: =3

,

(Para edificios ligeros de acero o edificios angostos de concreto)

=6

,

(Para edificios ligeros de acero o edificios angostos de concreto)

Donde: = Profundidad de fundación. = Número de pisos. El espaciamiento entre sondeos puede ser incrementado o disminuido dependiendo de las condiciones del subsuelo. Los distintos valores del espaciamiento de acuerdo al tipo de estructura que va a ser construida, son presentados en la tabla 8.4. Tabla 8.4. Espaciamiento aproximado de los sondeos (ASCE, 1972). Tipo de proyecto

Espaciamiento (m)

Edificio de varios pisos Plantas industriales de un piso Carreteras Subdivisiones residenciales Presas y diques

10 – 30 20 – 60 250 – 500 250 – 500 40 – 80

8.3 Perforaciones La realización de perforaciones es una actividad indispensable para evaluar las condiciones del subsuelo; constituyéndose de esta manera en una parte fundamental para la caracterización del sitio. Las perforaciones son por lo general la parte más costosa de la exploración, debido a que implican la movilización tanto de equipo como de recursos humanos. 547

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Los sondeos de exploración son el resultado de la perforación de una serie de sondeos verticales en el terreno. Estos son realizados a través de taladros manuales que pueden ser de dos tipos: cavapostes y taladros helicoidales, Fig. 8.3. La principal ventaja de los taladros manuales en relación con los otros equipos es su bajo costo y su fácil transporte, debiendo sólo ser utilizados para realizar perforaciones menores a 4 metros.

(a) (b) Figura 8.3. Herramientas de mano (a) Cavapostes (b) Taladro helicoidal manual (Das, 2001).

Para la realización de perforaciones más profundas, es necesario adaptar los taladros a equipos en los cuales se pueda disponer de energía eléctrica, de esta manera el taladro helicoidal puede ser adaptado a un pequeño equipo rodante, Fig. 8.4(a), o a un camión como el mostrado en la figura 8.4 (b). El taladro adaptado a un camión se denomina taladro de perforación continua, en el cual la energía utilizada proviene de las torres de perforación montadas en el camión realizándose fácilmente perforaciones de hasta 70 m de profundidad. Este tipo de taladros pueden ser de sección transversal, hueca o sólida, teniendo cada barra conectada al taladro una longitud de 1 a 2m. La profundidad de perforación requerida es alcanzada añadiendo el número necesario de barras para alcanzar tal profundidad. Los sondeos pueden ser realizados mediante barras de perforación o mediante encamisados o tuberías de revestimientos. Ambos tipos son empalmados al mismo tiempo, y van siendo introducidos, empujados hidráulicamente o van perforando a medida que el proceso de perforación avanza en el terreno. Los tamaños de las barras son estándares y se hallan designados por letras dobles tales como: EW, AW, etc. Los estándares son tales que las barras se ensamblan de tal modo que una barra de cierto tamaño encajará en la próxima barra más grande. Por otro lado, si la longitud de una barra no puede avanzar más allá de una cierta profundidad y si la profundidad de perforación no ha sido aun alcanzada, el siguiente tamaño más pequeño puede ser ensamblado en la barra anterior y de este modo puede realizarse una disminución contínua de diámetro. La diferencia principal entre las barras de perforación y las tuberías de revestimiento radica en el espesor de la pared, el tipo de rosca y el diseño de junta. Las barras de perforación son las más fuertes de entre los dos tipos y por esta razón son usadas en condiciones bajo las cuales se espera que se presenten esfuerzos altos durante la instalación. En general, las barras de perforación pueden ser introducidas o empujadas hidráulicamente en el terreno, mientras que las tuberías de revestimiento, que a diferencia de las primeras, no son rugosas, son empujadas hidráulicamente o introducidas mediante rotación. 548

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(a) (b) Figura 8.4 (a) Taladro helicoidal adaptado a un equipo rodante (b) Taladro de perforación continúa.

Tanto las barras de perforación como las tuberías de revestimiento son fabricadas de acuerdo a tamaños estándares. Los tamaños característicos de estos dos tipos son presentados en la tabla 8.5. Tabla 8.5. (a) Tamaños estandarizados de barras de perforación (Catálogo Bradley Manufacturing). Tamaño

Diámetro externo (mm)

Diámetro interno (mm)

Masa (kg/m3)

Diámetro interno de la unión (mm)

RW EW AW BW NW HW

27,8 34,9 44,4 54,0 66,7 88,9

18,2 22,2 30,9 44,5 57,2 77,8

8,5 13,8 19,7 18,8 24,2 38,0

10,3 12,7 15,9 19,0 34,9 60,3

Tabla 8.5. (b) Tamaños estandarizados de encamisados (Catálogo Bradley Manufacturing). Tamaño

Diámetro externo (mm)

Diámetro interno (mm)

Masa (kg/m3)

RW EW AW BW NW HW PW

36,5 46,0 57,1 73,0 88,9 114,3 139,7

30,2 38,1 48,4 60,3 76,2 101,6 127,0

8,0 12,5 17,0 31,3 38,4 50,5 64,3

549

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

El proceso de perforación se logra gracias a una cabeza cortadora que es instalada en la punta del taladro, que junto con la hélice del taladro llevan el suelo excavado desde el fondo del agujero a la superficie. A través de este mecanismo, el perforista puede detectar cambios en el tipo de suelo de acuerdo a las variaciones en la velocidad y sonido del taladro. La principal ventaja de los taladros de sección hueca frente a los taladros de sección sólida es que los primeros permiten, una vez alcanzada la profundidad deseada, la toma de muestras sin necesidad de retirar el taladro. Esto se consigue gracias al obturador o tapón removible que se halla unido al fondo del taladro, Fig. 8.5.

Figura 8.5. Diagrama esquemático de un perforador de tubo hueco con obturador removible (Das, 2001)

Existen otros tres tipos de perforación, cuya aplicación es definida en función al tipo de suelo que se presenta durante la exploración. Estos son: el sondeo de lavado, la perforación rotatoria y el sondeo por percusión.

El sondeo de lavado Tiene como principal característica el uso de un encamisado o ademe de 2 a 3,5 metros de longitud. El encamisado o tubería de revestimiento es simplemente una tubería que se hinca en el terreno con el objeto de evitar que las paredes del agujero se desmoronen una vez realizada la perforación. Una vez que se ha hincado el encamisado se procede a realizar la perforación en el interior de este mediante el uso de un taladro que se halla unido a un vástago. El agua es introducida en el agujero a través del vástago, saliendo a muy alta velocidad por el fondo de este, Fig. 8.6. En este tipo de sondeo tanto el agua como las partículas de suelo ascienden a través del agujero y fluyen en la parte superior del encamisado por medio de una conexión en T. En caso de ser necesario, pueden adicionarse tubos de encamisado. El sondeo de lavado es muy útil cuando se presentan arenas sueltas o gravas que se encuentran por debajo del nivel freático, o también cuando la exploración va a ser realizada en arcillas o limos débiles que se hallan en condición saturada.

La perforación rotatoria Se realiza a través de trépanos rotatorios unidos a varas perforadoras que se encargan de desmenuzar el suelo a medida que ingresa el taladro. El agua o lodo de perforación es inyectado de la misma manera que en 550

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el sondeo de lavado, en el que las partículas llegan a la superficie a través del flujo de retorno. Para este tipo de perforación, el lodo utilizado es una mezcla de agua y bentonita, siendo la bentonita en particular, la que realiza el fenómeno de encamisado. Este tipo de perforación es utilizada en arenas o arcillas donde existe la posibilidad de que el suelo se desmorone.

Figura 8.6. Esquema de la operación de sondeo por lavado (Bowles, 1988).

El sondeo por percusión Es un método utilizado para realizar perforaciones en suelo duro y rocas. El proceso es realizado por medio de un trépano pesado que sube y baja hasta cortar el suelo.

8.4 Muestreo de suelo El principal objetivo de las perforaciones de exploración es la obtención de muestras representativas a diferentes profundidades. Estas muestras son utilizadas para la determinación del perfil del suelo y para la realización de ensayos de laboratorio que permitan determinar sus propiedades. Existen dos tipos de muestras: las disturbadas o alteradas y las no disturbadas o inalteradas. Las muestras disturbadas son aquellas que no han conservado la estructura que presentaba el suelo in situ. Estas son apropiadas para la realización de ensayos de clasificación (i.e. granulometría, límites de consistencia) y compactación. Las muestras no disturbadas son aquellas que luego de haber sido obtenidas, mantienen intacta la estructura y los esfuerzos que presenta el suelo in situ. Este tipo de muestra es apropiado para la realización de ensayos de consolidación y ensayos de resistencia al corte. La obtención de muestras no disturbadas, es por lo general muy dificultosa debido a la influencia de los siguientes factores:  Corte y compresión del suelo durante el proceso de inserción del muestreador.  Liberación de los esfuerzos in situ de la muestra. 551

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

 Posible pérdida de humedad.  Vibración de la muestra durante la obtención y el transporte. Alteraciones adicionales pueden ocurrir en el laboratorio al momento en que la muestra es removida del contenedor. Debido a esto, se prefiere usar por lo general el término de “muestras relativamente no disturbadas” para referirse a las muestras no disturbadas. Generalmente, no es posible obtener muestras no disturbadas de suelos granulares (sobre todo de arena limpia) debido a que estos son muy propensos a la disturbación durante el muestreo. Finalmente, se han desarrollado algunas técnicas para la obtención de muestras no disturbadas en suelos cohesivos. Estas técnicas se desarrollan a continuación.

Tubo de pared delgada o tubo Shelby Es una de las herramientas más comunes utilizadas para el muestreo. Se utiliza para la obtención de muestras de suelos arcillosos inalterados. Estos tubos están hechos de acero, siendo los más comunes de 50.8 mm o 76.2 mm de diámetro exterior, Fig. 8.7. Constan de un fondo afilado, estando por lo general su parte superior conectada a una barra perforadora. La obtención de muestras en el terreno se realiza hincando la barra perforadora juntamente con el tubo.

Muestreador de pistón Este tipo de muestreador se utiliza cuando las muestras de suelo son muy blandas o cuando se requiere una muestra de diámetro mayor al del tubo Shelby disponible. El muestreador consiste de un tubo de pared delgada con un pistón en su parte inferior, Fig. 8.8 (a). Este tubo es conectado a la barra perforadora, y luego es hincado hidráulicamente en el terreno. La presión producida es eliminada a través del agujero que se encuentra en la barra del pistón, Fig. 8.8 (b). El grado de alteración obtenido con este muestreador es menor al obtenido con el tubo Shelby debido a que la presencia del pistón impide que el suelo se aplaste muy rápidamente.

Figura 8.7. Tubo de pared delgada (Das, 2001).

En las figuras 8.7 y 8.8 se observan tipos de muestreadores utilizados para la obtención de muestras de suelos cohesivos. Por otro lado, la obtención de muestras inalteradas en suelos granulares es prácticamente imposible debido a las características particulares de este tipo de suelos. Sin embargo, en la práctica, suele ser necesaria la determinación de los parámetros de resistencia o permeabilidad de suelos granulares, requiriéndose para este fin muestras inalteradas del suelo. 552

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Figura 8.8. Muestreador de pistón (Das, 2001).

Con objeto de salvar estas dificultades, se han desarrollado una serie de métodos in situ que permiten a través de correlaciones, la determinación de aquellas propiedades que requieren de muestras inalteradas. El ensayo de penetración estándar (Standard Penetration Test: SPT) es uno de estos métodos. Este permite la obtención de muestras disturbadas del suelo a través de una cuchara especial. Esta cuchara se denominada cuchara bipartita. Consta de un tubo de acero dividido longitudinalmente en dos partes. Por otro lado, en la parte superior existe un acople que debe ser unido a la barra de perforación. El esquema y las dimensiones de la cuchara son observados en la figura 8.9.

Figura 8.9. Cuchara bipartita.

553

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

El procedimiento de muestreo se realiza hincando la cuchara en el suelo. El hincado se ejecuta a través de un martillo de peso estándar que se encuentra en la parte superior de la barra de perforación. Una vez que la cuchara ha alcanzado la profundidad deseada, se procede a retirar la cuchara junto con el acople. La muestra de suelo obtenida es colocada en una botella de vidrio para luego ser transportada al laboratorio. El grado de alteración o disturbación de una muestra es determinado mediante la siguiente expresión: (%)

=

−

× 100

(Ec. 8.1)

Donde: = Relación de áreas. = Diámetro externo del tubo muestreador. = Diámetro interno del tubo muestreador. Cuando la relación de áreas

(%)

obtenida a partir de la ecuación (8.1) es menor o igual a 10% se

considera que la muestra es inalterada. Los valores de los grados de alteración para los tipos de muestreadores más utilizados son presentados en la tabla 8.6. Tabla 8.6. Grado de disturbación de los muestreadotes tipo. Tipo de muestreador

Grado de disturbación

Cuchara bipartita Tubo Shelby

110% 13,8%

8.5 Ensayo de penetración estándar (Standard Penetration Test: SPT) El ensayo de penetración estándar, desarrollado alrededor de 1927, es uno de los métodos más populares y económicos para la exploración del subsuelo. Sin embargo, este método está plagado de muchos problemas que afectan su exactitud, motivo por el cual, está siendo reemplazado poco a poco por otros métodos. El procedimiento de este método está estandarizado por la ASTM D-1586 y consta de los siguientes pasos: 1.

Perforar un orificio de 60 a 200 mm. (2,5 a 8”) hasta la profundidad del primer ensayo.

2.

Insertar el muestreador del SPT (cuchara bipartita), Fig.8.9, en la perforación. Esta cuchara se halla conectada mediante barras al martillo de 63.5 kg.

3.

Elevar el martillo 760 mm y dejarlo caer. El martillo puede ser elevado manualmente a través de una cuerda unida a un sistema de poleas o mediante un mecanismo automático. Por medio de este procedimiento el muestreador es hincado en el fondo de la perforación.

4.

Repetir el procedimiento anterior hasta que la cuchara penetre 450 mm. Registrar el número de golpes necesario para penetrar cada intervalo de 150 mm. Si se requiere más de 50 golpes para penetrar cualquiera de los intervalos de 150 mm o si luego de 10 golpes no se registra avance, entonces detener el ensayo y registrar como rechazo.

5.

Determinar el número de golpes N necesarios para penetrar los últimos 300 mm. El número de golpes necesario para penetrar los primeros 150 mm no es tomado en cuenta debido a que para este intervalo se puede encontrar aún en el fondo del agujero restos del proceso de perforación y suelo suelto proveniente del derrumbe de las paredes. 554

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6.

Retirar la cuchara del agujero, para luego remover y almacenar la muestra de suelo obtenida.

7.

Perforar nuevamente hasta alcanzar la profundidad del segundo ensayo y repetir el procedimiento.

La principal desventaja que presenta este método es que el valor de N no es repetitivo, es decir, que bajo las mismas condiciones de suelo se obtienen valores distintos del número de golpes. La variabilidad del número de golpes N, se debe fundamentalmente a los siguientes factores:  Método de perforación.  Cuán bien se limpia el fondo de la perforación antes del ensayo.  Presencia o ausencia del lodo de perforación (bentonita).  Diámetro de la perforación.  Localización del martillo.  Depende de si el martillo tiene un ascenso manual o mecánico.  Altura de caída del martillo. Cuando el ascenso es de tipo manual, la altura va variando como consecuencia del cansancio físico que experimenta la persona que eleva el martillo; el ascenso manual tiene un error de por lo menos 25%.  Fricción de las barras y cables.  Alineación de las barras durante la perforación.  Velocidad de aplicación de los golpes. El método presenta tres ventajas fundamentales que son:  La posibilidad de clasificación del suelo a partir de la muestra obtenida.  La rapidez y economía del ensayo.  Las torres de perforación utilizadas están equipadas para realizar este ensayo, de tal manera que no se requiere de equipo especializado como en otros métodos. Los datos obtenidos a partir de este ensayo son:  Número de golpes N.  Muestra disturbada para ensayos de laboratorio.

8.5.1 Factores que afectan el número de golpes N Las correlaciones existentes entre valores de N obtenidos a partir del SPT y las propiedades de suelos o rocas débiles, son totalmente empíricas, y se basan en los datos de información internacional recopilada a través del tiempo. El SPT no es un ensayo que se halla completamente estandarizado, por tanto, en ciertos casos no produce resultados muy aproximados. Debido a estas razones, es necesario tener conocimiento a cerca de los factores más importantes que afectan el ensayo. Estos son:  Variaciones en el equipo de ensayo.  La alteración creada en el sondeo debido a la perforación.  El suelo que se encuentra al interior del sondeo. El factor más importante de los tres anteriores es el ocasionado por las variaciones en el equipo de ensayo. Los componentes principales de este equipo son: el muestreador o cuchara bipartita, las barras y el martillo.

555

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

En la cuchara bipartita, por lo general, no se observan grandes variaciones, salvo que en los últimos tiempos se ha ido cambiando el modelo británico original de la cuchara, por uno que incluye una válvula, o por el modelo americano que contiene un revestimiento que facilita el almacenamiento de la muestra obtenida. En el último caso, la ausencia del revestimiento en la cuchara ocasiona una disminución del número de golpes N. Por otro lado las características de las barras y el martillo afectan la penetración, ya que para un suelo dado, N es inversamente proporcional a la energía transmitida a la cuchara (Palmer & Stuart, 1957; Schmertmann & Palacios, 1979). Así, para dos sistemas diferentes de barras/martillo, la relación entre energías y golpes de ambos sistemas es: =

→

=

×

(Ec. 8.2)

Donde: ,

= Número de golpes para el primer y segundo sistema de barras/martillo, respectivamente.

,

= Energía transmitida a la cuchara para el primer y segundo sistema de barras/martillo, respectivamente.

Finalmente, el factor que tiene más influencia sobre el valor de N, es el debido a la fracción de energía transmitida desde el sistema de yunque y martillo a la punta del tubo de muestreo a través de las barras, sin dejar de lado la interacción que existe entre el suelo y el tubo extractor. Esta energía se denomina energía transferida

.

La energía transferida,

es una fracción de la energía estipulada

. La energía estipulada teórica

es

la energía debida a la interacción yunque-martillo, es decir, es la energía producida por la caída libre del martillo de 63,5 kg a lo largo de una altura de 760 mm. =

se halla expresada por la siguiente ecuación:

×ℎ

(Ec. 8.3)

Donde: = Peso del martillo (622,7 N) ℎ = Altura de caída del martillo (0,76m) Luego, a partir de la ecuación (8.3), la energía estipulada

es igual a 473,3 J

Posteriormente, Kovacs & Salomone (1982), por medio de la realización de medidas de la magnitud de la energía transferida, encontraron que la energía transferida al tubo muestreador

, oscila en el rango

aproximado de 30 a 80%. Este puede ser el resultado de una de las siguientes causas:  Energía inicial absorbida por las barras, y el peso del sistema yunque-martillo.  Energía gastada debido al calor y al ruido producido debido a los impactos.  Energía gastada debido a la flexión de las barras.  Energía perdida como consecuencia de que el martillo en ocasiones, no es levantado completamente hasta los 760 mm.  Energía perdida debido a la fricción entre los distintos componentes del martillo. Entonces, la energía transferida =

× 100

está expresada mediante la siguiente expresión: (Ec. 8.4)

556

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

Debido a la gran dispersión que existe entre los valores de

y N, cuando sería razonable esperar un

único valor de N para una cierta profundidad, es que distintos autores sugirieron que un valor de energía estándar

sea referenciado a

. El criterio de tales autores es resumido en la tabla 8.7.

Tabla 8.7. Valores sugeridos de Etb (Bowles, 1988). Criterio 50 a 55 (usar 55) 60 70 a 80 (usar 70)

Schmertmann (en Robertson et al. (1983) Seed et al. (1985); Skempton (1986) Riggs (1986)

Luego, Robertson (1983) determinó que el nivel de energía de 60 a 70% representa un promedio histórico y razonable para muchas correlaciones obtenidas a partir de ensayos SPT: De este modo, toda medida de N debe ser convertida a una energía de 60% o de 70%, que es simbolizada de aquí en adelante con y

respectivamente.

Cuando se tiene un sistema de medida de energía instalado en el equipo SPT, es posible obtener los valores de

y

por medio de relaciones propuestas por Robertson. Sin embargo, los sistemas de

medición de energía tienen un costo bastante elevado. Debido a esta razón, se ha desarrollado un método empírico para estimar el valor de

y

de acuerdo a las características del equipo, tipo de martillo,

diámetro del hoyo de perforación y longitud de las barras. A pesar de que este método es aproximado permite obtener una buena estimación de

y

.

8.5.2 Método empírico para estimar el valor de N60 y N70 Las correlaciones dadas por este método consideran que el valor de N debe ser corregido por factores que toman en cuenta: el tipo de martillo usado, la profundidad del pozo de exploración, el diámetro del pozo de sondeo y la energía total. La energía total es igual a la suma de la energía necesaria para elevar el martillo y la energía consumida debido a la resistencia del suelo. La proporción de energía estándar adoptada varía según el país en que se trabaje. No obstante, la forma de transferir un valor dado de energía a otro valor de energía, es expresada por la ecuación (8.2). =

×

Por ejemplo, la proporción de energía estándar adoptada en EEUU es del 70% y en Europa este valor es del 60%. A partir de la ecuación (8.2), se puede transformar el valor de =

a

de la siguiente manera:

70 × 60

Luego el valor de

es determinado a través del presente método mediante la siguiente ecuación:

= Los valores de

(Ec. 8.5) a

a ser utilizados se encuentran en la tabla 8.8.

La figura 8.10 presenta las secciones del martillo tipo Donut y tipo Safety. Adicionalmente los valores de

y

deben ser corregidos por presión efectiva cuando existe la

presencia de estratos de arenas o limos, debido a que en este tipo de suelos la resistencia depende de muchos factores.

557

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

En arenas y limos, el ángulo de fricción efectivo es una función del nivel de esfuerzos, la distribución del tamaño de grano, la angularidad, el índice de vacíos que es normalmente expresado en función de la densidad relativa y en algunos casos se halla relacionado también al modo de falla. Tabla 8.8. Factores

para la ecuación (8.5). Datos resumidos de Riggs (1986), Schmertmann (1978) y Seed et al (1985)

Martillo para

Observaciones

Promedio de Energía transferida, Donut

Safety

País

R–P

Automático

R–P

Automático

EEUU Japón Inglaterra China

45 67 50

78 60

70 – 80 50 -

80 – 100 60 -

R–P = Sistema de cuerdas y poleas = / = Porcentaje de energía transferida estandarizado

Corrección por longitud de barras, Longitud > 10 m 6 – 10 4–6 2–4

= 1,00 = 0,95 = 0,85 = 0,75

N es muy alto para L < 10 m

= 1,00 = 0,80 = 0,90

N es muy alto con guía

= 1,00 = 1,05 = 1,15

N es muy pequeño cuando el sondeo es de gran tamaño

Corrección por muestreador, Sin guía Con guía: Arena densa, arcilla Arena suelta Corrección por diámetro del sondeo, Diámetro del sondeo*: 60 – 120 mm 150 mm 200 mm *

= 1,00. Para todos los diámetros cuando se trabaja con taladros de sección hueca.

(a) (b) Figura 8.10. Secciones de los martillos americanos usados en SPT (a) Martillo tipo seguridad (b) Martillo tipo rosquilla.

Por otro lado, el incremento de la resistencia en suelos granulares es el resultado de la trabazón entre partículas, de la cementación de las mismas o puede ser una combinación de ambas, por tanto, el proceso de penetración en el suelo origina un cambio en los esfuerzos totales. Esos cambios de esfuerzos son compensados parcialmente por consiguientes cambios en la presión de poros. 558

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

Luego, debido a que solo una medida (i.e. número de golpes N) es obtenida a partir de la realización del ensayo, cualquier método de interpretación debe hacer la suposición de que N no es afectado por las demás condiciones del suelo, suposición que se halla totalmente alejada de la realidad. Tomando en cuenta esta situación, Meyerhof (1957) afirmó que para arenas cuarzosas normalmente consolidadas medianamente gruesas:  El incremento de la resistencia a la penetración con relación a la profundidad es aproximadamente lineal. La relación del incremento de la resistencia respecto a los esfuerzos efectivos determinados a una densidad constante, es también lineal.  Para esfuerzos efectivos verticales constantes, el incremento de N es aproximadamente igual al cuadrado de la densidad relativa.  Para una densidad relativa y un valor de esfuerzos efectivos verticales dados, N es más grande para suelos gruesos. Luego, el efecto de la presión de sobrecarga puede ser liberado si se asume que la arena es normalmente consolidada. Esto se consigue normalizando la resistencia a la penetración a un valor equivalente a una presión de sobrecarga efectiva de 100 kPa (1 kg/cm2), usando un factor de corrección de profundidad Entonces, el número de golpes corregido por presión efectiva se denota por

.

y es hallado mediante la

siguiente ecuación: =

.

(Ec. 8.6)

Donde: = Valor de N corregido para un valor estándar de

igual a 100 kN/m (1US ton/pie )

= Factor de corrección. =( − El valor de

) = Esfuerzo efectivo obtenido en la profundidad donde se calcula

.

puede ser obtenido por medio de las ecuaciones presentadas en la tabla 8.9. Esta Tabla

presenta las relaciones más comunes para la obtención de

. Una comparación de

vs.

a partir de las

relaciones citadas es mostrada en la figura 8.11.

8.5.3 Correlaciones a partir de ensayos SPT El SPT es utilizado para la determinación por medio de correlaciones del peso unitario , la densidad relativa , el ángulo de fricción interna

y la resistencia al corte no drenado

. También ha sido utilizado para

estimar la capacidad de apoyo de fundaciones y el módulo esfuerzo-deformación E. El ángulo de fricción del suelo

puede ser estimado a partir del valor de =

18

+ 15

mediante las siguientes ecuaciones. Para vías y puentes, Shioi & Fukui (1982), (Ec. 8.7)

= 0,36 ×

+ 27

Para edificaciones, Shioi & Fukui (1982), (Ec. 8.8)

= 0,45 ×

+ 20

Para situaciones generales, Shioi & Fukui (1982), (Ec. 8.9)

559

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Tabla 8.9. Relaciones empíricas para

(Das, 2001).

Fuente Liao y Whitman (1986)

1/

Skempton (1986)

2 1+

Seed et al. (1975)

1 − 1,25 log( / ), donde:

Peck et al. (1974)

0,77 log(20/ ), donde:

Figura 8.11. Gráficas comparativas de

El valor del ángulo de fricción esfuerzo vertical efectivo

vs.

= 1 US ton/pie

> 0,25 US ton/pie

(Das, 2001).

puede también ser estimado a partir del valor de

y el valor del

, con ayuda de la figura 8.12.

Para estimar el valor de la cohesión no drenada =

, Bowles (1996) presenta las siguientes ecuaciones: (Ec. 8.10)

Para k que varía de 3,5 a 6,5 = 0,29

,

(Ec. 8.11)

Los valores finales a adoptarse para estos parámetros pueden ser los promedios de los valores hallados con las ecuaciones anteriores. 560

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

Para estimar el valor de la densidad relativa en suelos granulares

, Terzaghi & Peck (1948) sugieren

que ésta está en función de la clasificación del suelo y del valor de

. La tabla 8.10 presenta la citada

relación. Tabla 8.10. Correlación entre el parámetro

y la densidad relativa

Clasificación

. Densidad relativa,

Muy suelto Suelto Medio Denso Muy denso

0a3 3a8 8 a 25 25 a 42 42 a 58

Figura 8.12. Correlación entre

,

y

(%)

0 a 15 15 a 35 35 a 65 65 a 85 85 a 100

para suelos granulares, según Schmertmann (1975) (Das, 2001).

Por otra parte Kullhawy y Mayne (1990) proponen la siguiente ecuación: (%) =

× 100

= 60 + 25 log = 1,2 + 0,05 log

(Ec. 8.13) 100

,

=

(Ec. 8.12)

(Ec. 8.14) (Ec. 8.15)

Donde: = Tamaño de partículas para el que se tiene un 50% de suelo más fino. = Razón de sobreconsolidación. 561

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

= Edad del suelo relacionada a años de deposición. La razón de sobreconsolidación OCR, es estimada mediante la ecuación propuesta por Mayne y Meyer (1988): ,

= 0,193

(Ec. 8.16)

El módulo de deformación E, es determinado a partir de

mediante las ecuaciones de la tabla 8.11.

Tabla 8.11. Módulo de deformación para suelos granulares. Tipo de suelo

E = 2750 = 500(

Arena (normalmente consolidada)

+ 15)

= 700 = 600 )

= 18500 ln( Arena (saturada)

= 250(

+ 15)

Arena (sobreconsolidada)

= 40000 + 1050

Arena gravosa

= 1200(

+ 6)

= 600(

+ 6) + 2000

Arena arcillosa

= 320(

+ 15)

Limos, limo arenoso o limos arcillosos

= 300

+6

8.5.4 Capacidad de apoyo en arenas a partir de ensayos SPT El SPT ha sido ampliamente utilizado para determinar directamente la capacidad de apoyo en arenas. La primera relación fue publicada por Terzaghi y Peck (1967); y luego de una serie de observaciones realizadas en campo, se pudo ver que esta relación es demasiado conservadora. Así mismo, Meyerhof (1956, 1974) publicó ecuaciones que estiman la capacidad de carga neta admisible del suelo para un asentamiento tolerable de 25,4 mm. Estas relaciones podrían ser utilizadas para producir curvas similares a las de Terzaghi y Peck (1967), por tanto, resultan ser del mismo modo relaciones bastante conservadoras. Las ecuaciones propuestas por Meyerhof son las siguientes: ( )

=

−

( )[

/

] = 11,98

( )[

/

] = 7,99

Nota.- El valor de

Para ( ≤ 1,22 ), (Ec. 8,17) 3,28 + 1 3,28

Para ( > 1,22 ), (Ec. 8,18)

debe ser determinado a una profundidad de 2B a 3B medida a partir del fondo de la

fundación. Posteriormente, Meyerhof notó que las ecuaciones (8.17) y (8.18) proveen resultados bastante conservadores, debido a que en éstas, el ancho de la zapata B es un parámetro muy importante, ya que si la 562

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

profundidad de influencia es del orden de 2B, un ancho mayor de zapata afectaría entonces al suelo hasta una mayor profundidad produciéndose por tanto asentamientos más grandes. Por esta razón, Meyerhof (1965) sugirió incrementar la carga neta admisible en un 50%. Bowles (1977) siguiendo la sugerencia de Meyerhof propuso las ecuaciones modificadas a partir de la forma básica de Meyerhof. ( )[

/

] = 19,16

( )[

/

] = 11,98

Para ( ≤ 1,22 ), (Ec. 8,19) 3,28 + 1 3,28

Para ( > 1,22 ), (Ec. 8,20)

Donde: = Asentamiento tolerable (mm). = 25,4 (mm). = Factor de profundidad sugerido por Meyerhof (1965). = 1 + 0,33

≤ 1,33

La figura 8.13 presenta la variación de

( ) /(

) con B y

. Esta gráfica está desarrollada en

unidades inglesas.

Figura 8.13. Gráfica de

( ) /(

) vs.B. Ecuaciones (8.19) y (8.20) (Das, 2001).

563

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Ejemplo 8.1 Se ha realizado un ensayo SPT con un equipo construido en EEUU que tiene un martillo tipo rosquilla y es jalado por cuerdas, la tabla 8.12 muestra los resultados del mismo. La perforación tenia un diámetro de 10 cm y la cuchara se utilizo sin ningún revestimiento. El suelo encontrado fue arena. Se pide determinar la máxima capacidad admisible de apoyo de una fundación continua de 5 m de ancho a 2 m de profundidad para un asentamiento tolerable de 25 mm. Considerar que el peso unitario de la arena es de 20

/

y que el nivel de agua en el sondeo permaneció en el nivel del terreno natural.

Tabla 8.12. Datos del ensayo de penetración estándar para el ejemplo 8.1. Profundidad, m

Número de golpes

1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0

5 7 9 10 12 15 18 20 25 35

Solución: La capacidad de carga neta admisible para este caso es: ( )

= 11,98

3,28 + 1 3,28

Donde: = 1 + 0,33

2 = 1 + (0,33) = 1,13 5

La profundidad de influencia es de 2B a partir del pie de la fundación, por ello solo tomaremos los valores del numero de golpes hasta los 12 m, Fig. 7.14.

Figura 8.14. Esquema de la profundidad del ensayo.

564

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

Paso 1. Calculamos

, para lo cual,

=

Tabla 8.13. Planilla de cálculo de corrección para el ensayo STP. Prof.

Nº golpes

3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0

7 9 10 12 15 18 20

=

0,64 0,64 0,64 0,64 0,64 0,64 0,64

0,75 0,85 0,95 0,95 0,95 1,00 1,00

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

30,6 45,9 61,2 76,5 91,8 107,1 122,4

1,77 1,44 1,25 1,12 1,02 0,89 0,88

5,95 7,05 7,60 8,17 9,30 10,25 11,26

45 = 0,64 70

Luego: =

5,95 + 7,05 + 7,6 + 8,17 + 9,3 + 10,25 + 11,26 = 8,51 7

Paso 2. La capacidad de carga neta admisible será: ( )

= 11,98(8,51)

3,28(5) + 1 3,28(5)

× 1,13

25 = 127,64 25,4

Paso 3. Finalmente la máxima capacidad admisible de apoyo es: =

( )

=



+

= 127,64 + 20(2)

8.6 Ensayo de carga de placa (Plate loading Test) Tradicionalmente, este ensayo ha sido llevado a cabo para determinar la resistencia y compresibilidad de suelos en los que resulta difícil el proceso de muestrear y ensayar de una manera representativa. Estos suelos comprenden esencialmente a los suelos granulares y rocas fracturadas. Por ejemplo, en arcillas fisuradas los ensayos de esfuerzo-deformación llevados a cabo en laboratorio proporcionan parámetros de rigidez bastante aproximados a los que se presentan en realidad, debido a que la rigidez de las fisuras de arcilla en la muestra obtenida es muy próxima a la rigidez de las fisuras de la masa total de arcilla. Sin embargo, cuando se trata de rocas, la presencia de discontinuidades reduce significantemente la rigidez de la masa de roca. Por tanto, cuando se ensaya un bloque intacto de roca este puede tener una rigidez muy superior respecto a la de la masa total de roca, dependiendo de la frecuencia y orientación de las discontinuidades, obteniéndose de esta manera a través de los ensayos de laboratorio resultados bastante alejados de la realidad. Debido a las razones expuestas anteriormente, el ensayo de carga de placa es muy útil sobre todo cuando se pretende evaluar los parámetros de compresibilidad en rocas débiles y en suelos tales como arenas, gravas y material de relleno. Aunque la realización de este ensayo implica un costo elevado, la principal ventaja de este es el gran grado de similitud que se puede lograr entre el ensayo y el prototipo, siendo su principal desventaja la

565

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

interpretación de los resultados, la cual es bastante complicada debido a las condiciones de rigidez y geometría de la placa que ocasionan que se produzcan diferentes trayectorias de esfuerzos bajo la placa. El procedimiento de este ensayo se halla estandarizado según norma ASTM D1194-94. El equipo a utilizarse para este ensayo es mostrado en la figura 8.15. Este ensayo puede ser realizado en sondeos superficiales o en perforaciones. Por lo general, el sondeo debe tener un diámetro igual a 4B (B es el diámetro de la placa de prueba) y debe ser realizado a una profundidad de Df (Df es la profundidad de fundación del cimiento propuesto). Para el ensayo se requiere una placa circular, Fig. 8.15, pudiendo ser también cuadrada o rectangular, en la que se aplica la carga para luego registrar las deformaciones que se producen en el suelo. Las placas usadas son de acero de 1 pulgada (25 mm) de espesor y de 6 a 30 pulgadas de diámetro (150 a 762 mm). Pueden usarse también placas cuadradas de 12  12 pulgadas (305  305 mm).

Figura 8.15. Equipo utilizado en el ensayo de carga de placa (Das, 2001).

La superficie de suelo o roca que va a ser ensayada debe ser cuidadosamente limpiada removiendo el material suelto existente producto de la realización del sondeo o perforación. La operación de limpieza es muy importante debido a que estos residuos de material suelto pueden ocasionar errores en la determinación del módulo de elasticidad E. Luego se añade arena con el objeto de nivelar la superficie de ensayo. Finalmente, se coloca la placa en el centro del sondeo y se aplica la carga a través de un gato hidráulico. Sobre el gato hidráulico puede colocarse una viga de reacción unida mediante anclajes a pilotes. El objetivo de esta viga es absorber la reacción del gato. La carga puede ser aplicada de dos maneras o razones diferentes que son: Razón constante de penetración. La carga es aplicada de una manera controlada, de tal modo que la razón seleccionada de penetración sea uniforme y continua. Por lo general, la razón es elegida de tal modo que se pueda obtener el comportamiento del asentamiento inmediato o no drenado. Esta razón suele ser de 2,5 mm por minuto. 566

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

Carga incremental mantenida. La carga es aplicada a la placa en incrementos sucesivos de aproximadamente un quinto de la carga total de diseño, existiendo un cierto intervalo de tiempo hasta la aplicación del siguiente incremento. Burland & Lord (1970) sugieren que este intervalo de tiempo debe ser elegido de acuerdo a la razón de asentamiento, sugiriendo ellos una razón de 0,0002 mm/min. Se debe tomar en cuenta que el intervalo de tiempo entre incrementos de carga no debe ser menor a 15 min. Por otro lado Clayton et al (1995) recomiendan una razón de 0,004 mm/min para un intervalo de al menos 60 min. El asentamiento de la placa es medido mediante extensiómetros. El ensayo debe ser conducido hasta la falla, o hasta que la placa se haya asentado 1 pulgada (25 mm). A partir del ensayo de carga de placa, valores del módulo de deformación, E, indispensable para la determinación del asentamiento en suelos granulares y rocas, pueden ser obtenidos por medio de las siguientes ecuaciones: Para suelos granulares o rocas débiles, considerando una placa rígida circular uniformemente cargada en un sólido semi-infinito, elástico, isotrópico, en el que la rigidez no se incrementa con la profundidad, se tiene la ecuación de Poulos & Davis (1974): =

(1 −

)

(Ec. 8.21)

4

Donde: = Esfuerzo aplicado entre la placa y el terreno. = Diámetro de la placa. = Coeficiente de Poisson. = Asentamiento producido en la placa Para suelos granulares y rocas débiles, el valor del coeficiente de Poisson está por lo general en el rango comprendido entre 0,1 y 0,3. De este modo, el término (1 −

) tiene un efecto despreciable en el cálculo de

E. Sin embargo, cuando los ensayos de carga de placa son llevados a cabo en la zona que será esforzada a causa del emplazamiento de la fundación propuesta, el valor de q en la ecuación (8.21) puede ser tomado como el esfuerzo vertical que será aplicado por la fundación en el nivel en el cual se realiza el ensayo de carga de placa, o alternativamente, puede incorporarse un margen de seguridad tomando un valor de q, 50% mayor al esfuerzo vertical aplicado estimado. Por otro lado, si se considera una placa circular aplicada en la superficie ( / = 0) , el módulo de deformación es igual a la siguiente ecuación formulada por Giroud (1972): = 0,85

(1 −

)

(Ec. 8.22)

Donde: = Asentamiento promedio que es igual al asentamiento actual, medido en un radio equivalente a 0,75 del radio. Los valores de E obtenidos a partir de las ecuaciones anteriores, son simplemente aproximados y en ciertos casos no producen resultados muy confiables, debido a que todos ellos consideran que la placa es cargada sobre un suelo totalmente homogéneo, situación que se presenta muy pocas veces en la realidad. Por otra parte, el valor de E es también influenciado por el diámetro de la placa.

567

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Finalmente, la principal desventaja para la estimación de E, es que se requiere del conocimiento del perfil de variación del módulo E con la profundidad. A partir del ensayo de carga de placa, pueden también ser determinados valores de resistencia al cortante o capacidad de apoyo cuando se trabaja con suelos cohesivos. En este caso, la resistencia al cortante no drenada para suelos cohesivos

, puede ser determinada a partir del valor de la carga última de apoyo

,

por medio de la siguiente ecuación: −

=

(Ec. 8.23)

Donde: = Cohesión no drenada. = Capacidad última de carga. =

= Esfuerzo vertical a la profundidad en la cual se realiza el ensayo.

= Factor de capacidad de apoyo igual a 6,15 para área circular cargada en la superficie y 9,25 cuando el ensayo es llevado a cabo en la base del sondeo que debe tener el mismo diámetro que la placa utilizada. El valor de la capacidad última de carga,

, de la ecuación (8.23) puede ser determinado a través de los

resultados del ensayo de carga de placa, obteniéndose muy buenas aproximaciones. Con este afán, los resultados de este ensayo pueden ser presentados de dos formas: 1.

Por medio de una curva tiempo-asentamiento

2.

Por medio de una curva carga-asentamiento, Fig.8.16.

Figura 8.16. Curva carga –asentamiento obtenida a partir del ensayo de carga de placa.

La capacidad última de carga alcanzada en la placa

( ),

es determinada como el valor de carga para el

cual se produce la falla, como la máxima carga alcanzada durante la realización del ensayo, en caso de no producirse la falla, o, en su caso como el valor de carga correspondiente a un asentamiento igual al 10% del diámetro de la placa. Luego, para pruebas en suelos arcillosos, la capacidad última de carga de la fundación ( )

=

( )

( ),

es: (Ec. 8.24)

Donde: 568

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

( )

= Capacidad última de carga para la fundación propuesta.

( )

= Capacidad última de carga de la placa de prueba.

Según la ecuación (8.24), se observa que la capacidad de carga última en suelos arcillosos es independiente del tamaño de la placa de prueba. Para suelos arenosos, la capacidad última de carga en la fundación ( )

=

( )

es: (Ec. 8.25)

( )

Donde: = Ancho de la fundación. = Ancho de la placa de prueba. Por otro lado, para estimar la capacidad de apoyo admisible en una fundación, se consideran tanto los asentamientos como la intensidad de carga aplicada, q. Luego el asentamiento en la fundación es: Para suelos arcillosos: =

(Ec. 8.26)

Para suelos arenosos: =

2 +

(Ec. 8.27)

Las ecuaciones anteriores se basan en el trabajo realizado por Terzaghi y Peck (1967). Posteriormente D’Appolonia et al. (1970) realizaron una comparación entre los resultados obtenidos de pruebas en campo y los obtenidos mediante la ecuación (8.27). Esta comparación se observa en la figura 8.17.

Figura 8.17. Comparación de los resultados de pruebas de campo con los obtenidos de la ecuación (8.27) (Según D’Appolonia et al, 1970).

Por otro lado, Housel (1929) desarrolló otro procedimiento para la determinación de la carga admisible de fundaciones superficiales. A través de éste, es posible encontrar las dimensiones de una fundación que soporte una carga, Q, con un asentamiento admisible de 1.

. El procedimiento a seguir es el siguiente:

Realizar dos pruebas de carga de placa, con placas de diámetro

y

.

569

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

2.

De las curvas carga-asentamiento obtenidas de las pruebas realizadas, determinar las cargas totales sobre las placas,

y

, que corresponden a los valores de carga alcanzados en el ensayo de carga de

placa para el asentamiento admisible 3.

Identificadas las cargas totales

y

. , es posible determinar los valores de m y n, por medio de las

siguientes ecuaciones: =

+

(Ec. 8.28)

=

+

(Ec. 8.29)

Donde: ,

= Áreas de las placas de las pruebas 1 y 2, respectivamente.

,

= Perímetros de las placas de las pruebas 1 y 2, respectivamente.

,

= Constantes correspondientes a la presión de carga y al cortante perimetral.

La fundación a diseñarse soportará una carga, Q, y tendrá una dimensión de: =

+

(Ec. 8.30)

Donde: =

= Área de la fundación que soportará una carga P.

=4

= Perímetro de la fundación que soportará una carga P.

De este modo, la dimensión de la fundación que soportará una carga Q conocida, es determinada a partir de la ecuación (8.30), puesto que el valor de m y n es también conocido.

8.6.1 Determinación de la capacidad de apoyo convencional a partir del ensayo de carga de placa Como consecuencia de la investigación del comportamiento carga-asentamiento en varias fundaciones, llevada a cabo luego de la realización de una serie de ensayos de carga de placa, Decóurt (1999) observó que en tales ensayos la falla no era nunca alcanzada. Otra evidencia de que no existe una definición clara de falla es la existencia de una gran cantidad de criterios de falla reportados a lo largo del tiempo por distintos autores tales como: Vesic (1975), Fellenius (1980), etc. Es así, que debido a estas razones, De Beer (1988) propone dos conceptos de falla: Falla convencional,

.Se define como la carga correspondiente a un asentamiento igual al 10% del

diámetro del pilote, para pilotes, y a un asentamiento igual al 25 a 30% del ancho de la fundación para fundaciones superficiales.

Falla física Se define como la falla alcanzada cuando el incremento de carga tiende a infinito (∆ → ∞) y por tanto el asentamiento producido tiende de igual manera a un valor infinito ( → ∞), es decir, la falla física es alcanzada cuando el valor de la rigidez se hace igual a cero. De las definiciones anteriores puede observarse que la falla física en fundaciones superficiales no es nunca alcanzada debida fundamentalmente a que se halla asociada a un valor de asentamiento infinito. Por 570

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

tanto, la única manera de determinar

es a través de un procedimiento de extrapolación, el cual, debe ser

realizado en la gráfica de rigidez vs carga. Esta gráfica tiene la forma de una línea recta en el caso de pilotes, mientras que para fundaciones superficiales está representada por una curva que permanece asintótica al eje horizontal, por tanto, en este tipo de fundaciones nunca se alcanza el valor de rigidez igual a cero. El procedimiento de Décourt fue desarrollado con el objetivo de optimizar la interpretación de los resultados obtenidos a partir de ensayos de carga de placa, realizados por Lopez et al (1998) en una zapata cuadrada de 1,2 m de ancho. Los pasos a seguir son los siguientes: 1.

Graficar los resultados por medio de una curva carga – asentamiento.

2.

La curva carga – asentamiento, Fig. 8.16, es dividida en dos partes. Una parte inicial que corresponde a la parte pre-esforzada o en el caso de suelos cementados corresponde a esfuerzos más bajos que el esfuerzo de cedencia

, que es representada por una línea recta. La otra parte, en la que se observa,

que para esfuerzos más altos el comportamiento carga-asentamiento se representa por medio de una curva parabólica. Luego, ambas partes son graficadas en una escala logarítmica. 3.

Para la gráfica logarítmica, realizar una regresión estadística, considerando inicialmente solamente los tres últimos puntos. Dicho de otra manera, para log( ) =

+

log( ) calcular

. A continuación

realizar regresiones sucesivas que consideren los cuatro últimos puntos, los cinco últimos puntos y así sucesivamente hasta abarcar todos los puntos; existiendo dos criterios para considerar la calidad de la correlación considerada: el valor del coeficiente de correlación

y el número de puntos que

toma en cuenta la correlación. 4.

Elegir la mejor correlación. Esta elección dependerá fundamentalmente del criterio del ingeniero, teniendo que cuenta que idealmente el valor de

debería ser más alto que 0,999 y en ningún caso

inferior a 0,99. 5.

Elegida la mejor correlación, establecer la ecuación de la curva y estimar a continuación el valor del esfuerzo de falla convencional

. Para esto, basta ingresar en la ecuación de la correlación con un

valor de asentamiento igual al 10% del ancho de la fundación. Cuando la fundación no es cuadrada ingresar con un valor de asentamiento igual al 10% del ancho equivalente raíz cuadrada del área 6.

, siendo este igual a la

=√ .

Para la estimación del esfuerzo correspondiente a la capacidad de carga convencional propone que una vez establecido el valor de

, Décourt

usando todos los resultados obtenidos a partir de la

regresión, entonces, borrar los resultados correspondientes a los valores más altos de esfuerzo y asentamiento, y volver a estimar

. De esta manera se obtienen muchos valores de

Establecer nuevamente otra correlación log × log, entre el valor de

y el valor de

. , siendo este

último igual al valor más alto de esfuerzo considerado en cada caso. El procedimiento consiste entonces, en extrapolar este punto, el valor de 7.

, hasta hallar un punto en el que

es igual al esfuerzo de falla convencional, es decir

Normalizar la curva carga-asentamiento. Una vez que el valor de gráfica normalizada de / log( /

)=

+

se hace igual a

vs /

. Determinado

=q .

ha sido determinado, realizar la

, siendo la ecuación de esta curva la siguiente:

log /

Idealmente, en la ecuación anterior el valor de A debería ser igual al valor de B. De esta manera, se introduce un nuevo valor de C, que se define como:

571

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

= ( + )/2 Donde C se define como el Coeficiente de Compresibilidad Intrínseca. Entonces, la forma final de la ecuación es: log( /

)=

+

log /

El coeficiente de compresibilidad intrínseca depende de las características intrínsecas de los granos del suelo tales como: la distribución del tamaño de partículas, forma de los granos, angularidad, superficie rugosa y de la composición mineral del material. A partir de la investigación realizada, el valor de C depende del tipo de suelo y puede adquirir los siguientes valores: Para todos los suelos brasileros y la mayoría de los suelos extranjeros: 0,30 ≤

≤ 0,50

Para dunas de arena de Labenne: 0,38 ≤

≤ 0,63

Para arenas de Quipu: 0,36 ≤

≤ 0,65

Para arenas de Kuwait, los cuales son intrínsicamente mucho más compresibles: 0,60 ≤

≤ 0,83

Finalmente, un valor conservativo de C para propósitos de diseño, según Décourt (1998), podría ser: = 0,30 + 0,24 8.

[

]

Verificar si el postulado de la no existencia de falla física

(punto de rigidez igual a cero) asumido

para el ensayo analizado, es correcto. Para esto, realizar la gráfica logarítmica de la rigidez R vs. carga Q. Para fundaciones superficiales, este gráfico está representado por una curva que permanece asintótica al eje horizontal. Luego, debido a que el análisis de regresión llevado a cabo es logarítmico, no es posible introducir un valor de regresión igual a cero. Para salvar este aspecto, Décourt afirma que es aceptable asumir en lugar de rigidez cero, un valor de rigidez igual a un décimo del valor de rigidez correspondiente a la falla convencional, es decir = 0,1

. De este modo el valor de

es determinado.

Como conclusión se puede afirmar, que el método propuesto por Décourt es un método totalmente independiente a todas las teorías tradicionales existentes a cerca de los criterios de fallas establecidos por distintos autores anteriormente.

Ejemplo 8.2 A continuación se presenta un ejemplo de Ensayo de Carga de Placa, según la interpretación de la norma ASTM D 1194-94.

572

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

PRUEBA DE CARGA DE PLACA ASTM D 1194-94 A. DATOS GENERALES Proyecto:

________________________________________________

Ubicación:

________________________________________________

Ensayo Nº:

________________________________________________

B. DATOS DEL EQUIPO Diámetro de la placa, (cm): Área de la placa, (cm ):

31,0

Deformímetro, (mm):

754,77

Profundidad, (m):

0,01

0,20

C. DATOS DEL ENSAYO Lectura del manómetro, (kN):

1,0

Carga muerta, (kN):

0,7 kN

Incremento real, (kN): 7,1

Hora de inicio:

Carga total, (kN):

7,8

Lectura inicial 1, (1/100mm):

28,8

103,34

Lectura inicial 2, (1/100mm):

365,6

Lectura inicial 3, (1/100mm):

730,8

Presión, (kPa):

8:45

Tabla 8.14. Ensayo de Carga de Placa. Deformímetros Tiempo

Temperatura

Lectura 1

Lectura 2

Lectura 3

Deformación

min

°C

(1/100 mm)

(1/100 mm)

(1/100 mm)

(1/100 mm)

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0

16,9 16,9 16,9 16,9 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0

28,8 73,8 74,0 79,3 80,2 80,6 80,8 81,0 81,2 81,2 81,5 85,8 86,3 86,8 87,2 87,6 88,0 88,0 89,0 89,6 90,0 90,3 90,8 91,0 91,0 91,5

365,6 375,2 375,2 378,2 378,8 379,2 379,2 379,3 379,5 379,6 379,9 382,8 383,2 383,2 383,6 383,5 383,8 383,8 384,0 384,0 384,0 384,0 384,0 384,0 384,0 384,0

730,8 797,2 797,2 802,3 803,2 803,3 803,6 803,8 803,9 804,0 804,0 808,0 808,3 808,6 808,8 808,9 809,0 809,6 809,6 809,7 810,0 810,0 810,2 810,5 810,5 811,0

0,0 40,3 40,4 44,9 45,7 46,0 46,1 46,3 46,5 46,5 46,7 50,5 50,9 51,1 51,5 51,6 51,9 52,1 52,5 52,7 52,9 53,0 53,5 53,4 53,4 53,8

573

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Tabla 8.14 (continuación). Ensayo de Carga de Placa. Deformímetros Tiempo

Temperatura

Lectura 1

Lectura 2

Lectura 3

Deformación

min

°C

(1/100 mm)

(1/100 mm)

(1/100 mm)

(1/100 mm)

26,0 27,0 28,0 29,0 30,0 31,0 32,0 33,0 34,0 35,0 36,0 37,0 38,0 39,0 40,0 41,0 42,0 43,0 44,0 45,0 46,0 47,0

17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1 17,1

91,7 91,8 92,0 92,2 92,3 93,6 92,8 93,0 93,0 93,5 93,6 93,8 93,8 94,0 94,0 94,2 94,3 94,7 94,8 94,8 95,0 95,0

384,2 384,2 384,5 384,5 384,6 384,8 384,8 384,8 385,0 385,0 385,0 385,2 385,2 385,6 385,6 385,6 385,7 385,8 385,8 386,0 386,0 386,0

811,0 811,0 811,1 811,2 811,3 811,3 811,3 811,5 813,0 813,0 813,0 813,0 813,0 813,0 813,0 813,1 813,2 813,3 813,3 813,7 813,8 813,8

53,9 53,9 54,1 54,2 54,3 54,8 54,6 54,7 55,3 55,4 55,5 55,6 55,6 55,8 55,8 55,9 56,0 56,2 56,2 56,4 56,5 56,5

Figura 8.18. Curva Tiempo vs Deformación.

B. DESARROLLO DE LA PRUEBA Hora de inicio: Peso del equipo, (kN):

31,0 754,77

Condiciones climáticas: Diámetro de la placa, (m):

Nublado 0,31

574

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

Tabla 8.15. Desarrollo de la prueba de Carga de Placa. Carga total

Presión

Asentamiento

Incremento

kN

Kgf

kPa

Kgf/cm2

(1/100 mm)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0 7,8 15,1 22,4 29,7 37,0 44,3 49,1 34,6 17,5 7,8

0 780 1510 2240 2970 3700 4430 4910 3460 1750 780

0 103 200 297 393 490 587 651 458 232 103

0 1,0 2,0 3,0 3,9 4,9 5,9 6,5 4,6 2,3 1,0

0 56,5 90,5 162,6 230,6 284,2 369,3 417,0 415,6 402,9 383,8

Figura 8.19. Resultados de la prueba de carga.

Capacidad ultima de apoyo (q ) = 651 kPa Factor de seguridad adoptado FS = 3 Maxima capacidad segura de apoyo (q ) = 217 kPa Capacidad admisible de apoyo (q

) = 217 kPa

8.7 Ensayo de penetración del cono (Cone Penetration Test, CPT) El CPT es un ensayo simple, que en la actualidad está siendo ampliamente usado y va reemplazando poco a poco al ensayo de penetración estándar (SPT). Este ensayo produce muy buenos resultados para arcillas blandas, limos blandos y para arenas finas a medias. El CPT ha sido estandarizado según norma ASTM D-3441, y consiste de un cono de 60° que es empujado hidráulicamente, a partir de la superficie hasta la profundidad requerida, a una velocidad constante de 575

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

2 ± 0,5

/ . El cono consta de dos partes: el cono propiamente dicho y un mango cilíndrico o fuste que se

encuentra sobre el cono. El cono tiene una dimensión de 35,7 mm de diámetro con su respectiva área proyectada de 10 cm2; mientras que el mango cilíndrico tiene también un diámetro de 35,7 mm y una altura de 133,7 mm. El área del mango es de 150 cm2. El procedimiento del ensayo consta básicamente de ir introduciendo el cono en el suelo a velocidad constante, al mismo tiempo que se van registrando la resistencia a la penetración, fricción producida entre el mango del cono y el suelo,

y la resistencia a la

. Existen dos tipos de conos: el cono mecánico y el

cono eléctrico. En el cono mecánico, Fig. 8.20, la punta del instrumento está conectada a un conjunto de barras internas. La punta es primero empujada aproximadamente 40 mm, obteniéndose así el valor de la resistencia del cono. Luego, mediante un empuje adicional la punta acciona la fricción en el mango.

Figura 8.20. Penetrómetro de cono de fricción mecánico (Das, 2001).

576

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

En este tipo de cono, conforme la barra que se encuentra en el interior de este avanza, la fuerza en la barra es igual a la suma de la fuerza vertical sobre el cono y el mango. La resistencia lateral se obtiene restando a la fuerza anterior la fuerza sobre el cono. En el cono eléctrico, Fig. 8.21, la punta está unida a un grupo de barras de acero que permiten que esta sea empujada en el terreno a razón de 2

/ . Los alambres de los transductores que pasan por el centro de las

varillas registran en forma continua la resistencia del cono y la resistencia lateral.

Figura 8.21. Penetrómetro de cono de fricción eléctrico (Das, 2001).

Las figuras 8.22 (a) y 8.22 (b) muestran los resultados obtenidos de pruebas CPT realizadas en un perfil de suelo por medio de un cono mecánico y por medio de un cono eléctrico, respectivamente.

Figura 8.22. Pruebas con penetrómetro con mediciones de la fricción (a) Cono mecánico, lecturas discontinuas (b) Cono eléctrico, registro continuo (según Ruiter, 1971).

La principal diferencia entre los dos tipos de conos es que el cono mecánico realiza mediciones de a intervalos de aproximadamente 20 cm, mientras que el cono eléctrico realiza mediciones continuas de

y y

a través de toda la profundidad. Adicionalmente el cono eléctrico presenta las siguientes ventajas: 577

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

 Mejora la aproximación y la repetitividad obtenida, particularmente en suelos débiles.  Mejor delineación de estratos delgados.  Velocidad más rápida de operación.  Posibilidad de añadir un mayor número de sensores al cono. El CPT a través del tiempo ha sido objeto de extensivas investigaciones e implementaciones (Robertson y Campanella, 1983). Estas implementaciones han dado lugar a un tipo de cono equipado con un transductor de presión de poros que tiene el objeto de medir el exceso de presión de poros que se genera durante el ensayo. Este tipo de cono se denomina piezocono, mientras que el ensayo realizado con éste se denominará CPTu. El piezocono consta de un elemento poroso que es incluido en el interior del cono juntamente con un transductor electrónico de presión de poros, Fig. 8.23. Las mayores aplicaciones del piezocono son las siguientes:  Determinación del perfil del suelo, debido a que la inclusión del elemento poroso permite detectar la presencia de estratos granulares delgados situados dentro de depósitos cohesivos blandos. La presencia de estos estratos llega a ser determinante al hallar la razón de consolidación de depósitos de arcilla blanda.  La identificación del tipo de suelo, debido a que la razón entre el exceso de presión de poros y la resistencia neta del cono provee una guía para esta.  Determinación de la presión estática de poros por medio de la medida de la presión estática de poros que puede ser realizada en suelos granulares o puede ser estimada en suelos arcillosos. Esta medida puede ser realizada en el momento en que se detiene el ensayo para añadir barras al cono o una vez que se completa el ensayo, esperar la disipación completa del exceso de presión de poros.  Determinación de las características de consolidación de arcillas in situ a través de la determinación del coeficiente de consolidación horizontal

que es hallado cuando se detiene el

cono y se mide la disipación del exceso de la presión de poros en función del tiempo.

Figura 8.23. Tipos de piezocono con la piedra porosa en diferentes posiciones.

8.7.1 Correlaciones a partir de ensayos CPT Las medidas básicas realizadas por el cono son:  La fuerza axial necesaria para introducir el cono a velocidad constante. 578

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

 La fuerza axial generada por la adhesión o fricción del mango del cono.  Para piezoconos, la medida principal es el exceso de presión de poros generado durante el ensayo. La resistencia a la penetración de la punta del cono

es:

=

(Ec. 8.31)

Donde: = Fuerza requerida para empujar el cono dentro del terreno. = Área plana del cono = 10 La fricción producida en el mango del cono es: =

(Ec. 8.32)

Donde: = Fuerza cortante producida por la fricción en el mango. = Área plana del cono = 150 La razón de fricción

(%), puede ser calculada como:

=

(Ec. 8.33)

Para suelos granulares, el ángulo de fricción interna

puede ser hallado en función de

y

, por medio

de la expresión propuesta por Kulhawy & Mayne (1990): = tan

0,1 + 0,38 log

(Ec. 8.34)

Donde: = Esfuerzo efectivo vertical. = Resistencia en la punta del cono. La figura 8.24 muestra la relación empírica entre el esfuerzo efectivo vertical

y la compacidad relativa

propuesta por Robertson & Campanella, (1983). Las ecuaciones empíricas determinadas para la estimación de la densidad relativa a partir de ensayos CPTu, se presentan a continuación: =

100 315 ×

×

(Ec. 8.35)

,

Donde: = Factor de compresibilidad. Para arenas de alta compresibilidad:

= 0,91

Para arenas de compresibilidad moderada: Para arenas ligeramente compresibles:

= 1,00

= 1,09

= Resistencia en la punta del cono. = Esfuerzo efectivo vertical.

579

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Figura 8.24. Variación de

Para determinar

,

y

para arena de cuarzo normalmente consolidada (Robertson y Campanella, 1983).

en arenas normalmente consolidadas, Lancelotta (1983) y Jamiolkowski et al (1985)

proponen la siguiente ecuación: = −98 + 66 log Las unidades de

(Ec. 8.36) y

deben ser (ton/m )

Finalmente la figura 8.25 permite la determinación de

en función de

y

a partir de ensayos CPTu.

Existen por otra parte relaciones para la determinación del módulo de deformación E a partir de la clasificación del suelo. Estas se presentan en la tabla 8.16. Tabla 8.16. Relaciones para el módulo de deformación a partir del tipo de suelo. Tipo de suelo Arena cuarzosa joven normalmente consolidada Arena cuarzosa antigua normalmente consolidada Arena cuarzosa sobreconsolidada Arena arcillosa o limosa normalmente consolidada Arena arcillosa o limosa sobreconsolidada

/ 2,5 – 3,5 3,5 – 6,0 6,0 – 10,0 1,5 3

580

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Figura 8.25. Relación de la densidad relativa del suelo con los valores obtenidos en el ensayo CPTu.

Así mismo, para suelos cohesivos, Mayne y Kemper (1988) proponen que la cohesión no drenada

sea

determinada mediante la siguiente ecuación: −

=

1

−

=

(Ec. 8.37)

Donde: = Factor de capacidad de carga. La presión de preconsolidación = 0,243( )

= 15, para cono eléctrico y

= 20, para cono mecánico.

es determinada a partir de la siguiente ecuación:

,

(Ec. 8.38)

Donde: = Presión de preconsolidación (MN/m ) = Resistencia en la punta del cono (MN/m ) Para determinar la razón de sobreconsolidación se dispone de la siguiente ecuación: = 0,37

−

,

(Ec. 8.39)

Donde: = Razón de sobreconsolidación. ,

= Esfuerzo vertical total y efectivo respectivamente.

En la figura 8.26 se observa un ábaco propuesto por Robertson & Campanella, (1983) para la clasificación del tipo de suelo a partir de ensayos CPTu. 581

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Figura 8.26. Ábaco de clasificación de suelos a partir de los datos del CPTu, según Robertson y Campanella (1983).

Finalmente en la figura 8.27 se observa el ábaco para la clasificación de suelos propuesto Meigh (1987). Este ábaco está siendo muy utilizado en los últimos tiempos.

Figura 8.27. Ábaco para la clasificación de suelos a partir de los datos del CPTu, según Meigh (1987).

582

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8.7.2 Valores de capacidad de carga en arenas a partir de ensayos CPT Meyerhof (1956) preparó también relaciones para la capacidad de carga neta admisible en función de la resistencia a la penetración del cono, considerando de igual manera que en el SPT un asentamiento tolerable de 25,4 mm. ( )

=

( )

=

15 25

3,28 + 1 3,28

Para

≤ 1,22 , (Ec. 40)

Para

≥ 1,22 , (Ec. 41)

8.7.3 Valores equivalentes con el ensayo SPT Aunque el CPT tiene muchas ventajas sobre el SPT, existen al menos tres importantes desventajas:  No se puede obtener muestra del suelo, de esta manera no se tiene la oportunidad de observar visualmente el suelo.  El ensayo no da buenos resultados para suelos con contenido significante de grava.  Aunque el costo de penetración del cono es menor que el de la perforación, para realizar el ensayo CPT es necesario movilizar equipos especiales. Debido a estas razones, a través de estudios realizados a lo largo del tiempo se ha logrado establecer una relación gráfica entre los valores de 60%,

, el número de golpes del ensayo SPT corregidos para una energía del

y el tamaño promedio de las partículas en milímetros,

.

La figura 8.28 muestra la gráfica donde se observa el rango general de variación de

/

para varios

tipos de suelos.

Figura 8.28. Relación de los valores obtenidos del CPTu con los obtenidos del SPT (Robertson y Campanella, 1983).

583

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Ejemplo 8.3 En la figura 8.29, se muestra un ejemplo del ensayo CPTu.

Figura 8.29. Ensayo de penetración de cono CPT.

584

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8.8 Ensayo del dilatómetro (Dilatometer Marchetti Test, DMT) A partir de los ensayos de penetración, tales como el SPT y el CPT, es posible obtener las características del suelo mediante correlaciones con resistencias del mismo, medidas todas ellas en condición de falla. Sin embargo, existen otros procedimientos de investigación in situ que permiten medir la resistencia a la deformación del suelo, y de este modo determinar con mayor detalle varias propiedades físicas del suelo. Entre estos últimos ensayos se tiene al ensayo del dilatómetro. El ensayo del dilatómetro es uno de los últimos ensayos in situ desarrollados. Este fue concebido a fines de los 70 por Silvano Marchetti, por tal razón, es también denominado ensayo del dilatómetro de Marchetti. El dilatómetro, Fig. 8.30, consiste de una paleta plana de acero inoxidable que se hinca en el terreno y esta provista de una fina membrana metálica circular, expansible horizontalmente en el suelo mediante gas a presión. Su lado inferior posee un filo cortante agudo en V, con un ángulo aproximado de 10°.

Figura 8.30. Dilatómetro de Marchetti (según Marchetti, 1980).

El dilatómetro se conecta a una cadena de barras de perforación y luego se hinca, en el terreno a ensayar, Fig. 8.31. Desde una caja de instrumentos situados en la superficie del terreno, un solo cable compuesto de alambre eléctrico y tubo para gas a presión va a través de las barras de perforación hasta la hoja plana.

Figura 8.31. Dilatómetro insertado en el terreno.

585

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

El procedimiento a seguir para la realización del ensayo es el siguiente (Schmertmann, 1986): 1.

Presionar el dilatómetro en el terreno a la profundidad deseada, utilizando el equipo del CPT o algún otro equipo disponible.

2.

Aplicar presión de gas nitrógeno a la membrana de tal modo que esta se mueva hacia fuera. Registrar las siguientes presiones:  Presión A.- Presión necesaria para iniciar el movimiento, es decir, presión necesaria para mover el centro de la membrana 0,05 mm hacia el terreno.  Presión B.- Presión necesaria para producir una deflexión de 1,1 mm del centro de la membrana.

3.

Despresurizar cuidadosamente la membrana y registrar la presión actuante en la membrana cuando esta retorna a su posición original. Esta es la presión C y representa una medida de la presión de poros en el suelo.

4.

Presionar el dilatómetro en el terreno con incrementos de 15 a 30 cm y repetir el ensayo. Continuar el ensayo hasta alcanzar la profundidad deseada.

Figura 8.32. Esquema de realización del ensayo DMT.

Cada una de estas secuencias de ensayo requiere típicamente de uno a dos minutos. De esta manera un sondeo típico con este ensayo puede tomar aproximadamente unas dos horas, en contraste, al tiempo requerido para la realización del CPT que es por lo general de 30 minutos. La principal ventaja de este ensayo, es que presenta la posibilidad de medir las condiciones de esfuerzo lateral además de la medición de la compresibilidad del suelo. Estas son medidas a través de las presiones A, B y C y a través de los factores de calibración del equipo, conocidos como índices DMT. Para la determinación de los índices DMT, la corrección de las presiones A y B, según Schmertmann (1986), es realizada por medio de las siguientes ecuaciones: = 1,05( + ∆ + =

−

−∆

) − 0,05( − ∆ −

)

(Ec. 8.50) (Ec. 8.51) 586

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

Donde: = Esfuerzo de contacto. = Esfuerzo de expansión. ∆ = Presión respecto al vacío requerida para mantener la membrana en contacto con su asiento. ∆ = Presión del aire requerida dentro la membrana para desviarla hacia fuera una expansión central de 1,1 mm. = Desviación de la presión manométrica desde cero, cuando está ventilada a la presión atmosférica. Luego, la determinación de los tres índices DMT, es realizada por medio de las siguientes ecuaciones: =

=

− −

(Ec. 8.52)

−

= 34,7(

(Ec. 8.53) −

)

(Ec. 8.54)

Donde: = Índice del material. = Índice del esfuerzo horizontal. = Módulo del dilatómetro. = Presión de poros de agua. = Esfuerzo efectivo vertical in situ. Las unidades del módulo del dilatómetro

, esfuerzo de expansión

y el esfuerzo de contacto

estan

en kN/m . A partir de los índices DMT, pueden determinarse mediante correlaciones algunas propiedades del suelo, estas correlaciones se muestran en la tabla 8.17. Tabla 8.17. Determinación de propiedades a partir del DMT. Propiedad

Correlación ,

Coeficiente de presión lateral

=

= (0,5

Razón de sobreconsolidación Cohesión no drenada (Suelo NC)

= 0,22

Cohesión no drenada (Suelo SC)

=

Módulo de elasticidad

− 0,6

1,5

= (1 −

)

,

(0,5

)

,

)

La figura 8.33 presenta una gráfica que muestra la correlación entre el índice de material

, con

junto

con el tipo de suelo, el estado y la consistencia del mismo.

587

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Figura 8.33. Correlación entre tipo de suelo,

y

. Según Lacasse y Lunne (1986).

Ejemplo 8.4 A continuación se tiene un ejemplo del ensayo del Dilatómetro Plano de Marchetti – DMT. Tabla 8.18. Datos del ensayo del Dilatómetro de Marchetti DMT. Prof. (m)

Empuje (kN)

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0

21,0 21,0 21,0 21,0 21,8 21,8 22,8 22,8 22,0 22,0 21,3 22,0 22,0 22,0 22,0 21,8 21,8 21,8 21,8 23,8 22,3 22,0 22,3 22,3 23,0

A (Bar)

B (Bar)

∆ = 0,12

∆ = 0,45

1,5 2,7 3,3 2,1 2,6 3,4 2,5 3,6 4,2 4,2 5,5 5,9 4,7 3,5 6,5 6,9 6,0 3,9 4,9 6,4 3,8 3,5 4,5 4,6 4,5

2,6 4,6 5,2 3,0 4,7 5,5 7,3 6,1 5,8 5,7 9,3 9,9 7,9 4,7 10,5 10,0 9,4 4,8 8,1 9,6 5,6 4,4 7,0 8,7 7,3

C (Bar)

Prof. (m)

Empuje (kN)

A (Bar)

B (Bar)

C (Bar)

-

5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2 9,4 9,6 9,8 10,0

24,0 23,8 27,2 40,0 42,0 38,0 33,0 39,0 43,0 48,0 43,0 45,0 47,0 47,0 54,0 52,0 50,0 42,0 42,0 62,0 60,0 50,0 40,0 35,0 35,0

7,1 6,1 9,8 10,0 16,5 6,5 4,0 3,9 6,1 7,1 4,9 4,2 4,5 4,8 3,9 5,9 5,3 5,6 5,3 8,5 9,7 6,1 9,4 9,0 9,1

10,8 8,4 16,0 18,0 26,0 11,0 5,1 5,7 12,0 13,0 6,9 10,0 8,4 9,6 11,9 14,1 11,6 8,4 8,6 16,0 20,6 16,0 14,1 11,2 13,2

-

588

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

Tabla 8.19 (a). Planilla de cálculo para el ensayo del Dilatómetro de Marchetti DMT. Prof. (m)

Presión A (kPa)

Presión B (kPa)

Presión C (kPa)

A corregida

B corregida

C corregida

(kPa)

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2 9,4 9,6 9,8 10,0

148 270 330 210 260 340 250 360 420 420 550 590 470 350 650 690 600 390 490 640 380 350 450 460 450 710 610 980 1000 1650 650 400 390 610 710 490 420 450 480 390 590 530 560 530 850 970 610 940 910 910

262 460 520 300 470 550 730 610 580 570 930 990 790 470 1050 1000 940 480 810 960 560 440 700 870 730 1080 840 1600 1800 2600 1100 510 570 1200 1300 690 1000 840 960 1190 1410 1160 840 860 1600 2060 1620 1410 1120 1320

-

160 279 339 224 268 348 244 366 430 431 549 588 472 362 648 693 601 404 492 342 389 364 456 458 454 709,5 616,5 967 978 1620,5 645,5 412,5 399 598,5 698,5 498 409 448,5 474 368 567 516,5 564 531,5 830,5 933,5 577,5 934,5 917,5 907,5

217 415 475 255 425 505 685 565 535 525 885 945 745 425 1005 955 895 435 765 915 515 395 655 825 685 1035 795 1555 1755 2555 1055 465 525 1155 1255 645 955 795 915 1145 1365 1115 795 815 1555 2015 1575 1365 1075 1275

-

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,96 3,92 5,89 7,85 9,81 11,77 13,73 15,70 17,66 19,62 21,58 23,54 25,51 27,47 29,43 31,39 33,35 35,32 37,28 39,24 41,20 43,16 45,13 47,09 49,05 51,01 52,97 54,94 56,90 58,86 60,82 62,78 64,75 66,71 68,67

ID

ED /

0,35 0,49 0,40 0,14 0,59 0,45 1,81 0,55 0,24 0,22 0,61 0,61 0,58 0,17 0,55 0,38 0,49 0,10 0,56 0,43 0,33 0,10 0,45 0,84 0,53 0,47 0,30 0,62 0,82 0,59 0,67 0,14 0,35 0,99 0,84 0,32 1,49 0,86 1,03 2,44 1,55 1,29 0,45 0,60 0,94 1,24 1,94 0,49 0,19 0,44

1,97 4,74 4,74 1,09 5,47 5,47 15,30 6,92 3,64 3,28 11,66 12,39 9,47 2,19 12,39 9,11 10,20 1,09 9,47 9,47 4,37 1,09 6,92 12,75 8,02 11,29 6,19 20,40 26,96 32,43 14,21 1,82 4,37 19,31 19,31 5,10 18,95 12,02 15,30 26,96 27,69 20,77 8,02 9,84 25,14 37,53 34,61 14,94 5,47 12,75

15,70 16,68 16,68 14,72 16,68 16,68 18,64 16,68 16,68 16,68 17,66 17,66 17,66 16,68 17,66 17,66 17,66 14,72 17,66 17,66 16,68 14,72 17,66 17,66 17,66 17,66 17,66 19,13 19,13 20,11 17,66 16,68 16,68 17,66 19,13 17,66 17,66 17,66 17,66 18,64 19,13 17,66 17,66 17,66 19,13 19,13 19,62 18,64 17,66 18,64

589

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Tabla 8.19 (b). Planilla de cálculo para el ensayo del Dilatómetro de Marchetti DMT. Prof. (m)

(kPa)

(kPa)

KD

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2 9,4 9,6 9,8 10,0

3,14 6,47 9,81 12,75 16,09 19,42 23,15 26,49 29,82 33,16 36,69 40,22 43,75 47,09 50,62 54,15 57,68 60,63 64,16 67,69 71,02 73,97 77,50 81,03 84,56 88,09 91,63 95,45 99,28 103,30 106,83 110,17 113,50 117,03 120,86 124,39 127,92 131,45 134,99 138,71 142,54 146,07 149,60 153,13 156,96 160,79 164,71 168,44 171,97 175,70

3,14 6,47 9,81 12,75 16,09 19,42 23,15 26,49 29,82 33,16 36,69 40,22 43,75 47,09 50,62 52,20 53,80 54,70 56,30 57,88 59,25 60,23 61,80 63,37 64,94 66,51 68,08 69,95 71,81 73,87 75,44 76,81 78,19 79,76 81,62 83,19 84,76 86,33 87,90 89,66 91,53 93,10 94,67 96,24 98,10 99,96 101,93 103,69 105,26 107,03

51,1 43,0 34,5 17,5 16,6 17,9 10,5 13,8 14,4 13,0 15,0 14,6 10,8 7,7 12,8 13,2 11,1 7,3 8,6 10,9 6,4 5,8 7,1 6,9 6,7 10,3 8,7 13,5 13,2 21,5 8,1 4,9 4,7 7,0 8,1 5,5 4,3 4,7 4,9 3,6 5,6 5,0 5,4 4,9 7,9 8,7 5,0 8,4 8,1 7,8

OCR

178,08 138,25 99,83 36,50 33,74 37,64

156,69 119,90 85,02 29,55 27,22 20,51

25,51 27,25 23,27 28,81 27,82 17,58 10,45 22,78 23,94 18,37 9,56 12,42 17,91 7,77 6,71 9,26 8,91 8,40 16,49 12,67 24,57 23,96 49,63 11,42 5,16 4,68 9,10 11,28 6,14

20,35 21,79 18,50 23,09 22,27 13,86 8,17 18,10 19,06 14,50 7,48 9,73 14,13 6,09 5,27 7,24 6,97 6,58 12,98 9,93 19,58 19,07 40,76 8,93 4,09 3,73 7,12 8,83 4,83

4,71 5,02

3,76 3,99

(°)

(kPa)

39,6 66,0 75,9 42,3 50,0 66,1 41

36

35 38 37 5,93 5,15 10,83

4,68 4,09 8,47 40 37

11,96 11,29 10,77

9,36 8,83 8,42

65,2 77,5 75,6 99,9 106,4 79,1 55,8 113,4 121,8 100,8 60,4 76,7 106,3 55,4 50,2 66,4 66,0 64,6 114,1 94,2 166,8 167,7 317,1 95,9 52,3 49,4 84,6 102,8 64,7 48,8 54,9 58,6 73,5 64,0 71,7 65,4 119,5 138,8 136,9 132,7 129,8

M (kPa)

Tipo de suelo

8,0 18,9 17,9 3,4 16,5 16,9 43,8 19,6 10,5 9,1 30,5 31,2 24,4 4,9 34,1 25,4 26,6 2,4 22,2 24,5 8,9 2,1 14,9 27,9 16,7 28,6 14,6 53,2 77,9 106,6 31,4 3,2 7,5 43,7 45,6 9,6 34,2 21,2 28,5 44,7 58,6 40,3 14,9 17,5 59,6 96,4 70,2 34,7 12,5 28,7

Arcilla limosa Arcilla limosa Arcilla limosa Orgánico Arcilla limosa Arcilla limosa Arcilla limosa Arcilla limosa Arcilla Arcilla Limo arcilloso Limo arcilloso Arcilla limosa Arcilla Arcilla limosa Arcilla limosa Arcilla limosa Orgánico Arcilla limosa Arcilla limosa Arcilla Orgánico Arcilla limosa Limo arcilloso Arcilla limosa Arcilla limosa Arcilla Limo arcilloso Limo arcilloso Arcilla limosa Limo arcilloso Arcilla Arcilla Limo Limo arcilloso Arcilla Limo arenoso Limo arcilloso Limo Arena limosa Limo arenoso Limo arenoso Arcilla limosa Arcilla limosa Limo Limo arenoso Arena limosa Arcilla limosa Arcilla Arcilla limosa

590

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Finalmente los resultados del ensayo se muestran en la figura 8.34.

Figura 8.34. Ensayo del dilatómetro de Marchetti DMT.

591

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

8.9 Ensayo de refracción sísmica El método de refracción sísmica ha sido ampliamente usado para investigar las condiciones del terreno, pudiendo abarcar una profundidad de hasta 300 m. La figura 8.35 muestra un arreglo típico del equipo que es instalado en campo con el objeto de investigar un sistema de tres estratos.

Figura 8.35. Método de refracción sísmica.

El método de refracción sísmica consiste en enviar ondas sísmicas elásticas al terreno para luego medir el tiempo de llegada de estas en varios puntos. Existen dos tipos de cuerpos de ondas sísmicas: las ondas planas u ondas de compresión denominadas ondas P y las ondas de corte denominadas ondas S, Fig. 8.36. En la Figura 8.35, el punto A es el origen del impulso sísmico, y los puntos

a

representan las

posiciones de los geófonos, cuyo espaciamiento dependerá del detalle del estudio requerido y de la profundidad del estrato que está siendo investigado. En general, según Lowe et al. (1991) el espaciamiento debe ser tal que la distancia de G1 a G7 sea de tres a cuatro veces la profundidad que va a ser investigada. El impacto que genera la onda puede ser producto de un golpe con martillo o producto de pequeñas cargas explosivas. Las ondas resultantes son medidas por los geófonos alineados en orden que se hallan a su vez conectados a un sismógrafo. 592

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La velocidad de la onda depende de las propiedades físicas del suelo o roca, tales como la densidad, textura, contenido de humedad, módulo de elasticidad, porosidad y frecuencia de las discontinuidades. Por ejemplo, rocas densas como el basalto tienen velocidades altas de onda, mientras que las rocas débiles como las rocas calizas tienen velocidades muy bajas. Es de este modo, que el método de refracción sísmica constituye un método muy útil para estimar el perfil de suelo. Entonces, para geófonos que se encuentren cerca al punto de impulso sísmico, la onda directa que viaja a una velocidad

en el estrato superior A llega primero. Sin embargo, si la velocidad en el estrato inferior es

mayor, entonces, a alguna distancia del punto de impulso, la onda refractada, viajando con velocidad estrato inferior B y con velocidad

en el

en el estrato superior, llegará primero.

Los tiempos de primeras llegadas son representados en una gráfica tiempo vs distancia al punto de impulso, Fig.8.35 (b), obteniéndose tres líneas rectas de tiempo/distancia con pendientes de 1/ , 1/ 1/

y

respectivamente. Un cambio en la pendiente de las rectas significa un cambio en el tipo se suelo, es

decir, el comienzo de un nuevo estrato. Luego, si la intersección de las dos pendientes ocurre a una distancia X, puede observarse que la profundidad del estrato A está dada por: ℎ =

1 2

− −

×

(Ec. 8.55)

El valor de X se obtiene a partir de la figura 8.35 (b) Para determinar el espesor del segundo estrato, se usa la siguiente ecuación: ℎ =

− 2ℎ

El valor de

−



(Ec. 8.56)

−

es determinado como se muestra en la figura 8.35 (b). El detalle de la obtención de estas

ecuaciones se encuentra en Dobrin (1960).

Figura 8.36. Tipos de cuerpos de ondas sísmicas (Simons et al, 2001).

Se debe tomar en cuenta que las ecuaciones (8.55) y (8.56) son válidas para cuando

<

<

….. Por

otro lado, es importante detectar la presencia del nivel freático debido a que la presencia de suelos saturados ocasiona errores en los resultados obtenidos. Finalmente otros errores pueden ser causados debido a la 593

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

presencia de estratos anistrópicos en los que pueda existir cierta diferencia entre las velocidades horizontales y verticales. La tabla 8.20 presenta el rango de velocidad de ondas P para distintos tipos de suelo o roca. Tabla 8.20. Velocidades de propagación de ondas elásticas longitudinales o de compresión en diversos materiales. Material

Velocidad, m/s

Aire Agua * Agua de mar * Petróleo Nieve Material meteorizado de superficie Tierra vegetal Recubrimiento de ladera Suelos gruesos compactos Arena del fondo del océano Arena seca o gravosa Arena (saturada) Arena suelta sobre el nivel freático Arena suelta bajo el nivel freático Arcilla (saturada) Arcilla arenosa Arcilla arenosa cementada Arcilla del fondo del océano Arcilla glaciar Limo Grava mezclada con suelo Grava compactada Loess Arenisca Creta Pizarra Tiza Piedra caliza Granito Gneis Dolomitas Evaporita Dunas Roca metamórfica Roca meteorizada Rocas diaclasadas Rocas volcánicas no meteorizadas Rocas plutónicas sanas Lutitas y margas Caliza Basalto Relleno Sal Hormigón Superficie del manto

330 – 340 1430 – 1665 1460 – 1525 1300 – 1400 350 – 3000 240 – 610 180 – 400 390 – 750 900 – 2600 1800 460 – 915 1220 – 1830 800 – 2000 1500 – 4000 915 – 2750 975 – 1100 1160 – 1280 1500 900 – 2400 760 1000 – 2500 4000 – 6000 375 – 400 1830 – 3960 1830 – 3970 2750 – 4270 1830 – 3970 3000 – 6100 4380 – 5800 5100 – 7500 3500 – 6200 3500 – 5500 500 3050 – 7020 600 – 3000 2000 – 5500 3000 – 6900 5000 – 7200 1800 – 5300 2100 – 6400 8500 – 13000 400 – 750 4270 – 5190 3600 8100

* Depende del grado de salinidad

594

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Ejemplo 8.5 Los resultados de un sondeo por refracción en un sitio se dan en la siguiente tabla. Determine las velocidades de las ondas P y el espesor del material encontrado. Tabla 8.21. Resultados del Ensayo de Refracción Sísmica. Distancia desde la fuente de perturbación (m)

Tiempo de primera llegada ( ×

2,5 5 7,5 10 15 20 25 30 35 40 50

11,2 23,3 33,5 42,4 50,9 57,2 64,4 68,6 71,1 72,1 75,5

)

Solución:

Figura 8.37. Grafica Tiempos de llegada vs. Distancia.

Velocidad. En la figura 8.37, los tiempos de llegada están graficados contra la distancia desde la fuente de perturbación. La grafica tiene tres segmentos rectos. La velocidad en los tres estratos superiores puede calcularse de la siguiente manera: Pendiente del segmento 0 =

1

=

tiempo 23 × 10 = distancia 5,25

595

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Luego la velocidad en el estrato superior es: =

5,25 × 10 m = 228 (suelo orgánico) 23 s

Pendiente del segmento

=

1

=

13,5 × 10 11

Luego la velocidad en el estrato intermedio es: =

11 × 10 m = 814,8 (arena gravosa) 13,5 s

Pendiente del segmento

=

1

=

3,5 × 10 14,75

Luego la velocidad en el tercer estrato es: = 4214 m/s (roca) Comparando las velocidades obtenidas aquí con las dadas en la tabla 8.10, se observa que el tercer estrato es roca. Espesor de los estratos De la figura 8.10, =

1 2

− +

= 10,5 m =

1 814,28 − 228 × 10,5 = 3,94 m 2 814,8 + 228

Para el estrato intermedio: =

1 2

−

2

El valor de =

− )

(

−

(de la figura 8.10) es 65 × 10

1 65 × 10 2

−

segundos. Por consiguiente,

2(3,94) (4214) − (228) (4214)(228)

(4214)(814,8) (4214) − (814,8)

= 12,66 m El estrato de roca se encuentra a una profundidad

+

= 3,94 + 12,66 = 16,6 m medido desde la

superficie del terreno

8.10 Sondeo eléctrico vertical (SEV) Este método emplea corriente continua artificial para la determinación de discontinuidades horizontales y verticales a través de las propiedades eléctricas (sobre todo la resistividad) del suelo. La resistividad es la propiedad por la cual un material se resiste al paso de corriente. La resistividad de un cuerpo de longitud l y área A que tiene una resistencia R en las caras opuestas, se define mediante la siguiente ecuación: =

(Ec. 8.54)

En un medio totalmente homogéneo, la diferencia de potencial está dada por la Ley de Ohm mediante la siguiente ecuación: 596

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∆ =

(Ec. 8.55)

Donde: ∆ = Diferencia de potencial. = Intensidad de corriente. Reemplazando la ecuación (8.55) en (8.54) y considerando un elemento pequeño, se tiene: ∆ =− ∆

(Ec. 8.56)

Donde: = / = Densidad de corriente. A partir de la figura 8.30, para cualquier línea de flujo ubicada a una distancia r, la densidad de corriente es: =

(Ec. 8.57)

2

Reemplazando (8.57) en (8.56), e integrando para V, el potencial en cualquier punto debajo de la superficie es: =

(Ec. 8.57)

2

Figura 8.38. Flujo de corriente de un electrodo simple.

Luego, para la configuración mostrada en la figura 8.39 la resistividad es: 2 ∆

=

1

−

1

−

1

−

1

(Ec. 8.59)

La ecuación (8.59) puede también ser expresada como: =

2 ∆

Donde:

597

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

1

=

−

1

−

1

−

1

2 / = Factor geométrico.

Figura 8.39. Forma general de la configuración de electrodos usada para las medidas de resistividad.

El factor geométrico varía según el arreglo de electrodos considerado en el ensayo. Los dos tipos de arreglos más empleados son:  Arreglo de Wenner.- Usado para la determinación de las variaciones de propiedades eléctricas en dirección horizontal, en el que los electrodos de intensidad y de potencia son mantenidos a espaciamientos iguales a, Fig. 8.40 (a). La resistividad para el arreglo de Wenner es: =2

∆

(Ec. 8.60)

 Arreglo de Schlumberger.- Usado para la determinación de las variaciones de propiedades eléctricas en dirección vertical, en el que el espaciamiento entre los electrodos de intensidad es gradualmente incrementado a partir de la línea central, Fig. 8.40 (b). La resistividad para el arreglo de Schlumberger es: =

∆ 2

(Ec. 8.61)

El sondeo eléctrico vertical SEV es realizado utilizando el arreglo de Schlumberger. Los resultados obtenidos a partir de un SEV usualmente se presentan a través de una serie de gráficos que expresan la variación de la resistividad en función de la separación de los electrodos. Estas curvas representan, al menos cualitativamente la variación de la resistividad con la profundidad. Por lo general, cuando se presentan casos de varios estratos se requiere un análisis de inversión, que comúnmente no proporciona una única solución. El análisis de inversión se realiza con la ayuda de un computador de la siguiente manera:  Las resistividades medidas en el ensayo son mostradas.  Una aproximación es ingresada al modelo según los parámetros geológicos.  La curva de resistividad aparente es determinada.  Mediante un proceso de ensayo y error se realizan ajustes hasta que la curva teórica concuerde con la curva medida.

598

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Figura 8.40. Configuración de electrodos de (a) Wenner (b) Schlumberger.

A manera de ilustración puede observarse en la figura 8.41 una inversión típica realizada en un SEV. Los resultados constan de una gráfica donde se presenta la curva medida y la curva teórica junto con los intervalos de resistividad. Cambios en la resistividad indican cambios en el tipo de material o variaciones dentro del contenido de humedad del suelo. La tabla 8.22 presenta el rango de resistividades para diferentes tipos de materiales.

Figura 8.41. Curvas de ajuste durante el proceso de inversión.

599

Capítulo 8. Exploración del subsuelo

Finalmente, se pude decir que a pesar de que este método es relativamente simple tiene bastantes limitaciones. Estas se deben sobre todo a la ambigüedad que puede existir en los resultados y a que por lo general se hace necesario el realizar ensayos adicionales que proporcionen una idea del posible perfil de suelo que pueda encontrarse. Tabla 8.22. Resistividades típicas de diferentes materiales. Tipo de material

Resistividad Ωm

Arcilla Arcilla magra Arcilla arenosa, limo Arena con arcilla Arena, gravas saturadas Arena, grava seca Bolones secos Caliza, yeso Arenisca Lechos de arena y domos de arena Granito Gneis

3 – 30 10 – 40 25 – 150 50 – 300 200 – 400 800 – 5000 100 – 3000 500 – 3500 300 – 3000 >10000 2000 – 10000 400 – 6000

Depósitos de desechos

Resistividad Ωm

Basura doméstica Escombros y suelo de desecho Desechos industriales (lodos) Chatarra (partes metálicas) Piezas de vidrio roto y porcelana Rastros de arena Desechos de papel (húmedo) Fuente de contaminación de basura doméstica Aceite usado Alquitrán, brea Limpieza de ropa y materiales Barniz usado y pintura Barriles vacíos

12 – 30 200 – 350 40 – 200 1 – 12 100 – 550 400 – 1600 70 – 180 1 – 10 150 – 700 300 – 1200 30 – 200 200 – 1000 5 - 20

Referencias Berardi R. and Lancellotta (1991). “Settlement of shallow foundation in sand: selection of stiffness of the basis of penetration resistance“. Campanella R. G. and Robertson P. K., “State of the art in in-situ testing of soils: Developments since 1978”, University of British Columbia, Vancouver, Canada. Campanella R. G. and Robertson P. K. y Wightman A., “SPT-CPT Correlations”, University of British Columbia, Department of Civil Engineering. Coduto, Donald P. (1999). “Geotechnical Engineering, Principles and Practices, Segunda Edición”. Prentice Hall. Das, Braja. M. “Fundamentos de Ingeniería Geotécnica” Thomson Learning. D’ Appolonia, D.J.; D’Appolonia, E.; Brissete, R.F. (1970). “Discussion on Settlement of Spread Footings on Sand”. ASCE Jour. SMFD96:SM2. Lancellotta, R. (1983). “Analisi di Affidabilità in Ingegneria Geotecnica, Atti Istituto Scienza Construzioni”. No. 625, Politecnico di Torino. 600

Mecánica de Suelos. L.M. Salinas, J. H. Yapari, A.Canelas, A. Aranibar

Marchetti, S. (1980). “In Situ Test by Flat Dilatometer”, Journal of Geotechnical Engineering Division, ASCE vol. 106, GT3. Meigh, A.C. (1987). ”Cone penetration testing: methods and interpretation”. London, CIRIA ground engineering report: in-situ testing. Butterworths. Schmerrtman, J.H. (1975). “Measurement of In Situ Shear Strength”, Proceedings, Specialty Conference on In Situ Measurement of Soil Properties, ASCE, vol. 2, pp. 57-138. Schmerrtman, J.H. (1977). ”Interpreting the Dinamics of the Standar Penetration Test” Skempton, A. W. (1986), “Standard Penetration Test Procedures and the Effect in Sands of Overburden Pressure, Relative Density, Perticle Size, Aging and Overconsolidation”, Geotechnique, vol. 36, No. 3 pp. 425-447. Simons N., Menzies B. & Matthews M. “A short course in Geotechnical Site Investigation” Thomas Telford Simons N., Menzies B. “Foundation Engineering, Second Edition” Thomas Telford. Whitlow, Roy (1994). “Fundamentos de Mecánica de Suelos, Segunda Edición”. CECSA, México.

601